Mecánica
Un curso introductorio
para estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Segunda Edición
MECA.'\1i A
!\1t:cánica· Un curso inh·oductOl·io para estudianh:s de Ciencias e Ingenieria
No está pennitida la rcpl·oducción total o parcial del libro, ni SI.! U-..Itamiento infolillático, ni la
trAnsmisión de ninguna rOl·ma o por cua lquier lIlt:dio, ya sea electrónico, meduico, por
fotoc opia, u oh·os métodos, sin el penniso pn.-\'io y esctito de los titulares del Copyright.
IMPRESO EN ARGENTINA
I.S.B.N. 987 - 95293 - 1 - 6
Hecho el depósito que establ ece la ley 11723. Segunda edición .
Reservados todos los derechos, © 1997, ANSWER JUST IN TIME
EDITORES:
ANSWER JUST IN TIME
Suipacha 987 - 10 Piso - "D"
(1008) Buenos Aires - Argentina
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I
6
Mecánica
•
~
"
.~ Un curso introductorio para
estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
,,l-.
Ing. LUIS ROQUE ARGÜELLO
Profesor Titular de Mecánica General
Profesor Titular de Física IV
I.T.B.A.
Lic. ALEJANDRO RAÚL DÍAZ
Profesor Adjunto de Mecánica General
Profesor Adjunto de Física IV
l.T.B.A.
Prof. JUAN RICARDO LAURETTA
Profesor Adjunto de Mecánica General
Profesor Adjunto de Física IV
I.T.B.A.
Prof. HORACIO DANIEL RINALDI
Profesor Adjunto de Mecánica General
Profesor Adjunto de Física IV
I.T.B.A.
Lic. FRANCISCO FERNANDO VILLAVERDE
Profesor Asociado de Mecánica General
I.T.B.A.
A NUESTRAS FAMILIAS, que
aportaron para la realización de esta
obra, su comprensi6n, su apoyo y su
paciencia oo.
LOS AUTORES
=
MECÁNICA
PRÓLOGO
L1 .M ECÁNICA puede ser considerada "Madre de fa Ciencia Moderna ", ya que
desde que Ga lileo planteara las pautas de la experimentación como camino insoslayable para
confirmar, evaluar, juzgar, aceptar o rechazar la concepción teórica de la realidad, es la
disciplina que ha transitado el C<1mino más largo en la concc:pci6n moderna de la FÍSICA (y
dt la CIEN CIA).
Desde: Gal ileo y Newlon y hasta nuestros días es muchísimo lo escrito. Ello enfrenta
¡¡ los escritores de futuros
libros a preguntarse: ¿vale la pena éScribir "otro libro de
MECÁNICA "? Debemos partir de que sería muy difícil si no imposible, escribir algo
rea lmente novedoso en MECÁNICA. A lo sumo resulta factible introducir alguna idea
innovadora rc:speclo de la metodología de su enseñanza, algún enfoque que logre una más
nipida internalizaci6n de los conocim ientos. J ustamente, éste es el PROPÓSITO que nos
htmus tijlldo alcanzar con la idea de escribir este Olro libro de MECÁNICA:
"aporrar UII elemento didáctico de apoyo al alul1IlIo y al profesor de
MECÁNICA para facilitar el proceso de ellsel1a/lza . aprelldizaje "
En tal Sl!Dtido, el resultado de nuestro esfuerzo puede resumirse: tn las característiC<1~
de nuestro texto:
1. Co ntiene una fundamentación conceptua l sólida.
2. Es compatible con la carrera de Ingeniería, cumpliendo con una finalidad
formativa en la eduC<1ción profesional.
3. L.-1 ilustración de los conceptos se logra a través de una gran cantidad de
ejemplos.
4. Se tiene muy presente el viejo adagio que dice: "MECÁNICA sabe
aquél que es capaz de resolver problemas de MECÁNICA". Por eso el
libro contiene abundante ejercitación que permite un entrenamiento
adecuado y con jX)sibilidades de verificar autod idácticamente los
progresos que se vayan alcanzando, a través de respuestas confiables.
5. Es una propuesta moderna e incl uye la herramienta computacional, a
través del uso de programas utilitarios para pe, aplicables a la resolución
de problemas.
Hemos mencionado al pasar, que MECÁNICA tiene caracler forrnativo.¿ Qué idea
encerramos detrás del concepto de ';colloómiellfo formativo"?
Aquí es el momento de identificar que nuestra orientación pilra el desarrollo del libro
tS fundamentalmente ··ingeniera". A1 respecto, consideram(ls que un Ingeniero es un
profesional de la rama técnica cuyo perfil está totalmente identificado con la función de
analizar la factibilidad, desarrollar, cOl/struir, evaluar, cOl/lrolar y supervisar
"ingel/ios", es decir, ··elemento~ inventados o discurridos con pro ntitud y facilidad para
lograr la solución de un probkma o de una dificultad··.
VII
ss
MECÁNICA.
i. Cómo lleva él cabo típicamente esta misión el profesional de la Ingeniería? En
primer lugar conoce e interpreta el fenómeno físico asociado. A continuación propone un
"modelo"de la realidad (matemático, físico, computacional, económ ico, etc) que no es otra
cosa que una representación simplificada de esa realidad (¡pero que no es la rea lidad!!!).
BUSc,,1 luego la so lución adecuada para el modelo, que permite que és te funcione. Finalmente
trata de trasladar la solución del modelo al problema real específico. Si la solución no
funciona, modificará el modelo, o lo cambiará por airo.
En este sentido MECÁNICA es la primera asignatura de la carrera de Ingeniería que
entrena al alumno en la aplicación de un modelo matemático conocido (el análisis
mat~mático, fundam enL1 lmente) a un problema físico también conocido (la física
~x~rimental de los cursos previos). O sea , MECÁNICA para los estud iantes de Ingeniería
es cronológicamente la primera asignatura que tiene vinculación di recta con la metodología
de trabajo que empleará d futuro profesional en su ca rrera.
Desde otro punto de vista, el caracter formativo de MECÁNICA tiene que ver con
su c<lpacidad pma proveer hases conceptuales adecuadas (Jos cimientos) p.1ra la
incorporación de otros conocimientos (tanto de las asignaturas de l<t r'-rrp rl\ de grado como
para las de post grado). A este respecto nuestro libro Inlenta mostrar como los conceptos
fundamentales, de MECÁNI CA sirven para. apoyar, ent~e otras, a disciplinas L'lles como
ASTRONOM IA , ESTAB ILIDAD, MECANICA CUANTICA, MECAN ICA DE LOS
CONTINUOS , MECANICA ESTADÍSTI CA, MECÁNICA DE I.oS FLUIDOS. TEORÍA
DE LA ELASTIC IDAD. ELECTROMAGNETISMO, etc.
En cuanto al desarrollo de los temas específicos que tratamos en el libro podemos
adelanta r:
En el Capítulo J: CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERiAL se introducen los
conceptos de sistemas coordenados de referencia, trayectoria, velocidad, hodógrafa,
aceleración, etc. En el tratamiento de estos temaS se utiliza el álgebra y el cálculo vectorial,
así como también algo de geometría diferencial de curvas.
En el CapílUlo 2: DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL, se enuncian comentan y
discuten los Principios de la Mecánica Newtoniana (o Principios de Newton). Se plantea y
resue lve la ecuación fundamental para distinlOs tipos de interacciones , con un grado
creciente de dificult.,1d. En panicular, se comienza el estudio y el análisis de la ecuación
diferelll"Íal ordinaria de segundo orden a coeJiciellles COllstallles. Se introduce la
mdodología de resolución de problemas por medio de la utilización de programas utilitarios
de pe, a través de algoritmos de análisis numérico.
En el Capíwla 3: MAGNITUDES DINÁMICAS DERIVADAS se desarrollan los
teoremas básicos que resullan de los principios iOlreducidos en el Capitulo 2. Se muestran
aquí los resultados que apoyan y facilimn el tl.nálisis físico de un problema dado. Se
pmfundiza el planteo y resolución de problemas mediante la matemática de las ecuaciones
difer~ncjales ordinarias y fundamentalmente se complementan aspectos filosóficos de la
MECANICA.
VIll
MECÁNICA
En el Capitulo 4: SIS TEMA S DE PUNTOS MA TERIALES . SISTEMAS DE
MASA VARIABLE, se muestra el salto conceptua l de pasar del estud io de una partÍCula a
un conj unto de ellas. Se ana lizan las imp[icancias de considerar problemas de sistemas con
masa variable ( desde el pun to de vista no relativista). Se muestran otros tipos de ecuaciones
de Newton, las Ecuaciones Cardiflales.
En el CapItulo 5: M OVIMIENTO RELA TI VO se desarrolla el tema de los sistemas
de referencia no inercia les ana lizando las implicancias cinemáticas y dinámicas de realizar
nuestras mediciones desde [a Tierra, que no es un Sistema Inercia[ de Referencia.
El Capitulo 6: OSCILA CIONES anal iza los casos de distintos ti pos de osciladores
como el armónico simple, el amortiguado y el forzado bajo distintos regímenes, vinculando
en cada caso, el problema físico con la ecuación diferencial que lo representa. Este es uno de
los capítulos en que mejor se podrá notar la identificación del hecho físico, con el modelo
matemático correspondiente.
El Capítulo 7: CINEMÁ TICA DEL CUERPO RÍGIDO comienza con el
tratamiento de un tipo particular de Sistema de Puntos Materiales, que en muchos casos
puede relacionarse con el comportamiento de sólidos reales. Aquí adopta remos un modelo
geométrico de la realidad. Se especifican y analizan los casos de movim ientos ge nerales y
particulares, describiéndolos mediante una herramienta vectorial adecuada.
En el Capitulo 8: DINÁMI C.4 DE L CUER PO RÍGIDO se desarrolla el modelo del
sólido rígido ideal, que utiliza los conceptos de matrices )' tensores. Aquí los campos
vectoriales adquieren indudable realidad física. Se presentan ejemplos de aplicación en la
técnica.
En el Capítulo 9: MECÁNI CA ANAL fTICA se fundamentan y desarrollan las
formulaciones de Lagronge y de Hamilton, se introduce la novedad de la aplicación del
Cálculo de Variaciones y de los Principios Variacionales. Se mencionan las implicancias
respecto del desarrollo de teorías modernas de la FÍS ICA, tales como la Mecánica Cuántica,
y se muestra la herramienta excepcional que constituye para la resolución de problemas.
Los autores conforman un equipo docente de amplia experiencia en la enseñanza de
la Fisica a nivel Universitario en general, con efectiva actuación en numerosas Universidades
del País. En particular, conforman la Cátedra de A1ecál/ica Gel/eral del Instituto
Tecllológico de Bu enos A ires (/TBA) desde hace más de una década. La expe riencia
adquirida en la enseñanza de MECAN/ CA ha sido el motor que los empujó a aceptar el
desafío que representa escribir el presente libro.
Mecá nico está dirigida a todos aquellos interesados en el tema, pero
fundamentalmente a los alumnos regulares de un curso de Ingeniería. Pensando en ello,
hemos buscado evitar las demostraciones la rgas y tediosas, se han focal izado los puntos
donde nuestra experiencia nos advierte que pueden presentarse dificult.,des de entendimiento
IX
MECÁNICA
y fundamentalmente, hemos resaltado la importancia del entrenamiento para la resol ución
de problemas.
Con el ánimo de hacer un aporte más para un eficaz aprovechamiento del tiem¡x> que
se dedique a Mecánica, recomendamos leer el libro con lápiz y papel al costado. Nuestra
experiencia al respecto es terminante. Aquí imernalizar (dejar de sentir que el conocimiento
es propiedad de l autor e incorporarlo como una vivencia propia) es equivalente a demostrar
que uno lo puede hacer por sí mismo. Y para eso, hace falta lápiz, papel Y eventualmente la
computadora.
Por todo lo expuesto y con la esperanza de que sea recibido y utilizado por los
destinatarios con igua l entusiasmo y empeño que el que han puesto los autores en su
realización, dedicamos este libro a nuestros alumnos actuales y también a aquéllos con los
que aprendimos a eIlSel;ar.
LOS AUTORES
x
MECÁNICA
AGRADECIMIENTOS
Esta obra es el producto de una conjunción de voluntades y de esfuerzos. Representa
la concreción de una ¡antasia didáctica de quienes se sienten a gusto enseñando
MECÁNICA.
Pero el libro ha sido dado a luz gracias al aporte realizado por otros numerosos
colaboradores, aparte de los autores. Aún a riesgo de pecar por omisión de quienes no están
presentes en nuestra memoria en este momento, queremos testimoniar nuestro
reconocimiento a algunas de esas personas:
En primer lugar, a los restantes docentes pertenecientes a la Cátedra de MECÁNICA
GENERAL del ITBA , Lic. Roberto DELELLlS, Ing. Miguel RINALDI, Lic. Noemí
BELTRÁN, Ing. Fernando ACERO, Lic. Horacio CASSIA~Prof. Gabriela ALESIO y Lic.
José Luis TOURON (actualmente completando el doctorado en España).
Especialmente útiles, criteriosas y oportunas resultaron las críticas que recibimos de
nuestro querido colega el Lic. Roberto DEVOTO, también perteneciente al Cuadro de
Profesores dellTBA.
y en este listado no debemos olvidar a los grandes responsables del" ajusce" al que
fue sometida la edición previa. Me refiero al curso de estudiantes de la asignatura Mecánica
General de 1995. En particular, queremos mencionar entre ellos, a la Sta Clara Ma ría Eisa
PETRAKOS, que adoptara el importante papel de "angel guardiáll de los problemas del
libro".
En esta SEGUNDA EDICIÓN, corregida y aumentada, ha tenido especial
participación, asumiendo la tarea fundamental de corrector de originales, nuestro amigo y
colega, el Lic. Roberto DELELLlS.
También incluímos en este listttdn íl los" ejecutores de la impresión", Sra Carmen
CARABALLO y los Sres Mauricio CAL VELO BARBOZA y Jorge EDORNA, para quienes
el libro fue mucho más que una fuente de: trabajo, y al Sr Rodolfo SOQUEFF, quien se hizo
cargo de la elaboración del hermoso diseño de las tapas dellibrn y de su impresión.
A todos ellos, nuestro más silIcero y profundo agradec.:imiento.
LOS AUTORES
XI
ÍNDICE POR CAPÍTULOS
1
CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL
1
2
DlNÁMICADELPUNTOMATERlAL
41
3
MAGNITUDES DINÁMICAS DERlV ADAS
75
4
SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES
117
5
MOVIMIENTO RELATIVO
187
6
OSCILACIONES
219
7
CINEMÁTICA DEL CUERPO RlGIDO
279
8
DINÁMICA DEL CUERPO RlGIDO
311
9
MECÁNICA ANALÍTICA
363
B
IBLlOGRAFÍA
421
XlI!
=
CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL
1.1. INTRODUCCiÓN
3
1.2. LOS VECTORES POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACiÓN
1.2.1 El vector pos ición
4
1.2.2 El vector velocidad
4
4
1.2.3 El vet.:ll)f acdentción
6
1.2.4 L<I continuidad del movimiento
1.2.5 Un punto de partida distinto
8
8
1.3. LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACiÓN EN
COORDENADAS INTRíNSECAS
9
1.4.LOS VECTORES POSICiÓN, VELOCIDAD Y ACELERACiÓN EN
COORDENADAS POLARES. LA VELOCIDAD AREOLAR
1.4.1 Los vt!clorcS posición, vt:lucidad y aceleración en coordenadas polares
1.4.2 L1. velocidad areolar
16
16
19
1.5.LOS VECTORES POSICIÓN,VELOCIDAD y ACELERACiÓN EN
COORDENADAS CILÍNDRICAS
20
1.6. LOS VECTORES POSICIÓN Y VELOCIDAD EN COORDENADAS
ESI'ÉRIC,\S
25
1.7. RESUMEN
30
1.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
32
1
Cinemática del pumo material
MECÁNICA
CAPÍTULO!
CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL
1.1. INTRODUCCIÓN.
E
n este capílUlo desarrollaremos el fonnalismo necesario para describir el movimiento
de un punto material ( u partícula) sin considerar las causas que lo provocan. Se
denomina punto material, a un cue rpo cuyas dimensiones y orientación en el espacio
pueden despreciarse, cuando se describe su movimiento. De esta definición surgen dos
aspectos:
1) si un cuerpo puede ser considerado como un punto material su ubicación en el espacio
queda determinada unívocarnt:nte por un solo vector posición.
2) un cuerpo no tiene que ser ot:cesariamente pequeño, para ser considerado una partícula, y
evidentemente, para establecer si éste puede se r tratado como un punto material, es
necesario conocer las característic.1S concretas del problema a estudiar.
•
Por ejemplo, la Tierra puede ser considerada como una partícula al analizar su
movimiento alrededor del Sol, pero no cuando se cons idera la rotación alrededor de su eje.
Para poder establecer el estado de movimiento o de reposo de un punto material es
necesario conta r con un sistema de referencia, al cua l se lo idealiza en la fonna de un sistema
de coordenadas.
La elección del sistt:ma de referencia, como así también, la del sistema de
coordt:nadas, es completamente: arbitraria.
Las magnitudes necesarias para describir el movimiento de un punto material son el
vecto r ¡:x)sición, el vector vcltlCidad y el vector ace leración y la fonna que toman estas
magnitudes depende directamc::.nte del sistema de coordenadas elegido para describir el
muvimiento.
3
Capítulo 1
MECÁNICA
1.2. LOS VECfORES POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN.
1.2.1 El vector posición.
El vector posición de UD punlO material queda determinado por el vector que tiene
por origen al origen del sistema de coordenadas y por extremo. al punto en el cual se
encuen tra la partícu la. Si la partícu la se mueve, su vector ¡x>sici6n será una función del
tiempo t y se escribe:
F-F(/)
[ 1.1]
El lugar geométrico de los puntos que ocupa el punlo material en su movimiento se
denomina trayectoria. AJ ser el veelar posición función del tiempo, también lo son sus
coordenadas y, las ecuaciones que indican la dependencia de las coordenadas con el tiempo
son la representación paramélrica de la Ira yectoria. Estas ecuaciones también son llamadas
ecuaciones horarias del movimiento.
Por ejemplo, si elegimos como sistema de coordenadas el sistema cartesiano
ortogona l, la representación del vector posición es:
'-'(/)
[ 1.2]
De aquí se pueden obtener tres ecuaciones:
X=X(I) y=y(l) Z=Z(I)
[ 1.3]
que son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria en el sistema de coordenadas
cartesia no o rtogo nal.
Los movimientos suelen clasificarse según la trayectoria que describa el punto
material:
Ira yectoria
movimiento
recta
ci rcunferencia
parábo la
curva cualq uiera
rectilíneo
ci rcular
parabólico
curvilíneo
1.2.2 El vector velocidad.
Se define como vector velocidad media en el intervalo /'j.1 = 12 - tI al cociente:
[ 1.4]
4
..
Cinemática del punto material
MECÁNICA
donde al vector 11; se lo llama vector desplazamiento. El vector velocidad media tiene la
187
dirección y sentido del vector desplazamiento y su módulo es v - -1. El vector
no
/ti
/). t
'"
v
tiene un significado físico importante, ya que no informa de lo que pasa punto a punto con el
movimiento en el intervalo considerado. Por tal motivo se define la velocidad instantánea,
como el límite de la velocid¡¡d media en el intervalo de tiempo ó. t, cuando este intervalo
tiende a cero:
[ 1.5 ]
Es decir, que la velocidad instantánea es la derivada respecto del tiempo del vector
posición:
_ d, "
v---r
[ 1.6]
dI
Como la dirección del vector desplazamiento coincide con la de la tangente a la
trayectoria en el límite cuando I:lt tiende a cero, la dirección del veClOr velocidad instantánea
en cualquier instante resulta Sé[ tambien tangente a la trayectoria (Fig.l-1 ).
El módulo del vector velocidad instantánea
lo podemos obtener a panir del módulo del vector
velocidad media:
IMI"s "sl"'1
v. _ _ _ _ _ _ __
M
"S '" "S
donde ós es el elemento de arco ( es decir, la
distancia recorrida por el punto material ) en el
intervalo de tiempo a t.
En el límite, cuando a t - 0, a -;
s y por lo tanto:
Fig.l-l
1 1-!1
. as ds
v- ¡un - . - - 5
6'-06.1 di
[ 1.7]
Esta expresión representa el módulo del vector velocidad instantánea y es también la
llamada velocidad numérica o escalar. El sentido de
coincide con el sentido del
movimiento sobre la trayectoria. Los movimientos en los que la velocidad escalar es
v
constante se denomina" uniformes.
5
=
MECÁNICA
Capítulo 1
De ahora en más, cuando hablemos del vector velocidad estaremos haciendo
referencia al vector velocidad instantánea.
En el sistema de coordenadas cartesiano ortogo nal la representación del vector
velocidad es:
_ df d(xí+Yl+
v--dI
dI
zk ) dx"" dy .... dz-
--I+-}+-k
dI
dI
dI
[ 1.8]
1.23 El vector aceleración.
El vector aceleración se define como:
-
.
/Iv
.
a - [un .. fun
01-061
,,,,-o
[V(/+IIt)-V(/)]
1:11
[ 1.9]
es decir, la derivada respecto delliempo del vector velocidad:
diJ
.
ii---v
dI
[LID]
Teniendo en cuenta la definición de ii , podemos escribir:
dv d (d r) d'r ..
a- dt--¡; di - dl 2 • r
[1.11]
Para encontrar la dirección del vector aceleración. consideremos un punto material P
realizando un movimiento cualquiera ( Fig.1-2). En
el instante t su velocidad es ¡¡ • un tiempo ó. t después
V
,/
su
veracidad es ii' y Juego de un intervalo A t', v" .
Q
- P.
Si trasladamos los vectores velocidad a un
V"
punto común Q. encontramos que sus extremos
V' Tnyectorla describen una curva, que es la llamada hodógrafa del
movimiento. Por lo tanto podemos definir a la
/~~/
p
aceleración del punto material P como la ve locidad
del punto P' que realiza la hodógrafa.
Es importante hacer notar que v- v( t) es la
o
ecuación pa ra métrica de la hodógrafa.
El sentido del vecto r aceleración coincide
Fig. 1-2
con el sentido del movimiento sobre la hodógrafa y
el módulo es:
-'
~
ti
H." "",
Cinemática del PUniD material
MECÁNICA
. I"'vl
. t.L dL
[1.12]
a - /¡m - - - fun - &' . -0 6.1
", - a 111
dt
donde dL es el elemento de arco medido sobre la hodógrafa._
En el sistema de coordenadas cartesiano ortogonal la representación del vector
aceleración es:
_ dií
a- -
-
d(íT+Yl+tié) di...- dY ... di:- d 2 xv d 2 y .... d 2 z_
- -I+-J+-k~--I+--J+--k
dI
d,
dI
dI
dI
d"
d"
d"
[ 1.13]
Problema 1.1
El vector posición de un punto material es:
r(t )-Acoswll +Bsellwt).
a) Hallar la ecuación de la trayectoria.
b) Hallar el vector velocidad y el vector ace leración.
e) Demostrar que el vector aceleración es tá dirigido hacia el origen de coordenadas, y que
tiene un módulo proporcional a la distancia al origen.
Resolución:
a)
La ecuación de la trayectoria es y = f ( x ), por lo tanto para hallarla, debemos
eliminar el parámetro l de las ecuaciones paramétricas; x = x ( ! ) e y = y ( t ).
-:1 =A 2 colw(_rI A2 =corwl
y = B sen ro l -+ ¡ ::. B 2 sen::w t -+ ¡ / Ef = sen 2 w t
X=ACOSWl
Si sumamos miembro a miembro, resulta:
( x' / A' ) +
(¡ / Ef ) = 1
y
B
que es la ecuación de una elipse ( Fig.1-3).
A
b)
_ di'.
x
•
v _ _ _ -wAsenwl l +WBCOSwlJ
di
_ dv
,
...,
...
a - - - -00- Acosw t l -00- B sellw f }
dI
Fig.1-3
7
Capítlllo 1
MECÁNICA
e)
a__00 2 Acosoo tí _00 2 Bsenw t J__00 2 (A cosoo tí + Bsenw t 7)--00 2 r
ecuación
que
indica que el vector ace leració n tiene la misma dirección y sentido contrario al vector
posición, y que los módulos de ambos ve¡;tores son proporcionales.
Problema 1.2
Hallar la hod6grafa de un movimiento c ircular uniforme.
Resolución:
En un movimiento c ircular uniforme la velocidad angular y el módulo del vector
velocidad son consta ntes ( Fig.1-4 ). Si indicamos con R el radio de la circunferencia
descripta por el punto material P, y con 00 su ve locidad angu lar, en lonces resulta que
v = 00 R. Po r lo tan to, el extremo del vector
velocidad describe una circunferencia de radio w R.
Un puntQ P' sobre esta circunferencia, se mueve
~.>;.nc\ c:'~.
•
con una veloclaád 00- R, que resulta ser normal a la
ve locidad del punto material P y representa su Tra¡tctGl1ao:;.._ _-...
aceleraci6 n.
ct;'.......
""
1.2.4 La continuidad del movimiento.
O
V=roR
La forma matemática utilizada para definir
los vectores ve locidad y aceleración pe rmiten
establecer tres caracten st lcas importantes del
Fig.1-4
movimiento (las cuales también pueden ser
obtenidas a partir de un análisis intuitivo):
1) un punto material no puede pasa r de un punto ~ a otro' ~2 sin haber pasado por todos l o~
puntos intermedios.
2) un punto material no puede pasar de la veloc idad v} a otra v2 sin haber pasado por todas
las ve locidades intermedias ( se puede pensar en un movimiento, producido por una fuerza ..
impulsiva ideal, en ctl cual esto no se cumple. No estudiaremos este tipo de movimiento ).
3) un punto material si puede pasar de la aceleración al a otra a2 sin haber pasado po r
ladas las aceleraciones intennedias. Esta característica pod rá ser interpretada mejor cuando
se: c::s tudi en las causas que producen el movimiento, pero a modo de ejemplo: un conductor
que frena un auto v io lentamente es un ejemplo de esta última situación.
1.2.5 Un punto de partida distinto.
Cuando se estud ia e l problema del mov imiento de un punlo mate rial según un análisis
cinemática, su reso lución se elabora a parti r del conocimiento del vector posición
( trayectoria del· movimiento) y derivando, se obtienen los o tros dos vectores necesarios
pa ra completar la descripción del problema.
8
=
---------------------------l
Cinemálictl del pUIIIO n/alerlal
MECÁNICA
Sin embargo cuando se estudia el problema del movimiento de un punto material
teniendo en cuenta las causas que lo producen (dinámica del punlo material), en general, se
parte del conocim iento de la aceleración ( más precisamente de las fuerzas que actúan sobre
el punID material ).
Evidentemente conocida la ace leración los ot ros dos vecto res necesarios para
caracterizar com pletamente el movimiento se obtienen por integración: integrando la
aceleración se obt iene la velocidad, e integrando ésta, se obt iene el vector posición, es
decir, la ecuación para métrica de la trayectoria. El estudio detallado de todo esto, constituye
el fundamento del Capítulo 2 de: este libro.
Hasta ahora hemos definido los vectores poslclon, velocidad y, aceleración y
obtenido sus representaciones en el sistema cartesiano onogona l. Este sistema de
coordenadas no siempre es d más aconsejable para tratar un problema particular, por lo
tanto, en lo que sigue estudiaremos otros sistemas de coordenadas posibles y la
representación de los vectores ¡ , v y ii en ellos.
1.3. LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS
INTRíNSECAS.
Debido a que la trayectoria es independiente del sistema de coordenadas elegido para
su descripción ( no así su representación para métrica ), es que, resulta conveniente escribir
las componentes de la velocidad y la aceleración en función de un nuevo parámetro
vinculado a la trayectoria ( distinto del tiempo ). El parámetro elegido es s, que se define
como la longitud medida sobré la trayectoria desde un punto de la misma tomado como
origen hasta el punto en que Se encuentra la partícula en un instante dado.
Si el vector posición c::n función del tiempo es:
r( 1)-x( 1)/ + y( 1)7 +z(,) Ii
en función de l nuevo parámetro es:
r(s )- x(s), +y(s )7+z(s)[
[ 1.14)
Por lo klnto la velocidad es:
despejando v, resulta:
¡¡
--
,,:
(dX. +--1+-dy. dz k-)
-1
ds
ds
ds
[ 1.15 )
9
a
•
Capítulo 1
MECÁNICA
Si tenemos en cuenta lo analizado en el ítem 1.2.2 acerca del módulo y dirección de
la velocidad instantánea, podemos ~oncluir que:
_ (dX. dy_ dZ -)
-1+-)+- k
ds
ds
ds
[ 1.16]
1-
es un vector de módulo uno y de dirección tangente a la trayectoria. El sentido de este
versar es determinado por el sentido del movim iento del punto material sobre la trayectoria,
qU,t: coincide con el sentido de crecimiento de s.
A la expresión:
[ 1.17]
la denominamos vector velocidad en coordenadas incrfllsecas.
La aceleración la obtenemos a partir de su definición:
_ d¡¡ d( vr) dv_
dí
a___
__ l+v_
dI
dI
dI
dI
[ 1.18]
Para eva luar los cambios del versar tangente con el tiempo usamos también el
parámetro s:
dí dTds
di
dT
-----5--vdt dsdt
ds
ds
[ 1.19]
La expresión d ¡ nos obliga a analizar los cambios del versar tangente con respecto
ds
a s, cuando pasamos de un punto a otro de la trayectoria. Para ello partimos de :
Ir l-1
T. r-1
d(r.r) dI __ dI
---'-,--"- _ _ 0/ +
ds
ds
'0 --o
ds
- dI O
2/°-ds
°
d etermma
°
que -dI es un vector pe rpendicular al versar l. La dirección
Es to u"1timo,
ds
de este vector, es la de la recta normal principal.
10
»
Cinemdtica del plinto material
Se puede definir el versor normal ñ como:
dT
_ ds
n- ~
[ 1.20 ]
dsl
y su sentido es hacia la parte cóncava de la trayectoria.
Haciendo
1
p-
[ 1.21]
dTI
ds
resulla:
_ dT
[ 1.22]
n-p-
ds
A p se lo llama rodio de curvatura.
Para aclarar el significado y el nombre utilizado para P. supongamos la siguiente
situación: un punto material en un instante 1 se encuentra en el punto P, y para ubicarlo
sobre la trayectoria definimlls r-r(s) . Un intervalo de tiemfKl Al después, el vector
r-r(s+ós) ( Fig.1-5). Los versares I(S) y T(s+ós)
posición en función de s es
representan las direcciones dt::l versar tangente en el intervalo de tiempo considerado.
Si trasladamos los versares tangente a un origen
común O, resulta que el ángulo Aq¡ que forman
es:
A<p-I T{HAs )-T{s)1
[ 1.23]
,
/ (s+ 11s)
"
I
/ +Q
Fig.I-5
ya que la cuerda y el arco son infinitésimos
equivalentes.
Si dividimos por II s y pasamos al lúnite cuando
6s- O queda:
• A<p . LI'..:..{5_+_A. :. .5)-_'..:..{5. .:.t~
hm - - 11m
-
41-0
lls
40-0
.6. s
[ 1.24 ]
Si trazamos una circunft:rencia con centro en Q y que tenga por radio a p, resulta
que en el límite cuando lls- 0, lls- pllq¡, donde p es el radio de la circunferencia
límite en el punto P. Esto últimu lo podemos escribir así:
[ 1.25 ]
11
Jiiíl -
Capítlllo J
MECÁNICA
Compara ndo las expres iones [ 1.21 J, [1. 24] Y [1.25] se le encuentra significado
a p y el pon.l ué de su nombre.
Si tenemos en cuenta las expresiones [ 1.19) Y[ 1.221 la [ 1.18) puede escribirse:
dv~
V2~
a_ __
I+_n
dI
p
[ 1.26)
y en función del parámetro s:
,
_ ,,_ S _
a -st +-11
p
[ 1.27)
expresiones que constituyen la representación del \lector aceleración el! coordenadas
illtr/lIser..:as.
Las componentes intrínsec.1s del vector aceleración recibe n los nombres:
dv"
' I
a, - - 5 ar..:e IeraCl'ón tangencIa
[ 1.28)
di
2
1
v
3
a.---aceleraciólIlIormal
p p
[ 1.29 )
HAy que prestar particular atención al hecho de que el vector acelernci6n siempre
puede ser descripto por sus componentes intrínsecas, su sentido es hacia la parte cóncava de
la trayectoria y su módulo es:
[ 1.30 )
A ¡J<1rti r de los ve rsares tangente y normal se
puede construir una nueva terna ortogonal ,
ddiniendo el versar bi/lormal b como: ¡; - r x Tí .
Estos tres versares consti tuyen el llamado
triedro de' Frellet o tema illlr/I/seca ( Fig.l·6 ). Los
planos del trieuro reciben nombres especiales:
el plano formado por
Triedro de
Frenet
6
s=O
o
r yñ: plano osculador
el plano fo rmado por ¡¡ y ¡; : plano normal
el plano formado por ¡; y T: plano rectificante
Fig.1-6
De todo lo visto resulta que los vectores
velocidad y aceleración en todo mov imiento se encuenlmn en el plano osculador.
12
r
Cinemática del pumQ malerial
MECÁNICA
Problema 1.3
La tr¡lyectoria de un punto material tiene como vector posición a :
_
....
....
I-
r - cos t l + sen tJ + -k
8
") hallttr las t:cuaciones de los versares
ñ Y el radio de curvatura.
bl hallar las componentes intrínsecas de los vectores velocidad y aceleración.
e) h.I{'t:C la representación grátiea de la trayectoria.
( considc rar que todas las magnitudes están expresadas en el sistema intemaciooa l de
r.
unidades)
Resolución:
a)
_ dr v
1----
_
...
."
1-
va-seni l + COS (J + - k
8
dS
v
v-
sen 2 l + coi t +- 64
11*5
- -1,008
64
r - -O,992sent l +O,992cost J+0,124 k
•
di
Il-Pds
1
Y
p
-I~~I
dI dldl Idl
1 (
"
")
- - - - - - - - - - -O,992coSll -O,992sent}
ds dI ds vdl 1/J08
dI -o 984
ds
'
tí- -COSIl -SetU)
p -1/J16
b)
v-I,0081
dv
v'
dI
p
~--I +-ñ
dv
a ---o
, dI
v' (I/JOB )'
a.--1,016
p
-1
a-1 ií
13
MECÁNICA
Capltulo 1
e)
x(r) : cos r
y(r):se,,'
2(1):1/ 8
son las ecuaciones paramétric.'ls de una hélice
circu.lar recta de paso constante. La repre;-;enL'lción
grafica se ha real izado con el MATHEMATICA y el
comando uti lizado fue:
0·~~'í'-o-~0~.~5~0~~~_,
0.5
0
-o.
1
-1
2
ParametricPlol3D[ { Cos [11Sen [11t/S} , (1,0,20)]
Pmblt'rna 1.4
1
Se conocen los vecto res velocidad y aceleración de
un punto ma terial. Obtener expresiones para las
componentes intrinsecas de la aceleración}' el radio
de cu rvatura.
o
Resolución:
Partimos de las expresiones de los vectores velocidad}' aceleración en coordenadas
intrínsecas:
li-a,r+a"ñ
Si realizamos el producto escalar entre los dos veClores, resulta:
__ (_)(
v .a _ vI
__ )
. a{'+a,,/I -val :.
¡Uí
a{--v
[ 1.31]
Si realizamos el producto vectorial entre los dos vectores, resulta:
v xa _ ( vr) x (aJ +a"ii) .. va)j
Si tomamos módulo en la última t:xpresión:
.
Ijixiil
I¡¡xiil-va.
:. 0 . _'-'--....::.1
v
[ 1.32]
Finalmente para obtene r el radio de curvatura, utilizamos el hecho de que:
".
-- ljixii l
v'
p
v'
p
14
v
v'
p
-1-vxa-1
[ 1.33 ]
•
f
MECÁNICA
Cinemdtica del punto material
Los resultados obtenidos, resultan muy útiles, JX>f dos motivos:
1) las expresiones [ \.31]. [ \.32] Y[ 1.33] nos permiten hallar las componentes intrínsecas
de la aceleración y el radio de curvatura, por un mecanismo más directo.
2) si solo trabajamos con sistemas de coordenadas ortogona les, los productos v. a y vxa,
resultan ser invariantes, es decir, independientes del sistema de coordenadas utilizado.
Esto tiene como consecuencia que. para aplicar [ 1.31 ]. [ 1.32] Y [ 1.33 ] solo se
deben conocer los vectores velocidad y aceleración en un sistema de coordenadas
ortogonal cualquiera.
Problema 1.S
El vector posición de un punto material es
'f( t )- A COSto t r + B sento t J. Hallar las
componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura.
Resolución:
_ df
.,. .
y
v .. - - -wAsenwt L +WBCOHOI}
dI
_ d'V
a-dI
1
-U)
....
ACOSWll-W
1
...,
Bsenwt)
-v,a- .. (-wAsellwtl- +ooBcosootj") .(
, Acoso>tl- -o> 'B seno>lj")
-00
0>3(A 2-B 2 )senwtcoswt w 2 (A2-B 2 )sellwtcoswt
a·- - v-- wJA 2sen 2wt+B 2cos 2wt - )A 2sen'w t+B 2cos 2wt
v.a
I
vxá. -wAsenw.t
}"
wBcoswt
-w 2 Acoswt -w'Bsellwt
0)2
vJ
p---
I"xa¡
w (A 2sen'wt+B 2 cos 2wt
J
w' AB
AB
,
,
2
Ji (A' sen OOI+B cos wt Ji
2
2
-
AB
15
Capíllllo 1
MECÁNICA
1.4. LOS VECTORES POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
COORDENADAS POLARES. LA VELOCIDAD AREOLAR.
EN
1.4.1 Los vectores posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares.
Cua ndo la trayectoria que rea liza un punto material se encuentra contenida en un
plano, muchas veces resulta conveniente trabajar con las coordenadas polares, las cua les
pueden obtenerse a partir de sus relaciones con las coorde nadas ca rtesianas.
El vector posición del punto material P es:
¡-xT+yJ
y
De la figura surge ( Fig.]. 7 ):
x-rcosqJ
{ y - r sellqJ
Por lo tanto:
r-rcoscpT + rsencp}
Fig.1-7
Esta expresión se puede simplificar, si se
utiliza una nueva base, cuyos versares ~, y el(' quedan definidos de la siguiente manera
( Fig.l-n
1) e,: su dirección y sen tido quedan determinados por la dirección y sentido del vector
posición.
2) e,,: su dirección es perpendicular al vecto r posició n y su se ntido queda determinado por
el sentido en el cual crece el ángulo q> (sentido antihorario).
El punto O recibe el nombre de polo y la semirrec/a OX, eje polar.
En esta nueva base, el vector posición del punto material P es:
[ 1.34 1
expresión que constituye la representación del veClOr posición en el sislema de coordenadas
polar.
La ve locidad del punto material P se obtiene a partir de su defi nición:
_ ~
d r d (r e,)
v-r--dt
16
dt
dr_
de,. _
de,
dt'
dt
dE
- -
e +r-- -r e +r-,.
[ 1.35 1
Cinemática del plllllO material
MECÁNICA
.
