کلاسیکی میکانکس کورس کے نوٹس

‫ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﮐﻼﺳﯿ‬ ‫ﺳﯿﺪ ﻋﻠ ﺣﺴﯿﻨ ﻣﻨﺼﻮری‬ ‫داﻧﺸ ﺪه ﻓﯿﺰﯾ ‪ ،‬داﻧﺸ ﺎه ﺻﻨﻌﺘ ﺷﺎﻫﺮود‪ ،‬ﺷﺎﻫﺮود‪ ،‬اﯾﺮان‬ ‫‪ ٢٧‬ﺑﻬﻤﻦ ‪١٣٩٨‬‬ ‫ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻣﻄﺎﻟﺐ‬ ‫‪ ١‬ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ٢‬ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫‪۴‬‬ ‫و ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی‬ ‫‪ ١.٢‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٣‬ﺟﺒﺮ و ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﺮداری‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪ ١.٣‬ﺑﺮدار و ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﺑﺮداری ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪ ٢.٣‬ﻋﻤﻠ ﺮﻫﺎی ﺧﻄ ﻧﻈﯿﺮ ‪ a ± b‬و ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . λa‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪ ٣.٣‬ﺑﺮدار واﺣﺪ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪ ۴.٣‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﭘﺎﯾﻪ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪ ۵.٣‬ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪ ۶.٣‬ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ دو ﺑﺮدار ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١.۶.٣‬‬ ‫ﺧﻮاص ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ ‪١٢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٧.٣‬ﻣﺆﻟﻔﻪ ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪ ٨.٣‬ﺿﺮب ﺑﺮداری ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a × b‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪ ٩.٣‬ﺿﺮب ﻫﺎی ﺳﻪﮔﺎﻧﻪ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١۶‬‬ ‫‪١.٩.٣‬‬ ‫ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ اﺳ ﺎﻟﺮ ‪١۶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪٢.٩.٣‬‬ ‫ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮداری ‪١٧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ١٠.٣‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮداری از ﯾ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪ ١.١٠.٣‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮی ‪١٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ١١.٣‬ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس و ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻪ ﯾ‬ ‫‪ ١.١١.٣‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس واﺣﺪ‬ ‫ﺧﻤﯿﻨﻪ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ٢.١١.٣‬ﺑﺮدار ﻧﺮﻣﺎل واﺣﺪ ‪٢٢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ ۴‬ﺳﺮﻋﺖ‪ ،‬ﺷﺘﺎب و ﺳﺮﻋﺖ زاوﯾﻪای اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫‪ ١.۴‬ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺨﻂ ﯾ‬ ‫‪٢۴‬‬ ‫ذره ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪٢۵‬‬ ‫ذره ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪٢۶‬‬ ‫‪ ٣.۴‬ﺣﺮﮐﺖ داﯾﺮهای ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪ ٢.۴‬ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻠ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫اﯾﻦ درﺳﻨﺎﻣﻪ ﺑﺮاﺳﺎس ﮐﺘﺎب ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﮐﻼﺳﯿ‬ ‫‪ Gregory‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ داﻧﺸﺠﻮﯾﺎن ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ دﯾ ﺮ ﻣﻨﺒﻊ‬ ‫از ﺟﻤﻠﻪ ﮐﺘﺎب ﮔﺮاﻧﺖ ﻓﺎوﻟﺰ و ﺳﺎﯾﻤﻮن را ﻧﯿﺰ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻧﻤﺎﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺮای ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﺗﺤﻠﯿﻠ ‪ ١‬ﺗﺎ ﭘﺎﯾﺎن ﻓﺼﻞ ﻫﺸﺘﻢ از ﮐﺘﺎب را ﺗﺪرﯾﺲ ﺧﻮاﻫﻢ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫در اﯾﻦ ﻫﺸﺖ ﻓﺼﻞ ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻨ ﺑﺮای ﯾ‬ ‫ذره ﻣﺠﺮد را ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻗﺮار ﺧﻮاﻫﯿﻢ داد‪ .‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺎﺗ ﮐﻪ ﺑﻪ آن‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﭘﺮداﺧﺖ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ : ٣‬ﺟﺒﺮ و ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﺮداری‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ : ٣‬ﺳﺮﻋﺖ‪ ،‬ﺷﺘﺎب و ﺳﺮﻋﺖ زاوﯾﻪ ای اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ :۴‬ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﻧﯿﻮﺗﻦ و ﮔﺮاﻧﺶ‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ :۵‬ﻣﺴﺎﺋﻞ دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫ذره‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ :۶‬ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت ﺧﻄ و ﻣﺪﻫﺎی ﻧﺮﻣﺎل‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ :٧‬ﺑﻘﺎی اﻧﺮژی‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ :٨‬ﻣﺪارﻫﺎی ﺣﺮﮐﺖ در ﻧﯿﺮوی ﻣﺮﮐﺰی‬ ‫• ﻓﺼﻞ ‪ :٩‬ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت ﻏﯿﺮ ﺧﻄ و ﻓﻀﺎی ﻓﺎز‬ ‫ﺗﺎرﯾﺦ ﻣﯿﺎﻧﺘﺮم‪ :‬و ﺗﺎرﯾﺦ ﭘﺎﯾﺎن ﺗﺮم‪:‬‬ ‫‪٠‬درﺳﻨﺎﻣﻪ ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﮐﻼﺳﯿ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫و ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی‬ ‫ﻫﻤﺎﻧ ﻮﻧﻪ ﮐﻪ ﻣ داﻧﯿﺪ ﻣﺸﺎﻫﺪه و اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﺑﺨﺶ ﺟﺪاﯾ ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ ﻧﻈﺮﯾﻪﻫﺎی ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﻗﺎﺑﻞ اﻧﺪازهﮔﯿﺮی اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﻤﯿﺖ ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬آنﭼﻪ را ﮐﻪ ﺑﺎ ﯾ‬ ‫اﺑﺰار‬ ‫ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪی ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫)ﻋﺪدی( و ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﺮداری ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی اﺳ ﺎﻟﺮ ﺑﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎﯾ ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﻘﺪار آنﻫﺎ ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫ﺑﺎ ﯾ‬ ‫ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘ ﺑﯿﺎن ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﺮم‪ ،‬زﻣﺎن‪ ،‬دﻣﺎی اﺗﺎق‪ .‬در ﺣﺎﻟ ﮐﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﺮداری ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺑﺰرﮔ دارای‬ ‫ﺟﻬﺖ ﻧﯿﺰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻧﯿﺮوﯾ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﯾ‬ ‫ﻃﻨﺎب ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﺟﺴﻢ وارد ﻣ ﮐﻨﯿﺪ‪ ،‬دارای ﺑﺰرﮔ و ﺟﻬﺖ اﺳﺖ؛‬ ‫ﯾﻌﻨ ﻫﻢ ﻣﻘﺪار ﻧﯿﺮوی ﺻﺮف ﺷﺪه و ﻫﻢ ﮐﺸﯿﺪﮔ ﻃﻨﺎب را )ﮐﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪهی ﺟﻬﺖ ﻧﯿﺮو اﺳﺖ( در ﺧﻮد دارد‪.‬‬ ‫ﻧ ﺘﻪ‪ :‬ﺑﺰرﮔ اﯾﻦ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎ اﻋﻢ از اﺳ ﺎﻟﺮ و ﺑﺮداری‪ ،‬ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﻌﺪدار و ﺑﺪونﺑﻌﺪ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﻌﺪدار ﺑﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎﯾ ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺰرﮔ آنﻫﺎ ﺑﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ اﺑﺰار اﻧﺪازهﮔﯿﺮی ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺜﻼ ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫ﺷﺎﻫﺮود ﺗﺎ ﺗﻬﺮان ﺑﺎ ﻣﺘﺮ ﺣﺪود ‪ ۴٠٠٠٠٠‬ﻣﺘﺮ اﺳﺖ در ﺻﻮرﺗ ﮐﻪ ﮐﯿﻠﻮﻣﺘﺮ ﺷﻤﺎر ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻋﺪد ‪ ۴٠٠‬را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪١.٢‬‬ ‫ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی‬ ‫در ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫ﻫﻔﺖ ﮐﻤﯿﺖ اﺻﻠ وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی دﯾ ﺮ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮ اﺳﺎس آنﻫﺎ ﻧﻮﺷﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬ ‫از ﻃﻮل )‪ ،(L‬ﺟﺮم ) ‪ ،(M‬زﻣﺎن ) ‪ ،(T‬ﺟﺮﯾﺎن اﻟ ﺘﺮﯾ‬ ‫)‪ ،(A‬دﻣﺎ ) ‪ ،(T‬ﻣﻘﺪار ﻣﺎده )‪ ،(n‬و ﺷﺪت روﺷﻨﺎﯾ ) ‪ . (Iv‬در‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ اﺳﺘﺎﻧﺪارد واﺣﺪﻫﺎ )‪ (SI‬واﺣﺪ اﯾﻦ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ﻣﺘﺮ‪ ،‬ﮐﯿﻠﻮﮔﺮم‪ ،‬آﻣﭙﺮ‪ ،‬ﮐﻠﻮﯾﻦ‪ ،‬ﻣﻮل‪ ،‬و ﮐﺎﻧﺪﻻ‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﻣ ﺗﻮان ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎی دﯾ ﺮ اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد ﮐﻪ ﻣﻘﺪار اﯾﻦ واﺣﺪﻫﺎ در آن ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ وﻟ ﺑﻌﺪ آنﻫﺎ ﻫﻤﻮاره ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫اﺳﺖ )ﺷ ﻞ ‪ ١.٢‬را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ .(.‬ﻧﻮﺷﺘﻦ ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺑﻌﺪ‪ ،‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی ‪ ١‬ﻧﺎم دارد‪ .‬وﻗﺘ ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫‪dimensional analysis‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٢‬‬ ‫‪ ١.٢‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :١.٢‬واﺣﺪ ﻫﺎی اﺻﻠ ‪SI‬‬ ‫ﮐﻤﯿﺘ را ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬آن را در ] [ ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪ ،‬ﻣﺜﻼ‬ ‫)‪(١.٢‬‬ ‫‪[i] = A‬‬ ‫‪[t] = T‬‬ ‫‪[x] = L‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑﻌﺪ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل دارد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫)‪(٢.٢‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدیِ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫)‪(٣.٢‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدیِ ﺷﺘﺎب ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫)‪(۴.٢‬‬ ‫‪[A] = L2 ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪v = −→ [v] = LT −1 ,‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪a = −→ [a] = LT −2 ,‬‬ ‫‪t‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدیِ ﻧﯿﺮو‬ ‫)‪(۵.٢‬‬ ‫‪F = ma −→ [F ] = M LT −2 ,‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٢‬‬ ‫‪ ١.٢‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی‬ ‫و ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدیِ اﻧﺮژی‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E = mv 2 −→ [E] = M L2 T −2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(۶.