ဦးတင်ေအာင်လွင်
သခ#ျာပညာေပးေဆာင်းပါးများ
အခန်း (၁) (၂)
ပံု ိနှ ပ် မှ တ် တမ်း
သ ခ#ျာ ပ ညာ ေပး ေဆာ င်း ပါး များ အ ခ န်း ( ၁ ) ( ၂ )
ဦး တ င် ေအာ င် လွ င်
Ebook ပ ထ မ အ ြကိ မ် - မ တ် ၂ ၀ ၂ ၆
ထု တ် ေဝ သူ - AKMoe’s Ebook Store
မာတိကာ
စာမျက်ှ
၄
စာေရးသူ၏ eBook အမှာစာ
၅
ဦးတင်ေအာင်လွင်၏ ကိုယ်တိုင်ေရးအတပတိ အကျဥ်း
၁၇
အခန်း ၁။ ေသာင်းေြပာင်းေထွလာသချာကမ ာ
၁၈
အခန်း ၁.၁။ ီးီဒယ်ဆုှင့် ေခတ်သစ်အမျ ိးသီး သချာပညာရှင် မာရီရ မာဇီခန်းနီ
၂၁
အခန်း ၁.၂။ သချာပါရီရှင် ဂရီဝိုးရီ ပါရီမင်းှင့် ထူးဆန်းလှပေသာ ှလံုးသား
၂၅
အခန်း ၁.၃။ ယူကလစ်ှင့် ကမ ာ့အေစာဆံုး သချာကျးကီး
(ပတမိုင်း - အေြခခံ မှန်ကန်ချက်များ)
၃၀
အခန်း ၁.၄။ ယူကလစ်ှင့် ကမ ာ့အေစာဆံုး သချာကျးကီး မှသည် ေခတ်သစ်ဂျ ီသေမတီဆီသို
(ဒုတိယိုင်း - ယူကလစ်၏ သချာကျးကို ြမည်းစးြခင်း
၃၄
အခန်း ၁.၅။ ယူကလစ်ှင့် ကမ ာ့အေစာဆံုး သချာကျးကီး မှသည် ေခတ်သစ်ဂျ ီသေမတီဆီသို
(တတိယိုင်း - ယူကလစ်မှသည် ဖာမက်ဆီသို)
၃၈
အခန်း ၁.၆။ လှပမေပါင်းစံု စုေဝးရာ - သချာ
၄၃
အခန်း ၁.၇။ အေရးအပါဆံုး ကိန်းငါးလံုးမှသည် အလှပဆံုး ညီမြခင်းဆီသို (ပထမိုင်း)
၄၇
အခန်း ၁.၈။ အေရးအပါဆံုး ကိန်းငါးလံုးမှသည် အလှပဆံုး ညီမြခင်းဆီသို (ဒုတိယိုင်း)
၅၃
အခန်း ၁.၉။ အေရးအပါဆံုး ကိန်းငါးလံုးမှသည် အလှပဆံုး ညီမြခင်းဆီသို (တတိယိုင်း)
၅၇
အခန်း ၁.၁၀။ အေရးအပါဆံုး ကိန်းငါးလံုးမှသည် အလှပဆံုး ညီမြခင်းဆီသို (စတုတိုင်း -နိဂးံ ု )
(အွိင်လာှင့် ဘုရားသခင်ရှိမရှိ ေမးခွန်းှင့် အေြဖ)
၆၃
အခန်း ၁.၁၁။ Meta AI ကို အကဲစးြခင်း (Testing The Meta AI)
မာတိကာ
စာမျက်ှ
၆၅
အခန်း ၂။ သချာကမ ာမှ အေတွးသစ် အြမင်သစ်များ
၆၆
အခန်း ၂.၁။ အကရာသချာမှာ သုညနဲ ဘာေကာင့် မစားရသလဲ?
၆၉
အခန်း ၂.၂။ ဗဟုမျက်ှထုများကို သချာနည်းကျေလ့လာသံုးသြခင်း
၇၂
အခန်း ၂.၃။ ဗဟုမျက်ှထုများကို သချာနည်းကျေလ့လာသံုးသြခင်း(ဒုတိယိုင်း)
(ဥဿံုညီဗဟုမျက်ှထုငါးမျ ိး)
၇၆
အခန်း ၂.၄။ ဗဟုမျက်ှထုများကို သချာနည်းကျေလ့လာသံုးသြခင်း (တတိယိုင်း)
(ဘုရားေပးေသာ ထုပံုငါးမျ ိး)
၈၀
အခန်း ၂.၅။ ေတာ်ေပါေလာ်ဂျ ီ (ပထမိုင်း) ေမာဘီးရ်(စ်) ကွင်းလိ
၈၃
အခန်း ၂.၆။ ေတာ်ေပါေလာ်ဂျ ီ (ဒုတိယိုင်း) ကလိင်းပုလင်းလည်လိ
၈၆
အခန်း ၂.၇။ ေတာ်ေပါေလာ်ဂျ ီ (တတိယိုင်း) ေြမပံုကို အေရာင်ဆိုး၍ ခွဲြခားြခင်း
၉၀
အခန်း ၂.၈။ ေရအချ ိး (ပထမိုင်း) သဘာဝတရား ှင့် ေရအချ ိး
၉၅
အခန်း ၂.၉။ ေရအချ ိး (ဒုတိယိုင်း) ေရတိဂံ ှင့် တွဲဖက်ေရတိဂံ
၉၉
အခန်း ၂.၁၀။ ေရအချ ိး (တတိယိုင်း -နိဂးံ ု ) ေရအချ ိးှင့် ီဘcးချ ီကိန်းစဥ်
၁၀၂
အခန်း ၂.၁၁။ ကန်သတ်မဲ့ြပန်ထ ပုစ ာဆန်းများ
၁၀၅
အခန်း ၂.၁၂။ ှစ်ေပါင်း၂၀၀၀ေကျာ်ခန် အေရာက်ေcက်ကျလာေသာ ချစ်စရာစီးဗားသီအိုရ
၂၉၇
အခန်း ၇။ ာဏ်စးပုစ ာများ၏ အေြဖများ
စာေရးသူ၏ eBook အမှာစာ
လွန်ခဲ့ေသာလ အနည်းငယ်က ကနေ် တာ် ြမန်မာြပည်မှာ ထုတ်ေဝခဲ့ေသာ
“ဦးတင်ေအာင်လွင် ၏ သချာပညာေပး ေဆာင်းပါးများ” စာအုကို ိုင်ငံ
တကာက စာဖတ်ိတ်ေဆွတချ ိက လိုချင်တယ် လို စံုစးလာပါတယ်။
အဂလန် ှင့် သစေတးလျ ိုင်ငံမှ ဆရာသမားများ နဲ ိတ်ေဆွတချ ိကို
ိုေပးေသာအခါ စာအုိုခသည် စာအုတန်ိုး ဆယ်ဆခန် ရှိေနတာကို
အံ့သဖွယ်ရာ ေတွရပါတယ်။
ပံုှိစာအု အြပည့်အစံုကို Hard Copy အေနနဲ လိုချင်သူများ အေနနဲ
ြမန်မာြပည်ကေန လူကံြဖင့် မှာယူတာဟာ အိုးရှင်းဆံုးနဲ ေစျးအသက်သာဆံုး
ြဖစ်ပါလိ့မယ်။ ိတ်ေကာင်း ေဖာ်မွန်စာေပ (ဖံုး ၀၉၇၉၁၆၂၁၆၈၁) မှလည်း
တိုက်ိုက် မှာယူိုင်ပါတယ်။ ိုင်ငံတကာမှ အြမည်းအစး ဖတ်ချင်သူများအတွက်
ကိုေတာ့ အခန်း (၆) ခန်း အနက် အခန်း (၁) ှင့် အခန်း (၂) ကို ေကာက်ုတ်ီး
eBook အေနနဲ စးသထုတ်ေဝလိုက်ပါတယ်။
စီးပွားြဖစ် မဟုတ်ဘဲ ြမန်မာြပည်မှ ဘဝအေြခအေန ခက်ခဲေနသူများကို လှဒါန်း
ို ရည်ရယ်ချက်နဲ ထုတ်ေဝတဲ့အတွက် သချာေလ့လာလိုသူများလည်း သက်သက်
သာသာ ဝယ်ယူရိုင်သလို၊ လှဒါန်းရာတွင်လည်း ကုသိုလ် ပါဝင်ိုင်မှာ ြဖစ်ပါတယ်။
အားေပးသူအားလံုးအတွက် သာဓု သံုးကိ ေခ၍ ေကျးဇူးကမ ာတင်ပါတယ်။
တင်ေအာင်လွင်
၀၃/၀၃/၂၀၂၆
ဦးတင်ေအာင်လွင် ၏ ကိုယ်တိုင်ေရး အတ2 ုပတ5 ိအကျဥ်း
၁။ ၁၉၆၈ ခုနှစ်တွင် ြပည်ြမို့အထက (၁) မှ နဝမတန်းလူရည်ခ?န်ဆုကိုဆွတ်ခူးရရှိခဲ့ပါသည်။
၂။ ၁၉၆၉ ခုနှစ်တွင် တကက သိုလ်ဝင်ခွင့်စာေမးပွဲ၌ ြပည်ခရိုင်၏တစ်ဦးတည်းေသာ သံုးဘာသာ
ဂုဏ်ထူးရှင်ြဖစ်လာသည်။ တကက သိုလ်ဝင်ခွင့် စာေမးပွဲေအာင်စာရင်းထွက်ြပီးရက်ပိုင်း
အတွင်းမှာပင် “ြမန်မာနိုင်ငံလံုး ဆိုင်ရာသခSျာ ရည်ခ?န်စာေမးပွဲ”ေအာင်စာရင်းထုတ်ြပန်
ရာ ပထမဆု ဆွတ်ခူးခဲ့၏။
၃။ ဆရာဝန်လိုင်းကိုထိပ်ပိုင်းမှဝင်ခွင့်ရရန်လံုေလာက်ေသာအမှတ်ရရှိေသာ်လည်း
သခSျာ အဓိက ကိုေရွးချယ်ခဲ့ြပီး အေြခခံပညာခ?န်ဆု စေကာလားရှစ်ချ ီးြမှင့်ခံရ၏။
၁၉၇၃ ခုနှစ်တွင် B.Sc.(Maths) ဘွဲ့ရ၍ ၁၉၇၇ တွင် မဟာသိပပံ(M.Sc.) ဘွဲ့ရရှိသည်။
ပထမနှစ်တွင်ေြဖဆိုခဲ့ေသာြမန်မာစာတစ်ဘာသာမှလွဲ၍ တကက သိုလ်တေလ^ာက်လံုး
ေြဖဆိုခဲ့သမ^ေသာ ဘာသာရပ်အားလံုး (မဟာသိပပံကျမ်းအပါအဝင်) ဂုဏ်ထူးြဖင့်
ေအာင်ြမင်ခဲ့သည်။
၄။ ၁၉၇၉ တွင် ေဒ`ခင်ေစာနု (Esther Yu) နှင့်ထိမ်းြမှားလက်ထပ်ခဲ့ပါသည်။
၅။ တကက သိုလ်ဆရာ ကျူတာအလုပ်စာေမးပွဲတွင်အလုပ်နှစ်ေနရာအတွက် နcတ်ေြဖ ၌
တတိယသာရ၍ ကျူတာအလုပ်မရခဲ့ပါ။ ဘဝလမ်းေြကာင်း ဦးတည်ချက်ေပျာက်၍
လမ်းစရှာစဉ် ယာယီသေဘာြဖင့် မဟာသိပပံပထမနှစ်ကိုြပန်သင်ေသာ ကျူရှင်ဆရာ
အလုပ်ကိုဝင်ေရာက်လုပ်ကိုင်မိ၏။ ထိုမှေကာလိပ်အတန်းစံု သင်ေသာကျူရှင်ဆရာ
ြဖစ်လာြပီး၊ အချ ိန်တိုအတွင်းအလျင်အြမန် အြမစ်တွယ်လာသည်ကိုအံ့ဩစွာေတွ့
ရှိခဲ့ရ၏။ နှစ်စဉ်ေကျာင်းသား သံုးေထာင်ေကျာ်အထိ တိုးတက်သင်ြကား လာခဲ့ရာ
မေမ^ာ်လင့်ဘဲ (ယာယီ)ကျူရှင်ဆရာဘဝတွင်နှစ်ေပါင်း နှစ်ဆယ်ေကျာ်ထိြကာခဲ့ပါသည်။
၆။ ၁၉၉၈ တွင် မိသားစုနှင့်အတူ အေမရိကား ဆန်ဖရန်စစစကိုြမို့သို့ ေြပာင်းေရk့
ဘဝသစ်ထူေထာင်ခဲ့ရာ ေနာက်ထပ်နှစ်ေပါင်းနှစ်ဆယ်ေကျာ်ြကာ ကွန်ြပူတာြဖင့်
AutoCAD ပံုဆွဲေသာအလုပ်ြဖင့်အသက်ေမွးခဲ့ပါသည်။ ယခုအခါ အြငိမ်းစားဘဝ
ြဖင့်ရသမ^အချ ိန်ယူ၍မိမိ၏ သခSျာစာသင်သားဘဝ နှင့် သခSျာဆရာ ဘဝအေတွ့အြကံုများကို
သခSျာ ပညာေပးေဆာင်းပါးများြဖင့် Facebook နှင် YouTube များတွင် တစိုက်မတ်မတ်
မ^ေဝလျက်ရှိပါသည်။
၇။ သခSျာသည် သင်ယူစရာပညာ ြဖစ်ရံုမက ေဖျာ်ေြဖမcကိုေပးစွမ်းနိုင်ေသာပညာြဖစ်သည် ဟု
စွဲြမဲစွာယံုြကည်ပါ၏။
တ"ေ$"လွ" (San Francisco)
ဥ
ီ းတင
် ေအာင
် လ
ွ င
် နှင
့်
တပ0့များ
ြမန
် မာန
ို င
် ငံအတ
ွ င
် းရ
ိှ လ
ိ ု အပ်ေနေသာ ေနရာများအတ
ွ က
် တစံုတရာ
အေထာက
် အကူြုပုန
ို င
် ေရးအတ
ွ က
် ဤ eBook က
ို စ
ီ စဥ
် ထုတ
် ေဝြခင
် း
ြဖစ
် ပါသည်။
ထ
ိ ု ေြကာင
် ့ ဝယ်ယူဖတ
် ရ
ှု ြခင
် းြဖင
် ့ အားေပးြကဖ
ိ ု ့ နှင
် ့ အြခားသူများအား
မျှေဝြခင
် း မြုပုဖ
ိ ု ့ ေလးစားစ
ွ ာ ေမတ
တ ာရပ်ခံအပ်ပါသည်။
မဝယ်ယူဘ
ဲ ဖတ
် ရ
ှု ခ
ွ င
် ့ ရခ
ဲ ့ ပါကလည်း စာအုပ်ဖ
ိ ု းအြဖင
် ့ ေစတနာ
ထက
် သန
် စ
ွ ာ ေအာက
် ပါအေကာင
် ့ များသ
ိ ု ့ ေင
ွ လ
ွဲ လ
ှူ ဒါန
် းန
ို င
် ပါသည်။
•
•
•
•
SDB
NUGPay
Binance
PayPal
@akmoe11uk
akmoe*nugpay.app
akmoe-uk
@akmoe
အြခား Payment များ (KPay, SG PayNow, UK Bank, AU Bank,
US Zelle) တ
ိ ု ့ ြဖင
် ့ ေပးေချလ
ိ ု ပါက https://ebooks.akmoe.uk မှာ
စာအုပ်အမှာစာ တင
် ယူန
ို င
် ပါတယ်။
ဝယ်ယူဖတ
် ရ
ှု အားေပးြခင
် းအတ
ွ က
် အထူးေကျးဇူးတင
် ပါသည်။
ထုတ
် ေဝသူ
AKMoe
17
အခန်း(၁)
သောင်းသြောင်းသွေလာ ေခချာကမ္ဘာ
အခန်း (၁) မှ သိမှတ်စရာခခါင်းစဉ်အကျဉ်း
(၁)
ကမ္ဘာ့နိုဘယ်ဆုခေးေွဲမှာ သခချာဘာသာေါဝင်ေါသလား။
(၂)
ကမ္ဘာ့သခချာနိုဘယ်ဆုလို့ သမုတ်ခံရတာ ဘယ်ဆုခတွလဲ။
(၃)
ကမ္ဘာ့သခချာနိုဘယ်ဆုလို့ သမုတ်ခံရတဲ့ Fields Medal ဆု ချးမမှ
ီ င့်ခံရတဲ့ ေထမဆုံး အမျုးသမီ
ိ
းေညာရှင်
ဟာ ဘယ်သူလဲ။
(၄)
ကမ္ဘာ့သခချာနိုဘယ်ဆု ချးမမှ
ီ င့်ခံရခသာ်လည်း မငင်းေယ်လိုက်တာ ဘယ်သူလဲ။
(၅)
ကမ္ဘာ့အခစာဆုံးနဲ့ အခရးအေါဆုံး သခချာကျမ်းကကီးကို ဘယ်သူမေုစုသလဲ။ ဘယ်လိုအမည်တွင်သလဲ။
အတွဲခေါင်းဘယ်ခလာက်ရှိသလဲ။ ဘယ်လိုဘာသာရေ်ခတွ ေါဝင်သလဲ။
(၆)
ယူကလစ်ရဲ့ သခချာကျမ်းကကီးကို အခမခခံအချက် ဘယ်နှချက်ခေါ်မှီပေီး တည်ခဆာက်ခဲ့သလဲ။
(၇)
ယူကလစ်ကို ဘယ်သခချာဘာသာရေ်ရဲ့ဖခင်ကကီးလို့ သမုတ်သလဲ။
(၈)
သခချာေါရဂူ Francis Su ရဲ့ “Mathematics For Human Flourishing” စာအုေ်အခြကာင်း
ဖတ်မိခတာ့ သခချာသင်ဖို့ သခချာတတ်ဖို့ တွန်းအားရသလား။
(၉)
သခချာမှာ အခရးအကကီးဆုံးကိန်းငါးလုံးဟာ ဘာလဲ။
(၁၀)
ကမ္ဘာ့အလှေဆုံး သခချာညီမျှမခင်းဟာ ဘာလဲ။
(၁၁)
ဘုရားသခင် ရှိ,မရှိကို အခကျာ်ြကားဆုံး ခခတ်သစ်သခချာေညာရှင် Euler က ဘယ်လိုမှတ်ချက်ချခဲ့သလဲ။
(၁၂)
AI ခခတ်မှာ သခချာခမးခွန်းခတွကို AI နဲ့ ခမးဖူးသလား။ ေုစ္ဆာတစ်ေုဒ်ရဲ့အခမဖကို ရှာခိုင်းနိုင်သလို
အေျင်းခမေ ခမးခွန်းထုတ်လို့လဲ ရေါတယ်။ အလွယ်ဆုံး META AI ကို Facebook မှာ စမ်းဖူးေါသလား။
18
(၁)
ဖီးမီဒယ်ဆုနှင့် သခတ်ေစ်အမျုးေမီ
ိ
းေခချာေညာရှင် မာရီရမ် မာဇီခန်းနီ
(Fields Medal Prize & Modern Woman Mathematician
Maryam Mirzakhani)
1901 ကစပေီး နှစ်စဉ်နှစ်တိုင်း ဒီဇင်ဘာ ၁၀ ရက်မှာ ကမ္ဘာ့နိုဘယ်ဆုချးမမှ
ီ င့်ေွဲကို ကျင်းေေါတယ်။ အဲဒီ
ခန့ဟာ Alfred Nobel ခသဆုံးတဲ့ နှစ်ေတ်လည်ခန့လည်း မဖစ်ေါတယ်။ ရူေ၊ ဓာတု၊ ခဆး၊ စာခေ၊ ပငိမ်းချမ်းခရး
နဲ့ စီးေွားခရး ဆိုပေီး ကဏ္ဍခမခာက်ခု ခွဲချးမမှ
ီ င့်ေါတယ်။ သခချာဘာသာမေါေါဘူး။ အဲဒီအချန်ိ ခရာက်တိုင်း သခချာ
ချစ်တဲ့သူခတွ အားမလို၊ အားမရ၊ ခမးခနကျခမးခွန်းတစ်ခု ရှိေါတယ်။ နိုဘယ်ဆုထဲမှာ သခချာဘာခြကာင့်မေါတာ
လဲ။ သိေ္ပံဘာသာခတွကို နိုဘယ်ဆုခတွခေးပေီးခတာ့ သိေ္ပံရဲ့မိခင်ကကီး (Mother of Science) လို့ သမုတ်ခံရတဲ့
သခချာကျခတာ့ နိုဘယ်ဆုထဲမှာ ခေျာက်ခနတယ်မဟုတ်ေါလား။
ေညာရှင်ခတွ ဒီခမးခွန်းကိုအထင်နဲ့ အမျုးမျ
ိ ုးခမဖခနြကခေမဲ
ိ
့ ဘယ်သူမှအတိအကျ မခမောနိုင်ေါဘူး။
တိတိကျကျခမဖနိုင်တဲ့သူဟာ Alfred Nobel ကိုယ်တိုင်ေဲ ရှိေါတယ်။ နိုဘယ်ဆုခေးေွဲဟာ သူ့ရဲ့ခသတမ်းစာမှာ
ေါတဲ့အတိုင်း တိတိကျကျ စီမံတဲ့ေွဲမဖစ်လို့ သခချာကို ဆုစာရင်းမှာ ဘာခြကာင့်ထည့်မထားသလဲဆိုတာ သူေဲသိေါ
လိမ့်မယ်။ တချု့ခတွ
ိ
က ရယ်စရာလိုလို ခမဖေါတယ်။ “Alfred Nobel က သခချာကို ခမ့ခနလို့မဖစ်မယ်” တဲ့။
ကမ္ဘာ့နိုဘယ်ဆုမှာ သခချာရဲ့ကဏ္ဍ မေါဝင်တဲ့အတွက် အဲ့ဒီလစ်ဟာချက်ကို ဖာခထးဖို့ ဝိုင်းဝန်းကကိုးစား
ခဲ့ြကတဲ့အထဲမှာ ခနာ်ခဝးနိုင်ငံဟာ ခရှ့ဆုံးကေါဝင်ခဲ့ေါတယ်။ ဒါခြကာင့် ကမ္ဘာခကျာ် ခနာ်ခဝးသခချာေညာရှင်
“Niels Henrik Abel” ရဲ့နာမည်ကိုယူပေီး “Abel Prize” ကို နှစ်စဉ်ချးမမှ
ီ င့်ေါတယ်။ 1899 ကတည်းက
စတင်ချးမမှ
ီ င့်ခဲ့ပေီး ကမ္ဘာ့ပငိမ်းချမ်းခရးနိုဘယ်ဆုခေးေွဲ ကျင်းေရာခနရာ University of Oslo မှာေဲ Abel Prize
ကို ခနာ်ခဝး ဘုရင်မင်းမမတ်ကိုယ်တိုင် ချးမမှ
ီ င့်ေါတယ်။
နိုင်ငံတကာမှာ သခချာ “နိုဘယ်ဆု” လို့ သမုတ်ခံရတဲ့ တမခားဆုတစ်ခုရှိေါခသးတယ်။ Fields Medal လို့
ခခါ်ေါတယ်။ ကခနဒါလူမျုးိ သခချာေညာရှင် John Charles Fields ကို ဂုဏ်မေုပေီး အမည်ခေးထားတာေါ။
ခလးနှစ်မှ တစ်ကကိမ် ဆုခေးေွဲကျင်းေေါတယ်။ သခချာဘာသာရဲ့ အကကီးဆုံးခဆွးခနွးေွဲမဖစ်တဲ့ အမေည်မေည်ဆိုင်ရာ
သခချာေညာရှင်များကွန်ဂရက် (The International Congress of Mathematicians)ရဲ့ ဖွင့်ေွဲမှာ အဲဒီ Fields
Medalists ကို (၂)ဦးကခန (၄)ဦးအထိ ခရေးချယ်ချးမမှ
ီ င့်ခလ့ရှိေါတယ်။ 1936 က စပေီး ခလးနှစ်တစ်ကကိမ်
19
ချးမမှ
ီ င့်ရာမှာ အသက်ကန့်သတ်ချက် ထားရှိေါတယ်။ အသက် ၄၀ ခအာက် မဖစ်ရေါမယ်။ နှစ်ခေါင်း ၈၀ ခန့်ထိ
ဆက်တိုက် Fields Medal ဆုရှင်ဟာ အပမဲတမ်း အမျုးသားသခခ
ိ
ျာေညာရှင်ခတွချည်းသာ ခရေးချယ်ခံရခလရာ
2014 ကျမှသာ ေထမဆုံး အမျုးသမီ
ိ
းဆုရှင် ခေါ်ခေါက်လာေါတယ်။ အီရန်က မာရီရမ် မာဇီခန်းနီ (Maryam
Mirzakhani) မဖစ်ေါတယ်။
မာရီရမ် မာဇီခန်းနီ (Maryam Mirzakhani) က သူ့မှာ ထူးမခားတဲ့ သခချာစွမ်းရည်ရှိခြကာင်း ပမီးခကာင်
ခေါက် အရေယ်မှာကတည်းက မေသနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ ၁၆ နှစ်အရေယ်၊ 1994 ခုနှစ်မှာ အီရန်နိုင်ငံကို ကိုယ်စားမေုပေီး
နိုင်ငံတကာသခချာ အိုလံေစ် (International Mathematics Olympiad - IMO) မှာ ဝင်ခရာက်ယှဉ်ပေိုင်ခဲ့ရာ
မှာ ခေးမှတ် ၄၂ မှတ်ခေးတာမှာ ၄၁ မှတ်ရရှိပေီး ခရှေတံဆိေ်ဆွတ်ခူးခဲ့ေါတယ်။ ခနာက်တစ်နှစ်မှာ ဒုတိယအကကိမ်
ဝင်ခရာက်ယှဉ်ပေိုင်ခတာ့ အမှတ်မေည့် ၄၂ မှတ်ရပေီး ခရှေတံဆိေ်ဆွတ်ခူးမေန်တယ်။ (IMO ကို ၁၈ နှစ် မမေည့်မချင်း
ယှဉ်ပေိုင်ခွင့်ရှိေါတယ်။) အီရန်မှာခကာလိေ်ဘွဲ့ရပေီးခတာ့ အခမရိကန်နိုင်ငံဟားဗတ်တက္ကသိုလ်ကို တက်ခရာက်
သင်ြကားရာမှာ ၂၀၀၄ မှာ သခချာေါရဂူဘွဲ့ ရရှိခဲ့ေါတယ်။ ဘယ်သူမှမခမဖရှင်းနိုင်ခသးတဲ့ ကမ္ဘာ့ေုစ္ဆာ (World
Unsolved Problem) တစ်ေုဒ်ရဲ့ ခမဖရှင်းချက်နဲ့ ေါရဂူကျမ်း (Ph.D. Thesis) တင်ပေီး ခအာင်မမင်ခဲ့တာမဖစ်
ေါတယ်။
2014 မှာ ကမ္ဘာ့ေထမဆုံးခသာ အမျုးသမီ
ိ
း Fields Medal ဆု ချးမမှ
ီ င့်ခံရတုန်းက အသက် ၃၇ နှစ်
သာရှိပေီး အခကာင်းဆုံးအရေယ်မှာ အကကီးဆုံးဆုတံဆိေ် ချးမမှ
ီ င့်ခံရခေမယ့် မခမျှာ်လင့်ဘဲ အဆိုးဝါးဆုံး ြကမ္မာဆိုး
လည်း တစ်ပေိုင်နက်တည်း ကျခရာက်လာေါတယ်။ သူ့မှာ ရင်သားကင်ဆာခရာဂါ ရုတ်တရက်ခတွ့ရှိလာပေီး
ခတာင်ကိုရီးယား ဆိုးလ်ပမို့မှာကျင်းေတဲ့ သခချာေညာရှင်များကွန်ဂရက် (Seoul ICM 2014) ရဲ့ အဖွင့်ဆုခေးေွဲ
မှာ Fields Medal ကို လက်ခံဖို့ခတာင် ေင်ေန်းခက်ခဲစွာ တက်ခရာက်ခဲ့ရတယ်လို့ ဆိုေါတယ်။ ခနာက်သုံးနှစ်
အတွင်း သူ့ရဲ့ သုခတသနလုေ်ငန်းနဲ့ ခရာဂါဆိုးြကား ရုန်းကန်ရင်း ၂၀၁၇ ဩဂုတ်လမှာ ဘဝတစ်ေါးသို့ ကူးခမောင်း
သွားေါတယ်။ အချန်ိ မတိုင်မီ ခြကလွင့်သွားခဲ့ရတဲ့ သခချာရဲ့ခတာက်ေတဲ့ြကယ်တစ်ေွင့်အတွက် သခချာခလာကကကီး
တစ်ခုလုံး ဝမ်းနည်းခြကကွဲ၊ ယူကျုံးမရ မဖစ်ခဲ့ြကရေါတယ်။
20
သူမခမောခဲ့တဲ့စကားတစ်ခွန်းမှာလည်း သင်ခန်းစာယူစရာခကာင်းလှေါတယ်။
“သခချာသည် သူ၏အလှအား စိတ်ရှည်သူများကိုသာ ခဖာ်ထုတ်မေ၏။”
(The beauty of mathematics only shows itself to more patient followers) ဟူ၏။
သခချာသည် အလှအေခေါင်းစုံမဖင့် မေည့်ဝခန၏။ သို့ခသာ် လူတိုင်းမမမင်နိုင်ေါ။ မမင်လိုလျှင် ကကိုးစားရမည်။
ခလ့လာရမည်။ အခရးကကီးဆုံးမှာ စိတ်ရှည်ရမည်မဖစ်သည်။
u
ြဖည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ေုစ္ဆာ (S.1) (သမှာ်ေုံသေနည်း - Magic Formula)
4 ဂဏန်း ခလးလုံးနဲ့ သခချာလုေ်ထုံးခလးမျုးိ (+, − , x, ÷) တို့ကို တွဲဖက်အသုံးမေုပေီး
ကိန်းတန်ဖိုး 10 ရခအာင် အလွယ်တကူ တည်ခဆာက်နိုင်ေါတယ်။ ြကည့်ေါ။
(44 − 4) ÷ 4 = 10
. . . (1)
ခသချာခစ့ခစ့ြကည့်ေါဦး။ အခေါ်ကေုံခသနည်း (1)ဟာ အလွန်ထူးမခားတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ
တစ်ခု ရှိေါခသးတယ်။ 4 ဂဏန်းခနရာမှာ 1 ကခန 9 ထိ ဂဏန်းတစ်လုံးစီကို အစားထိုး
ရင် ရလဒ်အားလုံးဟာ တသမတ်တည်း 10 ချည်းသာ ရေါတယ်။
_
_
_
_
_
_
(11 − 1) ÷ 1 = 10
(22 − 2) ÷ 2 = 10
(33 − 3) ÷ 3 = 10
(44 − 4) ÷ 4 = 10
(55 − 5) ÷ 5 = 10
•••
(99 − 9) ÷ 9 = 10
မှတ်ရန်
ညီမျှမခင်း (1) လိုမျုးိ 1 ကခန 9 ထိ ကကိုက်ရာဂဏန်း အစားထိုးလိုက်တဲ့အခါ မှန်ပမဲ
မှန်ခနတဲ့ ေုံခသနည်းမျုးကိ
ိ ု “ခမှာ်ေုံခသနည်း” (Magic Formula) လို့ ခခါ်ခလ့ရှိေါတယ်။
သမးခေန်း
6 ဂဏန်း ခမခာက်လုံးနဲ့ သခချာလုေ်ထုံးခလးမျုးိ (+, − , x, ÷) တို့ကို တွဲဖက်အသုံးမေုပေီး
ကိန်းတန်ဖိုး 100 ရခအာင် တည်ခဆာက်ခေးနိုင်တဲ့ ခမှာ်ေုံခသနည်း (Magic Formula)
တစ်ခု ရှိေါတယ်။ သင်ရှာခေးနိုင်ေါသလား။
အခမဖကို အခန်း (၇) စာမျက်နှာ (၂၉၈) တွင်ြကည့်ေါ။
Supplemental Puzzle
21
(၂)
ေခချာေါရမီရှင် ဂရီဂိုးရီ ေါရီမင်း နှင့် ွူးဆန်းလှေသောနှလုံးေား
(Grigori Perelman & Beautiful Mind)
ကမ္ဘာ့နိုဘယ်ဆုချးမမှ
ီ င့်တဲ့ ကဏ္ဍခမခာက်ခုမှာ သခချာဘာသာလစ်လေ်ခနခေမဲ့ တကယ်ခတာ့ ခရးကကီး
ခွင်ကျယ်လုေ်စရာအခြကာင်းခတာ့ မရှိေါ။ ဘာခြကာင့်လဲဆိုခတာ့ နိုဘယ်ဆုနဲ့အလားတူတဲ့ဆုတချု့ိ သခချာ
ခလာကမှာ ရှိခနလို့မဖစ်ေါတယ်။ အထင်ရှားဆုံးကခတာ့ “Fields Medal” နဲ့ “Abel Prize” တို့အမေင် ေုစ္ဆာ
တစ်ေုဒ်စီအတွက် ခဒါ်လာတစ်သန်းစီချးမမှ
ီ င့်တဲ့ “Millennium Problems” လို့ခခါ်တဲ့ ေုစ္ဆာခုနစ်ေုဒ်တို့ မဖစ်ြက
ေါတယ်။
အခမရိကန်နိုင်ငံမှာ “Clay Mathematics Institute” (CMI) လို့ခခါ်တဲ့ သခချာအဖွဲ့အစည်းတစ်ခု
ရှိတယ်။ ခခတ်အဆက်ဆက် သခချာခလာကမှာ ဘယ်သူမှမခမဖရှင်းနိုင်ခသးတဲ့ “World Unsolved Problems”
ခုနစ်ေုဒ်ကို CMI က ခရေးချယ်ထားပေီး ခမဖရှင်းနိုင်သူကို ခဒါ်လာတစ်သန်းစီ ဆုချးမမှ
ီ င့်ခေးမယ်လို့ 2000 မေည့်နှစ်
ခမလမှာ ခြကညာလိုက်ေါတယ်။ အဲဒီခြကညာချက်ထုတ်မေန်တဲ့ “Millennium” အကူးအခမောင်း သက္ကရာဇ်
2000 ကိုညွှန်းပေီး အဲဒီဆုေုစ္ဆာ ခုနစ်ေုဒ်ကိုလည်း စုခေါင်းပေီး “Millennium Problems” လို့ ခခါ်ေါတယ်။
အထက်ခဖာ်မေေါဆုနှစ်မျုးလု
ိ ံးဟာ ရရှိဖို့ လွန်စွာခက်ခဲတဲ့ဆုခတွမဖစ်ြကခလခတာ့ ဆုတစ်ဆုရရင်ေဲ
သခချာခလာကရဲ့ ထာဝရသူရဲခကာင်းအမဖစ် ရာဇဝင်တွင်ပေီမဖစ်ေါတယ်။ အံ့ဩစရာခကာင်းတာက အဲဒီဆုနှစ်ဆု
လုံးကို ချးမမှ
ီ င့်ခံရတဲ့ ေညာရှင်တစ်ဦးရှိခနေါတယ်။ ေိုအံ့ဩစရာခကာင်းတာက အဲဒီေညာရှင်ဟာ ဒီရခတာင့်ရခဲ
ဆုနှစ်ဆုလုံးကို လက်ခံဖို့ မငင်းေယ်လိုက်တာေါေဲ။
ရုရှားနိုင်ငံက သခချာေညာရှင် ဂရီဂိုးရီ-ေါရီမင်း (Grigori Perelman) ဆိုသူက ခခတ်သစ် ဂျဩခမကတီ
ီ
နဲ့
ခတာ်ခေါခလာ်ဂျ ီ ဘာသာရေ်တို့၌ ထူးမခားထက်မမက်ခသာ ထိုးခဖာက်ဖန်တီးမှုများစွာ မေုလုေ်ခဲ့သမဖင့် 2006 မှာ
Fields Medal ဆု ချးမမှ
ီ င့်ရန် ဖိတ်ြကားခံရေါတယ်။ သို့ခသာ် ေါရီမင်းက လက်မခံေါ။ ဒါခြကာင့် Fields Medal
ဆုကို ချးမမှ
ီ င့်ခေးခသာ ကမ္ဘာ့သခချာေညာရှင်များအဖွဲ့ချုေ်၏ ဥက္ကဋ္ဌမဖစ်သူ Sir John Ball ကိုယ်တိုင် ေါရီမင်း
ခနထိုင်ရာ St. Petersburg သို့ လိုက်သွား၍ Fields Medal ဆုကို လက်ခံခေးေါရန် စည်းရုံးေန်ြကားခသာ်လည်း
သူဟာ ခငွခြကးနဲ့ ခကျာ်ြကားမှု (Money & Fame) ကို မလိုလားေါဟုသာ အခြကာင်းမေ၍ မငင်းဆိုေါတယ်။
22
စင်စစ် ေါရီမင်းဟာ ငယ်စဉ်ကတည်းက ထူးမခားခသာေါရမီရှင်တို့ရဲ့လက္ခဏာကို မေခဲ့တယ်။ 1982 ခုနှစ်
က သူ ၁၆ နှစ်သားအရေယ်တွင် ဆိုဗီယက်မေည်ခထာင်စုကို ကိုယ်စားမေု၍ သခချာအိုလံေစ်ကိုဝင်ခရာက်ယှဉ်ပေိုင်ရာ
အမှတ်မေည့်မဖင့် ခရှေတံဆိေ်ဆွတ်ခူးခဲ့တယ်။ သူ ၂၄ နှစ်အရေယ်မှာေင် လီနင်ဂရက်တက္ကသိုလ်က ေါရဂူဘွဲ့ရရှိပေီး
ခနာက် ခခတ်သစ်ဂျဩခမကတီ
ီ
နဲ့ ခတာ်ခေါခလာ်ဂျဘာသာရေ်
ီ
မှာ လွန်စွာထူးချွန်ခလရာ အခမရိကန်၊ နယူးခယာက်
တက္ကသိုလ် (NYU) ရဲ့ ဖိတ်ြကားချက်အရ ခမခာက်လြကာ သုခတသနမေုဖို့ ခရာက်ရှိလာတယ်။ ဆက်လက်၍ U.C.
Berkeley က ကမ်းလှမ်းသမဖင့် နှစ်နှစ်ြကာ သုခတသနမေုမေန်တယ်။ ယင်းခနာက် Princeton နဲ့ Stanford
တို့က သခချာေါရဂူအလုေ်ခန့်ထားရန် ကမ်းလှမ်းခသာ်လည်း လက်မခံခတာ့ဘဲ သူ့ခမွးရေ်ဌာခန St. Petersburg
ကိုသာ မေန်သွားေါတယ်။ လူထူးလူဆန်းေါခေတကား။
Henri Poincarè က သက္ကရာဇ် 1904 မှာ ကမ္ဘာခကျာ် ခတွးထင်ချက်တစ်ခုကို ခဖာ်ထုတ်
ခဲ့ေါတယ်။ “Poincarè Conjecture” လို့ သခချာခလာကမှာ အမည်တွင်ေါတယ်။ အလွန်ခလးနက်
ခက်ခဲတဲ့ Topology ဘာသာရေ်ရဲ့ သခဘာတရားကို လူပဗိန်းနားလည်ခအာင် အလွယ်ခမောရရင်
ခတာ့ . . .
