数理逻辑
逻辑学的起源以及早期发展
逻辑是什么
• 逻辑是研究推理的的学科。
• 数理逻辑：用数学方法研究逻辑或者用逻辑方法研究
数学。一方面使用逻辑的思想方法研究数学及数学推
理的基本原则和规律；另一方面使用数学工具来表示
和研究逻辑的性质和结构。
毕达哥拉斯
570 BC-495 BC，希腊
毕达哥拉斯主义：万物皆数。
无理数的发现。
柏拉图
424/423 BC – 348/347 BC，希腊
柏拉图主义： The only true being is founded upon the forms, the eternal,
unchangeable, perfect types, of which particular objects of sense are
imperfect copies。
数学的柏拉图主义： Mathematical objects are independent of intelligent
agents and their language, thought, and practices.
亚里士多德
384 BC – 322 BC，希腊
《工具论》(Organon)。
三段论：全称 ，特称 ，肯定，否定.
所有人都会死的，
苏格拉底是人，
苏格拉底会死的。
同一律：A是A。
无矛盾论：不能既是又非。
排中律：A或者非A.
欧几里德
323 BC – 283 BC，希腊
《几何原本》（Elements）。
几何公理的引入。
公理自明与柏拉图主义。
第五公设：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小
于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。("That, if a straight line
falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two
right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on
which are the angles less than the two right angles.")
莱布尼茨
1646－1716，德国
自亚里士多德后最重要的逻辑学家。
莱布尼茨的奇思妙想：将逻辑推理归约为符号演算。（“The only way
to rectify our reasonings is to make them as tangible as those
of the Mathematicians, so that we can find our error at a glance,
and when there are disputes among persons, we can simply say:
Let us calculate, without further ado, to see who is right”）
莱布尼茨级数：
布尔
1815－1864，英国
《思维的规律》（The Laws of Thought）
逻辑的代数化。
数学开始进入逻辑。
布尔代数
• 00=0 01=0 1+0=1 1+1=1 -0=1 -1=0
• x∧y =xy
• x∨y=x+y-xy
• ¬x =1-x
布尔代数
(Associativity of ∨)
x∨(y∨z)=(x∨y)∨z
(Associativity of ∧)
x∧(y∧z)=(x∧y)∧z
(Commutativity of ∨)
x∨y=y∨x
(Commutativity of ∧)
x∧y=y∧x
(Distributivity of ∧ over ∨)
x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)
(Identity for ∨)
x∨0=x
(Identity for ∧)
x∧1=x
(Annihilator for ∧)
x∧0=0
布尔代数
(Idempotence of ∨)
x∨x=x
(Idempotence of ∧)
x∧x=x
(Absorption 1)
x∧(x∨y)=x
(Absorption 2)
x∨(x∧y)=x
(Distributivity of ∨ over ∧)
(Annihilator for ∨)
(Double negation)
(De Morgan 1)
(De Morgan 2)
x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)
x∨1=1
¬¬x = x.
(¬x)∧(¬y)=¬(x∨y)
(¬x)∨(¬y)=¬(x∧y)
弗雷格
1848-1925，德国
《概念文字》（Begriffsschrift）。
数学的逻辑化。
谓词演算：（），()。
一阶语言
• 一阶语言符号包括：
常数符号：c,d,e,…
变量：x,y,z,…
函数符号：f,g,h,…;
谓词符号:R,S,T,…
量词符号：, ,
逻辑符号:∨，¬
等号：＝
括号: (,)
几个例子
• 群论语言:+,0
• 环论语言:+,,0,1
• 算术语言：+,,<,0,1
• 集合论语言：∈
一阶语言
• 项(term)：每一个变量和常数都是项;
如果u0,u1,…,un是项，则f(u0,u1,…,un)也是。
• 原子公式（atomic formula）：R(u_0,u_1,…u_n)。
• 公式(formula)：每一个原子公式都是公式；
如果φ和ψ是公式，则 ¬φ,（φ）， xφ, xφ,φ∨ψ,
φ∧ψ也是。
一阶语言
• 约束(bounded)变量：变量x以x或者x的形式出现在φ中，则
称为约束的。
• 自由(free)变量：否则就是自由变量。
• 语句(sentence)：没有自由变量的公式。
一阶逻辑
• 逻辑规则:
φ┠φ∨ψ;
φ∨φ┠φ;
φ∨(ψ∨χ) ┠(φ∨ψ)∨χ;
(φ∨ψ),(¬φ∨χ) ┠ψ∨χ;
如果x在ψ中不是自由的，那么(φψ) ┠(xφψ)这里φψ
是¬φ∨ψ的缩写。
一阶逻辑
• 逻辑公理:
φ∨¬φ;
x=x;
x=y→f(…,x,…)=f(…,y,…);
如果x在φ中自由出现但不在项t中出现，那么φ(x|t) →xφ(x)。
几个结论
φ┠ψ：如果存在一个有穷次运用逻辑规则和公理的序列使得第一
个公式是φ最后一个公式是ψ。
如果X是一个公式集合，则X┠φ是指存在一个证明，每一个证明步
骤至多用到X的一个公式，使得φ是证明序列的最后一个公式。
定理：X┠φ，则存在X有穷子集Y使得∧ψ∈Yψ ┠φ.
一个公式ψ称为前束范式(prenex normal form)，如果存在一个没
有量词的公式ψ’使得ψ的形式为Q0x0Q1x1…Qnxn ψ’。
前束范式定理:对于任何公式φ，存在一个前束范式ψ使得
┠φ→ψ并且┠ψ→φ。
罗素
1872-1970, 英国
一个说谎者在说：我在说谎。
φ(ψ):¬ψ。
φ(φ)。
因此变量不应该是公式！
{x|¬x∈x}
习题
• 你是否赞同柏拉图主义。
• 形式化一个理论。
阅读材料
• 《Mathematical Logic》 , Joseph Shoenfield
• 《A Mathematical Introduction to Logic》,
Herbert Enderton
• 《数理逻辑导论》，郝兆宽，杨跃
• 《逻辑的引擎》, 马丁戴维斯