Problemløsning som
arbeidsmåte i matematikk
Matematisk kveld
Torsdag 09.10.14
Martin Carlsen
Hvorfor matematisk problemløsning?
•
Å løse matematiske problemer definerer hvordan matematikere arbeider med
matematikk.
•
Å løse matematiske problemer er en arbeidsmåte for å lære matematikk
•
Å løse matematiske problemer er gøy!
•
Å løse matematiske problemer er vanskelig og krevende!
•
Å løse matematiske problemer er tidkrevende og slitsomt!
•
Utholdenhet er viktig!
2
Mason and Davis (1991)
• Mathematical
brilliance is not needed to
participate.
• Everyone can and does think mathematically
• ”By starting from a base of confidence in your
mathematical thinking you can become more
sophisticated, more proficient, and better able to
help pupils discover and develop their
mathematical thinking ” (p. 1, my emphasis).
3
Hva er et matematisk problem?
•
For en person er et matematisk problem en oppgave eller utfordring som
denne personen blir interessert og engasjert i og samtidig motivert av til å
finne mulig(e) løsning(er) på. I tillegg må utfordringen være av en slik
karakter at personen ikke umiddelbart har de matematiske redskapene eller
ressursene tilgjengelige som kreves for å kunne finne de(n) løsningen(e)
(Schoenfeld, 1993, s. 71, min oversettelse).
•
12 + 9 = Problem for en fireåring, rutineoppgave for dere!
•
Et matematisk problem er noe som “går under huden” på deg – “hjemsøker”
deg
•
En utfordring som skaper et gap eller overraskelse hos en person slik at
denne begynner å stille spørsmål – Hvorfor? Hvordan? Hvor mange?
•
Eks: Fermats siste teorem og Andrew Wiles,
•
𝑎𝑛 +𝑏 𝑛 =𝑐 𝑛 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 og for n≥ 3, 𝑛 ∈ 𝑁,
4
Heuristics - prinsipper, gode
problemløsningsråd, tilnærmingsmåter
•
Let etter et mønster
•
Konstruer en tabell
•
Sett opp en liste over alle muligheter
•
Tegn en tegning, figur eller graf
•
Velg formålstjenlige betegnelser
•
Gjett og kontroller
•
Fastsett et delmål
•
Arbeid baklengs
•
Omformuler problemet til et ekvivalent problem
•
Løs et enklere (eller lignende) problem
•
Løs et vanligere problem som det aktuelle utgjør et spesialtilfelle av
•
Bruk et ekstremtilfelle
•
Se på problemet fra en annen synsvinkel
•
Bruk symmetri- eller paritetsargumenter
(Björkqvist, 2003, s. 67)
5
Mason and Davis (1991)
• ”Once
you become aware of strategies, heuristics
and mathematical thinking processes that you
have used successfully, you can carry out actions
that help you to employ those again in the future.
• With experience of this in yourself, you can begin
to help pupils by offering them the kind of advice
that they can use to get unstuck, and which,
through reflection, they can begin to use for
themselves” (p. 5, my emphasis).
6
Hva er matematisk problemløsning?
•
Prosessen en gjennomgår når en løser et matematisk problem, når et
matematisk problem defineres som Schoenfeld gjør det over.
•
”kognitiv, metakognitiv, sosiokulturell og affektiv prosess om å finne ut av
hvordan en kan løse et matematisk problem når en ikke allerede vet hvordan
en kan løse det” (Bjuland, 2002, s. 9, min oversettelse).
•
Fire grunnleggende matematiske prosesser som problemløsningsprosessen
består av:
- Spesialisering
- Generalisering
- Kvalifisert gjetning (conjecturing)
- Overbevisning/Argumentasjon/Bevis (Convincing yourself, your
friend, your enemy)
7
Modeller for matematisk problemløsning
•
Polya (1957) – 4 steg:
1.
Understanding the problem (Forstå problemet)
2.
Devising a plan (Lag en plan)
3.
Carrying out the plan (Gjennomfør planen)
4.
Looking back (Se tilbake)
•
Mason, Burton & Stacey (1982): 3 faser:
1.
Entry (Hva vet jeg? Hva skal jeg finne ut?, spesialisering)
2.
Attack (conjecturing, convincing)
3.
Review (generalisering)
8
Eksempler på matematiske
problemer
•
•
•
•
•
Lag et tisifret tall som er slik at hvert siffers verdi angir antallet
siffer av den posisjonen sifferet står i. Står 2 på den femte
posisjonen (fra venstre), skal tallet inneholde sifferet 5 på to
steder.
Kan du lage brøker som er lik 0,5 ved å bruke alle sifrene fra 1-9
én gang?
Gitt et linjestykke. Del linjestykket i to. Konstruer to regulære
trekanter på den ene siden og en regulær trekant på den andre
siden. Undersøk trekanten som har tyngdepunktet i disse tre
trekantene som hjørner.
Hvor mange kvadrater er det på et sjakkbrett?
Hvilke naturlige tall kan skrives som en sum av etterfølgende
naturlige tall?
9
Hva skjer her…?
•
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16…..
•
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16…..
•
1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16...
•
1,3,7,12,19,27,37,48,61,75,91…
•
1,3,7,12,19,27,37,48,61,75,91…
•
1, 8, 27, 64, 125, 216
10
Referanser
•
Bjuland, R. (2002). Problem solving in geometry. Reasoning processes of
student teachers working in small groups. A dialogical approach. Published
doctoral dissertation. Bergen: University of Bergen.
•
Björckqvist, O. (2003). Matematisk problemløsning. I B. Grevholm (red.),
Matematikk for skolen (s. 51-70). Bergen: Fagbokforlaget.
•
Mason, J., Burton, L., & Stacey, K. (1982). Thinking mathematically. London:
Addison-Wesley.
•
Mason, J., & Davis, J. (1991). Fostering and sustaining mathematics thinking
through problem solving. Victoria, England: Deakin Uni-versity Press.
•
Polya, G. (1957). How to solve it. Princeton, NJ: Princeton University Press.
•
Schoenfeld, A. H. (1993). Teaching mathematical thinking and problem
solving. Rapport fra en konferanse om matematikkdidaktikk og kvinner i
matematiske fag [Proceedings of the conference Mathematics education and
women in mathematical sciences] (pp. 67-89). Oslo, Norway: Norges
forskningsråd.
11