네, 이 중요한 선형대수학 명제를 증명해 보겠습니다.
문제:
임의의 m x n 행렬 A에 대해, 두 행렬 AᵀA (크기 n x n)와 AAᵀ (크기 m x m)는 **동일한
0이 아닌 고유값(nonzero eigenvalues)**을 가짐을 보이시오.
증명
이 증명은 고유값의 정의를 이용하여 한쪽 방향에서 시작하여 다른 쪽으로 유도하는 방
식으로 진행됩니다.
1. AᵀA에서 시작하기
o
AᵀA의 0이 아닌 고유값 λ가 있다고 가정합시다. 그리고 그에 해당하는 고
유벡터를 v라고 합시다. (단, v ≠ 0)
o
고유값의 정의에 따라 다음 식이 성립합니다.
(AᵀA)v = λv --- (식 1)
2. AAᵀ의 고유벡터 후보 만들기
o
(식 1)의 양변에 행렬 A를 왼쪽에서 곱해줍니다.
A(AᵀA)v = A(λv)
o
괄호를 다시 묶고, 스칼라 λ를 밖으로 빼냅니다.
(AAᵀ)(Av) = λ(Av) --- (식 2)
3. 결과 분석
o
(식 2)를 잘 살펴보면, (AAᵀ)u = λu 형태와 매우 유사합니다.
o
여기서 u = Av 라고 두면, (식 2)는 (AAᵀ)u = λu가 됩니다.
o
이는 λ가 행렬 AAᵀ의 고유값이고, u = Av가 그에 해당하는 고유벡터임을
의미합니다.
o
단, 고유벡터는 0이 아니어야 한다는 조건이 있습니다. 따라서 u = Av가 0
벡터가 아님을 보여야 합니다.
4. Av가 0벡터가 아님을 증명하기
o
귀류법을 사용합니다. 만약 Av = 0 이라고 가정해 봅시다.
o
이 가정(Av = 0)을 (식 1)에 대입해 봅시다.
(AᵀA)v = Aᵀ(Av) = Aᵀ(0) = 0
o
따라서 (AᵀA)v = 0이 됩니다.
o
그런데 우리는 (식 1)에서 (AᵀA)v = λv 라고 정의했습니다.
o
결합하면 λv = 0 이 됩니다.
o
우리는 처음에 λ를 0이 아닌 고유값으로 가정했고, 고유벡터 v는 0벡터가
아니므로, λv는 절대 0이 될 수 없습니다.
o
이는 모순입니다. 따라서 초기 가정인 Av = 0이 틀렸습니다.
o
결론적으로 Av는 0벡터가 아닙니다.
5. 결론 도출 (1단계)
o
지금까지의 과정을 통해, AᵀA의 0이 아닌 임의의 고유값 λ는 반드시 AAᵀ
의 고유값이기도 함을 증명했습니다.
1. AAᵀ에서 시작하기 (역방향 증명)
o
위와 완전히 동일한 논리를 반대 방향으로 적용할 수 있습니다.
o
AAᵀ의 0이 아닌 고유값 μ와 그에 해당하는 고유벡터 w가 있다고 가정합
시다.
(AAᵀ)w = μw
o
양변에 Aᵀ를 왼쪽에서 곱합니다.
Aᵀ(AAᵀ)w = Aᵀ(μw)
(AᵀA)(Aᵀw) = μ(Aᵀw)
o
이는 μ가 AᵀA의 고유값이고, Aᵀw가 그 고유벡터임을 의미합니다. (이때
Aᵀw가 0벡터가 아님도 위와 같은 방식으로 증명할 수 있습니다.)
o
따라서 AAᵀ의 0이 아닌 임의의 고유값 μ는 반드시 AᵀA의 고유값이기도
함을 증명했습니다.
최종 결론
1번부터 5번까지의 과정에서 AᵀA의 모든 0이 아닌 고유값은 AAᵀ의 고유값임을 보였고,
6번 과정에서 AAᵀ의 모든 0이 아닌 고유값은 AᵀA의 고유값임을 보였습니다.
따라서, 두 행렬 AᵀA와 AAᵀ는 동일한 0이 아닌 고유값(same nonzero eigenvalues)의
집합을 가집니다.
(참고: 두 행렬의 크기가 다르므로, 0인 고유값의 개수는 다를 수 있습니다. 예를 들어 A
가 2x3 행렬이면, AᵀA는 3x3이고 AAᵀ는 2x2입니다. 두 행렬 모두 2개의 0이 아닌 고유
값을 가질 수 있지만, AᵀA는 추가로 1개의 0인 고유값을 더 가질 수 있습니다.)