MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES POR ACCIÓN
DE CARGAS EN LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO
Donini, Hugo Juan (1); Orler, Rodolfo (2)
Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
hugo.donini@gmail.com
RESUMEN
El presente artículo expone una serie de expresiones de cálculo, comparaciones y
modelaciones referidas a la verificación de las deformaciones en losas de hormigón
armado sustentadas por vigas. También se expone la evolución de los coeficientes
de seguridad para el diseño de estructuras de hormigón armado desde 1963 hasta el
presente, lo que de una manera u otra han afectado la determinación de espesores y
las deformaciones por cargas externas en losas de hormigón armado.
Adicionalmente, se exponen los límites indicados por diferentes normativas respecto
de las deformaciones totales y activas, con su incidencia sobre tabiquerías y muros
soportados por losas para finalizar con una serie de conclusiones y
recomendaciones en su cálculo.
ABSTRACT
This paper sets out a series of calculation expressions, comparisons and models
concerning the verification of deformations in reinforced concrete slabs supported by
beams. It also exposes the evolution of safety coefficients for the design of reinforced
concrete structures from 1963 to the present, which in one way or another have
affected the determination of thicknesses and deformations by external loads on
reinforced concrete slabs. In addition, the limits indicated by different regulations
regarding total and active deformations are exposed, with their impact on walls
supported by slabs to end with a series of conclusions and recommendations in their
calculation.
(1)
Ingeniero Civil e Hidráulico. Investigador y docente de la Facultad de Ingeniería Civil de la U.N.P.S.J.B. (Sede Trelew).
Miembro Plenario de la Asociación de Ingenieros Estructurales. E-mail: hugo.donini@gmail.com.
(2)
Ingeniero en Construcciones. Investigador y docente de la Facultad de Ingeniería Civil de la U.N.P.S.J.B. (Sede Trelew).
Miembro Plenario de la Asociación de Ingenieros Estructurales.
Autores de los libros “Introducción al Cálculo de Hormigón Estructural” Ed. Nobuko 3º Edición Actualizada, "Análisis de las
Patologías en las Estructuras de Hormigón Armado" y “Plateas de Hormigón Armado”.
INTRODUCCIÓN
Los requisitos que permiten asegurar un adecuado comportamiento bajo los estados
últimos (rotura), no necesariamente garantizan un comportamiento aceptable bajo
cargas de servicio. Al respecto, el Reglamento CIRSOC 201-05 [7] establece en el
Art. 9.5 para el control de flechas: “Los elementos de hormigón armado solicitados a
flexión, se deben diseñar con una rigidez adecuada que permita limitar las flechas o
cualquier deformación que pudiera afectar en forma negativa, tanto a la resistencia
como al comportamiento en servicio de la estructura”. El CIRSOC 201-05 presenta
dos maneras para controlar las flechas en los elementos armados en una y dos
direcciones solicitados a flexión. Las flechas se pueden controlar en forma directa
limitando las deformaciones calculadas a valores prefijados, o de manera indirecta
por medio de alturas de vigas o espesores mínimos. En décadas anteriores (19401965), el cálculo de las secciones de hormigón armado, se realizaba mediante el
método de las tensiones admisibles, con coeficientes de seguridad altos, y por ende,
tensiones de trabajo reducidas bajo cargas de servicio tanto en el hormigón como en
el acero. Las secciones eran en general robustas, y bajo estas condiciones el control
de las flechas no resultaba relevante. En la actualidad, el mejor conocimiento de los
materiales componentes (acero y hormigón), y el desarrollo del cálculo por diseño
límite, permitieron diseños más ajustados, con vigas más esbeltas y coeficientes de
seguridad más reducidos. El Reglamento CIRSOC 201-82 establecía un coeficiente
de seguridad de rotura a flexión (roturas dúctiles) de γ = 1,75. En la versión del
código ACI 318-99 [2], asumiendo una sobrecarga igual a un medio de la carga
permanente, el factor de seguridad global utilizado para roturas dúctiles era de
aproximadamente 1,67. En la actual versión del Reglamento CIRSOC 201-05,
basado en el ACI 318-05 [3], para la misma relación entre sobrecarga y carga
permanente, el factor de seguridad global es de aproximadamente 1,47. Es decir, un
15% aproximadamente menor a la versión anterior del CIRSOC 201.
