เนื้อหาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมและพื้นฐาน
มัธยมศึกษาตอนปลาย
1.
เซต
2.
ตรรกศาสตร์
3.
ระบบจานวนจริง
4.
เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
5.
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
6.
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
7.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
8.
เมทริกซ์และระบบสมการเชิงเส้น
9.
เวกเตอร์
10.
จานวนเชิงซ้อน
11.
ลาดับและอนุกรม(เพิ่มดอกเบี้ย)
12.
แคลคูลัส
13.
ความน่าจะเป็น
14.
สถิติ (เพิ่มตัวแปรสุ่ม)
อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
1.
1.
หน้า |1
เซต
x เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย x  A
จานวนสมาชิกของเซตจากัด A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n(A)
2.
เซตจากัด หมายถึง เซตซึ่งมีสมาชิกเป็นจานวนเต็มบวกหรือศูนย์
เซตอนันต์ หมายถึง เซตซึ่งไม่ใช่เซตจากัด
เซตว่าง หมายถึง เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากับศูนย์ โดยแทนเซตว่าง คือ  (phi) หรือ { }
3.
เซตที่เท่ากัน : A = B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีจานวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกทุกตัวเหมือนกัน
สับเซต (Subset) : A  B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
เพาเวอร์เซต : P(A) = {X | X  A}
สมบัติของสับเซต
1. A  A และ   A
2. ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C
3.
4.
5.
ถ้า A เป็นเซตจากัด แล้ว n(P(A))  2n(A)
A  B ก็ต่อเมื่อ P(A)  P(B)
P(A) 
P(B) P(A B) แต่ P(A) 
P(B)
P(A
B)
4. การดาเนินการทางเซต
A  B = {x | x  A และ x  B}
A  B = {x | x  A หรือ x  B}
A = {x  U | x  A}
A – B = {x  U | x  A และ x  B}
สมบัติที่ควรทราบ
1. การสลับที่
 AB = BA
 AB = BA
2. การเปลี่ยนกลุ่ม
 (AB)C = A(B  C)
 (AB)C = A(BC)
3. การแจกแจง
 A(BC) = (AB)(AC)
 A(B  C) = (AB)(AC)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
4. เอกลักษณ์
5. การซ้า
6.
7.
5.
คอมพลีเมนต์
เดอร์มอร์กอง
หน้า |2
 A = A
 A = 
 A U = U
 AU = A
 AA = A
 AA = A
 A  A = U
 A  A = 
A–B = AB
 (A) = A
 = U
 U = 
(AB) = AB
 (AB) = AB
จานวนสมาชิกของเซตจากัด ใช้สูตรมีดังนี้
n(A) = n(U ) – n(A)
n(A – B) = n(A) – n (A  B) = n(A  B) – n(B)
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
ตรรกศาสตร์
2.
1.
หน้า |3
ตารางแสดงค่าความจริง
หมายเหตุ
p
q
p
pq
pq
p→q
pq
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
◼ p  q  F เมื่อมีหนึ่งตัว F
◼ p  q  T เมื่อมีหนึ่งตัวT
◼ p → q  F เมื่อ p  T และ q  F
◼ p  q  T เมื่อ p  q
2.
ประพจน์ที่สมมูลกัน คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
ประพจน์ p และ q ที่สมมูลกัน เขียนแทนด้วย p  q
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่สาคัญ
1. การสลับที่
pq qp
pqqp
pq  qp
2.
การเปลี่ยนกลุ่ม
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
3. การแจกแจง
p  (q  r)  (p  q)(p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
4. เดอร์มอร์กอง
~(p  q)  ~p  ~q
~(p  q)  ~p  ~q
5. ~(~p)  p
6. p → q  ~p  q  ~q → ~p
7. p  p  p , p  p  p
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |4
3. สัจนิรัดร์ (Tautology) คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
โดยวิธีการตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง ดังนี้
– สมมติให้ประพจน์ให้มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ววิเคราะห์หาค่าความจริงของประพจน์ย่อย
– ถ้ามีข้อขัดแย้งเกิดขึ้น จะสรุปว่า กล่าวว่าเป็นสัจนิรันดร์
ข้อระวัง เนื่องจาก A  B เป็นเท็จมี 2 กรณี ต้องให้ขัดแย้งทั้งสองกรณีถึงจะสรุปว่าเป็นสัจนิรันดร์
ซึ่งอาจจะใช้การตรวจสอบว่า A สมมูลกับ B หรือไม่
◼ ถ้า A สมมูลกับ B A  B เป็นสัจนิรันดร์
◼ ถ้า A ไม่สมมูลกับ B จะได้ว่าประพจน์ A  B ไม่เป็นสัจนิรันดร์
4. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ (Quantifier)
ประโยค
x[P(x)]
x[P(x)]
เป็นจริง
x ทุกตัวให้ P(x) จริง
มี x ที่ทาให้ P(x) จริง
เป็นเท็จ
มี x ที่ทาให้ P(x) เท็จ
x ทุกตัวให้ P(x) เท็จ
5. การสมมูลและนิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
ประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณจะสมมูลกัน เมื่อ ตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกัน และ ประโยคเปิดสมมูลกัน
นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ เมื่อ ตัวบ่งปริมาณคนละชนิดกัน และ ประโยคเปิดเป็นนิเสธกัน
นั่นคือ  x[P(x)]  x[  P(x)] และ  x[P(x)]  x[  P(x)]
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
3.
หน้า |5
ระบบจานวนจริง
สมบัติของระบบจานวนจริง
เซตจานวนจริง(R) ประกอบด้วยเซตของจานวนอตรรกยะ( Q ) และเซตของจานวนตรรกยะ( Q )
เซตของจานวนตรรกยะ คือเซตที่มีสมาชิกสามารถเขียนในรูปเศษส่วนที่มีตัวเศษและส่วนเป็นจานวนเต็ม
โดยที่ส่วนไม่เท่ากับศูนย์
สมบัติของระบบจานวนจริง เกี่ยวกับการบวกและการคูณ ได้แก่ มีสมบัติปิด สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม สมบัติ
การมีเอกลักษณ์ สมบัติการมีอินเวอร์ส สมบัติการสลับ และสมบัติการแจกแจง
1.
หมายเหตุ
◼ สมการหาเอกลักษณ์คือ a  e = a = e  a (หา e ที่กาหระทากับ a แล้วได้ a)
◼ สมการหาอินเวอร์สคือ a  b = e = b  a เมื่อ e (หา b ที่กระทากับ a แล้วได้เอกลักษณ์ e)
2.
การแยกตัวประกอบพหุนาม
กาหนดพหุนาม P(x) = an xn + an – 1xn − 1 +  + a1x + a0
ทฤษฎีบทเศษเหลือ : พหุนาม P(x) หารด้วยพหุนาม (x – c) จะมีเศษเหลือเท่ากับ P(c)
ทฤษฎีบทแยกตัวประกอบ : (x – c) เป็นตัวประกอบของ P(x) ก็ต่อเมื่อ p(c) = 0
การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีวิธีดังนี้
ตัวประกอบของ a0
(1) หาตัวประกอบ c ของ a0 หรือ
ที่ทาให้ P(c) = 0
ตัวประกอบของ an
จะได้ (x – c) เป็นตัวประกอบของ p(x)
(2) หาร P(x) ด้วย (x – c) สมมติว่าได้ Q(x)
(3) นา Q(x) มาแยกตัวประกอบต่อไปอีก หรือทาตั้งต้นใหม่ดังข้อ (1) และ (2)
ความสัมพันธ์ของตัวหารและและเศษของการหารพหุนาม
ถ้า P(x) หารด้วย Q(x) มีผลหารเป็น A(x) เหลือเศษ R(x)
จะได้ว่า P(x) = Q(x) A(x) + R(x) โดยที่ R(x) มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ Q(x)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
3.
หน้า |6
สมการพหุนาม
กาหนด P(x) = an xn + an – 1xn − 1 +  + a1x + a0
เรียก P(x) = 0 ว่าสมการพหุนามดีกรี n
และเรียก a ที่ทาให้ P(a) = 0 ว่าเป็นคาตอบของสมการหรือรากของสมการ
การแก้สมการ
1. สมการดีกรี 1 ใช้สมการบัติการเท่ากัน(ย้ายข้าง)
2. สมการดีกรีสูงกกว่าหนึ่ง ให้แยกตัวประกอบ แล้วกาหนดแต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์
b2 − 4ac
2a
ซึ่งสมการดีกรีสองแยกตัวประกอบยากอาจจะใช้สูตร x = −b 
ความสัมพันธ์ระหว่างคาตอบของสมการของพหุนามดีกรี 2 และ ดีดรี 3
(1) สมการพหุนามดีกรีสอง ax2 
bx c 0 , a ≠ 0
จะมีผลบวกของคาตอบ =  b
ผลคูณของคาตอบ = c
a
a
(2)
สมการพหุนามดีกรีสาม
3
2
ax 
bx
cx
d
0
, a≠0
จะมีผลบวกของคาตอบ =  b ผลคูณของคาตอบ =  d
a
a
ผลบวกของผลคูณทีละ 2 ราก = c
a
4.
ช่วงและการแก้อสมการ
ช่วง หมายถึง สับเซตของจานวนจริง
[a, b] = {x | a  x  b}
(a, b) = {x | a < x < b}
[a, b) = {x | a  x < b}
(a, b] = {x | a < x  b}
(a, ) = {x | x > a}
[a, ) = {x | x  a}
(–, a) = {x | x < a}
(–, a] = {x | x  a}
สมบัติของอสมการที่ควรรู้
1. a  b หมายถึง a < b หรือ a = b
2. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c
3. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
4. ถ้า a < b และ c > 0 แล้ว ac < bc
ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc
5. a < x < b หมายถึง a < x และ x < b
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |7
การแก้อสมการ
1. อสมการดีกรี 1 แก้เหมือนสมการดีกรี 1 แต่ต้องระวังการคูณทั้งสองข้างด้วยจานวนลบ เครื่องหมาย
เปลี่ยนเป็นตรงข้าม
2. อสมการดีกรีมากกว่าหนึ่ง
 จัดอสมการให้ด้านใดด้านหนึ่งเป็น 0
 แยกตัวประกอบ จับทุกตัวประกอบเท่ากับ 0 เพื่อหาค่าวิกฤต
 แล้วจุดลงบนเส้นจานวน และ ทดสอบค่า + หรือ – ของแต่ละช่วง
 อสมการ > และ  เอาช่วงบวก ส่วนอสมการ <,  เอาช่วงลบ
3. อสมการเศษส่วนพหุนาม
 จัดด้านใดด้านหนึ่งให้เป็น 0 (ห้ามตัวแปรคูณไขว้)
 ให้แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน จับทุกตัวประกอบเท่ากับ 0 เพื่อหาค่าวิกฤต
 จุดลงบนเส้นจานวน และ ทดสอบค่า + หรือ – ของแต่ละช่วง
 อสมการ > และ  เอาช่วงบวก ส่วนอสมการ <,  เอาช่วงลบ
ส่วนค่าวิกฤตใดมาจากส่วน ค่าวิกฤตนั้นจะไม่เป็นคาตอบอสมการเสมอ
หมายเหตุ ถ้าต้องการให้เครื่องหมายสลับกันในแต่ละช่วง ตัวประกอบไหนซ้ากันเป็นจานวนคู่ ให้ลงจุด
ค่าวิกฤตินั้น 2 ครั้ง ส่วนตัวประกอบไหนซ้ากันเป็นจานวนคี่ ให้ลงจุดค่าวิกฤตนั้นครั้งเดียว
5. ค่าสัมบูรณ์และสมบัติของค่าสัมบูรณ์
 −a ; a  0

 a ;a0
ค่าสัมบูรณ์ของ a แทนด้วย |a| โดยที่ a = 
“ถ้าข้างในแอบเป็นลบถอดแล้วติดลบ แต่ ถ้าข้างในแอบเป็นบวกถอดได้เลย”
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
2
x =x
1. |x| = |–x|
2.
3. | x|  0
4. |x|  x
5. |xy| = |x||y|
6.
7. |x + y|  |x| + |y|
8. |x – y|  ||x| – |y||
x
x
=
y
y
โดยที่ |y|  0
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หลักการแก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ :
หลักการ คือ กาจัดค่าสัมบูรณ์ออกจากสมการหรือสมการ
1. ให้ a เป็นจานวนจริงบวก จะได้
สมการ
|| = a
หาคาตอบได้จากสมการ
อสมการ || < a หาคาตอบได้จากอสมการ
อสมการ || > a
หาคาตอบได้จากอสมการ
2.
3.
| 
| | |
2
2
| 
| | |
2
2
หน้า |8
 = a หรือ  = –a
–a <  และ  < a
–a >  หรือ  > a
ถ้าสมการหรืออสมการมีค่าสัมบูรณ์เป็นส่วนๆ การขจัดค่าสัมบูรณ์ต้องแยกเป็นกรณี ดังนี้
(1) ถ้า   0 จะได้ || = 
(2) ถ้า  < 0 จะได้ || = – 
หลังจากนั้นหาเซตคาตอบของแต่ละสมการหารหรืออสมการของแต่ละกรณีแล้วนามายูเนียนกัน
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
4.
1.
หน้า |9
เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
สูตรพื้นฐานเรขาคณิตวิเคราะห์
(1) จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด
B(x2, y2)
x + x2 y1 + y2 
P(x, y) =  1
,

2
2


A(x1, y1)
P(x, y) = (
(3)
nx1 + mx2 ny1 + my2
,
)
m+n
m+n
P(x, y)
m
A(x1, y1)
จุดตัดกันของเส้นมัธยฐาน
A(x1, y1)
x + x2 + x 3 y1 + y2 + y3
P(x, y) = ( 1
,
)
3
3
P
C(x3, y3)
(4)
ความชันของเส้นตรง
y  y
ความชัน(m) =
2
B(x2, y2)
(x2, y2)
Y
1
x 2  x1
y2 − y1

x2 − x1
(x1, y1)
หรือ m = tan 
X

(5)
B(x2, y2)
n
(2) จุดแบ่งของส่วนของเส้นตรง
สมการเส้นตรง
◼
รูปทั่วไป Ax + By + C = 0 จะได้ความชัน( m ) = – A
◼
สมการเส้นตรงที่มี ความชัน = m และ ผ่านจุด (x1, y1) คือ y – y1 = m(x – x1)
ถ้าเส้นตรงตัดแกน x และตัดแกน y ที่จุด (a, 0) และ (0, b) ตามลาดับ
จะได้ระยะตัดแกน x คือ a และระยะตัดแกน y คือ b ตามลาดับ
ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรง
(1) L1 // L2 ก็ต่อเมื่อ m L = m L
◼
◼
B
1
(2)
L1 ⊥ L2
2
ก็ต่อเมื่อ mL  mL
1
2
= − 1 หรือ mL = 0 และ mL หาค่าไม่ได้
1
2
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
(6)
หน้า |10
การวัดระยะทาง
◼ ระยะทางระหว่างจุดสองจุด
d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
◼
ระยะทางระหว่างจุดและเส้นตรง
d=
◼
(x1, y1)
(x1, y1)
Ax1 + By1 + C
Ax + By + C = 0
d
A2 + B2
ระยะทางระหว่างเส้นคู่ขนาน
d=
(x2, y2)
Ax + By + C1 = 0
| C1  C2 |
d
A2  B2
Ax + By + C2 = 0
(7) พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ให้ (x1, y1), (x2, y2) ... (xn, yn) เป็นจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม = 1 
2
x1
y1
x2y1 + x3y2 + ... + x1yn
x2 ... xn x1
= 1  | บน – ล่าง |
y2 ... yn y1
2
x1y2 + x2y3 + ... + xny1
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |11
ภาคตัดกรวย
2.1 วงกลม (Circle) คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบที่ห่างจากจุดคงที่เป็นระยะทางเท่ากัน
สมการมาตรฐาน (x − h)2 + (y − k)2 = r2 จุดศูนย์กลางคือ (h, k) และ รัศมี คือ r
สมการรูปทั่วไป x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
2.
D

จุดศูนย์กลางคือ 
 ,

 2
2

D  E




2  2
E
 และ รัศมี =
2
2
F
r

(h, k)
2.2 พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง(ไดเรกตริกซ์)
และจุดคงที่จุดหนึ่ง(โฟกัส)เป็นระยะทางเท่ากันเสมอ
◼ พาราโบลาที่มีแกนสมมาตรขนานแกน y
◼ พาราโบลาที่มีแกนสมมาตรขนานแกน x
สมการทั่วไป A x2 + Bx + Cy + D = 0
สมการมาตรฐาน (x − h)2 = 4c(y – k)
สมการทั่วไป A y2 + By + Cx + D = 0
สมการมาตรฐาน (y − k)2 = 4c(x – h)
c>0
c<0
F (h, k + c)
L
V  (h, k)
สมบัติ
V(h, k)
c>0
c<0
L
(h, k)

V
F(h, k + c)

F (h, k)
 
(h + c, k) (h + c, k)
V
F
L
L
◼ ระยะ VF = |c| และ ระยะจาก V ไปเส้นไดเรกติกซ์ L เท่ากับ |c|
◼ ความกว้าง หรือ ความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลา เท่ากับ 4c
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |12
2.3 วงรี (Ellipse) คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่
สองจุด (โฟกัส)มีค่าคงที่เสมอ และเท่ากับ 2a
สมการทั่วไปคือ Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 เมื่อ A  B และ AB > 0
◼ วงรีที่มีแกนเอกขนานกับ แกน X
◼ วงรีที่มีแกนเอกขนานกับ แกน Y
(x − h)2
a2
(y − k)2
+
b2
(y − k)2
=1
a2
B1 (h, k + b)
+
(x − h)2
b2
=1
V1 (h, k + a)

F1(h, k + c)
(h − c, k) C
(h + c, k)
 (h,k)


V1 (h + a, k)
F
F1
2
2

B2
(h − a, k)V
(h − b, k)

B
C
(h, k) (h1 + b, k)

B2 (h, k − b)
F2(h, k − c)
V2(h, k − a)
สมบัติ
◼ ความยาวแกนเอก = V1V2 = 2a ,ความยาวแกนโท = B1B2 = 2b และ F1F2 = 2c
◼ a 2 = b2 + c2 (a มากที่สุด)
ความเยื้องศูนย์กลาง e =
◼
c
a
◼ ความกว้าง หรือ ความยาวลาตัสเรกตัมของวงรี เท่ากับ
2b2
a
2.4 ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดนี้ไปยังจุด
คงที่สองจุด(โฟกัส)ในระนาบมีค่าคงที่เสมอ และมีค่าเท่ากับ 2a
สมการทั่วไป คือ Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0 เมื่อ A  B และ AB < 0
ไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานแกน X
ไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานแกน Y
สมการ คือ (y −2k) − (x −2h) = 1
สมการ คือ (x −2h) − (y −2k) = 1
2
2
2
a
a
b


(h, k)

V1 (h, k + a)
1
(h − c, k) (h − a, k)

F2

V2
(h + c, k)
(h + a, k) 
V1
B2 (h, k − b)
b
L1 : y − k = (x − h)
a
สมบัติ
b
F1(h, k + c)
B (h, k + b)
C
2
(h − b, k) B2

F1

C (h, k)
 B1(h + b, k)

V2 (h, k − a)
b
L2 : y − k = − (x − h)
a
L1 : y − k =
a
(x − h)
b
F2(h, k − c)
a
L2 : y − k = − (x − h)
b
◼ ความยาวตามขวาง = V1V2 = 2a ,ความยาวสังยุค = B1B2 = 2b และ F1F2 = 2c
◼ c2 = a 2 + b2 (c มากที่สุด)
2b2
◼ ความกว้าง หรือ ความยาวลาตัสเรกตัมของไฮเพอร์โบลา เท่ากับ
a
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
5.
หน้า |13
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
1. ผลคูณคาร์ทีเซียน (cartesian product)
A  B = {(x, y) | x  A  y  B}
n(A  B) = n(A)n(B)
2. ความสัมพันธ์ (relation) r เป็นความสัมพันธ์ จากA ไป B ก็ต่อเมื่อ r  A  B
3. ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ซึ่งไม่มีคู่อันดับสองคู่ใด ๆ ในความสัมพันธ์ที่มีสมาชิกข้างหน้าเหมือนกันแต่มีสมาชิก
ตัวหลังต่างกัน นั่นคือ
r จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อทุก (x1, y1)  r และ (x2, y2)  r แล้ว y1 = y2
r จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงใดที่ตั้งฉากกับแกน x ตัดกราฟของ r ครั้งเดียวเสมอ
เทคนิคการหาค่าฟังก์ชัน
◼ ถ้าให้ f(x) มา จะหา f( ) แทน x ด้วย 
◼ ถ้าให้ f( ) มา จะหา f(x) ให้สมมติ   A แล้วจัด x ในรูปของ A แล้วจัดรูปให้อยู่ในรูป A
แล้วเปลี่ยนตัวแปร A เป็น x ก็จะได้ f(x)
4.
โดเมน( Dr ) และ เรนจ์( Rr )
หาโดเมน Dr = {x | (x, y)  r}
◼ จัดสมการให้อยู่ในรูป y = เทอมของ x
◼ โดยดูว่า x มีค่าอะไรได้บ้าง ที่ทาให้ y เป็นจริง
หาเรนจ์ Rr = {y | (x, y)  r}
◼ จัดสมการให้อยู่ในรูป x = เทอมของ y
◼ โดยดูว่า y มีค่าอะไรได้บ้าง ที่ทาให้ x เป็นจริง
ความรู้ที่ใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์
A(x)
B(x)
(1)
f(x) =
(2)
f(x) = n g(x)
หาค่าได้เมื่อ B(x) ≠ 0
ถ้า n เป็นจานวนคู่ f(x) หาค่าได้เมื่อ g(x) ≥ 0
ถ้า n เป็นจานนคี่ f(x) หาค่าได้เมื่อ g(x) เป็นจานวนจริงใดๆ
(3)
(4)
f(x) = a g(x)
หาค่าได้เมื่อ g(x) เป็นจานวนจริงใดๆ
f(x) = loga g(x) หาค่าได้เมื่อ g(x) > 0
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |14
5. อินเวอร์สของความสัมพันธ์ และฟังก์ชันอินเวอร์ส
(1)
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ จากA ไป B แล้วอินเวอร์สของความสัมพันธ์ ซึ่งแทนด้วย
สัญลักษณ์ r–1 คือ ความสัมพันธ์จาก B ไป A
r = {(x, y)  A × B | (x, y)  r}
r–1 = {(x, y)  B × A | (y, x)  r} (สลับ x, y ในเงื่อนไข)
(2) ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse Functions) คือ อินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชัน
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f  1
ถ้า
f = {(x, y)  A × B | y = f(x)}
จะได้ f–1 = {(x, y)  B × A | x = f(y)} (สลับ x, y ในเงื่อนไข)
การหาฟังก์ชันอินเวอร์ส
ขั้นที่ 1 จาก y = f(x) จัด x ในรูปของ y พร้อมกับ หาเรนจ์ของ f
ขั้นที่ 2 เปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x พร้อมเขียนโดเมนของ f –1 ( x  Rf)
สมบัติของฟังก์ชันอินเวอร์สที่ควรรู้
1. f  1 เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1 – 1
2. D  1  R f
f
และ Rf 1  Df
3. ถ้า f() 
แล้ว f  1() 
4. กราฟของ f และ f –1 จะสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y = x
6. ฟังก์ชันคอมโพสิท(Composite Functions) หรือฟังก์ชันเชิงประกอบ
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มี Rf 
Dg
จะได้ (g  f)(x)  g(f(x))
โดเมนและเรนจ์ของ gof
Dgof  (Dgof ที่หาได้)  Df และ
R gof  (R gof ที่หาได้)  R g
สมบัติที่ควรรู้

(f  f −1 )(x) = x
เมื่อ x  Rf

(f −1  f)(x) = x
เมื่อ x  Df
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |15
7. พีชคณิตของฟังก์ชัน (Algebra of Functions)
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจานวนจริง สาหรับ x  Df  Dg
(f  g)(x) = f(x)  g(x)
(f • g)(x)
=
f(x) • g(x)
f 
  (x)
g
=
f(x)
, g(x)  0
g(x)
หมายเหตุ
Df  g 
Dfg
Df
Dg
D f 
Df
Dg
{x | g(x)
0}
g
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
6.
1.
หน้า |16
รากที่สองของจานวนจริง(กรณฑ์ที่สอง)
กรณฑ์ที่สองของ a เขียนแทนด้วย a ซึ่ง
สมบัติที่ควรรู้
หาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ a ≥ 0
a

a2 = | a |

( a )2 = a เมื่อ a ≥ 0
หลักการแก้สมการและอสมการรากที่สอง
(1) ต้องกาจัดรากที่สองให้หมดไปโดยการยกกาลังสองทั้งสองข้าง
จัดรูปตัวแปรใหม่ให้อยู่ในรูปสมการพหุนาม หรือจะใช้สมบัติ (a + b)  2 ab =
หมายเหตุ ต้องมีเงื่อนไขที่ค่าในรากที่สองต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
(2)
2.
สมบัติของเลขยกกาลัง
◼
a m a n
m
◼ a b
m
am n
◼
◼ a 0 1 , a
a
n
 a m n
m

a

◼

 




m
b
b
(ab)
◼ a m 
1
am
0
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
y  ax
am
am
m
◼ (a m )n  a mn
2.
a b
f = {(x, y)     | y = a x เมื่อ a > 0 และ a  1}
y
y
(0,1)
(0,1)
x
0 < a < 1 (เป็นฟังก์ชันลด)
y  ax
x
a > 1 (เป็นฟังก์ชันเพิ่ม)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |17
สมบัติที่ควรทราบ
1.
f(x)  a x
2.
Df = (−, )
เป็นฟังก์ชันชนิด 1 – 1
R f = (0, )
การแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล
1.
ถ้า a   a  จะได้ว่า  
2.
ถ้า 0 < a < 1 และ a   a  จะได้ว่า  
ถ้า a > 1 และ a   a  จะได้ว่า  
(ฐาน <1 เปลี่ยนเครื่องหมาย)
(ฐาน > 1 เครื่องหมายเหมือนเดิม)
หมายเหตุ
ข้อสอบมักออกข้อสอบให้จัดรูปสมการหรืออสมการในรูปพหุนามดีกรีสองที่จะต้องแยกตัวประกอบก่อน
2.
ฟังก์ชันลอการิทึม f = {(x, y)     | y = loga x เมื่อ a > 0 และ a  1}
y
y
y  loga x
y  loga x
(1, 0)
x
(1, 0)
0 < a < 1 (เป็นฟังก์ชันลด)
x
a > 1 (เป็นฟังก์ชันเพิ่ม)
สมบัติที่ควรทราบ
เป็นฟังก์ชันชนิด 1 – 1
1.
f(x)  loga x
2.
Df = (0, )
3.
log10 x เขียนแทนด้วย log x
R f = (−, )
และ loge x เขียนแทนด้วย ln x เมื่อ e  2.7183...
การแก้สมการและอสมการลอการิทึม
1.
ถ้า loga  loga จะได้ว่า 
2.
ถ้า 0 < a < 1 และ loga   loga จะได้ว่า   (ฐาน <1 เปลี่ยนเครื่องหมาย)
ถ้า a > 1 และ loga   loga จะได้ว่า   (ฐาน > 1 เครื่องหมายเหมือนเดิม)
หมายเหตุ
◼ ต้องตรวจสอบคาตอบสมการและอสมการทุกครั้ง ว่าค่าหลัง log เป็นบวกไหม
◼ ข้อสอบมักออกข้อสอบให้จัดรูปสมการหรืออสมการในรูปพหุนามดีกรีสองที่จะต้องแยกตัวประกอบก่อน
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |18
คุณสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
x  ay
1.
ถ้า loga x  y จะได้
2.
loga 1
3.
loga a = 1
4.
loga xy = loga x  loga y
5.
6.
7.
= 0
(log ผลคูณ = ผลบวกของ log)
x
= loga x  loga y
(log ผลหาร = ผลต่างของ log)
y
m
log n x m 
loga x
a
n
log b x
1
=
log a x =
log b a
log x a
loga
loga x
=
loga y
= y
8.
a
9.
x
x
log a x
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |19
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7.
1. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
sin  =
2.
ข้ามมุม
cos  =
ข้ามฉาก
ชิดมุม
ข้ามฉาก
tan  =
ข้ามมุม
ชิดมุม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติจากวงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย คือ วงกลมที่มีสมการ x2 y2
เมื่อ (x, y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว 
จะได้ x = cos  และ y = sin 
Y
90 ,  (0,1)
2

P(x, y)
180 
sin

All
0
X
(1,0)
(–1,0)
tan
cos
270, 3
(0,–1)
2
1
sin 
cos 
1
sec  =
เมื่อ cos   0
cos 
cos 
cot  =
sin 
1
cosec  =
เมื่อ sin   0
sin 
และ tan  =
3. ขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางที่มีหน่วยเป็นเรเดียน
ความยาวส่วนโค้ง
มุมที่จุดศูนย์กลาง =
เรเดียน
รัศมี
จุดบนวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย (x, y) = (r cos  , r sin )
4. ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มุมขนาดต่างๆที่ควรรู้

6

4

3

2
ฟังก์ชัน
0, 0
30 ,
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
2
2
1
2
0
tan
0
3
2
1
1
3
หาไม่ได้
สมบัติเพิ่มเติม
3
◼ sin 
, cos
45 ,
60 ,
90 ,
[ 1,1]
◼ tan   (−, )
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |20
5. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเมื่อมุมที่ขนาดเป็นลบ
sin(–) = – sin 
cos(–) = cos 
tan(–) = – tan 
6. ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 
,2
, 
2

sin( + ) = cos 
2

cos( + ) = − sin 
2

tan( + ) = − cot 
2
sin( − ) = sin 
cos( − ) = − cos 
tan( − ) = − tan 
sin( + ) = − sin 
cos( + ) = − cos 
tan( + ) = tan 

+
2

sin( − ) = cos 
2

cos( − ) = sin 
2

tan( − ) = cot 
2

−
2
−
2 + 
+
2 − 
3
−
3
2
sin( − ) = − cos 
2
3
cos( − ) = − sin 
2
3
tan( − ) = cot 
2
7.
, 3
2
sin(2 + ) = sin 
cos(2 + ) = cos 
tan(2 + ) = tan 
sin(2 − ) = − sin 
cos(2 − ) = cos 
tan(2 − ) = − tan 
3
+
3
2
sin( + ) = − cos 
2
3
cos( + ) = sin 
2
3
tan( + ) = − cot 
2
เอกลักษณ์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
(1) เอกลักษณ์กาลังสอง
◼ sin2 A + cos2 A = 1
◼ 1 + tan2 A = sec2 A
◼ 1 + cot2 A = cosec2 A
(2) ผลบวกและผลต่างของมุม
◼ sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B
◼ sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
◼ cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
◼ cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B
◼ tan(A – B) =
tan A  tan B
1  tan A tan B
,
tan(A + B) =
tan A  tan B
1  tan A tan B
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |21
(3) สองเท่าของมุม
◼ sin 2A = 2 sin A cos A =
2 tan A
1  tan2 A
◼ cos 2A = cos2 A – sin2 A = 1 – 2 sin2 A = 2 cos2 A – 1 =
◼ tan 2A 
1  tan2 A
1  tan2 A
2 tan A
1  tan2 A
หมายเหตุ จากสูตร cos 2A จะได้ sin2 A =
1 − cos 2A
1 + cos 2A
, cos2 A =
2
2
(4) ครึ่งของมุม
A
2

1  cos A
2
◼ cos
A
2

1  cos A
2
◼ tan
A

2
◼
sin
1 cos A
1 cos A
1
cos A
sin A
sin A
1 cos A
(5) สามเท่าของมุม
◼ sin 3A  3 sin A
4 sin 3 A
◼ cos 3A  4 cos3 A
3 cos A
◼ tan 3A 
3 tan A  tan 3 A
1  3 tan2 A
(6) แปลงผลคูณฟังก์ชันเป็นผลบวกฟังก์ชัน
sin(A
◼ 2 sin A cos B 
B)
sin(A
B)
sin(A
◼ 2 cos A sin B 
B)
sin(A
B)
cos(A
◼ 2 cos A cos B 
B)
cos(A
B)
cos(A
◼ 2 sin A sin B 
B)
cos(A
B)
(7) แปลงผลบวกฟังก์ชันเป็นผลคูณฟังก์ชัน
◼ sin A  sin B
◼ sin A sin B
◼ cos A  cos B
◼ cos A cos B
A B
A B
) cos(
)
2
2
A B
A B
2 cos(
) sin(
)
2
2
A B
A B
2 cos(
) cos(
)
2
2
A B
A B
2 sin(
) sin(
)
2
2
2 sin(
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
8.
หน้า |22
อินเวอร์ส(ค่าผกผัน)ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
(1) เรนจ์ของอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 
arcsin x , arccosec x , arctan x  [ − , ]
2 2
arccos x , arcsec x , arccot x  [0, ]
(2)
arcsin(−x) = − arcsin x ; –1  x  1
arctan(−x) = − arctan x ;
x 
arccosec(−x) = − arccosec x ; x  −1, x  1
arccos(−x) =  − arccos x ; –1  x  1
arccot(−x) =  − arccot x ; x  
arcsec(−x) =  − arcsec x ; x  −1, x  1
(3)
arcsin x + arccos x = 
;
2
arcstan x + arccot x =  ;
arcsec x + arccosec x
(4)
2
= 
2
–1  x  1
x 
; x  −1, x  1
 x+y
arctan x + arctan y = arctan 
 ; | xy |  1
 1 − xy 
 x+y
arctan x + arctan y =  + arctan 
 ; | xy |  1
 1 − xy 
เทคนิคการแก้โจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชันอินเวอร์สตรีโกณมิติ
ใช้สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สฟังก์ชันที่ว่า
และ (f −1  f)(a) = a
 ถ้า f −1(a) = x แล้ว f(x) = a
 (f  f −1)(a) = a
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
9.
หน้า |23
กฎของไซน์และโคไซน์
กฎของโคไซน์
a2
 b2
c2
2bc cos A
b2
 a 2
c2
2ac cos B
2
2
2
2ab cos C
c
 a
b
A
c
B
b
a
กฎของไซน์
a
b
c
= 2r

sin A
sin B
sin C
เมื่อ r เป็นความยาวรัศมีของวงกลมที่ผ่านจุด A, B และ C
สูตรโปรเจชัน
a  bcos C
c cos B
b = c cos A  a cosC
c = a cos B  b cos A
C
สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยม
1
ab sin C
2
พื้นที่  ABC

1
ac sin B
2
สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมของเฮลอน(Hero’s Formula)
พื้นที่ 
ABC
s(s a)(s b)(s
เมื่อ s  a b

1
bc sin A
2
c)
c
2
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |24
เมทริกซ์และระบบสมการเชิงเส้น
8.
1. เมทริกซ์
(1) ความหมายและสัญลักษณ์ของเมทริกซ์
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ซึ่งมี m แถว n หลัก จะกล่าวว่า เมทริกซ์ A มีมิติ m  n
เขียนแทนด้วย A = aij 
โดยที่ aij แทนสมาชิกของ A ในแถวที่ i หลักที่ j
mn
(2) การเท่ากันของเมทริกซ์
กาหนดเมทริกซ์ A = aij 
mn
A = B ก็ต่อเมื่อ aij = bij
และ B = bij 
mn
สาหรับทุก ๆ i, j = 1, 2, 3, …, m
(3) เมทริกซ์บางชนิดที่ควรรู้
◼ เมทริกซ์จัตุรัส เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวและหลักเท่ากัน
◼ เมทริกซ์ศูนย์ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ทั้งหมด และใช้สัญลักษณ์ 0
◼ เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวบนเส้นทแยงมุม หลักมีค่าเป็น 1
ส่วนสมาชิกอื่นๆที่เหลือมีค่าเป็น 0 ทั้งหมด เใช้ In แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ n×n
เช่น

1 0
, I3 
I2 = 
0 1


1 0 0 
0 1 0 


0 0 1 
(4) ทรานสโพสของเมทริกซ์ At คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการนาเอาสมาชิกในแถวที่ i มาสลับเป็นหลักที่ i
(5) การบวกเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกัน
A + B คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกแต่ละเป็นผลบวกของสมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกันของ A และB
สมบัติการบวกของเมทริกซ์
มีสมบัติปิด การเปลี่ยนกลุ่มได้ การสลับที่ได้ มีเอกลักษณ์การบวกคือ 0 และมีอินเวอร์การบวก
(6) การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
ถ้า A = a ij 
mp
และ B = bij 
q n
ผลคูณระหว่างเมทริกซ์ A และ B จะเกิดขึ้นได้
ก็ต่อเมื่อ p = q และผลคูณที่ได้จะมีมิติ m  n นั่นคือ
A  B = a ij 
 bij 
= cij 
 mn
  q n
  mp
p=q
เมื่อ cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + ainbnj
(สมาชิกแถวที่ i ของ A คูณ กับสมาชิกหลักที่ j ของ B)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |25
(7) การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ kA คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการคูณ k กับสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ์ A
(8) ตัวผกผันการคูณหรืออินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 2×2
ตัวผกผันการคูณหรืออินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ A คือ A–1 โดย AA–1 = A–1A = I2

ถ้า A = ac
b
d

หมายเหตุ
⚫ ถ้า det A  0 จะหา A −1 ได้ และเรียก A ว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน

แล้ว A–1
=
 d −b 
1
1  d −b 
 −c a  =
 −c a 
ad − bc 
 det A 

⚫ ถ้า det A = 0 จะหา A −1 ไม่ได้ และเรียก A ว่า เมทริกซ์เอกฐาน
(9) สมบัติบางประการที่ต้องรู้
1. (AB)C
= A(BC)
2. A(B + C) = AB + AC
3. A In = In A = A
10.
4. (A t ) t = A
8.
(A−1)−1 = A
9.
(AB)−1 = B−1A−1
(kA)−1 =
11.
1 −1
A
k
(A t )−1 = (A −1 )t
5. (kA) t = kA t
6. (A ± B) t = A t ± B t
7. (AB) t = B t A t
ข้อควรระวัง 1.
AB และ BA ไม่จาเป็นต้องเท่ากัน
2. (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2
3. (A – B)(A + B) = A 2 − BA + AB – B 2
4. ถ้า AB = 0
ไม่จาเป็นที่ A = 0 หรือ B = 0
5. ถ้า AB = AC โดย A  0 ไม่จาเป็นที่ B = C
2. ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)
◼
เมทริกซ์ที่มีมิติ 1  1 แล้ว det(A) = สมาชิกของเทริกซ์
◼
เมทริกซ์ที่มีมิติ 2  2 แล้ว c
a b
d
= ad – bc (คูณลง – คูณขึ้น)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |26
a b c a b
d e f d e
g h i g h
◼
เมทริกซ์ที่มีมิติ 3  3 แล้ว
◼
เมทริกซ์ที่มีมิติ n  n จะได้ det =  a ijCij (กระจายโคแฟคเตอร์)
กาหนดให้ A = aij 
= (aei + bfg + cdh) − (gec + hfa + idb)
(คูณลง – คูณขึ้น)
nn
ไมเนอร์ ( Mij (A) ) คือ det(เมทริกซ์ที่เหลือจากตัดแถว i หลัก j ของเมทริกซ์ A)
โคแฟกเตอร์ ( Cij(A) ) = (−1)i + j Mij(A)
(หมายเหตุ หลักสูตรปี 2560 ตัดเนื้อหาไมเนอร์ โคแฟคเตอร์นี้ออกไป จะไม่มีในข้อสอบคณิตศาสตร์ 1)
สมบัติบางข้อของดีเทอร์มิแนนท์
1. det(A) =
det( At )
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det( Am ) = (det(A))m
4. det( A–1 ) =
5. det(kA) = kn det(A)
6. det In = 1
1
det(A)
7. ถ้า A มีสมาชิกทุกตัวในแถว(หลัก) เป็น 0 ทั้งหมด จะได้ว่า det(A) = 0
8. ถ้า A มีสมาชิกในสองแถว(หรือในสองหลัก)ใดเท่ากัน จะได้ว่า det(A) = 0
9. ถ้า B เกิดจาก A โดยการสลับแถวคู่ใดคู่หนึ่ง (หรือสลับหลักคู่ใดคู่หนึ่ง) แล้ว det B = –det A
10. ถ้า B เกิดจาก A โดยการคูณแถวหนึ่ง(หรือหลักหนึ่ง)ด้วย k แล้ว det(B) = kdet(A)
11. ถ้า B เกิดจาก A โดยการคูณแถวหนึ่ง (หลักหนึ่ง) ด้วยค่าคงตัวแล้วนาไปบวกกับแถวหนึ่ง
(หลักหนึ่ง) จะได้ว่า det(B) = det(A)
3.
อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
◼ เมทริกซ์ผูกพัน(adjoint matrix) แทนด้วย adj(A)
◼ อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
โดยที่ adj(A) = Cij(A)
ถ้า det(A)  0 จะได้ว่า
A–1 =
t
1
adj(A)
det(A)
ข้อควรจา ⚫ A adj(A) = adj(A) A = det(A) I
⚫ det(adj(A)) = det(A)n 1
(หมายเหตุ หลักสูตรปี 2560 ตัดเนื้อหาการอินเวอร์สแนวนี้ออกไป จะไม่มีในข้อสอบคณิตศาสตร์ 1)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |27
4. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ ทาได้ 3 วิธี
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นจัดในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B
(1) การแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์
ถ้า det(A)  0 แล้ว คาตอบของระบบสมการ คือ X = A−1B
(2) การแก้สมการโดยใช้ กฏของคราเมอร์ (Cramer’s rule)
ถ้า det(A)  0 แล้ว คาตอบของระบบสมการนี้คือ
x1 =
det(A1)
det(A)
, x2 =
det(A2 )
det(A)
,  , xn =
det(An )
det(A)
โดยที่ Ai เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการนา B ไปแทนที่หลักที่ i ของ A เมื่อ i = 1, 2, …, n
(หมายเหตุ หลักสูตรปี 2560 ตัดเนื้อหาการอินเวอร์สแนวนี้ออกไป จะไม่มีในข้อสอบคณิตศาสตร์ 1)
(4) การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การดาเนินการตามแถว(Row Operations)
การปฎิบัติการตามแถว สามารถทาได้ ดังนี้
แทนการสลับที่ระหว่างแถวที่ i กับแถวที่ j
Rij
แทนการคูณสมาชิกทุกตัวในแถวที่ i ด้วย k
kR i
Ri + kR j แทนการเปลี่ยนแถวที่ i โดยการนา k คูณสมาชิกแถวที่ j แล้วนาผลไปบวกกับ
สมาชิกในลาดับเดียวกันของแถวที่ i
ขั้นตอนการแก้ระบบสมการ จากระบบสมการ AX = B
⚫ สร้างเมทริกซ์แต่งเติม [A | B]
⚫ ดาเนินการตามแถว เปลี่ยนเมทริกซ์แต่งเติมให้อยู่ในรู ป [C | I] จะได้ X = C
หมายเหตุ
◼
ถ้า B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการใช้ดาเนินการตามแถวบน เมทริกซ์ A
จะกล่าวว่า A สมมูลตามแถวกับ B และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A  B
◼
จากการดาเนินการตามแถว [A | I]  [I | B] จะได้ B = A −1
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |28
9. เวกเตอร์
1. ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์
1 
ได้แก่ i = 0 ,
0
(1)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในสามมิติ
(2)
เวกเตอร์จากจุด 2 จุด กาหนด A(x, y, z) , B(a, b, c)
0 
j = 1 
 
 0 
และ
B
a − x 

AB =  b − y  = (a − x) i + (b − y) j + (c − z)k
c − z



⚫ ข้อสังเกต AB = −BA
0
k = 0
 
1 
จุดปลาย
A  จุดเริม่ ต้น
a2 + b2 + c2
(3)
ขนาดของเวกเตอร์ u = a i + b j + ck จะได้ u =
(4)
การขนานกันของเวกเตอร์ u, v  0 : u  v ก็ต่อเมื่อ มี k  R ที่ทาให้ u = kv
ถ้า u = kv โดยที่ u และ v ขนานในทิศทางเดียวกัน แสดงว่า k > 0
ถ้า u = kv โดยที่ u และ v ขนานในทิศทางตรงข้าม แสดงว่า k < 0
ถ้า u = kv โดยที่ u และ v ไม่ขนานกัน แสดงว่า k = 0
(5)
มุมระหว่างเวกเตอร์ : มุมระหว่าง u และ v คือมุมที่มีจุดเริ่มต้นของสองเวกเตอร์เป็นจุดยอดมุม
u
โดยมุมขนาดตั้งแต่ 0 ถึง 180 ดังรูป

v
(6)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ u เท่ากับ  u
u
เวกเตอร์ขนาด k หน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ u คือ ku
u
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
2.
หน้า |29
การบวก การลบ การคูณด้วยสเกลาร์ การคูณเวกเตอร์
ให้ u = a1 i + b1 j + c1k , v = a2 i + b2 j + c2k และ m  R
(1)
การบวก ลบ เวกเตอร์
u+v
 a1  a 2 
u  v =  b1  b2  = (a1  a2 )i + (b1  b2 ) j + (b1  b2 )k
 c1  c2 
u
v
u−v
 ma1 
(2) การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ : mu =  mb1  = (ma1)i + (mb1) j + (mc1)k
 mc 
1

(3) ผลคูณเชิงสเกลาร์ หรือ dot product :
u  v = a1a2 + b1b2 + c1c2
(4) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ หรือ cross product :
i
u  v = a1
a2
j
b1
b2
k
c1
c2
(ทาเหมือน det)
uv
v
u
vu
3. สมบัติที่ควรรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์
(1)
u+v = v+u,
(2)
m(u  v) = mu  mv , (mu)  (nv) = (mn)(u  v) , (mu)  (nv) = (mn)(u  v)
(3)
u  v = u v cos 
(4)
u  v = u v sin 
(5)
uu = u
(6)
u  v = u + v  2(u  v)
2
2
u  v = v  u , u − v = − (v − u) , u  v = −(v  u)
แต่
uu = 0
2
2
การตีความหมายเชิงเรขาคณิตของเวกเตอร์
⚫ u ⊥ v ก็ต่อเมื่อ u  v = 0
⚫ u และ v มีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมแหลม ก็ต่อเมื่อ u  v  0
⚫ u และ v มีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ก็ต่อเมื่อ u  v  0
⚫ u  v ก็ต่อเมื่อ u  v =  u v
⚫ u , v และ w อยู่บนระนาบเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ u  (v  w) = 0
(8) พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u และ v เป็นด้านประชิด เท่ากับ u  v
(9) ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u , v และ w เป็นด้านประกอบ เท่ากับ u  (v  w)
(10) u , v และ w อยู่บนระนาบเดียวกัน เมื่อ u  (v  w) = 0
(7)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
10.
1.
หน้า |30
จานวนเชิงซ้อน
ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับจานวนเชิงซ้อน
i4k = 1 , i4k +1 = i , i4k + 2 = −1 , i4k + 3 = −i
(1)
ค่า in :
(2)
กาหนดให้ z = a + bi เมื่อ a, b เป็นจานวนจริง
ส่วนจริงของ z Re(z) = a ส่วนจินตภาพของ z Im(z) = b
(3)
สังยุคของจานวนเชิงซ้อน z = a + bi : z = a + bi = a − bi
(4)
ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน z = a + bi :
(5)
จานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว(Polar form) z = a + bi : z = r(cos  + i sin )
z = a2 + b2
a2 + b2
เมื่อ r = z =
และ tan  = b (  อยู่ในควอดรันต์ใดขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ a, b)
a
(6)
กราฟของจานวนเชิงซ้อน
◼ ระบบพิกัดฉาก จานวนเชิงซ้อน z = a + bi แทนด้วยจุด (a, b)
a 
◼ ระบบพิกัดเชิงขั้ว จานวนเชิงซ้อน z = a + bi แทนด้วยเวกเตอร์  
 b 
2.
การดาเนินการบนจานวนเชิงซ้อน
(1) การเท่ากัน : a + bi = x + yi ก็ต่อเมื่อ a = x และ b = y
(2)
การบวกและลบ : (a + bi)  (x + yi) = (a  x) + (b  y)i
(3)
การคูณด้วย k : k(a + bi) = (ka) + (kb)i
(4)
การคูณ :
(a + bi)(x + yi) = (ax − by) + (ay + bx)i
(5)
การหาร :
a + bi (a + bi)(x − yi) (a + bi)(x − yi)
=
=
x + yi (x + yi)(x − yi)
x2 + y2
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
(6)
หน้า |31
การคูณและการหารในระบบพิกัดเชิงขั้ว
กาหนดให้ z1 = r1(cos 1 + i sin 1) , z2 = r2(cos 2 + i sin 2 )
จะได้ z1z2 = r1r2 ( cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 ))
z1
r
= 1 ( cos(1 − 2 ) + i sin(1 − 2 ))
z2 r2
(z1 )n = r1n (cos n1 + i sin n1 ) (กฎของเดอร์มัว)
z1 = r1(cos(−1) + i sin(−1))
3.
สมบัติที่ควรรู้
(1)
สมบัติของสังยุค
(2)
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
(3)
zz = z
(4)
z−1 =
ข้อควรระวัง
z1  z2 = z1  z2 , z1z2 = z1 z2 ,
z = z = −z , z1z2 = z1 z2
2
1
z
=
2
z
z
2
 z  z2 และ z1  z2
 ที่ถูกคือ z1  z2
4.
2
2
2
2
 z1 + z2  2z1z2 (ไม่เหมือนเวกเตอร์)
= (z1  z2 )(z1  z2 )
การหารากที่ n ของจานวนเชิงซ้อน z = a + bi
(1) ถ้า z เป็นจานวนจริง  ใช้การแยกตัวประกอบ
(2) ถ้า z เป็นจานวนเชิงซ้อน จาก z = r(cos  + i sin )
ใช้สูตรหารากที่ n ของ z ดังนี้
 + 2k
 + 2k 

zk = r1/n  cos(
) + i sin(
)


n
n
5.
 z1  z1
 =
 z2  z2
z
z
, 1 = 1
z2
z2
เมื่อ k =0, 1, 2, ..., n –1
สมการพหุนาม a n x n + a n −1x n + ... + a1x + a 0 = 0
(1) สมการพหุนามจะมีคาตอบ(ราก)ทั้งหมด n คาตอบ
(2) ถ้า a + bi เป็นคาตอบ(ราก) จะได้ว่า a − bi เป็นคาตอบของสมการด้วย
a
(−1)n a 0
an
an
(3)
ผลบวกของคาตอบ = − n −1 และ ผลคูณคาตอบ =
(4)
การสร้างสมการพหุนามจากคาตอบ ถ้า z1, z2, z3,..., zn เป็นคาตอบทั้งหมดของ P(x) = 0
จะได้ P(x) = a(x − z1)(x − z2 )(x − z3 )...(x − zn ) เมื่อ a เป็นจานวนจริง
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
ลาดับและอนุกรม
11.
1. ลาดับและอนุกรมเลขเลขคณิตจากัด
หน้า |32
เป็นลาดับที่มีสมบัติ an +1 − an = d (ผลต่างคงที่)
◼ พจน์ทั่วไป a n = a k + (n − k)d
◼ ผลบวก n พจน์แรก Sn =
n
n
2a1 + (n − 1)d ) = ( a1 + a n )
(
2
2
2. ลาดับและอนุกรมเลขเรขาคณิตจากัด
เป็นลาดับที่มีสมบัติ
a n +1
an
= r (อัตราส่วนคงที่)
◼ พจน์ทั่วไป a n = a k rn − k
◼
ผลบวก n พจน์แรก Sn =
a1(1 − rn )
1−r
=
a1 − a n r
1−r
3. สมบัติของ 
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
n
 k = nk
i =1
n
n
 n

 k(a i  bi ) = k   a i   bi 
 i =1
i =1
i =1 
n
n(n + 1)
i=
2
i =1
n 2
n(n + 1)(2n + 1)
i =
6
i =1
2
 n(n + 1) 
i =



2
i =1
n 3
4. ลิมิตของลาดับ
(1)
ถ้า
ถ้า
n →
lim a n
หาได้ เรียก an ว่าเป็นลาดับลู่เข้า
lim a n
หาไม่ได้ เรียก an ว่าเป็นลาดับลู่ออก
n →
(2)
ถ้า lim a n =  จะได้
(3)
ถ้า a  1 จะได้
n →
k
=0
n → a n
lim
lim a n = 0
n →
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
(4)
หน้า |33
ลิมิตของลาดับเศษส่วนพหุนาม
◼ ถ้าเศษและส่วนดีกรีเท่ากัน จะได้ lim a n =
n →
ส.ป.ส.ของพจน์ดีกรีสูงสุดของเศษ
ส.ป.ส.ของพจน์ดีกรีสูงสุดของส่วน
◼ ถ้าดีกรีเศษน้อยกว่าดีกรีส่วน จะได้ lim a n = 0
n →
◼ ถ้าดีกรีเศษมากกว่าดีกรีส่วน (k > p) จะได้ lim a n
n →
(5)
หาไม่ได้ (  หรือ − )
ถ้า an เป็นลาดับเศษส่วนของฟังก์ชัน expo
◼ ถ้าฐานสูงสุดของเศษและส่วนเท่ากัน จะได้ lim a n =
n →
ส.ป.ส.ของฐานสูงสุดของเศษ
ส.ป.ส.ของฐานสูงสุดของส่วน
◼ ถ้าฐานสูงสุดของเศษน้อยกว่าของส่วน จะได้ lim a n = 0
n →
◼ ถ้าฐานสูงสุดของเศษมากกว่าของส่วน จะได้ lim a n
n →
5.
อนุกรมอนันต์
หาไม่ได้ (  หรือ − )

 an
n =1
(1) ขั้นตอนการหาอนุกรมอนันต์ดังนี้

ขั้นที่ 1 หา lim a n :  ถ้า lim a n  0 แล้วอนุกรมอนันต์  an ลู่ออก(หาผลบวกอนันต์ไม่ได้)
n →
n →
n =1
 ถ้า lim a n = 0
n →
ขั้นที่ 2
n
Sn =  ai
ขั้นที่ 3 หา
i =1

lim Sn :  ถ้า lim Sn หาไม่ได้ แล้วอนุกรมอนันต์  an ลู่ออก
n →
n →
n =1
 ถ้า lim Sn = S
n →
(2)
ดาเนินการต่อในขั้นที่ 2

แล้วอนุกรมอนันต์ลู่เข้า และ  an = S
n =1
อนุกรมอนันต์เรขาคณิตอนันต์
⚫ ถ้า r  1 แล้วอนุกรมลู่เข้า และผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ s =
a1
1−r
⚫ ถ้า r  1 แล้วอนุกรมลู่ออก
(3) อนุกรมอนันต์ที่ใช้แนวคิด Telescoping : เน้นแนวคิดแยกเศษส่วนย่อย 2 จานวนลบกัน
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |34
(4) อนุกรมผสมระหว่างเรขาคณิตคูณกับเลขคณิต :
กาหนดอนุกรม a1 + a2r + a 3r2 + a 4r3 + ... เมื่อ an เป็นลาดับเลขคณิต และ r  1
ให้
นา r คูณ (1) ;
นา(1) – (2) ;
S = a1 + a2r + a 3r2 + a 4r3 + ...
...(1)
rS = a1r + a2r2 + a 3r3 + a 4r4 + ...
...(2)
(1 − r)S = a1 + dr + dr2 + dr3 + dr4 + ...
จะได้
6.
S=
1 
dr 
 a1 +

1−r
1−r
ดอกเบี้ย
ดอกเบี้ยเชิงเดียว
การคิดดอกเบี้ยเชิงเดียว เป็นการคิดดอกเบี้ยเพียงครั้งเดียวหลังจากครบกาหนดเวลาการกู้ยืมหรือการฝาก
ซึ่งสามารถคานวณได้จากสูตร ดังนี้
กาหนดให้ P คือเงินต้น
n คือระยะเวลาในการกู้ยืมหรือการฝาก (หน่วยเป็นปี)
i คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี
r คือ อัตราดอกเบี้ยของเงินต้น 1 บาทในระยะเวลา 1 ปี
ดังนั้น เงินรวมทั้งหมดเท่ากับ S = P + Prn = P(1 + rn) บาท เมื่อ r =
i
100
ดอกเบี้ยทบต้น
การคิดดอกเบี้ยทบต้น
ลักษณะของการคิดดอกเบี้ยวิธีนี้คือ ระยะเวลาจะถูกแบ่งเป็นปีๆและเมื่อถึงกาหนดการคิดดอกเบี้ย ก็จะมี
การคิดดอกเบี้ยของปีนั้นและนาดอกเบี้ยที่ได้มารวมเป็นเงินต้นของปีถัด ทาให้เงินต้นมีจานวนมากขึ้นเรื่อยๆ
เราจะได้ว่าเงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ n คือ Sn = P(1 + r)n บาท
7.
มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต
ถ้าลงทุน P บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย i% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ k ครั้ง เป็นเวลา n ปี
กาหนดให้
i
r=
100
แล้วเมื่อครบ n ปี เงินรวมที่ได้ คือ

r
S = P 1 + 

k
nk
เรียก S ว่าเป็นมูลค่าอนาคตของเงินต้น P
ในทางกลับกัน จะเรียก P ว่าเป็นมูลค่าปัจจุบันของเงินรวม S
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน P ของเงินรวม S คือ

r
P = S 1 + 

k
− nk
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
8.
หน้า |35
ค่างวด
การหาเงินรวมของค่างวด
ถ้าการรับหรือจ่ายแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน R บาท รวมทั้งหมด n งวด
และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น i% เมื่อ r =
i
100
(
)
❖ ถ้ารับหรือจ่ายค่างวดตอนต้นงวด จะได้เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ n คือ
R(1 + r) (1 + r)n − 1
r
❖ ถ้ารับหรือจ่ายค่างวดตอนสิ้นงวด จะได้เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ n คือ
R (1 + r)n − 1
r
(
)
❖ การหาค่างวด
ถ้ามูลค่าปัจจุบัน P บาท แบ่งรับหรือจ่ายแบบรายงวดงวดละ R บาท รวมทั้งหมด n งวด
และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น i% เมื่อ r =
จะได้ค่ารายงวดคานวณจาก R =
i
100
Pr
1 − (1 + r)−n
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |36
แคลคูลสั เบื้องต้น
12.
1. ลิมิตและความต่อเนื่อง
(1)
ลิมิตของฟังก์ชัน lim f(x) ให้ลองแทน x ด้วย a เพื่อหาค่า f(a)
x →a
k
จะได้ว่า lim f(x) หาไม่ได้
0
x →a
ถ้า f(a) อยู่ในรูป k จะได้ว่า lim f(x) = 0

x →a
ถ้า f(a) อยู่ในรูป k จะได้ว่า lim f(x)= k
 ถ้า f(a) อยู่ในรูป
x →a

ถ้า f(a) อยู่ในรูป 0 ,  ,  −  (ห้ามตอบทันที) ให้จัดรูปโดยใช้วิธีการดังต่อไปนี้
0 
⚫ แยกตัวประกอบ
⚫ คูณสังยุด(conjugate)
f(x)
f (x)
= lim
x →a g(x) x →a g(x)
⚫ ใช้กฏโลปิตาล lim
(2)
ลิมิตทางเดียว
lim f(x)
แทนลิมิตทางซ้ายของ a
lim f(x)
แทนลิมิตทางขวาของ a (ดู f(x)ไกล้เคียงกับอะไร เมื่อ x > a แต่ใกล้ๆกับ a)
หมายเหตุ
⚫ โดยวิธีการหาจะใช้วิธีเดียวกับหัวข้อ (1)
x →a −
x →a +
(ดู f(x)ไกล้เคียงกับอะไร เมื่อ x < a แต่ใกล้ๆกับ a)
⚫ ถ้า lim f(x) = L1 และ lim f(x) = L2 แล้ว lim f(x) หาได้
x →a +
x →a −
x →a
ก็ต่อเมื่อ L1 = L2
(3)
ความต่อเนื่องฟังก์ชัน
f ต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ
(1) f(a) หาได้
(2) lim f(x) หาได้
x →a
และ (3) f(a) = lim f(x)
x →a
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
2.
หน้า |37
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
f(x2 ) − f(x1 )
(1)
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f จาก x1 ถึง x2 เท่ากับ
(2)
อัตราการเปลี่ยนแปลงหรืออนุพันธ์ของ f ที่ x ใดๆ เท่ากับ lim
x2 − x1
f(x + h) − f(x)
h
h →0
นั่นคือ
และ
f(x + h) − f(x)
dy
= f (x) = lim
h
h →0
dx
2
f (x + h) − f (x)
d y
= f (x) = lim
h
h →0
dx2
(อนุพันธ์อันดับหนึ่ง)
(อนุพันธ์อันดับสอง)
f(x) − f(a)
x−a
x →a
หมายเหตุ นิยามอีกแบบของ f (a) = lim
(3)
สูตรของอนุพันธ์
◼ ถ้า f(x) = a เมื่อ a เป็นค่าคงตัว จะได้ f (x)  0
◼ ถ้า f(x) = x n
◼
ถ้า f(x) = cg(x) จะได้ f (x) = cg(x)
◼
ถ้า f(x) = g(x)  h(x) จะได้ f (x) = g(x)  h(x)
◼
ถ้า f(x) = g(x)h(x) จะได้ f (x) = g(x)h(x)+ h(x)g(x)
◼ ถ้า f(x) =
(4)
เมื่อ n เป็นจานวนจริง จะได้ f (x)  nxn 1
g(x)
h(x)
(x)
จะได้ f (x) = h(x)g(x) − g(x)h
เมื่อ g(x)  0
2
(h(x))
◼
ถ้า f(x) = ( g(x) )n จะได้ f (x) = n ( g(x) )n −1  g(x)
◼
ถ้า f(x) = (g  h)(x) จะได้ f (x) = g(h(x))  h(x)
ความชันของเส้นโค้ง และสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
กาหนดเส้นโค้ง y = f(x) จะได้ ความชันเส้นโค้งที่จุด (a, f(a)) เท่ากับ f (a)
และสมการเส้นสัมผัสที่จุด (a, f(a)) คือ y − f(a) = f (a)(x − a)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |38
ค่าสูงสุดค่าต่าสุดสัมพัทธ์ ดาเนินการหาดังนี้
ขั้นที่ 1 หาค่าวิกฤต ซึ่งหาจาก ค่า c ที่ทาให้ f (c) = 0 หรือ f (c) หาค่าไม่ได้
(5)
ขั้นที่ 2 นาค่าวิกฤต c ที่ได้จากขั้นที่ 1 ไปตรวจสอบว่า f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่าสุดสัมพัทธ์
โดยนาค่าวิกฤตทั้งหมดเขียนบนเส้นจานวนเรียงจากน้อยไปมากแล้วหาค่า f (x) ในแต่ละช่วง
 ถ้าค่าของ f (x) เมื่อ x ใกล้ๆกับ c เปลี่ยนจากบวกไปเป็นลบ
จุด (c, f(c)) ดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
 ถ้าค่าของ f (x) เมื่อ x ใกล้ๆกับ c เปลี่ยนจากลบไปเป็นบวก
จุด (c, f(c)) ดังกล่าวเป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์
(6) ค่าสูงสุดค่าต่าสุดสัมบูรณ์
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ คือค่าฟังก์ชันที่มากที่สุดในช่วงปิด โดยเปรียบเทียบค่ามากที่สุดระหว่างค่าสูงสุด
สัมพัทธ์ในช่วง ค่าฟังก์ชันเมื่อ x น้อยสุดในช่วง และ ค่าฟังก์ชันเมื่อ x มากสุดในช่วง
ค่าต่าสุดสัมบูรณ์ คือค่าฟังก์ชันที่น้อยที่สุดในช่วงปิด โดยเปรียบเทียบค่าน้อยที่สุดระหว่างค่าต่าสุด
สัมพัทธ์ในช่วง ค่าฟังก์ชันเมื่อ x น้อยสุดในช่วง และ ค่าฟังก์ชันเมื่อ x มากสุดในช่วง
3.
อินทิกรัลของฟังก์ชัน
(1) สูตรการอินทิกรัลไม่จากัดเขต
◼  k dx kx
c
xn 1
c
n 1
◼ kf(x)dx  k f(x) dx
◼  x n dx 
◼ 
f(x) 
g(x)dx
n
◼
 (f(x)) f (x)dx 
f(x) dx
g(x) dx
(f(x))n 1
n 1
c
b
อินทิกรัลจากัดเขต  f(x)dx F(b)
(2)
F(a)
เมื่อ F(x)  f(x) (Fundamental
a
Theorem of Calculus)
พื้นที่ปิดล้อม
(3)
y
y
y  f(x)
x
a
b
b
พื้นที่ =  f(x) dx
a
b x
a
y
y  f(x)
a
c
b
x
y  f(x)
b
พื้นที่ =  f(x) dx
a
c
b
a
c
พื้นที่ = f(x) dx 
f(x) dx
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
13.
1.
2.
หน้า |39
ความน่าจะเป็นเบื้องต้น
การหาค่าแฟคทอเรียล (Factorial)
กาหนดให้ n เป็นจานวนนับ n! = n 
(n 1) (n
2) ... 3 2 1
กฏการนับเบื้องต้น
ถ้าต้องการทางาน k ชนิด(ขั้นตอน)ต่อเนื่อง(หรือเกิดพร้อมกัน) โดยที่
มีวิธีทางานชนิดที่ 1 n1 วิธี
ในแต่ละวิธีของการทางานชนิดที่ 1 มีวิธีของการทางานชนิดที่ 2 n2 วิธี
ในแต่ละวิธีของการทางานชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2 มีวิธีของการทางานชนิดที่ 3


ในแต่ละวิธีของการทางานชนิดที่ 1 ถึงชนิด k – 1 มีวิธีของการทางานชนิดที่ k
n2 n3 ... nk วิธี
จะได้ จานวนวิธีการทางานทั้ง k ชนิดนี้เท่ากับ n1 
3.
และ 0! = 1
n3
วิธี
nk วิธี
วิธีเรียงสับเปลี่ยน หมายถึงการนาสิ่งของที่มีอยู่ทั้งหมดหรือบางส่วนมาจัดเรียงลาดับสับไปมา
โดยคานึงถึงลาดับหรือตาแหน่งสิ่งของเป็นสาคัญ วิธีการเรียงสับเปลี่ยนแบ่งเป็น 2 ลักษณะ ดังนี้
(1) วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้น สูตรที่ควรรู้ได้แก่
◼ ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่ง จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น เท่ากับ n! วิธี
◼ ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่ง จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น r สิ่ง (r ≤ n)
เท่ากับ n Pr 
n!
(n  r)!
วิธี
◼ ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ทีแ
่ ตกต่างกันไม่ทั้งหมด โดยที่ ในกลุ่มที่ 1, 2, …., k มีสิ่งของซ้ากัน
n2
เป็น n1, n2,..., nk สิ่ง ตามลาดับและ n1 
...
จะได้จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่งเท่ากับ
nk
n
n!
n1 ! n2 ! ... nk !
วิธี
(2) วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม สูตรที่ควรรู้ได้แก่
ถ้าสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่งจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมเท่ากับ (n – 1)! วิธี
หมายเหตุ : แนวคิดการจัดเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมอีกแนวทางหนึ่ง คือ ให้กาหนดตาแหน่ง
สิ่งของสิ่งหนึ่งสิ่งใดไปแล้ว ให้จัดที่เหลือแบบเชิงเส้น
◼
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |40
เทคนิคการเรียงสับเปลี่ยน “ให้อยู่ติดกัน” และ “ไม่มีสิ่งใดติดกัน”
◼ การจัดเรียงให้สิ่งของบางสิ่งอยู่ให้ติดกันเสมอ ให้มัดรวมสิ่งที่ต้องการให้อยู่ติดกันเป็นสิ่งของ
หนึ่งสิ่งแล้วเรียงสับเปลี่ยนในกลุ่มด้วย (ใช้เทคนิคมัดมองรวมเป็นหนึ่ง)
(3)
การจัดเรียงที่ให้สิ่งของบางสิ่งไม่ให้อยู่ติดกันเลย ให้จัดเรียงสิ่งของอื่นก่อนแล้วนาสิ่งของที่
เหลือไปแทรกระหว่างสิ่งที่จัดไว้แล้ว (จัดอย่างอื่นก่อนแล้วแทรกสิ่งที่ไม่ต้องการให้ติดกัน)
◼
วิธีจัดหมู่ (Combination)
การนาสิ่งของที่มีความแตกต่างกันทั้งหมดหรือเพียงบางส่วนมาจัดหมู่ โดยไม่ถือตาแหน่งหรือลาดับ
ก่อนหลังเป็นสาคัญ เช่น การเลือกหยิบของพร้อมกันจากจานวนที่มีอยู่ การสร้างสับเซต
4.
สูตรที่ควรรู้
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด หยิบหรือเลือกออกมา r สิ่งรวมเป็นหมู่ (หยิบพร้อมกัน)

n
r


จานวนวิธีที่ได้ทั้งหมดเท่ากับ n Cr  
5.
n!
(n  r)! r !
ทษฎีบททวินาม
n
n
n
n n
(a + b)n =   a n − r br =   a n b0 +   a n −1b1 + ... +   a 0bn






n
r =0  r 
0
1
 
n
มีพจน์ทั่วที่ r + 1 เท่ากับ Tr +1 =   a n −rbr
r
6.
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (Probability of Events)
ถ้า S เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจากัด และประกอบด้วยผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน
และ E เป็นเหตุการณ์ของ S จะได้ P(E) = n(E)
n(S)
คุณสมบัติบางประการเกี่ยวกับความน่าจะเป็น
1. ถ้า E เป็นเหตุการณ์ใด ๆ แล้ว 0  P(E)  1
2 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในปริภูมิตัวอย่าง S จะได้
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
P(A – B) = P(A) – P(AB)
P(A) = 1 – P(A )
3. ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระกัน จะได้ P(AB) = P(A)P(B)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
14.
หน้า |41
สถิติ
1. การแจกแจงความถี่ข้อมูล
(1) ตารางแจกแจงความถี่
◼ ขอบล่าง(L) ของอันตรภาคชั้น คือค่ากึ่งกลางระหว่างค่าน้อยที่สุดในอัตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่มากที่สุด
ของอันตรภาคชั้นที่ติดกันและต่ากว่า
◼ ขอบบน(U) ของอันตรภาคชั้น คือค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่มากที่สุดในอันตรภาคชั้นกับค่าที่น้อยที่สุด
ของอันตรภาคชั้นที่ติดกันและสูงกว่า
◼ ความถี่สะสม(F) คือ ผลรวมของความถี่ของค่านั้นหรืออันตรภาคชั้นนั้นกับความถี่ของค่าหรืออันตร
ภาคชั้นที่มีช่วงคะแนนต่ากว่าทั้งหมด
◼ ความกว้างของอันตรภาคชั้น(I) = ขอบบน – ขอบล่าง
ขอบล่าง + ขอบบน
ค่ามากสุด + ค่าน้อยสุด
◼ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น( x i ) =
=
2
2
◼
ความถี่
ความถี่สัมพัทธ์ = จานวนข้อมูลทั้งหมด
(2) แผนภาพต้นใบ(stem-and-leaf plot)
เช่น
2.
0 2
1 3 1 4
2 1 5
อ่านเป็นข้อมูลได้แก่ 2, 13, 11, 14, 21, 25
การวัดดค่ากลางของข้อมูล (measures of central value)
(1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกลุ่มประชากร แทนด้วย  และกลุ่มตัวอย่าง แทนด้วย x
N
 xi
◼ ข้อมูลแจกแจงไม่เป็นอันตรภาคชั้น  = x = i =1
N
k
 fi x i
◼ ข้อมูลแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น  = x = i =1
N
k
,N =  f
i =1
i
เมื่อ x i แทนจุดกึ่งกลางชั้น และ fi แทนความถี่ในอันตรภาคชั้นที่ i
k
 fidi
◼ ข้อมูลแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น  = x = a + dI , d = i =1
N
เมื่อ di =
จุดกึ่งกลางชั้น − a
I
k
,N =  f
i =1
i
เมื่อ a เป็นจุดกึ่งกลางชั้นใดชั้นหนึ่ง
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |42
n
◼ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก  = x =
 wixi
i =1
n
เมื่อ wi แทนน้าหนักของค่า x i
 wi
i =1
k
 ni x i
◼ ค่าเฉลี่เลขคณิตรวม  x รวม = i =1
k
 ni
i =1
เมื่อ x i แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ n i แทนจานวนค่าของข้อมูลชุดที่ i
(2) มัธยฐาน(median)
◼ ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
ให้เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้วหาตาแหน่งมัธยฐาน = n  1
2
 ถ้าตาแหน่งเป็นจานวนเต็ม จะได้ข้อมูลในตาแหน่งที่หาได้เป็นมัธยฐาน
 ถ้าตาแหน่งไม่เป็นจานวนเต็ม ให้นาค่าที่อยู่ระหว่างตาแหน่งนั้นมาบวกกันแล้วหารด้วย 2
◼ ข้อมูลที่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
หาตาแหน่งมัธยฐาน = n นาไปเทียบกับความถี่สะสมเพื่อดูว่าจะอยู่ในอันตรภาคชั้นใด
2
n

−  fL 

จะได้ มัธยฐาน(Med) = L +  2
I

fM


เมื่อ
คือผลรวมความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่คะแนนต่ากว่า
fM คือความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐาน
(หมายเหตุ หลักสูตรใหม่ ปี 2560 ไม่มีสูตรนี้แล้ว ข้อสอบคณิตศาสตร์ 1 ไม่ออก)
 fL
(3) ฐานนิยม(mode)
ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
ฐานนิยม คือ ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด(ข้อมูลอาจจะไม่มีฐานนิยมหรือมีสองค่าได้)
◼ ข้อมูลที่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
ฐานนิยม คือ จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด
◼
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |43
สมบัติของค่ากลางที่ควรรู้
(4)
◼
 (xi − x) = 0,  (xi − ) = 0
◼
 (x i − A)
◼
2
มีค่าน้อยสุด เมื่อ A = x (หรือ A =  )
 xi − A มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ A = Med
◼ ความสัมพันธ์ระหว่างค่ากลางและการแจกแจงความถี่ของข้อมูล
เส้นโค้งปกติ
เส้นโค้งเบ้ขวา
Mod = Med = x
เส้นโค้งเบ้ซา้ ย
x < Med < Mod
Mod < Med < x
| Mod − x |  3 | Med − x |
(Pearson’s Coefficial of Skewness)
3. การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล
กาหนดข้อมูลชุดหนึ่งมี N จานวน
ควอร์ไทล์ที่ k (Qk)เป็นค่าที่มีจานวนในข้อมูลซึ่งไม่เกินค่านี้อยู่ประมาณ kN
4
เดไซล์ที่ k (Dk) เป็นค่าที่มีจานวนค่าในข้อมูลซึ่งไม่เกินค่านี้อยู่ประมาณ kN
10
เปอร์เซ็นไทล์ที่ k(Pk) เป็นค่าที่มีจานวนค่าในข้อมูลซึ่งไม่เกินค่านี้อยู่ประมาณ kN
100
◼ การหาค่าควอไทล์ เดไซน์ และเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
(1)
(2)
นาข้อมูลมากเรียงจากน้อยไปมาก
หาตาแหน่งค่าของค่าที่ต้องการหา
ค่า
ตาแหน่ง
(3)
Qk
Dk
Pk
k(N + 1)
4
k(N + 1)
10
k(N + 1)
100
หาค่าที่อยู่ในตาแหน่งนั้น
ถ้าตาแหน่งเป็นจานวนเต็มจะได้ว่าข้อมูลที่อยู่ในตาแหน่งนั้นเป็นค่าที่ต้องการ
ถ้าตาแหน่งไม่เป็นจานวนเต็มใช้การเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ระหว่างตาแหน่งกับค่าของข้อมูล
เพื่อหาค่าตามที่ต้องการ
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |44
◼ การหาค่าควอไทล์ เดไซน์ และเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
(1)
(2)
สร้างความถี่สะสม
หาตาแหน่งค่าของค่าที่ต้องการหา
ค่า
ตาแหน่ง
(3)
(4)
Qk
Dk
Pk
kN
4
kN
10
kN
100
นาตาแหน่งไปเทียบกับความถี่สะสมเพื่ออันตรภาคชั้นที่จะมีค่าการวัดตาแหน่งที่ต้องการ
ใช้สูตรในการหาค่าดังนี้

จะได้ Qk, Dk, Pk = L +  ตาแหน่งจากข้อ (2)

เมื่อ
f
−  fL 
I

คือผลรวมความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่คะแนนต่ากว่า
f คือความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มี Qk , Dk, Pk
(หมายเหตุ หลักสูตรใหม่ ปี 2560 ไม่มีสูตรนี้แล้ว ข้อสอบคณิตศาสตร์ 1 ไม่ออก)
 fL
4. การวัดการกระจายของข้อมูล
(1) การวัดการกระจายสัมบูรณ์(measures of absolute variation)
◼
พิสัย(Range) ข้อมูลแจกแจงไม่เป็นอัตรภาคชั้น พิสัย(R) = xmax − xmin
◼
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (Inter Quartile range: IQR.) = Q3 − Q1
◼ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(standard deviation)
2
 xi
− 2
N
2
 x i − nx
n −1
ข้อมูลประชากรที่แจกแจงไม่เป็นอันตรภาคชั้น  =
 (x i − )
=
N
ข้อมูลตัวอย่างที่แจกแจงไม่เป็นอันตรภาคชั้น
 (x i − x)
=
n −1
◼ ความแปรปรวน(variance) v = s2
s=
2
2
2
หรือ v = 2
(2) การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (mesures of relative variation)
สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน =
s
x
=


สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |45
(3) สมบัติการวัดการกระจายสมบูรณ์ที่ควรทราบ
1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ทุกชนิดมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
2. การวัดการกระจายสัมบูรณ์เท่ากับศูนย์ ก็ต่อเมื่อ ทุกค่าของข้อมูลเท่ากัน
3. ถ้าข้อมูลชุดที่ 1 คือ x1, x2, x3,..., xn และ ข้อมูลชุดที่ 2 คือ y1, y2, y3,..., yn
มีความสัมพันธ์ yi axi b จะได้ว่า
⚫ y = ax + b (การวัดค่ากลางอื่นก็มีสมบัติเหมือนกันกับ x )
⚫
sy = a sx , v y = a2 v x (การวัดการกระจายอื่นก็มีสมบัติเหมือนกันกับ s)
4. ความแปรปรวนรวม
2
⚫ s รวม =
2
⚫ s รวม =
n1s12  n2s22
n1  n2
n1s12 
n2s22
เมื่อ x1  x2
n1(x1
x)2
n1 ...
nk
n2 (x2
x)2
เมื่อ x1  x2
(หมายเหตุ หลักสูตรใหม่ ปี 2560 ไม่มีสูตรนี้แล้ว ข้อสอบ PAT1 และคณิตศาสตร์ 1 ไม่ออก)
5. การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) ตัวแปรที่กาหนดค่าให้กับผลการทดลองที่เกิดขึ้นโดยที่ค่าเหล่านั้น อา
จะเป็นค่าจริง หรือฟังก์ชันที่มีค่าจริงก็ได้ ในทางสถิติมักใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนเหตุการณ์ที่
เกิดขึ้นในการทดลองสุ่มหนึ่ง ๆ ถ้ารวมทุกๆเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ในการทดลองสุ่มเข้าเป็นเซตแล้ว จะเรียกเซตนั้น
ว่าเป็น ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) ซึ่งจะใช้สัญลักษณ์ S ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม เช่น
ตัวแปรสุ่มแบ่งออกเป็น 2 ชนิดดังนี้
ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable)
ตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มเป็นสับเซตของจานวนนับ
หรือาจกล่าวได้ว่าทุกๆค่าของ X ถูกกาหนดได้ด้วยจานวนนับใดๆ
ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง (Continuous Random Variable)
ตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มเป็นสับเซตของจานวน
จริง หรืออาจจะมีค่าเป็นจานวนใดๆก็ได้ในช่วงที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งไม่สามารถนับได้ว่ามี X จานวนเท่าใดในช่วงนั้นๆ
สัญลักษณ์
P(X = xi )
แทนความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มมีค่าเท่ากับ x i
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |46
ค่าคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
N
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง  =  xi  P(X = xi )
i =1
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
5.1
=
N
 (x i − )2  P(X = x i )
i =1
N
2 =  (x i − )2  P(X = x i )
i =1
การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง (Discrete Uniform Distribution)
กาหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นไปได้ n ค่า คือ x1 , x2 , x3 , ... , xn
โดยแต่ละค่าของตัวแปรสุ่มมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่ากันจะเรียกตัวแปรสุ่มนี้ว่า
"ตัวแปรสุ่มเอกรูปไม่ต่อเนื่อง" และเรียกการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนี้ว่า "การแจกแจงเอกรูป
ไม่ต่อเนื่อง"
นั่นคือ P(X= x i ) = 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, … , n
n
k
ค่าคาดหมายของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง  = 1  x i
k i =1
k
ความแปรปรวนของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง 2 = 1  ( x i −  X )2
k i =1
5.2
การแจกแจงทวินาม
การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ซึง่
คือจานวนครั้งของการเกิดผลสาเร็จจากการทดลองสุ่ม n ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน โดยในแต่ละครั้งมีโอกาสเกิดผล
สาเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ p และไม่เกิดผลสาเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 – p
กาหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ที่มีการแจกแจงทินาม
โดยที่ n แทนจานวนครั้งของการทดลองสุ่ม
และ p แทนความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลสาเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง จะได้ว่า
โดยที่
n
P(X = x) =   px (1 − p)n − x ; x = 0 ,1 , 2 , ... , n
x
 
ค่าคาดหมายของของการแจกแจงทวินาม  = np
ความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม 2 = np(1 − p)
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
5.3
หน้า |47
การแจกแจงปกติ
กาหนดให้ X แทนตัวแปรสุ่มปกติ (normal random variable)
จะเรียกการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ว่า การแจกแจงปกติ (normal distribution)
ซึ่งมี
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติ
2

1  x − 
− 
 1

2  

e 
;
f(x; , 2 ) =   2


อื่น ๆ
 0 ;
โดยที่ e  2.718 และ   3.1416
−  x ,−  ,  0
ค่าคาดหมายของการแจกแจงปกติ เท่ากับ 
ความแปรวนของการแจกแจงปกติ เท่ากับ 2
การแจกแจงปกติมาตรฐาน
ถ้า Z เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และความแปรปรวนเท่ากับ 1
แล้ว จะเรียกการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z ว่า
การแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal distribution)
ซึ่งมี ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ
1

− z2
1

e 2
;
 2
f(z) = 

0
;

−z
อื่น ๆ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Z  N(0,1)
ค่าคาดหมายของการแจกแจงปกติ เท่ากับ Z = 0
ความแปรวนของการแจกแจงปกติ เท่ากับ 2Z = 1
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |48
การหาความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติ
กาหนดให้ตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติด้วยค่าเฉลี่ยเท่ากับ  และความแปรปรวน
เท่ากับ 2 หรือ X  N(, 2 )
ถ้าต้องการหาความน่าจะเป็น P(x1  X  x2 ) ทาได้ดังนี้
ขั้นที่ 1 เปลี่ยนค่าตัวแปรสุ่ม x1 และ x2 ให้เป็นค่าตัวแปรสุ่มมาตรฐาน z1 และ z2 ตามลาดับ
โดยใช้สมบัติ Z = X − 
ขั้นที่ 2

หาค่า P(z1  Z  z2 ) จากตารางความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติมาตรฐาน
จะได้ P(x1  X  x2 ) = P(z1  Z  z2 ) ดังแผนภาพ
Z=
X−

Z
X
0
ข้อควรจา
(1)
ค่ามาตรฐาน (standard score) zi
สมบัติของค่ามาตรฐาน
=
N
x −
i

N 2
◼ z =0 , ◼ z =N
i
i
i =1
i =1
(2) การแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติ
-z1
0
z1
z
สมบัติของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
 พื้นที่มีค่าเท่ากับ 1 (หรือคิดเป็น 100 %)
 แบ่งพื้นที่ออกเป็น 2 ส่วนๆละ 0.5 (หรือ 50%)
 พื้นที่สองฝั่งสมมาตรกัน
หมายเหตุ พื้นที่ที่กาหนดมาให้ในตาราง เป็นพื้นทางซ้ายของ z ( P(Z  z) = A )
(3)
ความสัมพันธ์ระหว่างเปอร์เซ็นไทล์กับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
คะแนนจริง(x)
คะแนนมาตรฐาน(z)
พื้นที่ทางขวาจากแกนสมมาตร
โดยที่ k = (พื้นที่ทางซ้ายของค่ามาตรฐาน z )  100
หมายเหตุ ถ้าจะหา Qk สามารถทาด้วยขั้นตอนเดียวกันกับ Pk
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์สาหรับเตรียมสอบคณิตศาสตร์ 1
หน้า |49
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี
อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก
สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชย์ทุกกรณี อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก GTRmath