投影
透視投影/中央投影
直線透視
空中透視
兩點透視
三點透視
一點透視
半斜投影
等角投影
平行投影
正投影
不等角投影
多視圖投影
正投影
側斜投影
陰影
等斜投影
二等角投影
斜投影
三等角投影
第一角
投影
第二角
投影
第三角
投影
第四角
投影
投影種類
透視
平行
斜面
正投影
不等角
多視圖
觀察者到投影
面的距離
有限
無限
無限
無限
無限
無限
從視點擴散
彼此平行
彼此平行且
與投影面傾斜
與投影面
垂直
與投影面
垂直
與投影面
垂直
投射線
投影法
視圖名稱
物體與投影面
投影線
投影線與投影面
透
視
投
影
一點透視
一面平行
集中一點
各種角度
兩點透視
傾斜/垂直線
平行於投影面
集中一點
各種角度
三點透視
傾斜/三軸皆
與投影面傾斜
集中一點
各種角度
正投影
多視投影視圖
平行
平行
垂直
立
體
正
投
影
等角圖
傾斜/三軸皆與
投影面成等角
平行
垂直
二等角圖
傾斜/只有二軸
與投影面成等角
平行
垂直
不等角圖
傾斜/各軸與投
影面皆不成等角
平行
垂直
等斜圖
一面平行
平行
傾斜45度
斜視圖
一面平行
平行
傾斜各種角度
半斜圖
一面平行
平行
傾斜63度26分
斜
投
影
正方體
․欲表現物件的立體形象, 使之在畫面上具有遠近的空間感覺稱為遠近法; 區分為
線遠近法、空氣遠近法、重點遠近法及我國獨創的三遠遠近法。其中唯獨線遠
近法可正確而肯定表示任何物體之立體感, 以線條和數學原理解決視覺的遠近
空間問題; 也只有此法可以一定的法則, 求得共同認可之立體畫面, 此法又稱為
透視圖學: 假設物體與眼睛前有一透明平面存在, 吾人透過此平面觀察物體, 而
將該物體之映像留置於平面上, 此留置之圖形即為透視圖。
․透視圖亦可視為由一點發射, 通過物體各頂角而投射在畫面上之投影圖; 假如發
射點為光源, 此光源必為有限距離之近處光源, 照射在物體上而使該物體之影像
投落於畫面上; 因為光源與畫面距離會變化, ,透視圖的大小亦隨之變化, 但其形
狀完全相同。
․我們看物體時, 發射點是眼睛的水晶體, 畫面為視網膜; 攝影時發射點是鏡頭的
焦點, 畫面是負片, 攝得之影像就是透視圖; 透視圖的大小與鏡頭和物體間的距
離成反比, 例如一公尺的物體, 若呈現在透視圖上為一公分, 則移動物體至兩公
尺處, 透視圖上即呈現半公分。
․投射線彼此不平行, 但集中於一點的投影,
是為透視投影; 透視投影相當於人透過投影面
觀察物體, 投射線集中的一點, 就是人的眼睛
所在的點; 透視圖是效果最逼真的一種立體圖◦
物體的高寬深三方向中有兩個方向與投影面
平行時, 所得的透視圖稱為一點透視圖, 也稱為
平行透視圖; 三方向中只有一個方向與投影面
平行時, 所得的透視圖稱為二點透視圖, 又稱為
成角透視圖; 三方向中沒有一個方向與投影面
平行時, 所得的透視圖稱為三點透視圖, 也稱為傾斜透視圖◦
PP
PP
(1)
PP
PP
SP
SP
固定
(2)
固定
․透視投影中, 物體、投影面與視點三者間距離的變化, 會影響投影的大小 (在正
投影或斜投影中, 物體和投影面之間的距離, 與產生投影的大小無關):
(1) 物體和視點間的距離固定不變, 投影面愈近視點, 則投影愈小◦
(2) 投影面與視點間的距離固定不變, 物體愈近視點, 則投影愈大◦
(3) 物體和投影面之間的距離固定不變, 物體在投影面之後時, 視點愈近投影面,
則投影愈小◦
PP
PP
固定
SP
(3)
SP
SP
SP
SP
SP
(4)
固定
(4) 物體和投影面之間的距離固定不變, 物體在投影面之前時, 視點愈近投影面,
則投影愈大◦
PP
(5) 物體和投影面相重合時, 不論視點
SP
SP
SP
遠近, 相重合部份的投影, 即為物體
(5)
的真實大小與形狀; 所以在透視圖中,
該部份的線長可直接度量◦
․視點的選擇: 在透視投影中, 視點的選擇不注意, 不只影響形狀且會產生不佳的
形狀◦(1) 勿使視中心偏離物體的中心太多 (2) 使視角在200至300間 (3) 使俯角
在200至300間◦
PP
HP
CV
E
PP
image plane
A
B
C
․透視的種類: (1) parallel perspective
ground
又稱一點透視(one point perspective), 如上圖A所示, 立方體的各面相互成直角,
其中兩個面與畫面平行(即綠色), 底面與上面則平行於地面, 側面與畫面成直角;
因為所有的線條與畫面非平行即為直角, 故稱為平行透視◦
(2) angular perspective, 上圖B中的底面與上面平行於地面,四個側面與畫面成
某個角度, 而平行於地面的各線也成某種角度; 如此之透視圖稱為成/尖角透視,
又稱兩點透視(two point perspective)。
(3) oblique perspective, 如圖中C的底面或上面均與地面成傾斜, 其餘四面與畫
面亦成傾斜; 因為所有線條皆與畫面成某個角度, 故稱為斜(角)透視, 也稱為三點
透視(three point perspective)。
