Manuel de Méthodes de Calcul Numérique

r . H. M APHyK METOflbl BbIHHGJIHTEJIbHOH MATEMATHKH H3flATEJIbCTBO « H A yK A » MOCKBA G. M A R C H O U K MÉTHODES DE CALCUL NUMÉRIQUE EDITIONS MIR . MOSCOU Traduit du russe par I. PÉTROVA Ha 0panm/3cnoM X3bine © TjiaBHaH peflaKijHfl (J)H3HKo-MaTeMaTHêcKou JiHTepaTypbi H3flaTejibCTBa « HayKa » 1977 © Traduction française Editions Mir 1980 PRÉFACE Le contenu de ce livre développe un cours de Calcul numérique fait à la Faculté de mathématiques de l ’Université de Novossibirsk. L’auteur étudie en premier lieu les problèmes complexes de la physi que mathématique qui se ramènent en général à des problèmes plus simples, bien étudiés sur le plan théorique et justiciables d’algo rithmes efficacement traités sur ordinateurs. Ces problèmes se posent fréquemment aux chercheurs néophytes, et le but principal de ce livre est de leur donner de bonnes recettes en la matière. Désireux de gagner au Calcul numérique un vaste public, l ’auteur a consenti à certaines omissions pour s’appesantir en revanche sur des idées et des tactiques fondamentales. Quant aux points secondai res, quelquefois importants, et à des généralisations possibles telles que les conditions minimales de régularité des fonctions, les contrain tes sur les données initiales, etc., ils sont évidents pour un spécia liste et constituent autant d’exercices utiles pour un débutant. Le Chapitre 9 est issu du rapport fait par l’auteur à Nice, au Congrès international des mathématiciens de 1970. Il fait une sorte de synthèse des méthodes et des questions examinées dans le corps de l ’ouvrage, ainsi que d’autres directions de l ’Analyse numérique dont l ’importance est grande aussi bien du point de vue théorique que pour les applications. Bien que ce livre emprunte une partie des résultats à la mono graphie du même nom parue en russe en 1973, il diffère de celle-ci de façon notable. Il expose plusieurs idées et algorithmes nouveaux qui présentent un intérêt certain, méthodique et pratique. On y examine par exemple des algorithmes d’optimisation basés sur les principes variationnels, l ’automatisation des calculs moyennant la méthode du domaine auxiliaire, un algorithme itératif de décompo sition pour les opérateurs non commutatifs, la méthode de factorisa tion incomplète. L’interpolation à l ’aide de fonctions splines cons titue désormais un chapitre à part, ainsi que l ’extrapolation de Richardson pour des schémas de haute précision. Les pages traitant des méthodes variationnelles des différences finies sont enrichies de 6 PRÉFACE plusieurs résultats nouveaux tels que la représentation des fonctions continues par des bases discontinues par morceaux et la construction de bases qui tiennent compte des singularités des solutions. Le chapitre consacré à la résolution des problèmes inverses puise plus abondamment dans la théorie des perturbations en rapport avec les problèmes non linéaires de la physique mathématique et dans l ’analyse de modèles mathématiques sensibles aux données initiales. La liste des additions ne s’arrête pas là-dessus. A notre avis, l ’ouvrage ainsi complété donne une idée plus juste des méthodes de Calcul numérique pour les problèmes complexes de la science et de la tech nique. L’auteur adresse ses profonds remerciements à Y. Kouznétsov dont la contribution à ce livre est impossible à surestimer. Il est fort obligé à V. Smélov, V. Iline, V. Chaïdourov, V. Agochkov, A. Matsokine, G. Rivine, V. Tsétsokho, V. Vassilenko, ainsi qu’à V. Drobychévitch, V. Dymnikov et V. Pénenko qui lui ont été d’une grande aide au cours de la rédaction de ce livre. N. Bakhvalov, M. Fagué et V. Lébédev ont lu le manuscrit et fait plusieurs remarques de valeur. MM. Lions et Glowinski ont eu l ’obligeance de mettre à la disposition de l ’auteur des textes traitant des inéquations variationnelles. Qu’ils veuillent bien trouver ici l ’expression de sa respectueuse gratitude. G. Marchouk INTRODUCTION L’avènement des calculateurs électroniques modernes a accru considérablement les possibilités des chercheurs dans la simulation mathématique des problèmes complexes de la science et de la techni que. On comprend donc qu’à l ’heure actuelle les méthodes de recher che quantitatives débordent sur toutes les activités humaines et que les modèles mathématiques deviennent un instrument de con naissance puissant. L’ambition des modèles mathématiques ne se borne pas, loin de là, à faire connaître les lois. Leur rôle s’accroît avec la tendance naturelle à optimiser les équipements et la technologie de la plani fication des expériences. Désireux d’approfondir ses connaissances et de se faire une idée juste des phénomènes étudiés, l ’homme conçoit la nécessité de modèles mathématiques toujours plus fins qui deman dent à leur tour un appareil mathématique ingénieux et passe-par tout. Les modèles sont traités sur ordinateur par les méthodes du Calcul numérique qui évolue sans cesse avec le hardware. Toute, réduction des problèmes de la physique mathématique et de la technique conduit en fin de compte à des équations algébriques de diverses formes, si bien que l ’objet du Calcul numérique tourne en général autour des procédés de réduction et des méthodes de ré solution des systèmes algébriques ainsi obtenus. La formation du système algébrique associé à un problème à arguments variant de façon continue s’appuie d’ordinaire sur l ’in formation à priori relative au problème proposé. Cela peut être entre autres l ’appartenance de la solution à une classe de fonctions possédant une certaine régularité, les propriétés des opérateurs et des données initiales. L’information à priori dicte souvent le choix de la méthode numérique destinée à résoudre les équations algébri ques, et les conditions à priori imposées au problème initial doivent en général être compatibles avec les propriétés de l ’analogue algé brique. Cela est surtout vrai des opérateurs dont la discrétisation doit conserver au possible les propriétés. Il paraît que ce principe gouverne la résolution de nombreux problèmes. On note d’ailleurs que la « filiation » opératorielle men- 8 INTRODUCTION tionnée permet d’utiliser des méthodes bien élaborées de l ’Analyse fonctionnelle et d’étudier donc l ’efficacité des algorithmes numé riques par des procédés universels simples. Nous donnons ci-dessous un bref résumé du livre en mettant en relief les résultats principaux et les idées originales. Le Chapitre premier est consacré aux éléments de la théorie des schémas aux différences. On y trouve des notions classiques (approxi mation, stabilité numérique, convergence des solutions) et des ré sultats importants relatifs aux propriétés générales des problèmes et de leurs adjoints, dont on aura besoin dans d’autres chapitres. Nous attirons l ’attention du lecteur sur le point 1.1.2 qui décrit des algorithmes actuellement utilisés pour calculer les bornes du spectre non négatif des matrices. Il est connu que la borne supérieure du spectre est définie par des procédés itératifs bien élaborés et que le traitement numérique correspondant ne présente d’habitude aucune difficulté. Quant au calcul de la plus petite valeur propre (la borne inférieure du spectre), il s’agit là d’un problème ardu. Théoriquement, la tactique la plus simple consiste à évaluer la plus grande valeur propre de l ’opérateur inverse et conduit à des algorithmes médiocres. L’auteur expose un procédé avec translation qui fournit assez facilement la borne inférieure cherchée. Si nous insistons sur cette question, c’est que de nombreux algorithmes de calcul, particulièrement des procédures liées à l ’optimisation des processus itératifs, s’inspirent de l ’information à priori sur les bornes du spectre. Le Chapitre 2 étudie les procédés de construction de schémas aux différences. Il est centré autour de la méthode des relations intégra les et des procédés variationnels. Chacune de ces tactiques a ses mérites et ses inconvénients. Elles ne sont pas autonomes : dans un contexte déterminé, on-aboutit dans les deux cas aux mêmes schémas aux différences qui approchent les problèmes différentiels proposés. Nombreux sont néanmoins les cas où l ’on préfère l ’approche varia tionnelle car elle conserve les propriétés de définitivité des opéra teurs. Chose importante, cela a lieu automatiquement pour une classe étendue de problèmes. En ce qui concerne les techniques variationnelles, nous nous limitons aux méthodes de Ritz, de Galerkin et des moindres carrés. Ces méthodes n ’épuisent certes pas l ’arsenal variationnel, mais elles permettent de se familiariser avec les idées générales qui président à la construction de schémas aux différences et se transposent facile ment à d’autres cas. . ' Quelques mots au sujet de la méthode des éléments finis. Il s’agit là d’un outil commode qui s’apparente sur le plan méthodolo gie à la méthode de Fourier à la différence qu’on opère non pas avec les bases de fonctions usuelles (par exemple les bases de fonctions trigonométriques, de polynômes de Legendre, de polynômes d’Her- INTRODUCTION 9 mite), mais avec des polynômes partout nuis, sauf dans une région assez petite qui est le domaine de variation des arguments, d’où le nom « éléments finis ». Les emprunts au Calcul variationnel ont leur raison d’être. En effet, on sait qu’une fonctionnelle variationnelle qui traduit fidèle ment certaines lois de la mécanique, de la physique mathématique, de la dynamique, atteint son extrémum sur la solution du problème* proposé. Si l ’on se donne cette fonctionnelle et si l ’on définit la classe de fonctions susceptibles de la minimiser, le problème se ramène à la recherche algorithmique de la fonction minimisante. Si l ’on restreint la classe de fonctions admissibles par le jeu de contraintes supplémentaires, cette fonction n ’est pas forcément la solution du problème primitif, elle n’en est qu’une approximation. Le rôle des fonctionnelles variationnelles en physique mathéma tique augmentera sans cesse avec la puissance du matériel de calcul. On mettra au point des procédés d’exploration dirigée des fonctions d’essai appartenant à de vastes classes, qui permettront la recherche efficace des solutions extrémales. On débouche ici sur le problème d’organiser de façon optimale le calcul pour obtenir une solution avec une précision désirée, i.e. sur la théorie de l ’optimisation. Certains problèmes de la science et de la technique ne se posent pas de façon classique. Les problèmes avec contraintes sont du nombre encore que les cas simples soient classiques. Les contraintes sont par exemple les conditions aux limites pour les problèmes diffé rentiels. Dans les cas plus complexes, on fait appel à un appareil mathé matique plus fin. Si l ’on demande par exemple la flexion d’une membrane soumise à diverses forces et si la position de la pièce est majorée et minorée par des fonctions de coordonnées données, l ’ap proche classique s’avère inopérante. Mais si l ’on associe à ce pro blème une fonctionnelle variationnelle dont on cherche le minimum dans la classe de fonctions vérifiant la contrainte donnée, alors la fonction minimisante fournit la solution cherchée. De nombreux résultats dans ce domaine sont dus aux mathémati ciens français qui ont introduit les inéquations variationnelles spé ciales aux problèmes avec contraintes. Ces questions font l ’objet du n° 2.8. Dans le Chapitre 3 ôn considère l ’interpolation des fonctions discrètes. Le problème d’interpolation intervient toutes les fois qu’on étend une fonction définie sur un réseau par des fonctions continues au domaine tout entier. On y rapporte le problème de prolonger une solution approchée à tout le domaine connaissant ses valeurs aux nœuds du réseau et cet autre qui consiste à traiter les données expé rimentales associées à un ensemble ponctuel discrétisé. L’interpolation devient la clef de voûte de l ’automatisation des calculs de bureaux d’étude qiii suggèrent par leur nature même les 10 INTRODUCTION procédés de représentation graphique de l ’information. Le concept d ’interpolation n’est pas nouveau et les méthodes classiques corres pondantes ont leur place dans la littérature mathématique. Aussi nous nous occuperons de cet être mathématique de création récente qu’est la fonction spline. L’interpolation à l ’aide de fonctions splines est le meilleur moyen de prolonger de façon régulière les fonctions discrètes en des fonctions de classes données. Le caractère optimal des fonctions splines tient à leur propriété extrémale spéciale. Selon nous, le lecteur doit être au fait de l ’approximation spline dont l ’utilisation se répand dans tous les domaines scientifiques et techniques. Le Chapitre 4 étudie surtout les méthodes itératives pour les équations algébriques linéaires. On y trouve aussi bien des procédés généraux que des techniques particulières aux problèmes approchés par les différences finies ou par les méthodes variationnelles des différences. Malgré la profusion de travaux décrivant les méthodes itératives et les algorithmes efficaces, nous avons jugé utile d’insis ter, sans oublier toutefois les procédés classiques, sur les techniques itératives qu’on optimise moyennant les fonctionnelles quadratiques. Telle est en général notre façon de traiter le problème d’optimisation qu’il s’agisse de construire les algorithmes de calcul ou de les exécu ter sur ordinateur. Pour ce qui est des cas spéciaux aux matrices de forme particu lière qui interviennent dans la résolution numérique des problèmes de la physique mathématique, nous recommandons de décomposer les matrices en des matrices plus simples au sein du processus itératif. La méthode de décomposition continue naturellement la méthode des directions alternées qui a joué un rôle exceptionnel en physique mathématique. Elle admet diverses variantes et généralisations dont certaines utilisent les principes variationnels. On note l ’intérêt des méthodes directes de résolution des équations aux différences finies telles que la transformation de Fourier rapide et la réduction cyclique. Ces méthodes s’implantent de plus en plus résolument en calcul numérique. Les méthodes de résolution des problèmes non stationnaires font l ’objet du Chapitre 5. Elles procèdent essentiellement de la décom position d’opérateurs. On analyse la stabilisation et la prédictioncorrection, techniques qui ont déjà fait leurs preuves, et on décrit en détail la méthode de splitting-up qui est, selon nous, un procédé des plus efficaces (pour l ’idée relative à cette méthode voir point 5.3.3 et numéro 5.4). La méthode de splitting-up ramène à chaque pas temporel un grand problème de la physique mathématique à une suite de problèmes élémentaires. Elle donne lieu à un algorithme efficacement applica ble sur ordinateur. Cet algorithme est stable et garantit une solution approchée d’ordre 2 par rapport à toutes les variables. La méthode INTRODUCTION 11 en question s’applique à une nombreuse classe de problèmes non stationnaires. Le Chapitre 6 examine les méthodes d’amélioration de la pré cision qui remontent à Richardson et à Runge. Il est connu qu’on affine les solutions de diverses manières. On cherche d’ordinaire une meilleure approximation des équations différentielles ou inté grales à l ’aide de schémas de haute précision. Richardson a proposé d ’utiliser une approximation aux différences peu précise et de l ’as socier à des réseaux différents. Si l ’équation discrétisée de départ correspond à un réseau de pas h, l ’équation suivante correspond au pas h!2, et ainsi de suite. On obtient une suite d’équations relatives à des réseaux successifs. Il se trouve que si l ’opérateur et les données initiales satisfont à certaines conditions, la combinaison linéaire de résultats obtenus avec plusieurs pas différents fournit une solution plus exacte que les facteurs. L’extrapolation de Richardson a été primitivement une méthode pour les équations différentielles ordinaires. Aujourd’hui, on l ’ap plique également aux problèmes aux limites relatifs aux équations elliptiques et paraboliques. Ces cas présentent naturellement cer taines particularités qui sont reflétées par les schémas de mise en ceuvre numérique. Chose importante, le procédé de Richardson joue pour les problèmes avec paramètre arbitraire et pour les problèmes conditionnellement bien posés abordés par régularisation. Il procède alors de la résolution de problèmes avec paramètres différents qui tendent vers une valeur limite. Ainsi, la méthode considérée apporte en Analyse numérique des idées nouvelles qui se montrent très fructueuses dans l ’optimisation d’algorithmes de calcul. S’agissant des problèmes traités par les méthodes variationnelles des différences, l ’extrapolation de Richardson s’acquitte d’une mission d’importance. En effet, on se trouve en général devant l ’alternative: ou bien résoudre l ’équation aux différences associée à un pas très petit moyennant des approximations assez rudes, ou bien l ’aborder avec des pas plus grands à l ’aide des schémas de haute précision. Le premier procédé est simple, mais il exige un volume de calcul important, et le second est logiquement beaucoup plus difficile tout en demandant moins d’opérations arithmétiques. Ainsi, quand on veut un résultat plus précis, ils sont inopérants l ’un et l ’autre. On a donc proposé d’utiliser des schémas variationnels aux différences simples qui n ’approchent qu’à l ’ordre 1 ou 2 et de les associer à une suite de réseaux. Dans de nombreux cas, la combinaison linéaire de solutions ainsi obtenues fournit, on l ’a déjà dit, une solution avec une précision voulue. Le Chapitre 7 examine la position et la résolution numérique des problèmes inverses. Dans les méthodes de simulation mathéma tique de grands problèmes de la science et de la technique, on doit 12 INTRODUCTION souvent reconstituer la solution par des fonctionnelles ou reconsti tuer un opérateur de forme déterminée. Cette classe de problèmes inverses s’avère la plus laborieuse sur le plan numérique puisqu’elle est en général liée à la résolution de problèmes mal posés au sens d’Hadamard. Ces derniers problèmes ont ouvert un nouveau chapitre des mathématiques. Les résultats les plus importants dans ce domaine sont dus à l ’école mathématique soviétique. Après que Tikhonov a introduit la régularisation des problèmes mal posés, on a eu vite fait de les justifier et de mettre sur pied l ’outillage algorithmique correspondant. Ce chapitre est centré sur la position des problèmes inverses qui consistent à reconstituer les opérateurs différentiels et les données initiales. Car si l ’on fixe la forme d’un opérateur diffé rentiel, ses coefficients sont néanmoins des inconnues à déterminer. La théorie des problèmes inverses emprunte beaucoup aux équations adjointes. L’appareil mathématique élaboré par l ’auteur s’avère efficace lorsqu’on se propose d’évaluer les petites perturbations des fonctionnelles de la solution en fonction des variations d’entrées. Il y a lieu de dire que la théorie des perturbations élaborée dans ce chapitre s’applique aussi bien aux problèmes linéaires qu’à ceux qui ne le sont pas. Le Chapitre S examine certaines méthodes décrites antérieurement en rapport avec des problèmes concrets de la physique mathématique. Le Chapitre 9 fait le tour des méthodes d’Analyse numérique. Ce livre n ’épuise certes pas toute la diversité d’algorithmes de calcul connus et il en passe beaucoup sous silence parce qu’ils sont décrits à fond dans des manuels et des ouvrages spécialisés. C’est le cas par exemple des éléments classiques de l ’Analyse numérique tels que les formules de cubature, les méthodes pour les équations diffé rentielles ordinaires, l ’interpolation usuelle. Quant aux procédés de pointe, le chapitre 9 donne une idée de quelques-uns d’entre eux (Monte-Carlo, grosses particules, relations intégrales, méthodes uni verselles d’algèbre linéaire). Il initie de plus à certains problèmes qui se présentent en Analyse numérique et examine les voies de recherche correspondantes. Selon nous, cela aidera le lecteur à s’orienter dans cette discipline et à en déterminer les secteurs en plein essor. Ce livre est un manuel, si bien que nous avons réduit au possible (sauf au Chapitre 9) les références à la Bibliographie in fine. La Bibliographie est conçue de façon que le lecteur entre vite dans le vif de la question qui l ’intéresse. L’auteur tient à dire pour conclure que le but de ce livre est de former le lecteur à la résolution numérique des problèmes com plexes de la science et de la technique. CHAPITRE PREMIER THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS Ce chapitre^ donne des notions fondamentales en théorie des schémas aux différences qui seront l ’assise des chapitres suivants. Notre but principal étant d’initier le lecteur à certains principes modernes de la construction d’algorithmes de calcul pour les problè mes de la physique mathématique, nous nous bornerons, en matière de la théorie, à des cas simples. 1.1. Opérateurs et leurs adjoints Considérons dans l ’espace euclidien Ea de dimension n un do^maine D. Les mathématiques appliquées n ’emploient en général pas de domaines complexes au point d’être dépourvus de mesure (de mesure de surface en dimension deux, de mesure de volume en di mension trois, etc.). Comme la théorie de la mesure de Lebesgue est à la base des définitions ultérieures, le lecteur est supposé connaître cette théorie et la théorie de l ’intégrale de Lebesgue (Smirnov [II], Sobolev [I; 6], Wladimirov [II], Natanson [I; 4]) *). Appelons L 2 (D) l ’espace hilbertien de toutes les fonctions mesu rables réelles / (x) de carré sommable, i.e. telles que j f 2 (x) dx<C °° 7 D muni du produit scalaire (A g) = j / (*) § (*) d x . (1.1) D Les fonctions / de L 2 (D) sont normées de façon usuelle par l ’égalité Il / II2 = (/, /)1/2(1-2) On extrait de L2 (D) un sous-espace (une variété linéaire) O en cz L 2 (D) tel que chaque élément (p Ç O vérifie certaines conditions *) Le chiffre romain désigne la section de la Bibliographie in fine et le chiffre arabe indique, si besoin est, le numéro à l ’intérieur de la section. 14 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. I supplémentaires, par exemple une condition de régularité, la pro priété de satisfaire sur la frontière de D à des relations limites, et ainsi de suite. Ces conditions doivent être suffisantes pour qu’un opérateur A transforme cp £ O en Acp Ç L 2 (D). Un opérateur linéaire A défini sur la variété linéaire O est dit semi-défini positif si (Acp, cp) > 0 (1.3) pour tout cp g O et s’il existe cp =£ 0 pour lesquels (^4cp, cp) = 0. La notation employée est A ^ 0. Si (Acp, cp) > 0 (1.4) pour cp =/= 0, l ’opérateur A s’appelle positif et se note A > 0. S’agis sant de la relation plus forte <p) > T (<P, <p), (1.5) avec y > 0 une constante positive, la même pour tous .les <p Ç O, l ’opérateur A est dit défini positif. Si A est une matrice carrée d’ordre fini, sa positivité entraîne la définie positivité (Faddeev, Faddeeva [VILI]). Nous dirons que O constitue le domaine de Vopérateur A et nous le désignerons par O (A). On introduit par l ’identité de Lagrange (Ag, h) = (g, A*h), (1.6) avec g f O (A), h £ ® (4*), Y adjoint A* de A. Les sous-espaces O (4) et O (4*) de l ’espace de Hilbert L.2 (D) ne coïncident en général pas bien que leurs éléments soient de règle définis dans un même domaine. Si A = A* et O (A) = O (A *), l ’opérateur A est dit auto-adjoint. Les propriétés des opérateurs adjoints donnent lieu à un résultat important: si (ï> (4) = ® (A*), alors A > 0 entraîne A* > 0. Les algorithmes utilisent souvent le développement des fonctions en séries de Fourier suivant les fonctions propres d’opérateurs et de leurs adjoints. Considérons deux problèmes spectraux pour A ^ 0 : Au = X (A) u, A*u* = X (4*) u*. (1.7) On suppose que chaque équation homogène (1.7) forme un système complet de fonctions propres {un} et {u%} normées par 1 0, { n = m, R #IB , (1'8) et que les valeurs propres associées Xn (A) et Xn (A*) sont réelles. Il est classique que Xn (A) = Xn (A*). Admettons que les valeurs 1. 1] OPÉRATEURS ET LEURS ADJOINTS 15 propres des problèmes proposés appartiennent à l ’intervalle [a, |3] : a < K (A) < p. Ce système complet de fonctions propres constitue une base biorthonormée. Sous l ’hypothèse de complétude, toute / de O et toute /* de O* s’écrivent sous forme de séries de Fourier *) /= S /n « n . n /* = S /* « n , n (1-9) = /* = (/* ,« „ ). (1.10) OÙ En Analyse numérique, on recourt souvent à l ’évaluation des normes d’opérateurs. La norme de Vopérateur A se définit par m i i 2= sup tp60> <P¥=0. (4<p, Aip) («P. <P) ( 1 . 11) (dans la suite on omettra la contrainte (p =?= 0). Etant donné (A<p, A<$) = (<p, A*Ay), (1.11) se récrit (gp, A*Aq>) m i l 2= sup (peo ~ (<ÏV<P) ( 1. 12) L’opérateur A*A est semi-défini positif et symétrique. Considérons le problème spectral A*AQ = X (A*A) Q (1.13) qui détermine le système de fonctions propres orthonormées {Qn} et de valeurs propres Xn (^4*4) ^ 0. Le système {£in} est supposé complet. La fonction qp se met sous forme de série de Fourier <P=2«PnQ n. n (1 -1 4 ) OÙ <Pn = («P» &„)• (1-15) Portons (1.14) dans (1.12), il vient, compte tenu de la condition d’orthonormalité des 2 K (A *ii) q>* m i i 2= sup - — —-------{<p„}ee 2j vl (1.16) n *) Par souci de simplicité, on écrira O et <P* au lieu de O (4) et O (4*). 16 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 Q étant l ’espace des coefficients de Fourier. On vérifie aisément que Il A-1 p - V in {A*A) = a (A*A), ^ ^ IM II2= *max (A*A) = p (A*A), où Xm[n (A*A) et Àmax (A*A) désignent respectivement la plus petite et la plus grande valeur propre de l ’ensemble {kn (A*A)} du problème spectral (1.13). La quantité p (A*A) = Àmax (A*A) s’appelle d’ordinaire le rayon spectral de l ’opérateur A*A, et le rayon spectral de A est p (A) = sup { | X (4) | }. Soit A un opérateur auto-adjoint. Considérons le problème spectral Au = Xu. (1.18) On a Il A || = p (4). (1.19) La propriété de A d’être auto-adjoint entraîne de suite p (.A2) = [p (A)]2. (1.20) Soit donné, dans L 2 (Z)), un opérateur positif C. On a (Cep, cp) > 0 . (1.21) pour tous les cp # 0 de O partout dense dans L 2 (Z)), i.e. si / Ç L 2 (D) etr g g O, il existe pour tout / un élément g tel qu’on ait || / — g || ^ e , e étant une constante positive arbitrairement petite. Admet tons que le domaine O* de C* auto-adjoint ne diffère pas de O, si bien qu’on trouve C*cp pour tout cp Ç O. Dans ce cas (C*<p, cp) = = (cp, Cep) = (Cep, cp), où C = y (C + C*). Comme C est positif symétrique, on munit <D du nouveau produit scalaire (/, g)c = = (C/, g) et de la norme Il <P Ile = (Cip, cp) = (Cep, cp), dite norme énergie ou C-norme. On obtient l ’estimation importante Il <PIle = Il <jpl l |< Il C II II <PII2= P (Ô II (pII2, _ (1.22) avec p (C) la plus grande valeur propre de l ’opérateur C. Il nous reste à noter l ’intérêt des fonctions de l ’espace de Sobolev W[ (Z)). Il s’agit d’un espace de Hilbert ayant pour éléments les fonctions ÇL2 (D) qui possèdent dans D des dérivées généralisées premières de carré sommable. On définit dans cet espace le produit scalaire par la formule (voir Sobolev [I; 6], Wladimirov [II]) iu, ’ 2 k=*0 (fcM> .... .(1.23) •’ OPÉRATEURS ET LEURS ADJOINTS • l.i] 17 les dérivées étant désignées par aftq> _ agi + - +8n dxh ~ ... dXy ' <*i + •• •+ a n = k. La norme sur W\ (D) est définie par ll<Pllwi2 = (<P, <P)$■ 2 (1 -2 4 ) Si cp sont dans l ’espace de Sobolev W\ (D) et remplissent la condition (p = 0 sur la frontière dD de Z), on emploie la notation W[ (D). 1.1.1. Estimation des normes de matrices Soit A ^ 0 une matrice semi-définie positive agissant sur les vecteurs de l ’espace euclidien. On a || ( E + o A ) - 1 || < 1 (1.25) (E est la matrice unité) quel que soit le paramètre crÔ. La démons tration utilise la formule || (E-\-oA)~i ||2 = max 4) (4.4) J Puisque A i>0, il en résulte l ’estimation (1.25) pour les vecteurs 9 et 4- Lorsque A > 0, on a évidemment pour 0 > 0 Lemme ( K e llo g g || (E + oA)~l || < 1. (1.27) [XV]). Si la matrice A 0 et 0 ^ 0, alors Il CE - oA) (E + oA)-1 II < 1. Introduisons la notation T = (E — 04) (E + 0 4 )-1 2-0436 (1.28) 18 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 et considérons l ’expression de ||r||2 || T ||2 = max ( ( E - o A ) ( E + o A ) - 1 (p, ( E - o A K E + c A ) - 1*?) ( <P) CP ( ( E — g A ) il?, ( E — o A ) t y ) __ = max ((E + Gi4) \}v, ( E + cu4)\f>) $ (\j), \b) —2a Mob, + i4^) <*, W + 2o(A^ iD)+ o*(i4ip, A$) < 1. Le fait que A est semi-définie positive est en l ’occurrence essentielle. Pour A positive, on a avec a > 0 : \\(E - oA) (E + aA)-1 \ \ 0 à spectre positif. On utilise la méthode de Ljusternik [IV; 16]. Soit le problème spectral Au = Xu. (1.30) On suppose qu’il détermine le système complet de vecteurs pro pres uk £ Ô et le système de valeurs propres positives Xk (A). (Le problème du spectre est étudié à fond par Marek [VIII; 11, 30] et Faddeev, Faddeeva [VIII].) Considérons le processus itératif (p(n+l) = cn = g, avec g un vecteur non nul quelconque et cn un facteur de normalisa tion choisi de préférence sous la forme = Il <Pm llOn a ,(n+l) _ A <P(n) Il <p<">Il Soit 0 < a (.4) = )■ !< . À,2 P(4)=lim||q><»>||. 71-► oo (1.31) = p (4). Evidemment (1.32) La complétude supposée du système de vecteurs un entraîne en effet le développement cp<0)= 2 ghuk, h i.l] OPÉRATEURS ET LEURS ADJOINTS 19 où gu = (g, ut), {ut} étant un système de vecteurs propres de la matrice .4*. Vu la relation de récurrence Ang cp(n>= A ■ *in 1} IA*~'g | on a lim || cp(7l) ||= lim \A*g\ An~1g | Puisque k on obtient pour n suffisamment grands A-g = P" (4) {u* + O [ ( )*] } , avec P (.4) = Xm la plus grande valeur propre de A. Si l ’approximation initiale g est par hasard une combinaison linéaire de vecteurs propres associés aux valeurs propres autres que P (A)y on trouve toujours P (A) par approximations successives car le développement de <p(n) renferme toutes les composantes des vecteurs de base (effet des erreurs d’arrondi). La dernière relation implique / g h - m + o i f e n donc Cherchons la plus petite valeur propre de A. Considérons la matrice *) B = fi (A) E — A (1.34) et le problème spectral Bu = X (B) u. (1.35) Evidemment B ^ 0. Il découle de (1.34) que A et B possèdent une base commune {u&}. Imitons le cas précédent et considérons le processus itératif il vient l|Sir <1'36) p (B) = lim || H>*">||. (1.37) n->-oo *) Au lieu de p (A) on peut prendre tout nombre supérieur. 2* 20 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 On note que (1.34) et le fait, pour A et B, de posséder une base com mune entraînent P(Z?) = p ( 4 ) - a ( A ) . . D’où « (A) = P (4) - p (B). (0 8 ) Ainsi, on cherche-la plus petite valeur propre des matrices de ce type sous forme de différence de plus grandes valeurs propres de A et B = p (A) E — A. Comme p (A) et P (B) s’obtiennent itérati vement de façon indiquée, le problème, s’avère en principe résolu. Il y a à noter que pour A mal conditionnées la plus petite valeur propre a (A) est définie comme différence de P (A) et p (B) impor tants, si bien que dans cet algorithme les erreurs sont possibles non seulement sur la grandeur de a (A), mais aussi sur son signe. On l ’évite en modifiant légèrement l ’algorithme. Soit le processus ité ratif Lé système de vecteurs propres uk de A rangés dans l ’ordre de crois sance des valeurs propres devient un système ordonné de vecteurs k = 1, 2, . . m. Soit propres vk de B de façon que vk = m m ^(«> = 2 K (B) hhAvh, h=l Ÿ ny= S fc=l (B) hhvh, où hh = (h, vt). Lorsque n 1, on a A V " « p” (B) hmAvm, i T >« P” (B) hmvm. Comme A vm = A ux = a (4) ux — a (4) vm, on aboutit à l ’algo rithme o|><"+i>= B a (A) = im#bmi' ? il lim ii (1.39) (1.40) Il v m n Avec la dernière formule, on n’a plus affaire avec la différence de grands nombres, et l ’algorithme de recherche des bornes du spectre de l ’opérateur A est en général efficacement réalisable sur ordi nateur. On note cependant la convergence lente des processus itératifs (1.31), (1.36) et (1.39). On utilise divers procédés d’accélération dont les plus courants sont la technique de Tchebycheff et les mé thodes avec translation (Faddeev, Faddeeva [VIII], Gavourine [IX; 4], Wilkinson [VIII]). S’agissant des matrices symétriques, le calcul de a (A) et p (A) se fait de préférence avec la norme énergie. 1.1] OPÉRATEURS ET LEURS ADJOINTS 21 Quand on optimise ou effectue des appréciations théoriques des algorithmes, on doit souvent connaître la norme de A et celle de son inverse A ~x. On a les relations suivantes vraies pour tout opérateur inversible (A<p, A<p) (AMcp, (p) lMH2= sup sup P (A*A) <peo ( <p) (peo ( <P) et || A 11|2= sup (PGO (<p. <p) sup <P6<» ((AA*)-' (P, (P) = [a (.4M)]"1. (<p. <p) D’où \\A\\ = VV(A.'A) , (1.41) H^-1ll = (/« (i4 M ) )~l. (1.42) a (A*A) et p (A*A) s’obtiennent par le procédé décrit des approxi mations successives. L’algorithme de recherche des bornes du spectre d’une matrice positive permet d’optimiser les processus itératifs par des méthodes très évoluées (voir Chapitre 4): Ces processus deviennent constructifs et s’appliquent heureusement en physique mathématique. Les bornes du spectre sont bien évaluées (à part la méthode de Ljusternik) par le théorème de Gershgorin (voir Faddeev, Faddeeva [VIII]) : une matrice arbitraire A d’ordre m et d’éléments aki a toutes ses valeurs propres,.X (A) dans la réunion de cercles |z — k = l , 2, . . . , m. où 2 K * IZ= 1 lj=k Ce théorème entraîne entre autres l ’estimation du rayon spectral P (^ )< m a x S \ahi\. h 1=1 L’avènement des ordinateurs de plus en plus puissants fait qu’on préfère souvent de chercher des composantes de la solution qui cor respondent à plusieurs premières valeurs propres des problèmes spectraux A y — tap. Cela signifie qu’on procède comme plus haut pour trouver la valeur propre = a et le vecteur propre associé ux. Soit A une 22 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS matrice symétrique à spectre simple {A,n}. itération : [CH. 1 et u2 s’obtiennent par 7$nr et on suppose que l ’approximation nulle \|:(0) = h et les approxima tions suivantes \|)(n) ne contiennent pas de composantes relatives à ux. A cet effet, (1.39) doit se dérouler avec orthogonalisation par rapport à ux telle que <ÿ<n>= ^ n>-~aiUll (1-^3) ax étant une constante choisie à partir de la condition d’orthogonalité de et ux, i.e. à partir de (ip(n>, Mi) = 0. (1.44) Multiplions (1.43) scalairement par ux, il vient, compte tenu de (1.44), W n\ Ul) = ( ^ n\ ux) — flxK , w ^-O . D’où ax Ui) («1. ul) ' (1.45) On aboutit à l ’algorithme ^(n+i) = 5 Il j (n> . Il axux (1.46) Lorsque n ->■ oo, le processus (1.46) tend vers u2 et la valeur propre %2 s’obtient par la formule X2= lim Il Axpm |1 n-*oo Il Il Les vecteurs suivants et les valeurs propres associées se définissent de façon analogue. Supposons, en effet, calculés k premiers vecteurs propres u1, u2, . . . . . ., uh. On demande uh \ Utilisons le processus itératif ^(n+l) = £ yn) _ ,j,<n, _ F r* » ! avec alt a 2, . . ., ah calculés par la condition d’orthogonalité de \|)(n) à tous les wx, u2, . . ., uh. Finalement, on a « i K , wj) = 0|><n>, “i), a2(u2, u2) = (ij-‘n>, u2), Mfe) = (^ <n>, uh). i.l] 23 OPÉRATEURS ET LEURS ADJOINTS D’où , _ hl*n), »i) 1 (“ l . Wj) W(n>, U») > 2 (u 2, u 2) Uh) ’ •••’ k (u k , Uh) ' Avec n tendant vers l ’infini, le processus construit converge vers uh+1 = lim 7l-»-oo et la valeur propre correspondante est calculée par la formule 11^ < n>Il || îjj(n) U • Chose à noter, deux orthogonalisations successives doivent être séparées par un nombre relativement important de pas d’itération pour que les erreurs d ’arrondi dues aux vecteurs « amortis » ne soient pas trop grandes. Il serait bon d’orthogonaliser. les approxi mations « initiales » cp(0). La méthode décrite illustre une façon de chercher les premières valeurs propres et les vecteurs propres correspondants des matrices symétriques à spectre simple. Plaçons-nous dans le cas de A non symétrique, i.e. on aborde deux problèmes spectraux : Aq> = tap, ^4*cp* = Kip*. (1-^7) Les vecteurs propres et le spectre de (1.47) sont toujours supposés réels et les valeurs propres simples. Les bases {(pn} et {(p*} sont biorthogonales, i.e. (<Pn» <Pm) = 0 si ïi =^= m. K+i = n-*-oo lim L’algorithme de génération de premiers vecteurs propres procède comme suit. On trouve u1= lim B n-*-oo ih * B>n u* = lim B * || || 71-+00 et la plus petite valeur propre fl X1= lim Il ’ -^*(71) || A*^*W || lir<">ll ’ puis on cherche de proche en proche les autres vecteurs propres et les valeurs propres associées. On utilise le processus itératif n-*oo Il 'f<n> Il nZo Ÿ n+i) = B ÏW T ’ ^*(n+i) _ fl* y <n> Il r (n> Il ’ 24 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 avec — W z — . . . — ahuky ÿ (n> = ¥ > — ÿ*<n >==i|>*<n >— &lM? — fc2u f — Les constantes aly . . ., ak et bu . . , conditions d’orthogonalité ( ? n\ t f ) = Of . . . — bhu%. sont calculées moyennant les i — 1, 2, . . . , k. (^*(n\ u*) = 0, Etant donnée la biorthogonalité, il vient (\|)<n), a?) — a* (a*, u t) = 0, ( ^ * (n\ uù — biiUi, uf) = i = l , 2, .. Finalement, on définit les constantes a*, bt par les égalités N*n). „*) (“i, uf) ’ * W*(«)f U£j (w*, u.*) i = 1, 2, La transformation Çi? inspire aujourd’hui une classe d’algorith mes plus efficaces pour la résolution complète des problèmes de valeurs propres. Grâce à Frencis [VIII], Koublanovskaïa [VIII; 8], Wilkinson [VIII], pour ne citer que ces auteurs, on a vu apparaître plusieurs programmes et procédures de première qualité pour la recherche des vecteurs et valeurs propres des problèmes d’algèbre linéaire, qui s’appuient sur l ’algorithme QR. Ces programmes et ces procédures concurrencent avec succès les schémas itératifs et ils s’imposeront visiblement dans des classes étendues de problèmes, y compris pour les matrices d’ordre élevé. Dans le dernier cas, l ’efficacité de ces algorithmes dépend essentiellement de la puissance des ordinateurs. Or, celle-ci augmente sans cesse. Selon l ’auteur, la résolution complète des problèmes de valeurs propres va déterminer, “dans le cadre de l ’évolution générale de l ’Analyse numérique, le renouveau de la méthode classique de Fourier en ce qui concerne les problèmes de la physique mathéma tique qui se ramènent à des problèmes d’algèbre linéaire. En effet, soit le problème d’algèbre linéaire A q — f, (1.48) dont on demande les solutions avec le même opérateur A et f diffé rents. Connaissant les solutions des problèmes spectraux Aw — Xw, A*w* = Xw* OPÉRATEURS ET LEURS ADJOINTS U] 25 sous forme de systèmes complets {wn} et {w*}, la solution de (1.48) et le second membre / doivent être cherchés comme sommes de Fourier m <P= S fPn^n. d-49) î ~ 712= 1 /n^m OÙ / * = ( /, a p portons (1.49) dans (1.48) et multiplions scalairement par iu*, il vient le système algébrique ^7i*P/i ~ /m n — 1, 2, * * *7 ai, qui entraîne pour 0 Ainsi, la solution du problème (1.48) s’écrit 771 . = (1-50) 71=1 Lorsque les vecteurs propres connus du système sont en nombre restreint, disons k < m, la méthode de Fourier permet de chercher cette solution sous la forme k â Psi M = il, (1.52) II 8- (1.51) 71= 1 Ici | vérifie l ’équation avec k 11 = / — 2 fn Wn- 71=1 Il paraît de prime abord que (1.48) est ramené au problème analogue (1.52) . Formellement, il en est ainsi. Mais si la matrice A est d’ordre élevé au point que les deux problèmes en question ne se prêtent qu’a des procédés itératifs (voir Chapitre 4), il s’avère que s’agissant de (1.52) ceux-ci sont beaucoup plus commodes en calcul automatique. Ce fait détermine l ’intérêt de l ’algorithme décrit destiné à fournir THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS 26 [CH. 1 les premiers vecteurs propres du problème spectral. Ces idées nous seront utiles plus d’une fois lorsque nous aurons à former des pro cédures de calcul. 1.1.3. Valeurs propres et fonction^ propres du laplacien Soit (1.53) A = -A , &= étant le laplacien. On définit l ’opérateur A = — A sur un ensemble O dont les éléments satisfont aux conditions suivantes. Primo, <p = 0 sur dD, (1.54) avec dD la frontière de Z). On admet pour simplifier que D = = {(x, y), 0 < x < 1, 0 < y < 1}. Secundo, toute cp {x) est continue dans le domaine fermé D + dD ainsi que ses dérivées d’ordre 1 et 2. Tertio, les fonctions cp forment un sous-espace O dans l ’espace hilbertien L 2 (D) avec le produit scalaire (a, b)= j abdD, (1.55) D où a Ç L2 (D), b £ L 2 (D), et la norme ll«Pll = U(?7V). (1.56) Etant données ces hypothèses, on montre la symétrie de l ’opé rateur A . Considérons une fonction cp* £ L 2 (D) et la fonctionnelle (4cp, cp*) = — [ cp* A ydD (1*57) D (les conditions imposées à cp garantissent la borne de (^.cp, cp*) quels que soient cp*). On suppose que cp* est suffisamment régulière et on obtient moyennant la seconde formule de Green (4cp, <p*) = — j d s - j <pAq)*dD, dD (1.58) D n étant la normale extérieure à Z?. Si cp* remplit la condition aux limites cp* = 0 sur dD, (1.59) on a, compte tenu des conditions (1.54) et (1.59), (Acp, <p*) = — j q>Acp* dD = (cp, 4cp*), D (1.60) U] 27 OPÉRATEURS ET LEURS ADJOINTS i.e. A = A* et A est bien symétrique. Il ressort de l ’analyse des transformations effectuées que cp* doit posséder des dérivées con tinues *). Conclusion: A est auto-adjoint sur O. Voyons quelle est la définitivité de A. Considérons la fonction nelle (Acp, cp)= — j cpAcpdZ). (1.61) D On a par la première formule de Green : (4<p, < p ) = - J < p -f^ + j [( ■ £ ) dD + ('S ') ] d D • C1 -6 2 ) D Comme <p remplit la condition (1.54), on a pour toute cp Ç O non identiquement nulle. Considérons dans ce contexte un problème de valeurs propres. Il est connu (Courant [II], Sobolev [I ; 6]) que le système orthonormé de fonctions propres du problème Au = Xu dans D (1.64) est complet si u = 0 sur dD. (1.65) Il est de la forme ump = 2 sin ïïizix sin pny, (1.66) où m = 1, 2, . . . et p — 1, 2, . . ., les valeurs propres de l ’opéra teur A étant (1.67) Xmp {A) = (m2 + p2) Jt2 > 0. Il en résulte que 2 n2 < %m p (A) < oo. Ainsi, ( 1 . 68 ) a (A) = 2k2, p (A) = oo et (Acp, cp) ^ 2îx2 (cp, cp). A est donc défini positif et non borné. Vu la complétude du système de fonctions propres {ump}, toute fonction de O se développe en série de Fourier <p(*. y) = S 2! V m p U m p (*, y) = S <Wi (*. y)m p i (1.69) *) Cette analyse a lieu sous des contraintes très sévères sur la solution. On montre que la formule de Green et, partant, tous nos raisonnements restent en vigueur pour toute cp de l ’espace de Sobolev W\. 28 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. î Le système {ump} est orthonormé, si bien que <ï>i = (<P, «i)> (1-70) avec i le nouvel indice repérant le numéro des termes. Nous avons considéré le problème de Dirichlet pour le laplacien dans un carré. S’agissant des domaines plus compliqués et des opé rateurs à coefficients variables, les valeurs propres ne s’obtiennent pas sous forme explicite et on localise le spectre par des techniques spéciales. 1.1.4. Valeurs propres et vecteurs propres du laplacien aux différences finies Soit un ensemble de points (xk, yj), où xk = k/n, y x = Un, n étant un entier naturel donné et k et l des entiers naturels quelconques. Cet ensemble ponctuel constitue un réseau, ses points sont les nœuds du réseau et la quantité h = 1In est le pas. Introduisons la notation D h — {(xh, yi), 1 k < n, 1 Z<< n) et appelons dDh le réseau basé sur les nœuds dont l ’une des coordonnées est soit 0, soit 1. Les fonctions définies sur un réseau sont des fonctions discrètes. particularisera l ’ensemble des fonctions discrètes q/1 définies dans D h. On associe à chaque cp Ç O une fonction discrète ((p)h selon la loi suivante: la valeur de (y)h au nœud (xk, yf) est cp (xh, y t). La correspondance indiquée est un opérateur linéaire de O dans G)h (sous-espace des fonctions discrètes sur D h) qu’on appelle projection de = A y sur le réseau à condition de poser (\|^)^ = (^4cp)^. La correspondance entre (cp)ft et (Aq>)h est un opérateur linéaire défini sur les fonctions discrètes. Il constitue, une projection de A sur le réseau et se note (A)h. Cette projection sur un domaine discré tisé conduit à des équations aux différences finies. (Les méthodes de construction correspondantes, l ’approximation, la stabilité numé rique et la convergence de la solution du problème approché vers la solution du problème exact seront examinées dans la suite.) Soit cpft une fonction discrète de composantes cp^ i et le lapla cien aux différences associé à un réseau régulier de pas h défini par l ’égalité (1.71) (A V k , Supposons (ph £ <X)h nulle sur la frontière du domaine discrétisé, i.e. (<P%,i = 0 sur dDh, (1.72) introduisons les opérateurs aux différences (A *<pft) fc ,i = - |- ( *,J+1—<Pft, 0. (V»9n)ft,! = x (<Pk, i — q>k,j-i). Soient A h, A x et A y des opérateurs aux différences définis par A ^ — A X “f" A y 9/ A x = —A* v*, Ay = —A„ Vy. (1' 73) On a -A * = A x + A y = A h. L ’ensemble des nœuds tels que ou bien k = 0, n, ou bien l = 0, n forme dDh (on rappelle que selon (1.72) 9^ s’annule en ces points nodaux). Dans la suite, on omet h indiçant les fonctions discrètes 9 et 9*. Soit le produit scalaire (a, b) = hz "S i f ahJbh,, fc=l z= 1 et la norme ll<Pll = / ( 9 , <P)Formons la fonctionnelle ( A \ , cp*)= —A2 S S [(Ax V* ! + (Ay Vy tp)ft, j] < !• ft=l Z=1 On a les identités suivantes analogues aux formules de Green (Ladyjenskaïa [II; 5], Samarski [III; 12]): n -1 n — S (AxV*<p)ft,J<Pk, I = S (V*9k z(V*9*)ft, J. M „ -, d-74) — S (A*V*<ï>)ft,i<Pft, 1= — S (A*V*9*)M<Pft.ift=l k=t Les formules (1.74) ne sont justes que pour 9 Ç h avec (1.72) et 9* £ telles que 9ft, i = 0 sur dDh. (1-75) Des égalités analogues ont lieu pour les sommes par rapport à L On obtient, à l ’aide de la seconde relation (1.74), (Ah9, 9*) = (9. ^ V ) , d’où Ah = (Ah)* et (^4a) = d>* {(Ah)*). 30 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 Considérons la fonctionnelle n - l n —1 ( j 4 V ) > 0 si <p n ’est pas le vecteur nul. Soit enfin le problème spectral Ahu = Xu dans Dhy (1.76) u= 0 sur dDh. Les vecteurs propres orthonormés associés ont pour composantes Ump = 2 sin mnkh siri pnlh, (1.77) m = 1, 2, . . . , ra — 1 ; p = 1, 2, . . . , n — 1. 77—171—1 On rappelle que (umiPi, umiPi) = h2 2 S Dans (1.77) k k— 1 Z—1 et l indicent les composantes et m et p les numéros des vecteurs propres qu’on range comme suit: ump = ul, i = 1 ,2 , . . . Etant données les relations évidentes — (Ax s/xUi)kî = 2 ( ^ s i n 2-^j~ sin mnkh ) sin pnlh, — (Ay V yUi)hi i = 2 sin mnkh ^-^-sin2- ^ - s i n pnlh ) , les valeurs propres s’écrivent 4 (Ah) = - jL ( Si n 2 ^2- + s i n 2 J& .) (1.78) \ m et p varient entre 1 et n — 1. Donc h = — -^mh ^ (n — i) h = = 1 — h et h 1 — si bien que Ici Xj (^4ft) représentent (^4^) ordonnés de façon adéquate. Puisque ^ est de règle < 1 , on a les égalités approchées nh nh O (h4), cos2—- - = 1 — 0 (A2), sin^ APPROXIMATION 31 donc a(i4ft) < X ,< P ( 4 A), (1.79) a{Ah) = H W * ! ~ 2n2’ P {Ah) = IlAh H« W ■ (1-8°) OÙ Quel que soit h # 0, l ’opérateur A h est borné, tandis que l ’opé rateur différentiel ne l ’a été pas. Ainsi, la réduction effectuée « a amélioré » les qualités spectrales de l ’opérateur. La base de vecteurs propres (1.77) permet de développer cp en série. On a (P= S(j)£W£, (1.81) <Pi = (<P. u i )• (1-82) i OÙ 1.2. Approximation Soit un problème opératoriel de la physique mathématique Aw = / dans Z), acp = g sur o u , (2.i) N 7 avec A un opérateur linéaire, <p £ O et f Ç F. Ici O et Z7 sont deux espaces de Hilbert d’éléments définis respectivement dans D + dD et D, a est l ’opérateur linéaire de condition aux limites, g Ç G, G étant un espace hilbertien de fonctions définies sur dD. Soit, dans l ’espace ra-dimensionnel de fonctions discrètes, l ’équa tion = f h dans Dh, ahqh = gh sur dDhJ avec A h un opérateur linéaire dépendant du pas h, cpAÇ g F h, <S*h et F h deux espaces de fonctions discrètes. Ici D h est l ’ensemble des nœuds intérieurs de Z), dDh l ’ensemble des nœuds frontières, ah un opérateur linéaire, gh Ç Gh, Gh étant l ’espace euclidien des vec teurs définis sur dDh. Prenons sur F h, Gh, les normes respectives ||*||F/i, ||• IIg^^ l'HIo^. Soit (:-)ft l ’opérateur linéaire qui associe à (p £ O un élément (<P)a 6 ^1 que lim || (<p)A \U = || (p ||0 . o Nous dirons que le problème (2.2) approche le problème (2.1) à Vordre n par rapport à la solution cp s’il existe des constantes positi- 32 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 ves h, M ±1 M 2 telles qu’on ait pour tous les h < h (2.3) et rc = min (nu n2). Lorsque la solution de (2.1) est suffisamment régulière, on cher che l ’ordre d’approximation moyennant la norme naturelle de l ’espace des fonctions continues dérivables. On utilise en l ’occurrence le développement taylorien de la solution et des autres fonctions du problème. Pour plus de détails le lecteur est prié de s’adresser à Godounov, Riabenki [III; 33, 34], Richtmyer [III], Kantorovich, Akilov [I], Samarski [III ; 12]. Dans la suite nous supposerons que le problème (2.1) a été ramené à la forme (2.2) et qu’on a de plus éliminé la solution aux points frontières de D h + dDh moyennant la condition aux limites du dernier problème. On a en définitive (2.4) A \ h = f hy et la solution aux points frontières s’obtient de (2.2) après avoir résolu (2.4). On utilise selon le cas soit l ’écriture (2.4), soit (2.2). Ainsi, le problème à argument continu (2.1) se trouve ramené au problème d’algèbre linéaire (2.4). Il reste à résoudre le système d ’équations algébriques. E xem ple. Soit le problème —Acp = / dans Z), cp = 0 sur dD. (2.5) On suppose que le domaine de définition D est le carré {0 < x < 1, 0 < y <C 1} et que / est une fonction régulière. Recouvrons le carré D = D + dD par un réseau régulier de pas h en x et y. Les nœuds seront indicés par k et l: k (0 ^ k ri) indique la discrétisation par rapport à x et l (0 l <1 n) joue le même rôle pour y . Considé rons les approximations AæVx ((p)fc, <Pyy AÿVÿ (<P)/l» avec Ax, Ay, Vx, V y les opérateurs aux différences définis au point 1.1.4. On approche le problème (2.5) par -[A,V*q>fc+ AyVy<!>h] = f h dans Dh, ‘Ph, i = 0 sur dDi" ( 2 . 6) Approximation 121____ 33 dDh étant l’ensemble des nœuds frontières; Il est déjà apparu que le problème (2.6) peut se ramener à —Ah<ph = f h dans Dh, <ph = 0 sur dDh, (2,7) avec cp*1 et f h deux vecteurs de composantes respectives <p£ ; et (A (p )ft, î = “^2"((Pfe+lj l+l^Wk, l- 1 ^Pfe, ?)> xf c + l/2 ^ + l/2 fK i= ^ 2 ] j fd x d y x h - 1/2 y l —i / 2 l \ h ^ft±i/2 = ^ ± "2“, , h \ yi±i/2 — yi ±-~2j- Noterons l ’espace des solutions definies dans D h + dDh = = {(Æk, ÿ/) ; 0 <. k <; ri, 0 I < /z}. Le vecteur fh (z Fh a pour domaine Z>A = {(a:fe, i/z) ; 1 <! k ^ n — 1, Déve loppons la solution en série de Taylor au voisinage du point (xh, yi) et admettons que les dérivées par rapport à x et y jusqu’à l ’ordre 4 inclus sont continues, il vient <P(*> = 2 T r { [ ^ - ^ ) ^ + ( ÿ - ^ ) - ^ - ] n<p}f t , + n= 8 + T r { [ < * - * ‘ >i , +8i . avec (x , ï/) un point quelconque du domaine {xft. 1< x < a ; ft+1) |6 j|, |Q2| < 1, et Xk+Bt = xk + dth, yi+ot — yi + Qzh. La fonction / (a:, y) admet un développement analogue. Munissons Fh de la norme \\fh ||F, = max \ fk i I et procédons h k,i de façon analogue avec Gh. Prenons pour (q>)h le vecteur formé de valeurs de ^v |, |(p*v ||. Dans ce cas, les conditions aux D limites sont approchées exactement. 3-0436 34 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH; 1 Il découle de (2.8) que le problème (2.7) approche (2.5) à l ’ordre 2 par rapport aux solutions de (2.5) possédant des dérivées quatriè mes bornées. Dans les cas considérés, on s’est intéressé aux seules variables d’espace. Soit le problème d’approcher l ’équation d’évolution *) — + Acp = / , dans D xD u acp = g sur d D x D t, cp= cp° dans D pour (2.9) £= 0. L’approximation s’effectue en deux étapes. On approche d’abord dans (Dh + dDh) X D t par. rapport aux variables d’espace et on obtient une équation qui est différentielle en t et discrétisée en les variables spatiales. Dans ce problème hybride, on élimine des fois facilement les solutions aux points frontières de {Dh + dDh) X D x moyennant les conditions aux limites discrétisées. Une fois cette élimination faite, on aboutit à une équation d’évolution de la forme * f + A(p* = (2.10) où A, f h et q/1dépendent de t. Nous omettrons l ’indice h dans (2.10) que nous assimilerons à un analogue discrétisé par rapport aux variables d’espace du problème initial. L’équation (2.10) constitue évidemment un système d ’équations différentielles ordinaires pour les coordonnées de q/1. Soit le problème de Cauchy ( 2 . 11) cp= g pour f = 0 , l ’opérateur A étant supposé indépendant de t . Comment approcher (2.11) par rapport au temps? On utilise le plus volontiers les schémas aux différences d’ordre 1 et 2 en . Considérons d’abord le schéma explicite simple qui approche à l ’ordre 1 sur le réseau D x - 2 ~ ^ + a <pW , <P°=ir, (2.12) où t = fy + 1 —* t j , f est une projection de / . Pour simplifier les notations nous posons f = / ( f y ) . *) Une équation est dite d'évolution si elle est résoluble explicitement par rapport à la dérivée première en t et si les dérivées par rapport au temps ne figurent pas dans A . APPROXIMATION 1.2] 35 S’agissant d’un schéma implicite simple, on a + Af i+1 = f*’ = S, (2,13) et on prend f égal à / (tj-+1). Les deux-schémas approchent à l ’ordrô 1 par rapport au temps. On le vérifie sans peine en développant en série de Taylor par rapport à t sous l ’hypothèse que la solution admet par exemple des dérivées secondes bornées (par rapport à. t). Résolvons (2.12) et (2.13) par rapport à l ’inconnue, il vient là relation récurrentielle cpi+1 = 2V + t S f , (2.14) T et S désignant respectivement Vopérateur de transition et Vopérateur de source définis comme suit : T = E — tA, S — E pour (2.12) ; T = (E + tA )- \ S = T pour (2.13). Nous dirons que les schémas du type (2.14) pour les équations d’évolution sont à deux niveaux. Dans les applications, on recourt souvent au schéma de CrankNicholson qui réalise une approximation d’ordre 2 : S ! ^ s L + A - 3 2 + 3 l = l ‘, V = S, (2.15) où f — f 'îtj+xii). Ce schéma se met sous forme (2.14) si r “ ( £ + T A ) " ‘ ( £ ' - T A). {'■: • l A ) '• Il y à des fois intérêt à écrire les équations aux différences (2.12), (2.13) et (2.15) comme système de deux équations dont l ’une approche l ’équation même dans D hx et l ’autre Ta condition aux limites sur dDhx. L’analogue aux différences du problème (2.9) se met sous la forme L hW " = f h' dans lhxq>h‘*= gh‘t sur Dhx, dDhx, où X Dx, = Dh x {0} (J dDfr x Dx, h (2.i7> Il lhX(«p)*t - ghx l b ftT< M 2hn + N #*. A l ’instar de (2.3), (*)/ix est l ’opérateur de projection sur l ’espace discrétisé correspondant. 3* THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS 36 [CH. 1 L’équation aux différences sous forme canonique (2.14) se récrit L(p = / (2.18) si l ’on introduit des fonctions vectorielles et de nouveaux opérateurs dans D h X D x, D x étant l ’ensemble {^}. Ainsi, l ’équation d’évolution a été réduite, compte tenu des -conditions aux limites et des données initiales, au problème d ’algèbre* linéaire (2.18). On utilise selon le cas soit le réseau D h, soit D h X D x. Dans un cas particulier, on ramène à (2.18) un problème aux limites du type elliptique, une équation intégrale, et ainsi de suite. La condition d’approximation s’écrit de nouveau sous forme (2.17) avec le seul paramètre de discrétisation h, valeur maximale de l ’en semble {Az/} des pas d’espace. Exemple. Considérons le problème Acp=—- —Acp = / dans D x Du (p = 0 sur d D x D tJ (2.19) cp= g dans D pour t = 0. La solution sera supposée définie dans (D + dD) X D t, D étant •encore un carré et D t = {0 t ^ T}. Passons de D à D h, de dD à dDh et de D t à D x. Soit D x un ensemble des points tj et tJ+1 — tj = = t . Le problème (2.19) peut être approché par Ahx<pj = f dans Dh x D XJ cpJ = 0 sur dDh x Dx, (2.20) q>° = g dans Dh x {0}. Considérons le schéma d’approximation explicite simple {Ahx<t)l ! = _ Ah ^ ^ (2.21) j /(*> «/» tj) dx dy, (2.22) xk + 1/2 n + 1/2 { = xk- i /2 Vl- 1/2 xk+l/2 Vl + i/2 ëk' l = ~W Î J *(*» V ) à x d y . (2.23) xh - 1/2 Vl-i/2 auquel cas j + TAVftiZ+Vft. i dans Dh x D x. (2.24) Dejplus, <V{tl = 0 sur dDh x Dx, Çft, i = gh,i dans Dh x {0}. (2.25) 1. 2] APPROXIMATION La relation de récurrence (2.24) se récrit <P£7 = T i j + t/1 , h 37 (2.26) avec T = i? + ifAh = E — %(Ax + ^42) l ’opérateur de transition, >1* (j4x = ^4*, A 2 = 24y) étant définis par (1.73). Evaluons la norme de T et cherchons à cet effet la plus grande valeur propre de T: Tu = X (T) u dans D h, ^ u = 0 sur On a l ’égalité évidente K (T) = 1 + (A*). La norme cherchée est donc de la forme Il ^ Il = niax { 11 — p- cos2 -— | , et si 11 — g - s i n ^ |} , (2.28) alors H ^ H d . A part l ’approximation explicite d’ordre 1 en t, on considère une approximation implicite qui est d’ordre 1 en î et d’ordre 2 en h. L’expression (2.21) fait alors place à (Ah\ y K , (2.29) Les quantités fi, i et ghi z sont données par les formules (2.22) et (2.23). Dans ce cas, (2.20) ne s’explicite plus et on a l ’équation opératoriellè (E —xAh) (pj^,1 = cp£ j + t/fe, i dans Dh x D x (2.30) qu’on résout sous les conditions *Pfe, i = 0 <P*. i = gh,i sur dDh x Dx, dans Dh x {0}. (2.31) j + x /ii) . (2.32) Récrivons (2.30) : avec T = (E~~ %Ahy \ La norme de l ’opérateur T vaut alors ||7’ || = m a x /- 1 nh COSJ . . 8t . * Jth 1 + - ^ smâ- T donc || T || < 1 quels que soient t et h. V+V (2.33) 38 THEORIE DES SCHEMAS AUX. DIFFÉRENCES. GENERALITES [CH. 1 Utilisons le schéma de Grank-Nicholson et définissons les opé rateurs et les fonctions du problème (2.20) par les égalités (AhT<pÿk<l= (2.34) èt x h + l / 2 t y + 1/2 fh. t — J î j j H*, y, tj+ i/2)dxdy. x k - i f 2 y i - 1/2 (2.35) x k + \ / 2 V i+ 1/2 j[ J S JJ) d x dy . x k - l / 2 V l - 1/2 On se ramène au problème ( E ~ T Ah) «pfr1= ( E + T ^ ) < , + V Î,i dans (2.36) x U wi.i — 0 sur dEh x Dx, (2.37) «Pk,i = gk,i dans Z)Ax{0}. L’équation (2.36) est résolue formellement par rapport à l’inconnue (2.38) ou r = ( £ - | A ft) S = ( E - ± A h) \ La norme de l ’opérateur de transition est égale à ' 4t nh . 4x '. . nh 4— ^ - cos ~ ‘ “ I F 8111 T i m i = max < ,—, 4t „ nh » . . 4x . 9 Jth l hl -+ ~ w cos — 1 + ip r sm2 — D’où II T II < 1 II- >. 1(2.39) 4 L3. Stabilité numérique Il n ’est pas dans nos intentions de donner son entière généralité à la notion de stabilité numérique des schémas aux différences car nous nous intéressons principalement à l ’outillage algorithmique simple de l ’analyse de leur qualité. De nombreux auteurs ont examiné clivers aspects de-la théorie de la stabilité et abouti à des généralisa tions de valeur (Rjabenki, Filippow [VI], Lax [VI], Godounov, Riabenki [VII; 2], Yanenko [III], Isaakson, Keller [III], Richtmyer, Morton [III], Samarski [III; 12]). 1.3] 39 STABILITÉ NUMÉRIQUE Nous illustrerons les définitions et les notions de cette théorie sur l ’exemple de-plusieurs schémas aux différences. Commençons par le schéma explicite (2.12)................ . V + t / \ f = g: : \ (3,1) On cherche la solution cpj pour 0 xJ T. \ Supposons que l ’opéràteur-'A > 0 .possède un système complet de fonctions, propres {un} et l’ensemble de valeurs propres associées {^7i > 0} correspondant au problème spectral -U Au = Xu. Introduisons les séries de Fourier (3.2) = S tynuni î == 2 fnun,i nt avec q£ = (<pJ, ut), /£ = (/', u % gn = (g, ut) (ut étant les fonc tions propres du problème spectral adjoint). Portons (3.2) dans 0.1) et multiplions scalairement par w*, il vient,; pour les coeffi cients dé Fourier, . tà+ï = (l —tK )< P i+ T f}n. (3.3) Comme on a la condition initiale (3.4) <Pn = gn• , On résout (3.3), (3.4) par élimination successive des inconnues. Finalement rlën + T 2 rjr'fn 1. (3.5) i—l . OÙ rn = 1 — r l n,. L’avant-dernière égalité entraîne pour T > 0 (3.6) I ^ K l'-n h ^ l + T J ! I ^ r '- V n " 1!.' On renforce cette inégalité en remplaçant | = max | /j | : l<rél <l''n|-|gnl,-H l - ’i | par j /„ | = (3.7) On doit à von Neumann le critère spectral de stabilité (Richtinyer, Morton [III]) qui dit que si chaquè coefficient <p£ dé la série dé Fourier de (3.2) vérifie la relation l<P il<C ln[fnl+C 2n|/ B|, n = i, 2........ (3.8) 40 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 avec Clru C2n des constantes uniformément bornées pour 0 /x Tt le schéma aux .différences (3.1) est numériquement stablef Sous quelles conditions suffisantes imposées aux paramètres du schéma (2.12) on a la relation (3.8) ? Qn montre moyennant (3.7) que ce critère de stabilité est juste avec *) I rn | < 1, n = 1, 2, . . . (3.9) Supposons que l ’opérateur A a son spectre dans l ’intervalle 0 < a (A) < K (A) < p (A). Conformément à (3.6), la relation (3.9) a lieu si 2 T< P (A) (3.10) Cette inégalité constitue justement une condition constructive de stabilité du schéma aux différences (3.1). Il s’agit d’une condition suffisante et le schéma conserve la propriété voulue pour T“ 2 P (A) ’ auquel cas (3.7) devient I <p£ I < ! gn I + 1x | U |. (3.11) Mais / t ^ T7, T étant fixe, i.e. on prend pour x faible un nombre important de pas / et / —^ oo quand x —>- 0, mais de façon que la borne supérieure de l ’intervalle de temps T reste fixe. Les schémas obtenus sont encore stables au sens de von Neumann. Passons à des schémas implicites. Dans le cas de (2.13), on a la relation l ^ < | r n l i | g n l + ; _ | rrnJ | T | r „ | | / n | (3.12) analogue à (3.7). Ici _ r" - 1 1+ tM A ) ■ Lorsque Xn (A) > 0, ce schéma aux différences est évidemment stable quel que soit x > 0 parce que I rn | < 1, n = 1, 2, . . ., et cette stabilité est dite absolue. *) Dans la suite nous introduirons une contrainte plus lâche sur la norme de l ’opérateur, de transition. STABILITÉ NUMÉRIQUE 1.3] 41 S’agissant du schéma de Crank-Nicholson (2.15), les coefficientsde Fourier de la solution s’évaluent par l ^ < k » | j | ? » J + ~ ! j ^ f - ' t | | i B||/ » |, (3.13) OÙ 1 -y M A ) rn “ Z i » = 1+ y M A ) j • l + T Xn (A) D’où | rn | < 1 avec tout x >• 0 si Xn (A) > 0. Il y a lieu de noter que, primo, la stabilité au sens de von Neu mann relève du spectre de l ’opérateur du problème (i.e. le calcul de la plus grande valeur propre ou sa majoration constitue une étape nécessaire de l ’algorithme) et, secundo, le critère spectral en ques tion établit la propriété de stabilité par rapport à chaque composante de Fourier en laissant de côté la stabilité pour la norme énergie. Or, il arrive que la norme de <p7 caractérise seule la solution du problème. On a donc essayé d’autres définitions de la stabilité qui soient afférantes aux normes des opérateurs. Il n ’est pas moins vrai que le critère local de von Neumann joue un rôle absolument fonda mental dans les applications. Passons à une définition plus générale de la stabilité numérique.. Considérons le problème ~~ + A<p=*f dans D x Dt, q) = £ pour £= 0 qui est approché par le problème aux différences cp*+1= 7 y +.%Sfj sur Dh x Dx, (3.14> (3.15) <P(0) = g - Nous dirons que le schéma aux différences (3.15) est stable si l ’on? a, pour tout paramètre h caractéristique de la discrétisation et / •< 77x, la relation Il g\\G]l'}-^2\\ f \\FhJ (3.16) les constantes Cly C2 étant uniformément bornées sur 0 t <. T e t indépendantes de x, h , g et /. La notion de stabilité numérique est intimement liée à celle des problèmes à argument continu bien posés (Godounov [II], M. M. Lavrentiev [II], Yanenko [III]). On peut dire que la stabilité numérique établit, pour les problèmes à argument discret, la dé pendance continue de la solution par rapport aux données initiales. 42 THÉORIE DES SCHÉMAS AÜX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 ^ En effet, soit / = /*, g =- g# les entrées du problème (3.15). Cherchons une solution et notons-la 9*. Prenons / = /* + I, g = = g* + ô pour nouvelles données initiales et soit 9** la solution correspondante. On a pour la différence e == 9** — ip* ei+i _ fç l t e° = fi, et la condition de stabilité s’écrit , liei+1ll®h< ^ l l ô | ^ + C2||ê ||v . Il en résulte que les petites variations de / et g entraînent les petites variations de 9. La définition (3.16) de la stabilité relie, on le constate facile ment, la solution même avec l ’information à priori sur les données initiales. Dans de nombreux problèmes, elle s’avère plus commode que celle de von Neumann encore que son contenu informationnel soit moins riche. Abordons le schéma (2.12) avec cette optique. On récrit la relation de récurrence (3.1) (3.17) <p*+1 = ? y + t f , cp° = g, avec (3.18) T = E — tA , A étant l ’opérateur approchant A. La solution formelle de (3.17) est de la forme = 2—i . r - 7 i_1. ... (3.19) Evaluons-la en norme, il vient ~ (3.20) I I ^ I K I I Î ’ lflk lI + t 2 ||2, ||w ||'/<-1IIi =1 Substituons à || / i-1 |J la valeur maximale, par rapport à tous les 7 de l ’intervalle de temps fixe. Soit || / || = max || f | | , auquel cas Il qp5IK IIT II gl\ + l E j ï T l f t 11/ H- <3-21) Avec l ’hypothèse im i< l, (3.22) le schéma (2.12) est stable au sens de la définition (3.16). La condi tion (3.22) est naturellement une condition suffisante. On pourrait établir des critères plus fins à l ’aide des normes || T1 [|, i = 1, 2, . . . 1.3] STABILITÉ NUMÉRIQUE 43 . . /. Cette stabilité fort générale a été étudiée par Lax ét Richtmyer [VII]. Il y a lieu de dire que le fait d’affaiblir la condition nuit à l ’aspect constructif du critère de stabilité, si bien qu’on utilise dans la pratique la condition suffisante (3.22). Plaçons-nous dans le cas A = A* > 0 et posons (3.23) {voir (3.18)). Alors J [q>] = 1 - 2t i M ï f - + X2 I M i M L , lTJ («P- 9) (9. <P) Soit = S *Pn^n» n {u7J} étant une base de A. Dans ce cas J [çp] = 1 — 2x1 + a2À2, (3.24) où 2 ^71(a.) n S l*n(A)P<rê à2 = n n A q u e lle c o n d itio n d o it ê tr e a s s u je ttie T p o u r q u e / [q>] 1, i.e . 1 —2 tÂ + t2à2< 1 ? Cette condition est n Si p (A) = A || = max Xn (A) = X± (A)f on en tire K (A) „ 2 <p? + 2 MA) *tn n4=1.. MA) ‘Pi I Z. [^ (A))2 »■ Il (A)]2 M 112 Œ VB ^ 1^1 nsfcl Puisque <PÎ+ S K(A) ^1 (A) <vl n=f=\ l^n(A)J« , > 1, <p? + 2 [*1 (A))2 q*" n^=l (3.25) 44 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 on aboutit à la condition suffisante de J [cp] ^ 1 : ^ P (A) * Par définition (1.11) de la norme d’un opérateur, on a Il ^ ||2= sup (J [<p])<l, <p et il y a donc stabilité numérique au sens de (3.16). S’agissant d’un opérateur auto-adjoint, il y a coïncidence de la condition suffisante de stabilité numérique d’après von Neumann et de celle au sens de la définition (3.16). Le lien entre les deux définitions est analysé dans les monographies de Godounov et Riabenki [III ; 33, 34] et de Richtmyer et Morton [III]. On traite de façon analogue la stabilité des équations implicites (2.13) et (2.15) pour lesquelles on a Il <Pj II-< 1 1 ^ 1 1 ^ 1 1 + i l ' j r y, T II S II I I / I I , T’ = (£ + tA )-1, S = (£ + tA )-j pour (2.13); T = (E + - a ) -1 ( E — ■ ^ • A J ,5 = [£ + y ^ ) * dans l ’autre cas. On montre aisément leur stabilité absolue au sens de (3.16) si A >0. Quelques mots sur les passages à la limite. Certains analogues discrétisés de problèmes d’évolution de la physique mathématique le sont en les variables d’espace et de temps à la fois, i.e. l ’opérateur de transition T = T (t , h) dépend des deux paramètres. Dans le cas de la discrétisation complète, on construit en général un algorithme stable par le seul fait d’établir une relation entre x et h qui garantisse la stabilité numérique. Si le schéma aux diffé rences s’avère stable pour tous les t > 0 et h > 0 , il l ’est absolument, et si la stabilité n ’a lieu que pour une relation déterminée entre les pas, le schéma est dit conditionnellement stable. Supposons qu’on se donne une dépendance de la forme t < Ch*9 (3.26) avec C et p des constantes données indépendantes de t et h. On observe que ces relations interviennent d’ordinaire lorsqu’on analyse l’amplitude de la plus « courte » perturbation et qu’elles expriment de règle le lien entre la plus faible étendue et la plus courte durée de phénomènes que nous voulons décrire par le schéma aux diffé rences. Les perturbations plus importantes (de l ’ordre de plusieurs h) sont évidemment décrites plu? exactement. 1.31 STABILITÉ NUMÉRIQUE 45 Supposons que nous voulons améliorer la précision de la solution en diminuant formellement le pas h. On doit en même temps diminuer t afin que l ’inégalité indiquée reste en vigueur pour ces paramètres nouveaux. Cela signifie qu’on peut passer à la limite pour x 0 et h — 0 en récrivant (3.26) par exemple de façon suivante -2- = const<;C. h1' On trouve dans la littérature mathématique d’autres définitions de la stabilité numérique. On dit par exemple que le schéma est stable si Il T\\ < 1 + O (t). (3.27) Avec cette définition, les erreurs d’arrondi peuvent croître exponen tiellement dans le temps pour x petits (Yanenko [III], Rojdestvenski et Yanenko [II, 7]). Les notions de stabilité de Strang [VI], Godounov et Riabenki [III ; 33, 34], Kreiss [VI], Yanenko et Chokin [VII ; 8], Samarski [III ; 12] permettent d’étendre la classe de schémas aux différences utiles dans les applications. Nous avons étudié la stabilité numérique en supposant l ’opéra teur A indépendant du temps. Cette hypothèse est naturelle pour plusieurs problèmes de la physique mathématique et elle permet de plus d’introduire des procédés constructifs très employés en calcul numérique. En effet, l ’étude de la stabilité se ramène à évaluer la norme de T. Il est connu dès le numéro 1.1 que le carré de la norme de T coïncide avec le rayon spectral de l ’opérateur positif auto adjoint T* T et on définit le rayon spectral par le processus itératif (r*T<p<k\ (p<fe)) I I Z T - lim ((j>(k>, <p<k>) <p(ft> étant éléments de <p(ft+t) 1 Il <P<fe) Il (3.28) Ainsi, le problème de définir la norme de T se réduit à une suite de relations de récurrence (3.28). C’est le procédé le mieux élaboré en vue du calcul sur machine. Lorsque T est auto-adjoint, on a Il T || = P (T). Faisons plusieurs remarques d’ordre particulier. L’étude de la stabilité de schémas aux différences se fait des fois par définition du rayon spectral d’un problème infini périodique par rapport aux variables d’espace. Si les conditions aux limites sont non périodiques, on évalue nécessairement le rayon spectral par la méthode de Kellogg pour T construits compte tenu des conditions aux limites réelles. 46 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. t Si A varie avec le temps, le problème de stabilité se compliquesingulièrement car il en est également de la norme de T et, en général, on cherche le rayon spectral à chaque pas vu qu’il dépend lui aussi du numéro du pas temporel. Il y a intérêt dans ce cas à s’adresser à des problèmes aux différences absolument stables (voir Chapitre 4). On note pour conclure que si l ’équation d’évolution est approchée dans les espaces des fonctions discrètes définies sur D h X Z>T, il serait bon de définir la stabilité en termes de mêmes espaces. En effet,, soit le problème aux différences L hT<phT= f hx dans Dh x Dx, n *29^ lh%yhT = ghx - sur dDh x D x. V •" Prenons pour critère de stabilité Il <PhTlbhT< Cy II n hv + Cz II P* ||chT, (3.30) avec C±, C2 des constantes indépendantes de h, t, fhT, ghx sur 0 <1 T. Cette approche générale de la stabilité a été proposée par Rjabenki* Filippow [VI]. Supposons que le problème de la physique mathématique est ap proché par une équation aux différences de façon que celle-ci tienne compte des conditions aux limites. On introduit le critère de stabilité commode l|cp'‘TIK T< C | | / ^ | | fhT, (3.31) C étant bornée sur 0 t Z7. 1.4. Un théorème de convergence Filippov définit la stabilité de problèmes aux différences arbi traires ZATqAx = f hT comme la borne uniforme de l ’opérateur (ZA*)”1. Il démontre que l ’approximation et la stabilité entraînent la convergence de la solution du problème aux différences vers celle du problème différentier (Filippov [VI ; 6]). Lax a proposé pour les problèmes d’évo lution bien posés les définitions de l ’approximation et de la stabilité telles que s’il y a approximation, la stabilité implique la convergence (voir Richtmyer, Morton [III]). Ce résultat porte le nom de théorème de Lax. Qu’il s’agisse de problèmes stationnaires ou de cas d’évolution, on s’inspire des mêmes idées pour établir la convergence. Prenons donc le problème stationnaire Aq> = f dans Z), (4.1) ay = g sur dD UN THEOREME DE CONVERGENCE 47 qui est approché par le schéma aux différences A \ h = f h dans DhJ ah<pIl = gh sur dDx. ’ ' On à le théorème de convergence suivant : on suppose que 1) le schéma aux.différences (4.2) approche le problème initial (4.1) à Vordre n par rapport à la solution (p ; 2) A h et ah sont des opérateurs linéaires; 3) il y a stabilité de (4.2) au sens de (3.30), i.e. on trouve des cons tantes positives h , ClT C2 telles que le problème (4.2) admette pour tous les h < h , f Ç F h, gh Ç Gh une solution cp71 (unique) qui vérifie V iné galité y <p" II f hWFh + C2 II gh ||C/,. (4.3) La solution cp71 du problème aux différences converge vers la solution q> du problème initial, i.e. lim || ((p)ft — q/1 ||0 = 0, et la vitesse de h~*o h convergence s'évalue par Il (<p)h - <Ph IK < (C1M 1 + C2M 2) hn, (4.4) Mi et M 2 étant les constantes de (2.3). D émonstration. Soit h la plus petite des h des définitions de l ’approximation et de la stabilité. Etant donnée la. stabilité, il existe pour n’importe quels seconds membres fh et ghy h < h, une solution unique cp71, i.e. on peut considérer la différence (cp)^ — cp\ h <Ch. A h étant linéaire, on a A h [(cpK ^'cpA] = A h (q>)h — A hy h = A h (q>)h — f . De même, ah [((p)/, — <pft] = ah (y)h — g*. Par suite de la stabilité et de l ’approximation, ^[(cp )h-cp',] = ^(<P)ft- / \ «', [(<pK-<p',] = aft((p)/t-irh, ( ' entraînent, vu que h < h, m H - < f \ \ * h < C 1 \ \ A h {<f ) h - f h \ \ Fh + C 2 \ \ a h (<t)h - g h \\Gh < + C2M2^»»<(C1Af1+ C2M z) hn. On estime, sans restreindre la généralité, que h ■<_ 1, ce qui achève la démonstration. 48 THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS [CH. 1 On rappelle que la propriété de linéarité n’a été supposée juste que pour A h et ah. Godunov et Rjabenki [III] ont étendu la défi nition de la stabilité au cas non linéaire et donné un théorème de convergence correspondant. Plaçons-nous maintenant dans un problème d ’évolution. On a àfh%* [(<p)At - (p^J * £ hT(<f )hx 8ghï=lhT[(y)h^ çhT] = Z hT(9)ftx—ghT.J On trouve à partir de la condition de stabilité (3.30) Il (q>)** U h< C t II ô / * llFfct + C 2 1| 6^ || ou, compte tenu de (2.17), Il (cp)Ax - <fhx \bhx< K i h n + K 2tp9 où K x = C1M 1 + C2M 2, K 2 = C1N X + C2N 2. (4.7) L’estimation (4.7) prouve que la solution aux différences con verge vers la solution exacte et elle donne une idée nette de la con vergence par rapport au pas d’espace h et au pas de temps t. Le théorème ci-dessus assujettit Cx et C2 à la condition sévère d ’être indépendantes de h et t . C’est la première contrainte qui est particulièrement désagréable. Il arrive cependant que ces constantes tendent vers l ’infini avec h 0. Soit ^2 et C\ hm C ’ m ^ 0. On évalue alors la convergence par || cp^ —y hx Hcp^CMhh-m+ N xvhrm. Si fc > /Tl et t ph~m 0 pour r 0, h -*■ 0, il y a convergence. On énonce naturellement un théorème de convergence si C x et C 2 dépen dent de h et t (Strang [VI] [VII]). CHAPITRE 2 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES La construction d’équations aux différences pour les problèmes de la physique mathématique repose sur divers principes. La question est particulièrement bien étudiée si la solution et les coefficients des équations sont suffisamment réguliers, et on trouve alors des schémas d’ordre d’approximation élevé. Ces schémas deviennent un instru ment de travail préféré car la science et la technique se posent des problèmes complexes et laborieux avant que le matériel de calcul approprié fasse son apparition. Il paraît donc utile d ’approcher des fois tel problème avec une précision donnée non pas en augmentant formellement la dimension des sous-espaces (en réduisant par exem ple le pas du réseau), mais à partir de l ’information à priori sur la régularité de la solution *). Cette façon de procéder est très promet teuse dans plusieurs cas. Elle a permis de construire des équations aux différences par des techniques commodes et assez universelles qui s’inspirent des méthodes variationnelles de Ritz, de Galerkin et des moindres carrés. On note néanmoins que la classe de problèmes à solutions régulières est plutôt restreinte, si bien qu’on doit s’in téresser en premier lieu aux méthodes pour les problèmes à coeffi cients discontinus qui interviennent par exemple en théorie de la diffusion, dans la propagation de la chaleur, en hydrodynamique. Aussi nous passerons sur certains résultats originaux de caractère fort général relatifs à la formation d’équations aux différences de haute précision pour donner en revanche une idée générale de la discrétisation d’équations dont les solutions ne sont pas nécessaire ment très régulières. Tous les procédés employés se généralisent naturellement aux problèmes à données et solutions régulières. Pour mettre en relief diverses voies de recherche dans le domaine considéré nous nous adressons d’abord aux problèmes aux limites pour les équations différentielles ordinaires pour exposer ensuite des approches plus ou moins générales des problèmes bi et n-dimensionnels. Les références à la Bibliographie in fine permettront (nous *) Voir également Chapitre 6. 4 -0 4 3 6 50 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 l ’espérons au moins) aux lecteurs d ’approfondir leurs connaissances des aspects théoriques et algorithmiques de la question. 2.1. Méthode de l ’identité intégrale Il existe nombre de méthodes de résolution des problèmes aux limites pour les équations différentielles ordinaires. Nous allons en examiner quelques-unes parmi les plus connues. Notre but étant de familiariser le lecteur avec certains principes de l ’analyse numé rique, nous nous bornerons à des exemples simples qui illustrent au mieux les procédés étudiés. Les méthodes de construction de problèmes aux limites discrets pour les équations différentielles ordinaires à coefficients réguliers constituent un chapitre bien élaboré des mathématiques. Quant à nous, c’est le cas des coefficients discontinus qui nous intéresse. Les problèmes de ce type interviennent dans beaucoup d’applications importantes. Les premiers schémas ont été examinés par Tikhonov et Samarski [IV; 27]. Le présent paragraphe est consacré à la construction d’équations discrétisées de la diffusion à l ’aide d’une identité intégrale obtenue par l ’auteur [XVII; 10]. Considérons l ’équation de diffusion pour les domaines à une dimension (î.i) avec p = p (x) ^ p 0 > 0 le coefficient de diffusion, q = q (x) ^ 0 la section d’absorption pour les particules et / = f {x) les sources de substance diffusante. On estime que p, q et / sont des fonctions continues par morceaux sur [0, 1] avec peut-être des points de dis continuité de première espece. On demande la solution de (1.1) possédant le « flux » dérivable avec les conditions aux limites q> ( 0 ) = 0 , q» ( 1 ) = 0 . ( 1. 2) Soit, sur l ’intervalle de variation de x , deux systèmes de nœuds: {xk} (système principal) et {#&+i/2} (système auxiliaire). Les points de {xh} et de {xh+x/2} alternent, i.e. xk < xh+1/2 < #&+!• On suppose x k+1 - f x h que #k+i/2 , 0 X q <C # 1/2 X n _i/2 #n 1* 2 2.1] MÉTHODE DE L’IDENTITÉ INTÉGRALE 51 Intégrons (1.1) par rapport à x de xh_l/2 à xk+1/2, il vient la relation du bilan Xk+l/2 —/fc+1/2 + Jh - \ / 2 + \ — f)dx = 0, (1*3) xh-1/2 où Jk±\j2 = J (^fe±l/2). Cherchons J h±1/2. On intègre (1.1) sur l ’intervalle (^ _ i/27 æ) 3C / > - g - = / k _ 1/2 + J (O T -/)d l, xh-1/2 on divise par p et on intègre de xk_x à xh xh <Pft — <Pfc-i = Jh-i/2 j -y + j (1.4) il vient X — j ( q ( f - f ) d l . (1.5) Xk-1 *h-x ^_ l/s Résolvons cette équation en J k - 1/2 • xh A ( 1 . 6) J h—112 : 9 ft — J - y - J {qv— f ) d\ r dx Xh-l xk-l/2 ) 7 xh-1 Par substitution A = A; + 1 dans (1.6) on obtient une expression analogue de / fe+1/2. On a donc déterminé les flux Jk±i / 2 Par les fonctions connues et la solution. La relation (1.6) est exacte. Portons (1.6) et l ’expression de Jh+1 / 2 dans (1.3), il vient Vk+l — Vh *k+i r dx J ~ , cpft—<ph -— + j dx_ Xk + l / 2 ] (gcp —f)d x = *Xk-X/2 h xk - l = --T T j î f I (n -n < H + xk+i/2 R, + - j î t dx_ 1 4* x J ( M - f w * o - 7) xh Xk - l / 2 52 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [GH. 2 qui constitue Y identité fondamentale permettant d’obtenir des équa tions aux différences finies. Introduisons l ’opérateur A défini sur la classe O de solutions de (1.1) par l ’égalité (A<p)k = xh+\f2 1 / 9a+i —9a —9a- i f qq> dx — a*A | xk+i xk J r dx f dx Xk-ll2 J ~ \ J ~ xk xk-i X xk+i xh r dx 1 r dx l ncc\ ^7? 1 1 J 99 l J p Xk xk+i J P r dx. “f-1 xh xh+i/2 J ~ i f xk xk-i et le vecteur / de composantes *) xh+1/2 = J fdx+ + * Wj* dx_ d -*hî f *k+l1/2 ?f j dx_ xh_t J ( 1. 