Para evaluar la derivada del vector posición respecto del tiempo, se ha tenido en
cuenta el hecho, de que si bien el módulo del versar e, perma nece constante, su dirección y
sentido cambian con el tiempo.
la relación entre los versares de la base polar y los de la base cartesiana es:
-
-r -
e, - COSqll +sencp }
{
e'f' - - sellql + coS{p J
de
donde cp es función del tiempo; por lo tanto - -' se puede calcu lar como:
dI
de
_
__
--' --senqll +cosqJ}-e
d'l'
•
Finalmente
de.
de. d'l'
_ de¡>
._
d1
drp d 1
'" d 1
Ij>
- - - - - - - - e --'I'e
[ 1.36]
Reemplazando en [ 1.35 J, resulta:
[ 1.37]
que es la representación del vector velocidad en el sistema de coordenadas polar. Las
componentes del vecto r velocidad se denominan:
v. -l: componente rad ial
\;~_ '"' r<j> : componente transversal
La aceleración del punto material Pes:
17
Cap(tulo 1
MECÁNICA
dt
de d(rq,)
d.
aa_e
+;'. -....!...+
e +rcp--'
dI'
dI
dI'
dI
Teniendo en cuenta [ 1..36] Y operando matematicamente queda:
dq,)
de
dr
a.re +fcp erp + ( -cp+re..,+rCP--'
,
dI
dI
de
a - re + tcp e + (t cV + r cji) 't + '<j> __
dt
'9 •
,
'ti
l'
..,
dI
de
e' + (2 t cp + r ip)e, + rcp -dt'-
[ 1.38]
d.
donde para evalua r __
'9 usamos:
dI
de,." _ del(> dq>
dI
de,."
d'l' dI
- ....._
....
díp --CusepL-sen!p}--e,
de,
dI
de,d'l'
depdl
_dep
_"
- -e cp
'dI'
--------e -
[ 1.39]
Reemplazando [ 1.39] en [ 1.38]/esulta,
a - ( r- rq,' le, +(2 tq, +r<ji le,
[ 1.40 ]
que es la representación . del vector aceleración en el sistema de coordenadas polar. Las
componentes radial y transversal de la a~eleración son:
....
..,
a, _r_ rq'l-
al(> -2tcp+rql
Problema 1..6
El vector posición de un punto material es r (t )- A cosO) 1 r + AsenO) t ] . Hallar:
a) los vectores '(elocidad y aceleración en coordenadas polares.
b) las componentes intrínsecas de la aceleración . Interpretar los resultados.
Resolución:
18
r
Cinemática del pI/n/o maleria/
MECÁNICA
a)
f-O
<jJ-w :. <ji-O
'I'-w I
b)
V.a
a,----O
a -
Ivxli l A1 u/
~
v
v
----Aw
Aw
2
El vector posición F (1 )- A coso,) t ; + A senw t J es la representación paramétrica de
una circunferencia de radio A y centro en el origen de coordenadas. Dado que el módulo de
la velocidad resulta ser constante, podemos concluir que el movimiento que estamos
estudiando es un movimiento circular unifonne.
Para este caso en particular, se verifica que las componell1es radial y normal de la
aceleración son iguales.
1.4.2 La ve locidad areo lar.
z
Un punto material P realiza un movimiento
plano. En el instante 1 el vector JXlsición es F, Y un
intervalo de tiempo !:l 1 después, es
r ( l +!1 ( )
( Fig.1 -8 ). El área barrida por ¡ en el intervalo de
tiempo III es 6. A, Y se puede demostrar que vale
(prob lema 1.12):
y
x.=ó-l'1
Ó A _ LI,_.
x
2
Si dividimos por fj. l Ytomamos el límite
O nos queda:
cuando t:J. 1 -
Fig.1-8
Se define como velocidad areolar a:
~ dA r xv
A----dI
2
[ 1.41]
19
g2
Cap(mfo 1
MECÁNICA
que c::S un vector cuyo módulo coi ncide con d <i rc::a g~(lmétrica, su dirección es perpendicular
al plano determinado por ¡ y ii Y su sentido queda estahlecido por el producto vectoria l
rx v.
Hay un tipo de movimiento plano, en el cual el vector aceleración tiene siempre la
dirección del vec tor posición ( ver los prohlemas 1.1 y 1.6 ): es el denominado movimiento
c:elllral. En este movimiento, la veloádad areolar es constallte ( problema 1.13).
LOS VECTORES POSICIÓN,
COO RDENADAS C ILÍNDRICAS.
1.5.
VELOCIDAD
Y ACELERACIÓN
Las coordenadas cilíndricas se definen a través de sus
c()nrUeniu.hls cartes ianas.
EN
relaciones co n las
Sea el punto P, dado por: r - XI + Y J+ z k. De la figura ( Fig. 1-9 ) se obtiene:
X- p
coser
Z
y- p sellcp
{
z-z
·!I lU
Ademas Se cumple que:
I
Ilo
I
!,d I '1'
x
-- -
;'
.l
p
¡
P
!~
I
i
Z ¡
p = P(P,'I',Z)
Fig.1-9
Estas coordenadas recih~n el numbre de
cilíndricas porque las supc:rficies en las que p es
cons tante son cilindros circular~s rectos que tienen como eje a z.
Teniendo en CUenta las expresiones anteriores el vector posición se puede escribir
ento nces como:
r - p cO.'Jq"lí + p seJlC(l J +z k
[ 1.42)
El vector velocidad es entonces:
ii
&O
t _(p cOSc(l - plp sellt"p )i + (1) senC(l + p<p coscp )7 + i: k
[ 1.43)
)' el vector aceleración eS:
o-ó- (¡> (:oscp-2 j;rp semp_pcpl ,·osc(l- pcp scnC(l)í +
+
2{)
(p sel/(p + 2 jJep ,OOoHp - pep] sefHp + pep cOSc(l )7 + i k
[ 1.44)
F
MECÁNICA
Cinemálica del P¡/Ilto material
Para simplificar estas expresiones conviene expresar a los vectores poslclon,
ve locidad y aceleración en una nueva base. Los versares de la nueva base son: ep , e", y ¡¡
I
que para un punto P, tienen la dirección y se ntido en la que el vector posición
cuando p ,Ifl o z tienen un incremento infinitesimal (Fig.l -lO )_
Los cambios del vector IXlsición producidos al incrementar p son:
ar
z
11 F - "lI.p Yel versar es:
,
dp
a¡:
_
e,
6.fp
ar
-óp
-----y
-
ap
op
:.::Ir,;
"IM,I" [al' óp " al'1
dp
ap¡
y
ar .. cosq'll... + sencp .J. y ~"1
-
x
¡PI
dp
r cambia,
Fig.l-l0
[ 1.45]
Los cambios dt:.1 vector posición producidos al incrementar q> son:
_
iJf
ór • ór¡>
,
d r¡>
y el versor es:
ar
ar
11~
, -ló'.lal'
--a,
a<jl
a<jl
-ór¡>
d<p
'é
-ó<p
ar
...
..
-"-psempl+pcoscp)
a<jl
d<p
y
-e1l' .. - sen<p 1.+ coSq'l ,J
[ 1.46 ]
Analogamente, los cambios del vector posición producidos a l incrementar z son:
_ a¡
IJ.r--óz
, az
y el versor, es el vcrsor
k.
21
•
Capítlllo 1
MECÁNICA
Se putde démustrar ( problema 1.14) que los tres versores de la nueva base son
mutuamente ortogonnles y forman un sistema de coordenadas dextrógiro.
En la figura ( Fig.l·ll ) se observa la
dirt:ccilÍn y d sentido de los Ires versares.
z
Los versnres el' y e... se encuemmn en el
pla no x-y. L1 dirección del vt;:rsor e" coint.:ide con
la proyección de ¡ en el plano x·y y forma un
fíngu lo ql co n el eje x.
Su sentido
crt::ci miento de p.
El versor e~\
J
se
corresponde
t::S ~rpendicular
con
el
1
O~---t--­
y
a ép y su
sen tido coincide con c::J del cn:cimiento rk cp, es
decir, Se mide 11 partir del eje x e n movimiento
cOnlrar io a las agujas dd reloj.
E! vector posición puede ser escrito en la
ep
p
x
Fig.1-11
nueva b<lse teniendo en cuenta la relación:
p" ép-( p Wj'Cpl +p
selll:f'J +z[}( coscp 7 + senc(7)- p
¡. eO( - (p ('oscp T + p semp J +z
k) (-sellcp 7+coscp 7)-0
¡'k - (p coserT + p SC!flCflJ +z k}k-z
Finalme nte el vector posición es:
[ 1.47]
En forma simi la r, el vector velocidad es:
ii _(ii . e )e" .+ (ii .el( )é\, + (ii . f) f
p
ji'ef'-
[(j)C:OSCfl- P<P sC!ncp)T +(p seflcp+pcP (:oscr )J +z f}( coscp 7+sencpJ) - p
ii 'i!\, - [ (jl COS{r - P<P sencp )7 + (p sellcp + pq, cOSq> )7 + z
k'}(- sellcp T+ cosq> 7)- p ~
[ 1.48 ]
22
Cinemática del plintO material
MECÁNICA
El vector aceleración es:
a-(a· e,)e, + (a. e.)e.+ (a. k)k
a-( (i - pqi' le, +( pqi +2 ¡jqi le, +zk
[1.49]
Las expresiones del vector velocidad y el vector aceleración se hubieran podido
obtener en fonna similar al caso de las coordenadas polares:
di'
v--dI
d(pi! +z
k)
P
dI
__
.pe +pe +zk
P
P
l, -q, e.
donde : 1. __ me
{,
T,
Evidentemente las coordenadas polares pueden considerarse como un caso particular
de las coordenadas cilíndricas: cuando z = o.
A las distintas fonnas de obtener los vectores posición, velocidad y aceleración en la
base cilíndrica ya expuestas podemos agregar la que surge de la utilización del álgebra
lineal.Tengamos presente que las transformaciones de coordenadas son transformaciones
linea les, entonces a partir de las def1niciones de los versares de la base cilíndrica y su
relación con los versares de la base cartesiana se puede construir la llamada representación
matricial de transformación de coordenadas ortogona les cilíndricas. Para hacer esto
recordemos que:
en general, el vector r en la base cilíndrica se escribe como:
el vector r en la base cartesiana se escribe como:
r-p COScpl +p sencpJ +z k
23
&
MECÁNICA
CapItUlo 1
la relación entre los versares de la base cilíndrica y la cartes iana es:
e", - -sempl +cosq:J 7+0 k
U1da componen te del vector r en la base cilíndrica se puede escribir como:
,
,
,. • Y'e
r _p"e
•
•
r, .Y·l
Finalmente podemos escribir:
r,]
[~
I
casI(>
sellQl
-l-se~l~
coscp
[ 1.50 ]
O
con la cua l obtenemos las componentes del vector posición en la base cilíndrica.
A la matriz:
I
casI(>
senq:t
l-se;<r cosq¡
O
[ 1.51 ]
se la conoce como matriz de la transformación.
Analogamente se pueden construir la representación matricial de traruoformación de
co,;>rdenadas ortogonales ci líndricas de l vector velocidad y el vector ace leración:
V'] I cosep senq:¡
cosq:>
[:~ -l-S~'CP
24
O
[ 1.52]
f
Cinemática del plinto material
MECÁNICA
senq>
a,] [cos'!'
-sen<p coscp
O'f'
r\a~
..
O
O
Problema]. 7
El movimiento tridimensional de un punto material está definido por
p=2kcost
<p=t
z=pt
Determinar la velocidad, aceleración y radio de curvatura de la trayectoria para cualquier
tiempo 1.
Resolución:
p--2ksent ..
p --2kcoSI
q, -1 .. <ji - O
i-p
..
z-o
v--2kselll"lp+2kcoste..,+pk
..
v_~4e+p2
a-(-2kco~t-2kcost)ep+2(-2ksent)e'f'
..
a -4 k
Hacer la representación de la trayectoria, utilizando el. MAlliEMATlCA. EI ·comando a utilizar para el caso particular k = 1, P = 0,5, en el intervalo (0,20) es:
ParametricPlot3D[ { 2 Cos[t] Cos[t],2 Cos[t]Sin[t],t!2}, {t,O,20} ]
1.6. LOS VECTORES
ESFÉRICAS.
POSICIÓN
Y VELOCIDAD
EN COORDENADAS
Las expresiones de los vectores posición y velocidad en coordenadas esféricas se
pueden obtener siguiendo cUHlquiera de los caminos empleados con las coordenadas
cilíndricas.
En lo que sigue, solo haremos hincapié en algunos de los aspectos señalados en la
sección anterior, que permitirán escribir r y v en la base esférica.
25
r
Capitulo 1
MECÁNICA
Sea el punto P de vector posición:
De la figura (Fig.l~12) se obtiene:
r sene cosrp
y - r seu8 sefllfJ
X -
{
z-rcos9
Además se cumple que:
! \
y
, \ ,
Fig.I-12
Estas coordenadas reciben el nombre de esféricas porque las superficies en las que r
es constante son esferas COIT centro en el origen de coordenadas.
E! vector posición es:
f - r sene coscp í +r selle sellq¡
J+rcosG k
[ 1.54]
evidentemente el vector velocidad en coordenadas esféricas, escrito en la base
car..esiana, adquiere una forma sumamente complicada (problema 1.15 ) ; por eso es
necesario, para simplificarla, definir una nueva
base.
z
Los versores que tomaremos como base de
las coordenadas esféricas: e, , t; y e'l' tienen para un
punto P, la dirección y sentido en la que el vector
poslclOn f cambia, cuando r ,6 o rp tienen un
incremento "infinitesimal (Fig.l-13).
Las ecuaciones que definen a estos versores
son:
y
ar
ar
e,
26
-1::
Fig.I-13
r
Cinemática del pumo malerial
MECÁNICA
ar
_
ae
e¡¡ - a¡-
",
ae
al'
_ acp
al'
acp
Teniendo en cuenta la expresión [ 1.54 ] resulta:
{
~ -sena cos<p r + sena sen<p J+ cosa ¡¡
~II -cosa CO~!pr +CO~8 sencp J-sena k
[ 1.55 ]
e", --senqll +cosCfl ]
Se puede demostrar ( problema 1.16 ) que los tres verseres de la nueva base son
mutuamente ortogonales y fo rman un sistema de coordenadas dextrógiro.
La matriz de la trollSformación es:
(
Sena C:OSq:J
sena sencp
cosa cus<p
cos8 sencp
- sencp
cosq¡
[ 1.56]
Si un vector en la base esférica lo escribimos como: ¡ - r,
e, + fe ~ + 'I!' e,.., entonces la
representación matricial de transformación de coordenadas ortogona les esféricas es:
r,
(
1 (Sene coscp sene sencp cose) (rsene cosCP)
ro -
cosB cOSq'I
r",
- senq¡
cose sencp - sena
conp
r sella senq¡
O
[ 1.57]
reos.S
Finalmente se puede demostrar ( pr.oblema 1.17 ) que el vector posición en la base
esférica es:
¡-re,
[ 1.58]
A este resultado también se hubiera llegado, observando la figura 1-13. Para obtener
la expresión de la velocidad dtrivamos la [1.58):
_ dP d(ré,) dr _ de.
v-- --e +r-dI
dI
dI'
dI
d e,
dI
a l, de
ae dI
ae, dcp
acp dI
-----+----
27
Capítlllo 1
MECÁNICA
d ii ( cos6cos<pi+cos6senq>j-sen8k¡u+
-\i ( -sen6sencpi+sen6coscpj
-)q>.
--'dI
Teniendo en cuenta [1 .55]:
- d,. +r--·
de.
.
6' )
v--e
... re- +r (6' ,t"o+ r rpsell
dI'
dI
'
t:'",
[ 1.59]
La última expresión constituye la representación del vector velocidad en la base
esft!rica. La representac ión del vector aceleración en la base esférica se presenta como
problema propuesto al final del capítulo.
Para finalizar, presentamos la solución de un problema en el que la descripción del
movimiento de un punto material se realiza con el conocimiento de las coordenadas de
posición (polares en este ejemplo), en determinados instantes de tiempo.
A part ir de esos datos se puede interpolar ( coo cieno grado de aproximación) los
valores de la ve locidad ylo la posición en otros instantes.
El método de aproximación utilizado es el de Splines cúbicos ( consultar algún texto
de calculo numérico respecto de este método ).
Problema 1.8
Durante su entrada a la atmósfera, una
cápsula espacial eS seguida por una estac ión de
radar situada en el plano vertical de la trayectoria.
Por un seguimiento telemétrico se miden los valores
de las coordenadas ( r , 6 ) de la cápsula espacial
respecto de un sistema local de coordenadas
polares.
/
/
/
r,
/
La coordenada r mide la dista ncia entre la
estación y la cápsula mientras que la coordenada 8
mide el ángulo entre la visua l de la nave y la
horizontal en el plano de la trayectoria.
/
1
1\ (J
~
__L __ __ _
~
Fig.1-14
Determinar aproximadamente el valor de la
velocidad de la cápsula en el instante l = 40 s a part ir de los valores medidos de las
coordenadas en los instantes indicados. Se muestra a continuación la solución de este
prohlema con MATHCAD.
Resolución:
28
r
Ci/1cmtlticl1 del pl/1II0 /l/Iuerial
MECÁNICA
Valores medidos:
t :(05 10 1520 30 ~o 50 60 70 80)
tiempo en segundos
r = (36.429.926.224.122.720.920.119.319 18.8 18.7)rsemideeoKm
e = (1105 100 91 83.777.767.758.6 52 45 38.5 32.8) ese mide en grados
e = 6-"
ISO
conversion de unidades
Sea determ inar la velocidad en t = 40 s .
a) Represen tación gráfi¡;a de los valores medidos
t
T
=1
r =r
T
k ~ O.. 10
va lores medidos de la coordenada r
.,
valores medidos de la coordenad<6
,
2
"re,
..
e¡¡ ,
, ,.1- " , , , ,
'k
,
.1
"o
•
", ,
,
,,
,,, -
0'-----'-':::------'
"k
I
o
'00
so
t
100
k
b) Obtención de un interpolación de los valo res medidos mediante splines :
= 0,0.5 .. 80
intervalo de tiempo considerado
rs ~ cspline(t , r)
Il; ~ cspline(t, 8)
"t
R(,) = interR'rs ,l,r,T)
re,)
vectores auxi liares
funciones de aproximación
obtenidas con splines cúbicos.
~ inter¡:(ll;,t,8,T)
.
R(,) "
'k
•
l
\,
lO
"o
r(,)
"'-
~-
50
't, t
k
"•
.......
'00
o
o
50
-r,l
'00
k
29
Capí:ulo 1
MECÁNICA
e) Obtención del valor aprox.imado de la velccidad er. t = ~O S
Z :: 40
instante en que se desea calcula;- la v~ioc¡dad
d
rp "_R(z)
dz
d
cálculo de ¡as du;vadas C~ ¡as funciones
dz
de aproximación en el insta&1te t;: 40 s.
9p "-f(z)
Cálculo de la velocidad en t = 40 s
'/ ;: 0.282
la vebcidad e~ Km/s
" r-------~
I
------_.------_r------_;
.~*~
&('),0 f.o
IO
--~---+-->-
L _ _ _L _ _--.J1_ __
o
__
+-_____~
--.J_ __
60
.-.J
80
1.7. RESUMEN.
Como resumen de todas: la!> idea!> expuestas en este C>.pítulo Gesarrollamos un mapa
conceptual de la Cinemática del pUlllO material.
30
<)
~.
~
g'
.,
~
"Sistema de
conccpt(
relativo
5
c~",
~
Representado por
§.:
,'Sistema de
Referencia
~
J
,"concepto
tclativo
Movimiento
Trayectoria
...
Ecuación
"
Se represeala en
'-"
.
V
par.&métrica
-
......
Derivando
Derivando ----.:...--Se representa en
Integrando
Vector
aceleración
a
•
Se represenh, en
~
~.
()
»
Capitlllo 1
MECÁNICA
1.8.PROBLEMAS PROPUESTOS.
Pl"Oblellla 1.9
Indicar el tipo de movimiento que realiZ:1 un punto material si:
a) al = O.
b)a. = O.
e) a-á.
Prohlema 1.10
Medinnle un argumento sencillo, explicar po rqué, un movimiento curvilíneo es un
movimiento acelerad,).
Prob lema 1.1 t
Considc:mr un movimiento curvilíneo pl¡¡no. En un instante t, un punto material, pasa por
P. Dibujar en eSe punto, 1M vectores velocidad y aceleración, indicando sus co mponentes
intrínse¡';¡lS y polares ( c:\egir ¡,;omo polo ell1rigen de coordenadas cartesianas).
Prohlema 1.12
Demostrar que:
Prohlema 1.13
Demosmlr que en un movimienlo central , la velocidad arl!olar es constante, e igual a:
. ,.2 cP
A--
2
¡Cúmo resultan las componentes polareS ue la aceleración si la velocidad areo lar fuese
Cern ?
Prohlema 1.14
Del1111strar que los ve rsores de la base cilíndrica son mutuamente ortogo nales y forman un
sistc::ma dextrógiro.
Pmblemu 1.15
Ohh:ner la expresi6n del vector velocidad . t'n coordenadas esféricas, en la base cartes iana.
Pn¡hlellla 1.16
Demostrar que los VersnreS de la base esf¿rica son mutuamente orlogonales y forman un
sistema dextn'igiro.
r
MECÁNICA
Cif/('lI/úIiCf/ cid 1'111/10 ""I/crial
Pru hlenw 1.1 7
A partir de la fcprc:st:ntadún m¡üricial de transformación de coordenadas ortogonales
esf¿ric,ls, nbtencr d vc:r.:tor pl)sici6n en dicha base.
Escrihir [;1 n.::pn::se n¡¡l(;i/m m,mida l ue transformació n de coordenadas ortogonales esféricas
dd WC!Of vdm;iúau.
Pr ohlema 1.1 S
a) Exprt:sar 1;1 ,lcekl1lción en coon. ltnadas esféricas.
b) Esc rihi r la repn:::sentndón rnatrida l dd Vt:ctor aceleración.
Rt:J :
-("r-r8 " -nr - .\(.'lr8
, )e~+
- (2r8+
, ' r 8-np·seIl6cos8
..
"
)-eo +
()"
+ ( re( ,)(,.'118 + 2 ¡' (p sen e + 2 rer e" cosa )e'f
Pl'llhlem<.l 1.1 9
Indicar el tipo de l111lVimien¡u que realiza un punto material si las componen tes cilínd ricas
del vectnr vdocidad son:
(1) v: =
u.
b) 1,,1' =0 Y las otras dos componentes son co nstantes.
e) v~ = () y las otras dos componentes son constantes .
Prll bl ~ m a 1. 20
Analizar un muvimiento unifun11t:, t:n coorde nadns esféricas, a lo largo de:
a) un pmildo.
b) un merid iano.
P ruhlCIll;J 1.21
El disc\l A gira con UJ "" {I'- (n / 3)rad/s.
Simult¡Íne,llllente d brazo anio..:ulado 08 se eleva
l;\1Il $ _( 2n / 3 )rad / s. En el instantt: t = O,
cp ::; () y <jl ::; (J. Ll esfera P Je:.liz;l ¡l In la rgo de
la varilla dt: tal fornltl qUe R :: .! + 8 I~ , donde R
Se mide en centilllctnls y I en :.;tgum.los.
a) Dclt::rminar la acelt:radón de P ( usa ndo
cll(lrdcnad:ls esféricas) cU<lndol ;: 1 1 2 s.
h) Oeterrnin,lr las componentes canesiamls de la
,lCc!er<lciún uc P.
~tl)
Fig.I-15
33
s
Capímfo 1
MECANICA
Rtu:
ii - - 2,66 C. - 35,4 ~o - 6,82 e~ ( cm l 52 )
....
...
,
á - - 24"11-21,9¡+15,4k(CIll I S" )
-
Prohlemn 1.22
Ohh:nc r 1<1 matriz de la transformación de cONdenadas ortogonales, que permita calcular los
\ \!clllrcS pos ición, velocidad y aceleracitÍn en coordenadas esféricas
¡¡
partir del
..;.IOllc i miento de d ichos veClores en coordenadns cilíndricas.
Pn¡b lemu 1.23
El rotor de un dispositivo de mezclado realiza un movimiento axia l periódico a lo largo del
eje z, siendo la ecuación horaria z:;;; A sen ( 2n f 1 ) mientras gira con velocidad angular (O
constan te.
Dc:terminar el nníximo valor del módulo del vec tor acelew(,.'i6n de un punto del ho rde de ese
ro lor si el rad io de l mismo es r ( distancia al eje de giro ). L1 frecue ncia f de la osci lación
vertical es constante.
Rt:.l :
0"'''''' _~ r 2 (J)-I
PI'ob le m3 1.24
+ 16 1t -l f-l A 2
J
Un mecanismo de fre nado ( como por eje:mplo,
un amortiguador ) consiste: en un pistón que:
puc:dc: desplaza rse dentro de un cilindro fijo l1t:no
de: at.:ei te.
Al moverse: d pistón, d liquido e:s forzado a pasa r
por unos orificios que tiene el piS ton,
dc:tt:rminando que éste: tenga una ace le:ración
contraria a la velocidad instan tánea y de módulo
proporcio nal ¡¡ ésta: i1--kii , donde k es una
conSlan le positiva. Si la \'clncidad inicia l del
pishín es V'I • dete rm inar:
Pistón
:-:
(1) la vdncidad en función deltiempn.
Fig.I -16
h) la dis tancia rc:corrida en función del tiempo.
e) la velocidad e:n funci\in de la posición.
d) Hacer los gníficús: 11 = v (1), x = x (1) y v = \1 (x). Inte rpre tar los resulta dos.
Rta:
F
lvIEc.AN1CA
Cil1enuíúea del pl/1Il0 mil/erial
Problema 1.25
/
CUlIndo gira la b,ma OA de la figura d perno P se
mueve: a In largo Llc la parúbola BCD. Sabie ndo
.. de Ia p<lra'bII Ia eS: r --:_::.2b=-4ut: la ccum':lon
1 +coscp
<r - k 1 Y b,k son constantes positivas, determ inar
las componentes polares de lus vectores velocidad
y nceleración cuando q¡ -o y cuando cr - n / 2 .
Rtu :
'p -O: v .bk iJ
•
Pmblemu 1.26
- bk'
Q---i!
2
'
,/
El vector posición de una partícula es: F-o coswll +asellwt
J +C1 2 k.
a) Demostrar que aunque 1::1 módu lo de la velocidad aumenta con el tiempo, el módulo de la
,lCderaciún eS constante.
b) Describir geométrictlmcntc el movimiento de la partlcula. Dibujar la trayectoria usando el
MATHEMATICA.
RIU :
h) hJlice circul3f de paso variable.
Pmhlema 1.27
Ul acdercH;ión de una partícula eS a ;::: ·kx donde x es la distanc ia al origen y k una constante
positiva. Encontrar el valor dt: k sabiendo que la velocidad es 37,5 cml s cuando x ;::: O Y O
cuandnx =7,5 cm.
Rta :
k = 251/s'.
Problema 1.28 ,1
L1S ecuacinnes horarias del mOVImIento de una partícula son: x =2 a col (00 ( I 2 )
Y = a Jel1 w (donde a y w son constantes positivas. Calcular: a) la ecuación de la trayectoria
; b) la ley del mnvimicntu Lle la ptlrlícula por la trayectoria: s ;::: s(t) conside rando que
.\(1 = O) ;::: (); c) llls ecuacioneS hora rias c:n coordl!nadas polares.
35
F
•
Capftu/o 1
MECÁNICA
RIO):
a) circunferencia de radio a y centro (. ,O). b) s(l) = '" a l.
,'j r = 2 a w.\ (00 t12) .. cp =w t / 2.
Prob lema 1.29
.1
2
L.1 aceleración de la gravedad para una pmtícula en caída hacia la Tierra es li __ g R f
,J
dnnde r es la distancia dcsd~ el ce ntro de la Tierra a la partícula, R el radio de la Tierra y g la
ace!emción de la gravc:dad t::n la su¡xrticic terrestre. Obtener una expresión para la velocidad
de esca pe ( velocidad mínima con que se ha de lanz.'lf una partícula verticalmente hacia
arriba desde la su perficie tem:stre para que no regrese a la Tierra) cons iderando v = O para
r_et:.,
Rta:
P.-oblema 1.30 /
a) Oc:moslnu que d radio de curvatura de la trayectoria de un proyectil (t iro oblicuo)
alcanza su valor mínimo en el punto más HitO de su trayectoria. b) Si a es el ángulo formado
por la tangente ti la traXt:c{(.1Fia en un puma y la horizontal , demostrar que el radio de
cu rvatura de la trayecttlria en ese punto eS: p=p....." leos] o.
PI'ub l ~rna 1.31
El perno B se des liz" libremente en la ranura recia
y a lo largo de la barra gira¡orin Oc. Si el perno B
gira en sc: ntido antihnra rio eDn veloeiuau linea l
consmnte liD , calculllf la velocidad angubr de la
barra OC y la compnnente radial de la velocidad
y
del perno B: al para $ = O Y b) para ~ = " I 2.
Considerar que a = 30 WI y R = 12,5 CIlI.
x
Rt3:
a)
é =0,0235 lIu.
vr= O.
IIr =-O,923 Vo·
b) 8 = 0,012 lIu.
Fig. 1-18
Pl'Ohlem<l 1.32
En el sistema biela-manivela de In tigur:I, las longitudes de la biela y de la manivela son
igu!1les (DA = AS = L). Obknef para el punto M situado a una distancia AM = b Y para
O<l'JI<n/2:
36
F
CimHl1fíticlI del pl/IIIO mll/erilll
MECÁNlCA
a) las ecuaciones horarias de su movimiento.
b) la ecuación cartesiana de:: Sll trayectoria,
e) las com¡xmentes c<lrtes ianas de los vectores
velocidad y ac;clc:rnción ; veriticar que se trata de
y
A
un mo",imiento central con pnJo en el origen.
d) las componentes intrínsecas de la aceleración.
. ..
e) el radio de: curvatu ra.
-,,"
Rla:
= (L+b) cos w t y = (L-h) sen ro l.
b) elipse de semiejes (L+ b) Y (L - b) Y centro en el
origen de coordenadas.
a) x
Fig.1-19
e) v--w(L+b).senwtl +w( L-b) coswt).
11 __ w 2 P.
d)lJ-
wJ2Lbsen2wI_
v
f+
2
oo J( L _b )
v
,
(L + b -2 Lbcos2w 1}2
2
1
ñ.
e) p-
2
(L'-b')
Problema 1.33 /
El punto P Se mueve por una línea helicoidal. Las ecuaciones horarias de movimiento de este
punto en ehistema de coordt" nadas ci líndrico son: p = a, <p = b 1 Y z = e t donde a, b y e
son const.1ntes posit ivas. Hallar:
a) In aceleración en coo rdenauas c ilíndricas.
b) las componentes intrínsecas ue la ace leració n.
c) d radio d~ curvatura de la línea helicoidal.
Rla :
Problema 1.34
L.1 al.-eleració n vertical de un cierto cohete de co mbustible sólido viene dada por
a;;k e· h ' - cv - g donde k, by l' son consta ntes positivas ; ves la velocidad instantánea y g la
aceleración de la gravedad qUt se supondrá constante d urante e l vuelo en la atmósfera (el
t¿rmino exponencial representa el decto del empuje decreciente a medida que se quema el
combus tible y el término - (.V cl1rresponde al frenado producido por la resistencia del aire).
Determinar la veloc idad en fUllcÍlln el liempo (Considerar que a t ;; O, x=O y V = OJ.
Rta:
37
r
MECÁNICA
Capítulo 1
Problema 1.35
Las t:cuaciúnes polares de movimiento de: un punto material son: r = ecos w t • q> ;:: W t
donde wes constante. Hallar:
a) la expresión polar de los vectores velocidad y aceleración.
b) las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración.
e) el radio de curvatura.
d) Demostrar que el movimiento es central.
Rta:
a) ¡¡ - -U) e (sellúJ l er - cOSúJ 1 e~) ; a- _200 2
C( cosw t e. + seliúJ te",).
b) v_wCT;i!_2w 1 Cñ.
e
e) po-o
2
Pl"Oblema 1.36
El movimiento de un punto material está descripto por: x = a sen k t y=a cos k 1 Y z=c 1,
donde a, k y e son constantes. Determinar la ecuación intrínseca s = s (1).
Rta:
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
Problema 1.37
Una partícula se mueVt! bajo la acción de la gravedad realizando una trayectoria paraból ica
( tiro oblicuo) entonces es verdadero que el radio de curvatura se hace mínimo cuando:
a) la coordenada y se anula.
b) nunca.
c) cuando se arroja la partícula formando un ángulo de n I 6 con la horizontal y con
Ji
veocl
I ·d ad v¡¡--mls.
2
d) la aceleración alc.:'1nza su máximo módulo.
e) la aceleración adopta el valor a=gñ.
Rta: e.
38
Cinemática del punto material
MECÁNICA
Problema 1.38
Si un punto mate rial se mueve a lo largo de una trayectoria curva con una velocicLld
constante en módu lo entonces, necesariamente:
a) el módu lo de su aceleración debe se r igual a cero.
b) la di recc ión de s u ace leración debe ser constante.
e) los vectores velocidad y ace leración deben se r perpendiculares.
d) la cu rva debe ser una línea recIa.
e) la curva debe ser una circu nfe rencia.
Rta: c.
Problema 1.39
Suponga el movimiento de un punto en una trayectoria plana. Entonces es verdadero que:
a) la componente transversa l del vector aceleración coinc ide con la componente tangencial.
b) la componente radia l de l vector aceleración coi ncide co n la co mpo nente normal.
c) si las componentes tra nsve rsal y rad ia l del vector aceleración son no nulas e iguales en
todo instante, entonces las rect,IS que contienen a los vectores velocidad y aceleración
forman un ¡íngulo de 11 / 4.
d) si las componentes tangencial y normal del vector aceleración son no nulas e iguales en
todo instante, entonces las rectas que contienen a los vectores velocidad y aceleración
forman un ángulo de 1( /4.
e) ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Rta : d.
Pmblem a 1.40
Un punto Se mueve ¡XX una hélice circular recta de paso constante ( movim iento uniforme).
Tarda un tiempo T en completar un gi ro en torno del eje de la hélice y en ese liempo avanza
una distancia d, medida segú n ese eje. El radio de la hélice es a.
1) la componente radial de la aceleración es: _ 4 a~] .
T11 ) la componente tangencial de la aceleración es: 2a,1\. .
T·
IV) el radio de curvatura de la trayectoria es a.
,
V) la aceleración normal es: ~.
d T'
Ind icar de los sigu ientes conjuntos, el que contenga la totalidad de enunciados correctos.
al( I . 111 , IV j. b)( I .111 j. ej ( 11 . 11 1 j. d)( 11 , 111 , V j . ej ( 11 , IV. V).
39
Capillllo 1
MECÁNICA
Rta: b.
P I'oblemn 1.41
Una partícula describe un movimiento sobre una hél ice circu lar de paso constante, Si
T,E y ñ son los versores de la base intrínseca y ep ,e'l' y k los versores de la base cilíndrica,
entonces:
a) los versores ¡¡ y b coinciden.
b) ninguno dí:: los versnres coincide.
e.,. y ¡; cnincidí::n.
d) k)5 versores r y el¡' coinciden.
c) los versores
e) Ills versores ií y er coinciden.
Rta : b.
i
I'.
40
DINAMICA DE LA PARTICULA
2.1. INTRODUCCIÓN
43
2.2. PRINCIPIOS DE NEWTON
2.2. 1 Comentarios sobre los principios de Newton
44
44
2.3. FORM Ul.ACION DE MACH
4;
2.4. ECUACIO N DE MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA
2.4.1 Fuerza depe ndiente del tiempo
2.4.2 Fue rza dependiente de la velocidad
47
2.4.3 Fuerza dependien te de la posición
48
49
51
2.5. FUERZAS DE VINCULO
54
2.6. R ESOL UC IO N NU MERICA DE LAS ECUACIONES DE
MO VIMI ENTO
2.6.1 Método de Euler
2.6.2 Utilitarios ma temá ticos
58
60
2.7. METO DO LOGIA DE RESOLUCION DE PROBLEMAS
DE DINAMI CA
63
2.8. RESUMEN
63
2.9. PROBLEMAS PROPUESTOS
65
57
41
MECANJCA
Dillámico de lo partícula
CAPITULO 2
DINAMICA DE LA PARTICULA
2.1. INTRODUCCIÓN.
E
l objetivo de la mecánica es lograr una descripcion precisa del estado dinámico de UD
sistema de partículas. Descubrir las leyes que rigen la evolución de los sistemas, es el
principal fin de la dilldmica. En el caso de una partícu la, o de una colección de partículas, es
necesario establecer las relaciones causa-efecto, que permitan una posterior descripción del
movimiento, a partir de las acciones que modifiquen su estado.
En este capítulo vamos a tratar la Dinámica de la partícula O pUDto material. Como ya
fue establecido en el capítulo 1, una partícula o pUDIO material es el modelo de un cuerpo
cuyas dimensiones son despreciables frente a las dimensiones características en las distancias
recorridas por él.
El estudio de la dinámica comprende la descripción del movimiento de las partículas
teniendo en cuenta las causas que lo producen o modifican, a d iferencia de la cinemática,
para la cual no importan dichas causas.
Como se dijo en el capítulo 1, en el estudio cinemática del movimien to de una partícula,
no se impone ninguna restricción sobre el tipo de sistema de referencia utilizado. Pero aquí
veremos que el análisis dinámico requiere que el sistema de referencia cumpla una condición
importante para poder aplicar los principios fundamentales de la dinámica. Tal condición es
que deben ser sistemas de refere/lcia iJ/erciales.
43
f
Capillllo 2
MECANICA
Los estudios de la dinámic1 de la partícula fueron por Sir Isaac Newton en 1687, quien
enunció los tres principios fundameniales de la mecánica, conocidos como los Principios de
Neu;loll.
2.2. PRINCIPIOS DE NEWTON
Tambi en designados Principios de la Dinámica o Principios de la Afecánica Clásica.
Los tal como lo hizo Sir Isaac Newton (1642-1 727) en su Principia, 1687.
Primer principio (Principio de inen~ia) : Toda panícula permanece en reposo o bien
en mOllimienlO rectilíneo y I/lliforme, a mellos que lIl/a fue rza actúe sobre ella.
Segundo principio (Principio de masa): La I'e/oeidad de variación de la camidad de
movimiento de una panícula es directamente proporcional a la fuerza que actLÍa sobre ella.
Tercer principio (Principio de Acción y reacción): Cual/do dos partículas
illleractúall, las fuerzas que se ejercen en[re sí SOIl de igual módulo y direcciólI pero de
selllido cOllfrario.
2.2.1. Comental·íos sobre Jos pl"incipios de Newton.
Al enunciar estos principios, es frecueme pe rder de. vista el alcance que ellos tienen.
En efeclO, del enunciado del primer principio podría pensarse que se trata de una
consecuencia del segundo para el caso de fuerL1. nula, ya que bajo esta condición la panícula
podría describir un movimiento rectilíneo y uniforme o bien permanecer en reposo, según
sean sus condiciones iniciales.
De todos modos, dicho pr.incipio debe ser interpretado en forma más profunda.
Cuando se describe el movim iento de una partícula, un elemento indispensable resulta el
sistema de referencia respecto del cual se estudia dicho mo\' imiento. El tal sistema es
necesario referir todas las magnitudes cinemálicas de la panícula. Newton determinó la
imponancia de elegir un sistema de referencia, respecto del cual es posible medir los
desplaL1mientos de una partícula.
Por lo tanto, el prime r principio lo que realmente establece, es la existencia de un
sistema de referencia tal que si una partícula está libre de la acción de fuerZc1s, esta se
moverá en una trayectoria rectilínea a velocidad constante. Tal sistema de referencia se
denomina inercial y en él, Newton establec ió la validez de sus principios. Entonces, lo que
el primer pri ncipio establece es la existencia de un sistema de referencia llamado inercial, en
el cua l son válidos los principios de Newton.
El segundo principio, es quien establece la relación causa-efecto en el c!itudio del
movimiento de una partícula. Según dicho principio, la acción que modifica el estado
dinámico en el movimiento de un cuerpo es la fuefLl neta ¡ que actúa sobre él,
produciéndole una acele ración a proporcional a dicha fuerza. La expres ión matemática del
segundo principio puede escribirse
¡-ma
44
[2.1]
Dinómica de la partfcllla
MECANICA
siendo la constante de proporcionalidad m característica de la partícula y a la cual se la
denomina masa inercial.
La ecuación [2.1] constituye la ecuación fundamental del movimiento y es la relación
que brinda una descripción cuantitativa del estado dinámico correspondiente a una partícula.
De las tres magnitudes que figuran en [2.1], solamente una de ellas está definida en
forma precisa: la aceleración a. Mientras que de la fuerza, solamente podemos tener una
idea intuitiva, asociándola a la acción dinámica ejercida sobre la partícula. Por lo tanto, si se
.tuviese una definición clara de masa inercial, el segundo principio constituiría la definición de
fuerza.
Independientemente de las inconsistencias que presenta el segundo principio, este
constituye el punto de partida fundamental para el estudio del movimiento de partículas. El
movimiento de los planetas de l sistema solar resulta el mejor ejemplo del éxito en la
aplicación de los principios de la dinámica, junto con la ley de Gravitación Universal
también obtenida por Isaac Newton. Dicho éxito se vio coronado en 1846 cuando el
astrÓnomo francés Urbain J. Le Verrier junto con el astrónomo inglés John C. Adams,
estudiando las irregularidades de la órbita de Urano, descubrió el planeta Neptuno.
2.3. FORMUlACION DE MACH
Las críticas realizadas a los principios de Newton promovieron a que en 1883, el
físico Ernst Mach revisara los conceptos fundamentales de la mecánica. Para comprender la
falla que presentan los enunciados de los principios de Newton, podríamos hacemos la
siguiente pregunta: ¿Cómo es posible saber si dos cuerpos poseen la misma masa? Para ello
se podría decir: se los somete a ambos a una misma fuerza y se ve si tienen igual aceleración.
Pero, resulta imposible determinar si los cuerpos se encuentran baj o la acción de una misma
.fuerza.
Esta falla en los principios de Newton fueron salvadas por Mach, quien enuncio
postulados para rever la dinámica de la panícula.
Postulado I.
Cuando dos part(culas constituyen Ufl sistema aislado, las aceleraciones de
ambas part(culas tienen la misma direccióll de la recta que las ulle". sentidos
opuestos y la relación entre los módulos de las aceleraciones permanece
constante, en todo instante.
En virtud a el Postulado 1, SI al y a2 son los vectores aceleraci6n de las dos
partículas que constituyen un sistema aislado, se tiene
a,
--111
a,
21
[2.2]
donde m21 es la constante de proporcionalidad entre los módulos de las aceleraciones de las
partículas y a la que se la llama masa inercial de la parl(cu!a 2 respecto de la partícula 1.
45
r
if
Capímlo 2
MECANlCA
Postu lado 1I.
Los módulos de las aceleraciones de dos part{culas que constituyen fUI sistema
aislado, son inversamente proporciona/es a las masas inerciales de die/laS
partfculas respecto de una tercera.
Tomando dos partículas, a las cua les se las indican con los números 2 y 3 cuyas
masas inerciales respecto de la partícula 1 son 11121 y m31 respectivamente, resulta
a,
a,
- - m21J
a,
--m31
a,
[2.3]
de modo que si se adopta a la partícula 1 como patrón de masa inercial, asignándole el valor
unitario se puede suprimi r el subíndice 1 en [2.2] resultando
a,
--m,
a,
[2.4]
y de esta expresión se designa a la masa inercial de la partícula 2, la cual es una constante
que solo dependerá de la partícula elegida como patrón.
Entonces, de las expresiones [2.3] que designa el Postulado 2, se tiene que la
relación entre las masas inerciales de las partículas 2 y 3 cumple
de donde se tiene
[2.5]
o escrita vectorialmente
[2.6]
Esta expresión pennite definir un ente que mide la interacción entre las partículas,
de fama que se define fuerza F al producto
¡ -1/1 ii
[2.7]
siendo esta la expresión matemática del segundo principio de Newton y por lo tanto la
ecuación de movimiento de la partícula de masa m.
Entonces, para el caso de un sistema aislado de dos partículas que interactúan, de la
ecuación [2.6] y habiendo definido la fuerza mediante la expresión [2.7], se tiene que
[2.8]
la cual es la expresión matemática del tercer principio de Newton.
46
po
Dindmica de fa parlfcflla
MECANICA
2.4. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA.
El segundo principio de la dinámica es quien provee la descripción cuantitat iva del
movimiento de una partícula, según la fórmula
F-ma
[2.9]
donde m es la masa inercial de la partícula y F la fuerza neta actuante sobre la partícula.
Teniendo en cuenta la definición del vector aceleración: a - ;-. la ecuación [2.9]
constituye una ecuación diferencial de segundo orden, cuya incógnita es el vector posición
,(t) de la partícula. Por tralarse de una ecuación diferencial vectorial de segundo orden
en el vector pos ición, ésta se podrá integrar si se conocen las condiciones iniciales, es decir,
r ..
los vectores posición y velocidad
ro - r\to) y Vo -1(to) en un instante to arbitrario.
Además, es necesario el conocimiento de la dependencia de la fuerza neta F actuante con
las distintas va riables dinámicas del problema.
Si se escribe la ecuación [2.9] en sus componentes, se tendrán la ecuaciones de
movimiento de la partícula. Para ello, es necesario haber elegido previamente una terna
apropiada a la cua l referir todas las magnitudes vectoriales involucradas. Para la elección de
dicha terna, deberá tenerse en cuenta la geometría del problema y es importante destacar que
la forma que adopten las ecuaciones de movimiento dependerá de dicha elección.
En efecto, si se utiliza una terna cartesiana, las ecuaciones de movimiento adoptan la
forma
mx-Fx
mY-Fy
mz-Fz
[2.10]
donde FJO Fy YF z son las componentes cartesianas de la fuerza neta.
Si F" Fe y F: son las componentes de la fuerza escrita en una lema cilíndrica, las
ecuaciones de movimiento adoptan la forma
m(¡:-re' 2}-Fr
m(2f6' -df}-Fe
[2.11]
mz-Fz
Las fuerzas que actúan sobre una partícu la pueden clasificarse como: fuerzas activas
y fuerzas de vinculo.
Las primeras pueden depender explícitamente del tiempo, la posición y la velocidad.
Mientras que las fuerzas de vínculo son aquellas que surgen por el hecho de que el
movimiento de la partícula se encuentre restringido por limitaciones geométricas del
problema a las que se las denominan vinculos. Ejemplos típicos de vínculos son: superficies
por donde puede moverse la partícula, hilos inextensibles que limitan el movimiento o bien
cuando la panícula está obligada a moverse a lo largo de una curva preestablecida. Resulta
47
Capítulo 2
MECANlCA
evidente que en e l caso de l movimiento de una partícula sobre una superficie y bajo la acción
del peso, s i dicha superficie no estuviera, la trayectoria de la partícula sería una recta vertical
o bien una parábola. En el caso de una partícu la vinculada con un hilo inextensible, si dicho
hilo no se encontrase, la partícula no podría describir una trayectoria circular.
Aceptamos a modo de postulado, que todo vínculo puede ser reemplazado en su
efecto dinámico por una fuerza que llamaremos reacción de vínculo. Para ejemplificar,
considere mos el caso de un cuerpo que puede moverse sobre un plano inclinado liso. Dicho
plano restringe el movimiento de la panícula, alterando así su estado dinámico. Por lo tanto,
la acción de l pla no inclinado puede ser representada med iante una fue rza, la cual reemplaza
la condición geométrica que impone el plano inclinado. Esta fuerza de vínculo, O reacción
del plano, deberá se r perpendicular al plano ya que este se supone liso, pero su intensidad
resulta desconocida has ta que no se integren las ecuaciones de mov imiento de la partícula.
Las fuerzas de vínculo resultan ser s iempre incógnitas del problema dinámico y
deben ser geométricamente compatibles con el vínculo al que está sometido la partícula.
Esto se discutirá más adelante con mayor detalle en la sección 2.5.
Se considerará en primer lugar la acc ión de fuerzas activas. Es decir aquellas fuerzas
que tengan dependencia func ional de la forma ¡ .. ¡((,f,v) y que el movimiento de la
partícula no se encuentre restringido por ningún tipo de vínculo.
2.4.1. Fuerza dependiente d el tiempo
Veamos primeramente el caso en que la fuerza neta depende solamente en forma
explícita del tiempo: ¡ - ¡(l). La ecuac ión de movimiento para la partícula de masa m es
en este caso
dii
m-
dr
_()
-FI
[2.12J
la cual puede integrarse inmedialamente si se conoce el vector velocidad inicial v{ro)
[2.13J
"
obteniéndose así la velocidad de la partícula en todo instante.
Integrando nuevamente se obtiene el vector pos ición r(t) conocida la pos ición inicia l
[2.14J
48
..
Dinámica de la parrlcula
MECANlCA
Problema 2.1
Un electrón puede moverse en una región del espacio donde existe un campo
eléctrico oscilante en forma armónica
E(t} - Ea se"", I
donde Eo es un vector constante que representa la amplitud de oscilación del campo
eléctrico y w es su pulsación. Se desea hallar la velocidad y la coordenada de posición del
electrón en función delliempo.
Resolución:
Si la masa del electrón es In y su carga eléctrica es -c, entonces la ecuación de
movimiento para el electrón resulta
dli
_
[2.15]
m dt --eEOsellwt
Tomando el sistema de coordenadas tal que
_()
VI
d x(t) _
di
---1
y considerando las siguientes condiciones iniciales: x(O) = O Y v(O) = 0, integrando se tiene
que la velocidad del electrón es
[2.16]
La coordenada de ¡:Klsición del electrón en función del tiempo se obtiene integrando
nuevamente, resultando
.l{t) _ e EOl (sen w 1 - w t)
mw
[2.17]
2.4.2. Fuerza dependiente de la velocidad.
Cuando una partícula se mueve en cieno medio fluido -como el aire- este ejerce
sobre ella una fuerza resistente viscosa. Dichas fuerzas de roce viscoso dependen de la
velocidad de la partícula relativa al fluido circundante. La dependencia funcional de la fuerza
viscosa con la velocidad: F(v) resulta en general muy complicada, pero frecuentemente
suele modelarse dicha acción suponiendo que la fuerza es directamente proporcional a
alguna potencia de la ve locidad
49
•
Capítulo 2
MECANlCA
n v
F e -k V -
[2.18]
V
donde k es una constante de proporcionalidad positiva que depende de las características
del medio.
Para el caso de bajas velocidades (comparadas con la velocidad del sonido en ese
medio), una buena aproximación resulta suponer al módulo de la fuerza resistente
proporcional a la primera potencia de la velocidad: F = k v. A este modelo se lo denomina
ley de resistencia de Stokes y la constante resulta k = 6 n 11 r, siendo 11 el coeficiente de
viscosidad dinámico del medio y r una dimensión lineal caracteríStica del cuerpo en
movimiento.
En el caso de mayores velocidades, un buen modelo es la llamada ley de resistencia
de Newton, en la cual se supone a la fuerza resistente proporcional al cuadrado de la
velocidad instantánea.
La principal ventaja que pre~enta el modelo de ley de potencias para la fuerza viscosa
que actúa sobre una partícula, es que la ecuación de movimiento resulta integrable.
Modelos más realistas en los cuales la dependencia con la velocidad resulte más
complicada conduciría a integrar las ecuaciones de movimiento en forma aproximada.
Pro blema 2.2
Caída en un medio resislellfe.
Una partícula cae en el aire sometida a la acción de la fuerza gravitatoria, la cual se la
supondrá constante si se asume que el movimiento se desarrolla en las proximidades de la
superficie terrestre. Además, el aire ejerce sobre la partícula una fuerza viscosa la cual será
modelada como proporcional a la primera potencia de la velocidad.
Resolución:
x
Ubicando el sistema de coordenadas tal que
el origen SI! encuentre sobre la superficie terrestre y
con el eje x dirigido en sentido contrario al de la
aceleración de la gravedad, como lo muestra la
figura 2.1, la fuerza peso y la fu~rza viscosa
referidas
a dicha terna se escriben
respectivamente:
m g - -111 g i y ¡VIS - -k vi,
donde k es la constante de proporcionalidad entre la
fuerza de roce y la velocidad.
La ecuación de movimiento que se obtiene
para la partícula es
dv
o
Flg.2-1
I
m-=-mgTkv
dI
1
L
[2.19]
Si la partícula inicia su movimiento desde el estado de reposo v(O)=O, integrando
50
MECANlCA
Dinámica de la partícula
f" d;
--t
O g+- v'
In
se tiene
k
---t
m
resultando la velocidad de la partícula
__ 111 g
v(t} - T
--1
(
k -1
e m
1
[2.20]
Integrando nuevamente para obtener la posición instantánea, si x(O) = h, se encuentra
111 g m
-::-/
x( r) - h-T k e m
k -1 f t
[
(
11
[2.21]
Resulta interesante el comportamiento de la velocidad para tiernfXJs grandes. En
efecto, el sistema dinámico se encuentra caracterizado por ciertos parámetros como la
aceleración local de la gravedad g, la masa m de la partícula y el coeficiente viscoso k. Ellos
establecen una escala típica de tiempo en la que evoluciona el sistema. Dicha escala fija a un
tiempo T.=m/k tal que para t » T. la panícula se mueve con velocidad constante -m gl k.
A dicha velocidad se la denomina velocidad límite: VL=mg/k y lo más interesante de ella es
que no depende de las condiciones iniciales, sino de los parámetros del sistema.
Puede verse también, que para tiempos que cumplen la condición t »1: la partícula
se mueve uniformemente según la ley
2.4.3. Fuerza dependiente de la posición
En muchas situaciones físicas, las fuerzas actuantes sobre partículas dependen de la
posición. Este es el caso de la fuerza gravitatoria, fuerza elástica, fuerzas electrostáticas
sobre cargas debidas a campos eléctricos estacionarios, ele. Inclusive algunas interacciones
cuyo estudio preciso requerirían de la mecdllica cuántica, pueden ser tratados ·eQ primera
aproximación· según la mecánica clásica. Tal es el caso de la dinámica de grandes cadenas
51
r
Capíwlo 2
MECANlCA
moleculares como las proteínas, donde las interacciones entre los iones es de carácter
cou lombiano.
Para el caso de una fuerza dependiente de la posición F - f(¡), siendo r(t) el vector
posición de la partícula en el instante 1, el valor de la fuerza se desconoce, ya que no son
conocidas a priori las componentes del vector posición. De todos modos, si se tiene el
mode lo de la fuerza, es decir la ley que estab lece la forma funciona l de F con ¡, se plantea
la ecuación de movimiento pa ra la partícula mediante el segundo principio de Newton.
P ro blema 2.3
Fuerza e/dstica.
Consideremos el caso de una partícula de masa m
que puede moverse sobre el eje x y que sobre ella actúa
una fuerza que en todo instante está dirigida al origen de
coordenadas y cuyo módulo es directamente
proporcional a la coordenada de la partícula (figura 2.2),
-
.
, .,
o
m
lO
¡
x
•
[2.22J
F - -k Xl
donde la constante k es ¡x>sitiva. A dicho modelo de
F ig . 2~2
fuerza se lo denomina Ley de Hook y sirve para describir
a las acciones de cam¡x>s elásticos en las proximidades del centro de atracción.
Resolución:
La ecuación de movimiento resulta en este caso
m X T .. -k x r
la cua l, introduciendo el facto r 000 2 =klm, puede escribirse
,
O
x+wóx-
[2.23J
Po r tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden lineal, homogénea y a
coeficientes co nstantes, resulta fáci l integrarla siguiendo los procedimien tos clásicos que se
exponen en los cursos de cálculo difer~ncial e integral. De todos modos , seguiremos aquí
una secuencia de integración que nOS permita extraer una conclusión más profunda sobre la
naturaleza del sistema dinámico que se está estudiando.
Pa ra empeza r, consideremos que la velocidad depende del tiem¡x> a través de la
posición. De esta manera podemos expresar la der ivada segunda de la coordenada mediante
la regla de derivación de las funciones compuestas
di
di
- . - . - x.
x
dI d x
52
po
Dinámica de f(/ partíclIhl
MECANlCA
entonces la ecuación de movimiento resulta:
di
idx
--00; x
la cual es inmediatamente integrable
f Xdx--wfi f XdX+C
[2.24]
donde el valor de la CQnstante de integración e se detenn ina a pa rtir de las condiciones
iniciales.
De esta forma se obtiene la siguiente relación entre la coordenada y la ve locidad
1 ,
1
~
-x-+-w·x
2
2 o
,
-c
[2.25]
de modo que si las condiciones iniciales son tales que cuando la coo rdenada de la panícula
es Xo. la velocidad es :Jo. la constante de integración (la cual, a menos de un factor igua l a la
masa m, es la energía mecán ica de la partícula, como se verá en el capítulo 3), result2.:
De la relación [2.25] se obtiene:
"x
-dx.,¡
- ± 2C-w ó
d.
El doble signo en la expresión de la velocidad indica que cuando la partícula pasa por
la coordenada x, el módulo de la velocidad es el mismo, moviéndose en uno u otro sentido
sobre el eje x. Por lo tanto, es posible obtener la posición integrando nuevamente
f'.
Definiendo A2 =2C I w~
I
dx'
~ 2C _W~ X,2
r:-::;;';;"";'''":';' .. 1 - 1
o
se tiene:
f
dx'
,
,-w, (.-t,)
~ A- -x'-
53
Capftufo2
\lLCANTCA
e iJllroducil!ndo la constante o.=arc sen(X(:/A) se obtiene la ley de movimiento de la partícula
[2.26]
la cual representa un movimiento oscilatorio armónico, cuyo detalle será estudiado en el
C<1pítulo 6.
Resulta de sumo interés analizar brevemen te la relación [2.25], la cual ofrece una
descripción geomét rica de la dinámica de este sistema al que se lo denomina oscilador lineal
libre. En efecto, reescribiendo la ecuación mencionada bajo la forma
•
X
[2.27]
- !------;o<+-- - - --l-·x se tiene que el lugar geométrico de los
puntos determ inados JX>r la coordenada
X(l) y la velocidad i{t) del osc ilador es
una elipse en el espac io (x,i), al cual se lo
denomina espacio fdsico. Por lo tanlo, la
evolución de l oscilador puede ser tratada
como la trayectoria de un punto P(x,i")
4ul! se desplaü1 en el espació fásico, como se ve en la figura 2.3. determinando una fa milia
JI! trayectorias de fase dependientes del valor de la constante e, cuyas ecuaciones
para métricas son
Fig.2-3
X(I). Asell[w, (1 -1,)+ c<]
[2. 28]
.«1). w, ACOS[W, (I-I,)+c<]
y constituyen un conjunto de elipses recorridas en el sentido horario, donde cada elipse de la
fa milia queda determinada por el valor de la constante e (y por lo tanto de la energía
mecánica de la partícula).
2.5. FUERZAS DE VíNCULO.
Hasta ahora vimos distin los casos en qLle el movimiento de la partícula no se hallaba
somclido a ninguna restricción.
Como se comentó en la sección 2.4, existen muchas situaciones donde la partícula
dl!be moversl! sobre una superficie preestablecida o bien, a lo largo de una curva
prl!viamente determinada. Dichas condiciones limitan el movimiento de la partícula,
resl rigiéndolo y. po r lo tanto, afectando su evolución dinámica. A estas restricciones de
carácter geométrico se las denominan vim:ulos y es necesario tenerlas en cuenta al plantear
las ecuaciones de movimiento. Por ejemplo, si una partícula eS lá obl igada a movl!rse sobre
-
-~ -------------------------------
Dinámica de la partícula
MECANICA
una superficie, o una una curva, el estado dinámico de la partícula se encuentra afectado por
la presencia de dicho vínculo. De esta manera, la restricción en el movimiento de la
partícula, generada por la superficie -o la curva- altera el movimiento como si fuese una
fuerza. Esta fuerza, representativa del vínculo, estará aplicada sobre la partícula y tanto
dirección como sent ido, están dados por la geometría que impone el vínculo. Si no hay
rozamiento, la fuerza que la superficie, o la curva, produce sobre la partícula será normal a
dicha superficie o curva, ya que esta es la única dirección compatible con la geometría que el
vínculo establece.
La fonna operativa de introducir la acción de los vínculos en las ecuaciones de
movimiento de una partícula es la siguiente: se modela la acción del vínculo mediante una
fu~, geométricamente compatible con la res tricción que este impone y a dicha
fuerza se la incluye en' las ecuaciones de movimiento.
A las fuerzas que reemplazan las acciones de los vínculos se las denominan fuerzas
de vínculo o reacciones de vínculo, Estas fuerzas, junto con las coordenada de la partícula,
constituyen una incógnita más al problema dinámico. En efecto, las fuerzas de vínculo en
general serán funciones desconocidas de la posición de la partícula y por lo tanto, sus
valores resultarán desconocidos hasta que las ecuaciones de movimiento no sean integradas.
Problema 2.4
Movimiento de una partícula sobre Uf/a superficie.
Sea el caso de una partíc\:lla que se encuentra obligada a moverse en todo instante
sobre una superficie lisa de ecuación 1p(x,y,z)=O y sometida a la acción de la gravedad
(figura 2.4).
Se desea obtener las ecuaciones de movimiento de la part ícula,
Resolución:
Como la superficie es lisa, el vinculo que ella
constituye da lugar a la "acción de una fuerza que, en
todo instante, resulta perpendicular a dicha
superficie en el punto donde se encuentre la
partícula. Tal fuerza puede escribirse como
W - 'A V'P. donde f.. es una función desconocida del
tiempo. Entonces la ecuacion de movimiento de la
partícula resulta
mt-mg+'AV1p
[2.29]
o
.. i!
y
x
la que es un sistema de tres ecuaciones diferenciales
:Fig.2-4
de segundo orden con cuatro funciones incógnitas:
x(t), y(t) , z(t) y A«).
La cuarta ecuación que cierra el sistema, es la relación entre las coordenadas de la
partícula que satisface la ecuación de la superficie, resultando en coordenadas cartesianas
55
CapItulo 2
MECANlCA
mi(I) .A 0lJ'
ox
,0lJ'
my.. ()
t -,..
--
ay
0lJ'
mz(t}. ), -
oz
lJ'(x,y,z) . o
[2.30]
- mg
Por lo tant o, in legrando el sistema de ecuaciones diferenciales [2.30] , se obtienen las
coordenadas de la partícula. Además, como se ha obtenido el multiplicador f.. como función
del tiempo, se pueden determinar las componentes de las reacciones de vínculo.
Problema 2.5
Una partícula puede moverse por la superficie exterior de un cilindro liso de radi o a,
bajo la acción de la fuerza peso como lo muestra la figura 2.5. Se quiere determinar el punto
en el que la partícula se des prende de la superfic ie.
ji'
ReJo!ucióll:
Para plantear la ecuación de movimiento de
la partícula, se uliliL1rán las coordenadas cilindricas,
ya que éstas son las más apropiadas debido a la
g~ome lría del problema. Entonces, si se mide la
posición de la partícula sobre el cilindro mediante el
cíngulo 8, se tiene que las expresiones del peso m g
y de la fuerza de reacción \V que la superficie ejerce
sobre la partícula so n
o'''--".-+--x
Fig.2-5
m g .. -111 g cose r + m g selle e¡V . Wi'
[2.31]
Por In tanto, las ecuaciones de movim iento resultan:
(f - r s·2) .. W - 111 g cose
m(re· +2¡'S·)-mgsen8
ni
lIIi""O
56
[2.32]
Dinámica d~ fa partlcula
MECANlCA
De la ecuación z - O, se tiene para el caso de condiciones iniciales z(O) _ o. i{O) _ O
que la coordenada z permanece constante e igual a cero en todo el movimiento.
Además, la condición de vínculo que restringe al movimiento de la partícula es que
para todo instante, la coordenada radial cumple: r(t)=a. En efecto, no se debe olvidar que la
ecuación de la su~rficie del cilindro es r-a;O. Teniendo en ,cuenta lo dicho, las ecuaciones
de movimiento se reducen a
-maS· 2 -W-mgcos8
maS-mgseoS
[2.33J
A partir de la segunda ecuación y suponiendo que S· es función de la coordenada
angular e. es posible escribir
. dé g
S-.-sen8
dS a
donde si se supone que la partícula se la aparta suavemente de la ¡x:>sición e = o con
velocidad angular nula, integrando se tiene
g (l-cosS )
S·2 -2-
a
[2.34J
Si se reemplaza esta expresión en la ecuación de movimiento que involucra al
módulo de la reacción de vínculo W, se obtiene el valor de la fuerza que ejerce la superficie
sobre la partícula en función de 9
w(e)-mg(3COSe -2)
[2.35J
Mientras la partícula permanezca en contacto con la superficie, la reacción de
vínculo será no nula. Para cuando se halla alcanzado la posición 90 en que la masa se
desprenda, la fuerza W se anulará, cumpliéndose que 3 cos 80 • 2 = O.
Por lo tanlo,la posición de desprendimiento es
S, =are eos(2/3)
2.6. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Con frecuencia, las ecuaciones de movimiento que describen la evolución de ciertos
sistemas no pueden ser resueltas en forma cerrada. Es decir, que las soluciones no pueden
ser expresadas mediante funciones trascendentes conocidas. En muchos casos, la geometría,
las dependencias funcionales de las fuerzas involucradas conducen a ecuaciones de
movimiento cuyas integrales no pueden ser expresadas en forma analítica. Un ejemplo de
57
a
MECANTCA
Capículo 1
dicho ti po de s istema es el caso de l pénd ulo idea l (ve r problema 2. 13), donde la coordenada
de pos ición angu lar 8(/). respecto de la posición de equilibrio satisface la ecuación
diferencial
- g
6 +-sen6 =0
I
s iendo g la ace leración de la gravedad y / la longitud de l péndulo. Esta ecuación es una
ecuación diferencia l no linea l y la obtención de la función 8(1), que es solución, mediante
métooos ana lít icos, a parti r de va lores iniciales, resu lta imposible.
Esta lim itación co nd ujo a desarrollar distintos métodos de aproximación a las
soluciones de ecuaciones o sistemas de ecuaciones diferenciales. Dichos métodos son de
carácter es trictamente numéricos y solo permiten la obtención de valores aproximados de la
solución para ciertos valores de la variable independiente.
Existe una gran variedad de métodos numé ricos para la resolución de ecuaciones
diferenciales con va lores iniciales. Entre los más simples podemos citar el método de Eu/e/'.
2.6.1. M étod o de Euler
Es el método de integración numérico más elemental, pero el que mejor evidencia el
concepto de evolución dinámica de un sistema. En efecto, la dinámica de Newton propone la
idea de que si en cierto instante lO se conoce el vector posición ¡(lO) y el vector velocidad
qlo) de una partícu la, como así también la fuerza que sobre ella actúa, es posible conocer la
aceleración: De ese modo, para un instante muy próximo se conocerá con suficiente
precis ión la nueva ve locidad y la nueva posición.
En base a esta idea, consideremos que se desea obtener una solución de la s iguiente
ecuación diferencia l vectorial con valores iniciales
d Ji
_
dt - ¡(I,X), .«0) -;0
[2.36]
donde i ... i{t)es un vector en 1Rn y les un campo vectorial continuo en IRn.
Recordando la definición de derivada
dJi{t)
.
x(l+iI)-x(t}
dI
11-0
J¡
- - . . , Itm
...
x(l+iI)-x(t}
()
+0 J¡
"
donde 0(11)-0 conforme 11-0.
S i " es lo suficientemente pequeño. es posible despreciar 0(11), resultando una
aproximación p.l ra la derivada
d r(t}
.«1 + Ii) - ¡(t)
dJ
J¡
--58
[2.37]
r
Din6m;cQ de la particula
l
MECANICA
la que reemplazada en la ecuación diferencial [2.36] da lugar a la aproximación.
[2.38]
Por lo tanto, es posible obtener una aproximación de la función vectorial x(t + h)en
un instante posterior, conociendo el valor de dicha función en el instante t.
Esto nos permite generar el siguieote algoritmo de aproximación a la solución de la
ecuación diferencial
[2.39]
donde resulta conocido el valor inicial de la solución
x, y 1" =
}J
11, De esta manera se
obtienen aproximaciones i 1 ,i2 ti 3 ".,a los valores x{t I ). ;(/2)' x(13 ), ...• respectivamente.
Si se elige el illlervalo de integración h suficientemente pequeño se obtienen mejores
aproximaciones de la solución, pero dicha elección está comprometida con la longitud del
intervalo total de integración. En efecto, para asegurar una mayor precisión puede ocurrir
que sean necesarios muchos pasos de integración para tener suficiente información acerca de
la evolución total del sistema,
Para ilustrar el uso del método de Euler, consideremos a una partícula de masa ni
que puede moverse sobre el eje x, sometida a una fuerza F(l,X) que depende del tiempo y la
coordenada de posición de la partícula y dirigida en la dirección del eje x. La ecuación de
movimiento, junto a las condiciones iniciales, es:
In i
- F(t,x),
>{ol - x o' ;«ol - V o
Como ésta es una ecuación de segundo orden, es posible llevarla a la forma de un
sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, De esta manera quedaría escrita
bajo la forma [2.36]. Para ello se realiza el cambio de variables
y así, la ecuac ión de movimiento presenta la forma
donde las condiciones iniciales son Xl (O)=xo y Xl (O)=vo, Entonces, eligiendo un paso de
integración h, el algoritmo del método de Euler aplicado a este caso resulta:
59
Caplru[o2
MECANlCA
2.6.2. Utililitarios matemáticos
Los algoritmos de integración numérica como el método de Euler, son fáciles de
programar en cualq uier lenguaje convenciona l como e, FORTRAN, BASIC o Pascal. De
lodos modos, existe un importante número de paquetes utilitarios matemáticos que poseen
rutinas de integración aproximada de ecuaciones diferencia les.
Entre dichos utilitarios podemos mencionar el MathCAD, el cual en sus últimas
versiones con tiene funciones internas de integración numérica. No obstante, para vers iones
más an tiguas resu lta fácil generar el algoritmo de Euler como se verá en el problema 2.6.
Otros utilitarios matemáticos muy utilizados actualmente son: Mathematica y
Matlab, los que también poseen funciones de integración.
Cabe destacar, que po r el carácter recursivo de muchos algoritmos de integración de
ecuac iones diferenciales, también pueden programarse en planillas electrónicas.
Problema 26
Péndulo ideal COII rozamiellto viscoso.
s
Una partícula de masa m está sometida a la acción
del peso, pero su movimiento se encuentra restringido
mediante un hilo inextensible de longitud l. Se s upone que
la partícula puede moverse siempre en el mismo plano y,
además, el med io que la rodea le ejerce una fuerza viscosa
de módu lo proporcional a la primera potencia de la
velocidad, de sentido cont rario, de módulo kv, donde k es
una constan te positiva.
¡
M
Resolucióll:
Como la partícula se mueve sobre uo arco de
circunferencia de radío 1, al utilizar coordenadas
intrínsecas (figura 2.6), la fuerza peso m g, la reacción R
Fig.2-6
, -
eje rcida por el hilo y la fu erza de roce viscoso ¡VIS se escriben respect-ivamente
In
g - -m g cos8 ñ - m g sen8 r
R - Rñ
[2.40]
~'1S - -k v r
donde 9 es la posición angular de la partícula respecto de la dirección vertical y v el módulo
de l vector velocidad.
Teniendo en cuenta que la longitud de arco de curva s se mide a partir de la posición
de equilibrio, resulta ser que s=/8. Entonces, las ecuaciones de movimiento son:
60
f
Dinámica de la partícula
MECANlCA
mié - -mgsenS·k le
[2.41]
mIEP--mgcos8+R
Como nos interesa obtener la posición angular de la partícula 8=6 (l) en función del
tiempo, nos proponemos integrar la ecuación
.. k. g
8+-8+-sen8.0
m
[2.42]
1
la cual es una ecuación diferencial no lineal y que no es posible obtener una solución
expresada analíticamente.
Para la elección del paso de integración h, nos propondremos determinar la esca la de
tiempo característica del sistema físico que estamos estudiando. Para ello, se debe proceder
a adimensionalizar la ecuación diferencial, de modo que si T es un tiempo característico del
problema, resulta conveniente definir una nueva variable temporal adimensional1: =lIT.
Enlo nces, en la nueva variable T la ecuación diferencial resulta adimensionalizada en
la forma
d' S
kTdS
gT'
- - + - - + - - senS .0
d"t 2
In d"t
1
[2.43]
De aquí se aprecia que existen dos escalas de tiempo involucradas en la evolución del
sistema dinámico. Una de las escalas es To = m/k, la que involucra a los efectos disipativos
debido al roce viscoso. En tanto que la segunda escala de tiempo TR = (I/g)l 12 tiene que ver
con el mecanismo restitutivo que daría lugar a osc ilaciones en torno a la pos ición de
equilibrio S = O si no hubiese fricción con el medio.
Según los valores de los parámetros, puede apreciarse que existen tres posibilidades:
l1I/k >(/lg)ll2, en cuyo caso hay que elegir" mucho menor que (1Ig),f2
11. mlk <(l/g)'f2, en cuyo caso hay que elegir h mucho menor que m/k
lIt. m/k =(l!g) 112 , en cuyo caso hay que elegir /¡ mucho menor que (I/g)"2 o m/k
indistintamente.
I.
Tomemos el cas.o en.que los parámetros del sistema adoptan valores tales que k/m =
2.5610s· 1 y gIl = 5.3872s·2, entonces resulta conveniente adoptar como paso de integración h
= 0.10. Suponiendo que las condiciones iniciales son 9(O) = 11./6 Y d9(O) /dt = -8 rad/s, el
algoritmo del método de Euler propone
X,n· ,-x, o +/¡x, o ,x,_nd -x,- o +h(-!"'X,
-g1 senx,),
nI -o
11
n=O, 1, 2, ...
[2.44]
con XIO = n/e y X20 = -e, mientras que los valores del tiempo en los cuales se obtienen la
solución son (n =n h.
A continuación se muestran los resultados de la simu lació n numérica correspondiente
al péndulo co n roce viscoso, donde se ha utilizado el programa MathCAD para la
61
•
Capíwlo 2
MECANICA
resolución. De todos modos, el mélodo de Euler es sumamente fácil de programar en
cua lquier lenguaje de alto nivel , planilla electrónica e inclusive en calculadora de escritorio.
Péndulo id ea l con roce viscoso
"180
= 3{}-
Posición angular inicial:
x1
Velocidad angular inicial:
x2 o = - 8.0000
0
Instante inicial:
t = 0.0000
o
Paso de integración:
" ;: 0.1
Cantidad de subintervalos de tiempo:
Algoritmo de Integración :
n = O.. N-l
',,=/TII
11I
XI UT ' ) [
xl"T/.-x2"
( x2 - ;: x2 - "' (-2.S61ox2 - 5.38725;II(XI ))
n ... I
Posición versus Tiempo
11
"
"
Velocidad angular versus Tiempo
' , - - ,,---,-----,
í""~----1
o
\
-,>\
I\
I
/
/
V ,
o
62
•
0/'-----
-
-V
,
-,,J--- - ' - - -"-----.J
,
-
,
o
,
,
,
1
MECANICA
2.7. METODOLOGIA DE RESOLUCION DE PROBLEMAS DE DINAMICA.
Cuando uno se enfrenta a la situación de resolver problemas de dinámica de ia
panícula, resulta útil segu ir. sistemáticamente una serie de procedimientos para llegar al
planteo de las ecuaciones de movimiento.
Tales proced imientos pueden ordenarse en la siguiente secuencia:
11. Sistema de referencia:
Hay que tener en cuen ta que los principios de Newton son
\'íilidos en sis temas de referencias inerciales. Por lo tanto esa es la principal característica
que debe cumplir el sistema elegido.
b. Elección de una base:
Según como es la geometría dominante del problema,
aigunas bases vectoriales serán más convenientes que otras. Si la trayectoria de la partícula
es conocida, la base más apropiada será la dada por la terna intnnseca o de Frenet. Mientras
que si e l movimiento es plano, quizás convenga utilizar coordenadas polares.
c. Diagrama del cuerpo libre:
Identificar las fuerzas que actúan sobre la panícula:
fuerzas activas y fuerzas de vínculo. Estas últimas, reemplazando al vínculo mediante un<l
fuerza que gene re la misma restricción geométrica que éste impone.
d. Magnitudes vectoriales:
Una vez seleccionada la base vectorial, es necesario
esc ribir lodos los vcctures en dicha base: las fuerzas, el vector velocidad y particularmente el
vector acelerad6n.
2.8. RESUMEN
Como se ha mos trado en este capítulo, la descripción del mOVimiento de una
partícu la se realiza mediante la,aplicación de las leyes fundamentales de la mecánica clásica.
Estas leyes se encuentran resumidas en los !res principios enunciados por Isaac
Newton, los cuales hacen referencia a los siguientes puntos fundamentales:
Primer PrincipiO: Hace referencia al sistema de referencia a utilizar: Sistema de Referencia
Inercial.
Segundo Princip io: hace referencia a la Ecuación Diferencial de Movimiento de la
partícula, la cua l, conocida las fuerzas o la ley que describe a las fuerzas que actúan sobre la
partícula, permite ·conociendo las condiciones iniciales· describir comp letamente el
movimiento.
63
Copíwlo 2
MECANICA
Tercer Principio: Hace referencia a las interaccciones entre dos o más partículas
Por lo tanto, y a modo de resumen se presenta el siguien te mapa cOllceptual:
Primer
Principio
•
Segundo
Tercer
Principio
pnncLfJlO
F=mil
Vconstante
Sistema de
referencia
inercial
Ee. diferencial
de tnlJvimiento
'l!ecJorial de 2"orden
Integrando
2 lleca
Leyes de
nwvimiento
64
Condiciona
iniciaks
Di"dmic(I de la punlcu/a
MECAWCA
2.9. PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema 2. 7
Se aplica una fuerza horizontal constante, de módulo F, a un pistón que se mueve en un
cilindro, también horizontal, lleno de aceite. La masa del pistón es m. AJ pasar el aceite por
unos orificios se produce una fuerza resistenle de módulo K v (K es una constante positiva y
\1, la ve locidad instantánea del pistón).
a) Expresar la velocidad y la aceleración en fubción del tiempo suponiendo que partió del
reposo y representar gráficamente ambas funciones. Calcular la velocidad límite y verificar
que es proporcional a F.
b) Veri ficar que m/K es un tiempo característico de establecimiento de la ve locidad límite.
Nota: En las situaciones en que se presentan funciones exponenciales de la fonna e -al se
define el tiempo característico como l /a, en ese tiempo la función se reduce a l /e de su
valor en 1 = O. Transcurrido r veces elliempo característico la función se reduce a (11 e)r de
su valor en cero. A los efectos prácticos con r "grande .• (por ejemplo 10 o más) se puede
considerar que la función es aproximadamente nu la (del orden de lO·~).
Rta:
a) v - Vlim(l-e-}(¡Inr)
donde
F
F e -Kt lm
a -m
"lim .. -
K
Problema 2.8
Obtener la expresión para la velocidad y la posición en función del tiempo para una partícula
de masa m suje to a la acción de una fuerza resistente de módulo k y2 (k >0). Suponer que el
punto parte con velocidad inicial va desde el origen de coordenadas. Calcular el tiempo en
que la velocidad se reduce a la mitad de su va lor inicial.
kt)
m ( 1 + -,v
x(t) =-/11
k
ni
T-~
kv,
Problem a 2.9
L1 velocidad límite de caída de un hombre de 80 Kg, con paracaídas, es la misma que
tendría al caer libremente 0.75 m. a) Determinar el valor de esa velocidad límite suponiendo
que la fuerza resistente es de módulo proporcional a la velocidad instantánea.
b) Supongamos ahora que el hombre cae libremente (partiendo del reposo) durante 5
segundos)' que después abre su pa racaídas ¿Cuál es su ve locidad luego de 5 segundos de
caída con paracaídas?
