PROGRAMACIÓN LINEAL
CARTILLA DIDÁCTICA
Vicerrectoría Académica
Oficina de Educación Virtual y TIC
Unidades Tecnológicas de Santander
2019
CARTILLA DIDÁCTICA DIGITAL PROGRAMACIÓN LINEAL
MG. ÁLVARO VALENCIA CALLE
GRUPO EDUCACIÓN VIRTUAL Y TIC:
Coordinador: Ing. Juan Carlos Díaz Díaz
Asesoría Pedagógica: Miguel Javier Hernández Rozo
Diseñador Gráfico: Ing. Juan José Zafra Lizarralde
Corrector de Estilo: Mg. Jaime Zafra Bueno
UTS VIRTUAL 2019
Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción total o parcial de esta obra, ni su incorporación a un sistema
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propiedad intelectual.
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(Imagen de portada)
CONTENIDO
PRESENTACIÓN
JUSTIFICACIÓN
CAPÍTULO I.
1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
1.1 MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1.1.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA GENERAL DE PROGRAMACIÓN LINEAL 13
1.1.2. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
14
1.1.3 EL ARTE DE FORMULAR MODELOS
1.2. FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPRERACIONES
1.2.1. FASE DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
1.2.2. FASE CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
1.2.3. FASE SOLUCIÓN DEL MODELO
1.2.4. FASE PARA VALIDAR EL MODELO
1.2.5. FASE PARA IMPLEMENTAR LA SOLUCIÓN
2. CONCEPTUALIZACIÓN DE LA PROGRAMACION LINEAL
2.1 MODELO GENERAL
2.2. EJEMPLO DE MODELO DE GENERAL CON DOS VARIABLES
2.2.1. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN
2.2.2. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
2.2.4. RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
2.2.5. ANÁLISIS DEL MODELO MATEMÁTICO
23
3. AUTOEVALUACIÓN
3.1 EJERCICIO DE PRODUCCIÓN
3.2 EJERCICIO DE LA DIETA
3.3 EJERCICIO DE INVERSIÓN
CAPÍTULO II. OPTIMIZACIÓN
1.1 MÉTODO GRÁFICO
1.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
1.3. SOLUCIÓN GRÁFICA
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11
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16
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16
16
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26
26
26
28
29
29
29
CONTENIDO
1.4. MODELO DE MAXIMIZACIÓN PARA DOS VARIABLES DE DECISION
1.5. ENCONTRAR LA REGIÓN DE SOLUCIONES FACTIBLES.
1.5 ANÁLISIS DE LA REGIÓN FACTIBLE
2. MÉTODO SIMPLEX
2.1 MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
2.2. INTERPRETACIONDE LA TABLA INICAL
2.4 VARIABLE DE ENTRADA
2.5 VARIABLE DE SALIDA
3. OPERACIONES DE FILAS DE GAUSS-JORDAN
4. LOS PASOS DEL MÉTODO SIMPLEX SON:
5.1 PRIMERA ITERACIÓN
5.3 SEGUNDA ITERACIÓN
5.4 ANÁLISIS DE LA TABLA
6. AUTOEVALUACIÓN
6.1.TEÓRICO
6.2 MÉTODO GRÁFICO
6.4 MÉTODO SIMPLEX
6.5 SIMPLEX
CAPÍTULO III. TRASPORTE Y ASIGNACION
1. INTRODUCCIÓN
2. MODELO DE TRANSPORTE
2.1.1. SUPOSICIÓN DE REQUERIMIENTOS
2.1.3. SUPOSICIÓN DE COSTO
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2.3. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA EL PROBLEMA DE TRANSPORTE
2.4 MATRIZ DE TRANSPORTE
2.5 EJEMPLO MODELOS DE TRANSPORTE
3.1 MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
4. MODELO DE ASIGNACIÓN
4.1 SUPOSICIONES
29
30
31
35
35
39
40
40
42
42
44
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49
50
50
50
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53
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58
60
74
74
CONTENIDO
4.2 MATRIZ DE ASIGNACIÓN
4.3 MÉTODO HÚNGARO
4.4 ETAPAS DEL ALGORITMO HÚNGARO
4.5 ASIGNACIONES FINALES
5.AUTOEVALUACIÓN
GLOSARIO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
75
76
77
81
84
86
88
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. De recursos.
20
Tabla 2. Inicial procedimientos. Método simplex.
39
Tabla 3. Condición de factibilidad.
41
Tabla 4. Métodos de Gauss.
43
Tabla 5. Información bancaria.
51
Tabla 6. Matriz de transporte.
58
Tabla 7. Matriz de costos.
59
Tabla 8. Matriz de costos
61
Tabla 9. Matriz de costos, por unidad distribuida.
63
Tabla 10. Matriz de costos, por unidad distribuida,
65
Tabla 11. Matriz de costos, por unidad distribuida.
66
Tabla 12. Matriz de costos, por unidad distribuida.
67
Tabla 13. Matriz de costos, por unidad distribuida.
68
Tabla 14. Matriz de costos, costo por unidad distribuida.
69
Tabla 15. Matriz de costos, costo por unidad distribuida.
70
Tabla 16. Matriz de costos.
71
Tabla 17. Matriz de costos, por unidad distribuida.
72
Tabla 18. Matriz de asignación.
76
Para encontrar los “costos de oportunidad”, es necesario encontrar en número de menor
valor (más Pequeño) de las filas y restarlo a cada uno de los elementos de esta fila. Tabla
190. Resta de filas
77
Tabla 20. Matriz de costos, por unidad asignada.
78
Tabla 21. Matriz de costos.
78
Tabla 22. Costos por unidad asignada, tiempos, costos reducidos.
79
Tabla 23. Matriz de costos, minimizados.
80
Tabla 24. Matriz de costos, etapa cinco.
81
Tabla 25. Matriz de costos.
82
Tabla 26. Matriz de costos, minimizados.
82
Tabla 27. Ambulancia, pacientes.
83
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Mapa conceptual, introducción a la programación lineal.
Figura 2. Modelos de programación lineal.
Figura 3. Niveles de abstracción.
Figura 4. Mapa conceptual de optimización.
Figura 5. Mapa conceptual transporte y asignación.
Figura 6. Modelo de transporte.
11
13
15
28
53
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PRESENTACIÓN
PROGRAMACIÓN LINEAL
El desarrollo de la Programación Lineal, va de la mano de la Administración de las
Operaciones, con el gran auge de aplicar el método científico a la Administración de las
Organizaciones Empresariales e Industriales en todos los niveles; siempre con la
necesidad de mejorar, y de optimizar la distribución de los recursos, para ser cada día más
competitivos, en este mundo globalizado.
Se considera, que las decisiones estratégicas son fundamentales cuando el Administrador
de Empresas encuentra un problema, y deberá formular los procedimientos necesarios
para resolverlos desde el análisis de los escenarios, debe definirlo de manera clara,
buscando siempre la solución óptima.
La toma de decisiones, son competencias que se desarrollarán, utilizando las
herramientas matemáticas, presentadas en la Programación Lineal.
Acompañados, además, de la aplicación de la informática, la computación para los
cálculos desarrollo de los problemas altamente complejos, y se puede vincular sus
investigaciones, para mejorar el manejo de actividades.
8
JUSTIFICACIÓN
PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal, se considera que tiene una parte de arte, y otra parte de ciencia;
el arte es la capacidad de describir desde la experiencia, y modelar los problemas de la
vida real; como ciencia tiene la capacidad de solucionar los modelos, que son aplicados
como algoritmos de tipo analítico, y matemático.
La cartilla didáctica digital, proporcionará los fundamentos y las competencias a los
estudiantes de Administración de las Operaciones, proporcionando las herramientas
necesarias, con la finalidad de prospectar los análisis, y entender el funcionamiento de los
algoritmos, así poder aplicar los sistemas computacionales en la solución de problemas
complejos, de los casos prácticos del curso.
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INTRODUCCIÓN A LA
PROGRAMACIÓN LINEAL
10
Capítulo I
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION LINEAL
Figura 1. Mapa conceptual, introducción a la programación lineal.
Fuente: elaboración propia.
La habilidad para resolver problemas, basando la toma de decisiones en análisis
cuantitativo, es la característica que hará diferencia entre un gerente exitoso, y
aquellos que no lo son.
Esta cartilla está basada sobre la forma de utilizar las herramientas de la programación
matemática, con relaciones lineales entre sus variables. Las técnicas del modelado,
tienen características restrictivas, dando al final conjunto de resolución, altamente
eficiente.
11
El problema que se va a resolver, se da en el modelar el mundo real de las organizaciones,
e interpretarlo a través de un modelo matemático.
El capítulo I, aborda conceptos básicos, para que los estudiantes, puedan aprender a
modelar eficientemente, y en ocasiones intenta explicar alguna circunstancia, que ayude
a entender las ventajas de distintas técnicas, que se aplican.
Pidd (2010), propone la siguiente definición: “Un modelo es una representación explícita
y externa de parte de la realidad, como la ven las personas que desean usar el modelo,
para entender, cambiar, gestionar y controlar dicha parte de la realidad”
1.1 MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
En la investigación de operaciones y los modelos, están diseñados para “optimizar” el
más desarrollado como técnica, es la Programación Lineal. Está diseñada para modelos
con funciones objetivo, y restricciones lineales.
Siendo la Programación Lineal, una técnica para solucionar problemas empresariales,
donde el análisis de las variables de todas situaciones, implica que se debe la
maximización o la minimización de una función lineal, sujeta a restricciones lineales, que
limitan la medida en la que se puede tender hacia la función objetivo. Y la calidad de la
resultante del modelo, dependerá de que tan exacto el modelo se ajusta, a las
condiciones analizadas.
12
Figura 2. Modelos de programación lineal.
Fuente: elaboración propia.
1.1.1. Definición del problema general de programación lineal
La Definición del problema general de Programación lineal dice (Hillier F, 2010), Este
proceso de definición del problema es crucial, pues afectará de forma significativa la
relevancia de las conclusiones del estudio. ¡Es difícil obtener una respuesta
“correcta” a partir de un problema enfocado de manera “equivocada”!
Dado un conjunto de m desigualdades lineales o ecuaciones lineales, con n variables,
se requiere hallar valores no negativos de estas variables, que satisfagan las
restricciones, y además maximicen o minimicen alguna función lineal de las variables,
llamada Función Objetivo.
13
Cuando se tiene en la solución como respuesta que el modelo es factible, se debe a que
este está en capacidad de satisfacer las restricciones que se han planteado en el sistema
de restricciones; y además se puede evaluar si en esa condición es óptima, cuando en la
función objetivo, se genera un máximo o un mínimo, que esta requiere.
1.1.2. modelo de programación lineal
Una de las características de la programación lineal, es que no existe una sola
metodología para resolver todos los diferentes tipos de modelos, que en realidad
resultan en la práctica.
Generalmente las soluciones, se encuentran como un sistema que está compuesto de
varios elementos, y se resuelven mediante varios algoritmos; estos algoritmos dan un
conjunto de reglas matemáticas, cuando se aplica de forma repetitiva al ejercicio, en una
secuencia llamada iteración, buscando en cada una, optimizar la solución.
1.1.3 El arte de formular modelos
El arte de la formulación de modelos desarrollará en los estudiantes, sus competencias,
para traducir situaciones del mundo real, a modelos matemáticos, que requiere la
Programación Lineal.
Formular el modelo, quiere decir:
•
Definir las variables
•
Formular la función objetivo
•
Formular las restricciones
Estos modelos tratan de ser desarrollos, con representaciones lo más cerca de la
realidad.
