POGLAVJE 5
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Do sedaj smo preučevali kinematiko kontinuuma, opis stanja napetosti in
zapis petih zakonov klasične termodinamike in mehanike za kontinuum.
- ohranitev mase
- ohranitev gibalne količine
- ohranitev vrtilne količine
- ohranitev energije
- entropijsko neenačbo
Opisane enačbe niso dovolj za popis obnašanja specifične snovi
pod vplivom sil.
Iz izkušenj vemo, da je vpliv enakih sil npr. na železo drugačen kot npr.
vpliv enakih sil na vodo.
Vpliv sil pa je lahko celo odvisen od smeri in velikosti sil.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Velik razred snovi, pri katerih deformacija izgine s tem, ko izgine vpliv
sil, imenujemo elastični materiali.
Nad neko velikostjo sil ostrane permanentna deformacija. V tem primeru se
snov obnaša plastično.
V tem poglavju obravnavamo:
- konstitucijske zveze za linearno elastično snov.
- nekatere izbrane probleme s področja linearnih elastičnih snovi.
- razred problemov z ravninskimi deformacijami in napetostmi.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.1 MEHANSKE LASTNOSTI
Najprej obravnavajmo nekaj tipičnih laboratorijskih mehanskih eksperimentov.
Iz snovi izrežemo prizmatični vzorec s prečno površino
A0.
Snov statično obremenimo s silo v osni smeri, velikosti P .
Merimo podaljšek v osni smeri  .
0A - linearni elastični režim. Vzorec se po
vplivu sile povrne v 0
ABBC - plastični režim. Vzorec se po vplivu
sile povrne v točko C
Snov se po plastični deformaciji običajno utrdi.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
V smislu od laboratorijskih razmer čimbolj neodvisnega popisa problema,
rišemo naslednjo krivuljo
P
napetost  
A0
osna relativna deformacija
 ax 

ax
ax
Napetost v odvisnosti od relativne osne deformacije.
Naklon daljice 0A imenujemo Youngov modul.

EY 
 ax
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
EY  207GPa
za jekla
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Deformacije kovin v elastičnem režimu so relativno majhne, reda velikosti
 ax 

ax
 103
ax
Pri nateznem poskusu pa lahko merimo tudi spremembo prečne dimenzije
vzorca v odvisnosti od sile. Relativna prečna (radialna) deformacija je
 rd 

rd
rd
Eksperimenti pokažejo, da je razmerje
 rd

 const
 ax
v primeru majhnih deformacij (se skrči, zato minus)
Razmerje imenujemo Poissonovo število in ga označimo z
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
 rd
 
 ax
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Tipično Poissonovo število za železo je 0,3.
V primeru, ko ima vzorec, ki ga obravnavamo, različne lastnosti glede
na orientacijo, iz katere je bil izrezan iz bloka, je material anizotropen.
Tipični primeri anizotropnih snovi so
- les
- valjana jeklena plošča
- biološka tkiva
V nasprotnem primeru je material izotropen.
V primeru, ko ima vzorec, ki ga obravnavamo, različne lastnosti glede
na položaj iz katerega je bil izrezan iz bloka, je snov nehomogena. Npr.
ulita jeklena brama. V nasprotnem primeru je snov homogena.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Nadalje lahko snov testiramo s hidrostatično napetostjo.
V tem primeru je napetost oblike
Tij  ij
Količino

k

V

V
k  138GPa za jekla
imenujemo elastični modul.
Naslednji poskus nam da novo snovno konstanto. Krožni valj z dolžino
M.
ax zvijemo za kot  ko uporabimo navor
Strižni modul definiramo kot
M ax
 r4

