沿 Cantor 之路多走一步
王昆扬
北京师范大学数学科学学院 (100875)
信箱 : wangky@bnu.edu.cn
主页 : http://math.bnu.edu.cn/~wangky
1

• “实数”用什么样的数学工具表示？
《古今数学思想》（M. Kline, 中译本，
上海科技出版社，1981年第一版，第四册，
以下简称此书此册为《思想》， 41页）：
“数学史上最使人惊奇的事实之一，
是实数系的逻辑基础竟迟至十九世纪后叶才
建立起来。”
• 1833、1835年“W.R.Hamilton提出了
无理数的第一个处理”（《思想》46
页）
• 做这件事的还有：Dedekind，Cantor，
Weierstrass等一大批数学家
2

• D氏理论发表于“他的
1872年的书中，但他的思
想来源却回朔到1858年”
（《思想》48页）
3


介绍 Dedekind 分割的原文
• Dedekind’s language in introducing irrational numbers leaves a little to be desired. He introduces the irrational
α as corresponding to the cut and defined by the cut. But he is not too clear about where α comes from. He should say that the irrational number α is no more than the cut. In fact
Heinrich Weber told Dedekind this, and in a letter of 1888 Dedekind replied that the irrational number α is not the cut itself but is something distinct, which corresponds to the cut and which brings about the cut. Likewise, while the rational numbers generate cuts, they are not the same as the cuts. He says we have the mental power to create such concepts.
--From the page 986 of the book
《Mathematical Thought From Ancient to
Modern Times》 by Morris Kline, Oxford
University Press, 1972 )
4

• Dedekind于1872年发表“cut”
而1888年给Weber回信 说“无
理数α并不是分割本身而是某
些不同的东西，它对应于这个
分割而且产生这个分割。”他
说“我们有创造这种概念的脑
力”（两段引文见《思想》49
页）
5

• 在他的1883年的文章中， “他从
有理数序列开始，这种序列满足如
下条件：对于任何一个给定的正有
理数ε﹥0，序列中除去有限以外，
彼此相差都小于ε，… 。这样的
序列它叫做基本序列。每一个这样
的序列定义为一个实数,…。两个
这样的序列(a
ν
)与(b
ν
)是同一个
实数当且仅当| a
ν
- b
ν
|在ν趋向
于无穷时趋向于零。”
• 换言之，Cantor把每个有理数的基
本列叫做一个实数，等价的基本列
为同一个实数。
6

《古今数学思想》
对上述工作的评价（原文）
• The irrational number, logically defined, is an intellectual monster
（ 智慧的怪物 ）, and we can see why the Greeks and so many later generations of mathematicians found such numbers difficult to grasp.
——From the page 987 of the book
《Mathematical Thought From
Ancient to Modern Times》 (by
Morris Kline, Oxford University
Press, 1972 )
7

Cantor认为
分割在分析中出现并不自然
虽然Dedekind的无理数理论，
经过上面指出的一些少量修改之
后，是完全符合逻辑的，但
Cantor认为分割在分析中出现并
不自然而加以批评。（《思想》
50页）
8

Dedekind的理论太难
从戴德金1858年思考无
理数，1872年发表理论，到
1888年回信给Weber，对于
他的理论的“不完善之处”
用“我们有创造这种概念的
脑力”这样的非数学语言来
狡辩，共历时 30年 。
其间，从他发表理论到他
为自己的理论的模糊之处进
行无理的辩解，也有 16年 之
久。足见他的理论，实在是
太不容易了。
9

Dedekind方法与Cantor方
法的比较
• Dedekind分割依赖于数
的大小，其思想不能推
广到距离空间的完备化
• Cantor 的思想已经普遍使
用于 距离空间的完备化
10

• 分数叫做有理数
• 十进循环小数叫做有理数
• 十进不循环小数叫做无理数
• 有理数和无理数统称为实数
11

• Dedekind 分割不可取。
理由 1 ，与中学讲的完全
不合。
理由 2 ， cut 思想的应用很
局限。
理由 3 ，直接用 intellectual
Monster 做教材不妥
12

• Cantor 为我们开辟了光明
之路
• 沿着 Cantor 之路再前进一
步，就与我们中学课本的
知识衔接起来了。
• 这一步就是：在每个有理
数的基本列的等价类中确
定唯一一个代表元，称之
为标准列，而标准列自然
地对等于一个十进数。
13

• Terence Tao 在讲实数的表示时说：
But to get the reals from the rationals is to pass from a
“discrete” system to a
“continuous” one, and requires the introduction of a somewhat different notion ---that of a limit .
--from Terence Tao’s book
《 Analysis I 》， Hindustan
Book Agency (India), 2006
，
Page
108
14

• 从 1996 年至今，我坚持为大学一年
级学生讲实数的十进表示。有了这
种表示，实数集（或曰“系”）的
完备性就是证明出来的。大学生接
受得很好。从来不认为十进数是 intellectual monster.
• 2005 年给高中二年级学生讲实数的
十进表示，计 12 学时。没有发现不
能接受的现象。
• 2012 年给初中二年级学生讲实数的
十进表示，计 6 学时，讲完了有理
数的十进表示。一开始 90 人，最后
剩 40 人。 40% 的学生能接受。
15

1.
因材施教：给优秀中学
生讲实数的十进表示，
先讲有理数列的极限。
2.
从大学数学系的课程中
淘汰“ Dedekind 分割这
个 MONSTER” ，代之以
“十进数”，与中学知
识紧密衔接，与实际应
用结合，与研究生阶段
的学习衔接。
16