UNIVERSIDAD DE CORDOBA
Facultad de ciencias
Práctica 84: Epidemia Ébola
Métodos Numéricos y Simulación
Autores:
Vanessa Aguilera Roldán
Jorge Orbaneja Huerta
Jose Ignacio Rodulfo Contreras
Abraham Pérez Martín-Gil
Curso 2022-2023
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
Índice
1. Análisis del problema
2
2. Metodología para su resolución
4
3. Listado de códigos
4
4. Comentario sobre la estructura del programa
17
5. Resultados y discusión
24
6. Porcentajes
29
Práctica 84
1
Curso 22-23
Grado en Física
1.
Métodos Numéricos y Simulación
Análisis del problema
La enfermedad por el virus del ébola (EVE), es una enfermedad causada por
el denominado virus ébola, un virus raro, pero bastante grave y en la mayoría
de ocasiones letal. Éste, afecta tanto a animales como a humanos. El virus del
ébola forma parte de la familia de los filovirus, formados de ARN lineal y de
una sola cadena en sentido negativo. En la actualidad, se conocen cinco tipos
de especie, cada una llamada por su lugar de descubrimiento: Sudán y Zaire
(1976), Reston (1989), Costa de Marfil (1994) y Bundibugyo (2007). En este
trabajo, trataremos el estudio de la enfermedad EVE con el modelo SIR para
los años comprendidos entre 2014-2016 (pandemia del ébola ZSudán y Zaire).
Antes de comenzar con el trabajo, haremos una pequeña introducción sobre
los síntomas del virus, de cómo se descubrió y de cómo se desarrolló en la
pandemia, además, explicaremos el modelo utilizado para el estudio de la
pandemia. Normalmente, los síntomas aparecen a los cincos días del contagio
con una leve fiebre, dolor de garganta y de cabeza que, poco a poco, debilita
el sistema inmune hasta que, al décimo día, aparecen los vómitos y la diarrea
seguido de un fallo hepático y renal. Por último, el individuo infectado muere
a las dos semanas de fallo multiorgánico. Lo más usual, es contraer el virus
por medio de la sangre o de fluidos corporales tanto de personas como de
animales contagiados. El primer caso reportado data de 1976 en la República democrática del Congo cuando un niño fue infectado por la mordida de
un murciélago de la fruta en el rio Ébola. A partir del primer brote, donde
perecieron 280 personas en menos de dos meses, las autoridades pertinentes,
dígase la OMS, la CDC, el instituto de medicina tropical y numerosos países
circundantes al territorio, decretaron el virus como un patógeno de nivel 4 e
iniciaron una carrera para buscar una vacuna, una carrera que a día de hoy
sigue abierta.
Pero, ¿Por qué es tan letal? ¿Por qué hubo un contagio masivo entre los años
2014-2016? ¿Hay alguna manera de saber cómo evolucionará el virus?
Este virus es tan letal debido a su mínima dispersión. Es decir, el virus una
vez en el organismo lo ataca de forma agresiva hasta la muerte del individuo,
precisamente, esta agresividad hace que el virus disminuya su alcance en la
transmisión. Este comportamiento es debido, a grandes rasgos, por la estructura molecular del propio virus que no puede existir bajo unas circunstancias
muy específicas del medio [1].
En diciembre de 2013, en Guinea, comenzó el primer contagio que dio paso
Práctica 84
2
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
a dos años de muerte y sufrimiento. Debido a la carga viral de la persona
infectada, los medios del virus para transmitirse, las diferentes tradiciones
culturales de las tribus (como lavar a los muertos a mano), la corrupción política de los países afectados, las infraestructuras hospitalarias que no podían
dar asilo a tantas personas y al miedo y la histeria colectiva, el virus pudo
transmitirse con pasmosa facilidad y llevarse consigo a 11308[4] personas de
las 28610[4] infectadas en Guinea, Liberia, Sierra Leona, Nigeria y Senegal.
Además, pudo transmitirse fuera de África a países como España, Estados
Unidos, Reino Unido y Mali dejando a 100 muertos más.
El modelo SIR es un modelo epidemiológico capaz de abarcar diferentes características típicas de los brotes epidemiológicos con gran facilidad. El modelo
relaciona las variaciones de las tres poblaciones que están en su nombre: población Susceptible (S(t)), población Infectada (I(t) y población Recuperada
(R(t)). Este modelo aplica tres ecuaciones diferenciales relacionando las tres
variables anteriores en función del tiempo, cumpliendo en cada momento que
la población total (N) es N = I(t) + S(t) + R(t).

dS(t)

= −βS(t)I(t)

dt




dI(t)
(1)
= βS(t)I(t) − γI(t)
dt





 dR(t) = γR(t)
dt
El modelo SIR es el más básico de los modelos epidemiológicos, pero, no tiene en cuenta ni las defunciones naturales ni las que produce el propio virus,
ni los nacimientos del país durante el brote y su desarrollo (como el modelo
SIS). Tampoco considera que las personas recuperadas se puedan volver a
infectar o que sean susceptibles (como el modelo SEIS), ni tampoco examina
a las personas que tienen el virus pero son portadores de él o están en periodo
de incubación (modelo SEIR).
Para nuestro trabajo, hemos utilizado el modelo SIR considerando los efectos
demográficos del país afectado (tasa de nacimientos (ϕ) y defunciones naturales (γ)), además, se aumenta la tasa de mortalidad de la clase infecciosa
considerando una tasa de muerte inducida (γI ) asociada a los individuos infectados y se ha puesto un parámetro µ asociado a las tasas de recuperación
de los infectados. Después de contemplar los diferentes parámetros formamos
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3
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
un sistema de tres ecuaciones diferenciales acopladas:

dS(t)

= ϕN − βS(t)I(t) − γS(t)

dt




dI(t)
= βS(t)I(t) − µI(t) − (γ + γI )I(t)
dt





 dR(t) = µI(t) − γR(t)
dt
(2)
donde β es la tasa de transmisión del virus.
2.
Metodología para su resolución
El modelo de evolución del virus del Ébola se describe mediante un sistema
de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden .
Al ser un problema de valores iniciales (PVI) bien planteado, es necesario que
la solución buscada satisfaga cada ecuación diferencial junto a sus respectivas
condiciones iniciales para que la solución del problema sea única.
El método utilizado para ello ha sido el de Runge-Kutta de orden 4, un
método numérico que aproxima la solución de nuestro problema de valores
iniciales para una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de primer orden.
Este método es el más óptimo debido a su rapidez para converger ya que
es capaz de conseguir precisiones altas sin necesitar un numero grande de
interacciones N . Esto es posible debido a que a diferencia de los otros métodos
de distintos ordenes, el método de Runge-Kutta realiza la pendiente promedio
de las cuatro estimaciones diferentes para estimar el valor de la solución.
Una vez estimada la solución de nuestro problema, hemos procedido a realizar la comprobación con la función ode45 de Matlab, un mandato que
permite especificar las condiciones iniciales, los límites de integración y otros
parámetros necesarios para resolver la ecuación diferencial. El propio mandato una vez ejecutado realiza la estimación de la solución utilizando el de
método de Runge-Kutta de cuarto y de quinto orden, por lo que garantiza
una estimación muy precisa.
3.
Listado de códigos
-Programa principal:
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% Este es el programa principal
% Antes de nada nos proponemos buscar cual es el paso idoneo
para emplear
3 % Rungge - Kutta en nuestro problema . Para ello teneomos la
funcion
4 % Diferenciasol .
1
2
5
clear
clc
8 F = @ (T , Z ) ([0.03574 -0.19* Z (1) * Z (2) -0.00946* Z (1) ;0.19* Z (1) * Z (2)
-0.0447* Z (2) -(0.00946+0.0353) * Z (2) ;0.0447* Z (2) -0.00946* Z
(3) ]) ;
9 a =0;
10 b =60;
11 Y0 =[ 0 .8 3 8 7; 0 .1 6 13 ; 0 ];
12 tol =10^ -7;
13 t0 =62;
14 tf =500;
15 [ diferencia , pasos ]= Diferenciasol ( tol ,F ,a ,b , Y0 , t0 , tf )
6
7
16
17
% Se observa que para tan solo 62 pasos se alcanza una
tolerancia de 10^ -7
18
19
20
F = @ (T , Z ) ([0.03574 -0.19* Z (1) * Z (2) -0.00946* Z (1) ;0.19* Z (1) * Z (2)
-0.0447* Z (2) -(0.00946+0.0353) * Z (2) ;0.0447* Z (2) -0.00946* Z
(3) ]) ;
22 a =0;
23 b =60;
24 Y0 =[ 0 .8 3 8 7; 0 .1 6 13 ; 0 ];
25 N = pasos ; % Los pasos que hemos calculado antes
26 [T , Z ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
27 figure (1) ;
21
28
plot (T , Z )
[ To , Zo ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
31 legend ( ’S ( T ) ’ , ’I ( T ) ’ , ’R ( T ) ’) ;
32 xlabel ( ’ Runge - kutta ’)
29
30
33
figure (2) ;
plot ( To , Zo )
36 legend ( ’S ( T ) ’ , ’I ( T ) ’ , ’R ( T ) ’)
37 xlabel ( ’ ode45 ’)
34
35
38
Práctica 84
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Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
% Tras emplear ode45 se observa que tan solo emplea 57 pasos
pasosode45 = length ( To ) ;
41 pasominimoode45 = min ( diff ( To ) ) ;
42 pasomaximoode45 = max ( diff ( To ) ) ;
39
40
43
fprintf ( ’\ n Ode45 solo usa %i , su paso minimo es %i y su paso
maximo es %i ’ , pasosode45 , ...
45
pasominimoode45 , pasomaximoode45 )
44
46
% Si obervamos los pasos de ode45 vemos que el minimo
coincide con el
48 % arranque del metodo .
47
49
50
% Realizaremos a continuacion unos tests de convergencia
cualtativos
52 % comparando las graficas de las soluciones para distintos
pasos , muy
53 % grandes , y la solucion ofrecida por el comando ode 45.
51
54
55
[ o ]= g ra f i ca c on v e rg e nc i a (F ,a ,b , Y0 ) ;
56
57
% Se observa que aun para valores grandes de paso , como puede
ser en la
59 % primera imagen incluso con un numero de pasos igual a 4
para 60 dias , las
60 % soluciones se aproximan consid erablemen te a la ofrecida por
el comando
61 % ode45 .
62 % Hemos considerado oportuno realizar este test para otro
metodo , el de
63 % Heun , el cual conocemos que tiene un orden menor ( orden 2) ,
para comparar
64 % los resiltados obtenidos .
58
65
66
% Efectivamente para valores grandes de paso se aprecia que
las soluciones
68 % difieren mas de ode45 que en el caso de Runge - kutta , ademas
se obersava
69 % que convergen mas lentamente .
67
70
71
% Hemos considerado interesante tras ver estas figuras
estudiar el avance
Práctica 84
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Curso 22-23
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Métodos Numéricos y Simulación
% del error maximo para pasos muy grandes , aqui entendemos
error como la
73 % diferencia entre la solucion del metodo de Runge - kutta y la
de ode45 .
74 % Graficamos el error frente al numero de pasos .
72
75
76
77
to =4; % numero minimo de pasos
tf =20; % numero maximo de pasos
80 [ o ]= graficaerror (F ,a ,b , Y0 , to , tf ) ;
78
79
81
82
% Es interesante ver como para pasos muy grandes se aprecian
aprosimaciones
84 % con siderabl emente buenas a la solucion ademas estudiando el
comportamiento
85 % del error frente al numero de pasos de las figuras 5 y 6 ,
en donde
86 % aparacen graficas que se asemejan a curvas exponenciales
nos hacen pensar
87 % que el valor de la constante C del problema lo
suficientemente pequeno
88 % como para conseguir buenas aproximaciones a la solucion con
pasos muy
89 % grandes .
83
90
91
% A continuacion nos proponemos el valor de la C .
92
93
% Esta simulacion tarda mucho tiempo por las interpolaciones
que le
95 % exigimos en cada paso
94
96
to =200;
tf =800;
99 [ valorCenelinfinito ,C , LT2 , error ]= calculoC (F ,a ,b , Y0 , to , tf )
100 va lo rC ene li nf ini to
97
98
101
102
103
104
figure (7)
plot ([ to : tf ] , C ) ;
105
106
107
title ( ’C frente a numero de pasos ’)
xlabel ( ’ numero de pasos ’)
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Métodos Numéricos y Simulación
ylabel ( ’ Valor de C ’)
109
ed1 = error (1) / error (201) ; %El error (1) es el error para 200
pasos , el
111 % error (201) es el error para 400 pasos
112 ed2 = error (50) / error (301) ; %El error (50) es el error para 250
pasos , el
113 % error (301) es el error para 500 pasos
114 ed3 = error (100) / error (401) ;
115 ed4 = error (150) / error (501) ;
116 ed5 = error (200) / error (601) ;
110
117
orden1 = log2 ( ed1 ) ;
orden2 = log2 ( ed2 ) ;
120 orden3 = log2 ( ed3 ) ;
121 orden4 = log2 ( ed4 ) ;
122 orden5 = log2 ( ed5 ) ;
118
119
123
% Consideremos la media de todos los resultados de orden
hallados
125 ordenmetodo =( orden1 + orden2 + orden3 + orden4 + orden5 ) /5
124
126
figure (8)
plot ([ to : tf ] , error )
129 title ( ’ Error frente al numero de pasos ’)
130 xlabel ( ’ numero de pasos ’)
131 ylabel ( ’ error ’)
127
128
132
fprintf ([ ’\ n El orden del metodo es %i , la cosntante C tiene
un valor ’ ...
134
’ aproximado de %i ’] , ordenmetodo , val or Ce nel in fi nit o )
133
-Funciones auxiliares:
function [T , Z ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N )
% Aproxima la solucion de un PVI para un sistema de EDOs
usando el metodo de
3 % Runge - Kutta orden 4.
4 % Z ’= F (T , Z ) donde Z pertenece al dominio [a , b ] ; Z ( a ) = Y0 .
5 % Datos
6 % ----7 % * F
= funcion vectorial del sistema escrita como vector
columna para que
8 % siga la misma nomenclatura que los ode **.
9 % * a
= punto inicial
1
2
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% * b = punto final
% * Y0 = vector columna , siendo la solucion en T = a
12 % * N
= numero de pasos para llegar a b .
13 % Resultado
14 % ----15 % * T = vector columna con los puntos donde se calcula la
solucion
16 % * Z = matriz de valores aproximado del vector
s o l u c i n en
los puntos T .
