Syllabus: Introdução à Investigação Operacional 2024/2025 - Universidade de Lisboa

Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências Introdução à Investigação operacional 2024/2025 Carga horária: 2h teórica + 3h teórico-prática / semana Docentes: Francisco Canas Maria da Conceição Fonseca (Responsável) Pedro Martins Moura Ana Paias Objetivos gerais Introdução de problemas, modelos e técnicas próprios da Investigação Operacional. Programa I. Introdução • O que é Investigação Operacional (IO). • Breve contextualização histórica. • Exemplos ilustrativos de problemas de IO. • Fases de um projeto de IO—Discussão. II. Programação Matemática • Formulações em Programação Matemática. • Programação não linear: algumas noções elementares. • Programação linear (PL): introdução, exemplos e princípios. • Problemas de PL com duas variáveis de decisão. Resolução gráfica. Existência de soluções ótimas múltiplas. Problema impossível. Problema ilimitado. Análise de pós-otimização: Análise de sensibilidade para os coeficientes das variáveis na função objetivo; Análise de pósotimização envolvendo os termos independentes das restrições. • Utilização de um solver para resolução de problemas de programação liner. Análise de output. III. Grafos • Motivação: o problema das pontes de Königsberg e o problema de Hamilton. • Noções básicas de grafos. Conexidade. Caminhos e ciclos eulerianos e hamiltonianos. • Problema de caminho ótimo. Condições de existência e otimalidade. Equações recursivas. Um algoritmo para grafos sem circuitos. • Modelação de um problema como problema de caminho ótimo num grafo orientado. • Problema de Determinação de uma Árvore de Suporte num Grafo Não-Orientado. Motivação. Definições. Condição de Otimalidade. Algoritmo de Prim. IV. Planeamento de projetos • Problema de planeamento de projetos com uma relação de precedência-orientada entre atividade. Redes com atividades nos arcos. Acontecimentos. • Um modelo de Programação Linear para determinação do prazo mínimo de conclusão de um projeto. • Faseamento temporal de atividades: método CPM. Folgas e Caminho crítico. Cronograma e análise de sensibilidade. • Análise tempo/custo: a duração das atividades como decisão do problema. V. Problemas de afetação • Características gerais a algumas propriedades. • Esboço de um algoritmo para determinação da solução ótima. • Modelação de algumas situações com interesse prático. VI. Gestão de stocks • Componentes de um modelo de gestão de stocks. • O modelo determinístico básico. Exemplos. • Algumas extensões ao modelo determinístico básico. • Um modelo de revisão periódica. Bibliografia F. S. Hillier e G. J. Lieberman, Introduction to Operations Research, McGraw-Hill Education, Nova Iorque, EUA, 2020, 11ª edição. H. A. Taha, Operations Research: An Introduction, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2016, 10ª edição. W. L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms, International Thomson Publishing, Belmont, Califórnia, 2004, 4ª edição. Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025, 1º Semestre Introdução à Investigação Operacional Licenciaturas: Engenharia Informática, Engenharia Geoespacial, Tecnologia de Informação. Minor: Estatística e Investigação Operacional Maria da Conceição da Fonseca Departamento de Estatística e Investigação Operacional Gabinete: 6.4.19| E-mail mdfonseca@ciencias.ulisboa.pt 1 Introdução à Investigação Operacional Docentes: Francisco Canas Maria da Conceição Fonseca (Responsável) Pedro Moura Ana Paias Toda a informação referente a esta unidade curricular está no moodle Qualquer dúvida devem contactar os docentes nos gabinetes ou através do mail institucional 2 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programa 1. Introdução 2. Programação Matemática 3. Problemas em Grafos 4. Planeamento de projetos 5. Problemas de afetação 6. Gestão de stocks Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 Bilbliografia F. S. Hillier, G. J. Lieberman, <Introduction to Operations Research=, McGraw-Hill, 11ª Edição, 2020. H. A. Taha, <Operations Research: An Introduction=, Prentice Hall, 2016, 10ª edição. W. L. Winston, <Operations Research: Applications and Algorithms=, Cengage Learning, 4ª Edição, 2004. 4 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programa 1. Introdução 2. Programação Matemática 3. Problemas em Grafos 4. Planeamento de projetos 5. Problemas de afetação 6. Gestão de stocks Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Investigação Operacional O que é? Um pouco de História… ➢ 2ª Guerra Mundial (Operações militares) ▪ Desenvolvimento do radar ▪ Controle de fogo antiaéreo ▪ Dimensionamento de frotas ▪ Deteção de submarinos Slide 6 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Investigação Operacional O que é? ➢ Anos 1950 a 1970 (Operações de caráter económico) ▪ Gestão de recursos materiais e humanos ▪ Planeamento da produção industrial ▪… Slide 7 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Investigação Operacional O que é? ➢ Anos 1980 e 1990 (Novos tipos de aplicações) ▪ Gestão de recursos naturais ▪ Saúde ▪ Aplicações financeiras (8real options9) ▪… Slide 8 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Investigação Operacional O que é? ➢ Século XXI ▪ Implantação consumada nas mais diversas áreas de atividade mas … novos desafios: ✓ Globalização; ✓ Desenvolvimento sustentável; ✓ Informação…ou dados?! ✓ Industry 4.0 ✓ Internet of things Slide 9 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Economia Matemática Investigação Operacional Gestão ? IO consiste na representação de sistemas reais através da utilização de modelos matemáticos combinada com o uso de métodos quantitativos (algoritmos) para a resolução de tais modelos, com o objetivo de otimizar. Slide 10 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Grafos Operational Research Society (UK) <A IO consiste na aplicação do método científico a problemas complexos que ocorrem na direção e gestão de grandes sistemas de homens, máquinas, materiais e capital na indústria, no governo e na defesa. A abordagem característica da IO consiste no desenvolvimento de um modelo científico do sistema, incorporando fatores de probabilidade e risco, para prever e comparar o efeito de diferentes decisões, estratégias e controlos. O objetivo é o de auxiliar a gestão na tomada racional de decisões.= INFORMS (USA) – Institute for the Operations Research and Management Sciences <A IO dedica-se ao processo científico de decisão sobre a melhor conceção e operação de sistemas homem-máquina, normalmente em condições que requerem a alocação de recursos escassos.= Slide 11 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos APDIO – Associação Portuguesa de Investigação Operacional <Trata-se de uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais, em que se procura trazer para o campo da tomada de decisões (sobre a conceção, o planeamento ou a operação de sistemas) a atitude e os métodos próprios de outras áreas científicas. Através de desenvolvimentos de base quantitativa, a Investigação Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão, sem descurar no entanto os elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas.= Slide 12 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Alguns sites sobre IO Associação Portuguesa de Investigação Operacional http://www.apdio.pt The Association of European Operational Research Societies http://euro-online.org Institute for the Operations Research and Management Sciences http://www.informs.org The Operational Research Society http://www.theorsociety.com Diversos links na área de IO http://opsresearch.com Slide 13 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Alguns sites sobre IO Decision Support Puzzles for Applied Mathematicians http://www.puzzlor.com/ http://www.scienceofbetter.org/ Travelocity Slide 14 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante Um estafeta tem que visitar clientes em cinco pontos distintos da cidade de Lisboa: Lumiar, Parque Nações, Benfica, Algés e Docas. As distâncias entre os diferentes pontos são as seguintes: Distâncias (km) Lumiar P. Nações Benfica Algés Docas Lumiar 0 6 5 12 14 Parque Nações 6 0 10 16 15 Benfica 5 10 0 7 12 Algés 12 16 7 0 4 Docas 14 15 12 4 0 Pretende-se determinar a ordem pela qual se devem visitar os clientes de modo a minimizar a distância total percorrida. O ponto de partida do estafeta é o Lumiar, pelo que pretende iniciar e terminar as suas visitas nesse ponto Slide 15 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante Lumiar P. Nações Benfica Algés Docas Slide 16 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante Um processo para obter uma solução admissível: ✓ Partindo do Lumiar vai-se para o ponto mais próximo, que é Benfica; ✓ Daí, segue-se para o ponto mais próximo que ainda não foi visitado, que é Algés; ✓ … Distâncias (km) Lumiar P. Nações Benfica Algés Docas Lumiar 0 6 5 12 14 P. Nações 6 0 10 16 15 Benfica 5 10 0 7 12 Algés 12 16 7 0 4 Docas 14 15 12 4 0 Slide 17 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante 6 Lumiar P. Nações 5 Benfica 15 7 Algés 4 Docas Distância total percorrida: 37 km. Slide 18 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante A solução anterior constitui uma solução admissível (solução que verifica as restrições) para o problema Como ter a garantia de que se trata da melhor solução? solução ótima! Gerar todas as soluções admissíveis, calcular os respetivos custos e selecionar a melhor ?! Se o problema tiver n pontos Ā21 ! 2 Ā21 ! Se a matriz de distâncias for simétrica Se a matriz de distâncias for assimétrica !!! Slide 19 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante Lumiar Lumiar EXPO EXPO Benfica EXPO Benfica Benfica 37 57 Docas 43 Docas Algés Docas Algés Algés Lumiar Lumiar EXPO Lumiar EXPO Benfica EXPO Benfica Benfica 60 49 Docas Algés Lumiar 46 Docas Algés Docas Algés Slide 20 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante Lumiar Lumiar EXPO EXPO Benfica EXPO Benfica Benfica 52 58 Docas 44 Docas Algés Docas Algés Algés Lumiar Lumiar EXPO Lumiar EXPO Benfica EXPO Benfica Benfica 64 41 55 Docas Algés Lumiar Docas Algés Docas Algés Slide 21 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante William Cook Slide 22 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante Slide 23 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Problema do caixeiro viajante <The traveling salesman Problem. A computational study.= David L. Applegate, Robert E. Bixby, Vasek Chvátal, William J. Cook <In Pursuit of the Traveling Salesman=, William J. Cook Slide 24 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Problema de determinação de Rotas Ótimas Uma fábrica de refrigerantes possui um depósito, D, a partir do qual fornece 4 clientes. Num certo dia, as encomendas de cada um dos clientes são de 22, 25, 30 e 15 unidades respetivamente, para os clientes 1, 2, 3 e 4. Os custos de transporte (em unidades monetárias apropriadas) estão esquematizados no seguinte diagrama: 1 10 15 12 D 2 14 8 8 4 18 3 A capacidade máxima de cada um dos camiões disponíveis no depósito é de 50 unidades. Os camiões existentes no depósito são em número suficiente para satisfazer os pedidos dos clientes. Pretende-se determinar, para o dia em causa, as rotas que minimizam o custo total de transporte. Slide 25 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problema de determinação de Rotas Ótimas Exemplos de aplicação de IO Rotas em que há recolha de bicicletas em determinados pontos e reposição nos locais onde há falta Slide 26 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problema de determinação de Rotas Ótimas Recolha de Lixo Limpeza das ruas Distribuição do correio Slide 27 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Problemas de gestão florestal Talhão ou unidade de gestão menor unidade de uma floresta sobre a qual se tomam decisões A constituição dos diversos talhões tem a ver com múltiplos fatores: ➢ A pertença ou não ao mesmo dono ➢ Homogeneidade das árvores que o constituem ➢ Área total ➢… Slide 28 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Problemas de gestão florestal Problemas que surgem na gestão de uma floresta ▪ Corte de madeira com fins lucrativos mas tendo em conta: ✓ O impacto ambiental de grandes cortes; ✓ Uma boa gestão da limpeza das florestas de modo a prevenir os riscos de incêndio. ▪ Construção de vias de escoamento da madeira. ▪ Localização e construção de armazéns e de serrações. ▪ Instalação de postos de vigia para prevenção de incêndios. ▪ Gestão dos recursos de modo a proteger a biodiversidade. ▪… Slide 29 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Grafos Mata Nacional de Leiria ❑ pinho ❑ 574 talhões ❑ 8589 ha ❑ 70 anos ❑ 7 períodos de 10 anos cada Slide 30 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problemas de gestão florestal Um problemas de corte de talhões numa floresta Uma certa zona florestal foi dividida num conjunto de talhões. a c e b d g f Os talhões foram definidos de tal modo que podem ser completamente cortados. O tamanho dos talhões foi definido a priori e limitado a determinado valor de modo a que a clareira aberta não exceda um determinado tamanho (pois o corte aumenta a erosão, o impacto visual e a destruição de habitats). Pretende-se determinar os talhões a cortar numa dada altura de modo a maximizar o lucro mas assegurando que dois talhões adjacentes não são cortados nessa mesma altura. Assume-se que a madeira obtida com o corte é vendida na totalidade. Slide 31 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problemas de gestão florestal Um problemas de corte de talhões numa floresta a c e b d g f Talhão Lucro (u.m.) a 20 b 15 c 25 d 10 e 25 f 15 g A = {Talhões adjacentes} = {{a,b},{a,c},{b,c},{b,d}, {b,e},{b,f},{c,d},{d,f},{e,f},{e,g},{f,g}} 20 Soluções Admissíveis Cortar apenas um talhão: a, b, c, d, e, f ou g Cortar 2 talhões não adjacentes: {a, d}, {a, e}, {a, f}, {a, g}, {c, e}, {c, f}, {c, g}, {b, g}, {d, e} ou {d, g} Cortar 3 talhões não adjacentes: {a,d,e}, {a,d,g} Slide 32 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Problemas de gestão florestal Um problemas de corte de talhões numa floresta a c Cortar os talhões e b d g f c e b d g f lucro 20 u.m. d lucro 10 u.m. g lucro 20 u.m. a lucro 20 u.m. d lucro 10 u.m. e lucro 25 u.m. Lucro: 50 u.m. Cortar os talhões a a Lucro: 55 u.m. Slide 33 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento ➢ Uma empresa que faz entregas ao domicílio pretende ter uma viatura automóvel disponível durante os próximos dois anos. ➢ A empresa tem como opções unicamente dois modelos de viatura: A e B. ➢ Os custos de aquisição e operação / manutenção são diferentes. ➢ No fim do primeiro ano é possível trocar de viatura (ou por outra do mesmo modelo ou por uma do outro modelo), obtendo-se uma receita proveniente da venda. ➢ No fim dos dois anos a empresa venderá a viatura que tiver na altura. Slide 34 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento Custo de operação e manutenção Valor de venda Preço de aquisição No 1º ano de atividade No 2º ano de atividade 1 ano de atividade 2 anos de atividade Modelo A 600 300 400 350 210 Modelo B 300 500 600 170 130 Questões: 1. Que viatura adquirir de início; 2. Deve trocar-se de viatura no fim do primeiro ano? Se sim, para que modelo? Slide 35 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento Diferentes opções, árvore de decisão: Slide 36 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento Diferentes opções, árvore de decisão: Trocar por novo modelo A Trocar por novo modelo A Slide 37 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento Diferentes opções, árvore de decisão: Trocar por novo modelo A Trocar por novo modelo A Slide 38 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Associando custos: -210 -350+600+300 Trocar por novo modelo A -350 -170 -130 -170+600+300 -350 Trocar por novo modelo A -170 Slide 39 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento Associando custos: 400 -210 550 -350 450 900 -170 -130 800 600 -350 730 -170 630 Slide 40 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento 1300 Melhor sequência de decisões? 400 900 -210 550 1450 -350 450 900 min{1090,1100,1180, 1270,1180,1260} 1350 -170 800 1400 -130 1530 -350 600 800 730 -170 630 1430 Slide 41 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento 1300 Melhor sequência de decisões? 400 900 -210 550 450 900 1450 min{1090,1100,1180, -350 1270,1180,1260} 1350 -170 1400 800 600 800 1530 730 -130 -350 -170 630 1430 Comprar um carro modelo A e mantê-lo durante os dois anos Slide 42 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de aplicação de IO Um problema de aquisição e substituição de equipamento Outra representação: 400 Modelo A Com 1 ano Modelo A Com 2 anos -210 550 900 Modelo A Com 1 ano 450 -350 -170 600 800 730 Modelo B Com 1 ano 630 Modelo B Com 2 anos -130 Modelo B Com 1 ano Slide 43 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Fases de um projeto de IO 1. Identificação do problema; 2. Formulação de um modelo; 3. Validação do modelo; 4. Resolução do modelo; 5. Implementação; Slide 44 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Grafos Fases de um projeto de IO Problema Formulação Modelo // validação do modelo Algoritmo Solução numérica Implementação Slide 45 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programa 1. Introdução 2. Programação Matemática 3. Problemas em Grafos 4. Planeamento de projetos 5. Problemas de afetação 6. Gestão de stocks Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelar ou formular um problema 8Tradução9 do problema para uma linguagem9 mais conveniente para análise Representação através de uma rede Construção de um modelo matemático Problemas de caminho ótimo Árvores de suporte ótimas ... O problema é expresso através de um conjunto de expressões e relações matemáticas Outras possibilidades… Slide 47 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Conceitos iniciais Problema de programação matemática ou Problema de otimização Modelo matemático que se traduz pela otimização (maximização ou minimização) de uma função real de variáveis reais ou inteiras sujeita a um conjunto de restrições nessas variáveis A Programação Matemática é uma área que se dedica ao estudo de problemas deste tipo, nomeadamente ➢ Identificando as propriedades matemáticas do problema; ➢ Desenvolvendo e implementando algoritmos para resolver estes problemas; ➢ Aplicando estes algoritmos a problemas do dia-a-dia. Slide 48 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Conceitos iniciais Forma geral de um problema de programação matemática: minimizar f(x1,x2,...,xn) sujeito a (x1,x2,…xn) þ X maximizar f(x1,x2,...,xn) sujeito a (x1,x2,…xn) þ X X ý n f: n →  x1,x2,...,xn Variáveis do problema f(x1,x2,...,xn) Função objetivo (x1,x2,...,xn) þ X Condição que representa as restrições do problema Slide 49 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Conceitos iniciais Ponto (x1,x2,...,xn) þ X Solução admissível Conjunto de soluções admissíveis X Exemplo Maximizar z = 800x1+ 600x2 sujeito a 5x1+ 3x2 f 30 2x1 + 3x2 f 18 x1 + 3x2 f 24 x1 ó 0, x2 ó 0 Função objetivo (1,2) Restrições Uma solução admissível X Slide 50 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Conceitos iniciais Programação Matemática, várias sub-áreas: Programação não Linear; Programação linear; Programação linear Inteira Mista; Programação linear Inteira; Programação linear 0-1. <Reconhecimento= de uma função linear: função definida por um termo linear ou pela soma de vários termos lineares, entendendo-se como termo linear, a multiplicação de uma constante por uma variável. Exemplos 2x 2x+3y Funções lineares x2 x2+y2 Funções não lineares Slide 51 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Conceitos iniciais ➢ Define-se como problema de programação linear um problema de programação matemática em que todas as funções envolvidas são lineares e, além disso, todas as variáveis podem tomar valores fracionários; ➢ Quando algumas variáveis podem tomar valores fracionários e as restantes só podem tomar valores inteiros (continuando a assumir a linearidade de todas as funções envolvidas) estaremos no domínio da programação linear inteira mista; ➢ Numa situação em que todas as variáveis têm que tomar valores inteiros o problema dir-se-á de programação linear inteira. Um caso particular deste é aquele em que as variáveis só podem tomar os valores 0 ou 1, caso em que o problema será classificado como de programação linear 0-1. Slide 52 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Modelação Fases na formulação de um problema em programação matemática: i. Compreender e definir bem o problema; ii. Definir as variáveis de decisão (que decisão deve ser tomada), especificando ainda as unidades em que são consideradas; iii. Escrever as restrições do problema (utilizando as variáveis de decisão); iv. Escrever a função objetivo (em função das variáveis de decisão); v. Verificar a formulação, confrontando-a com o problema. Slide 53 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Modelação: exemplos Programação não linear Exemplo Quais as dimensões (comprimento e largura) do retângulo que tem área igual a 2m2 e perímetro mínimo? Variáveis de decisão: x1 Medida da base (metros) x2 Medida da altura (metros) x2 x1 Função objetivo: 2x1+2x2 Perímetro total min s. a: Restrições: x1x2=2 Área total = 2m2 x1ó0, x2ó0 Medidas não negativas z = 2x1+ 2x2 x1 x2 = 2 x1 ó 0, x2 ó 0 Slide 54 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelação: exemplos Programação linear inteira Exemplo Um campista tem uma mochila com uma capacidade máxima de 6 kg. O indivíduo tem um conjunto de objetos que gostaria de transportar na mochila. O valor que o indivíduo atribui a cada objeto e o respetivo peso são dados por: Objeto 1 2 3 4 ? Valor 7.5 4 3 3.5 Peso (kg) 4 3 2 1 Que objetos deve o campista por na mochila de forma a maximizar o valor total dos objetos escolhidos não excedendo a capacidade? ? Slide 55 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelação: exemplos Programação linear inteira Exemplo (continuação) Variáveis de decisão: ýÿ = ቊ 1 se se selecionar o objeto i 0 caso contrário i=1,2,3,4 Modelo de programação 0-1 Consideremos o objeto 2 (por exemplo): Peso do objeto 2 3 3 se se selecionar o objeto 2 3ý2 = ቊ 0 caso contrário Contribuição do objeto 2 para o peso total a transportar Valor do objeto 2 4 4ý2 = ቊ 0 4 se se selecionar o objeto 2 caso contrário Contribuição do objeto 2 para o valor total da mochila Slide 56 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelação: exemplos Programação linear inteira Exemplo (continuação) Função objetivo: 7.5x1 + 4x2 + 3x3 + 3.5x4 Valor dos objetos a transportar Restrições: 4x1 + 3x2 + 2x3 + 1x4 f 6 O peso dos objetos selecionados não pode exceder a capacidade da mochila x1 , x2 , x3 , x4 þ {0,1} As variáveis só podem tomar os valores 0 ou 1 Max z = 7.5x1+ 4x2 + 3x3 + 3.5x4 Max z = 7.5x1+ 4x2 + 3x3 + 3.5x4 s. a: 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 f 6 s. a: 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 f 6 0 f xi f 1, i=1,2,3,4 xi inteiro, i=1,2,3,4 xi þ {0,1} i=1,2,3,4 Slide 57 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelação: exemplos Exemplo Programação linear Uma empresa que comercializa refrigerantes possui 4 armazéns a partir dos quais faz a distribuição por 5 cafés de uma zona. Conhece-se a procura diária (em paletes) em cada um dos cafés, a disponibilidade diária (em paletes) em cada armazém e os custos de transporte (em unidades monetária) de cada palete entre os armazéns e os cafés. Custos de transporte Procura (em paletes) nos cafés Disponibilidade (em paletes) nos armazéns 68 95 54 86 77 54 67 90 62 55 92 54 60 85 70 90 68 84 57 78 1 2 3 4 5 25 40 15 30 25 1 2 3 4 40 60 30 20 Slide 58 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Pretende determinar-se como fazer a distribuição dos refrigerantes entre os armazéns e os cafés de modo a minimizar o custo total de transporte garantindo que as restrições são verificadas. Restrições Não exceder a disponibilidade (em paletes) dos armazéns Satisfazer a procura (em paletes) dos cafés Armazéns Variáveis Cafés 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Slide 59 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Custos de transporte 68 95 54 86 77 54 67 90 62 55 92 54 60 85 70 90 68 84 57 78 Slide 60 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Solução ótima Café 1 Café 2 Café 3 Café 4 Café 5 Disp. Armazém 1 25 0 15 0 0 40 40 Armazém 2 0 10 0 10 25 45 60 Armazém 3 0 30 0 0 0 30 30 Armazém 4 0 0 0 20 0 20 20 Procura Custo 25 25 40 40 15 15 30 30 25 25 6235 Slide 61 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Modelação: exemplos Programação linear Exemplo Uma empresa de recolha e reciclagem de material eletrónico pretende construir armazéns para a recolha do material na região de Lisboa. O gestor encarregue desta tarefa, juntamente com uma equipa técnica chegou à conclusão que existem disponíveis 5 potenciais locais para instalar os armazéns. A recolha do material eletrónico usado é feita em 8 locais e depois será transportada para os armazéns a construir. O custo de transporte (em unidades monetárias) por tonelada de material entre os locais de recolha e os potenciais locais de instalação dos armazéns é: Slide 62 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelação: exemplos Exemplo Programação linear O custo fixo de instalação de cada armazém é dado por: Potencial Local 1 Custo fixo 100 2 150 3 120 4 140 5 100 Slide 63 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelação: exemplos Programação linear Exemplo Toneladas de material eletrónico existente em cada ponto de recolha 1 2 3 4 5 6 7 8 30 15 25 35 10 20 20 15 Capacidade de cada armazém (em toneladas) 1 2 3 4 5 80 30 25 40 20 Pretende-se determinar os locais onde devem ser instalados os armazéns de forma a minimizar os custos totais de abertura dos serviços e de transporte de modo a garantir que todo o material eletrónico em cada ponto é recolhido e que não se excede a capacidade de cada armazém. Slide 64 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Decisões Onde instalar os armazéns Determinar como fazer o transporte do material eletrónico dos pontos de recolha para os armazéns instalados Variáveis Slide 65 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Toneladas de material eletrónico existente em cada ponto de recolha 30 1 2 3 4 5 6 7 8 30 15 25 35 10 20 20 15 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 Slide 66 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Capacidade de cada armazém (em toneladas) 1 1 1 2 3 4 5 2 2 80 30 25 40 20 3 3 4 4 80 5 5 6 7 8 Slide 67 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Potencial Local Custo fixo 1 100 2 150 3 120 4 140 5 100 Min Custos Totais=Custos de instalação + Custos de transporte Slide 68 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Modelação: exemplos Programação linear Exemplo Uma pequena refinaria de petróleo produz um tipo de gasolina e um tipo de gasóleo. Para tal, a refinaria utiliza três qualidades diferentes de petróleo bruto, as quais provêm, respetivamente, do Médio Oriente (MO), do Norte da Europa (NE) e da América do Sul (AS). Para produzir 1000 litros de gasolina é necessário utilizar 5 barris de petróleo proveniente do Médio Oriente, 2 barris de petróleo proveniente do Norte da Europa e 1 barril de petróleo proveniente da América do Sul. A produção de 1000 litros de gasóleo requer 3 barris de cada um dos diferentes tipos de petróleo. Diariamente, a refinaria dispõe de 30 barris de petróleo proveniente do Médio Oriente, 24 barris de petróleo proveniente do Norte da Europa e 18 barris de petróleo proveniente da América do Sul. Após uma prospeção de mercado é possível prever um lucro de € 800,00 por cada milhar de litros de gasolina e € 600,00 por cada milhar de litros de gasóleo. Pretende-se planear a produção diária de gasolina e gasóleo de forma a maximizar o lucro total obtido. Slide 69 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Modelação: exemplos Programação linear (diariamente) Médio Oriente (30 barris) Refinaria Gasolina Norte da Europa (24 barris) Gasóleo América do Sul (18 barris) Produção (diária) Petróleo Bruto Exemplo (continuação) 5 barris M. O. 2 barris N. E. 1 barril A. S. 1000 litros de gasolina Lucro de € 800,00 3 barris M. O. 3 barris N. E. 3 barril A. S. 1000 litros de gasóleo Lucro de € 600,00 ? Produção diária ? Maximização do lucro Gasolina / Gasóleo Slide 70 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Quantidade disponível de petróleo bruto M. O. (diariamente) 30 barris Quantidade disponível de petróleo bruto N. E. (diariamente) 24 barris Quantidade disponível de petróleo bruto A. S. (diariamente) Formulação: 18 barris 5 barris M. O. 2 barris N. E. 1 barril A. S. 1000 litros de gasolina 3 barris M. O. 3 barris N. E. 3 barril A. S. 1000 litros de gasóleo max s. a: z = 800x1+ 600x2 5x1 + 3x2 f 30 2x1 + 3x2 f 24 x1 + 3x2 f 18 x1, x2 g 0 Slide 71 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação linear (PL): generalidades Um problema de programação linear é um problema de otimização em que se pretende maximizar (ou minimizar) uma função linear nas variáveis de decisão (função objetivo), tendo os valores das variáveis de decisão que satisfazer um conjunto de restrições, as quais são equações lineares ou desigualdades lineares; a1x1 + a2x2 + … + anxn = b a1x1 + a2x2 + … + anxn f(g) b (a1,a2,…,an,b constantes) Slide 72 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Programação linear (PL): generalidades Exemplos de objetivos num problema de otimização ❖ Maximizar lucros ❖ Minimizar custos ❖ Maximizar o retorno de um investimento ❖ Minimizar o número de equipamentos ❖ Maximizar a satisfação dos clientes ❖ Maximizar a probabilidade de sobrevivência ❖ … Exemplos de restrições num problema de otimização ❖ Restrições relativas à capacidade de produção (máquinas, mão-de-obra) ❖ Restrições relativas à disponibilidade de matérias-primas ❖ Restrições relativas à procura e às limitações do mercado ❖ Restrições de equilíbrio ❖ … Slide 73 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação linear (PL): generalidades Um modelo de programação linear pressupões válidos as seguintes princípios: 1. 