微積分網路教學課程
應用統計學系
周 章
1
網路教學課程第七講
1. 凹性與反曲點
2. 函數圖形之描繪
2
網路教學課程第七講
1. 凹性與反曲點
2. 函數圖形之描繪
3
Concavity 凹性
Concavity (凹性) . The graph of a differentiable
function f (x) on an open interval I is called
• concave up (上凹) on I : if each of the lines
tangent to the graph of the function on I lies
below the graph;
•concave down (下凹) on I : if each of the lines
tangent to the graph of the function on I lies
above the graph .
4
函數圖形之凹性
5
上凹
在圖中所表示之曲
線，其切線皆在曲
線之下方，此種曲
線稱為上凹
(Concave upward)
6
下凹 Concave downward
圖中所表示之曲
線，其切線皆在
曲線之上方，此
種曲線稱為下凹
7
切線斜率與凹性
由圖觀之，曲線之凹向性可由其切線斜
率之變動情形決定之。當有一點在曲線
上由左向右移動時，若曲線為上凹，則
過點之切線斜率將隨點之右移而增大；
反之，若曲線為下凹，則過點之切線斜
率將隨點之右移而減小。
8
一階導數之增減與凹性
9
一階導數之增減與凹性
•
在區間 I 中
為遞增
f 為上凹
10
一階導數之增減與凹性
•
在區間 I 中
為遞增
f 為上凹
•
為遞減
f 為下凹
11
雲霄飛車 – 1
12
雲霄飛車 – 2
13
雲霄飛車 – 3
14
雲霄飛車 – 4
15
雲霄飛車 – 5
16
雲霄飛車 – 6
17
雲霄飛車 – 7
18
雲霄飛車 – 8
19
單調性(Monotonicity)定理
20
單調性(Monotonicity)定理
• 若函數 f 在區間 I 的微分函數
則函數 f 在區間 I 為遞增。
> 0
21
雲霄飛車 – 2
22
雲霄飛車 – 3
23
雲霄飛車 – 4
24
雲霄飛車 – 5
25
雲霄飛車 – 6
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單調性(Monotonicity)定理
• 若函數 f 在區間 I 的微分函數
則函數 f 在區間 I 為遞增。
> 0
• 若函數 f 在區間 I 的微分函數
則函數 f 在區間 I 為遞減。
< 0
27
與凹性
由單調性(Monotonicity)定理，我們已經知道增
函數之導數為正，而減函數之導數為負。
綜合上面的討論，我們可知:
• 上凹曲線之
之導數為正，即
•
下凹曲線之
之導數為負，即
為正；
為負。
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與凹性
由單調性(Monotonicity)定理，我們已經知道增
函數之導數為正，而減函數之導數為負。
綜合上面的討論，我們可知:
• 上凹曲線之
之導數為正，即
•
下凹曲線之
之導數為負，即
為正；
為負。
29
How the graph of a function
"bends" at a point
moving-concavity.html
30
二階導數與凹性
Theorem. If the second derivative of a function
exists everywhere on an open interval I then its
graph is
(i) concave up on I if f ' ' ( x)  0 for all x in I ;
(ii) concave down on I if f ' ' ( x)  0 for all x in
the interval I .
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Inflection Point 反曲點
Definition:
Any point (c, f (c)) where the graph of a
continuous function changes direction of
concavity is called an inflection point.
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反曲點
函數之曲線在一點之左
右兩側凹性不同時， 即
有一側為上凹，另一側
為下凹時，則產生反曲
點 (inflection point)
33
函數圖形之凹性與反曲點
34
反曲點
之求法
35
反曲點
之求法
36
反曲點
之求法
37
38
39
二階導數不存在
40
注意
當二階導數在某點之值為零或無限大時，
並不保證該點就是圖形之反曲點
如下圖所示，
41
如圖所示，
但原點不為反曲點
42
不存在
二階導數在 x = 0 之
值為正負無限大, 而
不存在時; 原點不為
反曲點
43
例 題1
44
例 題 1- 續
45
例 題 1- 續
46
例 題 1- 續
47
例 題 1- 續
48
習題
49
習題
50
網路教學課程第七講
1. 凹性與反曲點
2. 函數圖形之描繪
51
Critical points 臨界點
52
導數不存在
53
Cusp - 導數不存在:
54
The graph of
55
Second derivative test for maxima
and minima
56
Second derivative test for maxima
and minima
Theorem. If c is a critical number
such that
, then:
57
Second derivative test for maxima
and minima
Theorem. If c is a critical number
such that
, then:
i)
The point (c; f (c)) is a relative minimum
if
58
Second derivative test for maxima
and minima
Theorem. If c is a critical number
such that
, then:
i)
The point (c; f (c)) is a relative minimum
if
ii) The point (c; f (c)) is a relative maximum
if
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Example: Local extrema
Consider the function
f (x) is a polynomial function. Therefore it is
continuous and differentiable everywhere.
60
Taking the derivative we get
61
Taking the derivative we get
So we have
62
So f (x) is increasing on the intervals
and
, and f (x) is decreasing on the
interval [-1,2].
63
Graph of f(x) and
At x = -1 the
function behaves
like a point at the
top of a hill while
at x = 2 the graph
looks like a valley.
64
Example
65
Example
First let us find the critical points. The
function f (x) is rational and is defined for
any x. In fact, f (x) is differentiable for any
x. Moreover we have
66
67
So
0 implies
.
68
So
Since
0 implies
.
69
Then the first-derivative test implies that
x = -1 is a local minimum and
x = 1 is a local maximum.
70
Then the first-derivative test implies that
x = -1 is a local minimum and
x = 1 is a local maximum.
71
描繪一般函數圖形之步驟
1.
2.
3.
4.
5.
討論函數之定義域與值域，以決定曲線範圍。
求出圖形在座標軸上之截距。
討論圖形之對稱性。
討論圖形是否有漸近線。
求出臨界點，函數增減區間之測定，決定圖形之
極大點、極小點。
6. 凹性及反曲點之測定。
7. 圖形之描繪。
72
多項式函數圖形之描繪
73
多項式函數圖形之描繪
74
多項式函數圖形之描繪
75
例題 1
76
例題 1
77
78
79
80
81
符號表
82
函數圖形
83
例題 2
84
例題 2
85
例題 2
86
符號表
87
88
89
有理函數圖形之描繪
90
有理函數圖形之描繪
91
有理函數圖形之描繪
92
水平漸近線 Horizontal asymptote
93
鉛直漸近線 Vertical
asymptote
94
漸近線
95
漸近線
96
漸近線
97
斜漸近線
98
斜漸近線
99
例題
100
例題
101
例題-續
102
例題-續
103
例題-續
104
例題-續
105
例題-續
106
107
例題
108
109
110
111
例題
112
例題
113
114
115
116
117
118
函數中含有根式之圖形描繪
119
例題
120
例題
121
122
123
124
習題
125
習題
126