素数之恋
黎曼与数学中最大的未解之谜
“在探索的尽头，我们的认识将会发生转
变。在那之前，所有的乐趣和魅力在于探索本
身，并且——对于我们中那些没有周说探索的
人来说——在于看到探索者的活力、决心和创
造力。我们必须知道，我们必将知道”
黎曼假设

ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2
1 1 1 1
ζ (s)  1  s  s  s  s  
2 3 4 5
主要内容
金钥匙
素数定理
简单的数
学背景
黎曼假设
的地位
简单的数学背景
九个祖鲁女王统治中国
 Nine Zulu Queens Ruled China

C
R
Q
Z
N
数学的四个分支
算术
• 研究整数和分数
几何
• 研究空间图形
代数
• 使用抽象符号表示数学对象
分析
• 研究极限
算术
解析
数论
分析
黎曼——让解析数论离开地面飞起来的人
第一次大战后的汉诺威王国
 威廉·冯·洪堡
 格廷根大学
 高斯，线性代数课
 戴德金：羞怯，抑郁，体弱
 柏林大学两年，狄利克雷
 1851，博士论文
 1857年，黎曼的爆发年
 1859，33 岁院士，“论小于一个给定值的
素数的个数”

素数定理

π (N)~N/ln (N)——PNT（the Prime
Number Theorem）
高斯——数学王子，历史上最伟大的数学家
不伦瑞克，园艺工的儿子
 卡尔·威廉·费迪南
 1807，格廷根大学天文台台长
 淡泊名利，追求完美
 空闲的一刻钟
 1798年，勒让德

金钥匙

埃拉托色尼筛法
1
1 1 1 1
1
1
1
1
ζ (s)  s  s  s  s  s  s  s  s 
s
2
2 4 6 8 10 12 14 16
1
1 1 1 1
1
1
1
1

1  s ζ (s)  1  s  s  s  s  s  s  s  s 
3 5 7 9 11 13 15 17
 2 
1
1
1 1
1
1
1
1
1  s ζ (s)  s  s  s  s  s  s 
s 
3  2 
3 9 15 21 27 33
1 
1
1 1
1
1
1

1

1

ζ
(s)

1







s 
s 
s
s
s
s
s
5 7 11 13 17
 3  2 

1 
1  1  1  1  1 

 1  s 1  s 1  s 1  s 1  s 1  s  ( s)  1
 13  11  7  5  3  2 
 ( s)   1  p
p
n
n
s


 s 1
  1 p

 s 1
p
金钥匙——欧拉积公式
欧拉与狄利克雷
Oiler（加油工）
 两个以其命名的数字
 圣彼得堡科学院与柏林科学院

100年后
 巴黎，傅里叶，拉普拉斯，泊松
 解析数论的开端
伟大的转折点——素数定理的证明

一个世纪以后，阿达马与瓦莱·普桑分别独自
证明了PNT。
利用“ζ函数的所有非平凡零点的都有小于1的
实部”证得。
随着PNT的解决，黎曼假设进入了显眼的位置。
它是解析数论的下一个重大的开放性问题：如
果这个假设成立，将产生大量的结果。
 π (N)~Li(N)，逼近程度，误差项——涉及ζ函
数的所有非平凡零点
 20世纪的大白鲸

希尔伯特的第八个问题
国际数学大会1897年创立
 1900年，巴黎，8月8日上午
 《数学问题》
“我们当中有谁不想揭开隐藏这未来的帷
幕，看一看我们这门学科接下来的进展
和在未来世纪中如何发展的奥秘？”

希尔伯特
“存在性证明”解决哥
尔丹问题
 “格廷根”
 “让我们来考虑一个
复变函数……”
 “我们必须知道，我
们必将知道”

后来……
哈代，兰道，李特尔伍德，冯·科赫，
休·蒙哥马利，奥德利兹克，……
 千年难题：悬赏1000000美元的数学问
题

哈代——长不大的男孩彼得·潘
剑桥三一学院
 唤醒英国的纯粹数学
 《纯粹数学教程》
 英俊而有魅力，从未结婚
 新年的六个愿望
 “我证明了黎曼假设”
 “哈代与李特尔伍德”
 德国数学家兰道与他的《手册》

黎曼假设之歌
Where are the zeros of zeta of s?
zeta函数的零点在哪里？
G.F.B. Riemann has made a good guess.
国防部的黎曼同志做了个很好的估计。
They’re all on the critical line, stated he,
“它们都在临界线上”，他自言自语，
And their density’s one over 2pi log t *.
“密度是pi乘lnt的二分之一”。
This statement of Riemann’s has been like
trigger
黎曼的指示就像个触发棒，
And many good men, with vim and with vigor,
引得各路好汉摩拳擦掌。
Have attempte to find, with mathematical rigor,
他们凭着数学的严密反复推想，
What happens to zeta as mod t gets bigger.
当modt变大时zeta将会是啥情况。
The efforts of Landau and Bohr and Cramer,
兰道，玻尔，克拉默没少忙活，
And Littlewood, Hardy and Titchmarsh are
there,
李特伍德，哈代和迪奇马士也来搭伙。
In spite of their efforts and skill and finesse,
不管他们为此喷了多少唾沫，
(In) locating the zeros there’s been no success.
要确定零点位置还是没结果。
In 1914 G.H. Hardy did find,
1914年共和党人哈代看得清楚，
An infinite number that lay on the line,
这条线上有无数合格的零点分布。
His theorem however won’t rule out the case,
但他老人家的教导也没法排除，
There might be a zero at some other place.
零点可能出现在另外某处。