Rra:
a) 3.873 mis
b) 3.876 mIs (ya prácticamente alcanzó la velocidad límite)
65
f
Cnprrulo 2
Prnhlemu 2.10
Se dispara un proyectil de masa m desde un punto (considerado el origen de coordenadas)
con velocidad inicial \/0 formando un ángulo a con la horizontal. Suponiendo que la fuerza
resistente del aire sea de módulo proporcional a la primera pOlencia de la velocidad
instantánea (constante de proporcionalidad k > O):
a) Obtener las posiciones horizontal y vertical del proyectil en función del tiempo.
b) Obtener la ecuación de la trayectoria. Escribirla en la forma y :: A In (l· B x ) + x
donde A, B Y e son constantes positivas. Verifique que la trayectoria tiene una asíntota
vertical en x:: B-I •
e) Determine la máxima altura en términos de A, B Y C. Que ecuación resulta si se desea
determinar el alcance (distancia entre el puniD de lanzamiento y el punto en que impacta el
proyectil a la misma altura que el punto dI! lanzamiento). Utilice la computadora para
dl!tenninar dicho alcance en el caso en que A = 8, B = 0.2 Y e = 6 (se supone que las
posiciones se miden en cientos de metros y el tiempo en segundos). ¿Excede la velocidad
inicial a la velocidad de propagación del sonido en el aire?
e
Rta:
a)x()/ = mvOcoso
k
l ()/
1
b) A _ m ,
k
1
B_
y(/) k
111110
mgt(",g
)
-T
+ k + v,sella )1II
k I(t) COII I(t) - (
1-"
e- ,.
e = mg + J..'Voseflo
coso
kvocoso
c) L1 altura lTláxima se <llcanza c:n x = 370 111 desde el punto de lanzamiento. El alcance es
<lproximadamente 487111, la velocidad inicial es aproximadamente 440 mIs.
Problema 2.11
Una partícula de masa 111 y carga q ingresa en un campo magnético de vector inducción
m<lgnétiCR B= (8, O, O) (son las componentes cartesi anas). En el instante inicial la partícula
Se encuentra en el origen de coordenadas y su velocidad es Vo = (I'fu, v~" O). Obtener la ley
de movimiento y determinar la trayectoria .
Nota: L1 fuerza que actúa sobre una partícula de carga q en movimiento dentro de un campo
magnético es F_qv )(B (fue rza de Lorentz) donde ¡; es la velocidad instantánea de la
partícula.
Sugerencia: Suponga que la única fuerza actuante es la de Lorentz, exprésela en función de
la velocidad instantánea en coordenadas cartesianas. Luego plantee la ecuación diferencia l
que satisface cada una de las componentes de la velocidad.
Vo
y(t)--' S(!IIWf
w
z(/) -"o
-' (cosw/-l)
w
qB
w-111
u. trayc::cloria es una hélice circular recta cuyo eje es paralelo al eje x (en esa dirección el
movimientn es uniforme)_
6h
r
Dinámica de la panícula
MECANICA
Problema 2.12
Una pesa de 1 N suspendida de un hilo de 30 cm de
longitud en un punto fijo O describe una
circunferencia en un plano horizontal (péndulo
cónico). Detenninar la velocidad de la pesa y la
tensión en el hilo, si el ángu lo que forma el hilo con
la vertical es de 60°,
.,
Rta:
v=2.1 mIs
T=2N
c'------"
',~
.~_, .. ~_N'·
Fig.2-7
PFoblema 2.13
Una partícula de masa m puede oscilar en un plano, colgada de un hilo inextensible de
longitud 1, sometida a la acción de la gravedad g. Dicho sistema se denomina péndulo ideal
o péndulo matemático. Si en (=0 se cumple que cp = 'Po y v= O, obtener:
a) Las ecuaciones de movimiento de la partícula.
b) La. velocidad angular en función de la posición angular.
e) La reacción en el hilo en funciÓn de la posición angular.
d) El período de oscilación y la ley de movimiento para el caso en que las amplitudes de
oscilación sea peq ueñas.
Rta:
dv
a)
-mgsencp-md¡
b) q,(q»_
g
2/ (c05q>-e05q>,)
T -mgcoscp-mep] /
e) T(<p) = In g ( 3 ca5 <p·2 eos <p,)
II
. fi
d) T - 2"
.. g
'1'+-'1'1
O
/~
Problem;~
Una pequeña esfera de masa m se dispara sobre una guía circu lar horizontal de radio
encontrándose sometida a la acción de una fuerza resistente de módulo proporcional al
cuad rado de la ve locidad (constante de proporcionalidad k > O). Calcular el número de
vueltas que rea liza hasta que su velocidad se reduce a la mitad de su valor inicia l.
Rta: In2m
21tkR
67
f;,
Cap{mlo 2
MECANlCA
P.-oblema 2.15
Una esfera rueda con velocidad de módulo
constante e n una circunferencia horizontal denlro
de un cono circu lar recto de eje de simetría vertical
con el vé rtice hacia abajo. Se supone despreciable
el rozam iento. Expresar el módulo de la velocidad
en función de la a ltura y desde el vértice del cono
hasta el plano de la órbita circular. La altura del
cono es h y el radio de la base es a. Detenninar el
módulo de la reacción de vínculo si la masa de la
esfera es m.
a
h
y
Fig.2-8
Rta:v2 =gy
Problema 2.16
Una bolita de masa m se deja caer desde el punto
A a una altura H, su velocidad inicial es nu la. Al
llegar al punlo B entra en una rampa circular de
radio r .
a) Realizar un diagrama de cuerpo libre en la
rampa circular.
H
b) Detenninar la velocidad en el punto C. Se
h
supone que en loda la rampa (incluyendo la
circular) el rozamiento es despreciable.
e) Expresa r el módulo de la reacción de vinculo
para el movim iento en la ram pa circular en función
de la posición.
d) Determinar el punto de la rampa circular donde
Fig.2-9
la esfera se despre nde.
e) Calcular la altura mínima H para que pueda superar el punlo D y completar el rizo.
Rta:
b) v! = 2 g ( H· /¡) el N = 3 m g cos '1' + 2 mg ( H lr . 1) d) arcos ((213) (1 • Hlr JJ
e) 2.5 R.
Problema 2.1 7
¿Con qué velocidad mínima debe un ciclista tomar una curva de radio R si la calzada tiene
una inclinación a respecto de la horizontal y el coeficiente de rozamiento entre la ruedas y la
ca lzada es lA ? Considerar al ciclista como un punto material.
Rta: v-
68
gR
'ga - ¡.t
l' 'ga + 1
Dindmica de /a partEcllla
MECANICA
Problema 2.18
Un pequeño cursor de masa m puede moverse a
lo largo del arco circular vertical AB con
rozamiento despreciable. Si el arco AB gira
alrededor del eje vertical DA con velocidad
angular constante W J detenninar el ángulo que
determina la posición de equilibrio que toma el
cursor.
Rta: La ¡x>sición de equilibrio buscada es
8 _ arco~g I rw 2 ) si f.il ~ g I r.
Fig.2-10
Si esa condición no se cump le, la poslclon
encontrada es de equilibrio inestable: apartada
de ella la esfera se dirige hacia el pUnlO mas bajo de la guía circular. Si se cumple la
condición de equilibrio estable, ¿cuál será el período de oscilación en torno de esa posición?
Si no quiere esperar al próximo capítulo suponga lo siguiente:¿cuál sería la aceleración de un
campo "gravitatorio" que experimentaría un observador que se moviera con la guía? Si
contesta esta pregunta, determine el período de un péndulo simple que se moviera en ese
campo.
Problema 2.19
La pequeña esfera de masa m de la figura 2-11
está sostenida por una varilla de masa despreciable
que puede girar alrededor de un eje horizontal en el
punto O. La longitud de la varilla es r. Si la varilla
se suelta desde la posición vertica l partiendo del
reposo, determinar el valor del ángulo para el cuál
la fuerza en la barra cambia de compresión a
tracción.
Rta: 48.2".
Fig.2-11
Problema 2.20
Una parte de un camino tiene una suceslOn de
subidas y bajadas igualmente espaciadas como
muestra la figura 2-12. El contOrnO del camino
puede ser representado por la función
y =A sen (21< x/L).
a) Determinar la velocidad máxima a la que
puede ir un automóvi l de masa m por una cresta
u subida permaneciendo en contacto con el suelo.
A
Fig.2-12
69
MECAN1CA
Capítulo 2
1
b) ¿Cuál es el módulo de la reacción N que actúa sobre las ruedas en una bajada o valle
cuando se mueve con la mitad de la velocidad máxima calculada en a) ?
RIG:a)
v-~
(i
2n VA
b) N= 1.25 mg
Problema 2.21
Un motor acciona un dispositivo elevador cuyo
tambor A tiene un radio 1'. El tambor gira con
velocidad angular w en sentido horario.
Determinar la tensión T en los cables que pasan
por la polea B de la que cuelga una carga de
masa m. Expresar el resultado en función de y. Se
suponen despreciables el tamaño y masa de las
poleas así como todo rozamiento.
1-,
,1
,
'1.-
l'
m
Fig.2-13
PROBLEMAS PARA RESOLVER CON EL USO DE LA COMPUTADOR;"
Problema 2.22
Sobre una pelota de béisbol cuya masa es de 0.210 Kg, se supone que actúa una fuerza
resistente debida al aire, de módulo proporcional al cuadmdo de la velocidad: fl'/s = ~ v2 . Si
se desprecia la acción hidrodinámica del medio en las proximidades de la pelota (no se lanza
la pelota con efecto), ésta describirá una curva plana. Si velocidad inicial es 5.50 mIs y
B= 0.02 Ns'!m',
a) Escribir las ecuaciones de movimiento para la pelota.
b) Confeccionar una rutina de integración aproximada, usando el método de Euler, para las
ecuaciones de movimiento, tomando como ángulo de tiro 9 =30°.
Nota: Para quien no desee programar eA los lenguajes convenciom:des, puede utilizar
paquetes de cálculo como l'VlATHEI\!lATICA, l\'l uthcad, l\ilatlab o bien usar alguna
planilla electrónica.
c) Usando la rutina del punto (b), estimar y graficar e l alcance para distintos ángulos, desde
9 = 5° hasta = 80°, cada 5°.
a
Problema 2.23
Una partícula de masa m puede moverse en una dimensión y está somelida al acción de una
fuerza elástica, siendo k la constante elástica. Además, el medio le ejerce una fuerza
resistente de módulo proporcional al cuadrado de la velocidad, donde 11 (posit ivo) es la
constante de proporcionalidad.
70
I
!
I1
II
>
l
Dinámica de la part/cllla
MECANICA
a) Demostrar que la ecuación de movimiento de la partícula es:
b) Escribiendo la ecuación de movimiento en la fonna:
usar el método de Euler si los parámetros son: úJo2 = 41t S·l ya = 0.10 m-l. Representar
gráficamente la posición y la velocidad en función del tiempo . Graficar la trayectoria de fase
del sistema.
Problema 2.24
Para el diseño de una pared de protección cont ra explosiones, se supone que la pared se
comporta como un sistema de masa m = 30000 kg unida a un resorte de constante elástica
de valor 1.3 108 N/m. La fuerza ejercida por la explosión puede modelarse por una ley de la
1
forma F - 2x 10 e-Y. N, donde 1: ;; 0.25 s es un parámetro que da una medida de la
duración en la liberación de energía durante la explosión.
Utilizando un paso de integración" = 0.001 s, determinar el valor de la máxima elongación
de la pared.
Repetir el proceso para otros valores de 't,
Problema 2.25
En el Cerro Catedral del Parque Nacional Nahuel Huapi , en Río Negro, hay una pista de
esq uí de aproximadamente 2500 m cuya inclinación media es de 30°, En condiciones
normales del estado de la nieve, la fuerza de rozamiento que se ejerce sobre un esquiador
puede modelarse mediante una ley
F _ -0.294 v' - 7.000 v
donde ves la velocidad, medida en melro/segundo y F se mide en newton.
Detenninar la velocidad límite que alcanza y el tiempo que deIflora para alcanzar el 70% de
dicha velocidad.
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
Problema 2.26
Un automóvil se mueve en una trayecloria rectilínea horizontal y. en determinado instante,
se embraga comenzando a frenarse. Suponga que ladas las fuerzas resistentes se pueden
considera r modeladas por una fuerza de módulo proporcional al cuadrado de la velocidad.
La masa del automóvil es m:;:; 1000 Kg Y la velocidad inicial es VD:;:; 20 mIs en el instante en
71
MECANICA
Capíwlo 2
que comienza a frenarse. Si al cabo de 20 s que empieza a frenar, la velocidad se reduce a la
cuarta parte de la velocidad inicial, entonces el coeficiente de proporcionalidad entre la
fuerza resistente y e l cuadrado de la velocidad es, en unidades del Sistema Internacional,
a) 10/3 b) 10 e) 40/3 d) 20 e) ninguno de los valores anteriores.
Rta: e.
Problema 2.27
Un pequeño carro de masa m se mueve por un riel horizontal, de fonna tal que en el instante
( = O, la velocidad es vo. Si se considera que las únicas fuerzas actuantes son el peso del
carro, la fuerza de rozamiento con el riel (coeficiente de rozamiento 11) y la fuerza viscosa
proporcional a la velocidad (coeficiente de viscosidad ~), y en unidades del Sistema
Internacional, m = 1, 11 = 0.1, g = 10, ~ = 0.5 Y vo= 2, entonces:
a) Se detiene en l = 1s
b) Se detiene en t = 21n 2 s
c) Se detiene en t = 2 s
d) Se detiene cundo 1->00.
e) Ninguna de las opciones anteriores es verdadera.
Rta: b.
Problema 2.28
Un cuerpo de masa In es lanzado vert icalmente hacia arriba con velocidad inicial va Si se
considera que la resistencia de l aire está dada por una fuerza F = ¡¡- In g v1 , el tiempo t en el
cual el cuerpo alcanza la altura máxima, vale:
a) v, / g
b)l / (kg)
e) ( 1 / ( k g) ) aretg (k v,)
d) ( v, / g) aretg ( k v, )
e) ninguna de las anteriores.
Rta: c.
Problema 2.29
Una partícula puede moverse por un túnel abierto en la Tierra a lo largo de una cuerda
AB(figura 2-13). Despreciando el rozamiento y la resistencia del medio, y tomando a la
Tierra homogénea, esférica de radio R, y siendo el módulo de la fuerza gravitatoria sobre
una partícula de masa m ubicada en el interior de la Tierra a una distancia r del centro
terrestre e
72
r
Dinámica de la partfcula
I.1ECANlCA
Ñ
mg
F--,
R
entonces, el tiem(X) transcurrido en atravesar el
túnel es:
x
[iR
a)n
fg
c)2n
~
e) ninguna de las anteriores es correcta.
Fig.2-14
Rla : d.
Problema 2.30
Un ciclista ingresa a un velódromo circular que posee un peralte (inclinación de la pista
respecto de la horizontal) de pendiente ex. Suponiendo que el coeficiente de rozamiento
entre las ruedas y la calzada es J1 y el sistema ciclista· bicicleta como un punto material,
entonces las velocidades límites (mínima y máxima) para que la rueda no deslice será:
a) 13,4 ms· 1 ; 35,3 ms· 1
b) 6,7 ms· l ; 22,4 ros'! e) 13,4 ms· 1 ; 22,4 ms'¡
1
d) 6,7 ms· ; 35,3 ms')
e) Ninguna de las anteriores.
U5e,g=10m,' R=25m 11=0,5
0=31' 5e031'=0,6 c0531'=0,8
Las respuestas se estiman con un error del 1 %.
Rla: b.
73
r
MAGNITUDES DlNAMICAS DERIVADAS
3.1. MAGNITUDES DINAMICAS DERIVADAS y TEOREMAS
DE CONSERV ACION
3.2. CANTIDAD DE MOVIMIENTO
3.3. MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO
CINETICO O MOMENTO ANGULAR
77
3.3.1. Momento angular de un punto material en un campo central de fuerzas
83
79
82
3.4. ENERGIA CINETICA
3.5. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
3.6. ANALISIS DE MOVIMIENTOS UNIDIMENSIONALFS r<m
FUERZA DEPENDIENTE DE LA POSICION
85
89
3.6.1. Estabilidad del equilibrio y pequeñas oscilaciones
3.7. ANALISIS CUALITATIVO DE LAS ORBITAS EN Ul\
MOVIMIENTO CENTRAL
3.8. RESUMEN
3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS
90
96
99
102
APENDJCE J. ORBITAS CON FUERZA DE ATRACCION INVERSAMENTE
PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA
1. Geometría de cónicas en coordenadas pola res
113
113
114
2. Orbitas en un campo de fuerzas gravitatorios
75
Magnirud('s Dinámicas Deril'{/das
MECANlCA
CAPITULO 3
MAGNITUDES DINAMICAS DERIVADAS
3.1 MAGNITUDES DINÁMICAS DERIVADAS Y TEOREMAS DE
CONSERVACIÓN
C
ualquier cuerpo (o conjunto de cuerpos) puede considerarse, en esencia, un
sistema de puntos materiales del estilo de los que se presentarán en el Capítulo 4 .
Si el sistema evoluciona en el transcurso del tiempo, se dice que cambia su estado
(mecánico, en este caso ). El estado mecánico de un sistema queda caracterizado a través
del conocimiento simultáneo de las posiciones (las coordenadas) y de las velocidades de
todos sus puntos.
Conociendo las leyes. de las fuerzas que actúan sobre los puntos del sistema y su
estado en cierto instante inicial se puede con ayuda de las ecuaciones del movimiento,
predecir su comportamiento ulterior, es decir, determinar el estado del sistema en cualquier
instante. De esta manera, por ejemplo ,se puede analizar el problema del movimiento de los
planetas del Sistema Solar.
Sin embargo, con frecuencia, el examen detallado del comportamiento de un sistema
con la ayuda de las ecuaciones del movimiento es muy dificil (en general debido a la
complejidad del mismo sistema). Y en aquellos casos, en que las leyes de las fuerzas que
actúan son desconocidas, tal enfoque resulta irrealizable en principio.
Ante esta situación surge, entonces. la pregunta: ¿ existen algunos principios
generales, que siendo consecuencia de las leyes de Newton, permitan abordar de otro
modo la solución del problema y ayuden en cierta medida a evitar estas dificultades?
77
MECA:-'1CA
C(/píllllQ 3
Efe:¡,;tivamcnte estos principios existen. Son los lIamtldos teoremas de cOllseYl 'uciólI .
Hemos dicho que durante el movimiento de un sistema, su estado meclinico varíCl
(.;()n el tiempo. Existen, sin embargo, ciertas magnitudes, las funciones de estado ( (.;omo en
la Termodinamica ) , que poseen la propiedad muy importante de no variar (.;on el tiempo,
e:n cie:rtas circunstancias. EstClS mClgnitudes dependen de ICl masa ,de la velocidad y cm algun
t..:asn de: la posieilSn. Entre tales magnitudes se tiene a la cantidad de mo vimiento o
impulso linea l, d momento de la t..:a ntidad de movimiento o momento angular y la energía.
Estas tres magnitudes tienen una propiedad importante y general de aditividad: su
valor para los sistemas, compuestos de partes cuya interacció n es despreciable, e:s igual a la
suma de: los va lores para cada una de las partes por separado. Precisamente. la propiedad de
ad it ividad da a estas treS magnitudes un pa¡xl preponderante.
Lus teo remas de conse rvación de la e:nergía, de la ca ntidad de movimiento y del
momento angu lar tienen un origen muy profundo, ligado con las propiedades fundamentaks
JeI tit:mpo y del espacio, o Sea, con la homogeneidad y la isotropía. A saber: la
const:rvación de la energía se re laciona con la homogeneidad del tiempo, mientras que la
cunservación de la cantidad de movimiento y del momento angu lar con la homngeneidad y
la iSlltropia dd esp<lc io, respectivamente. Lo dichn se debe interpreta r én el séntido de que
los téoremas de conse rvación mencionados Sé pueden de:ducir de la segunda Ley de
Newton, si a ella se anexan las correspondientes propiedades de simetria del tiempo y del
e:spacio (o bien propiedades de la interacción entre los puntos ).
Los teoremas de conserva(.;ión pertenecen al conju nto de conucimientos mejor
cimt: ntados y armigados en la Fis ica. Su rol creció extraordinariamente después que se
t..:omprnbó que ellos siguen siendo válidos aun lt!jos dé los límites de la Mecánica y que son
fundamentales en lada la naturaleza. En todo caSO, hasta ahora no se ha descubierto ningún
I!.;ll\imeno donde tales teoremas se violen. Resultan aplic.1bles en el dominio de las p.1nículas
l·k lIlentako:;, en la rama de los objetos cósmicos, en la física de l átomo y en la del sólido y
["lt'rte:ne:cen al pequeño gruJX) que mantienen validez en la Mecánica C uánt ica.
RéSpecto dé los teoremas de conservac ión resulta de interés acotar lo siguiente:
l. Los teoremas de conservación no dependen ni de la trayectoria de los puntos del
sistema en cuestión, ni del carácter de las fuerzas que: actúan. Por eso, ellos permiten
nblenc:r una serie de conclusiones muy genemlc:s y esenciales sob re las propiedades
dé diférentes procesos mecánicos, sin necesidad de un análisis detallado mediante
las e:cuaciones de l muvimiento. A~i, por ejemplo, si se aclara que cierto proceso
l:onlradice los teoremas de conservación, de inmediato se puede afirma r: tal
pmceso es imposible Ó se 1m ignorado ollguna parte del sistema ) o bien no se
ha f.:onsiderado a lguna interacción .
2. El hecho de que los teo remas de conservación no dependan de l ca rácter de las
fuefL1s que actuan , permite emplearlas incluso cUllndo las fuerzas son desconocidas.
En es tos casos los teoremas de conservación son un elemen to unif.:o é insustituible
de: investigación. Un ejemplo concreto se tiene en el estudio e investigación en la
física de las partícu las elementales (se desarrolla como ejemplo la identificació'1 del
neulrino en el Capit ulo 4).
7'
r
Magnitudes Dinámicas Derivadas
1iECANICA
3.Incluso en aque llos casos, en les que las fuerzas se conocen con exactitud, la
conservación de estas magnitudes dinámicas pueden prestar considerable ayuda en la
solución de muchos problemas de l movimiento de punlos materiales .Aunque todos
estos problemas pueden se r resueltos con ayuda de las ecuaciones del movimiento
(en este caso no obtenemos ninguna información complementaria de las leyes de
conservación), la utilización de los teoremas de conservación permite obtener con
mucha frecuencia la solución po r una vía más simple y elegante, liberándonos de
cálculos largos y tediosos. Por esto, al reso lver nuevos problemas generalmente se
acostumbra obse rvar la s iguiente secuencia: en primer lugar se intenta emplear los
teoremas de conservación uno tras otro Y. sólo habiéndose probado que ello resulta
insuficiente, se pasa después a encarar la solución con ayuda de las ecuaciones de
movimiento.
En este capítulo se presentan las magnitudes dinámicas derivadas para el caso de un
punto material, así como los teoremas de conservación asociados a esas magnitudes. Se
presentará en el próximo c,1pítulo la generalización al caso de un sistema de puntos
materiales. Es tal vez para este tipo de sistemas donde más utilidad reportan las leyes de
conservación. En lo que sigue se pretende seguir una presentación similar para las tres
magnitudes dinámicas; a saber:
a) definición,
b) vinculación entre la variación instantánea de la magnitud dinámica }' una magnitud
asociada a la fuerza actuante.
c) vinculación entre el cambio de la magnitud en un intervalo y la integral de una
magnitud asociada a la fuerza actuante.
d) conservación de la magni tud dinámica ante una propiedad detenninada del campo de
fuerzas actuante.
3.2 CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para un punto material de masa m que se mueve con velocidad v respecto de cierto
sistema de referencia hemos definido la cantidad de movimiento como
ji ~ mi'
[3.1J
Como ya fue comentado esta magnitud es aditiva ( lo es la masa) y depende de la
velocidad. A<;umiendo que la masa es independiente del tiem¡xJ ( y de la velocidad como
. resulta en el contexto de la Mecánica Clásica) se puede expresnr la segunda ley de Newton
en términos de la cantidad de movim iento de la siguiente mnnera :
[3.2J
donde se supone que la velocidad está medida po r un observador inercia l y la fuerz.a es la
resultante de todas las interacciones entre el punto material en cuestión y ot ros puntos O
s istemas ( se puede identificar en otros s is temas la reacción co rrespondiente) ,
Como se pretendía mostrar esta es la vinculación existente entre una propiedad
asociada :1 la fue rz1 ( en este Ci'lSO es la mi5ma fuerza ) v la variación instantánea de la
79
[
Caplmlo 3
MECANlCA
magnitud dinámica. Se supone que la derivada esta medida por un observador inercial (en
otro capítulo se discutirá este último problema al que referiremos como movimiento
relativo ).
Integrando [3.21 en el intervalo (ti> t2) resulta
(3.3J
donde
j =
f'" F( dI es
1)
el impulso de la fuerza en el intervalo ( " , 1,) .
El impulso de la fuerza es una magnitud complicada de calcular ( en general) sobre
todo en el caso en que se desconoce la forma en que la fuerza varía con el tiempo. Sin
embargo basta medir la variación de la cantidad de movimiento ( la función de estado, en
este caso) para conocer el impulso de la fuerza. La expresión [3.3] indica la vinculación
entre la variación de la magnitud dinámica y la integral en el tiempo ( el impulso ) de la
fuerza .
Existen muchas situaciones que pueden modelarse introduciendo las denominadas
fuerzas impulsivas o percusiones. Se trata de fuerzas que actúan durante breves intervalos
de tiempo entregando una cantidad finita de caOlidad de movimiento. Idealmente se supone
que tienen un impulso finito actuando en un intervalo nulo ( una representación matemática
adecuada requiere la introducción de la delta de Dieac ) . En los casos en que actúan estas
fuezas impulsivas se supone que es despreciable la acción de aquellas fuerzas con la
propiedad que su impulso tiende a cero cuando lo hace el intervalo de tiempo en que
actúan.
Considerando [3.2] resulta claro que si la resultante de todas las fue17ft.s acl.antes
sobre el pUllto material es tlUla (punto material libre) entonces la cal/lidad de
movimiento es constante en el tiempo, esto es , se conserv!) . En estas condiciones su
va lor no depende del tiempo y queda fijado por el valor que lome en el instante inicial. En
el caso del punto material la única conclusión que puede extraerse es que, para el
observador inercial considerado, el movimiento de l punto será rectilíneo y uniforme.
Cuando una de las componentes de la fuerza actuante se anula constantemente en
una dirección fija no es dificil probar que la componente de la cantidad de movimiento en
dicha dirección se conserva.
Problema 3.1
Una pelota de masa tri choca en forma elástica ( se conserva la energía cinética en
el choque) contra una pared (Fig 3.1 ) . La velocidad antes del choque es de dirección
perpendicular a la pared. Calcula r el impulso de la fuerza que actúa durante el choque.
Resolución:
Como el choque es elástico y la pared se considera de masa mucho mayor que m entonces
luego del choque la pelota invierte el sentido de movimiento y el módulo de la velocidad es
igual que el de la velocidad antes de l choque.
80
MECANICA
¡\f'I~l1i{IIJes Dimiminls DeriL'lId(U
Por consiguiente la variación de la cantidad
de la c<lntidad de movimiento es :
ó"p = -2",v
y de acuerdo con (3.3] ese es también el valor del
impulso de la fue rza ( de variación desconocida en
el tiempo) que la pared aplica sobre la pelota.
Fig. 3-1
Problema 3.2
Movimiento d e pnrtículas cargadas en un ca mpo eléc tr ic o uni fo r me
Un sistema elementa l de deflexión de un haz de electrones consiste en un par de
placas paralelas entre las que se establece un cam¡x> eléctrico (Fig 3-2), El haz de electrones
se supone que incide perpendicular a la dirección del campo eléctrico establecido.
Supongamos que el campo sea constante y que su intensidad (fuerza por unidad de
ca rga eléctrica) sea E, Si la carga del electrón es e entonceS la fuerza -I! E es ( el electrón
¡iene carga e.léctrica negativa). Puede despreciarse la acción del campo gravita torio ( es
varios ordenes de magnitud menos intenso que el eléctrico).
Determinar el tiempo de tránsito de los electro nes por el sistema deflector y la ve locidad
tinal al abandonarlo.
Resolución .Como el campo de fue rzas tiene una componente
nula en la dirección x (también c:o z ¡xriJ el
movim ienw se supone plano ) ento nces el
movimiento en esll. dirección es unifonne y el
tiempo de tránsito de los ele'ctrones por el sistema
L
+
detleclOr es T = L / Yo ..
D
Si los electrones ingresan con velocidad Yo en la
dirección x entonces la variación de la cantidad
de movimiento en la vertical (en la di rección y )
será e E L / "o y así el módulo del vec tor
velocidad de los electrones al abandonar el
Fig. 3-2
s istema ddlector sení
)lo
81
Capitulo 3
MECAA'1CA
3.3 MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVI MIENTO O M OMENTO
CI NÉTICO O MOMENTO AN GULAR
Sea un punto materia l P de masa m que en el instante
r se encuentra en la posició n dado por ¡: = (p. Q) res peCIO
de l punto Q ( supuesto tija por ahora) )' moviéndose con
cantidad de movimiento p ( ver figura 3·3 ). El momento de
la cantidad de movimiento respecto del punto Q viene dado
p
v
m
por:
r
IQ - ( P - Q) x p - i' x P
[3.4J
Dt:rivando [3.4] respecto del tiempo
cuenta [3.2] resulta:
y teniendo en
Q
h
X
[3.5J
donde
MQ - ( P - Q) x f _ f x f
es el momento de la fuerza
Fig. 3-3
¡ respecto ~I punlO
Q. UI expresión [3.5] vincula la derivada del momento cinético con una propiedad de l
campo de fuerzas actuantes: su momento respecto de un punto. No es difíci l probar que si
el punto Q se mueve res peCIO del sistema de referencia inercial considerado resulta:
i. Q .. Al Q - vQ X ji
donde
[3.6J
vQ ~s la velocidad del punto Q. La expresión (3.6) se reduce a (3.5) si obviamente
el punto Q es fijo o bien si su velocidad es colineal con la del punto P.
Integrando (3.51 en el intervalo (ti. (2) resu lta:
[3.7J
donde
¡(Al Q ) - f : A1 Q ( t ) dI es la integral de l momento respecto de Q en el intervalo
'.
de tiempo considerado )' se denomina. impulso del momento . El momento cinético o
momento angular es una magnitud de interés en el anál isis de movimientos curv ilíneos.
El impulso del momento no es una magnitud mecánica de uso frecuente, Puede
utiliza rse en el análisis de fuerzas impuls ivas, actua ntes sobre sistemas de puntos materiales,
que puedan producir rotaciones a lrededor de un eje. Es interesante observa r la analogía
entre este concepto)' el impulso de la fuerza.
82
Magnitudes Dinamicas Derimdas
MECANICA
Si en [3.5] se considera que el momento de F es nulo (no es necesario que sea
nulo F !) entonces resulta que el mommto cinético respecto de Q (no olvidar que esta
magnitud depende de l punto respecto del que se la calcula) se conserva. En este caso su
valor no depende del tiempo y queda determinado por el valor que tome en el instante
inicial.
3.3.1 Momento a ngula r de un punto materia l en un campo cen tra l de fuerzas
Un campo de fuerzas es centra l cuando la fuerza actuante sobre un punto en dicho
campo tiene siempre la dirección de la recIa determinada por dicho punto y otro que
consideraremos fijo en determinado sistema de coordenadas. Además , el módulo de la
fuerza actuante sobre el punlo material depende exclusivamente de la distancia enlre el
punto considerado y ese punto fijo. Si el punto fijo se toma como origen del sistema de
coordenadas resulta que e l campo de fuerzas central es aquél para el cuál la fuerza actuante
sobre un punto de coordenada de posición 'f viene dada por:
[3.8]
donde r es la distancia entre el punto de posición 'f y el origen de coordenadas . Se
pueden mencionar muchos ejemplos de campos de fuerzas centrales. El campo gravitatorio
generado por un distribución esférica de masa (en puntos fuera de la esfera) y el campo
electrostático producido por una distribución esférica de carga eléctrica (o una carga
puntual), son ejemplos de campos centrales de fuerzas. Son bien conocidas la ley de
Gravitación Universal (fuerza de interacción entre masas puntuales) y la Ley de Coulomb
(respecto de la fuerza de interacción entre cargas eléctricas puntuales) que expresan una ley
del " inverso del cuadrado "de la distancia para la fuerza de interacción (grav itatoria o
electrostática).
Es propiedad común del problema de fuerzas centrales que el momento de la fuerza
actuante respecto del origen de coordenadas sea nulo. De aquí resultará que se conserva el
momento cinético respecto de ese punto. Se pueden extraer tres conclusiones importantes a
partir de la conservación de esta magnitud dinámica :
1. Como se conserva la dirección del momento cinético resulta que fijadas la posición
inicial y la velocidad iniciales, queda determinado un plano, que es el plano de movimiento,
para todo instante posterior. Se dice entonces que el movimiento es plano.
En todo instante los vectores posición y velocidad son perpendiculares a la dirección
constante del vector momen to cinético.
2. Como se conserva el sentido del vector momento cinético, entonces no puede cambiar el
sentido de giro de l punto en movimiento (sobre el que actúa este carnJXl de fuerzas central)
alrededor del origen de coordenadas, en el plano de movimiento (conservación de la
helicidad ).
83
Capítulo 3
MECANlCA
3. A partir de la conservación del módulo de lo se puede obtener una primera integral de
movimiento (que vincula velocidades y posiciones). Tomando coordenadas polares con
polo en el punto fijo (que se tomó como origen de coordenadas) resulta
f
= rr
[3.9]
que son las expresiones de la posición y la velocidad del punto en movimiento.
El momento cinético res peCIO de O resulta entonces:
[3.10]
donde k es un versar noonal al plano de movimiento, y como se conserva lo entonces:
" 8- h
[3.11]
con " una constante positiva. La expresión [3.111 indica la anulación de la componenle
transversal de la aceleración • así como la denominada ley d e las áreas (o segunda ley de
Kepler o ley de las áreas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol): el radio
vector del punto en movimiento en un camp:> central de fuerzas ., barre áreas iguales en
tiempos iguales ". Esto significa que la velocidad areolar del movimiento es constante.
Puede probarse que dicha velocidad es " /2 .
Es interesante observar que todas estas propiedades son independiente de f (r) ( la
ley de variación de la fuerza con la distancia a origen) .
3.4 ENERGÍA C INÉT ICA
La energía cinética de un punto material de masa m que se mueve con velocidad
res pecIo de cierto s istema de referencia está definida por :
1
2
,
T--lIlv-
v
[3.12]
Como puede verse, es una forma cuadrática en la velocidad y siempre no negativa.
La razón del factor 1/2 podrá justificarse enseguida. Tal como resultó con las otras
magnitudes dinámicas derivadas. se puede relacionar la velocidad de variación de T con la
fuerza actuante. En efecto, considerando
p= F y multiplicando fKlT v • resulta:
di!
mU-:P·U
de
[3.13]
que puede ser escrita como sigue:
t -p
84
[3.14]
po
..
;\JII~nillldes Di/llfmiclIs Deriradlls
MECANlCA
donde P = f. ¡; eS la potencia (instantánea) desarrollada por la fuerza. La potencia es
nu la si la fUerL1 eS nula ( MRU) . la velocidad t:S nula u bien si la fuerza es perpendicu lar al
vector vdocidad (movimiento uniforme, ni,) necesarinmenle rectilíneo). En todos los casos
el módu lo del vector velocidad cs constante. Con esta condición ( potencia nula ) se
wllser\'a hl energía cinética
Integrando[3.14] en el interva lo «(\ , (2) resulta
ó.T ~ W
donde
r
[3.15]
J
¡.y ~ 1, F( I ).17 dI ~ A,B F(i'). di' es él trabajo realizado por el campo de
fuerzas actuante cuando el punto mate rial c::n movimiento pasa del punto A hasta el punto
B durante el intervalo de tiempo (1, • (2)' l.....1 integral que define a W es una integral
curvilínea a lo largo de la trayectoria (es la ci rculación del campo de fuerzas) . Para un
mismo campo de fuerz.1s , y entre el mismo par de puntos inicial y final, el valor de 1V
depende dé la trayectoria seguida (es decir de la cu rva considerada en el cálculo de la
integral curvilínea). Sin embargo, existen campos de fuerza para los cuáles el trabajo a lo
largo de una trayectoria que une dos puntos sólo depende de los puntos extremos de la
trayectoria.
En forma equivalente: el trabajo en cualquier trayectoria cerrada es nulo. Cuando
esto sucede el campo de fuerzas se dice cOllsen'utivo . Efectivamente hay una magnitud
que se conserva en estos casos como se mostrará en 3.5.
3.5 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MEC.... NICA
Si el campo de fuerzas actuantes es conse lvativo se puede definir una función
eSl:<llar (un campo escalar) que será la función potencial asociada al campo vectorial de
fuerzas. Dicha función escala r es la denominada energía potencial (de hecho es una energía,
tiene las unidades de trabajo). Entonces, si V(r) es la energía potencial:
F - -VV
[3.16]
de esta manera resulta que el campo de fuerz.as es un campo de gradientes; la elección del
signo menos determina que la direcció n y sen tido del campo vectorial es la de máximo
decrecimiento del campo escalar V(1) . El dJculo del trabajo del campo a lo largo de unn
trayectoria Se reduce;l medir la varinción de la energía potencial. En efecto,
w~-"'v
[3. J 7]
donde la variación Se considera entre los puntos extremos de la tmyectoria considerada.
Combinando [3.l5] y [3.17] resulta :
[3.18]
85
MECANlCA
Capílll!o 3
que no es otra cosa que el conocido teorema de conservación de la energía , en este caso
de la denominada energfa mecánica E donde E:: T + V . Po r consiguiente resulta que si
ti campo de fuerzas actuante sobre un punto ma terial es conservativo entonces la energía
mecán ica (suma de las energías cinética y potencial) se conserva
El punto materia l se mueve y, en general, Su velocidad varía y su posición también
varía: varian entonces su energía cinética y su energía ¡:x>tencial (asociada a su ¡:xJsición en
d campo de fuerzas conservativo) pero la suma de ambas permanece constante.
Como con otras magnitudes dinámicas el hecho que se conserve (Sil valor /10
cambia COIl el transcurso del tiempo) determina que pueda escribi rse una relación que
vincule pos iciones y veloc idades del punto en posiciones diferentes. Esta re la ción, como
puede probarse, es el resultado de integrar una vez la ecuación de Newton para el
movimienlo del punto material. Por eso resulta conveniente detenninar si el campo de
fuerzas es conservativo: en forma casi inmediata se obtiene una primera integral de la
t!cuación de movimiento.
En muchas situaciones sobre un punlo en
movimiento pueden aeluaí
simultáneamente mas de un campo de fuerzas. En este caso pueden distinguirse varias
si tuaciones:
a) Si los campos actuantes son todos conservativos, se puede introducir una energía
potencial que resulta la suma de las energías potenciales correspondientes a cada uno de 10.3
campos de fuerzas actuantes.
b) Si además de un campo de fuerzas conservativo actúa otro campo, que tenga la
p.1fticularidad de ser constantemente perpendicular a la velocidad del punto en movimiento,
resulta que puede ignorarse este último en la determinación de la energía mecán!ca (que se
conserva). En efecto, si un campo de fuerzas es siempre perpendicular a la velocidad
entonces la potencia es nula (el trabajo realizado es siempre cero) y por consiguiente no se
modifica la energía cinética. Ejemplos de tales campos de fuerzas son: la fuerza sobre una
partícula cargada en movimiento en un campo magnético y las reacciones de vínculo. En
este último caso sólo se consideran las denominadas reacciones normales de vinculo. Estas
fuerzas normales se introducen pára anali:z..1r el movimiento de un punto vinculado a una
trayectoria lisa (roza miento despreciable) como si estuviese libre ; pueden modificar la
dirección de la velocidad, pero no su módulo.
e) Si actúan s imul táneamente campos de fuerzas conservativos y no conservativos entonces
pueden separarse en [3.15} el trabajo de ambas clases de campos resultando, entonces:
[3.19J
n Sea, la variaciór: d:;: enl!rgí? r!!ecánica es igual al trabajo de los campos de fu~rzas ~c
conservativos.
H6
..
¡\/'1~1I;III,jc~ Dimímicll$ Deril'l/das
MECANICA
Todas las fuc:rzas disipativas resultan ser campos de fuerzas no conservativos. Tal es
c::I ¡,;aso de fuerzas dé rozamiento po r deslizamiento ( rozamiento cou]nmbiano ), fuerzas de
fricción por movimiento en un tluido viscoso, y olras. En OIras formulaciones de la
Mcc.'i.nica cI,ísica se suele n introducir campos c:scalnres para medir el trabajo de este tipo de
fUérzas como en el caso de los campos conservativos.
Prublema 3.3
SupongamC\s que se considc:re el C<1S0 del
movimiento en una dimensión de un punto material
sometido él la acción de una fUel'Zt1 elástica. Tal
se ria el CClSO de un punto que estuviese sujeto al
t:xl rc:mo de: un resoné o un elásti¡;o. Ll figura 3.4
mUéslra una corredera de masa m que se mueve
por un t:jé horizontal y sujeta a un resurte uno de
t,;uyos extremos está fijo. Realizar un aná lisis
energético del movimiento.
ResoluciólI :
x,
Fig.3-4
cntonces d t:ampo de: fuerza es F(x) = - k x í
dllnde la constank k (k> O) es la constante elástica del resorte u del sistema que aplica
Si la coordenada de posición es
csta fuerza. No cs dificil prohar que este campo de fuerzas es conservativo (el rotor de
cualquier t,;<lmpo vectorial de dirección conslHnte y con componente st'ilo dependiente de la
coordenada medida en esa direccidn es nulo !) .
L1 ene rgía potencial resulta de integrar[3.16} y entonces:
1
,
V(x) _ -kx-
[3.20J
2
En estc c.::aSll la energía meciÍnica ( que Se conserva! ), viene dada por
J
.,
J
>
E = -IIIX· +-/cr2
2
[3.21]
La ent!rgia meCt'Ínicn es no negativa, su mínimo valor es cero y corrcsponde al caso del
reposo en 1.1 posición x = O. L1 figura 3-5 muestra la variación con la pt)sición de las
ene rgías cinética, potencial y mec.lnica para t::l Ct:1S0 en qUI! la amplitud del movimiento
oscilatorio $C::í1 A.
Queda claro que el movimiento qucda restringido al intervalo [ -A , A ], para poder pasar a
otra zona hay que incrementar la energía. La zona Ixl > A se denomina clásicamentc
prohibida: c::n c::sta zona la energía c.::in¿tica resultaria negativa.
87
I
I
Capítulo 3
MECANlCA
Los puntos Ix l = A se denominan puntos de
retorno, en ellos se anula la velocidad y se invierte
el sent ido del movimiento. En estas pos iciones se
E
verifica la má xima aceleración.
Cuando la posición es máxima la velocidad
V se anula y como la energía mecánica se conserva,
T
resu lta
1
,
E = -kA'
2
-A
o
Fig. 3.5
A X
[3,22]
es deci r :
la energ{a mecánica es proporcional al cuadrado
de la amplitud de la oscilación_
A partir de [3.21] se puede mostrar que si se introduce la cantidad de movimiento
p, queda establecida la relación que la vincu la con la posición. Así resulta:
p'
x'
2mE
2E
k
-
¡,
l'
-+ -
=1
[3.23]
la cual en el plano (x, p ) es la ecuación de una el ipse de semiejes A y P _ J2mE ,
donde P es el valor máximo de la canti dad de movimiento, que corresponde al paso por la
posición x:;; O. La figura 3-6 muestra este gráfico en el denominado espacio de las fases
(x, p ) , la curva en este gráfico no representa la trayectoria (el movim iento es rectilíneo).
En cada instante un punto de coordenadas
p
(x, p) en esta curva indica el estado dinámico
(cantidad de movimiento y posición) del punto en
estudio.
_-tP=--~ (x,p)
El movimiento es periódico y el período,
que es el tiempo en que se repite el mismo estado
A
dinámico, corresponde al de una revolución del -A
o
x
punto - fase (que es el punto característico en este
plano) en tomo al origen y a lo largo de raelipse.
.p
El área encerrada por esta curva es
proporcional a la energía mecánica. En efecto el
área de esta elipse es nA P :;; T E donde T es el
Fig. 3-6
período de l movimiento. El producto energía .
tiempo es una magnitud mecánica llamada acciólI y resulta de interés en otras
fo rmulaciones más generales de la Mecánica Clás ica. En el tratamiento clásico del oscilador
lineal la acción puede tomar cua lquier valor real no negativo. U n pla nteo del problema
según la Mecánica Cuántica da por resultado que la acción está cualltificada, sólo puede
88
I
t
r
Magnimdes Dinámicas De,i,'adas
MECANlCA
tomar valores en un conjunto discreto. En este planteo surge naturalmente la constante de
acción "de Planck.
Nota: En muchas situaciones es interesante obtener la ecuación diferencial de un
movimiento unidimensional a partir de la expresión de la energía mecánica (que se supone
conservada) y derivarla respecto del tiempo. En efecto a partir de
E .. !..m.t? T V(x)
2
.
derivando respeclo del tiempo y co'nsiderando que la velocida.d no puede anularse para
todo 1 resulta la ecuación de Newton para el punlo material
mx+~V(x)-O
oX
o
oX
recordando que en una dimensión se tiene F( x) .. --Ve x).
En el caso particular del oscilador armónico simple donde V( x) .. "!"kx 2 resulla la conocida
2
ecuación diferencial del oscilador lineal en una dimensión mi + /o: .. Ocuya solución es una
vT¡;;.
combinación lineal de senos y cosenos de período T .. 2n.
Este período resulta independiente de la amplitud de la oscilación, característico de las
oscilaciones lineales (estos resultados se analizarán con más detalles en el capítulo 6
Oscilaciones).
3.6 ANÁLISIS DE MOVIMIENTOS UNIDIMENSIONALES CON FUERZA
DEPENDIENTE DE L.<\ POSICIÓN
El análisis realizado en la sección anterior para el oscilador armónico simple pueqe
generalizarse al caso de cualquier cam(X) de fuerzas unidimensional. Si el campo de fuerzas
es de dirección constante y su com(X)nente es función de la coordenada medida en esa
dirección entonces es irrotacional (se asume que es diferenciable). En ese caso se
conserva la energía mecánica, y es factible hacer
un análisis cualitativo del movimiento a partir de
v
un diagrama de energías en donde se representan
la energía potencial y la energía mecánica.
E,
L"I figura 3.7 muestra un gráfico de la variación
de la energía potencial V en función de la
coordenada de posición x, se supone que V(x) es
derivable para todo x.
La energía mecánica E se conserva, y se
representan tres va lores posibles de la energía
El ,El
Y E3 (correspondientes a diferentes
valores de las condiciones iniciales). Es importante
Fig.3-7
recordar que se analiza el movimiento a lo largo
del eje x (no es el movimiento de un carrito en
una montaña rusa 1) .
89
Capfmlo 3
r-.1ECANICA
Si la energía mecánica es El el movimiento solo es posible en el intervalo [XI.xl J,
todo otro intervalo se dice clásicameme prohibido. Fuera de ese intervalo la energía
cinética resulta negativa. En los puntos x = XI Y x = Xl la velocidad se a!,!ula (allí se
igualan la energía potencial y mecánica) y se produce la inversión en el sentido del
movimiento. Tales puntos se denominan puntos de retroceso o retomo. Para este caso se
dice que el punlo se encuentra en un pozo de potencial (en obvia alusión a la forma de la
curva con concavidad posi tiva ). Para X = Xo el potencial alcanza un mínimo relativo ( en
este ejemplo es también absoluto) . Recordando que a partir del gradiente del ¡x>tencial se
X
obtiene la fuerza, resulta para este ejemplo que la fuerza actuante es F(x) .. - ddr )
,
entonct::::..), I/(x) es derivable en Xo la fuerza actuante sobre el punto en movimiento es nula
al pasar por x(). Se dice que el punto Xo es un puma de equilibrio.
Al incrementarse la energía hasta E 2 se incrementa la amplitud del movimiento, que
resulta periódico. Si para esa energía las condiciones iniciales resultaron de reposo para en
la región x > x, o bien x < X6 entonces el punto quedará para IOdo ( en esas zonas,
siendo el resto del eje una zona clásicamente prohibida.
En esa situación se dice que en x = X7 o X = X6 se presenta una barrera de potencial y
esos puntos son de retroceso.
Si la energía es E3 no hay limitación espacial al movimiento. En x:: X5 o X :: X s la
fuerza actuante es nula y por ello esos puntos son de equilibrio. Si el punto está en reposo
en tales posiciones se mantendrá aHí para todo l. En esos puntos la energía cinética es
mínima.
3.6.1 Estabilidad del equilibrio y pequeñas oscilaciones
En la sección anterior se presentó la posibilidad de que la fue rza actuante sobre un
punto material en un campo de fuerzas unidimensional se anule. Esos puntos se denominan
de equilibrio. En el ejemplo presentado la energía potencial presenta un mínimo relativo en
la posición x = Xo un punto material apartado de esa posición aumenta su energía potencial
y por lo tanto disminuye su energía cinética, la que puede llegar a anularse produciéndose
un retorno a la posición de equilibrio. El análisis se repite hacia el otro lado de la posición
de equilibrio. También puede ana lizarse en términos de la derivada del potencial (que da la
componente de la fuerza). En eSIa situación se dice que en el punto en que la energía
potencial alcanza un mínimo relativo se tiene un punto de equilibrio estable.
I
Entonces si V' (xo) = O Y V" (xo) > O resulta que Xo es un puma de equilibrio estable.
Una situación diferente se presenta en un punto tal como x = x~ donde también se
anula la fuerza. Si se produce un apartamien to de esa posición entonces la energía potencial
disminuye y por conservarse la energía mecánica comienza a aumentar la energía cinética
produciéndose un alejamiento progresivo de la pos ición de equi librio. En este caso la
energía ¡x>tencial alcanza un máximo relativo y se dice que el pUDIO en cuestión es. de
equilibrio inestable.
90
r
Maglli/lldcs Dil/(ímic(u DerÍl'{/das
MECANICA
Entonces si V' ( xo) = O )' V" ( Xo) < O resulta que Xo es un pUl/fO de equilibrio il/es/ab/e.
Para obtener la ecu;tción diferencial de movimiento en el enlomo de un punto de
equilibrio se puede analizar el desarrollo en serie de Taylor del potencial V(x) con centro en
el punto de equilibrio. Si se tiene que Xo es un punto de equilibrio resulta V' (xo) = O
enlonces
V(x) = V (xo) + ( 1/2 W" (xo) (x - Xo ¡'
+ O (( x _ xo)' )
[3.24J
.
.
l ·2 + V( X )Y derivando
Si se toma E - -/fU'
respecto del tiempo
resulta
2
//IX = -V" (Xo ) (x - -'0)+ O«x - xol' )
[3.25]
L1 ecuación diferencial (3.25] es de segundo orden, y por incluir términos tales
como ( x - xo) ! resulta no lineal (no existe algoritmo general para expresar la solución
general para condiciones iniciales cualesquiera). Si se suponen pequeiios desplazamientos
respecto de la posición de equilibrio (retener solamente los términos lineales en x - xo)
entonces la ecuación diFerencial es lineal y llamando k ;;; V .-( -'"o) resulta
mx = -k (x -xo )
[3.26J
Si k JI! O la solución general de (3.26] resultará periódica si k > O (solución como
combinación lineal de senos y cosenos) o no periódica si k < O (solución como combinación
lineal de senos y cosenos hiperbólicos o exponenciales reales) dependiendo del signo de Ji..
Si k. > O (xo es un pumo de equilibrio estable:) entonces X(I) es periódica y
acotada. Mas aún, el movimiento es armónico simple (siempre y cl/ando se cOl/sideren
pequefws desplazamielllos) y el período es
r;;;
T = 2"{¡
[3.27J
El período es independiente de la amplitud, pero sí depende de la masa del punto y
de la constante k = V"( xo) donde Xo es la coordenada de posición del punto de
equilibrio estable. Cuando se hacen consideraciones como las expuestas se dice que se trata
de pequelías oscilaciolles en lOmo a una posicióll de eq/lilibrio eSlable .
Si k < O (xo es un punto de equilibrio inestable) entonces x(t) resulta no periódica (y
ndGmás no acolad<l ) pues resulta combinación line.-'ll de senos y cosenos hiperbólicos. De
esta manera queda probado que una vez perturbado un punto material, a partir de una
!X'sición de equilibrio inestable, se :\leja progresivamente de él.
En el caso del movimiento en to rno de una posición de equilibrio estable con
amplitudes ··grandes .. puede obtenerse el período de oscilación (de un movimiento que es
periódico pero no neL"esariamente <IrmóniL"o). Conocida la expresión de la energía !X'tencial
V(x) y la energía mecánica E puede plantearse
91
Capitl/lo 3
MECANICA
E _ ~/lu·2+V(X) .
Sea la situación que ilustra la figura 3.7 para la energía E = El. Los valores XI
E ~ V(x) :;:. O Y
Y
X2 (X2 > XI ) so n las raíces de
d
r;; dx
t - V2 .jE -V( x)
(3.28]
( donde se supuso dx > O) .
Integrando [3.28] entre X I
y X2
(que son puntos de retorno) y como el tiempo
transcurrido al pasar entre esas dos posiciones es la mitad del período T resulta
T-
dx
.hm J .jE-V(x)
(3.29]
Xl
expresión que da el período de oscilación cuando se conoce la energía E del punlo en un
cam{X) de fuerzas de potencial V(x).
Problema 3.4
Sea el sistema de la figura donde un punto de masa
horizontal sin rozamiento y se encuentra sujeto a un
resorte de constante elástica k. La longitud natural del
resane (cuando no está comprimido ni estirado) es lo
con I > lo. Detenninar el período para pequeñas
oscilaciones en torno ti la pos ición de equi librio
estable.
111 se
mueve a lo largo de un riel
r-,x=---II m
I
Resolución:
energía mecániCt1 se
movimiento unidimensional
energía potencial es :
La
conserva para este
La expresión para la
P
Fig.3-8
(3.30]
donde sólo se considera la acción de la fuerza elástica en la dirección de movimiento. Puede
probarse que V'(O) = O Y que además en x = O V(x) alcanza un mínimo.
Entonces x = O es un punto de equi librio estab le. Para delennina r el período para el caso de
pequeñas oscilac iones es necesario determinar V"(O).
Realizando el cálculo resulla V "(O) = k ( 1- lo) 1I .
92
.f!1agl/;llIdes D;lIIlmiCIIS De/'il 'ndtls
MECAf\flCA
El período para pequeñas osci laciones resulta de acuerdo con [3.27]
mi
T = 2" ./-:-:-:--:--,k(/ - lO)
Problema 3.5
Es factible determinar en forma aproximada el período de oscilación en torno de un
punto de equilibrio estable cuando se conoce la expresión de la energía potencial pero no
pueda aplicarse la aproximación de pequeñas oscilaciones.
Sea el caso del ll amado péndulo matemático (un sistema ya conocido de los cursos iniciales
de Física ). Un punto material de masa m se mueve en un plano vertical sujeto a punto fijo
por un hilo inextensible de longitud l.
No se considera ningún lipo de amortiguamiento .
Resolución .Llamando 8 al ángu lo que forma el hilo con la
vertical la expresión para la energía potencial es :
u(e ) = /l/g/ ( 1· cos e )
1
(3.31]
8
Evidentemente para 8 = O se tiene un punto de
equilibrio estable y para pequeñas amplitudes el
período es
T -
2nH
(3.32]
ni
Fig.3·9
que resulta independiente de la masa y por supuesto (como para todos los casos de
pequeñas oscilaciones) independiente de la amplitud.
Si se conside ran grandes amplitudes el período es una función creciente de la
amplitud y su cálculo con la integral [3.28] conduce a una integral elíptica. Esa integral
elípt ica se encuentra tabulada en cualquier tabla de funciones especiales. En es te caso el
período se expresa en la forma
donde F(A) es una función elíptica que es creciente con la amplitud A y tal que F(A )
tiende a 1 cuando A tiende a O.
Se muestra a continuación como se puede determinar el período del p¿ndulo en forma
aprox imada (resolviendo en forma aproximada la integral a partir de [3.28]) usando el
programa utilitario MATHCAD . L.1 aproximación consisle en suplantar en [3.28] dr
(donde ( :: ((x» po r el incremento D. ( Y considerando que tanto el tiempo como la
93
-,
Capilllto 3
MECANlCA
iX'lsición son variables discretas. Se mejora la aproximación aumentando el valor de N en
el programa pres~nttldo (N es el número de subdivisiones del intervalo de valores de x) .
Elleclor familiarizado con este programa podrá comproba r que efectivamente el período es
una función creciente de la amplitud modificando el valor de la amplitud, así como para
amplitudes pequeñas es válidn la <lproximación conocida para el período del péndulo dada
por [3.32] .
Péndulo simple para grandes amplitudes
Venmos como obtener la ecuacion horaria ptlr<l medio ciclo de oscibción de
un péndulo simple a pmlir de la expres ión para la energía potencial ...
El péndulo ...
ni
=1
g = 10
I =1
masa
longitud del hilo
aceleración de la gravedad
2onsiderando una división del ¡meNalo de amplitudes 2 A en N puntos :
N = 100
lO :: o
amplitud de la oscilación
instante inicial
V(o) =m·g·J·(l- cos(9))
E:: V(A)
energía potencial
valor de In energía (que se conserva ), se supone que el péndulo
se tlpartó de la posición de equilibrio un ángulo A y se lo soltó
(velocidad inicial nula).
A contin uación .se determinan los instantes en los cuales Se alcanzan cada una de las
¡x¡siciones consideradas, resolviendo en forma aproximada la integral que vincula
la energía y el tiempo (planteando la conseIVación de la energía)
resolución aproximada de la integral
94
I
I
MagniDldes Dinámicas Derivadas
IAECANlCA
Posición en funci6n del tiempo para media oscilaci6n
----------~
,
.
-'- 01- .. . - - - - - - - - . • • - -~ - - - - - - . - .. • - - ~,
. .
~
------==o...J
_,L.._ _ _ _ _ _ _ _..L_ _ _ _ _ _
1.7SS
1.101
' .409
';
Para determinar el período basta con considerar el doble del tiempo
empleado en media oscilación ...
T
=2.203
Si el potencia l fuese de la forma Vlx) = 5000 x' ·650 x' la fuerza (calcu lada co:no
gradiente de este fXlteocial ) resulta una función no lineal de la ¡:xJsici6n (diferen!e a la
conocida ley de Hooke vá lida para la fuerza elástica de un resorte en la zona lineal). 20 es~e
caso al sis tema oscilante u oscilador sujeto a este tipo de fuerza se lo denomina oscilac!or rrG
lineal o anarmónico (la ecuación horaria no es una función senoidal del tiem(X».
El gráfico de la ecuación horaria para medio período de oscilación se muestra en la ñgu:a
3.10.
'r-~======~~-r------------__.
L
,
- o -- . . . . . . . . . . - . . . . .
.. - . . . . . . . . - - . . -
o
..,
0-'
,.,
os
Fig _3-10
Puede verse como la representación gráfica de la ley de mOVimiento ~if.ere
significativamente de uoa función senoidal del tiemfXl que es la que correspond~ a la
ecuación horaria de un oscilador armónico.
95
•
CapItulo 3
MECAN1CA ·
3.7 ANALlSIS CUALITATIVO DE lAS ÓRBITAS EN UN MOV IMIENTO
CENTRAL
Todo movimiento cenlr:l l es plano y la fue rza actuante tiene siempre la dirección que
pasa por un punto Fijo. Co nsiderando coo rdenadas polares (r,8) con origen en el centro de
fuerzas se puede obtener Fácilmente la expresión que resulta de la conservaci6n del
momento cinético .De acuerdo con [3.11]
J'
,.-9 - /¡
donde h es una constante.
Como el campo de fuerzas F = f (1' ) r es irrotacional entonces se conserva la
energía. Supongamos el caso de la fuerza cuyo módulo varía en forma inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas o sea f(r) = -k / ,2 ,con k
constante positiva como correspondería al problema gravitatorio si el camfX> fuese
originado por una masa puntual. Otro ejemplo puede ser el de una ca rga eléctrica que se
mueva en el campo eléctrico generado por otra carga elétrica puntual fija de distinto signo.
No se considerará en este análisis el caso de dos cargas eléctricas del mismo signo ( en este
caso la fuerza es de repulsión)
Si ia fuerza es central y f(r) = ·k / /"2 entonces la energía potenci al viene dada por
Ver) = - k / r (se considera que la energía potencial es asintóticamente nula con r). Como la
energía se conserva entonces:
1
.J
J "
k
-m(,.- + ,. -8- ) - - = E
2
l'
[3.34]
donde se utilizó la expresión polar para la velocidad. La expres ión [3.34] puede reescribirse
de la siguiente manera :
1
2
.?
-1J11· -
+ Vel =E
[3.35]
donde Ve! se denomina potencial efectivo, este potencial se toma como aquel del cual
deriva el ca mpo de fuerz..1s unidimensional en la coordenada r. De esta manera [3.35]
puede considerarse como la expresión de la conservación de la energía para un movimiento
unidimensiona l en el que la coordenada de posición es, . Es la descripción correspondiente
a un observado r que estuviese en el centro de fuerzas girando junto con el punto en
movimiento.
De acue rdo con esta definición de Ver y con la expresión que se obtiene de la
conservación del momento cinético resulta:
con
Los valores de r para los cuales el polencia l efecti vo iguala a la energía mecánica E
son valores extremos de r ya que, para esa condición, se anula la com¡xmente radial de la
Magnimdes Dinámicas Derimdas
MECANlCA
velocidad como puede verse analizando [3.35]. El valor de ro es aquel para el cual se
anula la energía potencial. Esta tiende asintótica mente a cero y presenta una discontinuidad
esencial en r = O. La figura 3.11 muestra la variación de Ver con r .
Ve!
E4~r----------------------1
Fig.3 • 11
El gráfico muestra el potencial efectivo y cuatro valores de la energía mecamca. Puede
observarse que para valores positivos de la energía existe un solo punto de retorno (eso
significa que para ese valor de r se alcanza un minimo de la distancia al centro de fuerza) .
La órbita en torno al centro de fuerza es una cónica ··abierta·· (se puede demostrar que es
una hipérbola).
Un caso similar ocurre cuando la energía mecánica es nula (en este caso la energía
cinética en un punto muy alejado del centro de fuerza es nula). Se puede probar que la
órbita es upa parábola.
Si la energía m~cánica es negativa el punto nunca podra alejarse indefinidamente del
centro de fuerza. En efecto, como la energia potencial tiende asinlólicamente a cero y la
energía mecánica se conserva, resultaría que si r - ce. enlonces la energía cinética sería
negativa. Por consiguiente si la energía mecánica es negativa el movimiento está acotado ya
que lo está la distancia r al centro de fuerzas .En este caso la trayectoria es una elipse.
Un situación particu lar corresponde al caso en que E es igual al mínimo de Ver,
resultamJo que r es constante y por consiguiente la trayectoria es una ci rcunferencia.
El radio de esa circunferencia es r = 2"0 Yse verifica la relación
k
2
IEI----,
.
2m/¡que es la mínima energía posible para un valor dado del momento cinélico.
L'\ justificación del tipo de cónica que corresponde como 6rbit.'\ para cada energía se
desarrolla con detalle en el apindice 3.1 de este capítulo.
97
Copímlo 3
MECANICA
Problema 3.6
Una nave espacial describe una trayectoria circula r de radio rl alrededor de un cuerpo
celeste con una velocidad VI. Para poder pasar a una órb ita circu lar de radio r2 < rl la nave
ingresa primero en una órbita elíptica AB para lo que tiene que disminuir su velocidad a
V2 < VI cuando pasa por A.
Determinar:
a) la velocidad \13 de la nave cuando se aproxima a B sobre
la trayectoria elíptica ,
b) el valor de \/4 ,a que debe reducirse su velocidad en B
para entrar en la órbita ci rcu lar de radio r2 .
Resolución:
B
A
En la trayectoria elíptica se conserva el momento cinético,
por consiguiente:
[3.36]
Planteando la ley de Newton para el movimiento en las
trayectorias circulares, resulta :
Fig.3-12
[3.37]
donde m es la masa de la nave, M la masa ..:.:1 cuerpo ce leste y G la constante de
gravitación universal. A partir de [3.36] y con las [3.37] se tiene:
y
Problema 3.7
o
V
I
Un cometa se acerca al Sol sie ndo su •
ve locidad Vo cuando se encuentra a una gran amIda
distancia de éste . Si no fuera atraído por el Sol
pasaría a una distancia do de la superficie de él (a
esa
distancia se la denomina parámetro de
impacto).
El Sol lo atrae y siendo su energía posit iva
(se considera nula la energía potencia l cuando la
distancia cometa - Sol tiende a infinito) su
trayectoria es una hipérbola con el Sol en el foco.
El radio y la masa del Sol son respectivamente R
yM.
98
1
Sol
•
d
Fig.3-13
Magnitudes DinlÍmicas Deri\'(/dns
MECANlCA
Determinar:
a) la distancia de máximo acercamiento a la superficie del Sol,
"b) la velocidad en e l punto de máximo acercamiento,
e) una condición que cumplan los parámetros del problema para que el cometa ca iga en el
Sol en el punto de máximo acercamiento.
Resolución:
a) Se supone que la masa del cometa es despreciable respecto de la masa del Sol de manera
que puede suponerse que el Sol está en reposo y que su centro es es centro de fuerzas del
campo cenlral de fuerzas en el que se mueve el cometa. Se supone que la fuerza es
inversamente proporcional a la dist<'lncia por lo tanto planteando la conservación del
momento cinético respecto del centro del Sol y la conservación de la energía resulta:
[3.38J
vO(d O +R)-I'(d+R)
[3.39J
En [3.38] se consideró que en el punto de maXJmo acercamiento los vectores
. posición y velocidad son perpendiculares . En efecto • como la distancia es extrema
entonces la componente radial de la velocidad es nula. Reemplazando [3.38] en [3.39] se
tiene:
2 2MG
2
x + --,-x - (do + R) - O
V
o-
con x:: d + R
• resolviendo la ecuación
cuadrática resulta:
b) De [3.38J se tiene v.
e) De lo obtenido en a) para la distancia d • resulta que para que d = O , se debe cumplir la
condición
?
ZAfGR - vO- dO (dO + 2R)
3.8 RESUMEN
.A modo de resumen y para mostrar la analogía ent re Ins distintas magnitudes
dinámicas en cuanto a sus variaciones instantáneas, variaciones en intervalos finitos, y la
posibilidad de su conservación se presentan los siguientes mapas conceptuales:
99
t
Capín/lo 3
MECANICA
a) cantidad de movimiento
Su
derivada
I~
..:..:::;:: :> .. :::.;: .:.:.:.;..
jj~ntY.(··
Fuerza
Integrada
. . / . _en el tiempo
I
Cantidad de movimiento
Su \
\lariación~
[ =
r" F(I)dt
b) momento angular o momento de la cantidad de movimiento
Y.=o ó Vxp=Ó
Su
~
derivada
I
.. ..:.:.;.
... ... ...:.:.:
.
..
...;;: •.•..... ;.:.:.......';-',
. "'-.
M omento de la Fuerza
!ti omento cinético
Sil \
variación'
..... .........
. BpQ~ !fA{J ·
...... ; .... .-
-::--';-':'-'
lOO
.
'; :.;
....:.:.;.; .
J
Integrado
~_ en e1tiempo
I{Ro} "
r: o{')'"
R
Magnimdes Din6micas Deril'l1das
MECANlCA
e) energía cinética
,
I
\
Su
derivada
í
Energía
Su \
variació n '
\
Potencia
'lnugrada
~ en el tiempo
W=
f" p(t)dt
"
101
•
Capítulo 3
M ECANICA
3.9 PROBLEMAS PROPUESTOS;
F (t)
Pr-oblema 3.8
Considerando el problema del movimiento en una
dimensión y suponiendo que actúa una fuerza
variable con el tiempo que no cambia su sentido
hacer una interpretación del impulso de la fue rza
analizando el gráfico que da la variación de la
fuerza con el tiempo (ver figura 3-14)_
l.
t,
PI'ob lema 3.9
Fig. 3 • 14
t, t
Unn partícula de masa m y carga -e (e > O) ingresn en un campo eléctrico uniforme y
constante con velocidad v paralela a la dirección del campo y en el mismo sentido.
n) Determinar el tiempo transcurido hasta que relOma a la posición inicial.
b) Detenninar la distancia que recorre hasta que se invierte el sentido del movimiento.
e) Analizar las magnitudes que se conserV3.n y calcular las variaciones de aquellas que no se
conseryan durante el intervalo de tiempo cuya duración se calculó en a).
R/as: a) 2 mv I E e
b) m;' I 2eE
e) la ellergfa mecánica
Pmb lema 3. 10
Suponga que una de Ins componentes de la fuerza actuan:e sobre un punto material se
anula constantemente en una dirección fija. Proba r que la componente de la cantidad de
movimienlo en dicha dirección se conserva.
P rob lema 3. 11
Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de un campo de fuerza a lo largo de la
elipse r = a cos 00 t i + b sen O,¡ 1 7. Si pes la canlidad de movimiento, probar que:
a) r x ji
=m a b
ú)
k,
b) r. p = 1/2 m 00 ( b1 • a 2 ) sen 200 t.
PI'oblema 3. 12
Probar que si el punto Q se mueve respeclo del sistema de referencia inercial considerado
entonces la relación que vincula el momento de las fuerzas respecto de Q con la derivada
del momento cinético respeclo de ese pun lo viene dada por: LQ - M Q - vQ' x p.
102
I
Magnitudes Dinámicas Derimdas
MECANICA
Problema 3.13
Una esfera de 0.2 Kg de masa se desliza sobre una mesa horizontal con rozamiento
despreciable. La esfera está sujeta al extremo de una cuerda que pasa a través de UD
pequefio orificio de la mesa alrededor del cua l gira. En el instante en que la longitud de la
cuerda es a = 0.4 m la velocidad de la esfe ra es 1 m / s . Sabiendo que la cuerda se rompe
cuando la tensi6n en la cuerda es de 4 N determina r la longitud mínima de la cuerda en la
mesa antes de que se rompa. Determinar la velocidad en esa situació n.
Sugerencia: Analizar la conservación de una magnitud dinámica ...
Rra: 0.2 m y 2 m / s .
Problema 3.14
Sobre un punto materia l actúa la fuerza F (la resultante de todas las fuerzas actuantes ).
Analizar que magnilUdes dinámicas se conservan e indicar pos ib les situaciones donde se
cumpla:
a) F = O
b) F. ü = O ü es un vector de dirección constante. Esta cond ición significa que la fuerza
actuante no tiene componente en una dirección fija.
c) F es un vector constante.
d) ro' F = O
e) F tiene una dirección a la que siempre pertenece el punto fijo O y módulo f{r) donde r
es la distancia entre el punto O y el punto en movimiento.
f) F . v = O (ii es el vector ve locidad del punto). Esta condición significa que la fue rza
actuante no tiene componente en la dirección de movimiento.
g) ¡ x V = 6 (la fuerza es nula, el punto material está en reposo o la fu erza es ca lineal con
el vector velocidad.
h) ¡ tiene dirección constante y su módulo depende de la coordenada medida en esa
dirección.
Problema 3.15
Una partícula de masa m atada a un hilo inextensible se puede deslizar sobre un plano
horizontal liso.EI extremo del hilo se introduce con ve locidad constante u en un orificio
hecho en el plano.
a) Tomando coordenadas polares (1',8) obtener las ecuaciones horarias si para t = O. son
.r (O) =R Y la proyección del vector velocidad inicial en la dirección perpendicular al hilo es
Vo; se supone ecO) = e.
b) Calcular la tensión en el hilo en función del tiempo.
c) Ind icar ~ue magn itudes dinámicas se conservan.
d) Calcular el trabajo realizado para reducir la longitud del hilo hasta r = a < R.
103
Capíllllo 3
MECANICA
VOl
Rtas , a) 9(1)---
b)
R-U1
1'()
'R'
.,./I-,-'V-,
0-"-,7
t - (R-ut)'
IIlVo' [(R)' -1 1
d)W - -2- -;;-
Problema 3.16
Una cápsula espacial describe una órbita circular de radio ro CaD velocidad Vo alrededor de
un cuerpo celeste no especificado de centro O. Su cohete impulsor súbitamente se enciende
2
incrementando su velocidad desde Vo hasta a Vo ,donde 1 < 0 < 2 .
Demostrar que la distancia de máximo alejamiento del cue rpo celeste depende de ro y a y
expresar la razón entre la distancia de máximo alejamiento de O y ro en función de a.
Sugerencia: Use los teoremas de conservación y la ley de Newton para el movimiento en la
trayectoria circular. Para plantear la conservación de las magnitudes que considere que se
conservan, analice los puntos en la trayectoria elíptica que corresponden al instante
posterior al encendido del cohete y el que corresponde al máximo alejamiento.
RLO:
La relación pedida es
0
2
I ( 2 . 02 )
Problema 3.17
Un vehfculo de carre ras de masa M puede ace lerar del reposo a la velocidad v recorriendo
una distancia D.
a) Si se supone, como una primera aproximación, que la fuerza tangencial ejercida sobre el
vehículo es constante, ¿cuál es el módulo de la fuerza ?
b) Suponga que todo el peso del vehículo actúa sobre sus ruedas traseras (motrices) y que
el coeficiente de fricción entre las ruedas y el camino es ~L Use el teorema del trabajo y la
energía para determinar la velocidad máxima que, en teoría, puede alcanzar el vehículo en la
disk'lncia D.
Rla: a) M v' / 2 D
b) v' = 2 fl g D
Problema 3.18
'.
I
!
I
El juego de resortes de la figura se usa para detener
el émbolo A de 8 Kg que llega a una velocidad de
3 mis e inviene el sentido de movimiento. El resorte
interior aumenta la desacel eración y su posición es
ajustable. Si el punto exacto de inversión de
movimiento corresponde a una deformación máxima
de 15 cm del resorte exterior, determinar el ajuste
del resorte interior especificando la disL-1ncia S
entre los extremos libres de los resortes no
compri midos. El resorte exterior tiene una consta nte
de 24 N/cm y el interior, 16 N/cm.
Rla: S = 4.38 cm
104
s
Fig. 3-15
MECANlCA
Problema 3.19
Un vagón de; ferrocarril de 30000 Kg dI:! masa
es detenido por el tope con un sistema de
resortes como el que muestra la figura 3.16.
\
Sabiendo que la máxima deformación del tope
fue de 15 cm, determinar el valor de la
velocidad que tenía el vagón antes de chocar
con el tope. Los resortes A y B tienen una
constante elástica de 900 Kgf I cm mientras que
para el resorte
e del cent ro es de 1400 Kgf I
cm.
Fig.3-16
Rra: 1.33 mIs.
Problem:l 3.20
Un instrumento delicado que peso Wse coloca sobre un resorte de constante k de tal forma
que su base apenas toca el resorte que está sin deformar.
(l) Calcular la máxima detlexión x del resorte y la máxima fuerza ejercida por el resorte de
I.:UIl:::.lülltc k si el instrumento se suelta de repente de su posición original para el caso en que
\V I k:: 0.2 cm.
b) Los resones no lineales se clasifican como duros o blandos dependiendo de la curvatura
lh:: los gráficos fuerza F en función de la elongación x.
Reso lve r a) suponiendo que
bl) se uti li za un resorte duro para e l cua l F(.,,·) '" k x ( 1 + 0.3 xl),
b2) se emplea un resorte blando para el cual F(x) = k x ( 1 - 0.3 X2).
En ambos c.1S0S representar gráficamente la fuerza en función de la elongación.
Nota: Par~ resolver lo requerido en b) se h~l'e necesario obtener raíces de un~ ecullción algchraica de tercer
grado ( por ejcmplo 0.3'? ... 2 x . O.~ ::: O pard bl». Existe una forma cerrada pat~ obtener raíces de
ccuHciones cúbicas a par1ir de sus coclicientes. T¡ulIbién puedc recurrir 11 programas utili tarios como
MathCad ( ver la función root) o MalhclllaliC1l (consultar la ayuda sobre la función Solve).
Rta: a) 0.4 cm
b1) 0.391 cm (Mathematic.1)
b2) 0.410 cm (Mathematica).
Problemu 3.21
Un alpinista de peso P está unido, por seguridad, a una cuc:rda amarrada a una distancia L
debajo de él. Suponga que el alpinista se cae y que la cuc:rda se comporta como un resorte
lineal con longitud sin estirar L y constante de resorte k = e I L, donde e es una
constanlt:. Use la conservación de la enc:rgía pma determinar la m,ixima fuerza ejercida por
1.. cuerda sobre él. Observe que la fuerza máxima es independiente de L, lo que tranquiliza
il los alpinistas: la fuerz.1 máxima que: resulta de una caída larga c:s la misma que en una
caída corta.
105
II
11
I
I
•
Capín/lo 3
MECANICA
Pmblema 3.22
Una pieza de peso W se acopla a un resorte
de constante k y se desliza sin rozamiento a
lo largo de una varilla circular, la cual se
encuentra en un plano horizontal. El resorte
está no deformado cuando la pieza está en e
Si la pieza se deja en reposo en 8,
determinar su ve locidad cuando pase por el
punto e si L = 3 R .
L=3R
Rta: v' = 1.261 g k R' / W
Fig.3-17
Problema 3.23
Un cuerpo se mueve en una guía rectilínea sujeto a un resorte de constante elástica k y se
considera la acción de una fuerza resistente de módulo de proporcional a la ve locidad
instantánea ( coeficiente de proporcionalidad f3). Calcular la velocidad de variación de la
suma de las energías cinética y potencial elástica en función del tiempo. Suponga que se
cumple 4 m k > 13 2
donde A Y a
Rta :
son
constantes a determinar con condiciones iniciales y W¡2 ::: k / m _ 13 2/ (4m 2).
Problema 3.24
Un punto material de masa m se mueve sobre el eje x en un campo de fuerza cuyo
potencial es V(x) = i (6 - x). Detenninar:
a) los puntos de equilibrio y clasificarlos
b) Analizar la eStabilidad. Para los puntos de equilibrio estable determinar la frecuencia de
pequeñas oscilaciones si 111::: l.
Rta: a) x = O Y x =4 ,el primero estable y el segundo inestable
b) la frecuencia de osci lación en torno al punto de equilibrio estable es
106
.f3
~
I
A{ngninldes Dinámicas Deril'adas
MECANICA
Prob lema 3.25
Un ascensor de 6000 Kg de masa desciende con una velocidad de 12 mIs.
Qué fuerza de rozamiento entre el ascensor y los rieles debe desarrollar el sistema de
seguridad para que el ascensor se detenga luego de recorrer 10m en caso de ruptura del
cable que soporta al ascensor? Considerar que la fuerza de rozamiento es constante.
RIQ: 10530 Kgf
Problema 3.26
Se sabe que la fuerza de resistencia sobre un barco es proporcional a la velocidad elevada a
la 1.75. Un solo remolcador a toda potencia puede remolcar el barco a una velocidad
constante de 6 Km I h ejerciendo una fuerza de 20 Tn. Determinar:
a) la potencia en HP desarrollada por el remolcador.
b) la máxima velocidad a la cual dos remolcadores • que desarrollen cada uno la misma
potencia que la calculada anteriormente, pueden remolca r el barco .
. e) la velocidad a la cua l un solo remolcador moverá el barco si solo desa rrolla la mitad de
la potencia calculada en a).
R/as .- a) 444.4 HP
b) 7.72 Km/h
e) 4.66 Km/h.
Problema 3.27
Usando la expresión [3.29] determinar el período de oscilación para el oscilador lineal de
masa m en una dimensión sin amortiguamiento para el cual la energía potencial es
V(x) =k x' 12.
fff"
R/a: 21l -
k
Problema 3.28
Determinar el período para pequeñas
oscilaciones en torno de la posición de
equi librio estab le de los sistemas que se
muestran en las figuras.
a) Un punto material de masa m esta
sujeto a dos resortes de igual constante
k y limitado a moverse. en un rie l
horizontal. Los resortes tienen una
longitud natural lo < 2 l , donde 2 1es
la distancia entre los puntos donde están
sujetos los resortes.
1
m
x
1
Fig. 3-18
lO?
\
........------------------Cnpímlo 3
MECANICA
lb) Dos
d
m
cuerpos cclfgados eléctricamente con iguales
+Q
cargas JX1Sitivas Q están fijos. L1 distancia entre ambos
es d. Una partícula de carga q (también pos itiva) está
+q
limitada a moverse en la recIa determinada por los dos
cuerpos )' entre el los. El potencial elec trostá tico del
campo en q ue se mueve esta partícula viene dado por:
+-+x=O
Qqd( ,
V(x)---
d
2i"tE O
1 , ).
d--x·
+Q
Fig. 3-19
Rras: a) T' = 2 n' (m/k) ( I! ( /- /,))
b)T'=4mn' "d' / Qq
Problema 3.29
Un punto mate rial de masa m se mueve por un alambre
circular liso vertical, estando unida a él por un resorte de
constante k. La longitud natural del resorte es lo = R .fi
sie ndo R el radio de la guía circu lar y el otro extremo del
resorte está fijo a la pmte superior de la misma. Suponer que
kR=Smg.
a) Reducir el movimiento a un movimiento unidimensional
equivalente, determinando puntos de estabilidad y de
reto~n o.
b)Determinar el período de pequeñas oscilaciones en torno al
punto de equilibrio es table si n considerar la acción del campo
gravil.:1 10rio.
Rla:
a) !PI = O (pu nto de equ ilibrio inestable)
!P2 = 2 arcos 0.8839 (punto de equilibrio estable)
b) T' = 8 n' 111 / k
Fig.3-20
Problema 3.30
Una panícula cargada de masa 111 se mueve en una trayectoria recta sujeto a la acción de un
campo de fuerzas F( x) _ _
lOR
kx
.J(d' +x' ¡'
¡ con k y d constantes positivas .La coorde nada
•
MaSIJiflldes Dinámicas Deril:adas
MECANlCA
x se mide en la dirección de movimi\!nto.
a) Usando un planteo energético C:1.lcu lar la velocidad de la partícula al pasar por x = O si
inicialmente se encontrnba en reposo en la posición Xo= J15d.
b) Plantear la ecuación diferencial de movimiento y analizar d caso en que x«
Si el movimiento resul ta periódico calcular el período.
d.
\
t
DalO:(I+z)'=I+"z + (n(n+I))/2
+ ...
Izl< I . Conayud.1deeste
desarrollo puede obtener una aproximación p<'lra la fuerza para el caso en que x« d.
Rlas: a) v1 = 3 k / (2 md)
b) El movimiento es periódico y T l = 4 )'t2 m d J / k
Problema 3.3J
Para el
caso de la órbila circu lar presentado en
3.7
demostrar que el período del
32mn 2'oJ
movimiento circular unifonne es T-
k
PROBLEMAS PARA RESOLVER CON EL USO DE COMPUTADORA
Prob lema 3.32
Un cue rpo desliza po r una guia circular rugosa 0/4 de circunferencia) de radio R en un
plano circular. El extremo superior está a una distancia R del piso mientras que el extremo
inferior es tangente al piso . El cuerpo se deja caer desde el reposo desde el extremo
superior y alcanza el piso donde se detiene al finalizar la guía circu la r .
a) Hacer una análisis energético del movimiento.
b) Si ~¡ es el coeficiente de rozamiento. demostrar que
~-f(~)
o también
~ = g(~)
1 !L'
r(~)-3e
2
(l-2~)
g(~) ~ p-3~ ~p(-rr~t)
c) Determinar el valor del coeficient\! de rozamiento ~¡.
Sugerencia: Obtener una sucesión ~I. con ~t o = 0.5 ( un valor inicial dado) y
~¡hl = g ü ¡.)
( m¿todo de itl.!ración ti punto fijo ).
Im pl\!m\!ntar esta it\!ración y obtener
~l
\
con tres cifras decimales sign ifiC:1.tivas.
Rlo : e) ~I:=; 0.603
109
•
Capítulo 3
MECANlCA
Problema 3.33
Considere el problema 3.29 a). Escriba la expresión para la energía potencial en función
del ángulo q> y del parámetro r = kR I mg . Represente gráficamente la energía ¡x>tencial
para <p variando entre -0.2 y 2 para varios valores de r (0.5, 1 , 2 , 3 , 4 , 5). Por
inspección del gráfico analice la existencia de punlos de equilibrio estables e inestable.
Problema 3.34
Un cuerpo cae desde el reposo desde una altura de 100 m. Supongamos que la fuerza
resistente del aire es de módu lo proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Se
sabe por resultados experimentales que la constante de proporcionalidad para cuerpos de la
misma forma que el cuerpo que cae es b = 0.0 1 ( sistema MKS ). La masa de l cuerpo es
0,5 Kg.
Obtener la variación con el tiem¡x> de la suma de las energías CIncuca y potencial
gravitatoria integrando la ecuación diferencial
t - _bv 3 por el método de Euler.
Simultáneamente oDlener ( también por el método de Euler) la ecuación horaria . Tomar el
paso de integración h = 0.05.
v( E ,x) _ ./.::2(:.;:E'---...l("'m"'g(.:.:H'---.:cx"'-))
Sugerencias: Para estimar la velocidad instantánea usar
In
Rta: El suelo lo alcanza en aproximadamente 6.05 seg con una velocidad de 22.17 mis
con una energía de 122.87 J.
Problema 3.35
En el interruptor mecamco de acción
retardada de la fig.3.21, un electroimán
h
libera el deslizador de un masa m en la
posición A. Bajo la acción de la gravedad y
del resorte lineal, el deslizador se mueve a lo
largo de la barra lisa de la posición A a la
posic.ión B, cerrando el interruptor. ·La
constante del resorte es k y su longitud sin
estira r es r. ¿Cuál es la magnitud de la
velocidad máxima del deslizador y en qué
Fig.3-21
posición ocurre?
Aplicación numérica:
m = 0.1 Kg k = 1 NI m , r = 50 mm
R=200mm y}¡ = 100 mm
Sugerencia: Como la epergía mecánica se conserva obtener una expresión para la velocidad
'!n función del ángulo de posición del deslizador respecto de la horizontal. Representar
~ficamente la velocidad en función del ángulo girado y obtener en forma aproximada el
ángu lo que corresponde al máximo de la velocidad. Para un cálculo con mejor precisión
110
Magllit/ldes Dinámicas De,imdas
MECANlCA
obtener la derivada de la ve locidad respecto de la posición (le convendrá usar un programa
tal como Mathematica ) y obtener su cero.
Rla: para un ángulo de aproximadamente, 1000
la velocidad alcanza un máximo de
66.4 mm/s.
PROBLEMAS DE SELECCION MUL TIPL E
Problema 3.36
Una magnitud conservada es una magnitud que:
a) Toma el mismo valor en lodo punto del espacio.
b) Es invariante con un cambio del sistema de referencia.
c) Permanece constante en ellranscurso del tiempo.
d) Es independiente de la orientación de los sistemas de referencia.
e) Cumple simultáneamente con I<ls cualro condiciones <Interiores.
Rta: c.
Problema 3.37
Un comet<l describe Un<! órbita elíptica alrededor del Sol. Se consideran dos puntos A y B
de esta órbita (A más alejado de l Sol que B). Sean vel módulo del vector velocidad, a el
módulo del vector aceleración, V la energía potencial (con el cero en el infinito) y L el
momento ciné tico respecto al centro del Sol. Entonces:
a) VeA) < V(B)
b) v (A) > v (B)
e) a (A) > a (B)
d) L (A) > L (B)
e) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
Rta: e.
Problema 3.38
Una partícula ligada realiza un movimiento de forma tal que se conserva su momento
cinético respecto de un punto O. Entonces, lIecesariameme
a) t<lmbién Se conserva la cantid<ld de movimiento de la partícula.
b) la trayectoria de la partícula debe ser plana.
e) la trayectoria de 1<1 partícula debe ser una elipse.
d) el vector velocidad se mantiene normal al vector posición.
e) la aceleración tangencial es nula.
Rta: b.
111
MECANICA
Capíllllo 3
Problema 3.39
Una cápsula espacial describe una órbita circular de radio ro con velocidad Vo alrededor de
un cuerpo celeste no especificado de centro O. Su cohete impulsor súbitamente se enciende
incrementando su velocidad desde Vo hasta 1,2 Vo. po r lo que ingresa a una órbita elíptica de
radio menor ro y radio mayor r1. Entonces, para mantener una órbita de radio fl , al llegar a
esta posición el astronauta debera imprimirle a su cohete una velocidad de :
a) 1,2 va
b) (1/2) va
c) (4/3) va
d) (3/5) va
e) ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
Rla: d.
Problema 3.4C
Un punto material de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza atractiva que varía con
el inverso del cuadrado de la distancia al centro de fuerzas en la forma:
F : - ( k / ,') i'
( k > O)
donde i' : x r + y 7 : r i'
La trayectoria es una circunferencia de radio R con centro en el centro de fuerzas.
Uno de los siguientes enunciados es INCORRECTO.
a) su velocidad es
J'f,lIR
b) el módulo del vector momento cineuco es ~lIlkR
e) el cuad rado del tiempo en dar una vuelta es 4 n 1 Rl m I k
d) La energía mecánica (lomando potencial nulo en infinito) es . k / 4R
e) la energía cinét ica por unidad de masa es k / 2 mR.
Rla: d .
112
Magnitudes dindmicas derimda$
MECÁNICA
APENDICE 1 DEL CAPITULO 3
ORBITAS CON FUERZA DE ATRACCION INVERSAMENTE
PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA
1. GEOMETRÍA DE CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES
Como se demostrará en 2. se verifica que las órbitas bajo la acción de fuerzas
centrales cuya componente es de módulo inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia al polo, son cónicas (hipérbolas, parábolas, o elipses, y como caso particular la
circunferencia). Antes de probarlo es conveniente establecer la forma de la ecuación de una
cónica cuando se utilizan coordenadas polares.
Sea el punto fijo F y la recta fija 1. Se
indica con d la distancia entre la recta
denominada directriz y el punto F, al que se lo
llama Joco de la cónica. Para el punto P de la
cónica se indica con s la distancia a la recIa y
con r la distancia al foco F.
p
s
r
F
e
I
La excentricidad e se define como
,.
e--
s
[1]
d
Se puede plantear la siguiente relación
/'cos8 +s - d
Fig.3-22
[2]
y reemplaz.1ndo [1] en (2] resulta que la distancia r del punto genérico P de la cónica al
foco F es :
p
,. ---'------:1 + ecos8
[3]
La expresión (3) es la ecuación de una canica en coordenadas polares 1',8. El
parámetro p es el valor de r para 8:;:it /2 Y se lo suele denominar lado reCIO de la cónica, El
pa rámetro e es un número no negativo. Si e = O resulta que r es constante; es el caso de la
circunferencia.
Si O < e < 1 el denominador de [3] es positivo y por consiguiente los valores de r
quedan acotados entre ed I (1 + e) y ed I (1 ~ e). La órbita es cerrada y tiene dos ejes de
simetría: uno de ellos es la rec ta 8 = O (la recta perpendicular a L que pasa por F). Este
caso es el que corresponde a la elipse.
Si 1 s e, la distancia,. no tiene cota superior, y la órbita es abierta con un eje de
simetría (O = O). La cónica es una hipérbola. El caso e :; 1 corr~sponde a la pardbola: el
lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recIa directriz y del foco.
113
Capíllllo 3
MECANlCA
2. ORBITAS EN UN CAMPO DE FUERZAS GRA VITATORlO
Si el campo de fuerzas central tiene su componente radial que varía inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas, entonces las trayectorias
posibles de un cuerpo en dicho campo son cónicas con foco en dicho centro. Para probar
este resuhado supongamos que el campo de fuerzas es de atracción generado por un cuerpo
fijo cuya masa es mucho mayor que la de l cuerpo en movimiento, y que se consideran
coordenadas polares en el plano de movimiento. El campo de fuerzas es :
_
e
F ~ --,r
[4]
r-
con la constante positiva e = GMm (en un problema electrostát ico la constante e está
relacionada con otras constantes propias del problema), donde G es la constante de
gravitación universal , M es la masa del cuerpo, supuesto fijo, en cuyo campo gravitatorio
se mueve el punto material (el cuerpo celeste cuyo movimiento se considera) de masa m.
La aceleración es radial y está dada por
e
ii ~ - - , 1
[5]
mr~
mientras que el momento cinético del cuerpo respecto del centro de fuerzas (que se
conserva !) está dado po r
r. - mr'8[
[6]
donde el versor indicado es perpendicular al plano de movimiento.
Se puede obtener una ecuación diferencial cuya solución pennita obtener la
trayectoria r = 1'(8), en coordenadas polares, que son las más adecuadas para analizar este
problema. Para obtener esa ecuación diferencial obsérvese que
- d"V .
~
iixL--xL - -Cei'xk
[7]
dI
pero se verifica que
- - df
-fxk=8=-
[8]
de
entonces
do
d
. di'
di'
dI
dI
de
dI
- x l - -(oxl)-ce-- cy así la ecuación diferencial
[9]
puede integrarse resultando
(10]
donde el vector e (! es la constante de integración (un vector en este caso).
Proyectando el resultado anterior en la dirección radial se tiene:
\
vx[.r = e (1+eJ)
114
[11]
M<lMniwdes dimímicas dt!rivadas
MECÁNICA
Considerando
r- e cose. donde e es el ángu lo entre los vectores e, r y
11 xL. r = r x v. L . la definición de momento cinético
~.
L
rxv=-mI'
Reemplazando en [11]
_ _ _ L'
rxv.L=-
[1
mI"
así -
L'
mr
-
e (1 + e cose) de donde puede 'explicitarse r en función de 6 (la ecuación de la
órbita en coordenadas polares) resultando:
L'/
¡me
[13]
y comparando con [3] resulta que la órbita es una cónica en el plano perpendicular a la
dirección constante del vector momento cinético, la excentricidad depende de las
condiciones iniciales así como el lado recto de la cónica que es igual aL 2 I m C.
La deducción anterior contempló en varios de sus pasos la conservación del
momento cinético. Se puede encontrar una relación que vincule la excentricidad de la órbita
con la energía (la otra magnitud dinámica conservada en este problema).
El potencial gravitatorio para el campo generado por la masa M viene dado por
e
V(r)--[14]
Inr
donde se consideró el cero del potencia l a distancia muy alejada del centro de atracción
(más especificamente, Ver) es asintóticamente nulo, tiende a cero r _ 00).
L1 energía potencial para el cuerpo de masa m que orbita en la trayectoria dada por
[13], es:
C2 m
V(6) - - L' (l+ec056)
Para poder obtener una expresión para la energía cinética T -
2"1
(15]
In ",2
I"XLI' - v' L' - e' (1+2ec059+e')
puede verse que
[16]
y de aquí se tiene que el cuadrado de la velocidad es
C'
v' -U(1+2ecos9+e')
y la cm:rgia cinética es:
mC' (
T - 2 L1 1 + 2ecos9 + e
,)
M
[17]
[18]
115
l
MECANICA
Capítulo 3
Sumando [15J Y [18] se obtiene para la energía mecánica E del cuerpo que orbita
1 me' (,
)
E=T+V=--,-e--l
2 L
[19]
La expreslon
(19] permite vincula r la energía (determinada por las condiciones
iniciales), la excentricidad e de la órbita y el módulo L del momento cinético que es también
una magnitud conservada.
A partir de [19J se pueden extraer las siguientes conclusiones:
• El menor valor de la energía (para un valor dado del momento cinético) corresponde a
e:;: O, donde r es constante. Este es el caso en que la órbita es una circunferencia.
• Cuando la energ ía es negativa y mayor que la mínima se verifica O < e < 1, el cuerpo
desc~ibe una órbita elíptica. El hecho que se considerara el cero de la energía potencial
para r ..-,. 00, y que la energía sea negativa detennina que el valor de r sea acotado. En
efecto, como la energía cinética es positiva no puede darse la condición que r sea no
acotado. El valor constante negativo de la energía mecánica da una medida de la energía
que habría que suministrar al cuerpo de masa m que orbita para que pueda escapar de la
atracción del cuerpo de masa M. Por eso se suele decir que el cuerpo que orbita está
ligado y la energía que habría que suministrar para que quede libre se la denomina
energía de ligadura.
i
•
l'
Si la energía es positiva se cumple 1 < e , el punto describe una órbita hiperbólica.
Como se tomó el cero de la energía potencial para r -+ 00 , y la energía es positiva
entonces el cuerpo tiene velocidad no nula para,. ..-,. oo. El cuerpo no está ligado en este
caso, la distancia r (la distancia al centro atractor) tiene un mínimo pero no tiene co ta
superior. La trayectoria en este caso es abierta.
•
El caso particular en que la energía es nula se corresponde con e :;: 1. La trayectoria es
parabólica, es abierta y tiene características similares al caso de la órbita hiperbólica.
La figura 3.23 muestra las ¡x>sibles órbitas
a part ir del vértice para diferentes valores
de la velocidad inicial a partir de un mismo
o<E«Jl~--___
punto. La velocidad inicial para la cual la
Elipse
órbita es una parábola se la denomina
velocidad de escape. Para velocidades
inferiores a ésta las órbitas son elípticas,
Circunferencia
velocidades
mayores
a
ella
para
corresponde una órbita hiperbólica.
La velocidad de escape si el punto de
lanzamiento se encuentra a una distancia ro
del centro de fuerzas viene dada por
Fig.3-23
1
I
116
1
-~
SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES
SISTEMAS DE MASA VARIABLE
4.1. INTRODUCCION
119
4.2. DEFINICIONES
4.2.1. Sish:mas dI:: partículas
4.2.2. Fuerzas inleriores y exteriores
120
120
121
4.3. RESULTANTE DE LAS FUERZAS INTERIORES APLICADAS
122
4.4. MOMENTO RESULTANTE DE LAS FUERZAS INTERIORES
APLICADAS
122
4.5. TRABAJO DE LAS FUERZAS INTERIORES
123
4.6. BARICENTRO O CENTRO DE MASAS
4.6.1. Definición
4.6.2. Cantidad de movimiento
4. 6.3. Teorema general del movimiento del baricentro. Primem ecuacil1n cardinal
de la dinámica.
124
124
124
4.7. MOMENTO CINETICO
4.7.1. Definición
4.7.2. Propiedad I
4.7.3. Propiedad 11
129
129
130
131
4.8. ENERGIA CINETICA
4.8.1. Teorema de las Fuerzas Vivas (Trabajo - Energía) para Sistemas de
Puntos Materiales
4.8.2. Teo rema de Konig
132
125
132
132
133
4.8.3. Conservación de la energía cinética
137
137
138
138
139
139
4.9. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
4.9.1. Ley de Newton
4.9.2. Energía cinética
4.9.3. Cantidad de movi miento
4.9.4. Momen to cinético
4. 'J.5. Energía mec:inica
117
4.10. CHOQUE
139
4.10.1. Ddinicjón . Clasificaciones
4.10.2. Ley de: Nc:wtoll ud ¡;hOl..Jue
4.10.3. Choque: pan:ialmentc: d,istico
4.10.4. CIU ll jUC el;ístico
139
141
141
4.10.5. Choqut: plástico.
143
144
4.11. EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES
4.] 1.1. Teorema general dd equilibrio
4.11.2. El Principio de Ins Trahajos Virtuales
4.11.3. El Principio de D' Alembt:rt
146
146
146
149
4.12. SISTEMAS DE MASA VARIABLE
150
4.12. J. Planteo gent:ral del problema.
150
4.12.2. Aplicación al caso de un cohete lanzado vertica lmente
,4,12.3. Aplicación al caso de un avi~n a reacción
151
152
4.13. PROllLEMAS PROPUESTOS
158
APENDICE l. " INTRODUCCJON A LA MECANICA ESTADISTICA
1. Hipótesis ¡Je la MeCcinica Estmlística Clásica
2. Lcy de distribución de la Mec.inica Estadística Clásica
3. ApIH.;adón al caso de un gas ideal monoatómico
3.1. Cálculo dt: la velocidad mt:uia
3. 2. Cálculo de la vdocidad Ol.ís probable
3.3. Oílculo de la vdocidad cuadrtitica m~dia
3.4. Distribución de vdocidades de Maxwelt - Boltzman
169
169
171
172
173
174
174
175
APENDICE 2. " INTRODUCCJON A LA MECANICA DE LOS SISTEMAS
CONTINUOS
1. Gt:neralidades
2. Fuerzas de ~nasa y de superficie
177
, 3. EcuacioOt~s t.ljrerenciales dd movimienio
4. Desplazamientos
5. Lt:y dt: Hooke generalizllda
6. DimímiC<1 de los Fluídos
6.1. Definiciones
6.2. Muvimiento general de un fluido
6.3. Ecuación de continuidad
179
II ~
177
177
180
181
182
182
184
184
Sistemas de Plintos Materiales - Masa Variable
MECÁNICA
CAPÍTULO 4
SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES
SISTEMAS DE MASA VARIABLE
4.1. INTRODUCCIÓN.
LL
amaremos Sistemas de Punlos Materiales a una colección de partículas (que
satisfacen la definición utilizada en los capítulos previos), que ejercen
interacciones mutuas entre sí y COn otros puntos materiales O sistemas, ajenos
al que se considera.
Cumplen con esta definición, el sistema de partículas elementa les en que puede
considerarse subdividido un sólido (deformable o no), el conjunto de puntos materiales
const ituido por los planetas del Sistema Solar, la colección de partícu las que conform an una
L~asa determinada de fluido, elc.
o
G
o
o
•
o
Fij¡. 4-1
s
Nuestro objelivo es describir el movimiento
del sistema de acuerdo con las leyes que gob iernan
su dinámica, cuando cada una de la partículas q ue lo
integran está sometida a un conjunto de fuerzas.
El sistema de puntos materiales podrá
cumpli r condiciones adicionales, tales como
relaciones geométricas en su vinculación con las
ot ras partículas, d istribució n discre ta o continua de
la masa, etc., lo que pennitirá clasificarlos para una
mejor descripción del movimiento.
119
MECÁNICA
SiSlelll!l$ de PlllltOS Mmeriales • Masa Vtlriable
A'ií por ejemplo, será cons iderado DISCRETO un sistema tal que la d istancia
entre las partículas que lo fo rman es mucho mayor que el tamaño de dichas
partículas. A su vez, si las distancias relativas entre partículas son invariables, se
tendrán los sistemas DISCRETOS RIGIDOS.
Si es procedente considerar que la densidad de las partículas va ría en
forma continua punto a punto, tendremos SISTEMAS CONTINUOS. Aún dentro de
éstos, podremos d istingui r entre los casos en que se satisfagan restricciones de
invariabilidad en cuanto a la distancia re lativa entre puntos materiales frente al
sistema de fuerzas aplicado, lo que definirá el caso de un CUERPO RIGIDO
CONTINUO, y los que no cumplen tales restricciones, q ue sue len denominarse
DEFORMABLES. Dentro de ellos es conveniente distinguir ent re los que frente a
una tensión aplic.1dn reaccionan con una deformación finita (característica de los
SOLIDOS DEFORlvfABLES, que estudia la Teoda de la Elasticidad) y aquellos
otros que responden con una defonnación continua o no limitada (característica de
los FLUIDOS, de los que se ocupa la l\!lecánica de los Fluídos).
4.2. DEFINICIONES
4.2.1. Sistema de partículas
°
En los capítulos previos hemos consiuenldo el caso ue un punto material
partícula. Por otra parte, hemos acla rado que el objetivo que persigue la Dinámica es, dadas
las causas, es decir, las fuerzas inlervinientes y las condiciones iniciales, hallar la trayectoria
y las condiciones cinemáticas en que tiene lugar ese movimiento.
Nos preguntamos: si en los casos re<lles la experiencia indicR que los cuerpos
muchas veces no se aprox iman al concepto dI! "punto material", y como mínimo se tienen
colecciones de puntos materiales, ¡.existe soluc ión pma el problema general de la Dinámica ?
no
Sistemas de Puntos Materiales - Masa Variable
MECÁNICA
solución resulta casi directa, el problema de dos puntos materiales en interacción y
somet idos a fuerzas arbitra rias, no es de ninguna manera ·'obvio". El de tres puntos
materiales, tiene sol ución para casos particulares de interacciones y/o de condiciones
iniciales.
¿Cuá l es la "sa lida" cuando se tiene una colección numerosa de partículas?
Deberemos renunciar a co nocer la trayecloria y las cond iciones cinemáticas de "cada
partfcu/a" a partir de las fu erzas y de las condiciones iniciales. Sin emba rgo, será posible
conoce r, dadas las interacciones y las condiciones iniciales, el " comportamielllo dilldmico"
del Sistema de Partículas EN SU CONJUNTO , vale decir COMO UN TODO. Sería
eq ui valente a expresar:
como el conocimiento en delalle de la respuesta a las causas que actúan sobre
cada pWIlO material que provocan su movimielllo es imposible, busquemos
conocer la "respuesta promedio", o sea, el comportamiellto global de todo el
sistema.
Cabe aclarar que el enfoque de la Mecánica Clásica para tratar los Sistemas de
Partícu las difiere de l de la Mecdnica Estadística Cldsica, respecto de la cual agregamos una
síntesis de las ideas centra les en el apéndice 1 de este Capítu lo.
Para enfocar la solución del problema del Sistema de Puntos Materiales según el
mode lo matemático de la Mecánica Clásica, es necesario introducir algunas definiciones que
nos fac ilitarán la comprensión y permitirán una descripción adecuada de los hechos físicos.
4.2.2. Fuerzas interiores y exteriores.
~i
#,F
~
F,
k
F" S '
~
~ a
~
a
Fig. 4-2
~
Dada una colección cua lquiera de puntos
materiales, podemos discernir entre los que serán
objeto de nuestro anáiisis, de aquellos que no lo
serán. AJ subconjunto N de puntos que
seleccionamos como de nuestro interés, lo
llamaremos Sistema de puntos materiales 1;5 ".
Evidentemente habrán quedado fuera de S
gran cantidad de puntos, los que interactuarán entre
sí y con los puntos de S, a los que llamaremos
"puntos exteriores del Sistema". A los puntos que
sí penenecen a "S" los definimos como "pUlltos
interiores a S".
Tomando entonces un punto cualquiera de S, el Pi, 1 s i s N, por ejemplo, sabemos
que sobre él actuarán fue rzas, resultado de la interacc ión con los otros puntos materiales de
la co lección.
121
Capítulo 4
MEC,\NICA
"Fuerza interior" es aquella cuya reacción está aplicada sobre un punto interior al
sist~ma y "fuerza exterior" es aquella cuya reacción está aplicada sobre algún punto que no
pertenece a S (exterior),
Esta clasificación es independiente de la que introdujimos al tratar las reacciones de
vínculo, O sea, que tanto las fuerzas interiores como las exteriores, pueden ser a su vez
activas o reactivas (Ver Capítulo 2, Dinámica de la Partícula).
Veamos qué propiedades podemos adjudicar a ambos tipos de fuerzas.
4.3. RES ULTANTE DE LAS FUERZAS INTERIORES APLICADAS A UN
SISTEMA DE PUNTOS MATERIALES.
Como las fuerzas interiores se presentan de a pares o por parejas "acción •
reacción" aplicadas a dos puntos materiales dist intos, pero ambos pertenecien tes a S, para
considerar lo que sucede con todas ellas es suficiente considerar lo que sucede con un par.
"
"
"
s
"
1',
La resultante, hallada como la suma vectorial
o geométrica de las fuerzas, es I/ula por tratarse de
fuerzas opuestas. Extendido a todas las partícu las
del sistema nos permite concluir que la resultante de
lodas las fuerzas imeriores aplicadas a Ufl Sistema
de pUlltOS materiales es nula.
¿F,
-O
..,
[4.1]
No podríamos decir algo análogo respecto
de las fuerzas exteriores. En efecto, cuando
sumamos veclorialmente las fuerzas aplicadas sobre
todos los puntos de l Sistema, estamos dejando fuera
Fig. 4-3
de la suma a las reacciones que actúa n sobre los
puntos exteriores a S, y por lo tanto, esta suma será en general 110 nula y la llamaremos
"resultante de las fuerzas exteriores".
"
"
4.4. MOM ENTO RESU LTANTE DE LAS FU ERZAS INTERlO RES APLICA DAS A
UN SISTEMA DE PUNTOS MAT ERIALES.
Dado un Sistema de puntos materiales, supongamos que se selecciuna un punlo
geométrico cua lquiera (interior o exterio r a S), que llamamos centro de momeMOS O. Para
ana lizar lo que sucede con las fuerzas interiores, tomam os un par de ellas, la F;¡ (que actúa
sobre la partícula i debido a la particula j) y la Fj ; (que actúa sobre la partícula j debido a la
partícula i).
De la figura 4.4 resulta:
1??
Sis/Cmas de Pl/nlOS Materia/es· Masa Variabfe
MECÁNICA
Ái -r.xF. +r.J xFJ'. - rxF. - r.xF.
g
I
~
I
.,
'/
/
,
f1'-(i'-r)xF--O
pues (F¡ - P¡ J x F, son colineales.
o sea que el momento resu ltante es cero.
o
Extendido a todas las partículas de S concluimos
que "la resultallte de los momelltos de las fu erzas
interiores aplicadas a un sistema de pUlitos materiales
es nula".
Flg.4-4
[4.2]
Pero este razonamiento no es aplicable a las fuerzas exte riores porque las reacciones
están aplicadas a puntos que no pertenecen al Sistema, es decir que ta l suma vectorial será
en general no nula y la llamaremos ((momento resultallte de las fuen.as exteriores del
sistema"
4.5. TRABAJO DE LAS FUERZAS INTERIORES DE UN SISTEMA DE PUNTOS
MATERIALES.
Consideremos UD par de fuerzas aplicadas a
puntos interiores de 5, tal como procedimos en los
casos
anteriores.
Supongamos
además
desplazamientos elementales áí¡ y dF¡ de los
puntos i y j respectivamente.
Entonces el trabajo elemental de las fuerzas
r¡
fi y ¡ ji resulta:
o
11'q_ - É-.d(i'
q
, - f.)
J
Fig.4-5
donde
d(~ - ""i¡)
no es en general
[4.3]
nulo
ni
perpendicular a F;¡.
123
i
Capítulo 4
MECÁNICA
Una condición para que este trabajo elemental se anule es que la distancia entre dos
puntos cualesquiera se mantenga constante. Justamente, de este modo se define a un caso
panicular de Sistemas de puntos materiales, el CUERPO RlG!DO, cuyo estudio en los
Capitulas 7 y 8 ya hemos anunciado.
o sea , que se puede concluir que "el trabajo de las fuerzas il/teriores aplicadas a
UII Sistema de pUlIlos materia les en gen er al /lO es 1Iulo", Sí lo es cuando se trata de u n
cuerpo rígido.
4.6. BARICENTRO O CENTRO DE "'lASAS DE UN SIST EMA DE PUNTOS
MATERIALES.
4.6,1. Definición.
Se define al baricentl"O de un Sis tema d e puntos ma teria les como aquel 'punto
geométrico (que puede o no coincidir con un puniD material del sistema), cuya coordenada
vectorial está dada por
Z
- ¿m.r...
'e - '"
¿mi
•
y
x
[4.4)
es decir, un promedio ponderado de las
coordenadas vectoria les f¡ , donde el factor de
ponderación es la masa de la panícula mj .
Fig.4-6
4.6.2. Cantidad de movim iento.
Por otra parte se define como ca ntidad de mov imiento P del Sistema a:
[4.5)
Entonces, derivando miembro a miembro la [4.4] y teniendo en cuenta la [4.5]
MVG - P eDil
M-
2: m;
[4.6)
que nos permite realizar la siguiente interpretación física del baricentro:"es UlI pUl/lO tal que
si ell él Se supo/le cOllcel1lrada toda Ja masa del Sistema, su cantidad de movimiento
coincide con la call1idad de movimiento del Sistema".
12,¡
-Sist~mQs de Pllmos Maleriales· Masa Variable
MECÁNICA
Propiedad:
Sea un Sistema de partículas S que se mueve respecto de un sistema inercial de
referencia. Sea G su baricentro. La coordenada y la velocidad vectoriales de un punto i
pueden referirse al origen de coordenadas y al baricentro, tal que:
z
entonces la identidad (4.6] puede expresarse
¿:,
MVo -
I1t¡VGi + MVe
y
por lo tanto el primer término del segundo miembro
x
debe ser nulo
Fig.4-7
[4.7]
o bien
4.6.3. Teorema general del movimiento del baricentro. Primera Ecuaci6n Ca rdinal de
la Dinámica.
Por otra parle, considerando todas las fuerzas aplicadas a un punID i del Sistema
(interiores y exteriores) y sumando sobre todos los punlos del Sistema se tiene
-, -, áp,
2: F+F - di'1
'
2: fi;J-o
i
ycomoF :;:
"
¡. i
F' _ dP
dI
que se conoce como la ley del movimiento del baricentro del Sistema de partículas y que
físicamente puede ser interpretada del siguiente modo:
"el baricemro de un Sistema de puntos materia/es se mueve cumpliendo la ley de Newtoll
para una porticula como si en él estuviese aplicada la resultante de las fuerzas exteriores y
concentrada la masa fotal del Sistema".
-
dP
[4.8]
En cuanto a la expresión vectorial: F~ - dI
es equivalente a las tres ecuaciones escalares:
F' = dp,
,
dI
F' = dp,.
!'
dI
F' = dp,
.
dI
125
.......----------------------- Capím{o 4
MECÁNICA
La (4.8] se conoce como Primera Ecuación Cardinal de la Dinámica.
De ella surge que si la resultante de las fuerzas exteriores es nula, entonces
dÍ'
--o
dI
P-cte
[4.9)
esto es, se conserva la cantidad de movimiento del Sistema.
NOTA:
Como ya lo suscribiéramos en el Capitulo 3, [os Teoremas de Conservación
pertenecen al selecto conjunto de conocimielltos mds arraigados en el espíritu de los
investigadores en Fisica. Y esta confianza en su validez no ha sido nunca defraudada. Un
caso notable que testimonia esta aseveración /0 constituye la historia del descubrimiento
del neU/rino.
El problema se presentó estudiando la desintegración radiactiva beta positiva, que
consiste en una transformación espontdnea por la cual ciertos núcleos de átomos,
cO/lvierten un neutrón (parttcufa sin carga eléctrica) en UII protón (parttcula con masa
levemellle inferior a la del neutrón y carga positiva).
En la década de 1920 se había logrado demostrar, a través de mediciones muy
precisas, que duraflle la transformación no se conservaban ni la energía E, ni el impulso
lineal P del sistema que evolucionaba. Si bien podr{a haberse dejado de lado la necesidad
de los principios de conservación, fue más atractiva la idea de Wolfgang Pauli, quien en
1927 propuso que se allalizara la posibilidad de que fuera emitida una partCcula adicional,
responsable de [os desbalances observados.
Siguiendo con esta idea, en 1934, Enrico Fermi (quien denominó a (al part{cula
neutrino: "pequeño neutrón ") postuló que no debiera tener carga eléctrica, y que su masa
seria despreciable, dada su escasa o nula interacción COII la materia. Varios
investigadores, observando el retroceso del núcleo durallte la desintegracitín beta positiva,
calcularon la energía y el impulso lineal de talnelllrino, suponiendo que ambas partfeulas
fueran emitidas simultáneamente. Entonces concluyeron que su velocidad de
desplazamiento debía ser la de la juz en el vacío, que su masa en reposo debía ser nula y
que además tendría un momento cinético propio (o spin). P&]ro debido a esa fOil limitada
interacción con la materia (hoy se sabe que puede viajar Itasta una distancia promedio de
1000 años luz sin sufrir colisión alguna) su detección fue sumamente dificultosa.
La prueba directa de su existencia /a lograron F.Reines y c.C.Cowan "(J mediados
de /a década de/50 (¡o/rededor de 30 años confiando en los principios de conservacióll sin
tener prueba experimental que los respaldara en este problema!) .
Basaron su trabajo en la predicción teórica de que un neutrillo reaccionaria con UII
protón produciendo UIl lIeurrón y Wl positrón (electrón COII carga positiva). De este último
se sabe que es de vida efímera porque reacciolla COII Ufl electrólI del medio para producir
dos rayos gamma (aniquilación del positrón) los cuales SOIl detectables.
Por otra parte, el neutrón generado podrla reaccionar con núcleos de cadmio
dando fugar a otros rayos gamma de frecuencias determinadas, tambMII directamellle
detectables.
126
Sislemasde Pumas Maler;ales· Masa Variable
MECÁNICA
COII tales comprobaciones experimentales
y otras realizadas con posterioridad, hoy
110 quedan dudas acerca de la realidad fáctica del neutrino.
Problema 4.1.
Un Sistema de puntos materiales está constituido por tres partículas que, en el
instante que se con<;idera, ocupan las posiciones que se indican en la tabla donde figuran,
además, las masas correspond ientes:
Partícula
1
2
3
Posición (m)
Masa (Kl!)
1
2
3
(1,0,-1)
(-2,3,1)
(O ,-1,-2)
Hallar el baricenrro del Sistema.
Resolución:
-
2: ml
'-" m.x·
x G = ....L'-M--
LJ "
Ii; = --"-M
mlxl+m:r2+m~x3
Xc -
ml+/~+m3
III¡),¡ + m2Y2 + mlY3
Ya -
ml+~+"'J
1
1-4+0
-
6
---
2
0+ 6 - 3
-
1
- 62
Problema 4.2
Demostrar que si se conselVa la cantidad de movimiento del sistema, el baricentro se
encuentra en reposo o real iza un movimiento recti líneo y uniforme.
Resolución:
Si
P- ele
como P- MVe
eDil
M - cte será
ve - ete
pero si el vector velocidad del baricentro es constante (en dirección, sentido y módulo) el
movimiento que realiza el baricentro es rectilíneo y uniforme.
127
Caplmlo 4
MECÁNICA
Pr oblema 4.3.
Una barra homogénea de longitud 2a y masa m se mueve apoyándose sobre dos ejes
ortogonales, como se indica en la figura.
Hallar:
a) la velocidad del baricentro.
y
b) la cantidad de movimiento del sistema.
c) la resultante de las fuerzas exteriores ap licadas.
a
Resolución:
a)
X o .. asellq¡
Yo - acosrp
Xo ... acpcosql
Yo .. -arpsellq¡
x
Fig. 4-8
Ve - rpa(coscpz - sellq¡J)
b) P - mvo - maq>(cosq¡z -sem:pY)
Problema 4.4.
f
Sean dos prismas homogéneos cuya sección
recta es la indicada en la figura. No "hay fricción
entre los prismas ni entre el prisma inferior y el
plano horizontal. Hallar el retroceso de l bloque B
cuando el punto d de l bloque superior A llega al
punto b.
Resolución:
Sobre
este
Sistema
todas
las
fuerzas
exterio res aplicadas ( p. . ,PB , R) son verticales. No
existen fuerzas aplicadas horizontales. Luego,
Fig. 4-9
dv e:< _ O
dI
Si en el instante inicial VGxzO. sera sIempre nula y por lo tanto XG ;::; cte. Llamaremos
x a la distancia que se desplaza el bloque inferior B hacia la izquierda. Enlonces, la
coordenada Xo antes y después del desplazamiento del bloque será:
128
Sistemas de PUllfOS Materiales· Masa Variable
MECÁNICA
1
mS-+mA(acosa +asena)
Xo -
3
m ... + mil
(ANTES)
I1ls( -x+~) +mA(t-x-acosa +aseno)
X
3
o_
(DESP)
11l... +/n ll
Entonces,
Fijl.4-10
mB~ + f7iA(acosa + asena) - tn s( ~ - x) + /nA (1- x - acosa + asena)
x-
In ...
m8 +m. .
(1-2acosa)
Problema 4.5
Una granada es lanzada desde el origen de
coordenadas,
describiendo
una
trayectoria
parabólica (se desprecia la resistencia del aire).
En el punto P de la trayectoria, la granada
explota y los fragmentos de su carcaza se
distribuyen aleatoriamente al caer al terreno. Hallar
el baricentto de los fragmentos sobre el piso.
G
Resolución:
La explosión de la granada por la acción de
la reacción química correspondiente, genera fuerzas
interiores intensas que producen la ruptura de la
Fig.4-11
carcaza. El trabajo de tales fuerzas se transforma en
energía ciné tica de los fragmentos. Pero tales fuerzas son interiores y por lo visto en el
teorema del movimiento del baricentro, las fuerzas interiores 110 modifican la trayectoria de
aquél. Luego. el baricentro de los fragmentos de la carcaza se encuentra exactamente en el
punto de irHersección de la parábola de tiro que realiza el baricentro (la de la granada antes
de la de explosión) y el terreno.
4.7. MOMENTO CINETICO.
4.1.1. Definición.
Dado un Sistema de puntos materiales S y un punlo gue llamaremos centro de
momentos 0, se define como Momento cinético del Sistema, Lo , a la suma vectorial o
geométrica de Jos vectores momentos cinéticos correspondientes a cada punto mat ~rial y
129
•
Capfwlo 4
MECÁNlCA
respecto del mismo centro de momentos, O, al
cua l en principio consideraremos con posibilidad
de moverse arbitrariamente.
Sea i un pUllto material genérico de masa
z
mi y velocidad Vi
Ea - ¿;E, - ¿;(" -r.) x m,v,
•
[4.IOJ
•
y
4.7.2. Propiedad l.
Para la partícula i, la ecuación dinámica
(punto material) es:
x
Fig. 4-12
F.o!. + ~ F.. = m .v.
,..
'
LJ. 'J
[4.11J
"
Multiplicando vectorialmente por (r; - Fa) la [4.11) por izquierda resulta
(~- ¡;,)xF,' +(i¡ - ro)x
2:.., t i; (i¡ -ro)x lIli&i
=
Sumando para lodos los puntos de S y teniendo en cuenta [4.2]
L(;;-ruJxF,' -M; - L(;;-ro)xm,t,
i
[4.12]
i
donde M~ es el momento de las fuerzas exteriores respecto de O.
Por otra parte, derivando ambos miembros de la (4.10):
Lo" :¿(fr; -fro)xmivi + 2:(~ -Fo)Xl1liÓ";
•
Lo -
•
2: Vi xm¡v¡-vO ¿m¡v¡ + ¿(;¡ -~)xm,~
x
•
Luego, teniendo en cuenta [4.12]
••
[4.13J
conocida como Segunda Ecuación Cardillal de la Dillámica.
Observar que si O es fijo o coincidente con el ba ricentro G, el segu ndo término se
anula. En efecto, si O es fijo
O.. si coincide COII el baricemro:
v...
[4.14J
130
Sistemas de Pllnlos Materiales - Masa Variable
MECÁNICA
Si en tal caso se verifica además que M~ = O será
o sea, Lo - ete
resultado que podemos expresar diciendo, que con centro de mamel/tos fijo o coincidente
con el baricentro y momento de las fuerzas exteriores nulo, el momento cinético del
Sistema se conserva (Segwldo Teorema de Conservación para Sistemas).
4.7.3. Propiedad 11.
Supongamos que se selecciona como centro de momentos al origen de coordenadas
(fijo). El momento cinético del Sistema se expresa en ese caso
Lo -
¿ 1; )( miV,_
•
Siempre el punto i podrá referirse simultáneamenle al origen de coordenadas y al
baricentro, de tal modo que las coordenadas y velocidades vectoriales satisfacen
- - -
rj.rC¡+'c
de modo que reemplazando y teniendo en cuenta la definición de coordenada vectorial del
baricentro resulta
Lo -
2:
[4.15J
ro
x I1I j VGj + MrG x Vo
•
donde el primer término del último miembro se conoce como Momento Cinético de Spin (la
nomenclatura será justificada en el curso de Física Moderna), mientras que el último ténnino
recibe el nombre de Momento Cinético Orbital.
Problema 4.6.
J
]
m
r
2r
m
2r
,
m
Un Sistema de tres partículas está ligado
mediante barras rígidas de peso despreciable, como
indica la figura. El Sistema se encuentra inicialmente
en reposo. Determinar el momento cinético del
baricentro del Sistema si comienza a actuar la fuerza
de intensidad F como indica la figura.
Resolución:
Baricentro:
¡
xG -
Fig.4-13
111(·1')+111(21')
l'
- -
3m
3
.
•
_
,- Ya
_
-
1II(2r)+1II(2r)
3m
4.
--1
3
_
r.,.. 4r ....
rOJ - rJ - rG - --1
3 - -3J
131
I
•
Cap[lldo4
MECÁNICA
¡
M~-
}
r
4r
F
3
O
--3
k
4 _
0 - -rFk
3
O
De acuerdo con la segunda ecuación cardinal
dL
4
_
G
-- -rF
dI
3
4
-
La- -Frtk
3
4.8. ENERGIA CINETICA.
4.8.1. Teorema de las Fuerzas Vivas (trabaj o - energía) para Sistemas de Puntos
Materiales
Se define como Trabajo elemental de las fuerzas aplicadas (interiores y exteriores)
a un Sistema de puntos materiales, a la suma de los trabajos elementales de cada una de las
fuerzas:
dlV - ~F,d0
[4.16]
aplicando la ley de Newton y las propiedades del cálcu lo resu lta
dW ".,
-'".. -dI;dt 2:, m.v.'"--",
.aV.
2:, m·v'"~.. d-,r. 2:, muv
"
,
='
='
='
"
m.v·~ m·v'dW = .t.d(-'-') = d .t. -'- ' = dT
,
2
, 2
[4.17]
donde hemos introducido como definició n de energía cinética de un Sistema a la
suma de las energías cinéticas de las partículas que lo integran
1
,
T- -m.v.
, 2 ' ,
Ha resultado que el Trabajo elemental de todas las fuerzas aplicadas al Sistema
coincide con la diferencial de la energía cinética del Sistema.
La versión integrada correspondiente es
~
,
W,., -JF.dr
, - r, - r,
[4. 18]
donde F representa la fuerza resultante de todas las aplicadas al Sistema y W¡ .2 es el
trabajo de las fuerzas al pasar el Sistema del punto 1 al punto 2
4.8.2. Teo rema de Konig
Teniendo en cuenta la propiedad demostrada en [4.7]
- = le;
r,.
+Ie
132
Sistemas de Puntas materiales - Masa Variable
MECÁNlCA
Reemplazando en la expresi{ln de la energía cinética
1" _, 1" (_ _)'
T. Z,iJm,.vj- -'2,iJm¡ vG¡ +vG
•
•
..
pero el último término resulta nulo por [4.7] . Luego, la energfa cint!lica de un Sistema
de puntos materiales se puede expresar como la suma de la energfa cinética del
baricentro (la de un punto que se moviera con loda la masa del Sistema y a la velocidad
del baricentro) mds la el/ergía cinética del Sistema calculada con las velocidades
relativas al baricentro.
[4.19J
resultado que se conoce como teorema de Konig.
4.8.3. Conservación de la energía mecánica
a) Fuerzas exteriores cOllservalivas
En el caso de que las fuerzas exteriores deriven de un potencial:
F.' - -V;W(r,)
donde 'i es la coordenada vectorial del punto i de masa nI¡
aplicando el teorema trabajo - energía
.
dW' - "F:.ár.
- -d"V:
,iJ.
, - - "VW.ár.
~."
~,
,
[4.20J
b) Fuerzas imeriores cOllservativas
Si las fuerzas interiores (que satisfacen el principio de acción y reacción) derivan de
un potencial dependiente de la distancia relativa que las separa
~i = ~ -Ti = (x¡ -
xJ¡ + (yj - Yi)7 + (Z;- Zj)k
F;J = -VjV¡j(~J
Fji = -v jv¡¡(;;J
donde el subín~ice en el símbolo de gradiente indica la coordenada respecto de la cual se
toman las derivadas.
El trabajo de una de estas parejas acción - reacción resulta
F;j .dT¡ + Fji .ár¡ = -(V; v,¡.dT¡ + V ¡ v,¡. ár¡)
Llamando 'Vj¡V;¡ al gradiente ca lculado respecto de la coordenada vectoria l relativa
-rij-r¡-r¡
- -
vv..
= Vv. - -V V.
'1'/
"/
JI}
en tonces, para todas las fuerzas interiores del Sistema
II
•
Capíwlo"
MECÁNICA
dW' - -~ ¿¿V,;V,¡-M.; - -~d¿¿ V,
I
' '' /
'
' " /
donde el coeficiente 1/2 se introduce pa ra tener en cuenta que en la suma se incluye dos
veces el lrabajo de cada par de fuerzas
r:) Fuerzas exteriores e interiores conservativas
dW - dW' + dW' -
_J' -}:V;'
+.!. }:};V;;)
".2" .}
y definiendo como potencial total V a
V- }: W+~ }:¡;V,
,
- , ,,,¡
y aplicando e l teorema trabajo - energía
dW-dT
dT--dV
d(T+V)-O
[4.21]
T+V-E -cle
Es decir, que si tanto las fuerzas exteriores como las interiores derivan de un
potencial, fa energ(a mecánica del Sistema se conserva. (Tercer Teorema de
Conservación para Sistemas)
Se cumple entonces un teorema para los Sistemas de partícu las simi lar al del caso
de la partícu la (visto en el Capítulo 3. Magnitudes Dinámicas Derivadas). Por otra parte,
C:Sla propiedad res ulta un caso particular de l teorema más general de la Termodinámica,
conocido co mo e l de la Conservación de la Energía de un Sistema,
Problt!ma 4.7
Como resultado de una explosión un objeto se fragmenta en dos parles de masa mi Y fil' Si la
t:nergía liberada en la explosión es E, obtener la ve locidad de una de las panes, inmediatamente
después de la explosión.
Resolución:
Por conservación de la cantidad de movimiento
supondremos que la energía E se transforma en energía cinética de las partículas
1 _ ~ 1 _,
E-- ml vl- + -m,v.;
2
2" "
2E-m l vl +111 , - , VI
" 11/,
11/ 1 (
2E: -111
mi + /ll , ) VI",
-
1
134
,
mi 1
~
.,
Vi :
2Em,
(
")
mi mi +m1
I
I
¡I
Sistemas de Puntos materiales· Mtrsa Variable
MECÁNICA
Problema 4.8.Un Sistema está formado por tres puntos materiales. Cada uno
tiene masa m y está ubicado sobre un plano horizontal, tal que
los tres puntos resultan unidos entre sí por resortes iguales.
Estos provocan que las partículas se atraigan mutuamente con
fuerzas cuya intensidad vale mk 2x, siendo x la distancia que
separa a los puntos en el instante que se considera. En este
modelo se supondrá que la longitud natural del resorte (ni
expandido ni comprimido) es nula. Inicialmente las partículas
están en reposo formando un triángulo equilátero de lado a.
Hallar las velocidades de Jos puntos cuando choquen y
el tiempo transcurrido hasta entonces.
Resolució"
Fig.4-14
Aplicando el Teorema trabajo· energía
dW-dT
~~mv2) - -3mJ?xdx
3
2
-IIW
,
integrando
3 "
--mk-x + e
2
-
Calculamos e suponiendo que para t = O es x = a , v = O
3 "a
e - -mk
2
v2 _ k 2{a 2 _ X2)
Llamando r a la distancia de cada punto al centro de masas
x
n
rJ3
x-.J3r
- - rsefl- - - 2
3
2
dr
1 dx
v----dI
.J3 dI
dx _ 13k '(a' _x') _ kJ3.Ja' _x'
dI
"
Separando variables e integrando
f
dx
.~a2 _X 2
'
-.J3kfdl
o
.J3kl - are cos x
x - co,( J3kl)
Cuando las partículas chocan x = O
!!:.2 - .J3kl·
,
v = k.a
I
®
n
---
- 2J3k
j
I
i
Ctlp(tll/O 4
MECÁNICA
Problema 4.9
Una cadena pesada de longitud 1 se desliza
sobre un plano inclinado sin rozamiento de
inclinación a Sabiendo que en t = O el punto
B de la cadena coincide con el punto e del
plano inclinado y que en ese instante se la
abandona desde el reposo, obtener la
aceleración y la ecuación horaria
x
Resolución:
Llamando Il a la masa po r unidad de
longitud, se puede expresar la energía
Fig.4-15
cinética de la cadena por
T= (J12)~1v'
Yaplicando el teorema de las fuerzas vivas para Sistemas
dW - dT
!J.gxvdt + (1 - x )~lgsella vdt - ¡,tlvdv
g(x + (1- x)sella Ji' -Idv
dividiendo por Id,
x-~(1sella)x - gsello
1
¡
ecuación diferencial ordinaria de segundo orden a coeficientes constantes no homogénea. Por lo
tanto la solución general se forma con la solución de la homogénea más una soluc ión particular:
XA ",C¡e).1 +C2e -).1
I
ec.caracteristica/...2-~(1 - sella) =o => /...= ±~i(l- sena)
¡sella
A = - --'---'-1- sella
" e ~e
x - e le +
.).1
.
Aplicando las cond iciones iniciales
para t O
x O X= O
1 lS~fla
=
x -
c---A2
11 ("_"-)'\
)..(
-2"A( e,l> + e-',I• - 2) - -~"4
e 2 - e 1 ) - -2A.Sh "2
x-136
lsella
1- sena
=
e, - e, - e - ---'-=21-sena
11
,11
-
2
2lscna
1 g
S¡¡2_ -1(l-sena)t
l-sena
2
[4.22]
SiSlemas de Plintos maleda/es . Masa Variable
MECÁNICA
4.9. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Se trata del más simple de los Sistemas de puntos mater ia les. Si bien el problema
general de los dos puntos materiales (la resolución para todo tipo de fuerzas aplicadas)
excede los objetivos del lema, existen casos en que intervienen fuerzas particulares, cuya
frecuencia es importante en la Técnica y en la Ciencia. Tal el caso en que las aceleraciones
que producen las fuerzas exteriores sobre cada partícula se representan po r vectores
opuestos.
4.9.1. Ley de Newton
Consideraremos un Sistema aislado de dos
cuerpos en interacción. Es decir que, o bien no
existen fuerzas exteriores, o bien si existen
satisfacen la relación
11l[
11l~
donde F/ representa la resultante de las fuerzas
exteriores que actúan sobre la partícu la i.
Teniendo en cuenta además las fuerzas imeriores
que actúan sobre cada partic ula, debidas a su
influencia recíproca, la ecuación de Newton para
cada una es
o
Fig.4-16
donde dividiendo m. a m. por la masa de cada partícula y restando ambas ecuaciones resulta
F¡" Fe
F¡'2
F;¡ .:;
.!:.
- - - 2+ - - - - rl -r~
111 1
m 2 mi m 2
-
o bien
llamando en esta expresión:
- -
,. ='1 -'i
[4.23]
_
"_
y definiendo la masa reducida PJ r ~l = .::m:.JI::'":.J
111] + 111 2
resulta
[4.24]
o sea, que se satisface la ley de New lon (como para una partícula) pa ra la fuerza interior y la
masa reducida Il.
137
.......---------------------MECÁNI CA
•
Capímlo 4
4.9.2. Energía cinétic3
De la Fig. 4.16:
y teniendo e n cuenta la definición de baricentro
(mi + "' 2 ),\ - ml¡ - m'/2
m i +"'l
Del mismo modo:
Por lo tanto podemos expresar:
-r=r+r=r.
- -Gl - - -m~rI
~
--zr_ =r-, +r,,,
-v. =r-G +In~-r
y
G
I
2
y derivando respecto de l tiempo obtenemos
- -
~-
y
V¡-VO- - v
111 1
_
Uf
dOllde llamamos v - _
dI
Reemplazando en la expresión genera l para la energía cinét ica de un Sistema
[4.25]
l(
), 1 ,
T -"2 mi +"'1 Vi. +'2IJ.V"
o sea, que podemos interpretar a la energía bnética del Sistema de dos partículas como la
energía cinética del baricentro más la energía cinética de una particula ticticia con masa igual
a la masa reducida y velocidad igual a la velocidad relativa.
4.9.3. Cantidad de mov imiento
Teniendo en cue nta la definición de cantidad de movimiento de un Sistema
- +11Lzv- 2 =m¡ ( -vG - ~ -v ) +nLz (-vG +-v
~ - ) = (n~+I1Lz )-ve
- =m¡v¡
P
mI
I1Lz
como debía esperarse por propiedad del baricentro de un sistema en general.
138
[4.26]
Sistemas de Plintos materiales· MI/sa Variable
MECÁNICA
4.9.4. Mo mento ci nético
Es decir, que el momento cinético de l Sistema resulta la suma de l momento cinético del
baricentro más el momento cinético relativo de la masa reducida.
4.9.5. Energía mecá nica
Teniendo en cuenta que E = T + V Y que la energía potenci<ll será función de la distancia
relativa entre las partículas ¡:
[4.28]
o sea que la ellergfa mecánic:a del Sistema, se puede expresar como la energía cinética
del baricel/lro más la el/ergio mecánica relativa de la masa reducido.
Problema 4.10
Hallar la masa reducida correspondiente al Sistema electrón - protl'lO en el átomo de hidrógeno.
¿ Qué conclusión puede extraerse al respecto? Supóngase mp = 1824 me
Resolución
~ -
m/n~
mp+m~
1824m 2
- 8 5 ~ - 0,99945m.
~ liiI 11Jt!
1 2 m~
luego, como la masa reducida casi coincide con la masa del electrón es una hipótesis
plausible suponer que [4.24] se cumple para la masa del electrón, ocupando el protón el
origen de coordenadas.
4.10. CHOQUE
4.10.1. Definición. Clasi ficaciones.
Se conoce como choque o colisión al fenómeno por el cual dos o más partículas
intercambian cantidades de movimiento en un lapso muy corto.
Si consideramos al Sistema formado por dos partículas que chocan, las fuerzas interiores
que actúan durante el proceso son muy imensas, de corta duración y en general, la ley de su
•
Capilulo 4
MECÁNICA
variación con el tiempo es desconocida (fuerzas impulsivas). Para su estudio suele aceptarse que
actuando simultáneamente fuerzas impulsivas y fuerzas norma les, éstas se pueden despreciar
frente a aquéllas, durante el lapso en que colisionen.
Para fijar ideas, si el Sistema está formado por dos partículas 1 y 2 cuyas masas son mi y
m2 respectivamente, teniendo en cuenta el principio de acción y reacción y el concepto de impulso
de una fuerza . visto en el capítulo 3. Magnitudes Dinámicas Derivadas
,
7" - JF,,(I}t1 - óp,
7" - JF,,(I}t1 - óp,
o
o
de donde
ó(p, + )5,) - ii
óp, - -!1p,
Sl
P - PI + P2
es
[4.29]
M-O
o sea, que son propiedades asociadas al fenómeno del choque:
• Que la cantidad de movimiento del Sistema formado por los cuerpos que chocan
se conserva durante el proceso. Operativamente equivale a asegurar que la
cantidad de movimiento del Sistema antes del choque es igual a la cantidad de
movimiento después.
• La identidad (4.29] es una identidad vectorial
• Durante el lapso en que se produce el choque se desprecian las interacciones de
otro tipo.
Una clasificación conveniente de los choques entre cuerpos de dimensiones macroscóp'icas
considera:
1) Choque central
Es aquél en que la normal común al plano
tangente a las superficies de cnntacto durante el lapso
del choque, coincide con la recta que une los
baricentros de los cuerpos que chocan.
2) Choque oblícuo.
Es aquél que no es centrol.
Fig.4-17
140
----------------------------------------.
Sjstemas de p¡lntos materiales - Masa VarilJble
MECÁNICA
a) Choque directo.
Se dice que el choque es directo
cuando
los
vectores
velocidad
correspondientes a los centros de masa de
los cuerpos que chocan están conten idos
en la recta que une a ambos baricentros
durante el lapso del chCXJ.ue.
b) Choque indirecto.
Es el que no es directo.
Flg.4-18
A menos que se indique lo contrario, en lo que sigue supondremos casos de choques
centra les y directos, lo que simplifica el tratamiento matemático del problema. En este caso podrá
cons iderarse que se trata de movimientos unidimensionales.
4.10.2. Ley de Newlon del choque
Newton observó que en el proceso del choque (central y directo) las velocidades relativas
de las partículas (entendemos por velocidad relativa a la velocidad de una de ellas respecto de la
aIra, o sea, medida desde un sistema de referencia fij o a aquélla) cumplen las siguientes leyes :
• la dirección del movimiento se conserva
• los sentidos pueden ser los mismos u opuestos
• los módulos son proporcionales
Llamando VJ • Vz a las velocidades de los cuerpos antes del choq ue y v'J y v'z a las
correspondientes después, será
v; - v; _ -.(v, - v.)
[4.30]
donde e es un coeficiente que puede determinarse experimentalmente y al que llamaremos
coeficiente de restitución . Su rango de variación es Os e ~ 1 .
De acuerdo con los valores que tome e podemos clasificar a los choques desde el punto de
vista de su comportamiento dinámico en
1. choque elástico: si e: = 1
11 . choque plástico: si e: = O
1II . parcialmente elástico si O < e: < 1
4.10.3. Choque parcialmente elástico (o parcialmente plástico)
Teniendo en cuenta la [4.29] y la [4.30]
u
CapItulo 4
MECÁNICA
,
,
m¡ VI + "'2 V2 - ''i VI + "'2 V2
v; - v: - -e(v2 - VI)
y despejando V'l resulta
, 17I, -'m,
171,(1 +E)
vI v¡+
v2
m,+m,
m,+m,
[4.31]
ydel mismo modo
, m, (1 +E)
m, -Eln,
v2 VI + v2
I",+m,
nl+m,
Problema 4.11.
Una partícula de masa rn se deja caer desde el
rt:poso y de una altura h¡ sobre una mesa. Como
consecuencia del choque entre el cuerpo y la mesa, se
observa que aquél rebota y alcanza una altura h2 medida
también desde la mesa. Hallar el va lor del coeficiente de
restitución despreciando la resistencia del aire en el
movimiento vertical.
m
h,
m
,
hz
Resolución
Consideramos que las masas y velocidades de los
cuerpos que chocan son:
Fig.4-19
1
v _
111- E/t1:2
m + In,.
v
rnl=m ;
y dividiendo numerador y denominador por m.!
m
--,
v , _ 11.,
m
-+1
y tomando límites
v
111,
v' - -EV
=
v'
E--v
Como para la caída vertical (y el ascenso) es
v - -J2gh,
142
resulta
,- ¡¡;;
Vh,
SiSlemas de PUfIIOS materiales· Mllsa Variable
MECÁNICA
4.10.4. C hoq ue elás t ico
De [4.30] si E = 1 resu lta
[4.32]
que indica que en este caso las velocidades relativas son opuestas.
Calcularemos la variación dI;: energía ci nética en el choque elástico:
IlT - (~ml V;2+ ~m2v;2 )-( ~ml v¡ + 1m2vi)IlT _..!.2 m1(v'1
1 _ v2)+..!. In (V'2 _ v2)_
12212
IlT _~[ml(v; - vlXv; +V )+ m,(v; - v,Xv; + v2)]
I
reemplazando por [4.32]
/!.T -
~(v; + v, Xm,(v: - v,)+ 111,( V, - v,)]
Pero si se conserva la cantidad de movimiento, el corchete resulta nulo:
I1llv¡+11I1vl-mlV;+11l2vi
ml(v;-v¡ )--m~(v;-v2)
..
es decir, que en todo c/roque elástico se conserva la el/ergio cinética del Sistema de los cuerpos
que chocal!.
P,·o blema 4.1 2
Sea un choque elástico, cen lral e indirecto
entre dos partículas de igual masa m
suponiendo que una de las pa rtículas está
inicialmente en reposo, mientras que la ot ra
incide con una velocidad ii - v] . Se mide
que la dirección de eme rge ncia de una de las
partículas es 8 1 • Hallar la dirt:cción de
emergencia de la otra partícula, los módulos
dI:! los res~ctivos vectoreS veloc idad luego
del choque y la energía cinética de cada una y
la de l Sistema formado JXlr ambas.
,
•
. -"7-o,
O,
Fig. 4.20
Resolució"
Po r conservación
movimiento
L
o
de
la
cantidad
de
.1
e
el/pimfo .¡
MECÁNICA
V; cose¡ + V; cos8 2
O.. -V;sen8 J + ~sene2
VI ..
y por conservación de la energía cinética
v,2 .. v., l + v.:l 2
estas tres ecuaciones permi ten resolver el problema para las incógnims VI. V2 y 8 2 • En
d'ccto, de la primera y teniendo en cuenta ICl segunda
'8 1" v .l sen'' 8 2
VI.l sell"
)' ¡)IX la sc::gu nda
2
sumando miembro a miembro las dos últimas y teniendo en cuenta la tercera
2
,2
28 1 - 2v¡v¡cos
•
8 I +v],~ sen la J" \1.l CQS '8 2+V2,2 sel! 28 2
VI +V¡ CQS
2
V;2 - 2v¡V;cos8¡ .. -V;
v; .. VI cosA]
T'-T
v~ .. v¡seIl8¡
senS 2 ..
V;sen8¡
ti,
,., cose¡
II sc:a, que por las cond iciones planteadas los ángulos de emergencia son complementarios.
4.10.5. Choque plástico (o ¡nelástico)
De (4 .29] si e = O resu lta
V'l = V'I = V' • o sea que en
este caso después del choque ambos cuerpos
prosiguen unidos con una velocidad única
fo rm ando un cuerpo de masa M :;: ml + m2.
Por conservación del impulso lineal resu lta
[4,33)
Fig, 4-21
En este caso 110 se conservará la
ellergfa cinética, como deberá demostrarse
c:n d problema propuesto 4.31.
Problema 4.13
Un chorro continuo de partículas, cada una de masa m y ve locidad u es emitido por una
fuente a raZÓn de r partículas por segundo, las que se mueven rectilíneamentt pma chocar contra
un bloque de masa M, en el cual quedan incrustadas. Determinar la velocidad de l cuerpo del
blll4ue (inicialmente en reposo) luego que impactaron N partículas.
144
Sistemas de PlintOS materiales - Masn Variable
MECÁNICA
Resolución:
A continuación se describirá un método de resolución con empleo de un programa para
PC, el utilitario MATHCAD, ya prest:ntado en los capítulos previos.
a) Datos y planteo del prob1t:ma
Masa del cuerpo M = 1
Masa de una partícula m = 0,1 M
Velocidad de las partículas u = 100
Velocidad inicial del cuer¡:x:J Vo = 1
Número de partículas: 100
Analizando sucesivos choques de las balas sobre el bloque en movimiento resulta
Primer choque :
MVQ
m
MVQ + mu- (M + m)vt
"1---+
u
M+m M+m
Segundo choque:
(M + m)v1 + mu_( M + 2m)~
v2 -
(M +m)v1
M+2m
+
m
M ... 2m
u
(N+ 1)-és imo choque:
(Al + nm)v n + mu-( M + (n + 1)m)vn +l
vn+J"
(M + nm)vn
M + (11+ I)m
+
In
M +(n+ I)m
Esta última expresión es unll t:cuación recurrente o en diferencias satisfecha por la
velocidad del bloque al cabo de n disparos.
b) Resolución de la ecuación de recurrencia
n ~ o.. N
v
n.,.l
=
M T n·m
m
'v •
·u
MT(n.¡-l).m n M+(n+l)-m
c) VelocicL:'ld del bloque ( representación gráfica)
/ó<"
,
," "
o
v
lOO
/
,;.
,
,
o
lO
'"
=91
"
"
so
velor.:idad eJel bloque al cabo eJe N=100 disparos
' 00
u
Cap/tillo :/
MECÁNICA
4.1I. EQ UILIBRIO DE SIST EMAS DE PUNTOS MATERIALES.
4.11.1. Teorema gc nm'a l del equilibrio.
La Primera Ecuación Cardinal de la Dinámica
dP
F'--
[4.7]
dI
y la Segunda Ecuación Cardinal
-
dL o
-
M~---+voxP
dI
[4.13]
toman formas especiales cuando el Sistema de puntos materiales S se encuentra en reposo
respecto de un sistema inercial de referencia:
[4.34]
que nos dice que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de fuerzas aplicado
este en equilibrio es que la resultante de las fuerzas exteriores y el momento resultante de las
fuerzas exteriores respecto de cualquier centro de momentos sean simu ltáneamente nulos.
Este resultado es conocido como el Teorema General del Equilibrio, el cual resulta
básico y fundamenta l en su aplicación para la reso lución de los problemas de la estdtica. En
base a él se desarrollan métodos gráficos, analíticos, gráfico· analíticos, computacionales,
elc., que son el ámbito de aplicación de la disciplina conocida como "Estobilidad".
4.11.2. El Principio de los Trabaj os Virtua les.
La generalidad que muestra el teorema enunciado tiene algunas limitaciones para su
aplicación directa. En particular en las expresiones ciL1das, tanto las fuerzas como los
momentos incluyen a '"lOdas las fuerzas aplicadas y a sus mamemos. Pero ello implica que
no solamente deben incluirse las fuerzas activas (que en general, son datos del problema)
sino también a las reaclivas o reacciones de VíllCUlo, cuyo conocimiento no es previo a la
resolución del problema. En la práctica ello se resuelve con hipótesis "ad hoc" respecto del
comportamiento de los vínculos.
Una idea que enfoca la solución práctica de este problema corresponde al siguiente
~nunciado, conocido como Prill cipio de los Trabajos Virtuales:
La condición necesaria y suficiente para que UfI sistema de fuerzas eSlt! en
equilibrio es que la suma de los trabajos de Jos ftu.!rzas activas sea I/ulo para todo
desplazamiemo virtual compatible COIl los v(lIculos.
Analicemos este enunciado:
Si.<;lemas de Plln/os Materiales· Masa Variable
MECÁNICA
• establece una condición necesaria y suficiente, o sea, si se cumple la condición (suma de
los trabajos nula) el sistema está en equilibrio. Pero a su vez, si el sistema está en equilibrio,
se cumple la condición, sea, la suma de los trabajos virtuales es nula.
• menciona desplazamientos virtuales, para distinguirlos de los desplazamientos reales,
que son los que efectivamente realizan los cuerpos en movimiento. Si el Sistema está en
equilibrio, no tendría sent ido hablar de "desplazamientos de los puntos materiales". Por eso
se indican como "desplazamientos vinuales" a aquellos imaginados como posibles, aunque
en realidad los puntos no se desplacen efectivamente.
- compatibles COll los vínculos, debe interpretarse como permitidos por los vínculos.
- Su representación analítica está dada por:
°
2:F,(··) .b~ - O
[4.35]
•
donde i,t_el) es la fuerza activa que actúa sobre la panícula i y los lit; son los
desplazamientos virtuales (matem¡iticamente se com(Xlrtan como los diferenciales).
Justificación: Si un Sistema está en equilibrio, la condición necesaria se explicita por
Fe .. ¿i/ .. O , multiplicando miembro a miembro escalarmente por oro y suma ndo resulta
•
~¡: .b~ .. O, pero como F/ .. F}-<I) + F;(R) ,donde i tJ<fl es la resultante de las fuerzas
- (R)
activas que actúan sobre la partícula i, mientras que F¡
reactivas (reacciones de vínculo).
Reemplazando,
es la resultante de las fuerzas
~ F.(.a).bf. + ~ F(R).br .. O
.!.J
I
,L,.,
•
•
Pero en casos muy frecuentc:s se comprueba que los vínculos se comportan como
"lisos", es decir, que la reacción de vínculo se comporta como normal al vínculo y por lo
tanto su trabajo es nulo:
2>~(RJ .6;; _ o,
lo cual conduce a la expresión [4.35]
que corresponde al enunciado del Principio.
Problema 4.13.
Hallar la condición de equilibrio de la palanca por la apl icación del Principio de los Trabajos
Virtuales.
ResoluciólI:
De la figura 4.23, bi¡ Y b'2 deben tener st:nt idos opuestos para que resulten compatibles
<..'011 el v(l/culo.
147
Capíwlo"
MECÁNICA
Entonces,
F,. bT¡ + ¡l' b~ - O
F, . br, - Frbrl - O
blj _ algo
a
br1 - biga
b
A
B liÑ
1pmm:==;¡l;>===i9
reemplazando,
1';
y
como
tga .. O
8ii
I
I
1
F,
que es la condición de equil ibrio buscada.
Fig.4-23
Problema 4.14.
Una escalera de masa m y longitud I está apoyada
como indica la figura, donde el ángulo entre
escalera y pared es ex (dato). Hallar el valor de la
intensidad de la fuerza F que equilibra al sistema,
por aplicación del Principio de los Trabajos
Virtuales.
y
Resolución:
Cálculo de los desplazamientos virtuales
compatibles con los vinculos:
x
1
Ya .. -selHp
2
Fig. 4-24
1
bYa - -cosq¡&p
2
bx.l '"' -lsencpbf.Jl
Planteo de la suma de los trabajos virtuales
I
P.bY, + F.bxA - O
mg-cosf.Jlbcp- Flsellf.JlÓ<p ,.. O
2
mg
mg
F - -COlcp - -ego
2
2
Pro blema 4.15.
I
I
I
A la manivela de una prensa de tornillo, de paso " ,
se le aplica un momento M: = 2PI. La plataforma
de la prensa le presenta una fuerza resistente Q.
Hallar la condición de equilibrio mediante la
aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales
Resolución
Cálculo de los desplazamientos virtuales
compatibles con los vínculos:
bs - lbep
bq
Fig.4-25
148
Si.~tem(1\ de PllllltJS Ml/lf!riafes - Masa Vllriable
MECÁNICA
Planteo de los trabajos virtuales:
2PlbCjl- Qbq - O
por proporciones ent re ángulos girados y desplazamientos verticales (para un ángulo 21t el
avance vertical es el P.1S0 h)
bCjl bq
bq --bCjl
21t
21t
"
reemp lazando, se obtiene la condición
Q _ 21tM,
---
"
"u,'
M.bCjlQ-""
- O
.
?
_n
4.11.3. E! Principio de D' Alembert.
"
Una expresión como la ley de Newton pam una pmtícula:
F. ma
también puede expresarse por:
F-ma .. O
[4.36]
donde ti t¿rmino lila, pmducto de una maSa por una aceleración se establece en unidades de
fuerza (en Newlon, para el sistema MKS) aunque en realidad no lo sea (para este producto
no vale el principio de acción y reacción. por ejemplo). Supongamos yue por esta propiedad
se detina a (- lila) comn una fuerza ficticia o fuerza de i/lercia
En tal caso la [4.361
queda
F+[,-O
[4.37]
1.
que formalmente coincide con una condición necesaria de equilibrio. Pero en tal caso, lodos
los procedimientos válidos para resolver problemas de equilibrio, resultarían procedentes
para resolver también problemas de la dinámica. Este resultado justamente está presente en
el enunci;:¡do siguiente. conocido como Principio de D· Alembert:
El! (.·ada illS/allfe existe 1111 equilibrio dimímic:o en/re las fuerzas
aplicadas y las fuerzas de inercia.
Para ejemplificar la diferencia entre un planteo por la ecuación de Newton y o tro por
la aplicación de este principio consideremos el siguiente problema:
Pmblema 4.16.
Hallar la aceleraci6n normal en el péndu lo cón ico mediante la aplicación del Principio de
O'Alembert cuando el ángulo a es constante.
Resollldó/I:
149
\11 ~ \ "';ICA
Capiwlo 4
Utilizando la formu lación que resulta de la
aplicación de la ley de Newlon:
-Teoso. + p .. O
Tseno .. ma
y resolviendo
a
g
19a - .... '" -j--- .... -
C.. .. -,,-' .. -"'
Utilizando el Principio de D' AJembe rt:
'
Fig.4-26
ccuaClOn de "equilibrio"'que puede resolverse por
cualquier método conocido de la es tática. Por
ejemplo. mediante la proyección sobre un par de
ejes ortogonales
Teosa " P
Tsella -
J.
a
g
tga - -
que candUl.:e a idéntico resul tado
Fig.4-27
p
4.12. SISTEMAS DE MASA VARIABLE.
4. 12.1. Planteo general del prob lema.
En primer lugar corresponde aclarar que en
este capítulo describiremos sis temas cuya masa
varía en el tiempo desde el punto de vista clásico,
como lo que s ucede, por ejemplo, con el
combustible de un cohete, con la ca rga de un vagón
que recibe granos desde un;!. tolva, etc. Se excluye
el problema re lativista de variación de la masa con
la velocidad, que es tratado en deta lle en los cursos
de Física Moderna.
Aquí supondremos que a ':.n cuerpo de masa
Fig. 4-28
m que St muevt con velocidad V se le incorpora
otro de masa óm cün una velucidad v'. En tal
c.-IS0 las cantidades de movimiento del sistema antes
fi(¡) y dcspu¿s de la incorporaciéin p(t + 61) están dadas por:
Sistemas de Plintos Materiales - Masa Variable
MECÁNICA
p(t) - mv + v'Am
P(I+ 1") - (m + IvnXv + t.v)
restando m. a m. y dividiendo por tU:
P(I + t.1)-P(I)
t.1
t.v Ivn( _ _ )
t.v
v - v' + Amt.1 t.1
t.1
'-'--=--'----'-''-'- - m- + -
entonces, si 6r tiende a cero y m(t) es función continua de t, resulta:
dP
-
dI
di!
dlll
dI
dI
~ 111(1)- +-(i! - i!')
y teniendo en cuenta la Primera Ecuación Cardinal de la Dinámica [4.7]:
_
dm
áV
F' +-v - m(I)-
[4.38]
dI '
dI
donde hemos llamado v, = Vi - V (velocidad relativa de ingreso de masa)
dm
Se conoce como fuerza propulsora F P - -¡; V. por tener dimensiones de fuerza
.F- P = Inv,
=
-
-p
F~ +F
-
ma
[4.39]
La [4.39] es la Ecuación Fundamental de la Dinámica para Sistemas de Masa
Variable.
4.12.2. Aplicación al caso de un co hete lanzado vertica lmente (despreciando la
resistencia del aire).
Sea el caso de un cohete de masa m en movimiento
vertical, donde supondremos que la masa de los
gases que se eyectan por unidad de tiempo (cauda l
másico) es constante. También consideraremos
constan te la ve locidad de eyección de los gases.
Resolución:
Tomando un sistema de referencia como se indica en
la figura, se tendrá:
dm
-
dI
.
= m .. - o "" cte. ,- a > O m .. 1110 - at
Fig.4-29
r - p ... -mgk ; ii, "" -v,k ,- o O
V
DI
reemplazando en la Ecuación Fundamental [4.38]
-(mo -al)g+ (-v,x-a) - (1110 - al)~;
ecuación diferencial que integrada da como resultado (suponiendo v(O);:: O):
151
•
Capfwlo 4
MECÁNICA
dv
- - -g+
dI
ay,
v _ - gt + v, In
"lo
1110 - ar
m{) - al
[4.40)
La [4.40] nos indica que la velocidad que adquiere el cohete es mayor cuanto mayor
sea la velocidad relativa de los gases de escape y cuanto mayor sea el cauda l másico.
4.12.3. Aplicación al caso de un avión a reacción
A diferencia del caso del
cohete, aquí el vehículo transporta
sólo el combustible. El comburente
lo toma del oxígeno del aire (el
cohete transporta a ambos) . Por lo
tanto debe tenerse en cuenta que al
avión ingresa una masa de aire qh
por unidad de tiempo, mientras se
eyectan gases de escape en cierta
cantidad qe a una velocidad UDFig.4-30
Asimismo supondremos que
el avión encuentra una fuerza
resistente al avance proporcional a la primera potencia de la velocidad. El problema que se
plantea es hallar la ecuación diferencial del movimiento del avión y la función velocidad
v = v (1) .
