공주대학교 지구과학교육과 벡터 교재 제3장

제 3장 벡터 지구과학교육과 임범두 좌표계 데카르트 좌표계 좌표계 극좌표계 원통좌표계 구면좌표계 좌표계 극좌표계 중심력이 존재하는 계에서의 물체의 운동을 설명하기에 용이 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환 좌표계 다음 그림과 같이 xy 평면상의 한 점의 직 각 좌표가 (x, y) = (-3.50,-2.50) m이다. 이 점을 극좌표로 표현해보시오. 벡터양과 스칼라양 스칼라양 – 적절한 물리적 단위는 갖지만, 방향성이 없는 하나의 단순한 수치 벡터양 – 스칼라양과 같이 적절한 물리적 단위를 가지면 크기와 방향을 모두 갖는 양 벡터 표기법 𝐴Ԧ 또는 벡터의 크기 𝐴Ԧ 𝑨 기본적인 벡터 연산 벡터의 덧셈 Ԧ 𝐵의 합 벡터 𝑅 은 두 벡터 𝐴와 기본적인 벡터 연산 덧셈의 교환 법칙 𝐵를 그린 후, Ԧ 더한다 𝐴를 𝐴Ԧ + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ 를 그린 후, 𝐵를 더한다 기본적인 벡터 연산 덧셈의 결합 법칙 Ԧ 더한 𝐵와 𝐶를 Ԧ 더한다. 후, 𝐴를 Ԧ 𝐶를 Ԧ 더한 𝐴와 Ԧ 더한다. 후, 𝐶를 𝐴Ԧ + 𝐵 + 𝐶Ԧ = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶Ԧ 기본적인 벡터 연산 벡터의 뺄셈 𝐵에 음수를 취하면 방향이 반대가 된다. 𝐴Ԧ − 𝐵 = 𝐴Ԧ + (−𝐵) 기본적인 벡터 연산 벡터와 스칼라 곱셈 Ԧ 스칼라양 𝑚을 곱한 결과인 벡터 𝐴에 Ԧ 𝐴와 Ԧ 방향이 같고 크기가 𝑚𝐴인 벡터 𝑚𝐴은 Ԧ 스칼라양 −𝑚을 곱한 결과인 벡터 𝐴에 Ԧ 𝐴와 Ԧ 방향이 반대이고 크기가 𝑚𝐴인 벡터 −𝑚𝐴은 기본적인 벡터 연산 아래 그림과 같이 자동차가 북쪽으로 20.0km 간 후에, 다시 북서쪽으로 60.0도 방향 으로 35.0km 더 갔다. 자동차의 전체 변위의 크기와 방향을 구하시오. 벡터의 성분과 단위 벡터 𝑦축에 대한 사영 성분 또는 직각 성분 주어진 벡터의 각 좌표축에 대한 사영 𝑥축에 대한 사영 벡터의 성분과 단위 벡터 성분 또는 직각 성분 Ԧ 각 성분들 벡터 𝐴의 Ԧ 크기와 방향 벡터 𝐴의 벡터의 성분과 단위 벡터 단위 벡터 크기가 1이고 방향만 있는 벡터 표기 방법 – 각 직각 성분에 대해 𝑖,Ƹ 𝑗,Ƹ 𝑘෠ 또는 𝑥, ො 𝑦, ො 𝑧Ƹ (^은 hat 또는 모자라고 표현) 벡터의 성분과 단위 벡터 극좌표계에서의 단위 벡터 벡터의 성분과 단위 벡터 벡터 연산:Re 합 벡터 𝑅의 각 성분 벡터의 성분과 단위 벡터 벡터 연산:Re 합 벡터 𝑅의 크기와 방향 벡터의 성분과 단위 벡터 다차원 벡터 연산:Re Ԧ 𝐵가 아래와 같다고 할 때 3차원 벡터 𝐴와 두 벡터의 합 벡터 𝑅은 이 합 벡터의 크기 벡터의 성분과 단위 벡터 Ԧ 𝐵의 합을 구하라. 다음과 같은 xy 평면상의 두 벡터 𝐴와 벡터의 성분과 단위 벡터 어떤 입자가 연속적으로 아래와 같이 세 번의 변위를 한다. 합 변위를 단위 벡터로 나타내고 그 크기를 구하라. 연습 속도 벡터 10𝑖Ƹ − 10𝑘෠ m/s이 있다. 이 속도 벡터의 크기는 얼마인가? 연습 xy 평면에서 두 점의 직각 좌표는 (2.00, -4.00)m와 (-3.00, 3.00)m이다. (a) 두 점 사이의 거리와 (b) 이들의 극좌표를 구하시오. 연습 극좌표가 (4.30cm, 214도)인 한 점이 있다. (a) 이 점의 직각 좌표를 구하시오. 다음의 직각좌표를 극좌표로 나타내시오 (b) (−𝑥, 𝑦) (c) (−2𝑥, −2𝑦) (d) (3𝑥, −3𝑦) 연습 다으 그림과 같이 +𝑥축 방향과 𝜃 = 30.0의 각도를 이루는 방향으로 크기가 6.00단위인 힘 𝐹Ԧ1 이 원점에 놓인 물체에 작용한다. +𝑦 방향 으로 크기가 5.00단위인 두 번째 힘 𝐹Ԧ2 도 이 물체에 작용한다. 합력 𝐹Ԧ1 + 𝐹Ԧ2 의 크기와 방향을 구하시오. 연습 어떤 사람이 동북 25.0도 방향으로 3.10km 걸어간다. 다른 사람은 정북으로 갔다가 정동으로 가서 같은 위치에 도달한다. 두 번째 사 람이 걸은 거리는 얼마인가? 연습 𝐴Ԧ = 2.00𝑖Ƹ + 6.00𝑗,Ƹ 𝐵 = 3.00𝑖Ƹ − 2.00𝑗인 Ƹ 두 벡터가 있다. (a) 벡터의 Ԧ 합 𝐶Ԧ = 𝐴Ԧ + 𝐵와 벡터의 차 𝐷 = 𝐴Ԧ − 𝐵를 그림으로 그리시오. (b) 𝐶와 Ԧ 𝐷를 극좌표로 나타내시오. 𝐷를 단위 벡터들로 표현하시오. (c) 𝐶와 각도는 +𝑥축으로부터 측정. 연습 아래 그림과 같이 두 사람이 노새를 끌고 있다. 오른쪽에 있는 사람 은 크기가 120N이고 방향이 60.0도인 힘 𝐹Ԧ1 으로 끈다. 왼쪽에 있는 사람은 크기가 80.0N이고 방향이 75도인 힘 𝐹Ԧ2 로 끈다. 이때 (a) 그 림에 보인 두 힘과 동등한 단 하나의 힘과 (b) 만약 세 번째 사람이 노새에게 힘을 가해서 노새가 받는 힘의 합이 0이 되도록 하는 힘을 구하시오. 연습 눈이 쌓인 스키 슬로프가 수평과 35.0도 각도를 이루고 있다. 스키 점퍼가 슬로프에 낙하할 때, 눈덩이 하나가 튀어오르는데, 그림과 같인 최대 변위는 연직 방향과 16.0도를 이루고 크기가 1.50m이다. 이 최대 변위의 슬로프에 대해 평행한 성분과 수직한 성분을 각각 구하시오. 연습 𝐴Ԧ = (3𝑖Ƹ − 3𝑗)m, Ƹ 𝐵 = (𝑖Ƹ − 4𝑗)m, Ƹ 𝐶Ԧ = (−2𝑖Ƹ + 5𝑗)m인 Ƹ 세 변위 벡터가 있다. 성분법을 이용하여 다음 벡터의 크기와 방향을 구하시오. (a) 𝐷 = 𝐴Ԧ + 𝐵 + 𝐶Ԧ (b) 𝐸 = −𝐴Ԧ − 𝐵 + 𝐶Ԧ 연습 ෠ ෠ 𝐴Ԧ = (3𝑖Ƹ − 4𝑗Ƹ + 4𝑘)m, 𝐵 = (2𝑖Ƹ + 3𝑗Ƹ − 7𝑘)m일 때, 다음 두 벡터의 크 기를 구하고 각각을 직각 성분으로 나타내시오 (a) 𝐶Ԧ = 𝐴Ԧ + 𝐵 (b) 𝐷 = 2𝐴Ԧ − 𝐵 연습 Ԧ 크기는 20.0, 𝐵의 크기 다음 그림과 같은 세 벡터가 있다. 벡터 𝐴의 Ԧ 크기는 30.0이다. (a) 이 세 벡터의 합을 단위벡 는 40.0, 그리고 𝐶의 터로 표현하시오. (b) 합 벡터의 크기와 방향을 결정하시오.

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