TEORÍA DE ERRORES
a) Definiciones
Incertidumbre en las medidas. Cuando repetimos una medida experimental varias
veces, normalmente obtenemos valores diferentes por lo que no somos capaces de
determinar el verdadero valor de la medida. La incertidumbre, inherente a una medida
experimental se representa a través del error.
Error o incertidumbre, Diferencia entre el valor observado o calculado y el valor
verdadero, ε(x) =∆x =x0-x. El problema en esta definición es que no se conoce el valor
verdadero. A continuación mostramos cómo se define el error, en la práctica.
Error absoluto, Indica el valor de la incertidumbre en un resultado experimental, x.
Tiene sus mismas unidades y se escribe, junto con la medida, del siguiente modo:
(x ± ∆x) unidad
Error relativo, εr(x): es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la
magnitud: εr(x) = ∆x /x0. Es adimensional y, por tanto, sin unidades. Se suele expresar
en tanto por ciento.
Media aritmética de un conjunto de n datos. Para obtener mayor precisión en las
medidas experimentales es recomendable repetir varias veces las medidas (3 como
mínimo). A partir de estos valores se calcula el valor medio:
¯ =
∑
que es considerado como la mejor estimación del valor de una medida experimental.
b) Medidas directas
1. Cada vez que realizamos un experimento medimos cada magnitud al menos 3
veces. Llamamos xi a los diferentes valores obtenidos.
2. El error absoluto correspondiente a cada una de las medidas , ε s, coincide con la
sensibilidad del aparato empleado. También con el valor del patrón más pequeño
utilizado en la medida (pesa más pequeña de una caja, 1 mm en una regla
graduada en milímetros, 0.1 s en un cronómetro que aprecia hasta décimas de
segundo, ...). Por tanto, tendremos:
(xi ± εs) unidad
3. Se calcula la Dispersión:
D = ((Xmax.-Xmin.) / Xmedio ) ·100
●
Si el valor es menor del 2% Con las tres medidas es suficiente.
●
Si el valor esta entre el 2% y el 8% Hay que hacer un total de 6
medidas.
●
Si el valor esta entre el 8% y el 12% Realizar 15 medidas.
●
Si el valor es superior al 12% Realizar 50 medidas.
4. Para tener en cuenta los errores aleatorios definimos el error estadístico como la
desviación típica de las medidas.
∑( − ¯ )
=
donde N es el número de medidas
5. A partir de los datos experimentales calculamos el valor medio, al que
consideramos como el resultado de la media. Su error absoluto se define como el
máximo entre el error del aparato y el error estadístico:
1
∆x=max(εs,σ)
(̅ ± ∆x) unidad
6. Todos los resultados que proceden de una medida experimental deben escribirse
acompañados por el error absoluto y la correspondiente unidad. El número de
cifras significativas en el resultado depende del error absoluto. En el apartado
“c) Notación, cifras significativas” se explican las reglas a seguir para escribir
correctamente los resultados experimentales.
b) Medidas indirectas: propagación de errores
A menudo queremos determinar una magnitud x que es función de una o más variables
determinadas experimentalmente. A x le llamaremos una medida indirecta. La
propagación de errores nos permite conocer la incertidumbre en la variable dependiente
como función de los errores de las medidas experimentales.
Supongamos que queremos determinar una magnitud x que es función de varias
variables medidas, u, v…
= (, , … )
El valor medio de x se obtiene a partir de los valores medios de las medidas
experimentales. Por tanto, mientras que para las medidas directas tendremos siempre
tres valores, a partir de los cuales calcularemos la media, en el caso de las medidas
indirectas tenemos un único valor calculado a partir de los valores medios.
¯ = (¯, ¯ , … )
+
+ ⋯
La diferencial de una función está relacionada con las derivadas por:
=
+ + ⋯
Asimilando los errores de las magnitudes con los correspondientes diferenciales:
= donde los valores absolutos se deben a que los errores son cantidades acumulativas.
Ejemplos:
Si aplicamos esta última ecuación a algunos casos particulares tenemos:
I.- Sumas y diferencias:
x =u+v−w → ∆x = ∆u + ∆v + ∆w
II.- Multiplicación y división
=
⇒ ∆ = ∆ + ∆ +
∆
III.- Potencias
= √ ⇒ ∆ =
2√
∆ + 3√ ∆
c) Notación, cifras significativas:
Todos los resultados que proceden de una medida experimental deben escribirse
acompañados por el error absoluto y la correspondiente unidad:
(̅ ± ∆x) unidad
El número de cifras significativas en el resultado depende del error absoluto:
1. En primer lugar se ha de escribir correctamente el error. El error se expresa con una
cifra significativa, excepto cuando esa cifra sea un 1, en cuyo caso se debe expresar
con dos cifras significativas.
2
2. En segundo lugar se ha de escribir correctamente el valor de la medida. La última
cifra significativa de la medida y de la última cifra significativa del error deben
coincidir.
Incorrectos
2,317 ± 0,76 V
4,132 ± 0,163 mA
34521,78 ± 37,2 kg
46288 ± 1553 m
0,01683 ± 0,0058 mm
Correctos
2,3 ± 0,8 V
4,13 ± 0,16 mA
34520 ± 40 kg
46300 ± 1600 m = (46,3±1,6) 103 m
0.017 ± 0,006 mm = 17 ± 6 µm
Además, hay que tener en cuenta que los resultados siempre se redondean (nunca se
truncan).
d) Discrepancia:
Si una magnitud física se mide con dos o más métodos, o por distintos observadores, es
probable que los resultados no coincidan. En este caso decimos que existe una
discrepancia en los resultados.
En nuestro caso, cuando en el laboratorio medimos una determinada magnitud física,
que por otro lado conocemos con precisión, normalmente el resultado obtenido no
coincide con el valor conocido de dicha magnitud. En este caso decimos también que
existe una discrepancia entre nuestro resultado, y el valor teórico esperado.
Por ejemplo, supongamos que diseñamos un experimento para medir la velocidad de la
luz, c, obteniendo un valor de 2,723·108 m/s. Por otro lado, es bien conocido que el
valor de c es igual a 2,998·108 m/s. A la vista de estos resultados, decimos que existe
una discrepancia entre el valor obtenido en el laboratorio, y el valor real de dicha
magnitud. Dicha discrepancia la podemos cuantificar de la siguiente manera:
"#$%&'()%#) =
∣ %+,--. − %/,01 ∣
⋅ 100 = 9,2%
%/,01
Y decimos que el valor obtenido en el laboratorio tiene una discrepancia del 9,2 %
respecto del valor teórico esperado.
Bibliografía
• “Prácticas de Física. Manual de Laboratorio”. JV Boscá et al. Servicio de
Publicaciones UPV, ref. 93.702.
• "Prácticas de Fundamentos Físicos de la Informática. Facultad de Informática",
J.A. Gómez Tejedor, et al., Servicio de Publicaciones UPV, ref. 2003.526.
• “Programas de simulación de procesos físicos”. J Riera, A Vidaurre, M
Giménez, SPUPV-97.148.
• “Data reduction and error analysis for the physical science”. PR Bevington, DK
Robinson, Mc Graw Hill.
• J. Higbie, American Journal of Physics, nº 59, pag. 184, 1991.
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