8) avec Axft = Æft+i/2—xft_i/2, Jc=i, . . . , n — 1. Nous supposerons, pour simplifier l ’exposé, que les solutions de (1.1) sont de classe O formée de fonctions ayant une certaine régu larité et vérifiant les conditions aux limites tp = 0. Groupons les relations (1.7) pour A = 1, . . . , n — 1, il vient le système = f. (1.9) Considérons diverses approximations de (1.9). Munissons l ’espace F h de fonctions discrètes de la forme cph = (qp^, . . ., qpn-i) définies aux points xlt x2, . . ., xn_! de la norme A=1fplAxft. !l<ph H K = S *) Ne pas confondre avec / (xft)I ( 1 . 10) MÉTHODE DE L’IDENTITÉ INTÉGRALE 2*1] 53 Soit le problème approché ( 1 . 11) A h<ph = ? \ ou 1 / &xh | xh+1 J dx xk ■ j’ dx xk+ih j qdx Xk - l / 2 ( 1. 12) xh-i xh+\{2 *ft-l/2 pour /c = 1, . . n — 1, et cpo = (pn = 0. Utilisons l ’inégalité tri angulaire, on a par définition de l ’approximation *) Il Ah (<p)h — f h Hj^-ÎI l AIIfjj + II r]h ||Fh + Il @h IIf^, (1.13) OU x h+ 1/2 ( x h+ 1/2 xft+i J f \ j q<pdx — (pft j gdxj, j y- J W « |. î dx ft + l / 2 xk - i x h - 1/2 P (©A)ft = X 1 xk+lf f t< * ^fc+ldx xjiJ .P Xk+l/2 ç J ~ xk Xft-l/2 A-l Il l h IlF,. Il T)*IlFh ef I g, f 6 Ç(2) (0, 1)» P 6 Q{3) (0, 1), Q{S) (0, 1) étant l ’espace des fonc tions continues par morceaux sur (0,1), ainsi que leurs dérivées jusqu’à l ’ordre s inclus, qui présentent peut-être des discontinuités de première espèce en 0 < Vi < y 2 < • • - < Vm < 1- L’ensemble des points {yi}"Li sera supposé appartenir à l ’ensemble des nœuds *) (u)h désignera partout, pour toute u continue sur [0 , 1], un vecteur (n — l)-dimensionnel F h de composantes u x £ ( k). 54 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH: 2 {xk}kZ\, condition nécessaire dans l ’analyse des erreurs d ’appro ximation. Les hypothèses faites entraînent la continuité de la solution cp du problème (1.1), cp étant continue sur chaque [yh yi+iFiZl ainsi que toutes ses dérivées d’ordre 4 inclus, i.e. (p £ Ç(4) (0, 1). Voyons le comportement des composantes des v\h et 0^ si h <C 1, h = max | xh+1 — xh |. En développant en série de Taylor 0<K n-l usuelle au voisinage des nœuds, on montre facilement que les modu les des composantes sont majorés par les composantes correspondan tes de o>\ où Nh si xk se confond avec l ’un des y x, 1= 1, m, (*>*)* = M (| A ^ +i/2 —&Xk-i/ 2 | + h2) dans les cas restants, M et N étant des constantes positives. Nous avons introduit la nota tion = xh+1 — xk. Eh effet, admettons que le domaine de définition de la solution renferme un point de discontinuité des coefficients. Soit x = x x ce point. On écrit par suite de (1.10) 71 —1 il iikh = fc=l 2 k£l +(©'')? Axi- Supposons ensuite que h = max {Axhy 2 (1 — ^-1/2)» 2#i/2}. Etant donnée la relation 71 - 1 1 —% < s Asft< 1, 1 les estimations locales ci-dessus de (coh)k entraînent \\(*h\\2Fh< M W + N2h\ D’où l|co,l||^ < C Â 3/2. Ainsi, les normes des vecteurs erreurs de discrétisation £h, i\h et &h s’évaluent par max (|| l h ||jpfc! || V ||v || 0^ \\Fh)<Ch*/2 (1.14) avec C une constante positive indépendante de h, si, ou bien lé réseau est régulier sur chacun des [0, yx], [yu y 2], . . ., [ym, 1], ou bien il est quasi régulier, i.e. | Axk^ 1/2 — Âxk^ / 2 | ^ Ch2, C une constante positive, n’a lieu pour h 0 qu’un nombre fini de fois. On pourrait continuer la liste des conditions, mais celles citées ont une importance pratique particulièrement grande. 2.1] MÉTHODE DE L’IDENTITÉ INTÉGRALE 55 Avec p, q ou f d’ordre de régularité inférieur d’une unité, on a l ’estimation Le schéma (1.11) est d’usage peu fréquent parce que l ’intégration explicite de p, q et f s’avère quelquefois difficile. On recourt en général à la variante simplifiée <Pfe—(pfe-t (Pft+l tyk (qAx)k , (A \\‘Pk-i/2 Axk {Pfc+ l/2 &Xk + l / 2 &x k - l / 2 fh+ 1 / 2 (x h *ft-1 / 2 ) ~t~fk -1 /2 (x k+l/2 x h+ 1 / 2 k = 1, 2, x k) x k -i/2 7i — 1. ' Dans ce cas simple toutes les déductions relatives à la grandeur de l ’erreur de discrétisation restent en vigueur à condition de conserver l ’hypothèse correspondante sur la régularité des données du problème. Passons au problème de convergence de la solution aux différences de (1.11)-(1.12) vers la solution exacte du problème initial (1.1) dans les hypothèses faites sur la régularité de p, q et /. Il suffit d’établir la stabilité du schéma (1.11) et d’utiliser le théorème de convergence. On évalue par l ’inégalité de Cauchy-Bouniakovski (^ W hKllq>hM / * l l v où le produit scalaire est compris au sens de n- 1 C1-15) ■ (<P. Ÿ )= * 2 A zftqvP fe 71 = 1 (q>, ÿ £ Fh)- Voyons de plus près le premier membre de (1.15). Comme q (x) ^ 0 et p (x) ^ p 0 > 0 par hypothèse, on a (<p\ f h) = (<ph, ^ V ) = n fe=1 n -1 j ÈL xk+l/2 n h=i **-1/2 fe=1 12 xk-i avec (p/l un vecteur non nul parce que solution du problème non homogène (1.11) de matrice non dégénérée A h. Etant donné que cp0 = = 0, on écrit k k <Pfc=2 (<pj ~~ <pj-i) = 2 V A x j—\j2-, j- 1 y Axi~i/2 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES 56 [CH. 2 d’où pour les sommes moyennant l ’inégalité de Gauchy-Bouniakovski ?Î = ( 2 - Ï Ç ! < (j2=l ) ( s7=1 )■<72=1 ■ Enfin, s ^ ft=l < 2 ÈEÜ S r 2 4 ï ‘ < 2 7= 1 fe=l 7=1 71—1 du moment que 5j Axh < .l. • <*•") On tire de (l7l5)-(1.17) n I I ^ I K - I l f l K X q ) '1, / h)> P o S (% - ^ l)2>j?oll<P'111^ ’ 7= 1 si bien que inégalité qui constitue par définition la stabilité de l ’algorithme aux différences. Le théorème de convergence (pour la norme (1.10)) fournit donc la majoration \\Bh \\Fh< K h ^ (ek = (<p)fc- < p fc), K ^ — étant une constante positive *). La technique décrite a beau être importante dans la pratique, nous n’en avons besoin que pour la comparer avec les tactiques de discrétisation nouvelles. 2.2. Méthodes variationnelles en physique mathématique Considérons la fonctionnelle simple (voir Smirnov [V]) J(u)= ? \ n(x, w, u ')d x, *0 (2.1) *) S’agissant de notre cas, c’est à vrai dire une estimation grossière. L’ana lyse plus fine montre que II e* \\F < Mh2 (Tikhonov et Samarski [IV; 27]). 2.2] M ÉT H O D E S V A R IA T IO N N E L L E S E N P H Y S IQ U E M A T H É M A T IQ U E 57 avec jt = jc {x, y , 2) une fonction donnée continue dans E 3 ainsi que ses dérivées premières et secondes par rapport à x, y, z (E3 est l ’espace euclidien de dimension 3, y et z dépendent de la variable x). Supposons la fonction u = u (x) prendre des valeurs données aux extrémités de [x0, Xj] u (x0) = u0, u (xy) = u±1 (2.2) u (x) étant continue sur [x0, xx\ et y admet une dérivée continue u9 (x). Définissons l ’e-voisinage de u = u {x) comme étant une famille de ux (x) qui vérifient sur [x0, xx\ tout entier l ’inégalité I ui (x) — u (x) I ^ 8* (2.3) Etablissons la condition sous laquelle la fonctionnelle J (u) possède un extrémum dans l ’e-voisinage. On prend à cet effet une fonction r\ (x) telle que T| (*o) = T] fo) = 0, (2.4) et on construit ua (x) = u (x) + ar] (x), avec a un petit paramètre. Portons ua (x) dans la fonctionnelle J, il vient J ( ua) = j jt (x, u (x) + ar\ ( j c ) , u ' (x) + a r ]' ( # ) ) dx. *0 Développons la fonction sous J en série de Taylor suivant a. On se borne à des infiniment petits d’ordre 1 et on a J (â) = J (u) + aJ' (u). (2.5) ? 6 / (u) = \ (jtuT] + ^tt'Tl')dx ( 2 . 6) La quantité x0 s’appelle variation première de la fonctionnelle / . La formule (2.5) régit la liaison entre la variation de / , la quantité à varier a et la direction de la variation r\ (x). L’intégration par parties de (2.6) donne xi 8J (u)= j î](Æ)[nu — - ^ - j v ] d r = 0 X5 (nous utilisons les conditions (2.4)). (2.7) 58 M É T H O D E S D E C O N S T R U C T IO N D E S C H É M A S A U X D IF F E R E N C E S [C H . 2 Etant donné l ’arbitraire de r\ (x), on conclut que la courbe u (x) qui réalise l ’extrémum de (2.1) vérifie l ’équation différentielle n“ _ "3T,Iu' = 0 (2-8) qu’on appelle équation d'Euler. Nous nous sommes placé dans le cas simple d’une fonction u et d’une variable indépendante x. Des cas plus complexes se traitent de façon analogue. Soit par exemple la fonctionnelle J = j j n (x,.y, ux, uy) dx dy, (2.9) D où tc possède un certain degré de régularité comme dans le problème précédent. On cherche une solution u (x , y) continue ainsi que ses dérivées partielles d’ordre un et deux, qui a une valeur donnée sur la fron tière et rend extrémale la fonctionnelle / . On procède comme plus haut et on aboutit à l ’équation d’Euler de la forme nu dÿ = (2.10) Les résultats se généralisent évidemment au cas de n variables. Ainsi, on examine un même problème de la physique mathéma tique soit avec l ’optique des équations différentielles (équations d ’Euler), soit en termes de fonctionnelles variationnelles minimisées par une fonction. Dans ce cas la fonction extrémale est solution de l ’équation d’Euler. Soit par exemple le problème d2u ku = /, ( 2 . 11) w(0) = m( 1) = 0, où k et / sont suffisamment régulières (k est non négative). Considérons la fonctionnelle variationnelle /== j0 [ { ^ y + k u 2 ~ 2f u \ d x - (2-12) On cherche l ’équation d’Euler correspondante. On pose i i = ( i j ) 2 + *w2~ 2/wLa relation TCti dx Uu' ~ 0 (2.13) 2.2] MÉTHODES VARIATIONNELLES EN PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 59 entraîne — d £ + ku = 1> (2.14) à laquelle on adjoint la condition u (0) = u (1) = 0. (2.15) Cela signifie que si chaque élément du domaine de définition de J remplit cette condition, l ’extrémum de la fonctionnelle (2.12) qu’il réalise, fournit la solution du problème (2.11). L’équivalence des deux positions du problème se démontre de façon rigoureuse par des raisonnements supplémentaires. Introduisons la notation Au = - ÿ r + ku et supposons que u (0) = u (1) = 0 et que u (x) remplit certaines conditions de régularité. L’espace de ces fonctions constitue le domaine 0(^4) de l ’opérateur A. Le pro blème (2.11) s’écrit formellement Au = /, u £ Q (A). Considérons la fonctionnelle J (u) — (Au, u) —2 (/, u) = = î 0 pour u£<î)(A). Soit ( — S + * u - - 2/ ) w Æ r = î 0 [ d ) 2+ kuZ- 2fu ] dx n = ( ^ y + ^ 2- 2 f u . On vérifie sans peine que l ’équation d’Euler est donnée par le pro blème Au = f , u e CD (A), (2.16) associé au problème variationnel J (u)= min J{u). (2.17) vÇO(A) Cherchons les conditions d’équivalence de (2.16) et (2.17). On consi dère l ’équation plus générale Au — /, 60 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 où A est un opérateur linéaire positif auto-adjoint de domaine O (4), ensemble partout dense dans l ’espace de Hilbert H muni du produit scalaire (,), à valeurs dans H, u £ O (A), / étant un élément de H. On a l ’affirmation suivante (voir Mikhlin [I]): si la solution du problème (2.16) existe, elle réalise le minimum de la fonctionnelle J (u) = (Au, u) — 2 (u, /). On suppose pour le démontrer que u0 est solution de (2.1), i.e. A u 0 = /. Soit ri un élément non nul arbitraire de O (A) et a un nombre réel quelconque. On définit va par l ’égalité Va = u 0 + auquel cas J (ua) = (A (u0 + ar\), u0 + ar\) — 2 (u0 + ar\, /). A étant auto-adjoint, on a J (va) = J (w0) + 2a (Au0 — /, ri) + a 2 (At|, tj). D’où J ( v a ) = J K ) + a 2 (4*1, îl)On en tire J (va) > J ( u 0) pour tout a =£ 0 (2.18) vu la positivité de A. Cela signifie que le minimum de la fonction nelle J (v) est atteint en ua = uQ. La réciproque est également vraie, à savoir l ’élément u de l ’espace hilbertien H qui rend minimale la fonctionnelle J et appartient à O (A), est solution de l ’équation opératorielle Au = /. En effet, soit u0 Ç O (A) minimisant J (u) et tj un élément quelconque du même domaine. Il est connu que w = au + pu (a et p étant des constantes) se trouve pour tout u, y Ç O (4) dans O (4). Aussi va = u0 + + aTi £ O (A). Sous l ’hypothèse de u0 réalisant le minimum de / , on a J (u0 + airi) > / (u0). (2.19) Admettons que a est réel. Avec A supposé symétrique, la relation (2.19) conduit à 2a (Au0 — /, T)) + a 2 (Ar], T]) > 0, ce qui ne peut avoir lieu que si (Au0 - U r\) = 0 . (2.20) Ainsi, A u 0 = / est orthogonal à tous les éléments .de O (A), si bien que A u 0 — / = 0. 2.2] MÉTHODES VARIATIONNELLES EN PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 61 Plus bas, nous parlerons en détail de la position variationnelle de problèmes de la physique mathématique et décrirons des méthodes principales de résolution. La plupart des résultats sont empruntés à Mikhlin [I] où Ton trouve de même la démonstration des théorèmes énoncés. Nous allons raisonner sur l ’équation différentielle elliptique 2 Lu = — 2i, j —1 du ■dirAi}{x) dxt 2 2 Bt (*)■£“ + ? ( * ) » = / . ( 2 . 21) x —{xi, x%) £ D, donnée dans un domaine borné D avec la condition aux limites de la forme ( 2 . 22) u — 0, x Ç dD (problème de Dirichlet). On suppose que l ’opérateur L o = — 2 (2.23) i, j =1 agit dans l ’espace de Hilbert F = L2 (D), a pour domaine l ’ensemble O (L 0) de fonctions u Ç L2 (£2) telles qu’on ait (2.22) et Lu Ç L2 (£2), est auto-adjoint au sens de Lagrange et n’est pas dégénéré, i.e. tout vecteur non nul S = (Si» S2) satisfait à l ’inégalité 2 2 inf 2 o2U ? x£D i , i = i i= i (2.24) avec une constante positive \i0. On admet de plus que la fonction q (x) est non négative dans D et que le problème (2.21), (2.22) possède une solution, d’où des questions : quel est le degré de régularité des données? est-ce qu’il s’agit d’une solution classique ou d’une solu tion généralisée? et ainsi de suite. Nous supposerons, primo, que la solution est classique et apparo tient à l ’espace de Sobolev formé de fonctions £L2 (D) qui pré sentent dans D des dérivées généralisées de carré sommable et s’ano nulent sur la frontière dD. On met sur W\ la norme (voir n° 1.1) (l.ll ={J u^D + \ D (2.25) D On admet que les propriétés des données du problème (2.21), (2.22) (par exemple la régularité des coefficients et de la frontière) garantis sent l ’appartenance de la solution à l ’espace donné. Nous suppose- 62 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 rons, secundo, si besoin est, que les solutions ou les données remplis sent des exigences supplémentaires nécessaires de régularité. Avec ces hypothèses, on se débrouille mieux dans les principes de base de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles, qui consti tue le but principal de ce chapitre. 2.2.1. Méthode de Ritz Admettons que B u i = 1, 2, sont identiquement milles dans D . Avec cette hypothèse supplémentaire, on prouve facilement l ’iden tité intégrale 2 (L<p, \|>) = j i|;Z,<p dD = J [ 2 D D A n ( x) - § ^ S j + (l i x ) ft ^ } dD (2-26) i, j = 1 pour toutes les fonctions cp et du domaine de L. Associons au problème initial (2.21), (2.22) le problème varia tionnel de trouver u £ O (L), O (L) étant le domaine de L, qui réa lise le minimum de la fonctionnelle quadratique J (u) = j uLu dD —2 j fu dD. D D Selon (2.26), le domaine de définition O (J) de la fonctionnelle J contient le domaine de L, i.e. O (L) O (/). Munissons O (/) du nouveau produit scalaire défini par 2 (cp, t|>)l = ( £ cp, •*!>)= j { D 2 + i, j = l 1 3 et de la norme associée II<p IIl = (<p » cp)i/2. En complétant <D (/) pour la norme introduite, on obtient l ’espace normé complet F L, espace énergétique engendré par L dont chaque élément appartient à F . Formulons le problème variationnel proposé en termes de F L. On dit que si u Ç O (L) est la solution du problème (2.21), (2.22), elle minimise J dans F L. Inversement, si J (u) = min J (u) vEFl (2.27) et u Ç O (L), alors u est la solution de (2.21), (2.22). Comme il y a unicité, on considère naturellement, au lieu de (2.21), (2.22), le problème variationnel (2.27) et les méthodes de résolution correspondantes. 2.2] MÉTHODES VARIATIONNELLES EN PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 63 Parmi celles-ci, la méthode de Ritz est la plus connue. Appliquons-la à l ’équation opératorielle Lu = f (2.28) dans l ’espace hilbertien F à produit scalaire (u, v), l ’opérateur L étant auto-adjoint et défini positif dans F. Nous savons déjà que la recherche de la solution de (2.28) équivaut au problème de trouver un élément de F qui réalise le minimum de la fonctionnelle J (u) = (Lu, u) — 2 (u, /). (2.29) Introduisons une suite des sous-espaces F h ^ F L de dimension n définis par une suite infinie de paramètres 7^, h2, . . hh ---- > 0. h-+oo Nous dirons que la suite {7^} est complète dans F L s’il existe pour tous les u Ç F l et 6 > 0 un h = h (u, e) ;> 0 tel que inf || u — w|| <;£ (2.30) weFh quels que soient h < h. Autrement dit, la propriété de complétude de {7^} signifie que tout élément u Ç F est approché aussi exacte ment qu’on le veut par les éléments des F h. La méthode de Ritz consiste donc à chercher un élément uh 6 F h qui minimise J (u) dans F h. On affirme qu’avec L défini positif dans F h, si la suite {7^} est complète dans F L, alors la suite d’appro ximations {uh} de Ritz converge dans F L vers la solution u de l ’équa tion (2.28). Quand la base de F h est supposée connue et formée de fonctions { (p i} ^, le problème de trouver uh Ç F h équivaut à la recherche des coefficients du développement Nh uh= S (2.31) 2=1 en minimisation de / . On substitue comme d’habitude (2.31) dans la fonctionnelle J et on égale à 0 les dérivées dJ}uCC ui ■, i = 1, . . N h. Le système d’équations algébriques linéaires obtenu s’écrit A a = g, (2.32) avec a et g des vecteurs de dimension N h, gi = (f, <Pi), (2.33) et A = ( ) est la matrice de Gram du produit scalaire du système de vecteurs {cpj avec l ’opérateur L, i.e. h- (2.34) 64 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 Comme atj = a^, la matrice A est symétrique. L’inégalité Nh Nh ( ^ , g ) = ( L ( S ^ ) , 21 6»<Pi ) > 0 (2.35) i =1 i=l avec ^ # 0 entraîne sa définie positivité. Si la solution du problème variationnel est limite d’une suite d ’éléments qui ne vérifient pas tous les conditions aux limites du problème différentiel, ces conditions sont dites naturelles (par exemple, les conditions de Neumann sont naturelles). Si les con ditions aux limites sont remplies par chaque terme de la suite, elles s’appellent parfois conditions essentielles (la condition de Dirichlet est du nombre). Lions [I] et Babuska [V] ont proposé une méthode de pénalisation qui permet de ramener de façon approchée un problème avec conditions aux limites essentielles à un problème variationnel avec conditions naturelles. S’agissant du problème de Dirichlet, on pose par exemple le problème de minimisation de la fonctionnelle J e[(ue) = j (ueLue)LdD —2 | fued D + Z j u%ds, D D dD avec e un paramètre suffisamment petit, ' Quand le problème de Dirichlet discrétisé se rapporte à l ’équation de Poisson (voir Babuska [V]), on choisit e = fea, a > 0, auquel cas / 6 W\ s’évalue par || u — uz \\w\ < ch» || / ||wî, et {j, = min ( y , k — 1——) . Cette formule donne pour k donné un g tel que l ’ordre de convergen ce p soit maximal. 2.2.2. Méthode de Galerkin L’inconvénient majeur de la technique de Ritz est qu’elle joue uniquement pour les équations à opérateurs définis positifs auto adjoints. Ce défaut n’est pas propre à cet autre procédé variationnel qu’est la méthode de Galerkin (ou de Boubnov-Galerkin). Décrivonsla pour l ’équation opératorielle Lu = f dans l ’espace hilbertien F (O (L) est dense dans F), où L = L 0 + K, L 0 étant un opérateur symétrique défini positif et O (L0) ^ O (K), On introduit une fois de plus une suite des sous-espaces Fh cz FLo, h = hx, h2, . .., de dimension finie ayant les bases {9^=1. L’appro ximation est cherchée sous la forme uh = 2 cw ?, i=l (2.36) 2.2] MÉTHODES VARIATIONNELLES EN PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 65 avec a t choisis de façon que le résidu Luh^-f soit orthogonal à tous les éléments de F h. On aboutit au système Aa = g, (2.37) où &ij = (W}> <Pi)> gi = (f, <p'i)> i, 7 = 1, •••, N h. (2.38) On calcule les coefficients { a j et on obtient sans peine la solution approchée (2.36). On vérifie facilement que le système (2.37) coïnci de pour L auto-adjoint positif avec le système (2.32) donné par le procédé de Ritz. Voyons la convergence des solutions approchées (2.36). On a le résultat suivant. Si la solution u du problème L u —f existe et est unique dans F9 la suite {F/J est complète dans F (au sens de la définition du point 2.2.1) et l ’opérateur L~XK compact dans F, alors les approxima tions successives uh de la méthode de Galerkin convergent dans F vers la solution exacte u. On montre que ces conditions sont satisfaites pour le problème O modèle (2.21), (2.22) si l ’on prend pour F l ’espace W\. Dans la méthode étudiée on ne suppose plus les fonctions {Bt identi quement milles. Voici une modification de la technique de Galerkin avec L 0 un opérateur qui n ’est en général pas symétrique et défini positif. Soit L~l borné défini sur F tout entier. L’équation considérée équivaut à u+ L^Ku=r, r =L~0'f. (2.39) Désignons par F1 l ’espace de Hilbert muni du produit scalaire (u, u)i = = (L0u, L 0v) et de la norme || u ||x = || L 0u ||. La méthode de Galerkin s’énonce pour (2.39) de façon suivante. Soit Fh des sousespaces de Fx de dimension finie de bases { q # } ^ . On cherche la soluNh tion approchée sous la forme uh = i =l étant définies par le système linéaire les inconnues { a j ^ i ( u \ <p?)1+ (L;1iCtth, <$! = (/', <!>&, i = i , . . N h. (2.40) Il est déjà apparu que s’il y a unicité pour Lu — /, la suite {Ffc} est complète dans F± et l ’opérateur L ' XK compact dans alors la suite des uh converge vers la solution exacte dans F aussi bien que dans F^ Remarque. Le système (2.40) équivaut à {L0uh, L 0^ ) + { K u \ L 0^ l ) ^ { f f L 0^ ) , i = l, . . . , N h (2.41) qui définit la méthode des moments, un autre procédé variationnel de grand emploie 5—0438 66 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 Dans le procédé (2.40) (ou (2.41)), on se heurte entre autres au problème de choisir les fonctions de base. Si {cpi}^ possédant certai nes ^propriétés d’approximation sont données à priori, il arrive que ie système {\l?i}i2i, ifi = L 0cpi, se prête mal à l ’étude, ce qui se répercute de façon fâcheuse sur l ’évaluation de la vitesse de conver gence, l ’analyse des singularités de la solution et des caractères spé ciaux au problème. Considérons un algorithme de génération des fonctions de base qui a été utilisé dans plusieurs problèmes aux limites par Marchouk et Agochkov [V ; 5], L’image de l ’opérateur K et la fonction f sont supposées dans un sous-espace F (K , /) cz F. On se donne dans F (K , /) un système de fonctions de base à support borné d’ordre h telles que la suite {\j)?}, h = h±, h2, . . . , soit complète dans F (K , /). Formons les fonctions {cp? , avec q>l = Lô1^ . Elles sont linéairement indé pendantes pour tout h et jouent le rôle de fonctions de base dans la résolution de (2.39) par la méthode de Galerkin. Précisons certaines propriétés de l ’algorithme décrit. Les fonctions {cp*}St possèdent par construction les singularités de u propres à L 0 et, avec choisi de façon spéciale, on tient compte des singularités connues à priori de w — f — Ku. Il arrive que w présente des propriétés de dérivabilité meilleures que la solution même. Dans ce cas, on essaie de bien approcher w par des fonctions de base initiales en nombre insignifiant et on escompte la convergence rapide uh u. Si la solution de (2.39) dépend des variables x u i = 1, . . ., n et tous les éléments de F (K , f) sont fonction de i — 1, . . ., m < ny seule, il suffit évidemment que {if>t t utilisées dépendent seule ment de z u i = 1, . . ., m < n, et on approche avec w Ç F (K , /). Quant à la solution u, elle est approchée par uh par rapport à toutes les variables. Cela diminue considérablement dans la pratique le nombre de fonctions de base nécessaires et, partant, l ’ordre du systè me (2.40), chose importante lorsqu’on a affaire aux grands problè mes de la physique mathématique. Récrivons (2.40) de façon équivalente : Nh Nh 2 «i O li rô) - - S «f (Æcp?, ) + (/, rô), (2.42) 1=1 1=1 7 = 1, . . . , N h. On constate sans peine que i|5j, / = 1, . . ., N h, étant à support bor né, il apparaît dans le premier membre de (2.42) une matrice bande (ou creuse), ce qui facilite des fois la résolution par des méthodes itératives. La propriété indiquée de ij$, /' = 1, . . ., N hi a également 2.2] MÉTHODES VARIATIONNELLES EN PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 67 h Nh pour effet de simplifier le calcul des {cp*} i=i , des éléments des mat rices et des valeurs de (/, \J$). Il y a lieu de supposer que l ’utilisation des bases spéciales {9?} assure une efficacité suffisante de la méthode de Galerkin pour des problèmes aux limites où L q1 est construit assez vite (par exemple pour L 0 inversible sous forme explicite : opérateur différentiel dans l ’équation de transport, laplacien dans un carré, un disque, etc.). 2.2.3. Méthode des moindres carrés La méthode des moindres carrés est très employée dans les pro blèmes aux limites de la physique mathématique. Décrivons-la pour l ’équation opératorielle Lu = f (2.43) dans l ’espace hilbertien F. Soit F h des sous-espaces re-dimensionnels de F de bases 9?, . . * . . ., 9 ^ , Fh O (L), domaine de L (on peut, au lieu de L, considé rer son prolongement L tel que O (L) soit complet). On forme les solutions approchées (2.36) au sens des moindres carrés par les égalités - ^ ■ ||L « - / || = 0, i = i , . . . , N h, (2.44) et il vient le système linéaire (2.37) de matrice A = {ai}) et de vec teur g = (gi), où aij = (L<p'}, L<p'}), gi = (f, L(p'}), l < i , j < N h. (2.45) Si L est un opérateur non singulier dans O (L), il y a évidemment symétrie et définie positivité de la matrice A. On formule des conditions suffisantes de convergence de la métho de des moindres carrés. Les approximations successives uh convergent dans F vers la solution exacte u de (2.43) si celle-ci admet une solution unique, la suite LFh est complète dans O (L) et il y a existence et borne de l ’opérateur L -1. La deuxième condition s’interprète comme suit. Comme au numéro 2.2.1, la complétude de LFh signifie *) qu’on indique pour tout u f O (L) et tout e >> 0 un h = h (u, e) > 0 tel que inf || Lu — Lco || < e ^ Fh *) L’écriture LFh a un sens car Fh c= O (L) par hypothèse. 5* (2.46) 68 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 quels que soient F h, h < h. Il est évident que sous l ’hypothèse de u (solution de (2.43)) unique, les conditions du théorème garantissent -aussi bien que uh j ^ 0 u. S’agissant des problèmes aux limites, la méthode des moindres carrés le cède aux deux techniques précédentes pour ce qui est de vérifier si la solution limite remplit les conditions aux limites. Voici deux voies possibles à suivre. 1) On impose aux fonctions des espaces Fh de vérifier exactement les conditions aux limites. Cette tactique semble tout indiquée, mais elle s’avère difficile à réaliser numériquement même pour le pro blème mixte relatif à l ’équation elliptique (2.21). 2) On peut utiliser la « méthode des poids » et poser un problème variationnel auxiliaire (voir par exemple Bramble et Sçhatz [V]). On procède comme suit. On associe à l ’équation aux dérivées partielles d ’ordre 2m Lu = / dans D (2.47) avec les conditions aux limites L tu — fi sur dD, £ = 1, . . ., 77i, (2.48) .la fonctionnelle ni J h (u) = Il Lu - / IP + S ct (h) Il l iU- /,- IP, (2.49) i=»1 avec {ci (h)}iLi des fonctions positives du paramètre h caractéristique <de la suite des F h. On a pour l ’analogue aux différences du problème auto-adjoint (2.47), (2.48) par rapport aux solutions régulières: ct (h) = ^2(2m-mi-i/2)j m . étant l ’ordre de dérivation le plus élevé dans L t, On cherche les approximations uh par les moindres oarrés comme solutions des problèmes variationnels inf J h (u) = / (uh). u^Fh Les fonctions uh convergent vers u quand h -+• 0, et l ’équation (2.47) est asymptotiquement vérifiée, ainsi que les conditions (2.48). Ceci étant, les éléments des sous-espaces F h ne vérifient pas nécessairement les conditions aux limites. 2.3. Schémas variationnels aux différences pour les équations à coefficients discontinus Les travaux de Lions [I] [II] [V], Oganessian, Rivkind, Roukhoêtz [V ; 8], Aubin [V], Birkhoff, Schultz, Varga [VI, Babuska [V] ont -ouvert une ère de la construction des équations aux différences à la lumière des principes du Calcul des Variations. Plusieurs idées intéressantes sont nées dernièrement dont la plus prometteuse est 2.3] SCHÉMAS POUR LES ÉQUATIONS A COEFFICIENTS DISCONTINUS 69 d’utiliser les fonctions à support borné en qualité de fonctions d’essai (ces fonctions sont différentes de 0 dans une région relative* ment restreinte (de l ’ordre du pas du maillage) et identiquement mil les partout ailleurs). On a vu l ’avantage qu’on a parfois de chercher la solution sous forme de combinaison linéaire de fonctions à support borné, les coefficients inconnus de la combinaison étant choisis à par tir de la, condition de minimum d’une fonctionnelle variationnelle. On a procédé de la sorte pour différentes classes de problèmes et abouti à un algorithme de discrétisation très efficace. Nous allons illustrer cet algorithme sur un problème relatif à la diffusion de subs tance en unidimensionnel. 2.3.1. Construction d’équations de diffusion discrétisées simples par la méthode de Ritz On sait que la méthode de Ritz joue seulement pour les problè mes à opérateurs auto-adjoints. On cherche la solution approchée du problème aux limites auto-adjoint (1.1), (1.2) et on introduit la fonctionnelle variationnelle î /= : î0 [p (tt)* * + ? (P2— V v \ d x . (3.1) Comme cette fonctionnelle atteint son minimum sur la solution du problème (1.1), (1.2) du n° 2.1 (voir n° 2.2), on construit la solution approchée sur le réseau D h de façon que ses paramètres libres soient choisis en minimisation de (3.1). On cherche donc la solution approo chée sous forme de fonction linéaire par morceaux continue de W\ 1 ^ h. / \ i * (3.2) 1. où Azfc+i/2 = #fc+i — xk, épi; sont les valeurs approchées de la solution cp (x) aux nœuds. Ces valeurs sont certes inconnues, si bien que le problème consiste à leur recherche par minimisation de la fonc tionnelle J (<p). Introduisons sur l ’intervalle x k ^ x deux fonctions linéaires (Ox (x) et co2 (x) définies par (3-3) La formule d’interpolation (3.2) se récrit (X ) (x) <ph+1 i (x), < o2( ) dépendent en général de leur inter x valle de définition et on ferait mieux d’utiliser les notations 70 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFERENCES [CH. 2 û)i,fe+i/2 W? (0g , ft+i/2 (#)• Dans la suite nous omettrons partout les indices k + 1/2 parce que l ’appartenance en question ne suscitera jamais de doute. Les renseignements à priori sur la solution de (1.1), (1.2) nous font construire la solution approchée cpft (x) de façon qu’el le soit continue sur l ’intervalle 0 x ^ 1. Les fonctions p (x > p o > 0 , q (x) ^ 0 et / (x) sont supposées continues par morceaux avec des discontinuités de première espèce. On admet xk pour points de discontinuité. L’écriture commode de la fonctionnelle minimisan te J (q/1) est n-i xh+i /« P h) = 2 J [ p ( ^ ) 2 + 9(f z— 2h ] d x - (3-5) fc=0 Portons (3.4) dans (3.5) et prenons en considération les relations d(ùi _ 1 d(ù2 _ 1 ^ ^^ i r ~ i l vient A xk+1/S n— 1**k+l /(« p " )= E j f t - 0 Xh + > i r — ~ Axh+1/2 > x h < . x < . X k + u [/> A x fc+l/2 + 2©i©2«Pft+i«Pfc + ©&!)—2/(®i<Pft+i + “ 2<Pa)] dx- (3-6) On choisit <pfe, k = 1, 2, . . ., n — 1, qui minimisent la fonctionnelle J (cp*). Le minimum a lieu sous la condition dJ, dcpfc = 0, &= 1, . . n — 1. (3.7) On dérive (3.6) par rapport à <pfe et on égale le résultat à zéro : (#fe+2l/2 1/2^ *fc+i . , 1 P'dx '* xh+1 ?ft+i/2 = j toi®jqdx; OÙ p/t+i/2= *k *ft+i j /co1d ^ + j f(ù2dx. i = (3*8) 2.3] SCHÉMAS POUR LES ÉQUATIONS À COEFFICIENTS DISCONTINUS 71 L’équation aux différences (3.8) plus les conditions aux limites <Po = 0, <pn = 0 définissent complètement le problème aux limites. L’équation (3.8) et les conditions ci-dessus se mettent sous forme de problème aux différences à trois points akWh-i — bh<ph+ cftq>ft+1 = — Fkt <p0= O, (pn = 0, (d*y) où ' P k - 1 /2 Pk+ 1 / 2 »2 • .0 L 2 ■ ah = A*a-1/2 . ni Â-l/2 » &xk+l/2 (3.10) Ph~ 1 /2 Pk+l/2 k + l / 2 "f"^ h ' - u d ’ &xh+l/2 &xk-lh Plaçons-nous dans le cas particulier où p et q sont constantes sur chaque intervalle xk < x < xh+1. On vérifie de suite que ~ _ P k - 1/2______ ^ Xk —\j 2 * — Axft.x/2 6 £ Pfc+1 /2 h Ici Aæa+1/2 ‘ Aæft.j/j » P k - 1 /2 ?k-i/2 ; c _ Pk+il2 &x k+l/2 ÀXft+1/2 6 ^ft+1/2 ; (3.11) ( A ^ + i / 2 j g f e + i / 2 + A z f c _ i / 2 ( f a - 1/2). P k + U 2 = P (x k + l/2) ; Çh+H2 = q (Â+l/2). Supposons connue la solution de (3.9) et reconstituons la solution continue q/1 (æ) à l ’aide des formules (3.4). Le grand avantage de l ’approche variationnelle est de construire à priori la solution appro chée par un polynôme d’interpolation et de chercher la solution stric te sous forme de fonction linéaire par morceaux continue qui garan tit par construction la meilleure approximation dans la classe de fonctions linéaires par morceaux continues. Avec la méthode variationnelle, on approche la solution aussi exactement qu’on le veut. A cet effet, on remplace les formules d ’interpolation simples (3.4) par d’autres plus précises. On utilise de même de façon formelle les polynômes d’interpolation de Lagrange. Procédons à l ’étude de la propriété d’approximation des équations aux différences obtenues. L’équation (3.8) se récrit 1 «Pfe+i—q>ft P k - 1/2 (Ahq>)h = Axk {/>&+1/2 A^ft+1/2 A£ft-l/2 teit+ 2l /2 <Pft+l "f" (?ft'+2l/2 ”1" Qk’- i / z ) f'k -f" 5,ft’_ 2l / 2 (P h - l l } = /fti (3 ; 1 ? ) OÙ ht (3.13) 72 M É T H O D E S D E C O N S T R U C T IO N D E S C H É M A S A U X D IF F É R E N C E S [C H . 2 1 avec Axh = y (Axk+1/2 + Aæ*_i). Etant données la continuité et la grande régularité de la solution (p (a:) et de tous les p, q, f sur les intervalles xk < x ■< on montre grâce à la formule de Taylor que \\Ah (<f)k-fh\\< Mh a , avec a défini par les propriétés du réseau (voir n° 2.1). Les dévelop pements suivants coïncident avec ceux du n° 2.1. 2.3.2. Construction de_ schémas aux différences simples par la méthode dé Galerkin (des éléments finis) Soit le problème (1.1), (1.2) défini dans 0 ce domaine par un système d’intervalles xh_x cions à chaque k ^ 1 une fonction de W\ 0, x ^ 1. Recouvrons x ^ xk et asso (3.14) 0)2 W , + 0, = 1. Il ressort de la fig. 1 que <ofe (x), k — 1, . . ., N — 1, ont pour domaine de définition tout le segment 0 ^ x ^ 1. Ce sont des fonc tions continues qui s’annulent partout en dehors de xk^x < x < xk+x où elles sont formées de deux mor ceaux linéaires. Leur maximum égal à 1 est réalisé au point x = xk. Ces fonctions possèdent une propriété analogue dans un sens à celle d’être complet : leur système est complet au sens que toute fonction (p (x) con tinue linéaire par parties qüi présente peut-être des inflexions aux nœuds {xh}, est représentée par une com binaison linéaire de ces fonctions, i.e. ©a (*) = <p(*)= 2 «P*®* (*)> (3.15) h les coefficients de Fourier cpk .étant les valeurs de cp(a:) aux points XkLes fonctions <oft (x) jouissent de plus d’une sorte d’orthogonalité. Si l ’on définit le produit scalaire par la relation- r î (g, h) = j gh.dx% 2.3] SCHÉMAS POUR LES ÉQUATIONS À COEFFICIENTS DISCONTINUS alors on a pour o)ft (x) ' 0, n ^ k —2, n = k — 1, î j <■>*(*) (On (a:)dx= { 0 73 (Axft_1/2 + A*a+i/2), 1 -g-Aarfe+i/2, 0, « = *, (3.16) n = Æ+ l, n ^ k + 2, d’où leur orthogonalité à toutes les con {x), sauf cof t coft et 0L>fe+1, ce qui constitue le caractère spécifique de la base choisie. On forme avec (Dfe (#) définies les équations aux différences finies. A cet effetr on considère l ’équation de diffusion — é - p - ? ï r + w = f dans D' <jp(0) = 0, (p(l) = 0. (3.17) Selon le schéma de Galerkin, on multiplie scalairement par co„, il vient î J + = 0. (3.18) 0 Transformons la fonctionnelle (3.18): j + (3-18> 0 L’intégration par parties s’est faite compte tenu de o)n (0) = oin (1)=-= 0. On met (3.19) sous forme de somme *A+1 Sk j xft_1 + Etant donnée la forme de con (x), on trouve sans peine xh 0 si n=^=k, * ^ : * p L d x = î dx dx 1 si h = k; xh-1 0 ' si n ^ k , <*<P. d®n f d x \ d x aX ~ \ si n = * ; xh <3-20> î p (3.21) 74 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 et xh j qqahdx = qlkJ’ l/2<(k~i + xh-i *a+1 J d x = ql’ +\ /2<f>k + q{'+\ /2<Pk+i. (3.22) xk ^Les notations sont en conformité avec (3.8).) Portons (3.21), (3.22) dans (3.20), il vient l ’équation aux diffé rences + + (?ft-l/2 + ?A+i/2) + q{'+n2^h+l = Fki (3.23) avec xk x k+i x h+1 Fk — j f(ùxdx-\- | /co2dx = j fiùhdx. (3.24) *a- i **fc-i Le problème se trouve complètement défini si l ’on adjoint à (3.23) les conditions aux limites cpo = 0, q>;v = 0. (3.25) On identifie (3.23) et (3.8), i.e. s’agissant des équations auto adjointes, les méthodes de Ritz et de Galerkin (des éléments finis) conduisent aux mêmes problèmes discrétisés. La technique de Galer kin est plus universelle parce qu’elle s’applique également aux problèmes qui ne sont pas auto-adjoints. Si les coefficients de l ’équation sont des fonctions régulières, les méthodes variationnelles permettent d’obtenir des schémas aux différences d’ordre d’approximation plus élevé. 2.4. Sur la formation dé sous-espaces pour les méthodes variationnelles en dimension un Ce numéro est essentiellement destiné à ceux qui désirent péné trer dans le détail du traitement variationnel des problèmes de la physique mathématique, ce qui explique les emprunts supplémentai res à l ’analyse fonctionnelle. On débute par une approche plus générale de la question qui per met d’obtenir des approximations aux différences de haute précision. On trouve de telles approximations dans Aubin [V], Babuska [V], Strang, Fix [III], Bramble, Schatz [V], Nous nous bornerons à une méthode proposée par Varga [I]. 2.4] SUR LA FORMATION DE SOUS-ESPACES 75 On décrit ensuite un procédé de formation d’une base de fonctions trigonométriques pour la résolutionvariationnelle des problè mes à paramètres discontinus réguliers par morceaux. On s’occupe enfin d’une méthode variationnelle de discrétisa tion par l ’identité intégrale. 2.4.1. Construction de schémas variationnels aux différences de haute précision Lorsqu’on applique les procédés variationnels à l ’équation de diffusion en dimension 1 + = ï4’1) 0 < Z < 1, avec les conditions aux limites u (0) = u (1) = 0 (4.2) on utilise avec succès les sous-espaces d’ordre élevé de fonctions mor ceaux de polynômes. Ci-dessous un schéma de construction de ces sous-espaces. Soit donné, sur le segment [a, b] de l ’axe réel, un réseau ré gulier de pas h et à nœuds a = x0 <C.xl = a Jr h < i . . . < C . x N = = a + Nh < x N+± — b, avec h == ^ ^ et N un entier positif. On désigne par Hn (a, b) l ’ensemble des fonctions co ( x ) qui sont des polynômes de degré 2m + 1 sur chaque [xk, xh+1\ c [a, b] et véri fient pour tout 0 i m et tout 0 k ^ N -f 1 les égalités co(i) (xh) = dhy u dky i étant des nombres donnés et co(î> (x) les dérivées i-èmes de {x) (m (0) (x ) = co ( # ) ) . On suppose de plus que co (a) = co (b) = 0, i.e. d0t 0 = d N+li 0 = = 0. Il en découle que co {x) Ç Hn (a, b) sont des morceaux de poly nômes de Cm (a, b), i.e. elles sont m fois continûment dérivables sur fa, b], et HR (a, b) est de dimension m (N + 2) + N. Varga [I] a établi que cet espace a pour base le système de m (N + 2) -{- N jonctions {cofei t} définies par Cûfc, 0(xù = ôft;, Q(Zi) = 0, (4.3) * = 1, . . . , A r ; y = 0, 1, . . N + 1 ; i = <> ,(**) = \ j , k = 0, 1, . . . , Z V + 1 ; ] = 0, 1, . . . . i V + l ; i = 0, 1, . . . , I — 1, J + l, . . . , m ; Z= 1, 2, . è kJ étant le symbole de Kronecker. (4.4) m, 76 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 On vérifie de suite que les conditions (4.3) définissent au total N fonctions et les conditions suivantes m (N + 2). Comme toute (o (x) £ Hx{a, b) se définit par {dfe) 0}f=i et dkj u k = 0, . . . . . N + 1 ; l = 1, . . ., m, on a en outre le développement N N+l m “ (*)=* 2 S 2 dh'i(ùkj(x). (4.5) Z=»i Voyons de plus près les fonctions {cofr> z}. Soit m = 1, auquel cas l ’espace (a, &) est de dimension 2N + 2 et ses fonctions de base sont définies par les conditions ®ft.i(a;j) = 0, = «iVo (**) = ° ’ k = i, . . . , N ; j = 0, î, . . . , N + i ; (Xj) = Æ, / = 0, 1, . . . , iV + 1. (4.6) (4.7) De la définition des fonctions z il résulte qu’elles ne sont nulles que sur les intervalles (x k — h, x k + h). La recherche de (ùkt0(x) sur (xh — h, xk + h) donne lieu à deux problèmes. Le premier problème se pose sur le segment [xk — h, xk] : on désire reconstituer le polynôme 3 S 0 c j ' ~ (xh— *)’ (4.8) si — A) = 0, A) = 0, ©ft, 0 (a:ft) = l , ©<^0 ( xft) = 0 . On obtient le système de 4 équations pour déterminer 4 incon nues {C°’ ~}j=0 : 2 c ? '-(A y = o , 2 - ( ^ - 1 = 0, i=*i C°‘ - = 0, c l ' - = 1, (4.9) d’où (4.10) On procède de même pour le segment [xk, xh+1] et on a .3 < « ( * ) = i-0 2 c°’ + (4.11) SUR LA FORMATION DE SOUS-ESPACES 77 «avec les coefficients { C j * +X3 o + = 1, CÎ’ + = 0, par 3_ h2 ■o, + C2 (4.12) CÜ’ + = — suite de û>ft,o(xft + /i) = 0, (xh) = 0. Finalement coftj 0(xk) = 1, S Cj’ (Xk — *)’ si i=o (xft + A) = 0, *£[Xh — h, xh], (4.13) «>ft, o (*) S $ ,'+ (*k —*)* si i=0 . 0 pour les x ^ [a, b] restants. Lorsque a = 0, b = 2, TV = 3, la fonction o)2t 0 (x) est représen tée par la courbe de la fig. 2. On déduit la formulé des cofet A{x) à partir de (4.7). Par des raison nements analogues on définit cette fonction pour tout 0 ^ k ^ N + + 1 par la formule ^ «ft.î (*) = 0 M S C j ' ~ ( x h — xY i-o si x £ [ x h — h, Xftinta, b), 3 S + ( ^ —*)' si xÇ [xk, i=o 0 dans le cas contraire. (4.14) + &] f| [«, &], 78 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. Z Ici C l'- = 0, c 2’ - = - , cJ' + = o , c | ’+ = - 4 , C\' + = — 1 , c \' + = - - ± r . (4.15) La fig. 3 représente la courbe de co2, i (z) pour a = 0, b = 2, N — 3. Avec m = 0, les formules donnant {(ofeî0} s’avèrent fort simpies. L’espace H% (a, b) a alors pour éléments les fonctions linéaires par morceaux {(ùh}k=i ayant la propriété (ùk (xj) = 8hj, k , / = 1, 2, . . V. (4.16) On rappelle que {(ùh (3:)} nous sont familières dès le paragraphe précé dent (voir fig. 1). Voici une autre façon de construire Fh. Prenons une fois de plus le segment [a, b] de l ’axe réel et recouvrons-le par un réseau à nœuds a = x 0 < x1 < . . . < x N < x N+i = b, où xh = a + kh, k = 0r 1, . . N + 1, et h = (b — a)/ (N + 1). Désignons par M $ (a, b) l ’ensemble des fonctions g (x) telles que 1) g {x) est un polynôme de degré m sur chaque [xh, xk+j] ; 2) tout 0 k ^ N et tout 0 <; 7 m satisfont aux égalités g (xk, j) = dk, 7, avec xk, 7 = xk — - 7 et dh, 7 donnés; 3) g (a) = g (b) = 0, i.e. dô,0 = m = 0. D’où la propriété, pour g Ç Afÿ (a, b), d’être o une fonction morceaux de polynômes de W\, i.e. g (x) est une fonc tion continue dont les dérivées premières ont peut-être des discon tinuités aux points {xk}k=v On construit g {x) explicitement à l ’aide de {dk, j}. On procède comme suit. On choisit 0 ^ k ^ N quelconque et on construit g (æ) sur [xhl xh+1] (notons gh (x) le résultat obtenu). La théorie de l ’approximation affirme l ’existence et l ’unicité du polynô me de degré m passant par m 1 points dh, 0, . . dh, m du plan x , y* Il s’agit du polynôme d’interpolation de Lagrange calculé par la formule xk, ly — g h (x)~ S dh, t n x k , Z x h, i i-0 1=0 Z+ i (4.17) 2.4] SUR LA FORMATION DE SOUS-ESPACES 79 Si m = 1, on obtient une fonction linéaire usuelle, à savoir gk (x) = dk + 4 +1 *k~ * • 6 W *h+i—Xk “ 1 —^ft+1 (4.18> V ' Il en résulte en particulier la coïncidence de M lN (a, b) et de H% (a, b), si bien qu’une base formée pour le deuxième espace en est une du premier. Nous laisserons de côté le problème de la base de ikfjv (a, b) pour m importants. o Ainsi, nous avons formé pour F = W\ (a, b) deux types de sousespaces F h (définis par le paramètre h) qui constituent une suite complète dans W\ (a, 6). o 2.4.2. Construction d’une base de fonctions trigonométriques et son rôle dans les méthodes variationnelles Pour nous faire une idée des principes de base de la méthode nous considérons le problème (1.1), (1.2) qui se ramène à minimiser la fonctionnelle (3,1 ). Supposons que les paramètres p, q, f peuvent présenter des discon tinuités de première espèce aux points {ï/i}f=i et qu’ils sont suffisam ment réguliers sur chaque yt ^ x ^ yi +x. On admet de plus que cet te propriété des paramètres garantit sur ces intervalles la régularité jusqu’à l ’ordre v de (p, i.e. cp Ç (Xv> [0, 1] (voir n°2.1). Avec v suffisamment grand, on utilise naturellement pour for mer la base {(ùh}h=i les bonnes propriétés d’approximation des polynômes trigonométriques dont les périodes sont supérieures aux intervalles de régularité correspondants. Arrêtons-nous sur ce résul tat relatif aux polynômes trigonométriques. Une fonction / (x) Ç [0, 1] définie sur 0 ^ x ^ 1 est prolongeable (de façoD non unique) aux points x (J [0, 1] en une fonction / (x) jouissant des propriétés importantes (Fikhtengoltz [II ; 11]) : / (x + T) f (x), — oo < x < oo , f£C<y)[x0i #0 + T] quel que soit x 0 6 (—o ° , o o ) v T > 1. La vitesse de convergence de la série de Fourier de / (x) (aussi bien dans C [0, 1] que dans L2 [0, 1]) s’évalue par II/ —UvIKconst- (4.19) où N XN = 2 2nkx («ftcos ~ T “ + bh sin. 2nkx T MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES 80 [CH. 2 On modifie les coefficients ah et bk (sans détériorer (4.19)) de façon à avoir en outre x N (0) = / (0), (1) = / (1). A la lumière du résultat obtenu, on approche la solution de (1.1), {1.2) sur chaque intervalle de régularité yt ^ x ^ yt+x par le poly nôme trigonométrique 2Nt <PiïiW3 ü i — 0, 1, ft=0 où par exemple «>2fc-1(g) = sin ka^H- yi). , (a) = cos **&-**> y (4.20)' Ht = yi+1 — yi. Chaque cû£ (x) peut être prolongée par 0 à 0 x ^ 1 tout entier : (4.20) si *€[yi, y i+ih (4.21) 0 dans le cas contraire. On prend le système (4.21), i = 0, . . m ; k = 0, 1, . . ., pour suite de fonctions de base (discontinues pour k pair) et on cherche la solu tion approchée du problème (3.1) sous la forme m 2N t q>(*)= S S C U lh (x)f 0 O < l. (4.22) i—1 h=0 Les fonctions de base (4.21) étant discontinues, leurs combinaisons linéaires (4.22) ne garantissent automatiquement pas la continuité de <p et pdy/dx aux points {ÿJiLi, pas plus d’ailleurs que les condi tions aux limites *). On vérifie facilement que <P (0) = cp (1) = 0 , (p (xt — 0) = cp (xt + 0), i = 1, 2, . . ., m sont les conditions essentielles et dip P dx xi+° ’ i = l, 2, . . . , m, sont les conditions naturelles (voir Mikhlin [I]). La méthode varia tionnelle basée sur la minimisation de la fonctionnelle (3.1) exige q u’on soit dans les conditions essentielles, tandis que les condi tions naturelles sont remplies automatiquement par <p° Ç O, qui don*) On vérifie de suite les conditions aux limites si l ’on définit les fonctions et co™ (x) sur [0, x±] et [xm, 1] par les égalités kn (1—z) co™(x) = sin 0)0 (z)==sin knx 2xx > 2Hm au lieu de (4.20), (x ) SUR LA FORMATION DE SOUS-ESPACES 2A] 81 ne la solution du problème variationnel. On impose donc à (4.22) de satisfaire à Wn 0(0) = cpArm(1) = 0» (Xi) = ÇjVj (î)» i = 1, . .., m. (4.23) On vérifie de suite l ’estimation 1I<P—<P°IIl2[o, i]< c o n s t - ^ r , N = min N t (4.24) 1\ i pour l ’écart entre la solution approchée (p (x) et la solution exac te cp° (x). Décrivons en quelques mots l ’algorithme de calcul correspondant. La minimisation de (3.1) par des fonctions de la forme (4.22) avec les conditions supplémentaires (4.23) à l ’aide des multiplica teurs de Lagrange donne lieu au système i i+ 1 ^^ 2 a\(A(ùkj <*>}) + S ^sP)s = (/» g*}), ft=0 s—i i — 0, 1, . . m ; / = 0, 1, . . 2NU (4.25) 2N • S 2 < 4 p L = 0, s = 0, 1, + i = s —1 ft=0 où tùr*(a;s), PL = ^ — a>k(xt), 0, i = s — 1, i = s, Oft1 (x)'=a>k+i (x) = 0, (4.26) i = s, s —1. Le système (4.25) s’écrit par blocs X Â Bt B 0 A F 0 avec X formé de tous les a£, A un vecteur dont les composantes sont des multiplicateurs de Lagrange et T l ’indice de transposition. On a à partir d (4.27) Â X + B t A = F, B X = 0,(4.28) d’où l ’on tire formellement après élimination de X (BÂ~lB T) A = BÂ-'F. (4.29) La définie positivité deÂ entraîne l ’existence d e i ' 1 et la définie positivité de B A ^ B ^ . En effet, {BÂ^W , W) ^ 6 -0 4 3 6 82 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 = (Â-1BTW, BTW)=(ÂV, V) > 0 , o ù p o u r W ^ O (l’an nulation de W pour B TW = 0 découle de suite de (4.26) et (4.20)). La forme bloc-diagonale de A donne sans peine m m BÂ~lB T= S B iA î 'BÏ, BA~lF = 2 B tA ïlFt, i —0 i=0 (4.30) A t et B i étant deux matrices d’éléments respectifs (A(ù\, (Oj) et (Pks) et Fi des vecteurs de composantes (A © j), ■ • (A © 2n .)- Selon (4.30), l ’inversion de Â se ramène à celle de tous ses blocs, autrement dit, on a en général à inverser des matrices d’ordre peu élevé. Si m est petit, il en est également de l ’ordre de (4.29), si bien que ce système à matrice symétrique définie positive est résolu sans difficulté. On trouve enfin moyennant la première équation (4.28) X t= A?(Ft- B jA ) , (4.31) OÙ X t = {aj, . . . , «2^.)t , 2.4.3. i = 0, 1, Identité intégrale sous forme variationnelle Nous avons examiné plus haut (n°2.1) un procédé de construction d’équations aux différences qui utilise une identité intégrale. Agochkov [V; 1] en a montré le caractère variationnel. Soit en effet l ’équation différentielle —^ P ( x) l ï r + Q(x) u==f ( x )' x £(a ,b ), (4.32) avec les conditions aux limites u (cl) = u (b) = 0. (4.33) On suppose que p (x) > 0 , q (x) ^ 0, p (#), q (x) Ç L ^ a , fc), / (x) 6 L2 (a, b). S’agissant du problème (4.32), (4.33), la méthode SUR LA FORMATION DE SOUS-ESPACES 2.4] 83 mentionnée consiste à obtenir, compte tenu de (4.32), (4.33), l ’iden tité xk-nfa u ( x h) - u ( x k+^ _ f dx xh xk xk-l J («fc-t) k -i) + u (xk) - u xh+i f dx J P (x) f tq u _ f } d x = J Xk - l l 2 P (x) x k+l :k+i f J - 1 dx r j xh dx p(x) j (?» —f ) d î + xh+lh P (x) xk xk ‘ Xh (* J dx f J dx ~P~(X) xh -i J (?»-/)< *!, xh-1/2 (4.34) P (x) xk -l avec a = x 0 < x1/2 < x 1 < x3}2 < . . . < x N_3/2 < x N. 1< x N_1/2<, <Z x N = b un ensemble de points. Cherchons une approximation quelconque des intégrales de (4.34), il vient le schéma aux différen ces correspondant. Notre but immédiat est de montrer que (4.34) peut se mettre sous une forme variationnelle proche des équations variationnelles de la méthode de Galerkin à la différence qu’elle permet d’utiliser des fonctions de base discontinues et de démontrer la convergence des solutions approchées sous des hypothèses assez générales sur la régularité des données initiales. Effectuons dans (4.34) des transformations élémentaires. Soit ^ = q u - f , pfc(* )= J* j ^ y, l Xh+j 1 Y ~ , y . Alors xk x k +l r J 1 *ft+l (* J xk x dx dx j P (x) xh Xk + l f 2 P(x) xh ^ f t+ l " v f J xh 6* — I dx xh P <*) X X xh x k +l h î * « « = MÉTHODES DE CONSTRUCTION DÉ SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES M. xh+ 1 =- J xk+i oc ' Xk + “ft+l/2 [CH. 2 = f dx Xh J P (*) -.................. Xk x h+ 1 xk + l Xk+l/2 Xk = —j ’! >( £) j ph(x)il)(x)da;. On obtient de même V f J ------- î T W d3C Xk -1 P(*) I ♦«>*- Xh - 1 Xk—l/2 *ft = — j (a:) Ær.+ j pft (x) i|) (x) dx, xh-i xk-i xk , où pft(x) = j j j p y l j x xk-i - L ’identité (4.34) se récrit (Xk)~-u(*fi+l) , u(xh) — u( xh_i) t 1 *fc *ft+l r cto dx ç J p(^) J p (*). + xk xk+i 1 (1 — P ft(x))ij)(x)dx+ j (1 — pft(x))iJ)(x)(Zx = 0. xL i xk Soit x£(Xk-i, Xh), Qh (x) = xk o, xk dl P(l) ’ (4.35) xÇ.{%h, Xk+i), •*$ (■**-!, *A+l). SUR LA FORMATION DE SOUS-ESPACES 2.4] 85 auquel cas (4.34) prend la forme u ( x k ) - u ( x h +l ) *k+l C J Qk) = u (xu)-u ( x ^ ) k dx pW f (/) Q k ) f (4 . 3 6 ) dx Jp W xk xh -i fc = 1, .. .,7V —1, > avec (cp, i|i) = j cp-ipda;, ||q>|| = (q>, (p)1/2. On observe que / du dQk \ \ P dx » dx ) u (xft) — u (xft+1) i u(xh) — u(xk- t) xh+1 f . dx J PW xh 1 xh P dx J ?W xk-i si bien qu’on a, au lieu de (4.36), 1 II ^ ; Introduisons un interpolant Ui(x) de u(x) tel que Ui (xi) = u(Xi)y En vertu de l ’éga- i = 0, ...,A ’, et la dérivée dui/dx ait un sens. lité (P valente à (p -ÿ -, # l Ê r ) = (* 4 ? - ) + (<?“ , & ) = ( / > & ) , • l ’e*presrion (4.37) est équi- Æ= . ( 4 .3 8 ) Ainsi, l’identité (4.34) est équivalente à chacune des équa tions (4.36) à (4.38), ce qui .autorise à ranger la méthode de> l ’identité intégrale parmi les techniques variationnelles et à utiliser (4.36) à (4.38) et (4.34) pour construire les solutions approchées sous des hypothèses assez lâches sur les fonctions de base. La relation (4.37) n’est rien d’autre que l ’égalité variationnelle connue que la mé thode de Galerkin emploie en cas de fonctions de base Qk {x). S’agis sant de (4.36), il y a lieu de dire qu’on peut utiliser des fonctions de base avec discontinuités (qui ne coïncident pas avec a?2V i = 0, . . . . . N). Avec l ’identité (4.38), on obtient sans trop de peine plusieurs estimations dans la métrique uniforme. Essayons d’approcher le problème (4.32), (4.33) moyennant les identités (4.36) à (4.38) et diverses fonctions de base. Le changeX ment de variable y — ('A le détermine l ’écriturë suivante du pro- 86 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES blême proposé: | — i^^p (y)9 {y)u = m , [CH. 2 b o < p < ? = j-Ij-, l u (0) = u (T) = 0. Si / (x) Ç L2 (a, b), on a donc u (y) Ç Wl,0 (0, T). On cherche mainteN —i nant une solution approchée de la forme uh (x) = 2 inconnues at étant définies à partir du système (p <?*) = (/, Qkh atQi (#)» ês i= 1 * = i , • ••, i V - l , qui admet une solution unique. Autrement dit, on emploie la tacti que usuelle de Galerkin avec les fonctions de base {Qt (æ)}. Comme Qi (x) deviennent par la substitution y — ^ des « chapeaux a pointus » multi-linéaires ordinaires, on peut dire, compte tenu des résultats connus de la théorie de l ’approximation, que la solution approchée tend pour h = max \ xt — | ->0 vers la solution i exacte et qu’on a les estimations Il w—uh\\wk*CO (hz-h), Jc= 0, 1. 2 N -1 Mais la relation (4.38) avec ui = 2 u (x i)Qi(x) est> elle aussi, i= l valide pour la solution exacte, si bien que . — “J = (q (u — uh), u — ui)î(q(u —uh), u —uh)if2 X X (q{u — ui), CK2, on en tire Etant donné || u— U\ || u — u i ÿ 12. dx On a de plus |« —^ llc < a .6 )< ^ 2 du moment que max pour /ÇLco. | u (x) —«i (x) |<ÇC/i2 dzu Loo(Vi_v y;) <CA*f 87 SUR LA FORMATION DE SOUS-ESPACES 2 .4] Considérons deux cas avec les fonctions de base {(p* (æ)}. Soit h} = #j+i/2— 1/2» &= maxAj. Désignons par <pf (x) la i fonction caractéristique de l ’intervalle (#i_i/2, #2+1/2)* par cpj (x) celle de (x0, #i/2) et par <p%(x) celle de (#v-i/2, #jv)- Prenons {(pfjîLo P°ur fonctions de base et cherchons la solution approchée N sous la forme uh(x)= 2 Æï<P? (#) en posant a0= aN = 0. Alors 2= 0 2V-1 uh (x) = 2 ^«p*1(#), °ù {ûililTi1 sont définis moyennant (4.36): 2=1 »*(»*)-«*(«fc-x) + { kt Qk) = (/) ç a)j P dx C J P(*) xh (4.39) dx ,J P(x) xk-i &= 1, A -l. Les calculs simples prouvent qu’il y a unicité pour (4.39) avec h suffisamment petit, que les solutions approchées uh convergent vers u (x) quand h -> 0 et qu’on a les estimations (p d (“r ~ “i ' dx J ^ Ü Z ^ L ) + ( q ( u — uh), u — uh) ^ C h , dx ' max | u (Xi) —uh (xt) | < ;Ch, i où N -1 U\ (x) = S u(Xi)Qi(x), 2 =1 N-i Ui (x) = 2 atQi (x). 1=1 On utilise également les chapeaux pointus (q^1 (#)}fî linéai res par morceaux sur [a, 6], cp^ (x) étant nulle en dehors de (#*_i, #î+1) 'et (pi (^j) = 1. On cherche une solution de la forme uh (.z) = N-i — (x)i les inconnues at étant définies par le système d’équa2=1 tions algébriques linéaires (p -lf, Qù = (f, Qi), i= l ,...,N - i . (4.40) Sous l ’hypothèse de p (x) régulière par morceaux avec des dis continuités éventuelles de première espèce en certains nœuds x t, on 88 METHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 montre que le système (4.40)- possède pour h = max | x t — N 1 [suffi- * samment petits une solution unique {a J i=i et qu’on a l ’estimation d’erreur ( P d ( w t Udxt ) 1, d ( u t ~ ~ M t ) ^ \ l l 1 ) + ( g ( u - u ft), » -« * )< C Â * ||/|P ; si f (x) £ L oo (a, 6), on démontre tout aussi facilement l ^ - U h |lc(a,b»<CA2||/;||Loo. Ce procédé d’approximation avec l ’identité intégrale sous forme variationnelle s’applique (le fait est prouvé par Agochkov [V; 1]) à plusieurs autres problèmes de la physique mathématique. 2.5. Schémas variationnels aux différences pour une équation elliptique en dimension deux 2.5.1. Méthode de Ritz Nous allons construire des schémas variationnels aux différences pour le problème (2.1), (2.2) sous les hypothèses supplémentaires: B x {x) =s 0 dans D , i = 1, 2; q (x) = 0 dans D ; tout vecteur £ = ( |l7 £2) vérifie l ’inégalité 2 H o S S K in * i= 1 2 2 S ^ (*) U / < s u p S oc£D i, j = l 2 xÇD i, .7=1 i= l (5.1) avec des constantes positives p,0 ^ Ma » frontière du domaine Z> est linéaire par morceaux. Il faut dire que la méthode de Ritz joue avec les trois dernières contraintes affaiblies, et si nous ne le faisons pas, c’est uniquement pour simplifier les calculs. Ainsi, on a 2 - S àxi * l } dx =f dans D (5.2) i, i = l avec la condition aux limites u = 0 sur dD. (5.3) Ce problème équivaut, selon le n°2.2, à chercher la fonction qui minimise dans W\ (D) la fonctionnelle quadratique. o •'<“> = ! [ 2 i, j = l ‘‘ « M -H T -S 7 ) i D - 2 \ u t dD. (5.4) 2.5] SCHÉMAS POUR UNE ÉQUATION ELLIPTIQUE EN DIMENSION DEUX 89 On approche le problème proposé par la méthode de Ritz avec des sous-espaces F h spéciaux. On construit F h en triangulant Z>, i.e. on recouvre D par un réseau Z) ^ à mailles triangulaires (fig. 4). On construit dans chaque triangle ainsi obtenu un polynôme de degré m, en x1, x 2 tel que m ' g{xx, x a) = 2 s eJüAW(5-5> i=0 ji +72=i Dans chaque triangle les coefficients du polynôme sont choisis de o façon que toute la fonction soit dans W\ (D), i.e. elle doit être con tinue et s’annuler sur dD. Pour m = 1, la méthode a été proposée par Courant [V]. Elle* a été étudiée par Oganessian [V ; 7] et d’autres auteurs. Une analyse approfondie des cas m — 2, 3, 5 est due à Zlamal [V]. Nous nous intéresserons au cas ni = 1, i.e. à la fonction linéaire par morceaux g (xu x 2) = c0,0 + c1,0x1 + c0, xx2. (5.6> On détermine ses coefficients pour un triangle concret par les va leurs données m u (p2), u (p3) aux sommets pl9 p 2, p3. On répète l ’opération autant de fois que D contient de triangles en posant u (p) — 0 pour les points p Ç dD et on constate la continuité et la nullité sur dD de la résultante. La continuité de cette fonction sur les côtés communs des triangles (par exemple sur le segment joignant Pi à p 2) tient à ce que g (xl9 x 2) sur ces côtés constitue chaque fois une droite d’extrémités u (pJ et u (p2). Si l ’on se place dans le cas de l ’interpolation quadratique (m = 2) g (xl9 x2) = c0t0 + cJt Gx2+ C0i xx2 + C 2t Qx\ + Clt 1x1x2+ c0;2x\, (5.7) ° il y a intérêt à garantir l ’appartenance uh (xlt x 2) £ W\. On se donne à cet effet les valeurs de uh aux sommets p u p 2, p 3 et aux points Pi> 2- Pz, 3» Ps. i. milieux des segments (pl5 p2), (p2, p 3), (p3, pt) (fig. 5). 90 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 La continuité de uh tient à ce que cette fonction est définie uni voquement sur chaque côté de tout triangle. Par exemple uh (,xx, x 2) est définie sur [p1, p 2] par les valeurs u (jdj), u (pj,2), u (P2)» ce de façon unique. Si l ’on cherche la solution dans chaque domaine triangulaire A par la représentation polynomiale (5.7), on est conduit par la mé thode de Ritz classique et par recours à une fonctionnelle variation nelle à un système d’équations aux différences. Zlamal a démontré que si la solution û du problème (5.2), (5.3) est de classe C{3)(D), les dérivées troisièmes de û (x) sont bornées en valeur absolue par une quantité M et le plus petit angle des triangles constitutifs est minoré par v0 > 0 , alors l ’erreur sur la solution approchée selon Ritz du problème (5.2), (5.3) est évaluée dans le cas (5.7) par l ’iné galité Wi^ — u W o ^ C h 2, w2 où C = —p —- et la constante Cx ne dépend pas de la triangula tion de D. Si la solution du problème (5.2), (5.3) est assujettie à être moins régulière {û ÇC(2)(Z))), on démontre facilement la majoration sui vante pour les approximations linéaires par morceaux : C > 0 étant une constante. Il nous paraît inutile de nous attarder sur les approximations quadratiques dans les domaines triangulaires (nous en avons dit ussez pour pouvoir déduire les systèmes algébriques concrets). Les approximations linéaires par morceaux méritent par contre une ana lyse plus attentive. Les résultats antérieurs entraînent qu’une fonco tion g {x) Ç W\ (D) linéaire par morceaux dans chaque triangle est définie de façon unique par ses valeurs aux sommets. Désignons par {Ph}k=1 l ’ensemble des sommets intérieurs à D et par D ht k la réunion •des triangles de sommet en pk. L’espace F h a pour base un système de fonctions {cofe {x)}kt\ satisfaisant aux conditions : 1) (Pj) = ôftj/ ôftj étant le symbole de Kronecker; 2) iùh (x) est linéaire dans chaque triangle, i.e. on a la repré sentation (5.6). Ainsi, la fonction cofe (x) s’interprète géométriquement comme une pyramide de sommet pk et elle s’annule partout sauf à l ’intérieur de D hth (fig. 6). Soit, en particulier, D = {(â, x 2) ; 0 < xx, x 2 < 1} le carré unité. On le recouvre d’un réseau régulier usuel à mailles carrées de 2.5] SCHÉMAS POUR UNE ÉQUATION ELLIPTIQUE EN DIMENSION DEUX 91 longueur h = N (N est un entier positif) et on introduit sur D la triangulation de la fig. 7. Le système de fonctions de base {cok (#)}&=!, N h = N2, est noté en l ’occurrence {coftiî (æ)}^*=1. Etablissons certaines propriétés de la matrice A du système linéaire Aa = g (5.8) de la méthode de Ritz. Ici a = (a . . ., a ^2)' est un vecteur formé des coefficients {a^fe-D+z — a k, i}h, 1 = 1 du développement N Uh {x)= 2 ah,i(ùhj ( x ) , fc, Z=1 g = (gx, . . . , g N2)r un vecteur de composantes gmh-v+i = gh,i= j f®k,i(z)dD, Dh,i (5.9) fc, 1= 1, . .., TV, (5.10) les éléments de A étant calculés par les formules 2 j 2 A Stt( x ) ^ ± - ^ ± - d D , D s, t = 1 S (5.11) Introduisons la notation a\\Ji = ^nœ-d+i, nh-v+jL’allure des fonctions {(ùkt 1 (x)}k, /=i (voir îig. 7) aidant, on montre sans peine que = 0 92 MÉTHODES DE.CONSTRUCTION DE'SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES si l ’une au moins des inégalités | i — k | >1, I / — Z | > 1, k, l, i, j = 1, . . [CH. 2 N, a lieu. Il en résulte de suite que A est une matrice tridiagonale par blocs de la forme ï 0 0 ^11 ^12 0 0. 0 (5.12) A = ^21 ^22 -423 • 0 0 0 . '• • ANt iv-i OÙ Ahk = Ath, Ahth+1= A i +Uk, k = l, chaque Akti étant tridiagonale d’ordre N . : Une analyse plus scrupuleuse révèle que les matrices {Akt ft_1}f=2 sont bidiagonales de la forme > 1, 2 0 0 . 0 Æh-i, /t, 1 1 dk, 1 A h, h-1 — 0 fc-i, 2 Clkt 2 0 h - 1, 3 Æft, 2 . 0 k = 2, . . . 0 0 0 ft-1 , N Æft, N (5.13) N. Calculons les éléments {a* ;} de A pour le cas particulier (5.2), (5.3) : ~ i p ( x >V ) l £ — § ï * ( x ’ u = 0 sur = f dans D' (514> dD. A cet effet, on écrit D^%i comme réunion de six triangles {D\t i, m}m=i numérotés comme l ’indique la fig. 8. Les calculs directs donnent *■(*. y) = l (**--a:) — /i (0i--0 ) . Z, y£Dh, i, 1 t (**- '^) 5 Z, y e i ï , h 2 » > + 4 (0i- -0). y 6 £>ft, l, 3 , l(«h--X) + h (0i--0 ), (*ft--Z), ' - i (0/- "i/)» 0 € ■Dft. ï, 4 , *>. 0 6 ^ . i, 5 , 06 < Z, 6 . 2.5]' SCHÉMAS POUR UNE ÉQUATION ELLIPTIQUE EN DIMENSION DEUX 93 Etant données la symétrie de A, la propriété de triple-diagonalité des et la bi-diagonalité des {^4fc, fc-i}iL2 et des {A/t, k+i)k-=ii il suffit de déduire les formules pour k, l &k, h l— 1 ük, l h— 1, l 7 ^k, l h —1,1 — 1 7 Ük, l 7 A / 7 l'^»*'7 7 71T • Selon (5.11) et (5.15), ces formules s’écrivent (pour plus de sim plicité, Di = Dk,i,i) j [/>(», y ) ( - ' Z '1y +gfo. y ) { ' 9ag y l )2] <**<*?= ■Dft, ( = -p-[ j P{$, y) dx dy + j p(x, y)dxdy + Dl\JD2 + j Di\JDi q(x,y)dxdy + D3UD4 <*!-■= j g (x, y) dx t f y ] , (5.16) D iijD a J ®k,-iUDk,i_i x - WkdyUl ] dxdy = —-j r [ 5 g ( * ,ÿ ) d * ^ ] , DiUDa 0 * 7 î ’ l = — -p- [ j p(x, ÿ)Ærcfy], 4 r / ,i+1 = 0. D1UU2 Il en résulte de suite la diagonalité des matrices {Ak9k^h=-.i- Si l ’on introduit de plus le vecteur u de composantes ukt i = a k, t avec a le vecteur du système (5.8) de la méthode de Ritz, le système Au = g prend la forme (AxA'A2) u = g, (5.17) 94 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 OÙ = — Ph~i / 2 , lUk-i , l + (Ph- 1/2, Z+ -Pft+1/2, z) i — Ph+ \/ 2 t lUk+1 , r (5.18) et (■^2^)*, i1 == — (?A, ( - 1 / 2 % , l-i + (Qk, 1 - 1 / 2 + Qh, 1 + 1/2) % , l — — <?ft, (+1/2%, (+1* Ici Ph±i/2 , i =- f i r j p(x,y)dxdy, Dh, ~ l f Çfc,z±i/2 = -jjr J q (x, y) dx dy. (5.19) Dft,zn^, z±i On réunit (5.17), (5.18), (5.19) et on vérifie sans peine que le schéma variationnel aux différences obtenu par la technique de Ritz coïncide en fait, pour ce qui est de la disposition et de la forme des éléments non nuis, avec les schémas purement discrétisés. En particulier, il n ’y a aucune différence, pour p (x, y) et q (x, y) cons tants, entre l ’analogue discrétisé et l ’analogue variationnel aux différences de l ’opérateur différentiel. Cette circonstance autorise à recourir, pour résoudre le système (5.17), à des méthodes itératives efficaces telles que la décomposition et la surrelaxation successive. 2.5.2. Méthode de Galerkin Nous avons décrit pour la méthode de Ritz les particularités essentielles des algorithmes de résolution en bi-dimensionnel, si bien qu’il n ’est plus nécessaire d ’étudier en détail la formation de sché mas variationnels aux différences dans le cas de Galerkin. Il suffit de dire que si le problème (2.1), (2.2) a ses coefficients {Bt (æ)}}^ non nuis, la matrice A de la méthode de Galerkin avec les fonctions de base (5.15) diffère de la matrice A du système (5.17) par une 'ma trice B: B = A — A. Les éléments de B sont définis par la formule (5.20) Æ, Z, i, / = 1, . . . , N. 2.5] SCHÉMAS POUR UNE ÉQUATION ELLIPTIQUE EN DIMENSION DEUX 9S Conclusion : même pour l ’équation 2 S [ — § " + # i (*) tt] = / dans i=l 2 u = 0 sur dD, D, (5.21> les matrices { A ht k - i } k = 2 de la méthode de Galerkin peuvent ne pas être diagonales. La forme plus complexe de la matrice du système algébrique exige des sous-espaces F h plus simples que ceux de la méthode de Ritz. La nécessité de ces F h se fera également sentir lorsque nous nous propo serons de construire des schémas variationnels aux différences d’ordre de précision supérieur à un. S’agissant des domaines qui constituent les réunions de rectan gles en nombre fini, on construit aisément lesdits espaces à la lumière des résultats du n° 2.4. Nous allons décrire la structure des F^ pour des approximations linéaires par morceaux et former un schéma variationnel aux différences pour un cas particulier. Soit D la réunion de r-rectangles de côtés parallèles aux axes de coordonnées et D le plus petit rectangle contenant D (fig. 9)> Fig. 9 où D = { (x, y) ; a ^ x ^ 6, c ^ y d}. Superposons aux seg ments [a, ft] et [c, d] deux réseaux respectifs a = x 0 < xx < . . . . . . < x N+1 = 6 et c = z/0 < yx < . . . < yM+x = d tels que les rectangles de D aient nécessairement leurs côtés confondus avec une des droites * = %h, y = y u k = 0, 1, . . N + 1 ; l == 0, 1, . . . , 1 + 1 . (5.22) On définit D h comme étant l ’ensemble des points (xk, yi)£D> /. = 1, . . N; l = 1, . . M. Construisons F h c= W\ (D). 96 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 On introduit les fonctions -Xk-1 Xh— x ~ xh+i si x £[x h^ , :xk], si x £ [ x h, xft+1], (5.23) 0 partout ailleurs, k = l , . . . , N, y—yi-i yi—yi-i s i y£[yi- 1. yih ®y,i(y) = < y—yi+i si ÿ£[ÿi, ÿz+il, yi—yi+i t 0 partout ailleurs, 1= 1, . . . , M, et le système de fonctions (5.24) 0)x, h (*) = xk xk+i ®h, i (x, y) = (û*. h («) Wj, i (y), (xh, yi) € D h (5.25) et on prend pour F h l ’enveloppe linéaire des {coft-1}. Le système {<i)fe,i} étant linéairement indépendant constitue évidemment une base de F h. Ecrivons le système d’équations linéaires de la méthode de Galer kin dans F h avec la base (5.25) pour le problème dx2 d2u ' du -,f dans D, dy2 1 dx (5.26) u = 0 sur dD. Il est connu dès le n° 2.2 que si uh est cherchée sous la forme l= S (**♦ Vj)ÇDh y)> (5.27) le système s’écrit Au = g, (5.28) avec u et g deux vecteurs de composantes {uh%i} de (5.27) et {gk, i} j f(ùhiid D j) respectivement, les éléments de A D étant définis par la formule „ i . j _ f f d(ùiij d®k,l , j dtokil , dtoilj (ùfti j] dD = Uh ,i — J L dx dx dy dx ày d(ûj d(ài | deùj “ . r â r cùft(Oi j dD, (5.29) où (ùi = <ùt (x), toh = toh (x), tos = to} (y), toi = toi (y). 2.5] SCHEMAS POUR UNE ÉQUATION ELLIPTIQUE EN DIMENSION DEUX 97 Comme au point précédent, on vérifie sans peine que a\\ \ — 0 si l’une au moins des inégalités M-fc|>l. 1/ —i I >1 a lieu. Il en résulte de suite que A est une matrice tridiagonale par blocs de la forme (5.12). Ci-dessous les valeurs des éléments {al\ \) sous l ’hypothèse simplificatrice de réseau régulier de pas h: xk+i = yu i 5 dx î dy [CÛ' (? )+ “ *(*)]=-§-, Xk -1 Vl- 1 *k+1 j a h , lr 1 = = W Vl j dx d y [ ( ù i - 1 ( y ) < d i ( y ) — ( ù k2 ( x ) ] = — 3- , yi-1 aKi+i = __ L Ki 3 » xh yi+1 (y) < “/■'= j dx J dv [ xh- 1 , (z) Cûfc (a:) h2 h? Vl-l “ T ® * ( y ) ] = - T - T . Xh yl < ^ - ‘ = j dx j cty[ —-p-o)j(j/) 0)M (ÿ) — *A-1 —-jp-©k (*) ©k-i (*) — ©*(*)®i(ÿ) ®j-i(ÿ)J= — y1+1 ak~i'l+i= j dx j dy[ xh-1 Vl 1 (y) Cûj+ 1 (a) COft+ 1 (z ) _ ~ __ ! j _A. 3 3* ÇQft (z) CO; (ÿ) C0;+1 (ÿ) ] ___ 1_ !]=- 3 flA + i,;- i_ __ L_l A A. i aA+i,i+i= — L + A f 7 -0 4 3 6 (5-30) (y) h2 uh,i —J 2 , — 3 ^ 12 ’ {xh, yt) £ D h. h 12 98 MÉTHODES DE CONSTRUCTION. DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 Il se trouve que le schéma variationnel aux différences obtenu est équivalent pour / (x, y) = / = const au schéma assez spécial 8 1 1 / 1 . h\ 3 ^ /“i 3 ukt i+y ( 3 ~r g J "/ — ("g" + 12") Uk~* 1’ l- i ~ ( t + 12 ) Uh~1' !+l^ ( l ~ T ) Uft+1-1~ - { T - T 2 ) u^ i ~ i - { l i - - T 2 ) u»+i.m = h2f- <5.31) On construit facilement (5.31) à l ’aide des approximations usuelles à trois points des dérivées secondes à condition d ’approcher aux nœuds de D h la partie différentielle de (5.26): d2u | d2u du I dx2 dy2 dx V-V'lh+ 1 Z+l (5.32) OÙ P-i = Pi = l. Po = 4 et (xh, yi)£Dh. 2.5.3. Construction de sous-espaces La formation de schémas variationnels aux différences pour des équations elliptiques bidimensionnelles se fait moyennant les sousespaces F h a W\ (D) de dimension n. La forme des matrices des équations variationnelles aux différences dépend essentiellement, on l ’a vu aux points 2.5.1 et 2.5.2, du choix de F h et de la triangula tion de Z). Nous allons passer en revue, des procédés simples de triangula tion de D borné de dimension 2 à contour S régulier. Le domaine discrétisé D hJ réunion d’un nombre fini de triangles disjoints A dont la frontière S h est linéaire par morceaux, doit respecter en premier lieu les conditions suivantes (voir Oganessian et al. [V; 8]). 1. Les normales à S établissent entre les points de S h et ceux de S une correspondance biunivoque et la distance entre deux points en correspondance est au plus ôx/&2, ôx > 0 , et ne dépend pas de h. 2. La longueur des côtés et les aires des triangles constitutifs sont comprises dans les limites respectives [l-Ji, l2h] et [y^2, y2^2], les constantes positives Z2, yl5 y2 étant indépendantes de h. On superpose à D (on le voit sans peine) plusieurs domaines dis crets vérifiant ces conditions, si bien qu’on impose à D h une contraino 2.5] SCHÉMAS POUR UNE ÉQUATION ELLIPTIQUE EN DIMENSION DEUX 99 te supplémentaire. Avant de l ’énoncer, on rappelle que, dans le cas de domaines rectangulaires et de domaines formés de rectangles; les triangulations ont été obtenues de façon naturelle à partir, des réseaux rectangulaires (voir points 2.5.1 et 2.5.2). Le problème de construire des domaines discrets de forme déterminée proche de la triangulation des domaines rectangulaires a été discuté par exemple par Godounov, Prokopov [IV; 7]. Quant à la contrainte isupplémentaire mentionnée, il est raisonnable de la formuler comme suit. 3. Il existe une bijection continue de D h sur un rectangle ou un domaine qui ou bien sont limités par des segments parallèles aux axes de coordonnées, ou bien forment avec ces axes un angle de 45°. Cette application est linéaire sur chaque Afe et le transforme en un triangle rectangle de côtés h. Il en résulte par exemple que huit triangles au plus possèdent un sommet en commun. Décrivons un procédé de triangulation simple. On inclut D dans un rectangle II et on recouvre II par un maillage carré de pas h. Ôn déplace les nœuds immédiatement extérieurs à D de façon que la ligne brisée S h passant par ces points approche bien la frontière S de D (i.e. on est dans la condition 1)). On établit une triangulation des carrés telle qu’on respecte la condition 2). La condition 3) découle de suite du procédé de triangulation (voir fig. 10). Matsokine [V ; 6] a obtenu pour ces triangulations les valeurs des constantes caractéristiques des longueurs et des aires: = 0,5; h = V 18/2; Yi = 0,125; y 2 — 1,125, valeurs indépendantes de la Fig. 10 configuration de D. Quant à la constante 8t qui indique le degré d’ap proximation de la frontière, elle dépend naturellement de la cour bure de iS. Il convient de noter que le procédé décrit s’applique aux domaines simplement et multiplement connexes et est facilement ££î>ljsable. S’agissant des domaines simplement connexes pn propose un procédé de formation des domaines discrets qui Sg*ii[^®BeO rois 100 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 conditions ci-dessus et qu’une transformation continue linéaire par morceaux change en un rectangle (voir par exemple Diakonov [V ; 2] et Matsokine [V ; 6]). Pour simplifier, D est supposé convexe. L’idée de la méthode est fort simple. On effectue sur D une transformation continue dont les dérivées présentent des discontinui tés à l ’intérieur du domaine. On triangule le rectangle obtenu de fa çon que les côtés des triangles ne coupent pas les lignes de disconti nuité des dérivées. La transforma tion réciproque change ces triangles en des triangles curvilignes qu’on rectifie pour aboutir à Dh cherché. La première étape s’effectue assez simplement. On entoure par exemple D d’un carré et on l ’étire dans le sens des rayons issus du point d’intersection des diagonales du carré. Ces diagonales se confondent avec les lignes de discon tinuité mentionnées. Le seul but de cette application est en fait d’é tablir une loi de génération du domaine discret et on peut parler donc d’une méthode d’application fictive. La fig. 11 donne cette triangulation pour un domaine en L. Voyons si ces domaines discrets font l ’affaire. On désigne par Fh l ’ensemble des fonctions continues linéaires sur chaque triangle élé mentaire Ak Ç Dh et nulles en dehors de Dh. Il est connu qu’on forme le système d’équations variationnelles aux différences pour le pro blème aux limites —Au (x, y) = / (x, y)y u (,x, y) = 0, (x, y) Ç D, (x, y) £ S moyennant l ’équation variationnelle approchée Dh Dh pour tous les vh 6 FhJ ■uh Ç Fh étant la solution approchée cherchée. La triangulation de Dh est topologiquement équivalente à une triangulation simple d’un domaine formé de rectangles, si bien qu’on numérote en conséquence les sommets des triangles et qu’on définit la base {cofe (x , y)} dans Fh comme au n° 2.5. Dans ce cas, la matrice du système algébrique linéaire obtenu à partir de l ’équation varia- 2.6] MÉTHODES POUR DES PROBLÈMES À PLUSIEURS VARIABLES 101 tionnelle approchée possède en principe une structure analogue à celle de la matrice de (5.8). Les procédés de ce numéro se généralisent au cas de dimension 3. 2.6. Méthodes variationnelles pour des problèmes à plusieurs variables Nous allons décrire sommairement les procédés de construction de schémas variationnels aux différences pour des problèmes à plu sieurs variables. 2.6.1. Construction de sous-espaces Soit, dans l ’espace des variables x, z/, z, un domaine borné D de frontière dD linéaire par morceaux. La méthode la plus connue pour former Fh a W\ (D) consiste à trianguler D dans l ’espace, i.e. on superpose à Z) un nombre fini de pyramides triangulaires disjoino N tes telles que D = (J Aft. On note hk la plus grande longueur h=1 des arêtes de Afe et on forme facilement une suite d’espaces Fh de fonctions morceaux de polynômes définis par le paramètre h = = max hk. Ces espaces se définissent comme en uni et bidimen- # .1 sionnel. Illustrons nos paroles sur des approximations linéaires par morceaux et le cube D = {x ,y, z \ 0 < z < 1, 0 < z / < l , 0 < z < ; l } . On divise le segment [0, 1] par les points équidistants 0 = | 0 < < il < • • • < in+1 = 1» avec Ift = Al- k ( A£ = , et on couvre D de cubes élémentaires de côté A|, ce qui exige qu’on trouve les lignes suivant lesquelles D coupe les plans : % y Efc» ^ foki h = 0) 1, . . .,. w -j- 1. Il suffit maintenant d’effectuer une triangulation d’un cube élé mentaire de côté A£. On procède de différentes manières (on peut agir par exemple comme l ’indique la fig. 12 : le cube est partagé au préalable en deux prismes). 102 METHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 Ainsi, chaque cube élémentaire est représenté par la réunion de 6 pyramides, la longueur maximale dé l ’arête étant h = -y r3Ag = +1 = — —r. On traite de même tous les cubes et le domaine D se trouve n recouvert complètement par N = 6 (n + l)3 pyramides. Pour cons truire F h, on définit dans chaque un polynôme de la forme m gk (*, y, z) = S S Chiu i2, 1 0 h+î2 +h=i (6.11 = tel que la fonction gi(x, y, z) si (*, y, z.)6 Ax, gN (x, y, z) si ( 6 . 2) g(x, y, z} = < , (x, y, z) ÇAN F o boit dans W\ (Z)), i.e. elle possède des dérivées premières de carre sommable et devient nulle sur la frontière. La condition est vérifiée dès qu’on a la continuité de g morceaux de polynômes et sa nullité sur dD. S’agissant des fonctions linéaires par morceaux gk (#» y » z) — C l o, o ~\~cl o, + i, oy +-£0, o ,iz, (6-3) g (x , y, z) est nécessairement continue si les coefficients de gk se définissent par exemple par les valeurs de g aux sommets de Ah corres pondant. Autrement dit, il suffit que gk prenne des valeurs données en ces poirjts. : | La méthode est suffisamment universelle et joue pour des domai nes limités par les,contours de forme plus générale. Ses algorithmes sont par contre très laborieux même pour dès domaines simples. Le lecteur trouvera plus loin un autre procédé de formation des F h qui nous paraît plus commode dans le cas de domaines multidimension nels de forme spéciale. Soit, dans l ’espace euclidien de dimension un domaine D qu’on assimile à la réunion d’un nombre fini de parallélépipèdes rectangles {Z)v} p-dimensionnels et soit D = {xt ^ xt bt, i = 1, . . ., p} le plus petit parallélépipède qui contient D (sous l ’hypothèse de Dv ayant ses côtés parallèles aux hyperplans de coordonnées). On associe au segment -[a*, bt] de l ’axe des x %pour chaque i, 1 i ^ p , le réseau Q>i— o 1<< *• • Ni <C %i, N^+1 ^ i — 1, • . • ,Pi et on définit le réseau D h comme étant l ’ensemble des points xk = — (ïi,jy ^2, h2, • - -, Zp, h ) du domaine D (1 < kt < N u i = = U • • p)- 2.6] MÉTHODES POUR DES PROBLÈMES. À PLUSIEURS VARIABLES 103 Si l ’on associe à chaque réseau de dimension 1 le système de fonctions de base à une variable xi - xit ht-1 xi, k. —xit k.-l Si, ht (Xi) — { xi x i t fe.+i si- Xi Ç [X{t k-~ 1? Zi, h*1» (6.4) si %i 6 [*î, kp Xi, kj-f-lb xi, ht xi, fe^+1 0 dans’ ’ le cas contraire kt = 1, • « «, N t, 1 < i < p. on prend le système p n g i , h t {Xi), x ^ D h, Æ==(Ælt ft2, . . Æp), (6.5) i =l O pour base de l ’espace F h c= W\ (D) des fonctions linéaires par mor ceaux. Le cas p = 2 nous est suffisamment familier dès le paragraphe précédent. ?h(x)= 2.6.2. Formation de schémas variationnels aux différences point par point Les procédés décrits de génération des Fh et de schémas varia tionnels aux différences pour les problèmes à plusieurs variables pré sentent de nombreux points délicats tels que le choix des fonctions de base (premier procédé du point précédent), le calcul des éléments non nuis de la matrice du système, etc. On tourne ces difficultés dans pne méthode hybride qui unit l ’approche variationnelle à la tactique usuelle par différences finies. Il est vrai que le système d’équations discrétisées n’est plus ni-un système aux différences proprement dit, ni un système variationnel aux différences, mais on réussit à affai blir les impératifs d’une approche par recours à l ’autre. Prenons par exemple une équation elliptique de dimension p. Soit l ’équation - 2 i k p< M -Ë r= f <6'6) i=1 dans un domaine borné D de frontière Considérons pour cette équation le problème de Dirichlet: u = 0 sur dD. (6.7) Quand p ^ 2 et D diffère des domaines étudiés ou d’autres tels qu’on O forme sans peine la suite des F h ç W\ (D), on propose le procédé hybride suivant. Superposons à Z) un réseau rectangulaire D h formé par l ’inter section de D et de l ’ensemble des hyperplans parallèles aux plans de M É T H O D E S D E C O N S T R U C T IO N D E S C H É M A S A U X D IF F É R E N C E S 104 [C H . 2 coordonnées et désignons par xk = (xlihi, x 2 y h xPt k ) les nœuds de Dh. Le système d’équations discrètes sera celui des approximations du problème (6.6), (6.7) associées à tous les nœuds de D h qui s’obtiendront moyennant des schémas variationnels aux différences de dimension un. On procède comme suit. Pour approcher le problème proposé au point xh Ç D h, on écrit l ’équation sous la forme <6-8) 2=1 V avec 2 f i — f' On construit pour chaque terme de la somme (6.8) i= l un schéma variationnel aux différences associé à la droite x t, 1 ^ correspondante et on fait l ’addition. Autrement dit, l ’équa tion (6.8) discrétisée au point xh s’écrit t {LTuh- f ?) = 0, (6.9) 2= 1 avec (L\h) uh — f ^ ) l ’analogue variationnel aux différences du terme suivant les segments de l ’axe de x t. Les procédés de construction de schémas variationnels aux différences pour les opérateurs de dimen sion un ont été examinés en détail au n° 2.3. Plaçons-nous dans le cas concret du cube unité p-dimensionnel recouvert par un réseau régulier D h (h = Selon le numéro 2.4 et (6.9), le système d’équations discrètes pour (6.8) est de la forme p -p -2 + ( P h i- i / 2 + P h i +l/2) — i= 1 — Pkl+i/2U%i+l] — /ft. = 0, xh 6 Dh. Nous avons utilisé les notations (1 ^fc-+a = ^ • • •> a» 17 • • •, *fcp). 0, i l ; xkf+a+1/2 Pkt+a = ^ P (xh!i • • •» *’ *, Xhp) dx. xki+a-i/2 (6.10) O C— a = ± 1/2. (6.11) 2.7] MÉTHODE DU DOMAINE AUXILIAIRE 105* 2.7. Méthode du domaine auxiliaire Soit, dans un domaine borné Dx, l ’équation différentielle ellip tique TL Lu^ ~ ^ ( a» W - ë r ) + c (x) u = f ( x)’ i, j —1 (7.1) x =(*!, . - . , x n)e avec la condition aux limites u (x) = 0, x Ç dDt (7.2) (problème de Dirichlet). On suppose que les coefficients et la solution du problème (7.1)r (7.2) sont suffisamment réguliers, ai5 (x) = ajt (x), c (x) ^ 0 et on. est dans la condition d’ellipticité inf n 2 aij(x) îili>\»''k lu x £ D \ i, j = 1 (7.3) i~ 1 où la constante positive p, est indépendante du vecteur arbitraire l = (El. ••-, în)- S’il est difficile de programmer la résolution numérique de ce problème par des méthodes des différences ou variationnelles des différences, la cause en est surtout la géométrie de Dx, si bien qu’on ferait mieux de confectionner les programmes pour une classe plu& ou moins vaste de domaines. On y arrive par exemple en remplaçant le problème aux limites (7.1), (7.2) par un problème voisin dans un sens, mais donné dans un domaine plus simple, disons dans un parallélépipède. Cette technique proposée par Sauliev [IV; 25] est connue sous le nom de méthode du domaine auxiliaire. La méthode repose sur ce fait bien connu des physiciens que la densité de substance diffusante varie faiblement dans un milieu à coefficient de diffusion relativement grand. Il est donc naturel qu’on complète le domaine initial D1 de façon à obtenir un parallélé pipède et qu’on prolonge (x) de (7.1) au domaine auxiliaire par des valeurs suffisamment importantes. Si l ’on se donne sur le contour du parallélépipède une condition de la forme (7.2), il y a lieu d’espérer 106 MÉTHODES DË CONSTRUCTION DÉ SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 que la solution de ce nouveau problème diffère peut de 0 dans le do maine auxiliaire et coïncide presque partout dans Dx avec la solution du problème primitif (7.1), (7.2). Concrétisons ce que nous venons de dire. Soit le problème aux li mites de dimension un (voir Sauliev [IV; 25] 4 £ = -V 0 < x < 0 ,5 , ,(7.4) u(0) = u(0,.5)==0, dont la solution exacte est u (x) = x (0,5—æ). Remplaçons (7.4) par dx = /(*). 0 < * ’< 1 , (7.5) p(0) = i;(l) = 0, [dv ( « £ ) < 0 , 5 - 0 ) - ( a & ) (0,5 + 0), ou 1, 1 8» • /< * ) - { o < æ<;o,5, 0 ,5 < a ; < 1, -2 , 0<C^<^0,5, o, 0 ,5 ^ > < \1 . La solution exacte s’écrit dans ce cas l + 2e2 V (x) = ( t + P - 0 ’5 —? ) . 8* 2(i-j-g2) (^ ,r)’ 0 < x < 0 ,5 , o ,5 ^ x -< ;i.. Evidemment lim v (x) = u ’(x) pour x £ [0; 0,5] et lim v (x) = 0 ;8->Ô 8-»-0 . pour x £ (0,5; 1). Le domaine 0,5 < x 1 joue donc pour e suffi samment petits le rôle de région auxiliaire au sens ci-dessus. On obtient des résultats analogues, ou peu s’en faut, dans le cas multi dimensionnel. Décrivons la méthode du domaine auxiliaire pour le problème de Dirichlet (7.1), (7.2). On désigne par D %le domaine qti’on ajoute à D\ pour obtenir le parallélépipède D et par S la frontière commu ne à Dx et à Z)2. 2.7] MÉTHODE DU DOMAINE AUXILIAIRE 107 Soit, dans D, l ’équation (7.6) i, j = l ou aij(x), 0, x x Ç Z)2, Î =7^ i x £ D 2, i = ii ■ 8”2’ x e D x, - j c(x), C(x) x Ç,D2, l o, x 6 D}, F{x) \ /(*). lo , x £ D z. L ’équation (7.6) n’est pas forcément homogène dans Z>2. En exami nant la torsion d’une barre cylindrique homogène, Konovalov [IV ; 9] l ’a par exemple choisie non homogène dans D tout entier, ce qui a permis, d’interpréter physiquement le problème intervenu. Posons pour (7.6) le problème aux limites v (x) = 0, x £ dD, (7.7) avec les conditions de compatibilité n * b (^)lls = 0, [ 2 ^ c o s ( » , x t) "^~],|s = .0- (7.8) i, 3— 1 Ici n est la normale à la frontière S ; [ ] |s désigne le saut de la fonction sur la surface S . On fait la convention que la solution du problème (7.1), (7.2) est nulle sur Z>2 et on évalue la différence w (x) = u (x) — v (x), La fonction w (x) vérifie, on le constate sans peine, le problème aux limites L ew(x) = 0, x £ D , x $ S , (7.9) w(x) = 0, (7.10) n [w(x)]|s = 0, [ 2 Aij (x) cos (n, x^ -|jjp] I = cp(x), i, j= 1 (7.11) M É T H O D E S D E C O N S T R U C T IO N D E S C H É M A S A U X D IF F É R E N C E S 108 Multiplions des conditions J( Di [C H . 2 (7.9) par w(x) et intégrons sur D compte tenu (7.10), (7.11), il vient l ’identité i , 3= 1 i (£ )* * —j (p(x) W X ds. (7.12) D2i= 1 = (, ) S Rejetons le premier terme de la somme à gauche et appliquons au second membre l ’inégalité de Cauchy-Schwarz : -p-J 2 (■Èr)2dx< l/^ î 1«P8(*)*!/"{s Sw%{x)ds. (7.13) D2 2= 1 Le second membre s’évalue moyennant l ’inégalité n j w2( x ) d s ^ C t ( ô j w * ( x ) d x + - j j 2 S (ùq ( l ^ ) 2d x ) • (7-14) i —1 juste pour la bande limitrophe œ ô de largeur 0 < ô < ô0, ô0 étant indépendant de w (x) (voir Oganessian, Rivkind, Roukhovetz [V; 81), et l ’inégalité de Friedrichs n ju *(*)Æ c « 7 2 J 2 D ( - £ r ) 2^ . ( 7 -15) D i= 1 vérifiée par w (x) nulles sur une portion de frontière de D . Faisons ô = ô0 dans (7.14) et étendons le domaine d’intégration au second membre, on a j|w (a r)|2 d s < C 3 ( S j \w(x)\2d x + j 2 dxi dw D2 (7.16) D2 i = l Comme w (x) — 0, x £ dD, on applique (7.15) au premier terme de la somme : j |«>(Æ)|2ds<<74j n dw (7.17) S D2 i = 1 On prend en considération la dernière inégalité et on trouve à partir de (7.13) UD2 s i= l dxi (7.18) MÉTHODE DU DOMAINE AUXILIAIRE 2.7] 109 et à partir de (7.15) j \w(x)\2dx^CC&2. (7.19) d2 L’identité (7.12) entraîne de même à l ’aide de la condition d’ellip ticité (7.3) et de la non-négativité de / (x) : Jij S y Di i= l { | < p | 2 d s l / j |u ; ( * ) |2 * « 7 4e 2. S (7 .2 0 ) S L’inégalité de Friedrichs généralisée n j |«;(x)|2d x < C 6 ( j|w (a:)|2d s + J 2 D± S { ^ Y dx) (7-21) D±i —1 jointe aux estimations (7.17), (7.18) et (7.20) implique de plus j \w (x)\2dx^C-jZ2. (7.22) Di Ainsi, la solution v (x) du problème (7.6), (7.7), (7.8) approche la solution u (x) de (7.1), (7.2) dans W\ (Z)x) à e près, i.e. (voir (7.20) et (7.22)) IIk —i>||w|(d1) < C86, (7.23) la constante C8 étant indépendante de e. Koptchénov [IV; 10] a amélioré au mieux (7.23): Il u — v ||c(Di)^C9e2. (7.24) La résolution approchée du problème de Dirichlet (7.1), (7.2) dans un domaine borné Dx quelconque s’effectue donc selon le schéma suivant. Construire le plus petit parallélépipède D renfermant Dv Choisir e tel que la solution du problème (7.6), (7.7), (7.8) approche celle du problème proposé avec une précision désirée. Résoudre le premier problème par une méthode des différences avec le degré d’exac titude voulu. Pour la convergence des solutions aux différences vers la solution exacte, consulter par exemple Rivkind [IV ; 22]. Utilisons enfin l ’idée de la méthode du domaine auxiliaire pour le troisième problème aux limites - 2 - è r a‘j ( * ) ' £ ; + 2 i, i - 1 n 2 (* ) « = /(* ), (7.25) xÇ dD ^ (7.26) i= 1 x = (#i, • • • >%n) 6 aij(x)cos(n, x t) J£- + o(x) u = 0, i, ; = l la fonction a (x) étant suffisamment régulière et non négative sur dD1. 110 MÉTHODES DE' CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 Complétons le domaine Dx de façon à obtenir un-parallélépipède D id Dx. On suppose l ’existence d’une sphère de rayon p > 0 inté rieure à Dx telle qu’elle touche n’importe quel point de la surface dD^. On définit dans une bande limitrophe de largeur e < p de une fonction oe (x) par la formule ,ê («) ==4 0 («*)•( 1-+-4) » — 8<1 T^ 0, Xi i = x t —t cos (Hy x t), où | t | est la distance comptée suivant la normale entre x et ôZ?4. On pose r e (x) = 0 partout ailleurs dans D. Soit, dans D, l’équation ÿ j-1 i=i (7.27) où A is ( x ) = f a i j (**')> x 6 Dt, • x £ D 2, l Bi ( * ) = ] C(x)=\ 0’ e, z Ç £ > 2, f h (x), x e D ly { x £ D 2; o, o, [ c(x), x e D lt i x £ D 2; i =7^ 7 i =■■]•, x £ D lt if(*) = { . 0, x £ D 2. On pose pour (7.27) le problème aux limites v (x) = 0, x ÇdDj (7.28) avec les conditions de compatibilité n [V( x ) ] [ao, = 0, [ 2 A u <*) cos (n, xt) - g j ] | = 0. (7.29) ij i = l Sous certaines hypothèses sur la régularité des coefficients du problème (7.25), (7.26), Roukhovetz ([IV; 23] démontre la majora tion (7.30) 11 U — V I\ w i (Dx) c C jo 11 / I112(D x) , avec une constante Ci0 indépendante de e > 0 . 2 . 8] PROBLÈMES D ’EXTRÉMUM 111 Le passage du troisième problème aux limites (7.25), (7.26) au problème de Dirichlet (7.27), (7.28), (7.29) peut être expliqué comme suit. Supposons que la solution de celui-ci converge, lorsque e — vers une fonction u (x) en norme de W\ (£>). La solution v (a:) de ce problème vérifie l ’identité intégrale i V „ dv dO j , , ( ôv 7 , l - ë ^ - ^ r dx+ D, Dt + j C(x) i>0 dx + ^ .ozvQ>dx= j f(frdx (7.31) quelle que soit O g W\ (Di) (pour plus de simplicité on pose bt (x) = — 0). Faisons tendre e de (7.31) vers 0, il vient l ’identité j S aiJ Dt dz-\- j CuO dx + j azT© ds = ^ fOdx . Dx (7.32) Dt juste pour toutes les © £ W \ (Dt). Du moment que la solution du problème (7.25), (7.26) satisfait à (7.32), il y a coïncidence de u (x) et u (x) dans D t. 2.8. Problèmes d’extrémum avec contraintes et inéquations variationnelles Nous avons étudié dans ce chapitre diverses positions variation nelles de certains problèmes de la physique mathématique et des méthodes d’approximation pour les problèmes d’extrémum asso ciés. Cette analyse avait ses particularités : on se plaçait dans l ’espace hilbertien tout entier sans aucune contrainte supplémentaire sur la solution cherchée. Mais de nombreux problèmes intervenant en phy sique, mécanique, géophysique, commande optimale et économie conduisent à des problèmes d’extrémum dont on cherche la solution dans une classe fonctionnelle plus restreinte que le domaine de définition des fonctionnelles correspondantes ne le permet. On abor de de tels problèmes avec différentes optiques et on en décrit la résolution dans Lions [V], Duvaut et Lions [V], Stampacchia [V], Brézis et Stampacchia [V], Tchernoousko, Banitchouk [III; 16], Bensoussan, Lions et Temam [III], Glowinski [V], Glowinski, Lions et Trémolières [V]. On donnera plus loin des renseignements sur l ’existence et l’uni cité pour des problèmes d’extrémum avec contraintes et la caracté risation des solutions par des inéquations variationnelles. On utili sera des inéquations variationnelles pour analyser les propriétés des solutions et on discutera divers moyens d’approximation. 112 METHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 2.8.1. Eléments de la théorie générale Soit U un espace de Hilbert sur le corps des nombres réels muni •du produit scalaire (, )<y et de la norme associée || • du* Supposons qu’on a défini sur U une forme bilinéaire symétrique continue ji (u, v)> une forme linéaire continue L (v) et un ensemble Ud s U fermé convexe. On introduit la fonctionnelle quadratique J (v ) = n (u, v) - 2L (v), (8.1) la fonctionnelle jt (i;, v) étant supposée définie positive dans t/, i e. on trouve une constante a > 0 telle que n ( v , v) > a || u ||?/ (8.2) quel que soit v 6 U, On a l ’affirmation suivante démontrée dans la monographie de Lions [II]. Sous les hypothèses faites, il existe un élément u et un seul •dans Ud qui est solution du problème J ( u ) = iniJ(v). (8.3) veud Un moyen universel et bien élaboré de donner un sens intuitif au problème d’extrémum (8.3) afin d’étudier les propriétés de sa solution, consiste à utiliser des inéquations variationnelles. Il s’appuie sur le résultat suivant. Avec les hypothèses faites, l ’élément u £ Ud est solution de (8.3) ;si et seulement si tout v Ç Ud vérifie jt (m, v — u) ^ L (v — u). (8.4) Démontrons (8.4) dans un sens. On suppose que u est solution de (8.3), auquel cas tout u Ç Ud et tout © £ (0, 1) satisfont à / (u) < / ((1 - Q)u + ©y) (8.5) (nous utilisons la convexité de Ud, i.e. le fait que (p = (1 — —Q)w + ©i? appartient à Ud quels que soient w, u g V d et © £ (0, 1)). D’où J (u Q {v u)) J (u) ^ q /g g*. •ou, par passage à la limite pour ©->-0 et compte tenu de la for me de J : jim J ( u + ® ( v —u))—J (u)_ e-o 6 = lim {2 [jt (u, v —u) — L (v — u)] + © j t ( v — u , v — u )} = 0-*O = 2 [jt ( u , v —u) —L (v —u)] > 0 quel que soit v g Ud, ce qui prouve (8.4). (8.7) 2.8] PROBLÈMES D’EXTRÈMUM 113 Admettons que l ’élément u vérifie (8.4). La fonctionnelle quadra tique J (u) est convexe, i.e. n ’importe quels v, w g U et 0 Ç (0, 1) respectent l ’inégalité / ((1 — 0) w + ®u) < (1 — 0) / (w) + 0 / (p) ou, ce qui revient au même, J ( v ) - J (w)>J w+ ev)~ j (w). (8.8) Substituons u à u?, il vient J ( V ) - J (u) Faisons tendre 0 vers 0. On a par suite de (8.7) et (8.4) J (v) — / (u) ^ 2 [n (u, v — u) — L (v — u)] ;> 0, donc J (u) ^ / (y)f quel que soit v Ç Ud, i.e. u est solution du problème (8.3). Appliquons ce résultat à deux cas concrets. Soit Ud un sous-espa ce de U qui est fermé pour la norme de E/. Posons dans (8.4) v = u ± rb cp, cp étant un élément quelconque de Ud. On aboutit à deux iné galités : n (uy cv ) > L (cp), —n (w, ( p — L (cp). Il en résulte qu’avec l’hypothèse faite, l’élément u est solution du problème (8.3) si et seulement si tout cp £ U vérifie l ’égalité n (u, (p) = L (<p). (8.9) Cette relation n’est rien d’autre que l’équation d’Euler pour le pro blème variationnel / ( u ) = inf J(v). (8.10) •eud Plaçons-nous dans le second cas et supposons Ud être un cône. (On appelle cône un ensemble fermé convexe K a U qui, s’il con tient un cp, contient aussi ycp quel que soit y ^ 0, et tel que si q>, —cp Ç Ç K, alors cp est élément nul de U.) On porte dans (8.4) v+u à la place de v et on obtient jt (&, v ) ^ L (y), (8.11) inégalité vérifiée par tout v Ç Ud. Nous avons utilisé la propriété suivante de Ud : si Ud contient deux vecteurs v et w quelconques, 8 -0 4 3 6 114 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 alors v-j-w £ U d. En posant v = 0 dans (8.4) et v = u dans (8.11), oh trouve respectivement —n (u, u) ^ — L (u), ji (u, a ) > L (u), qui entraînent de suite n (u, ü) = L (u). (8.12) On montre l ’équivalence entre (8.11)-(8.12) et (8.4). Il suffit d’établir que (8.4) découle de (8.11)-(8.12). En effet, on retranche (8.12) de (8.11): n (u, v) — jt (u, u ) ^ L (v — L (u), et cette différence conduit, en vertu de la bilinéarité de ji et de la linéarité de L, à Jt (u, v — u ) ^ L ( v — u), juste pour tout v £ Ud. Ainsi, (8.4) et (8.11)-(8.12) sont équiva lents si Ud est un cône. 2.8.2. Quelques problèmes d’extrémum Nous nous bornerons au cas unidimensionnel où les éléments u £ U sont des fonctions de la variable x et U constitue l ’espace de Sobolev W\ (0, 1), car ce cas nous paraît le plus apte à illustrer les résultats précédents. L’espace U est muni d’un produit scalaire et d’une norme définis par (u,v)o= $ [ - £ ■ % + u v jd x , 0 llw ||u=(«, u)y2. (8.13) Introduisons la fonctionnelle bilinéaire (8.14) n (u, v) = (u, v)u 'et la fonctionnelle linéaire 1 L (v) = j fvdx, (8.15) o avec f = f (x) un élément fixe de L2 (0, 1). Evidemment jx (u, v) est définie positive symétrique continue et L (v) continue. Ces pro priétés découlent de jt(w, v) CH ulitHM lu, (8.16) n(v,v) = || v ||t/, L ( y ) ^ l l / I I l 2(o, n - l l ^ I I m o . D ^ l l / l l n ^ o , i ) * 1 1 ||c7- 2 .8] PROBLÈMES D’EXTRÉMUM 115 Ainsi, la fonctionnelle quadratique 1 J (y) = (y, v ) xj — 2 J*fudx (8.18) ô respecte toutes les conditions du point précédent, si bien que l’élé ment u £ U d solution du problème d’extrémum J ( u ) = inf / (u), (8.19) . existe et est unique si Ud ^ U est un ensemble convexe fermé. Cet élément est défini de façon unique par l ’inégalité n (u, v — u ) ^ L (u — u)r. ■ (8.20) quel que soit v 6 Ud. Il y a lieu de noter que la solution u (x) du problème (8.19) est nécessairement une fonction continue parce que toute v(x) Ç W\ (0, 1) se trouve dans l ’espace de Banach C (0, 1) des fonctions continues (voir Sobolev [I; 61). Il existe de plus une cons tante a telle qu’on ait pour toute fonction u(æ) £ U = W\ (0, 1) lk llcci,i> â||v |W ' " (8-21) i.e. la convergence de la suite {vk (z)} vers v°°' {x) en norme de W\ (0, 2) entraîne la même propriété pour la norme de C (0, 1). Concré tisons nos résultats. Soit Ud = U, auquel cas Ud est un sous-espace propre de U (qui coïncide avec U) et la solution u (æ) du problème (8.19) vérifip .pour toute v (x) Ç U l ’égalité ' (w, P)|7 =■ L (ü) (premier .exemple du .point 2.8.1). On en déduit par des raisonnements standard (voir Mikhlin [II) que u (x)} est solution généralisée jdu pro blème de Neumann : d2u . I x * ^- u = f ( x } 7 ;1 o < .x <:î 9 du dx^ = 0 .pour x = 0 v du.. = 0 dx pour (&Æ2>) x = 1. Si / (x) est par exemple continue, alors u (x). constitue solution Clas sique de ce problème. ^ Admettons que Ud = W\ (0, 1), i.e. il est l ’ensemble des fonc tions de W \{ 0,1) qui s’annulent aux extrémités de l ’intervalle (0, lj. Il est connu que W\ (0, 1) est un sous-espace fermé de W\ (0, 1) (car c’est un espace complet pour la métrique W\ (0/1)). Aussi la solù8* 116 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 O tionw(x) 6 W\ (0, 1) du problème (8.19) satisfait pour toute v (x) £ Ç W\ (0, 1) à l ’égalité (u, v)u = L (v) (premier exemple du point 2.8.1). Comme dans l’exemple précédent, on en déduit que u (x) est solution généralisée du problème de Dirichlet — S T + » = /(* ). 0 < £ < 1, u(0)=u(l)=0. (8.23) Considérons deux cas où Ud n’est pas une partie de t/, i.e. sa structure est plus compliquée. On définit Ud par la relation Ud = {u(x) \ u (x ) 6 W ï(0f 1), 0 pour x 6 (0, 1)}, (8.24) i.e. on est en présence d’un ensemble de fonctions Ç W\ (0, 1) non négatives sur (0, 1) et nulles aux extrémités de cet intervalle. On montre que Ud est un cône de W\ (0, 1). Cela est vrai si les condi tions suivantes se trouvent satisfaites : Ud est convexe ; Ud est fermé ; si v (x) Ç Ud, alors 7 v (x) £ Ud quel que soit 7 ^ 0 ; si v (x), — v (x) Ç U d, alors v (x) = 0. La condition de convexité signifie que si Ud contient u (x) et v (x), il contient également w (x) = (1 — 0) u (x)+@v (x) quel que soit 0 Ç (0, 1). Elle s’avère valable en raison de la non-négativité de w (x) qui est en effet une combinaison linéaire à coefficients posi tifs de fonctions non négatives. Soit & (x), k = 0, 1, . . une suite de fonctions de Ud qui tend o 0 pour la norme de W\ (0, 1) vers une fonction w00 (x) 6 W\ (0, 1). «Comme u°° (x) £ C (0, 1), la suite {vk (x)} converge, selon (2.21), vers v°° (0, 1) pour la norme de C (0, 1). Ainsi, v 50 (x) est non négati ve, nulle aux extrémités de l’intervalle (0, 1) et elle appartient vdonc \ Ud (on est dans la deuxième condition). Les deux dernières propriétés sont établies de façon triviale. Etant donné Ud défini par (8.24), le problème (8.19) admet donc, d’après le point 2.8.1, une solution u (x) et une seule si et seulement si toute ï; (x) Ç Ud vérifie l ’inégalité (8.25) (8.26) 117 PROBLÈMES D’EXTRÉMUM 2.8] Supposons que u (x) est positive en un point £ £ (0, 1), auquel cas sa continuité entraîne l ’existence d’un intervalle (£", £+) ^ .( 0 , 1) tel que | £ (£“, £+), u (æ) soit positive sur cet intervalle et u (£~) = = u (g+) = 0 (il se peut en particulier que = 0 et | + = 1). Dé signons par D (£", £+) l ’ensemble des fonctions indéfiniment dériva bles à support borné dans (£“, £+) et identiquement nulles partout ailleurs. On sait (voir Sobolev [I ; 6]) que D ( | “, £+) est dense dans o PPJ(£“, | +) et que toute fonction cp (a;) de cet ensemble jouit de la propriété: avec tout e > 0 suffisamment petit, les fonctions ve (x) — v (x) ±: e L (<p)i —jt (u, cp) ^ — L (cp), donc jt (u, cp) = L (cp), quel que soit cp £ Z) (£“, ê+). ;; Etant donné cp (z) = 0 pour x (J (|~, la forme î[ 6- l r H (8.29) (8.30) (8.31) £+), on met (8.31) sous =*j / £ W\ (g~, g+). D’où, selon le deuxième exemple ci-dessus, la propriété, pour u (x), d’être sur le segment t|~ , |t ] une solution généralisée du problème de Dirichlet + «.=./ (x), £ " < '« < i +, u(S-) = u(È+) = 0. Ainsi, on associe à tout point g 6 (0, 1) en lequel la solution u (x) de (8.19) est positive, un intervalle (g", :g+) où u (a:) est solution généralisée du problème (8.33). Faisons le bilan: l ’intervalle Q =; (0, 1) est représenté par ' Q= \jQ+, (8.34) 118 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 où Q+ est un ensemble: ouvert, réunion d’un certain nombre (peutêtre dénombrable) d’intervalles sur lesquels u (x) est positive et constitue une solution généralisée d’un problème du type (8.33), et Q° le complémentaire (peut-être vide) de Q+ par rapport à Q sur lequel u (x) = 0. Le problème considéré est de classe de problèmes à frontière li bre (voir Lions [V]) qui interviennent par exemple en mécanique des milieux continus. Les inconnues sont aussi bien les bornes des inter valles constitutifs de que la fonction u (x) sur ces intervalles. Plaçons-nous enfin dans un cas intéressant où Ud n’est ni une partie ni un cône de U. On suppose données sur (0, 1) deux fonctions Fx (x) et F2 (x ) de W\ (0, 1) qui vérifient pour tout x 6 (0, 1) l ’iné galité (8.35) Fi (z) < F2 (x) /?’i ( 0 ) < 0 < jF2(0), (8.36) On définit alors Ud par la relation U d = { u (x) | u (x) Ç W \ (0 , 1 ), F l (x) 4 . u ( x ) <C F 2 {x) quel que soit #6(0, 1)}, (8.37) i.e. il s’agit d’un ensemble des fonctions de W\ (0, 1) qui s’annulent aux extrémités de (0, 1) et vérifient sur cet intervalle l ’inégalité F \ (x) ^ u ( x ) ^ F 2 ( x ). (8.38) On procède comme plus haut et on montre que Ud est un ensemble convexe fermé de W \ (0, 1). On en tire, compte tenu du point 2.8.1, l ’unicité pour le problème (8.19) avec Ud ainsi choisi. Admettons qu’en un point | 6 (0, 1) F i(t)< u (t)< F A t)(S.39) La fonction u (#) étant continue, on trouve des points g", g+ 6 [0, 1] tels que £ 6 (S“, t +) et la fonction u (x) satisfasse sur (g“, g+) aux inégalités Fx (x) < u (x) < F2 (#), (8.40) et aux extrémités de cet intervalle aux conditions aux limites ou b ienF id"), 2 .8] PROBLÈMES D’EXTRÉMUM Ainsi, on représente l ’intervalle Q = (0, 1) par Q — Q° U ^ +, 119 (8.42 ) où Q+ est la réunion des intervalles sur lesquels u (a:) vérifie (8.40) et Q° le complémentaire de Q+ par rapport à Q sur lequel u {x) est égale ou bien à Fx (#), ou bien à F2 (a;). Si F1 (a:) et F2{x) ne s’annu lent pas aux extrémités de (0,1), alors Q° constitue un ensemble fer mé, i.e. il est la réunion de segments et de points isolés de (0, 1). Ceci étant, la fonction u (a:) est égale ou bien à Fx (.x), ou bien à F2 (x) sur chaque segment de la dernière réunion. Voyons le comportement de u (x) sur un intervalle ( | “, £+) c Q +, On sait qu’avec tout s > 0 suffisamment petit et toute cp (a;) £. Ç D (I", | +), chaque fois que u (x) appartient à Ud, les fonctions ve (x) = u (x) ± ecp (x) lui appartiennent aussi, si bien que la subs titution vs (a;) = v (a;) dans (8.20) donne n (u, cp) (cp), —jt (u,, cp) ^ — L (cp). On en déduit pour toute cp (a:) £ D (£*", §+) l ’égalité n (u, cp) — L (cp) (8.43) oui ce qui revient au même, î [ ^ S - + w<p ] d x = = l /<pda:’ îSavec u (x) respectant les conditions aux limites U (|-) = g-, u ( i +) = g+, et g~, g* définis par les relations ou bien F,,(g"), ou bien F2 (|~), +== f ou bien. Fx ( |+), ^ 1 ou bien F$(ê+). (8.44) (8.45) (8.46) Les exemples antérieurs autorisent à dire que sur chaque (g-, | +) la fonction u (x) est solution généralisée du problème de Diriehlet « (i“) = g~i »(S+) = *+. (8.47) 120 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 Ainsi, le problème énoncé consiste non seulement à chercher les bornes des intervalles de Q+ et à calculer u (x) sur ces intervalles (comme dans le problème précédent), mais aussi à définir les valeurs de u (z) aux extrémités de ces intervalles. Nous sommes en présence d’un autre problème à frontière libre. 2.8.3. Méthodes numériques pour les problèmes d’extrémum Selon les propriétés de la fonctionnelle quadratique J (v) et de l ’ensemble Ud e U réalisant l ’extrémum cherché, on emploie telle ou telle méthode de résolution. S’agissant des deux premiers exem ples ci-dessus où la résolution approchée du problème d'extrémum se ramène à la recherche de la solution classique ou de la solution géné ralisée du problème aux limites linéaire pour l ’équation différentiel le, il y a intérêt à aborder le problème aux limites directement obte nu. Dans la pratique, cette tactique s’avère très laborieuse dans les cas 3 et 4 où l ’on ignore aussi bien les frontières des domaines qui renferment la solution que les conditions aux limites. Ces problèmessont tout de même justiciables de nombreux procédés qui utilisent par exemple la régularisation, la pénalisation, les idées de la program mation non linéaire (voir Lions [V]). Nous allons, pour notre part, réduire le problème (8.3) à un problème en dimension finie et cher cher l ’extrémum d’une fonction quadratique de n variables sur unensemble convexe borné d’un espace de dimension n. Soit Uh une suite de sous-espaces de dimension n = n (h} (n (h) —>■oo pour h —>■0) qui approchent U au sens qu’on trouve pour tout v (x) Ç U et tout À > 0 un tel qu’il existe pour tous le& h<Z h^xm élément lA (a;) Ç Uh qui approche v(x) à À près, i.e. tout h < hA vérifie l ’inégalité inf jju — cp||-<A. (8.48> <t>euh On remplace (8.3) par le problème approché (8.49> J ( u h) = inf -J(v), vtU* U\ = Ud fl Uh étant un ensemble convexe fermé (l’intersection de deux ensembles convexes fermés est un convexe fermé). Le problè me (8.49) admet évidemment une solution unique (voir point 2.8.1) qui converge pour h — 0 vers la solution du problème initial (8.3) par suite de l ’hypothèse de Uh complète dans U. Supposons que les fonctions \[$ (x), k = 1,.. . . », forment unebase de l ’espace Uh et qu’une fonction i? (x) respecte la relation v (X) = 2 «htft (X)' A= 1 <8.50> 2.8] PROBLÈMES D’EXTRÉMUM 12Î Sous ces hypothèses, on a / (u) = <D (a) = (Aa, a) — 2 (g, a), (8.51) où A est une matrice définie positive symétrique d’ordre n formée de au = n { ^ , ^ ) , (8.52) g et a sont des vecteurs de dimension n ayant pour composantes (8.53) aj = ai et (,) désigne le produit scalaire ordinaire dans l ’espace engen dré par des vecteurs réels de dimension n. Le problème (8.49) se récrit (D(p)= inf O (a), (8.54) avec Vd défini comme suit: a Ç Vd si et seulement si la fonction v (x )= 2 ak$ ( x ) (8.55) h=l appartient à Ud. Vd est évidemment un ensemble convexe fermé de l’espace des vecteurs réels rc-dimensionnels et le problème (8.55) admet une solution unique p, la fonction fc=l étant la solution de (8.49). On connaît de nombreux algorithmes de résolution pour le pro blème (8.54), dont les plus utilisés sont diverses variantes de la mé thode de descente, les méthodes du gradient, les directions admissi bles, les variations locales. Pour plus de détail voir les monographies* de Pchénitchny et Daniline [III], Tchernoousko, Banitchouk [III ; 16J ët Polak [III]. Décrivons une version de la méthode de relaxation. Soit a (8) = (a\8) , . . ., a}f)) 6 V d la s-ième approximation de là solution p de (8.54). On en obtient la (s -f l)-ième après n pas fractionnaires par les formules J_ . . i—1 a s n = a s n — qsir\eu i = l, .,n , (8.56) €i étant un vecteur de composantes etj = ô^-, j = 1, . le symbole de Kronecker), n S+ —— ri = 2 i aU a,- 71 ~ g i i=l dO (a) dai Ia=a s+- -r ., n (8ij est (8.57) 122 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [CH. 2 et q\ la solution du problème d’extrémum de dimension un O (aS+71) = inf O (aS+ 71 —g r^ ), s # (8.58) a +~* e v d. Si V d coïncide avec l ’espace tout entier, ce procédé de descente sé quentielle devient la méthode connue de Gauss-Seidel pour les systè mes d’équations linéaires Aa = g à matrice A définie positive symé trique. Prenons par exemple le problème (8.19), où Udse définit par (8.37) sous l ’hypothèse supplémentaire de F1 (x) concave et F 2 (æ) convexe, i.e. n’importe quels x \ x n de [0, 1] et 0 Ç [0, 1] vérifient les inégalités Fl ((1 - e) *' + Sx") > (1 - 0) Fx (Xf) + SF, (X"), f 2((i - ©) x' + 0 ^ ) < ( i - ©) f 2 (x' ) + e p 2 (x,f). } On associe à [0, 1] pour n > 1 donné le réseau régulier &h = {xh\ xh = k x l i , fc= 0, 1, . . . , 7V+ 1, = (8.60) et oti introduit par (3.14) un système de fonctions de base (æ), k = 1, . . ., n. L’espace Uh est alors défini comme étant l ’enveloppe linéaire du système {\|^ (æ)}2=i. Autrement dit, Uh est l ’espace des prolongements linéaires par morceaux des fonctions discrètes défi nies aux nœuds de et nulles aux points x 0 = 0 et x N+1 = 1. Etant données les hypothèses faites sur F± (x), F2 (x) et Uh9 l ’ensemble Ud — Ud f| Uh est celui des fonctions v (x) Ç U*1 tel les que Fi 2 ( x i ), i = 1, . . ., e t V d constitue un parallélépipède rectangle de dimension n dont les coordonnées a = (ax, . . ., a n) satisfont aux inégalités Fx ( ^ ) < a i < F 2 (zf), i = 1, . . nSi l ’on se passe des propriétés supposées de F1 (x) et F2 (#) d’être respectivement concave et convexe, l ’appartenance v (æ) Ç Ud (et a Ç Vd) risque d’avoir lieu sous des conditions plus sévères. Illustrons la méthode des variations locales sur un problème "variationnel unidimensionnel fort simple. Soit la fonctionnelle variationnelle i ( 8 . 61) J (y) = j n ( x , <p, (pX) d x . 2 .8] PROBLÈMES D’EXTRÉMUM . 123 On demande la fonction cp (x) qui réalise le minimum de / (cp) et vérifie les contraintes F\ (#)^<p (æ )^ F 2 (s)(8.62) On observe que les contraintes ne s’imposent nécessairement pas sur ÎO, 1] tout entier, si bien qu’on est en présence d’une contrainte naturelle formelle : ou bien — oo < cp, ou bien cp < oo. Cette interprétation du problème autorise à assimiler les condi tions aux limites pour cp (æ), x = 0 , x = 1 , à des contraintes. Voici une mise en œuvre simple de la méthode en question. On partage [0, 1] en n parties par les points équidistants x t = iAx, Ax = —, i — 0, 1, . . ., ïiy et on représente la fonctionnelle (8.61) par la somme de fonctionnelles partielles n -1 J= 2 i-0 î n (*> 9*) dx> (8.63) xt chaque intégrale étant approchée par la formule des rectangles *i+l j n(x, <p, (px)dx æ A z n (x i+l/2, <Pi+i/2, <PÎ+i/2), xi OÙ <P/ + <Pi+f ^Pi-h 1/2 —- 2 “ ’ Cpj+1 — CD; Ç i+ 1 /2 — JJ . î ^ i + 1/2 % i ~\ Ax 2~ • Ainsi, seules les valeurs de la fonction cherchée aux points cp* et <Pr+i figureront dans les fonctionnelles partielles. On introduit la notation = <Pi+l/2» <Pi+i/2)- On a /((p )« F = S cpi+1). (8.64) 0 Ainsi, nous sommes amené au problème de chercher un ensemblé de nombres {cpf} qui minimise la fonctionnelle V avec les contraintes données (&.65> 124 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES [GH. 2 On procède par approximations successives. Supposons connues k premières approximations cp?. On cherche (p?+1 en introduisant un nombre h et en associant à chaque x t le triplet cp£ —h, (pjf <p\-\~h. La quantité qÆ vérifie les contraintes par hypothèse. Vérifions s’il en est de même de qÆ — h, (pï + h. Si une contrainte se trouve violée, on rejette le nombre concerné et on opère soit sur q>* — h, cp£ , soit sur cpf, q>J + h. Comme dans la méthode de Gauss-Seidel, on suppose connues les valeurs de la + l)-ième approximation pour tous les indices inférieurs à j, i.e. pour cp£+1, q>J+1, . . . , 9 ^ . Il est naturel qu’on utilise cette information pour accélérer la convergence. Aussi on introduit, en plus des Viy les fonctionnelles partielles î t f q > i + A ) + F,(q)? + A, (8.66) V i - Q + V t t ô - h , (pVi). Ces expressions tiennent compte de deux termes de la somme (8.64) qui dépendent de (ft et correspondent aux trois variantes possibles <p£ — h, <p*, <p* + h. On définit celui de ces nombres qui vérifie les contraintes données et réalise le minimum de l ’une des trois fonctionnelles (8.66). On accepte ce nombre en qualité de la valeur approchée suivante cp£+U On cherche les valeurs de q>*+1 pour tous les i = 0, . . ., n, et ainsi de suite. Une fois la solution approchée obtenue pour Az et h donnés avec une précision désirée, le processus est repris avec une nouvelle valeur de fe, disons h diminué de moitié, et ainsi de suite. On choisit naturel lement au départ ladite solution approchée. "On réduit ensuite A# et on affine le résultat. Le cas considéré a été très simple du point de vue contraintes': la solution cp même a été astreinte à certaines conditions. Dans le cas plus général où la contrainte est définie par la relation B (z, qvq>*)<0, on utilise pour tout x t telle ou telle approximation et on teste toutes les fois cette condition approchée. La convergence et Inexactitude de la méthode des variations loca les sont discutées en détail par Tchernoousko et Banitchouk [III ; 16b La méthode des variations locales fonctionne également pour des problèmes variationnels pluridimensionnels. On passe en principe par toutes les étapes de l ’algorithme décrit. En dimension deux, on a, au lieu de cp* — h, cp*, cpiTf H à identifier moyennant les fonction- 2.8] PROBLÈMES D’EXTRÊMUM 125 nelles et les contraintes, les nombres cp^ — /&, cp^-, <ptj + h, et la fonctionnelle partielle U^ est la somme de quatre termes U u ^ V t j + V ^ , j + V i,j.l + Vi-1'j_1 en cp*.. On définit de même U\j et Uîj, avec (p^ = <pij + h et <pi7- = = (pi^ — h respectivement. On a un algorithme analogue pour des problèmes de dimension supérieure. Chose importante, la méthode des variations locales n’étant pas liée au choix de la base joue pour les domaines de forme quelconque. D ’autre part, elle peut conduire à un minimum local. Quant à la convergence vers le minimum local, elle est une propriété intrinsè que de l’algorithme. CHAPITRE 3 INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES Le problème d’interpoler des quantités définies sur un ensemblediscret de points sur tout le domaine de définition d’une fonction de l ’argument continu est intimement lié à la génération de schémas variationnels aux différences et à la représentation continue des solu tions de problèmes aux différences. En effet, on construit de règle les équations aux différences en discrétisant l ’opérateur et la solution du problème par des méthodes de projection convenables. La solution du problème aux différences constitue en général une approximation de la solution du problème initial sur un ensemble ponctuel discret. Supposons résolu le problème aux différences, si bien que nous possé dons l ’information sur la solution approchée. Il s’agit maintenant d’interpoler ces données sur tout le domaine de définition de la solu tion du problème primitif tout en respectant certaines conditions, savoir: si la solution de l ’équation aux différences est obtenue aveo une précision déterminée, il faut qu’il y ait concordance entre l ’ordre d’interpolation de données et l ’ordre d’approximation de cette équation et que le premier soit au moins égal au second. En présence d’une information auxiliaire sur les erreurs affectant la solution approchée, on interpole non pas par rapport aux données exactes, mais en prenant en considération les erreurs éventuelles sur les valeurs aux nœuds. Il se peut que l ’information à priori sur la régu larité de la solution permette alors d’améliorer l ’approximation obte nue par une technique aux différences. D’autre part, l ’interpolation de données constitue un problème à part. Les algorithmes d’interpolation de fonctions définies exactement sur un ensemble ponctuel discret utilisent en général les polynômes d’interpolation de Lagrange et on suppose à priori la fonction à inter poler <p (a;) dérivable jusqu’à un certain ordre. Un problème voisin de l ’interpolation est celui où cp (x) donnée est affectée aux nœuds xh d’une erreur dont on connaît à priori la borne supérieure pour chaque point. Il consiste à construire une courbe qui l ’approche au mieux dans un sens et on l ’aborde en général par les moindres carrés. 3.1] INTERPOLATION DES FONCTIONS D ’UNE VARIABLE 127' La dernière acquisition de la théorie de l ’interpolation porte le nom de méthodes d'interpolation de fonctions splines. On appelle com munément fonction spline une fonction polynomiale par morceaux définie dans un domaine D , i.e. c’est une fonction telle qu’on peut partager D en des domaines partiels de façon qu’elle soit dans chacun un polynôme de degré m. Cette fonction est en général continue dans D ainsi que ses déri vées jusqu’à l ’ordre m — 1 et possède une dérivée m-ième de carré intégrable. Les problèmes de la technique utilisent essentiellement les fonctions splines du troisième degré. L’interpolation à l ’aide de fonctions splines est étudiée avec force détails par Schoenberg [XIV], Holladay (XIV], Ahlberg* Nilson, Walsh [III], Zavialov [XIV ; 5]. On trouve diverses générali sations de la théorie des splines dans Birkhoff, Schultz, Varga [V]ÿ Anselone, Laurent [XIV], Morozov [XIV; 8], Vassilenko [XIV; 2].. 3.1. Interpolation des fonctions d’une variable 3.1.1. Interpolation des fonctions d’une variable par les fonctions splines du troisième degré Soit, sur le segment [a, b] de l’axe réel x, le réseau a = x Q<C < xx < . . . < xn = b et soit / (x) une fonction définie sur [a, b] à valeurs {fk}k=.o données aux nœuds du réseau. Le problème d’interpoiation cubique par morceaux s’énonce de façon suivante : on cherche sur [a, b] une fonction g (x) ayant les propriétés : 1) g (x) est de classe C(2) (a, fe), i.e. elle est continue ainsi que ses dérivées de deux premiers ordres ; 2) sur chaque [^_i, xk], elle est un polynôme du troisième degré: de la forme g(x) = gk(z)= S <4h)(xh — x)1, = (1.1), g fa) = h , k = 0, 1, . . ., n; 4) g" (æ) vérifie les conditions aux limites g" (a) = g" (b) = 0. (1.2> 1=0 3) on a aux points {xh}h=o du réseau (1.3). Nous ne pouvons apprécier les mérites de cette interpolation qu’après avoir établi la propriété extrémale naturelle de g (x) con crète. ’ . .. On montre l ’unicité pour le problème de recherche de g (x) et:on. Utilise à cet effet les conditions l)-4). [CH. 3 INTERPOLATION DES PONCTIONS DISCRETES 128 Etant données la continuité et la linéarité sur chaque xJ , i = 1, . . ., n, de la dérivée seconde de g (x), on écrit pour x ^ < < X < Xt g" {x) = mi_12 j ^ - + m i x x hi (1.4) ’ -où ht = xt — x t _lt mh = g" (xh). On intègre deux fois les deux mem bres de (1.4), il vient g (x ) = m-i-x (xt —x)3 6ht m-t (X — X j . j ) 3 Ai Xi — X , X— ~h~ 1 hi ’ (1.5) avec Ai et B i des constantes d’intégration qui s’obtiennent de suite -à partir de la condition g ( x ^ ) = / f_x, g (xf) = Portons x — et x = ximml dans (1.5): mi'-^ + ^ i = fh wî-j-i “g h Ai = f Finalement, t \ —m* gp (W m*-i 6fe. ■( * + i+ m 6^. +i rrii-’jHX xi —x f ( 4 — )~hi (**—*)2 TYli 2ht 2ht (*)= — rriihi ^ x ~ ir ~ / i r * fi fi-1 mi mi-1 7. ht 6 î9 ( 1. 6) (1.7) La dernière égalité fournit les limites à droite et à gauche aux points ^2^ • * », i* (*| - 0) = -ÿ- JIH-X+ -— m; + f-Lÿ = - 1, g' (xt + 0) = ^t+1 mt 3 hj+i mi+J 6 fi+1 fi hi+i Selon 1), g" (x) et g' (x) sont continues sur [a, b]. La continuité de g' (x) en x1? x2, . . ., xn_! donne, compte tenu de (1.7), n—1 «quations hL mt~i 6 ^/+1 *1 ( 1 . 8) Complétons ce système par les égalités m0 = m.n = 0 (condition(l. 3)), il vient le système algébrique linéaire pour déterminer les inconnues 77li, m2, • « «> ^n-1* (1.9) -= i7/f 3 . 1] 129 INTERPOLATION DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE A étant une matrice carrée telle que h2 ki-sr h2 0 3 TT h2 h2+ h3 h9 6 TT ’ ’ . 3 h$ ^3 + ^4 .. 0 6 3 0 0 0 0 0 0 1 ( 1 . 10) ^71-1 b>n“f*^n-i 6 3 et H, m et / respectivement une matrice rectangulaire et deux vecteurs de la forme 0 0 0 m1 m— 77*2 h î ^71-1 u i -1 ^ i 0 1 h2 ( - v - 0 0 0 u H= » In 1 i ) fz /= h2 • ♦ 0 0 • 0 0 • ■ \( 1 ^71-1 1 \ 1 hn / K ( 1 . 11 ) A est symétrique à diagonale dominante stricte. Aux termes du théo rème de Gershgorin, elle est définie positive et visiblement non singulière, si bien que le système (1.9) définit les coefficients tti2, • • Tftn-i de façon unique. La fonction spline g (x) est donc recons tituée de façon unique par les formules (1.6), d’où l ’unicité pour le problème proposé. Les fonctions splines du troisième degré jouissent d’une propriété remarquable qui garantit l ’efficacité de l ’interpolation à l ’aide de splines. Considérons sur le segment [a, fc] la classe W\ [a, b] de fonc tions à dérivées secondes de carré sommable. On demande la fonc tion d’interpolation u £ W\ [a, b], u (xk) = fk> k = 0, 1, . . n, (1.12) qui minimise la fonctionnelle b 0 ( u ) = j [u"(x)]2dx 9-0436 (1.13) 130 [CH. 3 INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES sur la classe W\ [a, 6]. Je dis que le minimum de (1.13) est réalisé par g (z) que nous venons de construire. En effet, soit b <D (» —*) = [ [u"~g")*dx. (1.14) a Intégrons par parties et utilisons les propriétés de g et u £ W \, il vient <î>(M—g) = Œ («) —<E>(g) —2 [(«' —g') g‘ n xk = (D (« )-d )(?) - 2 2 (u ' - g ' ) g " ' d x . ft=1 xh-i Mais g'" = cft = const sur ^ - 1 , #&], donc J <D(w—^) = 0 ( u ) - a ) ( |r ) - 2 2 ch { u - g % l xXk =<D(«) —<P(g), h=\ R1 et on a O (g) = O (u) - O (u - g) < O (tt) (1.15) pour toute w Ç W\, u (xk) == / ft, & — 0, 1, . . ti. Ainsi, la fonction splirie g (x) réalise le minimum de la fonctionnelle (1.13). On montre l’unicité de ce point de minimum et on donne, moyennant (1.12), (1.13), la définition équivalente de la fonction spline du troisième degré : c’est une fonction de classe W\ [a, b] qui prend des valeurs données aux nœuds du réseau et minimise la fonctionnelle (1.13). Cette propriété découverte par Holladay [XIV] paraît très promet teuse. En effet, on interprète désormais la fonctionnelle 3>(u) comme un analogue de l ’énergie potentielle d’une tige élastique fixée aux points du plan (xk, f k) dont le minimum est réalisé par des fonctions splines du troisième degré. Les êtres mathématiques en question possèdent de bonnes pro priétés d’approximation. Si la fonction à interpoler / est de classe Ck [a, b], k = 0,1, 2, 3, 4, alors la fonction d’erreur cp (x) = f (x) —— g (#) vérifie les inégalités max | cp(p) {x) a-^x^b k — 0, 1, 2, 3, 4, k^p, où la constante non négative C ne dépend pas du réseau, h = max \xh —x ^ ] . i^h^n (1.16) 3.1] INTERPOLATION DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE 131 L’estimation (1.16) est rude. On en trouve de meilleures dans Varga [I]. 3.1.2. Interpolation cubique par morceaux avec lissage Nous allons considérer le: problème de prolonger régulièrement une fonction définie sur le réseau a = x o < x 1 < . . . C x n = 6, les valeurs aux nœuds f h étant affectées d’une erreur. Cette fois, on n’a que faire d’un interpolant qui se confond aux nœuds avec les valeurs données. On cherche une fonction dont la courbe représentative soit plus lisse et passe plus près de ces points que celle de la fonction d’interpolation. Ces fonctions sont dites de lissage (ou d'ajustement). Imposons à g (x) lissante cherchée de minimiser sur la classe W\ [a, b] la fonctionnelle b n #1 (u) = j [u"\z dx + 2 Pk [u (xk) — fh]2,. a (1.17) fc= 0 ph étant des nombres positifs. La fonctionnelle (u) exprime deux conditions : primo, la courbe passe près des points donnés ; secundo, la courbe est lisse au maximum. La fonction d’ajustement passe d’autant plus près des points donnés que les coefficients de poids p h sont élevés. On montre que le problème variationnel admet pour solu tion une fonction spline du troisième degré, i.e. une fonction véri fiant les conditions 1), 2) et 4) du point précédent. Soit u0 £ W\ [a, b] la solution cherchée. On forme une fonction spline g {x) telle que g (%h) = (xh), k = 0, . . ., n. Le second terme de est le même pour g (x) et u0 (x), si bien que (1.17) 1, (1.17) b b a a j [u;']2Ær<j [g"\z dx. (1.18) Or, on a montré au point précédent que g (x) réalise, dans l ’interpob lation de u0 (æ), le seul minimum de j [u"] dx. Donc u0 = g. a Ainsi, il suffit de chercher le minimum de (u) dans la classe de fonctions splines du troisième degré. Comme une fonction spline du troisième degré se définit de façon unique par l ’ensemble de ses va leurs {[ifc}ft-o aux nœuds {xh}k=o, la minimisation de (u) se ramène 9* INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRETES 132 [CH. 3 à la recherche du minimum d’une fonction des variables \i0, |ax, . . . .. |u i n>g" (x) étant linéaire par morceaux, g" (x) = ^ -+ mk (1.19) pour x £ [xh_i, xh], mk = g" {xh), k — 1, .. . , n —1, m0= mn = 0. Donc $ !(£ )= 2 J [ m fe-i h=1 act - + mh dx + 2 Phiv-h — k ) 2fc=0 ( 1. 20) Effectuons l ’intégration, il vient S ? [ m * ft=1 “ft-i n = 2 ™k k=i - ^ + m ‘ I- n ï r 1 î d 3 != ^ + feh+3ftft+1 mft+1] = (Am, /n),. (1.21) avec A la matrice (1.10). Ainsi ®i(g) = (Am, m)+ 2 Ph(Vh — 7h)2ft=0 (1-22) Etant donné (1.9), m dépend linéairement des \i — (|x0î p-i, . . [O , si bien que (g) est une forme définie positive de \i. Cette forme ne peut avoir d’autres points extrémaux qu’un minimum, et ce sous la condition nécessaire ^ — Jiïs (A m ’ m ) + 2P ‘ ( ^ — 'f,) = 0, s = 0, 1, . . . , n . Mais la matrice A ne dépend pas de p. Aussi on a, en vertu de (1.9), - 2 ( i , f l* m ) - 2 ( f f * m)„ avec H définie par (1.11). Il en résulte la condition de minimum sous forme vectorielle H*m + P\i = P j , (1.23) 3.1] 133 INTERPOLATION DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE où le vecteur / = (/„, f lt . . fn) et la matrice P est diagonale : Po 0 ... 0 (1.24) 0 0 ... pn Prémultiplions (1.23) par H P -1: H P - W m + H[l = Hf, ou encore, vu (1.9), (il + H P -1!!*) m — Hj. (1.25) La matrice de ce système est 5-diagonale, symétrique et définie posi tive. On résout (1.25) par exemple par la méthode d’élimination de Gauss. Une fois le vecteur m défini, on trouve le vecteur valeurs dis crètes de la spline d’ajustement par la formule [A = Y — P ^ H ^ m (1.26) qui résulte de suite de (1.23), et on calcule g (x) par (1.6). 3.1.3. Prolongements réguliers Riabenki [XIV ; 10] a proposé un procédé de prolongement régu lier de fonctions discrètes qui diffère légèrement des méthodes de fonctions splines, mais qui donne lieu à des algorithmes non moins efficaces. Voici, très brièvement, le schéma de formation d’une fonc tion d’interpolation de classe de régularité Cp arbitraire. Soit xx <C x 2 < . . . < ^n-1 < # n un réseau fixe et / une fonc tion dont on connaît les valeurs nodales/x,/2, . . ., fn. On suppose n suffisamment important et on fixe un entier p <C n* Construisons sur (xu #2) une fonction d’interpolation de classe Cp. On désigne par P0 (x) le polynôme de Lagrange de degré p au plus qui prend des valeurs données aux nœuds xv, #2, . . ., xp+x et par Px (x) le polynôme de Lagrange de degré p au plus qui prend des valeurs données aux nœuds x 2, x 3l . . ., xp+2. On forme un polynôme Qx {x) de degré 2p -f- 1 au plus tel qu’on ait d^Qx I = d*P0 I dxk \x ’«*xl dxk \ x ^ x l * d*Qx I ^ d*P1 dxk \ x = x 2 dxk (1.27) k = 0, 1, . . . , p. Ce polynôme existe évidemment et les conditions (1.27) le définissent pe façon univoque. Admettons que la fonction d’interpolation g (æ) relative à (xx, x2) est égale au polynôme Qx (x). INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES 134 [CH. 3 Prenons comme exemple le cas p = 1. Le polynôme Q± (x) du troi sième degré associé à {x1} x 2) s’écrit Qi (x) = a0 + ax (x — x±) + a2 (x — xxf + a3 (x — xxf et ses coefficients sont calculés par les formules ao— /li „ _ $2 fi -- — x 22 —^1 x2 X-± CLn (V/3 L xs— x2 f2 fl (1.28) ~X1 )■ /2 f: / f 3 J_2_ a3'- _ ~ x 1 f (*^2 \x3 X 2 On procède de même pour g (x) et le segment (x2, x 3), et ainsi de suite jusqu’à l’intervalle {xn^v_x, xn_p). L’interpolant g (z) ainsi construit est une fonction morceaux de polynômes de classe Cv, les polynômes étant de degré 2p + 1 sur les intervalles du réseau. Avec p = 2 (ce qui correspond à la régularité des fonctions splines du troisième degré), les polynômes obtenus sont de degré 5, mais on n’a pas en revanche à résoudre le système algébrique linéaire. La construction de fonctions d’interpolation de plusieurs varia bles diffère peu du cas unidimensionnel (elle s’y ramène d’ailleurs). Ce sont justement les problèmes pluridimensionnels qui ont inté ressé Riabenki. Les prolongements réguliers jouissent de bonnes propriétés d’ap proximation. En interpolant une fonction / £ Cq de plusieurs varia bles par g (x) de classe Cp, p ^ q, la fonction et ses dérivées vérifient les inégalités || Dhf — Dhg ||c< C (p) hq~|ft| sup max | Daf (x) |, x | a)=ç (1.29) où le multi-indice k = (kj, &2, • ••,&?») est tel <Iue 1^1 = S i =î . .. -\-hm Dk = —r----------r- et C (p) dépend de p seul (elle est indépendante d x Rt . . . d x Rm du pas h et de la fonction /). Il y a lieu de signaler une autre propriété des prolongements réguliers. Toute fonction de base, i.e. une fonction égale à 1 en un nœud et à 0 partout ailleurs, est à support borné pour tout p et le « rayon » du support ne dépasse pas p. Mais si l ’on accepte pour fonc tion de base une spline du troisième degré, il s’avère qu’elle n’est en général pas à support borné. On conçoit que les prolongements réguliers de Riabenki sont tout indiqués dans les problèmes varia tionnels abordés par les éléments finis. 3.2] INTERPOLATION À DEUX ET À PLUSIEURS VARIABLES 135 3.2. Interpolation à deux et à plusieurs variables L’interpolation en dimension deux à l ’aide de fonctions splines bicubiques (i.e. elles sont du troisième degré par rapport à chacune des variables) a été étudiée entre autres par Ahlberg, Nilson, Walsh [III] et Zavialov [XIV; 5]. Considérons le problème modèle suivant. Soit D = {#, y : a x &, c y ^ d) un domaine rectangulai re. Superposons à Z) le réseau D h = {xhl yt : a = x 0 < < . .. . . . < xn = b ; c = y0 < yx < . . . < ym = d}. Avec les hypothè ses faites, le problème d’interpoler une fonction / (z, y) définie aux points de D h par des splines bicubiques consiste à chercher la fonc tion g (x, y) vérifiant les conditions 1) g(z, y) 6 C2 (D) ; (2.1) 2) dans chaque cellule g (x, y) est un polynôme bicubique de la forme 3 'g{z, y) = gk,i(x, ÿ) = 2 i, ai!lj (xh — xŸ (yi — y)3‘, (2.2) 0 3) sur D h, g (x , i/) prend les valeurs données S (xhi Vi) = k = 0, . . ., n ; l = 0, . . ., m\ (2.3) 4) g (æ, y) remplit la condition dv3 = 0, (2.4) v étant la normale extérieure à la frontière T de Z). Le problème ne diffère en principe pas du cas à une variable. On rappelle qu’on détermine une fonction spline à une variable en tout point par les formules simples (1.6) connaissant ses valeurs aux nœuds, ainsi que les valeurs de ses dérivées secondes. On trouve les dérivées secondes en résolvant un système algébrique linéaire à ma trice 3-diagonale. Voyons ce que deviennent ces calculs préliminaires en dimension deux. Considérons les problèmes unidimensionnels d ’interpoler par les fonctions splines du troisième degré basées sur les lignes y = yj, f = 0,1, . . ., /ri, ce qui exige la résolution de m + 1 systèmes algé briques linéaires du type (1.9). On trouve les valeurs de gxx (x , y) aux nœuds de D h. On procède de même pour n + 1 problèmes asso ciés aux lignes x = x t, i = 0, l, . . n, ce qui donne les valeurs de gyy (,x, y) sur Dh. On se propose de calculer g (x , y) en un point 136 INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES [CH. 3 (x, y). Soit x t^ x x u yj-! y yj. On définit facilement g (x , y) aux points (xt, y), (xt-1, y) par les formules analogues à (1.6) (yj—y)3 (y—yj-i )3 6Tj- ^ i- i ' 6%j g(Xi-n y) = Ni-i M : ,ls Nt-U-ixj \ yj—y -, ( 4 Nt- U xî \ y —ÿ)-i + { l i - i j - i --------g-----) - Ï J ' + V f - U ------- 6---- ) %j ' (2.5) f<* Ni jX~- v „ —, ( 2 . 6) On a introduit les notations N i ] = gyy{Xi, l/j), h i = Xi — x M , M i j = g xx (Xi, Z/j)> xj = yj — y ^ i. Si l ’on connaissait les valeurs de g xx (a:^_l7 y) et g xx (xt, y), on trou verait g (x, y) moyennant des relations de la forme (1.6). On observe que gxx (æ> y) est une fonction spline du troisième degré par rapport à y. Résolvons m + 1 problèmes à une variable pour y = yj et gxx (æ, y) dont on connaît les valeurs aux nœuds de D h. On trouve finalement g XXyy (x * y) définie sur D h. Avec la notation K ti — = gxxyy (x ii yj)i e ^ (r. v\ — k ' (yj-y)3 l. A K i-l ; (y-yj-i)3 . g x x \ x i~ii y) — A i-1 i-i + \ î/i — ) j-1 (2.7) /T- T2 V x y —yj -1 ( 2 . 8) On obtient facilement g(#, y) par recours à (1.6): £ ( * , j/) = g xx ( * « , y) x i + )3+ g** (* n y) f \ 8 x x ( x ii y ) h f - + \ x i —x . y )---------- g------- ) ~ V + , / / v 8 x x ( x ii y) h* \ x — xi_-, + (*<*'• ^ ------------ 6------- ) - h T - (2.9) Quel volume de calcul effectue-t-on pour déterminer la fonction spline bicubique g (x T y) ? Avant de calculer ses valeurs aux points APPROXIMATION r-RÉGULIÈRE 3.3] 137 concernés, on résout (n + 1) + (m +. 1) + (m + 1) = 2m + n + + 3 systèmes algébriques linéaires du type (1.9) et on cherche N tj, M tj, Kij, i = 0, . . ., n\ j = 0, . . ., m. La recherche de g (x, y) en un point du domaine exige qu’on calcule 5 fois une formule (1.6) (notamment (2.5), (2.6), (2.7), (2.8), (2.9)). On pourrait certes utili ser cette chaîne de formules pour obtenir g (,x, y) sous forme polyno miale explicite dans chaque cellule. Mais les tableaux des coeffi cients du polynôme occuperont environ 16 nm éléments de la mémoire interne contre 4nm dans l ’algorithme considéré encore que le calcul de la fonction en un point demande environ quatre fois plus d’opé rations. On peut intervertir les variables et aborder en conséquence 2n + + /? i+ 3 problèmes unidimensionnels sans que le résultat change pas plus que le nombre total d’opérations. L’algorithme décrit se généralise sans peine à des domaines de plusieurs dimensions du type parallélépipède. Pour les résultats correspondants, consulter Zavialov [XIV ; 5]. 3.3. Approximation r-régulière de fonctions de plusieurs variables Ce numéro constitue une approche, parmi tant d ’autres, du pro blème de prolonger les fonctions de plusieurs variables définies avec une erreur sur des réseaux chaotiques. On s’intéressera en premier lieu à l ’aspect algorithmique de la méthode proposée car la théorie correspondante est pour le moment heuristique. La méthode est due à Tsétsokho, Bélonossov, Bélonossova [XIV; 11] (pour une modification à peine différente voir Lébédev [XIV ; 6], et part de la notion de partition de l ’unité très connue en analyse mathématique. On dit qu’une suite (<p*) de fonctions de classe CT (V), V a R m étant un ouvert, constitue une partition de l ’unité sur Q c= V si O^cpj* (æ)<1 et TJ (pj- (x) = 1 quel que soit x Ç Q. i : On assujettit d ’ordinaire à s’annuler en dehors d’un ouvert Vt c z V donné. L’ensemble (Vt) constitue évidemment un recouvre ment de Q et la partition de l’unité (cp*) est dite subordonnée à ce recouvrement. Dans les applications, on utilise naturellement des recouvrements localement finis par des ensembles standards, à savoir par des boules et intervalles 777-dimensionnels. On en choisit les centres et les diamètres selon les propriétés de la fonction à approcher /: Q R. Dans la suite, nous considérerons les recouvrements par des cubes de dimension tti. On procède comme suit pour former les partitions de l ’unité subordonnées. INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES 138 [CH. 3 Notons le centre d’un cube F* et ô(l) la longueur de l ’arête. On se donne une fonction (standard) : R m ->- R de classe Cr (R m) telle que 1l5(•r) > 0 Si •*€ ( tjj(a;) = 0 si t ) x • • • ><( — t ) = F °’ x $ F 0. On pose par exemple (pour x = (xx, . . m x„) 6 F 0) m t ( a;) = n c°s m (na;i) ou !))(*)= y [ ( - j - xi ) r+l< i=l i=l et ainsi de suite. Posons i- i ( i ) ). *evh % (z) ■ M - * * l 0 , * $ v it quel que soit i. Les fonctions 2 j t / (*) d sont de classe Cr (F), F = U F*, et forment sur Q une partition de i l ’unité subordonnée au recouvrement (F*). Admettons qu’on associe à / : £2 R une suite (/*) : V -+■ R de fonctions de classe Cr (F) telle que chaque f t soit « proche » de / sur Fj. Soit Il (/ — fi) \ v t II < e pour la norme uniforme quel que soit i. Alors / définie par /(*) = S /*(*)?«(*)» *€£2, i est « proche » de / sur Q. En effet, l’identité f(x) = î fi(x)(fi(x), (3.1) x£Q , i entraîne pour tout æ££2 i /( * ) —/(*) l = I S (/ (*) - u (*)) <pi (*) l < i < m ax supl f(x) — f t (x) ||2 ' cp* (;r)<e, i xZVi 'i î.e. |l/-7||<e. APPROXIMATION r-RÉGULIÈRE 3.3] 139 Prolongeons la fonction / moyennant une partition de Punité; si elle est définie aux nœuds d’un réseau (xij) Ç Q), on l ’approche localement pour chaque i par f t (x) basée sur un ensemble de nœuds ( ^ ’)) voisins du centre du cube Vi7 puis on « recolle » ces appro ximations par la formule (3.1). Dans la suite, on suppose que les nœuds x ^ coïncident avec les centres des cubes Vt et que les approximations locales sont des fonctions constantes égales à / Evaluons l ’erreur de discrétisation dans le cas particulier où f (x) = z, x£R \ le réseau est régulier infini à nœuds xk = kh, k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ; les centres £(ft) des intervalles Vh coïncident avec les noeuds et ô(fe) = (2N + 1)h, N étant un entier naturel. Admettons que la partition de l ’unité ( q ^ ) .est de classe Cr (R), 3, et que cp0 (x) est paire. Dans ce cas le resté a(x) = x — ^ ] x h(fh (x) h constitue une fonction impaire périodique, de période h, qui vaut 0 aux nœuds entiers et demi-entiers. On se borne donc aux cas : 1) 0 < < z < A ; 2) 1) Comme <p&0z) = (ç0(x —xk) et (p0 est paire, on a X= S k (X) = 2 Xk<to (X — xh) = S xk [<Po (xk — *) — <Po(xh)] ■ k h D’où par la formule de Taylor X = —x 2 k (*k) + -y- 2 h (xk) — -Ç- 2 h (xh— 6**) • Le deuxième terme à droite est évidemment nul, si bien que X= — x 2 2 h k (xk — Qkx). (3.2) Transformons X = — X 2h*ft<Pi( x h) par Abel, il vient N -i h k M-1 x = xh 2 S v[(rh)+xxN S y'Q(rk) = zh 2 _ U—- - N r = —iV k 2 SPo(r^)- = -iV k = - N r = - N [CH. 3 INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES 140 Mais h h 2 ff> o(rh) = r = - N (fc+1/2)h j q>(,(*)^ + M * ) = 9o(*fc + y )+ < * i - ( N + i / 2) h OÙ | (Tj (k) | < (max | cp: (*) | ) — (k + N - f 1). (3.3) Ainsi, N - 1 2 ai (x) = x + x 2 ai ( k)- x = x 2 <Po (*fc + y ) + x k AT—1 k = - N (3-4) k - = N Les formules (3.2) à (3.4) donnent l ’estimation N - N |a (*)|< (m a x |q £ (x )|)[-^ 2 k + l l r k=* — N 1 2 ( * + ^ + 1) j - fc= -iV < (m ax | <p"(x) I) h i - ^ - N ^ N + -§■) = = c M (iV+|-)yv * * <?c 27 (27V+ 1)3 h3 ^ 288N (3.5) La constante C est la valeur de la dérivée troisième de plus grand module de x (y) = cp0 (y (2N + 1) h), elle décroît avec la croissance de N. On obtient le même résultat dans le cas 2). L’estimation ci-dessus constitue un critère de choix de la fonction initiale i|) qui détermine la partition de l ’unité, à savoir : la dérivée troisième de \]> doit être le plus petite possible. On aboutit à des estimations analogues pour une fonction li néaire de plusieurs variables. On se pose maintenant le problème fondamental de ce numéro. Etant donnée une fonction connue à une quantité 8 près (en norme uniforme) sur un réseau irrégulier (,x(2)), i — 1,2, . . . . . ., n, on demande une fonction/de classe CT telle qu’on ait la condition d’approximation II/-/IN max i = l , I f ( x (i)) — f(* (i)) | < e (3.6) . . ., n et la condition de lissage heuristique qui exige que les dérivées d’un certain ordre de / soient « non oscillantes ». La méthode ci-dessus procède du prolongement répétitif décrit qui utilise une suite de partitions de l ’unité. L’algorithme se déroule APPROXIMATION r-RÊGULIÈRE 3.3] 141 par des relations qui garantissent à notre avis la condition de lissa ge (au moins au sens heuristique indiqué). Désignons par L 0 l ’opérateur (d’approximation lissante) de l’es pace des fonctions discrètes {/: x{l) i?} dans l ’espace Cr (V) des fonctions dérivables: M /)(* )= 2 / W i=l *!(*). (3.7) où (cp*) est une partition dé l ’unité sur Q du type décrit, les centres des supports des cp* étant les nœuds x{l) du réseau. Evaluons la norme de l’écart : Il / - M / ) Il = = j= m ax min 1 n | / (*0>) - S i= l / ( ^ ) «Pi ( ^ > ) I = | / (a0>) (1 - <p, (*<«)) - 2 / (*(*)) q», (*«>) | < i= l, . . n {= 1 < 2 ||/ ||[ max q>; (aK»))]. (3.8) 1, . . n Il en découle qu’avec (3.7) appliquée une fois, on vérifie la condi tion d’approximation si l ’on choisit une partition de l ’unité telle que X= min (3.9) j = 1, . . . , n soit suffisamment proche de 1. Mais on a ce dernier résultat si ou bien les ensembles Vt contiennent peu de nœuds, ou bien les fonc tions cp7- sont « trop en delta », ce qui compromet, selon l ’estima tion (3.5), les propriétés de lissage de L0. On voit qu’une seule application de l ’opérateur L 0 ne conduit en général pas à la solution. On procède donc comme suit. Soit 2, . . . Uûe suite de partitions de l ’unité qu’on suppose, pour fixer les idées, subordonnées à un même recouvrement de Q et soit (L(0ft)) la suite associée d’opérateurs d’approximation lissante qu’on définit pour chaque ((pift)) par la formule (3.7). On cherche / sous la forme /= S (3.10) k=l avec un k0, (/<ft)) étant une suite de fonctions discrètes définies par k = 0, k > 0, (3.11) 142 INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES / = 1, 2, . . ., n. Sommons sur k = 0, 1, . . [CH. 3 k0, il vient / = / + / (ft°\ et pour que la condition d’approximation ait lieu, il faut que ||/(fto)|| ne dépasse pas e. Cette condition nécessaire est toujours vérifiée pour un choix spécial de la suite {cp-ft)}. Supposons, en effet, qu’on a, à partir d’un /cx, À(ft) = min (pjfe) (x^) ^ or > — j= i, . . . , n z quel que soit k ^ k x. Dans ce cas, | | £ - L (oft)| | < 2 ( l - G ) < l par suite de (3.8), donc ||/ (ft)||----- >0. A-*-oo Avec une suite {<p|fe)} telle que les quantités X{h) soient petites au possible si (|| p h) ||) décroît de façon monotone à une vitesse v > 1 fixée à l ’avance (i.e. || f {h) ||/|| / (ft+1) ||<C ^)> on arrive également à satisfaire la condition de lissage (parce que la partie « non lisse » de la somme (3.10) est due aux valeurs f (h) petites en norme). Dans la pratique, il y a intérêt à procéder comme suit. Si \j)(fe)(a:) est une fonction standard pour la partition (cp**0), son homologue pour la partition (q>ife+1)) est choisi sous la forme ^ __ ^(h) g(h) où le facteur g{k) (#) est ou bien g(k) (#) = exp [ —(Lift (x\-\-.x\ + . . . + X m 2 )], Vk>0a ou bien ^ ) ( ^ ) = [l + p,ft (x\ + x \ + . .. + x 2m)]~i, et ainsi de suite. On organise le calcul de façon que \ik = 0 si || / (fe-1) ||/|| f (k) || ^ > i; et [xfe = |x > 0 dans le cas contraire. Ainsi, l ’algorithme décrit renferme trois paramètres régulateurs: 1) quantité Ji(0) = X définie par (3.9) ; 2) vitesse a; > 1 de diminution du résidu || f {k) ||; 3) p, qui règle la vitesse à laquelle s’accentue la « forme en del ta » des partitions de l ’unité. On conçoit qu’en optimisant par rapport à ces paramètres on arrive à minimiser les fonctionnelles dont les valeurs déterminent diverses notions de dérivées « oscillantes » de /. Remarque. Si la suite de partitions de l ’unité a ses termes (<£*) identiques, on trouve, en vertu de (3.10), (3.11), /"(*)•— 2 ( s i = l ' a= 1 / <ft~1)(^<,))<Pï(^))' ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS SPLINES 3.4] 143 Une question se pose : est-ce qu’on peut utiliser un seul ensemble de ((pi) et chercher la solution / sous la forme /(*) = 2 Ci<Pi(x), i=1 (3.12) | | / — | î iCj<Pi(*)||<e (3-13) avec ct définis par sous l ’hypothèse d’être dans la condition de lissage? Cette façon de raisonner est fausse par essence car / (æ(î)) sont données avec une erreur. En effet, si det || <pi (x(}>) || 0, (3.14) alors on vérifie (3.13) pour e = 0, auquel cas les erreurs sur / (x{%)) « mesurées » se propagent à (3.12). Aussi il y a intérêt à réaliser au possible l ’estimation (3.13), ce qui exige naturellement la condition max | /(*(*>)-<-| < £ , E > 0, (3.15) i = 1, . . . , n qui limite la norme || / — c ||. On ne possède malheureusement aucun critère de choix de E , et si cette quantité est donnée quelcon que (il est naturel qu’on se la donne « petite »), on est conduit à un problème qui est en général impossible (sans parler du fait que (3.14) n ’est pas nécessairement remplie). L’algorithme décrit provient justement du caractère contradic toire des conditions d’approximation et de lissage et de (3.15). 3.4. Eléments de la théorie générale des fonctions splines Les fonctions splines du troisième degré interviennent, on l ’a montré, dans le problème de minimisation de la fonctionnelle quadratique b r> j [u" (x)]2 dx, analogue de l ’énergie de flexion d’une tige a élastique. Ce fait a déterminé deux grandes tendances de la théorie des fonctions splines. La première tendance est de remplacer l ’opérateur de dérivation d’ordre deux par un opérateur différentiel général L à coefficients variables, voire discontinus, si bien que la fonctionnelle à minimiser b s’écrit j [Lu (x)]2 dx. Cet artifice rend la théorie des fonctions splia nés très maniable et permet de l ’utiliser pour approcher des fonctions avec minimisation de l ’énergie du phénomène physique concret. INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES 144 [CH. 3 La seconde tendance consiste à renoncer à cette situation simple qu’est une courbe fixée aux points du réseau, au profit d’autres fonc tionnelles linéaires qui semblent plus naturelles dans tel ou tel cas. Il s’agit des splines de degré pair, des fonctions splines trigonométriques et d’autres êtres mathématiques qui sont très employés aujourd’hui. On assiste en même temps au développement de la théo rie des splines à plusieurs variables. Cette approximation de fonc tions est doublée de lissage. C’est à Atteia [XIV] qu’on doit la première définition générale des fonctions splines d’interpolation et de lissage (d’ajustement).. Soient X, Y deux espaces de Hilbert et T: X ->■ Y un opérateur linéaire borné de X dans Y . On définit sur X un système de fonction nelles linéaires bornées k t, i = 1, . . ., tz, qu’on suppose être li néairement indépendantes. On appelle fonction spline d'interpolation un élément o £ X vérifiant deux conditions 1) (&i, o)x = r t , i = 1, n, (4.1) 2) (Ta, Ta)? = || Ta ||§. = min. Les symboles (,)^, (,)Y désignent les produits scalaires dans X et Y ; rh i = 1, n, sont des nombres donnés à l ’avance. On appelle fonction spline de lissage (d’ajustement) un élément oa £ X qui réali se le minimum de la fonctionnelle Oa (u) = a ||7 ’w ||^-f-S [(Æi> u) —r iP> a > 0 . i= l (4.2) On doit à Atteia des théorèmes généraux d’existence et d’unicité pour les problèmes (4.1) et (4.2), qui permettent de construire toutes sortes d’approximations par des fonctions splines. L’ouvrage fonda mental d’Anselone et Laurent [XIV] expose un algorithme général de formation de fonctions splines des deux types. On montre que les problèmes (4.1) et (4.2) se ramènent en fin de compte à la résolu tion de certains systèmes algébriques à matrices symétriques défi nies positives. La convergence des fonctions splines a intéressé de nombreux auteurs qui l ’ont généralisée à divers degrés (Ahlberg, Nilson, Walsh [III], Schoenberg [XIV], Varga [I], Morozov [XIV; 8], Zavialov [XIV ; 5], Vassilenko [XIV ; 2]). On trouve dans Varga [I] une bonne analyse des estimations de la convergence sur différentes classes fonctionnelles. Nous donnerons plus loin plusieurs théorèmes de convergence assez généraux qui s’appliquent aussi bien au cas classique de fonc tions splines basées sur les réseaux rectangulaires qu’aux cas plus complexes tels que les réseaux chaotiques de plus en plus fins et les ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS SPLINES 145 fonctions splines construites moyennant un système arbitraire de fonctionnelles. Ces théorèmes sont l ’œuvre de Joly [XIV], Morozov [XIV; 8] et Vassilenko [XIV; 2]. Commençons par la convergence des fonctions splines d’interpo lation. Soient X un espace de Hilbert et cp* son élément à approximer. Considérons dans X un système de, vecteurs de base ku k 2, . . . . . kn, . . . qui n’est en général pas orthogonal. Si T: X — Y est un opérateur linéaire borné de X dans un autre espace hilber tien Y, alors on cherche l ’approximant sous forme de fonction spli(<**, h ) x = (<P*, h ) x = H, i = 1, . . ., ra, Il Ton IIy —min. Sous l ’hypothèse qu’il y a existence et unicité de an pour un n = rc0, les fonctions splines on existent quel que soit n ^ n0. On se demande si on convergent vers le vecteur exact cp*. Selon Vassi lenko [XIV; 2], cette convergence a lieu et, chose beaucoup plus importante dans la pratique, la suite Ton tend vers Tcp* pour la norme de Y si l ’on est dans les conditions du théorème d’existence et d’unicité et si le noyau de l ’opérateur T est de dimension finie. Il y a intérêt à utiliser ces théorèmes généraux afin d’évaluer la convergence en fonction de la diminution du pas du réseau. S’agissant des splines formées de morceaux de polynômes du degré 2n — 1 qui se raccordent sur le segment [a, b], l ’approximation de cp* £ Wg et de ses dérivées par o N s’évalue par lltfjv— cp*(î)||c[a, b]~o(hn 1 /z), i = 0, 1, . . . , rc— 1, !l o(N ) — <P*(n) IlL2[a, b] — O ( 1 ) . La théorie générale de la convergence peut être utile lorsque toutes les méthodes connues tombent en défaut. C’est le cas des fonc tions splines basées sur les points d’interpolation répartis de façon chaotique dans un domaine bidimensionnel. On forme les fonctions splines dans des domaines de dimension 2 à partir de la condition de minimisation de la fonctionnelle ®<“> = î [ ( S - ) 2+ 2 ( « r ) 2+ ( l ^ ) > <«•*> G si u prend des valeurs données dans un ensemble ponctuel fixe. Si cp* ÇlVafQ), on obtient par un théorème général de convergence llîv-9*llc[Q 6] = o(/î3/2), (4.6) où o N est une fonction spline ; h le paramètre du resserrement du réseau chaotique, qui est défini comme le paramètre d’un e-réseau formé de points d’interpolation de Q; Qà tout ô-intérieur de £J, i.e. l ’ensemble des points ÇQ dont la distance à la frontière dépasse ô. 10—0436 146 INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES [CH. 3 Voici, dans ses traits généraux, la théorie de la convergence des fonctions splines d’interpolation. Mais la recherche d’une fonction spline d’interpolation se ramène à la minimisation d’une fonction nelle quadratique soumise à des contraintes linéaires, tandis que le cas d’une fonction spline de lissage constitue un problème de mini misation sans contraintes qui s’avère parfois plus facile. Morozov [XIV ; 8] a montré que la fonction spline de lissage aa converge, lorsque a 0, vers la fonction spline d’interpolation a pour la norme de X. La génération de fonctions splines d’interpolation et d’ajuste ment par l ’algorithme théorique universel d’Anselone et Laurent [XIV] s’avère quasi impossible dans la pratique dès la dimension 2, et on s’adresse donc à des méthodes d’approximation. On procède comme suit. On substitue au problème de rechercher o le problème de former a a définie en minimisation sur X tout entier de la fonc tionnelle <D («) = a || T u |& + 2 1=1 [(Æf, u) - r;P , a > 0, (4 .7 ) avec a petit. On considère dans X un sous-espace E k de dimension finie dont les éléments approchent ceux de X avec la précision dési rée, et on minimise Qa (u) sur E k. Le point de minimum constitue une fonction spline relative à E k. Pour la convergence de ces fonctions splines voir Vassilenko [XIV ; 2]. Cette tactique s’avère très fructueuse dans le problème suivant : soit £2 un domaine rectangulaire à points d’interpolation P t, i = = 1, . . ., s, irrégulièrement espacés. On demande une fonction d’interpolation régulière dans £2. Superposons à £2 un réseau rectan gulaire £2h et associons-le à l ’espace E h de dimension finie des inter polants réguliers. Nous savons construire ces espaces dont les élé ments peuvent être des fonctions splines bicubiques ou des prolongements de Riabenki de classe de régularité C2. On cherche sur E h le minimum de la fonctionnelle Oa (u) = a j [i4c + 2uly + uly] dQ + ^ [u (Pi) Q i=1 — r2], (4.8) avec a >» 0 petit. Ce problème conduit à un système algébrique li néaire. Si l’on choisit dans E k une base de fonctions à support borné, le système est à matrice bande. On prend pour fonctions de base des 5-splines du troisième degré ou, ce qui est mieux encore à notre avis, des fonctions de base locales intervenant dans l ’interpolation au sens de Riabenki. Pivovarova et Poukhnatchéva [XIV; 9] ont élaboré un programme intéressant qui réalise un processus avec choix simultané du paramètre a. 3.4] ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS SPLINES 147 Il nous reste à nous prononcer sur le choix du paramètre de lis sage dont l ’importance pratique est incontestable. Parmi des critè res qui le régit, le « critère des résidus normés » paraît naturel pour un large éventail de problèmes (voir tout particulièrement Morozov [XIV; 8}). Plaçons-nous dans un problème de lissage, Le. on cherche un élé ment oa de X qui minimise la fonctionnelle <Da (u) = a ||f u ||! , + 2 [(ft„ u) —r f]2= a\\Tu ||y + —r ||2. (4.9) i= 1 L’opérateur K : X - + R n agit par la formule Ku = {(u, *!),. . (u, &n)},(4.10) et r = (rx, r 2, . . ., rn) est un vecteur donné. Le critère mentionné consiste à choisir a moyennant la condition Il K oa — r || = e, (4.11) e fixe étant le « niveau acceptable du résidu ». Introduisons les notations <p (a) = || K aa — r ||, 0 < a < + oo. (4.12) On résout l’équation non linéaire en a : <p (a) = e. Faisons la substitution a = 1/p et considérons l ’équation <P («) = <P (1/p) = ip (P) = e (4.13) par rapport à p. La fonction ij; (P) est strictement monotone décrois sante et yp (p) = e admet une solution unique pour e < e0, et £0 = = || Ke —* r || avec e la solution du problème des moindres carrés \\Ke— r\\= min HIKu—r|| _u£K er T sur le noyau de T . Il est naturel de résoudre (4.13) par la méthode de Newton. Gordonova et Morozov [XIV; 4] proposent d’élever les deux membres à une puissance réelle q, H*(P) = e*, (4.14) et d’accélérer au possible à l ’aide de q la convergence du processus itératif de Newton. Pour qu’il y ait convergence pour toute appro ximation initiale, q doit être compris dans l ’intervalle —l< Ig < 0, q > 0, la plus grande vitesse étant garantie par q = —1. Ainsi, il faut résoudre l ’équation / (p) = l/<p (l/p) = e-1. (4.15) 10* INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES [CH. 3 On effectue les itérations de Newton par la formule pp+i = pp_ /(Pp) : p p _ ( p p ) 2 <p(1/&P) (4.16) 148 Y (P p ) V (1/Pp) Quel est le volume de calcul par pas? Le calcul de (p (1/|3P) = <p (a9) demande la résolution d’un problème de lissage par des fonctions splines pour a = a p fixe, i.e. on a à résoudre un système algébrique linéaire. On doit de plus connaître cp' (ap) et on résout à cette fin le même système algébrique linéaire avec un autre second membre {voir Gordonova, Morozov [XIV ; 4]). La théorie générale du lissage est visiblement équivalente à line méthode de régularisation de problèmes mal posés. On admet par exemple que K est une matrice dégénérée et la fonction spline ■d’interpolation u constitue la solution normale du système compa tible Ku = /, (4.17) || u || = min. La solution (fonction spline d’interpolation) est approchée pour a 0 par la solution ua (fonction spline de lissage) du système régu larisé a II “ a II2 + Il Kua — / II2 = min, (4.18) (a / + K*K) ua =* K*f. CHAPITRE 4 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES Lia résolution des problèmes stationnaires constitue un chapitre plus ou moins autonome de l ’Analyse numérique encore que dans de nombreux cas à opérateurs positifs la solution s’interprète comme solution limite pour t oo d’un problème non stationnaire. Dans la stationnarisation asymptotique des problèmes stationnaires, on ignore délibérément les valeurs intermédiaires de la solution car elles sont sans importance, tandis que ces valeurs ont une significa tion physique pour les problèmes non stationnaires. Cette circons tance unit, tout en les différenciant, ces classes de problèmes. Illustrons-le sur un exemple. Soit le problème 4 0, (p 6 O et / e F. Considérons le problème non stationnaire *) x|) = 0 pour t = 0 et définissons cp, if et / par les formules <P=*2<Pn«n. n / = 2 /» « * » . n n OÙ = A*U* = Xnll*, <Pn = ( u n), = 0|\ «5), f n = (/. Un) et {«„} et {«*} SOilt des bases biorthogonales. Il est classique de se ramener aux problèmes respectifs K<¥n = f n et + = ^ ( 0 ) = 0, ■*) Nous omettrons de spécifier les domaines des opérateurs. 150 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 et d’obtenir les coefficients de Fourier n n Le spectre de A étant supposé réel, on a Xn > 0, n = 1, 2, . . d ’où lim \|? = cp. t-*oo Si l ’opérateur du problème stationnaire possède un spectre de structure quelconque, il se peut que cette relation simple et nette entre les solutions fasse défaut. Il va sans dire que le problème non stationnaire pour \|) obtenue se prête à des méthodes aux différences par rapport à t. Par exemple On a x|);+1 = ï \ Jr7— T — /)• Si c’est le problème stationnaire qu’on aborde, alors une rela tion déterminée entre t et p ( 4 ) entraîne lim = (p. oo Le paramètre r est fonction ou non de /. Dans les deux cas, on ferait bien de considérer j comme étant un indice repérant non pas un pas de temps, mais une itération. Voici une autre différence entre les deux classes de problèmes: dans les problèmes non stationnaires, on garantit l ’exactitude de la solution avec t suffisamment petits, tandis que dans les cas station naires les paramètres t optimaux sont choisis à partir de la condi tion de minimum du nombre d’itérations et ils peuvent être assez élevés. Pour les méthodes itératives en algèbre linéaire voir les mono graphies de Faddeev et Faddeeva (VIII; 16, 22], Forsythe, Wasow [III], Householder [III], Warga [III], Marchouk, Lébédev (XVII ; 12], Samarski [III; 12], Bakhvalov [III], Marchouk, Kouznétsov [VIII; 12]. 4.1. Eléments de la théorie des méthodes itératives Dans tout le chapitre, l ’opérateur A sera une matrice carrée, si bien qu’on aura, au lieu du problème initial, un système algébri que linéaire. Ceci étant, les vecteurs et les matrices seront toujours à valeurs réelles et la matrice A sera non dégénérée (sauf au numéro 4.5). Soit donc le système A cp = /, ( 1. 1) 4.1] ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES MÉTHODES ITÉRATIVES 151 avec A une matrice et cp et / deux vecteurs. La plupart des méthodes itératives pour les systèmes linéaires sont gouvernées par la formule fl/-7 7 - = - ( V - / ) , (1.2) {Bj} étant une suite de matrices non dégénérées et { t 7} une suite de paramètres réels. Avec la notation Hj = t jBj"1, le processus (1.2) s’écrit de façon équivalente <Pi+1=<P (1-3) Les vecteurs = Acp; — / constituent les vecteurs résidus de la mé thode itérative (1.2) et ijr7 = q/ — cp* (cp* = A~xf est la solution exacte du système (1.1)) en sont les vecteurs erreurs. En retranchant de deux membres de (1.3) le vecteur (p* et en faisant la substitution f = A(p*, on obtient pour la suite de vecteurs erreurs = (1.4) la matrice Tj = E — H jA (1.5) étant Yopérateur de transition de la méthode considérée.Multiplions (1.4) par lamatrice A, il vient la relation pour la suite de vecteurs résidus &+1 = (E - A H j ) g. (1.6) La méthode itérative (1.2) est dite convergente si la suite {q^} tend vers la solution exacte (p* du système (1.1) quel que soit le vecteur initial, et.elle est divergente dans le cas contraire. Une condi tion nécessaire et suffisante de convergence de (1.2) est évidemment que les suites {\|);} et {^} tendent vers un vecteur nul pour tous les if° et £° (A\J)° = p°). La méthode itérative (1.2) s’appelle stationnaire si la matrice Hj ne dépend pas du numéro de l’itération (l’opérateur Tj consti tue une matrice à éléments constants), et elle est non stationnaire. dans le cas contraire. Les méthodes itératives cycliques relèvent en principe des deux types. Une méthode itérative est cyclique si elle présente la propriété : <<Hj = Hj+S pour tout / > 0 et un 5 > 1 fixe ». En réunissant les s itérations successives au sein d’un cycle, on aboutit à un processus stationnaire de la forme (V - / ) , (1.7) E — H A — [] (E — HiA). i=0 ( 1. 8) avec H définie par l ’équation s —1 152 _ M É T H O D E S D E R É S O L U T IO N D E S P R O B L È M E S S T A T IO N N A IR E S [C H . 4 D’autre part, les méthodes cycliques sont par définition non station naires. Un des problèmes essentiels en matière des méthodes itératives consiste à les optimiser, i.e. on choisit une suite des matrices Hj de classe donnée de façon à augmenter l ’efficacité de l ’algorithme. Le rôle de fonction objectif à minimiser revient en l ’occurrence au nombre total d’opérations logiques et arithmétiques à effectuer pour trouver une solution exacte à e près (e > 0 donné). On ne résout complètement ce problème que dans des cas rarissimes, si bien qu’on minimise en réalité une fonction W({Hj},e), (1.9) qui majoré la fonction objectif et l ’approche assez bien dans un sens. Si l ’on suppose qu’une itération (1.2) demande un même nombre W 0 d’opérations logiques et arithmétiques quelle que soit Hj de classé donnée, il est raisonnable de définir W par la relation W = W 0 X N ({.Hj}, e), (1.10) e) étant le nombre d’itérations de la méthode (1.2) au bout desquelles une norme de l ’erreur initiale i|)° diminue de —fois. Autrement dit, N ( { H j } , e) est égal au nombre d’itérations (1.2) qui donnent une solution exacte à e près du système (1.1) si la nor me du vecteur erreur i|)° vaut 1. Le problème de définition de la fonc tionnelle N et la recherche de son minimum seront illustrés sur des exemples concrets des numéros suivants. N ({H j}, 4.2. Certaines méthodes itératives et leur optimisation 4.2.1. Méthode intérative simple Soit le système Acp = f (2.1) à matrice A définie positive symétrique dont on connaît les bornes du spectre: [3 = p (A) ^ a = a (A) > 0. On applique la méthode itérative qA 1 = q/ - t (A cp j - /) ( 2 .2 ) avec t réel et cp° un vecteur initial. On a pour les vecteurs erreurs \|)J = cp; — cp* : V +1 = T% \|Â (2.3) T t = E — %A (2.4) où est l ’opérateur de transition. CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION 153 Désignons par {À,n} l ’ensemble des valeurs propres de A et par {un} le système orthonormé complet de vecteurs propres associés^ Développons {\|/} suivant la base orthonormée {un} : V= S i i = (V> Un) n et utilisons (2.3), il vient ^À+1 = (1—T^n)V Il en résulte que les coefficients convergent vers 0 pour / tout \|)° si et seulement si | 1 - tK I < 1, et que la condition q (t) = P ( r T) = max I 1 — x%n | < 1 oo et (2.5> est suffisante et nécessaire pour que la norme euclidienne de i|/ Il Vil 2 = (V . V )1/2= [ Sn ( ^ ) 2]1/2 tend vers 0. Voyons de plus près la dernière condition. Le système 1, Xn 6 [a, p], équivalent à l ’inégalité (2.5) nous fait conclure que (2.5) n’est juste* que si 0 < x < min — ==—, (2.6) n *n P i.e. pour %6 ^0, j. Ainsi, on définit le domaine de variation de t qui garantit la convergence de la méthode (2.2) connaissant, ou bien p, ou bien sa majoration. Gomment optimiser la méthode décrite ? Considérons l ’inégalité Il ^ l l 2< Il r i lia II n i 2, (2.7) \\Ti\\2^ [ ^ ( T x)]j = [q(T)Ÿ (2.8) où par suite de la symétrie de Tx. On voit sans peine qu’on diminue* || \|)° 112 de — E fois en N itérations, N étant défini moyennant l | 7 f l l 2 = e. (2.9) D’où, compte tenu de (2.8), A ,- b n ï f d + 1 ' (2 . 10) 154 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 Gomme le nombre W 0 d’opérations logiques et arithmétiques par itération ne varie pas avec x, la fonctionnelle W de (1.10) se définit •dans ce cas par la relation w' - M [ tïïT7w ] + 1)- (2'“ » (Ici on suppose x Ç (0, -jj*).) Le problème d’optimisation (la minimi sation de W en x) se ramène, on le vérifie facilement, à minimiser q (x) par rapport à x Ç (0, ~ j . Le schéma de résolution est le suivant. On trouve de suite que q (x) = max {| 1 — xa |, | 1 — xjî |} (2.12) et que la valeur optimale de x est solution de l ’équation 1 — Topt a = “ (1 — Topt P) et est calculée comme suit : Topt = 'p T ^ Le report dans (2.12) donne / x *P-a £opt — ? VTopU ~ p_|_a (2-13) P-l P+ 1 (2.14) -ou p = p(A) = £- (2.15) constitue le nombre de conditionnement de la matrice A définie posi tive symétrique. Introduisons la quantité R (Tx) = - l n g ( t ) , (2.16) vitesse de convergence asymptotique de la méthode (2.2). Evidemment R " 1 (Tx) est égal au nombre d’itérations suffisantes et nécessaires {pour \j>° quelconque) pour que || \J)° ||2 diminue de e fois, e = — 2, 7, . . ., étant la base des logarithmes népériens. La vitesse de convergence asymptotique constitue un bon critère de comparaison des méthodes dont on ne connaît pas le nombre d’opérations logiques •et arithmétiques par itération. La relation (2.11) se récrit Disons quelques mots au sujet des matrices mal conditionnées (p ^ > 1). Lorsque p 1, on a , 2 (2.18) <7opt ^ 1 ~ , 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION 155 si bien que R ( T x) n ± , (2.19) W æ W 0| l n e | | - . (2.20) donc Cette analyse est tout indiquée pour comparer la qualité des métho des à matrices mal conditionnées. 4.2.2. Convergence et optimisation des méthodes itératives stationnaires Il est déjà apparu qu’une condition nécessaire et suffisante de convergence de (2.2) avec cp° arbitraire est l ’inégalité P (T) = max | K (T) | < 1, (2.21) n où Xn (T) sont les valeurs propres de l ’opérateur de transition T . Nous allons démontrer que c’en est également une pour la méthode stationnaire | <pj+i = ~ H (Ayj - /), où l ’opérateur de transition T = E - HA est une matrice constante. Soit 0 ... 0 Jz . . . 0 0 0 a / = 0 . . . Ji ,.e. T — S J S "1, les la forme normale de Jordan de la matrice colonnes de S étant formées de vecteurs propres et de vecteurs prin cipaux de T) avec.les blocs de Jordan U 1 0 0 . .. 0 1 . .. 0 U ■. . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .. . . h 0 .. . . 0 1 h K 156 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 d ’ordre 1 associés aux valeurs propres (T), i = 1, . . . . . ., I. Du moment que i|)°, {ty*} étant les vecteurs erreurs, on vérifie immédiatement que pour qu’il y ait convergence de la méthode, il faut et il suffit que les matrices Tj (et, partant, J°) aient pour limite une matrice nulle quand j -> oo. On n’a ce dernier résultat que si J{ convergent pour j oo vers une matrice nulle quel que soit i, Ainsi, on a l ’affirmation voulue sous la condition suffisante que J{ tendent vers des matrices nulles, quand /- > oo, seulement pour | | <C 1. Désignons par les éléments de J \ . On montre par multiplication directe que si S > t , j o. ki ç l —sj^j-t+s si si où C) s = — —^ Autrement dit, sont des coefficients]binomiaux c jk * -1 C j i ~ 1X*-~h i+ 1 . c k . - 2 }J - k i + 2 II 0 kî 0 0 .. xi quels que soient j ^ k f — 1 et On montre par des cal culs élémentaires que tendent vers 0 (resp. J{ convergent vers une matrice nulle) pour j - > oo et n ’importe quels 1 s, t ^ k t seulement si | | < 1 , c.q.f.d. Il est connu que ce résultat reste en vigueur pour toute méthode itérative stationnaire (voir p.ex. Faddeev, Faddeeva [VIII]). Dans ce point nous aborderons l ’optimisation des méthodes itératives stationnaires avec une optique générale, à l ’aide de leur com portement asymptotique. Nous aurons besoin d’un résultat connu de l ’analyse fonctionnelle (voir Kantorovich, Akilov [I]) qui s’énon ce comme suit pour les matrices. Toute matrice carrée T et toute normé matricielle || • || véri fient l ’égalité lim 1| T h ||1/fe= p (T). (2.22) h^f-oo Supposons que la matrice # T de la méthode itérative stationnaire <pj+1 = <p* - H x (Atf - /) (2.23) 4.2] 157 CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION dépend des paramètres t 1? t 2> • • •» L*. Si le nombre W 0 d’opérations logiques et arithmétiques par itération reste le même avec x variant, alors l ’optimisation de la méthode (2.23) consiste (voir n° 4.1) à minimiser la fonction W = W 0 X N (HX1 b) (2.24) par rapport à t x, . . ., xs, N(HX, e) étant le nombre d’itérations au ^ hout desquelles une norme du vecteur erreur diminue de — fois. Gomme . IIÎKIinilllVIL (2.25) avec Tx = E — H XA et || • || une norme, N dépend de H x et 8 selon la formule lirflNe. (2.26) La solution exacte de cette équation n ’est évidemment obtenue que dans des cas fort rares (voir point 4.2.1). Aussi on en cherche une approximation sous des hypothèses complémentaires qui varient selon le cas concerné. On établit approximativement la dépendance mentionnée entre Ar, d’une part, et H x et e de l’autre au sens asymptotique, à savoir on suppose que e <C 1 et N 1. Le théorème ci-dessus entraîne N ( H x,e)&. , ((2.27) R (Tx) = —ln p (Tx) étant la vitesse de convergence asymptotique de la méthode (2.23). Ainsi, la fonction W se définit par <2-28> On note que (2.17) est un cas particulier de (2.28). Conformément à la dernière formule, le problème d’optimisation de (2.23) consiste avec les hypothèses faites à maximiser R (T x) (à minimiser p ( T x )) par rapport à t x, . . . , t s tels que P ( T x ) < 1. Quelques mots enfin sur les méthodes itératives cycliques avec 1. Une méthode cyclique se ramène, on l ’a montré au n° 4.1, à la méthode stationnaire ordinaire (1.7) avec l ’opérateur de transir tion s~ 1 (2.29) TX n (E-H tA). i=0 158 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 Admettons que chaque itération de (1.7) demande sW0 opéra tions logiques et arithmétiques et qu’un pas de la méthode cyclique en exige W 0. On a W = W n |1~e| . 0 R( Tt ) où R {Tz) ------- (2.30) ’ ln p (7\). S’agissant desméthodes cycliques, l ’optimisation consiste donc à chercher leminimum de |5 (T%) pour s fixe* 4.2,3. Surrelaxation successive La méthode de surrelaxation successive élaborée par Young [X] et Frankel [X] s’avère très utile dans beaucoup d’applications. Voici son idée directrice mise en œuvre dans le cas du système algébrique linéaire Acp = / (2.31) à matrice triplediagonale par blocs E i - 5 , ... e 2 ... 0 0 0 0 0 0 0 .. E h - 1 —E k - i 0 .. . - B k E h où Ei sont des matrices unités d’ordre n l et R x, S t des matrices d’or dre respectif n t X n x_x et n x X n l+1. Les systèmes à de telles matri ces interviennent souvent lorsqu’on réduit les équations elliptiques à des systèmes d’équations aux différences finies ou d’équations variationnelles aux différences. Mettons la matrice A sous la forme A= E -R -S , (2.33) où O O .. 0 0 Rz 0 .... 0 0 0 , Æ= 0 0 . . ... 0 0 0 0 ... 0 0 s = O O . 0 0 0 0 ... 0 S k-i . Rh 0 0 0 ... 0 0 E étant une matrice unité. Si l ’on introduit la matrice B = R + S, (2.34) 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION 159 le système (2.31) s’écrit cp = + /. (2.35) On supposera partout dans la suite que la méthode itérative çpi+i _ _|_ j (2.36) converge (i.e. ji (B) < 1), que la matrice B a toutes ses valeurs pro pres réelles et qu’elle possède un système complet de vecteurs pro pres. Mettons (2.31) sous forme de système d’équations matricielles Q>1 _ = F h 1 = 1, . . ., k , (2.37) avec les conditions B x = S k = 0 et O0 = (Dft+1 = 0, où Oj et Fi sont les composantes vectorielles des vecteurs cp et f. La méthode de surrelaxation successive est alors définie par les formules = 1= 1, . . . . k, (2.38) avec t un paramètre réel. Ces relations se récrivent <Df+1/2 = i ? ^ ! 1+ S & U i + Fu <ti+i = T(Df+1/2 + (1 — T) Oi, l= i,...,k. On voit que le calcul se fait pour chaque / bloc par bloc, 0^+1 et Oft+i étant supposés nuis. Compte tenu de (2.38), on établit les équations des vecteurs er reurs Wi = d>i — C)f, où {Of} est solution du système (2.37) : ^ +1 = y f - T ( ¥ | - JR ,¥?î11 - 5 z^ +1), 1= 1, . . . , k. (2.39) On en tire que l ’opérateur de transition de la méthode (2.37) est défini par l ’égalité Tx = (E - xR)-1 [(1 - x ) E + xS] (2.40) et dépend d’un seul t et que le problème spectral T XV = K (Tx) W (2.41) se transforme sans peine en X (Tx) Y l = Wl - x [ T l - X (Tx) - S i V l+1), l = 1, . . k, (2.42) dont la solution est cherchée sous la forme (2.43) Y, = IX (Tx)]V*wh 160 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 i étant les composantes vectorielles du vecteur propre w du problème spectral Bw = k (B) w (2.44) -et w0 = Wfc+i = 0. Portons (2.43) dans (2.42), il vient par suite de (2.44) Xl/2 (Tx) [k (Tx) - Tj^2 (Tx) k (B) + t - 1] wt = 0, l = 1, . . k. (2.45) Les valeurs nulles k (Tx) n’influent pas sur la convergence de la méthode étudiée, et parmi {wx} il se trouve au moins un vecteur non nul, si bien que (2.45) conduit à k (Tx) - t^/2 ( r T) X(B) + T - 1 = 0, relation entre les valeurs propres des matrices T x et B. Sa résolution donne %}'2(T%) - -T^ ) - + | / A T*x* ■—T + 1. (2.46) On observe que si À (B) est valeur propre de B, il en est également -de —k (B). En effet, si k (B) w = Bw, où w est un vecteur propre de composantes vectorielles {u?z}f=i de la matrice B , alors w; de compo santes vectorielles wx = (—1 ) ^ est un vecteur propre de B associé ù —À (S), i.e. —À(S) w = 5îz;. (2.47) Avec ce résultat et la formule (2.46), on se borne, en analysant Xlf2 ( r T), au cas k (B)> 0. Considérons k 1/2 (T1*) comme étant une fonction du paramètre t et admettons que k (B) < 1 est une valeur propre non négative fixe de B. Soit t ^ 0 . On établit sans peine l ’impossibilité de \%m (Tx)| < 1, (2.48) si bien que la positivité de t constitue une condition nécessaire de convergence de la surrelaxation successive. Si l ’on se borne à %positif et si l ’on se rappelle que la convergence de la méthode est définie par la seule valeur propre de plus grand module de T x, il suffit, on constate sans peine, d’étudier la formule où la racine carrée est prise positive dès qu’il en est de l ’expression £ÏM 2_t+ 1 . Si t Ç [rx, t 21, avec ^ 1, 2 : k*(B) U±yi-x2(#)l, 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION 161 ---- — ; ■— t + 1 de (2.48) est non positive et on a pour ces %: |MfT)| = |^1/2(7\)|2= ( ^ ) 2- ( -T+l)=T-l. Lorsque t [ t i , t 2] , l ’expression sous le radical dans (2.48) est toujours positive et Xi/2 (7\) est non négative. Ceci étant, on montre sans difficulté que À1/2 (Tx) > 1 ne possède pas de solution pour t Ç (0, tx) et qu’on a quand t ^ t2. Ces résultats autorisent à dire qu’avec les hypothèses faites, t 6 ( 0 , 2) est une condition nécessaire et suffisante pour que la méthode de surrelaxation successive (2.38) soit convergente. Etudions maintenant -t2/.2 (B) •T + l» Xi/z(Tx) = T > T lt comine fonction du paramètre t. Puisque ± _ n 1/2 f T àl [K _ X ( B ) X 1' 2 ( T x ) ~ 1 f ï W j B ) -----T+l '■y 4 0 pour t 6 (0, Tj] et X1/2 (Tx) = 1 si x = 0, | X _(TX) | est représenté pour X (B) différentes par les courbes de la fig. 13. 11-0436 162 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Comme tA1/2 (Tx) : > 0, tW (B) - T + 1 Y dk T < T j, 4 T > T l5 0, on en tire pour x de l ’intervalle (0, 2) T < T i, P(2\) = T ^T i. T— 1, Cette formule entraîne de suite que la valeur minimale de P (Tx) est atteinte pour t = xv Ainsi, r opt maximisant la vitesse de convergence asymptotique R (Tx) de la méthode étudiée est cal culé par la formule 'W opt = TP2üiT (B) ïK -[l-f r 1 - Pr 2(\ # n) ] = ----- r 2- ■= , v(2-49)' et R (Tt , ) = - l n (Topt—1) = —ln v Topt' v opt 7 P* (^) v .(2.50) 7 Voyons ce que deviennent les formules (2.49), (2.50) pour les matrices mal conditionnées (et A symétrique), i.e. p(A) = -a- V-A; 1. On sait déjà que si S de la-forme (2.34) possède une valeur propre p (B), elle admet une valeur propre —P (B), si bien que la relation B = E — A entraîne p (B) = 1 - a (A), et -fM £ ) = i - p w , d’où a (,4) = 2 — P (^4) et la condition p (A) 1 signifie que a (A) « j , P (B )« l-f Portons dans (2.49), (2.50), il vient asymptotiquement * o p t« 2 - ~ j Y P ^ o p t)^ 1 w ~ w 0^ (2.51) V ~ p. 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION 163 S’agissant des matrices mal conditionnées, la vitesse de conver gence asymptotique de la surrelaxation successive avec paramètres optimaux est donc 2Y P fois celle de la méthode (2.2). On observe qu’à toute itération concrète (surtout au début du processus), la vitesse de convergence est inférieure à celle de (2.51). La cause en est la présence d’un bloc d’ordre 2 dans T Topt sous forme de Jordan (voir Young [X], Tee [X]). 4.2.4. Méthode itérative de Tchebycheff Soit le système d’équations algébriques linéaires A(p = / (2.52) à matrice A définie positive symétrique. On le résout itérativement par les formules (p j+ i = <p; — tj ( 4 tp J — / ) , (2 .5 3 ) connues sous le nom de méthode de Richardson. On l ’optimise en choisissant une suite des paramètres Xj telle que cpJ converge au plus vite vers la solution exacte du système (2.52). La méthode cyclique (2.53) où s > 1 s’interprète comme un procédé itératif stationnaire i —1 i-i cp 5 = (p5+ (2.54) — xt (Afp s, i = 1. à opérateur de transition 7 \ = fi ( E - x tA). i= l La symétrie de A fait que P ( fT) = | | f xH2= max| 0 (1—t£X„(^))| n t= 1 (2.55) (2.56) et ôptimisation de (2.53) consiste, selon le point 4.2.2, à minimiser P (T,) par rapport aux paramètres xx, . . ., t8. La solution exacte pour s = 1 est connue dès le point 4.2.1. Si s > 1 le problème n ’ad met pas de solution exacte parce qu’iLne suffit plus de connaître les bornes du spectre de A. Or, la recherche de toutes les valeurs propres de cette matrice est une tâche plus complexe que la résolu tion de (2.52) par la méthode itérative simple. L’optimisation exigé donc qu’on minimise la fonction S, qs (t) - max | ff (î — xtk) | , a a < P î= 1 11* (2.57) ' 164 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 0 < a = a (^4) P = P (A), qui majore P (Tx) et l ’approche suf fisamment bien dans la pratique. On se propose, en plus de la recherche du minimum de qs (t), de former un polynôme P s (A,) de degré 5, solution du problème min max |JPS(A )|= max |P S(^)|, (2.58) P sa ) £ Qs Çs étant l ’ensemble des Ps (X) de degré s vérifiant la condition P$(0) = = 1. Markov a résolu ce problème à l ’aide des polynômes de Tchebycheff : ji / ft + cx—2A \ ■ <2-w ) s\ p-« / où T, (t) = (‘+ l/ ‘îz r <>‘+<‘~ /<*=?)' (2.60) est le polynôme de Tchebycheff de degré s. La propriété fondamen1 taie de Ts (t) est que parmi tous les polynômes de degré s et de coefficient de f égal à 1, il s’écarte en norme uniforme le moins pos sible de zéro sur le segment [—1, 1]. Les racines de Ts (t) s’obtien nent par la formule = COS 2i — 1 - JI, . , 1 = 1 , . . . , s, ses valeurs de plus grand module sont atteintes aux point? yt = cos — , i = 0, 1, . . . , .9, et Ts {yi)=- (— 1)\ i = 0, 1, . . . , s. {A^} définies à partir de — xr- P~t~a P -a constituent donc les racines de i = l, . . . , 5, ) , si bien que 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION 165 avec rs une constante. D'où fl p .m s - — .— = n (* — £ •* )• D l> <-■ <2-«> et max |P 8(k)| / P+ a \ max \ P~<* J 1 / -ff-T^-v p+ g \ m8X ( P+a \ * \ P—g ! \ P -g (2.62) ) Revenons au problème d’optimisation de (2.53), i.e. au problème d’extrémum Qs (Topt) = min qs (t), (2.63) T T étant une suite de paramètres t1? . . ., ts. En notant Vs l ’ensem ble des polynômes de degré 5 P . w = .[ï i =1 (2 .6 4 ) on énonce le problème (2.63) comme suit : trouver P s (X) solution du problème min max |P S(À )|= max |P(À,)|. Pstt)evsa<k<3- - - - (2.65) Gomme Vs a Qs, on a évidemment max |P S(À,)K max \PS(X)\. (2.66) Le problème (2.58) admet pour solution un polynôme P s (À) de la forme (2.64), i.e. un élément de Vs, si bien que (2.66) devient une égalité stricte. Cela permet de dire que le rôle de P s (À,) peut incom ber à P s (X). Finalement, le choix PS(X) = PS(X) est unique vu l ’unicité de la solution de (2.58) *). *) Voir p.ex. Flanders, Shortley [VIII]. (2.67) 166 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLEMES STATIONNAIRES [CH. 4 Si l ’on désigne par x s (olt o2, . . as), 1 < at < s, at =£ i k, i, k = 1, 2, . . s, une permutation d’ordre s, alors (2.62) entraîne pour la méthode itérative optimale (2.54) xi=1—, i =l, s, (2 .6 8 ) où $ + a—(P— xt = Y *= 1 , •••, s- Nous appellerons méthode itérative cyclique de Tchebycheff le procédé (2.54) avec paramètres définis par (2.68). On se propose d’en évaluer la convergence. On montre que" s peut être choisi par la condition « 5 itérations de (2.53) (i.e. une itération de (2.54)) garantissent une erreur ini tiale 1/e fois moindre ». On considère l ’équation Avec les notations * o = |— , y = t0— V t l — i et la relation i *o+ Y t\ —i cette équation devient par de simples transformations: 2ys g — ■■ • v25+ 1 Cette relation regardée comme une équation du deuxième degré en y8 donne, compte tenu de y < 1, . 1 - / 1 - ea_ 6 e 1 - f / l —e*’ 7 donc rt_ Lorsque e 1+ / 1 —B2 ln-y 1 et p (A) > 1, on a O * 1| lne i| Vf pr 2 4.2] 167 CERTAINES METHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION d’où W & W 0\ l n e | - ^ - . (2.69) Il en résulte que la méthode de Tchebycheff converge asymptoti quement V p fois plus vite que la méthode simple à deux niveaux et 2 fois plus lentement que la relaxation successive. La mise en œuvre de la méthode de Tchebycheff exige, on le voit, qu’on connaisse les bornes a et p du spectre de A. Cela est d’autant plus nécessaire que les polynômes de Tchebycheff croissent rapide ment pour x (J [—1, 1], de sorte que l’erreur sur les bornes risque de ralentir considérablement la convergence. La borne supérieure est en général définie par le théorème de Gershgorin. La définition de la borne inférieure constitue un pro blème plus difficile. On utilise des fois des estimations à priori, mais dans la plupart des cas on introduit un processus itératif sup plémentaire (cela peut être par exemple la méthode de Ljusternik décrite au Chapitre premier ou les itérations minimisées de Lanczos). Un autre point délicat du procédé de Tchebycheff est l’arrange ment des paramètres, car avec t* rangés de façon arbitraire la mise en œuvre numérique donne lieu à une instabilité. Cet inconvénient a fait couler beaucoup d’encre et a été éliminé récemment par Lébédev, Finoguénov [IX; 9] et Samarski [III ; 12]. Voici deux algorith mes de numérotage des paramètres. Soit s = 2r, r étant un entier positif, et x2r-i = (alf cr2, . . . . . g8/2) l ’ordre des x% associé à s = 2r~ l dans l’algorithme décrit. Si s = 2r, on demande que K2r — (ffi» S + 1 — C7i, cy2, 5 + 1 — a 2, Os/2, 5 + 1 — ffs/2)- Disons pour s = 16, >c16 = (1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11). Soit maintenant s = 3r, r étant un entier positif, et x3r-i — = (<?!, o2, . . ., crs/3) l ’ordre des x%pour s = 3r-1. Lorsque s = 3r, l ’arrangement doit être * ^ = (0^, 2.3r~1+ e1, 2.3r~1+ l — . . . , 2.3r~1+ l —crs/3)Le second algorithme donne par exemple pour s = 9 : Xs = (1, 7, 6, 3, 9, 4, 2, 8, 5). Avec ces algorithmes, les opérateurs de transition T t — E — xtA à norme importante se répartissent de manière suffisamment uni forme parmi les opérateurs diminuant la norme de l ’erreur. 168 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 La méthode (2.53) a été décrite comme étant optimale pour s donné. Lébédev et Finoguénov [IX; 9] ont proposé une nouvelle classe de processus itératifs. Il s’agit des méthodes optimales infi nies stables (2.53) avec paramètres de Tchebycheff qui permettent de poursuivre le processus (2.53) après s itérations données de façon qu’il soit stable et redevienne optimal pour certains j = j k, j k oo, j k > s. Gi-dessous l ’algorithme de génération des paramètres pour un cas particulier. Comme cos 3x = cos x (2 cos 2x — 1), entre T s (t) et T 3s (t) existe la relation r 3$ (t) = Ts (t) (2 T %s (t) - 1) qui montre que l ’ensemble des racines de T 3s (t) comprend (2.61), racines de T s (t), et toutes les racines de 2T2s (t) — 1 ’ x t = cos 2l~ 1 jt, 2i 1 (mod 3), l< !i< ;3 s. Si l ’on effectue donc s itérations telles que les formules (2.68) utilisent les paramètres do (2.61) et si l ’on continue avec x t de (2.68) (Ki s’expriment par x t) remplacés par x t ordonnés de façon conve nable, alors on aboutit pour / = 3s à une méthode optimale. En con tinuant dans cette voie, on obtient une suite infinie de x t telle que la méthode (2.53) devienne optimale pour / = 3rs. Donnons les formules de numérotage des x t dans le cas s = 2 (voir Lébédev [IX; 8]). On pose xx = —2~1/2, x 2 = —xv Supposons la suite de xh i = 1, . . ., 2*3r_1, ordonnée, auquel cas la suite partielle avec i = 2-3r_1 + 1, . . ., 2-3^ est générée comme suit. On forme par permutation x r-i les quantités tj-! = siii 2(g,+4I. y )~ 1 7 = 1...........3 - 1. Alors X 2 •3r-1+ 4i+1 = X 2 • 3 r_1 + 4 i+ 3 = 0’ — V X 2 - 3 r~ i + ^ + 2 = i J' X 2 • 3r-1 + 4j + 4 = ^ ^ ^1’ ] = o, . . . , 3 ^ - 1 . On calcule x t, i = 2*3r + 1, • • 2-3r+\ moyennant x 3r, et ainsi de suite. On voit que l ’optimisation de la méthode de Tchebycheff (2.53) n ’a jamais utilisé*la propriété (2.56), qu’on a minimisé une fonction Qs (T) çui ne dépend que des bornes du spectre et qu’on construit compte tenu du seul caractère réel des valeurs propres de A. Ainsi, il suffit, pour optimiser la méthode, d’exiger que les valeurs propre^ 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION m de A soient positives et que les vecteurs propres associés forment un système complet tout en renonçant à la symétrie de A . A la lumière de ces faits, on construit la théorie de l ’optimisation des méthodes itératives de la forme q>7+i = <pj — XjH (Aq>j — /) (2.70)' sous l ’hypothèse que toutes les valeurs propres de HA sont réelles et appartiennent au segment [a, |î], où 0 < a = a (HA) P= = P (HA). On montre que le spectre de HA vérifie toutes les conditions énumérées s’il y a symétrie et définie positivité de H et A. A cet effet, on introduit la notion de racine carrée positive d’une matrice D définie positive et symétrique. Soit {un} un système orthonormé' complet de vecteurs propres de D associés à ses valeurs propres posi tives {dn). Il existe une matrice orthogonale P formée de vecteurs colonnes {ufe} telle que D = PD0P *, avec D 0 une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres {dn} de D. On définit D ÿ 2 comme une matrice diagonale ayant les valeurs propres positives {dj/2} sur la diagonale principale et telle que Dl!2D y 2 = D0. La matrice D 0l définit évidemment D\/2 de façon unique. La matrice D1/2 est donnée par l ’égalité Dif2 = PDl/2P*. On vérifie aisément sa symétrie, sa définie positivité (vu sa symétrie et la positivité des valeurs propres {d*/2}) et la validité des égalités /)l/2 £ )l/2 = [£ )l/2 ]2 = = / ) # On établit maintenant sans peine que HA est semblable à la matrice S = A 1/2H A 1/2 définie positive symétrique: A W [HA] [A1/2]-1 = A^ ^ H A 1/2. D’où la réalité et la positivité de toutes ses valeurs propres. On montre que sous les hypothèses faites HA possède un système* complet de vecteurs propres (ce qui permet d’utiliser, à côté des méthodes cycliques, des méthodes infinies de Tchebycheff). On dé signe par {yn} le 'système orthonormé complet de vecteurs propres de la matrice S associés aux valeurs propres positives {p,n} : Svn = |AnlV 170 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Multiplions par LA1/2]"1, il vient avec la notation wn = [A^2]~lvn : HAwn = finwn. Ainsi, {|xn} sont valeurs propres de HA et {wn} les vecteurs propres associés. Comme le système {yn} forme une base dans l ’espace pri mitif de vecteurs et {u;n} s’obtient de {i^} par transformation non dégénérée, {wn} constitue également une base, si bien que HA possède un système complet de vecteurs propres. Considérons un autre cas important où HA a ses valeurs propres réelles et positives. On suppose A être de la forme (2.71) E X, E 2 étant deux matrices unité d’ordre nx et n2 respectivement, et S 1 et R 2 respectivement nr X n2 et n2 X On suppose de plus que la matrice 0 S1 B= H2 0 a toutes ses valeurs propres réelles de module inférieur à un (i.e. | X (B) | < 1) et que H est définie comme suit: Ei 0 Ei 0 -1 (2.72) -* 2 Rz e 2 Ce choix de H correspond à la méthode de surrelaxation successive (2.38) avec t = 1 (voir point 2.4.3). Il est évident que chaque va leur propre de la matrice E1 -S, HA = 0 E2'— 7?2«Si ou bien est égale à un, ou bien constitue une v.p. de la matrice E 2 — R 2S X dont toutes les valeurs propres sont réelles et positives. Il suffit de remarquer, pour avoir le dernier résultat, que toute v.p. -de la matrice R 2S\ est encore une v.p. de S 1^2 0 0 R zSi *(il y a positivité des valeurs propres de B 2 parce qu’elles sont les carrés de celles de B) et qu’on a les inégalités %(R2S X) = K (B2) = K2 (B) < 1. Ainsi, la matrice HA a toutes ses valeurs propres réelles et positives, ce qui permet d’optimiser la méthode (2.70) moyennant les résul- 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEÛR OPTIMISATION 171 tats ci-dessus relatifs au choix des paramètres de Tchebycheff. Il y a lieu de noter que sous l’hypothèse supplémentaire de A symétrique (H2 = iS *), la matrice HA possède un système complet de vecteurs propres. Avant de passer au point suivant, on évalue la vitesse de con vergence de (2.70) avec paramètres de Tchebycheff lorsque les matri ces A et H se définissent par (2.71) et (2.72) moyennant p = p (A) = = avec p > 1. Les résultats du point 4.2.3 et la forme de HA aidant, on constate facilement que a (HA) = 1 — P (£2) = 1 — p2 ( 5 ) = = 1 — (1 —a (A))2= a (A) (2 —a (A)) æ 2a (A), B(HA) = i, donc 1 $( A) 1 1 P(HA) = a (HA) 4 a (A) ~ 4 2a (A) d’où pour (2.70), par suite de (2.69), (2.73) Wt& W0 I l n e |- ^ £ Ainsi, la vitesse de convergence asymptotique de la variante consi dérée est égale à celle de la surrelaxation successive avec Topt4.2.5. Comparaison de la vitesse de convergence des méthodes itératives pour les systèmes d’équations aux différences Nous avons jusqu’à présent évalué la vitesse de convergence des méthodes itératives par recours au nombre de conditionnement de lia matrice A . Appliquons ces méthodes aux systèmes d’équations aux différences finies qui approchent des équations elliptiques en dimension deux. Soit le système d’équations aux différences i= 1. 1 + bkt ttpfe# + ck%jcpfc+i, i + dki i+i + /ft, ï, (2.74) où (&, Z) parcourent un ensemble d’indices Q. Supposons qu’il correspond à chaque nœud du réseau de discréti sation une valeur cpfe) z et une équation, i.e. il y a autant d’équations et d’inconnues que de nœuds. Pour mettre le système sous forme m a tricielle on numérote les nœuds et on ordonne en conséquence les composantes de {(pft, *}, puis les équations. 172 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Prenons le système (2.74) basé sur un réseau carré, dont la solu tion est définie dans le carré unité. On a n, l = 1, . . m dans (2.74) et la matrice A du système Ay=f (2.75) est d’ordre n = m2. Partageons toutes les composantes en deux groupes selon que k + l sont paires ou impaires et numérotons séparément les éléments de chaque groupe. La fig. 14 représente le cas m = 3. 1 x2 X» x5 X3 X6 X9 x6 X^ x® X2 X 5 X x< X 7 x* X I X X 0 Fig.. 14 3 7 i [Fig. 15 La matrice correspondante A = A x de (2.75) est définie par la relation (qui est juste même pour m quelconque) (2.76) l ’ordre de E x étant égal au nombre de termes du premier groupe et l ’ordre de E 2 à celui des termes du second. Un autre procédé de numérotage pour m = 3 est visualisé par la fig. 15. On partage les composantes en trois groupes selon la valeur de k . La matrice correspondante A = A 2 de (2.75) s’écrit pour m = 3 ^12 0 a 2— ■^21 ^22 -^23 0 ^32 -^33 (2.77) On multiplie le système (2.75) à cette A par D "1, où 0 0 0 0 0 ^22 0 ■^33 (2.78) 4.2] CERTAINES MÉTHODES ITÉRATIVES ET LEUR OPTIMISATION 173 est diagonale par blocs, et on obtient le système 0 Et - S t (2.79) E2 — *2 <P= *\ ^3<P = - R * 0 - r3 E3 -7, S t := —AjîAi' i+n Ri = lrM.i, 1-1, / = 1,2, 3. Avec k = m quelconque, la matrice A 3 est de la forme (2.32). Si les opérateurs des problèmes elliptiques de départ sont symé triques et définis positifs et si l’approximation s’effectue ou bien par des relations intégrales du bilan, ou bien par des méthodes varia tionnelles, alors les matrices construites A possèdent un système complet de vecteurs propres et leurs valeurs propres sont positives. Dans des cas exceptionnels (tels que le domaine rectangulaire et les coefficients constants), on calcule exactement les bornes du spectre (comme on l’a fait dans le Chapitre premier pour le laplacien discréti sé basé sur un carré) ou on les évalue (trop grossièrement des fois), ou encore on les cherche par une méthode itérative (Ljusternik, Lanczos, etc.). Seul nous intéressera le cas où la matrice A du système (2.75) provient de l ’approximation du problème de Dirichlet pour l ’équa tion de Poisson dans le carré unité par des relations aux différen ces ordinaires à cinq points avec un réseau carré de pas fe <C 1. Ceci étant, nous nous bornerons à A de la forme (2.76). Tableau 1 Vitesse de convergence asym p totiq u e R (T) N om de la méthode 2 Méthode itérative simple nW 2 P ~ 2 Méthode itérative cyclique de Tchebycheff , — —^ æ ji h Yp 4 % « 2nh Yp Surrelaxation successive Méthode itérative cyclique de Tchebycheff (2.70)-(2]72) f_ » 2nh YP On trouve par des calculs directs a ( 2I ) = 2 sin2 f P (4 ) = « ^ , 2 - a ( A ) « 2 ^ i î 2 1 , f a\ P (A) 4 ■P-P-iA) — a ( A) ^ nih2 (2 .8 0 ) 174 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Résumons certains résultats sous forme de tableau sans oublier que la matrice A du système (2.75) est mal conditionnée (car h <C 1) (voir p. 173). 4.3. Méthodes itératives non stationnaires On étudiera dans ce numéro des méthodes itératives non station naires qui consistent à minimiser de proche en proche une fonction nelle quadratique. 4.3.1. Des théorèmes de convergence Soient le système d’équations algébriques linéaires 4q> = / et la fonctionnelle quadratique *) J (<p) = (D (q> — (p*), (p — (p*), (3.1> (3.2) où cp* = A ”1/ est la solution exacte de (3.1) et D une matrice défi nie positive symétrique. Comme / (cp) > 0 pour tout cp cp* et / (cp*) = 0, résoudre la système (3.1) équivaut à minimiser la fonctionnelle (3.2), i.e. à trouver le vecteur (p* qui rend J (cp) minimale. Si D = A*Ay alors J (<p) = (A(p - /, A V - /) = |M<p - / ||1 (3.3) constitue la fonctionnelle du carré du résidu. Si l ’on fait l ’hypothèse «A est une matrice définie positive symé trique et D = A », alors J (<p) = (cp) + (j4 , <p) — 2 (cp, /). (3.4) Ainsi, J (cp) est égale à la constante (Acp*, cp*) = (/, cp*) près à la fonctionnelle variationnelle connue /i(cp). On note l’indépendance de (3.3) et (3*4) vis-à-vis du vecteur cherché cp*. Ce que nous venons de dire permet d’optimiser les méthodes ité ratives en termes de Calcul variationnel.' Soit la méthode itérative cpi+1 = — H %(Ayj — /) (3.5) dont la matrice H x dépend des paramètres %x, . . ., r s. On suppose sa convergence pour ., rcs d’un ensemble Ç, la suite {qp*7}, réa lisant la minimisation successive de la fonctionnelle (3.2). Dans *) Le présent numéro s’inspire"des résultats de Kouznétsov [XI ; 6 a)]. 4.3] MÉTHODES ITÉRATIVES NON STATIONNAIRES 175* le numéro précédent, les valeurs de t 1? . . ts ont été choisies en minimisation du rayon spectral |3 (7\) de la matrice de transition T x == E — H XA, et, dans les méthodes qui suivent, le choix de ces paramètres est régi par la condition de minimum à chaque pas de la fonctionnelle (3.2). La matrice D étant définie positive, on voit aisément que la re~ lation Il $ lln = (L ty , ^ ) 1/2 (3 .6 > définit une norme sur l ’espace des vecteurs erreurs et qu’une matrice B a pour norme Il B ||D= sup (3.7> Il'Mb • (On dit parfois « D-norme ».) Nous avons supposé qu’avec (t1( . . r3) Ç Q, la fonctionnelle (3.2) à une matrice D est minimisée de proche en proche, i.e. Il lin < Il V lin (3-8> quel que soit ip* = (p1 — <p*. S’agissant d’une méthode stationnaire Tx est constante, si bien que la dernière inégalité entraîne Il lin d , z1 = ^/H Ib, pour tout v ecteu r^ 0. Comme y = (z: || z |b = = 1} est un ensemble fermé borné *), sup || Txz\\D= \\Tx (b i* iD=1 est réalisé par un vecteur z0. Compte tenu de (3.8), on a Il Tx ||D = Il T x z„ UD< 1. (3.9) Ainsi, Il Tx |b < 1 sous l ’hypothèse (tx, . . ., t s) 6 Q. L’analogue non stationnaire de (3.5) s’écrit où H) —H (t</), ... y i+l = yj — H } (A<$j — f), (3.10) et les paramètres {^b} vérifient l ’équation inf /(<pj - t f t ( V - / ) ) - (3.11) T1» • •’• » Je dis qu’avec les hypothèses faites sur la méthode (3.5) (i.e. l ’en semble Q n’est pas vidé), la méthode itérative (3.10), (3.11) est *) Les notations de la forme v = {z: || z ||d = 1} signifient que l ’ensemble v est formé d’éléments z tels que || z ||x> = 1. 176 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 convergente et im iD < ii7 \u D (3.12) quel que soit t = (t*, . . ts) Ç Q, T étant l ’opérateur de transi tion de (3.10), (3.11). Il suffit de démontrer (3.12). Supposons, en effet, la méthode (3.5) convergente pour tx, . . ., ts et telle que || ||D < || i|r ||D quel que soit Il est déjà connu que dans ce cas ll?\l!o<l. Par définition, Il V U n < l |7 \ V l |D, si bien que Il TiV\\p ll^ lb < l i n i l D < l j)our tout donc ||P || = sup Il Tjty IId < H 7 \ l b *lb •c.q.f.d. On démontre une autre affirmation après avoir défini la vitesse de convergence asymptotique de la méthode non stationnaire par la relation- *) lirn T iln lirib l. R (T) = — [ lim — ln [sup Il V Ib 1 ~| il i ° i b / J “ jôo L * J Si \\Tx \ \ n ^ ( T x) pour n’importe quels t l7 . . ., r s Ç Q tels qu’il y ait convergence •de la méthode (3.5), alors la vitesse de convergence asymptotique du procédé itératif non stationnaire associé est au moins égale à •celle de la méthode stationnaire avec paramètres optimaux. En effet, si l ’on est dans les conditions indiquées, alors R (T x) = - l n p (Tr) {voir point 4.2.2). D’autre part, h 1/h n D 3= 1 < im iD < ti7 \iiD . II'“t 0lin D ’où (3.13) R ( T ) ^ R ( T X). Cette inégalité est vraie pour tout . . ., xs Ç Ç, d’où le ré sultat cherché. *) Gomme dans le cas stationnaire, R (T) ne change pas avec la norme, i.e. avec le choix de la matrice D . 4*.3] MÉTHODES ITÉRATIVES NON STATIONNAIRES 177 Il en découle qu’avec les paramètres choisis en minimisation de la D-norme de l ’opérateur de transition T XJ Optimisation-^ variationnelle garantit une plus grande vitesse de convergence. 4.3.2. Méthode du plus petit résidu Prenons D = A*A et H = xE et soit A = A* > 0. Il est connu dès le point 4.2.1 que la méthode itérative qy'Tx _ < y'p7 — tT (Aq>* — /) J) "*+l = (3.14) (3.15) 2 est alors convergente pour t g ^0, > et l ’analyse spectrale élémentaire montre que \ \ E - x A |b = ± - \ \ E - t A ||2 = fi (E - t A). (3.16) _ Considérons le processus non stationnaire correspondant qui cons titue la méthode du plus petit résidu : cp’+i = ( / — T ,(.4 = I I P - v 4 ) l'7!Il == inf / (cpJ —x |3) = (3.18) = inf | | P —t A) r I\l = inf {|| V.Jlî - 2t {A#, V) + 1*\\A\j ||*}. T T On trouve évidemment t j à l ’aide de 4? { ii v ii22- 2t (a # ’ %)+ ^ 2 h■ A ? il*)= °La méthode (3.15) converge pour rÇ (O, >P = P (.4), si bien qu’il en est également, selon le n° 4.2, de la méthode proposée, et (3.19) Il est connu (Faddeev, Faddeeva [VIII] ; Marchouk, Kouznétsov [VIII; 12]) que (3.19) a lieu avec le signe égalité. Ecrivons la relation pour la suite des normes des résidus de (3.17)-(3.18): Il i M II*—Il 1 2 -0 4 3 (5 llï—n rlrrn ^' • 178 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 On voit que pour que cette suite soit monotone décroissante dans l ’espace des vecteurs réels, il suffit que la matrice A soit définie positive dans cet espace (la. symétrie peut être négligée). Cette pro priété découverte par Kouznétsov [XI ; 6] a inspiré un théorème de convergence pour les méthodes itératives non stationnaires et, en particulier, la démonstration de la convergence de la méthode étu diée pour les systèmes d’équations à matrices définies positives non symétriques. La question est examinée en détail dans la monographie de Marchouk et Kouznétsov [VIII ; 12]. La méthode du plus petit résidu remonte à l ’article de Krasnosselski et Krein [XI ; 5]. Elle possède la propriété, importante dans la pratique, de con verger aux premières itérations beaucoup plus vite qu’à la vitesse asyniptotique. Forsythe et Motzkin [XI] ont noté la même circons tance pour la technique de la plus grande pente (voir Kantorovitch [XI ; 4]). Ils ont montré que dans ce cas l ’erreur de méthode est asymptotiquement une combinaison linéaire de deux vecteurs pro pres de A associés aux valeurs propres a (A) et P (A). Il en est de même de la méthode du plus petit résidu. Ainsi, les méthodes itéra tives non stationnaires jouissent, à l ’instar des procédés stationnai res, de la propriété asymptotique de perdre progressivement de la vitesse de convergence (pour les paramètres fixes). On accélère la convergence de la méthode du plus petit résidu par recours périodique à un pas de la variante à trois niveaux procédant selon les formules <PJ+1 = cp; — T, (AcpJ — / ) — YjA (Aq>j — / ) , ( 3 .2 0 ) avec r j et yj pris pour solution du système de deux équations j ~ ê c j II — X} A V — 1 — il Ÿ — II* = 0 , (3.21) - v A 2l j ni = 0. 4.3.3. Méthode du gradient conjugué On définit dans l’espace primitif des vecteurs une Z)-norme et un sous-espace Gs de base {g‘i}f=1- Le problème d’approcher au mieux la solution (p* = A~*f du système Acp = / sur la variété U°s — = (p° + Gs = {(p : (p = <p° -f- ij), \|> Ç Gsj consiste alors à chercher un vecteur £ Gs tel qu’on ait Il <P*— (<P° + 1) lin = min || <p*— (q>° + 1|>) ||i>« iJjGGs = min ||<P* —9°— S alf a2, ..., as IId- (3-22) MÉTHODES ITÉRATIVES NON STATIONNAIRES 4.3] 179 Le système d’équations pour déterminer les coefficients {a*} du s développement = 2 a*gt s’écrit i=l Ba = F, avec B = .(bij) une matrice d’ordre s d’éléments bu = (gi, gj)D, i, j = 1, • • -, s, et F = (Fly . . Fs) un vecteur composé de Ff = (tp* — <p#, gt)D, i = 1, . . s. Il découle des résultats précédents que le cas (Dgi, *i) = ôyll*illî> (ôjj étant le symbole de Kronecker) est le plus simple (du point de vue de la mise en œuvre), i.e. {gj est une base orthogonale par rap port à D de l ’espace Gs. Si l ’on est dans la dernière condition, alors * ■ 4~* (<p* — <p°, Ui Wb (D “ (9 * cp°), g t ) IUi lin i — 1, . . . , s. (3.23) Une condition suffisante de (3.23) est de connaître le vecteur Dtp*. On la remplit par exemple ou bien quand D = A avec A = A* > 0 , ou bien lorsque D — A*A avec A quelconque. Particularisons le problème variationnel (3.22) afin d’utiliserr donc d’étudier, une classe de méthodes, à savoir on suppose que G$ constitue l ’enveloppe linéaire du systèmeflibre {^4l((p0 — (p*)}f=1 = = {A{- {.(Îcp0 — /)}f=i et que la matrice A est symétrique et défi nie positive. On sait que si le sous-espace donné Gs possède une base {gi}si=\ orthogonale par rapport à A , alors on cherche l ’approxima tion (p de cp* par les formules s «P= <P°+ S a tgi, i— 1 (tp*—<pQ, g Ù A _ _ —f, g i ) (?i> S i ) A (Si, A g i ) ’ ce qui s’écrit également .= ! , », (3.24) <Pfc= (Pft *— (Agh, gk) ’ k = l, . . . , s, (3.25) avec = (Ayh — /) le vecteur résidu et (p = cps. Le procédé de Schmidt est le plus utilisé pour construire une basedans des sous-espacés du type Gs. Mais il exige, pour A d’ordre élevé. 12* 180 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 tin grand nombre d’opérations arithmétiques et sa mise en œuvre nu mérique occupe beaucoup de mémoires. Quand les matrices sont symétriques sans être définies positives, on construit efficacement une base ^42-orthogonale (D = A 2) de Gs par la méthode des itéra tions minimisées de Lanczos pour la description de laquelle nous renvoyons à la monographie de Faddeev et Faddeeva [VIII]. Le procédé le plus économique pour orthogonaliser les vecteurs { A ^ 1 (Atp° —/)}f=1 par rapport à A dans le cas des matrices symé triques et définies positives est la méthode du gradient conjugué régie par les formules f |° si Æ = l, | l h- 1— si k > 1, g fe -i) (3.26) cp', = <pft 1— ahgk, (Mk-i, gh-i) ’ (E*-1,- gu) * = 1, • • - , s. ’ (Agh, ëh) ’ = Ag>h — /}l=i étant les vecteurs résidus. On démontre que les vecteurs {gk}iU=i ainsi formés constituent une base orthogonale par rapport à A de l ’espace G s si sont linéairement indépendants. On montre d’abord la non-nullité des {gh}h=î- En effet, si l ’on effectue une élimination successive dans (3.26), on voit que M E * -1, h h gk = A= 1, . . . , s, (3.27) 2= 1 avec certains {(3feJ , si bien que gk = 0 contredit la condition d’in dépendance linéaire des vecteurs Passons à la propriété de ^-orthogonalité des {gfcj/Ui et supposons la validité des relations (Agk, g}) = 0, 7 1, • • k - 1, (3.28) gj) = o, 7 = 1, • • ., k 1 7 = 1, • • ., k , «7 > pour un k > 2 (lorsque k = 1,2, on les vérifie directement). Démontrons-les au (k + l)-ième pas. Nous aurons besoin des égalités M ) = —-[£; + bjgj-1—gj+1 — bj+1gj] = — e)8j+i + $}&j~^y}S}-u / = !> • ••» k 1 (3.29) (on suppose g0 = 0) qu’on établit moyennant les égalités obtenues à partir de (3.26) et les conditions 13= V ~ l — a}Agj, Sj+i — V — bj+lg], 7 = 1, •••, k 1. 4.3] MÉTHODES ITÉRATIVES NON STATIONNAIRES 181 Comme (Agk+i, gj) = (Al k — bk+iAgk, gj) = (A l h, g}) —bk+1 (Agk, gj) = = (l h, Agi) = (£*> Zjgj+i + fijgj + Vjgj-i) = O» / = 1, • • •s & 1» par hypothèse et (^4gft+1, gfe) = 0 par construction, on a (Agh+lt gj) = 0 (3.30) quels que soient / k. Du moment que (£ft+\ gu+i) — 0, il résulte par construction de (3.28) (Êfc+1. gj) = ( ! \ gj) — «ft+1 gj)’ si bien que (lh+\ gj) = 0 pour tout 1 considération 7 = 1, • • •, (3.31) 7 ^ k-{- 1. Réunissons (3.30) et (3.31) et prenons en ( l h i 8k+ i) (Agh+a, **+1) _ l h) ^ Q ’ on aboutit à la validité au (/c + l)-ième pas de toutes les relations (3.28). En poursuivant le processus de récurrence jusqu’au pas s, on établit l ’orthogonalité par rapport à A du système {gk}. Ainsi, le problème variationnel (3.22) se trouve résolu par la méthode du gradient conjugué. Voyons maintenant un cas de dégénérescence où le système {Ai“ 1|°}f:=i est libre pour un k ^ i et le système ne l ’est plus, i.e. k+1 gh+i) ^ - £ CjAjl° = £ CjAj+' (<p*- ^ j= e =0 (3.32) 5=o avec certains {Cj}j=o non tous nuis. Le coefficient C0 # 0 sinon la multiplication de (3.32) par A"1 donne 2 CjAj (cp* —tp0) = 0, j=0 ce qui contredit l ’indépendance linéaire de (cp* — (p°)}j=i. Il découle de (3.32) h k ç * - <ïf = — : A-* 2 C jA ^ itp* - cp°) = 2 A^W 5=1 5= 1 ° autrement dit, <p* -r <p° Ç Gs. La dernière relation et (3.28) entrais ent que \J> est nécessairement égal au vecteur <p* — (p° (cp* = (p° -h; 182 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 + ij? = q)° -f i.e. le procédé utilisé fournit la solution exacte du système (3.1) dès le Zc-ième pas. La méthode du gradient conjugué étant un procédé d’orthogona lisation permet d’accélérer la convergence des méthodes itératives stationnaires. S’agissant par exemple du processus itératif (pfc+i = (pfe _ B (Ayh - /), k = 1, 2, . . (3.33) à matrices A et B symétriques et définies positives, les formules d ’accélération correspondantes s’écrivent BV'-i — hgb. j fc g^) h (Agh-l, gh-l) si si 1, f c > l, ' <ph = <ph~i — akgh, „h_ (3.34) (V -1, gk) (Agk, gh) ’ k = 1 ,2 , . .., 5. La technique du gradient conjugué est, en théorie, une méthode directe parce qu’avec s > n, n étant l ’ordre de A , le système {^4x^°}l=o est toujours libre, si bien que le processus aboutit pour un k sà la solution exacte. D’autre part, sa mise en œuvre sur ordinateur présente pour des matrices d’ordre élevé l ’inconvénient de donner lieu, après plusieurs dizaines d’itérations, à l ’instabilité numérique de l ’orthogonalisation et le processus réel ne reflète plus les propriétés de la méthode utilisée. On assimile donc la méthode du gra dient conjugué à un procédé itératif non stationnaire s-cyclique (i.e. tous les s pas on initialise avec une nouvelle approximation de départ). On évalue maintenant la vitesse de convergence par l’inter médiaire de celle de la méthode cyclique de Tchebycheff. En effet, on a pour s ^ 1 « i, . . . , a s _ 1qp° (p* i— où Ts est l ’opérateur qui transforme le vecteur erreur sur s pas de la méthode du gradient conjugué et sont des nombres réels 4.4] MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION 183 arbitraires. Posons en particulier E - S M i== iï ( E - X iA ) i= l (3.36) i= 1 et utilisons la majoration (3.12) ci-dessus, il vient que le gradient conjugué s-cyclique converge au moins comme la méthode dè Tchebycheff avec le même s et qu’on a donc dans les deux cas les mêmes estimations de la vitesse de convergence. Il y a lieu de parler de deux particularités numériques de la méthode du gradient conjugué. Primo, elle demande à chaque pas plus (beaucoup plus des fois) d ’opérations arithmétiques et logiques que la méthode itérative de Tchebycheff (on le prendra en considération lorsqu’on aura à opter pour telle ou telle méthode). Secundo, sa convergence en norme cor respondante est sensiblement plus vite (surtout aux premières itérations) que l ’estimation ne le laisse voir. Ecrivons par exemple la relation qui découle de (3.22) pour la méthode du gradient con jugué (le procédé de définition de Gs) *) : ( A t , V*)< max |À P I(X )|.(f\ f>), (3.37) où est le vecteur erreur commise au &-ième pas, \|)° le vecteur erreur initiale et P k (K) un polynôme de degré k en X tel que P k (0) = 1. Si l ’on pose M = 1 (la chose est possible à condition de normaliser A de façon convenable) et m = 0 (sans restreindre la généralité) et si l ’on suppose n n \ / A\k cos [(24;+ 1) arccos ]/" (3.38) PftW = ( - 1 ) ----- l ^ + i ) y i ------’ on obtient la majoration xïh)^ ' {2k W°'+ i)2 • ^(Axbh ip , ip (3.39) L’égalité m — 0 fait que (3.39) reste en vigueur pour A dégénérée. 4.4* Méthode de décomposition La méthode itérative des directions alternées proposée par Dou glas, Peaceman et Rachford trouve de nombreuses applications dans les problèmes stationnaires de la physique mathématique. On en connaît maints schémas de mise en œuvre et de nombreuses varian tes. La méthode repose sur des processus de relaxation spéciaux qui permettent de ramener un gros problème à une suite de problèmes simples. Nous appellerons méthode de décomposition toute technique procédant de cette réduction, et c’est sous cet angle que nous allons examiner la méthode classique des directions alternées. *) Voir Iline [VIII; 6]. 184 MÉTHODES DE RÉSOLUTION. DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 Prenons le système d’équations algébriques, linéaires 4<p = / (4.1) A = A X + A 2, (4.2) avec la condition A x et A 2 étant des matrices définies positives. Il est connu (voir n° 4.2) qu’on accélère sensiblement la convergence de . la méthode sans augmenter en fait le nombre d’opérations par itération si l ’on utilise au lieu de cp7+1 = (p*7 — t (Atf — /), (4.3) les itérations de la surrelaxation successive B ((p-7**1 — <p*) = —(^4cp^ — /) (4.4) à B dépendant du paramètre t . L’inconvénient en est une contrainte sévère sur la forme de A et son spectre. Dans une autre classe de méthodes, la matrice B — B x est défi nie par la relation B x = ± { E + tA) (4.5) et A est supposée symétrique et définie positive, auquel cas on a pour les vecteurs erreurs tjr7 = cp-7 — <p* (E + xA) = (E — xA) ^ ou, ce qui revient au même, où ^ +1' = T t f , Tx = (E + xA)-1 (E — xA) = {E - xA) (E + xA)-1 (4.6) est l ’opérateur de transition de (4.4). Etant données la symétrie et la définie positivité de la matrice, on vérifie sans peine que T x est défini pour tout x > 0, symétrique et ||T,|fe = p (r .) m S . (4.7) Ici 0 < a = a ( 4 ) < %n U ) MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION 4.4] 185 Il est évident que q ( t ) ^ 1 pour t ^ 0 , d ’où la divergence dé la méthode (4.4). Une condition nécessaire de convergence est donc t > 0. Supposons que t > 0 . Comme — (T W <0 pour t, X > 0 et Àn (^4)Ç[a, P], on a q ( t ) = max | g{%, %) J =m ax{| g{%, d) |, | g(i, p) |} = Kn(A) = max 1—Ta 1—tB 1 + tP d 1+ Ta 1} < 1. (4.11) D’où la convergence de (4.4) quel què soit t > 0. La méthode (4.4) est une technique itérative stationnaire, si bien que l ’optimisation consiste, selon le point 4.2.2, à minimiser p (Tx) par rapport à t , i.e. à résoudre le problème d’extrémum g ^ o p O ^ m in ^ x ). (4.12) T >0 Vu que [ g ( T ,À ) ] ;= - Tr^ 5 r< 0 (4.13> quels que soient t , X > 0, on montre (comme au point 4.2.1 pour la méthode itérative simple) que la valeur t = r Gpt est la solution du l ’équation 1— x a 1 — tP (4.14) 1 + Ta 1 + Tp et est obtenue par la formule (4.15) Topt" 7 f ' En effet, si x = xopt, alors 1 lopttt 14* ôpta 1—T0ptP 1+ XoptP > 0, * + / f donc . q (Topt): -V * ' V B Si t <" T0pt, alors on a, conformément à (4.13), ? W = T T ^ '>9(T opt)- (4.16) 186 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 On a enfin ?(T) = - i q r | r > ? ( Topt) si T Topt- On évalue la vitesse de convergence asymptotique de la métho de (4.4)-(4.5) ÆCôpt (4.17) pour les matrices mal conditionnées, i.e. pour p = p ( A ) > 1. Selon (4.16), Q ( TOpt) ^ 1_ y ~ - , (4.18) R (vT X ToPt/ y p Les relations obtenues permettent de dire que la vitesse de con vergence asymptotique de la méthode étudiée n’est que deux fois moins bonne que celle de la surrelaxation successive optimale. Cette méthode n’est pas sans mérites, mais on lui connaît également un défaut : la résolution du système = —l 3 <(zj+i = q);+1 — <p;) peut exiger à chaque pas autant d’opérations arithmétiques que celle du système de départ. On a donc à remplacer B — B x par un opérateur « voisin » de façon qu’on conserve la v i tesse de convergence et que le nombre d’opérations par itération soit comparable à celui de la surrelaxation successive. Dans la plu part des cas, on résout ce problème en choisissant B = ± ( E + rA1) ( E + r A 2)t (4.19) et c’est °e B qu’on utilisera dans la suite. Les schémas de décomposition font l’objet des ouvrages de Dou glas, Peaceman, Rachford (voir [XV]), Samarski [III ; 12] [XV ; 11], Marchuk [XV], Yanenko [XV; 13], Diakonov [XV; 5] et de nom breux autres mathématiciens. 4.4.1 . Cas commutatif Supposons que les matrices A ±1 A 2 de (4.2) sont symétriques et possèdent un système orthonormé commun de vecteurs propres {un}, i.e. ■4i^7i = (4i) (4.20) A 2 Un = 7-n \ A 2) Un 4.4] MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION 187 quel que soit n et le système {^n} forme une base orthonormée de l ’espace initial des vecteurs. Développons un vecteur cp arbitraire par rapport au système {un} : <P = 2 < P n wn. <Pn = (<P, Un). n On constate sans peine que "M 2<P= -^î ( 2 K ( 4 ) <Pn«n) = n = 2n K (A) K (A) <pn«n= A 2n K (A) <pnun = AA<pL’arbitraire laissé sur cp permet d’en tirer la propriété de commuta tivité de A x, A 2: A ±A 2 = A 2A v Développons les vecteurs erreurs = cp; — <p* de la méthode de décomposition (E + r A ) (E + tA 2) (cp^+1 — <pJ) = — 2 t (Aq>} — /) (4.21) suivant le même système, il vient V = 2n4 4 K n. On obtient à l ’aide de (4.21) . i+ l 1— nl + ^ i , n ,.n 1 — T?v.2< n 1 + t ^2, n l|>n> (4.22) avec la notation %i%n = Xn (Ai), i = 1, 2. Il résulte de (4.22) (et, en général, de la commutativité des matri ces A x, A 2) que l ’opérateur de transition de la méthode (4.21) T x = E - 2x(E + t A 2)- x (E + t A J - ' A = = (E + t A 2)_1 (E + TA J - 1 (E - TA J X E - t A 2) (4.23) possède un système orthonormé complet de vecteurs propfes {un} et a ses valeurs propres réelles définies par 1 /T1 \ 1 71 1 ^2,71 Bl T," l + ^ , n 1+ t K n moyennant les valeurs propres de A 1 et A 2. D’où la symétrie de la matrice T r , donc / ^^2. 71 (4.24) \\T%\\2= $(Tx) = max i1+ Tî, tln 1l +~T À2t n n L’égalité (4.24) signifie en termes de la théorie de l’optimisation des méthodes itératives stationnaires (voir point 4.2.2) que le choix du paramètre t — r opt à partir de la condition' de minimum de (4.25) P ( r ToiJt) = m in P (rt) 188 M É T H O D E S D E R É S O L U T IO N D E S P R O B L È M E S S T A T I O N N A I R E S [GH. 4 est optimum non seulement sur le plan asymptotique, mais aussi pour tout e > 0 si l ’on demande de diminuer de 1/e fois la norme euclidienne du vecteur erreur. On note de plus que, n et X2> n étant positives, l’inégalité (î {T T) <Ü 1 n’a lieu que pour x > 0, i.e. la positivité de x constitue une condition nécessaire de convergence de la méthode de décomposition considérée. Proposons-nous de résoudre le problème d’optimisation (4.25). Il s’agit en général d’un problème délicat qui reste ouvert, si bien qu’on le remplace par la recherche du minimum de la fonction 1—TÀ>i, Tl max 1 xX2t n (4.26) q2 (x) = m a x l+ n n n qui majore |3 (T T), l’approche suffisamment bien, voire lui est iden tique dans des cas particuliers. On suppose que a = a (Ax) = a (A% ), p = P (Ax) = P (A2), (4.27) auquel cas g2(x) = [ max | g(x, l) |]2 car le plus grand module de <r(f. *■) 1—xX 1-J- %X dépend seulement des bornes de l ’intervalle [a, p] contenant n et X2fJl (on le sait dès le début du numéro). Le problème d’optimisa tion se ramène donc à la recherche de l’extrémum (4.28) q (x0Pt) = m i n q ( t ) , T> 0 problème qui a été déjà étudié. La solution est donnée par la for mule (4.15) : 1 (4.29) Topt : K âp ’ d’où — I P ^ o p t) <92(Topt)== Puisque (4.30) 1+ / f a = a (A)^-a {A-^ + a (.42) = 2a, (4.31) P = P t 4 ) < P W + p-(i4.) = 20, 4.4] MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION 189 donc et la fonction décroît de façon monotone sur [0, 1] de 1 à 0, on a, compte tenu de (4.30), p = — étant le nombre de conditionnement de la matrice A . n. a On prend p ^>1 et on obtient finalement les estimations * (4.32) Si l ’on se rappelle les données du Tableau du point 4*2.5, on conclut quela vitesse de convergence est au moins tout aussi bonne que celle de la surrelaxation successive, la meilleure technique ité rative stationnaire considérée. D’autre part, le procédé de décom position proposé avec paramètre optimal converge au moins deux fois plus vite que (4.4)-(4.5) et est de mise en œuvre notablement plus simple car le processus (4.2) exige entre autres que les matrices E + tA i , i = 1, 2, soient facilement inversibles. L’un des points délicats de la méthode de décomposition est l ’optimisation de schémas à plusieurs paramètres (E + v 4 i ) (E + t j A 2) (cpi+ 1 - (pj ) = - 2 t j ( V - f). (4 .3 3 ) Le problème d’optimisation s’énonce comme suit. Etant donné s ^ 1, on demande la suite de paramètres {Tj}f=i qui minimisent une norme ou le rayon spectral de l ’opérateur S r v O ?» (4.34) où Tt = (E + v l 2)-‘ (E + t A ) " 1( E .- M i ) ( Ë - xtA2). (4.35) S’agissant des matrices commutatives, cela revient à chercher S max n (4.36) 190 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Comme dans le cas uniparamétrique, on ramène le problème à la recherche du minimum de la fonction q (xu . . ., x s) = max f f 1—%iA 1+ tA (4.37> où a = min (a (AJ, a (AJ), P = m a x (p (AJ, p ( i l , ) ) . Evidemment p(^))< s»(ti, - •.. t.)<1 quels que soient xt > 0, i — 1, . . Le problème ç (tj, . . x“) = (4.38> s. min q(xv . . . , T t) Tj, . . •, TS (4.39> a été résolu pour la première fois par Zolotarev [IX; 6]. Peaceman, Rachford [XV], Douglas, Rachford [XV], Jordan (voir Wachspres^ [XV; 38d)]), Wachspress [XV] l ’ont abordé dans le cas commutatif. On établit en particulier à l’aide des résultats de ces auteurs qu’on, peut choisir la longueur s du cycle et les paramètres x = ( t x , . . . . ., t s), solution approchée de (4.39), de façon qu’on obtienne pour A mal conditionnée ■ éj< R (T r), où p = p (A), C étant une constante indépendante de s et p. Autre ment dit, cette méthode l ’emporte en vitesse de convergence sur toutes les techniques considérées. Bornons-nous au schéma à un paramètre (4.21) et essayons de résoudre le problème d’optimisation d’une autre manière. Il découle des résultats précédents que, quel que soit t > 0, la méthode de dé composition amortit à chaque itération tout coefficient du déve~ loppement du vecteur erreur ^ —S n et qu’avec x optimal, on affaiblit au mieux les coefficients, et ce uniformément par rapport à toutes les valeurs de n. Supposons que les coefficients {\f>n} du développement du vecteur erreur initiale ^ sont prépondérants pour les valeurs propres Xn Ç [m , A], m = = min (a (AJ, a (AJ) < A, A < M = max (P (AJ, p (AJ). Il y a visiblement intérêt à effectuer plusieurs itérations (4.21) pour t 4.4] MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION 191 choisi par la formule 1 V Avec ce t, on atténue au mieux et uniformément les coefficients: prépondérants au bout de plusieurs premières itérations, puis on reprend t défini par (4.29). Dans la pratique, c’est les coefficients du développement sui vant les vecteurs propres associés aux plus petites valeurs propres qui s’avèrent prépondérants, et on admet souvent (en idéalisant lé gèrement) qu’ils sont monotones décroissants avec l ’augmentation de Xn. Physiquement, cela correspond à la prépondérance des pro cessus à grande échelle (Kn petites) par rapport à ceux à échelle peu importante (hn grandes). On choisit évidemment A à la lumière des renseignements à priori concrets sur le problème. 4.4.2. Cas non commutatif Considérons la méthode de décomposition (E + t Ax) (E + x A 2) (cpi+1 — cp;) = — 2 t { A q J — /) ( 4 .4 0 ) à A1? A 2 définies positives qui ne commutent pas. On introduit la matrice définie positive symétrique Dx = D t xD i , T (4.41) et les vecteurs z^ D liX^ j . (4.42) Ici D ^îE +xA Â (4.43) et = cpJ — cp* sont les vecteurs erreurs. Evidemment, 7} = = {E -foù — A i f — / sont les vecteurs résidus. On montre par des transformations standard que où (4.44) V +1 = Txf , Tx = E - 2 t (E + t A t)~x (E + xAJ -'A (4.45) est l ’opérateur de transition de (4.40), et que zi+i= f xzj, (4.46) T%— ^1, , r 2, t (4.47) où et T ut = ( E - x A t) (E + t A t)~\ i = 1, 2. (4.48) 192 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 On a établi (4.46) à (4.48) à l’aide des relations f x = (E + t A T XA -1 (E + t A J = = ( E + T i J - 1 l(E + t A x) (E + t Ai) - 2tA] (E + t A J - 1 = = ( E + T4,)-1 (E - t A x) {E - xA2) CE + xA,)-1 = = ( E - TA x) {E + TA,) -1 (E - TA 2) (E + TA2)~L Ainsi, tout vecteur \j) (z = Z)lt Ti|), x = T T<* II», = Il? A = 't w x z) vérifie 2! i M 7 lî II « » , . (4.49) donc Tx ||dt = || Tz ||2< || r lf x ||2 1| T2%x |J2. (4.50) Etudions || T u x ||2, i — 1, 2, sous l ’hypothèse de validité des inégalités {AiU, u) ^ m (u, u), (4.51) (A*u, A*w) <; M (Aû, u ) , i = 1, 2 , quel que soit u. Par définition, \ { E - x iAi)u\\l I L , x ||a — S U P - II"II! 'ÏÏ?Î1(^+iM i)»II1 (u, u) — 2%(AjU, u) + T2 (AjU. Aju) u=f=Q (M* u) + 2x(AiU, u) + %2 (Aiu1 A tu) (AiU, u) o (“ » u) + 2x(AiU, u) + %2(AiU, Aû)’ = 1 —4xinf u =fz (4.52) avec w. = (2? + xA*)-1!;. Les relations ci-dessus entraînent que le rapport Il Tj, xv ||2 , Il y [12 est soit supérieur à 1 pour t < 0, soit inférieur à 1 ( t > 0) quels que soient le vecteur v non nul et i. Selon (4.49), une condition néces saire de convergence de la méthode de décomposition (4.40) est donc la positivité de x. Dans la suite, x est partout supposé > 0 . On évalue || T u x ||2 moyennant (4.51) et (4.52) : ____________ (AjU, u)____________ Il Tu , ||; < l - 4 T i n f (u, u)-\-2% (Aiu; u)-\-x2M (A(U, u) u=j=0 (AiW, w) — \ - Z.Ti n f ______________ _____ 1 —4t inf IH U = 1 l + {2 % + M % * ){A iW , w) = 1 —4t 1 + (2x + M T?) m l + ( 2 t + ^ 2) t 1— 2 1 + 2m%+ mAJt* < 1 4.4] MËTIIODE PE DÉCOMPOSITION 193 à l’aide dès notations w = r * t — ( A , w t w) et de la croissance Il U112 ' ‘ ’ monotone de la fonction t u(t) 1— f-dt pour t > 0 et tout a positif. Ainsi, sous les hypothèses (4.51), on a 1—2mx~\-mMx2 \\T, I K Or Le problème d’optimisation approchée de la méthode (4.40) exige qu’on minimise 1 — 2mx-\-mMx2 1 + 2mx + mMx2 A 4mx 1 + 2mx + mMx2 (4.53) par rapport à t. Gomme g (0) = g (+ oo) = 1 et q (x) admet pour t g (0, -H oo) des dérivées de tout ordre et 0 q (t) < 1, la valeur t = T0pt minimisant q ( t) est solution de l’équation 1 — mMx2 dqW = _ —4m (l + 2fMT+ mMx2)2 dx =o. D’où Topt : 1 Ÿ mU ’ (4.54) et (4.55) Q(Topt ) : m W (4.56) 1+ lV / — M Voyons ce que représente cette estimation. Supposons A lt A 2 1 1 symétriques, a (Ax) = a (A2) = a (4) et P (^4t) = P (4 2) = y P (4). On voit facilement que m = -^-a(A), M = -— ^(A), donc qK p t) = 1 3 -0 4 3 6 Y p —i Y p+ 1 194 [GH. 4 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES Ainsi, on a pour les systèmes mal conditionnés (p — p (A) 1) (4.57) D’autre part, l ’analyse spectrale directe fournit pour t = Topt (comme au point 4.4.1) \\Ti. Topt max 1—T0pfX ' - V f (4.58) donc W .„ K ïf ^ ‘ V ~w < Y p- i ' Vp+i (4.59) S’agissant des systèmes mal conditionnés, P (2% (4.60) R (T*opt' i.e. lorsque x = Topt, le processus (4.40) converge au moins aussi vite que chacune des méthodes itératives stationnaires considérées. Il y a lieu de noter la différence entre (4.57) et (4.60) dont la cause est le caractère plus général du premier procédé d’évaluation. Néan moins on améliore sensiblement les estimations en recourant aux propriétés auxiliaires des matrices A x, A 2. Quelques mots enfin sur une sous-classe importante de schémas de la méthode (4.40). Soit le système Aq> = / à A supposée symétri que et définie positive, A as A x + A 21 (4.61) A x - A i. Etant donnée la réalité de A x, A 2, tout \|) de l ’espace des vecteurs réels vérifie sous les conditions (4.61) les égalités YliY '>!>) = (YiY = (^ i Il en résulte que A x, A 2 sont définies positives dès que A l ’est, et comme déjà vu antérieurement, la méthode de décomposition (4.40) à ces matrices converge pour tout x > 0. 4.4] MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION 195 On construit d’ordinaire A x et A 2 moyennant A donnée de façon suivante. On décompose A en blocs : A l2 . .. AAh A = ^21 -422 • • • A2k Ak2 • ■• Ahk à A a diagonales carrées. Oh prend pour A ± une matrice tridiagonale par blocs de la forme T 0 0 A 22 ■ • . 0 ^ i = a m Ak2 • • 1 A ~ 2 A kk et on suppose A 2 = A f. Un cas particulier simple est A u = an , i.e. A it sont égales aux éléments diagonaux de 'A, auquel cas A x est triangulaire inférieure et A 2 triangulaire supérieure. Les métho des de décomposition avec A 1 = A t ont été étudiées par Samarski [XV ; 11] et Iline [XV ; 7J? 4.4.3. Optimisation des méthodes de décomposition au sens de Tchebycheff et du Calcul des variations Il est déjà connu que dans la méthode de décomposition (E + TAj) (E + XA2) (+1 — <pJ) = —y} (A y 3 — /), (4.62) y} — 2 t , on a les inégalités Il (E—yjHxA) iHh, IIA’ lh t > 0 quelconque, où (4.63) H x = ( E + rA ,)-1 {E + t A ,)-1, Tx = E - 2tH xA et \J)7 est le vecteur erreur. Selon le point 4.3ïl, cela signifie la con vergence de la méthode itérative non stationnaire (4.62) avec paramètres yjy solution de l’équation (4.64) 13* 196 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 i.e. choisis à partir de la condition de minimum à chaque pas de la fonctionnelle J (ip) = (Dx (cp* — cp), <p* — <p) = || <p* — 0 par |!^T,v||ct < ll Tx ||dt < 1 . ' (4.65) On résout (4.64) et on trouve pour yj : (HxA ^ , ^ ) p r || ||î>x ((E+ x A ^ A H ^ , + 4 g ^* ' %*= A qr7 — / étant le vecteur résidu. On désire maintenant optimiser (4.40) sous l ’hypothèse complé mentaire H x = H*. Il découle des points précédents de ce numéro qu’on est alors ou bien dans le cas commutatif si A t = A*iy i = = 1, 2, ou bien dans le cas A x = A* où H X = (E + t A 2) (E + t A ,)-1 = ( E + xA \)-' (E + t ^ ) - 1 = = \{E + t A J ' 1]* (E + t A J - 1 = H t Fort de l ’hypothèse faite et des résultats du point 4.2.4, on conclut à la possibilité de choisir les paramètres {y7} de là méthode itérative <s-cyclique (pi+i = (p>— yjHx (Ay}— f) (4.67) au sens de la théorie générale des méthodes itératives cycliques de Tchebycheff (voir point 4.2.4). Les quantités a = a (A) et p = = p (A) font place respectivement à m = a (HXA) et à M = p (HXA). L’évaluation ou le calcul de m et M utilisent les estimations de la norme de l ’opérateur Tx = E 2xHxA ou des processus itératifs auxiliaires du type Ljusternik. Plaçons-nous par exemple dans le cas commutatif et évaluons m et M si t = Topt (voir (4.29)) et A est une matrice mal conditionnée. La première inégalité (4.32) entraîne m —a (HXA) ^ 1 4 2-t Ÿ H Â )' M = P ( £ M K -1 .( 2 (4.68) Y P {A) r et on aboutit à p ( H xA ) P (HXA) > ± {V p (A )-2 ) a (HXA) Y P (A) 2 (4.69) 4.5] MÉTHODES POUR LES SYSTÈMES A MATRICES DÉGÉNÉRÉES Si l ’on tient compte de (2.69) et de ce que p (H XA ) 3> 4, on obtient pour la méthode (4.67) avec s 1: 2 2 tf(TYx) Y P {HxA) ~ V 7 (Â ) 197 1 pour p ( A ) (4.70) Xinsi, la technique de Tchebycheff augmente de y fois l ’effi cacité de la méthode de décomposition. Si A x = A*, on accélère la convergence par le gradient conjugué. Du moment que H x est symétrique et définie positive, les formules (3.34) se récrivent _{H & \ *=1, l k > 1, . _ ( A H ^ - \ gk_t) k (Agk-i. gh-i) ’ (4.71) (fk = (fh~l — a kgh, en) a* (S*"1, (Agh, gh) ’ 1, S. On note que la vitesse de convergence asymptotique de cette méthode est au moins égale à celle de (4.67) avec {yj} choisis pour tout s. 4.5. Méthodes itératives pour les systèmes à matrices dégénérées Soit le système algébrique linéaire 4<P = / (5.1) à A symétrique et semi-définie positive. Oh désigne par {un} le système orthonormé de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres {Jin} et par ker A l ’espace nul de A, i.e. l’ensemble de vec teurs \|) tels que Aty = 0. On suppose que ker A est de dimension ni et que les valeurs propres milles sont {kn}%=i (si bien que un Ç Ç ker A pour n = 1, . . ., m). Développons les vecteurs / et (p de (5.1) dans la base {un} : /~ S / n <P=2<P n«» n et portons dans (5.1), il vient = fn et en particulier KVn = fn pour n = 1, . . ., Th. 198 MÉTHODES DE RESOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Les dernières égalités ne sont possibles que pour fn — 0, n — 1, . . . - . m, si bien que le système est compatible sous la condition d’or thogonalité / _L ker A ou, chose équivalente, (/, un) = 0, n = 1, . . ni. S’agissant de (5.1) incompatible, on prend souvent comme sa solution la solution (p* du système compatible correspondant A y = /, où (5.2) 7 = 5 /n«n'. n>m et on dit que <p* est solution généralisée de (5.1). Les solutions géné ralisées minimisent, on le montre facilement, la norme euclidienne du vecteur résidu. Si la matrice A de (5.1) est quelconque, le vecteur <p* constitue une solution généralisée de ce système s’il est solution du problème Il —/ Ils = min || Ay —/ ||2 <P (voir p.ex. Voévodine [VIII; 3], Faddeev, Faddeeva, Koublanovskaïa [VIII; 17]). 4.5,1. Un système compatible Supposons le système (5.1) compatible et appliquons la méthode itérative stationnaire B (q^+i _ q>0 = - ( A t f - /) (5.3) à B symétrique et définie positive. Quelle est la propriété de con vergence du processus? On introduit les vecteurs = qp^ — cp*, cp* étant une solution quelconque mais fixe de (5.1), et les itérations pour s’écrivent ^•+1 = 7 y , (5.4) où T = E - B~lA (5.5) désigne F opérateur de transition de (5.3). On introduit les vecteurs i? = B lf2t f et on obtient en multipliant (5.4) par B 1/2 V +i = f z \ (5.6) T = E — B -W A B -W (5.7) avec une matrice symétrique, la matrice S = B~1I2A B ~x/2 étant symétri que et semi-définie positive (ici S"*1/2 = [S1/2]"1). On note {yn} le système orthonormé complet de vecteurs propres associés aux valeurs propres {|xn} de T et on développe z* par rap- 4.5] MÉTHODES POUR LES SYSTÈMES A MATRICES DÉGÉNÉRÉES 199 port à ce système: Zj = S 2?nVn . (5.8) n Le report de (5.8) dans (5.6) donne les relations — J _ii/+1z0 D ’où la nécessité des conditions t M-re 1 (5.9) pour que la méthode (5.3) converge pour toute approximation ini tiale (p°. En effet, la suite des z{ est divergente ou ne converge vers aucune quantité concrète pour tout z% 0 selon que | \xn | > 1 ou IAn = “ lOn démontre que (5.9) sont des conditions suffisantes pour que la suite {cp;} converge vers une solution (p* de (5.1) quelle que soit l ’approximation initiale <p°. L’inégalité [ | < 1 garantit évi demment la convergence de zl vers 0 quand / - > oo et on a dans le cas (Lin = 1 irj +1 -nj zn — zn• Supposons qu’on est dans les conditions (5.9), que p,n = 1 est d’ordre de multiplicité s (on démontre que s = m) et que p,x = p,2 = . . . «. . = = 1. On vérifie sans peine que s lira z1= z00 = 2 s&V j-*oo -1=1 L’égalité T V ^^z” (Tvn = vn pour n — 1, . . . , s ) entraîne B ‘ m AB~m z°° = 0, donc B ~l,2z°° Ç ker A. (5.10) D’autre part, 5 ~ 1/2z » « lim B-1/V = lim V = (5.11) i-ôo J-*»ocf On conclut par regroupement de (5.10) et (5.11) que la suite {cp'l définie par (5.3) a pour limite un vecteur qp°° = (p* 4(5.12) qui est solution du système (5.1) en vertu de l’appartenance de tj)00 à ker A , i.e. <p“ = <p* et dépend de l ’approximation initiale <p°. 200 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 Les conditions suffisantes de convergence deg méthodes itératives générales stationnaires ou non pour les systèmes à matrices dégéné rées ont été étudiées par Kouznétsov (voir Marchouk et Kouznétsov [VIII ; 12]). 4.5.2» Un système incompatible S’agissant de (5.1) incompatible, on l ’aborde de deux manières. 1. Supposons les matrices B et A de (5.3) posséder un même système orthonormé complet de vecteurs propres {un}, i.e. Bun (5.13) Aun = Xniini et la méthode vérifier les conditions (5.9). La dernière hypothèse signifie, on vient de l ’établir, la convergence de (5.3) dans le cas de systèmes compatibles correspondants. Décomposons les vecteurs (pJ et / dans la base {un} : «p*= 2n <p«“ n» f 2 f n u n* il vient „ ■ -» = ( i - £ ) „ * + ± i t . - ( i - ^ r f ° , + ~ D’où, compte tenu des conditions (5.9), lim q>’n * * * - f n 3-*oo pour %n^=0, n > m , et pour Xn = 0, n m. Ainsi, il y a divergence de la suite cp*7 si fn ^ 0 pour au moins un n ^ . m t Formons la suite de (5.14) z3 — çpJ — / (cpi+1 — (pJ) et décomposons les vecteurs z3 dans la base {un} : *J '.= 2n Z3nUn On a n>m y l n^Cm, 4. 5] ___ ffiËTHODESPOtlR LES SYSTÈMES A MATRICES DÉGÉNÉRÉES 201 donc n>m, lim z}n — ;->oo (5.15) n^Cm. ( Ainsi, le vecteur z°° = lim z3 (5.16) j-*-oo existe et est solution du système compatible (5.2). Des méthodes itératives (5.3), (5.14) pour les systèmes incompa tibles d’équations linéaires à matrices symétriques et semi-définies positives ont été analysées par Moltchanov et Yakovlev [VIII ; 13]. 2. Supposons que la dimension de l ’espace nul de la matrice A est 1 (m = 1), que fi du processus itératif (5.3) est symétrique et définie positive et qu’on est dans les conditions (5.9). Il est évident qu’il y a coïncidence des espaces nuis des A et f i-*4, que B*1A a: toutes ses valeurs propres réelles et qu’elle possède un système com plet de vecteurs propres (voir point 4.2.4. pour la dernière propriété). Notons {vn} le système de vecteurs propres de B*1A et {*;£} celui de {B~XA)* = AB~X. S’ils sont complets, ils constituent une base? biorthogonale dans l’espace primitif des vecteurs, i.e. i 7» i —h On estime que v1 g ker (B~XA) = ker A. Développons les vecteurs x3 de la méthode itérative = x3 — B - xAx?, (5.17) z° = f i '1/ (Vu Vf par rapport au système {yn} : X3= 2 — (^'» Vn)» n On a, conformément à (5.9), x°° = Cela signifie avec l ’hypothèse x[ = (fi-1/» v*) = 0 la compatibi lité de fi-^cp = fi-1/ et, partant, la même propriété du système initial: contradiction. Ainsi, x\ =/= 0 et v°° = x\vx £ ker A. Rendons / orthogonal à v°° : (/. O ,oo 202 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES •PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 il vient le système Aip ■= / (5.19) compatible et équivalent au système initial au sens de l ’ensemble des solutions généralisées. La méthode a été proposée par Kouznétsov qui l ’a généralisée au cas de matrices non symétriques et d’espaces nuis de dimension arbitraire (voir [VIII ; 9, 28]). 4.5.3. Analogue matriciel de la méthode du domaine auxiliaire Soit le système algébrique linéaire ^•o<Po = /o (5.20) à matrice A 0 symétrique et définie positive. Considérons de plus le système Aip = / (5.21) ou A0 0 A= (5.22) 0 Ax A x étant symétrique et semi-définie positive, cp = <Po et / = <ï>i /o La matrice A est évidemment symétrique et semi-définie 0 positive et le vecteur (p0 de toute solution <Po <Pi du système (5.21) est solution de (5.20). On résout (5.21) par la méthode itérative stationnaire (pi+i = cpj - H (Aiç>j - /) (5.23) à matrice H symétrique et définie positive, dont l ’opérateur de transition T — HA (5.24) a toutes ses valeurs propres vérifiant la condition (5.9). On a montré -au point 4.5.1. que s’agissant de (5.21) compatible (or, il l ’est tou jours), la vitesse de convergence du procédé considéré est définie par la valeur propre de plus grand module non égal à 1 de T1. Kouzné tsov et Matsokine [IV ; 11] ont montré qu’en ce qui concerne la mini misation de cette quantité, le choix optimal est Ax = 0 pour toute H définie positive symétrique. 4 . 5] MÉTHODES POUR LES SYSTÈMES A MATRICES DÉGÉNÉRÉES 203 Prenons à titre d’exemple le système d’équations à cinq points qui approchent le problème de Dirichlet relatif à P équation de Pois son dans le domaine en L de la fig. 16. Les petites croix repèrent ici les nœuds où l ’on se donne les équations compte tenu des conditions aux limites et les cercles blancs jouent le même rôle pour les équations à coefficients nuis (ce qui correspond à A ± = 0). Plaçons-nous dans le cas où l ’on prend comme B — t H ' 1 le lapla cien discrétisé à cinq points basé sur tous les nœuds d’un réseau rec tangulaire de pas h qui recouvrent le carré. On a établi la majoration pour la plus grande valeur propre <=^1) de T (h 1) I W |< l - a , (5.25) C étant une constante indépendan te de h. Fig. 16 On démontre l ’estimation (5.25). Soit h = 1/(n + 1 ) , k = = (n -j- l)/2. On numérote les nœuds en commençant par ceux du domaine en L, on écrit les équations à cinq points correspondantes ~ u i_1j + 2uîj- ~ui+lj — —Uij+1 j (5.26) ------------------------------------ = J i j h2 et on adjoint les équations à coefficients nuis, il vient le problème matriciel Au = f de la forme (5.21), (5.22) à A d’ordre n? : A= 0 La matrice du laplacien discrétisé s’écrit dans ce cas A0 — C B= -C T B x étant symétrique et définie positive. On trouve la plus petite valeur propre non nulle de la matrice HA à partir de l ’équation TAq> = XBq>, (5.27) avec <p = (<p0, cpj)T vecteur propre associé. On en tire facilement l’éga lité tpi = B ' S C ? <p( (5.28) 2Q4 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 Multiplions (5.27) scalairement par cp, il vient, compte tenu de (5.28), (-VPo. <Po) >1 A,= t M«P. <P) _ T_____________________ (5 « p , <P) (5.29) ( 4 0q>0 , cp0) - ( S - 1C'ï 'cp0 , C Tcp0) parce que (5cp, (p) > 0 et (5"1Cr (p0, CTtp0) > 0 . Supposons que X = p est la plus grande valeur propre du problè me (5.27) et q> un vecteur propre associé. On introduit les matrices carrées d’ordre n 2 -1 o ... -1 2 - 1 ... A 71~~ —— hï 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 —1 0 ... - 1 2 0 ... 0 —1 0 0 et les vecteurs de dimension n dont les composantes sont celles de <p: <Pn <P«2 i = l, . . n, i|>7= <Vi) Vsi 7 = 1) • • • , « . tynj <Pi* On multiplie (5.27) scalairement par <p: (i4<p, <p) (Agi, cp) _ P (H-ig, cp) (B cp , cp) k-i 2 cp^ + ^ n ^ , ^ ) ] + S <Pi ) + U n 'l’i .1 > i ) l — T i=l______________________i=l___________________ 2 [(i«nq><, q><) + (iM >‘, H*4)] i=l Si un produit scalaire du dénominateur s’annule, il en est de même du vecteur correspondant. L’inégalité 771 2 a* — < max Vi , 1 bi 2j i=l est vérifiée pour tout at ^ 0 et tout bt Z> 0, si bien qu’elle conduit à <5.30, où g =7^= 0 coïncide avec qArou \|>\ i = 1, . . ., n. 4 .6 ] MÉTHODES POUR LES PROBLÈMES A ENTRÉES INEXACTES 205 La quantité (Âng, g)/{Ang, g) est au plus égale au rayon spectral de la matrice G = An-An. Le calcul de G ne présente pas de dif ficulté : X 0 Y 0 où X = { A h_x — C A h ' C 7 ) - 1 A h_x, Y — A k 1C TX et C est une ma trice (k — 1) X k dont tous les éléments sont nuis sauf l ’élément on dernière ligne et première colonne, qui vaut i/h2. Il en découle la coïncidence du rayon spectral de G et de la plus grande valeur propre du problème A h- i v = \i { A h. 1 — C A l 1C T) u q u ’on ramène facilement en explicitant C A h l C T à k —1 /, 1\ fc+r ' f c - i - l 1 - y ) y*-» d ’où l ’on tire de suite k-\-l 1+ 2h P 2 ~ n 4 * Etant donné (5.30), on déduit x 1+ 2h P < T 4 (5.31) Avec t = 8fe/(l + 6h), on a l ’estimation (5.25), où C « 8. 4.6. Méthodes itératives pour les problèmes à entrées inexactes Soit l ’équation opératorielle A v = /, (6.1) avec A une matrice définie positive et / un vecteur donné. Lorsque nous avons eu à aborder des équations de la forme (6.1), A et f ont toujours été supposés donnés exactement. Dans la pratique, on a souvent affaire à des données initiales approchées, i.e. on a, au lieu de (6.1), l ’équation ( 6 . 2) AV = /\ 206 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 où l ’indice h repère l ’imprécision due à toutes sortes d’erreurs (discrétisation, erreurs statistiques, erreurs aléatoires). Supposons connues les erreurs commises dans l ’approximation des opérateurs et des vecteurs, i.e. on a des estimations à priori I l ( 4 - ^ ) ( p | | < | ( f c ) , . | | / - / * H < ti (A). (6.3> Cherchons la solution du problème (6.1) moyennant l ’équation (6.2) et l ’information (6.3). Nous nous bornerons à un algorithme d’approximation simple car nos résultats se généralisent trivialement à la plupart des processus itératifs considérés. Soit donc la méthode itérative [<pft]j+1 = [cph]i - t (A h [<phF - f h), [cph]° = 0, (6.4) où le paramètre x est supposé tel qu’on ait q = \ \ E - xAh | | < 1. (6.5) Quel est le critère d’arrêt de l ’algorithme si l ’on connaît à priori que les données initiales sont affectées d’erreurs du type (6.3)? Il est naturel qu’on poursuive les approximations jusqu’à ce que l ’erreur de calcul au cours des itérations ne devienne approximative ment égale à l ’erreur de discrétisation. Si l ’on obtient, après une itération, l ’égalité de ces erreurs de nature différente, l ’erreur sur la solution approchée ne se trouve jamais rattrapée. Il y a plus. S’agissant de A mal conditionnée, auquel cas [A11]"1 peut différer considé rablement de A il se peut que les itérations (6.4) suivantes altèrent sérieusement le résultat. Un problème se pose : connaissant à priori les erreurs sur les données initiales, trouver le nombre optimal d’ité rations au bout desquelles il y a concordance des erreurs. Ce problè me a été étudié par Marchouk et Vassiliev [XVI; 12]. Revenons aux équations .(6.1), (6.-2) et résolvons-les formellement par rapport aux inconnues : cp = A~1f, <ph = U ft]-x/ \ (6.6) ce qui permet d’écrire tph — cp = U * ] - 1 lfh - f + (A - A h) cp], ( 6 .7 ) d’où Il cpft - cp II < Il U * ]-1 || [|| / - f || + Il (A - A h) cp ||], ou Il cph - cp | | < Il W1]-1 II n (h) + t) (h)] (6.8) si l ’on prend en considération les informations à priori (6.3). Etant donné le processus itératif (6.4), on obtient facilement cph — [<p/,F = (E - xAhY U h]-1 A d ’où (6.9) 4’7] RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 207 Mais l ’inégalité triangulaire entraîne Il < p - Ic p 'T I I C il [< p 'T - cp* Il + 11/ - <p II. d’où, par suite de (6.8), (6.9), Il <p- [«P'T IKg'ill U *]"1 1| || f || + Il W"]-1 II [1 (h) + ri (h)}. (6.10) Le premier terme à droite évalue l ’erreur commise dans le processus itératif et le second l ’erreur due à l’imprécision des données. On exige que <? Il U "]-1 || Il f II = Il U '1]-1 || [g (h) + ri (h)}. (6.11) C’est l ’équation pour l ’itération j = j 0 après laquelle on stoppe le processus : i In l(h) + r\(h) ( 6 . 12) ln i il th il Comme j 0 est un entier naturel, on prend naturellement pour ce numéro la partie entière de l ’expression correspondante. On note que la formule (6.12) ne contient pas la norme de l ’opérateur inverse, ce qui simplifie considérablement la recherche du nombre optimal cherché. A part l ’information à priori sur £ (h), ï) (h) et || f ||, la formule (6.12) renferme q = || E — %A h || qu’on trouve pour la norme eucli dienne || • ||2 à l ’aide de la plus grande valeur propre de l’opéra teur T*T, où T = E — %Ah, i.e. q = V$(T*T). La borne supérieure du spectre de T est donnée par la méthode de Ljusternik du n° 1.1. Les problèmes d’algèbre linéaire à matrices mal conditionnées et à données inexactes sont traités de diverses manières par Tikhonov (XVI ; 17], Faddeeva [XVI ; 19], M. M. Lavrentiev [II], Voévodine [VIII; 3]. 4.7. Méthodes directes de résolution des équations aux différences finies De nombreux ouvrages parus au cours de la dernière décennie traitent des méthodes directes pour les systèmes d’équations aux différences finies. Il s’agit en premier lieu de la méthode de Fourier qui n’a été utilisée auparavant que dans des cas fort rares. Elle le cède en effet aux autres procédés quant au nombre d’opérations arithmétiques donnant la solution du problème. Le fait est qu’on devait calculer le système de fonctions propres, les coefficients et la somme de la série de Fourier. 208 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 La méthode de réduction cyclique constitue un outil très puissant -en matière des équations aux différences finies (on trouve sa descrip tion assez complète dans Buzbee, Golub, Nielson [XII]). La réduction -cyclique est en fait une variante originale de la méthode d ’élimina tion de Gauss et un cas particulier de la factorisation. 4.7.1. Transformation de Fourier rapide L’idée relative à FFT (Fast Fourier Transform) ne date pas <d’hier, mais c’est Cooley et Tukey [XIII] qui ont mis la méthode à la mode en généralisant l ’algorithme de Good et en réduisant sensi blement le nombre d’opérations nécessaires. Soit une fonction / (k) de l ’argument discret, où le paramètre k = 0, 1, 2, . . ., N — 1. Représentons-la par la série finie (i.e. la somme) de Fourier N- 1 f{k) = S A ( n )W kn, "=V -i fri) f(fc)w -hn. fe=0 S On a introduit, comme dans Cooley et Tukey, la notation suivante pour la racine principale N-ième de l ’unité: W = ei2n/iV# Nous appellerons opération deux opérations consécutives en arithmétique complexe, à savoir l ’addition et la multiplication, auquel cas (7.1) implique que, connaissant A (n) et W hn, la recherche -de / (k) exige N 2 opérations. D’après Cooley et Tukey, si N n’est pas un nombre premier, .on réduit considérablement le nombre d’opérations en mettant (7.1) aous forme de somme multiple. Prenons, en effet, le cas N = AViV^, avec et N 2 des entiers naturels. Ecrivons k et n comme k = k±N2H- k2\ k\ = 0, 1» • • •, N n = ni + n2N 1; rcx= 0, 1, . ■1; —1; &2= 0, 1, • • •, Af2 1» (7.2) n2= 0, 1, . . . , j V2— 1. Puisque ppfkln2NiN2 __ £>n a = 1 4.7] RESOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 209 et N i-l /(*) = /(*!. *2)= S n 1= 0 JV2- i I S n2 = 0 A f a n2) W h^ \ W hnK J (7.3) Le problème de calculer la somme (7.1) se ramène donc à chercher la somme double (7.3) ou, ce qui revient au même, les sommes successives n 2- i * * ) = 2 M * » n2) W h™N\ (7.4) 712= 0 f ih , k2) = 1A, K , k2) W hnK (7.5) 71x8=0 Il résulte cependant de (7.2) et (7.4) que le vecteur A 1 est TV-dimensionnel et qu’on l ’obtient par TV X N 2 opérations. Connaissant 4 i, on trouve / (h) à l ’aide de (7.5) au bout de N X N 1 opérations, i.e. elles sont au total N X (N 1 + 7V2). Le nombre d’opérations diminue avec l’augmentation de N. Si N x est premier et N 2 un nombre composé, on transforme la somme (7.4) par Cooley et Tukey (ttj étant un paramètre) et on réduit le nombre d’opérations en factorisant iV2. Si N = N x X TV2 X . . . . . . X TVm, ce nombre passe en général de N 2 à N X . . . + TVm), la diminution la plus importante correspondant à N t = 2, 3 ou 4. Avec N = 256 = 28, le nombre d’opérations.dimi nue par exemple de 256/(8 X 2) = 16 fois et il devient 243/(5 X 3) = — 16,2 fois moindre pour N = 243 = 35. Le cas le plus utile en programmation est celui de N t = 2, i = 1, 2, . . ., m, encore que N t = 4, 8 soient à l ’origine d’autres variantes économiques. Soit donc N = 2m. On pose N x = 2, N 2 = 2m“1, on obtient des sommes du type (7.4) et (7.5) et on poursuit le processus. On a k = ^m-l^m-2 • • • K K = ^ 2 -f- &0, »= = Nm-i2m- 1+ nm_z2m~* + . .. + »x2 + ra0, où et / valent 0 ou 1. Alors • • • >ô) 2 { 2 [ ••• 2 { A (rem_!......... i»0) X n0=0 *■«i=0 L V r° X \Y k n 0 ] # X) Du moment que /ftnm-i2m 1= 1 hn ?77i-2 pp*nm-2^ __ ppMhonm_22m~2 1 4 -0 4 3 6 (7.6) 2.10- MÉTHODES^DE_RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 et ainsi de suite, on ramène la recherche de la somme multiple (7.6) à celle d’une séquence de m sommes A (A, nm_2, . . . , n0) = •^2 *0, J- knn 2m -1 2 A(nm-i, • • •, n0) W m~1 nm-1=0 1. ô) == 2 -^1 (^0> ^m-2i • *•» ô) X nm-2=0 __ X 3» ■• (7.7) . . . , * o ) = 2 Am-i(km_z, . . . , k 0, n0) W hr n - V h«n\ no=0 / (^ 0 ” (^ m -1* • • •» * b ).- Il y a lieu de noter que la transformation de Fourier rapide rend de grands services dans l ’analyse statistique par corrélation des données pour les variables aléatoires / (/le), k = 0, 1, N — 1. Abordons le problème de Dirichlet pour l ’équation —Aq> + jjicp = / dans D, q> = 0 sur dD. (7.8) p, est une constante donnée et / une fonction suffisamment régulière définie dans D — {0 x 1, 0 i/ 1}. On associe à (7.8) le problème discrétisé foft, i+i + ,= 7 dans £»A) cpM = 0 sur 0 < Æ < -L - iV , dDh, (7.9) 0 < Z < i - = iV. -G % 1 II £ Si p 0, les deux problèmes admettent chacun une solution et une seule. Si p, < 0, il y a existence avec dès contraintes supplé mentaires sur p et /. Supposons qu’il y a existence et unicité et introduisons les nota tions /l, l q>i. z Z - l , A - 1, , /i = /jv -1 , l 2 - 1 2 - 1 - 1 0 .. 0 0 0 .. 0 0 0 0 0 0 .. . - 1 0 0 0 .. . 0 - 1 2 - 1 2 4.7] RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 211 A étant une matrice d’ordre N — 1. Désignons par E la matrice unité de même ordre. Le problème (7.9) se récrit B i Pi — <P2 = # 7 ï, —<Pz-i + B(pi — <p/+1 = b?fu 1 = 2, N — 2, (7.10) “ •Pw-a £<P*-i = h ? f i, avec B = A + (2 + \ih2) E . On note que B et A possèdent une même base de vecteurs propres et que le problème de trouver toutes les valeurs propres A u W = Xm (A) u<m> a pour solution a m(A) / av= 2 ( 1 - cn o/ as - ^ J , TTtJt u\ \ }= y(772) -fi-i s/"m 2- j p.TT,lTtk % avec la composante A-ième du vecteur propre u(m>, k = i, 2, . . . .. TV — 1, m = 1, 2, . . N — 1. Le fa c teu rl/"A . est introaj. V N duit moyennant la condition de normalisation N-l ||u<m>||2 = S (wim))2 = l . Les vecteurs u{7n) forment une base orthonormée dans l’espace de dimension iV — 1, si bien qu’on représente les vecteurs <pj et l — 1, . . ., .N — 1, par N- 1 <P<= 2 ®m,l «(m\ m=1 /l= (7.11) #(W>.] Portons dans le système (7.10) et multiplions membre à membre par u (m>, il vient, pour tout m fixe, le système d’équations à matrice tridiagonale Ji 2= 1* + Z= 2, —2, (7.12) — N~2 + iv -l = ^ m J n -1 * Ici Âm = Xm (B) = K m (A) + 2 + ^ 2. La résolution de (7.10) exige donc qu’on calcule les coefficients de Fourier de N — 1 vecteurs f h la solution de AT — 1 systèmes à matrice tridiagonale de la forme (7.12) qui définissent les coeffi cients de Fourier des cpz, Z = 1, . . ., N — 1, et q)j à l’aide de (7.11). Le développement de Fourier peut s’effectuer par FFT. A cette 14* MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES 212 [CH, 4 fin,-les formules donnant les coefficients de Fourier Fm%t du vecteur fi s’écrivent par exemple xi x V/" 2 2 ___ N —i t? F m ,l = -m ~N • nmn n=l / 2 2 fsn . l • 2mnn ___ 2N —i -Jf SIQ ^ Â T , 7i=0 où /o,j = /jv.z = • • • = / 2^ - u =? 0. Notons u; la valeur de la racine principale M-ième (M = 27V) de l ’unité. On a __ M-l f n , l W n m) , ^=1, N-T l f ^ Im( 2 71=0 et les sommes s’obtiennent directement par l ’algorithme de Gooley et Tukey. On procède de même en ce qui concerne (pf. L’algorithme décrit de résolution directe de l ’équation de Helmholtz avec la condition de Dirichlet joue dans la condition de Neu mann ainsi que pour la condition « cp (,x, y) est périodique au contour du carré » et l ’équation de la forme a (y) y)4.7.2. Méthode de réduction cyclique Prenons une fois de plus le système (7.10) et supposons que N = = 2h+1. On rappelle que ce cas est le plus favorable pour calculer les séries finies de Fourier par l ’algorithme de Cooley et Tukey. Or, ce système se prête pour N = 2ft+1 à une méthode directe compa rable avec ledit algorithme pour ce qui est du nombre d’opérations arithmétiques. Nous voulons parler de la réduction cyclique dont la mise en œuvre s’effectue — et ceci constitue un avantage incon testable de la méthode,— sans qu’on connaisse les valeurs et vecteurs propres de la matrice B . L’idée de la réduction cyclique est d’obtenir du système (7.10), N pair, —<Pi-i + B(ft — cp;+1 = h?fu 1 = 1, . . A" — 1, un système analogue où l ’indice l de cpz ne prend que les valeurs paires. Ecrivons trois équations matricielles de (7.10): — <ï>i-2 + 5<iP(-l —cp; = A2/; _ i, —m -1+ —cpi+1=h 2f h --CPi + #cp;+1 <Pi+2 = h2fi+x. 4.7] RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 213 Zpair. Faisons la somme après avoir multiplié la deuxième équation terme à terme par B : ~<Pi-2 + —cpî+2 = f\x\ Z= 2, 4, . . . , 7 V - 2, (7.13) où B * = B* - 2 E ,fi" = /!_! + Bit + /*+i, 1 = 2, 4, . . ., 7V-2. On pose, pour simplifier les notations: cp0 = cpN = f 0 = f N = 0. On associe à chaque Z impair pour <pz (Z pair) connus le système B(Çt = h2fi -f c p + cpz+i? l — 1? 3, . . ., TV — 1. (7.14) Ainsi, nous avons réduit l ’ordre du système d’équations matricielles. Le système (7.13) est également résoluble par le développement de Fourier parce que B(1) possède une base de vecteurs propres en com mun avec B et A (voir p.ex. Hockney [XIII]). N Le système (7.13) comprend ------1 équations matricielles. Comme N = 2k+1, on procède comme plus haut et on aboutit à ---- 1 équations de la forme —(p4(J-i>+Æ(2)(P4z—-‘<P4u+i> = h2f u , Z= 1, 2, ...,7 V /4 —1, (7.15) où JB(2) = (5 (1))2—2£, On fait correspondre à chaque Zpair non multiple de 4 pour <pj con nus avec Z multiple de 4 le système ^ ( Pz- A 2/<1) + (Pz-2 + (Pz+2, 1= 2, 6, 10, . . . , TV—2. (7.16) Après avoir répété A; fois cette réduction cyclique, on a enfin = (7.17) et les autres inconnues s’obtiennent en résolvant les systèmes succes sifs + %_2r + cpi+2„ (7.18) 7 = (2i + l) 2 r, r = k ^ 1, i —-0, 1, . . . , 2h~r — î, A; — 2, . . ., 1, 0. Les matrices 75^ vérifient les relations 5<°> = B , £<r+1> = (g(n)2 - 2E, r = 0, 1, . . ., k - 1, (7.19) 214 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 et les vecteurs flr) sont définis par les formules i = i .......... n - u t r = ti, f î +i) = f Ï I 2r + fï_l2r + B H r\ 1= ] ■2r+l, ; = 1, 2, . . . , 2h- - l , r = 0, 1, . . k — 1. La matrice B'r) peut être factorisée en 2'' matrices tridiagonales. Considérons en effet la suite de polynômes P i (b) = b, P 2r+ 1 (b) = (P2r (ô))2 - 2, r = 0, 1, . . . Avec b — 2 cos <jp, on calcule aisément P2r (b) = 2 cos 2r<p. Par conséquent, bt = 2 cos^ — i = 1, 2, . 2r, sont racines de P 2r (b) et la décomposition cherchée est de la forme 2r B<r>= J j ( B - 2 c o s - t 2f- ii1)n g ) . (7.21) i= 1 Ainsi, on n’a pas à expliciter B ^ et la recherche de x = — (B^)*1 f sans calculer la matrice inverse- ne demande que 2r balayages des matrices tridiagonales (voir point 4.7.3). On note que les composantes des vecteurs fP de (7.20) augmen tent catastrophiquement avec les valeurs propres de B(r>, d’où l ’ins tabilité numérique. Un algorithme numériquement stable a été proposé en 1969 par Buneman (voir Buzbee, Golub, Nielson [XII]). Dans la variante Buneman les vecteurs fP de (7.20) s’écrivent l = i-2r, i = 1, . . 2h+i~r — 1. (7.22) Portons dans (7.20), il vient les formules suivantes pour calculer de proche en proche p(P et q\r) • p[V = 0,* = hïf\0), l = 1, . . . . , 2h+i - 1; p(ï +l) = p{r) + (B^.)~l ( pçr)2T + p fl2r- ?)r)) ; ^ +1) = C )2r + ^ 2r - 2 p r 1); Z= i - 2 r+1, f = l, 2 fc- r - l . (7.23) 4.7] RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 215 Compte tenu de (7.22), on a, au lieu des systèmes matriciels (7.17) à (7.18), 5 (r>(q>, + pW) = g p + cp;_2r + <p;+2r, l= 1) 2r, i = 0, 1, . . 2h~r — 1, (7.24) r = k, k —1, .. ., 1, 0. La réduction cyclique s’applique non seulement à l ’équation de Helmholtz avec la condition de Dirichlet, mais aussi à la condi tion de Neumann et à celle « cp (x, y) périodique au bord du carré » pour des équations plus complexes. 4.7.3. Factorisation des équations aux différences On assiste depuis plusieurs années à la floraison de la littérature mathématique consacrée aux méthodes directes de résolution des équations aux différences finies. Parmi ces méthodes, la factorisa tion a fait ses preuves en tant que technique applicable avec succès à une vaste classe d’équations à une dimension. On en trouve les descriptions détaillées dans Vladimirov [XII; 4], Guelfand et Lokoutsievski [XII; 5], Godounov [XII; 7], Sauliev [III; 15], Ince [XII], Richtmyer [III], Marchouk et Lébédev [XVII; 12]. Il nous paraît inutile d’établir la priorité de tels auteurs au détri ment de tels autres car il s’agit en fait du renouveau de bonnes vieil les idées à l ’heure de l ’analyse numérique moderne et du matériel électronique qui lui sert de support. Soit le problème de diffusion simple P -§ r-? < P = - / ( * ) , É¥- = 0 pour x — 0, cp= 0 pour # = 1 , p et q étant des constantes positives et / une fonction continue donnée de l ’argument x. Illustrons sur ce problème la méthode de factori sation. On demande la solution continue dans 0 < > ^ 1 . Considérons 1’opérateur r d2 L = P ~ d ^-< i et factorisons-le : L = p { i b + v) ( ~ s r _ a ) ’ avec a et |3 deux fonctions à définir moyennant la condition d . a\ / d \ d2 216 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 On vérifie cette identité sous la condition suffisante a = p, - £ - + e 2= i Introduisons une nouvelle fonction z définie par la formule z= L’équation de diffusion se ramène au système efficace d’équations du premier ordre + = | L _ p fp= _ z, dit système factorisé. On adjoint à ce système les conditions aux limites p = o pour x = 0, ■e II o z = 0 pour x = 0, pour x = 1 et on vérifie de suite qu’avec ce choix des données « initiales » du problème de Cauchy pour notre système, on est dans les conditions aux limites = 0 pour x — 0, cp = 0 pour x = 1 du problème proposé. Ainsi, le problème aux limites relatif à l ’équation de diffu sion fait place au problème de Cauchy pour trois équations diffé rentielles ordinaires du premier ordre qu’on aborde l ’une après l’autre. Il y a stabilité numérique si l ’on calcule p et z dans le sens des x croissants et cp dans le sens contraire. Cette réduction d’un problème aux limites pour une équation du second ordre au problème de Cauchy relatif à des équations d’ordre 1 constitue la méthode de factorisation. Le procédé décrit se généralise aisément au cas de problèmes de diffusion plus complexes à p, g, / discontinues par morceaux et avec diverses conditions aux limites. Passons aux équations aux différences. L’algorithme de factori sation (appelé communément balayage) procède comme suit. On écrit l ’équation aux différences de départ sous la forme — Ci<P/+i = / m i = 1, 2, . . rc, (7.25) 4.7] RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 217 et on suppose avoir pris en considération les conditions aux limites pour cp cherchée, si bien que *) = 0, cn = 0, Pi > at + Ci. (7.26) L’équation (7.25) s’écrit sous forme matricielle A <D = F, où O = (<plt cp2, . . (7.27) : (7.27} <p„)T, F = (/a, f 2, . . fn)r . KSj.S,!® = F, On récrit (7.28) avec 1 0 .. . —a 2 1 .. . 0 0 0 .. • 0 .. . 1 -il 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -a » 0 . .. 0 - i 2 ••.. 0 0 0 0 .. . 1 0 .... 0 15n-l 1 et K est une matrice diagonale qui joue le rôle de coefficient. On introduit la notation 5 2Ô = Z, K~x = T et on obtient 1& système S^Z = TF, = Z. (7.29> Passons aux composantes de Z et O : —«iZi-1 + Zj = y du (7-30> — ii«Pi+i = Zi(7.31) Pour trouver lés coefficients a*, Yô on porte dans (7.30) et zt de (7.31): — a*<Pi-i + (1 + «iÊf-1) <f>i — = Yifi- On a par identification avec (7.25) ___________ a i “ Yia ii = YiCh / \_ l Y; == iPi — ^ Y * -i^ -i) • n QOv (• *) Les conditions aux limites discrétisées pour <p sont assimilables à des équations indépendantes. 218 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 Finalement, (7.30) et (7.31) s’écrivent Z. = yi («iZi-i + ft), (7.33) «P. = ViCi<pi+i + ziIl est connu (Godounov, Riabenki [III; 33, 34] que la stabilité numérique des équations (7.9) à (7.10) a lieu sous les conditions suffisantes ak ^ 0 , ck 0, bk 0, ak + ck ^ avec ak + ck < < bk au moins pour un k . Les formules de résolution de l ’équation aux différences (7.25) s ’écrivent d’ordinaire Pi + l = (Pi — « i P i ) _1 Ci, Zi+1 = (Pi — « ip i ) ' 1 faiZi + f i) , 9i = P i + l 'P i + l + (7 .3 4 ) Zi + 1, i = 1, • • -, n, si Pi = z i = 0 , (fn — z n.j-i« La méthode de factorisation pour un système linéaire d’équations différentielles ordinaires du premier ordre avec contraintes linéaires quelconques (en particulier, avec des conditions à plusieurs points ot des conditions aux limites) a été développée par Fagué [XII ; 12]. L’algorithme (7.33), (7.34) joue également si <jp*, f t de (7.25) sont des vecteurs et les coefficients à*, ct, p t des matrices (à condition de ne pas changer l ’ordre des facteurs dans ces formules). On trouve la solution par les formules de récurrence (7.33), (7.34) compte tenu de (7.26). S’agissant d’une équation aux différences elliptique de dimen sion 2, la factorisation matricielle s’avère efficace seulement si l ’une des variables est donnée sous forme discrète en peu de points. Bouléev [XII ; 3] a proposé une méthode simple et suffisamment efficace pour les équations aux différences elliptiques en dimension 2 et 3 qu’il a appelée factorisation incomplète. Voici son idée. Soit l ’équation aux différences à deux dimensions — aikî-i, h — cikq>i+1, k — i = 1, 2, . . . , m; ~ Cmh = îl == d'in ~ 0, ft-l ~ h+1 + PihWik = fihi (? *35) k = 1, 2, . . . , n, Pih ^ îh “t“ îh "i" &ih “f* &ih (^ •36) qui s’écrit sous forme matricielle . A O = F-, où O = (cpi, (p2, . . :, (p^)T, F ■= (/i, / 2, . . ., f N)T, Ajoutons aux deux membres le vecteur 5 0 , il vient (A + B) O = F + 5 0 . N = mn. (7.37) 4.7] RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 219 On choisit une B telle que A + B soit représentable par le produit de S x et S 2 tridiagonales simples et if diagonale: A + B = K S 1S 2. Par analogie avec (7.27), on remplace (7.37) par le système S ±Z = K - 1 (F + 5 0 ), (7.38) s 2o = Z, abordé par les approximations successives. On substitue à (7.35) le système d’équations de la forme Zik = «iftZj-1. h + PifcZ;, k-1 + Yift Ifik + Dih (<p) — (7.39) <Pifc = 1, h'+ T]ift(Pi, ft+1 + %ih• Les coefficients a ^ , r\ik, yik sont définis par des formu les analogues à (7.32), (7.33), à savoir &ih ==Yih&ihi Pift~ Yikîki . ?>ift.~Yihciki ^)ïft.= Yikîki Yik = (Pih ~~r Çik " îhci-1, ftYi-1, ft et l ’opérateur à intégrer D ih (cp) par îftî, ft-lYi, k - i ) S . ‘ Aft (<P) = aikr\i~l,_hçPi-l, ft+1 + îkh, ft-l^Pi+1, ft-1* On prend qik = Qih h -f bihl u O<0<1. On garantit la convergence de (7.39) pour 0 > 0 par adjonction de l ’itération simple 1 (7.40) VikPik si bien que la (l -f l)-ième approximation de cp^ s’obtient en portant dans l ’équation pour la Z-ièmie approximation q>ik. On a formulé pour le schéma (7.39), (7.40) des critères suffisants de convergence. Un schéma de factorisation incomplète proche de (7.39) a été proposé par Oliphant [XII]. Dans la suite Bouléev a construit un autre schéma défini par les relations %ik = k~\~ Y ih\f ih~\~ îk{ty) ~ Qihtyik]! Wik— Pifttpi, ft-1 — Ôfft^L fc+i = £ife<Pm, h + z ik avec les coefficients <xik, %ik, $ik, ôiki yik et l ’opérateur D ih (cp) tels que Pift^ Y ikPiki ^ i f t 2=5 Y îftîft» Y ik~ {P ik Çik îft = Y ikf'ik'i îk = Y iftîft» aikci~l, ftY i-1, ft) S Dik k_x). 1 Le coefficient qik est pris égal à 0Æift(Pj_1?fe + Ôi-1, ft)» 0 < 0 < 1. 220 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Une question se pose : comment réduire le « poids » relatif de l ’expression à intégrer dans les équations (7.41), i.e. comment obte* nir un opérateur aux différences A + B suffisamment simple qui se prête à la factorisation et est « proche » de A donné? A cet effet, Bouléev a quelque peu généralisé le schéma (7.41). On cherche donc un système d’équations équivalent à (7.35) : zih = a ikzi-1, k + \îkzi-l, fc-1 + vikzi-1, fc+1+ + Yift [fik + &ih (9) —sik*fik]i tyih — $ik(f>i, k-1 —SikVi, fc+l = îfcCpi+l, h + zik, avec a ih, pzfe, 6ift, |xih, v ik, y ik, l ih à déterminer. Utilisons zi - i , k - i et zi-i,h+i de (7.43), il vient («ïft — M'éjA-i, ft-1 — k+1) <p'j_lî k — (7.43) k— (Pife &-l) *Pi, h-1 fàih VilJoi-1, k+l) *Pi, k+l “t“ + (1 + a ik£i-l, k + yiksik) <Pik + (a ikPi-l, k — M'ifc) 9i-i, k-1 + + (aihôWfft —vife) (p k+l + H'ikPi-l, k-lî-l, k-2 + + v*ftÔÈ_lf HiÇf-1, k+2 — yikDik (<p) = yihfih(7.44) Les équations (7.44), (7.35) donnent 5 relations entre les coefficients «ih, Pift, • • ^ Hih, vift, et ceux de (7.35) et l ’expression de & i k (<p) : &ih H'ikî-1, k-1 îkPi-1, k+l = Yik^fk* îk = Yzk^zk» (7.45) Pift k-1 yikîkt $ik îk^>i—1, k+l = yikîkt (7.46) l + a ife£i-i, h + ytksik = ytkPiki yiksik (<P) = (a ikPi-l, k “ M'ik) <Pi-l, ft-l + (a ifcfy-1, k “ vih) <Pi-l, k+l + + M-iftPz-1, k-l<Pi-l, k-2 + fe+i(Pz-it fc+2- (7.47) Gomme il y a cinq relations et sept coefficients inconnus, on en prend deux de façon quelconque. Posons \îk ^ ik P i- 1, ki V ik i -1 , h7 (7 .4 8 ) auquel cas les termes principaux de D ik ((p) s’annulent et les relations (7.46)-(7.47) s’écrivent a ik —yikîhi OÙ eih = ______________ aik______________ 1 Pi-1, h- 1 — ft+i ’ \ik ~ Yikîkt (7.49) RESOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 4.7] 221 Pift — Y iftîft “1“ G&ifcPi-i, f t Ê i - i, f t - l ’ Ôjft == yihîh + « if t^ i- l, f c li- l, ft+ l’ = (Pih — “îftî-l, ft)'1» yik sih Yiftîft ( 9 ) ~ a ift (Pi—1, ftPi-1 , fc-aÇi-l, ft-2 + ^ lf ( 7 .5 0 ) ft+2)* (7 -5 1 ) On prend y ^ i h proportionnel à la somme des coefficients dans l ’opé rateur yikD ik (9) : yihsik = ®a ik (Pi-i, ftPî-I, ft-l + $M L, &+l)> *52) O<0<1. On calcule y£fe par yik = — (Êi-1, h + ®Pi-itfePi-l, ft-l + ftfij-l, ft+l)]'1 (7.53) compte tenu de (7.52) et (7.49). Les coefficients de (7.43) sont cher chés dans l ’ordre suivant: îki Yift’ îft » îk’ Pik’ îft • On peut dire que la formule (7.53) régit le balayage explicite du vecteur Vi = (Y ll, Y iî, • • •> y i n ) - L’équation (7.43) se récrit en définitive z ih = &ik (z i- 1,h + Pi-i, kz i~ltft-l+ &i-i, kz i- 1,ft+l)+ + Y + a ift [P i-1, ftPi-1, ft-l ( Ç i - i . ft-2 Q^/ft) + + Ôi-l,ftÔi-1, ft+l (<Pi-l, ft+2—0q>»)], (7-54) 9ift—PiftTi, ft-l rîftTi, ft+l= 5ift9i+l, h + îftikfik On résout (7.53)-(7.54) par les approximations successives. On effec tue d’abord le balayage explicite pour zt = (zily zi2y . . ., zîn), puis le balayage implicite par remontée pour O* = (cpa , cpi2, . • . ♦ • *Pin)* On note que le schéma (7.54) aboutit à la solution exacte pour cp£ à deux composantes. La résolution de l ’équation de Poisson dans un domaine carré avec conditions aux frontières quelconques montre qu’il y a conver gence des itérations (7.54) avec 9 de l ’intervalle O < ^ 0 ^ 1 , la valeur optimale étant 0 = 0,8; 0,9. Le Tableau 2 donne la norme q de l ’opérateur de transition du processus itératif (7.54) en fonction du paramètre 0 pour le problème de Dirichlet d2tp d<p2 - 2 ( 2 - ^ - ^ ) , dx2 dj? <p = 0 pour x = ± 1 , (p = 0 pour y = ± 1 , le pas étant Ax = Ay = = (529 nœuds). 222 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 Tableau 2 e 0 0,3 6,5 0,6 0,7 0,8 0,85 0,9 0,95 1,0 <i 0,86 0,82 0,76 0,72 0,65 0,47 0,43 0,49 0,61 1,0 Selon ce tableau, une itération (7.54) équivaut pour 0 = 0,7, 0,8 et 0,9 respectivement à 44, 77 ou 72 itérations simples. Ainsi, le schéma (7.54) s’avère, pour 0 optimal, plus efficace dans le cas du problème de Dirichlet proposé que les méthodes des directions alternées les plus performantes avec x constant. La fig. 17 représente les valeurs de première approximation rela tive à y = 0 qu’on calcule, conformément à ce schéma, pour 0 = 0,8, -1,0 -0,5 0 x 0,51,0 Fig. 17 0 = 0,9 et 0 = 1,0 (la solution exacte est <p = ( 1 — x2) (1 — y2))é On voit que l ’écart est minimal pour 0 = 1,0. Mais en seconde ap proximation la valeur optimale de 0 est 0,9. Les valeurs de sixième approximation correspondant à 0 = 0,8, 0 = 0,85 et 0 = 0,9 sont affectées d’erreurs moyennes en valeur absolue 0,013, 0,003 et 0,004 respectivement, i.e. on obtient pour 0 = 0,85 et 0 = 0,9 des solutions très proches de la solution stricte. S’agissant du cas de Neumann, le schéma (7.54) le cède un peu aux meilleurs procédés utilisant les directions alternées. Il est naturel que la première itération (7.54) diffère peu de la solution exacte si l ’on pose 0 égal à 1 ou sensiblement 1. C’est donc ces valeurs de 0 qu’on prend dans un cas laborieux pour réaliser la (ou les) première itération (7.54), après quoi on passe à 0 optimal. Le fait de prendre, pour <p cherchée, des conditions aux limites arbitraires et un domaine bidimensionnel de forme quelconque n’alourdit nullement les schémas de factorisation incomplète. Mais 4.7] RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 223: la condition aux limites discrétisée doit être de la forme (7.35) et telle que la somme de deux coefficients périphériques non nuis, quand ils sont positifs, soit au plus égale à p ih. La factorisation incomplète l ’emporte en ce sens sur les techniques des directions alternées qui deviennent d’èmploi délicat si la frontière du domaine considéré ne coïncide pas avec les lignes de coordonnées du réseau. Nous avons dit que les méthodes de factorisation incomplète sont très efficaces pour le problème de Dirichlet. Désireux d’en faire autant dans le cas de Neumann, Bouléev et Guinkine [XII ; 3, 6} ont mis sur pied des schémas correspondants perfectionnés qui s’écri vent sous forme opératorielle (voir Bouléev [XII ; 3]) z ih ~ &ikz i - l , k “f" Yife Ifik H- tyik — k (*P) îk (*p)l > çj Pife9i, fc-1 “ $ik%t fe+i = hktyi+1, k + zik. où a ik, l ik, àik, y ik sont les coefficients à déterminer et toutes les (p de E proviennent du pochoir à -5 points. Ce système équivaut à l ’équation (1 ~f" k) tyik &ihtyi-1, h îfe^Pï+1, k Pzfc^Pî, k-l fe+1 + fc-1 + «ifcôj-1, fetpi-l, fc+1— - ythDik (<p) + yikEik (q>) = yihfikLes équations (7.56) et (7.35) entraînent VikDih (<P) = aifcPz-l, ft^Pi-1, h- 1+ 1, k+1• (7.56) (7.57) On introduit yiÊik défini par yikîk (9 ) = azfcPz-l, k (x<Pz-l, k + 7)9*, + h — î%h) + (7.58) + a zfeSz-1, k h + 'nÇPi, fe+1+ fc—0z<Pzfe)> avec k, T|, (o, 0j des paramètres inconnus *), 1 pour i = 1, 2, . . . , TTi—l, 0 pour i = m. Les termes en q>ih de (7.58) servent à «renforcer» la diagonale principale de la matrice (A + D — E) qui se factorise, si bien que la combinaison linéaire xcPi_lt & + Wf, &-i + a^cocpj+x, k compense la somme q)*_ls k~i + QiWik et la combinaison X(pj_lt k + riqp^ fe+1 + + ffî<ocp*+ltft la somme fe+i + 0z<Pzfe*) Le fait d’introduire le facteur om = 0 risque d’altérer la formule géné rale de Eik (<p). On assimile donc les conditions aux limites à droite am+1, fc<Pm, fc"h Tm+i, h ~ fm+1, h (7.59) à une colonne d’équations indépandantes, auquel cas on omet de calculer Dik (qp), E ft (cp) et zik de la colonne i = m + 1 et on cherche la solution de (7.55) à partir de la colonne m après qu’on y élimine <pm+i k moyennant les conditions (7.59). 224 METHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [CH. 4 On assujettit les paramètres x, rj, co, 0* à vérifier la condition l + 0j=:x + T] + ŒjO) + e, (7 .6 0 ) a étant petit positif ou nul. Les équations (7.56) et (7.35) conduisent, compte tenu de (7.58), aux relations suivantes entre les coefficients de (7.55) et ceux de <7.35): 1 “1“ k (Pz-1, h "1“ 1, h) == yikPihi (7.61) &ih 'X’&'ih (Pz-1, h “h f fc) — Pzft k ~ Yzk^zfe» _ &ih h = Yzk^zfc? ?dk QiQ&ih (Pz-1, h "4“^z-l, k) = yihcik OU yik = lPik + (1 - xP;-i, k - *ôz-i, fe)"1O'ik (0<P<-i, h + 0A-1. fc- à-i, a)]"1. ^/A = [1 ^ (Pz-1, ft ~t“ &)] 1Yzk^z’A» Pza = yïkbik+yP’tk$t-ith, (7.63) = Vzft dik + Tla zft6i-i1a» ?zfe = yikcik + 0zwazA(Pz-1, A+ Ôj-1, &)• Le schéma itératif (7.55) s’écrit par suite de (7.57) et (7.58) z<ih =? «za4-1, A+ Yza/zA+ + a »Pw. h + 9Ma“ 1}- + aifcôw. A(^riV ft+i + + iVft “ Wi! a+ i - a^ ^ i+i?fe)» (7.64) a+ 4 ^ (7.65) On résout (7.65) par balayage à une dimension Pih = (1 PzA®z, A-lPz, A-1) i u>th = Pih (Pzau>u A-1 + ÈiA<Pft1# k + V $ , (7.66) SPzA~ Pihîhtyi, A+l 4” ^zA« (7.67) On prend naturellement (7.55) tel que la somme des coefficients de l ’opérateur D ih (cp) — E ih (cp) soit proche de 0 et celle de leurs modules soit le plus petite possible par rapport à aihl coefficient de l ’équation de départ (7.35). Nous dirons que l ’opérateur (A + B)ih est voisin de A ik au sens de l ’approximation si la somme des coefficients de B ik est proche de 0, et qu’il l ’est pour la norme du résidu si la somme de leurs modules est petite par rapport aux valeurs du coefficient aih de Aih. 4.7J RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES 225 La première propriété est garantie pour notre schéma par la relation (7.60). La valeur optimale de 0 doit être commensurable avec celle du coefficient précédant <pj_lt u~i et 9i-i, fe+i» Le. elle doit être de l ’ordre de l ’unité. Si l ’on se propose d’obtenir la proportionnalité approchée entre Pîft, ôik et d’une part, et bihy dik et cikl de l ’autre, on re lie r) et co, selon (7.63), par l’égalité approchée 2 co » Tj. Etudions le schéma (7.64), (7.65) sous l ’angle de la stabilité numérique dans l ’espace. On montre par récurrence que les coefficients $ik, àik et %ih remplissent la condition Pih + $ik + Êifc ^ 1- (7 .6 8 ) En effet, la relation (7.60) donne lieu pour i = 1, 2, . . ., m — 1, par suite de (7.36) et (7.61), à 1 + a i k h - 1 , h — ®a ik (P i-l, k + Ôi-l, ft) ^ ^ &ih (Pi-1, h ""bî-1,h) "1“Pih Ô&ikPi-l, h ”1“ ' H k + h k + ®a ik (P i— 1,h + Ôi-i, fc)> 'X'&ik + $ik (7 .6 9 ) OU 1 ’i i k Pifc ®i, Êi-1, k Pi-1, h “~ f i i - 1, fe + ( l + 0 ” ^ — Tl*~ <*>) (Pi-1, h + 0 i-l, h)] dont le second membre est positif par hypothèse, d’où la validité de (7.68). Voyons la propagation des erreurs dans le schéma itératif (7.64), (7.65). Ecrivons la formule de récurrence pour —K On a pour i = 1, 2, . . ., m — 1 : Hh lih _ a ih p H- 1. h * yik x lih ^“1 >k li - 1.k lik Jlh Compte tenu de (7.68) et (7.63), f f - li-1, k < - g - (1 - Pi-1. k- ôi-1. k) = = ________ aik[l-(P<-i.k+g<-i. k)1_______ Cih [1 —K (Pi-i, + Si l’on pose x fc)H“œaik (Pifc + ôfft) 1 et si l’on note Pi-1, h + Ô i-i, h = Q i-1, fc* 1 5 -0 4 3 6 (7.70) 226 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES [GH. 4 on obtient a ik g iik ^ * _________ (Hk ________ H- h ~ ’ Qi h ^ t (7.71) On rend le second membre inférieur à 1 par un bon choix de co *). Ainsi, le schéma (7.64)-(7.65) est stable par rapport à la variable d’espace. Les expériences numériques ont fourni les bonnes valeurs de x, r], o et e pour les problèmes de Dirichlet et de Neumann concernant l ’équation de Poisson : x = 0,5 -r- 1, rj = 1, © = 0 -r- 0,5, e = 0 (x + o) » 1). (7.72) *) La chose est importante pour le calcul des écoulements fluides turbulents où la viscosité et la conductibilité thermique varient de façon considérable. CHAPITRE 5 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES Ce chapitre portera essentiellement sur le problème d’évolution de la physique mathématique — + Aq> = f dans D X D t, 0 et la solution q) présente la régularité nécessaire, ainsi que les fonctions / et g. On suppose que la solution vérifie sur dD certaines conditions aux limites *). 5.1. Schémas aux différences d’ordre d’approximation 2 à opérateurs dépendant du temps Soit l ’équation d’évolution — + Ai p = 0 dans D X Dt, cft cp = g dans D Son analogue aux différences s’écrit ^ + = pour t = 0. (1.1) (1.2) On vérifie sans peine que sous la condition de régularité suffisante de la solution, le premier problème est approché par (1.2) à l ’ordre 2 en r. L’équation (1.2) connue sous le nom de schéma de CrankNicholson s’obtient en appliquant à tour de rôle les schémas explicite et implicite exacts à l ’ordre 1 associés aux intervalles respectifs tj ^ t £j+i/2 et fy+i/2 ^ ^ tj+1 (si A est un opérateur linéaire indépendant de t) : q)j+i/2—çpi -f Acp; = 0, t/2 (1.3) (pj+i—(pi+i/2 ( -Aq>i+i = 0. t/2 t On arrive au schéma de Crank-Nicholson par élimination des incon nues <p3*+1/2. *) Sauf mention du contraire, .1*opérateur A sera supposé discrétisé. 15* 228 m é t h o d e s d e r é s o l u t io n d e s p r o b l è m e s n o n s t a t i o n n a i r e s [c h . 5 On suppose maintenant que A de (1.1) dépend du temps et est approché par un opérateur aux différences A. Il s’agit donc d’un problème d’algèbre linéaire et (1.4) (A'ip, <t) > 0 (1.5) quelles que soient les fonctions de O. Résolvons (1.4) par rapport à cpi+1, il vient ^ ‘ = ( £ + I â )' ) ' 1 ( £ - - AV (1-6) (p i+ i^ ry , (i.7) OU T3 étant l ’opérateur de transition T*~ (Ê + y A ' l " 1 —y A ') . (1.8) On démontre la stabilité numérique sans évaluer la norme de T3. 1 Multiplions (1.4) scalairement par y(<p,+1 + (f>0: (cpi+i, <pj+i)_((p;, <pj) 2t (a i& ï+ sL ' s ^ + s L ) = 0. (1.9) L’opérateur A3 est semi-défini positif par hypothèse (voir (1.5)), si bien que Il <Pj + 1 II < Il <P* II, ( 1 .1 0 ) i.e. il y a stabilité. L’évaluation en question constitue néanmoins un élément pré cieux de l ’analyse des schémas aux différences. Elle est obtenue moyen nant la relation (1.10) et la définition de la norme de l ’opérateur (voir n° 1.1): Il T3 || < 1. (1.11) Ce résultat s’obtient d’ailleurs de façon directe par application du lemme de Kellogg (voir n° 1.1), de (1.8) et des inégalités A3 ^ 0, t > 0. Si l ’opérateur A3 est symétrique gauche, i.e. (A V (p) = 0, on a, au lieu de (1.10), ll<Pj+1 II = Il <11, (1-12) et on montre (comme on vient de lefaire) que Il T3 II = 1. (1.13) Reprenons le schéma de Crank-Nicholson pour A dépendant de t. 5.1] SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES D’ORDRE D’APPROXIMATION 2 229 On introduit l ’opérateur H défini par (1.14) et l’opérateur H x défini par ( H ^ Y W +1-(<p)j + A i (<P)i+1+(<ïV (1.15) (<p); étant la projection de la fonction cp sur le réseau Dx. On intro duit de plus la norme || ( £ » ||c = m ax |[(tfxcp)i, (1.16) tj£Dx où || • || est une norme sur l ’espace contenant (Hx (p*). Proposonsnous d’évaluer la norme (1.16). On développe la solution de (1.1) en série de Taylor : (q>y+1= (cp)’ -f T (cp,)* + - (cp„)' + . .. Etant données les relations évidentes <P<= — Acp, <pct = A2cp—Atq>, (1.17) (1.18) dA At — - g f , on transforme (1.17) en (cp)i+i = (cp)’ —t A3'(<pf 4- 4 - [(A3)2 (tpY—Aj (cp)5'] — . . . (1.19) Portons dans (1.16), il vient, compte tenu de (1.15), || ( / — f f t q>).|[Ct = = max || A’ (cp)’ — A 3 (cp); 4- 4 {{A3)2—A\ — K3A3} (cp)J + O ( t2) ||, ( 1 . 20) avec f le second membre de (1.1) qui est en Toccurrence égal à 0. Si l’on prend l’opérateur d’approximation A; Aj = A j = A (t;), (1.21) alors (1.20) entraîne || (f — H xcp) ||c = 4 max || ^ || + 0 ( t 2), et l ’approximation est d’ordre 1. S’agissant d’un cas particulier de A indépendant de t, l ’opérateur (1.21) approche à l ’ordre 2 en t. Soit maintenant ( 1 . 22) 230 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 auquel cas | | ( / — # X<P) || c x = 0 (T 2) . On note que le schéma de Grank-Nicholson approche à l ’ordre 2 en x pour A; tel que A>= Ai+i/2 (1.23) OU A^ = i-(A i+ i + AÔ. (1.24) On utilise dans les applications, notamment pour calculer les solutions des équations quasi linéaires, les approximations (1.22), (1.23) ou (1.24) qui donnent une précision d’ordre 2. 5.2. Equations d’évolution non homogènes Dans le numéro précédent nous avons considéré des équations homogènes. Soit ■^ + Acp = / dans cp— g D dans D x Dt, pour ( 2 . 1) t = 0. Son approximation aux différences par le schéma de Crank-Nicholson sous les hypothèses du n° 4.1 est de la forme <Pi+1 —<pj _j_ ^ <Pi+1 + <Pj = jô ( 2 . 2) <V° = g, ou Il est immédiat de vérifier qu’elle approche (2.1) à l ’ordre 2 en t . La solution de (2.2) s’écrit (2.3) <pi+i = r y + T ( £ + ~ - A j ) V - On a établi (voir n° 5.1) la majoration suivante pour l ’équation homogène avec A} ^ 0: I I ^ 'I K I . (2.4) Il découle de (2.3) que Il <Pi + 1 I K J I T >|| Il J II + 11| ( E + Ù ) ~ X 11| f ||. (2 .5 ) Abordons le problème de stabilité. Utilisons l ’estimation (1.25) du Chapitre premier. Puisque t > 0 et ( 2 . 6) (A V , <p*)>o. 5.3] DÉCOMPOSITION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES 231 | ( £ + - L a ') " 1||< 1 , (2.7) on a et l ’inégalité (2.5) devient, par suite de (2.4) et (2.7), l l ^ +1||< ( l ^ l l + x ||f | | . (2.8) Posons || cp° || = || g || et || / || = max || f ||, il vient à l ’aide de la relation de récurrence (2.8) 3 Il <pj II < Il * II + Jx II / II, jx < const, (2.9) i.e. le schéma aux différences est stable. La relation (2.9) constitue de plus une estimation à priori de la norme de la solution. 5.3. Méthodes de décomposition des problèmes non stationnaires De nombreux problèmes volumineux de la physique mathémati que se ramènent à une suite de problèmes plus simples qui se prêtent bien au calcul sur ordinateur. Cette réduction a lieu si l ’opérateur semi-défini positif du problème initial se met sous forme de somme d’opérateurs semi-définis positifs élémentaires. Ces méthodes sont connues sous le nom de méthodes de décomposition. Les promoteurs en ont été, dans le cas non stationnaire, Douglas, Peaceman et Rachford (voir [XV]) qui ont été suivis par les mathématiciens soviétiques Bagrinovski et Godounov [XV; 2], Yanenko [III; 56] [XV ; 13], Samarski [III ; 12] [XV ; 11], Diakonov [III ; 6] [XV ; 5], Sauliev [III; 15], Marchuk [XV]. Les méthodes de décomposition ont été primitivement formulées et légitimées pour des problèmes simples à opérateurs définis positifs commutatifs. On devait comprendre plus tard que dans ce cas toutes leurs variantes sont ou bien équivalentes (à part le schéma de mise en œuvre), ou bien voisines. Depuis, la gamme de problèmes non triviaux justiciables de la décomposition s’est étendue tant et si bien que ces méthodes s’appli quent avec succès à des cas très complexes relevant de la physique mathématique. Nous commencerons par le cas le plus étudié où l ’opérateur se décompose en deux opérateurs plus simples. Le lecteur est prié de ne pas oublier que c’est la méthode de splitting-up qui est, selon nous, la plus utile dans les applications. Soit donc l ’équation d’évolution -f Ay = / dans D x Du (p = gdansZ> pour £= 0, (3.1) 232 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [GH. 5 où l ’opérateur tation 0 ne dépend pas du temps et admet la représen A = A 1 -f- A 2 (3-2) si A1 > 0, A 2 > 0. (3.3) Admettons que la solution du problème (3.1) est suffisamment régulière. On supposera de plus, si besoin est, que (3.1) est mis sous forme de différences finies, si bien que A, A 1 et A 2 sont des matrices. 5.3.1. Méthode de stabilisation Considérons le schéma aux différences associé au problème (3.1)(3.3) avec / = 0 ( E + ^ A t ) ( E + ^ A 2) ? ^ ^ - } - A c p j = 0, cp»= g. (3.4) On montre aisément que sous l ’hypothèse de solution suffisamment régulière, le problème (3.4) approche (3.1)-(3.3) à des quantités petites du second ordre près en t . En effet, on ramène (3.4) par trans formations algébriques à (£ + ^ ^ ) I ^ + ^ ï ^ + l i = 0, t f = g. (3.5) On constate de suite qu’étant donnée la régularité suffisante de la solution, l ’équation aux différences (3.5) est du même ordre d’appro ximation que le schéma de Crank-Nicholson * ^ + 4Î^±ii=0, =(3.6) car (3.6) approche à l ’ordre 2 en x. Voyons si (3.4) est stable. On met cette équation sous la forme (£ + T ^ )( b + T j*>)'P,+,= = ( e - ^ - a 1) ( e - ^ - a 2) ^ , (3.7) et on résout par rapport à q);+1: V » = ( E + ± A i ) - i ( E + l - A t ) - ' { E - ± A i ) ( E - ± A l )g f. (3.8) On passe de cp7 à par la formule (3.9) DÉCOMPOSITION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES 5.3] 233 et on obtient pour la nouvelle inconnue = 7Y, (3.10) T étant l ’opérateur de transition T= (e - T A‘) (B—r**) + (3.11) On trouve moyennant (3.10) IN>i+1 II < Il T || || V ||. La norme de T est majorée par l ’inégalité Il T || < || T, || || T, ||, ou Ta = ( E - ± - A * ) ( E + ^ A a ) \ (3.12) o = l,2 . (3.13) On a utilisé la propriété ( s + j 4 n ï 4 4 H î - T j,- ) ( j + T ' ,- r ' qui découle de l ’identité évidente + (3.14) En effet, on a la propriété cherchée en prémultipliant (3.14) par ^ £ + et en utilisant la commutativité des opérateurs ---- - A et + -y A a ) (le dernier résultat est vérifié par multiplication directe). Ainsi, le problème de stabilité s’est ramené à l ’évaluation des normes des opérateurs T a . Le lemme de Kellogg appliqué à T± et T 2 de (3.13) donne il T || < 1, (3.15) donc Hr* -1 h < il V il(3.i6) On ne doit cependant pas oublier que nous visons à établir la propriété de stabilité du problème initial (3.4). On utilise donc (3.9) et on récrit (3.16) ( E + ^ . A a) ^ (3.17) Introduisons la notation ( £ + ^ 2)(p|| = (C2«p, <p)‘/’ = ||<p||Cï, (3.18) 234 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [GH. 5 avec Ca = ( E + ± A Z ) ( E + - l - A ei) , o = l,2 . On voit facilement que Ca > 0 et || • ||C2 est en effet une norme. Ainsi, on a pour cette norme la condition de stabilité absolue Il9i+1llc2<l|cpi ||c2. (3.19) On peut donc dire qu’étant donnée une régularité suffisante de la solution de (3.1), si A x ^ 0 et A 2 ^ 0 et si leurs éléments sont indépendants du temps, le schéma aux différences (3.4) possède la propriété de stabilité absolue et approche le problème initial à l ’ordre 2 en x. On note enfin que le schéma aux différences de ]a méthode de stabilisation est facilement réalisable sur ordinateur. En effet, l ’équation (3.4) prend la forme Fj = V . (E + ^ A 1') l }+1/2 = - Fj, , . V' (E + ± A 2)%+i = ÿ +l/2, q,i+* = ^ + T|#+i, (3.20) ^+i/2 gj+i étant des quantités auxiliaires qui permettent de ré duire (3.4) à plusieurs problèmes simples (3.20). La première et la dernière équation (3.20) sont des relations explicites, i.e. on n ’inverse que les opérateurs élémentaires A x et A 2. Considérons le problème non homogène -^- + A(p = f, cp= g pour t = 0, (3.21) où A = A ± + A 2, A x^ 0, A 2 ^ 0. Le schémade stabilisation correspondant s’écrit (E + Î A t ) ( E + l A z) + V = À cp° = g, (3.22) avec f = H 1j+i/ù(3.23) Le problème aux différences (3.22) avec la condition (3.23) approche le problème proposé (3.21) à l ’ordre 2 en x. Analysons la stabilité du schéma. On transforme (3.22) en ^+i = r ^ + T( E + l A j - 'f , (3.24) V = ( ^ + y ^ ) c p '. (3.25) où 5.3] DÉCOMPOSITION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES 235 L’équation (3.24) entraîne iiV+lii< im iiiV ii+ * ( £ + j 4 1)~ 1| | | / ' | | . On a établi Il T || < 1 (3.26) pour l ’équation homogène, si bien que (3.27) On vérifie de suite que ll/5'll = ||( £ + - i ^ 2) " 1 ( Æ ; + |4 2) f | < < || ( £ + i ^ 2) - 1|||| iÊ ^ ^ A 2) f \ . (3.28) Compte tenu de (3.18), (3.25), (3.28), on obtient à partir de (3.27) llcpj+1llc2< ll^ llc 2+ T | | ( £ + | ^ 1) “ 1||||( Æ :+ |- ^ 2) " 1||||f Ilc2. (3.29) On utilise l ’estimation {E + J Aa) l^ 1 (3.30) établie pour A a ^ 0 au Chapitre premier (voir (1.25)) et on a fina lement (3.31) ll<Pj+1||c2<ll<pJ ||c2+ T ||/; ||c2, d’où, de façon récurrente, l|(pj ||c2< lk l! c 2+ 7T ||/||C2, (3.32) avec (3.33) Il / llc2= max || f ||c2. On peut donc dire qu’étant donnés A r ^ 0, ^42 ^ 0 d’éléments indépendants du temps, si la solution cp du problème (3.1) et la fonction / sont suffisamment régulières, il y a stabilité absolue du schéma aux différences (3.22) et l ’approximation du problème pro posé par (3.22) est d’ordre 2 en x. Nous tenons à rappeler une fois de plus que la démonstration donnée n ’est valide que pour A indépendant du temps. 5.3.2. Méthode de prédiction-correction La méthode de prédiction-correction consiste à partager l’inter valle 0 t ^ T en des intervalles partiels et à résoudre le problè me (3.1) dans chaque tj t ^ +1 en deux étapes : 1) un schéma 236 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [GH. 5 exact à l ’ordre 1 possédant une grande « réserve » de stabilité approche le problème au temps ^ +1/2 = tj + t/2 (cette étape est dite pré diction), 2) l’équation initiale est approchée à l ’ordre 2 sur tout l ’intervalle (tj, {correction) et on utilise, chose importante, la solution « rude » associée à tj+1j2Le schéma de prédiction-correction s’écrit donc V +ll* - V +l/i + Attf+V 2 = 0, (3.34) - ^ = ^ - + ^ '+ 1 /2 = 0, avec la condition (p° = g. Eliminons la fonction auxiliaire cp;+1/4 entre les deux premières équations et ramenons le système à (E+ i Ai) (3.35) +^.(pi+l/2 = 0. On obtient par élimination de (pJ+lf2: ^ L ^ + a ( e + | A 2) " 1 ( £ + | A 1) " 1V = 0, t f = g. (3.36) Voyons le côté approximation. On écrit (3.36) sous la forme ( £ + i X I) ( £ + - l 4 ! ) Æ ^ î l + A V _ 0 , avec On développe le second membre suivant les puissances de x sous l ’hypothèse « — \\ A a || C 1 » et on obtient A = A + O (x2). L’évaluation de la méthode de stabilisation permet de dire que la technique de prédiction-correction réalise une approximation d’ordre 2 en x. Passons à la stabilité. On récrit (3.36) (Æ +-g-4i) ( E + } A Z) + ÆBj = 0, (3.37) OÙ <DJ= ( £ + l 4 2) ‘ 1 ( £ + - l i 1) ' 1^ . (3.38) 5.3] DÉCOMPOSITION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES 237 L’équation aux différences (3.37) est stable parce que (3.39) On en tire, compte tenu de (3.38) et (3.18): (3.40) ou (3.41) l l ^ +% ri<ll<P% ri, avec (e + t a i v 1(e + t a *y 1- Il y a donc stabilité pour la norme (3.41), ce qui autorise à dire que si A 1 ^ 0, A 2 ^ 0, leurs éléments sont indépendants du temps et la solution <p du problème (3.1) présente une régularité suffisante, alors le schéma aux différences (3.34) est absolument stable et approche le problème proposé à l ’ordre 2 en t . S’agissant d’un problème non homogène, les formules de pré diction-correction sont de la forme « r y * + A2q>J+1/2 = 0, (3.42) OÙ Avec f ainsi choisi, on montre que (3.42) approche le problème initial à l ’ordre 2 en t . Le schéma (3.42) est stable. En effet, on élimine <pJ+1/2 et <pJ+1/4, + A ( E + l A2y 1( E + j A l ) ~ l et on introduit la notation La relation (3.43) devient ± ^ + ( * + w ‘a ( * + T ^ r v - = (3.43) 238 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 D’où + A E + i ^ Y ' { É ± f L )- <3 -4 4 > Puisque E -(E + i ^ ) \ a ( e + I a %)~' = = ( S + ï 4 ' ) ' ' [ ( î + ï 4 ' ) ( £ + ï J * ) - r i ] ( I + ï ' l" ) ‘ 1= = (£ + t ^ ) ' ‘ [ ( b - t ^ ) ( ® - t ^ ) ] ( e + î A *)~' = = [ ( E + T 'i. ) ' ’ ( £ - T ^ ) ] [ ( £ - T ^ ) ( £ + I ^ ) ' ‘] . le lemme de Kellogg et (1.25) du Chapitre premier entraînent (3.45) VJ+ T f 1er1 < g + j f ° cï1+ V f ci1' avec ||/ ||c-1= m ax[|/; ||c-i, i.e. pour 0< ^ < T , on a le résultat 1 3 1 cherché. Ainsi, le schéma aux différences (3.42) est absolument stable et donne une solution exacte à l ’ordre 2 en x à condition que A 1 ^ 0, A 2 ^ 0 soient des matrices d’éléments indépendants du temps et la solution et le second membre / du problème (3.1) présentent une régularité suffisante. Une dernière remarque. On montre que la stabilité absolue établie de (3.34) n ’exclut pas l ’instabilité absolue de son schéma correcteur pris séparément. Pour simplifier l ’exposé, on se place dans le cas où A est le laplacien discrétisé en dimension 2 et la solution s’annule sur la frontière du carré unité D. Le correcteur s’écrit Wk+1 + Wh, l + l ~ 2(Pfc, Z + <Pfc, 1 - i 2% h2 fc2 ~ u (comme on n ’a pas recours au prédicteur, seuls 7 entiers sont consi dérés). On trouve une solution qr7 de ce problème aux différences, qui ne vérifie pas la condition (3.16). On cherche la solution sous la forme (pi t sin mnkh-sin pnlh, 7 du premier membre étant un indice et 7 du second l ’exposant. 5.3] DÉCOMPOSITION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES 239 Portons cette expression dans l ’équation aux différences, il vient l ’équation caractéristique k2 + 8ampk — 1 = 0 , où Si l ’on prend 1 = — Aamp — l / l + 16<4p, on obtient quand x — > 0 de façon que x/h2 — const : i.e. il y a instabilité absolue. On voit que le schéma de correction a beau être absolument instable : la « réserve » de stabilité du prédicteur garantit la stabilité absolue globale. 5.3.3. Méthode de splitting-up Les procédés de stabilisation et de prédiction-correction sont équivalents du point de vue de la précision et possèdent la stabilité absolue si A a ^ 0. Les opérateurs A a ont été assujettis à être indépendants de t. Cette contrainte nous a permis d’établir les propriétés de stabilité sous la seule hypothèse constructive « A a sont semi-définis positifs ». Avec A a dépendant du temps, cette analyse de la stabilité n ’aboutit en général pas. La méthode de splitting-up constitue une exception à la règle. Soit, dans (3.1)-(3.3), A 1 (t) ^ 0 et A 2 (t) ^ 0. Considérons leurs approximations sur l ’intervalle tj <1 t tJ+1 ^4 (tj+1/2) ? les éléments de ces matrices étant supposés suffisamment réguliers. En discrétisant selon les schémas de Crank-Nicholson simples, on obtient le système (proposé par Yanenko [XV; 13]) *) (p>+l/2_(pj . y+l/2 + (pj +• Aj =0, T (3.46) cpi+1—q>,.7+1/2 : 0 . ■M Le système (3.46) se ramène par élimination des fonctions auxi liaires <pm /2 à l ’équation _________ «p*1= T \ \ (3.47) *) Pour la théorie et les variantes voir le rapport de l ’Auteur au Second Symposium on numerical solution of partial differential équations tenu en 1970 aux Etats-Unis (SYNSPADE 1970). 240 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 OÙ r = ( £ + - î - Aî ) - , ( £ - i A | ) ( £ + - 2 - Ai ) - ‘ ( £ - i A i ) . (3.48) On commence par le côté approximation. On développe l ’opéra teur F suivant les puissances de t dans la condition -A- || || < 1. Des transformations simples aboutissent à r = £ - T A j + -|-((A j)2+ 2AiAi + (A |)2)- . . . (3.49) Si A^ commutent, i.e. AjAÎ = A|Aj, alors (3.49) se récrit T = E - xAj + ^—(Aj)2— . . . (3.50) Si A x (t) ^ 0, A 2 (t) ^ 0 et si les éléments de ces matrices et la solution cp du problème (3.1)-(3.3) accusent une régularité suffisante, le schéma aux différences (3.46) est donc absolument stable (cette propriété découle de suite de l ’inégalité || Tj || < 1 qui est valable par Kellogg) et il approche (3.1) à l ’ordre 2 en t pour Ai et A J2 commutatifs et à l ’ordre 1 dans le cas contraire. On approche maintenant A ± (t) et A 2 (t) non pas sur tj t^ ^ +1 (cas (3.46)), mais sur ^ t i7+1. On pose Aa A a (tj). Soit deux systèmes aux différences cp-7 1 / 2 + c p i “ 1 cp-J 1/2 —G)j-1 -Ai =0, (3.51) cp j-V 1/2 + A j q>J+q>J 1/2 _ <p^+l/2_(pj A>. q>J+l/2-^-(pi- q et : T qpi+1— <pi + 1 / 2 0, (3.52) | <Pi+i+ < p , + 1 / 2 Le cycle de calcul consiste justement à appliquer à tour de rôle (3.51) et (3.52). On procède comme plus haut et on montre que le cycle complet aboutit dans ce cas à <pj'+i = r y - 1, (3.53) 5.3] 241 DÉCOMPOSITION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES OÙ T‘ = { E + -Ï - A j ) - 1 ( £ - - } A { ) ( £ + - ! - A i ) " ' ( £ — i A j ) x x (s + t a 0 “ ( £ - t a 0 ( £ + t a 0 " ' ( £ - t a î )'= = £ - 2 T A i + ^ ( A ,> - ... Comparons Tj et son homologue du schéma de Crank-Nicholson tp j+ i _ cpj-l . 2% < p j+ i + < p j-i _ 2 On constate que P pour le schéma de décomposition 2-cyclique et l ’opérateur du schéma de Crank-Nicholson associé à l ’intervalle temporel double coïncident à O ( t 2) près que les opérateurs A a commutent ou non.. Cet artifice permet donc de négliger cette con trainte sévère qu’est la commutativité des opérateurs. Pour ce qui est de la stabilité numérique, on considère la relation (3.47) qui entraîne Ï I < P *+1 II < Il ? Il \ \ V ll- On a Il T* || < 1 pour i l a ^ 0 (voir plus haut), si bien que Il <Pi+1 II < Il <P* II* (3.54) Il <Pj II < Il g II- (3.55) Il en résulte de suite S’agissant de la méthode 2-cyclique, on a à chaque pas une esti mation de la forme (3.54), ce qui signifie la stabilité absolue. (Un procédé analogue de symétrisation a été utilisé par Strang [VII], Samarski [III; 12] et Friazinov [XV; 12].) On dit par conséquent qu’étant données A\ (£) ^ 0, A 2 (t) ^ 0, si la solution (p du problème (3.1)-(3.3) et les éléments des matrices A x (0» ^2 (*) sont suffisamment réguliers, le système aux différences (3.51), (3.52) possède la propriété de stabilité absolue et le schéma (3.53) approche (3.1) à l ’ordre 2 en t . On aborde le problème non homogène par la décomposition com plète 2-cyclique. On considère à cet effet un système (3.51), (3.52) 16-0436 242 MÉTHODES' DE RÉSOLUTION'DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 mis sous une forme plus commode, à savoir: y - i, (2H--5-A*) ( q ( £ - { A j ) y -i/2 , (3.56) ( e + - A i)y+1/2= ( ^ _ J - A | ) ( y + T h , ( £ + -|-A j) y + i = ( E - ^ - A i ) V + W , où f = f (tj). Résolvons par rapport à y +1: yi+l = T}<ÿ-i + 2’cTiTifj, (3.57) f i = t {T{T{T{, (3.58) r a = ( £ + - A i ) ~ 1 ( JB - - - A 4 ) . (3.59) avec On développe (3.57) suivant les puissances dupetit paramètre % et on obtient (pi+1 = j E — 2rAJ + (A*7)2J (p^-1 + 2 t (E —tA*) f + O (t)3, (3.60) qui devient par certaines transformations -gT-l- v r 1 + Aj (E - xA;) <pi-* = { E - x A }) f + (9 (t2). (3.61) On élimine cp^1 de la dernière relation en développant la solution en série de Taylor autour du point tj_x. On a à i 2 près y = y ’" 1+ ( •i f ) 5-1 T+ 0 (x2)- (3 •62> On élimine la dérivée Ot à l ’aide de la relation ( ^ r l = - Av - i + / i + c , (T). Portons (3.63) dans (3.62), il vient V = (E — xA}) y - 1 + ;t/ t + 0 (t2), d’où (e — xA*) xf o y-i = y — + (t2). On porte dans (3.61), ce qui donne (pj+l-.yj 1 + = j) + Q ^ (3.63) (3.64) (3.65) 5.3] . • DÉCOMPOSITION DES -PROBLÈMES NON STATIONNAIRES 243 L’équation (3.65) approche évidemment (3.1) sur 0 -i ^ t ^ tj'+1 à l ’ordre 2 en t. Ainsi, la méthode 2-cyclique conduit à ,une approximation aux différences d’ordre 2 de l ’équation d’évolution^ La démonstration de la stabilité pour .la norme énergie s’effectuè de manière élémentaire. En effet, on évalue (3.57) en norme : Il <Pi+1 II< Il Tj UII r 11)+ 2t II T{ Il II n II II f II- (3.66) Il est connu que Ura H ^ 'l', donc II^ IK II^ llim illl^ llll^ lK i. Aussi Il ^ +1 i t < Il <Pi+1 II+ 2x11/^11. (3.67) On obtient moyennant la relation de récurrence (3.63) avec tlVîK llfll + VII/II. (3-68). | |/ |! = max \ \ f ||. i L’estimation (3.68) implique la stabilité numérique du schéma sur tout intervalle temporel fini. Le système (3i56) se met sous forme équivalente ( E + y Aj) r-2/3= (Æ — l A i ) (pi-i, (E + ^ -A l) V - u * = ( E - ± A i ) v - W , (pi+4/3 = q)i-1/3+ 2 x f, (3.69) (E + y Aj) V+.*/3= ( E - ^ - A i ) (pi-M/3, ( E + Î - A i ) (pi-M= ( £ - - ^ - A i ) (pi+2/3. L’élimination des inconnues munies d’indices fractionnaires donne l ’équation résolue {pj+1 = TiTiT{T{ÿ~1+ 2xT{T{f (3.70) qui coïncide avec (3.57). L’écriture (3.69) est des fois à préférer à (3.56). On énonce donc le résultat suivant: si A x (t) ^ 0, A 2 (t) > 0 et si la solution cp, la fonction / (^) et les éléments des matrices mentionnées sont suffisamment réguliers, alors il y a stabilité absolue; sur 0 T du système d’équations aux différences (3.56) et ce schéma approche l ’équation proposée à l ’ordre 2 en t . 16 # 244 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 5.3.4. Certaines remarques générales On compare les méthodes de décomposition de ce numéro sous les hypothèses « A, A x, A 2 sont indépendants du temps; A 1 ^ 0, A 2 ^ 0 et A XA 2 = A 2A x ». Ce cas simple a attiré l ’attention de nombreux auteurs. Ecrivons les schémas aux différences qui sont formellement résolus à chaque pas par rapport à la solution cherchée. On constate sans peine l ’équivalence de tous les schémas de décom position pour le problème évolutif (3.1) avec / = 0 qui ne sont donc qu’autant de schémas de mise en œuvre. .On les ramène en particulier à la forme <pj+1= T q>J\ où ( e + f A , ) " ( b - I a , ) { e + ± a s)-' { b - \ a , ) . S’agissant du problème non homogène, les schémas de décompo sition ne sont équivalents que pour ce qui est de l ’ordre d’approxi mation, i.e. divers schémas approchant à l’ordre 2 en x conduisent avec une erreur en t 2 aux résultats différant d’une quantité en O (t2). La deuxième remarque a trait aux schémas de décomposition pour 4 0, A 2 ^ 0 indépendants du temps tels que A ±A 2 ^ A 2A X. On approche la solution des problèmes d’évolution à l ’aide de tous les schémas considérés : stabilisation, prédiction-correction, splittingup. Ces méthodes sont équivalentes pour ce qui est de l ’ordre de précision, mais on ne saurait les identifier parce que l ’opérateur de transition T diffère d’un procédé à l ’autre. La question des sphères d ’influence des schémas reste ouverte, encore que le fait de pouvoir aborder un même cas par trois méthodes différentes (autonomes) .encourage un chercheur qui doit faire face à des problèmes complexes. Nous voulons enfin parler du cas plus général avec A x ^ 0, A 2 ^ 0, A xA 2 ^ = A 2A Xi les opérateurs A x et A 2 dépendant de t. rOn s’adresse de préférence à la technique de splitting-up dont la -variante 2-cyclique donne une solution exacte à l ’ordre 2 en t. 5.4. Méthodes de décomposition pour n > 2 Jusqu’à présent l ’opérateur A a été représenté par la somme de deux opérateurs plus simples. Le cas avec un nombre quelconque .d’opérateurs intervient souvent en physique mathématique. Soit A = % A a, (4.1) < a=i A a ^*0. Le cas n — 2 étant étudié au n° 5.3, on s’intéresse seule ment à n > 2 . ' ; On constate en premiét lieu qüé les méthodes de décomposition avec n — 2 ne se transposent pas trivialement aü cas n > 2 . 5.4] MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION POUR n > 2 5.4.1. 345 Méthode de stabilisation La méthode de stabilisation s’écrit sous l’hypothèse (4.1) H ( E + \ A a ) y ' 1-* ! + A= f , a=l <p°= g, (4.2) OÙ f = f(tj+ 1/2)L ’algorithme procède comme suit : Fj = - V ( E + ^ A 2) + f, = £*«/", (pj+1 = (pJ + T |i+1. Il est immédiat de vérifier que la méthode est exacte à l ’ordre 2 en t s’il y a régularité suffisante de la solution. La stabilité numérique est définie par la condition Il T || < 1, T étant l ’opérateur de transition i r = £ - t n ( £ + - 4 (4.4) | ‘4. (4.5) a — n Contrairement au cas n = 2, la condition A a- ^ 0 n ’entraîne pas la stabilité pour une norme. On établit le résultat de stabilité par un artifice algorithmique simple, à savoir on pose f — 0 et on ramène (4.2) résolue par rapport à (p7*1à la forme cpi+i = Tcp*. (4.6) L’opérateur T étant supposé indépendant du temps (i.e. de l ’indice /), on s’intéresse, en résolvant le problème (4.6) avec la condition ini tiale <P° = g (4.7) et t fixe garantissant l’approximation nécessaire, à l ’allure de la norme || (p* ||. Si [| cp; [| ne croît pas, on a visiblement || T || < 1, 246 m é th o d e s d e r é s o lu t io n d es p r o b lè m e s n o n s ta tio n n a ir e s [ch. 5 i.e. on est dans la condition de stabilité numérique. On passe au problème non homogène. L’équation (4.2) se récrit i <pi+1 = ,7V + t I l ( E + 1 A ay l f . (4.8) a=n D’où î ll<Pi+ 1 l l < l l 7’ !lll<Pi l i + ' i S 1 ( S + y A , ) " V H» a=n OU I I ^ M I < 11V II + T II f II (4.9) par suite de (4.4) et de l ’inégalité (1.25) du Chapitre premier. On aboutit par récurrence à la Condition de stabilité Il <P II < Il g \\ + y II /II, OÙ (4.10) . . 11/ H = .m aX .||.f .||. (4.11) J Il n’est nullement -nécessaire d’utiliser (4.7) pour vérifier la condition de stabilité || T || ^ 1 de (4.6). On peut prendre comme condition initiale n’importe quelle fonction de même classe de régularité que g et /. 5.4.2. Méthode de prédiction-correction 1 Le schéma de décomposition s’écrit ( Æ + | ^ ) ( p i+^ r V: + | K ............. . . . . ................................................... (4.12) où A a ^ 0 et f — f (£7+1/2)* Le système (4.12) se réduit à une équa tion de la forme - f ^ + 4 w + i ? ) = / ’. a=n avec la condition <ï>°=;g. (« 3 > 5. 4] MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION POUR n > 2 247 Si la solution est suffisamment régulière, la méthode est exacte à l ’ordre 2 en t . L’équation (4.13) se récrit ^ = Ttf + l ( E + T ) f\ (4.14) avec T l ’opérateur de transition défini par la formule i. T = E-xA 2 + (4.15) a=n Le critère de stabilité numérique se ramène en fin de compte à évaluer la norme de T . La question reste ouyerte car la :condition constructive A a ^ 0 ne suffit malheureusement pas pour démontrer la stabilité du schéma. Pour terminer l ’analyse des deux schémas considérés, plaçonsnous dans le cas simple où A a commutent et possèdent une base commune. Cette condition supplémentaire s’avère suffisante pour quei A a ^ 0 détermine la stabilité. En effet, s’il y a commutativité, lés deux schémas ont le même T. Considérons, pour simplifier l’ex posé, le problème homogène (4.6), (4.7) dont la solution sera cherchée sous forme spectrale <P7= 2<p£wa> (4-16) k uk étant les fonctions propres du problème (1.7) (voir chap: l) et <Pk — (<pJ, u%), u% étant les_ fonctions propres du problème adjoint (1:7) du n° 1.1. Puisque {uk} est une base commune, on .a- v n Auk = 'h}iU}t) AdUk— Xh iifa ^ = 2 • (4*17) ; a=l Portons (4.16) et l ’expression correspondante.de g dans (4.6), (4.7), il vient pour les coefficients de Fourier (p& <Pi+i = ThVj, <p£= gw(4.18) où Tt ~ 1 -------— 2 ^ ------- (4.19) Il a=l On transforme (4.19) en T*= Ha— \ HA + - 2 XA , 1 (4:20) .5 248 m é t h o d e s d e r é s o l u t io n d e s p r o b l è m e s NON STATIONNAIRES [CH. 5 étant des constantes positives si ^ 0. Il résulte de (4.20) i m < i , (4.2i) d ’où la stabilité (voir n° 1.3). La méthode de stabilisation et la prédiction-correction s’appli quent également à A dépendant du temps encore que établir à priori la condition de stabilité s’avère dans ce cas un problème plus délicat. On hésite donc à dire s’il y a lieu d ’appliquer les deux schémas dans des situations générales. Cette circonstance a incité l ’auteur à formuler un procédé de décomposition plus ou moins « passepartout » pour des problèmes complexes et assez généraux. Il s’agit de la méthode de splitting-up successif 2-cyclique. 5.4.3. Méthode de splitting-up en termes de schémas élémentaires On se propose de construire un problème discrétisé approché d’ordre 2 en t qui soit absolument stable dans le temps. Conformé ment à l ’hypothèse de w > 2 , on suppose que Aj = S Aa, (4.22) a=l tous les Aa étant des opérateurs semi-définis positifs : A3 a ^ 0. Soit le système d ’équations ( E + | A i ) ^ +^ = ( Æ — £A£)<Di+jS^ , « = 1 ,2 ,..., ». (4.23) Si AÎ > 0 commutent et A« = ou A„ = -j- (Ai+i + A }), le schéma (4.23) est inconditionnellement stable et constitue une approximation d’ordre 2. On l ’établit sans trop de difficulté à l ’aide de la méthode de Fourier. S’agissant de A« non commutatifs, le schéma est en général, on le voit aisément, exact à l ’ordre 1 en T . On comprend donc qu’il est moins intéressant pour les applications que le schéma d’ordre d’approximation 2 proposé par Diakonov IXV ; 5]: 0>i+ ^ = ( £ _ | A i ) O i+ i^ r , a = l, 2, (Æ + | A | n-a +i)<I)i+^ = i+^ L, o&= n. », ( 4 '24> 11 //- -J- 21 . . . , 2/i. Etablissons les caractéristiques de la décomposition complète par le schéma (4.23) qui fournit la solution du problème de Cauchy 5.4] MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION POUR n > 2 249? pour A i non commutatifs et semi-définis positifs et est d’ordre d ’approximation 2. Cela équivaut, dans un sens, à résoudre complè tement le problème de décomposition. Le système (4.23) se ramène à une équation n ® * - I I ( ^ + | A i ) ' 1( Æ - | A 4 ) ( ^ . a=l (4.25). L’égalité (4.25) aidant, on établit la majoration en norme iia»:+in < n ( E + ^ A i ) ' i ( E - ^ A L ) a=l ||^ ||. (4.26). D’après Kellogg, I I O ^ I K I I ^ 'I K . . . < ||^ ||. (4.27), Dans le cas d’opérateurs symétriques gauches ((Aiq>, <p) = 0),Il <W+1 || = || || = . . . = || g ||. (4.28)? Ainsi, le schéma est absolument stable. Quel est son ordre d’approximation? Développons a=l (en posant ■ —- || Aa || <C 1 ) suivant les puissances de t petit. Commen r = n n, a=l on commence par développer TJa : K = E - t Ai + (AÎ)2 . . . (4.29), Finalement n n T* = E - t A ' + ^ [ ( A ' > + 2 2 a = l p —a + 1 ( A iA è -A ^ A i) ] + 0(x«). (4.30). Avec A i commutatifs, l’expression sous le signe 2 2 s’annule et on a (4.31), Tj = * E - t A ; + 2 - ( A , ) 2 + O ( t 3) . r250 m é t h o d e s d e r é so l u t io n d e s p r o b l è m e s n o n s t a t io n n a ir e s [c h . 5 On compare (4.31) avec le développement de ^ de (1.8) en série suivant les puissances de -t*A*, A*7 étant défini moyennant (1.22)(1.24), et on voit que dans ce.cas particulier (4.23) approche à l’ordre 2 en t . Si A* ne commutent pas, il est exact à Tordre. 1 en t . On obtient un schéma précis à l ’ordre 2 en remplaçant (4.23) par n T ja & - u (D; + i = a = i n ( 4 -3 2 ) a = n Algorithmiquement, cela signifie qu’on résout d’abord le système *(4.23) sur l ’intervalle ^ 4 t pour a = 1, 2, . . n, puis le même système sur tj ^ t tj+^ pour a = n, n — 1, . . 1 : (Æ + -lA £ ) ^ +^ ~ l = ( E - l - A Ï) o = l, 2, . . n, ( 4 ' 3 3 ) ( £ + J AÏ) ®}+i- ^ = ( E - ^ Ai) a = n, n — 1, . . . , 1. On a évidemment pour le cycle complet (4.33) d)j+i = r ^ î - 1, -où n 1 r = n T’i n T3a = E - 2 x A i + - ^ f ~ ( A j)^ + 0 ( x 3). a=l a = n Ainsi, le schéma (4.33) est exact à l ’ordre 2 en t sur l ’intervalle t ^ tj+i à condition de prendre pour AJa l ’un des opérateurs «de (1.22)-(1.24). On note encore la stabilité absolue de ce schéma pour A^ ^ o. On associe à l ’équation non homogène & + * * -/, (4.34) <p= g pour t = 0, 5. 4] : : MÉTHODES DÉ DÉCOMPOSITION POUR n > 2 251 n où A ( t ) ^ 0 et A = 2 Aa, Aa (i) ^ 0 sur a=l de décomposition (Æ + f A 0 ® ~ le schéma = (E --A i) f ‘, ( ^ - t / W Æ - - \ Ai ) ,q/~* , J+± ( £ + y A i) cp7+” = • (4.35) U )W + * f), ( £ + ^ - A ^ ) «pi+i = ( Æ - ^ A Î .) <j/+~ , OÙ l ,•/ Aa = i4a(tj)» x'; On établit sans peine qu’il est d’ordre d’approximation 2 en t et absolument stable avec qp supposée suffisamment régulièTe.. t Comme pour n = 2, le système (4.35) se met sous forme équiva lente . ( E + ± A a)<ï> (n + l ) - q ^ . = ( £ - - l A a)(]/ a = l , 2, . (n+1> = a > ( £ + j A n. a+2) ®3+^ y = n, j ___!__ ----i--<P . (n + l)-o c + l' (" +1) , (n tl)+ 2 r f , ( 4 .3 6 ) ( £ — Il An_a+2) ® +TÎÎTïr, a = 2, 3, . . w + l . Plaçons-nous maintenant dans le cas d’approximations aux différences implicites et considérons le problème —- -f Aç = 0 dans <p= g*) dans D D x Dt, pour 2 = 0. (4*37) *) On considère des conditions aux limitea hftmogènes pour des raisons méthodologiques. 252 m é t h o d e s d e r é s o l u t io n d e s p r o b l è m e s On suppose que A = NON STATIONNAIRES [CH. 5 A a, tous les A a ^ 0 et sont indépendants a=l du temps. Soit l ’algorithme de décomposition <Pi+1/n-(Pi + ^ +1/W= 0, (4.38) q)i+i — çpj+(n-i)/n -Anq>i+l = 0. Montrons sa stabilité absolue. En effet, on multiplie j p i+ a /n - ( { ) i + ( a - l )/n -^4acp;*+a/n = 0 (4.39) scalairement par cpJ+a/riï il vient ( c p i + a / n _ j+a/n) = 0. Comme A a sont semi-définis positifs, ((pi+a/tt— (pi+Ca-l)/^ (pi+a/nj^0 OU (cpi+a/n^ (pi+a/n^^'+a/n^ (pi+(a-l)/nj# Etant donné ((pj+a/n^ (pi+(a-l)/n^^_ [(cpi+a/n^ çi+a/nj ((pi+(a-l)/nf (pi+.(a-l)/n)]y ù on a ll^+a/nlp^llçi+C a-iV nl^ <*= 1, 2, . . ., 7Z. On aboutit par cette inégalité de récurrence à Il <pi+1 II < Il <Pj II, ( 4 .4 0 ) i.e. il y a stabilité numérique absolue sous les hypothèses faites. Le système (4.38) approche le problème proposé à l ’ordre 1 en t , propriété vérifiée facilement. Soit le problème non homogène ^+A<p = f dans DxDu <p== g dans D pour t =? 0 (4.41) et le schéma de décomposition correspondant ** y n ~ V + A t f + U n = 0, (4.42) <p;+i— (pi+ iw -i )/n ■An^ = f. 5.4] 253 MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION POUR rt > 2 Ce schéma approche l ’équation non homogène considérée à des quantités d’ordre 1 près en t. Afin de démontrer la stabilité, on multiplie chaque équation scalairement par <p-*+1/n, . . ., (pj+1 respectivement. On a comme plus haut I l 9 i + a / n l l < l | ( p j + ( a “ 1)/7lll (cc = 1 , 2 , 1 ). (4 .4 3 ) Arrêtons-nous sur la dernière équation ( 4 .4 2 ) . On a (<pJ+ii <p™) = (<pi+<«-l>/» <pj+1) + T ( f , (p^1). Vu que A n ^ 0, (q)J‘+1, <p;+1)<!(<p;+(n~1)/n, <p3+1) + T( / \ <pi+1). L ’inégalité de Cauchy-Bouniakovski entraîne [(q ^ -K n -l)/^ cpi+l)| || q)?+(n—i)/” || ||tpj+1 1|, I(f, <pi+1) K l l f llll<pi+1ll- Donc il <P™ I P < Il Il II <P'+1 II + T ||f - 1 | || Cp,+1 ||. On obtient en simplifiant par || cp;+1 ||: Il <Pi+1 ll< Il <pi+(n- 1>/n || 4- t || f || et, par élimination des solutions munies d’indices non entiers, n<pi+ i i i < Puisque ii «p * n + ii <p° h = t hn i- ( 4 .4 4 ) h g h, on à en éliminant les valeurs intermédiaires ll<pJ+1 II < où I l s 11 + V 11/ II, (4 .4 5 ) Il / Il = max || f ||, 3 d ’où la stabilité absolue du schéma aux différences. Cet algorithme se transpose à A dépendant du temps, auquel cas on remplace cet opérateur par son approximation aux différences -convenable associée à chaque intervalle t j t ^ £y+ 1 . 5.4.4. Décomposition des problèmes quasi linéaires Soit un problème d’évolution à A dépendant du temps et de là solution, à savoir -~- + A(J, <p)(p = 0 dans (p = g dans D pour D xD u £= 0. ( 4 .4 6 ) 254 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [CH; 5 L’opérateur A (t, cp) est supposé non négatif tel que A ( t t qp)= 2 Aa (t, <p), (4.47) a—1 A a (t, cp) ^ 0 et est suffisamment régulier. On suppose de plus quela solution cp est elle aussi une fonction du temps suffisamment régulière. Considérons sur l ’intervalle tj_± t ^ tj+1 le schéma de décomposition ç pj +i j n- i __ q ji-i . î A . (p?+i/n-r-_|_ çpj-i __n hAi 2 J -f-'» T A. (p i+ (n -l)/n ( X ' ^1 o, ù <pj+i/«_(pj (p i+1 _ =U ’ (4.48) (pj+i/«_[- <pj ^ q qjj+1 (p /+ (7 i-i)/7 i 2 ^ = U’ où A3= A(tJt $0, = (pi—i —rA ( t ^ , cpj_1) tp;_1, X ~ t j tj_x. (4.49) On procède comme pour les opérateurs linéaires dépendant du temps seul et on démontre sans peine que sous la condition (4.49) le schéma (4.48) est d’ordre d’approximation 2 en t et absolument stable. On traite de même les équations quasi linéaires non homogè nes. Cette circonstance ouvre des horizons nouveaux à la méthode de splitting-up dans les problèmes quasi linéaires non stationnaires de très nombreux domaines des sciences de la nature : hydrodynami que, météorologie, océanographie. 5.5. Méthode de splitting-up (approche générale) Le problème suivant se pose fréquemment en physique mathémati que : décomposer les équations différentielles, intégrales ou intégrodifférentielles en des équations plus simples qu’on met ensuite sous forme de différences finies par les techniques de ce chapitre. Il est intimement lié au problème d’approximation faible étudié par Samarski [III; 12] [XV; 5], Yanenko [III], Yanenko, Démidov [XV; 14], Diakonov, Lébédev [XV; 6] et développé par beaucoup d ’auteurs. C’est également notre but à nous. 5.5]* MÉTHODE DE ;SPLITTING^TJP (APPROCHE GÉNÉRALE) 255> Soit un problème de la physique mathématique 4- Aq>= 0 <p= g dans dans D D x Du pour £ = 0. (5.1V v• / Faisons l ’hypothèse 4 = S 4 ,, (5.2> a=l et Aa 0. La solution (p et la fonction / sont supposées suffisam ment régulières. On représente (5.1) sur chaque intervalle 0^ = {tj <1 t ^ +1} par le problème — + 4 aq>a = 0 dans : dans Z)X0^ D pour t = tj, (5.3> OC= 1, 2, . . . y Ïly <pj+1 = <p5, <PÎ+1-<PM - (5.4> Il est déjà connu qu’en discrétisant chaque équation \ l ’aide du schéma de Crank-Nicholson, on obtient le système (i+a/n_|_(pi+(a-l)/n yj+a/n__yj+{a~l)/n -Aa v =0, (5.5) <*= 1» 2, OU yj+ajn 1^ q p i+ l = (p^ +1. (5.6) Supposons que chaque Aa s’écrit comme ma (5.7> Aa = 2 Aa$) P=i A a p ^ 0. Une question se pose: ne vaut-il pas mieux représenter dès le début A par A a $ au lieu de décomposer 4 en 4 a, puis A& e n 4 a p? Malgré l’équivalence apparente des deux procédés, on préfère dans nombre de cas de remplacer un gros problème par une succes sion de problèmes d’importance moyenne qu’on réduit ensuite^de façon indépendante et aisée à des problèmes simples. Prenons le système (5.3) et décomposons-le, compte tenu de (5.7),i+Plma i+(p-l)/ma i+P/ma j+(P-l)/ma Va ~~Va t a Va +Va n ------------ï --------------+ A« t -------------2-------------- = 0’ (5.8> a — 1, 2, . . . , , • • • , W2a , 1256 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLEMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 •avec <P( = <P"; vL = Va-li ( a > 1); < +1 = <pM . On constate facilement que (5.8) approche le problème proposé *{5.1) à des quantités du second ordre près en x s’il y a commutativité «des opérateurs A qq. En effet, si l ’on change le numérotage, compte *tenu de (5.2) et (5.7): n A= ma P 2 A ap= 2 Ayy a=i 3=1 v=l on a le problème qji+ Y /P — q p i+ (V -l) /p ” - j a r^ Y (pi+ Y /P + (p i + ( V - i ) / P 2 V= l t 2, . . n /c m — p, qui approche, on le sait dès le n° 4.4, le problème (5.1) à l ’ordre 2 on x. Le résultat subsiste pour A a $ dépendant du temps, auquel cas -on approche sur chaque t j t ^ 0+ 1 les opérateurs A a$ = A^p à l ’ordre 2 en x. Si A^p ne commutent pas, la procédure 2-cyclique .du n° 4.4 conduit à un schéma exact à l ’ordre 2 sur chaque t j < ^ tj+1» Faisons le bilan. Supposons qu’on ramène un problème d’évolu tion (5.1), A a ^ 0, à des problèmes particuliers (5.3) et qu’on assi mile chacun de ceux-ci à un ensemble de problèmes élémentaires. Si l ’un au moins de ces problèmes élémentaires se réduit à des sché mas aux différences exacts à l ’ordre 1, alors (5.1) est approché à l ’ordre 1 en x. Si chaque problème élémentaire est approché par un schéma exact à l ’ordre 2, on est conduit par un algorithme 2.cyclique en a et p à une approximation d’ordre 2 en x. On note qu’avec A a p non commutatifs et en l ’absence de la procédure 2-cyclique, le problème (5.1) n’est approché qu’à l ’ordre 1 près. Dans le cas nôn commutatif, on a au départ le problème n + 2 .4aq>= 0 dans D x Q j , a=l <p= <p; dans D pour t = tj. (5.10) On lui associe le système -+4a<Pa = Q, <p£-*<p£ti», • <*= 1» 2, . • -, ». (5.11) 5.5] j œ tH Ô D Ë DE SPLITTING-UP (APPROCHE GÉNÉRALE) Soit A a = S 257 On applique à chaque problème (5.11) la 3=i méthode 2-cyclique: B 3 -1 9a 9a j+’3r-l 2m« +<p 2m« 7+- 3 ■A *-*- x/2 = 0, P = 1, 2, • • J+_ 3 _ 9a ,- 4 -lz l 2m„ 2 9a , , 3 A cp a - f <p a + 1 - 3P 9~ 1*“A<x9 a*2^maa +1“ 2 P == ffla “f" 11 ^ a “t“ 2, • . •, 2ma« t/2 i; (5.12) 3 -1 J+ 2m , J+ 2m„ n — Les conditions initiales s’écrivent respectivement <P{ = <P7’» <P* = < P it\ (“ = 2 , . . . , n). (5.13) On voit sans peine que le problème (5.12) approche tout (5.11) sur 0 ^ *7+i à t 2 près. Pour que tout l ’algorithme résout (5.1) à la même précision, on doit alterner les cycles principaux. Ainsi, on a sur 0 - 1 t ^ tj au lieu de (5.11) : -Jp--M<*<Pa = 0, l)t <Pj = < , (5.14) et sur £7-< 0^fy+ i - ^ + ^n-a+i<Pa==0, <P{ = <P;, T» = OC—1 , 2 , . . . , R, (a > 1)* 9M = < +1. (5.15) On suppose de plus que chaque problème (5.14) et (5.15) est abordé par une technique 2-cyclique (5.12). On note qu’avec A afi ^ 0, la méthode de splitting-up est absolument stable. Etablissons enfin un schéma général de décomposition pour l ’équa tion non homogène ■ a F + 2 A a< P= f> cp= g a=1 pour ,t = n0 (5.16) v sur l ’intervalle t ^ x ^ t ^ tj+x dans le cadre de la méthode 2-cycli que. Considérons des schémas d’approximation faible sous forme différentielle. 1 7 -0 4 3 6 258 MÉTHODES DE RESOLUTION DES PROBLEMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 On pose sur t j . x t ^ tji ^ r + A aipa = 0, <x= 1, 2, . . n — 1, (5.17) -Ê§*~+ An<pn = f + ± A nf, et sur tj-^.t<Ct]+i - % ± l - + A n <pn + 1 = / - - l A nf , (5.18) “1“-^n-o+iÇn+a = 0, a = 2, 3, n, sous les conditions <Pl (*/-1) = a = n + i, n + 2, . . ., 2n. (5.20) Si l’on résout (5.17)-(5.19) sur t}_x £j+1 moyennant les schémas de Crank-Nicholson et si l ’on pose f —f , on obtient (4.35) pour (5.18). A part le système (5.17), (5.18), on considère: d<Pi A1cp1= 0, dt (5.21) d<Pn dt 4„q>n = 0 sur t j . x -< t -< tj\ ^9n+i __ f dt J (5.22) sur d<Pn+2 dt ^7l<Pn+2 =-0» (5.23). 2n+l = 0 sur tj ^ t fy+1. Les conditions initiales sont respectivement <Pl = <P fe-l). <Pa (*;-l) = <Pct-l {*}) (<*' = 2, 3, . . ., Tl), (5.24) (5.25) <Pn+l (tj-1) = <P* (*/) 5.6] MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES 259 et 9 a (*j) = 9 a-i (*m)i a = n + 2, n + 3, . . 2n + 1. (5.26) La propriété d’approximation et la stabilité des schémas obtenus en garantissent la convergence (voir n° 1.4). 5.6. Méthodes de résolution des équations hyperboliques Une vaste classe de problèmes de la physique mathématique relève des équations hyperboliques dont la résolution numérique date de l ’ouvrage fondamental de Courant, Friedrichs, Lewy [VII]. De nombreux mathématiciens s’y sont intéressés intensément (citons entre autres Ladyjenskaïa [II; 5], Godounov [II], Samarski [III; 12], Konovalov [XV; 8]). On connaît plusieurs méthodes efficaces pour les problèmes hyperboliques attachés à la théorie des vibrations et à la théorie de l ’élasticité pour le cas des domaines multidimensionnels. S’agissant des opérateurs, solutions et données réguliers, ces méthodes procèdent d’algorithmes spéciaux ci-dessous. 5.6.1. Méthode de stabilisation Soit le problème -^ L + A<p = / dans D x Du ( 6 . 1) <p= p, •— = # dans D pour f = 0, où A est supposé être un opérateur aux différences indépendant du temps et p et g sont telles qu’il y ait régularité suffisante de la solu tion. Faisons l ’hypothèse ( ^ 9 , <p) > Y2 (<P, <P), (6.2) i.e. A est défini positif. On rappelle qu’on a pour A définis positifs avec a la plus petite valeur propre de l ’opérateur A^ -A*. dà Considérons le problème aux différences qui approche (6.1) <pi+1 — 2 tpJ+ cpi- 1 A-Ay’ = f . (6.3) On montre aisément qu’étant donnée la régularité de la solution* ( le schéma (6.3) approche l ’équation de (6.1) à l ’ordre 2 en t . Adjoi-’ gnons à (6.3) les conditions initiales. On veut conserver l ’ordre d’ap17 * 260 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLEMES NON STATIONNAIRES [CH. 5 proximation et on prend donc les conditions <P° = P, <P1 = ( £ —^ - A ^ p + xq + ^ - f 0.(6.4) La dernière relation s’obtient en développant la solution de (6.1) en série de Taylor autour de t — 0 et en éliminant les dérivées à l ’aide de l ’équation et des conditions initiales données du problème (6 . 1). Ainsi, le problème, (6.3), (6.4) se trouve posé. Quelle est la stabi lité numérique du schéma (6.3)? On l’établit en termes de spectre. Soient un, u* des fonctions propres et Xn > 0 les valeurs propres associées des problèmes spectraux Au = ku, A*u* = ku*. (6.5) On suppose que {un} forme une base et on cherche une solution de la forme ( 6 . 6) ou K=(<p3, “»)• Portons la série de Fourier (6.6) dans (6.3) et multiplions par il vient pour les coefficients de Fourier (ph ^ +■ *71 1 i O , *71 —2© *71 r, (6.7) — +K<PJn = f nJ T2 On cherche la solution générale de l ’équation homogène associée /sous forme de fonction puissance <p7n = < (6-8) (J du premier membre est un indice et / à droite un exposant). On porte (6.8) dans (6.7) et on pose fn = 0. On aboutit à l’équa tion caractéristique pour t)^ t£ - 2 ( l — — 2-) rin + l = 0. (6.9) On vérifie de suite que si 1 %2K < 1, ( 6 . 