ONLINE: MATHEMATICS EXTENSION 2
Topic 2
COMPLEX NUMBERS
EXERCISE p2201
p001
Given the two complex numbers z1  230o
z2  360o
find the real part, imaginary part, modulus and argument for each of the following
complex numbers:
z1
z1
z2
z2
z1  z2
z1  z2
z1  z2
z1  z2
z1 z2
z1 z2
z1 / z2
Locate the results on Argand diagrams.
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p2201
1
z1 / z2
p002
Given the two complex numbers z1  3  3 / 4 z2  2  5 / 6
find the real part, imaginary part, modulus and argument for each of the following
complex numbers:
z1
z1
z2
z2
z1  z2
z1  z2
z1 z2
z1 / z2
Locate the results on Argand diagrams.
p003
Prove that
i
 1
ln 
1  i   
 2
 4
p004
Prove that
b
ln(a  i b)  ln  a  i b   i atan  
a
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p2201
2
p005
Express the following in rectangular form for k = 0, 2, ,3, .., , 8.
zk  e 
i k  / 4
k  0,1,3,
,8
Plot the complex numbers on an Argand diagram.
p006
Prove the following using the properties of complex numbers
cos      cos   cos    sin   sin  
sin      sin   cos    cos   sin  
p007
Form the product z1 z2 and the quotient z1 / z2 for
z1  3 cos  / 6   i sin   / 6  
z2  1.5 cos  4 / 3  i sin  4 / 3 
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p2201
3
ANSWERS
a001
(a)
Given the two complex numbers z1  230o
z2  360o
find the real part, imaginary part, modulus and argument for each of the
following complex numbers:
z1
z1
z2
z2
z1  z2
z1  z2
z1  z2
z1  z2
z1 z2
z1 z2
z1 / z2
Locate the results on Argand diagrams.
know
Rectangular form
z  x i y
Polar form z  R  cos  i sin  
Exponential form
z  R ei
Modulus
z  z z  R  x2  y 2
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4
z1 / z2
Im z y

Re z x
Argument
tan  
Real part
x  R cos 
Imaginary part
y  R sin 
 y
 
 y
 
  a tan    tan 1  
x
x
z1  z2   x1  x2   i  y1  y2 
z1  z2   x1  x2   i  y1  y2 
z1 z2   x1 x2  y1 y2   i  x1 y2  x2 y1 
z1 z1 z2

z2 z2 z 2
z1 z2  R1 R2 e
i 1   2 
 R1 R2  1   2 
 R1 R2 cos 1   2   i sin 1   2  
z1  R1  i 1  2   R1 
 e
    1   2 
z2  R2 
 R2 
 R1 R2 cos 1   2   i sin 1   2  
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5
z1  R1  2 1  30o   / 6 rad
x1  2 cos  / 6   1.7321
y1  2sin  / 6   1.0000
z2  R1  3  2  60o   / 3 rad
x2  3 cos  / 3  1.5000
y2  3sin  / 3  2.5981
z
Re(z) = x
Im(z) = y
|z| = R
Arg(z) = 
rad
/6
Arg(z) = 
deg
30
z1
1.7321
1.0000
2.0000
z1
1.7321
-1.0000
2.0000
-/6
- 30
z2
1.5000
2.5981
3.0000
60
z2
1.5000
-2.5981
3.0000
/3
-/3
z1  z2
3.2321
3.5981
4.8366
0.8389
48.07
z1  z2
3.2321
-1.5981
3.6056
-0.4592
- 26.31
z1  z2
0.2321
-1.5981
1.6148
-1.4266
- 81.74
z1  z2
0.2321
3.5981
3.6056
1.5064
86.31
z1 z2
0
6.0000
6.0000
90
z1 z2
5.1962
-3.0000
6.0000
z1 / z2
0.5774
-0.3333
0.6667
z1 / z2
0
0.6667
0.6667
/2
- /6
- /6
/2
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- 60
- 30
- 30
90
6
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p2201
7
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p2201
8
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p2201
9
a002
Given the two complex numbers z1  3  3 / 4 z2  2  5 / 6
find the real part, imaginary part, modulus and argument for each of the
following complex numbers:
z1 z1 z2 z2 z1  z2 z1  z2 z1 z2 z1 / z2
Locate the results on Argand diagrams.
z1  R1  3 1  135o  3 / 4 rad
x1  3 cos  3 / 4   2.1213
y1  3sin  3 / 4   2.1213
z2  R1  2  2  150o  5 / 6 rad
x2  2 cos  5 / 6   1.7321
y2  2sin  5 / 6   1.0000
z1
-2.1213
2.21213
3.0000
Arg(z) = 
rad
- 3 / 4
z1
-2.1213
-2.1213
3.0000
-/4
- 45.00
z2
-1.7321
-1.0000
2.0000
- 5 /6
-150.00
z2
-1.7321
-2.5981
1.0000
/4
45.00
z1  z2
-3.8534
1.1213
4.0132
2.8584
163.78
z1  z2
-0.3893
3.1455
3.1455
1.6949
97.11
z1 z2
5.7956
-1.5529
6.0000
- 0.2618
-15.00
z1 / z2
0.3882
-1.4489
1.5000
-1.3090
- 75.00
z
Re(z) = x
Im(z) = y
|z| = R
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Arg(z) = 
deg
135.00
10
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p2201
11
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p2201
12
a003
Prove that
z
i
 1
ln 
1  i   
 2
 4
1
1  i 
2
z  R e i e
  Arg  z   atan 1   / 4
z 1 R
i  / 4 


