*고전 역학*
운동량과 충돌량
∙탄성 충돌이든 비탄성 충돌이든 충돌 전후 운동량이 보존된다는 것을 가지고 풀면 된다.
∙반발 계수 : 수직 성분에 대해 충돌 전후의 속도비
v 2cosθ 2
v 1 cosθ 1
e=
∙두 물체의 질량이 같을 때 한물체가 v 0 의 속도로 충돌했다고 하자.
( 1-2e )v → 부딧힌 물체의 속도는 더 느려짐
1+ e
v =(
v
2 ) → 정지해 있던 물체의 속도가 더 빨라짐
v1=
0
2
0
비탄성 부분 : 두 물체의 평균 속도만큼 나눠가짐
탄성 부분 : 차이가 ev 0 가 되도록 나눠가짐
위성의 운동과 케플러의 법칙
∙고도 h인 위성에서
∙중력 가속도
만유인력의 법칙으로부터
g'=
GM
( R + h) 2
g=
(
GM
R
이므로 g' = g R + h
R2
)
2
행성 외부에서의 중력 가속도는 지구 중심으로부터의 거리 제곱에 반비례
∙등속 원운동 하기 위한 속력
G
Mm
mv 2
=
이므로
(R + h ) 2 R +h
v2=
GM
gR 2
=
R + h R +h
v= R
g
R +h
원운동하기 위한 속력은 지구 중심으로부터 거리에 반비례
→ 제 1 우주속도 : 지표 근처에서 등속 원운동 하기 위한 속도 v = gR =
GM
R
∙주기
T=
2π( R + h ) 2π( R + h)
=
v
g
R
R +h
T 2∝( R + h) 3 → 케플러의 제 3 법칙(조화의 법칙)
케플러의 제 2 법칙 : 각 운동량 보존의 법칙
케플러의 제 1 법칙 : 타원 궤도 → 중력이 거리 제곱에 반비례 한다
∴케플러의 제 3 법칙은 제 1 법칙의 결과이다.
∙위치에너지(중력에 의한 포텐셜 에너지)
r
GMm
GMm
U =- ⌠
⌡∞- r 2 dr =- r
→ 제 2 우주속도 : 지구 중력장을 탈출하기 위한 최소 속력 v = 2gR =
2GM
R
*회전 운동*
회전 운동과 병진 운동과의 관계
병진운동
회전운동
위치
x
각
dx
dt
각속도
dv d 2 x
= 2
dt
dt
각가속도
힘
F
회전력
τ= r× F
선운동량( 입자)
p = mv
각운동량 (입자)
l = Iw
선운동량(계)
p = Mv CM
각운동량 (계)
l = I CM w+ mr×v CM
운동방정식
F = ma
운동방정식
τ= I α
병진 에너지
1
2
W =- ⌠
⌡ F⋅ dr = 2 mv
회전 에너지
1
2
W =- ⌠
⌡ τ⋅ dθ= 2 Iw
속도
v=
a=
가속도
E=
전체 운동 에너지
등 각가속도 운동
a =일정
α=일정
v = v 0 + at
w= w 0 +αt
x = x 0 + v 0t +
1 2
1
at θ =θ 0 + w0t + αt 2
2
2
v 2 = v 20 +2a (x - x 0 ) w2 = w20 +2α(θ-θ 0 )
x-x0 =
1
1
( v + v 0 )t θ-θ 0 = ( w + w 0 )t
2
2
1
1
mv 2 + Iw2
2
2
θ
w = r× v =
α= r× a =
dθ
dt
d ω d 2θ
= 2
dt
dt
관성 모멘트
∙관성모멘트 계산
①불연속매질 : I = ∑m i r 2i
i
⌠ 2
⌠ 2
⌠ 2
②연속매질 : I = ⌡ r dm = ⌡ r ρ dV → 균일한 연속매질 : I = ρ ⌡ r dV
∙여러 가지 물체의 관성 모멘트
∙무게 중심이 아닌 축에서의 관성 모멘트
I = I CM +
1
M⋅r 2CM
2
*주기 운동*
용수철의 주기 운동
∙힘이 거리에 비례한 운동은 삼각함수 곡선을 그리며 무한히 반복된다.
F = - kx
x'' =-
k
x
m
두 번 미분한 결과 k 배 되는 함수는 삼각함수 밖에 없다.
∴x = A sin wt
w=
k
2π
ω= 2πf =
m
T
∙물체가 가진 에너지는 일정하다.
E=
1
1
1
kA 2 = mv 2 + kx 2
2
2
2
∙수직한 용수철의 경우 중력 가속도가 몇이든 상관없이 그만큼 내려와서 주기운동을 한다. → 용수철
진자를 이용해서 중력 가속도를 구할 수 없다!!
단진자
∙중력장에서 무게가 없고 늘어나지 않는 길이 L인 줄에 달린 점 질량 m으로 구성된 이상적인 모형
∙복원력은 F =- mg sin θ = - mg θ → 각이 아니라 x 가 주기적
ω=
g
L
물리진자
∙모든 질량이 한 점에 모여있는 단진자의 이상적 모형에 비해서, 유한한 크기를 가진 물체의 진동을
다루는 실제적인 진자
∙복원력은 τ =-( mg )( d sinθ )=-( mgd )θ 이므로 Iα=-( mgd )θ
θ''=-
mgd
θ → 각 θ 가 주기적
I
ω=
mgd
I
중력 진자
∙행성의 표면 중력가속도를 주는 경우
행성 내부에서의 중력 가속도는 r에 비례하므로
F =- mg
( Rr )
r'' =-
g
r
R
g
R
w=
∙행성의 밀도와 만유인력 상수를 주는 경우
F =- G
4
Mm
3
이고 M = 3 πr ρ 이므로
r2
(
4
4
πρ r r'' =- GM πρ r
3
3
F =- GMm
)
(
)
∙약 42분 후에 반대쪽으로 나온다.
비틀림 진자
∙ τ= Iα=- k θ 에 비례 : 각에 대한 용수철과 같은 장치
∙ w=
k
I → 마찬가지로 중력 가속도에 영향을 받지 않는다.
유체진자
∙유체가 길이 x만큼 압축되었을 때 가하는 힘은 F =-ρgAx
∙ w=
ρgA
m
*유체 역학*
∙비점성, 비압축성 유체에 대해서만 다룬다.
압력
∙대기압 : ρgh 를 이용하여 계산한다.
1atm = 수은의 밀도 13.595 x 103kg/㎡ × 9.8m/s2 × 0.760m = 1013.25 hPa
∙압력의 다양한 단위(생각해 보면 쉽다.)
SI 단위 Pa=N/m2
Torr = mmHg → 토리챌리가 한 실험을 생각할 것 , 그러나 Torr는 수은의 밀도를 사용하지
않고 단순히 1atm을 760등분 한 것이다.
1bar = 105Pa = 1000hPa → bar랑 Pa랑 발음이 비슷한 것을 기억할 것!
1atm = 1013.25hPa
유체 역학의 다양한 법칙들
∙파스칼의 원리 : 유체가 가지는 압력은 어디서나 같다. = 뉴턴의 제 1 법칙
∙유체 속에서 물체가 받는 힘 = 부력 = ρVg
ρV
유체 내에서 자유 낙하하는 물체의 경우 a = g 1- m
(
)
1 2
이 물체가 유체와 처음 닫기 시작한 순간부터 바닥에 도달할 때 까지 걸린 시간 h = 2 at
∙연속의 정리 : 위치에 무관하게 단위 부피당 질량이 같아야 한다.
S⋅v =일정 → 단면적이 넓은 곳에서는 속도가 빠르다.
∙베르누이 방정식 : 유체에 관한 에너지 보존 법칙의 형태(실제로는 압력 보존)
P 0 +ρgh +
1
ρv 2 =일정 → 기존에 가지고 있던 압력과 위에 있는 유체의 높이에 해당하는 압력과
2
흐르는 유체의 속도에 대한 term의 합이 일정하다.
∙토리첼리의 정리 : 높이가 h인 dam에서 빠져나오는 물의 속도 v
위에서 높이 h에 있는 물이 없어지므로 그 에너지가 아래에서 나오는 물의 속도와 같다.
ρgh =
1
ρv 2
2
v = 2gh
∙U자 관에서 압력 구하기
P 0 +ρ 1gh 1 =ρ 2gh 2
∙유체 역학과 회전에 관한 문제 : 밀도 ρ 인 유체 속에서 어떤 물체의 무게 중심 찾기
→ 힘의 평형에서 부력 ρgV를 고려해 준다.
→ 회전의 평형에서 무게 중심에 ρgV에 해당하는 회전력을 받고 있다고 생각한다.
*열역학*
온도
∙각종 온도의 정의
①절대 온도 : 물의 삼중점을 273.16K로 정의한다.(0.01℃)
②섭씨 온도 : T C = T K -273.15
9
③화씨 온도 : T F = 5 T C +32℃ → 더운날 화씨온도로는 100℉까지 올라감을 기억
열
∙온도 차이 때문에 고온에서 저온으로 저절로 이동하는 에너지
∙단위 : 1cal = 4.186J로 정의
∙비열 : ΔQ = mcΔT ex. 물은 4190J/kg℃
몰비열 : ΔQ = nCΔT ex. 물은 0.018kg/mol ․ 4190J/kgK = 75.4J/molK
∙열의 이동 방법
A
①전도 : 이동한 열 ∝ Δt(ΔT) l
②대류
③복사 : Stefan-Boltzmann의 법칙 : 표면적당 시간당 발산하는 에너지 E =σT 4
슈테판 볼츠만 상수 σ = 5.6703271×10-8 W/m2 K4
Wien의 변위 법칙 : 에너지 밀도 최대일 때의 파장 λ max ⋅T = 일정
∙열팽창
dL =αL 0 dT where α 는 선팽창 계수
dV =βL 0dT
β=3α ∵V = L 3 dV =3L 20dL =3L 20αL 0dT =3αV 0dT
문제) 20℃에서 10cm인 줄자의 35℃에서 길이는?
열역학 0법칙
∙제 3의 계와 각각 열평형상태에 있는 두 계는 서로 열평형상태에 있다.
T A = T B 이고 T B = T C 이면 T A = T C
∙그러므로 두 계는 같은 온도를 가질 때만 열평형 상태에 있다.
상태방정식
∙ PV = nRT
R은 기체 상수 0.082atmL/molK → 101.325J/atmL를 곱하면 8.314J/molK
∙ PV = Nk BT
볼쯔만 상수 k B = 1.38066244×10-23 J/K
cf. 볼쯔만의 묘비에 세겨진 S = k BlnΩ에서 나온 것
2
∙van der Waals 방정식 :
(P +( nV ) a)(V- nb)= nRT
a : 이상기체보다 압력이 더 적게 측정 되기 때문에(분자간 인력) 보정
b : 이상기체보다 부피를 더 차지하기 때문에(배제 부피) 보정
∙Boyle temperature : 우연히 (측정한 P)(측정한 V)= nRT 가 되는 온도
nRT
n 2a
nRT
n 2a
실제 기체에서 측정한 P = V - nB - 2 이므로 PV = 1- nb/V - V
V
PV
1
na
=
=1
nRT 1- nb/V VRT
측정된 부피 중의 배제 부피
1=1+
∴
nb
V 는 작은 값이므로
na
( nbV )- VRT
nb
na
a
=
T=
V
VRT →
Rb
열역학 제 1 법칙
∙넣어준 열량 q 와 기체가 한 일 w 는 상태함수가 아니지만 ΔE = q - w로 정의하면 상태함수(에너지 보존
법칙)
⌠f
외부에 한 일 w = ⌡ PdV 로 계산
i
넣어준 열량 q 는 부피 변화가 있었는가 없었는가에 따라 차이가 난다.
