UNIDAD II
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
2.1 IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
• Proporciona las herramientas
necesarias para realizar un estudio
descriptivo en un caso de
investigación particular.
• Los elementos que utiliza la
estadística
descriptiva
son
efectivos cuando se busca el
objetivo
de
mostrar
las
características de una población o
muestra.
• Se integra a otros elementos de la
estadística, como la estadística
inferencial.
2.2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
• Conjunto de técnicas estadísticas que se utilizan para describir el
comportamiento o características de un grupo de datos.
• Medidas Descriptivas: Son básicamente valores estadísticos
calculados a partir de los datos de una población o una muestra y
que nos permiten describir a la población o la muestra en relación a
la variable que se estudia.
• Se clasifican en dos grandes grupos:
– Medidas de tendencia central
– Medidas de dispersión
2.2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia central:
Se encargan de representar los valores
típicos que ubican el centro de la
distribución de los datos. Entre las
principales se encuentran: la media
aritmética, la mediana, la moda y algunas
otras medidas, que son variantes de la
media.
Medidas de dispersión:
Estas se encargan de representar el grado de
heterogeneidad o dispersión que existe en el
conjunto de datos que se estudian. Ente las
principales medidas de dispersión se
encuentran: la desviación media, la varianza,
la desviación estándar y el coeficiente de
variación.
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
La Media Aritmética
Es la medida de tendencia central más conocida y la que la mayoría de
personas tiene en mente cuando se habla de promedios. Esta se obtiene
sumando todos los valores de la población o de la muestra y
dividiéndose el valor obtenido entre el numero de valores que se
sumaron.
n
n
=
X
i =1
i
N
Donde :
N = Número de observaciones de la población
X i = Valores de la var iable que se promedia
____
X =
x
i =1
i
n
Donde :
n = Número de observaciones de la muestra
xi = Valores de la var iable que se promedia
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Características de la Media
Aritmética
La media aritmética posee tres
características principales:
1. Unicidad: Se refiere que para todo
conjunto de observaciones únicamente
existe una media aritmética que es
determinada aplicando la función
anterior.
2. Simplicidad: Se refiere a que la media
aritmética es fácil de calcular e
interpretar.
3. La media aritmética es afectada en su
valor por valores extremos que se
presentan en la distribución de datos.
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplo
Se realizó una encuesta para verificar ciertos datos socioeconómicos de los
empleados de una empresa agroindustrial. Una de las variables observadas
fue el salario diario de un grupo de trabajadores. Se seleccionó una muestra
al azar de 7 trabajadores (que casualmente incluyó al gerente de la
empresa). Los resultados fueron los siguientes (Quetzales):
Q67.00, Q 72.00, Q55.00, Q64.00, Q88.00, Q76.00 y Q350.00.
Calcular el promedio del salario diario de los trabajadores de la empresa.
Todos los datos Q110.29
Sin valores extremos Q70.3
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Mediana
La mediana de un conjunto finito de valores es el valor que divide al conjunto
en dos partes iguales (se encuentra en el centro del conjunto de datos),
cuando están dispuestos en orden creciente o decreciente.
Cuando n es par :
Cuando n es impar:
X n + X n
Me =

 +1 
2 
 
2
2
Donde :
n = Número de observaciones
X i = Valores de la var iable
𝑀𝑒 = 𝑋 𝑛+1
2
Donde:
n = Número de observaciones
Xi = Valores de la variable
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Características de la Mediana
La mediana también presenta tres
características principales:
1. Unicidad: Se refiere que para todo
conjunto de observaciones únicamente
existe una mediana.
2. Simplicidad: Se refiere a que la
mediana es fácil de calcular e
interpretar.
3. La mediana no es afectada por
valores extremos de la distribución de
datos.
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplo
Considerando el ejemplo de las notas obtenidas por un grupo de 20
estudiantes de la promoción 2021-2023
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x(i) 15 45 47 53 58 58 60 62 67 74 75 78 80 80 81 85 85 85 90 92
Cuando n es par :
X n + X n
Me =

 +1 
2 
 
2
2
Donde :
n = Número de observaciones
X i = Valores de la var iable
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Moda
La moda de un conjunto de valores es el valor que ocurre con más frecuencia
(el valor que más se repite).
Si todos los valores son distintos entonces no existe moda y hablamos de una
distribución amodal. Por otro lado puede presentarse el caso en que puedan
haber 2 o más modas y estaríamos hablando de distribución bimodal,
trimodad, etc.
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplos:
1. 5, 8, 7, 14, 11, 12
Mo = No hay moda = Amodal
2. 7, 9, 5, 7, 14, 11, 5, 8
Mo = 5, 7 = Bimodal
3. 8, 9, 15, 7, 1, 3, 1
Mo = 1 = Unimodal
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Media Ponderada:
Esta medida se aplica cuando los datos a los que se les desea
aplicar el promedio no tienen el mismo peso o importancia, de
tal manera que la media ponderada tiene la capacidad de
asignar un peso diferente a cada uno de los valores que se
promedian.
n
p x
Xp = i =1n
i
i
p
i =1
i
A cada dato xi le damos la importancia representada por su respectivo pi.
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplo:
En la lechería “La Unión” se produce queso de tres calidades diferentes
identificadas como A, B y C, en diferentes cantidades y a un precio distinto,
como se observara a continuación y se desea calcular el precio promedio de
venta diario por unidad.
Calidad
Precio
Cantidad Producida
A
Q20.00
200
B
Q12.00
100
C
Q8.00
50
Total
350
2.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Calidad
Precio
xi
Cantidad
Producida
pi
pi*xi
A
Q20.00
200
4000
B
Q12.00
100
1200
C
Q8.00
50
400
350
5600
Total
n
Xp =
p x
i =1
n
i
i
p
i =1
i
=
5600
= Q16.00
350
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
Rango o amplitud
Constituye la media de dispersión más simple y su valor se obtiene
efectuando la resta entre el valor mayor y el valor menor de un conjunto de
datos.
Rango = xmáx − xmin
Presenta el inconveniente de solamente llevar en consideración los valores
extremos del conjunto de datos.
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
Desviación Media
Es una medida que consiste en el cálculo del promedio de los valores
absolutos de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media
aritmética.
n
___
X−X
DM = i =1
n
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
n
X−X
Desviación Media
DM = i =1
Ejemplo:
X(i) = 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
Xi
Xi - X
│Xi – X │
6
-6
6
8
-4
4
-2
2
12
0
0
14
2
2
16
4
4
18
6
6
∑
0
24
10
___
X (promedio)
12
n
DM = 24/7 = 3.43
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
VARIANZA (variancia):
La varianza se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones
de las observaciones con respecto a la media.
n
1
 2 =  (xi −  )2
N i =1
___ 2
1


s =
x
−
x



i
n − 1 i =1 

2
n
Grados de libertad : El número de
valores
que
podemos
elegir
libremente en una muestra
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
Aunque la varianza es una de las medidas estadísticas más importantes
presenta dos ligeros problemas:
• El primero consiste en que al elevar al cuadrado las desviaciones para
promediarlas generalmente estas desviaciones se sobredimensionan
• El segundo consiste en que al elevar al cuadrado las dimensiones se elevan
al cuadrado las unidades dimensionales la cual muchas veces resulta en
un problema de interpretaciones.


 Xi 
N
2
 i =1 
X
−

i
N
 2 = i =1
N
N
2


 Xi 
N
2
 i =1 
X
−

i
n
s 2 = i =1
n −1
N
2
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
Desviación Estándar:
Es una medida de dispersión que consiste en calcular la raíz cuadrada positiva
de la varianza.


 Xi 
N
2
 i =1 
X
−

i
N
 = i =1
N
N
2


X
 i 
N
2
 i =1 
X
−

i
n
s = i =1
n −1
N
2
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
Ejemplo:
En la siguiente tabla se presentan los datos referentes a la duración
(expresada en horas) de 15 focos, de los utilizados en la producción de pollos
de engorde.
180
190
190
205
210
210
220
250
250
265
280
310
330
350
370
Calcular la varianza y la desviación estándar muestral
s2 =
___ 2
1


x
−
x
 i


n − 1 i =1 

n
15
1
2
𝑠 =
෍ 𝑥𝑖 − 254 2
15 − 1
𝑖=1
𝑠2 =
1
53510
14
𝑠 2 = 3822.1429
Intervalo = 254 + 61.82 = 315.82
254 - 61.82 = 192.18
2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
Coeficiente de variación:
Mide la variabilidad porcentual de datos respecto a su media. Esta es una
medida de dispersión relativa que tiene varios propósitos, entre ellos:
• Comparar el grado de variación o de heterogeneidad que exista entre dos
o más conjuntos de datos que correspondan a diferente variable.
• comparar el grado de variación entre dos conjuntos de datos que, aunque
sean de la misma variable sus magnitudes son significativamente
diferentes.
S
C .V = ____ *100 = %
X
C .V =

*100 = %

2.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS SIN AGRUPAR
Ejemplo:
Si en un estudio sobre aspectos nutricionales en una comunidad se
tomaron las variables de estudio, peso corporal de adultos y peso
corporal de niños; y se desean comparar los resultados de dichas
variables. Los resultados se resumen a continuación.
• Adultos x= 138 libras
y
s = 22 lbs.
• Niños
x= 86 libras
y
s = 18 lbs.
Si se comparan las variaciones solamente observando las desviaciones
estándar podría concluirse erróneamente que los adultos presentan
mayor variación; sin embargo, al calcular los coeficientes de variación,
los resultados son:
Adultos= 15.94%
Niños = 20.93%
EJERCICIO
• Se realizó un estudio en una escuela para determinar niveles de nutrición
en los niños, entre las variables medidas estuvieron X1= estatura (cm.) X2=
peso (lb.); se toma una muestra de 12 niños y los resultados de esta
variable fueron los siguientes:
Estatura
• X1 = 112cm., 104cm., 116cm., 108cm., 121cm., 112cm., 103cm., 122cm.,
107cm., 119cm., 110cm., 119cm.
Peso
• X2 = 103lb., 109lb., 117lb., 96lb., 128lb., 107lb., 121lb., 97lb., 107lb.,
112lb., 114lb., 121lb.
Con esta información calcule las principales medidas estadísticas
descriptivas
2.3.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
• Muchas veces es necesario realizar estudios estadísticos con
determinados conjuntos de observaciones en donde el número de
datos bajo estudio es relativamente alto.
• Con el objeto de sintetizar la información y simplificar su
interpretación se recomienda muchas veces utilizar una técnica de
agrupar los datos en un conjunto de intervalos contiguos que no se
traslapen de tal manera que cada valor de una observación pueda
ser incluido en uno y solamente en un intervalo, a estos intervalos
se les llama intervalo de clase.
2.3.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
• Una de las primeras preguntas que surge es
en relación a ¿Qué número de intervalos
debería usar?, en este sentido no es
conveniente
establecer
muy
pocos
intervalos puesto que existiera pérdida de
información, tampoco es conveniente
establecer muchos intervalos puesto que no
se logra el objetivo de síntesis.
• La mejor decisión puede lograrse con el
conocimiento mismo que el investigador
tenga de la información, una guía que
podría utilizarse corresponde a la fórmula
de Sturges.
K = 1 + 3.32 log10 n
Donde :
k = número de int ervalos de clase
n = número de observaciones(datos)
2.3.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
• La otra pregunta que surge se relaciona a la determinación o
amplitud de los intervalos guía:
W=
R
K
Donde :
R = Rango
K = número de int ervalos de clase
2.3.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
LA = Límite aparente (de clase):
LA
LR
LAi = Límite aparente inferior.
LAi - LAs LRi - LRs
LAs = Límite aparente superior.
LR = Límite real.
LRi = Límite real inferior
LRs = Límite real superior
fi = Frecuencia.
fa = Frecuencia acumulada.
fr = Frecuencia relativa = fr =
fi
n
mi = Marca de clase o punto medio = mi =
LRi + LRs
2
fi
fa
fr
mi
fimi
mi2fi
Ejemplo:
Se realizó un estudio para determinar la productividad de la
variedad de papa Loman, los resultados obtenidos en libras por
parcela, en 57 parcelas fueron los siguientes:
68, 65, 12, 22, 63, 43, 32, 43, 42, 25, 49, 27, 27, 74, 38, 49, 30,
51, 42, 28, 36, 36, 27, 23, 28, 42, 31, 19, 32, 28, 50, 46, 79, 31,
38, 30, 27, 28, 21, 43, 22, 23, 16, 49, 23, 45, 24, 12, 24, 12, 69,
25, 57, 47, 44, 51, 23.
LA
LR
LAi - LAs LRi - LRs
fi
fa
fr
mi
fimi
mi2fi
Resolución
K = 1 + 3.32 log10 n
Donde :
k = número de int ervalos de clase
n = número de observaciones(datos)
K = 1 + 3.32log(57)
K = 6.829 ≈ 7 clases
Amplitud
W=
R
K
Donde :
R = Rango
K = número de int ervalos de clase
W = (79-12)/7
W = 9.57≈ 10
Ejemplo:
Clase
LA
LAi - LAs
LR
LRi - LRs
fi
fa
fr
mi
fimi
mi2fi
1
10 – 19
9.5 – 19.5
5
5
0.0877
14.5
72.5
1051.25
2
20 – 29
19.5 - 29.5
19
24
0.3333
24.5
465.5
11404.75
3
30 – 39
29.5 – 39.5
10
34
0.1754
34.5
345
11902.5
4
40 – 49
39.5 – 49.5
13
47
0.2281
44.5
578.5
25743.25
5
50 – 59
49.5 – 59.5
4
51
0.0702
54.5
218
11881.0
6
60 – 69
59.5 – 69.5
4
55
0.0702
64.5
258
16641.0
7
70 - 79
69.5 – 79.5
2
57
0.0351
74.5
149
11100.5
2086.5
89724.25
57
2.3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
Media Aritmética
k
____
 fimi
X = i =1k
 fi
i =1
____
𝑋
2086.5
= 57
____
𝑋 =36.605lb/parcela
2.3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
Mediana
n

 − fa 
*i
Me = LRi +  2
 fm 


Donde :
LRi = Límite real inf erior de la clase mediana
fa = Frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fm = Frecuencia absoluta de la clase mediana
i = Amplitud o tamaño del int ervalo
𝑀𝑒 = 29.5 +
28.5 − 24
∗ 10
10
𝑀𝑒 = 34 𝑙𝑏/𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎
2.3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
Moda
 1 
 * i
Mo = LRi + 

+

2 
 1
Donde :
LRi = Límite real inf erior de la clase mod al
1 = Diferencia de Frecuencia de la clase mod al y frecuencia de la clase anterior
 2 = Diferencia de Frecuencia de la clase mod al y frecuencia de la clase posterior
i = Amplitud o tamaño del int ervalo
𝑀𝑜 = 19.5 +
14
∗ 10
14 + 9
𝑀𝑜 = 25.58 𝑙𝑏/𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎
2.3.3 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA
DATOS AGRUPADOS
VARIANZA
( fimi )
fimi
−

2
2
2 =
n −1
n
2086.5 2
89,724.25 −
57
2
𝑠 =
56 − 1
𝑠 2 =238.34 lb2
Desviación Es tan dar
 = 
2

C.V =
*100 = %

s = 𝑠2
s = 238.34
𝐶. 𝑉 =
15.44
∗ 100
36.605
s = 15.44 lb
𝐶. 𝑉 = 42.18%
EJERCICIO
• En la siguiente tabla se presentan los datos de producción de
resina (expresado en Kg) de 40 árboles de Pinus elliotti
0.71 1.53 1.94 2.16 2.39 2.67 3.06 3.34 3.57 3.93
0.75 1.57 2.04 2.16 2.48 2.75 3.09 3.37 3.63 3.94
1.20 1.67 2.06 2.18 2.48 2.77 3.26 3.55 3.69 4.05
1.42 1.80 2.06 2.22 2.63 2.78 3.32 3.56 3.77 5.41
• Calcular las medidas de tendencia central y de dispersión:
RESPUESTAS
Medida
Resina Kg
Media
2.70 kg
Mediana
2.64 kg
Moda
2.45 kg
Varianza
0.901 kg2
Desviación estándar
0.95 kg
Coeficiente de variación
35.08%
2. 4 GRÁFICAS ESTADÍSTICAS
Son herramientas que nos permiten representar resultados de manera más
ilustrada y con mayor facilidad de interpretación que cuando se hace a través
de datos numéricos de tablas o cuadros.
Existen diferentes tipos de graficas que se ajustan a aplicaciones y objetivos
diferentes sin embargo la mayoría poseen en común los siguientes
elementos:
• Titulo general o principal
• Titulo de ejes
• Contenido de la grafica
– Escala
– Variable
• Referencias
2. 4 GRAFICAS ESTADISTICAS
Principales tipos de gráficas:
2.4.1 PICTOGRAMAS
Son gráficas sencillas que representan datos muy aproximados utilizando
símbolos o figuras sencillas, sugerentes, relacionadas con la variable que se
represente. Están diseñados para público con poca experiencia en la
interpretación de gráficas.
Figura 5. (Pictograma) Número de socios de la Cooperativa “ENCA Grande”
durante los años 2005 al 2007.
2. 4 GRAFICAS ESTADISTICAS
2.4.2 GRAFICA DE LÍNEAS
Este tipo de grafica se utiliza para representar tendencias en el tiempo o en el espacio
de determinadas variables. Se recomienda no utilizar este tipo de graficas para
representar mas de cinco variables por la confusión que podría provocar el cruce de
líneas.
Ejemplo de gráfica de líneas