 1
ln 
1  i    ln e i  / 4  i  / 4 
 2

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p2201
13
a004
Prove that
z  a  i b
b
ln(a  i b)  ln  a  i b   i atan  
a
  Arg  z   atan  b / a 
z  a i b  R
i atan  b / a  
z  R e i a  i b e 

i atan  b / a  
ln  a  i b   ln a  i b e 

i atan  b / a  
 ln  a  i b   ln e 


 ln  a  i b   i atan  b / a 
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14
a005
Express the following in rectangular form for k = 0, 2, ,3, .., , 8.
zk  e 
i k  / 4
k  0,1,3,
,8
Plot the complex numbers on an Argand diagram.
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15
zk  e
i k  / 4
zk  1
k  0,1,3,
,8
 k  Arg  zk   k  / 4
Re  zk   xk  cos  k  / 4 
k  0,1,3,
,8
Im  zk   yk  sin  k  / 4 
zk  xk  i yk  cos  k  / 4   i sin  k  / 4 
z0  1
1
1  i 
2
z2  x2  i y2  cos  2 / 4   i sin  2  / 4   i
z1  x1  i y1  cos  / 4   i sin   / 4  
1
 1  i 
2
z4  x4  i y4  cos  4 / 4   i sin  4 / 4   1
z3  x3  i y3  cos  3 / 4   i sin  3 / 4  
1
1  i 
2
z6  x6  i y6  cos  6 / 4   i sin  6 / 4   i
z5  x5  i y5  cos  5 / 4   i sin  5 / 4  
z7  x7  i y7  cos  7 / 4   i sin  7  / 4  
z8  x8  i y8  cos  8 / 4   i sin 8  / 4   1
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1
1  i 
2
p2201
16
a006
Prove the following using the properties of complex numbers
cos      cos   cos    sin   sin  
sin      sin   cos    cos   sin  
z1  cos    i sin    e i 
z2  cos    i sin    e i 
z1 z2  cos    i sin    cos    i sin     e  
cos   cos    sin   sin     i cos   sin    sin   cos   
i  
 cos      i sin    
cos      cos   cos    sin   sin  
sin      cos   sin    sin   cos  
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a007
Form the product z1 z2 and the quotient z1 / z2 for
z1  3 cos  / 6   i sin   / 6  
z2  1.5 cos  4 / 3  i sin  4 / 3 
z1  3 cos  / 6   i sin   / 6  
z2  1.5 cos  4 / 3  i sin  4 / 3 
z1  3 e i  / 6
z1 z2  4.5 e
z2  1.5 e i  4 / 3
i  / 6 4 / 3
 4.5 e
i  3 / 2 
 4.5 cos  3 / 2   i sin  3 / 2    4.5 i
z1 / z2  2 e
i  / 6  4 / 3
2e
i  7 / 3
 2 cos  7 / 3  i sin  7 / 3   1.7321  i  3  i
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