2.2
ACI 318-56
2.0
Coeficiente de seguridad
ACI 318-63 φ=0,90
ACI 318-99 φ=0,90
1.8
CIRSOC 201-82
1.6
ACI 318-05 φ=0,90
1.4
1.2
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
Relación L/D
Figura 1: Evolución de los coeficientes de seguridad global para las estructuras de edificios
Como se observa en la Figura 1, esta tendencia a la reducción de los coeficientes de
seguridad se ha mantenido en el tiempo. Esto tiene naturalmente una directa
incidencia sobre las tensiones en el acero y el hormigón y por tanto, sobre las
flechas en losas y vigas. Cada vez es más importante la verificación de las flechas a
fin de asegurar un comportamiento satisfactorio bajo cargas de servicio.
Naturalmente, el proceso constructivo desde la etapa de elaboración del hormigón
pasando por una adecuada compactación y un correcto curado y desencofrado
según los tiempos mínimos establecidos y no antes, son variables importantes en la
magnitud final de las flechas. Asimismo, el acopiar materiales sobre losas que aún
no alcanzan la resistencia de diseño perjudica el comportamiento (Figura 2).
Figura 2: Acopio de materiales sobre losas durante la etapa constructiva de una obra
Por lo anterior, es vital, no sólo un correcto diseño, sino también una ejecución
adecuada. La flecha que se puede presentar en un elemento es una variable
aleatoria tal como lo es el cálculo del ancho de fisuras en las estructuras de
hormigón, por lo que sólo se podrá realizar a través de un adecuado estudio, una
estimación del valor que se puede producir.
El CIRSOC 201-05 propone dos métodos para el control de las flechas a nivel de
cargas de servicio. El primero de ellos es aplicable a elementos sometidos a flexión
que no estén ligados a piezas (tabiques, cerramientos) no estructurales que puedan
ser dañados por deformaciones excesivas. Este método consiste en dar un espesor
o altura mínima a vigas y losas tal que se garantice que las deformaciones se
mantengan dentro de valores aceptables (basado en la experiencia). El segundo
método es directo, y consiste en el cálculo de la flecha del elemento en estudio y su
posterior comparación con las flechas máximas admisibles establecidas por la
norma.
Evolución de las flechas en una estructura típica de edificios
A continuación se desarrollará el proceso de evolución de las flechas de una
estructura de forma simplificada, dado que entre otras variables no se evalúa por
ejemplo, las cargas generadas por el encofrado de los niveles superiores. En el
análisis se contempla a la flecha activa, que es aquella susceptible de afectar a los
cerramientos (Figura 3). Al respecto, en la referencia [7] se indica la conveniencia de
considerar la flecha instantánea producida por la mampostería como parte de la
flecha activa, dado que los tabiques se rigidizan rápidamente luego de ser
construidos y por lo tanto las cargas producidas por la ejecución de otros cierres
aledaños con pocos días de diferencia, puede ocasionar flechas que dañen a los
ejecutados primeramente.
∆
λ(t∝-t3).∆i(D+m+p+0,25L)
∆i0,25L
λ(t3-t2).∆i(D+m+p)
λ(t2-t1).∆i(D+m)
∆ip
∆activa ∆T
∆i(m)
λ(t1-t0).∆iD
∆iD
t0
t1
t2
t3
t∝=5 años
t
Referencias:
∆i(D) = flecha debida al peso propio de las vigas y losas.
∆i(m) = flecha debida a los muros de cerramiento.
∆ip = flecha debida a la ejecución de contrapisos, pisos y cielorrasos.
∆i0,25L = flecha debida al porcentaje de la sobrecarga que se considera de carácter permanente.
∆T∞ = ∆i(D)+λ (t1-t0).∆i(D)+∆i(m)+λ(t2-t1).∆i(D+m)+∆ip+λ(t3-t2).∆i(D+m+p)+∆i0,25L+λ(t∞-t3).∆i(D+m+p+0,25L)
Figura 3: Evolución de las deformaciones en una estructura típica de edificios
Flechas activas admisibles según otras especificaciones
La flecha activa medida en un elemento dañable, es aquella producida a partir del
instante en que se construye dicho elemento. Su valor es igual a la flecha total
menos la que ya se ha producido hasta el instante en que se construye el elemento.
El Comité ACI 435R-95 [5] indica que para elementos que soporten o se apoyen en
tabiques o muros que puedan sufrir daños por flechas importantes, la flecha activa
debe limitarse al menor de los valores obtenidos de (1) y (2).
∆ activa ≤
l
600
(1)
∆activa ≤ 7,6 mm
(2)
Adicionalmente, se indica que “Existe evidencia que flechas activas de más de 10
mm llevan a una fisuración de la mampostería”.
En particular, el Art. 12.2.2.3.1.5 del ACI 530-13 [6] señala iguales límites y el Art.
9.3.5.5 considera un valor de deformación horizontal a la mitad de la altura
δs≤0,007.h. De acuerdo a la Tabla 24.2.2 del ACI 318-19 [4], dicho valor máximo se
limita a l/480. Este límite puede no ser adecuado para luces importantes.
La Instrucción Española EHE-08 [10] y la Instrucción para el proyecto y la ejecución
de forjados EF-96 [9] indican los siguientes valores límite.
Edificaciones normales:
- Flecha total: el menor de los valores L/250 y L/500 + 1 cm
- Flecha activa: L/400
Forjados unidireccionales:
- Flecha total: el menor de los valores L/250 y L/500 + 1 cm
- Forjados que sustentan tabiques o muros de partición o de cerramiento
- Flecha activa: el menor de los valores L/500 y L/1000 + 0,5 cm.
En la Figura 4 se compara la evolución de las deformaciones límites según distintas
normativas señalando la disparidad de criterios.
2.5
Flecha activa (∆ act) o total (∆ tot)
2.0
EHE-80
(∆tot)
1.5
EF-88
ACI 318-19
(∆tot)
EHE-08 y EF-96
1.0
ACI 435-89
0.5
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Longitud (L)
Figura 4: Evolución de los límites para deformaciones según distintas normativas
Respecto del cálculo de las flechas se debe tener presente que por un lado se
tendrán las flechas instantáneas y por otro, las flechas a largo plazo (o diferidas) que
pueden ser del orden de dos o más veces la inicial. Estas últimas son generadas por
fenómenos reológicos del hormigón. La flecha total obtenida de la suma de la
deformación instantánea y diferida a largo plazo, debe ser menor a la admisible
indicada por el Reglamento CIRSOC 201-05. A los efectos del cálculo práctico, la
metodología utilizada por el CIRSOC 201-05 es tan sólo una aproximación dada la
cantidad de variables que intervienen, por lo que los valores obtenidos en dichos
cálculos presentan importantes dispersiones frente a los que efectivamente se
registrarán.
DEFORMACIONES EN LOSAS POR LA ACCIÓN DE CARGAS EXTERNAS
Las losas apoyadas en los bordes resultan delgadas con relación a sus dimensiones
y pueden llegar a presentar luces importantes. La manera más sencilla para evitar
deformaciones excesivas resulta poner límites respecto de los espesores mínimos
que deben poseer en función de las respectivas luces. El cálculo de las
deformaciones de las losas se ve afectado por mayor número de variables que el de
las vigas, debido a la restricción rotacional variable en los bordes, la influencia de la
distribución de cargas, las diferentes relaciones de longitudes de cada lado,
fenómenos de fisuración, retracción por fragüe, temperatura, deformabilidad de las
vigas de apoyo, historia de las cargas, entre otros aspectos. El Reglamento CIRSOC
201-05 señala una serie de tablas con coeficientes para determinar espesores
mínimos en función de sus longitudes. Existe adicionalmente un criterio alternativo
desarrollado en los Comentarios al Capítulo 9.
Tanto el ACI 318-19 como el Reglamento CIRSOC 201-05, admiten la existencia de
vigas de rigidez “no infinita”, es decir, flexibles como apoyos. Esto posibilita la
transición continua que va desde los entrepisos sin vigas, a los entrepisos con vigas,
en los cuales éstas se puedan asumir como apoyos infinitamente rígidos para losas.