;I
I
2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
  76GPa
za jekla
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
V nadaljevanju nas zanima, koliko takšnih neodvisnih eksperimentov lahko
naredimo za elastično snov. Koliko neodvisnoh snovnih lastnosti lahko
pripišemo snovi, ki se obnaša elastično?
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.2 LINEARNA ELASTIČNA TRDNINA
V prejšnjem poglavju obravnavani eksperimenti imajo naslednje skupne
štiri značilnosti
1.
2.
3.
4.
Zveza med silo in deformacijo je linearna.
Hitrost uporabe sile ne vpliva na deformacijo.
Po odstranitvi sile deformacija povsem izgine.
Deformacija je zalo majhna.
Zgornje značilnosti uporabimo za definicijo linearno elastične ali
Hookove snovi.
Osnovna predpostavka za takšno snov je
T  T  E
T  0  0
Pri čemer je
T Cauchijev napetostni tenzor
E Infinitezimalni deformacijski tenzor
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Če je relacija med Cauchijevim napetostnim tenzorjem in infinitezimalnim
deformacijskim tenzorjem linearna, lahko zapišemo
T11  C1111E11  C1112 E12  ............  C1133 E33
T12  C1211 E11  C1212 E12  ............  C1233 E33
...................................................................
T33  C3311E11  C3312 E12  ............  C3333 E33
Opisanih devet enačb lahko v kompaktni obliki zapišemo kot
Tij  Cijkl Ekl
Tenzorja T in E sta tenzorja drugega reda.
Tenzor C je tenzor četrtega reda, ki ga imenujemo tenzor elastičnosti.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Tenzor elastičnosti se transformira iz baze
e i v bazo e i' kot
'
Cijkl
 QmiQnjQrk Qsl Cmnrs
Če je telo homogeno je C neodvisen od položaja.
V tem poglavju obravnavamo zgolj homogena telesa.
V celoti tenzor C vsebuje 81 (9x9) koeficientov.
Ker je tenzor E simetričen, lahko vedno kombiniramo dva člena
v en člen.
C1112 E12  C1121E21  C1112 E12  C1121E12  C1112  C1121  E12
Na ta način
C1112  C1121
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
postane en neodvisen koeficient.
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Zaradi simetrije infenitezimalnega deformacijskega tenzorja mora
imeti tenzor elastičnosti naslednjo lastnost
Cijkl  Cijlk
Na ta način zmanjšamo število neodvisnih koeficientov C iz 81 na 54.
Zaradi simetrije Cauchijevega napetostnega tenzorja mora imeti
tenzor elastičnosti naslednjo lastnost
Tij  T ji
Sledi
Cijkl  C jikl
Ta enačba zmanjša število neodvisnih koeficientov C iz 54 na 36.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Nadalje predpostavimo, da je koncept elastičnosti povezan z obstojem
notranje energije, imenovane tudi energijska funkcija deformacije, ki je
pozitivno definitna funkcija deformacijskih komponent
U  U  Eij 
U
Tij 
Eij
Zaradi te predpostavke lahko pokažemo
Cijkl  Cklji
Na ta način nadalje zmanjšamo število neodvisnih koeficientov elastičnega
tenzorja s 36 na 21.
Če nadalje predpostavimo, da je snov izotropna, nam preostaneta samo 2
neodvisna koeficienta.
V primeru anizotropne monoklinične snovi imamo 13 neodvisnih
koeficientov. V primeru anizotropne ortotropne snovi 9 koeficientov in v
primeru anizotropne transverzno izotropne snovi 5 koeficientov.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
SPECIFIČNA OBLIKA ELASTIČNEGA TENZORJA ZA IZOTROPNO SNOV
Identični tenzor je edini izotropni tenzor drugega reda. Iz njega lahko
naredimo naslednje izotropne tenzorje četrtega reda.
Aijkl  ijkl , Bijkl  ik jl , Hijkl  il jk
Elastični tenzor izrazimo s tremi izotropnimi tenzorji četrtega reda
Cijkl   Aijkl   Bijkl   Hijkl
Kjer so  ,  ,  konstante. Zaradi zgornje oblike lahko zapišemo
Tij  Cijkl Ekl  ijkl Ekl  ik jl Ekl  il jk Ekl
Tij   Ekkij      Eij
Označimo 2     in dobimo
Tij  eij  2 Eij
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
Tij   Ekkij  2 Eij ali
e  Ekk dilatacija
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
V brezkoordinatni obliki lahko zapišemo
T  eI  2E
Po komponentah lahko zapišemo
T11    E11  E22  E33   2 E11
T22    E11  E22  E33   2 E22
T33    E11  E22  E33   2  E33
T12  2 E12
T13  2 E13
T23  2 E23
Zgornje enačbe predstavljajo konstitucijske zveze za linearno elastično
trdnino.
Konstanti  ,  imenujemo Laméjevi konstanti. Določimo ju z eksperimenti.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.4 YOUNGOV MODUL, POISSONOVO RAZMERJE, STRIŽNI MODUL,
TLAČNI MODUL
Zvezo med napetostmi in deformacijami za elastično trdnino lahko
zapišemo tudi v inverzni obliki. Se pravi, deformacijo v odvisnosti od
napetosti. Dobimo (vaje):

1 

Eij 
Tij 
Tkk ij 

2 
3  2

Izpeljemo (vaje) pa lahko tudi naslednjo zvezo
 1 
e
 Tkk
 3  2 
V primeru, ko je samo ena pravokotna komponenta napetosti različna od nič,
imenujemo takšno stanje napetosti enoosno.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Enoosno stanje napetosti je dober približek nateznemu poslusu.
Enoosno stanje napetosti v smeri
e1 lahko zapišemo

1 


E11 
T11 
T11  
T11

2 
3  2    3  2 
1 
 


E33  E22 
0

T11  
E11


2  3  2 
2  3  2 
2    
E12  E13  E23  0
Za Youngov modul in Poissonovo število dobimo
  3  2 
T11 
EY 


E11  ax

E33
 rd
E22

 



E11
E11
 ax 2     
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Običajno enačbe z Youngovim modulom in Poissonovim številom
ter drugo Laméjevo konstanto zapišemo v naslednji obliki
1
E11 
T11  T22  T33  
EY
1
E22 
T22  T33  T11  
EY
E33 
1
T33  T11  T22  
EY
1
E12 
T12
2
1
E13 
T13
2
1
E23 
T23
2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
V zgornjih enačbah so tri snovne konstante. Vendar sta neodvisni
konstanti samo dve.

lahko izrazimo iz
  3  2 
EY 

ali

 
2    
Dobimo pomembno zvezo
EY
 
2 1  
Tako lahko napišemo samo z dvema konstantama
1
1   Tij  Tkk ij 
Eij 
EY
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
V primeru, da samo dve strižni napetosti nista enaki nič, imenujemo
tovrstno stanje napetosti preprosti strig. V tem primeru imamo
T12  T21  

E12  E21 
2


vidimo, da je druga Laméjeva konstanta strižni modul
2E12
Tretje stanje napetosti imenujemo hidrostatična napetost.
T I
3
V tem primeru izpeljemo e 
2  3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Elastični modul je definiran kot
k
 2   3
2

 

3
3
Vidimo, da so Laméjeve konstante, Youngov modul, strižni modul,
Poissonovo število, in elastični modul vsi povezani!
Samo dva od njih pa sta neodvisna pri izotropni elastični snovi!
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Zbirka relacij med med Laméjevimi konstantami, Youngovim modulom,
strižnim modulom, Poissonovim številom in elastičnim modulom.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Zbirka elastičnih snovnih lastnosti za nekatere snovi
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.5 POGLAVITNE ENAČBE INFINITEZIMALNE TEORIJE ELASTIČNOSTI
Napišimo Cauchyjevo enačbo gibanja za katerokoli snov
 ai   Bi 
Tij
x j
Enačba opisuje gibanje delca na položaju
 x1, x2 , x3 
V primeru, da obravnavamo samo majhne premike, velja
Iz enačbe izračunamo
xi  X i
x1  X1  u1 , x2  X 2  u2 , x3  X 3  u3
Dxi  ui 
ui
ui
ui
vi 

 v1
 v2
 v3

Dt  t  xi fixed
x1
x2
x3
 ui 
Zanemarimo majhne člene, pa velja vi  


t

 xi fixed
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
  2ui 
ai   2 
 t  xi fixed
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Diferencial deformiranega volumna izrazimo z diferencialom začetnega
volumna (glej kinematiko) kot
dV  1  Ekk  dV0
Zaradi tega sta končni in začetni gostoti oblike
dV0
dV
 1  Ekk 
dm0
dm0
1