2. 3. 4. Proporcionalidade; Aditividade; Continuidade: Certeza. 1. Princípio da proporcionalidade A contribuição de cada variável de decisão para a função objetivo e para o termo esquerdo de uma restrição é proporcional ao valor dessa variável se 1 consome dá um lucro de a então x consome dá um lucro de ax Slide 74 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação linear (PL): generalidades Exemplo (problema da refinaria) 1ô1000 litros de gasolina € 800 de lucro x1ô1000 litros de gasolina € 800x1 de lucro 2. Princípio da aditividade A contribuição de cada variável de decisão para a função objetivo e para o termo esquerdo de uma restrição é independente dos valores das outras variáveis de decisão Exemplo (problema da refinaria) Z = 800x1 + 600x2 Lucro total = Lucro com gasolina + lucro com gasóleo Slide 75 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Programação linear (PL): generalidades 3. Princípio da continuidade As variáveis de decisão podem tomar valores fracionários Exemplo (problema da refinaria) x1 = 2,543 x2 = 2,7564 São valores possíveis para as variáveis de decisão Significam que devemos produzir 2543 litros de gasolina e 2756,4 litros de gasóleo (diariamente) 4. Princípio da certeza Nenhum parâmetro do problema (coeficientes das variáveis de decisão na função objetivo e nas restrições e termos independentes das restrições) está sujeito a incerteza. Slide 76 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Quando um problema de programação linear tem apenas duas variáveis de decisão pode ser representado/resolvido graficamente no plano definido pelas variáveis: i. Representa-se o conjunto de soluções admissíveis; ii. Determina-se a solução ótima. Slide 77 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (problema da refinaria) max s. a: z = 800x1+ 600x2 5x1 + 3x2 f 30 2x1 + 3x2 f 24 x1 + 3x2 f 18 x1, x2 g 0 Vamos começar por representar o conjunto de soluções admissíveis. As restrições de domínio (x1g0, x2g0) restringem o conjunto de soluções admissíveis ao primeiro quadrante Slide 78 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) x2 10 x1 ó 0 5 x2 ó 0 5 10 x1 Podemos agora introduzir / representar, uma a uma, as outras restrições do problema Slide 79 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica x2 Exemplo (continuação) Restrição 1 x1 ó 0 10 5x1 + 3x2 f 30 5 Semiplano limitado pela reta 5x1 + 3x2 = 30 x2 ó 0 x2 10 5 10 x1 x1 ó 0 5 5x1+3x2 30 x2 ó 0 5 10 5x1+3x2 = 30 Slide 80 x1 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) Restrição 2 x2 2x1 + 3x2 f 24 Semiplano limitado pela reta 10 x1 ó 0 5 2x1+3x2  24 2x1 + 3x2 = 24 (define dois semiplanos) x1 = 0 ⇒ x2 = 8 A reta passa no ponto (0,8) x2 = 0 ⇒ x1 = 12 A reta passa no ponto (12,0) x2 ó 0 5x1+3x2  30 5 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 O ponto (0,0) satisfaz a desigualdade com que estamos a trabalhar Então o semiplano que nos interessa é o que está 8abaixo9 da reta 2x1 + 3x2 = 24 Slide 82 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) Restrição 3 x1 + 3x2 f 18 x2 x1 ó 0 10 Semiplano limitado pela reta x1 + 3x2 = 18 2x1+3x2  24 x1 = 0 ⇒ x2 = 6 A reta passa no ponto (0,6) x2 = 4 ⇒ x1 = 6 A reta passa no ponto (6,4) 5 x1+3x2 = 18 x1+3x2  18 x2 ó 0 5x1+3x2  30 5 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 O ponto (0,0) satisfaz a desigualdade com que estamos a trabalhar Então o semiplano que nos interessa é o que está 8abaixo9 da reta x1 + 3x2 = 18 Slide 83 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) x2 10 5 x1+3x2 = 18 -5 5 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 Slide 84 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Função objetivo de um problema de PL com duas variáveis de decisão z = c1x1 + c2x2 c1 e c2 fixos (e conhecidos…) Slide 85 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Função objetivo de um problema de PL com duas variáveis de decisão z = c1x1 + c2x2 c1 e c2 fixos (e conhecidos…) Se z9 for um valor concreto para z então z9= c1x1 + c2x2 define uma reta. z = c1x1 + c2x2 Família de retas (uma para cada valor de z) O declive é igual para todas -c1/c2 (as retas são todas paralelas) x2 = -(c1/c2) x1 + z/c2 A ordenada na origem varia z/c2 Slide 86 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Função objetivo de um problema de PL com duas variáveis de decisão z = c1x1 + c2x2 x2 = -(c1/c2) x1 + z/c2 aumentar o valor de z equivale a aumentar a ordenada na origem da reta ou seja, a 8deslocar9 a reta para 8cima9; c2 > 0 diminuir o valor de z equivale a diminuir a ordenada na origem da reta ou seja, a 8deslocar9 a reta para 8baixo9; aumentar o valor de z equivale a diminuir a ordenada na origem da reta ou seja, a 8deslocar9 a reta para 8baixo9; c2 < 0 diminuir o valor de z equivale a aumentar a ordenada na origem da reta ou seja, a 8deslocar9 a reta para 8cima9; Slide 87 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica <Metodologia= para resolver graficamente um problema de PL: i. Representar graficamente o conjunto de soluções admissíveis; ii. Identificar e traçar uma reta da família c1x1 + c2x2 = z O mais simples é considerar z=0. O importante nesta fase é ficar a conhecer a inclinação (declive) comum de todas as retas desta família iii. Dependendo do sinal de c2 8desloca-se9 a reta traçada em (ii) o mais possível para 8cima9 ou para 8baixo9 mas dentro do conjunto de soluções admissíveis. O(s) 8último(s)9 ponto(s) encontrado(s) será(ão) a(s) solução(ões) ótima(s). Slide 88 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) Agora que o conjunto de soluções admissíveis já está identificado, passamos à determinação da solução ótima... Função objetivo: z = 800x1+ 600x2 x2 = -(800/600)x1+ z/600 x2 = -(4/3)x1+ z/600 z=0 ⇒ Para cada valor de z tem-se uma reta de declive -4/3 x2 = -(4/3)x1 Estamos a trabalhar com a reta formada por todas as soluções, pares (x1,x2), que dão à função objetivo valor 0 x2 = -(4/3)x1 x1 = 0 x1 = -3 ⇒ ⇒ x2 = 0 A reta passa no ponto (0,0) x2 = 4 A reta passa no ponto (-3,4) Slide 89 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) x2 10 5 x1+3x2 = 18 -5 5 z=0 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 Slide 90 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) Função objetivo: z = 800x1+ 600x2 x2 = -(800/600)x1+ z/600 x2 = -(4/3)x1+ z/600 z=2400 ⇒ x2 = -(4/3)x1+2400/600 Para cada valor de z tem-se uma reta de declive -4/3 Estamos a trabalhar com a reta formada por todas as soluções pares (x1,x2) - que dão à função objetivo o valor 2400 x2 = -(4/3)x1 + 4 Reta paralela a x2 = -(4/3)x1 …mas com ordenada na origem igual a 4 Slide 91 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) x2 Todos os pontos do segmento de reta de extremos (3,0) e (0,4) correspondem a soluções admissíveis que dão à função objetivo valor 2400 10 O aumento do valor de z de 0 para 2400 pode ser visto como um 8deslocamento9 da reta original 5 x1+3x2 = 18 Quanto maior o valor de z melhor! Quanto mais 8para cima9 deslocarmos a reta associada à função objetivo melhor! -5 5 z=0 z = 2400 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 Mas não podemos 8sair9 do conjunto de soluções admissíveis… Slide 92 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Exemplo (continuação) x2 10 Solução ótima x1 = 3 x2 = 5 Solução ótima: ቊ z = 5400 Devemos produzir diariamente ý =3 5ý1 + 3ý2 = 30 ⇔ ቊ 1 ý2 = 5 ý1 + 3ý2 = 18 ÿ = 800 × 3 + 600 × 5 = 5400 5 3000 litros de gasolina 5000 litros de gasóleo x1+3x2 = 18 Lucro diário (máximo) € 5400,00 -5 5 z=0 z = 2400 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 Todo o petróleo M.O. e A. S. é utilizado... Sobram 3 barris de petróleo N. E. Slide 93 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Definição Resolução gráfica Define-se como restrição redundante uma restrição cuja remoção não altera o conjunto das soluções admissíveis. x Exemplo (problema da refinaria) 2 10 A restrição 2 (que estabelece que a quantidade utilizada diariamente de petróleo N. E. não pode exceder a quantidade disponível) é redundante. Observação O facto de uma restrição ser redundante não significa que possa simplesmente ser retirada do problema pois tal restrição estabelece uma limitação concreta e, por isso, pode ter um papel a desempenhar se houver alguma alteração nos parâmetros. -5 2x1+3x2 = 24 5 x1+3x2 = 18 5 5x1+3x2 = 30 10 x 1 Slide 94 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica Definição Define-se como restrição ativa num ponto uma restrição que é satisfeita com igualdade por esse ponto. Se tal não acontecer, a restrição diz-se não ativa no ponto considerado. Exemplo (problema da refinaria) Consideremos o ponto que define a solução ótima x1=3 x2=5 5x1 + 3x2 f 30 5×3+ 3×5 = 30 Restrição 1 A restrição 1 é ativa no ponto ótimo Todo o petróleo M.O. disponível diariamente é utilizado Restrição 2 2x1 + 3x2 f 24 2×3+ 3×5 = 21 < 24 A restrição 2 não é ativa no ponto ótimo Diariamente sobram 3 barris de petróleo N. E. Restrição 3 x1 + 3x2 f 18 3+ 3×5 = 18 A restrição 3 é ativa no ponto ótimo Todo o petróleo A. S. disponível diariamente é utilizado Slide 95 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica: casos particulares Quando um problema de programação matemática tem mais do que uma solução ótima dizemos que há soluções ótimas alternativas. Graficamente, essa situação ocorre quando, após se ter 8deslocado o mais possível9 a reta associada à função objetivo, há mais do que um ponto admissível a pertencer à 8última9 reta traçada. Exemplo Consideremos o problema da refinaria mas vamos admitir que o lucro obtido com 1000 litros de gasolina é de € 1000,00 e não de € 800,00. O problema a resolver é o seguinte: max z = 1000x1 + 600x2 s. a: 5x1 + 3x2 f 30 2x1 + 3x2 f 24 x1 + 3x2 f 18 x1, x2 g 0 Slide 96 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica: casos particulares Exemplo (continuação) x2 Graficamente tem-se 10 A (3,5) B (6,0) Soluções ótimas: AB ÿ = 1000 × 3 + 600 × 5 = 6000 5 A x1+3x2 = 18 B -5 5 z=0 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 As retas associadas à função objetivo têm declive -5/3, que é precisamente o declive da reta 5x1 + 3x2 = 30 Slide 97 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica: casos particulares Problema ilimitado. Exemplo Consideremos o seguinte problema de PL que resulta de modificar os sentidos das desigualdades nas restrições do problema da refinaria. max z = 800x1 + 600x2 s. a: 5x1 + 3x2 g 30 2x1 + 3x2 g 24 x1 + 3x2 g 18 x1, x2 g 0 Slide 98 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica: casos particulares Exemplo (continuação) Graficamente tem-se x2 10 problema ilimitado x1 ó 0 5x1+3x2 ó 30 2x1+3x2 ó 24 5 z = 10800 x1+3x2 ó 18 x2 ó 0 z = 7200 -5 5 z=0 z = 2400 10 5x1+3x2 = 30 x1 x1+3x2 = 18 2x1+3x2 = 24 Slide 99 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica: casos particulares O problema só pode ser ilimitado se a região admissível for ilimitada. Mas a região pode ser ilimitada e o problema ter um ponto ótimo finito. x2 10 x1 ó 0 5x1+3x2 ó 30 2x1+3x2 ó 24 Min min z = 800x1 + 600x2 s. a: 5x1 + 3x2 g 30 2x1 + 3x2 g 24 x1 + 3x2 g 18 x1, x2 g 0 Max z = 10800 5 x1+3x2 ó 18 z =5600 x2 ó 0 -5 5 10 5x1+3x2 = 30 x1 x1+3x2 = 18 2x1+3x2 = 24 Slide 100 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica: casos particulares Quando as restrições de um problema de PL são incompatíveis, o problema diz-se impossível. Exemplo Consideremos o problema da refinaria mas invertendo o sentido da segunda desigualdade. max z = 800x1 + 600x2 s. a: 5x1 + 3x2 f 30 2x1 + 3x2 g 24 x1 + 3x2 f 18 x1, x2 g 0 Slide 101 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Resolução gráfica: casos particulares Exemplo (continuação) Graficamente tem-se x2 10 x1 ó 0 2x1+3x2 ó 24 5 x1+3x2 = 18 x1+3x2  18 x2 ó 0 5x1+3x2  30 5 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 Slide 102 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização Análise pós-otimização Análise feita após se ter obtido a solução ótima do problema Para quem toma decisões é muitas vezes útil perceber de que forma uma decisão, que é a melhor para uma certa concretização dos parâmetros, poderá variar com alterações nos mesmos. Vamos ver como responder a questões do tipo: ➢ Será possível melhorar o valor ótimo do problema se modificarmos o termo independente de alguma restrição? ➢ Qual será o impacto na solução ótima se alterarmos o coeficiente de uma variável na função objetivo? Slide 103 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização Petróleo Bruto (diariamente) Exemplo (Problema da refinaria) Modelo Matemático Médio Oriente (30 barris) Max Norte da Europa (24 barris) s. a: América do Sul (18 barris) Gasolina Gasóleo Questões Será possível aumentar o lucro se dispusermos de maior quantidade de algum dos tipos de petróleo bruto? E de quanto é que vai aumentar o lucro ? z = 800x1+ 600x2 5x1 + 3x2 f 30 2x1 + 3x2 f 24 x1 + 3x2 f 18 x1, x2 g 0 Se for alterado o lucro por unidade obtido com a produção de um dos tipos de produtos será que o plano de produção ótimo se mantém ? Slide 104 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Restrições de desigualdade num problema de PL com duas variáveis: a1x1 + a2x2 g b a1x1 + a2x2 f b Alteração do termo independente Se b variar  unidades Semiplanos limitados pela reta a1x1 + a2x2 = b Alteração do semiplano em causa Alteração da reta que define o semiplano a1x1 + a2x2 = b+ Nova reta que define o semiplano Pode ser vista como um 8deslocamento9 da reta anterior Slide 105 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Consideremos um problema de PL e suponhamos que já tínhamos determinado o ponto ótimo. Restrição do problema É satisfeita com igualdade no ponto ótimo Ativa no ponto ótimo Uma alteração do termo independente pode alterar a solução ótima do problema e o valor ótimo Não é satisfeita com igualdade no ponto ótimo Não ativa no ponto ótimo Uma alteração 8controlada9 do termo independente não altera a solução ótima do problema nem o valor ótimo Slide 106 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Alteração do termo independente de uma restrição ativa no ponto ótimo: Restrição 1 Restrição 1 a1x1 + a2x2 = b Solução ótima Restrição 3 a1x1 + a2x2 = b+ a1x1 + a2x2 = b Nova solução ótima Soluções admissíveis Restrição 3 Soluções admissíveis Restrição 2 Restrição 2 Há alteração da solução ótima (e possivelmente do valor ótimo...)! Slide 107 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Alteração (ligeira) do termo independente de uma restrição não ativa no ponto ótimo: Restrição 1 Solução ótima Restrição 3 a1x1 + a2x2 = b Restrição 3 Restrição 1 Soluções admissíveis Solução ótima Restrição 2 a1x1 + a2x2 = b+ Restrição 3 a1x1 + a2x2 = b Soluções admissíveis Restrição 2 Não há alteração da solução ótima (nem do valor ótimo)! Slide 108 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Definição Designa-se por valor marginal (associado a uma restrição), a taxa de variação (instantânea) do valor ótimo do problema se houver um aumento no termo independente. Observações Frequentemente, o valor marginal pode determinar-se avaliando a variação sofrida pelo valor ótimo se o termo independente em causa aumentar uma unidade. Nesta disciplina vamos sempre estudar casos em que assim é. Se uma restrição estabelecer uma limitação na disponibilidade de um recurso, o valor marginal indica-nos o que ganhamos se conseguirmos uma unidade adicional do recurso. Ficamos a saber o que se justifica 8pagar9 por tal unidade adicional. Neste caso, o valor marginal também se designa por preço sombra do recurso. Slide 109 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Exemplo (Problema da refinaria) x2 Max z = 800x1 + 600x2 s. a: 10 5x1 + 3x2 f 30 (M.O.) 2x1 + 3x2 f 24 (N.E.) x1 + 3x2 f 18 (A. S) Solução ótima: x1 = 3 5x1 + 3x2 = 30 x1 + 3x2 = 18 x1, x2 g 0 5 x2 = 5 z= 800× 3 + 600 × 5 = 5400 x1+3x2 = 18 Restrições ativas no ponto ótimo 5ý1 + 3 ý2 = 30 ý1 + 3 ý2 = 18 -5 5 z=0 10 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 Slide 110 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Exemplo (Problema da refinaria) Valor marginal da restrição 1 (Restrição 5x1 + 3x2 f 30 ) =? Esta restrição é ativa no ponto ótimo (3,5) 5×3 + 3×5 = 30 (Petróleo M.O.) Todo o petróleo M. O. disponível diariamente é utilizado! Então um aumento na quantidade disponível de petróleo M. O. poderá permitir um lucro ainda maior... Suponhamos que em vez de 30 barris por dia tínhamos 31 Slide 111 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Exemplo (continuação) Lucro ótimo: 5400 x2 5550 10 Um barril adicional de petróleo M. O. Permitiu um aumento de €150 no lucro ótimo Nova solução ótima: ቊ Valor marginal da restrição 1 5 ý = 13Τ4 5ý1 + 3ý2 = 31 ⇔ ቊ 1 ý1 + 3ý2 = 18 ý2 = 59Τ12 ÿ = 5550 x1+3x2 = 18 150 Valor máximo que estaremos dispostos a pagar por um barril adicional de petróleo M. O. -5 5 z=0 10 5x1+3x2 = 31 5x1+3x2 = 30 x1 2x1+3x2 = 24 Slide 112 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Uma questão que se coloca após se determinar o valor marginal de uma restrição consiste em saber se essa valorização que é estabelecida para o recurso ou fator associado à imposição que levou à restrição, se mantém, independentemente da alteração sofrida pelo termo independente. Limite de validade de um valor marginal ou intervalo para o termo independente no qual o valor marginal se mantém Slide 113 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Valor marginal de uma restrição: VM O valor marginal pode ser positivo, negativo ou nulo Se VM é positivo o aumento de uma unidade no termo independente provoca um acréscimo de VM no valor ótimo e a diminuição de uma unidade no termo independente provoca um decréscimo de VM no valor ótimo Se VM é negativo o aumento de uma unidade no termo independente provoca um decréscimo de VM no valor ótimo e a diminuição de uma unidade no termo independente provoca um acréscimo de VM no valor ótimo A questão que se põe é de quanto podemos aumentar (diminuir) o termo independente de uma restrição de modo a que o valor marginal se mantenha. Slide 114 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Resultado (Não vamos demonstrar) ➢ Os valores marginais das restrições de um problema de programação linear mantêm-se enquanto o conjunto de restrições ativas no ponto ótimo não se alterar. ➢ Poder-se-ão ainda manter (mas não necessariamente) se o conjunto de restrições se alterar. Slide 115 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Determinação dos limites de validade de um valor marginal Sempre que analisarmos um termo independente vamos assumir que os outros se mantêm inalterados Determina-se o intervalo de valores para o termo independente dessa restrição de forma que o conjunto de restrições ativas não se altere. Quando se pretende avaliar a variação na função objetivo associada a uma alteração no termo independente da restrição, incluímos os extremos do intervalo. Slide 116 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Exemplo (Problema da refinaria) Restrição 1 x2 5x1 + 3x2 f 30 Restrições ativas no ponto ótimo 10 Valor marginal da restrição 1 = 150 Restrição 1 Restrição 3 Alteração do termo independente da reta associada à restrição 1 Ponto ótimo 5 x1+3x2=18 8Deslocamento9 da reta 5x1 + 3x2 = 30 -5 5 z=0 10 5x1+3x2=30 x1 2x1+3x2=24 Slide 117 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes x2 + - Enquanto a reta não atingir P ou P as restrições ativas no ponto ótimo mantêm-se a 1ª e a 3ª 10 P - P + (6,4) 5 P + x1+3x2=18 P - (0,6) -5 5 z=0 Ponto de intersecção das retas 2x1 + 3x2 = 24 e x1 + 3x2 = 18 10 Ponto de intersecção das retas x1 = 0 e x1 + 3x2 = 18 x1 2x1+3x2=24 Slide 118 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: termos independentes Exemplo (continuação) x2 5x1 + 3x2 = b - b = 18 -= P (0,6) 5x1 + 3x2 = b P += (6,4) 10 + + b = 42 P - 5 P Para 18 < b < 42 o valor marginal da primeira restrição mantém-se 150 Justifica-se adquirir até 12 (=42-30) barris adicionais de petróleo MO. + x1+3x2=18 -5 5 z=0 10 x1 2x1+3x2=24 (desde que o preço a pagar por cada barril extra não exceda 150 €) Slide 119 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Função objetivo de problema de PL com duas variáveis: z = c1x1 + c2x2 x2 = (-c1/c2)x1 + z/c2 Alteração de c1 ou c2 Alteração do declive das retas associadas à função objetivo Alteração de c2 Pode alterar-se o sentido da otimização (8deslocamento9 para cima ou para baixo da reta associada à função objetivo) Neste caso, em geral, o ponto ótimo vai mudar ? Para que valores de c (ou c ) a solução ótima não se altera ? 1 2 Neste tipo de análise, vamos estudar cada um dos coeficientes assumindo que o outro se mantém inalterado Slide 120 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Mantendo-se o sentido da otimização Declive das retas associadas à função objetivo Têm que ser comparados Declives das retas que definem o ponto ótimo ➢ Quando há apenas duas restrições ativas no ponto ótimo, teremos que considerar os dois declives das retas correspondentes a essas restrições. ➢ Se houver mais do que duas restrições ativas no ponto ótimo teremos que considerar os declives das duas retas que definem a região admissível em torno do ponto ótimo. Slide 121 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Condição necessária para que a solução ótima se mantenha Retas cujo declive está entre o declive das restrições ativas Intervalo de variação para c1 (supondo c2 inalterado) 8restrição9 8restrição9 m2 m1 Solução ótima A solução ótima mantém-se Soluções admissíveis m2  -c1/c2  m1 A resolução desta dupla inequação em ordem a c1 dá-nos o intervalo de variação para c1 de forma a que a solução ótima não se altere Slide 122 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Intervalo de variação para c2 (supondo c1 inalterado) 8restrição9 8restrição9 m1 m2 Suponhamos que otimizar equivale a 8deslocar9 para 8cima9 a reta associada à função objetivo. Solução ótima Soluções admissíveis Se c2 mudar de sinal, o sentido da otimização pode mudar – otimizar passa a equivaler a deslocar para baixo a reta associada à função objetivo 8restrição9 A solução ótima mantém-se 8restrição9 m1 m2 Solução ótima m1  -c1/c2  m2 e c2 mantém o sinal A resolução desta dupla inequação em ordem a c2 dá-nos o intervalo de variação para c2 de forma a que a solução ótima não se altere Soluções admissíveis Slide 123 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Observação O facto de a solução ótima não se alterar quando se modifica um coeficiente de uma variável na função objetivo, não significa que tudo se mantenha na mesma. O valor da solução altera-se com uma alteração no coeficiente de uma variável na função objetivo A um intervalo de variação de um coeficiente na função objetivo estará associado um intervalo de variação para o valor ótimo do problema. Slide 124 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Exemplo (Problema da refinaria) Função objetivo z = 800x1 + 600x2 Sentido da otimização x2 A reta associada à função objetivo é 8deslocada9 para cima 10 Questões: ▪ Que valores pode tomar o coeficiente de x1 (supondo inalterado o coeficiente de x2) de forma que o ponto (3,5) continue a ser ótimo? Ponto ótimo 5 x1+3x2=18 -5 5 z=0 10 5x1+3x2=30 x1 2x1+3x2=24 Slide 125 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Exemplo (continuação) ❑ Intervalo de variação para o coeficiente de x1 de forma a que a solução ótima se mantenha Função objetivo Declive da reta 5x1 + 3x2 = 30 z = c1x1 + 600x2 x2 = -(c1/600)x1 + z/600 ≤ Declive da função objetivo ≤ Declive da reta x1 + 3x2 = 18 -5/3 ≤ -(c1/600) ≤ -1/3 200 ≤ c1 ≤ 1000 Se o lucro obtido com 1000 litros de gasolina estiver entre € 200,00 e € 1000,00 a solução ótima consistirá em produzir (diariamente) 3000 litros de gasolina e 5000 litros de gasóleo. c1 = 200  z = 200ô3 + 600ô5 = 3600 c1 = 1000  z = 1000ô3 + 600ô5 = 6000 Lucro ótimo [3600;6000] Slide 126 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Exemplo (Problema da refinaria) x2 Função objetivo z = 800x1 + 600x2 O que acontece nos extremos do intervalo? 10 Ponto ótimo 5 Declive : -1/3 x1+3x2=18 Declive : -1/3 Solução ótima múltipla Todo o segmento de reta entre (0,6) e (3,5) x1+3x2=18 -5 z = 200x1 + 600x2 5 10 5x1+3x2=30 x1 2x1+3x2=24 z = 1000x1 + 600x2 Declive : -5/3 5x1+3x2=30 Declive : -5/3 Solução ótima múltipla Todo o segmento de reta entre (3,5) e (6,0) Slide 127 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo ▪ Que valores pode tomar o coeficiente de x2 (supondo inalterado o coeficiente de x1) de forma que o ponto (3,5) continue a ser ótimo? ❑ Intervalo de variação para o coeficiente de x2 de forma a que a solução ótima se mantenha Função objetivo Declive da reta 5x1 + 3x2 = 30 x2 = -(800/c2)x1 + z/c2 z = 800x1 + c2x2 ≤ Declive da função objetivo -5/3 ≤ -(800/c2) ≤ -1/3 480 ≤ c2 ≤ 2400 ≤ Declive da reta x1 + 3x2 = 18 e c2 mantém o sinal Se o lucro obtido com 1000 litros de gasóleo estiver entre € 480 e € 2400 a solução ótima consistirá em produzir (diariamente) 3000 litros de gasolina e 5000 litros de gasóleo. c2= 480  z = 800ô3 + 480ô5 = 4800 c2 = 2400  z = 800ô3 + 2400ô5 = 14400 Lucro ótimo [4800;14400] Slide 128 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Problemas de PL com duas variáveis de decisão Análise pós-otimização: coeficientes na função objetivo Exemplo (continuação) Intervalo de variação para c1 e para c2 de forma que a solução ótima se mantenha x2 10 Solução ótima: x1=3, x2=5; z=5400. Possíveis declives para a reta associada à função objetivo de forma que o ponto (3,5) se mantenha ótimo 5 x1+3x2=18 z=5400 -5 5 10 5x1+3x2=30 x1 2x1+3x2=24 Slide 129 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática FICHA 3 Slide 130 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática ➢ Se um problema de PL tiver mais do que duas variáveis de decisão, o método gráfico não pode ser utilizado (excetuando os casos em que, por eliminação de variáveis de transforma o problema a resolver num problema com duas variáveis). Neste caso, é necessário recorrer a métodos algébricos, como por exemplo, o Método do Simplex; ➢ Quando o número de variáveis de um problema de programação linear é significativo, deixa de ser razoável aplicar 8manualmente9 as técnicas de resolução dos problemas de PL. Nestes casos recorre-se a software de programação linear. Presentemente há diverso software que disponibiliza técnicas para resolução de problemas de programação linear, inclusive o MS Excel. Slide 131 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Um problema de Transportes Um município quer desenvolver um sistema de recolha de óleo alimentar usado (OAU) de origem doméstica disponibilizando vários oleões nas freguesias que o constituem. Depois de recolhido o OAU sofrerá um tratamento e valorização em unidades de tratamento e valorização (UTV) e será transformado em biodiesel. O município é constituído por 10 freguesias. Existem atualmente 5 unidades de tratamento e valorização dos OAU. A disponibilidade mensal de OUA em cada um dos munícipios é: Freg. 1 Freg. 2 Freg. 3 Freg. 4 Freg. 5 Freg. 6 Freg. 7 Freg. 8 Freg. 9 Freg. 10 OAU(litros) 300 350 200 300 250 280 200 200 300 200 Todo o OAU dos oleões tem que ser recolhido e transportado para unidades de tratamento e valoração. A capacidade máxima de processamento (em litros) de cada um das cinco unidades de tratamento e valoração é dada na tabela seguinte: Capacidade UTV 1 UTV 2 UTV 3 UTV 4 UTV 5 700 800 600 800 600 Slide 132 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Os custos unitários de transporte (em unidades monetárias) entre os oleões e as UTV9s apresentam-se na seguinte matriz UTV 1 Freguesia 1 Freguesia 2 Freguesia 3 Freguesia 4 Freguesia 5 Freguesia 6 Freguesia 7 Freguesia 8 Freguesia 9 Freguesia 10 UTV 2 17 23 13 19 24 10 18 19 14 15 14 14 14 11 19 17 16 15 16 12 UTV 3 10 15 12 15 18 25 16 18 23 13 UTV 4 12 14 13 15 12 21 18 17 20 15 UTV 5 16 13 18 18 17 19 25 23 22 18 Pretende determinar-se como fazer o transporte do OAU dos oleões para as UTV9s de modo a minimizar os custos globais de transporte. a) Formule o problema em Programação Linear b) Resolva-o usando o Solver do Excel c) Apresente o plano ótimo de transporte do OAU dos oleões para as UTV´s d) Qual o impacto no custo global de uma diminuição de 50 litros na capacidade da UTV 2? e) Qual o impacto no custo global de um redução de 100 litros na capacidade do oleão da freguesia 6? Slide 133 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Em cada hora, cerca de 9000 carros entram na rede de ruas do centro de uma cidade, representada na figura, viajando de 1 até 6 respeitando os sentidos obrigatórios. 1 2 4 6 3 5 Na tabela indica-se, para cada um dos troços da rede, o número máximo de carros que pode transitar numa hora (NMC), em milhares de carros, bem como o tempo aproximado de viagem de cada carro (TAV) em minutos. troço 1,2 1,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 4,6 5,6 NMC 8 6 6 1 3 4 6 4 6 TAV 1 5 3 7 1 6 3 6 3 Slide 134 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Os troços (2,5) e (3,4) atravessam a zona histórica pelo que para diminuir a degradação dos edifícios causada pela poluição restringe-se a 2000 o número total de carros por hora no total dos dois troços. 1 2 4 6 3 5 Pretende-se: i) Determinar a forma de gerir o tráfego de forma a minimizar o tempo médio de viagem entre 1 e 6. ii) Determinar o impacto no tempo médio de viagem entre 1 e 6 se o limite imposto conjuntamente aos troços (2,5) e (3,4) passar a ser de 2500 carros por hora. Slide 135 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Formulação em PL Variáveis de decisão: troço 1,2 1,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 4,6 5,6 NMC 8 6 6 1 3 4 6 4 6 TAV 1 5 3 7 1 6 3 6 3 ýÿĀ Número de carros (em milhares) que deverão circular por hora no troço (i,j) (i,j) ∈ (1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5), (4,6), (5,6) = ÿý Função objetivo: ÿþÿĂā_ÿéýÿā = Min 1 2 4 1 ý + 5ý13 + 3ý24 + 7ý25 + ý34 + 6ý35 + 3ý45 + 6ý46 + 3ý56 9 12 6 3 5 Slide 136 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Formulação em PL Restrições: ý12 f 8 ý13 f 6 ý24 f 6 ý25 f 1 ý34 f 3 ý35 f 4 ý45 f 6 ý46 f 4 ý56 f 6 ý12 + ý13 = 9 ý12 = ý25 + ý24 troço 1,2 1,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 4,6 5,6 NMC 8 6 6 1 3 4 6 4 6 TAV 1 5 3 7 1 6 3 6 3 ý46 + ý56 = 9 ý25 + ý34 f 2 ýÿĀ g 0 ∀(ÿ, Ā) ∈ ÿý 1 2 Vamos ignorar a indivisibilidade das variáveis 4 ý13 = ý34 + ý35 ý24 + ý34 = ý45 + ý46 ý25 + ý35 + ý45 = ý56 6 3 5 Slide 137 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Formulação em PL Min s. a: ÿþÿĂā_ÿéýÿā = ý12 f 8 ý13 f 6 ý24 f 6 ý25 f 1 ý34 f 3 1 ý + 5ý13 + 3ý24 + 7ý25 + ý34 + 6ý35 + 3ý45 + 6ý46 + 3ý56 9 12 ý35 f 4 ý12 + ý13 = 9 ý46 f 4 ý13 = ý34 + ý35 ý45 f 6 ý56 f 6 ýÿĀ g 0 ∀(ÿ, Ā) ∈ ÿý ý12 = ý25 + ý24 ý25 + ý34 f 2 ý24 + ý34 = ý45 + ý46 ý25 + ý35 + ý45 = ý56 ý46 + ý56 = 9 Slide 138 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Resolução utilizando o Microsoft Excel Problema de gestão de tráfego Variáveis x12 x13 x24 x25 x34 x35 x45 x46 x56 NMC <= <= <= <= <= <= <= <= <= Vértices 8 6 6 1 3 4 6 4 6 1 2 3 4 5 6 Troços (2,5) e (3,4) Tempo médio de viagem Variáveis x12 x13 x24 x25 x34 x35 x45 x46 x56 Restrições 0 0 0 0 0 0 = = = = = = 9 0 0 0 0 9 0 <= 2 0 TAV 1 5 3 7 1 6 3 6 3 Slide 139 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Resolução utilizando o Microsoft Excel Problema de gestão de tráfego Variáveis x12 x13 x24 x25 x34 x35 x45 x46 x56 NMC 7 2 6 1 1 1 3 4 5 <= <= <= <= <= <= <= <= <= Vértices 8 6 6 1 3 4 6 4 6 1 2 3 4 5 6 Troços (2,5) e (3,4) Tempo médio de viagem Variáveis x12 x13 x24 x25 x34 x35 x45 x46 x56 Restrições 9 0 0 0 0 9 = = = = = = 9 0 0 0 0 9 2 <= 2 10,77778 TAV 1 5 3 7 1 6 3 6 3 O tempo médio de viagem entre 1 e 6 é de 10.77 minutos. O número de carros (em milhares) que passam em cada hora em cada troço é: Troço (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) (4,6) (5,6) Carros 7 2 6 1 1 1 3 4 5 Slide 140 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Microsoft Excel 12.0 Sensitivity Report Worksheet: [fluxo_carros.xls]Sheet1 Report Created: 30-09-2009 14:58:22 Relatório de análise de sensibilidade Adjustable Cells Cell $C$6 x12 $C$7 x13 $C$8 x24 $C$9 x25 $C$10 x34 $C$11 x35 $C$12 x45 $C$13 x46 $C$14 x56 Name Final Reduced Objective Allowable Allowable Value Cost Coefficient Increase Decrease 7 0 0,111111111 0,111111111 1E+30 2 0 0,555555556 1E+30 0,111111111 6 -0,444444444 0,333333333 0,444444444 1E+30 1 -0,111111111 0,777777778 0,111111111 1E+30 1 0 0,111111111 0,222222222 0,111111111 1 0 0,666666667 1E+30 0,222222222 3 0 0,333333333 0,222222222 0 4 0 0,666666667 0 1E+30 5 0 0,333333333 1E+30 0 Constraints Cell $I$6 $I$7 $I$8 $I$9 $I$10 $I$11 $I$13 Name <= Restrições <= Restrições <= Restrições <= Restrições <= Restrições <= Restrições Troços (2,5) e (3,4) Restrições Final Shadow Value Price 9 0 0 0,111111111 0 0,555555556 0 0,888888889 0 1,222222222 9 1,555555556 2 -0,222222222 Constraint R.H. Side Allowable Increase 9 0 0 0 0 9 2 0 0 0 0 0 0 1 Allowable Decrease 1E+30 7 2 1 1 1 1 Slide 141 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Resolução utilizando o Microsoft Excel Impacto no tempo médio de viagem entre 1 e 6 se o limite imposto conjuntamente aos troços (2,5) e (3,4) passar a ser de 2500 carros por hora: Adjustable Cells Cell $C$6 x12 $C$7 x13 $C$8 x24 $C$9 x25 $C$10 x34 $C$11 x35 $C$12 x45 $C$13 x46 $C$14 x56 Name Final Reduced Objective Allowable Allowable Value Cost Coefficient Increase Decrease 7 0 0,111111111 0,111111111 1E+30 2 0 0,555555556 1E+30 0,111111111 6 -0,444444444 0,333333333 0,444444444 1E+30 1 -0,111111111 0,777777778 0,111111111 1E+30 1 0 0,111111111 0,222222222 0,111111111 1 0 0,666666667 1E+30 0,222222222 3 0 0,333333333 0,222222222 0 4 0 0,666666667 0 1E+30 5 0 0,333333333 1E+30 0 Constraints Cell $I$6 $I$7 $I$8 $I$9 $I$10 $I$11 $I$13 Name <= Restrições <= Restrições <= Restrições <= Restrições <= Restrições <= Restrições Troços (2,5) e (3,4) Restrições Final Shadow Value Price 9 0 0 0,111111111 0 0,555555556 0 0,888888889 0 1,222222222 9 1,555555556 2 -0,222222222 Constraint R.H. Side Allowable Increase 9 0 0 0 0 9 2 0 0 0 0 0 0 1 Allowable Decrease 1E+30 7 2 1 1 1 1 Slide 142 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de gestão de tráfego Resolução utilizando o Microsoft Excel Valor marginal da restrição : -0.2222 Logo, o impacto seria um decréscimo de 0.22 x 0.5 = 0.11 minutos no tempo médio de viagem. Podemos aumentar o número de carros no total dos 2 troços até 3000 (2500 < 3000) Slide 143 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Uma empresa de Setúbal produz e comercializa para o mercado interno vários derivados de peixe nomeadamente, conserva de atum, conserva de sardinha, pasta de atum e pasta de sardinha. Esta empresa possui 3 fábricas onde pode ser produzido qualquer um destes produtos. As encomendas para o próximo mês são de 400 lotes de conserva de atum, 350 lotes de conserva de sardinha, 750 kg de pasta de atum e 650 kg de pasta de sardinha. O tempo (em horas) necessário para obter 1 lote de conserva ou 1 kg de pasta varia de acordo com a tabela seguinte: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Conserva atum 3 2.5 4 Conserva sardinha 2 2 2 Pasta atum 1.5 1 2 Pasta sardinha 1 1 1 Slide 144 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Na fábrica 1 há 10 trabalhadores enquanto que nas fábricas 2 e 3 há 8 trabalhadores em cada. Cada trabalhador tem um horário de 8 horas por dia. Para o próximo mês estão previstos 20 dias úteis (de trabalho). O empacotamento das conservas é feito em cada fábrica automaticamente numa linha de empacotamento. O tempo (em horas) necessário para empacotar um lote de conserva é dado de acordo com a tabela seguinte: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Conserva atum 0.5 0.75 0.4 Conserva sardinha 0.5 0.45 0.3 O número de horas diárias disponíveis na linha de empacotamento das fábricas é de 7, 10 e 8 respetivamente, nas fábricas 1, 2 e 3. A produção de pasta de atum e de sardinha na fábrica 1 está limitada a um total de 350 kg no próximo mês. Slide 145 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Os custos de produção por lote de conserva e por quilograma de pasta são dados, em euros, na tabela seguinte: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Conserva atum 5 5 4 Conserva sardinha 3 7 4 Pasta atum 2 5 5 Pasta sardinha 3 2 4 Slide 146 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Questões: 1. Qual o plano ótimo de produção? 2. Surge a possibilidade de aumentar o tempo de funcionamento da linha de empacotamento da fábrica 1. Esta medida a ser tomada incorre num custo adicional de 4 euros por hora adicional. Será vantajoso para a empresa tomar esta decisão? Justifique. 3. A empresa pode transferir um trabalhador de uma fábrica para outra durante um período de 5 dias. Aconselharia esta transferência? Em caso afirmativo diga como deveria esta transferência ser feita. Justifique. 4. Se o custo de produção de um lote de conserva de atum na fábrica 2 passar a ser de 7 euros há alguma alteração no plano ótimo de produção inicialmente determinado para o próximo mês? Slide 147 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Formulação Um problema de planeamento de produção Variáveis de decisão: ýÿĀ Quantidade (em lotes) de conserva de tipo i a produzir na fábrica j no próximo mês Ā ∈ 1,2,3 ÿ ∈ �㔴, þ þÿĀ Quantidade (em kg) de pasta de tipo i a produzir na fábrica j no próximo mês Ā ∈ 1,2,3 ÿ ∈ �㔴, þ Função objetivo: Min Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Conserva atum 5 5 4 Conserva sardinha 3 7 4 Pasta atum 2 5 5 Pasta sardinha 3 2 4 5ý�㔴1 + 5ý�㔴2 + 4ý�㔴3 + 3ý�㕆1 + 7ý�㕆2 + 4ý�㕆3 + 2þ�㔴1 + 5þ�㔴2 + 5þ�㔴3 + 3þ�㕆1 + 2þ�㕆2 + 4þ�㕆3 Slide 148 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Formulação Restrições: As encomendas para o próximo mês são de 400 lotes de conserva de atum, 350 lotes de conserva de sardinha, 750 kg de pasta de atum e 650 kg de pasta de sardinha. ý�㔴1 + ý�㔴2 + ý�㔴3 = 400 ý�㕆1 + ý�㕆2 + ý�㕆3 = 350 þ�㔴1 + þ�㔴2 + þ�㔴3 = 750 As encomendas de cada produto para o próximo mês tem que ser satisfeita þ�㕆1 + þ�㕆2 + þ�㕆3 = 650 Slide 149 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Formulação Um problema de planeamento de produção Restrições: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Conserva atum 3 2.5 4 Conserva sardinha 2 2 2 Pasta atum 1.5 1 2 Pasta sardinha 1 1 1 3ý�㔴1 + 2ý�㕆1 + 1.5þ�㔴1 + þ�㕆1 f 10 × 8 × 20 = 1600 2.5ý�㔴2 + 2ý�㕆2 + þ�㔴2 + þ�㕆2 f 8 × 8 × 20 = 1280 4ý�㔴3 + 2ý�㕆3 + 2þ�㔴3 + þ�㕆3 f 8 × 8 × 20 = 1280 O tempo (em horas) necessário para obter 1 lote de conserva ou 1 kg de pasta A capacidade de processamento em cada fábrica não pode ser excedida Slide 150 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Formulação Restrições: Um problema de planeamento de produção Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Conserva atum 0.5 0.75 0.4 Conserva sardinha 0.5 0.45 0.3 0.5ý�㔴1 + 0.5ý�㕆1 f 7 × 20 = 140 0.75ý�㔴2 + 0.45ý�㕆2 f 10 × 20 = 200 0.4ý�㔴3 + 0.3ý�㕆3 f 8 × 20 = 160 þ�㔴1 + þ�㕆1 f 350 ýÿĀ g 0 þÿĀ g 0 ÿ ∈ �㔴, þ O tempo (em horas) necessário para empacotar um lote de conserva é dado de acordo com a tabela seguinte: A capacidade de empacotamento em cada fábrica não pode ser excedida A produção de pasta de atum e de sardinha na fábrica 1 está limitada a 350 kg Ā ∈ 1,2,3 Slide 151 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Resolução utilizando o Microsoft Excel Planeamento de produção para o próximo mês Fab 1 Fab 2 Linha de empacotamento Fab 3 Conserva Atum Conserva Sardinha Pasta Atum Pasta Sardinha 0 0 0 0 Tempos processamento tempo proc Fab 2 Fab 3 3 2 1,5 1 2,5 2 1 1 4 2 2 1 0 0 0 Fab 1 Nº trabalhadores Nº horas Nº dias Total 400 350 750 650 10 8 20 1600 Fab 2 8 8 20 1280 Fab 3 Fab 2 Fab 3 Conserva Atum Conserva Sardinha 0,5 0,5 0,75 0,45 0,4 0,3 Horas diarias Total de horas 0 7 140 0 10 200 0 8 160 0 350 Cap prod pasta F1 Fab 1 Conserva Atum Conserva Sardinha Pasta Atum Pasta Sardinha Fab 1 Enc Custos Fab 1 Fab 2 Conserva Atum Conserva Sardinha Pasta Atum Pasta Sardinha 5 3 2 3 Custo total 0 Fab 3 5 7 5 2 4 4 5 4 8 8 20 1280 Slide 152 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Resolução utilizando o Microsoft Excel Planeamento de produção para o próximo mês Fab 1 Conserva Atum Conserva Sardinha Pasta Atum Pasta Sardinha Fab 2 46 234 350 0 Linha de empacotamento Fab 3 92 0 400 650 262 116 0 0 Tempos processamento Fab 1 Conserva Atum Conserva Sardinha Pasta Atum Pasta Sardinha tempo proc Fab 2 Fab 3 3 2 1,5 1 2,5 2 1 1 4 2 2 1 1131 1280 1280 Fab 1 Nº trabalhadores Nº horas Nº dias Total 10 8 20 1600 Fab 2 8 8 20 1280 Fab 1 Enc Fab 3 400 350 750 650 400 350 750 650 Fab 2 Fab 3 Conserva Atum Conserva Sardinha 0,5 0,5 0,75 0,45 0,4 0,3 Horas diarias Total de horas 140 7 140 69 10 200 139,6 8 160 Cap prod pasta F1 350 350 Custos Fab 1 Conserva Atum Conserva Sardinha Pasta Atum Pasta Sardinha Custo total Fab 2 5 3 2 3 Fab 3 5 7 5 2 4 4 5 4 6904 8 8 20 1280 Slide 153 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Resolução utilizando o Microsoft Excel Planeamento de produção para o próximo mês Fab 1 Conserva Atum Conserva Sardinha Pasta Atum Pasta Sardinha Fab 2 46 234 350 0 Fab 3 92 0 400 650 Enc 262 116 0 0 400 350 750 650 400 350 750 650 1. Qual o plano ótimo de produção? O custo total de produção para o próximo mês é 6904 euros. A produção em lotes (conservas) e em quilogramas (pastas) para o mês de Abril em cada fábrica e de cada um dos produtos é: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Conserva atum 46 92 262 Conserva sardinha 234 0 116 Pasta atum 350 400 0 Pasta sardinha 0 650 0 Slide 154 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Target Cell (Min) Cell Name $C$48 Custo total Fab 1 Original Value 0 Final Value 6904 Adjustable Cells Cell Name $C$7 Conserva Atum Fab 1 $D$7 Conserva Atum Fab 2 $E$7 Conserva Atum Fab 3 $C$8 Conserva Sardinha Fab 1 $D$8 Conserva Sardinha Fab 2 $E$8 Conserva Sardinha Fab 3 $C$9 Pasta Atum Fab 1 $D$9 Pasta Atum Fab 2 $E$9 Pasta Atum Fab 3 $C$10 Pasta Sardinha Fab 1 $D$10 Pasta Sardinha Fab 2 $E$10 Pasta Sardinha Fab 3 Original Value 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Final Value 46 92 262 234 0 116 350 400 0 0 650 0 Constraints Cell Name $F$7 Conserva Atum $F$8 Conserva Sardinha $F$9 Pasta Atum $F$10 Pasta Sardinha $C$21 tempo proc Fab 1 $D$21 tempo proc Fab 2 $E$21 tempo proc Fab 3 $C$35 Fab 1 $D$35 Fab 2 $E$35 Fab 3 $C$39 Cap prod pasta F1 Fab 1 Cell Value Formula 400 $F$7=$G$7 350 $F$8=$G$8 750 $F$9=$G$9 650 $F$10=$G$10 1131 $C$21<=$C$27 1280 $D$21<=$D$27 1280 $E$21<=$E$27 140 $C$35<=$C$37 69 $D$35<=$D$37 139,6 $E$35<=$E$37 350 $C$39<=$D$39 Status Slack Not Binding 0 Not Binding 0 Not Binding 0 Not Binding 0 Not Binding 469 Binding 0 Binding 0 Binding 0 Not Binding 131 Not Binding 20,4 Binding 0 Slide 155 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção Relatório de análise de sensibilidade Adjustable Cells Cell Name $C$7 Conserva Atum Fab 1 $D$7 Conserva Atum Fab 2 $E$7 Conserva Atum Fab 3 $C$8 Conserva Sardinha Fab 1 $D$8 Conserva Sardinha Fab 2 $E$8 Conserva Sardinha Fab 3 $C$9 Pasta Atum Fab 1 $D$9 Pasta Atum Fab 2 $E$9 Pasta Atum Fab 3 $C$10 Pasta Sardinha Fab 1 $D$10 Pasta Sardinha Fab 2 $E$10 Pasta Sardinha Fab 3 Final Reduced Objective Allowable Allowable Value Cost Coefficient Increase Decrease 46 0 5 6 1,5 92 0 5 3 2,000000001 262 0 4 1,333333334 17 234 0 3 1,5 6 0 3,4 7,000000001 1E+30 3,4 116 0 4 6 1,5 350 0 2 4 1E+30 400 0 5 0,8 4 0 0,8 5 1E+30 0,8 0 4 3 1E+30 4 650 0 2 1,8 1E+30 0 1,8 4 1E+30 1,8 Constraints Cell Name $F$7 Conserva Atum $F$8 Conserva Sardinha $F$9 Pasta Atum $F$10 Pasta Sardinha $C$21 tempo proc Fab 1 $D$21 tempo proc Fab 2 $E$21 tempo proc Fab 3 $C$35 Fab 1 $D$35 Fab 2 $E$35 Fab 3 $C$39 Cap prod pasta F1 Fab 1 Final Shadow Value Price 400 8 350 6 750 6,2 650 3,2 1131 0 1280 -1,2 1280 -1 140 -6 69 0 139,6 0 350 -4,2 Constraint R.H. Side 400 350 750 650 1600 1280 1280 140 200 160 350 Allowable Increase 102 102 230 230 1E+30 57,5 92 23 1E+30 1E+30 57,5 Allowable Decrease 23 46 57,5 57,5 469 230 468 51 131 20,4 230 Slide 156 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 2. Programação Matemática DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção 2. Surge a possibilidade de aumentar o tempo de funcionamento da linha de empacotamento da fábrica 1. Esta medida a ser tomada incorre num custo adicional de 4 euros por hora adicional. Será vantajoso para a empresa tomar esta decisão? Justifique. Constraints Cell Name $F$7 Conserva Atum $F$8 Conserva Sardinha $F$9 Pasta Atum $F$10 Pasta Sardinha $C$21 tempo proc Fab 1 $D$21 tempo proc Fab 2 $E$21 tempo proc Fab 3 $C$35 Fab 1 $D$35 Fab 2 $E$35 Fab 3 $C$39 Cap prod pasta F1 Fab 1 Final Shadow Value Price 400 8 350 6 750 6,2 650 3,2 1131 0 1280 -1,2 1280 -1 140 -6 69 0 139,6 0 350 -4,2 Constraint R.H. Side 400 350 750 650 1600 1280 1280 140 200 160 350 Allowable Increase 102 102 230 230 1E+30 57,5 92 23 1E+30 1E+30 57,5 Allowable Decrease 23 46 57,5 57,5 469 230 468 51 131 20,4 230 Restrição relativa ao empacotamento na fábrica 1. Slide 157 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção 2. Surge a possibilidade de aumentar o tempo de funcionamento da linha de empacotamento da fábrica 1. Esta medida a ser tomada incorre num custo adicional de 4 euros por hora adicional. Será vantajoso para a empresa tomar esta decisão? Justifique. Valor marginal da restrição relativa ao empacotamento na fábrica 1: -6 Isto significa que mais uma hora naquela linha na fábrica 1 conduz a um decréscimo de 6 euros no custo total de produção. Como a tomada desta medida tem um custo adicional de 4 euros, na realidade o decréscimo do custo total será de apenas 6 – 4 = 2 euros. Os valores marginais mantêm-se inalterados desde que não se exceda um número adicional de 23 horas, isto é, desde que não se excedam nesta linha e nesta fábrica as 140 + 23 = 163 horas no próximo mês. Assim, compensa tomar esta decisão porque representa um decréscimo de 2 x 23 = 46 euros no custo total de produção no próximo mês. Slide 158 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção 3. A empresa pode transferir um trabalhador de uma fábrica para outra durante um período de 5 dias. Aconselharia esta transferência? Em caso afirmativo diga como deveria esta transferência ser feita. Justifique. Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $F$7 Conserva Atum 400 8 400 102 23 $F$8 Conserva Sardinha 350 6 350 102 46 $F$9 Pasta Atum 750 6,2 750 230 57,5 $F$10 Pasta Sardinha 650 3,2 650 230 57,5 $C$21 tempo proc Fab 1 1131 0 1600 1E+30 469 $D$21 tempo proc Fab 2 1280 -1,2 1280 57,5 230 $E$21 tempo proc Fab 3 1280 -1 1280 92 468 $C$35 Fab 1 140 -6 140 23 51 $D$35 Fab 2 69 0 200 1E+30 131 $E$35 Fab 3 139,6 0 160 1E+30 20,4 $C$39 Cap prod pasta F1 Fab 1 350 -4,2 350 57,5 230 Restrições relativas ao número total de horas de trabalho em cada fábrica. Slide 159 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção 3. A empresa pode transferir um trabalhador de uma fábrica para outra durante um período de 5 dias. Aconselharia esta transferência? Em caso afirmativo diga como deveria esta transferência ser feita. Justifique. Enquanto que nas fábricas 2 e 3 todas as horas de trabalho são utilizadas, na fábrica 1, sobram 1600-1131= 469 horas. Assim, só faz sentido transferir um trabalhador da fábrica 1. Um trabalhador transferido durante 5 dias para uma outra fábrica representa um decréscimo de 5 x 8 =40 horas nessa fábrica e um acréscimo de 40 horas na fábrica para onde é transferido. Valor marginal da restrição relativa à fábrica 2 : -1.2 é possível aumentar até 57,5 h > 40 h Valor marginal da restrição relativa à fábrica 3: -1.0 é possível aumentar até 92 h > 40 h Logo, deve fazer-se a transferência da fábrica 1 para a fábrica 2. Haverá um decréscimo no custo total de 1.2 x 40 = 48 euros. Slide 160 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção 4. Se o custo de produção de um lote de conserva de atum na fábrica 2 passar a ser de 7 euros há alguma alteração no plano ótimo de produção inicialmente determinado para o próximo mês? Adjustable Cells Cell Name $C$7 Conserva Atum Fab 1 $D$7 Conserva Atum Fab 2 $E$7 Conserva Atum Fab 3 $C$8 Conserva Sardinha Fab 1 $D$8 Conserva Sardinha Fab 2 $E$8 Conserva Sardinha Fab 3 $C$9 Pasta Atum Fab 1 $D$9 Pasta Atum Fab 2 $E$9 Pasta Atum Fab 3 $C$10 Pasta Sardinha Fab 1 $D$10 Pasta Sardinha Fab 2 $E$10 Pasta Sardinha Fab 3 Final Reduced Objective Allowable Allowable Value Cost Coefficient Increase Decrease 46 0 5 6 1,5 92 0 5 3 2,000000001 262 0 4 1,333333334 17 234 0 3 1,5 6 0 3,4 7,000000001 1E+30 3,4 116 0 4 6 1,5 350 0 2 4 1E+30 400 0 5 0,8 4 0 0,8 5 1E+30 0,8 0 4 3 1E+30 4 650 0 2 1,8 1E+30 0 1,8 4 1E+30 1,8 Slide 161 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2. Programação Matemática Programação Linear – Exemplos de aplicação Um problema de planeamento de produção 4. Se o custo de produção de um lote de conserva de atum na fábrica 2 passar a ser de 7 euros há alguma alteração no plano ótimo de produção inicialmente determinado para o próximo mês? O planeamento de produção obtido para o próximo mês mantém-se ótimo para custos de produção de cada lote de conserva de atum na fábrica 2 entre 5 - 2 = 3 euros e 5 + 3 = 8 euros. Se o custo passar a ser de 7 euros ( < 8 euros ) em vez de 5 euros o plano de produção para o próximo mês mantem-se. O custo total de produção passará a ser 6904 + 2 x 92 = 7088 euros (7-5) Slide 162 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programa 1. Introdução 2. Programação Matemática 3. Problemas em Grafos 4. Planeamento de projetos 5. Problemas de afetação 6. Gestão de stocks Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Em Investigação Operacional é frequente recorrer-se a uma rede para modelar e/ou resolver um problema ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Problemas de planeamento de produção; Problemas de distribuição; Gestão de recursos humanos; Aplicações financeiras; … Um pouco de história… 1736 As pontes de Königsberg (Leonard Euler) 1859 Uma volta ao mundo… (William Rowan Hamilton) Slide 2 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos As pontes de Königsberg… Königsberg é uma localidade alemã banhada pelo rio Pregel. Numa certa zona existem duas pequenas ilhas (a e d) que estão ligadas entre si e a terra através de sete pontes. As pessoas falavam frequentemente sobre a possibilidade de um indivíduo fazer um percurso que, partindo de um determinado ponto, atravessasse cada ponte uma e uma só vez regressando ao ponto de partida… Slide 3 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos As pontes de Königsberg… Königsberg (Kaliningrado) Localização de Kaliningrado Slide 4 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos As pontes de Königsberg… Königsberg em 1736... Slide 5 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos As pontes de Königsberg… Königsberg em 1736... Slide 6 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos As pontes de Königsberg… Kaliningrado reconstruída após a Segunda Guerra Mundial... Slide 7 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL As pontes de Königsberg… Ninguém conseguia demonstrar que tal não era possível mas também ninguém encontrava uma forma de o fazer! Representa o problema numa rede… Euler Cada zona em terra Uma letra Cada ponte Uma linha a c a b d b c d b c Slide 8 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos O problema de Hamilton (The icosian game) Imaginem-se 20 cidades do nosso planeta dispostas segundo os vértices de um dodecaedro Pretende-se visitar cada cidade exatamente uma vez e regressar à cidade de partida. As ligações possíveis são as que correspondem às arestas do dodecaedro. Será possível estabelecer um percurso com estas características?... *Poliedro regular com 20 vértices e doze faces pentagonais. Slide 9 