∫
un+1
undu = n + 1 + C (n ̸= 1)
2.
∫
y′ = mxm−1
y′′ = (m2 − m)xm−2
′′′
y(4)
= (m3 − 3m2 + 2m)xm−3
y = (m4 − 6m3 + 11m2 − 6m)xm−4
3.
du
∫ u = ln |u| + C
4.
eudu = eu + C
f
f′
au
audu = ln a + C
xn
un
eux
e
nxn−1
nun−1u′
eux ′
e ·u
5.
∫
∫
-2Reglas de Derivación
6.
∫ sin u du = − cos u + C
7.
cos u du = sin u + C
u
8.
∫
2
∫ sec u du = tan u + C
9.
∫
10.
11.
∫
∫
12.
∫
13.
∫
14.
15.
∫
csc2 u du = − cot u + C
sec u tan u du = sec u + C
csc u cot u du = − csc u + C
tan u du = ln | sec u| + C
cot u du = ln | sin u| + C
sec u du = ln | sec u + tan u| + C
csc u du = ln | csc u − cot u| + C
∫
√ du
= sin−1 ua + C
2 − u2
a
∫
du
1
17.
= tan−1 au + C
2 + u2
a
a
∫
du
1
√
18.
= a sec−1 u + C
u u2 − a2
a
∫
du
1
u+a
=
ln
+C
19.
2
2
a −u
2a
u−a
du
1
u a
16.
2
√
a2
ln u+ a2+u2 +C
∫2
√
√ du
2
2
a2 + u2 = ln u + √a + u + C
∫
1
a2 + u2 + a
du
√
= − ln
+
a
u
u a2 + u2
C
√ 2
du
a + u2
√
=−
+C
2
2
2
u a +u
a2u
∫
u
du
√
=
+C
(a2 + u2)3/2 a2 a2 + u2
u
′
a
ln x
ln u
a ln(a) · u
sin u
cos u
tan u
sec u
cos u · u ′
− sin u · u′
sec2 u · u′
sec u tan u · u′
1
x′
u
u
-2Logaritmos y Exponenciales
ln(ab) = ln a + ln b
a
ln
= ln a − ln b
b
k
ln(a ) = k ln a
eln x = x
ln(ex) = x
ea
ea · eb = ea+b
= ea−b
eb
eC+x = eC · ex = C1ex
f (t)
F (s)
1
1
s
n!
n
t
sn+1
1
eat _______________
s —1a
at
te
(s − a)2
n!
n at
t e
(s — a)n+1
k
sin(kt)
s2 + k2
s
cos(kt)
s2 + k 2
k
sinh(kt)
s2 − k2
s
cosh(kt)
s2 — k2
k
eat sin(kt)
(s — a)2 + k2
s−a
eat cos(kt)
(s — a)2 + k2
2ks
t sin(kt)
2
(ss +− kk2)2
2
2
t cos(kt)
(s2 + k2)2
-2Propiedades de Laplace
L{y′ } = sY (s) − y(0)
′′
2
′
L{y } = s Y (s) − sy(0) − y (0)
L{y′′′ } = s 3Y (s)−s 2y(0)−sy ′(0)−y ′′(0)
L{eat f (t)} = F (s − a) (1er teorema
de traslación)
L{tnf (t)} = (−1)nF (n) (s)
L{af + bg} = aL{f } + bL{g}
F (s)
1
s—a
1
(s — a)2
1
(s − a)n+1
k
(s − a)2 + k2
s−a
(s − a)2 + k2
f (t)
eat
teat
tneat
n!
eat sin(kt)
eat cos(kt)
ay′′ + by′ + √
c y = 0 ⇒ am2 + bm + c = 0
−b ± b2 − 4ac
m=
2a
Caso 1: Ra´ıces reales distintas
(m1 ̸= m2)
y = C1em1x + C2em2x
Caso 2: Ra´ız real repetida (m1 =
m2 = m)
Forma: ax2y′′ + bxy′ + cy = 0, x > 0
Ec. auxiliar: am(m − 1) + bm + c = 0
Ra´ıces complejas (m =
y=
Caso 2: Ra´ız real repetida (m1 =
m2 = m)
y = (C1 + C2 ln x) xm
Caso 3:
α ± βi)
Ra´ıces complejas (m =
y = xα[C1 cos(β ln x) + C2 sin(β ln x)]
Para EDO no homog´enea ay′′ + by′ +
cy = g(x):
Caso 4: Ra´ıces reales, una cero
(m1 = 0, m2 = k)
y = yh + yp
y = C1 + C2xk
yp
∫
µQ(x) dx + C
-2Ecuaciones Exactas
M dx + N dy = 0 exacta si:
∂M
∂y
=
∂N
∂x
F (x, y) = C donde Fx = M , Fy = N
∫
1
F =
-2Coeficientes Indeterminados (yp)
1
µ
Tipo 2 — Ec. no exacta M dx +
N dy = 0:
,
My − N x
Si
= h(x) ⇒ µ = e h(x) dx
N
,
Nx − M y
Si
= k(y) ⇒ µ = e k(y) dy
M
Caso 5: Ambas ra´ıces cero (m =
m2 = 0)
g(x)
µ(x) = e P (x) dx
y = C1xm1 + C2xm2
y = eαx(C1 cos βx + C2 sin βx)
yh: solución homog´enea (caso 1, 2 o 3)
yp: solución particular (ver abajo)
,
Caso 1: Ra´ıces reales distintas
(m1 ̸= m2)
y = (C1 + C2x)emx
Caso 3:
α ± βi)
Tipo 1 — Lineal 1er orden:
Forma estándar: y′ + P (x)y = Q(x)
M dx+g(y), g′(y) = N — ∂
∂y
∫
y = C1 + C2 ln x
-2Variables Separables
Aeax
Caso 6: Una ra´ız negativa (m1 < 0)
dy
A sin(bx) + B cos(bx)
Forma:
= f (x)g(y)
dx
y = C1xm1 + C2xm2
n
n
∫
∫
kx
Anx + · · · + A1x + A0
dy
keax sin(bx)
eax(A sin bx + B cos b x( m
) isma fórmula Caso 1, válida x > 0)
= f (x) dx + C
g(y)
n
keaxxn
eax(An x + · · · + A0 )
Sustitución equivalente: t = ln x, x =
Regla de modificación: si yp duplica yh,
et
-2Fracciones Parciales
2
multiplicar
y
por
x
(o
x
si
repite
de
p
... 3y¨+2y˙ 1
= A + B
nuevo).
xy′ = y˙, x2y′′ = y¨−y˙, x3y′′′
= y−
(s − a)(s − b) s − a s − b
B
A
1
-2 Variación de Parámetros
=
+
Transforma Cauchy-Euler en EDO de
2
(s — a)
s − a (s — a)2
Para y′′ + Py ′ + Qy = f (x):
coef. constantes en t.
1
A
Bs + C
=
+ 2
∫
∫
2
2
-2Cauchy-Euler No Homogénea
(s − a)(s + k ) s − a s + k2
y f
y f
2
1
1
As + B
Cs + D
yp = −y1
dx + y2
dx
ax2y′′ + bxy′ + cy = g(x)
= 2
+ 2
W
W
2
2
2
2
(s + k )
s +k
(s + k2)2
y = yh + yp
Completar cuadrado: s2 + bs + c =
Para yp: usar variación de parámetros
b 2
2
s + 2 + c − b4
W = y1y2′ − y2y1′ (Wronskiano)
con y1, y2 de yh.
keax
k sin(bx) o k cos(bx)
M dx