第2回

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バーチの法則と状態方程式
バーチの法則
Vp= a(M) + br
Vp(km/sec) = -1.87+3.05 r (g/cm3)
状態方程式:バーチ・マーナハン(Birch-Murnaghan)の状態方程式、
ビネー(Vinet)の状態方程式
Subducted slabs are
stagnant in the mantle
transition zone, and then
collapsed into the lower
mantle (from Fukao et al.
1992; 2001)
核マントル境界に超低速度層の存在 部分溶
融の可能性:重いマグマが安定に存在するので
はないか?
青色:速い地震波速度
(低温)
赤色:遅い地震波速度
(高温)
Cor
e
Slow Vp
High Vp
Core
Birch’s Law
バーチの法則
4. Birch’s Law
Francis Birch (geophysicist) (1903–1992),
• Birch’s Law
– Birch (1961a)によって報告された
空隙がなくなる圧力条件では,VPが密度と平均原子量の関数になってい
る
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
平均原子量(M )とは・・・
Mg2SiO4の場合
Mg  24.3050(6)
Si  28.0855(3)
O  15.9994(3)
M Mg 2 SiO4 
VPと密度の間に一次関数関
係
24.31 2  28.09  16.00 4

7
 21.10
1 GPaまでのVPと密度の関係.珪酸塩や酸化物の結
果.
V [km/s] 1.87  3.05r[g/cm3 ]
20  M  22
P
音速の測定
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
– Birch (1961b)
VPと密度の関係式
VP  aM   br
“As a provisional hypothesis,
it will be postulated that the
velocity-density relations, as
expressed above, hold for all
changes of density in the
Earth’s mantle, however
produced. ”
圧縮による密度変化や化学組成が変わる(ただし平均原子量は不変)こと
による密度変化は弾性波速度へ同じ変化をもたらす
平均原子量が同じ異なる物質のBirchの関係式の傾き
最密構造(例:Corundum, rock salt, perovskite)では3以下
それ以外(例:Olivine, quartz)では傾き4以上
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
内核
外核
VΦと密度の関係.衝撃実験結果と地球マントルや核との比
較.
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
VP 
4
K 
3
r

VS 
r
V 
K
4 2
 VP  VS
r
3
2
K:体積弾性率,μ:剛性率,VΦ:バルク音速
Birch’s lawに対する温度の効果はあるのか
密度
:温度上昇に伴い減少
体積弾性率 :温度上昇に伴い減少
剛性率
:温度上昇に伴い減少
現実はそれぞれの効果を合わせたもの
密度の温度変化より弾性率(K、μ)の温
度変化の方が大きい。
The outer core density: lower by 7 - 10 % than
that of pure iron (Anderson and Issak, 2002; Shanker
et al., 2004).
High solubility of O and Si in molten iron may explain the
density deficit of the core.
8
After Fiquet et al. (2004)
Fe
Theory (Steinle-Neumann
Et al. (2001)
NRIXS
(Mao et al. (2001)
at 300K
IXS Fiquet et
al. (2001) at
300 K
PREM
inner
Shock
core
Brown and McQween
(1986) at 3000-6000 K
Discrepancy:
IXS X線非弾性散乱 and Shock vs NRIXS 核共鳴X線非弾性散乱?
Temperature effect on Birch law ? 温度依存性
40
4. Birch’s Law
• 核物質のVP
40.0
42.0
核物質のVPはBirch’s lawに
従う
44.9
VP  a  r  b
rcore  xrFe  1  xrFeX
Vcore
55.8
35.9
VFe VFeX

1  x VFe  xVFeX
Badro et al. (2007)
x:鉄の核中での体積比率
49.9
44.0
BL35XU Optics: Baron et al. (2000)
Si (9, 9, 9) and Si(11,11,11)
Instrument configuration
X-ray beam size 70x70 μm2
41
Kは化学組成にはあまりよらない。構造によって変わる。
キンバライトマグマ中に見られるカンラン岩(Garnet Peridotite
Xenolith from the Bulfontein Floors, Kimberley, South
Africa)
カンラン石: 暗緑色
(ペリドート)
斜方輝石: 薄い緑色
ザクロ石: 赤い鉱物
(ガーネット)
単斜輝石:鮮やかな
緑色
ダイヤモンド、、、、
Photo courtesy of F. R. (Joe) Boyd
and Steve Richardson
670km
Bulk sound velocity
Vf (km/sec)
400km
670km
Mg3Al2Si3O12
220km
spinel
P
Mg2SiO4
garnet
Fe3Al2Si3O12
T
olivine
Fe2SiO4
Density g/cm3
温度、圧力、組成、相転移依存性」
復習
670km
Bulk sound velocity
Vf (km/sec)
400km
670km
Mg3Al2Si3O12
220km
spinel
P
Mg2SiO4
garnet
Fe3Al2Si3O12
T
olivine
Fe2SiO4
Density g/cm3
温度、圧力、組成、相転移依存性」
復習
Bulk sound velocity Vbと密度の関係
1.温度変化:
温度が変化したときのVbとrの変化
lnVb = (d -1)/2 = constant = 1.5~2.5, where d ~4-6
c
c
lnr p
2.圧力変化:
圧力が変化した場合のVbとrの変化(等温)
lnVb
lnr
~ (Ks’-1)/2 = 1.5~2.5, where Ks’~4-6
T
3.組成変化: 鉄の効果は明瞭
4.相転移の影響
lnVb
= (dc-1)/2 = constant = 1.5~2.5, where dc~4
lnr P
の証明
ln Vb=(lnKs-lnr)/2
ゆえに
lnKs
-1
lnr
lnVb =
lnr P
=
(dc-1)
ここで
dc:Anderson-Gruneisen Constant 温度によらず一定
dc=
lnKs
lnr
=P
lnKs =
lnV P
a
lnKs
T
= constant
P
圧力が変化する場合のVbとrの変化(等温)
lnVb
~
lnr T
(Ks’-1) ~ 1.5~2.5
lnVb
lnr
=
T
=
lnr
{
ln Ks-ln r
T
lnKs
-1}
lnr T
lnKs
= Ks’ KT/Ks
lnr T
=Ks’ =4~6
状態方程式
Equation of State
通常の固体の状態方程式
Birch-Murnaghanの状態方程式
(Birch-Murnaghan equation of State
やわらかい物質に対する状態方程式
Vinetの状態方程式
(Vinet Equation of State)
Mie’s potentialからBirch-Murnaghanの状態方程式を導くこと。
熱力学的関係式
等温体積弾性率と断熱
体積弾性率
= agTKT
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