Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.1: A Review of the Properties of Exponents
#1-42: Simplify the expression.
1) x2x3
2) z4z2
3) a3a
4) b2b
5) 2322
6) 323
7) x2x3x
8) y4y2y
9)
𝑥5
10)
𝑥2
13)
24
14)
23
𝑦5
11)
𝑦8
33
15)
32
𝑏5
12)
𝑏7
2
16)
24
𝑦3
𝑦5
3
34
17) (𝑥 2 )3
18) (𝑦 3 )4
19) (𝑧 3 )3
20) (𝑏 2 )5
21) (𝑥𝑦 3 )2
22) (𝑥𝑦𝑧 4 )3
23) (2𝑥 2 𝑦)3
24) (3𝑥𝑦 5 )4
25) (−3𝑥 2 𝑦)3
26) (−2𝑥𝑦 3 )4
27)
29)
𝑥𝑥 2
𝑥5
32) (−4𝑥𝑦 2 )3 (−2𝑥𝑦)
35)
14𝑥 2 𝑦
7𝑥 3 𝑦 5
2𝑥 3
39) (𝑦 2 )
30)
𝑦3𝑦2
12𝑥 2 𝑦 5
24𝑥𝑦
𝑥2
28)
𝑥2𝑦
𝑎𝑏 3
𝑎2 𝑏
31) (2𝑎𝑏 3 )3 (3𝑎𝑏 2 )
𝑦8
33) (5𝑝3 𝑞 2 )2 (3𝑝𝑞)2
36)
𝑥𝑦 2
34) (𝑥 2 𝑦)3 (2𝑥𝑦 2 )4
𝑥2
3
40) (3𝑦)
4
𝑦4
37) ( 2 )
5𝑥𝑦 2
41) (
2𝑧
3
38) ( 3 )
3
)
𝑥2
4
42) (3𝑦𝑧 3 )
38
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.2: A Review of the Properties of exponents (the power of 0 and negative exponents)
#1 - 12: Simplify the expression.
1) x0
2) y0
3) 30
4) 20
5) -30
6) -20
7) (-2)0
8) (-3)0
9) 2c0
10) 4b0
11) (2x)0
12) (3ab)0
#13 - 38: Simplify the expression. Write the answer with positive exponents only.
13) 3−2
17)
1
𝑎−3
21) 2𝑦 −5
2 −4
14) 2−3
18)
1
𝑤 −5
22) 3𝑥 −4
3 −3
15) 𝑥 −5
19)
2
23) 3𝑥𝑦 −2
2𝑥 2
26) ( )
27) (
29) 𝑥 4 𝑥 −6
30) 𝑦 −2 𝑦 −3
31)
33)
37)
𝑥 −3
𝑥 −4
3𝑥 −2 𝑦 −6
21𝑥 5 𝑦 −4
4
34)
38)
𝑧 −2
𝑧 −6
20)
𝑥 −3
25) ( )
3
16) 𝑏 −4
35)
3𝑦
𝑥2
𝑥5
𝑥 −5
𝑥3
3
𝑧 −6
24) 4𝑥 −3 𝑦 2
−2
)
3
28) (
4𝑥 2
32)
36)
−3
)
𝑦
𝑦3
𝑧3
𝑧 −3
24𝑥𝑦 −2
36𝑥 3 𝑦
39
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.3: Definition of nth Root
#1 - 30: Evaluate the roots. Identify those that are not real numbers.
1) √49
2) √16
3) −√81
5) √−9
6) √−25
7) √8
3
4
13) √1
3
11) − √−8
3
15) √16
14) √1
1
8
3
18) √
17) √
8
3
8) √27
3
10) √−125
9) √−8
3
27
4) −√36
3
9
4
19) √16
49
16) √25
4
20) √81
4
22) √−81
4
23) − √16
24) − √81
5
26) √−243
5
27) 4√25
28) 3√49
21) √−16
25) √−32
3
29) 2 √27
4
3
12) − √−27
4
3
30) 5 √64
#31 - 42: Use a calculator to evaluate the expression, round to four decimal places.
31) √15
32) √6
3
3
35) √77
36) √12
5
39) 6 √35
5
40) 3 √40
33) 2√3
4
34) 3√5
4
37) √10
38) √20
41) 2 − 5√7
42) 4 + 3√6
43) Use a calculator to complete the table, round to two decimal places when needed. Use the table
to help you state the domain of the function in interval notation.
Let ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3
x
6
5
4
3
2
1
0
h(x)
40
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.3: Definition of nth Root
44) Use a calculator to complete the table, round to two decimal places when needed. Use the table
to help you state the domain of the function in interval notation.
Let ℎ(𝑥) = √𝑥 − 2
x
6
5
4
3
2
1
0
h(x)
45) Use a calculator to complete the table, round to two decimal places when needed. Use the table
to help you state the domain of the function in interval notation.
3
Let ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3
x
h(x)
6
5
4
3
2
1
0
46) Use a calculator to complete the table, round to two decimal places when needed. Use the table
to help you state the domain of the function in interval notation.
3
Let ℎ(𝑥) = √𝑥 + 3
x
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
h(x)
41
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.3: Definition of nth Root
47) Simplify
a) √32
b) √(−3)2
c) √𝑥 2
48) Simplify
a) √52
b) √(−5)2
c) √𝑦 2
49) Simplify
3
a) √43
b) √(−4)3
50) Simplify
3
a) √23
b)
3
c)
3
√𝑥 3
3
3
√(−3)3
c) √𝑥 3
#51 - 58: Simplify the radical expressions. Use absolute values when necessary.
51) √𝑎2
4
55) √𝑎4
54) √𝑧 3
5
58) √𝑏 7
53) √𝑦 3
6
57) √𝑦 5
56) √𝑏 6
3
3
52) √𝑏 2
7
#59 - 74: Simplify the expressions. Assume all variables are positive real numbers, so no absolute
values will be needed in any of the answers.
59) √25𝑥 2
60) √16𝑏 2
61) √𝑥 6
63) √𝑧 8
64) √𝑥12
65) √𝑥 6
4
67) √𝑦 20
3
8𝑥 9 𝑦 12
71) √
𝑧 15
4
68) √𝑧 24
4
256𝑥 4
72) √ 𝑦 8 𝑧 12
62) √𝑦 10
3
3
66) √𝑦 12
𝑥8
25
70) √16
69) √𝑦 10
9
73) −√16𝑥 2
9𝑥 2
74) −√49𝑦 4
42
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.4: Rational Exponents
For this exercise set, assume that all variables represent positive real numbers unless stated.
#1 - 6: Write the expression in radical notation, (do not simplify).
1) 32⁄5
5
2) 23⁄4
2⁄3
3) (2𝑥)1⁄2
4) (3𝑦 2 )1⁄3
2𝑥𝑦 3⁄7
5) (2𝑦)
6) ( 3𝑧 2 )
#7 - 12: Write the expression using rational exponents rather than radical notation, (do not simplify)
3
4
7) √𝑥
8) √𝑦 2
9) 3√𝑥
10) 2 3√𝑦
3
11) √5𝑎3
12) √2𝑥 2
#13 - 30: Write the expression using positive exponents and radical notation, then simplify.
13) 811⁄2
14) 161⁄2
15) −161⁄2
16) −251⁄2
17) 272⁄3
18) 644⁄3
19) 9−1⁄2
21) 32−2⁄5
22) 49−3⁄2
23)
25)
1
26)
100−3⁄2
25 −3⁄2
2
36−1⁄2
4 3⁄2
1
27) (9)
125−2⁄3
20) 8−1⁄3
24)
3
8−2⁄3
8 2⁄3
28) (27)
81 −3⁄4
29) (49)
30) (16)
#31 - 44: Simplify the expression using the properties of rational exponents. Write the final answer
using positive exponents.
31) 23⁄2 25⁄2
35) (4𝑥 1⁄2 )
5𝑥 1⁄2
39)
43)
𝑥 3⁄2
𝑎−2⁄3
𝑎1⁄2
2
32) 32⁄3 34⁄3
36) (5𝑦 2⁄3 )
40)
44)
𝑦 −3⁄4
6𝑦 3⁄4
3
33)
𝑥 1⁄2
𝑥 5⁄2
34)
𝑦 2⁄3
𝑦 4⁄3
37) 8−1⁄2 8−5⁄2
38) 9−1⁄2 95⁄2
41) 𝑥 1⁄2 𝑥 −2⁄3
42) 𝑏 −2⁄3 𝑏 2
𝑦 1⁄2
𝑦 −3⁄5
#45 - 52: Use a calculator to approximate the expressions and round to 4 decimal places.
45) 31⁄2
3
49) √35
46) 51⁄3
50) √23
47) 25−2⁄3
4
51) √61⁄2
48) 49−3⁄2
5
52) √4−2⁄3
43
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.5: Properties of Radicals
For this exercise set, assume that all variables represent positive real numbers unless stated.
#1 - 8: Use the multiplication property of radicals to multiply the expressions. Then simplify the
result.
3
3
3
3
1) √2𝑥√8𝑥
2) √5𝑥 2 √25𝑥
3) √𝑎𝑏 5 √𝑎8 𝑏
4
4
4) √𝑥𝑦 3 ∙ √𝑥 3 𝑦 9
5) √𝑥 + 2√𝑥 + 2
7) √2(𝑥 − 1)√18(𝑥 − 1)
8) √3(𝑥 − 3)√12(𝑥 − 3)
3
3
6) √(𝑥 + 5)2 ∙ √𝑥 + 5
#9 - 16: Use the division property of radicals to divide the expression. Then simplify the result.
9)
13)
√12𝑥 3
√3𝑥
√(𝑥−4)5
√𝑥−4
3
√54𝑦 7
10)
3
√2𝑦
3
11)
3
14)
√(2𝑥−5)5
3
√(2𝑥−5)2
15)
√24𝑥
3
√3𝑥 4
√(2𝑥−1)5
√(2𝑥−1)9
4
12)
√32𝑥
4
√2𝑥 9
3
16)
√(𝑥+1)7
3
√𝑥+1
#17 - 52: Simplify the radicals.
17) √50
18) √24
19) √54
21) 2√63
22) 3√98
23) √24
3
3
3
4
25) √500
26) √200
27) 3 √96
29) √𝑥 5
30) √𝑦 7
31) √𝑎7
33) √𝑥10
4
34) √𝑤 7
4
38) √𝑦 4
37) √𝑦 2
4
32) √𝑏11
3
3
5
39) √𝑥 6
40) √𝑦 6
5
43) √50𝑎𝑏 4
45) √48𝑥 6 𝑦 2 𝑧
3
46) √54𝑥𝑦 6 𝑧 7
48) −3√150𝑥 7
49) √16𝑦 2
47) 4√32𝑥𝑦 3
8
3
3
36) √𝑥 2
44) √72𝑎3 𝑏 2 𝑐
81𝑥𝑦 5
4
28) 5 √486
35) √𝑥
42) √𝑏15
3
3
24) √96
4
41) √𝑦 20
51) √
20) √106
3
3
3
𝑥
106
50) √ 𝑏8
108
52) √ 𝑧 12
44
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.6: Addition and Subtraction of Radicals
For this exercise set, assume that all variables represent positive real numbers unless otherwise stated.
#1 - 28: Add or subtract the radical expressions if possible.
1) 5√3 + 7√3
3
3
2) √2𝑥 + 3√2𝑥
3) 5 √4 − 3√4
4) 7 √5 − 2√5
5) √6 + 2√6 − 5√6
6) √3 − 3 √3 − 2√3
7) 5√𝑥 + 6√2 − 4√𝑥
8) 3 4√𝑦 + 4√2𝑦 + 3 4√2𝑦
9) 2𝑥 √𝑥 + 5𝑥 √𝑥
10) 3𝑥 3√𝑦 − 7𝑥 3√𝑦
11)
13) √18 + √98
14) √40 + √135
15) 3 √24 − 5 √3
16) √48 − 4√243
17) √𝑥 3 + 2𝑥 √𝑥
18) 3 √54𝑦 5 − 2𝑦 √2𝑦 2
19) 2√𝑥 3 𝑦 + 5𝑥√𝑥𝑦
20) 3𝑎2 𝑏√𝑎𝑏 2 − 𝑎𝑏 2 √𝑎3
4
4
3
4
4
3
1
3
1
𝑥√2𝑥 −
3
𝑥√2𝑥
2
12)
3
3
4
4
5
𝑦 3√𝑦
3
3
3
4
24) √50𝑥 + √8𝑥
25) 𝑥 √𝑥 2 + 3 √𝑥 5
27) 2𝑥 √𝑥 + √𝑥 3 − 5√𝑥 3
28) 𝑥 √2𝑥 − √16𝑥 4 + 5 √54𝑥 4
3
23) −3√250 + 6 √54
3
3
𝑦 3√𝑦 −
6
3
3
22) √16𝑥 + √81𝑥
3
5
3
21) √27𝑥 + √8𝑥
3
3
26) 2𝑦√𝑦 − √𝑦 3
3
45
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.7: Multiplication of Radicals
For this exercise set, assume that all variables represent positive real numbers unless otherwise stated.
#1 - 26: Multiply the radical expressions.
3
3
2) √4 ∙ √2
1) √3√12
4
4
3) √6√21
5
5
4) √10√15
5) √12𝑏 3 ∙ √20𝑏 5
6) √48𝑥 ∙ √10𝑥 8
8) (7√3)(2√6)
9) (5 √12𝑎4 )(2𝑎 √10𝑎)
3
10) (3 √6𝑥)(4√12𝑥 2 )
11) √10 (2 + 3√5)
12) √14 (√7 − 2)
13) 2√3 (2√3 − 5√6)
15) (2 + √3)(5 − √3)
16) (4 − 2√6)(3 + 5√6)
3
3
3
3
14) 5 √4 ( √2 − 7√12)
7) (3√10)(2√15)
3
3
17) (2√7 + 3√5)(4√7 − √5)
18) (9√2 + √6)(3√2 − 4√6)
19) (√𝑥 + 2)(√𝑥 − 5)
20) (3 + 2√𝑥)(5 − √𝑥)
3
3
3
3
21) ( √2 + 3)(5√2 − 6)
22) ( √𝑥 + 7)( √𝑥 − 8)
23) (6 + √6)(√2 + √3 − 8)
24) (2 + 3√10)(√2 + √5 + 7)
25) (2 − √𝑥)(3 + 4√𝑥 − 2𝑥)
26) (4 + 2√𝑥)(𝑥 − 2√𝑥 + 1)
#27 - 36: Multiply the special products.
27) (5 − √2)(5 + √2)
28) (3 + √6)(3 − √6)
29) (𝑥 + √7)(𝑥 − √7)
30) (𝑦 − √2𝑥)(𝑦 + √2𝑥)
31) (√2 + 3√5)(√2 − 3√5)
33) (3 + √6)
2
35) (3 − 2√𝑥)
2
34) (2 − √7)
32) (√6 + √3)(√6 − √3)
2
36) (4 + 5√𝑥)
2
46
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.8: Rationalization
For this exercise set, assume that all variables represent positive real numbers unless otherwise stated.
#1 - 22: Rationalize the denominator.
1)
3
2
5)
9)
2)
√5
√3𝑥
𝑎
3
√𝑎7
4
17)
3
21)
4
5
√4
1
√2
14)
2𝑏
√2𝑏
2
√𝑏 5
6
18)
3
22)
4
4
3)
√10𝑥
10)
√𝑎
13)
6)
2
√7
√9
7)
4)
√6
6
8)
√3𝑏
11)
4
√2𝑥 3
2
15)
3
19)
3
√5
2
√𝑥
5
√10
𝑥
√5𝑥
12)
8
√6𝑥 3
3
16)
3
20)
3
√2
3
√2𝑥
3
√3
#23 - 34: Rationalize the denominators by multiplying by the conjugate.
23)
27)
31)
5
3+√2
√3
2−√3
2+√3
5−√3
24)
28)
32)
4
6+√3
√5
8+√5
6+√2
5+√2
25)
29)
33)
2
√2−√3
5
√𝑥+√𝑦
3+√5
3−√5
26)
30)
34)
6
√7+√5
8
√𝑥−5
6−2√3
6+2√3
47
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.9: Radical Equations
#1 - 46: Solve the equation. Be sure to check your answers. If a solution is extraneous, say so in
your solution.
1) √𝑥 = 4
2) √𝑦 = 6
3) √𝑥 + 2 = 9
4) √𝑦 − 3 = 4
5) √2𝑥 = 6
6) √3𝑦 = 12
7) √2𝑏 − 1 = 3
8) √3𝑥 + 4 = 5
9) √𝑥 = 4
10) 3√𝑦 = 2
11) √2𝑥 = 6
3
3
12) √3𝑥 = 4
3
3
3
14) √𝑥 + 5 = 3
15) √3𝑥 − 5 = 2
16) √2𝑥 + 7 = 3
4
17) 𝑥 1⁄2 = 6
18) 𝑦 1⁄3 = −2
19) 𝑧 1⁄4 = 1
20) 𝑎1⁄5 = −1
21) (2𝑥 − 3)1⁄2 = 3
22) (𝑥 − 2)1⁄3 = 2
23) (𝑥 − 1)1⁄5 = −2
24) (2𝑥 − 5)1⁄4 = 4
25) 2 + √𝑥 = 6
26) 5 − √𝑥 = −3
27) 2 + 3√2𝑥 = 14
28) 5 + 6√𝑥 = 29
29) 3𝑥 = √𝑥 + 8
30) 2𝑥 = √4𝑥 + 3
31) 𝑥 = √𝑥 + 2
32) √𝑥 + 30 = 𝑥
33) √𝑥 + 3 = √3𝑥 − 4
34) √4𝑥 + 1 = √𝑥 + 7
35) √2𝑛 − 3 = √5𝑛 + 6
36) √3𝑥 + 7 = √5𝑥 − 8
37) √𝑥 + 2 = 𝑥 − 4
38) √𝑥 + 1 = 𝑥 − 5
39) √2𝑥 − 1 = 𝑥 − 2
40) √3𝑥 + 4 = 2𝑥 − 4
41) √𝑡 − 5 + 1 = √𝑡
42) √𝑡 − 7 − √𝑡 = −1
43) √𝑏 − 7 + √𝑏 = 7
44) √2𝑏 + 1 + √𝑏 = 5
45) √𝑦 = √𝑦 + 5 − 1
13) √𝑥 − 1 = 5
3
4
3
4
4
46) √𝑥 + 7 = √2𝑥 − 1
48
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Section 4.10: Complex Numbers
#1 - 16: Simplify the expressions.
1) √−16
2) √−25
3) 3√−81
5) √−40
6) √−54
7) √−9 ∙ √−16
8) √−4 ∙ √−49
9) √−2 ∙ √−18
10) √−3 ∙ √−12
11) √−5 ∙ √−10
12) √−2 ∙ √−6
13)
15)
√−24
√−2
16)
√−20
√−5
4) 5√−49
14)
√−32
√−2
√−48
√−6
#17 - 44: Perform the indicated operation, write your answer in standard form.
17) (6 + 2i) + (3 – 4i)
18) (4 – 3i) + (5 – 7i)
19) (3 – 6i) - ( 5 – 5i)
20) (8 + 9i) – (7 – 9i)
21) (5 + 6i) + (3 – 5i) – (3 + 2i)
22) (3-i) – (4-i) – (5 – i)
23) (2i)(3i)
24) (-4i)(5i)
25) (-6i)(2i)
26) i(-5i)
27) 3i(2–5i)
28) 6i(5 + 4i)
29) -2i(4 + 9i)
30) 6i(2–i)
31) (3+2i)(5−i)
32) (4-3i)(5 + 2i)
33) (6-7i)(6+3i)
34) (5+i)(5−i)
35) (3+4i)2
36) (6−i)2
37) (1−i)2
38) (2−3i)2
39) (6+5i)(6−5i)
40) (4+3i)(4−3i)
41) (8+i)(8−i)
42) (7−2i)(7+2i)
43) (1+i)(1−i)
44) (3−i)(3+i)
#45 - 56: Perform the division by multiplying by a factor equivalent to 1 that will take the i out of
the denominator.
45)
49)
53)
3
46)
𝑖
2
3−5𝑖
6+5𝑖
2−𝑖
50)
54)
5
47)
𝑖
6
5−2𝑖
5+𝑖
6−𝑖
51)
5
2𝑖
4
5+6𝑖
2𝑖
55) 7−8𝑖
48)
52)
56)
6
5𝑖
7
9−𝑖
𝑖
6−𝑖
49
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Chapter 4: Review
1) Simplify the expression. 𝑎) 𝑦 3 𝑦 2
e) (
3𝑥 2
𝑦
6𝑥 3
𝑏)
16𝑥 5
𝑐) (3𝑥 2 𝑦 4 )4
d) (−3𝑥𝑦 2 )2 (−2𝑥 2 𝑦)3
3
)
2) Simplify the expression. a) x0
b) -20
3) Simplify the expression. Write your answer with only positive exponents.
𝑎)
4 −3
1
𝑥 −5
𝑏) ( )
𝑦 −2
𝑐)
5
−3 −3
d) (
𝑦 −3
2𝑥 2
3
4) Evaluate the roots 𝑎) √121
𝑏) √−64
)
𝑐) − √49
3
5) Write the domain in interval notation. 𝑎) √3𝑥 − 15
𝑏) √𝑥 − 2
6) Simplify the radical expression. (Assume all variables represent positive real numbers.)
3
𝑎) √𝑥12
𝑥8
3
𝑐) √−27𝑥12 𝑦 6
𝑏) − √64
7) Simplify the expression.
2⁄3
𝑎) 27
𝑏) 27
1 −3⁄2
𝑐) ( )
64
−4⁄3
8) Simplify the expression. Write your answer using only positive exponents.
𝑎) 31⁄3 ∙ 35⁄3
𝑏)
4𝑥 −1⁄2
𝑥 5⁄2
𝑐) (2𝑦 1⁄2 𝑦 3⁄4 )
4
9) Write the expression using radical notation. (3𝑥)1⁄3
3
10) Write the expression using rational exponents. √𝑎5 𝑏 4
11) Multiply, then simplify. 𝑎) √3𝑥√27𝑥
12) Simplify. 𝑎) √50
3
4
𝑐) √27𝑥𝑦 6 𝑧 7
𝑏) √40
3
4
b) √𝑎5 𝑏 ∙ √𝑎7 𝑏11
3
13) Add or subtract. a) 6𝑡 ∙ √𝑥 − 4𝑡 ∙ √𝑥
b) √25 + √49
4
4
c) 7𝑥 ∙ √𝑥 + 2𝑥 ∙ √16𝑥
14) Multiply, then simplify.
3
a) √3√6
b) 3√4𝑥𝑦 ∙ √4𝑥 2 𝑦 5
c) (8√𝑎𝑏)(−2𝑎√𝑏)
d) 2√3(4√3 − √2)
e) (5√3 + 6√2)(4√3 − √2)
50
Chapter 4: Radicals and Complex Numbers
Chapter 4: Review
#15-17: Rationalize the denominator. Simplify as much as possible.
15)
2
√6
16)
2𝑥
17)
√𝑥
−5
5+√7
#18 - 21: Simplify the expressions.
18) √−50
19. 2√−18 − √−50
20) √−9 ∗ √−4
21.
2+√−9
6
22) Subtract, write your answer in the form a+ bi (6-5i) – (4-3i)
23) Multiply, write your answer in the form a+ bi
24) Divide, write your answer in the form a+ bi
(4-3i)2
−3
5+4𝑖
#25 - 31: Solve the radical equation if possible.
25)
3
√𝑏 = 3
26) √2 − 5𝑥 = 8
27) (𝑥 − 3)1⁄2 = 2
28) 2√3𝑥 + 4 = 12
29) √2𝑥 − 3 = 𝑥 − 3
30) √𝑥 + √𝑥 + 12 = 6
31) √𝑥 + 7 − 1 = √𝑥
51