A
A
․點的透視圖: 我們自上俯視地面, PP、HL
F
PP
與GL均成一直線; 物體上一點A成像(A’) PP,HL
F CV
GL
A’
S’
a
於狀如直線的畫面上◦ 然而無法得知成像
S
之形狀, 故需輔以右邊之立面圖◦ 其中E為視者眼睛之
HL
位置, 稱之視點; S為視者站立之位置, 稱為立點; GP為
A’
地平面, 視者站立之水平面, 與畫面垂直; CV是視中心,
GL
a
為視點E在畫面上的投影; VL稱為視線, 為視點E
PP
與物體A之間的連接線; FL為足線: 自立點S
CV
至物體A在地面上之連接線, 亦即視線的水平
A
VL
A’
投影; F是足點, 為足線FL與畫面PP之相交點;
S’是立點S在畫面上的投影; a為物體A在畫面上
S’
a
F
GL
的投影; VP為消失點; VaL是消失線; PP為投影面,
FL
是垂直於地面的平面; GL為地平線, 是畫面與地面
ground
相遇之線; HL為視平線, 與視者眼睛之高度相同,
C
畫面上的水平線; HP為視平面, 與地面平行而在視點高度
B
之水平面◦
A
․A點的透視圖A’, 出現在A與S之間, 即足點F上之垂線與a
、CV連接線的交點; 最下圖為前圖的簡化, 採用此種以直線
表示透視的方法, 稱為線透視圖法◦
S
CV
HL
E
S
S’
PP
HL
GL
S’
CV
B’ C’
a
A’
S
․作圖規則: 先確定PP, 次決定A之位置(物體與畫面的距離), S定在PP後方的適
當位置(視物體之距離與角度的關係而定), 再求出A和 S的連接線FL與PP之交點
F, 即得所謂的平面圖; 然後在GL線上定出眼睛之高度而得HL, 再從S畫出垂直
於HL的直線, 以找到CV, 並求出在GL處A的投影a; 連接a與CV, 由F作出垂線與
此線交得A’◦ 最後作出a 、A延長線上的B和C, 再把B 、 C分別與S連線, 並與由
F作出之垂線相交而得B’ 、 C’, 即為B和C的透視點◦ 由此可知, a--A’--CV乃是平
面a--A的無限延伸之透視圖; 換言之, a--A無限延長處為CV, 故CV為所有垂直畫
面之直線的消失點, 即VP◦
․消失點: 在透視投影中, 若投影面(即畫面)與視點間的距離固定不變, 物體離視
點愈遠, 所得的投影愈小; 物體在無窮遠處, 其投影縮小成一點, 此點就稱為消失
點; 因為在無窮遠處時, 各視線視為平行, 視角為零度, 故消失點在投影面上的位
置, 必定是在與物體遠移之方向平行的視線與投影面之交點上(如下圖)◦
PP
SP
VP
VP
SP
PP
設長方體的高度與寬度此二方向與投影面平行, 僅深度方向有一個消失點, 即所
謂一點透視圖; 由視點SP作深度方向ab的平行線, 可得其消失點必在視平線上,
a
且與視中心CV重合(右圖)◦
b
c
d
b
PP
PP
a
SP
SP
PP
若長方體僅高度方向
HL
SP
c
VPL HL
VPR SP
VP
與投影面平行, 則深度
a
b
a b
和寬度方向各有一個
e
c
消失點, 所以稱為二點
透視圖; 由視點SP分別作深度ab方向與寬度ac方向的平行線, 得到兩個消失點,
d
都必在視平線上, 分別以VPL和VPR表示(右上)。
PP
若長方體三個方向中, 沒有一個方向與投影面
VPL
平行時, 在深度、高度和寬度方向各有一個
消失點, 此即三點透視圖; 由視點SP分別作深度
ab方向、高度ad方向與寬度ac方向的平行線, 得到
三個消失點, 位於圖面上方或下方者以VPV表示(上圖)◦
常在三點透視圖中, 由長方體頂面垂直方向之輔助視圖
旋轉後獲得VPL和VPR的位置。
c
b
a
VPR
SP
SP
a
b
d
PP
VPV
c
․利用消失點繪製透視圖之步驟: (1) 根據已知條件, 求出消失點
(2) 繪出與投影面相重合部份的實形, 不相重合時, 延伸使之相重合
(3) 各頂點或中心點與消失點連線
(4) 由視點逐一作所需點之投影線, 與畫面相交之點, 即為該點之透視投影
(5) 移入透視圖中, 可得透視圖
A
․直線的透視圖: 可視為直線兩端點A和B的透視,
找到A’和B’, 連接A’、 B’, 即為直線AB的透視圖◦
如右上圖, 直線AB與PP平行, 其透視點A’ 、 B’
連接線與GL平行; 所以只要求得A’, 透過A’畫出
平行GL的直線, 與b--CV連線之交點即為B’◦
參閱第二圖, 凡垂直PP之直線, 均互相平行; 過A、
B、C之直線的透視點A’、B’ 、 C’ 皆消失於CV,
D--E亦消失於CV, 故相互平行且與PP垂直之任何
直線均消失於CV◦
B
F
PP
F
CV
HL
GL
B’
A’
a
S
b
E
PP
HL
A
B
C
D
S
CV
․消失點: (1) 凡垂直PP的任何直線均消失於CV
E’
GL A’
B’
C’ D’
a b
c
(2) 凡平行PP之直線, 如果也平行於GL與HL,
因左右無限延伸之故, 不會有消失點 (3) 凡與PP成一定角度之水平線, 其消失
點一定在地平線HL上 (4) 與畫面PP成450傾斜之水平直線, 其消失點在地平線上
; 消失點與視中心點之距離, 等於視點與畫面的距離; 此時兩側的消失點特稱為
distance point, 視中心點與兩側之距離相等◦
․量測點: 地平面上設有一線段ab, 其方向上的消失點
為VP, 另在地平線上取ad = ab (如右圖), 則線段bd
方向上的消失點為MP; 在透視圖中AD = ad, 將D與
MP相連, A與VP相連, 兩者相交於B點, B必為b的
透視投影。因為ab = ad, 所以MP與VP間的距離,
必等於俯視圖中SP與V之間的距離; 繪製透視圖時,
先求得VP與MP後, 自地平線上A點直接度量ab的長,
得D點, 再與MP相連, 即可定出B點; 此時之MP點
稱為直線ab方向的量測點。
b
a
d PP
MP
SP
HL
B
A
V
VP
GL
D
一點透視圖只有一個量測點, 以MP表示; 二點透視圖有兩個量測點, 以MPL,
MPR表示; 三點透視圖有三個量測點, 第三個位於圖面上方或下方者稱為垂直量
測點, 以MPV表示, 用於度量向上方或向下方消失之線長。
利用量測點繪製透視圖的步驟: (1) 根據已知條件, 求出量測點與消失點
(2) 繪出與投影面相重合部份的實形, 不相重合時, 延伸使之相重合
(3) 各頂點或中心點與消失點連線
(4) 從與投影面相重合的頂點開始, 在水平線或直立線上度量所需要的點之間的
實長 (5) 把量度所得之點與線長消失方向的量測點連線, 得該點之透視投影
․消失點與量測點的位置設定, 決定於視點, 視點的擇取前已述及; 深究後可發現
在一點透視圖中, 視平線上消失點與量測點之間的距離, 等於視點與畫面間的距
離; 二點透視圖中, 視平線上左右兩消失點之間的距離, 約為視點與畫面間距離
的兩倍, 若物體的左面與畫面夾300角, 則MPR在左右兩消失點之間距離的正中
央, MPL則在靠近VPR且為左右消失點之間距離的八分之一處; 三點透視圖的情
形與二點透視圖類似, 為了使視角在200 與300 間, 則視點與畫面間的距離應為
物體最大寬度的兩倍以上, 為了使俯角在200 與300 間, 則視平線與地平線間的
距離, 不得超過前述視點與畫面間距離之半。因為有上述關係存在, 繪製透視圖
時可不需畫出視點, 而根據物體的最大寬度, 直接定出消失點與量測點的位置。
作法如下:
一點透視: (1) 在視平線上取VP~MP略大於物體最大寬度的兩倍 (2) 使視平線
HL與地平線GL間的距離, 略小於物體的最大寬度, 以不超過人體的一般高度為
宜 (3) 在VP~MP間靠近VP處, 取一點作地平線GL的垂線, 交地平線於Y點, 由此
畫出一點透視(如下)。
HL
VP
MP
MP
VP
HL
GL
GL
Y
Y
二點透視: (1) 在視平線上取VPL~VPR約等於物體最大寬度的四倍 (2) 使視平
線HL與地平線GL間的距離, 略小於物體的最大寬度, 以不超過人體的一般高度
為宜 (3) 取VPL~VPR的中點為MPL (4) 在靠近VPL約八分之一的VPL~VPR處,
取為MPR (5) 在VPL~MPL的中點作地平線GL的垂線, 交地平線於Y點, 由此畫
出二點透視(如下左圖)。
VPL MPR
MPL
VPR
HL
GL
Y
HL
VPL
MPR
MPL VPR
GL
Y
(3’) 若取VPL~VPR的中點為MPR (4’) 則在靠近VPR約八分之一的VPL~VPR處,
取為MPL (5’) 在VPR~MPR的中點作地平線GL的垂線, 交地平線於Y點 (如上右
圖, 其他同前述)
三點透視: (1) 在水平線上取VPL~VPR約等於物體最大寬度的六倍 (2) 取
VPL~VPR的中點為MPL (圖a) (3) 在靠近VPL約八分之一的VPL~VPR處, 取為
MPR (4) 在VPL~MPL的中點作直立線XY, 使VPL~Y = VPL~MPL (5) 在XY上
取X~MPV = XY/4 (6) 在XY的延長線上取 Y~VPV = XY (7) 取XY的中點Z, 由
此畫出三點透視(如下)。
VPL
VPL MPR
MPL
X
MPR
VPR
X MPL VPR
MPV
MPV
圖a
Z
圖b
Z
Y
Y
VPV
VPV
VPV
VPV
Y
Y
Z
圖c
MPV
VPL
MPR
X MPL VPR
Z
圖d
MPV
VPL MPR X
MPL
VPR
若取VPL~VPR之中點為MPR, 則如圖b所示; 若三點透視圖畫成蟲膽圖, 則如圖
c、d。本主題所述各法又稱為簡易透視圖法。
透視陰影圖
․光線照射時, 物體背光面較暗稱為陰; 光線照射物體, 在地平面上形成暗處稱為
影; 光線來源分兩類: 一為自然光源, 即太陽光, 因為在無窮遠處, 屬於平行光線;
二為人工光源, 即燈光, 因光源較近, 屬於輻射光線。在透視圖中加繪陰和影, 稱
為透視陰影法。
光線在PP面之
․平行光照射時, 在3D空間的走向如下左圖;
方向: 射向HP 的
上下角度
α
在立方體空間內, 將光線分成兩個2D走向, PP
即光線方向α及光線角度θ, 如最右圖◦
