Johnmetry
Mr. John Ng shares something about simple geometry (2010-04-19)
2010-04-08 @ 蘇州博物館
Johnmetry (part 1)
1. 幾何學之源起：Elements
2. 幾何經典定理：M,C,P,P
3. 幾何重要工具：Inversion
幾何學之源起
摘自《幾何學發展史簡介》吳志揚
陳文豪
Father of Geometry
幾何之父
Euclid
歐几里德
330~275 B.C.
Elements
《幾何原本》
The frontispiece of an Adelard of Bath Latin
translation of Euclid's Elements, c. 1309–1316;
the oldest surviving Latin translation of the
Elements is a 12th century work by Adelard,
which translates to Latin from the Arabic.
The frontispiece of Sir Henry Billingsley's first
English version of Euclid's Elements, 1570
The Italian Jesuit Matteo Ricci (left) and the
Chinese mathematician Xu Guangqi (right)
published the Chinese edition of Euclid's
Elements (幾何原本) in 1607.
《幾何原本》的背景
泰勒斯（開始了命題證明）
公元前 600 年
畢達哥拉斯（證明「畢氏定理」
及發現不可公度量）
公元前 500 年
柏拉圖（成立「柏拉圖學園」）
公元前 400 年
歐多克索斯
（創立比例論、計算錐體體積）
公元前 300 年
歐幾里得（撰寫《幾何原本》）
公元前 200 年
阿基米德
（計算圓周率、球體體積等）
《幾何原本》的內容
• 全書共分 13 卷，包括：
• 5 條公設（axioms） 、5 條公理
（postulates）
• 119 個定義
• 465 條命題
《幾何原本》的內容
•
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第一卷 幾何基礎篇
第二卷 幾何代數
第三及第四卷 圓形及正多邊形
第五卷 比例論
第六卷 相似圖形
第七、八、九卷 數論
第十卷 不可公度量
第十一至第十三卷 立體幾何
公
設
1. 由任意一點到任意一點可以作直線。
公
設
2. 一條有限直線可以繼續延長。
公
設
3. 以任意的點為圓心及任意的線段為距離
可以畫圓。
公
設
4. 凡直角皆相等。
P
A
R
ADC = PSQ
B
D
S
C
Q
公
設
5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，
若在直線某一側的兩個內角之和小於二直
角，則這兩條直線經無限延長後在這一側
相交。

1
a
b
2
a + b < 180
公
理
1. 等於同量的量彼此相等。
即當 a = c，b = c 時，a = b。
2. 等量加等量，其和仍相等。
即當 a = b，c = d 時，a + c = b + d。
3. 等量減等量，其差仍相等。
即當 a = b，c = d 時，a  c = b  d。
4. 彼此能夠重合的物體是全等的。
5. 整體大於部分。
缺憾
第一卷命題 1：給定 AB 作等邊三角形 ABC。
公理和公設不能保證圓 BCD 與圓 ACE 相交。
缺憾
第一卷命題 16：三角形的外角大於其每個內對角。
缺憾
第一卷命題 16：三角形的外角大於其每個內對角。
F 一定在圖顯示之位置嗎？
缺憾
證明：任何三角形都等腰（ isosceles ）
缺憾
證明：任何三角形都等腰（ isosceles ）
缺憾
證明：任何三角形都等腰（ isosceles ）
缺憾
證明：任何三角形都等腰（ isosceles ）
幾何證明不可過份依賴圖形。
David Hilbert
大衛·希爾伯特
1862-01-23 ~ 1943-02-14
German
Axiomatization of geometry
("Hilbert's axioms")
Invariant theory, functional analysis, …
1900, presentation of 23 Hilbert's problems
Three geometric construction
problems from antiquity
古希臘幾何三大問題
使用（沒有刻劃的）直尺與圓規，解以下的作圖問題：
1. squaring the circle （化圓為方）
求作一個正方形，使其面積和半徑為 1 的圓面積相等；
2. doubling the cube（倍立方）
求作一個正立方體，使其體積為邊長為 1 的正立方體的 2 倍；
3. trisecting an angle（三分角）
三等分任意已知角。
By marked ruler
By carpenter's square
By folding
Platonic solids
Johannes Kepler
約翰內斯·開普勒
1571~1630
Kepler's Laws
• 1. The orbit of every planet is an ellipse with
the Sun at a focus.
• 2. A line joining a planet and the Sun sweeps
out equal areas in equal times.
• 3. The square of the orbital period of a planet
is proportional to the cube of the semi-major
axis of its orbit.
http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/features/movies/kepler.html
How many faces?
http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/cube.htm#cubenet
What solid will be formed?
幾何經典定理
「九樹九行」問題：
九棵樹，栽九行，每行三棵，位置何定？
嗯，這個不合！
Ab , Ba
Ac , Ca
Bc , Cb
Pappus's hexagon theorem
帕伯斯的六角形定理
OT : 九樹十行可以嗎？
證明共線和共點的「武器」
Triangle centres
證明共線和共點的「武器」
Menelaus’s theorem（梅內勞斯定理）
Ceva’s theorem（塞瓦定理）
Menelaus of Alexandria (70–140)
- Greek
- Mathematician and Astronomer
- Recognize geodesics（測地線）on a curved surface as
natural analogs of straight lines.
Menelaus’s theorem（梅內勞斯定理）
AF BD CE
1
FB DC EA
P.S.
AF BD CE
 1
FB DC EA
AF = signed length of line segment AF
Giovanni Ceva (1648 ~ 1734)
- Italian
- Mathematician and Hydraulic engineer
Ceva’s theorem（塞瓦定理）
AF BD CE
1
FB DC EA
An incomplete proof of Pappus’s theorem
考慮 △GHI
DKC :
AJB :
ELF :
ACE :
DFB :
利用 Menelaus 定理
HK GC ID
1
KG CI DH
HA GB IJ
1
AG BI JH
HF GL IE
1
FG LI EH
HE IC GA
1
EI CG AH
HD IB GF
1
DI BG FH
HK GL IJ

1
KG LI JH
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Pappus.shtml
Pascal’s Theorem（帕斯卡定理）
「圓錐曲線裏的內接六邊形對邊的交點是共線」這是射影幾何學的基本原理。
Blaise Pascal
布萊兹·帕斯卡
1623-06-19 ~ 1662-08-19
French
Mathematician, Physicist, Catholic philosopher
Child prodigy, educated by his father, a Tax Collector
Blaise Pascal
布萊兹·帕斯卡
1623-06-19 ~ 1662-08-19
age 12, asked about geometry
age 16 (or less) discovered Pascal's theorem
age 17, published more than 400 thesis on conics
age 19, construction of mechanical calculators
age 31, accident in Paris, religious study
age 39, died
幾何重要工具
Transformation
變換
110101(2)  1011011(2) = ?
“transform to”
53(10)  91(10) = 4823(10)
“transform to”
4823(10) = 1001011010111(2)
110101(2)  1011011(2) = 1001011010111(2)
Transformation: distorting mirror
變換：哈哈鏡
Inversion
反演
AP  AP'  r
2
Facts on inversion I(A,r2)
1.Circle (not via A)  Circle (not via A)
2. Circle (via A)  Line (not via A)
3.Line (via A) is sent to itself
4.Conformal（保角的）
5.P1’P2’=(r2/AP1AP2)P1P2
Angle between curves
Angle between curves
Angle between curves
e.g. 1
Ptolemy (Claudius Ptolemaeus)托勒密
90~168
Greek
mathematician, astronomer,
geographer, astrologer
ACBD = ADBC + ABCD
B ' C 'C ' D'  B ' D'






r2
r2
r2

 BC  
CD  
 BD
 AB  AC 
 AC  AD 
 AB  AD 



 


r2
r2
r2





 BD
AB  AC  AD  
BC  
CD  AB  AC  AD  


 AC  AD  
 AB  AD 
 AB  AC 
AD  BC  AB  CD  AC  BD
e.g. 2
Apollonius 阿波羅尼斯
260~170 B.C.
One of the three great ancient Greek mathematicians
“Theories of conics”
「作一個圓與三個已知圓相切。」
摘自《圓之吻：阿波羅尼斯問題的歷史》汪曉勒 張小明 數學傳播 30卷2期
e.g. 3 帕伯斯(Pappus)的古定理
hn = 2nrn
http://www.dynamath.tw/Inversion/PappusAncientTheorem.htm
SBA : dividing obtuse triangle
Q.1：Divide the triangle above into 5 smaller triangles with equal areas by
construction using straight edges and compass only（規尺作圖）.
Note: The following is a trivial solution. Try to figure out another not-so-trivial one.
SBA : dividing obtuse triangle
Q.2：Could you divide the above triangle into some triangles such that ALL
the triangles formed are ACUTE? If not, why? If you can do it, then what is
the minimum number of triangles formed? And how to construct?
Note: The following is not a solution.
參考書目
1.《幾何學概論》趙文敏教授
2.《數學雜談》張景中院士
3.《幾何明珠》黃家禮
4.《趣味幾何》蔣聲 陳瑞森
5.《數學大觀園》夏明德
6.《世界數學名題欣賞：歐几里德第五公設》蔣聲
7.《托勒密幾何定理的運用》張澄清
8.《蘇聯青年數學科普叢書：反演》王敬庚譯
9.《世界數學名題選》陳乃超 袁小明
10. My Best Mathematical and Logic Puzzles (Martin Gardner)
參考網上文章
1. 梁子傑老師網上文集
2. 《幾何學發展史簡介》吳志揚 陳文豪
3. 《古希臘幾何三大問題》 康明昌
4. 《從歐幾里得到微分幾何 什麼是幾何學》
5. 《無聊與多餘之後》 曹亮吉
6. Trisection of an Angle, Jim Loy
7. 其他：維基，mathworld … 從略
陳省身
johnmayhk.wordpress.com