กลศาสตร์ของไหล
Fluid Mechanics
กลศาสตร์ของไหล
(Fluid Mechanics)
CHAPTER OUTLINE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ความดัน (Pressure)
การแปรผันของความ
ดันทีข
่ น
ึ้ กับความลึก
การวัดความดัน
แรงลอยตัว(Buoyant
Forces) และ หลักของ
อาร์คม
ิ ด
ี ส
ิ (Archimedes’s
Principle)
พลศาสตร์ของไหล (Fluid
Dynamics)
สมการของแบร์นูลลี
(Bernoulli’s Equation)
การนาพลศาสตร์ของไหล
มาประยุกต์ใช ้
สถานะของสสาร(States of Matter)
 ของแข็ง (Solid)
 มีปริมาตรและรู ปร่ างที่แน่ นอน
 ของเหลว (Liquid)
 มีปริมาตรที่แน่ นอนแต่ รูปร่ างไม่ แน่ นอน
 ก๊ าซ (Gas)
 มีปริมาตรและรู ปร่ างที่ไม่ แน่ นอน
ของไหล (Fluids)
 ของไหลเกิดจากการรวมกันของโมเลกุลทีม่ กี ารจัดเรียงตัว
แบบสุ่ มและยึดกันด้ วยแรงอย่ างอ่ อนทีเ่ รียกว่าแรงเชื่อมแน่ น
(cohesive forces) และยังพยายามออกแรงกระทากับผนังของ
ภาชนะทีบ่ รรจุด้วย
 ทั้งของเหลว (liquids) และ ก๊ าซ (gases) ต่ างก็เป็ นของไหล
ของไหลสถิตและพลศาสตร์ของของไหล
 ของไหลสถิต (Fluid Statics)
 อธิบายเกีย่ วกับของไหลที่อยู่นิ่ง
 พลศาสตร์ ของของไหล(Fluid Dynamics)
 อธิบายเกีย่ วกับการเคลือ่ นที่ของของไหล
แรงในของไหล(Forces in Fluids)
 ของไหลจะไม่ เกิดความเค้ นเฉือน (shearing
stresses) หรือ ความเค้ นดึง(tensile stresses)
 ความเค้ นนั้นจะเกิดขึน้ กับวัตถุที่จมอยู่ในของ
ไหลสถิตเท่ านั้น นั่นคือของไหลจะบีบอัดวัตถุ
ในทุกทิศทุกทาง
 แรงกระทาต่ อวัตถุที่เกิดจากของไหลสถิตจะมี
ทิศตั้งฉากกับผิวของวัตถุเสมอ
ความด ัน(Pressure)
 ความดัน P ของของไหลที่ระดับต่ าง ๆ
จะเป็ นอัตราส่ วนของแรงต่ อพืน้ ที่ ซึ่ง
ความดันจะหาได้ จากเครื่องมือวัดที่จม
อยู่ในของไหล
Definition of pressure
F
P
A
ความด ัน(Pressure), ต่อ
 ความดันเป็ นปริมาณสเกลาร์
 เพราะว่ าความดันที่วดั ได้ จะเป็ นสั ดส่ วนกับขนาดของแรง
 ถ้ าความดันมีการเปลีย่ นแปลงบนพืน้ ทีส่ นใน เราสามารถจะหาค่ า
dF ทีผ่ วิ ของพืน้ ที่ dA ได้ เป็ น dF = P dA
 หน่ วยของความดันคือ pascal (Pa)
1 Pa  1 N/m2
ความด ัน(Pressure) และ แรง(Force)
 ความดันเป็ นปริมาณสเกลาร์ (scalar) ส่ วนแรงเป็ น
ปริมาณเวกเตอร์ (vector)
 แรงทีท่ าให้ เกิดความดันจะมิทศิ ตั้งฉากกับพืน้ ทีผ่ วิ ทีเ่ รา
สนใจจะศึกษา
การว ัดความด ัน(Measuring Pressure)
 สปริงจะถูกปรับเทียบมาตรฐานทา
ให้ รู้ ขนาดของแรง
 แรงเนื่องจากของไหลจะกดไปที่
ด้ านบนของลูกสู บ ทาให้ สปริงเกิด
การอัดตัว
 แรงที่ของไหลกระทาต่ อลูกสู บก็จะ
ถูกวัด
รองเท้าหิมะ(snowshoes)
 รองเท้ าหิมะทาให้ คนยังสามารถ
ยืนอยู่บนหิมะที่อ่อนนุ่มได้