 1  Ekk 
1
0
  1  Ekk   0  1  Ekk   0   0
1
  2ui 
 ai   0  2 
 t  xi fixed
To seveda velja samo za majhne pomike.
Zaradi tega enačba gibanja za majhne pomike postane
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Tij
 2ui
0 2  0 Bi 
t
x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Kako ugotovimo ali polje premika ustreza elastični snovi?
u  u  x1, x2 , x3 , t 
Polje premika opisuje možno gibanje elastične snovi z majhnimi
deformacijami, če zadošča
Tij
 2ui
0 2  0 Bi 
t
x j
Kako ugotovimo, da
**
u  u  x1, x2 , x3 , t  predstavlja možno gibanje
1  ui u j 

Najprej izračunamo Eij  


2  x j xi 
Nato izračunamo
Tij  eij  2 Eij
Nato vstavimo premike in napetosti v enačbo ** in preverimo, ali velja.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Rob se mora pri tem gibati kot veleva
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
ti  Tij n j
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.6 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNE SNOVI
V tem poglavju izrazimo enačbe gibanja samo s komponentami premika.
Te enačbe so poznane kot Navierove enačbe
 ui u j 
Tij   e ij  2 Eij   e ij   


 x
 j xi 
Zaradi tega
2
2


uj
 ui
e

 ij   

 x x x x
x j
x j
j
i
 j j
Tij



Upoštevajmo
e
e
 ij 
x j
xi
in
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
2 j


x j x j xi
 u j

 x j
 e
 
 xi
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Zardi tega enačba gibanja postane
 2ui
 2ui
e
0 2  0 Bi      

t
xi
x j x j
Tri komponente zgornje enačbe so oblike
 2
 2u1
e
2
2 
0 2  0 B1      
   2  2  2  u1
t
x1
 x1 x2 x3 
 2
 2 u2
e
2
2 
0 2  0 B2      
   2  2  2  u2
t
x2
 x1 x2 x3 
 2
 2u3
e
2
2 
0 2  0 B3      
   2  2  2  u3
t
x3
 x1 x2 x3 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Kjer velja
ui u1 u2 u3
e



xi x1 x2 x3
V koordinatno invariantni obliki so Navier-ove enačbe gibanja oblike
 2u
0 2  0B       e  2u
t
e   u
Ali
 2u
0 2  0B           u    2u
t
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.7 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNEGA MEDIJA V
CILINDRIČNIH IN SFERIČNIH KOORDINATAH
Še ni opisano.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.8 NAČELO SUPERPOZICIJE
Imejmo dve polji premika
ui(1) ui(2)
zaradi volumskih sil
Bi(1) Bi(2)
Naj bosta
Tij(1) Tij(2)
ustrezni napetostna polji.
Tij
 2ui(1)
(1)
0
  0 B1 
2
t
x j
(1)
Potem za elastični medij velja
Tij
 2ui(2)
(2)
0
 0 B1 
2
t
x j
(2)
Seštevanje zgornjih dveh enačb da
 2 (1)

(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
0 2  ui  ui   0  B1  B1  
T

T

ij
ij 
t
x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Iz zgornje enačbe jasno sledi, da polje premika
ui(1)  ui(2)
ustreza volumski sili
B1(1)  B1(2)
ter napetosti
Tij(1)  Tij(2)
Sile na površini, potrebne za vzpostavitev premika, so
ti(1)  ti(2)  Tij(1) n j  Tij(2) n j
Opisano predstavlja princip superpozicije.
Princip je praktičen, ker lahko problem razcepimo na več podproblemov
in rešimo vsakega izmed podproblemov posebej. Na koncu pa rešitve
seštejemo.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A. RAVNINSKI ELASTIČNI VALOVI
RAVNINSKI NEVRTINČNI VALOVI
Še ni opisano.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.10 RAVNINSKI IZOHORNI VALOVI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.11 ODBOJ RAVNINSKIH ELASTIČNIH VALOV
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.12 VIBRACIJE NESKONČNE PLOŠČE
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A.2 PREPROSTI NATEG, TORZIJA IN UPOGIBANJE
5.13 PREPROSTI NATEG
u1    x2 , x3  , u2    x1  x3 , u3    x1  x2
d

T12  T21  2 E12    x3

dx1
x2
d

T13  T31  2 E13    x2

dx1
x3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.13 PREPROSTI NATEG
d
 constant   
dx1
2
2




2  2  2  0
x2 x3
 0 T12
t   Tn   T12 0
T13 0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
T13  0  T12 n2  T13n3 

0   n2   
0


0
0   n3  
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.13 PREPROSTI NATEG

 
  
t      n2 x3  n3 x2    
n2 
n3   e1
x3  
 x2

     n2 x3  n3 x2       n  e1
    n     n2 x3  n3 x2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010

or
    n2 x3  n3 x2 
n
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA
u1  e1   r  e1    x1e1  x2e2  x3e3     x2e3  x3e2 
u1  0, u2   x3 , u3   x2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA
1 d
E12  E21   x3
2 dx1
1 d
E13  E31  x2
2 dx1
d

T12  T21  2 E12    x3

dx1
x2
d

T13  T31  2 E13    x2

dx1
x3
d 2
 x3 2 =0,
dx1
d 2
 x2 2  0
dx1
d
 constant   
dx1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA
On the lateral surface, the unit normal vector
is given by n  (1 a)( x2e2  x3e3 ) ;
therefore, the surface traction on the lateral
surface is
 0 T12
1
t   Tn   T12 0