٢‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن ﺑﻌﺪ ﺑﺎر اﻟ ﺘﺮﯾ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‬ ‫از ﮐﻤﯿﺖ ﺟﺮﯾﺎن اﻟ ﺘﺮﯾ‬ ‫ﮐﻤ‬ ‫ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ ،‬ﭼﻮن ﺟﺮﯾﺎن ﮐﻤﯿﺖ اﺻﻠ‬ ‫‪dq‬‬ ‫=‪i‬‬ ‫‪−→ [q] = AT.‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫)‪(٧.٢‬‬ ‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﻌﺪ ﻣﯿﺪان اﻟ ﺘﺮﯾ‬ ‫)‪(٨.٢‬‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫‪F‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪−→ [E] = M LA−1 T −3 .‬‬ ‫‪q0‬‬ ‫و ﺑﻌﺪ ﻣﯿﺪان ﻣﻐﻨﺎﻃﯿﺴ‬ ‫‪F = qvB −→ [B] = M A−1 T −2 .‬‬ ‫)‪(٩.٢‬‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫‪1 q1 q2‬‬ ‫‪ F = 4πϵ‬و ﻣﯿﺪان ﻣﻐﻨﺎﻃﯿﺴ در ﻣﺮﮐﺰ‬ ‫آنﭼﻪ در ﺑﺎﻻ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻧﻮن ﮐﻮﻟﻦ ﮐﻪ ‪2‬‬ ‫‪0 r‬‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫‪ B = 2πR‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻌﺪ ‪ ϵ0‬و ‪ µ0‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺑﺮای آن ﮐﻪ در ﻧﻬﺎﯾﺖ رواﺑﻂ ﺧﻮد را راﺳﺘ آزﻣﺎﯾ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪی ﺟﺮﯾﺎن ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ از راﺑﻄﻪی ‪ c = √ϵ10 µ0‬ﮐﻪ ‪ c‬ﺳﺮﻋﺖ ﻧﻮر اﺳﺖ و ﺑﻌﺪ ﺳﺮﻋﺖ دارد‪ ،‬ﮐﻤ‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫‪2‬‬ ‫راﺑﻄﻪی‬ ‫‪ F = G mr1 m‬ﺑﻌﺪ ‪) G‬ﺛﺎﺑﺖ ﺟﻬﺎﻧ ﮔﺮاﻧﺶ( را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫راﺑﻄﻪی ‪ E = hf‬ﮐﻪ در آن ‪ f‬ﺑﺴﺎﻣﺪ و ‪ h‬ﺛﺎﺑﺖ ﭘﻼﻧ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻌﺪ ‪ h‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﻣ ﺗﻮان درﯾﺎﻓﺖ ﮐﻪ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی اﺑﺰاری ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪ در ﻣﻄﺎﻟﻌﻪی ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬در دو ﺳﻤﺖ ﯾ‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ از ﻟﺤﺎظ ﺑﻌﺪ ﺳﺎزﮔﺎری وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺘ زﻣﺎﻧ ﮐﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺑﺴﯿﺎر ﮐﻤ از ﯾ‬ ‫ﻣﺎ ﻗﺮار دارد‪ ،‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی ﺑﻪ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﯾ‬ ‫راﺑﻄﻪ ﮐﻤ‬ ‫آوﯾﺰان اﺳﺖ‪ .‬از ﻣﺎ ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫ﻓﺮاواﻧ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮔﻠﻮﻟﻪی ﮐﻮﭼ‬ ‫راﺑﻄﻪی‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ در اﺧﺘﯿﺎر‬ ‫ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی راﺑﻄﻪای ﺑﺮای دورهی ﺗﻨﺎوب اﯾﻦ آوﻧ‬ ‫ﻃﻨﺎب‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫آورﯾﻢ‪ .‬ﭼﻮن ﺗﻨﻬﺎ اﺑﺰار ﻣﺎ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی اﺳﺖ ﻓﻘﻂ ﺑﺎﯾﺪ از ﺑﻌﺪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬از ﺧﻮد ﺳﻮال ﻣ ﭘﺮﺳﯿﻢ ﮐﻪ‬ ‫دورهی ﺗﻨﺎوب آوﻧ‬ ‫ﺑﻪ ﭼﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎﯾ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺴﺘ‬ ‫)‪ ،(m‬زاوﯾﻪای ﮐﻪ آوﻧ‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ؟ در ﭘﺎﺳﺦ ﻣ ﺗﻮان از ﻃﻮل آوﻧ‬ ‫)‪ ،(l‬ﺟﺮم آوﻧ‬ ‫را ﺑﻪ ﻧﻮﺳﺎن در آوردهاﯾﻢ )‪ ،(θ‬و ﺷﺘﺎب ﮔﺮاﻧﺶ زﻣﯿﻦ )‪ (g‬ﯾﺎد ﮐﺮد‪ .‬ﭼﻮن ﺗﻨﻬﺎ اﺑﺰار ﻣﺎ ﺗﺤﻠﯿﻞ‬ ‫اﺑﻌﺎدی اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ ﺗﺎﺑﻌ از ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﺎﻻ ﺑﺴﺎزﯾﻢ ﮐﻪ در ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻓﻘﻂ ﺑﻌﺪ زﻣﺎن داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ دورهی ﻧﻮﺳﺎن‬ ‫آوﻧ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞﺿﺮﺑ از ﺗﻮانﻫﺎی ﻧﺎﻣﺸﺨﺺ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﺎﻻ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‬ ‫)‪(١٠.٢‬‬ ‫‪T = l α mβ g γ θ λ‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺳﻤﺖ راﺳﺖ راﺑﻄﻪی )‪ (١٠.٢‬در ﻧﻬﺎﯾﺖ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﻌﺪ زﻣﺎن داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﺎ ﺳﻤﺖ‬ ‫‪۶‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٢‬‬ ‫‪ ١.٢‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی‬ ‫ﭼﭗ ﺳﺎزﮔﺎر ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬در اداﻣﻪ ﺑﻪ ﺟﺎی ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی راﺑﻄﻪی )‪ (١٠.٢‬ﺑﻌﺪ آنﻫﺎ را ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﭼﻮن زاوﯾﻪ در ﯾ ﺎﻫﺎی‬ ‫اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺪون ﺑﻌﺪ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ راﺑﻄﻪی ﻣﺎ در ﻣﻮرد زاوﯾﻪی ﺷﺮوع ﻧﻮﺳﺎن اﻃﻼﻋﺎﺗ ﺑﻪ ﻣﺎ ﻧﻤ دﻫﺪ )‪.(λ = 0‬‬ ‫⇒= ‪T = Lα M β Lγ T −2γ = Lα+γ M β T −2γ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪α + γ = 0 −→ α = 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪β=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−2γ = 1 −→ γ = −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(١١.٢‬‬ ‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ راﺑﻄﻪای ﮐﻪ ﻣﺎ ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی ﺑﺮای دورهی ﻧﻮﺳﺎن آوﻧ‬ ‫‪l‬‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آوردﯾﻢ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪g‬‬ ‫√‬ ‫= ‪T‬‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﻪ ﺑﺴﯿﺎر ﺑﻪ راﺑﻄﻪی دﻗﯿﻖ آن ﺷﺒﺎﻫﺖ دارد‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺳﺎدهی ﺑﺎﻻ ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی اﺑﺰاری ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪ در ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬در ﻫﻨ ﺎم اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ ﺗﺤﻠﯿﻞ ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﻧ ﺎت زﯾﺮ دﻗﺖ ﮐﺮد‪:‬‬ ‫• اﮔﺮ در ﯾ‬ ‫راﺑﻄﻪ‪ ،‬ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ و ﯾﺎ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﺪون ﺑﻌﺪ ﻣﺎﻧﻨﺪ زاوﯾﻪ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﯾﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﺎ ﺗﺤﻠﯿﻞ‬ ‫اﺑﻌﺎدیِ ﺻﺮف ﺑﻪ دﺳﺖ ﻧﺨﻮاﻫﻨﺪ آﻣﺪ‪.‬‬ ‫• در راﺑﻄﻪای ﮐﻪ ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪ ،‬ﻫﻤﻮاره ﮐﻤﯿﺖﻫﺎ در ﻫﻢ ﺿﺮب و ﺑﺎ ﺑﺮ ﻫﻢ ﺗﻘﺴﯿﻢ‬ ‫ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدیِ ﺻﺮف ﻧﻤ ﺗﻮان راﺑﻄﻪای ﻧﻮﺷﺖ ﮐﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺟﻤﻊ ﺷﺪهاﻧﺪ )ﻣ ﺮ‬ ‫آنﮐﻪ از ﺟﺎﯾ اﻃﻼﻋﺎت دﯾ ﺮی داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ(‪ .‬ﭼﻮن وﻗﺘ دو ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺟﻤﻊ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﯾﻌﻨ اﯾﻦ ﮐﻪ ﺑﻌﺪ‬ ‫ﯾ ﺴﺎﻧ دارﻧﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﯿﻢ آنﻫﺎ را از ﻫﻢ ﺗﻤﯿﺰ دﻫﯿﻢ‪.‬‬ ‫• اﺑﺰار ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی در ﻣﺴﺎﺋﻠ ﮐﻪ ﭼﻨﺪ ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺎ ﺑﻌﺪ ﯾ ﺴﺎن در ﻣﺴﺌﻠﻪ دﺧﯿﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﮐﺎراﯾ ﺧﻮد را‬ ‫از دﺳﺖ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ در ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭼﻨﺪ ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺎ ﺑﻌﺪ ﻃﻮل ﺑﺮ ﻧﺘﺎﯾﺞ ﺗﺎﺛﯿﺮ ﻣ ﮔﺬارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫آنﭼﻪ در ﺑﺎﻻ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ‪ ،‬از ﺳﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺟﻬﺎﻧ ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫ﯾﻌﻨ ‪ c, G, h‬ﮐﻤﯿﺘ ﺑﺴﺎزﯾﺪ ﮐﻪ‬ ‫اﻟﻒ( ﺑﻌﺪ ﻃﻮل داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ب( ﺑﻌﺪ زﻣﺎن داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ج( ﺑﻌﺪ ﺟﺮم داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬در ﺳﺎل ‪ ١٩۴٧‬ﻣﯿﻼدی‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای ﻋ ﺲ از ﻧﺨﺴﺘﯿﻦ اﻧﻔﺠﺎر اﺗﻤ در ﺳﺎل ‪ ١٩۴۵‬در ﻧﯿﻮﻣ ﺰﯾ ﻮ در ﻣﺠﻠﻪی‬ ‫ﻻﯾﻒ ﭼﺎپ ﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻋ ﺲﻫﺎ ﺷﻌﺎع ﻣﻮج ﺷﻮﮐ ﮐﺮوی را در زﻣﺎنﻫﺎی ﻣﺘﻮاﻟ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﯿﻠ ﺛﺎﻧﯿﻪ ﻧﺸﺎن ﻣ داد‪ .‬از‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٢‬‬ ‫‪ ١.٢‬ﺗﺤﻠﯿﻞ اﺑﻌﺎدی‬ ‫ﻋ ﺲﻫﺎ ﻣ ﺗﻮان ﺷﻌﺎع ﻣﻮج ﮐﺮوی را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از زﻣﺎن ﺑﺪﺳﺖ آورد‪ :‬ﻧﺘﺎﯾﺞ در ﺟﺪولِ ‪ ١.٢‬آﻣﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﻓﺮض‬ ‫اﯾﻦﮐﻪ ﺳﻄﺢ زﻣﯿﻦ در اﻧﺘﺸﺎر ﻣﻮج ﺗﺎﺛﯿﺮ ﭼﻨﺪاﻧ ﻧﺪارد‪ ،‬و ﺣﺮﮐﺖ ﻣﻮج ﻓﻘﻂ ﺑﻪ اﻧﺮژی آزاد ﺷﺪه از اﻧﻔﺠﺎر ‪ E‬و ﭼ ﺎﻟ‬ ‫ﻫﻮایِ ﺑﯿﺮون ‪ ρ‬ﺑﺴﺘ‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺷﻌﺎع ﻣﻮج اﻧﻔﺠﺎر را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻌ از زﻣﺎن ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫اﻧﺮژی آزاد ﺷﺪه از اﻧﻔﺠﺎر را ﺗﺨﻤﯿﻦ ﺑﺰﻧﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪١‬درﺳﻨﺎﻣﻪ ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﮐﻼﺳﯿ‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺟﺪول‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺟﺒﺮ و ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﺮداری‬ ‫در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ در اﺑﺘﺪا ﻣﺮوری ﺑﺮ ﮐﺎﺑﺮدﻫﺎی ﺟﺒﺮ ﺑﺮداری ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻣﺒﺎﺣﺜ ﻫﻤﭽﻮن ﻋﻤﻠ ﺮﻫﺎی‬ ‫ﺑﺮداری و وﯾﮋﮔﯿﻬﺎی آﻧﻬﺎ ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﻣﺜﺎل ﻫﺎی ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن را ﺷﺎﻣﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬در اداﻣﻪ ﻓﺼﻞ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮی از ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫ﺑﺮداری از ﯾ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ و از ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻔﺎﻫﯿﻤ ﻧﻈﯿﺮ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس و ﺑﺮدار ﻧﺮﻣﺎل روی ﯾ‬ ‫ﺧﻤﯿﻨﻪ ﮐﻪ ﻣﺴﺘﻠﺰم ﺗﻔﺴﯿﺮ‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی دﯾ ﺮی ﻫﻤﭽﻮن ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬را ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪١.