เพราะว่ าแรงที่เกิดจากคนมีการ
กระจายแรงในทิศลงไปบนหิมะ
โดยที่รองเท้ าหิมะมีพนื้ ที่มากใน
การรองรับแรง มีผลทาให้ ความ
ดันต่ อพืน้ ผิวหิมะลดลง
คาถามชวนคิด
 สมมติว่าคุณยืนอยู่ด้านหลังใครบางคนซึ่งเดินถอยหลังและบังเอิญ
เดินไปเหยียบบนเท้ าของคุณด้ วยส้ นรองเท้ า คุณอยากให้ เป็ นคนใดที่
เหยียบเท้ าคุณระหว่ าง
 นักบาสเกตบอลมืออาชีพตัวใหญ่ มากซึ่งใส่ รองเท้ าผ้ าใบ
 ผู้หญิงสวยมากใส่ รองเท้ าส้ นสู งแหลม
การแปรผ ันความด ันตามความลึกของของเหลว
 ของไหลจะมีความดันทีแ่ ปรผันกับความลึก
 ถ้ าของไหลอยู่นิ่งในภาชนะทีบ่ รรจุ ทุก ๆ ส่ วนของของไหลต้ อง
อยู่ในสมดุลสถิต(static equilibrium)
 ทุก ๆ จุด ทีค่ วามลึกเดียวกันต้ องมีความดันเท่ ากัน
 มิฉะนั้นแล้ วของไหลก็จะไม่ อยู่ในสภาพสมดุล
ความหนาแน่น (Density)
 ความหนาแน่ นถูกนิยามว่าเป็ น มวลต่ อหน่ วยปริมาตรของสสาร
 ค่ าความหนาแน่ นของสสารจะมีการแปรผันตามอุณหภูมิเพียง
เล็กน้ อยเนื่องจากปริมาตรของสสารนั้นจะขึน้ อยู่กบั อุณหภูมิ
 ค่ าความหนาแน่ นของสสารต่ าง ๆ ชี้ให้ เห็นว่ าระยะห่ างระหว่ าง
โมเลกุลในก๊ าซต้ องมากกว่ าในของแข็งหรือของเหลว
ตารางความหนาแน่นของสสารบางชนิด
ความด ันก ับความลึก
 พิจารณาบริเวณที่แรเงาซึ่งเป็ น
ของเหลวอยู่ในทรงกระบอกที่
สมมติขนึ้
 ภาคตัดขวางของทรงกระบอกมี
พืน้ ที่เป็ น A
 จากผิวบนของของเหลวความลึก
เพิม่ ขึน้ จาก d เป็ น d + h
 มีแรงภายนอกสามแรงกระทาต่ อ
พืน้ ที่ที่เราสนใจจะศึกษา(แรเงา)
ความด ันก ับความลึก , ต่อ
 ของเหลวมีความหนาแน่ นเป็ น r
 สมมติว่าความหนาแน่ นมีค่าสม่าเสมอในทุก ๆ จุดของของเหลว
 หมายความว่ าของเหลวไม่ ถูกบีบอัด
 แรงทั้งสามแรงทีก่ ระทาต่ อของเหลวทีเ่ ราสนใจศึกษาคือ:
 แรงที่อยู่ด้านบนของของเหลวซึ่งมีทิศลงมีค่าเป็ น P0A
 แรงทีอ่ ยู่ด้านล่ างของของเหลวซึ่งมีทิศขึน้ มีค่าเป็ น PA
 แรงโน้ มถ่ วงซึ่งมีทิศลงมีค่าเป็ น Mg
 มวลสามารถหาได้ จากความหนาแน่ น:
M  rV  r Ah
ความด ันก ับความลึก , สุดท้าย
 แรงลัพธ์ ต้องเป็ นศูนย์ :
 เลือกให้ ทศิ ขึน้ เป็ นบวก
 แก้ สมการจะได้
 P
 ความดัน P ที่ความลึก h จะมากกว่ าความดัน P0 ที่ผวิ ด้ วย
ปริมาณ rgh
ความด ันบรรยากาศ(Atmospheric Pressure)
 ถ้ าของเหลวสั มผัสกับอากาศ และ P0 คือความดันทีผ่ วิ ของ
ของเหลวดังนั้น P0 คือความดันบรรยากาศ
 P0 = 1.00 atm = 1.013 x 105 Pa
คาถามชวนคิด
 แก้ วทีเ่ ติมนา้ จนเต็มมีความดันทีก่ ้ นแก้ วเป็ น P นา้ มีความหนาแน่ น
เท่ ากับ 1000 กิโลกรัมต่ อลูกบาศก์ เมตร เมื่อเทนา้ ออกจน
หมดแล้ วเติม ethyl alcohol ทีม่ ีความหนาแน่ น 806
กิโลกรัมต่ อลูกบาศก์ เมตร จนเต็ม ความดันทีก่ ้ นแก้ วจะเป็ นเช่ นไร
1.
2.
3.
4.
น้ อยกว่ า P
เท่ ากับ P
มากกว่ า P
สรุ ปไม่ ได้
ต ัวอย่าง : แรงทีก
่ ระทาต่อเขือ
่ น(The Force on a Dam)
 นา้ ในเขือ่ นมีความสู ง H ซึ่งเขือ่ นมีความกว้ าง w ดังรู ป จงหาแรงลัพธ์
ของนา้ ทีก่ ระทาต่ อผนังเขือ่ น
ต ัวอย่าง : แรงทีก
่ ระทาต่อเขือ
่ น(The Force on a Dam),ต่อ
 นา้ ในเขือ่ นมีความสู ง H ซึ่งเขือ่ นมีความกว้ าง w ดังรู ป จงหาแรงลัพธ์
ของนา้ ทีก่ ระทาต่ อเขือ่ น
 วิธีทา
เนื่องจากความดันแปรผันกับความลึกจึงไม่ สามารถหาค่ าแรงลัพธ์ จากผลคูณของ
ความดันกับพืน้ ที่ได้ ( F=PA ) แต่ จะแก้ปัญหาโดยใช้ สมการ dF = P dA และ
สมการ
จะได้
ดังนั้นแรงลัพธ์ ที่กระทาต่ อผนังเขื่อนคือ
กฎของพาสค ัล (Pascal’s Law)
 ความดันในของไหลขึน้ กับความลึกและค่ าของ P0
 การเพิม่ ความดันทีพ่ นื้ ผิวของของไหลจะทาให้ ความดัน
ทีเ่ พิม่ ขึน้ นั้นส่ งผ่ านไปยังทุกๆจุดของของไหล
 หลักการนีเ้ รียกว่ ากฎของพาสคัล
กฎของพาสค ัล (Pascal’s Law) , ต่อ
 เรียกตามชื่อของนักวิทยาศาสตร์ ชาวฝรั่งเศส (Blaise Pascal)
 เมื่อความดันในของไหลเปลี่ยนแปลง ความดันที่
เปลี่ยนแปลงนั้นจะส่ งผ่ านไปยังทุกๆจดุ ของของไหล
และผนังของภาชนะทีบ่ รรจดุ ้ วย
P1  P2
F1 F2

A1 A2
้ ฎของพาสค ัล
ต ัวอย่างการใชก
 เครื่องยกระบบไฮดรอลิก
 แรงเอาท์ พุตทีไ่ ด้ จะมาก ซึ่งเกิด
จากแรงอินพุตเพียงเล็กน้ อย
 ปริมาตรของของเหลวทีถ่ ูกกด
ลงไปทางด้ านผนังลูกสู บเล็กจะ
เท่ ากับปริมาตรของของเหลวที่
ถูกดันขึน้ ทางด้ านผนังลูกสู บ
ใหญ่
้ ฎของพาสค ัล , ต่อ
ต ัวอย่างการใชก
 เมื่อปริมาตรเท่ ากัน นั่นคือ
A1x1  A2x2
 จากสมการ
ด้ วยกันจะได้
และ
รวมทั้งสองสมการเข้ า
 F1x1  F2 x2 ซึ่งหมายความว่ า W1 = W2
 นี่คอื กฎการอนุรักษ์ พลังงาน (Conservation of Energy)
้ ฎของพาสค ัล
การประยุกต์ใชก




ห้ ามล้ อไฮดรอลิก(Hydraulic brakes)
แม่ แรงยกรถ(Car lifts)
แม่ แรงไฮดรอลิก(Hydraulic jacks)
รถยกของ(Forklifts)
ตัวอย่ าง
 เครื่องยกรถยนต์ ในสถานีบริการแห่ งหนึ่งประกอบด้ วย แรงดันที่ใช้ อากาศ
บนลูกสู บเล็กทีม่ ีพนื้ ทีห่ น้ าตัดทีม่ ีรัศมี 5.00 ซม. ความดันถูกถ่ ายทอดไปสู่
ลูกสู บใหญ่ ทมี่ ีรัศมี 15.00 ซม. โดยของเหลว อากาศจะต้ องออกแรงดัน
ลูกสู บกีน่ ิวตัน เพือ่ ทีจ่ ะยกรถยนต์ ซึ่งหนัก 13,300 นิวตัน
