Exercícios
1) sendo
Demonstração
de
Oclrk +
P :p → IR
então
o
,
=
#
é uma medida de
Ir IEIR
o <
PIA )
=
,
TAI
( Al )
=
,
probabilidade ?
que
,
função bem definida
Pt
:
trl
temos
111
é uma
:
definida de modo que
,
dado A ela
PIA )
,
Para
Notas de aula 1-2
-
:
Ae
:p
P
dada
→ IR
por
:
}
também
e
satisfaz
:
1¥ II éoadadiuo pai te ter
,
LRIFO
e
IA 2) Dado AEA então
,
A ar
.
Como
OCIRI la
então :
O E
IAI E LRI E IR
a)
q
neste caso
=
=
,
IAKO se
A =p
par
e
pelo
De (a) temos
que
part
W
OE
:
1¥,
E
1
=
Logo PIANO
.
(
=p IA )
IA 3) Dados
As Aa ,
-
.
.
C-
,
A
que Ê Ai ela
temos
tais
:
PIAIE 1)
=p
Ainaj
itj
que
,
,
.
:
OE
Êi
como
Êi Ai
Ai
Êi Ai
pa
Ê
Ai
EIN er
c-
IR e
Ai AAJ =D ttiej então :
,
Art +
=
Assim :
PLIÍ
tb
portanto Êaiar
e ,
,
Assim
e
.
Art
definição
IÊAI
=
,
A
definição Êçplai )
Portanto
:
.
.
.
Êçtait (
=
ÊAI
←
)
.
Ímã
=
111
ER
[ tait
Ei
111
=
µ
Pé uma medida de
probabilidades
2) Considere
A
Seja
=
{ 1, 2
P :
{epãa
para
A
w =
A
:
,
3
,
→
_
.
I
-
IR
,
comentário :
-
PIA )
aqui
,
PER )
,
=
.
:
12J
Ça Plp ) JÊA ¥
-
.
probabilidade ?
queremos
P é uma medida de
logo não podemos
=
PCLJJ )
é uma medida de
T
A
definida
,
jer,
et
e
usar
mostrar
que
probabilidade
,
nenhuma
propriedade de probabilidade !
Só
podemos usar
a
definição
e
resultados da matemática ( ez cálculos 1 2)
e
.
-1
Devemos
verificar axiomas da definição de
probabilidade para P
os
.
A- 1) p (A)
=
ter
Plus )
=
Ê¥ É
=
=
-
será
geométrica
convergente de razão
r
-
_
112
1
,
LA 2) Fomenta
:
aqui devemos mostrar que
PLAIEIR
HAEA , PCA ) 70
Este último
P deve ser uma
porque
IR
função real → P A
q
Ate
e
.
:
→
PAI
Seja AEA qualquer
se
-
tal
A =p
=
O
-1
:
e
PCA )
joq ¥
d)
Fi
-
-
_
O
^
-
em
neste
caso
•
se
A # lo
da Acd
o
CIAIEIRI Íto
OCPCAIÍEA É ÇÉER % E }
então :
-
Logo HAEA
:
,
IPCA ) E IR
-
e
PCA ) 70
.
,
( Az )
sejam
Note
As , Az ,
que
:
%
-
. .
ef
Ai ef
com
Ai n Aj =D
É
-
o
_
itj
OEPÇ! Ai ) e 1
.
álgebra
Assim !
PÇÍ
Ai )
=
<
[
JEÊ Ai
¥
seáiéomagenk
na
=
As Aç
e
.
. .
,
disjuntos
,
JÉ % jefe tjj
ti
+
=
-
-
PIA )
P ( Az )
,
=
PCA , ) + P ( Az ) t
.
.
.
.
são eventos
=
.
Lego PIIÍ Ai ) ÊPIAI ) ,
:
=
,
De IAI )
uma
,
LAZ )
e
medida de
LA 3)
segue que
Pé
probabilidade sobre ↳ A )
.
4
3)
Seja
e
LA , AP ) um
A
seja
ela
PL IA )
.
com
:
espaço
PCA ) 70
.
A
→
IR
B
↳
PCBIA )
de
probabilidade
Prove
que
ÉPCBNAPCA
)
é uma medida de
+
Então
A
→
P
( exercício )
.
aqui , temos pra hipótese que
IR é uma medida de probabilidade
comentario
P :
probabilidade
:
:
satisfaz IA 1) IAN
.
propriedades
da
probabilidade
,
e
LA 3) e as
tudo isto pode ser usado
na
demonstração
.
-