٣‬‬ ‫ﺑﺮدار و ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﺑﺮداری‬ ‫اﮐﺜﺮ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫اﺗﺎق ﯾ‬ ‫ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ‪ ،‬ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی اﺳ ﺎﻟﺮ و ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﺑﺮداری ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل دﻣﺎی‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ اﺳ ﺎﻟﺮ اﺳﺖ زﯾﺮا ﻣﻘﺪار آن ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ﯾ‬ ‫ﺳﺎﻋﺖ ﭘﺸﺖ دﺳﺖ ﺷﻤﺎ را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪ ،‬ﺟﺮم ﯾ‬ ‫ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘ ﺑﯿﺎن ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺜﺎﻟ دﯾ ﺮی ﻫﻤﭽﻮن زﻣﺎن ﮐﻪ‬ ‫ﻗﻮﻃ ﮐﻨﺴﺮو و ﺣﺠﻢ آن‪ ،‬ﭼ ﺎﻟ آﻫﻦ و ﻓﺸﺎر ﻫﻮای داﺧﻞ اﺗﺎق‬ ‫ﺗﻤﺎﻣﺎ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی اﺳ ﺎﻟﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﺑﺮداری ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫• ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری‪ :‬اﮔﺮ ﮐﻤﯿﺖ ‪ Q‬دارای ﺑﺰرﮔ و ﺟﻬﺖ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ Q‬ﯾ‬ ‫ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ﯾ‬ ‫ذره ﯾ‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ذره از ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﺷﺮوع ﺑﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻨﺪ و ﭘﺲ از‬ ‫ﻃ ﻣﺴﯿﺮی ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ اﻧﺘﻬﺎی ‪ B‬ﺑﺮﺳﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺰرﮔ اﯾﻦ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪ AB‬و ﺟﻬﺖ اﯾﻦ ﺟﺎﺑﻪ ﺟﺎﯾ ﺟﻬﺖ‬ ‫ﺧﻂ راﺳﺘ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬را ﺑﻪ ‪ B‬ﻣﺘﺼﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل دﯾ ﺮ ﻧﯿﺮوی ‪ F‬اﻋﻤﺎل ﺷﺪه ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﺟﺴﻢ ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ﯾ‬ ‫ﻃﻨﺎب ﯾ‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری اﺳﺖ زﯾﺮا ﺑﺰرﮔ آن‪ ،‬ﺷﺪت ﻧﯿﺮو ﮐﻪ ﻫﻤﻮراه ﻣﻘﺪار ﺣﻘﯿﻘ ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‬ ‫و ﺟﻬﺖ آن ﺟﻬﺖ ﻃﻨﺎب ﮐﺸﯿﺪه ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬از ﺟﻤﻠﻪ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی دﯾ ﺮی ﻧﻈﯿﺮ ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب ﻧﯿﺰ ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری‬ ‫‪٩‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ٢.٣‬ﻋﻤﻠ ﺮﻫﺎی ﺧﻄ ﻧﻈﯿﺮ ‪ a ± b‬و ‪λa‬‬ ‫ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﯾ ﺴﺎن ﺳﺎزی ﺗﻤﺎم ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫ﺑﺮدار را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﯾ‬ ‫• ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار ﯾ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻣﺒﺪا ﻓﯿﺰﯾ‬ ‫آﻧﻬﺎ ﻣ ﺗﻮان ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﮐﻠﯿﺘﺮی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺜﺎﻟﻬﺎی ﺧﺎﺻ ﺑﯿﺎن ﮐﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ‪:‬‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﻧﻈﺮی اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ دو وﯾﮋﮔ ﺑﺰرﮔ و ﺟﻬﺖ ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﻟﺬا دو ﺑﺮدار زﻣﺎﻧ‬ ‫ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻣﺴﺎوی ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ دارای ﺑﺰرﮔ و ﺟﻬﺖ ﯾ ﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ اﯾﻦ درﺳﻨﺎﻣﻪ ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﮐﺘﺎب ﺗﻤﺎم ﺑﺮدارﻫﺎ ﺑﺎ ﺣﺮوف اﻧ ﻠﯿﺴ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ F ، a‬و ﺑﺰرﮔ آﻧﻬﺎ را ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺑﺎ‬ ‫|‪ |a‬ﯾﺎ ‪ a‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬اﮐﻨﻮن ﺷﻤﺎ ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﻋﺪدی ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ اﻋﻤﺎل ﺟﺒﺮی ﻧﻈﯿﺮ ﺟﻤﻊ ﺗﻔﺮﯾﻖ و ﺿﺮب‬ ‫را ﺑﺮای ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی ﺑﺮداری ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪٢.٣‬‬ ‫ﻋﻤﻠ ﺮﻫﺎی ﺧﻄ ﻧﻈﯿﺮ ‪ a ± b‬و ‪λa‬‬ ‫• ﺟﻤﻊ ﺑﺮداری‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ a‬و ‪ b‬دو ﺑﺮدا ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣﻄﻼﺑﻖ ﺷ ﻞ ‪ ١.٣‬ﻗﺴﻤﺖ ‪ P⃗Q‬را ﺑﺎ ‪ a‬و ﻗﺴﻤﺖ ⃗‬ ‫‪ QR‬را ﺑﺎ‬ ‫‪ b‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺟﻤﻊ ‪ a + b‬ﻧﻤﺎﯾﺸ ﺑﺮای ﻗﺴﻤﺖ ‪ P⃗R‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫• ﻗﺮﯾﻨﻪ ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار‪ :‬ﺑﺮای ﺑﺮدار دﻟﺨﻮاه ‪ b‬ﻫﻤﯿﺸﻪ ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮدای ﺑﺎ اﻧﺪازه ﯾ ﺴﺎن اﻣﺎ در ﺟﻬﺘ ﻣﺨﺎﻟﻒ ﺑﺮدار ‪b‬‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ آن ﻗﺮﯾﻨﻪ ﺑﺮدار ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد و ﺑﺎ ﻧﻤﺎد ‪ −b‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺮداری را ﻣ‬ ‫ﺗﻮان ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﯿﺎن ﮐﺮد )ﺷ ﻞ وﺳﻂ از ﺷ ﻞ ‪ ١.٣‬را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﮐﻨﯿﺪ‪.(.‬‬ ‫)‪a − b = a + (−b‬‬ ‫)‪(١.٣‬‬ ‫• ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ‪ :‬اﺟﺎزه دﻫﯿﺪ ‪ a‬ﯾ‬ ‫‪ λa‬ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار و ‪ λ‬ﯾ‬ ‫اﺳ ﺎﻟﺮ ) ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘ ( ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫ﺑﺮدار ﺑﺎ ﺑﺰرﮔ |‪ |λ||a‬و ﺟﻬﺖ آن ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻣﻨﻔ ‪ ،‬ﻣﺜﺒﺖ و ﯾﺎ ﺻﻔﺮ ﺑﻮدن ‪ λ‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺧﻼف‪ ،‬ﻫﻢ ﺟﻬﺖ‬ ‫و ﺻﻔﺮ اﺳﺖ )ﻗﺴﻤﺖ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ از ﺷ ﻞ ‪ ١.٣‬را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﮐﻨﯿﺪ‪.(.‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :١.٣‬ﺟﻤﻊ‪ ،‬ﺗﻔﺮﯾﻖ و ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ ﺑﺮدارﻫﺎ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ٣.٣‬ﺑﺮدار واﺣﺪ‬ ‫ﺟﺪول ‪ :١.٣‬ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﺟﺒﺮی‬ ‫‪a+b=b+a‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮی ‪a + (b + c) = (a + b) + c‬‬ ‫‪٣.٣‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫‪λ(µa) = (λµ)a‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫‪λ(a + b) = λa + λb‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫‪(λ + µ)a = λa + µa‬‬ ‫ﺑﺮدار واﺣﺪ‬ ‫ﺑﺮداری ﺑﺎ ﺑﺰرﮔ واﺣﺪ‪ ,‬ﺑﺮدار واﺣﺪ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺮدار ‪ a‬را ﺑﺮ ﺑﺰرﮔ اش ﺗﻘﺴﯿﻢ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺮدار ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺮدار‬ ‫واﺣﺪ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﻤﺠﻬﺖ ﺑﺎ ﺑﺮدار ‪ a‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫)‪(٢.٣‬‬ ‫‪۴.٣‬‬ ‫‪−‬‬ ‫→‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫|‪|a‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﭘﺎﯾﻪ اﺳﺘﺎﻧﺪارد‬ ‫ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﭘﺎﯾﻪ )ﺑﺮدار ﯾ ﻪ( ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ }‪ {i, j, k‬در دﺳﺘ ﺎه دﮐﺎرﺗ ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﭘﺎﯾﻪ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد و ﻣ ﺗﻮان‬ ‫ﻫﺮ ﺑﺮدار را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺴﻂ داد )ﺷ ﻞ ‪.(٢.٣‬‬ ‫)‪(٣.٣‬‬ ‫‪۵.٣‬‬ ‫‪v = λi + µj + νk‬‬ ‫ﺑﺮدار ﻣ ﺎن‬ ‫اﮔﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ‪ O‬در ﻓﻀﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺒﺪا ﻣﺨﺘﺼﺎت ) ﻣﺒﺪا ﭼﺎرﭼﻮب ﻣﺮﺟﻊ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣ ﺎن ﻫﺮ‬ ‫→‪−‬‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ دﯾ ﺮ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ A‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺒﺪا را ﺑﺎ ﺑﺮدار ‪ OA‬ﮐﻪ ﺑﺎ ‪ a‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷ ﻞ ‪ ٣.٣‬ﻧﺸﺎن داده ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪۶.٣‬‬ ‫ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ دو ﺑﺮدار‬ ‫ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ دو ﺑﺮدار ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪(۴.٣‬‬ ‫)‪a.b = ab cos(θ‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ۶.٣‬ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ دو ﺑﺮدار‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٢.٣‬ﺑﺮدار ﭘﺎﯾﻪ اﺳﺘﺎﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٣.٣‬ﻧﻘﺎط ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ دارای ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺒﺪا ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ θ‬زاوﯾﻪ ﻣﯿﺎن دو ﺑﺮدار اﺳﺖ‪ .‬ﻧ ﺘﻪ‪ :‬ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ دو ﺑﺮدار ﯾ‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ اﺳ ﺎﻟﺮ اﺳﺖ ﯾﻌﻨ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ﻋﺪد ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﭽﻨﯿﻦ ﺿﺮب داﺧﻠ ﺑﻪ ﻣﻌﻨ اﻧﺪاﺧﺘﻦ ﺳﺎﯾﻪ ﺑﺮدار ‪ a‬روی ﺑﺮدار ‪ b‬اﺳﺖ‪ ،‬ﯾﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗ ﻣﻌﺎدل ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﺑﺮدار ‪ a‬در راﺳﺘﺎی ﺑﺮدار ‪ b‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪١.۶.٣‬‬ ‫ﺧﻮاص ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫• اﻧﺪازه ﯾﺎ ﺑﺰرﮔ ﯾ‬ ‫)‪(۵.٣‬‬ ‫ﺑﺮدار دﻟﺨﻮاه را ﻣ ﺗﻮان از ﻣﺠﺬور ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ ﺑﺮدار در ﺧﻮدش ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪ ،‬ﯾﻌﻨ‬ ‫‪|a|2 = a2 = a.a‬‬ ‫• دو ﺑﺮدار ‪ a‬و ‪ b‬ﺑﺮ ﻫﻢ ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ دو ﺑﺮدار ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪a.b = ab cos( ) = 0 → a ⊥ b‬‬ ‫)‪(۶.٣‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ۶.٣‬ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ دو ﺑﺮدار‬ ‫ﺟﺪول ‪ :٢.٣‬ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﺟﺒﺮی ﺑﺮای ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ‬ ‫‪a.b = b.a‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫‪a.