14
Requieren de los niveles de abstracción el mundo real y estar concentrados en las
variables dominantes que controlan el comportamiento del sistema, Estos modelos
matemáticos representaran la forma del comportamiento supuesto del modelo.
Figura 3. Niveles de abstracción.
Fuente: elaboración propia.
1.2. FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPRERACIONES
Los estudios de investigación de operaciones, se basan en la labor de equipo, donde los
analistas de IO, y el cliente trabajan codo con codo. Los conocimientos de modelado de los
analistas de IO, se deben complementar, con la experiencia y cooperación del cliente, para
quien realizan el estudio.
Para desarrollar en la práctica análisis de situaciones reales, e implementar la
Programación Lineal, existen lineamientos generales, que son los siguientes:
1. Definir el problema, para ser analizado.
2. Construcción, del modelo de la Programación Lineal.
3. Solucionar del modelo pro, los métodos de optimización.
4. Validar del modelo Programación Lineal, con los datos reales en el prototipo.
5. Implementar, la solución optimizada.
1.2.1. fase definición del problema
15
La definición del problema implica, definir el alcance del problema de análisis. El objetivo
es identificar tres elementos principales, del problema:
• Descripción, de las alternativas de decisión.
• Determinación, del objeto de estudio.
• Especificación en las cuales funciona, el sistema modelado
1.2.2. Fase construcción del modelo
La construcción del modelo, es la abstracción del mundo real, convirtiendo el objeto de
estudio (problema), en relaciones matemáticas de la programación lineal, para obtener la
solución analítica, utilizando los algoritmos disponibles.
1.2.3. Fase solución del modelo
En la solución del modelo de Programación Lineal, cada vez es más sencilla por la
cantidad de programas que encuentran en las áreas de informática y computación, para
optimizar algoritmos bien definidos.
Además, se podrán aprovechar, las herramientas informáticas, para dar solución al
modelo planteado y realizar las distintas fases, para el análisis de sensibilidad.
Analizar la sensibilidad de un modelo, es especialmente útil, cuando se requiere ver los
efectos y el comportamiento del sistema que se estudia, sí se cambian, uno o varios
parámetros.
1.2.4. Fase para validar el modelo
La validez del modelo, es entender cómo se comporta el sistema estudiado, sí en
realidad, está prospectando resultados acertados. Se debe tomar la decisión, sí el modelo
propuesto sirve, sí se puede usar; específicamente en fase, se requiere de la
comprobación de hacer, lo que se requiere que haga. Herramientas como la simulación,
son fundamentales para validar los resultados, del modelo matemático.
16
1.2.5. Fase para implementar la solución
La implementación, es utilizar la solución del modelo que ya ha sido validado; representa
convertir el modelo en instrucciones, que sean de fácil comprensión de las personas que
van utilizar el sistema, para obtener el máximo beneficio de la aplicación. Teniendo la
posibilidad de que se pueda actualizar, con facilidad en un entorno, altamente dinámico.
1.3. CONCEPTUALIZACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Siguiendo el objetivo de este estudio, se van a describir, cada uno de los elementos de
que conforman el modelo, con sus características, para llegar a formular y desarrollar.
modelos de Programación Lineal y solucionar los problemas, hasta la optimización.
1.3.1 Modelo general
A continuación, describiremos los conceptos de la programación, resaltando las
características más importantes en los modelos lineales.
En los modelos de la Programación Lineal, se requiere que en las condiciones la
restricción y la función objetivo se realicen de forma lineal, de tal forma de se define así:
En un grupo con n las variables, que cumpla la condición de no negatividad, y forma un
conjunto compuesto de m desigualdades lineales, para satisfacer el conjunto de
restricciones para que optimice (maximicen o minimicen) la Función Objetivo que
también es una función lineal.
Matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma:
• El problema básico de programación lineal, para minimización de costos, la expresión
típica del problema es:
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒
𝐶𝑖 𝑥𝑖
𝑖
Sujeto a:
𝐴𝑖𝑗 ∗ 𝑥𝑖 ≥ 𝐵𝑗
∀𝑗
𝑖
𝑥𝑖 ≥ 𝐵𝑗
∀𝑗
𝑖
𝑥𝑖 ≥ 0
∀𝑖
17
El análisis de la factibilidad de la región, será poliedro y se estudiará en el capítulo de
método gráfico.
Para el ejercicio básico de programación, sobre la maximización de beneficios. La
expresión típica de este problema es:
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒
𝑃𝑉𝑖 ∗ 𝑥𝑖
𝑖
Sujeto a:
𝑥𝑖 ≤ 𝐷𝑖
∀𝑖
𝐴𝑖𝑗 ∗ 𝑥𝑖 ≥ 𝐵𝑗
∀𝑗
𝑖
𝑥𝑖 ≥ 𝐵𝑗
∀𝑗
𝑖
𝑥𝑖 ≥ 0
∀𝑖
La condición de no negatividad, también es necesaria para como el conjunto de las
restricciones para encontrar la región factible.
En cada problema se encuentra, que tiene un número infinito de soluciones factibles,
cuando se optimiza la función objetivo; está será, la solución factible óptima.
Los problemas que se presentarán a continuación, son seleccionados para ser formulados
en los procesos de aprendizaje de la formulación, que debe estar exenta de dobles
interpretaciones, de para que exista una respuesta correcta, la habilidad y la competencia,
se desarrolla realizando cantidad de ejercicios.
La formulación de modelos, se entiende por convertir las expresiones verbales a modelos
matemáticos y formales, lo primero que se deberá hacer, es entender cuál es el objetivo
final del problema.
18
Definir verbalmente y claramente las variables, que sirven para tomar las decisiones, que
van a ser parte, en las restricciones.
Atienda a las características de las restricciones, de menor que (>), menor o igual a (<=),
mayor que mayor o igual (<=) o igual (=)
Describir claramente las condiciones de la función objetivo, con palabras si es de:
maximizar o minimizar.
Describir la función objetivo del ejercicio, utilizando para ello, cada una de las variables
de decisión.
Describir cada una de las restricciones del ejercicio, utilizando para ello, cada una de las
variables de decisión, que corresponda.
No olvidar, que cada variable de decisión, sólo va estar en zona Positiva, o condición de
No Negatividad.
1.3.2. Ejemplo de modelo de general con dos variables
El estudio de la solución, de modelos de Programación lineal de dos variables, ayuda al
estudiante a encontrar la solución muy fácil de analizar, y suministra los fundamentos de
estudio, cuando se pasan de dos variables, a sistemas multivariables, que son los que
realmente se encuentran, en el mundo real.
Resolver conjuntamente, el siguiente ejercicio:
Una empresa elabora dos tipos de productos, uno manual y uno eléctricos. Para cada uno
se necesita en su elaboración, usar tres tipos de maquinaria la Tipo A, Tipo B y la Tipo C.
En la tabla 1, se registra la información que corresponde con la elaboración, de los dos
tipos de productos.
El producto manual, requiere del uso de la maquinaria Tipo A, por un tiempo de dos
horas, de la maquinaria Tipo B por una hora, y de la maquinaria Tipo C por una hora. El
producto eléctrico requiere de una hora de la maquinaria Tipo A, de dos horas de la
maquinaria Tipo B, y una hora de la maquinaria Tipo C.
La empresa, dispone máximo de un número de horas disponibles al mes, para trabajar en
cada máquina, la maquinaria Tipo A, dispone de 180 horas, la maquinaria Tipo B, dispone
de 160 horas y la maquinaria Tipo C, dispone de 100 horas.
19
La utilidad que recibe la empresa por fabricar cada producto manual, es $4 y por cada
producto eléctrico, es $6. ¿Para maximizar la utilidad mensual, cuántos artículos de cada
uno, debe fabricar la empresa?
Tabla 1. De recursos.
MAQUINARIA TIPO (Horas) :
PRODUCTO:
A
B
C
Utilidad($)/uni
dad.
Manual.
2
1
1
4
Eléctrico.
1
2
1
6
180
160
100
Hora
Disponible
Mensualmente
:
Fuente: elaboración propia.
Se realizará, la descripción de los modelos de Programación Lineal, que están estructurados,
por sus cuatro elementos fundamentales:
1. Definición clara y explícita, de cada una de las variables de decisión en el ejercicio.
2. La Optimización de la función objetivo, que requiere el ejercicio.
3. Todas y cada una de las ecuaciones de desigualdad en forma de restricciones, que el
ejercicio requiere, para encontrar la solución factible.
4. El conjunto de restricciones, para cumplir las condiciones de no negatividad.
1.3.2.1. Definición de las variables de decisión
Definición clara y explícita de cada una de las variables de decisión en el ejercicio,
constituye la primera actividad. para desarrollar el modelo.
Para este ejemplo, la empresa que fabrica dos tipos de productos uno manual, y uno
eléctricos; se deberán calcular las cantidades mensuales, que a producir de cada artículo.
Al definir las variables de decisión en el ejercicio, serán:
20
𝑥1 = Número de productos manuales, a fabricar por la empresa
𝑥2 = Número de productos eléctricos, a fabricar por la empresa
1.3.2.2. Definición de la función objetivo
La Optimización de la función objetivo que requiere el ejercicio, es el objetivo o meta que
requiere la empresa, en términos de optimizar, para este caso se debe es maximizar o
alcanzar, la máxima ganancia de la utilidad mensual, por la fabricación de los dos
productos. Los dos productos a fabricar por la empresa, cuya utilidad, se puede expresar
de la siguiente forma:
Utilidad total del productos manuales ,a fabricar = $4 𝒙1
Utilidad total del productos eléctricos, a fabricar = $6 𝒙2
Siendo que Z representa la utilidad mensual total de los productos fabricados, la
Función Objetivo de la empresa será:
𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 𝟒 𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐
1.3.2.3. Conjunto de restricciones
Definir todas y cada una de las ecuaciones de desigualdad, que limitan las condiciones
del espacio, donde se forma la zona factible se llamarán, restricciones.
Las restricciones del tiempo, que usan cada máquina para fabricar los productos
manuales y eléctricos, se limitan con la disponibilidad total que tiene la empresa, de uso
de la máquina, se expresa verbalmente así:
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
𝑦 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑐𝑜
≤
𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑛𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴
21
Con la maquinaria Tipo A, se necesita para trabajar sobre 𝑥1 artículos manuales es
horas y el tiempo para trabajar sobre 𝑥2 artículos eléctricos es 1 𝑥2 horas.
A continuación, se describirán cada una de las restricciones que tiene este ejercicio de
forma verbal y matemática, para facilitar la comprensión del tema.
𝑥1 = Numero de productos manuales, a fabricar por la empresa
𝑥2 = Numero de productos eléctricos, a fabricar por la empresa
Restricción de la Maquinaria Tipo A;
Para fabricar 𝑥1 en la Maquinaria Tipo A, se requiere de 2 horas y para fabricar 𝑥2 en la
Maquinaria Tipo A, se requiere de 1 hora. La empresa, cuenta con la disponibilidad total,
para esta maquinaria de 180 horas mensualmente.
Utilización de la maquinaria Tipo A 2 𝑥1 +1 𝑥2 ≤180
Restricción de la Maquinaria Tipo B:
Para fabricar 𝑥1 en la Maquinaria Tipo B, se requiere de 1 hora, y para fabricar 𝑥2 en la
Maquinaria Tipo B, se requieren de 2 horas. La empresa, cuenta con la disponibilidad
total, para esta maquinaria de 160 horas mensualmente.
Utilización de la máquina B, 1 𝑥1 +2 𝑥2 ≤160
Restricción de la Maquinaria Tipo C:
Para fabricar 𝑥1 en la Maquinaria Tipo C, se requiere de 1 hora y para fabricar 𝑥2 en la
Maquinaria Tipo C se requiere de 1 hora. La empresa cuenta con la disponibilidad total
para esta maquinaria, de 100 horas mensualmente.
Utilización de la máquina C 1 𝑥1 +1 𝑥2 ≤100
1.3.2.4. Restricciones de no negatividad
Las restricciones de no negatividad, definen las condiciones que el espacio factible de
solución es sólo válido, en el primer cuadrante del plano cartesiano.
𝑥1 ≥0 y 𝑥2 ≥0
22
Definen que sólo es válido en el primer cuadrante, del plano cartesiano.
El modelo completo para este ejercicio, y se tiene un problema de programación lineal,
con las siguientes características:
𝑥1 = Número de productos manuales, a fabricar por la empresa
𝑥2 = Número de productos eléctricos, a fabricar por la empresa
1.3.2.5. Análisis del modelo matemático
1. Existe un conjunto de valores donde 𝑥1 y 𝑥2 ,
restricciones, se llama zona factible de solución.
deben satisfacer todas las
2. Por ejemplo, la solución 𝑥1 =40 unidades por mes, y 𝑥2 =60 unidades por mes es una
solución factible, porque no viola ninguna de las cinco, restricciones.
3. Este resultado, se confirma sustituyendo (𝑥1 =40, 𝑥2 =60), en el lado izquierdo de
cada restricción.
23
4. En la restricción (1) se tiene 2 𝑥1 + 1 𝑥2 ≤ 180: 2𝑥40 + 1𝑥60 = 140 , la cual es
menor que el lado derecho, de la restricción (≤180).
5. Por otra parte, la solución es 𝑥1 =80 y 𝑥2 =40, no factible porque no satisface por lo
menos una restricción, por ejemplo la restricción (1) 2 𝑥1 + 1 𝑥2 ≤ 180: 2𝑥80 +
1𝑥40 = 200, la cual es mayor, que el lado derecho (>180).
6. La meta del problema, es determinar la solución óptima, es decir, la mejor solución
factible., que maximice la utilidad total Z.
24
PARA RESOLVER
AUTOEVALUACIÓN I
Ejercicio de producción:
La empresa la hormiga de Bucaramanga, confecciona ropa para
dama, fabrica faldas, y pantalones. En la fabricación de las faldas, y
pantalones, se necesitan dos máquinas 𝑀1 y 𝑀2 . Las faldas se
tardan 5 minutos, en 𝑀1 y 3 minutos, en 𝑀2 . Los pantalones se
tardan 6 minutos, en 𝑀1 y 2 minutos, en 𝑀2 .
Esta maquinaria dispone semanalmente de 40 horas, 𝑀1 y 15 horas,
de 𝑀2 . En este sistema de producción, las faldas tienen una utilidad,
de $5000, y los pantalones tienen una utilidad, de $6000.
Para obtener la máxima ganancia en la fabricación de las faldas y los
pantalones, cuántas prendas se deben fabricar semanalmente,
encontrar:
a) Definir las variables.
b) Definir la función objetivo.
c) Definir las restricciones.
Ejercicio de la Dieta
Una empresa fabrica cereales naturales, y los distribuye por kilos,
con base a tres diferentes tipos de granos. En su promoción anuncia
que, 130 gramos de su producto mezclado con leche, satisface las
necesidades nutricionales magnesio, fósforo, hidratos carbono y las
proteínas de un adulto.
Los costos de las materias primas, y el contenido nutricional de los
gramos, se muestran en la tabla:
25
PARA RESOLVER
AUTOEVALUACIÓN I
TIPO DE
PROTEÍNAS
HIDRATO DE
FÓSFORO
MAGNESIO
COSTO
GRANO
(unidades/K
C
(unidades/K
(unidades/Kg)
POR
g)
(unidades/Kg)
g)
Trigo
23
15
9
5
1200
Cebada
27
16
7
4
1300
Centeno
22
23
8
3
1500
KG
El ejercicio de la mezcla, se trata de establecer las cantidades
adecuadas, de cada tipo de grano, para ser apta para satisfacer los
requisitos necesarios de un adulto, que son de 0.5 unidades de
magnesio, una (1) unidad de fosforo, dos (2,5) unidades de hidratos
carbono, y dos tomas ocho (2,8) unidades de proteína. Se debe
determinar la mezcla del mínimo costo, para esta empresa.
Se debe determinar:
a) Definir las variables de decisión.
b) Definir la función objetivo.
c) Definir las restricciones,
Ejercicio de inversión
La inversión en acciones, está sujeta a la rentabilidad del tipo de
riesgo, que se tome en la inversión. Una persona tiene 100 millones,
los quiere invertir en de tipos de acciones Tipo A y Tipo B. Las de
Tipo A son productos que tiene un riesgo alto dando un beneficio de
11%. Las acciones de Tipo B, son productos que tienen menos riesgo,
o más seguro y producen una rentabilidad, del 6%.
Toma la decisión de invertir un máximo de 50 Millones en la acción
de Tipo A y por al menos 20 Millones, en las acciones de Tipo B.
También, que los invertido en Tipo A sea, al menos igual a los
invertido, en las acciones de Tipo B.
Para alcanzar el máximo beneficio, modelar este ejercicio, como un
problema de programación lineal.
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OPTIMIZACIÓN
27
Capítulo II
OPTIMIZACIÓN
Figura 4. Mapa conceptual de optimización.
Fuente: elaboración propia.
La optimización es una herramienta determinante en la programación lineal. El
matemático G.B. Dantzig desarrolló el algoritmo conocido en la investigación de las
operaciones como el Método Simplex, un método de resolución algebraico, iterativo que
busca progresivamente la solución óptima, para resolver este tipo de problemas a través
de los sistemas computacionales, este modelo ha tomado gran auge en los últimos
tiempos, por su gran sencillez.
La aplicación de la programación lineal, a múltiples campos en todos los niveles
empresariales, como la planificación industrial, sistemas de transporte, análisis de redes,
asignación de personal y muchas más, han hecho de la optimización, un elemento
fundamental, en la solución de problemas de alta complejidad.
28
El estudio de la programación lineal, busca la solución óptima de una función que es
lineal, y, además, debe cumplir o satisfacer un grupo de condiciones, llamadas
restricciones, que son ecuaciones de igualdad o desigualdad, según sea el caso.
La optimización se entiende, como una solución de un conjunto de valores específicos,
para llegar al máximo o el mínimo del conjunto de opciones de resultado de la función
lineal, meta u objetivo, también debe mantener las características, de ser factible y ser
óptima
2.1 MÉTODO GRÁFICO
2.1.1. Método de solución gráfico de la programación lineal
La representación de los problemas de programación lineal en forma gráfica, muestran en
su formulación que deben tener dos variables de decisión, y su objetivo es representar en
el plano cartesiano las variables, cuyas coordenadas representan, por sus propias
variables.
Las restricciones o desigualdades, se representan por rectas, tomando como región
factible, el semiplano que según sea, el signo de la desigualdad en el semiplano, mostrará
dicha región, según sea la restricción. La región factible total, es la intersección de todos,
los semiplanos. Se utilizará, para resolver el problema.
2.1.2. Solución gráfica
La estructura general de método gráfico está compuesta, de los siguientes elementos:
1. Encontrar la región, de soluciones factibles.
2. Optimizar la solución en los diferentes puntos localizados en la región de soluciones
factibles.
2.1.3 modelo de maximización para dos variables de decisión
Encontrar la solución del ejercicio por el método gráfico, de la empresa elabora dos tipos
de productos, uno manual y uno eléctricos:
29
Conociendo ya el modelo de programación lineal. del capítulo I, se tiene:
𝑥1 = Número de productos manuales, a fabricar por la empresa.
𝑥2 = Número de productos eléctricos, a fabricar por la empresa.
2.1.4. Encontrar la región de soluciones factibles.
En primer lugar, deben analizar las condiciones de las restricciones, de no negatividad,
𝑥1 ≥0; es el eje horizontal, 𝑥1 representa el tipo de producto manual, 𝑥2 ≥0 es el eje
vertical, representa el tipo de producto eléctrico. De esta forma, la región factible, se
limita al primer cuadrante de eje cartesiano.
30
2.1.5 análisis de la región factible
En este análisis se tendrá en cuenta, todas las restricciones del modelo de programación
lineal, para ser evaluadas las condiciones de la región.
31
Primero se deben tener en cuenta las restricciones, de no negatividad para definir el
espacio donde se va trazar la gráfica, donde 𝑥1 ≥0 y 𝑥2 ≥0
Después sustituir y graficar, cada desigualdad con una ecuación.
Encontrando los puntos de corte de las rectas, sobre la abscisa, y la ordena. Evaluando
todos los puntos resultantes, diciendo 〖si,x〗_1=0 entonces 𝑥2 =180, así sucesivamente.
2 𝑥 1 + 1 𝑥 2 ≤ 180
2 𝑥1 + 1 𝑥2 = 180
𝒙𝟏
𝒙𝟐
0
180
90
0
Así, se obtiene la primera restricción, que se puede graficar, en los puntos 〖(x〗_1, 𝑥2 ) que
pasa por (0,180) y (90,0).
1 𝑥1 + 2 𝑥2 ≤ 160
1 𝑥1 + 2 𝑥2 = 160
𝒙𝟏
𝒙𝟐
0
80
160 0
32
De la misma forma se obtiene, la segunda restricción, que se puede graficar en los puntos
〖(x〗_1, 𝑥2 ), que pasa, por (0,80) y (160,0).
1 𝑥1 +1 𝑥2 ≤100
1 𝑥1 +1 𝑥2 =100
𝒙𝟏
𝒙𝟐
1
0
0
0
10
0
0
Para la tercera restricción, que se puede graficar en los puntos ((𝑥1 , 𝑥2 ), que pasa por (0,80)
y (160,0).
3. Para continuar con el análisis, se evaluará, la recta que divide en dos semiplanos todo el
plano y que, en forma excluyente, sólo uno de ellos da la condición de ser la región factible,
según sea el sentido de la desigualdad. Una forma de evaluar cuál de los lados es la región
factible (correcta), evaluará la ecuación de desigualdad, en el punto (0,0), como guía.
Cuando la desigualdad es correcta, este lado del semiplano, se llamará “región factible”.
4. Como ejemplo, véase tomando las referencia el punto (0,0), y evaluándolo en la
desigualdad de la restricción, 2 𝑥1 +1 𝑥2 ≤180. Como 2* (0) +1 * (0) ≤ 180 , este semiplano
donde se encuentra el origen del plano cartesiano, cumple las condición de ser la región
factible.
33
5. Existe un caso especial, cuando la ecuación que se requiere graficar, es una línea que
interseca con el punto de origen (0,0), la solución para resolver este caso, es tomas un
punto diferente al origen (0,0), y evaluar la ecuación de la desigualdad, con la región
factible.
6. El conjunto de todas las soluciones factible de las restricciones, representadas en el
plano cartesiano se llamará el “Espacio de Solución Factible”, ubicado dentro del primer
cuadrante, y además deberá satisfacer, el total del conjunto de restricciones
simultáneamente. En la figura 2.1, aquellos puntos inclusive los que conforman el límite
del espacio de solución factible, descrito por ABCDE. Aquellos puntos que están por fuera
del área se llamara área de solución, no factibles.