T13 0
T13  0 
1



0   x2  

0   x3 
T12 x2  T13 x3 


0




0
xT  xT    x2 x3   x2 x3   0 , Thus on the lateral surface,
t0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA
On the right end face,
x1  l , n  e1 , t  Te1  T21e2  T31e3 That is,
t     x3e2  x2e3 
On the left end face, x1
 0,
t      x3e2  x2e3 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA
On the faces x1  l , the components of the
resultant force are given by
R1   T11dA  0,
R2   T21dA     x3dA  0,
R3   T31dA     x2 dA  0
Components of the resultant moment are given by
M1    x2T31  x3T21  dA     x22  x32  dA   I p ,
M2  M3  0
The resulting moment is
2
2
M   I pe1 where I p    x2  x3  dA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA
M t   I p
Mt
or   
I p
The resultant moment on the left end face x1  0 is clearly M   I pe1 ,
a moment equal in magnitude and opposite in direction to that on the right
end face so that indeed, the bar is in equilibrium, under a twisting action.
We recall that

M t x3
0
Ip

 Mx
0
 T   - t 3
 Ip

 M t x2
0
 I p
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
M t x2 

Ip 

0 


0 

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.15 TORZIJA NEOKROGLEGA VALJA: ST. VENANTOV PROBLEM
u1    x2 , x3  , u2    x1  x3 , u3    x1  x2
d

T12  T21  2 E12    x3

dx1
x2
d

T13  T31  2 E13    x2

dx1
x3
d
 constant   
dx1
2
2




2
   2  2 0
x2 x3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.15 TORZIJA NEOKROGLEGA VALJA: ST. VENANTOV PROBLEM
 0 T12
t   Tn   T12 0
T13 0
T13  0  T12 n2  T13n3 

0   n2   
0


0
0   n3  

 
  
t      n2 x3  n3 x2    
n2 
n3   e1
x3  
 x2

     n2 x3  n3 x2       n  e1
    n     n2 x3  n3 x2  or
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010

    n2 x3  n3 x2 
n
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.16 TORZIJA ELIPTIČNEGA VALJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA


, T13 
all other Tij  0
x3
x2
The function   x2 , x3  is known as Prandtl’s stress function. The
only equation of equilibrium that needs to be checked is the x1
equation: T12 x2  T13 x3  0. Substituting the above stress
T12 
components into it, we obtain
 
 

0
x2 x3 x3 x2
The stress function  ( x2 , x3 ) and the warping function   x2 , x3 
defined for the displacement field in the last section. Prandtl’s stress
function is related to the warping function by
T12 

d


d

  x3

, T13 
  x2

x3
dx1
x2
x2
dx1
x3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA
 2
d
 2
 2
d
 2
  x3

and
  x2

2
2
x3
dx1
x3x2
x2
dx1
x2x3
2
2




2
   2  2  2 
x3 x2
This equation provides a relationship between the stress function and the
angle of twist per unit length    d dx1 is known as the Poisson Equation.
To derive the boundary condition for
described by
 , we let the lateral surface be
f  x2 , x3   constant
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA
The normal to the lateral surface is
f
1  f
f 
n

e2 
e3 

f
f  x2
x3 
The boundary condition T12 n2
 T13n3  0 becomes
 f  f

 0 or
x3 x2 x2 x3
 
 
x2   f x2 

x3   f x3 
That is,  is parallel to f Since f is perpendicular to the surface,
f ( x2 , x3 )  constant so is  , which is also perpendicular to ( x2 , x3 )
= constant. Thus,
 C
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
on the boundary
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA
We can choose the constant C to be zero. Thus, in summary, in
Prandtl’s formulation, the torsion problem is reduced to
 2  2
 2  2  with boundary condition  =0
2
x3 x2
The twisting moment is given by
 

M t    x2T31  x3T21 dA     x2
 x3
x3
 x2
  ( x2 )  ( x3 )

  

 2 dA
x3
 x2

Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010

dA

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA
d b
 ( x2 ) 
( x2 )
 x2 dA  c  a x2 dx3
where x2  a( x3 ) and x2  b( x3 ) are the two end points (on the
boundary) along a constant x3 line, and x3  c and x3  d are the two
extreme boundary points for the region of integration. Thus, since
  0 on the boundary, we have
( x2 )
a x2 dx2   x2
b
x2 b
x2  a
   b  b   a  a  0
( x2 )
 x2 dA  0 and similarly
( x3 )
 x3 dA  0
M t   2 dA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.18 TORZIJA PRAVOKOTNE PRIZME
Let the cross-section be defined by a  x2  a and b  x3  b .
We seek a solution of the stress function  ( x2 , x3 ) satisfying the
boundary value problem
 2  2
 2  2 
2
x3 x2
Boundary conditions
  0 at x2  a and x3  b
Due to symmetry of the problem, the stress function  ( x2 , x3 ) will
clearly be an even function of x2 and x3 . Thus, we let



n 1,3,5
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
Fn   x3  cos  n x2 2a 
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.18 TORZIJA PRAVOKOTNE PRIZME
This choice of  clearly satisfies the boundary condition  0 atx2
Substituting the preceding equation, we obtain
 a .

2
2
2

 1 2   cos  n x2 2a  d Fn  x3  dx3   n 2a  Fn  x3 
n 1,3,5
From Fourier analysis
1


 4 n  1
( n 1) 2
n 1,3,5
cos  n x2 2a ,
 a  x2  a
Comparing the preceding two equations, we have
d Fn dx   n 2a  Fn   2   4 n  1
2
2
3
2
( n 1) 2
Which is:
Fn  A sinh  n x3 2a   B cosh  n x3 2a    2   16a 2  3n3   1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
( n 1) 2
5.18 TORZIJA PRAVOKOTNE PRIZME
For Fn to be an even function of x3 , the constant A must be zero. The
boundary condition that   0 at x3  b then gives:
Fn   32 a 2  3n3   1
( n 1) 2
1  cosh  n x
3
2a  cosh  n b 2a 
 32 a 2   1
( n 1) 2 
 cosh  n x3 2a  

 
1 

  3  1
3

n
cosh
n

b
2
a

 


 n 1,3,5

The maximum shearing stress occurs at the midpoint of the longer sides,
given by
Ts max

16 a   
1

 2 a  

  
2

cosh
n

b
2
a



 n 1,3,5 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.18 TORZIJA PRAVOKOTNE PRIZME
The relation between the twisting moment
unit length   is given by
M t and the twisting angle per
  192  a  1 
1
n b  
3
M t     2a   2b  1   5   5  tanh

