Isotropic Surface Remeshing
Pierre ALLIEZ, Olivier Devillers, Éric Colin de Verdière, Martin Isenburg
Shape Modeling International 2003
Abstract

Triangulated surface meshes의 isotropic remeshing에 대한 새로운 방법을 제안

주어진 Triangulated surface meshes가 resampled 되고 user-specified density
function 정의.

원하는 수 만큼의 samples 을 분포시킴 (error diffusion을 위해)

mesh triangle와 feature edge를 직접 다루기 위해 image halftoning 사용

conformal parameter space상에서 weighted centroidal Voronoi tessellation 사용

parameter space로부터 constrained Delaunay triangulation에 일치하는 lifting에
의해 mesh 생성

여러 가지 remeshing examples을 통해 제안 방법의 유용성을 설명
1 Introduction

Digital Mesh Processing:
 Recent efforts to handle arbitrary irregular / non uniform meshes.
 Provide a new remeshing tool for geometric modeling and simulation.
1.1 Related work

101 ways to alter sampling and geometry:
 Decimation [Hoppe ‘96, Garland & Heckbert ‘98, Lindstrom & Turk ‘98, …]
 Subdivision surfaces [Guskov et al. ‘98, Kobbelt ’98, …]
 Feature remeshing [Kobbelt et al. ‘01]
 Regular remeshing [Gu et al. ‘02]
 Efficient remeshing [Alliez et al. ‘ 02]
1.2 Goal and Contributions

Goal


Sampling을 위해 triangles meshes 에서 직접 error diffusion의 개념을 확장
Motivation

Surface sampling의 이슈를 공식화

geometric modeling과 simulation에 대한 새로운 remeshing tool 제공
1.3 Overview of algorithm

Original triangle mesh로의 직접적인 error diffusion process를 수행하여 initial
geometry resampling 제공

Planar domain 위로 original model의 conformal parameterization 계산

Parameter space에서 만들어진 constrained Delaunay triangulation을 이용하여
samples을 연결

Parameter space에서 weighted centroidal Voronoi tessellation에 의해 만들어진
sampling 을 최적화
Fig2: Remeshing pipeline
2
Preliminaries

Presume

Oriented manifolds of arbitrary genus와 boundary를 가지는 메쉬

Input: set ( M , F , d s , d f )


M : triangular mesh


F : set of feature edges
d s : ideal sampling density for every surface point

d f : density for every point located on a feature edge
Feature edge of three type

sharp edges는 물체의 main features로 표현; dihedral threshold을 이용하여
분류 [30,55]

boundary edge는 한 면으로 구성

cut edges: closed or genus > 0
6
Fig3: Two models and their feature skeleton, made of both open and closed backbones
3
Error Diffusion
3.1 Concept

모든 pixel은 주어진 threshold에 따라 양자화 됨.

Signed quantization error는 error distribution coefficients에 따라 unprocessed
neighbors에 분포 됨


The art of error diffusion

Best processing path 찾기

the best distribution coefficients 선택
제안 방법에서는 original mesh triangles or feature edges에서의 distributing 집합의
samples로 구성
3.2 Sampling Calibration

Rs : # samples per unit amount of surface density

R f : # samples per unit amount of feature density
Uniform sampling

모든 surface sample은 이상적으로 영역의 같은 양으로 채움


모든 feature sample도 feature curve의 같은 길이로 채움
본 논문은 isotopic sampling을 추구

triangles은 이상적으로 equilateral로 고려됨
7
fig4: Uniform plane tiling with triangles

고려사항

triangle mesh를 가지고 있는 plane의 perfect uniform isotropic tiling라고 가정

geometry of equilateral triangle로부터
A

relation
Rs 

(a: triangle edge length)
Rf  1
Rs  2


a2
3
4

Rf
a
로 부터,
2
3
d s (u, v)dudv  R f 
surface
d
f
(u )du  C  V
feature

C: corners의 전체 개수

V: 전체 vertex 개수
3.3 Diffusion over triangles

Standard diffusion 기법의 pixel을 triangle mesh로 대체
fig5: A fluency is organized over the mesh triangles.
8


모든 현재 face f에 대한 Diffusion algorithm
1.
f에서 density의 전체 양을 읽음
2.
현재 face에서의 samples의 수를 추론

sampling 수는 가까운 정수 값으로 반올림

반올림 생성 signed quantization error e, density의 양으로 변환
3.
error e는 unprocessed faces로 퍼짐
4.
flag f
5.
다음 face로 이동하고 step 1부터 재 시작, 그렇지 않으면 종료
확장을 위한 valid candidates 사이에서의 임의적인 triangle 선택 대신 Compacity
score에 의해 priority queue 이용


compacity: area/perimeter
surface with handles and boundaries

genus > 0 모델, 혹은 적어도 2개 이상의 boundaries 가지고 있는 모델

triangles을 sample 하기 위한 새로운 기법 제안

spanning tree 계산: 임의의 triangle을 root로 함

각 unprocessed triangle t는 singed error e(t)를 받아들임

t 의 children을 반복적으로 sample

t 에 분포되어 있는 이상적인 samples의 수 조사하고 반올림

t 의 father f로 반올림되어진 초과, 부족한 samples 전달

tree의 root로부터 시작
3.4 Diffusion over feature edges

Diffusion algorithm은 feature backbone의 첫 번째 edge의 선택에 의해 시작
1.
Edge에서의 전체적인 density 양을 읽음
2.
현재 edge에서의 samples의 수를 추론
3.

sampling 수는 가까운 정수 값으로 반올림

반올림 생성 signed quantization error e, density의 양으로 변환

현재 backbone위에 위치하고 있는 unprocessed edge를 diffuse
가능하다면 현재 backbone에서의 다음 edge 선택, 그렇지 않으면 다음
unprocessed backbone으로 이동
4.
만약 다음 feature edge 존재, step 1부터 재 시작
Consistent boundary filtering

diffusion
technique은
sampling
process를
가지는
boundary
filtering을
9
interleave하기 위한 직접적인 방법 제공
3.5 Discussion

Samples

4
Original mesh 의 triangles에 존재

Smooth part of surface

Edges of the feature skeleton
Centroidal Voronoi Tessellation
4.1 Cutting

Genus 0 surface 자르기 위한 몇 가지 방법에 대해 논의

Cut의 전체 길이를 줄이고, feature skeleton을 따르는 cut graph를 만드는 것
4.1.1
Cutting
fig6: Left: torus의cut graph는 twin backbones {a;a’} 와 {b;b’}의 두 쌍으로 구성되어 있
음. Middle: cut graph의 branching node를 확대. Right: torus는 disk-like domain에 매개
변수화 되어있고, branching node의 4 instances 생성되었고, 후에 stitching 동안 merge
됨.
10
4.1.2
Promising approaches
Fig 7: from an orientable surface to a polygonal schema: the torus.

Polygonal schema


Topological disk를 획득하기 위해 curves의 집합을 따라 surface를 자르는 문제
Erickson and Har-Peled [18]

Shortest polygonal schema of surface 찾기
4.2 Parameterization
Fig 8: disk-like domain에서의 David head model의 conformal parameterization

Conformal parameterization 사용

Angle-preserving과 지역적 isotropic 가능
4.3 Meshing

Constrained Delaunay triangulation in parameter space
11
fig 9: Constrained Delaunay triangulation
4.4 Construction

Weighted centroidal Voronoi tessellation 생성

Definition


Density Function in Parameter Space


4.4.1

Associated sites와 Voronoi cells의 집단의 중심과 일치하는 곳
Stretching factor: s (v) 
Density:
 area( f )
i
 area
uv
( fi )
d uv  s(v)  d (v)
2D Lloyd relaxation
tessellation 위한 방법

Lloyd’s relaxation method [2] 사용

Density function 과 초기 n sites의 set이 주어져 있을 때 수행
1.
n sites에 일치하는 Voronoi tessellation 생성
2.
parameter space 내의 density function과 관련 있는 n Voronoi regions
의 중심 계산
3.
수렴 될 때까지 steps 1과 2 반복
12
fig 10: Left: Voronoi cell 주변의 sample과 original model의 overlap. Right:
Voronoi cell과 original model사이의 intersection 확대.

cell clipping
fig 12: Left: feature skeleton을 가지고 있는 parameter space내에서의
Voronoi tessellation.
4.4.2

1D Lloyd relaxation
feature backbone에서 수행

같은 밀도의 양을 feature backbone에 분포 시키기 위해 수행함
4.5 Lifting and Stitching

Lifting stage


모든 sample을 3차원 상의 triangle에 일치하는 project 함
stitching stage

closed or genus > 0 물체

multiplicity > 1을 가진 twin vertices의 각 집합을 merge하기 위해 전개
됨
5
Results

PowerPoint 참조
13
6
Conclusions and Future work


Conclusions

Centroidal Voronoi diagram

Still some limitations
Future work

Lloyd relaxation

condition over density function for guarantee of convergence

improve efficiency
14