(b + c) = a.b + a.c‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮی ﺑﺎ ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫)‪(λa).b = λ(a.b‬‬ ‫• اﮔﺮ }‪ {i, j, k‬ﭘﺎﯾﻪ ﻫﺎی ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﺎﺷﻨﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت‬ ‫‪i.j = j.k = k.i = 0‬‬ ‫)‪(٧.٣‬‬ ‫‪i.i = j.j = k.k = 1‬‬ ‫• اﮔﺮ ‪ a1 = λ1 i + µ1 j + ν1 k‬و ‪ a2 = λ2 i + µ2 j + ν2 k‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت دارﯾﻢ‬ ‫‪a1 .a2 = λ1 λ2 + µ1 µ2 + ν1 ν2‬‬ ‫)‪(٨.٣‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺧﻮاص ذﮐﺮ ﺷﺪه ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ دﯾ ﺮ ﺧﻮاص را در ﺟﺪول ‪ ٢.٣‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اوﻟﯿﻦ ﺷ ﻞ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ از ﺷ ﻞ ‪ ١.٣‬ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ‬ ‫اﻟﻒ‪ :‬ﺑﺰرﮔ ﺑﺮدار ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺟﻮاب‬ ‫)‪(٩.٣‬‬ ‫‪|a + b|2 = (a + b).(a + b) = a.a + 2a.b + b.b = a2 + 2ab cos(θ) + b2‬‬ ‫ب‪ :‬اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ اﻧﺪازه در ﺑﺮدار ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ )‪ (a = b‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت راﺑﻄﻪ ﺑﺎﻻ را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺟﻮاب‪ :‬ﺑﺮای‬ ‫ﺳﺎده ﺳﺎزی راﺑﻄﻪ ﺑﺎﻻ اﺳﺘﻔﺎده از اﺗﺤﺎدﻫﺎی ﻣﺜﻠﺜﺎﺗ زﯾﺮ ﻣﻔﯿﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫)‪(١٠.٣‬‬ ‫‪sin2 (x) + cos2 (x) = 1‬‬ ‫)‪(١١.٣‬‬ ‫)‪sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y‬‬ ‫)‪(١٢.٣‬‬ ‫)‪cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y‬‬ ‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ رواﺑﻂ ﺑﺎﻻ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﯿﻢ رﺳﯿﺪ‪.‬‬ ‫)‪(١٣.٣‬‬ ‫‪cos(2x) = cos(x + x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 1 − 2 sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪ ٧.٣‬ﻣﺆﻟﻔﻪ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫اﮐﻨﻮن ﺑﺎ ﻓﺮض ﻫﻢ اﻧﺪازه ﺑﻮدن ﺑﺮدارﻫﺎ دارﯾﻢ‬ ‫‪θ‬‬ ‫)‪(١۴.٣‬‬ ‫) (‪|a + b| = a(2 + 2 cos(θ)) = 2a cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺎت ﺑﺎﻻ را ﺑﺮای ﺣﺎﺻﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ دو ﺑﺮدار ) ﺷ ﻞ ﻣﯿﺎﻧ ( ﺗ ﺮار ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﻪ ﯾ‬ ‫‪٧.٣‬‬ ‫اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ n‬ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺑﺮدار واﺣﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮدار ‪ v‬در راﺳﺘﺎی ‪ n‬را ﺑﺎ ‪ v.n‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ‬ ‫‪ v.b‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﻃﻮر ﮐﻠ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮدار ‪ v‬در راﺳﺘﺎی ﻫﺮ ﺑﺮدار دﻟﺨﻮاه ‪ a‬را ﺑﺎ ‪a‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬ ‫اﮔﺮ ‪ v = 6i − 3j + 15k‬و ‪ a = 2i − j − 2k‬ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮدار ‪ v‬در راﺳﺘﺎی ﺑﺮدار ‪ a‬را ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﺿﺮب ﺑﺮداری ‪a × b‬‬ ‫‪٨.٣‬‬ ‫→‪−−→ −‬‬ ‫ﺿﺮب ﺑﺮداری‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷ ﻞ ‪ ١.۴‬دو ﺑﺮدار‪ a ،‬و ‪ b‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ دارای ﻧﻤﺎﯾﺶ ‪ OA‬و ‪ OB‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ‬ ‫‪ n‬ﺑﺮدار واﺣﺪ ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﺻﻔﺤﻪ ‪ OAB‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ }‪ {a, b, n‬ﯾ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ راﺳﺖ دﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ )‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ ۵.٣‬را ﻧ ﺎه ﮐﻨﯿﺪ‪ ،(.‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺿﺮب ﺑﺮداری ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪(١۵.٣‬‬ ‫‪a × b = (ab sin(θ))n‬‬ ‫→‪−−→ −‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ θ‬زاوﯾﻪ ﻣﯿﺎن ‪ OA‬و ‪ OB‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ ﺿﺮب ﺑﺮداری ﯾ‬ ‫از ﻣﻬﻤﺘﺮﯾﻦ ﺧﻮاص ﺿﺮب ﺑﺮداری ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻣﻮارد زﯾﺮ اﺷﺎره ﮐﺮد‪.‬‬ ‫• ﺿﺮب ﺑﺮداری ﻫﺮ ﺑﺮدار در ﺧﻮدش ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‬ ‫)‪(١۶.٣‬‬ ‫‪a×a=0‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری اﺳﺖ )ﺷ ﻞ ‪.(١.۴‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ٨.٣‬ﺿﺮب ﺑﺮداری ‪a × b‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :۴.٣‬ﺿﺮب ﺑﺮداری دو ﺑﺮدار‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :۵.٣‬در راﺳﺖ دﺳﺘ ‪ ،‬اﻧ ﺸﺖ اﺷﺎره دﺳﺖ راﺳﺖ در ﺳﻤﺖ ﺑﺮدار اول و ﮐﻒ دﺳﺖ راﺳﺖ در ﺳﻤﺖ ﺑﺮدار‬ ‫دوم ﻗﺮار دارﻧﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت اﻧ ﺸﺖ ﺷﺼﺖ ﺟﻬﺖ ﺑﺮدار ﺳﻮم را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪ .‬اﻣﺎ در ﭼﺐ دﺳﺘ ﭼﻨﯿﻦ ﻗﻮاﻋﺪ‬ ‫ﺑﺮای دﺳﺖ ﭼﭗ ﺑ ﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫• اﮔﺮ دو ﺑﺮدار ﻣﻮازی ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺿﺮب ﺑﺮداری آﻧﻬﺎ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪،‬‬ ‫‪a × b = 0 → a∥b‬‬ ‫)‪(١٧.٣‬‬ ‫• اﮔﺮ }‪ {i, j, k‬ﭘﺎﯾﻪ ﻫﺎی اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫)‪(١٨.٣‬‬ ‫‪i×i=j×j =k×k =0‬‬ ‫‪j×k =i‬‬ ‫‪k×i=j‬‬ ‫‪i×j =k‬‬ ‫• اﮔﺮ ‪ a1 = λ1 i + µ1 j + ν1 k‬و ‪ a2 = λ2 i + µ2 j + ν2 k‬ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪،‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(١٩.٣‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪a1 × a2 = λ1 µ1 ν1‬‬ ‫‪λ2 µ2 ν2‬‬ ‫‪١۵‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ٩.٣‬ﺿﺮب ﻫﺎی ﺳﻪﮔﺎﻧﻪ‬ ‫ﺟﺪول ‪ :٣.٣‬ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﺟﺒﺮی ﺑﺮای ﺿﺮب ﺑﺮداری‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﭘﺎدﺟﺎﺑﺠﺎﯾ‬ ‫‪a × b = −b × a‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫‪a × (b + c) = a × b + a × c‬‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮی ﺑﺎ ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫)‪(λa) × b = λ(a × b‬‬ ‫در اﯾﻦ راﺑﻄﻪ دﺗﺮﻣﯿﻨﺎن ﺑﺎ ﺳﻄﺮ اول ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ دﯾ ﺮ ﺧﻮاص ﺿﺮب ﺑﺮداری را ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ در‬ ‫ﺟﺪول ‪ ٣.٣‬دﻧﺒﺎل ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﻧ ﺘﻪ‪ :‬ﭼﻮن ﺿﺮب ﺑﺮداری ﺧﺎﺻﯿﺖ ﭘﺎدﺟﺎﺑﺠﺎﯾ دارد ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻋﺒﺎرات در ﺿﺮب ﺑﺮداری ﺑﺎﯾﺴﺘ ﻫﻤﻮاره ﺣﻔﻆ‬ ‫ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺿﺮب ﺑﺮداری ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺷﺮﮐﺖ ﭘﺬﯾﺮی ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬اﮔﺮ ‪ a = 2i − j + 2k‬و ‪ b = −i − 3k‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار واﺣﺪ ﮐﻪ ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﻫﺮدو اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎﺳﺖ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺿﺮب ﻫﺎی ﺳﻪﮔﺎﻧﻪ‬ ‫‪٩.٣‬‬ ‫ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﯾ‬ ‫ﻋﻤﻠ ﺮ ﺟﺪﯾﺪ ﻧﯿﺴﺖ در واﻗﻊ ﺑﺮآﻣﺪی ﺳﺎده از ﻋﻤﻠﯿﺎت دﯾ ﺮ اﺳﺖ‪ .‬دو ﻧﻮع ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ وﺟﻮد‬ ‫دارد‪ ،‬ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ اﺳ ﺎﻟﺮ و ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮداری از اﯾﻦ ﺟﻤﻠﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪١.٩.٣‬‬ ‫ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗ ﺑﻪ ﺷ ﻞ )‪ a.(b × c‬را ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ اﺳ ﺎﻟﺮ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ زﯾﺮا ﻣﻘﺪار آن ﯾ‬ ‫ﻋﺪد اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺧﻮاص ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫• ﺟﺎﯾ ﺸﺖ ﻫﺎی دوره ای از ﺑﺮدارﻫﺎی ‪ b ،a‬و ‪ c‬در ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ اﺳ ﺎﻟﺮ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﯾ ﺴﺎﻧ را ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫)‪(٢٠.٣‬‬ ‫)‪a.(b × c) = c.(a × b) = b.(c × a‬‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮاﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﻫﺎی دﯾ ﺮ ﻧﯿﺰ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪،‬‬ ‫)‪(٢١.٣‬‬ ‫‪a.(b × c) = (a × b).c‬‬ ‫‪١۶‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ٩.٣‬ﺿﺮب ﻫﺎی ﺳﻪﮔﺎﻧﻪ‬ ‫اﯾﻦ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨﺎﺳﺖ ﮐﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ﺿﺮب اﺳ ﺎﻟﺮ و ﺿﺮب ﺑﺮداری ﻣﻘﺪار ﻧﻬﺎﯾ را ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻧﻤ دﻫﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻠﺖ اﯾﻦ‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺗﻘﺎرﻧ ‪ ،‬ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻧﻤﺎد ]‪ [a, b, c‬ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ درارای ﺧﻮاص زﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫• ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ‪ [a, b, c] = 0‬اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﺑﺮدارﻫﺎی ‪ b ،a‬و ‪ c‬داﺧﻞ ﯾ‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ اﮔﺮ ﯾ‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ )ﻫﻢ ﺻﻔﺤﻪ(‪.‬‬ ‫از ﺑﺮدارﻫﺎ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ اﮔﺮ دو ﺗﺎ از ﺑﺮدارﻫﺎ ﯾ ﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ اﯾﻦ ﺿﺮب ﺑﺎزﻫﻢ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫• اﮔﺮ ‪ [a, b, c] > 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ }‪ {a, b, c‬راﺳﺖ دﺳﺖ و اﮔﺮ ‪ [a, b, c] < 0‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ }‪{a, b, c‬‬ ‫ﭼﭗ دﺳﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫• اﮔﺮ ‪ a2 = λ2 i + µ2 j + µ2 k ،a1 = λ1 i + µ1 j + µ1 k‬و ‪ a3 = λ3 i + µ3 j + µ3 k‬ﺑﺎﺷﻨﺪ در اﯾﻦ‬ ‫ﺻﻮرت‪،‬‬ ‫‪λ1 µ1 ν1‬‬ ‫‪[a, b, c] = λ2 µ2 ν2‬‬ ‫)‪(٢٢.٣‬‬ ‫‪λ3 µ3 ν3‬‬ ‫‪٢.٩.٣‬‬ ‫ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮداری‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗ ﺑﻪ ﺷ ﻞ )‪ a × (b × c‬را ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮداری ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ زﯾﺮا ﻣﻘﺪار آن ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺧﻮاص ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮداری‬ ‫ﭼﻮن ‪ b × c‬ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﻫﺮ دو ﺑﺮدار ‪ b‬و ‪ c‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻟﺬا ﺑﺮدار ﺣﺎﺻﻞ از )‪ a × (b × c‬در ﺻﻔﺤﻪ ﺣﺎﺻﻞ از دو ﺑﺮدار ‪ b‬و‬ ‫‪ c‬ﻗﺮار ﻣ ﮔﯿﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣ ﺗﻮان آن را ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ λb + µc‬ﺑﺴﻂ داد‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﯿﻘﺘﺮ ﻣ ﺗﻮان ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮداری‬ ‫را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺴﻂ داد‪.‬‬ ‫)‪(٢٣.٣‬‬ ‫‪a × (b × c) = (a.c) − (a.b)c‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻠﺖ اﯾﻨ ﻪ ﺿﺮب ﺑﺮداری ﺧﺎﺻﯿﺖ ﭘﺎدﺟﺎﺑﺠﺎﯾ و ﻧﯿﺰ ﺷﺮﮐﺖ ﻧﺎﭘﺬﯾﺮی را داراﺳﺖ‪ ،‬ﻟﺬا ﻋﺎﻗﻼﻧﻪ ﺗﺮﯾﻦ راه ﻣﻤ ﻦ اﯾﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﺮم ﺑﺎﻻ را ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﺷ ﻞ ﺑ ﺎر ﮔﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫اﺛﺒﺎت‪ :‬ﺑﺮای اﺛﺒﺎت راﺑﻄﻪ ﺑﺎﻻ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﻧﻤﺎد ﻟﻮی‪-‬ﭼﯿﻮﯾﺘﺎ ‪ ϵijk‬را ﻣﻌﺮﻓ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﻧﻤﺎد دارای ﺧﻮاص زﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫• اﯾﻦ ﻧﻤﺎد ﮐﺎﻣﻼ ﭘﺎد ﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻪ اﮔﺮ )‪ (i, j, k‬ﺟﺎﯾ ﺸﺘ زوج از )‪ (1, 2, 3‬ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت‬ ‫ﻣﻘﺪار ‪ ١‬و ﻧﯿﺰ اﮔﺮ ﺟﺎﯾ ﺸﺖ ﻓﺮدی ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘﺪار آن ‪ −1‬اﺳﺖ و در ﻏﯿﺮ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣﻘﺪار آن ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‬ ‫)ﺷ ﻞ ‪.(۶.٣‬‬ ‫)‪(٢۴.٣‬‬ ‫‪ϵ312 = ϵ231 = ϵ123 = 1 ϵ321 = −ϵ312 = −ϵ123 = −1 ϵ112 = ϵ221 = 0‬‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ‬ ‫‪١٧‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫‪ ٩.٣‬ﺿﺮب ﻫﺎی ﺳﻪﮔﺎﻧﻪ‬ ‫•‬ ‫)‪(٢۵.٣‬‬ ‫‪ϵijk ϵimn‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪ϵijk ϵimn‬‬ ‫‪i=1,2,3‬‬ ‫در راﺑﻄﻪ ﺑﺎﻻ اﻧﺪﯾﺲ ﻫﺎ ﺷﺒﯿﻪ ﺑﻪ ﻫﻢ در ﺑﺎﻻ و ﭘﺎﯾﯿﻦ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی ﺟﻤﻊ روی آن اﻧﺪﯾﺲ اﺳﺖ )ﻗﺎﻋﺪه ﺟﻤﻊ اﻧﯿﺸﺘﯿﻦ(‪.‬‬ ‫)‪(٢۶.٣‬‬ ‫‪ϵijk ϵimn = δjm δkn − δjn δkm‬‬ ‫)‪(٢٧.٣‬‬ ‫‪ϵjmn ϵimn = 2δji‬‬ ‫)‪(٢٨.٣‬‬ ‫‪ϵijk ϵijk = 6‬‬ ‫در راﺑﻄﻪ ﺑﺎﻻ ‪ δij‬دﻟﺘﺎی ﮐﺮوﻧ ﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪ زﯾﺮ رواﺑﻂ ﺑﺎﻻ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪δin‬‬ ‫)‪(٢٩.٣‬‬ ‫‪δim‬‬ ‫‪δil‬‬ ‫‪ϵijk ϵlmn = δjl δjm δjn‬‬ ‫‪δkl δkm δkn‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :۶.٣‬ﺟﺎﯾ ﺸﺖ ﻫﺎی زوج )زرد( و ﺟﺎﯾ ﺸﺖ ﻫﺎی ﻓﺮد )ﻗﺮﻣﺰ(‬ ‫اﮐﻨﻮن ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از وﯾﮋﮔ ﻫﺎی اﺷﺎره ﺷﺪه ﺑﺮای ﻧﻤﺎد ﻟﻮی‪-‬ﭼﯿﻮﯾﺘﺎ‪ ،‬دﺗﺮﻣﯿﻨﺎن ﯾ‬ ‫] ‪ A = [aij‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪.‬‬ ‫)‪(٣٠.٣‬‬ ‫‪ϵijk a1i a2j a3k‬‬ ‫∑ ‪3‬‬ ‫∑ ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∑‬ ‫= )‪det(A‬‬ ‫‪i=1 j=1 k=1‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺿﺮب ﺑﺮداری را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫∑ ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪c = a × b ⇒ ci‬‬ ‫‪ϵijk aj bk‬‬ ‫)‪(٣١.٣‬‬ ‫‪j=1 k=1‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻣﺮﺑﻌ ‪ 3 × 3‬ﺑﺎ‬ ‫‪ ١٠.٣‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮداری از ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫ﮐﻪ ‪ ci‬ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮدار ‪ c‬اﺳﺖ‪ .‬اﮐﻨﻮن راﺑﻄﻪ ‪ ٢٣.٣‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺛﺒﺎت ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪ϵijk ϵknm aj bn cm (٣٢.٣‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫= ‪ϵijk aj (b × c)k‬‬ ‫‪j,k=1 n,m=1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪d = a × (b × c) ⇒ di‬‬ ‫‪j,k=1‬‬ ‫‪= ϵijk ϵknm aj bn cm = (δin δjm − δim δjn )aj bn cm = aj cj bi − aj bj ci‬‬ ‫‪⇒ d = (a.c)b − (a.b)c‬‬ ‫)‪(٣٣.٣‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﻋﺒﺎرت )‪ (a × b).(c × d‬را ﺑﺴﻂ دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮداری از ﯾ‬ ‫‪١٠.٣‬‬ ‫اﻏﻠﺐ ﻣﻘﺪار ﯾ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ اﺳ ﺎﻟﺮ ﻣﺎﻧﻨﺪ زﻣﺎن اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﺣﺮﮐﺖ ﯾ‬ ‫ذره در ﻓﻀﺎ‬ ‫ﺑﺎ ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ‪ a‬داده ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺎزﻣﺎن در ﺣﺎل ﺗﻐﯿﯿﺮ اﺳﺖ ﯾﻌﻨ )‪ a = a(t‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت اﯾﻦ ﺑﺮدار ﺗﺎﺑﻌ از ﻣﺘﻐﯿﯿﺮ‬ ‫اﺳ ﺎﻟﺮ زﻣﺎن اﺳﺖ‪ .‬ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ واﺑﺴﺘ‬ ‫اﻟ ﺘﺮﯾ‬ ‫زﻣﺎﻧ ﯾ‬ ‫ﺑﺮدار ﻧﯿﺎزﻣﻨﺪ ﺣﺮﮐﺖ ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺪان‬ ‫و ﻣﻐﻨﺎﻃﯿﺴ در اﯾﻦ ﻣ ﺎن ﺛﺎﺑﺖ از ﻓﻀﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ﺑﺎ زﻣﺎن ﺗﻐﯿﯿﺮ ﮐﻨﺪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪای ﮐﻪ )‪E = E(t‬‬ ‫و )‪ B = B(t‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ﺗﻨﻬﺎ زﻣﺎن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻐﯿﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ ﻧﯿﺴﺖ ﺑﻠ ﻪ ﻣ ﺗﻮان ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎی اﺳ ﺎﻟﺮ دﯾ ﺮ‬ ‫را ﻧﯿﺰ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ و ﺑﺮدار را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ آن ﭘﺎراﻣﺘﺮﺑﻨﺪی ﮐﺮد‪ .‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﮐﻪ در ﺷ ﻞ ‪ ٧.٣‬ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬دارای ﻧﻘﺎﻃ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ α‬ﭘﺎراﻣﺘﺮﺑﻨﺪی ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ از اﯾﻦ ﻣﻨﺤﻨ دارای ﺧﻂ ﻣﻤﺎﺳ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺟﻬﺘﺶ ﺗﻮﺳﻂ ﺑﺮدار‬ ‫واﺣﺪ ‪ t‬ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺑﺮدار ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس واﺣﺪ ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد و واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ‪ α‬اﺳﺖ‪ ،‬ﯾﻌﻨ )‪ . t = t(α‬در‬ ‫اﯾﻦ ﻣﻮرد ﻣﺘﻐﯿﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ‪ ،‬اﺳ ﺎﻟﺮ ‪ α‬و ﻣﺘﻐﯿﯿﺮ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﺮدار ‪ t‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪١.١٠.٣‬‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ اﺳ ﺎﻟﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﯿﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﮐﺜﺮ ﻋﻤﻠ ﺮﻫﺎی ﻣﻬﻢ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮداری واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺮدار ‪ v‬ﺗﺎﺑﻌ از ﮐﻤﯿﺖ اﺳ ﺎﻟﺮ ‪ α‬ﺑﺎﺷﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮداری )‪ v(α‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ‬ ‫‪ α‬ﺑﺎ راﺑﻄﻪ ﺣﺪی زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫) )‪( v(α + ∆α) − v(α‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫)‪(٣۴.٣‬‬ ‫‪dα ∆α→0‬‬ ‫‪∆α‬‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣ ﺳﺪ اﯾﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﯾ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﯾ‬ ‫ﺗﻔﺎوت ﻋﻤﺪه وﺟﻮد دارد‪ .‬زﻣﺎﻧ ﮐﻪ ‪ α‬ﺑﻪ‬ ‫‪ α+∆α‬ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﮐﻨﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮداری ‪ v‬از )‪ v(α‬ﺑﻪ )‪ v(α+∆α‬ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣ ﮐﻨﺪ ﯾﻌﻨ اﺧﺘﻼﻓ ﻧﻈﯿﺮ )‪v(α+∆α)−v(α‬‬ ‫‪ .‬ﻧ ﺘﻪ ای ﮐﻪ وﺟﻮد دارﯾﺪ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﺖ اﺧﺘﻼف ﯾ‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺮداری اﺳﺖ ﮐﻪ ﮐﻤﯿﺘ ﺑﺮداری ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﺣﺘ ﺑﻌﺪ‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪ ١١.٣‬ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس و ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫ﺧﻤﯿﻨﻪ‬ ‫ﺟﺪول ‪ :۴.٣‬ﻗﻮاﻋﺪ ﻣﺸﺘﻖ ﺑﺮای ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮداری ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ u(α‬و )‪ v(α‬ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮداری از ﻣﺘﻐﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ ‪ α‬و ﻧﯿﺰ‬ ‫)‪ λ(α‬ﯾ‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ u̇ = dα‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ اﺳ ﺎﻟﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت و ﺑﺎ ﻓﺮض ‪u‬‬ ‫از ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺑﺮ ﯾ‬ ‫‪d‬‬ ‫̇‪(u ± v) = u̇ ± v‬‬ ‫‪dα‬‬ ‫‪d‬‬ ‫̇‪(λu) = λ̇u + λu‬‬ ‫‪dα‬‬ ‫‪d‬‬ ‫̇‪(u.v) = u̇.v + u.v‬‬ ‫‪dα‬‬ ‫‪d‬‬ ‫̇‪(u × v) = u̇ × v + u × v‬‬ ‫‪dα‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪ dα‬ﻧﯿﺰ ﮐﻤﯿﺘ ﺑﺮداری اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓ‬ ‫اﺳ ﺎﻟﺮ ‪ ∆α‬ﻫﻤﭽﻨﺎن ﺑﺮدار اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﮐﻤﯿﺖ‬ ‫‪dv‬‬ ‫ﭼﻮن‬ ‫‪dα‬‬ ‫واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ‪ α‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺧﻮد ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮداری از ﻣﺘﻐﯿﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ ‪ α‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻗﻮاﻋﺪ ﺣﺎﮐﻢ ﺑﺮ اﯾﻦ ﻣﺸﺘﻖ ﻧﯿﺰ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ‬ ‫ﻗﻮاﻋﺪ ﻣﺸﺘﻖ ﺑﺮای ﺗﻮاﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ اﺳﺖ )ﺑﻪ ﺟﺪول ‪ ۴.٣‬رﺟﻮع ﺷﻮد‪.(.‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٧.٣‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس واﺣﺪ در ﻧﻘﻄﻪ ﻓﺮﺿ ‪ A‬روی ﺧﻤﯿﻨﻪ ‪. C‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬ ‫اﮔﺮ ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ﯾ‬ ‫‪d2 r‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪ dt‬و ‪ dt2‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫ذره ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ داده ﺷﻮد در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮداری‬ ‫‪r = (3t3 − 5t)i + (2t + 1)j + t3 k‬‬ ‫)‪(٣۵.٣‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬ ‫اﮔﺮ ﺑﺮدار )‪ a = a(t‬ﻧﯿﺰ و ‪ b‬ﺑﺮدار ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﺷﺪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫]‬ ‫[‪d‬‬ ‫)‪a.(ȧ × b) = a.(ä × b‬‬ ‫)‪(٣۶.٣‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪١١.٣‬‬ ‫ﺧﻤﯿﻨﻪ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس و ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻪ ﯾ‬ ‫در ﻓﺼﻞ آﯾﻨﺪه ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ذره در ﺣﺎل ﺣﺮﮐﺖ در ﻓﻀﺎی ﺳﻪ ﺑﻌﺪی را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد‪ .‬ﺑﺮای ﺗﻔﺴﯿﺮ‬ ‫ﭼﻨﯿﻦ ﺗﻌﺎرﯾﻔ ﻧﯿﺎزﻣﻨﺪ اﻃﻼﻋﺎت در ﻣﻮرد ﻫﻨﺪﺳ ﻣﺸﺘﻘ از ﺧﻤﯿﻨﻪ )ﻣﺴﯿﺮ ﻣﻨﺤﻨ ( ﻫﺴﺘﯿﻢ‪ ،‬از ﺟﻤﻠﻪ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس و‬ ‫ﺑﺮدار ﻧﺮﻣﺎل )ﺑﺮدار ﻋﻤﻮد(‪.‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪ ١١.٣‬ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس و ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻪ ﯾ‬ ‫‪١.١١.٣‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫ﺧﻤﯿﻨﻪ‬ ‫ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس واﺣﺪ‬ ‫اﮔﺮ ﺑﺎر دﯾ ﺮ ﻣﺴﯿﺮ ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬در ﺷ ﻞ ‪ ٧.٣‬را ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮی )‪ r = r(α‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‬ ‫)ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ اﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ در ﻓﻀﺎی ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﻧﯿﺰ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد وﻟ در اﯾﻦ ﺟﺎ در دو ﺑﻌﺪ ﮐﺎر ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪(.‬‬ ‫و اﺟﺎزه ﻧﻘﻄﻪ ﻓﺮﺿ ‪ A‬روی اﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮ را ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ α‬و ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺰدﯾ‬ ‫→‪−−‬‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ وﺗﺮ ‪ AA′‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪(٣٧.٣‬‬ ‫ﺑﻪ آن ﯾﻌﻨ ‪ A′‬را ﻣﺘﻘﺎﺑﻼ ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪α + ∆α‬‬ ‫)‪∆r = r(α + ∆α) − r(α‬‬ ‫→‪−−‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ |‪ ∆r/|∆r‬ﺑﺮداری واﺣﺪ ﻣﻮازی ﺑﺎ وﺗﺮ ‪ AA′‬اﺳﺖ‪ .‬زﻣﺎﻧ ﮐﻪ ‪ A → A′‬ﻣﯿﻞ ﮐﻨﺪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس‬ ‫واﺣﺪ ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫)‪(٣٨.٣‬‬ ‫‪∆r‬‬ ‫‪t(α) = lim‬‬ ‫|‪∆α→0 |∆r‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪ dα‬واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ‪ t‬ﺑﻪ ﺗﻮﺳﻂ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﻪ ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪∆r‬‬ ‫|‪|∆r‬‬ ‫‪∆r‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪× lim‬‬ ‫‪= t(α) × | lim‬‬ ‫| |)‪| = t(α‬‬ ‫)‪(٣٩.٣‬‬ ‫‪∆α→0 ∆α‬‬ ‫‪dα ∆α→0 |∆r| ∆α→0 ∆α‬‬ ‫‪dα‬‬ ‫ﺑﻪ ﺑﯿﺎﻧ ﺳﺎده ﺗﺮ دارﯾﻢ‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dα‬‬ ‫‪t(α) = dr‬‬ ‫| ‪| dα‬‬ ‫)‪(۴٠.٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷ ﻞ ‪ ٨.٣‬ﻣﺴﯿﺮ ﻧﯿﻢ داﯾﺮه در ﺻﻔﺤﻪ دو ﺑﻌﺪی ‪ x − y‬ﺑﺎ ﻣﺨﺘﺼﺎت ))‪،x = x(θ) = a(θ − sin(θ‬‬ ‫))‪ y = y(θ) = a(1 − cos(θ‬و ‪ z = z(θ) = 0‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ θ‬ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﻨﺪی ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﺑﺮ‬ ‫اﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ .‬ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ 0 < θ < 2π‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺟﻮاب‪ :‬اﺑﺘﺪا ﻻزم اﺳﺖ ﺑﺮدار ﻣ ﺎن را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫)‪(۴١.٣‬‬ ‫‪r(θ) = x(θ)i + y(θ)j + z(θ)k = a(θ − sin(θ))i + a(1 − cos(θ))j‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﺑﻪ راﺣﺘ ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس واﺣﺪ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﻣﺜﺎل را اداﻣﻪ دﻫﯿﻢ و ﻋﺒﺎرت ﻧﻬﺎﯾ ﺑﺮای ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس واﺣﺪ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫از ﺳﻮی دﯾ ﺮ اﮔﺮ ﻣﺴﯿﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﺣﺮﮐﺖ ذره را ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻧﻈﯿﺮ ‪ s‬ﭘﺎراﻣﺘﺮﺑﻨﺪی ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪای ﮐﻪ‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪∆r‬‬ ‫‪| | = | lim‬‬ ‫‪|=1‬‬ ‫)‪(۴٢.٣‬‬ ‫‪∆s→0 ∆s‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﺑﻪ ﺷ ﻞ ﺳﺎده زﯾﺮ ﺑﺎز ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫)‪(۴٣.٣‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫ﮐﻪ ﺷ ﻞ ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮی ﺑﺮای ﻣﻘﺎﺻﺪ ﻧﻈﺮی اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪ ١١.٣‬ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس و ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫ﺧﻤﯿﻨﻪ‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٨.٣‬ﻣﺴﯿﺮ ﺣﺮﮐﺖ ذرهای در ﻓﻀﺎی دو ﺑﻌﺪی‬ ‫‪٢.١١.٣‬‬ ‫ﺑﺮدار ﻧﺮﻣﺎل واﺣﺪ‬ ‫اﺟﺎزه دﻫﯿﺪ )‪ t(s‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس واﺣﺪ ﺑﺮ ﺧﻤﯿﻨﻪ ‪ C‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ s‬ﻓﺎﺻﻠﻪ در ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨ را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﮔﺮ ‪t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ ds‬ﻧﯿﺰ ﺗﺎﺑﻌ ﺑﺮداری دﯾ ﺮ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ s‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮداری از ﻣﺘﻐﯿﯿﺮ اﺳ ﺎﻟﺮ ‪ s‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﭼﻮن ‪ t‬ﺑﺮدار واﺣﺪ اﺳﺖ‪ ،‬ﯾﻌﻨ ‪ t(s).t(s) = 1‬ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﺸﺘﻖ از ﺷﺮط واﺣﺪ ﺑﻮدن ﺑﻪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ رﺳﯿﺪ‪.‬‬ ‫) ‪( dt‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪(t(s).t(s) = 1) ⇒ 0 = (t.t) = .t + t. = 2‬‬ ‫‪.t‬‬ ‫)‪(۴۴.٣‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪ ds‬را ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪.‬‬ ‫‪ ds‬ﻫﻤﻮاره ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ‪ t‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻤﻮل ﻣ ﺗﻮان‬ ‫اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪= κn‬‬ ‫)‪(۴۵.٣‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫ﮐﻪ |‪ κ = |dt/ds‬ﺧﻤﺶ اﺳ ﺎﻟﺮ و ﻧﯿﺰ ‪ n‬ﺑﺮدار ﻧﺮﻣﺎل واﺣﺪ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﻤﻮاره ﺑﺮ ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ‪ t‬ﻋﻤﻮد اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ دو‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ ﺗﻔﺴﯿﺮ ﻫﻨﺪﺳ زﯾﺒﺎﯾ دارﻧﺪ‪ .‬ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬را روی ﻣﻨﺤﻨ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪ s‬از ﻧﻘﻄﻪ ‪A‬‬ ‫اﻧﺪازه ﮔﯿﺮی ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﺑﺴﻂ ﺗﯿﻠﻮر ﺷ ﻞ ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬ﻧﺰدﯾ‬ ‫)‪(۴۶.٣‬‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻘﺮﯾﺒ ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ داده ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫] ‪[ dr‬‬ ‫] ‪1 [ d2 r‬‬ ‫‪r(s) = r(0) + s‬‬ ‫‪+ s2‬‬ ‫) ‪+ O(s3‬‬ ‫‪ds s=0 2‬‬ ‫‪ds2 s=0‬‬ ‫ﻧ ﺘﻪ‪ :‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ ﺑﺴﻂ ﺗﯿﻠﻮر ﺗﺎﺑﻊ )‪ f (x‬ﺣﻮل ﻧﻘﻄﻪ ‪ x = x0‬ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ داده ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪f (n) (x‬‬ ‫‪|x=x0 (x − x0 )n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫∞∑‬ ‫‪n=0‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫ﮐﻪ )‪ f (n‬ﻣﺸﺘﻖ ‪ n‬ام از ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤﭽﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ ۴۶.٣‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪(1‬‬ ‫)‪(۴٧.٣‬‬ ‫) ‪κs2 n + O(s3‬‬ ‫‪r(s) = a + st +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪ ١١.٣‬ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﻤﺎس و ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪٣‬‬ ‫ﺧﻤﯿﻨﻪ‬ ‫ﮐﻪ ‪ a‬ﺑﺮدار ﻣ ﺎن از ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬و ‪ t‬و ‪ n‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه در ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ در ﻧﺰدﯾ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬در‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ﮔﺬارﻧﺪه از ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﻣﻮازی ﺑﺎ ﺑﺮدارﻫﺎی ‪ t‬و ‪ n‬ﻗﺮار دارد‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻦ از ﺷ ﻞ راﺑﻄﻪ ‪ ۴٧.٣‬ﻣ ﺗﻮان دﯾﺪ ﮐﻪ ﻣﻨﺤﻨ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﺳﻬﻤﻮی اﺳﺖ‪ .‬در ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﯾ ﺴﺎن‪ ،‬ﻣ ﺗﻮان ﻣﻌﺪﻟﻪ زﯾﺮ را ﻧﻈﯿﺮ راﺑﻄﻪ ‪۴٧.٣‬‬ ‫‪ C‬ﺑﺎ ﺗﻘﺮﯾﺐ ﺧﻮﺑ ﻧﺰدﯾ‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫) ‪r(s) = a + κ−1 (sin κs)t + κ−1 (1 − cos κs)n + O(s3‬‬ ‫)‪(۴٨.٣‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻧﺰدﯾ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ داﯾﺮهای ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ κ−1‬اﺳﺖ و ‪ t‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﺑﺮ اﯾﻦ داﯾﺮه و ﺑﺮدار ‪ n‬ﺑﻪ ﺳﻤﺖ‬ ‫ﻣﺮﮐﺰ اﯾﻦ داﯾﺮه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺷﻌﺎع ‪ κ−1‬را ﺷﻌﺎع ﺧﻤﺶ ﻣﻨﺤﻨ ‪ C‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﻣ ﻧﺎﻣﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ در ﺣﺪ ‪ s‬ﮐﻮﭼ‬ ‫دو راﺑﻄﻪ ‪ ۴٧.٣‬و ‪ ۴٨.٣‬ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻣﻌﺎدل ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :‬ﺑﺮدار ﻧﺮﻣﺎل واﺣﺪ و ﺧﻤﺶ ﻧﯿﻢ داﯾﺮه ﻣﺜﺎل ﻗﺒﻞ )ﺷ ﻞ ‪ (٨.٣‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ :‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﺑﻪ اﯾﻦ ﻧﯿﻢ داﯾﺮه ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪dr dr‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t(θ) = /| | = (sin θ)i + (cos θ)j‬‬ ‫)‪(۴٩.٣‬‬ ‫‪dθ dθ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻋﺪه زﻧﺠﯿﺮهای ﻣﺸﺘﻖ دارﯾﻢ‬ ‫)‪(۵٠.٣‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt/dθ‬‬ ‫‪dt/dθ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪ds/dθ‬‬ ‫|‪|dr/dθ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(cos 2 θ)i − 12 sin 12 θj‬‬ ‫( ‪1 −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪1‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫=‬ ‫‪(4a‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪θ‬‬ ‫‪(cos‬‬ ‫‪θ)i‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(sin‬‬ ‫‪θ)j‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2a sin 12 θ‬‬ ‫در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺮدار ﻧﺮﻣﺎل ﯾ ﻪ و ﻧﯿﺰ ﺧﻤﺶ ﻧﯿﻢ داﯾﺮه‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪κ(θ) = (4a sin θ)−1‬‬ ‫)‪(۵١.٣‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n(θ) = (cos θ)i − (sin θ)j‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺷﻌﺎع اﯾﻦ ﺧﻤﺶ ﻧﯿﺰ ‪ 4a sin 12 θ‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت‪ :‬ﺷﻤﺎره ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎی ‪ ١.١٨ ،١.١۶،١.١٧ ،١.١۵ ،١.١۴ ،١.١١ ،١.١‬از ﮐﺘﺎب ﺻﻔﺤﺎت ‪ ٢٣ ،٢٢‬و ‪ ٢۴‬را‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪٠‬درﺳﻨﺎﻣﻪ ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﮐﻼﺳﯿ‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫ﻓﺼﻞ‬ ‫‪۴‬‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ‪ ،‬ﺷﺘﺎب و ﺳﺮﻋﺖ زاوﯾﻪای اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫ﺳﯿﻨﻤﺎﺗﯿ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺣﺮﮐﺖ اﺟﺴﺎم ﺑﺪون ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﯿﺮوﻫﺎی ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺣﺮﮐﺖ ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬در واﻗﻊ ﺳﻮال در‬ ‫ﻣﻮرد ﻋﻠﺖ ﺣﺮﮐﺖ ﺟﺴﻢ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫ﺳﯿﻨﻤﺎﺗﯿ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﺎ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﮐﭙﻠﺮ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ زﯾﺮا ﻓﻘﻂ ﺧﻮاص ﻣﺪارﻫﺎی ﻣﺎﻫﻮاره ﻫﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ ﺑﯿﻀ ﺑﻮدن آﻧﻬﺎ را ﺑﺪون در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﯿﺮوی‬ ‫ﮐﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬را ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟ ﮐﻪ ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺑﺮای ﮔﺮاﻧﺶ دﯾﻨﺎﻣﯿ‬ ‫ﻧﯿﺮوی ﮔﺮاﻧﺶ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭼﺮاﯾ ﺣﺮﮐﺖ ﺑﯿﻀ ﻣﺎﻫﻮاره ﻫﺎ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺳﯿﻨﻤﺎﺗﯿ‬ ‫از ﺣﺮﮐﺘﻬﺎی ﻣﻤ ﻦ را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣ ﺳﺎزد‪ .‬ﺳﻨ ﺒﻨﺎی ﭘﺎﯾﻪای اﺟﺴﺎم در ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫را ﺷﺎﻣﻞ ﻣ ﺷﻮد زﯾﺮا‬ ‫ﺑﯿﺸﺘﺮ ﯾ‬ ‫ﺗﻮﺻﯿﻒ ﻫﻨﺪﺳ‬ ‫را ذره ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ ،‬ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ ﯾ‬ ‫ﺟﺴﻢ‬ ‫ذره در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .(.‬ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺳﯿﻨﻤﺎﺗﯿ‬ ‫ﻣﻬﻢ‬ ‫ﻣﻨﺰوی ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ از ﻓﻀﺎ را اﺷﻐﺎل ﻣ ﮐﻨﻨﺪ )ﯾﻌﻨ ﯾ‬ ‫در ﺣﺮﮐﺖ ﯾ‬ ‫ذره‪ ،‬ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب ذره ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﺳﻬﻮﻟﺖ اﺑﺘﺪا از ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺧﻂ در ﯾ‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺷﺮوع‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد زﯾﺮا ﭼﻨﯿﻦ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی اﺳ ﺎﻟﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﺳﻪ ﺑﻌﺪ ﮐﻪ در آن ﮐﻤﯿﺘﻬﺎی ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب ﺑﺮداری‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داد‪.‬‬ ‫اﯾﺪهال ﺳﺎزی ﻣﻬﻢ دﯾ ﺮی ;ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ ﻓﺮض ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ذرات ﻣﺘﺼﻞ ﺷﺪه ﺑﻪ ﻫﻢ‬ ‫در ﯾ‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮب ﺻﻠﺐ ﻫﺴﺖ‪ .‬ﮐﻤﯿﺖ ﺳﯿﻨﻤﺎﺗﯿ‬ ‫در ﺣﺮﮐﺖ ﯾ‬ ‫ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ اﻧﺪازه ﺣﺮﮐﺖ زاوﯾﻪای آن اﺳﺖ‪ .‬در‬ ‫اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺗﻨﻬﺎ ﺣﺮﮐﺎت ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ در دو ﺑﻌﺪ را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ زﯾﺮا در دو ﺑﻌﺪ ﺳﺮﻋﺖ زاوﯾﻪای ﯾ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻮرد ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﮐﻠﯿﺘﺮ در ﺑﺨﺶ ‪ ١۶‬ﮐﺘﺎب ﺑﺮرﺳ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪٢۴‬‬ ‫ﮐﻤﯿﺖ اﺳ ﺎﻟﺮ‬ ‫‪ ١.۴‬ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺨﻂ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪۴‬‬ ‫ذره‬ ‫ذره‬ ‫‪ ١.۴‬ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺨﻂ ﯾ‬ ‫ذره ‪ P‬در ﺣﺎل ﺣﺮﮐﺖ در ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ‪ x‬از ﻣﺒﺪا ‪ O‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺨﺼ از زﻣﺎن اﺳﺖ‪ ،‬را در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺳﺮﻋﺖ ﻣﺘﻮﺳﻂ ذره ‪ P‬در ﻃ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧ ‪ t1 ≤ t ≤ t2‬ﺑﻪ اﻓﺰاﯾﺶ در ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ذره ﺑﺮ زﻣﺎن ﺳﭙﺮی ﺷﺪه‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﯾﻌﻨ‬ ‫) ‪x(t2 ) − x(t1‬‬ ‫‪t2 − t1‬‬ ‫)‪(١.۴‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :١.۴‬ذره ‪ P‬در ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ و دارای ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ‪ x‬و ﺳﺮﻋﺖ ‪ v‬در زﻣﺎن ‪ t‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪:‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ذره ‪ P‬از ﻣﺒﺪا ‪ O‬در زﻣﺎن ‪ t‬ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ ‪ x = t2 − 6t‬ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺳﺮﻋﺖ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ در ﺑﺎزه زﻣﺎﻧ ‪ 1 ≤ t ≤ 3‬ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﯾ‬ ‫ذره از درﺟﻪ اﻫﻤﯿﺖ ﮐﻤﺘﺮی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﻟﺤﻈﻪای‪ ،‬ﺳﺮﻋﺖ در ﯾ‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ ﻣﺸﺨﺺ‪ ،‬ﺑﺮای‬ ‫ﻣﺎﺳﺖ‪ .‬در واﻗﻊ ﺑﺎ ﻗﺮار دادن ‪ t1 = t2‬در راﺑﻄﻪ ‪ ١.۴‬ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺳﺮﻋﺖ در ﻟﺤﻈﻪ ‪ t1‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ زﯾﺮا ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ آن‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد‪ ،‬ﺳﺮﻋﺖ ﻟﺤﻈﻪای ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺣﺪ ﺳﺮﻋﺖ ﻟﺤﻈﻪای زﻣﺎﻧ ﮐﻪ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻣﯿﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﯾﻌﻨ ‪ t2 → t1‬ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺳﺮﻋﺖ ﻟﺤﻈﻪای ) ‪ v(t1‬ذره ‪ P‬در زﻣﺎن ‪ t1‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪(٢.۴‬‬ ‫) ‪( x(t ) − x‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t2 − t1‬‬ ‫‪v(t1 ) = lim‬‬ ‫‪t2 →t1‬‬ ‫اﻣﺎ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ دﻗﯿﻘﺎ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺸﺘﻖ ‪ x‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ t‬اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه در ‪ t = t1‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣ ﺗﻮن ﺳﺮﻋﺖ را ﺑﺎ‬ ‫راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‪ :‬ﺳﺮﻋﺖ )ﻟﺤﻈﻪای( ‪ v‬ذره ‪ P‬در ﺟﻬﺖ ﻣﺜﺒﺖ ‪ x‬ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫)‪(٣.۴‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻧ ﺘﻪ‪ :‬ﺗﻨﺪی ذره ‪ P‬ﺑﻪ آﻫﻨ‬ ‫اﻓﺰاﯾﺶ ﮐﻞ ﻣﺴﺎﻓﺖ ﻃ ﺷﺪه ﮔﻔﻨﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﺑﺰرﮔ ﺳﺮﻋﺖ |‪ |v‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﺷﺘﺎب ذره ‪ P‬آﻫﻨ‬ ‫اﻓﺰاﯾﺶ ﺳﺮﻋﺖ ‪ v‬اﺳﺖ و ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‪ :‬ﺷﺘﺎب )ﻟﺤﻈﻪای( ذره در ﺟﻬﺖ ﻣﺜﺒﺖ ‪ x‬ﺑﺎ‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪d2 x‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫)‪(۴.۴‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪٢۵‬‬ ‫‪ ٢.۴‬ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻠ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪۴‬‬ ‫ذره‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ذرهای از ﻣﺒﺪا ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺑﺎ راﺑﻄﻪ ‪ x = t3 − 6t2 + 4‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺳﺮﻋﺖ و‬ ‫ﺷﺘﺎب ذره را در ﻟﺤﻈﻪ ‪ t‬ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﮐﻪ ذره دوﺑﺎر ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺳ ﻮن ﻣ رﺳﺪ‪ ،‬ﻣ ﺎن و ﺷﺘﺎب ذره در‬ ‫زﻣﺎن آﺧﺮﯾﻦ ﺳ ﻮن را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﯾ‬ ‫ذره در اﻣﺘﺪاد ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﺑﺎ ﺷﺘﺎب واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ زﻣﺎن زﯾﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪a = 12t2 − 6t + 6‬‬ ‫)‪(۵.۴‬‬ ‫در اﺑﺘﺪا در ﻧﻘﻄﻪ ‪ x = 4m‬و ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ‪ 8m/s‬در ﺟﻬﺖ ﻣﻨﻔ ‪ x‬ﺷﺮوع ﺑﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺳﺮﻋﺖ و ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ذره‬ ‫در ﻟﺤﻈﻪی ‪ t‬را ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪ ٢.۴‬ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻠ ﯾ‬ ‫زﻣﺎﻧ ﮐﻪ ﯾ‬ ‫ذره‬ ‫ذرهی ‪ P‬در دو ﯾﺎ ﺳﻪ ﺑﻌﺪ ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﻣ ﺎﻧﺶ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺑﺮدار ﺟﺎﺑﺠﺎﯾ ‪ r‬از ﻣﺒﺪا ‪ O‬ﮐﻪ ﻧﻘﻄﻪی‬ ‫ﺛﺎﺑﺘ در ﭼﺎرﭼﻮب ﻣﺮﺟﻊ ﺻﻠﺐ ‪ F‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﻮد‪ .‬ﺧﻮاه ‪ F‬ﻣﺘﺤﺮک ﯾﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ‪ r‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﭼﺎرﭼﻮب ‪ F‬ﻗﺎﺑﻞ اﻧﺪازهﮔﯿﺮی اﺳﺖ‪ .‬ﺷ ﻞ ‪ ٢.۴‬ﯾ‬ ‫ذره ‪ P‬در ﺣﺎل ﺣﺮﮐﺖ در ﻓﻀﺎی ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﺑﺎ ﺑﺮدار‬ ‫ﻣ ﺎن ‪) r‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﭼﺎرﭼﻮب ﻣﺮﺟﻊ ‪ (F‬در زﻣﺎن ‪ t‬را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﻮال‪ :‬ﭼﺎرﭼﻮپ ﻣﺮﺟﻊ ﭼﯿﺴﺖ و ﭼﺮا ﺑﻪ آن ﻧﯿﺎزﻣﻨﺪﯾﻢ؟‬ ‫ﯾ‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮپ ﻣﺮﺟﻊ ﺻﻠﺐ ﻟﺰوﻣﺎ ﯾ‬ ‫ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ اﺳﺖ ﮐﻪ ذراﺗﺶ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر اﯾﺠﺎد ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺮﺟﻊ ﺑﺮﭼﺴﺐ‬ ‫ﮔﺬاری ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻣﻌﺮوف ﺗﺮﯾﻦ ﭼﻨﯿﻦ اﺟﺴﺎﻣ زﻣﯿﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﻪ از آن ذره اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد‪ ،‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ذره ﻣﻨﻔﺮد ﺗﻨﻬﺎ ﭼﯿﺰی ﮐﻪ ﺗﻮان ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮد‬ ‫ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﻣ ﺗﻮان ﻫﻢ ﺟﻬﺖ و ﻫﻢ ﻓﺎﺻﻠﻪ را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻘﺪار ﻫﺮ ﮐﻤﯿﺖ ﺑﺮداری ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﭼﺎرﭼﻮپ ‪ F‬ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪن اﺳﺖ‪ .‬ﺧﺼﻮﺻﺎ اﮔﺮ ﻣﺎ ﺑﺮﺧ از ذرات‬ ‫ﺟﺴﻢ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺒﺪا ‪ O‬ﺑﺮﺟﺴﺐ ﮔﺬاری ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﻣﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻣ ﺎن ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ از ﻓﻀﺎ را ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮپ ‪ F‬و ﻣﺒﺪا ﻣﺨﺘﺼﺎت ‪ O‬ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﺸﺨﯿﺺ ﺑﺮدارﻫﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮپ ﻣﺮﺟﻊ زﻣﺎﻧ ﮐﻪ ﻣﺎ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت ﮐﺎرﺗﺰﯾﻦ را ﻣﻌﺮﻓ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺮاﺗﺐ‬ ‫ﺳﺎده ﺗﺮ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﯾﻦ ﻋﻤﻞ ﺑﻪ روشﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﻗﺎﺑﻞ اﺟﺮاﺳﺖ‪ .‬ﺗﺼﻮر ﮐﻨﯿﺪ ‪ F‬را ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از‬ ‫ﺳﻪ ﺻﻔﺤﻪی دوﺑﻪ دو ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺻﻠﺐ در آن ﻏﻮﻃﻪ ور ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬را ﺑﺴﻂ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﻣﺨﺘﺼﺎت ‪ x, y, z‬از‬ ‫ﻧﻘﻄﻪی ‪ P‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻧﻘﻄﻪ ‪ P‬از ﺳﻪ ﺻﻔﺤﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﮐﻨﻮن اﺟﺎزه دﻫﯿﺪ ‪ O‬ﻣﺒﺪا اﯾﻦ دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺑﺎﺷﺪ و }‪{i, j, k‬‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی ﯾ ﻪ آن ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻗﺮاردادی ﻣﺮﺟﻊ ‪ F‬ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه دﺳﺘ ﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻏﻮﻃﻪور ﺷﺪه ‪ Oxyz‬را ﺑﺎ‬ ‫ﻧﻤﺎدﮔﺬاری }‪ F{O; i, j, k‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬در ﺣﻠﺖ ﮐﻠ ‪ ،‬ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب ﯾ‬ ‫ﺑﺎ رواﺑﻂ زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫)‪(۶.۴‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪٢۶‬‬ ‫ذره ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﺎداری ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪ ٢.۴‬ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻠ ﯾ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪۴‬‬ ‫ذره‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٢.۴‬ذره ‪ P‬در ﻓﻀﺎی ﺳﻪ ﺑﻌﺪی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﭼﺎرﭼﻮپ ﻣﺮﺟﻊ ‪ F‬و ﻣﺒﺪا ‪ O‬ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ و دارای ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ‪r‬‬ ‫در زﻣﺎن ‪ t‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب اﺳ ﺎﻟﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﺑﺮای ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺨﻂ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺳﺎدهای ﺑﻪ ﮐﻤﯿﺖﻫﺎی ﺑﺮداری‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه در ﺑﺎﻻ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ اﻣ ﺎن وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﺮﻣﻮﻟﺒﻨﺪی ﺑﺮداری در ﻣﻮرد ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﺧﻂ در ﻣﺤﻮر ‪ v ،r ، x‬و ‪ a‬را ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪.‬‬ ‫‪a = ai‬‬ ‫)‪(٧.۴‬‬ ‫‪v = vi‬‬ ‫‪r = xi‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ v = dx/dt‬و ‪ a = dv/dt‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﭼﺎرﭼﻮپ }‪ F{O; i, j, k‬ﻣ ﺎن ذره ‪ P‬در زﻣﺎن ‪ t‬ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫‪r = (2t2 − 3)i + (4t + 4)j + (t3 + 3t2 )k‬‬ ‫داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ‪ :‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪ OP‬زﻣﺎﻧ ﮐﻪ ‪ t = 0‬اﺳﺖ؟ ﺳﺮﻋﺖ ذره در ‪t = 1‬؟ ﺷﺘﺎب ذره در ‪ t = 2‬؟‬ ‫ﺗﻔﺴﯿﺮ ﺑﺮدارﻫﺎی ‪ v‬و ‪a‬‬ ‫ﺑﺮدار ﺳﺮﻋﺖ ‪ v‬ﺗﻔﺴﯿﺮ ﺳﺎدهای دارد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ s‬ﻣﺴﯿﺮ ﮐﻤﺎن ﻃ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ذره ‪ P‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ از ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺘ از‬ ‫ﻣﺴﯿﺮاش اﻧﺪازه ﮔﯿﺮی ﻣ ﺷﻮد و ‪ s‬ﺑﺎ زﻣﺎن اﻓﺰاﯾﺶ ﻣ ﯾﺎﺑﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻋﺪه زﻧﺠﯿﺮهای دارﯾﻢ‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr ds‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪= vt‬‬ ‫)‪(٨.۴‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ds dt‬‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺮدار ‪ t‬ﺑﺮدار ﻣﻤﺎس ﯾ ﻪ ﺑﺮ ﻣﺴﯿﺮ و ‪ v = ds/dt‬ﺗﻨﺪی ذره ‪ P‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ‪ ،‬ﺟﻬﺖ ﺑﺮدار ﺳﺮﻋﺖ ‪v‬‬ ‫در اﻣﺘﺪاد ﻣﻤﺎس ﺑﺮ ﻣﺴﯿﺮ ﺣﺮﮐﺖ ذره و |‪ |v‬ﺗﻨﺪی ذره ‪ P‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺘﺎب ﺳﺨﺘﺮ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣ رﺳﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﺎ ﺣﺪی‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪۴‬‬ ‫‪ ٣.۴‬ﺣﺮﮐﺖ داﯾﺮهای ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫ﺑﻪ اﯾﻦ دﻟﯿﻞ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺎ ﺑﺸﺘﺮ ﺑﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺨﻂ ﻋﺎدت ﮐﺮده اﯾﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠ دارﯾﻢ‬ ‫) ‪( dt ds‬‬ ‫)‪d(vt‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫) ‪dt ( dv‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫=‬ ‫= ‪= t+v‬‬ ‫‪t+v‬‬ ‫×‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ds dt‬‬ ‫) ‪( dv‬‬ ‫) ‪( v2‬‬ ‫=‬ ‫‪t+‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫= ‪a‬‬ ‫)‪(٩.۴‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ n‬ﺑﺮدار ﯾ ﻪ ﻧﺮﻣﺎل ﺑﺮ ﻣﺴﯿﺮ ذره و ) ‪ ρ(= κ−1‬ﺷﻌﺎع ﺧﻤﺶ ﻣﺴﯿﺮاﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‪ ،‬ﺷﺘﺎب درای ﯾ‬ ‫ﻣﻤﺎس ﺑﺮ ﻣﺴﯿﺮ و ﯾ‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ ‪dv/dt‬‬ ‫ﻣﻮﻟﻔﻪ ‪ v 2 /ρ‬ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﻣﺴﯿﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻔﻬﻤﻮم اﯾﻦ راﺑﻄﻪ زﻣﺎﻧ ﮐﻪ از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد‪ ،‬ﺑﯿﺸﺘﺮ واﺿﺢ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ ٣.۴‬ﺣﺮﮐﺖ داﯾﺮهای ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫ﺳﺎدهﺗﺮﯾﻦ ﻣﺜﺎل از ﺣﺮﮐﺖ ﻏﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺣﺮﮐﺖ در ﯾ‬ ‫داﯾﺮه اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺮﮐﺖ داﯾﺮوی در ﮐﺎﺑﺮدﻫﺎی ﻋﻤﻠ در ﻣﺎﺷﯿﻦﻫﺎی‬ ‫ﭼﺮﺧﺸ ﻣﻬﻢ اﺳﺖ‪ .‬در اﯾﻨﺠﺎ ﻣﻮرد ﺧﺎﺻ از ﺣﺮﮐﺖ داﯾﺮهای ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﯾﻌﻨ ﺣﺮﮐﺖ داﯾﺮهای ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑﺖ را در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ذرهی ‪ P‬را ﮐﻪ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑﺖ ‪ u‬و در ﺟﻬﺖ ﺧﻼف ﻋﻘﺮﺑﻪﻫﺎی ﺳﺎﻋﺖ ﮐﻪ اﻃﺮاف داﯾﺮهای ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ‬ ‫‪ O‬و ﺷﻌﺎع ‪ b‬ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ آﻧﭽﻪ در ﺷ ﻞ ‪ ٣.۴‬ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬در زﻣﺎن ‪t = 0‬‬ ‫ذره در ﻧﻘﻄﻪ )‪ B(b, 0‬اﺳﺖ‪ .‬ﺳﺮﻋﺖ و ﺷﺘﺎب ذره در ﻟﺤﻈﻪ ‪ t‬ﭼﯿﺴﺖ؟ اوﻟﯿﻦ ﮔﺎم ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ذره در زﻣﺎن‬ ‫‪ t‬اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻮن ذره ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑﺖ ‪ u‬ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﮐﻤﺎن ‪ BP‬ﻃ ﺷﺪه در زﻣﺎن ‪ t‬ﺑﺎﯾﺴﺘ ‪ ut‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫زاوﯾﻪ ‪ θ‬ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه در ﺷ ﻞ ‪ ٣.۴‬ﺑﺎ ‪ θ = ut/b‬ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣ ﮔﺮدد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮدار ﻣ ﺎن ذره در زﻣﺎن ‪ t‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪(١٠.۴‬‬ ‫‪r = b cos(θ)i + b sin(θ)j = b cos(ut/b)i + b sin(ut/b)j‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٣.۴‬ذره ‪ P‬ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑﺖ ‪ u‬ﺣﻮل داﯾﺮهای ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ b‬ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪ ٣.۴‬ﺣﺮﮐﺖ داﯾﺮهای ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ‬ ‫‪٠‬درﺳﻨﺎﻣﻪ ﻣ ﺎﻧﯿ‬ ‫ﻓﺼﻞ ‪۴‬‬ ‫ﮐﻼﺳﯿ‬ ‫‪٢٩‬‬

کلاسیکی میکانکس کورس کے نوٹس

Products

Support

کلاسیکی میکانکس کورس کے نوٹس

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib