1
Fraktāļa jēdziens
• Fraktālis ir neregulāra vai sadrumstalota
forma, kuru var sadalīt mazākās daļās tā,
ka jauniegūtā daļas ir sākotnējās formas
samazināta izmēra kopijas, t.i., objekts,
kuram piemīt pašlīdzība.
• Fraktālis ir punktu kopa, kuras fraktālā
dimensija ir lielāka par tās topoloģisko
dimensiju.
2
3
4
Topoloģiskā dimensija
• Definīcija. Saka, ka kopai A ir topoloģiskā
dimensija 0, ja jebkuram kopas A punktam
eksistē tāda apkārtne, kuras robeža
nešķeļas ar kopu A.Saka, ka kopai A ir
topoloģiskā dimensija k > 0, ja jebkuram
kopas A punktam eksistē tāda apkārtne,
kuras robežas šķēlums ar kopu A ir kopa
ar topoloģisko dimensiju k-1 un k ir
mazākais pozitīvais veselais skaitlis,
kuram šī īpašība izpildās.
5
Fraktālā dimensija
Jēdziens par fraktālo dimensiju pirmo reizi
parādījies jau 1919.gadā F.Hausdorfa
darbā, tomēr tikai B.Mandelbrots apvienoja
šīs idejas un uzsāka sistemātisku fraktāļu
pētīšanu.
Jēdzienu par fraktālo
dimensiju Mandelbrots
izveidoja 1977.gadā.
6
N - kopiju skaits
r - skaitlis, kas rāda,
cik reizes samazināta figūra
figūra
dimensija r
N
Nogrieznis
1
2
2=2^1
nogrieznis
1
3
3=3^1
Kvadrāts
2
2
4=2^2
kvadrāts
2
3
9=3^2
Kubs
3
2
8=2^3
kubs
3
3
27=3^3
ln N
D
ln r
7
ln 2
 0,63
D( vidējās trešdaļas Kantora kopa ) =
ln 3
ln 2
D( vidējās simtdaļas Kantora kopa ) = 200  0,986
ln
99
ln 4
D( Koha līkne ) = ln 3
 1,26
ln 3
 1,585
D( Serpinska trīsstūris ) =
ln 2
8
Definīcija
• Definīcija. Pieņemsim, ka A ir metriskas
telpas (X; d) netukša kompakta
apakškopa. Pieņemsim, ka katram ε>0 ar
N(A;ε) tiek apzīmēts mazākais skaits
slēgto ložu ar rādiusu ε>0, kurš
nepieciešams, lai pārklātu kopu A. Ja
robeža D 
ln N ( A,  )
lim

0
ln
1

eksistē, tad iegūto robežskaitli D sauc par
kopas A fraktālo dimensiju.
9
Teorēma
Kastīšu skaitīšanas TEORĒMA (The Box
Counting Theorem). Pieņemsim, ka A ir
m
netukša kompakta R apakškopa ar
m
Eiklīda metriku. Pārklāsim R ar
slēgtiem
1
kvadrātiem ar malas garumu 2 .
Apzīmēsim ar Nn(A) kvadrātu skaitu ar
1
malas garumu 2 , kuri pārklāj kopu A. Ja
ln Nn( A)
robeža
D
n
n
lim
n 
ln 2n
eksistē, tad D ir kopas A fraktālā dimensija. 10
Ja Dekarta koordinātu sistēmā atliek uz x ass
1

ln
vērtības un uz y ass lnN(A,ε) vērtības, tad
lineāras regresijas taisnes virziena koeficients ir
uztverams kā dotās kopas A kastīšu dimensijas
tuvinājums.
11
Dimensijas definīcijās tiek ietverta ideja par
mēru mērogā ε. Visiem ε tiek mērīta kopa
un tiek ignorētas neregularitātes, kuras ir
mazākas par ε, mērīšana tiek atkārtota,
aizvien mazākam ε (t.i., ε→0).
Līknei F plaknē tiek definēta
lineāla dimensija s.
Lielbritānijas krasta līnijas fraktālā
dimensija ir apmēram 1,25,
bet Norvēģijas - apmēram 1,52.
12
Brokoļu fraktālā
dimensija ir 2,66,
bet cilvēka smadzeņu
virsmas fraktālā
dimensija ir 2,79
13
G.Šmidleres datorzinātņu bakalaura darbs, “Fraktāļa
Īpašības un fraktāļa dimensijas noteikšana”, 2005
Kastīšu dimensija - 1,512 Gaujai un 1,596 Lielupei
“Riņķu” dimensija – 1,868 Gaujai un 1,795 Lielupei
14
Upes baseins dimensionāli
ir lielāks par pašu upi.
Korelācijas (riņķu) dimensija
dažos gadījumos pārsniedz 2,
tā tam nevajadzētu būt.
Rezultāts atkarīgs no upes
attēla mēroga.
15
H.Takayasu, M.Takayasu,
M.P.Okazaki, K.Marumo, T.Shimizu,
Fractal Properties in Economics,
RePec, 2000, 15 lpp
Valūtas maiņas tarifa svārstībās
novērojama pašlīdzība – izmainot
mērogu, ieraugāms līdzīgs attēls.
16
I.Thomas, C.Tannier, P.Frankhauser, Is there a link between
fractal dimensions and other indicators of the built-up
environment at a regional level?,
Cybergeo: European Journal of Geography, V.413, 2008
Fractal measures unequivocally characterise the spatial
organisation of urban patterns. ... To our first question “do fractal
dimensions allow a synthetic description of the built environment
of each commune?” we can definitively give a positive answer.
The analysis performed at a regional level completes and
confirms former micro-level analyses on cities. The second
hypothesis was that “fractal dimensions can be used to evaluate
the quality of the built environment of each commune”. It was
shown in this paper that people tend to appreciate morphological
(fractal) diversity, defined as the existence of empty areas of
different sizes.
17
R.F.Sultan, The fractal structure of Liesegang and other
precipitate patterns, Proc. of the 10th Intern. Conference on
Dynamical Systems - Theory and Applications,
Lodz, Poland, 2009
Liesegang nogulšņu
joslu šabloni ir raksturojami
kā fraktāli objekti.
To fraktālās dimensijas
raksturo objektu ķīmiskās
īpašības (elektrolītu
koncentrācijas lielumu).
18
Literatūra
1. M.F.Barnsley, Fractals everywhere, sec.ed., Morgan Kaufman,
Academic Press, San Diego, USA,1993.
2. H.O.Peitgen, H.Juergens, D.Saupe, Chaos and Fractals. New Frontiers
of Science, sec.ed., Springer-Verlag, New-York, 2004.
3. R.F.Sultan, The fractal structure of Liesegang and other precipitate
patterns, Proc. of the 10th Intern. Conference on Dynamical Systems Theory and Applications, Lodz, Poland, Vol.2., J.Awrejcewicz (Ed.), Left
Grupa, Lodz,2009, P.987 – 994.
4. H.Takayasu, M.Takayasu, M.P.Okazaki, K.Marumo, T.Shimizu, Fractal
Properties in Economics,
http://econpapers.repec.org/paper/arxpapers/cond-mat_2f0008057.htm,
RePec, 2000, 15 p.
5. I.Thomas, C.Tannier, P.Frankhauser, Is there a link between fractal
dimensions and other indicators of the built-up environment at a 19
regional level?, Cybergeo: European Journal of Geography, V.413, 24 p,
20