10. Kollisioner (yhteentörmäyksiä)
Kollision är en term som kan betyda många saker. Bilarna kan
kollidera, i biljard kolliderar bollarna och atomerna kan kollidera.
Vanligtvis är krafterna som verkar mellan två kroppar eller partiklar
då de kolliderar mycket starkare och kortvarigare än andra krafter
(gravitation, friktion, luftmotstånd mm. ), vilka därför kan
försummas under kollisionen.
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Rörelsemängden bevaras
Dp = 0
p f = pi
Dp X = 0
DE = 0
DpY = 0
E f = Ei
Dp Z = 0
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Energin bevaras
Växelverkningar och materia
Ifall krafterna som verkar på kropparna under
kollisionen är konservativa, så bevaras också den
totala kinetiska energin. Dessa kollisioner kallas för
elastiska kollisioner.
I alla makroskopiska (motsats till mikroskopiska)
kollisioner går en del av rörelseenergin till atomerna
som värmerörelse, men kollision mellan biljardbollar
och kollisioner mellan objekt och fjädrar är ganska
elastiska.
I oelastiska kollisioner går alltså en del av den
kinetiska energin förlorad
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
1) Elastisk kollision (kinetiska energin bevaras)
2) Oelastisk kollision (kinetiska energin bevaras inte)
Vi har en oelastisk kollision ifall efter kollisionen:
•
•
•
•
•
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Objekten är ihop
Objekten är deformerade
Objekten är hetare
Objekten roterar eller vibrerar mera
Objekten är i exciterade tillstånd
Växelverkningar och materia
Två identiska objekt
1) Elastisk kollision
(kinetiska energin ändrar inte)
2) Maximal oelastisk kollision
(kinetiska energin ändrar)
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Dp = 0
p f = pi
DE = 0
E f = Ei
DK = 0
K f = Ki
Dp = 0
DE = 0
E f = Ei
DK ¹ 0
K f ¹ Ki
p f = pi
Växelverkningar och materia
1) Elastisk kollision (kinetiska energin ändrar inte)
p1xi
Dp = 0
p f = pi
DK = 0
K f = Ki
p2 xi = 0
p1xf
p2 xf
1 2 p2
K = mv =
2
2m
p1xf + p2 xf = p1xi
K1xf + K 2 xf = K1xi
p12xf
p22xf
p12xi
+
=
2m 2m 2m
p12xf + p22xf = ( p1xf + p2 xf ) 2 = p12xf + 2 p1xf p2 xf + p22xf
2 p1xf p2 xf = 0
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
2) Maximal oelastisk kollision (kinetiska energin ändrar)
p1xi
p2 xi = 0
2 p1xf = p1xi
2mv1xf = mv1xi
DK = K1i - ( K1 f + K 2 f )
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
DK ¹ 0
K f ¹ Ki
p1xf + p2 xf = p1xi
Dp = 0, p f = pi
DE = 0
E f = Ei
p1xf p2 xf
v f = 0.5vi
1 2
æ 1 æ 1 ö2 ö
1 2
= mvi - 2 ç m ç vi ÷ ÷ = mvi
ç2 è2 ø ÷
4
2
è
ø
K1 f + K 2 f + DEinre = K1i
Växelverkningar och materia
DEinre
K1i
=
2
K1i
=
2
Före:
u1 = u x1iˆ + u y1 ˆj
u 2 = u x 2iˆ + u y 2 ˆj
Efter:
v1 = vx1iˆ + v y1 ˆj
v2 = vx 2iˆ + v y 2 ˆj
Rörelsemängden bevaras
x: m1u x1 + m2u x 2 = m1vx1 + m2vx 2
y: m1u y1 + m2u y 2 = m1v y1 + m2v y 2
Kinetiska energiförändringen:
1
1
1
æ1
ö
DE = K 2 - K1 = m1v12 + m2 v22 - ç m1u12 + m2u22 ÷
2
2
2
è2
ø
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Oelastiska kollisioner
I oelastiska kollisioner bevaras inte kinetiska energin:
1
1
1
æ1
ö
DE = K 2 - K1 = m1v12 + m2v22 - ç m1u12 + m2u22 ÷ ¹ 0
2
2
2
è2
ø
Fullständigt oelastisk kollision
Vid fullständigt oelastiska kollisioner
blir de kolliderande partiklarna fast i
varandra
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Elastiska kollisioner
Under elastiska kollisionen verkar endast konservativa krafter
Förutom att rörelsemängden bevaras, bevaras också den
totala kinetiska energin
Kinetiska energin före och efter kollisionen är lika
DK = K 2 - K1 =
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
1
1
1
æ1
ö
m1v12 + m2v22 - ç m1u12 + m2u22 ÷ = 0
2
2
2
è2
ø
Växelverkningar och materia
En bil krockar med en parkerad bil, och bilarna glider efter krocken 10 m
innan de stannar. Den kinetiska friktionskoefficienten mellan ringarna och
vägen är mk = 0.8, och båda bilarnas massa är 1500 kg.
Fartbegränsningen på vägen är 60 km/h, och personen som körde bilen
hävdar att han inte överskred fartbegränsningen. Ljuger han?
mv1 = ( m + m )v = 2mv
1
( m + m)v 2 = mv 2
2
W f =| N | m k s = 2mgm k s
Ek =
v = 2 gm k s » 12.5 m/s
v1 = 2v » 25 m/s (~ 90 km/h)
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
l
Acceleratorer
1.
2.
3.
4.
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Tandem accelerator (TAMIA, 5 MV)
High current ion implanter (KIIA, 500 kV)
Low-energy ion deposition accelerator (LEIDA, 30 kV)
Low-energy ion accelerator (LEIA, 5 kV)
Växelverkningar och materia
l
l
Nanokluster deposition
Atomkraft mikroskop
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
l
l
500 kV jon implanter
30 kV jon accelerator för
deposition
Växelverkningar och materia
En a-partikel (joniserad helium kärna), med kinetiska energin 2000.0
keV kolliderar med en stillastående tung atomkärna. Efter kollisionen
är a-partikelns energi 1915.9 keV och dess nya riktning är vinkelrät
mot begynnelseriktningen. Med vilken av dessa fyra tunga atomer:
Namn Symbol Massa (amu)
Hafnium Hf
178.5
Renium Re
186.2
Platina Pt
195.1
Guld
Au
197.0
kolliderade a-partikeln med? ma = 4.0 amu
Är hastigheterna
ickerelativistiska?
v < 0.1c (c~3x108 m/s)
v=
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
2E
» 107 m / s
m
Växelverkningar och materia
Rörelsemängden
bevaras under kollisionen
Före
x:
y:
2 2
Efter
Mu cos(a )
- mv2 + Mu sin(a )
1 2
Energi: mv1
2
E1
m v = M u cos (a )
2 2
1
2 2
2
2 2
1
mv1
0
2
m v = M 2u 2 sin2 (a )
Kollisionen elastisk:
à Kinetiska energin
bevaras under kollisionen
1 2 1
mv2 + Mu 2
2
2
E2 + E
m v + m2v22 = M 2u 2[sin2 (a ) + cos2 (a )] = M 2u 2
1
1
1
m mv12 + m mv22 = M Mu2
2
2
2
( E + E2 )
M =m 1
( E1 - E2 )
mE1 + mE2 = ME
(1 + E2 / E1 )
(1 + 1915.9 / 2000) » 186.25 amu
=m
= 4 amu
(1 - E2 / E1 )
(1 - 1915.9 / 2000)
Hafnium
Renium
Platina
Guld
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
m( E1 + E2 ) = M( E1 - E2 )
Växelverkningar och materia
Hf
Re
Pt
Au
178.5
186.2
195.1
197.0
Två partiklar rör sig mot höger. Partikel 1 får fast partikel 2 och
kolliderar med den. Efter kollisionen sitter partiklarna fast i
varandra och rör sig med hastigheten ve.
Vilket av följande utsagor stämmer?
a) ve > v1
b) ve = v1
c) ve > v2 men ve < v1
d) ve = v2
e) ve < v2
f) Omöjligt att säga ifall vi inte vet massorna
(m1 + m2 )ve = m1v1 + m2v2
v1 > v2
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
(m1 + m2 )ve = m1v1 + m2 v2 > m1v2 + m2 v2 = (m1 + m2 )v2
Växelverkningar och materia
Kollisioner i lab och CM-system
För att ekvationerna för en kollision av partiklar skall vara så enkla som
möjligt, måste valet av koordinatsystemet vara väl genomtänkt
Ofta står den ena partikeln stilla före kollisionen, och det logiska valet
av koordinatsystem är laboratoriekoordinatsystem (Lab) där origo
har valts att vara vid den stillastående partikeln före kollisionen
v1
v2 = 0
m2
m1
Ifall vi har partiklar som båda rör sig mot varandra före kollisionen, är
masscentrumkoordinatsystem (CM) det bästa valet
v1
m1
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
v2
m2
Växelverkningar och materia
Kollisioner i CM system
1) Elastisk kollision
För CM-systemet befinner sig origo
vid masscentrum, vars hastighet är
noll i detta system
VCM =
m1v1 + m2v2
P
=
=0
m1 + m2
m1 + m2
Partiklarna rör sig endera
mot origo:
p1 = - p2
eller från origo:
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
- q1 = q2
Växelverkningar och materia
p1 = m1v1
p2 = m2 v2
q1 = m1u1
q2 = m2u2
Kollisioner i CM system
2) Fullständigt oelastisk kollision
I CM-systemet står massorna stilla efter kollisionen
p = p1 = - p2
Totala mekaniska energin är alltså noll efter kollisionen:
Allt kinetiskt energi i CM-systemet har gått åt till att deformera
massorna
2
2
2
2
2
m2 p
m1 p
p ( m1 + m2 )
æ p1
p2 ö
=
=
÷÷
DE = K 2 - K1 = 0 - çç
+
2m1m2 2m1m2
2m1m2
è 2m1 2m2 ø
I storenergikollisioner används partiklar med samma massa och energi så att
hastigheten för masscentrum är noll.
På detta sätt maximerar man mängden energi för att producera nya partiklar
p2
æ p2 p2 ö
DE = K 2 - K1 = 0 - ç
+
÷ =- m
è 2m 2 m ø
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Elastisk kollision mellan partiklar med stor masskillnad
p1 , v1
M
m
Elastisk kollision
- p1 , v1
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Elastisk kollision mellan partiklar med stor masskillnad
M
p1 , v1
Hur ser situationen ut i
masscentrum systemet?
m
Elastisk kollision
p1 , v1
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
2v1
Upptäckt av en ny partikel
Neutronen sönderfaller:
n ® p + + e-
ep+
Energi för p+ + eRörelsemängden och energin bevaras inte?!?
Ny partikel som är
svår att detektera?
Neutrino
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
n
ep+
Atomen
•
Atom iden, antikens Grekland (atom=odelbar), Indien
•
Början an 1800 talet, John Dalton förklarade kemiska reaktioner med
hjälp av atommodellen (SnO, och SnO2)
•
1827, botanisten Robert Brown upptäckte att kolflingor gjorde
random rörelse på vätskeytan (Brownisk rörelse)
•
Albert Einstein gjorde 1905 en matematisk modell av rörelsen
•
Jean Perrin använde modellen för att experimentellt bestämma
massan och storleken på atomerna
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Atomens inre
• Fysikern J. J. Thomson, 1897, upptäkte att elektroner,
enormt lätta negativt laddade partiklar kan fås från
atomerna (atomerna inte odelbara)
• 1909 bombarderade Hans Geiger, Ernest Marsden och
Ernest Rutherford en tunn guldfolie med enormt små
men massiva alfa partiklar, som visade att atomen
hade en massiv positivt laddad atomkärna (Rutherford
tillbakaspridning)
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Upptäckt av en kärna inne i atomen
Rutherford tillbakaspridning
Gör ett Matlab program som simulerar Rutherford
tillbakaspridning
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
Au: Z=79
a,v
b
x
m~4u, +2e
1 q1q2
1 2e × Ze
| Fel |=
=
2
4pe 0 r
4pe 0 r 2
y
´b
q : Spridningsvinkeln
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
An alpha particle (a helium nucleus, containing 2 protons and 2 neutrons)
starts out with kinetic energy of 10 MeV (10x106 eV), and heads in the +x
direction straight toward a gold nucleus (containing 79 protons and 118
neutrons). The particles are initially far apart, and the gold nucleus is
initially at rest. Answer the following questions about the collision.
(a) What is the initial momentum of the alpha particle? (You may assume that its
speed is small compared to the speed of light).
(b) What is the final momentum of the alpha particle, long after it interacts with the
gold nucleus?
(c) What is the final momentum of the gold nucleus, long after it interacts with the
alpha particle?
(d) What is the final kinetic energy of the alpha particle?
(e) What is the final kinetic energy of the gold nucleus?
(f) Assuming that the movement of the gold nucleus is negligible, calculate how close
the alpha particle will get to the gold nucleus in this head-on collision.
(g) What principle did you use to calculate the distance of closest approach?
(h) The radius of the alpha particle is about 2x10-15 m, and the radius of the gold
nucleus is about 8 x10-15 m. At the point of closest approach, do the two particles
touch each other?
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia
(i) A gold nucleus contains 197 nucleons packed tightly against each other.
A single nucleon (proton or neutron) has a radius of about 1.3x10-15 m.
Calculate the approximate radius of the gold nucleus. (Hint: Remember that
the volume of a sphere is 4/3πr3)
(j) Also calculate the approximate radius of the alpha particle, which consists of 4
nucleons.
(k) To choose initial conditions for a program you may write to model collisions
between an alpha particle and a gold nucleus, you will need to choose an
initial location, and Δt.
(l) Estimating Δt: What is the initial speed of the alpha particle?
(m) We suggest that in a computational model of this process that you start the
alpha particle at a distance of 1x10-13 m from the gold nucleus, because when
it is much farther away than this, its trajectory is nearly a straight line at
constant speed. If the alpha particle did not slow down, how long would it take
to travel all the way to the location of the nucleus (a distance of 1x10-13 m)?
For an accurate computer calculation you would need to take many steps
during the time the alpha particle is near the gold nucleus. Considering your
estimate above, we suggest that you use Δt = 1x10-23 s in a computational
model.
Helsingfors Universitet
Institutionen för fysik
T. Ahlgren
Växelverkningar och materia