Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
1.1
EL FENÓMENO VIBRATORIO EN SISTEMAS MECÁNICOS.
Los sistemas mecánicos, ya sean máquinas o estructuras, al sufrir un choque o ser
sometidos a la acción de fuerzas o movimientos variables con el tiempo, responden
modificando sus estados de equilibrio, con unos cambios de configuración que pueden
perturbar su normal funcionamiento. Cuando la excitación tiene determinadas características
de variación con el tiempo, la respuesta es de tipo vibratorio y puede alcanzar amplitudes
importantes, llegando en algunos casos a ocasionar el fallo estructural del sistema. Este
fenómeno puede suceder incluso con intensidades pequeñas de la acción excitadora. Las
amplitudes de las vibraciones producidas en cualquier sistema dependen, por un lado, de la
ley de variación con el tiempo de la excitación, y por otro, de las características mecánicas del
sistema considerado.
Como ejemplo de vibraciones en sistemas mecánicos pueden citarse: las que se producen
en un motor alternativo de combustión interna en funcionamiento, las transmitidas por el
motor a la estructura de un vehículo automóvil o de un barco, las producidas por la
ondulación y rugosidad de la carretera sobre un vehículo en circulación, las producidas por un
terremoto sobre un edificio, las generadas en los puentes al paso de los vehículos, las
producidas por desequilibrios en máquinas rotativas, o las generadas por el proceso de corte
en las máquinas herramientas. La Figura 1.1 muestra esquemas de algunos de estos sistemas.
En unos casos, como suele ocurrir en los ejemplos mencionados de los automóviles, las
vibraciones perturban el buen funcionamiento al producir molestias a los ocupantes. En otros,
por ejemplo en las máquinas herramientas, el principal problema producido por las
vibraciones de la herramienta de corte, de la pieza a mecanizar, o de ambas simultáneamente
es la falta de precisión de las piezas fabricadas. En el caso de los edificios sometidos a
terremotos, las sobrecargas producidas sobre algunos elementos durante la vibración pueden
llegar originar el fallo, con resultados a veces catastróficos. En algunos sistemas mecánicos
ocurren vibraciones de menor amplitud que no producen el fallo debido al pico máximo de
carga producido. Sin embargo, cuando éstas se producen durante un tiempo suficientemente
largo, pueden llegar a inducir el fallo por un proceso de deterioro progresivo denominado
fatiga.
1
Viento
Figura 1.1
En general, todos los sistemas que tengan masa y capacidad para la deformación elástica
son susceptibles de vibrar libremente. La mayoría de las máquinas y estructuras están
sometidas a vibración de algún tipo y su diseño requiere la consideración del comportamiento
vibratorio. Deben diseñarse para evitar el mal funcionamiento o el fallo debido a vibraciones
excesivas. Este objetivo puede conseguirse, ya sea actuando sobre la excitación, reduciendo
los valores de las fuerzas o movimientos aplicados, o modificando las características de los
sistemas, haciendo que respondan con vibraciones de menor intensidad. Por ejemplo, en el
caso de vehículos automóviles o de ferrocarriles, para aumentar el confort de los ocupantes se
actúa mejorando las carreteras y vías, lo que reduce la excitación y como consecuencia la
respuesta. Al mismo tiempo, también se actúa mejorando los diseños de las suspensiones de
forma que se reduzca la respuesta a cualquier excitación. En el caso de los edificios
susceptibles de sufrir terremotos, éstos deben diseñarse para garantizar que las vibraciones no
llegarán a producir el deterioro o fallo de los mismos.
No todo en las vibraciones de los sistemas mecánicos son aspectos negativos; también
tienen aspectos positivos derivados de la posibilidad de aplicarlas con fines útiles. Este es el
caso de los sistemas para vibrado del hormigón, la recogida de aceitunas por vibración, los
alimentadores vibratorios de pequeñas piezas en cadenas de producción, los sistemas de
clasificación de productos, la limpieza por ultrasonidos, etc. La Figura 1.2 muestra algunos de
estos ejemplos.
2
Alimentadores vibratorios
Perforación de suelos
Limpieza con ultrasonidos
Figura 1.2
Como se ha indicado, la respuesta vibratoria de cualquier sistema mecánico puede
modificarse actuando sobre sus características físicas. De esta forma, es posible adaptar en lo
posible la respuesta a las necesidades del caso que nos ocupe. Para ello es fundamental poder
modelar la respuesta vibratoria ante cualquier excitación y analizar la sensibilidad de la
misma a las modificaciones de las características físicas de los sistemas o a variaciones de la
excitación.
1.2
CONCEPTOS BÁSICOS
1.2.1 Movimiento vibratorio.
Un movimiento vibratorio es la variación de la configuración de un sistema con respecto
al tiempo alrededor de una posición de referencia. Estos movimientos pueden clasificarse de
diversas formas, dependiendo del aspecto considerado.
a) Una clasificación posible consiste en distinguir entre los movimientos periódicos y los
aperiódicos.
•
Movimientos periódicos: son movimientos en los que la configuración del sistema
se repite a intervalos iguales de tiempo (Figura 1.3a). En los movimientos periódicos
se pueden definir algunos parámetros característicos, como son:
−
Ciclo: es la evolución del sistema entre un instante y el siguiente en que vuelven
a repetirse las mismas características del movimiento.
3
−
Periodo: es el tiempo que transcurre hasta que se repite el movimiento, esto es,
el tiempo necesario para la realización de un ciclo completo. Normalmente se
denomina T.
−
Frecuencia: es el número de ciclos que se producen en la unidad de tiempo. Es
la inversa del periodo. Se suele representar por el símbolo f ( f = 1/T ) y la
unidad es el ciclo por segundo o Hercio (Hz). Esta característica de la vibración
se representa también mediante lo que se denomina velocidad angular,
frecuencia angular o pulsación, cuyo símbolo es ω (ω = 2π /T = 2π f ) y su
unidad el radián por segundo. Generalmente, tanto a f como a ω se les denomina
simplemente frecuencia, estando relacionadas por la constante 2π.
x
t
t
T
a. Movimiento periódico
b. Movimiento aperiódico
Figura 1.3
•
Movimientos aperiódicos: son movimientos en los que no se produce una repetición
de la secuencia a intervalos iguales de tiempo (Figura 1.3b). Los movimientos
aperiódicos pueden dividirse en:
−
Deterministas: son movimientos en los que puede conocerse su evolución en el
tiempo, de forma que en cualquier instante es posible determinar la posición del
sistema vibrante.
−
Aleatorios: son los movimientos en los que no es posible conocer de forma
precisa su evolución con el tiempo. La evolución sólo puede definirse de forma
estadística.
A veces, en los movimientos aperiódicos, se define lo que se denomina el periodo
medio, Tm. Éste representa el tiempo medio de paso de la variable por la posición de
referencia con pendiente del mismo signo. La Figura 1.4 muestra un ejemplo de
movimiento aperiódico con periodo medio, Tm = t1 / n, segundos. La frecuencia
media, fm, se define como la inversa del periodo medio. En el caso del ejemplo de la
Figura 1.4, su valor es, fm = n / t1.
4
x
0 1
n
2
t
t1
Figura 1.4
b) Dependiendo de la evolución de los parámetros característicos con el tiempo, el
movimiento vibratorio puede dividirse en:
•
Amortiguado: se produce cuando los valores máximos de los desplazamientos
disminuyen progresivamente.
•
Amplificado: cuando los valores máximos de los desplazamientos aumentan con el
tiempo.
•
Constante: cuando los máximos de los desplazamientos permanecen constantes con
el tiempo.
c) Otra posible clasificación de las vibraciones es atendiendo a la existencia o no de fuerza
externa que la produzca. Así, las vibraciones se denominan:
•
Libres: cuando no existen fuerzas exteriores aplicadas durante la vibración.
Generalmente se producen cuando se aparta un sistema de su posición de equilibrio,
o se le comunica una velocidad o energía (caso del choque).
•
Forzadas: cuando durante el movimiento existe una fuerza exterior que obliga al
sistema a vibrar.
d) Dependiendo de la evolución de los parámetros característicos con el tiempo, puede
hacerse otra clasificación, además de la indicada en el punto b):
•
Vibración transitoria: cuando su duración es corta, reduciendo su amplitud hasta
desaparecer a los pocos ciclos de su inicio (Figura 1.5a). Es la vibración que se
produce normalmente ante una perturbación momentánea del sistema o ante un
desplazamiento de la posición de equilibrio, dejándolo libre posteriormente.
Generalmente es una vibración libre amortiguada.
•
Vibración permanente: se considera permanente si su duración es suficientemente
larga en el tiempo, manteniendo sus parámetros aproximadamente constantes (Figura
1.5b). Es la que se produce normalmente ante una fuerza externa variable de larga
duración. Generalmente es una vibración forzada. Su duración es normalmente igual
a la duración del proceso de excitación.
5
a. Vibración transitoria
b. Vibración permanente
Figura 1.5
e) Considerando su comportamiento durante el movimiento, las vibraciones pueden
clasificarse también en:
• Lineales: si la ecuación que define el movimiento es una ecuación lineal. En estos
casos, la relación entre la excitación y la respuesta de los sistemas admite el principio
de superposición.
• No lineales: cuando la ecuación que define el movimiento no es lineal. En estos casos
no es aplicable el principio de superposición.
En realidad, la mayoría de los sistemas tienen un comportamiento con algún grado de
no linealidad. Sin embargo, la desviación respecto a la linealidad es pequeña en
muchos casos. Por ello, en la práctica muchos de estos sistemas se estudian mediante
modelos matemáticos lineales, siempre que esta simplificación no suponga un error
importante. A veces, para que la linealización sea posible sin errores importantes hay
que hacer ciertas hipótesis de funcionamiento. Un ejemplo de ello es la suposición de
pequeños desplazamientos, que suele ser necesaria para que sea admisible la
linealización de muchos sistemas mecánicos. En cualquier caso, siempre debe
comprobarse que las hipótesis realizadas para poder linealizar el sistema son
admisibles.
1.2.2 Grados de libertad
Se definen como grados de libertad de un sistema a los parámetros necesarios para definir
su configuración en cualquier instante1. Las figuras 1.6 a 1.8 muestran algunos ejemplos de
sistemas con diferente número de grados de libertad.
En un sistema como el de la Figura 1.6a, formado por una masa, a la que sólo se le permite el movimiento vertical, suspendida de un muelle de masa despreciable, el sistema estará
totalmente definido conociendo el valor de la distancia x al punto de referencia. Así pues, este
sistema tiene un solo grado de libertad, que es el movimiento vertical. Otro ejemplo de
sistema con un grado de libertad es el péndulo mostrado en la Figura 1.6b. Su posición estará
totalmente definida si se conoce el ángulo θ formado con la vertical.
1
Esta definición no es rigurosa y puede no ser exacta en los sistemas no holónomos.
6
x
a
b
x(t)
x1(t)
Figura 1.6
La Figura 1.7a, representa un sistema de dos masas con posibilidad de movimiento
únicamente en dirección vertical que están unidas mediante muelles entre sí y a un soporte
fijo. La posición de cualquier punto de este sistema estará totalmente definida conociendo la
posición, xi, del centro de cada una de las masas. Por tanto, el sistema tiene dos grados de
libertad. En el caso de la figura 1.7b, suponiendo que al punto O sólo se le permite moverse
verticalmente, para definir la posición de cualquier punto es necesario conocer los valores de
la posición, x, del punto O y el ángulo, θ, que forma la recta que une ese punto y el centro del
disco, C. Igualmente podían haberse tomado como parámetros para definir la configuración
las coordenadas x de los puntos O y C. En cualquier caso, dos parámetros son suficientes para
definir la configuración y poder determinar la posición de cualquier otro punto. Por tanto, este
sistema tiene dos grados de libertad.
x2(t)
O
C
(t)
a
b
Figura 1.7
Un sistema que puede definirse por un número finito de grados de libertad, se dice que es
discreto. Si el número de parámetros necesarios para definir su configuración en cualquier
instante es infinito, se dice que el sistema es continuo. Éste es el caso de la figura 1.8a, donde
para definir la configuración del sistema, es necesario conocer la posición, y(x), de cada uno
de los puntos de la viga en voladizo. Otro tanto ocurre en el pórtico de la figura 1.8b, donde la
configuración del sistema sólo estará definida si se conoce la posición de todos sus puntos.
7
x
y(x)
a
b
Figura 1.8
Los sistemas reales son continuos pero las hipótesis simplificativas que se les aplican,
que se verán posteriormente en este texto, hacen posible su estudio como sistemas discretos
con una buena aproximación.
1.2.3 Movimiento armónico simple. Representación.
Una gran cantidad de las excitaciones que se producen normalmente son armónicas.
Incluso en el caso de que éstas no sean armónicas pero sí periódicas, mediante el análisis de
Fourier puede realizarse una descomposición de la misma en una serie de armónicos. Las
vibraciones libres de los sistemas lineales, como se verá posteriormente, también son
movimientos armónicos o el resultado del producto de un movimiento armónico por una
exponencial decreciente con el tiempo. Dadas las circunstancias anteriores, antes de comenzar
el estudio de las vibraciones, es conveniente hacer un pequeño repaso del movimiento
armónico.
El movimiento armónico simple se define como el movimiento rectilíneo de un punto en
el que la aceleración es siempre proporcional a la distancia a un punto fijo de la trayectoria y
está dirigida hacia ese punto fijo. La forma más usual de expresar el movimiento del punto en
función del tiempo es mediante la expresión:
x(t ) = A cos(ω t + ϕ)
(1.1)
donde A es la amplitud (Figura 1.9), ω es la velocidad angular o pulsación (rad/s) y ϕ es la
fase (rad).
A
x
t
2 = T
Figura 1.9
La frecuencia, f, del movimiento se puede definir mediante la ecuación
8
f =
ω
2π
(1.2)
cuya unidad es el Hz o ciclo por segundo. El periodo, T, se puede expresar:
T=
1 2π
=
ω
f
(1.3)
que, de acuerdo con las unidades de los otros parámetros, tendrá como unidad el segundo (s).
Derivando dos veces la ecuación (1.1), se obtiene:
&x&(t ) = −ω 2 A cos(ω t + ϕ) = −ω 2 x(t )
(1.4)
Comprobándose así que la ecuación (1.1) cumple la definición de movimiento armónico.
De la ecuación (1.1) puede obtenerse otra expresión usual del movimiento armónico
simple:
x(t ) = A 1 cos(ω t ) + B1 sen (ω t )
(1.5)
donde A 1 = A cos ϕ y B1 = − A sen ϕ , relaciones de las que pueden obtenerse las expresiones
inversas:
A = A 12 + B12
(1.6)
 B 
ϕ = tg −1  − 1 
 A1 
(1.7)
y
El movimiento anterior puede interpretarse como el valor de la proyección sobre el eje
real de un vector de módulo A que gira a velocidad angular ω . La Figura 1.10 muestra un
ejemplo de esta interpretación. En ella se ha representado el eje real vertical para mayor
facilidad de interpretación de la proyección del vector rotativo. De acuerdo con esta
definición, el movimiento armónico simple también puede representarse mediante la ecuación
x(t ) = Re(A e i (ωt + ϕ ) )
(1.8)
2
t1
Re
x
t
A
Im
t1
Figura 1.10
9
Igualmente, para evitar tener que considerar separadamente la parte real e imaginaria,
el movimiento puede interpretarse como la resultante de dos vectores rotativos iguales, de
módulo A/2 girando en fase, a igual velocidad, pero de sentido contrario (Figura 1.11). En ese
caso, la expresión del movimiento será:
(
)
A i (ωt + ϕ )
e
+ e −i (ωt + ϕ )
2
Donde las partes imaginarias de ambos vectores se anulan entre sí.
x(t ) =
(1.9)
Otra forma de expresar la ecuación anterior es incluyendo el efecto del desfase ϕ en el
coeficiente de cada término, con lo que quedará:
x(t ) =
(
)
1
A e iϕ e iωt + Ae −iϕ e −iωt = c e iωt + c * e −iωt
2
(1.10)
A iϕ
e
2
(1.11)
con
c=
Donde es fácil comprobar que c* es el conjugado complejo de c.
Re
t
Re
x( t )
t
ω
-ω
A2
c
A2
Im
c*
Im
Figura 1.11
1.2.4 Desarrollo en series de Fourier del movimiento periódico.
Mediante el desarrollo en series de Fourier es posible representar un movimiento
periódico (Figura 1.3a) como la suma de una serie de armónicos. De acuerdo con ello, un
movimiento x(t) con periodo T puede representarse mediante la serie de Fourier:
∞
x(t ) = A0 + ∑ ( Ak cos ω k t + Bk sen ω k t )
(1.12)
k =1
Donde:
ωk =
2πk
T
10
(1.13)
T
1 2
A0 = ∫ x(t ) dt
T −T
(1.14)
2
T
2 2
Ak = ∫ x(t ) cos ω k t dt
T −T
(1.15)
2
T
2 2
Bk = ∫ x(t ) sen ω k t dt
T −T
(1.16)
2
Otro procedimiento para la representación de una señal periódica mediante una serie
de Fourier es empleando la notación compleja. Su expresión es:
∞
x(t ) = ∑ c k e iω k t
(1.17)
k = −∞
Donde
T
1 2
c k = ∫ x(t ) e −iω k t dt
T −T
(1.18)
2
En los casos en que la variable x(t) es real, como ocurre con las vibraciones
mecánicas, es fácil comprobar que los coeficientes ck y c-k son complejos conjugados.
La figura 1.12 muestra una variable periódica, x(t), en forma de dientes de sierra y su
aproximación mediante series de Fourier empleando 3, 5 y 10 términos del desarrollo (k igual
a 2, 4 y 9, respectivamente). Puede comprobarse la mejora en la aproximación a medida que
se incrementa el número de términos del desarrollo.
x(t)
k=9
k=4
1
k=2
0
2
1
Figura 1.12
11
t
3
1.3
PARÁMETROS MECÁNICOS ASOCIADOS A LAS VIBRACIONES
Las vibraciones de cualquier sistema mecánico están gobernadas fundamentalmente
por cuatro parámetros: masa, rigidez, amortiguamiento y excitación externa aplicada (fuerza o
momento), que se analizan a continuación.
1.3.1 Masa.
La masa es la causante de las fuerzas de inercia. Estas fuerzas se oponen al cambio de la
velocidad de los sistemas. Así, en una partícula, la fuerza de inercia se define mediante la
expresión:
FI = − m&r&
(1.19)
Donde m es la masa de la partícula y &r& es la aceleración de la misma respecto a un sistema
inercial de coordenadas. En el caso particular de una fuerza externa, F, positiva aplicada a la
masa puntual, las fuerzas que intervienen en el sistema son las representadas en la figura 1.13.
En ella se representan los módulos de la fuerza externa, las de inercia y la aceleración, así
como el sentido de las mismas2. La figura 1.13b muestra todos los vectores, fuerzas y
aceleración, representados con los sentidos positivos. La ecuación de equilibrio que gobierna
el movimiento es
F + FI = 0
(1.20)
o, lo que es lo mismo, la expresión bien conocida:
F = m&r&
(1.21)
r
r>0
F >0
FI <0
F
+
r
FI
F
FI
FI = -m r
a
b
Figura 1.13
En el caso de un sólido rígido con restricción al movimiento, de forma que sólo puede
moverse en una dirección, sin posibilidad de giro, las fuerzas que intervienen en el equilibrio
dinámico se representan en la figura 1.14. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento serán
las mismas que en el caso anterior.
2
A partir de ahora, de forma general, cualquier vector cuyo sentido puede variar durante el movimiento o
durante la aplicación de una fuerza, se representará en las figuras con el sentido positivo, independientemente del
sentido que tenga. Ver apéndice de este capítulo.
12
r>0
F >0
r
FI = -mr
F
+
a
FI
b
Figura 1.14
En un sólido rígido en movimiento plano, ante un cambio de velocidad se producirán
una fuerza y un momento debidos a la inercia. La fuerza se puede expresar mediante la
ecuación
FI = − m&r&G
(1.22)
Donde FI es un vector de fuerza de inercia cuya recta de acción pasa por el centro de gravedad
del sólido, m es la masa del sólido y &r&G es la aceleración de su centro de gravedad.
El momento producido por las fuerzas de inercia alrededor del centro de gravedad, MI,
puede expresarse:
M I = − I G θ&&
(1.23)
Donde IG es el momento de inercia alrededor del centro de gravedad y θ&& la aceleración
angular del sólido.
La figura 1.15 muestra las fuerzas que intervienen en este caso, y las ecuaciones que
gobiernan el movimiento son
F + FI = 0
(1.24)
d ∧ F + MI = 0
(1.25)
MI
F
FI
d
+
Figura 1.15
1.3.2 Rigidez
Rigidez es la característica por la que un sólido se opone a la deformación, con una
fuerza o un momento. En el caso de sistemas elásticos, la energía absorbida en la deformación
se devuelve posteriormente cuando deja de actuar la acción perturbadora. La fuerza o
momento de reacción que opone el sistema es función de la deformación producida. En los
sistemas con comportamiento aproximadamente elástico lineal, que son los que se presentan
13
más frecuentemente en la realidad, la fuerza/momento que se opone al desplazamiento/giro es
de origen elástico, proporcional al mismo. El ejemplo más simple es el de un resorte como el
de la Figura 1.16. En este resorte, la fuerza, F, necesaria para producirle un incremento de
longitud, δ, varía linealmente con el incremento producido, como se muestra en la figura. Por
tanto, el valor de la fuerza necesaria para deformar el resorte puede escribirse mediante la
ecuación:
F = kδ
(1.26)
Donde la constante de proporcionalidad, k, se denomina coeficiente de rigidez, constante
elástica del resorte o, simplemente, rigidez del mismo. Sus unidades son las de fuerza por
unidad de longitud; representa la fuerza necesaria para producir un incremento de longitud
unidad en el resorte.
Figura 1.16
La fuerza, FE, que opone el muelle a la deformación puede denominarse fuerza
elástica o recuperadora. Su valor será igual y de signo contrario a la necesaria para
deformarlo, por tanto podrá expresarse mediante la ecuación:
FE = −k δ
(1.27)
La figura 1.17 muestra en línea de puntos un muelle indeformado y en línea continua
el mismo muelle en reposo, pero extendido, después de aplicarle una fuerza en los extremos.
De forma general, en un resorte en equilibrio estático, por ejemplo el de la figura 1.17, con
longitud libre l0, que ha sufrido unos desplazamientos xi y xj desde la posición de reposo
indeformado, el incremento de longitud, δ, sufrido puede expresarse:
δ = xi − x j
(1.28)
Donde xi y xj son los desplazamientos de los extremos en la dirección del resorte,
considerando como sentido positivo el de j hacia i.
La fuerza en el extremo i necesaria para producir esta variación de longitud, Fi, puede
expresarse:
Fi = k (xi − x j ) = kδ
14
(1.29)
y
l0
xi
xj
Fj
Fi
l
x
Figura 1.17
Si la masa del resorte se considera despreciable, la fuerza necesaria en el otro extremo, Fj,
será igual y de sentido contrario, independientemente de la aceleración producida durante la
deformación del resorte:
Fi = − F j
(1.30)
Las fuerzas elásticas recuperadoras, Fei y Fe j , serán iguales y de sentido contrario a
las anteriores. Sus expresiones serán, por tanto:
Fei = − k (xi − x j ) = − kδ = − Fe j
(1.30)
Considerando separadamente la fuerza en cada extremo del resorte, el diferencial de
trabajo producido por las fuerzas externas, y por tanto el de energía almacenada durante los
movimientos dxi y dxj, se puede expresar:
dW = dV = Fi dxi + F j dx j
(1.31)
Sustituyendo en la ecuación (1.30), se obtiene:
dV = Fi (dxi −dx j )= Fi dδ
(1.32)
e integrando:
δ
δ
δ
0
0
0
V = ∫ Fi dδ = ∫ k (xi − x j )(dxi − dx j ) = ∫ kδ dδ =
1 2
kδ
2
(1.33)
Ejemplos de cálculo de k
La Figura 1.18 muestra diversos sistemas continuos sometidos a movimientos en sus
extremos ante fuerzas, F, o momentos torsores, MT, puntuales aplicados en la misma dirección
en que se producen los movimientos. El coeficiente de rigidez, k, será en cada caso la relación
entre la fuerza (momento) estática aplicada en esa dirección y el desplazamiento (giro)
producido. También puede definirse como la fuerza (momento) estática que es necesaria para
producir un desplazamiento (giro) unidad. Su determinación puede hacerse fácilmente a partir
de las características elásticas y geométricas de los sistemas. Así, en la barra fija en un
extremo y sometida a tracción en el otro, de acuerdo con la teoría de la resistencia de
materiales, se conoce que el desplazamiento del punto de aplicación de la carga puede
expresarse:
15
Fl
AE
x=
(1.34)
donde l es la longitud de la barra, A el área de la sección y E su módulo de elasticidad. De la
ecuación anterior es inmediata la expresión de la fuerza en función del desplazamiento:
F=
AE
x
l
(1.35)
Donde, teniendo en cuenta la definición del coeficiente de rigidez, puede obtenerse:
AE
l
k=
(1.36)
La fuerza elástica que se opone al desplazamiento del extremo de la barra se expresa, por
tanto:
FE = − kx
(1.37)
F
u
MT
x
F
Figura 1.18
En el caso de la viga en voladizo, de la teoría de la resistencia de materiales puede
obtenerse el desplazamiento, u, producido por una carga, F, en el extremo:
u=F
l3
3EI
(1.38)
Donde E y l tienen el mismo significado que en el caso de la barra a tracción, e I es el
momento de inercia de la sección de la viga. A partir de esta expresión y teniendo en cuenta
que el coeficiente de rigidez es igual al cociente entre la fuerza y el desplazamiento
producido, puede obtenerse la expresión:
k=
3EI
l3
(1.39)
La expresión de la fuerza elástica recuperadora puede escribirse:
FE = − ku
16
(1.40)
La Figura 1.18 muestra también el ejemplo de una barra sometida a un par de torsión,
MT, en su extremo. En este caso, el movimiento producido en el extremo de la barra es un
giro, θ, cuyo valor se obtiene de la ecuación:
MTl
GI p
θ=
(1.41)
Donde G es el módulo de rigidez a cortante e Ip es el momento polar de inercia de la sección
de la barra. Teniendo en cuenta que el coeficiente de rigidez en torsión, k o kθ, representa la
relación entre el par aplicado y el ángulo girado, éste puede definirse:
kθ =
GI p
(1.42)
l
y el momento elástico recuperador, MTe, producido por la barra:
M Te = −kθθ
(1.43)
La energía elástica almacenada por la barra será igual al trabajo desarrollado para
producir la deformación. Por tanto, puede expresarse:
θ
θ
0
0
V = ∫ M T dθ = ∫ kθ θ dθ =
1
kθ θ 2
2
(1.44)
Similarmente puede definirse la rigidez de otros elementos sometidos a una carga en un punto
como la relación entre la carga aplicada en el punto y el movimiento producido.
1.3.3 Amortiguamiento.
Se denomina amortiguamiento al proceso de disipación de energía de un sistema
durante la vibración. Si la vibración es el resultado de una perturbación inicial, sin que actúe
ninguna fuerza externa posteriormente al instante inicial, es decir, si la vibración es libre, el
amortiguamiento provoca la reducción progresiva de la amplitud de la misma hasta la parada
final. El amortiguamiento puede ser producido por diversas causas como son la fricción
interna de los materiales sujetos a deformación, el rozamiento entre partes con movimiento
relativo, la generación de ondas acústicas, el paso de un fluido por unos orificios, como ocurre
en lo amortiguadores de vehículos automóviles, el movimiento en el seno de un fluido, etc.
Normalmente, en cualquier proceso vibratorio están presentes varios mecanismos de
amortiguamiento, aunque unos pueden ser predominantes respecto a los demás, dependiendo
del sistema de que se trate.
En general, los tipos de amortiguamiento predominantes pueden dividirse en tres
grupos: amortiguamiento fluido, amortiguamiento seco o de Coulomb y amortiguamiento
estructural o histerético.
17
1.3.3.1 Amortiguamiento Fluido.
Se origina por el paso obligado de un fluido a través de unos orificios o por la
interacción de un sistema vibrante con el medio fluido en el que está inmerso. En este último
caso, si el medio en que está inmerso el sistema vibrante es un gas, el amortiguamiento
producido es muy pequeño; si es un líquido, el amortiguamiento puede ser bastante mayor. El
ejemplo más conocido de amortiguamiento fluido es el producido en los amortiguadores de
vehículos automóviles. Un esquema de su funcionamiento se muestra en la Figura 1.19. Éstos
consisten en un pistón, P, con orificios que se desplaza dentro de un cilindro, H, lleno de
líquido. Al desplazarse el pistón por el cilindro, el líquido debe pasar por los orificios, que
oponen una resistencia al paso del mismo. Esta resistencia del fluido se traduce en una
diferencia de presión entre ambos lados del pistón cuya resultante es una fuerza que se
opondrá al movimiento, es decir, de sentido contrario a la velocidad relativa del pistón y el
cilindro. Nótese en la figura la existencia de un depósito auxiliar, D, conectado al cilindro,
cuya misión principal es recibir el aceite sobrante cuando el sentido del movimiento es tal que
el vástago, S, entra en el cilindro y aportar aceite al cilindro cuando el movimiento es en
sentido inverso. En el primer caso, la introducción del vástago en el cilindro hace que se
reduzca el volumen disponible para el aceite, por lo que éste se envía al depósito auxiliar. En
el sentido inverso del movimiento, al salir parte del vástago del cilindro, se deja libre un
volumen que debe ser ocupado por el líquido proveniente del depósito. La circulación de
líquido entre cilindro y depósito está regulada por una válvula, V, donde también se puede
produce disipación de energía.
S
X1
F
C
D
P
H
X2
F
V
Figura 1.19
A su vez, el amortiguamiento fluido puede dividirse en dos tipos: viscoso y turbulento.
•
Viscoso. Se denomina así al producido cuando el movimiento del fluido al pasar por los
orificios del amortiguador o en su interacción con el sistema vibrante, en el caso de estar
el sistema inmerso en un fluido, es de régimen laminar. En el caso del amortiguador, la
18
resistencia al movimiento relativo entre los extremos del mismo será proporcional a la
velocidad relativa de deslizamiento entre el pistón y el cilindro, δ& (Figura 1.20):
δ& = x&i − x& j
(1.45)
Donde x&i y x& j son las proyecciones de las velocidades, vi y v j , de los extremos del
amortiguador sobre la dirección del deslizamiento.
y
•
Xj
C
•
vj
Xi
•
Fj
Xj
Fi
C
vi
•
Xi
x
Figura 1.20
La fuerza, Fi, que debe aplicarse en el extremo i para producir el movimiento relativo,
puede expresarse:
Fi = c (x& i − x& j ) = cδ&
(1.46)
Donde el coeficiente de proporcionalidad c se denomina coeficiente de amortiguamiento;
depende de la viscosidad del fluido y de la geometría de los orificios, cilindro y vástago.
Si se considera que el amortiguador no tiene masa, la fuerza necesaria en el otro extremo,
Fj, será igual y de signo contrario:
F j = c (x& j − x& i ) = −cδ&
(1.47)
Se define como fuerza de amortiguamiento, Fa, aquella que opone el amortiguador al
movimiento relativo entre sus extremos. De acuerdo con ello, fuerzas de
amortiguamiento, Fai y Fa j , que se oponen al movimiento, en cada extremo del mismo
serán iguales y de sentido contrario a las necesarias para producir el movimiento, Fi y Fj.
Sus expresiones son, por tanto:
Fai = −c (x& i − x& j ) = −cδ&
(1.48)
Fa j = − c (x& j − x& i ) = cδ&
(1.49)
Donde el signo negativo indica que su sentido es el contrario al de las velocidades
relativas representadas por los términos entre paréntesis.
En el caso de que el amortiguador tenga un extremo fijo, por ejemplo, x& j = 0 (Figura
1.21a), o de un sistema moviéndose en un medio fluido, produciendo movimiento
19
laminar en el mismo (Figura 1.21b), la fuerza, F, necesaria para el movimiento puede
expresarse:
F = cx&
(1.50)
y la que opone el amortiguador, o fuerza de amortiguamiento, Fa, puede expresarse:
Fa = −cx&
(1.51)
•
X
C
•
X
m
F
Figura 1.21
•
Turbulento. Se produce este tipo de amortiguamiento cuando el movimiento del fluido
al pasar por los orificios o en su interacción con el sistema es de régimen turbulento. La
resistencia al movimiento producida por este tipo de amortiguamiento es proporcional al
cuadrado de la velocidad. Por ejemplo, en el caso de un amortiguador con movimiento
turbulento del fluido a través de los orificios, el módulo de la fuerza necesaria para
producir el movimiento puede expresarse:
Fi = cT (x& i − x& j )
2
(1.52)
Donde cT es el coeficiente de amortiguamiento turbulento. El hecho de estar elevada al
cuadrado la velocidad relativa hace que el segundo miembro de la expresión tenga
siempre valor positivo, sin embargo, la fuerza de amortiguamiento siempre se opone a la
velocidad relativa. Para adjudicarle signo a la expresión de la fuerza hay que multiplicarla
por el signo de la velocidad relativa. Esto puede hacerse mediante la expresión:
(x& − x& )
Fi = cT (x&i − x& j )
2
i
j
(1.53)
x&i − x& j
La fuerza Fj será igual y de signo contrario a Fi.
Las fuerzas de amortiguamiento en los extremos del amortiguador, Fai y Fa j , se oponen
al movimiento, son iguales y de signo contrario a Fi y Fj:
Fai = −cT (x&i − x& j )
2
20
(x& − x& ) = − F
i
j
x&i − x& j
aj
(1.54)
En el caso de que el amortiguador tenga un extremo fijo, por ejemplo, x& j = 0 , o de un
sistema moviéndose en un medio fluido, produciendo movimiento turbulento en el mismo
(Figura 1.21), la fuerza, F, necesaria para el movimiento puede expresarse:
Fa = cT x& 2
x&
x&
(1.55)
Fa = −cT x& 2
x&
x&
(1.56)
y la de amortiguamiento:
En realidad, prácticamente ningún amortiguamiento fluido es puramente de un tipo u
otro sino una combinación de ambos. Sin embargo, generalmente hay uno que prevalece
sobre el otro y es ese el modelo que se emplea para representar las fuerzas producidas. En
general, es mucho más frecuente el amortiguamiento predominantemente viscoso que el
turbulento. El primer tipo presenta grandes ventajas con respecto al segundo para su análisis,
ya que la expresión de las fuerza de amortiguamiento varía linealmente con la velocidad.
1.3.3.2 Amortiguamiento seco o de Coulomb.
Este amortiguamiento es el producido por el deslizamiento relativo entre dos
superficies sin lubricar sometidas a la acción de una fuerza normal de compresión entre ellas.
La figura 1.16 muestra una masa, m, con velocidad x& , deslizando sobre una superficie fija. Si
se considera que la fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto sigue la ley de
Amonton-Coulomb, su valor puede expresarse:
Fr = µN
si
x& ≠ 0
(1.57)
Fr ≤ µN
si
x& = 0
(1.58)
Donde µ es el coeficiente de rozamiento y N la fuerza normal.
+
+
•
•
X
X
k
m
k
m
N
Fr
Fr
a
N
b
Figura 1.22
Si x& ≠ 0 , la fuerza aplicada por la superficie sobre la masa, Fr, tendrá la dirección de la
velocidad y sentido contrario a la misma. Esto puede expresarse mediante la ecuación:
21
Fr = − µN
x&
x&
(1.59)
Donde el cociente incluido en la ecuación tiene valor unidad y el signo de la velocidad. La
figura 1.22 muestra el sentido que tendrá de la fuerza, dependiendo de que a velocidad de la
masa sea positiva (Figura 1.22a) o negativa (Figura 1.22b).
La figura 1.23 muestra el caso de dos cuerpos, a y b, con velocidades x& a y x&b ,
respectivamente, con rozamiento entre ellos. En este caso, la fuerza de rozamiento que
produce el cuerpo b sobre el a, Fba, puede expresarse:
Frba = − µN
x& a − x& b
x& a − x& b
(1.60)
Frab = − µN
x& b − x& a
x& b − x& a
(1.61)
y la de a sobre b, Frab:
Nótese que aunque las fuerzas anteriores son iguales y de signo contrario en cualquier
instante, en la figura las muestra con sentido positivo, ya que su signo dependerá de las
velocidades en cualquier instante.
ma N
+
mb
•
Frba
Frab
Xa
•
Xb
Figura 1.23
El hecho de que la fuerza tenga siempre sentido contrario a la velocidad relativa
implica que se está absorbiendo energía durante el movimiento relativo, que se disipará en
forma de calor, produciendo por tanto amortiguamiento. En el caso de velocidad nula, el
sentido de la fuerza de rozamiento será el opuesto a la resultante del resto de las fuerzas
actuantes sobre la masa en la dirección del rozamiento. Es decir, la fuerza tendrá el valor
necesario para mantener el equilibrio de la masa en posición estática. En este caso no habrá
disipación de energía por no existir movimiento relativo entre las superficies. La Figura 1.24a
muestra un gráfico de variación de la fuerza Fr, en función de la velocidad, para el sistema
representado en la figura 1.22. Puede comprobarse que en el punto de velocidad nula puede
tener cualquier valor comprendido entre ±µN. La Figura 1.24b muestra la evolución de la
fuerza con el desplazamiento (Fr - x) durante un ciclo de movimiento entre unos valores +X y
–X. Esta relación Fr - x es independiente de la ley de variación temporal de la posición,
siempre que el cambio de signo de la velocidad se produzca únicamente en los puntos
extremos del movimiento, ±X (Figura 1.24c). Mediante una flecha se indica el sentido de la
evolución de la fuerza con el desplazamiento. El área encerrada en la curva representa el
22
trabajo producido por la fuerza, y el sentido antihorario indica que el trabajo es negativo, es
decir, que la fuerza de rozamiento absorbe energía, como ya se ha mencionado previamente.
x
Fr
Fr
X
x
x
t
X
-X
-X
Figura 1.24
1.3.3.3 Amortiguamiento estructural o histerético.
Este amortiguamiento surge como consecuencia del rozamiento interno del material al
sufrir deformación. Este fenómeno se presenta en todos los materiales, incluso en los
considerados con comportamiento elástico, ya que realmente el comportamiento no es
perfectamente elástico. Como consecuencia de ello, si se aplica deformación en un sentido y
otro a un elemento elástico, puede comprobarse que la curva fuerza-desplazamiento durante el
proceso de carga no es exactamente igual a la obtenida durante la descarga. Como ejemplo, la
Figura 1.25a, muestra un ejemplo obtenido con un elastómero sometido a una vibración axial
como la mostrada en el gráfico x-t de la figura 1.25b. En metales sometidos a cargas que
produzcan tensiones nominales suficientemente menores del límite elástico, las curvas de
carga y descarga estarán mucho más unidas, pero tampoco serán idénticas. El área encerrada
en la curva representa el trabajo que ha sido necesario para producir un ciclo de movimiento.
Ese trabajo corresponde a la energía que ha disipado el material durante el ciclo de
deformación. En el caso de vibraciones, ese proceso de disipación no es otra cosa que
amortiguamiento.
x
F
X
-X
t
x
X
-X
a
b
Figura 1.25
Una aproximación a la expresión matemática de las fuerzas producidas durante el
movimiento cíclico se verá en un capitulo posterior.
23
1.3.4 Excitación externa.
Para que se produzca vibración es necesaria la existencia de una acción perturbadora.
La excitación externa generadora de vibraciones puede ser muy diversa. Todas las formas de
excitación, dependiendo de sus características y las del sistema, pueden producir vibraciones.
La excitación puede ser una fuerza o momento o un movimiento. En función de las
propiedades de las vibraciones que producen y de la forma de analizar el problema, la
excitación puede dividirse en varios tipos:
•
Perturbación inicial. Consiste en una modificación de la posición o velocidad del
sistema deformable respecto a sus condiciones de equilibrio estático (Figura 1.26). La
desaparición brusca de la perturbación permite que el sistema tienda inmediatamente a
volver a la posición de equilibrio estático. La inercia del sistema impide la recuperación
inmediata de dicho equilibrio estático, apareciendo un fenómeno vibratorio. Ejemplo de
este tipo puede ser cualquier impacto, que producirá una modificación de la velocidad del
sistema, haciéndolo vibrar hasta volver después de cierto tiempo a su posición previa de
equilibrio. Igualmente, la relajación brusca de una restricción que ha mantenido
deformado al sistema es otro ejemplo de este tipo de excitación. El sistema, al liberarse de
la restricción, tenderá rápidamente a su posición de equilibrio, produciéndose una
vibración durante cierto tiempo, hasta la parada final. La vibración producida por este tipo
de excitación es transitoria. El sistema vibrará durante un tiempo y se detendrá cuando el
amortiguamiento haya producido la disipación de la energía que poseía en el instante
inicial.
k
v
m
m’
Figura 1.26
•
Fuerzas de corta duración o con una variación inicial brusca, pero que mantienen
posteriormente un valor definido o de lenta variación posterior. Debido a la variación
inicial brusca, la inercia del sistema impide que la deformación siga la evolución de la
fuerza de forma instantánea, apareciendo un proceso vibratorio. Una característica
importante de este proceso vibratorio es que normalmente es de tipo transitorio. El
amortiguamiento hace disminuir la amplitud de la vibración producida por la brusquedad
de la carga, manteniéndose posteriormente el sistema en equilibrio estático, o seudoestático, si la fuerza continúa variando pero de forma lenta. Un ejemplo de este tipo de
perturbación es la aplicación más o menos instantánea de una fuerza de valor constante, o
dejar un peso de forma casi instantánea sobre un elemento elástico o sobre una balanza.
24
En ese caso, el sistema vibra inicialmente hasta que, al cabo de un tiempo, su respuesta se
ajusta a la respuesta estática a la fuerza aplicada.
•
Fuerzas de variación periódica. En estos casos, la respuesta vibratoria del sistema tendrá
una componente periódica. La amplitud de la componente periódica de la vibración
dependerá de la amplitud de la fuerza aplicada, las frecuencias presentes en la misma y las
características de masa, rigidez y amortiguamiento del sistema. En unos casos, la
respuesta será muy similar a la respuesta estática ante esas cargas; en otros, las amplitudes
pueden llegar a ser un orden de magnitud superior a la estática. Ejemplo de este tipo de
fuerzas son las producidas por la rueda de un vehículo automóvil o por un motor cuando
están desequilibrados.
•
Fuerza aperiódica de variación irregular. En estos casos, el sistema responderá de
forma también irregular, con amplitudes mayores o menores dependiendo de las
características de la excitación y del sistema. En caso de variación aleatoria, la respuesta
será una vibración también aleatoria, que deberá ser estudiada desde un punto de vista
estadístico. Ejemplos de vibraciones producidas por este tipo de fuerzas son las debidas al
oleaje en estructuras marinas o en barcos, o las producidas por el viento sobre edificios de
gran altura.
También pueden producirse perturbaciones consistentes en desplazamientos impuestos a
determinados puntos del sistema susceptible de vibración. La respuesta en estos casos será de
tipo similar tipo a la producida ante fuerzas con la misma ley de variación, aunque sus
amplitudes dependerán de otros factores, como se verá en capítulos posteriores. Como
ejemplo puede considerarse un vehículo circulando por una carretera de perfil irregular. En
este caso, se producirán en el vehículo vibraciones aleatorias, dado el carácter aleatorio de las
irregularidades de las carreteras. Algo similar ocurre en el caso de un terremoto actuando
sobre un edificio de cierta altura. En este caso, el terremoto impone un movimiento aleatorio a
la base del edificio, provocando vibraciones aleatorias en el mismo.
25