3

b
n
2
a
 n1,3,5 

 

For a very narrow rectangle b
tanh  n b 2a  1 we have

a  , cosh  n b 2a   ,
1
a
3



T


2

a
,
M


2
a
2
b
1

0.630
 s max
   
t

3
b


Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA
To satisfy equilibrium in the absence of body forces, we must have
T11
0
x1
 T11 ( x2 , x3 ). The corresponding strains are
T11
T11
E11 
, E22  E33  
, E12  E13  E23  0
E
E
That is, T11
Substituting the strains into the compatibility equations we obtain
 2T11
 2T11
 2T11
 0, 2  0,
0
2
x2
x3
x2x3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA
It can be satisfied only if T11 is a linear function of the form
T11     x2   x3
We shall take   0 because it corresponds to the state of stress in
simple extension. With   0 , let us evaluate the surface traction on the
boundaries of the bar.
On the lateral surface, the normal vector does not have a component in
the direction, i.e., n  n2e2  n3e3 . As a consequence,
 0 T12
t   Tn   T12 0
T13 0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
T13  0 
0   n2    0
0   n3 
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA
On the right end face, x1
 l, n = e1 , so that
t = Te1  T11e1
This distribution of surface tractions gives rise to zero resultant force,
as shown
R1   T11dA    x2 x3 dA    x32 dA   I 23   I 22
With the resultant force being zero, the resultant is a couple
MR  M 2e2  M 3e3 at x1  l (the right face) with
M 2   x3T11dA    x2 x3dA    x32 dA   I 23   I 22
M 3    x2T11dA     x22 dA    x2 x3dA    I 33   I 23
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA
I 23   x2 x3 dA, I 22   x32 dA, I 33   x22 dA
We now assume, without any loss of generality, that we have chosen
the x2 and x3 axes to coincide with the principal axes of the crosssectional area. Then the product of second moment I 23  0. In this
case, from
M3
M2
 
, 
I 33
I 22
M 2 x3
M 3 x2
T11  
, 
I 22
I33
The stress component T11 is known as the flexural stress
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA
For simplicity we let
M 3  0. The strain components are then
M 2 x3
 M 3 x2
E11  
, E22  E33  
, E12  E13  E23  0
I 22 E
I 22 E
Using strain-displacement relations, 2Eij  ui x j  u j xi , can
be integrated to give the following displacement field
M2
u1 
x1 x3   3 x2   2 x3   4
EY I 22
u2 
 M2
EY I 22
x2 x3   3 x2  1 x3   5
M2
 x12   x22  x32     2 x1  1 x2   6
u3 

2 EY I 22 
where i are constants
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A.3 REŠITVE RAVNINSKIH NAPETOSTNIH IN DEFORMAFCIJSKIH
PROBLEMOV
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.20 REŠITVE POVEZANE Z RAVNINSKO DEFORMACIJO
Telo je v stanju ravninske deformacije pri naslednjih predpostavkah
- telo ima v smereh
x1 , x2 enako obliko, ne glede na koordinato x3 .
- na zunanjih stranicah telesa komponente sil na površini nimajo osne
komponente.
- na končnih ravninah
prosto giba.
Iz tega sledi
x3  b ni deformacije v x3 smeri. Površina se lahko
E13  E23  E33  0
E11  E11  x2 , x3 
E22  E22  x1 , x2 
E12  E12  x1 , x2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Za to stanje deformacije so od nič različne komponente napetosti
T11  T11  x1, x2  , T22  T22  x1, x2  , T12  T12  x1, x2   T21
Iz Hookovega zakona sledi
0
1
T33  (T11  T22 )
EY
Oziroma
T33  T11  T22 
Ta komponenta napetosti je potrebna zato, da ohranimo nično osno
deformacijo.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.20 REŠITVE RAVNINSKE DEFORMACIJE
Ravninsko deformacijo lahko opišemo tudi z naslednjim poljem premika
u1  u1  x1, x2  , u2  u2  x1, x2  , u3  0 (or constant)
V primeru, da imamo statično stanje napetosti in v primeru, da nimamo
volumskih sil, lahko zapišemo
T11 T12

 0,
x1 x2
T21 T22

 0,
x1 x2
T33
 0,
x3
Zadnja enačba je trivialno zagotovljena. Prvi dve enačbi pa sta
zagotovljeni, če ju izrazimo iz skalarne funkcije  x1 , x2 , ki jo
imenujemo Airijeva napetostna funkcija


 2
 2
 2
T11  2 , T12 
, T22  2
x2
x1x2
x1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Vendar napetostne komponente, ki jih dobimo na ta način, niso vse
primerne kot možne elastične rešitve. Zaradi tega, ker so lahko
nekompatibilne. Nekompatibilnost pomeni, da ni možno najti komponente
premika, ki so kompatibilne s komponentami napetosti.
Za zagotovitev kompatibilnosti deformacijskih komponent najprej izpeljemo
deformacijske komponente iz  x1 , x2 na naslednji način.


2
2
1
1 




2
T11  T22  T11  T22  
E11 
1   2  1   2 
EY
EY 
x2
x1 
2
1
1 
 2 
2  
T22  T11  T11  T22  
E22 
1   2  1   2 
EY
EY 
x1
x2 
1
1
 2
E12 
, E13  E23  E33  0
1   T12   1  
EY
EY
x1x2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
*
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
V primeru ravninske deformacije je edina komponenta napetosti, ki ni
avtomatično zadoščena
 2 E11  2 E22
 2 E12

2
2
2
x2
x1
x1x2
**
Substitucija zgornjih enačb * v enačbo **, da
4
4
4






4
   4 2 2 2  4
x1
x1 x2 x2


Funkcija  x1 , x2 , ki zadosti zgornji biharmonični enačbi, generira
elastostatično rešitev. Pokažemo lahko tudi
 2
2 
 4
 4
 4
 2  2  T11  T22   4  2 2 2  4  0
x1
x1 x2 x2
 x1 x2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Zgornjo enačbo lahko napišemo tudi v obliki
2
2




2
2
 T11  T22   0 kjer    2  2 
 x1 x2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.21 ZVIJANJE PRAVOKOTNEGA NOSILCA
Consider a rectangular beam whose length is defined by x1  0 and x1  l
whose height by x2  h 2 and whose width by x3  b 2 . Let us try
the following Airy stress function  for this beam:
   x23
Clearly, this function satisfies the biharmonic equation, so that it will
generate a possible elastic solution
 2
 2
 2
T1  2  6 x2 , T12  
 0, T22   2  0
x2
x1x2
x1
(a) If the beam is constrained by frictionless walls at
T33  T11  T22   6 x2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
6 x2
T   0
 0
x3  b 2 , then
0
0
0
0 
0 
6 x2 
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.21 ZVIJANJE PRAVOKOTNEGA NOSILCA
On the end faces x1  0 and x1  l, the surface tractions are given by
t  6 x2e1 and t  6 x2e1 , respectively. These surface tractions are
clearly equivalent to equal and opposite bending couples at x1  0 and
x1  l . In fact, the magnitude of the bending moment is given by
M 
h2
h 2
x2  x2bdx2    bh3 2
The nonzero stress components are:
T11  6 x2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
12 M
12 M
x
,
T


x2
2
33
3
3
bh
bh
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.21 ZVIJANJE PRAVOKOTNEGA NOSILCA
(b) If the beam is unconstrained at x3  b 2 , we need to remove the
surface traction T33 at x3  b 2 from the beam. This is done by applying
on the end faces x3  b 2 in the problem of part (a), a surface traction
T33  (12M bh3 ) x2 . Being linear in x2 , the effect of this surface traction
is simply a stress field, where T33   (12M bh3 ) x2 is the only nonzero
stress component Thus, we have, for the beam that is free to move in the
width x3 – direction,
 12M
T11   3
 bh
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
Mx2

, all other Tij  0
 x2 
I33

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.22 RAVNINSKI NAPETOSTNI PROBLEM
Imejmo tanko ploščo s ploskvama, pravokotnima na
v stanju ravninske deformacije.
T11 (x1 , x2 ) T12 (x1 , x2 )
T (x , x ) T (x , x )
T

   21 1 2 22 1 2
 0
0
x3 os. Plošča naj bo
0 
0 
0 
Zgornje stanje napetosti v splošnem ne daje elastične rešitve, razen v
posebnih primerih. Napake, ki jih naredimo pri komponentah napetosti
2
so reda velikosti  , kjer je  debelina plošče.
Enačbe ravnovesja zagotovimo z vpeljavo Airijeve napetostne funkcije, ki
jo ponovimo
 2
 2
 2
T11  2 , T12  
, T22   2
x2
x1x2
x1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Komponente deformacije so
1
1   2
 2 
E11 
T11  T22    2  2  ,
EY
EY  x2
x1 
1
1   2
 2 
E22 
T22  T11    2  2  ,
EY
EY  x1
x2 
1
   2
 2 
E33  
T11  T22     2  2  ,
EY
EY  x2
x1 
1
1
 2
E12 
,
1   T12   1  
EY
EY
x1x2
E13  E23  0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Če hočemo, da so te komponente deformacije kompatibilne, morajo
zadoščati kompatibilnostnim pogojem.
Ti pogoji so, zapisani z Airijevo napetostno funkcijo
4
4
4






4
   4 2 2 2  4
x1
x1 x2 x2
Kompatibilnostni pogoji pa tudi določajo
 2 E33
0
2
x1
 2 E33
0
2
x2
Sledi, da mora biti
E33  

EY
 2 E33
0
x1x2
E 33 linearna funkcija x1 in x2 . Ker velja
T11  T22 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Zato mora biti tudi
T11  T22
linearna funkcija
x1 in x2 .
V tem primeru je ravninsko stanje napetosti možno za telo katerikoli
debeline v smeri x3 .
V primeru pa, ko
T11  T22
ni linearna funkcija x1 in x2 , potem je stanje ravninske napetosti
dobra aproksimacija, če je telo dovolj tanko. Pri tem so napake reda
velikosti  2 , kjer je  brezdimenzijska debelina telesa.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.23 CANTILEVER BEAM WITH END LOAD
Consider a rectangular beam, whose cross-section is defined by
h 2  x2  h 2 and b 2  x3  b 2 and whose length, by
0  x1  l , with the origin of the coordinates located at the center of the
left cross-section x1  0 . Let us try the following Airy stress function ’ for
this beam.
The in-plane stresses are
 2
T11  2  6 x1 x2 ,
x2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
 2
T22  2  0,
x1
 2
T12 
    3 x22
x1x2
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.23 CANTILEVER BEAM WITH END LOAD
On the boundary planes
free. Thus
x2   h 2, we demand that they are traction-
t = T  e2    T12e1  T22e2 
x2  h 2

3 h2 
    
 e1  0
4 

3h 2
 

4
On the boundary plane
x1  0 , the surface traction is given by
t = Te1   T11e1  T21e 2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
x1  0
    3 x22  e 2 
3
h 2  4 x22  e 2

4
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.23 CANTILEVER BEAM WITH END LOAD
There is a parabolic distribution of shear stress on the end face
Let the resultant of this distribution be denoted by  Pe 2 , then
x1  0.
2
3
h2
 3 h2 


3

h
bh
2
P   
dA

3

x
bdx2    
bh   3




2

h 2
4 
4 
12


 bh3 
2P
3P
P
 ,   3 ,   
bh
2bh
 2 
In terms of P , the in-plane stress components are
12 P
P
T11  3 x1 x2  x1 x2 ,
bh
l
where
T22  0,
2
 P  h
2
T12      x2 
 2l   4

I  bh3 12 is the second moment of the cross-section.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.23 CANTILEVER BEAM WITH END LOAD
If the beam is in a plane strain condition, there will be normal compressive
stresses on the boundary x3  b 2 whose magnitude is given by
12P
T33   T11  T22    3 x1 x2
bh
T12
T
T

   12
0
T12
T22
0
0 
0  ,
T33 
 E11
E
E

   12
0
E12
E 22
0
0 
0 
0 
The nonzero strain components are
1
1
2
2



E11 
T
1




1


T
,
E

T
1


 1   T11 






11
22 
22
22


E
E
1
E12 
1   T12
E
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.23 CANTILEVER BEAM WITH END LOAD
Since T33 is not a linear function of x1 and x2 , it cannot be simply removed
from the equation to give a plane stress solution without affecting the other
stress components. If the beam is very thin, then a good approximate
solution for the beam is
T12
 T  T12
0
T12
T22
0
0 
0  ,
0 
 E11
E   E12
0
E12
E 22
0
0 
0 
E33 
The nonzero strain components are
E11 
1
1
1
T


T
,
E

T


T
,
E

 11 22  22
 22 11  12
1   T12
E
E
E


and E33   E T11  T22 . The strain E33 is of no interest since the
plate is very thin and the compatibility conditions involving E33 are not
satisfied.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.24 SIMPLY SUPPORTED BEAM UNDER UNIFORM LOAD
Consider a rectangular beam, its length defined by l  x1  l , its
height by d  x2  d , and its width by b  x3  b . The origin of the
coordinates is at the center of the beam. Let us try the following Airy
stress function  for this beam,
  B0 x12  B1x12 x2  B2 x23  B3 x12 x23  B4 x25
  B0 x12  B1 x12 x2  B2 x23  B3  x12 x23  x25 5 
The stress components are
T11   2 x22  6 B2 x2  B3  6 x12 x2  4 x25 
T22   2 x12  2 B0  2 B1 x2  2 B3 x23
T11   2 x1x2  2 B1 x1  6 B3 x1 x22
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.24 SIMPLY SUPPORTED BEAM UNDER UNIFORM LOAD
Let the bottom of the beam be free of any traction. That is, at
x2  d , T12  T22  0 . Then
2 B0  2 B1d  2 B3d 3  0,  2 Bx1  6 B3 x1d 2  0,
B1  3d 2 B3 ,
so that
B0  2 B3d 3
Let the top face of the beam be under a uniform compressive load  p .
That is, at x2  d , T12  0, T22   p , then, 2B0  2B1d  2B3d 3   p
Thus,
p
3p
p
B3  3 , B1 
, B0  
8d
8d
4
On the left and right end faces, the surface tractions on each face are
equivalent to a vertical resultant force only. These are known as the weak
conditions for the beam, which is freefrom normal stresses at x  l . For
1
a beam with large l d ,the stresses obtained under the weak conditions
are the same as those under the conditions (T11 ) x1 l  0 .
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.24 SIMPLY SUPPORTED BEAM UNDER UNIFORM LOAD
T11 is an odd function of x2 ; therefore,  T11  2b  dx2  0 . That is, the
d
d
resultant force is zero on both ends. We now impose the condition
that
d
there are no resultant couples, either. That is, we require that
T11 x2 dx2
d
Now,


d
d
T11 x2 dx2   6 B2  x22  B3  6 x12 x22  4 x24  
d
d
x1  l
dx2
5


8
d
3
2 3
 4 B2 d  B3  4l d 
0
5 

B3 2
p
2
2
2
B2    5l  2d   
5
l

2
d


3
5
40d
3p
p
2
2
2
3
T11 
5
l

2
d
x

6
x
x

4
x

2
1 2
2 ,
3 
3 
20d
8d
3p
3p
p 3p
p 3
2
T12 
x1  3 x1 x2 , T22   
x2  3 x2
4d
4d
2 4d
4d
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
0
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
Consider a thin bar defined by l  x1  l ,  c  x2  c,  b  x3  b
where c l and b l are very small. The bar is acted on by equal and
opposite compressive concentrated load P at the long ends x1  l . We
wish to determine the stress distribution inside the bar and to
demonstrate the validity of St. Venant’s principle.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
A concentrated line compressive force P at x2  0 on the planes
x1  l can be described as T11 (l ,0)  P, (0) where T11  T11 ( x1 , x2 )
and  ( x2 ) is the Dirac function, having the dimension of reciprocal
length. Now,  ( x2 ) can be expressed as a Fourier Cosine series as
1 1 

 ( x2 )     cos m x2  , m  m c
 2c c m1

P P 

 P  x2       cos m x2 
 2c c m1

We look for solutions of the Airy stress function ( x1 , x2 ) in the form of
P 2 
   x2  m  x1  cos m x2 , m  m c
4c
m 1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
 2
P  2
T11  2      m  x1  cos m x2
x2
2c m1
The function m ( x2 ) will now be determined so that the biharmonic
equation is satisfied
2
4



d
m 
4
4
2
m
    mm  2m

cos m x2  0
2
4 
dx1
dx1 
m 1 

Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.26 KONVERZIJA MED NAPETOSTMI IN DEFORMACIJAMI
V RAVNINSKEM PRIMERU
Deformacijske komponente so v primeru ravninskega stanja
deformacije, izražene s strižnim modulom in Poissonovim številom,
oblike
T12
1
1
E11 
1   T11  T22  , E22 
1   T22  T11  , E12 
2
2
2
Za ravninsko stanje napetosti
T12
1
1
E11 
T11  T22  , E22 
T22  T11  , E12 
2 1  
2 1  
2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Če imamo


1 

1

1   1 
1  1 
In zgornje enačbe na prejšnji strani se spremenijo v spodnje enačbe na
prejšnji strani.
Po drugi strani pa velja
 