θ
俯視是光線投向PP之方向 (α角), 將光線
方向旋轉成水平時, 在前視中可得光線與
HP
光線在HP面之
方向: 射向PP 的前後角度
地平面之實際夾角θ; 光線方向α角, 可利用
消失點原理, 由視點SP畫出, 在視平線HL上得到光線方向之消失點(VP of
direction, VPD); 光線角度θ, 應用斜線消失點法, 由VPD的量測點畫出光線角度
之消失點(VP of angle, VPA), 應可在點VPD的直立線上找到◦
VPL
HL
VPR
․技法: (1)側光線-- 光線與pp平行,
以人站立視點位置為主, (側光線
θ
無光線的消失點), 依光線之方向
α=00
與角度, 直接以平行線繪製, 即可
GL
得物體之陰影(如右)◦
PP
(2)背光線--光線由視點SP背後
VPL
HL
照射物體, 光線角度之消失點VPA
MP
α
θ
VPR
VPD
應在HL的下方◦
(3)逆光線-- 光線由視點的前方
照射物體, 此時VPA應在HL之
GL
上方, 繪圖過程與背光線相同;
VPA
圖示(3)在下頁◦
SP
(4)輻射光線 -- 以燈泡 (以L表示, 是光線角度
集中之點) 為光源之照射; 燈泡在地平面上的位置點, 應在光源的直立線下方某
位置, 是光線方向集中之點, 以LG表示; L及LG的位置可任意選擇, 只要把L當成
光線角度的消失點VPA, 把LG當成光線方向的消失點VPD, 按照背光線繪製過
程作圖, 即可完成輻射光線之透視陰影◦圖示(4)在下頁◦
VPA
Fig, 3
θ
HL
VPL
α
MP
PP
VPD
VPR
L(VPA)
GL
SP
PP
VPL
HL
VPR
Fig. 4
LG(VPD)
GL
SP
倒影透視法
在鏡子、水面或任何反射表面觀察物體,
均有倒影的發生; 因光線之投射而引起的
E
反射作用, 稱為倒影◦ 如圖中, 光源由P處
射入, PA及PA’皆為光線, E與E’為視點;
PA與PA’正好反射至E與E’, 分別通過A與A’
畫垂線, 則∠PAB =∠B’A’E’; 可知投射角
永遠等於反射角, 因此接受反射光線之位置E’及E,
為反映輻射光線物體P的虛像◦
P
E’
B
B’
ML
A
A’
P’
P與P’和鏡面或任何反射面的距離相等, 乃因PP‖A’B’‖AB, ∠EAB =∠AP’P;
∠A’P’P =∠E’A’B’ , 故從物體P至ML的距離等於P’至ML的距離◦ 視線EA移往
E’A’時, P與P’均在原處而無任何移動或變化◦
Review Exercise:
1. 透視投影的投影線集中在 ______ (CV, SP, GP, VP …), 又稱為中央投影法。
2. 填入投影名詞:
(1)光線, 稱為 ________ 線。
(2)光源, 稱為 ________ (CV, SP, S, F …)。
(3)影子, 稱為 ________ (地平面, 視平面, 畫面,投影面, …) 。
(4)牆壁, 稱為 ________ (地平面, 視平面, 畫面,投影面, …)。
3(1) 光源與畫面距離會變化, 透視圖的大小 ___ (會, 不會) 亦隨之變化, 其形
狀 ___ (相同,不相同)。
(2) 透視投影中, 物體、投影面與視點三者間距離的變化, 如何影響投影的大小?
4. 在透視投影中, 若投影面與視點間的距離固定不變, 物體離視點愈遠, 所得的
投影變 ____ (大, 小, 不變); 物體在無窮遠處, 其投影會變成所謂的 ______
點; 此點在投影面上的位置, 必定是在與物體 ______ (前後移近, 前後遠移, 左
右橫移, 上下位移) 之方向平行的視線與投影面之交點上。
5(1) 何謂一點透視? 二點透視? 三點透視?
(2) 各有何作用 (優缺何在)?
Topic on Perspective Projection
․Engineering drawings generally provide 3 views of an object—the plan, the
side view, and the elevation. Traditionally, these views are orthographic
(nondistorting) projections of the object. That is, they are made by taking sets
of parallel lines from points on the object to the flat plane on which it is being
projected.
․When objects are viewed by eye or from a camera, rays convergence to the
lens, and so images formed in this way are subject not only to change of
scale but also to perspective distortions (figure below). This type of projection
is called perspective projection, though it includes orthographic projection as
a
b
the special case.
Note, in (b), that parallel lines
no longer appear parallel,
though paradoxically the box appears more realistic.
․Perspective projections have the disadvantage that they tend to make objects
appear more complex than they really are by destroying simple relationships
between their features, midpoints no more appear as such for example,
though many useful properties still holds such as a tangent line remaining a
tangent line, and the order of points on a straight line unchanged.
Orthographic
Stereographic
Gnomonic
Vertical
perspective
-- near-side
(本頁及下頁為補充)
Vertical
perspective
-- far-side
Oblique
perspective
(non-azimuthal)
Schematic cross-sections of selected perspective
azimuthal projections. Red rays (tangent at 15°
latitude intervals) "paint“ the visible pale blue
Given a reference point A and two other points B and C on
a surface, the azimuth from B to C is the angle formed by
the minimum-distance lines AB and AC(which, on a sphere,
surface of the Earth onto a blue projection plane
are geodesic or great circle arcs). In other words, it
represents the angle one sitting on A and looking at B must
turn in order to look at C. The bearing from A to C is the
azimuth considering a pole as reference B.
Near-side perspective maps simulate views from space
The curvature of the Earth and the height of an observer
V above the surface towards the zenith Z determine the
visible angular range A and the circle of the horizon H,
beyond which the surface is hidden from view.
Given a reference point A, the azimuth remains
unchanged from points B and C on the sphere to
corresponding B' and C' on an azimuthal map
centered on A'.
․All azimuthal projections preserve the azimuth from a reference point ( the
conceptual center of the map ), thus presenting true direction (but not
necessarily distance) to any other points. They are also called planar since
several of them are obtained straightforwardly by direct perspective projection
to a plane surface.
(前兩頁為補充)
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