Jawab 2-4:
Karena disini ada tiga parammater masing-masing yaitu a, b dan c yang harus dieliminer
,maka pers.diff yang dicari harus diturunkan sampai dengan tiga kali,yaitu: y
 ax
 b x
 c .....( i )
Turunan I: y
 
Turunan II: y
  a
 b x
2
....( ii )
2 b
....( iii ) x
3
Dari pers.(iii) didapat : y b



2 b x 3 x
3 y

....( iv )
2
Turunan III: y
  
6 b
...( v ) x 4
Dari pers.(iv) didapat : y b
 

 x

4
6
6 b x
4 y
 
....( vi )
Pers.Dif didapat dengan menyamakan pers.(iv) dan pers.(vi),yaitu: b
 x
3
y

 x
4
6 y
 x
3
3 y y
2



 x y x
4

6 y
 pers .
dif .
: y
 
3 y
 
0
Jawab 2-5:
Karena disini ada dua parammater masing-masing yaitu a dan b yang harus dieliminer
,maka pers.diff yang dicari harus diturunkan sampai dengan dua kali,yaitu: y
 a cos kx
 b sin kx ....( i )
Turunan I
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
1

y y


 a cos kx

 ak sin kx b sin
 bk kx cos kx ....( ii )
Turunan II y
   ak
2 cos kx
 bk
2 sin kx
  k
2
( a cos kx
 b sin kx )....( iii )
Jadi pers.diff. didapat karena pers.(iii)=-k 2 x pers.(i),yaitu: y
   k
2
( a cos kx
 b sin kx ) y
   k
2
( y )
 pers .
diff .
: y
  k 2 y

0
Jawab 2-6:
Karena disini ada empat parammater masing-masing yaitu a, b , c dan d yang harus dieliminer ,maka pers.diff yang dicari harus diturunkan sampai dengan empat kali,yaitu: y

( ax
 b ) e kx 
( cx
 d ) e
 kx
....( i )
Turunan I: y

( ax
 b ) e kx 
( cx
 d ) e
 kx y
 y



( ax ae kx
 b )( ke kx
)
 ce
 kx  k

( ae kx ax

 b )
( cx e kx

 d k (
)(
 ke
 cx
 kx
)
 ce
 kx  d ) e
 kx
.....( ii )
Turunan II y
  ake kx  cke
 kx  k
2
( ax
 b ) e kx  ak
2 e kx  k
2
( cx
 d ) e
 kx  cke
 kx y
  y y



2 ake
2 kx
 ake kx

2 cke
 kx ake kx y
 
2 ake kx
 cke
 kx



2 cke
2 cke k
2
{( ax

 kx
 kx k
2


 b ) e kx
( ax k k
2
{( ax
2
(


( cx b ) e kx
 b


) e pers .( i )).
d ) e
 kx
}......( iii ) kx ake kx  k
2
( cx
 d ) e
 kx  cke
 kx

( cx
 d ) e
 kx
}......( iii )
Terlihat bahwa item ketiga dari pers.(iii) adalah sebetulnya pers.diff.(i),sehingga pers.(iii) dapat ditulis kembali dalam bentuk yang sangat sederhana,yaitu: y
 
2 ake kx

2 cke
 kx
 k
2
( pers .( i )).
y
 
2 ake kx

2 cke
 kx
 k 2 y ......( iv )
Dari sini kita dapat menurunkan Turunan III dari pers.diff.(i),yaitu: y
 
2 ak
2 e kx 
2 ck
2 e
 kx  k
2 y

.....( v ).
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
2

Selanjutnya Turunan IV dari pers.diff.(i),yaitu: y ( 4 )  k 3 ( 2 ae kx 
2 ce
 kx )
 k 2 y

.....( vi ).
Karena Item kedua dari pers.(vi) adalah samadengan : y
 
2 ake kx

2 cke
 kx
 k 2 y ......( iv ) y
 k ( 2
 ae k ( 2 kx ae
 kx 
2 ce
 kx
2 ce
 kx
)

)
 k
2 y y
  k
2 y ....( vii )
Maka pers.(vii) dapat ditulis menjadi: y
( 4 )  k
3
( 2 ae kx 
2 ce
 kx
)
 k
2 y

.....( vi ).
y y
( 4 )
( 4 )
 k 2 ( y
  k 2 y )
 k 2 y

 k 2 y
  k 4 y
 k 2 y

.........( viii )
Dan pers.diff. yang dihitung adalah,dari pers.(viii),yaitu: y
( 4 )  k
2 y
  k
4 y
 k
2 y

.........( viii ) y
( 4 ) 
2 k
2 y
  k
4 y

0 .......( ix )..( jawab )
Jawab 2-7:
Karena disini hanya ada satu parammater “λ” yang harus dieliminer ,maka pers.diff yang dicari cukup diturunkan hanya satu kali saja,yaitu:
( a
2 x
2
 
)

( b
2 y
2
 
)

1 .........( i )
( a
2
2 x

2 y y

( b
2
 
)
0 .....( ii )

)
 
Melihat pers.(ii) diatas,sebaiknya kita tidak perlu mengeliminer λ,karena posisinya sangat sulit untuk dieliminer.Tetapi setelah kita hitung λ tersebut diatas ,maka kita buat blok ( a
2
 
)..
dan ...( b
2
 
)....( iii )
Yang kemudian kita subsitusikan kedalam pers.(i).Dari pers.pers.(ii) dapat dihitung parameter λ sbb:
( a
2
2 x
 
)

( b
2
2 y
 y


)

0 .....( ii )
( b 2
 
) x

( a 2
 
) y y
 
0
( x

  y y

)
 
( b 2 x
 a 2 y y

)

0
 
( b
2 x
( x

 a
2 y y

) y y

)
....( iv )
Maka pers.(iii) dapat dihitung menjadi:
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
3

( a
2  
)..
dan ...( b
2  
)....( iii )
  
( b
2 x
( x

 a
2 y y

) y y

)
...( iv )
( a 2

( b 2 x
( x

 a 2 y y
 y y

)
)
)

( a 2 x

 b 2 y y

) x
....( v )
( b 2

( b 2 x
( x

 a 2 y y
 y y

)
)
)
 
( a 2 x

 b 2 y y
)
 y y

....( vi )
Dan pers.diff. yang dihitung adalah dengan menggantikan ( a
2  
)..
dan ...( b
2
Kedalam pers.(i) ,yaitu:
 
)....( iii )
( a
2 x
2
 
)

( b
2 y
2
 
)

1 .........( i x
(
2 a
( x
2

 b
2 y y

)
) x
 y
2
( a
2
( x

 b
2 y y

)
) y y


1
 x
2
( x
 y y

) y
  y ( x
 y y

)

( a
2  b
2
) y

...( jawab )
Jawab 2-8:
Karena disini ada dua parammater masing-masing yaitu c
1
dan c
2
yang harus dieliminer
,maka pers.diff yang dicari harus diturunkan sampai dengan dua kali,yaitu: y
 c
1 e x  c
2 e
2 x
....( i )
Turunan I: y
 c
1 e x  c
2 e 2 x y
  c
1 e x 
2 c
2 e
2 x
...( ii )
Turunan II: y
  c
1 e x

4 c
2 e 2 x ..( iii )
c
2 e
2 x dari pers.(i) dan (ii),menghasilkan pers.(iv)
(ii
c
2 e
2 x dari pers.(ii) dan (iii), menghasilkan pers.(vi)
Karena pers.(iv)=pers.(vi),maka pers.diff yang dihitung adalah pers.(iv)=pers.(vi)
Prosedurnya dari butir-butir diatas adalah sbb:
Pers.(i)-pers.(ii): y
 y
   c
2 e
2 x
....( iv )
Pers.(ii)-pers.(iii): y
 y
   c
2 e
2 x
....( v )
Perts.diff.yang dicari adalah pers.(iv)=pers.(v),yaitu:
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
4

y
  y
 y
  y

2
Atau
2 y
 
2 y

Pers .
Dff .
: y
 
2 y y


3 y
  y
 
0 ....( vi ).....( jawab )
3 First-Order Differential Equations (Persamaan Diffrensial Orde Pertama)
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
3.1. Introduction
This book is a study of differential equations and their applications. A differential equation is a relationship between a function of time and its derivatives. The equations
..(3-1) are both examples of differential equations. The order of a differential equation is the order of the highest derivative of the function y that appears in the equation. Thus (i) is a first order differential equation and (ii) is a third order differential equation. By a solution of a differential equation we will mean a continuous function y(t) which together with its derivatives satisfies the relationship. For example, the function
y(t) = 2 sin t – 1/3 cos 2t is a solution of the second order differential equation: d
2 y
+ y = cos 2t dt dt
2
Since
Differential equations appear naturally in many areas of science and the humanities. In this book, we will present serious discussions of the applications of differential equations to such diverse and fascinating problems as the detection of art forgeries, the diagnosis of diabetes, the increase in the percentage of sharks present in the Mediterranean Sea during World War I and the spread of gonorrhea. Our purpose is to show how researchers have used differential equations to solve, or try to solve, real life problems.
And while we will discuss some of the great success stories of differential equations, we will also point out their limitations and document some of their failures.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
5

3.2. First order linear differential equations
We begin by studying first order differential equations and we will assume that our equation is, or can be put, in the form
…(3-2)
The problem before us is this: Given f(t,y) find all functions y(t) which satisfy the differential equation (3-1). We approach this problem in the following manner, A fundamental principle of mathematics is that the way to solve a new problem is to reduce it , in some manner, to a problem that we have already solved. In practice this usually entails successively simplifying the problem until it resembles one we have already solved.
Since we are presently in the business of solving differential equations, it is advisable for us to take inventory and list all the differential equations we can solve. If we assume that our mathematical background consists of just elementary calculus then the very sad fact is that the only first order differential equation we can solve at present is where g is any integrable function of time. To solve equa tion (3-2) simply integrate both sides with respect to t, which yields
y(t) = g(t)dt + c where c is an arbitrary constant of integration, and by / g(t)dt we mean an antiderivative of g, that is, a function whose derivative is g. Thus, to solve any other differential equation we must somehow reduce it to the form (2) As we will see that this is impossible to do in most -cases. Hence, we will not be able, without the aid of a computer, to solve most differential equations. It stands to reason, therefore, that to find those differential equations that we can solve , we should start with very simple equation; and not ones like (which incidentally dt cannot be solved exactly) . Experience has taught us "simplest" equations are those which are linear in the dependent variable y.
Definition: The general first order linear differential equation is
……(-3)
Unless otherwise stated, the functions a(t) and b(t) are assumed to be continuous functions of time. We single out this equation and call it j.ine,ar_. because the dependent variable y appears by itself, that is, no terms such as e~^,y or sin y etc. appear in the equation. For example
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
6

equations because of the y 2 . and cos y terms respectively.
Now it is not immediately apparent how to solve Equation (3). Thus, we simplify it even further by setting b(t) = 0.
3 . 3.Initial Value Problem
Suatu persamaan diffrensial yang solusinya melibatkan initial condition bagi suatu fungsi yang memenuhi persamaan dif. yang diminta, disebut persamaan dif. dengan initial value problem; yaitu seperti persamaan dif. orde pertama dibawah ini. dengan "initial condition"
….(3.1)
..(3.2) disini x
0
adalah sebuah titik di I dan y
0 adalah sebarang bilangan riel. Dengan kata lain, problemanya: dengan Initial Condition : y ( x
0
)
 y
0
Contoh 3.1
y
 ce x adalah grup suatu kurva dgn satu parameter yg solusinya adalah y
’
= y pada interval -

<x+

. Bila kita tunjuk y(0)=3,maka dgn mensubstitusikan x=0 dan y=3 dalam kurva tersebut akan menghasilkan: 3
 ce
0 
0 . Jadi seperti padaGamb.3.1.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
7

Umpama kita dituntut bahwa solusi y’= y harus melalui titik (1,3) daripada (0,3), maka y(l)=3 akan menghasilkan:
3.4 Persamaan Diffrensial dengan Variabel Terpisah
(Separable Variable Diff.Eq.)
Bila g(x) adalah sebuah fungsi kontinyu, maka persamaan orde pertama : dy
 g ( x )
.....(3.4) dx dapat dipecahkan dengan jalan ”integrasi”, yaitu : y
  g ( x ) dx
 c
Contoh 3.2 dy hitunglah (a).

1
 e
2 x dx dy
(b).
 sin x dx
Jawab.
Dengan metoda integrasi ,maka sangat mudah dipahami bahwa solusi soal diatas adalah:
(a). y
 

 e
2 x
 dx
 x

e
2 x  c
(b). y
  sin xdx
  cos x
 c
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
8

Definisi 2
Sebuah persamaan diffrensial dengan bentuk : dy dx
 g h
 
  disebut ”variabel” terpisah yang dapat ditulis : h
  dy dx
 g …(3.5) dengan integrasi kita dapatkan solusi pers. (3.5) diatas :
 h
  dy
  g
  dx
 c …..(3.6)
Contoh 3.3
Hitunglah
( 1
 x ) dy
 ydx

0
Jawab
Bagilah pers.diatas dengan (1+x)y, sehingga dapat ditulis dy y
Dengan jalan intgrasi didapat :
 dy y
  dx
1
 x ln y
 ln 1
 x
 c y
 e ln 1
 x
 c
 dx
1
 x y y

 e ln 1
 x
.
e c

1
 x
 e c karena e c
 c
, maka y=c(1+x) atau dengan jalan : ln ln y
 y y
 ln 1
 x
 c


1 ln
 c x


1
 x
 ln
Contoh 3.4
Hitunglah xy
4 dx 
 y
2 
2
 e

3 x dy c

0
Jawab : dengan mengalikan e
3 x dan dibagi oleh
4 y maka didapat :
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
9

y 2

2 xe 3 x dx xe 3 x dx

 y
4
 y

2  dengan jalan intgrasi partial untuk term pertama : dy
2 y

4

0
 dy
xe
3 x
3 xe
3 x

e
3 x
 e
3 x

 y

1 
9 y


0
6 y

3

 c y
3 c e
3 x

3 x

1


9 y

6 y
3
 c
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng
.
MATEMATIKA TEKNIK
10