Formelsamling
Calculus Tau
Calculus Tau Formelsamling
Indholdsfortegnelse
Regneregler ................................................................................................................................................. 4
Differentiering og Integrering ...................................................................................................................... 4
Potenser ................................................................................................................................................... 4
Logaritmer ................................................................................................................................................ 5
Trigonometri ............................................................................................................................................. 5
Kvadratsætninger ...................................................................................................................................... 5
Uge 1 - Differentialregning og Stamfunktioner ............................................................................................. 6
Globale Ekstrema (Absolute Extrema) ........................................................................................................ 6
Maksimering ............................................................................................................................................. 6
Stamfunktioner og Ubestemte Integraler .................................................................................................... 7
Uge 2 - Integration ....................................................................................................................................... 7
Integration ved Substitution ....................................................................................................................... 7
Fundamental Sætning For Calculus ........................................................................................................... 8
Delvis Integration ...................................................................................................................................... 9
Generelle formler (Specialtilfælde) ........................................................................................................... 10
Uegentlige Integraler ................................................................................................................................ 10
Uge 3 - Komplekse Tal ................................................................................................................................. 11
Additionsformler for Cosinus og Sinus ....................................................................................................... 11
Komplekse Tal.......................................................................................................................................... 11
Regneregler ............................................................................................................................................. 11
Polær Form .............................................................................................................................................. 12
Multiplikation på Polær Form .................................................................................................................... 14
Veksling Mellem Standart og Polær Form ................................................................................................... 14
Kvadratrødder af Kompleks Tal .................................................................................................................. 15
Andengradsligning ................................................................................................................................... 16
Ligninger af Højere Grad ........................................................................................................................... 17
Uge 4 - Talfølger og Uendelige Rækker ........................................................................................................ 18
Notationer for Talfølger og Uendelige Rækker ............................................................................................. 18
Konvergens/Divergens af Talfølger ............................................................................................................. 19
Regneregler for Grænseværdi/Konvergens ................................................................................................. 19
Begrænset Talfølge ................................................................................................................................... 19
Monotone Talfølger .................................................................................................................................. 20
Uendelige Rækker .................................................................................................................................... 20
1
Formelsamling
Calculus Tau
Konvergens/Divergens af Uendelige Rækker .............................................................................................. 21
n´te leds Testen for Divergens................................................................................................................... 21
Geometrisk Række ................................................................................................................................... 21
Sammenligningskriteriet ........................................................................................................................... 22
Absolut Konvergens.................................................................................................................................. 23
Kvotientkriteriet ....................................................................................................................................... 23
Uge 5 - Potensrækker og Taylor Approksimation ......................................................................................... 24
Approksimation af Funktionsværdier ......................................................................................................... 24
Potensrække ............................................................................................................................................ 24
Konvergensradius .................................................................................................................................... 25
Ledvis Differentiation og Integration .......................................................................................................... 25
Taylorpolynomium og Taylors Sætning ....................................................................................................... 26
Maclaurin serie ........................................................................................................................................ 27
Taylorrækker ............................................................................................................................................ 28
Potensrækker og Taylorrækker er Entydige ................................................................................................. 29
Uge 6 - Første Ordens Differentialligninger ................................................................................................. 29
Første Ordens ordinære Differentialligninger.............................................................................................. 29
Retningsfelt ............................................................................................................................................. 29
Separabel Ligning..................................................................................................................................... 29
Logistisk Ligning....................................................................................................................................... 31
Lineær Første Ordens Differentialligning .................................................................................................... 31
Uge 7 - Anden Ordens Lineære Differentialligninger ................................................................................... 32
Anden Ordens Lineær Differentialoperator ................................................................................................ 32
Anden Ordens Lineær Differentialligning ................................................................................................... 33
Superpositionsprincip (Linearitet) ............................................................................................................. 33
Homogen Ligning med Konstante Koefficienter .......................................................................................... 33
Karakteristisk Ligning ............................................................................................................................... 34
Inhomogen Ligning og Partikulær Løsning .................................................................................................. 34
Uge 8 - Differentialregning med Flere Variabler ........................................................................................... 35
Partielle Afledede ..................................................................................................................................... 35
2. ordens partielle afledede ...................................................................................................................... 35
Højere ordens afledede ............................................................................................................................ 36
Maksimum og Minimum ........................................................................................................................... 36
Uge 9 - Planintegraler (Dobbelt Integraler) .................................................................................................. 36
Hvad er et planintegral ............................................................................................................................. 36
Beregning af planintegral (itereret integral) ................................................................................................. 36
Fubini’s Sætning ...................................................................................................................................... 37
2
Formelsamling
Calculus Tau
Integration over rektangler ........................................................................................................................ 37
Integration over generelle områder ............................................................................................................ 37
Uge 11 - Sandsynlighed Del 1 ...................................................................................................................... 38
Stokastiske Variable ................................................................................................................................. 38
Diskrete Stokastiske Variable .................................................................................................................... 38
Sandsynlighedsfunktionen (PMF = Probability Mass Function) .................................................................... 38
Middelværdien ......................................................................................................................................... 38
Middelværdi af en funktion på en stokastisk variabel .................................................................................. 39
Varians .................................................................................................................................................... 39
Standart afvigelse .................................................................................................................................... 39
Bernoulli fordeling .................................................................................................................................... 39
Binomialfordeling..................................................................................................................................... 40
Poissonfordeling ...................................................................................................................................... 40
Uge 12 - Sandsynlighed Del 2 ...................................................................................................................... 41
Geometriske fordeling .............................................................................................................................. 41
Negativ Binomialfordeling ......................................................................................................................... 41
Middelværdi for summer af stokastiske variable ......................................................................................... 42
Fordelingsfunktion ................................................................................................................................... 43
Kontinuerte stokastiske variable ............................................................................................................... 44
Punktsandsynlighed ................................................................................................................................. 45
Middelværdi og Varians for kontinuerte stokastiske variable ....................................................................... 45
Uge 13 - Sandsynlighed Del 3 ...................................................................................................................... 46
Den Uniforme Fordeling............................................................................................................................ 46
Normalfordelingen ................................................................................................................................... 46
Den Centrale Grænseværdi Sætningen? .................................................................................................... 48
Eksponentialfordelingen ........................................................................................................................... 48
Gamma Fordelingen ................................................................................................................................. 48
Fordelingen af en funktion taget på stokastiske variable g(X) ....................................................................... 49
Lognormal Fordelingen: 𝑌 = 𝑔𝑋 = 𝑒𝑥 ........................................................................................................ 51
Fordelingsfunktion vs. Tæthedsfunktion .................................................................................................... 51
3
Formelsamling
Calculus Tau
Regneregler
Differentiering og Integrering
−
𝑓¨(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝐹(𝑥)
0
𝑎
𝑎·𝑥
𝑛 · 𝑥 −1
𝑥𝑛
1
· 𝑥 𝑛+1
𝑛+1
1 −1
𝑥 2
2
√𝑥 = 𝑥 2
1
3
𝑥2
2 3
𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑥 2
3
3
2
ln|𝑥|
1
= −𝑥 −2
𝑥2
1
𝑥
𝑒𝑥
𝑘 · 𝑒 𝑘·𝑥
1
= 𝑥 −1
𝑥
ln(𝑥)
ln(𝑎) · 𝑎 𝑥
𝑎𝑥
−sin (𝑥)
cos (𝑥)
sin (𝑥)
cos (𝑥)
sin (𝑥)
−cos (𝑥)
1
√𝑔(𝑥)
𝑒𝑥
𝑒 𝑘𝑥
𝑥 · ln(𝑥) − 𝑥
𝑒𝑥
1 𝑘𝑥
·𝑒
𝑘
1
· 𝑎𝑥
ln(𝑎)
2 · √𝑔(𝑥)
Potenser
𝑎𝑝 · 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞
(𝑎 · 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 · 𝑏 𝑝
𝑎𝑝
= 𝑎𝑝−𝑞
𝑎𝑞
𝑎 𝑝 𝑎𝑝
( ) = 𝑝
𝑏
𝑏
(𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝·𝑞
𝑎0 = 1
1
= 𝑎−𝑝
𝑎𝑝
1
𝑎2 = √𝑎
1
𝑝
𝑎𝑝 = √𝑎
4
Formelsamling
Calculus Tau
Logaritmer
Naturlig
log
ln(1) = 0
ln(𝑒) = 1
ln(𝑎 · 𝑏) = ln(𝑎) + ln (𝑏)
10-tals log
log(1) = 0
log(10) = 1
log(𝑎 · 𝑏) =
log(𝑎) + log (𝑏)
𝑎
ln ( ) = ln(𝑎) − ln (𝑏)
𝑏
𝑎
log ( ) = log(𝑎) + log (𝑏)
𝑏
ln(𝑎𝑝 ) = 𝑝 · ln (𝑎)
log(𝑎𝑝 ) = 𝑝 · log (𝑎)
Trigonometri
Kvadratsætninger
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏
(𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2
5
Formelsamling
Calculus Tau
Uge 1 - Differentialregning og Stamfunktioner
Globale Ekstrema (Absolute Extrema)
•
c er et kritisk punkt for 𝑓, ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑓´(𝑥) = 0
•
Lad 𝑓 vær en funktion i intervallet [a,b]. Så er alle ekstrema for 𝑓 enten i de kritiske punkter
inden for intervallet, eller i et af endepunkterne.
Maksimering
Definition: Et maksimum for en funktion 𝑓(𝑥) findes, når 𝑓´(𝑥) = 0, og 𝑓´´(𝑥) < 0
Første afledte test:
•
•
•
Find den først afledte, 𝑓´(𝑥)
Sæt 𝑓´(𝑥) = 0 for at finde kritiske punkter
Undersøg fortegnene for 𝑓´(𝑥) omkring de kritiske punkter
o Hvis 𝑓´(𝑥) går fra positiv til negativ, er der et lokalt maksimum.
Anden afledte test:
•
•
Find den anden afledte, 𝑓´´(𝑥)
Evaluer 𝑓´´(𝑥) ved de kritiske punkter
o Hvis 𝑓´´(𝑥) < 0, er det lokalt maksimum
o Hvis 𝑓´´(𝑥) > 0, er det lokalt minimum
Optimering med begrænsninger:
Eksempel på opgavetypen: Optimering med begrænsninger
Vi er interesseret i at maksimere
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
Over alle 𝑥, 𝑦 ≥ 0, der opfylder
𝑥 2 + 𝑦 = 12
Lad maksimum for 𝑃 være i punktet (𝑥0 , 𝑦0 ). Angiv 𝑥0
Step 1. Find udtryk for y og indsæt i 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑦 = 12 − 𝑥 2
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 · (12 − 𝑥 2 )
𝑃(𝑥, 𝑦) = 12𝑥 − 𝑥 3
6
Formelsamling
Calculus Tau
Step 2. Find afledt funktion 𝑃´(𝑥, 𝑦)
𝑃´(𝑥, 𝑦) = 12 − 3𝑥 2
Step 3. Sæt 𝑃´(𝑥, 𝑦) = 0
12 − 3𝑥 2 = 0
12 = 3𝑥 2
4 = 𝑥2
𝑥0 = 2
Ekstremværdier på et lukket interval:
•
For en kontinuerlig funktion 𝑓(𝑥) på et lukket interval [𝑎, 𝑏]
o Beregn 𝑓(𝑎) og 𝑓(𝑏)
o Find kritiske punkter ved at løse 𝑓´(𝑥) = 0
o Sammenlign funktionsværdierne for at finde maksimum.
Stamfunktioner og Ubestemte Integraler
Stamfunktion:
•
𝐹(𝑥) er en stamfunktion til 𝑓(𝑥), hvis der gælder at 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Ubestemte integraler:
•
Lad 𝐹(𝑥) væren en stamfunktion til 𝑓(𝑥). Så er det ubestemte integrale af 𝑓(𝑥) givet ved:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
Uge 2 - Integration
Integration ved Substitution
•
Kan bruges, hvis integralet kan skrives på formen:
∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) · 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥
•
•
Så kan integralet substitueres, så de forskellige led bliver til følgende:
o 𝑔(𝑥) = 𝑢 → Dette kaldes den indre funktion
o 𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
Integralet bliver derved simplificeret, så det kan skrives som:
∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
7
Formelsamling
Calculus Tau
Strategi for at regne med integrering med substitution:
1. Find den indre funktion g(x) og kald det u
𝑑𝑢
2. Differentier u, så man finder 𝑑𝑥 = 𝑔´(𝑥)
1
3. Isoler dx → 𝑑𝑥 = 𝑔´(𝑥) · 𝑑𝑢
4. Indsæt u og udtrykket for dx i integralet
5. Tilbage-substituer den indre funktion på u´s plads
Eksempler:
2
∫ 𝑥 · 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∫ 8𝑥(4𝑥 2 + 8)6 𝑑𝑥
∫ 𝑥 · cos (𝑥 2 )
1: Find indre funktion
𝑔(𝑥) = 𝑥 2
𝑢 = 𝑥2
2: Differentier u
𝑑𝑢
= 2𝑥
𝑑𝑥
3: Isoler dx
1
𝑑𝑥 =
· 𝑑𝑢
2𝑥
4: Indsæt u og udtrykket for dx i
integralet
1
∫ 𝑥 · 𝑒𝑢 ·
· 𝑑𝑢
2𝑥
5: Udtrykket reduceres
𝑥
1
∫ 𝑒𝑢 ·
· 𝑑𝑢 → ∫ · 𝑒 𝑢 𝑑𝑢
2𝑥
2
6: Udtrykket integreres
1
• 2 sættes ud foran integralet
• 𝑒 𝑥 integreret giver sig selv
1
1
∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = · 𝑒 𝑢 + 𝐶
2
2
1: Find indre funktion
𝑔(𝑥) = 4𝑥 2 + 8
𝑢 = 4𝑥 2 + 8
2: Differentier u
𝑑𝑢
= 8𝑥
𝑑𝑥
3: Isoler dx
1
𝑑𝑥 =
· 𝑑𝑢
8𝑥
4: Indsæt u og udtrykket for dx i integralet
8𝑥
• (8x forsvinder fordi 8𝑥 = 1. Derfor
forsvinder det)
1: Find indre funktion
𝑔(𝑥) = 𝑥 2
𝑢 = 𝑥2
2: Differentier u
𝑑𝑢
= 2𝑥
𝑑𝑥
3: Isoler dx
1
𝑑𝑥 =
· 𝑑𝑢
2𝑥
4: Indsæt u og udtrykket for dx i
integralet
1
∫ 𝑥 · cos(𝑢) · 𝑑𝑢
2𝑥
5: Udtrykket reduceres
𝑥
1
∫ cos(𝑢) ·
𝑑𝑢 = ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢
2𝑥
2
7: Tilbage-substituer den indre
funktion på u´s plads
1 𝑥2
·𝑒 +𝐶
2
∫ 𝑢6 𝑑𝑢
5: Udtrykket integreres
1
∫ 𝑢6 𝑑𝑢 = 𝑢7 + 𝐶
7
6: Tilbage-substituer den indre funktion på
u´s plads
• 𝑢7 ganges op på tælleren
4𝑥 2 + 8
+𝐶
7
6: Udtrykket integreres
1
• 2 sættes ud foran integralet
1
1
∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = · sin(𝑢) + 𝐶
2
2
7: Tilbage-substituer den indre
funktion på u´s plads
1
· sin(𝑥 2 ) + 𝐶
2
Fundamental Sætning For Calculus
•
Hvis 𝑓 er en kontinuert funktion på intervallet [a,b], og 𝐹 er stamfunktion til 𝑓, så gælder det for
det bestemte integral:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
•
Formlen bruges til at beregne bestemte integraler ved hjælp af stamfunktion.
8
Formelsamling
Calculus Tau
Delvis Integration
•
Formel for delvis integration:
∫ 𝑢(𝑥) · 𝑣´(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) · 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢´(𝑥) · 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥
Delvis integration er smart, hvis:
•
•
•
Hvis 𝑢 nemt kan differentieres
Hvis 𝑣 nemt kan integreres
Bruges ofte, når integranden er et produkt af to funktioner
Eksempel:
∫ 𝑥 · 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥
1: Vælg 𝑢 og 𝑣´
𝑢=𝑥
𝑣´ = 𝑒 −2𝑥
2: Find 𝑣 ved integrering af 𝑣´
1
• Bruger regnereglen ∫ 𝑒 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
𝑘
1
𝑣 = ∫ 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 −2𝑥
2
3: Sæt ind i formlen for delvis integration
1
1
𝑥 · (− 𝑒 −2𝑥 ) − ∫ 1 · (− 𝑒 −2𝑥 ) 𝑑𝑥
2
2
4: Reducer udtrykket
𝑥
1
− 𝑒 −2𝑥 + ∫ 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥
2
2
5: Integrer det sidste integral
𝑥
1
1
− 𝑒 −2𝑥 + · (− 𝑒 −2𝑥 ) + 𝐶
2
2
2
6: Reducer udtrykket, så løsningen bliver
𝑥
1
− 𝑒 −2𝑥 − 𝑒 −2𝑥 + 𝐶
2
4
9
Formelsamling
Calculus Tau
Generelle formler (Specialtilfælde)
∫[𝑓(𝑥)]𝑛 · 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥,
𝑛 ≠ −1
∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
[𝑓(𝑥)]𝑛+1
+𝐶 =
+𝐶
𝑛+1
𝑛+1
𝑓´(𝑥)
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
1
∫ 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶
𝑢
∫ 𝑒 𝑓(𝑥) · 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥
∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 = 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝐶
∫
Uegentlige Integraler
•
Uegentlige integraler er defineret som følger:
∞
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏→∞ 𝑎
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
−∞
∞
𝑎→−∞ 𝑎
0
∞
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
0
10
Formelsamling
Calculus Tau
Uge 3 - Komplekse Tal
Additionsformler for Cosinus og Sinus
•
Additionsformel for Cosinus:
cos(𝐴 + 𝐵) = cos(𝐴) · cos(𝐵) − sin(𝐴) · sin (𝐵)
•
Additionsformel for Sinus:
sin(𝐴 + 𝐵) = sin(𝐴) · cos(𝐵) + cos(𝐴) · sin (𝐵)
Komplekse Tal
•
Definition: Et komplekst tal 𝑧 er på formen:
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
•
•
Hvor a er realdelen og b er imaginærdelen
Den imaginære enhed 𝑖 opfylder:
𝑖 2 = −1
Regneregler
•
Addition
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑎2 ) + 𝑖 · (𝑏1 + 𝑏2 )
•
Multiplikation
𝑧1 · 𝑧2 = (𝑎1 · 𝑎2 − 𝑏1 · 𝑏2 ) + 𝑖 · (𝑎1 · 𝑏2 + 𝑎2 · 𝑏1 )
•
Kompleks konjugering
o Man ændrer fortegn, så man er på modsatte side af realaksen i enhedscirklen
𝑧 = 𝑎 − 𝑖𝑏
•
Absolut værdi af komplekst tal
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2
•
Division
𝑧1 𝑧1 · 𝑧2
=
|𝑧2 |2
𝑧2
•
Smart huskeregel
√−𝑎 = √𝑎 · 𝑖
11
Formelsamling
Calculus Tau
Polær Form
•
•
Det kan nogle gange være nemmere at regne med komplekse tal på polær form
Polær form for komplekst tal hedder:
𝑧 = |𝑧| · (cos(𝜃) + 𝑖 · sin(𝜃))
•
Polær form kan også skrives som:
𝑧 = |𝑧| · 𝑒 𝑖𝜃
•
•
•
Hvor 𝑒 𝑖𝜃 = cos(𝜃) + 𝑖 · sin(𝜃)
Nogle gange skrives absolutværdien også som 𝑟
𝜃 er betegnelse for vinklen (argumentet), og findes ved at sige følgende:
𝑏
𝐻𝑜𝑠(𝑎)
𝜃 = arg(𝑧) = tan−1 ( ) = cos−1 (
)
𝑎
𝐻𝑦𝑝(|𝑧|)
•
VIGTIGT! Når man har regnet vinklen, skal man huske at tage højde for hvilken kvadrant man
befinder sig i.
12
Formelsamling
Calculus Tau
Gennemgang af, hvad der skal gøres i de 4 kvadranter:
1. Første kvadrant
o Her er både realdelen og imaginærdelen positiv
o
𝐻𝑜𝑠(𝑎)
𝜋
Her tager man direkte værdien fra cos −1 (𝐻𝑦𝑝(|𝑧|)), da den allerede ligger mellem 0 𝑜𝑔 2
2. Anden kvadrant
o Her er realdelen negativ og imaginærdelen er positiv
o Her skal man justere vinklen ved at trække vinklen fra 𝜋
𝜃 = π − cos −1 (
o
𝐻𝑜𝑠(𝑎)
)
𝐻𝑦𝑝(|𝑧|)
𝜋
Det sikrer at vinklen er mellem 2 𝑜𝑔 𝜋
3. Tredje kvadrant
o Her er både realdelen og imaginærdelen negativ
o Her skal der også lægges 𝜋 til vinklen, fordi tangentens værdi forbliver den samme som
i første kvadrant, men vinklen er forskudt:
𝜃 = π + cos −1 (
o
Det sikrer at vinklen er mellem 𝜋 𝑜𝑔
𝐻𝑜𝑠(𝑎)
)
𝐻𝑦𝑝(|𝑧|)
3𝜋
2
4. Fjerde kvadrant
o Her er realdelen positiv og imaginærdelen er negativ
o
𝐻𝑜𝑠(𝑎)
Her skal man trække cos−1 (𝐻𝑦𝑝(|𝑧|)) fra 2𝜋 (eller betragte det som en negativ vinkel):
𝜃 = 2𝜋 − cos −1 (
𝐻𝑜𝑠(𝑎)
)
𝐻𝑦𝑝(|𝑧|)
Eller
𝜃 = − cos −1 (
𝐻𝑜𝑠(𝑎)
)
𝐻𝑦𝑝(|𝑧|)
13
Formelsamling
o
Calculus Tau
3𝜋
𝜋
Det sikrer, at vinklen ligger mellem 2 𝑜𝑔 2𝜋 (eller mellem 0 𝑜𝑔 − 2
x-aksen: Reel-aksen
y-aksen: Imaginær aksen
𝜋
1
√3
Note: sin 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 cos (30°) = sin 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 cos ( 6 ) = sin−1 (2) = cos −1 ( 2 )
Multiplikation på Polær Form
𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1 · 𝑟2 · 𝑒 𝑖·(𝜃1 +𝜃2 )
•
Hvor r, er absolutværdien |𝑧|
Veksling Mellem Standart og Polær Form
•
•
Under ”Polær Form” finder man, hvordan man går fra standart til polær form
Når man skal fra polær form til standart form skal man identificere 𝑎 𝑜𝑔 𝑖𝑏 baseret på info fra
den polære form. De regnes således:
𝑎 = 𝑟 · cos (𝜃)
𝑏 = 𝑟 · sin (𝜃)
14
Formelsamling
•
Calculus Tau
Man kan skrive følgende sammenhæng:
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑟 · cos(𝜃) + 𝑖 · (𝑟 · sin(𝜃))
Kvadratrødder af Kompleks Tal
•
•
•
•
For at finde kvadratroden af et komplekst tal skal tallet først stå på polær form
Det vil sige man først skal finde absolutværdien, og derefter skal man finde vinklen
Man skal huske at tage højde for at justere vinklen, så den passer intervallet for det kvadrant,
som det komplekse tal befinder sig i
Kig på figuren over enhedscirklen under overskriften ”Polær Form”
15
Formelsamling
Calculus Tau
Andengradsligning
•
Fungerer langt hen ad vejen som at løse en normal andengradsligning
Taktik for at regne en andengradsligning med komplekse tal
•
•
•
•
Identificer a, b og c
Beregn diskriminanten
o 𝐷 = 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐
Der kan være 3 typer af løsninger
o Hvis D > 0 → To forskellige reelle løsninger
o Hvis D = 0 → Én dobbelt løsning (reel)
o Hvis D < 0 → To komplekse løsninger
Når diskriminanten er fundet bruges den kvadratiske formel til at finde rødderne
−𝑏±√𝐷
2𝑎
o
𝑧=
o
Hvis 𝑫 < 𝟎 får man √−𝑫. Her skal følgende regneregel bruges: √−𝑎 = √𝑎 · 𝑖
16
Formelsamling
Calculus Tau
Ligninger af Højere Grad
17
Formelsamling
Calculus Tau
Uge 4 - Talfølger og Uendelige Rækker
Notationer for Talfølger og Uendelige Rækker
Symbol for talfølge: {𝑎𝑛 }∞
𝑛=1
•
•
•
𝐸𝑙𝑙𝑒𝑟
{𝑎𝑛 }
𝑎𝑛 = Angiver n-te led i følgen
𝑛 = Indekset, der typisk starter ved 𝑛 = 1 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑛 = 0
∞ = Angiver, at følgen fortsætter uendeligt
Symbol for grænseværdien: lim 𝑎𝑛 = 𝐿
𝑛→∞
•
•
lim = Udtryk for når n går mod uendelig
𝑛→∞
𝐿 = Grænseværdien
Symbol for summen af en talfølge: ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
•
Notation for summen af talfølgerne lægges sammen, når n starter fra 1 og går mod uendelig
18
Formelsamling
Calculus Tau
Konvergens/Divergens af Talfølger
•
Konvergens: En talfølge er konvergent, når den tilnærmer sig en konkret værdi for hver n værdi
o
•
1
Eksempel: {𝑎𝑛 } = 𝑛
1
1
→ 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2 , 𝑎3 = 3 … 0 (Så den konvergerer mod 0)
Divergens: Når talfølgen ikke tilnærmer sig en konkret værdi, altså ikke konvergere. Det kan
den gøre på 3 måder:
Bliver uendeligt stor
{𝑎𝑛 } = 𝑛
𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2, 𝑎3 = 3, …
Skifter værdier uden at nærme sig
noget
{𝑎𝑛 } = (−1)𝑛
𝑎1 = −1, 𝑎2 = 1, 𝑎3 = −1, 𝑎4 = −1, …
Eller
cos((𝜋)𝑛 )
sin((𝜋)𝑛 )
𝑜𝑔
1
1
Da de også skifter mellem -1 og 1
Har ingen klar grænseværdi
Følgen opfører sig kaotisk eller
uregelmæssigt
Eks. {𝑎𝑛 } = sin (𝑛)
Regneregler for Grænseværdi/Konvergens
Summen af 2 konvergente talfølger
lim (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) = 𝑎 + 𝑏
𝑛→∞
Produktet af 2 konvergente talfølger
lim (𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 ) = 𝑎 · 𝑏
𝑛→∞
𝑎
𝑎
lim 𝑛 = , hvis 𝑏 ≠ 0
𝑏
𝑛→∞ 𝑏𝑛
Division af 2 konvergente talfølger
Funktion af en talfølge
Konstant faktor i en talfølge
lim 𝑓(𝑎𝑛 ) = 𝑓 ( lim 𝑎𝑛 ) = 𝑓(𝑎), hvis 𝑓 er kontinuerlig
𝑛→∞
𝑛→∞
lim 𝑐 · 𝑎𝑛 = 𝑐 · lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
Begrænset Talfølge
Begrænsede Konvergente Talfølger:
•
•
Konvergente talfølger har ALTID en grænseværdi, da det er tallet talfølgen konvergere imod
Hvis en talfølge både er begrænset og monoton (voksende eller aftagende), så er den altid
konvergent
Eksempler Talfølgen, 1 , er begrænset og konvergent.
𝑛
Følgen er aftagende og nærmer sig 0, så den er
begrænset af 𝐿 = 1
Talfølgen, (−1)𝑛 , er begrænset, men divergent.
Følgen skifter konstant mellem -1 og 1 og har
ingen grænseværdi.
Begrænsede Divergente Talfølger:
•
•
En talfølge kan være begrænset, selvom den er divergent. Det sker, hvis talfølgen ikke nærmer
sig en bestemt værdi, men stadig ikke vokser mod uendelig.
Eksempel: (−1)𝑛 , som vist ovenfor
19
Formelsamling
Calculus Tau
Sammenhæng mellem begrænsede og ubegrænsede talfølger
1. En konvergent talfølge er altid begrænset.
2. En begrænset talfølge er ikke nødvendigvis konvergent.
3. En ubegrænset talfølge kan ikke konvergere.
Monotone Talfølger
•
En talfølge er generelt monoton, hvis den enten er monotont voksende eller monotont
aftagende.
Egenskaber:
Hvis en monoton talfølge er begrænset, vil den altid konvergere imod en bestemt grænseværdi.
Er den ikke begrænset, konvergere den imod ∞ eller −∞
En monotont voksende begrænset talfølge vil konvergere imod sin øvre grænse. En monotont
aftagende begrænset talfølge vil konvergere imod sin nedre grænse.
Monotone talfølger skifter ikke retning, i modsætning til oscillerende talfølger.
Eksempler:
Monotont Voksende
𝑎𝑛 = 1 +
Monotont Aftagende
𝑛
𝑛+1
1
𝑛
𝑎𝑛 = 𝑛
𝑎𝑛 =
Monotont Voksende og Ubegrænset
→ 𝑎1 = 1,5, 𝑎2 = 1,66, 𝑎3 = 1,75 …
→
→
1
1
𝑎1 = 1, 𝑎2 = , 𝑎3 = …
2
3
𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2, 𝑎3 = 3 …
Uendelige Rækker
Notationer:
∞
𝑆 = ∑ 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +. .
𝑛=1
•
𝑆 = summen af uendeligt mange led i en talfølge
𝑁
𝑆𝑁 = ∑ 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +. . 𝑎𝑁
𝑛=1
•
𝑆𝑁 = Delvis sum for 𝑁 led, som her danner en ny talfølge baseret på summen af andre talfølger
{𝑆𝑁 }
20
Formelsamling
Calculus Tau
Konvergens/Divergens af Uendelige Rækker
Konvergens af Uendelige Rækker:
•
En uendelig række er konvergent, hvis følgen af de delvise summer {𝑆𝑁 } har en grænseværdi
lim 𝑆𝑁 = 𝑆
𝑁→∞
•
BETINGELSE! For at en uendelig række kan konvergere skal talfølgen {𝑎𝑛 } nærme sig 0.
Eksempel: ∑∞
𝑛=1
1
2𝑛
, som konvergerer mod 1
𝑆𝑁 =
1 1 1
1
+ + + ⋯+ 𝑁
2 4 8
2
Divergens af Uendelige Rækker:
•
En uendelig række er divergent, hvis følgen af de delvise summer {𝑆𝑁 } ikke har en grænseværdi,
så summen fortsætter uendeligt
𝑛
Eksempel: ∑∞
𝑛=1 1 , som divergerer mod ∞
𝑆𝑁 = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1𝑁
n´te leds Testen for Divergens
•
•
Hjælper med at afgøre, om en uendelig række divergerer. Testen handler om at analysere det
enkelte led i rækken, når 𝑛 bliver meget stor.
Hvis en uendelig række: ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 har et led 𝑎𝑛 , som ikke går mod 0 ( lim 𝑎𝑛 ≠ 0), så divergere
𝑛→∞
rækken
o Hvis grænseværdien er forskellig fra 0, så divergerer rækken.
o Hvis grænseværdien er 0, kan rækken stadig konvergere, men det er ikke nok til at
konkludere, at rækken konvergerer.
Eksempel på divergens
𝑛
I rækken: ∑∞
𝑛=1 1 er alle led lig 1 ( lim 𝑎𝑛 = 1). Da 𝑎𝑛 ikke går mod 0 (det
𝑛→∞
forbliver 1), divergerer rækken ifølge n’te leddets test.
Eksempel på konvergens
1
I rækken: ∑∞
𝑛=1 𝑛2 går alle led mod 0 ( lim 𝑎𝑛 = 0). Da grænseværdien går
𝑛→∞
mod 0, konkluderes det at rækken, ifølge n’te leddets testen, konvergere
•
VIGTIGT! Finder man frem til at rækken konvergerer, så det er ikke nok til at konkludere, at
rækken konvergerer (andre tests er nødvendige for at afgøre dette).
Geometrisk Række
•
En geometrisk række skal stå på formen:
∞
∑ 𝑎𝑟 𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯
𝑛=0
•
Det er nemmere at regne med, når n=0
21
Formelsamling
Calculus Tau
Omskrivning fra n=1 til n=0:
•
•
𝑛
Man starter med en række på formen: ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑟
Man vil gerne have det så n=0, så man trækker en fra og lægger til i potensen:
∞
∑ 𝑎𝑟 𝑛+1
𝑛=0
•
Man bruger potensreglen: 𝑎𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛 · 𝑎𝑚 , så r opdeles i følgende:
∞
∑ 𝑎 · 𝑟 𝑛 · 𝑟1
𝑛=0
•
𝑟1 er en konstant, så ved brugt af reglen: lim 𝑐 · 𝑎𝑛 = 𝑐 · lim 𝑎𝑛 , kan 𝑟1 rykkes udenfor
𝑛→∞
𝑛→∞
∞
1
𝑟 ∑ 𝑎𝑟 𝑛
𝑛=0
•
Nu er talrækken kommet på formen for en geometrisk række, man skal bare huske at gange 𝑟1
ind på 𝑎 fra første led af
Summen for en geometrisk række:
𝑎
kan fortælle hvilken grænse rækken konvergere mod
1−𝑟
•
Formlen: 𝑆 =
•
VIGTIGT! Det er kun relevant at bruge formlen, hvis |𝑟| er mindre end 1
o 𝑆 = Summen/Grænseværdien
o 𝑎 = Det første led i rækken
o 𝑟 = Kvotienten, som du finder ved at dividere et vilkårligt led med det forrige led
Sammenligningskriteriet
•
Det kan være svært at bestemme en eksakt sum for en uendelig række, men det er lettere at
afgøre konvergens/divergens
Sætning for sammenligningskriteriet: Lad 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 for alle 𝑛, så gælder:
•
∞
Hvis ∑∞
𝑛=0 𝑏𝑛 er konvergent, så er ∑𝑛=0 𝑎𝑛 også konvergent
•
∞
Hvis ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 er divergent, så er ∑𝑛=0 𝑏𝑛 også divergent
Betingelse
1
1
0 ≤ 𝑎𝑛 ≤
𝑜𝑔 ∑ 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑒
𝑛
𝑛
1
1
0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 2 𝑜𝑔 ∑ 2 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑒
𝑛
𝑛
1
1
𝑎𝑛 ≥
𝑜𝑔 ∑ 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑒
𝑛
𝑛
1
1
𝑎𝑛 ≥ 2 𝑜𝑔 ∑ 2 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟
𝑛
𝑛
Handling
Resultat
Sammenligning med
Sammenligning med
𝑛
1
𝑛2
1
Sammenligning med
Sammenligning med
1
𝑛
1
𝑛2
∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑒
∑ 𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑒
∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑒
∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑒
22
Formelsamling
Calculus Tau
Absolut Konvergens
•
∞
Definition: Rækken ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 kaldes absolut konvergent, hvis ∑𝑛=0|𝑎𝑛 | er konvergent
Eksempler på absolut konvergente rækker
Kvotientkriteriet
•
Formel for kvotientkriteriet:
𝑎𝑛+1
|
𝑛→∞ 𝑎𝑛
𝑅 = lim |
o
o
o
o
𝑅 vurdere om den uendelige række konvergerer eller divergere
𝑅 < 1 → Rækken konvergerer absolut
𝑅 > 1 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑅 = ∞ → Rækken divergerer
𝑅 = 1 → Kvotientkriteriet giver ingen konklusion, og andre tests skal anvendes. (som
sammenligningskriteriet)
23
Formelsamling
Calculus Tau
𝟏
Eksempel for 𝒂𝒏 = :
𝒏!
•
Opskriv udtrykket i formlen for kvotientkriteriet:
1
𝑎𝑛+1
1
𝑛!
𝑛!
𝑛!
1
(𝑛 + 1)!
=
· =
=
=
|
|=
1
(𝑛 + 1)! 1 (𝑛 + 1)! (𝑛 + 1) · 𝑛! 𝑛 + 1
𝑎𝑛
𝑛!
•
Beregn grænsen 𝑅:
1
=0
𝑛→∞ 𝑛 + 1
lim
•
1
Siden 𝑅 < 1, konkluderes det at rækken 𝑎𝑛 = 𝑛! er absolut konvergent
Uge 5 - Potensrækker og Taylor Approksimation
Forskel på Taylor række og Taylor serie
•
•
En Taylor-række er blot en uendelig sum af termer.
En Taylor-serie er den samme række, men med konvergens, så den præcist repræsenterer
funktionen i et område.
Approksimation af Funktionsværdier
•
•
I stedet for at arbejde direkte med 𝑓(𝑥) benytter man i stedet et polynomie 𝑃𝑁 (𝑥), som ligger
tæt på 𝑓(𝑥) i et interval omkring et punkt a
Man måler hvor godt polynomiet faktisk repræsenterer 𝑓(𝑥) ved at beregne restleddet (𝑅𝑁 (𝑥))
Potensrække
En potensrække omkring et punkt 𝑎 skrives som:
∞
𝑝(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 (𝑥 − 𝑎) + 𝑐2 (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑐3 (𝑥 − 𝑎)3 + ⋯
𝑛=0
•
•
•
•
𝑐𝑛 : Er koefficienterne, som kan være vilkårlige reelle eller komplekse tal.
(𝑥 − 𝑎)𝑛 : Er potenserne af (𝑥 − 𝑎), hvor 𝑛 er en ikke-negativ heltals eksponent.
𝑎: Er udviklingspunktet (eller centrum) for potensrækken.
𝑥: Er variablen
24
Formelsamling
Calculus Tau
Konvergensradius for potensrække:
Formel for konvergensradius (𝑅):
𝑅 = lim |
𝑐𝑛
𝑛→∞ 𝑐𝑛+1
|
Konvergensradius viser hvor en række absolut konvergere
•
•
•
Hvis |𝑥 − 𝑎| < 𝑅: Potensrækken konvergerer
Hvis |𝑥 − 𝑎| > 𝑅: Potensrækken divergerer
Hvis |𝑥 − 𝑎| = 𝑅: Konvergens skal undersøges særskilt
Eksempel:
•
1
2
𝑛
Find konvergensradius for ∑∞
𝑛=0 𝑛 𝑥
1
1 2𝑛+1 2𝑛+1
𝑛
2
𝑅 = lim |
= 𝑛·
= 𝑛 =2
| →
1
𝑛→∞ 𝑐𝑛+1
2
1
2
2𝑛+1
𝑐𝑛
Svar: 𝑅 = 2, så rækken konvergerer for |𝑥| = 2
Konvergensradius
Konvergensradiusen giver os et klart billede af, hvor godt en uendelig række kan bruges til at tilnærme
en funktion:
•
Hvis konvergensradiusen er stor, betyder det, at rækken giver en god tilnærmelse af funktionen
for mange værdier af x.
•
Hvis konvergensradiusen er lille, er rækken kun en god tilnærmelse i et lille område omkring
udviklingspunktet a.
Ledvis Differentiation og Integration
Ledvis Differentiation:
Har man en funktion for en potensrække på formen:
∞
𝑝(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛
𝑛=0
Så er den afledede funktion givet ved:
∞
𝑝´(𝑥) = ∑ 𝑛 · 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛−1
𝑛=0
Skal man differentiere yderligere, er det givet ved:
25
Formelsamling
Calculus Tau
∞
𝑝´´(𝑥) = ∑(𝑛 − 1) · 𝑛 · 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛−2
𝑛=0
Ledvis Integration:
Har man en funktion for en potensrække på formen:
∞
𝑝(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛
𝑛=0
Så er det ubestemte integral af funktion givet ved:
∞
𝑃(𝑥) = ∑
𝑛=0
𝑐𝑛
(𝑥 − 𝑎)𝑛+1 + 𝐶
𝑛+1
Taylorpolynomium og Taylors Sætning
•
•
Taylorpolynomium er en tilnærmelse af en funktion 𝑓(𝑥) omkring et punkt 𝑎.
Hvert led af summen er en afledning af funktionen evalueret ved punktet 𝑎.
Notation:
∞
𝑃𝑁 (𝑥) = ∑
𝑛=0
•
𝑓 (𝑛) (𝑎)
𝑓´´(𝑎)
𝑓´´´(𝑎)
𝑓 (𝑁)
(𝑥 − 𝑎)𝑛 = 𝑓(𝑎) + 𝑓´(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
(𝑥 − 𝑎)2 +
(𝑥 − 𝑎)3 + ⋯ +
(𝑥 − 𝑎)𝑁
𝑛!
2!
3!
𝑁!
For N-te grads taylorpolynomiet for 𝑓 med udviklingspunkt 𝑎
Eksempel:
26
Formelsamling
Calculus Tau
Maclaurin serie
•
•
En Maclaurin-serie er altid en Taylor-serie, hvor udviklingen af funktionen sker omkring
punktet 𝑥 = 0. Det betyder, at Maclaurin-serien er en særlig form for Taylor-serie, hvor vi bruger
𝑥 = 0 som udgangspunkt for at approximere funktionen.
Notation:
∞
𝑓 (𝑛) (0) 𝑛
𝑓(𝑥) = ∑
·𝑥
𝑛!
𝑛=0
Taylors sætning:
•
Taylors sætning beskriver forholdet mellem en funktion og dens Taylorpolynomium. Det giver
os en måde at kvantificere, hvor godt Taylorpolynomiet approksimerer funktionen, samt
hvordan fejlen (restleddet) i denne tilnærmelse kan udtrykkes.
Notation:
𝑁
𝑓(𝑥) = ∑
𝑛=0
𝑓(𝑛) (𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑅𝑁 (𝑥)
Hvor restleddet (𝑅𝑁 (𝑥)) er lig med:
𝑅𝑁 (𝑥) =
𝑓 (𝑁+1) (𝑐𝑥 )
(𝑥 − 𝑎)𝑁+1
(𝑁 + 1)!
For et (ukendt) tal 𝑐𝑥 mellem 𝑥 og 𝑎
27
Formelsamling
Calculus Tau
Taylorrækker
•
Taylor-række er en uendelig sum, der udtrykker en funktion 𝑓(𝑥) omkring et punkt 𝑎 som en
sum af termer, der involverer funktionens afledede i punktet 𝑎.
Notation:
∞
𝑓(𝑥) = ∑
𝑛=0
𝑓(𝑛) (𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛
Hvor:
•
𝑓 (𝑛) (𝑎): Er den n-te afledede af𝑓(𝑥) , evalueret ved 𝑥 = 𝑎.
•
𝑛!: Er fakulteten af n, hvilket bruges til at normalisere led i rækken.
•
(𝑥 − 𝑎)𝑛 : Er den variable term, der beskriver afstanden fra x til udviklingspunktet 𝑎, hævet til
eksponenten n.
28
Formelsamling
Calculus Tau
Potensrækker og Taylorrækker er Entydige
Uge 6 - Første Ordens Differentialligninger
Første Ordens ordinære Differentialligninger
Generel form:
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
Retningsfelt
•
𝑑𝑦
For en differentialligning 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) kan retningsfeltet visualiseres ved at tegne pile i hvert
punkt (𝑥0 , 𝑦0 ) med hældning 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
Separabel Ligning
Definition:
•
En differentialligning er separabel, hvis:
𝑑𝑦
= 𝑔(𝑥) · ℎ(𝑦)
𝑑𝑥
Kan omskrives som:
ℎ(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
•
Løses ved integration:
𝐻(𝑦) = 𝐺(𝑥) + 𝐶
29
Formelsamling
•
Calculus Tau
hvor 𝐻 og 𝐺 er stamfunktioner for ℎ(𝑦) 𝑜𝑔 𝑔(𝑥).
Eksempler:
•
•
𝑑𝑦
1
= (𝑥 − 5)𝑦 er separabel, da: 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 5) og ℎ(𝑦) = 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
1
= 2𝑦 er separabel, da: 𝑔(𝑥) = 2, ℎ(𝑦) =
𝑑𝑥
𝑦
𝑑𝑦
Regne eksempel: 𝑑𝑥 = (𝑦 − 1) · (𝑥 + 3)
•
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑥+3
= (𝑦 − 1) · (𝑥 + 3) =
,
𝑑𝑥
1/(𝑦 − 1)
•
𝑔(𝑥)
Først kan man vælge at omskrive, så det kommer på formen: 𝑑𝑥 = ℎ(𝑦)
𝑥+3
= (𝑥 + 3) · (𝑦 − 1)
1
𝑦−1
(
)
Nu kan x og y separeres på hver side:
1
𝑑𝑦 = 𝑥 + 3 𝑑𝑥
𝑦−1
•
Hver side integreres:
∫
•
1
1
𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 + 3 𝑑𝑥 → ln|𝑦 − 1| = 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝐶
𝑦−1
2
Fjerner 𝑙𝑛, ved at sætte begge sider som eksponent til 𝑒:
1 2
|𝑦 − 1| = 𝑒 2𝑥 +3𝑥+𝐶
•
Opdeler potensen, så der kommer en ny konstant, kaldet 𝐾 = 𝑒 𝐶
1 2
|𝑦 − 1| = 𝐾𝑒 2𝑥 +3𝑥
•
Fjerner absolutværdi ved at sætte ± fortegn foran højre side
1 2
𝑦 − 1 = ±𝐾𝑒 2𝑥 +3𝑥
•
Isolere y
1 2
𝑦 = 1 ± 𝐾𝑒 2𝑥 +3𝑥
•
Hvis man vil finde konkret løsning, skal man finde 𝐾. Eksempel for 𝑦(0) = 2
1 2
2 = 1 ± 𝐾𝑒 20 +3·0 → 2 = 1 ± 𝐾𝑒 0 → 2 = 1 ± 𝐾 · 1
𝐾=1
𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 − 1
30
Formelsamling
Calculus Tau
Logistisk Ligning
Generel form:
𝑑𝑦
= 𝑦 · (𝑏 − 𝑎𝑦),
𝑑𝑥
𝑦>0
Løsningsform:
𝑦(𝑥) =
•
𝑏
1
·
𝑎 1 + 𝐴𝑒 −𝑏𝑥
A afhænger af begyndelsesbetingelsen, og bestemmes af den oprindelige værdi af 𝑦 ved 𝑥 = 0
Lineær Første Ordens Differentialligning
Form:
𝑦´ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
•
Oftest kan man bare aflæse 𝑃(𝑥) og 𝑄(𝑥) fra ligningen, men i få tilfælde, hvor det står
anderledes, kan man finde dem ved følgende formler:
𝑎 (𝑥)
o
𝑃(𝑥) = 𝑎0 (𝑥)
o
Q(x) =
1
𝑏(𝑥)
𝑎1 (𝑥)
Integrationsfaktor:
𝑣(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
Løsning:
𝑦(𝑥) =
1
· (∫ 𝑣(𝑥) · 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶)
𝑣(𝑥)
Eksempel 1: 𝒚´ − 𝟐𝒚 = 𝒆𝟒𝒙
•
𝑣(𝑥) = 𝑒 ∫ −2 𝑑𝑥 = 𝑒 −2𝑥
•
1
· (∫ 𝑒 −2𝑥 · 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) →
𝑒 −2𝑥
•
∫ 𝑒 −2𝑥 · 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 −2𝑥+4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑒 2𝑥 = 2 + 𝐶
•
𝑒 2𝑥 · (
𝑒 2𝑥
𝑒 2𝑥 · ( 2 + 𝐶)
1
𝑒 2𝑥
𝑒 2𝑥
𝑒 4𝑥
+ 𝐶) = e2x ·
+ 𝑒 2𝑥 · 𝐶 =
+ 𝐶 · 𝑒 2𝑥
2
2
2
𝑒 2𝑥
1
𝑘
→ 𝐵𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑛𝑒𝑟𝑒𝑔𝑙𝑒𝑛: · 𝑒 𝑘·𝑥
31
Formelsamling
Calculus Tau
𝒅𝒚
𝟑
Eksempel 2: 𝒅𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙𝒆−𝒙 = 𝟎, 𝒚(𝟎) = 𝟏𝟎𝟎𝟎
•
Vil gerne have det på formen: 𝑦´ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
3
o Plus 2𝑥𝑒 −𝑥 over på den anden side
𝑑𝑦
3
+ 3𝑥 2 𝑦 = 2𝑥𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
•
Identificer 𝑦´, 𝑃(𝑥)𝑦 𝑜𝑔 𝑄(𝑥)
o
o
o
•
𝑑𝑦
𝑦´ = 𝑑𝑥 = 1
𝑃(𝑥) = 3𝑥 2
3
𝑄(𝑥) = 2𝑥𝑒 −𝑥
Integrationsfaktoren findes
2
𝑣(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
•
1
· (∫ 𝑣(𝑥) · 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶)
𝑣(𝑥)
Indsæt i løsningsformel: 𝑦(𝑥) =
𝑦(𝑥) =
o
3
Her går 𝑒 𝑥 𝑜𝑔 𝑒 𝑥
−3
1
𝑒𝑥
3
3
3
· (∫ 𝑒 𝑥 · 2𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶)
ud med hinanden
𝑦(𝑥) =
𝑦(𝑥) =
•
3
1
𝑒𝑥
3
· (∫ 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶)
1
𝑥2 + 𝐶
𝑒
𝑒𝑥
· (𝑥 2 + 𝐶) = 𝑦(𝑥) =
𝑥3
3
Evaluer med begyndelsesbetingelse: 𝑦(0) = 1000
1000 =
02 + 𝐶
𝑒0
3
→ 1000 = 𝐶
Uge 7 - Anden Ordens Lineære Differentialligninger
Anden Ordens Lineær Differentialoperator
•
•
En andenordens lineær differentialopterator er en operator, der anvendes på en funktion 𝑦(𝑥)
Den generelle form for en andenordens lineær homogen differentialligning hedder:
𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0
•
Når der anvendes differentialopterator betyder det man opskriver ligningen på følgende måde:
𝐿(𝑦) = 𝑃(𝑥)𝑦´´ + 𝑄(𝑥)𝑦´ + 𝑅(𝑥)𝑦
32
Formelsamling
•
Calculus Tau
Dette kan skrives på 2 former afhængig af om den er homogen eller inhomogen
o Homogen: 𝑃(𝑥)𝑦´´ + 𝑄(𝑥)𝑦´ + 𝑅(𝑥)𝑦 = 0
o Inhomogen: 𝑃(𝑥)𝑦´´ + 𝑄(𝑥)𝑦´ + 𝑅(𝑥)𝑦 = 𝐺(𝑥)
Anden Ordens Lineær Differentialligning
•
Den generelle form for en andenordens lineær homogen differentialligning hedder:
𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0
•
Den generelle form for en andenordens lineær inhomogen differentialligning hedder:
𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 𝐺(𝑥)
Superpositionsprincip (Linearitet)
•
Hvis 𝑦1 𝑜𝑔 𝑦2 er løsninger til den homogene ligning:
𝑃(𝑥)𝑦´´ + 𝑄(𝑥)𝑦´ + 𝑅(𝑥)𝑦 = 0
•
Så er en lineær kombination af dem også en løsning:
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2
•
Dette kaldes superpositionsprincippet
Homogen Ligning med Konstante Koefficienter
•
Når man har en differentialligning med konstante koefficienter:
𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0
•
hvor a, b, c er reelle konstanter og 𝑎 ≠ 0, kan vi finde løsningen ved at løse den karakteristiske
ligning:
𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0
33
Formelsamling
Calculus Tau
Taktik til løsning af karakteristisk ligning for homogen differentialligning:
• Først beregnes diskriminanten, hvor der her kan være 3 udfald
1. D > 0: To reelle løsninger
𝑟1 =
o
−𝑏 + √𝐷
,
2𝑎
𝑟2 =
−𝑏 − √𝐷
2𝑎
Fuldstændig løsning:
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑟1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑟2 𝑥
2. D = 0: En enkelt løsning
𝑟=
o
Fuldstændig løsning:
−𝑏
2𝑎
𝑦(𝑥) = (𝐶1 + 𝐶2 𝑥) · 𝑒 𝑟𝑥
3. D < 0: To komplekse løsninger
•
−𝑏
√|𝐷|
𝑟 = 𝛼 ± 𝑖𝛽 𝑚𝑒𝑑 𝛼 = 2𝑎 𝑜𝑔 𝛽 = 2𝑎
𝑦(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 · (𝐶1 · cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 · sin(𝛽𝑥))
Karakteristisk Ligning
•
Dette er den karakteristiske ligning:
𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0
Inhomogen Ligning og Partikulær Løsning
•
En inhomogen differentialligning har formen:
𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 𝐺(𝑥)
Strategi for løsning af inhomogen differentialligning
1. Løs den homogene differentialligning. Denne løsning kaldes 𝑦ℎ𝑜𝑚𝑜
2. Lav et ”gæt” baseret på hvad G(x) er. Det samlede udtryk for G(x) kaldes for 𝑦𝑝 for partikulær
o Figur for forskellige gæt for G(x)
34
Formelsamling
3.
4.
5.
6.
Calculus Tau
Gættet for G(x) differentieres 2 gange, så der kan blive sat et udtryk ind i den originale ligning
Sæt udtryk for 𝐺´(𝑥) 𝑜𝑔 𝐺´´(𝑥) ind for 𝑦´ 𝑜𝑔 𝑦´´
Opstil udtryk, så A, B og C kan beregnes
Når koefficienterne er fundet, kan man finde løsningen for den inhomogene ligning ved at sige:
𝑦 = 𝑦ℎ𝑜𝑚𝑜 + 𝑦𝑝
Uge 8 - Differentialregning med Flere Variabler
Partielle Afledede
•
Partielle afledede angiver ændringsraten af 𝑓 med hensyn til én variabel, mens de andre
holdes konstante:
Notation:
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) =
•
•
𝜕𝑓
,
𝜕𝑥
𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
Det, som er for foden af 𝑓 angiver, hvilken variabel man skal differentiere for
Det betyder, hvis man differentierer for x, skal man betragte y som en konstant og omvendt
2. ordens partielle afledede
Notation:
𝑓𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) =
•
𝜕2𝑓
,
𝜕𝑥 2
𝑓𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) =
𝜕2𝑓
,
𝜕𝑦 2
𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) =
𝜕2𝑓
,
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
Det, som er for foden af 𝑓 angiver, hvilken variabel man skal differentiere for
Huskeregel:
𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦)
35
Formelsamling
Calculus Tau
Højere ordens afledede
•
Højere ordens partielle afledede fortsætter med at tage afledede flere gange, og det kan gøres
på forskellige måder afhængigt af rækkefølgen af variablerne.
𝑓𝑥𝑥𝑦 =
𝜕3𝑓
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦
Generel notation for højere ordens partielle afledede:
𝜕𝑛 𝑓
,
𝜕𝑥 𝑎 𝜕𝑦 𝑏 𝜕𝑧 𝑐 …
𝐻𝑣𝑜𝑟 𝑛 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + ⋯
Maksimum og Minimum
Strategi for lokalt maksimum og minimum
•
•
For at finde lokalt maksimum og minimum for en funktion, starter man med at finde de kritiske
punkter, så man finder et koordinatsæt (a, b)
Derefter kan man ”klassificere” de kritiske punkter ved brug af 2. ordens testen:
2
𝐷 = 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) · 𝑓𝑦𝑦 (𝑎, 𝑏) − (𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏))
Uge 9 - Planintegraler (Dobbelt Integraler)
Hvad er et planintegral
•
For en funktion 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) kan volumen under fladen over et område 𝑅 beregnes som:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
•
Hvor 𝑅 står for de 2 sæt grænser, der er for hvert integral
Beregning af planintegral (itereret integral)
•
Man deler planintegralet op i et indre og et ydre integral, hvor man henholdsvis integrere for x
eller y
36
Formelsamling
Calculus Tau
𝑑
𝑏
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ) 𝑑𝑦
𝑐
𝑅
𝑎
Strategi for at regne et planintegral:
1. Integrer det indre integral, som giver et udtryk
2. Sæt udtrykket fra det indre integral ind i det ydre integral
Fubini’s Sætning
•
Rækkefølgen af integration kan ombyttes uden at ændre resultatet:
𝑑
𝑏
𝑏
𝑑
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
𝑎
𝑐
Integration over rektangler
•
For et område 𝑅 defineret som 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 og 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, er planintegralet givet ved:
𝑑
𝑏
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑐
𝑅
𝑎
Integration over generelle områder
•
•
Når det er integration over områder, der ikke er rektangler, betyder det der nu kommer grænser,
der skrives som funktioner
Der er 2 typer af områder:
Type 1 område:
•
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 og 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ ℎ(𝑥)
𝑑
ℎ(𝑥)
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑐
𝑔(𝑥)
𝑑
ℎ(𝑦)
Type 2 område:
•
𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏 og 𝑔(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ(𝑦)
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫
𝑅
𝑐
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑔(𝑦)
37
Formelsamling
Calculus Tau
Uge 11 - Sandsynlighed Del 1
Stokastiske Variable
•
•
Notationen for en stokastisk variabel angives som store bogstaver, F.eks. 𝑋, 𝑌 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑍
En stokastisk variabel beskriver, hvilke udfald, der kan ske. Eks. ved en terning kan 𝑋 være lig
med 1, 2, 3, 4, 5 eller 6, da dette er de mulige udfald
Diskrete Stokastiske Variable
•
•
Diskrete stokastiske variable:
o
Kan kun antage specifikke, tællelige værdier (som hele tal).
o
Eksempel: Antal gange, du slår en 6’er med en terning.
Kontinuerte stokastiske variable:
o
Kan antage alle værdier i et interval, som decimaltal.
o
Eksempel: Temperaturen udenfor, som kan være 22.3°C, 22.31°C osv.
Sandsynlighedsfunktionen (PMF = Probability Mass Function)
•
En sandsynlighedsfunktion beskriver sandsynligheden for hvert muligt udfald af en diskret
stokastisk variabel.
o Dette er notation for udfaldet af en bestemt stokastisk værdi:
𝑃(𝑋 = 𝑥)
o
Eksempel: Terningekast, hvor 𝑋 er antal øjne
1
𝑃(𝑋 = 𝑥) = ,
6
o
𝑥 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
1
1
Her betyder 𝑃(𝑋 = 4) = 6, at sandsynligheden for at slå 4 er 6
Middelværdien
•
•
Middelværdien, også kaldet forventningen, er gennemsnitsværdien, man ville få, hvis man
gentog eksperimentet mange gange.
Formel:
𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥 · 𝑃(𝑋 = 𝑥)
𝑥
•
Eksempel med terningekast: Middelværdien af et terningekast er:
1
1
1
1
1
1
𝐸[𝑋] = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3,5
6
6
6
6
6
6
•
Så kaster man en terning mange gange og tager gennemsnittet, vil det være 3,5
38
Formelsamling
Calculus Tau
Middelværdi af en funktion på en stokastisk variabel
•
Notation for middelværdi af en funktion på en stokastisk variabel angives som:
𝐸[𝑔(𝑥)]
•
Findes på følgende måde:
∞
𝐸[𝑔(𝑥)] = ∑ 𝑔(𝑥𝑛 ) · 𝑃(𝑋 = 𝑥)
𝑛=1
Vigtigt at huske! 𝐸[𝑔(𝑋)] ≠ 𝑔(𝐸[𝑋])
•
Middelværdien af en funktion af en stokastisk variabel (𝐸[𝑔(𝑥)]) er ikke nødvendigvis det
samme som at anvende funktionen direkte på forventningsværdien (middelværdien)
(𝑔(𝐸 [𝑋]))
Varians
•
Upraktisk formel for varians:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ]
•
Praktisk formel for varians:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋 2 ] − (𝐸[𝑋])2
•
Eksempel med terningekast. Variansen er:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
12 22 32 42 52 62
+ + + + + − (3,5)2 = 2,91
6
6
6
6
6
6
Standart afvigelse
•
Standardafvigelsen af en stokastisk variabel 𝑋 beregnes som:
𝑆𝐷(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋)
•
Hvor 𝑉𝑎𝑟(𝑋) er variansen af 𝑋
Bernoulli fordeling
•
•
Bernoullifordelingen: Beskriver udfaldet af et eksperiment med kun to mulige udfald: succes
(1) eller fiasko (0).
Definition: Lad 𝑋 være en stokastisk variabel, der kan antage værdierne 0 og 1. 𝑋 er
Bernoullifordelt med parameter 𝑝, hvor 𝑝 er sandsynligheden for succes (𝑋 = 1):
𝑝,
𝑃(𝑋 = 𝑥) = {
1 − 𝑝,
•
𝐻𝑣𝑖𝑠 𝑥 = 1
𝐻𝑣𝑖𝑠 𝑥 = 0
Egenskaber:
o Middelværdi: 𝐸[𝑋] = 𝑝
o Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑝 · (1 − 𝑝)
39
Formelsamling
•
Calculus Tau
Eksempel:
o Hvis du kaster en mønt, og 𝑋 repræsenterer, om udfaldet er plat (𝑋 = 1), så er 𝑝 = 0,5,
og sandsynlighederne er:
𝑃(𝑋 = 1) = 0,5,
𝑃(𝑋 = 0) = 0,5
Binomialfordeling
•
•
•
Er en slags forlængelse af Bernoullifordelingen
Binomialfordelingen: Beskriver antallet af succeser i et fast antal gentagelser af et
Bernoullieksperiment, hvor sandsynligheden for succes i hvert forsøg er konstant.
Definition: Lad 𝑋 være antallet af succeser i 𝑛 uafhængige forsøg, hvor sandsynligheden for
succes i hvert forsøg er 𝑝. 𝑋 er binomialfordelt med parametrene 𝑛 og 𝑝:
𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑘) = ( ) · 𝑝𝑘 · (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 ,
𝑘
o
𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛,
Hvor (𝑛𝑘) er binomialkoefficienten, og findes ved at sige:
𝑛
𝑛!
( )=
𝑘
𝑘! · (𝑛 − 𝑘)!
•
•
Egenskaber:
o Middelværdi: 𝐸[𝑋] = 𝑛 · 𝑝
o Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛 · 𝑝 · (1 − 𝑝)
Eksempel
o Du kaster en mønt 10 gange, og 𝑋 er antallet af gange, du får plat. Hvis 𝑝 = 0,5, er
sandsynligheden for præcis 3 plat:
𝑃(𝑋 = 3) =
10!
· (0,5)3 · (1 − 0,5)10−3 = 0,117
3! · (10 − 3)!
Poissonfordeling
•
•
Poissonfordelingen: Bruges til at modellere antallet af hændelser, der sker i et givet
tidsinterval eller område, hvor hændelserne sker uafhængigt af hinanden og med en konstant
gennemsnitlig rate.
Definition: Lad 𝑋 være antallet af hændelser i et tidsinterval, og lad 𝜆 > 0 være det
gennemsnitlige antal hændelser i dette interval. 𝑋 er Poissonfordelt med parameter 𝜆:
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
•
•
𝜆𝑘 · 𝑒 −𝜆
,
𝑘!
𝑘 = 0, 1, 2, …
Egenskaber:
o Middelværdi: 𝐸[𝑋] = 𝜆
o Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆
Eksempel:
o Hvis antallet af kunder, der besøger en butik på en time, i gennemsnit er 5 (𝜆 = 5), så
er sandsynligheden for præcis 3 kunder:
𝑃(𝑋 = 3) =
53 · 𝑒 −5
≈ 0,14
3!
40
Formelsamling
Calculus Tau
Uge 12 - Sandsynlighed Del 2
Geometriske fordeling
•
•
Beskrivelse: Den geometriske fordeling beskriver antallet af forsøg, der skal til, før den første
succes opstår.
Notation:
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (1 − 𝑝)𝑘−1 · 𝑝
•
•
o Hvor 𝑘 er antal forsøg indtil første succes
Egenskaber:
1
o
Middelværdi: 𝐸[𝑋] = 𝑝
o
Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑝2
1−𝑝
Eksempel:
o Du kaster en mønt, hvor sandsynligheden for at få "krone" (succes) i et enkelt kast
er𝑝 = 0,5. Du vil gerne vide, hvor mange kast det tager, før du får den første "krone".
Hvad er chancen for at få den første ”krone” i første kast?
𝑃(𝑋 = 1) = (1 − 0,5)1−1 · 0,5 = 1 · 0,5 = 0,5 = 50%
Hvad er chancen for at få den første ”krone” i tredje kast?
𝑃(𝑋 = 3) = (1 − 0,5)3−1 · 0,5 = 0,25 · 0,5 = 0,125 = 12,5%
Negativ Binomialfordeling
•
•
•
Beskrivelse: En negativ binomial fordeling er en sandsynlighedsfordeling, der beskriver
antallet af forsøg, der skal til, for at opnå et bestemt antal succeser i en række uafhængige
forsøg, hvor hvert forsøg har to mulige udfald (f.eks. succes eller fiasko).
Definition: Den negative binomialfordeling beskriver antallet af forsøg, der kræves for at opnå
k succeser, når sandsynligheden for succes i hvert forsøg er 𝑝, og forsøgene er uafhængige.
Forskel mellem normal og negativ binomialfordeling:
Binomialfordeling
I en binomialfordeling beregner vi
sandsynligheden for at få præcis 𝑘 succeser i 𝑛
forsøg.
•
Negativ binomialfordeling
I en negativ binomialfordeling beregner vi
sandsynligheden for at få præcis 𝑘 succeser i 𝑛
forsøg (hvor den sidste prøve nødvendigvis er en
succes).
Notation:
𝑃(𝑋 = 𝑛) = (
(
𝑛−1
) · 𝑝𝑘 · (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
𝑘−1
(𝑛 − 1)!
𝑛−1
)=
(𝑘 − 1)! · (𝑛 − 𝑘)!
𝑘−1
41
Formelsamling
•
•
Calculus Tau
Egenskaber:
𝑘
o
Middelværdi: 𝐸[𝑋] = 𝑝
o
Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
o
Standartafvigelsen: 𝑆𝐷(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √
𝑘·(1−𝑝)
𝑝2
𝑘·(1−𝑝)
𝑝2
Eksempel:
o Man kaster en mønt og ønsker at få 3 succeser (dvs. 3 "krone") i en række kast, og
sandsynligheden for at få "krone" i et enkelt kast er 𝑝 = 0,5.
o Hvad er sandsynligheden for at få 3 succeser (krone) i 5 kast?
o Så, 𝑘 = 3, 𝑝 = 0,5, 𝑛 = 5
𝑃(𝑋 = 5) = (
(
5−1
) · (0,5)3 · (1 − 0,5)5−3 ≈ 0,188
3−1
(5 − 1)!
5−1
4!
24
)=
=
=
=6
(3 − 1)! · (5 − 3)! 2! · 2! 2 · 2
3−1
Middelværdi for summer af stokastiske variable
•
•
Når man skal finde summen af stokastiske variable, er det vigtigt at vide, hvilken fordeling de
stammer fra, så man kan regne den rigtige middelværdi
Formel notation for 𝑛 stokastiske variable 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 :
𝑛
𝑛
𝐸 [∑ 𝑋𝑖 ] = ∑ 𝐸[𝑋𝑖 ]
𝑖=1
•
Eksempel: Udregn 𝐸[6𝑋 + 4𝑌 + 7𝑍 + 2]
o
•
𝑖=1
1
1
5
𝑋 er binomialfordelt (5, 3) → 𝐸[𝑋] = 𝑛 · 𝑝 = 5 · 3 = 3
o
𝑌 er Poissonfordelt (7)
→ 𝐸[𝑋] = 𝜆 = 7
o
1
𝑍 er geometriskfordelt ( )
5
→ 𝐸[𝑋] =
1
1
= 1 =5
𝑝
5
Summen af middelværdien kan omskrives til følgende:
𝐸[6𝑋 + 4𝑌 + 7𝑍 + 2] = 𝐸[6𝑋] + 𝐸[4𝑌] + 𝐸[7𝑍] + 𝐸[2]
•
Nu kan følgende regel bruges: 𝐸[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎𝐸[𝑋] + 𝑏
𝐸[6𝑋 + 4𝑌 + 7𝑍 + 2] = 6𝐸[𝑋] + 4𝐸[𝑌] + 7𝐸[𝑍] + 2
•
Nu indsættes middelværdierne:
6·
5
+ 4 · 7 + 7 · 5 + 2 = 75
3
42
Formelsamling
Calculus Tau
Fordelingsfunktion
Definition: Fordelingsfunktionen 𝐹(𝑥) for en stokastisk variabel 𝑋 er:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
o
Den angiver, hvor stor sandsynligheden er for, at 𝑋 er mindre end eller lig med en
bestemt værdi 𝑥.
Symbolforklaringer:
o
o
𝑭(𝒙): Sandsynligheden for, at 𝑋 er mindre end eller lig med 𝑥.
𝑷(𝑿 ≤ 𝒙): Kumulativ sandsynlighed. Sandsynligheden for, at en stokastisk variabel
tager en værdi, der er mindre end eller lig med en given værdi
Egenskaber:
o
Sandsynligheden for et interval: En vigtig egenskab ved fordelingsfunktionen er, at
den kan bruges til at beregne sandsynligheden for, at den stokastiske variabel 𝑋 ligger i
et givent interval (𝑎, 𝑏]
𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
o
Sandsynligheden for at 𝑿 er præcist 𝒙: For en kontinuert stokastisk variabel, er
sandsynligheden for, at 𝑋 er præcist lig med 𝑥 lig med 0:
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0
•
Eksempel:
o Diskret Stokastisk Variabel:
o Antag, at 𝑋 er en diskret stokastisk variabel, der kan tage værdierne 1, 2, 3 med
følgende sandsynligheder:
▪ 𝑃(𝑋 = 1) = 0,2
▪ 𝑃(𝑋 = 2) = 0,5
▪ 𝑃(𝑋 = 3) = 0,3
o Så, fordelingsfunktionen 𝐹(𝑥) for 𝑋 vil være:
▪ 𝐹(1) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 0,2
▪ 𝐹(2) = 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 0,2 + 0,5 = 0,7
▪ 𝐹(3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1
o
Hvis man vil finde sandsynligheden for, at 𝑋 ligger mellem 1 og 2, så bruger man
formelen:
𝑃(1 < 𝑋 ≤ 2) = 𝐹(2) − 𝐹(1) = 0,7 − 0,5 = 0,5
o
Så sandsynligheden for, at 𝑋 ligger i intervallet (1,2], er 0,5
43
Formelsamling
Calculus Tau
Kontinuerte stokastiske variable
Definition: En stokastisk variabel 𝑋 er kontinuert, hvis der findes en tæthedsfunktion 𝑓(𝑥), så
sandsynligheden for 𝑋 i et interval A er:
o
Sammenhængen gælder her, hvis området 𝐴 er specifikt givet ved et enkelt interval
[𝑎, 𝑏]
𝑏
𝑃(𝑋 𝜖 𝐴) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝐴
o
𝑎
Er 𝐴 en mere kompleks mængde med flere intervaller (𝐴 = [𝑎, 𝑏] ∪ [𝑐, 𝑑]), hedder
sammenhængen i stedet:
𝑏
𝑑
𝑃(𝑋 𝜖 𝐴) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝐴
𝑎
𝑐
Symbolforklaringer:
o
o
𝑃(𝑋 𝜖 𝐴): Sandsynligheden for, at 𝑋 ligger i intervallet 𝐴
𝑓(𝑥): Tæthedsfunktionen for 𝑋
o
∫𝐴 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥: Integral af tæthedsfunktionen over intervallet 𝐴
Egenskaber:
o
∞
∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1: Tæthedsfunktionen summerer til 1 over hele området.
Eksempel: Beregning af sandsynligheden for et interval
o
Lad 𝑋 være en kontinuert stokastisk variabel med følgende tæthedsfunktion:
2𝑥,
𝑓(𝑥) = {
0,
0≤𝑥≤1
𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟𝑠
Man ønsker at finde sandsynligheden for, at 𝑋 ligger i intervallet [0,2; 0,5], altså
𝑃(0,2 ≤ 𝑋 ≤ 0,5)
Først ser man om tæthedsfunktionen er korrekt normaliseret. Det gøres ved at beregne
integralet af 𝑓(𝑥) over intervallet [0,1]:
o
•
1
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = [𝑥 2 ]10 = 12 − 02 = 1
0
•
Efter at have vist tæthedsfunktionen er korrekt normaliseret, erstattes intervallet med det
specifikke interval, som her er [0,2; 0,5].
0,5
2
2
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = [𝑥 2 ]0,5
0,2 = 0,5 − 0,2 = 0,25 − 0,04 = 0,21
0,2
•
Så sandsynligheden for at 𝑋 ligger indenfor intervallet er 0,21: 𝑃(0,2 < 𝑋 ≤ 0,5) = 0,21
44
Formelsamling
Calculus Tau
Punktsandsynlighed
•
Punktsandsynlighed for diskret stokastisk variabel
o Her kan man tale om punktsandsynlighed. Hvis 𝑋 er diskret, kan sandsynligheden for
𝑋 = 𝑥 være en ikke-nul værdi. For eksempel, i en terningkast, hvor 𝑋 kan være
1
•
1, 2, 3, 4, 5 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 6 vil sandsynligheden for 𝑋 = 4 være 𝑃(𝑋 = 4) = 6
Punktsandsynlighed for kontinueret stokastisk variabel
o For kontinuerte variabler er punktsandsynligheden altid 0. Det skyldes, at der er
uendeligt mange mulige værdier, og sandsynligheden for én bestemt værdi (f.eks.
𝑋 = 5) bliver uendeligt lille.
o Sandsynligheden for, at 𝑋 ligger i et interval, er derimod en ikke-nul værdi.
Middelværdi og Varians for kontinuerte stokastiske variable
•
Middelværdi:
∞
𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥 · 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
−∞
•
o 𝑥 · 𝑓(𝑥): Produktet af 𝑥 og tæthedsfunktionen.
Varians:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋 2 ] − (𝐸[𝑋])2
∞
𝐸[𝑋 2 ] = ∫ 𝑥 2 · 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
−∞
•
Eksempel:
o Der er opgivet tæthedsfunktionen:
𝑓(𝑥) = 2𝑥
o
𝑓𝑜𝑟
0<𝑥<1
Find middelværdi:
1 3 1
1
1
2
𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥 · 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2 · [ 𝑥 ] = 2 · · 13 − 2 · · 03 =
3
3
3
3
0
0
0
1
1
2
o
Find variansen:
1
1
1
1
1
1
2 1
𝐸[𝑋 2 ] = ∫ 𝑥 2 · 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 2 · [ 𝑥 4 ] = 2 · · 14 − 2 · · 04 = =
4
4
4
4 2
0
0
0
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
2 2 1 4
9
8
1
−( ) = − =
−
=
2
3
2 9 18 18 18
45
Formelsamling
Calculus Tau
Uge 13 - Sandsynlighed Del 3
Den Uniforme Fordeling
•
•
En stokastisk variabel 𝑋 er uniformfordelt på intervallet (𝛼, 𝛽), hvis dens tæthedsfunktion er
konstant på dette interval.
Med andre ord: Når 𝑋 er uniformfordelt er sandsynligheden for at få hver værdi i intervallet den
samme
1
,
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = {𝛽 − 𝛼
0,
o
𝑓𝑜𝑟 𝛼 < 𝑥 < 𝛽,
𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟𝑠.
Betyder at funktionen 𝑓(𝑥) har værdien 0 uden for intervallet (𝛼, 𝛽). Med andre ord er
sandsynligheden for, at den stokastiske variabel 𝑋 falder uden for dette interval, nul.
Symbolforklaring:
•
•
𝛼 𝑜𝑔 𝛽: Intervallets øvre og nedre grænse
𝑓(𝑥): Tæthedsfunktionen, der beskriver sandsynligheden pr. enhed.
o
1
Pr. enhed betyder f.eks.: Hvis 𝑋 er unifordelt på (0,10), så er 𝑓(𝑥) = 10
Fordelingsfunktion for den uniforme fordeling:
•
Den angiver, hvor stor sandsynligheden er for, at 𝑋 er mindre end eller lig med en bestemt
værdi 𝑥.
𝐹(𝑥) =
𝑥−𝛼
,
𝛽−𝛼
𝛼≤𝑥≤𝛽
Egenskaber:
𝛼+𝛽
2
(𝛼+𝛽)2
o
Middelværdi: 𝐸[𝑋] =
o
Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
12
Normalfordelingen
•
Normalfordelingen beskrives ved middelværdi (𝜇) og standartafvigelse (𝜎)
Tæthedsfunktion:
𝑓(𝑥) =
1
√2 · 𝜋 · 𝜎
·𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2·𝜎2
Symbolforklaring:
•
•
•
•
𝜇: Middelværdi, centeret for fordelingen.
𝜎: Standardafvigelse, en målestok for spredning.
𝑒: Eulers tal (≈2.718)
𝜋: 3.1416
46
Formelsamling
Calculus Tau
Fordelingsfunktion: Φ(𝑥)
𝑥
Φ(𝑥) = ∫
1
−∞ √2𝜋
𝑡2
· 𝑒 − 2 𝑑𝑡
Symbolforklaring:
o
Φ(𝑥): Sandsynligheden for, at en standard normalfordelt variabel 𝑍 er mindre end 𝑥
Egenskaber:
•
o
o
Middelværdi: 𝐸[𝑋] = 𝜇
Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎 2
o
𝐹(𝑥) = Φ ( 𝜎 )
𝑥−𝜇
Symmetri omkring 0:
o Φ(−𝑥) = 1 − Φ(𝑥)
Areal under graf for fordelingsfunktion: Φ(𝑥)
47
Formelsamling
Calculus Tau
Den Centrale Grænseværdi Sætningen?
Eksponentialfordelingen
Beskrivelse: Eksponentialfordelingen angiver ventetiden på at en hændelse sker. F.eks. tiden til et
jordskælv indtræffer eller en ny krig bryder ud.
Definition: En stokastisk variabel 𝑋 siges at være eksponentialfordelt med parameter 𝜆 hvis 𝑋 har
tæthedsfunktion 𝑓 givet ved
𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 ,
𝑥>0
Symbolforklaring:
•
•
𝜆: Rateparameter, der beskriver hastigheden af hændelser.
𝑥: Den stokastiske variabel (ventetid).
Fordelingsfunktion:
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 ,
𝑥>0
Egenskaber:
1
•
Middelværdi: 𝐸[𝑋] = 𝜆
•
Varians: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
𝜆2
Gamma Fordelingen
Beskrivelse: Gammafordelingen, er en generalisering af eksponentialfordelingen, der beskriver
ventetiden, indtil et bestemt antal hændelser (kaldet 𝑘)
Tæthedsfunktion:
𝑓(𝑥) =
𝜆𝑘 · 𝑥 𝑘−1 · 𝑒 −𝜆𝑥
,
Γ(𝑘)
𝑥>0
Symbolforklaring:
•
•
•
•
𝑥: Angiver den stokastiske variabel, som repræsenterer ventetiden indtil præcis 𝑘 hændelser.
𝑘: Antallet af hændelser, der skal ske.
Γ(𝑘): Gammafunktionen, der generaliserer fakultet.
o Når 𝑘 = ℎ𝑒𝑙𝑡𝑎𝑙, gælder Γ(𝑘) = (𝑘 − 1)!
▪ Γ(1) = 0! = 1
▪ Γ(2) = 1! = 1
▪ Γ(3) = 2! = 2
o Når 𝑘 ≠ ℎ𝑒𝑙𝑡𝑎𝑙, beregnes Γ(𝑘) numerisk eller ved hjælp af specielle værdier
1
▪
Γ (2) = √𝜋
▪
Γ ( ) = √𝜋
2
2
▪
Γ (2) = 4 √𝜋
3
1
5
3
𝜆: Hændelsesraten eller intensiteten for, hvor ofte hændelser sker pr. tidsenhed.
48
Formelsamling
Calculus Tau
Fordelingen af en funktion taget på stokastiske variable g(X)
Problemstilling:
•
•
•
En stokastisk variabel 𝑋 med tæthedsfunktion 𝑓𝑋 (𝑥)
En funktion 𝑔(𝑥), der omdanner 𝑋 til en ny stokastisk variabel 𝑌 = 𝑔(𝑋)
Målet: Bestem tæthedsfunktionen 𝑓𝑌 (𝑦) for den transformerede variabel 𝑌
Teoretisk tilgang: Theorem 7.1
•
Den nye tæthedsfunktion 𝑓𝑌 (𝑦) har kun en værdi, hvis 𝑦 er inden for intervallet for den
stokastiske variabel 𝑋. Eksmepelvis for en terning er det mellem 1 og 6. hvis det er ud over det
er sandsynligheden for at 𝑌 tager en værdi uden for det mulige interval lig med 0
•
Hvis 𝑔 er en kontinuert, strengt voksende (eller aftagende) og differentiabel funktion, kan vi
finde tæthedsfunktionen 𝑓𝑌 (𝑦) som:
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑔−1 (𝑦)) · |
𝑑 −1
𝑔 (𝑦)|
𝑑𝑦
Symbolforklaring:
•
𝑔−1 (𝑦): Den inverse funktion af 𝑔(𝑥)
•
𝑑 −1
𝑔 (𝑦): Den afledte af den inverse funktion 𝑔−1 (𝑦)
𝑑𝑦
•
𝑓𝑋 (𝑥): Tæthedsfunktionen for den oprindelige variabel 𝑋
Fremgangsmåde for Theorem 𝟕. 𝟏:
1. Bestem funktionen 𝑔(𝑥): Identificer, hvordan 𝑌 = 𝑔(𝑋) transformere den stokastiske variabel
𝑋
2. Find den inverse funktion 𝑔−1 (𝑦): Løs ligningen 𝑦 = 𝑔(𝑥) for 𝑥, så man får 𝑥 = 𝑔−1 (𝑦)
𝑑
3. Beregn den afledte af den inverse funktion: Bestem 𝑑𝑦 𝑔−1 (𝑦)
4. Find tæthedsfunktionen 𝑓𝑋 (𝑥): Brug den givne tæthedsfunktion for 𝑋
5. Indsæt i transformationsformlen ved at kombinere resultaterne for at finde 𝑓𝑌 (𝑦)
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑔−1 (𝑦)) · |
𝑑 −1
𝑔 (𝑦)|
𝑑𝑦
49
Formelsamling
Calculus Tau
Eksempler:
Eksempel 1:
Transformation af uniform fordeling
Eksempel 2:
Transformation af uniform fordeling
Info:
𝑌 = 𝑋 2 , Hvor 𝑋 er uniformt fordelt på (−1,1)
Info:
𝑌 = 3𝑋 − 4, Hvor 𝑋 er uniformt fordelt på (2,5)
0,5,
Tæthedsfunktion: 𝑓𝑋 (𝑥) = {
0,
Følger formlen for ret linje 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, hvor 𝑎 =
3 og 𝑏 = −4
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟𝑠
Step 1. Bestem 𝑔(𝑥)
𝑌 = 𝑔(𝑋) = 𝑋 2 , så derfor 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
Step 2. Find invers funktion 𝑔−1 (𝑦)
𝑔−1 (𝑦) = ±√𝑦 (Fordi det er andengrads funk.)
Husk: Det betyder 𝑥 = ±√𝑦 = 0,5 fordi det er
uniformt fordelt
𝑑
Step 3. Bestem den afledte funktion 𝑑𝑦 𝑔−1 (𝑦)
𝑑 −1
1
𝑔 (𝑦) =
𝑑𝑦
2 · √𝑦
Step 4. Find tæthedsfunktionen 𝑓𝑋 (𝑥):
𝑓𝑋(𝑥) = 0,5
Step 5. Indsæt i transformationsformlen
𝑑
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑔−1 (𝑦)) · | 𝑔−1 (𝑦)|
𝑑𝑦
1
1
1
𝑓𝑌 (𝑦) = 0,5 · |
| + 0,5 · |
|=
2 · √𝑦
2 · √𝑦
2 · √𝑦
Hvis y er uden for intervallet [0,1], er 𝑓𝑌 (𝑦) = 0
1
1
Tæthedsfunktion: 𝑓𝑋 (𝑥) =
=
5−2
3
𝑓𝑋 (𝑥) er sandsynligheden for hver værdi i
intervallet
Step 1. Bestem 𝑔(𝑥)
𝑌 = 𝑔(𝑋) = 3𝑋 − 4
Intervallet for 𝑌 findes:
3·2−4 = 2
3 · 5 − 4 = 11
Så intervallet for 𝑋 bliver også transformeret, så
intervallet for 𝑌 bliver (2,11)
Step 2. Find invers funktion 𝑔−1 (𝑦)
• Her isoleres 𝑋
𝑌+4
𝑔−1 (𝑦) = 𝑋 =
3
𝑑
Step 3. Bestem den afledte funktion 𝑑𝑦 𝑔−1 (𝑦)
1
𝑑
1
Sætter konstanten udenfor: 3 · 𝑑𝑦 𝑦 + 4 = 3 · 1
𝑑 −1
1
𝑔 (𝑦) =
𝑑𝑦
3
Step 4. Find tæthedsfunktionen 𝑓𝑋 (𝑥):
1
𝑓𝑋(𝑥) =
3
Step 5. Indsæt i transformationsformlen
𝑑
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑔−1 (𝑦)) · | 𝑔−1 (𝑦)|
𝑑𝑦
1 1
1
𝑓𝑌 (𝑦) = · | | =
𝑓𝑜𝑟 2 ≤ 𝑦 ≤ 11
3 3
9
50
Formelsamling
Calculus Tau
Lognormal Fordelingen: 𝑌 = 𝑔(𝑋) = 𝑒 𝑥
•
Specialtilfælde, hvor 𝑌 = 𝑔(𝑋) = 𝑒 𝑥 , som bare bliver kaldt lognormal fordeling
Transformation af lognormal fordeling:
Ved brug af Theorem 7.1
Info:
𝑌 = 𝑒𝑋
Hvor 𝑋 er standart normalfordelt på (0,1)
2
Tæthedsfunktion: 𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑥
1
· 𝑒− 2
√2𝜋
Step 1. Bestem 𝑔(𝑥)
𝑌 = 𝑔(𝑋) = 𝑒 𝑋 , så derfor 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑋
Step 2. Find invers funktion 𝑔−1 (𝑦)
𝑔−1 (𝑦) = ln (𝑦)
𝑑
Step 3. Bestem den afledte funktion 𝑔−1 (𝑦)
𝑑𝑦
𝑑 −1
1
𝑔 (𝑦) =
𝑑𝑦
𝑦
Step 4. Find tæthedsfunktionen 𝑓𝑋 (𝑥):
(ln(𝑦))2
𝑥2
1
1
𝑓𝑋(𝑥) =
· 𝑒− 2 →
· 𝑒− 2
√2𝜋
√2𝜋
Step 5. Indsæt i transformationsformlen
𝑑
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑔−1 (𝑦)) · | 𝑔−1 (𝑦)|
𝑑𝑦
(ln(𝑦))2
1
1
𝑓𝑌 (𝑦) =
· 𝑒− 2 · | |
𝑦
√2𝜋
Fordelingsfunktion vs. Tæthedsfunktion
Definitioner:
•
Tæthedsfunktion (PDF):
o Beskriver, hvordan sandsynligheden er fordelt over forskellige værdier af en kontinuerlig
variabel. Den fortæller os, hvor sandsynligt det er, at den tilfældige variabel ligger i et
bestemt interval.
o
•
1
Eksempel: For en fair terning er sandsynligheden for at få en 3, 𝑓𝑋 (3) = 6
Fordelingsfunktion (CDF):
o Giver den kumulative sandsynlighed for, at den tilfældige variabel er mindre end eller lig
med en bestemt værdi.
o
4
6
Eksempel: For en fair terning er fordelingen for at få 4 eller lavere lig 𝐹𝑋 (4) = =
2
3
51
Formelsamling
Calculus Tau
Forbindelse mellem hinanden:
•
Fordelingsfunktionen er den integrerede version af tæthedsfunktionen:
𝑥
𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑡) 𝑑𝑡
−∞
•
Omvendt, hvis man har fordelingsfunktionen 𝐹𝑋 (𝑥), kan du få tæthedsfunktionen ved at
differentiere den:
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑑
𝐹 (𝑥)
𝑑𝑥 𝑋
52