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Definição ➢ Chama-se grafo orientado a um par ordenado G = (X,A) em que X é um conjunto finito e A é um subconjunto de X2 (ou seja, A ý X2); ➢ Os elementos de X designam-se por vértices ou nodos do grafo; ➢ Os elementos de A designam-se por arcos do grafo. ➢ Para cada arco a=(i,j) þA, i designa-se por vértice inicial de a e j por vértice final ou terminal de a. Se i=j, a diz-se um lacete. vértice inicial ÿ arco Ā vértice final ou terminal Slide 10 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de grafos Rede de Metro de Lisboa Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplos de grafos Redes Sociais Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Exemplo 2 a2 a5 a3 4 a1 �㕋 = {1,2,3,4} 1 a4 a6 3 �㔴 = {þ1, þ2, þ3, þ4, þ5, þ6} = {(1,2), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (3,4)} þ5 é um lacete Um grafo admite múltiplas representações… 3 a6 4 a3 a5 a4 2 a2 a1 1 Slide 13 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Definição Seja G = (X,A) um grafo orientado e seja (i,j)þA ➢ O vértice j diz-se sucessor do vértice i; ➢ O vértice i diz-se antecessor do vértice j; ÿ Ā ➢  (i)={j þX:(i,j) þA} é o conjunto dos sucessores de i; + ➢ -(i)={j þX:(j,i) þA} é o conjunto dos antecessores de i; ➢ O número de arcos cujo nodo inicial é o vértice i designa-se por grau externo do vértice i e representa-se por d+(i); ➢ O número de arcos cujo nodo terminal é o vértice i designa-se por grau interno do vértice i e representa-se por d-(i). Slide 14 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Exemplo 2 a2 a5 a3 4 a1 1 a4 3 a6 +(1) = {2} +(2) = {1,3} +  (3) = {1,3,4} +(4) = ö d+(1) = 1 d+(2) = 2 d+(3) = 3 d+(4) = 0 d+(i)=6=|A| -(1) = {2,3} -(2) = {1} -(3) = {2,3} -(4) = {3} d-(1) = 2 d (2) = 1 d-(3) = 2 d-(4) = 1 d-(i)=6=|A| Slide 15 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Proposição Seja G=(X,A) um grafo orientado. Tem-se ෍ þ+ (ÿ) = ෍ þ 2 (ÿ) = �㔴 ÿ∈�㕋 Número de arcos de G É preciso demonstrar? ෍ þ+ (ÿ) = ෍ (ÿ, Ā): (ÿ, Ā) ∈ �㔴, Ā ∈ �㕋 = �㔴 ෍ þ2 (ÿ) = ෍ (ÿ, Ā): (Ā, ÿ) ∈ �㔴, Ā ∈ �㕋 = �㔴 ÿ∈�㕋 ÿ∈�㕋 ÿ∈�㕋 ÿ∈�㕋 ÿ∈�㕋 Slide 16 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Um grafo G=(X,A) pode ser visto como uma relação binária definida em X. Exemplo X={2,3,4,5,6,7,8,9,10} Relação binária �㔴 = (ÿ, Ā): ÿℜĀ e ÿ, Ā ∈ �㕋 ÿℜĀ ⇔ ÿ divide Ā e ÿ b Ā �㔴 = (2,4), (2,6), (2,8), (2,10), (3,6), (3,9), (4,8), (5,10) 2 6 3 9 8 10 5 7 4 Slide 17 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Definições e conceitos básicos… Definição ➢ Chama-se grafo não orientado a um par ordenado G = (X,A) em que X é um conjunto finito e A ý {{i,j}:i,jþX e i≠j}; ➢ Os elementos de X designam-se por vértices ou nodos do grafo; ➢ Os elementos de A designam-se por arestas dos grafo; ➢ Para cada aresta a={i,j}þA, i e j designam-se por extremos de a. extremo extremo j i aresta Slide 18 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Exemplo a3 1 a1 6 2 a2 a7 a5 3 4 5 a4 7 a6 X={1,2,3,4,5,6,7} A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7} ={{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{3,5},{4,5},{6,7}} Slide 19 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Definições e conceitos básicos… Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado e seja {i,j}þA ➢ i e j dizem-se adjacentes; ➢ (i)={j þX:{i,j} þA} é o conjunto dos adjacentes de i; ➢ O número de adjacentes de i designa-se por grau do vértice i e representa-se por d (i). Slide 20 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Exemplo a1 3 a3 1 2 a2 4 6 a5 a4 a6 a7 5 7 (1) = {3,4,5} (2) = {4} (3) = {1,5} (4) = {1,2,5} (5) = {1,3,4} (6) = {7} (7) = {6} d(1) = 3 d(2) = 1 d(3) = 2 d(4) = 3 d(5) = 3 d(6) = 1 d(7) = 1 d(i)=14=2|A| Slide 21 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Proposição Seja G=(X,A) um grafo não orientado. Tem-se ෍ þ(ÿ) = 2 �㔴 ÿ∈�㕋 É preciso demonstrar? ෍ þ(ÿ) = ෍ Γ(ÿ) = ෍ {ÿ, Ā}: {ÿ, Ā} ∈ �㔴, Ā ∈ �㕋 = 2 �㔴 ÿ∈�㕋 ÿ∈�㕋 ÿ∈�㕋 Cada aresta {i,j}þA surge exatamente em dois conjuntos: (i) e (j) Slide 22 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Exemplo Um grafo G=(X,A) pode ser visto como uma relação binária definida em X. X={2,3,4,5,6,7,8,9,10} Relação binária �㔴 = (ÿ, Ā): ÿℜĀ e ÿ, Ā ∈ �㕋 ÿℜĀ ⇔ ÿ e Ā ýão primos entre si 4 5 3 6 2 7 10 9 8 Slide 23 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Proposição Seja G=(X,A) um grafo não orientado. Então G tem um número par de vértices com grau ímpar Exemplo a1 3 a3 1 2 a2 4 a5 a4 5 d(1)=3 d(2)=1 d(4)=3 d(5)=3 d(3)=2 a6 Há 4 vértices com grau ímpar! Slide 24 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Prova Sejam �㔼 + ÿ = ∅ �㔼 = ÿ ∈ �㕋: þ(ÿ) é ímpar ÿ = ÿ ∈ �㕋: þ(ÿ) é par �㔼 , ÿ = �㕋 Pela proposição 2 tem-se 2 �㔴 = ෍ þ(ÿ) = ෍ þ(ÿ) + ෍ þ(ÿ) ÿ∈�㕋 ÿ∈�㕃 ⇔ ÿ∈�㔼 ෍ þ(ÿ) = 2 �㔴 2 ෍ þ(ÿ) ÿ∈�㔼 ÿ∈�㕃 Números pares ෍ þ(ÿ) é par! ÿ∈�㔼 Para que a soma de números ímpares seja par é necessário que o número de parcelas seja par. Então, O número de vértices com grau �㔼 é par ímpar é par! Slide 25 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Fonte: Revista Pública (2002-09-23) Uma charada… Estávamos 8 pessoas na sala O Gilberto cumprimentou toda a gente! A Isabel cumprimentou 6 pessoas e a Beta 5; A Gui cumprimentou 4 e o Manuel 3 O Rogério cumprimentou duas pessoas e a Alcina apenas uma. Quem é que eu cumprimentei? Slide 26 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Definição Seja G = (X,A) um grafo orientado ➢ Chama-se caminho no grafo a uma sequência de arcos em que o vértice terminal de um coincide com o vértice inicial do seguinte; ➢ Chama-se circuito no grafo a um caminho em que o vértice terminal do último arco coincide com o vértice inicial do primeiro arco. Exemplo 2 a2 a5 a3 4 a1 1 a4 3 a6 Slide 27 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Definições e conceitos básicos… Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado ➢ Chama-se cadeia no grafo a uma sequência de arestas da forma {{i1,i2}; {i2,i3};…;{ik-2,ik-1};{ik-1,ik}}; ➢ Chama-se ciclo no grafo a uma sequência de arestas da forma {{i1,i2}; {i2,i3};…;{ik-2,ik-1};{ik-1,ik}} em que ÿ1 = ÿā. Exemplo a1 3 a3 1 a2 4 a4 2 a6 a5 5 Slide 28 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Conexidade Muitas vezes, é necessário verificar se a partir de um vértice de um grafo é possível atingir outro vértice qualquer… Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado G diz-se conexo se entre quaisquer dois vértices do grafo existe uma cadeia que os une; Caso contrário diz-se desconexo. Exemplo Grafo conexo Grafo desconexo Slide 29 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Conexidade Definição Seja G = (X,A) um grafo orientado. Seja G’ o grafo não orientado que se obtém de G pela remoção da orientação dos seus arcos (removendo eventuais arestas duplicadas que surjam para algum par de vértices) ➢ G diz-se fortemente conexo se entre quaisquer dois vértices do grafo existe pelo menos um caminho; ➢ G diz-se fracamente conexo se não for fortemente conexo mas G’ for conexo; ➢ G diz-se desconexo se G’ for desconexo. Exemplo Grafo fortemente conexo Grafo fracamente conexo Grafo desconexo Slide 30 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Um quebra-cabeças…para descontrair?! Será possível, com um traço contínuo, desenhar a figura sem passar duas vezes sobre o mesmo segmento? E se for necessário regressar ao ponto de partida? Slide 31 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos eulerianos Problema O grafo não orientado da figura, representa um bairro de uma cidade. Os vértices correspondem a cruzamentos e as arestas correspondem a ruas. Os valores junto às arestas representam os comprimentos das ruas correspondentes. 3 2 1 1 4 2 5 2 3 3 5 4 Todas as ruas têm casas apenas de um lado. Um carteiro tem que percorrer as ruas do bairro para fazer a entrega do correio. ? Qual a distância mínima que o carteiro tem que percorrer para garantir a entrega? ? Slide 32 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos eulerianos Limite inferior para essa distância: 20 3 2 O carteiro tem que percorrer cada rua pelo menos uma vez 1 1 4 2 3 Soma dos valores associados a todas as arestas 5 2 3 5 4 Em certos casos, este limite coincide com a distância mínima a percorrer… Slide 33 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Definições e conceitos básicos… Definição Seja G = (X,A) um grafo ➢ Um caminho (circuito, cadeia, ciclo) diz-se elementar se não passa mais do que uma vez por cada vértice; ➢ Um caminho ou circuito (cadeia ou ciclo) diz-se simples se não passa mais do que uma vez pelo mesmo arco (aresta). Exemplo Caminhos (entre outros): a1, a3, a6 {(3,3);(3,1);(1,2);(2,3);(3,4)} 2 a2 a5 a3 4 a1 1 a4 3 a6 (a3,a5,a4,a1,a2,a1,a3,a6) Circuitos (entre outros): a1, a3,a4 {(3,3)} (a1,a2,a1,a3,a4) Slide 34 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos eulerianos Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado. ➢ Uma cadeia em G diz-se euleriana se contiver todas as arestas de G uma e uma só vez;(simples e contém todas as arestas de G) ➢ Um ciclo em G diz-se euleriano se contiver todas as arestas de G uma e uma só vez; ;(simples e contém todas as arestas de G) ➢ G diz-se euleriano se contiver algum ciclo euleriano. Exemplo Ciclo euleriano: 3 1 2 5 {{3,2};{2,4};{4,3};{3,1};{1,4};{4,5};{5,3}} O grafo é euleriano! 4 Slide 35 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Grafos eulerianos É possível caracterizar de forma simples um grafo euleriano C C C C Proposição 4 Seja G=(X,A) um grafo não orientado conexo. G é euleriano se e só se todos os vértices têm grau par (d(i) é par iþX). Slide 36 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos eulerianos Exemplo (problema do carteiro) 3 d(1)=2 d(2)=2 d(3)=4 d(4)=4 1 2 d(5)=2 5 4 Todos os vértices têm grau par O grafo é euleriano O carteiro pode percorrer todas as ruas sem repetir nenhuma e saindo do bairro pelo ponto por onde entrou: {{3,2};{2,4};{4,3};{3,1};{1,4};{4,5};{5,3}} Slide 37 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos eulerianos O problema de Euler Exemplo b a a d d c b e f c Há vértices com grau ímpar! Problema das pontes de Königsberg: Não existe qualquer percurso que utilize todas as pontes sem repetir nenhuma! Slide 38 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Mais um quebra-cabeças… ? Será possível, com uma linha contínua, cruzar todos os segmentos que compõem a figura, sem cruzar duas vezes o mesmo segmento e fechando a linha? ? Slide 39 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Modelo adequado… A linha fechada corresponde a um ciclo euleriano neste grafo… … que não existe! Slide 40 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Grafos eulerianos Proposição Seja G=(X,A) um grafo não orientado conexo. Existe uma cadeia euleriana em G se e só se o número de vértices com grau ímpar é no máximo 2. Observação Se o número de vértices com grau ímpar for 2 a cadeia tem que começar num desses vértices para terminar no outro… Exemplo Será possível, com um traço contínuo, desenhar a figura sem passar duas vezes sobre o mesmo segmento? Resposta: Sim, mas temos que iniciar num dos vértices da base… E se for necessário regressar ao ponto de partida? Resposta: Não! Slide 41 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Grafos eulerianos Definição Seja G = (X,A) um grafo orientado. ➢ Um caminho em G diz-se euleriano se contiver todos os arcos de G uma e uma só vez; ;(simples e contém todos os arcos de G) ➢ Um circuito em G diz-se euleriano se contém todos os arcos de G uma e uma só vez; ;(simples e contém todos os arcos de G) ➢ G diz-se euleriano se contiver algum circuito euleriano. Proposição Seja G=(X,A) um grafo orientado. G é euleriano se e só se todos os vértices têm grau interno igual ao grau externo (d+(i)=d-(i) iþX). Slide 42 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos eulerianos Exemplo 3 d+(1)=1 d-(1)=1 d+(2)=1 d-(2)=1 d+(3)=2 d-(3)=2 + d (4)=2 1 - d (4)=2 2 5 4 Todos os vértices têm grau interno igual ao grau externo O grafo é euleriano! Slide 43 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos hamiltonianos Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado conexo. ➢ Um ciclo em G diz-se hamiltoniano se contém todos os vértices de G uma e uma só vez; (elementar e contém todos os vértices) ➢ G diz-se hamiltoniano se contiver algum ciclo hamiltoniano. Exemplo 3 Ciclo hamiltoniano: {{1,4};{4,5};{5,2};{2,3};{3,1}} O grafo é hamiltoniano! 1 2 5 4 Slide 44 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos hamiltonianos Definição Seja G = (X,A) um grafo orientado conexo. ➢ Um circuito em G diz-se hamiltoniano se contém todos os vértices de G uma e uma só vez;(elementar e contém todos vértices) ➢ G diz-se hamiltoniano se contiver algum circuito hamiltoniano. Exemplo 3 Circuito hamiltoniano: {(1,4);(4,5);(5,3);(3,2);(2,1)} O grafo é hamiltoniano! 1 2 5 4 Slide 45 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Grafos hamiltonianos Ao contrário do que acontece no caso de grafos eulerianos, não são conhecidas condições que sejam ao mesmo tempo necessárias e suficientes para um grafo ser hamiltoniano... ... Mas conhecem-se condições necessárias ou suficientes. Proposição (Condição necessária para um grafo ser hamiltoniano) Seja G=(X,A) um grafo não orientado hamiltoniano. Então G é conexo. Prova Trivial! Proposição (Condição necessária para um grafo ser hamiltoniano) Seja G=(X,A) um grafo orientado hamiltoniano. Então G é fortemente conexo. Prova Trivial! Slide 46 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Grafos hamiltonianos Exemplos 3 O circuito {(1,2);(2,3);(3,4);(4,5)(5,1)} passa por todos os vértices uma só vez. Assim, o grafo é hamiltoniano logo é fortemente conexo 1 2 4 5 3 O grafo é fortemente conexo… …mas não é hamiltoniano Existe um circuito que contém todos os vértice mas não é elementar: 1 2 4 {(1,2);(2,3);(3,2);(2,4);(4,5) );(5,1)} 5 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL O problema de Hamilton… Imaginem-se 20 cidades do nosso planeta dispostas segundo os vértices de um dodecaedro Pretende-se visitar cada cidade exatamente uma vez e regressar à cidade de partida. As ligações possíveis são as que correspondem às arestas do dodecaedro. Será possível estabelecer um percurso com estas características?... UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algumas Aplicações : Coloração de Mapas 3 1 2 3 1 5 5 2 4 4 6 6 7 8 8 7 3 1 5 2 4 6 7 8 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algumas Aplicações Coloração de Mapas Em 1852 conjeturou-se que um mapa real ou imaginário (grafo planar) pode ser sempre colorido usando apenas 4 cores. Em 1976 K. Appel e W. Haken provaram este resultado fazendo uso do computador. Consideraram 1200 casos criticos. UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algumas Aplicações Grafo apresentado por Martin Gardner Pode colorir-se com 4 cores distintas UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algumas Aplicações Redes sociais da internet Analisando as preferências dos amigos e os <likes= a páginas usam teoria de grafos para publicitar mais eficientemente certos produtos. Lojas como a Amazon também usam teoria de grafos para sugerirem aos seus clientes futuras compras. UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos São muitas as aplicações na área da IO cuja resolução passa por determinar o caminho de menor ou maior valor entre dois vértices de um grafo orientado Problema de caminho ótimo Definição Seja G = (X,A) um grafo orientado tal que a cada arco (i,j) está associado um valor cij, que designaremos por comprimento (custo, valor, peso) do arco. Seja C, um caminho entre dois vértices s e t pertencentes a X. ➢ À soma dos comprimentos de todos os arcos de C chama-se comprimento do caminho C; Slide 53 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos Definição (continuação) ➢ De entre todos os caminhos entre s e t, o que tem menor comprimento designa-se por caminho mais curto entre s e t. ➢ De entre todos os caminhos entre s e t, o que tem maior comprimento designa-se por caminho mais longo entre s e t. Slide 54 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos 3 Exemplo 6 2 1 Sejam s = 1 e t = 5 1 4 2 3 Caminhos entre 1 e 5 e respetivos valores: 5 1 4 {(1,2); (2,3); (3,5)} comprimento = 9 {(1,2); (2,3); (3,4); (4,5)} comprimento = 8 {(1,2); (2,4); (4,5)} comprimento = 5 Caminho mais curto entre 1 e 5 {(1,2); (2,4); (4,5)} Caminho mais longo entre 1 e 5 {(1,2); (2,3); (3,5)} Slide 55 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Existirá sempre caminho mais curto entre dois vértices de um grafo? Exemplo 3 3 1 5 1 8 3 5 2 2 6 5 3 4 Não existe caminho mais curto entre 1 e 5 porque não existe nenhum caminho de 1 para 5! Slide 56 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Existirá sempre caminho mais curto entre dois vértices de um grafo? Exemplo 3 3 (1,2) (2,3) (3,5) 14 (1,2) (2,3) (3,4) (4,2) (2,3) (3,5) 1 12 (=14-2) 5 1 8 -5 2 2 6 5 3 4 (1,2) (2,3) (3,4) (4,2) (2,3) (3,4) (4,2) (2,3) (3,5) (1,2) (2,3) … (3,4) (4,2) (2,3)… (3,5) n vezes 10 (=12-2) 14-2ôn 2∞ Entre o vértice 1 e 5 existe o circuito (2,3,4,2) com valor 1+2-5 =- 2 . Sempre que se passa pelo circuito o valor do caminho tem um decréscimo de 2 unidades. Não existe caminho porque o grafo tem um circuito de valor (custo) total negativo! Slide 57 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos Existência de caminho mais curto entre dois vértices s e t num grafo orientado ➢ Tem que existir pelo menos um caminho entre s e t; ➢ Não pode existir qualquer circuito de valor negativo em algum caminho entre s e t. ? Caminho mais curto entre dois vértices de um grafo orientado ? Existem diversos algoritmos… Slide 58 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos G=(X,A) Grafo orientado cij Comprimento (custo, valor, peso) associado ao arco (i,j)þX Objetivo Determinar o caminho mais curto entre s e t (pertencentes a X) Problema mais geral Determinar o caminho mais curto entre o vértice s e todos os outros Suposições (garantem que existe caminho mais curto entre o vértice s e todos os outros) ▪ Existe pelo menos um caminho entre o vértice s e todos os outros; ▪ O grafo não tem circuitos de valor negativo. Slide 59 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos sþX Vértice a partir do qual se pretende determinar os caminhos mais curtos Notação ü(j) j þX Comprimento do caminho mais curto entre o vértice s e o vértice j Exemplo ÿ(2) = 5 ü (1) = 0 (s=1) 5 2 2 ÿ(4) = 7 4 6 3 3 1 3 5 3 ÿ(3) = 3 8 5 (t=5) ÿ(5) = 10 Slide 60 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Proposição Seja G=(X,A) um grafo orientado e seja sþX. Admita-se ainda que existe pelo menos um caminho entre s e todos os outros vértices. Sendo ü(j) o comprimento do caminho mais curto entre s e j então, ➢ ü(j)  ü(i) + cij iþX tal que (i,j)þA; ➢ Se ü(j) = ü(i) + cij então o arco (i,j) é o último arco num caminho mais curto entre s e j. Observação ÿ(ÿ) i s cij ÿ(Ā) j Slide 61 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Se conhecermos os valores ü(j) podemos usar a parte 2 da proposição anterior para 8recuperar9 os caminhos mais curtos entre s e todos os outros vértices… Exemplo ÿ(2) = 5 ü(5)=ü(4)+c45 (4,5) é o último arco num caminho mais curto entre 1 e 5 ü(4)=ü(2)+c24 ü (1) = 0 2 5 3 3 3 5 (2,4) é o último arco num caminho mais curto entre 1 e 4 ü(2)=ü(1)+c12 4 6 1 (s=1) 2 ÿ(4) = 7 3 ÿ(3) = 3 8 5 ÿ(5) = 10 (1,2) é o último arco num caminho mais curto entre 1 e 2 Caminho mais curto entre 1 e 5 {(1,2),(2,4),(4,5)} Comprimento: ü(5)=10. Slide 62 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Determinação dos valores ü(j), jþX – comprimentos dos caminhos mais curtos ÿ(ÿ) entre s e todos os outros vértices Observação i s ÿ(ā) k ÿ(Ă) l cij ckj j clj ÿ Ā = ăÿĄ ÿ ÿ + ýÿĀ , ÿ ā + ýāĀ , ÿ Ă + ýĂĀ Proposição Seja G=(X,A) um grafo orientado e seja sþX. Admita-se ainda que existe pelo menos um caminho entre s e todos os outros vértices. ü(j) é o comprimento do caminho mais curto entre s e j se e só se, �㕀(Ā) = ÿ�㔢Ā �㕀(ÿ) + �㖄 ÿ∈�㕿: (ÿ,Ā)∈�㕨 ÿĀ Slide 63 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Determinação dos valores ü(j), jþX – comprimentos dos caminhos mais curtos entre s e todos os outros vértices ALGORITMO 1. ü(s)  0; 2. Enquanto não se conhecer ü(j) para todo o jþX fazer Considerar um qualquer vértice j tal que não se conhece ü(j) mas tal que já se conhecem os valores de ü relativos a todos os seus antecessores. Fazer ÿ(Ā) ← min ÿ∈�㕋: (ÿ,Ā)∈�㔴 ÿ(ÿ) + ýÿĀ Observação Caso se pretenda determinar apenas o comprimento do caminho mais curto entre s e um determinado vértice tþX, o algoritmo termina quando se obtiver o valor de ü(t) Slide 64 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Exemplo ü(1)=0 ü(3)=min{ü(1)+3}=3 2 3+3}=5 4 6 3 3 1 ü(2) = min{ü(1)+5, ü(3)+3 } = min{ 0 + 5, 5 (s=1) 2 3 5 3 8 5 ü(4) = min{ü(2)+2, ü(3)+5 } = min{ 5 + 2, 3 + 5 } = 7 ü(5) = min{ü(2)+6, ü(3)+8, ü(4)+3 } = min{ 5 + 6, 3 + 8, 7 + 3 } = 10 Slide 65 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos Definição Seja G = (X,A) um grafo orientado tal que a cada arco (i,j) está associado um valor cij, que designaremos por comprimento (custo, valor, peso) do arco. ➢ De entre todos os caminhos entre s e t, o que tem maior comprimento designa-se por caminho mais longo entre s e t. Existência de caminho mais longo entre dois vértices s e t num grafo orientado ➢ Tem que existir pelo menos um caminho entre s e t; ➢ Não pode existir qualquer circuito de valor positivo em algum caminho entre s e t. Slide 66 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Exemplos 3 3 1 5 1 8 3 5 2 2 6 5 Não existe caminho entre 1 e 5 3 4 3 3 Existe um circuito de valor positivo 1 5 8 1 6 2 2 6 5 3 4 Slide 67 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos Determinação do caminho mais longo entre dois vértices de um grafo orientado ➢ Algoritmo para determinação do caminho mais curto substituindo (cij) por (–cij); �㕴�㖂�㖙 �㖇 �㖙 ⇔ �㕴ÿ�㖏 2 �㖇 �㖙 ➢ Adaptação de algoritmos para determinação do caminho mais curto… Slide 68 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Exemplo (Substituindo (cij) por (-cij)) 2 5 (s=1) 3 ü(2) = min{ü(1)-5, ü(3)-3 } = min{ 0 - 5, -3 - 3 } = -6 ü(4) = min{ü(2)-2, ü(3)-5 } = ü(5) = min{ü(2)-6, ü(3)-8, ü(4)-3 } = -3 - 8, -8 - 3 } = -12 5 3 -2 2 5 8 4 -6 1 min{ -6 - 2, -3 - 5 } = -8 min{ -6 - 6, -5 (s=1) 3 3 Caminho mais longo entre 1 e 5? ü(3)=min{ü(1)-3}=-3 4 6 1 ü(1)=0 2 -3 -3 -3 -5 3 -8 5 Caminho mais curto entre 1 e 5 com custos (–cij): {(1,3),(3,2),(2,5)} Comprimento: ü(5)=-12 Caminho mais longo entre 1 e 5 com os custos originais: {(1,3),(3,2),(2,5)} Comprimento: -ü(5)=12 Slide 69 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos Mas queremos mais! Podemos adaptar algoritmo apresentado antes para determinar caminhos mais longos Suposições (garantem que existe caminho mais curto entre o vértice s e todos os outros) ▪ Existe pelo menos um caminho entre o vértice s e todos os outros; ▪ O grafo não tem circuitos. sþX Vértice a partir do qual se pretende determinar os caminhos mais longos Notação ý(j) j þX Comprimento do caminho mais longo entre o vértice s e o vértice j Slide 70 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Exemplo Ā(2) = 6 ý (1) = 0 (s=1) 5 2 2 Ā(4) = 8 4 6 3 3 1 3 5 3 Ā(3) = 3 8 5 Ā(5) = 12 Slide 71 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Proposição Seja G=(X,A) um grafo orientado e seja sþX. Admita-se ainda que existe pelo menos um caminho entre s e todos os outros vértices. Sendo ý(j) o comprimento do caminho mais longo entre s e j então, ➢ ý(j) ó ý(i) + cij iþX tal que (i,j)þA; ➢ Se ý(j) = ý(i) + cij então o arco (i,j) é o último arco num caminho mais longo entre s e j. Observação Ā(ÿ) i s cij Ā(Ā) j Slide 72 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Se conhecermos os valores ý(j) podemos usar a parte 2 da proposição anterior para 8recuperar9 os caminhos mais longos entre s e todos os outros vértices… Exemplo Ā(2) = 6 ý(5)=ý(2)+c25 (2,5) é o último arco num caminho mais longo entre 1 e 5 ý(2)=ý(3)+c23 ý (1) = 0 2 5 3 3 3 5 (3,2) é o último arco num caminho mais longo entre 1 e 2 ý(3)=ý(1)+c13 4 6 1 (s=1) 2 Ā(4) = 8 3 Ā(3) = 3 8 5 Ā(5) = 12 (1,3) é o último arco num caminho mais longo entre 1 e 3 Caminho mais longo entre 1 e 5 Comprimento: ý(5)=12. {(1,3),(3,2),(2,5)} Slide 73 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Determinação dos valores ý(j), jþX – comprimentos dos caminhos mais longos entre s e todos os outros vértices Ā(ÿ) Observação i s Ā(ā) k cij Ā(Ā) ckj Ā(Ă) l j clj Proposição Seja G=(X,A) um grafo orientado e seja sþX. Admita-se ainda que existe pelo menos um caminho entre s e todos os outros vértices. ý(j) é o comprimento do caminho mais longo entre s e j se e só se, Ā(Ā) = max ÿ∈�㕋: (ÿ,Ā)∈�㔴 Ā(ÿ) + ýÿĀ Slide 74 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Determinação dos valores ý(j), jþX – comprimentos dos caminhos mais longos entre s e todos os outros vértices ALGORITMO 1. ý(s)  0; 2. Enquanto não se conhecer ý(j) para todo o jþX fazer Considerar um qualquer vértice j tal que não se conhece ý(j) mas tal que já se conhecem os valores de ý relativos a todos os seus antecessores. Fazer Ā(Ā) ← max ÿ∈�㕋: (ÿ,Ā)∈�㔴 Ā(ÿ) + ýÿĀ Observação Caso se pretenda determinar apenas o comprimento do caminho mais longo entre s e um determinado vértice tþX, o algoritmo termina quando se obtiver o valor de ý(t) Slide 75 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Exemplo ý(1)=0 ý(3)=max{ý(1)+3}=3 ý(2) = max{ý(1)+5, ý(3)+3 } = max{ 0 + 5, 5 (s=1) 3+3}=6 ý(4) = max{ý(2)+2, ý(3)+5 } = 2 2 4 6 3 3 1 3 5 3 8 5 max{ 6 + 2, 3 + 5 } = 8 ý(5) = max{ý(2)+6, ý(3)+8, ý(4)+3 } = max{ 6 + 6, 3 + 8, 8 + 3 } = 12 Caminho mais longo entre 1 e 5 {(1,3),(3,2),(2,5)} Comprimento: ý(5) =12 Slide 76 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Aplicações relacionadas com a determinação do caminho mais curto ➢ Caminho mais rápido entre dois lugares num mapa tendo em conta fatores como condições do tráfego, tipo de transporte (GPS, Google maps, etc.) ➢ Envio de pacotes de dados de modo eficiente através da net. ➢ Determinar rotas de transporte eficiente de mercadorias entre vários locais tendo em conta os custos de transporte e de entrega. ➢ Nas redes sociais determinar o caminho mais curto entre dois indivíduos pode ser usado para medir a conectividade da rede. Slide 77 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Caminhos ótimos Um problema de substituição de equipamento ➢ Uma empresa que faz entregas ao domicílio pretende ter uma viatura automóvel disponível durante os próximos dois anos. ➢ A empresa tem como opções unicamente dois modelos de viatura: A e B. ➢ Os custos de aquisição e operação / manutenção são diferentes. ➢ No fim do primeiro ano é possível trocar de viatura (ou por outra do mesmo modelo ou por uma do outro modelo), obtendo-se uma receita proveniente da venda. ➢ No fim dos dois anos a empresa venderá a viatura que tiver na altura. Slide 78 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Um problema de substituição de equipamento Custo de operação e manutenção Valor de venda Preço de aquisição No 1º ano de atividade No 2º ano de atividade 1 ano de atividade 2 anos de atividade Modelo A 600 300 400 350 210 Modelo B 300 500 600 170 130 Questões: 1. Que viatura adquirir de início; 2. Deve trocar-se de viatura no fim do primeiro ano? Se sim, para que modelo? Slide 79 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Custo de operação e manutenção Um problema de substituição de equipamento Agora Daqui a 1 ano Valor de venda Preço de aquisição No 1º ano de atividade No 2º ano de atividade 1 ano de atividade 2 anos de atividade Modelo A 600 300 400 350 210 Modelo B 300 500 600 170 130 Daqui a 2 anos 400 Usado A com 2 anos -210 Usado A com 1 ano -350+600+300 600+300 Usado A com 1 ano -350+300+500 -350 t s -170 -170+600+300 Usado B com 1 ano 300+500 Usado B com 1 ano -130 -170+300+500 600 Usado B com 2 anos Slide 80 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Um problema de substituição de equipamento Agora Daqui a 1 ano Daqui a 2 anos 400 Usado A com 2 anos -210 Usado A com 1 ano 550 Usado A com 1 ano 900 450 -350 t s -170 730 Usado B com 1 ano 800 Usado B com 1 ano -130 630 600 Usado B com 2 anos Slide 81 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Um problema de substituição de equipamento Um caminho entre s e t neste grafo corresponde a uma política de aquisição, manutenção e venda das viaturas. Valor (custo) de um caminho 400 Usado A com 2 anos -210 Usado A com 1 ano 550 Usado A com 1 ano 900 450 -350 t s -170 730 Usado B com 1 ano 800 Usado B com 1 ano -130 630 600 Usado B com 2 anos Custo da política correspondente Slide 82 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Um problema de substituição de equipamento ü(1) = 0 ü(2) = min{ü(1)+900} = 900 400 4 -210 ü(3) = min{ü(1)+800} = 800 900 ü(4) = min{ü(2)+400} = 1300 ü(5) = min{ü(2)+550, ü(3)+730} = min {900+550, 800 +730} = 1450 2 550 5 -350 450 1 -170 730 800 ü(6) = min{ü(2)+450, ü(3)+630} = min {900+450, 800 +630} = 1350 8 6 3 630 600 -130 7 ü(7) = min{ü(3)+600} = 1400 ü(8) = min{ ü(4)-210, ü(5)-350, ü(6)-170, ü(7)-130} = min{1300-210, 1450-350, 1350-170, 1400-130} = 1090 Caminho mais curto: 1 2 4 8 Valor: 1090 Slide 83 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Um problema de substituição de equipamento 400 Política ótima Usado A com 2 anos -210 Usado A com 1 ano 550 Usado A com 1 ano 900 450 -350 t s -170 730 Usado B com 1 ano 800 Usado B com 1 ano Comprar um carro de tipo A no início e mantê-lo durante os dois anos -130 630 600 Custo desta política: 1090 unidades monetárias Usado B com 2 anos Menor custo possível! Slide 84 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos E mais uma charada (com <barba=...ou não?!) Na margem de um rio está um pastor com um lobo, uma ovelha e um molho de couves... Existe um barco disponível para fazer a travessia do rio mas que é tão pequeno que, para além do pastor, apenas pode levar um 8passageiro9. O pastor pretende levar o lobo, a ovelha e o molho de couves para a outra margem do rio mas sabe que, caso não esteja presente, o lobo não pode ficar sozinho com a ovelha e esta não pode ficar sozinha com o molho de couves... Pretende-se saber de que forma o pastor deve fazer a travessia minimizando o número de viagens A novidade! Slide 85 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos E mais uma charada (com <barba=...ou não?!) Pastor P Ovelha O Lobo L Couves C Forma-se um grafo com os diferentes estados possíveis na margem de partida... {L,O,C,P} {L,O, P} {O,C, P} {L,C, P} {O, P} {L, C} {O} {L} {C} {} Com a determinação de um caminho mais curto resolve-se o problema!... Slide 86 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos O problema da mochila… ➢ Um campista tem uma mochila com uma capacidade máxima de 6 kg; ➢ O indivíduo tem um conjunto de objetos que gostaria de transportar na mochila; ➢ O valor que o indivíduo atribui a cada objeto e o respetivo peso são dados por: Objeto 1 2 3 4 ? Valor 7.5 4 3 3.5 Peso (kg) 4 3 2 1 Que objetos deve o campista por na mochila de forma a maximizar o valor total dos objetos escolhidos não excedendo a capacidade? ? Slide 87 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos O problema da mochila… O problema pode ser formulado como um problema de determinação do caminho mais longo entre dois determinados vértices num grafo orientado… ▪ Vértices i,b Os objetos incluídos têm um peso total igual a b Já foi tomada a decisão relativa à inclusão ou não dos objetos 1,…,i ▪ Arcos i,b Valor(i+1) Estão associados às decisões de inclusão ou não dos objetos i+1,b+peso(i+1) • Corresponde à decisão de incluir o objeto i+1; • O valor do arco será o valor do objeto. i,b 0 i+1, b • Corresponde à decisão de não incluir o objeto i+1; • O valor do arco será 0. Slide 88 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Objeto 1 2 3 4 Valor 7.5 4 3 3.5 Início Peso (kg) 4 3 2 1 O problema da mochila… 1,6 2,6 3,6 4,6 1,5 2,5 3,5 4,5 1,4 2,4 3,4 4,4 1,3 2,3 3,3 4,3 1,2 2,2 3,2 4,2 1,1 2,1 3,1 4,1 1,0 2,0 3,0 4,0 Fim Alguns vértices não são necessários por não serem alcançáveis… Slide 89 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos O problema da mochila… Grafo com os vértices relevantes e com os pesos nos arcos 3,6 3 3,5 3 0 1,4 2,4 0 3,4 0 2,3 0 3.5 3.5 3.5 3,3 3.5 3,2 7.5 Objeto 1 2 3 4 0 4,5 4,4 0 4,3 0 Peso (kg) 4 3 2 1 Fim 0 0 0 0 0 0 4,2 0 4,1 3 Início 0 4,6 4 0 Valor 7.5 4 3 3.5 3.5 1,0 0 2,0 0 3,0 0 4,0 Slide 90 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos O problema da mochila… Determinação do caminho mais longo 10.5 3,6 3 7 7.5 7.5 0 1,4 2,4 4 3,5 3 0 3,4 7.5 0 2,3 4 10.5 0 4,6 0 3.5 011 4,5 0 3.5 3.5 3,3 3.5 3 3,2 7.5 4 0 7.5 0 6.5 03 3.5 3 0 0 0 Início 0 1,0 0 0 2,0 0 3.5 3,0 11 0 4,4 4,3 Fim 0 0 0 0 4,2 0 4,1 0 4,0 Slide 91 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos O problema da mochila… ➢ Qualquer caminho entre 8Início9 e 8Fim9, define uma solução admissível para o campista e vice-versa; ➢ O valor de um caminho desses é igual ao valor da solução admissível correspondente; ➢ Determinar a solução ótima para o problema da mochila equivale a determinar o caminho de maior valor – mais longo – entre 8Início9 e 8Fim9 no grafo construído. Caminho mais longo: Início 7.5 1,4 0 2,4 0 3,4 3.5 4,5 0 Fim A solução ótima corresponde a incluir os objetos 1 e 4, com um valor total de 11! Slide 92 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Caminhos ótimos Exercício suplementar Uma fábrica obteve estimativas, em toneladas, para a procura de determinado produto para os próximos 4 meses. Os custos de produção variam de mês para mês assim como a procura. Na tabela abaixo apresentam-se os dados relativos aos custos e procuras Mês 1 2 3 4 Procura (Toneladas) 100 110 120 110 Custos de produção (u.m.) 9 10 8 7 A empresa pode recorrer ao armazenamento do produto em causa de um mês para o seguinte mas o armazenamento do produto pode ser no máximo 1 mês. No princípio do mês 1 haverá um stock de 50 toneladas e no final do mês 4 não deverão ficar toneladas em stock. O custo de armazenamento é de 1 u.m. por mês e por tonelada. Não há limite à capacidade de produção em cada mês. Existe um custo fixo de 500 u.m. sempre que se inicia o processo produtivo. Determine a política de produção que minimiza os custos totais. UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Grafos Árvores de suporte Aplicações Redes de Telecomunicações Redes de transportes Redes de distribuição Redes de Computadores Slide 94 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL <Seervada Park= Hillier & Lieberman - pp. 335 7 A 2 D 2 O B C questão 3 1 T 1 5 4 5 4 E 7 4 Ao longo de que vias devem ser instalados cabos de fibra ótica, de modo a assegurar a ligação entre qualquer par de estações, e por forma a minimizar o total de Kms de cabo instalado? Slide 95 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL <Seervada Park= Hillier & Lieberman - pp. 335 7 A 2 D 2 O B 3 1 C T 1 5 4 5 4 E 7 4 Exemplo : os cabos instalados ao longo de OA, AD, DT, OB, BE e OC asseguram a ligação entre qualquer par de estações com um total de 18 Km. Slide 96 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL <Seervada Park= Hillier & Lieberman - pp. 335 7 A 2 D 2 O B 1 C resposta T 1 5 4 5 4 3 E 7 4 Árvore de suporte de peso mínimo os cabos instalados ao longo de OA, AB, BC, BE, DE e DT asseguram a ligação entre qualquer par de estações com um total de 14 Km. Slide 97 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Definição: Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos 3 3 1 1 2 3 5 5 1 4 1 2 5 3 3 5 4 4 Este grafo não é uma árvore Não é conexo Este grafo não é uma árvore Tem ciclos 3 1 2 3 5 5 2 3 4 Este grafo é uma árvore É um grafo conexo e sem ciclos Slide 98 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Definição: Seja G = (X,A) um grafo. Um grafo H = (Y,B) tal que Y = X e B ü A. Designa-se de grafo parcial de G. 3 3 2 1 4 2 3 2 1 5 2 3 5 1 2 3 3 5 4 4 G = (X,A) X = {1, 2, 3, 4, 5} A = { {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {3,5}, {4,5}} 5 2 H = (X,B) X = {1, 2, 3, 4, 5} B= { {1,3}, {1,4}, {2,4}, {3,4}, {4,5}} ü A Grafo Parcial de G Slide 99 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Definição: Seja G = (X,A) um grafo não orientado. Uma árvore de suporte em G é um grafo parcial de G conexo e sem ciclos. 3 2 1 4 2 3 3 1 2 5 2 2 3 3 5 1 4 G = (X,A) X = {1, 2, 3, 4, 5} A = { {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {3,5}, {4,5}} 5 5 2 3 4 Não é árvore de suporte em G Tem ciclos Slide 100 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte 3 3 2 1 1 4 2 3 5 1 5 2 5 3 4 2 G = (X,A) X = {1, 2, 3, 4, 5} A = { {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {3,5}, {4,5}} 5 2 3 4 É uma árvore mas não é de suporte em G. {1,2} ÿ A 3 4 1 2 5 5 2 3 4 É uma árvore de suporte em G. Slide 101 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Proposição Seja G=(X,A) um grafo não orientado e T uma árvore de suporte em G. Então, T tem |X|-1 arestas. Observação O recíproco do resultado anterior é falso ou seja, um grafo parcial com |x|-1 arestas pode não ser uma árvore de suporte. Exemplo 3 3 2 1 4 2 3 5 2 3 5 4 G = (X,A) 2 1 1 3 2 1 4 2 4 5 1 2 5 3 5 5 4 Árvore de suporte em G Tem 4 arestas. 4 Grafo parcial de G com 4 arestas Não é árvore de suporte. Slide 102 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Árvores de suporte Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado tal que a cada aresta {i,j} está associado um valor cij , que designaremos por comprimento (custo, valor, peso) da aresta. Seja T, uma árvore de suporte em G. À soma dos comprimentos de todas as arestas de T chama-se custo (peso, comprimentos, duração,…) de T. De entre todas as árvores de suporte em G, a que tem menor custo designa-se por árvore de suporte de custo mínimo em G De entre todas as árvores de suporte em G, a que tem maior valor designa-se por árvore de suporte de valor máximo em G Slide 103 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Como determinar a árvore de suporte de custo mínimo num grafo? Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado. Sejam X a e X tais que: b X a ø X b = X e Xa ÷ Xb = ö . Um corte C é um conjunto de arestas com um extremo em X a e outro em X b , isto é, C = i, j þ A : i þ X a , j þ X . b .  Xa C  Xb Slide 104 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Definição Seja G = (X,A) um grafo não orientado e T uma árvore de suporte em G. Seja, {x,y} uma aresta pertencente a T. Chama-se corte induzido por {x,y} ( [Sx , Sy] ) no grafo G, ao conjunto de arestas de G que têm extremos nos dois subconjuntos de vértices, Sx e Sy, do grafo que resulta de T pela remoção da aresta {x,y}. 3 3 2 1 4 2 3 5 2 1 5 2 4 3 G = (X,A) X = {1, 2, 3, 4, 5} A = { {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {3,5}, {4,5}} 1 1 4 2 5 5 4 Árvore de suporte em G Slide 105 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Corte induzido pela aresta {1,3} S3 1 1 4 3 2 3 2 1 4 2 5 Remoção da aresta {1,3} 5 1 5 5 4 4 S1 3 2 1 4 2 3 5 S1 = {1, 4} S3 = {2, 3, 5} 1 5 2 4 3 Corte induzido por {1,3}, isto é, [S1, S3] [S1, S3] = { {1,3}, {2,4}, {3,4}, {4,5},} G = (X,A) Slide 106 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Corte induzido pela aresta {1,4} S1 1 1 1 4 2 5 2 4 S4 3 1 2 3 5 5 2 4 3 4 S1 = {1, 2,3,5} S4 = {4} 1 4 5 Remoção da aresta {1,4} 5 2 1 4 3 2 3 2 Corte induzido por {1,4}, isto é, [S1, S4] [S1, S4] = { {1,4}, {2,4}, {3,4}, {4,5}} G = (X,A) Slide 107 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Corte induzido pela aresta {2,3} S3 3 2 1 3 2 1 5 1 1 4 2 5 Remoção da aresta {2,3} 5 4 2 5 S2 4 3 2 1 4 2 3 5 S2= {2} S3 = {1,3,4,5} 1 5 2 4 3 Corte induzido por {2,3}, isto é, [S2, S3] [S2, S3] = { {2,4}, {2,3}} G = (X,A) Slide 108 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Corte induzido pela aresta {3,5} S3 3 2 4 3 2 1 1 2 1 4 2 5 Remoção da aresta {3,5} 5 S5 5 4 5 4 3 2 1 1 4 2 3 5 S3= {1,2,3,4} S5 = {5} 5 2 4 3 Corte induzido por {3,5}, isto é, [S3, S5] [S3, S5] = { {3,5}, {4,5}} G = (X,A) Slide 109 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Observação A troca de uma aresta {x,y} de uma árvore de suporte por uma outra aresta do corte induzido por {x,y} permite obter uma outra árvore de suporte. Exemplo 3 2 1 [S3, S5] = { {3,5}, {4,5}} 1 4 2 5 5 4 Custo = 2+5+4+1=12 Trocar a aresta {3,5} por outra do corte induzido por esta aresta. Neste caso só podemos trocar {3,5} por {4,5} 3 2 4 1 2 5 5 Custo = 2+5+4+3=14 4 3 Slide 110 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Exemplo 3 2 1 [S1, S4] [S1, S4] = { {1,4}, {2,4}, {3,4}, {4,5}} 1 4 2 5 5 4 Custo = 2+5+4+1=12 Trocar a aresta {1,4} por outra do corte induzido por esta aresta. Troquemos por exemplo {1,4} por {3,4} 3 2 1 Custo = 2+4+2+1=9 1 4 2 2 5 4 Slide 111 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Árvores de suporte Seja T uma árvore de suporte e [Sx,Sy] o corte induzido pela aresta {x,y}þT Se nesse corte existir uma aresta, seja {a,b}, com custo menor do que o custo da aresta {x,y} então, a árvore de suporte que se obtém de T substituindo {x,y} por {a,b} tem custo mais baixo do que T. Dada uma árvore de suporte em G, T , podemos obter árvores de menor custo substituindo uma aresta {x,y}þT por outra aresta de menor custo pertencente ao corte induzido por {x,y}. O processo termina quando a árvore corrente não puder ser melhorada através deste processo Slide 112 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Exemplo b O grafo representa uma rede de estradas que permite ligar 6 cidades: a, b, c, d, e e f a Junto a cada ligação apresenta-se a distância entre as duas cidades que são extremos da ligação. 18 25 8 12 10 e c 20 15 14 d 5 20 f Pretende-se instalar uma rede de cabos de fibra ótica de modo a garantir que cada cidade consiga comunicar com qualquer outra. Para facilitar a manutenção, qualquer linha telefónica deverá ser instalada ao longo de uma estrada. O objetivo é determinar de acordo com estas restrições o menor comprimento possível de cabo telefónico. Slide 113 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL b Árvores de suporte 18 25 a Exemplo 8 b 18 a Valor = 72 12 8 e d 14 [Se,Sf] = {{a,b};{a,d};{e,d}; {e,f}} 20 f [Se,Sf] \{e,f}= {{a,b};{a,d};{e,d}} 25 15 10 e 14 d 5 {e,f}: custo 20 c 12 10 c 20 15 20 f A substituição de {e,f} por {e,d} conduz a uma árvore de valor mais baixo b 18 8 a Valor = 62 c d 12 14 10 e f {b,c}: custo 18 [Sb,Sc] = {{b,c};{c,d};{d,f};{e,f}} [Sb,Sc] \{b,c} = {{c,d};{d,f};{e,f}} 20 5 20 A substituição de {b,c} por {d,f} conduz a uma árvore de valor mais baixo Slide 114 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte b a 8 a c d 12 5 10 c 20 14 d 5 14 10 e 8 15 12 Valor = 49 18 25 b e 20 f f Não há nenhum melhoramento possível: Em nenhum corte induzido por alguma das arestas se consegue melhor Proposição (Condição de otimalidade) Seja G=(X,A) um grafo não orientado e T uma árvore de suporte de valor mínimo em G. Então {x, y} þ T , {k , l} þ[ S x , S y ] cxy  ckl Slide 115 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos Árvores de suporte Proposição Seja G=(X,A) um grafo não orientado e T uma árvore de suporte em G. T é ótima (de valor mínimo) se e só se satisfaz a condição de otimalidade É possível utilizar a condição de otimalidade para sugerir um algoritmo que constrói desde o início uma árvore de suporte garantidamente ótima Algoritmo de Prim Em cada iteração, o algoritmo selecciona a aresta de custo mínimo que liga um vértice já incluído na árvore com um vértice ainda isolado Slide 116 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Árvores de suporte Algoritmo de Prim Notação Seja G = (X, A) um grafo não orientado X =  x1 , x2 , , xn  cij Valor/custo da aresta i, j XT conjunto de vértices já incluídos na solução X \ X T conjunto de vértices ainda não incluídos na solução AT conjunto de arestas já incluídos na solução CUSTO custo da solução corrente Slide 117 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Algoritmo de Prim Árvore de suporte de custo mínimo Passo 0: // Inicialização X T   x1 (começa-se por qualquer vértice do grafo) AT  ö CUSTO  0 Passo 1: // Seleção da aresta de custo mínimo Determinar o corte é, o conjunto de arestas com um  X T , X \ X T  isto extremo em X e outro em T Seleccionar a aresta de custo mínimo no corte Seja  x1 , x2  a aresta seleccionada X \ XT  XT , X \ XT  Slide 118 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Árvores de suporte Algoritmo de Prim Árvore de suporte de custo mínimo Passo 2: // Atualização Fazer X T  X T ø  x2  AT  AT ø  x1 , x2  CUSTO  CUSTO + c12 Se X \ XT = ö Caso contrário Terminar. A árvore de suporte em G de custo mínimo é T = ( X T , AT ) Voltar ao Passo 1. Slide 119 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Determinar a árvore de suporte de custo mínimo neste grafo usando o algoritmo de Prim Exemplo 2 1 2 5 4 7 2 3 6 4 4 1 XT 7 1 3 CUSTO = 0 7 5 4  X T , X \ X T  = 1, 2,3, 4,5, 6, 7 = 1, 2, 1,3, 1, 4 2 2 1 5 X T = 1 // Começar, por ex., pelo vértice 1. AT = ö 6 4 7 5 3 X \ XT Escolher a aresta valor no corte 4 5 1, 2 que é a de menor X T = 1, 2 AT = 1, 2 CUSTO = 0 + 2 = 2 X \ XT  ö Repete o passo 1 Slide 120 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte : Exemplo 2 2 4 7 XT 7 5 X \ XT 7 5 2 7 Repete o passo 1  X T , X \ X T  = 1, 2, 4 , 3,5, 6, 7 = = 1,3 , 3, 4 , 2, 6 , 4,5 , 4, 6 6 4 7 AT = 1, 2 , 2, 4 CUSTO = 2 + 2 = 4 X T = 1, 2, 4 3 3 5 4   que é a de 2 5 1 Escolher a aresta 2, 4 menor valor no corte X \ XT 1 1 4 4 5 2 5 4 6  X T , X \ X T  = 1, 2 , 3, 4,5, 6, 7 = 1,3, 1, 4, 2, 4, 2, 6 X \ XT  ö 2 2 4 3 6 1 XT 3 1 2 7 2 4 1 7  3 4  que é a de menor valor X T = 1, 2, 4,3 AT = 1, 2 , 2, 4 , 3, 4CUSTO = 5 Escolher a aresta 3, 4 no corte X \ XT  ö Repete o passo 1 Slide 121 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte 1 Exemplo 2 2 1 4 7 1 5 3 2 1 4 1 3 XT 5 1 1 3 5 7 7 4 3 4 4,5 que é a de menor valor no corte X T = 1, 2, 4,3,5 AT = 1, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 4,5 7 3 4 5 Escolher a aresta 6 2 5 6 = 2, 6 , 3,5 , 4,5 , 4, 6 CUSTO = 8 2 2 4 4  X T , X \ X T  = 1, 2, 4,3, 5, 6, 7 7 X \ XT XT 2 4 3 6 2 2 3. Problemas em grafos 7 X \ XT X \ X T  ö Repete o passo 1  X T , X \ X T  = 1, 2, 4,3,5 , 6, 7 = 2, 6 , 4, 6 , 5, 6 , 5, 7 7 4 1 7 5, 6 que é a de menor valor no corte X T = 1, 2, 4,3,5, 6 AT = 1, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 4,5 , 5, 6 Escolher a aresta CUSTO = 9 X \ X T  ö Repete o passo 1 Slide 122 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Exemplo 2 2 1 4 5 4 4 1 6 5 1 3 5 7 7 4 7 1 3 1 5  X T , X \ X T  = 1, 2, 4,3,5, 6, 7 = 6, 7, 5, 7 3 5 7 6, 7 que é a de menor valor no corte X T = 1, 2, 4,3,5, 6, 7 AT = 1, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 4,5 , 5, 6 , 6, 7 XT 2 2 4 3 X \ XT 6 2 1 2 7 2 Escolher a aresta 2 6 2 1 4 1 3 1 3 5 5 7 CUSTO = 14 X \ XT = ö Termina A árvore de suporte de custo mínimo é T = ( X T , AT ) Slide 123 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Árvores de suporte Algoritmo de Prim Árvore de suporte de custo máximo Passo 0: // Inicialização X T   x1 (começa-se por qualquer vértice do grafo) AT  ö CUSTO  0 Passo 1: // Seleção da aresta de custo máximo Determinar o corte é, o conjunto de arestas com um  X T , X \ X T  isto extremo em X e outro em X \ XT T  Seleccionar a aresta de custo máximo no corte X T , X \ X T Seja  x1 , x2  a aresta seleccionada  Slide 124 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Árvores de suporte Algoritmo de Prim Árvore de suporte de custo máximo Passo 2: // Atualização Fazer X T  X T ø  x2  AT  AT ø  x1 , x2  CUSTO  CUSTO + c12 Se X \ XT = ö Caso contrário Terminar. A árvore de suporte em G de custo máximo é T = ( X T , AT ) Voltar ao Passo 1. Slide 125 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3. Problemas em grafos Árvores de suporte Exemplo Determinar a árvore de suporte de custo máximo neste grafo usando o algoritmo de Prim a e 41 28 c d 3 13 14 17 5 35 X T = e // Começar, por ex., pelo vértice e. AT = ö CUSTO = 0 20 b f  X T , X \ X T  = e , a, b, c, d , f  = a, e, e, d , e, f  41 a e c b d X \ XT XT Escolher a aresta valor no corte 3 a, e que é a de maior 14 X T = a, e AT = a, e CUSTO = 0 + 41 = 41 f X \ XT  ö Repete o passo 1 Slide 126 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Problemas em grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL a Árvores de suporte 28 c Exemplo a 35 b 35 b e 28 41 c 35 3 14 17 5 20 f 14 a, b que é a de maior AT = a, e , a, b Escolher a aresta valor no corte X T = a, e, b f X \ XT a d 3  X T , X \ X T  = a, e , b, c, d , f  = = a, c , a, b , d , e , e, f  d c 13 b XT 41 e 41 CUSTO = 76 X \ XT  ö Repete o passo 1  X T , X \ X T  = a, e, b , c, d , f  = XT e 28 5 3 14 20 a, c que é a de maior X T = a, e, b, c AT = a, e , a, b , a, c Escolher a aresta valor no corte d X \ XT = a, c , b, c , d , e , e, f  , b, f  f X \ XT  ö CUSTO = 104 Repete o passo 1 Slide 127 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS a DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 28c Árvores de suporte Exemplo a 35 41 XT 28 c e d X \ XT 35 a XT 41 28 c 35 b 35 13 20 3 f 14 X \ XT  ö CUSTO = 124 Repete o passo 1 f e d 20 b  X T , X \ X T  = a, e, b, c , d , f  = = c, d  , b, f  , d , e , e, f  Escolher a aresta valor no corte f 13 3 17 d , f  X T = a, e, b, f , c, d  CUSTO = 141 AT = a, e , a, b , b, f  , a, c , d , f  X \ X T = ö Termina 17 b 20  X T , X \ X T  = a, e, b, f , c, d  = c, d , d , e, d , f  41 28 c 17 14 X \ XT 20 a 5 d 3 b, f  que é a de maior X T = a, e, b, c, f  AT = a, e , a, b , a, c , b, f  e d 13 Escolher a aresta valor no corte f b e 41 que é a de maior A árvore de suporte de custo máximo é T = ( X T , AT ) Slide 128 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programa 1. Introdução 2. Programação Matemática 3. Problemas em Grafos 4. Planeamento de projetos 5. Problemas de afetação 6. Gestão de stocks Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Planeamento de projetos que envolvem um grande número de atividades Problema complexo especialmente se há uma ordem específica para a execução das atividades PERT (Project Evaluation and Review Technique) CPM (Critical Path Method) Métodos mais 8populares9 no tratamento deste tipo de problemas ➢ Foram desenvolvidos quase em simultâneo na década de 50 Slide 130 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Conceitos iniciais Os métodos PERT e CPM permitem ➢ Planear o projeto antecipadamente e prever quais as atividades suscetíveis de atrasar a conclusão do projeto; ➢ Realizar as várias atividades de acordo com a sequência pré-estabelecida e controlar a sua realização de modo a garantir a conclusão do projeto o mais cedo possível, isto é, em caso de atrasos, prever se estes podem ou não implicar um atraso na conclusão do projeto global e, em caso afirmativo, de quanto tempo. Método PERT Desenvolvido pela marinha Americana (Programação do desenvolvimento dos mísseis Polaris) Método CPM Conjunto de técnicas algo semelhantes às do método PERT Slide 131 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Conceitos iniciais Aplicações dos métodos PERT e CPM • Construção de edifícios, pontes, autoestradas, linhas de caminho de ferro, etc...; • Planeamento de operações de manutenção (plataformas petrolíferas, navios, aviões, etc...); • Desenvolvimento de armamento ou de outro tipo de produtos tais como aviões, barcos, computadores, etc...; • Projetos mais simples envolvendo um menor número de atividades tais como a restauração de um edifício ou uma simples alteração de uma casa. Slide 132 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Conceitos iniciais Exemplo (Remodelação de uma cozinha) Um pequeno projeto consiste na remodelação de uma cozinha. As atividades que têm que ser desenvolvidas são as seguintes: A: Mudança da canalização da água B: Mudança da canalização do gás C: Montagem de um novo pavimento D: Rebocar e pintar a parede E: Reforço da instalação elétrica F: Colocação de iluminação G: Instalação de equipamento Naturalmente, estas atividades devem ser realizadas por uma determinada ordem, uma vez que o início de algumas delas depende da conclusão de outras. De facto, Slide 133 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Conceitos iniciais A: Mudança da canalização da água B: Mudança da canalização do gás C: Montagem de um novo pavimento D: Rebocar e pintar a parede E: Reforço da instalação elétrica F: Colocação de iluminação G: Instalação de equipamento Exemplo (continuação) A deve preceder C e D B deve preceder D C deve preceder G D deve preceder F e G E deve preceder F O tempo de duração de cada atividade é dado, em dias, por A B C D E F G 3 2 1 4 1 1 3 O objetivo é determinar o prazo mínimo para a remodelação da cozinha. Slide 134 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Conceitos iniciais Definição Quando, num projeto envolvendo várias atividades, existem atividades cujo início depende da conclusão de outra ou de outras atividades, diz-se que existe uma relação de precedência orientada entre as atividades. Os métodos PERT e CPM permitem tratar problemas como o anterior Representação do problema através de um grafo Vamos considerar uma representação dos problemas através de um grafo orientado em que as atividades são representadas pelos arcos Slide 135 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Redes com atividades nos arcos – construção 1. Cada atividade do projeto é representada por um único arco; 2. Os vértices representam momentos específicos do tempo que se identificam com o início ou fim de uma ou mais atividades; 3. A orientação dos arcos é utilizada para representar a sequência das atividades a realizar: Se uma atividade precede outra, a segunda só pode ser realizada depois da primeira estar terminada; 4. Sempre que necessário utilizam-se atividades fictícias – com duração nula – de forma a evitar ambiguidades na rede; 5. Os vértices são numerados de forma que o vértice inicial de um arco tenha sempre número inferior ao vértice final. Slide 136 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Redes com atividades nos arcos – construção Existem diversas formas de representar um projeto através de uma rede. Aquela que se descreveu designa-se por precedência-orientada. G=(X,A) Projeto Grafo orientado – rede de atividades A Atividades ou tarefas (Conjunto de arcos) X (Conjunto de vértices) Acontecimentos (Início ou conclusão de atividades) Slide 137 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção 8Metodologia9 para construção de redes com atividades nos arcos ➢ ➢ ➢ ➢ Associar um arco a cada atividade; Utilizar atividades fictícias para estabelecer as precedências; Simplificar a rede; Numerar os vértices da rede. Atividade T1 Atividade T2 T1 Se T1 precede T2 … Atividade Tn Atividade fictícia – duração 0 T2 T1 T2 Slide 138 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Simplificação / condensação da rede ➢ As atividades que não têm precedentes podem iniciar o projeto. Os arcos correspondentes podem ter início no mesmo vértice, o qual representará o início do projeto T’ T’’ T’’’ Atividades sem precedentes T’ T’’ T’’’ Vértice que representa o início do projeto Slide 139 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Simplificação / condensação da rede ➢ As atividades que não precedem qualquer outra podem terminar o projeto. Os arcos correspondentes podem convergir no mesmo vértice, o qual representará o instante de conclusão do projeto T’ T’’ T’’’ Atividades que não precedem qualquer outra T’ T’’ T’’’ Vértice que representa a conclusão do projeto Slide 140 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Simplificação / condensação da rede ➢ Se uma atividade fictícia é a única a convergir num vértice, pode ser eliminada – juntam-se os vértices correspondentes T’’’ T’’’ T’ T’ T’’ T’’ ➢ Se uma atividade fictícia é a única a divergir de vértice, pode ser eliminada – juntam-se os vértices correspondentes T’ T’’ T’ T’’’ T’’’ T’’ Slide 141 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Numeração dos vértices ➢ Ao vértice inicial de um arco vamos atribuir um número inferior ao do vértice final Só vamos atribuir número a um vértice tal que todos os seus antecessores já tenham sido numerados 3 1 1 2 1 2 4 Slide 142 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Exemplo (Planificação da remodelação da cozinha) A: Mudança da canalização da água B: Mudança da canalização do gás C: Montagem de um novo pavimento D: Rebocar e pintar a parede E: Reforço da instalação elétrica F: Colocação de iluminação G: Instalação de equipamento A deve preceder C e D B deve preceder D C deve preceder G D deve preceder F e G E deve preceder F Equivalentemente C tem como precedente A D tem como precedentes A e B F tem como precedentes D e E G tem como precedentes C e D Slide 143 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos A deve preceder C e D B deve preceder D C deve preceder G D deve preceder F e G E deve preceder F Slide 144 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Exemplo (Continuação) Atividades com que o projeto se pode iniciar A, B, E Atividades com que o projeto pode terminar F, G C F A D G B E Slide 145 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção A deve preceder C e D B deve preceder D C deve preceder G D deve preceder F e G E deve preceder F Exemplo (Continuação) Introdução das precedências C G A D F B E Slide 146 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Exemplo (Continuação) Simplificação / condensação da rede C G A D F B E C A D G F B E Slide 147 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Exemplo (Continuação) Simplificação / condensação da rede C A G D F B E C A G D F B E Slide 148 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Exemplo (Continuação) Simplificação / condensação da rede C A G D F B E C G A D B E F Slide 149 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Exemplo (Continuação) Simplificação / condensação da rede C G A D B E F C A G B D E F Slide 150 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Redes com atividades nos arcos – construção Exemplo (Continuação) Numeração dos vértices 2 C 5 A 1 G B 3 D 7 4 E F 6 Slide 151 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Generalidades Definição Num problema de planeamento de atividades designa-se por acontecimento o momento que marca a conclusão de uma ou de várias atividades ou, então, o início do projeto. Observação Quando se representa um projeto através de uma rede com as atividades nos arcos tal como fizemos atrás, os acontecimentos estão associados aos vértices. Slide 152 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Generalidades Exemplo (continuação) 2 C 5 A 1 O vértice 1 representa o início do projeto G B 3 D 7 4 E F 6 O vértice 2 representa a conclusão da atividade A; Também representa o início da atividade C O vértice 3 representa a conclusão da atividade B (e A…); Também representa o início da atividade D … O vértice 7 representa a conclusão das atividades G e F – Conclusão do projeto Slide 153 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Generalidades Projeto Rede de atividades Grafo orientado G=(X,A) |X| n tij Tempo de duração da atividade (i,j) (número de vértices) ? Prazo mínimo para a conclusão do projeto ? O problema pode ser formulado em Programação Linear Slide 154 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Generalidades Variáveis de decisão: þÿ Data de realização do acontecimento associado ao vértice i ÿ ∈ �㕋 Tendo em conta a forma como numerámos os vértices tem-se: þ1 þ�㕛 þ�㕛 2 þ1 Data de início do projeto Data de conclusão do projeto Tempo utilizado na execução de todo o projeto Slide 155 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Generalidades Problema que consiste em determinar o prazo mínimo para a execução do projeto: Min s. a: þ�㕛 2 þ1 þĀ 2 þÿ g þÿĀ þÿ g 0 (ÿ, Ā) ∈ �㔴 ÿ ∈ �㕋 O tempo disponível para realizar a atividade (i,j) tem que ser pelo menos igual ao tempo necessário para executar a atividade As datas de realização dos vértices são não negativas Este problema pode ser resolvido: • • Utilizando uma técnica geral para problemas de Programação Linear Por inspeção Slide 156 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Generalidades Resolução do problema anterior por inspeção þ1 = 0 þ2 , þ3 , & þ�㕛 Escolhe-se o valor mais baixo possível que garante a satisfação das restrições Slide 157 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Generalidades Exemplo (Planificação da remodelação da cozinha) 2 C 5 A 1 G B 3 D B C D E F G 3 2 1 4 1 1 3 7 4 E A F 6 Slide 158 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Generalidades Exemplo (Planificação da remodelação da cozinha) 2 C 5 A 1 G B 3 D 7 4 E F 6 Min s. a: þ7 2 þ1 þ2 2 þ1 g 3 þ3 2 þ1 g 2 þ5 2 þ2 g 1 þ4 2 þ3 g 4 þ6 2 þ1 g 1 þ7 2 þ6 g 1 þ3 2 þ2 g 0 þ5 2 þ4 g 0 þ6 2 þ4 g 0 þ7 2 þ5 g 3 þ3 2 þ2 g 0 þ5 2 þ4 g 0 þ6 2 þ4 g 0 þ1 , & , þ7 g 0 Slide 159 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Generalidades Exemplo (continuação) Min s. a: þ7 2 þ1 þ2 2 þ1 g 3 þ3 2 þ1 g 2 þ5 2 þ2 g 1 þ4 2 þ3 g 4 þ6 2 þ1 g 1 þ7 2 þ6 g 1 þ7 2 þ5 g 3 þ2 =? þ3 =? þ4 =? þ5 =? þ3 2 þ2 g 0 þ6 =? þ6 2 þ4 g 0 þ7 =? þ5 2 þ4 g 0 þ1 , & , þ7 g 0 þ1 = 0 þ1 = 0 ⇒ þ2 g 3 þ1 = 0 ⇒ þ3 g 2 þ2 = 3 ⇒ þ3 g 3 þ3 = 3 ⇒ þ4 g 7 þ2 = 3 ⇒ þ5 g 4 þ4 = 7 ⇒ þ5 g 7 þ2 = 3 þ3 = 3 þ4 = 7 þ5 = 7 þ1 = 0 ⇒ þ6 g 1 þ6 = 7 þ5 = 7 ⇒ þ7 g 10 þ7 = 10 þ4 = 7 ⇒ þ6 g 7 þ6 = 7 ⇒ þ7 g 8 Prazo mínimo para a conclusão do projeto Slide 160 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Generalidades A análise anterior dá-nos alguma informação: • Indica-nos o prazo mínimo para a conclusão do projeto. Contudo, esta abordagem pouco (ou nada) nos diz acerca das atividades: • Não sabemos se as atividades têm alguma margem de manobra (dentro do prazo mínimo para a execução do projeto) • Não temos uma identificação das atividades cuja execução deveremos controlar com mais atenção por serem atividades em cujo um atraso possa provocar um atraso em todo o projeto O método CPM ajuda a colmatar estas lacunas! Slide 161 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Planeamento de projetos - Caso de estudo Um produtor de espetáculos fez um contrato com um grupo famoso de Rock para atuar em Lisboa no próximo ano. Para a realização do concerto várias tarefas têm que ser realizadas de modo a que tudo esteja pronto na data de realização do concerto. Algumas das atividades que é necessário realizar assim como as repetivas durações encontram-se indicadas na tabela abaixo (todas as durações são em dias) Atividade A B C D E F G H I Descrição Verificar as condições da sala de espetáculos escolhida Contratar engenheiros de som e de luz Contratar grupo de abertura Publicitar o espetáculo Pôr bilhetes à venda Preparar a sala em termos de som e luz Preparar transporte e alojamento dos grupos Ensaios de luz e som Detalhes de última hora e ensaio Precedências ⎯ ⎯ A C A A,B C F,G H Duração 4 3 4 3 5 6 4 5 2 Slide 162 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Definição Seja G=(X,A) uma rede de atividades. A data mais cedo em que é possível ocorrer o acontecimento a que corresponde o vértice jþX designa-se por data mais cedo do vértice j e representa-se por Ej. Rede de atividades com n vértices G=(X,A) j þX Acontecimento 8conclusão de todas as tarefas cujos arcos convergem em j9 Duração da atividade (i,j)þA tij El l Er r Es s tlj Ej trj j tsj āĀ = max āÿ + þÿĀ (ÿ,Ā)∈�㔴 O acontecimento j só se realiza quando todas as tarefas que convergem em j estiverem terminadas Slide 163 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM En Data mais cedo de conclusão do projeto (conclusão de todas as atividades) j þX āĀ = max āÿ + þÿĀ (ÿ,Ā)∈�㔴 Inicia-se fazendo E1 = 0 Equação recursiva Exemplo (Continuação) 2 A 1 C 1 3 B 2 3 D 1 E 4 5 G 3 7 4 1 F 6 Slide 164 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM 7 3 Exemplo (Continuação) C 2 E1 = 0 A E2 = max{E1+t12} = 3 0 E3 = max{E1+t13,E2+t23} = 3 1 E4 = max{E3+t34} = 7 E5 = max{E2+t25,E4+t45} = 7 1 3 3 B 2 3 D 1 E 4 G 3 4 7 7 1 10 F 6 E6 = max{E1+t16,E4+t46} = 7 E7 = max{E5+t57,E6+t67} = 10 5 7 10 dias é o prazo mínimo para a conclusão de todo o projeto Data mais cedo Slide 165 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Equações recursivas que permitem encontrar os valores Ej Equações recursivas que permitem encontrar o valor do caminho mais longo entre 1 e j Ej En = Comprimento do caminho mais longo entre 1 e j = Comprimento do caminho mais longo entre 1 e n (Prazo mínimo para a conclusão do projeto) Slide 166 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Definição Seja G=(X,A) uma rede de atividades. A data mais tarde em que é possível ocorrer o acontecimento a que corresponde o vértice jþX de forma a que todo o projeto fique concluído na data mais cedo (En) designa-se por data mais tarde do vértice j e representa-se por Lj. G=(X,A) j þX tij Rede de atividades com n vértices Acontecimento 8início de todas as tarefas cujos arcos divergem de j9 Duração da atividade (i,j)þA Slide 167 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ll l tjl Lj tjr j tjs Para não atrasar o projeto tem-se: Lr r s ĀĀ tal que e Ls e ĀĀ +þĀĂ f ĀĂ ĀĀ +þĀÿ f Āÿ ĀĀ +þĀĀ f ĀĀ Assim ĀĀ = min Āÿ 2 þĀÿ (Ā,ÿ)∈�㔴 O acontecimento j tem que ocorrer num prazo tal que os acontecimentos que lhe sucedem possam estar terminadas nos respetivos prazos máximos Slide 168 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM j þX ĀĀ = min Āÿ 2 þĀÿ (Ā,ÿ)∈�㔴 Inicia-se fazendo Ln = En Equação recursiva Exemplo (Continuação) 3 7 C 2 A 0 1 1 3 3 3 B 2 5 3 D 1 E 4 4 G 7 7 1 10 F 6 7 Slide 169 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM Exemplo (Continuação) L7 = E7 = 10 L6 = min{L7-t67} = 9 0 L5 = min{L7-t57} = 7 0 L4 = min{L5-t45,L6-t46} = 7 L3 = min{L4-t34} = 3 1 3 7 3 7 C 2 A 3 1 2 3 D 1 E 4 G 3 3 3 B 5 4 7 L2 = min{L3-t23,L5-t25} = 3 6 L1 = min{L2-t12,L3-t13,L6-t16} = 0 9 10 7 7 1 10 F 7 Data mais tarde Slide 170 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Definição Seja G=(X,A) uma rede de atividades. ➢ Define-se como folga de um acontecimento e representa-se por F, a diferença entre as datas mais tarde e mais cedo do acontecimento. Concretamente, se o acontecimento estiver associado ao vértice j, a sua folga é dada por ĂĀ = ĀĀ 2 āĀ ; ➢ Um acontecimento com folga nula diz-se um acontecimento crítico. Observação A folga de um acontecimento (vértice) indica o atraso máximo com que é possível atingir esse sem que todo o projeto se atrase Slide 171 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM Exemplo (Continuação) Vértice Ej Lj Fj 1 2 3 4 5 6 7 0 3 3 7 7 7 10 0 3 3 7 7 9 10 0 0 0 0 0 2 0 Acontecimentos críticos 0 7 3 7 C 2 A 0 1 3 3 1 2 3 D 1 E 4 G 3 3 3 B 5 4 7 10 7 7 1 10 F 6 9 7 1 2 3 4 5 7 Slide 172 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Para cada atividade De forma a controlar melhor a execução de um projeto pode-se determinar, para cada atividade, um conjunto de valores que permitem perceber quais as atividades cuja execução deve ser mais controlada de forma a que o projeto possa estar concluído o mais cedo possível. ➢ Data mais cedo de início; ➢ Data mais tarde de início; ➢ Data mais cedo de conclusão; ➢ Data mais tarde de conclusão; ➢ Folga. Todos estes valores são determinados de forma que o projeto termine o mais cedo possível Slide 173 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM G=(X,A) Atividade (i,j) Rede de atividades Ei i tij Lj j ❑ Data mais cedo de início da atividade (i,j) Ei A atividade (i,j) só se pode iniciar depois de se dar o acontecimento a que está associado o vértice i. A data mais cedo para isso acontecer é Ei. ❑ Data mais cedo de conclusão da atividade (i,j) Ei+tij A atividade (i,j) terminará o mais cedo possível se se iniciar o mais cedo possível ou seja se se iniciar no instante Ei. Nesse caso, terminará no instante Ei+tij. Slide 174 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM Ei i tij Lj j ❑ Data mais tarde de conclusão da atividade (i,j) Lj A data mais tarde de conclusão da atividade (i,j) - de forma a que o projeto termine o mais cedo possível - será a data mais tarde em que se pode dar o acontecimento associado ao vértice j, ou seja Lj. ❑ Data mais tarde de início da atividade (i,j) Lj-tij A atividade (i,j) tem que estar terminada no máximo no instante Lj. Como ela tem uma duração de tij, terá que se iniciar, no máximo, no instante Lj-tij. Slide 175 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM Ei ❑ Folga da atividade (i,j) tij i Lj-Ei-tij Lj j Representa a margem de manobra da atividade (i,j). Obtém-se fazendo a diferença entre as datas de início mais tarde e mais cedo ou entre datas de conclusão mais tarde e mais cedo. Ei+tij Atividade (i,j) Ei Lj-tij Lj Atividade Duração Data mais cedo de início Data mais cedo de conclusão Data mais tarde de início Data mais tarde de conclusão Folga (i,j) tij Ei Ei+tij Lj-tij Lj Lj-Ei-tij Slide 176 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Definição Seja G=(X,A) uma rede de atividades. ➢ Uma atividade com folga nula diz-se uma atividade crítica; ➢ Um caminho formado apenas por atividades críticas e que tenha origem no vértice que representa o início do projeto e fim no vértice que representa a conclusão do projeto diz-se um caminho crítico. Slide 177 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM 3 7 7 3 Exemplo (Continuação) 0 0 1 3 A B 2 E C 2 3 3 3 1 D 4 1 5 G 7 3 4 7 1 6 10 10 7 F 9 7 Atividade Duração Data mais cedo de início Data mais cedo de conclusão Data mais tarde de início Data mais tarde de conclusão Folga (i,j) tij Ei Ei+tij Lj-tij Lj Lj-Ei-tij A (1,2) 3 0 3 0 3 0 B (1,3) 2 0 2 1 3 1 C (2,5) 1 3 4 6 7 3 D (3,4) 4 3 7 3 7 0 E (1,6) 1 0 1 8 9 8 F (6,7) 1 7 8 9 10 2 G (5,7) 3 7 10 7 10 0 Slide 178 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM Exemplo (Continuação) 0 Atividades críticas 7 3 7 C 2 A 0 1 3 3 1 2 3 D 1 E A D G 4 G 3 3 3 B 5 4 7 10 7 7 1 10 F 6 9 Caminho crítico {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,7)} 7 Slide 179 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Proposição Seja G = (X,A) uma rede de atividades com n vértices, representando o vértice 1 o início do projeto e o vértice n a conclusão. ➢ Qualquer caminho mais longo entre 1 e n é um caminho crítico; ➢ Se (i,j)þA for uma atividade crítica então o arco (i,j) pertence a um caminho mais longo entre 1 e n. Proposição Seja G = (X,A) uma rede de atividades. Qualquer vértice envolvido num caminho crítico é um vértice crítico. Slide 180 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Slide 181 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 4. Planeamento de projetos Método CPM Observação A determinação do(s) caminho(s) mais longo(s) entre os vértices inicial e terminal de uma rede de atividades dá-nos: ➢ O prazo mínimo para a conclusão do projeto (comprimento do(s) caminho(s) mais longo(s)); ➢ Atividades críticas (todas as atividades cujo arco está num dos caminhos mais longos encontrados); ➢ Vértices críticos (todos os vértices que estão em algum dos caminhos mais longos encontrados). Slide 182 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Método CPM Exemplo (Continuação) Determinar o caminho crítico é equivalente a determinar o caminho mais longo entre 1 e 7 E1 = 0 2 E2 = max{E1+t12} = 3 A E3 = max{E1+t13,E2+t23} = 3 E4 = max{E3+t34} = 7 E5 = max{E2+t25,E4+t45} = 7 E6 = max{E1+t16,E4+t46} = 7 1 C 1 3 B 2 3 D 1 E 4 5 G 3 7 4 1 F 6 E7 = max{E5+t57,E6+t67} = 10 Slide 183 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo (Continuação) Método CPM Caminho mais longo entre 1 e 7 2 A {{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{5,7}} 1 Comprimento = 10 C 1 3 B 2 3 D 1 E 4 5 G 3 7 4 1 F 6 Prazo mínimo para a conclusão do projeto Atividades críticas: A, D e G Vértices críticos: 1, 2, 3, 4, 5 e 7 Se i é um vértice critico ĀĀ = āĀ E1 = 0 E2 = 3 E3 = 3 E4 = 7 E5 = 7 E6 = 7 E7 = 10 L1 = 0 L2 = 3 L3= 3 L4= 7 L5= 7 L7 = 10 Assim Só temos que calcular L6 = L7-1=9 Slide 184 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Cronogramas Usando toda a informação relativa às atividades podemos construir um gráfico Cronograma Eixo das abcissas Tempo Eixo das ordenadas Atividades tij Atividade (i,j) não crítica Ei Lj-tij Ei+tij Lj tij Atividade (i,j) crítica Ei tij Lj Slide 185 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Cronogramas Cronograma (atividades com início na data mais cedo) Atividade Duração Data mais cedo de início Data mais cedo de conclusão Data mais tarde de início Data mais tarde de conclusão Folga A (1,2) 3 0 3 0 3 0 B (1,3) 2 0 2 1 3 1 C (2,5) 1 3 4 6 7 3 Atividades G (5,7) F (6,7) E (1,6) D (3,4) C (2,5) B (1,3) A (1,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo Slide 186 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Cronograma (datas mais cedo com pessoal especializado) Atividades Técnico de eletrodomésticos G Eletricista F E Eletricista Pedreiro 2 D Pedreiro 1 C B A A: Mudança da canalização da água B: Mudança da canalização do gás C: Montagem de um novo pavimento D: Rebocar e pintar a parede E: Reforço da instalação elétrica F: Colocação de iluminação G: Instalação de equipamento Canalizador 2 Canalizador 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo Slide 187 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Análise feita até aqui Predominância do fator tempo Mas.... A execução de uma atividade acarreta custos diretos indiretos • Aquisição de material • Supervisão do projeto • Aquisição de equipamento • Overheads • ... • Mão-de-obra • ... Slide 188 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Versão original do método CPM Igual importância é dada aos fatores Tempo Custo Considera-se uma função para cada atividade que relaciona • Custos diretos associados à atividade • Duração da atividade Dois pontos servem de referência • Atividade executada em tempo 8normal9 Não se incorre em custos extraordinários (como por exemplo trabalho extraordinário) • Atividade executada no menor espaço de tempo possível Nenhum custo é poupado para que se consiga acelerar a execução da atividade Slide 189 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Custo direto da atividade Custo acelerado (no limite) Acelerado Normal Custo normal Duração acelerada (no limite) Duração normal Tempo de duração da atividade Slide 190 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Análise Tempo/custo Frequentemente assume-se que Todos os pontos intermédios que relacionam o tempo e o custo direto de execução de uma atividade • são admissíveis • pertencem ao segmento que une os dois pontos de referência 8Normal9 e 8Acelerado9 Para cada atividade, as únicas estimativas que é necessário obter são as que estão associadas aos dois pontos de referência E a realidade?! Slide 191 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Custo direto da atividade Custo acelerado (no limite) Acelerado Normal Custo normal Duração acelerada (no limite) Duração normal Tempo de duração da atividade Slide 192 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Análise Tempo/custo Novo objetivo na análise de um projeto: Determinação do nível tempo/custo a que deve ser executada cada atividade de forma a que seja possível completar o projeto dentro de um prazo previamente estabelecido, minimizando o custo total (direto) envolvido Slide 193 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo G=(X,A) Rede de atividades com n vértices Vértice 1 Início do projeto Vértice n Conclusão do projeto Notação adicional: ĀÿĀ Duração normal da atividade (i,j)þA; ÿÿĀ Custo de execução da atividade (i,j) )þA se executada em tempo normal; ýÿĀ Custo de execução da atividade (i,j)þA se executada de forma acelerada (no limite); þÿĀ Duração acelerada (no limite) da atividade (i,j)þA; Slide 194 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Custo direto da atividade Custo direto da atividade (i,j) se a sua duração for xij ýÿĀ Acelerado Declive ÿÿĀ ÿÿĀ = Normal þÿĀ xij ĀÿĀ ÿÿĀ 2 ýÿĀ ĀÿĀ 2 þÿĀ Tempo de duração da atividade Assume-se que ao reduzir a duração da atividade (i,j) o custo direto da atividade varia segundo uma taxa igual a –Sij Cij + (-Sij) (Dij-xij) Slide 195 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) 2 C 5 A 1 G B 3 D E Consideremos a seguinte informação adicional: 7 4 F 6 Atividade Duração normal Duração acelerada (no limite) Custo normal Custo acelerado (no limite) A (1,2) B (1,3) C (2,5) D (3,4) E (1,6) F (6,7) G (5,7) 3 2 1 4 1 1 3 1 1 1 2 20 20 15 24 30 10 25 28 26 30 35 Slide 196 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) Atividade Duração normal Duração acelerada (no limite) Custo normal Custo acelerado (no limite) aumento unitário do custo = -Sij A (1,2) B (1,3) C (2,5) D (3,4) E (1,6) F (6,7) G (5,7) 3 2 1 4 1 1 3 1 1 1 2 20 20 15 24 30 10 25 28 26 30 35 4 6 2 10 ÿ12 = ÿ12 2 ý12 20 2 28 = 24 = 321 Ā12 2 þ12 ÿ34 = ÿ34 2 ý34 24 2 30 = 22 = 421 Ā34 2 þ34 ÿ13 = ÿ13 2 ý13 20 2 26 = = 26 Ā13 2 þ13 221 ÿ57 = ÿ57 2 ý57 25 2 35 = 210 = 322 Ā57 2 þ57 Slide 197 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Atividade Duração normal Duração acelerada (no limite) aumento unitário do custo = -Sij A (1,2) B (1,3) C (2,5) D (3,4) E (1,6) F (6,7) G (5,7) 3 2 1 4 1 1 3 1 1 1 2 4 6 2 10 2 C 5 A 1 Caminhos de 1 a 7 A-C-G A-D-G A-D-F B-D-G B-D-F E-F duração 7 10 8 9 7 2 duração reduzindo D 3 dias 7 7 5 6 4 2 duração reduzindo A 1 dia 6 6 4 6 4 2 custo adicional=3x2=6 custo adicional=4 G B 3 D 7 4 E F 6 Custo total = 20+20+15+24+30+10+25 + 6 +4 = 154 Slide 198 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Análise Tempo/custo Para problemas reais de grande dimensão… Novo objetivo na análise de um projeto: Determinação do nível tempo/custo a que deve ser executada cada atividade de forma a que seja possível completar o projeto dentro de um prazo previamente estabelecido, minimizando o custo total (direto) envolvido Formulação em Programação Linear Slide 199 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo G=(X,A) Rede de atividades com n vértices Notação: ĀÿĀ Vértice 1 Início do projeto Vértice n Conclusão do projeto Duração normal da atividade (i,j)þA; ÿÿĀ Custo de execução da atividade (i,j) )þA se executada em tempo normal; ýÿĀ Custo de execução da atividade (i,j)þA se executada de forma acelerada (no limite); þÿĀ Ā Duração acelerada (no limite) da atividade (i,j)þA; Limite imposto para a duração total do projeto Variáveis de decisão ýÿĀ þÿ Duração da atividade (i,j)þA Data de realização do vértice iþX Slide 200 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Custo direto da atividade ÿÿĀ ýÿĀ Ordenada na origem Acelerado ÿÿĀ 2 ÿÿĀ ĀÿĀ ÿÿĀ = Declive ÿÿĀ Normal þÿĀ ĀÿĀ ÿÿĀ 2 ýÿĀ ĀÿĀ 2 þÿĀ Tempo de duração da atividade Slide 201 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Custo direto da atividade ÿÿĀ ÿÿĀ + ÿÿĀ ýÿĀ Acelerado Declive ÿÿĀ Normal ýÿĀ Tempo de duração da atividade Custo direto da atividade (i,j) se a sua duração for xij Slide 202 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Formulação em Programação Linear Min ෍ ÿÿĀ + ÿÿĀ ýÿĀ (ÿ,Ā)∈�㔴 (Custo direto total) ෍ ÿÿĀ (ÿ,Ā)∈�㔴 + Min ෍ ÿÿĀ ýÿĀ (ÿ,Ā)∈�㔴 s. a: þĀ 2 þÿ g ýÿĀ þÿĀ f ýÿĀ f ĀÿĀ þ�㕛 2 þ1 f Ā ýÿĀ g 0 þÿ g 0 (ÿ, Ā) ∈ �㔴 (ÿ, Ā) ∈ �㔴 (ÿ, Ā) ∈ �㔴 ÿ ∈ �㕋 Slide 203 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) 2 G B 1 3 T=6 Atividade Duração normal Duração acelerada (no limite) Custo normal Custo acelerado (no limite) A (1,2) B (1,3) C (2,5) D (3,4) E (1,6) F (6,7) G (5,7) 3 2 1 4 1 1 3 1 1 1 2 20 20 15 24 30 10 25 28 26 30 35 ÿ13 = ÿ12 2 ý12 20 2 28 = 24 = 321 Ā12 2 þ12 ÿ13 2 ý13 20 2 26 = 26 = 221 Ā13 2 þ13 ÿ34 = 5 A Consideremos a seguinte informação adicional: ÿ12 = C ÿ34 2 ý34 24 2 30 = 22 = 421 Ā34 2 þ34 D 7 4 E F 6 ÿ57 = ÿ57 2 ý57 25 2 35 = 210 = 322 Ā57 2 þ57 Slide 204 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) Min s. a: 24ý12 2 6ý13 2 2ý34 2 10ý57 þ2 2 þ1 g ý12 1 f ý12 f 3 þ5 2 þ2 g 1 1 f ý34 f 4 þ3 2 þ1 g ý13 þ4 2 þ3 g ý34 1 f ý13 f 2 2 f ý57 f 3 þ6 2 þ1 g 1 þ7 f 6 þ7 2 þ5 g ý57 þ1 , & , þ7 g 0 þ7 2 þ6 g 1 þ3 2 þ2 g 0 2 C 5 A 1 G B 3 D 7 4 E F 6 ý12 , ý13 , ý34 , ý57 g 0 þ5 2 þ4 g 0 þ6 2 þ4 g 0 Slide 205 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) y1 0 y2 0 y3 0 y4 0 y5 0 y6 0 y7 0 OBJ REST1 REST2 REST3 REST4 REST5 REST6 REST7 REST8 REST9 REST10 REST11 REST12 REST13 REST14 REST15 REST16 REST17 REST18 REST19 -1 -1 1 x12 0 -4 x13 0 -6 x34 0 -2 x57 0 -10 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 Input do Solver Excel 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 RHS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 3 2 4 3 6 Slide 206 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) Microsoft Excel 12.0 Relatório de respostas Folha de cálculo: [activida.xlsx]Folha1 Relatório gerado: 29-04-2009 15:25:13 Célula de destino (Mín) Célula Nome Valor original $N$3 0 Células ajustáveis Célula Nome Valor original $C$2 y1 0 $D$2 y2 0 $E$2 y3 0 $F$2 y4 0 $G$2 y5 0 $H$2 y6 0 $I$2 y7 0 $J$2 x12 0 $K$2 x13 0 $L$2 x34 0 $M$2 x57 0 Output do Solver Excel Valor final -52 Valor final 0 2 2 3 3 3 6 2 2 1 3 Slide 207 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) 2 [1,3] 1 C 1 A B [1,2] 3 1 D [1,4] 5 G [2,3] 7 4 1 E þ2 = 2 F 6 2 þ1 = 0 1 2 C 1 A B 3 2 þ3 = 2 1 þ5 = 3 5 G 3 D 1 4 7 þ4 = 3 1 E þ7 = 6 F 6 þ6 = 5 Slide 208 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Análise Tempo/custo Exemplo (Problema da remodelação da cozinha) þ2 = 2 2 þ1 = 0 1 2 C 1 A B 3 2 þ3 = 2 1 þ5 = 3 5 G 3 D 1 4 E 7 þ4 = 3 1 þ7 = 6 ÿ12 = ý12 2 ÿ12 þ12 = F 6 þ6 = 5 ÿ12 = ÿ12 2 ÿ12 Ā12 = 20 + 4ý3 = 32 ÿ13 = ÿ13 2 ÿ13 Ā13 = 20 2 (26)2 = 32 ÿ34 = ÿ34 2 ÿ34 Ā34 = 24 2 (22)4 = 32 ÿ57 = ÿ57 2 ÿ57 Ā57 = 25 2 (210)3 = 55 Custo direto total: 252 + 32 + 32 + 32 + 55 + 15 + 30 + 10 = 154 Custos das atividades C, E, F Slide 209 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 4. Planeamento de projetos Planeamento de projetos - Caso de estudo Um produtor de espetáculos fez um contrato com um grupo famoso de Rock para atuar em Lisboa no próximo ano. Para a realização do concerto várias tarefas têm que ser realizadas de modo a que tudo esteja pronto na data de realização do concerto. Algumas das atividades que é necessário realizar assim como as repetivas durações encontram-se indicadas na tabela abaixo (todas as durações são em dias) Atividade A B C D E F G H I Descrição Verificar as condições da sala de espetáculos escolhida Contratar engenheiros de som e de luz Contratar grupo de abertura Publicitar o espetáculo Pôr bilhetes à venda Preparar a sala em termos de som e luz Preparar transporte e alojamento dos grupos Ensaios de luz e som Detalhes de última hora e ensaio Precedências ⎯ ⎯ A C A A,B C F,G H Duração 4 3 4 3 5 6 4 5 2 Slide 210 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 4. Planeamento de projetos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Planeamento de projetos - Caso de estudo a) Qual o prazo mínimo para a realização destas tarefas? b) Indique as datas mais cedo e mais tarde de início e fim assim como a folga das atividades c) Se algum dos engenheiro de som contratado faltar durante 3 dias a preparação da sala (atividade F) vai demorar mais dois dias do que o previsto. Qual o impacto no prazo mínimo de realização do projeto? d) O produtor pretende saber se é possível reduzir a duração deste projeto para 16 dias reduzindo a duração de alguma(s) da(s) atividade(s) assim como o custo associado a esta redução. Na tabela seguinte encontra-se os custos totais de redução das atividades bem como as durações mínimas das mesmas Atividade A B C D E F G H I Duração Mínima 3 2 4 2 3 4 3 5 1 Custo total de Redução 450 € 500 € ⎯ 750 € 2000 € 900 € 200 € ⎯ 400 € Slide 211 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programa 1. Introdução 2. Programação Matemática 3. Problemas em Grafos 4. Planeamento de projetos 5. Problemas de afetação 6. Gestão de stocks Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL n indivíduos n tarefas 1 2 ... i ... 