Esta transición se evalúa mediante la incorporación de un parámetro (αfm), que es el
promedio de las rigideces relativas (αfi) de las vigas frente a las losas que apoyan en
ellas. Los límites que definen los espesores mínimos de las losas incorporados en el
Reglamento CIRSOC 201-05 y el ACI 318 han surgido de la evolución a través de
los años en función de cuya aplicación se ha podido concluir que las losas que se
han ajustado ellos, no han mostrado sistemáticamente problemas relacionados con
la deformación para cargas a corto y largo plazo. A modo de ejemplo, se compara el
criterio para espesor mínimo de losas en una dirección según ACI 318-63 (Tabla 1) y
ACI 318-19 (Tabla 2), lo cual indica un ajuste considerando la evolución de los
coeficientes de seguridad en el dimensionado de dichas estructuras.
Tabla 1: Espesores mínimos para vigas y losas unidireccionales según ACI 318-63 [1]
Tabla 2: Espesores mínimos para vigas y losas unidireccionales según ACI 318-09 [4]y
CIRSOC 201-05 [7]
Según la experiencia obtenida en estructuras similares construidas en nuestro país,
los espesores mínimos para losas cruzadas que surgen de la aplicación de las
expresiones del ACI 318 pueden resultar conservadores. Esto se manifiesta cuando
las losas no tienen todos sus bordes articulados o cuando la relación de sus lados
(β) es mayor a 1,5. Tal comportamiento de las ecuaciones puede observarse en la
Figura 5, a la cual se han incorporado espesores mínimos utilizados con anterioridad
al CIRSOC 201-05. En el CIRSOC 201-05, se indica que es factible determinar los
espesores mínimos de las losas bajo ciertas condiciones de carga, materiales y
procedimientos constructivos; los que se especifican en la C 9.5.3.2 desarrollada por
los Ings. Husni, Manzelli y Vásquez Palligas.
25 cm
fy 


l n . 0,80 +

1400 

h≥
36 + 5β.(α fm − 0,20)
23 cm
21 cm
h ó d mínimo
19 cm
17 cm
15 cm
13 cm
β = 1; α = 0,2
β = 1; α = 1
β = 2; α = 1
β = 1; α ≥ 2
β = 2; α ≥ 2
d > l/50 + r + db/2
d > l/55 + r + db/2
d > l/60 + r + db/2
fy 


l n . 0 ,80 +


1400


h ≥
36 + 9 β
11 cm
9 cm
7 cm
3.0 m
3.5 m
4.0 m
4.5 m
5.0 m
5.5 m
6.0 m
6.5 m
7.0 m
7.5 m
8.0 m
ln (longitud mayor)
Figura 5: Variación del espesor mínimo (h) en las losas cruzadas según CIRSOC 201-05 y
CIRSOC 201-82.
Por otro lado, el ACI 318-09 y el CIRSOC 201-05 no consideran las cuantías de
armadura para definir las esbelteces, es decir, de forma indirecta la intensidad de las
cargas actuantes. La Introducción Española EHE-08 y el Eurocódigo 2 Parte 1 sí lo
hacen para las vigas en las Tablas 50.2.2.1.a y 7.4N, respectivamente. A modo de
ejemplo y comparación, para una viga según las sustentaciones indicadas se
observarían las esbelteces límites indicadas en la Tabla 3. Estos aspectos tienen
repercusiones directas en las rigideces y el comportamiento en servicio del sistema
losa-viga.
Código o Reglamento
Viga simplemente apoyada
Esbeltez límite (*)
ACI 318-09
EHE-08 y EC 2 Parte 1
Elementos débilmente armados ρ = 0,5%
EHE-08 y EC 2 Parte 1
Elementos fuertemente armados: ρ = 1,5%
Viga interior continua
ACI 318-09
EHE-08 y EC 2 Parte 1
Elementos débilmente armados ρ = 0,5%
EHE-08 y EC 2 Parte 1
Elementos fuertemente armados: ρ = 1,5%
16
20
14
21
30
20
(*)
En el caso de la norma ACI 318 la esbeltez está referida al espesor total (l/h), mientras que la EHE08 y el EC 2 Parte 1 lo hace a la altura útil (l/d).
Tabla 3: Comparación de esbelteces mínimas
EVALUACIÓN DE LAS DEFORMACIONES INSTANTÁNEAS EN LOSAS
A fin de realizar un estudio simplificado que brinde una idea de magnitud de las
deformaciones esperables en losas armadas en dos direcciones, se puede proceder
de la siguiente manera. Se analizan dos fajas ortogonales de ancho unitario (Figura
6), de tal forma que en el punto de intersección de ambas, la flecha debe ser
naturalmente la misma.
ly
∆x = ∆y
lx
Figura 6: Evaluación de deformaciones instantáneas para una losa
De resultar la losa simplemente apoyada en todo su perímetro se tendrá como flecha
máxima:
4
∆=
5 w x .l x
384 E c .I ef
(3)
con:
w = carga total de servicio = wx + wy.
A su vez, para otras condiciones de borde y considerando las franjas como vigas
independientes, se obtendrán las conocidas expresiones de deformaciones. A modo
de ejemplo, para una losa de borde según la dirección x que se representa la Figura
7, la ecuación es la (4).
lx
Figura 7: Faja correspondiente a una losa de borde según la dirección x
4
2,07.w x .l x
∆x =
384.E c .I ef
(4)
En el caso de una losa con empotramiento perfecto en ambos bordes resulta la
expresión (5).
4
1.w x .l x
∆x =
384.E c .I ef
(5)
o bien en términos de momentos según x la ecuación (6):
2
1.M x .l x
∆x =
16.E c .I ef
(6)
Se pueden resolver las losas cruzadas con el método de Marcus, y con los
momentos obtenidos y en función de las condiciones de borde, calcular la
deformación para la franja unitaria más larga. El cálculo en la dirección más corta
debería arribar al mismo valor pero, dada la naturaleza del procedimiento se pueden
esperar ciertas diferencias. En general, se recurre a promediar los resultados según
ambas direcciones. Para evaluar las deformaciones a largo plazo en las losas, se
utiliza un factor multiplicador (según sugiere Branson) de λ = 3. Respecto del
momento de inercia a considerar para la losa, si bien lo más correcto sería aplicar el
concepto de “momento de inercia efectivo”, en el caso particular de las losas, para
cargas de servicio, el patrón de fisuras suele ser localizado y no muy extenso, por lo
que es aceptable en general adoptar el momento de inercia bruto (Ig) de la sección.
Recomendaciones respecto de la aplicación del método
A fin de reducir la posibilidad de daños sobre cerramientos en losas esbeltas, se
puede dar una adecuada contraflecha a la misma, usualmente de valor:
∆cont. = ∆Di + ½ . ∆D∞
(7)
con:
∆D∞ = deformación a largo plazo debida a las cargas permanentes.
Asimismo es conveniente dejar madurar el hormigón el mayor tiempo posible previo
a la aplicación de las cargas. También es importante evaluar las estructuras frente a
los potenciales cambios de destino de forma de evitar deformaciones excesivas
(Figura 9).
Figura 8: Sobrecargas excesivas no previstas aplicadas en losas de oficinas
Figura 9: Deformaciones y fisuras activas en una losa armada en una dirección
Las deformaciones a largo plazo se ven influenciadas por la temperatura, la
humedad, condiciones de curado, la edad del hormigón al aplicar la carga, la cuantía
de la armadura comprimida, y la magnitud de la carga permanente, entre otros
aspectos. Las deformaciones se incrementan rápidamente en los primeros días de
aplicación de las cargas y en la medida que avanza el tiempo, crecen a una menor
velocidad para llegar a valores aproximados finales cerca de los 5 años. En la Figura
10 se puede observar un esquema con el incremento de las deformaciones en la
zona comprimida del hormigón debido a cargas de larga duración y el aumento de
curvaturas (φ) y flechas asociado a las mismas. Se observa que la posición del eje
neutro desciende por efecto de la deformación por fluencia lenta (εck) y que la
deformación específica de la armadura traccionada (εs) se mantiene prácticamente
constante. En realidad, al descender el eje neutro se reduce el brazo interno de
palanca (z), por lo que se requiere de un leve incremento en las resultantes de
compresión (C) y tracción (T), y bajo esa consideración (εs) ya no es constante tal
como se lo supuso.