1 
1   1 

1 

1
1 
In spodnje enačbe se spreminijo v zgornje enačbe.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.27 DVO-DIMENZIONALNI PROBLEMI V POLARNIH KOORDINATAH
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.28 PORAZDELITEV NAPETOSTI SIMETRIČNA OKOLI OSI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.29 PREMIKI ZA SIMETRIČNO PORAZDELITEV NAPETOSTI V PRIMERU
RAVNINSKE NAPETOSTI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.30 DEBELOSTENSKI KROŽNI VALJ POD ZUNANJIM IN NOTRANJIM
PRITISKOM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.31 ČISTO ZVIJANJE UKRIVLJENEGA NOSILCA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.32 ZAČETNA NAPETOST ZAVARJENEGA OBROČA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.33 AIRIJEVA NAPETOSTNA FUNKCIJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE
LUKNJE V PLOŠČI VSLED VLEKA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE
LUKNJE V PLOŠČI VSLED STRIGA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.36 PREPROSTA RADIALNA DISTRIBUCIJA NAPETOSTI V VOGALU,
OBREMENJENEM V KOTU
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.37 KONCENTRIRANA LINIJSKA OBREMENITEV V
DVO-DIMENZIONALNI POL-RAVNINI: FLAMONTOV PROBLEM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A.4 ELSATOSTATIČNI PROBLEMI REŠENI S POTENCIALNIMI FUNKCIJAMI
5.38 FUNDAMENTALNE POTENCIALNE FUNKCIJE PRI ELASTOSTATIČNIH
PROBLEMIH
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.38 FUNDAMENTALNE POTENCIALNE FUNKCIJE PRI ELASTOSTATIČNIH
PROBLEMIH
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.38 FUNDAMENTALNE POTENCIALNE FUNKCIJE PRI ELASTOSTATIČNIH
PROBLEMIH
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.39 KELVINOV PROBLEM: KONCENTRIRANA SILA V NOTRANJOSTI
NESKONČNEGA ELASTIČNEGA MEDIJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.40 BOUSSINESQOV PROBLEM: NORMALNA KONCENTRIRANA SILA
NA ELASTIČNI POLPROSTOR
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.41 VOTLA KROGLA Z UNIFORMNIM ZUNANJIM IN NOTRANJIM TLAKOM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.43 SFERIČNA LUKNJA V POLJU NATEGA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.44 VTIS TOGEGA RAVNEGA VTISKOVALCA NA ELASTIČNI
POL-PROSTOR
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.45 VTISK TOGE KROGLE NA ELASTIČNI POL-PROSTOR
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5A.1 REŠITEV INTEGRALSKIH ENAČB IZ DELA 5.45
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
POGLAVJE 5
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.1 MEHANSKE LASTNOSTI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.2 LINEARNA ELASTIČNA TRDNINA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.3 IZOTROPNA LINEARNA ELASTIČNA TRDNINA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.4 YOUNGOV MODUL, POISSONOVO RAZMERJE, STRIŽNI MODUL,
TLAČNI MODUL
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.5 ENAČBE INFINITEZIMALNE TEORIJE ELASTIČNOSTI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.6 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNEGA MEDIJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.7 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNEGA MEDIJA V
CILINDRIČNIH IN SFERIČNIH KOORDINATAH
Not yet.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.8 NAČELO SUPERPOZICIJE
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A. RAVNINSKI ELASTIČNI VALOVI
RAVNINSKI NEVRTINČNI VALOVI
Skip the whole A chapter.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.10 RAVNINSKI IZOHORNI VALOVI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.11 ODBOJ RAVNINSKIH ELASTIČNIH VALOV
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.12 VIBRACIJE NESKONČNE PLOŠČE
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A.2 PREPROSTI NATEG, TORZIJA IN UPOGIBANJE
5.13 PREPROSTI NATEG
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.15 TORZIJA NEOKROGLEGA VALJA: ST. VENANTOV PROBLEM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.16 TORZIJA ELIPTIČNEGA VALJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.18 TORZIJA PRAVOKOTNE PRIZME
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A.3 REŠITVE RAVNINSKIH NAPETOSTNIH IN DEFORMAFCIJSKIH
PROBLEMOV
5.20 REŠITVE RAVNINSKE DEFORMACIJE
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.21 ZVIJANJE PRAVOKOTNEGA NOSILCA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.22 RAVNINSKI NAPETOSTNI PROBLEM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN
ST. VENANTOV PRINCIP
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.26 KONVERZIJA MED NAPETOSTMI IN DEFORMACIJAMI
V RAVNINSKEM PRIMERU
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.27 DVO-DIMENZIONALNI PROBLEMI V POLARNIH KOORDINATAH
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.28 PORAZDELITEV NAPETOSTI SIMETRIČNA OKOLI OSI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.29 PREMIKI ZA SIMETRIČNO PORAZDELITEV NAPETOSTI V PRIMERU
RAVNINSKE NAPETOSTI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.30 DEBELOSTENSKI KROŽNI VALJ POD ZUNANJIM IN NOTRANJIM
PRITISKOM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.31 ČISTO ZVIJANJE UKRIVLJENEGA NOSILCA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.32 ZAČETNA NAPETOST ZAVARJENEGA OBROČA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.33 AIRIJEVA NAPETOSTNA FUNKCIJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE
LUKNJE V PLOŠČI VSLED VLEKA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE
LUKNJE V PLOŠČI VSLED STRIGA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.36 PREPROSTA RADIALNA DISTRIBUCIJA NAPETOSTI V VOGALU,
OBREMENJENEM V KOTU
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.37 KONCENTRIRANA LINIJSKA OBREMENITEV V
DVO-DIMENZIONALNI POL-RAVNINI: FLAMONTOV PROBLEM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
A.4 ELSATOSTATIČNI PROBLEMI REŠENI S POTENCIALNIMI FUNKCIJAMI
5.38 FUNDAMENTALNE POTENCIALNE FUNKCIJE PRI ELASTOSTATIČNIH
PROBLEMIH
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.39 KELVINOV PROBLEM: KONCENTRIRANA SILA V NOTRANJOSTI
NESKONČNEGA ELASTIČNEGA MEDIJA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.40 BOUSSINESQOV PROBLEM: NORMALNA KONCENTRIRANA SILA
NA ELASTIČNI POLPROSTOR
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.41 VOTLA KROGLA Z UNIFORMNIM ZUNANJIM IN NOTRANJIM TLAKOM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.43 SFERIČNA LUKNJA V POLJU NATEGA
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.44 VTIS TOGEGA RAVNEGA VTISKOVALCA NA ELASTIČNI
POL-PROSTOR
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5.45 VTISK TOGE KROGLE NA ELASTIČNI POL-PROSTOR
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
5A.1 REŠITEV INTEGRALSKIH ENAČB IZ DELA 5.45
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID