Edgerd de Alencat Fiiho
Nobel
■D 1975 Edgard de Alencar Filho
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Reimpressão: 2003
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(Câmara Brasileira do Livro. SP. Brasil)
A.355Í
Alcncar Filho, Edgard de, 1913
Iniciação à lógica malemática/ Odgard de Alencar Filho. - São Paulo : Nobel. 2002.
Bibliografia
ISBN 85-213-0403-X
1. Lógica simbólica e matemática f. Título.
86-0802
C D D-511.3
Índice para catálogo sistemático:
1. Lógica matemática 511.3
É PROIBIDA A RLPRODUÇÀO
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meios eletrônicos ou gravações, sem a permissão, por escrito, do editor. Os infratores serão punidos
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Indice
Capítulo 1
PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS
1. Conceito dc proposição . ..............................................................
2. Valores lógicos cias prop o siçõ es..........................................................................
3. Proposições simples e proposições c o m p o stas...................................................
4. Conectivos .............................................................................................................
5. Tabela-verdade........................................................................................................
6. N o ta ç ã o ................................ ..................................................................................
Exercícios ................................................ .. ..........................................................
Ij
p
p
jg
jj
j^
Capítulo 2
o p e r a ç õ e s l ó g ic a s s o b r e p r o p o s iç õ e s
2. N e g a ç ã o ...................................................................................................................
3. Conjunção .............................................................................................................
4. Disjunção ..............................................................................................................
5. Disjunção exclusiva ................................................................................
6. C ondicional.............................................................................................................
7. Bicondicional ..................................................................., ..................................
Exercícios ................ ............................................................................................
p
Ig
20
21
23
27
Capítulo 3
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE
1. 1 abela-verdadc de uma proposição c o m p o s ta ...................................................
2. Número de linhas de uma tabela-verdade...........................................................
29
29
3. Construção da tabela-vcrdadc de uma proposição composta
4. Exemplificação ......................................................' ...................
5. Valor lógico de uma proposição c o m p o sta .............................
6. Uso de parêntesis ......................................................................
7. Outros símbolos para os conectivos.....................................
Exercícios .................................................................................
30
30
36
38
39
39
Capítulo 4
TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇOES E CONTINGÊNCIAS
1. Tautologia ...................................................................................
’ 2. Princípio de substituição para as tautologías ........................
3. C ontradição...................................................................................
4. Contingência ..............................................................................
Exercícios ........................................................................... • • •
43
45
46
47
48
Capítulo 5
IMPLICAÇÃO LÓGICA
1. D e f i n i ç ã o d e im p l i c a ç ã o l ó g i c a
.............................................................
2. Propriedades da implicação lógica ........................................
3. Exemplificação ...........................................................................
4. Tautologias c implicação lógica ..............................................
Exercícios ...................................................................................
49
49
50
53
Capítulo 6
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
1. Definição de equivalência ló g ic a .............................................
2. Propriedades da equivalência ló g ic a ........................................
3. Exemplificação ...........................................................................
4. Tautologías e equivalência lógica..............................................
5. Proposições associadas a uma condicional........................ .. •
6. Negação conjunta de duas proposições...................................
7. Negação disjunta de duas p ro p o s iç õ e s...................................
Exercícios ................ - ............................. * ................................
55
55
56
57
59
62
63
63
Capítulo 7
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
1. Propriedades da co njunção........................................................
2. Propriedades da d is ju n ç ã o ........................................................
67
69
3. Propriedades da conjunção e da d is ju n ç ã o ....................................................
4. Negação da cond icio n al........................................................................................
5. Negação da bicondicional .............................. ..................................................
Exercícios ................ , , ......................................... - ..........................................
71
74
74
75
Capítulo 8
MÉTODO DEDUTIVO
2. Exemplificação................................................................ . .....................................
3. Redução do número de c o n e c tiv o s...................................................................
4. Forma, normal das proposições ........................... ............................................
5. Forma normal conjuntiva . . ..............................................................................
6. Forma normal disjuntiva ..................................................................................
7. Princípio de dualidade ................................... ................................................ •
Exercícios ................................................ - .............* ..........................................
78
81
82
82
84
85
'85
Capítulo 9
ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERÊNCIA
1. Definição de argum ento. . . , ..............................................................................
2. Validade de um argum ento...................................................................................
3. Critério de validade de um a rg u m en to ..............................................................
4. Condicional associada a um a rg u m e n to ..................................................... .. .
5. Argumentos válidos fu n d am en tais.....................................................................
8/
87
8X
89
90
6. Regras de infcrcncia .....................................................................................................
91
7. Exemplos do uso das regras de inferência........................................................
Exercícios ........................................................ . ................................................
92
96
Capítulo 10
VALIDADE MEDIANTE TABELAS-VERDADE
2. Exemplificação ............................. ...................
3. Prova de não-validade........................................
Exercícios ........................................................ ..
Capítulo 11
VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA
2. Exemplificação. ........................................ ............................................................
Exercícios .........................................................................................................- -
118
C apítulo 12
VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALENCIAS
1. Regra de substituição................................................................................
2. Equivalencias notáveis ........................................................... ....................
3. Exemplificação ................ .. ................................................................................
4. In c o n sistê n c ia ........................................................................................ ..
Exercícios ...................- ..........................................................................
129
129
131
138
141
Capítulo 13
• DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA
1. Demonstração c o n d icio n al........................................... * .................. * • •
2. Exemplificação ...........................................................................................
3. Demonstração indireta ...........................................................................
4. Exemplificação ...........................................................................................
Exercícios .................................................................................................*
145
146
149
150
153
Capítulo 14
SENTENÇAS ABERTAS
1. Sentenças abertas com uma variável...........................................
2. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com uma variável .
3. Sentenças abertas com duas vanáveis ......................................
4. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis
5. Sentenças abertas com n variáveis.............................................
6. Conjunto-verdade de um a sentença aberta com n variáveis. .
Exercícios
................................................................... - .............
156
156
158
159
160
161
162
Capítulo 15
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS
........................................ * ..................
2. Conjunção
3. Disjunção ............. .. .............................................................
4. Negação ...................................................................................
5. C ondicional................................... ..........................................
6. Bicondicional ......................................................................*
7. Álgebra das sentenças a b e rta s..............................................
Exercícios ......................................................... * .................
164
166
168
169
170
171
172
Capítulo 16
QUANTIFIC ADORES
1. Quantificador u n iv e rsa l......................................* ........................................- . .
2. Q uantificador existencial .......................................................................... .. ■ 3. Variável aparente e variável liv re .........................................................................
4. Quanti ficador de existência e unicidade ................................................ ..
5. Negação de proposições com quantificadoT ...................................................
6. Contra-exemplo ................................ ..................................................................
Exercícios ........................................................... ..................................................
175
178
180
180
181
183
183
Capítulo 17
QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL
1. Quantificação p arcial..............................................................................................
187
2. Quantificação m ú l ti p la .........................................................................................
187
3. Comutatividadc dos quantificadores................................................................ ..
189
4. Negação de proposições com quanti ficadores................... . . . ............................... 190
Exercícios .......................................................... .............................* ..................
190
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
.........................................................................
193
B IB L IO G R A F IA .........................................................................................................
203
Capítulo
1
Proposições. Conectivos
1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
Definição - Cbama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo.
As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem
juízos que formamos a respeito de determinados entes.
Assim, p. ex., são proposições:
(a)
(b)
(c)
A Lua é um satélite da Terra
Recife é a capital de Pernambuco
n > \í 5
(d)
sen
= 1
A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois
seguintes princípios (ou axiomas):
(I) PRINCIPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
(II) PRINCIPIO DO TERCEI RO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é verda­
deira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matematica é uma Lógica
bivalente.
Por exemplo, as proposições (a), (b), fc) e (d) são todas verdadeiras, mas são
falsas as cinco seguintes proposições:
(a) VASCO DA GAMA dcscobriu o Brasil
(b) DANTE escreveu os Lusíadas
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
12
(c)
-j
é um numero inteiro
(d)
O númeTo n é racional
(e)
tg |
=2
Assim, as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que
são verdadeiras ou falsas.
.
2. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES
Definição
Cliatna-se valsr lógico de uma proposição a verdade se a proposição
é verdadeira e a falsidade sc a proposição c falsa.
Os valores lógicos verdade e falsidade dc uma proposição designam-se abrevia­
damente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princípios da não
contradição e do terceiro excluído alirmam c que:
Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V, F.
Consideremos, p. ex., as proposições;
(aj
(b)
O mercúrio é mais pesado que a água
O Sol gira cm torno da Terra
0 valor lógico da proposição (a) é a verdade( V) e o valor lógico da proposição
(b) ê a falsidade! F).
3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
As proposições podem ser classificadas em simples ou atómicas e compostas
ou moleculares.
Definição l
Chama-se proposição simples ou proposição atómica aquela que
não contém nenhuma outra proposição como parte integrante dc si mesma.
As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas
p, q, i , s , . . . , chamadas letras proposici onais.
Assim, p. ex., são proposições simples as seguintes:
p : Carlos 6 careca
q : Pedro é estudante
r : O núm ero 25 é quadrado perfeito
Definição 2
Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela
formada pela combinação de duas ou mais proposições.
As proposições compostas sao habitualmente designadas pelas letras latinas
maiúsculas P. O. R, S, . . . , também chamadas letras proposicionais.
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
13
Assim, p. ex.f são proposições compostas as seguintes:
P : Carlos é careca e Pedro é estudante
Q : Carlos é careca ou Pedro é estudante
R : Se Carlos é careca, então e infeliz
visto que cada uma delas é formada por duas proposições simples.
As proposições compostas também costumam ser chamadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.
Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P é
formada pela combinação das proposições simples p, q, r , . . . , escreve-se:
P(p, q, i\ ■• •}■
As proposições simples e as proposições compostas tambcm são chamadas
respectivamente átomos c moléculas.
Observaremos ainda que as proposições componentes de uma proposição
composta podem ser, elas mesmas, proposições compostas.
4
CONECTIVOS
Definição — Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas
proposições a partir de outras.
Assim, p. ex., nas seguintes proposições compostas:
P : 0 número 6 c par e o número 8 é cubo perfeito
Q : O triângulo ABC é retângulo ou é isósccles
R : Não está chovendo
S : Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática
T : O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiãngulo
são conectivos usuais em Lógica Matemática as palavras que estão grifadas, isto c:
“e” , “ou”, “não” , “se . . . então . . . ” “ . . . se e somente se . . . ”
S. TABELA-VERDADE
Segundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p c verdadei­
ra ou é falsa, isto c, tem o valor lógico V(verdade) ou o valor lógico F(falsidade).
Em se tratando de uma proposição
composta, a determinação do seu valor
lógico, conhecidos os valores lógicos das
proposições simples componentes, se faz
com base no seguinte princípio:
14
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores
lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente deter­
minado.
Admitido este princípio, para aplicá-lo na ptática à determinação do valor
lógico de uma proposição composta dada, recoirc-se quasi sempre a um dispositivo
denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da
proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições dc valores
lógicos às proposições simples componentes.
Assim, p. ex., tio caso dc urna proposição composta cujas proposições simples
componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q
são:
,
l
2
3
4
P
q
v
v
F
F
v
F
v
F
v
Observe-sc que os valores lógicos V e F sc alternam dc dois em dois para a
primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além
disso. W , VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos
V e F.
No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes
são p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:
V
7
P
v
v
v
v
F
F
F
8
F
1
2
3
4
5
6
r
q
v
v
v
F
v
F
v
v
v
F
F
F
F
F
v
F
IN IC IA Ç A O A LÚ G ICA M A T E M Á T IC A
15
Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatru em
quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segundaproposição q e
de um em uni para a terceira proposição r. e que, alem disso,V W , W F , VFV.
VFF, F W , FVF, FFV c FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois ele­
mentos V e F.
6.
NOTAÇÃO
0 valor lógico de uma proposição simples p indica-$e por V(p). Assim,expri­
me-se que p é verdadeira! V), escrevendo: V(p) - V.
Analogamente, exprime-se que p é falsa(F), escrevendo: V(p) - F.
Sejam, p. ex., as proposições simples:
p : O Sol é verde
q : Um hexágono tem 9 diagonais
r ; 2 c raiz. da equação x2 + 3x - 4 = ü
Temos:
V(p) = F,
V(q) - V,
V(r) = F
Do mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta F indica-sc por
V(P).
EXERCÍCIOS
1. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a)
^b)
( c)
(d )
O número 17 c primo.
Fortaleza é a capital do Maranhão.
TIRADENTES morreu afogado.
(3 + 5f = 32 + 52
( e ) O valor archimediano de ir é
({ )
( g)
(h )
( i)
(j )
~-
- K - 7
0,131313. . . é uma dízima periódica simples.
As diagonais de um paralelogramo são iguais.
Todo polígono regular convexo é inscritível.
O hexaedro regular tem 8 arestas.
E D G A R D DE A L E M C A R F I L H O
16
( k. ) A expressão n 2 - n + 4 1 (n t N) só produz números primos.
I 1 ) Todo número divisível por 5 termina por 5.
(m) 0 produto de dois números ímpares é um número ímpar.
( n ) sen2 30° + s e n 2 b0c - 2.
^ o J 1 + 3 + 5 + . . . + o - 1f = n2.
i, p j As raízes da equação x 3 - 1 0 são todas reais.
( q J O número 125 é c u b o porfcito.
( r ) 0,4 e - 4 são as raízes da equação x3 I 6x = 0.
( s) O cubo é um poliedro regular.
(tj
sen( ~
U )
5
+ x) = sen( f
<
* f
•
- x).
Capítulo
2
Operações Lógicas sobre Proposições
1. Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições,
chamadas operações lógicas. Estas obedecem a regras de um cálculo, denominado
cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. Bstudarcmos a
seguir as operações lógicas fundamentais.
2.
NEGAÇÃO O
) ,',T
Definição
Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada
por “ não p ” , cujo valor lógico é a verdade(V) quando p é falsa c a falsidade(F)
quando p é verdadeira.
Assim, "não p ” tem o valor lógico oposto daquele de p.
Simbolicamente, a negação de p indica-se com a notação “ " p ”, que se lé:
“não p ” .
O valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte
tabela-verdade m uito simples:
ou seja, pelas igualdades:
V - F,
~ F=V
e
V( - p) = - V(p)
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
18
Hxemplos:
( 1)
p :2 + 3 = 5
( V)
c
p ;2 + 3 £ 5
(F )
V( ~ p) = ~ V(p) '= ~ V = F
(2)
q:7<3
(F)
e.
~ q ;7< 3
V( - q . ) > - V(q) = ~ F = V
(V)
(3)
r : Roma é a capital da França (F ) t ~ r : Roma não é a capital da França (V)
V( - r) - - V(r) = ~ F - V
Na linguagem comum a negação efetua-sc, nos casos mais simples, antepondo o
advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Assim, p. ex., a negação da proposição:
p : O Soi é uma estrela
é
~ p : O Sol não é uma estrela
Outra maneira de efetuar a negação consiste cm antepor à proposição dada
expressões tais como “ não é verdade que” , “é falso que” . Assim, p. ex., a negação
da proposição:
q : Carlos ó mecânico
é
(j : Não é verdade que Carlos c mecânico
ou
~ q : É falso que Carlos c mecânico
Observe-se, entretanto, que a negação dc “Todos os homens são elegantes” é
“Nem todos os homens são elegantes” e a de “Nenhum homem c elegante" é
“ Algum homem é elegante” .
3.
CONJUNÇÃO ( A > I - :
Definição
Cbama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “ p e q '\ cujo valor lógico é a verdade(V) quando as proposições
p e q são ambas verdadeiras e a falsidade(F) nos demais casos.
Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a
notação: “ p a q” , que se lê: “ p e q” .
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
19
O valor lógico da conjunção de duas proposições c, portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade;
p Aq
V
V
q
v
F
F
F
V
F
F
F
p
v
F
ou seja, pelas igualdades:
V A V = V,
V A F = F,
F A V = F,
F A F -F
e
V(p A q} = V(p) A V(q)
Fxemplos:
(1) ( p : A neve é branca
<|q : 2 < 5
(V)
(V)
p A q : A neve é branca e 2 < 5
(V)
V(p A q) ■= V(pJ A V(q) = V A V = V
(2) í p : O enxofre é verde (F )
^ q : 7 é um número primo (V)
p A q : O enxofre é verde e 7 é um número primo
V(p A q) - V(p) A V(q) = F A V = F
(3) ( p : CANTOR nasceu na Rússia
| q : FERMAT era médico (F)
(F)
(V)
p A q : CANTOR nasceu na Rússia c FERMAT era médico (F)
V(p A q) - V(p) A V(qj = V A F = F
(4) í p : tr > 4
\q
: sen
j
p A q : rc > 4
(F)
= O
(F)
e sen ^
=0
(F)
V( p A q) = V(p) A V(q) = F A F = F
E D G A R D OE A L E N C A R F I L H O
20
4.
DISJUNÇÃO ( V )
eg
Definição
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “ p ou q” , cujo valor lógico é a verdade(V) quando ao menos uma
das proposições p e q é verdadeira e a falsidade(F) quando as proposições p e q
são ambas falsas.
Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação:
“p V q ” , que se lê: “ p ou q” .
O valor lógico da disjunção de duas proposições 6, portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade:
p Vq
q
V
F
V
F
p
V
V
F
F
V
V
V
F
ou seja, pelas igualdades:
V V V = V,
V V F - v,
F V v = V,
F V F = F
V(p V q ) = Vip) V V(q)
Hxemplos:
(1)
íp :
\q :
Paris é a capital da França
9 -4 = 5
(V)
(V)
p V <i : Paris é a capital da França ou 9 - 4 -
5
(V J
p V q : CAMÕES escreveu os Lusíadas ou n = 3
V(p V q) = V(p) V V(qJ = V V F = V
( V)
V (p V q ) - V (p ) V V (q ) = V V V ~ V
(2) i p : CAMÕES escreveu os Lusíadas
\ n : n = 3 (F )
(3)
íp :
(q :
Roma é a capital da Rússia
5/7 é uma fração própria
(V)
(F)
(V)
p V q : Roma é a capital da Rússia ou 5/7 c uma fração própria
V(p V q) = V(p) V V(q) - F V V - V
(V)
21
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A
(4) i p : CARLOS GOMES nasccu na Bahia
(F)
\ q : V ^ = l
(F)________________________
p V q : CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou \ / - T ; l
V(p V q) - V(p) V V(q) = F V F = F
5.
(F)
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( V )
Na linguagem comum a palavra "o u ” tem dois sentidos. Assim, p. ex., conside­
remos as duas seguintes proposições compostas:
P : Carlos é médico ou professor
O : Mario c alagoano ou gaúcho
Na proposição P sc está a indicar que uma pelo menos das proposições “Carlos
é médico” , “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras:
“Carlos c médico e professor” . Mas, na proposição Q,seestá a precisar que uma c
somente uma das proposições “Mario é alagoano” , “ Mario égaúcho é verdadeira,
pois, não c possível ocorrer “Mario é alagoano c gaúcho” .
Na proposição P di/.-sc que “ ou” é inclusivo, enquanto que, na proposição Q,
diz-se que “ ou” é exclusivo,
Fin Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo ” V ” para “ou'
inclusivo e o símbolo “ V ” para “ ou” exclusivo.
Assim sendo, a proposição P c a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das
proposições simples “ Carlos c m édico”, “ Carlos é proíessor” , isto c:
P ; Carlos é médico V Carlos c professor
ao passo que a proposição O c a disjunção exclusiva das proposições simples
“ Mario é alagoano”, “Mário c gaúcho”, isto c;
O' : Mario é alagoano V Mario c gaúcho
De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a
proposição representada simbolicamente por “ p V q” , que se le: “ou p ou q ’ ou
“p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico c a verdade(V) somente quando p é
verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p c q são ambas verdadeiras, c a
falsidade(F) quando p c q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Logo, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições c definido peia
seguinte tabela-verdade:
p
q
p v q
v
V
F
F
V
F
F
v
v
v
F
F
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
22
ou seja, pelas igualdades:
vvv=F,
v v f = v,
F y v = v,
f v f = f
e
V(p v q) = V(p) v V(q)
NOTA
A língua latina tem duas palavras diferentes correspondentes aos dois
sentidos distintos da palavra “ ou” na linguagem comum. A palavra latina "vei"
exprime a disjunção no seu sentido débil ou inclusivo, ao passo que a palas latina
“au t” exprime a disjunção no seu sentido forte ou exclusivo.
6.
CONDICIONAL ( -*•)
Definição
Charna-se proposição condicional o u apenas condicional uma
proposição representada por “sc p então q” , cujo valor lógico é a falsidade' F ) no
caso em que p é verdadeira c q é falsa c a verdade( V) nos demais casos.
Simbolicamente, a condicional de duas proposições p e q indica-se com a
notação: “p -» q” , que também se lê dc uma das seguintes maneiras:
(1)
(ii)
p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p
Na condicional‘'p - ^ q ” , diz-sc que p é o antecedente
e q o consequente. O
sím b o lo L‘ > ” c cham ado sím bolo de implicação.
0
valor lógico da condicional de duas proposições é. portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade:
p
V
V
F
F
q
v
v
F
F
V
F
v
v
ou seja, pelas igualdades:
V -v V - V,
V - » F = P\
f -> v = v ,
f -»f = v
C
V(p -> qj = V(p) -» V(q)
Portanto, uma condicional é verdadeira todas as vezes que o seu antecedente é
uma proposição talsa.
23
IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
Exemplos:
(1) í p : GALOIS morreu em duelo
(V)
1 q : 17 c um número real
(V)
{
p -> q : Sc GALOIS morreu em duelo, então 7r é um número real ( V)
V(p -»■’qj = V(p) -+ V(q) = V V = V
(2)
ip
(q :
: O mes de Maio tem 31 dias
A Terra é plana
(F)
(V)
p -*■q : Se o mcs de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana
V(p -*■ q) = V(p) ->• V(q ) = V -»■F = F
(3)
ip
Iq :
: DANTE escreveu os Lusíadas
(F)
CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos
(F)
(V)
p
q : Sc DANTE escreveu os Lusíadas, então CANTOR criou a Teoria dos
Conjuntos (V)
V(p -*• q) = V(p) -> V(q) = F V - V
(4) j p : SANTOS DUMONT nasceu no Ceará
) q : O ano tem 9 meses
(F)
(F)
p -> q : Se SANTOS DUMONT nasceu no Ceará, então o ano tem 9 meses (V)
V(p -+ q) = V(pj -* V(q) = F -*■F = V
NOTA
Uma condicional p -*■q não afirma que o consequente q se deduz ou é
conseqüência do antecedente p. Assim, p. ex., as condicionais:
7 é um número ímpar -* Brasília c uma cidade
3 + 5 = 9 - * SANTOS DUMONT nasceu no Ceará
não estão a afirmar, de m odo nenhum, que o lato de “ Brasília ser lima cidadc se
deduz do fato de “ 7 ser um número ím par” ou que a proposição “ SANTOS
DUMONT nasceu no Ceará5' é conseqüência da proposição u3 + S = 9 ” . O que uma
condicional afirma c unicamente uma relação entre os valores lógicos do anlcccdcnte e do consequente de acordo com a tabela-verdade anterior.
7. BICONDICIONAL (
)
Definição — Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma
proposição representada por “p sc c somente se q” , cujo valor lógico c a verdade{ V)
quando p ú q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, c a falsidade(F) nos demais
casos.
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
24
Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a
notação: p <—>■q, que também sc lê de uma das seguintes maneiras:
(i)
(ii)
p é condição necessária c suficiente para q
q é condição necessária e suficiente para p
O
valor lógico da bicondicional de duas proposições é, portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade:
p
q
p <~* q
v
v
v
F
F
v
v
F
F
v
F
F
ou seja, pelas igualdades:
V < _ » V - V , V«—* F = F,
F*~* V = F,
F<-^F=V
e
V(p
q) = V(p)
Portanto, uma bicondicional c verdadeira
duas condicionais: p -* q e q -» p.
V(q)
somente quando também
o são as
Exem plos
(1)
j p : Roma fica na Europa (V)
( q : A neve é branca
(V)
P
q ; Roma fica na Europa se c somente se a neve é branca
V(p *-+ q) = V(p)
V(q) = V +-+ V - V
(2)
í p : Lisboa é a capital de Portugal
lq
:
tg f
=3
(V)
(F)
p
q ; Eisboa é a capital de Portugal se
V(p<-H> q) = V(p) <r-+ V(q) = V <—* F = F
(3)
( p : VASCO DA GAMA descobriu o Brasil
j q : TIRADENTES foi enforcado
(V)
P
(V)
q ; VASCO DA GAMA descobriu o Brasil
foi enforcado
(F)
V(p <—v q) = V(p)
V(q) = F
V=F
e somente setg= 3 (F)
(F)
se e somente sc TIRADENTES
IN IC IA Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
(4) ( p ; A Terra é plana
(F)
\ q : V ^ c um número racional
25
(F)
p q : A Terra c plana se e somente se yJ~T é um número racional
V(p
q) - V(p)
V(q) = F > F = V
(V)
EXERCÍCOS
1.
Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para a
linguagem corrente as seguintes proposições:
(a) - p
(d) q <—*- p
(g) ** p A ~ q
(b)
(e)
00
p Aq
p^~ q
p « -+ ~ q
(c)
(f)
(i)
p Vq
p V~ q
p A ~ q -> p
2. Sejam as proposiçocs p : Jorge é rico c q : Carlos c feliz. Traduzir para a
linguagem corrente as seguintes proposições:
(a) q -*■p
(d) ~ p q
(b)
(e)
p V ~ q
~ ~ p
(c)
q
(f)
~ p
-p A q -p
3. Sejítm as proposições p : Cláudio lála inglês e q : Cláudio fala alemáo. Tradu/.ir
para a linguagem corrente as seguintes proposições:
(a)
(d)
p Vq
-pA -q
(b)
(c)
p A q
~~p
(c)
(f)
pA~ q
~ ( - p A -q )
4. Sejam as proposições p : João é gaúcho e q : Jaime c paulista. Traduzir para a
linguagem corrente as seguintes proposições:
(a)
(d)
H P A -q )
p -* -q
(b)
(e)
— p
~ p ►~ q
(c)
(f)
~(-pV-q)
~ (~ q -> -p J
5. Sejam as proposições p : Marcos é alto e q : Marcos é elegante. Traduzir para a
linguagem simbólica as seguintes proposições:
(aj Marcos é alto e elegante
(b) Marcos é alto, mas não é elegante
(c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante
(d) Marcos não c nem alto e nem elegante
(e) Marcos é alto ou c baixo e elegante
(f) É falso que Marcos c baixo ou quo não é elegante
26
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
6. Sejam as proposições p : Suely c rica c q : Suely é feliz. Traduzir para a
linguagem simbólica as seguintes proposições:
(a)
(b)
(c)
(d)
Suely é pobre, mas feliz
Suely é rica ou infeliz
Suely é pobre e infeliz
Suely é pobre ou rica, mas é inleliz
7. Sejam as proposições p : Carlos (ala francês, q : Carlos fala inglês e r : Carlos
fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
(a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão
(b) Carlos fala francês e inglês, ou não falafrancês e alemão
(c) É falso que Carlos fala francês mas que
não falaalemão
(d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês
8. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
(a)
(c)
x = 0 o i.i x > 0
x > 1 t>u x + y = 0
<b)
(d )
x^O
e y =£ 0
x2 =x . x e x° = 1
9. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(x + y = 0 e z > 0) ou /. = 0
x - 0 e (y + 7 > x ou 7 = 0)
x^ 0
ou
(x = ü e y < 0)
(x = y e * = t.) ou (X < y c r. - 0)
10. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
(a)
íb)
(c)
(d)
(c)
{f)
(g)
(h)
Se x > 0 então y - 2
Se x + y = 2 então z > 0
Se x = 1 ou z = 2 então y > J
Se z > 5 então x # I ex ¥= 2
Se x y então x +z > 5
ey + z < 5
Se x + y > z e /. = 1 então x + y > 1
Se x < 2 então x = I ou x - 0
y - 4 e sc x < y então x < 5
11. Simbolizar as seguintes proposições matemáticas:
(a) x ê maior que 5 e menor que 7 ou x não é igual a 6
(b) Se x é menor que 5 e maior que 3, então x c igual a 4
(c) x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maioi que 0
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A
12. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a)
(c)
(e)
(g)
3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10
sen n = 0 e cos n = 0
0 > 1 A y / T é irracional
\ f T < 1 A \ f s " é racional
(b)
(d)
(f )
2 + 7 = 9 e 4 + 8=12
1>0A 2 + 2=4
( \ Í ~ T )2 - -1 A it é racionai
13. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) Roma é a capital da França ou tg45' = I
(b) FLEMING descobriu a penicilina ou sen30° = ^
(c)
(d)
(e)
(0
(g)
(h)
(i)
ò)
V ? < o ou Londres é a capital da Itália
2 > > /T ou Recife é a capital do Ceará
> 1 V rr nao é um número real
2 = 2 V sen90° ± t g45°
52 = 10 V 7r é racional
3* 3 V 5* 5
\ f - 4 ' = 2 \f ~ - T
V
13 é um número primo
-5 < - 7 V | - i
i
=
-2
(k)
| - 5 | < 0 V tg |
<1
14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a)
(bj
(c)
(d)
(e)
Se 3 + 2 - 6 entao 4 + 4 = 9
Se 0 < 1 então \ / T é irracional
Se V 3 > 1 então -1 < - 2
Se j —1 1 = 0 então sen30° = ^
LgóO0 = y / J - » 2 = 2
(f) y / j > V T -> 2° - 2
(g)
- -1 -* V 2 T = 5
(h) 7J > 4 —
»■ 3 > y f T
15. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g )
3 + 4 = 7 sc c somente se 53 = 125
02 =1 sc c somente se (1 + 5)° = 3
= 4 sc e somente se \J~T - 0
tg7r = 1 scc somente
sc senir = 0
-1 > - 2 «-> rr2 < 2 0
- 2 > 0 «-► JT2 < 0
3J + 4 2 = 5 2
►rr é racional
(h) 1 > sen ^
+-+ cos ^
< I
( i ) seri20° > I
cos20° > 2
(j) v ^ T = - ] < - >
-2
28
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
16. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) Nâo é verdade que 12 é um número ímpar
(b) Não é verdade que Belém é a capital do Pará
(c) É falso que 2 + 3 = 5
e1 +1- 3
(d) E falso quo 3 + 3 = 6
ou\ / -1 = 0
(e) ~{J + 1 = 2 «—►3 +
4 =5)
(i ) '-(1 + 1 = 5 «—*■ 3 +
3 =1)
(g) 2 + 2 = 4 ->-(3 + 3 = 7 ► 1+ 1 - 4 )
(h) - ( 2 + 2 * 4 e 3 + 5 - 8 )
17. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) ~(senO° = 0 ou eosO° = 1)
(b) ~ ( 2 3 =£8 ou 4 3 té 4 3)
(e) ~(tg45° = 2 se e somente se ctg45° = 3)
(d) Brasília é a capital do Brasil, c
2o= 0 ou 3o = I
(e) ~ (3 2 = 9 -> 3 -- 5 A O2 = 0)
(O 34 = 81 ^ - ( 2 + I = 3 /. 5 . 0 = 0)
(g) 4 3 ¥■ 64 ~ (3 + 3 = 7 «—» 1 + i - 2)
18. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V c h
determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) p A ~~q
(d) ~ p A ~ q
(b)
(e)
pV-q
~p v ~q
(c)
(f)
~p A q
p A ^ p V q)
19. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo:
(a)
(c)
(e)
V(qJ = F
V(q) - F
V(q) = V
e V(p A q ) - F
e V(p.-*q) = F
e V ( p ^ 'q ) = F
(b)
(d)
(f)
V(q) = F
V(q) = F
V(q) = F
e
e
e
V(p V
V(q ->
V(q
20. Determ inar V(p) e V(q> cm cada um dos seguintes casos, sabendo:
(a) V(p -> q) = V
e
(b) V(p -> q) = V
e
(c) V( p <-> q) = V e
(d) V(p «—> q) = V e
(e) V(p «—»■q) = F e
V(p A q) - F
V(p V q) = F
V(p A qj = V
V(p V qj = V
V (~ p V qj = V
q) = F
p) = V
p) = V
3
Capitulo
Construção de Tabelas-Verdade
1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Dadas várias proposições simples p, q, r, . . . , podemos combiná-las pelos
conectivos lógicos:
—
, A , V , -» , «—►
e construir proposições compostas, tais como:
p(p> q) ~ ~p v (p -*• q)
Q<p, q) = (p
~q) A q
R(.p, q, r) - (p - —q V r) A ~ (q V fp
»-r ) )
Então, com o emprego das tabelas-vcrdadc das operações lógicas lundamentais
(Cap. 2):
~p,
pAq,
p V q,
p -+q,
p* *q
é possível construir a tabela-verdadc correspondente a qualquer proposição compos­
ta dada,tabeía-verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição
composta será verdadeira(V) ou falsa(F), admitindo-se, como é sabido, que o seu
valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.
2.
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE
O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta deponde _
número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
A tabela-verdade de uma proposição composta eom n proposições simple»
componentes contém 2n linhas.
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
30
Dem.
Com efeito, toda proposição simples tem dois valores lógicos: V e F,
que se excluem. Portanto, para uma proposição composta P (p i, p2, . . . , pn,) com n
proposições simples componentes p i, p 2 , . . . , Pn há tantas possibilidades deatribuição dos valores lógicos V c F a tais com ponentes quantos são os arranjos com
repetição n a n dos dois elementos V e F, isto é, A2jn = 2n, segundo ensina a
Análise Combinatória.
3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Para a construção prática da tabcla-verdade dc unia proposição composta
começa-se por contar o número dc proposições simples quo a integram. Sc há n
proposições simples componentes: p , , p¿ , . . . , pn , então a tabcla-verdade contém
2n linhas. Posto isto, à 1? proposição simples p, atribuem-se 2n/2 ~ 2n ~ ‘ valoresV
seguidos de 2n_1 valores F; à 2? proposição simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - *
valores V, seguidos de 2n - 2 valores F, seguidos dc 2n 2 valores V,seguidos,
finalmente, dc 2n " 2 valores F; e assim poT diante. De modo genérico, a k-ésima
proposição simples p |< (k < n ) atribuem-se alternadamente 2n/2*c = 2n ^ valores V
seguidos de igual número de valores F.
No caso, p. ex., de uma proposição composta com cinco (5) proposições simples
componentes, a tabela-veidade contém 25 " 32 linhas, e os grupos de valores V e F
sc alternam de 16 em 16 para a Ia proposição simples p , , de 8 em 8 para a 2?
proposição simples p2, de 4 em 4 para a 3? proposição simples p ;1, de 2 cm 2 para a
4? proposição simples p4, c, enfim, de 1 em 1 para a 5? proposição simples ps .
4.
EXEMPLIFICAÇÃO
( I ) Construir a tabela-vcrdade da proposição:
P(p, q) = ~ (p A - q )
1? Resolução — Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes
às duas proposições simples componentes p c q. Em seguida, forma-se a coluna para
- q . Depois, forma-se a coluna para p a ~ q Afinal, forma-se a coluna relativa aos
valores lógicos da proposição composta dada.
p
v
v
F
F
<1 ~ q
v
F
v
F
F
v
v
F
p A ~q
~ (p A ~ q )
F
v
F
v
v
v
F
F
31
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A
2? Resolução — Formam-se primeiro as colunas corrcspondentes às duas
proposições simples p e q. Em seguida, à direita, traça-se uma coluna para cada Uma
dessas proposições c para cada um dos conectivos que figuram na proposição
composta dada.
p
q
V
v
F
v
F
v
F
F
~
(P
A
-
q)
Depois, numa certa ordein, completam-se essas colunas, escrevendo em cada
uma delas os valores lógicos convenientes, no modo abaixo indicado:
p
q
~
v
v
v
v
F
F
F
v
F
F
v
v
4
(P
v
v
F
F
1
A
~
<L>
F
F
v
F
F
v
F
F
F
v
v
F
3
o
1
Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se nacoluna
completada em último lugar (coluna 4).
Portanto, os valores lógicos da proposição composta dada correspondentes a
todas as possíveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simples
componentes p c q ( W , VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente:
P<W ) = V,
P( VF) = F,
P( FV) = V,
P( FF) = V
ou seja, abreviadamente:
P (W . VF, FV, FF) = V F W
Observe-se que a proposição P(p, q) associa a cada um dos elementos do
conjunto U - { W , VF, FV, FF } um único elemento do conjunto {V, F} ,
isto é, P(p, q) outra coisa não é que uma função de U em
{V, F} :
P(p, q) : U -* {V, F }
32
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:
U
3? Resolução
Resulta de suprimir na tabela-verdade anterior as duas
primeiras colunas da esquerda iclativas. às proposições simples componentes p e q,
o que dá a seguinte tabela-verdade simplificada para a proposição composta dada:
A
F
v
v
(P
v
v
F
F
4
1
3
V
F
v
F
F
q)
F
v
F
v
2
v
F
v
F
1
(2) Construir a (abela-vcrdadc da proposição:
P(p, q) = M p a q) V
<-»■ pj
lí1 Resolução:
P
v
v
F
I
q
v
F
v
F
p Aq
q^P
~ (P A q)
~ (q ^ p )
~{p A q) V ~(q<—*-p)
v
F
F
F
v
F
F
v
F
v
v
v
F
v
v
F
F
v
v
v
2? Resolução:
p
v
v
F
F
q
v
F
v
F
(P
A
F
v
v
v
v
v
F
F
F
F
3
1
V
F
(q
v
F
v
F
v
F
F
v
P)
v
v
F
F
3
1
2
1
F
v
v
v
v
v
F
q)
v
F.
v
F.
2
1
4
v
F
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
Portanto, simbolicamente;
P(VV) * F,
P( VF) = V,
P(FV) = V,
P< FF) = V
ou seja, abreviadamente:
P (W , VI’, FV, FF) - F V W
Obscrve-sc que P(p, q) outra coisa não 6 que uma função de li - ( W , VF, FV,
F F ) em (V , F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital 6 a seguinte:
3? Resolução.
<—>
F
(q
v
F
v
F
3
1
2
-
(P
A
q)
,v
F
V
v
v
v
F
v
v
F
F
v
F
F
F
v
v
F
F
v
v
v
3
1
2
1
4
V
F
v
F
F
v
P)
v
v
F
F
1
(3) Construir a tabela-verdade da proposição:
P(p, q, r) = p V ~ r -»■q A —r
1? Resolução:
~r
V~r q A
pV-r-^qA-r
P
q
T
v
v
v
v
v
v
v
F
v
F
F
F
v
v
v
F
F
V
v
F
V
V
F
v
v
v
F
F
F
F
F
v
F
v
v
v
F
F
v
F
F
F
v
v
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
p
_
34
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
2? Resolução:
p
V
v
v
v
F
F
F
F
q
r
P
V
v
v
v
F
F
v
F
v
F
v
F
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
v
v
1
v
v
F
F
F
-
!
F
F
F
v
v
v
F
v
v
F
v
F
v
F
v
F
3
2
J
F
v
F
v
•i
A
F
v
F
F
v
v
v
F
v
v
v
4
r
v
v
F
F
v
F
F
F
F
v
F
v
F
v
F
v
1
3
2
F
F
F
F
F
v
F
V
F
V
*F
v
F
1
Portanto, simbolicamente:
P( V W ) - F,
P (W F ) = V,
P(VFV) - F,
P(VFF) = F
P(FVV) = V,
P(FVF) = V,
P(FFV) = V,
P(FFF) = F
ou seja. abreviadamente:
PfVVV, W F . VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) ~ F V F F W V F
Observe-se que a proposição P(p, q, r) outra coisa não é que uma função de
u 3= {w v , W F . VFV. V FF, F W , FVF, FFV, FFF) em {V, F) , cuja represen­
tação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:
35
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA MATEM ÁTICA
3a Resolução:
-+■
q
A
-
r
F
v
v
F
F
F
F
F
v
F
F
v
F
v
v
v
v
v
F
F
v
v
F
v
F
v
v
v
v
F
v
v
F
F
F
F
v
F
2
1
4
1
3
2
i
p
V
~
r
v
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
v
F
v
F
v
v
F
v
F
v
F
v
F
F
v
1
3
F
F
F
F
v
F
(4) Construir a tabela-verdade da proposição:
P(p, q, r) - (p -►q) A (q -* r) -►(p -> r)
Resolução:
r
P
v
v
v
v
q
v
v
F
F
v
F
F
F
F
v
v
v
F
F
v
F
F
F
v
F
(P
v
v
v
v
-*■
A
(q
v
v
—
r)
->•
(P
-y
r)
v
F
v
v
v
v
v
v
v
V
F
F
F
V
F
V
F
v
v
q)
v
v
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
v
F
v
v
v
F
F
v
v
1
2
1
3
v
v
F
F
F
F
v
v
v
F
v
v
v
v
v
v
v
v
1
2
1
4
F
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
v
1
2
1
Portanto, simbolicamente:
P (W V ) = V,
P(VVF) = V,
P( VFV) = V,
P(VFF) = V
P (F W ) = V,
P{FVF) = V,
P(FFV) = V.
P(FFF) = V
ou seja, abreviadamente:
P (W V . W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, F FF) - V VV VV VW
F
V
F
3e
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Observe-se que a última coluna (coluna 4) da ta bei a-verdade da proposição
P(p, q, r) só encerra a letra V(verdade), isto é, o valor lógico desta proposição é
sempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes
p» q e r.
(5) Construir a tabela-verdade da proposição:
P(p, q, r) = (p -> ( ~ q V r » A ~ ( q V (p
~ r))
Resolução:
(p
-y
(~
F
v
F
v
v
v
v
v
v
F
F
v
v
F
F
v
v
1
4
2
V
V
V
V
F
F
F
q
V
r»
~
(q
V
(P
F
F
F
v
v
v
v
v
v
F
v
v
v
v
4
A
v
F
v
F
v
F
v
v
F
v
F
F
F
v
F
v
v
v
F
v
v
F
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
F
F
v
v
F
F
1
3
1
6
5
1
v
v
F
F
v
v
F
F
r))
F
F
v
v
F
v
F
v
F
v
v
F
F
F
F
v
F
v
F
v
F
v
1
3
2
F
F
v
F
v
F
1
Note-se que é uma tabela-verdade simplificada da proposição P(p, q, r), pois,
não encerra as colunas relativas às proposições componentes p, q e r.
Portanto, simbolicamente:
P (W V ) = F,
P(VVF) = F,
P(VFV) = V,
P(VFF) = F
P (F W ) = F,
P(FVF) = F,
P(FFV) = F,
P(FFF) = V
ou seja, abreviadamente:
P (W V , W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, F FF) = FFV FFFFV
5.
VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Dada uma proposição composta P(p, q, r , , . .), pode-se sempre determinar o
seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos
respectivos das proposições com ponentes p, q, r, . . .
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
37
Exemplos:
(1) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente
V
e F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
PÍP- q) = ~ (p v q)
Resolução
~p A ~q
Temos, sucessivamente:
V(P) - ~ (V V F )«-+ ~ V A ~ F = ~ V
(2) Sejam as proposições p : ir = 3 e q : sen
(V ou F) da proposição:
►F A V •- F +-*■ F = V
~
= 0 . Determinar o valor lógico
P(p, q) = (p -*■ q) -*■(p -+ p A q)
Resolução — As proposições componentes p e q são ambas falsas, isto é,
V(p) = F e V(q) = F. Portanto:
V(P) = (F + F ) - M F - * F A F) = V
(F -> F) = V -> V = V
(3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F, determinar o valor lógico (V ou F)
da proposição:
P(p, q, r) = (q <—* (r -*■ —p)) V ( ( - q ^ p j
Resolução
Temos, sucessivamente:
V(P) = (F
( F ~ V)) V ( ( —F -v V)
F) =
- (F
(F
F)J V ((V
V)
F) =
= (F ^ V jv (V ^ > F ) = FVF=F
(4) Sabendo que V(r) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
p -* ~ q V r.
Resolução
Como r c vcrdadcira(V), a disjunção --q V r é vcrdadcira(V).
Logo, a condiciona] dada é verdadeira(V). pois, o seu consequente é verdadeiro
(V).
(S,) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
(p -» q) -» ( ~ q -> ~ p ).
Resolução — Como q é verdadeira(V), então ~ q é falsa(F). Logo, a condicional
~ q ->■~ p é verdadeira(V), pois, o seu antecedente é falso(F). Por conseqüência,
a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu consequente é verdadciro(VJ.
E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O
38
(6) Sabendo que as proposições “ x = 0 ” e “x = y ” são verdadeiras e que a
proposição “y = z” é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
x^OVx^y-ty^z
Resolução
Temos, sucessivamente:
~V V ~V -> -rF = F V F -» V = F -* v = v
. 6. USO DE PARENTESIS
óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que
devcin ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, p. ex., a
expressão p A q V r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições:
(0
(p A q) V r
e
(ii)
p A (q V r)
que não têm o mesmo significado, pois, na (i), o conectivo principal é " V , e na
(ii), o conectivo principal c “ A ” , isto é, a (i) 6 uma disjunção e a (ii) c uma
conjunção.
Analogamente, a expressão p A q - + r V s dá lugar, colocando parêntesis, às
seguintes proposições:
t(P A -s- r> V s,
p A ((q -+ r) V
p A (q -* (r V s)),
s), (p A (q -* r)) V
s,
(p A q ) - + ( r V s)
tais que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado.
Por outro lado, cm muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim dc
simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalm ente, ambiguidade
alguma venha a aparecer.
A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas
convenções, das quais são particularmente im portantes as duas seguintes:
(I) A “ordem de precedencia” para os conectivos é:
(1)
~ ; (2) A e V ;(3) ■+;
Portanto, o conectivo mais “ fraco” c
Ássim, p. ex., a proposição:
e o conectivo mais ' ‘forte ’ é
(4)
.
p ->• q <—* s A r
é uma bicondicional c nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la
numa condicional há que usar parêntesis:
p
(q «-*- s A rj
39
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A
e, analogamente, para convertê-la numa conjunção;
q «—►s) A r
(p
O conseqüente da condicional é uma bícondicional. Desejando-se converter
este consequente numa conjunção cumpre escrever:
P "*■ ((q
s) A r)
Também são bicondicionais as três seguintes proposições;
p A q j - t - r V s;
p
q <—*■r A s;
p V q -—*~ r
s
(II)
Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem -se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda.
Segundo estas duas convenções, as quatro seguintes proposições:
(( ~ÜM P a q)))
v (~ p ))i ((P
(((p V ( - q ) j A r) A (~ p ));
((~ p )
V (~ q )) A (r A(~ p )))
(q -> (~ (p V r))))
escrevem-se mais simplesmente assim:
- .'- ( p A q ) V ' p ;
(p V ~ q ) A (r A ~ p )
(p V - q) A r A ~ p ;
~ p -* (q -* - ~ ( p V rj)
7. OUTROS SÍMBOLOS PARA OS CONECTIVOS
Nos livros de Lógica, usam-se diferentes símbolos para os conectivos, Assim,
p. ex., são frequentem ente usados os símbolos:
“ 1”
para a negação (
“ . ”
e “ ec ” para a conjunção ( A )
“ D”
(ferradura) para a condicional (->-)
)
EXERCÍCIOS
1.
Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:
(a) ~ (p V - q)
(c) p A q - > p V q
(e) ( p - ^ q ) - » - p A q
(g) (p
~ q) "í-i> q ^ P
(b) ~ ( p - > - q )
(d) ~ p -*-(<! * p)
(f) q & * "~q A p
(hj (p *— * ~ q ) -» ~ p A q
40
2.
E D G A R D DE A L E N C A R F f L H O
Construir as ta belas-verdade das seguintes proposições:
(a) - p A r ^ q V - r (b) p -*■r
q • -:
(cj p ~ Mp -+ ~ r)* -* q V r(d) (p A q ™ r) V f ^ p — * q V - i>
3.
Determinar P (W , VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:
(a)
(b)
(0)
P(p, q j = ~C^P ►q)
P (p .q ) = ~ p V q -►p
P(p, q) = (p V q) A H p A q)
(e)
( f)
P(p, q j - (p A ~ q ) V ( ~ p A q_)
P(p, q) = - ( ( p V q) A (~ p V - q))
P(p, q) - - q V p ^ q - » ~ p
(g.)
p(p . q)
(d)
=
(p V q) A - p -+ (q -> p)
Determinar P (V W , W F , VFV. VFF, F W , FVF, FFV, FFF) em cada um dos
seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
P<p, q,r)
P(p, q,r)
P(p, q,r)
P{p, q,r)
P(p. q,c)
( f ) P(p, q, r)
= p V j q A r)
= tP A ~ q ) V i
= - p V (q A ~ r )
= (p V q) A ( p V r)
= (p V - r) A (q V ~ r)
= M p V - q ) A ( - p V r)
Determinar P(VFV)em cada um dos seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
P(p, q,r)
P(p, q,r)
P(p, q,r)
P(p, q,r)
P(p, q,r)
P(p, q,r)
= pAM-»~q
= ~ p A (q V —r)
= ~ ip A q ) * - > - ( p V - r )
= {r A (p V - q ) ) A ~ ( ~ r V(p A q)j
= (p V q -> r) -►q V ~ r
= (p V ( q - * - r ) ) A (~ p V r* —-q)
6. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V,
determinar o valor lógico ( V ou F) da proposição:
{p A (, - q -4- p)) A ~ ((p *-*►'~ q ) - q V ~ p )
7. Sejam as proposições p : tg(jr -x.) = ctgx c q : n < 2. Determinar o valor lógico
(V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) (~ p A q ) V ( p A - q )
(c ) ~ (p A q) *—*■ - p v - q
(b)
(d)
(p -►q) A ~ p -* ~ q
(p V ( ~ p v qj) V ( ~ p A - q )
IN IC IA Ç Ã O A LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
8
Sabendo que os valores Lógicos das proposições p, q e r são respectivamente V,
F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes p ro p o r­
ções:
(a) (p<—> p - ^ q ) V ( p - * r )
(c)
¿
, . i
(b) ( p -* ~<Ú *-»"U-P ■ r)
^
(p A q •+ 0 ** (p -* (<l- +T))
9. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as propostçoes r e s
são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das segum es
proposições:
(a) p A q - » f
(c) q <-*■ p A s
(e) (q - S) -> r
(g) ( q V r ) A ( p V s )
(i)(pA~q)Vr
(k) (s +-* r)
(p
(b) i V s q
(d) p
~ (r A s)
( Ó ~ r -+ P A q
(h) ( r ^ ) A ( p A q)
0) - (tr^ p )V (s-q ))
0)
r ^ q ^ (~ P «-* r)
q)
10. Sabcndo que os valores lógicos das proposições p, q, r c s s ã o respectivamente
V, V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das seguintes
proposições:
(a) p -?■ q *—►q p
(c) (p - t) - ( - P - ~ r)
(e) '-(p A s)-> ~ p A ~ s
11.
(b) ( t - ' P ) *l p
r)
(d) - (p A q)--> >'P V ~ q
(O
p V sj A (s V i))
Sabcndo que V ( p ) - V( r ) = V e V(q) = V(s) ” F, determinar o valor lógico
(V ou F) de cada urna das seguintes proposições:
(a) p Aq<—>- r A 'S
(c) ( ~ p -»■ q ) -> ( s ->r)
(e) (q A r) A s -» (p
s)
(g) (p A q) A (r A s) > p V s
(b) ( p - * - * - q ) í )
(d) (,p A q ) V s - , ( p ^ s )
(O p -» ~ q
(p V r) A s
(b) (~ p v s) V ( - s A r)
12. Sabcndo que as proposições “x = 0” e “ x = y ” são verdadeiras c que as
proposições “y =
e “y = t ” são falsas, determinar o valor logico(V ou f ) de
cada uma das seguintes
proposições:
(a) x - l ) A x - y - > y ^
íc(
(e) x = 0 + ( x ^ y V y t6 t )
(b) x ^ 0 V y = t - + y - z
1« * + 0 V ***■***'■
13. Sabcndo que a condicional p ^ q é verdadeira(V), determinar o valor lógico
(V ou F) das condicionais:
pVi^qVr
e
p Ar->qAr
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
42
14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma dasseguinies proposições:
(a)
(b)
(c)
p *—*■q A ~ r, sabendo que V(pJ - V(r) = V
p A q - » p V r, sabendo que V(p) = V(r) = V
(p -> ~ q ) A ( ~ p V r), sabendo que V(qJ = F c
V(r) =V
15. Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições:
(a) {(q <—> (r V q)) *—* (p A ( ~ ( - q ) ) ) )
(b) ((p A ('-( ~ q ) )) ^ ( q ^ ( r V q » )
(c) (((p V q )-+ (~ r)) V ((((—q> A r) A q)))
Capitulo
4
Tautologías, Contradições e
Contingências
I. TAUTOLOGIA
Definição
Chama-sc tautologia toda a proposição composta cuja última
coluna da sua tabcla-verdade encerra somente a letra V( verdade).
Em outros termos, tautologia é toda proposição compostn P(p, q, r , .. .) cujo
valor lógico é sempre V(verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições simples componentes p, q, r, . . .
As tautologías são também denominadas proposições tautológicas ou proposições
logicamente verdadeiras.
É imediato que as proposições p ^ p e p *—*■p são tautológicas (Principio de
identidade para as proposições),
hxeniplos:
(1) A proposição “ ~{p A ~ p ) ” (Princípio da não contradição) é tautológica,
conforme se vê pela sua tabela-verdade;
p
v
F
~p
F
v
p A ~p ~ ( p A ~*-p)
F
P
v
V
-
Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultáneamente verdadeira e
falsa é sempre verdadeiro.
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
44
(2) A proposição "p V p” (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, corno
imediatamente se vc pela sua labcla-verdadc:
p
v
F
~p P V ' P
F
v
v
v
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre
verdadeiro.
(3) A proposição up V M p A q f c tautológica, conforme se vê pela sua tabeia-verdade:
p
9
p Aq
v
v
F
v
v
F
F
F
F
v
F
F*'
H p A q) p V ~ (p A q)
v
v
v
v
F
v
v
v
(4) A proposição “ p A q -M p+-+q)” é tautológica, conforme mostra a sua (abcla-verdade:
'
p
q
p Aq
v
v
V
F
v
F
F
v
F
F
F
F
p*-*q p A q -^(p-e—» q)
v
v
v
1
v
F
v
v
(.5) A proposição “ p V ( q A ~ q ')+ -+ p ” é tautológica, conforme mostra a sua
labela-verdíidc:
p
v
q
v
V
F
F
v
f
^q q A - q p V (q A ~ q ) p V (q A ~ q)
v
v
F
F
v
v
v
F
v
F
F
F
v
F
v
F
p
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T F M Á T IC A
(6) A proposição up A r -+
tabela-verdade:
p
v
v
v
v
F
F
F
F
q
v
v
F
F
V
v
F
F
r
~q
v
F
F
v
v
F
F
v
v
F
v
F
V
F
v
F
q V r” c tautológica, conforme se vê pela sua
p A r ~q V r pAr-*~qV r
V
F
v
F
F
F
F
F
v
v
F
F
F
F
1
2.
F
v
v
*)
{p -»• (q -+ r)J” c tautológica, conforme mostra a
->
q)
-*
r)
-
v
v
F
F
v
v
v
v
v
v
F
v
F
V
v
F
V
v
v
F
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
2
1
F
V
F
3
F
v
F
v
F
v
1
1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
v
v
v
v
(7) A proposição %í((p -*■q>
sua tabela-verdade:
IIP
v
45
4
(P
v
V
V
v
F
F
F
F
1
v
F
v
v
v
v
v
v
3
(q
v
v
F
V
v
v
r))
v
F
v
v
F
V
V
v
v
v
F
F
F
F
V
v
v
1
-)
1
F
PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO PARA AS TAUTOLOGIAS
Seja Pfp. q, r . . . . ) uma tautologia e sejam P0(p. q, r , . . .), Qo<P' q, r , . . . ) ,
R()(p, q, r.
. proposições quaisquer.
Como o valor lógico de P(p, q, r , . . . ) c sempre Víverdade), quaisquer que
sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r , . . c óbvio
que, substituindo p por P0,q por Q0,r por R0, . . . na tautologia P(p, q, r , . ..), a
nova proposição P(P0, Qo>
• • •) Que assim se obtém também é uma tautologia.
Subsiste, pois, para as tautologías o chamado “ Princípio de substituição” seguinte:
Se P(p. q. r , . .
é uma tautologia, então P(P{i. Q0, R<>, . ..) também é uma
tautologia, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0. R0, . . .
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
46
3.
CONTRADIÇÃO
Definição — Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última
coluna da sua tabela-verdade cncerra somente a letra F(falsidade).
Km outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q. r , . . .)cujo
valor lógico é sempre F(faisidade), quaisquer que sejam 'os valores lógicos das
proposições simples componentes p. q, r , . . .
Como uma tautologia é sempre verdadeira(V), a negação de uma tautologia è
sempre falsa(F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.
Portanto, P(p. q, r , . . .) é uma tautologia se e somente se ~ P (p , q. r , . . . ) é
uma contradição, e P(p. q, r . . , é uma contradição se e somente se ~ P (p , q. r , . . . )
é uma tautologia.
As contradições são também denominadas proposições contraválidas
ou
proposições logicamente falsas.
Para as contradições vale um “ Princípio de substituição” análogo ao que foi
dado' para as tautologías:
Se P(p, q, r, . ..) é uma contradição, então P(P0 , Qo• ■•) também é uma
contradição, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0 , R0 . , . .
Exemplos:
<l) A proposição “ p A ~ p ” é uma contradição, conforme sc vê pela sua tabela-verdade:
p
~P
p A ~p
V
F
F
V
F
F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e
falsa é sempre falso.
(2) A proposição “ p *—»■~~p” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade;
P
~p
p*~*~p
V
F
F
V
F
F
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
47
(3) A proposição “ (P A q) A ~ (p V q)” é uma contradição, conforme se vê pela
sua tabela-verdade;
p
V
V
F
F
q
v
F
v
F
p A q
p Vq
v
F
F
F
v
v
v
F
~(p V q) (pA q) A ~ (p V q)
F
F
F
F
F
F
F
v
(4) A proposição “ ~-p A (p A ~ q ) ” é uma contradição, conforme mostra a sua
tabela-verdade:
4.
P
q
~p
~q ! p A ~q
v
v
F
F
v
F
v
F
F
F
v
v
F
v
F
V |
F
v
F
F
~ p A (p A ~ q )
F
F
F
F
CONTINGÊNCIA
Definição
Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja
última coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo
menos uma ve?.,
Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é
tautologia nc-m contradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou
proposições indeterminadas.
Exemplos;
(1) A proposição “ p - » ~ p ” é uma contingência, conforme se vê pela sua
tabela verdade:
P
v
F
~p p-*~p
F
v
F
v
4g
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
(2) A proposição “ p V q - ^ p ” é uma contingência, conforme mostra a sua
tabda-verdade:
p
v
v
F
F
(3)
A proposição “x - 3 A (x
a sua tabcla-verdadc:
v
F
F
v
F
F
y
F
F
v
v
p Vq
v
v
v
v
v
F
v
p
F
x f- 3)” é uma contingência, conforme mostra
x i~- 3 x = 3 A (x A y -+ x t- 3)
3 x # y x v* y
x= 3 x = y x
v
v
p Vq
q
v
F
v
F
F
V
F
v
v
F
v
V
V
F
F
F
EXERCÍCIOS
1. Mostrar que as seguintes proposições sao tautológicas:
(a)
<c)
(e)
(g)
(i)
(k )
(p
p) v (P -* ~P>
(p -+ qj A p -* q
(p- »q ) A ~ q ~ p
p <—>p A (p V q)
~ ( p A ~ p ) v (q -*■~~q)
- ( p V q> -> (p +-*■ q)
(b )
íd )
(f)
(h)
(j)
(D
(p
p A - p ) «-> ~ p
p V (q V ~ p )
(p V q) A ~ -p -* q
~ ( p V - p ) v (q V *~q)
pV (pA q)^p
fp^q)A p->q
Mostrar que as seguintes proposiçoes sao tautológicas:
(a)
(c)
(p -> q )-* (p A r -> q)
(p - q) -> (p A r q A r)
(b )
(d)
(p -> q) -» (p -*■q V r)
(p q) > ( p V r -> q V i
Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:
(a)
(c)
4.
p Vq^p Aq
(p -+ (p -* q)) -+ q
(b)
(d)
(q -*■ p )-* (p -> q)
p^(p-^qA-q)
Determinar quais das seguintes proposíçoes são tautológicas, contra válidas, ou
contingentes:
(a)
(c)
(e)
(g)
p -> (~ p -» q)
p (q -+ (q -> p})
pV^q^(p^-vq)
p (p V q) V r
(b)
(d)
(f)
(h)
- p V q ^ (p^q)
((p -> q) *-» q) p
~ p V ~ q -» ( p q )
pA q-^(p^qV r)
Capítulo
5
Implicação Lógica
1. DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA
Definição
Diz-se que uma proposição Píp, q. r . . . .) implica logicamente ou
apenas implica uma proposição Q{p, q; r . . . se Qlp. q, r . . . . } c verdadeira(V)
todas as vc7.es que P(p, q. r , . . . ) é verdadeirat V),
Em outros termos, uma proposição P(p, q. r. . . . ) implica logicamente ou
apenas implica uma proposição Q(p, q, r , .. .) todas as vezes que nas respectivas
tabelas-verda.de dessas duas proposições não aparece V na última coluna dc
P(p. q , i , e F na última coluna de Q(p. q. r , . . . ) , com V e F em uma mesma
linha, isto e. não ocorre P(p, q, r , . . .) e Q(p, q. r . . . . ) com valores lógicos simul táñeos respectivamente V c F.
Indica-se que a proposição P(p, q, r , . . ,) implica a proposição Q(p, q, r , . . .)
com a. notação:
P(p, q, r , . . . ) =» Q(p. q- r----- >
Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente
contradição implica uma contradição.
uma
2. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das
propriedades reflexiva(R) e transitiva(T). isto é. simbólicamente:
(R ) P(p, q, r, . . . )
(T)
^ Píp. q, r, . . .)
Se P(p, q, r , . . .) =>■ Q(p, q: r , . . .) e
Q(p, q, r , . . .) =¡>R(p, q, r , . ..) , en tão
Pfp, q, r , . . . ) => R(p, q, r , . . . )
EDGARD DE ALENCAR FILHO
50
3. EXEMPLIFICAÇÃO
( I ) As tabeias-verdade das proposições:
p A q,
p <-* q
p V q,
são:
P
q
p A q
PV q
p* * q
V
V
v
V
F
F
V
F
F
F
v
v
v
v
F
F
F
F
v
F
A proposição "p A q” é vcrdadeÍTa(V) somente na linha 1 e, nesta linha, as
q” também sao verdadeiras(V). Logo, a primeira
proposições “ p V q’ e “ p
proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto e:
p A q =» P V q
e p A q => p <—*q
As mesmas tabelas-verdade também dem onstram as importantes Regras de
inferência:
O)
P =* p v q
(ii)
p A q =* p
q =» p V q
p A q -> q
e
e
(A d içã o )
(Simplificação)
(2) As tabelas-verdade das proposições:
P < --q ,
p -> q,
q -> p
são:
p->q
q^p
V
v
F
v
v
V
F
F
F
V
v
v
v
P
q
V
V
v
F
F
F
p
* q
F
A proposição “ p * * q" e verdadeira(V) nas linhas 1 e 4 c, nestas linhas, as
:ambém são verdadeiras. Logo, a primeira proposiproposições “ p -+ q” e “ q
ção implica cada uma das outras duas proposições, isto e:
P «— > q =* p - ^ q
e
p ^ q
=> q ^ p
51
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
(3) A tabehirverdade da proposição: “(p V q) A ~ p ” c:
p
v
v
F
F
q
v
F
v
F
pV q
~p
v
v
F
F
v
v
v
F
(p V q) A ~ p )
F
F
v
F
Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 3 e, nesta linha, a proposição
“ q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica:
(p V q) A ~ p => q
denominada Regra do Silogismo disjuntivo.
Outra forma desla importante Regra de inferência é:
(p V q) A ~ q => p
(4) A tabcla-verdade da proposição “(p -* q) A p” é:
P
q
p-*q
(p -> q) a p
v
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
v
F
F
F
F
Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição
“ q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica:
(p
q) A p =»■ q
denominada Regra Modus ponens.
(5) As tabelas-verdade das proposições “(p - * q ) A - q ” e “ ~p” são:
P
q
p-+q
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
v
F
~q ( p - * q ) A ~ q ) - p
F
F
F
F
F
v
v
F
F
v
v
v
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
A proposição ,v(p -> q ) A - q ” é verdadeirafV) somente na linha 4, e nesta
linha, a proposição “ ~ p ” tam bém é vcrdadeira(V). Logo, subsiste a implicaçao
lógica:
(p~> q) A ~ q => ~ p
denominada Regra Modus tollens.
As mesmas tabelas-vcrdadc também mostram que M~ p ” implica “ p - + q ’\
isto é: ~ p => p -*• q-
4. TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LOGICA
Teorema
A prop osição P(p. q, r, . . .) implica a proposição Q(p. q, r----- ).
isto é:
P(p, q. r___ ) => Q(p, q. r, . . .)
se e somente se a condicional:
P(p. q, r ___ ) -*• Q(p, q. i ----- )
d)
é tautológica.
Dem. - (i) Se Píp, q, r , . . .) implica Q(p. q. r, . . .), então, não ocorre que os
valores lógicos sim ultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e l . e
por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional (1) encerra
somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica.
(ji) R e c i p r o c a m e n t e , se a condicional (1) é tautológica, isto é, se a última
coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V, então, não ocorre quo os
valores lógicos simultâneos das proposições P( p. q, r----- ) e Q(p, q, r , . . .) sejam
respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda.
Portanto, a ioda im p lic a ç ã o lógica corresponde uma condicional tautológica, e
vice-versa.
Corolário - Se P(p, q, r , . . . ) => Q ( p , q, r , . . .), então, também se tem:
P(P„, Q0, R n. . . .) => 0 ( P < „ Qo - R o . . . - )
quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0 , . ..
NOTA
Os símbolos -* e => são distintos, pois, o primeiro é de operação
lógica (aplicado, p. ex., às proposições p e q dá a nova proposição p - q),
enquanto que o segundo é de relação (estabelece quo a condicional P(p, q, r , . . .)-*-> Q(p, q, r , . . . ) é tautológica).
IN IC IA Ç Ã O Ã L C G IC A M A T E M Á T IC A
5
Exemplos:
(1) A condicional “(p -* q) A (q ->■ r) -*■(p -*■r)” é tautológica, pois, a
coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (Cap. 3, § 4,
Logo, subsiste a implicação lógica:
últim;
Ex. 4)
Cp -> q) A (q -> r) => p — r
denominada Regra do Silogismo hipotético.
(2) A condicional “ p
e tautológica,pois, a última coluna
tabela-verdade encerra somente a letra V:
q
v
F
v
F
p
V
V
F
F
~p
F
F
v
v
da su;
P A ~ p p A ~ p -»• q
F
F
v
v
v
F
v
F
Logo, subsiste a im plicação lógica; p A ~ p => q. Assim, de um a contradição
p A ~ p se deduz qualquer proposição q (Princípio da inconsistência).
(3 ) A proposição “ (p
> q) A p” im plica a proposição “ q", pois, a condicional
“(p «—■
>q) A p -•> q” é tau tológica conforme se ve pela sua tabela-verdade:
p
q
v
v
F
F
v
F
v
F
p
v
F
F
v
Portanto, simbolicamente:
q (p ■*—+ q ) A p (p «-► q) A p
v
v
v
F
v
F
F
v
q
(p <-+ q) A p =* q.
EXERCfCIOS
1.
Mostrar que a pio posição p implica a proposição qíp => q) cm cada um do
seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
p : n > 3;
q : tg45° = 1
p : sen30° = 1;
q :yj 2
> \f 1
p : ABCD é um losango; q : ABCD é um paralelogramo
E D G A ftD D £ A L O CAR F IL H O
54
(d)
(e)
(f>
(g)
p : O polígono ABCDE . . . é regular; q : O polígono ABC DE . . . é ins­
crit ível
p ; O número inteiro x termina por 0;
q : O número mte;ro x i divisível
por 5
p : ABC’ é um triângulo;
q : A soma dos ângulos internos A. B e C é igual
a 180°
p ;ts |
= v ^ i
2. Mostrar: (a) q =>p -+ q;
q ;sén f
= cos f
(b) q =*■p A q
*p
3. Mostar que p
—q não implica p -» q.
Resolução
As tabelas-verdade das duas proposições dadas são:
p
q
V
v
F
F
v
F
v
F
-q
p «-+ ~ q
p -+ q
F
F
v
v
F
v
F
v
v
v
F
v
A proposição “p » ~ q ” é verdadeiraf V) na linha 2 e, nesta linha, a proposição
“ p -*• q” é falsa(F). Logo, a primeira proposição n ão implica a segunda.
4. Mostrar que p não implica p A q e que p V q não implica p.
5. Mostrar:
(x = y V x < 4) A x < 4 => x = y.
6. Mostrar:
(x =£ 0 -> x = y) A x ¥=y =» x = 0.
Capítulo 6
Equivalência Lógica
í.
DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Definição
Diz-sc que uma proposição P(p, q, r. . . .) é logicamente equivalente
ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q. r , . . se as tabelas-verdade destas
duas proposições são idênticas.
Irtdica-sc que a proposição P(p. q. r, . . .)c equivalente a proposição Q(p, q, r , . . .)
com a notação:
P(p, q, r , . . .) ■*** Q(p, q, r , . . . )
Em particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r, . . . ) são
tautologías ou são ambas contradições, então são equivalentes.
ambas
2. PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA
É im ediato que a relação de equivalência lógica entre proposições goza
propriedades reflexiva(R), simétricaíS) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:
<R)
(S)
(T)
P(p, q, r , . . .) *=* P(p, q, r , . . 0
.), então
Se P(p, q, r,
.) <=> Q(p, q ,r,
Q(p, q; r , . . -) <=* P(p, q, r , . . •)
Se P(p, q, r, , , •) <=> Q(p, q, ^
•> c
R(p, q, r, . . •)> então
P(p, q r , . . •) <=> R(p, q, r , . , •)
Q(p, q, r , . . •)
das
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
56
3. EXEMPLIFICAÇÃO
( i ) As p r o p o s i ç õ e s
~ p ” e “ p ” são e q u iv a le n t e s , is t o é, s i m b o l i c a m e n t e :
<==* p (Regra da d u p l a n e g a ç ã o ) . Realmente, é o que d e m o n s t r a a ta b e ia -v e T d a de:
p
~P
— p
v
F
t
F
v
v
F
t
Portanto, a dupla negação equivale à afirm ação.
(2)
~.p_> p
As proposições “ ~ p - * p ,, e “ p” são equivalentes, isto 6, simbolicamente:
p (Regia de CLAVIUS). Realmente, é o que demonstra a tabela-verdade:
P
~p
~ p -> p
v
F
t
F
v
v
F
t
(3) As condicionais “ p -> p A q” c “ p -> q” têm tabelas-verdade idênticas:
P
q
p A q
p -* p A q
p-*q
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
F
F
F
v
+
_*
Por consequência, estas condicionais são equivalentes, isto é, subsiste a
equivalência lógica:
p -* p A q <fc=> p -> q
denominada Regra de absorção.
(4) A condicional “ p -» q” e a disjunção “ ~ p V q” têm tabelas-verdades idênti­
cas:
p
q
p~*q
-p
~p v q
v
v
F
F
v
F
v
F
v
F
v
v
F
F
v
F
v
+
v
v
v
*
IN tC IA Ç Ã O Ã LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
57
Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto c, subsiste a
im portante equivalência lógica:
p H- q <=*• —p V q
(5)
A bicondicional “ p «-4* q” e a conjunção “(p -*■ q) A (q -> p)” tem
verdade idênticas:
P
q
p ^ q
p-^q
v
v
v
v
v
F
F
F
F
v
F
F
F
v
tabelas-
q - ^ p (p -+ q) A <q -> p)
v
v
v
v
v
F
F
F
v
v
...
Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a
im portante equivalência lógica:
p <__* q <=> (p _> q) a (q -> p)
(6)
A bicondicional *‘p
las-verdade idênticas:
P
v
V
F
F
q
v
F
v
F
p « -> q
v
F
F
v
t
q,J c a disjunção “(p A q) V ( ~ p A ~ q ) ” têm tabe-
(P
v
v
F
F
A
q)
V
(~ p
A
~q)
v
F
F
F
v
v
F
F
F
F
F
F
F
v
V
F
v
t
v
v
F
v
v
F
F
Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a
im portante equivalência lógica:
p +-*■ q «=* (p A q) V (~ p A ~ q )
4. TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Teorema - A proposição P( p, q, r , . . . ) é equivalente à proposição Q(p, q, r , . . .)>
isto c:
P(p, q, r , . . .) <*=► Q(p, q, r , . . . )
se e somente se a bicondicional:
P(p, q, r , . . . ) <—* Qfp, q. r , . . . )
é tautológica.
(1)
58
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Dem.
(i) Sc as proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . , , ) são equivalentes,
então, têm tabelas-verdade idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bicondicio­
nal (1) é sempre V(verdade), isto c, (1) é tautológica.
(ii)
Reciprocamente, se a bicondicional (1) ó tautológica, então, a última
coluna da sua labela-verdade encerra somente a letra V(verdade), c por conseguinteos valores lógicos respectivos das proposições P(p, q. r , . . .) e Q(p. q, r , . . . } são
ambos V(vcrdade) ou são ambos F(falsidade), isto é, estas duas proposições são
equivalentes.
Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica,
c vice-versa.
Corolário
Se P(p, q, r , . . . ) <=* Q(p, q, r, . . .), então, tam bém se tem:
P(P0s Q0, R0, . . . ) « = * Q(P<n Q o, R<i, • . ■)
quaisquer que sejam as proposições P0 , Qn, R0, . . .
NOTA — Os símbolos +-> e
são distintos, pois, o primeiro é de operação
lógica (aplicado, p, ex,, às proposições p e q dá a nova proposição p ►q), enquanto
que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional P(p, q, r, . . .) <—+
Q(p, q, r, . . .) é tautológica).
Exemplos:
(1) A bicondicional “(p A ~ q -> c) «-*■ (p q j” , oridc c é uma proposição cujo
valor iógieo é F(falsidade), é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-vcrdade
encerra somente a letra V(verdade):
p
q
(P
A
-q
-»
c)
V
V
F
F
v
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
1
3
2
4
(P
q)
V
V
F
F
F
V
V
V
v
F
F
v
v
v
F
v
F
1
5
1
2
1
v
Portanto, as proposições “ p A —q - * c ” c “p - * q ” são equivalentes, isto é,
simbolicamente:
p A ~~q -v c <=>- p -> q
Nesta equivalência consiste o “ Método de demonstração por absurdo’4.
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A
59
(2) À bicondicional “ (p A q - > r ) ^ ( p - > ( q - > r ) ) ” é tautológica, pois, a última
coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(vcrdade):
íp
A
F
F
F
v
v
F
F
v
v
F
F
2
1
V
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
F
1
->
q
<—>
r)
v
v
F
F
v
v
v
V
v
v
v
F
v
F
v
F
v
v
v
v
v
v
v
v
3
1
4
(P
(q
-
0)
v
v
v
v
F
F
F
F
v
F
v
v
v
v
v
v
v
v
F
v
F
v
F
v
F
v
F
v
F
v
v
v
F
v
v
1
3
1
2
1
F
v
v
F
F
Portanto, as condicionais “ p A q - > r ” e “ p -►(q -* r)” são equivalentes, isto é,
simbolicamente:
p Aq
r *=> p
(q -» r)
Esta im portante equivalência lógica é denominada “ Regra de Exportação-lmportação” .
(3) As proposições “ x = I V x < 3 ” e “ ~ { x < 3 A x = 1)” não são equivalentes,
pois. a bicondicional:
(x = 1 V x < 3) <—* ~ (x < 3 A x = 1)
não é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
(x = 1 V
5.
x < 3)
v
v
v
v
F
F
F
F
F
v
v
v
-
(x < 3
V
F
V
F
F
F
F
v
v
v
v
v
A x = l)
v
F
F
F
v
v
F
F
PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL
Definição — Dada a condicional p -> q, chamam-se proposições associadas a
p -> q as três seguintes proposições condicionais que contcm p e q:
(a) Proposição recíproca de p -+ q : q -»■ p
(b) Proposição contrária de p -» q : - p -*■~-q
(c) Proposição contrapositiva de p -> q : ~ q -> ~ p
60
E O G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Ás tabelas-verdade destas quatro proposições são:
p
q
p "*■ q
q~>p
~ p -» ~ q
~ q -> ~ p
v
v
v
F
F
v
v
v
v
F
v
v
v
F
F
F
F
v
v
v
t
v
v
v
t
F
í
, c demonstram as duas importantes propriedades:
(I) À condicional p -> q c a sua contrapositiva ~ q - > ~ p são equivalentes, is­
to é, simbolicamente:
p -» q < = * ~ q ^ ~ p
(II) A recíproca q -> p e a contrária ~ p - > ~ q da condicional p -+ q
equivalentes, isto é, simbolicamente:
q -> p <=> ~ p
são
~q
As mesmas tabelas-verdade também demonstram que a condicional p - + q e a
sua recíproca q -+ p ou a sua contrária —p > ~ q ntâo são equivalentes.
A contrária de p -*■ q também é denominada a inversa de p -> q e a contrapositiva
de p -»• q outra coisa não é que a contrária da recíproca de p q c por isso
tam bém ê denominada contra-recíproca dc p > q. Também se diz que p ^ - q é a
direta cm relação às associadas.
Exemplos:
(1) Seja a condicional relativa a um triângulo T:
p "> q : Se T é equilátero, então T é isósceles
A recíproca desta proposição é:
q -> p : Sc T c isósceles, então T é equilátero
Aqui, a condicional p -> q é verdadeira(V), mas a sua recíproca q -> p é falsa(F),
(2) A contrapositiva da condicional:
p -+ q : Se Carlos é professor, então c pobre
é
~ q -> ~ p : Se Carlos não é pobre, então não e professor
IN IC IA Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
61
(3) Seja achar a contrapositiva da condicional: “ Sc x c m enor que zero, então x
não é positivo”.
Representando por p a proposição “x é menor que 7.ero,k e por q a proposição
“x é positivo” , a condicional dada sob forma simbólica escreve-se: p ^ - q , e
por conseguinte a sua contrapositiva c:
— q ^ ~ p ^ = > q -*■~ p
isto é, em linguagem corrente: “ Se x c positivo, então x não é menor que zero” .
(4) Seja demonstrar a proposição condicional:
p -?■ q : Se x2 é ímpar, então x c ímpar
A contrapositiva desta condicional é:
—q
~ p : Se x é par, então x 2 c par
que vamos demonstrar ser verdadeira.
Com efeito, suponhamos x par, isto c, x = 2 n (n € Z ). Como x 2 = 2 .2 n 2 ,
segue-se que x2 e par. Logo, a contrapositiva é verdadeira, e por conseguinte a
proposição condicional dada p q também ó verdadeira.
(5) Determinar:
(a)
(b)
(c)
A contrapositiva da contrapositiva de p -»■ q
A contrapositiva da recíproca de p -»> q
A contrapositiva da contrária dc p -> q
Resolução — (&) A contrapositiva de p-> q é ~ q -> ~ p . £ a contrapositiva de
~ q -*■~ p é: ~ ~ p -> -— q <=* p -*■ q.
(b) A recíproca de p -* q é q p. É a contrapositiva de q p c: ~ p -»■ ~ q .
(c) A contrária dc p ^ q é ~ p - » ~ q . E a contrapositiva de ~ p - + ~ q é:
-— q ->• -v~p <■--> q -> p.
Observe-se que a recíproca, e a contrária são cada uma a contrapositiva da
outra c que a condicional e a contrapositiva são cada uma a contrapositiva da
outra.
(6) Determinar:
(a)
(b;
(c)
(d)
A contrapositiva de p -> ■*- q
A contrapositiva de ~ p q
A contrapositiva da recíproca dc p -+ ~ q
A recíproca da contrapositiva de - p
^q
62
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Resolução —(a) A contrapositiva de p -* ~ q é:
— q + ~ p « q -* ~ p
(b) A contrapositiva dc ~ p -* q é:
4 “*■"— p « - q - p
(c) A recíproca de p - * ~ q é - q - > p. E a contrapositiva de - q - p é:
~p
~— q <=> —p -*■ q
( d) A contrapositiva. de ~ p -* ~ q é:
— ' 9 * — -p«=» q -* p
E a recíproca de q -> p c p -» q.
(7) Determinar;
(a)
(b)
A contrapositiva da recíproca de x = 0 -+ x < 1
A contrapositiva da contrária de x < 1 — \ < 3
Resolução
(a) A recíproca de x = 0 -» x < 1 c x <. 1 — - D E a cuntrapositiva desta recíproca c x ^ O - ^ x ^ l .
(b) A contrária de x < l - * x < 3 é x < l ^ \ < 3 . F- a contrapositiva desta
contrária c x < 3 -* x < 1.
6. NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES
Definição
Chama-se negação conjunta dc duas proposições p c q a proposição
“não p e não q”, isto é, simbolicamente “ ~~p A ~ q ” .
A negação conjunta de duas proposições p e q também
:ndici peia rotação
“p i q”. Portanto, temos;
p 4 q
~ p A -~q
Como a proposição “~ p A —q” é verdadeira somente nr
ambas falsas, então, a tabcla-vcrdadc dc “ p l q” c a seguinte:
p
q
p 4q
v
v
F
v
F
v
F
F
F
F
F
v
c-m que p e q são
63
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
7. NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES
Definição
Chama-se negação disjunta dc duas proposições p e .q a proposição
“não p ou não q”, isto é, simbolicamente “ ~ p V ~ q ” .
A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação
“p t q ” . Portanto, temos:
pt q
'pV ~q
Como a proposição “~ p V ~ q ” é falsa somente no caso em que p e q são
ambas verdadeiras, então, a tabela-verdade de “ p t q c a seguinte:
Os sírnbolos
p
q pfq
v
v
F
F
v
F
F
v
v
v
v
F
é “ t ” são chamados “ conectivos de SCIIEFFER” ,
EXERCÍCIOS
1.
Mostrar que as proposições p e q sao equivalentes ( p ^ q) cm cada um dos
seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
p : l + 3 = 4 ; q : ( l + 3 )2 = 16
p:senO ° = l ;
q :c o s 0 0;=:ü
p : 2o = 1;
q : n <! 4
p
:x = y; q : x + ?= y + z (x, y, z € R)
p :x é p a r ;
q : x + I é ímpar (x S Z)
p : O triângulo ABC é isósceles (AB = AC); q : Os ângulos B e C sáo iguais
p
:a 1 b; q : b 1 a
(h) p
;a || b; q : b || a
(i) p : 0 triângulo ABC c retângulo em A;
q : a2 = b2 + cz
(j) p : X- e {a} ; q : x = a
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
¡4
2. Exprimir a bicondicional p
Resolução Temos:
*■q em função dos três conectivos: A, V e ~ .
p
q <:=* (p _* q) A (q -* p)
p -*■ q
~p V q
q p <==s- ~ q V p
Portanto: p
*■q *=* ( - p V q) A (~ q V p).
3. Demonstrar por tabelas-verdadc as seguintes equivalências:
(aj
p A (p V q ]« p
(b )
P
(C)
p * — *■ p A q <=> p -> q
q
(è )
( p - í- q ) A( p ^ r ) * = * p - > q A r
(dj
(f)
(gJ (P
V (p A q) <=>* p
*■ p
V q «=> p -+
(p -►qj V (p
r).« ■ p
q
q Vr
q) "*■1 *=* P A ~ r -> ~ q
4. Mostrar que as proposições “ x = l V x < 3 ” c “—{x < 3 A x = l )
equivalentes.
não são
5. Demonstrar que o conectivo “ V ” ( “ ou” exclusivo) exprime-se em função dos
três conectivos
A e V do seguinte modo:
p V q
(p V q) A ~ (p A q)
Dern.
Com efeito, as tabelas-vcrdade de “ p V q” e “(p V q) A - ( p A q)”
são idênticas:
pv q
(P
V
q)
A
v
F
v
v
v
v
F
v
v
v
F
F
v
v
F
v
v
F
F
v
F
F
F
v
v
v
1
2
1
4
3
p
q
v
v
F
F
F
F
(P
A
<l)
v
v
F
v
F
F
F
F
F
v
F
1
2
1
v
6. Demonstrar que os três conectivos ~ , V c A exprimem-se em funçao do
conectivo “ 4 ” dc SCHEFFER do seguinte modo:
(a)
—p
(b )
p V q <=> (p i
pf p
q) l (p 4- q)
(c)
p A q « (p i
p) i (q i q)
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
Dem.
65
Realmente, é o que demonstram as tres tabelas-vcrdadc seguintes:
p
v
F
(a)
<b)
~p P 1 P
F
F
v
v
t
+
P
q
p Vq
v
v
F
v
F
v
F
F
v
v
v
F
p 4 q (P 1 q) 4(p i q)
v
v
v
F
F
F
F
v
t
t
P
v
v
F
F
(e)
q
v
F
v
F
p A q p 1 p q i q (p 4 p) 4 (q 4 q)
v
F
F
F
F
F
v
v
F
v
F
v
v
F
F
F
t
7. Demonstrar por tabclas-verdade que os três conectivos
V e A exprimem-se cm lunção do conectivo “ t ” dc SCHEFFER do seguinte modo:
(a)
~p^= p t p
(b)
(c)
P V q =* (P t p) t ( q t q)
p A q !=*■(p f q) t (p t q)
Sabendo queas proposições p c q são verdadeiras e que a proposição r é falsa,
determinar o valor lógico (V ou F) das seguintesproposições:
(a)
(b)
(c)
(d)
(~ p 4 q) A ( q t - r )
((p t q) V (q 4 r» t (r 4 p)
( - p t - q ) <-»■ ((q 4 r) 4 p)
((p t ~ p ) V q) l ( q A r )
ED G A R D d e A L E N C A R FILH O
66
9. DemOmtxar que o conectivo “ V ” exprimose em função unicamente de
“ -*■ " pela equivalência: p V q <=> (p -*■ q) -* p10. Demonstrar que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade
comutativa, isto é:
p 1 q<-*q i p
e
p t q*=* q t p
11. Demonstrar; ((p t ~ p ) t (p t " p)) *=*• p A —p
12. Demonstrar que as seguintes proposições são contingentes:
(a)
(p lq )y(-q tp )
(b)
(pt(qV r))^M
(c)
{(p 1 ~p) V q) * ( ~q / W )
7
Capítulo
Álgebra das Proposições
I.
PROPRIED/VIJES DA CONJUNÇÃO
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t c c proposições também
simples cu|os valores lógicos respectivos são V(verdadc) c F(falsidade).
(a) Idempotente:
p A p (^ * p
Dem. - Com efeito, são idênticas as t a b c l a s - v e T d a d e das proposições p A p c
p, ou seja, a bicondiconal p A p ^ —> p é tautológica:
p
pA p
p A p <—» p
v
v
F
F
v
v
t
f
Assim, p. ex., temos:
( i)
(ii >
(b) Comutativa:
x
1 A x * 1 <=> x # 1
x < 0 A x < 0 í= * x < 0
p A q <=> q A p
Dem.
Com efeito, são idênticas as tabelas-vòrdade das proposições p A q c
q A p, ou seja, a bicondicional p A q *—* q A p é tautológica:
p Aq
q A p p A q *-*• q A p
p
4
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
F
F
F
v
F
t
t
v
v
v
v
E D G A f t D DE A L E N C A R F I L H O
68
A ssim , p. e x ., tem os:
(i)
x
(ii)
t i > 3 A / r < 4 <-■■■> n < 4 A 7r > 3
1 A X > 0 <==* x > 0 A x ^ 1
(iii) \[ 2 > 1 A s/~$ < 3
(c)
A ssociativa:
V T < 3A V ? > I
(p A q) A r <==• p A (q A r)
Com cfcilo, são idênticas as tabelas-vcrdade das proposições (p a q) A r
Dem.
e p A (q A r):
r
pa q
p
v
v
v
v
q
v
v
F
F
v
F
v
v
v
F
F
v
F
F
F
F
F
F
F
v
F
F
F
(P A q) A r
qAr
P A (q A r)
v
F
v
v
F
F
F
F
F
F
F
v
F
F
F
F
F
F
F
v
V
F
F
F
F
F
F
F
F
t
í
Observe-se que íi bicondicional (p A q) A r
Assim, p. ex., temos:
(i)
(ii)
(a 2* b A b ^ c ) A
(x # 0 A X > 1) A
* p A (q A r) C tautológica.
c < d <*=* a > b A ( b ^ c A c < d)
3 <=> X # 0 A (x > 1 A X < 3)
X<
(d) Identidade;
p A t < =>• p
C
pA
Dem.
Com efeito, são idênticas as tabelas-vordade das proposições p a t e
p, p A c e c, ou seja, as bicondicionais p A t «—>p e p A c
c são tauto­
lógicas:
P
t
c
p A í
PAC
p A t« -* p
p A c f—» c
v
v
v
F
F
v
F
F
F
v
v
v
v
F
í
t
- t
-
t
Kstas propriedades exprim em quo t e c sao respectivam ente elemento neutro e
elemento absorvente da con jun ção.
IN IC IA Ç A Q A LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
69
Assim, p. ex., temos:
(i)
(ii)
2.
x =£ 1 A I x | > 0 <=> x ¥= 1
x ^ 1 A | x | < 0 *=> | x | < 0
PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também
simples cujos valores lógicos respectivos são V(verdade) e
F(falsidade).
(a) Idem potente:
p v p<^=» p
Dein.
Com efeito, são idênticas as tabelas-vcrdade
ou seja, a bicondicional p 1/ p
p é tautológica:
p
V
PV P
v
pv P ^ P
F
v
F
t
das proposições p Vp e p,
v
t
Assim, p. ex., lemos:
(i) x ¥=■0 V x
0 *-=» x ^ 0
(ii) x < 1 V x < 1 '■*=* x <- 1
(b) Comutativa:
p
Vp
Dem.
Com efeito , são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v q e
q V p, ou seja, a bicondicional p V q «—* q V p é tautológica:
p
q
PV q
qv p
p v q « -* q V p
v
v
v
F
v
F
v
v
v
F
v
v
v
v
v
v
v
í
t
F
F
Assim, p. ex., temos:
( i)
x ^ l V x ^ O ^ x ^ O V x ^ l
(ii)
a> b v b< c
b< c v a> b
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
70
(c) Associativa:
(p v q) V r<=>p v (q v r)
Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições (p v q) v r
e p v (q V r):
p
v
v
v
v
F
F
F
F
r
q
v
v
v
F
v
F
F
F
v
v
v
F
F
v
F
pvq
v
v
v
v
v
v
(p V q) V r
q V r
P V (q V r)
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
í
t
Observc-se que a bieondicional (p v q) V r *—*■p v (q v r) é tautológica.
Assim, p. ex., temos:
(i)
(ii)
(x # 1 V X > 2) V X < 4 <=> x * 1 V (x> 2 V X < 4 )
j a ^ b V b < c) v c < d ■■**=> a ^ b v (b < c v c < d)
(d) Identidade:
p V t <=M
e
p v c <=> p
Dem. — Com efeito, são idênticas as tabclas-verdade das proposições p V t e
t, p V c e c, ou seja, as bícondicionais p V t*~> t e p V c « —>p são tauto­
lógicas:
P
v
F
í
t
c
pv t
pV c
p v t-M t
v
v
F
F
v
v
v
v
v
t
t
F
p
p Vc
v
v
í
Estas propriedades exprimem que t e c são respectivamente elem ento absor­
vente e elem ento neutro da disjunção.
Assim, p. ex., temos:
(i)
(ii)
(iií)
x* 1V
x* 1V
x* 0V
1x | > 0
| x | < 0 «=#■ x ¥= 1
x2 < 0 <=*»■x # 0
| x J> 0
71
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
3.
PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
(a) Distributivas:
(i)
p a (q v r) *=> (p A q) V (p a
r)
00
P V (q A r) <==> (p V q) A ( p V
r)
Dem. —(i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições
p A (q v r) e (p A q) V (p a r):
p
q
r
q Vr
P A (q V r)
PA q
p A r
(p A q) v (p A r)
v
v
v
v
v
v
v
F
v
F
v
v
v
v
F
v
v
v
v
F
v
F
v
F
v
v
F
F
F
F
v
v
v
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
v
v
F
v
v
v
F
F
F
F
F
F
F
í
F
í
Obs-erve-sc quo a bieondicional p A (q V r) ^►{p a q) v (p a r) é tautológica,
(ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v (q A r)
e (p v q) a ( p V r):
P
v
v
v
v
F
F
F
F
q
v
v
F
F
v
v
F
F
r
q A r
P V (q A r)
P v q
p V r
(p V q) A (p v r)
v
v
F
F
F
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
v
F
F
F
F
v
F
v
F
v
F
v
F
F
F
F
F
F
í
í
Observe-se que a bicondicional p V (q a r)
(p V q) A (p V r) c tautológica.
A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação à
disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em
relação à conjunção.
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
72
Assim, p, ex., segundo (i), a proposição:
“Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê4'
é equivalente à seguinte proposição:
“Carlos estuda e Jorge ouve música” ou “ Carlos estuda e Jorge Jê”
Segundo (ii), a proposição;
“Chove ou faz vento e frio”
é equivalente à seguinte proposição:
“ Chove ou faz vento” e “ Chove ou faz frio"
(b) Absorção:
(i)
(ii)
p A (p V q) *=* P
p V Íp A ^ ^ P
Dem. - (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições
p A (p v l ) c P» ou scÍa’ a bicondicional p a (p v q) *-* p é tautológica;
p
v
v
F
F
p V q
p A (P V q)
p A (p V q) <*—►p
v
v
v
v
v
v
F
F
v
v
v
v
q.
v
F
F
F
í
r
Analogamente, s ã o idênticas as tabelas-verdade das proposições p V (p A q)
e p, ou seja, a bicondicional p v (p A q) 4—» p é tautológica;
( ii)
P
q
pa q
v
v
v
v
F
F
F
v
F
F
F
í
F
p V (p A q) p V (p A q) *-*■ p
v
v
F
F
v
v
v
v
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
73
(c) Regras de DE MORGAN (1806-1871):
(0
"(p Aq ) ^ =>~ pv' vq
(ii)
~ (p v q)
-p A~q
Dem.
(i) Com efeito, são idénticas as tabelas-verdade das proposições
~ (p A q) c - p v ~ q :
p
v
v
F
F
q
v
F
v
F
Pa q
v
F
F
F
H P A q)
~p
-q
- p v -q
F
v
v
v
F
F
v
v
F
v
F
v
v
v
v
í
F
t
Observe-se que a bicondicional ~ (p A q) ■*—►~ p v ~ q é tautológica.
(ii) Analogamente, são idénticas as tabelas-vcrdadc das proposições - ( p V q)
e -v-p a ~ q :
p
v
v
F
F
q
v
F
v
F
p v q
~ (P V q)
~p
~q
- p A ~q
v
v
v
F
F
F
F
v
F
F
v
v
F
v
F
F
F
v
F
v
t
r
Observe-sc que a bícondícional - ( p V q ) ^ - p A - q c tautológica.
As Regras dc DE MORGAN ensinam:
(i) Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale
a afirmar que uma pelo menos é falsa.
(ii) Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a
afirmar que ambas são falsas.
Estas Regras de DE MORGAN podem exprimir-se ainda dizendo que a negação
transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção.
Assim, p. ex,, segundo (i), a negação da proposição:
“ K inteligente e estuda”
é a proposição:
"Nao é inteligente ou não estuda”
74
E D G A R D D E A L E N C A R Fl L H O
Segundo (ii), a negação da proposição:
“ E médico ou professor’*
é a proposição:
‘"Não &médico e não é professor”
NOTA
As Regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a
disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da
disjunção e da negação:
p v q « = > ~ (~ p A ~ q )
p A
~ (~ p v ~q)
4. NEGAÇÃO DA CONDICIONAL
Como p -> q <==* - p V q {Cap. 6, §3, Ex. 4), temos:
q) ^
~ (p
~ ( ~ P v q) H
^ p
A ~q
ou seja:
~(p-> q) <==>'p A - q
~ (p
Esla cquivalência também é demonstrada pelas tabclas-vcrdadc das proposições
e p a ~ q , que são idênticas:
p
v
v
F
F
q
v
F
v
F
p->q
v
F
v
v
~q
P A~q
F
F
v
F
v
F
v
F
v
F
F
~(p -*■q)
F
t
t
NOTA — A condicional p -*■q não goza das propriedades idem potente,
comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições p - > p e p , p - ^ q e
q ->■ p, (p ->• q) r e p (q -> r) não são idênticas.
5. NEGAÇÃO DA B1CONDICIONAL
Como p <--* q c
(p
q ) A (q ■->p) (Cap. 6, §3, Ex. 5), temos:
P «-»■ q <=» (~P V q) A (~ q V p)
75
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A
e, portanto:
M.p
q) ^
v q ) v ~ (~ qiv p)
~ (P +-+ q) ■«=> ( ~ ~ p A ~ q ) V (---- q A - p )
ou seja:
9) ^ ( P A ~q) v (*“P A q)
~( p
-(p
Esta equivalência também c demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições
q ) c (p A ~ q ) V (~- p A q), que são idênticas:
(P
v
v
F
F
f
v
v
F
v
F
F
v
q)
(P
A
q)
V
(~P
A
q)
v
F
v
F
v
v
F
F
F
v
F
F
F
v
F
v
F
v
v
F
F
F
v
v
F
F
v
F
v
F
v
F
t
t
As tabelas-verdade das proposições M p «—*■q), p *—*■~ q e ~ p
P
9
v
v
F
F
v
F
v
F
^ q são idênticas:
P * * 9 ~ ( p + -* q ) ~ q p — - q ~ p ~ p * -> q
F
F
F
F
F
v
v
v
F
v
v
F
v
v
v
v
F
F
F
v
F
F
v
v
t
t
t
PortantO, subsistem as equivalências:
~(p + -* q) <=* p *-* ~q «=* ~p «-* q
NOTA
A bicondicional p <—* q não goza da propriedade idem potente, pois, é
imediato que uâo são idênticas as tabelas-verdade das proposições p <■ * p c p, mus
goza das propriedades comutativa e associativa.
EXERCÍCIOS
1. Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional, isto c:
(a)
p <—>• q <=$■ q •*—*■p
(b)
(p ^ -» q )^ + r< -* » p * -> (q ^ f)
EDGARD DE ALENCAR FILHO
76
2. Demonstrar por tabelas-verdade as equivalencias:
(a)
q) A (p -> r) (b)
p - > q A r <=►(p
p - + q v r «=> (p -> q) v (p -» )
Dem. —(a) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p -> qA r
e (p q) a (p - r ) :
P
•
q
v
v
v
v
V
F
F
F
v
v
F
F
F
F
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
A
r
(P
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
F
F
F
F
v
v
v
F
F
F
F
F
v
F
q)
A
(p
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
Fl
F
F
t
->
r)
v
v
F
F
v
v
F
F
v
v
v
v
v
F
v
F
t
(b) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p -+ q V r
e
(P ■+ q) v (p -> r):
p
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
v
v
F
t
q
V
r
(P
v
v
v
v
v
v
v
F
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
F
F
v
v
F
F
F
F
4)
V
(P
-*■
v
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
F
v
v
v
v
v
F
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
, r)
F
F
v
v
v
v
v
F
v
F
t
A equivalência (a) exprime que a condicional é distributiva à esquerda em
relação à conjunção e a equivalência (b) exprime que a condicional é distributiva
à esquerda em relação à disjunção.
A condicional não 6 distributiva à direita em relação i nenhuma dessas duas
operações (conjunção e disjunção).
3. Dar a negação em linguagem corrente da proposição: ‘ Rosas são vermelhas e
violetas são a7.uis” .
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
77
Resolução
Denotando por p a proposição “ Rosas são vermelhas” c por q a
proposição “ Violetas são azuis” , a proposição dada sob forma simbólica
cscreve-se “ p a q” , cuja negação é
(P A O) <í=3‘ ~ P v
■ Lo§°’
a
negação da proposição dada cm linguagem corrente 6:
“ Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis”
4. Dar a negação em linguagem corrente de cada uma das seguintes proposições:
(a)
(b)
(c)
(d)
É falso que não está frio ou que está chovendo.
Não é verdade que o pai de Marcos c pernambucano ou que a mãe é gaúcha.
Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão
au­
mentando.
Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.
5. Demonstrar as seguintes Regras de DE MORGAN para três componentes:
(a)
~ (p A q A r )
(b)
Mp V q V r)« ~ p A -q A -r
~p v ~q V ~r
6. Demonstrar por “ Indução m atem ática” as seguintes “Propriedades distributivas
generalizadas” :
(a)
p A ( q i V qj V . . .
(b )
p V (qi A q 2 A • •• Aqn) «=*■(p V q i) A (p v q2> A . •• A (p v qn)
V qnJ <=*•(p A q i ) V (p A q2) V . . . V (p A qn)
Capítulo
O
Método Dedutivo
1. Todas as implicações c equivalèncias foram demonstradas ate aqui pelo
“ Método das tabelas-verdade” . Vamos agora exemplificar a demonstração de
implicações e equivalencias por um m étodo mais eficiente, denominado Método de­
dutivo”.
No emprego do “Método dedutivo” desempenham papel im portante as equiva­
lencias relativas à “ Álgebra das Proposições” , que, observamos, subsistem quando
as proposições simples p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa), que nelas figuram,são
substituídas respectivamente por proposições com p ostas P, Q, R, I (tautología) c
C (contradição).
2. EXEMPLIFICAÇÃO
(1) Demonstrar as implicações:
(i) c =>■p
(ii) p =* t
onde p é urna proposição qualquer c c e t sao proposições cujos valores
lógicos respectivos são F(falsidade) c V(verdadc).
Dem. - Temos, sucessivamente:
(i)
(ii)
c p *=> ~ c V p <==> t v p <=* t
p -* i
~p ^ t ^ t
Observc-se quo as tabelas-verdade de c
condicionais são tautológicas:
p c p + t mostram
p
c
t
c -> p
p-M
v
F
F
F
v
v
v
v
v
v
que estas
79
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
(2) Demonstrar a implicação: p A q => p (Simplificação)
Dem. Temos, sucessivamente:
p A q -*P ■*=* ~ (p A q) v p «“=>(~ p V ~ q ) V p
^ T V ~q*=»T
(~ p v p) V ~ q
(3) Demonstrar a implicação: p=>p V q (Adição)
Dem. Temos, sucessivamente:
p -> p V q *=> ~ p V (p V q) <=> (~ p V p) V q <=> T V q <=> T
(4) Demonstrar a implicação: (p * q) A p =* q (Modus ponens)
Dem. — Temos, sucessivamente:
(P
Ç) A P
P A ( ' P Vq)<=^ (p A ~ p ) V (p A q)
«=* p A q =» q
(5) Demonstrar a implicação: (p ->■ q) A ~ q
Dem. — Temos, sucessivamente:
(p -» q) A
C V (p A q)
~ p (Modus tollens)
q «*=►( ~ p V q) A ~ q •«=» ( - p A - q ) V (q V ~-q)
(—p a ~ q ) V C
a ~q^> ~ p
(6) Demonstrar a implicação: (p v q) A ~ p =» q (Silogismo disjuntivo)
Dem. Temos, sucessicamente:
(p v q) A ~ p *=* (p A"*-p) V (q A - p ) «=> C V (q a ~ p ) ^ q A - p ^ q
(7) Demonstrar a implicação: p a q ■* p V q
Dem. Temos, sucessivamente:
p A q -» p V q *=* ~ (p A q) V (p V q) <*=» (~ p V ~ q ) V (p V
<=» (~-p V p)V ( ~ q V q)
T v T
T
q)
(8) Demonstrar a implicação: p => q -* p
Dem, - Temos, sucessivamente:
p ^ ( q - » p ) ^ ~ p v ( q -> p) '
<=> T V ~ q< = > T
p V ( ~ q V p) <=>(-p v p ) V ^ q
(9) Demonstrar a implicação: p = > ~ p -* -q
Dem. Temos, sucessivamente:
p ->• ( ~ p -* q ) « = » - p V (~ p -» q) ■=> - p V {—~ p V q ) < = > ~ p V ( p V q )
( ~ p V p) V q <=* T V q <=* T
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
80
(10) Demonstrar a implicação: p-> q=>p A r - * q
Dem. Temos, sucessivamente:
(p
q ) -> ( p a
r
q ) <=» ~ { p
-» q ) v ( p A r -» q )
<=> ~ ( ~ p V q ) V ( ~ ( p
a
r) V q )
<=> ( ----- p A ~ q ) V ( ( ~ p V ~ r ) V q )
(p A ~ q ) V ( ( ~ p v q ) V ~ r )
<=S> ( p A ~ q ) V ~ ( p A ~ q ) ) V ~ r
T v
<=* T
• (11) Demonstrar a equivalência: p -> q •*=> p A ~q-<- c(Redução a
Dem. Temos, sucessivamente:
p
A ~q
-*C <=» ~ (p A ~ q ) V c *=* - (p A~ q ) *** ( ~ p
-s^=> - p V q •<=»• p -* q
absurdo)
V~ ~ q )
(12) Demonstrar a equivalência: p -* q « = * p v q - * q
Dem. Temos, sucessivamente:
p V
q 4 q
~ ( p V q) V
<==> ( ~ p
V q) A T
q <“ =» ( ~ p
~p
A ~q) V q ( ~ p
V q) A (~ q V q)
V q ■«==> p -> q
(13) Demonstrar a equivalência: (p -* q) A (p -*• ~ q ) <=> - p
Dem- Temos, sucessivamente:
( p -> q ) A ( p -* ~ q ) * ç * ( ~ , p V q ) A ( ~ p V ~ q )
~ p V (q A ~ q )
■*=* —p V C <=> ~ p
(14) Demonstrar a equivalência: p A q - » r *=*■ p -»• (q -*■ r) (Ex p or taçao-I mportaç ão)
Dem. Temos, sucessivamente:
p -> -(q -»• r)
~ p V ( q - > r) « = > ~ p V ( ~ q V r ) « » ( - p V
< => — ( p A q ) V r * ■ * p A q
~ q )V
r
r
(15) Demonstrar a equivalência: (p -»■ r) A (q - » r) p v
Dem. • Temos, sucessivamente:
( p -> r) A ( q -> r) <=> ( - p V r) A ( ~ q V r ) <=> ( ~ p
q
A ~q) V r
<=> ~ ( p V q ) V r < = > p V q ^ r
(16) Demonstrar a equivalência: (p -* q) V (p -» r) «=> p - * q v i
Dem. — Temos, sucessivamente:
( p ->• q ) V ( p ->■ r) «=* ( ~ p V
q) V ( - p v r ) <=* (~ p V ~ p ) V ( q V r)
r
~ p v ( q V r) <=> p -*■ q V
r
81
INIC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
(17) Demonstrar a equivalência: (p -* r) v (q 7+ s) <=* p A q -> r V s
Dem. - Temos, sucessivamente:
(p -» r) V (q -> s) <=* ( ~ p
<==> ~ (p
v r) V ( ~ q V s) <=> ( ~ p V ~ q ) V (r v s)
A q) V ( r v 5)
p A q -> r V s
(18) D em onstraras equivalencias:
(a)
(b)
(c)
(d)
Dem.
(a)
(b)
~ p <=> p 4 p
p A q <=> (p 4 p) 1 (q 4 q)
p v q < ^ ( p l q) 1 (p 4 q)
p -> q
((p l p) 4 q ) 4 ((p 4 p) 4 q)
Temos, sucessivamente:
~-p <=> ~ p A ~ p <=>• p 4 p
p A q <=»■ " ~ p A ----- q <r=^ ~ p 1 ~ q
(p 4 p) l (q 4 q)
p V q *=► ~ ( ~ p A ~ q ) * = > ~ (p 4 q)
(p 4 q) 1 (p 4 q)
p -> q <=> ~ p V q <*** ~ ( p A ~ q ) <=> H £ ~ - ~ p A ~ q ) <=> ~ ( ~ p 4 q )
(~ p 4 q) 4
( ~ p 4 q) *=* (Cp 4 p) 4 q) 4 ((p 4 p) 4 q)
(c)
(d)
(] 9) Demonstrar as equivalencias:
Dem.
(a )
~ p « -> p tp
(b)
(c)
(d)
p A q <=* (p t q) t (p f c})
p V q <-> (p f p) T ( q t q)
p -* q
p t (q t q)
Temos, sucessivamente:
(a)
(b)
(c )
(d )
3.
V - p< =»p t p
p A q ^ ~ ( ~ p V ~ q ) *=* ~ (p t q) *=* (p t q) t (p t q)
p v q « — ■'■p V — q « - p t ~ q
(p t p) t (q t q)
p -> q <-=> ~ p V q <=» ~ p V ~ ~ q <=> p t ~ q
p t (q t q)
REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS
Teorema
E n tre
o s c in c o c o n e c tiv o s
f u n d a m e n t a is ( ~ ,
A
,
V
t r ê s c x p r i m c m - s e e m t e r m o s d e a p e n a s dois d o s s e g u in t e s p a r e s :
(1 ) -
Dem.
(1 )
c V
(2 ) ~
e
A
(3 ) ~
Com efeito:
A , -+ c
+—»■ e x p r i m e m - s e e m t e r m o s de ~
e
V ;
p A q
— -p A -s— q *=> ~ ( ~ p V ~ q )
p
q <r-^> ~ p V q
p
q^
(p -> q) a (q -+p) < ^ - ( ~ ( - p
v q) V~ ( ~ q V p »
e
-*
,
E D G A R D DE A L É N C A R F IL H O
82
(2) V , -+ c <—>■ exprimem-se e m t e r m o s de ~
p V q - ^ > -—
p V ~ ~ q * = s> -~ (~ p A ~ q )
p -> q * = *
V q <=* ~ ( p A ~ q )
p « -> q < = > (p -> q ) A ( q -*• p ) «=* ~ ( p
(3) A ,
v e
A
:
A ~q ) A ~ (~ p
A q)
►exprimem-se em termos de — e -»•:
p A q ***. . ^ ( ~ p v ~ q )
pV q<=> ~
e
~ ( p -> ~ q )
p V q <=* ~ p -> q
p <—*• q <=* ( p -*■ q ) A ( q
p ) <===> — C (p -»■ q ) -+ - - ( q - * p ) )
Os conectivos A , V e -> não se exprimem em termos de — e +-* .
0 conectivo v
exprime-se em função unicamente de -> p e la equivalência:
p V q < “> (p -> q ) -> q.
Todos os conectivos exprimem-se em termos de um ú n i c o : 1 ou t, cortforme
mostrou A. M. SCHEFFBR em 1913 (§2, Ex. 18 e 19).
4
FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES
Deíinição - Diz-se que uma proposição está na forma normal (FN )
somente se, quando muito, contém os conectivos ~ , A e v
.
Exemplificando, estão na forma normal (FN ) as seguintes proposições:
-p
A ~q,
~ (~ p
V ~ q ),
se e
( p A q) V (~ q V r )
Toda a proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela eliminação
dos conectivos -> e «—►
, sc existirem, isto é, pela substituição de p q por
~ p V q e de p ►q por (~ p v q) A (p V ~ q ).
Hú duas espccies de FN para uma proposição: aforma normal conjuntiva
(FNC) e a forma normal disjuntiva (FND), que a seguir vamos definir c exemplificar.
5.
FORMA NORMAL CONJUNTIVA
Definição - Diz-se que uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC)
se c somente sc são verificadas as seguintes condições:
(1) Contém, quando muito, os conectivos
A e V ;
(2) ~ não aparece repetido (com o ~ ~ ) e não tem alcance sobre
A e v
(isto é, só incidc sobre letras proposicionais);
(3) v não tem alcance sobre a (isto e, não há componentes do tipo p V (q a r)).
83
IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
Exemplificando, estão na FNC as seguintes proposições:
~p v ~q,
-~p A q A r,
(-p
V q) A ( ~ q V ~ r )
Para toda pToposição pode-se determinar uma FNC equivalente mediante as
seguintes transformações:
(.1) Eliminando os conectivos -* c <—>• mediante a substituição de p ^ - q por
~ p v q e de p ^ q por (~ p v q) A (p v ~ q );
(2) Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos dc ~ pelas regras da
“Dupla negação” e de “ DE MORGAN’’;
(3) Substituindo p v (q A r) e (p A q) v r pelas suas equivalentes respectivas
(p v q) A (p v r> e (p v r) A (q v r).
Lxemplos:
(1) Determinar a FNC da proposição ■
—(((p v q) A ^ q ) v (q A r))
Resolução Temos, sucessivamente:
~ ( ( p V q ) A ' q)
(( -p A - q ) V q)
(~ (p V q ) V - ~ q ) A ( ~ q V ~ r ) <=>
- r ) < > ( - p v q) A ( ~ q v q) A (~-qV ~ r)
A~ (q
A r ) «
A( - q
v
Observe-sc que uma outra FNC da proposição dada c:
0 ~ P V q) A ( ~ q V ~ r )
equivalente à anterior. Assim sendo, uma mesma proposição pode ter mais
de uma FNC, mas equivalentes.
(2) D eterm inara FNC da proposição: ( p -> q)^—+ ( - q * - p)
Resolução —Temos, sucessivamente:
t e p V q ) ^ (>• - q V - p ) *=* ( - p V q) * ►(q V ~ p )
( - ( ~ p v q ) V ( q V - p ) ) A ( ( ~ p V q ) V ~ ( q V ~ p)) <=>
( ( ----- p A ~ q ) V ( q V - p ) ) A ( ( ~ p V q ) V ( ~ q A — - p ) ) ^
((p A ~ q ) V ( q V ~ p ) ) A ( ( ~ p V q ) V ( ~ q A p)>
( p V q V - p ) A (~ ~ q V q V ~ p ) A ( ~ p v q V ~ q ) A ( ~ p V q V p)
Observe-se que a proposição dada é tautológica, pois, cada elemento da sua
FNC é tautológico. Realmente, o 19 elemento contém p c ~ p , o 29 elemento
contém q e - q, o 3? elemento contém q c ~ q , e, finalmente, o 49 elemento
contém p e ~ p .
De modo geral, é tautológica toda a proposição cujos elementos da sua FNC
encerram, cada uni deles, uma proposição e a sua negação, isto é, cujos
elementos são todos tautológicos.
84
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
(3) Determinar a PNC da proposição: p <—* q v ~ r
R e s o l u ç ã o — Temos, sucessivamente:
(p -+ (q V~ r)) A ((q V ~ r) -*• p)
*=> (—p V q V - t ) A (' (q V ~ r ) V p)
<-=5- (~ p v q V ~.r) A ( ( - q A r ) v p)
*=* (~ p V q V ~ r ) A (p v ~ q ) A (p V r)
V
FORMA NORMAL DISJUNTIVA
Definição - Diz-se que uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND)
se e somente se são verificadas, as seguintes condições:
(1) Contém, quando muito, os conectivos ~ , A e V ;
(2) - não aparece repetido (com o —'- j e não tem alcance sobre A e V (isto é,
só incide sobre letras proposicionais);
(3) A não tem alcance sobre v (isto é, não há componentes do tipo p A (q v r)).
Exemplificando, estão na FND as seguintes proposições:
-p
V q,
p V (-q
A r ),
(p A ~ q ) V (~ p A - q
A
r)
Para toda proposição pode-se determinar uma FND equivalente mediante as
seguintes transformações;
(1) Eliminando os conectivos
e «—* mediante a substituição de p -»■ q por
~ p V q e de p ^ q por ( ~ p V q) A (p V ~ q );
(2) Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos de ~ pelas regras da
“Dupla negação” e de “ DE MORGAN” ;
(3) Substituindo p A (q V r) e (p v q) A r pelas suas equivalentes respectivas
(p A q) V (p A r) e (p A t) V (q A x).
Exemplos;
(1) Determinar a FND da proposição: (p
Resolução Temos, sucessivamente:
(~ p
V q) A (~ q V p ) «
q) A (q -»■ p)
( ( - p v q ) A ~ q ) V ((~ p v q j A
( ~ p A ~ q ) V (q A ~ q ) V ( ~ p
p ) «
A p) V (p A q)
Observe-se que uma outra FND da proposição dada c ( ~ p A —q) v (p A q),
equivalente à anterior. Portanto, uma mesma proposição pode ter mais de
uma FND, mas equivalentes.
IN IC IA Ç Ã O
A LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
85
(2) Determinar a FN'D da proposição: ~ (((p V q) A ~ q ) V (q A t))
Resolução Temos, sucessivamente:
~ ( ( p v q) A ~ q ) A ~ (q A r ) »
<=> ( ~ ( p V q ) V '—
q ) A ( ~ q V ~ r ) <=»
V q ) A ( - q V ~ r)
<=> ( ( ( — p A ~ q ) V q ) A ~ q ) V ( ( ( ~ p A ~ q ) Vq ) A~ r ) ^
<=> (~ p A ~ q A —q) V ( q A ~ q ) V (~~p A~ q A~ r ) V ( q
((~ p A ~ q )
A ~r)
Observe-se que uma outra FND da proposição dada é;
(~ p A ~ q ) V (~ p
A -q A
- r ) V (q A ~ r )
equivalente à a n te r io r .
Im porta notar que é contraválida toda a proposição cujos elementos da sua
FND encerram, cada um deles, uma proposição e a sua negação, isto é, cujos
elementos são todos contraválidos.
7.
PRINCÍPIO DE DUALIDADE
Seja P uma proposição que só contcm os conectivos
A e V . A proposição
que resulta de P trocando cada símbolo A por V e cada símbolo V por A cha­
ma-se a dual de P. Assim, p. ex ,, a dual de ~ ((p A q) V ~ r ) ó ~-((p v q) A — r).
Princípio de dualidade: Se P e Q são proposições equivalentes que só contém os
conectivos— . A e v , então as suas duais respectivas Pi c Q i tambcm são equiva­
lentes.
Assim, p. ex., da equivalência p A (p v q) c=> p deduz-se, pelo Princípio de
dualidade, a equivalência p v (p A q )< = » p .
Analogamente, a partir de (p A ~ p ) v
deduz-se, pelo Princípio dc
dualidade: (p v ~ p ) A q*=* q.
EXERCÍCIOS
1. Demonstrar as equivalencias:
(a )
p A (p v
q ) «*=»■ p
(b )
p v ( p A q ) < =>p
Dem. — Temos, sucessivamente:
(a)
(b)
p A (p V q ) <==> (p V c) A (p V q ) ^
p v (p A q ) <=* (p A t) V (p A q) =
p V (c A q) ■<=> p V C <=> p
p A (t v q ) ^ p A t » p
É D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
86
2. Simplificar as proposições:
(a)
'~L'- p -> •'-q )
Resolução
(a)
(b )
(b )
- ( p V q ) v (~ p A q )
Temos, sucessivamente:
- ( - p -+ ~ q ) <=> ~ ( ~ ~ p v ~ q ) ^ ~ (P v ~ q ) ^ ~ P A 9
- ( p V q ) v ( - v p A q ) « ( — p A ~ q ) V ( ~ p A q ) <«=»• ~ p A ( ~ q V q)
~ p A T •<=*• P
3. Simplificar as proposições:
v ^ qj
(a )
-(p
(c)
(e)
~ (~ p V ~ q)
( p -> q ) A C - p -»• q )
(b )
~ (~ p
(d)
(f)
(p V q ) A ~ p
p A (p q) A
A q)
(p -> ~q)
4. Demonstrar a equivalência: p -> q <—> ((p t p) t (p f p)} ^ (q t q)
5. Usar o “ Método dedutivo” para demonstrar;
(a )
p A -p = > q
(b )
~ p -* p < = > p
(c)
(d )
(p
(e)
p^p A q«p-^q
( p -►r) V (q -* r)
(0
(p - ^ q ) A (?-*■ r ) « = * p - > q A r
q) -+ q <=> p V q
pA q^i
6. Demonstrar: p t q ■•*=* ((p 4- p) 4- (q l q)) l ((p f p) l (q i q))
7. Determinar uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente paracada
das seguintes proposições:
(a)
( c>
p -^ q
p 4-» - p
(e)
p tq
(g)
(ij
00
(m)
p t ~p
(p A - p ) 4 (q A ~ q )
(p t q) <~> p
p t~ (q v
r)
(b)
(d)
(f)
(H)
(j)
(1)
(n)
uma
p -^ p
p v ~p
p t p
p ^q
(~ p A q) V q
~ p 1 ( q v p)
<M ~P t ~ q ) ) l ( r - *
8. Determinar uma fornia normal disjuntiva (FND) equivalente para cada uma
d a s s e g u in t e s p r o p o s i ç õ e s :
(a )
~ (~ p
V ~q)
(b )
~ (p -* q )
(c)
(e)
( p -> q ) A ~ p
(d )
q) V - p
(f)
~ (P V q )
~ (p a q)
(h )
p ^ ~ p
(0
pv - p
Pt q
0)
p q
00
p t p
(1 )
p
(g )
(p ^
t~ p
Capítulo
9
Argumentos. Regras de Inferência
1.
DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO
Sejam P | , P2, . . . . , Pji (o > 1) c Q proposições quaisquer, simples ou compostas.
Definição
Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequência
finita P f , P2, . . . , Pn (n > 1) de proposições tem como consequência ou acarreta
uma proposição final O.
As proposições P , , P2, . . . , Pn di?,em-se as premissas do argumento, c a
proposição final Q diz-se a conclusão do argumento.
Um argumento de premissas P , , P2, . . . . Pn e dc conclusão Q indica-se por:
P 3, P 2, . . . , P n t— Q
e se lê de uma das seguintes maneiras:
(i)
(ü)
(iii)
(iv)
“ P j, P2, . . . , Pn acarretam Q”
“Q decorre de P ( , P2, . . . , Pn ”
“Q se deduz. dc P |, P2, . . . , Pn ”
“ Q se infere de P j, P2,. . . , Pn ”
Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão ch ama-se silogis­
mo.
2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Definição
Um argum ento P i , P2 v . . . , Pn 1— Q diz-se válido se c somente se
a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P l5 P2 ......... Pn são
verdadeiras.
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
S8
Em outros termos, um argumento P j, P2, .• .> Pn I---- Q é válido se e somente
se fór V o valor lógico da conclusão 0 todas as vezes que as premissas P | , P2>• • -sPn
tiverem o valor lógico V.
Portanto, todo argumento válido goza da seguinte propriedade característica:
A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.
Um argumento não-válido diz-sc um sofisma.
Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é válido
(correto, legítimo) ou F sc c um sofisma (incorreto, ilegítimo).
Às premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos admitidas como
, tal. AÜás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a
verdade ou a falsidade das premissas e das conclusões.
A validade de um argum ento depende exclusivamente da relação existente
entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento c
válido significa afirmar que as premissas estão de tal m odo relacionadas com a
conclusão que não é possível ict a conclusão falsa sc as premissas são verdadeiras.
3. CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Teorema - Um argumento P j, P2, . . . , Pn b
condicional;
Q c válido se e somente sc a
(P, A P2 A . . . A P n )-* Q
(l)
é tautológica.
Derti. - Com efeito, as premissas Pi-, P?> ■■• >Pn são todas verdadeiras se e
somente se a proposição Pt A P2 A . . . A Pn c verdadeira. Logo, o argumento
P ,, P2, . . . , Pn |-----Q é válido sc e somente se a conclusão Q é verdadeira
todas as vezes que a proposição P, A P2 A • . - A Pn é verdadeira, ou seja, sc e
somente sc a proposição P t A P2 A . . . A Pn implica logicamente a conclusão Q:
P, A P iA . . . A P,i -> Q ou, o que é equivalente, se a condicional (1) é tautológica.
NOTA
Se o argumento
P, (p, q, r , . . .), . . . , Pn(p> q»T, • ■•) I----- Q(p, q, h ■• •)
é válido, então o argumento da “mesma forma":
P ,(R , S, T
,
, Pn(R , S, T , . . . ) |----- Q(R, S, T , . . .)
também é válido, quaisquer que sejam as proposições R, S, T , . . .
89
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
Exemplificando, do argumento válido p |----- p v q (1) segue-se a validade
dos argumentos:
(~ p A r>)-----(~ p A r) V (~ s -» r);
(p -*■ r V s) h— (p
r V s) V ( ~ r A s)
pois, ambos têm a mesma forma de (1).
Portanto, a validade ou não-validade de um argum ento depende apenas da sua
forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade das proposições quo o
integram. Argumentos diversos podem ter a mesma forma, e como 6 a forma que
determina a validade, é lícito falar da validade de uma dada forma ão invés de
falar da validade de um dado argumento, E afirmar que uma dada forma é
válida equivale a asseverar que não existe argumento algum dessa forma com premis­
sas verdadeiras e uma conclusão falsa, isto c, todo argumento de forma válida é
um argumento válido. Vice-versa, dizer que um argumento c válido equivale a
dizer que tem forma válida.
4. CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO
Consoante o Teorema anterior (§3), dado um argumento qualquer:
P |, P 3..........P.,f------ Q
a este argumento corresponde a condicional:
(P, A P j A . . . A Pn)-+ Q
cujo antecedente 6 a conjunção das premissas c cujo consequente é a conclusão,
denominada '■‘condicional associada” ao argumento dado.
Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas
são as diferentes proposições cuja conjunção formam
o antecedente c cuja
conclusão c o consequente.
Exemplificando, a “condicional associada” ao argumento:
p A -q ,
p - * ~ r , qV ~ sf----- ~ (r V s)
é
(p A - q) A (p
~ í ) A (q V ~ s ) -+ ~ ( r V s)
e o “ argumento correspondente” à condicional:
(p -+ q V r) A ~ s A (q V r -*■s) -> (s -*» p A ~ q)
é
p - > q V r , ~ s,
q V r - > s |---------- s - » - p A ~ q
go
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
5.
ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente) os cons­
tantes da seguinte lista:
I. Adição (AD):
(i)
p I------ p
v q;
(ii)
p I------q V p
p A q |------ p ;
(ii)
p A q |----------- q
(ii)
p, q |------- 9 A P
* II. Simplificação (SíMP):
(i)
III. Conjunção (CONJ):
(i)
p, q i----- p A q ;
IV. Absorção (ABS):
P ^ q i -----p ~ * (p A q)
V,
Modus
ponens
(MP):
p^q>
VI.
Modus
tollens
—
q
(MT):
p -» q ,
~ q |------ ~ p
VIL Silogismo disjuntivo (SD):
(i)
p V q,
~ p |----- q;
(ii)
p V q,
~ q l------p
VIII. Silogismo hipotético (SH):
p -> q,
IX.
q -> 11----- p -+ r
Dilema construtivo (DC):
p -+ q,
r -»• s,
p V ri-----q v s
91
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
X. Dilema destrutivo (DD):
p ^ -q ,
r -> s ,
~ q V ~ s l ------- ~ p V
A validade destes dez argumentos c consequência imediata das tabclas-vcrdade
construídas no C apítulo 5 e do Teorema anterior.
6. REGRAS DE INFERÊNCIA
O s a rg u m en to s
básicos d a lis t a a n t e r i o r s ã o u s a d o s p a r a f a z e r ‘Inferências",
i s t o é, e x e c u t a i os “ p a s s o s ” d e uma dedução o u demonstração, e p o r i s s o c h a m a m - s e ,
de inferência, s e n d o h a b it u a l e s c r e v ê - lo s n a f o r m a p a d r o n i z a d a
c o l o c a n d o as premissas s o b r e um t r a ç o h o r i z o n t a l e , c m s e g u id a ,
a conclusão s o b o m e s m o t r a ç o .
ta m b é m , regras
a b a i x o in d ic a d a
I. Regra da Adição (AD):
11. Regra de Simplificação (SIMP):
(D
PAq
p
Hl, Regra d a Conjunção (CONJ):
(ü)
*q
q AP
P A q
ÍV. Regra da Absorção (ABS):
P "* q
p -+(p A q)
V. Regra Modus ponens (MP):
p -^ q
P
q
92
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
VI. Regra Modus tollens (MT):
p^q
-~p
VII. Regra do Silogismo disjuntivo (SD):
(i)
p Vq
(ii)
q
p V q
-q
p
VIII. Regra do Silogismo hipotético (SH):
p -* q
q -» r
P -+ r
IX. Regra do Dilema construtivo (DC):
p-> q
r -> s
pV r
q Vs
X. Regra do Dilema destrutivo (DD):
p -+ q
r ->■$■
~q V~s
-p V -r
Com o auxílio destas dez regras de inferência pode-se demonstrar a validade dc
um grande número dc argumentos mais complexos.
7.
EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA
Damos a seguir exemplos simples do uso de cada uma das regras de inferência
na dedução de conclusões a partir dc premissas dadas.
1.
Regra da Adição — Dada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua
disjunção com qualquer outra proposição, isto é, deduzir p v q, ou p v r,
ou s V p, ou t V p, etc.
93
IN IC IA Ç Ã O Â LÓGtCA M ATEM ÁTICA
Exemplos:
(a)
(c)
(*)
(b)
(1)
P
(2)
pV
(D
p A q
(2)
( p A q) V r
(D
x*0
P
~q
(d)
P
P
(f)
x ^ O V x =# 1
11.
(1)
(2)
-P
p
q v ~p
(D
p v q
(2)
( r A s ) V (p V
(D
(2)
X <
P
1
q)
p
x=2v x< 1
Regra da Simplificação
Da conjunção p A q d e duas proposições se pode
deduzir cada uina das proposições, p ou q.
Ex■emplos:
(a)
(c )
III.
(1)
(p v q )A i
(2 )
p V q
(1)
x > 0
(2 )
x =# 1
(b )
P
(1)
p A ~q
P
(2)
A x # l
P
(d)
(1)
x £ A A ,x L- B___ P
(2 )
Regra d a Conjunção
P e r m it e deduzir d e d u a s p r o p o s i ç õ e s d a d a s p c q
conjunção p A q o u q A p ( c o n c l u s ã o ) .
(p r e m i s s a s ) a s u a
Exemplos:
(a)
(c)
(1)
pvq
(2)
~ r ____ P
(1)
(2)
pvq.
9Vr
(3)
(pVq)A
~r
(3)
(p V q) A ( q V r)
(1)
(2)
x<5
x> 1
(3)
x > 1A x < 5
P
(b)
(d)
(1) x G A
(2) x ^ B
7 Íj
x"^ B A
P
P
x € A
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
94
IV, Regra da Absorção
Esta regra permite, dada uma condicional nomo
premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo
antecedente p e cujo consequente é a conjunção p A q das duas proposições
que integram a premissa, isto c, p ^ p A q.
¡'.xvmplos:
(a)
(1)
x = 2 -> x < 3
(2)
x - 2 -> x - 2 A x < 3
P
(b)
(D
x G A -+ x € A U B
(2)
x ê A -^ x G A A x é A U B
P
. Regra Moduiv ponens - Também c chamada Regra de separação e ]permite
deduzir q (conclusão) a partir de p -+ q c p (premissas).
Exemplos:
(a)
(c)
(c)
(D
(2)
~p
~p
~q
(3)
-q
(1)
(2)
p -■> q A r
(3)
qA r
(0
(2)
X ^
(3)
x+y> 1
P
P
P
(b)
P
P
0 -* X + y > 1
x^O
(d)
P
P
(0
(1)
(2)
p A q -* r
p Aq
P
P
(3)
r
(0
(2)
~pv r^ sA -q
(3)
s A ~q
(D
(2)
x6A H B ^x6A
(3)
x6A
P
P
-p V r
x e a o b
P
P
VI. Regra Modus. tollens
Permite, a partir das premissas p - q (condicional) e
~ q (negação do consequente), deduzir como conclusão ~ p ( negação do ante­
cedente).
Exemplos:
(»)
(1)
q A r-+ s
(2)
(c)
(3)
~ (q A r)
(1)
(2)
p^qv r
~ (q v r)
(3)
~p
p
p
p
p
(b)
(d)
(D
(2)
p -> ~ q
~vq
(3)
~p
(D
(2)
x ^ 0 -» -x = y
x ifcy
(3)
x= 0
P
P
P
P
IN IC IA Ç Ã O À LÓGiCA M A T E M Á T IC A
95
VII. Regra do Silogismo disjuntivo — Permite deduzir da disjunção p v q dc duas
proposições e da negação ~ p (ou ~ q ) de uma delas a outra proposição
q (ou p).
Exemplos;
(a)
(c)
(1)
(2)
(p A q) V r
~~r
P
P
(b )
(3)
pa q
(1)
(2)
x - 0 V x —1 P
x* 1
______ P_
(3)
x=0
(1)
(2)
~p V - q
— p
P
( 3)
(d)
(1)
(2)
(3)
~ (p ■+ q ) v r
P
~ ~ ( p -» q) ____ P
r
VIII. Regra do Silogismo hipotético Esta regra permite, dadas duas condicionais:
p -> q e q -> r (premissas), tais que o consequente da primeira coincide com
o antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p r (conclusão)
cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da pre­
missa p - * q e o consequente da outra premissa q -> r (transitividade da seta
Exemplos:
(a)
(c)
P
P
(D
(2)
-p -* ~ q
~ q -> ~ r
(3)
~p^~r
(D
(2)
(p -> q) -> r
r -> (q A s)
(3J
(p -+ q) -+ (q A s)
(b)
P
P
(d)
(D
(2)
~ p -+ q V r
q V r -> ~ s
P
P
(3)
~ p ->■~ s
(1)
(2)
| x | = 0 -+ x = 0
x = 0 -> x + 1 = 1
(3)
1x | = 0 -í-x + 1 = 1
P
P
. Regra do Dilema construtivo — Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos
consequentes destas condicionais.
Exemplos;
(a)
(1)
(2)
(3)
(p A q )^ r
S—
>■t
(p A q) V s
(4.)
~r V t
F
P
P
(b)
d)
(2)
(3)
x < y x=2
x < y ->■x > 2
x<yv x<y
(4)
x~2V x> 2
P
P
P
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
X.
Regra do Dilema destrutivo
Nesta regra, as premissas são duas condicionais
e a disjunção da negação dos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção
da uegaçã» dos antecedentes destas condicionais.
K x cm p io s:
(a)
(I)
(2)
(3)
~ q -r
p -+ ~ s
—r V
(4)
~ ~ q v -p
(b)
P
P
P
(1)
(2)
(3)
x + y ~ 7 -» x = 2
y - x = 2 -* x = 3
x # 2 V x ¥= 3
(4)
x + y ¥= 7 V y -
P
P
P
x# 2
EXERCÍCIOS
1. Construir a “ condicional associada” a cada um dos seguintes argumentos:
(a)
~p,
(b )
p -> q 1-------~ ( p A ~ q )
(ç)
(d)
p, p ^ q, ~ q V (r A s)i------ r
As
x = y -> x = 5, x - 5 ^ x < ? , 1-------x = y -> x < z
~ q - + p i --------9
2. Construir o argumento (premissas e conclusão) correspondente a cada uma das
seguintes condicionais:
q( b )
(a )
p A (q V ~ p )
(c)
~ (x < 0 A y =£ x)
( p -* q) A ( p A
~ q) -+ S
x < 0 V y = x.
3. Indicar a Regra de inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos:
( a)
(b )
(c )
(d)
(c)
(f)
(g )
(h )
( i)
(j)
(k )
p q I----(p -* q ) V - í
- p A ( q - * r ) | ------- p
p ^ q , q-s— rl--- p ^ ~ r
p -v (q ^ r), p |----q -+• r
(q V r) ^ ~ p , ~ ~ p I--------(q V r)
p -* q , í -+ ' “ S |-----(p -+ q ) A ( r - * ~ s )
(P A q )V .(~ p A r), ~ ( ~ p A f ) |-----p A q
p - q V r h - p - ^ p A ( q v r)
x + y = 7. -» y + x = zy x + y = z |— y + x = z
x , y € R -*>x + y e R , x + y ^ R | — x , y £ R
x ^ 0. x ^ 1 h - ~ x ^ 0 A x # 1
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M A T IC A
(m )
X < 0 V X = 1,
X #
97
1 1------- X < 0
( n ) x = i -y x < 3, x < 3 x + y
( o ) rr > 3 A n < 4 |---- rr < 4
— x = 1 -s- x + y < 5
Usar a regra “ Modus ponens” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes
pares de premissas:
(x > y A y > z) -> x > z
x> ya y > ¿
(d)
(1)
(2)
2 > 1 -* 3 > 1
2> 1
x +] = 2
x + 1 - 2 -> y + l = 2
(0
( 1)
(2)
x +0 =. y -+ x = y
x+0=y
(1)
(2)
(c)
(D
(.2)
ti
(c)
ti
x ,y € E R - + x y £ R
x iy ë R
>
(I)(2)
X
(b)
(1)
(2)
(a)
(x = y A y = z) -> x - z
Usar a regra “ Modus tollens” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes
pares de premissas:
(a)
(1)
(2)
x ^ 0 -> x + y ^ y
x+y =y
(b)
(1)
(2)
x = z -> x = ó
x^ 6
(c)
(1)
(2)
(p
q) ~ ( r a s)
- ~ < r A s)
(d)
( 1)
(2)
x > 3 -> x > y
x> y
Usar a regra do “Silogismo disjuntivo” para deduzir a c o n c l u s ã o de cada u m dos
seguintes pares de premissas;
(a)
(c)
(1 )
x + 8=
12 v x ^ 4
(2 )
x + 8 &
12
(l)
sV(rAt)
(b)
(d)
(2)
(1)
y < 6 V x + y < 1 0
(2 )
x + y < 10
(U
( 2)
'P V ~q
'~ q
7. Usar a regra do “ Silogismo hipotético5' para deduzir a c o n c l u s ã o d e cada um dos
seguintes pares de premissas:
(a)
(1)
(2)
p -+ rv ~s
r V ~ s -> t
(b)
(1)
(2)
x = 3 -+ x < y
x < y -> x + l
(c )
( I)
s V t -+ r A q
(d )
(1 )
(2 )
r A q -* ~ p
xy = 6 -+ xy + 5 = 11
xy + 5 - l l - > y = 2
(2 )
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
98
8. Usar a regia do “Dilema construtivo” para deduzir a conclusão dc cada um dos
seguintes ternos de premissas:
(a)
(c)
(1)
(2)
(3)
p -v r
—q -+ ~ s
(1)
(2)
(3)
y = 0 -*■ x y
(b)
p V~q
=0
y > 1 -*■ xy > 3
y=0Vy> 1
(d)
(D
(2)
(3)
x = 5 V x < y
0)
(2)
(3)
x = 2 -*• x 2 = 4
x - 5 ->• x > 3
x < y
-*■
¿< 2
x = 2 V y = 3
y = 3 -+ y2 = 9
Usar a regra do “'Dilema destrutivo” para deduzir a conclusão de
seguintes ternos de premissas:
(a)
(b)
(3)
p A q -+ r
q -> r A s
~~r V ~ ( r A s )
0)
(2)
(3)
p -*• ~ r A q
~ (~ r A q) v ~
~ q -»■s
(D
(2)
(3)
x < 3 -*• x ^ y
x > 4 -+ x < y
x =y V x < y
(d)
(D
(2)
(3)
x
(D
(2 )
(c)
y =£ 18
= 2 -» y = 9
x = 8 -* -y = 18
y # 9 v
Capítulo
10
Validade Mediante Tabelas-Verdade
1. As tabelas-verdade podem scr usadas para demonstrar, verificar ou testar a
validade de qualquer argumento.
Dado um argumento:
P i I P 2 , . . . ) Pnl -----Q
(1)
cumpre constatar se é ou não possível ter V(Q) - F quando V(P,) = V(P2) = . . .=
= V(Pn) = V. Para isso, o procedimento prático consiste em construir uma tabela-verdade com uma coluna para cada premissa e a conclusão, e nela identificar as
linhas em que os valores lógicos das premissas P j , P2 , . . . , Pn são todos V. Nessas
linhas, o valor lógico da conclusão Q deve ser também V para que o argumento dado
(1) seja válido. Se, ao invés, em ao menos uma dessas linhas o valor lógico da
conclusão Q for F, então o argumento dado (1) é não-válido, ou seja, é um sofisma.
Uma outra alternativa para demonstrar, verificar ou testar a validade do argu­
mento d a d o ( l ) consiste cm construir a “condicional associada’’;
( P , A - P 2 A . . . A Pn) - 0
e reconhecer se esta condicional é ou não uma tautologia mediante a construção da
sua respectiva tabcla-verdade. Sc esta condicional c tautológica, então o argumento
dado ( l ) é válido. Caso contrário, o argumento dado (1) é um sofisma.
2.
EXEMPLIFICAÇÃO
(1) Verificar se é válido o argumento: p -+■q, q |----- p
Resolução Construamos a seguinte tabela-verdadc:
V
q
v
v
F
F
v
F
F
p
p->q
v
F
v
v
«- t
*- 3
E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O
100
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3, c a conclusão figura
na coluna 1. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 1 e 3. Na linha I a
conclusão lambem c verdadeira (V), mas na linha 3 a conclusão é falsa (F). Logo, o
argumento dado não é válido, ou soja, é um sofisma, pois, a falsidade da conclusão é
compatível com a verdade das premissas.
Observe-se que esta forma de argumento não-válido apresenta certa semelhança
com a forma dc argumento válido Modus ponens. Tem o nome de “ Sofisma de
afirmar o consequente” .
(2) Verificar se c válido o argumento: p -* q, ~ p i-------- q
Resolução Construamos a seguinte tabela-verdade:
p
v
v
F
F
9
v
F
v
F
P-*<1 ~p
F
v
F
F
v
v
v
v
F
v
F
v
3
*- 4
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 3 e 4, e a conclusão
(igura na coluna 5. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 3 e 4. Na
linha 4 a conclusão também é verdadeira (V), mas na linha 3 a conclusão é falsa (F).
Logo, u argumento dado não é válido, ou seja, é um sofisma.
Observe-sc que esta forma de argumento não-válido apresenta certa semelhança
com a forma de argumento válido Modus tollens. Tem o nome de “Sofisma de negai
o antecedente” .
(3) Verificar a validade do argumento: p
q, q i— p
Resolução — Construamos a seguinte tabeia-verdade:
9
P
v
v
F
v
v
F
F . F
p ^ q
v
F
F
v
<- I
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3, o a conclusão
figura na coluna 1. As premissas são ambas verdadeiras (V) somente na linha 1, c
nesta linha a conclusão também é verdadeira (V), isto é, não é possível ter premissas
verdadeiras c conclusão falsa. Logo, o argumento dado é válido.
101
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A
(4) Testar a validade do argumento: p v q, ~ q , p~+r
Resolução - Construamos a seguinte tabela-verdade:
q
v
v
F
F
v
v
F
F
p
v
v
v
v
F
F
F
F
r
P V q
~q
p ^
v
F
v
F
v
F
v
F
v
v
v
v
v
v
F
F
v
v
F
F
v
v
v
F
v
F
v
v
v
v
F
F
r
<- 3
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4, 5 e 6, e a conclusão
figura na coluna 3. As três premissas são verdadeiras (V) somente na linha 3, e nesta
linha a conclusão também é verdadeira (V), isto é, não é possível ter premissas
verdadeiras e conclusão falsa. Logo, o argumento dado e válido.
(5) Testar a validade do argumento:
Se
y >
x. = 0
e
y = z, então y > 1
1
Portanto, y =£ t
Resolução
R e p r e s e n t a n d o as tr ê s p r o p o s i ç õ e s s im p le s x = 0 , y = z e y > l
r e s p e c t i v a m e n t e p o r p , q e r, o a r g u m e n t o d a d o s o b f o r m a s im b ó lic a e s c r e v e - s e :
~ r f------ ~ q
p A q - > r,
Posto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:
p
v
v
v
v
F
F
F
F
q
v
v
F
F
v
v
F
F
r
P A q
p A q -> r
~r
~ q
v
F
v
v
v
F
F
F
F
F
F
v
F
v
v
v
v
v
v
F
v
F
v
F
v
F
F
v
v
F
v
v
F
v
F
v
F
v
F
F
102
E D G A R O DE A L E N C A R F I L H O
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 5 e 6, e a conclusão
figura na coluna 7. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 4, 6 e 8.
Nas linhas 4 e 8 a conclusão também c verdadeira (V), mas na linha 6 a conclusão
é falsa (F), isto é, a falsidade da conclusão ê compatível com a verdade das premissas.
Logo, o argumento dado não é válido, ou seja, é um sofisma.
NOTA
Para demonstrar que um argumento é não-válido basta encontrar um
argumento da mesma forma e que tenha, no entanto, premissas verdadeiras c con­
clusão falsa, lista maneira de demonstrar a não-validade dc um argumento chama-se
“ Método do contra-excinplo” .
Iexemplificando, o seguinte argumento tem a mesma forma do que foi dado:
Se
l —0
0> 1
e
0-0,
então 0 > 1
_____________
Portanto, 0 ^ 0
À primeira premissa c verdadeira (V), porque o seu antecedente é falso, e a
segunda premissa é obviamente verdadeira (V), mas a conclusão c claramente falsa
(F). Logo, este argumento é um contra-exemplo que prova quo o argumento dado é
uão-válido (sofisma).
(6) Verificar se é valido o argumento: ~ p -> q, p I-— ~ q
Resolução A “condicional associada” ao argumento dado c:
((-~p
q) A p) -> ~ q
Construamos a tabela-verdade desta condicional:
p
9
^p
v
v
v
F
F
F
F
v
F
F
v
v
~ p - > q (~ p -> q) A p ~ q ( ( ~ P ^ q ) A p)-* ~ q
v
v
v
F
v
v
F
F
v
F
F
v
v
v
v
F
Na última coluna desta tabela-verdade figuram as letras V c F. Logo, a “ con­
dicional associada” nao é tautológica e por conseguinte o argumento dado não é
válido, ou seja, é um sofisma.
Chega-se a mesma conclusão observando que as premissas do argum ento dado
são ambas verdadeiras (V) na linha 1 e que nesta linha a conclusão c falsa (F).
103
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
(7) Verificar se é válido o argumento: p q i---- p - > q V r
Resolução — A “condiciona! associada” ao argumento dado é:
(p -+ q) -+ (í> -+ q V r)
Construamos a tabela-verdade desta condicional:
p
q
r
p-*q
qv r
v
v
v
v
v
v
v
F
v
v
F
F
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
v
F
F
v
F
F
F
v
v
v
v
F
F
p -*■q V r (p ^ q) -> (p -> q V r)
v
v
v
F
F
v
v
v
v
v
v
v
F
v
v
v
v
v
v
v
v
*- 1
«-2
4-5
6
<-7
-8
Na última coluna desta tabela-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo,
a “condicional associada” é tautológica c por conseguinte o argumento dado é
válido.
Chega-se a mesma conclusão observando que a premissa do argumento dado é
v e rd a d e ira (V) nas linhas 1, 2, 5, 6, 7 c 8, c cm cada uma destas linhas a conclusão
c verdadeira (V).
(8) Testar a validade do argumento:
Se
Se
x = 0, então x + y = y
y=
então x + y ^ y
Logo, se x = 0, então y =£ z
Resolução — Representando as três proposições simples x - 0 , x + y = y c
y = z respectivamente por p, q e r, o argumento dado sob forma simbólica
escreve-se:
p -+ q ,
r
—q i-----p ->■~ r
Então, a “condicional associada” ao argumento dado é:
(p
q) A (r -+ ~ q ) -*• (p -»■~ r)
E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O
Posto isto, construamos a tabcla-verdadc desta condicional a fim de reconhecer
se c ou não uma tautologia:
(p
v
v
v
v
->
v
v
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
1
2
—
>
-q )
v
F
F
F
F
v
v
F
F
F
v
v
v
v
F
v
F
v
v
v
F
v
v
v
1
4
1
3
&
V
v
F
F
v
v
F
A
(r
F
v
F
F
v
F
F
V
v
v
v
v
v
v
v
v
v
2
5
(P
->
~ r)
v
v
v
v
F
F
V
F
v
F
v
F
F
F
F
v
v
v
v
v
1
3
-t- 2
F
v
F
v
<-6
4- 7
*- 8
2
Na coluna 5 desta tabcla-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a
“condicional associada” c tautológica e por conseguinte o argumento dado é válido.
Chega-se ao mesmo resultado observando que as premissas do argumento dado
são ambas verdadeiras (V) nas linhas 2, 6, 7 e 8, c em cada uma destas linhas a
conclusão também é verdadeira (V).
(9 ) Testar a validade do argumento:
Sc 8 não c par, en tão 5 não é primo
Mas 8 c par
Logo, 5 e primo
Resolução Cumpre, em primeiro lugar, passar o argumento dado para a forma
simbólica. Representando por p a proposição “ 8 c par” e por q a proposição
“ 5 é primo” , temos:
-p -* ~ q ,
p ,-----q
Posto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:
P
v
v
F
F
<1
v
F
v
F
~q
~p ^ ~ q
F
F
F
v
v
v
v
V
F
F
V
v
~p
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A
1055
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 1 e 5, e a conclusão
figura na coluna 2. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas I e 2, mas na
linha 2 a conclusão é falsa (F). Logo, o argumento dado é um sofisma, embora
tenha premissas e conclusão verdadeiras.
(10) Verificar a validade do argumento:
Se 7 é menor que 4, então 7 nao é primo
7 não é menor que 4
Logo, 7 é primo
Resolução
Seja p a proposição “ 7 é menor que 4 ” e q a proposição “ 7 é
primo”. Então sob forma simbólica o argumento dado escreve-se:
p ^ -q ,
~ p i-----q
Posto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:
p
9
"~9
p -*• ~ q
~p
v
v
F
V
F
v
F
F
F
v
v
v
F
F
F
v
F
V
v
v
-e- 3
4
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4 c 5, e a conclusão
figura na coluna 2. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 3 e 4, mas na
linha 4 a conclusão c talsa (F). Logo, o argumento dado c um sofisma, embora
tenha premissas e conclusão verdadeiras.
0 1) Verificar se 6 válido o argumento:
Se 7 6 primo, então 7 não divide 21
7 divide 21
Logo, 7 não é primo
Resolução
Representando por p a proposição “ 7 e prim o” e por q a propo­
sição “ 7 divide 21” , o argumento dado sob forma simbólica escrcvc-sc:
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Posto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:
3
As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 5. c a conclusão figura
na coluna 3. As premissas são ambas verdadeiras (V) somente na hnha 3, e nesta
tinha a conclusão também c verdadeira (V), Logo, o argumento dado é válido.
Observe-se que a primeira premissa e a conclusão deste argumento válido são
proposições falsas.
(12) Verificar a validade do argumento:
Se chove, Marcos fica resfriado
Marcos não ficou resfriado
Logo, não chovcu
Resolução - Representando por p a proposição “ Chove” e por q a proposi­
ção “ Marcos fica resfriado” , o argumento dado $ob forma simbólica cscreve-se:
p -* q ,
~ q i--------p
c por conseguinte é válido, pois, tem a forma do argumento válido Modus tollens (MT).
(13) Verificar se é válido o argumento:
Sc um homem é careca, ele é infeliz
Se um homem é infeliz., ele morre jovem
Logo, carecas morrem jovens
Resolução — Representando as proposições “ He é careca” , “ Ele é infeliz” e
“ Kle morre jovem ” respectivamente por p, q e r, o argumento dado sob for­
ma simbólica escreve-se:
p -*■ q,
q -» r |---- p -* r
e por consegirintc e válido, pois, tem a forma do argumento válido Silogismo
hipotético (SH).
10 7
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
(14) Testar a validade do argumento:
Se 8 6 par, então 3 não divide 7
Ou 5 não 6 primo ou 3 divide 7
Mas 5 é primo
Portanto, 8 c ímpar
Resolução
Representando as proposições simples “ 8 c par” , “ 3 divide 7" e
“ 5 é primo” respectivamente por p, q e r, o argumento dado sob furma
simbólica escreve-se:
p -> ~ q ,
~ r v q,
r h ------ P
Então, a “condiciona] associada” ao argumento dado é:
((p - > ~ q ) A ( ~ r V q) A r)
~p
Posto isto, construamos a tabela-verdade abreviada desta condicional a t u n
de reconhecer se c ou não uma t a u t o l o g i a :
A
v
v
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
v
v
~q)
F
F
v
v
F
F
v
v
F
F
F
v
v
v
F
v
1
3
2
4
((p
->
V
V
(~r
V
A
r)
F
v
F
v
F
v
v
F
v
v
v
F
v
q)
v
v
F
F
v
v
F
F
2
3
1
F
v
v
F
v
F
v
x r
V
F
~ p
F
F
v
v
F
v
F
F
v
v
v
v
v
v
v
v
5
1
6
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
2
+- 5
Na coluna 6 desta tabela-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a
“condicional associada” é tautológica e por conseguinte o argumento dado é válido,
Chega-se ao mesmo resultado observando que as três premissas do argumento
dado são ao mcsino tem po verdadeiras (V) somente na linha 5, e nesta linha a
conclusão também é verdadeira (V).
Notc-se que a segunda premissa e a conclusão deste argumento válido são pro­
posições falsas.
10g
3.
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
PROVA DE NÃO VALIDADE
0 método usual para demonstrar, verificar ou testar a não-validade de um dado
argumento P | , P j, . . . ,
[---- - O consiste çm encontrar uma atribuição de valores
lógicos às proposições simples componentes do argumento quo torne todas as pre­
missas P , , P2, . . . , Pri verdadeiras (V ) c a conclusão Q falsa (F ), o que equivale em
encontrar uma linha da labela-verdade relativa ao argumento dado em que os valores
logícos das premissas P , , P 2, . . . , Pn sã ° todos V c o valor lógico da conclusão Q
é K ti óbvio que, todas as vezes que seja possível encontrar essa atribuição de
valores lógicos, sem a construção da tabcla-verdade completa relativa ao argumento
dado, evita-se unia boa parte de trabalho.
Exemplos:
(1) Demonstrar a não-validade do argumento:
(p -+ q) V ~ (r A s),
p v s i -----r->-q
Dem.
Com a seguinte atribuição de valores lógicos às proposições simples
componentes do argumento dado:
F
os valores lógicos das duas premissas sao V e o valor lógico da conclusão é F,
pois, temos:
I? Premissa:
2í* Premissa:
Conclusão:
(F + F) V -~(V Á V )-= V V ~ V = V V F = V
F V V= V
V -» F - F
Logo, t) argumento dado c não-válido (sofisma).
(2) Demonstrar a não-validade do argumento:
p v ~-q>
~(~r A s),
~ ( - p A ~ s)l
-q -* r
Dem.
Com a seguinte atribuição de valores lógicos às proposições simples
componentes do argumento dado:
109
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A
os valores lógicos das três premissas são V e o valor lógico da conclusão é F,
pois, temos:
I? Premissa: V V ~ F = V V V = V
2? Premissa: ~ ( ~ F A F) = ~(V A F ) = ^ F = V
3? Premissa: ~ ( ~ V A ~ F ) = ~ ( F A V) = ~ f = V
Conclusão: —F -* F = V -*■ F = F
Logo, o argum ento dado não é válido (sofisma).
(3) Demonstrar que é não-válido o argumento:
p A q -*■ ( p - ^ r ) v s ,
p A ~r h
p V ~q
Dem.
Atribuindo às proposições simples componentes do argumento dado os
valores lógicos indicados pela tabela:
P
9
s
resulta o valor lógico V para as duas premissas c o valor lógico F para a
conclusão, pois, temos:
1? Premissa: V A V -* (V -+ F )V V = V -» -F V V = V ^ V = V
2? Premissa: V A - F = V A V = V
Conclusão:
VV - V" FV F= F
Portanto, o argumento dado nâo é válido (sofisma),
(4) Demonstrar que ê não-válido o argumento:
( 1)
(2)
(3)
x^O
x - 0 V ~ (x < I V y > x )
y > x -> y > l Ax + y > 2
y > 1
x < 1
Dem. - Atribuindo às proposições simples componentes do argum ento dado
os valores lógicos indicados pela tabela:
V
F
y>x
x=0
x< 1
y> i
x+y> 2
11Q
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
resulta o valor lógico V para as três premissas e o valor lógico F para a conclu­
são, pois, temos:
1? Premissa:
2? Premissa:
3Í* Premissa:
Conclusão:
~F = V
F V - ( F V ~ V ) = F V ~ (F V F) - F V ~ F = F V V = V
V -> V A V = V -+ V = V
V -> F = F
(5) Demonstrar a não-vaJidade do argumento:
(l>
x2 - 3 x + 2 = 0 - * x - I V x —2
(2)
x - 1 V x = 2 -+ 3 x > x 2
(3)
3x > x2
3x > x 2 V x = 1
Dem.
Atribuindo a todas as proposições simples componentes do argumento
dado o mesmo valor lógico F, resulta o valor lógico V para as três premissas e
o valor lógico F para a conclusão, pois, temos:
1'} Premissa:
2? Premissa:
3? Premissa:
Conclusão:
F -v F V F - F — F = V
F V F -> F = F -> F = V
~F = V
FV F= F
EXERCÍCIOS
1. Usar tabclavverdade para verificar que são válidos os seguintes argumentos:
(a)
p
(b)
(g)
p -> ~ q , r ^ p , q l------~ r
p - f q , r v - q , ~ r h - ------- p
p -> q V r,
|---- p -> r
p -> ~ q, p, ~ q -» r i----r
p A ~ q , ~ r -*■ q )— p Ar
p V ( q V r), ~ p ,
---- q
(h)
pv~q,
(c)
(d)
(e)
(f)
q,
r - ~ q |--- r ^ ~ p
~p,
-~ (pM )-+ q> --- r
2. Verificar mediante tabclas-verdade que são válidos os seguintes argumentos:
(a)
p -*■~ q ,
(b)
p -+ q A r,
q,
~ p -> r A s |----- r
|ç )
(dj
p v q, q -*■r, ~ r V s i--- s
p A q - + f, s -> p A q, s j---- - q V r
(e )
p v q,q -> r,
~ (q A r),~~p
p -+ s,
As
s |----- ~ p A s
~S|--------- r A (p V q)
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
3.
111
Usar tabelas-verdade para mostrar a validade dosseguintes argumentos:
(a)
(1)
(2)
(3)
x=Q ^x^y
x = / . -*x. = y
x-
(b)
(1)
(2)
(3)
x^ 0
( c)
( I)
(2)
(3)
x ¥=y -+ x + z
x ^ z -^ x ^ O
x=0
x. = 6 - » x > y
~ (y > S A
y > 5 -+ x > y
x> y
(d)
(3)
x=y
(1 )
(2)
y>x
y > x «—»■x = 0
xy = 0<—■* x = 0
xy # 0
4. Demonstrar a não-validade dos seguintes argumentos pelo “ Método de atribuição
de valores lógicos” :
p -> q, r -+ s„ p y s |------- q v r
~ (p A q), ~ p A ~ q - > r A s , S-> r [-----r
p<—> q V r , q <—>p V r, r ^ p v q, ~ p |-----q v r
p -+ q v r, s +-* r, —p V q |-----A
q
(p -*• q) -*■ r, r -*• ~ s V t, (s -> t) -*• u, u (----- p -» q
p -> -(q-*r), s -> ( t -> v), q -> s A t, ~ ( q A v) )p <—* r
-
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
5. Passar para a forma simólica e testar a validade do argumento:
Sc trabalho, não posso estudar
Trabalho ou passo em Física
Trabalhei
Logo, passei em Físíca
11
Capítulo
Validade Mediante Regras de Inferência
1. O método das tabelas-verdade permite demonstrar, verificar ou testar a validade
dc qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso à
medida que aumenta o numero dc proposições simples componentes dos argumentos.
Assim, p. ex., para testar a validade dc um argumento com cinco (5) proposições
simples componentes c necessário construir uma tabela-verdade com 2' = 32 linhas,
perspectiva nada animadora.
Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um
dado argumento P , , P2, . . . , Pn l-----Q consiste em deduzir a conclusão Q a partir
das p r e m i s s a s P , , P2 , . . . , Pn mediante o uso de c e r t a s r e g r a s de i n f e r ê n c i a .
2. EXEMPLIFICAÇÃO
(1) Verificar que é válido o argumento: p
Resolução
q,
p A r |-----q
Temos, sucessivamente:
(1)
UJ
p -^ q
pA r
(3)
p
q
(4)
P
P________ __
2 — S1MP
1 ,3 - M P
Da segunda premissa: p A r, pela Regra de Simplificação (SIMP), inlerimos p.
De p e da primeira premissa: p-» q. pela Regra Modus ponens(M P), inferimos
q, que é a conclusão do argumento dado.
11 3
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A
Assim, a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado
por meio d« duas Regras de inferência, e por conseguinte o argumento dado é
válido.
(2) Verificar que é válido o argumento:
pA q,
p v f - ^ s |-----p A s
Resolução - Temos, sucessivamente:
(U
PAq
(2)
pv r-> s
P
P
(3)
(4)
(5;
(6)
p
pv r
s
p a s
1 - SIMP
3 -A D
2,4 MP
3,5 - CONJ
Da primeira premissa: p A q, pela Regra de Simplificação (SIMP), inferimos p.
De p, pela Regra da Adição (AD). inferimos p V r. De p v r e da segunda
premissa: p v r ^ s , pela Regra Modus ponens (MP), inferimos s. De s e de p
(linha 3), pela Regra da Conjunção (CONJ), inferimos p A s, que é a conclusão
do argumento dado.
Assim, a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado
por meio de quatro Regras de inferência, e poi conseguinte o argumento dadoé
válido.
(3) Verificar a validade do argumento:
p
Resolução
(q
r),
p -* q,
pl
Ternos, sucessivamente:
(1)
p -> (q -r)
P
(2) p -*q
P
(3)
p
P
(4)
(5)
(6)
q^r
q
r
1,3 MP
2,3 - MP
4,5 - MP
(4) Verificar a validade do argumento:
E D G A R D OE A L E N C A R F I L H O
Resolução
Temos, sucessivamente:
(1)
(.2)
p -+ q
p Aq
(3)
- ; ( p A rj
P___________
(4)
( 5)
(6)
(7)
p -> p A q
p >i
p ■->p A r
~p
I — ABS
2,4 — SH
5 —ABS
3 ,6 - M T
r
P
P
(5) Verificar que é válido o argumento;
pv q ^ r,
Resolução
r Vq
(p -*■(s
>t)),
p A s |-----s +->• t
Temos, sucessivamente:
(1) p v q ^ r
P
(2)
(3)
r v q -> (p -+ (s <-+ t))
p as
P
P
P
p v q
r
r v q
p -+ ( s <
3 - S1MP
4 -A D
1,5 - MP
6
AD
2,7 - MP
4 , 8 - MP
74)
(5)
(6j
(7)
( 8)
(9)
S -J5—9- t
________
(6) Verificar que c válido o argumento:
p -> ->*■q,
Resolução
p -» (r
~ q), (~ s V ~ r) -> ~ ~ q ,
Temos, sucessivamente:
(1)
(2)
(3)
(4)
P -~ q
~ p -+ (r^ ~ q )
H V -r)-+ — q
~s
P
P
P
P
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
*~s v •'~r
— q
-p
r -s- ~ q
—r
4
— AD
3,5 - MP
1 ,6 - M T
2 ,7 - M P
6 ,8 - M T
I--------r
115
INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
(7) Verificar a validade do argumento:
p A q -> r,
r
t-> -u ,
s,
t,
~ s V ui--------(P A 9)
Resolução - Temos, sucessivamente:
(O
(2)
(3)
(4)
(5)
p A q-> r
r -* s
t -» ~ u
t
~s V u
P
P
P
P
P
(6)
(7)
( 8)
(9)
~u
~s
~r
~ (p A q)
3,4 - MP
5,6 - SD
2,7 - MT
1,8 - MT
(8) Verificar a validade do argumento:
p ^ q,
q
s
r
1,
p v s 1-----r V t
Resolução - Temos, sucessivamente;
(1)
(2)
(3)
(4)
p -* q
q -+ r
s -+ 1
pv s
P
P
P
P
(5)
(6)
p^r
rV t
1,2 - S H
3,4,5 - DC
(9) Verificar a validade do argumento:
p -*■ q,
-*■(s -» t),
r V (p v s),
Resolução — Temos, sucessivamente:
0)
(2)
(3)
(4)
p^q
~ r -►(s -> t)
r V (p V s)
~r
P
P
P
(5)
(6)
(?)
s -*> t
2,4 - MP
3,4 - SD
1,5,6 - D C
pVS
q V t
*-r 1-----q V t
E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O
11 6
(10) Verificar que é válido o argumento:
p -* q,
Resolução
(p-*r)-*svq,
pAq^i,
\-----q
Temos, sucessivamente:
(1)
(2)
(3)
(4)
P-* q
(p -> r) -* s V q
p A q -> r
~s
P
P
P
P
(5)
(6)
(7)
(8)
p^p A q
1 -A B S
3,5 SH
2,6 MP
4,7 SD
p -* r
SV q
q
Verificar a validade do argumento:
p V (;— T A — -q),
P-* ^
Resolução
(I)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
s-* ~ r,
~ (p A
Temos, sucessivamente:
P
P
P
P
p -v q
p v (~-*r A ~ ~ q )
S-+ —r
~ (p A q)
I
ABS
4,5
MT
2,6 - SD
7 - SIMP
3,8 MT
9 - AD
p +p A q
~p
——r A ~ ~ q
-— r
~s
—s v ~ q
Verificar a validade do argumento:
p -> r,
Resolução
q -> s,
~ r,
(p V q) A (r V í
Temos, sucessivamente:
(0
p -* r
(2)
(3)
(4)
q -> s
( P
(5)
( 6)
(?)
p V q
r V s
s
V q ) A ( r V s)
P
P
P
P
4
- SIMP
1,2,5 DC
3,6 - SD
'S V
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A
Verificar que é válido o argumento:
p -> 9 ,
Resolução
q -*■ r,
r -+ s,
S,
pV t
Temos, sucessivamente:
(O
(2)
(3)
(4)
(5)
p -> q
q^r
r -* s
~s
pv t
P
P
P
P
P
(6)
(?)
(8)
(9)
p -*■ r
p -+ s
1,2 — SH
3,6 — SH
4,7 - MT
5,8 - SD
t
Verificar que e válido o argumento:
(p -* q) A (r
Resolução
s),
t- » u ,
u—
* v,
qV
T em os, sucessivamente:
d)
(2)
(3j
(4)
(p -* q) A (r -* s)
t—
>u
u* v
~ q V ~v
P
P
P
P
(5)
(6)
(7)
t—
>v
p-* q
~ p V '“t
2,3
1
4,5,6
SH
S1MP
( 15) Verificar a validade do argumento:
x = y -» x = / ,
Resolução
x~ -+ X -L
x = 0 ^ x ^ 1,
Temos, sucessivamente:
( I)
(2 )
(3)
(4)
x = y -+ x = z
x = z ->• x = 1
x = 0 ->■ x * l
x
=y
P
P
P
P
(5)
(6 J
(7)
x = y -* x = 1
x= 1
x^ 0
4.5 MP
3.6 - MT
1,2
Sil
EDGARD DE ALENCAR FILHO
118
(16) Verificar a validade do argumento:
Se
Se
Ou
Se
Mas
x = y, então x = /.
x = / , então x = t
x = y ou x - 0
x = 0, então x + u = 1
x+u
1
Portanto, x = t
Resolução
Temos, sucessivamente:
(U
(2 )
(3)
(4)
iíl
(6 )
(7)
(»)
(.9)
x = y -> x = /.
x = z -*■x - t
x =y V x=0
x = 0 -»x + u = l
X+ u 1
P
P
P
P
P
x=y
x 0
x=y
x=t
1,2 SH
4,5 — MT
3,7 SD
6,8
MP
x=t
(17) Verificar que c válido o argumento:
x. = y -*■ x =
x ^ y -> x < z ,
x<zV y>z,
y # z A x # z j ---- y > z
Resolução —Temos, sucessivamente;
( 1)
(2 )
(3)
(4)
x = y -» x = z
x # y -+ x ■< L
x < /. V y > z
y^ zA x# 2
P
P
P
P
(5)
x * /
x^y
x<z
y> z
4
(6)
(7)
(8)
-S IM P
1 ,5 - MT
2,6
3,7
MP
SD
EXERCÍCIOS
1. Usar a regra “ Modus pone ns” para deduzir de cada um dos seguintes ternos de
premissas a conclusão indicada:
(a) ( 1 )
(2 )
(3)
p-> q
q^r
P
r
(b)
(0
( 2)
(3)
p -^ -q
p
~q^i
r
119
IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
(c) ( 1 )
(2)
(3)
p q A r
q A r -* s
(d)
P
(D
(2)
(3)
~ p ->• q V r
s v t- * ~ p
s Vt
qV r
s
Usar a regra “ Modus poncns” para deduzir dc cada üm dos seguintes ternos de
premissas a conclusão indicada:
(a) 0 )
(2)
(3)
2 > 1-* 3 > 1
3 > 1 -* 3 > 0
(b)
2 > 1
(D
(2)
(3)
x=y
3> U
(c) Cl)
(2)
(3)
x + 1“ 2
x+l=2^-y+l-2
y+ 1 =2 x=y
x + Q= y~»x = y
x+0 =y
x = y-^x+-2=y + 2
(d)
CU
(2)
(3)
(a > b A b > c) -+ a > c
a> b A b > c
a > c -> a > 10
a > 10
x +2 - y +2
Usar a regra “ Modus poncns” para deduzir dc cada um dos seguintes conjuntos
de premissas a conclusão indicada:
(a) ( 1 )
(2)
(3)
(a = b A b = c)
a = i- c = a
a=b A b=c
=c
(b)
(1)
p -* ~^q
(2)
P
~ q -> r
r ~t
(3)
(4)
c=a
(c)
(l)
(d)
(2)
~ p -> q
q -» r
(3)
~P
(1)
(3)
P v q
P V q-*-~r
- r -+■ s A ~ t
(4)
s A ' l - > U W
(4)
r-*~s
u V v
Í5)
~ s -» t
t -4- u
(2)
(6)
4. Usar as regras “ Modus poncns” e “ Modus tollens” para deduzir de cada um dos
seguintes conjuntos de premissas a conclusão indicada:
(a) ( 1 )
( 2)
(3)
p -> q
~ p -+ r
~q
r
P
P
P
(b)
(0
p -» ~ q
( 2 ) -------q
(3 j - p ^ r A s
r A s
P
P
P
1 20
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
p^q
q -+ — r
s -+ ~ r
(C> 0 )
(2)
O)
(4)
P
P
P
P
P
(d)
■'~S
( 1)
x 4- 0 -> y = 1
P
(2)
(3)
(4)
x - y -*■y - 1
y = t -*.y =£ 1
p
P
x —y
P
/.
X= 0
5. Usar as regras da “ Conjunção”, “ Simplificação” , “ Modus poncns” e “ Modus
tollens” para verificar que são válidos os seguintes argumentos:
(a) p A q, p -> r |-----p a r
(b)
~ p a q, r -*■ p |----- ~ p A~ r
(c)
r p, r -» q, r |--- p A q
(d) ~ p -> q, ~ (r A s), p - + r A s |---- ~ p A q
6 . Usara regra do “ Silogismo disjuntivo” para verificar que são válidos os seguintes
argumentos:
(a.)
p v 9>
q - > r f -------- p
(b) PA q,
r v s, p - > - s i — r
(d) - p , p v ( q V r), - r | ----q
(c)p, p -> ~ q ,
q v r|--------p A r
(c.) p v ~ q , ---- q, p ^ r A sf----- s
7. Usar a regra do “ Silogismo disjuntivo” para deduzir de cada um dos seguintes
ternos de premissas a conclusão indicada:
x = y v x ■=7
x = /. ->■x = 6
x# 6
(a) < 0
(2)
(3)
(b>
x ^ O -^ x ^ y
x = y v x = z.
0 )
(2)
(3)
x¥z
x- y
<c) ( 1 )
(2)
(3)
x=0
I+ I~ 2 A 2 + 1 = 3
3 - 2 = 1 V 2 -1 * 1
1 + 1 = 2 -y 2 - í = 1
(d)
o
II
X
3 -2 = 1
x=0 v x=y
x —y x —/,
X
0)
(2)
(3)
8 . Verificar que são v á l i d o s os seguintes argumentos:
( a ) r ^ p v q,
(b)p-^-q,
r, ~ p l - ^ q
— q, —p —»■r |—
(c)
p A q,
(d .)p-*q5
q ^ ~ r,
(e ) p -►q,
( f ) p q,
~q,
p
r,
p
r
q - * st e — r A s
p i ------r
-*■ r i--r
p |---- q A
~ p
r,
f
I IM I C I A Q Á O A L Ó G I C A M A T E M Á T I C A
(g)p-*q,
~q,
(h )
p V ~q>
r-
( i ) ~ p v ~q,
(j ) p ~ q ,
(k ) ~pV ~ ~ q ,
(1) p -> ~q
A r,
( m ) p A q,
p -^i5
rA s-* ~ t,
q~>s|
9. Verificar que sao válidos os seguintes argumentos:
(a)
( 0
x + 8 = 12 V x =£4
(.2 )
X = 4 A y <
(3)
x + 8 - 12A y < x
y
(b)
(1)
(2)
(3)
X
y
+ 8 < 12
x+ 2 < 6 -* x < 4
x + y < 10
x + y < 1 0 A x. + 2 < 6
y < 6 v
x < 4 A y < 6
(1)
x = y - + x ^ v l
(2.)
x=y +3 Vx t 2 = y
x + 2 ^ y A x = 5
x i- y
(1)
x < y v
x =y
(2)
(3)
H)
y= 5
x < y
a
3
'•Ji
(d)
x = 5 A
X
11
(3)
%
(O
y = 5 -* x < 5
x < 5
(e)
(l)
(2 )
(3)
(4)
3x + 2y = 18 A x + 4 y =
x = 2 -* 3x + 2 y =£ 18
x = 2V y - 3
x # 4 , - » y =£ 3
4
(!) (1)
(2)
(3)
(4)
x + 2 > 5 -> x = 4
x = 4 -> x + 4 < 7
x+4 < 7
x + 2 > 5 V (5 - x > 2 A x < 3)
E D G A R D DE A L E N C A R FI LHO
122
( g>
(D
(2)
x > 5 - * x - 6 V
(3j
x < 5 -f x
(4)
x - 7 A x ^ 6
x > 6
x # 5 A x < 5 - i - x > 5
7
x = 7 "f x ^ 5
(5)
x > 6
10.
Us a r a re gr a d a “ A d i ç ã o ” p a r a v e r i f i c a r q u e s a o válidos o s s e g u i n t e s a r g u m e n t o s :
( a)
p v q,
(b)
p A ~ ~ q , r -> ~ < j ,
~ p, q p, ~ q v r
(c)
1 1,
p-*r,
- r i ------ q v s
-> s [------ s v
s i ------- s
r -» p A q |------- s V q
(d)
p A q ^ s,
r,
(e)
p A ~q,
r-s-q,
rv
s,
p v s - * - t i -------
U s a r a regra d a “ A d i ç ã o ” p a r a v e r i f i c a r q u e s a o válidos o s s e g u i n t e s a r g u m e n t o s :
(a) ( I )
x > 3 v y < 4
(D
x > y v
(2)
x > 3 -* x > y
(2)
x > 5 v y < 6
(3)
x > y
(3)
x + y = 1 A x > y
(b)
y < 4 V x > 2
(c)
(11
x = 2 -
(2)
x =h 4 A x < 3
(.3)
x ^ 2
x > y v
x < 3
(d)
V x > 4 h- x = 5
y < 6 -> y < x
(2)
y < 6
(3)
y < x
-»>
1
X
%
IO
>
X
I
to
li
(2)
x = 1 -*■ 2 - x = 1
(3)
x = lv
(4)
x + 2 = 5 V x - 2 = 1
x + 2 =5
X= 3
x =3
12.
v
y = x v
(1)
y < 6
0)
x = 5 A x ¥= 4
(e)
x > 5
x - 5 -+ y > x
y > x
(1)
x + 2 ^ 5 V 2x = 6
(2)
x +2
(3)
2 x - 2 - 8 -* 2 x ¥= 6
(4)
x + 3 = 8 A 2x x ^ 3 v
2- S
x > 2
Deduzir de cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão ludicada:
(a) ( 1 )
(2 )
(3)
sen30°
= 0 , 5 -> c s c 3 0 ° = 2
se n30° = 0,5
c s c 3 0 ° = 2 -+ t g 3 0 ° = 0 , 5 8
t g 3 0 ° = 0,58 V c o s 6 0 c = 0 , 5
INICIAÇAO À LÓGICA MATEMÁTICA
(b) ( 1 )
(2 )
(3)
123
D x 3 = 3x 2 A D3 = 0
DxJ - 3x 2 -*• Dx 2 = 2x
I3x2 - 2x V ü x 3 = 12 -* x = 2
x=2
(c) (.1 )
(2 )
(3)
(4)
y<4A x=y+3
" ( x ^ y + 3 j-* x > 2
y > 2 -» x > 2
y > 2 v y = 3 -+ x > 5
y< 3V x> 5
(d) ( 1 )
(2 )
(3)
(4)
(5)
x = yv x < y
y “ x+ 4
(x < 3 V x > 5) A y = x + 4 - i - y # 8
x4 y
y - 6 v x < y -j- x < 3
(X = 4V y * 8 ) A x < 3
13. Usar a regra do “Silogismo hipotético’' para verificar que são válidos os seguintes
argumentos:
(a) (l)
(2)
(3)
5 x - 4 = 3x + 4 -» 5x = 3x + 8
2x = 8 -> x = 4
5x = 3x + 8 -> 2x = 8
5x - 4 = 3x + 4 -> x = 4
(b) O
(2 )
(3)
(4)
x ^ y ->y < x
(x > 5 -> y < x) -» y = 5
y^S V x =6
x > 5 -* x & y
x- 6V x>6
<c) ( 1 )
(2)
(3)
(4J
7, = 5 -* ((y = 3 -*■y + z = 8 ) A z > y)
(xy + z = 11 ->■x = 2) -» (y = 3 A z = 5)
xy = 6 -> x - 2
xy + z = 1 1 -> xy = 6
y + (. = 8
EOGARD DE ALEMCAR FILHO
T24
(d ) ( 1 )
5 x = 2 0 -> x = 4
(2 )
2 x = 6 V x ¥= 3
(3)
<5x- 3 = I7-*x = 4 )-» 2 x # 6
(4)
5 x - 3 = 1 7 -+ 5 x = 2 0
x 4- 3 V x < 4
<c) d )
(2 )
(3)
( x + y = 5 -> y = 3 ) v x + z = 3
/. ^ 1 V ( x + /. = 3 -» x + y •- 5 )
x + y ^ 5 A 7:= 1
x + /. - 3 - # y - 3
(0
(t)
x = 3 -* x > y
(21
x ¥= 3
(3)
( x = 3 -* x < z ) - » x < z
(4)
x > y -* x < /.
z - 5
z = 5 v 7. > 5
14.
U s a r a regra d o “ D i l e m a c o n s t r u t i v o ” p a r a v e r i f i c a r a validade d o s s e g u i n t e s
argumentos:
<*) (O
2 x + y - 7 -*■ 2 x = 4
(2)
2x + y - 5 ^ -y = 1
(3)
2x + y = 7 V 2x + y = 5
(4)
2x¥=4
y- 1
(b)
( 1)
x =£ 6 -> ( x = 2 v
(2)
2 x + 3 y = 2 1 A x =£ 6
(3)
x = 2
y - 9
(4)
x —H
y - 1
y = 1 V y = 9
(c) (D
(2)
x > 5
V y < 6
y < 6 -* x < z
(3j
x > 5
(4)
y < z A z = 6
y < z
x O . V z - 6
x = 8)
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
(d) ( 1 )
(2 )
(3)
(4)
y = 0 -*■xy = 0
y =0 Vy< 1
xy = 0 V xy > 3 -> x # 4
y < 1 -» xy > 3
x^4V x > y
(*) Cf)
(2 )
(.3)
(4)
(5)
x< yvy< x
y < x -» x > 6
x < y -*■ x < 7
(x > 6 V x < 7) -+ y > 11
y > 11 V x < 0
x < 0 V y < 12
(f) (1)
2x - .1 Ox + 12 = 0 A x < 4
(2) X2 - 5x
+ 6 = 0 -* x = 2 v x = 3
(3) x = 2
x.2 = 4
(4) x = 3 -* x 2 = 9
(5) 2 x 2 - I Ox + 1 2 = 0 -> x 2 - 5x + 6 = 0
X2 = 4
V x2 = 9
d.)
x = 5 v
X < y
(-)
x > 3 V
f. < 2
(3)
x < y
z < 2
(6)
/. < 2
<
z < x -* X = 4
V
x ~ 5 —■> X > 3
15)
X
(4)
x- 4
( h ) (1) (y = 5 -+• x < y) Ax > 1
(2)
y >5 V y =5
(3)
x < y V y > 4 -+x +1 > y A y < 9
(4)y > 5 y > 4_______________ _____
x + 1> y V x > 4
15. Verificar a validade de cada um dos seguintes argumentos:
( a) p A
(b ) p v
12b
126
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
( c ) p
>■ q ,
(d ) p v
q-+~r,
q,
(e ) -p v
p v
q -*■r, p -* s,
~q,
~ q -* ~ r ,
(f)p-»-~q,
p V r,
( g ) - p
q ■-> r, A s,
> q,
( h ) p v q ,
q -»■ r,
-q A -'í,
q,
pv
( k ) p -f q,
( m j r "♦ t,
(n )p
~- p . - > t,
~ r (- —
l | ------ ~ S A
p
~ ~ r - s * s | -------— p A s
p -+ r,
s -» q,
s V 11------t
— q - s - s f ------ s
l v q - > ~ p , r V s | ------- ~ p
>~q,
( p -> — s ) -» — t,
s
p,
t -»• q,
s v
r - » t | ----------- r
t | -------u V
16- Verificar que são válidos os seguintes argumentos:
(a) (O
(2 )
(3)
(4)
x=yv x> y
x< 4v x< z
x = y -* x < /.
x > y -v x < 7.
x <4
(b) ( 1 )
(2 )
(3)
(4)
2x + y = 5 -» 2x = 2
2x+y = 5 v y = 3
2x s 2 - > x = 1
y = 3 -> 2x = 2
x=i
(c) (D
(2 >
(3)
(4)
x< 3 V x>4
x < 3 -> x té y
x > 4 - 5- x
x < y v x # y - » xx =£ 4 A x = 2
x =2
(d)
(1)
(2 )
(3)
(4)
x - 3 -* 2 x 2 - 18
x = 3 v x =• - 3
x = - 3 - * 2 x 2 = 18
2x 2 = 18 -» x 2 = 9
x2 = 9
t
~ t | --------- s
r, ~ r |-------- q v s
~r,
( o ) p V q -+
V q)
~ l f ------- ~ r A ~ t
s - v q,
p -»■ L,
q T r, (p -> r) -> ~ s,
( l)p v ^ -q ,
(s A t)|—
(------ r A ( p
r->~q,
(jjp-s-q,
( j ) p
~s
M
127
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
(e) (1)
(9
7, >
7
X -> X
(2)
X< 6 v X = 3
(3)
x = 3 -> /, > x
(4)
x< 6-^ /. > x
(5)
x = 7 V x = 5
T
x= 5
(1)
(2)
x=3 Vx=4
x = 3 -+ x 2 —7x + 12 = 0
(3)
x = 4- >- x2 - 7 x + I 2 = 0
(4)
(5)
x 2 ~ 7 x + 12 = 0 - » - x > 2
x2 < 9 -> x > 2
x2 < 9 x 2 = 9 V x 2 > 9
(6)
x 2 = 9 V x2 > 9
<g)
(1)
x > y v
(2)
x < 4 4 x < y
x < 4
(3)
x > y -*■ x = 4
(4)
x 4 4
A y < 4
x < y
th)
0)
x=
5rr
(2)
-* senx = —1 -
* = - ? ■
-* c *s c x = ii
(3)
1
senx = —
(4.)
x = -7 —
6
-»• s e n x = +
COSX =
■ v
(i) ( 1 )
(2 )
Í.3)
(4)
(5)
2
cscx = 2
x + 2 y = 5 V 3x + 4 y = 11
x> y y x < 2-> y< 2V y<l
3x + 4 y = 11 -> x = 1
x > y v x < 2
x + 2 y = 5 ■-> x = I
x =
1 A ( y < 2 V y < 1)
128
17.
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Us ar as
Regras de Inferência
p ara m o s t r a r
que s ã o válidos o s s e g u i n t e s a r g u ­
mentos:
(a)
(b)
p,
p
a
( q V r), cj v
s -> r |---- ~ s
r— s,
s
v
11—
t
(c) p v q — ^ r , q, s A t -»• r f---------------------------~ (s A t)
(d) p
-> q , ~ q , ~ p v — r — s |------------------------------------------------------ s
(e) p
v (q A r), q - + s, r -> 1, s
A t - > p v r, ~ p i --------------- r
(f) q v ( r - > t ) , q -* s , —s - ^ ( t ^ p ) , ~ s |------r p
(g) p V q - » ( p ^ S A t), p A r i-----t V u
Capítulo
12
Validade Mediante Regras de Inferência
e Equivalências
1. REGRA DE SUBSTITUIÇÃO
Há muitos argumentos cuja validade nâo se pode demonstrar, verificar ou testar
com o uso exclusivo das dez Regras de Inferência dadas anteriormente (Cap. 7),
sendo necessário recorrer a um princípio de inferência adicional, a ’‘Regra de
substituição” de proposições equivalentes seguinte:
Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P pode ser substituída por
uma proposição equivalente, e a proposição 0 que assim se obtém é equivalente
à P.
2.
EQUIVALENCIAS NOTÁVEIS
A fim dc facilitar o emprego da “ Regra dc substituição” damos a seguir uma
lista de proposições equivalentes, que podem substituir-se mutuamente onde quer
que ocorram;
1. Idempoténcia (1 D ):
(i)
p
p
A p ;
(i i )
p ^ p v
p
II. Comutação (COM):
(0
p A q <=> q a p ;
III. Associação (ASSOC):
(i)
(ii)
p A (q A r) <==>■(p A q) A r
p v (q V r) <=* (p V q) V r
( ii)
p v 9 *=* q v p
L D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
] V. Distri buiçáo (D IS1'):
(i)
(ii)
p a ( q V 9 <=> ( P A qj V ( P A
r)
p V (q A 9 *=*(p V q) A ( p v
r)
V. Dupla negação (DN):
p <=* — p
VI. De Morgan (DM):
(i)
~ (p A q) < = > -p v ~ 9
( ii)
~ (p V q ) ~ P
A ~q
VIL Condicional (COND):
p -* .q ‘«=>~ p V q
VIII. Bicondicional (BICOND):
( i)
(ii)
p «-+ q < => ( p -*■9) A ( q -» p)
p ^ q « ( p A ( | ) v (~ p A ~ q )
IX. Contraposição (CP):
p - » q ^ -q -» ~ p
X. Exportação-lmportação(El):
p A q
r
p -> ( q -> 9
Estas equivaléncias notáveis constituem dez Regras de Inferência adicionais que
se usam para demonstrar, verificar ou testar a validade de argumentos mais com­
plexos.
.
u
i
Uma im portante diferença no modo de aplicar as dez primeiras Kegras dc
Inferência e estas dez últimas Regras de Inferência deve ser observada: as dez
primeiras Regras de Inferência só podem ser aplicadas a linhas completas de uma
demonstração ou dedução, ao passo que as dez últimas Regras de Inferência podem
ser aplicadas tanto a linhas completas como a partes de linhas completas consoante
a “ Regra de substituição” .
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
131
Definição
Dado um argumento P , , P2, . . . , Pn I-----Q, chama-se demonstra*
ção ou dedução de Q, a partir das premissas P , . P2, . . . , Pn . toda a scqucncia
finita de proposições X ,,X 2 ......... tais que cada Xj ou é uma premissa ou
resulta dc proposições anteriores da sequência pelo uso de uma Regra de Inferência,
e de tal modo que a última proposição X^ da sequência seja a conclusão Q do
argumento dado.
3.
EXEMPLIFICAÇÃO
( 1 ) Demonstrar que é válido o argumento: p -+ ~ q ,
Dem.
Temos, sucessivamente:
(1)
(2 )
p -* ^ q
P
q____________P
(3)
~ " ~ q p
i
cp
(4)
(5)
q -~ p
-p
3
2,4
DN
MP
( 2 ) Demonstrar que 6 válido o argumento: p->-q,
Dem.
q |----- ~ p
r ^ —q |-----p -> -~ r
Temos, sucessivamente:
(1)
(2)
p *q
r-^ -q
P
P
(3 )
(4)
(5)
---- q 4 ~ r
q -^ ~ r
p ^ -r
2 -C P
3
DN
1,4
SH
(3) Demonstrar que é válido o argumento: p v (q A r),
Dem. - T emos, sucessivamente:
(1)
(2)
P V (q A r)
pv q^s
(3)
(p v q) A (p V r) 1 - DIST
3 - SIMP
s
2,4 - MP
(4)
(5)
p v q
p
P
pv q
s l------p V s
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
32
(4j
D e m o n s t r a r q u e c válido o a r g u m e n t o :
Dem.
p v q
r A s,
~ s | -------~ - q
Temos, sucessivamente:
fl)
( 2)
p V q -^ rA S
~s
(3)
~ rv ~s
M.r A s )
~(.PV q)
~ p A ~q
(4)
(5)
(6 )
(7)
P
P
2 . — AD
3
- DM
1 , 4 - MT
5 - DM
SIMP
6
~q
(5) Demonstrar a validade do argumento: “ Sc Londres não lica na Bélgica, eniao
Paris não fica na França. Mas Paris fica na França. Logo, Londres tica na
Bélgica” .
Dem.
Representando as proposições '"Londres fica na Bélgica 5 e Paris fica
na França” respectivamente por p c q , o argumento dado na forma simbólica
escreve-se :
~ p -> -~ q ,
q |-----p
Posto isto, temos sucessivamente;
(D ~ p - > ~ q
P
GO _ q _ ____________P _ ; _______
(3)
(4)
(5)
(6 )
~ ~p v ~q
pV ~q
~~q
p
1
CON D
DN
2 -D N
4,5 - SD
3
Logo, o argumento dado é válido, embora sua conclusão seja uma pi oposição
falsa.
1^6 ) Demonstrar a validade do argumento:
(p V ~ q) v r,
Dem.
- p V (q A ~ p ) |-----q -* t
Temos, sucessivamente;
II)
( 2)
(p v '■q) v r
P
~ p v (q A ~ p )________ P___________
(3)
(4)
(~p v
Op v
(5)
~p
q) A O p
q) A ~ p
V~ p ) 2 -
3
4
DIST
- ID
- SIMP
133
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
(6)
p V (~q
(7)
( 8)
~.q V r
q—
►r
v
i
ASSOC
5,6 SD
7 - COND
r)
(7) Demonstrar a validade do argumento:
p -> - q ,
Dem.
(8)
r ^ q,
Temos, sucessivamente:
(1)
p V -q
(2)
r >q
(3)
r
(4)
(5)
( 6)
(7)
( 8)
~q^~r
p -+ ~ r
— r-^ -p
i ~p
~p
2
CP
1,4 SH
5 -C P
6 - DN
3,7 MP
D e m o n s t r a r a vali dade d o a r g u m e n t o :
p -* q,
q ■<—> s,
t V (r A ~ s) |
Dem. Temos, sucessivamente:
0)
p-*<i
(2)
(3)
q
S
t V (r A ~ s )
(4)
(5)
2
BICOND
4
SIMP
1,5— SH
Õ v r) A (t v ~ s) 3 - D1ST
7 - SIMP
t v ~s
8 -C O M
~s V l
9 - COND
s -> t
6 ,1 0 - S H
p
6
(. )
O)
( 8)
(9)
( 10)
(II)
(q -* s) A (s -> q)
q -*■s
P ■■¥S
(9) Demonstrar a validade do argumento: “Se estudo, então não sou reprovado cm
Física. Sc não jogo basquete, então estudo. Mas fui reprovado em Física.
Portanto, joguei basquete” .
Dem.
Representando “ Estudo” por p, “ Sou reprovado em Física” por q e
“Jogo basquete” por r, o argumento dado sob forma simbólica escreve-se:
•r -*■p,
q I---- r
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
134
Posto isto, temos sucessivamente:
( 2)
p -+ ~ q
~ r^ p
(3)
q
(4)
(5)
---- q
-p
(D
(6 )
(7)
( 8)
P
P
P
3 ~ — DN
1,4 - MT
2 - CON D
6
DN
5,7 SD
v p
rv p
r
Logo, o argumento dado c válido.
(10) Demonstrar que é válido o argumento:
p V (q A x),
p ^s,
s-+ n
Dem. —Temos, sucessivamente:
( 1)
( 2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8 )
(9)
(10)
(1 1 )
( 12)
(13)
p
p
p
p V (q A r)
p
s
s -*■ r
p^r
(p V q) A ( p V r)
p V r
rV p
‘— r v p
-r-*p
~ r -> r
—~ r v r
rVí
r
2.3 - S H
DIST
1
SIMP
5
6 -C O M
7 - DN
COND
8
4,9 SH
10 - COND
11 -D N
12 - I D
strar que é válido o argumento:
p A q -* ~ 'r,
p *—*■q |---- p ->■s
i V (s A t),
Temos, sucessivamente:
(D
(2)
(3)
p A q-> ~ r
r v (s A t)
(4)
(5)
(p ^ q ) A (q ^ p )
p ^ q
p -*■ q
P
P
P
3
4
- BICON
-S IM P
135
INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
5 -A B S
1,6 SH
2 - Dl ST
8 - S1MP
9
DN
1 0 - COND
7,11 - SH
p -> p A q
(6 )
(H )
p -* ~ r
(r v s) A (r V t)
r v s
~~r V s
~ r -* s
( 12)
P
in
(8 )
(9)
( 10 )
s
( 12) Demonstrar quo é válido o argumento:
p ->• q,
r-> s,
q v s-+ H
h ----- ~ p A ~ r
Dem. - Temos, sucessivamente:
(1 )
(2 )
p^q
(3)
(4)
q v s-> -t
(5)
(6 )
(7)
( 8)
(9)
( 10 )
( 11)
(12)
L-* S
(
~ ( q V s)
~ q A ~S
~q
~p
~r
- p A ~r
P
P
P
P
4 -D N
3,5 - MT
6 -D M
7
SIMP
7 - SIMP
1,8 -M T
2,9 - MT
1 0 , 1 1 - CONJ
(13) Demonstrar a validade do argumento:
p -> q,
Dem.
q -+ (p -+ (r V s)),
r^ -s,
~ (r A s)i----- — p
Temos, sucessivamente:
(0
(2 )
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(U )
P -* 9
q -» (p -> (r v s»
r +-+ s
~ ( r A s)
P
P
P
P
(r A s) v ( ~ r A ~ s)
~ r A ~s
~ ( r v s)
p * (p -* (r v s »
(P A p) -* (r V s)
p -* r v s
-p
3
5
BICOND
- SIMP
6 - DM
1 ,2 - s n
8 - El
9
JD
7 ,1 0 - MT
,36
E O G A R D DE A L E N C A R F I L H O
(14) Demonstrar a validade do argumento:
p -*■ q, q -> r, r
Dem.
p, p - * - n ----- ~ p A —r
Temos, sucessivamente:
( 1)
(2)
(3)
(4)
p~»q
q -> r
r -* p
p -* ~ r
P
P
P
P
(!)
(6)
(7)
p -^ r
(p -+ r) A (r -+ p)
1 ,2 - S H
3,5 - AD
6 - BICOND
7 - BICOND
4 - COND
9 - DM
8,10 SD
(8)
(9)
( 10)
(11)
P* * r
( P A r) V ( ~ p A - r )
- p v ~r
~ ( p A r)
~p A~r
(15) Demonstrar que é válido o argumento:
-p i/q -^ í,
Dem-
í v s-* -~ t,
t|---------q
Temos, sucessivamente:
(1)
-pvq^r
P
(2)
r V S- * ~ t
P
JÇ3) J ________________ P___ ___
(4)
t
(5)
~ ( i V s)
( 6)
■-*■! A ~ s
(7)
~r
(8)
-(-p v q)
(9)
(10)
pa
(11)
~q
p A ~q
3
DN
2,4 - MT
5 - DM
6 - S1MP
1,7 - MT
8 -D M
9
- DN
10
S1MF
(16) Demonstrar a validade do argumento:
( 1)
(2)
(3)
(4)
k<6
y > 7 v x = y -+ ~ (y = 4 A x < y)
y ^ 4 -+ x < 6
x < 6 -+ x < y
x =£ y
137
IN IC IA Ç A O Ã LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
Dem. — Temos, sucessivamente:
(1)
(2)
(3)
(4)
x<6
P
y > 7 v x = y -> ~ (y = 4 A x < y ) P
y 9t 4 - t- x < 6
P
x < 6^x< y
P
1 , 4 - MP
1,3 —MT
5,6 —CONJ
DN
2,8 - MT
9
—DM
10 - SIMP
(5) x < y
( 6) y = 4
(7) y - 4 A x < y
( 8 ) — (y = 4 a x < y )
(9) ~ (y > 7 v x = y)
(10) y > ? A x ^ y
(11)
x^y
(17) IJemonstrar a validade do argumento:
(1)
y + 1
(2)
y > 1
(3)
x - 3
V x > 3
(4)
(5)
x > 3
- > x =£ y
x = 3 -* x ^ y
________
A y < 1
y <
1 V y = l
M x = y V y > 1)
IJem.
Temos, sucessivamente:
(4)
x > 3 -> x it y
(5)
x - 3 -> x =£ y
P
P
P
P
P
(6)
x # y
3.4,5
(7)
x ^ y
(1)
y ^ lA
(2)
y > f - + y < l v y = l
y<l
(3)
x = 3 V x > 3
v x ^ y
DC
ID
I
COM
8
- DM
2.9
MT
7.10 —CONI
II
DM
6
(8)
y < l A y ^ l
(9)
~(y < 1
v
y = 1)
(10)
y >
1
(11)
x # y A
(12)
~(x = y v y >
y > l
I)
( 1 8 ) Demonstrar a validade do argumento:
(1)
x - y -> x < y
(2)
y - 0 +->• x < y
(3)
x = 0 v
(4)
( x - y -s- y = 0 ) -+ x = 0
xy = 0 ^ y = 0
~ ( x < y a x - I)
EDGARD DE ALENCAR FILHO
138
Dem. - Temos, sucessivamente:
(1)
(2 )
(3)
(4)
x = y -)> x < y
y- 0
x< y
x = 0 v xy ■= 0 -* y = 0
(x - y y = 0) --»■ x = U
(5 )
(y - 0 -» x < y ) A (x < y
x < y -* y = 0
x = y -* y = 0
x'= 0
y = 0)
li
o
s
(1 1 )
(1 2 )
(13)
(14)
2
BICOND
S1MP
1,6 - SH
MP
4 ,7
8 - AD
MP
3 ,9
5 - SIMP
1 0 , 1 MP
12
AD
DM
13
5
X
II
O
<
X
II
O
(6)
(7)
(8)
P
P
P
P
y = 0 -+ x < y
x<y
x< yV x* 1
—(x < y A x = 1)
(19) Demonstrar a validade do argumento:
(1)
(2)
(3)
x < y A y <'/.->■ x < /
(y < 7. -*■x < z) /• = 3
x <y
i - 3
( 1)
(2)
x < y a y < z -» -x < 7.
(y < /■-* x < /.) -> / - 3
X
A
Temos, sucessivamente:
s
Dem.
p
p
p
x < y -» (y < ' -» x < 7.)
y < z -*• x < z
/. = 3
3,4
2,5
(4)
(5)
(6 )
1
El
MP
MP
4. INCONSISTÊNCIA
Duas ou mais proposições que não podem ser simultânea mente verdadeiras
dizem-se inconsistentes. Também se diz que formam um conjunto inconsistente
de proposições.
Um argumento se diz inconsistente se as suas premissas nao podem ser simultâneamenlc verdadeiras (inconsistentes).
139
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
As proposições:
- ( p V ~q),
p V - r,
q -*• r
p. ex., são inconsistentes, pois, c impossível encontrar uma atribuiçao de valores às
proposições simples componentes p, q e r que torne essas três proposições com ­
postas simultáneamente verdadeiras. Com efeito, construindo as tabclas-vcrdade
dessas tres proposições verifica-se que, cm cada linha, pelo menos uma delas c
falsa (F), isto é, não há uma só linba em que admitam, todas, o valor lógico V.
-
F
F
F
F
v
v
F
F
(P
v
v
v
v
F
F
F
F
V
~
q)
P
V
~
r
9
->
r
v
v
v
v
F
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
F
v
F
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
v
F
F
F
F
v
v
F
F
v
v
F
F
v
v
v
v
F
F
F
F
F
F
v
v
v
v
v
v
F
F
F
F
v
v
F
v
F
V .
F
v
F
v
v
F
F
F
v
F
Também se pode demonstrar que as tres proposições dadas são inconsistentes
deduzindo do seu conjunto uma contradição qualquer, p. ex., do tipo A A ~~A,
mediante as regras de dedução usadas para os argumentos, pois, como estas regras
preservam a verdade, a contradição que se obtém prova quo estas très proposições
não podem ser conjuntamente verdadeiras. Realmente, temos, sucessivamente:
(1)
(3)
~ (P V ~q)
p V ~r
q -> r
(4)
(5)
~ p A ------ q
~p A q
(2)
(6)
9
0)
r
(8)
~p
(9)
( 10)
1
DM
4
DN
5 - SIMP
3,6 - MP
5
- SrMP
2,8 SD
7,9
CONJ
~r
rA
Outros exemplos:
(1) Demonstrar que são inconsistentes as três seguintes proposições:
(2 )
x = I -* y < x
y < x -»• y = O
( 3)
~ (y = 0 v x
(D
1)
y
EDGARD DE ALENCAR FILHO
¡40
( 2)
(3)
1,2
o
it
>s
t
(7)
(8 )
(9J
X
~ (y = 0 V x * 1)
II
(6 )
li
y < x -> y = 0
X
(5)
A
Temos, sucessivamente:
X
Dem.
y# ü A x =1
x = 1
y=0
y 4- 0
y=0 A y# 0
su
3
DM
5
SIMP
4,6 MP
5 -S IM P
7,8 CONJ (Cont.)
i 2) Demonstrar que é inconsistente o conjunto das seguintes proposições:
-pV-q,
De m.
p A S ,
~ s V r,
r -» r a q
Te mos, s u cess ivame n te:
( 1)
(2)
(3)
(4)
~pv~q
p As
~s V r
(5)
( 6)
(7)
( 8)
(9)
( 10)
(11)
P
s
~q
r
r Aq
q
q A ~q
r->r Aq
2 - SIMP
2
SIMP
1,5 - SD
3,6 - SD
4,8 MP
9 - SIMP
7 , 1 0 - CONJ (Cont.)
(3) Demonstrar que é consistente o conjunto das seguintes proposições:
r -> s,
- Cp v q),
~-q A r
Dem.
Com efeito, para a seguinte atribuiçao de valores lógicos às proposições
simples componentes p, q, r e s:
V
F
r
s
q
P
a& três proposições compostas dadas são simultáneamente verdadeiras, pois, temos:
- ( F V F) = -~F = V.
F -> F - V.
~F A V = V AV = V
I N IC IA Ç A Ò Â LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
141
EXERCÍCIOS
1. D e m o n s t r a r a validade d o s s e g u i n t e s a r g u m e n t o s :
( a)
p^~q,
(b )
p ->■ q ,
q,
~ p -> r a s |----- r
- p ^ —
(c)
p
(d)
~p-*-~q,
~r,
q-M \
(e)
- p
(f )
t-> p y
(g)
-P V
(h)
p,
( i)
- p -> q,
(j )
P ^ 9 ,
~p
q,
q f-------- p
>r,
~q,
~ q -» ~ p i------- q y ~ s
q-*r,
'9 ,
~ p
P V q,
(m)
(r A - l ) 4 - s ,
( TO
( r A s) v p ,
(o)
- p v ~ q , ~ r - * p,
(P)
p - > q v r , ------p,
~q,
q | -------p
~q,
p - * r A s | ------ s A
p ^ s,
(q)
r -» p a ~ q»
~ ( p A q),
t - » ~ p , q V t| ------------ 5 A r
r -> ~ s ,
Si--------- ~ q
~ r | ----- q
i V ~ s,
~ q “> r ,
s |-------- - q
~p
r,
p -> ~“ F,
v —1)5
t-^ q Ar,
F -*• q,
n / - p ,
(u )
~-p->q,
(v)
t -+ p A s,
A p
s - * ~ r | --------------------------
q V ~ S | -------- - ( r v s )
p A ~q,
~s
~(p
r
p A q | -~ - ( ~ l A r)
q - > — p,
(r)
)
~ r |------ p
' P ^ r i -------- ~ ~ r
(k)
(s)
~ q |----- p
- ( q A r ) - » p | -------------------r
( l )
(t
rj-------p
- r j - q
~"'-r,
q,
s
~ q -------r
~q-»~r,
v q,
a
f
r,
q^-~p,r-+~s,
(w)
r -* ~ p ,
(r A s ) V t,
( x )
p V q,
S -> q A r,
(y)
'-(pV
' - i ) , p V 9»
(>-)
p -*■ 9)
q -»n —
-------r A q
~ q v
H q v
p -> s,
s | -------s
r y q i -----------------------------~ t
u,
~q
A
r ^ S , q A S - H A S ( ----------- s A t
v p v
r
2. D e m o n s t r a r a validade d o s s e g u i n t e s a r g u m e n t o s :
(a)
(1)
x> y
(2)
z > 6 ^ - ( x > y - * z < 7 )
x> z
(3)
x > z -> z < 7 _____________
z > 6 V z < y
(b)
(1)
x ^ y - > x > y
(2)
x >
(3)
x < y
(4)
x -it y
v
x < y
y v x < y -*■ x 4 4
x > y
~ u | ---------------- ^ p
q - * s |------- r A
~ (x 41
- y -> x 4 4 )
q
E D G A R D DÊ A L E N C A R F I L H O
142
\
(c)
(D
(2)
(3)
(4)
x=3Vy=3
x > 2 Vx + y> 5
y = 3V x = 3 -* x + y > 5
~ (y < 5 A y > 3 ) - ^ x > 2
y<5
(<Í) <l)
(2 )
(3)
x< 3 Ay> 6
y 4 7 -* -(X = 2 A y > x)
y > 6 A x < .U y > x A x = l
y=7
<c)
( 1)
(2 )
<3)
y#3
x + y.= 8 -*y = 3
x ty = 8 V x ^ 5
~ (x = 5 A y = 4)
(0
0)
(2 )
(3)
x <y
x < y V M * > 3 v x + y < 5)
x > 3 -+ ~ (x > y v y ^ 2 )
x> y
<e)
(D
(2)
(3)
~ (y - x = 2 V x + y > 8 )
~ (x > y v y < 5)
x - 2 -+x + y > 8
~ (x = 2 v y < 5)
(h)
(D
(2)
(3)
(4)
x —1 -+ x < y
x 2 - 4x + 3 = 0 -» x = 1 V x = 3
~ (x = y V x 2 4x + 3 =£ 0')
x = 3 -> x < y
x< y v y^ 4
0 )
(D
(2 )
(3)
(4)
~ (x > y A x + y > 7)
x > y -+ x < 4
x + y > 7 -* -x < 4
x -y = 2 x < 4
x - y ¥= 2
( j)
(D
(2 )
(3)
(4)
~(z < 3 V x > y) A y = 2
x< y v x= 1
x > /, -s- x > y
x > x -* x < y
X —1
IN IC IA Ç Ã O A LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
(k)
143
(D
3x + y \ H
(2)
3 x = 9 -» .3x + y = 1 1 «—»• y = 2
«--*■ 3 x = 9
(3)
y#2vx+y=5
x +y = 5
(1)
fl)
2x = 6
(2)
2 x = 8 <■■->■ x = 4
x = 3
(.3)
2x = 6 V x = 4
~(2x #
(m )
0 )
(2 )
(3)
5x = 15 <—*■x = 3
A 4 x = 12
x = 3 -» x + 2 y = 7
5 x = 15
~(y
<r»)
8 A x ^ 3j
- 1 A x + 2y ^ 7)
v x < y
CD
y > x
* x = y
(2)
~(y < 1
V y > x)
x < y A x ^ y
(<>)
(1)
x <y-<--*y>4
(2 )
O)
y = 6 <-•> x + y = 1 0
y > 4
Ax + y -
10
x< y Ay =6
(P)
(1)
(2 )
(3)
( 4)
( 5)
(6)
x> yV x< 6
x > y -*■ x > 4
x> 4
x=5 a x<7
x < 6 -> x = 5 A x < 7
x < 7 A x = .W z > x V y < ¿
x> y
~ ( y < 7. v /. > x)
x < 6
3.
Demonstrar a validade dos seguintes argumentos:
r V *I
~ p - + s |------- s
(« )
r -+ p A q,
~ p v ~q»
(b )
p V q ^ r,
~ t,
(c)
( p -* q ) - > r,
(d )
(e )
(f )
~ ( p A q ) -■* ( r
( g)
(h )
(i)
~r,
( ~ p v q ) v s |
s),
r A ~s,
q -
p v ~ (q V ~ r), ~ p , r - > s v t|----- s v t
p v q - > r , ~ r , q v ( ~ s v t ) ( ----- s -+ t
P V ( ~ q ■+ r), ~ ( p V s) A - r | ----- q
( p q) -+ í, ~ ( V S , ~ ( p A ~ q ), SV t ^ u
- p v q,
s
r, p v (r A tj |-----q v s
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
< j J p * ~ q , p V (r A sj|----- q -* S
<M p - q V r, ~ r |--- p-> q
( 1 ) '■p V ~ q - + r, r H- s i--- ~ s -*■p
( m) p V q, q -> r, s -* t, ~ r |-s -» p
( n j p ^ q, q V r-» S, ~S |----- "~p
(o ) p v (q A r), p v r s A t |--- s
Cpj ( p -> q) V (r A S), ~q| — —p V S
(q.) p -> q, p A q -*■i’ V s, r v s ->~ t,
—p
( ' ) p v q ->*■ r A s, ™r |----- ■
(p ->~ t ) -*■uf---- u
4. Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposiçoes sao inconsistentes dedu­
zindo uma contradição para cada um deles:
(a)
(U
(2 )
(3)
q p
~ (p V r)
qV f
(b)
p V ~q
(D
(2 ) • ~ ( q - r )
(3) P ^ r
(c)
(U
(2 )
(3)
(4)
M p V q)
~^q r
~ rv s
(d)
(D
(2 )
(3)
(4)
p v s -i-q
q-> ~ r
t -> p
t Ar
íc)
d)
(-)
0)
x=y x< 4
x< 4 Vx < /
x < z v x i^ y )
m
d)
(2)
(3)
x - 0 ►x + y = :
x> 1 A x=0
x + y = y -> x > 1
(g)
(1)
(2 )
(3)
x = y -> x < /.
x < /. A (x = y V y <?■)
y < / -» x < z
(h)
(1)
(2 )
(3)
(4)
x < y -* x 4-- y
y > z ->■/.< y
x = y A y > 7.
x< yV z< y
Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições sao consistentes:
(“)
p -* q
(D
( 2 )q q -> r
(3) ~ r V S
(b)
d)
(2)
(3)
p -* q
~ q -> r
pv r
(c)
0 )
(2)
(d)
(3)
"P V ~q
~-p-> r
~r
(D
(2)
(3)
p -> q
r -> q
q -» ~ s
( 1)
(2 )
(3)
x = y -* x 4 y
x < y V x=y
x < y -» x < y
(0
(D
(2 )
x= 2 Vx= 3
x# 2 Vx4 3
(c)
/
/
Capítulo
13
Demonstração Condicional e
Demonstração Indireta
l.
DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL
Ouíro método muito úlil para demonstrar a validade de um argumento c a
“Demonstração condicionar’. Esta demonstração, todavia, só pode set usada se a
conclusão do argumento tem a forma condicional.
Seja o argumento:
P ] , P z , . . . , Pn l-----A - B
(1)
cuja conclusão é a condicional A -* B.
Sabemos que este argumento é válido se e somente se a “condicional associada” :
(P, A P2 A . . . A Pn) -+ (A -» B)
é tautológica. Ora, pela “ Regra de Im portação” , esta “condicional associada” é
equivalente à seguinte:
|(P , A P2 A . . . A Pn) A A | -> B
Assim sendo, o argumento (1) é válido se e somente se tam bém c válido o argu­
mento:
P j , P , , . . . , P n,A l----- B
cujas premissas são todas aquelas do primitivo argumento (1), mais uma, A, e cuja
conclusão é B (observe-se que A c B são respectivamente o antecedente e o conse­
quente da conclusão do primitivo argumento ( 1 )).
Em resumo, temos a seguinte regra DC: Para demonstrar a validade do argu­
mento (1), cuja conclusão tem forma condicional, A -+ B , introduz-se A como
“ premissa adicional'’ (indicada por PA) e deduz-se B.
X..
E D G A R O DE A L E N C A R F I L H O
146
2.
EXEMPLIFICAÇÃO
<]) Demonstrar a validade du argumento:
pvíq^i),
— q-^p
Dem. Dc conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento
cuja conclusão tem forma condicional, cumpre deduzh ' Lp ’ a partir das premissas,
p V (q v r),
e q, isto c, demonstrar a validade do argumento;
p V (q
r),
~r,
qi-----p
Temos, sucessivamente;
(D
( 2)
p
p
PA
P V (q
~r
q.
(4)
(5)
(6 )
(7)
(8)
p v ( ~ q V r)
( pv ~q) V r
p V -q
-— Cj
P
1 - COND
4
ASSOC
2,5- SD
3 - DN
6,7 SD
(2) Demonstrar a validade do argumento:
~ p -*■ ~ q V r,
Dem.
s v (r-v t),
~ p V s,
~ s |------ q -» t
Dc conformidade com a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do .u-
gumento:
~
p
~ q V r,
s v (r^ t),
~pV
s,
Temos, sucessivamente:
(l)
( 2)
(3)
(.4)
(5)
~p^~q Vr
s v (r -*■ t)
~p v s
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
p -* s
(1 1)
( 12)
4
—q V r
q-* r
r -* t
q -* t
t
P
P
P
P
PA
3 - CON D
4,6 - MT
1,7 - MP
8
CON D
2,4 SD
9,10 SH
5,11 - MP
~ s,
qf — t
147
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A
(3) Demonstrar a validade-do.argumentõ:
(D
(2)
(3)
(y = 4 x > yj A x > x
x > y v 7. > y - > y < 4 A y =£ 3
y = 2 -» /, > y _______________
y = 2 v y = 4 -» -y < 4 v y > 3
Dem. - De conformidade com a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do ar­
gumento;
(1)
(2)
(3)
(4)
(y = 4 -> x > y) A x > /.
x > y V z> y ^ y < 4 A y#3
y = 2 ->- / > y
y =2v y=4
y< 4v y> 3
Temos, sucessivamente:
(1)
(2 )
(3)
(4)
(y = 4 - * x > y ) A x > /
x > y v / > y y < 4 A y =?fc 3
y = 2 ■-**■/>■y
y =2 V y =4
P
P
P
PA
(5)
y = 4 -+ x > y
(6)
(8)
y Vy>y
y< 4 Ay# 3
y <4
(9)
y < 4 V y > 3
1 - S1MP
3,4,5
DC
2,6 - MP
7
- S1MP
8
-A l)
(?)
x >
(4) Demonstrar a validade do argumento:
~ p -* (q -> r),
Dem.
s V ( r -» t),
p
SI-------- s - s -(q - ^ t)
Consoante a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento:
~ p -> (q -*■r),
s v ( r - * 0 > P~»s,
~ s |-----q -+ t
Como a conclusão deste argumento também é uma condicional, q -* t. fazendo
uso novamente da mesma Regra DC, cumpre demonstrar a validade do ar­
gumento:
]4g
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Temos, sucessivamente:
( 1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
( 8)
(9)
( 10)
P
P
P
PA
PA
~ p -*■( q . - 0
s v (r t)
p -> s
~s
(l \
-p
q -v r
r
r -* 1
t
3,4 - MT
1,6 MP
5,7 - MP
2,4 SD
8,9 MP
(5) Demonstrar a validade do argumento:
p -* q,
q ■*-> s,
t V (r A ~ s) |------- p -* t
Dem. Consoante a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento:
p
q,
q <--*• s,
t V ( r A ~ s),
p|----- t
Temos, sucessivamente:
( 1)
(2)
(3)
p+ q
q <-* s
( 4)
P
p
p
p
PA
t V (r A ~~s)
( 5)
q
( 6)
(q -> s) A (s
( 7)
( 8)
q
s
(9)
(t V rj A (t v ~ s)
(10)
(11)
(12)
t V ~s
q)
s
t
1,4 - MP
2 - BICOND
6 - SIMP
5 , 7 - MP
3 - DIST
9 - SIMP
8
DN
10,11- SD
( 6 ) Demonstrar a validade do argumento:
~ p -> - q .
D em .
r -+ s,
( ~ p A t) v (r A u )| --------q -* s
Consoante a Regra DC, cum pre demonstrar a validade do argumento:
~p^~q,
r-> s,
( - p A t ) V (rAu),
q|----- s
149
N IC f A Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
íucessivamenté;
(D
( 2)
(3)
(4)
~ p -> ~ q
P
P
r -*■s
(~ p A t) v (r A u) P
PA
q.
(5)
(6)
(7)
( 8)
(9)
( 10)
— q
(11)
(12)
r A u
(13)
s
P''
p v ~t
~ ~ P
V ~t
~ ( ~ p A t)
r
s
4 -D N
1,5 - MT
6 -D N
7
AD
8 - DN
9 -D M
3,10 - S D
11 - S1MP
2,12 - M P
3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA
Um outro método frequentemente empregado para demonstrar a validade de
um dado argumento:
Pl r P2, . . . , ? v\----- Q
(1)
chamado “ Demonstração indireta’" ou “ Demonstração por absurdo” consiste em
admitir a negação —Q da conclusão Q, sito é, supor
verdadeira, e dai deduzir
logicamente uma con trad ição qualquer C (p. ex., do tipo A A —A) a partir das
premissas P , , P2 , . . . , Pn e ~ Q , isto é, demonstrar que c válido o argumento:
I V P 2 ------- P n , - Q H - C
Se assim ocorre, então o argumento dado (1) também c válido. Com eteilo,
pela Regra DC (Demonstração condicional), o argumento:
P . , P z , . . - , P n l -------- Q - C
é válido. E como temos:
C
v C <¡=5- Q v C <==* Q
segue-se que é válido o argumento dado ( 1 ).
Em resumo, temos a seguinte Regra Dl: Para demonstrar a validade do argumen­
to (1) introduz-se ~ Q como “premissa adicional” (indicada por PA) e dcduz-sc umu
contradição C (p. ex.: A A ~ A ).
E D G A R O OE A L E N C A R F I L H O
4.
EXEMPLIFICAÇÃO
(1 ) Demonstrar a validade do argumento:
p-> ~ q ,
r -> q i-----~ (p A r)
Dem. - De conformidade com a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpre
deduzir uma contradição das premissas p ~ q , r~ * q e p A r. Temos, sucessi­
vamente:
(1)
(2)
(3)
p - ^ - qf
r -> q
p A r
- P
(4)
(5)
(6)
(7)
( 8)
p
r
~q
q
q A ^q
3
- SIMP
3
SIMP
1,4
—MP
2 ,5 - MP
6,7 - CON! (Cont.)
P
PA
(2) Demonstrar a validade do argumento:
~ p -* q,
Dem.
~ q V r,
----- p v s
De conformidade com a Regra Dl, cumpre deduzir uma contradição
das premissas - p -> q, ~ q v r, ~ r c —(p V s). Temos, sucessivamente:
(1)
(2 )
(3)
(4)
-p ^ q
~-q V r
~r
~ (p v s)
P
P
P
PA
m
(6)
(?)
( 8)
(9)
~ p A ~S
~p
4 -D M
5 - SIMP
1 ,6- MP
2,3 SD
7,8 CONJ (Cont.)
q
~q
q A~q
(3) Demonstrar a validade do argumento:
p -» q v r,
~ r f-— p — q
Dem, — De conformidade com a Regra DC (Demonstração condicional), cum­
pre demonstrar a validade do argumento:
p -> q V r,
~ r,
p|----- q
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
151
e, portanto, consoante a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpre deduzir
uma con trad ição das premissas p -*■q V r, ~ r , p e ~ q . Temos, sucessivamente:
(1)
(2)
(3)
(4)
p ^q v r
~r
p
~q
P
P
PA
PA
(5)
(6 )
(7)
qvr
q
q A~ q
1,3 - M P
2,5 - SD
4 v6 --_.CONJ (Cont.)
(4) Demonstrai a validade do argumento:
~ p V q,
~q,
~ r-^ s,
^ p -»■( s ~ t ) \-------t -*■ r
Dem. De conformidade com a Regra DC (Demonstração condicional), cumpre
demonstrar a validade do argumento:
~ p V q,
~q,
~ r-* s,
~ p -*■(s -> ~ t) ,
t|-----r
e, portanto, consoante a Regra Dl (Demonstração indireta), cumprc deduzir
uma contradição das premissas ~- p V q, ^q , ~ r - > s , ~ p - * (s ~ * ~ t), t e ~ r.
Temos, sucessivamente:
( 1)
m
(3)
(4)
(5)
(6)
~pV q
~q
~ r -» s
~p + ( s ^ ~ t)
t
~ r
P
P
P
P
PA
PA
(?)
( 8)
(9)
( I 0);
~p
s -»■ ~ t
s
*-t
( 11)
t A —t
SD
1,2
4,7
MP
3,6 - MP
8,9 MP
5,10 CONJ (Cont.)
(5) Demonstrar a validade do argumento:
(2)
(3)
—(y # 1 V z ¥= - 1)
(x<yAx>z)Az=-l-*-x =0
~ ( y = 1 v x = 0 ) v ( x < y A x > z)
~7.
x=o
(1 )
E D G A R D DE A L E N C A R FI LHO
152
Dem.
Dc conformidade com a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpre
das premissas (1), (2), (3) e x 4 0. Temos, sucessi-
d eduzir u m a c o n t r a d i ç ã o
vãmente:
1 V z 4 -
(3)
(4)
—(y = 1 V x = 0) V (x < y A x > z )
x 40
(5)
y =
(6)
y= i
y = 1 V x —0
~ ~ ( y = 1 V x = 0)
x < y a x > z
z = -1
(x < y A x > /.) A z = -1
x =0
X= 0 A x 4 0
( 10 )
(II)
(12)
(13)
P
P
P
PA
1)
~(y
( x < y A x > ¿) A f.. - - 1 - > X = 0
(7)
(«)
(9)
(6)
4
(U
(2)
1A Z= - 1
1
DM
3 - SIMP
6 - AD
7 - DN
3,8 SD
5
SIMP
9,10 CONJ
2,11
MP
4,12 CONJ (Cont.)
D e m o n s t r a r a validade d o a r g u m e n t o :
(U
(2)
(3)
x * 1 V ~ (x + y - y V x > y)
x > y -+ x2 > xy A y = 1
1
•~(y = 1
x 2 > xy)
De conformidade com a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpri
uma c o n t r a d i ç ã o das premissas (1), (2), (3) e y = 1 -» x > x y
Temos, sucessivamente:
Dem,
deduzir
d
(2
(3
(4
x = 1 V - ( x + y = y V x > y)
x>y~»x2 > x y A y = l
x 4- 1
y = 1 -+ x2 > xy
P
P
P
PA
(5
~(x + y - y V x > y)
x+y^yA x>y
x >y
x2 > xy a y = 1
x2 > x y
1,3 - SD
5 -DM
6 - S1MP
2,7 -■ MP
8 -S ÍM P
8 - SIMP
4,10 - MP
9,11 - CONJ (Cont.)
(6
.(7
(8
(9
(10
(11
(12
y = i
x2 > xy
x3, > xy a x2 > xy
153
IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
(7) Demonstrar a validade do argumento:
(1)
(2)
(3)
x 4
x<y^-xy = x
y A xy 4 x
x < y v y = I ->x = 2
:.
-(x = 2 ^
x = y)
Dem. — Consoante a Regra DJ (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma
contradição das premissas (1), (2), (3) c x = 2<—>x = y. Temos, sucessiva­
m ente:
(13)
1
(12)
it
X
(9)
(10 )
(11)
II
m
r~l
(.5)
(6 )
(7)
P
P
P
PA
x < y -» xy = x
x^y A xy^x
x<yvy=l-^x =2
X
(1)
(2 )
(3)
(4)
x4 y
xy 4 x
x<y
x <y v y = 1
x=2
(x = 2 x = y) A (x = y -*■x = 2)
x = 2 -*■x = y
x=y
x = y A x 4= y
- S1MP
- SliVlP
1 , 6 - MT
7
AD
3,8 - MP
4
BICOND
10
SIMP
MP
9,11
5,12 CONJ (Cont.)
2
2
EXERCÍCIOS
1 . Usar a Regra DC (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os
seguintes argumentos:
(c
(d
(e
(f
(g
(h
(¡
(j
O
(I
(m
~r v
q s |--- r ~ q
p - ^ - q , ~- ( r A p j I------- q - > ~ r
r -> t,
(r -*>-~s) -*■ q |----- p -* p A q
p - ^ q, r -> p, s -» r |------- s -+ q
~ p , ~ r -> q, ~ s -* p |~ ( r A s) -> q
p
q, ~ r -» q,
-* —q |-- p v
~ s ->■
r
~ p v ~ s, q -> -~r,
t -*■s A T |t -+■~ (p
V q)
r s, s —
*■ q, r V (s A p) |------~ q -> p A s
r v s, ~ t -*p, r -*■~ q |------- p A q -* s A t
r -+ p,
s 1, t -> r |------- H p v q
q -> p,t. v s, q v ~ s |------- ~ (p v r) -* t
p V q -> r, s 4 » r A
r t,
SV U
I-p -> U
p -*■ q, r
t, s -*■r,
pv
s f------ ~ q -»• t
-
(b
-
(a
154
E D G A R D DE A L E N C A R F t L H O
2. Usar a Regra DC (Demonstração condicional) p a ra m o s t r a r q u e são válidos os
seguintes argumentos:
( a)
( 1)
K ^ y - > x > y v y > x
(2 )
y /
(3 ;
x> yv y> x ^ x ^ 2
2 v x = 2
y = 2 -> x = y
íb )
(D
U)
(3 )
x = I -* xy = 2
x +y ^ -í-x ^ l
y - 1 v x = 2 ->■ -(.x f y = 3 A xy = 2)
x = 1 -> x ^ T a y 411
<c)
(D
x = 0 -* x2 - x = 0
o
II
*
1
li
t
( ¿)
(3)
x = 2 v x2 - x = 0
x ■= 0 v
x 3 - 3x 2 + 2x = 0
x = 1 -+ x 3 - 3 x 2 + 2 x = 0
3. Usar a Regra DC' (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os
seguintes argumentos:
(a )
p v q,
( b)
(c )
- p v ~q,
p V ( r A s) |-- q-*S
p A q - > ~ rv^ s,
r As |---- p -*■~ q
( d)
(c)
p -> q, p
v ~ r,
~s v
t -* r j----~ s -*■ q
( p >q) v r, s V t ->~ r } s V ( t A u) )---- p -*• q
(f)
( p -►q) A ~ (r A ~ s),
p v ^ q , q, r - * ~ s ,
(g)
~ r v ~ q i --- ~ p - > ~ r
s
1 v u,
~ u |---- r->t
p -*( ~ s ->t)|------~ t -+ ~r
4. Usar it Regra Dl (Demonstração indireta) para mostrar que são válidos os
seguintes argumentos:
(b )
( C)
(d)
(c)
(f)
(g)
(h )
H p A q), p
r, q V ~ 0 ------- ~ p
p -*■~ q , r - > ^ p , q V r|-~ p
H p A q), - r -> q,
- p -> r |--r
p
q v r, q -*■ ~p,
s-*
j~ (p A s)
p v q, p * ~ f ,
<1
s |-~ r v
s
p v q, S -4 - p, ~ (q V r) t ---------- ~ S
-
( a)
p
~q> q v ~ r ,
- (s V ~ r ) |--~ p
~p-> ~q, - p v r, r->~-S|-- ~ q y ~ s
(i)
p A q < - > 'r ,
(j)
^PV~q>
- i ->-p,
r v s
—-q
p, q v ^ s ,
-—-r j------ q
---- ~ ( r v s)
155
IN IC IA Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
( k)
p v q -* r,
(1 )
( p - » q ) v r, s V t -*■~ r,
(in)
P^q,
(n )
~ r,
s- *pt -~ s
s v ( t A u ) f ---- p ^ q
~ S | -- ~ p
(p->q)->r? r v s - » ~ t ,
t|--------------- ~ q
5. Usar a Regra Dl (Demonstração indireta) para mostrar que são válidos os
seguintes argumentos:
-----(a )
(1)
(2 )
(-9
(4)
2x + 3y = 24
"
(x = 6-+y = 4) V 2x= 12
( 2 x = 12
x - 6) V 2x
x ^ 6
2x = 12 -> y = 4
(b)
(D
y = 1 ■-» X = 0 V X > y
(2 )
/ - - 1 - >x = 0 v X < /
(3 )
x > y
(4 )
x< r
(5 )
y = 1 V /-
- 1
x =0
6. Usar a Regra D l (D em onstração indireta) para mostrar que são válidos os
seguintes argumentos:
( a)
(p -9- q) V (r A s),
( b)
p -> q,
q «-* s,
~ q i---p -> s
t V (r A —s) |------ p -* l
vr,
s v (r -> t),
(c )
•vp+ ~q
(d )
~ ( p -»■q) V (s -> ~ r ) ,
(e )
( - p - » q)
A (r- + s),
p <-*■ t V
r,
(f)
(p -»■q) +
—>( r A s * t),
p -> qA r,
r,
- t f ----- ~ s
(g )
~ ( p - » - q ) - » ( ( r t e s ) V t),
q,
~ t i -- r -> s
q v s,
p
-> s,
p -* ~ s |---- ~ r v ~ s
p,
~ t f ------- q
~ S | ------q->t
14
Capítulo
Sentenças Abertas
/
'
1. SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARJÁVEL
Definição
Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A ou
apenas sentença aberta em A, urna expressão p(x) tal que p(a) c falsa (F) ou
verdadeira (V) para todo a £ A.
Lm ou Iros termos, p{x) é uma sentença aberta em A se c somente se p(x)
torna-sc uma proposição (falsa ou verdadeira) todas as vezes que sc substitui a
variável x por qualquer elemento a do conjunto A(a fc A).
O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo ou apenas universo (ou
ainda domínio) da variável x e qualquer elemento a £ A diz-se um valor da variável
x.
Se a C A c tal quo p(a) e uma proposição verdadeira (V), diz-se que a satisfaz
<ni verifica p(x).
Uma sentença aberta com uma variável cm A também se chama função proposicional com uma variável em A ou simplesmente função proposicional em A
(ou ainda condição em A).
Exemplos
São sentenças abertas em N = { 1 , 2, 3 ,. . . , ns . . , }
dos números naturais) as seguintes expressões:
(a)
(c)
(e)
x + l> 8
x+5=9
x é primo
(b)
(d)
(f )
(conjunto
x 2 - 5x + 6 = 0
x é divisor de 10
x c múltiplo de 3
2. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM UMA VA
RIÁVEL
Definição
Chama-se conjunto-verdade dc uma sentença aberta p(x) em um
conjunto A, o conjunto de todos os elementos a C A tais que p(a) c uma propo
síção verdadeira (V).
IN IC IA Ç Ã O Â LÓ GICA M A T E M Á T IC A
157
Este conjunto rcpresenta-se por Vp. Portanto, simbolicamente, temos:
Vp = { x l x £ A A p(x) é V }
ou seja, mais simplesmente:
'
Vp = { x I x fe A A p(x)}
ou
V p= ( x £ A l p ( x ) }
Obviamente, o conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x) em A c
sempre um subconjunto do conjunto A(Vp C A).
h xem p lo s:
( 1 ) Seja a sentença aberta “ x + I > 8 ” cm N (conjunto dos números naturais).
0 conjunto-verdade é:
Vp = {x | x e N A x + i > 8 } = { 8 , 9 , 1 0 , . . .
}C N
(2) Para a sentença aberta “x + 7 < 5” cm N , o conjunto-verdade é:
Vp={x|xfcNA x+7<5}
=<KN
(3) 0 conjunto-verdade em N da sentença aberta ‘“x + 5 > 3” c:
V p = {x | x £ N. A X + 5 > 3 }
=N c N
(4) Para a sentença aberta “ x é divisor de 10" em N, temos:
Vp = (x U £ N A x é divisor de 10 } - { 1, 2. 5, 10 } C N
(5)
O conjunto-verdade da sentença aberta LLx~ - 2x > 0” em Z (conjunto dos
números inteiros) é:
Vp = {x 1 x G 7. A x 2 - 2x > 0 }
= Z - {0, 1, 2 }
NOTA - Mostram os exemplos anteriores que, se p(x) é uma sentença aberta cm
um conjunto A, três casos podem ocorrer:
(1) p(x) é verdadeira (V) para todo x e A , isto é, o conjunto-verdade Vp coincide
com o universo A da variável x(Vp *= A).
Diz-se, neste caso, que p(x) exprime uma condição universal (ou uma proprie­
dade universal) no conjunto A.
153
ED G A R D Dé A L E N C A R FILH O
( 2 ) p(x) c verdadeira (V) somente pata alguns x fc A, isto 6, o conjunto-verdadc Vp
ê um subconjunto próprio do universo A da variável x(Vp ( A).
Neste caso, diz-sç que p(x) exprime uma condição possível (ou uma propriedade
possível) noconjunT trA -—
(3) p(x) não c verdadeira (F ) para nenhum x G A , isto ê, o con jun to-ver da de Vp é
va/io ( Vp - v ).
Oi/-«;, neste caso, que p(x) exprime uma condição impossível (ou uma proprie­
dade impossível) no conjunto A.
No universo R (conjunto dos números reais), as condições:
x+ I> x
c
x+L=x
são universal a primeira (visto ser verificada por todos os números reais) c impossível
a segunda (visto não ser verificada por nenhum número real).
No mesmo universo R a condição 9 x 2 - I = 0 c possível, visto ser verificada
somente pelos números reais 1/3 e - 1/3. Pelo contrário, no universo N (conjunto
dos números naturais) a mesma condição 9x* - I = 0 c impossível, pois, não existe
nenhum número natural que verifique tal condição. Por sua vez, a condição 3x > 1
é universal em N (o triplo de um número natural é sempre maior quo 1), mas não é
universal em R (não c verificada para x = 1/3 ou para x < 113).
Como se ve através desies exemplos, o emprego dos adjetivos “ universal’ ,
“ possível'" e “ impossível” depende geralmente do universo adotado. Note-se, po­
rém, que a condição x = x é universal, e por conseguinte a condição x / x é
impossível, qualquer que seja o universo considerado, por virtude do AXIOMA
lÒGlCO DA IDLNTÍDADF: Todo o ente é idêntico a si mesmo, isto c, simbóli­
ca me n te:
a - a, qualquer que seja o ente a
Imtende-se por ente (ser ou entidade) a tudo aquilo que se considera como
existente e a que, por isso, se pode dar um nome.
3.
SENTENÇAS ABERTAS COM DUAS VARIÁVEIS
Definição
Dados dois conjuntos A e B, chama-se sentença aberta com duas
variáveis em A x B ou apenas sentença aberta em A x B, uma expressão p(x, y) tal
quo pta, b) é falsa (F ) ou verdadeira ( V) para todo o par ordenado (a, b ) £ A x 15.
Km outros termos, p(x, y) é uma sentença aberta em A x B sc e somente se
pt x, y) torna-se uma proposição (falsa ou verdadeira) todas as vezes que as variáveis
x e y são substituídas respectivamente pelos elementos a e b de qualquer par
ordenado (a, b) pertencente ao produto cartesiano A x B dos conjuntos A e B
((a, b) e A x B).
I N IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
159
O conjunto A x B recebe o nom e de conj un to*uni verso ou apenas universo (ou
ainda d o m ín io ) das variáveis x e y . c qualquer elemento (a, b) de A x B diz-se um
par de valores das variáveis x e y.
Se (a, b) G A x B c Lal que p(a b) e uma proposição verdadeira (V), diz-se que
(a, b) satisfaz, ou verifica p(x, y).
Uma sentença aberta çom duas variáveis cm A x B também se chama função
propusidonal com duas variáveis em A x B ou simplesmente função proposicional
em A x B (ou ainda, condição cm A x B).
Exemplos
Sejam òs conjuntos A = { 1 ,2 ,3 }
c B = { 5 ,6 }
. São senten ças
abertas em A x B as seguintes expressões:
(a)
(b)
(c)
(d)
x c menor que y(x < y)
x é divisor de y(x | y)
y e o dõbro de x(y = 2 x)
mdc (x, y) = I
O par ordenado (3, 5) € A x B , p. ex., satisfaz (a) c (d), pois, 3 < 5 e o
jndc(3 5 )= í, c o par ordenado (3. 6 ) í A x B, p. ex., satisfaz (b) e (c), pois,
3 | 6 c 6 = 2 .3 .
4.
CONJUNTO VL RD ADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM DUAS VARIÁ­
VEIS
Definição
Chama*se conjunto-verdade dc uma sentença aberta p(x, y) em
A x B , o conjunto dc todos os elementos (a, b) G A x B tais que p(a, b) c uma
proposição verdadeira (V).
Este conjunto rcprcscnta-sc por Vp. Portanto, simbolicamente» temos:
V p= {(*, y) | x t- A A y GB A p(x, y)}
ou seja, mais simplesmente:
V p= {(x, y ) £ A x l í | p(x, y)}
O conjunto-verdade Vp dc urna sentença aberta p(x, y) em A x B é sempre um
subconjunto do conjunto A x B( Vp A x B).
Exemplos:
(1) Sejam os conjuntos A = { l, 2. 3, 4}
c B * { 1 ,3 ,5 }
da sentença aberta “ x < y ” cm A x B c:
V p= { ( x , y) | x G A A y C B A x < y }
. 0 conjunto-verdade
=
= {(1, 3), ( 1, 5), (2, 3), (2, 5). (3, 5), (4. 5) } C A x B
EDGARD DE ALENCAR FILHO
I6U
I
(2) Sejam os conjuntos A - { 2 ^ 3 ,4 , 5}
verdade da sentença aberta “ x divide
V p “ { ( x, y ) | x £
-
c B = { 3 , 6 , 7 , 1 0 } . 0 conjuntoy” (x | y ) cm A x B é:
A A y £ BA x
| y}
=
{(2, 6 ),(2 , 1 0 ),( 3 ,3 ),< 3 , 6 ) , (S, 10) > C A x B
(3) Sejam os conjuntos A = {1,2, 3 } c B ={3, 4 } . 0 conjunto-verdade
.sentença aberta “ x + I < y” cm A x B c:
V p"
-
{ ( x , y) | x C A. A y £
BA x + l < y }
{ ( 1, 3),.( 1, 4), (2, 4 )} í
da
-
AxB
(4) Sejam os conjuntos A = { 2 .3 ,4 }
e B= {.1,2,6}
da sentença aberta ” mdc(x, y) = 2” em A x B c :
.0
conjunto-verdade
Vp ~ ({X, y) | x G A A y e BA mdc(x, y) = 2 } =
-
{( 2 , 2 ), ( 2 , 6 ), (4, 2). (4 , 6 )}
CAxB
(5) O conjunto-verdade da sentença aberta “2x + y = 1 0 " cm N x N, sendo N o
conjunto dos números naturais, c:
{(x, v) | x, y e N A 2x + y = I0 }
-
=
{ (1 ,8 ), (2, 6 ), (.3,4), (4, 2 » C N x N
( 6 ) O conjunto-verdade da sentença aberta “ x 2 + v 2 - i
conjunto dos números inteiros, é:
V p=
{(X ,
= {(0 ,
5
em 7.x Z, sendo 7. o
y) | x ,y c Z A x2 + y 2 = 1 } =
1 ) , ( 1 ,0 ) ,{ - 1 ,0 ) ,( 0 ,
I) } C Z x Z
SENTENÇAS ABERTAS COM N VARIÁVEIS
Consideremos os n conjuntos A l A j , . . . , An e o seu produto cartesiano
A, x A j x . . . x An.
Definição
Chama-se sentença aberta com n variáveis eni A t x A 2 x . . . x An
ou apenas sentença aberta em A , x A; x . . . x An, uma expressão p(X i, x2 l . . ., Xn)
tal que p (a j, a2, . . . , an) c falsa (F ) ou verdadeira (V ) para toda n-upla
( a 1, i\i......... an) G A, x Ai x . . . x An.
IN IC IA Ç Ã O Â LÕ G ICA M A T E M Á T IC A
161
\
O conjunto A, x A2 x . . . x A j , rcccbc o nome de eonjunto-universo ou apenas
universo (ou ainda domínio) das variáveis x , , x 2 , . . ., xn, e qualquer clemcnlo
( a , , a 2 ........ an) £ A , x A2 x . . . x An diz-se uma n-upla de valores das variáveis
X ( , X 2 , . . ., XfiSe ( a h a , ........ an) € A , x A2 x . . . x A n c tal que p( a ,, a2, . . ., an) c uma
proposição verdadeira (V), di/.-se que ( a i , a2, . . .. an) satisfaz ou verifica
p( X, , Xa, - . - , x n>.
Uma sentença aberta cojn n variáveis em A| x A2 x . . . x A^ também sc chaina
função pr o posiciona) com n variáveis em A| x A2 x
. x An ou simplesmente
função proposicionai em A ( x A3 x . . . x An (ou ainda condição cm A, x A2 x . . .
. . . x An).
Hxcmplo
A expressão “x + 2y + 3/. < 1#” c uma sentença aberta em
N x N x N, sendo N o conjunto dos números naturais.
O terno ordenado (1, 2, 4) G N x N x N, p. ex., satisfaz esta sentença aberta,
pois, 1 + 2 . 2 + 3 . 4 < 1H.
6. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM N VARIÁVEIS
Definição
Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p( X| , x2, . . . ,
xn) em A, x A : x . . . x An, o conjunto de todas as n-uplas(af , a2, . . ., an) € A, x
A2 x . . . x Án tais que p( a, , a3........ an) c uma proposição verdadeira (V).
Portanto, simbolicamente, temos:
v p = { u , , x 2, . . . . x „ ) | x i GA, A x2 € A ; A . . . A xn € At1
Ap(X| , X2, ---- xn )}
mi seja, mais simplesmente;
Vp = {(x , , x 2----- - xn) C A, x A2 x
x A„ | p ( x , . x2........ xn )}
O con jun to-verdade da sentença aberta “ 18x - 7y + 13/.= 39" cm
sendo Z o c o n ju n to dos números inteiros, ó :
E xem plo
/ . x 7. x Z ,
Vp ~ {< x i , x2 , Xj) | x , , x2, x 3 G Z A 18x - 7y + 13* = 3 9 }
=
= {(I, - 3 . 0 ) , (4, 1, - 2), <3, 4, 1) , (6, 8 , - 1 ) , . . . }
NOTA
Fm Matemática, as equações e as inequações são sentenças abertas que
exprimem relação de igualdade c desigualdade, respectivamente, entre duas expres­
sões com variáveis. Mas, o conceito de sentença aberta é muito mais amplo que o de
equação ou inequação; assim, “x divide y ’\ "x é primo com y ’\ “x é filho de y ”,
etc., são sentenças abertas, sem serem equações nem inequações.
15
Capítulo
Operações Lógicas sobre
Sentenças Abertas
1. As operações lógicas que definimos para proposições (Cap. 2) estendem-se na­
turalmente à sentenças abertas.
2. CONJUNÇÃO
Consideremos, p. ex., as sentenças abertas:
“x é medico” ,
“ x é professor”
o universo da variável x em cada. uma delas sendo o conjunto H dos scrcs humanos.
Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo A (que sc lê “ e” ), obtem os
uma n o v a sentença aberta em H:
“ x 6 módico A x é professor"
que c verificada por todos os indivíduos que satisfazem ao mesmo tem po as duas
condições dadas, c só por esses indivíduos. Logo, e natural chamar a nova sentença
aberta assim obtida conjunção das duas primeiras.
Analogamente, a conjunção das sentenças abertas em R (conjunto dos números
reais):
“x > 2 ”,
“x < 8”
c a sentença aberta cm R:
“x > 2 A X < 8 ”
IN IC IA Ç A O A LO G ICA M A T E M A T IC A
165
Assim, fazendo x = 5, x = rr, x = 2, x = - 1, x ~ 8.57, ctc., teremos sucessiva­
mente:
x
x> 2
x< 8
x > 2 Ax < 8
7
n
2
V
V
F
F
v
v
v
v
v
F
v
v
F
F
F
-1
8,57
Note-se que a conjunção x > 2 A x < 8 costuma ser escrita: 2 < x < 8 .
Aliás, sendo a e b números reais quaisquer, escreve-se, por definição:
a<x<b<~>x>aA x<b
j a, b |
x> a A x < b
Outros exemplos:
(1) No universo N (conjunto dos números naturais):
3 1 x. A 5 | x <■=> 15 |x
x | y A y | x <=* x = y
(2) No universo R (conjunto dos números reais):
2x + y = 8 A 5x - 3y = 9 *-=►x = 3 A y = 2
o
que também se pode escrever:
J
2x + y - 8
j
^ 5 x - 3y = 9
x
= 3
[y
=2
(3) No universo das liguras geométricas:
x é um retângulo A x é um losango <=?-xc um quadrado
166
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
De modo geral, sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em uin conjunto A.
Ú.
óbvio queum elem ento a G A satisfaz a
sentença aberta p(x) Aq(x) cm A sc a
proposição p(a) A q(aj c verdadeira (V). Ora, esta proposição c verdadeira se e
somente se as proposições p(a) e q(á) são ambas verdadeiras, isto c, sc e somente se
aC A satisfaz ao mesmo tempo as sentenças abertas p(x) e q (x )e m A, Portanto, o
conjunto-verdade Vp A tj da sentença aberta p(x) A q(x) em A é a interseção ( n )
dosconjuntos-vcrdadc Vp c Vq das sentenças abertas p(x) e <{( x ) em A. Temos, pois»
simbólicamente:
Vp A d
= V n Vq “ {x £ A | p{x) } n
{xGAiq(x)}
lüxcmplificando, sejam as sentenças abertas em Z (con junto dos números intei­
ros):
p(x) : x 2 t x - 2 = 0
q(x) : x 2
4=0
Temos:
Vp A q = {x C Z | x 2 + x - 2 = 0 } n { x £ Z | x 2 - 4 = ()} =
= { '- 2 , ] >
n
{ -2 ,2 } = { -2 }
3. DISJUNÇÃO
Consideremos ainda as sentenças abertas em H (conjunto dos seres humanos):
“x c médico”,
ux é professor”
Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo
obtemos uma nova sentença aberta cm H:
V (que se lê “ ou” ),
“ x é médico V x é professor”
que é verificada por todo indivíduo que satisfaz uma pelo menos das duas condições
dadas, e só por esses indivíduos. Logo, é natural chamar a nova sentença aberta
assim obtida disjunção das duas pTimciras.
Analogamente, a disjunção das sentenças abertas em R (conjunto dos números
reais):
“x < 2 ”„
“x > 8”
é a sentença aberta em R:
“x < 2 v x >
8”
167
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
Assim, para x = 0 , x - - 1 . x = 2, x = 'S,"x~=ir, x = 8,57, cie., lesemos sucessi­
vamente;
x
x<2
x> 8
x< 2 Vx> 8
0
v
v
F
F
F
F
F
F
F
F
F
v
v
v
- 1
2
5
n
8,57
F
F
F
v
. . . .
. . . .
Oulros exemplos:
1 ) No universo N (conjunto dos números naturais):
x | 6 V x | 1 0 <=*■ x G
{ 1 , 2, 3, 5, 6 , 1 0 }
( 2 ; No universo R (conjunto dos números reais):
x. - 2 V x -
3
x2 + x - 6 = 0
x = 5 V x < 5 <=> x < 5
Aliás, sendo a c b números reais quaisquer, escicve-se, por definição:
a< b
a< bV a=b
Também se escreve, por definição:
a< bC c«= a< bA K c
ou seja:
a < b < c <=--> (a < b v a = b) A (b < c v b = c)
Análogos significados têm:
a<b<c,
a < b < c,
a > b > c,
etc.
De modo geral, sejam p(x) c q(x) sentenças aborias em um conjunto A. F
imediato quo um elem ento a G A satisfaz a sentença aberta p(x) v q(x) em A se a
proposição p(a) V q(a) é verdadeira (V). Ora, esta proposição é verdadeira se e
somente sc uma pelo menos das proposições p(a) e q(a) é verdadeira, isto e, se e
somente sc a<G A satisfaz uma pelo menos das sentenças abertas p(x) e q(x) em A.
Portanto, o conjimto-verdade Vp v t) da sentença aberta p(x) v q(x) em A é a
I6g
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
reunião ( U ) dos conjuntos-verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) c q(x) em A.
Temos, pois, simbolicamente:
Vp v q = Vp U Vq = { x é A | p(x)>
U { x G A J q( x >}
lixcmpli ficando, sejam as sentenças abertas em Z (conjunto dos números in­
teiros):
p(x) : x 2 + x -2 = 0
q tx ): x2
4~ 0
Temos:
Vp v t] = {x G Z | x 2 + x - 2 = 0 } U { x G Z | x 2 - 4 = ü} =
-
{ - 2 , 1}
U
{-2, 2 } ={-2, 1 , 2 }
Para as sentenças abertas d n R (conjunto dos números reais):
p(x.) : x < 0 ,
q (x ):x > 0
lemos:
Vp V q - {x G li 1 x < 0 > U { x e k | x > 0} ~ R * U R* - R*
4.
NEGAÇÃO
Consideremos no universo 11 dos seres humanos a sentença aberta;
“x tem menos de 2 1 anos"
Antepondo a esta sentença aberta o conectivo — (que se le “ não c verdade
que"), obtemos a nova sentença aberta cm 11:
“ ~ x tem menos de 21 anos”
que é natural chamar negação da primeira, pois, é verificada precisamente pelos
indivíduos quo não satisfazem aquela.
Obviamente, a negação de “ x tem menos de 21 anos” é logicamente equivalente
à seguinte sentença aberta em II:
“x tem 21 anos V x tem mais de 21 anos”
Outros exemplos:
( I) No universo N (conjunto dos números naturais):
-~x c par
x é únpar
169
IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
( 2) No universo R (conjunto dos números reais):
~ (x < y) <--> x > y
ou seja:
(x < y) < => x = v V x > y
Por sua vc/.:
~ ( k = y ) <*=*■x < y v x > y
(3) Lm qualquer universo U:
~ (x = y ) « = > x ^ y
De modo geral, seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto A. E óbvio que
um elemento a E A satisfaz a sentença aberta ~ p (x ) em A se a proposição ~ p (a ) c
verdadeira (V). Ora, esta proposição é verdadeira sc e somente se a proposição p(a) é
falsa (F), isto c, sc e somente se a C A não satisfaz a sentença aberta p(x) em A.
Portanto, u conjuiit o- verdade V ^ p da sentença aberta ~ p (x ) em A c o complemento em relação a A do con ju n to verdade Vp da sentença aberta p(x) em A. Temos,
pois, simbolicamente:
v . p - C A Vp - C a
{x £ A I p{ *>}
lixemplificando, seja A o conjunto dos números naturais divisíveis por 5, isto é,
A = {5k | k £ N } = {5, 10, 15, 2 0 ,. . . } . Para a sentença aberta cm A:
p(x) : X termina por 5
temos:
V ~p = C ,\ { x £ A 1 x (cnnira por 5 } =
= {x E A 1 x icrmina por 0 }
5.
CONDICIONAL
Consideremos as sentenças abertas em Z (conjunto dos números inteiros):
“x 2- 5x + 6 = t r ,
uyc - 9 = Ü”
Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo -+ (que se lê: “ se . . . então
. . .”) obtemos uma nova sentença aberta cm 7.
“x 2 -5 x + 6= O ^ x 2 - 9 - 0 ”
170
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
denominada condicional das duas primeiras, c verificada por todo número inteiro
diferente de 2 (paia x -- 2 a condicional é falsa (F) porque o antecedente é verda­
deiro (Y) e o consequente é falso (F)).
De m odo geral, sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um mesmo conjunta A.
Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo ->, obtem os uma nova sentença
aberta cm A; “ p(x) -» q(x)” , que c verificada por todo elemento a £ A tal que a
condicional “ (Ha)
q(a)” é verdadeira (V).
Por ser p(x) q(x)
~ p (x ) V q(x), segue-se que o conjunto-verdade Vp q
da sentença aberta p(x) •-* q(x) ern A coincide com o conjunto-verdade da sentença
aberta ~p(x.) V q(x) cin A e, portanto, c a reunião ( U ) dos conjuntos-verdade
Vv. p e Vq das sentenças abertas ~ p (x ) e q(x) cm A. Temos, pois,simbólicamente:
^ p -*■ q ~
p LJ Vq = C A Vp U Vq
ou seja:
Vp -> q ~ t.'A { x fc A | p(x}}
U |xGAlq(x)}
Fxemplificando, sejam as sentenças abertas em N (conjunto dos números natu­
rais):
p(x) : x | 12,
q(x) : x | 45
Temos:
Vp
6.
q = CN
{ x G N | x | I2 } U
{x £ N | X | 45 } =
= Cn
{1, 2, 3, 4, 6, 12} U { 1 , 3 , 5 , 9 , 1 5 , 4 5 } -
= 'N -
{ 2 . 4 , 6 , 12}
BICONDICIONAL
Consideremos as sentenças abertas em 7. (conjunto dos números inteiros):
“ x > - 5” ,
“ x < 0”
Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo «-► (que se lê: “ sc e so­
mente se” ) obtemos uma nova sentença aberta cm 7.:
“ x > - 5 *— x < 0 ”
denominada bieondicional das duas primeiras, c que é verificada por todo número
inteiro maior que - 5 e menor que 0, isto c, para x = - 4 , 3, -2, - 1 , e somente
por esses números.
De modo geral, sejamp(x) c q(x) sentenças abertas cm um mesmo conjunto Á.
Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo «—*■, obtemos unianovasen­
IN IC IA Ç Ã O Á LÓ GICA M A T E M Á T IC A
171
tença aberta em A: "p(x) ■+—» q(x)’\ que é verificada por todo elemento a £ A tal
que a bicondieional “ p(a) <—*■q(a)” c verdadeira(V).
Por ser p(x) <-> q(x)
(p(x) -+ q(x)) a (q(x) p(x)). segue-se que oconjunto-verdade V p .: > q da sentença aberia p(x) <-> q(x) em A coincide com o conjuntoverdade da sentença aberta cm A:
(p( x ):^ q[x)) A (q(x) -*• p(x))
e, portanto, é a interseção ( H ) dos coujuntos-verdade V p ^ q e Vq p das
sentenças abertas etn A: p(x) -* <|(x) c q(x) -»p(x). Teínas, pois, simbólicamente:
Vp
q = Vp >
. q n Vq
p = (V~ p, U V q) i ' ( V _ q U V p)
-
= (C A Vp U V q) n ( C A V q U V p)
Oti seja:
Vp w
q = |( 'a { X e A I p( x)}
u
n |C ’A { x € A | q(x)}
{ X e A | q (x )} I n
U { x t A | p(x)} |
Exemplificando, sejam as sentenças abertas cm N (conjunto dos números na­
turais):
p(x) : x | C
q ( x ) : x | 15
Temos:
( NV p U Vq = ( Si { 1, 2,
0 } U {1 ,3 ,5 ,1 5 }
= N - { 2, 6 }
f N Vq U Vp = C'N {1 . 3. 5. I 5 } U { 1, 2, 3, 6 } = N - { 5 , 1 5 } '
e, portànto:
Vp
q = (N
{ 2 , 6 } ] n [ N - { 5, 15>J = N - < 2 ,5 ,6 ,1 5 }
7. ÁLGEBRA DAS SENTENÇAS ABERTAS
As propriedades das operações lógicas sobre proposições (C’ap. 7) se transmitem
autom aticamente üs operações lógicas sobre sentenças abertas ent um mesmo con­
junto que vimos dc definir. Assim, a conjunção e a disjunção continuam a ser
comutativas e associativas, e cada uma delas c distributiva em relação à outra.
Subsiste a propriedade da dupla negação, assim como as leis de DE MORGAN.
Quanto às propriedades de identidade:
p A tM p ,
p A C < -> C,
assumem agora novo aspecto. Assim, temos:
p V t <•---■> t,
pVC^>p
Ê D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
172
(|J A. conjunção de uma sentença aberta com uma outra que exprime uma condi­
ção universal c equivalente à primeira.
(II) A conjunção de unia sentença aberta com uma outra que exprime uma condi­
ção impossível também exprime unia condição impossível.
Destas duas propriedades resultam mais duas outras por dualidade lógica, subs­
umi ndo "conjunção” por “ disjunção”, “ universal” por “ impossível c “ impossível5
pot “ universal'’.
Consideremos, p. ex., cm R (conjunto dos números reais) os sislcmas:
j x- I> 3
J x - I> 3
^x f I > x
^x+ 1 - x
2
2
t|uc se podem escrever, rcspcctivamentc:
2x
1 > 3 A x + I > x,
2x
I > 3 A x + 1= x
Como a sentença aberta x + 1 > x exprime uma con d ição universal e a sentença
aberta x + l - x exprime uma condição impossível, teremos:
2x - 1 > 3 A
2x
x +
i > x
2x
I> 3
1> 3 A x+ I =x
x + i - x (impossível)
2x
I > 3V x + 1> x
x+
I > x (universal)
2x
I > 3V x t
I= x <=» 2x
f> 3
A n a lo g a m e n te :
CONVENÇÃO
creve-se:
Dadas varias sentenças abertas pi(x ), p í(x ), p 3( x ) . . . . , es­
p , (x ) a P j ( x )
p « ( x ) A P j ( x ) A P: «( x ) A p 4 ( x )
a p 3( x )
e m lu g a r d e ( p , ( x ) A
e m lu g a r d e ( p , ( x ) A p_>( x ) A. P : $ ( x »
p 3(x » A
A
p4 (x );e tc .
A n a l o g a m e n t e p a ra a d is j u n ç ã o .
EXERCÍCIOS
I . Determinar o conjunto-verdade era A
seguintes sentenças abertas compostas:
(a) x < 7 A x c ímpar
(c) 3 I x A x < 8
(d)
(b)
(X
{1. 2, 3 , . . 9 , 10 } de cada uma das
x é par A x + 2 < 10
+ 4)£AA(X2 -5 ) Í A
p .í(x );
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A
173
2. Determinar o conjunto-verdade em A
seguintes sentenças abertas compostas:
(a) x 2 - 3 t = 0 V XJ = X
(c) x é primo v (x + 5) fe A
{O, 1, 2, 3, 4, 5 }
(b)
(d)
x c par V x 2 < 9
x 2 -> 16 V x 2 - 6 x + 5= 0
3. De terminar o conjunto-verdade em A seguintes sentenças abertas compostas:
(a)
(x < 3)
(c) - ( x i 12)
(e) - ( x é primo)
(b)
(d)
(f)
de atida uma das
{(), 1, 2, 3 , 4 , 5 }
de
-'•(xé ímpar)
~ (x + ! >£ A
—(x 2 - 3x = 0)
4. Determinar o conjunto-verdade em A = { 3, - 2 , - 1 , 0, I, 2, 3}
uma das seguintes sentenças abertas compostas:
(a) x c par -*■x 2 ■ 1 - 0
(c) (x + 5 ) £ a + x < 0
(e) x 2 + x - 6 < 0x 2 - 9
(b)
(d)
x2
=0
x 2 3 X - 0 « —>x 2 x = 0
x c primo >(x t3) & A
<b)
(d)
x é par
x 3 > 12
de cada uma das
x2 < 8
x 2 - 5x + 6 = 0
ó. Sejam as sentenças abertas em R (conjunto dos números reais):
p(x) : 2x - 3 < 0
Determinar Vp A qc
c
q(x ) :
x + 1 -> 0
Vp ^ q .
7. Sejam as sentenças abertas cm R (conjunto dos números reais):
p(x) : lS x 2 + 2x
8^0
Determinar V p V q
e
q ( x ) : 5x 2 + 19x + 1 2 = 0
e V p A<].
8 . Sejam as sentenças abertas cm R (conjunto dos números reais):
p(x) : -4 x + 3 > 0
Determinar Vp A q
c
e
q(x): 5x + 2 > 0
V.^,p .
9. Sejam as sentenças abertas cm A = { 1, 2, 3, 4. 5, 6 , 7, 8 . 9}
p(x) : x 2 £ A
de cada
x | 1 2 ->x é primo
I - ¿ 0 - * x 2 + 4 x +3 = 0
5. Determinar o eonjunto-verdade cm A ~ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
seguintes sentenças abertas compostas:
(a)
(c)
cada
e
q(x) : x c ímpar
Determinar VpH>q , Vq ^ p e Vp<._>q .
:
u
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
174
10. Sejam p(x), q(x) e r(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Exprimir
o conjunto-verdade da sentença aberta composta;
p( x ) - » q ( x ) v - d »
cm função dc Vp, Vq c Vr .
Resolução
Temos, sucessivamente:
Vp - q v ~ r = CA V p U Vq v
- CAV p U ( V q U V ^ r) = CAV p U (V q U CAV r)
11. Sejam p(x), q(x) c r(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Achar a
expressão do conjunto-verdade dc cada uma das sentenças abertas compostas
abaixo em função de Vp, Vq e Vr :
(a) M.píx) v q (x »
(c) p (x )-M > i{ x )-* q(*))
(b)
( d)
~ p (x ) > ~ q (x )
(p(x) - q(x)) A (q(x)
r(x »
16
Capítulo
Quantificadores
1.
QUANTIFICADOR UNIVERSAL
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A = # 0 ) e seja
Vp o seu conjunío-verdade:
Vp = {x | x £ A A p(x.)}
Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença
aberta p(x), podemos, então, afirmar:
(i) “ Para todo elemento x de A, p(x) é ver­
dadeira (V )“
(ii) ' ‘Qualquer que seja o elemento x dc A,
p(x) c verdadeira ( V )'’
ou seja, mais simplesmente:
(iii) “Paia todo x de A, p(x)”
(iv) “ Qualquer que seja x de A, p(x)”
Pois bem, no simbolismo da Lógica Matemática indica-se este fato, abreviada­
mente, de uma das seguintes maneiras:
(1)
(2)
(3)
( V x e A) (p(x))
v x E A, p(x)
v x £ A : p(x)
.Muitas vezes, para simplificar a notação, omitc-se a indicação do domínio A da
variável x, escrevendo mais simplesmente:
(4)
(5)
( 6)
( V x) (p(x))
V x, p(x)
v k : p(x)
E D G A R O OE A L E N C A R F I L H O
176
Subsiste, pois, a equivalência:
( V x C A) ( p ( x ) ) * » Vp = A
Importa notar c|ue pfx), simplesmente, é uma sentença aberta, c por conseguinte
carece de valor lógico V ou F; mas, a sentença aberta p(x) com o símbolo ..«---antes
dela, isto c, ( V xfc A )(pfó)X torna-se uma proposição c, portanto, tem um valor
lógico, quo c a verdade ( V) se Vp = A e a falsidade (F) se Vp ^ A.
I.m outros termos, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A. o
símbolo V , referido à variável x, representa uma operação lógica que transforma a
sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime
«ui não uma condição universal no conjunto A. A esta operação lógica da-se o nome
de quantificação universal c ao respectivo símbolo V (que é um A invertido; o dc
i|uantificador universal.
Quando, cm particular, A seja um conjunto finito com n elementos a t , a2, . . . ,
¿tn, isto e, A --- { a , , a2- ,. . ., a n } , é óbvio que a proposição ( V x & A) (p(x)) é
equivalente à conjunção das n proposições p (ai), pía2), - ■ p\an), ou seja, simbo­
licamente:
( V x £ A) (p(x)) «=> (p(a i > a p(» 2 ) a - - - a PÍan))
Portanto, num universo finito, o quantificador universal equivale a conjunções
sucessivas. Assim. p. ex., no universo finito A = {3, 5, 7 } e sendo p(x) a sentença
aberta l‘x é primo” , temos:
( Y x G A) (x é primo) =«=> (3 e primo A 5 é primo A 7 é primo)
Lxcmplificando, a expressão:
( V x) (x é mortal)
lê-se “ Qualquer que seja x, x é m ortal” , o que é uma proposição verdadeira (V) no
universo H dos scrcs humanos ou, mais geralmente, no universo dos seies vivos.
Se a variável da sentença aberta for uma outra, em vez da letra x, escreve-se o
quantificador universal V seguido dessa variável. Assim, a expressão:
( V Fulano) (Fulano é mortal)
lê-se “Qualquer que seja Fulano, Fulano é m ortal'’, o que significa exatam ente o
mesmo que a proposição anterior.
Analogamente, as expressões:
( V x) (2x > x) : “ Qualquer que seja x, 2x > x ”
( V y) (2y > y ) : “ Qualquer que seja y, 2y > y ”
exprimem ambas o mesmo fato: “O dobro de um número é sempre maiorque esse
número” , o
quo é verdadeiro em N, mas falso em R (p. ex., 2 .0 =0, 2 . ( - 3 ) < -3 ,
etc.).
177
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A
Muitas vezes (quando não há perigo de dúvida), o quantificador c escrito depuis
e não antes da expressão quantificada. Por exemplo, tem-se em R:
x 2 - 4 = (x + 2) (x - 2), V x
Aqui, o símbolo V x pode ler-se “ qualquer que seja -X” ou “para todo o valor
dc x ” ou simplesmente “ para todo o x ” .
Algumas vezes, para evitar possíveis dúvidas, o dom ínio da variável é devida­
mente especificado. Assim:
x+ l>x,
Y x £ R
Aqui, “ V x € R” lê-sc: “ qualquer que seja x €E R ” ou ainda “ para todo x £ R ” .
Outras vezes ainda, para condensar a excrita, escreve-sc a variável com o índi­
ce do símbolo V . Assim, p. ex.:
V
x> 0
2x > x ("Para todo o x > 0, tem-sc 2x > x ”)
v
x^O
x 2 > 0 (“ Para todo o x # 0, tem-se x 2 > C”)
Outros exemplos:
(1) A proposição:
( V n £ N) (n + 5 > 3)
é verdadeira, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) :n + 5 > 3 é:
Vp = {n | n e N A n + 5 > 3 } = < 1 , 2 , 3 , . . . } = N
(2) A proposição:
( V n.fc N )(n + 3 > 7 )
e falsa, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) :n + 3 > 7 é:
Vp = { n | ri E N A n + 3 > 7 } = { 5 , 6 , 7 , . . . } ^ N
(3) Obviamente, a proposição ( V x £ R) (x 2 > 0) é verdadeira e a proposição
( v x € R) (3x - S = 0) é falsa.
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
178
2.
QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A(A
Vp o seu conjunto-vcrdade:
Vp = { x | x G A
) e seja
A p(x)}
Quando Vp não é vazio ( V p ^ $ ) , então, um elemento, pelo menos, do con­
junto A satisfaz a sentença aberta p(x), e podemos afirmar:
A
(D “ Existe pelo menos u m x E A tal que p(x) e
verdadeira (V )5’
(ii) “ Para algum x £ A , p(x) é verdadeira (V ) n1
ou seja, mais simplesmente:
(iii) “‘Existe x £ A Cal que p(x)”
(iv) “ Para algum x £ A, p(x)”
Pois bem, no simbolismo da Lógica Matemática indica-se este fato, abreviada­
mente, de uma das seguintes maneiras:
( 1)
(2)
(3)
( 3 x e A) (p(x))
3 x 6 A, p(x)
3x G A : p(x)
Muitas vezes, para simplificar a notação, omite-se a indicação do domínio A
da variável x, escrevendo mais simplesmente:
(4)
(5)
( 6)
(3 x ](p (x ))
3 x, p(x)
3 x :p ( x )
Subsiste, pois, a equivalência:
( 3 x G A) (p{x)) •«=?• Vp # (p
Cumpre notar que, sendo p(x) uma sentença aberta, carece de valor lógico
V ou F; mas a sentença aberta p(x) com o símbolo 3 antes dela, isto 6,
( 3 x G A) (p(x)), torna-se uma proposição c, portanto, tem um valor lógico, que
é a verdade (V) se Vp # $ e a falsidade (F ) se Vp = <f>.
Deste modo, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A,o símbolo 3 ,
referido à variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença
aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime ou não
uma condição possível no conjunto A, A esta operação lógica dá-se o nome de
quantificação existencial e ao respectivo símbolo 3 (que é um E invertido) o de
quantificador existencial.
179
IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M A T IC A
Quando, em particular, A seja um conjunto finito com n elementos a i, a2 , . a^, isto c, A = { a j , a j , . . an } , é óbvio que a proposição ( j x € A ) (p(x)) é
equivalente à disjunção das n proposições p<a|), p(a 2
p(an), ou seja, simboli­
camente:
( 3 x G A ) ( p ( x ) ) ^ ( p ( a 1) V p(a2) v . . . v p (a n))
Portanto, num universo finito, o quantificador existencial equivale a disjunções
sucessivas. Assim, p. ex., no universo finito A = {3, 4, 5} e sendo p(x) a sentença
aberta “x é par” , temos:
( 3 x e A) (p(x)) <=> (3 c par V 4 é par v 5 é par)
Exemplificando, a expressão;
( 3 x) (x vive na Lua)
lê-se “ Existe pelo menos um x tal que x vive na Lua” , e é uma proposição falsa (F)
no universo H dos seres humanos, que também se pode traduzir por “Algum scr
vive na Lua” .
Analogamente, a expressão:
( 3 x) (x > x2)
lê-sC “ Existe pelo menos um x tal que x > x2” , o que é uma proposição verdadeira
(V) em R ( “ Algum número real é superior ao seu quadrado“), mas falsa (F ) em
N ( “Nenhum número natural c superior ao seu quadrado”).
Para o símbolo 3 adotam-se ainda convenções análogas àquelas que indicamos
para o quantificador universal V , com esta única diferença: nunca pode ser escrito
após a sentença aberta quantificada.
Outros exemplos:
( I) A proposição:
(3nGN)(n +4<S)
é verdadeira, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) :n + 4 < 8 c:
Vp = {n | n E N' A n + 4 < 8 } = { 1, 2, 3, }
<j>
(2) A proposição:
( 3 n G N) (n + 5 < 3)
é falsa, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) : n + 5 < 3 é:
Vp = { n | n G N A n + 5 < 3 } = <P
(3) Obviamente, a proposição ( 3 x G R) (x 2 < 0) e falsa e a
( 3 x G R) (2x - 1 = 0 ) c verdadeira.
proposição
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
180
3.
VARIÁVEL APARENTE E VARIÁVEL LIVRE
Quando há um quantificador a incidir sobre uma variável, esta diz-se aparente ou
muda; caso contrário, a variável diz-se livre.
Assim, p. ex., a letra x c variável livre nas sentenças abertas:
3x - l = 14 (equação),
x + 1>x
(inequação)
mas e variável aparente nas proposições:
( 3 x) (3x - 1 = 14),
( V x) (x + 1 > x)
É frequente em Matemática o uso do seguinte PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO
DAS VARIÁVEIS APARENTES: Todas às vexes que uma variávd aparente é subs­
tituída, em todos os lugares que ocupa numa expressão, por outra variável que nâo
figure na mesma expressão, obtém-se uma expressão equivalente.
Assim, p. ex., são equivalentes as proposições:
(* )
(* * )
( V Fulano) (Fulano é mortal) c ( V x ) (x é mortal);
( 3 Fulano) (Fulano foi à Lua) e ( 3 x) (x foi à Lua)
De modo geral, qualquer que seja a sentença aberta p(x) em um conjunto A
subsistem as equivalencias:
(i)
(ii)
4
( v x e A) (p(x)) <=►( V y £ A) (p(y))
( 3 x € A) (p(x)) <=> ( 3 y £ A ) (p(y))
QUANTIFICADOR DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE
Consideremos em R a sentença aberta “x 2 = 16” . Por ser
4 2 = 16,
( - 4 ) 2 = 16
e
4#=-4
podemos concluir:
( 3 x, y G R.) (x 2 = 16 A y 2 = 16 A x
y)
Peio contrário, para a sentença aberta “x 3 = 27” em R teremos as duas propo­
sições:
(i)
(ii)
( 3 x G R ) ( x 3 =2 7 )
x 3 = 27 A y 3 = 27 =* X = y
A primeira proposição diz que existe pelo menos um x £ R tal que x 3 = 27(x = 3):
é uma afirmação de existência.
IN IC IA Ç Ã O À LÓ GtCA M A T E M Á T IC A
181
A segunda proposição diz quo não pode existir mais de um x € R tal que
x 3 = 27: é uma afirmação de unicidade.
A conjunção das duas proposições diz que existe um x £ R e um só tal que
x 3 - 27. Para indicar este fato, escreve-sc:
( 3 ! x £ R) (x 3 = 27)
onde o símbolo 3 ! é chamado quantificador existencial de unicidade e se lê:
“ Existe um e um só” .
Muitas proposições da Matemática encerram afirmações de existência e unici­
dade. Assim, p. ex., no universo R:
a# 0
( V b) ( 3 ! x) (ax = b)
Exemplificando, são obviamente verdadeiras as proposições:
( 3 ! x E N J I x 2 - 9 = 0)
( 3 !x£2)(-l < x < l)
( 3 ! x € R) ( I x | = 0)
5. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADOR
É claro que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido do
símbolo de negação - . Por exemplo, no universo H das seres humanos, as expres­
sões:
(i)
(iií)
( V x) (x fala francês)(ii)
~ ( V* x) (x fala francês)
( 3 x) (x foi à Lua)(iv) —( 3 x) (x foi à Lua)
são proposições que, em linguagem comum, se podem enunciar, respectivamente:
(* )
(* * j
(* * * )
(****)
“Toda a pessoa fala francês”
“ Nem toda a pessoa fala francês”
“ Alguém foi à Lua”
“ Ninguém foi à Lua”
São também evidentes as equivalencias:
~ ( Y x) (x fala francês) -<=* ( 3 x) (~ x fala francês)
3 x) (x foi à Lua) « ( T x ) (~ x foi à Lua)
De modo geral, a negação da proposição ( V x £ A) (p(x)) é equivalente a
afirmação de que, para ao menos um x £ A, p(x) é falsa ou ~ p (x ) c verdadeira.
\
\
-182
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Logo, subsiste a equivalência:
~ [ ( V x € A) (p(x))J <=> ( 3 x £ A) (~p(x)>
Analogamente, a negação da proposição ( 3 x £ A )(p (x )) é equivalente a afir­
mação de que, para todo x £ A, p(x) é falsa ou ~ p (x ) é verdadeira. Logo, subsiste
a equivalência:
~ [ ( 3 x £ A )(p(x))]<=> ( V x £ A )(~ p (x ))
Estas duas im portantes equivalencias são conhecidas por segundas regras de
negação de DE MORGAN.
Portanto: A negação transforma o quantificador universal em quantificador
existencial (seguido de negação) e vice versa.
lixem pios:
(1) A negação da proposição: “Todo o aluno da turma A c bem comportado" é a
proposição: “ Existe pelo menos um aluno da turma A que não e bem com por­
tado” , ou seja, mais simplesmente: “ Nem todo aluno da turma A é bem compor­
tado” .
(2) A negação da proposição: “Existe peio menos um aluno da turma A que está
doente” é a proposição: '“ Qualquer que seja o aluno da turma A, ele não está
doente” , ou seja, mais simplesmente: “ Nenhum aluno da turma A está doente“ .
(3) A negação da proposição: “ Existe um planeta que é habitável' é a proposição:
“ Todos os planetas não são habitáveis” , ou seja: “Nenhum planeta é habitável“ .
Representando por P o conjunto de todos os planetas, teremos, simbolicamente:
~ ( 3 x £ P) (x é habitável) <=>( V x G P ) ( x não é habitável)
(4) A negação da proposição: “ Para todo o número natural n, tem-se n + 2 > 8 ” é a
proposição: “ Existe pelo menos um número natural n tal que n + 2 > 8 ” .
Simbolicamente:
~ ( V n £ N) (n + 2 > 8 ) <=> ( 3 n £ N) (n + 2-4 8 )
(5) - ( 3 x 6 R) ( x2 < 0 ) « ( V x 6 R ) ( x2 > 0)
( 6) - ( V x £ R) (3x - .5 * Q) «-*< 3 x e R) (3x - 5 * 0 )
(7) ~ ( V x £ R) ( | x | > 0) «=>■ ( 3 x £ R) ( | x | < 0)
(8 )
3 x £ R) (senx = 0 ) ^ ( V I £ R ) (senx * 0 )
183
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
6.
CONTRA EXEMPLO
Para mostrar que uma proposição da forma ( V x £ A) (p(x)) é falsa (F ) basta
mostrar que a sua negjção ( 3 x £ A ) ( ~ p ( x ) ) é verdadeira (V), isto c, que existe
pelo menos um elemento x 0 & A tal que p(xr>) é uma proposição falsa (F), Pois
bem, o elemento x„ diz-se um contra-exemplo para a proposição ( V x £ A)(p(x)).
Exemplos:
(1)
A proposição ( V" n € N) (2 n > n 2) c falsa,
sendo
o
número
-exemplo: 2 2 = 22 . Os números 3 e 4 também são contra-exemplos, pois, temos:
2 3 < 3 2 e 24 = 4 2 .
Para n = 1 e para todo n > 4 se tem 2 n > n 2.
2
(2)
A proposição ( V x £ R)( | x | ^ 0) é falsa,
-exemplo: | 0 | = 0 .
0
sendo
(3) A proposição ( V x £ R ) ( x 2 > x ) é falsa, sendo, p. ex.,
-exenipJo:
o
número
um contra-
( - L )2 < -±- .
( 4 ) A proposição ( V x £ R) ((x + 2 ) 2 = x2 + 4} é falsa,sendo, p.ex.,I um contra*
-exemplo: (1 + 2 ) 2 ¥=
I 2 + 4 ou 9 # 5 .
(5) A proposição ( V x £ Z+) (x 2 +• x + 41 c umnúmero primo) éfalsa, sendo o
número 40 um contra-exemplo, pois, temos:
402 ^ 40 + 41=- 40(40+ l) + 41 = 40 , 41 +41 - 41(40 + I >^ 41 .41 ^ 412,
que é um número composto.
É interessante notar que o trinom io x 2 + x + 41, analizado pela primeira ve/
pelo femoso matemático suíço LEONHARD FUL FR (1707-1783), produz núme­
ros primos para x = 0, 1, 2, 3 , . . . , 39,
EXERCÍCIOS
1.
Sendo R o conjunto dos números reais, determinar ü valor lógico (V ou F) dc
cada uma das seguintes proposições:
(a)
(c)
(c)
( V x £ R) ( I x | = x j
( 3 x £ R ) ( | x j = 0)
( V x £ R) (x + 1 > x)
(b) ( 3 x £ R) (x 2 = x)
(d) ( 3 x G R) ( x + 2 = x>
( f ) Í V x C R ) l x J = s)
184
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Resolução:
(a)
(c)
F (J - 3 L . 3 =£ -3 J ;
V ( ( 0 | = O);
V ( l 2 = i);
F(A equação x + 2 = x não tem so­
lução),
V (Todo o número real é solução da inequação
x +1> x ) ;
F (3 2 ^ 3 )
(e)
(f)
(b)
(d )
2. Dar a negação das proposições do Exercício 1.
Resolução:
( a) ( 3 x £ R )(~ ( | x | = x » <?=>( 3 x £ R )( J x | ^ x)
(b )
( v
(c)
(d)
(c)
(0
( V x E R) ( ~ ( J x J = 0 » <=> ( V x € R) ( | x | ^ 0)
( v x £ R) (~ (x + 2 = x)) <=> ( V x G R ) ( x + 2 ^ x )
( 3 x G R ) (~ (x + I > x)) «==>■( 3 x £ R) (x + I < x)
( 3 x £ R) ( ~ ( x 2 = x j)
( 3 x £ R) (x 2 * x)
X £ R) ( - ( x 1 = x ))« = * (
V x € R ) ( x 2 #
x)
3. Sendo A = { 1, 2, 3, 4, 5 } , determinar o valor lójpco (V ou F) de cada uma
das seguintes proposições:
(a)
(c)
(c)
(
(
(
3
3
3
x£
x£
xC
A)
A)
A)
(x + 3 = 10)(b)
(x + 3 < 5) (d)
(3X> 7 2 ) ( f )
(V
(V
{3
x£
x£
X£
A ) ( x + 3 < 10
A) (x + 3 < 7)
A) (x 2 + 2x =
Resolução:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(0
F (Nenhum elem ento de A é raiz da equação x + 3 =* 10)
V (Para cada elem ento de A se tem x + 3 < 10)
V (1 é solução da inequação x + 3 < 5)
F (5 não c solução da inequação x + 3 < 7)
V (3 4 = 81 > 7 2 )
V (3 é raiz da equação x 2 + 2x = 15)
4. Dar a negação das proposições do Exercício 3Resolução:
(a) ( V x € A ) H x + 3 = 1 0 ))« = > (V * £ A )(x + 3 # 10)
(b) ( 3 x £ A) ( ~ (x + 3 < 10)) <=>( 3 x £ A) (x t 3 > 10)
(l) (
V x E A) ( ~ ( x + 3 <
5)) <=>( V x £ A) (x
(d) (
3 x £ A) ( ~ (x + 3 <
7)) <=* ( 3 x £ A) (x
(c) (V x £ A) ( ~ ( 3 X > 72» <=> ( V x £ A) (3 X <£ 72)
(f) (
V x 6 A) ( ~ ( x 2 + 2x
= 15)) <=> ( V x £ A)
+ 3 > 5)
+ 3 > 7)
(x 2 + 2 x ^ 1 5 )
185
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
5. Sendo R o conjunto dos números reais,. determinar o valor lógico (V ou F) de
cada uma das seguintes proposições:
(a)
(c)
( 3 x e R ) ( 2 x = x)
( 3 x G R ) ( x 2 + 5 = 2x)
(b)
(d)
( 3 x £ R) (x 2 + 3x = 2)
( V x G R) (2x + 3x = 5x)
6 . Dar a negação das proposições do Exercício 5.
7 . Sendo A = {l , 2, 3 } , determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das
seguintes proposições:
(a) ( 3 x £ A) (x 2 + x - 6 = 0 )
(c) ( 3 x £ A) (x 2 + 3x = 1)
(e)
3 x G A) ( x2 + 3x = 1)
(b) ( 3 y G A) (~ (y 2 + y = 6 ))
(d) ~ ( V x G A ) ( x 2 + x = 6 )
(f)
( V /.G A ) ( / , 2 + 3 / T 1)
8 . Sendo A = { 1, 2, 3 } , determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das
seguintes proposições:
(a) ( V x G A) ((x + I f = x 2 +
1)
( b ) ( 3 x G A) (x 3 - x 2 - 1 0 x - 8 = 0)
(c) ( V x G A) (x 3 - 6 x : + I lx - 6 = 0)
(d) ( 3 x G A )(x 4 - 4 x 3 - * 7 x 2 - 5 0 x = 2 4 )
9. Sendo A - { 1, 2, 3, 4}
segtiinles proposições:
, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das
(a) ( V xG A) (x + 3 < 6 )
(c) ( V x G A) (x 2 - I 0 < 8 )
<b> ( 3 x G A) (x + 3 < 6 )
(d) ( 3 x G A) ( 2 x 2 + x = 15)
10. Dar a negação das proposições do Exercício 9.
1 1 . Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico (V ou F) dc
cada uma das seguintes proposições:
(a)
(b)
(c )
(d)
(p)
(f)
(g)
( V x f e R ) (x2 + 1 > 0 )
( 3 x G R ) ( x 2+ 1 = 0 )
( 3 x G R ) (4x - 3 = 1 - 2x)
( V x G R ) (x 2 + 3x + 2 - 0)
( 3 x G R) (3x 2 2x - 1 = 0 )
( 3 x G R) (3x 2 - 2x + 1 - 0>
( V x G R)(x + 2 ) 2 =
x 2+ 4x + 4)
12. Sendo A = {2, 3 , . . ., 8 , 9 } , dar
seguintes proposições:
(a)
( v x G A) (x + 5 < 12)
(c)
( V x G A )(x 2 > 1)
(e)
( V x £ A ) ( 0 x =0.)
um con tra-exem p lo para cada uma das
(b)
(d)
(0
( V x G A) (x é primo)
( V x G A) (x c par)
( V x 6 A) (x | 72)
ED G A F5 D DE A L E N C A R F I L H O
186
Resolução:
(a) Para x - 7.8 c 9, temos x + 5 > 12. Logo, cada um desses três números c
um contra-exemplo.
( b) Os números 4, 6 , 8 e 9 não são primos c, portanto, cada um deles c um
contra-exemplo.
(c) Não há contra-exemplo porque a proposição é verdadeira.
(d) Os números 3, 5, 7 c 9 são ímpares e, portanto, cada um deles é um
contra-exemplo.
(e) Não há contra-exemplo porque a proposição é verdadeira.
(f) Os números 5 c 7 não dividem 72 e, portanto, cada um deles é um
contra-exemplo.
13. Sendo A - {3, 5, 7, 9 } , dar um contra-exemplo para cada uma das seguintes
proposições:
(a) ( V x e A) (x + 3 > 7)
(c) ( V x € A) (x é primo)
(b)
(d)
( V x € A) (x é ímpar)
(V x£A)(|x|=xJ
14. Dar a negação das proposições do Exercício 13.
15. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições:
(a)
{b)
(c)
(d)
( V x E A) (p(X)) A ( 3 x GA) (q(x>)
( 3 x e A) (p(x)) V ( V xG A ) (q(x))
( 3 x € A) (~ p(x)) V ( V x e A ) ( - q (x ))
( 3 x £ A) (p(x)) -> ( V x G A) ( - q (x ))
16- Dar a negação de cada uma das seguintes proposições:
(a)
(b)
(V x) (x + 2 < 7) M 3 x) (x 2 - 3 = 3)
( 3 x) (x* - 9) V ( V x) (2x - 5 # 7)
17. Demonstrar:
(i)
(ii)
(iii)
p(y) =* ( 3 x e A) (p(x ) ) 5 y e A
( y x £ A) (p(x)) =*■p(y), y G A
(V x G A) (p(x)) => ( 3 x G A) (p(x))
1 8 . Demonstrar:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
( V x) (p(x) A q(x)) ^ [ ( V x ) (p(x)) A< V x) ( q(x» ]
( 3 x) (p(x) a q(x)) = > [ ( 3 x ) (p(x)) A ( 3 x) (q(x))]
( 3 x) (p(x) v q(x)) <==>[( 3 x) (p(x)) V ( 3 x) (q(x))]
[( V x) (p(x) V ( V x) (q(x))] =►( V x) (p(x) v q (x »
Capítulo
17
Quantificação de Sentenças Abertas
Com Mais de Uma Variável
1. QUANTIFICAÇÃO PARCIAL
Consideremos, p. ex., a expressão:
( 3 x fez A) (2x + y < 7)
sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}
o universo das variáveis x e y.
Lsta expressão, que se pode Iet: ‘‘Existe pelo menos um x G A para o qual se
tem 2x + y < 7", não é uma proposição, visto que o seu valor lógico, embora não
dependa de x (variável aparente), depende ainda de y (variável livre). Portanto, é
uma sentença aberta em y, cujo conjuntoverdade é { 1 , 2 , 3 ,4 }, pois,somenie
para y - 5 não existe x fc A tal que 2x + y < 7.
Analogamente, a expressão:
( V y (= A) (2x + y < 1 0)
sendo A = { l, 2, 3 ,4 , 5} o universo das variáveis x e y, que se pode ler: ‘‘Para
Lodo y <E A se tem 2x + y < I0” , lambem não é uma proposição, mas unia sentença
aberta em x (variável livre), cujo conjunto-verdade é { l, 2 } , pois, somente para
x - I ou x = 2 sc tem 2x + y < 10 para todo y £ A.
De um modo geral, dada uma sentença aberta com mais de uma variável, a
aplicação de um quantificador referido a uma das variáveis, transforma a sentença
aberta dada numa outra sentença aberta com menos uma variável livre. Logo, a
aplicação sucessiva de quantífieadores acaba por transformar uma sentença aberta
com mais de uma variável numa proposição.
2. QUANTIFICAÇÃO MÚLTIPLA
Toda a sentença aberta precedida de quantificadores, um para cada variávei,
isto é. com todas as variáveis quantificadas, é uma proposição, pois, assume um dos
valores lógicos V ou F.
188
E D G A R O DE A L E N C A R F I L H O
Assim, p. ex., são proposições as seguintes expressões:
(i)
(ij)
(iii)
Exemplos:
( V x G Aj ( V y £ B) (p(x, y))
( V x G A) ( 3
y G B) (p (x , y »
( 3 X G A) ( V y G B) ( V z G C) (p(x, y, z))
\
( 1 ) Consideremos os conjuntos:
H = {J orge, Cláudio, Paulo} , M = {Sucly, Carmen}
e seja p(x, y ) a sentença aberta em H x M: “x é irmão de y ” .
A proposição:
( V x G H ) ( 3 y G B) (p(x, y))
se pode ler: “ Para todo x de H existe pelo menos um y de M tal que x é irmão
de y ” . Em outros termos: “ Cada homem de H c irmão de Suely ou de Carmen” .
A proposição;
( 3 y G M) ( V x G H) ( p ( x , y ) )
se pode lêr: “ Pelo menos uma das mulheres de M é irmã de todos oshomens de
H” . Obscrve-sc que, mudando a ordem dos quantificadorcs,obtém-se uma
proposição diferente.
(2) A proposição:
( V x G N.) ( V y G N) ((x + y )7 > x 2 + y 2 )
se pode ler: “ Quaisquer que sejam x e y pcrlcnccntcs a N, (x + y ) 2 é maior que
x 2 + y 2” .
Esta proposição também se pode escrever:
(V x, y G N) ((x + y ) 2 > x 2 + y 2)
ou
{x f y )2 > x 1 + y 2 , V x, y G N
e é obviamente verdadeira (V), enquanto que a proposição:
(x + y ) 2 > x 2 + y 2 , V x , y G R
c falsa (F).
Costuma-se, para simplificar a notação, omitir a indicação do dom ínio de cada
variável e escrever, p. ex.:
(x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2, V x, y
o
que é verdadeiro cm N e em R.
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
(3) Consideremos os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4}
tença aberta em A x B: “ 2x + y = 8 ”.
A proposição:
\
1 89
eB = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }
e a sen­
( V x e A) ( 3 y 6 B) (2 x + y = 8)
é verdadeira (V), pois, para x = 1, 2, 3. 4 temos y = 6 , 4, 2,
A proposição;
QG B.
( V y G B) ( 3 x G A) (2x + y =
8)
é falsa(F), pois, para y = 8 , temos x = 0
A proposição:
A.
( 3 y G B) ( V x e A) (2x + y =
8)
também c falsa (F ), pois, não existe um y G B tal que para todo x E A seja
2x + y = 8.
Analogamente, também é falsa (F ) a proposição:
( 3 x G A) (Y y G B) (2x + y - 8 )
3. COMUT ATIVIDADE DOS QUANT1 FICADORES
I. Quantificadores da mesma espécie podem ser comutados:
( V x) ( V y) (p(x, y)) « ( v y ) ( V
( 3 xj ( 3 y) (p(x, y)) ^ { 3 y ) ( i
x) (p(x, y));
x) (p(x, y »
II. Quantifica dores de espécies diferentes nâo podem em geral ser comutados
Exemplificando, seja a sentença aberta “x é filho de y ” , o universo das variáveis
x e y sendo o conjunto 11 dos seres humanos. A proposição:
( V x ) ( 3 y ) ( x é filho d c y )
é verdadeira ( V), mas a proposição:
(3
y) ( V x) (x é filho de y)
é falsa (F).
Seja, agora, a sentença aberta “ y
> x ” , o universo das variáveis x c y sendo o
conjunto N dos números naturais. A proposição:
( V x ) ( 3 y ) ( y > x)
190
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
c verdadeira ( V), mas a proposição:
, ( 3 y) ( V x) (y > x)
é falsa (F).
4
\
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANT1FICADORES
A negaçao de proposições com mais dc um quantificador se obtém mediante a
aplicação sucessiva das regras para negação de proposições com um único quantifi­
cador (segundas regras de negação de DB MORGAN).
1 'x e m p to s :
( 1 ) Negação de proposições com dois quantificadorcs da mesma cspécic;
~ ( V x) ( v y) (p(x, y)) «=. ( 3 x.) ( ~ ( V y) (p(x, y)))
«=**■( 3 x) ( 3 y) ( - p ( x , y ));
~ ( 3 x ) ( 3 y)(.p(x, y ) ) « = » ( V x ) H 3 y) (p(x, y » ) -=>
^ ( V x ) ( V y )( ~ p (x ,y ) )
(2) Negação de proposições com dois quantificadores de espécies diferentes:
- { V x) ( 3 y) (p(x, y)) «=*■( 3 x) ( ~ ( 3 y) (p(x, y j» <==•
^ > ( 3 x) ( V y) (~ p (x , y));
~ ( 3 x) ( V y) (p(x, y)) *■*• (. V x) ( - ( V y) ( p(x, y)))<=>
* » ( V x ) ( 3 y ) ( ~ p f x ,y ) )
(3) Negação de proposições com três quantificadores:
H 3 x ) ( 3 y ) < V z) (p(x, y, zj) » ( V x ) ( ~ ( 3 y ) ( V z )(p (x , y, z » )
*=* ( V x) ( V y) ( 3 z) ( - p ( x , y, z»
EXERCÍCIOS
I.
Sendo {1, 2, 3, 4, 5} o universo das variáveis x e y, determinai o conjunto-verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas;
00 ( 3 y) (2x + y < 7)
(b)
( V *) (2x + y < 10)
INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
I|
191
2 .' Sendo
{l, 2, . . . , 9, 10 } o universo das variáveis x e y, determinar o coni
junto-verdade dc cada uma das seguintes sentenças abertas:
/ (a) ( V y ) (x + y < 14)
(b)
( 3 y) (x + y < 14)
/
3. Sendo { 1, 2, 3} o universo das variáveis x e y, determinar o valor lógico
(V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a)
(c)
(e)
(g)
( 3 x)(V
y )(x 2
< y + 1 }(b) ( V x )( 3 y ) ( x 2 + y 2 < 12)
(Y x ) ( v
y )(x a
+ y2
<
12)(d)(V x ) ( Y
y ) ( * 2+2y < 10)
( 3 x) (. V v) ( x 2 + 2 y < 1 0 )
( f ) ( V x.) ( 3 y) (x 2 + 2 y < 10)
( 3 x ) ( 3 y) ( x 2 + 2y < 10)
4. Sendo { 1 , 2 , 3 } o universo das variáveis x, y e v., determinaro valor lógico
(V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) ( 3 x) ( V y) ( 3 z ) ( x 2 + y 2 < 2 / 2)
<b ) ( 3 x) ( 3 y) ( V?.) (x 2 + y 2 < l c )
5. Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor ló g c o (V ou F) de
cada uma das seguintes proposições:
(a) ( Y y: £ R) ( 3 x e R) (x + y = y)
<b) ( V x £ R ) ( . 3 y e R ) ( x + y = 0)
(c) ( Y x G R ) ( 3 y G R ) ( x y = 1)
(d) < V y e R) ( 3 x £ R ) ( y < x )
6 . Sendo A = {1, 2 , . . . , 9, 10 } , determinar o valor lógico (V ou F) dc cada
uma das seguintes proposições:
(a) ( V x G A fJ 3 y e A) (x + y < 14)
(b) < V x C A) ( Y y e A) (x + y < 14)
7. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições:
(a)
(c)
(e)
( V x) ( 3 y) (p(x) v q(y))
(b)
( 3 y) ( 3 x) (p(x) a ~ q (y )) (d)
( 3 x) ( Y y) (p(x, y ) -+ q(x, y »
( 3 x) ( Y y) (p (x) V wq(y))
( V x) ( 3 y) (p(x, y) ■+ q(y))
8 . Dar a negação de cada uma das proposições do Exercício 5,
9. Demonstrar:
(i)
(ii)
( 3 x) ( Y y) (p(x, y))
( 3 y) ( Y x) (p(x, y)) => ( V x) ( 3 y) (p(x, y)>
( Y y ) ( 3 x) (p(x, y))
192
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
10. Conjuntos Limitados
Seja A um subconjunto não vazio do conjunto R dos números reais (A
A C R).
0
e
Definição 1: üíz se que A é limitado inferiormente (ou limitado à esquerda)
se e somente se:
( 3 a G R) ( V x G A) (a < x)
Definição 2: Diz-se que A c limitado superiormente (ou limitado à direita) se c
somente se:
( 3 b G R) < V x G A) (x < b)
Definição 3: Diz-sc que A é limitado sc c somente se:
( 3 a, b e R ) ( V x £ A ) ( a < x A * < b)
Respostas dos Exercícios
CAPfTULO 1
1 -(a) V
(h) F
(b) F
(i ) V
(c) F
(d) F
( j) F
(k) F
(o) V
(P) F
(q) V
(r) V
(c) V
(D F
(s) V
(0 F
(m) V
(t) v
CAPITULO 2
1. (a) Não está frio.
(b) Está frio e está chovendo.
(c) Fstá frio ou está chovendo,
( d) Fstá chovendo se e somente se está frio.
(e) Se está frio, então não está chovendo.
(f) Está frio ou não está chovendo.
(g) Não está frio e não está chovendo.
(h) Fstá frio se e somente se não está chovendo.
(i) Sc está frio e não está chovendo, então está frio,
2. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Se Carlos é feliz, então Jorge é rico.
Jorge c rico ou Carlos não é feliz.
Carlos c feliz se e somente se Jorge não é rico.
Se Jorge não é rico, então Carfos é feliz.
Nào c verdade que Jorge não ó rico.
Se Jorge não é rico e Carlos é feliz, então Jorge é rico.
3. (a)
(b)
(c)
(d)
(c)
(f)
Cláudio fala inglês ou alemão.
Cláudio fala inglês e alemão. •
Cláudio fala inglês mas não alemão.
Cláudio não fala inglês e nem alemão.
Não é verdade que Cláudio não fala inglês.
Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem alemão.
4. (a) Não é verdade que João é gaúcho e Jaime não é paulista,
(b) Não é verdade que João não é gaúcho.
(g) v
(n) F
(u) F
E D G A R D DE A L E N C A F i F I L H O
194
(c) Não c verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista.
( d)
S e J o ã o é g a ú c h o , e n t ã o J a im e n ã o c p a u lis ta .
(e) João não é gaúcho sc e somente sc Jaime não c paulista.
(f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho.
p A q
(b )
p A ~q
(c)
~ ( ~ p V q)
(d) ~ p A ~ -q
(c)
p V (~ p A q )
(f)
~ (~ p V ~ q )
(b )
p V ~q
(0
~p A ~q
5. (a )
6 . (a)
~p A q
(d) (~ p V q) A ~ q
7.
(a) (p V q) A ~ r
( b ) (p A q) V ~ (p A r) (c)
(d) " {(q V r) A - p )
8. { a ) x = 0 v x > 0
(d)
(b)
x # 0 A y ^ 0
~ (p A ~ r)
(c)
x > l V x
+ y = 0
x2 = x. x A x° = 1
9. ( a )
(cj
1 0 . (a)
( x + y = 0 A 7, > 0 ) V
x ^ O V
z-0
( x = () A y < 0 )
(b) x = 0 A (y + z > x V z = 0)
(d) (X = y A z = t) V (x < y A / = 0 )
x> 0 y =2
x= I v z = 2 ^ y > l
(b )x
(e)
x :it y - > x t z > 5 A y + ? . < 5
( f ) ( x + y > z A r. - l ) -4 x + y >
(g )
x < 2 - > x - l V
( h ) y = 4 A ( x < y -» x < 5 )
(cj
11. ( aj
( x > 5 A
x
+y =2^ z > 0
(d) z > 5 - + x :fí l A x # 2
x = 0
< 7 ) V
x
^ 6
( b ) x < 5 A x > 3 - * - x =
!
4
(c) x > 1 V (x < 1 A x > 0)
12 , (a.) F
(b) V
(c) F
(d) v
(e) F
(f) F
(g) F
13. (a) V
(b) v
(!) V
(c) F
(,i) F
(d) F
(e) V
(f) V
(g) F
14. (a) V
(h) V
(b) v
(c) F
(d) V
(e) V
(0
F
(g) v
15. (a) V
(h) 1
(b) V
(i) V
(c) F
(d) F
(è ) V
(f) V
(g) F
16. (a) V
(h ) V
(b) F
(c) V
(d) F
(e.) V
(0 F
(g) v
17. (a) F
(b) F
(c) F
(d) V
(c) V
(f) F
(g) v
( h) f
(k) F
(,i) v
IN IC I A C A O Á LÓ GICA M A T E M Á T IC A
18. (a) V
(b) V
(c) F
(d)
F
(o) V
19. (a) V(p) = V
(d) V(p) = V
ou
ou
V(p ) s F
V(p) = F
(b) V(p) = F
(e) V(p) = F
20. (aj
(bj
(c)
id)
(e)
V(p) = F
V( p) = F
V(p) = V
V(p) = V
V(p) = F
e
e
e
e
e
V(q) = V
V( q) = F
V(q) = V
V( q) - V
V(q) = V
V(p) = F
P
q
v
F
V
F
~q
F
V
F
V
q
v
~q
F
v
F
v
U)
(b)
P
v
v
F
P
v
v
F
F
q
v
F
v
F
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v
v
F
F
q
v
F
v
F
F
~(p ^~ q)
F
v
v
v
v
F
F
F
p A q
p V q
v
• F
F
F
v
v
~p
F
F
v
v
v
v
F
v
p A q -*• p V q
v
v
v
v
F
v
Q.
v
~(p V ~ q )
F
F
v
F
p-*~q
t
F
F
v
v
F
v
cr
(d)
V
V
F
F
P V -q
e
- p ( q p )
v
v
F
v
(f) F
(c) V(p)
( f ) V(p)
V(q) = F
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
197
(b)
r
<--*
q
V
v
F
v
F
v
v
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F
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F
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v
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r)
F
v
F
v
F
v
F
v
v
v
v
E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
198
3. (a) VI F V
( I ) l'VFV
(b) W F F
(g) W F V
(c) F W H
4 . (a) V V V W F F F
(d) F W F
(b) V F W V F V F
(o) W F V F V F V
(d) V V V W F F F
(c)
VFFV
<c> F V F F V V W
<f) F F F F W F F
(e) F
(f) V
(e) V
(k) V
(f) v
(•) F
(d) V
(j)
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V
(f) v
I I. (a) F
(b) V
(c> V
(d) V
(e) V
(f) F
ís) v
(h) v
I 2, (a) V
(b) V
(c) F
(d) V
(c) V
13. (a) V
(b) V
14. (a) F
(b) V
(b) F
(c j
F
(d) V
7. (u) F
(b) V
(c) V
(d) V
8 . (a) F
(b) F
(c) V
9. (a) F
(g) v
(b) V
(h) V
(c )
IO. (a) V
5. (a) V
6. F
(c )
F
V
—*■(.p A ---- q)
15. (a) (q «--* r V q) <
•9»
<
<
(b) p A --- q ^ ( q < - i . r V q)
(c) (p V q -+.-vr.) V t e q
CAPITULO 4
4. (a), (b), (c), (g), (h) tautológicas;
(d), (e), ( 0 contingentes
CAPÍTULO 6
8 . (a) F
(b) V
(c) F
(d) V
d) v
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A
1 99
CAPÍTULO 7
4. (a)
(b)
(c )
(d)
Está frio e não está chovendo.
O pai de Marcos não é pernambucano e a mãe hão é gaúcha,
As vendas-estão aumentando ou os preços estão diminuindo.
lorge não estuda Física ou estuda Química.
CAPITULO 8
(b) p v ~ q
3. (a) ~ p A q
(e )
q
(c ) p A q
7. (a) - p v q
(c) ~ p v ~ q
(b) *-p
(f) ~ p
( i ) (p y ~ p ) A (q V ~ q )
(c) p A ~ p
(d)
p v ~p
(g) p v ~ p
00 ~p A ~q
( j ) (p V - q ) A ( - p V q) A q
( l ) p A ( p V ~ q ) A ( ~ p V q)
(k) p A (p V
q) A ( ~ p v ~ q )
(m) ( ~ p v
V r) A ( ~ p v -~q V ~ r ) ( n )
q
8. (a) p a q
(e)
(i)
(d) ~ p A q
( f ) C (Ctr.)
-p v q
-p y -q
p A (p V q) A r
(b) p A - q
(c) ~ p V 0 ~ p A q) (d ) ~ p A -q
(f) ~p 7 ~ q
(j ) ~ p A - q
(g) p V ~ p
(h )
(k) ~ p
(l)pv -p
p A ~p
CAPÍTULO 9
1 . (a)
( ~ p a (~ q -*■ p)) -*■ q
(b)
( p ^ q ) - + - ( p A ~q)
(c)
(d)
(p A (p -* q) Â ( ~ q V (r A s))) -+ r a s
((x = y
x = 5 ) A ( x = 5 -*■x < /,)) -+ ( x = y -í- x < z )
2 . (a)
p, q v ~ p I— q
p q, p A ~ q I— s
(c)~ (x < 0
A y ? t x)i— x < 0 v y = x
( b)
3. (a)
AD
SD
(m JSD
(g )
(b) SIMP
(h) ABS
(n) SH
(c) SH
( i ) .MP
(o) SIMP
(d) MP
( j ) MT
(e) MT
(k) CONJ
(f) CONJ
(1) AD
E D G A R D DE ALEIMCAR F l L H O
200
4. (a) x = z
<e) y + 1 = 2
(b> xy E R
(f) X = y
(c) X > Z
5. (a) x. = 0
(b)
(c) ~ ( p
6 . (a) x ^ 4
(b)
y< 6
(d) 3 > 1
> q)
(d) x > 3
(c) r A t
(d) ~ p
7. (a) p ->• t
(c) s V t -* ~ p
(b) x = 3 -*>x =é z
(d) xy * 6 -+ y = 2
8 . (a) r v ~ s
(b) x > 3 v 7. < 2
(d) x 2 = 4 v y 2 = 9
(c) xy = 0 v xy > 3
(b ) P V ----- q
9. (a) ~ (p A q) v ~ q
(c) x < 3 V x > 4
(d) x ^ 2 V x # 8
CAPÍTULO 10
5 ..p - » ~ q ,
p v r,
pi—
r ; Sofisma
CAPITULO 14
1. (á) { 3 }
(«0 { 2 }
(d)
{3. - ■3}
{0 }
3. (a)
(e)
{ L 3 ,4 }
{4}
2. (a)
(b)
{ 1,2, 3, 4}
(c)
{2,3}
O)
{ 5}
(f )
{6,7,8,...}
(b)
{ - 1, 0, 1 }
{4, -3}
(c)
(f)
{ 2, - 2 }
{3,-2}
00
(b)
(c) { 1 }
(f)
(g)
4. (a) { “ !• 1 , 2 , 4 }
0
(d)
(g) { - 2 , 2, 4 }
(c) { - 2 , 2 }
(h) { ' L O }
5. (a)
{4, 10}
6.
{9,10}
(b)
{ L 3, 9 }
(d)
(h)
(f)
{ - 3 ,3 }
(c) { 4 , 9 }
{ (1, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5)}
{1,3,4}
{ 3 , 4 , 7 , 9}
(d) { 1 }
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
201
7.
{(2, 8 ), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}
8.
{ (9 ,1 ), ( 6 ,2), (3, 3)}
9.
{(2, 3), (2, 5), (3; 2), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4 )}
10.
{ (2, 2), (2,
11. { ( - 2, - 1),
5), (3, 3), (3, 6 ), (4, 4), (5, 5), (5, 2), ( 6 , 6 ), ( 6 ,
3) }
( - 2, 0), (0, ~ 1), ( 0, 0), ( 1, - 1) }
CAPÍTULO 15
1 . (a)
{1,3,5}
(b) { 2 , 4 , 6 , 8 }
(c) { 3 , 6 }
(d) { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 }
2. (a)
{0,1,3}
(b) { 0 , 1 , 2 , 4 }
(c) { 0 , 2 , 3 , 5 }
(d) { 1 , 4 , 5 }
3. (a)
(c)
{4,5}
{ 0,1,4}
(b) { 0 , 2 , 4 }
( f ) {1, 2, 4, 5}
(c) {0,5}
(d) {5}
4. (á) { - 3 , - 1 , 1 , 3 /
(d) { - 3 , - 1 , 1 }
5. (a)
(b) { - 3 , - 2 , 0, 2, 3}
(e) { - 3 , 2 , 3 }
{0, 2, 4, 5}(b) { 0, 2, 3, 5 }
6. V p A q
1 -1 . 4
q -1
(d)
{ 0, 1}
1, —
►C
Vp A q * { - f }
7- Vp v q =
8- V p A q -
{-3,-2,-1 }
(c) { 2 , 4 }
Vp
]
(c)
> -f « T l
9. V p ^ q = {1,3, 4, 5,' 6 , 7, 8, 9}
v ~p - 1 i
Vq _* p = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 }
v p 4—?■q = { 1 , 3 , 4 , 6,8 }
11. (a) CAVp n CAV q
(b) Vp U CAVq
(c) CAVp U v q U v r(d) ( vq n vr) U (CAVp n v r) u CA(Vp U vq)
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
202
CAPÍTULO 16
5. (a) V
(c) F
íb) V
6 . (a) ( V x e R) ( 2x # x)
(c) ( V x e R ) ( x 2 + 5 # 2 x )
(b) ( V x £ R ) ( x 2 + 3x ¥= 2)
(d) ( 3 x E R) (2x + 3x ^ 5x)
7. (a) V
(b) V
(c) F
(d) V
8 . (a) F
(b) F
(c.) V
(d) F
9. (a) F
(b) V
(c) V
(d) F
10. (a) ( 3 x £ A ) ( x t 3 > 6 )
(c) ( 3 x E A) ( x 2 - 10 > 8 )
11. (a) V
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V
(f) V
(b) ( V x E Á ) ( x + 3 > 6 )
(d) ( V x E A ) ( 2 x 2 + x # 1 5 )
(d) F
<e) V
(f) F
(g) V
(b) Não há (a proposição é verdadeira)
(d) Não há (a proposição é verdadeira)
13. <a) 3
(c> 9
14. (a) ( 3 x e A'j (x + 3 < 7 )
(c) ( 3 x £ A ) (x não é primo)
(b) ( 3 x € A ) ( x é par)
(d) ( 3 x E A) ( | x 1 =£ x)
15. (a) ( 3 x G A ) ( - p ( x ) ) V ( V x E A) (~ q (x ))
(b) ( V x E A) (~-p(x)) A ( 3 x E A) (~ q (x ))
(c) ( V x E A) (p(x)) A ( 3 x € A) (q(.x))
(d) ( 3 x E A) (p(x)) A ( 3 x £ A) (q(x))
16. (a) ( 3 x) (x + 2 > 7) V ( V x) (x 2 - 1 ^ 3 )
(b) ( V x ){ x 2 ± 9) A ( 3 x) (2x - 5 = 7)
CAPÍTULO 17
l.(a)
{1 , 2 }
(b) $
2. (a)
{ 1, 2, 3 f
(b)
3. (a) V
(b) B
{ 1 , 2 , . . . , 9 , 10}
(c) F
(d) F
(e) V
(f) F
(g) V
IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A
4. (a) V
(b) F
5. (a) V
(bj V
6 . (a) V
(b) F
7- (a)
<e)
8 . (a)
(c)
(c) F
203
(d) V
( 3 x) ( V y) (~ p (x ) A -q(.y)}
(b)
(d)
( Y y ) ( V x )(~ p (x ) v q(y))
{ V x) ( 3 v) ( p ( x , y ) a ~ q (x ,y ))
{ V x )( 3 y )( ~ p (x ) A q(yj>
( 3 X) ( V y) (p iX, y) a ~ q (y ))
(3 y £ R ) ( V x é R ) ( x + y # y )
( 3 x6 R)(VyeR)(xy#l)
( 3 X G R)( V y e R)(x + y ^ 0)
( 3 yëR,)(V x£-R)(y>x)
(b)
(à)
Bibliografia
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2. BURGOS, A. —Iniciación a la Lógica Matemática; S.C.; 1973
3. CHEIFETZ y AVENOSO Lógica y Teoría de Conjuntos; Alhambra; 1974
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5 . COPI, IRVING M. — Introduction to Logic; MacMillan; 1963
6 . DEANO, A. —Introducción a La Lógica Formal; Alianza; 1973
7. GARRIDO, M. Lógica Simbólica; Tecnos; 1973
8 . Hi LBERT y ACKERMANN - Lógica TeSrica; Tecnos; 1968
9. KFMENY, SNELL y THOMPSON,- Matemáticas Finitas; Eudeba; 1967
10. LIPSCHUTZ, S. - Finite Mathematics; Schaum; 1966
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1 2 . MORA y LEBLANC - Lógica Matemática; F.C.E.; 1965
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14. MURO, HERMOSA y JACHIMOVICZ Ejercicios de Lógksa; Paidós; 1974
1 5. MENDELSON, E. - Boolean Algebra; Schaum; 1970
16. NOVIKOV, P. S. - Mathematical Logic; Oliver & Boyd; 1964
17. NUNO, J. Elementos de Lógica Formal; EBVC; 1973
■18. SUPPES y HILL - Lógica Matemática: Reverte; 1973