การว ัดความด ัน(Pressure Measurements):
บารอมิเตอร์( Barometer)
 ประดิษฐ์ ขนึ้ โดย Torricelli
 ประกอบด้ วยท่ อปลายปิ ดยาวบรรจุปรอทไว้ จนเต็ม
จากนั้นก็กลับท่ อให้ ท่อจุ่มลงในอ่ างใส่ ปรอทโดยให้
ปลายปิ ดอยู่ด้านบน
 ที่ปลายปิ ดด้ านบนเกือบจะเป็ นสุ ญญากาศ
 ใช้ สาหรับวัดความดันบรรยากาศ มีค่าเป็ น
P0  rHg gh
 นั่นคือความดัน 1 บรรยากาศ , 1 atm = 0.760 m
(ของ Hg)
การว ัดความด ัน(Pressure Measurements):
มานอมิเตอร์(Manometer)
 เป็ นเครื่องมือที่ใช้ วดั ความดันของก๊ าซที่
บรรจุอยู่ในภาชนะ
 ปลายหนึ่งของหลอดรู ปตัวยู (U-shaped)
จะถูกเปิ ดออกให้ สัมผัสกับอากาศ
 อีกปลายหนึ่งจะถูกต่ อกับภาชนะที่มี
ความดันที่ต้องการจะวัด
 ความดันที่จุด B คือ P0+ρgh
ั รณ์และความด ันเกจ
ความด ันสมบู
(Absolute Pressure and Gauge Pressure)
 P = P0 + rgh
 P คือ ความดันสั มบูรณ์
 P – P0 เรียกว่ า ความดันเกจ
 ซึ่งมีค่าเท่ ากับ rgh
 ตัวอย่ างเช่ นความดันที่วัดได้ จากยางรถยนต์ เป็ นความดันเกจ
แรงลอยต ัว (Buoyant Force)
 นักว่ ายนา้ พยายามทีจ่ ะกดลูก
บอลชายหาดให้ จมลงไปใต้ นา้
แต่ ทาได้ ยากมากเป็ นเพราะมี
แรงกระทาของนา้ ทีก่ ระทาต่ อ
ลูกบอลในทิศขึน้ แรงนีเ้ รียกว่ า
แรงลอยตัว
แรงลอยต ัว (Buoyant Force) , ต่อ
 แรงลอยตัว (buoyant
force) คือแรงที่ของเหลว
กระทาต่ อวัตถุที่จมอยู่ในทิศขึน้
 ส่ วนของ ของเหลวที่พจิ ารณาซึ่งมี
ขนาดเท่ ากับลูกบอลชายหาด อยู่ใน
สมดุล
 ดังนั้นแรงที่มีทิศขึน้ จะมีขนาด
เท่ ากับแรงที่อยู่ในทิศลง
แรงลอยต ัว (Buoyant Force) , ต่อ
 แรงในทิศขึน้ (B) จะต้ องมีขนาดเท่ ากับแรงโน้ มถ่ วงซึ่งอยู่ในทิศลง
 แรงทีอ่ ยู่ในทิศขึน้ นีเ้ รียกว่ าแรงลอยตัว
 แรงลอยตัวนีค้ อื แรงลัพธ์ เนื่องจากแรงทั้งหมดของของเหลวรอบๆ ที่
กระทาต่ อส่ วนของ ของเหลวทีพ่ จิ ารณา
หล ักของอาคิมด
ี ส
ิ
(Archimedes’s Principle)
หล ักของอาคิมด
ี ส
ิ
(Archimedes’s Principle) , ต่อ
 ขนาดของแรงลอยตัวจะเท่ากับน้ าหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่โดยวัตถุ
 นี่คือหลักของอาคิมีดิส
 Archimedes’s Principle does not refer
to the makeup of the object
experiencing the buoyant force
 The object’s composition is not a
factor since the buoyant force is
exerted by the fluid
หล ักของอาคิมด
ี ส
ิ
(Archimedes’s Principle) , ต่อ
 ความดันที่ด้านบนของลูกบาศก์ ทาให้ เกิด
แรงในทิศลงมีขนาดเป็ น Pt A
 ความดันที่ด้านล่ างของลูกบาศก์ ทาให้ เกิด
แรงในทิศขึน้ มีขนาดเป็ น Pb A
 B = (Pb – Pt) A = Mg
หล ักของอาคิมด
ี ส
ิ :
ว ัตถุทจ
ี่ มอยูใ่ นของเหลวทงก้
ั้ อน
 พิจารณาวัตถุทจี่ มอยู่ในของเหลวทั้งก้ อนซึ่งของเหลวมี
ความหนาแน่ นเป็ น rfluid
 แรงลอยตัวซึ่งมีทศิ ขึน้ คือ
B  rfluid gV  rfluid gVobj
 แรงโน้ มถ่ วงซึ่งมีทศิ ลงคือ
w = mg = robj gVobj
 แรงลัพธ์ คอื
B - Fg = ( rfluid  robj )gVobj
หล ักของอาคิมด
ี ส
ิ :
ว ัตถุทจ
ี่ มอยูใ่ นของเหลวทงก้
ั้ อน , ต่อ
 If the density of the object is less
than the density of the fluid, the
unsupported object accelerates
upward
 If the density of the object is
more than the density of the
fluid, the unsupported object
sinks
 The motion of an object in a
fluid is determined by the
densities of the fluid and the
object
Archimedes’s Principle:
Floating Object
 The object is in static equilibrium
 The upward buoyant force is balanced
by the downward force of gravity
 Volume of the fluid displaced
corresponds to the volume of the
object beneath the fluid level
r obj Vfluid

r fluid Vobj
Archimedes’s Principle:
Floating Object, cont
 The fraction of
the volume of a
floating object
that is below the
fluid surface is
equal to the
ratio of the
density of the
object to that of
the fluid
Archimedes’s Principle, Crown
Example
 Archimedes was (supposedly) asked,
“Is the crown made of pure gold?”
 Crown’s weight in air = 7.84 N
 Weight in water (submerged) = 6.84
N
 Buoyant force will equal the apparent
weight loss
 Difference in scale readings will be the
buoyant force
Archimedes’s Principle, Crown
Example, cont.

F  B  T2  Fg  0
 B = Fg – T2
(Weight in air – “weight”
in water)
 Archimedes’s principle
says
B = rgV
 Then to find the
material of the crown,
rcrown = mcrown in air / V
Archimedes’s Principle, Iceberg
Example
 What fraction of the iceberg is below
water?
 The iceberg is only partially
submerged and so Vfluid / Vobject =
robject / rfluid
applies
 The fraction below the water will be
the ratio of the volumes (Vwater / Vice)
Archimedes’s Principle, Iceberg
Example, cont
 Vice is the total
volume of the
iceberg
 Vwater is the
volume of the
water displaced
 This will be equal
to the volume of
the iceberg
submerged
 About 89% of the
ice is below the
water’s surface
Types of Fluid Flow – Laminar
 Laminar flow
 Steady flow
 Each particle of the fluid follows a
smooth path
 The paths of the different particles never
cross each other
 The path taken by the particles is called
a streamline
Types of Fluid Flow – Turbulent
 An irregular flow characterized by
small whirlpool like regions
 Turbulent flow occurs when the
particles go above some critical speed
Viscosity
 Characterizes the degree of internal
friction in the fluid
 This internal friction, viscous force, is
associated with the resistance that
two adjacent layers of fluid have to
moving relative to each other
 It causes part of the kinetic energy of
a fluid to be converted to internal
energy
Ideal Fluid Flow
 There are four simplifying
assumptions made to the complex
flow of fluids to make the analysis
easier
(1) The fluid is nonviscous – internal
friction is neglected
(2) The flow is steady – the velocity
of each point remains constant
Ideal Fluid Flow, cont
(3) The fluid is incompressible – the
density remains constant
(4) The flow is irrotational – the fluid
has no angular momentum about any
point
Streamlines
 The path the particle
takes in steady flow
is a streamline
 The velocity of the
particle is tangent to
the streamline
 A set of streamlines
is called a tube of
flow
Equation of Continuity
 Consider a fluid moving
through a pipe of
nonuniform size
(diameter)
 The particles move along
streamlines in steady flow
 The mass that crosses A1
in some time interval is
the same as the mass
that crosses A2 in that
same time interval
Equation of Continuity, cont
 m1 = m2 rA1v1 = rA2v2
 Since the fluid is incompressible, r is
a constant
 A1v1 = A2v2
 This is called the equation of continuity
for fluids
 The product of the area and the fluid
speed at all points along a pipe is
constant for an incompressible fluid
Equation of Continuity,
Implications
 The speed is high where the tube is
constricted (small A)
 The speed is low where the tube is wide
(large A)
 The product, Av, is called the volume flux
or the flow rate
 Av = constant is equivalent to saying the
volume that enters one end of the tube in a
given time interval equals the volume
leaving the other end in the same time
 If no leaks are present
Bernoulli’s Equation
 As a fluid moves through a region
where its speed and/or elevation
above the Earth’s surface changes,
the pressure in the fluid varies with
these changes
 The relationship between fluid speed,
pressure and elevation was first
derived by Daniel Bernoulli
Bernoulli’s Equation, 2
 Consider the two shaded
segments
 The volumes of both segments
are equal
 The net work done on the
segment is W =(P1 – P2) V
 Part of the work goes into
changing the kinetic energy
and some to changing the
gravitational potential energy
Bernoulli’s Equation, 3
 The change in kinetic energy:
 K = ½ mv22 - ½ mv12
 There is no change in the kinetic energy
of the unshaded portion since we are
assuming streamline flow
 The masses are the same since the
volumes are the same
Bernoulli’s Equation, 4
 The change in gravitational potential
energy:
 U = mgy2 – mgy1
 The work also equals the change in
energy
 Combining:
W = (P1 – P2)V =½ mv22 - ½ mv12 + mgy2 –
mgy1
Bernoulli’s Equation, 5
 Rearranging and expressing in terms of
density:
P1 + ½ rv12 + mgy1 = P2 + ½ rv22 + mgy2
 This is Bernoulli’s Equation and is often
expressed as
P + ½ rv 2 + rgy = constant
 When the fluid is at rest, this becomes P1 –
P2 = rgh which is consistent with the
pressure variation with depth we found
earlier
Bernoulli’s Equation, Final
 The general behavior of pressure with
speed is true even for gases
 As the speed increases, the pressure
decreases
Applications of Fluid Dynamics
 Streamline flow
around a moving
airplane wing
 Lift is the upward
force on the wing from
the air
 Drag is the resistance
 The lift depends on the
speed of the airplane,
the area of the wing,
its curvature, and the
angle between the
wing and the
horizontal
Lift – General
 In general, an object moving through a fluid
experiences lift as a result of any effect that
causes the fluid to change its direction as it
flows past the object
 Some factors that influence lift are:
 The shape of the object
 The object’s orientation with respect to the fluid
flow
 Any spinning of the object
 The texture of the object’s surface
Golf Ball
 The ball is given a
rapid backspin
 The dimples
increase friction
 Increases lift
 It travels farther
than if it was not
spinning
Atomizer
 A stream of air passes
over one end of an
open tube
 The other end is
immersed in a liquid
 The moving air
reduces the pressure
above the tube
 The fluid rises into the
air stream
 The liquid is dispersed
into a fine spray of
droplets