Este enunciado, da una forma de encontrar una solución óptima, sin dibujar las rectas de
isoutilidad, como lo hizo, antes.
Con el fin de encontrar la solución óptima, evaluar la función objetivo, en cada uno de los
vértices del espacio de solución factible, y dependiendo si se está maximizando o
minimizando, encontrando el vértice, que optimice la función objetivo.
VERTI
𝒙𝟏
𝒙𝟐
A
40
60
B
80
20
C
90
0
D
0
0
E
0
80
CE
34
Ahora, evaluando la función objetivo Maximizar Z=4 𝑥1 + 6 𝑥2 , en cada uno de los puntos:
Z (A)=4*(40 ) + 6*(60 )= 520
Z (B)=4*(80 ) + 6*(20 )= 440
Z (C)=4*(90 ) + 6*(20 )= 360
Z (D)=4*( 0 ) + 6*( 0 )= 0
Z (E)=4*( 0 ) + 6*(80 )= 480
Así, Z tiene un valor máximo de 520 en A (40, 60), donde esta es solución óptima para la
maximización del problema de programación lineal planteado, y está dada por el valor
óptimo (máximo) de la función objetivo, y el punto donde ocurre dicho valor.
MÉTODO SIMPLEX
El algoritmo del Método Simplex, es muy sencillo de resolver y bastante práctico, que
favorece para trabajar las restricciones, y la función objetico de manera eficiente, como
ya se había visto, fue desarrollado por Danzinen, buscando encontrar el óptimo, se aplica
para todos los tipos de problemas de Programación Lineal que posean dos o más
variables de decisión.
2.2.1. Modelo matemático de programación lineal
Las condiciones que se deben plantear para el desarrollo del algoritmo del Método
Simplex, estas se establecen como complemento del Modelo de Programación Lineal
planteado en el capítulo I, y utilizar como modelo el mismo ejercicio que se resolvió, para
el método gráfico, y son las siguientes:
a) Las ecuaciones de restricción, debe tener el lado derecho de la igualdad o
desigualdad positivo, (no negativo), si lo hay se debe hacer, que se cumpla esta
condición.
b) Se sigue aplicando la condición de No Negatividad, para las variables del conjunto de
ecuaciones.
35
Transformar las ecuaciones de desigualdad, de las restricciones en ecuaciones, de
igualdad y deberá tener lado derecho que en este caso representa la disponibilidad de los
recursos, este recurso debe ser positivos. (no negativos), y resto de ecuación en el lado
derecho, mostrando las actividades a evaluarse.
Trasformar las ecuaciones de desigualdad, en ecuaciones de igualdad, se debe tener en
cuenta, es sentido de las ecuaciones de desigualdad, para adicionar o restar la variable de
Holgura:
▪
Si la desigualdad es≤le agregamos la variable de holguar +S_1 = y ademas S_1≥0
▪
Si la desigualdad es ≥le quitamos la variable de superavit-S_1 = y ademas S_1≥0
Para el ejercicio que está trabajando, la restricción de máquina Tipo A, en el tiempo de
utilización de la máquina es igual a a 2 𝑥1 +1 𝑥2 ≤180 se deberá convertirla, en una
ecuación:
2 𝑥1 + 1 𝑥2 + 𝑆1 = 180 , 𝑠𝑖 𝑆1 ≥ 0
La variable no negativa S_(1,)
máquina tipo A.
es la holgura (o cantidad no utilizada), del recurso de la
Para los casos, donde se tienen restricciones (≥), esta no establece un límite inferior, en
las actividades del ejercicio, así que la cantidad en la cual el lado izquierdo excede el
límite mínimo representa un superávit. Así pues, la conversión de(≥),a - S_1= se logra
restando una variable de superávit no negativa del lado izquierdo de la desigualdad.
Se deberá tener en cuenta, que el lado derecho de la ecuación resultante puede ser no
negativo. En el caso que sucediera, que el lado derecho resulta negativo, la condición se
cumple, multiplicando ambos lados de la ecuación por (-1).
En el ejemplo para resolver el modelo de la empresa fábrica, dos tipos de productos, uno
manual, y uno eléctricos:
36
𝑥1 = Número de productos manuales a fabricar por la empresa
𝑥2 = Número de productos eléctricos a fabricar por la empresa
Tendría para el algoritmo del simplex:
Este es el ejemplo para resolver el modelo de la empresa fábrica dos tipos de productos,
uno manual y uno eléctricos:
Variables
𝑥1 = Número de productos manuales, a fabricar por la empresa
𝑥2 = Número de productos eléctricos, a fabricar por la empresa
37
1. Como ya se había visto, las variables 〖S_1,S〗_2 ,S_3, son variable de holgura, que
corresponde a cada una de las restricciones, del modelo de Programación Lineal.
2. Igualando a cero, la función objetivo, así;
Z-4 𝑥1 6 𝑥2 =0
Se tendría, la siguiente “Tabla Inicial” para el desarrollo de los procedimientos, en el
algoritmo del método simplex:
Tabla 2. Inicial procedimientos. Método simplex.
BÁSICA
Z
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝑺𝟑
solución
𝑧
1
-4
-6
0
0
0
0
FILA 𝒁
𝑺𝟏
0
2
1
1
0
0
180
FILA 𝑺𝟏
𝑺𝟐
0
1
2
0
1
0
160
FILA 𝑺𝟐
𝑺𝟑
0
1
1
0
0
1
100
FILA 𝑺𝟑
Fuente: elaboración propia.
38
2.2.2. Interpretación de la tabla inicial
Este diseño de la “Tabla Inicial” de método del Algoritmo Simplex, entrega una solución
inicial, para el ejercicio o primera iteración, las variables de la función objetivo y las
restricciones de decisión, se registran en la columna izquierda.
En la columna derecha se registran los recursos a utilizar, que son el lado derecho de cada
una de las ecuaciones, para la función objetivo es cero.
Con los coeficientes de las variables básicas, y debajo de las variables de holgura,
construir una versión de la matriz identidad, donde existe variable de holgura (S),
utilizando el valor de uno, y donde no se tiene una variable de holgura; el valor será cero.
39
2.2.3. Variable de entrada
Para definir la variable de entrada en cada una de las iteraciones, utilizar la condición de
Condición de Optimalidad.
Condición de Optimalidad:
Esta condición define, que cada una de las variables de entrada, en los ejercicios de
simplex, sea de maximización o, de minimización), es la fila Z tomando como entrada la
“Variable No Básica”, con el coeficiente “más negativo” (positivo) en caso de tener dos o
más igual se toma cualquier. Realizando tantas iteraciones para encontrar el “óptimo”, y
se encuentra, en la iteración, donde los coeficientes en la “fila z son no negativos”, (no
positivos).
2.2.4. Variable de salida
Para definir la variable de salida en cada una de las iteraciones, utilizando la Condición
Factibilidad.
Condición de Factibilidad:
La condición de factibilidad, en los en los ejercicios de simplex, se aplica para la
maximización y la minimización, la variable de salida se calculará como la relación de
dividir, la solución de cada fila (excepto Z); en el coeficiente de la columna de entrada,
para los coeficientes que sean mayores que cero, los menores o iguales no se tienen en
cuenta (solo positivos). Para el ejercicio será el siguiente:
40
Tabla 3. Condición de factibilidad.
Fuente: elaboración propia.
41
Después de conocer la tabla inicial resolver el ejercicio por el método simplex,
realizaremos todas las operaciones apoyados en el resumen las Operaciones de filas de
Gauss - Jordán, en combinación de los Pasos del Método Simplex. Tomando el Resumen
de método Simplex (Taha, 2012), novena edición pág. 85 tendremos:
OPERACIONES DE FILAS DE GAUSS - JORDAN
Modelo de Gauss - Jordan a partir de Taha (2012):
Operaciones de filas de Gauss - Jordan
1. Fila pivote
a. Reemplazar la variable de entrada, en la columna Básica, con la variable de entrada.
b. Nueva fila pivote = Fila pivote actual ÷ Elemento pivote
2. Todas las demás filas, incluida la z
Nueva fila = (Fila actual) - (Su coeficiente, en la columna pivote) X (Nueva fila pivote).
2.4. LOS PASOS DEL MÉTODO SIMPLEX SON:
Paso 0. Determinar la solución factible básica, inicial “Tabla inicial”.
Paso 1. Seleccionar una variable de entrada, utilizando la condición de optimalidad.
Detenerse, si no hay variable de entrada; la última condición es óptima. De otro modo,
prosiga con el paso 2.
Paso 2. Seleccionar una variable de salida, utilizando la condición de factibilidad.
Paso 3. Aplicar los cálculos de Gauss- Jordan, para determinar la nueva solución básica. Ir,
al paso 1.
42
Para el ejercicio planteado, se desarrollará todo el conjunto de operaciones de algoritmos
de gauss, y el simplex.
PASO NÚMERO UNO Y DOS:
Utilizando la metodología de solución de ecuaciones por método de Gauss, se identificó
en la columna pivote (resaltada), que es 𝑥2 por ser la más negativa, y la fila pivote
(resaltada), en la tabla anterior, siendo esta intersección el elemento pivote.
Tabla 4. Métodos de Gauss.
ENTRAD
A
↓
BÁSI
𝒙𝟏
Z
1
-4
-6
0
0
0
0
𝑺𝟏
0
2
1
1
0
0
180
CA
SAL
𝒙𝟐
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝑺𝟑
SOL
Z
UCIÓN
𝑺𝟐
E ←
FILA
0
1
2
0
1
0
160
PIVOT
E
𝑺𝟑
0
1
1
0
0
1
100
Columna
Pivote
Fuente: elaboración propia.
43
PASO NÚMERO TRES:
A partir del elemento pivote, realizar dos tipos de cálculos (con Gauss -Jordan) para
obtener una nueva solución.
•
Nueva fila Pivote.
Para convertir el elemento pivote, en uno (1)
a) Para encontrar la Nueva fila Pivote, en la columna Básica, sustituya la variable de
salida.
b) 𝑆2 en la columna Básica con la variable de entrada 𝑥2 .
c)
La Nueva fila Pivote = Fila pivote actual ÷ Elemento pivote
• Las operaciones con las otras filas
Para convertir los coeficientes, que están por encima y por debajo del elemento pivote en
cero (0), las demás filas de la tabla incluyendo Z, se construirán de la siguiente forma.
