Kuswanto-2013
Peluang
Peluang atau probabilitas merupakan
ukuran ketidakpastian dari suatu kejadian.
Segala sesuatu yang ada di dunia ini
mengandung ketidakpastian, seperti
cuaca, hasil panen, keadaan ekonomi,
harga pupuk, nilai tukar rupiah, dsb.
Yang pasti hanyalah ketidakpastian itu
sendiri.
Ruang contoh
Ruang contoh adalah semua
kemungkinan hasil suatu percobaan.
Beberapa percobaan suatu fenomena,
akan menyusun variasi dalam hasil atau
outcomenya.
Setiap kemungkinan hasil dari suatu ruang
contoh disebut unsur, anggota ruang
contoh atau titik contoh.
Kejadian
Kejadian (event) adalah sebaran
himpunan bagian dari ruang contoh.
Kejadian sederhana, bila dapat dinyatakan
sebagai sebuah himpunan yang terdiri dari
satu titik contoh, sedang kejadian
majemuk merupakan gabungan beberapa
kejadian sederhana.
Contoh kejadian
peristiwa bertemunya kita dengan seorang
petani di desa Jatirejo
makin tinggi frekuensi, makin besar
peluang untuk bertemu dengan satu orang
dari kelas itu
Hubungan antara kejadian dan ruang
contohnya dapat digambarkan dengan
Diagram Venn.
Diagram Venn : kejadian dan ruang contoh
S
B
A
C
Operasi Himpunan
Gabungan (Union)
AUB = { x I x anggota A atau x angota B}
Irisan (intersepsi)
A∩B = { x I x Є A dan x Є B
Komplemen
AC = { x I x bukan anggota A}
Operasi himpunan
S
S
A B
C
A∩B
AUB
A
AC
D
Mencacah titik contoh
Ruang contoh berisi titik-titik contoh.
Kita akan dapat memecahkan masalah peluang
dengan mencacah banyaknya titik dalam ruang
contoh tanpa mendaftar dulu unsur-unsurnya.
Seringkali kita mempunyai ruang contoh yang
unsurnya adalah semua kemungkinan susunan
kelompok benda.
Atau mungkin kita bertanya berapa banyak
urutan yang mungkin, bila kita mengambil 2
kupon lotre dari 20 kupon.
Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan
atau sebagian dari sekumpulan benda disebut
permutasi.
Permutasi

Banyaknya permutasi n benda adalah n! (n
faktorial)



Contoh : huruf a, b, c mempunyai (3) (2) (1) = 6
permutasi
Huruf a, b, c, d mempunyai 4! = 4.3.2.1 = 24
Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda
dari n benda berbeda adalah
n!
nPr = -------------(n - r)!
Contoh
Seorang penyuluh pertanian lapangan,
ingin menjadwal 3 kali kunjungan ke 3
desa terpencil. Dia hanya mempunyai 5
hari kerja untuk itu, senin sampai jumat.
Berapa banyak cara yang mungkin?
 Jawab : Dari soal tersebut n = 5 (senin,
selasa, rabu, kamis, jumat) dan r = 3
(kunjungan ke desa 1, 2 dan 3),maka
 5P3 = 5!/(5-3)! = 5.4.3 = 60.

Contoh permutasi
Banyaknya permutasi n benda yang
berbeda yang disusun dalam suatu
lingkaran adalah (n - 1)!
Contoh, berapa kemungkinan 5 tanaman
cemara kipas dapat ditanam melingkar?
Jawab (5-1)! = 24 cara.
Kombinasi
Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui
banyaknya cara mengambil r benda dari n
benda tanpa memperhatikan urutannya.
 Pengambilan demikian disebut kombinasi.
 Kombinasi membuat sekatan dengan 2 sel. Satu
sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain
berisi n - r benda yang tidak terpilih.
 Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang
berbeda, adalah


n!
C(n r) = --------------r! (n - r)!
Peluang Suatu Kejadian
Peluang suatu kejadian diperoleh
dari frekuensi tiap kelas dibagi
dengan total frekuensi.
Peluang merupakan ukuran besarnya
kemungkinan terjadinya suatu
kejadian dan karenanya juga disebut
frekuensi nisbi (relatif)  ingat
distribusi frekuensi
Contoh peluang
Misal : n buah benda dapat diambil
dengan peluang yang sama besar dan a
buah benda dapat menimbulkan kejadian
A, maka peluang terjadinya A.
–P(A) = a/n
– yaitu banyaknya benda yang
menimbulkan kejadian A dibagi
banyaknya semua benda yang mungkin
terambil
Contoh peluang
 Dalam satu kantong terdapat 2 kelereng
hitam (H), 3 kelereng putih (P) dan 5
kelereng merah (M). A adalah kejadian
terambil kelereng, H/P/M.



Peluang terambil kelereng hitam : P(H) = 2/10
Peluang terambil kelereng putih : P(P) = 3/10
Peluang terambil kelereng merah : P(M) = 5/10
Rumus-rumus Peluang
Peluang (A atau B) = P(AUB) = P(A) +
P(B), A dan B saling asing
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B), A dan B
tidak saling asing
Contoh P(A) = 1/3, P(B) = ½ A∩B = { }
hitunglah berapa P(B∩AC)??
– Karena B∩AC= B, maka P(B∩AC) = P(B) = ½
Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat terjadi karena adanya
informasi tambahan.
Sebagai contoh, kita melihat peluang
seorang mahasiswa mendapat nilai A
dalam ujian statistika.
Bila diketahui bahwa seseorang yang kita
lihat adalah laki-laki, mungkin peluang
untuk mendapat nilai tersebut bisa
bertambah atau berkurang.
Rumus peluang bersyarat
Umumnya : P(B/A) ≠ P(B) dan P(A/B) ≠ P(A)
Dalam hal P(B/A) = P(B) dan P(A/B) = P(A),
maka A dan B disebut independen (saling
bebas)
Dua kejadian A dan B disebut independen, bila
– P(A/B) = P(A) atau
– P(B/A) = P(B) atau
– P(A∩B) = P(A) . P(B)
Jadi : P(A∩B) = P(A) . P(B)  independen
P(A∩B) = P(A) . P(A/B)  dependen
Contoh
Hubungan bobot buah mangga dan kandungan vitamin C
dinyatakan dalam Tabel 5.1, dimana A adalah kandungan
vitamin C dan B adalah bobot buah mangga.
Vit C tinggi
Vit C rendah
Total peluang
Mangga
terlalu tua
Mangga
tua
Mangga
muda
Total
peluang
0,10
0,15
0,25
0,08
0,45
0,53
0,02
0,20
0,22
0,20
0,80
1,00
Diketahui bahwa peluang vitamin C tinggi = 0,2
P(A/B) = peluang kandungan vitamin C tinggi dengan syarat
mangga terlalu tua. Dalam hal ini kita hanya memperhatikan sub populasi
yang terjadi dari kelompok mangga yang terlalu tua
Latihan dan diskusi
1. Match the proposed probability of A with the correct
verbal description (the latter may usedmore than once)
No Probability
Verbal description
1
0
1. Very like happen
2
-0,3
ii. As much chance of occurring as not
3
0,9
iii. May occur but by no means certain
4
0,5
iv. An incorrect assignment
5
10.0
v. Very little chance of happening
6
0,05
vi. No chance of happening
7
0,3
2. Probabaility and odds. The probability of an event is
oftenexpressed in term of odds. Specifially, when we say that
the odds are k to w that an event will occur, we mean that
probabilityof the event is k/(k+w). For instance, “the odds are
4 to 1 that candidate purple corn will win” mean that P(purple
corn win) = 4/5 = 0,8. Express the following statement in term
of probability :
– The odds are 2 to 1 that there will be fair weather tomorrow
– The odds are 5 to 2 that the city council will delay the funding of new
sports arena
3. Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun
dari huruf-huruf dalam kata cantik? handsome? Berapa
banyak di antara permutasi itu yang dimulai dengan huruf
"n"?
4. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang
berbeda ditanam membentuk melingkar?
5. Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jambu dan 2
nangka sepanjang batas kebun apabila kita tidak membedakan
antara tanaman-tanaman yang sejenis.
6. Dari 4 apel manalagi, 5 rome beauty, dan 6 anna, berapa banyak
kemungkinan terambil masing-masing jenis apel?
7. Suppose the sample space of an experiment has 6 flower colour
outcomes. Two events are given as A = {k1,k5,k6} and B = {k2, k4,
k5}.
– Draw a Venn Diagram and exhibit the events A and B
– Determine the compositions of the following events : Ac, AB, AUB, ABc
and AcB
8. Suppose the sample space of an experiment has 6
flower colour outcomes. Two events are given as A =
{k1,k5,k6} and B = {k2, k4, k5}.
– Draw a Venn Diagram and exhibit the events A and B
– Determine the compositions of the following events :
Ac, AB, AUB, ABc and AcB
9. Referring to a Venn Diagram verify the following
statement :
– The event AUB includes the event AB
– (AB) U (ABc) = A
– AUAc = S
10.For two exeriment field events A and B, the following
probabilities are given : P(A : find insect) = 0,5, P(B :
temperature 20oC) = 0,25 and P(A/B) = 0,8. Use the
appropriate law of probability to calculate :
– P(Ac)
– P(AB)
– P(AUB)
11.Of the yardlong bean experiment reporting that the leave
symptoms of mosaic and aphid attack, 25% have mosaic
symptom, 50% have aphid and 10% have both.
– What is the probability that a plant selected a random has
either mosaic symptom, aphid attack or both of them?
– Are the events “mosaic symptom” and “aphid attack”,
independent?