2. 4 GRAFICAS ESTADISTICAS
2.4.3 GRAFICA DE SECTORES, CIRCULAR O DE PASTEL
Es una gráfica sencilla que se utiliza cuando se desea representar una sola
variable y se basa en la distribución del todo en diferentes segmentos de la
circunferencia de acuerdo a la magnitud de los valores de las diferentes
categorías de la variable. Se construye haciendo corresponder el 100% de la
suma de los valores de la variable con 360o de circunferencia y distribuyendo
esos 360o de acuerdo al porcentaje de valores que presenta cada categoría.
2. 4 GRAFICAS ESTADISTICAS
Ejemplo:
Se realiza un estudio sobre la procedencia de los estudiantes de la ENCA
encontrándose que éstos provienen de 5 regiones del país clasificado de la
siguiente manera:
Procedencia
Número de
estudiantes
Porcentaje
Grados
Norte
37
13.75
49.5
Sur
46
17.10
61.6
Oriente
40
14.86
53.5
Occidente
62
23.04
83
Centro
84
31.22
112.4
269
100 %
360o
2. 4 GRAFICAS ESTADISTICAS
2. 4 GRAFICAS ESTADISTICAS
2.4.4 GRAFICA DE BARRAS
Es una de las más utilizadas, generalmente se usan para representar datos
categorizados de variables cualitativas o cuantitativas, pudiendo representar
una o más variables. Una variación de este tipo de gráfica lo constituye la
gráfica de barras apiladas, en donde para cada categoría los resultados por
variable se van colocando como segmentos de barra uno encima de otro.
Ejemplo:
Clase
LA
LAi - LAs
LR
LRi - LRs
fi
fa
fr
mi
fimi
mi2fi
1
10 – 19
9.5 – 19.5
5
5
0.0877
14.5
72.5
1051.25
2
20 – 29
19.5 - 29.5
19
24
0.3333
24.5
465.5
11404.75
3
30 – 39
29.5 – 39.5
10
34
0.1754
34.5
345
11902.5
4
40 – 49
39.5 – 49.5
13
47
0.2281
44.5
578.5
25743.25
5
50 – 59
49.5 – 59.5
4
51
0.0702
54.5
218
11881.0
6
60 – 69
59.5 – 69.5
4
55
0.0702
64.5
258
16641.0
7
70 - 79
69.5 – 79.5
2
57
0.0351
74.5
149
11100.5
2086.5
89724.25
57
2.3.3 GRAFICAS DE DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
2.3.3.1 HISTOGRAMA
Consiste en una gráfica de barras
apareadas
que
ilustra
la
distribución de las frecuencias de
las diferentes clases construidas
y se diseña en función de los
límites reales en el eje de las X y
las frecuencias absolutas en el
eje de las Y.
Histograma de frecuencias para la variable
rendimiento de papa en libras por parcela.
2.3.3 GRAFICAS DE DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
2.3.3.2
POLÍGONO
FRECUENCIAS
DE
Es otra gráfica que se utiliza para
representar la distribución de las
frecuencias de un conjunto de
observaciones correspondientes a
una variable en particular. Para
construirla se toma como base en el
eje de las X los puntos medios o
marcas de clase y en el eje de las Y
las
frecuencias
absolutas
correspondientes.
Polígono de frecuencia para la distribución
de frecuencia de la variable rendimiento
papa
Tarea: Investigar la gráfica de frecuencias acumuladas u ojiva.
2.3.3 GRAFICAS DE DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS