[ 서식1]
[확률로 본 수학은 왜 항상 불리한가?]
학번이름: 3316 이용진
수학 시간에 배우는 확률 단원에서는 “공정한 동전 , 공정한 주사위”를 전제로 깔고 문
제를 푼다 . 그런데 실제 생활에서 접하는 복권 , 카지노 , 스포츠 토토 , 모바일 뽑기(가
챠 ) 등은 대부분 “하면 할수록 손해”라는 인식이 강했다 . 이 경험을 통해 “왜 현실에서
확률은 항상 나에게 불리하게 느껴지는가 ?”라는 의문이 들었다 . 공정한 게임이라면 장
탐구 동기
기적으로 누구도 특별히 손해를 보지 않아야 할 것 같은데 , 실제로는 카지노나 도박에
서 항상 ‘집 ’이 이긴다는 말이 대표적이다. 또한 인터넷 글과 책을 통해 도박사의 파산,
도박사의 오류, ‘집의 우위 ’ 같은 개념을 접하면서 , 단순히 운이 나쁜 것이 아니라 수학
적으로 구조가 불리하게 설계된 것일 수 있다는 생각을 하게 되었다 . 이에 따라 “확률
을 사용한 수학적 구조가 왜 , 어떤 면에서 , 누구에게 불리한가?”를 수학적 모델과 실제
사례를 통해 탐구하고자 이 주제를 선택하였다.
2-1. 이론적 배경 조사
1. 확률과 불확실성
확률은 불확실한 사건에 대해 수량을 부여하는 도구이며 , 많은 시행을 했을 때의 장기
적인 경향을 설명하는 개념이다 . 그러나 개인은 자신의 인생에서 같은 사건을 수천 번,
수만 번 반복해볼 수 없기 때문에 , 이론적으로는 공정한 확률 구조라도 실제 체험에서
는 매우 불안정하고 손해처럼 느껴질 수 있다.
2. 도박사의 파산
도박사의 파산 문제는 공정하거나 약간만 불공정한 게임을 반복했을 때, 자본이 적은
쪽은 결국 높은 확률로 파산한다는 결과를 보여준다 . 공정한 게임이라 하더라도 시작
자본이 적으면 , 이길 때 얻는 이득보다 질 때 받는 타격이 더 커져 결국 파산 확률이
매우 높아진다.
3. 도박사의 오류
탐구 과정
및
자료 분석
도박사의 오류는 독립 시행에서 어떤 결과가 여러 번 연속으로 나오면 “이제는 반대
결과가 나올 때가 되었다 ”고 믿는 심리적 오류이다 . 사람들은 이 오류 때문에 , 이미 손
해를 많이 본 상태에서 “이번에는 확률상 나에게 유리할 것이다 ”라고 생각하고 계속
베팅을 늘려 손해를 키우는 경향이 있다.
4. 현실 속 ‘불공정한 게임’ – 집의 우위
카지노 게임 , 복권, 슬롯머신 등은 규칙 자체에 작은 불리함( 예: 기댓값이 음수)이 들
어가도록 설계되어 있어 , 장기적으로 참가자가 돈을 잃도록 만들어져 있다. 예를 들어,
승리 시 받는 상금이 실제 공정 확률에 비해 조금씩 낮게 책정되거나 , 특정 패턴에 편
향을 둔 장치 등을 통해 “조금만 ” 손해를 보게 만들지만, 이를 장기간 반복하면 큰 손
해가 된다.
2-2. 모형 설정 : 간단한 도박 게임 모델
이 탐구에서는 이해를 돕기 위해 다음과 같은 단순 모델을 설정하였다.
•게임 A
- 공정한 동전이 아니라 , 앞면이 나와 이기는 확률이 49.5%, 뒷면이 나와 지는 확률이
50.5%인 동전을 사용한다 .
- 이기면 1원을 받고 , 지면 1원을 잃는다 .
•참가자
- 초기 자본이 100 원인 플레이어가 이 게임을 여러 번 반복하여 플레이한다 .
- 목표는 파산 (자본 0)이 되기 전까지 가능한 한 오래 버티는 것이다.
이 모델은 실제 카지노에서 집이 우위를 갖는 구조를 매우 단순하게 축소한 버전으로
볼 수 있다.
2-3. 기댓값 관점에서의 불리함
1. 단일
시행의
기댓값
게임
A 에서
한
번
플레이할
때
기댓값은
  ×      ×   이다. 즉, 매 게임마다 평균적으로 0.01 원을 잃는
게임이다 . 이 차이는 매우 작지만, 1000 번, 10000 번처럼 시행 횟수가 커지면 누적 손
실은 크게 증가한다.
2. 반복 시행의 결과 이론적으로 기대 손실은 "시행 횟수 x 기댓값" 이 되므로 , 1000 번
플레이하면 평균적으로 약 10원 , 10000 번 플레이하면 약 100 원의 손실이 예상된다. 초
기 자본이 100 원인 플레이어 입장에서는 장기적으로 거의 반드시 자본이 0 에 가까워지
는 결과가 나타난다 . 즉 , 단 한 번의 게임에서는 운이 좋아 큰 돈을 벌 수도 있지만,
"계속하면 할수록 " 기댓값 때문에 결국 손해를 보는 구조가 된다.
2-4. 도박사의 파산 관점에서의 분석
공정한 게임 (p = q)에서도 자본이 적은 플레이어가 파산할 확률은 높으며 , 게임이 계속
될수록 파산 확률은 1에 가까워진다. 위에서 설정한 게임 A처럼 p<q인 경우(플레이어
에게 불리한 경우)에는 파산 확률이 더 빨리 1에 가까워지고 , 이길 확률은 급격히 줄어
든다. 이는 “조금만 불리한 구조라도 , 반복하면 결국 질 수밖에 없다”는 결론을 수학적
으로 뒷받침한다.
2-5. 심리적 요인: 도박사의 오류와 ‘ 운’ 에 대한 착각
도박사의 오류에 의해 사람들은 “연속으로 졌으니 , 이제는 이길 차례 ”라고 생각해 베팅
액을 늘리지만, 독립 시행에서는 과거 결과가 미래에 영향을 주지 않는다. 또한 사람들
은 큰 손실보다 “한 번 대박 난 기억”을 더 강하게 기억하는 경향이 있어, 전체적으로
는 손해를 보면서도 운이 좋았던 사례만 떠올리며 계속 게임을 지속한다 . 이런 심리적
편향은 이미 수학적으로 불리한 구조에서 더 큰 손해를 보게 만들며, 확률이 실제보다
더 운에 의존하는 것처럼 느끼게 한다.
2-6. 일상에서의 확률의 불리함 : 복권과 가챠
1. 복권
복권의 1 등에 당첨될 확률은 극히 작으며 , 전체 판매 금액 중 상당 부분은 운영비와 세
금 등으로 빠져나가고 남은 금액만 상금으로 돌아간다 . 따라서 한 장 한 장의 복권은
기댓값이 크게 음수인 전형적인 ‘불리한 게임 ’이다 .
2. 모바일 가챠 (뽑기 )
가챠 게임에서 희귀 아이템의 등장 확률은 낮게 설정되어 있으며 , 사용자는 이를 모르
거나 정확히 이해하지 못한 채 “조금만 더 돌리면 나올 것 같다 ”고 생각한다. 실제로는
희귀 아이템의 기대 비용 (평균적으로 얼마를 써야 한 번 얻는지 )이 매우 크기 때문에,
장기적으로는 유저가 큰 비용을 지출하는 구조가 된다.
결론 및
제언
참고 문헌
[ 서식2]
[연구주제 ]
학번이름
Ⅰ. 서론
Ⅳ. 연구 결과
Ⅱ. 연구 배경
Ⅴ. 결론 및 제언
Ⅲ. 연구 방법
참고문헌
Ⅰ. 서론
1. 연구 배경 및 목적( 동기)
Ⅱ . 연구 배경
1. 이론적 배경
가.
2. 선행연구
가.
Ⅲ . 연구 방법
1.
가.
Ⅳ . 연구 결과
1.
가.
Ⅴ . 결론 및 제언
참고 문헌