Diplomi-insino¨ orien
¨
ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insino¨ orivalinnan
¨
fysiikan koe 29.5.2013
Sarja A
Merkitse jokaiseen koepaperiin nimesi, hakijanumerosi ja teht¨av¨asarjan kirjain. Laske jokainen teht¨av¨a siististi omalle sivulleen. Perustele lyhyesti k¨aytt¨am¨asi ratkaisut.
A1
Ampumahiiht¨aj¨a ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistett¨a.
¨
Luodin l¨ahtonopeus
on v0 = 445 m/s ja et¨aisyys maalitauluun s = 50,0 m.
Teht¨av¨at 5 ja 6 k¨asittelev¨at oheista teoriaosaa.
A5
a) Kuinka pitk¨a on luodin lentoaika?
b) Kuinka kauaksi maalitaulun keskipisteen alapuolelle luoti osuu?
A2
Vuoristoradan vaunu liikkuu kitkattomasti pitkin rataa. Vaunu l¨ahtee liikkeelle
levosta korkeudelta h = 43 m.
a) Kuinka suuri on vaunun nopeus radan lopussa pisteess¨a B? (2p)
b) Vuoristoradassa on silmukka, jonka
korkeus on d = 38 m. M¨aa¨ rit¨a voima,
jonka rata kohdistaa vaunuun silmukan lakipisteess¨a eli kuvan pisteess¨a
A. Vaunun massa on m = 290 kg. (4p)
A3
h
d
A1, p1
b) Kuinka suuri on vastuksen R2
l¨api kulkeva virta, kun pisteiden
A ja B v¨alille kytket¨aa¨ n j¨annite
U = 6,0 V?
Teht¨av¨an 2 kuva.
R1
A
A2, p2
B
Oheisessa kytkenn¨ass¨a on nelj¨a vastusta, joiden resistanssit ovat R1 = 6,0 Ω,
R2 = 4,0 Ω, R3 = 3,0 Ω ja R4 = 5,0 Ω.
a) Kuinka suuri on kytkenn¨an kokonaisresistanssi?
A4
A
Venturinputkea k¨aytet¨aa¨ n nesteen virtausnopeuden m¨aa¨ ritt¨amiseen putkessa.
Mittari kytket¨aa¨ n putkeen, jonka poikkipinta-ala on A1 . Venturinputkessa on
kavennus, jonka poikkipinta-ala on A2 . Nesteen virratessa putken l¨api mitataan paine putkessa (p1 ) ja kavennuksessa (p2 ). M¨aa¨ rit¨a veden virtausnopeus
v1 (m/s) vaakasuorassa vesijohdossa, jonka poikkipinta-ala on
A1 = 64 · 10−4 m2 , kun mitatut paineet ovat p1 = 55 kPa ja p2 = 41 kPa.
Kavennuksen poikkipinta-ala on A2 = 32 · 10−4 m2 .
R3
R2
B
R4
Teht¨av¨an 3 kuva.
Pieni foliopallo, jonka massa on m = 52 mg, kimpoilee edestakaisin kahden levyn
v¨aliss¨a. Levyn 1 potentiaali on U1 = +2,0 kV ja levyn 2 potentiaali on
U2 = −2,0 kV. Levyjen v¨alinen et¨aisyys on d = 2,0 cm. Foliopallon kapasitanssi
on C = 11 pF. Eth¨an ota painovoimaa etk¨a ilmanvastusta huomioon.
a) Kuinka suuri on foliopallon varaus, kun se varautuu levyll¨a 1?
b) Kuinka suuri on foliopallon kiihtyvyys levyjen 1 ja 2 v¨aliss¨a?
Teht¨av¨an 5 kuva.
A6
Tarkastellaan oheisen teoriaosan kuvan B putkea, kun korkeudet ovat
y1 = 1,1 m, y2 = 2,3 m ja poikkipinta-alat ovat A1 = 120 · 10−4 m2 ja
A2 = 250 · 10−4 m2 . Paine putkessa kohdassa A2 on p2 = 280 kPa. Kohdan A1
poikkipinnan l¨api virtaa 3,0 · 10−2 m3 vett¨a sekunnissa.
a) Kuinka paljon veden virtausnopeus muuttuu (m/s)
kohdasta A1 kohtaan A2 ? (1p)
¨ a paine-ero tekee yhden sekunnin aikana a)-kohdassa
b) Kuinka paljon tyot¨
lasketun nopeusmuutoksen aikaansaamiseksi? (2p)
c) Kuinka paljon putkessa virtaavan veden liike-energia muuttuu yhden sekunnin aikana? (2p)
d) Kuinka paljon veden potentiaalienergia muuttuu yhden sekunnin
aikana? (1p)
VAKIOITA:
c) Kuinka pitk¨a aika foliopallolla kuluu matkaan levylt¨a 1 levylle 2?
Alkeisvaraus
Putoamisliikkeen kiihtyvyys
Veden tiheys
e
g
ρv
= 1,6022 · 10−19 C
= 9,81 m s−2
= 1,00 · 103 kg m−3
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomingenjors¨
och arkitektutbildningens gemensamma antagning - dia-antagning 2013
Ingenjorsantagningens
¨
prov i fysik 29.5.2013
Serie A
¨
¨
Anteckna ditt namn, ansokningsnummer
och uppgiftsseriens bokstav p˚a varje provpapper. R¨akna varje uppgift prydligt p˚a en egen sida. Motivera kort dina losningar.
A1
En skidskytt skjuter en kula v˚agr¨att mot m˚altavlans mittpunkt. Kulans begynnelsehastighet a¨ r v0 = 445 m/s och avst˚andet till m˚altavlan a¨ r s = 50,0 m.
Uppgifterna 5 och 6 anknyter till den bifogade teoridelen
A5
a) Hur l˚ang a¨ r kulans flygtid?
b) Hur mycket under m˚altavlans mittpunkt tr¨affar kulan?
A2
¨ sig friktionslost
¨ l¨angs banan. Vagnen
En vagn i en berg-och-dalbana kan rora
¨
startar fr˚an vila p˚a hojden
h = 43 m.
a) Hur stor a¨ r vagnens hastighet vid
banans slut i punkten B? (2p)
A
b) Berg-och-dalbanan har en loop,
¨
vars hojd
a¨ r d = 38 m.
Best¨am kraften med vilken banan p˚averkar vagnen vid loopens
¨
hogsta
punkt A. Vagnens massa
a¨ r m = 290 kg. (4p)
A3
h
d
A2, p2
B
Figur till uppgift 2.
R1
a) Hur stor a¨ r kopplingens totala resistans?
A4
A1, p1
Figur till uppgift 5.
I vidst˚aende kopplingsschema finns fyra motst˚and vars resistanser a¨ r R1 = 6,0 Ω,
R2 = 4,0 Ω, R3 = 3,0 Ω och R4 = 5,0 Ω.
¨
b) Hur stor a¨ r strommen
som g˚ar
genom most˚andet R2 , d˚a en
sp¨anning U = 6,0 V kopplas mellan punkterna A och B?
¨ att best¨amma en v¨atskas stromningshastighet
¨
Ett Venturir¨or anv¨ands for
i ett
¨ M¨ataren kopplas till ett ror
¨ vars tv¨arsnittsarea a¨ r A1 . Venturiroret
¨
ror.
har en
¨
¨
avsmalning med tv¨arsnittsarean A2 . D˚a v¨atskan strommar
genom roret
m¨ats
¨
¨
trycket i roret
(p1 ) och i avsmalningen (p2 ). Best¨am stromningshastigheten
v1
¨ vattnet i en v˚agr¨at vattenledning, vars tv¨arsnittsarea a¨ r
(m/s) for
A1 = 64 · 10−4 m2 , d˚a de uppm¨atta trycken a¨ r p1 = 55 kPa och p2 = 41 kPa.
¨ avsmalningen a¨ r A2 = 32 · 10−4 m2 .
Tv¨arsnittsarean for
A
R3
R2
B
R4
Figur till uppgift 3.
En liten folieboll med massan m = 52 mg studsar mellan tv˚a skivor. Poten¨ skiva 1 a¨ r U1 = +2,0 kV och potentialen for
¨ skiva 2 a¨ r U2 = −2,0 kV.
tialen for
Avst˚andet mellan skivorna a¨ r d = 2,0 cm. Foliebollens kapacitans a¨ r C = 11 pF.
¨
Du behover
inte beakta tyngdkraften och luftmotst˚andet.