Nueva fila =(Fila actual)-(coeficiente de la columna pivote)X(nueva fila pivote)
2.4.1. Primera iteración
44
Proceder a ubicar estos resultados de la primera iteración, en la nueva tabla para tener
como resultado la nueva solución ,básica es (𝑥2 ,S_1, S_3 ):
BÁSICA
Z
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝑺𝟑
SOLUCIÓN
Z
1
-1
0
0
3
0
480
0
3
2
0
1
−
1
2
0
100
0
1
2
1
0
1
2
0
80
0
1
2
0
0
−
1
2
1
20
𝑺𝟏
𝐱𝟐
𝑺𝟑
45
Después de la primera iteración, valores negativos en la fila Z, pasar de nuevo al PASO
UNO, y realizar todo el desarrollo del procedimiento nuevamente:
BASICA
Z
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝑺𝟑
SOLUCION
Z
1
-1
0
0
3
0
480
0
3
2
0
1
−
1
2
0
100
0
𝟏
𝟐
1
0
𝟏
𝟐
0
80
0
𝟏
𝟐
0
0
−
𝟏
𝟐
1
20
𝑺𝟏
𝐱𝟐
𝑺𝟑
Después de encontrar la columna de entrada, calcular la fila de salida, asimismo,
encontrar el nuevo elemento pivote, en la intersección de la fila, y la columna:
Entrada
BÁSIC
𝒙𝟏
SOLUCIÓN
A
-1
𝑺𝟏
𝐱𝟐
𝑺𝟑
3
2
100
𝑥2 =
𝟏
𝟐
80
𝑥2 =
80
= 160
1
2
𝟏
𝟐
20
𝑥2 =
20
= 40
1
2
100
= 66.67
3
2
← 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
La entrada se realiza, por 𝒙𝟏 y sale por 𝑺𝟑
46
ENTRAD
A
↓
BÁSIC
A
Z
𝒙𝟏
1
-1
0
0
3
0
480
0
3
2
0
1
−
1
2
0
100
0
𝟏
𝟐
1
0
𝟏
𝟐
0
80
0
𝟏
𝟐
0
𝟏
−
𝟐
𝑺𝟏
𝐱𝟐
SALE
←
𝑺𝟑
𝒙𝟐
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝑺𝟑
SOLUCIÓ
Z
N
0
FILA
1
20
PIVOT
E
Columna
Pivote
47
BASICA
Z
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝑺𝟑
SOLUCION
Z
1
0
0
0
2
2
520
𝑺𝟏
0
0
0
1
1
-3
40
x2
0
0
1
0
1
-1
60
𝑥1
0
1
0
0
-1
2
40
2.4.3. Análisis de la tabla
De acurdo con la teoría de la condición de optimalidad, para esta tabla no existe ningún
coeficiente negativo en la fila Z, por lo tanto, deducimos que es la solución es Óptima.
Puede ser interpretada para el algoritmo simplex, así:
VARIABLES DE
VALOR
DECISIÓN
ÓPTIMO
Z
RECOMENDACIÓN
La utilidad máxima será, de
520
maximizar la función
objetivo.
𝑥1
40
Fabricar 10 manuales.
𝑥2
60
Fabricar 75 eléctricos.
Para la maximización de la función objetivo:
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 4 𝑥1 + 6𝑥2
𝑍 = 4 𝑋40 + 6𝑋60 = 520
48
PARA RESOLVER
AUTOEVALUACIÓN II
TEÓRICO:
Resolver en forma gráfica (graficar), los siguientes sistemas de
inecuaciones.
𝑥<4
𝑥 − 4𝑦 > 5
𝑥>0
3𝑥 + 𝑦 > 6
2𝑥−𝑦 ≥ 2
2𝑥+𝑦 > 4
−2𝑥+𝑦 ≥ 1
5𝑥+2𝑦 ≤ 4
𝑥+𝑦 >0
−𝑥 + 2 𝑦 ≤ 0
METODO GRÁFICO:
Una carpintería fabrica mesas redondas y cuadradas para su venta, la
utilidad de las mesas redondas es de $100.000, se necesita 5 horas
en la máquina de lijar y de 4 horas de trabajo de pintura, la demanda
no es superior a las 10 unidades.
La mesa cuadrada, requiere de 4 horas en la máquina de lijar y de 3
horas de trabajo de pintura, produce una utilidad de $130.000. La
carpintería dispone a la semana de 50 horas totales en la máquina de
lijar y de 55 horas totales de trabajo de pintura, la demanda no es
superior a las 10 unidades.
¿Cuantas mesas redondas y cuadradas deberán producir la
carpintería para maximizar la utilidad?
Presente este ejercicio como un problema de programación lineal y
resuélvalo optimizándolo por el método gráfico.
49
PARA RESOLVER
AUTOEVALUACIÓN II
MÉTODO GRÁFICO:
Un grupo de aficionados al Atlético Bucaramanga, contrata a una
empresa para trasladar a 1200 hinchas a ver un partido en otra
ciudad. La empresa dispone, de buses de 50 y de 30 puestos. El valor
de los buses de 50 pasajeros, es de $600.000 y de los buses de 30
pasajeros, es de $450.000. La empresa contratada dispone de 30
conductores, para ese traslado.
¿Cuantos buses de 50 y de 30 puestos, se debe contratar para
minimizar el costo? ¿Y cuál es el costo?
Desarrollarlo, como un modelo de programación lineal, y
optimizarlo, por método gráfico.
MÉTODO SIMPLEX:
Resolver por método simplex, el siguiente ejercicio:
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 6𝑥1 + 2𝑥2 + 2 𝑥3
S. A.
6𝑥1 + 2𝑥2 + 6 𝑥3 ≥ 6
6𝑥1 + 4 𝑥2 = 12
2 𝑥1 − 2𝑥2 ≤ 2
𝑥𝑖 ≥ 0 ; 𝑖 = 1, 2, 3
SIMPLEX:
Un banco en tiene cuatro productos de inversión, en su portafolio
que son: créditos de consumo, acciones, depósitos de metales
preciosos, y préstamos industriales. Las directivas del banco con el
fin de lograr la diversificación de su cartera, plantea nuevas políticas.
La primera es maximizar el interés esperado, para el siguiente
semestre. Y cumplir con la diversificación propuesta por los
directivos, según la tabla. En la actualidad tiene una disponibilidad
de 5 millones de dólares para las inversiones.
50
PARA RESOLVER
AUTOEVALUACIÓN II
Tabla 5. Información bancaria.
LÍMITE DE
TIPO DE INVERSIÓN
INTERÉS
INVERSIÓN
ESPERADO
(MILLONES DE
DÓLARES)
Crédito de consumo
7%
1.2
Acciones
10 %
2.4
Depósitos de Metales Preciosos
18 %
1.6
Préstamos Industriales
14 %
1.9
Fuente: elaboración propia.
Posteriormente, los directivos decidieron que al menos 6 % de la
inversión, se debe dedicar a Depósitos de Metales Preciosos, y
Préstamos Industriales. Los créditos de consumo, no superen el
14%.
51
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Foto de fondo creado por jcomp
TRASPORTE Y ASIGNACIÓN
52
Capítulo III
TRASPORTE Y ASIGNACIÓN
Figura 5. Mapa conceptual transporte y asignación.
Fuente: elaboración propia.
Los primeros desarrollos de los problemas, de programación lineal como modelos de
transporte, fueron aplicados por F. L. Hitchcook, presentado en su estudio que lleva los
títulos de The Distribution of a Product from several Sources to Numerous Localities, esta
aplicación recibe su nombre, que involucra muchos problemas que se pueden modelar como
transporte, que tienen la aplicación en muchos sitios iniciales de distribución o embarque, y
sitios de recesión o llegada llamados destinos; todos en un periodo dado, con un conjunto
de requerimientos de costos de trasporte, un objeto del origen al destino por un valor dado.
Y como todos los problemas de programación lineal, la función objetivo tiene como principal
misión, la optimización para minimizar el costo total de transporte de todos los elementos,
después de cumplir con las condiciones de la oferta (origen), y la demanda (destinos).
53
3.1. MODELO DE TRANSPORTE
Los problemas de asignación, se pueden tratar como un tipo particular del Modelo de
transporte que requiere de asignar recursos, como es el caso de personas a actividades.
Figura 6. Modelo de transporte.
Fuente: elaboración propia.
Para el modelo de transporte, es un proceso de distribución todo tipo de elemento que
es enviado desde un conjunto de centros de producción, o generación el cual se
denominará Origen, para ser llevados a un conjunto de puntos de llegada o recepción
que denominaremos Destinos, La caracterización de los términos que se utilizarán, en
este modelo será el:
54
Para describir este modelo que utilizará, la siguiente terminología.
m
Cantidad de orígenes centros de producción
n
Cantidad de destinos o centros de llegadas
𝑠𝑖
Recursos producidos o despachados desde el origen i
𝑑𝑗
Recursos demandados o solicitados en el destino j
𝐶𝑖𝑗
Costo de transportar o distribuir una unidad desde origen i hasta el
destino j
𝑥𝑖𝑗
Cantidad a transportar o distribuir una unidad de producto desde origen
i hasta el destino j
2.1 SUPOSICIONES
3.1.1. Suposición de requerimientos
La cantidad suministrada de uni, en el conjunto de destinos, su solución tiene factibilidad
cuando si y sólo sí, debe existir el balance:
𝑚
𝑛
𝑠𝑖 =
𝑖=1
𝑑𝑗
𝑗=1
3.1.2. Suposición de costo
El costo de transportar cada unidad desde el origen al destino, tiene una relación directa
con el número de las unidades transportadas, y se obtiene de la multiplicación del número
de unidades transportadas, 𝑥𝑖𝑗 por el costo de transportar del origen, al destino 𝐶𝑖𝑗 .
𝑚
𝑛
𝑥𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
55
3.1.3. Modelo de programación lineal para el problema de transporte
Se realizará la descripción de los modelos de Programación Lineal, para el transporte con
los mismos elementos del capítulo I, que están estructurados por sus cuatro, elementos
fundamentales:
1. Definición clara y explícita, de cada una de las variables de decisión, en el ejercicio.
2. La Optimización de la función objetivo, que requiere el ejercicio.
3. Todas y cada una de las ecuaciones de desigualdad, en forma de restricciones, que el
ejercicio requiere, para encontrar la solución factible para la oferta y la demanda.
4. El conjunto de restricciones para cumplir las condiciones, de no negatividad.
DEFINICIÓN VARIABLES DE DECISIÓN EN EL EJERCICIO.
𝑥𝑖𝑗 = Cantidad a transportar o distribuir una unidad de producto, desde origen i hasta el
destino j
2. LA DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.
𝑚
𝑛
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 =
𝑥𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗 =1
3. EL CONJUNTO DE RESTRICCIONES PARA LA OFERTA Y LA DEMANDA.
Todas y cada una de las ecuaciones de desigualdad, en forma de restricciones que el
ejercicio, requiere para encontrar la solución factible para la oferta, y la demanda.
Sujeto a:
𝑛
𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎
𝑥𝑖𝑗 = 𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … 𝑚
𝑗=1
𝑚
𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
𝑥𝑖𝑗 = 𝑑𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 2, … 𝑛
𝑖=1
56
4. EL CONJUNTO DE RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD.
∀𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … 𝑚 ,
𝑗 = 1, 2, … 𝑛
En conclusión, se tiene:
𝑥𝑖𝑗 = Cantidad a transportar o distribuir una unidad de producto, desde origen i hasta el
destino j.
𝑚
𝑛
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 =
𝑥𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
Sujeto a:
𝑛
𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎
𝑥𝑖𝑗 = 𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … 𝑚
𝑗=1
𝑚
𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
𝑥𝑖𝑗 = 𝑑𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 2, … 𝑛
𝑖=1
∀𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … 𝑚 ,
𝑗 = 1, 2, … 𝑛
3.1.4. Matriz de transporte
La construcción de la matriz de costos por unidad transportada con cada uno de sus
parámetros se muestra a continuación:
Tabla 6. Matriz de transporte.
57
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD TRASNPORTADA
RECURS
DESTINO
DESDE/HAS
OFERT
1
2
…..
n
1
𝐶11
𝐶12
….
𝐶1𝑛
𝑠1
2
𝐶21
𝐶22
….
𝐶2𝑛
𝑠2
….
….
….
….
….
….
m
𝐶𝑚1
𝐶𝑚2
….
𝐶𝑚𝑛
𝑠𝑚
𝑑1
𝑑2
….
𝑑𝑛
TA
ORIGEN
OS
DEMANDA
A
Fuente: elaboración propia.
