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Exercícios de Probabilidade
Numa classe existem 5 alunos do 4º ano, 4 do 2º e 3 do 3º ano. Qual a
probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º
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Exercícios de Probabilidade
Num evento científico temos 15 físicos e 11 matemáticos. Três deles serão
escolhidos aleatoriamente para participar de uma mesa redonda.
a) Qual a chance que sejam todos físicos?
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Exercícios de Probabilidade
A probabilidade de um aluno X resolver um problema de Probabilidade é 3/5 e a do
aluno Y é 4/7. Qual é a probabilidade de que o problema seja resolvido
Exercícios de Probabilidade
Uma urna contém 5 bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Forram extraídas
3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma
vermelha?
S = {5 bolas pretas; 3 bolas vermelhas; 2 bolas brancas} → indica um total de 10 bolas.
Exercícios de Probabilidade
S = {5 bolas pretas; 3 bolas vermelhas; 2 bolas brancas} → indica um total de 10 bolas.
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Seja o evento: E = circuito funcionar.
P(1 2) = P(1) * P(2) = p*p = p2
P(3 4) = P(3) * P(4) = p*p = p2
P(1 2 3 4) = P(1) * P(2) * P(3) * P(4) = p*p*p*p = p4
P(E) = P(1 2) + P(3 4) - P(1 2 3 4) =
p2 + p2 – p4 = 2p2 – p4
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Um sistema funciona a partir de uma combinação de relés. A probabilidade de
cada relé funcionar é “p”. Qual a probabilidade do sistema funcionar ?
P(E) = p2 + p + p2 – p3 – p4 – p3 + p5
P(E) = p + 2p2 – 2p3 – p4 + p5
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Definição:
Probabilidade condicional de um evento é a
probabilidade obtida com a informação
adicional de que algum outro evento ocorreu.
P(B|A) representa a probabilidade condicional
da ocorrência do evento B, dado que o evento
A já ocorreu.
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A probabilidade de ocorrência simultânea de
dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral,
é igual ao produto da probabilidade de um
deles pela probabilidade condicional do outro,
dado o primeiro.
P(A/B)=
P(B/A)=
P(AB)
P(B)
P(AB)
P(A)
P(A B) = P(B)P(A/B)
P(A B) = P(A)P(B/A)
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Se A e B são independentes então:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
P(AB) = P(A) x P(B/A) = P(A) x P(B)
P(AB) = P(B) x P(A/B) = P(B) x P(A)
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Dois ou mais eventos são independentes
quando a ocorrência de um dos eventos não
influencia a probabilidade de ocorrência dos
outros.
Caso dois eventos A e B sejam independentes
então a probabilidade de A ocorrer dado que B
ocorreu é igual à própria probabilidade de
ocorrência de A, e a probabilidade de B ocorrer
dado que B ocorreu é igual à própria
probabilidade de ocorrência de B. Se A e B são
independentes então:
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1
1
(1,1)
2
(1,2)
3
(1,3)
4
(1,4)
5
(1,5)
6
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
4
(3,1)
(4,1)
(3,2)
(4,2)
(3,3)
(4,3)
(3,4)
(4,4)
(3,5)
(4,5)
(3,6)
(4,6)
5
6
(5,1)
(6,1)
(5,2)
(6,2)
(5,3)
(6,3)
(5,4)
(6,4)
(5,5)
(6,5)
(5,6)
(6,6)
15
A = {(x1,x2) | x1 + x2 = 10}
B
= {(x1,x2) | x1 > x2} onde x1 é o resultado do
dado 1 e x2 é o resultado do dado 2.
Calcular P(A), P(B), P(A/B) e P(B/A)
NCF ( A)
3
1
P( A) =
=
=
NCT
36 12
NCF ( A B)
1
P( A / B) =
=
NCF (B)
15
NCF (B) 15
5
P(B) =
=
=
NCT
36 12
ou
ou
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Considere a situação promocional de
oficiais dos Estados Unidos.
Status de Promoção dos Oficiais de Polícia
Homens
Mulheres
Total
Promovidos
288
36
324
Não Promovidos
672
204
876
Total
960
240
1200
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H
M
P
N
evento em que um oficial seja um homem
evento em que um oficial seja uma mulher
evento em que um oficial é promovido
evento em que um oficial não é promovido
Tabela de Probabilidade Associada
Homens
Mulheres
Total
Promovidos
288
36
324
Não
Promovidos
672
204
876
Total
960
240
1200
P(HP)= 288/1200 =0,24
P(HN)= 672/1200 =0,56
P(MP)= 36/1200 =0,03
P(MN)= 204/1200 =0,17
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Qual a probabilidade P(P/H) e P(M/N) ?
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Seja E: lançar um dado, e o evento A={sair o
número 3}. Então P(A) = 1/6;
Considere o evento B={sair um número impar}.
Então P(A/B) é igual a 1/3;
Formalmente: Dado dois eventos A e B, denota-se
NCF = número de casos favoráveis
NCT = número de casos total
NCF ( A B)
P( A B)
NCF ( A B)
NTC
P( A / B) =
=
=
NCF
(
B
)
P(B)
NCF (B)
NTC
20
21
22
23
Em
um lote de 12 peças, 4 são
defeituosas, 2 peças são retiradas um após
a
outra
sem
reposição.
Qual
a
probabilidade de que ambas são sejam
boas?
A={a primeira é boa}, B={a segunda é boa}
8 7 14
P(A B) = P(A)P(B/A) =
=
12 11 33
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Sendo ={1,2,3,4} um espaço amostral equiprovável e A={1,2}; B={1,3}; C={1,4}
três eventos de S. Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
PARTA DO PRINCÍPIO PARA VERIFICAR SE EVENTOS SÃO INDEPENDENTES, POR EXEMPLO, DADOS TRÊS EVENTOS F, G e H.
Considerando dois evento P(G ∩ H) = P(G)*P(H) são independentes ou considerando três eventos que: P(F∩GH) = P(F)*P(G)*P(H).
Solução:
◦ P(A)=1/2; P(B)=1/2; P(AB)=1/4; logo, P(AB)=1/2 1/2 =1/4.
Como P(AB)=P(A)*P(B) =1/4, então A e B são independentes.
◦ P(A)=1/2; P(C)=1/2; P(AC)=1/4; logo, P(AC)=1/2 1/2 =1/4.
Como P(AC)=P(A)*P(C) =1/4, então A e C são independentes.
◦ P(B)=1/2; P(C)=1/2; P(BC)=1/4; logo, P(BC)=1/2 1/2 =1/4.
Como P(BC)=P(B)*P(C) =1/4, então B e C são independentes.
◦ No entanto,
◦ P(A)=1/2;
P(B)=1/2;
P(C)=1/2;
P(ABC)=1/4.
Como
P(ABC)=1/4 P(A)*P(B)*P(C)=1/8, logo A, B e C não são
independentes.
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Sejam A1,...,An um conjunto de eventos
mutuamente disjuntos de um espaço
amostral , isto é, =A1A2 ..., An. Seja
B um evento de , então para cada i
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27
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30
P(Alunos do sexo masculino) = 0,6
P(Alunos do sexo feminino) = 1 - P(Alunos do sexo masculino) = 0,4
P (Alunos com mais de 1,80m /Sexo masculino) = 0,05
P (Alunos com mais de 1,80m /Sexo feminino) = 0,02
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VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE
PROBABILIDADE CONDICIONAL...
https://youtu.be/Q5ARnioHBcw
10 min e 10s
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VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE
PROBABILIDADE CONDICIONAL E
TEOREMA DE BAYES...
https://youtu.be/7XbCB2p7w7Y
13 min e 45s
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