A small binomial theorem problem
Yue Kwok Choy
Question
If
x
1
1 ,
x
x7 
prove that
1
1.
x7
Solution
3
1
3 1  3 1  
1

3
 x    x  3x   3   x  3   3 x  
x
x x
x
x  


Method 1
1 
1

13   x 3  3   31  x 3  3  1  3  2
x 
x

By given,
5
1
10 5
1  5 1   3 1 
1


5
3
 x    x  5x  10x   3  5   x  5   5 x  3   10 x  
x
x x
x
x
x  
x 




1 
1

15   x 5  5   5 2   101  x 5  5  1
x 
x

7
1  7 1   5 1 
1

 3 1 

 x     x  7   7 x  5   21 x  3   35 x  
x 
x
x  
x 
x 




17   x 7 

1
x7
x
Method 2
1

7
  71  21 2   351  x  7  1
x

1
1
x
x
 x 2  x 1  0
1  3 1
3
 
 a  b,
2
2
2


1
2
2 1  3


x 1  3 1  3 1  3

Also,
x7 
 x 2 1  x




1
3
where a  , b 
2
2

2 1  3 1  3

ab
4
2


1
7
7
 a  b   a  b   2 a 7  21a 5 b 2  35a 3 b 4  7ab 6
7
x
5
3
 1  7
 1   3
 1   9   1   27 
1  63  315  189 
 2   21   2   35   4   7  6   2
  1
27
2  2 
 2   2   2  2 

 2 
Method 3
x
1
1
x

 x 2 1  x

 x
 x 2  x 1  0
 x r x 2  x  1  0  x r 2  x r 1  x r  0
Now,

x7  x7  x6  x5
…. (*)
6
 x5  x4  x4  x3  x 2  x3  x 2  x  x
=0+0–0–0+x
=x
Divide (1) by
(1) + (2),
x7 
x8  0
 
 

, by (*)
, we get
….. (1)
1 1

x7 x
…. (2)
1
1
 x   1.
7
x
x
1
Method 4
x
1
1
x
 x 2 1  x
 x 2  x 1  0
…. (1)
1 
1
1
1 
1 1 

  x    x 7  x     7   x x 6  1  7 x 6  1  x 6  1 x  7 
7
x
x 
x
x 
x x 

x7 
1 
1 


 x 3  1x 3  1 x  7   x  1x 2  x  1x  1x 2  x  1 x  7   0 , by (1)
x 
x 



x7 
1
1
 x  1
7
x
x
Method 5
1
x  1
x
2
1

  x    12
x

 x2  2 
1
1
x2
 x2 
x3 
1  2 1 
1 
1
  x  2  x     x     11  1  2
3
x
x 
x 
x

x5 
1  3 1  2 1  
1
  x  3  x  2    x     2 1  1  1
5
x
x
x 
x  

x7 
1  5 1  2 1   3 1 
  x  5  x  2    x  3   1 1   2   1
x7 
x 
x  
x 
Note:
un  xn 
If
In particular,
Method 6
x
u nk  u n u k  u nk , where k < n .
then we have:
u n1  u n u1  u n 1 , where n >1 .
(For those who know complex number)
1
1
x
x
1
xn
1
 1
x2
 x 2 1  x
 x 2  x 1  0
1  3 1
3


 i
 cos  i sin
2
2
2
3
3
By de Morivres’ Theorem,
1 

 


  cos  i sin    cos  i sin 
7
3
3 
3
3
x

7
x7 
7
7
7    7 

 7  
  cos  i sin
   cos    i sin    
3
3    3 

 3 
7
7  
7
7 
7

1

  cos
 i sin
 i sin
 2 cos  2   1
   cos
  2 cos
3
3  
3
3 
3
3
2

2