3.1.5. Ejemplo modelos de transporte
Una empresa cuenta con cuatro fábricas de calzado, en las ciudades de Bogotá,
Bucaramanga, Cali y Barranquilla, despacha las cajas de calzado a los almacenes que tiene
en las ciudades de Cúcuta, Tunja Ibagué y Villavicencio; estos despachos, se hacen en
forma mensual. Las directivas de la empresa, están analizando la optimización de la
programación, de los despachos de esta producción. Los costos de transporte se ven en la
siguiente tabla, estos son los costos por unidad distribuida.
58
Tabla 7. Matriz de costos.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA:
DESTINO:
ORIGEN
DESDE/HASTA
VILLAVICENCIO
TUNJA
IBAGUÉ
CúCUTA
OFERTA
BOGOTA
25
35
36
60
15
BUCARAMANGA
55
30
45
38
6
CALI
40
50
26
65
14
BARRANQUILLA
60
40
66
27
11
DEMANDA
10
12
15
9
Fuente: elaboración propia.
En algunos casos los ejemplos, no entregan la matriz de costos, y debe ser construida,
teniendo en cuenta, la disponibilidad de los recursos que son suministrados o sea la
oferta, que se ubicará en la columna de la derecha, y los requerimientos de productos o
sea la demanda, se ubicará en la última fila.
La intersección de origen y destino en la matriz, son los costos de transporte, por
ejemplo; el costo de transportar una unidad, de Cali a Tunja es $50.
Cumpliendo con la condición de requerimientos, se debe confirmar, que la sumatoria de
la oferta, debe ser igual a la sumatoria de la demanda σ𝑚
𝑖=1 𝑠𝑖 (𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎) =
σ𝑛𝑗=1 𝑑𝑗 (𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎)= 46 unidades.
En el caso de no cumplirse con la condición de requerimientos, se deberá crear el faltante
ya sea, en oferta o demanda a través de una fábrica o un almacén ficticio o simular la
estancia de este, para así cumplir con el requerimiento de igualdad, con costos de
transporte iguales a cero, en las filas o las columnas.
59
PROCEDIMIENTO DE ASIGNACIÓN INICIAL
En la literatura de este tema existen muchos métodos para la asignación inicial, para el
caso de estudio de este curso tomaremos tres tipos distintos, que son los más
representativos son:
Método Esquina Noroeste
Método Costo Mínimo
Método de Aproximación de Vogel
3.2. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
La esquina noroeste de la tabla, es la que corresponde en la matriz de costos, es la
primera fila de la primera columna o el extremo superior izquierdo de la tabla, a esta
casilla se le asignado la mayor cantidad posible, en el análisis entre la oferta y la
demanda.
Sí no queda satisfecha la oferta en la primera de las filas, se pasa a la siguiente fila a la
derecha, y asignamos nuevamente y así sucesivamente, hasta que los recursos de la fila
inicial, se agoten o queden en cero.
Posteriormente, se pasa a la fila dos, repitiendo el procedimiento anterior, teniendo en
cuenta, que las columnas donde las asignaciones anteriores, dejen la demanda en cero;
no se tiene en cuenta, y se continua el proceso, hasta que cada se agoten los recursos de
las filas, y los requerimientos de las columnas. Para facilitar la asignación, se pueden
tachar, las filas y las columnas que van quedado en cero, hasta que todas, queden
tachadas.
Esta solución inicial no es la más óptima o difícilmente se utiliza, porque su solución sólo
se basa en la asignación de la posición física dentro de la tabla de costos, y no en el costo,
que lo que quiere minimizar.
3.2.1. Solución del ejemplo
para el método de la esquina noroeste es Bogotá - Villavicencio y asignar lo máximo
posible, que es 10 unidades, Bogotá produce 15u. y Villavicencio demanda 10 u. Por lo
tanto, lo máximo que podemos asignar es 10 u. Porque es lo máximo que Villavicencio
puede recibir, quedando satisfecha la demanda de Villavicencio.
60
Sobre la fila de la fábrica Bogotá queda un excedente de 5u, según el procedimiento,
pasamos a la columna izquierda - Tunja y procederá de misma forma, asignar lo máximo
posible que es 5 unidades, de la fábrica de Bogotá, porque es lo máximo que Bogotá
puede asignar, Tunja quedará con una demanda pendiente de 7 unidades, y así Bogotá,
quedará con su oferta que ha terminado, en cero. Pasando a la siguiente fila.
Para Bucaramanga, en la columna de Villavicencio la demanda ya está satisfecha o sea
está en cero, se pasa a la columna de la derecha, tendríamos que en Tunja existe una
demanda de 7 u. que se asignarán desde la fábrica de Bucaramanga, Tunja quedará con
una demanda pendiente de 1 unidad. Para la fábrica de Bucaramanga quedará con su
oferta terminada en cero. Pasando a la siguiente fila.
Se pasa a la siguiente fila la fábrica de Cali que produce 14 u., puede asignar 1 u en Tunja
y así queda con toda se demanda satisfecha, se pasa a la columna siguiente, Ibagué en la
cual se pueden asignar 13 unidades restantes de la fábrica de Cali, quedando esta fábrica
con su oferta en cero. Se pasa a la siguiente fila Barranquilla, de la producción u oferta de
Barranquilla, se puede asignar las 2 u. que faltan para completar la demanda de Ibagué,
que quedará su demanda satisfecha, y pasamos a la columna siguiente Cúcuta, y
asignando 9 u. quedando en cero la oferta de Barranquilla y la demanda de CÚCUTA,
terminando así el proceso.
Tabla 8. Matriz de costos
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
ORIGEN
DESTINO
DESDE/HASTA
VILLAVICENCIO
TUNJA
BOGOTA
10
25
5
BUCARAMANGA
55
CALI
40
BARRANQUILLA
60
DEMANDA
10
IBAGUÉ
CÚCUTA
35
36
60
15
6
30
45
38
6
1
50
13
26
65
14
40
2
66
27
11
12
15
9
OFERTA
9
61
Fuente: elaboración propia.
El siguiente paso consiste en calcular el costo total, que resulta de tomar cada asignación
y multiplicarla por el costo de la misma, que es desarrollar la función objetivo.
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= 10 ∗ $25 + 5 ∗ $35 + 6 ∗ $30 + 1 ∗ $50 + 13 ∗ $26 + 2 ∗ $66 + 9 ∗ $27
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $1368
3.3. MÉTODO DE ASIGNACIÓN DEL COSTO MÍNIMO
Para este método se busca dentro de la matriz de costos en cada ejercicio la relación que
tenga el menor costo, a esa relación se le asigna la mayor cantidad de posible de
producto a transportar. En el caso donde existan dos o más costos iguales, la decisión de
en cual asignar, se toma arbitrariamente el que el tomador de la decisión elija, aquellas
filas y columnas que se asignen completas o queden en cero sus recursos o sus
demandas, no se tendrán en cuenta continuando con el proceso. Este proceso de
asignación termina cuando se satisface todas las demandas y quedan en cero todas las
ofertas.
3.3.1 Solución ejemplo
Debe verificarse el cumplimiento de la condición de requerimientos se debe confirmar
que la sumatoria de la oferta debe ser igual a la sumatoria de la demanda
𝑛
σ𝑚
𝑖=1 𝑠𝑖 (𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎) = σ𝑗=1 𝑑𝑗 (𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎)= 46 unidades.
Tabla 9. Matriz de costos, por unidad distribuida.
62
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
ORIGEN
DESTINO
DESDE/HASTA
VILLAVICENCIO
BOGOTÁ
10
TUNJA
IBAGUÉ
CÚCUTA
OFERTA
25 (1)
5
35(5)
36
60
15/5/0
BUCARAMANGA
55
6
30(4)
45
38
6/0
CALI
40
50
14
26 (2)
BARRANQUILLA
60
1
40 (6)
1
66 (7)
DEMANDA
10/0
12/6/1/0
15/1/0
9
65
14/0
27 (3)
11/2/1/0
9/0
Fuente: elaboración propia.
En la tabla la celda de menor costo es (1) Bogotá - Villavicencio y asignando máximo
posible, 10 u., buscar la siguiente de menor costo (2) Cali - Ibagué y asignamos lo máximo
posible 14 u., buscando la siguiente de menor costo (3) Barranquilla – Cúcuta y asignar lo
máximo posible 9 u., buscando la siguiente de menor costo (4) Bucaramanga – Tunja y
asignando lo máximo posible 6 u., buscar la siguiente de menor costo (5) Bogotá – Tunja
y asignar lo máximo posible 5 u., buscando la siguiente de menor costo (6) Barranquilla –
Tunja y asignando lo máximo posible 1 u. buscar la siguiente de menor costo (7)
Barranquilla – Ibagué y asignando lo máximo posible, 1 u.
El siguiente paso consiste en calcular el costo total, que resulta de tomar cada asignación
y multiplicarla por el costo de la misma, que es desarrollar la función objetivo.
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎 l
= 10 ∗ $25 + 5 ∗ $35 + 6 ∗ $30 + 14 ∗ $26 + 1 ∗ $40 + 1 ∗ $66 + 9 ∗ $27
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $1318
63
3.4 MÉTODO DE ASIGNACIÓN DE VOGEL
El método de Aproximación de Vogel, es un método heurístico en la mayoría de los casos
nos proporciona la mejor solución básica inicial, más cercana al óptimo que los dos
sistemas de asignación anterior, encontrando una solución básica más eficiente.
Este modelo se desarrolla por medio de cinco etapas, como un conjunto de
penalizaciones para toda la tabla de costos, el procedimiento se explicará a continuación:
ETAPA 1.
Evaluar en las filas y en las columnas, el valor de la penalización (diferencia o resta,) de los
dos elementos de menor valor, en cada fila, y cada columna.
ETAPA 2.
Encontrar de todas las penalizaciones evaluadas en el paso anterior, cuál es la del mayor
valor de todas las filas y columnas, seleccionándolo. En el caso de existir igualdad en
algunos resultados, romper arbitrariamente.
ETAPA 3.
De la fila o columna seleccionada en el paso anterior, encontrar la que tenga el menor
costo y asignar la mayor cantidad de recursos que sea posible de la oferta o ya sea el
requerimiento de la demanda. Descontando lo asignado, de la oferta y la demanda.
ETAPA 4.
De cada fila o columna, cuya asignación resulte completa ya sea de oferta o demanda, no
se tendrá en cuenta para asignaciones posteriores (se eliminan).
Si todas las filas o columnas tienen recursos igual a cero, parar.
ETAPA 5.
Evaluar nuevamente para cada fila, y para cada columna, la penalización de la etapa uno.
Aquellas que este en cero, no tener en cuenta, posteriormente ir, a la etapa dos.
En el caso que quede sólo una fila o sólo una columna, con recurso de oferta o demanda,
determinar su asignación, por el método del costo mínimo.
3.3.1 SOLUCIÓN DE EJEMPLO
64
Tabla 10. Matriz de costos, por unidad distribuida,
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
DESTINO
ORIGEN
DESDE/HASTA
VILLAVICENCIO
TUNJA
IBAGUÉ
CÚCUTA
OFE
RTA
BOGOTÁ
25
35
36
60
15
BUCARAMANGA
55
30
45
38
6
CALI
40
50
26
65
14
BARRANQUILLA
60
40
66
27
11
DEMANDA
10
12
15
9
Fuente: elaboración propia.
Desarrollo del ejercicio, a través del Método de Aproximación de Vogel, también se
debe verificar el cumplimiento de la condición de requerimientos se debe confirmar que
la sumatoria de la oferta debe ser igual a la sumatoria de la demanda
𝑛
σ𝑚
𝑖=1 𝑠𝑖 (𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎) = σ𝑗=1 𝑑𝑗 (𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎)= 46 unidades.
Con la Etapa 1, tendremos, Evaluar en las filas y en las columnas, el valor de la
penalización (diferencia o resta) de los dos elementos de menor valor en cada fila y cada
columna.
Tabla 11. Matriz de costos, por unidad distribuida.
65
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
DIFERENCIA
DESTINO
DESDE/HASTA
VILLAVICE
NCIO
ORIGEN
BOGOTA
TUNJA
IBAGUE
CUCUTA
25
35
36
60
OFERTA
15
1
10
55
30
45
38
6
8
CALI
40
50
26
65
14
14
BARRANQUILLA
60
40
66
27
11
13
DEMANDA
10
12
15
9
DIFERENCIA 1
15
5
10
11
Fuente: elaboración propia.
Para la Etapa dos, encontrando que la mayor diferencia es Villavicencio, y la
seleccionamos.
Para la Etapa tres, de la columna seleccionada, buscando cuál es la que tiene el
menor costo, seria; Bogotá y a esta se le asigna lo máximo posible, 10 u. Por lo
tanto, Villavicencio quedaría con su demanda satisfecha, por haberle asignado 10 u.
de Bogotá y a Bogotá le restan las 10 u. asignadas, quedando un excedente de 5 u.
así:
66
Tabla 12. Matriz de costos, por unidad distribuida.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
DIFERENC
DESTINO
DESDE/HASTA
ORIGEN
BOGOTÁ
VILLAVICENCI
O
IBAGUÉ
CÚCUTA
35
36
60
15/5
30
45
38
6
50
26
65
14
40
66
27
11
5
5
BUCARAMANGA
5
4
CALI
OFERT
TUNJA
2
10
IA
0
6
BARRANQUILLA
0
DEMANDA
10/O
12
15
9
DIFERENCIA 1
15
5
10
11
1
A
10
8
14
13
Fuente: elaboración propia.
En la Etapa cuatro, verificamos si todos los recursos fueron asignados están en cero, como
no es el caso, pasamos a la etapa cinco. Descartando la ciudad de VILLAVICENCIO para
futuros cálculos.
En la etapa cinco, procedemos a realizar nuevamente la siguiente iteración, calculando la
diferencia dos (2) nuevamente los pasos de la etapa uno. Evaluando para todas filas y
para todas las columnas, las diferencias entre las dos celdas del costo menor.
67
Tabla 13. Matriz de costos, por unidad distribuida.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
DIFERENCIA
ORIGEN
DESTINO
DESDE/HASTA
VILLAVICENCIO
BOGOTÁ
10
TUNJA
IBAGUÉ
CÚCUTA
OFERTA
1
2
25
35
36
60
15/5
10
1
BUCARAMANGA
55
30
45
38
6
8
8
CALI
40
50
26
65
14/0
14
14
11
13
13
60
BARRANQUILLA
DEMANDA
10/0
DIFERENCIA 1
15
DIFERENCIA 2
-
14
40
5
66
27
12
15/1
9
5
10
11
10
11
Fuente: elaboración propia.
Se pasa a la Etapa dos y tres: encontrando que la mayor diferencia está en la fábrica de
Cali, y que el costo menor coincide con el almacén de Ibagué. Por lo tanto, en la Etapa
cuatro asignarán 14u. Dejando la fábrica de Cali con cero recursos y Ibagué, con una
demanda pendiente de 1 u.
En esta Etapa cinco, procederán a realizar nuevamente la siguiente iteración, calculando
la diferencia tres (3) nuevamente, los pasos de la etapa uno. Evaluando para todas filas y
para todas las columnas, las diferencias entre las dos celdas del costo menor.
68
Tabla 14. Matriz de costos, costo por unidad distribuida.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
DIFERENCI
DESTINO
A
VILLAV
DESDE/HASTA
ICENCI
TUNJA
IBAGUE
CUCUTA
35
36
60
15/5
30
45
38
6
26
65
14/0
27
11/
1
2
3
1
1
1
8
8
8
1
14
-
13
13
OFERTA
O
ORIGEN
BOGOTA
2
10
5
5
BUCARAMANGA
5
4
CALI
50
0
4
1
6
BARRANQUILLA
14
0
40
0
66
9
DEMANDA
10/0
12
15/1
9/0
DIFERENCIA 1
15
5
10
11
DIFERENCIA 2
-
5
10
11
DIFERENCIA 3
-
5
9
11
3
Fuente: elaboración propia.
Sin tener en cuenta, Cali y Villavicencio. Se encuentra que la mayor diferencia es Barranquilla
y encontrando que analizando el menor costo está en transportar, a la ciudad de Cúcuta, por
lo tanto, se procederá a asignar lo más posible, que son 9 u. Quedando satisfecha la
demanda de Cúcuta y un remante de recursos en Barranquilla 2 u.
Procediendo a realizar una nueva iteración, calculando la diferencia cuatro (4) nuevamente
los pasos de la Etapa uno, dos, tres, cuatro. Iniciar la evaluación, para todas filas y para todas
las columnas, las diferencias entre las dos celdas, son las del costo menor.
69
Tabla 15. Matriz de costos, costo por unidad distribuida
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
DIFERENCIA
DESTINO
DESDE/HASTA
ORIGEN
BOGOTÁ
VILLAVICENCIO
TUNJA
1
2
3
0
5
5
5
3
5
0
4
5
0
0
IBAGUÉ
BUCARAMANGA
CALI
6
BARRANQUILLA
0
14
4
2
OFERTA
36
60
15/5
45
38
6
26
65
14/0
27
11/2/0
66
0
CÚCUTA
9
DEMANDA
10/0
12/10
15/1
9/0
DIFERENCIA 1
15
5
10
11
DIFERENCIA 2
-
5
10
11
DIFERENCIA 3
-
5
9
11
DIFERENCIA 4
-
5
9
-
1
2
3
4
10
1
1
1
8
8
8
15
14
14
-
-
13
13
13
26
Fuente: elaboración propia.
Sin tener en cuenta, Cúcuta, Cali y Villavicencio. Se encuentra que la mayor diferencia es,
Barranquilla y encontrando que, analizando el menor costo, está en transportar a la ciudad
de Tunja, por lo tanto, se procederá a asignar lo más posible, que son las 2 u. restantes.
Quedando completa, la oferta de la planta de Barranquilla y en Tunja faltante de producto,
en 10 u.
Como todavía se tiene demanda por ser cubierta, y oferta por ser asignada, se procederá a
realizar una nueva iteración, calculando la diferencia cinco (5) nuevamente los pasos de la
etapa uno, dos, tres, cuatro, evaluando para todas filas y para todas las columnas, las
diferencias entre las dos celdas, del costo menor.
70
Tabla 16. Matriz de costos.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA
DIFERENCIA
ORIGEN
DESTINO
DESDE/HASTA
VILLAVICENCIO
BOGOTÁ
10
TUNJA
IBAGUÉ
CÚCUTA
OFERTA
1
2
3
4
35
36
60
15/5
10
1
1
1
1
30
45
38
6/0
8
8
8
15
15
65
14/0
14
14
-
-
-
27
11/2/0
13
13
13
26
-
25
BUCARAMANGA
55
CALI
40
BARRANQUILLA
60
6
50
2
14
26
40
66
9
DEMANDA
10/0
12/10/4
15/1
9/0
DIFERENCIA 1
15
5
10
11
DIFERENCIA 2
-
5
10
11
DIFERENCIA 3
-
5
9
11
DIFERENCIA 4
-
5
9
-
5
9
-
DIFERENCIA 5
5
Fuente: elaboración propia.
Sin tener en cuenta, Barranquilla, Cúcuta, Cali y Villavicencio. Se encuentra que la mayor
diferencia es Bucaramaga y encontramos que analizando el menor costo está en
transportar a la ciudad de Tunja, por lo tanto, se procederá a asignar lo más posible que son
6 u. restantes. Quedando completa la oferta de la planta de Bucaramaga y en Tunja faltante
de producto en 4 u.
Como todavía se tiene demanda por ser cubierta y oferta por ser asignada, continuar con la
última iteración, por quedar sólo una fila, calculando la diferencia seis (6).
71
Tabla 17. Matriz de costos, por unidad distribuida.
Fuente: elaboración propia.
72
Para esta parte del ejercicio, se tienen recursos por asignar 5 u. de Bogotá y existe
faltante en Tunja 4u. e Ibagué 1 u., para este caso utilizar el principio del costo mínimo,
asignado los más posible a Tunja primero, porque cuesta menos, o su costo es menor
asignado 4u. y terminando con Ibagué y asignando 1u.
El siguiente paso consiste en calcular el costo total, que resulta de tomar cada asignación
y multiplicarla por el costo de la misma, que es desarrollar la función objetivo.
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= 10 ∗ $25 + 4 ∗ $35 + 1 ∗ $36 + 6 ∗ $30 + 14 ∗ $26 + 2 ∗ $40 + 9 ∗ $27
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $1293
3.5. MODELO DE ASIGNACIÓN.
Los problemas de transporte tienen una clase muy específica, llamada “asignación”,
donde se asignan determinados recursos, para el desarrollo de actividades o tareas. Esta
descrito, que está subclase está la capacidad del origen como recursos, y la capacidad de
destino como demanda son iguales a “uno”. Por ejemplo, dónde se deben asignar
empleados, máquinas o vehículos, para realizar un trabajo.
3.5.1 SUPOSICIONES
La definición del costo 𝐶𝑖𝑗 es aquel que se carga por la asignación i por la realización de la
actividad j donde i=1, 2, … n y j = 1, 2, …. N.
Se debe tener en cuenta que numero de asignados debe estar balanceado (ser iguales)
con el número de tareas.
Las actividades deben ser realizadas exactamente por el sujeto que fue asignado.
Las variables normalmente, tienen una connotación binaria, para el modelo de
asignación. Cuando es afirmativa es uno y cuando no la hay es cero.
𝑥𝑖𝑗 = 1., cuando el asignado i realiza la asignación j.
𝑥𝑖𝑗 = 0., cuando no se asigna para la realización de la tarea.
73
𝑚
𝑛
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 =
𝑥𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
Sujeto a:
𝑛
𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎
𝑥𝑖𝑗 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … 𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
𝑥𝑖𝑗 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 2, … 𝑛
𝑖=1
∀𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … 𝑛 ,
𝑗 = 1, 2, … 𝑛
Cómo se puede apreciar este modelo matemático del problema de asignación, es similar
al modelo de transporte, en donde se ubicarán los datos del origen los ahora serán los
asignados, y los destinos serán la asignación o las tareas asignadas, además, los datos de
orígenes (m) = datos de destinos (n). Los recursos de oferta es 𝑠𝑖 = 1 y además la
Demanda de recurso es 𝑑𝑖 = 1.
3.5.2 Matriz de asignación
La construcción de la matriz de costos por unidad asignada a con cada uno de sus
parámetros se muestra a continuación:
74
Tabla 18. Matriz de asignación.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA
RECURSO
TAREA
OFERT
1
2
…..
m=n
1
𝐶11
𝐶12
….
𝐶1𝑛
1
2
𝐶21
𝐶22
….
𝐶2𝑛
1
….
….
….
….
….
…….
m=n
𝐶𝑚1
𝐶𝑚2
….
𝐶𝑚𝑛
1
DEMANDA
1
1
….
1
DESDE/HASTA
ORIGEN
S
A
Fuente: elaboración propia.
3.6 MÉTODO HÚNGARO
El método Húngaro es un algoritmo, para optimizar para los ejercicios del Modelo de
Asignación, desarrollados inicialmente por Dénes König y Jenő Egerváry, matemáticos
Húngaros. Está desarrollado, para optimizar la minimización de los problemas de
asignación.
Ejemplo: se trata de asignar cuatro ambulancias, en distintos lugares de la ciudad, existen
la necesidad de realizar el traslado de cuatro pacientes, ubicados en lugares distintos. En
la tabla se conoce sobre el tiempo de traslado, de cada ambulancia. La empresa de
ambulancias, quiere minimizar el tiempo de traslado de los pacientes.
75
Tabla 19. Costo por unidad asignada.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
NUMER
PACIENTES
AMBULANCIA
O
DESDE/HASTA
1
2
3
4
MENOR
1
0
4
1
3
2
2
0
1
4
2
1
3
3
2
0
4
1
4
1
3
0
4
1
Fuente: elaboración propia.
3.6.1. Etapas del algoritmo húngaro
ETAPA UNO.
Para encontrar los “costos de oportunidad”, es necesario encontrar en número de menor
valor (más Pequeño) de las filas y restarlo a cada uno de los elementos de esta fila. Tabla 190.
Resta de filas
Tabla 20. Matriz de costos, por unidad asignada.
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
PACIENTES
1
2
3
4
1
2
6
3
5
2
1
2
5
3
3
4
3
1
5
4
2
4
1
5
AMBULANCIAS
DESDE/HASTA
Fuente: elaboración propia.
76
En esta etapa, se ve que, en cada fila, aparece como mínimo un cero. Todos los valores
diferentes de cero, serán considerados como “costo de oportunidad”, por no tomar la
decisión de asignar la ambulancia. Con esta operación aparecerá, una nueva matriz para
ser evaluada en la etapa dos.
ETAPA DOS:
En esta etapa, se requiere encontrar en número de menor valor (más Pequeño), de cada
columna, y restarlo de cada uno de los elementos de esta columna. Haciendo este
proceso en cada columna, se encontrará, una nueva matriz resultante. Obteniendo la
matriz de costos reducidos.
Tabla 21. Matriz de costos.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
PACIENTES
1
2
3
4
1
0
3
1
1
2
0
0
4
0
3
3
1
0
2
4
1
2
0
2
NUMERO MENOR
0
1
0
2
AMBULANCIAS
DESDE/HASTA
Fuente: elaboración propia.
77
ETAPA TRES:
Después de las etapas uno y dos, obtendremos la matriz de costos reducidos. Con esta
verificaremos si hemos encontrado la solución.
Tabla 22. Costos por unidad asignada, tiempos, costos reducidos.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
PACIENTES
CIAS
AMBULAN
DESDE/HASTA
1
2
3
4
1
0
3
1
1
2
0
0
4
0
3
3
1
0
2
4
1
2
0
2
Fuente: elaboración propia.
ETAPA CUATRO:
Para analizar si hemos encontrado la solución debemos en resaltar con líneas rectas
“todos” los ceros que encontremos en la matriz de costos reducidos. Posteriormente
debemos sombrear “los ceros” con el menor número de líneas en formas horizontales y/o
verticales y/o ambas.
El análisis a realizar puede tener dos opciones; la primera, es cuando la cantidad de líneas
sombreada es el mismo del número de filas o columnas decimos se ha alcanzado la
solución óptima. La segunda opción, es que la cantidad de líneas sombreadas es “menor” a
la cantidad de filas o columnas, sí este es el caso, pasaremos a la etapa cinco.
78
Tabla 23. Matriz de costos, minimizados.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
PACIENTES
AMBULANCIAS
DESDE/HASTA
1
2
3
4
1
0
3
1
1
2
0
0
4
0
3
3
1
0
2
4
1
2
0
2
Fuente: elaboración propia.
Para el ejemplo, cuenta con sólo tres líneas sombreadas, siendo menor el número de filas
o columnas, que son cuatro, por esta razón, se pasa a la etapa cinco.
ETAPA CINCO:
La etapa cinco sólo se aplica para casos, donde en la etapa cuatro el número de las líneas
sombreadas, es menor al número de filas o columnas, y se debe hacer una modificación de
la matriz. Para este caso, resultaron tres líneas sombreadas, y el número de filas y
columnas es cuatro. El siguiente proceso debe seleccionar el número de menor valor, que
no fue cruzado por las líneas sombreadas trazadas. Para encontrar, la matriz final.
Este número de menor valor:
• El número de menor valor, se les sumará a todos los valores, que se encuentran en las
intersecciones de las líneas.
79
•
El número de menor valor, se le s restará a los números no cruzados por las líneas
sombreadas.
Realizando nuevamente el análisis de la Etapa 4, donde se cruzar todos los ceros que hay
en la matriz resultante. Para este caso, resultan las cuatro líneas, significa que esta es la
solución óptima.
Tabla 24. Matriz de costos, etapa cinco.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
PACIENTES
AMBULANCIAS
DESDE/HASTA
1
2
3
4
1
0
2
1
0
2
1
0
5
0
3
3
0
0
1
4
1
1
0
1
Fuente: elaboración propia.
3.6.2. Asignaciones finales
Las asignaciones finales y específicas que para cada paciente una ambulancia, se
realizarán teniendo en cuenta, ubicando cualquier cero que este sólo en una fila o en
una columna.
Para el paciente 1, se asignaría la ambulancia 1. Porque en la columna 1, está solo el
cero, en la ambulancia 1.
Para la ambulancia 4, se asignaría el paciente 3. Porque en la fila 4, está sólo el cero del
paciente 3.
80
Tabla 25. Matriz de costos.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
PACIENTES
AMBULANCIAS
DESDE/HASTA
1
2
3
4
1
0
2
1
0
2
1
0
5
0
3
3
0
0
1
4
1
1
0
1
Fuente: elaboración propia.
Asignando los dos anteriores, queda una matriz de 2 X 2, de las ambulancias 2 y 3 con los
pacientes 2 y 4.
Tabla 26. Matriz de costos, minimizados.
MATRIZ DE COSTOS
COSTO POR UNIDAD ASIGNADA (Tiempos)
PACIENTES
AMBULANCIAS
DESDE/HASTA
2
4
2
0
0
3
0
1
Fuente: elaboración propia.
Para el Paciente 4, se asignaría la ambulancia 2. Porque en la columna 4, está sólo él, n
la ambulancia 2.
81
Para la ambulancia 3, se asignaría el paciente 2, porque en la fila 3, esta sólo el cero del
paciente 2.
Este conjunto de asignaciones, ofrece el menor tiempo de respuesta, como un conjunto
de costo de oportunidad mínimo. Quedando asignado de la siguiente forma.
Tabla 27. Ambulancia, pacientes.
AMBULANCIAS
PACIENTES
DESDE/HASTA
1
1
1
2
3
1
2
3
4
4
1
1
Fuente: elaboración propia.
82
PARA RESOLVER
TEÓRICO:
¿Explicar qué es el problema del transporte?
TRANSPORTE;
Una empresa santandereana fabrica y vende carros de mercado. La
empresa tiene planas de producción en dos ciudades Floridablanca
y Soacha. Sus principales distribuidores están en Barranquilla,
Medellín y Cali. El distribuidor de Barranquilla, demanda de 12000
carros, el distribuidor de Medellín, tiene una demanda anual de 7000
unidades, y el distribuidor de Cali 9000 carros. La fábrica de
Floridablanca produce 17000 unidades año, y la de Soacha, 14000
carros.
Los costos de trasportar los carros a los distribuidores son:
DISTRIBUIDORES:
FABRICAS
AUTOEVALUACIÓN III
BARRANQUILLA
MEDELLIN
CALI
FLORIDABLANCA.
20
15
35
SOACHA.
40
18
35
La empresa quiere minimizar los costos de distribución anual, de los
carros del mercado.
a) Plantearlo como un problema, de programación lineal.
b) Resolverlo, por método de Esquina Noroeste.
c) Resolverlo, por Método de Costo Mínimo.
d) Resolverlo, por Método de Aproximación de Vogel.
83
PARA RESOLVER
ASIGNACIÓN:
Existe una licitación de la construcción de cuatro edificios, para los
cuales se requiere la asignación de los cuatro contratistas distintos.
El tiempo que cada contratista presupuesta para la construcción de
cada obra, necesita se muestra en la tabla.
Calcular la asignación, para que la suma total del tiempo empleado,
en la construcción de los cuatro edificios sea mínima.
EDIFICIO (Tiempo de construcción)
CONTRATISTA
AUTOEVALUACIÓN III
UNO
DOS
TRES
CUATRO
A
58
58
60
54
B
66
70
70
78
C
106
104
100
95
D
52
54
64
54
84
GLOSARIO
C
H
Conjunto Convexo: conjunto de puntos,
para el cual el segmento de recta que
conecta entre sí, a cualquier pareja de
puntos,
debe
estar
contenido
totalmente, dentro del conjunto.
Holgura: cantidad por la cual el valor del
lado izquierdo de una restricción, cuando
es evaluado en el punto óptimo, es
menor que el valor del lado derecho.
M
E
Espacio de soluciones: conjunto de
soluciones factibles.
Excedente: cantidad por la cual el lado
izquierdo de una restricción, cuando es
evaluada en condiciones de optimalidad,
excede al lado derecho.
F
Método Simplex: método analítico, de
solución de problemas de programación
lineal capaz de resolver modelos más
complejos que los resueltos mediante el
método grafico sin restricción en el
número de variables.
P
Punto extremo: vértice de la región
factible
R
Función Objetivo: es la función que
expresa aquello que se desea, optimizar
(maximizar, o minimizar).
Función Lineal: función en la cual cada
una de las variables, aparece en un
término individual. No hay potencias que
no sean 1.
Región
Factible:
conjunto
de
combinaciones de valores de variables
de decisión, que satisfacen las
condiciones de no negatividad, y todas
las restricciones simultáneamente.
Región
Factible:
conjunto
de
combinaciones de valores de variables
de decisión que satisfacen las
condiciones de no negatividad y todas
las restricciones simultáneamente.
85
GLOSARIO
R
Restricciones: desigualdad matemática,
(restricción de desigualdad,) o igualdad.
Solución
factible:
son
aquellas
soluciones,
que
satisfacen
las
condiciones de no negatividad, y todas
las demás restricciones.
S
Solución/Punto óptimo: punto de la
región factible, donde la función objetivo
se maximiza.
R
V
Variables de decisión: son las variables
que están bajo el control, de la persona
encargada de tomar las decisiones.
Variables Holgura: representan la
cantidad adicional, que deberá ser
agregada/sustraída, de la producción.
86
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
BAZARAA, M. S.; JARVIS, J. J.; y SHERALI, H. D (2005). Linear Programming and network
flow. Wiley.
DANTZIG, G. (1993). Linear Programming and extensions”, 10ª Edición, Princeton
University Press.
Gestión de Operaciones. (23 feb. 2018). Blog sobre la Gestión e Investigación de
Operaciones con tutoriales y ejercicios resueltos. Recuperado de:
www.gestiondeoperaciones.net/
HILLIER, F. S. y LIEBERMAN, G. J. (2006). Introducción a la Investigación de operaciones.
McGraw-Hill.
LUENBERGER, D. G. (2003). Linear and Nonlinear Programming, Springer, 2003.
TAHA, H. A.: Operations research: An introduction, 8ª ed., Prentice Hall, 2006.
Investigación de Operaciones. (2018). Aplicaciones de la Investigación Operativa en la
Gestión de Empresas. Recuperado de www.investigaciondeoperaciones.net/
87