1 2 ... j ... n cij tempo desempenho custo ... n Objetivo: determinar a melhor forma de afetar os indivíduos às tarefas de forma a que cada indivíduo execute exatamente uma tarefa e que cada tarefa seja executada por exatamente um indivíduo. Medida de performance a otimizar valor global associado a todas as afetações Slide 213 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Chegam a um aeroporto numa determinada hora, só com a diferença de tempo necessária para garantir as normas de segurança 6 aviões. No aeroporto existem nessa hora apenas 4 mangas disponíveis pelo que os passageiros de 2 dos aviões terão que ser transportados de autocarro desde a pista onde aterram (pista 1 ou pista 2) até às instalações do aeroporto. Tendo em conta o tipo de avião que vai aterrar e as características dos passageiros que habitualmente usam os correspondentes voos pode estimar-se o tempo médio de desembarque (em minutos) correspondente a cada par (avião, pista/manga). Avião 1 Avião 2 Avião 3 Avião 4 Avião 5 Avião 6 Manga 1 25 30 32 28 25 20 Manga 2 20 20 30 25 25 26 Manga 3 35 25 25 30 27 22 Manga 4 30 35 30 30 28 20 Pista 1 40 35 40 40 35 28 Pista 2 45 40 35 45 35 30 Pretende-se afetar as mangas/pistas aos aviões de modo a minimizar o tempo total de desembarque. UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Uma empresa dispõe de 5 veículos para abastecer 5 zonas de clientes. Cada zona difere na procura total dos clientes e no tipo de ruas. Existem zonas em que as ruas são muito estreitas e só veículos mais pequenos é que podem aí circular. Existem algumas zonas cuja procura total excede a capacidade de alguns veículos. A matriz abaixo apresenta a adequabilidade que cada um dos 5 veículos tem para cada uma das 5 zonas ( 0-20). Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5 Veículo 1 18 10 ---- 15 17 Veículo 2 ___ 15 16 14 12 Veículo 3 17 16 9 20 18 Veículo 4 13 14 ___ 19 17 Veículo 5 ___ 12 18 15 14 Pretende-se determinar a afetação dos veículos às zonas que maximiza a adequabilidade total. UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Um gestor de projetos tem 5 projetos para concluir dentro de uma semana. O incumprimento de prazos origina custos, alguns quantificáveis e outros difíceis de quantificar que têm a ver, por exemplo, com a perda de confiança por parte dos clientes e que futuramente os levará a procurar outras empresas. Neste momento dispõe de 5 equipas capazes de realizar a última etapa de cada um dos projetos a tempo recorrendo ao pagamento de horas extraordinárias. O projeto 2 para estar terminado dentro do prazo precisa que lhe sejam afetas 2 equipas e a sua conclusão a tempo é uma prioridade. O custo (em u.m.) em horas extraordinárias correspondente a cada equipa e a cada projeto de modo a estar concluído dentro do prazo apresenta-se na tabela seguinte: Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3 Projeto 4 Projeto 5 Equipa 1 1000 1600 950 800 900 Equipa 2 850 1200 1000 1100 900 Equipa 3 900 1300 1100 900 1000 Equipa 4 850 1100 900 950 950 Equipa 5 900 1200 1200 1000 1000 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Os custos (em u.m.) de incumprimento para cada um dos projetos 1, 3, 4 e 5 são todos iguais a 20000 u.m. Determine como afetar os projetos às equipas de modo a minimizar os custos totais em horas extraordinárias UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Uma empresa decidiu dar início à produção de quatro novos produtos usando as três fábricas de que dispõe que possuem atualmente um excesso de capacidade de produção. A capacidade de produção disponível em cada uma das fábricas é medida em número de unidades que diariamente se podem produzir. Os custos de produção por unidade para cada produto em cada fábrica, as quantidades de cada produto que é preciso produzir diariamente e a capacidade diária de produção de cada fábrica encontram-se na tabela. Cada fábrica pode produzir qualquer um dos produtos exceto a fábrica 2 que não pode produzir o produto 3. Cada fábrica deve produzir pelo menos um dos produtos. Como existem 4 produtos e apenas 3 fábricas uma delas vai ter que produzir 2 produtos. Pretende-se determinar como fazer a afetação da produção dos produtos às fábricas de modo a minimizar o custo total de produção Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Custos unitários 1 2 3 4 Capacidade disponível 1 41 27 28 24 75 2 40 29 - 23 75 3 37 30 27 21 45 Unidades necessárias 20 30 30 40 Fábrica Slide 219 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução Exemplo Uma fábrica de brinquedos pretende montar uma linha de montagem para 4 bonecos diferentes. Cada um destes bonecos deverá ser produzido por uma máquina diferente. Para cada uma das quatro máquinas disponíveis conhecem-se os custos de produção de cada boneco. Boneco Máquina 1 2 3 4 1 5 2 3 4 2 7 8 4 5 3 6 3 5 6 4 2 2 3 5 Pretende-se determinar qual a máquina que deverá produzir cada boneco de forma a minimizar o custo total de produção. Slide 220 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Formulação em Programação Matemática Máquina 1 2 1 5 7 Boneco 2 3 2 3 8 4 4 4 5 3 4 6 2 3 2 6 5 5 3 Slide 221 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Introdução Um problema de afetação fica completamente definido pela sua matriz de valores de afetação Formulação em Programação Matemática ýÿĀ = ቊ ýÿĀ 1 0 se o indivíduo ÿ é afeto à tarefa Ā caso contrário Custo de afetar o indivíduo i à tarefa j ÿ, Ā = 1, . . . , Ą ÿ, Ā = 1, . . . , Ą Slide 222 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução Min �㕛 �㕛 ÿ = ෍ ෍ ýÿĀ ýÿĀ ÿ=1 Ā=1 s. a: �㕛 Custo global ෍ ýÿĀ = 1 ÿ = 1, . . . , Ą Cada indivíduo realiza uma tarefa ෍ ýÿĀ = 1 Ā = 1, . . . , Ą Cada tarefa é realizada por um indivíduo ýÿĀ ∈ 0,1 ÿ, Ā = 1, . . . , Ą Domínio Ā=1 �㕛 ÿ=1 Numa solução admissível Exatamente n variáveis são iguais a 1 As restantes são iguais a 0 Slide 223 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução Exemplo (continuação) Uma solução admissível: Afetar a máquina 1 ao boneco 1 Afetar a máquina 2 ao boneco 2 Afetar a máquina 3 ao boneco 3 Afetar a máquina 4 ao boneco 4 Máquina ý11 = 1 ý22 = 1 ý33 = 1 ý44 = 1 1 2 1 5 7 Boneco 2 3 2 3 8 4 4 4 5 3 4 6 2 3 2 6 5 Custo 5 Custo 8 Custo 5 Custo 5 5 3 Custo desta solução 23 Restantes variáveis 0 Slide 224 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algumas propriedades Sem perdermos a generalidade, no que se segue, vamos assumir que estamos perante um problema de afetação com um objetivo de minimização. Se ýÿĀ g 0 ∀ÿ, Ā = 1, . . . , Ą Não existe qualquer solução com custo negativo. Qualquer solução admissível com custo 0 é uma solução ótima. Slide 225 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algumas propriedades Proposição 1: Seja C=[cij]i,j=1,...,n a matriz de custos de um problema de afetação. Se adicionarmos uma constante a cada linha e/ou coluna da matriz, o problema de afetação associado à nova matriz tem a mesma solução ótima que o problema inicial. Demonstração Suponhamos que A todos os elementos da linha i se adiciona um valor ñi (i=1,...,n) A todos os elementos da coluna j se adiciona um valor òj (j=1,...,n) Nova matriz: ÿመ = ýÿĀƸ ÿ,Ā=1,...,�㕛 Designem ý ýመ ýÿĀ Ƹ = ýÿĀ + ÿÿ + ĀĀ Função objetivo do problema original Função objetivo do problema transformado Slide 226 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algumas propriedades �㕛 �㕛 �㕛 �㕛 ýመ = ෍ ෍ ýÿĀ Ƹ ýÿĀ = ෍ ෍ ýÿĀ + ÿÿ + ĀĀ ýÿĀ ÿ=1 Ā=1 �㕛 ÿ=1 Ā=1 �㕛 �㕛 �㕛 �㕛 �㕛 = ෍ ෍ ýÿĀ ýÿĀ + ෍ ෍ ÿÿ ýÿĀ + ෍ ෍ ĀĀ ýÿĀ ÿ=1 Ā=1 ÿ=1 Ā=1 �㕛 �㕛 ÿ=1 Ā=1 �㕛 �㕛 ÿ=1 Ā=1 �㕛 ÿ=1 Ā=1 �㕛 = ý + ෍ ÿÿ ෍ ýÿĀ + ෍ ĀĀ ෍ ýÿĀ =1 Ā=1 ÿ=1 =1 = ý + ෍ ÿÿ + ෍ ĀĀ ý e ýመ diferem numa constante independentemente dos valores das variáveis! Qualquer solução ótima relativamente a uma delas sê-lo-á relativamente à outra Slide 227 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algumas propriedades Resultado anterior É possível transformar um problema de afetação noutro em que cijó0, i,j=1,...,n e que tenha pelo menos uma solução admissível com custo zero ➢ Para que todos os custos venham não negativos, basta somar, a todas as linhas e colunas, o valor absoluto do menor elemento (negativo) da matriz. ➢ Obtenção de uma matriz em que seja possível encontrar uma solução admissível de valor zero (admitindo cijó0, i,j=1,...,n). Subtraem-se às linhas e colunas, valores apropriados de forma a que surjam zeros na matriz em quantidade suficiente para que tal solução admissível seja alcançável. Slide 228 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algumas propriedades Exemplo 5 7 6 2 2 8 3 2 523 724 624 222 3 4 5 3 4 23 5 24 6 24 5 22 223 824 324 222 323 424 524 322 2 21 0 1 3 4 0 1 2 21 1 2 0 0 1 3 20 +1 20 21 Máquina 423 524 624 522 = 1 2 1 5 7 Boneco 2 3 2 3 8 4 4 4 5 3 4 6 2 3 2 6 5 5 3 2 21 0 1 3 4 0 1 2 21 1 2 0 0 1 3 2 2 0 21 + 1 320 4+1 2 2 0 21 + 1 020 0+1 020 020 120 120 121 121 221 321 = 2 3 2 0 0 5 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 Slide 229 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algumas propriedades Exemplo (continuação) 2 3 2 0 0 5 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 Máquina 1 2 1 5 7 Boneco 2 3 2 3 8 4 4 4 5 3 4 6 2 3 2 6 5 5 3 Nesta matriz de custo encontra-se uma afetação de valor zero ý41 = ý32 = ý23 = ý14 = 1 Restantes xij iguais a 0 Solução ótima do problema Custo (ótimo): 4+4+3+2=13 (Determinado na matriz original) Slide 230 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro (O Algoritmo Húngaro foi desenvolvido por Kuhn, em 1955, tendo as suas raízes num trabalho de um matemático húngaro – Egerváry – datado de 1931. Daí o nome do método) Definição Considere-se um problema de afetação com n indivíduos e n tarefas, sendo [cij] i,j=1,...,n a matriz de custos correspondente. Considere-se, ainda, uma solução admissível para o problema ➢ Um par (i,j) diz-se afeto se xij=1. ➢ Chama-se afetação a um conjunto de pares afetos. ➢ Uma afetação de custo zero diz-se maximal se não existe outra afetação de custo zero com mais pares afetos . ➢ Uma afetação diz-se completa se é uma afetação de custo zero com n pares afetos (solução admissível de valor zero). Slide 231 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algoritmo Húngaro Início A. Inicialização B. Determinação de uma afetação maximal (de custo nulo) C. Afetação completa? sim Fim não D. Redução dos elementos não nulos da matriz Slide 232 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro A. Inicialização Dada uma matriz de custos [cij] i,j=1,...,n, a mesma é transformada de forma a que todos os elementos sejam não negativos e cada linha e coluna contenham pelo menos um zero ✓ Calcula-se o valor mínimo de cada linha da matriz e subtrai-se esse valor de cada um dos elementos dessa linha; ✓ Calcula-se o valor mínimo de cada coluna da matriz e subtrai-se esse valor de cada um dos elementos dessa coluna; Slide 233 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro B. Determinação de uma afetação de custo nulo maximal Proposição 2 (Teorema - König): Seja C=[cij]i,j=1,...,n a matriz de custos de um problema de afetação. O número de pares afetos numa afetação maximal de custo nulo é igual ao número mínimo de riscos sobre linhas ou colunas, necessário para cobrir todos os zeros da matriz. Determinação de uma afetação de custo nulo maximal Cobrem-se todos os elementos nulos da matriz, traçando o menor número possível de riscos sobre as linhas ou colunas da matriz Após se saber qual a dimensão de uma afetação maximal, tal afetação encontrar-se-á (nesta disciplina) por observação da matriz. Os correspondentes zeros assinalam-se de forma especial – por exemplo, utilizando um 8*9. Slide 234 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro C. Teste de terminação Seja k o número mínimo de riscos que cobrem todos os zeros da matriz ➢ Se k=n existe uma afetação completa de custo nulo na matriz ➢ Se k<n segue para D Slide 235 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro D. Redução dos elementos não nulos da matriz Proposição 3 (Teorema): Seja C=[cij]i,j=1,...,n a matriz de custos de um problema de afetação com n indivíduos e n tarefas e tal que cijó0, i,j=1,...,n. Seja k o menor número de riscos necessário para cobrir todos os zeros da matriz. Seja m o mínimo dos elementos não cobertos por qualquer risco (naturalmente, m>0). Se subtrairmos m a cada linha não coberta e somarmos m a cada coluna coberta obtém-se uma nova matriz, cuja soma de todos os elementos é inferior em mônô(n-k) à soma de todos os elementos de C. Slide 236 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro D. Redução dos elementos não nulos da matriz Observações ➢ Subtrair m a cada linha não coberta e somar m a cada coluna coberta equivale a subtrair m aos elementos não cobertos e somar m aos elementos duplamente cobertos. ➢ Se o número mínimo de riscos que cobrem todos os zeros da matriz é inferior a n então, nas condições do teorema, o decréscimo na soma de todos os elementos de C é uma quantidade estritamente positiva. Num número finito de passos é possível reduzir os elementos não nulos da matriz de forma que seja possível encontrar uma afetação completa de valor zero (assumindo todos os custos da matriz não negativos). Slide 237 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Início Obter uma matriz com pelo menos um zero em cada linha e cada coluna. A. Inicialização B. Determinação de uma afetação maximal (de custo nulo) k=n existe uma afetação completa de custo nulo na matriz sim Fim C. Afetação completa? não Cobrir todos os elementos nulos da matriz, traçando o menor número possível de riscos sobre as linhas ou colunas da matriz k<n D. Redução dos elementos não nulos da matriz Seja m o mínimo dos elementos não cobertos. Subtrair m aos elementos não cobertos e somar m aos elementos duplamente cobertos Slide 238 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo –Algoritmo húngaro O gerente de uma cantina abastece-se no mercado local. Os preços dos produtos variam em geral com os dias da semana. Através da análise histórica da quantidade a comprar semanalmente e dos custos praticados em cada dia, o gerente da cantina chegou à seguinte tabela de custos médios de 4 tipos de produtos em função do dia da semana, em centenas de euros. Verduras Frutas Carne Peixe 2ª feira 15 17 28 30 3ª feira 13 19 28 27 4ª feira 13 14 26 25 5ª feira 11 16 22 24 Admitindo que em cada dia da semana apenas pode comprar um tipo de produto (devido a limitações no espaço da sua carrinha), determine em que dias o gerente deve comprar cada um dos produtos, de forma a minimizar os custos. Use o algoritmo húngaro. Slide 239 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo –Algoritmo húngaro Uma empresa de auditoria foi contactada por 4 clientes de diferentes setores de atividade. Numa fase inicial, a empresa pretende afetar 1 consultor a cada uma dessas empresas para avaliar com detalhe o volume de trabalho que será necessário. Neste momento, a empresa tem precisamente 4 consultores que não estão a trabalhar em nenhum outro projeto e que, por isso, podem ser afetos a estes clientes. Dependendo do perfil e experiência dos consultores, avaliou-se o potencial de cada consultor para cada cliente numa escala de 1 a 10 tendo-se sintetizado a informação na seguinte tabela: A B C D Consultor 1 9 8 10 10 Consultor 2 5 10 8 5 Consultor 3 8 10 8 9 Consultor 4 5 10 7 7 Utilizando o algoritmo húngaro, determine a afetacão que se deve fazer de cada consultor a cada cliente de forma a maximizar o potencial total garantindo que cada cliente recebe um e um só consultor e que cada consultor visita um e um só cliente. Slide 240 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algoritmo Húngaro 1 2 1 5 7 Boneco 2 3 2 3 8 4 4 4 5 3 4 6 2 3 2 6 5 Exemplo 5 7 6 2 2 8 3 2 3 4 5 3 4 5 6 5 Máquina 5 3 A. Inicialização 5 7 6 2 2 8 3 2 3 4 5 3 4 22 5 24 6 23 5 22 3 3 3 0 0 4 0 0 1 0 2 1 2 1 3 3 21 3 3 3 0 0 4 0 0 1 0 2 1 1 0 2 2 Todos os elementos são não negativos e existe pelo menos um zero em cada linha e em cada coluna Slide 241 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Exemplo (continuação) B. Determinação de uma afetação de custo nulo maximal 3 3 3 0 0 4 0 0 1 0 2 1 1 0 2 2 O número mínimo de riscos necessário para cobrir todos os zeros da matriz é 3 Por exemplo 3 3 3 0 0 4 0 0 1 0 2 1 1 0 2 2 Slide 242 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Exemplo (continuação) C. Teste de terminação 3 3 3 0 0 4 0 0 1 0 2 1 1 0 2 2 k =3<n A afetação maximal não é completa Segue para D Slide 243 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algoritmo Húngaro Exemplo (continuação) D. Redução dos elementos não nulos da matriz 3 3 3 0 0 4 0 0 1 0 2 1 1 0 2 2 Determina-se o mínimo dos elementos não cobertos m = min{3,1,1,3,2,2}=1 Subtrai-se m aos elementos não cobertos Soma-se m aos elementos duplamente cobertos 2 3 2 0 0 5 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 Slide 244 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Exemplo (continuação) B. Determinação de uma afetação de custo nulo maximal 2 3 2 0 0 5 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 O número mínimo de riscos necessário para cobrir todos os zeros da matriz é 4 Por exemplo 2 3 2 0 0 5 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 Slide 245 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Exemplo (continuação) C. Teste de terminação 2 3 2 0 0 5 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 k =4=n Uma afetação maximal é completa Pode agora identificar-se uma afetação completa de valor zero que se sabe existir Slide 246 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algoritmo Húngaro Exemplo (continuação) 2 3 2 0∗ 0 5 0∗ 1 0 0∗ 1 1 0∗ 0 1 2 O algoritmo termina! Pares afetos: (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1) ý14 = ý23 = ý32 = ý41 = 1 Restantes xij iguais a 0 Slide 247 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 5. O problema de afetação DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Algoritmo Húngaro Exemplo (continuação) Máquina 1 Boneco 4 c14=4 Máquina 2 Boneco 3 c23=4 Máquina 3 Boneco 2 c32=3 Máquina 4 Boneco 1 c41=2 Custo total: 13 Há uma solução ótima alternativa: 2 3 2 0∗ 0 5 0∗ 1 0∗ 0 1 1 0 0∗ 1 2 Slide 248 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Observações ➢ Após a aplicação do algoritmo Húngaro, o custo da solução ótima pode ser determinado somando todos os valores subtraídos às linhas e colunas em todas as reduções feitas à matriz. ➢ A implementação do algoritmo Húngaro requer alguns cuidados, nomeadamente na determinação de uma afetação maximal e no traçar dos riscos que cobrirão todos os zeros da matriz. ➢ Um problema de afetação em que o número de indivíduos e de tarefas não coincide pode transformar-se o problema num problema de afetação 8equilibrado9: ▪ Caso haja menos indivíduos (tarefas) do que tarefas (indivíduos) pode-se considerar tantos indivíduos (tarefas) 8fictícios9 quantos os necessários para equilibrar o problema. ▪ Todos os custos que envolvem um indivíduo (tarefa) fictício serão nulos. Slide 249 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Observações ➢ O algoritmo Húngaro pode ser utilizado para resolver um problema de afetação em que o objetivo seja a maximização de uma medida de performance. Para tal basta multiplicar por –1 todos os elementos da matriz de custos aplicando o algoritmo à matriz obtida. ➢ O problema de afetação pode ser visto como um caso particular de outros problemas de otimização estudados na área da Investigação Operacional. Por este facto, encontram-se facilmente na literatura outros algoritmos para resolver o problema. Slide 250 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 5. O problema de afetação Algoritmo Húngaro Observações ➢ Até aqui considerámos problemas de afetação em que cada indivíduo tem que executar exatamente uma tarefa e uma tarefa tem que ser executada por exatamente um indivíduo. Há situações em que tal não acontece e que, contudo, podem ser convertidas na situação referida. ▪ Quando um indivíduo pode executar mais do que uma tarefa consideram-se 8réplicas9 do indivíduo (em número igual ao das tarefas que ele pode executar), replicando ainda os custos associados a esse indivíduo. Cada uma das réplicas poderá então executar uma única tarefa o que nos conduz ao caso que estudámos. ▪ Quando uma tarefa requer mais do que um indivíduo consideram-se réplicas da tarefa (tantas quanto o número de indivíduos que a têm que executar) replicando ainda os custos associados a tal tarefa. Cada 8réplica9 funcionará então como uma tarefa que ser que ser executada por um único indivíduo. Slide 251 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Um gestor de projetos tem 5 projetos para concluir dentro de uma semana. O incumprimento de prazos origina custos, alguns quantificáveis e outros difíceis de quantificar que têm a ver, por exemplo, com a perda de confiança por parte dos clientes e que futuramente os levará a procurar outras empresas. Neste momento dispõe de 5 equipas capazes de realizar a última etapa de cada um dos projetos a tempo recorrendo ao pagamento de horas extraordinárias. O projeto 2 para estar terminado dentro do prazo precisa que lhe sejam afetas 2 equipas e a sua conclusão a tempo é uma prioridade. O custo (em u.m.) em horas extraordinárias correspondente a cada equipa e a cada projeto de modo a estar concluído dentro do prazo apresenta-se na tabela seguinte: Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3 Projeto 4 Projeto 5 Equipa 1 1000 1600 950 800 900 Equipa 2 850 1200 1000 1100 900 Equipa 3 900 1300 1100 900 1000 Equipa 4 850 1100 900 950 950 Equipa 5 900 1200 1200 1000 1000 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Os custos (em u.m.) de incumprimento para cada um dos projetos 1, 3, 4 e 5 são todos iguais a 20000 u.m. Determine como afetar os projetos às equipas de modo a minimizar os custos totais em horas extraordinárias UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Exemplo Uma empresa decidiu dar início à produção de quatro novos produtos usando as três fábricas de que dispõe que possuem atualmente um excesso de capacidade de produção. A capacidade de produção disponível em cada uma das fábricas é medida em número de unidades que diariamente se podem produzir. Os custos de produção por unidade para cada produto em cada fábrica, as quantidades de cada produto que é preciso produzir diariamente e a capacidade diária de produção de cada fábrica encontram-se na tabela. Cada fábrica pode produzir qualquer um dos produtos exceto a fábrica 2 que não pode produzir o produto 3. Cada fábrica deve produzir pelo menos um dos produtos. Como existem 4 produtos e apenas 3 fábricas uma delas vai ter que produzir 2 produtos. Pretende-se determinar como fazer a afetação da produção dos produtos às fábricas de modo a minimizar o custo total de produção Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 3. Grafos DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Custos unitários 1 2 3 4 Capacidade disponível 1 41 27 28 24 75 2 40 29 - 23 75 3 37 30 27 21 45 Unidades necessárias 20 30 30 40 Fábrica Slide 255 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programa 1. Introdução 2. Programação Matemática 3. Problemas em Grafos 4. Planeamento de projetos 5. Problemas de afetação 6. Gestão de stocks Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Stock Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Existência criada com o objetivo de ter um bem físico imediatamente disponível de acordo com um programa de produção ou de vendas A criação de stocks é fundamental para qualquer empresa que lide com bens físicos: ➢ Fábricas ➢ Revendedores ➢ Lojas ➢ ... Slide 257 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks - Generalidades Stock Existências Matéria-prima Consome-se na produção, integrando-se nela Matéria-subsidiária Consome-se na produção mas não se integra no produto Componente Elemento que intervém no produto integrando-se nele, normalmente numa fase de pré-montagem ou montagem, mas que não sofre transformação na empresa Semi-produto Produto que se encontra no final de uma fase do processo de produção Produto em curso de fabrico Produtos que estão no decurso do processo de produção Produto fabricado Produto que passou por todas as fases do processo de produção Mercadoria Produto que se adquire para ser vendido sem qualquer transformação Slide 258 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks - Generalidades Porquê constituir stocks? ➢ Para anular, minimizar ou diminuir drasticamente o impacto de variações imprevisíveis ▪ da procura de produtos fabricados e de mercadorias ▪ do consumo de materiais e componentes ▪ de prazos efetivos de entrega das encomendas colocadas nos fornecedores ▪ de qualidade dos materiais recebidos dos fornecedores, que impliquem a sua devolução ou operações de recuperação ➢ Para evitar repercutir na produção os efeitos de variações sazonais ▪ na venda de produtos e mercadorias ▪ na compra de materiais e componentes Maior autonomia entre os programas de produção e os de vendas e de compras Slide 259 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks - Generalidades Porquê constituir stocks? ➢ Para possibilitar ▪ a aquisição de quantidades superiores às imediatamente necessárias, conseguindo, desta forma • • • ▪ Preços mais baixos Melhores condições de compra Redução dos custos unitários de transporte a produção de séries económicas conseguindo, desta forma • Melhor distribuição dos custos de preparação e lançamento das encomendas Slide 260 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks - Generalidades Porquê gerir stocks? ➢ Os montantes financeiros imobilizados em existências são normalmente elevados ➢ É geralmente elevada a percentagem do montante dos stocks no ativo de curto prazo da empresa ➢ As áreas ocupadas pelos armazéns são normalmente elevadas, o que eleva diversos custos associados aos meios humanos e materiais, associados nomeadamente ▪ ▪ ▪ ▪ à receção, movimentação e arrumação das encomendas à satisfação das requisições efetuadas pela produção e pelas vendas ao controlo dos movimentos ao controlo das existências ➢ Os custos inerentes a ruturas são normalmente elevados Slide 261 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks - Generalidades Contribuição da IO para a Gestão de Stocks ➢ Formulação de modelos matemáticos comportamento do sistema. capazes de descrever o ➢ Determinação de desenvolvidos. com uma política ótima base nos modelos ➢ Utilização de um sistema informatizado de processamento de informação de forma a manter um registo permanente dos níveis dos stocks. ➢ Utilização deste sistema e das políticas ótimas encontradas a partir dos modelos matemáticos, de forma a determinar quando e em que quantidade se deve repor o stock. Slide 262 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks - Generalidades Modelos matemáticos para Gestão de Stocks Natureza da procura Determinísticos Procura Estocásticos Número de unidades de um bem físico que é necessário retirar de um stock para um determinado uso (por exemplo venda) durante um determinado período de tempo Procura Determinística É conhecida ou pode ser prevista com grande precisão Procura Estocástica Não é possível prever a procura mas é possível assumir que a mesma obedece a uma determinada lei de probabilidade Slide 263 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Componentes de um modelo Exemplo Um hipermercado pretende gerir o seu stock de um determinado tipo de bicicleta Relativamente a esta bicicleta, a informação disponível é a seguinte: Custo no fabricante 40 € por bicicleta 15 € por cada encomenda de bicicletas Custo de transporte 35 € por cada encomenda de bicicletas Valor de venda 70 € por bicicleta O custo que o hipermercado tem com cada bicicleta depende da quantidade que encomendar! Slide 264 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Componentes de um modelo Exemplo (continuação) Quantidade encomendada Custo variável Custo fixo Custo de transporte Custo total Custo por unidade 0 0 0 0 0 1 40 15 35 90 2 80 15 35 130 3 120 15 35 170 4 160 15 35 210 5 200 15 35 250 6 240 15 35 290 7 280 15 35 330 8 320 15 35 370 9 360 15 35 410 10 400 15 35 450 11 440 15 35 490 12 480 15 35 530 13 520 15 35 570 14 560 15 35 610 15 600 15 35 650 0,00 90,00 65,00 56,67 52,50 50,00 48,33 47,14 46,25 45,56 45,00 44,55 44,17 43,85 43,57 43,33 100,00 90,00 O custo por bicicleta diminui com a quantidade encomendada! 80,00 Custo 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Qd encomendada Slide 265 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Componentes de um modelo Exemplo (continuação) Poderíamos então pensar que quantas mais bicicletas forem encomendadas de cada vez melhor... Consideremos a seguinte informação adicional: Presentemente há 3 bicicletas em stock Para os próximos 30 dias está prevista uma procura de 6 bicicletas Custo por rutura do stock 15€ por bicicleta Custo de armazenamento 5 € por cada bicicleta (Que esteja em stock no fim do período de 30 dias) Slide 266 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Componentes de um modelo Exemplo (continuação) 0 3 45 Bicicletas em falta Custo de ruptura Rutura 1 2 30 Quantidade encomendada 2 1 15 3 0 0 4 -1 0 5 -2 0 6 -3 0 7 -4 0 8 -5 0 9 -6 0 10 -7 0 11 -8 0 12 -9 0 13 -10 0 14 -11 0 15 -12 0 50 45 40 Custo 35 O custo de rutura do stock é não crescente com a quantidade encomendada 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Quantidade encomendada Slide 267 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Componentes de um modelo Exemplo (continuação) Quantidade encomendada 0 0 0 Nº de bicletas no fim de 30 dias Custo de armazenamento 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 1 5 5 2 10 6 3 15 7 4 20 8 5 25 9 6 30 10 7 35 11 8 40 12 9 45 13 10 50 14 11 55 15 12 60 70 60 50 Custo 40 30 O custo de armazenamento é não decrescente com a quantidade encomendada 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Quantidade encomendada Slide 268 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Componentes de um modelo A política de gestão de um stock pode influenciar de forma decisiva a sua rentabilidade Alguns custos que influenciam a rentabilidade ➢ Custos de aquisição ou produção ➢ Custos de armazenamento ➢ Custos de rutura Outros fatores que podem influenciar a rentabilidade ➢ Backlogging ➢ Retorno com as vendas ➢ Salvados Slide 269 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Componentes de um modelo ➢ Custos de aquisição ou produção Forma simples frequentemente assumida: ÿ ýĀ ÿ + ýĀ Componente fixa - Custo fixo por encomenda ou por lote produzido Componente proporcional à quantidade encomendada/produzida Custo de aquisição ou produção de uma unidade Slide 270 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Componentes de um modelo ➢ Custos de armazenamento Estes custos incluem entre outras possibilidades ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Custos associados ao capital imobilizado Custos associados ao espaço ocupado Seguros Proteção Taxas Aferição dos custos de armazenamento Continuamente Periodicamente, por exemplo: ▪ Função da quantidade máxima armazenada durante o período ▪ Função da quantidade média em stock durante o período ▪ Função da quantidade em stock no final do período Slide 271 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Componentes de um modelo ➢ Custos de rutura Ocorrem quando a procura excede as existências Backlogging permitido Backlogging não permitido A procura não se perde A procura perde-se (Fica pendente até que o stock seja normalmente re-abastecido) Custos de rutura Custos de rutura • Degradação da imagem da empresa • Custo por atraso na obtenção do valor de venda • Custos administrativos extraordinários • Custos associados a uma encomenda extraordinária urgente • Custos pela não realização das vendas Slide 272 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Componentes de um modelo Tempo de entrega Componente de um modelo de gestão de stocks Tempo que decorre desde que uma encomenda é feita até que o stock é reposto Se o tempo de entrega for sempre o mesmo, pode-se calendarizar um re-abastecimento do stock para o momento exato que se pretende. Um modelos de gestão de stocks pode ser classificado de acordo com a sua política de revisão: Uma encomenda é feita no exato momento em que o Revisão contínua nível do stock alcança um determinado valor Revisão periódica (Por exemplo semanal) O nível do stock é verificado em momentos discretos no tempo. Faz-se uma encomenda quando se verificar que o nível do stock é inferior ou igual a um determinado valor. Nos slides seguintes vamos estudar um modelo determinístico de revisão contínua e um modelo determinístico de revisão periódica. Slide 273 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Uma situação frequente com muitos stocks é a diminuição progressiva e ao longo do tempo do seu nível sendo o stock reposto de uma vez com um lote de novas unidades Um modelo simples que representa esta situação Modelo Determinístico Básico Suposições ➢ A procura ocorre de forma contínua e constante ao longo do tempo ➢ O stock é re-abastecido de forma instantânea no exato instante pretendido e na quantidade desejada ➢ Não é permitida rutura. Slide 274 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Evolução do nível do stock ao longo do tempo Nível do stock … 1 ciclo Tempo Slide 275 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Notação þ Procura/consumo por unidade de tempo ÿ Custo fixo de encomenda ý Custo unitário de aquisição/produção / Custo de armazenamento por unidade do artigo e por unidade de tempo Ā Ā Estes parâmetros assumem-se determinísticos, conhecidos e constantes Número de unidades a encomendar de cada vez A determinar! Duração de um ciclo ou período Tempo entre dois re-abastecimentos consecutivos Deverá depender de Q e de d Slide 276 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Evolução do nível do stock ao longo do tempo Nível do stock … Ā Ā Tempo Slide 277 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) ÿ(þ) = Ā 2 þþ Nível do stock no instante t ÿ(Ā) = Ā 2 þĀ = 0 Ā= Ā ÿ(þ) þ Ā Ā þ Slide 278 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Exemplo Consumo de um determinado artigo (contínuo ao longo do tempo) 200 unidades por mês Quantidade a adquirir por encomenda 600 unidades ÿ(þ) Nível do stock Unidade de tempo 600 … 200 2 3 ÿ(2) = 600 2 200 × 2 = 200 6 9 Tempo (meses) Quantidade em stock 2 meses depois de uma reposição Slide 279 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) ? Quantidade ótima a encomendar Objetivo Custo global por período Ā∗ Minimizar o custo global por unidade de tempo = Custos associados a uma encomenda + Custos de armazenamento por período Slide 280 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ā Ā Slide 281 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Custos associados a uma encomenda ÿ+ý×Ā Custo fixo de uma encomenda Custos de armazenamento por período Custo de armazenamento por unidade do artigo e por unidade de tempo Custo unitário de aquisição/produção Ā Ā Ā Ā2 /× × =/ þ 2 2þ Duração de um período Ā Quantidade média em stock por período Custo de armazenamento por unidade do artigo e por período Slide 282 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Custos associados a uma encomenda + Custos de armazenamento = Custo total por período ÿ+ý×Ā Ā2 /× 2þ Ā2 ÿ+ý×Ā+/× 2þ Slide 283 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Custo total por unidade de tempo = = = Custo total por período Duração de um período Ā2 Ā ÿ+ý×Ā+/× ൘ 2þ þ þÿ /Ā + ýþ + Ā 2 = �㕓 Ā Slide 284 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) �㕓 Ā = Custo total por unidade de tempo �㕓(Ā) ýþ Q* Lote económico! þÿ /Ā + ýþ + Ā 2 ýþ + /Ā 2 þÿ Ā Ā Slide 285 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Analiticamente tem-se �㔕�㕓(Ā) þÿ / =2 2+ �㔕Ā Ā 2 �㔕�㕓(Ā) þÿ / / þÿ 2þÿ = 0 ⇔ 2 2 + = 0 ⇔ = 2 ⇔ Ā2 = �㔕Ā Ā 2 2 Ā / Confirmação de que se trata de um minimizante Síntese Ā ∗= Ā ∗= 2þÿ / Ā∗ þ �㕓(Q∗) = cd + 2dKh Ā= 2þÿ / �㔕 2 �㕓(Ā) 2þÿ = 3 >0 �㔕Ā Ā Lote económico Comprimento de um período Custo ótimo por unidade de tempo Slide 286 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Suposições consideradas para o Modelo Determinístico Básico: ➢ A procura ocorre de forma contínua e constante ao longo do tempo ➢ O stock é re-abastecido de forma instantânea no exato instante pretendido e na quantidade desejada ➢ O tempo de entrega/reposição do stock é nulo �㕓 Ā Síntese Ā ∗= Ā ∗= = 2þÿ / Ā∗ þ þÿ /Ā + ýþ + Ā 2 Lote económico (Quantidade ótima a encomendar) Comprimento de um período �㕓(Q∗) = cd + 2dKh Custo ótimo por unidade de tempo Slide 287 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Exemplo Um revendedor de pneus pretende determinar a política económica ótima de gestão do seu stock de pneus de forma a minimizar o custo global envolvido. A procura anual é de cerca de 5000 pneus. O custo de efetivação de uma encomenda é de €125,00, sendo o custo unitário de cada pneu (já com transporte incluído) de €50,00. Estima-se que o armazenamento de um pneu tenha um custo de €20,00 por ano. Lote económico ? Custo ótimo anual ? Slide 288 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Exemplo (continuação) Tem-se d=5000 K=125 c=50 h=20 Donde, Ā∗ = Ā∗ = 2þÿ = / 2 × 5000 × 125 = 250 20 250 = 0.05 anos = (aprox.) 18 dias 5000 Lote económico Comprimento de um ciclo �㕓(250) = 50 × 5000 + 2 × 5000 × 125 × 20 = €255000,00 Custo ótimo anual Resposta: De cada vez, deverão ser encomendados 250 pneus. Deve-se lançar nova encomenda de 18 em 18 dias. Slide 289 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Arredondamentos?.... Custo total por unidade de tempo �㕓(Ā) ýþ Q* Lote económico! ýþ + /Ā 2 þÿ Ā Ā Slide 290 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Suposições consideradas para o Modelo Determinístico Básico: ➢ A procura ocorre de forma contínua e constante ao longo do tempo ➢ O stock é re-abastecido de forma instantânea no exato instante pretendido e na quantidade desejada ➢ O tempo de entrega/reposição do stock é nulo �㕓 Ā Síntese Ā ∗= Ā ∗= = 2þÿ / Ā∗ þ þÿ /Ā + ýþ + Ā 2 Lote económico (Quantidade ótima a encomendar) Comprimento de um período �㕓(Q∗) = cd + 2dKh Custo ótimo por unidade de tempo Slide 291 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Vamos considerar a variante em que o tempo de entrega não é nulo Ă Tempo de entrega Tempo que decorre desde o momento em que é feita uma encomenda até que o stock seja reposto Slide 292 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Ă Tempo de entrega Momento em que deve ser lançada a encomenda para que não haja rutura do stock ÿ(Ā 2 Ă) = Ā 2 þ × (Ā 2 Ă) = Ā 2 þĀ + þĂ = Ā 2 Ā + þĂ = þĂ Ā= Ā þ T2Ă Nível do stock no momento T-l r: Ponto de encomenda r =þĂ Slide 293 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Exemplo Retomemos o exemplo do revendedor de pneus. Suponhamos, adicionalmente, que o prazo normal de re-aprovisionamento de uma encomenda de pneus é de 4 dias ? Ponto de encomenda A procura anual é de cerca de 5000 pneus. r = þ × l = 5000 × 4 = 54.79 j 55 365 Ponto de encomenda Deve-se lançar nova encomenda quando o nível do stock atinge os 55 pneus. Slide 294 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Descontos de quantidade Frequentemente, o custo unitário de aquisição/produção, depende da quantidade encomendada/produzida. QUANTIDADE A ENCOMENDAR PREÇO UNITÁRIO 1 f Ā < �㕞1 ý1 �㕞1 f Ā < �㕞2 … �㕞�㕛21 f Ā ý2 … ý�㕛 ý1 > ý2 >. . . > ý�㕛 Incentivam-se encomendas/lotes de produção de maiores dimensão Slide 295 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) �㕓ÿ (Ā) = þÿ /Ā + ýÿ þ + Ā 2 Custo total por unidade de tempo �㕓1 (Ā) �㕓2 (Ā) î �㕓�㕛 (Ā) Ā Slide 296 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Custo total por unidade de tempo �㕓1 (Ā) �㕓2 (Ā) �㕓�㕛 (Ā) î �㕞1 �㕞2 �㕞�㕛21 Ā Slide 297 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Custo total por unidade de tempo �㕓1 (Ā) �㕓�㕛 (Ā) �㕓2 (Ā) ï �㕞1 �㕞2 �㕞�㕛21 Ā Slide 298 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Determinação da quantidade ótima a encomendar Ā ∗= Solução ótima 2þÿ / ou Um dos �㕞Ā maiores ou iguais a Q* Slide 299 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Metodologia para determinar a quantidade ótima a encomendar 1. Determinar 2. Seja 3. ÿ = ý Ā ∗= 2þÿ / e �㕞Ā = min �㕞Ā : �㕞Ā > Ā ∗ Enquanto ÿ fĄ21 �㕓(Ā ∗) Utiliza-se o custo unitário apropriado para a quantidade Q* Primeiro patamar imediatamente a seguir ao patamar a que pertence Ā ∗ Calcular para todos os patamares seguintes �㕓(�㕞ÿ ) Se �㕓(�㕞ÿ ) < �㕓(Ā ∗) fazer Ā ∗= �㕞ÿ ÿ =ÿ+1 Slide 300 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Exemplo Retomemos o exemplo do revendedor de pneus. Suponhamos, agora, que o custo unitário de cada pneu depende da quantidade encomendada da seguinte forma: QUANTIDADE A ENCOMENDAR PREÇO UNITÁRIO 1 f Ā < 200 55 200 f Ā < 275 275 f Ā < 300 300 f Ā 50 48 46 �㕞1 = 200 �㕞2 = 275 �㕞3 = 300 Slide 301 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Modelo Determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity) Exemplo (continuação) ∗ Ā = 2þÿ = / �㕓(250) = 2 × 5000 × 125 = 250 20 125 × 5000 20 × 250 + 50 × 5000 + = €255000,00 250 2 Primeiro qjgQ* �㕓 �㕞2 = �㕓(275) = �㕓 �㕞3 = �㕓(300) = donde Ā ∗ = 300 �㕞2 = 275 1 f Ā < 200 200 f Ā < 275 275 f Ā < 300 300 f Ā 125 × 5000 20 × 275 + 48 × 5000 + = €245023,00 275 2 125 × 5000 20 × 300 + 46 × 5000 + = €235083,00 300 2 Ā∗ = 300 = 0.06 anos = (aprox.) 22 dias 5000 Comprimento de um ciclo Slide 302 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Exercício 1 Um restaurante especializou-se em grelhados no carvão. O dono gere o restaurante há muito tempo e adquiriu o hábito de encomendar 1 tonelada de carvão de cada vez, em sacas de 50 kg, e sabe que isso lhe permite ter carvão para 6 meses. O fornecedor é sempre o mesmo. Cada saca de 50 kg de carvão custa 10 Euros que são pagos ao fornecedor, o qual cobra, ainda, um valor fixo de 40 Euros por cada entrega. O dono do restaurante estima que uma tonelada de carvão que seja armazenada por um ano inteiro tenha um custo de 10 Euros (pelo capital imobilizado). Assuma válidas as condições subjacentes ao modelo determinístico básico. a) Calcule o custo anual que o dono do restaurante tem com a gestão do stock de carvão. b) Mostre que, anualmente, o dono do restaurante pode poupar dinheiro com a gestão deste stock. Qual o valor máximo dessa poupança e que política deve adotar? c) Assuma agora que o fornecedor demora dois meses desde que recebe uma encomenda até que a entrega. Qual a quantidade de carvão disponível que indica ao dono do restaurante que o momento chegou de fazer uma nova encomenda? Slide 303 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Exercício 2 Uma empresa distribui um medicamento que tem uma procura de cerca de 10 caixas por semana. Cada caixa custa 15 euros à empresa, mas o medicamento tem que ser armazenado no refrigerador, o que incorre num custo de 1 euro por semana e por caixa. O medicamento é encomendado a um fornecedor que cobra 20 euros por encomenda. a) Determine o lote económico, a correspondente periodicidade das encomendas, bem como os custos semanais associados. b) O fornecedor vende as caixas de medicamentos a 11 euros cada, para encomendas maiores ou iguais a 100 caixas e a 8 euros para encomendas superiores ou iguais a 200 caixas. Compensa à empresa aproveitar algum destes descontos? Slide 304 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Modelo de revisão periódica O stock é re-abastecido periodicamente em momentos pré-determinados no tempo Objetivo Determinar o nível de reabastecimento do stock no início de cada período de forma a minimizar o custo global para o horizonte temporal considerado Slide 305 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Suponhamos que temos que fazer um planeamento para n períodos. Notação ý Custo unitário de aquisição/produção ÿ Custo fixo de encomenda þÿ Procura/consumo no período i / Custo de armazenamento por unidade do artigo e por período Estes parâmetros assumem-se determinísticos, conhecidos e constantes ÿ = 1, . . . , Ą Slide 306 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Suposições ➢ Não há nenhuma unidade em stock no início ➢ No momento em que é feito o planeamento ainda há tempo para fazer uma encomenda que chegue no início do primeiro período ➢ Toda a procura tem que ser satisfeita em todos os períodos (ou seja, não é permitida rutura do stock Slide 307 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica A chave para se encontrar um algoritmo eficiente que nos permita determinar a política ótima de gestão do stock assenta na seguinte constatação acerca da solução ótima do problema Numa política ótima o stock é re-abastecido apenas quando o seu nível atinge o valor zero Não há vantagem em fazer encomendas que satisfaçam parcialmente a procura de algum período posterior Slide 308 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Retomemos o exemplo das bicicletas já apresentado antes) Um hipermercado pretende gerir o seu stock de um determinado tipo de bicicleta. Relativamente a esta bicicleta, a previsão de vendas para os próximos 3 meses é a seguinte: Mês 1 2 3 Nº de bicicletas 6 7 4 Presentemente não existe nenhuma bicicleta em stock. Os custos relevantes são os seguintes: Custo no fabricante 40 € por bicicleta 15 € por encomenda de bicicletas Custo de transporte 35 € por cada encomenda de bicicletas Custo de armazenamento 5 € por cada bicicleta (que seja armazenada de uma mês para o seguinte) Slide 309 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Retomemos o exemplo das bicicletas já apresentado antes) Consideremos a seguinte política de re-abastecimento do stock de bicicletas: Início do mês 1 O stock é re-abastecido com 10 bicicletas Início do mês 2 O stock é re-abastecido com 7 bicicletas Procura Mês 1 2 3 Nº de bicicletas 6 7 4 Início do mês 1 O stock é re-abastecido com 6 bicicletas Início do mês 2 O stock é re-abastecido com 11 bicicletas Slide 310 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Retomemos o exemplo das bicicletas já apresentado antes) Consideremos a seguinte política de re-abastecimento do stock de bicicletas: Início do mês 1 O stock é re-abastecido com 10 bicicletas Início do mês 2 O stock é re-abastecido com 7 bicicletas Repare-se que no início do período 1 chegam bicicletas que satisfazem apenas parcialmente (4 bicicletas) a procura do período 2. No início do período 2 será necessário re-abastecer com o que falta para este período. Então, se as 4 bicicletas que chegam no período 1 e que se destinam ao período 2 vierem apenas no início do período 2, os custos de armazenamento descem sem que se suba qualquer outro custo. Assim, a seguinte política é preferível: Início do mês 1 O stock é re-abastecido com 6 bicicletas Início do mês 2 O stock é re-abastecido com 11 bicicletas Slide 311 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 6. Gestão de stocks Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica A chave para se encontrar um algoritmo eficiente que nos permita determinar a política ótima de gestão do stock assenta na seguinte constatação acerca da solução ótima do problema Numa política ótima o stock é re-abastecido apenas quando o seu nível atinge o valor zero Não há vantagem em fazer encomendas que satisfaçam parcialmente a procura de algum período posterior Slide 312 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Política ótima no caso geral Re-abastecimento do stock no (início do) período ÿ ∈ 1, . . . , Ą 0 Não há re-abastecimento þÿ + þÿ+1 É feito o re-abastecimento para os períodos i e i+1 þÿ + ï + þ�㕛 É feito o re-abastecimento para os períodos i, i+1,...,n þÿ î É feito o re-abastecimento para o período i Slide 313 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica O problema pode ser formulado como um problema de caminho mais curto entre dois vértices de um grafo ă = (�㕋, �㔴) �㕋 = 1, . . . , ÿ, . . . Ą + 1 ÿ �㔴 = (ÿ, Ā): 1 f ÿ < Ā f Ą + 1 ÿ Início do período Fim do período ÿ ÿ21 Ā Re-abastecimento do stock no início do período i com a quantidade necessária para os meses ÿ, ÿ + 1, . . . , Ā 2 1 Slide 314 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica ÿ Ā Re-abastecimento do stock no início do período i com a quantidade necessária para os meses ÿ, ÿ + 1, . . . , Ā 2 1 ➢ A encomenda terá dimensão þÿ + þÿ+1 +. . . +þĀ21 ➢ O stock no final do mês k (ifkfj-1) þā+1 + þā+2 +. . . +þĀ21 ➢ O custo da encomenda é ÿ + ý × þÿ + þÿ+1 +. . . +þĀ21 ➢ O custo de armazenamento é Ā22 ෍ / × þā+1 + þā+2 +. . . +þĀ21 ā=ÿ Slide 315 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Ā22 ÿÿĀ = ÿ + ý × þÿ + þÿ+1 +. . . +þĀ21 + ෍ / × þā+1 + þā+2 +. . . +þĀ21 ā=ÿ Ā ÿ ÿ(Ą + 1) Custo da política ótima ÿ(1) = 0 ÿ(Ā) = min ÿ(ÿ) + ÿÿĀ , ÿ = 1, . . . , Ā 2 1 Custo da política ótima para os períodos Ā = 2, . . . , Ą + 1 1, . . . , Ā 2 1 Observação Se o stock inicial não for 0, tudo se mantém. Apenas é necessário subtrair o stock inicial à procura no primeiro período Slide 316 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Retomemos o exemplo das bicicletas já apresentado antes) Um hipermercado pretende gerir o seu stock de um determinado tipo de bicicleta. Relativamente a esta bicicleta, a previsão de vendas para os próximos 3 meses é a seguinte: Mês 1 2 3 Nº de bicicletas 6 7 4 Existe um stock inicial de 3 bicicletas Os custos relevantes são os seguintes: Custo no fabricante þ1 = 6 2 3 = 3 þ2 = 7 þ3 = 4 ý = 40 40 € por bicicleta 15 € por encomenda de bicicletas ÿ = 50 Custo de transporte 35 € por cada encomenda de bicicletas Custo de armazenamento 5 € por cada bicicleta (que seja armazenada de uma mês para o seguinte) /=5 Slide 317 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Continuação) ý = 40 ÿ = 50 Valores dos arcos þ1 = 3 /=5 þ2 = 7 1 50 + 40 × 3 + 5 × 0 = 170 (1,4) 50 + 40 × 3 + 7 + 6 + 5 × 11 + 5 × 4 + 5 × 0 = 685 (2,3) (2,4) (3,4) 3 4 þ3 = 4 (1,2) (1,3) 2 50 + 40 × 3 + 7 + 5 × 7 + 5 × 0 = 485 50 + 40 × 7 + 5 × 0 = 330 50 + 40 × 7 + 4 + 5 × 4 + 5 × 0 = 510 50 + 40 × 4 + 5 × 0 = 210 Slide 320 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Continuação) 1 485 510 170 210 2 330 3 4 685 ÿ(1) = 0 ÿ(2) = ÿ(1) + ÿ12 = 170 ÿ(3) = min ÿ(1) + ÿ13 , ÿ(2) + ÿ23 = 485 ÿ(4) = min ÿ(1) + ÿ14 , ÿ(2) + ÿ24 , ÿ(3) + ÿ34 = 680 Slide 321 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Continuação) 485 0 1 510 170 2 680 485 170 330 3 210 4 685 ÿ(1) = 0 ÿ(2) = ÿ(1) + ÿ12 = 170 ÿ(3) = min ÿ(1) + ÿ13 , ÿ(2) + ÿ23 = 485 ÿ(4) = min ÿ(1) + ÿ14 , ÿ(2) + ÿ24 , ÿ(3) + ÿ34 = 680 Slide 322 Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS 6. Gestão de stocks DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Gestão de stocks – Um modelo de revisão periódica Exemplo (Continuação) 485 0 1 510 170 2 680 485 170 330 3 210 4 685 Política ótima de gestão deste stock Re-abastecer o stock logo de início com 3 unidades (o necessário para o mês 1) Re-abastecer o stock no início do mês 2 com 11 unidades (o necessário para os meses 2 e 3) Custo ótimo: 680 € Slide 323 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Exercício 3 Uma fábrica de roupa utiliza determinado tecido na produção de três tipos de fato (os fatos variam apenas no modelo). Presentemente a fábrica está a consumir 100 metros deste tecido por semana. Cada metro de tecido tem um custo para a fábrica de 5 Euros por metro. O gerente da fábrica acredita que após 2 semanas de produção terá que a aumentar e que, para isso, precisará de 200 metros de tecido em cada uma das duas semanas seguintes. As encomendas só podem ser feitas no início de cada semana. Cada encomenda tem um custo de 100 Euros (custo pago ao fornecedor pela deslocação à fábrica). Por outro lado, o armazenamento do tecido tem que ser feito em espaço próprio estimando-se que cada metro de tecido que seja armazenado por mês tenha um custo de 1.6 Euros. De momento a fábrica dispõe de 150 metros deste tecido. Pretende-se determinar a política ótima de gestão deste stock para um horizonte de planeamento de 4 semanas. Slide 324 UNIVERSIDADE DE LISBOA | FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Introdução à Investigação Operacional, 2024/2025 6. Gestão de stocks Módulos desejáveis num sistema informático de apoio à gestão de stocks ❖ Sistema de informação Registo de transações, processamento de ficheiros,etc. Um bom controlo dos items em stock é essencial (leitura dos códigos de barras, armazéns equipados com contagem automática de items, etc. ) ❖ Análise estatística e previsão ❖ Otimização Algoritmos para dedução de políticas ótimas ❖ Simulação Análise de cenários, avaliação de alternativas Slide 325 Introdução à Investigação Operacional Licenciaturas: Engenharia Informática, Engenharia Geoespacial, Tecnologia de Informação. Minor: Estatística e Investigação Operacional Maria da Conceição da Fonseca Departamento de Estatística e Investigação Operacional Gabinete: 6.4.19| E-mail mdfonseca@ciencias.ulisboa.pt 326

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