El método planteado por el Reglamento CIRSOC 201-05 para evaluar las
deformaciones a largo plazo es tan sólo una aproximación, y por lo tanto, si las
deformaciones constituyen un problema de diseño, es conveniente evaluarlas
mediante algún método más preciso. El valor de la flecha resulta influenciado no
sólo por la intensidad de la carga, sino también por su duración y repetición. Por
ejemplo, para una sobrecarga de servicio de corta duración (minutos) aplicada con la
estructura trabajando en período elástico (zonas en Estado I y otras en Estado II), la
deformación incremental producida se reduce prácticamente a cero al desaparecer
la sobrecarga. En cambio, para el mismo tipo y nivel de carga pero de mayor
duración, a raíz de la fisuración y pérdida de adherencia quedan deformaciones
permanentes luego de la descarga, aún con estructuras en período elástico.
εci
ci
εci
φi
ck
εck
φi + φk
As
Sección transversal
εs
Deformaciones instantáneas bajo
carga (t=0)
εs
Deformaciones a largo plazo
bajo carga constante (t=∞)
Referencias:
εci = deformación específica instantánea del hormigón comprimido.
εck = deformación específica de fluencia del hormigón comprimido.
ci = profundidad del eje neutro para t = 0.
ck = profundidad del eje neutro para t = ∞.
εc∞ = εci + εck = deformación específica total en la fibra más comprimida del hormigón a largo plazo.
φi = curvatura inicial
φk = incremento de curvatura debido a la fluencia lenta.
Figura 10: Deformaciones a largo plazo en una viga de hormigón armado
VERIFICACIÓN DE LA DEFLEXIÓN DE UNA LOSA
Se verificará la deformación a largo plazo de una losa interna de un paño de
entrepiso de oficinas esquematizada en la Figura 11 bajo la hipótesis de que luego
de 4 meses de hormigonado se instalarán sobre la misma, paneles de cerramiento
que son susceptibles de sufrir daños con deformaciones excesivas.
Datos
Materiales
Hormigón H-20
Acero ADN 42/50
Ec = 4700 √f´c = 21019 MPa
h = 15 cm
7,50
6,40
Figura 11: Esquema de sustentación de la losa
Solución por el método de Branson
Peso propio .................................................... 0,15 m x 25 KN/m3 = 3,75 KN/m2
Contrapiso ...................................................... 0,08 m x 18 KN/m3 = 1,44 KN/m2
Carpeta ......................................................... 0,02 m x 20 KN/m3 = 0,40 KN/m2
Cielorraso aplicado ....................................................................... = 0,21 KN/m2
Peso paneles prorrateados ........................................................... = 0,80 KN/m2
Piso ................................................................................................ = 0,40 KN/m2
D = 7 KN/m2
(sobrecarga) L = 2,50 KN/m2
w = D + L = 9,50 KN/m2
Análisis para el peso propio
A los fines de analizar los momentos actuantes para el cálculo de las flechas, para
evaluar el peso propio se considera a la losa empotrada en su perímetro (Figura 12).
De tablas de cálculo para losas, se obtienen los momentos resultantes:
MxD = 7,05 KNm/m
MyD = 4,47 KNm/m
ly
lx
Figura 12: Sustentación para el análisis de peso propio de la losa
Se tomará la sección bruta para calcular el momento de inercia:
Ig = 1 m . (0,15 m)3 / 12 = 0,00028125 m4
2
1.M x .l x
1
7,05KNm.(6,40m)
=
.
.100 = 0,305cm
16.E c .Ief 16 21019MPa.0,00028125m 4 .1000
2
∆ lxDi =
∆ lyDi =
1.M y .l y
2
16.E c .I ef
1
4,47KNm.(7,50m )
.
.100 = 0,265cm
16 21019MPa.0,00028125m 4 .1000
2
=
∆ m Di =
∆ lxDi + ∆ lyDi
2
= 0,285cm
Análisis para la sobrecarga
Para analizar las solicitaciones debidas a la sobrecarga, se considera a la losa
simplemente apoyada en su perímetro, para evaluar el caso en el que esta carga
sólo se encuentre presente en la losa analizada y no en las contiguas. De tablas de
cálculo para losas, se obtienen los momentos resultantes:
MxL = 5,18 KNm/m
MyL = 3,56 KNm/m
5 M xL .l x
5
5,18KNm.(6,40m)
.
=
.
.100 = 0,374cm
48 E c .Ief
48 21019MPa.0,00028125m 4 .1000
2
∆ lxLi =
2
2
5 M yL .l y
5
3,56KNm.(7,50m )
∆ lyLi =
.
=
.
.100 = 0,353cm
48 E c .I ef
48 21019MPa.0,00028125m 4 .1000
∆ lxLi + ∆ lyLi
∆ m Li =
= 0,364cm
2
2
Por lo tanto, la flecha total a largo plazo será:
∆t∞ = ∆iD + λ . ∆iD + ∆iL
Considerando λ = 3 para losas:
∆t∞ = ∆iD + λ . ∆iD + ∆iL = 0,285 cm + 3 . 0,285 cm + 0,364 cm = 1,504 cm
A fin de considerar las deformaciones que pueden afectar a los paneles, se adopta
λ1 = 2 (ti = 4 meses), por lo que entonces se obtiene:
∆tP∞ = λ1 . ∆iD + ∆iL = 2 . 0,285 cm + 0,364 cm = 0,934 cm
Para tal situación de proyecto, surge de la tabla 9.5.b) del Reglamento CIRSOC 20105 que la flecha admisible máxima es:
∆ ≤ l / 480 = 640 cm / 480 = 1,33 cm
Por lo que verificaría bajo estas condiciones de análisis.
Comentarios referidos al desarrollo de los cálculos
El análisis realizado no consideró la flexibilidad de las vigas de apoyo (Figura 13),
como tampoco analizó la pérdida de rigidez de la losa en las zonas más solicitadas.
Además, se adoptó como momento de inercia el de la sección bruta (Ig).
Referencias:
∆cx y ∆cy = deformaciones en vigas de apoyo
∆t = ∆cx + ∆my = ∆cy + ∆mx = deformación en la losa
Figura 13: Deformaciones de las vigas de apoyo en una losa cruzada [11]
A fin de evaluar la situación de la sobrecarga se consideró de manera conservadora
a la losa con apoyos a rotación libre, aún cuando la situación más realista sería el de
empotramiento elástico dada la continuidad con las losas aledañas. Al respecto, en
diferentes referencias bibliográficas sugieren adoptar un 50% de grado de
empotramiento, de donde surgiría una flecha instantánea para la sobrecarga igual a
la expresada en la ecuación (8).
2
3 Mi .li
∆ iL =
.
32 E c .Ief
(8)
siendo:
M = wi . li2 / 8
wi = fracción de carga que se transmite según la dirección i.
Modelo de elementos finitos
Para evaluar de alguna forma la incidencia de la deformabilidad de las vigas, se
procesaron cuatro modelos de elementos finitos (MEF), los que incluyeron a las
losas linderas, todas apoyadas sobre vigas de hormigón armado de sección
rectangular.
MEF 1: vigas de apoyo de rigidez media (Figura 14 y Figura 15).
Vigas según x
b = 25 cm
h = 60 cm
Vigas según y
b = 25 cm
h = 70 cm
MEF 2: vigas de apoyo de escasa rigidez (Figura 16 y Figura 17).
Se adoptaron esbelteces cercanas al límite de referencia que surge de la Tabla
9.5.a) del Reglamento CIRSOC 201-05. Según la misma, para vigas con ambos
extremos continuos la esbeltez máxima es h ≥ li / 21.
Vigas según x
h ≥ lx / 21 = 30,5 cm, se adopta h = 35 cm
Vigas según y
h ≥ ly / 21 = 35,7 cm, se adopta h = 40 cm
MEF 3: vigas de apoyo fisuradas de rigidez media (Figura 18 y Figura 19).
MEF 4: vigas de apoyo fisuradas de escasa rigidez (Figura 20 y Figura 21).
Se aplicaron los coeficientes de reducción de las rigideces para las vigas y las losas
según las recomendaciones del Reglamento CIRSOC 201-05. Para las vigas, se
empleó un coeficiente de reducción de inercia calculado como 1,43 . 0,35 = 0,50 y
para losas de 1,43 . 0,25 = 0,36 de acuerdo a la Tabla 10.11.1 del CIRSOC 201-05
incrementados por un factor de 1,43 según lo indicado en los comentarios a dicho
artículo y a los efectos de considerar la fisuración pero para el rango de cargas de
servicio.
Resultados
Los resultados obtenidos de las distintas modelaciones de elementos finitos se
anexan en la Tabla 4, donde se han detallado las deformaciones instantáneas para
la condición de peso propio (∆iD), sobrecarga (∆iL) y total (∆it).
Flechas instantáneas
a) Modelo simplificado
b) MEF 1
c) MEF 2
d) MEF 3
e) MEF 4
∆iD (cm)
0,285
0,309
0,476
0,776
1,370
∆iL (cm)
0,364
0,321
0,521
0,792
1,238
∆it (cm)
0,649
0,629
0,997
1,568
2,608
Referencias:
∆iD = flecha instantánea debida al peso propio.
∆iL = flecha instantánea debida a la sobrecarga.
∆it = ∆iD + ∆iL.
Tabla 4: Comparación de diferentes metodologías en la evaluación de deformaciones
instantáneas en las losas
Figura 14: Aspecto de la deformación del MEF 1
Figura 15: Valor de deformación total para el MEF 1
Figura 16: Aspecto de la deformación del MEF 2
Figura 17: Valor de deformación total para el MEF 2
Figura 18: Aspecto de la deformación del MEF 3
Figura 19: Valor de deformación total para el MEF 3
Figura 20: Aspecto de la deformación del MEF 4
Figura 21: Valor de deformación total para el MEF 4
Discusión de los resultados
Se observa que existe una buena concordancia entre el análisis simplificado y el
MEF con vigas de rigidez media en Estado I. Por el contrario, de resultar
deformables las vigas de apoyo (MEF 2), los valores presentan una diferencia del
53,6%. Para el caso de considerar los efectos de la fisuración sobre vigas y losas,
las diferencias alcanzan valores del 141,6% para vigas de mediana rigidez y del
301,7% para vigas de escasa rigidez. Este último caso representa un escenario
desfavorable para la estructura, ya que se han aplicado los mismos coeficientes de
reducción de los momentos de inercia a ambos escenarios, cuando es de esperar
que las vigas menos rígidas no presenten el mismo grado de esfuerzos y por tanto
de fisuras que las vigas de mayor rigidez. Se debe tener presente que dada la
multiplicidad de variables y las simplificaciones adoptadas, sólo se espera obtener
una idea del orden de magnitud del problema.
CONCLUSIONES
- Es importante tener en cuenta las reducciones correspondientes de las rigideces
de las piezas para estados de servicio para la modelación de deformaciones en
estructuras de hormigón armado. Para ello, el proyectista debe ser cauto al
momento de seleccionar los coeficientes de reducción de las mismas. El
Reglamento CIRSOC 201-05 recomienda factores en el Capítulo 10 y sus
comentarios.
- Existe una reducción en los coeficientes de seguridad según la evolución temporal
de los códigos y normativas, lo cual conlleva a estructuras menos rígidas y
consecuentemente con menos sección de armadura, lo que conlleva a mayores
tensiones de servicio en las mismas.
- La mayoría de los softwares arrojan como resultado valores de deformaciones
instantáneas, por lo que es necesario ser cauto en la estimación de las generadas
por coacción y por aquellas que actúan a largo plazo.
- Los resultados obtenidos por la aplicación del método de Branson para el cálculo
de las deformaciones en losas coinciden aceptablemente con los MEF’s cuando se
emplean vigas de rigidez media a elevada sin considerar los efectos de la fisuración
en las mismas.
- Cuando se aplican coeficientes de reducción de rigideces torsionales y flexionales
a los momentos de inercia de las vigas y las losas evaluando el Estado II de las
mismas, las deformaciones obtenidas en los MEF’s para las losas se ven
incrementadas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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[11] Nilson, Arthur H. 1999. Diseño de Estructuras de Concreto. 14º Edición –
Ed. Mc Graw Hill.