SANDSYNLIGHEDSTEORI • INTRODUKTION
Stokastiske
variabler
Fra tilfældige udfald til tal, fordelinger
og meningsfulde beregninger
Med intuition, formler og gennemregnede eksempler
Udarbejdet som et selvstændigt kompendium • 2026
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 0
Sådan bruger du hæftet
Målet er, at du både kan forklare idéerne med ord og bruge de vigtigste formler. Læs først intuitionen,
arbejd derefter eksemplerne igennem, og prøv til sidst øvelserne uden at kigge på facit.
Den røde tråd
Et tilfældigt forsøg giver et udfald. En stokastisk variabel omsætter udfaldet til et tal.
Fordelingen fortæller, hvor sandsynlige de mulige tal er. Forventning og varians
opsummerer fordelingen.
Efter hæftet kan du
●
forklare forskellen på et udfald og en stokastisk variabel
●
skelne mellem diskrete og kontinuerte stokastiske variabler
●
læse og kontrollere en sandsynlighedsfordeling
●
beregne forventning, varians og standardafvigelse
●
bruge fordelingsfunktionen og forstå uafhængighed
●
genkende binomial-, normal-, Bernoulli- og Poissonfordelingen.
Indhold
1
Fra tilfældighed til tal
3
2
Diskrete stokastiske variabler
4
3
Kontinuerte stokastiske variabler
5
4
Fordelingsfunktionen
6
5
Forventning
7
6
Varians og standardafvigelse
8
7
Transformationer
9
8
Flere stokastiske variabler
10
9
Vigtige fordelinger
11
10
Gennemregnede eksempler
12
11
Typiske faldgruber
13
12
Øvelser
14
13
Facit og løsningsidéer
15
14
Formelark
16
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 2
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 1
Fra tilfældighed til tal
En stokastisk variabel er ikke 'tilfældig' på samme måde som et løst tal. Den er en fast regel, der knytter et
tal til hvert muligt udfald af et tilfældigt forsøg.
Eksempel: to møntkast
Udfaldsrummet er Ω = {KK, KP, PK, PP}, hvor K betyder krone og P betyder plat. Definér X som antal plat. Så
er X(KK)=0, X(KP)=1, X(PK)=1 og X(PP)=2.
Udfald
Regel X
Tal
KK
0
KP
1
PK
1
PP
2
X tæller antal plat (P) i to møntkast
Vigtig skelnen
Udfaldet KP og tallet 1 er ikke det samme. KP beskriver, hvad der skete; X(KP)=1 er
den numeriske værdi, vi vælger at registrere.
Formel definition
En stokastisk variabel X er en funktion fra udfaldsrummet Ω til de reelle tal: X: Ω → R. Det betyder blot, at
ethvert udfald får præcis én talværdi.
X: Ω → R
Hvorfor gør vi det?
●
Tal gør det muligt at sammenligne udfald.
●
Vi kan beskrive usikkerheden med sandsynligheder.
●
Vi kan beregne typisk niveau og spredning.
●
Den samme matematik kan bruges på fx antal kunder, ventetid, temperatur og afkast.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 3
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 2
Diskrete stokastiske variabler
En diskret stokastisk variabel kan kun antage et endeligt eller tælleligt antal værdier, fx 0, 1, 2, ... Antal fejl,
mål og kunder er typiske eksempler.
Sandsynlighedsfunktionen
For en diskret variabel beskriver p(x)=P(X=x) sandsynligheden for hver mulig værdi. To krav skal altid være
opfyldt:
p(x) ≥ 0 for alle x, og Σ p(x) = 1
Eksempel: antal 6'ere i tre terningkast
Lad X være antallet af 6'ere. Da kan X være 0, 1, 2 eller 3. Fordelingen er binomial med n=3 og p=1/6.
x
0
1
2
3
P(X=x)
125/216
75/216
15/216
1/216
Ca.
0,579
0,347
0,069
0,005
0.6
125/216
0.4
75/216
0.2
15/216
0.0
1/216
0
1
2
3
x = antal 6'ere
Kontrol
Læg sandsynlighederne sammen: (125+75+15+1)/216 = 1. Hvis summen ikke er 1, er
tabellen ikke en gyldig fordeling.
Sandsynlighed for flere værdier
Vil vi finde P(X≥2), lægger vi sandsynlighederne for 2 og 3 sammen: P(X≥2)=15/216+1/216=16/216≈0,074.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 4
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 3
Kontinuerte stokastiske variabler
En kontinuert variabel kan antage alle værdier i et interval. Tid, længde, vægt og temperatur behandles ofte
som kontinuerte.
Tæthed i stedet for punkt-sandsynligheder
En tæthed f(x) viser, hvor sandsynlighedsmassen er koncentreret. Sandsynligheden for et interval er arealet
under kurven over intervallet.
tæthed f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx
Det overraskende
punkt
For en kontinuert variabel er P(X=x)=0 for hvert enkelt punkt. Det betyder ikke, at X
ikke kan få værdien; et enkelt punkt har blot areal 0. Intervaller kan derimod have
positiv sandsynlighed.
Krav til en tæthed
●
f(x) ≥ 0 for alle x.
●
Det samlede areal under kurven er 1: ∫ f(x) dx = 1.
●
En tæthed kan godt være større end 1 på et kort interval; det er arealet, ikke højden alene, der er en
sandsynlighed.
Mini-eksempel: uniform fordeling
Hvis X er jævnt fordelt mellem 0 og 10, er f(x)=1/10 på intervallet. Derfor er P(2≤X≤5)=(5−2)·1/10=0,30.
Intervallet fylder 3 ud af de 10 mulige enheder.
Diskret
Kontinuert
Beskrivelse
P(X=x)
Tæthed f(x)
Sandsynlighed
Sum af relevante værdier
Areal/integral over et interval
P(X=x)
Kan være positiv
Er 0
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 5
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 4
Fordelingsfunktionen
Fordelingsfunktionen samler al information om en stokastisk variabel i én funktion og virker for både
diskrete og kontinuerte variable.
F(x) = P(X ≤ x)
Sådan læses F
●
F(x) er sandsynligheden for at X højst er x.
●
F kan aldrig falde, når x vokser.
●
F(x) nærmer sig 0 mod venstre og 1 mod højre.
●
For en diskret variabel er F en trappefunktion; for en variabel med en glat tæthed er F typisk glat.
Fra F til intervalsandsynligheder
Hvis vi vil have sandsynligheden mellem a og b, trækker vi den ophobede sandsynlighed til venstre for a fra
den ophobede sandsynlighed til og med b.
P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
Diskret detalje
For en diskret variabel er P(a≤X≤b)=F(b)−F(a⁻), hvor F(a⁻) er værdien lige før a. Hvis a
ikke selv er en mulig springværdi, gør detaljen ingen forskel.
Kvantiler
En q-kvantil er en værdi xq, hvor omtrent q af sandsynligheden ligger til venstre. Medianen er 0,50-kvantilen.
Den 95. percentil er en værdi, som X ligger under i cirka 95 % af tilfældene.
Eksempel
Hvis F(8)=0,30 og F(12)=0,75, så er P(8<X≤12)=0,75−0,30=0,45.
Husk
En fordelingsfunktion giver akkumulerede sandsynligheder. En tæthed eller
sandsynlighedsfunktion beskriver, hvordan sandsynligheden er fordelt lokalt.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 6
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 5
Forventning
Forventningen E(X) er fordelingens tyngdepunkt: det langsigtede gennemsnit, hvis forsøget gentages mange
gange under de samme betingelser.
Type
Definition
Tolkning
Diskret
E(X)=Σ x·P(X=x)
Vægtet sum af værdierne
Kontinuert
E(X)=∫ x·f(x) dx
Tyngdepunktet under tætheden
Eksempel: fair terning
For X = antal øjne er alle seks værdier lige sandsynlige:
E(X) = 1·1/6 + 2·1/6 + ... + 6·1/6 = 3,5
Ikke nødvendigvis en
mulig værdi
En terning kan aldrig vise 3,5. Forventningen er ikke en forudsigelse af ét kast, men
et gennemsnit over mange kast.
Regneregler
●
E(aX+b)=aE(X)+b.
●
E(X+Y)=E(X)+E(Y), også når X og Y ikke er uafhængige.
●
Hvis I er en indikator, der er 1 når hændelsen A sker og ellers 0, så er E(I)=P(A).
Indikatortricket
Lad X være antal seksere i 100 terningkast. Skriv X=I1+...+I100, hvor Ii=1 ved en sekser. Så er
E(X)=100·1/6≈16,67. Vi behøver ikke kende hele fordelingen for at finde forventningen.
Forventet værdi i praksis
Forventning bruges bl.a. til gennemsnitlig efterspørgsel, forventet ventetid, forsikringspræmie og forventet
afkast. Men et gennemsnit alene siger ikke, hvor meget udfaldene svinger - derfor behøver vi variansen.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 7
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 6
Varians og standardafvigelse
Variansen måler den gennemsnitlige kvadrerede afstand fra forventningen. Standardafvigelsen er
kvadratroden af variansen og har samme enhed som X.
Var(X) = E[(X−E(X))²] = E(X²) − [E(X)]²
SD(X) = √Var(X)
Eksempel: fair terning
Vi har E(X)=3,5 og E(X²)=(1²+2²+...+6²)/6=91/6. Derfor:
Var(X)=91/6−3,5²=35/12≈2,917, SD(X)≈1,708
Hvorfor kvadrerer vi?
●
Positive og negative afvigelser kan ellers ophæve hinanden.
●
Store afvigelser får større vægt.
●
Kvadratet giver gode matematiske regneregler.
Vigtige regneregler
Var(aX+b)=a²Var(X)
At lægge en konstant b til flytter alle værdier lige meget og ændrer derfor ikke spredningen. At gange med a
skalerer standardafvigelsen med |a| og variansen med a².
Enheder
Hvis X måles i minutter, måles Var(X) i minutter², mens SD(X) måles i minutter.
Derfor er standardafvigelsen ofte lettest at fortolke.
Varians er ikke hele historien
To fordelinger kan have samme forventning og varians, men forskellig form. Man bør derfor også se på
fordelingen, især hvis den er skæv eller har ekstreme værdier.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 8
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 7
Transformationer af stokastiske variabler
Ofte omregner vi en variabel: Celsius til Fahrenheit, kroner til euro eller en rå score til en standardiseret
score. Hvis Y=g(X), er Y også en stokastisk variabel.
Lineær transformation
Hvis Y=aX+b, følger forventning og varians simple regler:
E(Y)=aE(X)+b, Var(Y)=a²Var(X), SD(Y)=|a|SD(X)
Eksempel: Celsius til Fahrenheit
Lad X være temperaturen i °C, og Y=1,8X+32 temperaturen i °F. Hvis E(X)=10 og SD(X)=4, så er E(Y)=50 og
SD(Y)=7,2. Tallet 32 flytter niveauet, men ændrer ikke spredningen.
Standardisering
Standardisering fortæller, hvor mange standardafvigelser en observation ligger fra gennemsnittet.
Z = (X−μ)/σ, så E(Z)=0 og SD(Z)=1
Tolkning af z-score
z=1,5 betyder, at værdien ligger 1,5 standardafvigelser over middelværdien. z=−2
betyder 2 standardafvigelser under.
Ikke-lineære transformationer
Ved fx Y=X² gælder generelt ikke E(X²)=[E(X)]². Man må bruge fordelingen af X eller reglen E[g(X)]=Σg(x)p(x) i
det diskrete tilfælde og E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx i det kontinuerte.
Jensens pointe - intuitivt
Hvis g buer opad, vil store udsving typisk løfte gennemsnittet af g(X). Derfor kan 'funktionen af
gennemsnittet' og 'gennemsnittet efter funktionen' være forskellige.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 9
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 8
Flere stokastiske variabler
Når vi studerer X og Y samtidig, skal vi både kende deres egne fordelinger og deres indbyrdes sammenhæng.
Fælles fordeling og marginaler
Den fælles fordeling giver sandsynligheder for kombinationer, fx P(X=x,Y=y). En marginal fordeling fås ved at
summere eller integrere den anden variabel væk.
Uafhængighed
X og Y er uafhængige, hvis kendskab til den ene ikke ændrer fordelingen af den anden. I det diskrete tilfælde
kan dette skrives:
P(X=x, Y=y) = P(X=x)·P(Y=y) for alle x,y
Kovarians og korrelation
Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]
Corr(X,Y)=Cov(X,Y)/(SD(X)·SD(Y))
Mål
Fortæller
Skala
Kovarians
Retning af lineær samvariation
Afhænger af enheder
Korrelation
Standardiseret lineær samvariation
Mellem −1 og 1
Pas på
Korrelation 0 betyder ikke nødvendigvis uafhængighed. Uafhængighed medfører
derimod kovarians 0, når momenterne findes.
Varians af en sum
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
Hvis X og Y er uafhængige, er kovariansen 0, og variansen af summen er summen af varianserne. Det er en
central regel i fx porteføljer, målefejl og summen af mange små påvirkninger.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 10
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 9
Vigtige fordelinger
Fordelinger er genbrugelige modeller. Valget afhænger af, hvilke værdier variablen kan antage, og hvordan
forsøget er opbygget.
Fordeling
Bruges når...
Middelværdi / varians
Bernoulli(p)
Ét forsøg: succes (1) eller fiasko (0)
p / p(1−p)
Binomial(n,p)
Antal succeser i n uafhængige Bernoulli-forsøg
np / np(1−p)
Poisson(λ)
Antal hændelser i et fast interval ved stabil rate
λ/λ
Uniform(a,b)
Alle værdier i [a,b] er lige tætte
(a+b)/2 / (b−a)²/12
Normal(μ,σ²)
Kontinuerte målinger med symmetrisk klokkeform
μ / σ²
Eksponential(λ)
Ventetid til næste hændelse ved konstant rate
1/λ / 1/λ²
Binomialfordelingen
P(X=k) = C(n,k) pk(1−p)n−k
Brug modellen, når antallet n er fast, hvert forsøg har to udfald, succes-sandsynligheden p er den samme, og
forsøgene er uafhængige.
Normalfordelingen
Normalfordelingen er symmetrisk omkring μ. Omtrent 68 % ligger inden for 1 standardafvigelse fra μ, 95 %
inden for 2 og 99,7 % inden for 3. Reglen er en god intuition, men ikke en erstatning for en præcis tabel eller
beregning.
Model, ikke
virkelighed
En fordeling er en forenkling. Kontroller altid, om antagelserne passer nogenlunde til
situationen og dataene.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 11
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 10
Gennemregnede eksempler
Her samles idéerne i tre typiske opgavetyper. Læg mærke til, hvordan hver løsning først identificerer
variablen og modellen.
Eksempel A: defekt vare
En vare er defekt med sandsynlighed 0,04. Lad X=1 ved defekt og X=0 ellers. Da X~Bernoulli(0,04).
E(X)=0,04, Var(X)=0,04·0,96=0,0384
Tolkning: over mange varer er cirka 4 % defekte. For én vare er værdien stadig enten 0 eller 1.
Eksempel B: mindst én defekt i 20 varer
Antag uafhængighed og samme fejlrate. Lad Y være antallet af defekte. Da Y~Binomial(20,0,04). Det er
lettest at bruge komplementet:
P(Y≥1)=1−P(Y=0)=1−0,9620≈0,558
Eksempel C: leveringstid
En leveringstid X har middelværdi 30 minutter og standardafvigelse 5 minutter. En observation på 42
minutter har z-score:
z=(42−30)/5=2,4
Leveringen ligger altså 2,4 standardafvigelser over gennemsnittet. Hvis en normalmodel er rimelig, er det en
usædvanligt lang levering.
En god
løsningsskabelon
1) Definér X med ord og enhed. 2) Angiv mulige værdier og relevant fordeling. 3)
Skriv den ønskede hændelse matematisk. 4) Beregn. 5) Fortolk svaret i situationen.
Et ekstra perspektiv
Et korrekt tal uden fortolkning er kun et halvt svar. Skriv fx 'sandsynligheden er ca. 55,8 % for mindst én
defekt blandt 20 varer' - ikke bare '0,558'.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 12
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 11
Typiske faldgruber
De fleste fejl skyldes ikke svær algebra, men en forkert oversættelse mellem situation, hændelse og
notation.
Faldgrube
Korrektur
Udfald blandes med værdi
'Krone-plat' er et udfald; X=1 kan være værdien, hvis X tæller plat.
P(X=x) bruges kontinuert
For kontinuerte X er et enkelt punkt 0. Beregn sandsynlighed for et
interval.
Tæthed læses som
sandsynlighed
f(x) er en højde. Sandsynligheden er et areal under kurven.
Forventning tolkes som typisk
enkeltudfald
E(X) er et langsigtet gennemsnit og kan være en umulig værdi.
Varians og standardafvigelse
forveksles
Varians har kvadrerede enheder; standardafvigelse har samme enhed
som X.
Uafhængighed antages
automatisk
Gentagelser kan påvirke hinanden. Uafhængighed er en antagelse, der
skal begrundes.
Mindst én beregnes direkte
Komplementet 1−P(ingen) er ofte meget enklere.
Lineære regler bruges
ikke-lineært
E[g(X)] er generelt ikke g(E(X)).
Sprogtest
Kan du forklare symbolerne med en hel sætning? P(X≤5)=0,8 betyder: 'Der er 80 %
sandsynlighed for, at X højst er 5.'
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 13
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 12
Øvelser
Prøv selv. Skriv altid først, hvad variablen betyder. Facit og korte løsningsidéer findes på næste side.
1
En mønt kastes tre gange. Lad X være antal kroner. Angiv de mulige værdier for X.
2
For X gælder P(X=0)=0,2, P(X=1)=0,5 og P(X=2)=0,3. Beregn E(X) og Var(X).
3
En kontinuert variabel har tæthed f(x)=1/4 på [0,4] og 0 ellers. Find P(1≤X≤3).
4
En fordelingsfunktion opfylder F(10)=0,25 og F(18)=0,90. Find P(10<X≤18).
5
En testscore har μ=70 og σ=8. Find z-scoren for en score på 86.
6
En maskine laver en fejl med sandsynlighed 0,02 pr. emne. Antag uafhængighed. Hvad er sandsynligheden
for mindst én fejl blandt 50 emner?
7
X og Y er uafhængige med Var(X)=4 og Var(Y)=9. Find Var(X+Y) og SD(X+Y).
8
Sandt eller falsk: Hvis Corr(X,Y)=0, er X og Y altid uafhængige. Begrund kort.
Tre refleksionsspørgsmål
●
Hvorfor kan en forventning ligge mellem de mulige værdier?
●
Hvorfor er sandsynligheden i ét bestemt punkt 0 for en kontinuert variabel?
●
Hvilken information mister man, hvis en fordeling kun beskrives ved middelværdi og varians?
Arbejdsvane
Tegn gerne en lille tallinje eller skitse af fordelingen. Det gør uligheder som 'højst',
'mindst' og 'mellem' langt nemmere at oversætte korrekt.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 14
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 13
Facit og løsningsidéer
Brug facit til at kontrollere metode, ikke kun resultat. Hvis dit svar afviger, så find det første sted, hvor din
oversættelse eller regneregel ændrer sig.
1
X{0,1,2,3}.
2
E(X)=0·0,2+1·0,5+2·0,3=1,1. E(X²)=0+0,5+4·0,3=1,7. Var(X)=1,7−1,1²=0,49.
3
P(1≤X≤3)=∫₁³(1/4)dx=(3−1)/4=0,5.
4
P(10<X≤18)=F(18)−F(10)=0,90−0,25=0,65.
5
z=(86−70)/8=2. Scoren ligger 2 standardafvigelser over gennemsnittet.
6
Lad X være antal fejl. P(X≥1)=1−P(X=0)=1−0,98⁵⁰≈0,636.
7
Uafhængighed giver Cov(X,Y)=0. Derfor Var(X+Y)=4+9=13, og SD(X+Y)=√13≈3,61.
8
Falsk. Korrelation måler kun lineær sammenhæng. Fx kan Y=X² afhænge stærkt af X og stadig have
korrelation 0 i en symmetrisk situation.
Svar på refleksionsspørgsmål
●
Forventningen er et vægtet gennemsnit og behøver derfor ikke selv være en mulig værdi.
●
Et punkt har bredde 0 og dermed areal 0 under en tæthed. Et interval har positiv bredde og kan have
positivt areal.
●
Man mister bl.a. fordelingens form, skævhed, haler og præcise sandsynligheder for bestemte områder.
Hvis du kan dette
Kan du løse øvelse 2, 4, 6 og 7 og samtidig forklare hvert trin med ord, har du fat i
kernen af emnet.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 15
STOKASTISKE VARIABLER
AFSNIT 14
Formelark og samlet overblik
Brug siden som opslagsark. Formlerne giver først mening, når X og den relevante hændelse er defineret
tydeligt.
Begreb
Diskret
Kontinuert / generelt
Fordeling
p(x)=P(X=x), Σp(x)=1
f(x)≥0, ∫f(x)dx=1
Interval
Sum af p(x)
P(a≤X≤b)=∫ₐᵇf(x)dx
Fordelingsfunktion
F(x)=P(X≤x)
F(x)=P(X≤x)
Forventning
E(X)=Σx·p(x)
E(X)=∫x·f(x)dx
Varians
E(X²)−[E(X)]²
E[(X−E(X))²]
Standardafvigelse
SD(X)=√Var(X)
Samme enhed som X
Lineær ændring
E(aX+b)=aE(X)+b
Var(aX+b)=a²Var(X)
Sum
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
Begrebskort
Spørgsmål
Relevant værktøj
Tænk
Hvilke værdier er sandsynlige?
Fordeling / tæthed
Form
Hvor stor er P(X≤x)?
Fordelingsfunktion F
Akkumuleret
Hvad er det langsigtede gennemsnit?
Forventning E(X)
Tyngdepunkt
Hvor meget svinger X?
Varians / standardafvigelse
Spredning
Hvordan hænger X og Y sammen?
Fælles fordeling / kovarians
Afhængighed
Kernen i én sætning
En stokastisk variabel gør tilfældige udfald numeriske; dens fordeling beskriver
usikkerheden, mens forventning og varians opsummerer niveau og spredning.
Videre herfra
Næste naturlige emner er betinget sandsynlighed, loven om total sandsynlighed, Bayes' sætning, store tals
lov og den centrale grænseværdisætning.
En forståelig introduktion til sandsynlighedsteori
Side 16