10
11
17
h =( b - a ) / N ;
m = length ( Y0 ) ;
20 T = zeros ( N +1 ,1) ;
21 Z = zeros ( N +1 , m ) ;
22 K1 = zeros (1 , m ) ;
23 K2 = zeros (1 , m ) ;
24 K3 = zeros (1 , m ) ;
25 K4 = zeros (1 , m ) ;
26 Z (1 ,:) = Y0 ’;
27 T (1) = a ;
28 % Valores iniciales
29 for i =1: N
18
19
30
K1 = F ( T ( i ) ,Z (i ,:) ) ’;
K2 = F ( T ( i ) +( h /2) ,Z (i ,:) +( h /2) * K1 ) ’;
K3 = F ( T ( i ) +( h /2) ,Z (i ,:) +( h /2) * K2 ) ’;
K4 = F ( T ( i ) +h , Z (i ,:) + h * K3 ) ’;
Z ( i +1 ,:) = Z (i ,:) +( h /6) *( K1 +2* K2 +2* K3 + K4 ) ;
T ( i +1) = T ( i ) + h ;
31
32
33
34
35
36
37
38
end
1
function [ valorCenelinfinito ,C , lT2 , error ]= calculoC (F ,a ,b , Y0 , to
, tf )
2
options = odeset ( ’ MaxStep ’ ,0.0001) ;
contador =0;
5 alcanzado =0;
6 error (1) =100;
3
4
7
8
9
[ T2 , Z2 ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0] , options ) ;
for i = to :1: tf
12 contador = contador +1;
10
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N=i;
h =(( b - a ) / N ) ;
15
16
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clear y
[ T1 , Z1 ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
18
interpol1 = spline ( T1 , Z1 (: ,1) ) ;
interpol2 = spline ( T1 , Z1 (: ,2) ) ;
21 interpol3 = spline ( T1 , Z1 (: ,3) ) ;
19
20
22
23
soluc ioninter pol1 = ppval ( interpol1 , T2 ) ;
soluc ioninter pol2 = ppval ( interpol2 , T2 ) ;
26 soluc ioninter pol3 = ppval ( interpol3 , T2 ) ;
24
25
27
e1 = solucioninterpol1 - Z2 (: ,1) ;
e2 = solucioninterpol2 - Z2 (: ,2) ;
30 e3 = solucioninterpol3 - Z2 (: ,3) ;
28
29
31
32
e =[ e1 ; e2 ; e3 ];
33
34
error (i -( to -1) ) = max ( max ( abs ( e ) ) ) ;
35
36
37
he (i -( to -1) ) = h ^4;
38
39
end
40
C = error ./ he ;
va lo rC ene li nf ini to = C ( end ) ;
43 lT2 = length ( T2 ) ;
41
42
1
function [ diferencia , pasos ]= Diferenciasol ( tol ,F ,a ,b , Y0 , to , tf )
2
% Esta funcion toma dos soluciones consecutivas del metodo de
Runge Kutta
4 % ( aumentando los pasos de 10 en 10) y cualdo la tolerancia
entre las
5 % soluciones sea menor de la exigida consideramos que la
solucion penultima
6 % es valida para rsolver el problema . Como no podemos compara
directamente
7 % los puntos de una solucion con otra por no estar evaluados
en los mismos
8 % puntos recurrimos a una interpolacion de la solucion con
3
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menos pasos y
% comparamos los puntos interpolados con los de la solucion
con mas pasos .
10 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ENTRADAS
----------------------------------- %
11 % tol es la toleracia exigida , es decir , la diferencia maxima
entre
12 % soluciones
13 % F es la funcion vectorial del problema
14 % a es el punto inicial
15 % b es el punto final
16 % Y0 son las condiciones iniciales
17 % t0 es el numero de pasos en los que se comienza
18 % tf el numero de pasos maximo
19 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - SALIDAS
----------------------------------------20 % pasos es el numero de pasos idoneo
21 % difrencia es la difrencia maxima entre las soluciones
9
22
23
24
25
alcanzado =0;
26
27
for i = to :10: tf
28
N=i;
N2 = N +1;
31 clear y
32 [ T1 , Z1 ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
33 [ T2 , Z2 ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N2 ) ;
29
30
34
interpol1 = spline ( T1 , Z1 (: ,1) ) ;
interpol2 = spline ( T1 , Z1 (: ,2) ) ;
37 interpol3 = spline ( T1 , Z1 (: ,3) ) ;
35
36
38
39
soluc ioninter pol1 = ppval ( interpol1 , T2 ) ;
soluc ioninter pol2 = ppval ( interpol2 , T2 ) ;
42 soluc ioninter pol3 = ppval ( interpol3 , T2 ) ;
40
41
43
e1 = solucioninterpol1 - Z2 (: ,1) ;
e2 = solucioninterpol2 - Z2 (: ,2) ;
46 e3 = solucioninterpol3 - Z2 (: ,3) ;
44
45
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e =[ e1 ; e2 ; e3 ];
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diferencia = max ( max ( abs ( e ) ) ) ;
51
if diferencia < tol
fprintf ( ’ El numero de pasos idoneo para aplicar el metodo
es %i ’ ,N )
54
pasos = N ;
52
53
55
return
end
58 end
59 if alcanzado ==0
60
disp ( ’ No se ha conseguido la tolerancia exigida ’)
61
pasos =0;
62
diferencia =10000;
63 end
56
57
1
2
function [ o ]= graficaerror (F ,a ,b , Y0 , to , tf )
o =0;
3
4
5
% Metodo de Runge - kutta
for i = to :1: tf
6
N=i;
h =(( b - a ) / N ) ;
9 x=a:h:b;
10 clear y
11 [ T1 , Z1 ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
12 y = deval ( ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ,x ) ;
13 y =y ’;
14 e =y - Z1 ;
15 em (i -( to -1) ) = max ( max ( abs ( e ) ) ) ;
16 l = length ( em ) ;
17 z =[ to : l + to -1];
18 figure (5)
19 plot (z , em ) ;
7
8
20
21
22
end
legend ( ’ Runge - kutta ’)
23
24
for i = to :1: tf
25
N=i;
h =(( b - a ) / N ) ;
28 x = a : h : b ;
26
27
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clear y
[ T1 , Z1 ]= Heunsis (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
31 y = deval ( ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ,x ) ;
32 y =y ’;
33 e =y - Z1 ;
34 em (i -( to -1) ) = max ( max ( abs ( e ) ) ) ;
35 l = length ( em ) ;
36 z =[ to : l + to -1];
37 figure (6)
38 plot (z , em ) ;
29
30
39
40
end
41
42
legend ( ’ Heun ’)
function [ o ]= gr a f ic a co n ve r g en c ia (F ,a ,b , Y0 )
o =1;
3 figure (3)
4 t = tiledlayout (2 ,2) ;
1
2
5
nexttile
N =4;
8 [T , Z ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
9 plot (T , Z )
10 hold on
11 title ( ’ Convergencia Runge - Kutta ’)
12 xlabel ( ’N =4 ’)
13 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
14 plot (T , Z ) ;
15 hold off
6
7
16
17
nexttile
18
N =8;
[T , Z ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
21 plot (T , Z )
22 hold on
23 title ( ’ Convergencia Runge - Kutta ’)
24 xlabel ( ’N =8 ’)
25 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
26 plot (T , Z ) ;
27 hold off
19
20
28
29
nexttile
30
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Métodos Numéricos y Simulación
31
N =12;
[T , Z ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
34 plot (T , Z )
35 hold on
36 title ( ’ Convergencia Runge - Kutta ’)
37 xlabel ( ’N =12 ’)
38 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
39 plot (T , Z ) ;
40 hold off
32
33
41
42
nexttile
N =20;
45 [T , Z ]= metrungekutta1 (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
46 plot (T , Z )
47 hold on
48 title ( ’ Convergencia Runge - Kutta ’)
49 xlabel ([ ’N =20 ’ ])
50 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
51 plot (T , Z ) ;
52 hold off
43
44
53
54
% Se observa que aun para valores grandes de paso , como puede
ser en la
56 % primera imagen incluso con un numero de pasos igual a 4
para 60 dias , las
57 % soluciones se aproximan consid erablemen te a la ofrecida por
el comando
58 % ode45 .
59 % Hemos considerado oportuno realizar este test para otro
metodo , el de
60 % Heun , el cual conocemos que tiene un orden menor ( orden 2) ,
para comparar
61 % los resiltados obtenidos .
62 figure (4)
55
63
64
t = tiledlayout (2 ,2) ;
65
nexttile
N =4;
68 [T , Z ]= Heunsis (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
69 plot (T , Z )
70 hold on
66
67
Práctica 84
14
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
title ( ’ Convergencia Heun ’)
xlabel ( ’N =4 ’)
73 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
74 plot (T , Z ) ;
75 hold off
71
72
76
77
nexttile
78
N =8;
[T , Z ]= Heunsis (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
81 plot (T , Z )
82 hold on
83 title ( ’ Convergencia Heun ’)
84 xlabel ( ’N =8 ’)
85 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
86 plot (T , Z ) ;
87 hold off
79
80
88
89
nexttile
90
91
N =12;
[T , Z ]= Heunsis (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
94 plot (T , Z )
95 hold on
96 xlabel ( ’N =12 ’)
97 title ( ’ Convergencia Heun ’)
98 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
99 plot (T , Z ) ;
100 hold off
92
93
101
102
nexttile
N =20;
105 [T , Z ]= Heunsis (F ,a ,b , Y0 , N ) ;
106 plot (T , Z )
107 hold on
108 title ( ’ Convergencia Heun ’)
109 xlabel ([ ’N =20 ’ ])
110 [T , Z ]= ode45 (F ,[ a , b ] ,[0.8387;0.1613;0]) ;
111 plot (T , Z ) ;
112 hold off
103
104
Práctica 84
15
Curso 22-23
Grado en Física
1
Métodos Numéricos y Simulación
function [X , Y ]= Heunsis (F ,a ,b , Y0 , N )
2
% Aproxima la solucion de un PVI de Cauchy usando el metodo
de Euler
4 % mejorado o metodo de Heus
5 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3
% F es la funcion vectorial del sistema
% a es el punto inicial
8 % b es el punto final
9 % Y0 es el vector columna de la condicion inicial en x = a
10 % N es el numero de pasos
11 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
6
7
% X es el vector columna con los puntos donde se calcula la
solucion
13 % Y es el vector columna que nos da la solucion aproximada en
los puntos X
12
14
% Comenzamos calculando el paso :
h =( b - a ) / N ;
17 m = length ( Y0 ) ;
18 % m tendra el mismo valor que el orden de la edo
19 X = zeros ( N +1 ,1) ;
20 % Esto es un vector de una columna con los puntos donde vamos
a calcular la
21 % solucion . Tiene N +1 componentes para que la solucion se
evalue tambien en
22 % el punto b .
23 Y = zeros ( N +1 , m ) ; % si la edo es de orden 1; m es uno y solo
tenemos y ( x ) , si
24 % es de orden 2; m =2 y tenemos y ( x ) , y ’( x ) ...
25 K1 = zeros (1 , m ) ; %vector fila
26 K2 = zeros (1 , m ) ; %vector fila
27 % k1 y k2 son las funciones * que se usan dentro del metodo de
Heuss .
28 % ya tenemos todos los vectores que necesitamos definidos .
15
16
29
Y (1 ,:) = Y0 ’; % Esto es , en el paso primero , es decir , cuando x
=a , lo que
31 % vale la solucion son las condiciones iniciales . A partir de
estos puntos
32 % se van a calucular el resto ( Y (2 ,:) ,Y (3 ,:) ...( Y ( N +1 ,:) ) )
30
Práctica 84
16
Curso 22-23
Grado en Física
33
Métodos Numéricos y Simulación
X (1) = a ;
34
35
% Ahora se puede iniciar el metodo de Heuss
36
for i =1: N
K1 = F ( X ( i ) ,Y (i ,:) ) ’; % La funcion F es un vector columna y
k1
39
% es un vector fila , por eso se le hace la traspuesta a
F.
37
38
40
K2 = F ( X ( i ) +h , Y (i ,:) + h * K1 ) ’;
41
42
Y ( i +1 ,:) = Y (i ,:) +( h /2) *( K2 + K1 ) ; %Aqui se aproxima la
integral entre x ( i +1)
% y x ( i ) por la media del area de dos rectangulos de base
h y altura
% el valor de F en cada punto . Y con eso conseguimos la
aproximacion de
% de la solucion y ( i +1) .
43
44
45
46
47
X ( i +1) = X ( i ) + h ;
48
49
end
4.
Comentario sobre la estructura del programa
En un primer momento, hemos tenido que determinar el numero de pasos
efectivos para poder implementarlo en el método numérico que tratamos en
el trabajo, Runge-Kutta 4. Para poder calcularlo, hemos utilizado la función
diferenciasol. La cual, ha cogido dos soluciones consecutivas (de 10 en 10
pasos) de Runge-kutta y ha calculado la diferencia máxima entre las soluciones hasta que encontrar la tolerancia exigida, en nuestro caso 10−7 . Hemos
obtenido que los pasos necesarios para un análisis efectivo del problema han
sido 62 pasos, es decir, en el paso 62-72 hemos obtenido una diferencia menor
a 10−7 , esta ha sido 5,7 ∗ 10−8 . Entonces, como conclusión de esta primera
parte, nosotros hemos considerado que para 62 pasos la solución dada por el
método de Rung-Kutta 4 es válida.
El siguiente punto de nuestro programa, ha sido graficar las soluciones de
Runge-Kutta para cuatro pasos grandes, tanto por Runge-Kutta como la
Práctica 84
17
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
función predeterminada de Matlab, ode45. Obteniendo los resultados de la
figura 1, donde se puede ver que, aunque para N=4 y N=8 la diferencia
es visible, la convergencia entre el método implementado y ode45 no difiere
del resultado esperado, la convergencia de ambos. Un problema notable a
mencionar es que al implementar ode45 para graficar la solución, es notable
recalcar que ésta función solo utiliza 57 pasos los cuales son variables, su paso
mínimo es 6,9 ∗ 10−3 y su paso máximo es 1.5 (estos pasos los decide la ode45
según la pendiente de la función), mientras que nosotros, con Runge-Kutta
4, 62 pasos.
Figura 1: Test de convergencia Rungge-kutta de orden 4
Práctica 84
18
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
Estos test de convergencia muestran unos resultados positivos ya que se puede comprobar cualitativamente cómo el método converge hacia la solución
conforme el número de pasos aumenta y que se necesita un número de pasos
bastante reducido para encontrar una solución precisa.
Resulta interesante realizar este mismo test de convergencia sobre otros métodos de un solo paso. Hemos escogido realizarlo sobre el método de Heun
de orden 2. Los resultados obtenidos se recogen en la figura 2
Figura 2: Test de convergencia de Heun
Como podemos observar, el método de Heun necesita más pasos para llegar
a la solución del método.
Para poder visualizar como el error disminuye a medida que se aumentan
Práctica 84
19
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
los pasos hemos representado error frente número de pasos, obteniendo estas
gráficas para Runge-Kutta y Heun:
Figura 3: Error frente número de pasos para Runge-Kutta
Figura 4: Error frente número de pasos para Heun
Práctica 84
20
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
También, comparando la gráficas obtenidas, se puede ver que el método de
Heun necesita más pasos para llegar a la solución.
El reducido número de pasos que emplea el mandato Ode45 para conseguir
las soluciones del problema, junto con los resultados reflejados en las gráficas
1 2 3 4,que muestran cómo para unos pasos muy grandes en los métodos de
Runge-kutta y Heun las soluciones difieren muy poco de la dada por Ode45
y convergen rápidamente a esta y el comportamiento suave de las soluciones
vistas en la figura 7 nos llevan a la hipótesis de que el problema de estudio
tiene un valor de la constante C muy pequeño, tal que permite que aún con
un paso mayor que uno las soluciones de Runge-kutta sean válidas.
||error|| = Chp ,
(3)
Siendo C la constante mencionada anteriormente, h el tamaño del paso, p es
el orden del método y ||error|| es el error global.
Con el objetivo de comprobar la hipótesis acerca de la constante C hemos
estudiado el valor de esta cuando h tiende a cero, es decir;
C = limh→∞
||error||
,
hp
(4)
Dado que no se dispone de la solución analítica del problema no se puede
realizar este estudio rigurosamente, sin embargo, vamos a considerar que la
solución del comando Ode45 es la solución al problema(aun sabiendo que
Ode45 emplea Runge-kutta de órdenes 4 y 5). Todo esto se ha realizado en
la función valorC en la que lo primero que hemos hecho ha sido variar el
paso máximo que utiliza este comando de forma predeterminada de manera
que el método de Runge-kutta para un número de pasos muy grande no sea
más precisa que la que estamos considerando como solución real"(Cuando no
modificábamos el paso máximo se obtenían resultados incoherentes, como que
el valor de C no dejaba de crecer alcanzando valores con órdenes de magnitud
muy grandes o que el error del método aumentaba en lugar de disminuir).
Representando C frente al número de pasos se obtiene la siguiente gráfica:
Práctica 84
21
Curso 22-23
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Métodos Numéricos y Simulación
Figura 5: C frente a número de pasos
Es necesario comentar en primer lugar que se ha detenido el estudio del valor
de C en 600 pasos por el coste computacional que se requiere. Esto se debe a
que como estamos comparando conjuntos de soluciones evaluados en distintos puntos hemos interpolado las soluciones de Runge-kutta para cada paso
para poder compararlas con las soluciones de Ode45. Aún así para 800 pasos
se observa una tendencia que estabiliza el valor de C y nosotros solo estamos
interesados en conocer su orden para verificar que tiene un valor pequeño. Se
ha obtenido que C= 3,5763 · 10−7
Hemos aprovechado los resultados de esta última funcion "valor C"para verificar que efectivamente el método de Runge-Kutta es un método de orden
4. A través de la ecuación:
p = log2
||error1||
,
||error2||
(5)
calculamos p, que es el orden del método. Siendo la relación entre el número
Práctica 84
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Curso 22-23
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Métodos Numéricos y Simulación
de pasos correspondientes a las normas de la ecuación de el doble de pasos
de ||error2|| respecto al empleados para ||error1||. Esto lo hemos calculado
para 200 y 400, 250 y 500 , 300 y 600 , 350 y 700, y para 400 y 800 pasos y
hemos calculado la media, obteniendo un error del método de p = 4,0510, lo
cual tiene sentido sabiendo que el método de Runge-Kutta es de orden 4.
Al igual que se hizo para pasos muy grandes, y aprovechando que tenemos
tras emplear esta última función la máxima diferencia entre distintos pasos de
Runge-kutta y Ode45 con el paso máximo modificado, hemos representado de
nuevo el "error global" frente al número de pasos para pasos más pequeños.
Figura 6: Error global frente a número de pasos
Práctica 84
23
Curso 22-23
Grado en Física
5.
Métodos Numéricos y Simulación
Resultados y discusión
Figura 7: Evolución de poblaciones normalizadas frente al número de días en
un tiempo de 2 meses.
La curva en azul S(t) es la población susceptible de contagio, la curva en rojo
I(t) representa la población de infectados y la curva en amarillo R(t) es la
población que se ha recuperado del virus.
Vamos a proceder a comentar la gráfica 7 obtenida anteriormente:
Al principio del estudio, la población total inicial N=1 esta conformada solamente por personas pertenecientes al grupo de susceptibles o al grupo de
infectados, ya que todavía no hay ningún recuperado. Conforme va pasando
el tiempo, la gente susceptible empieza a infectarse del virus, haciendo que el
número de susceptibles disminuya y aumente el número de infectados. Aquí
empieza ya a haber gente recuperada del virus.
A los 13 días es cuando hay un mayor número de personas susceptibles infectándose, haciendo que el ritmo de infección sea el máximo (I’(t), la pendiente
de la curva en color rojo de la figura 7) de todo el intervalo de tiempo en el
que se ha aplicado el modelo. A partir de ahí, el ritmo de infección empieza
a disminuir debido a que la población de susceptibles es cada vez menor, por
lo que el número de gente que se infecta es menor. Aproximadamente cuando
el número de personas susceptibles es igual al número de personas infectadas
(25 días), es cuando el número de infectados toma el valor máximo de todo
Práctica 84
24
Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
el intervalo de tiempo estudiado. Así mismo, el número de personas recuperadas no deja de crecer.
A partir de dicho máximo la pendiente de la curva de infectados es negativa,
es decir, el ritmo de infectados se vuelve negativo. Esto es debido a que el
número de susceptibles es bastante bajo (gran parte de la población está recuperada del virus), por lo que no se contagia tanta gente como antes. Esto
provoca que el número de personas susceptibles empiece a disminuir mucho
más lento que antes, hasta que se llega a un mínimo de población susceptibles
a los 42 días. A partir de ahí, el número de personas susceptibles comienza
a aumentar levemente. Observando el sistema de ecuaciones del modelo seguido 2 vemos que, para que crezca el número de personas susceptibles se
tiene que dar que el número de nacimientos en la población sea mayor que
el número de gente susceptible que se está infectando sumado al número de
gente susceptible que muere de causas naturales. (Entendemos como causa
natural cualquier muerte que no se deba al virus Ébola)
De ahí en adelante, el número de personas infectadas y el número de personas
susceptibles comienzan a estabilizarse, mientras que el número de recuperados sigue creciendo. En el caso de la curva de susceptibles esto sucede porque
el número de nacimientos se iguala a la cantidad de gente que se está infectando, más las muertes naturales del grupo de susceptibles. En cuanto a
los infectados, su estabilización se debe a que la cantidad de población que
se está infectando es igual al número de personas infectadas que fallecen por
cualquier causa (de manera natural o por que no superan la enfermedad) más
la gente que se está recuperando.
Práctica 84
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Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
Figura 8: Evolución de poblaciones normalizadas frente al número de días en
un tiempo de un año y medio medio.
La curva en azul S(t) es la población susceptible de contagio, la curva en rojo
I(t) representa la población de infectados y la curva en amarillo R(t) es la
población que se ha recuperado del virus.
Si se modela el problema hasta alcanzar los 500 días se observa que, a partir
de cierto punto, todas las curvas se acercan a un valor constante (un valor
distinto para cada una), siendo la curva de recuperados la última en estabilizarse. Estudiando la fórmula 2 se encuentra que la explicación de este hecho
es debido a que existe un equilibrio entre el número de personas que se está
recuperando y la cantidad de recuperados que fallece por causa distinta a la
de la enfermedad.
Sin embargo cabe resaltar que este modelo no tiene en cuenta que la población
varía con el tiempo, y sólo toma el valor inicial de la población para modelizar
lo que ocurre, de este modo se está considerando que el número de nacimientos
es constante. Sin embargo, no se está haciendo lo mismo con el número de
muertes ya que ahí sí se esta teniendo en cuenta cómo varía la población.
Es por eso que, al tomar dicho valor como constante (N=1), el número de
personas que superan la enfermedad llega a estabilizarse. Se podría mejorar
el modelo no sólo teniendo en cuenta el valor inicial de la población, sino
teniendo en cuenta que la población cambia con el tiempo, siendo N igual
a la suma de los distintos grupos poblacionales (recuperados, infectados y
susceptibles).
Práctica 84
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Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
El valor constante de nacimientos comentado anteriormente hace que la efectividad del modelo epidemiológico empleado pueda reducirse con el tiempo
y solo al principio nos permite modelizar con precisión la evolución de la
epidemia.
Según los datos proporcionados, el modelo ha trabajado con una mortalidad
cercana al 3 %. Sin embargo, el Ébola tiene realmente una tasa de mortalidad
cercana al 80 %, y nos ha parecido interesante estudiar también dicho caso.
Es por eso que vamos a usar el modelo considerando una tasa de mortalidad
inducida mucho mayor que la que estamos usando:
Figura 9: Evolución de la epidemia en 10 días para una tasas de mortalidad
inducida del 40 %.
Se puede apreciar que en este caso, debido a la alta mortalidad del virus la
cantidad de personas infectadas disminuye rápidamente hasta hacerse prácticamente cero, lo cual hace que la dispersión del virus en la población sea
prácticamente nula, haciendo que el virus desaparezca casi por completo. Es
también destacable que la curva de recuperados se mantiene durante todo el
tiempo en valores cercanos al cero.
————
Tras el estudio realizado, también es interesante comentar que el modelo
utilizado no proporciona mucha información acerca de lo ocurrido con pasos
Práctica 84
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Curso 22-23
Grado en Física
Métodos Numéricos y Simulación
pequeños (dos-tres días) o muy seguidos (la variación entre ocho y diez días
es inapreciable), pero para pasos como el comentado (60 días) o el de 500
días el modelo proporciona más información sobre a evolución del virus del
ébola.
El modelo de Runge Kutta utilizado para resolver este modelo epidemiológico sabemos que es de orden cuatro, tras compararlo con un método numérico
de orden dos también se puede apreciar como la soluciones convergen hacia
el mismo punto, la estabilidad de cada función. Cuando la comparamos con
el comando de matlab ode45 nos encontramos con un problema, ya que, esta
función, solo cogerá los primeros cincuenta cinco pasos del modelo, entonces,
si nosotros queremos calcular para sesenta o más días la solución que proporcionará ode45 es menos precisa de lo que yo consigo con Runge Kutta.
Visto el problema con la función ode45 lo que hemos hecho es modificar el
paso máximo de esta gracias a otra función llamada cálculo C. De esa forma, podemos calcular el orden del método utilizado con la fórmula: (pon la
formula jose ignacio) Obteniendo un orden de convergencia del método de:
Referencias
[1] (273) El último gran brote de ébola y el contagio masivo mundial | Virus:
ébola - YouTube.
[2] Página
web
(13/05/2023)
https://www.datasource.ai/es/
data-science-articles/modelos-epidemiologicos-sir-y-seir
[3] Universidad Autónoma de Guerrero - Tesis para la maestría en matemáticas aplicadas: Un Modelo Epidémico de
Orden Fraccionario para Ébola - Luis Reyes Velázquez.
https://www.eafit.edu.co/programas-academicos/posgrado/
maestria-matematicas-aplicadas/investigacion/Paginas/
tesis-realizadas.aspx
[4] Noticia https://www.who.int/es/news-room/fact-sheets/detail/
ebola-virus-disease
[5] MÉTODOS NUMÉRICOS Y SIMULACIÓN, Área de Análisis Matemático, Departamento de Informática y Análisis Numérico Universidad de
Córdoba Tema 3 Resolución numérica de problemas de valores iniciales.
Mercedes Marín Beltrán.
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Grado en Física
6.
Métodos Numéricos y Simulación
Porcentajes
Cada componente del grupo ha realizado una proporción del 25 % en
cada apartado del trabajo.
Práctica 84
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