3
3
등적 몰열용량 : 외부에 일 안한다. → c V = 2 R , C V = 2 nR
5
5
등압 몰열용량 : 외부에 일하는 만큼 열을 더 가해야 한다. → c P = 2 R , C P = 2 nR
cP = cV+R,
cP
5
= r = =1.666...
cV
3
∙이상 기체의 평균 속력
u=
3RT
M
3
∙ ΔE는 내부에너지 변화량 = 기체의 운동에너지 변화량 ∝ 기체의 온도 변화 = 2 nRΔT
3은 기체의 자유도(상태를 기술하는데 필요한 최소 좌표수)
이원자 분자의 경우는 5=3+2(회전운동)
∙제 1 종 영구기관 : 외부로부터 q 공급 없이 w 를 하는 것 → 내부 에너지 E 를 소모하면 가능하긴 하
지만 지속될 수 없다.
∙ E는 상태함수이므로 순환 과정에서 ΔE =0 이다.
엔탈피(Enthalpy)
∙ H≡E + PV
ΔH =ΔE +Δ( PV )= nc V(ΔT)+ nR(ΔT)= nc P (Δ T )
∙기체 1몰의 열 출입을 보는 게 목적이다. 그 기체의 경계를 계로 본다고 생각하면 이해가 쉽다.
∙Hess의 법칙 : ΔH =ΔH 1 +ΔH 2
∙ ΔE =ΔH -Δ(PV) 이므로 기체 반응에서 온도 일정시 ΔE =ΔH - RT(Δn)
∙표준 생성 엔탈피 : 1기압, 일정 온도(25℃)에서 1몰 생성 반응
∙표준 반응 엔탈피 : ΔH o = ∑ ΔH of - ∑ ΔH of
생성물
반응물
엔트로피(Entropy)
⌠ dq rev
∙ ΔS = ⌡
T
∙비가역 과정의 경우 기체가 더 적은 일을 하게 되지만 ΔE는 일정하므로 q 가 더 적게 들어간다.
dq
ΔS ≥ ⌠
⌡ T (등호는 가역 과정일 때)
열역학 제 2 법칙
∙고립계(물질과 열의 출입 없음)에서 ΔS≥0
∴모든 과정에서 우주 전체의 엔트로피는 감소할 수 없다.
∙가역 열기관이 갖는 최대 효율
ε=
TH - TL
TH
∙열의 이동방향은 고온 → 저온이다. 필요한 에너지가 불필요한 에너지로 전환된다.
∙제 2종 영구기관 : 100% 효율을 가진 열기관(제작 불가능)
열역학 제 3 법칙
∙ limΔS =0
T→0
∙이로부터 S(0)=0 으로 정의할 수 있다. 엔트로피는 절대량이 정의된다.
∙표준 상태 엔트로피 : 25℃에서 각 물질 1M이 갖는 엔트로피의 절대량
298.15 c
p
So = ⌠
dT +ΔS 상전이
⌡0
T
∙표준 반응 엔트로피 : S o = ∑ S o - ∑ S o
생성물
반응물
열역학적 과정
w
특징
ΔT
ΔE
ΔH
f
⌠
= ⌡ PdV
=ΔE +w
i
ΔT =0
등온과정
열을 흡수하여
isothermal
V
nRT ln f
Vi
0
그만큼 팽창
등적과정
ΔV =0
isochoric
등압팽창
ΔP =0
isobaric
구함
ΔE로부터
구함
3
5
nR (ΔT)
nR (ΔT)
2
2
fq
=⌠
⌡
i
w와 같음
rev
T
nR ln
dT
Vf
Vi
(T는 일정)
ΔE =
ΔE로부터
ΔS
q
0
3
nR (ΔT)
2
ΔE + w =
P (ΔV)
5
nR (ΔT)
2
-ΔE
0
V
3
nR ln f
2
Vi
V
5
nR ln f
2
Vi
5
단열팽창
PV 3 일정
2
adiabatic
자신의 내부E를
TV 3 일정
?
이용한 팽창
자유팽창
free expa.
진공에 의한 팽창
상전이
0
0
Vf
Vi
(비가역과정)
등온, 등압
0
ΔH f - w
ΔH f
P (ΔT )
= P(Δn )RT f
∙상전이와 같이 분자간 결합 에너지 변화가 없는 이상 기체의 과정에서는
3
ΔE = nR(ΔT )
2
5
ΔH = nR(ΔT )
2
∙단열 과정에서 dQ =0 이므로 dE =- dw=- pdV
3
nRT
nR( dT )=dV
2
V
2
1
2
dT + VdV =0 ∴TV 3 은 일정
T
3
T c
Tf
⌠ p
∙ ΔS = n ⌡ T dT = nc pln T → 팽창하면서 온도 변화하는 경우
T
i
2
1
= nR ln
0
nR ln
Vf
T
+ nc vln f → 팽창한 후 온도 변화 하는 경우
Vi
Ti
Gibbs Free Energy
∙ G≡H - TS
q rev계 - q p계
ΔH 계
=
=T
T
T
-Δ( H 계 - TS 계 ) -ΔG 계
∴S 전체 =
=
T
T
∙ ΔS 주위 =-
∙ ΔG 계 <0 : 자발적
ΔG 계 =0 : 가역적
ΔG 계 >0 : 비자발적으로 주위의 엔트로피를 높여야 가능
∙표준 상태 자유 에너지 : 일정 온도에서 측정한 ΔG o =ΔH o - TΔS
ΔH f
ΔH f
Tf
( T f 일정)
∙표준 생성 자유 에너지 : ΔG o = ∑ ΔGof - ∑ ΔGof
생성물
반응물
*전자기학*
Vector Field의 정의와 Divergence와 Curl
∙vector field : 공간상의 모든 점에 벡터를 대응시킨 것 ex. 중력장, 전장, 자장
∙scalar field : 공간상의 모든 점에 스칼라를 대응시킨 것 ex. 위치에너지
연산
표기
읽기
기울기
∇U
gradient U
발산
∇⋅ F
divergence F 임의의 폐곡면에 대해 발산량
회전
∇× F
curl F
의미
스칼라값이 최대로 증가하는 방향
임의의 폐곡선에 대해 회전량
전자기학에서 사용되는 Vector Field
종류
단위
기원
electric field 전장 E
V/m
dQ
charge ρ= dV
flux
⌠
전속 Φ E = ⌡ E⋅ dA
S
magnetic field 자장 B
N/Am = Tesla
dI
dA
⌠
자속 Φ B = ⌡ B⋅ dA
current J =
Electric Potential
전기적인 힘
U( r)=- ⌠
⌡ F⋅ dr
전기적인 위치에너지
U
F
F =-∇U
↓ q로 나눔
↓ q로 나눔
V =- ⌠
⌡ E⋅ dl
전장
전위
E
V
E =-∇V
S
Electric Field와 Voltage 구하기
∙공식
①Coulomb의 법칙 : E =
1
q
⋅ r̂
4πε 0 | r| 2
→ Coulomb의 법칙은 입자의 Electric Field를 구할 때 사용한다.
⌠ E⋅dA = Q
②Gauss의 법칙 : ○
⌡S
ε0
→ 면밀도, 선밀도 같은게 나오면 Gauss 법칙을 통해서 구한다.
∙선전하밀도 λ에 의한 단위 길이 당 전자장
E=
λ
2πε 0r
∙두께가 있는 면전하밀도 σ 로 대전된 도체 평면
EA =
σE
σ
E=
ε0 →
ε0
∙두께가 없고 면전하밀도 σ 로 대전된 절연체 평면
전하는 같고 위아래로 방출되므로 절반
σ
→ E = 2ε
0
∙반지름이 R 이고 총전하량이 Q 인 구형 전하
외부에서는 E =
Q
4πε 0r 2
내부에서는 E =
Q
r
4πε 0R 3
∙반지름이 R이고 체적 전하 밀도가 ρ 인 원통형 전하
외부에서는 E =
ρR 2 1
2ε 0 r
ρ
내부에서는 E = 2ε r
0
전기 쌍극자(electric dipole)
∙같은 크기 반대 부호의 두 전하가 짧은 거리 떨어져 있는 것
ex. 물분자
∙쌍극자 모멘트 p = Qd (방향: -Q → +Q )
∙ E=
1
p⋅r̂
→ 점전하일 때의 q처럼 p를 쓰면 되지만 r 3 임에 유의!
2πε 0 r 3
V=
1
p⋅r̂
→ 점전하일 때의 q처럼 p를 쓰면 되지만 r 2 임에 유의!
4πε 0 r 2
∙외부의 균일한 전기장 E내에 있을 때
dipole 자체의 퍼텐셜 U =- p⋅ E
dipole에 가해지는 torque τ= p× E
Magnetic Field 구하기
∙공식
①비오-싸바의 법칙 B =
μ 0 ⌠ J× r̂
→ 이것을 가지고 직접 구하는건 안나온다.
4π ⌡ r 2
②암페어의 둘레법칙 : ∇× B =μ J
⌠
○
⌡ B⋅ dl =μI
∙주요 case → 언제나 이 예들 밖에 안나온다.
∙직선 도선에 전류 I가 흐를 때
μ 0I =2πrB
B=
μ 0I
2πr
∙체적 전류밀도가 J 인 원통형 도선
①내부 : 전류는 제곱에 비례하므로 자기장은 r
②외부 : 전류는 일정하므로 자기장은 1/r
∙원형 도선일 때 중심부가 받는 힘
직선 도선이 가하는 자기장의 π배 =
μ 0I 1
2 r
∙solenoid 내부에서
B =μ 0nI 이 때 감은 밀도 n =
N
N
=
l 2πr
자기 쌍극자(magnetic dipole)
∙ m = IA
∙외부 자기장 B 가 가해질 때
자기 쌍극자의 포텐셜 에너지 U =- m⋅ B
자기 쌍극자가 받는 torque τ = m× B
자기력
∙ B 를 구하면 전하량 q , 속도 v로 움직이는 전하가 받는 힘을 구할 수 있다. F = qv× B
mv 2
∙등속 원운동 할 때 qvB = r
mv
→ r = qB
2πm
이 때의 주기 T = qB
→ 속도, 진동수와 주기는 정해져 있다.
∙전기장과 자기장이 동시에 걸리면
F = qE + qv× B = q (E + v× B)
⌠ E⋅ dl /
=0
주의 : 이때는 외부에서 가하는 전기장이 존재하므로 ○
⌡C
∙등속 원운동 조건에서 전장이 걸리면
전장은 전하를 등가속시키고
자장은 전하를 원운동시킨다.
나선형 운동을 하며 pitch는 점점 커진다. → 전기장에 의해 가속 되기 때문
∙직선 도선끼리의 자기력 : 같은 방향일 때 인력, 다른 방향일 때 척력
전자기 유도
∙Faraday의 법칙 : ε=-
dΦ B
dt
dI
이 때 Φ= LI 라 하면 ε=- L dt
방향은 자속 변화를 방해하는 쪽으로(렌츠의 법칙)
∙물리적 의미
⌠ E⋅ dl≠0
자기장을 변화시키면 전기장이 형성된다. ε= ○
⌡C
전기장의 시간 변화가 자기장을 형성시킨다.
∙운동 기전력 → 나오는 문제는 하나 뿐이다.
ε=-
dΦ B
l vtB
=dt
dt
ε=- l vB
Capacitance 구하기
∙공식 Q = CV
가해준 전하를 Q라고 가정하고 E 를 구한다. → E 로부터 적분하여 V 를 구한다.
A
d
∙평행판 축전지에서 C =ε
∙내부의 전하가 +로 대전된 길이 L인 원통형 축전기 C =2πε
L
b
ln
a
ab
∙내부 반지름이 a, 외부 반지름이 b인 두 개의 구형 축전기 C =4πε b - a
∙축전지에 저장된 에너지는 W =
1
1
1 Q2
QV = CV 2 =
2
2
2 C
1
∙정전 에너지 밀도 u = 2 εE2
Inductance 구하기
∙공식 V =-
dΦ B
dI
에서 Φ B = LI 라 하면 V =- L
dt
dt
흐르는 전류가 I라 할 때 주어진 면적을 통과하는 전속의 양 Φ B 를 구한다.
∙inductor에 저장된 에너지는 W =
1 2
LI
2
B2
∙자기에너지 밀도 u = 2μ
Maxwell's Equation
∙gauss의 법칙
∇⋅ E =
ρ
ε0
Q
⌠
○
⌡S E⋅d A = ε 0
∙Faraday의 전자기 유도 법칙
∇× E =-
∂B
∂t
dΦ B
⌠
○
⌡C E⋅ dl =- dt
∙자속 보존의 법칙
∇⋅ B =0
∙ampere의 둘레 법칙
∇× B =μ 0 J +μ 0ε 0
∙constants
1
-9
유전율(permittivity) ε 0 = 36 π×10 F/m
투자율(permeability) μ 0 =4π×10 -7H/m
c=
1
ε 0μ 0
⌠
○
⌡S B⋅ dA =0
∂E
∂t
dΦ E
⌠
○
⌡C B⋅ dl = μ 0I +μ 0ε 0 dt
직류 회로
소자
R
공식
V R = RI
C
I= C
L
dV C
dt
dI
V L =- L
dt
충분한 시간이 흐른 뒤의 특징
끊어진 것처럼 행동한다.
구리 도선처럼 행동한다.
∙RC 회로 : 시상수 τ = RC
①전압이 증가하여 외부 기전력 V에 도달
전하는 계속 증가하여 Q = CV 에 도달
V
전류는 계속 증가하여 R 에 도달
②최대 충전시의 C에 저장된 에너지 W =
∙RL 회로 : 시상수 τ =
1
CV 2
2
L
R
①전압이 계속 증가하여 특정 값에 도달
V
전류도 계속 증가하여 R 에 도달
1 2
②최대 충전시의 L에 저장된 에너지 W = 2 LI
∙LC 공진 회로 : 공진 각속도 w 0 =
①자기 에너지 W =
1
LC
1 2
1
LI 와 전기 에너지
CV 2 사이에서 계속적으로 변환
2
2
임피던스를 이용한 교류 회로 분석법
∙임피던스 = 교류 회로에서 전류가 흐르기 어려운 정도를 나타낸다.
임피던스=
V
I
∙R 회로 : V = IR 이므로 임피던스는 R 이다.
dV
V
1
∙C 회로 : I = C dt 이므로 V = e iwt 라면 I = iwC e iwt → X C = I = iwC
1
V는 I보다 90도 뒤지고 크기는 wC 배
dI
1
V
iwt
iwt
∙L 회로 : V = L dt 이므로 V = e 라면 I = Liw e
→ X L = I = iwL
V는 I보다 90도 앞서고 크기는 wL배
∙RLC 중 여러 개가 직렬 연결일 때 → I가 같다.
① V = V R + V C + V L = I( R + X C + X L )
②위의 그림에서 전압을 구한다. 그러면 전류가 우리가 가해준 전압보다 빠른가 느린가를 알
수 있다.
③소모되는 전력을 구할 때는 P = E RI 로 한다.
전자기파
∙전하들의 가속 운동시 : 변위 전류가 생겨나면서 → 전장이 자장을 자장이 전장을 만든다.
전장과 자장의 크기 비교 :
E
=광속
B
∙poynting vector : 단위 시간에 단위 면적을 통과하는 전자기 에너지
s≡ E ×
|s|=
B
μ0
c 2
B = cε 0E 2
μ0
∙전자기파의 세기
거리에 대한 변화 :
*파동 역학*
파동
∙파동 : 주기적으로 같은 위상을 반복하는 모든 것
①파장 : λ 한 위상에서 다음번 같은 위상 까지의 거리 단위 m
②진동수 : f 1초 동안 진행하는 파장의 개수 단위 Hz=/s
③진폭 : 강도와 상관있고 별로 중요하지 않다.(소리, 빛의 세기)
④주기 : 같은 위상이 될 때 까지의 시간
∙파의 진행 속도 : λf
파동 함수
∙파동 방정식
∂ 2y
1 ∂ 2y
= 2
2
∂x
v ∂t 2
∙파동 함수
파동 방정식의 해
y(x,t)= y msin(kx -ωt )
∙정상파 λ=
y m : 진폭(amplitude), kx -ωt : 위상(phase)
2L
n
2πf
w
x
∙이 때 속도를 구하여라. v = fλ= 2π/λ = k → 파동 함수에서 괄호 안을 0으로 두고 t 를 계산한 것과
같다.
음파
∙공기 기둥의 공명
끝이 열렸을 때 → 입력과 같아야 한다.
끝이 닫혔을 때 → 입력과 반대여야 한다.
∙맥놀이 : 매우 유사한 주기 T 1 과 T 2 를 가진 두 파동이 간섭할 때
T = nT 1 =(n -1)T 2
T=
T 1T 2
T 2-T 1
f = f 1- f2
∙도플러 효과 → 딴 경우는 v가 너무 크기 때문에 소리만 나온다.
v+ vL
fL=
f
v- vS s
∙소리의 세기 L =10log
I
I0
∙소리의 속도
실에서의 파동의 전파속도 v =
일반적으로 v =
τ
=
μ
탄성
관성
B
ΔV
Δp =- B
ρ (B: 부피 탄성률
V )
빛
∙빛의 파동성
①매질이 불필요(전자기파의 특징)
②전기장과 자기장이 직교하면서 서로가 서로를 유도하며 진행한다.
③한 매질에서는 빛의 종류에 무관하게 속도가 같다.
2.998×10 8m/s → f =
c
λ
④빛의 속도는 절대 속도 → 빛 보다 빠른 속도는 존재하지 않고 공간 시간은 바뀐다. 광속만
일정하다.
∙빛이 파동이라는 증거
①굴절 : 두 매질의 경계에서 진행 속도차로 경로가 꺾인다.
②회절 : 틈새(slit)이나 모서리엣 파동이 꺾이고 퍼진다. 입자라면 무조건 직진
③간섭 : 겹치면 소멸한다.(입자라면 불가능)
반사와 굴절
∙반사의 법칙
θ r =θ a
∙굴절율
물질에 따라 파장과 속력은 바뀌지만 frequency는 절대 바뀌지 않는다!!! v = fλ 이용
절대 굴절율 : n =
λ 0(진공)
c(진공)
=
v(물질)
λ(물질)
상대 굴절율 : n 12≡
n2
→ 매질 1에 대한 매질 2의 굴절율!!!!
n1
문제 : 공기 중에서 파장이 633 nm 인 빛이 안구내부에서는 474 nm 이다. 안구내부에서의
빛의 속력과 진동수를 계산하라.
∙굴절의 법칙
sinθ a n b
=
sinθ b n a
∙굴절각이 90도인 경우이므로 입사각이 sin θ crit =
nb
이상이어야 한다.
na
→ 전반사는 물에서 공기로 나갈 때 생긴다고 기억!
분산 (dispersion)
∙파장에 따라 굴절률이 변하기 때문에 빛이 퍼지는 현상. (일반적으로 큰 파장이 작은 굴절률)
∙무지개가 생기는 원리, 색수차가 생기는 원리
편광
∙Malus 법칙 I = I max cos 2φ
①전자기파의 세기가 진폭의 제곱에 비례하는데 cos φ 성분만 남았기 때문
②편광되지 않은 빛이 들어오면 세기는 절반이 된다.
∵
I 0 ⌠2π
I
cos 2φ dφ= 0
2π ⌡0
2
문제 : 비편광의 빛의 세기가 I0 라고 하자. 두 편광자의 축이 30°를 이룬다면 각각의 편광자
를 통과한 빛의 세기는? 첫 번째 편광자를 지나면서 빛의 세기가 절반이 되고 두 번째 편광자
를 지나면서
3
3
가 되므로 정답은
4
8
∙반사에 의한 편광 : 반사빛은 입사면에 수직으로 편광되고, 굴절빛은 평행 방향으로 부분 편광된다.
이 때 반사광선과 굴절광선은 서로 수직이 된다.
sinθ b = cosθ p 이므로 Snell 법칙을 적용하면
n asin θ p = n b sinθ b , 즉
∴ tan θ p =
n asin θ p = n bcos θ p
nb
Brewster 법칙
na
회절
∙이중 슬릿에 의한 회절 무늬(Young의 실험)
①두 빛의 경로 차이는 d sin θ 이므로 d sinθ= m λ 되는 부위에 보강 간섭이 일어난다.
②슬릿의 크기가 작을수록, 파장이 길수록, 곡률 반지름이 작을수록 회절이 더 잘 일어난다.
∙단일 슬릿에 의하여 생기는 원거리(Fraunhofer) 회절무늬
a
①이 경우 슬릿의 가장자리에서 나오는 빛과 슬릿의 중앙에서 나오는 빛의 경로차는 2 sinθ 이
므로 이 값이 λ이면 보강간섭이,
λ
이면 상쇄간섭이 일어난다.
2
기하 광학
∙실상 : 물체의 한 점에서 나온 빛이 우리 눈에 도달
허상 : 물체에서 나온 빛이 아니라 다른 어떤 곳에서 나온 것으로 착각 되는 빛
∙구면 거울의 초점 거리 : f =
1
r
2
볼록 거울일 때는 f <0 , 오목 거울일 때는 f >0
(
1
1
1
∙얇은 랜즈의 초점 거리 : f =( n -1) r - r
1
2
)
볼록 랜즈일 때는 f >0 , 오목 랜즈일 때는 f <0
∙상의 방정식
1 1 1
+ =
p i f
거울 뒤쪽이면 음수, 거울 앞쪽이면 양수
랜즈 뒤쪽이면 양수, 랜즈 앞쪽이면 음수
h
∙물체의 겉보기 크기 = 망막에 생기는 상의 크기에 비례 θ≃ 25cm
25
∙확대경의 배율 m θ = f
∙현미경 : 대물랜즈가 물체의 확대된 실상을 만들고 대안랜즈가 그 실상을 확대한 허상을 만듬
M = m 대물m 대안 =-
s 25cm
f 대물 f 대안
s : 경통의 길이
∙망원경 : 대물랜즈가 빛을 모아서 뒤집힌 실상을 만들고 대안랜즈가 실상의 확대된 허상을 만듬
mθ =
θ 대안
h'/f 대안
f
=
=- 대물 → 대물 랜즈가 빛을 많이 모을 수록 상은 작아짐
θ 대물 - h'/f 대물
f 대안
*현대 물리*
∙고전 역학 : 모든 변량이 연속적이다. 빛=파동, 에너지∝진폭2
↓흑체 복사, 광전 효과
∙양자 역학 : 모든 변량이 양자화 되어 있다. 빛에는 입자성이 있다.(에너지 양자화) 에너지∝진동수
특수 상대성 이론
∙기본 가정 : 관성의 법칙과 광속도 불변의 법칙
∙결론 : r =
1
1- ( v/c ) 2
일 때
①시간 지연 : t = rt o
②길이 수축 : l =
lo
r
③질량 증가 : m = rm o
∙질량 에너지 등가 : E = mc 2 = rm oc 2
흑체 복사(Blackbody Radiation)
∙흑체 : 흡수한 E를 모두 방출하여 에너지 평형 상태인 물체
흑체 복사 : 흑체가 전자기파 형태로 에너지를 방출하는 것
1
∙고전 역학에서 f = 2π
k
m 이용, 단진동으로 모델링한 결과
①빛의 세기는 흑체의 표면 온도에 비례, 파장의 4승에 비례 → I∝
T
λ2
② λ가 짧을 수록 intensity는 한없이 증가 → 좌외선 파탄
∙Marks Frank, 1900
①파장이 짧은 영역으로 가면 흑체가 흡수를 안한다.
②Packet 이론 : 에너지를 꾸러미 상태로 흡수한다. 진동수가 작을 때(파장이 길 때)는 원하
는 만큼 흡수하지만 진동수가 클 때는 꾸러미가 가지는 에너지 자체가 크므로 못흡수하는게
생긴다.
③자외선 파탄 영역에서는 에너지 흡수의 단위가 커지고 그 결과로 흡수를 못하는 에너지가 생
긴다.
④빛 에너지가 양자화 되어있다.(광량자 가설)
⑤ E = hν
h : Frank const. 6.626×10-34Js
광전 효과(Photoelectric effect)
∙19Cgn반 금속표면에 빛을 쪼이면 전자가 튀어나오는 현상을 발견, 각 금속마다 전자를 튀어나오게
하는 빛의 한계 파장이 다르다는 사실도 밝힘
∙1905년, Einstein, 플랑크의 빛 에너지 양자화 이론으로 설명
∙금속에 빛을 쬐였을 때 전자가 튀어나가는 현상
①파장이 길면 광전자가 방출안되지만
파장이 짧으면 광전자 방출됨
②빛의 세기(진폭)와는 아무 관계가 없음
→ 고전 역학파의 결정적 실패, Frank 가설을 뒷바침
∙방출되는 광전자의 운동 에너지를 측정 결과
∙떼어내는데 드는 에너지는 일정함 → hν 0 =Φ(work function) "Phi"
hν =Φ+
1
mv 2 → 최소 진동수 ν 0 와 쬐어준 빛의 파장 주고 계산 문제 출제 가능
2
∙ E = hν 를 정립하는 핵심적인 이론이다.
∙광량자, 광자(photon) : 빛의 입자성에 대한 것이지 빛이 입자라는 것은 아니다.
원자내 전자의 에너지 준위가 양자화되어있다.
∙atomic spectrum
①유리관에 기체를 넣고 빛을 쬐어주면 특정 파장을 흡수하고 다시 방출한다.
②방출하는 빛과 흡수하는 빛의 파장이 같다.
∙Johann Balmer 1885년, 수소의 4개의 선 스펙트럼 촬영
653.6(n=3), 486.1(n=4), 434.0(n=5), 410.1(n=6)
1 1
에 비례한다는 것을 밝힘
4 n2
이로부터
∙자외선 영역에서 Layman 계열, 1-
1
→ “ 빨리 가서 자라”
n2
1 1
), Brackett, Pfund 계열 발견
9 n2
1
1
1
∙Johannes Rydberg에 의해 하나의 식으로 표현 λ = R
2 m
n2
적외선 영역에서 Paschen(
[
] Balmer-Rydberg equation → 원자
구조에 알려지지 않은 일반 원리가 있음을 암시
∙Flank-Herz의 실험
①전자를 원자에 때리고 튀어나온 전자와의 에너지 차이를 계산
②원자가 흡수하는 전자는 특정 에너지 준위가 정해져 있다.
∙광전자 분광법과 결합에너지
①광전효과를 이용해서 전자의 에너지 준위를 전부 측정
금속은 최외각 전자의 에너지 준위가 작음 → 조금만 줘도 잘 튀어나옴
그러나 보통 원자라도 모두 광전효과 있음
②X-ray를 이용해 모든 원자의 모든 전자에 대해서 금속의 일함수에 해당하는 전자 결합 에너
지를 구한다(binding energy)
③모든 원자의 전자를 모두 떼어가면서 측정
Bohr의 원자 모형(Planet Model)
∙각운동량 양자화 가설이라는 말과 전자의 궤도는 양자화 되어있다는 가정은 양자역학적이지만
양자역학적 원자 model은 아니다.
①전자들은 핵 주위를 등속원운동 한다.(구심력=핵과 전자사이의 정전기적 인력)
②전자들은 정해진 핵 전자거리를 갖는다.(orbit)
∙전자의 energy는 운동E(전자의 원운동에 의한 운동 에너지)와 위치E(핵과 전자 사이의 정전기적 인
력에 의한 위치 에너지)로 구성된다.
①전체E=위치E+운동E
②핵과 전자 사이의 electric potential energy는 계산 가능하고 전기적 인력이 유일한 구심력
이므로 운동 에너지 계산 가능
∙에너지 준위, 각운동량, 궤도 양자화 가설
①발머 식을 만족시키기 위하여 → 에너지 준위가 양자화 되어있어야 하고 → 각 운동량이 양
자화 되어있어야 하고 → 정해진 핵 전자 거리를 가져야 한다.
②에너지 준위 양자화 E =-
Z2
R
n2 H
R H 는 리드베리 상수 = 수소 원자가 바닥 상태에 있을 때의 에너지
2
③반지름 양자화 R n = a 0 n
a 0 는 보어 반지름 = 수소 원자의 바닥 상태 반지름
④고전역학적으로 보면 반지름 양자화=에너지 준위 양자화=각운동량 양자화가 동일하지만
실제로는 에너지 준위만 양자화 된다.
∙스펙트럼선의 설명
①발머의 해석 : ν = const
( n1 - n1 )
2
1
2
2
②보어의 해석 : ΔE = hν= E i - E f =2
∴ν=
(
)
Z 2R H
Z 2R H
1
1
= Z 2R H 2 - 2
n 2i
n 2f
nf ni
Z RH 1
1
h
n2f n 2i
(
(
)
)
∙최소 파장 빛(최대E)이 방출 되는 경우
①시작 궤도가 같으면 nf 작을수록 최소 파장이 방출된다.
② ni - n f 값이 클수록? 틀린말
( n1 - n1 )값이 클수록
③
2
f
2
i
→ 시험에서는 R H 값을 모르더라도 비례 이용해서 계산이 가능하도록 낸다.
ex. 수소 원자의 바닥 상태(n=1)의 에너지를 준다던가
∙전자가 1개만 있는 원자에서 모두 적용된다. : H, He+, Li2+, Be3+
4
9
ex. Li2+ ion의 경우 Z =3 이므로 r 2 = a 0 E 2 =- R H
3
4
∙드브로이의 물질파 이론 때문에 전자가 파동 운동을 해야하고 파동 함수에 의해서만 해석이 가능해
지면서 깨진다. → 불과 10년만에 제자들에 의해 완전히 깨지지만 Bohr 연구소에서 양자역학을 태동
시키도록 유도하였다.
드브로이 물질파
∙1924년 프랑스의 Louis de Broglie : 운동하는 입자는 파동의 성질을 갖게 된다.
pf. 전자 빔의 회절 등
∙ E = mc 2 m =
E
h
2 = λc
c
λ=
h
h
=
p
mv p where 는 운동량
∙일상 수준에서는 느낄 수 없으나( λ= too small)
원자내 전자의 경우는 문제됨( λ≃10 - 10m )
∙정상파(standing wave) : 배와 마디(node)가 있고 제자리에서 진동하는 것 → 매우 안정함
cf. 진행파(travelling wave)
∙보어모델에서 만약 전자가 원운동을 한다면 방사선을 방출하며 E 잃어버리면서 핵에 충돌한다는 문
제점(방사광 가속기에서 방출되는 x ray 처럼)이 있다. → 그러므로 원운동 하지 않는다.
h
①전자의 물질파 λ= m v
e
②정상파 조건 2πr = nλ
∴m evr =
nh
→ 각운동량 양자화의 진정한 의미
2π
③전자는 원운동하는 입자가 아니고 원궤도 상의 안정한 정상파이다.
Heisenberg의 불확정성 원리
∙운동하는 물체의 위치와 운동량을 정확히 정하는 것은 불가능하다.
①우리가 측정하려면 운동량이나 위치는 알아야 하나를 바탕으로 우리가 준 운동량을 더하거나
빼서 다른 것을 계산할 수 있는데 둘 다 모를 때는 동시에 결정이 불가능하다.
②우리가 잴 수 있는 도구 자체가 양자화 되어있기 때문이다.
∙1927년 Werner Heisenberg : 전자가 어디있고 그 궤도가 어떤지를 정확하게 규정할 수 없다. 최소
불확정성 존재 ΔxΔp = mΔxΔv≥
h
→ 정상파 조건에 의한 각운동량에서 n=1 때의 절반
4π
파동 함수
∙원자내 전자의 위치는 파동함수로 나타내어야
∙파동 함수
①공간상에 define된 확률 밀도함수로서 orbital이라 한다.
②파동함수의 위상이 그곳에 위치하고 있을 확률과 관련됨
③파동함수 수립을 위해 파동 방정식을 먼저 푼다.
④위치에 따른 존재 확률 ∝ (파동함수의 진폭)2
비례한다고만 한 이유는 공간상에서 전부 적분하면 1이 되어야 하기 때문이다.
∙오스트리아의 Erwin Schrὃdinger
①파동함수(오비탈) : 확률 밀도함수로서 제곱값이 주어진 공간에서 전자를 발견할 확률이다.
②파동 방정식 : 원자 내 전자위치에 대한 파동 함수를 세우기 위한 방정식
②해 : 에너지와 위치에 관한 경우의 수들이 나온다.
1차원 무한 포텐셜 우물에서의 파동 함수 계산
∙파동 함수를 ψ= A sin kx 로 놓자.
π
a혹은 - a 인 점에서 확률은 0이 되어야 하므로 k = n이어야 한다.
L
2
⌠L 2
파동함수의 제곱은 확률 밀도 함수이므로 ⌡ ψ dx =1 을 사용하여 A를 구한다. A = L
0
p2
ℏ 2k 2
=
에너지 연산자를 적용하며 eigenvalue를 구하면 E =
이 된다.
2m
2m
2
h2
(n 2 -(n -1)2 ) = h 2 (2n -1)
E n - E n -1 =
2
8mL
8mL
대응 원리
∙양자역학적 결과의 극한값이 고전역학적 결과와 같다.
∙궤도의 개수가 한정되어있다고 보지 않고 무한개가 있다고 보거나 lim ΔE n
n→ ∞
플랑크 상수를 0으로 보내거나 lim ΔE n 하는 기법을 쓴다.
h→0
∙위의 무한 포텐셜 우물의 경우 대응 원리를 쓰면 - a, a 인 곳을 제외하고 모두 동일한 확률로 전자가
발견될 것이라는 결과를 얻는다.
전자스핀과 파울리의 베타원리
∙선스펙트럼을 상세히 관찰 → 아주 근접한 2쌍의 스펙트럼 발견
네 번째 양자수 m s : 전자의 자전방향을 나타냄 +
1
1
↑또는 - ↓
2
2
∙1925년 오스트리아의 Wolfgang Pauli의 exclusion Principle
원자 안에 있는 두 개의 전자는 4개의 양자수가 모두 같을 수는 없다.
오비탈에는 전자가 2개 까지 들어갈 수 있다.
∙Aufban의 원리
①낮은 에너지의 orbital부터 채운다.
②Pauli : 한 orbital에는 spin이 다른 두 개의 전자만을 채울 수 있다.
③Hund의 규칙 : 만일 여러개의 orbital이 같은 에너지 준위를 가지면(축퇴, degererate) 모
든 orbital들이 채워질 때 까지 한 개의 전자씩 채워들어간다. 이 때 하나씩 채워진 전자는 모
두 같은 spin을 갖는다.
∙예외
Cr :
[Ar]4s23d4(x)
[Ar]4s13d5(o)
4s에 있는 전자를 에너지 준위가 비슷한 3d로 옮기면서 완전히 채워진 부껍질을 두 개의 반만
채워진 부껍질로 교환
Cu :
[Ar]4s23d9(x)
[Ar]4s13d10(o)
이와 같은 현상은 부껍질 내의 전자-전자 반발력 때문이다.(pairing energy)