Kokeellinen matematiikan opetus
B. Zimmermann
Jenan yliopisto
Joensuu, 23.03.2010
Sisältö


Johdanto
Kuutioiden tutkiminen







Laskeminen
Monikulmioluvut
Avaruuden tutkiminen
Pelit ja palapelit
Escher-kolmiot ja muiden projektien kehittäminen
Kahvitauko
Muiden ongelmakenttien tutkiminen





Jatkoa kuutioiden tutkimiselle
Polyndromin (ja muiden kohteiden) tutkiminen
Paperintaittamisongelma ja muut ongelmat
(Geometrinen) todennäköisyyslaskenta
Tulitikkuongelmat
Experimental Mathematics - Joensuu Maaliskuu 2010 - Bernd Zimmermann
Cubes
– plugged and unplugged
The system:
Experimental Mathematics - Joensuu maaliskuu 2010 - Bernd Zimmermann
Investigations by cubes

http://www.dicksystem.com/
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
How many?
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Construct figures with the
corresponding number of cubes
5
7
8
13
14
(change of representation)
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Addition and partition…
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Counting and patterns
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Laskentamenetelmä → termit →
laskentamenetelmä
3*3; 3*4; …
3*(n-1)
 3 + 3*2; 3 + 3*3; …
3 + 3*(n-2)
 3(n-1) = 3n – 3 ja
3 + 3(n-2) = 3 + 3n – 3*2 = 3n - 3
3n – 3
Muunna termiä...

=
Laskenta ja strukturirakentaminen (luok. 6)
Counting and patterns
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Counting and patterns:
triangular numbers
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Counting and patterns:
figured numbers


What about quadrilateral numbers?
….
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Counting and patterns
in space
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Counting and patterns in space:
pyramidal numbers

What is the number of consecutive
triangular numbers?
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Counting cubes in cubes
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Further problems on cubes
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Games and puzzles

Polyominos:
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Games and puzzles
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Computer-science unplugged:
Sorting
?
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Space excursions:
Soma
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Space excursions:
Soma - ready
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Escher – impossible figures modeled by plugged cubes
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Kahvitauko!
Cubes –
plugged and unplugged
Sorting game
Plane
Space
Counting cubes
Counting cubes in 3D
Triangular numbers
Pyramidal numbers
Eschertriangle
Eschercube
Polygonal numbers
Blockout
Figured numbers
Cube-problems
Polyominos
Kuutio-vaipat
Soma-cubes
Tetris
Polyom.-Puzzles
Cube-puzzles
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Geometry: Tessellations
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Tessellation of the plane with
regular polygons




Try to tessellate the plane with many
exemplars of regular polygons of a
specific type (triangles, squares,…)
Which yield a complete covering of the
plane?
Why?
Which polygons are not appropriate and
why?
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Checking your tessellation
by using polydron

http://www.polydron.co.uk/cgibin/index.cgi?page=/index&userid=491
71106&currency=pounds
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Which regular polygons are appropriate
to tessellate the plane
Of course with squares and…
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Which regular polygons are appropriate
to tessellate the plane

Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Tessellation by an arbitrary
triangle
Use a molding tool!!
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Polydron:
Platonic solids – how many?
Creamagnetic: Platonic solids
– how many?

Strong magnets

http://www.creamagnetic-spiele.de/
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Euler‘s polyhedron theorem
Relation between S; K; P??
Geometric Probability

Toss a coin on a grid…
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Geometric probability

Circle: Throws (dart). Hits by random????
Experimental Mathematics - Helsinki Zufallsversuch???
helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Geometric probability:
Liitu-sota luokassa

Circle: picture of the blackboard; every
pupil has 10 throws
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Paperfolding
Taittamisongelma
1. Ota A4-paperi. Taita yksi kerta keskeltä ja leikkaa kaikki nurkat pois.
2. Miltä paperi nyt näyttää? Millaisia struktuureja liität tilanteeseen?
3. Taita paperi uudelleen toisessa suunnassa ja palaa vaiheeseen 1. Älä
avaa! Löytääksesi struktuureja, toista niin monta kertaa kuin haluat tai
voit.
1. Taitto ja
leikkaus
2. Taitto ja
leikkaus
3. Taitto ja
leikkaus
4. Taitto ja
leikkaus
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Paperfolding



Rectangle of the same perimeter with
maximal area (isoperimetric problem)
Doubling the square
Pentagon-folding
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Geoboard
B
I
A
1
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
How many matches?
Counting and structuring
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Further games to be invented…
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
References
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Thank you for your attention!
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann
Examples

Pythagoras in Sweden

Fermat-point in triangles

Fermat-tours in triangles
Experimental Mathematics - Helsinki helmikuu 2009 - Bernd Zimmermann