10) «lors l ’équation (6.9) a ses racines complexes conjuguées de modu le- = 1, i.e. I r,n | = 1. (6.11) On .tire de (6.10) x2< — , n = ,l , 2, ...... , ( 6 - 12) 5.6] MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES 261 Evidemment, (6.12) a lieu pour tout Xn si 2 (6.13) VW) ’ p (4) étant la borne supérieure du spectre de l ’opérateur A. S’agis sant des opérateurs symétriques on a p (4) = || A ||, donc Y (6.14) IM 1 On passe aux schémas aux différences implicites <pi+1—2«pi-f (pi-i , ^ (pi+i-f (pj-i ^ 2 (6.15) Ce schéma est exact à l ’ordre 2 en x et le problème (6.15), (6.4) approche (6.1) à l ’ordre 2. L’équation caractéristique correspondante s’écrit (6.16) < -------- f 1 = 0 , *+ -¥ par conséquent, (6.17) n Ainsi, on a (6.18) I Tl„ | = 1 quels que soient t et n. Le schéma (6.15) est absolument stable (voir Richtmyer, Morton [III]). Plaçons-nous au cas A = S A a, (6.19) a—1 et tous les A a > 0. On utilise, pour approcher (6.1), l ’équation aux différences de la forme B + A tf=l>, (6.20) où n B = n ( ^ + 4 4 » )- <6-2 l> a=l Il résulte de (6.20) et (6.21) que l ’équation (6.20) approche (6.1) à des quantités du second ordre près en t. Comme elle se ramène à + B-' Atf = , (6.22) 262 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES [GH. 5 la théorie des séries de Fourier entraîne la condition nécessaire de stabilité du schéma (6.20), (6.21) 2 (6.23) Ainsi, choisir un paramètre t vérifiant la condition de stabilité équivaut à calculer la plus grande valeur propre du problème Au = W u , (6.24) la matrice B~XA étant supposée à valeurs propres positives. On résout ce problème par la méthode itérative de Ljusternik. Le schéma aux différences associé à (6.20) est mis en œuvre de façon suivante ( £ + ^ i ) S i+1/” = - V + f, { e + — -A2) l }+2ln = l i+lln, ............................................... (pJ+1 = 2(p 7 — cp;_1 (6.25) t 2 £ ;+1. On utilise successivement / = 2, 3, . . . et les données initiales (6.4). Le schéma (6.20) constitue un schéma de décomposition. 5.6.2. Réduction de l’équation des vibrations à un problème d’évolution La construction de schémas aux différences absolument stables pour les équations hyperboliques qui approchent le problème proposé à l ’ordre 2 et soient efficaces en calcul automatique a exigé des méthodes de décomposition spéciales analogues à celles attachées aux problèmes d’évolution. L’idée de base de la réduction formelle d’un problème hyperboli que à un problème d’évolution est illustrée par le problème simple des membranes vibrantes avec les conditions aux limites périodiques par rapport au carré Z? ={0 ^ 1, 0 <1 i/ ^ 1}: d2cp _ dt2 ” 9 = Pt d dx a2- ^ + - w a2w dans D x D t ' (6.26) -—- = g dans D pour é = 0. Ici a2 = a2 (#, y) est le carré de la vitesse de propagation des pertur bations, p = p (x, y), q = q (x, y) sont des fonctions données. La solution périodique cp est suffisamment régulière pour qu’on puisse 5.6] MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES 263 effectuer des transformations nécessaires et former des schémas aux différences exacts à l ’ordre 2 en x, y , t. L’équation de (6.26) se met sous la forme dcp du a dx = o , lt #9 = 0n _d v _ a _X dcp dans D x Dt, / dau l dx dt (6.27) 0. Les données initiales sont « = u° (x, y), v — v° (x, y), <p = p (x, y) pour t = 0. (6.28) Le choix de u° et v° peut être plus ou moins arbitraire à condition d’avoir la relation . dauQ dx dav0 dy = q(x, y). (6.29) Introduisons une matrice A et un vecteur cp définis par 0 0 d 0 d u 0 4= d dx a d - r r - a dy — a-7- , <p= dy V <p 0 auquel cas le système (6.27) et les données initiales (6.28) s’écrivent -f^- + -d<P= 0 <p= <p° dans D dans pour D x Du(6.30) £ = 0, <p° ayant pour composantes u°, v° et p. Pour établir la définitivité de l ’opérateur .A on forme la fonction nelle (A(P> <P) = — j D J (auy) + A- (aixp)] dD = — auncp dS, “ (6.31) B avec la composante normale à <5 du vecteur u = ui + uj. Etant donnée la périodicité de a, «p (et des dérivées de la solution), les valeurs de un aux points des côtés opposés de D et symétriques par rapport à son centre sont évidemment de même module et de signes contraires. L’intégrale de surface de (6.31) s’annule donc et on est conduit à la condition (6.32) 04<p, <p) = 0. 264 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES" PROBLÈMES NO N. STATIONNAIRES [CH. 5 On note que si l ’on impose, au lieu de la périodicité, la fixation rigide de la membrane (qp — 0), on a la condition (6.32) (cela découle de (6.31)). Cette remarque s’applique évidemment à Z) de forme quelconque. La condition (6.32) garantit l ’unicité de la solution. En effet, multiplions (6.30) scalairement par. q> et utilisons (6.32), il vient -i-||<p|P = 0, (6.33) OÙ Il «P11= [ j (u2 + v2•+- qp2) dZ) j 1/2 . D On suppose u° = 0 , v° = 0, <p° = 0 , auquel cas (6.34) Il 9° Il = o. Résolvons (6.33) sous cette condition: Il 9 II = Il 9° Il = 0, i.e. on a à tout instant u = 0, v = 0, (p = 0, ce qui démontre l ’unicité. Formulons la méthode de décomposition pour le problème (6.30). On introduit les matrices 0 0 ^2 — 0 0 0 ày d 0 0 — a dx 0 0 0 da -----dx 0 0 » ! 0 d d ~ ~ a ~dÿ 0 Evidemment, A = Ax + A v (6-35) On montre comme plus haut que (Ax<?, 9) = 0, ( 4 2<p, (p) = 0. (6.36) Autrement dit, on aborde le problème proposé sur chaque intervalle tj ^ t ^ t j + 1 par n ’importe quel procédé du numéro 4.3 (stabilisa tion, prédiction-correction, splitting-up). Si l ’équation des vibra tions est à plusieurs variables, on opte pour la dernière méthode qui conduit à des schémas absolument stables exacts à l ’ordre 2 sous, des conditions de la forme (6:36). 5.6] MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES 265 Effectuons la réduction du problème (6.30) sur chaque tj+x à l ’aide de cette technique. On a ^+1/2-9? , A qpi+1/2 + (pi = 0, <p-'+1 + <p,+ 1/2 q , j + i _ q p ^ + ‘ /2 (6.37) a ------- x---------h A z -------- 2---------=U > ou scalairement uJ+1/2_ uj ___ q / (pi+1/2_|_(pi ^ x a dx \ 2J )> yi+l/2—vj =0, x ni+i/2—(pi __ d Uj+i/2 + Ui (6.38) (« dx et U3+i —ui+1/2 yj +l =0 , 1/2 9 / mi+iJ-œi+l/Z v ( 2 )> yi+l-|-yi+l/2 9 (a . qji+i —(p-, +*/2 (6.39) )• Vu que z/ +1/2 — fient comme suit: et ï^’+1/2 = uj+1, les systèmes (6.38) se simpli- wi+i —wi ï — (p i + 1 / 2 — ç p j __ x d / cp;+1/2 + (pi \ 2 ^ # / u i +1-)-u3 \ 2 /* dx \ y i+ 1 — y i _____a / ? “ a dy d / cpi+i —cp-7"^1/^ (6.40) q > j + l-J -< p i+ 1 / 2 V 2 pi+i + p iv (6.41) On trouve i ^ +1, q /+1/2 à partir de (6.40) et i / +1 ,cp,*+1 à partir de? (6.41). On discrétise en x et y de façon à obtenir pour u, v et cp des schémas absolument stables d’ordre d’approximation 2 et à rester dans les conditions (6.36) pour A x et A 2 sous forme de différences- 266 MÉTHODES DE RESOLUTION DES PROBLEMES NON STATIOTTOAIRES [CH. 5 finies. On pose uh t \ —uk .l ah. l r / <P,+ 1 /2 + (Pi \ fe L\ x f I <p! Î P - < z 2 }h , i / + \ « ( ----2---- )*+i , ./ cpi + 1 / 2 + <pi \ 1 V 2 / h—1, J ’ (6.42) / ui+1+ ui \ "1 1( 2 )fe#J • Ainsi, la première équation utilise une différence « arrière » et la seconde une différence « avant ». On a de même pour (6.41) ti L\ (6.< ’PÎf* — tPiTî1/2 1 r„ f ' i v } +1 + v i \ j v i + l —v* \ 1 ---------ï -------- = T L aft>!+1 ( ----- 2----- )k,ÿ+i - ah’1( -----2----- )*, J - On écrit (6.42), (6.43) pour k = 1, 2, . . N — 1, Z = 1, 2, . . , .. . ., N - 1. Considérons le cas avec la condition à la frontière de D <p = 0 sur dD X Dt. (6.44) On a, en projetant (6.44) sur le réseau dDh X Dx : j/Po, i — Çiv, i = 0 et <Pft, o = = 0, (6.45) j pouvant être entier ou fractionnaire. On note que connaissant <P&,u <Pjm/2, y i î î 0Û définit ulî et v £ l en tous les nœuds] fron tières à l ’aide de (6.42), (6.43) et (6.45). \ Les équations (6.42), (6.43) se ramènent par élimination des inconnues uj^ \ , vi^] à des équations aux différences en <fk,i- On introduit à cet effet les quantités auxiliaires •<pm 1/4=4 +<pi,Or <pi t i 3/i=4 (vm+<pm 1/2)- (6.46) auquel cas (6.42), (6.43) se récrivent .pl+i, i (V k V /S — <PC(/4) — fili(<pCil/i — —(V ktî^ = — f k t i 1' » (6.47) J+ l («PfcTfil - 9 Â + |3/4) — 1*41,1 — ÇftTi3- 4 ) — *Pft^3/4 — — 5.6] MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES 267 OÙ = 2<Pkt i + f î t ? /k = 2 cpftf/ /2 + 2 z—fXfe, i]ubt i), I+1 v h , z + i — [xftt z u*. z)- On a donc l ’algorithme de calcul suivant pour le problème (6.30). On définit les champs initiaux des ulth Vk.u cp2fj, les deux premières fonctions étant assujetties à vérifier l ’analogue aux diffé rences de (6.29). On calcule par la première formule (6.48) et on résout la première équation aux différences (6.47) avec la condi tion (6.45) sur la frontière de D h. On détermine par les valeurs obtenues cp à l ’aide de la premizère formule (6.46). On résout la seconde équation (6.47) sous la condition (6.45) et on calcule moyennant (6.46) les quantités <Ph t i = 2(p^z3/4 — <Pftîz1/2. On utilise (p^1 ainsi obtenus pour déterminer ujjt9\ et v*k,\ à l ’aide des premières relations (6.42) et (6.43). La méthode décrite se généralise aisément au cas d’équations hyperboliques plus complexes et elle conduit en général à des sché mas absolument stables d’ordre d’approximation 2 sous une condi tion faible imposée à la définitivité des opérateurs A a. CHAPITRE 6 AMÉLIORATION DE LA PRÉCISION DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON La formation des solutions approchées très précises constitue un problème pressant de l ’Analyse numérique. Parmi les méthodes connues, les schémas aux différences et les schémas variationnels aux différences de haute précision (Runge-Kutta, prédiction-correction, extrapolation de Richardson) trouvent les plus nombreuses applica tions. Ce chapitre est essentiellement consacré à une méthode dont l ’idée remonte à Richardson qui l ’a appelée extrapolation à la limite [IV]. Elle consiste à construire les solutions approchées avec une précision donnée moyennant une suite de réseaux et les approxima tions associées d’un même type. Cette tactique permet de se borner aux approximations standards d’ordre de précision 1 et 2. L’extrapolation à la limite s’applique aujourd’hui à des problè mes des plus variés, voire non linéaires, dont plusieurs, parmi les plus simples, font l ’objet des pages suivantes. 6.1. Equation différentielle[]ordinaire dufjpremier ordre Nous allons étudier l ’effet de l ’extrapolation de Richardson sur un pas d’un réseau de discrétisation dans le cas d’une équation linéaire simple. Soit u (£) solution de l ’équation différentielle u* + a ( t ) u = f ( t ) , *6 ( 0 , 1), (1.1) avec la condition initiale u (0) = u0. (1.2) On suppose que a ( t ) > 0, *6 (0, 1), et que toutes les fonctions sont suffisamment régulières. Divisons le segment [0, 1] par les points « entiers » tj = /t, / = 0, 1, . . .B M (1.3) (1.4) 6.1] ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ORDINAIRE DU PREMIER ORDRE 269 en pas de longueur t = 1/M, M étant un nombre entier, et les points « intermédiaires » t}+1/2 = (/' + 1/2) T, ; = 0, 1, . . M — 1. (1.5) Conformément à Crank-Nicholson (voir n° 5.2), on remplace l ’équa tion (1.1) relative aux nœuds intermédiaires par le système algébri que approché Ui + 1 - Uj + a j+ l/2 u i+ '+ u i T = ^ + i / 2> J = o, 1 . ( 1.6) ^ On adjoint la condition initiale u° = u0 e t on définit tous les (17) de façon récurrente : k- i liJ= ( l + y f l M /2 ) [ ( l — y a i“ 1/2) —y f 1/2] f ( 1 . 8) 7 = 1» 2, Il est déjà connu que le problème aux différences (1.6)-(1.7) est <Tordre d’approximation 2, et on évalue la stabilité K l < “o + max \ f +l,2\ 1 (1-9) en raisonnant comme au n° 5.2 et en prenant, au lieu de la matrice A? définie positive, le nombre positif a?*1!2. Selon le numéro 1.4, la solution du problème aux différences approche donc la solution <lu problème différentiel à l ’ordre 2 en t max | uj — (m)*’ (1. 10) 0<j<M la constante Cx étant indépendante de t. Voyons ce qu’il en devient en calcul sur ordinateur dans le cas <le l ’équation u' + tu = t, t £ (0, 1), (1.11) avec la condition initiale u (0) = 2. (1.12) On vérifie aisément que ce problème admet comme solution exacte _ u(t) = e 2 + 1 . (1.13) L’expérience numérique a consisté à approcher la solution de <1.4)-(1.8) pour M = 10, 20, 50, 100, 200 et a définir (1.14) max I uj — (u)j \. 0 AMÊL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. G 270 La f ig. 18 représente £, en fonction de M ( H— |- — valeurs cal culées; ----------- valeurs théoriques). On voit que les expériences numériques confirment l ’estimation (1.10). La vérification ultérieure révèle que (1.10) ne saurait être améliorée en ce qui concerne l ’ordre de grandeur, i.e. I > C2t 2 (1.15) avec une constante positive C2 indépendante de t . Ainsi* la plus grande erreur (1.14) sur la solution approchée est de l ’ordre de tv , 7 = 2 . Richardson a observé, au lieu de l ’erreur maximale, l ’erreur sur la solution approchée relative à chaque point du réseau et formulé en 1910 l ’hypothèse suivante sur son comportement avec t tendant vers 0 : V\ U' (u f = T2 ( v Y + / = 0, 1, . . V M. V. (1.16) Ceci étant, la partie principale t 2 (vf de l ’erreur est le produit \ \ de t 2 par les valeurs de v (t) in dépendante. de t aux nœuds et le reste if est O (t4) quel que IgM soit ; = 0, 1, . . ., M . Nous nous proposons de jus Fig. 18 tifier ce résultat pour le problême (1.1)-(1.3). On procède d’ordinaire en trois étapes. On établit des conditions nécessaires de (1.16), on forme avec un problème aux limites dont u (t) est solution et on démontre enfin la borne de la fonction discrè te rf/T4. Ainsi, si la relation (1.16) a lieu, on écrit M, (1.17) U‘J = (»)' + T2 ( ü Y + 7 = 0, 1, où le reste est supposé être O (t4). On fixe / et on porte les valeurs de uj dans (1.6): („)j+i - (u)i + aj+i/2 (u)i+i+(u)3 + ■qJ+1/2 Wi+1+ Wi + x2 (- ■7+1/2 Développons u et v en série de Taylor w \ 7 + 1/2 + 1/2 (") / . 7+ 1/ 2+ 1/2 T . , , T2 / % f \ 7 + 1 /2 • •» ( 1. 18) 6 .i] ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ORDINAIRE DU PREMIER ORDRE 271 et faisons correspondre à chaque terme une valeur de la fonction au nœud / + 1/2 : (u ' -f a u + - \- ^ a u " ) - f t 2(i/ -f ai ; ) ) 3+1/2 + . . . = f +iJ2r Les quantités de l ’ordre de O (t°) étant éliminées par suite de la validité de (1.1) en j + 1/2, il faut pour avoir l ’égalité avec O qu’on ait (v' + avŸ+il2= ( — ^ W ’- l au ''y +ll2l 7 = 0, 1.........M — ï. (1.19) Considérons l ’égalité (1.17) pour j = 0: u° = u0 + t (v)° + . . . (1.20) Les conditions initiales (1.2) et (1.7) entraînent u° = u 0, d’où la condition pour v° quand t 0 (v)° = 0. (1.21) Les conditions nécessaires découlant de (1.17) sont donc cons truites. On suppose maintenant que v (t) est définie si (1.19) a lieu sur (0, 1) tout entier, i.e. on a v'(t) + a ( t ) v ( t ) = ~ ± - u " ( t ) — w { au"(t), *6(0,1). (1.22) Adjoignons à cette équation (par rapport à v (t)) la condition initiale y (0) = 0, (1.23) conséquence de (1.21), il vient un problème différentiel qui possède la solution v (t) suffisamment régulière, v ne dépendant évidemment pas de t. On démontre que la fonction discrète r) définie par M + 1 rela tions rf = u3 - (uY - t2 (v)j (1.24) prend des valeurs en O ( t 4). On fixe un / et on porte r] dans l ’opérateur aux différences du problème (1.6): + aj+1/2 Tl3>1+ Tli = _|_aj+1/2 üJ+1+ «3' _|_ 2 % , / (»)<"-(.)< _ t, ( 2 % , + + a u m <»>'"+SU ) . (1.25) On effectue certaines transformations sur le second membre. La formule (1.6) entraîne l’égalité des deux premiers termes et de /;+1/2r •272 AMÉL. DES SOLUTIONS APPROCHEES AU SENS. DE RICHARDSON [CH. 6 «t on associe toutes les fonctions des termes restants aux valeurs au nœud f + 1/2 par le développement (1.18) avec restes sous forme de Lagrange : V*1- v + ai+1/2 X 2 = = ( / — u ' — a u — x2 w ' " a u " ) — x2 ( u ' + a u ) ^ + i/2 — ( î r â “ v ® > + w ' ,,+,/2“ I Ï ® ) ) — ' ‘ (-à-*’" < a ) + i ‘‘i+ 1 ,v ® ) ) . étant des points de l ’intervalle (fy, fy+1). On simplifie la dernière égalité car u est la solution de (1.1) •et v celle de (1.22): Si u et u possèdent sur [0, 1] des dérivées continues figurant •dans (1.26), alors le second membre est une quantité bornée en valeur absolue par x4C3, la constante C3 étant indépendante de x. Utilisons •ce résultat valide pour tout / = 0, 1, . . ., M et l ’estimation (1.9), il vient IV l < l »i0 1+ * c a et la définition de rf implique rj° = 0 par suite de (1.21), (1.7) et •(1.23). Donc I V I < Tlc 3, / = 0, 1, . . ., M, (1.27) *ce qui prouve l ’hypothèse (1.16). Ce développement est à la base d’une méthode d’amélioration de la précision. Soient ux et ux/2 solutions de deux problèmes approchés (1.6), *(1.7) avec pas respectifs x et t/2. Bien que chaque solution soit en O (t2), on génère facilement une solution exacte à l ’ordre 4 basée sur un réseau de pas t . Soit donc tj = t* un point quelconque d’un réseau de pas t, auquel cas la combinaison linéaire ^ = — g-î^/2 (1.28) -approche la solution exacte u à l ’ordre 4 en t : K - u ( / t ) |< t * C 4, 7 = 0, 1, l a constante Ck étant indépendante de t. (1.29) ÉQUATION DE DIFFUSION A UNE DIMENSION 6.2] 273 On démontre ce résultat. Les deux solutions approchées se déve loppent au point 71 en u \ = U (;t) + x 2v (/t) + x\x et « ? /2 = u (/t) + — y ( ; t ) + t if j r Pour former uJ on utilise la coïncidence de u (7r) et u (7t ) : = ( t - t ) D’où u + t2 ( T •T - t ) y W + (T ^ 2- T • uj = u (;t) + — î)t2/2- — On obtient, compte tenu de la majoration (1.27), — 3 ri2i h/2 - ^ 3 16 ° 3 + 3 ° 3 — t 4r 12T Ü3î d’où (1.29) si C4= — c 3. Le procédé décrit se transpose aux réseaux non réguliers, mais les raisonnements se compliquent. Si l ’on augmente le nombre de termes du développement (1.16), l ’ordre de précision de la solution approchée obtenue est supérieur à 4. Un exemple de cette généralisation est donné au numéro suivant. 6.2. Equation de diffusion à une dimension Nous allons étudier le problème de Dirichlet pour l ’équation de diffusion simple —ë + q ^ u==f ^ ’ u (0) = 0, u (1) = 0, 1)’ (2.2) sous l ’hypothèse que q (x) > 0 (2.3) et que g, / et, partant, u sont suffisamment régulières. Nous appliquerons au problème (2.1)-(2.2), primo, une variante de l ’extrapolation à la limite (Marchuk, Shaydourov [IV ; 19, 40]) en termes de méthode variationnelle des différences de Galerkin et, secundo, l ’extrapolation à la limite pour les schémas aux différences qui fournit les solutions approchées en O (h2h), k = 2, 3 et plus grand, quand h 0. 1 8 -0 4 3 6 274 A M É L . D E S S O L U T IO N S A P P R O C H É E S A U SEN S D E R IC H A R D S O N [C H . 6 6.2.1. Méthode de Galerkin Contrairement aux méthodes variationnelles des différences de haute précision qui utilisent plus de fonctions de base très régulières (l’exemple en est donné au n° 2.4) que de coutume, la méthode cidessous augmente la précision des solutions approchées en prenant des combinaisons linéaires de solutions obtenues avec plusieurs pas différents et en recourant aux fonctions de base linéaires par mor ceaux. Pour approcher le problème initial on divise l ’intervalle [0, 1] en N parties de longueur h = UN par les points équidistants xk = kh, k = 0, 1, . . ., N, (2.4) to II et on construit les fonctions de base ayk du point 2.3.2 : si * € ( — oo, xk. } 0 J I X—Xh si x£(xh-i, *k]. (0ft (x) = A X—Xh si X^(X/{, Xk+i), h si x € [^ft+n + cc; 0 . . . , N — l. On multiplie (2.1) par chaque fonction de base et on intègre le résultat, il vient 2 Xk+1 dx= f^d x. xh-1 *h~l * = 1, N - 1, — j ( ^ û)A+ S,UÜ)ft) ) à condition que u (x) est solution du problème (2.1), (2.2). Intégrons par parties, compte tenu de l ’égalité cofe (xk±1) = 0: Kk+i du d(ùk dx dx î < xh-i On introduit les notations xk+i ■qu(ùk ^j d x = j f(ùk dx. 1 (2.5) î î (v, w)= j v(x)w(x)dx, [v, qvw) dx 0 0 destinées à simplifier l ’exposé ultérieur. Avec ces notations, les égalités précédentes s’écrivent lu, o ft] = if, <ùh), k — 1, 2, . . N — 1. (2.6) u>]= j (■£•■£■+ 6.2‘ ÉQUATION DE DIFFUSION A UNE DIMENSION 275 Ces identités aidant, on cherche une solution approchée uh(x) de la forme N- 1 u\(x)—.2 « ;“ /(*), (2.7) .7=1 avec des constantes a i définies par les égalités obtenues à partir de (2.6) par substitution u h {x) = u (x) : IV-.l 2 a ht [iùU Cûft] = (/, fc = l, 2, A ^ - l. ( 2 . 8) i=i On a intérêt à mettre ce système sous forme matricielle 0 0 ... 0 c2 . . . 0 a3 b3 ••• 0 0 0 0 0 bx c1 A a = 0 0 01 0 ... 2 0 . . . ÜN-1 a? g2 (2.9) aîv-2 a^v-i SN-2 En ~~1 d’éléments ak = ----\ h = - j - + xh x —Xk )\ xk —x h S (H h 11 h { ( l + ^— j ( l — — ^ ) 2 gd a;= [(û ft, ©ft], xk-i cft = afe+l= [Wft+1, ©fc], et *fc+i = j ( l + ^ ) / Æ r + j ( l _ £ ^ * ) / d z = (/, ©ft). Kft-1 ^ Xh Si une fonction n ’est pas un polynôme de degré < 2 , elle est évi demment approchée uniformément sur [0, 1] à l ’ordre 2 en h au plus par les fonctions linéaires par morceaux à base de ©f (x). On énonce donc, au lieu de l ’hypothèse de Richardson, la condition : les coefficients admettent pour h-> 0 le développement a\ = u (kh) + h2v (kh) + t]£, k = 0, 1, N, (2.10> où u (.r) est solution du problème (2.1), (2.2), v (x) une fonction régulière indépendante de h et rfe une fonction discrète bornée uni18 * 276 AMÉL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 formément en k par une quantité de l ’ordre de O (fo4) en valeur abso lue : ( 2 . 11) la constante Cx étant indépendante de h et k . On procède en trois étapes : 1) on explique le choix de v (x), 2) on cherche cette fonction et 3) on prouve l ’estimation (2.11). S’il y a validité de (2.10), on obtient en conservant les deux termes principaux : a* = u (xh) + h?v (xh) + O (ihk). (2.12) Portons dans (2.9) : a.hU (£fc-i) + bku (xh) + Chu (xh+1) + + h? (akv (a;fe_i) + b^v (xh) + chv (^+1)) + O (hk) = gh, ' k = 1, 2, . . ., N '— 1, (2.13) où ax = cN_x = 0 pour fixer les idées. Il y a des doutes sur la gran deur de O (fe4) parce que les calculs simples donnent O (h3). On montrera qu’elle est en réalité inférieure. Connaissant les valeurs de u (x) et v (x) aux nœuds du réseau, on construit les fonctions continues ~ N -1 ^ u(x)=- S u (xi) (ùi (x) et N —1 u(x)= 2 v(xi)un(x)i 1=1 -7=1 prolongements linéaires par morceaux de u (#) et v {x) respective ment. La forme des coefficients ahl bhl ch, gh permet d’aboutir non pas à (2.13) mais aux égalités [u, (ùk] + h?[v, (oft] + 0(/z4) = (/, ©ft), k = 1, 2, . . TV— 1. (2.14) On en déduit facilement en intégrant par parties 1 , 2 1 —x ùXx h-i) + X u (Xft) — X “(x*+1) = = J fJ/tM s \A/iAs J 0 0 k = 1 , 2, . . . , N - 1 . U/Us CIfUs (2A5) Les développements tayloriens de u (x) et v (x) u{x) = u (xh) + (x— xk) - g (xh) + - g (xh) + O (h3), q(x) = q (xh) + ( x - xh) £ (*k) + g (Xh) + p (h3) ^ ^ 6.2] ÉQUATION DE DIFFUSION A UNE DIMENSION 277 sur chaque (xk_x, Æfe+1) permettent de prouver l ’égalité (qu, «ah) = (qu, ü)h) + h2(w, (àk) + 0 ( h 3), (2.17) OÙ XV{x)=--^q{x)^-{x). En effet, on a ~r (u (x k)(x — xh_l)-\-u(xk_1)(xk — a:)), ! xk), — (u (xh) (xk+1 — x) + u(x h+l) (x — xk)), x 6 (xk,xh+i), { si bien que U (xk) -f (xh —x) u' (xk) + (xh- x ) - ^ - u" (xh) + O (h3) Û(x)= P°Ur u (Zft) + (x — xk) u' {xh) + (x— Xk)-J u” (xh) + O (h3) pour x £ ( x h, xh+}). Utilisons la dernière égalité et les développements (2.16) et intégrons les polynômes sous J , il vient (qu, cùk) = hu(xh)q(xh) — — h3 (■-J2 U( Xh) q" (xh) + - j j W (xh) q (xk) + u" (xh) q (xh) ] + O (h3), (gu, a h) = hu (xh) q (xh) — h3— (u (xh) q (xh))" + O (/i4), h2(w, ©k) = h3w(xk) + 0 (h^. On prouve (2.17) par identification des coefficients des termes en h et h3. On réunit (2.15) et (2.17) : Lu, C0h] = lu, Cùft] + h2 (w, œk) + O (T*4). (2.18) S’agissant de y (x) et de (2.16) tronqué, on a par des calculs ana logues h2 (v, <ah) = h2 (v, ce*) + 0 (ft4). Cette égalité devient par application de (2.15) juste pour v (x) h2 [n, ©ft) = h2 [y, coft] + 0 (h1). (2.19) 278 A M É L . D E S S O L U T IO N S APPROCHÉES A U SEN S D E R IC H A R D S O N [C H . 6 On effectue enfin des substitutions dans le premier membre de (2.14) à l ’aide de (2.18) et (2.19): [u, © J + h2 (iw, coft) + h2 [v, cDh] + O (h!1) = (J, ©ft), (2.20) k = 1, 2..........N — 1. On veut que l ’identité a lieu pour tout h et on exige donc la coïncidence des coefficients principaux. On identifie les coefficients des termes en h° et h2 : [u, ©ft] = (/, ©h), (2.21) [n, ©fe] = —(w, ©ft), (2.22) k = 1, 2, . . ., N - 1. Les conditions nécessaires sont donc établies. Le premier groupe de ces égalités coïncide avec (2.6), conséquence de (2.1), et il suffit, pour avoir les égalités suivantes, de prendre u (x) pour solution du problème aux limites - <2-23) v(0) = v(1) = 0. (2.24) Ainsi, on a établi l ’équation qui définit v (x). Il reste à démontrer la majoration (2.11) de la fonction discrétisée rfc définie par = k = 0, 1, (2.25) On reconstitue, à partir des valeurs de rp aux nœuds du réseau, le prolongement linéaire par morceaux ~ N ~ i r\h {x)= S îtftMx), auquel cas (2.25) se récrit r\h (x) = uh (x) — u(x) —h2v (a:), ce qui entraîne [T] ( x ) , © ft] = [uh, © ft] — [ü, (àk ] — h 2 [v, © * ] . (2.26) Avec u et q supposées avoir sur [0, 1] des dérivées continues d ’ordre 1, 2, 3 et 4, on a le développement taylorien de u : 0 ax un développement analogue de q et V (x) = V (xfe) 4- (*—xh) ^ (Xh) + - g - (pg), z 6 ( * f t - i , x k+1) . ÉQUATION DE DIFFUSION A UNE DIMENSION 279 avec £t et Ç (xk-n Xh+i)* les deux derniers développements comp tant deux termes de moins. Par les mêmes raisonnements que dans le cas de conditions nécessaires, on ramène (2.26) à [t], | aA|< C 2fe5, (2.27) du moment que le choix de v (x) pour solution du problème (2.23) a fait simplifier tous les termes en h et h3. On multiplie toutes les égalités (2.27) par r|f et on somme par rapport à tous les l : _ _ JV-i h"» Tf] = S fffHr On substitue à et à les valeurs maximales [r/\ r\h] ^ N C 2h5 max | rtf | = C2hk max | rjft (æ)|. (2.28) Pour obtenir la minoration on fait appel à l ’inégalité suivante qui découle de l ’inégalité de Cauchy-Bouniakovski pour y (x) = 0 en x = 0: X X X J J I y (*) | = | j y' (t) dt |■< ( 1 dt ) 1/2 ( (y' (t))2 dt ) 1/2< 0 0 0 1 1 < V x ( j (y' (t))2dt ) 1/2< ({ {(y’ (t))2+ g (y (t))2} d t f \ 0 0 Comme vf1 {x) est nulle au point x = 0, on a I et l ’estimation (2.28) implique *6[0, 1], max | r/1(æ)|2<C[ïi\ y{l] ^ C 2hk max |r / l(;r)|, 0<x<l 0<oc<l et finalement max | if*(a.)| = max | rjj1(æ )|< C 2fe4, (2.29) 0^3C<1 1 v ' ce qui justifie (2.10). Les raisonnements suivants imitent ceux du numéro précédent, à savoir on forme deux réseaux réguliers de pas respectifs h et h!2 et on cherche les solutions associées ah et ah/2 des problèmes (2.9). Etant donné un point xh = kh, la solution est fournie au quatrième ordre près par la combinaison linéaire Uk = 1Ta 2ft2 T ak • (2.30) 280 AMÉL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 On reprend la démonstration faite pour les équations différentielles ordinaires du premier ordre et on aboutit à l ’estimation ! uh— w(a:h) | < — C2hk. (2.31) La méthode décrite se généralise au cas de coefficients variables, d’équations quasi linéaires et à d’autres problèmes aux limites. 6.2.2. Méthode aux différences Soit le problème (2.1), (2.2). Voyons divers aspects du déve loppement en série suivant les puissances de h2 qui permet d’aug menter l ’exactitude des termes en h jusqu’à l ’ordre 6 et plus. Construisons le réseau régulier Xh = khj k = 0, 1, . . ., V , de pas h = UN et associons à (2.1), (2.2) le problème approché d’ordre 2 —wfc-i~b —uji+i h* * = 1, 2, -\-Qhuh —fhi , N - 1, (2.32) u0= uN = 0. On fait l ’hypothèse suivante sur sa solution pour h 0: hz3V j(xh)-\-r\k, k — Q, 1, . . N. (2.33) j=0 Ici Vj (x) sont des fonctions régulières indépendantes de h et rfy est une fonction discrète dont le module est borné uniformément en h par une quantité en h21 : uh = S I% K Cji2\ (2.34) C1 étant une constante indépendante de h et k. Dans un premier temps, on utilise la formule de Taylor 2l + i - 2 j V j( x h±i) = 2 r —0 S^ L ^ - M ) + ° ( h2l+2- 2i)- (2.35) Portons le développement (2.33) dans le premier membre du système (2.32), il vient, compte tenu de (2.35), 2 h23 { 2 j= 0 r=0 — (2r + 2)! 'L^+a7 (xh) + <1(xh)Vj (^fc) } + O (hzl) = /ft. 6.2' ÉQUATION DE DIFFUSION À UNE DIMENSION 28 î Réduisons les termes semblables : Y y j —0 r=0 Zj " \ Z ________ 2 (2/ —2r + 2)! , d?i - *r+*vr ( x h) dx2)~2r+2 ^ -h q (xk) Vj (xh) j -\-0 (h21) = /k, (2.36) k = 1, 2, . . ., N - 1. La substitution immédiate des développements n ’entraîne évi demment pas la propriété, pour le reste de (2.36), d’être de la forme O (h21). Cette propriété sera justifiée plus loin. Egalons les coeffi cients des termes en fe°, h2, et ainsi de suite, il vient le système d’égalités ~~ I h F (Xh)® (x k) v0 ( x h) = fh\ + w iJ w ~ 7 W -°. r=0 / = 1, 2, 3, . . ., I - 1, ft = 1, 2, . . ., N - 1. Etant donnée la condition aux limites homogène (2.2), le déve loppement (2.33) donne pour les points x0 = 0 et x N = 1 : Vj (x0) = Vj (xN) = 0 , 7 = 0, 1, . . I — 1. (2.37) Dans un deuxième temps, on cherche les fonctions Vj (x) suc cessives en tant que solutions du problème de Dirichlet pour une même équation mais avec seconds membres différents : - ^ f + ^0 = /, * € (0 ,1 ), v o (0 )= v o (1) = 3 -1 d 2Vj "dx2” 2 r= 0 2 (2.38) 0; <j2i-2r+2îV (2; —2r + 2)! dx2J-2r+2 » V} (0) = Vj (1) = 0, 7 = 1, 2, . . I — 1. *É(0, 1), (2.39> On vérifie aisément que v0 (x) = u (x), solution du problème (2.1), (2 .2 ). On définit maintenant la fonction discrète ry par les égalités i-1 * = 0, 1, N, Tik = “k— 2 hzivj ( Xh)' j=o 282 AMÊL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 et on passe à la démonstration de (2.34). On porte T]/l dans l ’opé rateur aux différences du problème (2.32) et on utilise la formule de Taylor (2.35) avec reste sous forme de Lagrange = fh + h* j= 0 r=0 — q{Xk) ^ ( z * ) } + ^ “e£- (2.40) On a „h _ V h ~ 2 ZJ (2Z~2r + 2)! (Ij.k) avec | 7*,ft6(0, 1), si bien qu’une condition suffisante de borne uniforme | | C2 est que q (x) et / (x) possèdent sur [0, 1] 21 dérivées continues, propriété qui garantit la régularité requise de toutes les fonctions vi (x) admettant sur [0, 1] 21 — 2/ + 2 déri vées continues chacune. Etant donné le procédé d’obtention des Vj (x), on simplifie plu sieurs termes du second membre de (2.40) : qk\\l = h2le^ /z2 Les fonctions &= 1, 2, . . . , 7 V - 1. vérifient de plus les égalités < = < = 0, (2.41) (2.42) conséquence de la façon dont r|A est définie aux nœuds frontières et des conditions aux limites des problèmes (2.32), (2.38) et (2.39). Selon le numéro 2.1, il y a possibilité du système (2.41), (2.42). On démontre l ’estimation de la solution max | r)b ! ^ C 2h21. (2.43) 0 En multipliant chaque équation (2.41) par v\k et en additionnant, on a l ’égalité N w 2 N- 1 { K - iift-i)2+9ft(Tift)z} = ^ 2' S «**!*• fe=l On supprime les termes positifs qh (r\k)2 et on substitue à 8fe,r| \ des valeurs supérieures, ce qui donne N (2.44) f S ( i M i K V ' 1 0<^k^N max h—\ 6^2] ÉQUATION DE DIFFUSION A UNE DIMENSION 283 On obtient la minoration à l ’aide des inégalités (mises sous forme de différences) du point précédent qui sont justes pour toute fonction discrète y nulle au nœud x0 — 0 l Vk I = 2 (yj— yj-i) < kU2 ( 2 (vj — ^--i)2) 1/2< .7= 1 < ^ v 1/2 ( 2 ( ^ - ^ ) 2) 1/2i=l Etant donné rjo = 0, on en tire en posant yh = ï|& : N î 0<T , 1^ |2 < p 2 ft=i Cette inégalité jointe à (2.44) donne (2.43) au facteur — max X h 11 0 X | ï]ft | près. Ainsi, on vient d’établir (2.34) avec Cx = C2 et le développe ment (2.33) se trouve justifié. Voyons maintenant comment obtenir des solutions d’ordre de précision h21. Soit x un point d’intersection de Z réseaux de pas respectifs hx, h2, . . ., h t. On associe à chaque réseau un problème approché (2.32) et on cherche la solution uhJ- On définit donc en x l valeurs approchées uhi {x). Si les nombres yj sont solution du système 2 ï ; = l, 3= 1 2 ^ sï ; = 0 , s = 1, 2 , Z— 1 , (2 .4 5 ) j=l la solution est donnée à 21 près par la formule __ i u {%) = S yjuhj (^)• j=i (2.46) En effet, le report de Z développements dans (2.46) donne au lieu de uhi _ i i-\ i i u (x) = v0 (x) 2 Y;+ 2 \vs (x) 2 hf3 i) + 2 Y ^^ (*). 1 s = 1 j = 1 J égalité qui se simplifie: _ i u (x) = v0 (x) + 2 Y;T)'V (*) j=i 3= 1 284 AMÉL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 parce que yj sont solution du système (2.45). Comme v0 = u, on a, compte tenu de l ’estimation de r\hj (x): i= l lYyl Cl h f . 3 (2.47) Cette inégalité ne suffit cependant pas pour démontrer le résul tat de précision parce que | yj | peuvent s’avérer comparables avec les puissances positives de N. Un autre problème obscur est l ’exis tence pour (2.45). On trouve la réponse aux deux questions si l ’on recourt aux déterminants de Vandermonde 1^2* • • •> !*/) = 1 1 .. 1 Mi M2 • • . Mi m' - 1 M2 " 1 „ /-l • ** t1/ Il est connu que y (Mi- jia, |i/)= [] (m.,-—Mi)- (2.48) La matrice du système (2.45) a pour déterminant le déterminant de Vandermonde v (h\, hl, . . ., hf) qui est différent de 0 si tous les ht sont deux à deux distincts (voir (2.48)). On applique la règle de Cramer au système (2.45) : v(h\, ..., h]_v 0, ..., h\) yr- 'v(hl ..., h)_v h), *J+1, ..., A|)’ d ’où I | rT TT IVjl— i l h\3 —h\* • i l «2 — 3 l<î 0. Evidemment, h2i r > i + 2c 3 (2.50) pour j > i. Donc H h*-h\- i A? < — si i < j 6.2] ÉQUATION DE DIFFUSION À UNE DIMENSION 285 et i 3 -, \ __ 3 h? ------ —----- = !+■«—- , ^______________^ 3 1-----------t-j-2C3 dans le cas contraire. On simplifie (2.49) moyennant ces inégalités : (2.51) ce qui démontre la borne de tous les | yj |. Si l ’on est donc dans la condition (2.50), il y a existence et uni cité de l ’ensemble nécessaire des yj et l ’erreur sur la solution appro chée (2.46) s’évalue par (2.52) La démonstration s’achève sur cette inégalité qui continue (2.47) compte tenu de (2.51). Le cas où les réseaux impliqués sont plus de 2 présente un incon vénient sérieux. Le fait est qu’on n ’a cherché jusqu’à présent les solutions très précises qu’aux nœuds communs à tous les réseaux de discrétisation, qui peuvent être peu nombreux. En effet, on n’en compte que N même dans la situation la plus favorable (réseaux à pas h, h!2, . . ., h/l). L’interpolation à l ’aide des fonctions splines, des polynômes de Newton et d’Hermite évite la perte de nom breuses valeurs calculées et fournit des solutions approchées très précises. Plaçons-nous dans un cas fort simple et utilisons les poly nômes d’interpolation de Newton. Soit t un point quelconque de l ’intervalle fermé [0, 1]. On fixe n ’importe quel / et on considère un réseau de pas hj. Les nœuds les plus proches de t sont en nombre 21. Connaissant les valeurs de uhJ en ces nœuds, on construit le polynôme d’interpolation de Newton de degré 21 — 1. Soit Pj (x\ uhi) ce polynôme. Le développement (2.33) entraîne i-1 Pj (*; uhi) = 2 h2kPh (x; vh)+Pj(x-, rf). k=0 Le polynôme interpole les valeurs des fonctions régulières à O (h21) près et ses coefficients sont indépendants de h (Berezin, Zhidkov [III]), si bien que i-1 (2.53) Pj{ï, = s fc=0 286 AMÉL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 Le développement (2.53) étant valable pour 7 = 1, . . ., I permet d’affiner les solutions « (0 = 2 V)p j (P uhj) ;=1 (2-54) avec les mêmes poids yj de (2.45). Dans ce cas \ü(t) — w ( 0 | < s h f \ y 3\Ck, 3= 1 la constante C4 comprenant les constantes de la formule d’interpo lation et les erreurs sur la solution relative aux nœuds. La démons tration s’effectue comme dans le cas de réseaux ayant un point en commun. 6.3. Méthode de décomposition pour un problème d’évolution Nous allons étudier le problème différentiel *L + A ( t ) u = m , Œ (0, 1), u(0) = u0, (3.1) où A(t) est une matrice (n, n) formée de fonctions et u (t) et / (t) sont des fonctions vectorielles de n composantes. Supposons que A admet la représentation A (t) = Ai (t) + A 2 (ê), avec A t (t) des matrices semi-définies positives pour tout t Ç [0, 1], Partageons le segment [0, 1] par M + 1 points équidistants H = /t, 7 = 0, 1, . . ., M, (3.2) la longueur du pas étant t = HM. Considérons le schéma de dé composition implicite (E + t A i (tj)) ui~U2 = uj^ + T f , (E + xA2(tj))uj = ul-V 2, 7 = 1, 2, . . . , M, w° = m0, avec E la matrice unité. On munit les vecteurs de dimension n de la norme MM.il (3 6.3] MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION POUR UN PROBLÈME D’ÉVOLUTION 287 Les résultats du point 4.4.3 entraînent l ’estimation max || u 31|< ||>01| + max || f || 0î<M 0 caractéristique de la stabilité du schéma. On se propose de justifier le développement i-i u' = S t hVk(tj)+ % 7 = 0, 1, • h=0 (3.4> M (3 . 5> avec les fonctions vectorielles v k régulières indépendantes de T et la fonction vectorielle discrète r\x vérifiant l ’inégalité l h 'l l « V , (3.6> la constante C1 étant indépendante de t et /c. Le système (3.3) s’écrit après élimination des valeurs intermé diaires u7-1/2 {E + t A 1 (tf)) (E + t A 2 (tj)) u3 = u3-1 + t/L (3.7> Supposons que le développement (3.5) existe et substituons-le à u j dans (3.7), il vient (E + t Ai (tj)) (E + TA2 (tj)) ÿ] xhvk (tj) = k=0 =fc=0 2 A M + 0(TI+1) + T /j. (3.8) Développons chaque vk en série de Taylor autour du point tj: K ) — 2j 7= 0 dt* i\ réduisons les termes semblables dans le second membre de (3.8) et effectuons le produit de sommes à gauche : (v0 + T (yi + A v 0)) + z-i + 2 1-1 = 2 (y>+ A v i - 1+ A iA 2v J-z) + %l (A v i-i + A i A f l u z ) 3 = ^ (_i)k-i J (k—i)l i= 0 („,)i dtk-i l- 1 t /* + 0 ( t i+‘) + t j 2 i=0 (_1)M (J—i)! <itI-i * 2 88 AMÉL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 Cette égalité est juste pour tout t , si bien qu’on égale les coeffi cients dominants : {voY = (voY, (vt + Avoy = ( - - J - + K1y + f ; (vh + Avk_t + = 2 dd J ^ * i= 0 k = 2, 3, I — 1; 2 d‘ÿ & . i=0 On rejette la première égalité triviale, on simplifie par vh et on change l ’ordre des sommations : (3-9) { ^ s t + A v k ï =(^ ~ AiA2vh-ù3+ 2 \ k - ï ) f ddth-i) k = 1, 2, . . Z—1. On déduit les égalités qui découlent de la condition aux limites u = u0 et du développement (3.5) au point t0: u0 = u = v0 (*0), vh (*0) = 0, .& = 1, . . I — 1. (3.10) Généralisons (3.9) à tout l ’intervalle (0, 1) et adjoignons les conditions aux limites (3.10). On a ^ + Av0= f, *6(0, 1), vo (0) = w0, (3-H) et ^ - + A v h= —A 1A8»*-!+ 2 ((k-t)!'$P=r> 4)> (3 - 1 2 ) vk (0)=*0, k = 1, 2, !-l. On définit les fonctions vh moyennant le système obtenu, à savoir on suppose que vh (t) sont les solutions dés problèmes d’évolu tion qu’on a obtenues de proche en proche à partir de (3.11), (3.12). 6.3] MÉTHODE DE DÉCOMPOSITION POUR UN PROBLÈME D ’ÉVOLUTION 289 La fonction v0 (x) coïncide évidemment avec la solution u (x) du problème (3.1), (3.2). On définit la fonction vectorielle discrète r\x par l ’égalité r\ï=u} — 55 Th(vky, 7 = 0, 1, M, et.on prouve (3.6). A cet effet, on substitue à uJ de (3.7) la somme Y, xk (vh)j + r]x et on développe les composantes des vecteurs vh en série de Taylor avec reste sous forme de Lagrange (E + xAt) (E -f- t A2) (t]x + S (vkY) = h= 0 VI ~h SJ Zj t Zj fe=0 ( — l ) k 1 d h 1 (Vi)3 ( k — i)\ dtk-i i = 0 l-l 2 xh(Vh)3+ l f + fc=0 1 +&T(3.13) Si ces vecteurs ont leurs composantes suffisamment régulières, le reste est borné en norme N | | < < V +1 (3.14) quels que soient x et /. Si l ’on prend en considération le procédé de génération des vh, on passe de (3.13) à (E + xAt (tj)) (E + t A2 (tj)) T|j = + e{ qui entraîne de suite en raison de l ’estimation (3.4) caractéristique de la stabilité T < C 2xl max ||î]^|[<m ax T 0<jCM i et on a (3.6), où Cx = C2. Le développement (3.5) ainsi démontré permet, comme au numé ro 6.2, d’augmenter la précision à O (x1) près à la différence qu’on détermine les poids yj de la combinaison linéaire à l ’aide du système 2 Yi = l, j=i 2 h=1 = S = l , 2, . . . , l - l . (3.15) n Ce résultat se transpose évidemment au cas A (t) = 2 (t), i =1 si bien qu’on indique un autre schéma aux différences (3.3) très efficace en ce qui concerne le problème quasi linéaire - § - + A ( t , u ) u ~ f ( t , u), 1 9 -0 4 3 3 *6(0, 1), u (0) =3u0. (3.16) 290 AMÉL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON Cette modification s’écrit (E + x A ^ tj , u;))^'+ 1/« = u; + t / ( ^ , u3), (E -f xAz (tj, u3)) uj+2/n = uJ+ ............................ (E + xAn (t}, u3)) u3+i = ui+>'v~^ln 7 = 0, 1, . . . , M — 1, u° = u0. [CH. 6 (3.17) On démontre le développement (3.5) comme plus haut et on utilise la propriété de semi-définie positivité des matrices A t (t, u) et le fait que les coefficients et la solution du problème (3.16) présentent une régularité suffisante. La solution approchée de haute précision est également cherchée sous forme de combinaison linéaire (avec y,- obtenus à partir de (3.15)) de solutions de plusieurs problèmes (3.17) pour les pas %h multiples différents. 6.4. Extrapolation de Richardson pour des problèmes à plusieurs variables S’agissant des cas multidimensionnels, l ’extrapolation avec les schémas aux différences simples se heurte à des difficultés. Voyons ces difficultés de plus près et montrons comment on peut les sup primer. Prenons comme modèle l ’équation de Poisson de dimension deux Au = f dans D (4.1) avec la condition aux limites u = 0 sur dD. (4.2) Si la frontière dD est curviligne non régulière, on n’arrive pas, avec les analogues discrétisés simples, à développer l ’erreur d’ap proximation au voisinage de dD suivant le pas du réseau, contraire ment à ce qu’on a pour l ’intérieur du domaine. En effet, la repré sentation uh (x) = u (x) + (#) + hkv2 (x) + . . . (4.3) est naturelle pour les problèmes unidimensionnels considérés, mais elle n ’a pas de sens pour dD non régulière. Dans le dernier cas, les quantités vt de (4.3) ne sont pas suffisamment régulières pour définir par récurrence toutes les fonctions vk, k<Zi, nécessaires. On abandonne donc, au voisinage de la frontière, les schémas aux différences simples et on en choisit d’autres, plus complexes, qui conduisent d’habitude à des équations à de nomhreùx coeffi- 6.4] EXTRAPOLATION DE RICHARDSON 291 cients non nuis. Cette tactique a été pour la première fois employée par Volkov [IV ; 4]. Elle garantit une erreur de discrétisation qui ne varie pas lorsqu’on passe de l ’intérieur du domaine dans une bande limitrophe. S’agissant de la méthode des éléments finis, la condition de continuité jusqu’à la frontière des coefficients du déve loppement de l ’erreur de discrétisation amène à choisir dans la bande limitrophe des fonctions de base plus complexes qui déterminent un nombre plus important d’incon nues des équations correspondantes (voir p. ex. Strang, Fix [III]). Si la frontière dD est formée de segments de droites et il est pos sible de construire de façon simple et régulière jusqu’à la frontière le réseau et les éléments finis, la méthode d’extrapolation est entra vée du fait que les dérivées de la solution sont indéfiniment crois santes au voisinage des points anguleux du domaine. Dans certains problèmes, cette croissance est telle qu’on n ’obtient aucune pré cision, fût-elle minimale. Il en est de même de la régularité de la solution au voisinage de l ’intersection de la frontière et des lignes de discontinuité de première espèce des coefficients de Inéquation. La fig. 19 montre quatre types de points singuliers dont les trois premiers peuvent interdire la précision ordinaire de .la „ solution (Dx, D 2 — domaines à l ’intérieur desquels les coefficients sont réguliers; dD — frontière de la réunion de D± et D 2; 2 — ligne de discontinuité des coefficients). Pour aplanir ces difficultés dans la méthode de Galerkin, on construit les équations aux différences en remplaçant les produits scalaires usuels par ceux pondérés avec les poids qui tendent vers 0 à mesure qu’on s’approche des points singuliers. Si la singularité coïncide par exemple avec l ’origine des coordonnées, on utilise au lieu de la norme " “ ' W r t K Q f â ' + f i F f M ' 2 <4 -4 > naturelle au problème (4.1), (4.2) et aux fonctions s’annulant sur la frontière, la norme "“ * r [ i [ H l-)! + (-£ -)’] Q d a T ■ <4 -5 > Ici a est le degré de singularité de la solution qui est supposé connu à priori. On raisonne comme on le fait d’ordinaire dans le cas de Galerkin et on aboutit à une solution approchée uh vérifiant la 1 9* 292 AMÊL. DES SOLUTIONS APPROCHEES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 majoration |u —aft|| 0l< C ||n —u || (4.6) "a, 1 "a, w\ u étant l ’interpolant de u dans l ’espace des fonctions de base. Il y a lieu de noter que cette méthode n ’est pas universelle. En effet, on démontre (4.6) moyennant certaines propriétés de la solution. Or, ces propriétés ne sont pas des fois justes au voisinage des points singuliers. Une autre voie à suivre est le resserrement du réseau ou des élé ments finis pour que l ’erreur de discrétisation devienne acceptable. Cette erreur est composée d’intégrales étendues sur les domaines élé mentaires qui s’évaluent par Ch\\\u\\kti, (4.7) où ht est le diamètre du î-ième domaine élémentaire, || u ||ftt t la norme sur ce domaine, qui renferme la A-ième dérivée et C une cons tante indépendante, de k et i. Une condition raisonnable à imposer b) a) Fig. 20 à (4.7) est alors qu’ils coïncident dans D. A cet effet, on réduit les pas ht en raison inverse des || u ||M au voisinage des points singu liers. On ne saurait cependant resserrer les réseaux outre mesure parce que le nombre de conditionnement des systèmes algébriques des méthodes de Ritz et de Galerkin dépend essentiellement de (^mm = min ht) qui augmente avec le passage aux i maillages plus fins. On voit sur la fig. 20 comment on resserre d’ordinaire les réseaux à proximité des points singuliers. Le cas a) s’avère en général plus simple sur le plan algorithmique que le cas b) car il n’alourdit guère 6.4] EXTRAPOLATION DE RICHARDSON 293 le programme tandis que le système polaire du cas b) est « recollé » au système rectangulaire (ou à d’autres réseaux polaires si les singu larités sont 2 ou plus) (voir Volkov [IV; 4]). Le procédé b) coûte par contre moins du point de vue du nombre de nœuds. En effet, le resserrement n’a lieu qu’au voisinage d’un point singulier (dans le cas a) on resserre les nœuds suivant les lignes, y compris en dehors de cette région). Voyons un procédé dû à Strang et Fix [III] (le lecteur peut en prendre connaissance dans Oganessian, Rivkind, Roukhovets [V ; 8]). Il consiste à adjoindre aux fonctions de base usuelles du Chapitre 2 des fonctions complémentaires qui gouvernent très bien les dérivées de la solution au voisinage du point singulier. En effet, la solution u du problème (4.1), (4.2) avec le second membre dans W\ (D) est représentable par la somme d’une fonction u £ Wk+2 (D) régulière et d’un nombre fini de termes qui s’écrivent en coordonnées polaires centrées au point singulier : wt = ((p) ry1 lnP* r, fx (cp) étant une fonction analytique de la variable angulaire (p, y t une constante réelle positive et p t un entier non négatif. Les fonctions de base de cette forme spéciale ont été obtenues par Nikolski [I; 5]. Dans chaque cas concret, elles sont en général définies à un facteur cons tant près. Ainsi, on cherche dans la méthode de Galerkin non seu lement les poids du développement de la composante régulière sui vant les fonctions de base de la méthode des éléments finis, mais aussi les poids des fonctions spéciales. L’inconvénient principal de cette méthode provient des fonctions wt qui perturbent l ’arrangement des éléments non nuis du système algébrique parce que leurs supports empiètent sur de nombreux domaines élémentaires. Avec les fonctions de base spéciales qui décrivent très bien le comportement de la solution au voisinage des points singuliers, on utilise à l ’intérieur du domaine des éléments simples et on atteint une grande précision en extrapolant sur le pas du réseau.JOn va se borner, pour le problème (4.1), (4.2), au schéma général de l ’algo rithme et nous le justifierons dans ses grandes lignes car le cas en dimension deux se prête à de nombreuses variantes absentes de ce livre. On note que le problème d’augmenter la précision utilise une information riche sur la régularité des solutions des équations ellip tiques dans des domaines de diverses formes (pour cette information, consulter Volkov [IV; 4], Lébédev [IV; 15]). Nous avons supposé, pour fixer les idées, que le domaine est un rectangle de côtés de longueur a et b. On établit, à l ’aide de deux familles de droites parallèles contenant a et J>, un réseau rectangu laire régulier de pas hx = a/N et hy = b/N, N étant un entier > 2 . On effectue la triangulation en menant dans chaque rectangle une diagonale montant de gauche à droite. Il y a intérêt à introduire le paramètre h = i /N caractéristique de la dimension du réseau et relié à hx, hy par les égalités hx = ahx, hy = bh±. 294 AMËL. DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON [CH. 6 On fait correspondre à chaque nœud intérieur X t une fonction de base cpz (Chap. 2) linéaire sur chaque triangle. On introduit, en plus de en nombre (N — l)2, les fonctions de base spéciales \pk égales à wx dans une région autour des points singuliers (points anguleux du rectangle et points où la frontière coupe les lignes de discontinuité éventuelles des coefficients qui se confondent avec les lignes du réseau de discrétisation) et prolongées régulièrement sur le domaine restant de façon qu’on respecte la condition aux limites (4.2). Le nombre de ces fonctions spéciales varie d’un problème à l ’autre selon la précision désirée. En procédant par Ritz ou par Galerkin on trouve la solution ( N - 1)2 uft(X )= S M a ? q > ,( X ) + S p ^ k (X) i= 1 (4.8) fc-1 qui admet aux nœuds du réseau (aux sommets des triangles) un déve loppement suivant h; à savoir m~ 1 uh (X) = u (X) + . S h*Vl ( X ) + h 2ml h (X), (4.9) 1=1 o ù u x (X) sont indépendantes de Zet ^ (Z) est une fonction discrète bornée. Une fois le développement justifié, on supprime les termes en A2, . . ., h2m~2 et on obtient u (x) en O (h2m). On se rappelle, pour justifier (4.9), que les poids a? et de la formule (4.8) se développent également suivant les puissances de h: m —1 «î = «>(x,) + 2 h*lz l { X l) + h * * n A{ x i), (4-10) Pfc = Yfc + 2 ^ 2l^ k , l + tn 1=1 avec v (Z) la composante régulière de u (X) ; Z x (Z) des fonctions indé pendantes de h; r\h une fonction discrète bornée pour h — 0 et ykJ des nombres tels que yh et ôhil ne dépendent pas de h et soient bornés quand fe-vO. On part du développement (4.10) et on formule des conditions (problèmes différentiels auxiliaires) qui définissent Z x (Z) et les coefficients constants ôkj des fonctions (Z) dans lp décomposi tion des solutions des problèmes auxiliaires en les composantes régulières vx (X) et les fonctions de base spéciales \|)fe (Z). Le schéma de mise en œuvre suggère au plus le mode opératoire qui doit être justifié de façon exhaustive dans chaque cas concret. CHAPITRE 7 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) On qualifie d’inverses divers types de problèmes de la physique mathématique. De vastes classes de problèmes inverses sont étudiées par exemple par Lévitan [XVI ; 8], Lavrentiev, Romanov, Vasiiiev [XVI]. Nous nous occuperons de deux sortes de problèmes inverses : 1) définir l ’état d’un processus à un temps antérieur (on demande par exemple la répartition de température à l ’instant initial con naissant le champ thermique à une époque donnée) ; 2) reconstituer un opérateur de forme connue à coefficients à déterminer par une information sur les fonctionnelles des solutions (le problème inverse pour l ’équation de Sturm-Liouville consiste par exemple à définir le coefficient dans l ’équation différentielle du second ordre connaisant les propriétés de la fonction spectrale d’un problème aux limites). De nombreux problèmes inverses de la physique mathématique s’avèrent mal posés au sens classique : aux faibles variations des fonctionnelles il correspond de grandes variations des solutions. Le concept de problème bien posé a été introduit par Hadamard qui a également donné un exemple de problème mal posé (problème de Cauchy pour l ’équation de Laplacë). L’intérêt des problèmes mal posés a été méconnu jusqu’au jour où la nécessité s’est fait sentir d’interpréter les données géophysiques. Une grande contribution aux méthodes de résolution et à la théorie des problèmes qui ne sont pas bien posés au sens classique (ou selon Hadamard) a été faite par Tikhonov [XVI ; 17], M.M. Lavrentiev III] [XVI; 5, 25], John [XVI], Ivanov [XVI ; 1]. On sait que la solution des problèmes mal posés au sens classique devient stable par rapport aux variations des données si l ’on impose des contraintes supplémentaires à l ’ensemble dès solutions admis sibles. Ces problèmes sont donc par définition conditionnellement bien posés. On a introduit la notion de famille régularisante : on associe au problème conditionnellement bien posé une famille de problèmes bien posés âu sens classique {famille'régularisante) qui dépend d’un 296 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [CH. 7 paramètre et telle que la suite de solutions converge vers la solution du problème proposé lorsque le paramètre tend vers une limite. On a montré qu’avec un paramètre de régularisation convenable dépen dant de la précision des données, la solution associée aux données approchées d’un problème de la famille est solution approchée du problème conditionnellement bien posé. Les auteurs cités ci-dessus ont étudié une vaste gamme de pro blèmes conditionnellement bien posés. Dans ce chapitre nous nous intéresserons à une seule classe de problèmes inverses liés à des équations d’évolution et nous les aborderons par une méthode de régularisation procédant du développement en série de Fourier. 7.1. Préliminaires Soit F un espace de Hilbert des fonctions / dont chacune se développe en série de Fourier suivant un système biorthogonal complet de fonctions {un} et {w*}. Ainsi oo / = S fnUn, (1-1) 71=1 OÙ fn = (/, <). ( 1 .2 ) Formons un sous-espace O de F de toutes les / dont les dévelop pements (1.1) possèdent au plus N composantes non milles associées aux plus grandes perturbations : / = X fn^n• (1-3) 71 = 1 Ce sous-espace est évidemment inclus dans l ’espace des fonctions qui se développent en série de Fourier. Consid érons le problème AJ — / ) , cp° = 0 , (1 .5 ) ou <çJ+1 = Tq? + t /, cp° = 0, (1.6) avec T = E — t A l ’opérateur de transition. On suppose que le problème (1.4) admet une solution et une seule qui appartient à O et qu’on met sur F tout entier la norme liril! = sup (r y<P) $(T*T)> 1, p(77) > 1, «pe*1 («P» <P) 7.1] 297 P R É L IM IN A IR E S et sur O im io = s u P (r<p, Tç) < 1 . (1.7) <pe® («p. <p) Avec les hypothèses faites, le processus itératif (1.6) converge sur cp7 £ O et diverge sur les éléments de F tout entier. Pour qu’il y ait convergence, il faut donc que la solution approchée cp; se trouve dans O à chaque pas d’itération. Cela ne présente pas de difficulté sur le plan . constructif. Posons (p7-1 £ O à un pas et utilisons la relation de récurrence (1.6), il vient un nouveau élément (p7. La fonction Tcp7-1 peut ne pas être dans O. Pour que (p7 Ç O, on développe en série de Fourier oc <p'= 71=1 ü t» , et on rejette tous les termes d’indice n > A. Algorithmiquement, il y a intérêt à définir N premiers coefficients de Fourier (pi = = (cp7, ut), k = 1, 2, . . ., N, et à former la somme finie <P; = 2 (1-8) ft-i Si l ’on continue par itérations, toutes les fonctions <p;, solutions approchées du problème, appartiennent à O. Si l ’on suppose par exemple l ’orthogonalité de la base {un}, la suite {cp*7} converge vers une fonction cp°° qu’on prend pour solution approchée de l ’équa tion (1.4). Nous avons considéré un algorithme simple d’approximations internes. On pourrait en décrire plusieurs autres. Soit (1.4) à A positif symétrique et supposons que / £ O, cp £ O, O étant un sous-espace de l ’espace hilbertien F. Nous dirons que le problème (1.4) est conditionnellement bien posé si sa solution appartient à un O cz F et on a l ’estimation à priori Il q> lh> C A f 0 II / ||<d, (1 .9 ) avec M 0 une constante et ll/lla > < « . On résout (1.4) par rapport à cp: (1-10) cp = A -1/ (1.11) et on évalue (p en norme sur ce sous-espace, ld). il vient ( 1 . 12) 298 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 Il en résulte que pour que le problème soit bien posé il suffit d ’être dans la condition à priori WA-1 llo < M. (1.13) Chose importante, si A est un opérateur symétrique, alors (1.14) \\A 1Hf = sup (^-.1 <P. 9) M " 1 'o = sup (A-1*?, 9) cpeo (<P. <P) ’ <peF («P. <P) On vérifie sans peine que si cz F, alors IM -M b C M -111*= — . Ainsi, la propriété, pour le problème, d’être bien posé est déter minée, en plus de (1.9), par la condition équivalente (1.13). Il y a plus. Si la constante M est donnée, le problème crucial que pose l ’organisation du calcul, est de définir le sous-espace O qui renferme, en plus de la solution <p, la suite de ses approximations (p;. Un autre aspect de la résolution des problèmes conditionnelle ment bien posés est la précision des données initiales. Dans ces problèmes, on voit intervenir au moins une erreur due à l ’approxi mation de (1.4) par un problème aux différences ou à l ’imprécision des coefficients de A et de la fonction /. Soit A, f et <p l ’opérateur exact, le vecteur exact et la solution exacte respectivement du problème Âÿ=~f, et A = Â + bA, f = T+*f. (1.15) On suppose connues les erreurs à priori l | 6 A | | o < 6i, (1-16) Il 6/ llo < e,. (1.17) Résoudre le problème (1.4) revient à former une suite d’itérations qui génèrent de nouvelles approximations dans O. Si A est une ma trice définie positive, les problèmes se prêtent à tout un jeu de pro cédés itératifs convergents vers la solution de (1.4) (voir Chap. 4). Ceci étant, le sous-espace O des solutions approchées est identique à l ’espace hilbertien (euclidien) F tout entier. Il s’agit là d’une particularité agréable des problèmes à matrices positives. Le pro cessus itératif cpj+1 = cpJ — t (Acp; — /), <p° = 0 (1.18) converge pour une bonne valeur du paramètre t et on l ’optimise par exemple, compte terni de l ’information à priori (1.16), (1.17), en choisissant le nombre y0 de pas d’itération (voir n° 4.6). PRÉLIMINAIRES 7.1] 299 L’opérateur A du problème (1.4) est supposé symétrique à spectre ayant une partie positive et une partie négative. On montre que sous ces hypothèses il y a divergence du processus (1.18). En effet, soit <P=S.<Pn«n> n / = 2n / n “n 0-19) et {un} un système orthonormé complet de fonctions propres de l ’opérateur A. Portons (1.19) dans (1.18) et multiplions scalairement par un, il vient les relations de récurrence pour les coefficients de Fourier 9i+1= 9 „ —T(*n<p;— /n). < -0 ou pour le résidu = .A<p, ■ — /: ^ +1 = ( l - ^ n)Ei, (1.20) On résout (1.20): % = - ( l - T XnŸfn. (1.21) Donc ' n ( 1. 22) Les itérations (1.18) ne convergent naturellement que si lim Ÿ = 0. jôo Si l ’opérateur A n’a d’autres valeurs propres que les nombres positifs de l ’intervalle a ( i ) < ^ ( i ) < | 5 (il), le processus (1.18) devient convergent à condition de choisir t > 0 dans les limites 0 < t < 2/p. (1.23) Mais la matrice symétrique A possède par hypothèse des valeurs propres de deux signes. Etant donné t de l ’intervalle (1.23), toutes les composantes du résidu qui correspondent à 'K positifs, diminuent d’une itération à l ’autre comme où Tn = (1 — xXn)j < 1 et 7 est l ’exposant. Quant aux composantes associées à X négatifs, on a n = u et ces composantes augmentent, d’où la divergence mentionnée. Ainsi, le processus itératif (1.18) avec les fonctions d’essai cp; appartenant à l ’espace de Hilbert tout entier, possède la propriété de divergence. 300 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 Un exemple d’approximations internes pour O est la méthode du plus petit résidu à trois niveaux (voir point 4.3.2) cp;+1 = cp; — (Atf — /) — yjA* {A(tf — /). Quelques mots enfin sur la pratique de la résolution des problèmes conditionnellement bien posés. On les ramène d’ordinaire à des systèmes d’équations linéaires à matrices mal conditionnées de forme générale. On recourt de règle à la technique du plus petit résidu à n niveaux (voir point 4.3.2) qui garantit une bonne con vergence. On applique de même la méthode du gradient conjugué aux équations symétrisées par la transformation de Gauss. La der nière tactique sera examinée à propos des problèmes d ’évolution inverses (voir n° 7.3). S’agissant des méthodes itératives, l ’algorithme s’arrête dès que la norme du résidu devient approximativement égale à l ’erreur à priori sur les données, i.e. || ^ || « ex + e2. Etant données les erreurs à priori, on obtient alors, comme on l ’a dit au n° 4.6, une solution exacte au possible. 7.2. Problèmes d ’évolution inverses et méthode de Fourier Soit A une matrice définie positive indépendante du temps, à spectre réel compris dans l ’intervalle a (4) X ^ (3 (^4) et q> une fonction vectorielle solution du problème de Cauchy — A(p = 0, cp= g pour t — 0, ( 2 . 1) g étant une valeur donnée de cp à l ’instant initial. Considérons deux problèmes spectraux Au = %u, A*u* = ku* ( 2 . 2) et supposons qu’ils définissent deux bases biorthogonales de fonc tions propres {un} et {u*}. Les fonctions cp et g sont mises sous forme de sommes de Fourier S ^71^71» n g -- S ënUTf n (2.3) Portons dans (2.1) et multiplions scalairement par «*, il vient le système d’équations différentielles ordinaires pour les coefficients de Fourier d ffn __ o, dt A — Vi <Pn = gn POUr t = 0, n = 1, 2, . . N. (2.4) 7.2] 301 PROBLEMES D’ÉVOLUTION INVERSES ET MÉTHODE DE FOURIER La solution de chaque équation de ce système est de la forme (Pn=gn^nt, n — l, 2, . . N, (2.5) si bien que la solution du problème (2.1) admet la représentation <p(*)= 2 gneUtun. 71= 1 (2.6) Ainsi, on a établi que la solution du problème (2.1) est représentée par la somme de Fourier dont chaque terme croît de façon exponen tielle dans le temps en fonction de la ra-ième valeur propre Xn. Si l ’on veut connaître une solution physiquement définie au problème dans l ’intervalle 0 ^ t ^ t0l on considère l ’analogue bien posé de (2.1) ■ g — 4q> = 0 , (p= h. pour t — t0. ( 2 -7 ) On procède comme plus haut et on obtient N <P= 2 k ne-Wo-t)un. 71=1 (2.8) On astreint la solution (2.8) à coïncider pour t = 0 avec le vecteur g du problème (2.1) et on établit la relation entre les coefficients de Fourier de la fonction h et ceux de g : £n = M “WoAinsi, on reconstitue sans peine g par h : (2.9) N g = S hne~Xntoun, 71=1 (2.10) et il correspond à de petites erreurs sur h (ou sur hn) des erreurs faibles sur g. Mais il s’agit d’un problème inverse du problème proposé car on doit reconstituer h par la formule N h — 71= S 1 gneKnt°un (2-11) à l’aide d’une certaine information sur g. S’il s’agissait d’une information exacte et si les calculs portaient sur un nombre infini de chiffres significatifs, la formule (2.11) aurait donné h de façon simple. Or, la fonction g est entachée d’une erreur connue à priori et on travaille sur des caractères en nombre limité, d’où les erreurs d’arrondi. La reconstitution de h par (2.11) n’est donc pas si facile qu’on croit. 302 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 Supposons que le chercheur désireux de traiter les données expé rimentales à la lumière du problème d’évolution (2.1) connaît à l ’avance le système de fonctions propres un et que s’il développe les données initiales (les fonctions g) suivant ce système, il en tire une information utile et évalue assez exactement l ’erreur sur chaque composante de Fourier gn. Dans le cas de problèmes répétitifs de caractère statistique, les méthodes de corrélation bien élaborées permettent d ’augmenter de façon sensible la précision sur gn même si l ’erreur à une seule mesure dépasse considérablement l ’information utile. Toujours est-il que le traitement préalable des résultats d’observation aide à se pro noncer sur la grandeur de l ’erreur systématique (de l ’erreur aléa toire dans le cas d ’une mesure isolée) sur gn. On a donc pour tout n Sn Sn (1 ^n)> où gn est la valeur exacte (inconnue à priori!) et ôn l ’erreur relative qu’on supposera connue. L’erreur ôn s’avère d’ordinaire minimale pour les perturbations de plus grandes longueurs d’onde et elle croît vite dans le sens des harmoniques supérieurs qui décrivent en général les singularités « petites » de la solution. Aussi les coefficients gn gouvernent prin cipalement à partir d ’un numéro l ’erreur de données initiales. Selon la formule (2.11), ce sont les composantes haute fréquence qui crois sent exponentiellement le plus. On doit donc écraser ces harmoniques parasites sinon on risque d’obtenir les résultats fantaisistes. En effet, gn de ces harmoniques ne renferment en fait aucune information utile. Si on les multiplie par e%nto importants, ils interviennent avec un grand poids dans h et risquent d’altérer catastrophiquement la solution. Notre préoccupation majeure est donc de déterminer le contenu informationnel des gn. Supposons que, d’après l ’information à priori, l ’erreur relative affectant n0 premiers gn est inférieure à ï|, i.e. Ô ^C r], r\ étant la plus grande erreur admissible. L’algorithme de reconstitution (2.11) est alors un analogue de la procédure de génération des éléments de O du problème (2.1) à condition d’éliminer les harmoniques parasites de la série (2.11). Finalement, no S gne%ntoun. (2.12) n=l L’algorithme de résolution du problème spectral particulier se base sur une méthode itérative du numéro 1.1. S’il faut former un ensemble des premières (plus « grandes ») fonctions propres un ou et l ’ensemble des valeurs propres associées, on utilise l ’algo rithme d’orthogonalisation du même numéro. 7.3] PROBLÈME D’ÉVOLUTION INVERSE 303 7.3. Problème d’évolution inverse à opérateur dépendant du temps Considérons le problème d’évolution - g — 4 (f)q > = 0, cp = g pour £ = 0, (3 1) ' l ’opérateur A > 0 étant fonction du temps. On suppose une fois de plus que (3.1) intervient dans la réduction d ’un problème de la physique mathématique par rapport aux variables d ’espace à un système d’équations différentielles ordinaires. Dans ce cas la mé thode de Fourier tombe en défaut et on utilise des procédés numé riques. Voyons l ’un des algorithmes possibles. On associe au problème (3.1) un problème modèle voisin dans un sens, à savoir + -4 0 étant indépendant du temps, à spectre positif a (A) ^ % (A) ^ $ (^4) et voisin de A (t) dans un sens. On suppose, pour fixer les idées, A (t) == I + ÔA (t), (3.3) avec Il àA (t) || < \\A || (3.4) quel que soit t de l ’intervalle 0 t ^ t0. Le problème (3.2) nous fournira une information à priori néces saire pour organiser le calcul de la solution de (3.1). On définit, par des techniques du n° 7.2 et du n° 1.1, m fonctions propres un, u* porteuses d’information (du point de vue des erreurs de données) et les valeurs propres associées Àn, n = 1, 2, . . ., m. On supprime les composantes restantes de la série de Fourier pour gn, n = m + 1, tti + 2, . . ., N, parce que les erreurs commises en définissant ces coefficients dépassent (de façon substantielle des fois) l ’information utile. On obtient m £■= S SnUn, 71 = 1 OÙ gn = (g, “ £). (3.5) 304 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) et la solution cp du problème modèle sur l ’intervalle 0 s’écrit <P(0= 2 gneXntun. 71=1 [GH. 7 t ^ t0 (3.6) Passons à la résolution numérique de ce problème et utilisons par exemple le schéma aux différences exact à l ’ordre 2 en At — t : (pj+1—cp7 j (J.j+1 4 Cpi 0, <p° = ff, (3.7) 7 = 1, 2, . .., j0. On aborde (3.7) par la méthode de Fourier et on suppose connu tout l ’ensemble des fonctions propres un et u*, hypothèse dont le seul but est de faciliter l ’analyse théorique et de fournir unè informa tion à priori sur le comportement de la solution. On a N (3.8) <P*= 2 <PnWn, 71= 1 et on aboutit moyennant (3.7) aux récurrences A 1 %^Tl 2 -j 7+1 <p: *Pn—8m TÀn <Pn, 7 = 1, 2, • • - , U- (3.9) Donc 9n = Sri' tjl- (3.10) 2 _ Ainsi N n=l Tn£nun (3.11) ou T =■ 1- * On fait l’hypothèse suivante: le pas t est choisi à partir de la condition de non-nullité du dénominateur pour tout n. On a t< — —. (3.12) 7.3] PROBLÈME D’ÉVOLUTION INVERSE 305 Il y a lieu de noter que cette condition est compatible avec la con dition d’approximation des perturbations à grande échelle. Une analyse formelle de la solution (3.11) du problème modèle montre que tous les Tn > 1 et que les amplitudes des harmoniques haute fréquence associés à n élevés croissent vite avec le numéro. Par conséquent, on a pour ces harmoniques > 1 et à fortiori n > i- Puisque le traitement des données initiales g a eu lieu en supprimant toutes les composantes de Fourier de (3.5) à partir de n — m + 1, cela suffit visiblement pour que la somme m S = n=1 S Snun donne une solution ayant le même nombre de termes m (3.13) n=1 Il en serait ainsi si le calcul sur ordinateur se faisait avec un nombre infini de chiffres significatifs. Or, les erreurs d’arrondi résultant du caractère borné du mot de machine font apparaître dès le début des calculs les composantes gn, n Bien que petites, ces com posantes constituent une partie importante proportionnelle à T{ » 1 de la solution. Ces erreurs peuvent altérer de façon sensible la solu tion. On évite une croissance catastrophique des erreurs sur les composantes de Fourier à haute fréquence si l ’on trouve un artifice pour transformer automatiquement tout élément de l ’espace vecto riel F en l ’élément d’un sous-espace cl). On définit O comme étant l ’ensemble des éléments tels qu’au cours du calcul les amplitudes des N — m derniers harmoniques de leur série de Fourier procédant suivant le système de fonctions propres un augmentent à chaque pas au plus comme plusieurs ampli tudes du dernier harmonique informationnel d’indice m. Dans ce sous-espace, les erreurs d’arrondi sur les éléments croissent au plus comme l ’amplitude de la ra-ième composante de Fourier, ce qui garantit la propriété du schéma de calcul d’être bien posé. M.M. Lavrentiev [II], Lattès et Lions [XVI] ont proposé de remplacer A du problème modèle (3.2) par l ’opérateur A e = A — — &A2, auquel cas (3.2) fait place à — j4<Pe= — e^42<Pe, q>8 = g pour t = 0, 0< * < * „ , (3.14) où e est pour l ’instant un paramètre quelconque. On choisit 8 sous la condition que la solution du problème reste dans CD. Supposons? pour simplifier les raisonnements, que A = ^4* et soit le schéma 2 0 -0 4 3 6 306 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) aux différences cp«+*—wi — ^'+1 —cpp + (pi = 0, <Pe = £. [GH. 7 (3.15) On cherche la solution de (3.15) en développant en série de Fourier suivant les fonctions propres de A. On a N Te — 2 71=1 XX-n wvn xXn xXl gn^n- (3.16) On astreint 8 à la condition que l ’erreur relative commise sur le m-ième harmonique par l ’introduction de l ’opérateur eA2 ne dépasse pas t] (on prend d’ordinaire r\ < 1 selon les parts respectives de l ’information utile et du « bruit » dans l ’harmonique n = m). Cette condition donne xX't, (3.17) d ’où 8= ■ (3.18) Ainsi, on a défini une quantité à priori très importante pour le calcul. On voit aisément qu’avec e de (3.18), les amplitudes de tous les harmoniques d’indice n > m croissent avec le temps au plus comme T4Nous aurons besoin d’une autre quantité à priori. Considérons <Pi = S gneXntun (3.19) 71=1 et N ou Pe— S 71=1 (3.20) (e) Wn, 1 1 T^n , ^ 11 2 C 2 Tn (e) = a xXn te 1 2 1C 2 * trouve dans O, on la remplace sans grande erreur par <Pe= S SiJn (e) U n 71=1 (3.21) PROBLÈME D’ÊYOLUTION INVERSE 7.3] 307 où on s’est borné aux m premiers termes de la série. On cherche la solution (3.21) de façon constructive à l ’aide des systèmes obtenus de un et u*, n = 1, 2, . . ., m. On trouve les quantités (p-7, q)g, 7 = 1, 2, . . ., 70, moyennant (3.19) et (3.21), puis on introduit les vecteurs 1 <Pe «P1 — (P2 <pl 7 <Pe= (PÂ> et on calcule la norme ■ llï-?e ll = ô (3.22) qui est justement la dernière quantité à priori nécessaire (les deux autres sont définies par (3.12) et (3.18)). Enonçons l ’algorithme de résolution numérique du problème initial (3.1). Etant données les considérations ci-dessus, on construit l’approximation de celui-ci : = (8.23) avec t et e dictés par l ’analyse du modèle simple étudié à priori : T<■ f>(A) ■, (3.24) ^m (^) On introduit les vecteurs 9= (P1 (p2 — R 0g , 0 /= 0 et la matrice -s0 0 0 0 . .. 0 0 . .. 0 Ri —Ri 0 0 0 . .. 0 R2 - s 2 0 0 Ra •—s$ , .. 0 0 0 0 0 • .. où S } = E - \ { A }- s A % R}lj-i —Rio-i f i J = E + ± ( A j -B Aj), Aj — A(tj+1/2). 20* 0 0 0 0 308 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 Le problème correspondant s’énonce Aq> = /. (3.25) On le symétrise en multipliant par A* : A*Aq) = A*/ (3.26) et on formule un processus itératif. On utilise en particulier la méthode du gradient conjugué dans laquelle on se passe de connaître à priori les bornes du spectre de A*A. Les approximations successives n ’épuisent pas l ’algorithme. Il faut de plus définir le nombre optimal k 0 d ’itérations qui donnent la plus grande précision pour les conditions à priori données. Ce nombre peut être obtenu avec une précision médiocre, si bien que l ’estimation à priori (3.22) du problème modèle joue pour le pro blème initial (3.1). On suppose donc que Il <P - <Pe II = Ô, (3.27) (p étant la solution exacte de (3.1) auxnœuds du réseau et cp8 la solution du problème aux différences à opérateur régularisant. On continue naturellement le processus itératif tant que l ’erreur sur les pas d’itération reste supérieure à (3.27), le critère d’arrêt étant leur égalité. Algorithmiquement, on procède comme suit. On introduit le vecteur résidu ÿ 1 défini par la formule gfe _ A* (Acpft — /) = A*A (q)fe — cp). (3.28) On a la majoration || II < Il A*A || || cpft - 9 II(3-29) La quantité || <p — (pe || doit évidemment être équivalente à ô, ce qui conduit à la condition || l k || < ô UA*A ||, (3.30) i.e. on arrête les calculs quand la norme du résidu || || devient comparable au second membre de (3.30). Ainsi, on a l ’estimation paramétrique pour k 0 || || < p (A*A) ô. (3.31) Ainsi, on n ’aborde les problèmes d’évolution inverses qu’après avoir étudié avec soin divers modèles simples qui fournissent l ’in formation à priori nécessaire pour construire un algorithme numé rique de qualité. Des cas plus ardus peuvent se présenter, mais l ’analyse faite suffit pour se faire une idée de certains principes dont on part pour construire les méthodes numériques compte tenu des erreurs survenues et des modèles simples. Nous avons discuté une seule approche de la régularisation, qui renseigne cependant assez 7.4] PROBLÈMES INVERSES 309 bien sur les tactiques numériques employées dans les problèmes inverses. Pour une étude plus poussée, nous renvoyons à la mono graphie de M.M. Lavrentiev [II]. Nous tenons enfin à dire que les méthodes et les idées exposées jouent pour le problème de Cauchy relatif aux équations elliptiques. Il s’agit des problèmes mal posés au sens classique, si bien qu’on s’adresse à des méthodes élaborées en vue des problèmes condition nellement bien posés. Parmi les auteurs qui se sont distingués dans ce domaine, citons Tikhonov [XVI; 171, M.M. Lavrentiev [XVI; 5, 25] et Ivanov [XVI; 11. 7.4. Problèmes inverses posés en termes de la théorie des perturbations On recourt de plus en plus volontiers, pour former les algorithmes de calcul, à des problèmes inverses posés en termes de fonctions adjointes et de méthodes de la théorie des perturbations. C’est sur tout vrai des problèmes complexes de la physique mathématique dans lesquels on apprécie difficilement à priori diverses influences exercées sur la solution. La chose s’avère particulièrement impor tante dans la planification des expériences lorsqu’on se propose d ’obtenir un ensemble de fonctionnelles qui soit le plus riche du point de vue informationnel. Fuks [XVI], Oussatchev [XVI; 18], Kadomtsev [XVI; 2], Marchouk, Orlov [XVI ; 14] ont obtenu des résultats de valeur relatifs aux problèmes inverses en théorie du transfert de rayonnement. La position et la résolution des problèmes inverses interviennent de façon sensible dans les problèmes de reconnaissance des formes, dans l ’identification et la théorie de l ’optimisation. Ces questions sont étudiées à fond par Pontriaguine et al. [III], Balakrishnan, Neustadt [III], Lions [III. 7.4.1. Certaines questions de la théorie linéaire des mesures La théorie des mesures s’insère aujourd’hui dans la gestion du fonctionnement des systèmes informatiques. Les appareils de mesure fournissent des renseignements (des fonctionnelles) sur le phéno mène, ce qui permet d’analyser celui-ci et de l ’orienter dans un sens voulu. Ces fonctionnelles aidant, on dégage l ’interprétation du phénomène physique. Nous ne parlerons pas de mesures isolées telles que la mesure de tension ou la mesure d’intensité du courant en tel point du circuit électrique. Seuls nous intéressent les phénomènes et les transforma tions physiques complexes qui doivent être compris et appréciés quantitativement avec une précision désirée. Des problèmes analo gues se posent fréquemment, surtout dans les secteurs nouveaux-nés de la technique. On ne saurait par exemple élaborer des méthodes pour mesurer le facteur de multiplication du réacteur si l ’on ignore 310 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 un détail quelconque de la réaction en chaîne, de la diffusion de neutrons ou des équations qui gouvernent le fonctionnement du réacteur dans des conditions différentes. Il va sans dire que les méthodes de mesure et les appareils mêmes se perfectionnent en même temps que la théorie du phénomène phy sique impliqué. La mise àu point de la théorie et des expériences va en général de pair avec l ’amélioration des procédés existants et l ’apparition de méthodes nouvelles. Une question se pose : ne peut-on formuler une approche plus ou moins générale des méthodes de mesure pour des processus diffé rents qui permette une description mathématique formelle de l ’algo rithme. La chose est en effet possible au moins en ce qui concerne les problèmes à opérateur linéaire. C’est cette classe de problèmes qui sera l ’objet de notre étude. Il nous paraît que la théorie des variations mesurées des gran deurs physiques peut reposer sur la théorie des perturbations. Sup posons que nous étudions un phénomène physique complexe à l ’aide d ’un instrument à caractéristiques physiques déterminées. Ses enre gistrements liés au champ étudié de la grandeur physique concernée sont des fonctionnelles de ce champ. Dans la plupart des cas, l ’expé rimentateur néglige cependant celui-ci car il veut connaître les écarts par rapport au champ induits par les perturbations qui sont en général petites. Les mesûres doivent donc être effectuées avec une précision suffisante pour qu’on enregistre les écarts à un état « standard ». Supposons qu’il en est ainsi. L’information ainsi obtenue suffit-elle pour bien interpréter l ’expérience et peut-on reconstituer de façon assez exacte l ’information sur l ’état perturbé du système? On n ’y répond en général pas aisément car la reconsti tution de l ’information sur le champ d’une grandeur physique par les instruments de mesure constitue de règle un problème mal posé. On lève cette difficulté fondamentale en établissant dès le début une relation entre les déviations de l ’appareil et les écarts des para mètres physiques étudiés. Dans ce cas, l ’erreur sur la caractéristique concernée est proportionnelle à l ’erreur dans les enregistrements (la variation de fonctionnelle), si bien qu’on interprète l ’expérience moyennant le plus d ’information possible. C’est avec ces concepts que nous allons traiter le côté théorique de la question. (Nous nous appuierons essentiellement sur les résultats de Marchouk et Orlov [XVI; 14].) 7.4.2. Fonctions adjointes et notion de fonction d’influence Considérons une fonction <p (x) telle que L <\p (x) = q (x), (4.1) L étant un opérateur linéaire et q {x) la répartition de sources dans le milieu. On définit x comme étant l ’ensemble des variables du 7.4] PROBLÈMES INVERSES 311 problème (coordonnées de temps et d’espace, énergie, direction de la vitesse) et on estime que <p et q sont réels et <p Ç O. Supposons, pour fixer les idées, que le phénomène étudié a trait à la diffusion ou au transport de substance bien que les résultats théoriques dépassent le cadre de ces problèmes. On introduit l ’espace de Hilbert des fonctions à produit scalaire (g, h)= j g (x) h (x) dx, (4.2) l ’intégration étant étendue à tout le domaine de définition D des fonctions g et h. Dans les problèmes physiques on cherche en général la valeur d ’une quantité qui est une fonctionnelle de q> {x). Toute quantité liée linéairement à <p (x) peut être représentée par ce produit scalaire. Si l ’on demande par exemple la mesure d’un phénomène par un appareil à caractéristique 2 (x), cette valeur est [<p] = j <jp(x) 2 (x) dx = (<p, 2). (4.3) On considérera donc les quantités qui s’expriment par des fonc tionnelles linéaires de (p (x) : / p [ç] = (q>, p ) , où p caractérise le phénomène physique concerné. Introduisons l ’adjoint de L par la formule (g, Lh) = (K L*g) (4.4) quels que soient g et h. On associe à (4.1) l ’équation adjointe for mellement non homogène L*(p* = p (.x), (4.5) avec p (x) une fonction arbitraire et (p£ 6 O*. Substituons à h et à g de (4.4) les solutions (p et cpj des équations (4.1) et (4.5), il vient (<p*, L(p) = ((p, £*<pj) (4.6) ou, compte tenu de (4.1) et (4.5), (<Pp> Q) = (9» P ) ; (4-7) autrement dit, J q [<Pp] = J p [q>]. On cherche donc la valeur de la fonctionnelle J p [9] ou bien en résolvant (4.1) et en utilisant J p [q>l = (<P, P), (4.8) ou bien en résolvant (4.5) et en définissant J p [9] par la formule Jp [(pi = Jq [(ppl = (9p, q). (4.9) 312 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [CH. 7 On associe donc à chaque fonctionnelle linéaire J p [9] = (cp, p) une fonction 9^ (x) vérifiant (4.5) dont le second membre doit être là fonction p (æ) caractéristique du phénomène étudié. Soit, dans le milieu, une « source de puissance unité » x 0, i.e. q (x) = ô (x — x 0). (4.10) Comme ((p {x), ô (x — x 0)) =-cp (x0), (4.11) on à J p [9 ] ~ ^ q-6(x-x0) [<Pp] = *Pp (®o)- (4.12) Par conséquent, la fonction adjointe cp| (x) décrit la relation entre la fonctionnelle / p [9] = ((p, p) et le point x0. Représentons en pensée un système physique (ou un appareil) qui. mesure une quantité J p [9], fonctionnelle linéaire de la solu tion, qui dépend par exemple de la densité de particules 9. Si un point du système reçoit une certaine quantité de particules (ou s’il en perd), la valeur mesurée de J v [9] croît (ou décroît) et cette varia tion dépend du point concerné. On sait que cette dépendance obéit à la fonction adjointe 9* (x) satisfaisant à (4.5). On peut donc dire que 9p (x) représente la contribution d’une particule à la fonc tionnelle /p , d’où son nom de fonction d’influence (ou fonction d ’importance). Avec la fonction adjointe 9p (x) ainsi définie, la théorie des per turbations pour toute fonctionnelle J p [9] se prête à une interpré tation simple. En effet, si l ’élément de volume Ax centré en x reçoit ou perd ÔN particules, la variation correspondante de J p s’exprime par ô /p = ÔA9* (x). (4.13) Si l ’on modifie légèrement les paramètres de notre système de façon que l ’opérateur L devient L + 6L, la quantité de particules dans chaque élément de volume Ax varie de 8N = —AxôLcp et la variation totale de J p s’écrit ô / p = — j 9^ (x) ÔL9 {x) dx. (4.14) La démonstration rigoureuse de cette égalité sera faite plus loin. La relation (4.13) permet de mesurer la répartition de la fonc tion d ’influence dans le système en modifiant d ’une façon déterminée le nombre de particules en des points x différents et en mesurant la variation correspondante de / p. La notion de fonction d’influence peut être utile en théorie de divers instruments de mesure. En effet, il y a en général autant d ’appareils de mesure que de quantités Jp et on introduit à chaque fois 9$ (x) bien définie qu’on calcule ou mesure une seule fois. Connaissant la répartition de la substance et de sa fonction d ’influence, on fait de la relation (4.14) deux coups. 7.4] PROBLÈMES INVERSES 313 Primo, en mesurant 8JP pour ôL différents, on détermine par (4.14) ces dernières quantités, i.e. les caractéristiques de l ’interac tion des particules avec la substance. On peut par exemple mesurer (et on le fait effectivement) les sections pour l ’interaction des neu trons avec la matière pour divers échantillons : on met les échantillons dans l ’appareil de mesure et on définit 62 — ôL en fonction de la variation de J p. Secundo, la relation (4.14) permet d’effectuer des corrections sur J p grâce à des éléments perturbateurs de l ’instrument de mesure. On note enfin que la notion de fonction d’influence permet d’éta blir les équations pour cp* (x) à la lumière de la signification physique de cette quantité tout comme l ’équation du flux neutronique s’ob tient de la loi de conservation du nombre de neutrons. Les formules ci-dessus conduisent de plus à un théorème de réci procité pour les fonctions de Green G (x, x0), G* (x, xJ. La première fonction vérifie l ’équation (4.1) pour q {x) = ô (x — x 0) et la deu xième satisfait à (4.5) si p (x) = ô (x — xx). Portons dans (4.7) cp (x) = G (x, x0), cpp (x) = G* (x, xi) et ces expressions de g et p, il vient G fo, Xq) = G* (x0, xx), (4.15) ce qui exprime le théorème de réciprocité. 7.4.3. Théorie des perturbations pour les fonctionnelles linéaires Si le milieu en interaction avec le champ varie, i.e. si l ’opéra teur de l ’équation (4.1) devient U = L + ÔL, le champ de (p {x) et la fonctionnelle J p [qp] changent eux aussi : (p (x) -> (p' (x), J p [(pi J p = Jp + ô/p. On établit la relation entre ÔL et ô /p. Le système perturbé obéit à l ’équation L'cp' = (L + ÔL) (p' = q (4.16) et la fonction adjointe associée à J p du système non perturbé à L*cp* = p . (4.17) On multiplie scalairement (4.16) par (p*, l ’équation (4.17) par (p' et on fait la soustraction, il vient à gauche par définition de l’opérateur adjoint (4.4) (<Pp> L'<p') — (<p', L*<p$) = (<j£, ÔL<p'), (4.18) 314 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 et à droite, conformément à (4.7), («P?» q) — (9'. p ) = Jp M — Jp t<p'I = —à j p. (4.19) En égalant les deux expressions, on obtient la formule générale pour l ’accroissement de fonctionnelle ô /p = —(<pj, Ô Lq>'). (4.20) Si l ’on prend, au lieu de (4.16) et (4.17), respectivement l ’équation adjointe perturbée (L* + ÔL*) <p*' = p (4.21) et l ’équation non perturbée (4.1), on trouve de même la relation ô/p = —(<p, ÔL*q>p ) (4.22) qui est évidemment équivalente à (4.20). Chose importante, les formules de la théorie des perturbations s’appliquent ici à la variation de fonctionnelle dont l ’erreur est d’ordinaire tolérable à plusieurs pour cent près, si bien qu’on cal cule ces variations sans connaître la solution exacte du problème proposé et de son adjoint, les solutions approchées faisant parfaite ment l ’affaire. Si la perturbation affectant l ’opérateur L (resp. L*) est suffi samment faible pour que cp (resp. cp*) soit peu altérée, on effectue dans (4.20) (resp. (4.22)) la substitution approchée <p' « (p (resp. <p*' æ (p*) et on obtient deux formules équivalentes de la théorie des petites perturbations *) ô/p — —(q)p, ôL<p), ô/p = -(cp, ÔL*-<pp). (4.23) (4.24) A part qu’elles permettent d’apprécier divers effets et d ’analyser les mesures, ces formules trouvent une autre application fort impor tante. En théorie et dans les problèmes pratiques, on remplace souvent le système complexe considéré par un modèle simplifié. Une condi tion nécessaire en est évidemment que cette transformation conserve certaines caractéristiques essentielles du système. On remplace par exemple les coefficients variables des équations différentielles par des constantes ou encore les conditions aux limites réelles par d’autres plus simples qui donnent la valeur vraie d ’une fonctionnelle choisie (méthode des conditions aux limites efficaces). Nous avons obtenu les formules de la théorie des perturbations qui constituent une approche très générale de divers problèmes. Supposons que le système considéré est caractérisé par l ’opérateur L *) Pour simplifier l ’exposé, nous dirons dans la suite que (4.20) et (4.22) sont les formules de la théorie des perturbations. PROBLÈMES INVERSES 7.4] 315 et que la caractéristique essentielle est la fonctionnelle J p [<p]. Si le modèle simple cherché a pour opérateur U = L + ÔL, alors J p est conservé par le passage au modèle sous la condition nécessaire ô /p = —(cp*, [L* — L] <p') = 0, L e .^ p /L V ) = (<P*> £<p')- (4.25) Si Ton s’intéresse à plusieurs quantités J p^ J p^ . . ., on a autant de conditions (4.25) avec les solutions cp^, cpp2, . . . La condition (4.25) ne définit pas univoquement le modèle équivalent. Ce n ’est qu’une condition nécessaire de sa définition. Si l ’opérateur L' déterminé par des considérations physiques con tient un ou plusieurs paramètres, on utilise en particulier (4.25) pour en définir les valeurs. 7.4.4. Méthodes numériques de résolution des problèmes inverses et planification des expériences Etant donné un ensemble de fonctionnelles (mesures) / p., i = = 1, 2, . . ., rc, on admet que les mesures sont de nature variée: on effectue les mesures en des « points » différents du domaine de définition de la solution ou on enregistre des caractéristiques diffé rentes du phénomène étudié. On suppose, pour simplifier l ’exposé, que les erreurs de mesures statistiques sont corrigées, i.e. on a effec tué un traitement partiel des données. On associe à chaque fonctionnelle J p. une fonction d’influence pour le problème non perturbé (le modèle) où l ’opérateur L et son domaine sont supposés connus. On a à résoudre n problèmes L *<Prl = Pu i — 1» 2, . . n. (4.26) On cherche au préalable n fonctions qp^ et on aborde le problème à L « non perturbé » adjoint de L * Z/*., ÔLcp) = - Ô/p., i = 1, 2, . . . , iz, (4.28) avec ÔL la différence entre l ’opérateur étudié L ' et l ’opérateur modè le L. L’opérateur L est supposé connu : m L — 'S [akAk + #& (PfeCft)], • (4.29) k=i où A k, B k et Ck sont des opérateurs linéaires élémentaires, par exemple les opérateurs de dérivation ou d’intégration, ou encore 316 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 leurs combinaisons; a k (x) et (x) les coefficients à déterminer dont on connaît d’ordinaire une approximation grossière pour le problème non perturbé (modèle). On se propose maintenant de reconstituer a£ et Pi dans m L ' = S [a'kAk + B h ($'kC k)]. (4.30) ft=i On trouve moyennant (4.29), (4.30) m à L = 2 [ôakAk + Bh m c h)}, (4.31) 1 où 8 a h = a ’h — ctk , =— Le report de (4.31) dans (4.28) donne sous des conditions appro priées le système d ’équations m S l(cpj , ÔochAhcp) + (Bgcp$ ôp,Acp)]= — 8JP , k=l 1 1 1 i = 1, 2, . . . , n. (4.32) Le problème suivant est de paramétriser les variations ôafe et ôPfc. Plaçons-nous dans le cas simple où ô(3fe = 0 et ôah sont des constantes. Le système (4.32) devient alors le problème d ’algèbre linéaire m Il («PPj» A<p) = — àJpr i = 1, 2, . . . , n. (4.33) Ici (cp*., ^4ftCp) sont les éléments matriciels qu’on calcule pour (p, cp*. et A h donnés. Soit y un vecteur de composantes 8ak, F un vecteur formé de ô/p. et aih = (tp*., A ky) les éléments d’une matrice A. On a l ’équa tion Ay = F. (4.34) Si le nombre n de fonctionnelles coïncide avec celui des variations cherchées des coefficients a ft, alors §ah s’obtient en principe à l ’aide de ce système. Si n > m, le système (4.34) se trouve surdéterminé et sa solution (quand elle existe) est d’habitude cherchée par la méthode des moindres carrés avec la condition que y réalise le minimum de la fonctionnelle quadratique || Ay — F ||2 = min. (4.35) On dit des fois que le vecteur y est quasi-solution de (4.34). Lorsque n — m, on aborde (4.34) par des procédés étudiés plus haut (Chap. 4) PROBLÈMES INVERSES 7.4] 317 on rapport avec les processus itératifs avec des données initiales inexactes. Si ôak (x) et ôp& (x) sont des fonctions, on cherche la solution du problème inverse par des méthodes de paramétrisation. Voici l ’idée de ces méthodes. On suppose qu’une analyse à priori (calculs sta tistiques, corrélation) des paramètres physiques conduit à des systè mes orthogonaux complets de fonctions uk i (x) et vkti (x) tels qu’on approche assez bien, pour n (k) petit, les fonctions a h et pft, de sorte que n(k) 6ah (x) = 2 ah, i uk, , (z), 1=1 n(h) (4.36) àfo(x)= S bk.l vk A (x), 1=1 ak% i bkj étant les coefficients à déterminer. La substitution de (4.36) dans (4.32) donne m n{k) S È k=l i=1 1 + vktlCkip)] = - ô J i = l ,2 , . . . , n9 (4.37) Ordonnons ahj b kj et notons-les z/7-, / = 1, 2, . . . On introduit une matrice A telle que l ’équation Ay = F soit équivalente au système (4.37). On est conduit une fois de plus au problème d’algèbre linéaire (4.37) qu’on résout par rapport à ah,h bh,i, ce qui donne respectivement ôak et ô(5ft. Nous nous sommes bornés au cas où la solution du problème modèle approche bien la solution réelle, i.e. on remplace cp' par (p en faisant appel à la théorie des petites perturbations. Si l’état non perturbé (modèle) du processus diffère de façon sensible de l ’état réel, l ’algorithme considéré constitue une première approximation de la solution du problème inverse. Une fois les variations ôah et ôpfe obtenues, on corrige les coefficients a k, pft et on calcule a'h = a h + ôaft, Pii — Pfe + ôpfc. On passe ensuite au problème « perturbé » Z/q>' -= /, (4.38) où l ’opérateur L r se définit par m L’= S [ « U fc + B * ( p j A ) l , 318 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) [GH. 7 on réalise l ’approximation suivante de la solution en prenant, au lieu de (4.32) la formule plus générale des perturbations S ft=1 [ ( < & , « a k4 k q>') + ( f l î < , 1 1 i = 1, 2, . . Ô M W )]= -ô /p ,, 1 (4.39) n, et on recommence l ’algorithme pour préciser 8ak, ôpfe (on réalise ainsi une seconde approximation de la solution du problème in verse). Le processus peut évidemment continuer. On démontre la convergence des approximations successives à la lumière d ’une information concrète sur les opérateurs élémentaires A k et les do maines de L et L*. Illustrons l’algorithme décrit sur un exemple simple. Soit le problème —JrP (*) ^ + 1“ (*> <P' = f (*)’ <P' (°)“ <P' (!) = 0(4-40) à coefficients a (x), P (x) inconnus qu’on suppose à priori être des fonctions continues dans le domaine de définition 0 ^ x ^ 1 de la solution et dont on connaît des approximations a et p, i.è. a (x) = a + ôa (x), p (x) = p + ôp (x). (4.41) Si l’information à priori permet de choisir a (x), P (æ) du modèle plus précis, l ’hypothèse de leur égalité à des constantes a et p n ’est nullement obligatoire. Une étude préliminaire fait conclure de plus à la possibilité de représenter 6a (x) et ôp (#) par les sommes finies n( 1) n (1) ôa (x) = S (x), ôp (x) = 2 biVt(x), (4.42) Î=1 z=i avec {ui (æ)} et {vt (a:)} des systèmes orthonormés complets de fonctions (cela peut être par exemple les polynômes de Legendre, les polynômes trigonométriques). Soit p x {x), p 2 (a?), . . p n (x) des caractéristiques des mesures telles qu’à chaque fois on enregistre la fonctionnelle 1 J'vi [9'] = [ Pi 0*0 (p' (*) dx, i = 1, 2, . . . , n. (4.43) b On dit des fonctions p t (x) qu’elles sont les caractéristiques de l ’ap pareil pour une mesure donnée. On introduit le problème non perturbé (modèle) associé à (4.40) + = <P (0) = (p (1) = 0 , (4 .4 4 ) 7.41 PROBLÈMES INVERSES 319 et on formule n problèmes adjoints pour le modèle choisi 3 _ d(p* _ (4.45) <P*£ (0) = <P*; (1) = 0, t = l, 2, La théorie générale veut que î î J p. [q>] = j P i (*) cp (x) dx = j / (ar) cp£. (æ) cte. (4.46) On suppose résolus les problèmes modèles (4.44) et (4.45) et on cherche les variations 6JP~ par la formule 0 /p. —/p. *^pzo &— li 2, . . . , w, (4.47) où /p . est l ’enregistrement de l ’appareil caractérisé par qui cor respond à (4.43) (avec cp' inconnu) et J p. une fonctionnelle qu’on recherche théoriquement par toute relation (4.46). Les mesures doi vent être effectuées avec une précision suffisante pour qu’on cal cule ô/p^ Passons aux formules de la théorie des petites perturbations (4.33): A = E, C = -L, dx ' On a, compte tenu des conditions aux limites pour (p*; et cp, j ( ôacpcpp, + Ôp - g h ) dx = - 8JP.. (4.48) 0 Portons dans cette formule les valeurs (4.42) de ôa {x) et ôp (#), il vient n(1) i i dq>* 2 (ai j u m l . d x + bi j Vl^ - - ± d x ) = — bJVv (4.49) Ï=1 0 0 ï —1j 2, . . . f /£• Le système se trouve complètement défini si n = 2n (1). On résout ce système par rapport à a h b xet on obtient, moyennant la représentation (4.42), une première approximation de a ' et P'. On améliore les résultats par la technique ci-dessus des approxima tions successives. On procède de même en ce qui concerne les pro blèmes inverses plus complexes dont le cas des perturbations 8/ affectant les sources. Ainsi, on est conduit au problème de planifier une expérience complexe qui consiste à choisir, parmi toutes les mesures possibles 320 PROBLEMES INVERSES (POSITION ËT MÉTHODES NUMÉRIQUES) [CH. 7 (réalisables pratiquement), celles qui donnent la plus utile informa tion du point de vue de la résolution du problème inverse : recons tituer certaines caractéristiques du milieu (les coefficients des équations). S’agissant de l ’optimisation globale, ce problème s’avère fort délicat. Aussi nous nous bornerons à certaines approches par ticulières. Faisons l ’hypothèse suivante : avant l ’expérience, on construit un modèle du problème non perturbé, on décrit moyennant ce modèle les fonctionnelles linéaires de la solution et on utilise l ’information à priori sur la précision des mesures pour établir celle à imposer aux mesures des fonctionnelles. Supposons garanties les conditions nécessaires pour que les fonctionnelles 8JPi soient mesurées avec la précision voulue. Parmi les ensembles d’enregistrements on choisit ceux qui conduisent à la matrice A la mieux conditionnée. Le système linéaire obtenu est résolu sans difficulté, si bien que de toutes les tactiques données, cette façon de mener l ’expérience est optimale dans un sens (il est vrai qu’on laisse de côté les aspects économiques de la planification qui s’avèrent des fois décisifs). Si l ’ensemble donné de fonctionnelles porteuses d’information qui garantissent le meilleur conditionnement de A, ne permet pas d’atteindre la précision imposée sur J p. mesurées, un problème plus complexe se pose : planifier l ’expérience avec des contraintes données sur la pré cision des mesures permises par le pouvoir de résolution de l ’appa reillage. C’est en fait une sorte de problème- d’optimisation avec contraintes. Nous estimons inutile de nous arrêter sur le traitement statisti que des données expérimentales, car, primo, il fait l ’objet de nom breux ouvrages et, secundo, il n ’est pas de nature à compliquer de façon quelque peu sérieuse la théorie des problèmes inverses (voir Marchouk, Drobychev [XVI; 13]). 7.5. Théorie des perturbations et modèles non linéaires complexes La construction d’un modèle mathématique de processus et phénomènes complexes constitue en général une entreprise difficile car ces modèles sont tenus de prendre en considération nombre d’ef fets variés dont tous ne sont pas décrits avec une précision imposée. On recourt donc à tel instant à telle formulation mathématique sim plifiée et on décrit plusieurs caractéristiques du phénomène en négli geant divers aspects parfois très importants. Malgré les défauts mentionnés, les modèles représentent en général le processus physi que avec la fidélité voulue. Quant aux effets négligés, on les appré cie à l ’aide d’une théorie spéciale des perturbations (voir numéro précédent). 7.5] THÉORIE DES PERTURBATIONS ET MODÈLES NON LINÉAIRES 321 Le présent numéro traitera de façon assez générale la construction et l ’analyse des modèles mathématiques. Contrairement à l ’exposé ci-dessus, on s’occupera des processus gouvernés par les équations non linéaires. On montrera que certaines approximations de processus non linéaires peuvent être abordées et analysées par des méthodes propres aux problèmes linéaires. Il va sans dire que ces approches s’appuient sur divers procédés de linéarisation. 7.5.I. Equations et leurs adjointes Soit un processus stationnaire qui obéit à l’équation opératorielle A<p = /, (5.1) où A est un opérateur différentiel matriciel dépendant de la solu tion fonction vectorielle cp et des données initiales a 1? a 2, . . ., a n, fonctions de coordonnées, et le vecteur donné / représente les sources (fonctions de coordonnées) et dépend des paramètres donnés px, P21 • • - Pm> i.e. A = A (cp, <*!, oc2> . . ., a n) et / = / (px, p2, . . . • • •> Pm)j_ _ _ _ _ Soit a u a 2, . . ., a n et pl7 p2î . . . » pm des données relatives à un état standard du système, qui sera, dit non perturbé. L’état non perturbé obéit naturellement à l’équation A (cpt , cLn) cp = / (p lt . . . 9 Pm)* (5 * 2 ) Avec les notations A 88 A (cp, a 1? • . . f o&ti)i / = / (Pi>j • • • » Pm) * l’équation (5.2) se récrit Acp = /: (5.3) On suppose connue la solution de (5.3). On admet ensuite que l ’état réel (perturbé) du système est gou verné par l ’équation (5.1) dont les entrées ne s’écartent que fort peu des données de l ’état standard, i.e. &i = <*<+ &Xj, Pj = Pj + ÔPy, les écarts ôa£ et ôp^ étant supposés petits devant a t et p^ respective ment. Dans ce cas, on a au lieu de (5.2) : 4 ( i + Ôcp, â i + ô a i ) ( ç + ôcp) = / ( P ; + ôp / ) , ( 5 .4 ) OÙ 9 = 9 + ôcp. On suppose de même à priori que ôcp est très petit devant cp. Sous l’hypothèse de A, de la solution cp et des entrées suffisamment régu21—0430 322 PROBLÈM ES IN V E R S E S (P O S I T I O N E T M É T H O D E S N U M É R I Q U E S ) [G H . 7 liers, on considère les développements (cp + ôcp, a i + ô a * ) = A - f A ôcp + ^ 7 fia * + . . . , (5.5) f(h + m = T+-§rW j. Portons dans (5.4) et arrêtons-nous aux termes d ’ordre 1, il vient ^ + ( J + - ^ ■ ^ ) ô(^, + - ^ ^ ô “ ^= ^ + w ôP/ , ( 5 ,6 ) et, compte tenu de (5.3), <5-7» Cette équation définit les faibles écarts de la solution cp par rapport à l ’état non perturbé. Supposons maintenant que l ’opérateur état non perturbé A et la source / sont connus de façon approchée, à savoir A = A + e, (5.8) 7=f + i. Ici e est l ’opérateur erreur du modèle : e = A —A et £ l ’erreur sur la fonction vectorielle de sources Soit 1 = 1 - F. IM II > Il e ||, (5.9) Il7 II > Il i II. Les normes de l ’opérateur et de la fonction vectorielle sont définies sur les espaces métriques correspondants. Le report de (5.8) dans (5.7) donne ( â + 1dtp r 5YJ) ^ = -Ë dpj- ôp ~ ^do^ ^ ôai + ^ (5.10) v) ô(p (5.11) avec 7.5] THÉORIE DES PERTURBATIONS ET MODÈLES NON LINÉAIRES 323 Par conséquent, l ’équation (5.10) se récrit sous l ’hypothèse (5.9) _ _ _ _ et on a donc à des infiniment petits près = (5-12* L’avant-dernière équation constitue un modèle qui permetjde calculer l ’état non perturbé du système lorsque les données initiales varient de ôa* et ôp,*. On introduit les notations (5.13) Finalement, LÔ(p = ÔF, et la solution formelle du problème s’écrit ô<p = L-'ÔF. (5.14) (5.15) [7.5.2. Equations adjointes et théorie des_ perturbations La formule (5.15) rend le plus de services quand on définit1les écarts de la solution pour un seul ensemble de données initiales. Lorsqu’on se propose d ’effectuer des modifications dirigées de l’état du modèle, il y a intérêt à effectuer les calculs tests. En effet, oii ne saurait apprécier la sensibilité du modèle à la variation de para mètres ni établir le rapport optimal de ceux-ci sans connaître un grand nombre de solutions différentes. On se propose donc d’éla borer des théories des perturbations plus universelles pour des fonetionnelles données, qui permettent d’examiner le modèle mathé matique sous tous ses aspects pour des données initiales différentes. Comme dans le cas linéaire, on introduit L ôcp = ÔF (5.16) et l ’équation adjointe ; L*cp* = p, (5.17) L* étant l ’adjoint de L au sens de Lagrange: (Lgl h) = (g, L*h). (5.18) g et h sont deux éléments de l ’espace de Hilbert qui se^trouvent respectivement dans le domaine de L et celui de L *. La fonction^ n’est pas définie pour le moment. 21* ;324 PRO BLÈM ES IN V E R S E S (P O S I T I O N E T M É T H O D E S N U M É R I Q U E S ) [C H . 7 Multiplions (5.16) et (5.17) scalairement par qp* et ôqp respective ment et faisons la différence, il vient (qp*, L ô<p) — (ô(p, Z,*q>*) = (qp*, 8F) — (p, ôqp). (5.19) Le premier membre est nul par suite de (5.18), si bien que (p, 6<p) = («p*, 6F). (5.20) Soit l’ensemble de fonctionnelles linéaires 6Jn = (Pn, ôq>). Si, en particulier, pn = ô (x — xn), alors 8Jn = ôqp (xn) (5.21) (5.22) dans le cas linéaire aussi. On désignera par qp* la fonction qp* asso ciée à pn. Ainsi, on a grâce à (5.20) l ’ensemble de fonctionnelles àJn = « 6F). (5.23) Supposons choisies à l ’avance N fonctionnelles J u / 2, . . J N et résolus N problèmes'adjoints L*qp* = Pn, n = 1, 2, . . ., N. (5.24) Selon (5.23), il n ’est nullement besoin de calculer ôqp associés aux jeux divers de paramètres ôa* et ô(l/ car on calcule directement les valeurs des 8Jn pour toute perturbation sur les données initiales à condition de se donner qp*, n = 1, 2, . . ., N. 7.5.3. Théorie des perturbations et problèmes non stationnaires Considérons un problème non stationnaire abstrait tel que = qp= g pour t= 0 (5.25) et le problème adjoint — “^ ” + "4*9* = /*, cp* = g* pour t = T. (5.26) Ici /* et g* sont des fonctions vectorielles non définies qu’on choisira plùsVtard. On multiplie (5.25), (5.26) respectivement par qp* et <p, on fait la différence, puis on intègre en t sur l ’intervalle 0 ^ t ^ T. On à' T T j ^(«P*, <p)dt+ [ d£[(tp*, A<p) — (cp, 4 V )1 = o b T = J dt[(f, qp*) —(/*, qp)]. 0 (5.27) 7.5] T H É O R IE D E S P E R T U R B A T IO N S ET M ODÈLES NON L IN É A IR E S 325 Comme («P*, 4<p)-(q>, A V ) = 0, l ’expression (5.27) se récrit compte tenu des conditions initiales correspondantes T (g*, <Pr ) — (g, <PÎ) = j dt [(f, <p*) — (/*, <p)], <pr = î = ) àt. 0 (529) L’identité (5.28) aidant, la fonctionnelle s’écrit également T J = (g, <PÎ)+J(/. «P*)*(5*30) 0 On suppose perturbées les données initiales de (5.25), i.e. on a g' — = g' + üg et f = f + 6/, auquel cas l ’équation (5.30) fournit la formule pour la variation T 6 / = (6g, cp*) + j (fi/, <p*) dt. (5.31) 0 Ainsi, on cherche les écarts de J associés aux variations de donnée^ initiales sans qu’on ait à résoudre de nombreux problèmes de la forme 4 f-M < p ' = / \ q/ = g' pour f = 0, (5.3$ avec/' et g' différents. Il suffit d’aborder une seule équation adjointe (5.26) et d ’utiliser (5.31). Moyennant la formule (5.31) on construit le problème inverse « trouver ôg et 6/ à l ’aide de l ’ensemble de fonc tionnelles 6 / ». Dans de nombreux cas non stationnaires, on s’intéresse non pas aux fonctionnelles de la solution, mais aux écarts qu’elles présen tent. On se ramène alors par la méthode du point 5.5.2 aux équations ôqp + £ô<p = ÔF, ô<p = ô(p0 pour £= 0 (5.33) 326 PROBLÈM ES IN V E R S E S (P O S I T I O N E T M É T H O D E S N U M É R I Q U E S ) [G H . 7 et à leurs adjointes _ ^ l+ L V =A <P* = 9£ Pour t = T. (5.34) On procède ensuite comme pour les problèmes inverses non sta tionnaires. ' 7.5.4. Méthode spectrale et théorie des perturbations Lorsqu’on veut définir non pas ô /, mais l ’écart par rapport à la solution du problème non perturbé, on traite la théorie des pertur bations avec d’autres concepts. On utilise l ’équation (5.14) L ficp = àF (5.35) et leproblème spectral Lw = Xw. (5.36) L’opérateur L n ’étant pas auto-adjoint, on considère le problème adjoint de (5.36) L*w* = Xiv*. (5.37) On suppose que (5.36) définit un système complet de fonctions vec torielles propres {wa} relatives aux valeurs propres {Àn} et que le problème (5.37) définit {u;*} et {À^}. Les fonctions propres vérifient alors la condition d’orthogonalité (wn, w*n) = 0 pour m ^ n. (5.38) On effectue la normalisation f l , n — m, =L <5'39) On représente la solution de (5.35) par la série de Fourier suivant les fonctions propres de (5.36) : De même où Ô9 = S à<çnwn. n (5.40) àF = ’S àFnwn, n (5.41) ô(p„ = (ô<p, w%), àFn — (àF, wl). Portons (5.40), (5.41) dans (5.35) et multiplions scalairement par w„ : (5.42) h mà<pm = à F m , m — 1, . Ainsi, le problème (5.35) admet pour solution àFn (5.43) ô<p=2 n 2, 7.5] THÉORIE DES PERTURBATIONS ET MODÈLES NON LINÉAIRES 327 ou finalement (5-44) n Ainsi, l ’écart de la solution vis-à-vis de l ’état standard est repré senté par la série de Fourier. Si l ’on s’intéresse à la fonctionnelle linéaire même, alors 8J = (p, ôcp), (5.45) auquel cas 0/ = S n (P, W») = (8F, <p*),(5.46) avec <p*=2 V n) <p* étant la solution de (5.17). On traite de même un problème non stationnaire et on obtient les formules correspondantes de la théorie des perturbations. CHAPITRE 8 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE Dans ce chapitre, nous aborderons des problèmes simples types de la physique mathématique par des méthodes principales de l ’ana lyse numérique. 8.1. Equation de Poisson Nous exposerons à l ’aide de certains modèles les concepts à l ’ori gine de la résolution numérique de problèmes relatifs aux équations elliptiques. 8.1.1. Problème de Dirichlet pour l’équation de Poisson en dimension un Soit le problème de Dirichlet relatif à l ’équation de Poisson uni dimensionnelle i 0 < Æ< 1, dx2 <p (0 ) = a , ( 1 . 1) <p(l ) = fc, / (x) étant la fonction de sources et a, b des constantes données. On partage le segment 0 x ^ 1 par les points équidistants xk en N segments partiels x k x <1 x k+1, l ’espacement des points étant xk — = h. Le problème (1.1) est alors approché à l ’ordre 2 en h par f k, h2 * = 1 ,2 , 1, ( 1 . 2) 9o — 9iv — Selon la loi générale présidant à la formation de schémas aux différences, les points frontières sont éliminés de (1.2) moyennant les conditions aux limites, ce qui change l ’opérateur du problème 8.1] ÉQUATION DE POISSON 329» et, on a 92 _ a h? h2 —yft-i + 2q>ft—(pfe+1 /*. * = 2, 3, . . . , N - 2 , h2 —9ivr-2+ 2(Piv-i _ b i j: /j2 (1.3> — ^2*1 J N - 1- On obtient donc un système de N — 1 équations par rapport aux inconnues <px, cp2, . . ., (p^-i qui s’écrit sous forme matricielle(1.4> M = g. OU 2: —1 0 0 ... —1 2 -1 0 ... A —— 0 -1 2 -- 1 h2 0 <p= <Pl 92 9 jv- i a f l + H2 * gk —' fhi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . --1 gl gz * 2 1 gN-1 k = 1, k = 2, 3, . . . i î N-1+* — J>2 » k = N — 1. On vérifie aisément que {Aip, qp) > 0 pour (p ^ 0 , i.e. le problème admet une solution unique. On résout (1.3) par la méthode de factorisation: 1 Pfc+i 2-pft ’ zk+1 = Pfc+i (zk + Wgk)'» * = 1» 2, . . . , N — 1, (1*5) (Pft = Pft+i<Pft+i + 2fe+1, k = N — 1, N — 2, . . . , 1. On obtient les valeurs initiales p2, z2 en écrivant la troisième équation (1.5) pour k = 1 2 330 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. 8 •et en exigeant qu’elle soit identique à la première équation (1.3) pour p2î z2 choisies de façon convenable. On constate facilement qu’on doit poser pa=4* z2 = a±Y --~. (1.6) On accepte comme conditions initiales pour <pft <P* = 0. (1.7) 8.1.2. Problème de Neumann en dimension un Soit le problème de Neumann d2(P _ dx * 2 h ^-= a pour z = 0, -§- = 6 pour x = l, (1.8) 4 et & étant des constantes données. On intègre l ’équation (1.8) sur tout le domaine de définition de la solution et on utilise les conditions aux limites, il vient IH la — j fS.x)d x , (1.9) o relation qui est une condition nécessaire de possibilité du problème (1.8). Si a = 6, cette condition signifie que la somme des sources de ♦substance est égale à 0, i.e. il y a autant de sources positives que de sources négatives. Ainsi, le problème (1.8) est supposé possible et soit (p0 (x) sa ■solution. On vérifie sans peine que <p (x) — (p0 (x) + C (C étant une constante arbitraire) en est une autre solution et que toutes les solutions sont définies par cette formule. On obtient le problème discrétisé d’ordre d’approximation 2 en prolongeant la solution suffisamment régulière au domaine 0 < x 1 augmenté de h de part et d’autre de la frontière, ce qui fournit le réseau auxiliaire x_x = —h, x 0 = 0, x k = Jch, x N = 1, x n+i = 1 + h. Sur ce réseau on définit une approximation —Çft-i+ 2<pu —<Pft+i h2 f i f-i _„ 2h fk, Æ= 0, 1, fw+i <PN-1__u ~ a'2h N, ( 1. 10) 8,1] ÉQUATION DE POISSON 331 La résolution du problème (1.8) est précédée de l ’élimination des conditions aux limites. A cet effet, on élimine dans (1.10) deux nou velles inconnues . q)î, (p^+i: on résout les relations aux limites (1.10) en cp_l5 <pN+1: 9-i = <Pi — 2fta, <Pn+i = jv— i + 2hb (1.11) et on porte les valeurs obtenues dans les équations aux différences (1.10), il vient 9o—9i _ îo h' h2 2 -(PA+1 ( 1. 12) Je= 1 ,.. ■= f k , A* In 1 6 —<pw-i + 9iv h2 2 1h‘ On introduit la matrice 0 i —1 0 .. . 0 0 - i 2 - 1 .. . 0 0 -1 0 2 .. . 0 A - — (1.13) h* 0 0 .. . 2 - 1 0 0 0 0 .. . - 1 1 et les vecteurs <Po êo <P1 gi <p= 92 . g = gZ «Pat a h gN » k = i , fky i b ^ h ' 2, II ÎN 2 II O fo 2 Avec ces notations, on a le problème A y = g. (1.14) La première chose à se demander au sujet de A est sa définitivité. Il est connu que la matrice A du problème de Neumann dis crétisé est singulière parce qu’il y a nullité de sa plus petite valeur propre. On le constate facilement par recours au problème spectral Au — ku, ! 332 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [GH. 8 qui a pour vecteur propre le vecteur u0 de composantes égales et ^ = 0 pour valeur propre associée. On montre ensuite sans difficulté que (^4cp, <p) ;> 0. Nous avons étudié à fond ce problème d ’algèbre linéaire (voir n° 4.5) et établi une condition nécessaire et suffisante de possibilité. Dans notre cas, cette condition signifie l ’orthogonalité de g à w0, i.e. S g ft = 0. ft-=0 (1.15) Le premier membre s’écrit N 2 Zk = ~JT [ “2“(ô + 2/x+ •. «+ 2 / ^ ! + /^) — a-ffe l fc=0 (1.16) Mais y (f0 + 2/i + . . . + 2f N_x + f N) n ’est rien d’autre que la i formule de quadrature des trapèzes pour l ’intégrale j / (:r) dx et son erreur fait que le crochet de (1.16) est ou bien nul ou bien proche de 0. Pour que (1.14) concorde avec la condition de possibilité (1.15), on corrige le « ;résidu » éventuel et on choisit en qualité de gh par N _ _ ^ | exemple gh = gh — g, avec g = ^ £ gk- On a maintenant fc=0 2 £*=o. 0 (i.i7 ) On a décrit au numéro 4.5 une méthode itérative pour le système compatible A<p =\g. (1.18) Le système (1.18) à matrice tridiagonale se prête également à la factorisation à condition de modifier légèrement l ’algorithme (A est dégénérée). Le problème modèle considéré permet de bien analyser la méthode et de voir les points cruciaux de l ’algorithme. Considérons donc les formules de factorisation. Dans le cas pré sent, ^0 = fe/t = 2, c o = Æfc = £& ~ 11 ^n = a N = k = 1, 2, . . ., N 1, donc P0 ~ 0» Pl = P2 = * • • ~ PN ~ 1» Zq = 0, ^ +1 = Zh + :gft? k = 0, 1, . . ♦, N — 1, ÉQUATION DE POISSON 8.1] 333 m 2 Ski en o et de la dernière égalité on déduit [facilement zm+ N- 1 particulier, S gh• Enfin, fc=*0 _ N -l^ fe=0 gj\r + 2N __ ZJV+1 — &iV—aJvfW &JV—&N$N N ^ fc=0 1-1 0 o• Ainsi, l ’algorithme de factorisation recèle l ’indétermination. La chose est naturelle car q>N = zn +i peut être quelconque par suite de la non-unicité de la solution. Ainsi, on prend pour cp^ un nombre arbitraire et on obtient la solution cherchée. On en tiendra certes compte dans le problème de Neumann à un opérateur plus complexe que —(î2!dx2. 8.1.3. Equation de Poisson à deux variables Dans le cas de plusieurs variables l ’approximation constitue un problème non trivial. On illustre au mieux ses difficultés sur un problème en dimension 2 pour l ’équation de Poisson. Si la frontière du domaine de définition de la solution est régulière et les fonctions définies sur la frontière possèdent un degré de régularité suffisant, alors une approximation d’ordre 2 de l ’équation et des conditions aux limites garantit de règle une solution exacte à l ’ordre 2. Mais si la frontière ou les fonctions ne possèdent pas la propriété voulue, la solution est affectée d’erreurs importantes au voisinage des points singuliers. En effet, si la solution est définie dans un rec tangle ou un domaine en L (voir fig. 11), alors il est classique que dans les problèmes à opérateurs elliptiques on voit souvent apparaître au voisinage des points anguleux des singularités logarithmiques ou fractionnaires. Aussi le caractère régulier du réseau et le fait que le problème est approché à l ’ordre 2 en les deux variables à l ’inté rieur du domaine ne garantissent pas une solution exacte à l ’ordre 2. Dans ce cas, ou bien on resserre le réseau au voisinage des singularités, ou bien on isole les singularités pour résoudre numériquement le problème régulier de façon à garantir une précision d’ordre 2. On note que s’il y a une concordance déterminée des conditions aux limites et du second membre de l ’équation, la solution peut être régulière aux points singuliers de la frontière, ce qui permet d’échap per auxdites difficultés (voir p. ex. Godounov [II]). Nous en avons parlé au Chapitre 6 et on en tiendra nécessairement compte lorsqu’on traitera les problèmes de la physique mathématique par les algo rithmes numériques. Nous nous intéresserons donc aux seules mé thodes de résolution des équations aux différences intervenant dans les problèmes à plusieurs variables. 334 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [GH. 8 Soit l’équation de Poisson de dimension 2 -(-Ê 5 -+ -S -W dans cp= g sur D • (1.19) dD, le domaine de définition de la solution étant le carré D = {0 ^ ^ Æ ^ l , 0 ^ ÿ ^ l } . On estime qu’il y a compatibilité mentionnée et que la solution <p présente une régularité suffisante. Dans D on prend un réseau dont les nœuds (xk, y x) sont formés par l ’intersection des lignes de coordonnées x = x k et y — y x. On a l ’équation aux différences — z—<Pfe+1, i~i — q>h, z+i+4(ph, i __ 4 ----------------------- p ------------------------“ /*, h <Po,i = ah <PN,i = bu tykto= ch* k, 1= 1,2, .. . , 7V— 1, (1-20) où O'i — go, h bi = g N , i , C k ~ g k , <n d k = gh, n (ici x^ — kh, y x = lh). Dans (1.20) on supprime les conditions aux limites et on met le résultat sous forme matricielle. Pour cela, on introduit la matrice A et les vecteurs {<pz; g i } 1^ par les formules 2 -1 0 0 0 0 ... —1 2 —1 0 ... 0 0 2 - 1 ... 0 -1 0 0 0 <Pii <P2i <P3J 0 ... -- 1 0 0 > /« + 8 fzi gl — fsi 9iV-i, i 2 î n ~i, Avec la matrice B définie par B = h2A + 2E, le système (1.20) se récrit -p-( — + — <Pi+t) = gh 1= 1, 2, . . . , N — \, (1.21) b.l] 33S ÉQUATION DE POISSON avec la condition <Po= SP-zv~ d, Cl dx C2 c = (1.22)» , d2 <2 = CJV-1 djv-i Dans les équations (1.21), (1.22) on élimine les conditions aux limi tes (1.22). On a JL(B<p1— q>2) = g1 + -±r c, 1 = 2, 3, . . . , N — 2, — <Pi-i + -®<pi— <Pî+i) = £ti (1.23)> 1 1 ~j~r ( —Vn -2 + -®9n-i) —Sn ~i + d. qui devient Aq> = F (1.24) à Laide des vecteurs et des matrices par blocs B —E 0 0 .. . B —E —E 0 .. . B — E .. . 0 —E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .. . — E B F= g2 <Pi <p = <P2 tH i feï • 8- ~hT d-{-gN- 1 E étant la matrice unité. La matrice A se décompose en la somme A = A 1 + A2, Ai = A 0 0 . .. 0 0 4 0 .. . 0 0 0 A .. 0 0 0 0 .. . A ’ Az = Âr .i 2E — E 0 0 . .. — E 2E — E 0 . .. 0 — E 2E — E . .. 0 0 0 0 0 0 0 .. . 2 E 336 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. 8 On vérifiejaisément les égalités Ai i — q>a)jk, A — 1; i= i, (A2(p)ft=| -p"(““ 9ï-i"h2(Pj — ^ (1.25) (— Tiv-2 + 2<Piv-.i)ft, Z= 2, 3, . . . , A 2, 1= N —1. (1.26) Il apparaît clairement que (Aï<p)z et (Aaq>)ft sont les composantes des vecteurs respectifs Ax(p et A2q> et qu’il est commode de passer aux composantes et d’écrire 2<Pi, i — <P2, i (Ai<p)z = -rr — Vft-i, i + 2cpft, z—9ft+i, i Z= 2........ iV—2,5 — 9^-2, i “h 2<Pjv-i, i 2<Pfc, <A2q>)ft = -jr — z -i + 2 (p & , Z= 1 , 2 , . . . , A - 1 ; = 1, 2, . . . . A —1. i — q )ftt z+ i — n - 2 + 2(Pft, jv-i On écrit de même pour le vecteur F : F= JV-l + .£ l /u ^ A* ^ A2 /lï + / n + -a /31 { Î 2l , 1 C3 1 - CV -1 &2 JN - 1, 1 ' h2 ^ = 4 - 61 / v - 1, » + T ïr 1 61 ' fc2 Z= 2, fsi A —2, ÉQUATION DE POISSON 337 dt *N-1 h2 ! K2 /i, iy-i fzf N’r 1 FN~1 — Î3, N - l ^ l I &N-1 /N -i.N -i-h—j r - i jr et on a en passant aux composantes (Ai<P)i + (Atq>), = F h (1.27) 1 3 ‘a Il H* Si l ’on impose à l ’indice Zde (1.27) de parcourir toutes les valeurs Z = 1, 2, . . N — 1, on écrit (1.20) sous forme matricielle défi nitive (À! + A2) <P = F. (1.28) Chaque composante de (1.28) correspond, on le constate sans peine, à l ’équation aux différences (1.20) qui tient compte des valeurs données que la solution prend sur la frontière., Avant d’écrire l ’algorithme on cherche les bornes du spectre de l’opérateur A. Les fonctions propres de la matrice A étant de la forme (voir point 1.1.4) kl ky (1.29) Ump = sin mnkh sin pnlh, on a mnh j pnh \ hz (sm 2H- sm 2 / • (1.30) 8 n 31h V= 1 F C0S ~ ’ (1.31) 2 D’où 8 . 9 nh « = 7 ^sin 2— . A avec - - a = a (A), P - P (A). ; V. On aborde l ’équation (1.28) moyennant l ’une des méthodes ité ratives du Chapitre 4, à savoir (pi+ 1 - q/ - t j {A tf - Le processus itératif s’écrit <p.!+l =-V — t j î }, 2 2 -0 4 3 6 F). (1 .3 2 ) 338 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. 8 On continue les itérations (1.32) jusqu’à- ce qu’on ait Il <P* — <P II < e, avec e une constante à priori. Cette estimation a lieu si Il V II < a (A) e.; (1.33) On accélère en général la convergence si l ’on utilise non pas le processus itératif (1.32), mais la méthode!des approximations suc cessives avec accélération au sens de Tchebycheff <pi+1 = (pJ- ïj B-1(Aq>*- F), (1.34) où B = {E + crAx) {E + oA2) ; 2 . a a = a (A) ; P = P(A). ’ On localise le spectre de B~xA. Comme les matrices A ± et A2 possèdent une base en commun, il y a entre les valeurs propres X1 de Ax et À2 de A2, d’une part, et les valeurs propres du problème (voir point 1.1.3) de l ’autre B - 1Au = X (B-1A) u, la relation ^1+^2 X (B-1A) = ( ‘ + 7/ k«P) ( ' + T % ) ' a /2 < À 1< p /2 , a/2 < X 2< p /2 , qui se ramène à (1.35) (1.36) y), avec 2Àio lâP ^ j/ap ; f/ v I- y f(x, y)= (!_ ).* ) (1 + y) (1.37) Ainsi, une condition suffisante pour qu’on localise le spectre de la matrice B -1A est qu’on trouve les valeurs extrêmes de la fonction / (x , y) dans le carré j/ " fonction étant df dx y 1— y 1 1 + y(!+ * )* > ^ Les dérivées de cette df _ i — x dy 1 l ' + * ( l + J/)®’ .. oo\ ' ' ÉQUATION DE POISSON 339 on montre aisément que / {x, y) est maximale en deux points angu leux : , _ m à x Va/e<K, i/< Vp/a / ( * . » ) = / ( ■ % ■ ) = ? H - / ( / £ . / f ) ’ <‘ -3 9 > et qu’elle est minimale en deux points restants : min f(x, y) = f ( ' \ / r \ , Y^< x,v<Ym p V t )= p = /( /! - . / ! ) • (* •* •) Il en résulte compte tenu de (1.36) a ( 5 - ‘A) = ï z 3 |b . (1+/57P)2’ rN' “B - A) = 42 -r / f p7 (1+/S7P)2’ autrement dit, on a asymptotiquement pour p (A) P(B A) = « I F î â ) /PISTA I a (A) (1.41) /« p 2 U -* » = 23/2p~l/4 (A). (1.42) Les itérations (1.34) procèdent comme suit: ( £ + f f A i ) i i+1/2= r , (£ + o A 2) r +1= i i+1/2, ^ + i = ^ _ Tjr +i, (1.43) T/ étant cherché par la méthode d’optimisation choisie. En passant aux composantes, l ’algorithme pour la deuxième et la troisième équation (1.43) s’écrit : on résout d’abord le problèmè pour l = 1, 2, N —1 (1 + 2a) |i+,1/2- a | l | / /2 = S i,,, ' - a |i+_V2 + ( 1 + 2a) S(+(1/2 - a S ft1/ 2 = 1 U — 22 * + (1 + 2a) ; =? I n -i, i » (1.44) 340 DES PROBLÈM ES D E L A P H Y S I Q U E M A T H É M A T IQ U E [G H . 8 - à & î ï - i + ( 2 a + 1) î i t ï - o & L i = l i t ! 12, (1-45) puis pour k = 1, 2, . .., N — 1 —à hit n - 2 + (1 + 2a) hit n - i - h i t H - i ’ Les équations (1.44) et (1.45) sont traitées par factorisation. S’agissant du problème de Neumann en dimension 2, on aboutit encore à (4.28) à la différence que les composantes à définir ne sont plus (N — l)2 (cas de Dirichlet), mais (N + l)2. Dans le problème de Neumann, a (A) = 0. C’est une différence essentielle avec le schéma de mise en œuvre du problème de Dirichlet discrétisé. Par conséquent, le second membre F et la solution appro chée q); sont orthogonaux à chaque pas à un vecteur de composantes identiques, i.e. à l ’entrée de chaque pas d’itération on retranche de toutes les composantes de ÿ la constante l' * fc, i { Dans ,ce procédé d’orthogonalisation, l ’espace de Hilbert pri mitif devient par élimination des vecteurs de composantes identiques le sous-espace O dont les éléments sont pris pour vecteurs d ’essai, si bien qu’on assimile la borne inférieure du spectre à la plus petite valeur propre non nulle. Il est connu que le spectre du problème de Neumann relatif au laplacien discrétisé se définit par la formule Àmp = - L ( s i n 2 ^ + s i n 2 - Ç - ) , m, p = 0, 1, N, (1.46) et qu’on a pour les bornes = , P (A) = -p-. (1.47) Il y a intérêt à choisir un paramètre a tel que ■ '-V '-Ç M 8> et à accepter pour critère d’arrêt du processus itératif (1.33) Il || < oc* (A) e. (1.49) Il n ’existe pas d’autre différence entre l ’algorithme numérique pour le problème, de Neumann attaché à l ’équation de Poisson et l ’algorithme considéré pour le cas de Dirichlet. 8.1.4. Problème dè conditions aux limites , Les méthodes considérées pour l ’équation de Poisson autorisent une conclusion importante et assez générale sur l ’élaboration d’algorithmes efficaces pour les problèmes aux limites de la physique 8.1] ÉQUATION DE POISSON 341 mathématique. Cela concerne en premier lieu le problème de condi tions aux limites. Plus haut on s’est tenu à éliminer les conditions aux limites, ces contraintes supplémentaires imposées à la solution, et à les modifier compte tenu des problèmes aux différences associés. Cette tactique a sa raison d’être : les conditions aux limites étant « supprimées », on construit les algorithmes de calcul sans avoir à les vérifier du moment que les équations aux différences modifiées' en tiennent compte automatiquement. La chose est essentielle pour tous les problèmes stationnaires ou non stationnaires, surtout pour ces derniers qui exigent une analyse sérieuse du problème de con ditions aux limites. Aussi, nous nous sommes abstenu au Chapitre 5 de décomposer les problèmes non stationnaires en des problèmes différentiels simples, sinon on aurait à s’occuper des conditions aux limites compatibles avec le système décomposé. Selon nous, il vaut mieux associer au problème initial un système d’équations discrétisées en les variables d’espace et en éliminer les valeurs aux limites des fonctions à l ’aide des conditions aux limites discrétisées qui sont compatibles sur le plan précision avec l ’équation aux diffé rences. Ce n’est qu’après qu’on approche par rapport au temps par les méthodes de décomposition ou autres. Cet artifice évite l ’étude de la compatibilité des conditions aux limites à chaque étape de la formation des algorithmes de décomposition. Nous voulons attirer l ’attention du lecteur sur une circonstance intimement liée avec le problème de conditions aux limites. Dans certains problèmes de la physique mathématique traités par les schémas aux différences, on a intérêt à représenter la solution par la série de Fourier suivant les éléments propres de l ’opérateur du pro blème discrétisé. Nous y avons recouru à maintes reprises pour tirer au clair les propriétés des algorithmes de calcul. La méthode en question ne joue cependant que. si . le problème discrétisé présente des conditions aux limites homogènes. Dans le cas contraire, on transforme au préalable le problème de façon que les conditions deviennent homogènes. Effectuons cette transformation sur le pro blème simple (1.1). On considère le système aux différences (1.2), on adjoint au domaine de définition {xk}, k — 1, 2, . . ., N — 1, de la solution deux nœuds x — 0 (k = 0) et x = 1 (k = 1) et on prolonge la solution à ces points par <Po = 0, <Pjv = 0. Cette opération purement formelle n ’a certes rien à fîre avec la valeur réelle de la solution en x = .0 et x = 1 définis par les con ditions aux limites non homogènes (1.1). Cela signifie qu’une fois le problème résolu, on chasse du domaine de définition les points k = 0 et k = N où la solution est définie par (1.1). Avec ce procédé, 342 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. 3 on substitue à (1.2) le problème équivalent —yft-i+Sçpft—cpft-i h2 <Po= 0, * = 1 , 2, N - 1, (1.50) <Pv = 0, où gk = -p- + /l7 & =1, /ft» k = 2, 3, . + (1.51) £ = 7V -1. Ainsi, le problème (1.1) avec conditions aux limites non homogènes devient par une certaine transformation du second membre des équa tions aux différences un problème homogène dont on cherche la solu tion par la méthode de Fourier. Dans le problème de Neumann non homogène (1.10) on élargit le domaine correspondant par adjonction des nœuds et x N+ly ce qui donne le problème — + h2 —q>k+i k = 0, 1, 2, —ghi 9-i —9n 9.V+1 — N, (1.52) ii où k = 0, gh = < fhi k = U 2, (1.53) k= N. On cherche la solution et on en élimine les composantes auxiliaires 9-iî 9v+iOn traite de même les problèmes à plusieurs variables, station naires ou non. Les systèmes (1.50) à (1.53) sont traités, si besoin est, comme les problèmes non homogènes (1.1) et (1.10) : , on élimine des équations les valeurs aux limites des fonctions. On est conduit une fois de plus à (1.3) et à (1.12). Dans la suite, nous ne considérerons que les conditions aux limi tés homogènes parce que les algorithmes décrits pèrmettènt ou bien de supprimer lés conditions qui né le sont pas, ou bien de les mettre sous forme homogène. 8.2] ÉQUATION DE LA CHALEUR 343 8.2. Equation de la chaleur Le problème de la chaleur est un problème non stationnaire typi que de la physique mathématique. Historiquement, l ’équation de la chaleur a été à l ’origine de nombreuses idées de base de l ’Analyse numérique et d’algorithmes performants pour les problèmes de la physique mathématique. Les recherches dans ce domaine remontent à l ’ouvrage classique de O’Brien, Hyman, Kaplan [VII] qui sou lève et discute le problème de convergence des solutions approchées. La résolution numérique des équations de la chaleur fait l ’objet de plusieurs monographies et articles originaux (dont le livre de Sauliev [III ; 15] fait le tour), si bien que nous nous limiterons, pour notre part, à certaines méthodes qu’on rencontre le plus souvent dans les applications. 8 . 2 . 1 . Problème de la chaleur en dimension 1 Soit le problème simple portant sur la propagation de la chaleur dans une tige homogène limitée avec sources chauffantes intérieures, dont les extrémités absorbent et abandonnent de la chaleur : 1 d<p d2cp /(£ , t). dx2 c2 dt ( 2 . 1) cp(0, t) = a(t), <p(l, t) = b(t), <P(*, 0) = cp° (x), où /, a, b et cp° sont des fonctions données suffisamment régulières, c = const et les variables x et t parcourent toutes les valeurs du domaine de définition D X D t = {0 ^ x ^ i, 0 ^ T1} de la solution. On cherche là solution par une méthode des différences finies. On approche (2.1) à l ’ordre 2 en x. Comme dans le problème (1.1), on partage l ’intervalle 0 x 1 par les points k = 1, 2, . . . . . ., N — 1, en N intervalles partiels de longueur h = On est conduit à un problème analogue à (1.2), à savoir 1 dcpfc . —(Pft-i + 2cpft—<pfe+1 __ ± c2 d t ^ h2 — Th V U cp0= a (0 , <P* = 6(0, (2.2) <Pfe = cpfe pour t= k = 1, 2, . . . , N ~ 1, qui s’écrit sous forme matricielle (2.3) cp= cp° pour t = 0, DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 344 [GH. 8 A étant une matrice positive et <p.(J) et g (t) deux fonctions vectoriel les définies pour tout t dans (1.4). Les raisonnements du point 8.1.4 aidant, le système (2.2) prend la forme 1 dcpft t — „ -----------=gk> h2 c2 dt ^ (2.4) q>0= 0, y N = 0, <Pfc= Vh pour t = 0, gh étant défini par les formules (L51). On connaît dès le point 8.1.4 que la solution du problème (2.4) a -le sens aux seuls, nœuds xv . . ., x N. v Passons au système d’équations différentielles ordinaires (2.4). On cherche sa solution en intégrant chaque équation par rapport au temps sur l’intervalle ^ t tJ+1. On a T _ «PÎ-I —^ h + ^ + i , -• h2. ' Oft'* (2.5) ou V 1 ^ f1 <pi=-£F J 's f i = Â T î ghdt *) (2.6) et Vjh = yk(tj), r = c*At. Selon l ’approximation (2.6), on aboutit à telle ou telle équation aux différences. Supposons vraie l ’une des formules simples *j+i [ *j+i { ^ k' auquel cas on aboutit aux schémas àusf différences le plus connus : schéma triangulaire explicite (.;.), <Pft+1-«pi X . — .. h* + ii > (2.7) >j+l ■Sk ( 2 . 8) schéma triangulaire implicite (•;•) < +1- < 8.2] ÉQUATION DE LA CHALEUR 345 schéma de Crank-Nicholson (;;;) <Pfc+ 1 -< P ft x < t \ - 2 ^ l+ 4 + +\ . < P h - i - 2<? h + < fl+ l 2h2 "T" 2h2 ~ . ëh+ i + ë k 2 • (2.9) On adjoint aux systèmes (2.7)-(2.9) les conditions aux limites ^ = °. 9^ = 0. (2.10) Le schéma triangulaire (.’.) s’explicite par rapport à l ’inconnue 9;+1 = 9J + P (<P£_i + 9£+1) + t 4» , n , vy T 9o = 0> 9^ = 0, p = l r . (2.H) Le schéma triangulaire implicite (•: •) est de mise en œuvre plus délicate qui se ramène à la résolution de l’équation aux différences - 9 Î + 1 + (2 + — ) 9ft+1 - 9 Î ti = y % + Wg{+1, 9 q+1 = 0 , ( 2 . 12) 9^+1 = 0. Le schéma de Crank-Nicholson ( | ” ) s’écrit enfin -lit* . + l â jr t - ^ ‘- S M i f £o+I = 0, '* i+ h‘à * w > & ‘-0, 9Î+1=2% +1- 9 £ , où 4 +1/2= - ( 4 +1+ 4 ) . Les problèmes (2.12), (2.13) se prêtent bien à la méthode de facto risation. Voyons la propriété de stabilité des schémas aux différences (2.7)-(2.9) avec les conditions (2.10). On développe la solution en série de Fourier suivant le système complet de fonctions {sin nnkh}r h = 1IN, vérifiant (2.10). Soi t . JV-1 IV—i cpi= S OnSinnjcM, (2.14) g£= 2 érisinwjiM, où 71 = 1 7 l* * l IV-1 IV-1 Gn = — 2 qn a=i 0£ = — 9ÎsinnjtM , ft=1 N- i qn = ^ siv&.nnkh. sin ranÆA, 346 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [GH . 8 On multiplie par sin Innh le résultat de la substitution de (2.14) dans (2.7)-(2.9), puis on somme par rapport à Z. Il vient les relations de récurrence pour les coefficients de Fourier. On . a notamment pour le schéma ! £ ± 2 L + ) , M = e .1, (2.15) pour (•;’) (2.16) et dans le cas ('*;) x ' , ®}n+ i2+ ® i “ G’n+ l2+ G l M (2.17) Ici * 4 . 9 nnk kn = -p-sm 2^ - . On résout (2.15) à (2.17): <Dl+1 = ( l _ TXn)l + TGL ✓ 77"T1 J l__ ni+i <D. £i + i ï l + TA.n ■(Din <Di+i = l~ T * » • — &n l + T Xn (2.18) (2.19) * G}n+ i + GÎ 2 1+ Y^n On note que TT sm2-5- < Xn < -n- cos2 2 < ^ fe* qui deviennent pour ( 2 . 20) 1 les inégalités asymptotiques ( 2 . 21) On conclut, compte tenu de (2.20), que si h? nh 2 cos2 ( 2. 22) il y a instabilité du schéma triangulaire (. :.) parce que tous les n vérifient 1’inégal ité | . 1 - t^ | < 1 . (2.23) On remplace (2.22) par la condition suffisante (2.24) 8.2] ÉQUATION DE LA CHALEUR 347 S’agissant du schéma triangulaire implicite et du schéma de Crank-Nicholson, on a les inégalités respectives ,1 1+ T^7l < 1 , l+ y quels que soient n et t > 0, i.e. le schéma (. :.) est stable et les deux autres le sont absolument sous la condition (2.22). Dans les calculs on utilise de préférence le schéma de Crank-Nicholson d’ordre d’ap proximation 2. Dans le cas de Neumann relatif à l ’équation de la chaleur, on définit l ’opérateur A et les fonctions vectorielles cp et g à partir du problème (1.14) et on aboutit à des équations analogues à (2.5), (2.6), dont la résolution ne présente pas de difficulté. Il y a lieu de dire que tandis que l ’harmonique associé à X ~ 0 dans le problème de Neumann pour l ’équation de Laplace est une composante parasite à « filtrer » de la solution approchée, il constitue une partie inté grante de la solution dans le problème de la propagation de la cha leur. En effet, cette composante décrit l ’augmentation ou la dimi nution générale de température dues aux sources positives et néga tives extérieures à la tige. 8.2.2. Problème de la chaleur en dimension 2 Soit le problème de là chaleur en dimension deux <P= g OU (p= s ( x , y ) A(P= / dans D x D t' - |ï- = £ sur d D x D t, dans D pour (2.25) t = 0, D étant le carré {0 x 1, 0 y <; 1}. On discrétise (2.25) en x et y et on obtient par des transformations analogues à celles du cas de Dirichlet à deux variables : ^ - g - + (A1+ A2)(P= F, cp= s pour (2.26) £—0, avec les matrices Ax, A2 et les fonctions vectorielles cp et F définies comme dans le problème (1.24) à la différence que les composantes de cp et F dépendent maintenant de la variable t. On note que dans le cas de conditions aux limites de Dirichlet, Ax > 0 , A2 > 0, (2.27) 348 D E S PR O B L È M E S D E L A P H Y S IQ U E M A T H É M A T IQ U E et pour les conditions de Neumann A2 > 0, A2 > 0. [G H . 8 (2.28) On partage l ’intervalle 0 t T par les points tj en sous-intervalles et on pose t = c? A£. On cherche à approcher le problème (2.26) par la technique de splitting-up et on a sur ^ t ^ fy+1 ( ^ y A , | r 1/J = ( ^ - y A ) ( * + y- A*) W - T f ) = ( E - ± A2) p-*/*, (2.29) ( E + ± A Z) q ? + i/2 = ( E - ± A 2) («p' + Tf>), ( fi + y A , ) ^ + y = ( E - ± A ,) ^ + ‘/2. On note qu’en passant aux coordonnées dans le second membre on utilise des schémas explicites. Il s’agit donc d ’un système d’équations sous forme de coordonnées qui s’écrivent comme des schémas à trois points analogues à (1.43) où le rôle de a revient au paramètre t/2 et celui de H aux composantes des seconds membres de (2.29). On procède de même pour les conditions aux limites de Neumann. 8.3. Equation des vibrations On rencontre fréquemment dans les applications les équations hyperboliques justiciables des méthodes numériques bien étudiées. Ces équations ont cela de particulier que le domaine de dépendance de leur solution est limité par le cône caractéristique, si bien que le domaine D X D t extérieur à ce cône n’a aucune influence sur la solution au point considéré. Leur autre particularité est que les solutions du problème de départ sont telles qu’il existe en général des solutions non régulières, circonstance a retenir lorsqu’on se propose d’élaborer des1schémas de calcul. Considérons le problème unidimensionnel portant sur les petites vibrations d’une corde homogène : 1 d2çp _ d2cp ~c*~dW ~~ üx* 1{X, t), cp(0, t ) = a{t), <p(x, 0) = p(x), <p(l, t)--= b(t), ( 3 .1 ) -|£- (x, 0) = q (z), c étant la vitesse de propagation des perturbations le long de la corde et a (t), b (£), / (x, t), .p (x), q (x) des fonctions données. La théorie des cordes vibrantes n’a guère de lacunes. Notre but à nous est de discuter la résolution numérique de (3.1). On com- 8.3] ÉQUATION DES VIBRATIONS 349 mence par ramener ce problème par discrétisation en x à un système d ’équations différentielles ordinaires par rapport au temps. Moyen nant un procédé du n° 8.2, on approche (3.1) par 1 d 2<pfc . —(Pft_! + 2<Pft — cpft+1 a t /A ~ &h \ h* c2" dt* 1 qpo= 0, (p jv = 0, dcpb = ^ pour * = 0, gh (t) étant la fonction définie par (1.15) (comme pour (2.4)). Il est déjà apparu que la solution (p* (t) de (3.2) n’a de sens qu’aux nœuds ft = 1, 2, . . . , i\T — 1. Elle est définie aux points k = 0 et k = N par les conditions aux limites de (3.1), et les conditions homogènes (3.2) proviennent d’une extension spéciale du domaine de définition de la solution et elles ne sont pas des approximations de <p (.x, t) en x 0 et x N. On note que le problème (3.2) est approché 4 ’ordre 2 en h — Ax. Pour discrétiser (3.2) par rapport au temps, on établit un système de nœuds t = tj (tel que = tj + Àt) et on considère les schémas les plus usités, à savoir le schéma de la croix explicite (.:.) <Pft+1- 2< Pft+<pr1— _<PÎ_i- t yh2L + v i + i , i %2 <Po~ 0) 9^ = 0, <fl = Ph, (3.3) t i - P , + à t gt+ ^ . ( » - . - y »♦>+ e . ) , où t = c At, et le schéma implicite du type de Grank-Nicholson C : :) <pi+1- V fe4-«pi l _ T* _ < P f t t 1i - 2 < p i + 1 + <Pft+i . C i - S - P r ' + ^ î 2fc2 9 ;0+ 1 = 0 , 2/j2 <p;N+1 = 0 , f gh. (3.4) <p0 = ph. On développe en série de Taylor et on établit que les schémas aux différences (3.3) et (3.4) approchent, pour (p {x, t) suffisamment régulières, le problème primitif à l ’ordre 2 en h et t. On cherche la solution des problèmes' (3.3), (3.4) en développant en série de Fourier par rapport au système de fonctions propres un (k) — sin nnkh, k , n ■== 1, 2, . . ., N — 1 350 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. 8 (on imite donc le cas (2.14)). On trouve les relations de récurrence suivantes pour les coefficients de Fourier: schéma de la croix explicite: , 4 i *^2 ■ 2 $2 = .Pn, (3.5) <D£= P n + AtQn + - Ç - sin2^ Pn + G°n, avec On, Gn, Pn et Qn les coefficients de Fourier des <pft, gk, pk et qh respectivement ; schéma implicite ( * • ] ) : , n n h K + l+ K ~ l , 4 h2 sim5 yt'n ± ni l r> t Ai/^ « 2t 2 . « nnh n , t 2 n— “f~^ Q n H “ ô ^n~^~ *>^n« (3.6) O Quel est le critère de stabilité numérique pour les problèmes à don nées initiales régulières? Pour répondre à cette question on étudie le comportement des solutions linéairement indépendantes de (3.5) et (3.6) homogènes en fonction de l ’indice /. La solution est cherchée sous la forme = (3.7) avec A n et r|n des constantes, le dernier j en indice supérieur étant un exposant. On pose GJn ~ 0 dans (3.5), (3.6) et on y substitue (3.7), il vient les expressions suivantes pour r\n : i)l — 2 (1 — p£) r|n + 1 = 0 (3.8) (schéma de la croix ( • : • ) ) et 2 ’1" ’ 1+ P* (3.9) ïW+ 1 = 0 (schéma implicite ( . ; ’ )), où o o T2 . 0 nnh i*«=2 -» hfi^ sin - 2 * La résolution des équations du deuxième degré (3.8) et (3.9) donne respectivement Îln = l - | 4 ± l / ( l - f 4 ) 2- l , (3.10) T1n~ ( i+>ü) 4‘ (3 .H ) 351 ÉQUATION DES VIBRATIONS 8.3 ] On voit facilement dans le cas du schéma de la croix que si alors |i* = 2 - £ s i n * - ^ < 2 , (3.12) hn.|=l, l’in,—î]n,|>CT, (3.13) i.e. il y a stabilité. Il faut que la condition (3.12) ait lieu quel que soit n = 1,2, N — 1. Cette condition se trouve évidemment remplie pour tout n si x et h sont reliés par l ’inégalité 1 sin2 n h n (3.14) ’ "T" ou par la condition plus simple de Courant -* -< * • (3.15) On établit sans peine que s’agissant du schéma implicite ( * • [ ) r on a l ’égalité I ru | = 1 (3.16) quels que soient w et t > 0 , i.e. le schéma est absolument stable (voir Richtmyer, Morton [III]). Le problème de petites vibrations d ’une membrane fait appel à des développements analogues. On a 1 d2tp d2cp dt2 dx2 c2 j $ r + f ( x i y . t) dans DxDt (3.17) avec la condition aux limites <p == g sur dD X D t (3.18) et les données initiales cp= j9, r = q âns ^ pour t = 0. On aborde ce problème dans le carré D pour des données initiales suffisamment régulières par une méthode des différences finies (on suit donc la même voie que dans le problème des cordes vibrantes) et on effectue une analyse moyennant les séries de Fourier comme pour l ’analogue discrétisé de l ’équation de la chaleur à deux varia bles. Nous en laissons le soin au lecteur et nous passons à un problè me plus général pour les équations hyperboliques. 352 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [C H . 8 8.4. Equation du mouvement Le transport de particules suivant une trajectoire, problème important en hydrodynamique, est gouverné par les équations du mouvement. Le fait que ces équations jouent un rôle absolument fondamental dans les applications explique leur attrait pour les chercheurs. Les méthodes numériques associées sont développées selon les besoins de la dynamique des liquides et des gaz. Plusieurs idées intéressantes sont notamment dues à von Neumann, Richtmyer [VII], Dorodnitsyne [III; 5], Godounov [IV; 5], Lax [VI]. L’intérêt accru pour la prévision du temps et la dynamique de l ’océan a stimulé l ’élaboration de méthodes efficaces pour la résolution des équations du mouvement et on a formé, grâce aux résultats de Kurihara, Holloway [IV], Bryan [IV], Marchuk [III; 43a], des algorithmes universels performants pour ces problè mes. L’un des problèmes principaux de la physique mathématique a trait à l ’équation qui régit le mouvement suivant les trajectoires des particules : où d d . d . d , .d . Il -5---\V -5---j- W. — — dt = ”57* dt dx 1. d y dz est la dérivée totale par rapport au temps de la fonction 9 (xy y , z, t) ; u, v et w sont les composantes du vecteur vitesse u == ui' + vj + wk telles que dx u = dt dy V= d t dz ■ W== d t On résout l ’équation proposée en introduisant des conditions supplé mentaires dont la plus simple pour un milieu infini est <p (x, y, 2 , 0) = / (x, y, z). Un problème analogue intervient comme-partie de T algorithme général en hydrodynamique, en théorie du transfert de rayonnement et ailleurs, si bien qu’on va discuter en détail les tactiques numé riques possibles. 8.4.1. Equation du mouvement en dimension 1 On rencontre souvent en dynamique et thermodynamique des fluides, dans les problèmes de météorologie et en dynamique de l ’océan les équations qui gouvernent le transport de substance sui- ÉQUATION DU MOUVEMENT 8.4] 353 vant les trajectoires. Le cas le plus simple en est - a K “ - § r = ° da”8 D x D <’ (4.1) cp / (x) dans D pour t = 0, où u est la vitesse donnée et / (x) la répartition initiale de (p. Le domaine D se confond avec l ’axe réel des x et D t — {0 ^ t ^ T}. On suppose que les fonctions <p (x , t) et / {x) sont périodiques de période 2jc relativement à x. Si u = const, le problème proposé admet la solution évidente (p (x, t) = / (x — ut) (4.2) à condition que / (x) est dérivable. La solution (4.2) décrit la pro pagation de la perturbation initiale suivant les caractéristiques x — ut = const, i.e. (p (x, t) = const sur toute droite x — ut = const. Ainsi, le problème (4.1) détermine pour u > 0 la propagation de la perturbation dans le sens des x croissants. On se rappelle ces résultats classiques lorsqu’on a à construire les analogues aux dif férences de (4.1). Si la vitesse u = u (x, t) varie, la recherche analy tique de la solution s’avère un problème délicat et on s’adresse à des méthodes numériques basées sur les approximations aux différences. Considérons les schémas aux différences simples avec u = const. Pour fixer les idées, on pose u > 0, auquel cas on a le schéma expli cite <Pft+1-<Pft , .. vL -vL- i (4.3) x + U Tx et le schéma implicite fly?+1_rrp 1 Ax :0 . (4.4) Les deux approchent à l ’ordre 1 en Ax et x. En effet, la valeur ini tiale de / (x) et la solution cp (,x, t) seront supposées assez régulières. On développe la solution de (4.1) en série de Taylor autour du point X '—■Xfa, t ■ — tj . cp ( x , t ) = (qp)ft + (<pt ) h { t — t j ) + (c p *)* ( ® — * * ) + . . . (4 .5 ) Portons dans (4.3), il vient u A x d 2cp T d\ (4.6) TÜW' “ a? Les termes supprimés sont d’ordre infinitésimal plus élevé. Il résulte de (4.1) d2(P _ j.z (4.7) i3L4-,, Ü3L dt dx dt2 2 3 -0 4 3 6 dx2 ’ 354 DES PROBLÈMES,DE LA.PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. 8 auquel cas (4.6) se récrit dtp , ^ d(p uAx— xu* d2(p (4.8) i r + M ‘ôT "' 2 i l 2" pour x = xk, t — tj. Cette manière de procéder pour analyser les schémas aux différen ces est due à Joukov■*). Voyons la relation (4.8) de plus près. On constate que lorsque <1 ’ — Ax ^ elle s’interprète comme étant l ’équation de la chaleur dont la solu tion est définie dans x k^x ^ x ^ xh, tj ^ t tj+l. Sous l ’hypothèse de petitesse des termes rejetés de (4.8), on obtient dx r dx2 * ou uAx — u2t est la viscosité artificielle. On note que si ux Ax = 1, alors [X = 0, ainsi.que les autres termes rejetés; le schéma expli cite (4.3) approche à tout ordre en Ax et t. Un cas intéressant est celui où — > 1 Ax ^ ’ ce qui détermine (4.9) Cette équation jointe à la condition initiale cp = (p° (x) pour t = 0 (4.10) conduit, on le vérifie sans peine, à un problème mal posé au sens d’Hadamard. La solution de ce problème est instable^par rapport aux petites variations de données initiales. Lorsqu’on discrétise les équations des problèmes du type (4.1), on. doit prendre en consi dération le critère de problème bien posé f ' “rm UX■ . ' ■“ ............................... ■ " " ‘ T ' ' — Etudions la propriété de stabilité numérique du schéma (4.3). . *) Voir Rojdestvenski et Y&neriko [II ; 7]. L’idée a été développée dans des articles de Yanenko et Chbkin [VII; 8 ]. 355 ÉQUATION DU MOUVEMENT 8.4] On considère le problème spectral = != W (4.11) sur l ’intervalle discrétisé infini D h = (—oo < xh <C. oo): La solu tion bornée dans D h de (4.11) est de la forme = (4.12) p étant un entier quelconque. On porte dans (4.11) et on obtient pour la valeur propre Xp = ^2 sin2- ^ - - \ - i s i n p à x ^ t (4.13) L’équation (4.3) s’écrit sous forme opératorielle Æ z5 Î + A V = 0 (4.14) et la solution est cherchée comme étant oo <p*= S p —~ o o (p^ciftpA*, (4.15) y où cp^, est le coefficient de Fourier de q>j. On a pour les coefficients <p* ^ E-— L + V P i - ° D’où %+i = Tp%> Tp = 1 — tXp étant l ’opérateur de transition pour les coefficients de Fourier. La condition pour que toutes les composantes de <pj, soient de module non croissant est I l - rXp | < 1 . (4.16) Cette inégalité a lieu si En effet, |1 —TX,r |* = ( l - 2 ut Ax sim pAx 2 ; + ( i j ) 2sin2ÂÆ= = 1 —4 -Ax ^ - s in 2— » sur pAx ■sin2pAir] == , U% . o pAx Ax - 2 = 1 — 4 - — sm 2 - r - (4.17) entraîne de suite la condition voulue. 23* DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 356 [C H . 8 Ainsi, on a établi une condition de stabilité numérique du sché ma aux différences, qui coïncide dans notre cas avec la condition sous laquelle l ’équation (4.8) est bien posée (on le vérifie aisément). S’agissant du schéma implicite (4.4), on montre par les mêmes raisonnements qu’il approche à l ’ordre 1 en A# et t . En développant en série de Taylor pour x = xh et t = tj, on obtient l ’« équation asymptotique » frP . „ dq> _ M d2iox avec wAx+u2x 2 On peut déjà parler de la différence essentielle entre les rela tions (4.8) et (4.18). La dernière viscosité artificielle est toujours positive, si bien qu’avec des données initiales assez régulières, l ’équation (4.18) est nécessairement bien posée. On montre aisément la stabilité de (4.4) pour tout rapport de pas (i.e. sa stabilité absolue). En effet, l’opérateur de transition de chaque coefficient de Fourier vaut T = __ -___. ** l-j-TÀ-p D’où lr p l < l Voici deux autres schémas originaux d’emploi fréquent: <p£+ 1 -<p£ ^+1-^-1 2Az = 0; (4.19) <Pfc+1-<Pfc , <pi+1i/2- <Pfti1i/2 = 0, % T~u 2Âï (4.20) % "rU avec <Pft+1/2=:T ( (ï)fc+1+(ï,ft)L ’approximation (4.19) est, on le voit facilement, d ’ordre 1 en t et d’ordre 2 en Ax. L’équation différentielle associée est de la for me (4.18), où Quelle est la propriété de stabilité du schéma (4.19)? On considère le problème spectral {AhU>)h !E=ll COfe+1— (ùfe_a 2Aar X(ûft (4.21) 1 ÉQUATION DU MOUVEMENT 357 dont la solution est cherchée sous la forme (4.12). Il vient pour Xp Kp = i - j r sin PAx- (4-22) Le schéma (4.19) entraîne de suite pour les coefficients de Fourier ’ 9 ,+ W , -o , ou <P (4.23) — avec T — 1 p 1+ -AP Compte tenu de (4.22), T — 1 1+ i Ax sin pAx donc < 1, v ^ 1 + ( - £ - ) 2siii,pA* i.e. il y a stabilité absolue du schéma (4.19). C’est le schéma de Crank-Nicholson (4.20) qui est particulière ment utile dans les applications. On établit sans difficulté qu’il approche à l ’ordre 2 en Ax et t et n ’est pas dissipatif, i.e. \i = Q dans (4.18) et les termes rejetés sont en t Ax, t 2 et Ax2. Quant à la stabilité numérique, on a m M-T 1— i Tn —sin p Ax 2Ax u% . 1+ i ttt —sin p Ax 2Ax D’où 1^1=1, i.e. il y a stabilité absolue. Il y a intérêt à noter qu’en remplaçant dans (4.3) l ’analogue discrétisé de u ^ '<p1-< pL i Ax par <Pfc+r -<PI Ax le schéma obtenu s’avère instable pour u > 0 pour tout rapport de pas (démonstration immédiate). 358 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [GH. 8 Une méthode intéressante pour le problème (4,1) procède du sché ma proposé par Landau, Meiman et Khalatnikov [IV ; 14] (4 .24) Il s’agit d’une approximation d’ordre”2 en %et d’ordre 1 ena: définie par la relation de récurrence J (pi+i = , ux ux — cpj + - 2Axu% 1 + 2Ax + (4.25) 1 + 2Ax On prouve par la méthode de Fourier la stabilité absolue au sens de von Neumann du schéma (4.24). On construit un schéma analogue pour un problème de mouve ment à plusieurs variables et on établit sa stabilité pour l ’équation à coefficients constants. Ci-dessus u a été supposé constant et positif. Si u est négatif, on a (4.1) par la substitution x — —x . Mais c’est le cas u = u (x, t) qui offre le plus grand intérêt pour les applications. On montre par des raisonnements élémentaires la possibilité d’une instabilité même pour des schémas dissipatifs implicites. C’est surtout vrai des problèmes non linéaires. Le fait est qu’en développant la solu tion du problème aux différences et le coefficient u (xhi tj) en série de Fourier et en faisant le produit, on obtient des composantes plus longues que les facteurs et d’autres qui sont plus courtes. Il se peut que l’« énergie » quitte alors les régions des grandes longueurs d’onde pour les ondes de plus courte longueur, ce qui se solde par l ’instabilité des calculs en dépit de la stabilité du schéma donné à coefficient constant. On dit de cette instabilité qu’elle est non linéaire. Elle intervient des fois dans les problèmes linéaires à coefficients variables. On conçoit donc que la construction de schémas aux différences associés aux équations non linéaires ou aux équations à coefficients variables insensibles à toute perturbation constitue un problème d’actualité. Dans la plupart des cas, on suppri me l ’instabilité numérique à l ’aide de schémas dissipatifs associés à une viscosité artificielle fi déterminée. Malheureusement, ils approchent en général à l ’ordre 1 en l ’un des paramètres t, Ax ou en les deux à la fois. Un rôle de premier plan revient dans les applications à l ’équation i duv _ n (4.26) dt OÙ U = U (,X , t ) . dx 8.4] ÉQUATION DU MOUVEMENT 359 On associe à ces équations des schémas aux différences absolu ment stables qui approchent, pour certaines classes de coefficients, à l ’ordre 1, voire 2. On les étudiera pour des équations du type (4.26) à plusieurs variables. 8.4.2. Equation du mouvement à coefficients variables en dimension 2 Soit, dans le plan (x, y), le problème de déterminer l ’évolution d ’un ensemble de particules suivant des trajectoires données. On aboutit, dans le cadre des méthodes de la mécanique des milieux continus, au problème TF + u l ï + v l d7 = 0 dans <p(z, y, 0) = g dans D. D x D t’ (4.27) Ici u = u (x, y , t)7 v = v (x, y 7 t). Les composantes du vecteur vitesse u7 v sont supposées vérifier à tout instant l ’équation de continuité du . dv n (4.28) Soit D le rectangle {0 ^ x ^ a, 0 ^ y ^ 6},et supposons que la solution du problème (4.27) à coefficients u, v est périodique et prend les mêmes valeurs sur les côtés opposés de D. On met les équations d’évolution (4.27) sous forme opératorielle - |r + ^ > = ° > (4.29) avec <p= g pour * = 0, A = u -^ + v-^. On montre aisément que l ’opérateur A est tel que (^4cp, (p) = 0. En effet, on définit sur l ’espace de Hilbert le produit scalaire a b (4<p, tp)«* j dx j dy ( u + 0 0 et l ’expression sous j devient, compte tenu de (4.28), (4.30) Donc du - (4<P, <P) = o o dx ày . \ (4.31) 360 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [GH. 8 (Aip, <p) = 0 (4.32) d’où à partir de la condition de périodicité à la frontière de la solution. Ainsi, l ’opérateur A permet des schémas aux différences absolument stables. On décompose A de façon que chaque opérateur élémentaire A a, a = 1, 2, vérifie la condition \{Aa<ç, <p) = 0. (4.33) Dans ce cas, le schéma de splitting-up conduit à un schéma aux différences absolument stable exact à l ’ordre 2. La décomposition formelle de A en A (4.34) ne respecte pas la condition (4.33). On vérifie facilement la validité de a b a (î<P. <p) = — ~Y j àx j Cp2 — dy, 0 b (A2cp, <p) = —— j d x j cp2 ^ d y , 0 0 0 i.e. avec ces A 1 e t A 2 on ne construit pas de schéma de splitting-up successif. Si l ’on prend A u A 2 plus compliqués: du Ai f - .5 + » 3 + * ( t+ £ ) - .î+ .- îï- - ^ On a tenu compte de ce que les coefficients u et v satisfont à (4.28). Ainsi, toutes les conditions nécessaires d’application de la méthode considérée se trouvent vérifiées et on est conduit au schéma de décomposition sur l ’intervalle f;_i ^ t ^ tj+1 : (p 3 -l/2 _ c p j-l x , "*■ \ U < p j_ < p j -i / 2 d dx (/ j x (pj+i/2 — <pi f i j x 1" r çpj+i — (pj+i/2 T , f j , 1 du* \ <pj-i/a + ( p i- i 'T' 2 d x ) 2 d ,1 d vi \ q )i+ (p i-i/2 dy ' 2 dy ) 2 g 1 d v i \ (pi+i/2+(pi « ît d ,1 2 Ôÿi d u J\ h Vw ~dT + T ~ W ~ ) 2 (p j+ i-)-q )i+ i/2 2 n • n ~ V A ~ U n =u (4.36) 8.4] ÉQUATION DU MOUVEMENT 361 En cas de u, v et de la solution (p suffisamment réguliers par rapport à toutes les variables, le schéma (4.36) approche le problème initial à l’ordre 2 et présente la propriété de stabilité absolue au sens do ll9 i+1ll = ll<Pi -1l l = . . . = l k l l . (4.37) L’exemple considéré montre on ne peut plus clairement qu’une décomposition formelle (4.34) risque de compromettre l ’idée mêmede la méthode, si bien que des schémas justifiés et efficaces n ’appa raissent que par un jeu de considérations complémentaires. Après cette sorte de préambule on passe à la discrétisation de (4.27) par rapport aux variables spatiales et au temps. Comment approcher au mieux l ’opérateur A par rapport à x et y l On connaît dès le* chapitre 2 l ’intérêt de l’approximation séquentielle qui conservela qualité et les propriétés d’additivité des opérateurs. Supposons les coefficients u et v suffisamment réguliers et met tons les équations (4.27) sous forme conservative dtp diitp ■^9L = 0 dans D x D u dx 1T (4.38> <p= g dans D pour t = 0. On construit le schéma aux différences à partir de l ’opérateur A défini par dvq> (p / d u j d v \ A{$ dutp (4.39> dx dy Son analogue discrétisé s’écrit ( A hcr\ ^ — Uk+i> l Vh + i ’ l ~ u k - 1, 1 ~~ I 2Ax tPfc, l l 2 \ | vk , 1 + l +i — Vk, 1- l Vk, l - l 2 Ay • wfc+i, l ~ uk - i , i 2ûix ^ j v k> l + i — v k , z-i 2Ay \ ) // /n \ 'K*-1*’? Evidemment, cette relation approche (4.39) à l ’ordre 2 en Ax et Aif pour u, v et tp suffisamment réguliers. L’inconvénient majeur en est que l ’opérateur A h ainsi défini n’est plus symétrique gauche, i.e. (4 V (p) «jfc 0. (4.41> Ainsi, l ’approximation en question tombe en défaut. On montre que l ’approximation suivante de (4.39) (Aftcp)ft I = Uk+1f2' 1— uh-lf2, iWk-1, l j Vk , Z+l/2(Pft» l+l respecte la relation fondamentale (,4 V <p) = 0 Vky l-lhtyk* l- l 2Aÿ 42 V ' ’ ' (4.43> DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 362 [G H . 8 •et est d’ordre 2 en Ax et Ay. On a pour les coefficients .. ,, uh+i, l uft, l . Wfc+1/2, i = Wft+l, l ------------ 2---------- » vk, i+1/2= vht I+1 — Vh' l* Y Vh' 1 ; (4.44) Wft-1/2,1 = 1 ; i + Ufe' V k ,l-l/2 = V k t l-i ‘ Pft, Z-l On porte ces expressions dans (4.42) et on obtient par de simples transformations l — uk~i, iWk-1, i <Ah<p)k, i = uk+i, Mh+1, 2Ax vk , z+i<Pft, z+i — 2Ay uh-it l i l+i — Vh, l-1 \ <Pft, t / Z 2 \ 2Az ^ 2Ay z-i<Pft. i-i ) — (Ax2R kt i + Ay2Qk%j), (4.45) avec R h, 1 g / dtt d(p \ 4 &r \ dz dx ) ' ^ J.__ / cfo d(p \ lorsque A# 0 et Ay ^ 0. On suppose maintenant uh X et vh%i tels que uh+1, l W ft-i. I 2Az • i vk, Z + i— vk , Z -i 2Ay __ / n / î , 2 \ —U( n) (4.46) Si les coefficients u, v et la solution 9 admettent des dérivées troi sièmes par rapport à x et à y bornées, l ’écart entre (4.45) avec (4.46) et (4.40) est du même ordre infinitésimal que celui entre (4.40) et (4.39). Ainsi, (4.42) approche (4.39) à l ’ordre 2 en Ax et Aÿ. On montre que A h vérifie la condition (4.43) et qu’on a (4£<p, <p) = 0 pour A J* et (4.47) définis par les relations l — uk-if 2 >lWh-i, l 4i— uh, l+i/z^h, l+2A y On introduit le produit scalaire des vecteurs a et b (a, b) = S S «ft, i K jAxAÿ, k- i i (4.48) 8.4] ÉQUATION DU MOUVEMENT 363 donc ( 4 < P , <P) = == “2" 2 2 ^ ( 2 h l h ïVfc+i, 2 k /Vft-i. «) (4.49) (^2<P, c p ) = 4 2 2 ( 2 *ft,l+l/2Çft.l+i— 2 I h l l Réduisons les termes semblables, il vient (4.47). Cette condition entraîne de suite (4.43). Ainsi, on a réalisé l ’approximation néces saire par rapport aux variables d’espace. Il reste à discrétiser dans le temps le système d’équations différentielles ordinaires dt 4- Aho>h = 0 dans Du x <pA= gh dans Dh pour t = 0, (4.50) avec A Â Î+ A l q>h une fonction vectorielle de composantes <pftj et A& tel qu’on ait (4.47). Cela signifie que le problème (4.50) se prête à la décom position. L’indice h des fonctions et des opérateurs étant sans impor tance est omis, et on aboutit sur l ’intervalle t ^ 1 ^ t ^ t J+1 au système •T Cpj —Cpj-l/2 T çpj+1/2 —(pi X + 4 * 2 ^ - , a ) cpJ'+qjj-1/3 1^2 £ . a ï q » '+1/ » + c p i T * i2 2 <pj*i_<pj+yi , Âf <P**+<P*V* l - 1! 2 T 0, (4.51) — 0. Ainsi, on a ramené le problème (4.27) à un système d’équations aux différences unidimensionnelles simples dont la solution est cherchée par factorisation des équations discrétisées à trois points. Les expériences numériques correspondantes sont données dans l’article de Marchouk, Rivine et Youdine [IV; 18]. 8.4.3. Equation du mouvement à plusieurs variables k Soit l’équation qui gouverne l ’évolution des fluides suivant une trajectoire n ôO aa> 364 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. S Les coefficients sont supposés vérifier l ’équation de continuité n 2 — - = 0 dans D x D t. (4.53) a=l a Le problème (4.52) avec la condition (4.53) est mis sous forme con servative d® dt = ° dans Z>xZ>, <b(x%0) = /(#) dans D. a=l (4.54) On discrétise l ’équation (4.54) moyennant le schéma de CrankNicholson (£;+l_<îi , ^ ôli^®3+1/2 n ^ x // KKX ------ %------ ■ + Z j — âz------ ( 4 . 5 5 ) a=l ou o j+1/2 = — + (4.56) Ce schéma a utilisé une approximation des coefficients va. Cette approximation doit être naturellement d’ordre 1 ou 2 en x. Dans le premier cas, on prend par exemple ua = Va (*, tj), et dans le second j va (x, *J+i)+ »<*(*. tj) Ua = ----------- §------------• On introduit la notation ^< d = 2 4 , a = l. 4 $ = -— , a et (4.55) se récrit + A j ^ j +1/2 = 0> ^+1/2 = _1_ +^ OU (4.57) On suppose, pour simplifier l ’exposé, que la solution du problème est périodique relativement au parallélépipède D de dimension v. ÉQUATION DU MOUVEMENT 8.4] 365 On introduit le produit scalaire (a, b) = j abdD D et on établit sans peine la validité de l ’égalité (Aj(D, (D) = 0. On résout l ’équation (4.57) par rapport à <S>j+1: (4.58) et on a à l ’aide du lemme du Kellogg et de la condition (4.58) 110)^,11 = 11^11. (4.59) Considérons l ’approximation aux différences de (4.55) dans l ’es pace des variables géométriques. On projette D sur Dh et on écrit en omettant les indices constants de u, (t>3+1~ <t>J + A%i+1/2 = 0, (4.60) A' = â A i, a=l (4.61) OÙ Aa® = (W“- fta+1/2(I)fta+1~ W“(4-62) l ’indice k a correspondant aux numéros des nœuds associés à la variable x a. On introduit le produit scalaire (# , 6 ) = fei- . .kn . ,k'nbh\h2> . . ^ # 2 ••• et on vérifie aisément que (A'O, O) = 0. On a donc, compte tenu de cette condition: (4 .6 3 ) (4.64) h<^+i ii=n ^ i i = . . . = n / h, O* étant solution de (4.60). Ainsi, l’approximation indiquée de A i par A'' de (4.60)-(4.62) conduit encore à un schéma absolument stable. Etudions cette approximation. On considère à cet effet les opé rateurs élémentaires A 3a et A£ et on prend pour coefficients de l ’expression de A „0 Ua, ha + 1/2 = Ua, fta + l ----- 2* ftct+ 1 — ho ) ’ (4.65) ua, ft0-l/2 = Wa, fta-i+-2"(Wa, fta — “a. DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 366 [GH. 8 ce qui donne AiO = 2ÀÆa % < ka + l - < , ka - i 2 a4 dj 4 U a‘ 2Axa (4.66) ou Ra, — [(«a; fta+ i — wa, ha ) (^ ft^ l _ ®fta) — — («oc, fta — «a. — (4. 67) Etant donnée la régularité suffisante de la solution et des coeffi cients u (x, t), si A xa -y- 0, alors dd dxa r>j a // du? du? \ dxa d®d® \ dxa J Il résulte de (4.66) que n ’approche en général pas A sa. Considérons A* et l ’expression de A;d>. On a . ^ ut, h _i_*O», «*—ut, t, _ j Ot ' ft<x+1 A(X+1 a* A« 1 2àxq a=l = ^ j 1_ C4-C8) a=l a=l Supposons l’équation de. continuité discrétisée de façon que 2 ^ a=l ^ ÂÏ— - = ° ( A2)’ (4.69) où fe = max {Aza}. La deuxième somme de (4.68) s’annule, si bien que Aj® = 2 a=l g g 2iAX(x — + Ô(h% (4.70) i.e. A* approche 4 à des infiniment petits du second ordre près en toutes les variables géométriques. 8.4] ÉQUATION DU MOUVEMENT 367 On passe à la décomposition du problème (4.54). Soit le schéma à 2 cycles . n—a-fl 3— (Ê + jA i)® = ( E — Ja4 )< d ' n , a = l, 2, n, n—a+i . j+( E + l- f A i ) 0 + " = ( £ - - î - A i ) ® " " a = 72, 72— 1, . . (4.71> , 1. Il faut que les coefficients de soient u* = v (x, tj), ce qui garantit une approximation d’ordre 2 sur chaque intervalle 0 -i ^ ^ ^ O+i* La méthode (4.71) est absolument stable. En effet, (4.72) (Aa®, CD) = 0, (4.73) si bien qu’on démontre facilement par le lemme de Kellogg que [ ^ | | = 1, ce = l, 2, n» et donc I . n—a o*7 j+ü ^ + L O . O n —cc-fl 3 ---------------■ a.= ., n—a ;+----O n l, 2, . . . , 72, a = 72, 72— 1, . . ., 1. On a par élimination des valeurs intermédiaires de || O || || || = || 1|. (4.74) La méthode considérée pour les problèmes de mouvement en mécanique des fluides se transpose aisément aux équations quasi linéaires à condition d’adjoindre au schéma de résolution un bon schéma d’extrapolation sur les coefficients ua au temps ^ connaissant leurs valeurs aux époques antérieures. L’algorithme joue pour des approximations plus bonnes que des schémas d’ordre 2 en les variables d’espace. Soit, en effet, . . ... ... .. ^ 1 _ ,. ~2~(ukrm + uh) t&k+m g" uh-m) ^ k-m (4.75) Aa«>= S P, 1 2 (mAxa) m=1 avec pm vérifiant le . système d’i.quations 2 p» = l, S ^ 2pm= 0, 771=1 m — 1 S ™*p-aP« = 0. 771=1 (4.76) 368 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [GH. 8 Dans ce cas, a=l a=l si x a = xka, et on suppose que les coefficients satisfont à la relation s s p* Ua' h*7~Aï r * - m = ° <»->• (4-77) a=l m=1 On utilise l 1algorithme de décomposition (4.71) et on obtient une solution en O (h2p + t2) du problème (4.54). On applique le même algorithme s’il y a compressibilité du milieu, auquel cas le système fondamental d’équations s’écrit dpfo , ^ d p u g Q _ q dt "J dxr* a=l (4.78) dpu-a 4 r + 2 ÔXa. = 0 . a=l Comme p est en fait une fonction positive, le système se ramène à 9 Y P O ■ ! y (J _ u g / p g > dt ^ \ 2 a a=l , 1 g /p itq O \ 2 dxg / Q ’ (4.79) g /p dt 1 „ g / P i 1 g / pm*.) = o 2 dx,a / T[)j , (“a)fea+1/2 ^ + l2~ (ü«)fea- l / 2 ^ - l a=l (Siniaev [IV ; 26], Marchouk, Dymnikov et al. [IV ; 17], Pénenko [IV ; 21]). On note ]/ p<t> = \|) et on approche (4.79) par 2Ax0 a=l =o, (4.80) V p j+ 1 — V p i X , (“ 4 ^ 1 / 2 / p f t ÿ /i2 - ( % ) k 0l- i / 2 / Zi 2Aza a=l OU / V ( “ a ^ a + l + (Ma^ a - l (wa)fta+i/2 = ----------- 2----------“ 2 P ^ -l2 A ÉQUATION DE TRANSPORT NON STATIONNAIRE 8.5] 369 L’approximation est, on le voit facilement, d’ordre 2 en t et h, et on a les relations Il V +111= Il V il, ik V pi+1)ii= n (V pôii. On aborde le problème (4.80) par une technique analogue à (4.71). 8.5. Equation de transport non stationnaire Dans ce numéro, on applique l ’idée de décomposition à la théorie du transfert de rayonnement, secteur de pointe de la physique mathé matique. Gomme notre but numéro un est d’étudier les méthodes, nous nous bornerons à plusieurs modèles simples mais d’un grand intérêt pratique. Bien que l ’appareil mathématique de la résolution repose essentiellement sur l ’idée de décomposition, les principes de base de la discrétisation des problèmes de transport se conservent pour d’autres méthodes. Soit le problème de transport en géométrie plane avec les don nées initiales î (5.1) i f + ^ 4 r +(T -1 cp — 0 pour z = 0, p > 0 , <p = 0 pour z = H, p < 0,® (5.2) cp = cp° pour t = 0, (5.3) où cp (z, }x, t) est la densité en z à l’instant £ des particules volant à la vitesse c *) suivant une trajectoire qui fait l ’angle v avec l ’axe oz\ |x = cos v ; / (z, p, t) sont des sources de rayonnement données et g (z), os (r) des fonctions continues par morceaux telles que 0 < <*o < o < <*i < °°> 0 < as < o; < oo, 0 < Ceo < ac = ac “ asEffectuons les transformations introduites par Kouznétsov (voir Kouznétsov, Marchouk [XVII ; 8]). On doit à Vladimirov [XVII ; 3] des transformations analogues pour le problème à plusieurs variables. Désignons par (p+ la solution de (5.1) pour p > 0 et par cp" dans le cas contraire. L’équation de transport se met sous forme de système *) Dans le souci de simplifier le calcul, on pose c — 1. 2 4 -0 4 3 6 370 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [GH. 8 d<\p+ r -G + de deux équations dt 1r dz ((jp+-f(p)<2p/+/+> t ow+— I U(p — 2 (5.4) d(D~ .. dt ^ aW~ dz ■4-aq) - 2 (<P++ <P~) d\^ r + / “. qp+ et cp“ satisfont aux conditions aux limites respectives (p+ (z, fx) = 0 pour z = 0, <p~ (z, \i) = 0 pour z = H. On additionne les deux équations et on fait leur différence. Il vient î i r + ^ " S '+ aM = J u d v'+g> 0 (5.6) _du +. f A _d u +, a i ; = r , w = — ( <p+ + cp-), i; = — ((p+ — <p-), g = T V * + f~)* r= ± (r-f~ ). On vérifie aisément que les conditions aux limites (5.5) deviennent u + v = 0 u — = 0 pour z = 0 , pour z = H , (5.7) et les données initiales sont u = w°, v = v° pour t = 0. (5.8) On met le problème (5.6)-(5.8) sous forme opératorielle. On introduit les fonctions vectorielles w, iv°, F et l ’opérateur A définis comme suit : 1 w° U V . u>° = P® , p= g r d v u A= d vu; a (5.9) 8.5] ÉQUATION DE TRANSPORT NON STATIONNAIRE 371 et, dans D = [0, # ] X [0, 1], l ’espace de Hilbert de fonctions L2 (D) à produit scalaire 2 H 1 (a, 6) = 2 ( d u j a V d x , (5.10) i=l S 0 a4, 6* étant les composantes des fonctions vectorielles a et b. On définit dans cet espace le sous-espace O de fonctions vecto rielles dont les éléments vérifient la condition (5.11) (AWj w) < +oo. Ce produit scalaire sera, sauf indication contraire, supposé dépendre du temps. On impose aux composantes des fonctions vecto rielles w d’être continues dans D et d’admettre dans ce domaine des dérivées premières -- absolument continues. On note que la régula rité dans D de u et v découle de suite de la condition de régularité dans-Z) des fonctions cp+ et <p~. On définit enfin dans O, et on note O0 un ensemble de fonctions vectorielles qui vérifient (5.7) et possèdent une dérivée première par rapport au temps absolument continue. Evidemment O0 est le domaine de l ’opérateur L= l + A. On est donc conduit au problème D x [0, T], ■^- + Aw = F dans w — w° pour t — 0 dans D, (5.12) et F (t) 6 L 2 (D x 10, T]), 6 O, w (t) 6 O0. On vérifie.sans peine qu’on,a.pour les fonctions de. O0 domaine de A la relation {Aw, w) > 0. (5.13) Vladimirov a de plus montré (voir [XVII ; 3]) la définie posi tivité de A t i.e. (Aw, w) ^ y (w, w)y (5.14) y étant une constante positive liée à la dimension géométrique caractéristique du domaine. Discrétisons (5.6)-(5.8) par rapport à la variablè d’espace z. On établit deux systèmes de nœuds: le système de base {zk}h~o> z0 = 0, z N — H y et le système auxiliaire Les points des deux systèmes alternent, i.e. zk_1/2 < zk < zft+1/2. 24* [GH. 8 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 372 O n in tè g re la p re m iè re é q u a tio n ( 5 .6 ) p a r r a p p o r t à z d a n s l e s l i m i t e s ( z 0, £ 1 / 2 )» (2f c - i / 2 » zk+i/ 2 )i k = e t l a d e u x i è m e d e zh_x à zh, k = 1 , Zl h Zl/2 -jL j u dz + (x j z0 z0 2l/2 j oudz = z0 dz + 1 Zl/2 j = j dz z0 21 ZI j v dz -f- jx j Zq Zq ZI dz -f- j j u dz a i; dz = j zh— il 2 j audz = zh+il2 1 zft+l/2 j dzj< Jswdp/ + j gdz, 0 ?ft-i 1% ■î ZN v dz + p, zi\r-l ■î ZIV— 1/2 du ~dz i z + j ZN u d z -[-p zfc+i + 1 en; dz -= i ZiV-l/2 \ rd z , zk ZN ZN ov dz = j ZN- zi\r- 1 zw zh j (5.15) zft—1 / 2 zh zh zi\r ■f du d z+ dz v dz + fi j zfc j r dz, zh~i/ 2 = zfc+l ? Zq z h+i /2 - |j - d z + ZA-1/2 zfe+l j dz, 0 Zq zfc+l/2 + n Zl/2 a gu d n ' + ZI Zq z k+ 1/2 1 , ( £ ^ - 1 / 2 » z n) • • •■> TV . . . . N: j rd z , ziV-l 1 ziV du , . ^ 7 dz + a u dz = j ZiV-1/2 ?jv = ^ ‘7 i V - i / 2 1 : d z j a su d p / 4 0 zn J Z N —l l 2 gdz. 8.5] ÉQUATION DE TRANSPORT NON STATIONNAIRE 373 On introduit les notations Az0—^1/2 z0* AZfr —Zk+1/2 A z n = Zn z N —l / 2 i zk~1/2, Æ—1, ...y N — 1, ^ z k —i } 2 ~ z k~~~z k - l i & = 1, . . .y N , A= max(Az0, Az^, Azft, Aza+1/2), (5.16) Zf t + l / 2 s r 5zh—il2adz, zh+ll2 "“ - ï î r 1 j 1 as Æz, fffe+‘/2 = ^ — Ift+1 ■ J (5.17) 2fc Zft+1 z h + i/ 2 f gdz, *h-ih rft+1/2 = ^ 7 T J zh rd z ' Si w et u sont continues pour presque tous les z et p, de D , les fonctions crs, g et r sont continues par morceaux avec des discontinuités éventuelles de première espèce aux points zhj les méthodes du numé ro 2.3 conduisent, compte tenu des conditions aux limites, à l ’appro ximation aux différences des équations (5.6) a, duo dt H Pl/2—**0 + Gquo= Gi Az0 dvll* I Ml—“O dt ^ r Azll2 duk , ° rl/2^1/2 = ^1/2» 1 .. Mft+1/2----Mft-l/ 2 + ^ i , f __ rr f ,, I ---------- } - a kUk = a 8 , k J u k ai*> + g k , 0 d^k+ l/2 | Uk+ 1 -- Uk { „ — ^ ----- h t1- t t : —:----h ,, _ = ^ft+1/2, àVN-\f2 1 .. wn —mjvt-i , ^ — dt— + 1* Azjv_x/2— •" - ^ - 1/ 2 , 1 ^ UJVAZj^~l/2 aivWjv = a s, iV ^ 0 Appelons (0, 2N) l ’espace de Hilbert des fonctions vectoriel les a = (a0, a1/2, . . ., muni du produit scalaire et de J DES PROBLÈMES DE LÀ PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 374 [GH. 8 la norme associée 2N 1 {a, b)— 2 \ Azi/2ai/2&i/2 <Z(i, "i=0 0 Il a || = (a, a)i/2, a, H M h (0, 2N). On introduit les fonctions vectorielles (p = ( u 0, Vi/2, « i , • • • , F = (g0i r i/2, gu •••, < r = K o), vn - 1 / 2 ,uN), gN-U r N - 1 /2 , .... ^ o)) matriciel A = L — S, où % + a ° n Az# 0 Azj/ j H01/2 ' Azi/2 0 0 0 0 0 0 0 o 0 o L= &N—1/2 X (S= diag (o5, i/2 J ïi/z d n ) ; i = 0, ; 2N. Ici 1 si H2 est entier ou 0* dans le cas contraire. Avec ces notations, le système (5.18) s’écrit sous forme opératorielle - ^ + Acp = F, *€[0f T l q) = <p<0) pour (5.19) t = 0. Etablissons certaines propriétés des opérateurs du problème. L’opérateur S est auto-adjoint et positif dans M h (0, 2N) (propriétés évidentes sous l ’hypothèse faite sur les données initiales). On montre que A et L sont définis positifs dans cet espace. Soit w 6 M h, auquel 8.5] ÉQUATION DE TRANSPORT NON STATIONNAIRE 375 cas on a pour la forme quadratique (Lu?, u?) (Lw, w) = j ( (i l7^ o 0 -j- a0w0) Az0w0- f 0 î + j (|X o + 2 j i-1 0 12 (Az; + AZi+i/2 ( + +gl/2tgl/2) Az1/2tt’l/2 + +OiWi)wi + +(Ti+i/2Wi+i/2) ^ + i / 2} + j <ÂZy ( H 0 2JV 1 = 2 + oNwN) wN = 1 j d ^ z m O n 2 iv \i2 -\- j dnnO ^ o + ^ w ), (5 .2 0 ) i=0 0 0 (Lu;, w ) ^ y \ \ w ||2, Y= c o n st> 0 , 1 22V 0 i=0 1 (vlttf, «>)= j dnn(w%+ w$i) + 2 Az«/2 j (M /2 0 1 —Osi/2wi/2 j ^HYi/2î/2) > a c0||«;||2, (5.21) 0 c.q.f.d. Etablissons deux estimations à priori de la solution de (5.19). On multiplie (5.19) scalairement par 9 et on intègre sur (0, t) : t t. jll<pll2( * ) + Î * ( A > , <P)= J W ( F , q)) + y||q>‘«>||*< 0 0 t t < ( î Il ^ II2 ) 1/2 ( j Il tp II2) 1/2 + Y II q><0) ll2< 0 0 t t < C ( J * 1 | | / ’|| * ) 1 /2 ( 4 - | | q ) | | » ( « ) + j * * ( ^ 9 . 0 . DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 376 [CH. 8 Etant donnée la relation \a-b | ^ ^ a 2 + efo2, avec e > 0 choisi convenablement, la dernière inégalité fournit l ’une des estimations cherchées : t T ll<Pll2( 0 + | dtl (Ay, <p)<C( j ^ 1|M?II2+ II‘P(0,II2) , (5-22) 0 0 la constante C > 0 étant indépendante de t et <p. On démontre moyennant (5.22) l ’unicité de la solution de (5.19), l ’ordre de régularité en t de cp étant d’une unité supérieur à celui de la fonction vectorielle F . Sans nous arrêter sur cette affirmation, nous supposerons à priori que (5.19) n ’a pas d’autre solution que cp possédant la propriété de régularité mentionnée. Décomposons l ’opérateur A de façon que A = B + D, où 0 £ . +(T° 0 <*1/2 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 ... % -l/2 0 0 0 ... 0 L’opérateur D est évidemment défini positif dans M h (0, 2N). L’équation (5.19) équivaut donc à — (£>-%) 4- D - i,2AD-V2v = D ~ "2F, (5.23) où v = Z)1/2*}). On multiplie (5.23) scalairement par v et on intègre en t de 0 à fi : fl fl |-||<Pll2(*i) + dt(D-WAD-U*v, v)= J dt (D~i/2F, i;) + ±||q>«»||2, 0 o d’où l ’on tire par de simples évaluations h yll<Pll2(* i)+ J dt{D~WDD~Uh>, i;)< o fi J 0 <( fl fl 0 o j dt || Z)-1/2F ||2) 1/2 ( j d /|M P ')1/2 + y ll<P(0>ll2. (5.24) ÉQUATION DE TRANSPORT NON STATIONNAIRE 8.5] 377 avec 0 0 0 0 ffc, 1/2 0 0 0 0 tfc, N - 1/2 0 0 0 • • 0 - £ ^ + G c’ n Comme t\ <1 î j dt{D-V2DD-Wv, 0 ^ 00 + A2>« <*M-(Az0 vl + 00 ^ ^ + i : x ■ * ) > c > î * ii » ii*0 avec C1 > 0 une constante indépendante de v et Azf/2, la dernièreinégalité aidant, on déduit de (5.24) la seconde estimation à priori de 9 : fi |||<PII2(^) + C1 j dt |M |2 < 0 fl fl < ( j d t\\D -U2F\\*)i,2( j A II 17 |p )1/2 + —II q>'^> II*. 0 0 fl (5.25) fl y ll9 0i)lla+ J ^ | | JD1/2(pll2< C ( j d * ||Z r1/2ini2 + ||ç<°>|l2) , 0 0 où la constante C > 0 ne dépend pas de q> et Àzi/2. Utilisons cette estimation pour évaluer l ’écart entre la solutiondu problème (5.19) et la fonction vectorielle (pT = (u (z0, pi, t), v (z1/2, |i, t)y . . ., v (Zjy_i/2, H'» *)> m (%, (ut, t)) déterminée par les valeurs de la solution exacte de (5.6). On suppose que la solution et les données initiales du problème (5.6)-(5.8). sont suffisamment régulières par rapport à toutes les variables, le pas du réseau est uniforme, i.e. h = H/N, ' zt = ih, ^_ 1/2 = (i — 1/2) h, et h est suffisamment faible. Les estimations d’erreur pour cette classe fonctionnelle assez restreinte plaident en la faveur de la méthode d’approximation considérée pour plusieurs problèmes pratiques. On note que les erreurs d’approximation ez, i = 0, TV, dans la première et la dernière équation (5.18) sont d ’ordre 1 en h , les erreurs e*/2 étant en O (h2). On remplace cp de (5.25) par (pT — cp^ DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE '378 -et F par e = (e0, tions cherchées : [GH . 8 eN_u2, s N) et on obtient les estima •'!l9r-$ll2(«i)+î d t\\D 112 (<pT-< p)||2< C j dt || D~i/2e W < 0 T 0 1 1 < C ( dt j dp [■2 (2ji ô0) 1 ■ < 0 (* « )+ 0 (* ‘)J l i ^ m a x ||q > T - q ) | | ( 0 + e ï/2h ejV—1/2^ | ! eW^2 Oj/2 on-i/2 2(2ft + fcaw) j <-- l + 0 ( * « ) j1 ;rf e _ = 0 ( / , - l 4 ) , (5.26) i ( J * 1 1 £ 1/2 (<Pr - < P ) II2 ) 1/2 = 0 ( ^ 2 l n 1/2 - ) , Xes développements ci-dessus et les estimations à priori sont dus -à Agochkov. Les inégalités (5.25) permettent d’évaluer les erreurs sur la solution de (5.19) avec des contraintes plus lâches sur la régularité «des données initiales et de la solution. Décrivons la méthode de décomposition pour le problème (5.19). O n introduit les opérateurs A u A 2 agissant dans M h (0, 2N) Az0 1* 1* Az0 0 A zi / 2 0 0 0 0 0 ... A%/2 0 nVJ 0 0 0 0 ... 0 . • • (A Azjr ■ AZjV-l/2 P AZN i A2= diag (a i/2 — cts, i/2 j dp'yi/2 ) 0 ttels que A = A1+ A O n montre sans peine la positivité de A x et on établit tout aussi facilement à Taj.de de i j 0 {Oij2a\j2 — Gs, i l 0 0 i/2«i/2j d ^ ' y H 2 ^ U 2 )^ ° c t 0j a*/2 8.5] ÉQUATION DE TRANSPORT NON STATIONNAIRE 379 que A 2 est défini positif dans M h (0, 2N), i.e. ( A i d , a) > 0, ( A 2a> a) > y || a ||2, y = const > 0. Les conditions de définitivité permettent de formuler un algo rithme de splitting-up à deux cycles (voir n° 4.3). Formulons les problèmes suivants : sur l ’intervalle ^ t ^ tj ( æ + - ï - 4 ) ^ --1 /3 = [e — I sur l ’intervalle t j ^ < 1 t ^ t j + x qjj+ i/3qji-i/3 sur l ’intervalle tj a \ ) (pi-2/3, 2t F \ (5.28) t ^ tj+1 ( £ + - 4 ) '+2/3 = ( E - ± A h2) cpi+i/3, ( i ? + J _ 4 ) «pi+1 = ( Æ _ J - 4 ) (p;+ 2 /3 > (5.29) Fj étant un vecteur de composantes i Fi-= T,----- 7 %+1 — dtFu tj = /t? T = r/y . tj-i Les résultats du Chapitre premier et les propriétés de A 1? A2 entraînent que le système (5.27)-(5.29) approche, pour une solution suffisamment régulière, le problème (5.19) à une quantité en O (t2) près et est stable: max || (p(J) ||< C (|| (p(0) || + max || FiS) ||), (5.30) ô j C = const > 0. Ce résultat d’approximation et l ’inégalité (5.30) impliquent max || (p (tj) — <p(J) | | ( x 2). (5.31) j Si (5.26) a lieu, la solution de (5.27)-(5.29) converge pour la métrique de M h (0, 27^) vers la solution exacte du problème initial quand h, t -> 0, et max II <pr (^)— q><i»||<C> {à2| lni/2- i | -i-t2} , (5.32) OÙ <Pt ( t j ) — (u ( z 0. t j ’ n)> V ( Zl / 2 , f*, tj), . . . , V ( z N _ 1 /2 , |X, tj), U (zN, n , tj)). 380 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE [CH. S Proposons-nous de résoudre le système (5.27)-(5.29). La matrice E + y ^ 1) atan^ tridiagonale, on résout facilement pour tout fi fixe la première équation (5.27) et la seconde équation (5.29). L’opé rateur matriciel (i? + est diagonal, si bien que la solution de la seconde équation (5.27) est calculée par les formules î T(J i \ j —2/3 2/3 <ï>r1/3 2 j <Pi ]• - s t, 1^ i = 0, 1, .. . , N , 10i i/3: Çi —1/2 — cpi_1/2î (5.33) 1=1, .,N . On procède de même pour la première équation (5.29). Ainsi, on a déterminé l ’algorithme numérique pour le système en question. Discrétisons les équations par rapport à [i. On partage l ’inter valle 0 p, 1 par les nœuds p,* en les intervalles partiels Ap,* de façon que la classe donnée de solutions fournisse une meilleure approximation des intégrales de (5.33). Soit 1 m | (|A) -âÉ 2 0 = $ fai). 1= 1 Si étant les poids de la formule de quadrature choisie. Remplaçons les intégrales de (5.27)-(5.29) par les formules de quadrature et considérons le système pour p, = p,*, 1 = 1, . . m, il vient le système d’équations algébriques linéaires (Æ + y z) <Pi 2/3 = ( £ — ( E + - A2i , ) cpf-:1/3 = ( E — \ A2, , ) (pT!2/3, 9i+1/8 = «pf"1/8 + 2TFi, (5.34) (E + - A2, ,) <p\+m = ( E - J A2i ,) <p/+:1‘,3, ( E + y A , i ) (pi+1= ( E - £ A l t,) <pî+2/3, mû_ rnr0) <Pz = <Pz i qui approche le problème initial. Ici cp-p1, . . ., (pj+1 sont des vec teurs de dimension 2N + 1 , l = 1* . . m, <p(°> = (p(0) (p,*). ÉQUATION DE TRANSPORT NON STATIONNAIRE S.5] 381 A lt i — A ! (jjij) et A 2' i opère selon la formule m (^ 2 , J«Pi)i/2 = V i/2 (Pl, i/2 — <?«, i/2 S fe= l s k<pL i / 2, î = 0, . . ., 2 N . On sait déjà qu’on résout facilement la première et la dernière «quation (5.34) par exemple par le balayage. Dans les deux cas restants, on utilise les formules i —1/3 <Pz, i %a{ L ) » m '3 - TCTS TCTci *+ -2a A=1 (5.35) j = 0, 10i j —2/3 <Pit i —1/2 = ■ 1+ TCTf ^>1, i - l / 2 i := ...,7V, où l ’on fait la substitution / = / + 1 s’il s’agit de la quatrième équation. Ainsi, on a complètement défini l ’algorithme numérique pour l ’équation de transport non stationnaire qui conduit pour des solu tions régulières à un schéma absolument stable en O (h2 (ln l//z)1/2 + + t 2). L’ordre de précision en fx dépend de la formule de quadrature «choisie. (On note que le schéma considéré admet = 0 comme point nodal.) Les paramètres du schéma n ’ont pas été soumis à des contraintes. Il y a cependant lieu de dire qu’avec (5.34) abordé par la méthode «de factorisation, il suffit que t < min (Azt/2) pour qu’il y ait stai bilité. On conçoit que dans la pratique cette condition restreint le choix du pas de temps. L’analyse faite se transpose aux équations de transport multidi mensionnelles. CHAPITRE 9 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES Avec l ’avènement des calculateurs électroniques puissants, de nombreux domaines de la science et de la technique sont devenus le siège d’un travail d’algorithmisation intense et d’expériences mathématiques d’envergure, ce qui a accru l ’attrait du calcul auto matique. La pratique des problèmes d’applications devra être mise à profit pour élaborer les algorithmes et les méthodes numériques efficaces. Ce chapitre passe brièvement en revue les directions principales du Calcul numérique moderne et leurs lignes d’évolution. 9.1. Approximation, stabilité et convergence des schémas aux différences La vogue des méthodes des différences finies pour les équations différentielles relevant de la physique mathématique a fait étudier à fond les propriétés des équations aux différences, qui influent directement sur la qualité des schémas discrétisés. Il s’agit avant tout des propriétés de stabilité et de convergence. La théorie de la stabilité et de la convergence tire ses origines de l ’époque où on s’est aperçu, grâce au calcul sur machines rapides, que le schéma aux différences approximant un problème différentiel bien posé peut être instable (mal posé). Or, un schéma instable est sensible aux erreurs d’arrondi, ce qui risque de conduire à un résultat qui diffère catastrophiquement de la solution du problème diffé rentiel. Ce caractère spécifique des équations aux différences a nourri les recherches visant à établir la relation entre la convergence et la stabilité. Autour des années 1950, Lax [VI], Lax, Richtmyer [VII], Richtmyer [III] [VI; 2], Rjabenki, Filippow [VI], von Neumann, Richt myer [VII] ont énoncé, chacun à sa manière, un résultat fondamental connu sous le nom de théorème d’équivalence: étant donné un problème différentiel linéaire homogène, s’il est bien posé et appro- 9.1] APPROXIMATION, STABILITÉ ET CONVERGENCE 38& ché par un schéma aux différences, alors la stabilité du schéma est une condition suffisante pour que la solution du problème aux dif férences converge vers celle du problème différentiel. Rjabenki, Filippow [VI] l ’ont formulé et démontré pour une équation abstraite dans un espace de Banach, et Richtmyer [III] l ’a généralisé au cas d’équations différentielles linéaires non homogènes. Le théorème* d’équivalence est énoncé en termes de même norme. La convergence en d’autres normes est de règle établie par les théorèmes de l ’immer sion de Sobolev [I; 6]. Si l ’on renforce les conditions de régularité imposées aux données initiales, on peut affaiblir les contraintes sur la stabilité du schéma (cette circonstance a été notée pour la première fois par Rjabenki, Filippow [VI]). Strang [VII] asseoit dessus son théorème d’équivalence qui utilise la notion de stabilité faible. En ce qui concerne les critères efficaces de stabilité, signalons en premier lieu le travail de von Neumann et Richtmyer [VII]. Comme le critère local de ces auteurs ne joue que pour les équations à coefficients constants et les problèmes auto-adjoints, on a voulu en localiser le domaine d’action. Lax et Nirenberg [VI] ont élaboré une théorie de la stabilité des schémas aux différences hyperboliques en termes de symbole du l ’opérateur discrétisé. Dans le cas d’équations explicites, le symbole coïncide avec la matrice de transition classique obtenue par la méthode de Fourier, et le critère local de stabilité est valable si les coefficients possèdent des dérivées secondes bornées par rap port à x. Strang [VII] a énoncé un théorème de convergence pour les systèmes d’équations hyperboliques quasi linéaires sous l ’hypothèse de stabilité locale des équations aux différences associées à la varia tion première du système différentiel et de régularité suffisante* de la solution. L’étude des schémas aux différences à coefficients variablesutilise la notion de dissipativité. Signalons les théorèmes dus à Kreiss [VI] qui établissent la relation entre l ’ordre de dissipativité et l ’ordre de précision des équations aux différences qui approchent les systè mes hyperboliques, les coefficients matriciels des approximations étant supposés être des fonctions hermitiennes et continues lipschitziennes de x . La stabilité est traitée de façon intéressante dans Yanenko, Chokin [VII ; 8] : au lieu de l ’équation aux différences, on considère une équation différentielle associée appelée première approximation différentielle (PAD) dont la propriété d’être mal posée entraîne l’instabilité du schéma aux différences. Une classe fort importante est constituée des schémas aux diffé rences à opérateurs positifs étudiés par Friedrichs [II]. Cet auteur a introduit la notion générale de schéma positif et établi une condi tion suffisante de stabilité dans L 2. :384 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [GH. 9 On doit à Godounov, Riabenki [VII ; 2] la notion de spectre 'd ’une famille d’opérateurs aux différences et une condition néces saire de stabilité qui s’inspire de cette notion et traduit bien le phénomène d’instabilité. Ces auteurs ont également introduit la notion de noyau dudit spectre. Les normes des puissances des opéra teurs sont évaluées en termes de rayons des noyaux, et les estimations s ’avèrent uniformes pour toute la famille et susceptibles de trancher la question de la stabilité. Les critères de stabilité considérés sont dits spectraux parce que procédant du spectre d’opérateurs discrets. Ils permettent d ’établir la convergence en norme de L2. La stabilité dans C est démontrée par Serdukova [VI; 4], Thomée [VI], Samarski [VII; 5]. Parmi les approches non spectrales de la stabilité des équations hyperboliques et paraboliques discrètes, la théorie très générale de Samarski [III ; 12] [VI ; 3] [VII ; 5] s’appuie sur les inégalités «d’énergie et les estimations à priori. Elle donne, pour une vaste •classe de schémas à deux et à trois niveaux, des conditions suffisan tes de stabilité sous forme d’inégalités entre les coefficients opéraloriels. Ces conditions sont fort constructives et permettent non seule m ent de tester la stabilité, mais aussi de former des schémas stables. On assiste à un développement continu de la méthode de l ’énergie qui consiste à chercher une norme du vecteur solution dont la valeur augmente à chaque pas au plus comme 1 + 0 (A£), ce qui signifie Ja stabilité pour cette norme. La méthode remonte à Courant, Friedrichs, Lewy [VII]. Elle a été développée avec succès dans Ladyjenskaïa [VII ; 3], Lees [VII], Lax [VI], Kreiss [VI], Samarski [III; 12], Konovalov [XV; 8]. S’agissant des problèmes aux limites hyperboliques, la stabilité a été étudiée par Kreiss [VI] qui a établi par exemple des conditions suffisantes de stabilité des problèmes discrétisés sous des hypothèses assez lâches sur les données initiales. Kantorovich, Akilov [I] ont développé la théorie de l ’approxi mation et de la convergence à la lumière de l ’Analyse fonctionnelle. Ils ont considéré une classe étendue d’équations opératorielles tout >en insistant sur la résolution numérique d’équations intégrales. Un grand rôle incombe en théorie de la convergence au concept *de fermeture des algorithmes de calcul de Sobolev [I ; 6]. On utilise volontiers ce concept pour légitimer les méthodes d’approximation <en physique mathématique. 9.2. Méthodes numériques pour les problèmes de la physique mathématique Avec les notions d’approximation, de stabilité et de convergence, «on pouvait s’attaquer en toute sécurité à la recherche des schémas aux différences efficaces pour les problèmes de la physique mathé- 9 .2] MÉTHODES NUMÉRIQUES 385 matique. Les algorithmes de différences finies unissent en général des procédés de discrétisation à des méthodes de résolution des problèmes ainsi obtenus. Si la théorie constructive des méthodes des différences enregistre des succès, elle le doit donc au développe ment proportionné des deux directions indiquées. La théorie et la pratique des méthodes par différences finies se sont enrichies ces dernières années de résultats nombreux et significatifs qui autorisent à faire le point et à dégager les aspects fondamentaux de la question. Construction de schémas aux différences* On élabore les méthodes de construction de schémas aux différences qui expriment les lois de conservation propres à la plupart des phénomènes physi ques. Ces schémas sont formés moyennant les équations du bilan écrites pour chaque maille du réseau et les formules de quadrature et d’interpolation. Après avoir effectué certaines transformations et sommé par rapport à tous les points du réseau, on obtient les équations qui satisfont aux analogues discrets des lois de conserva tion sous forme intégrale. Ladyjenskaïa [VII ; 3] a par exemple obtenu, pour les équations à coefficients discontinus, les opérateurs aux différences dont la forme ne change pas d’un point intérieur du réseau à un autre. L’algorithme est justifié à l ’aide de la notion de solution généralisée, et on a démontré que la solution du problème aux différences forme une fonctionnelle qui devient, quand h 0, la fonctionnelle du .problème différentiel. Godounov [IV; 5], Lax, Wendroff [VI] ont utilisé des approxi mations aux différences explicites pour construire des schémas conservatifs uniformes de la dynamique des fluides. Il convient de citer la méthode des relations intégrales de Dorodnitsyne [III ; 5] qui a été développée entre autres par Biélotserkovski et Tchouchkine [IV; 1]; on discrétise partiellement les équations écrites sous forme de lois de conservation en recourant à la méthode de droites. Ces procédés ont fortement marqué la vision globale de la formation de schémas aux différences pour les équations quasi linéaires. On trouve des concepts généraux intéressants relatifs à l ’intégration des équations de la dynamique des fluides dans Babenko et Roussanov (voir Roussanov [XII; 10], Fromm [IV], Crowley [IV], Kouropatenko [IV; 13]). Depuis quelque temps on se penche sur le problème de solutions très précises. Deux tendances sont à noter. La première concerne l ’ordre d’approximation élevé des équations discrétisées (voir Samarski [III; 12], Valioulline, Yanenko [IV; 2], Mitchell [III]) et la seconde consiste à faire le calcul pour plusieurs pas différents et à prendre des équations aux différences d’ordre d’approximation faible (extrapolation au sens de Richardson). Pour les dernières 25 —0436 386 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [GH. 9 méthodes, nous renvoyons à Volkov [IV; 4], Fox, Mayers [III], Chaïdourov [IV; 30], La technique intégrale d’interpolation a permis à Tikhonov, Samarski [IV ; 27] et à d’autres mathématiciens de mettre au point des procédés de construction de schémas aux différences pour les équations elliptiques et paraboliques à coefficients discontinus. Méthodes variationnelles* On constate un intérêt accru pour les méthodes procédant du Calcul Variationnel. Les méthodes varia tionnelles de Ritz, Galerkin et Trefftz occupent depuis des années une place de premier plan en Analyse numérique. Leur efficacité est particulièrement grande dans les problèmes où les inconnues sont des fonctionnelles de la solution. Il se trouve que les approximations d’ordre peu élevé donnent des résultats très précis. Une étude théo rique parfaite de ces techniques est due à Mikhlin [I] qui en a établi des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité dans les espaces munis de la norme énergie. La pratique des méthodes variationnelles en a révélé des inconvénients : on a à construire des fonctions d’essai qui, même peu nombreuses, fournissent une bonne approximation et tiennent compte des singularités de la solution. Une nouvelle voie de recherche a été ouverte par les procédés variationnels opérant avec les fonctions d’essai milles partout, sauf dans une région assez petite du domaine de définition de la solution. Cette direction a débuté avec Courant [V], Oganessian [V; 6], Lions et Temam [V], Céa [V], Aubin [V], Birkhoff, Schultz, Varga [V], Bramble [V]. Ses progrès sont en premier lieu l ’œuvre de Babuska [V],. Strang, Fix [V], Zlamal [V], Douglas, Dupont [V], Rivkind [IV ; 22]. P roblèmes stationnaires à plusieurs variables. Les méthodes de résolution des équations algébriques linéaires à matrices jacobiennes et tridiagonales par blocs donnent naissance, en matière des problèmes stationnaires, à plusieurs algorithmes numériques de qualité qui reposent sur la factorisation de l ’opérateur discrétisé du problème. Parmi les procédés de factorisation, il convient de citer en premier lieu diverses variantes matricielles sans itérations dues à Keldych [V; 3], Guelfand, Lokoutsievski [X II; 5], Babenko, Roussanov (voir Roussanov [X II; 10]), Godounov [X II; 7], Abramov, Andréev [X II; 1]). Fort des résultats de Vishik, Sobolev et Ljusternik, Sauliev a proposé, pour les problèmes aux limites dans des domaines de géométrie complexe, la méthode du domaine auxiliaire [IV ; 25] qui devra être étudiée par Mignot [IV], Koptchénov [IV; 10], Roukhovets [IV; 23], Konovalov [IV; 9]. Lébédev [IV; 15] et Rivkind [IV ; 22] se sont par exemple penchés sur les équations aux différences qui approchent un problème aux limites perturbé au sens de la méthode du domaine auxiliaire. On assiste à des progrès notables des méthodes sans itérations pour les équations aux différences associées à des problèmes diffé- 9.2] MÉTHODES NUMÉRIQUES 387 rentiels à variables séparables. Grâce à la transformation de Fourier rapide et à la réduction cyclique, on réduit sensiblement le volume de calcul (voir Cooley, Tukey [XIII], Buzbee, Golub, Nielson [XII], Hockney [XIII]). La factorisation approchée fait des progrès aussi rapides que la factorisation proprement dite (cette méthode unit la décomposition de l ’opérateur aux approximations successives). La nécessité de ces algorithmes s’est fait sentir en même temps qu’on réussissait à ré duire les problèmes de la physique mathématique à des systèmes algébriques de dimension élevée. Les travaux de Bouléev [XV ; 3] et de Baker, Oliphant [XV] ont préparé la voie au développement des méthodes qui procèdent des processus rapidement conver gents. Au début des années 1960, l ’Analyse numérique s’est enrichie de la méthode des directions alternées de Douglas, Peaceman, Rachford (voir [XV]). La méthode s’est avérée fort séduisante du fait de réduire aisément un problème à plusieurs variables à une succession de problèmes unidimensionnels à matrices du type Jacobi qui s’inversent facilement sur ordinateur. Elle se ramène en fin de compte à une méthode itérative dans laquelle on optimise les calculs par un choix spécial de l ’opérateur contractant, produit d’opérateurs plus simples par des paramètres de relaxation libres. L’inversion des opérateurs élémentaires successifs s’effectue en général à l ’aide de la factorisation linéaire. Ces schémas itératifs sont très économiques et efficaces, le coût par itération étant légè rement supérieur à celui de la méthode de Richardson explicite. La méthode des directions alternées a beaucoup influencé l ’algo rithmisation de divers chapitres des mathématiques appliquées et les travaux concernant les processus non locaux et itératifs par blocs. Ses aspects théoriques ont intéressé de nombreux auteurs dont Douglas, Rachford [XV], Diakonov [XV ; 5], Samarski [III ; 12], Birkhoff, Varga, Young [XV], Wachspress [XV], Kellogg [XV], Gunn [XV], Vorobiev [XV; 4]. Les directions alternées ont été appliquées par Peaceman, Rachford [XV] à des problèmes non stationnaires. Les approximations homogènes et non homogènes donnent lieu à des méthodes nouvelles. Dans le cas non homogène, tout problème auxiliaire n ’approche pas le problème initial, mais il y a approxi mation globale pour des normes spéciales. Il s’agit des méthodes de décomposition développées par Yanenko [III; 17, 50], [XV; 13], Diakonov [III; 6] [XV; 5], Samarski [III; 12] [XV; 11], Sauliev [III; 15], Marchuk [XV]. Le problème de choisir les paramètres optimaux des schémas décomposés à l ’aide des méthodes spectrales et variationnelles a fait l’objet de nombreux ouvrages (voir p. ex. Samarski [III ; 12] [XV ; 11], Diakonov [XV; 5], Iline [III; 7] [XV; 7]). 388 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [GH. 9 Pour divers aspects théoriques des directions alternées et de la décomposition, voir Andréev [XV ; 1], Widlund [XV], Fairweather, Mitchell [XV]. P roblèmes non stationnaires à plusieurs variables. La pratique des problèmes unidimensionnels a préparé le terrain pour les algo rithmes valables dans des cas plus complexes. Une nouvelle étape dans l ’histoire des méthodes de résolution des problèmes non sta tionnaires en dimension 2 est franchie avec la technique des direc tions alternées basée sur l ’approximation homogène ; primitivement une méthode pour les équations paraboliques à n variables, elle s’est généralisée à nombre d’autres cas. On sait l ’intérêt tout particulier des méthodes de décomposition qui reposent en général sur les approximations aux différences non homogènes. Leur idée de base est de réduire un opérateur complexe à des opérateurs élémentaires, auquel cas on intègre plusieurs équa tions plus simples que l ’équation donnée. Ceci étant, les schémas aux différences vérifient globalement les conditions d ’approxima tion et de stabilité, ce qui permet de former des schémas pour la totalité, ou peu s’en faut, des grands problèmes de la physique mathé matique. Divers schémas de décomposition ont été proposés par Bagrinovski, Godounov [XV; 2] (cas explicite) et par Yanenko [XV; 13], Diakonov [XV; 5], Samarski [XV; 11], Marchuk [III; 43 a)] (cas implicite). Ces méthodes s’appliquent avec succès à des problèmes des plus variés. Elles sont à l ’origine d’une tactique plus générale basée sur la méthode d’approximation faible due à Yanenko [III; 17, 56] [XV; 13 fl)] et à Samarski [III; 12] [XV; 11]. Il se trouve qu’on peut interpréter la décomposition comme l ’approximation faible de l ’équation initiale par une équa tion plus simple. Les conditions de convergence sont énoncées par le théorème de Yanenko-Démidov [XV; 14] et dans Lébédev [IV; 15 a), 6)] et Diakonov [III; 6] [XV; 5]. La méthode d’appro ximation faible trouve de nombreuses applications naturelles en dynamique des fluides, en météorologie, en océanographie, en théorie du transport, etc. (voir Marchuk [III; 43 a)] [XVII; 10,27], Yanenko [III; 17, 56]). Les problèmes relevant de la dynamique des fluides, de la météo rologie et de l ’océanographie font volontiers appel au schéma pré dicteur-correcteur original de Lax-Wendroff, le prédicteur étant un schéma aux différences explicite. Ce schéma conditionnellement stable est de mise en œuvre facile et approche à l ’ordre 2 par rapport à toutes les variables. Pour l ’étude du schéma, consulter Richtmyer, Morton [III]. Plusieurs variantes de la prédiction-correction utilisant les approximations aux différences implicites sont proposées par Bryan [IV], Douglas, Rachford [XV], Sofronov [XII ; 11], Marchouk, Yanenko [XV; 10]. Il se trouve que tous ces schémas sont MÉTHODES NUMÉRIQUES 389 équivalents dans un sens et que seules leurs mises en œuvre diffè rent. Deux derniers auteurs prennent pour prédicteur un schéma décomposé implicite exact à l ’ordre 1 à opérateur factorisé. En dynamique des fluides, on utilise en qualité de prédicteurs des sché mas majorants implicites. On doit à Lions et Temam [V], à Bensoussan, Lions et Temam [III] la méthode de décomposition et de décentralisation, un procédé du plus haut intérêt qui s’apparente à la décomposition décrite et à l ’approximation faible. Méthode PIC (the particle-in-cell method). A l ’heure actuelle, on voit augmenter le prestige de la méthode de grosses particules qui relève du procédé connu de Harlow [XIX]. On s’en sert avec succès pour calculer les écoulements fluides à plusieurs dimensions en présence d’une déformation notable de la substance, de déplace ments mutuels importants et d’interfaces en collision. Dans cette méthode, on réduit les équations par approximation faible sur cha que intervalle temporel petit à deux systèmes plus simples dont l ’un gouverne l ’adaptation mutuelle des champs hydrodynamiques, abstraction faite des termes advectifs et est intégré de façon classique dans le réseau fixe d’Euler, et l ’autre décrit le transport de subs tance dans le système de coordonnées de Lagrange. C’est pour résoudre le second système qu’on utilise une simplification phéno ménologique du modèle de milieu continu : on le remplace par un ensemble de particules dans chaque cellule du système d’Euler de sorte que le bilan de masse, d’impulsion et d’énergie de cet ensemble s’identifie aux caractéristiques correspondantes du milieu continu. Une particule « porteuse » d’une certaine masse, qui pénètre sui vant sa trajectoire propre dans une cellule, apporte avec elle sa masse, son impulsion et son énergie qui sont donc « enlevées » à la cellule qu’elle vient de quitter. Le schéma de Harlow se base dans les deux étapes sur des méthodes explicites. Il est conditionnelle ment stable globalement. Les schémas implicites employés dans la première phase donnent des résultats particulièrement bons, et le critère de stabilité globale coïncide alors avec la condition connue de Courant. On n’a pas obtenu jusqu’à ce jour de schémas absolu ment stables, mais il y a lieu d’escompter des progrès dans l ’avenir immédiat. Diatchenko [XIX; 3], Biélotserkovski, Davydov [XIX; 1], Yanenko, Anoutchina et al. [XIX; 4] décrivent des variantes avec fluctuations de densité et de pression beaucoup plus petites et une grande « réserve » de stabilité et examinent divers schémas de mise en œuvre. On espère qu’avec les méthodes absolument stables et l ’élimi nation des fluctuations, la méthode se généralise aux écoule ments peu compressibles et que dans les années à venir ell. entraîne dans son orbite de nombreux problèmes à plusieurs variablese 390 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [CH. 9 Voilà plus de deux décennies que la méthode de Monte-Carlo proposée par von Neumann et Ulam connaît une belle fortune. Portée aux nues à ses débuts, elle a été ensuite mise à l ’index. Car on n’a pas tardé à s’apercevoir que la condition sine qua non de son efficacité est un calculateur effectuant des millions d’opérations par seconde. En effet, on prend dans cette méthode beaucoup d’é chantillons qui réduisent l ’erreur quadratique moyenne sur le résultat. Malgré les difficultés qu’on avait à exécuter la méthode sur les machines à vitesse moyenne (et peut-être à cause de ces difficultés), on en a perfectionné la théorie et, partant, l ’efficacité pour toute une gamme de problèmes de la science et de la technique. Les per fectionnements les plus sérieux tiennent au fait d ’utiliser les proba bilités conditionnelles et les poids statistiques définis à l ’aide de l ’information sur les solutions des équations adjointes par rapport aux fonctionnelles principales des problèmes. Cette façon d ’agir réduit de deux et quelquefois de quatre ordres la variance d ’erreur et diminue d ’autant le temps de calcul par rapport aux méthodes de simulation statistique directe. Avec la venue des calculateurs de la troisième génération, la méthode de Monte-Carlo s’applique avec succès à divers problèmes complexes de la physique mathématique. Elle jouit d’une bonne réputation dans de nombreux domaines : théorie du transfert de rayonnement, phénomènes d ’attente, interpolation, formules de cubature, équations intégrales, systèmes algébriques. Depuis quel que temps, on l ’utilise pour les équations de Boltzmann non linéai res et en programmation linéaire. La théorie et l ’algorithmisation de la méthode de Monte-Carlo doivent beaucoup à Vladimirov, Sobol [XVIII ; 2], Guelfand, Frolov, Tchentsov [XVIII; 31, Fano, Spencer, Berger [XVIII], Ermakov, Zolotoukhine [XVIII; 5], Mikhaïlov [XVIII; 9], Bouslenko, Golenko et al. [XVIII; 1]. Son caractère simple et universel lui assure un brillant avenir en calcul numérique. 9.3. Problèmes conditionnellement bien posés La résolution numérique d’un problème de la physique mathé matique dépend pour une large part de sa propriété d ’être « bien ou mal posé», comme disait autrefois l ’illustre auteur. Il existe une quantité de problèmes classiques bien posés au sens d’Hadamard. Depuis qu’on a introduit le concept en question, on a eu à faire face à divers problèmes des sciences de la nature et de la technique dont on peut dire qu’ils sont conditionnellement bien posés. Tikhonov [XVI ; 17] a formulé des conditions naturelles aux problèmes mal posés selon Hadamard. Ces conditions complémen taires sont qu’on suppose à priori l ’existence d’une solution et son 9.4] MÉTHODES NUMÉRIQUES D’ALGÈBRE LINÉAIRE 391 appartenance à un compact donné. La propriété « le problème est conditionnellement bien posé » est établie en démontrant un théorè me d ’unicité. Les problèmes de ce type sont étudiés à fond par Lavrentiev [XVI; 5, 251 et Ivanov [XVI: 11. Divers aspects de la théorie sont examinés dans John [XVII, Merghélian [XVI; 15], Doug las [XVI], Krein [XVI; 3]. Tikhonov a introduit la notion de régularisation [XVI ; 17] : au lieu de l ’opérateur non borné qui donne la formule exacte de la solution du problème mal posé, on considère une suite (une famille régularisante) d ’opérateurs continus telle qu’il y ait convergence sur chaque élément du domaine d’existence de la solution. Un moyen original d’aborder les problèmes mal posés au sens d’Hadamard est d’utiliser les notions et les méthodes du Calcul des Probabilités. (La question est particulièrement bien étudiée par Lavrentiev et Vassiliev [XVI ; 6].) Les travaux correspondants définissent la notion de stabilité et présentent des algorithmes, optimaux dans un sens, destinés à diverses classes de problèmes sous certaines hypothèses sur les propriétés en probabilité des erreurs de données et de l ’ensemble des solutions cherchées. On doit à Lattès et Lions [XVI] une méthode de quasi-réversi bilité (Q.R.) pour les problèmes d’évolution inverses. L’idée de Q.R. consiste à introduire dans l ’équation d’évolution l ’opérateur régularisant avec paramètre petit qui est le produit de l ’opérateur du problème proposé par son adjoint. On choisit ce paramètre par le jeu d’évaluations optimales spéciales. La méthode est de mise en œuvre simple. L’auteur et Atanbaev [XVI ; 11] ont proposé de résoudre des problèmes d’évolution conditionnellement bien posés en utilisant la technique du plus petit résidu et tout le domaine de définition de la solution. On régularise en choisissant le nombre optimal de pas d’itération en fonction de l ’estimation à priori des erreurs de don nées. On trouve dans Morozov [XIV ; 18] [XVI ; 16] une étude très complète de la théorie des problèmes mal posés et des méthodes de régularisation. Il est dans la ligne d’évolution des méthodes de résolution des problèmes conditionnellement bien posés qu’elles s’apparentent aux procédés d ’optimisation des processus de calcul. 9.4* Méthodes numériques d*algèbre linéaire On s’adresse de plus en plus souvent aux grands systèmes d ’équa tions algébriques linéaires à matrices creuses ou pleines, aux systè mes mal conditionnés et aux problèmes spectraux pour les matrices de forme quelconque dont la résolution s’inspire pour une large 392 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [CH. 9 part de l ’information à priori et à posteriori. Devant la poussée des calculateurs électroniques qui suggèrent des algorithmes nou veaux, commodes en calcul automatique, on s’est vu obligé de revoir les méthodes classiques d’algèbre linéaire. Méthodes directes. On entend en général par méthode directe d ’algèbre linéaire une méthode qui conduit à la solution en un nombre fini d’opérations arithmétiques. On y recourt volontiers dans le cas de systèmes linéaires, de matrices inverses et de détermi nants. Ces méthodes mettent une matrice par des transformations élémentaires sous forme de produit de deux matrices simples faci lement inversibles. On range au nombre des méthodes directes classiques l ’élimina tion de Gauss, les méthodes de rotation et de réflexion. Un autre groupe est constitué des techniques utilisant les directions conjuguées (gradient conjugué de Hestenes et Stiefel [XI], itérations minimisées de Lanczos [III1). Les travaux de ces auteurs sont à l ’origine des méthodes procédant de l ’orthogonalisation. Ces dernières années, les méthodes directes ont pris de T ampleur grâce à Faddeev, Faddeeva, Koublanovskaïa [VIII; 171, Bauer. Fike [VIII], Householder [III], Wilkinson [VIII1, Henrici [III], Forsythe, Moler [VIII], Buzbee, Golub, Nielson [XII], Voévodine [VIII ; 3]. Un des problèmes ouverts est la résolution des systèmes à matri ces mal conditionnées qui est intimement liée à celle des problèmes conditionnellement bien posés de la physique mathématique. La difficulté tient à la sensibilité de la solution à la précision avec laquelle on se donne les éléments de la matrice et les composantes du vecteur second membre. On n ’a obtenu pour le moment que quelques résultats de valeur dans le long chemin qui devra aboutir à la théorie générale. Méthodes itératives. Ces méthodes rendent des services excep tionnels à l ’algèbre linéaire. On en connaît plusieurs algorithmes performants facilement exécutables sur ordinateur. Les méthodes itératives se développent essentiellement selon les besoins de la physique mathématique, de l ’économie et de la gestion qui se posent des problèmes conduisant à de grands systèmes à matrices de forme spéciale. Le fait est que les méthodes directes s’avèrent peu efficaces dans la plupart de ces problèmes encore que leurs possibilités aug mentent avec le perfectionnement du matériel de calcul. En ce qui concerne la construction des méthodes itératives, plusieurs tendances se fonLjour actuellement dont nous ne considé rerons que deux. La première tendance est d ’utiliser les caracté ristiques spectrales des opérateurs impliqués, à savoir on génère les itérations où la matrice de transition dépend de l ’ensemble des paramètres choisis de deux manières : ou bien on les prend les mêmes à chaque pas en minimisation du rayon spectral de la matrice de 9.4] MÉTHODES NUMÉRIQUES D’ALGÈBRE LINÉAIRE 393 transition, ou bien on en forme une suite dont les termes dépendent du numéro d’itération de façon que le vecteur erreur tende le plus vite possible vers 0 uniformément par rapport à toutes les approxi mations initiales. Les deux procédés utilisent l ’information à priori sur les spectres des matrices. Le choix de ces paramètres constitue une partie intégrante du problème d’optimisation de l ’algorithme de calcul, et son point le plus délicat est en général la localisation des spectres des matrices impliquées. Les progrès sérieux de l ’optimisation spectrale posent des pro blèmes nouveaux. Chose importante, les méthodes spectrales sont particulièrement efficaces pour les problèmes successifs à opérateurs identiques et à entrées différentes. La deuxième tendance s’inspire des principes variationnels. Les méthodes de cette classe consistent à minimiser de proche en proche une fonctionnelle (en général quadratique) qui atteint enfin son minimum sur la solution cherchée du système. Cette tendance date entre autres de Kantorovitch [XI; 41, Lanczos [III], Hestenes, Stiefel [XI], Krasnosselski, Krein [XI; 5]. Parmi les travaux plus récents, il convient de citer Petryshyn [IX] [X], Forsythe [XI], Daniel [XI], Marchouk, Kuznétsov [III] [XI; 7], Godounov, Prokopov [XI; 2], Lébédev [IX; 8], Gorbenko, Iline [XI; 3]. Les méthodes variationnelles du type plus grande pente et les itérations avec le plus petit résidu ont l ’avantage de choisir les paramètres de relaxation à la lumière de l ’information à posteriori obtenue à chaque pas. La vitesse de convergence de ces méthodes à pas liés est au moins égale à celle des procédés utilisant les poly nômes de Tchebycheff. Leur autre intérêt est de converger pour toute matrice définie positive, symétrique ou non. Le concept de plus petit résidu a dernièrement servi de base à plusieurs méthodes efficaces pour les matrices semi-définies positives. L’inconvénient sérieux des méthodes variationnelles non station naires, qui en entrave d ’ailleurs le développement, est la nécessité de mettre en mémoire une plus grande quantité d ’information intermédiaire par rapport à l ’optimisation au sens de Tchebycheff. On voit apparaître des méthodes itératives hybrides qui marient les deux tendances. Lébédev a énoncé les conditions à imposer aux opérateurs pour lesquels le processus itératif ne saurait être amélioré en ce qui concerne l ’estimation du nombre d ’opérations arithméti ques. Un autre moyen de choisir les paramètres optimaux procède du Calcul des Probabilités. Plusieurs résultats intéressants à ce sujet sont dus à Vorobiev [IX; 3]. La surrelaxation classique de Young-Frankel n ’a rien perdu de son importance (voir [X]). Les monographies de Forsythe, Wasow [III], Varga [III], Isaacson, Keller [III], Young [X] font la synthèse des différents travaux consacrés à cette méthode. Pour un aperçu et une classification des méthodes par itérations, voir Marchouk, Lébédev [XVII ; 91. 394 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [CH. 9 Les méthodes itératives pour les systèmes linéaires à matrices singulières ont fait l ’objet de nombreux ouvrages. S’agissant des systèmes compatibles, l ’auteur et Kuznétsov [VIII ; 10, 12, 29] [XI ; 7] ont proposé une tactique générale en vue d’étudier la con vergence des méthodes itératives, stationnaires ou non. Outre qu’elle élargit le champ des applications des procédés connus, cette tactique permet d’élaborer la classe de méthodes matricielles du domaine auxiliaire (voir Kouznétsov, Matsokine [IV ; 11]). Quant aux systè mes incompatibles, on trouve des procédés itératifs correspondants dans Moltchanov, Yakovlev [VIII; 13] et Kuznétsov [VIII; 9, 281. Arrêtons-nous sur les méthodes itératives destinées à résoudre complètement le problème de valeurs propres pour les matrices de forme générale. Seules les méthodes des transmutations nous intéressent car c’est dans cette voie qu’on enregistre depuis quelque temps les résultats de valeur dus entre autres à Wilkinson [VIII], Bauer, Fike [VIII], Collatz [III1, Voévodine [VIII; 36)], Frencis [VIII], Koublanovskaïa [VIII; 8], Eberlein [VIII]. Les méthodes des transmutations consistent à réduire de proche en proche la matrice initiale par des similitudes unitaires (Jacobi, algorithme QR) ou par des similitudes à matrices triangulaires (algorithmes LR) à une matrice dont les valeurs propres sont directe ment accessibles (ce sont les matrices diagonales, triangulaires ou triangulaires par blocs dont les blocs diagonaux sont d’ordre 2 au plus). Hier encore, les algorithmes efficaces n ’existaient que pour les matrices symétriques (méthode de Jacobi) (Faddeev, Faddeeva [VIII], Rutishauser [VIII], Wilkinson [VIII]). Avec la procédure QR (Koublanovskaïa [VIII; 8], Frencis [VIII], Wilkinson [VIII]) et la méthode des rotations généralisée (Voévodine [VIII ; 36)]), on aborde le problème de valeurs propres pour les matrices de forme quelconque. Ce sont diverses variantes QR qui tentent le plus les chercheurs. Le problème considéré est également redevable de ses progrès au calcul des réacteurs nucléaires, car les recherches associées ont imprimé une impulsion aux méthodes itératives pour le problème particulier de valeurs propres en cas des matrices non négatives. Les fondements de la théorie ont été posés par Perron et Frobenius et développés de façon appréciable par Varga [III], Traub [VIII], Marek [VIII; 11, 30]. A nalyse des erreurs d’arrondi. Le temps n ’est pas loin où les seuls critères pour comparer deux méthodes numériques étaient le nombre d’opérations arithmétiques et l ’occupation mémoire. On y ajoute aujourd’hui la précision, i.e. l ’analyse des erreurs d’arrondi commises au cours du calcul sur ordinateur fait partie intégrante des algorithmes. C’est von Neumann qui a ouvert ce chapitre du Calcul numérique, et l ’étude systématique des erreurs date de 9.5] OPTIMISATION DES MÉTHODES NUMÉRIQUES 395 Wilkinson [VIII]. L’appareil mathématique de Wilkinson repose sur le concept de perturbations équivalentes qui a permis d’évaluer les normes des perturbations pour toutes les transformations d’algèbre linéaire et les normes des perturbations équivalentes pour de nom breuses méthodes. On assiste à l ’essor de la théorie statistique des erreurs. Les résultats de Bakhvalov [VIII ; 2], Voévodine [VIII ; 3], Kim [VIII ; 7] et d’autres auteurs stimulent l ’étude de la répartition effective d’erreurs d’arrondi. Ensembles de programmes standards. Les progrès réalisés dans les méthodes numériques d’algèbre linéaire ont rendu possible la confection de programmes standards performants pour les systèmes d ’équations linéaires et le problème de valeurs propres. La revue Numerische Mathematik publie par exemple une quantité de procé dures qu’on utilise fréquemment aussi bien dans les problèmes généraux d’algèbre linéaire que dans des problèmes spéciaux à la physique mathématique, à l ’économie, etc., qui font intervenir des matrices de forme particulière. La question ne manquera pas d’intéresser les chercheurs dont les efforts aboutiront à un système de calcul universel pour les problèmes d’algèbre linéaire. On constate au moins deux tendances. L’une est de mettre au point les ensembles de programmes et d ’algo rithmes pour les cas généraux et l ’autre consiste à élaborer des méthodes passe-partout susceptibles de s’adapter à tel problème concret. On comprend l ’intérêt capital de ces deux tendances qui préparent la voie au software universel pour les ordinateurs de la quatrième génération et des générations suivantes. 9.5. Optimisation des méthodes numériques Une des grandes missions de l ’Analyse numérique est d’élaborer des procédés de calcul rapides et économiques au possible, i.e. d ’opti miser les algorithmes de calcul. On examine le problème d’opti misation avec contraintes données à l ’aide des théorèmes mathé matiques généraux et on évalue le coût minimal de chaque problème concret appartenant à une classe ou une séquence données. Le fait de se limiter à des cas isolés met en général dans l ’impossibilité d’obtenir le résultat cherché. Mais si l ’on sait trouver un extrémum lié, i.e. si l ’on résout au mieux chaque problème local, on se rappro che par là même du problème global. Cette philosophie de l ’optimi sation des méthodes numériques, qui est celle de Babuska et Sobo lev [XX; 1], reflète assez fidèlement la question. Il est parfois impossible de dépasser le cap de l ’algorithme voisin de l ’optimum. Cela est juste par exemple pour les algorithmes asymp totiquement optimaux. On peut dire que c’est la théorie des esti mations asymptotiques qui sert aujourd’hui d ’outil puissant dans 396 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [CH. 9 l ’optimisation algorithmique de diverses classes de problèmes. La théorie des formules de cubature bâtie par Sobolev [I ; 6] paraît la mieux élaborée du point de vue de l ’optimisation. Sobolev ramène l ’évaluation des formules de cubature à la minimisation de la fonctionnelle linéaire des erreurs et obtient des estimations d’erreurs dans les formules de cubature relatives à des réseaux réguliers pour les classes de fonctions périodiques indéfiniment dérivables à support borné. L’étude de ces problèmes repose pour une bonne part sur l ’évaluation asymptotique des approximations. Signalons les travaux de Bakhvalov [XX ; 2] et Sobol [XVIII ; 10] qui traitent des estimations optimales de la convergence des proces sus de cubature, des méthodes d’intégration du type Monte-Carlo et des procédés d’intégration numérique optimaux. On doit à Vinogradov IXX ; 3] suivi par Korobov [XX ; 5] une autre approche des formules de cubature à la lumière de l ’Ana lyse numérique : on construit les formules exactes pour des polynô mes trigonométriques finis et on évalue les erreurs sur la classe de fonctions périodiques. Kolmogorov [XX ; 4] a introduit plusieurs notions générales de la théorie des ensembles pour encadrer le nombre d ’opérations arithmétiques exigées par le calcul des solutions. La chose est parti culièrement importante dans la recherche dirigée d ’algorithmes si la différence de deux bornes tend vers oo avec n. S’agissant d ’opéra teurs différentiels linéaires possédant un inverse compact, Kolmo gorov a évalué le nombre d’opérations nécessaires, ce qui permet d ’obtenir des algorithmes asymptotiquement voisins de l ’optimum en ce qui concerne le critère « nombre d’opérations arithmétiques ». Bakhvalov [XX ; 2] a étudié un ensemble d’algorithmes de différences finies. Il a en particulier minoré le nombre d’opérations dans le cas de Dirichlet relatif à l ’équation de Laplace. Une direction intéressante de l ’optimisation des problèmes de la physique mathématique est liée au nom de Lébédev [IX ; 8] [XVII ; 9] qui prend pour fonctionnelle principale à minimiser le coût de l ’algorithme et l ’entropie et applique cette méthode à cer tains problèmes de la théorie de transport. Dans l’optimisation, on fait souvent abstraction des facteurs tels que l ’arrondissement, les particularités des opérations arithmé tiques dans les registres de l ’ordinateur, etc. Or, ce sont ces facteurs qui déterminent quelquefois l ’efficacité de l ’algorithme. On se pose donc le problème d’optimiser les calculs mêmes. La théorie des processus numériques et leur optimisation font l ’objet de nombreux travaux dont ceux de Babuska, Sobolev [XX ; 1], Dahlquist [XX], Henrici [III]. Babuska, Vitasek, Prâger [III] ont introduit la notion de ocft-suites pour exprimer la relation entre la chaîne de calculs et la précision : quand la première s’allonge, l ’autre croît comme une puissance. La théorie des a ft-suites est à l ’origine 9.6] CERTAINES LIGNES D’ÉVOLUTION DU CALCUL NUMÉRIQUE 397 des notions de stabilité locale et globale qui ont servi de support à l ’analyse de tout un éventail d’algorithmes disponibles pour les ordinateurs. Divers travaux récents (Moore [XX], Nickel [XX]) ont mis à l ’ordre du jour les arithmétiques d’intervalles. Il s’agit d ’une direction de la théorie de l ’estimation du degré d’exactitude d ’algo rithmes effectifs dont le but principal est de représenter à postériori l ’erreur par une paire de bornes. 9.6. Certaines lignes d’évolution du Calcul numérique Les progrès récents du hardware ont exercé une grande influence sur les domaines numériques de la science qui sont enclins à l’inté gration. Le lien entre le matériel de calcul, les méthodes de l ’Analyse numérique et des mathématiques appliquées, la théorie de la pro grammation automatique et des langages devient si étroit que le choix d’une stratégie propre à tel problème est d’un intérêt capital. Bien que l ’optimisation des chaînons isolés du calcul reste l ’assise profonde de la théorie, on est de plus en plus axé sur l ’optimisation globale. Nul doute que l ’optimisation des calculs sur ordinateur constitue un des grands problèmes des disciplines numériques qui stimule la recherche d’algorithmes nouveaux et des mises en œuvre corres pondantes. Une autre tendance est d’aborder toute une classe de problèmes à la fois et de standardiser les algorithmes. Le traitement massif de l ’information par les ordinateurs exige un effort de systématisa tion et d’ordonnancement. La pratique des problèmes de la science et de la technique permet très souvent de s’orienter vers les méthodes universelles valables pour des classes plus ou moins vastes de pro blèmes de même type mathématique. Il paraît que la stratégie raisonnable est en l ’occurrence de générer des algorithmes univer sels adaptatifs pour des problèmes variés non répétitifs et de mettre au point des algorithmes spéciaux à des problèmes répétitifs. Avec ces deux approches qui se complètent heureusement, on crée un software efficace en utilisant au mieux les ressources de la société. La standardisation des programmes et des algorithmes, l ’implan tation progressive des ordinateurs dans divers domaines : problèmes de l’ingénieur, économie, gestion, la puissance accrue du matériel de calcul électronique et un software perfectionné ont permis d’éta blir des paquets de programmes pour des secteurs entiers de la science et de la technique. De ce côté, il y a lieu d’attendre des résultats importants qui se répercuteront sûrement sur les méthodes numé riques. Les ordinateurs modernes étant rapides et à grande mémoire constituent autant de dépôts d’information de valeur immédiate- 398 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES [GH. 9 ment accessible, et les systèmes conversationnels fonctionnant en partage de temps permettent de réaliser le dialogue direct hommemachine. Aussi le problème de standardiser le software, en parti culier les algorithmes de calcul, est d’actualité brûlante. Le développement du software pose des problèmes de caractère numérique tels que la construction de réseaux pour des domaines de forme complexe qui recouvrent uniformément dans un sens le domaine de définition de la solution. Si le problème est près d ’être résolu en dimension deux, on le met seulement à l ’ordre du jour pour la dimension plus grande. L’entrée et la sortie de l ’information ont fait penser à la représentation graphique de celle-ci et ont donné naissance à plusieurs procédés d’interpolation sur les classes de fonctions. Avec la possibilité d’effectuer les transformations analytiques sur ordinateur, on est en fait amené à aborder les problèmes de la physique mathématique par les méthodes bien élaborées de la théo rie de l ’argument continu. Plus on excelle dans ces transformations, et plus le software s’oriente vers les méthodes en question. Les progrès dans ce domaine ouvrent des champs nouveaux à la création des méthodes numériques puissantes. Nous voudrions dire en guise de conclusion que le rythme de la recherche en Calcul numérique est fonction de l ’état des disciplines mathématiques fondamentales. Or, l ’intérêt de ces secteurs de base et leur rythme de développement augmentent considérablement à l ’ère du progrès technique. Seuls les efforts conjugués de tous les chercheurs créeront un climat propice aux développements futurs des mathématiques pures et appliquées. BIBLIOGRAPHIE I. Analyse fonctionnelle et analyse numérique [1] KAHTOPOBHH JI. B., OyHKîOHajibHHH aHajiH3 h npHKJiaflHaa MaTeMaTHKa, yen. MameM. nayn , 3, 6 (1948). [2] KEJÏ^BIIII M. B., JIMflCKHÏÏ B. B., Bonpocu cnenTpajibHOii Teopnu HecaMOconpajKeHHbix onepaTopoB. In : Tpy^w IV Bcecoi03Horo MaTeMaTuueenoro c'beafla. t . I, M., AH CCGP, 1963. [3] KPEÏÏH G. T., Jluneünbie du00epeniçuajibHbie ypaenenusi e ôanaxoeoM npoempauemee, M., « HayKa », 1967. 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[10] MOORE R., Interval analysis, Prentice-Hall, 1966. [11] NICKEL K., a) Uber die Notwendigkeit einer Fehlerschranken-Arithmetic für Rechnenautomaten, Numer. Math., 9, 1 (1966). b) Bericbt über neue Kalsruher Ergebnisse bei der Fehlererfassung von numerischen Prozessen, Api. Mat., 13, 2 (1968). INDEX Analyse des erreurs d’arrondi 394 Approximation d’un problème 31 r-régulière 137 Cône 113 Condition de Courant 351 d’ellipticité 105 de stabilité numérique 355 Conditions aux limites essentielles 64 naturelles 64 Critère des résidus normés 147 spectral de stabilité 39 Domaine d’un opérateur 14 Ensembles de programmes standards 395 Equation de la chaleur 343 de continuité 359 de diffusion 273 d’Euler 58 d’évolution 34 de Helmholtz 212 hyperbolique 262 du mouvement 353, 359, 363 — sous forme conservative 361 de Poisson 328 de transport 369 des vibrations 262, 348 Espace de Banach 115 hilbertien 13 L2 (D) 13 de Sobolev 16 Extrapolation à la limite 268 de Richardson 268 Famille régularisante au sens de Tikhonov 295 Fonction de base 103 discrète 28 d’influence (d’importance) 312 Fonction spline 127 bicubique 146 cubique 127 d’interpolation 144 de lissage (d’ajustement) 154 relative à un sous-espace 146 Fonctionnelle bilinéaire 114 convexe 113 quadratique 174 variationnelle 58 Formule des petites perturbations 314 Identité intégrale fondamentale 52 sous forme variationnelle 82 Inégalité de Cauchy-Bouniakovski 55 de Friedrichs 108 Inéquation variationnelle 111 Instabilité numérique non linéaire 358 Interpolation 126, 127, 131, 135, 146 Lemme de Kellogg 17 Matrice bande 146 par blocs 92 diagonale par blocs 173 de Gram 63 426 INDEX Matrice mal conditionnée 154 tridiagonale 92 Méthode d’approximation séquentielle 361 de décomposition 183, 186, 191, 195 du domaine auxiliaire 105 — —, analogue matriciel 202 des éléments finis 72 de factorisation 216 — incomplète de Bouléev 218 de Fourier 25 de Galerkin 64 du gradient conjugué 178 de Harlow 389 de l ’identité intégrale 50 itérative 150 — cyclique 151 — de Tchebycheff 163 de Ljusternik 18 des moindres carrés 67 des moments 65 de Monte-Carlo 390 de Newton 147 du plus petit résidu 177 de prédiction-correction 235 de quasi-réversibilité 391 de réduction cyclique 212 de relaxation 121 de Richardson 163 de Ritz 62 de splitting-up 239 de stabilisation 232 de surrelaxation successive 158 des variations locales 121, 122 Méthodes directes d’algèbre linéaire 392 Nombre de conditionnement 154 Norme énergie 16 d’un opérateur 15 Opérateur adjoint 14 auto-adjoint 14 défini positif 14 de Laplace 26 —, valeurs et fonctions propres 26 — aux différences finies 28 — — —, valeurs et vecteurs pro pres 28 positif 14 de projection 28 semi-défini positif 14 Opérateur de source 35 de transition 35 Optimisation d’une méthode itérative 152 Planification des expériences 319-320 Polynôme de Lagrange 78 Problème conditionnellement bien posé 295 d’évolution 303 inverse 295 Prolongement régulier 133 Quasi-solution d’un système d’équa tions linéaires 316 Rayon spectral 16 Régularisation 391 Schéma aux différences absolument stable 40, 44 conditionnellement stable 44 de Crank-Nicholson 227 de la croix 349 à 2 cycles 367 à deux niveaux 35 explicite 34 implicite 35 numériquement stable 40 stable 41, 45 Schéma de Landau, Meiman et Khalatnikov 358 Solution généralisée d’un système 198 Symbole de Kronecker 75 Théorème de convergence 46 de Gershgorin 21 de réciprocité pour les fonctions de Green 313 Transformation d’Abel 139 de Fourier rapide 208 Variation première 57 Vecteur erreur 151 Vecteur résidu 151 Viscosité artificielle 354 Vitesse de convergence asymptotique d’une méthode itérative 154 TABLE DES MATIÈRES P r é f a c e ............................ Introduction .................................................................... Chapitre premier THÉORIE DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES. GÉNÉRALITÉS 5 7 1.1. Opérateurs et leurs a d jo in ts ................................................................... 1.1.1. Estimation des normes de matrices (17). 1.1.2. Recherche des bornes du spectre d’une matrice positive (18). 1.1.3. Valeurs propres et fonctions propres du laplacien (26). 1.1.4. Valeurs propres et vecteurs propres du laplacien aux différences finies (28). 1.2. Approximation ......................................................................................... 1.3. Stabilité n u m é r iq u e ................................................................................. 1.4. Un théorème de convergence................................................................. 13 31 38 46 Chapitre 2 MÉTHODES DE CONSTRUCTION DE SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 2.1. Méthode de l ’identité in té g r a le ............................................................. 2.2. Méthodes variationnelles en physique mathématique . . . . . . 2.2.1. Méthode de Ritz (62). 2.2.2. Méthode de Galerkin (64). 2.2.3. Méthode des moindres carrés (67). 2.3. Schémas variationnels aux différences pour les équations à coef ficients discontinus ................................................................................. 2.3.1. Construction d’équations de diffusion discrétisées simples par la méthode de Ritz (69). 2.3.2. Construction de schémas aux différences simples par la méthode de Galerkin (des éléments fi nis) (72). 2.4. Sur la formation de sous-espaces pour les méthodes variationnelles en dimension un ..................................................................................... 2.4.1. Construction de schémas variationnels aux différences de haute précision (75). 2.4.2. Construction d’une base de fonctions trigonométriques et son rôle dans les méthodes variationnelles (79). 2.4.3. Identité intégrale sous forme variationnelle (82). 2.5. Schémas variationnels aux différences pour une équation elliptique en dimension d e u x ..................................................................................... 2.5.1. Méthode de Ritz (88). 2.5.2. Méthode de Galerkin (94). 2.5.3. Construction de sous-espaces (98). 2.6. Méthodes variationnelles pour des problèmes à plifâi£\u*sâri$lAes 50 56 68 74 88 101 428 TABLE DES MATIÈRES 2.6.1. Construction de sous-espaces (101). 2.6.2. Formation de schémas variationnels aux différences point par point (103). 2.7. Méthode du domaine auxiliaire ............................................................. 2.8. Problèmes d’extrémum avec contraintes et inéquations varia tionnelles ................................................................................................. 2.8.1. Eléments de la théorie générale (112). 2.8.2. Quelques pro blèmes d’extrémum (114). 2.8.3. Méthodes numériques pour les problèmes d’extrémum (120). 105 111 Chapitre 3 INTERPOLATION DES FONCTIONS DISCRÈTES 3.1. Interpolation des fonctions d’une v a r ia b le ..................................... 3.1.1. Interpolation des fonctions d’une variable par les fonctions splines du troisième degré (127). 3.1.2. Interpolation cubique par morceaux avec lissage (131). 3.1.3. Prolongements réguliers (133). 3.2. Interpolation à deux et à plusieurs v a r ia b le s................................. 3.3. Approximation r-régulière de fonctions de plusieurs variables 3.4. Eléments de la théorie générale des fonctions s p lin e s ................ 127 135 137 143 Chapitre 4 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES STATIONNAIRES 4.1. Eléments de la théorie des méthodes ité r a tiv e s............................ 4.2. Certaines méthodes itératives et leur o p tim is a tio n .................... 4.2.1. Méthode itérative simple (152). 4.2.2. Convergence et opti misation des méthodes itératives stationnaires (155). 4.2.3. Surrela xation successive (158). 4.2.4. Méthode itérative de Tchebycheff (163). 4.2.5. Comparaison de la vitesse dè convergence des métho des itératives pour les systèmes d’équations aux différences (171). 4.3. Méthodes itératives non station n aires................................................. 4.3.1. Des théorèmes de convergence (174). 4.3.2. Méthode du plus petit résidu (177). 4.3.3. Méthode du gradient conjugué (178). 4.4. Méthode de décom position..................................................................... 4.4.1. Cas commutatif (186). 4.4.2. Cas non commutatif (191). 4.4.3. Optimisation des méthodes de décomposition au sens de Tchebycheff et du Calcul des variations (195). 4.5. Méthodes itératives pour les systèmes à matrices dégénérées . . 4.5.1. Un système compatible (198). 4.5.2. Un système incompa tible (200). 4.5.3. Analogue matriciel de la méthode du domaine auxiliaire (202). 4.6. Méthodes itératives pour les problèmes à entrées inexactes . . . 4.7. Méthodes directes de résolution des équations aux différences finies 4.7.1. Transformation de Fourier rapide (208). 4.7.2. Méthode de réduction cyclique (212). 4.7.3. Factorisation des équations aux différences (215). 150 152 174 183 197 205 207 Chapitre 5 MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES NON STATIONNAIRES 5.1. Schémas aux différences d’ordre d’approximation 2 à opérateurs dépendant du t e m p s ................................................................................. 5.2. Equations d’évolution non hom ogènes................................................. 5.3. Méthodes de décomposition des problèmes non stationnaires . . . 227 230 231 TABLE DES MATIÈRES 5.3.1. Méthode de stabilisation (232). 5.3.2. Méthode de prédictioncorrection (235). 5.3.3. Méthode de splitting-up (239). 5.3.4. Cer taines remarques générales (244). 5.4. Méthodes de décomposition pour n > 2 .................. 5.4.1. Méthode de stabilisation (245). 5.4.2. Méthode de prédictioncorrection (246). 5.4.3. Méthode de splitting-up en termes de schémas élémentaires (248). 5.4.4. Décomposition des problèmes quasi li néaires (253). 5.5. Méthode de splitting-up (approche gén éra le).................................... 5.6. Méthodes de résolution des équations hyperboliques.................... 5.6.1. Méthode de stabilisation (259). 5.6.2. Réduction de l ’équation des vibrations à un problème d’évolution (262). 429 244 254 259 Chapitre 6 AMÉLIORATION DE LA PRÉCISION DES SOLUTIONS APPROCHÉES AU SENS DE RICHARDSON 6.1. Equation différentielle ordinaire du premier o r d r e ........................ 6.2. Equation de diffusion à une d im en sio n ............................................ 6.2.1. Méthode de Galerkin (274). 6.2.2. Méthode aux différen ces (280). 6.3. Méthode de décomposition pour un problème d’évolution . . . . 6.4. Extrapolation de Richardson pour des problèmes à plusieurs va riables ......................................................................................................... 268 273 286 290 Chapitre 7 PROBLÈMES INVERSES (POSITION ET MÉTHODES NUMÉRIQUES) 7.1. P rélim in a ires............................................................................................. 7.2. Problèmes d’évolution inverses et méthode de F o u rier ................ 7.3. Problèmes d’évolution inverses à opérateur dépendant du temps 7.4. Problèmes inverses posés en termes de la théorie des perturbations 7.4.1. Certaines questions de la théorie linéaire des mesures (309). 7.4.2. Fonctions adjointes et notion de fonction d’influence (310). 7.4.3. Théorie des perturbations pour les fonctionnelles linéaires (313) 7.4.4. Méthodes numériques de résolution des problèmes inverses et planification des expériences (315). 7.5. Théorie des perturbations et modèles non linéaires complexes . . . 7.5.1. Equations et leurs adjointes (321). 7.5.2. Equations adjoin tes et théories des perturbations (323). 7.5.3. Théorie des perturba tions et problèmes non stationnaires (324). 7.5.4. Méthode spectrale et théorie des perturbations (326). 296 300 303 309 320 Chapitre 8 DES PROBLÈMES DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 8.1. Equation de P o is s o n ................................................................................. 8.1.1. Problème de Dirichlet pour l ’équation de Poisson en dimen sion un (328). 8.1.2. Problème de Neumann en dimension un (330). 8.1.3. Equation de Poisson à deux variables (333). 8.1.4. Problème de conditions aux limites (340). 8.2. Equation de la c h a le u r ............................................................................. 8.2.1. Problème de la chaleur en dimension 1 (343). 8.2.2. Problème de la chaleur en dimension 2 (347). 328 343 430 TABLE DES MATIERES 8.3. Equation des v ib r a tio n s......................................................................... 348 8.4. Equation du m ou vem en t......................................................................... 352 8.4.1. Equation du mouvement en dimension 1 (352). 8.4.2. Equation du mouvement à coefficients variables en dimension 2 (359). 8.4.3. Equation du mouvement à plusieurs variables (363). 8.5. Equation de transport non statio n n a ire............................................. 369 Chapitre 9 UN APERÇU DES MÉTHODES NUMÉRIQUES 9.1. Approximation, stabilité et convergence des schémas aux diffé rences ......................................................................................................... 9.2. Méthodes numériques pour les problèmes de la physique mathé matique ................................................................................................. 9.3. Problèmes conditionnellement bien p o s é s ............................................. 9.4. Méthodes numériques d’algèbre lin é a ir e ............................................. 9.5. Optimisation des méthodes num ériques............................................. 9.6. Certaines lignes d’évolution du Calcul num érique........................ B ib lio g r a p h ie .................................................................................... Index ................................................................................. 382 384 390 391 395 397 399 425 À NOS LECTEURS Les Editions Mir vous seraient très reconnaissantes de bien vouloir leur communiquer votre opinion sur le contenu de ce livre, sa traduction et sa présentation, ainsi que toute autre suggestion. Notre adresse: Editions Mir, 2, Pervi Rijski péréoulok, Moscou, 1-110, GSP, U.R.S.S. Imprimé en Union Soviétique

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