“အခေါက်မေါတဲ့ ထုေုံတစ်ခုကို ရှေံ ့ခစးသခဘာမျုးယူ
ိ ဆပေီး ေုံခမောင်းရင်
စက်လုံးတစ်ခုအမဖစ် အစဉ်အပမဲ ခမောင်းယူနိုင်တယ်” လို့ ဆိုေါတယ်။
အဲဒီခတွးထင်ချက်ကို နှစ်တစ်ရာနီးေါးအြကာ သက္ကရာဇ် 2002 မှာမှ Grigori Perelman က
သက်ခသမေခဲ့ေါတယ်။
Grigori
Perelman
Poincaré Conjecture
Henri
Poincaré
23
Millennium Problems ခုနစ်ေုဒ်အနက် “Poincaré Conjecture” မည်ခသာ ကမ္ဘာခကျာ်ေုစ္ဆာဟာ
1904 က ခေါ်ထွက်ခဲ့ရာ၊ ရာစုနှစ်တစ်ခုခန့်သာြကာခဲ့ခသာ်လည်း ခမဖရှင်းနိုင်သူမရှိခဲ့ေါ။ ယင်းေုစ္ဆာဟာ ေါရီမင်း
အထူးမေုခလ့လာခနခသာ Geometric Topology ဘာသာရေ်နဲ့ ေတ်သက်ခနတယ်။ အခမရိကားမှမေန်လာပေီး
ခနာက် ေါရီမင်းသည် “Poincaré Conjecture” ကို 1995 မှ 2002 ထိ ခုနစ်နှစ်ခန့် စူးစိုက်ခလ့လာခဲ့ရာ
2003 မှာ ခအာင်မမင်စွာ ခမဖရှင်းနိုင်ခဲ့တယ်။ သူရဲ့သက်ခသမေချက်ကို ကျမ်းမေုတင်မေရာမှာလည်း သမားရိုးကျ
နည်းအတိုင်း အဆင့်မမင့်ေညာရှင်များအဖွဲ့တစ်ဖွဲ့ သို့မဟုတ် ကမ္ဘာခကျာ်သခချာဂျာနယ်တစ်ခုမှ မတင်မေဘဲ
Internet မှ သာမန်ထမင်းစားခရခသာက်ကိစ္စတစ်ခုကဲ့သို့သာ တင်မေသမဖင့် အခဝဖန်ခံရခသးတယ်။
အဆင့်မမင့်ကျမ်းတို့ရဲ့ထုံးစံအတိုင်း ယင်းကျမ်းရဲ့ တိကျမှု၊ မှန်ကန်မှုတို့ကို ေညာရှင်များစစ်ခဆးရန် နှစ်ချ ီ
၍ အချန်ိ ခေးရတတ်ေါတယ်။ Peer Review လို့ ခခါ်တယ်။ 2003 မှာ ထုတ်မေန်ခဲ့ခသာ သူရဲ့ခမဖရှင်းချက်ကို
2010 ခုနှစ်ကျမှသာ CMI (Clay Mathematics Institute) မှ ဂရီဂိုးရီ-ေါရီမင်း (Grigori Perelman) ကို
“Poincaré Conjecture” ကို ခမဖရှင်းနိုင်သူအမဖစ် ခြကညာတယ်။ နှစ်ခေါင်းများစွာအချန်ိ ယူပေီးမှ ခြကညာရ
သည်မှာလည်း မဆန်းေါ။ လွန်စွာခက်ခဲခသာ ကမ္ဘာခကျာ်ေုစ္ဆာများမဖစ်၍ နားလည်ဆုံးမဖတ်နိုင်သူ လက်တစ်ဆုေ်
စာတို့ဟာ အမေန်မေန်အလှန်လှန် စစ်ခဆးရပေီး ခိုင်မာခြကာင်း အမေည့်အဝယုံြကည်စိတ်ချရမှသာ အတည်မေုရ
ခသာ အစဉ်အလာရှိသည်ကိုး။
2010 မှာ CSI က Grigori Perelman ဆုခြကးခငွ ခဒါ်လာတစ်သန်း ချးမမှ
ီ င့်ခေးမှာမဖစ်ခြကာင်း ထုတ်
မေန် ခြကညာတယ်။ ဒီတစ်ကကိမ်မှာလည်း ေါရီမင်းက မငင်းလိုက်မေန်တယ်။ ယင်း “Poincaré Conjecture” ကို
ခမဖရှင်းရန် သူသည် ကိုလံဘီယာတက္ကသိုလ်မှ Richard Hamilton ၏ ခတွ့ရှိချက်ကို အသုံးချရသည်ဟုဆို၏။
ဒါခြကာင့် Richard Hamilton ကို ဆုမခေးဘဲ သူ့တစ်ခယာက်တည်းကိုသာ ဆုခေးမခင်းမှာ တရားမျှတမှုမရှိ
ေါဟု ဆိုကာ မငင်းေယ်လိုက်မခင်းမဖစ်ေါတယ်။ ထူးဆန်းခေစွ။ လူ့သဘာဝကိုဆန့်ကျင်၍ မိမိကိုချးခမမှ
ီ ာက်လာ
ခသာ ဂုဏ်ထူးခဆာင်ဆုကို မျှခဝခေးနိုင်ခသာစိတ်ဓာတ်မှာ လှေရုံမက မမင့်မမတ်လှခေတယ်။
ေါရီမင်းက အလွန်အမင်းခက်ခဲခသာ အဖိုးတန်ဆုနှစ်ခုလုံးကို မငင်းေယ်လိုက်မခင်းအတွက် ရှုခထာင့်
အမျုးမျ
ိ ုးမှ
ိ
ခဆွးခနွးခဝဖန်ြက၏။ ထူးချွန်ေါရမီရှင်တို့ရဲ့ သဘာဝအတိုင်း သာမန်လူအများနှင့် အမမင်ကွဲလွဲ
24
သည်မှာ သဘာဝကျေါ၏။ သို့ခသာ်လည်း တချု့က
ိ နားမလည်နိုင်ဘဲ အကဲေိုသည်ဟုမမင်၍ တချု့က
ိ စတန့်ထွင်
ခနသလားဟု သံသယမဖစ်ြက၏။ ကျွန်ခတာ့်ကိုယ်ေိုင်အမမင်၌မူ ေါရီမင်းကို အလွန်ရိုးသားတည်ြကည်၍ ထူးမခား
ခသာ နှလုံးလှေိုင်ရှင်အမဖစ် လွန်စွာြကည်ညိုခလးစားမိ၏။ ကျွန်ခတာ့်တစ်သက်တွင် လွန်စွာထက်မမက်ခသာ
သခချာေညာရှင် ဆရာ၊ ဆရာမခေါင်းများစွာထံ အနီးကေ် ဆည်းေူးနည်းနာခံခွင့်ရခဲ့၏။ သူတို့သည် ခခါင်းခကာင်း
၍ အမမင်ြကည်လင်ရုံမက စိတ်ထားမဖူစင်ရိုးသား၍ နှလုံးလှြက၏။ ကမ္ဘာနှင့်ချ၍
ီ အဖိုးထိုက်တန်ခသာ ဆုလာဘ်
ေင် မဖစ်ခသာ်မငားလည်း တရားသမဖင့်မရှိ၍ ရယူရန်မသင့်ဟု ယူဆလျှင် နှစ်ကကိမ်မေန်လှည့်ြကည့်ြကမည် မဟုတ်
ခေ။ ေညာရှင်အစစ်တို့၏ထုံးသည် သူတို့၏နှလုံးအိမ်တွင် ေန္နက်ရိုက်ပေီးမဖစ်၏။
ေါရီမင်းရဲ့ဘဝကား ရိုးရိုးခလးနဲ့ ဆန်းချင်တိုင်းဆန်းခနခတာ့၏။ Poincaré Conjecture ကို သက်ခသ
မေနိုင်မခင်းသည် သခချာေညာ၏ အမမင့်မားဆုံးစွမ်းခဆာင်မှုများမှ တစ်ခုမဖစ်သည်ဟု သူ့အား သခချာခလာကတစ်ခု
လုံးက ချးကျူးြကသည်
ီ
။ ယင်းအချန်ိ မှာေင် ေါရီမင်းသည် အံ့ဩတုန်လှုေ်ဖွယ်ခြကညာချက်တစ်ခု ထုတ်မေန်လိုက်
၏။ သူ့ဘဝအတွက် သခချာနဲ့ေတ်သက်လို့ လုေ်ခဆာင်လိုသည်များအားလုံး ပေီးမေည့်စုံပေီမဖစ်၍ သခချာေညာရှင်
ဘဝမှ ရာသက်ေန်အနားယူခတာ့မည်ဟု ရုတ်တရက်ခြကညာလိုက်ပေီး ဇာတိပမို့ St. Petersburg ဆင်ခမခဖုံး
မှာ မိခင်ကိုအခဖာ်မေုခနထိုင်လျက်ရှိ၏။ သခချာခလာကကိုခရာ၊ စာနယ်ဇင်း Media ကိုေါ လုံးဝအဆက်မဖတ်၍
မည်သည့်အင်တာဗျူးကိုမျှလည်း လက်ခံခတွ့ဆုံမခင်းမရှိခတာ့ေါ။ တခယာတစ်လက်မဖင့် ခအးချမ်းစွာ ခနထိုင်
လျက် မေဇာတ်ခအာ်ေရာများကို ကကိုက်နှစ်သက်သည်ဟူခသာ ရံဖန်ရံခါ ခကာလာဟလများမှတစ်ေါး သူ့
အခြကာင်း မည်သည့်သတင်းအစအနမျှ မြကားရခတာ့ခေ။
ခနာက်ဆုံး သခချာေညာရှင်တို့၏ လှေခသာအခတွးနဲ့ သိမ်ခမွ့ခသာနှလုံးသားတို့မှ ထွက်ခေါ်လာခသာ
ချစ်စရာေုစ္ဆာခလးတစ်ေုဒ်ကို ခံစားြကည့်ြကရခအာင်ေါ။
u
ြဖည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ေုစ္ဆာ (S.2) (အံ့ဘေယ် လျှေ်တစ်ြေက် ေုံးစက္ကန့် ဂျဩသမတတီ
ီ
ေုစ္ဆာ 1)
ဂျဩခမကတီ
ီ
ေုစ္ဆာတချု့ခတွ
ိ
ဟာ မျက်လှည့်မေတတ်ေါတယ်။ အမမင်မှာ ခက်ခဲသခယာင်ရှိ
ခသာ်လည်း တစ်ခါတရံ အချက်သိရင် အခမဖတန်းထွက်သွားတာမျုးိ ကကုံရတတ်ေါတယ်။
သမးခေန်း
DABC ၏ အနားများသည် 27 လက်မ၊ 43 လက်မ၊ နှင့် 16 လက်မ၊ အသီးသီးမဖစ်လျှင်
ယင်း၏ဧရိယာကို ရှာေါ။
အခမဖကို အခန်း (၇) စာမျက်နှာ (၂၉၈) တွင် ြကည့်ေါ။
Supplemental Puzzle
25
(၃)
ယူကလစ်နှင့် ကမ္ဘာ့အသစာဆုံးေခချာကျမ်းတကီး (ေွမေိုင်း - အသြခခံမှန်ကန်ချက်များ)
Euclid & The World’s Earliest Treatise on Mathematics
(Part I - Axioms & Postulates)
ကျွန်ခတာ့်ဘဝမှာ ေညာခရးအတွက် အခရးအကကီးဆုံးအချန်ိ ဟာ မေည်ပမို့က ကျုံဟင်းေုဂ္ဂလိက အလယ်
တန်းခကျာင်းမှာ ခကျာင်းတက်စဉ်ကာလေါ။ သို့ခသာ်လည်း ခကျာင်းတက်ချန်ိ က တိုေါတယ်။ နှစ်ဝက်ကခလး
နှစ်ကကိမ် (Two Semesters) ေဲ ရှိေါတယ်။ ခကျာင်းတက်ခဲ့ရတဲ့အချန်ိ ဟာ အလွန်တိုခတာင်းခသာ်လည်း အဲဒီမှာ
တစ်နှစ်နီးေါးသင်ခဲ့တဲ့ အတတ်ေညာသုံးမျုးဟာ
ိ
ယခန့ထိ ေါလာဆဲ၊ လိုက်နာကျင့်ကကံခနရဆဲေါ။
ေထမတစ်ခုက မနက် အိေ်ရာထထချင်းမေုလုေ်တဲ့ ဆယ်မိနစ်ကာယခလ့ကျင့်ခန်းေါ။
ဒုတိယတစ်ခု
ကခတာ့ တူရိယာတီးမှုတ်မခင်းေါ။ တစ်ေတ်တစ်ချန်ိ သာသင်ခဲ့ရတဲ့ တူရိယာအတန်းဟာလည်း တစ်နှစ်နီးေါး
ြကာလာတဲ့အခါမှာ အခမခခံခတွ အသင့်အတင့်သင်ြကားတတ်ခမမာက်ခဲ့ရပေီး ကျွန်ခတာ့်ဘဝအတွက် မှီဝဲ၍
မကုန်နိုင်ခသာ အခမာခမေခဆးကကီးေါ။ တတိယတစ်မျုးကခတာ့
ိ
ဂျဩခမကတီ
ီ
ဘာသာရေ်ေါ။
အဲဒီတုန်းက အလယ်တန်း (၆ တန်း) အရေယ်ဆိုခတာ့ ဂျဩခမကတီ
ီ
ဆိုတာ ချု(ဂျ
ိ ု)နဲ
ိ ့လားလို့ ခမးရတဲ့အရေယ်
ေါ။ သို့ခသာ်လည်း ဆရာခကာင်းနဲ့ ဖတ်စာအုေ်ခကာင်းတို့ရဲ့ခကျးဇူးခြကာင့် ဂျဩခမကတီ
ီ
ဆိုတာ (ဂျုမေါခသာ်
ိ
လည်း) သိေ်ကို အခတွးအခခါ်လှေတဲ့ ဘာသာရေ်ေဲဆိုတာ ချက်ချင်းလိုလို သခဘာခေါက်လိုက်ေါတယ်။
အဲဒီတုန်းက ဂျဩခမကတီ
ီ
ဖတ်စာအုေ်ရဲ့ စစချင်းမှာေဲ ယူကလစ် (Euclid) ဆိုတဲ့ ခရှးေညာရှင်က
ခဖာ်ထုတ်ခဲ့တဲ့ “ခယဘုယျအခမခခံမှန်ကန်ချက် ငါးခု” နဲ့ စေါတယ်။ “Euclid’s Five Axioms For General
Notion” လို့ ခခါ်ေါတယ်။ အတိုအားမဖင့်ခတာ့ “Axioms” ေါေဲ။ တစ်ဆက်တည်းေဲ “ဂျဩခမကတီ
ီ
အတွက်
ယူကလစ်ရဲ့ အခမခခံယူဆချက်ငါးချက်” လိုက်လာေါတယ်။ “Euclid’s Five Postulates In Geometry” လို့
အမည်မှည့်ခခါ်ေါတယ်။ တိုတိုခမောရင်ခတာ့ “Postulates” ေါ။
စာစသင်ရတဲ့ ေထမအချန်ိ မှာေဲ ဆရာကခမောေါတယ်။ “ဆရာ ဒီခန့သင်မဲ့အချက် (၁၀)ချက်ဟာ
ဂျဩခမကတီ
ီ
ဘာသာရေ်တစ်ခုလုံးအတွက် အုတ်မမစ် (Foundation) ေါ။ Euclid ဆိုတဲ့ေညာရှင်ဟာ ခရစ်မခေါ်မီ
နှစ်ခေါင်း (၃၀၀) ခကျာ်ကတည်းက တည်ခဆာက်ခဲ့တဲ့ သခဘာတရားခတွေါ။ သခချာနဲ့မကင်းသခရေ့ ဒီအခမခခံ
မှန်ကန်ချက် (၁၀)ချက်ကို ခတွ့ထိခနရဦးမှာေါေဲ။ အလွတ်ကျက်ထားရင် မမှားဘူး” လို့ ဆိုေါတယ်။
26
လက်ခတွ့မှာလည်း ရယ်စရာေင်ခကာင်းခနေါခတာ့တယ်။ အဲဒီ Axioms နဲ့ Postulates တို့ဟာ
မကျက်ရဘဲနဲ့ အလွတ်ရပေီးပေီဟု ဆိုရခလာက်ခအာင် ရိုးရှင်းလွယ်ကူလှေါတယ်။ ဘာခြကာင့်လဲဆိုခတာ့ အချက်
အလက် အားလုံးနီးေါးဟာ သိနှင့်ပေီးတဲ့ သခဘာတရားများမဖစ်ခနေါတယ်။ အသစ်အဆန်းဆိုလို့ နာမည်အခခါ်
များမဖစ်တဲ့ Axioms နဲ့ Postulates တို့သာ ရှိေါခတာ့တယ်။ အမည်သာဆန်းပေီး အခြကာင်းအရာမှာ သိပေီး၊
ရင်းနှီးပေီး မဟုတ်ေါခလာ။
မှတ်ချက် - Euclid ဟာ အလွန်ရိုးရှင်းလွယ်ကူတဲ့ အထက်ေါအခမခခံမှန်ကန်ချက် ၁၀ ချက် (Axiom
၅ ချက်၊ Postulate ၅ ချက်)နဲ့ အုတ်မမစ်ချပေီး ဂျြသခမကတီ
ီ
ဘာသာရေ်ကကီးတစ်ခုလုံးကို တည်ခဆာက်ခဲ့
ေါတယ်။ အဲဒီအခမခခံမှန်ကန်ချက်ခတွကို ခလာခလာဆယ် မရင်းနှီးခသးရင်လည်း ခခတ္တခကျာ်သွားနိုင်ေါ
တယ်။ မမန်မာမေန်ကို ခနာက်မှာ မြကာမီ ဆက်လက်ခဖာ်မေေါ့မယ်။
27
ကျွန်ခတာ်တက္ကသိုလ်ခရာက်ခတာ့ သခချာဒုတိယနှစ်မှာ ကိုဩဒိနိတ်ဂျဩခမကတီ
ီ
ကို ဘာသာတစ်ခုအခန
နဲ့ ယူရေါတယ်။ ေထမအချန်ိ မှာေဲ ဆရာဦးခမာင်ခမာင်တင်က ဂျဩခမကတီ
ီ
ရဲ့ရာဇဝင်ကို ရှင်းမေခတာ့ (အလယ်
တန်းက ဆရာကကိုတင်ခမောခဲ့သလိုေါေဲ) ဂျဩခမကတီ
ီ
ဆိုတာ အခမခခံမှန်ကန်ချက် (၁၀) ချက်နဲ့ တည်ခဆာက်ထား
တဲ့ ဘာသာရေ်မဖစ်ခြကာင်း ခမောေါတယ်။ “Euclid’s Axioms’’ ငါးချက်နဲ့ “Euclid’s Postulates” ငါးချက်
တို့ကို ချမှတ်ပေီး ယူကလစ်ဟာ ဂျဩခမကတီ
ီ
ကို အုတ်မမစ်ချ (Foundation) တည်ခဆာက်ခဲ့ေါတယ်တဲ့။ ယူကလစ်
ဟာ အခမခခံအုတ်မမစ်မဖစ်တဲ့ အချက်(၁၀)ချက်ခေါ်မှာ မှန်ကန်ချက်အသစ်ခတွ တစ်ခုခေါ်တစ်ခု ဆင့်ကဲ ဆင့်ကဲ
ဖန်တီးေါတယ်။
သီအိုရမ်ခတွ
(Theorems)၊ ခကာ်ခလာ်လာရီခတွ (Corollaries)၊ အဆိုမေုချက်ခတွ
(Propositions) စသည်မဖင့် အမည်မှည့်ခခါ်ပေီး စနစ်တကျ နံေါတ်စဉ်ထိုး၊ မေည့်စုံကျနတဲ့ ဘာသာရေ်အမဖစ်
ကျမ်းကကီးတစ်ခစာင်အမဖစ် မေုစုနိုင်ခဲ့ေါတယ်။
ယူကလစ်ဟာ သူမေုစုခဲ့တဲ့ အဲဒီကျမ်းကကီးကို “Elements” လို့ အမည်မှည့်ပေီး အတွဲခေါင်း (၁၃)တွဲ ေါဝင်
ေါတယ်။ မေင်ညီဂျဩခမကတီ
ီ
(Plane Geometry)၊ ထုေုံဂျဩခမကတီ
ီ
(Solid Geometry) နဲ့ ကိန်းသီအိုရီ
(Number Theory) စသမဖင့် နှံ့နှံ့စေ်စေ် ေါဝင်ေါတယ်။ ခရစ်ခတာ်မခေါ်မီ နှစ်ခေါင်း ၃၀၀ (BC 300) အချန်ိ က
ခေါ်ခေါက်ပေီး အလွန်တရာမေည့်စုံတဲ့ကျမ်းမဖစ်လို့ ကမ္ဘာ့ရာဇဝင်မှာ အခစာဆုံးခသာ အခရးေါတဲ့ သခချာကျမ်းကကီး
အမဖစ် ေညာရှင်ခတွက သတ်မှတ်ြကေါတယ်။ အဲဒီကျမ်းရဲ့ အထူးမခားဆုံးအချက်ကခတာ့ ကျုးခြကာင်
ိ
းဆက်စေ်မှု
ေညာမဖစ်တဲ့ ယုတ္တိခဗဒ(Logic)ကို အခမခခံပေီး ကျုးခြကာင်
ိ
းဆီခလျာ်စွာ စည်းစနစ်ကျနစွာ မေုစုထားေါတယ်။
သခချာေညာမှာသာမက သိေ္ပံဘာသာအားလုံးတို့မှာ လွှမ်းမိုးမှုအကကီးဆုံးစာအုေ်တစ်အုေ်အမဖစ်လည်း သိေ္ပံေညာရှင်
ခတွရဲ့ တညီတညွတ်တည်း အသိအမှတ်မေုခံရေါတယ်။
သရှးအကျဆုံး ကမ္ဘာသကျာ်ေခချာကျမ်းတကီး EUCLID’S “ELEMENTS”
28
ကမ္ဘာခကျာ် သိေ္ပံေညာရှင်များမဖစ်ြကတဲ့ ခကာ့ေါးနိကေ် (Copernicus)၊ ကက်ေလာ (Kepler)၊
ဂလီလီယို (Galileo)၊ နယူတန် (Newton)၊ အိုင်းစတိုင်း (Einstein)၊ ဘာထရန်ရေ်စဲ (Bertrand Russell)
အစရှိတဲ့ ေညာရှင်ခတွကလည်း ယူကလစ်ရဲ့ Elements ကျမ်းကကီးကို အထူးတလည်ခလ့လာခဲ့ပေီး သူတို့အခေါ်
လွှမ်းမိုးမှု အလွန်ကကီးမားခြကာင်း ဝန်ခံခမောဆိုခဲ့ေါတယ်။ အထူးသမဖင့် အိုင်စတိုင်းက သူငယ်စဉ် ကခလးဘဝက
လက်ခဆာင်ရခဲ့တဲ့ သံလိုက်အိမ်ခမမှာင်နဲ့ ယူကလစ်ရဲ့ “Elements” စာအုေ်ဟာ သူ့အခေါ် အကကီးမားဆုံးခသာ
အကျုးသက်
ိ
ခရာက်မှုရှိတဲ့ ေစ္စည်းနှစ်ခုမဖစ်ခြကာင်း ခမောြကားခဲ့ေါတယ်။
အခမရိကန်သမ္မတ ခအဗရာဟင်လင်ကွန်း (Abraham Lincoln) ကလည်း “ကျွန်ခတာ် ဥေခဒေညာကို
သင်တုန်းက ယူကလစ်ရဲ့ “Elements” ကို လက်တစ်ကမ်းမှာ အပမဲခဆာင်ထားပေီး အချန်ိ ရတိုင်း အတွဲတစ်ကခန
ခမခာက်အထိ အလွတ်ရသခလာက် ကျက်မှတ်ခဲ့ေါတယ်။ ဘာမဖစ်လို့လဲဆိုခတာ့ ခရှ့ခနလုေ်ဖို့အတွက် အဲဒီ
စာအုေ်ထဲကလို မှန်ကန်တိကျတဲ့ အခတွးအခခါ်နဲ့ အခမောအဆို လိုအေ်လို့ေါ” လို့ ဆိုခဲ့ေါတယ်။
အံ့ဩစရာတစ်ခုရှိေါခသးတယ်။ ယူကလစ်ရဲ့ “Elements” စာအုေ်ဟာ ပေီးမေည့်စုံလွန်းလို့၊ နှစ်ခေါင်း
၂,၀၀၀ ခကျာ်အတွင်း ထူးမခားတဲ့ မေုမေင်မဖည့်စွက်ချက်များများစားစား မလိုအေ်ခဲ့ေါဘူး။ ခခတ်အဆက်ဆက်
ေညာရှာသူခရာ၊ ေညာရှင်များေါမကျန် အားလုံးမဖတ်မမဖစ် စာအုေ်အမဖစ် ထင်ရှားခဲ့လို့ ခကျာင်းသုံးစာအုေ်
ထက်ေင် ေျ ံ့နှံ့ခဲ့ေါတယ်။ ေုံနှိေ်စက်ခေါ်ခေါက်လာပေီးခနာက် ခရစ်ယာန်ကျမ်းစာ (Bible) ကလွဲရင် ကမ္ဘာခေါ်မှာ
ေုံနှိေ်အကကိမ်ခရ အများဆုံးစာအုေ်မဖစ်တယ်လို့လည်း ဆိုေါတယ်။ သခချာေညာရဲ့ဘုရားကျမ်းစာ (Bible In
Mathematics) လို့ေင် သမုတ်ခံရေါတယ်။
လွန်ခဲ့တဲ့ ရာစုတစ်ဝက်က ကျွန်ခတာ်ရဲ့ အထက်တန်းခကျာင်းသားဘဝမှာေဲ ြကည့်ေါ။ ခကျာင်းသုံး
စာအုေ်မဖစ်တဲ့ “The New Sequence Geometry” ဆိုတာ ယူကလစ်ရဲ့မူအတိုင်း မေုစုထားေါတယ်။ ငါးတန်း
ကခန ဆယ်တန်းအထိ သီအိုရမ် ၁ မှ ၆၂ ထိ သင်ရိုးကုန်သင်ရေါတယ်။ သက်ခသမေချက်ေုစ္ဆာခရာ၊ ခဆာက်လုေ်
ဆွဲသားချက် ေုစ္ဆာေါမကျန် အလွန်မေည့်စုံခဲ့ေါတယ်။ သီအိုရမ်နံေါတ် ၂၉ လို့ နံေါတ်ထိုးလိုက်တာနဲ့ ေိုက်သာဂိုရေ်
သီအိုရမ်ဆိုတာ လူတိုင်းသိေါတယ်။ “၂၉” ဆိုတာ ေိုက်သာဂိုရေ်သီအိုရမ်ရဲ့ ကိုယ်ေိုင်နံေါတ်ေါ။ ခခတ်ခတွခမောင်း၊
သင်ရိုးခတွခမောင်းရင်းနဲ့
(သင်စရာများမေားပေီး အချန်ိ အခက်အခဲခြကာင့် ထင်ေါတယ်) မှန်ကန်ချက်ခတွက
အရင်တုန်းကလို ကိုယ်ေိုင်နံေါတ်မရှိခတာ့ေါဘူး။ ဥေမာအားမဖင့် စက်ဝိုင်းသင်ခတာ့မယ်ဆိုရင် သီအိုရမ်ခတွကို
တစ်က စရသလိုေဲ ဧရိယာအခြကာင်းသင်ခတာ့မယ်ဆိုရင်လည်း သီအိုရမ်ခတွကို တစ်ကေဲ မေန်စြကေါတယ်။
အရင်သင်ရိုးခဟာင်းမှာေါဝင်ခနခသာ ခဆာက်လုေ်ဆွဲသားချက်ေုစ္ဆာများကိုလည်း စနစ်သစ်မှာ သိေ်မခတွ့ရခတာ့
ေါဘူး။ ခခတ်နဲ့ယှဉ်ပေီး ခမောင်းလဲမှုခတွရှိခနခသာ်လည်း ယူကလစ်ကျမ်းကကီးရဲ့ ေင်မ မှန်ကန်ချက် သီအိုရမ်ခတွ
ကခတာ့ သခချာမှာ ထာဝရမီး½SL;တန်ခဆာင်လို ခတာက်ေခနမှာေါေဲ။
Euclid သည် ဤမျှရိုးရှင်းလွယ်ကူတဲ့ မှန်ကန်ချက်ခတွကို အခမခခံအုတ်မမစ်အမဖစ် တည်ခဆာက်ရင်
ခလးနက်ရှုေ်ခထွးတဲ့ ခနာက်ဆက်တွဲမှန်ကန်ချက်ခတွအားလုံး ထွက်ခေါ်နိုင်ခြကာင်း မမင်တတ် ခတွးတတ်သည်
မှာ နည်းနည်းခနာခနာအခမမာ်အမမင်မဟုတ်ခေ။ သူရဲ့ ကကီးစွာခသာေါရမီခြကာင့်သာမဖစ်တယ်။ သူရဲ့ခတွးခခါ်
ကကံဆေုံမှာ ဦးထုေ်ငယ်ခလးတစ်လုံးမှ ယုန်အခကာင်တစ်ရာ ခေါ်ထွက်လာသကဲ့သို့ ရှိ၏။
ယခု Axioms ငါးခုကို အရင်ခလ့လာြကည့်ြကေါစို့။
Axiom 1: တစ်ခုတည်းခသာတန်ဖိုးနှင့် တူညီခသာတန်းဖိုးနှစ်ခုတို့သည် အချင်းချင်းတူညီြကသည်။
(If a = b and a = c, then b = c.)
29
Axiom 2: တန်ဖိုးတူနှင့် တန်ဖိုးတူ ခေါင်းလျှင် ခေါင်းလဒ်ချင်းလည်း တန်ဖိုးတူ၏။
(If a = b and c = d, then a + c = b + d.)
Axiom 3: တန်ဖိုးတူမှ တန်ဖိုးတူ နုတ်လျှင် နုတ်လဒ်ချင်းလည်း တန်ဖိုးတူ၏။
(If a = b and c = d, then a - c = b - d.)
Axiom 4: အရာနှစ်ခုတို့သည် တစ်ထေ်တည်းကျလျှင် (ထေ်တူညီလျှင်) ယင်းတို့၏တန်ဖိုးများလည်း
တူြက၏။
(If a ≅ b, then a = b.)
Axiom 5: တစ်ခုလုံးသည် ယင်း၏ အစိတ်အေိုင်းထက် ကကီး၏။
(The whole is greater than the part.)
အခေါ်က Axiom ငါးခုအနက်ေထမခလးခုဟာ ညီမျှမခင်း (Equation) ရဲ့ သခဘာသဘာဝကို ခဖာ်မေ
ေါတယ်။ ခနာက်ဆုံးတစ်ခုကခတာ့ ကကီးမခင်း/ငယ်မခင်းကို သတ်မှတ်ခေးေါတယ်။
ဥေမာအားမဖင့် ညီမျှမခင်း
x-3 = 5
3 = 3
… (1) ကို ခမဖရှင်းအံ့။
… (2) ဟူခသာ
ညီမျှမခင်း (2)ကို ဖန်တီးပေီး “တန်ဖိုးတူနှင့် တန်ဖိုးတူ ခေါင်းခသာ Axiom (2)” ကိုသုံးကာ ညီမျှမခင်း
(1) နှင့် (2) ကို ခေါင်းေါ။ (1) + (2) အရ x - 3 + 3 = 5 + 3 မဖစ်၍ x = 8 အခမဖကိုေါတယ်။ အမှတ်တမဲ့ခနရင်
Axiom (2) ကို သုံးခြကာင်းကို သတိမထားမိတတ်ေါ။
ထိုနည်းတူ မျဉ်းမေတ်တစ်ခု AB ခေါ်မှာ အမှတ် P ကို A နဲ့ B ြကား ဘယ်ခနရာမှာေဲ ယူယူ
AB > AP မဖစ်ခြကာင်း မျက်မမင်ထင်ရှားမဟုတ်ေါခလာ။ တစ်ဖက်ကြကည့်ရင်လည်း AB ဟာ တစ်ခုလုံးမဖစ်ပေီး
AP သည် AB ၏ အစိတ်အေိုင်းမဖစ်ရာ Axiom 5 အရ AB > AP မဖစ်ခြကာင်း သိနိုင်ေါတယ်။ မျက်မမင်ဟာ
မှားနိုင်ေါတယ်။ အမငင်းေွားစရာလည်း မဖစ်နိုင်ေါတယ်။ တစ်ခယာက်တစ်မျုးမမင်
ိ
ရင် မခက်ေါလား။ Euclid
က Axioms များ ချမှတ်မခင်း၏ ရည်ရေယ်ချက်မှာလည်း မျက်မမင်ကို မကိုးကားဘဲ Axioms များ၊ သီအိုရမ်
များကဲ့သို့ခသာ မှန်ကန်ချက်ကိုသာ ကိုးကား၍ သံသယကင်းစင်ခသာရလဒ်အမှန်ကို ခရှးရှုနိုင်ရန်မဖစ်ေါတယ်။
A
P
(Axiom 5 ၏ သရုေ်ခဖာ်ေုံ)
u
B
30
(၄)
ယူကလစ်၏ ကမ္ဘာ့အသစာဆုံးေခချာကျမ်းတကီးမှေည် သခတ်ေစ်ဂျဩသမတတီ
ီ
ဆီေို့
(ဒုတိယေိုင်း - ယူကလစ်၏ ေခချာကျမ်းကို ြမည်းစမ်းြခင်း)
From Euclid’s “Elements” To Modern Days’ Geometry
(Part II - A Taste Of Euclid’s “Elements”)
BC 300 ခကျာ်ခလာက်က ခေါ်ခေါက်လာခဲ့တဲ့ ကမ္ဘာ့ခရှးအကျဆုံး “Elements” လို့ခခါ်တဲ့ သခချာ
ကျမ်းကကီးဟာ သခချာနယ်ေယ်ကိုထိုးခဖာက်ပေီး သိေ္ပံေညာခေါင်းစုံအထိ ရိုက်ခတ်ခဲ့ေါတယ်။ သူ့ရဲ့ကျမ်းမေုေုံဟာ
အခမခခံမှန်ကန်ချက်ခတွမဖစ်တဲ့ Axioms ခတွရယ်၊ အခမခခံယူဆချက်မဖစ်တဲ့ Postulates ခတွရယ်နဲ့ အဓိေ္ပာယ်
သတ်မှတ်ချက်မဖစ်တဲ့ Definitions ခတွရယ် ခေါ်မှာ အုတ်မမစ်ချေါတယ်။ ပေီးမှ ခိုင်မာတဲ့ယုတ္တိခဗဒ (Logic)
အခမခခံခတွနဲ့ တည်ခဆာက်ရတဲ့အတွက် ခရေက်မဝင်ခအာင် တိကျခိုင်မာတဲ့ မှန်ကန်ချက်ခတွ ထွက်ခေါ်လာ
ေါတယ်။
အဲဒီခတွးခခါ်ေုံနဲ့ ကျမ်းမေုတဲ့စံနစ်ကို Euclid ရဲ့ ခနာက်နှစ်ခေါင်းနှစ်ခထာင်ခကျာ်မှ ထွက်ခေါ်လာတဲ့
ကမ္ဘာ့အထင်ရှားဆုံး သိေ္ပံေညာရှင်ခတွမဖစ်တဲ့ ဂလီလီယို၊ အိုင်းစတိုင်း၊ နယူတန်တို့က ခလ့လာအတုယူရေါတယ်
လို့ ဝန်ခံခဲ့ရေါတယ်။
ထူးဆန်းတာကခတာ့ ဒီခလာက်ကကီးမားတဲ့ စွမ်းခဆာင်မှုေိုင်ရှင် Euclid ဟာ ရာဇဝင်မှာ မထင်မရှား
လူတစ်ခယာက်မဖစ်ခနေါတယ်။ သမိုင်းေညာရှင်ခတွဟာ Euclid ရဲ့အခြကာင်းကို မှတ်တမ်းမေုဖို့ ဘာအစအနမှ
ရှာမခတွ့ခဲ့ေါဘူး။ အီဂျစ်မေည်ရဲ့ အလက်ဇန်ဒရီယာပမို့က သခချာဆရာတစ်ခယာက် မဖစ်ေုံရတယ်ဆိုတဲ့ မခရ
မရာ မှတ်ချက်တစ်ခုကလွဲလို့၊ သူ့ရဲ့ဇာတိ၊ ခမွးခန့၊ သက်တမ်း၊ ဘဝအစိတ်အေိုင်း စတာခတွကို ဘယ်သူကမှ
အတိအကျမခမောနိုင်ခဲ့ေါဘူး။ သူ့ဓာတ်ေုံ သို့မဟုတ် ေန်းချေုီ ံခလး တစ်ေုံတခလမှလည်း မကျန်ရှိခဲ့လို့ သူ့ရုေ်ရည်
ကိုခတာင် မမင်ဖူးသူမရှိဘူးလို့ ဆိုေါတယ်။
ခုေဲ “Elements” ကျမ်းကို မမည်းစမ်းြကည့်ြကမယ်။ Axioms ငါးခုကို မေန်လည်အကျဉ်းခဖာ်မေရရင်-
Axiom 1:
If a = b and a = c, then b = c.
Axiom 2:
If a = b and c = d, then a + c = b + d.
Axiom 3:
If a = b and c = d, then a - c = b - d.
31
Axiom 4:
If a ≅ b, then a = b.
Axiom 5:
The whole is greater than the part.
အခေါ်က Axiom ငါးခုအနက် ေထမခလးခုဟာ ညီမျှမခင်း (Equation) ရဲ့ ရိုးရှင်းတဲ့ သခဘာသဘာဝ
ကို ခဖာ်မေပေီး ခနာက်ဆုံးတစ်ခုဟာ ကကီးမခင်း/ငယ်မခင်းကို သတ်မှတ်ခေးေါတယ်။ ဒါခြကာင့် ညီမျှမခင်းခတွကို
လက်နက်အမဖစ် ကိုင်တွယ်တွက်ချက်ရတဲ့ သခချာဘာသာရဲ့ခနရာတိုင်းမှာေဲ ဒီ Axioms ခတွကို ခတွ့ခနရတာ
ေါေဲ။ တကယ်ခတာ့ အဲဒီ Axioms ငါးခုဟာ ဂျဩခမကတီ
ီ
နဲ့တိုက်ရိုက်ေတ်သက်မှုခတာင်မရှိေါဘူး။
ဒါခေမဲ့ ခအာက်က Postulates ငါးခုကခတာ့ ဂျဩခမကတီ
ီ
နဲ့ တိုက်ရိုက်ေတ်သက်ပေီးခတာ့ Euclidean
Geometry ရဲ့ အခမခခံအုတ်မမစ် (Foundation) မဖစ်လာေါတယ်။
Postulate 1 : အမှတ်နှစ်ခုခေးတိုင်း ယင်းတို့ကို ဆက်သွယ်ခသာ မျဉ်းတစ်ခြကာင်းဆွဲနိုင်သည်။
Postulate 2 : မျဉ်းမေတ်တိုင်းကို လိုအေ်သလို တစ်ခမဖာင့်တည်းဆက်ဆွဲနိုင်သည်။
Postulate 3 : ဗဟိုမှတ်တစ်ခုနှင့် အချင်းဝက်မျဉ်း အလျားတစ်ခုခေးတိုင်း စက်ဝိုင်းတစ်ခု ဆွဲသား
နိုင်၏။
Postulate 4 : ခထာင့်မှန်များအချင်းချင်း တူညီြက၏။
Postulate 5 : ခေးရင်းမျဉ်းခမဖာင့်တစ်ခြကာင်းခေါ်တွင် မကျခရာက်ခသာအမှတ်တစ်ခုကို မဖတ်၍
ယင်းခေးရင်းမျဉ်းခမဖာင်န
့ င
ှ ပ့် ေိုင်ခသာ မျဉ်းခမဖာင်တ
့ စ်ခြကာင်း အတိအကျဆွန
ဲ င
ုိ သ
် ည်။
“Elements” ဆိုတဲ့ ကျမ်းနာမည်မှာလည်း အလွန်ေင် ခလျာ်ကန်သင့်မမတ်ေါတယ်။ အရာတစ်ခုရဲ့
အခမခခံအစိတ်အေိုင်းခတွကို Elements လို့ ခခါ်ခလ့ရှိတဲ့အတွက် Axioms ငါးခု၊ Postulates ငါးခု နဲ့
Definitions 23 ခုတို့ဟာ “Elements” ဆိုတဲ့ကျမ်းကကီးရဲ့ အခမခခံအစိတ်အေိုင်း Elements ခတွ မဖစ်ေါ
တယ်။ အဲဒီအခမခခံအနည်းအကျဉ်းခလးခေါ်မှာ Euclid က ဂျဩခမကတီ
ီ
ဘာသာရေ်ကကီးတစ်ခုလုံးကို တည်ခဆာက်
နိုင်တာဟာ ကမ္ဘာ့အံ့ဖွယ်တစ်ေါးေင် မဖစ်ေါတယ်။
တကယ်ခတာ့ Euclid ဟာ “Elements” မှာေါတဲ့ မှန်ကန်ချက်အားလုံးကို တစ်ကိုယ်တည်း ဖန်တီး
တာခတာ့ မဟုတ်ေါဘူး။ ဥေမာ ေိုက်သာဂိုရေ် (Pythagoras -
BC 500) ဟာ Euclid ထက် နှစ်ခေါင်း
နှစ်ရာခန့်ခစာတဲ့ ေညာရှင်မဖစ်ေါတယ်။ ကမ္ဘာခကျာ်ေိုက်သာဂိုရေ်သီအိုရမ်နဲ့ သူ့ရဲ့အမေန်အလှန်ဟာ “Elements”
ကျမ်းရဲ့ “Book I” အဆုံးမှာ “Proposition 47 နဲ့ 48” အမဖစ် ခတွ့ရှိနိုင်ေါတယ်။ Euclid ဟာ တမခား
ေညာရှင်ခတွရဲ့ ခတွ့ရှိချက်ခတွကို စုစည်းပေီး သူ့ကိုယ်တိုင်ဖန်တီးချက်ခတွနဲ့ ခရာခမွှပေီး ယုတ္တိခဗဒ (Logic)
သခဘာနဲ့ ညီညွတ်ခအာင် “Elements” ကျမ်းကကီးကို ဖန်တီးထားတာမဖစ်ေါတယ်။
ကျွန်ခတာ်တို့ငယ်စဉ်အခါက အလယ်တန်းက စတင်သင်ြကားရတဲ့ ဂျဩခမကတီ
ီ
ဘာသာဟာ ကတိဂံ၊ စတုဂံ
နဲ့ စက်ဝိုင်းခတွရဲ့ အခြကာင်းခတွ မဖစ်ြကေါတယ်။ သူတို့ကို မျက်နှာမေင်ညီ (Plane) မှာ ဆွဲသားခလ့လာရလို့
မေင်ညီဂျဩခမကတီ
ီ
(Plane Geometry) လို့ ခခါ်ေါတယ်။ ကုဗတုံး၊ စက်လုံး၊ မေင်ညီ အတွဲအစု စတာခတွကို
ခတာ့ ထုေုံဂျဩခမကတီ
ီ
(Solid Geometry) မှာ ခတွ့ရေါတယ်။ ခကာလိေ်သခချာသင်ရိုးမှာ သင်ရခလ့ရှိေါတယ်။
အဲဒီဂျဩခမကတီ
ီ
အားလုံးဟာ Euclid ချမှတ်ခဲ့တဲ့ မှန်ကန်ချက်ခတွ၊ စည်းမျဉ်းခတွကို လိုက်နာသင်ြကား
ရလို့
Euclidean Geometry လို့လည်း ခခါ်ေါတယ်။ စင်စစ် တစ်ကမ္ဘာလုံးမှာရှိတဲ့ ေုံမှန် ခကျာင်းသင်ရိုး
32
အားလုံးမှာ သင်ြကားရတဲ့ ဂျဩခမကတီ
ီ
ဟာ Euclidean Geometry မဖစ်ပေီး Geometry လို့သာ အလွယ်ခခါ်
ြကခတာ့ Euclid ဆိုတဲ့ နာမည်ကို ခဖျာက်ခလ့ရှိေါတယ်။ ဒါခြကာင့် ခကျာင်းသားအများစုဟာ Euclid ရဲ့ နာမည်
ကိုခတာင် မြကားဖူးြကေါ။
ခမးစရာတစ်ခုခေါ်လာေါတယ်။ “Euclidean Geometry” မဟုတ်တဲ့ ဂျဩခမကတီ
ီ
ခရာ ရှိေါသလား
လို့ခမးရင် “ရှိေါတယ်” လို့ ခမဖရေါလိမ့်မယ်။ Non-Euclidean Geometry လို့ ခခါ်ေါတယ်။ မေင်ညီကခန
ခဖာက်ထွက်လာတဲ့ ဂျဩခမကတီ
ီ
အမျုးအစားခတွ
ိ
ေါ။ နှစ်တစ်ရာခကျာ်သာသက်တမ်းရှိခသးတဲ့ အလွန်ခခတ်မီတဲ့
ခနာက်ဆုံးခေါ်သခချာခတွမဖစ်လို့ ခကာလိေ်အမမင့်တန်းမှာသာ ခတွ့နိုင်ေါတယ်။
Non-Euclidean Geometry ရဲ့ ဥေမာတစ်ခုြကည့်ရခအာင်ေါ။ ကမ္ဘာလုံးဟာ ဘဲဥေုံ “Ellipsoid”
မဖစ်လို့ ကမ္ဘာ့မျက်နှာမေင်ခေါ်မှာ ခလ့လာတွက်ချက်မှု အတိအကျလုေ်ဖို့လိုအေ်ရင် ယူကလစ်ရဲ့ “Plane
Geometry” ကို မသုံးဘဲ “Elliptic Geometry” ကို သုံးရေါတယ်။ ကမ္ဘာလုံးခေါ်မှာ ခသးငယ်တဲ့ဧရိယာကို
ခလ့လာတွက်ချက်တဲ့အခါ “Euclidean Geometry” ကိုသုံးပေီး တွက်ချက်နိုင်ခသာ်လည်း ကကီးမားကျယ်မေန့်
တဲ့ ဧရိယာခတွကို တိတိကျကျခလ့လာရတဲ့အခါ [ဥေမာ - ကမ္ဘာ့ GPS] (Global Positioning System) လို
ေညာရေ်မျုးမှ
ိ ာ “Elliptic Geometry” ကို သုံးဖို့လိုေါတယ်။ ဘာကွာသလဲလို့ခမးရင် ကမ္ဘာ့ခမမမျက်နှာမေင်
ဟာ မမေားဘဲ ခုံးတဲ့အတွက် ဂုဏ်သတ္တိခတွလည်းခမောင်းသွားေါတယ်။ အထင်ရှားဆုံးဥေမာတစ်ခုကခတာ့
“Euclidean Geometry” မှာ ကတိဂံတိုင်းရဲ့ အတွင်းခထာင့်သုံးခုခေါင်းဟာ အစဉ်အပမဲ 180° ရှိခသာ်လည်း
“Elliptic Geometry” မှာခတာ့ ကတိဂံတိုင်းရဲ့ အတွင်းခထာင့်သုံးခုခေါင်းဟာ 180° မဟုတ်ေါဘူး။
ခုေဲ “Elements” ရဲ့ေထမဦးဆုံးခသာမှန်ကန်ချက် (Book I - Proposition 1) ကို မမည်းစမ်းြကည့်
ြကမယ်။ အလွန်လွယ်ေါတယ်။ သုံးနားညီကတိဂံတစ်ခုခဆာက်လုေ်ဆွဲသားတဲ့ ခမခာက်တန်းေုစ္ဆာေါ။ Axioms,
Postulates, နဲ့ Definitions ခတွကို တွဲဖက်ညီညီချတ်
ိ ဆက်ေုံခလးကို သရုေ်ခဖာ်ချင်တာေါေဲ။ (စက်ဝိုင်းရဲ့
အဓိေ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကိုခတာ့ မခမ့ေါနဲ့။ စက်ဝိုင်းဆိုတာ အမှတ်ခသတစ်ခုမှ အကွာအခဝးအခသတစ်ခု
ကွာခဝးတဲ့ အမှတ်စု မဖစ်ေါတယ်။ အဲဒီ Definition ကခန “အချင်းဝက်တူ၏” ဆိုတဲ့ မှန်ကန်ချက်ကိုရေါတယ်။)
ယူကလစ်ရဲ့ Elements မှာ (Book I - Proposition 1) လိမ
ု ျုးိ ခဆာက်လေ
ု ဆ
် သ
ွဲ ားချက် (Construction
Problem) ဟာ ခနရာအများကကီး ယူထားေါတယ်။ တစ်ဝက်ခလာက်ခတာင်ေါမလားမသိဘူး။ အဲဒီလိုေုစ္ဆာမျုးိ
ဟာ အဂခါစုံစုံလင်လင် ေါရတယ်။ ဦးစွာခဆာက်လုေ်ခေးပေီးမှ မှန်ကန်မှုရှိခြကာင်းလည်း သက်ခသမေခေးရေါခသး
တယ်။ Axioms, Postulates, နဲ့ Definitions ခတွကို တွဲဖက်ညီညီ ချတ်
ိ ဆက်ေုံခလးကို ဒီမှာခကာင်းခကာင်း
မမင်ရေါတယ်။
အဲဒီလွယ်ကူတဲ့ (Book I - Proposition1) ကို ကမ္ဘာခကျာ် Fermat-Torricelli Problem လို
အဆင့်မမင့်ေုစ္ဆာမှာ ဆက်လက်မမင်ရေါဦးမယ်။
Book I - Proposition 1 :
မျဉ်းမေတ်တစ်ခုခေးထားတိုင်း ယင်းမျဉ်းမေတ်ကို အနားတစ်ဖက်မဖစ်ခစခသာ သုံးနားညီကတိဂံတစ်ခု တည်ရှိ၏။
ခေးချက်
။ ။ မျဉ်းမေတ် AB
ဆွဲသားရန်
။ ။ AB ကို အနားတစ်ဖက်မဖစ်ခစခသာ သုံးနာညီ D ဆွဲသားရန်။
33
ဆွဲသားချက်
C
။ ။ (1) A ကို ဗဟို၊ AB ကို အချင်းဝက်အမဖစ်
ထားခသာ စက်ဝိုင်းဆွဲေါ။
(Postulate 3)
(2) B ကို ဗဟို၊ AB ကို အချင်းဝက်အမဖစ်
ထားခသာ စက်ဝိုင်းဆွဲေါ။
A
(Postulate 3)
r
(3) ယင်းစက်ဝိုင်းနှစ်ခုတို့ရဲ့
မဖတ်မှတ်ကို C ဟုထားအံ့။ AC နဲ့ BC ကို ဆက်ေါ။ (Postulate 1)
သက်ခသမေရန် ။ ။ DABC သည် သုံးနားညီကတိဂံမဖစ်ခြကာင်း
သက်ခသမေချက် ။ ။ (1) AB = AC (ခရဒိယ - စက်ဝိုင်း၏ အဓိေ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်)
(2) AB = BC (ခရဒိယ - စက်ဝိုင်း၏ အဓိေ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်)
(3) \ AC = BC (Axiom 1)
(4) DABC သည် သုံးနားညီကတိဂံ မဖစ်သည်။
u
B
34
(၅)
ယူကလစ်၏ ကမ္ဘာ့အသစာဆုံး ေခချာကျမ်းမှေည် သခတ်ေစ်ဂျဩသမတတီ
ီ
ဆီေို့
(တတိယေိုင်း - ယူကလစ်မှေည်ဖာမက်ဆီေို့)
From Euclid’s “Elements” To Modern Days’ Geometry
(Part III - From Euclid To Fermat)
Euclid ရဲ့ သခချာကျမ်းကကီး “Elements” ဟာ Book I ကခန Book XIII ထိ ဆယ့်သုံးတွဲေါဝင်ေါတယ်။
အတွဲ(၁)ရဲ့ ေထမဆုံးခသာမှန်ကန်ချက်မဖစ်တဲ့ “Book I, Proposition 1” ဟာ အလွန်လွယ်ကူတဲ့ ခဆာက်လုေ်
ဆွဲသားချက် ေုစ္ဆာတစ်ေုဒ်ေါ။ သုံးနားညီကတိဂံတစ်ခုကို ဆွဲသားတဲ့ေုစ္ဆာမဖစ်ပေီး (၆)တန်း ဂျဩခမကတီ
ီ
အဆင့်ေဲ
ရှိေါတယ်။ အဲဒါကို ခရှ့ခဆာင်းေါး (အေိုင်းနှစ် - Part II) မှာ ခဖာ်မေခဲ့ပေီးေါပေီ။
သခချာမှာဝိခသသတစ်ခု ရှိေါတယ်။ ရှင်းလင်းလွယ်ကူတဲ့ မှန်ကန်ချက်ခတွကို အထင်မခသးဖို့၊ မခေါ့ဆ
ဖို့ေါ။ ဘာခြကာင့်လဲဆိုခတာ့ ရှင်းလင်းခလ အသုံးဝင်ခလ မဖစ်ခလ့ရှိေါတယ်။ ခုလည်းေဲ အဲဒီလွယ်လှချည်ဆိုတဲ့
“Book I, Proposition 1” ကိုသုံးပေီး ကမ္ဘာခကျာ်ေုစ္ဆာတစ်ေုဒ်ကို ခမဖရှင်းမေချင်ေါတယ်။ Fermat-Torricelli
Problem လို့ အမည်တွင်ေါတယ်။ Fermat နဲ့ Torricelli ဟာ ၁၇ ရာစုက သခချာခလာကရဲ့ အလွန်ထင်ခေါ်
ခကျာ်ြကားတဲ့ ေညာရှင်နှစ်ဦးမဖစ်ေါတယ်။ Newton တို့၊ Leibniz တို့နဲ့ တစ်ခခတ်တည်း၊ Euler ထက်နှစ်ခေါင်း
၁၀၀ ခလာက် ခစာေါတယ်။ သူတို့မှာ ရှည်လျားတဲ့ ရာဇဝင်ကိုယ်စီရှိြကလို့ ကကုံတုန်းသူတို့အခြကာင်း နည်းနည်း
ခတာ့ ခမောေါရခစ။
Fermat ဆိုတာ ၁၇ ရာစုက မေင်သစ်သခချာေညာရှင်မဖစ်ပေီး သခချာေညာရဲ့လိုင်းခွဲခတွမဖစ်တဲ့ Analytic
Geometry, Calculus, Probability တို့မှာ ထင်ရှားခဲ့ေါတယ်။ အထူးသမဖင့် Modern Number Theory
ရဲ့ ဖခင်အမဖစ် ခကျာ်ြကားေါတယ်။ Fermat မှာ ထူးဆန်းတဲ့အကျင့်တစ်ခုရှိေါတယ်။ သီအိုရီအသစ်အဆန်း
ခတွ၊ ေုစ္ဆာအလှအေခတွကို Journal ခတွမှာ တရားဝင်တင်မေရမဲ့အစား၊ ကကုံရာ စာရေက်ြကမ်း၊ စာအုေ်ခဟာင်း
ခတွမှာ မခစ်မှတ်တတ်ေါတယ်။ ခခတ်ပေိုင်ေညာရှင်ခတွဆီ ေုစ္ဆာခက်ခက်ခတွခေးေို့ စိန်ခခါ်သလိုမျုးလည်
ိ
း လုေ်
တတ်ေါတယ်။ သက်ခသမေချက်အမေည့်အစုံလည်း ခေးချင်မှခေးတတ်ေါတယ်။ သူ့ရဲ့အဲဒီအမူအကျင့်ခြကာင့် ေုံမေင်
ဆန်ဆန် ကမ္ဘာခကျာ်ေုစ္ဆာတစ်ေုဒ် ခေါ်ခေါက်လာခဲ့ေါတယ်။
35
မဖစ်ေုံကဒီလိုေါ။
Pythagorean Equation a2 + b2 = c2 ရဲ့ a, b, c ခနရာမှာ 3, 4, 5 ခမေလည်တာ လူသိများေါတယ်။
32 + 42 = 52 မဟုတ်ေါလား။ ဒါခြကာင့် (3, 4, 5); (6, 8, 10), (5, 12, 13), (7, 24, 25)… စသည်မဖင့်
ကိန်းမေည့်သုံးလုံးတွဲအခမဖခတွ အတွဲခေါင်း ခရတွက်မကုန်ခအာင် တည်ရှိေါတယ်။ တစ်တွဲစီကို ေိုက်သာဂိုရေ်
သုံးခုတွဲ (Pythagorean Triplets) လို့ ခခါ်ေါတယ်။
Fermat က Pythagorean Equation a2 + b2 = c2 ရဲ့ 2 ထေ်အစား 3 ထေ် အစားထည့်ခေး
လိုက်တဲ့အခါမှာ Pythagorean Equation ဟာလည်း ခမောင်းလဲသွားပေီး a3 + b3 = c3 မဖစ်လာေါတယ်။
မေဿနာက Fermat ကိုယ်တိုင် အဲဒီညီမျှမခင်းအသစ်ရဲ့ အခေါင်းကိန်းမေည့်အခမဖကို လုံးဝရှာမခတွ့ခတာ့ေါဘူး။
ဒါနဲ့ Fermat က “Diophantus” လို့ အမည်ရှိတဲ့ သခချာဂျာနယ်ခဟာင်းတစ်အုေ်ရဲ့ မာဂျင်မှာ ခရး
လိုက်ေါတယ်။ “ညီမျှမခင်း a3 + b3 = c3 မှာ ကိန်းမေည့်အခမဖလုံးဝမရှိေါဘူး။ အဲဒီလိုအခမဖမရှိခြကာင်းကို ထူးဆန်း
လှေစွာ သက်ခသမေနိုင်ခေမဲ့ ခရးချဖို့အတွက် ဒီမာဂျင်က ကျဉ်းလွန်းခနေါတယ်” တဲ့။
Fermat ကွယ်လွန်ပေီးတဲ့ခနာက်မှ သူ့သားက အဲဒီဂျာနယ်ကို လူသိရှင်ြကားထုတ်ခဖာ်မေသခဲ့လို့ အဲဒီ
အဆိုဟာ သခချာခလာကမှာ “Fermat Last Theorem” လို့ နာမည်တွင်သွားေါတယ်။ Fermat ကွယ်လွန်ပေီး
တဲ့ ခနာက်ခခတ်အဆက်ဆက်ေညာရှင်ခတွက အဲဒီ 3 ထေ်နဲ့အထက် 4 ထေ်၊ 5 ထေ် ... ညီမျှမခင်းခတွကို အခမဖ
မရှိခြကာင်း သက်ခသမေဖို့ ကကိုးစားခဲ့ခေမယ့် နှစ်ခေါင်းသုံးရာခကျာ် ြကာသွားေါတယ်။ ဘယ်သူမှ ခအာင်မမင်
ခအာင် မမေနိုင်ခဲ့ေါဘူး။
စင်စစ် ေညာရှင်ခေါင်းများစွာတို့ဟာ သက်ခသမေချက်ခတွကို အမျုးမျ
ိ ုးကကိ
ိ
ုးေမ်းခဖာ်ထုတ်ခဲ့ြကေါတယ်။
သို့ခေမယ့် အားလုံးဟာ ခနာက်ဆုံးမှာခတာ့ မှားယွင်းမှု တစ်စုံတစ်ရာကကုံခတွ့ရပေီး မခိုင်လုံတဲ့သက်ခသမေ
ချက်အမဖစ်နဲ့သာ ေယ်ချခံခဲ့ရေါတယ်။
သခချာခလာကရဲ့အစဉ်အလာအရ
ခခတ်ပေိုင်ေညာရှင်ခတွရဲ့
စစ်ခဆးခဝဖန်ချက်
မှတ်ခကျာက်ကို
ခကျာ်မဖတ်နိုင်မှ ခအာင်မမင်တယ်လို့ သတ်မှတ်နိုင်ေါတယ်။ Peer Reviews လို့ ခခါ်ေါတယ်။ ဒီလိုကမ္ဘာ့ထိေ်တန်း
ေညာရှင်ခတွခတာင် တဖုန်းဖုန်းမှားပေီး အတုံးအရုံးကျရှုံးရတဲ့ ေုစ္ဆာမဖစ်ခလခတာ့ ကမ္ဘာ့စံချန်ိ ခေါင်းချုေ်စာအုေ်
မဖစ်တဲ့ “Guinness World Record Book” မှာခတာင်မှ “Fermat Last Theorem” ကို ကမ္ဘာအခက်ခဲဆုံး
သခချာေုစ္ဆာဆိုပေီး မှတ်တမ်းတင်ခဲ့ေါတယ်။
1994 ခုနှစ်ကျမှ “Andrew Wiles” ဆိုတဲ့ ပဗိတိသျှသခချာေညာရှင်က သုံးထေ်နဲ့အထက် ညီမျှမခင်းခတွမှာ
အခမဖမရှိခြကာင်း ခအာင်မမင်စွာသက်ခသမေနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ တကယ်ခတာ့ ခနာက်ဆုံးေိတ် ခအာင်မမင်စွာသက်ခသ
မေနိုင်ခဲ့တဲ့ Andrew Wiles ကိုယ်တိုင်ခတာင်မှ ဆယ်နှစ်ခန့်ခစာပေီး 1984 တုန်းက သက်ခသမေချက်တစ်ခုကို
တင်မေခဲ့ေါခသးတယ်။ သို့ခသာ်လည်း အမှားခထာက်မေခံရလို့ ေယ်ချခံရပေီး၊ ခနာက်ထေ် ၁၀ နှစ်ကျမှ တစ်ဖန်
အမှားကိုမေုမေင်ပေီး ခအာင်မမင်စွာတင်မေနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ သူ့ကိုလည်း သခချာခလာကရဲ့ အမမင့်ဆုံးဆုနှစ်ခုအနက်
တစ်ခုမဖစ်တဲ့ “Abel Award” ချးမမှ
ီ င့်ခဲ့ေါတယ်။ ခငွသား $ 700,000 ချးမမှ
ီ င့်ခံရေါတယ်။ စင်စစ် ခနာက်ဆုတစ်ခု
မဖစ်တဲ့ “Fields Medal Award” လည်း ချးမမှ
ီ င့်ခံရဖို့ရှိခသာ်လည်း အသက်ကန့်သတ်ချက် “၄၀ နှစ်” ကို နှစ်နှစ်
ခကျာ်လွန်သွားမခင်းခြကာင့် “Fields Medal Award” ဆုနဲ့ လွဲခဲ့ရေါတယ်။
36
Fermat နည်းတူ Torricelli ဟာလည်း သူနဲ့ခခတ်ပေိုင် ထင်ရှားတဲ့သခချာနဲ့ ရူေေညာရှင်တစ်ဦး မဖစ်ေါ
တယ်။ သူဟာ ဘာရိုမီတာခခါ် ခလဖိအားတိုင်းတဲ့ကိရိယာ တီထွင်မှုခြကာင့် ထင်ရှားေါတယ်။ ပေီးခတာ့ ကဲကုလ
မှာလည်း သူတီထွင်ခဲ့တဲ့ “Torricelli Horn” ဟာ ထင်ရှားေါတယ်။ “Torricelli Horn” ဟာ ထုထည်အားမဖင့်
π ယူနစ် ရှိခသာ်လည်း မျက်နှာမေင်ဧရိယာမှာခတာ့ ကန့်သတ်မဲ့ရှိခြကာင်း သူ ကကံကကံဖန်ဖန် သက်ခသမေနိုင်ခဲ့
ေါတယ်။
၁၇ ရာစုအလယ်ခလာက်မှာ Fermat က ထူးဆန်းတဲ့ေုစ္ဆာတစ်ေုဒ်ကို ဖန်တီးပေီး Torricelli ဆီကို
စာခရးေို့ကာ ချဲလင့်လုေ်ေါတယ်။ ေုစ္ဆာကဒီလိုေါ။
“ရောသုံးရော A, B, C တို့သည် ခထာင့်ကျဉ်းကတိဂံတစ်ခု၏ အထွတ်မှတ်သုံးခုမဖစ်၏။ ယင်းခထာင့်ကျဉ်း
ကတိဂံ အတွင်းရှိ အမှတ်တခု O တွင် စာြကည့်တိုက်တစ်ခုတည်ခဆာက်မည်မဖစ်ရာ ယင်းရောသုံးရောမှ
စာြကည့်တိုက် O သို့ လာခရာက်ခသာအကွာအခဝး သုံးခုခေါင်း (AO + BO + CO) ကို အတိုဆုံး
မဖစ်ခစရန် စာြကည့်တိုက်ကို မည်သည့်အမှတ်တွင် တည်ခဆာက်ရမည်နည်း။”
Torricelli ကလည်း ခခသူမဟုတ်ေါ။ အချန်ိ တိုအတွင်း အခမဖမှန်ကိုခမဖြကားနိုင်တဲ့အတွက် အဲဒီေုစ္ဆာ
ကို “Fermat-Torricelli Problem” လို့ ခခါ်ေါတယ်။ အကွာအခဝးသုံးခုခေါင်းကို အနည်းဆုံးမဖစ်ခစတဲ့အမှတ်
ကိုခတာ့ “Fermat Point” သို့မဟုတ် “Fermat-Torricelli Point” လို့ ခခါ်ေါတယ်။
“Fermat-Torricelli Point” ကိုဆွဲသားဖို့က မထင်မှတ်ဘဲ အထူးလွယ်ကူခနေါတယ်။ DABC ရဲ့
အနားတစ်ဖက်စီခေါ်မှာ သုံးနားညီကတိဂံတစ်ခုစီ အရင်ဆွဲရေါလိမ့်မယ်။ (Euclid ရဲ့ “Elements” ထဲက “Book
I - Proposition 1” အရ ဆွဲသားနိုင်တယ်ဆိုတာကို ခရှ့ခဆာင်းေါးမှာ ခဖာ်မေပေီးေါပေီ။)
ပေီးမှ ကတိဂံရဲ့ခထာင့်အထွတ်တစ်ခုစီကခနပေီး မျက်နှာချင်းဆိုင်အနားခေါ်က သုံးနားညီကတိဂံရဲ့ခထာင့်
အထွတ်ကို ဆက်လိုက်ရုံေါေဲ။ အခသးစိတ်ကို ခအာက်ေါေုံမှာြကည့်နိုင်ေါတယ်။
Construction of Torricelli Point
A
ခေးထားချက်
။
။
ခထာင့်ကျဉ်းကတိဂံ ABC
ဆွဲသားရန်
။
။
စုစုခေါင်းအကွာအခဝး OA + OB + OC ကို
B
အတိုဆုံးမဖစ်ခစခသာ အတွင်းမှတ် O
Z
Y
A
O
B
C
X
O
C
37
ဆွဲသားချက်
။
။
(1) AB ကို အနားတစ်ဖက်ထား၍
သုံးနားညီ DABZ ကို ဆွဲေါ။
(Book I, Proposition 1)
(2) BC ကို အနားတစ်ဖက်ထား၍
သုံးနားညီ DBCX ကိုဆွဲေါ။
(Book I, Proposition 1)
(3) AC ကို အနားတစ်ဖက်ထား၍
သုံးနားညီ DACY ကို ဆွဲေါ။
(Book I, Proposition 1)
(4) AX, BY, CZ တို့ကို ဆက်ေါ။ (Postulate 1)
(5) AX, BY, CZ တို့၏ ဆုံမှတ် O သည် လိုအေ်ခသာအမှတ် မဖစ်သည်။
သက်ခသမေရန်
။
။
(1) AX, BY, CZ မျဉ်းသုံးခြကာင်းတစ်မှတ်တည်း O ၌ ဆုံခြကာင်း
(2) အကွာအခဝးသုံးခုခေါင်း OA + OB + OC သည် အတိုဆုံး
သက်ခသမေချက်ကို စိတ်ဝင်စားသူခတွ YouTube’s Video Link မှာ ြကည့်နိုင်ေါတယ်။ Youtube
မှာ video ရဲ့ အမည် ‘‘FERMAT - TORRICELLI POINT ရှာနည်း’’ ကို ရိုက်ပေီး ရှာြကည့်နိုင်ေါတယ်။
၁၂ မိနစ်ခလာက်ခတာ့ အချန်ိ ခေးရေါလိမ့်မယ်။ ရုေ်ရှင်တစ်ကား နှစ်နာရီဟာ လျှေ်တစ်မေက်ခလာက်ေဲ
ထင်ရတတ်ခေမဲ့ သခချာတစ်ေုဒ် ၁၂ မိနစ်ဟာ တစ်ကမ္ဘာခလာက် ြကာတတ်ေါတယ်။ စမ်းြကည့်လှည့်ေါ။
u
ြဖည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ေုစ္ဆာ (S.3) (အံ့ဘေယ် လျှေ်တစ်ြေက် ေုံးစက္ကန့် ဂျဩသမတတီ
ီ
ေုစ္ဆာ 2)
သမးခေန်း
အချင်းဝက်အလျား 10 လက်မရှိခသာစက်ဝိုင်း
C
တစ်ခုတွင် AB နှင့် CD တို့သည် အချင်းချင်း
R
ခထာင့်မှန်ကျခသာ အချင်းမျဉ်းနှစ်ခြကာင်းမဖစ်၏။
P သည် AB ခေါ်ရှိအမှတ်တစ်ခုမဖစ်ပေီး PB = 1.25
လက်မမဖစ်၍ OPQR သည် ခထာင့်မှန်စတုဂံတစ်ခု
မဖစ်လျှင် ခထာင့်မဖတ်မျဉ်း RP ၏အလျားကိုရှာေါ။
A
RP = ?
အခမဖကို အခန်း (၇) စာမျက်နှာ (၂၉၉) တွင် ြကည့်ေါ။
Supplemental Puzzle
10
Q
O
10
D
P
B
1.25
38
(၆)
လှေမှုသေါင်းစုံစုသေးရာ - ေခချာ
မြကာခင်က
ကျွန်ခတာ်စာအုေ်တစ်အုေ်
လက်ခဆာင်ရေါတယ်။
တမခားမေည်နယ်တစ်ခုမှာခနတဲ့
သမီးကကီးက ေို့လိုက်တာေါ။ သူက အင်ဂျင်နီယာခကျာင်း “Georgia Tech” က သခချာေါရဂူတစ်ဦးေါ။ ကျွန်ခတာ်
စိတ်ဝင်စားမယ်ထင်တဲ့ သခချာစာအုေ်ခတွကို ခကာင်းနိုးရာရာခတွ့ရင် ေို့တတ်ေါတယ်။ ခုဒီစာအုေ်ကခတာ့
ခဒါက်တာ ဖရန်စစ်စူး (Dr. Francis Su) ရဲ့ “Mathematics For Human Flourishing” လို့ ခခါ်ေါတယ်။
“သခချာဆိုတာ လူ့ဖွံ့ပဖိုးတိုးတက်ခရးအတွက်ေါ” လို့ ဘာသာမေန်ရင် သင့်မလားမသိဘူး။
ခဒါက်တာ Francis Su ဆိုတာ အခမရိကန် သခချာခလာကမှာ ထင်ရှားတဲ့သူတစ်ဦးေါ။ လွန်ခဲ့တဲ့
ဆယ်စုနှစ်အတွင်း အခမရိကန်ရဲ့ အကကီးမားဆုံး သခချာအသင်းနှစ်သင်းမဖစ်ြကတဲ့ MAA (Mathematics
Association of America) နဲ့ AMS (American Mathematical Society) တို့ရဲ့ ဥက္ကဌနဲ့ ဒုဥက္ကဋ္ဌအမဖစ်
တစ်ချန်ိ စီ သီးမခားတာဝန်ထမ်းခဆာင်ခဲ့သူေါ။ သူဟာ Harvard တက္ကသိုလ်မှာ သခချာေါရဂူဘွဲ့ ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့ေါ
တယ်။ ဆုရစာအုေ်များစွာကိုလည်း ခရးသားထုတ်ခဝနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ အခု ဒီစာအုေ်ကလည်း “Euler Book
Prize” ဆု ချးမမှ
ီ င့်ခံခဲ့ရေါတယ်။
39
တစ်ခန့မှာ ခဒါက်တာ Francis Su ဆီကို ထူးဆန်းတဲ့စာတစ်ခစာင်ခရာက်လာတယ်လို့ ဆိုေါတယ်။
အဲဒီစာကို အဆင့်မမင့်လုံခခုံခရးအကျဉ်းခထာင်တစ်ခုက ၃၂ နှစ်မေစ်ဒဏ်ချခံရတဲ့ ခထာင်သား Christopher
Jackson က ေို့လိုက်တာေါ။ သခချာေညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်ချက်ခတွ ေံ့ေိုးခေးဖို့ ခတာင်းဆိုတဲ့စာေါ။
Christopher Jackson ဟာ ဆင်းရဲနွမ်းေါးတဲ့မိသားစုတစ်စုကခန ခေါက်ဖွားလာတဲ့ လူမည်းခလး
တစ်ခယာက်မဖစ်ပေီး ခကျာင်းကို High School ခတာင် ပေီးခအာင်မခနနိုင်ဘဲ ၁၄ နှစ်သားကတည်းက လူဆိုး
ဂိုဏ်းဝင်ပေီး မူးရစ်ခဆးခရာင်းဝယ်မှု၊ သုံးစွဲမှုခတွနဲ့ နေန်းလုံးခနရေါတယ်။ ၁၉ နှစ်သားမှာခတာ့ ဆိုးဝါးတဲ့
ဓားမေမှုတစ်ခုခြကာင့် ခထာင်ဒဏ် ၃၂ နှစ် ကျခဲ့ေါတယ်။
ခကျာင်းခနစဉ်အခါကတည်းက သခချာဘာသာကို စွဲလမ်းချစ်ခင်တဲ့အရိုးခံရှိလို့ အချန်ိ ရတိုင်း ခထာင်
စာြကည့်တိုက်မှာရှိတဲ့ သခချာစာအုေ်ခတွ ယူဖတ်ေါတယ်။ ခထာင်သက် ခလးနှစ်ခလာက်ြကာလာတဲ့အခါမှာ
ခတာ့ ခထာင်စာြကည့်တိုက်ထဲက သခချာစာအုေ်နဲ့ မတင်းတိမ်နိုင်ခတာ့ဘဲ အမေင်စာအုေ်ဆိုင်ကခန Advanced
Calculus လို စာအုေ်မျုးကိ
ိ ု မှာဝယ်ပေီး ဖတ်ရတဲ့အဆင့်အထိ တိုးတက်လာေါတယ်။ တစ်ခါခတာ့ ခထာင် TV ထဲ
ကခနပေီး ခဒါက်တာ Francis Su ရဲ့ သခချာခဟာခမောေွဲတစ်ခုကိုြကည့်ပေီး သခဘာကျလို့ စာခရးဆက်သွယ်
ခဲ့တာမဖစ်ေါတယ်။
Francis Su မှာ ခိုင်မာတဲ့ယုံြကည်မှုတစ်ခု ရှိေါတယ်။ သခချာဘာသာဟာ သာမန်ခကျာင်းသင်ဘာသာရေ်
တစ်ခုထက် အများကကီးေိုတယ်လို့ သူမမင်ေါတယ်။ လူတစ်ခယာက်ရဲ့ဘဝမှာ ဘက်ခေါင်းစုံဖွံ့ပဖိုးတိုးတက်ဖို့ ေံ့ေိုး
နိုင်စွမ်းတယ်လို့ သူယုံြကည်ေါတယ်။ သခချာရဲ့ တိကျမေတ်သားတဲ့သဘာဝ၊ ခိုင်မာတဲ့မှန်ကန်ချက်များ၊ စနစ်ကျတဲ့
အယူအဆခတွ၊ ကျုးခြကာင်
ိ
းဆက်စေ်တဲ့ အခတွးအခခါ်ခတွနဲ့ လှေခသသေ်တဲ့ သခဘာတရားခတွဟာ လူ
တစ်ခယာက်ကို တိုက်ရိုက်မဖစ်ခစ၊ သွယ်ဝိုက်၍မဖစ်ခစ၊ ဘဝအမမင်၊ ဆင်မခင်တုံတရား၊ အခတွးအခခါ် အယူအဆ
စသည်တို့ကို တည့်မတ်ခေးနိုင်ပေီး လမ်းမှန်ခရာက်ခအာင် ထိန်းခကျာင်းခေးနိုင်တယ်လို့ ခံယူထားေါတယ်။ ဒါ
ခြကာင့် သူ့ရဲ့ယုံြကည်မှုကို စမ်းသေ်ဖို့ Christopher Jackson ရဲ့ ခတာင်းဆိုချက်ကို လက်ခံလိုက်ပေီး စာနဲ့
ရံဖန်ရံခါ ဆက်သွယ်လမ်းညွှန်ခဲ့ေါတယ်။
သူတို့နှစ်ခယာက် ရံဖန်ရံခါ စာနဲ့ဆက်သွယ်ပေီး သခချာခဆွးခနွးတာဟာ ခမခာက်နှစ်ခကျာ်ြကာလာတဲ့
အခါမှာ နှစ်ရှည်အကျဉ်းသမား Christopher Jackson ဟာ လူခကာင်းတစ်ခယာက်အမဖစ် ခမောင်းလဲလာရုံ
မကဘဲ လူခတာ်တစ်ခယာက်ရဲ့ အရိေ်အခယာင်ခတွမေလာေါတယ်။ ခထာင်ထဲမှာ တက္ကသိုလ်ဝင်စာခမးေွဲ (GED -
General Educational Diploma) ခမဖချင်တဲ့ လူငယ်ခထာင်သားခတွကို စာသင်ခေးေါတယ်။ ခအာင်မမင်
သွားတဲ့သူခတွလည်း တစ်ဒါဇင်ခလာက်ရှိခနေါပေီ။ ခအာင်တဲ့ထဲမှာ ခနာက်နှစ်ခါမှာ ခထာင်ထွက်မဲ့သူတစ်ခယာက်
ဟာ အမေင်ခရာက်ရင် အင်ဂျင်နီယာမဖစ်ဖို့ စိတ်အားထက်သန်ခနတာမှာ Christopher Jackson က သခချာ
ကို Advanced Calculus အထိ ကကိုတင်မေင်ဆင်ခေးခနေါတယ်။ သူ့ကိုယ်သူအတွက်လည်း Topology
နဲ ့ Analysis လို အဆင့်မမင့် ခခတ်မီသခချာမျုးကိ
ိ ု ခလ့လာဖတ်ရှုလျက်ရှိေါတယ်။ ခနာက် ၁၅ နှစ်ခလာက်မှာမှ
ခထာင်ကလွတ်ရမဲ့ရက်တစ်ရက်ကို ကကိုတင်ရည်ခမျှာ်ပေီး သခချာေညာရှင်မဖစ်ဖို့လည်း အားခဲထားေါတယ်။ သခချာ
သင်ချင်တတ်ချင်တဲ့စိတ်ထားခြကာင့် နှစ်ရှည်အကျဉ်းသားတစ်ဦးရဲ့ဘဝဟာ ခမျှာ်လင့်ချက်အမေည့်နဲ့ နိုးြကား
တက်ြကခနေါတယ်။ Francis Su ရဲ့ “Mathematics For Human Flourishing” စာအုေ်ထဲက တကယ့်
အမဖစ်အေျက်ေါ။
40
သခချာသင်ရမှာေျင်းပေီး အားမေတ်ခနတဲ့သူခတွအတွက်ခတာ့ ဒီစာအုေ်ထဲက Christopher Jackson ရဲ့
ဘဝအခတွ့အကကုံကခန အားကျစိတ် (Inspiration) များ ရလာမလားလို့ ခမျှာ်လင့်မိေါတယ်။ ခဒါက်တာ Su
ရဲ့ အမမင်မှာခတာ့ သခချာဟာ ေင်ကိုဆွဲခဆာင်အား ရှိေါတယ်တဲ့။ သခချာဟာ စနစ်ကျနတယ်။ ကျုးခြကာင်
ိ
း
ခလျာ်ညီတယ်။ လှေခသသေ်တယ်။ လူခတွရဲ့ ေင်ကိုယ်သဘာဝက ဒီအရည်အချင်းခတွအားလုံးကို နှစ်သက်ြကေါ
တယ်။ ဒါခြကာင့် သခချာကိုစိတ်ဝင်စားလာဖို့ဆိုတာ ထင်သခလာက်မခက်ေါဘူးလို့ သူမမင်ေါတယ်။ သခချာကို
စိတ်ဝင်စားဖို့အတွက် သခချာရဲ့ထိခရာက်မှုနဲ့ အလှအေခတွကို မမင်တတ်ဖို့ အဓိကကျတယ်လို့ သူ့စာအုေ်က
ဆိုေါတယ်။
သခချာမှာ ခသသေ်လှေတဲ့ေုစ္ဆာခတွဟာ ခနရာတိုင်းမှာရှိေါတယ်။ အစေိုင်းမှာခတာ့ မမင်ရခက်တတ်ေါ
တယ်။ နည်းနည်းခတာ့ အချန်ိ ခေးရတယ်။ စိတ်ရှည်ရတယ်။ ေုစ္ဆာတချု့နဲ
ိ ့ မိတ်ဆက်ခေးေါရခစ။ လှလှေေ
ဆိုတာ ခက်ခက်ခဲခဲကိုခမောတာ မဟုတ်ေါဘူး။ အခတွးအခခါ် သိမ်သိမ်ခမွ့ခမွ့ခလးနဲ့ မခမျှာ်လင့်တဲ့အခမဖ မမင်ရ
တာမျုး၊ိ ခက်မလိုနဲ့ ကကံကကံဖန်ဖန် အခတွးခလးခတွနဲ့ မဖတ်လမ်းခေါ်လာပေီး လွယ်ခနတာမျုး၊ိ လွယ်မလိုနဲ့
ခက်ခနတာမျုး၊ိ အမျုးမျ
ိ ုးေါေဲ
ိ
။ ခလ့လာေါ။ အချန်ိ ခေးေါ။ စိတ်ရှည်ေါ။ (ေုစ္ဆာတစ်ေုဒ်ဖတ်ပေီးတိုင်း အခမဖကို
ခလာမကကီးဘဲ ခဏရေ်ပေီး ငါးမိနစ်၊ ဆယ်မိနစ်ခလာက် စဉ်းစားြကည့်ခစချင်ေါတယ်။ သို့မှသာ အတိမ်အနက်
သခဘာခေါက်ပေီး မေည့်မေည့်ဝဝ ခံစားရမှာေါ။)
ခဒါက်တာ Francis Su ဟာ သူ့ရဲ့စာအုေ်မှာ သခချာရဲ့အခတွးအခခါ်အလှအေခတွကို ချးမွ
ီ မ်းရင်း
စိတ်ဝင်စားစရာ ေုစ္ဆာလှလှေေတချု့ကိ
ိ ုလည်း စာဖတ်သူခတွ ဉာဏ်ကွန့်စရာအမဖစ် ထည့်သွင်းခဖာ်မေခဲ့ေါတယ်။
အဲဒီထဲက တစ်ေုဒ်ကို ခရေးချယ်ပေီးခဖာ်မေေါရခစ။
ေုစ္ဆာ
ခထာင့်မှန်စတုဂံနှစ်ခု X နှင့် Y တို့အနက် X သည် Y ၏ ဧရိယာနှစ်ဆရှိပေီး၊ Y သည် X ၏
အဝန်းေတ်အလျား နှစ်ဆမဖစ်သည်မျုးိ မဖစ်နိုင်ခမခရှိေါသခလာ။ မမဖစ်နိုင်လျှင် အခြကာင်းမေေါ။ မဖစ်နိုင်
လျှင် ဥေမာတစ်ခုခေးေါ။
(Is there a pair of rectangles X and Y where X is twice area of Y, and Y is twice
perimeter of X? If not, prove it. If so, illustrate an example.)
သြဖရှင်းချက် X နဲ့ Y ကို နမူနာမေဖို့ အခမဖခေါင်း ခမမာက်မမားစွာရှိေါတယ်။ ဒါခြကာင့် X ကို လွယ်လွယ်ရှင်းရှင်း
ခထာင့်မှန်စတုဂံတစ်ခုအမဖစ် ခရေးချယ်အံ့။
X ကို အနားတစ်ဖက်စီ 2 ယူနစ်အလျားရှိတဲ့ စတုရန်းဟုထားေါ။ (စတုရန်းသည်လည်း ခထာင့်မှန်စတုဂံ
ေင် မဖစ်ခြကာင်း သတိမေုေါ။)
2
X
Area = 4 sq.units
2
2
2
Perimeter = 8 units
41
Y
p
q
q
p
X ၏ ဧရိယာ = 2 × 2 = 4 စတုရန်းယူနစ်
X ၏ အဝန်းေတ် အလျား = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ယူနစ်
ထို့ခြကာင့် Y ၏ ဧရိယာ = X ဧရိယာ တစ်ဝက် = 2 စတုရန်းယူနစ်
… (1)
… (2)
… (3)
Y ၏ အဝန်းေတ် အလျား = X ၏ အဝန်းေတ် ၂ ဆ = 16 ယူနစ်
… (4)
ခထာင့်မှန်စတုဂံ Y ၏ အလျားကို p, အနံကို q ဟုထားေါ။
p.q = 2
ထို့ခြကာင့် Y ၏ ဧရိယာ
… (5)
Y ၏ အ၀န်းေတ် 2p + 2 q = 16
p+q = 8
q = 8 - p … (6)
(6) ကို (5) တွင်အစားထိုးခသာ်-
p . (8 - p) = 2
p2 - 8p + 2 = 0 … (7) (နှစ်ထေ်ညီမျှမခင်း - quadratic equation)
Quadratic Formula :
p = -b !
2
b - 4ac
2a
a = 1, b = -8, c = 2 အစားထိုးရန်
ထို့ခြကာင့်
2
(- 8) - 4 $ 1 $ 2
p =
… (8)
2
8 ! 64 - 8 8 ! 56 8 ! 2 14
=
=
=
2
2
2
8!
(8) ကိုရှင်းခသာ်p = 4 ± √14.
ညီမျှမခင်း (6) ကိုသုံး၍ q ကိုဆက်ရှာခသာ်
p = 4 + √14 မဖစ်လျှင် q = 4 - √14
p = 4 - √14 မဖစ်လျှင် q = 4 + √14.
ရှည်ခသာအနားကို အလျား၊ တိုခသာအနားကို အနံ ဟူခသာ သမားရိုးကျယူဆချက်အရ ခထာင့်မှန်
စတုဂံ Y ၏အလျား p = 4 + √14, အနံ = 4 - √14.
n QED.
(ခဆွးခနွးချက်(၁) မဖစ်နိုင်ေါ့မလားဟု သံသယရှိခနခသးခသာသူများအတွက် သံသယကင်းခစရန် ချန်ိ ကိုက်ြကည့်
နိုင်၏။
42
Y ၏ ဧရိယာ = အလျား × အနံ
= (4 +
14 )(4 -
= 42 -
14 2
14 )
= 16 - 14
= 2 (X ၏ ဧရိယာ တစ်ဝက်)
Y ၏ အဝန်းေတ် = အလျား × 2 + အနံ × 2
= 2(4 +
14 ) + 2(4 -
14 )
= 16 (X ၏ အဝန်း ေတ် 2 ဆ)
(၂) ထူးမခားချက်ခနာက်တစ်ခုမှာ
14 = 3.74 မဖစ်သမဖင့် Y ၏ အနံသည် 4 -
14 မဖစ်၍ 0.26
ယူနစ်ခန့်သာ ရှိရာ အလွန်ကျဉ်း၍ ရှည်ခသာခထာင့်မှန်စတုဂံမဖစ်၏။)
u
ြဖည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ေုစ္ဆာ (S.4) သရေန်းစားတဲ့ အရေ်ွဲကေုစ္ဆာနှစ်ေုဒ်
(က) အလွန်အေွားမမန်ခသာ ြကာေင်တစ်မျုးရှ
ိ ိ၏။ မည်မျှအေွားမမန်သနည်းဆိုခသာ်
တစ်ရက်လျှင် နှစ်ဆေွား၏။ ယင်းြကာတစ်ေွင့်ကို ကန်ကကီးတစ်ကန်တွင် ခမွးရာ
တစ်လ (ရက် ၃၀) အြကာတွင် တစ်ကန်လုံးမေည့်သွား၏။
သမးခေန်း
ကန်တစ်ဝက်မေည့်ရန် ရက်ခေါင်းမည်မျှြကာမည်နည်း။
(ခ)
ဗက်တီးရီးယားေိုးတစ်မျုးသည်
ိ
စက္ကန့်တိုင်း နှစ်ဆေွား၏။ ဗက်တီးရီးယား
တစ်ခကာင်သည် တစ်မိနစ်အြကာတွင် မီးမခစ်ဘူးတစ်ဘူးစာ ေွားလာ၏။
သမးခေန်း
မီးမခစ်ဘူးနှစ်ဘူးစာ ဗက်တီးရီးယားေိုးများရရန် အချန်ိ မည်မျှြကာမည်နည်း။
အခမဖကို အခန်း (၇) စာမျက်နှာ (၂၉၉) တွင် ြကည့်ေါ။
Supplemental Puzzle
43
(၇)
အသရးအေါဆုံး ကိန်းငါးလုံးမှေည် အလှေဆုံးညီမျှြခင်းဆီေို့ (ေွမေိုင်း)
(From The Five Most Significant Numbers To The Most Beautiful
Equation) (Part I)
သခချာမှာ မရှိမမဖစ် အခရးအေါဆုံး ကိန်းငါးလုံးရှိေါတယ်။ သုည (0), တစ် (1), ကိန်းခယာင် i ( - 1 ),
ေိုင် (π) နဲ့ အွိုင်လာကိန်း (e) တို့ မဖစ်ေါတယ်။ ေထမသခကခတသုံးခုမဖစ်တဲ့ 0, 1 နဲ့ i ကခတာ့ သခချာရဲ့အခမခခံ
အကျဆုံး မဖစ်တဲ့အက္ခရာသခချာ (Algebra) ရဲ့ အသက်ခသွးခြကာေါ။ ခနာက်နှစ်ခုမဖစ်တဲ့ π နဲ့ e ကခတာ့
ေိုမိုအဆင့်မမင့်တဲ့ Trigonometry, Geometry, Calculus မှသည် Modern Algebra, Topology,
Probability, Statistics စသည်အထိ ကျယ်မေန့်စွာ ခနရာယူထားေါတယ်။ အဲဒီကိန်းငါးလုံးဟာ သခချာ
ေညာကို သက်ဝင်လှုေ်ရှားလာခအာင် ဖန်တီးခေးတဲ့ အခသွး၊ အသား၊ အသည်း၊ နှလုံး၊ ကလီစာ စသည်တို့နဲ့
အလားတူေါတယ်။
“0” နဲ့ “1” ကခတာ့ မသိတဲ့သူမရှိေါဘူး။ သူတို့အခြကာင်းခမောရရင် ရိုး၊ ရှင်း၊ လွယ်ကူလွန်းလို့
ရယ်စရာခတာင် မဖစ်ခနေါလိမ့်မယ်။ သို့ခသာ်လည်း မမေည့်မစုံမမဖစ်ခအာင်လို့ နည်းနည်းခတာ့ခမောေါရခစ။
44
တကယ်ခတာ့ “သုည” ဆိုတာ ကင်းမဲ့မခင်းရဲ့သရုေ်၊ နတ္ထိရဲ့သခဘာကိုခဆာင်လို့ လူအများြကားမှာ
ကိုယ်ခေျာက်ခနေါတယ်။ အဲဒါခြကာင့် သတိမမူ ဂူမမမင် ဆိုသလိုေဲ ရာစုခထာင်စု နှစ်ခေါင်းများစွာြကာခအာင်
လူအများ ရှိမှန်းခတာင်မသိခဲ့ြကေါဘူး။ ခရစ်သက္ကရာဇ် 628 ကျမှသာ ဟိန္ဒူနက္ခတ္တေညာရှင် ဗရာမာဂွေ်တား
(Brahmagupta) ရဲ့ ခကျးဇူးခြကာင့် စတင်သတိမေုလာြကေါတယ်။ အဲဒီအချန်ိ က ေိုက်သာဂိုရေ်သီအိုရမ်ကို
လူခတွခတွ့ရှိခဲ့တာဟာ နှစ်ခေါင်း ၁,၀၀၀ မကခတာင် ရှိခနေါပေီ။ “0” ကို အခတွ့ခနာက်ကျခလမခင်းေါ။
“0” ရဲ့ဂုဏ်သတ္တိများစွာထဲမှာ အဓိကအကျဆုံးဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုေဲ ခမောေါရခစ။
0 + a = a, နဲ့ a + 0 = a
… (1)
ေါေဲ။
ရယ်စရာခကာင်းခအာင် လွယ်မခနဘူးလား။ သုညဟာ a နဲ့ခေါင်းရင် a ေဲ မေန်ရေါတယ်။ ဘယ်ကိန်းနဲ့
ေဲ ခေါင်းခေါင်း၊ မခမောင်းဘူးလို့ ဆိုလိုေါတယ်။ အဲဒါခြကာင့် သုညကို “Additive Identity” (အခေါင်း
ထေ်တူရကိန်း) လို့ Algebra မှာ အထူးအမည်ခေးထားေါတယ်။
အဲဒီခလာက်လွယ်တဲ့ဂုဏ်သတ္တိက ဘာခြကာင့်အခရးေါရတာလဲ။
အက္ခရာသခချာမှာ ညီမျှမခင်းခမဖရှင်းတာဟာ အသက်ေါ။ ညီမျှမခင်းတစ်ခြကာင်းရဲ့ ခေါင်းထားတဲ့ကိန်း
တစ်လုံးကို ခချဖျက်ချင်တယ်ဆိုေါစို့။ ဥေမာ ညီမျှမခင်း x + 5 = 7 ကို ခမဖရှင်းဖို့ 5 ကို ခချဖျက်ချင်တယ်ဆိုေါစို့။
ဝဲယာ -5 ခေါင်းခေးရေါတယ်။ ဒါခြကာင့် . . . .
x+5=7
& x+5-5=7-5
& x+0=2
& x=2
(ဝဲယာ -5 ခေါင်းေါတယ်)
(5 - 5 = 0 ေါ)
(“0” ရဲ့ အခေါင်းထေ်တူရဂုဏ်သတ္တိခြကာင့် x + 0 = x မဖစ်ေါတယ်။)
အထက်ေါ ဥေမာခဖာ်မေထားတဲ့ အရှင်းဆုံး၊ အလွယ်ဆုံး ညီမျှမခင်းကိုခတာင်မှ သုညရဲ့ဂုဏ်သတ္တိ မသိရင်
မခမဖရှင်းနိုင်ေါဘူး။ ဒါခြကာင့် သုညကို လူခတွအခတွ့ခနာက်ကျမခင်းဟာ “Algebra” ေညာကို ဘယ်ခလာက်ထိ
ခနှာင့်ခနှးခစမလဲဆိုတာ ခတွးြကည့်နိုင်ေါတယ်။
“1” ဂဏန်းကခတာ့ “0” လိုမဟုတ်ဘဲ၊ လူခတွဟာ လွန်ခဲ့တဲ့ နှစ်ခေါင်း နှစ်ခသာင်းခလာက်ကတည်းက
ခတွ့ရှိနားလည်ခဲ့ြကတယ်လို့ ေညာရှင်ခတွက ဆိုေါတယ်။ သဘာဝလည်းကျေါတယ်။ ခမွးကင်းစ ကခလးခတွက
စပေီး လက်ညှိုးခထာင်တတ်တဲ့အရေယ်မှာကတည်းက 1, 2, 3,… ဆိုပေီး စတင်ခရတွက်ခနပေီကိုး။
“1” ဟာလည်း “0” နဲ့ အလားတူတဲ့ ထေ်တူရဂုဏ်သတ္တိ ရှိေါတယ်။
1 . a = a, နဲ့ a . 1 = a
… (2)
မဖစ်ေါတယ်။
“1 ကို a နဲ့ခမမှာက်ရင် a ေဲ မေန်ရေါတယ်။ ဘာနဲ့ေဲခမမှာက်ခမမှာက် အဲဒါေဲမေန်ရေါတယ်” လို့ အဓိေ္ပာယ်
ရေါတယ်။ “1” ကိုလည်း “Multiplicative Identity” (အခမမှာက်ထေ်တူရကိန်း) လို့ Algebra မှာ အထူး
အမည်ခေးထားေါတယ်။
ညီမျှမခင်းတစ်ခြကာင်းရဲ့ခမမှာက်ထားတဲ့ကိန်းကို ခချဖျက်ချင်ရင် အထက်ခဖာ်မေေါ အခမမှာက်ထေ်တူရ
1
ဂုဏ်သတ္တိကို သုံးရေါတယ်။ ဥေမာ 4x = 5 မှာ 4 ကို ခချဖျက်ချင်တယ်ဆိုေါစို့။ ဝဲယာ 4 နဲ့ ခမမှာက်ခေးရေါတယ်။
45
ဒါခြကာင့်-
1
1
=1
4 $ 4x 4 $ 5 (ဝဲယာ 4 ခမမှာက်ေါတယ်။)
5
1
& 1.x= 4
( 4 . 4 = 1 ေါ)
5
& x= 4
(“1”ရဲ့ အခမမှာက်ထေ်တူရဂုဏ်သတ္တိခြကာင့် ခကျေျက်ပေီး x ကို ရေါတယ်။)
ကိန်းစစ်စနစ်ဟာ ကဲကုလေညာ (Calculus) အတွက်ခတာ့ အလွန်ခကာင်းမွန်မေည့်စုံတဲ့စနစ်ေါ။
သို့ခသာ်လည်း အက္ခရာသခချာအမမင်နဲ့ြကည့်ရင် ဧရာမဟာကွက်တချု့ိ ရှိေါတယ်။ ဘယ်လိုဟာကွက်လဲဆိုတာ
ြကည့်ြကရခအာင်ေါ။
ကိန်းစစ်တစ်လုံးသည် အခေါင်းမဖစ်ခစ၊ အနုတ်မဖစ်ခစ နှစ်ထေ်တင်လိုက်ရင် အနုတ်လက္ခဏာ ခေျာက်
သွားေါတယ်။ အပမဲတမ်း အခေါင်းကိန်း သို့မဟုတ် သုညေဲ ရေါတယ်။
“x2 ≥ 0 for all real numbers x” လို့ ခမောခလ့ရှိေါတယ်။
… (3)
ဂုဏ်သတ္တိ (3) ကခနပေီးခတာ့ ဘယ်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထေ်ကိန်းတင်ရင် အနုတ်ကိန်းမရနိုင်ဘူးလို့ ဆိုေါ
တယ်။ အဲဒါကို တစ်ဖက်လှည့်ပေီးခမောရင်ခတာ့ အနုတ်ကိန်းစစ်ခတွကို နှစ်ထေ်ကိန်းရင်းယူလို့မရေါဘူးလို့ ဆိုလို
ေါတယ်။ နှစ်ထေ်မေန်တင်ရင် အနုတ်ကိန်းမှ မရနိုင်ဘဲကိုး။
အဲဒါခြကာင့်
-1 ,
-2 ,
-3 ,
- 4 … စသည်တို့ဟာ ကိန်းစစ်မှာ အဓိေ္ပာယ်မရှိေါဘူး။ …(4)
ကိန်းစစ်ညီမျှမခင်းရဲ့ ရှင်းလင်းတဲ့ဥေမာတစ်ခု ြကည့်ရခအာင်ေါ။
ဥေမာ ကိန်းစစ်ညီမျှမခင်း x2 - 9 = 0 ကို ခမဖရှင်းြကမယ်။
ဝဲယာ 9 ခေါင်းပေီး နှစ်ထေ်ကိန်းရင်း ယူရုံေါေဲ။
အခမဖ x = ±3 ရေါလိမ့်မယ်။
အခု အခေါ်ကညီမျှမခင်းကို နည်းနည်းခလး လက္ခဏာခမောင်းလိုက်မယ်။
x2 + 9 = 0
… (5)
ပေီးခတာ့ ကိန်းစစ်အစုထဲမှာ အခမဖရှာြကည့်ရခအာင်ေါ။
ညီမျှမခင်း(5)ရဲ့ ဝဲယာကို 9 နုတ်ပေီး နှစ်ထေ်ကိန်းရင်းယူြကည့်ေါ။
x2 + 9 = 0
RHS က
&
x2
&
x = ± -9
= -9
… (5)
( ဝဲယာကို 9 နုတ်)
(ဝဲယာကို နှစ်ထေ်ကိန်းရင်းယူ)
- 9 မှာ အနုတ်ကိန်း -9 ကို နှစ်ထေ်ကိန်းရင်း ယူထားေါတယ်။
ကိန်းစစ်မှာ အနုတ်ကိန်းတစ်ခုကို နှစ်ထေ်ကိန်းရင်း ယူလို့မရဘူးဆိုတာကို (4) မှာ ရှင်းပေီးေါပေီ။ ဒါ
ခြကာင့် ညီမျှမခင်း (5) ဟာ ကိန်းစစ်အခမဖမရှိေါဘူး။
အဲဒါဟာ ကိန်းစစ်ရဲ့ ထင်ရှားတဲ့ခေျာ့ကွက်တစ်ခုေါေဲ။ ညီမျှမခင်း x2 + 9 = 0 လိုမျုးိ ညီမျှမခင်းခတွဟာ
အခမဖမရှိေါဘူး။
46
အခေါ်ကဥေမာအရ ညီမျှမခင်းတိုင်းကို အခမဖရှာနိုင်ဖို့ ကိန်းစစ်တစ်မျုးတည်
ိ
းနဲ့ မလုံခလာက်ခတာ့ေါ
ဘူး။ ချဲ့ထွင်ဖန်တီးမှုခတွ လိုအေ်ခနေါပေီ။ ဒါခြကာင့်ကိန်းခယာင် i =
- 1 ကို ဖန်တီးရေါတယ်။
i သည် ထူးဆန်းတဲ့ကိန်းတစ်လုံးေါ။ ဝဲ-ယာနှစ်ထေ်တင်ရင် i 2 = -1 ကို ရေါတယ်။ ဘယ်လိုကိန်းစစ်ကိုမှ
နှစ်ထေ်တင်ရင် အနုတ်ကိန်းမထွက်နိုင်ဘူးဆိုတာ မှန်ကန်ချက် (3) မှာ မေထားေါတယ်။ ခုခတာ့ “i” ကို နှစ်ထေ်
တင်ရင် အနုတ်ကိန်း -1 ရခနေါတယ်။ ဒါခြကာင့် i သည် ကိန်းစစ်မဟုတ်တာ ခသချာေါတယ်။ သူ့ကို ကိန်းခယာင်
(Imaginary Number) လို့ ခခါ်ေါတယ်။
အဲဒီကိန်းခယာင်နဲ့ ကိန်းစစ်ကိုခေါင်းစေ်ပေီး ကိန်းခထွ (Complex Number) လို့ခခါ်တဲ့ ကိန်းစနစ်
အသစ်တစ်ခု ဖန်တီးြကည့်မယ်။
x နဲ့ y တို့ဟာ ကိန်းစစ်များမဖစ်ရင် z = x + iy ကို ကိန်းခထွ (Complex Number) လို့ ခခါ်ေါတယ်။
“x” ကို z ရဲ့ ကိန်းစစ်ေိုင်း (Real Part) ဟုခခါ်၍ “y” ကို z ရဲ့ ကိန်းခယာင်ေိုင်း (Imaginary Part) လို့ ခခါ်ေါ
တယ်။ ဥေမာ z = 4 - 7i ဆိုတဲ့ ကိန်းခထွကိုြကည့်ရင် ကိန်းစစ်ေိုင်းက 4, ကိန်းခယာင်ေိုင်းက -7 ေါ။
ကိန်းခထွဟာ သခချာေညာရဲ့ တီထွင်ဖန်တီးမှုခတွအများကကီးထဲက အခရးကကီးဆုံးတစ်ခုေါ။ သူ့ခြကာင့်
အက္ခရာသခချာရဲ့ အခရးေါတဲ့ သီအိုရမ်များစွာကို ခဖာ်ထုတ်နိုင်ခဲ့ေါတယ်။ အဲဒီထဲက ထင်ရှားတဲ့တစ်ခုကခတာ့
“The Fundamental Theorem Of Algebra” လို့ ခခါ်ေါတယ်။
ကိန်းစစ်စနစ်မှာ ထေ်ကိန်းတန်းညီမျှမခင်းတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်အခမဖမရှိခြကာင်း x2 + 9 = 0 ဆိုတဲ့
ညီမျှမခင်း (5) နဲ့ ဥေမာမေခဲ့ပေီးေါပေီ။ ဒါခေမဲ့ အဲဒီညီမျှမခင်း (5) မှာေဲ ကိန်းခထွအခမဖရှာချင်ရင်ခတာ့ အခမခအခန
လုံးဝ ခမောင်းလဲသွားေါတယ်။ ဒီညီမျှမခင်း (5) မှာလည်း ကိန်းခထွအခမဖရှိတယ်။ တမခားညီမျှမခင်းအားလုံးမှာ
လည်း ကိန်းခထွအခမဖ အစဉ်အပမဲရှိေါတယ်။ ညီမျှမခင်း (5) ကိုေဲ မေန်ြကည့်ရခအာင်ေါ။
&
&
&
x2 + 9 = 0
x2 = -9
x = ± -9
x = ± 9 .
… (5)
(ဝဲယာကို 9 နုတ်)
(ဝဲယာကို နှစ်ထေ်ကိန်းရင်းယူ)
(- 1) = ± 3i
ခုနက ကိန်းစစ်အခမဖမရှိတဲ့ ညီမျှမခင်း (5) ဟာ ခုခတာ့ ကိန်းခထွအခမဖကို ခတွ့ရေါပေီ။ ထေ်ကိန်းတန်း
ညီမျှမခင်း (Polynomial Equation) မှန်သမျှဟာ ကိန်းခထွအခမဖ အပမဲတမ်းရှိဖို့ ခသချာေါတယ်။ ေိုပေီး တိတိ
ကျကျ ခမောရရင်ခတာ့ “အထေ်ခေါင်း n ရှိတဲ့ ထေ်ကိန်းတန်းမှာ ကိန်းခထွအခမဖခေါင်း n ခု အပမဲတည်ရှိတယ်။”
အဲဒီမှန်ကန်ချက်ဟာ အက္ခရာသခချာမှာ အလွန်အခမခခံကျပေီး အခရးေါလို့ “The Fundamental Theorem
Of Algebra” လို့ အမည်မှည့်ခခါ်ေါတယ်။ ကိန်းစစ်စနစ်ရဲ့ အဓိကဟာကွက်ကကီးတစ်ခုကို ကိန်းခထွမဖင့်
ခအာင်မမင်စွာ မဖည့်ဆည်းခေးနိုင်ေါပေီ။
အခရးအေါဆုံးကိန်းထဲက ခနာက်ထေ် ကိန်းတစ်လုံးကခတာ့ π မဖစ်ေါတယ်။ အစဦးမှာ π ရဲ့အဓိေ္ပာယ်
ဖွငဆ
့် ခ
ို ျက်ကခတာ့ စက်ဝင
ို ်းရဲ့ ေတ်လည်အဝန်းနဲ့ အချင်းရဲ့အချုးေါ။
ိ တမဖည်းမဖည်းနဲ့ သခချာေညာထွန်းကားလာတဲ့
အခါမှာခတာ့ π ဟာ မဆီမဆိုင်ဘူးလို့ထင်ရတဲ့ ဘာသာခေါင်းစုံကို ထိုးခဖာက်ပေီး နယ်ချဲ့လာလို့ π နဲ့လွတ်ကင်း
တဲ့ သခချာဆိုတာ မရှိခတာ့ေါဘူး။
u
47
(၈)
အသရးအေါဆုံး ကိန်းငါးလုံးမှေည် အလှေဆုံးညီမျှြခင်းဆီေို့ (ဒုတိယေိုင်း - π)
(From The Five Most Significant Numbers To The Most Beautiful
Equation) (Part II - π)
စက်ဝိုင်းတစ်ခုမှာ အဝန်းနဲ့အချင်းရဲ့အချုးကိ
ိ ု π လို့ သတ်မှတ်တဲ့အခြကာင်း လူတိုင်းသိြကေါတယ်။
အလွန် ရှင်းလင်းလွယ်ကူတဲ့ အဓိေ္ပါယ်သတ်မှတ်ချက်ေါ။ သခချာေညာရဲ့ အခရးေါတဲ့ကိန်းမဖစ်ရုံမက π ဟာ
ဆွဲခဆာင်မှုအခကာင်းဆုံးကိန်းဆိုရင်လည်း မမှားေါဘူး။ လွန်ခဲ့တဲ့ နှစ်ခေါင်း ၄,၀၀၀ ခကျာ်ကခန ဒီခန့ထိ
ေညာရှင်ခတွ ခလ့လာတွက်ချက်ခနြကဆဲေဲ မဖစ်ေါတယ်။
စက်ဝိုင်းရဲ့အချင်းမျဉ်းက ခမဖာင့်ခနခသာ်လည်း၊ အဝန်းက ခကွးခနတဲ့အတွက် သူတို့ရဲ့အချုးတန်
ိ
ဖိုး π
ကို အတိအကျရှာဖို့ မလွယ်ေါဘူး။ ခခတ်အဆက်ဆက်မှာ သခချာေညာရှင်ခေါင်းစုံက နည်းအမျုးမျ
ိ ုးကကိ
ိ
ုးစားခဲ့ြက
ေါတယ်။ ခရစ်သက္ကရာဇ်မခေါ်မီ နှစ်ခေါင်း ၂၀၀၀ ခလာက်ကတည်းက π အခြကာင်း စတင်ခလ့လာခဲ့တယ်လို့
သမိုင်းေညာရှင်များက ဆိုေါတယ်။ ခစာခစာေိုင်းက π ကို 3 နဲ့ 4 ြကားတန်ဖိုးရှိတဲ့ကိန်းအမဖစ်သာ သိြကလို့
အမျုးမျ
ိ ုးခန်
ိ ့မှန်းြကေါတယ်။ အဲဒီအချန်ိ က π ကို 25
8 (3.125) လို့ သတ်မှတ်တဲ့ခခတ်ရှိသလို၊ 10 (3.162)
တန်ဖိုးကို ယူခဲ့တဲ့ခခတ်လည်း ရှိေါတယ်။ သခချာေညာထွန်းကားမှုနည်းေါးတဲ့အချန်ိ မဖစ်လို့လည်း မျဉ်းခကွးနဲ့
မျဉ်းခမဖာင့်ရဲ့ အချုးရှ
ိ ာရတာဟာ ထင်တာထက်ေိုပေီး ခက်ခနေါတယ်။
ဥဿုံညီ
ဆဋ္ဌဂံ
48
BC 225 ခလာက်ကျမှ အာခီမီးဒိ(စ်)(Archimedes) က π ကို ေထမဆုံး သခချာနည်းကျကျ ချဉ်းကေ်မေ
ေါတယ်။ π တန်ဖိုးကိုရှာဖို့ စက်ဝိုင်းတစ်ဝိုင်းရဲ့ အဝန်းေတ်အလျားကိုရှာပေီး အချင်းနဲ့ စားရမှာကိုး။ အာခီမီးဒိ(စ်)
က စက်ဝိုင်းတွင်းကျ ဥဿုံညီဆဋ္ဌဂံ အရင်ဆွဲပေီး စက်ဝိုင်းရဲ့အဝန်းေတ်အလျားကို ဥဿုံညီဆဋ္ဌဂံရဲ့ (၆)နားခေါင်း
အမဖစ် အြကမ်းယူဆလိုက်ေါတယ်။ ပေီးမှ အနားအခရအတွက်ကို နှစ်ဆ၊ ပေီး ခနာက်ထေ်နှစ်ဆအမဖစ် တစ်စတစ်စ
တိုးပေီး ၁၂ နား၊ ၂၄ နား၊ ၄၈ နား၊ ၉၆ နား စသည်မဖင့် တိုးချဲ့လိုက်တဲ့အခါမှာ အနားအခရအတွက် များလာတာနဲ့
အမျှ စက်ဝန်းနဲ့ တစ်စတစ်စ ေိုေိုပေီးနီးစေ်လာတာ ခတွ့ရေါတယ်။ အာခီမီးဒိ(စ်)(Archimedes) ရဲ့ အဲဒီလို တစ်ရစ်
ပေီး တစ်ရစ် ချဉ်းကေ်တဲ့နည်းကို (Iteration Method) လို့ ခခါ်ေါတယ်။
သူ့အခတွးအခခါ်က တကယ်ခတာ့ ခတာ်ခတာ်ခလးရိုးရှင်းေါတယ်။ ေထမဦးဆုံး အချင်းဝက်တစ်ယူနစ်
ရှိတဲ့ စက်ဝိုင်းတစ်ခုကို အရင်ဆွဲပေီးမှ စက်ဝိုင်းတွင်းကျ ဥဿုံညီဆဋ္ဌဂံကို ဆွဲေါတယ်။ အဲဒီ ဥဿုံညီဆဋ္ဌဂံရဲ့
အနားတစ်ဖက်စီဟာ ဗဟိုမှာ သုံးနားညီကတိဂံတစ်ခုစီ ခံခဆာင်ထားေါတယ်။ အချင်းဝက်ကို 1 ယူနစ်လို့ ယူဆရင်
ေူးတွဲေုံမှာေါတဲ့ အနားခတွတစ်ဖက်စီဟာလည်း အချင်းဝက်နဲ့တူပေီး 1 ယူနစ် ရေါတယ်။ စက်ဝိုင်းရဲ့အဝန်းေတ်
ကို ဥဿုံညီဆဋ္ဌဂံရဲ့အဝန်းေတ်အမဖစ် အနီးစေ် အြကမ်း (Approximation) ယူဆရင် ခမခာက်နားခေါင်း
1 × 6 = 6 ယူနစ် မဖစ်ေါတယ်။ အချင်းက 2 ယူနစ်ရှိလို့ အဝန်းနဲ့အချင်းအချုးဟာ
ိ
အြကမ်းအားမဖင့် 6 : 2 = 3
ကို ရေါတယ်။ ဒါဟာေထမဆုံးတရစ်မှာရတဲ့ π ရဲ့ အနီးစေ်တန်ဖိုးမဖစ်လို့ အခမဖ 3 က π ရဲ့ ေထမတစ်ရစ်
နီးစေ်တန်ဖိုးေါ။ သိေ်မနီးစေ်ခသးေါဘူး။ တစ်ရစ်ပေီး တစ်ရစ် ဆက်လက်ချဉ်းကေ်ရေါဦးမယ်။
ဒုတိယတစ်ရစ်ကို ဆက်ကကိုးစားဖို့ သူက အဝန်းေိုင်း 6 ခုရဲ့အလယ်မှတ် 6 ခုနဲ့ ဥဿုံညီဒွါဒသဂံ (12 နား)
တည်ခဆာက်လိုက်ေါတယ်။ ပေီးမှ အနားတစ်ဖက်စီကို ေိုက်သာဂိုရေ်သီအိုရမ်နဲ့ ထေ်ရှာေါတယ်။ (ေူးတွဲေါေုံကို
ြကည့်ေါ။)
ဥဿုံညီ ဒေါဒေဂံ (Regular Dodecagon)
ေိုက်သာဂိုရေ်သီအိုရမ်သုံး၍ ဥဿုံညီ ဒွါဒသဂံ၏ အနားတစ်ဖက် AP ၏ အလျားကိုရှာအံ့။
1
ခထာင့်မှန်ကတိဂံ AOQ တွင် OQ2 = 1 - ( 2 ) 2 = 0.75
Ñ OQ = 0.75 = 0.8660.
PQ = OP - OQ = 1 - 0.8660 = 0.1340
49
1
ခထာင့်မှန်ကတိဂံ APQ တွင် AP2 = AQ2 + PQ2 = ( 2 )2 + 0.13402 = 0.25 + 0.018 = 0.268
Ñ AP =
0.268 = 0.5177
ဥဿုံညီ ဒွါဒသဂံ၏ ေတ်လည် ၁၂ နားခေါင်း = 0.5177 × 12 = 6.212
π ၏အနီးစေ်တန်ဖိုး = 6.212
2 = 3.106
အဲဒါက ဒုတိယအရစ်ရဲ့အနီးစေ်တန်ဖိုး (Approximation)ဟာ 3.106 မဖစ်ေါတယ်။ ေထမအရစ်က
အခမဖ 3 ထက် ေိုနီးစေ်တဲ့အခမဖရလာတာ ခတွ့ေါလိမ့်မယ်။ အဲဒီနည်းအတိုင်း ၂၄ နား၊ ၄၈ နား၊ ၉၆ နား
စသည်မဖင့် အနားအခရအတွက် ကို ၂ ဆစီတိုးပေီး ဗဟုဂံအဝန်းမှသည် စက်ဝိုင်းအဝန်းသို့ တစ်ရစ်ပေီးတစ်ရစ်
ချဉ်းကေ်သွားရင် π ရဲ့တန်ဖိုးကို လည်း တစ်စတစ်စနီးစေ်တဲ့အခမဖခတွ ရလာေါလိမ့်မယ်။
အာခီမီးဒိ(စ်)ကိုယ်တိုင်ကခတာ့ 96 နားအထိ ချဉ်းကေ်ပေီး ဗဟုဂံရဲ့အဝန်းနဲ့ အချင်းရဲ့အချုးကိ
ိ ု
3.1410 ဆိုတဲ့အခမဖကို ရေါတယ်။ π ရဲ့တန်ဖိုးအမှန်နဲ့ ဒသမ 3 ခနရာထိ မှန်ေါတယ်။ အဲဒီခခတ်ကခတာ့ π
တန်ဖိုးအမှန်ကို သိတဲ့သူမရှိလို့ စမ်းတဝါးဝါးရှာရတာေါ။ 96 နားရှိတဲ့ ဥဿုံညီဗဟုဂံဟာ တကယ်ခတာ့ စက်ဝိုင်းနဲ့
အခတာ်အတင့် နီးစေ်ခနေါပေီ။ အာခီမီးဒိ(စ်)နဲ့နည်းတူေဲ တစ်ခခတ်တည်းေညာရှင်ခတွဟာ အနားအခရအတွက်
ခလးခသာင်းခကျာ် (49152) အထိ တွက်ချက်ပေီးဒသမ 6 ခနရာထိ 3.141592 ကို တွက်ချက်မေနိုင်ေါတယ်။
အဲဒီခခတ်က ရှိသမျှကိန်းဂဏန်းအကုန်လုံး လက်နဲ့ချတွက်ရတာကိုး။ Calculator မခမောနဲ့၊ Logarithm
ခတာင် မရှိေါဘူး။ နှစ်ထေ်ကိန်းရင်းရှာတာမျုးဆိ
ိ ုရင် ေင်ေန်းကကီးစွာ တွက်ရတာခေါ့။
အဲဒီခနာက် နှစ်ခေါင်း ၁,၀၀၀ ခကျာ်၊ ၂,၀၀၀ နီးေါးခလာက် ြကာသွားခသာ်လည်း ထူးမခားလှတဲ့
နည်းစနစ်ေိုင်းဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုမရှိခဲ့ေါ။ ေညာရှင်တစ်ခယာက်ကခတာ့ သူ့ရဲ့သက်တမ်းတစ်ဝက်ခလာက်
(နှစ်ခေါင်း ၂၅ နှစ်ခန့်) အာခီမီးဒိ(စ်)ရဲ့နည်းကိုေဲသုံးပေီး ဆင့်ကဲဆင့်ကဲ (Iteration Method) နဲ့ ကကိုးစား
တွက်ချက်လိုက်တာမှာ ဗဟုဂံအနားခေါင်း ဘီလျ ံများစွာချခဲီ ့ပေီး π တန်ဖိုးကို ဒသမခနရာခေါင်း 35 ခနရာခလာက်
အထိကို ရခဲ့ေါတယ်။
18 ရာစုခလာက်ခရာက်မှ Calculus ခေါ်ခေါက်လာပေီး π ကို ချဉ်းကေ်တဲ့နည်းစနစ်နဲ့ေတ်သက်တဲ့
ခတာ်လှန်ခရးတစ်ရေ် ထွက်ခေါ်ခဲ့ေါတယ်။ အာခီမီးဒိ(စ်)ရဲ့နည်းထက် အများကကီးေိုမိုမမန်ဆန်တဲ့နည်းအသစ်ခတွ
ခတွ့လာေါတယ်။ Calculus ရဲ့အဆွယ်အေွားတစ်ခုမဖစ်တဲ့ ကန့်သတ်မဲ့ကိန်းစဉ်တန်းကို သုံးရေါတယ်။
ဥေမာတစ်ခုမေရရင် ခအာက်ေါကိန်းစဉ်တန်းကို Madhava နဲ့ Leibniz ဆိုတဲ့ ေညာရှင်နှစ်ဦးက
!"
ခဖာ်ထုတ်ခဲ့ေါတယ်။ Madhava-Leibniz Series လို့ ခခါ်ေါတယ်။ ထူးထူးဆန်းဆန်းခေါင်းလဒ် 4 ရခြကာင်း
Calculus သုံးပေီး သူတို့နှစ်ဦး သီးမခားသက်ခသမေနိုင်ခဲ့ြကေါတယ်။
1
1
1
!"
1
1
1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + … = 4
အဲဒီကိန်းစဉ်တန်းက Calculus မှာရှိတဲ့ Taylor Series ခမမာက်မမားစွာထဲက တစ်ခုေါ။ အဲဒီ
!"
ကိန်းစဉ်တန်းကိုခေါင်းရင် ကိန်းလုံးခရများလာတာနဲ့အမျှ တစ်စတစ်စ 4 ကို ချဉ်းကေ်လာေါတယ်။ တစ်နည်း
အားမဖင့် ဝဲယာ 4 နဲ့ခမမှာက်ပေီး ခမောရရင် အဲဒီကိန်းစဉ်တန်းကို ကန့်သတ်မဲ့ခေါင်းပေီး 4 ဆခေးရင် π ရေါတယ်။
ဥေမာ ကိန်းလုံးခေါင်း 20 ကို (Calculator နဲ့မဖစ်မဖစ်) ချခေါင်းရင် 0.7704 ရေါတယ်။ 4 ဆခေးရင် 3.0816
ရေါတယ်။ π ရဲ့ ခေ်ြကမ်းြကမ်း အနီးစေ်တန်ဖိုး (Approximation) တစ်ခုရေါတယ်။
50
ေိုနီးစေ်တဲ့ Approximation လိုချင်ရင် ကိန်းလုံးများများနဲ့ တစ်ရစ်ပေီးတစ်ရစ် ချဉ်းကေ်ရေါမယ်။
ကိန်းလုံးခရတိုးပေီး အလုံး 50 ခေါင်းမယ်ဆိုေါစို့။ ခေါင်းလဒ် 0.7804 ရပေီး 4 ဆခေးရင် 3.1216 ကိုရလို့ π နဲ့
ေိုနီးစေ်သွားေါတယ်။ ကိန်းလုံးခရကို ခထာင်၊ ခသာင်း၊ သိန်း၊ သန်းချပေီ
ီ း ကွန်ေျူတာခကာင်းခကာင်းနဲ့များ ခေါင်း
လိုက်ရင် π တန်ဖိုးကို စိတ်တိုင်းကျ အနီးစေ်ဆုံးရှာနိုင်ေါပေီ။ ပေီးခဲ့တဲရာစုနှစ်အတွင်းမှာ သခချာတွက်စက်ခကာင်း
ခကာင်းခတွ အင်အားပေိုင်ြကရင်း π တန်ဖိုးကို အပေိုင်အဆိုင် တွက်ြကေါတယ်။ မြကာခင်ကမှ (2024 မတ်လက
မှ) ကွန်ေျူတာကုမ္ပဏီတစ်ခုက π
ရဲ့တန်ဖိုးကို ကမ္ဘာ့စံချန်ိ သစ်အမဖစ် ဒဿမအခရအတွက် 105 Trillions
အထိ တွက်မေနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ မနှစ်တုန်းက ကမ္ဘာစံချန်ိ ဟာ ဒဿမအခရအတွက် 62 Trillions ရှိခဲ့ေါတယ်။
အဲဒီလိုအစွမ်းပေိုင်ခနြကခသာ်လည်း တကယ်လက်ခတွ့မှာသုံးတာဟာ သာမန်အားမဖင့် ဒသမ ၆ ခနရာ၊
၇ ခနရာခလာက်ဆိုရင် လုံခလာက်တယ်လို့ ဆိုေါတယ်။ အခမရိကန်အာကာသစခန်း NASA မှာခတာင်မှ
လွန်ခရာကျွ ံခရာ ဒသမ ၁၆ ခနရာထိေဲ သုံးတယ်လို့ ဆိုေါတယ်။ π ရဲ့ ဒသမအရှည်ပေိုင်ေွဲကကီးဟာ လူခတွရဲ့
စံချန်ိ သစ်တင်ချင်တဲ့အာသာနဲ့ ကွန်ေျူတာအစွမ်းစမ်းသေ်ချင်တဲ့ အခွင့်ခကာင်းခြကာင့်ေါ။ ဘယ်ခတာ့ခလာက်
မှာ အဆုံးသတ်မလဲလို့ ခမးစရာရှိေါတယ်။ ဘယ်ခတာ့မှ အဆုံးသတ်မှာမဟုတ်ေါဘူး။ ဘာခြကာင့်လဲဆိုခတာ့
π ဟာ Irrational Number မဖစ်လို့ သူ့ရဲ့ဒသမကိန်းဟာ ထေ်လည်းမထေ်၊
ဆုံးလည်းမဆုံးတဲ့ Non-
terminating Non-repeating Decimal မဖစ်ခနလို့ေါေဲ။ ဒသမအခရအတွက် 105 Trillions ကို နိုင်ခအာင်
တွက်နိုင်တဲ့ စံချန်ိ သစ်ခနာက်တစ်ခုဟာ အခနှးအမမန်ခေါ်လာဦးမှာေါေဲ။ π ဟာ Irrational မဖစ်လို့ ဒဿမ
ဘယ်ခလာက်ေဲရှည်ရှည် π ရဲ့အတိအကျတန်ဖိုး မရနိုင်ေါဘူး။
π ဟာ ဘယ်လိုကိန်းအမျုးအစား
ိ
(Rational or Irrational) မဖစ်တယ်ဆိုတာကို ခစာခစာေိုင်းက
ေညာရှင်ခတွ မဆုံးမဖတ်နိုင်ခဲ့ေါဘူး။ ဒါခြကာင့် အေိုင်းကိန်းအမဖစ် ရှာြကေါခသးတယ်။ အသုံးအများဆုံးကခတာ့
22
7 (3.142857) မဖစ်ေါတယ်။ တကယ်ခတာ့ ဒသမနှစ်ခနရာထိေဲ မှန်ေါတယ်။ ေိုနီးစေ်တဲ့ ရာရှင်နယ်အေိုင်း
335
ကိန်းကခတာ့ 113 (3.1415929) မဖစ်ေါတယ်။ ဒသမခမခာက်ခနရာထိ မှန်ေါတယ်။ ခတာ်ခတာ်ခလး နီးစေ်တဲ့
Approximation မဖစ်ေါတယ်။ တဖန် ဒသမကိန်းအမဖစ်ရှာတာဟာလည်း အဆုံးမရှိနိုင် မဖစ်ခနေါတယ်။ 1760
မေည့်နှစ်ကျမှသာ Johann Lambert က π သည် Irrational ကိန်းမဖစ်ခြကာင်း ခက်ခက်ခဲခဲနဲ့ ခိုင်ခိုင်မာမာ
သက်ခသမေနိုင်ခဲ့ေါတယ်။
π တန်ဖိုးကို ခဲရာခဲဆစ် ချဉ်းကေ်ဖို့ကကိုးစားခနတဲ့အချန်ိ မှာေဲ Buffon ဆိုတဲ့ေညာရှင်က
ခေါ့ခေါ့ေါးေါး ကစားရင်း π တန်ဖိုးရှာတဲ့ နည်းအဆန်းတစ်ခုကို ခရစ်သက္ကရာဇ် 1777 မှာ ထုတ်ခဖာ်ခဲ့ေါတယ်။
အဲဒီလို
Buffon Needles Drop Experiment လို့ ထင်ရှားေါတယ်။ စက္ကူကကီးကကီးတစ်ရေက်ရယ်၊ ေင်အေ် (သို့မဟုတ်
သွားြကားထိုးတံ) တစ်ဘူးရယ်ရှိရင် လုံခလာက်ေါပေီ။
Buffon’s Needle Experiment
အလျားတူညီတဲ့ ေင်အေ်တစ်ထုေ်ကို ယူေါ။ ယင်းတို့ရဲ့အလျားကို 1 ယူနစ်ဟု ယူေါ။ စက္ကူကကီးကကီး
တစ်ရေက်ကိုယူ၍ မျဉ်းပေိုင်များ ဆွဲသားေါ။ မျဉ်းပေိုင်များြကား အကွာအခဝးကို ေင်အေ်များ အလျားနှစ်ဆ
မဖစ်ခအာင် ဆွဲသားေါ။
51
2
1
စမ်းသေ်ေုံကလည်း ရှင်းရှင်းခလးနဲ့ ရယ်စရာခကာင်းေါတယ်။
(၁)
(၂)
(၃)
(၄)
ေင်အေ်ခတွကို ခလထဲကခန စက္ကူခေါ် ကကဲချေါ။
မျဉ်းပေိုင်ခတွကို မဖတ်တဲ့ အခရအတွက် k ကို ခရတွက်ေါ။
စုစုခေါင်း ေင်အေ်အခရအတွက် n ကို ခရတွက်ေါ။
စုစခ
ု ေါင်း ေင်အေ်အခရအတွက် n ကို မျဉ်းပေိုင်ခတွကို မဖတ်တအ
ဲ့ ခရအတွက် k နဲ့စားရင် π ရဲ့
ခန့်မှန်းခမခတန်ဖိုး ရေါတယ်။
ေုံခသနည်းနဲ့မေရင်
π=
pkpkaygif; yiftyfta&twGuf(n)
rsOf; NydKifrsm;udkjzwfaom yiftyfta&ttwGuf(k)
အခေါ်ကစမ်းသေ်ချက်ဟာ ဘာခြကာင့် π တန်ဖိုးကို ရခစသလဲဆိုတာကို သခချာနည်းကျကျ ေါးေါး
နေ်နေ် သက်ခသမေနိုင်ေါတယ်။ အဲဒီသက်ခသမေချက်အတွက် ခနာက်ခဆာင်းေါးတစ်ေုဒ်စာကို လိုအေ်ေါတယ်။
ဒီမှာခတာ့ သက်ခသမေချက်ကို ခကျာ်သွားေါမယ်။
စမ်းသေ်ချက်ဥေမာတစ်ခု ခေးေါရခစ။ မျဉ်းပေိုင်ကိုမဖတ်တဲ့ေင်အေ် 31 ခချာင်းရှိပေီး မမဖတ်တာ 67
ခချာင်းရှိရင် စုစုခေါင်း ေင်အေ်အခရအတွက်ဟာ 31 + 67 = 98 ေါ။ 98 ကို 31 နဲ့စားခတာ့ π ရဲ့အနီးစေ်တန်ဖိုး
52
3.16 ရေါတယ်။ ေင်အေ်ကိုရာချသု
ီ ံးရင်မဖစ်ခစ၊ သို့မဟုတ် ေင်အေ် ၁၀၀ ခလာက်ကို အကကိမ်ကကိမ်ေစ်ပေီးမှ
ခေါင်းတွက်ရင်မဖစ်ခစ ေိုမိုတိကျတဲ့အခမဖ ရေါတယ်။
π ရဲ့လျှို့ဝှက်နက်နဲမှုဟာ ခခတ်အဆက်ဆက်ေညာရှင်ခတွကို ဖမ်းစားနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ စင်စစ် π ဟာ
Irrational ကိန်းမဖစ်ရုံမက သူ့ထက်အများကကီး ေိုမိုရှုေ်ခထွးတဲ့ “Transcendental Number” လို့ခခါ်တဲ့
ကိန်းအမျုးအစားမှ
ိ
ာ ေါေါတယ်။ ခတာ်ခတာ်နားလည်လို့ခက်တဲ့ Modern Algebra ရဲ့ကိန်းတစ်မျုးေါ။
ိ
လွယ်လွယ်ခမောရရင် Transcendental Number ဆိုတာ Irrational ကိန်းမဖစ်ရုံမက ဘယ်လို
ထေ်ကိန်းရင်းအဆင့်ဆင့် နဲ့မှ ခဖာ်မေလို့မရနိုင်တဲ့ကိန်းမျုးေါ။
ိ
ဥေမာ
3 နှင့် 3 5 တို့ဟာ Irrational ကိန်းခတွ
မဖစ်ခသာ်လည်း Transcendental Number ခတာ့ မဟုတ်ေါဘူး။ ဘာခြကာင့်လဲဆိုခတာ့ ထေ်ကိန်းရင်းခတွနဲ့
ခဖာ်မေနိုင်တာကိုး။ တကယ်ခတာ့
π ရဲ့ အတိကျဆုံးတန်ဖိုးကို ခဖာ်မေချင်ရင် အေိုင်းနဲ့လည်း အတိအကျ
ခဖာ်မေမရဘူး။ ဒသမနဲ့လည်း ခဖာ်မေမရဘူး။ ထေ်ကိန်းရင်းအဆင့်ဆင့်နဲ့လည်း ခဖာ်မေမရေါဘူး။ တစ်နည်းေဲ
ရှိေါတယ်။ π ရဲ့ အတိကျဆုံးတန်ဖိုးကို ခဖာ်မေချင်ရင် သခကခတ π နဲ့သာ ခဖာ်မေနိုင်ေါတယ်။
u
ြဖည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ေုစ္ဆာ (S.5) ကမ္ဘာကိုလမ်းသလျှာက်ေတ်တဲ့ ကိုလံဘား
ကိုလံဘားဟာ အရေ် ၇ ခေ ရှိပေီးသူတို့ပမို့မှာ အရေ်အရှည်ဆုံးေါ။ သူဟာ လမ်းခလျှာက်
အလွန်မမန်ပေီး ကမ္ဘာခေါ်မှာ ဘယ်သူမှမလုေ်နိုင်ခသးတဲ့ အလုေ်တစ်ခုကို သက်စွန့်ဆန်ဖျား
ကကိုးစားခနေါတယ်။ အဲဒါကခတာ့ ကမ္ဘာ့အီခကွတာကို တစ်ေတ်အမေည့် လမ်းခလျှာက်ဖို့ေါေဲ။
ဒါနဲ့ သူဟာ ၂၀၂၂ ခရစ်စမတ်ခန့ကစပေီး လမ်းခလျှာက်ခရီး စထွက်ခဲ့ေါတယ်။ ၂၀၂၄ ခရစ်စမတ်
ခန့မှာခတာ့ သူဟာ ကမ္ဘာတစ်ေတ်ကို ခအာင်မမင်စွာလမ်းခလျှာက်ပေီး ေန်းဝင်လာနိုင်လို့
ကမ္ဘာ့သူရဲခကာင်းတစ်ခယာက် မဖစ်လာေါတယ်။
သမးခေန်း
အီခကွတာတစ်ေတ်လမ်းခလျှာက်ပေီးသွားတဲ့အခါမှာ(က) ကိုလံဘားရဲ့ ဦးခခါင်းနဲ့ ခမခခထာက်၊ အဲဒီနှစ်ခုအနက် ဘယ်ဟာက ခရီးေိုသွားခဲ့ေါ
သလဲ။
(ခ)
ခရီးအကွာအခဝး မည်မျှမခားနားေါသလဲ။
22
(π ၏တန်ဖိုးကို “ 7 ” ဟု အနီးစေ်ယူမခင်းမဖင့် တွက်ေါရန်)
အခမဖကို အခန်း (၇) စာမျက်နှာ (၂၉၉) တွင် ြကည့်ေါ။
Supplemental Puzzle
53
(၉)
အသရးအေါဆုံး ကိန်းငါးလုံးမှေည် အလှေဆုံးညီမျှြခင်းဆီေို့ (တတိယေိုင်း - e)
(From The Five Most Significant Numbers To The Most Beautiful
Equation) (Part III - Euler’s Number e)
ကျွန်ခတာ်အလယ်တန်းတုန်းက အလွန်ချစ်ခဲ့ရတဲ့ သခချာဆရာတစ်ခယာက်ရှိေါတယ်။ ခကျာင်းသားခတွ
ကို သခချာစိတ်ဝင်စားခအာင် လွယ်လွယ်ကူကူ၊ လှလှေေ သခချာဉာဏ်စမ်းခတွ ရှာခေးတတ်ေါတယ်။ ခုခတာ့
ဆရာဆုံးေါးသွားတာေင် နှစ်အတန်ငယ်ြကာေါပေီ။ သို့ခသာ်လည််း သူခေးခဲ့တဲ့ခမးခွန်းခတာ်ခတာ်များများကို
ခုထက်ထိအမှတ်ရဆဲေါ။
ေုစ္ဆာတစ်ေုဒ်ကခတာ့ ဒီလိုေါ။
“တစ်လကို လခ ၁၀၀ ကျေ်နဲ့ခန့်ထားတဲ့ အလုေ်သမားတစ်ခယာက်ကို အလုေ်ရှင်က လုေ်ရည်ကိုင်ရည်
သခဘာကျလို့၊ တစ်နှစ်မေည့်တဲ့ခန့မှာ လခတိုးခေးဖို့ ခခါ်ခတွ့ေါတယ်။ အလုေ်ရှင်က အလုေ်သမားကို ခရေးချယ်ဖို့
လမ်းနှစ်လမ်းခေးေါတယ်။
ေထမလမ်းက တစ်လကို တစ်ဆယ်ကျေ်တိုးမှာမဖစ်ပေီး ဒုတိယလမ်းက နှစ်လကို နှစ်ဆယ်ကျေ်တိုးမှာ
မဖစ်ေါတယ်။ ခမးခွန်းကခတာ့ “သင်သည် ယင်းအလုေ်သမားမဖစ်ခဲ့ခသာ် မည်သည့်လမ်းကိုခရေးမည်နည်း။”
ဆရာ့ခမးခွန်းကို တစ်တန်းလုံးနီးေါးက ဘယ်လမ်းခရေးခရေး အတူတူေဲလို့သာ ခမဖြကေါတယ်။ အက္ခရာ
သခချာ သင်ခါစအရေယ် မဖစ်လို့ထင်ေါတယ်။ နှစ်လနှစ်ဆယ်တိုးကို နှစ်ချင်းခချဖျက်ပေီး တစ်လတစ်ဆယ်တိုးနဲ့
တူတယ်လို့ မမင်ြကေုံရေါတယ်။ အလွန်အခတွးအခခါ် ခစ့စေ်ခသချာတဲ့ ခကျာင်းသူခကျာင်းသားတစ်ခယာက်
တခလကသာ လှည့်ကွက်ကခလးတစ်ကွက်ကို မမင်မိတတ်ေါတယ်။
တစ်လ တစ်ဆယ်တိုးတဲ့သူရဲ့လစဉ်ဝင်ခငွဟာ 100, 110, 120, 130, 140, 150 . . . စသည်တို့မဖစ်ပေီး
နှစ်လ နှစ်ဆယ်တိုးတဲ့သူရဲ့လစဉ်ဝင်ခငွဟာ 100, 100, 120, 120, 140, 140… စသည်တို့ မဖစ်ေါတယ်။
တစ်လချင်းယှဉ်ြကည့်ရင် မမင်သာေါတယ်။ တစ်လ တစ်ဆယ်တိုးတဲ့သူဟာ တစ်လမခားစီမှာ တစ်ဆယ်
ကျေ် ေိုရခနေါတယ်။ ဒါမှမခကျနေ်ခသးဘူးဆိုရင် တစ်နည်းစီရဲ့ စုစုခေါင်း တစ်နှစ်စာဝင်ခငွကို ရှာြကည့်ေါ။ တစ်လ
တစ်ဆယ်တိုးတဲ့နည်းက တစ်နှစ်ကို 1860 ကျေ်ရပေီး တစ်လ နှစ်ဆယ်တိုးတဲ့နည်းက တစ်နှစ်ကို စုစုခေါင်း
1800 ကျေ်ေဲ ရေါတယ်။ ဒီဉာဏ်စမ်းေုစ္ဆာကခန သင်ခန်းစာရတာက “အချန်ိ တိုခလ၊ စိတ်ခလ၊ စုစုခေါင်းရလဒ်
များခလေါေဲ။”
54
ကျွန်ခတာ် အလယ်တန်းတုန်းက သင်ယူခဲ့ရတဲ့ ဒီသင်ခန်းစာကို ခကာလိေ်ဒုတိယနှစ် ကဲကုလအတန်းမှာ
မေန်မမင်ရေါတယ်။ အလယ်တန်းက ေညာအခမခခံချမှတ်ခေးတဲ့ဆရာခတွရဲ့ ခကျးဇူးကကီးမားေုံ သာဓကတစ်ခုေါ။
အဲဒီတုန်းက အတန်းထဲမှာ ကဲကုလဆရာက Euler Number “e” ဆိုတဲ့ ကိန်းခသမဖစ်ခေါ်လာေုံကို ရှင်းမေခန
တာေါ။ ၁၇ ရာစုက ဂျခကာ့ဘာနိုးလီ (Jacob Bernoulli) ဆိုတဲ့သူက ခငွခြကးစုခဆာင်းတဲ့ နှစ်ထေ်တိုးကို
တမဖည်းမဖည်း အချန်ိ တိုပေီး စိတ်သထက် စိတ်ခအာင်ေိုင်း၊ နှစ်တိုးကခန (၆)လတိုး၊ (၆)လတိုးကခန တစ်လတိုး၊
တစ်လတိုးကခန တစ်ရက်တိုး၊ ပေီးမှ တစ်နာရီတိုး၊ တစ်စက္ကန့်တိုး၊ စက္ကန့်ေိုင်းတိုး၊ ခနာက်ဆုံး အဆုံးစွန်၊ ထေ်မံ
စိတ်ေိုင်းမရခတာ့တဲ့ လျှေ်တစ်မေက် တစ်ဆက်တည်းအတိုးအထိ ခတွးရင်းခတွးရင်းနဲ့ ကဲကုလရဲ့အခရးအကကီးဆုံး
ကိန်းတစ်လုံးမဖစ်တဲ့ “e” ကို ရှာခဖွခတွ့ရှိခဲ့ေါတယ်။
ဥေမာတစ်ခုခလာက် စမ်းြကည့်ရခအာင်ေါ။
လူတစ်ခယာက်ဟာ ဘဏ်မှာ 1 ကျေ်စုထားပေီး အတိုးနှုန်းကလည်း ရက်ရက်ခရာခရာ တစ်နှစ်ကို
100% ရတယ် ဆိုေါစို့။ တစ်နှစ်ြကာလာတဲ့အခါမှာ အရင်း 1 ကျေ်၊ အတိုး 100% ကလည်း 1 ဆမဖစ်ပေီး 1 ကျေ်
ဆိုခတာ့ တိုးရင်းခေါင်း 2 ကျေ် မဖစ်လာေါတယ်။
အကယ်၍ တစ်နှစ် 100% ကို နည်းနည်းစိတ်ခေးပေီး နှစ်ဝက်ကို 50% အတိုးခေးရင် အတိုးနှုန်း 50%
1
1
ဆိုတာ 2 ဆ အတိုး၊ ဒါဆိုရင် ေထမ 6 လမှာ အတိုး 50% = 2 ဆ = 0.5 ကျေ်ရပေီး တိုးရင်းခေါင်း 1.50 ကျေ်
1
မဖစ်လာေါတယ်။ ဒုတိယ 6 လအတွက် အရင်း 1.50၊ အတိုးကိုတွက်ရင် 1.50 ရဲ့ 50% = 2 ဆ ဆိုခတာ့ 0.75
မဖစ်လို့ တိုးရင်းခေါင်း 1.50 + 0.75 = 2.25 ကျေ် မဖစ်လာေါတယ်။ ၆ လ အတိုးက တစ်နှစ်အတိုးထက် 0.25
ေိုရတာ မမင်မိေါသလား။
ေုံခသနည်းဆန်ဆန် ခရးမေရရင်ခတာ့ အတိုးတစ်နှစ်ကို နှစ်ကကိမ်ရလို့ (1 + 0.50) ကို နှစ်ခါခမမှာက်
ရတဲ့အတွက် (1 + 0.50) (1 + 0.50) = (1 + 0.50)2 = 2.25 ကျေ် မဖစ်လာေါတယ်။
ဆက်လက်ပေီး 3 လတစ်ကကိမ်တိုးနဲ့ဆိုရင် တစ်နှစ်မေည့်တဲ့အခါ တိုးရင်းခေါင်း ဘယ်ခလာက်မဖစ်လာမယ်
ဆိုတာ တွက်ြကည့်ရခအာင်ေါ။ ရှစ်တန်းသခချာ အလွမ်းခမေခလးခေါ့ခနာ်။
§
1
3 လ အတိုး 25% တိုးဆိုခတာ့ 4 ဆ အတိုးအတွက် တစ်နှစ်ကို အတိုး 4 ကကိမ် ခံစားရေါတယ်။
1
1
တစ်ကကိမ်စီရဲ့ တိုးရင်းခေါင်း = 1 + 25% = 1 + 4 မဖစ်လို့ 4 ကကိမ်အတွက်ဆိုရင် (1 + 4 )
ကို ခလးကကိမ် ဆက်ခမမှာက်ရမယ်။
1
ဒါခြကာင့် တစ်နှစ်အြကာမှာ တိုးရင်းခေါင်း = (1 + 4 )4 = 2.44 ကျေ်
§
ဒီနည်းအတိုင်း ဆက်စဉ်းစားရင် . . .
1
တစ်လတိုးနဲ့တွက်ရင် 12 ဆ အတိုးနှုန်းနဲ့ တစ်နှစ်မှာ အတိုး 12 ကကိမ် ခံစားရေါမယ်။
1
တစ်ကကိမ်စီရဲ့ တိုးရင်းခေါင်းဟာ (1 + 12 ) မဖစ်လို့ 12 ကကိမ်အတွက် တစ်နှစ်မေည့် တိုးရင်းခေါင်း
1
= (1 + 12 ) 12 = 2.61 ကျေ်
55
§
1
တစ်ရက်တိုးနဲ့တွက်ရင် 365 ဆ အတိုးနှုန်းနဲ့ တစ်နှစ်မှာ အတိုး 365 ကကိမ်ခံစားရေါမယ်။
1
တစ်ကကိမ်စီရဲ့ တိုးရင်းခေါင်းဟာ (1 + 365 ) မဖစ်လို့
365 ကကိမ်အတွက် တစ်နှစ်မေည့်
1
တိုးရင်းခေါင်း = (1 + 365 ) 365 = 2.7146 ကျေ်
§
1
တစ်နာရီတိုးနဲ့တွက်ရင် တစ်နှစ်မှာ နာရီခေါင်း 8760 ရှိတဲ့အတွက် အတိုးနှုန်း 8760 နဲ့ တစ်နှစ်
1
မှာ အတိုး 8760 အကကိမ်ခံစားရေါမယ်။ တစ်ကကိမ်စီရဲ့ တိုးရင်းခေါင်းဟာ (1+ 8760 ) မဖစ်လို့
1
အကကိမ် 8760 အတွက် တစ်နှစ်မေည့်တိုးရင်းခေါင်း = (1 + 8760 )8760 = 2.7181 ကျေ်
§
အကယ်၍ တစ်နှစ်အတွက် အတိုးများကို 2 စိတ်၊ 4 စိတ်၊ 12 စိတ်၊ 52 စိတ် . . . စသည်မဖင့်
1
စိတ်ေိုင်းမဲအ
့ စား ခယဘုယျကျကျ “n” စိတ်နဲ့ ေိုင်းစိတ်လိုက်ရင် အတိုး n နှုန်းနဲ့ တစ်နှစ်
1
အတွက် အတိုး n ကကိမ် ခံစားရမှာေါေဲ။ တစ်စိတ်စီအတွက် တိုးရင်းခေါင်းသည် (1 + n )
1
မဖစ်လို့ တစ်နှစ်အတွက် တိုးရင်းခေါင်းဟာ (1 + n )n မဖစ်ေါတယ်။ အဲဒါဟာ တစ်နှစ်အတွက်
တိုးရင်းခေါင်းနဲ့ ခယဘုယျေုံခသနည်းေါ။ (n is the number of times the compound
interest occurs in a year.)
§
အချန်ိ ကို တမဖည်းမဖည်းတိပု ေီး စိတခ
် ေးလိက
ု တ
် ဲအ
့ ခါ တိုးရင်းခေါင်းသည် တမဖည်းမဖည်း တိုးတက်
ကကီးမားလာတာကို အခေါ်က ဥေမာများမှာ ထင်ရှားစွာခတွ့နိုင်ေါတယ်။ တိုးရင်းခေါင်းတို့ကို
စုခေါင်းပေီးနှိုင်းယှဉ်ြကည့်ရင် 2.25, 2.44, 2.61, 2,69, 2.7146, 2.7181, . . . တို့မဖစ်ြကေါတယ်။
ယှဉ်ြကည့်ေါ၊ ခနာက်ေိုင်းမှာ တိုးရင်းခေါင်းတို့ရဲ့ တိုးတက်ကကီးမားလာတဲ့နှုန်းဟာ တမဖည်းမဖည်း
ခနှးခကွးခလျာ့ကျလာပေီး ရေ်လုခမန်းထိခတာင် မဖစ်လာတာကို ခတွ့ေါလိမ့်မယ်။ ဘာနိုးလီ
ဟာ အဲဒီတိုးရင်းခေါင်းခတွ ဘယ်ခလာက်တိုးတက်လာပေီး ဘယ်ကိန်းကို ချဉ်းကေ်လာသလဲ
ဆိုတာကို သိချင်ေါတယ်။ ဒါခြကာင့်
အစိတ်ခေါင်းကို ခထာင်မှ ခသာင်း၊ ခသာင်းမှ သိန်း၊
သိန်းမှ သန်းသို့ တစ်စတစ်စ ချဉ်းကေ်ခစေါတယ်။ အဲဒါကို ကဲကုလရဲ့ လစ်မစ်သခဘာတရားနဲ့
ခမောရရင်ခတာ့ အစိတ်အခရအတွက်ကို n လို့ထားရင် “n
§
အဲဒီအစိတ်ငယ်ခေါင်း n သည် “n
3 ” မဖစ်ေါတယ်။
3 ” မဖစ်လာတဲ့အခါမှာ ရလာတဲ့ တိုးရင်းခေါင်းရဲ့
အဆုံးစွန်ချဉ်းကေ်လာတဲ့တန်ဖိုးကို “n” လို့ သတ်မှတ်ေါတယ်။
ခယဘုယျေုံခသနည်းမှာ လစ်မစ် n
3 တေ်ဆင်ခေးလိုက်ရင်
အိုင်လာကိန်း “e” ကို ရေါတယ်။
1
e = lim (1 + n ) n
n"3
§
. . . (A)
ဂျခကာ့ဘာနိုးလီက အခေါ်ကခမောခဲ့တဲ့အတိုင်း နှစ်ထေ်တိုးကို ခလ့လာစဉ် 1665 ခန့်က
ခဖာ်ထုတ်ခတွ့ရှိခဲ့တဲ့ ကိန်းခသ “e” ဟာ ခနာင်မှာ Eulers Number လို့ အမည်တွင်လာ
56
ေါတယ်။ စင်စစ် ဘာနိုးလီထက် အိုင်လာက နှစ်ခေါင်း ၅၀ ခန့် ခနာက်ကျခနေါတယ်။ သို့ခသာ်
လည်း ကဲကုလနဲ့ သိေ္ပံဘာသာရေ်ခေါင်းစုံအတွက် ထင်ရှားတဲ့ စာတမ်းများစွာကို “e” ခေါ်မှီပေီး
ခဖာ်ထုတ်နိုင်ခဲ့လို့ Euler Number လို့ ခခါ်တွင်မခင်း မဖစ်ေါတယ်၊
အထက်မှာ ခဘာင်ခတ်ထားတဲ့ “e”ရဲ့ အဓိေ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်လည်း မဖစ်တဲ့ေုံခသနည်း (A)
ခြကာင့် ကဲကုလရဲ့ ခအာက်ေါတန်ဖိုးမမဖတ်နိုင်တဲ့ ရတနာသုံးလုံး ထွက်ခေါ်ခဲ့ေါတယ်။ အဲဒီ
ရတနာသုံးလုံးမရှိရင် ကဲကုလဆိုတာလည်း မရှိနိုင်ခတာ့ေါဘူး။
n=3
1
1 1 1 1 1 1
(1) e = / n! = 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . .
n=0
d
(2) dx (e x) = e x (ex ကို exp (x) လို့လည်း ခရးေါတယ်။)
(3)
# e x dx = e x + C
ရှင်းေါဦးမယ်။
1 1 1
(1) π ရဲ့ တန်ဖိုးကိုရှာစဉ်တုန်းက ကိန်းစဉ်တန်း 1 - 3 + 5 - 4 + f ရဲ့ ကိန်းလုံးခတွခေါင်းပေီး
အနီးစေ်ရှာခဲ့တာ မှတ်မိေါဦးမယ်။ ခုလည်းေဲ “e” ရဲ့ တန်ဖိုးကို ရှာတဲ့အခါမှာ ညီမျှမခင်း (1)
ကို သုံးပေီး ရှာရေါတယ်။ ကိန်းလုံးခေါင်း 20 ခလာက်ရဲ့ ခေါင်းလဒ်ကိုရှာလိုက်ရင် ဒသမ
ဆယ်ခနရာခလာက်အထိ အမှန်ကို ရေါတယ်။ e = 2.7182818284 . . . ကို ရေါတယ်။
(2) ex ကို Exponential Function လို့ ခခါ်ေါတယ်။ အလွန်ထူးမခားလှေတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခု
d x = x
ေိုင်ဆိုင်ေါတယ်။ သူ့ကို Differentiate လုေ်ရင် သူေဲ မေန်ရေါတယ်။
dx (e ) e
(3) သူ့ကို Integrete လုေ်ရင် သူေဲ မေန်ရေါတယ်။
d x = x
dx (e ) e
# (e x) dx = e x + C
u
# e x dx = e x + C
57
(၁၀) အသရးအေါဆုံးကိန်းငါးလုံးမှေည် အလှေဆုံးညီမျှြခင်းဆီေို့ -စတုတ္ထေိုင်း -နိဂုံး
(အေိုင်လာ နှင့် ဘုရားေခင်ရှိမရှိ သမးခေန်းနှင့် အသြဖ)
From The Five Most Significant Numbers To The Most Beautiful
Equation - Part IV - Conclusion (Euler & Existence of God Question)
“ဘုရားေခင် အမှန်တကယ် တည်ရှိေါေလား။”
ဒီခမးခွန်းဟာ လွန်ခဲ့တဲ့နှစ်သုံးရာနီးေါးခလာက်က သခချာခလာကကို ခရာက်လာပေီး သခချာေါရမီရှင်
Leonard Euler ကို ခမးြကေါတယ်။
သခချာမှာရှိတဲ့ အဆိုအမိန့်၊ မှန်ကန်ချက်ခတွဟာ ထာဝရတည်ပမဲေါတယ်။ ဥေမာ ေိုက်သာဂိုရေ်(စ်)
သီအိုရမ်သည် တစ်ခန့မှာ မှားခနမလားလို့ ေူေန်စရာမလိုေါ။ Quadratic Formula ဟာ တစ်ခန့ ခမောင်းသွား
မလားလို့ ခတွးေူဖို့မလိုေါဘူး။ ဒါခြကာင့် ဘုရားသခင် ရှိမရှိဆိုတဲ့ခမးခွန်း သခချာခလာကကို ခရာက်လာတာဟာ
တကယ်ခတာ့ မဆန်းလှေါဘူး။
ကျွန်ခတာ့် ကိုယ်ေိုင်အခတွ့အကကုံကို အရင်ခမောေါရခစ။ ကျွန်ခတာ် အသက်ငါးဆယ်မမေည့်ခင်ခလးမှာ
မမန်မာမေည်ကခန ထွက်ခွာခဲ့ေါတယ်။ ေထမ ခလး,ငါးနှစ်မှာ အခမခတကျမမဖစ်နိုင်လို့ အလုေ်နဲ့အိမ်ြကား ကူးလူး
ခနရပေီး ဘယ်မှ မလည်နိုင်၊ ဘာအခေျာ်မှမရှာနိုင်၊ ကျန်းမာခရးနဲ့ အလုေ်ပမဲဖို့ေဲ အာရုံမေုခနရေါတယ်။ ကံခကာင်း
ခထာက်မ Weekend တိုင်းခတာ့ ကိုယ်စိတ်ဝင်စားတဲ့ ခဂါက်သီးရိုက်ပေိုင်ေွဲခတွကို TV မှာ ြကည့်ခွင့် ရခဲ့ေါတယ်။
အဲဒီတုန်းက Tiger Woods ဟာ အသက်နှစ်ဆယ်ခကျာ်၊ သူ့ဘဝရဲ့ အထက်မမက်ဆုံးကာလခေါ့။
မမဖစ်နိုင်သခလာက်
ခက်ခဲတဲ့ရိုက်ချက်ခတွနဲ့
ခအာင်ေွဲခတွ
တစ်ေွဲပေီးတစ်ေွဲရခနတဲ့ကာလေါ။
ေွဲတစ်ေွဲရဲ့
ခနာက်ဆုံးတစ်ချက်ဝင်ခအာင် ကျင်းစိမ်မှ နိုင်မယ်ဆိုရင် ခေ သုံး,ခလးဆယ်အကွာကခန တကယ်ဝင်ခအာင်
ကျင်းစိမ်ပေီး အနိုင်ယူတတ်ေါတယ်။ ေထမခတာ့ ကံခကာင်းလိုက်တာလို့ ခရရေတ်မိေါတယ်။ ခနာက်ခတာ့ ဒါမျုးိ
ဆင်တူခတွ ဆက်တိုက်ခတွ့လာရေါတယ်။ ခေကိုးဆယ်ခကျာ်ကခန တစ်ချက်တည်းဝင်ခအာင် ကျင်းစိမ်တာကို
မမင်ဖူးသလို၊ ကိုက်နှစ်ရာခကျာ်ကခန တစ်ချက်တည်းဝင်ခအာင် ရိုက်သွားတာကိုလည်း ခတွ့ဖူးေါတယ်။
58
တစ်ခါကလည်း ကျင်းစိမ်တာမှာ ကျင်းဆီကိုမရိုက်ဘဲ ခထာင့်မှန်ကျတဲ့ဘက်ဆီကို ရိုက်လိုက်တာ၊
ဘယ်လိုကကီးေါလိမ့်လို့ တအံ့တဩခတွးခနတုန်း၊ ခဂါက်သီးက စက်ဝိုင်းမခမ်း လမ်းခြကာင်းတစ်ခုလို ဝိုက်ပေီး
ခနာက်ဆုံးခတာ့ ကျင်းထဲ တန်းတန်းမတ်မတ် ဝင်သွားေါတယ်။ သူ့ရဲ့ခအာင်မမင်မှုသရဖူခဆာင်းခဲ့တဲ့ Major
ေွဲတစ်ေွဲမဖစ်တဲ့ ၂၀၀၀ မေည့်နှစ် US OPEN ေွဲမှာ သူ့ခအာင်မမင်မှုစတိုင်ကို အထင်ရှားဆုံးမမင်ရေါတယ်။ နိုင်ငံတကာ
လက်ခရေးစင်ခတွအားလုံးမှာ အခကာင်းဆုံးရိုက်ချက်က +3 ေါ။ သူတို့အားလုံး ညံ့ြကလို့ခတာ့မဟုတ်ေါဘူး။
US OPEN ရဲ့ထုံးစံအတိုင်း ခဂါက်ကွင်းကို မခတာ်မတရားခက်ခဲခနခအာင် မေုမေင်ထားလို့ေါ။ တစ်ကွင်းလုံးမှာ
Tiger Woods တစ်ခယာက်တည်းသာ သတ်မှတ်ရိုက်ချက်ခအာက် ရိုက်နိုင်ခဲ့ေါတယ်။ သူဟာ -12 နဲ့ ခအာင်ေွဲခံ
ခဲ့ေါတယ်။
အဲဒီတုန်းက
အားကစားခဆာင်းေါးရှင်တစ်ဦးခရးတာကို
သခဘာကျမိေါတယ်။
“ကံသကာင်းရင်
တစ်တကိမ် နှစ်တကိမ်သေါ့။ ေါရမီသကာင်းရင် နှစ်တကိမ် ေုံးတကိမ်သေါ့။ အတကိမ်သေါင်းများစော မြဖစ်နိုင်ေသလာက်
ခက်ခဲတဲ့ြဖစ်ရေ်သတေကို ဆက်တိုက်ဖန်တီးနိုင်တာဟာ ဘုရားေခင်ရဲ့အလိုသတာ်သြကာင့်ေါေဲလို့” ခကာက်ချက်ချ
ေါတယ်။ အဲဒီတုန်းက ကျွန်ခတာ့်ခခါင်းထဲမှာ အခတွးတစ်ခုဝင်လာေါတယ်။ “ ဘုရားသခင်ရဲ့ အလိုခတာ်ခြကာင့်
ေါ” ဆိုရင် Tiger Woods ဟာ ဘုရားသခင် အမှန်တကယ်ရှိတယ်လို့များ သွယ်ဝိုက်သက်ခသမေလိုက်သလား
လို့ေါ။
သခချာခလာကမှာလည်း မမဖစ်နိုင်ဘူးလို့ ထင်ရခလာက်ခအာင် ခက်ခဲတဲ့မဖစ်ရေ်ဆန်းခတွ ရှားရှားေါးေါး
မဖစ်ခနတာ ရံဖန်ရံခါ ကကုံရတတ်ေါတယ်။
သခချာရဲ့ အခရးအေါဆုံးကိန်းငါးလုံးအခြကာင်းကို ခရှ့မှာခမောခဲ့ေါတယ်။
1 နဲ့ 0 ကခတာ့ အခမခခံ
အကျဆုံးဂဏန်းသခချာ (Arithmetics) ရဲ့ ကိန်းနှစ်လုံးေါ။ ရှင်းတယ်။ လွယ်တယ်။ ဒါခေမဲ့ သိေ်အခရးကကီးတယ်။
ပေီးခတာ့တစ်ခါ ကိန်းစစ်စနစ်သက်သက်နဲ့ ညီမျှမခင်းခတွခမဖရှင်းတာမှာ မထိခရာက်လို့ ကိန်းခယာင် “i =
-1 ”
ကို ထွင်ရေါတယ်။ အဲဒီခတာ့မှ ထေ်ကိန်းတန်းညီမျှမခင်း(Polynomial Equations) ခတွကို ထိထိခရာက်
ခရာက် ခမဖရှင်းနိုင်ေါခတာ့တယ်။
π ကခတာ့ စက်ဝိုင်းတစ်ခုရဲ့အဝန်းနဲ့ အချင်းမျဉ်းရဲ့ အချုးေါ။
ိ
ဝန်းဝိုင်းတဲ့ဂျဩခမကတီ
ီ
ေုံသဏ္ဌာန်ခတွကို
ခလ့လာတဲ့အခါ π ဟာ မရှိမမဖစ်တဲ့ သခကခတတစ်ခုေါ။ Transcendental Number မဖစ်လို့ အေိုင်းေုံစံနဲ့လည်း
မခဖာ်မေနိုင်၊ ဒသမကိန်းအခနနဲ့ အဆုံးမသတ်နိုင်၊ ထေ်ကိန်းရင်း “roots” ခတွနဲ့လည်း မပေီး၊ ဒသမကိန်းအခန
နဲ့ေဲ အနီးစေ်တန်ဖိုးကို ေင်ေန်းကကီးစွာ ရှာလို့ရေါတယ်။
“e” ေါ။ ဘာနိုးလီက နှစ်ထေ်တိုးကိုခလ့လာရင်းနဲ့
ခတွ့ရှိခဲ့တဲ့ အဲဒီကိန်းဟာ Calculus ရဲ့အသည်းနှလုံးမဖစ်လာေါတယ်။ ဘာခြကာင့်လဲဆိုခတာ့ ကိန်းခသ “e”
ကခန ခေါက်ေွားလာတဲ့ Exponential Function “e to the power x” သို့မဟုတ် exp(x) သို့မဟုတ် “e^x”
သို့မဟုတ် “ex” ဟာ အလွန်ထူးမခားလှေတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခု ေိုင်ဆိုင်လို့ေါေဲ။
ခနာက်ဆုံးတစ်ခုကခတာ့
အွိုင်လာရဲ့ကိန်း
Exponential Function ကို Differentiate လုေ်ရင် သူကိုယ်တိုင်ေဲမေန်ရေါတယ်။ Integrate
လုေ်ရင်လည်း သူကိုယ်တိုင်ေဲ မေန်ရေါတယ်။
မှတ်ချက် ။ ။ ဤခဆာင်းေါးတွင် ထေ်ကိန်းကို အချွန်သခကခတ “^” မဖင့် ရံဖန်ရံခါ ခဖာ်မေေါမည်။
ဥေမာ - 5^3 သည် 53 ကို ဆိုလို၍ တန်ဖိုးမှာ 125 မဖစ်သည်။
59
π နဲ့ “e” ကို နှိုင်းယှဉ်ြကည့်ရင် ကိန်းနှစ်ခုလုံးဟာ Irrational မဖစ်ရုံမက Transcendental
Number လည်း မဖစ်ေါတယ်။ ဒါခေမဲ့ π ဟာ ဂျဩခမကတီ
ီ
ကခနဆင်းသက်လာပေီး “e” ကခတာ့ အဆက်မမေတ်
တိုးေွားမှု (Continuous Growth) နဲ့ ေတ်သက်ခနေါတယ်။ ဘဏ်စခ
ု ငွရဲ့ နှစထ
် ေ်တိုး (Compound Interest) လို
မျုး၊ိ ဘက်တီးရီးယားတိုးေွားေုံမျုး၊ိ အေင်ကကီးထွားေုံမျုး၊ိ ကမ္ဘာ့လူဦးခရတိုးေွားတဲ့ မေဿနာမျုးခတွ
ိ
ခလ့လာတဲ့အခါ
အလွန်အခရးေါေါတယ်။ အဲဒီကိန်းနှစ်လုံးဟာ ရှုေ်ခထွးတာချင်းတူတာကလွဲလို့ ကျန်တာခတွ လုံးဝ အဆက်
အစေ်မရှိသခလာက် ကွဲမေားေါတယ်။ အဲဒီလိုဆက်စေ်မှုမရှိတာခတွကို Euler ဟာ သူ့ရဲ့ကကီးမားတဲ့ ေညာေါရမီနဲ့
ဆက်စေ်မေနိုင်ခဲ့ေါတယ်။
π ရဲ့တန်ဖိုးကို ကိန်းစဉ်တန်း 1 - 13 + 15 - 17 +… = !"
4 နဲ့ချဉ်းကေ်ပေီး အနီးစေ်တန်ဖိုးရှာနိုင်တယ်လို့
ခရှ့မှာ π အခြကာင်းခဆွးခနွးတုန်းက ခမောခဲ့ေါတယ်။ တကယ်ခတာ့ ကဲကုလခေါ်ခေါက်လာပေီးတဲ့ခနာက်ေိုင်းမှာ
ကိန်းစဉ်တန်းအခြကာင်း အများကကီးေိုသိလာြကေါတယ်။ π တင်မကေါဘူး။ ရှိသမျှ အဓိကဖန်ရှင်အားလုံးလိုလို
ကို ကိန်းစဉ်တန်းနဲ့ ချဉ်းကေ်နိုင်ေါတယ်လို့ Maclaurin က ခမောခဲ့ေါတယ်။ ရိုးရိုးကိန်းစဉ်တန်းခတာ့ မဟုတ်ဘူး။
x ရဲ့ အထေ်ခတွေါတဲ့အတွက် “Power Series” လို့ ခခါ်ေါတယ်။ အဲဒီလိုချဉ်းကေ်တဲ့ကိန်းစဉ်တန်း Power
Series ခတွကိုလည်း Taylor Series (သို့မဟုတ်) Maclaurin Series လို့ ခခါ်ေါတယ်။ အထင်ရှားဆုံးဥေမာ
သုံးခုအခနနဲ့ Exponential Function ex ရယ်၊ sin x နဲ့ cos x တို့ရဲ့ Maclaurin Series ကို ေူးတွဲေါေုံမှာ
ြကည့်လိုက်ေါ။
မက္ကသလာရင်း ကိန်းစဉ်တန်းမှ အေိုင်လာေုံသေနည်း (ေို့)
Maclaurin’s Series
ex =
x2 x3 x 4 x5
1 + x + 2! + 3! + 4! + 5! + . . .
cos x =
x 2 x 4 x6
1 - 2! + 4! - 6! + . . .
sin x =
x 3 x 5 x7
x - 3! + 5! - 7! . . .
လှေတယ်လို့ ထင်ေါသလား။ သို့မဟုတ် အကျည်းတန်တယ်လို့ ထင်ေါသလား။ ဘယ်လိုေဲထင်ထင်၊
အဲဒီညီမျှမခင်းသုံးခြကာင်းကခန Euler ဟာ ကမ္ဘာ့အလှေဆုံးညီမျှမခင်းကို ဖန်တီးနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ နည်းနည်းေိုပေီး
မေူးြကည့်လိုက်ရခအာင်ေါ။
ေထမဆုံးညီမျှမခင်းမဖစ်တဲ့ Exponential Function ရဲ့ ကိန်းလုံးခတွကို စုံ,အထေ် နဲ့ မ,အထေ် ဆိုပေီး
နှစ်ေိုင်းခွဲလိုက်ေါ။ တိုက်တိုက်ဆိုင်ဆိုင်ေဲ စုံအထေ်ကိန်းလုံးခတွဟာ cos x ရဲ့ကိန်းလုံးခတွနဲ့ တစ်ထေ်တည်း
တူခနပေီး၊ မ,အထေ်ကိန်းလုံးခတွဟာ sin x ရဲ့ကိန်းလုံးခတွနဲ့ တစ်ထေ်တည်းတူခနေါတယ်။ မမမင်ခသးဘူးဆိုရင်
ခနာက်တစ်ခခါက်ြကည့်လိုက်ေါဦး။ ကိုယ့်ဦးခခါင်းခလးလည်း နည်းနည်းခခါက်ခေးလိုက်ေါ။ စင်စစ် မမင်ဖို့
မခက်လှေါဘူး။
60
ဒါခေမဲ့ ကွဲလွဲချက်ရှိခနေါခသးတယ်။ လက္ခဏာေါ။ sin x နဲ့ cos x ရဲ့ Maclaurin Series မှာ လက္ခဏာ
ဟာ အခေါင်း၊ အနုတ် တစ်လှည့်စီခမောင်းခနေါတယ်။ Exponential Function ex မှာခတာ့ အနုတ်မေါဘူး။
ဒီမေဿနာကို Euler က Imaginary Number “i” နဲ့ ခမဖရှင်းနိုင်ခဲ့ေါတယ်။ i = - 1
ဆိုခတာ့ i2 = -1
မဖစ်ပေီး အနုတ်လက္ခဏာခတွကို ဖန်တီးခေးလိုက်နိုင်တာခေါ့။ ဒါခြကာင့် Exponential Function ကို ex အစား
eix ကို သုံးလိုက်ခတာ့ အနုတ်လက္ခဏာမေါတဲ့ညီမျှမခင်းဟာ အနုတ်လက္ခဏာခေါင်း အခရအတွက် တစ်ဝက်
ေါလာတာခေါ့။ ခတာ်လိုက်ေါခေ့ ဆရာကကီး Euler ရယ်။ စူေါ့စူေါခလးစားစရာေါ။
ခနာက်ဆုံးေိတ်
လက္ခဏာခတွညှိနှိုင်းလိုက်တဲ့အခါမှာ
အွိုင်လာေုံခသနည်းလို့ခခါ်တဲ့
ညီမျှမခင်း
တစ်ခြကာင်း ရလာေါတယ်။
eix = cos x + i sin x • • • (Euler’s Formula)
အဲဒီညီမျှမခင်းကို အွိုင်လာေုံခသနည်း (Euler’s Formula) လို့ ခခါ်ေါတယ်။ အသုံးဝင်လွန်းလို့ သခချာ
ေညာရှင်ခတွတင်မကဘူး ရူေ၊ ဓာတု၊ အင်ဂျင်နီယာေညာရှင်အားလုံး ချးကျူးြကရတဲ
ီ
့ ကမ္ဘာခကျာ်ညီမျှမခင်းေါ။
ခစ့ခစ့စေ်စေ်သိချင်တဲ့သူခတွ အခေါ်က Maclaurin Series
သုံးခုနဲ့ Euler’s Formula ကို ချန်ိ ကိုက်
ြကည့်နိုင်ေါတယ်။ ခေျာ်စရာခလးေါ။
ခုခနာက်ဆုံးအခနနဲ့ “Euler’s Formula” ရဲ့ x ခနရာမှာ π ကို အစားထိုးလိုက်ရင် အလွန်ထူးမခားတဲ့
ညီမျှမခင်းတစ်ခြကာင်းရေါတယ်။ အစားထိုးြကည့်ရခအာင်။
x = π အစားထိုးခသာ်
eiπ = cos π + i sin π
. . . (1)
π Radians = 180° မဖစ်ခြကာင်းသတိမေုေါ။ ဒါခြကာင့်
cos π = cos(180°) = -1; sin π = sin(180°) = 0 မဖစ်ေါတယ်။
ဒါခြကာင့်(1) မှာအစားထိုးရင်-
eiπ = -1 + 0
ခနာက်ဆုံးမှ
eiπ + 1 = 0
. . . (2)
ကို ရေါတယ်။ အဲဒီညီမျှမခင်း(2) ကို “Euler’s Identity” လို့ ခခါ်ေါတယ်။
Euler Identity မှာ ဘာများထူးမခားေါသလဲ။ ခရှ့မှာခဖာ်မေခဲ့တဲ့ အတိုင်း အခရးအေါဆုံး သခကခတငါးမျုးိ
လုံး 1, 0, i, π နဲ့ e ဟာ ညီမျှမခင်းတစ်ခုတည်းမှာေါဖို့ဆိုတာ မမဖစ်နိုင်သခလာက် ခက်ခဲေါတယ်။ ခုခတာ့ “Euler’s
Identity” မှာ တစ်လုံးကို တစ်ကကိမ်စီ တိတိကျကျ လှလှေေ မမင်ခနရေါပေီ။ ဒီညီမျှမခင်းကိုချစ်တဲ့သူခတွက အခမခခံ
သခကခတ ငါးမျုးရဲ
ိ ့ ဆက်သွယ်တဲ့ညီမျှမခင်းဟာ တိုတိုရှင်းရှင်း၊ လွယ်လွယ်ကူကူမဖစ်ခနတာကို တအံ့တဩမဖစ်ြက
ေါတယ်။ ပေီးခတာ့ သခချာရဲ့အခမခခံအကျဆုံးခသာ Operations မဖစ်တဲ့ အခေါင်းရယ်၊ အခမမှာက်ရယ်၊
အထေ်ရယ် ရှင်းရှင်းလင်းလင်း တစ်ကကိမ်စီသာ ေါဝင်ေါတယ်။ အလွန့်အလွန်ကျစ်လျစ်လှေတဲ့ “Most Elegant
Equation” ခလးေါဆိုပေီး သခချာေညာရှင်တိုင်းက တစ်သမတ်တည်း မှတ်ချက်ချရေါတယ်။
1990 တုန်းက သခချာဂျာနယ်တစ်ခုမဖစ်တဲ့ “Mathematical Intelligencer” ကခနပေီးခတာ့ သခချာ
ေညာရှင်ခတွကို “ကမ္ဘာ့အလှေဆုံးေုံခသနည်း” တစ်ခု ခရေးချယ်မဲထည့်ခစပေီး ဆုံးမဖတ်ရာမှာ “Euler Identity”
ဟာ မဲအများဆုံးရခဲ့လို့ သခချာခလာကမှာ အလှေဆုံးသရဖူဘွဲ့ကိုလည်း လက်ရှိခံယူထားေါတယ်။
61
ဘုရားသခင် ရှိမရှိဆိုတဲ့ ခမးခွန်းကို မေန်သွားြကရခအာင်ေါ။ 1750 ခလာက်တုန်းက Euler ကို ခတွ့ဆုံ
ခမးမမန်းတဲ့ Interview တစ်ခုမှာ ဘုရားသခင် ရှိ,မရှိ ခမးေါတယ်။ ကမ္ဘာ့အခက်ခဲဆုံးခသာခမးခွန်းဟာ ခနာက်ဆုံး
ခတာ့ ကမ္ဘာ့အခတာ်ဆုံးေုဂ္ဂိုလ်ဆီ ခရာက်လာေါခတာ့တယ်။ Leonhard Euler က “သခချာရဲ့အခမခခံကိန်းငါးလုံး
အားလုံးေါဝင်ေတ်သက်တဲ့ ညီမျှမခင်းတစ်ခု မဖစ်ခေါ်ဖို့ဆိုတာ မခတွးခကာင်းခလာက်ခအာင် ခက်ခဲေါတယ်။
ခုခတာ့ခတွ့ခနရေါပေီ။ ဘုရားသခင်ရဲ့ဖန်တီးမှုခြကာင့်သာ ရှာခဖွခတွ့ရှိနိုင်တာ မဖစ်ေါတယ်”လို့ ခမဖခဲ့ေါတယ်။
Euler ဟာ ဘာသာခရးကိုင်းရှိုင်းသူလည်းမဖစ်လို့ ဘုရားသခင် တည်ရှိေါတယ်လို့ သွယ်ဝိုက်ခမဖြကားခဲ့တာ
မဖစ်ေါတယ်။
“Euler ကို မသိရင် သခချာသမားမဟုတ်ဘူး” လို့ ကျွန်ခတာ် B.Sc. ခနာက်ဆုံးနှစ်တုန်းက Number
Theory ဆရာမ ခဒါက်တာလှလှစိန် ခမောခဲ့တာ ခုထိသတိရခနေါတယ်။ တကယ်ခတာ့ သခချာမှာ Euler ရဲ့
တီထွင်ချက်ခတွဟာ များလည်းများ၊ အခရးလည်းကကီးေါတယ်။ များလွန်းလို့ သူ့နာမည်နဲ့ မှည့်ခခါ်ရတာကိုက
ဆင်တူခတွထေ်ခနေါတယ်။
ဥေမာ- သခချာခလာကမှာ Euler အမည်တွင်ခနတဲ့ ကိန်းခသခေါင်းခမမာက်မမားစွာကိုြကည့်ရင် Euler
Number e, Euler constant γ, Euler Characteristic χ, Eulerian Number… ဆိုတဲ့ ကိန်းခတွ
အမျုးမျ
ိ ုးိ ရှိေါတယ်။ Euler အမည်တွင်တဲ့ Equation ခတွ၊ ဖန်ရှင်ခတွ၊
Formula ခတွ ထည့်တွက်ရင်
ရာဂဏန်းရှိတယ်လို့ ဆိုေါတယ်။ ခနာက်ေိုင်းကျခတာ့ နာမည်ခတွ ခရာခထွးတာ၊ ထေ်တာ မမဖစ်ခအာင် Euler
ရဲ့ နာမည်အစား ခနာင်လာခနာက်သား တမခားေညာရှင်ခတွရဲ့ နာမည်ခမောင်းပေီးလည်း မှည့်ခခါ်ရေါခသးတယ်။
62
ဒီခလာက်ထက်မမက်တဲ့ စွမ်းခဆာင်မှုခတွလုေ်နိုင်ဖို့အတွက် Euler ဟာ သာမန်လူသားတစ်ခယာက် မဟုတ်
တန်ရာ။ ဘုရားသခင်က သခချာနှင့် သိေ္ပံခလာကအတွက် ဖန်တီးထားတဲ့ အာဂလူသားတစ်ဦးသာ မဖစ်နိုင်ေါ
ခတာ့တယ်။ စင်စစ် ဘုရားသခင် အမှန်တကယ်ရှိခြကာင်း Euler ကိုယ်တိုင်သည်သာ အခကာင်းဆုံးခသာ
သက်ခသေင် မဟုတ်ေါခလာ။
u
ြဖည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ေုစ္ဆာ (S.6) သကျာင်းစာြကည့်တိုက်က ဉာဏ်စမ်းပေိုင်ေေဲ
ခမွးသက္ကရာဇ်နှင့်ေတ်သက်လာရင် ကမ္ဘာခေါ်ရှိလူမျုးတိ
ိ ုင်းလိုလို အလွယ်နည်းတစ်ခုကို သုံးပေီး
ခဖာ်မေခလ့ရှိေါတယ်။ ခနာက်ဆုံးဂဏန်းနှစ်လုံးကိုသာ ခဖာ်မေခသာနည်းေါ။ ဥေမာ ဦးလှရဲ့ ခမွး
သက္ကရာဇ် ဟာ 1976 မဖစ်ရင် 76 ခုနှစ်ဖွားလို့သာ ဆိုခလ့ရှိေါတယ်။ ခရှ့ဂဏန်းနှစ်လုံး “19” မှာ
ထင်ရှားခနလို့ အချန်ိ ကုန်ခံပေီး ထည့်ခမောခလ့မရှိေါ။ အလားတူေါေဲ။ မမမရဲ့ ခမွးသက္ကရာဇ်သည်
2016 မဖစ်ရင် 16 ခုနှစ်ဖွားလို့သာ ခမောြကခလ့ရှိေါတယ်။ ခရှ့ဂဏန်းနှစ်လုံး “20” မှာ ထင်ရှားခနလို့
အချန်ိ ကုန်ခံပေီး ထည့်ခမောခလ့မရှိေါ။
အခု ချစ်စရာ အသက်ေုစ္ဆာခလးတစ်ေုဒ်ကို ြကည့်ြကမယ်။
2024 ဒီဇင်ဘာ 31 ရက်မှာ အလယ်တန်းခကျာင်းတစ်ခကျာင်းရဲ့ ခကျာင်းစာြကည့်တိုက်
အတွင်း ဉာဏ်စမ်းပေိုင်ေွဲနှစ်ေွဲ ကျင်းေေါတယ်။
ေထမေွမ
ဲ ှာ ပေိုင်ေဝ
ွဲ င်ခကျာင်းသူခကျာင်းသားတိင
ု ်းဟာ မိမရ
ိ ဲ့ ခမွးသက္ကရာဇ် (ခနာက်ဆုံးဂဏန်း
နှစ်လုံး) ကို မိမိရဲ့အသက်နဲ့ မေန်ခေါင်းရေါတယ်။ ခေါင်းလဒ်တန်ဖိုးအကကီးဆုံးရတဲ့သူကို ဆုခေးမှာ
မဖစ်ေါတယ်။
သမးခေန်း
(က) ပေိုင်ေွဲဝင် ခကျာင်းသူခကျာင်းသားခတွရဲ့ ခေါင်းလဒ်ခတွအားလုံးကို စစ်ခဆးလိုက်တဲ့အခါမှာ
အခမဖအားလုံးဟာ တစ်ထေ်တည်း ညီတူညီမျှထွက်ခနလို့ ဘယ်သူမှ ဆုမရြကေါဘူး။ အဲဒီ
တူညီခနတဲ့ခေါင်းလဒ်ဟာ ဘယ်ခလာက်လဲ။
ေထမပေိုင်ေွဲဟာနိုင်သူမဲ့ပေီးသွားတဲ့ခနာက် ဒုတိယပေိုင်ေွဲကို ဆက်လက်ကျင်းေေါတယ်။ ပေိုင်ေွဲ
ဝင်ခကျာင်းသူခကျာင်းသားတိုင်းဟာ မိမိဖခင်ရဲ့ ခမွးသက္ကရာဇ် (ခနာက်ဆုံးဂဏန်းနှစ်လုံး) ကို
မိမိဖခင်ရဲ့အသက်နဲ့ မေန်ခေါင်းရေါတယ်။ ခေါင်းလဒ်တန်ဖိုးအကကီးဆုံးရတဲ့သူကို ဆုခေးမှာ
မဖစ်ေါတယ်။
(ခ)
အဲဒီမှာလည်း ခကျာင်းသူခကျာင်းသားအားလုံးဟာ အခမဖတစ်မျုးတည်
ိ
း ညီတူညီမျှထွက်ခန
လို့ ဘယ်သူမှဆုမရြကေါဘူး။ အဲဒီတူညီတဲ့ခေါင်းလဒ်ဟာ ဘယ်ခလာက်လဲ။
အခမဖကို အခန်း (၇) စာမျက်နှာ (၃၀၀) တွင် ြကည့်ေါ။
Supplemental Puzzle
63
(၁၁) Meta AI ကို အကဲစမ်းြခင်း (Testing The Meta AI)
ခုတစ်ခလာ ခဖ့ဘွတ် (Facebook) မှာ Meta AI ဆိုတဲ့ အစီအစဉ် စတင်ဖွင့်လှစ်ခေးပေီး ခမးချင်တာခမး
ဖို့လည်း ဖိတ်ခခါ်ခနတာ ခတွ့လိုက်ေါတယ်။ Online က “Google Search” မှာ သခချာအတွက်အချက်ခတွ
မြကာမြကာခမးဖူးေါတယ်။ ခတာ်ခတာ်ခလး အဆင့်မမင့်မမင့်နဲ့ တိတိကျကျခမဖနိုင်တာကို ခတွ့ရေါတယ်။ ကကိုက်
တဲ့ သခချာကိန်းတန်းခတွကို “Google Search” မှာ ရိုက်လိုက်ရင် Scientific Calculator လိုမျုးိ ချက်ချင်း
တိတိကျကျ အခမဖခေးနိုင်ေါတယ်။ ဒါခြကာင့် “Meta AI” ကိုလည်းေဲ စမ်းြကည့်ချင်လို့ အက္ခရာသခချာရဲ့ အခမခခံ
ခမးခွန်းတစ်ခုကို စမ်းခမးြကည့်ေါတယ်။
“(a + b)2 နဲ့ a2 + b2 တူေါသလား?” လို့ လွယ်လွယ်ခမးလိုက်ေါတယ်။
“Meta AI” ရဲ့အခမဖကို စက္ကန့်ေိုင်းအတွင်းမေန်ရပေီး ဖတ်ြကည့်လိုက်ခတာ့ ခတာ်ခတာ်ခလး “ခဖုံ” သွား
ေါတယ်။ သာမန်သခချာဆရာတစ်ခယာက်လိုမခမဖဘဲ ခကာလိေ်ေခရာ်ဖက်ဆာလို ခမဖသွားလို့ေါ။
ကျွန်ခတာ်ခမးတုန်းကခတာ့ စိတ်ထဲမှာ a နဲ့ b ဟာ ကိန်းစစ်အမှတ်နဲ့ ခမးလိုက်တာေါေဲ။ သို့ခသာ်လည်း
ခမးခွန်းမှာခတာ့ a နဲ့ b ဟာ ကိန်းစစ်ေါဆိုတာကို ခဖာ်မမေတဲ့အတွက် နွားခကျာင်းသားရဲ့ခမးခွန်းလို မတင်မကျ
ခဝဝါးသွားေါတယ်။ ကိန်းစစ်မဖစ်နိုင်သလို ကိန်းခထွ၊ Functions, Vectors, Matrices … စသည်မဖင့် အမျုးိ
မျုးိ မဖစ်နိုင်တာကိုး။ ဒါခြကာင့် အခမဖခေးတဲ့ေညာရှိက ခတာ်ခတာ်ကျွမ်းဖို့လိုေါတယ်။ “Meta AI” က အကုန်
လုံးကို အကျုံးဝင်ခအာင် ေညာရှိဆန်ဆန် အဲဒီလိုခမဖသွားေါတယ်။
“သာမန်အားမဖင့် (a + b)2 နဲ့ a2 + b2 ဟာ မတူေါဘူးတဲ့။ 2ab ဆိုတဲ့ ကိန်းခလး တစ်လုံးကွာေါတယ်
တဲ့။ ဒါခေမဲ့ တူနိုင်တဲ့အခမခအခနတစ်ခုခတာ့ ရှိေါတယ်တဲ့။ a နဲ့ b ဟာ ခထာင့်မှန်ကျ(Orthogonal) မဖစ်ခဲ့
ရင် a နဲ့ b ရဲ့ “Inner Product” (Scalar Product alias Dot Product) ဟာ သုညမဖစ်ပေီး a • b = 0 မဖစ်လို့
(a + b)2 = a2 + b2 မဖစ်ေါတယ်တဲ့။
ကိန်းစစ်၊ ကိန်းခထွ၊ Functions, Vectors, Matrices … စသည်မဖင့် အားလုံးအကျုံးဝင်ခအာင်ခမဖ
သွားေါတယ်။ ခတာ်လိုက်ေါခေ့ “Meta AI” ရယ်။ ခတာ်ခတာ်ခကာင်းတဲ့အခမဖခလးေါ။
ခအာက်ေါေုံမှာ AI နဲ့အခမးအခမဖကို မူရင်းအတိုင်းခဖာ်မေထားေါတယ်။
အမောနုခရာင်ခနာက်ခံနဲ့အေိုင်းက
နွားခကျာင်းသား
ကျွန်ခတာ့်ရဲ့အခမးမဖစ်ပေီး
အမောရင့်ခရာင်က
နွားခကျာင်းသား ကျွန်ခတာ့်ရဲ့မှတ်ချက်ေါ။ အမဖူခရာင်ခနာက်ခံနဲ့အေိုင်းက ေညာရှိ ခအအိုင် (AI) ရဲ့အခမဖေါ။
မှတ်ချက် ။ ။ a^2 ဟူခသာ အချွန်သခကခတသည် ထေ်ညွှန်းကိန်း a2 ကို ခဖာ်မေ၏။
ဥေမာ 2^3 သည် 2 ၏ 3 ထေ် (23) ကိုဆိုလို၍ တန်ဖိုးမှာ 8 မဖစ်၏။
64
u
65
အခန်း(၂)
သခချာကမ္ဘာမှ အတွေးသစ်အမမင်သစ်များ
အခန်း (၂) မှ သိမှွ်စရာတခါင်းစဉ်အကျဉ်း
(၁) သင်္ချာမှာ ဘာ့ကြောင့် သုညနဲ့စားမရတာလဲ။
(၂) Polyhedron ဆိုတာ ဘယ်လိုထုပုံကတေလဲ။ သုံးကြမောင့်ပရစ်ဇင်သည် Polyhedron ြြစ်သကလာ။
စေ်လုံးသည် Polyhedron ြြစ်သကလာ။
(၃) ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထုပုံ (Regular Polyhedron) စုစုကပါင်း ဘယ်နှမျုးရှ
ိ ိသလဲ။
(၄) Topology ဆိုတာ ဘာလဲ။
(၅) စိတ်ဝင်စားစရာ Topology ဝတ္ထု Mobius Band ဆိုတာ ဘာလဲ။ မျေ်နှာြပင် ဘယ်နှင်္ုရှိသလဲ။
အနားကစာင်း (Edge) ဘယ်နှစ်င်္ုရှိသလဲ။
(၆) စိတ်ဝင်စားစရာ Topology ဝတ္ထု Klein Bottle ဆိုတာ ဘာလဲ။ မျေ်နှာြပင် ဘယ်နှင်္ုရှိသလဲ။
အနားကစာင်း (Edge) ဘယ်နှင်္ုရှိသလဲ။
(၇) ြပင်ညီကြမပုံေို အကရာင်ြင်္ယ်ပပီး င်္ေဲြင်္ားရင် အနည်းဆုံး ဘယ်နှကရာင်လိုအပ်သလဲ။ အဲဒီမှန်ေန်င်္ျေ်ေို
ဘယ်လိုကင်္ါ်သလဲ။
(၈) ကရှေအင်္ျုးဆိ
ိ ုတာ ဘာလဲ။ တန်ြိုးဘယ်ကလာေ်ရှိသလဲ။ ဘယ်ကနရာကတေမှာ ကတေ့နိုင်သလဲ။
(၉) ကရှေတတိဂံနဲ့ တေဲြေ်ကရှေတတိဂံဆိုတာ ဘာလဲ။ ဘယ်မှာကတေ့နိုင်သလဲ။ ကရှေအင်္ျုးနဲ
ိ ့ ဘယ်လိုပတ်သေ်သလဲ။
(၁၀) ယုန်ကတေရဲ့ လျင်ြမန်တဲ့မျုးပေ
ိ ားနှုန်းေိုကလ့လာရင်း ကတေ့ရတဲ့ ေိန်းစဉ်ေို ဘယ်လိုကင်္ါ်သလဲ။ ကရှေအင်္ျုးနဲ
ိ ့
ဘယ်လိုပတ်သေ်သလဲ။
(၁၁) အဆေ်မြပတ် ြပန်ထပ်အပိုင်းေိန်း(Infinite Continued Fraction) ဆိုတာဘာလဲ။ သူ့ရဲ့တန်ြိုးေို
ဘယ်လိုရှာရသလဲ။
(၁၂) ယူေလစ်ရဲ့ Elements ေျမ်းတေီးမှာ Ceva Theorem ပါဝင်ပါသလား။ (Elements ေျမ်းတေီးဟာ
ဂျဩကမတတီ
ီ
သကဘာတရားကတေြပည့်စုံလေန်းလို့
အဲဒီေျမ်းတေီးထေေ်ကပါ်ပပီးတဲ့ကနာေ်
အသစ်ဆိုတာ
ထေင်စရာမရှိင်္ဲ့ဘူးလို့ ဆိုပါတယ်။ ခင်္င်းင်္ျေ်ေကတာ့ Ceva Theorem ပါ။ Elements ထေ်နှစ်ကပါင်း
ဘယ်ကလာေ်ကနာေ်ေျပပီးမှ ထေေ်ကပါ်လာပါသလဲ။)
66
(၁)
အက္ခရာသခချာမှာ သုညနဲ့ ဘာ့တြကာင့်မစားရသလဲ?
Division by zero is not permitted in algebra. Why?
အေ္ခရာသင်္ချာသည် သင်္ချာဘာသာရပ်ရဲ့ ပမို့ကစာင့်ပုလိပ်တေီးလို့ကြပာရင် မမှားပါဘူး။ ကဆာင်ရန်၊ ကရှာင်
ရန် တင်းေျပ်တဲ့စည်းမျဉ်းစည်းေမ်းကတေင်္ျမှတ်ထားလို့ မလိုေ်နာတဲ့သူကတေေို ကောင်းကောင်းဆုံးမ အြပစ်
ဒဏ် ကပးတတ်ပါတယ်။ သူ့ေို သင်္ချာပညာရဲ့ကမှာ်ဆရာ (Magician) လို့ကင်္ါ်ရင်လည်း မှန်ပါတယ်။ မကမှော်လင့်
တဲ့ ြပေေေ်ကတေနဲ့ အံ့မင်္န်းစရာရလဒ်ကတေေို ကြာ်ေျူးတတ်လို့ပါ။ ပပီးကတာ့လည်း သင်္ချာဘာသာရဲ့ အလှဘုရင်မ
သရြူပိုင်ရှင်လို့ ဆိုနိုင်ပါတယ်။ အလေန်လှပတဲ့ ပုစ္ဆာ၊ အကတေးအကင်္ါ်၊ တေေ်င်္ျေ်ပုံနဲ့ စည်းမျဉ်းနည်းဥပကဒသကတေ
ေိုလည်း ပိုင်ဆိုင်ပါတယ်။ အင်္ု အေ္ခရာသင်္ချာမှာ အကရးတေီးလှတဲ့ ‘‘ကရှာင်ရန်အင်္ျေ်တစ်င်္ု’’ ေို ကဆေးကနေးင်္ျင်
ပါတယ်။
အေ္ခရာသင်္ချာရဲ့အကြင်္င်္ံအေျဆုံးတာဝန်ေကတာ့ လုပ်ထုံးကလးင်္ု (Four Basic Operations) ြြစ်ြေ
တဲ့ +, -, x, ' ေို စနစ်တေျ ေိုင်တေယ်ကြြရှင်းြို့ပါပဲ။ အဲဒီမှာ လုပ်င်္ေင့်ရှိတာရယ်၊ လုပ်င်္ေင့်မရှိတာရယ် အစရှိတဲ့
ကဆာင်ရန်၊ ကရှာင်ရန်ကတေေို တိတိေျေျလိုေ်နာြို့ အကရးတေီးပါတယ်။
အထူးတလည် အကရးတေီးတဲ့ ကရှာင်ရန်အင်္ျေ်တစ်င်္ုေို စပပီးကဆေးကနေးင်္ျင်ပါတယ်။ သုညနဲ့စားြင်္င်းပါပဲ။
သင်္ချာမှာ ဘယ်ကသာအင်္ါမှ သုညနဲ့မစားရပါဘူး။ အဲဒါဟာ ခင်္င်းင်္ျေ်မရှိ တစ်သမတ်တည်းလိုေ်နာရမဲ့ အင်္ျေ်
တေီးပါ။
“ဘာ့ကြောင့် သုညနဲ့မစားရတာလဲ” လို့ ကမးင်္ျင်ြေပါလိမ့်မယ်။ တေယ်ကတာ့ ေိုယ်တိုင်စားြေည့်ရင်
ရှင်းသေားပါလိမ့်မယ်။ ဥပမာအားြြင့် 15 ေို 3 နဲ့ ကအာေ်မှာစားြပထားပါတယ်။ 3 ရဲ့ 5 လီသည် 15 ြြစ်လို့
စားလဒ်အကြြဟာ 5 ပါ။ ရှင်းပါတယ်။
သို့ကသာ်လည်း 15 ေို သုည (0) နဲ့စားမယ်ဆိုပါစို့။ သုညေို ဘယ်နှလီကပးရင် 15 ရမလဲဆိုတာေို ကတေးရ
ကတာ့မယ်။ ြြစ်ပုံေ သုညေို ဘယ်နှလီကပးသည်ြြစ်ကစ သုညသာရပပီး 15 မရနိုင်ပါဘူး။ (ကအာေ်ပါပုံ နှစ်ပုံ
ေို နှိုင်းယှဉ်ြေည့်ပါ။)
67
5
3 15
15
0
?
0 15
15
0
အကပါ်မှာ သုညနဲ့ တေယ်င်္ျစားြေည့်တာ စားမရဘူးဆိုတာေို ကတေ့ပပီးပါပပီ။ အင်္ု လေ်ကတေ့နဲ့ကပါင်းစပ်
ပပီး ကတေးြေည့်ပါဦးမယ်။ ကငေ 15 ေျပ်ေို လူ 3 ကယာေ်အား အညီအမှေင်္ေဲကပးရင် တစ်ကယာေ်ဘယ်ကလာေ်ရမလဲ။
15 ေို 3 နဲ့ စားပပီး အကြြရှာရမှာကပါ့။ အကြြေရှင်းပါတယ်။ တစ်ကယာေ်ေို 5 ေျပ်ရမှာကပါ့။
အလားတူပဲ ကငေ 15 ေျပ်ေို လူ 0 ကယာေ်အား အညီအမှေင်္ေဲကပးရင် တစ်ကယာေ်ဘယ်ကလာေ်ရမလဲ။
15 ေို 0 နဲ့ စားပပီး အကြြရှာရမှာကပါ့။ ြပဿနာေကတာ့ စားလို့မရပါဘူး။ အကပါ်မှာကတေ့ပပီးသားကလ။ တေယ်
ကတာ့ 15 ေျပ်ေို င်္ေဲကဝမဲ့လူအကရအတေေ်ေ 0 ကယာေ်ဆိုကတာ့ င်္ေဲကဝမဲ့သူမှမရှိဘဲ။ “တစ်ကယာေ်ဘယ်ကလာေ်
ရမလဲ” ဆိုတဲ့ ကမးင်္ေန်းေ အဓိပ္ပါယ်မရှိတဲ့ကမးင်္ေန်းပဲကပါ့။ ဒါကြောင့် သုညနဲ့စားတယ်ဆိုတာဟာ အဓိပ္ပါယ်မရှိတဲ့
လုပ်ရပ်ပါပဲ။
ဆိုလိုတာေ သုညနဲ့စားတယ်ဆိုတာ င်္ျစားြေည့်လို့မရသလိုပဲ လေ်ကတေ့အဓိပ္ပါယ်ကြာ်
ြေည့်ကတာ့လည်း အဓိပ္ပာယ်မရှိြပန်ဘူး။
စင်စစ် ဘယ်ေိန်းေိုမဆို သုညနဲ့ စားမရပါ။ သုညနဲ့စားတာဟာ အဓိပ္ပာယ်မရှိပါ။ တစ်နည်းအားြြင့်
အပိုင်းဂဏန်းတစ်င်္ုရဲ့ပိုင်းကြင်္သည် ဘယ်ကတာ့မှ သုညမြြစ်ရပါ။ ဒီအင်္ျေ်ဟာ သင်္ချာပညာမှာ အကရးပါ
သကလာေ် သတိလေ်လေတ်လည်း ြြစ်တတ်ပါတယ်။ သုညနဲ့စားမိလို့ ြပဿနာတေ်ရတဲ့ဥပမာကတေေို ကလ့လာ
ြေည့်ရကအာင်ပါ။
မြဿနာ (၁)
1 = 2 ြြစ်ကြောင်းြပပါ။
သက်တသမြချက်
a2 − a2
= a2 − a2
(ဝဲယာေို မတူညီကသာနည်းနှစ်မျုးြြင်
ိ
့ ဆင်္ေဲေိန်းင်္ေဲမည်။)
LHS မှာ a ေို ဘုံထုတ်ပပီး RHS မှာ အကပါင်းတစ်ေေင်း၊ အနုတ်တစ်ေေင်း ဆင်္ေဲေိန်းင်္ေဲလိုေ်ပါ။
a(a - a)
= (a + a)(a - a)
... (A)
ဝဲ-ယာ တူညီကသာေိန်းလုံး (a - a) ေိုကင်္ျကသာ်-
a
= a+a
a
= 2a
... (B)
ဝဲ-ယာ a ေိုကင်္ျကသာ်-
1=2
ထူးထူးဆန်းဆန်း 1 နဲ့ 2 ညီပါတယ်တဲ့။ မြြစ်နိုင်ပါ။ တစ်င်္ုင်္ုကတာ့ မှားကနပပီ။ ဘယ်ကနရာမှာ မှားကန
သလဲ။
68
ရှင်းလင်းချက်
(A) မှ (B) သို့ အေူးအကြပာင်းမှာ (a - a) ေို ကင်္ျထားပါတယ်။
(a - a) = 0 ြြစ်တဲ့အတေေ် ကြောင့် (a - a) ေို ကင်္ျတာဟာ ဝဲ-ယာ သုညနဲ့ စားြင်္င်းသာ
ြြစ်ပါတယ်။ သုညနဲ့စားင်္ေင့်မရှိပါ။ ဒီအေျုးဆေ်
ိ
ေကတာ့ 1 = 2 ဟူကသာ ရယ်စရာမှားယေင်းကသာ ညီမှေြင်္င်း
စင်စစ်
ေို ြြစ်ကပါ်ကစပါတယ်။
မြဿနာ (၂)
1 + 1 = 3 ြြစ်ကြောင်းြပပါ။
သက်တသမြချက်
2-2
= 0,
3-3
= 0,
\ 2-2
= 3-3
2(1 - 1)
= 3(1 - 1)
... (C)
တူညီကသာေိန်းလုံး (1 - 1) ေို ဝဲယာကင်္ျြျေ်ကသာ်
2
= 3
\ 1+1
= 3
... (D)
(ထူးထူးဆန်းဆန်း 1 + 1 = 3 ြြစ်ကနပါတယ်တဲ့။ မြြစ်နိုင်ပါ။ တစ်င်္ုင်္ုကတာ့မှားကနပပီ။ ဘယ်ကနရာမှာ
မှားကနသလဲ။)
ရှင်းလင်းချက်
(C) မှ (D) သို့ အေူးအကြပာင်းမှာ (1 - 1) ေို ကင်္ျထားပါတယ်။
(1 - 1) = 0 ြြစ်တဲ့အတေေ် ကြောင့် (1 - 1) ေို ကင်္ျတာဟာ ဝဲ-ယာ သုညနဲ့ စားြင်္င်းသာ
ြြစ်ပါတယ်။ သုညနဲ့စားင်္ေင့်မရှိပါ။ ဒီအေျုးဆေ်
ိ
ေကတာ့ 1 = 2 ဟူကသာ ရယ်စရာ မှားယေင်းကသာညီမှေြင်္င်းေို
စင်စစ်
ြြစ်ကပါ်ကစပါတယ်။
သင်ခန်းစာ
သုညြြင့်စားြင်္င်းသည် သင်္ချာတေင် ဧရာမြပစ်င်္ျေ်တေီးတစ်င်္ုြြစ်၏။ ကရှာင်ရှားြေပါေုန်။
u
69
(၂)
ဗဟုမျက်နှာထုများကို သခချာနည်းကျ တလ့လာသုံးသြ်မခင်း
Exploring Polyhedra from Mathematical Point of View
ဂျဩကမတတီ
ီ
ဆိုင်ရာ 3D ထုပုံများဟာအလေန်လှပပပီးစိတ်ဝင်စားစရာကောင်းပါတယ်။ လေ်ကတေ့မှာလည်း
ကဆာေ်လုပ်ကရး ဒီဇိုင်းကတေ၊ အကဆာေ်အဦးပုံစံကတေ၊ သိုကလှာင်င်္ေေ်အသုံးအကဆာင်များ၊ အာောသယာဉ်ပုံစံကတေ
ေအစ ေကလးေစားစရာအထိ များစောအသုံးဝင်ပါတယ်။ 3D ထုပုံများစောထဲမှာ Polyhedron လို့ကင်္ါ်တဲ့ ဗဟု
မျေ်နှာထုတစ်မျုးအကြောင်
ိ
း ကဆေးကနေးင်္ျင်ပါတယ်။
ဗဟုမျေ်နှာထု (Polyhedron) ဆိုတာ ဗဟုဂံပုံရှိတဲ့ ြပင်ညီမျေ်နှာြပင်ကတေနဲ့ြေဲ့စည်းထားတဲ့ 3D ပုံ
ကတေေို ကင်္ါ်ပါတယ်။ အထူးြပုကြပာင်္ျင်တာေကတာ့ မျေ်နှာြပင်ကတေဟာ ြပင်ညီလည်းြြစ်ရမယ်။ ဗဟုဂံပုံလည်း
ြြစ်ရပါလိမ့်မယ်။ င်္ုံးတဲ့၊ ကေေးတဲ့မျေ်နှာြပင်ကတေ မပါဝင်ရပါဘူး။
Polyhedra (ဗဟုမျက်နှာထုြုံများ)
A cube
A triangular prism
A hexagonal prism
(ေုဗတုံး)
(သုံးကြမောင့်ပရစ်ဇင်)
(ကြင်္ာေ်ကြမောင့်ပရစ်ဇင်)
A pentagonal pyramid
(ပိရမစ်)
Non-Polyhedra (ဗဟုမျက်နှာမဟုွ်တသာထုြုံများ)
Cylinder
Cone
Sphere
(ဆလင်ဒါ)
(လုံးချွန်)
(စက်လုံး)
70
အထေ်ပါပုံမှာ
Polyhedron
ကလးင်္ုေို
ကြာ်ြပထားပါတယ်။
ေုဗတုံး၊
သုံးကြမောင့်ပရစ်ဇင်၊
ကြင်္ာေ်ကြမောင့်ပရစ်ဇင်နှင့် ပဉ္စဂံအကြင်္ရှိ ပိရမစ်များေိုြေည့်ပါ။ မျေ်နှာြပင်ကတေဟာ ညီညာြပန့်ြပူးတဲ့ြပင်ညီကတေ
ြြစ်ြေပပီး ဗဟုဂံပုံကဆာင်ပါတယ်။ အထူးမှတ်ြို့ေကတာ့ ဆလင်ဒါ၊ လုံးင်္ျွန်နဲ့ စေ်လုံးတို့ဟာ Polyhedron
များမဟုတ်ပါဘူး။ သူတို့မှာ င်္ုံးတဲ့ မျေ်နှာြပင်များပါဝင်ကနလို့ြြစ်ပါတယ်။
(မှတ်င်္ျေ်။
။ အဂခလိပ် စာအသုံးအနှုန်း- Polyhedron သည် Singular Form ြြစ်လို့
ဗဟုမျေ်နှာထုတစ်င်္ုေို ကြာ်ြပပပီး သူ့ရဲ့ Plural Form သည် Polyhedra ြြစ်လို့ ဗဟုမျေ်နှာ
အများေို ကြာ်ြပတဲ့အင်္ါမှာ သုံးပါတယ်။)
ဗဟုမျေ်နှာထုကတေေို သင်္ချာနည်းေျေျကလ့လာြေမယ်။ ပုံတိုင်းမှာ အဂခါ သုံးမျုးရှ
ိ ိပါတယ်။ မျေ်နှာြပင်
(Surface)၊ အနားကစာင်း (Edge)၊ နဲ့ ထိပ်စေန်း (Vertex) တို့ြြစ်ြေပါတယ်။ အထေ်မှာကြာ်ြပင်္ဲ့တဲ့ ဗဟုမျေ်နှာ
ထုပုံ ကလးမျုးေိ
ိ ု တစ်င်္ုင်္ျင်းြေည့်ြေစို့။ မျေ်နှာြပင် Surface အကရအတေေ်ေို S, အနားကစာင်း Edge အကရ
အတေေ်ေို E, ကထာင့်စေန်း Vertex အကရအတေေ်ေို V လို့အတိုကင်္ါ်ရကအာင်ပါ။ အဲဒီအဂခါသုံးမျုးိ မှာ အလေန်ရိုးရှင်း
တဲ့ ဆေ်သေယ်င်္ျေ်တစ်င်္ုရှိပါတယ်။ တစ်င်္ါတစ်ရံ သင်္ချာမှာြြစ်ကလ့ြြစ်ထရှိတဲ့အတိုင်း ရိုးရိုးရှင်းရှင်းကလး
သကဘာတရားတစ်င်္ုဟာ မျေ်စိကရှ့မှာ ကပါ်ကပါ်တင်တင်ရှိကသာ်လည်း မျေ်စိလှေမ်းကနတတ်ပါတယ်။
ပထမပုံဟာ ေုဗတုံးပုံြြစ်ပါတယ်။ မျေ်နှာ 6 ြေ်၊ အနားကစာင်း 12 င်္ု နှင့်ထိပ်စေန်း 8 င်္ုစီ ရှိြေပါတယ်။
(ကရတေေ်ြေည့်ပါ။)
S = 6, E = 12, V = 8
ဒုတိယပုံဟာ သုံးကြမောင့်ပရစ်ဇင်ပုံ ြြစ်ပါတယ်။ ကရတေေ်ြေည့်ရင် ကအာေ်ပါအတိုင်း ကတေ့ပါလိမ့်မယ်။
S = 5, E = 9, V = 6
တတိယပုံဟာ ကြင်္ာေ်ကြမောင့်ပရစ်ဇင်ပုံ ြြစ်ပါတယ်။
S = 8, E = 18, V = 12
စတုတ္ထပုံမှာ ပဉ္စဂံအကြင်္ရှိ ပိရမစ်ြြစ်ပါတယ်။ ကရတေေ်ြေည့်ရင် ကအာေ်ပါအတိုင်း ကတေ့ပါလိမ့်မယ်။
S = 6, E = 10, V = 6
အကပါ်မှာကြာ်ြပထားတဲ့ S, E, V တို့ရဲ့ ဂဏန်းတေဲ ကလးတေဲမှာ သင်္ချာဆေ်သေယ်င်္ျေ်တစ်င်္ု လှုပ်ရှားကနပါ
တယ်။ မျေ်စိရှင်ရှင်နဲ့ စူးစမ်းတတ်ရင် အလေယ်တေူပဲ ြမ်းမိနိုင်ပါတယ်။ အကပါင်းနဲ့ အနုတ်သာ ပါဝင်ပပီး ဘယ်လို
အဆင့်ြမင့် သင်္ချာမှလည်း မပါဝင်ပါဘူး။ အကြမောေ်အလီကပါင်းကတာင် တတ်ြို့မလိုပါဘူး။
ဆေ်သေယ်င်္ျေ်ေို ြမင်မိပါသလား။ အထေ်ပါေိန်းကလးတေဲမှ တစ်တေဲစီအတေေ် ကရှ့ေိန်း S နှင့် ကနာေ်
ေိန်း V ေို ကပါင်းပပီး အလယ်ေိန်း E ေို နုတ်ြေည့်ပါ။ တစ်သမတ်တည်း 2 ဆိုကသာအကြြေိုသာ ကတေ့လိမ့်မည်။
ကအာေ်ပါပုံမှာ တေေ်ြပထားပါတယ်။ ရှုစားလှည့်ပါ။
71
Polyhedron များ၏ ထူးမခားတသာဂုဏ်သွ္တိွစ်ခုကို ရှာတွေမခင်း
S+V-E
= 6 + 8 - 12
= 2
S+V-E
= 5+6-9
= 2
S+V-E
= 8 + 12 - 18
= 2
S+V-E
= 6 + 6 - 10
= 2
Euler Characteristic = 2
Polyhedron အားလုံးဟာ ထူးဆန်းစောပင် (S + V - E = 2) ဟူကသာဂုဏ်သတ္တိနဲ့ ြပည့်စုံပါတယ်။ ယင်း
2 ဂဏန်းဟာ Polyhedron အားလုံးအတေေ် မကြပာင်းလဲကသာေိန်းကသ ြြစ်ကနပါတယ်။ အဲဒီေိန်းကသ 2 ေို
Euler Characteristic လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ အဆင့်ြမင့်သင်္ချာရဲ့ လေ်တံတစ်ြေ်ြြစ်တဲ့ ကတာ်ကပါကလာ်ဂျ ီ
(Topology) မှာ အကရးပါတဲ့ေိန်းတစ်လုံးြြစ်ပပီး ေမ္ဘာကေျာ် သင်္ချာပညာရှင် Leonhard Euler ေ စတင်
ကတေ့ရှိင်္ဲ့ပါတယ်။ တေယ်ကတာ့ မျေ်စိရှင်တဲ့ ရှစ်တန်းကေျာင်းသားတစ်ကယာေ်ကော မကတေ့နိုင်ကပဘူးလား။
u
မွည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ြုစ္ဆာ (S.7) 8 ဂဏန်းရှစ်လုံး နဲ့ 1000 ွည်တဆာက်မခင်း
တမးခေန်း
(ေ) 8 ဂဏန်း ရှစ်လုံးနဲ့ သင်္ချာ လုပ်ထုံး အကပါင်းလေ္ခဏာ ( + ) တစ်င်္ုတည်းေို တေဲြေ်
အသုံးြပုပပီး ေိန်းတန်ြိုး 1000 ရကအာင် တည်ကဆာေ်ြပပါ။
(င်္)
8 ဂဏန်း ရှစ်လုံးနဲ့ သင်္ချာလုပ်ထုံးကလးမျုးိ (+, − , x, ÷) တို့ေို တေဲြေ်အသုံးြပုပပီး
ေိန်းတန်ြိုး 1000 ရကအာင် တည်ကဆာေ်ကပးတဲ့ ကမှာ်ပုံကသနည်း (Magic Formula
တစ်င်္ု ရှိပါတယ်။ သင်ရှာကပးနိုင်ပါသလား။
မှွ်ရန်
ကမှာ်ပုံကသနည်း (Magic Formula) ဆိုတာ 8 ဂဏန်းကနရာမှာ 1 ေကန 9 အထိ တေိုေ်ရာ
ဂဏန်းအစာထိုးတိုင်း အကြြမှန်သာတသမတ်တည်းရတဲ့ပုံကသနည်းပါ။ ြြည့်စေေ်ပုစ္ဆာ
S.1 မှာ နမူနာြပထားပါတယ်။
အကြြေို အင်္န်း (၇) စာမျေ်နှာ (၃၀၁) တေင် ြေည့်ပါ။
Supplemental Puzzle
72
(၃)
ဗဟုမျက်နှာထုများကို သခချာနည်းကျတလ့လာသုံးသြ်မခင်း - ဒုွိယြိုင်း
(ဥဿုံညီဗဟုမျက်နှာထု ငါးမျုး)
ိ
Exploring Polyhedra from Mathematical Point of View - Part II
(Five Regular Polyhedra)
ဗဟုမျေ်နှာထု (Polyhedron) တိုင်းမှာ အဓိေေျတဲ့အဂခါသုံးရပ်ရှိပါတယ်။ မျေ်နှာြပင် (Face or
Surface), ကထာင့်စေန်း (Vertex), အနားကစာင်း (Edge) တို့ ြြစ်ြေပါတယ်။ မျေ်နှာြပင် (Surface)အကရ
အတေေ်ေို S, ကထာင့်စေန်း (Vertex) အကရအတေေ်ေို V, အနားကစာင်း (Edge) အကရအတေေ်ေို E လို့ထားရင်
(S + V - E) ရဲ့တန်ြိုးဟာ အစဉ်အပမဲ 2 ရကြောင်း ပထမပိုင်းမှာ ကဆေးကနေးပပီးပါပပီ။ ကင်္တ်သစ်သင်္ချာမှာ အဲဒီ
ေိန်းကသေို “Euler Characteristic” လို့ အမည်မှည့်ပပီး ဂရိအေ္ခရာ “χ” နဲ့ ကြာ်ြပကလ့ရှိပါတယ်။ “Chi”(င်္ိုင်) လို့
အသံထေေ်ပါတယ်။ တစ်နည်းဆိုရရင် χ = S + V - E = 2 ဆိုတဲ့ ညီမှေြင်္င်းဟာ ဗဟုမျေ်နှာထုတိုင်းအတေေ်
မှန်ပါတယ်။ ခင်္င်းင်္ျေ်တစ်င်္ုပဲ ရှိပါတယ်။ ဗဟုမျေ်နှာထုဟာ အင်္ေေ်မဟုတ်ရပါဘူး။
အလယ်တန်းဂျဩကမတတီ
ီ
မှာ ဗဟုဂံအကြောင်း စသင်တုန်းေ အင်္ုံး၊ အင်္ေေ် နှစ်မျုးရှ
ိ ိကြောင်း သင်ြူး
မှတြ
် ူးပါလိမမ
့် ယ်။ ဗဟုဂတ
ံ စ်င်္ရ
ု ဲ့ အတေင်းကထာင်တ
့ စ်င်္စ
ု ဟ
ီ ာ ကထာင်က
့ ြြာင့် 180° ထေ်ငယ်ရင် ဗဟုဂင်္
ံ ုံး (Convex
Polygon) ြြစ်ပါတယ်။ အတေင်းကထာင့်တစ်င်္ုင်္ုဟာ ကထာင့်ကြြာင့် 180° ထေ်တေီးတဲ့ ကထာင့်ြပန်ြြစ်င်္ဲ့ရင် ဗဟုဂံ
င်္ေေ် (Concave Polygon) ြြစ်ပါတယ်။ သို့ကသာ်လည်း ပုံမှန်ကေုံကတေ့ကနေျ ဗဟုဂံကတေဟာ ဗဟုဂံင်္ုံး (Convex
Polygon) ကတေသာ များပါတယ်။ ကေုံကတာင့်ကေုံင်္ဲ ဗဟုဂံင်္ေေ် (Concave Polygon) ေို ကတေ့င်္ဲ့ရင်ြြင့် ကထာင့်
ြြတ်မျဉ်းကတေဆေဲပပီး တတိဂံငယ်များအြြစ် ပိုင်းြြတ်ပပီးမှ ကလ့လာကလ့ရှိပါတယ်။
73
Convex and Concave Polygons (ဗဟုဂံခုံးနှင့် ဗဟုဂံခေက်)
ဗဟုဂံများမှာ အင်္ုံးအင်္ေေ်နှစ်မျုးရှ
ိ ိသလိုပဲ ဗဟုမျေ်နှာထု (Polyhedron) များမှာလည်း အင်္ုံး (Convex
Polyhedron) နဲ့ အင်္ေေ် (Concave Polyhedron) နှစ်မျုးနှ
ိ စ်စား ရှိပါတယ်။ ကအာေ်ပါပုံမှာ ဗဟုမျေ်နှာထု
အင်္ေေ်နှစ်မျုးေိ
ိ ု နမူနာြပထားပါတယ်။ င်္ေေ်ကနတဲ့မျေ်နှာြပင်များေို ထင်ရှားစော ကတေ့ြမင်နိုင်ပါတယ်။
Concave Polyhedra (ဗဟုမျက်နှာထုအခေက်)
ဗဟုဂံ (Polygon) များမှာပဲ ြြစ်ြြစ်၊ ဗဟုမျေ်နှာထု (Polyhedron) များမှာပဲ ြြစ်ြြစ်၊ အင်္ုံးအင်္ေေ်
သီးြင်္ားကြာ်ြပမထားရင် အစဉ်အပမဲ Convex (အင်္ုံး) ေိုသာ ဆိုလိုပါတယ်။ အထေ်မှာ Euler Characteristic
တန်ြိုး ေို 2 ရကြောင်းကြါ်ြပင်္ဲ့တဲ့ Polyhedra ကလးမျုးစလု
ိ
ံးမှာလည်း အင်္ုံး (Convex Polyhedra) များ
သာ ြြစ်ြေပါတယ်။ သူတို့မှာ င်္ေေ်ကနတဲ့မျေ်နှာြပင်အစိတ်အပိုင်း မပါရှိပါဘူး။ ဗဟုမျေ်နှာထုအင်္ုံး (Convex
Polyhedra) တိုင်းဟာ Euler Characteristic တန်ြိုး တစ်သမတ်တည်း 2 ရကသာ်လည်း ဗဟုမျေ်နှာထုအင်္ေေ်
(Concave Polyhedra) ကေံကေံြန်ြန်၊ ရှားရှားပါးပါးတင်္ျု့မှ
ိ ာ တန်ြိုး 2 မရတဲ့ ခင်္င်းင်္ျေ်ကတေရှိပါတယ်။
သင်္ချာပညာရှင်ကတေဟာ ဗဟုမျေ်နှာထုများေို ကလ့လာရင်း ထူးထူးြင်္ားြင်္ား ေံကောင်းကထာေ်မစော
အင်္ျုးေျနပပီ
ိ
း အလှသရြူကဆာင်းထားတဲ့ ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထု ငါးင်္ုေို ကတေ့ရှိင်္ဲ့ပါတယ်။
74
Regular Polyhedra (ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထုများ)
tetrahedron
(၄ မျေ်နှာထု)
octahedron
(၈ မျေ်နှာထု)
icosahedron
(၂၀ မျေ်နှာထု)
cube
(၆ မျေ်နှာထု)
dodecahedron
(၁၂ မျေ်နှာထု)
စူးစမ်းတတ်တဲ့မျေ်လုံးရှိရင် အထေ်ပုံမှာ ကြာ်ြပထားတဲ့ ဗဟုမျေ်နှာထုငါးင်္ုအနေ်၊ တစ်င်္ုစီဟာ အလေန်
ထူးြင်္ားတဲ့ အင်္ျေ်နှစ်င်္ျေ်နဲ့ ြပည့်စုံပါတယ်။ ပထမအင်္ျေ်ေကတာ့ ဘယ်ရှုကထာင့်ေပဲ 360° လှည့်ပတ်ြေည့်ရှု
ကသာ်လည်း အရွယ်တူ ဥဿုံညီဗဟုဂံနဲ့သာ အတိပပီးပါတယ်။ ဒုတိယတစ်င်္ျေ်ေကတာ့ ကထာင့်စေန်းတိုင်းေို စစ်
ကဆးြေည့်ရင် တူညီတဲ့အကရအတေေ်ရှိတဲ့ ရွယ်တူဥဿုံညီဗဟုဂံများနဲ့သာ လှည့်ပတ်ဝန်းရံ ြေဲ့စည်းထားပါတယ်။
ဥပမာအားြြင့်ကြပာရရင် အကပါ်မှာကြာ်ြပထားတဲ့ ငါးပုံအနေ် တစ်ပုံြြစ်တဲ့ ဥဿုံညီ ၈-မျေ်နှာထု
(Regular Octahedron) ေို အရင်ြေည့်ပါ။ ရွယ်တူ သုံးနားညီတတိဂံပုံ ရှစ်င်္ုနဲ့ ြေဲ့စည်းထားပါတယ်။ ပပီးကတာ့
ဘယ်ကထာင့်စေန်းေိုပဲ ြေည့်ြေည့်၊ ကထာင့်စေန်းတစ်င်္ုစီမှာ အဲဒီရွယ်တူသုံးနားညီတတိဂံ ကလးင်္ုစီနဲ့ ဝန်းရံလှည့်ပတ်
ထားပါတယ်။ (ြမင်ပါသလား။ မြမင်ရင် ထပ်ြေည့်ပါ။)
75
ကနာေ်ဥပမာတစ်င်္ုအကနနဲ့ အကပါ်ေပုံမှာပဲ ဥဿုံညီ ၁၂-မျေ်နှာထု (Regular Dodecahedron) ေို
ြေည့်ပါ။ ရွယ်တူဥဿုံညီ ပဉ္စဂံကပါင်း တစ်ဒါဇင်နဲ့ ြေဲ့စည်းထားပါတယ်။ ကထာင့်စေန်းတစ်င်္ုစီမှာလည်း ဥဿုံညီ
ပဉ္စဂံ သုံးင်္ုနဲ့ လှည့်ပတ်ဝန်းရံထားပါတယ်။
ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထုနှစ်မျုးေိ
ိ ု ကရွးင်္ျယ်စူးစမ်းြင်္င်း
ဥဿုံညီ (၁၂) မျေ်နှာထု
ဥဿုံညီ (၈) မျေ်နှာထု
(Reuglar dodecahedron)
(Reuglar Octahedron)
(1)
(1)
သုံးနားညီတတိဂံ ရှစ်င်္ုြြင့် ြေဲ့စည်းထား
သည်။
သည်။
(2)
ကထာင့်စေန်းတိုင်းေို
သုံးနားညီတတိဂံ (၁၂) င်္ုြြင့် ြေဲ့စည်းထား
(2)
သုံးနားညီတတိဂံ
ကထာင့်စေန်းတိုင်းေို ဥဿုံညီပဉ္စဂံ သုံးင်္ု
ြြင့် ဝန်းရံထားသည်။
ကလးင်္ုြြင့် ဝန်းရံထားသည်။
စြေဝဠာတစ်င်္ုလုံးမှာ အဲဒီလို ဘေ်ကပါင်းစုံေကန ြပည့်ြပည့်ဝဝ အင်္ျုးေျနတဲ
ိ
့ ပုံသဏ္ဌာန်မျုးိ ငါးင်္ုသာ
ရှိပါတယ်။ ထပ်မရှိကတာ့ပါဘူး။ သူတို့ေို ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထု (Regular Polyhedron) လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။
ပကလတိုးရဲ့ထုပုံ (Platonic Solid) လို့လည်း ထူးထူးဆန်းဆန်း ကင်္ါ်ပါတယ်။
u
76
(၄)
ဗဟုမျက်နှာထုများကို သခချာနည်းကျတလ့လာသုံးသြ်မခင်း - ွွိယြိုင်း - နိဂုံး
(ဘုရားတြးွဲ့ ထုြုံငါးမျုး)
ိ
Exploring Polyhedra from Mathematical Point of View Part III - Final (Platonic Solids)
ဂျဩကမတတီ
ီ
မှာ ရှုကထာင့်ကပါင်းစုံေကန ဘယ်လိုပဲြေည့်ြေည့် ြပည့်ြပည့်ဝဝ အင်္ျုးေျနတဲ
ိ
့ထုပုံ (3-D
Solid) ငါးပုံရှိတဲ့အကြောင်း ဒီကဆာင်းပါးရှည်ရဲ့ ဒုတိယပိုင်းမှာ ကဆေးကနေးင်္ဲ့ပါတယ်။ အဲဒီလို အင်္ျုးေျနရတဲ
ိ
့
အကြောင်းရင်းေလည်း နှစ်ကြောင်းရှိပါတယ်။ ပထမအကြောင်းေကတာ့ အဲဒီထုပုံတစ်င်္ုစီေို ရွယ်တူဥဿုံညီ
ဗဟုဂံနဲ့သာ ြေဲ့စည်းထားပပီး၊ ဒုတိယအကြောင်းေကတာ့ ကထာင့်စေန်းတစ်င်္ုစီမှာ တူညီတဲ့အကရအတေေ်ရှိတဲ့ ရွယ်တူ
ဥဿုံညီဗဟုဂံများနဲ့သာ လှည့်ပတ်ဝန်းရံ ြေဲ့စည်းထားပါတယ်။ အဲဒီထုပုံငါးမျုးေိ
ိ ု စုကပါင်းပပီး ဥဿုံညီဗဟု
မျေ်နှာထု (Regular Polyhedron) လို့ အမည်မှည့်ကင်္ါ်ထားပါတယ်။
ဥဿုံညီဗဟုမျက်နှာထုများ (Regular Polyhedra) ၏
ဆန်းဆန်းမြားမြား အမည်မှည့်တခါ်ြုံ
77
အဲဒီ ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထု (Regular Polyhedron) ငါးမျုးေိ
ိ ု မျေ်နှာအကရအတေေ် ၄၊ ၆၊ ၈၊ ၁၂ နဲ့ ၂၀
ငါးမျုးနဲ
ိ ့ င်္ေဲြင်္ားနိုင်ပါတယ်။ ဒီငါးမျုးအြပင်
ိ
ထပ်လည်းမရှိကတာ့ပါဘူး။ မျေ်နှာအကရအတေေ်ေိုမှီပပီး အဂခလိပ်လို
အမည်မှည့်ကင်္ါ်ပုံကလးဟာလည်း စိတ်ဝင်စားစရာကောင်းလှပါတယ်။ အဂခလိပ်လို “hedron” ဆိုတာ မျေ်နှာ
(Face) ေို ဆိုလိုပါတယ်။ ပပီးကတာ့ အဂခလိပ်လို တစ်၊ နှစ်၊ သုံး၊ ကလး၊ ေို “Mono, Bi/Duo/Do, Tri, Tetra”
စသည်ြြင့် ကင်္ါ်တဲ့အတေေ် ကလးမျေ်နှာထုဟာ “Tetrahedron” ဆိုတဲ့ နာမည်ေို သဘာဝေျေျ ရလာပါတယ်။
“Regular” ဆိုတာေကတာ့ “ဥဿုံညီ” ေို ဆိုလိုပါတယ်။
ပပီးကတာ့ “ရှစ်” ေို အဂခလိပ်လို “Octa” လို့ကင်္ါ်တဲ့အတေေ် “ဥဿုံညီရှစ်မျေ်နှာထု” ဟာ “Regular
Octahedron” ြြစ်လာရပါတယ်။ တစ်ဆယ့်နှစ်ေို အဂခလိပ်လို “Dodeca” လို့ကင်္ါ်ပါတယ်။ “Do” ဆိုတာ “၂”၊
“Deca” ဆိုတာ “၁၀” ပါ။ ဒါကြောင့် “(၁၂) မျေ်နှာထု”ဟာ “Dodecahedron” ြြစ်လာပါတယ်။
အဂခလိပ်ဘာသာစေားမှာ ေဗျာကတေေိုတင်းေျပ်တဲ့ စည်းေမ်းနဲ့ြေဲ့စည်း တတ်ပါတယ်။ (၁၄) လိုင်းနဲ့
ြေဲ့စည်းထားတဲ့ေဗျာကတေေို “Sonnet” လို့ကင်္ါ်ပပီး လိုင်းကပါင်း (၂၀) နဲ့ြေဲ့စည်းထားတဲ့ေဗျာကတေေို “Icosa”
လို့ကင်္ါ်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် (၂၀) မျေ်နှာထုေိုေဗျာဆန်ဆန်၊ လှလှပပ ကလးနဲ့ “Icosahedron” လို့ကင်္ါ်ပါတယ်။
(၂၀) မျေ်နှာထုေို လှပတဲ့ေဗျာနဲ့နှိုင်းထားပါတယ်။ တေယ့် တေယ်မှာလည်း (၂၀) မျေ်နှာထုဟာ
အဲဒီအလှထေတ်ကင်္ါင် ထုပုံငါးမျုးထဲ
ိ မှာအလှပဆုံးပဲလို့ မထင်ရဘူးလား။
ေုဗတုံးေကတာ့ နာမည်အကင်္ါ်မှာ တစ်မူထူးကနပါတယ်။ တေယ်ကတာ့ေုဗတုံးမှာမျေ်နှာ ၆ ြေ်ရှိလို့
သူ့ေို “Regular Hexahedron” လို့လည်းကင်္ါ်နိုင်ပါတယ်။ “Hexa” ဆိုတာ “၆” ပဲ မဟုတ်ပါလား။ သို့ကသာ်
လည်း လူသိများတဲ့အကင်္ါ်ေကတာ့ “Cube” ပါပဲ။
အင်္ျုပ်ကြပာရရင် ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထုငါးမျုးေိ
ိ ု မျေ်နှာအကရအတေေ် ကပါ်မူတည်ပပီး ကအာေ်ပါ
အတိုင်း အမည်မှည့်ကင်္ါ်ထားပါတယ်။
(၁) ဥဿုံညီကလးမျေ်နှာထု (Regular Tetrahedron)
(၂) ဥဿုံညီကြင်္ာေ်မျေ်နှာထု (Regular Hexahedron or Cube)
(၃) ဥဿုံညီရှစ်မျေ်နှာထု (Regular Octahedron)
(၄)
ဥဿုံညီ(၁၂)မျေ်နှာထု (Regular Dodecahedron)
(၅) ဥဿုံညီ(၂၀)မျေ်နှာထု (Regular Icosahedron)
အကပါ်မှာကြာ်ြပထားတဲ့ ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထု (Regular Polyhedron) ငါးမျုးေိ
ိ ု ထူးထူးဆန်းဆန်း
ပကလတိုးရဲ့ထုပုံ (Platonic Solid) လို့ ကင်္ါ်ပါကသးတယ်။ အကတေးအကင်္ါ်ပညာရှင် ပကလတိုးနဲ့ ဥဿုံညီဗဟု မျေ်နှာ
ထုဟာ ဘယ်လိုများပတ်သေ်ကနပါသလဲလို့ ကတေးစရာပါ။
ြြစ်ပုံေဒီလိုပါ။ ပကလတိုးဟာ ဘာသာကရးဆိုင်ရာစာတမ်းတစ်ကစာင်မှာ စြေဝဠာရဲ့ အကရးအတေီးဆုံး
အဂခါ “ငါးမျုး”
ိ ေို ကရွးင်္ျယ်င်္ဲ့ပါတယ်။ ကရ၊ ကလ၊ မီး၊ ေမ္ဘာကြမတေီး နဲ့ အာောသ(နိဗ္ဗာန်ဘုံ)တဲ့။ သင်္ချာဘာသာ
ရဲ့ထူးထူးြင်္ားြင်္ားလှပတဲ့ ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထု (Regular Polyhedron) ဟာလည်းပဲ “ငါးမျုး”
ိ ပဲ ရှိပါတယ်။
ဘုရားသင်္င်ေ စြေဝဠာရဲ့ အဂခါငါးမျုးေိ
ိ ု ေိုယ်စားြပုြို့ ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထု (Regular Polyhedron)
ငါးမျုးေိ
ိ ု ြန်တီးင်္ဲ့တယ်လို့ ပကလတိုးေ ယုံြေည်ပုံရပါတယ်။ ပကလတိုးေ အင်္ျွန်ကလးြေ်ပါတဲ့ ကလးမျေ်နှာထု
(Tetrahedron) ေို မီးနဲ့နှိုင်းယှဉ်ပပီး၊ ကလးကထာင့်စတုရန်း ကြင်္ာေ်ြေ်ပါတဲ့ ေုဗတုံးေို ေမ္ဘာကြမတေီးနဲ့ နှိုင်း
78
ပါတယ်။ ဥဿုံညီပဉ္စဂံကပါင်း တစ်ဒါဇင်ပါတဲ့ ၁၂ မျေ်နှာထုေိုကတာ့ အာောသ (နိဗ္ဗာန်ဘုံ) နဲ့ နှိုင်းပပီး သုံးနားညီ
တတိဂံကတေနဲ့ြေဲ့စည်းထားတဲ့ ရှစ်မျေ်နှာထုေို ကလနဲ့လည်းကောင်း၊ ၂၀ မျေ်နှာထုေို ကရနဲ့လည်းကောင်း၊ င်္ိုင်းနှိုင်း
င်္ဲ့ပါတယ်။ ဒါကြောင့် အဲဒီ ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထုငါးမျုးေိ
ိ ုမင်္ုံပပီး ပကလတိုးရဲ့ထုပုံ (Platonic Solid) လို့လည်း
ကင်္ါ်ပါတယ်။
ဥဿုံညီဗဟုမျက်နှာထု (Regular Polyhedra)
ငါးမျုးအတြါ်
ိ
ြတလွိုး (Plato) ၏ အဓိြ္ပာယ်တကာက်ယူြုံ
ထူးထူးဆန်းဆန်းတစ်င်္ုေို ရှာကေံပပီးကြပာင်္ျင်ပါကသးတယ်။ ပကလတိုး (Plato) ဟာ လေန်င်္ဲ့တဲ့နှစ်ကပါင်း
နှစက
် ထာင်ကေျာ် (BC 300 နဲ့ 400 ြေား) မှာ ကမေးပပီး ယူေလစ် (Euclid) ထေ်ကတာင် နည်းနည်းပိပု ပီးကရှးေျပါတယ်။
“ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထုငါးမျုး”
ိ ေို အဲဒီကင်္တ်ေတည်းေ လူကတေ တတ်သိနားလည်င်္ဲ့ြေပါတယ်ဆိုတဲ့ အကထာေ်
အထား မဟုတ်ပါလား။ ဒါကပမဲ့ င်္ုလို ၂၁ ရာစု ေေန်ပျူတာကင်္တ် နဲ့ AI ကင်္တ်မှာကတာင် အမှတ်တမဲ့ကနတတ်ြေတဲ့သူ
ကတေအများစု “ဥဿုံညီဗဟုမျေ်နှာထုငါးမျုး”
ိ ေို ြေားကတာင်မြေားြူးြေပါဘူး။ စြေဝဠာရဲ့ အင်္ျုးအေျန
ိ
ဆုံးကသာ အဲဒီပကလတိုးရဲ့ထုပုံ ငါးမျုးေိ
ိ ုကတာ့ လူတိုင်းမသိသင့်ဘူးလားဗျာ။
သင်္ချာပညာဟာ အင်္ျန်ိ နဲ့အမှေ ကင်္တ်မီကြပာင်းလဲတိုးတေ်ကနပါတယ်။ သင်္ချာပညာရှင်ကတေဟာ အလေန်
ရိုးရှင်းတဲ့ သကဘာတရားတစ်င်္ုေို တစ်ဆင့်ပပီးတစ်ဆင့် တိုးင်္ျဲ့ကလ့လာရင်း တစ်စတစ်စ ြမင့်မားဆန်းြေယ်တဲ့
ဘာသာရပ်တေီးတစ်င်္ုအြြစ် ြန်တီးနိုင်စေမ်းရှိပါတယ်။ ဥပမာအားြြင့် ေိန်းစစ်စနစ်တေီး အဆင့်ဆင့်တိုးတေ်လာ
ပုံေို ြပန်လှန်စားမမုံ့ြပန်ြေည့်ြေပါစို့။
ေိန်းစစ်စနစ်မှာ Operations လုပ်ထုံးကလးမျုးိ +, -, x, ÷ ြန်တီးပုံေို ြေည့်ပါ။ အကြင်္င်္ံအေျဆုံး
ေိန်းြပည့်များေို လေ်င်္ျုးကရတေ
ိ
ေ်ရာမှ စပါတယ်။ ပပီးမှ တစ်ဆင့်တေ်ပပီး အနုတ်ေိန်းြပည့်နဲ့ သုညေိန်းေို
တည်ကဆာေ်ပါတယ်။ ဆေ်လေ်ပပီးကတာ့ အပိုင်းေိန်း၊ ဒသမေိန်းများနဲ့ ရာရှင်နယ် (Rational) များအထိ
79
တိုးင်္ျဲ့နိုင်င်္ဲ့ပါတယ်။ ဒါကပမဲ့ မြပည့်စုံနိုင်ကသးပါ။ ဥပမာအားြြင့်ကြပာရရင် အနားတစ်ြေ်စီ တစ်ယူနစ်ရှိတဲ့ စတု
ရန်းရဲ့ ကထာင့်ြြတ်မျဉ်းအလျားရှာြို့ Rational ေိန်းများနဲ့ ရှာမရပါ။ √2 လိုမျုးိ Irrational ေိန်းကတေ လိုပါ
တယ်။ အင်္ျင်းဝေ်တစ်ယူနစ်ရှိတဲ့ ယူနစ်စေ်ဝိုင်းရဲ့ အဝန်းပတ်နဲ့ ဧရိယာရှာြို့ π လိုမျုးိ Irrational ေိန်းကတေ
လိုပါတယ်။ ေဲေုလရဲ့အစေမ်းနဲ့ Irrational ေိန်းများေို Rational ေိန်းများရဲ့ Limit အြြစ် ြန်တီးနိုင်ကတာ့မှ
သာ အတန်အသင့်ြပည့်စုံတဲ့ ေိန်းစစ်စနစ်တစ်င်္ုေို ရရှိလာပါတယ်။ သို့ကသာ်လည်း င်္ျု့ယေ
ိ င်းင်္ျေ်ရှိကနပါကသး
တယ်။
ေိန်းစစ်စနစ်ဟာ x2 + 1 = 0 ေဲ့သို့ကသာ ညီမှေြင်္င်းမျုးေိ
ိ ု မကြြရှင်းနိုင်ပါ။ x ကနရာမှာ ဘယ်ေိန်းစစ်ပဲ
ထည့်ထည့် “x2 + 1” ဟာ အကပါင်းေိန်းတစ်လုံးသာရလို့ “0” ဆိုတဲ့ RHS ေ အကြြမထေေ်နိုင်ပါဘူး။ ဒါဆိုရင်
ေိန်းစစ်စနစ်ဟာ အေ္ခရာသင်္ချာပိုင်းမှာ မြပည့်စုံကသးဘူးလို့ ကောေ်င်္ျေ်င်္ျလို့ရပါတယ်။ ဒါကြောင့် ဆေ်လေ်
ပပီး i =
(- 1) ဆိုတဲ့ ေိန်းကယာင်ေို ြန်တီးရပါတယ်။ အဲဒီေကနမှတစ်ဆင့် ေိန်းစစ်နဲ့ ေိန်းကယာင် တေဲြေ်ထား
တဲ့ “z = x + iy” ဆိုတဲ့ ေိန်းကထေစနစ် (Complex Number System) ေို ြန်တီးရပါတယ်။ အဲဒီကတာ့မှ အေ္ခရာ
သင်္ချာ ညီမှေြင်္င်းမှန်သမှေေို ကအာင်ြမင်စောကြြရှင်းနိုင်ပပီး၊ အလေန်ပင်ြပည့်စုံတဲ့ ေိန်းစနစ်တစ်င်္ုေို ကအာင်ြမင်စော
တည်ကဆာေ်နိုင်ပါကတာ့တယ်။
အထေ်ပါ ေိန်းဂဏန်းတို့ရဲ့တိုးတေ်မှုြြစ်စဉ်မျုးဟာ
ိ
သင်္ချာဘာသာရဲ့ ကနရာတိုင်းမှာ ဆင်တူရှိပါတယ်။
အင်္ုလည်းြေည့်ပါ။ အလယ်တန်း ဂျဩကမတတီ
ီ
မှာသင်ရတဲ့ ဗဟုဂံ (Polygon) ဟာ ြပင်ညီ (Plane) အြပားကပါ်
မှာရှိတဲ့ Two Dimensional 2-D ပုံ ြြစ်ပါတယ်။ ဗဟုဂံ (Polygon) ေကန တစ်ဆင့်တေ်ပပီး 3-D ပုံ
ဗဟုမျေ်နှာထု (Polyhedron) ြြစ်လာပါတယ်။ ဒါနဲ့ပဲအဆုံးသတ်ပပီ မထင်ပါနဲ့ဦး။ သင်္ချာပညာရှင်ကတေဟာ
ဉာဏ်စေမ်းရှိသမှေ ဆေ်လေ် င်္ျဲ့ထေင်ကနဦးမှာပါပဲ။ 3-D ေကနပပီး 4-D, 5-D, 6-D …
အစရှိတဲ့ Higher
Dimensional Geometry ေို ကလ့လာနိုင်ပါကသးတယ်။ 3-D မှာကင်္ါ်တဲ့ “Polyhedron” ေို ပိုြမင့်တဲ့ Higher
Dimension မှာတစ်ဆင့်တေ်ပပီး “Polytope” လို့ နာမည်ကြပာင်း ကင်္ါ်ပါတယ်။ ဥပမာ 5th Dimension မှာ
စဉ်းစားတဲ့ ဗဟုထုပုံေို “Polyhedron” လို့ ကင်္ါ်မဲ့အစား “5-Polytope” လို့ အမည်သစ်ကြပာင်းကင်္ါ်ပါတယ်။
nth Dimension မှာ စဉ်းစားတဲ့ ဗဟုထုပုံေိုလည်း “n-Polytope” လို့ အမည်မှည့်ကင်္ါ်ပါတယ်။
အလေန်တရာရှင်းလင်းလေယ်ေူလို့ လေ်င်္ျုးလိ
ိ ု့ကတာင် ကရတေေ်နိုင်တဲ့ ေိန်းြပည့်မှသည် တစ်စတစ်စ
တိုးတေ်လာပပီး အလေန်တရာကင်္တ်မီပပီး ြပည့်စုံတဲ့ ေိန်းကထေစနစ်သို့ တိုးတေ်ကြပာင်းလဲလာသလိုမျုးဘဲ
ိ
Euler
Characteristic ဟာလည်း အလေန်လေယ်ေူရှင်းလင်းတဲ့ 3-D ဗဟုမျေ်နှာထုအတေေ် χ = S + V - E = 2 ဆိုတဲ့
ပုံကသနည်းေစလို့ တြြည်းြြည်းင်္ျင်း တိုးင်္ျဲ့လာပပီး Topology လို အဆင့်ြမင့်သင်္ချာ မှာ စေ်လုံး(Sphere)၊
ဆလင်ဒါ (Cylinder)၊ လုံးင်္ျွန် (Cone) ၊ ကရကဗာ့ (Torus) အစရှိတဲ့ မျေ်နှာြပင်ကပါင်းစုံအထိ ေိုယ်ပိုင် Euler
Characteristic နံပါတ်ရှိလာပါတယ်။ သတ္တဝါကတေရဲ့မျုးရိ
ိ ုးဗီဇေို DNA နဲ့စူးစမ်းသလိုမျုးိ Euler Characteristic ဆိုတဲ့ ေိန်းကလးတစ်လုံးဟာလည်းပဲ မျေ်နှာြပင်(Surface) ကတေရဲ့ DNA တစ်မျုးိ ြြစ်လာပါတယ်။
သင်္ချာပညာရဲ့ နယ်ပယ်ဟာလည်း င်္ျဲ့ရင်းထေင်ရင်း ဘယ်ကတာ့မှ အဆုံးသတ်နိုင်မယ်မထင်ကြောင်းပါဗျာ။
u
80
(၅)
တွာ်တြါတလာ်ဂျ ီ (ြထမြိုင်း) (တမာဘီးရြ်(စ်)ကေင်းလိမ်)
TOPOLOGY - Part I - Mobius Band
ေျွန်ကတာ် ြမင်ြမင်င်္ျင်းင်္ျစ်မိတဲ့ ဘာသာရပ်တစ်င်္ု သင်္ချာကေျာင်းသားဘဝမှာ ကေုံြူးပါတယ်။ မဟာသိပ္ပံ
ပထမနှစ်မှာသင်ရတဲ့ ဘာသာရပ်ပါ။ Topology လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ နာမည်စြမင်ေတည်းေ ေဗျာဆန်လိုေ်တာ
ဆိုပပီး သကဘာေျမိပါတယ်။
စာ,စသင် ရ တဲ ့ ပထမအင်္ျ ိန် မ ှ ာ ကတာ့ အလန် ့ တြေားြြစ် မ ိ ပ ါတယ် ။ ဆရာေ Topology ဆိ ု တ ာ
Geometry တစ်မျုးပါပဲ
ိ
။ ဒါကပမဲ့ အေောအကဝး (Distance) ဆိုတဲ့ သကဘာတရား Concept ေို လုံးဝပစ်ပယ်တဲ့
Geometry မျုးပဲ
ိ လို့ဆိုကတာ့ ဘယ်လိုတေီးလဲဟလို့ ေျွန်ကတာ်တစ်ေိုယ်တည်း အာကမဍိတ်င်္ျင်္ဲ့ြူးပါတယ်။
ေျွန်ကတာ်တို့ငယ်စဉ်ေတည်းေ သင်င်္ဲ့ရတဲ့ Euclidean Geometry ဆိုတာ အေောအကဝးေို ကရှ့တန်းတင်င်္ဲ့ရ
တယ် မဟုတ်လား။ ဥပမာ- တတိဂံထပ်တူညီတဲ့ သီအိုရမ် SSS ဆိုပါစို့။ အနားသုံးြေ် အလျားတူရတယ် မဟုတ်
လား။ အလျားမရှိရင် ပိုေ်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ်ေအစ ငယ်ငယ်ေသိင်္ဲ့သင်င်္ဲ့တဲ့ Geometry အားလုံးနီးပါးလည်း
အဓိပ္ပာယ်မရှိကတာ့ဘူးကလ။ (ထိတ်လန့်စရာမဟုတ်ပါလား။)
ဆရာေဆေ်ကြပာတယ်။ Topology ဆိုတာ Rubber Sheet Geometry လို့လည်း သမုတ်ပပီးကင်္ါ်ြေ
တယ်တဲ့။ ကရာ်ဘာြပားကပါ်မှာ တတိဂံတစ်င်္ုဆေဲထားတယ်ဆိုပါစို့။ အဲဒီကရာ်ဘာြပားေို အမျုးမျ
ိ ုးိ ဆေဲလိုေ်၊ ဆန့်လိုေ်၊
ေျုံ့လိုေ်လုပ်ရင် အေောအကဝးဆိုတာ အမျုးမျ
ိ ုးကြပာင်
ိ
းလဲပပီး ကြဗာင်းဆန်ေုန်တယ်။ တတိဂံပုံဟာ ကြပာင်းလဲပပီး
စတုရန်းတို့၊ စေ်ဝိုင်းတို့လို ပုံမျုးြြစ်
ိ
လာပါတယ်။ Topology မှာ တတိဂံရယ်၊ စတုရန်းရယ်၊ စေ်ဝိုင်းရယ်ဟာ
အတူတူပါပဲလို့ ဆရာေ မှတ်င်္ျေ်င်္ျပါတယ်။ ေျွန်ကတာ့်စိတ်ထဲမှာ ဘုရားတမိတယ်။ တတိဂံ = စတုရန်း = စေ်ဝိုင်း။
ဟုတ်မှဟုတ်ရဲ့လား။ နားရှိလို့သာြေားရတယ်။ တစ်သေ်လုံးမကတေးြူးတာ၊ မြေားြူးတာကတေ ြြစ်ေုန်ပပီ။
(ဘုရား - ဘုရား - ဘုရား။)
Topology ေို တေယ်သင်ရတဲ့အင်္ါမှ သိလာတယ်။ အဲဒီလို ကရာ်ဘာြပားကပါ်မှာ စဉ်းစားရတဲ့အကြောင်း
ေ သူကလ့လာင်္ျင်တဲ့အကြောင်းအရာဟာ အေောအကဝးနဲ့မဆိုင်လို့ဘဲ။ Topology ဟာ Region (ကနရာကဒသ)
လို့ကင်္ါ်တဲ့ အမှတ်စုရဲ့ ဂုဏ်သတ္တိကတေေို အထူးြပုကလ့လာပါတယ်။ အဲဒီ Region မှာ ဘယ်အမှတ်ကတေဟာ
81
အတေင်းမှတ် (Interior Point)၊ ဘယ်အမှတ်ကတေဟာ အြပင်မှတ် (Exterior Point)၊ ဘယ်အမှတ်ကတေဟာ
နယ်စပ်အမှတ် (Boundary Point) ဆိုပပီး သတ်မှတ်ပါတယ်။ ကအာေ်ပါ ပုံအပိုင်း (1) ေို ြေည့်ပါ။ အမှတ် p ဟာ
Region U ရဲ့ အတေင်းမှတ်ြြစ်ြို့ အဲဒီအမှတ်ေိုဗဟိုြပုတဲ့ စေ်ဝိုင်းတစ်ဝိုင်းဟာ အဲဒီ Region U အတေင်းမှာ
ေျကရာေ်ရမယ်။ အမှတ် P ဟာ Region U ရဲ့ အြပင်မှတ် (Exterior Point) ြြစ်ြို့ အဲဒီအမှတ်ေို q
ဗဟိုြပုတဲ့စေ်ဝိုင်းတစ်ဝိုင်းဟာ အဲဒီ Region U ရဲ့ အြပင်ဘေ်မှာ လုံးဝေျကရာေ်ရမယ်။ ထိုနည်းတူ အမှတ်တစ်င်္ု
b ဟာ Region U ရဲ့ နယ်စပ်အမှတ်ြြစ်ြို့ အဲဒီအမှတ် b ေို ဗဟိုြပုတဲ့ စေ်ဝိုင်းတိုင်းဟာ အဲဒီ Region ရဲ့
အတေင်းတစ်ပိုင်း၊ အြပင်တစ်ပိုင်း ေျကရာေ်ရမယ်။ Region တစ်င်္ုမှာ သူ့ရဲ့ Boundary Point လို့ကင်္ါ်တဲ့
နယ်စပ်မှတ်အားလုံး ပါဝင်ရင် Close Region လို့ကင်္ါ်တယ်။ Boundary Point နယ်စပ်မှတ် လုံးဝမပါဝင်ရင်
Open Region လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ အဲဒီကလ့လာမှုအားလုံးမှာ အေောအကဝးဆိုတဲ့ သကဘာတရားကတေမပါဝင်ဘူး။
Topology မှာ ကလ့လာတတ်တဲ့ ဥပမာကလးတစ်င်္ုြပင်္ျင်ပါတယ်။ Mobius Band လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။
ေကလးကတေေစားတဲ့ ကင်္ါင်းမှာစေပ်တဲ့ စေ္ကူအဝိုင်းကင်္ါေ်ေကလးပါ။ ကအာေ်ပါ ပုံအပိုင်း (2) ေိုြေည့်ပါ။
82
သာမန်အဝိုင်းကင်္ါေ်ေကလးတစ်င်္ုလုပ်ြို့ စေ္ကူြပားရှည်ရှည်တစ်င်္ုေို ထိပ်နှစ်ဘေ် အလိုေ်သင့်ဆေ်
ကပးလိုေ်ရုံပဲ။ ဒါကပမဲ့ Mobius Band ေျကတာ့ ထိပ်နှစ်ဘေ်ဆေ်င်္ါနီးမှာ ထိပ်တစ်ဘေ်ေို 180 ဒီဂရီ လိမ်လိုေ်
ပပီးမှ ဆေ်ပါတယ်။ လေယ်လေယ်ကြပာရင် Mobius Band ဆိုတာ တစ်င်္ျေ်လိမ်ပပီးမှဆေ်ထားတဲ့ ကင်္ါင်းစေပ်ပါ။
(အထေ်ကြာ်ြပပါ ပုံအပိုင်း (3) ေို ြေည့်ပါ။)
သာမန်အဝိုင်းကင်္ါေ်ေကလးဟာ ဘာမှမထူးဆန်းတဲ့ပစ္စည်း။ မျေ်နှာ(Surface) နှစ်င်္ုရှိတယ်။ အတေင်း
တစ်ြေ်၊ အြပင်တစ်ြေ်။ အနားသတ် (Edge) နှစ်င်္ုရှိတယ်။ အကပါ်တစ်င်္ု၊ ကအာေ်တစ်င်္ု။ (အထေ်ကြာ်ြပပါ
ပုံအပိုင်း (2) ေိုြေည့်ပါ။)
ဒါကပမဲ့ Mobius Band ေျကတာ့ မကမှော်လင့်ဘဲ အဲဒီဂုဏ်သတ္တိကတေ ကြပာင်းေုန်တယ်။ မျေ်နှာတစ်ဘေ်
တည်း ရှိကတာ့တယ်။ အတေင်း၊ အြပင်မရှိဘူး။ အကပါ်၊ ကအာေ်မရှိဘူး။ နားရှုပ်သေားပပီလား။ ရှင်းပါရကစ။
(အထေ်ကြာ်ြပပါ ပုံအပိုင်း (4) ေို ြေည့်ပါ။)
စိတ်ေူးယဉ်ြေည့်ပါ။ ပုရွေ်ဆိတ်တစ်ကောင်ဟာ Mobius Band ရဲ့အလယ်တည့်တည့်ေ မျဉ်းကြောင်း
အတိုင်း ကလှောေ်ကနတယ်ဆိုပါစို့။ အတေင်းဘေ်ေကနပပီး တစ်ပတ်ြပည့်ကလှောေ်ပပီးတဲ့အင်္ါ နဂိုစထေေ်တဲ့ကနရာ
မကရာေ်ဘဲ၊ စထေေ်တဲ့ကနရာရဲ့ အြပင်ဘေ်အမှတ်ေို ကရာေ်လာတယ်။ ကနာေ်ထပ် တစ်ပတ်ကလှောေ်လိုေ်မှ
သူ စထေေ်တဲ့ကနရာေို ြပန်ကရာေ်လာတယ်။ ဆိုလိုင်္ျင်တာေ Mobius Band မှာ မျေ်နှာအတေင်းအြပင်ဟာ
တစ်ဆေ်တည်း ြြစ်ကနတယ်။ သီးြင်္ားတစ်ြေ်စီ မေေဲကတာ့ဘူး။ မျေ်နှာနှစ်ြေ်မရှိကတာ့ဘူး။ တစ်ြေ်တည်း
ေျန်ကနတယ်။
Mobius Band မှာအနားသတ် (Edge)လည်း တစ်င်္ုပဲရှိကတာ့တယ်။ မယုံရင် Mobius Band တစ်င်္ု
လေ်ကတေ့လုပ်ပပီး အနားသတ်တစ်ကနရာေစပပီး မင်နီဆိုးြေည့်ပါ။ အနားသတ်တစ်ကလှောေ် အနီဆိုးသေားရင်
အနားသတ်စဆိုးတဲ့ကနရာေို ြပန်ကရာေ်တဲ့အထိ အနားသတ်အားလုံးအနီတစ်ကရာင်တည်းနဲ့ ြပည့်သေားတာ
ကတေ့လိမ့်မယ်။ အကရာင်နှစ်မျုးင်္ေ
ိ ဲဆိုးလို့မရဘူး။ လေ်ကတေ့စမ်းြေည့်ပါ။
ဆိုလိုင်္ျင်တာေ Regular Band မှာ Surface နှစ်ဘေ် ရှိတယ်။ Edge နှစ်င်္ုရှိတယ်။ Mobius Band
မှာကတာ့ တစ်င်္ုစီပဲရှိတယ်။
u
83
(၆)
တွာ်တြါတလာ်ဂျ ီ (ဒုွိယြိုင်း) (ကလိင်းြုလင်းလည်လိမ်)
TOPOLOGY - Part II - Klein Bottle
အပိုင်းတစ်မှာ Topology ပညာေို “Rubber-sheet Geometry” လို့ သမုတ်ြေတယ်လို့ကြပာင်္ဲ့ပါ
တယ်။ Topology မှာ ကရာ်ဘာ (သို့မဟုတ် ရှေံ ့ကစး) ေိုကေေး၊ ကြြာင့်၊ ေျုံ့၊ဆန့်၊ လိမ်၊ လှည့် စတဲ့ ြပုြပင်ကြပာင်းလဲမှု
လုပ်လို့ ြြစ်ကပါ်လာတဲ့ပုံသဏ္ဌာန်အမျုးမျ
ိ ုးဟာ
ိ
အတူတူပဲလို့ သတ်မှတ်ပါတယ်။ ရာဘာ (သို့မဟုတ် ရှေံ့ကစး) ေို
လှီးြြတ်တာ၊ ကော်ေပ်တာ၊ အကပါေ်ကြာေ်တာ၊ ြြည့်စေေ်ပိတ်ဆို့တာကတေေို မလုပ်ရပါဘူး။
Topology ေျွမ်းေျင်တဲ့ပညာရှင်ေို Topologist လို့ကင်္ါ်ပါတယ်။ Topologist တို့သည် “ဒိုးနပ်
(Dough-nut)နဲ့ ကော်ြီမတ်င်္ေေ် (Coffee Mug) ေို မင်္ေဲြင်္ားတတ်တဲ့လူစားမျုး”
ိ လို့လည်း ေျစယ်
ီ ြေပါတယ်။
အကြောင်းေဒီလိုပါ။ ဒိုးနပ်တစ်လုံးေို ကရာ်ဘာတုံးကပျာ့ကပျာ့တစ်တုံး(သို့မဟုတ် ရှေံ ့ကစးတစ်တုံး) လို့ သကဘာထား
ပပီး ြပုြပင်ကြပာင်းလဲမှုလုပ်လို့ရပါတယ်။ ပုံ (1) ေိုြေည့်ပါ။ ဒိုးနပ်ရဲ့တစ်ကနရာေို အရင်င်္ေေ်သေားကအာင် နှိပ်လိုေ်
ပါ။ ပပီးမှ ဒိုးနပ်ရဲ့ အလယ်ေအကပါေ်ေို ကဘးကရာေ်ကအာင် တြြည်းြြည်း ဆန့်လိုေ်၊ ဆေဲလိုေ်ြပုြပင်ပပီး၊ ဒိုးနပ်
အကပါေ်ေို ကော်ြီင်္ေေ်လေ်ေိုင်ေေင်းြြစ်ကအာင် စိတ်ရှည်လေ်ရှည်ြန်တီးလိုေ်ရင် ဒိုးနပ်ဟာ ကော်ြီင်္ေေ်ပုံနဲ့
ြြစ်သေားပါတယ်။
“ကထာင်တန်တဲ့ စေားရယ်ရင်ကပါ့” ဆိုတဲ့အတိုင်း ေျွန်ကတာ်ေ Topology ရဲ့ ဟာသကတေကြပာကနကတာ့
Topology ေို ကပါ့ြပေ်ြပေ်ဘာသာရပ်လို့ကတာ့ လုံးဝ(လုံးဝ) မထင်လိုေ်ပါနဲ့။ အလေန်ကလးနေ်ပပီး တိေျတဲ့
ပညာရပ်ြြစ်လို့ လူပပိန်းတစ်ကယာေ်ေိုရှင်းြပရင် ဟိုးေမ္ဘာအဆုံးထိကအာင်ကတာင် လန့်ကြပးနိုင်ပါတယ်။ သင်္ချာ
ဆန်ဆန်ကလး စာတစ်ပိုဒ်ကလာေ် တင်ြပပါရကစ။
ကရှ့ပိုင်းမှာ တတိဂံနဲ့စေ်ဝိုင်း “အတူတူပဲ” လို့ လူ-ပပိန်း-ကြပာ ကြပာင်္ဲ့တာ မှတ်မိပါလိမ့်မယ်။ တိတိေျေျ
ကြပာရင် “အတူတူပဲ” လို့ ကြပာမဲ့အစား “Topologically Equivalent” ြြစ်တယ်လို့ ကြပာရပါတယ်။
“Topologically Equivalent” ြြစ်ြို့လည်း သင်္ချာနည်းနဲ့ တိတိေျေျအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်င်္ျေ် ရှိပါတယ်။
ဝတ္ထုနှစ်င်္ုဟာ “Topologically Equivalent” ြြစ်ြို့ သူတို့ြေားမှာ အလေန်ထူးြင်္ားတဲ့ Function တစ်င်္ု တည်ရှိ
ြို့ လိုပါတယ်။ အဲဒီြန်ရှင်ဟာ one-to-one function and onto function ြြစ်ရုံမေဘဲ၊ Bi-continuous
84
လည်း ြြစ်ရပါမယ်။ အဲဒီ ထူးြင်္ားတဲ့ြန်ရှင်မျုးေိ
ိ ုလည်း “Homeomorphism” (ဟိုမီယိုကမာ်ြစ်စန်)လို့ အထူး
တလည် နာမည်ကပးထားပါတယ်။ (Bicontinuous Function ဆိုတာ သူေိုယ်တိုင်ကရာ၊ သူ့ရဲ့ကြပာင်းြပန်
ြန်ရှင်ကရာ continuous တစ်ဆေ်တည်းြြစ်တဲ့ ြန်ရှင်ပါ။)
ကဝါဟာရတေီးတေီးကတေေိုကမ့လိုေ်ပပီး စိတ်ဝင်စားစရာကတေေို ြေည့်ရကအာင်ပါ။ Topology မှ ထင်ရှား
တဲ့ ဝတ္ထုပစ္စည်းကတေရှိပါတယ်။ အပိုင်းတစ်မှာ Mobius Band လို့ကင်္ါ်တဲ့ စေ္ကူအဝိုင်းကင်္ါေ်ကလးအကြောင်း
မိတ်ဆေ်င်္ဲ့ပါတယ်။ ရိုးရိုးစေ္ကူအဝိုင်းကင်္ါေ်ကလးမှာ အတေင်းဘေ်၊ အြပင်ဘေ်၊ ဘေ်နှစ်ြေ် (two sides
with inside and outside) ရှိကသာ်လည်း၊ Mobius Band မှာကတာ့ အတေင်းအြပင်မေေဲြပားဘဲ တစ်ဆေ်တည်း
ြြစ်ကနပါတယ်။ အထင်ရှားဆုံးေကတာ့ ပုရွေ်ဆိတ်စမ်းသပ်င်္ျေ်ပါ။ ပုံအပိုင်း (2) ေိုြေည့်ပါ။ ပုရွေ်ဆိတ်
တစ်ကောင်ေို Mobius Band ရဲ့ အလယ်စည်းကြောင်းတစ်ကလှောေ် ကြပးကစရင် အနားသတ် Edge ေို
မကေျာ်မြြတ်ရဘဲ သူ့အလိုလို အတေင်းေ အြပင်၊ အြပင်ေ အတေင်း တစ်လှည့်စီ လှည့်ပတ်သေားကနပါတယ်။
ကနာေ်ဝတ္ထုတစ်မျုးေကတာ့
ိ
Klein Bottle လို့ကင်္ါ်တဲ့ ကေံကေံြန်ြန် ဗျုင်
ိ းလည်လိမ်ပုလင်းပါ။ (ပုံအပိုင်း
(3) နဲ့ ပုံအပိုင်း (4) ေို ြေည့်ပါ။) လည်ပင်းရှည်ပုလင်းမှာ လည်ပင်းေ ပုလင်းထဲြပန်စိုေ်ပပီး ကအာေ်ကြင်္မှာ
ပုလင်းအဝကရာေ်ကနပါတယ်။ တေယ်ကတာ့ ပုလင်းအဝနဲ့တူပပီး အဝလည်းမဟုတ်ြပန်ဘူး။ မျေ်နှာြပင်င်္ျုင်
ိ ့ဝင်
85
ပပီး အြပင်မျေ်နှာြပင်နဲ့ အတေင်းမျေ်နှာြပင် တစ်ကြပးတည်းပါ။ လူကတေရဲ့ ကတေးကင်္ါ်ကေံဆတတ်ပုံဟာ အံ့မင်္န်း
စရာပါ။ သာမန်ပုလင်းတစ်လုံးဟာ အတေင်းဘေ်ြင်္မ်းမျေ်နှာြပင်နဲ့ အြပင်ဘေ်ြင်္မ်းမျေ်နှာြပင် (Surface) နှစ်င်္ု
ရှိပပီး အဝမှာ အနားသတ်တစ်င်္ု ရှိပါတယ်။ Klein Bottle မှာကတာ့ မျေ်နှာြပင်တစ်င်္ုတည်းသာ ရှိပါတယ်။
အတေင်းနဲ့ အြပင် တစ်ကြပးတည်း၊ တစ်ဆေ်တည်းပါ။ Mobius Band လိုပဲ ပုရွေ်ဆိတ်နဲ့ စမ်းသပ်င်္ျေ်လုပ်ရင်
ပုရွေ်ဆိတ်ဟာ ဘာအနားသတ်မှမြြတ်ဘဲ အတေင်းမျေ်နှာြပင်၊ အြပင်မျေ်နှာြပင် တစ်လှည့်စီကရာေ်ကနပါ
တယ်။ ပိုထူးဆန်းတာေ Klein Bottle မှာ အနားသတ်လို့ကင်္ါ်တဲ့ Edge (သို့မဟုတ် Boundary) မရှိပါဘူး။
Number of edges = 0 ပါ။
Klein Bottle ဟာ Mobius Band နဲ့ ဘာများပတ်သေ်မှုရှိသလဲ။ တစ်င်္ုေ ပုလင်း၊ ကနာေ်တစ်င်္ုေ
အဝိုင်းပတ်။ ဘာဆိုင်လို့တုန်း။ သူစိမ်းသူရံကတေပါလို့ ကြြင်္ျင်စရာပဲ။ အလေန်မှားပါတယ်။ သားအမိဆိုရင် ပိုမှန်ပါ
တယ်။ Klein Bottle ဟာ တေယ်ကတာ့ Mobius Band ေ ကမေးထုတ်ကပးလိုေ်တဲ့ အမမွှာေကလးပါ။ ရိုးရိုး
အမမွှာကတာင် မဟုတ်ဘူး၊ ရင်င်္ျင်းဆေ်အမမွှာပါ။ ပုံ (5) ေိုြေည့်ပါ။ Klein Bottle ေို ကင်္ါေ်င်္ျုးညီ
ိ ကနတဲ့ နှစ်ြင်္မ်း
ြြစ်ကအာင် အလယ်တည့်တည့်ေ ြပင်ညီမတ်မတ်နဲ့ င်္ေဲင်္ျလိုေ်ရင် တစ်ြင်္မ်းစီဟာ Mobius Band ြြစ်လာပါ
တယ်။ ရုတ်တရေ်ြေည့်ရင်ကတာ့ မြမင်သာပါဘူး။ ဘာကြောင့်လဲဆိုကတာ့ အြပားရဲ့ အနံအေျဉ်းအေျယ်
ကြပာင်းကနကတာ့ ကရှ့မှာ ေျွန်ကတာ်တို့ြမင်င်္ဲ့တဲ့ Mobius Band လို အြပားတစ်ကြပးညီနဲ့ မတူသလို ြြစ်ကနပါ
တယ်။ တေယ်ကတာ့ အတူတူပါပဲ။
မတ်င်္ေေ်နဲ့ ဒိုးနပ်တို့ေို ရှေံ ့ကစးတုံးသကဘာထားပပီး တစ်င်္ုေကန ကနာေ်တစ်င်္ုြြစ်ကအာင် တြြည်းြြည်း
ပုံကြပာင်းကပးလို့ရတယ်။ အဲဒီလို ပုံကြပာင်းကပးနိုင်တဲ့ပစ္စည်းကတေဟာ Topology အြမင်မှာ အတူတူပဲလို့သတ်မှတ်
ပါတယ်။ အဲဒါေို Topologically Equivalent ြြစ်တယ်လို့ ဆိုကလ့ရှိပါတယ်။ ဥပမာအားြြင့် 1 ဟာ 5 တို့ 7
တို့နဲ့ Topologically Equivalent ြြစ်ကနပါတယ်။ ဘာကြောင့်လဲဆိုကတာ့ သူတို့ေို ကရာ်ဘာ (သို့မဟုတ်) ရှေံ ့ကစး
လို့ သကဘာထားရင် 1, 5, 7 တို့ဟာ တစ်င်္ုေကန ကနာေ်တစ်င်္ုေို ပုံကြပာင်းယူလို့ရပါတယ်။ ရှေံ ့ကစးပုံ 7 နဲ့ 5 ေို
ကြြာင့်လိုေ်ရင် 1 ပဲ မဟုတ်ပါလား။ အပျင်းကြပ ပုစ္ဆာတစ်ပုဒ် စဉ်းစားြေည့်ရကအာင်ပါ။
ကမးင်္ေန်း
0 မှ 10 ထိ ေိန်း ၁၁ လုံးေို Topology ဝတ္ထု ၁၁ င်္ုဟု သကဘာထားပါ။
Topologically Equivalent ြြစ်ကနကသာအုပ်စု မည်မှေင်္ေဲကပးနိုင်မည်နည်း။
အကြြ
အုပ်စု (1) : 0, 4, 6, 9 (ဒိုးနပ်နဲ့တူတဲ့အုပ်စု)
အုပ်စု (2) : 1, 2, 3, 5, 7 (ကဟာ့ကဒါ့နဲ့တူတဲ့အုပ်စု)
အုပ်စု (3) : 8 (နှစ်ကပါေ်မုန့်တေိုးလိမ်နဲ့တူတဲ့အုပ်စု)
အုပ်စု (4) : 10 (ဒိုးနပ်နဲ့ ကဟာ့ကဒါ့ အဆေ်ြပတ်ပစ္စည်းနှစ်င်္ုပါတဲ့အုပ်စု)
u
86
(၇)
တွာ်တြါတလာ်ဂျ ီ (ွွိယြိုင်း) (တမမြုံကိုအတရာင်ဆိုး၍ ခေဲမခားမခင်း)
TOPOLOGY - Part III - Coloring a map
အလမ္ပာယ်ဆရာ ကခမေိုေ်တဲ့ပုံြပင်တစ်င်္ု ကတာ်ကပါကလာ်ဂျမှီ ာ ြေားြူးပါတယ်။ တစ်င်္ါေ ေမ္ဘာကေျာ်
Topologists ကတေရဲ့ နှီးကနှာြလှယ်ပေဲတစ်င်္ုအလယ်မှာ ကြေညာင်္ျေ်တစ်င်္ု ရုတ်တရေ် ထေေ်လာပါတယ်။
ကန့လည်နားကနင်္ျန်ိ မှာ Half-Time Show တစ်င်္ု ြပမယ်တဲ့။ Topologists ကတေထဲေ အလေန်လှပတဲ့ လူငယ်
အမျုးသမီ
ိ
းပညာရှင်တစ်ဦးေ အတေင်းင်္ံအဝတ်ေို အကပါ်တစ်စ၊ ကအာေ်တစ်စ ရှင်းရှင်းလင်းလင်း င်္ျွတ်ြပမယ့်ပေဲ
ပါတဲ့။ နှီးကနှာြလှယ်ပေဲတေီးဟာ လှုပ်လှုပ်ရွရွြြစ်ေုန်ပပီး ပညာရှင်ကတေအမျုးမျ
ိ ုးေလည်
ိ
း အမျုးမျ
ိ ုးိ စိတ်ေူးယဉ်
ပပီး စိတ်လှုပ်ရှားြေတာကပါ့။ ြပပေဲအင်္ျန်ိ ေျကတာ့ ြပမယ့်အမျုးသမီ
ိ
းပညာရှင်ေလည်း ြပည့်ြပည့်စုံစုံ၊ လှလှပပ
ဝတ်စားဆင်ယင်ပပီး မပုံးမပုံးရှေင်ရှေင်ပဲ စင်ကပါ်တေ်လာပါတယ်။ ပရိတ်သတ်ကတေေလည်း အမျုးမျ
ိ ုးစိ
ိ တ်ေူးယဉ်
ပပီး လေ်ဝါးတီး၊ လေ်ကင်္ါေ်မှုတ် အားကပးြေပါတယ်။ ပရိသတ်ကတေ အသံစဲကတာ့မှ အမျုးသမီ
ိ
းပညာရှင်ေ
အတေင်းင်္ံရဲ့ ပုင်္ုံးတိုင်းတေိုးအနီကရာင်ကလးေို လှပ်ြပပပီး ကရာ်ဘာ Elastic တေိုးြြစ်လို့ အလေယ်တေူပဲ ကင်္ါင်းေို
စေပ်လိုေ်၊ ပုင်္ုံးေိုစေပ်လိုေ်နဲ့ အြပင်ေအဝတ်အစားကတေေို မင်္ျွတ်ဘဲ အတေင်းတစ်စတည်းေို ကအာင်ြမင်စောင်္ျွတ်ြပ
လိုေ်ပါကတာ့တယ်။
အထေ်ပိုင်းအတေင်းင်္ံင်္ျွတ်ပပီး အလားတူစော ကအာေ်ပိုင်းအတေင်းင်္ံေို အြပင်အလွှာေ အဝတ်ကတေမင်္ျွတ်
ဘဲ ရှင်းရှင်းလင်းလင်း ထပ်င်္ျွတ်ြပနိုင်ပါတယ်။ တေယ်ကတာ့ ယဉ်ယဉ်ကေျးကေျး Topology ပညာကပးြပပေဲပါ။
ကရာ်ဘာအဝတ်ကတေဟာ အတေင်းလွှာေကန အြပင်လွှာေိုြြတ်ကေျာ်ပပီး င်္ျွတ်နိုင်ပါတယ်ဆိုတဲ့ သကဘာကလးေို
ြပတာပါ။ ဒါကပမဲ့ စိတ်ေူးယဉ်မှားတဲ့ Topology ပညာရှင်တင်္ျု့အတေ
ိ
ေ်ကတာ့ Topology နဲ့ပဲ အလိမ်င်္ံလိုေ်ရပပီး
အလမ္ပာယ်ဆရာ ကခမေိုေ်င်္ံရသလို ြြစ်သေားပါတယ်။ ြပပေဲကလးေကတာ့ ကပျာ်ကပျာ်ရှေင်ရှေင် ရယ်ရယ်ကမာကမာနဲ့
ယဉ်ယဉ်ကေျးကေျးပဲ ကအာင်ြမင်စောပပီးဆုံးသေားပါတယ်။
တေယ့် ကလးကလးနေ်နေ် Topology သကဘာတရားကလးကတေေို ဆေ်ပပီးြေည့်ြေရကအာင်ပါ။
ကလးကထာင့်ဗလာစာရွေ် အလေတ်တစ်ရွေ်ဟာ အနားသတ် (Edge) တစ်င်္ုနဲ့ မျေ်နှာ (Face) နှစ်င်္ု ရှိပါတယ်။
သူ့ေို ကရာ်ဘာြပား (Rubber Sheet) လို သကဘာမျုးထားပပီ
ိ
း ဆေဲ၊ ဆန့်၊ လိမ်၊ ကင်္ါေ်၊ လိပ်၊ ကြင်္၊ အမျုးမျ
ိ ုးိ ြပုြပင်
ကြပာင်းလဲလိုေ်ကသာ်လည်း အနားသတ် (Edge) တစ်င်္ုနဲ့ မျေ်နှာ (Face) နှစ်င်္ုဆိုတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိေကတာ့
မကြပာင်းလဲနိုင်ပါဘူး။
87
အဲဒီလို မကြပာင်းလဲနိုင်တဲ့ဂုဏ်သတ္တိမျုးေိ
ိ ု Topological Properties လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ ဝတ္ထုတစ်င်္ုရဲ့
အနားသတ်အကရအတေေ် (Number of Edges) နဲ့ မျေ်နှာြပင်အကရအတေေ် (Number of Faces) ဟာ
Topological Properties ကတေပါ။ ကရှ့မှာတင်ြပပပီးင်္ဲ့တဲ့ Mobius Band ရဲ့ အနားသတ်တစ်င်္ု၊ မျေ်နှာြပင်
တစ်င်္ု (1 edge and 1 face) ရှိတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ၊ ပပီးကတာ့ Klein Bottle ရဲ့ အနားသတ်မရှိဘဲ၊ မျေ်နှာြပင်တစ်င်္ု
ရှိတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိတို့ဟာလည်း Topological Properties ကတေပါပဲ။
Topology သကဘာတရားကလ့လာြို့ ပစ္စည်းကတေအများတေီး ရှိပါတယ်။ ဒိုးနပ်(Dough Nut)နဲ့တူတဲ့
ေားဘီးထဲေ ေျွတ်အေျစ်စားမျုးေိ
ိ ု Torus လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ ကအာေ်ကြာ်ြပပါပုံမှ ပုံအပိုင်း (1) ေိုြေည့်ပါ။
Torus မှာ မျေ်နှာ ဘယ်နှြေ်ရှိသလဲ။ အနားသတ်ရှိသလား။ အကြြေကတာ့ အနားသတ်မရှိပါဘူး။
မျေ်နှာေကတာ့ တစ်ြေ်ရှိပါတယ်။ (စဉ်းစားြေည့်ပပီးမှ ယုံပါကနာ်။)
ပပီးကတာ့ စေ်လုံးအေျစ်စားနဲ့တူတဲ့ ေမ္ဘာလုံးတေီးဟာလည်း မျေ်နှာဘယ်နှြေ်ရှိသလဲ။ အနားသတ်
ရှိသလား။ မျေ်နှာတစ်ြေ်တည်း ရှိပါတယ်။ အနားသတ်ကတာ့ မရှိပါ။
င်္ုဆေ်လေ်ပပီးကတာ့ ကြမပုံစာရွေ်တစ်င်္ုမှာပါတဲ့ နယ်ကြမဧရိယာကတေေို အကရာင်ြင်္ယ်တဲ့ ြပဿနာေို
စဉ်းစားပါ့မယ်။ နယ်စပ်င်္ျင်းထိစပ်ကနတဲ့ မတူတဲ့ နယ်ကြမဧရိယာကတေေို မတူတဲ့အကရာင်ြင်္ယ်မယ်ဆိုပါစို့။
88
မျေ်နှာြပင်ညီကပါ်မှာ ဆေဲသားထားတဲ့ကြမပုံအားလုံးေို Planar Map လို့ကင်္ါ်ပါတယ်။ တေယ်ကတာ့
ေျွန်ကတာ်တို့ြမင်ကန၊ သုံးကနတဲ့ သာမန်ကြမပုံအားလုံးနီးပါးဟာ Planar Map ပါ။ အဲဒီလို သာမန်ကြမပုံကတေေို
အကရာင်ြင်္ယ်တဲ့အင်္ါမှာ အကရာင်ဘယ်နှကရာင်လိုပါသလဲ။ အကရာင်သုံးကရာင်နဲ့ မလုံကလာေ်ဘူးဆိုတာေိုကတာ့
ပုံ(2)မှာ အလေယ်တေူြမင်နိုင်ပါတယ်။ ပုံအပိုင်း (2) ေို ြေည့်ပါ။
ကရင်္ျုးင်္န်
ိ း၊ အိပ်င်္န်းနဲ့ မီးြိုင်္န်းေို မတူတဲ့ သုံးကရာင် နီ၊ ဝါ၊ ြပာ နဲ့ ြင်္ယ်ပပီးရင် ဧည့်င်္န်းေိုြင်္ယ်ြို့ အနီ၊ အဝါ၊
အြပာကရာင်ကတေေို သုံးလို့မရကတာ့ပါ။ စတုတ္ထအကရာင်တစ်ကရာင် လိုကနပါတယ်။ (ပုံအပိုင်း (2) ေိုြေည့်ပါ။)
ဒါကြောင့် ကြမပုံအမျုးမျ
ိ ုးြင်္ယ်
ိ
ြို့ သုံးကရာင်မေ လိုအပ်ကြောင်း ထင်ရှားပါတယ်။ ဒါဆိုရင် အနည်းဆုံး
လိုအပ်တာ ကလးကရာင်လား၊ ငါးကရာင်လား၊ ကြင်္ာေ်ကရာင်လား….?
၁၉ ရာစု ကလာေ်ေျကတာ့ ကြမပုံအားလုံးေို ငါးကရာင်နဲ့ ြင်္ယ်နိုင်တယ်ဆိုတာေို သင်္ချာပညာရှင်ကတေ
သေ်ကသြပနိုင်င်္ဲ့ပါတယ်။ အဲဒါေို Five-Color Theorem လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ (ပုံအပိုင်း (4) ေိုြေည့်ပါ။ နည်းနည်း
ပိုမိုရှုပ်ကထေးတဲ့ ကြမပုံတစ်င်္ုေို ငါးကရာင်နဲ့ ြင်္ယ်ြပထားပါတယ်။)
သို့ကသာ်လည်း သင်္ချာပညာရှင်ကတေေ အလေန်ရှုပ်ကထေးကပေလီတဲ့ ကြမပုံကပါင်းများစောေို ြန်တီးပပီး အကရာင်
ကလးကရာင်နဲ့ ြင်္ယ်ြေည့်ပါတယ်။ ြင်္ယ်လို့ရတာင်္ျည်းပဲ ကတေ့ရပါတယ်။ ဒါကြောင့် ကလးကရာင်နဲ့ လုံကလာေ်တယ်
ဆိုတာေို သင်္ချာပညာရှင်အများစုေ ယုံြေည်ြေတယ်။ င်္ေ်တာေ ယုံြေည်ကသာ်လည်း သေ်ကသြပြို့
တေိုးစားြေတာ မကအာင်ြမင်ြေဘူး။ ဒါကြောင့် Four Colors Conjecture (ကလးကရာင် ကတေးထင်င်္ျေ်) ဆိုပပီး
မကသမင်္ျာ အမည်တပ်ရပါတယ်။
ဒီပစ
ု ္ဆာဟာ နှစက
် ပါင်းတစ်ရာကေျာ်ကလာေ် “ေမ္ဘာမ
့ ကြြရှင်းနိင
ု က
် သးကသာပုစ္ဆာများ (World’s Unsolved
Problems)” စာရင်းမှာ ထိပ်ဆုံးေ ရပ်တည်ကနပါတယ်။ ၁၉၇၀ ကေျာ်မှာကတာ့ Kenneth Appel နဲ့ Wolfgang
Haken ဆိုသူ နှစ်ဦးေ သင်္ချာပညာရှင်တစ်စုေို ဦးကဆာင်ပပီး Computer အေူအညီနဲ့ ကလးနှစ်မေြောကအာင်
သုကတသနြပုလုပ်ပပီးမှ 1976 မှာ သေ်ကသြပတဲ့စာတမ်းေို တင်နိုင်ပါကတာ့တယ်။
ကြမပုံကတေေို အုပ်စု (Categories) င်္ေဲတာ၊ အုပ်စုကပါင်း နှစ်ကထာင်နီးပါး (1936 အုပ်စု) ေေဲထေေ်လာလို့
င်္ါတိုင်းလို လေ်င်္ျည်းသေ်သေ်နဲ့ သေ်ကသမြပနိုင်ကတာ့ဘဲ Computer ရယ်၊ Graph Theory ရယ် အေူ
အညီယူပပီး ြပရပါတယ်။ အပပီးသတ်သေ်ကသြပင်္ျေ်မှာ Computer တေေ်င်္ျေ်င်္ျန်ိ နာရီ 1000 ပါဝင်ပါတယ်။
စေနဦးမှာ ပညာရှင်အများစုေ အဲဒီသေ်ကသြပင်္ျေ်ေို လေ်မင်္ံနိုင်ကအာင်ြြစ်ရပါတယ်။ ရှည်လျားလေန်းလို့
အမှန်အမှား စစ်ကဆးြို့င်္ေ်ကနလို့ပါ။ ကနာေ်မှ တြြည်းြြည်းနဲ့ လေ်င်္ံလာြေပါတယ်။ Four-Color Con-
jecture ဟာလည်း ရာထူးတေ်ပပီး ေမ္ဘာကေျာ် Four-Color Theorem ြြစ်လာပါတယ်။
မှတ်မိပါကသးတယ်။ အဲဒီ အင်္ျန်ိ ဝန်းေျင် 1976/77 ကလာေ်မှာ ေျွန်ကတာ်ေ သင်္ချာဘေဲ့လေန်ကေျာင်းသား။
ကဒါေ်တာသိမ်းြမင့်ေ ေျွန်ကတာ့် Supervisor ။ ြပင်သစ်ြပန်ကဒါေ်တာ။ တေ်တေ်ကေကေ လူငယ်ဆရာ။
တစ်ကန့မှာ Four-Color Problem ေိုကြြရှင်းနိုင်ပပီဆိုတဲ့အကြောင်း ဝမ်းသာအားရ ဂုဏ်ယူပပီးကြပာပါတယ်။
အဲဒါဟာ သင်္ချာကလာေတေီးတစ်င်္ုလုံးရဲ့ ကအာင်ြမင်မှုပါ။ သင်္ချာနဲ့ပတ်သေ်တဲ့သူတိုင်း ဂုဏ်ယူရမဲ့သတင်းပါလို့
လည်း ကြပာပါတယ်။ အဲဒီကင်္တ်ေ သင်္ချာနဲ့ပတ်သေ်တဲ့ ေမ္ဘာ့သတင်းကတေဟာ ဆရာကတေဆီေပဲ ြေားရတတ်ပါ
တယ်။ တြင်္ားနည်းလမ်းမရှိပါ။
89
စေ္ကူစာရွေ်ကပါ်မှာ ကြမပုံဆေဲရင် အနည်းဆုံး ကလးကရာင်လိုသလိုမျုးပဲ
ိ Torus, Mobius Band, Klein
Bottle စတာကတေရဲ့ မျေ်နှာြပင်ကတေအကပါ်မှာ ကြမပုံဆေဲရင်လည်း လိုအပ်တဲ့အကရာင်အကရအတေေ်ဟာ မတူြေ
ပါဘူး။ အဲဒီအကရာင်အကရအတေေ်ေို အဲဒီမျေ်နှာြပင်ရဲ့ Chromatic Number လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ Mobius Band
ရဲ့ မျေ်နှာြပင်မှာ ကြမပုံဆေဲရင် အနည်းဆုံး လိုအပ်တဲ့အကရာင်အကရအတေေ်ဟာ 6 ကရာင်ပါ။ Mobius Band ရဲ့
မျေ်နှာြပင်ဟာ Chromatic Number 6 ရှိပါတယ်။
Torus မျေ်နှာြပင်အတေေ် အကရာင် 7 ကရာင်နဲ့ ြင်္ယ်ထားတဲ့ ပုံတစ်ပုံေို ကရှ့မှာကြာ်ြပင်္ဲ့တဲ့ ပုံအပိုင်း (5)
မှာ ြေည့်ပါ။ Torus မျေ်နှာြပင်ရဲ့ Chromatic Number ဟာ 7 ပါ။
Topology ဟာ အလေန်ကင်္တ်မီတဲ့ ကနာေ်ဆုံးကပါ်သင်္ချာဘာသာရပ်များထဲမှာ ပါပါတယ်။ အလေန်လည်း
င်္ေ်င်္ဲပါတယ်။ ကင်္တ်မီပပီး င်္ေ်င်္ဲတဲ့သင်္ချာဘာသာရပ်တစ်င်္ုေို ဗဟုသုတြြစ်ြေယ်ရာ ရှာကေံပပီး တင်ြပလိုေ်ြင်္င်း
သာ ြြစ်ပါတယ်။ ကင်္ါင်းေျန်ကသးတဲ့သူကတေအတေေ် ပုစ္ဆာကလးတစ်ပုဒ်ထားင်္ဲ့ပါရကစ။
ကမးင်္ေန်း
ကရှ့မှာကြာ်ြပင်္ဲ့တဲ့ ပုံအပိုင်း (3) ရဲ့ ကြမပုံေို ပုံ (4) မှာ ငါးကရာင်နဲ့ ြင်္ယ်ြပထားပါတယ်။ Four-Color
Theorem အရ ပုံ (3) ေို ကလးကရာင်နဲ့ ြင်္ယ်နိုင်ရပါလိမ့်မယ်။ ပုံ (4) မှာ ငါးကရာင်သုံးြင်္င်းဟာ
မလိုအပ်ဘဲ များကနပါတယ်။ ကလးကရာင်နဲ့ ြင်္ယ်ြပနိုင်မလား။
အကြြ
နီ၊ ဝါ၊ မြာ၊ နက် တလးတရာင်မွင့် တမမြုံမခယ်မခင်း
u
90
(၈)
တရှေအချုးိ (ြထမြိုင်း)
သဘာဝွရားနှင့် တရှေအချုးိ (Nature and Golden Ratio)
သင်္ချာမှာကရာ၊ သဘာဝတရားမှာကရာ မြောင်္ဏကတေ့ရတတ်တဲ့ အလေန့်အလေန်ထူးြင်္ားတဲ့ အင်္ျုးတစ်
ိ
င်္ု
ေို ကလ့လာြေမယ်။ အဲဒီအင်္ျုးတန်
ိ
ြိုးဟာ အနီးစပ်ဆုံးတန်ြိုး 1.618 ရှိပပီး ကရှေအင်္ျုးိ (Golden Ratio) လို့ ကင်္ါ်ပါ
တယ်။ ကရှေအင်္ျုးဟာ
ိ
သဘာဝဝန်းေျင်မှာ ြပည့်နှေ်ကနတယ်လို့ သုကတသီကတေေ ဆိုြေပါတယ်။ အထင်ရှားဆုံး
ဥပမာေကတာ့ ပျားအုံတိုင်းမှာ ပျားမနဲ့ ပျားထီးအကရအတေေ်တို့ရဲ့ အင်္ျုးအဆဟာ
ိ
1.618 ြြစ်ပါသတဲ့။
ပပီးကတာ့ ပန်းပေင့်ကတေရဲ့ပေင့်ြတ်ကတေဟာ အတေင်းပိုင်းမှာ ငုံကနရာေကနပပီး တစ်စတစ်စ အြပင်ဘေ်ေို
ပေင့်အာလာတဲ့အင်္ါ ပေင့်ြတ်ကတေရဲ့ တစ်ရစ်င်္ျင်းတေီးထေားလာတဲ့ အင်္ျင်းပမာဏရဲ့ အင်္ျုးအဆဟာ
ိ
1.618 တဲ့။
ပပီးရင် င်္ရုအိမ်ေ အရစ်ဟာလည်းပဲ အတေင်းေကန ရစ်ပတ်ပပီးထေေ်လာတာမှာ တစ်ရစ်င်္ျင်းမှာ တေီးထေားလာတဲ့
91
အင်္ျင်းရဲ့ အင်္ျုးအဆဟာ
ိ
1.618 တဲ့။ ေုန်ေုန်ကြပာရရင် လူကတေရဲ့လေ်ကဗေေ င်္ရုပတ်လမ်း၊ ကနြောပေင့်ေ
အဆန်ကတေရဲ့ အရစ်လိုေ် ြေဲ့စည်းပုံေကနပပီး နဂါးကငေ့တန်းလို့ကင်္ါ်တဲ့ ြေယ်အစု (Galaxies) တည်ကဆာေ်ပုံအထိ
သဘာဝတရားေ အဲဒီအင်္ျုးိ 1.618 ေို လိုေ်နာြေတယ်လို့ ဆိုပါတယ်။ အဲဒီအင်္ျုးဟာ
ိ
သဘာဝတရားေကနပပီး
မျေ်စိအာရုံ နှစ်သေ်စရာပသာဒေို ြြစ်ကစတယ်လို့လဲ ဆိုပါတယ်။ Leonardo DaVinci ေ ေမ္ဘာကေျာ် Mona
Lisa ပန်းင်္ျေားေိ
ီ
ု ဆေဲကတာ့ မျေ်နှာအရှည်နဲ့ နြူးအေျယ်ေို Golden Ratio နဲ့ညီကအာင် ဆေဲတဲ့အတေေ်
ကြောင့် နှစ်လို့ြေယ်မျေ်နှာသေင်ြပင်ဟာ ဘယ်ကလာေ်ြေည့်ြေည့်၊ မရိုးဘူးလို့ ဆိုပါတယ်။
အဲဒီအင်္ျုးေိ
ိ ု သင်္ချာပညာရှင်ကတေေ လိုေ်ရှာကတာ့ အလေယ်တေူပဲ a : b = (a + b) : a ဆိုတဲ့ ညီမှေြင်္င်း
ေကန အကြြေို ကတေ့ရှိပါတယ်။
(a + b) : a = a : b
နည်းနည်းရှင်းြပပါရကစ။ တေိုေ်ရာမျဉ်းြပတ်တစ်င်္ုေို a နဲ့ b နှစ်ပိုင်းြြတ်ပါ။ a > b ြြစ်ပါကစ။ ရှည်ကသာ
မျဉ်းပိုင်း a နဲ့ တိုကသာမျဉ်းပိုင်း b တို့ရဲ့ အင်္ျုးဟာ
ိ
တစ်င်္ုလုံး (a + b) နဲ့ အရှည်ပိုင်း a ရဲ့ အင်္ျုးနဲ
ိ ့ ညီရင်
(တစ်နည်းဆိုကသာ်) a : b = (a + b) : a ြြစ်င်္ဲ့ရင် အဲဒီမျဉ်းြပတ်နှစ်င်္ု a နဲ့ b ရဲ့အင်္ျုးဟာ
ိ
Golden Ratio ပါပဲ။
မှတ်ရန် ။
။ Golden Ratio ဆိုတာ (a + b) : a = a : b ေို ကြပလည်တဲ့ အင်္ျုးပါ။
ိ
င်္ုပဲ Golden Ratio ေို အလေယ်တေူရှာြေည့်ပါ့မယ်။ 1.618 တေယ်ရသလားကပါ့။
a : b = (a + b) : a ေ ြပန်စမယ်။
အင်္ျုးတန်
ိ
ြိုးဆိုတာ တေယ်ကတာ့ စားလဒ်တန်ြိုးနဲ့တူပါတယ်။ ဒါကြောင့် အင်္ျုးေိ
ိ ု အစား ကြပာင်းကရး
မယ်။
(a + b)
a
=
a
b
... (1)
a
a+b
b = a a
a
+b
b=1 a
a
ထားပါ။
b =k
... (2)
ယာဘေ်ေအပိုင်းေိန်းေို နှစ်ပိုင်းင်္ေဲကရးပပီး ညီမှေြင်္င်း (1) ေို ြပန်ကရးမယ်။
ထို့ကြောင့်
အဲဒီမှာ
k ေို ရှာမယ်။
(3) ရဲ့ ဝဲ-ယာေို ကြပာင်းြပန်လှန်ရင်
k နဲ့ 1/k ေို (2) မှာထည့်ရင်
1
b
a = k ြြစ်မယ်။
1
k=1+ k
... (3)
92
ဝဲ-ယာ k ြြင့်ကြမောေ်ကသာ်-
k2 = k + 1
k2 − k − 1 = 0
Quadratic Formula အရ-
a = 1, b = −1, c = -1,
-b !
2
b - 4ac
k =
2a
1! 1+4
k =
2
1! 5
k =
2
1+ 5
k =
2 . (အနုတ်တန်ြိုးေို ပယ်ပါတယ်)
5 ကနရာမှာ 2.236068 အနီးစပ်တန်ြိုးအစားထည့်ကသာ်
1
k = 1.618034 ဆိုတဲ့ Golden Ratio ေို ရပါတယ်။ ထို့ ကြောင့် k = 2 (1 +
5 ) (or) k≈ 1.618034
ြြစ်ပါတယ်။
Pi (π) တို့၊ Euler’s Number (e) တို့ေို သင်္ချာမှာ အထေတ်အြမတ်ထားပပီး ေိုယ်ပိုင်သီးြင်္ားသကေခတ
များ π နဲ့ e အြြစ် သတ်မှတ်ကပးထားသလိုမျုးပဲ
ိ Golden Ratio ေိုလည်းပဲ သီးြင်္ားသကေခတ φ အြြစ်
သတ်မှတ်ကပးထားပါတယ်။ Phi လို့ အသံထေေ်ပါတယ်။
Golden Ratio φ ဟာ Algebra, Trigonometry နဲ့ Geometry တို့မှာ ထူးြင်္ားလှပတဲ့ ဆေ်သေယ်
င်္ျေ်ကတေ အသီးသီးရှိြေပါတယ်။
မှွ်ရန် (၁) ကရှေအင်္ျုး၏တိ
ိ
ေျတန်ြိုးသည် φ = ½(1 +
5 ) ြြစ်၏။
(၂) ကရှေအင်္ျုး၏နီ
ိ
းစပ်တန်ြိုးသည် φ ≈ 1.618034 ြြစ်၏။
မှွ်ရန် -
ကရှေအင်္ျုးရဲ
ိ ့တန်ြိုး (Golden Ratio) ေို ကြာ်ထုတ်ကပးတဲ့ နှစ်ထပ်ညီမှေြင်္င်း “k2− k − 1 = 0”
ေိုလည်း ကရှေညီမှေြင်္င်း (Golden Equation) လို့ အမည်မှည့်ကင်္ါ်ပါ့မယ်။ ကနာင်မှာ မြောမြော
ကတေ့ရဦးမှာ ြြစ်ပါတယ်။ ညီမှေြင်္င်းမှာပါဝင်တဲ့ မသိေိန်း “k” အစား x, y စသည်တို့ ကြပာင်းလဲ
ရင်လည်း ကရှေအင်္ျုး၏တန်
ိ
ြိုးေိုသာ ထုတ်ကပးမှာြြစ်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် “x2 − x − 1 = 0” နဲ့
“y2 − y − 1 = 0” တို့ဟာ ကရှေညီမှေြင်္င်း (Golden Equation) များသာ ြြစ်ပါတယ်။
ကရှေအင်္ျုးနဲ
ိ ့ပတ်သေ်တဲ့ သင်္ချာပုစ္ဆာတင်္ျု့ကတေ
ိ
ဟာ လေယ်ပပီး စိတ်ဝင်စားစရာကောင်းလှပါတယ်။ စမ်း
ြေည့်ရကအာင်ပါ။
93
ကမးင်္ေန်း (၁)
1
ကရှေအင်္ျုး၏တိ
ိ
ေျတန်ြိုး သည် φ = 2 (1 +
5 ) ဟူကသာ အီရာရှင်နယ်ေိန်းြြစ်၏။ သို့ကသာ်လည်း
1
2
!" , φ နှင့် φ ေိန်းသုံးလုံးေို စဉ်းစားကသာ် ဘုံြင်္ားနားြင်္င်း 1 ရှိကသာ AP ေိန်းစဉ်ြြစ်ကြောင်း
1
2
ြပပါ။ တစ်နည်းဆိုကသာ် (φ !" ) = φ - φ = 1 ြြစ်ကြောင်း သေ်ကသြပပါ။
အကြြ နှစ်မျုးြြင်
ိ
့ြပမည်။
တမွရှင်းနည်း (၁) - အတေေ်သန်သန်နည်းလမ်း
1
φ = 2 (1 +
5)
ဝဲ-ယာ ကြပာင်းြပန်လှန်ကသာ်-
2
1
!" = 1 + 5 ြြစ်သည်။
RHS ေို Rationalize လုပ်ကသာ်1- 5
2
1 =
×
+
!"
1
5
1- 5
2 (1 - 5)
2 (1 - 5)
=
=
-4
1 5
1 = 1 (-1 + 5 ) ေို ရ၏။
ထို့ကြောင့်
2
!"
1
1
ထို့ကြောင့်
φ - !" = 12 (1 + √5) - 2 (-1 + 5 )
1
1
φ - !" = 2 (1 + √5 + 1 - 5 ) = 1.
ထိုနည်းတူပင် -
1
1
φ2 = 2 (1 + 5 ). 2 (1 + 5 )
1
= 4 (1 + 5 )2
= 14 (1 + 5 + 2 5 )
1
1
= 4 (6 + 2 5 ) = 2 (3 + 5 )
ထို့ကြောင့်-
1
φ2 - φ = 2 (3 +
1
\ φ2 - φ = 2 (3 +
= 1.
1
\(φ - !" ) = φ2 - φ = 1
1
5 ) - 2 (1 +
5 -1-
n QED.
5)
5)
94
တမွရှင်းနည်း (၂) - အကတေးကောင်းကောင်း နည်းလမ်းဆန်းဆန်း
ကရှေအင်္ျုးိ φ သည် Golden Equation x2 − x − 1 = 0 ၏ အကြြြြစ်သည်။
x ကနရာတေင် φ ေို အစားထိုးကသာ် φ2 - φ − 1 = 0
φ2 − 1 = φ
တစ်ြန် (1) အရ
... (1)
ဝဲ-ယာ တစ်ကလှောေ်လုံးေို φ ြြင့်စားကသာ်-
1
φ - !" = 1
... (2)
ဆေ်လေ်၍ (1) အရပင်
φ2 − φ = 1
... (3)
1
\(φ - !" ) = φ2 - φ = 1 n QED.
(2) နှင့် (3) အရ
u
မွည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ြုစ္ဆာ (S.8)
ြန်းသီးတဝွဲ့ လူြျုကကီ
ိ းြုစ္ဆာ
ကမာင်ြြူသည် တစ်ေိုယ်ကတာ်လူပျုတေီ
ိ းြြစ်၍ နာမည်တေီး ပန်းတစ်ရာပမို့တေင် ကန၏။
ပန်းတစ်ရာပမို့တေင် အစဉ်အလာတစ်င်္ုရှိ၏။ မိမိင်္ျစ်င်္င်နှစ်သေ်သူေို ပန်းသီးလေ်ကဆာင်ကပး၍
င်္ျစ်ကရးဆိုရ၏။ အကပးင်္ံရသူေ ရရှိလာကသာလေ်ကဆာင်အားလုံးေို ယူထားလှေင် င်္ျစ်င်္ေင့်ပန်ြင်္င်းေို
အသိအမှတ်ြပု လေ်င်္ံသည်ဟုဆို၏။
ယင်းပန်းသီးလေ်ကဆာင်အနေ် တစ်လုံးေိုြပန်ကပးလှေင်မူ င်္ျစ်င်္ေင့်ပန်ြင်္င်းေို လိမ္မာယဉ်ကေျး
စော ြငင်းပယ်သည်ဟု ဆို၏။
ကမာင်ြြူသည် လူပျုတေီ
ိ းဘဝေို ပငီးကငေ့လာပပီြြစ်၍ ယကန့ အသေ် ၄၀ ြပည့် ကမေးကန့အတေေ်
လူပျုတေီ
ိ းဘဝမှလေတ်ကြမာေ်ရန် အစီအစဉ်တစ်င်္ုြပုလုပ်၏။ မနေ်မိုးလင်းလင်းင်္ျင်း လေ်ဆေဲြင်္င်း
တစ်င်္ုတေင် ပန်းသီးများထည့်၍ ပမို့ကပါ်ရှိ မိန်းမပျုများအိ
ိ
မ်သို့၊ တစ်လမ်းပပီးတစ်လမ်း၊ တစ်အိမ်ပပီး
တစ်အိမ် ဝင်ထေေ်၍ ပန်းသီးလေ်ကဆာင်ကပးင်္ျစ်ကရးဆို၏။ အိမ်တစ်အိမ်ကရာေ်တိုင်း မိမိ၏
လေ်ဆေဲြင်္င်းထဲ ေျန်ရှိကသာ ပန်းသီးေိုြေည့်ပပီး အကရအတေေ်၏တစ်ဝေ်ေို လေ်ကဆာင်ကပး၏။
မိန်းမပျုတိ
ိ ုင်းေလည်း ပန်းသီးတစ်လုံးေို လေ်ကဆာင်ြပန်ကပး၍ ကမာင်ြြူ့အင်္ျစ်ေို ြငင်းပယ်ြေ
၏။ တစ်ကနေုန် အိမ်ကပါင်း ၅၀ ေို ပန်းသီးလေ်ကဆာင်ကပးပပီး အိမ်ြပန်ကရာေ်သည့်အင်္ါ သူ၏
လေ်ဆေဲြင်္င်းထဲတေင် ပန်းသီးနှစ်လုံးသာေျန်ကတာ့ကြောင်း ကတေ့ရ၏။
တမးခေန်း
အိမ်မှစထေေ်စဉ်ေ ကမာင်ြြူ၏လေ်ဆေဲြင်္င်းထဲတေင် ပန်းသီးမည်မှေရှိသနည်း။
အကြြေို အင်္န်း (၇) စာမျေ်နှာ (၃၀၂) တေင် ြေည့်ပါ။
Supplemental Puzzle
95
(၉)
တရှေအချုးိ (ဒုွိယြိုင်း) - တရှေကွိဂံနှင့် ွေဲွက်တရှေကွိဂံ
(Golden Triangle and Golden Gnomon Triangle)
ဂျဩကမတတီ
ီ
ဘာသာရပ်မှာ လျှို့ဝှေ်ဆန်းေျယ်တဲ့ တတိဂံနှစ်င်္ုရှိပါတယ်။ အဲဒီတတိဂံနှစ်င်္ုေို ကရှေတတိဂံ
(Golden Triangle) နဲ့ တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ (Golden Gnomon Triangle) လို့ ကင်္ါ်ပါတယ်။ အဲဒီတတိဂံနှစ်မျုးမှ
ိ ာ
ထူးြင်္ားင်္ျေ်ေိုယ်စီရှိပပီး အနားများဟာလည်း ကရှေအင်္ျုးနဲ
ိ ့ပတ်သေ်ကနပါတယ်။
ကရှေတတိဂံ (Golden Triangle)
A
ကရှေတတိဂံ (Golden Triangle) ဆိုတာ ကထာင့်သုံးကထာင့်
36°
တို့ဟာ 72°, 36° နဲ့ 72° ရှိတဲ့ နှစ်နားညီတတိဂံ ြြစ်ပါတယ်။ (တတိဂံ
ABC ေို ြေည့်ပါ။ ဘာများထူးြင်္ားင်္ျေ် ရှိပါသလဲ။)
G
72°
ထူးြင်္ားင်္ျေ်များစောထဲေ တစ်င်္ုေကတာ့ အကြင်္ကထာင့်တစ်င်္ု
72° ေို ထေ်ဝေ်ပိုင်းလိုေ်ရင် ြြစ်ကပါ်လာတဲ့ တတိဂံအငယ်ကလး
BCG ဟာလည်း 72°, 36° နဲ့ 72° ြပန်ြြစ်ကနပပီး ကရှေတတိဂံ အငယ်ကလး
တစ်င်္ု ထေေ်ကပါ်လာပါတယ်။
B
72°
36°
36°
72°
C
Golden Triangle
(72°-36°-72° D)
A
ကနာေ်ထူးြင်္ားင်္ျေ် တစ်င်္ုေကတာ့ အကြင်္နား BC ေို 1 ယူနစ်
36°
လို့ ယူဆလိုေ်ရင် အနားညီတစ်ြေ်စီဟာ ကရှေအင်္ျုးိ φ = 1.618
1
ြြစ်ကနပါတယ်။ သဏ္ဌာန်တူတတိဂံ DABC နဲ့ DBCG တို့ရဲ့ လိုေ်ြေ်
x
အနားကတေေို အင်္ျုးတူ
ိ ညီမှေြင်္င်းင်္ျပပီး တေေ်ရပါတယ်။ ကအာေ်မှာ
တေေ်ြပထားပါတယ်။
B
36°
36°
108°
72°
1
1
G
72°
C
96
ဦးစောပထမ ကရှေတတိဂံရဲ့ထူးြင်္ားင်္ျေ်ကတေေို ကလ့လာြေရကအာင်ပါ။
အကြင်္ BC ေို 1 ယူနစ်ထားပါ။ အနားညီ တစ်ြေ်စီေို x ထားပါ။ တတိဂံအတေီးတစ်င်္ုလုံး ABC နဲ့ တတိဂံ
အငယ်ကလး BCG တို့ဟာ 72°-36°-72°” အသီးသီးရှိတဲ့ တတိဂံနှစ်င်္ု ြြစ်ပါတယ်။ ကထာင့်တူတဲ့ တတိဂံကတေဟာ
သဏ္ဌာန်တူြေတဲ့အတေေ်တတိဂံနှစ်င်္ုရဲ့အကြင်္အနားနဲ့ ေျန်အနားေိုအင်္ျုးင်္ျရင်
ိ
1 : x = (x-1) : 1 ဆိုတာ ရပါ
တယ်။
အဲဒီအင်္ျုးေိ
ိ ုရှင်းရင် x2 −x − 1 = 0 ဆိုတဲ့ Quadratic Equation ေို ရပါတယ်။ ဒီညီမှေြင်္င်း- ြမင်ြူး
သလိုမျုးိ ရှိပါသလား။ အကရှ့မှာကြာ်ြပပပီးင်္ဲ့တဲ့ ကရှေညီမှေြင်္င်း လို့ကင်္ါ်တဲ့ (Golden Equation) ြြစ်ပါတယ်။
Quadratic Formula အရa = 1, b = −1, c = -1,
x
=
x
=
x
=
x
=
-b !
2
b - 4ac
2a
1! 1+4
2
1
2 (1 ± √5)
1
2 (1 + √5) (အနုတ်ေို ပယ်ပါတယ်။)
x ရဲ့တန်ြိုးဟာ Golden Ratio φ ရဲ့ တန်ြိုးနဲ့တူကနပါတယ်။ ဒါကြောင့် ကရှေတတိဂံရဲ့အကြင်္ဟာ 1 ြြစ်ရင်
အနားညီတစ်ြေ်စီဟာ ကရှေအင်္ျုးိ φ ြြစ်ပါတယ်။
မှွ်ရန်အထေ်ပါပုံမှာ “72°-36°-72° D” သို့မဟုတ် Golden Triangle ရဲ့ အနားသုံးြေ်အင်္ျုးဟာ
ိ
φ : 1 : φ ြြစ်ကနပါတယ်။ φ ဟာ Golden Ratio ရဲ့သကေခတပါ။ အဲဒီ “72°-36°-72° D” မှာ
အနားညီနှစ်ြေ်ဟာ Golden Ratio φ နဲ့ ညီကနပါတယ်။
ဆေ်လေ်ပပီး ကနာေ်ထူးြင်္ားတဲ့တတိဂံတစ်င်္ုြြစ်တဲ့ တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ (Golden Gnomon Triangle)
အကြောင်း ကလ့လာြေမယ်။
တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ (Golden Gnomon Triangle)
D
တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ (Golden Gnomon Triangle)
108°
ဆိုတာ ကထာင့်သုံးကထာင့် 36°, 108°, နဲ့ 36° အသီးသီး
ရှိြေတဲ့ နှစ်နားညီတတိဂံြြစ်ပါတယ်။ ပူးတေဲပါပုံမှာရှိတဲ့
DDEF ဟာ တေဲြေ်ကရှေတတိဂံြြစ်ပါတယ်။
E
36°
36°
F
97
တေဲြေ်ကရှေတတိဂံရဲ့ ထူးြင်္ားင်္ျေ်ေို နည်းနည်းကလ့လာ
D
ြေည့်ရကအာင်ပါ။ အကြင်္အနား EF ကပါ်မှာ အမှတ် H ေို FD = FH
ြြစ်ကအာင်ယူပါ။ တတိဂံအကသးနှစ်င်္ု DDEH နဲ့ DDFH ကပါ်ထေေ်
x
လာပါတယ်။ DDEH ေိုြေည့်ရင် ကထာင့်သုံးကထာင့်တို့ဟာ
36°, 108° နဲ့ 36° ရှိြေလို့ DDEH ဟာ တေဲြေ်ကရှေတတိဂံြပန်
ြြစ်ကနပါတယ်။ DDFH ေို ြေည့်ရင်ကတာ့ ကထာင့်သုံးကထာင့်
တို့ဟာ 72°, 36° နဲ့ 72° ြြစ်ြေလို့ DDFH ဟာ ကရှေတတိဂံ
36° 72°
E
36°36°
1
1
36°
108° 72°
H
F
ြပန်ြြစ်ကနပါတယ်။
တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ DEH (လိကမ္မာ်ကရာင်တတိဂံ)ရဲ့ အနားညီနှစ်ြေ် DH နဲ့ EH ေို 1 ယူနစ်လို့ ယူဆပပီး
DE ေို မသိေိန်း x လို့ထားရင် အကပါ်ေတေေ်င်္ဲ့တဲ့အတိုင်းပဲ သဏ္ဌာန်တူတတိဂံေို အသုံးင်္ျပပီး x ရဲ့တန်ြိုးေို
ရှာကပးနိုင်ပါတယ်။ ထူးဆန်းစောပဲ အနား DE ရဲ့ အလျား x ဟာ ကရှေအင်္ျုးိ φ = 1.618 ြပန်ြြစ်ကနပါတယ်။
မှွ်ရန်-
“36° - 108° - 36°D” (သို့မဟုတ်) တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ (Gnomon Triangle) ရဲ့ အနားများအင်္ျုးိ
ဟာ 1 : 1 : φ ြြစ်ပါတယ်။
ကရှေတတိဂံနဲ့ တေဲြေ်ကရှေတတိဂံတို့ဟာ ဂျဩကမတတီ
ီ
မှာ အပမဲလိုလို ယှဉ်တေဲကတေ့ရတတ်ပါတယ်။ ဉာဏ်စမ်းပုစ္ဆာ
တင်္ျု့ိ တေေ်ြေည့်ရကအာင်ပါ။
တမးခေန်း (၂)
ကအာေ်ပါပုံတေင် Regular Pentagon ဟုကင်္ါ်ကသာ ဥဿုံညီပဉ္စဂံေို ကြာ်ြပထား၏။ အနားတစ်ြေ်စီ
ေို 1 ယူနစ်ထားလှေင် ကထာင့်ြြတ်မျဉ်းငါးကြောင်း၏ အလျားများသည် Golden Ratio φ ြြစ်ကြောင်း
ြပပါ။
အကြြ
108°
ဥဿုံညီပဉ္စဂံ တစ်င်္ု၏အတေင်းကထာင့် တစ်ကထာင့်စီသည် 108°
ရှိ၏။ ထို့ကြောင့် နှစ်နားညီတတိဂံ ABC တေင် အထေတ်ကထာင့် 108°
ရှိသြြင့် အကြင်္ကထာင့်တစ်ကထာင့်စီသည် 36° ရှိကြောင်း ြပနိုင်
A
Regular
Pentagon
E
B
သည်။ သို့ြြစ်လှေင် တတိဂံ ABC သည် 36° - 108° - 36° D (သို့
မဟုတ်) တေဲြေ်ကရှေတတိဂံြြစ်၏။
ထို့ကြောင့် တေဲြေ်တတိဂံ၏အနားများ အင်္ျုးအဆအရ
ိ
ကထာင့်ြြတ်
AC ၏ အလျားသည် Golden Ratio φ နှင့် ညီ၏။
n QED.
36°
C
D
98
တမးခေန်း (၃)
ကမးင်္ေန်း (၂) တေင် ကြာ်ြပထားကသာ ဥဿုံညီပဉ္စဂံ (Regular Pentagon) တေင် ကရှေတတိဂံ (Golden
Triangle) နှင့် တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ (Golden Gnomon Triangle) မည်မှေစီ ပါရှိပါသနည်း။
အကြြ
ကရှေတတိဂံအကရအတေေ် = ၂၀, တေဲြေ်ကရှေတတိဂံအကရအတေေ် = ၁၅ n QED.
တမးခေန်း (၄)
ကရှေတတိဂံ၏အနားများအင်္ျုးသည်
ိ
φ : 1 : φ ြြစ်၍၊ တေဲြေ်ကရှေတတိဂံ၏ အနားများအင်္ျုးသည်
ိ
1:φ:1
ြြစ်ကြောင်း သိပပီးြြစ်၏။ အေယ်၍ ထူးဆန်းကသာတတိဂံတစ်င်္ု၏ အနားများအလျားသည် 1, φ, φ2
ြြစ်လှေင် ယင်းတတိဂံ၏ဧရိယာေို ရှာပါ။
အကြြ
ကရှေအင်္ျုးိ φ သည် Golden Equation x2 − x − 1 = 0 ၏ အကြြြြစ်သည်။
x ကနရာတေင် φ ေိုအစားထိုးကသာ် φ2 − φ − 1 = 0
\ φ2 = φ + 1
... (1)
တတိဂံ၏အနားများသည် 1, φ, φ2 ြြစ်ရာ (1) အရ တတိဂံ၏ အနားနှစ်ြေ်ကပါင်းသည် ေျန်တစ်နားနှင့်
ညီ၏။
\ တတိဂံ၏ကထာင့်အထေတ် သုံးင်္ုသည် တစ်ကြြာင့်တည်းေျရမည်။
\ တတိဂံ၏ဧရိယာ = 0. n QED.
u
မွည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
ြုစ္ဆာ (S.9) မိနစ်ဝက် ဂျဩတမကွီ
ီ
တမးခေန်း
ကထာင့်မှန် DABC ၏ ကထာင့်မှန်င်္ံအနားသည် ၁၀ လေ်မ ရှိပပီး၊ ယင်းကထာင့်မှန်င်္ံအနားကပါ်
ရှိ အြမင့်မျဉ်းအလျားမှာ ၆ လေ်မ ရှိကသာ်၊ ယင်းကထာင့်မှန်တတိဂံ၏ဧရိယာေို ရှာပါ။
မှွ်ချက်
ကလာတေေ်ပပီး အကြြမကပးပါနဲ့။ 30
g စတုရန်းလေ်မသည် အကြြမဟုတ်ပါ။
အကြြေို အင်္န်း (၇) စာမျေ်နှာ (၃၀၂) တေင် ြေည့်ပါ။
Supplemental Puzzle
99
(၁၀) တရှေအချုးိ (ွွိယြိုင်း - နိဂုံး)
တရှေအချုးိ နှင့် ွီဘနားချကိ
ီ န်းစဉ် (Golden Ratio & Fibonacci Sequence)
အလေန်အပေားြမန်တဲ့ တိရစ္ဆာန်တစ်မျုးေိ
ိ ု ကြပာပါလို့ဆိုလိုေ်ရင် လူတိုင်းလိုလို ယုန်သတ္တဝါေို ထိပ်ဆုံး
ေကန သတိရြေမှာပါပဲ။ အလေန်အပေားြမန်တယ်လို့ လူသိများကသာ်လည်း ဘယ်နည်းဘယ်ပုံ အပေားြမန်တယ်
ဆိုတာေို သိပ္ပံနည်းေျသိသူ နည်းပါလိမ့်မယ်။ ၁၃ ရာစုကလာေ်ေ ေမ္ဘာကေျာ်သင်္ချာပညာရှင် ြီဘနားင်္ျ ီ
(Fibonacci) ဟာ ယုန်သတ္တဝါကတေရဲ့ မျုးပေ
ိ ားြမန်ဆန်ပုံေို သင်္ချာပုံစံ (Mathematical Model) တည်ကဆာေ်
င်္ျင်လို့ နည်းစနစ်တေျကလ့လာရာမှာ ေမ္ဘာကေျာ်ေိန်းစဉ်တစ်င်္ုေို ကတေ့ရှိကြာ်ထုတ်နိုင်င်္ဲ့ပါတယ်။ အဲဒီေိန်းစဉ်
ဟာလည်း ကြာ်ထုတ်သူရဲ့အမည်တေင်ပပီးကတာ့ ြီဘနားင်္ျေိ
ီ န်းစဉ် (Fibonacci Sequence) လို့ ကနာင်မှာ
ထင်ရှားလာပါတယ်။
အကြင်္င်္ံယူဆင်္ျေ်တင်္ျု့ကတေ
ိ
အရင်င်္ျမှတ်လိုေ်ရကအာင်ပါ။
ကတာငယ်ကလးတစ်ကတာဟာ ယုန်ကတေအတေေ် အစာကရစာကပါများပပီး ရာသီဥတုမှေတဲ့ အကြင်္အကန
ကောင်းကတေနဲ့ ြပည့်စုံတယ်ဆိုပါစို့။ ယုန်တစ်ကောင်မှမရှိတဲ့ အဲဒီကတာငယ်မှာ ယုန်ကပါေ်စတစ်စုံေို ဒီကန့စကမေး
ရင် တစ်နှစ်၊ နှစ်နှစ်အတေင်း ယုန်ရာကပါင်း၊ ကထာင်ကပါင်းများစောအထိ ပေားများနိုင်ပုံေို ြီဘနားင်္ျေ
ီ ေိန်းစဉ်
တစ်င်္ု တည်ကဆာေ်ြပထားပါတယ်။ သူဟာ ယူဆင်္ျေ်နှစ်င်္ုေို ဦးစောသတ်မှတ်ထားပါတယ်။
(၁)
ယုန်ကပါေ်စကတေဟာ အရွယ်ကရာေ်ြို့ တစ်လြောပါတယ်။
(၂)
အရွယ်ကရာေ် ယုန်ြို-မ အစုံကတေဟာ တစ်လြောရင် ကနာေ်တစ်စုံစီ ဆတူပေားပါတယ်။
အကပါ်ေယူဆင်္ျေ်နှစ်င်္ုနဲ့ တစ်လအြောမှာ ယုန်ကပါေ်စတစ်စုံမှာ အရွယ်ကရာေ်လာပါတယ်။ (ကနာေ်
စာမျေ်နှာပါပုံမှာ “လကပါင်း (1)” ေို ြေည့်ပါ။)
နှစ်လြပည့်တဲ့အင်္ါမှာ အရွယ်ကရာေ်လာပပီးတဲ့ တစ်စုံေကန ကနာေ်တစ်စုံပေားပပီး နှစ်စုံြြစ်လာပါတယ်။
ကပါေ်စတစ်စုံနဲ့ အရွယ်ကရာေ်ပပီးတစ်စုံ၊ စုစုကပါင်း နှစ်စုံြြစ်လာပါတယ်။ (ကနာေ်စာမျေ်နှာပါပုံမှ “လကပါင်း
(2)” ေို ြေည့်ပါ။)
100
ယုန်ကပါေ်စတစ်စုံြြင့် စလိုေ်ကသာ ကတာငယ်တစ်င်္ုတေင်
(၇) လအြော၌ ပေားများလာကသာ ယုန်အစုံကပါင်း
(၁)
ယုန်ကပါေ်စများ အရွယ်ကရာေ်ရန် တစ်လြော၏။
(၂)
အရွယ်ကရာေ်ယုန်များသည် တစ်လြောကသာ် ယုန်ကပါေ်စတစ်စုံ ြပန်ကပါေ်၏။
လကပါင်း (0)
BB 1 စုံ
လကပါင်း (1)
MB 1 စုံ
BB 1 စုံ + MB 1 စုံ
လကပါင်း (2)
BB 1 စုံ + MB 2 စုံ
လကပါင်း (3)
BB 2 စုံ + MB 3 စုံ
လကပါင်း (4)
BB 3 စုံ + MB 5 စုံ
လကပါင်း (5)
အတိုကောေ်နှစ်င်္ု
ယုန်ကပါေ်စ = Baby Bunny = BB
အရွယ်ကရာေ်ယုန် = Mature Bunny = MB
သုံးလြပည့်မှာကတာ့ အရွယ်ကရာေ်လာတဲ့ တစ်စုံေကန ကနာေ်တစ်စုံပေားပပီး စုစုကပါင်း သုံးစုံြြစ်လာရာ
ကပါေ်စတစ်စုံမှာလည်း အရွယ်ကရာေ်လာပါတယ်။ ဒါကြောင့် အရွယ်ကရာေ်နှစ်စုံနှင့်ကပါေ်စတစ်စုံ ကပါင်းသုံးစုံ
ြြစ်ပါတယ်။ (ကြာ်ြပပါပုံမှ “လကပါင်း (3)” ေို ြေည့်ပါ။)
ကလးလြပည့်မှာ အရွယ်ကရာေ်တဲ့နှစ်စုံမှ ကနာေ်နှစ်စုံ ထပ်မံပေားပပီး ကပါေ်စတစ်စုံမှာလည်း အရွယ်
ကရာေ်လာပါတယ်။ အရွယ်ကရာေ်သုံးစုံနှင့် ကပါေ်စနှစ်စုံ၊ စုစုကပါင်း ငါးစုံြြစ်လာ၏။ (ကြာ်ြပပါပုံမှာ “လကပါင်း
(4)” ေို ြေည့်ပါ။)
ဒီလိုနည်းနဲ့ တစ်လပပီးတစ်လ၊ ဆင့်ေဲဆင့်ေဲ ပေားများလာတဲ့ယုန်ကတေ တစ်နှစ်စာတိုးပေားပုံေို ကအာေ်ပါ
ေိန်းစဉ်ြြင့် ကြာ်ြပနိုင်ပါတယ်။
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
... (A)
ေိန်းလုံးများရဲ့ ဆေ်သေယ်င်္ျေ်ေို ြမင်ပါသလား။ ေိန်းလုံးတိုင်းဟာ သူ့ရဲ့ ကရှ့ေပ်လျေ်ေိန်းနှစ်လုံးရဲ့
ကပါင်းလဒ်နဲ့ တူညီကနပါတယ်။
ဥပမာ စတုတ္ထေိန်း 2 = 1 + 1; သတ္တမေိန်း 8 = 5 + 3; နဝမေိန်း 21 = 8 + 13.; ဒသမေိန်း
34 = 21 + 13; ထူးြင်္ားလှကပစေ။
ယုန်ကပါေ်စတစ်စုံဟာ တစ်နှစ်ြောတဲ့အင်္ါမှာ 233 စုံ ြြစ်လာပါတယ်။ မယုံနိုင်စရာကောင်းကအာင်
ပေားများလာပါတယ်။
101
တစ်နှစ်င်္ေဲြောရင်ကတာ့ ယုန်အစုံကပါင်း 4181 စုံ ြြစ်လာပုံေို ကအာေ်ပါေိန်းစဉ် (B)မှာ တိုးင်္ျဲ့ြေည့်
နိုင်ပါတယ်။
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... ... (B)
အကပါ်မှာြပထားတဲ့ သင်္ချာပုံစံ (Mathematical Model) ဟာ လေ်ကတေ့မေျတဲ့အင်္ျေ်များ ပါကောင်း
ပါနိုင်ပါတယ်။ သို့ကသာ်လည်း သဘာဝတရားမှာရှိတဲ့ ယုန်သတ္တဝါတိုးပေားပုံေိုမူ သင်္ချာနည်းေျ အနီးစပ်ဆုံး ကြာ်
ထုတ်နိုင်ပပီ ြြစ်ပါတယ်။ ယုန်သတ္တဝါတင်မေ အြင်္ားအြင်္ားကသာ သဘာဝြြစ်စဉ်များြြစ်ြေတဲ့ ပန်းပေင့်ရှိ ပေင့်ြတ်
များ ကနရာယူပုံ၊ င်္ရုအိမ်တည်ကဆာေ်ပုံ၊ ကနြောပေင့်အဆန်များ ြေဲ့စည်းပုံမှသည် နဂါးကငေ့တန်းကင်္ါ် ြေယ်အစု
များ ြြစ်တည်ပုံအထိ စသည် စသည်တို့မှာလည်း ထပ်တူထပ်မှေြြစ်စဉ်ကတေေို ကတေ့ရလို့ အဲဒီေိန်းစဉ်ရဲ့ အကရးပါပုံ
ေို သိရှိလာြေပပီး အဲဒီေိန်းစဉ်ေို စတင်ကတေ့ရှိသူရဲ့အမည်ေို အစေဲြပုလို့ ြီဘနားင်္ျေိ
ီ န်းစဉ် (Fibonacci
Sequence) လို့ ကင်္ါ်ဆိုလာြေပါတယ်။
မကမှော်လင့်တဲ့ကမးင်္ေန်းတစ်င်္ု ကမးင်္ျင်ပါတယ်။
Golden Ratio နဲ့ Fibonacci Sequence တို့ဟာ ပတ်သေ်မှုရှိပါသလား။ ကညာင်ဦးမှာ ေမ်းပပိုတာနဲ့
ပဲင်္ူးမှာ နေားမကပါင်ေျုးတာ
ိ
ပတ်သေ်မှုရှိပါသလားလို့ ကမးလိုေ်သလိုပဲ ထင်ရပါတယ်။ ဘာဆိုင်လို့တုန်း။ တေယ်
စင်စစ်မှာလည်း အကြြဟာ မကမှော်လင့်တဲ့အကြြ ြြစ်လာပါတယ်။
တေယ်စင်စစ်မှာ “Golden Ratio နဲ့ Fibonacci Sequence တို့ဟာ ေျေျနနပဲ ဆေ်စပ်ကနပါတယ်။
စစ်ကဆး ြေည့်ရကအာင်ပါ။ အထေ်မှာကြာ်ြပင်္ဲ့တဲ့ ြီဘနားင်္ျေိ
ီ န်းစဉ်(B)ထဲမှာပါတဲ့ ကနာေ်ဆုံးေိန်းကလးလုံး
ေို ြေည့်ရင် ြမင်နိုင်ပါတယ်။
ကနာေ်ဆုံးကလးလုံးမှာ …, 987, 1597, 2584, 4181, … ြြစ်လို့ ဆေ်လျေ်ေိန်းနှစ်လုံးစီတို့ရဲ့
အင်္ျုးေိ
ိ ုယ်စီေို စစ်ကဆးြေည့်မယ်။
1597
987 = 1.618034 (ဒသမ ၆ ကနရာထိ အနီးစပ်ယူ၏)
2584
1597 = 1.618034 (ဒသမ ၆ ကနရာထိ အနီးစပ်ယူ၏)
4181
2584 = 1.618034 (ဒသမ ၆ ကနရာထိ အနီးစပ်ယူ၏)
အင်္ျုးအားလု
ိ
ံးဟာ ထူးထူးဆန်းဆန်း တူညီကနပါတယ်။ ရိုးရိုးတူတာမဟုတ်ပါဘူး။ အင်္ျုးအားလု
ိ
ံးဟာ
Golden Ratio j ရဲ့တန်ြိုး 1.618034 နဲ့ ဒဿမ ၆ ကနရာထိ တူကနတာေို ကတေ့ရပါတယ်။
အမှန်စင်စစ် Fibonacci Sequence ရဲ့ ေပ်လျေ်ေိန်းနှစ်လုံးတို့ရဲ့ အင်္ျုးအစားဟာ
ိ
Golden Ratio
တန်ြိုး j ေို တစ်စတစ်စ တိုး၍တိုး၍ င်္ျဉ်းေပ်သေားကြောင်း (Approaching to the value of j) တိတိေျေျ
သေ်ကသြပနိုင်ပါတယ်။ သို့ကသာ်လည်း Calculus မှ အဆင့်ြမင့်သကဘာတရားအနည်းငယ်ေိုသုံးြို့ လိုအပ်လို့
င်္ျန်လှပ်င်္ဲ့ပါမယ်။ စင်စစ် Fibonacci Sequence နဲ့ Golden Ratio ရဲ့တန်ြိုး j တို့ရဲ့ဆေ်စပ်မှုဟာ ရုပ်ရှင်
ထဲေလို မဆီမဆိုင်လူနှစ်ကယာေ်ဟာ ကနာေ်ဆုံးမှာ အမမွှာညီအစ်ေိုြြစ်ကနသလိုမျုးိ အံ့ဩြေယ်အြြစ်ပါပဲ။
တစ်င်္ုပဲေောပါတယ်။ ရုပ်ရှင်ဆိုတာ စိတ်ေူးယဉ်ြြစ်ပပီး Fibonacci Sequence နဲ့ Golden Ratio ရဲ့ ဆေ်စပ်
မှုေကတာ့ ကရတစ်စေ်မှမကရာတဲ့ အြြစ်မှန်စစ်စစ် ြြစ်ကြောင်းပါဗျာ။
u
102
(၁၁) ကန့်သွ်မဲ့မြန်ထြ် ြုစ္ဆာဆန်းများ
ဆရာဦးြမင့်သိန်းေို ကေျးဇူးတင်ပါတယ်။
မတ်ဇူေဘတ်ေိုလည်းပဲ ကေျးဇူးတင်ပါတယ်။
ေျွန်ကတာ် သင်္ချာကေျာင်းသားဘဝတုန်းေ ပင်းယကဆာင်မှာ ရင်းနှီးင်္ဲ့တဲ့ဆရာဦးြမင့်သိန်းဟာ ဆယ်စု
နှစ် ကလးင်္ုမေ ေေဲေောပပီးတဲ့ကနာေ် မြောင်္င်ေမှ မကမှော်လင့်ဘဲ Facebook မှာ ြပန်ဆုံမိပါတယ်။ ေျွန်ကတာ်
တင်ကနတဲ့ သင်္ချာအကြောင်းအရာကတေေိုလည်း ရံြန်ရံင်္ါ အကေံကပး၊ အမှားြပင် စသည်ြြင့် ကြးမကပးပါတယ်။
င်္ုလည်းပဲ ေန့်သတ်မဲ့ ြပန်ထပ်ဆဒ် “Recurring Surds” ပုစ္ဆာကောင်းကတေပို့ကပးလို့ ေျွန်ကတာ့်ကြ့ဘေတ်မှာ
တင်မလို့ ြပင်ကနပါတယ်။ (Surd ဆိုတာ Square Root ပါတဲ့ အီရာရှင်နယ်ေိန်းကတေပါ။ √3 တို့ √5 တို့လို
ေိန်းမျုးကပါ့
ိ
။)
ကန့်သွ်မဲ့မြန်ထြ် ဆဒ်ကို တမွရှင်းမခင်း
ြုစ္ဆာ (၁)
ကမးင်္ေန်း -
5 5 5 5f ေို ရှာပါ။
အကြြ -
5 5 5 5f = x ထားပါ။
(ရှင်းလင်းချက် ။
“
... (1)
။ ကပးထားကသာ ေိန်းတန်းတေင် နှစ်ထပ်ေိန်းရင်း သကေခတြြစ်ကသာ
” နှင့် ငါးဂဏန်း “5” တို့သည် တစ်လှည့်င်္ျင်းစီ ေန့်သတ်မဲ့ အဆင့်ဆင့်ြေဲ့စည်းထား၏။
ထို့ကြောင့် ဝဲဘေ်ဆုံးတစ်ဆင့်ေို င်္ျန်လှပ်ြေည့်ပါ။ ေျန်ရှိကနကသာ ေန့်သတ်မဲ့ေိန်းတန်း
သည်လည်း မူလကပးရင်းေိန်းတန်းပင် မဟုတ်ပါကလာ။)
ညီမှေြင်္င်း (1) ၏ ဝဲဘေ်ဆုံး
5 ေို င်္ျပ်လှပ်ပပီး ေျန်ေိန်းတန်းတစ်င်္ုလုံးေို x ြြင့် အစားထိုးအံ့။
5 5 5 5f = x
x
103
\
5x = x
ဝဲ-ယာ နှစ်ထပ်တင်ကသာ်
5x = x2
Ñ x2 - 5x = 0 & x(x - 5) = 0 & x = 0 (or) x = 5
Ñ x = 5 (Öx > 0)
Ñ ကပးရင်းေိန်းတန်း = 5 n (QED)
ေျွန်ကတာ်တင်မယ့် ပုစ္ဆာသုံးပုဒ်မှာ နှစ်ပုဒ်ေ ေန့်သတ့်မဲ့ြပန်ထပ်ဆဒ် “Recurring Surds” ပုစ္ဆာပါ။
အထေ်မှာြပင်္ဲ့တဲ့ ပုစ္ဆာ (၁) လိုပါပဲ။ ထူးထူးဆန်းဆန်းပုစ္ဆာေို ကေံကေံြန်ြန်ကြြရှင်းလိုေ်တာ လေယ်လေယ်ေူေူပဲ
ပပီးသေားလို့ ကပျာ်ကပျာ်ရှေင်ရှေင်ပဲ အဆုံးသတ်သေားပါတယ်။ လှပဆန်းြပားတဲ့ အကတေးအြမင်တစ်င်္ျေ်ကတာ့ လိုအပ်
ပါတယ်။ ဥပမာ ပုစ္ဆာ (၁) မှာ Surd ေိန်းကတေဟာ အဆင့်ဆင့် ေန့်သတ်မဲ့ရှိကတာ့ ဘယ်ဘေ်ဆုံးအဆင့်ေ √5
ေို တစ်ဆင့်ြြုတ်င်္ျြေည့်ပါ။ ေျန်ေိန်းတန်းသည် နဂိုေိန်းတန်းနဲ့ြပန်တူကနလို့ x နဲ့ပဲ ြပန်အစားထိုးလိုေ်တာ
မှာ √(5x) = x ဆိုတဲ့ ညီမှေြင်္င်းေို ရလာပါတယ်။
သုံးပုဒ်လုံး အဲဒီလို နည်းတစ်မျုးတည်
ိ
းနဲ့ ရှင်းရပါတယ်။ ရှာင်္ျင်တဲ့ေိန်းတန်းေို x လို့ထားပပီး အဲဒီ
ေိန်းတန်းမှာပဲ x ေို ြပန်ရှာပပီး အစားထိုးရပါတယ်။ ကေံကေံြန်ြန်ကတေးရရင်ကတာ့ x ေို ငါးြေင်းဆီလို့ထားရင်
ရှာင်္ျင်တဲ့ေိန်းတန်းေကတာ့ ငါးြေင်းအတေီးတေီး လတ်လတ်ဆတ်ဆတ်ပါ။ ငါးြေင်းဆီနဲ့ ငါးြေင်းြပန်ကြော်တဲ့
င်္ံစားမှုမျုးေိ
ိ ု ရပါလိမ့်မယ်။
ဒုတိယပုစ္ဆာေို ြေည့်ြေစို့။ ပပီးင်္ဲ့တဲ့ ပထမပုစ္ဆာလိုပဲ ေန့်သတ်မဲ့ြပန်ထပ်ဆဒ်ကတေပါပဲ။ အဲဒီလိုြပန်ထပ်တဲ့
အပိုင်းေိုရှာပပီး မသိေိန်း x အြြစ် ထားရပါတယ်။ Surd ေိန်းအဆင့်ဆင့်မှာ ဝဲဘေ်အစေန်ဆုံးေ “√1 +” ဆိုတဲ့
တစ်ဆင့်ေို ြြုတ်င်္ျရင် ေျန်တဲ့ အဆုံးမရှိ Surd ေိန်းဟာလည်း မူလေိန်းတန်း x နဲ့ပဲ ြပန်ညီကနပါတယ်။ အဲဒီ
ေကန x ပါဝင်တဲ့ညီမှေြင်္င်းေို တည်ကဆာေ်ရပါတယ်။
င်္ုလာမဲ့ တတိယနဲ့ ကနာေ်ဆုံးပုစ္ဆာမှာ ေန့်သတ်မဲ့ြပန်ထပ်တာေ ဆဒ်မဟုတ်ကတာ့ဘဲ ြပန်ထပ်အပိုင်း
ေိန်း (Recurring Fraction) ပါ။ တေေ်ပုံကတေးပုံေကတာ့ ကရှ့ပုစ္ဆာနှစ်ပုဒ်နဲ့ အလားတူပါပဲ။
ပုစ္ဆာ(၂) (ေန့်သတ်မဲ့ြပန်ထပ်ဆဒ်)
ကမးင်္ေန်း အကြြ -
1+ 1+ 1+ 1+f = ?
1+ 1+ 1+ 1+f
... (A)
= x ထားပါ။
... (B)
(ဒီအပိုင်းဟာ x နဲ့ပဲ ြပန်ညီကနလို့
\
1+x = x
ဝဲ-ယာ နှစ်ထပ်တင်ကသာ်
1 + x = x2
Ñ x2 - x – 1 = 0 (Golden Equation)
x ေို အစားထိုးပါ။)
104
Quadratic Formula တေင် အစားထိုးကသာ်
a = 1, b = –1, c = -1
- b ! b 2 - 4ac
x =
2a
1
x = 2 (1 + 5) (ဒီေိန်းတန်း ြမင်ြူးပါသလား?)
Ñ x = φ = Golden Ratio
Ñ ကပးရင်းေိန်းတန်း = φ (Golden Ratio) n QED.
ပုစ္ဆာ(၃)
ေန့်သတ်မဲ့ြပန်ထပ် အပိုင်းေိန်းေို Infinitely Continued Fraction လို့လည်း ကင်္ါ်ပါတယ်။
ကအာေ်ပါေန့်သတ်မဲ့ ြပန်ထပ်အပိုင်းေိန်းတန်ြိုးဟာ Golden Ratio နဲ့ ညီကြောင်းြပပါ။
1+
1
1+
=?
1
1+
သဲလေန်စ (Hint:)
1
1
1+ +
1 f
1
1+
= x ထား။
1
1+
1
1+
1+
1
1 +f
x နဲ့ ြပန်ညီကနတယ်။
ရှာလိုတဲ့ေိန်းတန်း x ရဲ့ ပိုင်းကြင်္ေိုြေည့်ရင် x နဲ့ပဲ ြပန်ညီကနတာ ကတေ့လိမ့်မယ်။
1
အဲဒီ ပိုင်းကြင်္မှာ x ေို ြပန်ပပီးအစားထိုးရင် 1 + x = x ရမယ်။
ရှင်းလိုေ်ရင် Golden Equation ရမယ်။ ဒါကြောင့် အကြြဟာ Golden Ratio ပါ။
u
မွည့်စေက်ဉာဏ်စမ်း
တမးခေန်း
ြုစ္ဆာ (S.10) နာရီတခါင်းတလာင်းသံြုစ္ဆာ
ပမို့ကတာ်င်္န်းမရှိ စေ်နာရီ (Mechanical Clock) သည် ကြင်္ာေ်နာရီထိုးကသာအင်္ါ
ကင်္ါင်းကလာင်းကြင်္ာေ်င်္ျေ်တီးရန် 5 စေ္ကန့်ြော၏။ ဆယ့်နှစ်နာရီထိုးကသာအင်္ါ ကင်္ါင်းကလာင်း
ဆယ့်နှစ်င်္ျေ်တီးရန် စေ္ကန့်မည်မှေြောမည်နည်း။
အကြြေို အင်္န်း (၇) စာမျေ်နှာ (၃၀၃) တေင် ြေည့်ပါ။
Supplemental Puzzle
105
(၁၂) နှစ်တြါင်း ၂၀၀၀ တကျာ်ခန့် အတရာက်တနာက်ကျလာတသာ ချစ်စရာစီးဗားသီအိုရမ်
(The Belated Arrival Of The Beautiful Ceva’s Theorem)
ြပင်ညီတစ်င်္ုတည်းမှာ မျဉ်းကြြာင့်နှစ်ကြောင်း ဆေဲတဲ့အင်္ါ ပပိုင်ရင်ပပိုင်မယ်၊ မပပိုင်ရင် အမှတ်တစ်င်္ုမှာ ြြတ်
မယ်။ အဲဒါဟာ Euclid ဂျဩကမတတီ
ီ
ရဲ့အကြင်္င်္ံမှန်ေန်င်္ျေ်ြြစ်လို့ ဘာမှမထူးဆန်းပါဘူး။
မပပိုင်တဲ့မျဉ်းသုံးကြောင်း ဆေဲရင်ကော။ ြြတ်မှတ်သုံးမှတ်အထိ ရှိနိုင်ပပီး တတိဂံတစ်င်္ုရဲ့ အနားသုံးြေ်
အြြစ် ြေဲ့စည်းထားနိုင်ပါတယ်။ အလေန့်အလေန်ရှားပါးတဲ့ အကြင်္အကနမှာကတာ့ မျဉ်းသုံးကြောင်းဟာ တစ်မှတ်
တည်း င်္ေ်င်္ေ်င်္ဲင်္ဲဆုံနိုင်ပါတယ်။ ကောင်းေင်ကပါ်ေပစ်င်္ျလိုေ်တဲ့ အပ်တစ်စင်းနဲ့ ကြမြပင်ကပါ်ေ ပစ်တင်လိုေ်
တဲ့ အပ်တစ်စင်း ဆုံြို့င်္ေ်င်္ဲသလိုမျုးပါပဲ
ိ
။
မျဉ်းသုံးကြောင်း တစ်မှတ်တည်းဆုံြို့ ဒီကလာေ်င်္ေ်င်္ဲတဲ့အကရးဟာ တတိဂံမှာေျကတာ့ အကြင်္အကန
အမျုးမျ
ိ ုးနဲ
ိ ့ ထူးထူးဆန်းဆန်း ဆုံကနတတ်ပါတယ်။ တတိဂံတစ်င်္ုရဲ့ အြမင့်မျဉ်းသုံးကြောင်းဟာ တစ်မှတ်တည်းမှာ
ဆုံပါတယ်။ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းသုံးကြောင်းဟာလည်း တစ်မှတ်တည်းဆုံပါတယ်။ အနားသုံးနားရဲ့ ထေ်ဝေ်
ပိုင်းမျဉ်းမတ် သုံးကြောင်းဟာလည်း တစ်မှတ်တည်းဆုံပါတယ်။ ပပီးကတာ့ အလယ်မျဉ်းသုံးကြောင်းတို့ဟာလည်း
တစ်မှတ်တည်းမှာ ဆုံပါတယ်။ (တစ်မှတ်တည်းမှာဆုံတယ်ဆိုတာေို အဂခလိပ်လို “Concurrence” ြြစ်တယ်လို့
ဆိုပါတယ်။)
ဒီလိုတစ်မှတ်တည်းဆုံတဲ့ ထူးဆန်းတဲ့ Concurrence ြြစ်ရပ်အားလုံးေို လေန်င်္ဲ့တဲ့နှစ်ကပါင်း ၂၅၀၀
အထေ်ေတည်းေ Euclid အစရှိတဲ့ ပညာရှင်အများအြပားေ ကြာ်ထုတ်နိုင်၊ သေ်ကသြပနိုင်င်္ဲ့ပါတယ်။ သို့ကသာ်
လည်း တစ်မှတ်တည်းဆုံတဲ့ သကဘာတရားေို အြမင့်မျဉ်းအတေေ်ေ တစ်မျုး၊ိ အလယ်မျဉ်းအတေေ်ေ တစ်ြုံ၊
ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းအတေေ်ေျကတာ့ ကနာေ်တစ်မျုးိ စသည်ြြင့် တသီးတြင်္ား င်္ေဲြင်္ားကလ့လာပပီး သေ်ကသြပ
ြေရပါတယ်။ တစ်မှတ်တည်းဆုံတဲ့ သကဘာတရားအားလုံးေို ကပါင်းမင်္ုံပပီး ကယဘုယျေျတဲ့သီအိုရမ်တစ်င်္ုရ
ကအာင် အဲဒီကင်္တ်ေ ဘယ်သူမှမလုပ်နိုင်င်္ဲ့ပါဘူး။
106
Euclid ရဲ့ကနာေ်ပိုင်း နှစ်ကပါင်း ၂၀၀၀ ကေျာ်ကလာေ်မှ (၁၇ ရာစုရဲ့ကနှာင်းပိုင်း ၁၆၇၈ မှာ) Giovanni
Ceva ဆိုတဲ့ အီတလီသင်္ချာပညာရှင်ေ တတိဂံအတေင်းရှိ မျဉ်းသုံးကြောင်း တစ်မှတ်တည်းဆုံြို့အတေေ် “လိုအပ်ပပီး
လုံကလာေ်ကသာ ေန့်သတ်င်္ျေ်” (Necessary and Sufficient Condition) ေို ကတေ့ရှိင်္ဲ့ပါတယ်။ ဒါကြောင့်
လည်း “Ceva’s Theorem” လို့ အမည်တေင်ပါတယ်။
တတိဂံတစ်င်္ုရဲ့ ကထာင့်အထေတ်တစ်င်္ုနဲ့ မျေ်နှာင်္ျင်းဆိုင် အနားကပါ်မှာရှိတဲ့အမှတ်တစ်င်္ုေို ဆေ်သေယ်
လို့ရလာတဲ့ မျဉ်းြပတ်အားလုံးေို Cevian လို့ အမည်မှည့်ရကအာင်ပါ။ တတိဂံတစ်င်္ုရဲ့ အလယ်မျဉ်း၊ အြမင့်မျဉ်း၊
ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်း အားလုံးဟာ Cevian ပါပဲ။ [ပုံ (၁) ေိုြေည့်ပါ။]
Cevians
ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်း
A
F
B
Cevian
ပုံ(၁)
E
X
D
Ceva’s
Theorem
A
ပုံ(၂)
အလယ်မျဉ်း
F
E
C
အြမင့်မျဉ်း
(၁) ကထာင့်အထေတ်နှင့် မျေ်ဆိုင်အနားကပါ်ရှိ အမှတ်တစ်င်္ုေို
ဆေ်ကသာ မျဉ်းြပတ်အားလုံးေို Cevian ဟု ကင်္ါ်၏။
(၂) တတိဂံတစ်င်္ု၏ အြမင့်မျဉ်း၊ အလယ်မျဉ်း၊ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်း
အားလုံးသည် Cevian ြြစ်၏။
D
C
B
Ceva’s Theorem:
Three civians of DABC, AD, BE and CF
are concurrent if and only if
AF BD CE =
FB $ DC $ EA 1
Ceva’s Theorem ေိုြေည့်ြေရကအာင်ပါ။ [ပုံ (၂) ေိုြေည့်ပါ။]
တတိဂံတစ်င်္ုရဲ့ကထာင့်အထေတ်တစ်င်္ုစီေကန Cevian တစ်ကြောင်းစီ ဆေဲလိုေ်တဲ့အင်္ါ အနားတစ်ြေ်စီ
သည် မျဉ်းြပတ်နှစ်ပိုင်းစီ ြြစ်လာပါတယ်။ AF နဲ့ FB, BD နဲ့ DC, CE နဲ့ EA ဆိုပပီး အစဉ်လိုေ် သုံးစုံရလာပါ
တယ်။ [ပုံ (၂) ေိုြေည့်ပါ။] အဲဒီမျဉ်းြပတ်ကတေေို အင်္ျုးင်္ျပပီ
ိ
း ကြမောေ်ရင် (AF : FB) × (BD : DC) × (CE : EA)
ေို ရပါတယ်။
Ceva’s Theorem ေ ဆိုပါတယ်။ အဲဒီအင်္ျုးသု
ိ ံးင်္ုရဲ့ ကြမောေ်လဒ်ဟာ 1 နဲ့ညီရင် အဲဒီ Cevian
သုံးကြောင်းဟာ တစ်မှတ်တည်းမှာ ဆုံပါတယ်။
အြပန်အလှန်အားြြင့် Cevian သုံးကြောင်းသည် တစ်မှတ်တည်းဆုံရင်လည်း အင်္ျုးသု
ိ ံးင်္ုရဲ့ ကြမောေ်လဒ်
ဟာ 1 နဲ့ ညီပါတယ်။ [ပုံ (၂) ေိုြေည့်ပါ။]
အဲဒီ Cevian သုံးကြောင်း တစ်မှတ်တည်းဆုံြို့ အဓိေေျတဲ့အင်္ျေ်ေ အင်္ျုးသု
ိ ံးင်္ုကြမောေ်လဒ်ဟာ 1 နဲ့
ညီြို့ပါပဲ။ အြပန်အလှန်မှန်ကစတဲ့ ဒီလိုေန့်သတ်င်္ျေ်မျုးေိ
ိ ုလည်း သင်္ချာမှာ အထူးအကလးထားပါတယ်။ “လိုအပ်
ပပီး လုံကလာေ်ကသာ ေန့်သတ်င်္ျေ် (Necessary and Sufficient Condition)” လို့ အမည်ကပးပါတယ်။ င်္ု
ဆေ်လေ်ပပီးကတာ့ Ceva’s Theorem ရဲ့ အသုံးင်္ျပုံေို ကလ့လာြေမယ်။
107
အလယ်မျဉ်း
Medians
တထာင့်ထက်ဝက်မျဉ်း
Angle Bisectors A
A
F
အမမင့်မျဉ်း
F
E
Altitudes
F
E
B
C
D
တြးချက် AD, BE, CF တို့သည် တတိဂံ
ABC ၏ အလယ်မျဉ်းများ
B
C
D
တြးချက် AD, BE, CF တို့သည် တတိဂံ
ABC ၏ ကထာင့်ထေ်ဝေ်
ပုံ(၃)
ပုံ(၄)
မျဉ်းများ
A
B
E
D
C
တြးချက် AD, BE, CF တို့သည် တတိဂံ
ABC ၏ အြမင့်မျဉ်းများ
ပုံ(၅)
Ceva’s Theorem ေိုသုံးပပီး တတိဂံ၏အလယ်မျဉ်းသုံးကြောင်း တစ်မှတ်တည်းဆုံကြောင်း ြပြေည့်ရ
ကအာင်ပါ။ [ပုံ (၃) ေိုြေည့်ပါ။]
D, E နဲ့ F တို့ဟာ အလယ်မှတ်များြြစ်ြေလို့ AF:FB = 1; BD:DC = 1; CE:EA = 1 ြြစ်ြေပါတယ်။
ဒါကြောင့် အင်္ျုးသု
ိ ံးင်္ုရဲ့ကြမောေ်လဒ် ဟာ (AF:FB)•(BD:DC)• (CE:EA) = 1 x 1 x 1 = 1 ပါ။
ဒါကြောင့် Ceva Theorem အရ အလယ်မျဉ်းသုံးကြောင်း တစ်မှတ်တည်းဆုံပါတယ်။ n (QED)
Ceva’s Theorem ေို သုံးပပီး တတိဂံရဲ့ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းသုံးကြောင်း တစ်မှတ်တည်းဆုံကြောင်း
ြပြေည့်ရကအာင်ပါ။ [ပုံ (၄) ေိုြေည့်ပါ။]
တတိဂံရဲ့ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းသီအိုရမ် (Angle Bisector Theorem) ေ ဆိုပါတယ်။ “ကထာင့်ထေ်ဝေ်
မျဉ်းဟာ မျေ်ဆိုင်နားေို ကထာင့်ကဆာင်အနားနှစ်ြေ်၏ အင်္ျုးနှ
ိ င့် တူကအာင် ြြတ်တယ်တဲ့။” ဒါကြောင့်- [ပုံ (၄)
ေို ြေည့်ပါ။]
CF ဟာ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းြြစ်လို့
AF : FB = AC : BC
... (1)
AD ဟာ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းြြစ်လို့
BD : DC = AB : AC
... (2)
BE ဟာ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းြြစ်လို့
CE : EA = BC : AB
... (3)
(1) × (2) × (3) :
(AF : FB) × (BD : DC) × (CE : EA)
= (AC : BC) × (AB : AC) × (BC : AB)
= (AC/BC) × (AB/AC) × (BC/AB)
=1
(Ö AC, AB, BC တို့ဟာ အထေ်-ကအာေ် တစ်စုံင်္ျင်း ကေျပျေ်သေားလို့ အကြြ 1 ရပါတယ်။)
108
ဒါကြောင့် အင်္ျုးသု
ိ ံးင်္ုရဲ့ကြမောေ်လဒ်ဟာ
(AF : FB) . (BD : DC) . (CE : EA) = 1 ပါ။
ဒါကြောင့် Ceva Theorem အရ ကထာင့်ထေ်ဝေ်မျဉ်းသုံးကြောင်းတို့သည် တစ်မှတ်တည်းဆုံပါတယ်။
n QED.
အြမင့်မျဉ်းသုံးကြောင်း တစ်မှတ်တည်းဆုံကြောင်းြပြို့ေိုကတာ့ ပုစ္ဆာအြြစ် င်္ျန်င်္ဲ့ပါ့မယ်။
ကမးင်္ေန်း
ပုံ (၅) တေင် ကထာင့်ေျဉ်းတတိဂံ ABC ၏ အြမင့်မျဉ်းသုံးကြောင်း AD, BE, CF တို့ေိုဆေဲထား၏။
Ceva’s Theorem ေိုသုံး၍ AD, BE, CF တို့သည် တစ်မှတ်တည်း၌ ဆုံကြောင်းြပပါ။
[Hint : ဒီပုစ္ဆာေ ပိုပပီးင်္ျစ်စရာကောင်းပါတယ်။
ကထာင့်မှန်တတိဂံ ACF နဲ့ ကထာင့်မှန်တတိဂံ ABE တို့မှာ ကထာင့်မှန်နှင့် ဘုံကထာင့် A တူညီြေတဲ့အတေေ်
သဏ္ဌာန်တူြေပါတယ်။ (AA သီအိုရမ်)
သဏ္ဌာန်တူတတိဂံရဲ့လိုေ်ြေ်အနားကတေေို အင်္ျုးင်္ျရင်
ိ
ကအာေ်ပါညီမှေြင်္င်း (1) ေို ရပါတယ်။
AF : AE = AC : AB
... (1)
ထိုနည်းတူစော ကထာင့် B ေို ဘုံကထာင့်ထားပပီး ကထာင့်မှန်တတိဂံနှစ်င်္ု ရှာပါ။
ပပီးမှ အင်္ျုးိ BD:FB ေို ရှာပါ။
... (2)
ကထာင့် C ေို ဘုံကထာင့်ထားပပီး ကထာင့်မှန်တတိဂံနှစ်င်္ုရှာပပီး အင်္ျုးိ CE:DC ေိုရှာပါ။
... (3)
အင်္ျုးသု
ိ ံးင်္ု ကြမောေ်ပါ။]
နိဂုံးချုြ်အတွေးတလးွစ်မျှင် …
Euclid ရဲ့ Elements မည်တဲ့ ေျမ်းတေီးဟာ အလေန်ြပည့်စုံကသာ ဂျဩကမတတီ
ီ
ေျမ်းတေီးြြစ်လို့
ကနာင်လာကနာေ်သားများ တီထေင်စရာပင် များများစားစားမေျန်ရှိပါလို့ င်္ျးမေ
ီ မ်းကြပာဆိုြေပါတယ်။
Euclid ေေယ်လေန်ပပီး နှစ်ကပါင်း ၂၀၀၀ ကလာေ်မှ ကပါ်ထေေ်လာတဲ့ Ceva’s Theorem ေကတာ့ Euclid ရဲ့
“Elements” ေျမ်းတေီးမှာ လစ်လပ်ကနတဲ့ ရှားရှားပါးပါးကင်္ါင်းစဉ်တစ်င်္ု ြြစ်ပါတယ်။ င်္ေ်င်္ဲလှတယ်လို့
လည်း မဆိုသာပါ။ တတိဂံဧရိယာသကဘာတရားနဲ့ လေယ်ေူစောပဲကတေ့နိုင်တဲ့ မှန်ေန်င်္ျေ်တစ်င်္ုပါ။ သင်္ချာ
လူကတာ်များအတေေ် အားတေ်စရာပါ။ တီထေင်စရာအသစ်အသစ်တို့ဟာ သင်္ချာမှာ စဉ်ဆေ်မြပတ်
ကြာ်ထုတ်ကတေ့ရှိဆဲ ြြစ်ပါတယ်။ မည်သည့်အင်္ါမှေ ေုန်အံ့မထင်ပါ . . .
u
297
အခန်း(၇)
ဉာဏ်စမ်းပုစ္ဆာများ၏ အဖြေများ
298
ပုစ္ဆာ (S.1) အဖြေ (မေှာ်ပုံမသနည်း - Magic Formula)
မပဖရှင်းချက်
(666 - 66) ÷ 6 = 100
အထက်ပါညီေျှပခင်းဟာ မေှာ်ပုံမသနည်း (Magic Formula) ပဖစ်ပါတယ်။ ဘာမကကာင့်လဲ
ဆိုမတာ့ 6 ဂဏန်းမနရာေှာ 1, 2, 3, 4, …, 9 အထိ ဂဏန်းတစ်လုံးစီကို အစားထိုးရင်လည်း အမပဖမတွ
ဟာ ေမပပာင်းလဲဘဲ 100 သာ တစ်သေတ်တည်း ရမနပါတယ်။
(111 - 11) ÷ 1 = 100
(222 - 22) ÷ 2 = 100
(333 - 33) ÷ 3 = 100
(444 - 44) ÷ 4 = 100
...
(999 - 99) ÷ 9 = 100
n QED.
ပုစ္ဆာ (S.2) အဖြေ (အံ့ဖွယ်လျှပ်တစ်ပပက် သုံးစက္ကန့်ဂျဩမေတတီ
ီ
ပုစ္ဆာ 1)
မပဖရှင်းချက်
တတိဂံရဲ့အနားသုံးဖက် အလျားေျား 27 လက်ေ၊ 43 လက်ေ နဲ့ 16 လက်ေ ကို မသချာကကည့်ရင်
27 + 16 = 43 ပဖစ်မနပါတယ်။ ဒါဟာ ပုံေှန်တတိဂံတစ်ခုေဟုတ်ပါဘူး။ ပုံေှန်တတိဂံတစ်ခုေှာ နှစ်နားမပါင်း
သည် တတိယအနားထက် အမေဲတကီးပါတယ်။ ဒီပုစ္ဆာေှာပါတဲ့ တတိဂံဟာ နှစ်နားမပါင်းသည် ကျန်တတိယ
တစ်နားနဲ့ ညီမနပါတယ်။ ဒါဟာ ပပားမနတဲ့တတိဂံ (Degenerate Triangle or Collapsed Triangle)
သာ ပဖစ်ပါတယ်။ ဧရိယာ သုညသာ ပဖစ်ပါတယ်။
n QED.
299
ပုစ္ဆာ (S.3) အဖြေ (အံ့ေွယ်လျှပ်တစ်ြပက် သုံးစက္ကန့်ဂျဩဖမတတီ
ီ
ပုစ္ဆာ 2)
မပဖရှင်းချက်
မထာင့်ေှန်စတုဂံတိုင်းေှာ မထာင့်ပဖတ်ေျဉ်းနှစ်မကကာင်းဟာ အစဉ်အမေဲတူပါတယ်။ ဒါမကကာင့်
မထာင့်ေှန်စတုဂံ OPQR ေှာလည်း မထာင့်ပဖတ် PR နဲ့ မထာင့်ပဖတ် OQ ဟာ ညီပါတယ်။ မထာင့်ပဖတ်
OQ ဟာ အချင်းဝက်ပဖစ်တဲ့အတွက် 10 လက်ေပါ။ ဒါမကကာင့် PR = 10 လက်ေပါ။
n QED.
ေှတ်ချက်
သခချာေှာ တစ်ခါတစ်ရံ မပးထားချက်ပိုပိုသာသာမပးထားရင် အပေင်ရှုပ်မထွးမစတတ်ပါ
တယ်။ ဒီလွယ်ကူလှတဲ့ပုစ္ဆာေှာလည်း မပးထားချက် PB = 1.25 လက်ေဆိုတာ အပိုပါ။ အဲဒါမကကာင့်
အမတွးမချာ်မပီး ေလိုအပ်ဘဲ ပိုက်သာဂိုရပ်သီအိုရေ်နဲ့ တွက်ချက်ဖို့ ေျက်စိေှားတတ်ပါတယ်။
ပုစ္ဆာ (S.4) အဖြေ (ဖေပန်းစားတဲ့ အေပ်ထဲကပုစ္ဆာနှစ်ပုဒ်)
မပဖရှင်းချက်
(က) ကကာပင်မတွဟာ
တစ်ရက်ကို နှစ်ဆပွားတဲ့အတွက်
ရက်မပါင်း ၃၀ ေှာ တစ်ကန်လုံးပပည့်ရင်
မရှ့တစ်ရက် (၂၉ ရက်မပောက်) ေှာ ကန်တစ်ဝက် ရှိရပါလိေ့်ေယ်။
(ခ)
n QED.
ဗက်တီးရီးယားပိုးတို့သည် စက္ကန့်တိုင်း နှစ်ဆပွား၏။ တစ်ေိနစ်တွင် ေီးပခစ်ဘူးတစ်ဘူးစာရှိလျှင်
တစ်ေိနစ်နှင့် တစ်စက္ကန့် (၆၁ စက္ကန့်) တွင် ေီးပခစ်နှစ်ဘူးစာ ပဖစ်လာေည်။
n QED.
ပုစ္ဆာ (S.5) အဖြေ (ကမ္ဘာကိုလမ်းဖလျှာက်ပတ်တဲ့ ကိုလံဘား)
မပဖရှင်းချက်
ကေ္ဘာ့အချင်းဝက်ကို R ft ထားပါ။
=
မပခမထာက်က ကေ္ဘာေျက်နှာပပင်မပါ်ေှာ လေ်းမလျှာက်ပတ်တဲ့အတွက် တစ်ပတ်အပပည့်ခရီး
(2πR) ft
. . . (A)
(က) မခါင်းက ကေ္ဘာမပေေျက်နှာပပင်နဲ့ 7 မပအကွာကမနမပီး ကေ္ဘာပတ်လို့ မခါင်းရဲ့ကေ္ဘာပတ်လေ်း
အချင်းဝက်သည် (R + 7) ft
ပဖစ်ပါတယ်။ အချင်းဝက် 7 မပပိုတကီးတဲ့အတွက် မခါင်းက
မပခမထာက်ထက် ခရီးပိုသွားပါတယ်။
(ခ)
မခါင်းကကေ္ဘာပတ်တဲ့ခရီး = 2π(R + 7) ft
. . . (B)
ဒါမကကာင့် မခါင်းက မပခမထာက်ထက် ပိုသွားတဲ့ခရီးရဖို့ (B) - (A) ကို ရှာရပါလိေ့်ေယ်။
300
မခါင်းကပိုသွားတဲ့ခရီး = 2π(R + 7) - 2πR
= 2πR + 14 π - 2πR
= (14 π) ft
22
22
π ရဲ့အနီးစပ်တန်ဖိုး 7 အစားထိုးရင် အမပဖ = 14 • ( 7 )
= 2 • 22
= 44 ft
n QED.
ပုစ္ဆာ (S.6) အဖြေ (ဖကျာင်းစာကကည့်တိုက်က ဉာဏ်စမ်းပပိုင်ပွဲ)
မပဖရှင်းချက်
(က) မောင်ဘ၏ မေွးသက္ကရာဇ် မနာက်ဆုံးဂဏန်းနှစ်လုံးပါကိန်း = x ထားပါ။
မောင်ဘသည် အလယ်တန်းမကျာင်းသားပဖစ်၍ နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု (သက္ကရာဇ် 2000 မနာက်ပိုင်း)
မေွးသူ ပဖစ်ရေည်။
Ñ မောင်ဘ၏ မေွးသက္ကရာဇ်အပပည့်အစုံသည် (2000 + x) ပဖစ်ရေည်။
(ဥပော 2000 + 15 = 2015)
သက္ကရာဇ် 2000 ေှ 2024 ဒီဇင်ဘာ 31 ရက်ထိ ကကာချန်ိ = 24 နှစ်
Ñ 2024 ဒီဇင်ဘာ 31 ရက်ထိ မောင်ဘ၏အသက် = 24 - x
Ñ မေွးသက္ကရာဇ် + အသက် = x + (24 - x) = 24
(ခ)
. . . (A)
n QED.
ဦးပေ၏ မေွးသက္ကရာဇ်မနာက်ဆုံးဂဏန်းနှစ်လုံး ပါကိန်း = x ထားပါ။
ဦးပေသည် အလယ်တန်းမကျာင်းသား မောင်ဘ၏အမဖပဖစ်၍ သူသည် နှစ်ဆယ်ရာစု (သက္ကရာဇ်
1900 နှင့် 2000 ကကား) မေွးသူပဖစ်ရေည်။
ဦးပေ၏ မေွးသက္ကရာဇ်အပပည့်အစုံသည် (1900 + x) ပဖစ်အံ့။
(ဥပော 1900 + 75 = 1975)
သက္ကရာဇ် 1900 ေှ 2024 ဒီဇင်ဘာ 31 ရက်ထိ ကကာချန်ိ = 124 နှစ်
2024 ဒီဇင်ဘာ 31 ရက်ထိ ဦးပေ၏အသက် = 124 - x
Ñ မေွးသက္ကရာဇ် + အသက် = x + (124 - x) = 124
. . . (B)
n QED.
301
ေှတ်ချက်
အလွန်လှပမသာ ပုစ္ဆာတစ်ပုဒ်ကို မစ့မစ့စပ်စပ် သမဘာမပါက်ရန် ချန်ိ ကိုက်စဉ်းစားကကည့်နိုင်
သည်။ ဥပောအားပဖင့် မောင်ဘ၏မေွးသက္ကရာဇ်သည် 2015 ပဖစ်အံ့။
မေွးသက္ကရာဇ် (မနာက်ဆုံးဂဏန်းနှစ်လုံး) = 2015 - 2000 = 15,
အသက် = 2024 - 2015 = 9,
Ñ သက္ကရာဇ် + အသက် = 15 + 9 = 24.
ဥပောအားပဖင့် ဦးပေ၏ မေွးသက္ကရာဇ်သည် 1975 ပဖစ်အံ့။
မေွးသက္ကရာဇ်(မနာက်ဆုံးဂဏန်းနှစ်လုံး) = 1975 - 1900 = 75,
အသက် = 2024 - 1975 = 49,
သက္ကရာဇ် + အသက် = 75 + 49 = 124.
ပုစ္ဆာ (S.7) အဖြေ (8 ဂဏန်းေှစ်လုံး နဲ့ 1000 တည်ဖောက်ြခင်း)
မပဖရှင်းချက်
(က) 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.
(ခ)
n QED.
မေှာ်ပုံမသနည်းရှာပခင်း
(8888 - 888) ÷ 8 = 1000
8 ဂဏန်းမနရာေှာ 1, 2, 3, 4, …, 9 စသည်ပဖင့် အစားထိုးလိုက်တဲ့အခါေှာ မအာက်ပါအတိုင်း
တစ်သေတ်တည်း ေှန်ကန်မနတဲ့ညီေျှပခင်း ကိုးခု ရပါတယ်။
(1111 - 111) ÷ 1 = 1000
(2222 - 222) ÷ 2 = 1000
(3333 - 333) ÷ 3 = 1000
(4444 - 444) ÷ 4 = 1000
...
(9999 - 999) ÷ 9 = 1000
n QED.
302
ပုစ္ဆာ (S.8) အဖြေ (ပန်းသီးဖေတဲ့လူပျုတကီ
ိ း)
မပဖရှင်းချက်
ိ းမောင်ပဖူ အိေ်မပါင်း 50 ကို ပန်းသီးမဝမပီး၊ မနာက်ဆုံး အိေ်ပပန်မရာက်တဲ့အခါေှာ ပန်းသီး
Ÿ လူပျုတကီ
နှစ်လုံးသာ ကျန်ပါတယ်။
Ÿ မပပာင်းပပန် ပပန်စဉ်းစားဖို့ပဲ လိုပါတယ်။
မပပာင်းပပန် တစ်အိေ်နှစ်အိေ် ပပန်စဉ်းစားကကည့်ရင် ချက်ချင်းသမဘာမပါက်လာပါတယ်။
Ÿ ေနက်မစာမစာ သူ အိေ်ကထွက်ကတည်းက ပန်းသီးနှစ်လုံးပဲ ရှိပါတယ်။ အိေ်တစ်အိေ်မရာက်တိုင်း
တစ်ဝက်ကိုမပးလိုက်မတာ့ တစ်လုံးပဲ မပးရပါတယ်။ ေိန်းခမလးတိုင်းက တစ်လုံးပပန်မပးမတာ့
သူ့ေှာ ပန်းသီးနှစ်လုံး ပပန်ပဖစ်သွားပါတယ်။ အိေ်တိုင်းကို ပန်းသီးနှစ်လုံးနဲ့ ဝင်သွားမပီး ပပန်အထွက်
ေှာလည်း ပန်းသီးနှစ်လုံးပါပဲ။
n QED.
ပုစ္ဆာ (S.9) အဖြေ (ေိနစ်ဝက်ဂျဩမေတတီ
ီ
)
မပဖရှင်းချက်
မလာတကီးမပီး တတိဂံဧရိယာပုံမသနည်းနဲ့ “နှစ်ပိုင်းတစ်ပိုင်း အမပခအမပေောက်အပေင့် = 30 စတုရန်း
လက်ေ” လို့ မပဖချင်စရာမကာင်းပါတယ်။ သို့မသာ်လည်း လက်မတွ့ေှာမတာ့ ဒီပုစ္ဆာပါမပးထားချက်နဲ့
ကိုက်ညီတဲ့ မထာင့်ေှန်တတိဂံ ABC ေရှိပါဘူး။ တတိဂံ ABC ရဲ့ပုံမလးကို ဆွဲကကည့်ရမအာင်ပါ။
A
B
Ÿ
5"
5"
6"
O
5"
C
စက်ဝိုင်းပခေ်းထဲရှိမထာင့်သည် အမေဲမထာင့်ေှန်ပဖစ်လို့ မထာင့်ေှန်တတိဂံ ABC ကို မရဒိယ 5" ရှိတဲ့
စက်ဝိုင်းပခေ်းေှာ ဆွဲကကည့်နိုင်ပါတယ်။ BC မပါ်ရှိ အလယ်ေျဉ်းသည်လည်း မရဒိယပဖစ်လို့ 5" ပဖစ်ပါ
တယ်။ အပေင့်ေျဉ်းသည် အလယ်ေျဉ်းထက် အမေဲငယ်တဲ့အတွက် 6" ေပဖစ်နိုင်ပါ။ ပုစ္ဆာပါမပးထားချက်
ပဖစ်တဲ့ အပေင့်ေျဉ်း 6" ဆိုတာ ေပဖစ်နိုင်လို့ ဒီလိုမထာင့်ေှန်တတိဂံေျုးိ ေရှိနိုင်ပါ။
n QED.
303
ပုစ္ဆာ (S.10) အဖြေ (နာရီမခါင်းမလာင်းသံ)
မပဖရှင်းချက်
မခါင်းမလာင်း ၆ ချက်တီးရန် ကကားပိုင်းငါးခု လိုအပ်ပုံ
ပထေ
ဒုတိယ
တတိယ
စတုတ္ထ
ပဉ္စေ
ဆဋ္ဌေ
ကကားပိုင်းငါးခု
အမပါ်ကပုအ
ံ ရ မခါင်းမလာင်းမပခာက်ချက်တီးဖို့ အချန်ိ ကကားပိင
ု ်း အပိင
ု ်းငါးပိင
ု ်း လိပ
ု ါတယ်။ မပးချက်အရ
အဲဒီကကားပိုင်းငါးခုေှာ ငါးစက္ကန့်ကကာလို့ ကကားပိုင်းတစ်ခုေှာ တစ်စက္ကန့်ကကာပါတယ်။ ဒါမကကာင့် မခါင်းမလာင်း
၁၂ ချက်တီးဖို့ အချန်ိ ကကားပိုင်း ၁၁ ခု လိုေှာပဖစ်လို့ လိုအပ်ချန်ိ ေှာ ၁၁ စက္ကန့် ပဖစ်ပါတယ်။
n QED.
ပုစ္ဆာ (S.11) အဖြေ (ကကက် ဆိတ် နွား ပုစ္ဆာ)
မပဖရှင်းချက်
မပးထားချက်ေှာ စကားရှုပ်မနတာကို အရင်ရှင်းရေယ်။
“၇ မကာင်ကလွဲရင် နွားပဲ” ဆိုတဲ့ အဓိပ္ပာယ်က ကကက်နဲ့ဆိတ်မပါင်းရင် ၇ မကာင်ရှိမပီး ကျန်တာ
နွားပဲလို့ ဆိုလိုပါတယ်။
ကကက်အမရအတွက် = x, ဆိတ်အမရအတွက် = y, နွားအမရအတွက် = z ထားပါ။
Ñx+y = 7
x+z = 8
y+z = 9
(1) + (2) + (3) ⇒ (x + y) + ( y + z) + (z + x) =
2x + 2y + 2z =
ဝဲ ယာ 2 ပဖင့်စားမသာ်
x + y + z = 12
. . . (1)
. . . (2)
. . . (3)
7 + 8 + 9,
24,
. . . (4)
(4) - (1) ⇒ (x + y + z) - (x + y) = 12 - 7 = 5; z = 5.
(4) - (2) ⇒ (x + y + z) - (x + z) = 12 - 8 = 4; y = 4.
(4) - (3) ⇒ (x + y + z) - (y + z) = 12 - 9 = 3; x = 3.
မနာက်ဆုံးအမပဖ ေှာ နွား 5 မကာင်၊ ဆိတ် 4 မကာင်၊ ကကက် 3 မကာင်။ n QED.