A6
¨
¨
Betrakta roret
i figur B i den bifogade teoridelen.
Hojderna
och
−
4
2
tv¨arsnittsareorna a¨ r y1 = 1,1 m, y2 = 2,3 m, A1 = 120 · 10
m och
¨
A2 = 250 · 10−4 m2 . Trycket vid A2 a¨ r p2 = 280 kPa. Genom roret
vid A1
¨
strommar
3, 0 · 10−2 m3 vatten i sekunden.
¨ andras vattnets stromningshastighet
¨
a) Hur mycket for¨
(m/s) mellan
tv¨arsnitten A1 och A2 ? (1p)
¨ tryckskillnaden under en sekund for
¨ att
b) Hur mycket arbete utfor
¨ andringen som best¨amdes i fall a). (2p)
a˚ stadkomma for¨
¨ andras rorelseenergin
¨
¨ vattnet som strommar
¨
¨
c) Hur mycket for¨
for
i roret
under en sekund? (2p)
¨ andras vattnets potentialenergi under en sekund? (1p)
d) Hur mycket for¨
KONSTANTER:
a) Hur stor a¨ r foliebollens laddning, d˚a den laddas vid skiva 1?
b) Hur stor a¨ r foliebollens acceleration mellan skivorna 1 och 2?
¨ foliebollen att rora
¨ sig fr˚an skiva 1 till skiva 2?
c) Hur l˚ang tid tar det for
Elementarladdningen
Accelerationen vid fritt fall
¨ vatten
Densiteten for
e
g
ρv
= 1,6022 · 10−19 C
= 9,81 m s−2
= 1,00 · 103 kg m−3
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Common admission to Master’s programs in Engineering and Architecture - Dia-admission 2013
Examination in physics for the engineering departments 29.5.2013
Series A
Write down your name and applicant number on each paper. Solve each problem on a separate sheet of paper. Explain briefly the formulas which you use.
A1
A biathlonist shoots a bullet horizontally towards the center of a target. The initial
velocity of the bullet is v0 = 445 m/s and the distance to the target is s = 50.0 m.
Assignments 5 and 6 deal with the theory part enclosed.
A5
a) How long is the flight time of the bullet?
b) How far below the center of the target does the bullet hit?
A2
A car of a roller coaster rolls without friction along a track. The car starts from
rest at a height of h = 43 m.
a) What is the speed of the car at the
end of the track at point B? (2p)
b) There is a loop of height d = 38 m in
the roller coaster. Calculate the force
with which the track acts on the car
at the top of the loop at point A. The
mass of the car is m = 290 kg. (4p)
A3
h
d
A1, p1
B
b) How large is the current through
the resistor R2 when the potential
difference between points A and
B is U = 6.0 V?
R1
A
A2, p2
Figure for assignment 2.
In the network there are four resistors whose resistances are R1 = 6.0 Ω,
R2 = 4.0 Ω, R3 = 3.0 Ω, and R4 = 5.0 Ω, respectively.
a) How large is the equivalent resistance of the network?
A4
A
A venturi meter is used to measure the flow speed of a fluid in a pipe. The
Venturi meter is connected to a pipe whose cross-sectional area is A1 . The
Venturi meter has a throat whose cross-sectional area is A2 . As the fluid flows
through the pipe the pressure in the pipe (p1 ) and in the throat (p2 ) is measured. Calculate the flow speed of water v1 (m/s) in a horizontal water pipe
whose cross-sectional area is A1 = 64 · 10−4 m2 , when the measured pressures are p1 = 55 kPa and p2 = 41 kPa. The cross-sectional area of the throat is
A2 = 32 · 10−4 m2 .
Figure for assignment 5.
A6
R3
R2
B
R4
Figure for assignment 3.
A small sphere made out of foil whose mass is m = 52 mg ricochets back and forth
between two plates. The potential of plate 1 is U1 = +2.0 kV and the potential
of plate 2 is U2 = −2.0 kV. The distance between the plates is d = 2.0 cm. The
capacitance of the sphere is C = 11 pF. Please, do not take the gravity and air
resistance into account.
a) What is the charge of the sphere when it becomes charged at plate 1?
Consider the pipe in Figure B in the enclosed theory part with the heights
y1 = 1.1 m and y2 = 2.3 m and the cross-sectional areas A1 = 120 · 10−4 m2
and A2 = 250 · 10−4 m2 . The pressure in the pipe at point A2 is p2 = 280 kPa.
The water flow through the cross-sectional area A1 is 3.0 · 10−2 m3 per second.
a) How much does the flow speed of the water change (m/s) from point A1
to point A2 ? (1p)
b) How much work is done by the pressure difference in one second to achieve the change in speed of part a)? (2p)
c) How much does the kinetic energy of the water flowing in the pipe change
in one second? (2p)
d) How much does the potential energy of the water change in one
second? (1p)
CONSTANTS:
b) What is the acceleration of the sphere between the plates 1 and 2?
c) How much time does it take for the sphere to go from plate 1 to plate 2?
Electric charge
Acceleration due to gravity
Density of water
e
= 1.6022 · 10−19 C
g
= 9.81 m s−2
ρw = 1.00 · 103 kg m−3
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Pyorteet
¨
on,
¨ kitkaton ja kokoonpuristumaton nestevirtaus
Jatkuvuusyht¨alo¨
∆l1
A1
t
∆l2
v1
A2 ∆m2
∆m1
v2
t+∆t
v1
∆m2
v2
¨
Kuva A: Jatkuvuusyht¨alo.
Tarkastellaan putkessa virtaavaa nestett¨a. Putken poikkipinta-ala muuttuu kuvan A mukaisesti. Oletetaan,
ett¨a nesteen virtausnopeus ei muutu putken poikkileikkauksen suunnassa. Leve¨amm¨ass¨a putken osassa
1 putken poikkipinta-ala on A1 ja nesteen virtausnopeus on ~v1 . Toisessa, kapeammassa putken osassa 2
poikkipinta-ala on A2 ja nesten virtausnopeus on ~v2 . Yht¨a paljon nestett¨a virtaa molempien osien l¨api
aikav¨alin ∆t aikana eli nesteen massavirta s¨ailyy:
∆m1
∆m2
=
.
∆t
∆t
Massalle p¨atee ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ∆l1 , miss¨a ρ1 on nesteen tiheys putken osassa 1. Samoin putken
osassa 2 p¨atee ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ∆l2 . Koska v1 = ∆l1 /∆t ja v2 = ∆l2 /∆t, saadaan
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .
(1)
¨ a (1) kutsutaan jatkuvuusyht¨al¨oksi. Kokoonpuristumattomalle nesteelle, jonka tiheys on
Yll¨a olevaa yht¨alo¨
vakio eli ρ1 = ρ2 , jatkuvuusyht¨alo¨ yksinkertaistuu muotoon:
A1 v1 = A2 v2 .
(2)
Bernoullin yht¨alo¨
¨
¨ a ja kitkatonta nestevirtausta putkessa. T¨alloin
¨ systeemin
Tarkastellaan kuvan B mukaista pyorteet
ont¨
mekaaninen energia s¨ailyy. Nesteen virtausnopeus, virtauskorkeus ja paine muuttuvat, kun neste virtaa kapeammasta putken osasta 1 leve¨amp¨aa¨ n putken osaan 2. Aikav¨alin ∆t aikana nesteeseen, joka on
¨ a. Neste, joka on kohdan A1
ajanhetken¨a t putken poikkileikkauspintojen A1 ja A2 v¨aliss¨a, tehd¨aa¨ n tyot¨
vasemmalla puolella, kohdistaa saman kohdan oikealla puolella olevaan nesteeseen voiman F1 = p1 A1 .
¨
Aikav¨alin ∆t aikana voima F1 tekee tyon
W1 = F1 ∆l1 = p1 A1 v1 ∆t,
miss¨a ∆l1 = v1 ∆t on nesteen virtaama matka kohdassa 1. Samoin voima F2 , jolla neste kohdan A2 oikealla
¨
puolella vaikuttaa kohdan vasemmalla puolella olevaan nesteeseen, tekee tyon:
W2 = F2 ∆l2 = − p2 A2 v2 ∆t.
Huomaa, ett¨a voima F2 on vastakkaissuuntainen voimaan F1 n¨ahden. Paineen tekem¨a kokonaistyo¨ aikav¨alill¨a ∆t on
W = W1 + W2 = p1 A1 v1 ∆t − p2 A2 v2 ∆t.
¨ a (2) saadaan v1 A1 = v2 A2 , josta seuraa ∆V = v1 A1 ∆t = v2 A2 ∆t. T¨am¨a on tilavuus
Jatkuvuusyht¨alost¨
putkessa pisteiden A1 ja A10 tai A2 ja A20 v¨alill¨a. Paineen tekem¨a kokonaistyo¨ on siis
W = ( p1 − p2 )∆V.
y
v2
p2
v1
y1
A2
p1 ∆m
t
A1
y
v2
p2
v1
p1
∆m
A2’
t+∆t
y2
A1’
¨
Kuva B: Bernoullin yht¨alo.
¨ at, niin nesteeseen tehty tyo¨ on yht¨a suuri kuin
Koska oletuksena oli, ett¨a vastusvoimat ovat mit¨attom¨
nesteen mekaanisen energian muutos. Koska nesteen tiheys ei muutu, fysikaalisesti oleellinen mekaanisen
energian muutos koskee nestett¨a, joka on putkessa kohtien A1 ja A10 v¨aliss¨a, sek¨a nestett¨a, joka on kohtien
A2 ja A20 v¨aliss¨a, ajanhetkell¨a t. Molempien kohtien v¨alill¨a olevan nesteen massa on sama ∆m = ρ∆V.
N¨ain ollen mekaanisen energian muutos aikav¨alin ∆t aikana nestemassalle ∆m putken kohtien 1 ja 2
v¨alill¨a on
1
1
2
2
∆E = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
¨
Toisaalta mekaanisen energian muutos on yht¨a suuri kuin paineen tekem¨a tyo:
1
1
2
2
( p1 − p2 )∆V = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
Tiheyden m¨aa¨ ritelm¨an nojalla ∆m = ρ∆V, joten jakamalla yll¨a oleva yht¨alo¨ tilavuudella ∆V saadaan
1
1
p1 − p2 = ρgy2 + ρv22 − ρgy1 − ρv21 .
2
2
¨ samalle puolelle saadaan:
Siirt¨am¨all¨a samaan paikkaan putkessa liittyv¨at termit yht¨alon
1
1
p1 + ρgy1 + ρv21 = p2 + ρgy2 + ρv22 .
2
2
(3)
¨ a (3) kutsutaan Bernoullin yht¨al¨oksi ja se p¨atee virtaavalle nesteelle kaikissa putken pisYll¨a olevaa yht¨alo¨
¨
¨ a, kitkatonta ja kokoonpuristumatonta.
teiss¨a, kun nesteen virtaus on pyorteet
ont¨
En turbulensfri, friktionlos
¨ och okomprimerbar v¨atskestrom
¨
Kontinuitetsekvationen
∆l1
A1
t
∆l2
v1
A2 ∆m2
∆m1
v2
t+∆t
v1
∆m2
v2
Figur A: Kontinuitetsekvationen.
¨
¨ Rorets
¨
¨
En v¨atska strommar
i ett ror.
tv¨arsnittsarea a¨ ndrar enligt figur A. Anta att v¨atskans stromnings¨
¨
¨
hastighet a¨ r konstant over
rorets
tv¨arsnittsarea. I rorets
bredare del 1 a¨ r tv¨arsnittsarean A1 och v¨atskans
¨
¨
¨
~v1 . I rorets
stromningshastighet
andra, smalare del 2 a¨ r tv¨arsnittsarean A2 och v¨atskans stromnings¨
¨
hastighet ~v2 . Samma m¨angd v¨atska strommar
genom b˚ada delarna av roret
under tidsintervallet ∆t, dvs.
¨ a¨ r konstant:
v¨atskans massflode
∆m1
∆m2
=
.
∆t
∆t
¨ massan g¨aller relationen ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ∆l1 , i vilken ρ1 a¨ r v¨atskans densitet i rordelen
¨
For
1. I
¨
rordelen
2 a¨ r motsvarande relation ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ∆l2 . Eftersom v1 = ∆l1 /∆t och v2 = ∆l2 /∆t blir
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .
(1)
¨ kontinuitetsekvationen. For
¨ en okomprimerbar v¨atska, for
¨ vilken denOvanst˚aende ekvation (1) kallas for
¨
siteten a¨ r konstant, forenklas
kontinuitetsekvationen till:
A1 v1 = A2 v2 .
(2)
Bernoullis ekvation
¨
¨
Betrakta den turbulens- och friktionsfria v¨atskestrommen
i roret
i figur B, d¨ar systemets mekaniska energi
¨
¨ och tryck for¨
¨ andras, d˚a v¨atskan strommar
¨
bevaras. V¨atskans stromningshastighet,
hojd
fr˚an den smalare
¨
¨
¨ det ett arbete p˚a v¨atskan, som
rordelen
1 till den bredare rordelen
2. Under tidsintervallet ∆t utfors
vid tidpunkten t finns mellan tv¨arsnittsytorna A1 och A2 . V¨atskan, som finns till v¨anster om l¨aget A1 ,
¨
p˚averkar v¨atskan, som finns till hoger
om samma l¨age, med en kraft F1 = p1 A1 . Under tidsintervallet ∆t
¨ kraften F1 arbetet
utfor
W1 = F1 ∆l1 = p1 A1 v1 ∆t,
¨
¨ kraften F2 , med vilken
d¨ar ∆l1 = v1 ∆t a¨ r str¨ackan som v¨atskan strommat
i l¨aget 1. P˚a samma s¨att gor
¨
v¨atskan till hoger
om A2 verkar p˚a v¨atskan till v¨anster om A2 , ett arbete:
W2 = F2 ∆l2 = − p2 A2 v2 ∆t.
¨ under tidsinterNotera att kraften F2 a¨ r motsatt riktad mot kraften F1 . Det totala arbetet som trycket gor
vallet ∆t a¨ r
W = W1 + W2 = p1 A1 v1 ∆t − p2 A2 v2 ∆t.
¨
Kontinuitetsekvationen (1) ger v1 A1 = v2 A2 , ur vilket foljer
∆V = v1 A1 ∆t = v2 A2 ∆t. Detta a¨ r volymen
¨
¨
mellan tv¨arsnitten A1 och A10 eller A2 och A20 i roret.
S˚aledes blir det totala arbete som trycket utfor
W = ( p1 − p2 )∆V.
y
v2
p2
v1
y1
A2
p1 ∆m
t
A1
y
v2
p2
v1
p1
∆m
A2’
t+∆t
y2
A1’
Figur B: Bernoullis ekvation.
¨ p˚a v¨atskan lika stort som
D˚a antagandet var att motst˚andskrafterna a¨ r obetydliga, blir arbetet som utfors
¨ andringen i v¨atskans mekaniska energi. Eftersom v¨atskans densitet inte for¨
¨ andras, blir den fysikaliskt
for¨
¨ andringen av mekanisk energi, den for¨
¨ andring som g¨aller for
¨ v¨atskan som finns mellan l¨agen
relevanta for¨
¨ v¨atskan mellan A2 ja A20 vid tidpunkten t. Massan for
¨ v¨atskan inom b˚ada intervallen
A1 och A10 , samt for
¨ andringen i mekanisk energi for
¨ v¨atskemassan ∆m under tidsa¨ r densamma ∆m = ρ∆V. S˚aledes a¨ r for¨
intervallet ∆t mellan l¨agena 1 och 2
1
1
∆E = (∆m) gy2 + (∆m)v22 − (∆m) gy1 + (∆m)v21 .
2
2
¨ andringen i mekanisk energi lika stort som arbetet utfort
¨ av trycket:
Samtidigt a¨ r for¨
1
1
2
2
( p1 − p2 )∆V = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
¨ densitet a¨ r ∆m = ρ∆V. Genom att dividera ovanst˚aende ekvation med volymen
Enligt definitionen for
∆V f˚ar man
1
1
p1 − p2 = ρgy2 + ρv22 − ρgy1 − ρv21 .
2
2
¨
Genom att flytta termerna som g¨aller samma del av roret
till samma sida, f˚ar man:
1
1
p1 + ρgy1 + ρv21 = p2 + ρgy2 + ρv22 .
2
2
(3)
¨ Bernoullis ekvation och den g¨aller for
¨ en strommande
¨
¨
Ovanst˚aende ekvation (3) kallas for
v¨atska i rorets
¨
¨ och okomprimerbar.
alla punkter d˚a v¨atskestrommen
a¨ r turbulensfri, friktionslos
Laminar, nonviscous and incompressible fluid flow
Continuity equation
∆l1
A1
t
∆l2
v1
A2 ∆m2
∆m1
v2
t+∆t
v1
∆m2
v2
Figure A: Continuity equation.
Consider a fluid flowing in a pipe. The cross-sectional area of the pipe changes according to Figure A. Let
us assume that the fluid velocity does not change across the cross-sectional area. In the wider part 1 of
the pipe the cross-sectional area is A1 and the fluid velocity is ~v1 . In the other, narrower part 2 of the pipe
the cross-sectional area is A2 and the fluid velocity is ~v2 . The same amount of the fluid flows through
both of these parts in a time interval ∆t, i.e. the mass flow is conserved:
∆m1
∆m2
=
.
∆t
∆t
For the mass it is true that ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ∆l1 , where ρ1 is the density of the fluid in the part 1 of
the pipe. Similarly in the part 2 of the pipe it is true that ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ∆l2 . Since v1 = ∆l1 /∆t and
v2 = ∆l2 /∆t, we get
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .
(1)
The equation (1) above is called continuity equation. For an incompressible fluid whose density is constant,
i.e. ρ1 = ρ2 , the continuity equation simplifies to the form
A1 v1 = A2 v2 .
(2)
Bernoulli’s equation
Let us consider a laminar and nonviscous fluid flow in the pipe shown in Figure B. The mechanical energy
of the system is conserved. The fluid velocity, height and pressure change when the fluid flows from the
narrower part 1 to the wider part 2 of the pipe. During a time interval ∆t work is done on the fluid
which is between the cross-sectional areas A1 and A2 at time t. The fluid on the left-hand side of the
cross-sectional area A1 exerts a force F1 = p1 A1 on the fluid on the right-hand side of the cross-sectional
area A1 . During a time interval ∆t, the work done by the force F1 is
W1 = F1 ∆l1 = p1 A1 v1 ∆t,
where ∆l1 = v1 ∆t is the displacement of the fluid in part 1. Similarly the work done by the force F2 , with
which the fluid on the right-hand side of the cross-sectional area A2 acts on the fluid on the left-hand side
of the cross-sectional area A2 , is
W2 = F2 ∆l2 = − p2 A2 v2 ∆t.
Notice that the force F2 has an opposite direction to the force F1 . The total work done by pressure in a
time interval ∆t is
W = W1 + W2 = p1 A1 v1 ∆t − p2 A2 v2 ∆t.
From the continuity equation (2) we get v1 A1 = v2 A2 from which follows that ∆V = v1 A1 ∆t = v2 A2 ∆t.
This is the volume of the pipe between the points A1 and A10 or A2 and A20 . The total work done by
pressure is then
W = ( p1 − p2 )∆V.
y
v2
p2
v1
y1
A2
p1 ∆m
t
A1
y
v2
p2
v1
p1
∆m
A2’
t+∆t
y2
A1’
Figure B: Bernoulli’s equation.
Since we assumed that the frictional forces are negligible, the work done on the fluid is equal to the
change in the mechanical energy of the fluid. Since the density of the fluid is unchanged, the physically
relevant change in mechanical energy deals with the fluid in the pipe between the points A1 and A10 as
well as with the fluid between the points A2 and A20 at time t. The mass of the fluid between the points
A1 and A10 and between the points A2 and A20 is the same ∆m = ρ∆V. Thus, the change in the mechanical
energy of the fluid of mass ∆m in a time interval ∆t between the points 1 and 2 is
1
1
∆E = (∆m) gy2 + (∆m)v22 − (∆m) gy1 + (∆m)v21 .
2
2
On the other hand, the change in the mechanical energy is equal to the work done by pressure:
1
1
2
2
( p1 − p2 )∆V = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
From the definition of density the mass element is ∆m = ρ∆V, and by dividing the equation above by the
volume ∆V, we get
1
1
p1 − p2 = ρgy2 + ρv22 − ρgy1 − ρv21 .
2
2
By transferring the terms related to the same point in the pipe to the same side of the equation, we get
1
1
p1 + ρgy1 + ρv21 = p2 + ρgy2 + ρv22 .
2
2
(3)
The equation (3) above is called Bernoulli’s equation and it is valid for the fluid at any point in the pipe as
long as the fluid flow is laminar, nonviscous and incompressible.