Resolución:
Consideraremos que el peso del avión W, es constante (hipótesis plausible si
el peso del combustible es s610 una a fracción pequeña del peso total). De la fi gura 4.30:
F - -Wsell8 - kv
Para el cálculo de la fuerza propulsora debemos tener en cuenta que tendrá dos
componentes, una debida a la masa de aire que ingresa y otra por la eyección de los gases, es
decir
INGRESO
v, _ -v
EYECC¡ON
v, ;: -Uo
Dé [4.38), reemplazando:
dv
-Wselle -J.:v-q• v+q e u, -111dI
teniendo en cuenta que:
, : ...
<
Sislemas de Pl/nlOS Ma/eriales· Masa Variable
:7 --(q, - q.)
MECMTICA
i1l1egralldo
y llamando
qo - q. - q"
dv q,,uo - WseflB (k + q.)
-_
v
dt
"'0 - qot
1110 - %t
Integrando esta ecuación obtenemos:
qo
v_ q,L/o - Wsell9 - (q,L/ o - Wsell9 -v ~ 1-( --'-"-k+q.
k+q.
o
lII o -q ol
..,
ll'
Problema 4.17
Una gota de agua esférica cae a través de
aire saturado de vapor y, a causa de la
condensación, su masa aumenta , verificándose que
el radio se incrementa a Vl! locidad constante
dr
- - k. Suponiendo despreciable la resistencia del
di
aire y que en el instante inicial el radio de la gota y
su velocidad son nulos, hallar:
a) La ecuación diferencial del movimiento de la
gota.
Flg. 4-31
b) La velocidad en función del tiempo.
Resolucióll:
Como dm = 4nr 1bdr, es:
dm.
4ni"b dr - 4ni"bk
dI
-.
dI
)' teniendo en cuenta [4.38]
dl1l
v, _-v
F-mg
dv
mg - 4nr 1bkv - m-
q-dI
y
eOIl
di
r - kl
reemplazando, la ecuación diferencial buscada es:
dv
v
di
I
--g-3Para integrarla, proponemos el reemplazo:
153
Capitulo 4
1\11 t r\NICA
v
dz
dr
dr
dt
o_
dz_
dz
_
dr
g-4z
r-_g-4z
In
dv
1
g- 4z
dz
z+r- = g·3z
-=z+t-
z--
( r),
- /11 -
e
;
dr
1
r
4
e
- -br(g - 4z) o 111gr
B
v - z t - - - -J
z o ~(g_~)
4
r'
4
4t
y aplicando condiciones iniciales (velocidad nula en t :; O):
gr
v-o
v_4
el movimiento resulta uniformemente acelerado con aceleración g/4.
Pl'Oblerna 4.18
Una cadena de longitud I cuya masa por
unidad de longitud es ¡.t. se deja caer sobre una
balanza a partir del reposo. Hallar la ind icación de la
balanza en función de la longitud x de cadena que
reposa sobre la balanza.
1
Resolución:
De acuerdo con [4. 38]:
dm
Fig.4-32
.
m -~lx; q---¡.tx;
dr
v, -x (sentido positivo
hacia abajo)
La maSa de cadena apoyada, está en equilibrio bajo la acción de: la reacción de
vínculo Ñ (que es lo 4ue mide la balanza), el peso P y la fuerza propulsora d 111 V :
dr '
dm - o O
P- + N- +--V
dr '
In que equivale a:
De la cinemática se tiene:
j;] - 2g x
Finalmente la indicación de la balanza es:
154
Sistemas de PI/mos MI/leriales· Masa Variable
MECÁNICA
o sea, que cuando la cadena termina de caer, (x :::: 1) la indicación de la balanza es el
triple del peso total!
Problema 4.19.
Ca lcular la potencia del motor necesaria para mover una cinta transportadora de masa m a
velocidad constante v mientras se vierte en ella arena con caudal másico constante.
Resolución:
Como la velocidad es constante resulta
F-qv
donde q es el caudal másico constante.
Entonces la potencia será
Fig.4-33
Problema 4.20.
Un cohete se dispara desde la Tierra, siendo el caudal maSICO q (q > O) Y u la
velocidad relativa de eyección de los gases, la que como q. se supondrá constante.
De la masa inicial 1110. una fracción (1 - a) corresponde al combustible (y al
comburente) a quemar. Si los datos son:
II :::: 1.000111 / S.
m,=10.000Kg
q=100Kg/s, a=0,2
Utilizando el método de Euler:
a) Obtener aproximaciones para la velocidad y la posición.
b) Estimar la máxima velocidad alcanzada.
c) Modificar el modelo, agregando como resistencia del aire, una fuerza proporcional a la
velocidad F, - -kv.
d) Modificar el modelo, agregando como resistencia del aire, una fuerza proporcional al
cuadrado de la velocidad F, _ _ /.;v2.
e) Hallar el valor del coeficiente k de la pregunta d) que permita reducir a la mitad la
ve locidad m,íxima lIlc;mzada resp!!cto de lo calculado en b).
155
=
Capltulo 4
MECÁNICA
Resolución:
Se resolverá utilizando el métodO de Euler descripto en el Capítulo 2 (Dinámica de la
Partícula) y empleando el programa utilitario MATHCAD para Pe.
Datos
mO ; 10000
masa total del cabete en Kg
q ; tOO
caudal másico de eyección en Kgls
u :; 1000
velocidad de eyección de los gases en mis
g '; lO
aceleración de la gravedad
o =O
velaci_dad inicial
a =0.2
porcentaje de la masa total que no es combustible
mF :; a-lOO
masa final
V
a) Determinación del tiempo durante el cual se quema el combustible
T = 100
valor de prueba
given
mO- q·-r-mF
TQ ; find(T)
tiempo de quemado del combustible
( en TQ s se agota el combustible)
b) Variacion de la masa con el tiempo
m(t,z) ;(mO- q-tHt<z) + (mO- q-z)-(t>z)
ma sa en función del tiempo
Mientras bay combustible (t<z) = lla masa decrece linealmente con el tiempo
cuando se acaba el combustible (t>z) = lla masa es constante (mO - q z)_
I
156
= 0,0.6.. 180
Sistemas de PI/ntos Materjales - Masa Variabl~
MECÁNICA
c) Aceleración del cobele
'(1) _=. g r q-u-(I<TQ)
m(I,TQ)
para t < TQ la aceleración es suma de dos términos no nulos,
si I >= TQ enlonces la aceleración es la de la gravedad.
d) Integración de la ecuación diferencial por el método de Euler
h =1
intervalo de integración en el tiempo
k =O.. N
tI¡
"\.;,-1 ="~Ta(tJ.h
,
1000
,-
,
o
500
r
instantes de tiempo considerados
Algoritmo de Euler
,
/
I~
,
-
'''--~
.~. . . . . . . . . . - . . . . ~~
o
-soo
=k· h
o
I
50
1
lOO
.
I
150
200
Puede observarse que durante el intervalo de tiempo en que se quema combustibie el
movimiento tiene aceleración variable. Una vez que se quema todo e l combustibl e la
velocidad comienza a decrecer linea lmente (aceleración constante igual a la aceleración de la
gravedad). La máxima velocidad del cohete se alcanza en el installle en que se quema todo el
combustible y resulta aproximadamente igual a 800 mIs.
En el instante en que se anula la velocidad (aproximadamen te a los 160 s) el cohete
alcanza la altura máxima. Una estimación de dicha altura se puede obtener determinando el
área bajo el último gráfico, en el intervalo [O, 160 s].
RESUMEN
Como resumen de lodas las ideas tratadas en este capítulo desarrollamos un mapa
conceptual de Sistemas de Puntos Materiales - Masa Variable.
11
157
MECÁNICA
Capítulo 4
,i
MECÁNICA
SistemaS dr? Plintos Materiales· Masa Variable
4. 13. PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema 4.21
Determinar el centro de masas de una semiesfera homogénea de masa M y radio R, centrada
en el origen.
3R
Rta:8
Problema 4.22
Hallar el baricenlro de un tetraedro homogéneo de masa M cuyos vértices son los puntos
(0,0, O), (a, 0, O), (O, a, O) y (O, 0, a).
Rla: (a/4) (1, 1, 1)
Problema 4.23
Un pequeño carro de masa ro puede deslizar sin
rozamiento sobre un plano inclinado instalado
sobre un segundo carro de masa M que puede
deslizar sin rozamiento sobre un plano horizontal.
a) Plantear la conservación de la cantidad de
movimiento, la ecuación de movimiento del centro
de masa y hallar las ecuaciones del movimiento de
cada cuerpo.
b) Obtener las expresiones para las aceleraciones.
e) Hallar el valor de las reacciones .
,
J
s
F ig. 4-3 5
Rla:
MX+I1I(:i+scosa) .. O
{ "'i - Mg - mg - -mssena
a)
-¡
¡
H~ sena -
Mi'
- W¡ cosa - Mg + ~li - O
m(x+scosa)- lv¡ sena
-mssena - H~cosa -mg
e)
"
mgsenQ cosa
M + mscII 2a
..
(111+ M)gsello
x- b)
S-
,
Iv! +msell"a
Capímfo 4
MECÁNICA
Pro blem a 4.24
Un sistema aislado de tres puntos materiales (que
no interactúan) , separados entre sí por una
distancia de 0.5 m, tiene en el instante inicial la
y
configura ción que muestra el esquema. Las masas
y velocidades se indican en el cuadro. Las
magnitudes se expresan en el sistema MKS.
x
PARTlCULA
MASA
VELOCiDAD
1
1
51 +3J
2
2
61
3
4T - 2]
,
,
Fig.4-36
Hallar:
a) La ecuación de l movimiento del baricentro.
b) La velocidad del baricentro.
e) La cantidad de movimiento del sistema.
d) El momento cinético respecto del origen.
e) La energía cinética del sistema.
f) Verificar el teorema de K6nig.
Rla:
e) T = 83
Problema 4.25
Tres partículas se mueven por la acción de fut:rzas desconocidas de tal modo que las masas
y las posiciones en función del tiempo, son las indicadas en el siguiente cuadro, donde las
magnitudes están expresadas en el'sistema de unidades MKS.
POSICION
PARTICULA
1
MASA
,
,
r. - 3fT + 21~k
2
,
2
1
r. - 4[ -~J+5t 2k
,
;;-3}-4tk
Hallar:
a) El momento ci netico del sistema respecto del origen de coordenadas.
b) Expresarlo como suma de un momento l:Ínetico de spin y un momento cinético
orbital.
e) Determinar el momento de las fuerza:; exteriores dd siste ma.
Sis/el/!as JI! Pl/lltu.~ Ma/eriafes . Masa Variable
MECÁNICA
Rlu:
a) Lo - (-20/ ' - 12)' + (-18/' - 80/)7 - 16k
b)
Prob lema 4.26
Un sistema de puntos materiales está
formado por dos cuerpos puntuales de masa
1111 = 3 Kg Y m! = 1 Kg • respectivamene, unidos
por una barra rígida de 40 cm de longitud y peso
despreciable. La ba rra se coloca verticalmente
sobre un plano horizontal sin rozamiento en un
punto P y se sue lta. ¿A qué distancia del punto P
la masa m¡ chocará contra el plano?
x = 10 cm
.}
•
40 cm
,f!,
¡¡b
p
RfO:
".
1,1
,-
G
mI
,/11:
r.t:~:
-
,,;aoJ:.2."
:,.
-
,,==.~
Problema 4.27
-
F
Fig.4-38
Un sis te ma de puntos ma terial es está formad o
po r dos partículas de igual masa m unidas por una
barra rígida de peso despreciab le. A partir del
instante inicial actúa sobre una de las masas una
fue rza de intensidad F constante y de dirección
perpendicular a la ba rra, co mo indic."! In figura.
Estudiar el mov imi ento del sistema respecto
del ba ricentro.
Rta:
_ F
8--1
mi
F
8- -
'2ml
_
¡-
Problema 4.28
El s istema de la fig ura está inicialmente en reposo co n el resorte comprimido. El
carro chico se pone en movimiento hasta alcanzm una velocidad
respeclo del carro
gril nde. Supone r que no exis te rozamiento e ntre el ca rro grande y el piso.
Hal!;) r:
v'
161
Capimla 4
MECÁNICA
a) L1 ve locidad q ue alca nza el ca rro de masa M.
b) La energía cinética del sistema.
Rta:
,,) V ~
1
mv'
b) T~ - ~v' CO/1
M+m
2
~ ~
Mm
M+m
M
m
v
Pro blema 4.29
Un motor eléct rico de masa M está instalado
sobre un cimiento hor izon tal liso. En el eje del
Fig. 4-39
motor se coloca una ba rra homogénea de long itud
2/ y masa MJ•
En el estremo de la barra hay una carga de masa 111. La ve locidad angula r de l motor
OJ, eS cons tante. Hallar:
al La ecuación horaria del movimiento horizonta l
del motor.
m
b) El esfuerzo horizontal máximo R que actuará
sobre los pernos que fijen el motor al piso.
e) La ve locidad angular de l eje del motor para la
cual comenzará a saltar sobre el cimiento en el
caso en que no se fije el motor.
x
Rla:
<1) X ,II ()
1 -
.
(MI + 2m)lcos(l)l
( '
M+M¡+m )
b) R - (M¡ + 2", )(.o)2f
Fig.4- 40
A1
, .A.:.1c.+_.:.:¡,c.+c.'c.:." g
e) (1)-:>M¡ + 2m
1
Problema 4.30
Una partícula A de masa 11/" choca contra ot ra B de masa "'1>, inicialmente en reposo.
Considerando el choq ue perfecta mente elást ico:
a) ¿En qué condiciones puede cede r A toda s u energia a B ?
b) ¿.En qué condiciones A perseve ra en la dirección y sentido de incidencia?
c)¿En qué condiciones se in vierte e l sentido después del choque?
RIO:
Problema 4.31
Demostrar que en un choque plástico:
a) No se const::rva la ene rgía cinélica.
162
b) 111" >1I1¡,
---------------------Sisteml/!> de PlintOs Materiales - Masa Variable
MECÁNICA
b) Se produce un pérdida de energía ( que se manifestara como calor, sonido, energía de
deformación, elc).
_ .
_
1
e) Que esa perd ida de energl3 vale:ó,T - --
m¡"'2 (
2m} + m';!
VI - v2
)'
•
Problema 4.32
Dos autom6viles A y B de masas /nA y me. respectivamente, viajan en la misma
dirección pero en sentidos contrarios cuando chocan de frente. Se supone que el choque es
perfectamente plástico y que la energía absorbida en el impacto por cada automóvil es igual
a su pérdida de energía cinética con respecto a un sistema de referencia solida ri o al centro de
masa del sistema de los dos automóviles. Si EA Y Ea son las energías absorbidas en el
choque por A y B, respectivamente, enlonces:
a) Pl'Obar que la energía absorbida en el impacto por cada vehículo es inversamente
proporcional a su masa.
b) Suponga que cada automóvil fue diseñado para resistir, con toda seguridad para los
ocupames, un choque contra una pared inmóvil si su velocidad es \-'0. Para un automóvil
puede medirse entonces la magnitud del choque con uñ índice igual al cociente entre la
energía absorbida en el impacto y la energía absorbida en la prueba del choque contra la
pared. En base a esta foona de medir, demostrar que el choque es (m;.. / I1IB): más severo
para el automóvi l B que para el automóvil A.
Rla: a) (EA I E.) = (m. I m,,).
Problema 4.33
Una partícula cae verticalmente sobre un plano horizontal fijo con velocidad v. Si el
coeficiente de restitución entre partícula y plano vale E:
a) Detenni nar la velocidad v' de rebote.
b) Si se lanza desde el reposo a una altura H del plano, calcula r la distancia total recorrida en
los sucesivos rebotes.
Rta:a)v'=fv
b) d.
J1
E
+ :)·
I"I\1_
E
Prob lema 4.34
Determinar la relación entre las intensidades de las
fuerzas P y Q de la figura si el sistema está en
equilibrio y no hay rozamiento. Aplicar el Principio
de los Trabajos Virtuales.
- -
B
p
Rra: 2Q _ Ig6
F ig.4-41
163
C(lp/mlo 4
MECÁNICA
Proh lema 4.35
Una gota de lluvia de masa inicial mo cae desde el reposo y viaja a través de una nube
de espesor a ganando masa por condensación a razón de b =; dmldt, constante. Enctlentra
una resistencia al avance proporcional a la ve locidad. Obtener:
a) L1 ecuación diferencial del movimiento.
b) La velocidad de salida de la nube, si se sabe que durante el lapso en que la atraviesa se
duplica la masa de la gota.
Rta:
dv
(k )v
g - -+1a)--dl11
b
b
111
Problema 4.36
Un satélite meteorológico de masa 5000 kg, incluyendo combustible, ha sido lanzado
al espacio desde un transporte espacial que describe una órbita circular de baja altura
alrededor de la Tierra. Después de que el satélite se ha alejado lentamente con el impulso
inicial hasta alcanzar una distancia segura, se enciende su motor para elevar su velocidad en
2430 mIs como primer paso de su transferencia a una órbita geoestacionaria, Si el
combustible se expu lsa con una velocidad relativa de 4200 mIs, determinar el incremento en
1" velocidad del satélite meteorológico, después de que se han consumido 1500 kg de
combustible.
Rw: a) 1498 mis.
P.-ob lem::l 4 .37
-
F ig.4-42
164
El avión de masa 1110 de la figura rueda
libremente con velocidad Vo y se engancha a un
dispositivo que tira de los extremos de las alas dos
cadenns de long itud 1 y masa por unidad de
longitud ~l. Calcular la ve locidad del avión al
ponerse en movimiento el último eslabón y hallar
la función x =; x (t).
SiSIe/llIl.f de PI/lilas Mmerioles· Masa Variable
MECÁNICA
Problema 4.38
Una cadena de longitud I tiene un peso por
unidad de longitud ~l y cae sin rozamiento por un
plano inclinado un ángulo a, como muestra la
figura. Inicialmente los eslabones de la cadena
estaban apilados en el plano horizontal, por
consiguiente la longitud de la cadena en el plano
inclinado es, en el instante inicial, x = O. Una leve
perturbación provoca que comiencen los eslabones a
incorporarse a la masa en movimiento. Obtener:
a) La ecuación diferencial del movimiento.
b) La función v = v(x).
c) La función x = x(I).
~ll~ldv
Rta. a) uxsefla - -v
.
g
=- x g
b) v_
dI
Fig.4-43
z
1
c)x - -g(sella)l'
- gxsella
3
6
Problema 4.39
Un vagón de ferrocarril de longitud L y masa
(cuando está descargado) se mueve sin
rozamiento sobre un riel horizontal con velocidad Vo .
Cuando el extremo delantero del vagón
enfrenta una tolva de carga, ésta comienza a cargarlo
a razón de q [ Kgls]. Obtener la ecuación horaria de
movimiento del vagón, el tiempo de carga y la masa
1110
cargada.
Rta:
"',v, {
qt)
J) - --1 1+- paraOsxsL
q
1110
X\l
F ig.4- 44
(.éL )
_111
_
0 e"'o'·o - 1
I
Ufll"
q
Problema 4.40 (para reso lve r utilizando el utilitario MATHCAD para PC)
Una nave espacial se encuentra en el espacio exterior moviéndose a una velocidad de
1.000 m I s, suficientemente alejada de cualquier centro de atracción gravitatoria. Se decide
frenar la nave por medio de un sistema retropropulsor que dirige su tobera en la dirección en
que se mueve la nave.
Datos:
U :::: 200 m I s (velocidad de los gases de eyección)
165
Capítulo 4
MECÁNICA
= 10.000 Kg (masa tOlal de la nave en 1 = O)
a = 0,3 (fracción de la masa de la nave que no combustiona)
!no
q = 200 Kg I s (caudal másico)
Requerimientc
a) Utilizando d método de Euler hallar la aproximación para v = v (1).
b) Detenninar el cambio de velocidad que adquiere la nave cuando va consumiendo su
combustible y comburente:
l)alos20s
2) a los 40 s
3) cuando se agota totalmente el combustible.
c) variar u hasta lograr frenar a la nave .
PROBLEMAS DE SELECCI6N MÚLTIPLE
Problema 4.41
Una de las siguientes afirmaciones es correcta:
a) Las fuerzas interiores de un sistema de partículas nunca realizan trabajo.
b) Un sistema de partículas puede tener energía cinética no nula y simultáneamente cantidad
de movimiento cero.
e) El momento cinético de un sistema de puntos materiales con respecto a un punto O que
se mueve con vector velocidad consta nte se conserva cuando el momento de las fuerzas
exteriores es nulo.
d) La energía cinética de un sis lema de dos partículas puede expresarse por:
T-
(m, + m,)v 2 + In 12V~
In
2
m¡ + m1
donde ves el módulo de la velocidad relativa de una partícula respecto de la otra.
e) El momento cinético de un sistema de dos partículas respecto de UD centro de momentos
O puede escribirse:
- o - ( 111 + 111 )-r x V- +
L
G
1
2
11111112
111 1 +1111
-
r x v- G
donde; es el vector posición relativa entre ambas partículas.
Rla: b
166
Sistemas de Puntos Materiales' Masa Variable
MECÁNICA
Problema 4.42
Indicar cual de las siguientes afirmaciones es verdadera. Para un sistema de puntos
materiales:
a) Si el momento resultante de las fuerzas exteriores es nulo entonces se conserva el
momento cinético respecto del mismo centro de momentos.
b) Para que la energía mecánica se conserve, es necesario y suficiente que las fuerzas
exteriores deriven de potenciales.
c) Cuando se satisface la condición de rigidez, el trabajo de las fuerzas exteriores mide la
variación total de energía cinética del sistema.
d) Si la resultante de las fuerzas exteriores es nula entonces se conserva el momento cinético
del sistema.
e) La sola acción de las fuerzas interiores permite modificar la trayectoria del baricentro.
Rta: e
Problema 4.43
Si una partícula en movimiento choca elásticamente contra otra en reposo cuya masa
es k veces la masa de la primera, entonces la fracción de la energía cinética inicial que
resulta transferida a la segunda en el choque (supuesto en una dimensión) es :
a)kl(k+1)'
e) 4k l(1 +k)'
b)k' I(k'+I)
d) 8 k' I ( 1 + k)'
e) I /(k+ 1)
Rta: e
Problema 4.44
Una vagoneta de masa M (cuando está vacía) se carga de arena que cae de una
tolva vertical a razón de Qo Kgls. La arena se escapa (en dirección vertical respecto a la
vagoneta) por debajo de la vagoneta a razón de Ql Kgls cuando ésta se mueve en un
trayecto rectilineo horizontal (no se considera el rozamiento) mientras recibe arena de la
tolva. El módulo de la fuerza horizontal necesaria para mantener constante la velocidad V de
la vagoneta es:
a) Mg Qol Q1
b)Qo V
e) Q¡ V
d) (Qo - Q1) V
e) O
Rta:b
167
r
Coplwlo 4
MECÁNICA
Problema 4.45
El sistema formado por dos masas unidas por un hilo tenso de longitud L de masa
despreciable, gira con ve locidad angular w sobre un plano horizontal, sin roza miento. Si se
tiene en cuenta que M 2 - MI a, la tensión en el hilo será:
o
,
e) --M, w L
1+0
Fig. 4-45
d) l+o M ,w' L
o
.
e) M, w' L
Rta: b.
168
SiSlemllS de PI/lilaS Materitl/es . MaSlI l'lIriable
MECÁNICA
APENDICE 1 DEL CAPITULO 4
INTRODUCCIÓN A LA MECANICA ESTADISTICA
La Mecánica Estadística es una disciplina que tiene su origen en aportes sustanciales de la
Mecánica Clásica, tanto como su antecedente directo, la Teoría Cinética de los Gases, que
representó uno de los mayores logros científicos debidos a Bernouilli en el siglo XVIII y
revitalizada hacia 1850 por Joult: y otros. Ul. deducción está basada t::n suponer que un gas está
formado por moléculas, las que, a los tint::S prácticos del modelo, se suponían de forma esférica.
Tales esferas cumplían con las lt:yes de la Mecánica Clás ica: choques elásticos en los que se
vc:rifica la conservación de la cantidad de movimit:nto y la conserv,llción de la energía. Este
modelo permitió deducir la ecuación dt: estado de los gases ideales
pV=/lRT,
conocida y utilizada por los alumnos desde la escuela secundaria.
La idea de la Mecánica Estadística surge a partir de estudios realizados en la segunda mitad
del Siglo XIX por Boltzman y Gibos. Consiste en utilizm métodos de la estadística (aplicables a
conjuntos donde el número de individuos es muy grande) a un modelo molecular de la materia.
Sostiene que las propiedades macroscópica mente medibles son debidas al comportamiento del
conjunto)' pueden obtenerse aún sin mayor información sobre el comportamiento individual de los
e1~mentos que integran a ese conjunto.
Para ello comienza describiendo al Sistema en un espacio hexadimensional, el espacio de las
fases, donde cada molécula o elemento del conjunto está representado por seis coordenadas (tres
de posición y tres de velocidad), de modo que sí el espacio convencional da para cada punto una
información acerca de la "posición" que ocupa, aquí se logra una descripción mas completa pues
cnda punto describe su "estado ci nemático",
Se busca entonces una función que describa a la densidad de estados en tal espacio para
luego obtener de ella valores medios que puedan compararse con los resultados experimentales.
UI Mec.'Ínica Estadística (en su versión clásica), como hemos dicho, llega a la expresión que
describe la presión en el caso de un gas ideal, sin recurrir a hipótesis "ad hoc" para las propiedades
dimímicas de cada molécula individual, como es necesario hacerlo en la Teoría Cinética de los
Gases.
1. Hipótesis de la Mecán ica Estadística CI:ísica
El estado cillemático del Sistema se representa en un espacio de la posición y de la velocidad.
O sea. que cada punto material (en ade lante pUl/lO fase) está descripto por un conjunto de seis
coordenadas (tres de posición y tres de velocidad).
169
Cap/mio .;
MECÁNICA
Se define: la celda, () celda ekmenud por el hipcrvnlumen H= dx dy dz dvx dvy d'.Jz' pequei'ic.
re:specto dd vulurnen lotal, pero lo suticientemente grande como ptira contener varins pl!n:os fase.
Si Ni eS d número de puntos fflSt l:orrespondiente 11 la ce lda i, el obje ti vo que
~e ?iantea en
priml!r lugar I!sta teoria, I!S ohtener una fUOl..'ión que reprt~sente la densidad de puntos ~z.5e, es decir
il=N¡ I H,
Para dio Se considera qUe cada punto fase es "distinguible" y ello permite defini~:
Micrnestado: Es la descripción dt:1 sistema por las 6 c()o~:ienadas que
idc:ntitiC<ln la pllsicilín y la velocidad de C<lda punto fase.
f'1..lacrnestadn: Es la descripción del sistema según la ocupac ió:: c!e las ce ldas
en que SI! ha dividido todo ell!sp.1cio.
HipÓtesis:
En cada instante existe un micrnestado
,¡, Los micrnl!stados no pueden permanecer sin C<lmbios
* Los microe:stndos son equipmbables
,¡, Al cambiar el microestndo, el macroestado puede o no cambiar, por lo tanto, a cada
macnlestado puede corresponder un cierto número de microl!sléujos (los :nncroestadoG
no tienen igual prohabilidad dI! OCUITl!ncia)
* El macroestado onsc:rvahle es aquel que: perm<lnezca mayor tiempo, por ~o tanto e~
aqué l al que: corresponde mayor núme:ro de microestados
• Se c..Iefine cnmo prnhahilidiuJ termotlimlmica W, al numero de micrnesladns qi!'!
corresponden a un macroesfado dado. La máxima probabilidad re rmodin{í;r.:ca
corresptlnc..ler'i al macrot!sL,do que eS macroscópica mente observable.
ti<
Par" fijar ideas, supongamos tener cuatro pun tos f'lse que Ilnmarem os a,b,c:,d y dos ce ldas i, j
(x.:upadas por N; y N¡ puntos fase. L1 suma N; + N¡ debt:ni ser siempre igual a 4.
En este CaSo sc:ria posible definir cinct) macrt"'lestados :
i\LM: IWESTADOS
1
2
3
4
S
N'
. I
4
O
3
1
2
2
1
O
4
Ni
3
A cada uno dI! estos macroesladns correspondení un ciertn numero de microestados. Por
ejemplo, al rnacroestauo número 2, le c.orresponderá una pwhabilidad termodinámica
\V ij (3, 1) = 4. pues
Ni
N.i
170
a.n.1.:
J
a,n.d
e
a,e,d
h
b.c,d
a
Sistemas de Pllnws Materiales· Masa variable
MECÁNICA
Utilizando la misma forma de contar para los otros macroestados posibles tendríaü.cs
NI
Ni
4
3
2
1
O
1
2
3
4
O
Wij
1
4
6
4
1
2. Obtención de la Ley de Distribución de la Mecánica Estadística Clásica
Esta forma de COntar el número de microestados correspondientes a i.:2 oac!"oestado (o
probabilidad termodinámica) conduce a través del cálculo comb inatorio a
N!
[4.41]
W-~
U N;!
;
donde N es el número total de puntos fase, Ni es el número de puntos fase que ocupan la
celda i y W la probabil idad termodinámica correspondiente.
Para hallar la máxima probabi lidad termodinámica sería necesario maximizar [4.41]. Co~o Ee
tendrán grandes números, conviene tomar logaritmos, aprovechando que esta fundó:: es
monótona t lo cual nos asegura que los máximos se correspondan (máximo de VI ~rresPQn¿e 2.
máximo de In W) . Para números grandes es aplicable la aprox imación de Stirling
In(N!) - NlnN - N
y la maximización se rea liza mediante el método de los extremos condicionados de L.ag2i.1ge,
utilizando como condiciones de vínculo:
·que el número de puntos fase sea constante N - ¿ Ni
•
aque la ene rgía total y la de cada celda sea consante U ... ¿w¡N¡
;
Un cálculo sencillo perm ite arribar a la distribución de Maxwell- BoUzman o de la Meceb.ica
Estadística Clásica :
[4.42]
1
kT
donde ~ es un parámetro que mas adelante se demuestra que vale ~ - ­ , conkla
constante de Boltzman y T la temperatura absoluta. Z representa la Ilarnadafunción de partición
[4.43}
171
r
Capimlo 4
MECÁNICA
3. Aplicación al caso de un gas ideal munoatómico
Para un gas monoalómico • donde se desprecien las interacciones mutuas y con las pa:-ectes
del recipiente que lo contiene será
1
,
0). --m.v.
• 2"
expresión que reemplazada en la función de partición da
..'
Z - ¿ e-~;
,
Para integrar esta expresión Se recurre a multiplicar ambos miembros por el VOIUC1ec. c:: :a
celda elementa l:
H = dx dy dz dv~dv,.dv:
,con lo que resulla
•
(,
'
,)
1
-- '- "-.0'Z _- e 2.tT' } • dvdvdvdxdydz
H
~
y
:
J
Q
Esta integra l puede llevarse a la fonna de la integral de Poisson, de modo que
,
z • .!:'.('21tkT)'
H
con lo que la [4042J queda
[4.44J
m
,
)i
,
NH
N .- ( - In
- - eo=:::
2iT
[4.45J
•
V '21tkT
H es un diferencial de sexto orden por lo que la [4.45] puede integrarse, por ejemplo e:::::3
cO\..1rde nadas de velocidad y resulta
,
N( - - )¡('21tkT)¡
d'N.V '21tkT -m- dxdydz
,
111
=
d'N
dxdydz
.-NV
[4.46J
donde podemos interpretar que para un gas monofltómico el número de moléculas por t;:::dad
de volumen microscópico es igual al número total de moléculas d ividido por el volumen !C~t.:. o
sea, que el gas está uniformemente distribuido (el gas tiende a ocupar uniformemente to~~ el
volumen)
A Su vez, si la [4.45] fuera integrada en las coordenadas de posición, resulta
[4.47J
que es la función distribución de velocidades de Maxwell . Boltzman
La importancia de [4.47] tiene un valor científico notable pues permite obtener expresiones
qUé pueden ser confron tadas con la experiencia
NOTA:
Puede observarse que la hipótesis de gas ideal mOlloal6mico fue impuesta después de
obteller la e>..preswlI [4.42J. Ello co"dru,:e a que los resultados deberían ser independientes de!
¡ipo de parllculas.
J 72
Sislemas de Plintos Muteril/les· Musa variable
MECÁNICA
La experiencia indica que se obtiene WI buen acuerdo con /0 experiencia en el caso de
los gases. Seria de esperar que cambiando de partículas, esto es, por ejemplo con e/ecrrones, se
pudiesen obtener descripciones macroscópicas con/rontab/es con los valores experimentales.
Este acuerdo no se logra y esta discrepancia conslituye el pWlto de partida para que en el
presente siglo se revisaran algunus hipótesis iniciales de este modelo (fundamenta/mente el
concepto de microestado) . Introduciendo modificaciones en algunas hipótesis, pero
manteniendo la metodologCa de deducción, resultan las denominadas Mecdnicas Estad{sncas
Cudnlicas, a saber:
• La de Bose Einstein, vdlida para fotones (radiacion electromagnética - hosones en
general) y
• La de Fermi . Dirac, válida para electrones (jermiones el! gelleral)
Para fijar ideas en cuanto a la apl icabilidad de la Mecánica Estad ística C lásica, nos
proponemos a partir de la [4.47]:
1•
a) Hallar la ve locidad media v vdN" para un gas ideal monoatómico
o
NI
I _-
dN •
O para el mismo gas
d v''''''
1•
b) Hallar la velocidad mas probable
v!., - NIv2dN,.
c) Hallar la velocidad cuadrática media
o
d) Obtener la representación gráfica de la función distribución de Maxwell - Boltzman
3.1. Cálculo de la velocidad media para un gas ideal monoatómico
La [4.47] puede expresarse por
<iN -4
"
!
4 )
m
--
'bTl<T
,
.,
--
v 2e 2.l:T dv
[4.48]
donde hemos supuesto integrar en el espacio de las velocidades (teniendo en cuenta que la función
integrando sólo depende del módu lo del vector velocidad; con el artificio de integrar en una
cáscara esférica) con el reemplazo
dv"dvydv. _ .4nv 2dv
Supondremos como propiedad matemática conocida los resultados de la siguiente integral
(función gamma)
•
IJx} - x"e-udx
con a> O
J
o
Los valores tabulados de ln(x) son:
11
I,,(a)
O
1.t
2 •
1
-
1
'"
2
3
4
5
¡~~!
1
"83~
-;;r
1
""
""
173
MECÁNICA
Capfllllo 4
Enlonces si
1•
V - -N J vdN ,.
o
4 )'J' .
3
1
v=-4
N
IIIV
2
•
-/11- v"e -~
'1 kT dv
2:JtkT o
2mv
dx - --dv
-- -x
2kT
lIamil.ndo
111
0--
2kT
2kT
3
3
3
()
4"-(111)'
1
v- -4"-(III)
- 'J"ve'-."' d v .. - 4" (111)'1
a---
-
(2n)¡ kT
(2it)% kT
o
'
(2n)% kT
20 '
resulta tinalmente
¡; _lkT
[4.49)
IIlJt
3.2. Cá lculo de la velocid ad más pro bable para un gas id ea l mo noa tómico
dN,. -
f( v)dv
f( v) - 4
4
¿
d( ...":) 2ve . . .: v - - e
!
__'-liT
v'
2nkT
111
)'
.,
- v~e 2kT
dv
_
2kT _
2
2V11l
...,.:
UT
kT
2v-?íi , -In _ O
-
entonces,
kT
[4.50]
¡; _pkT
111
3.3. Cá lculo de la velocid ad cuadrática media pa ra un gas id ea l monoa tómico
,
" v'ldN - 4n(-111- )'J"v ~e···~.dv
v·, _ -1 J
'~N
'
2nkT o
o
reemplazando resulta
,
3
In
cona---
2kT
=
v....s - - m
?--
- 2kT
[4.51J
v
"'"
174
_ pkT
ni
Sistemas de PUllLOS Materiales· Masa variable
MECÁNICA
3.4. Obtención del gráfico corrt!spondiente a la distribución de Maxwell
Boltzman
4
v
Con el objeto de utilizar variables adimensionales pa ra la represen tación , definimos x-:::
v
de modo que la función distribución de ve loc idades
4
¡(v).4
In
)% .",,'
- - e "'v'
2JtkT
resu lta
0.35
0.3
0.25
0.2
0 .15
0.1
0 . 05
1
2
3
5
175
Sistemas de Pllmas Materiales· Masa Variable
MECÁNICA
APENDI CE 2 AL CAPITULO 4
INT RODUCCION A LOS SISTEMAS CONTINUOS
\. GENERALIDADES
Dentro del CapílUlo 4. Sistemas de Puntos Ma teria les hemos dicho que éstos pueden
clasificarse como Sistemas Rígidos, definidos como aquellos en que las distancias entre dos puntos
cualesquiera se mantiene constante frente al sistema de fuerzas aplicado, y Sistemas Deforrnables,
O sea aquellos en que tales distancias se modifican por la acción de las fuerzas aplicadas. Por otra
parte los Sistemas Deformables pueden ser clasificados teniendo en cu~nta su comportamiento
ante una tensión aplicada: si como respuesla se produce una deformación finita, estamos frente a
un sólido deformable. Si, en cambio, frente a la tensión aplicada, sufre una deformación cOOlínua
estaremos en presencia de un fluido.
Nuestro propósito en este caso es m( "':.tra r cómo las baSeS teóricas que provee el
L'onocim icOlo de los Sistemas de Puntos Materiales (en general) constituyen el fundamento de
ambas teorías, la Teoría de la Elasticidad que describe el comportamiento de los sólidos
deformables y la Mecánica de los Fluidos, que ciescrib: el comportamiento de éstos.
2. FUERZAS DE MASA Y DE SUPERFICIE
Consideremos el caso, bastante frecuente, de fuerzas que dependen de la masa del cuerpo
(como es el caso de las fuerzas gravitatorias, por ejemplo)
. En ta l caso, resulta procedente definir a la fuerza
aplicada por unidad de masa del :uerpo por la expresión
1 .. /fm
6F
6111
l1m - O
Supongamos que un Sistema de puntos materiales
pueda
considerarse
un
Sistema
"0ntinuo
sólido
deformable.
Fig.4-46
Será
posible
dividirlo en dos partes por un plano y la acción
resulta~te de una parte sobre la otra se rá representada
por l1F . Sobre la otra parte del cuerpn actuará su
opuesta debido al principi0 de acción y reacción. Pero
éstas fuerzas serán proporcionales a la superficie del
plano común de sepr¡':¡ción, por lo cual resulta
procedente definir a una fuerza por unidad de superficie
que llamaremos tensión 7
Fig.4-47
177
MECÁNICA
Capftulo 4
7 - lim
t.S - O
En general, -¡ podrá tener dirección y sentido arb itra rios. Supongamos entonces
descomponerla según dos componentes sobre la superficie (componentes tangenciales), -¡ y una
componente normal a la superficie, ¿;.
~e~ e.,?tonces un tetraedro y consideremos las fuerzas de superficie q ue actún sobre cada cara,
'J' '1' ' 3 t respectivamente.
Si Se:: proyectan estas fuerzas según un sistema de ejes cartesianos, resulta
-'2 - ' 2:.,l... + Il)" J.., + 12;k- - .... + o ~. ..,J +"t F kt i + 1 7+ t l -"t =rl +"t Fl + o l
"t p i
13 -
3
3
3r
y llamando ño a l versar normal a la cara oblícua
Ecuación Ca rdinal de la Dinámica
-
ño - ai + pl + yk , aplicando la Primera
dP
F'=-
d,
pldQ + 1.<15. - 1,<15. - ',dS, - ',<15, = POdl y div om.a m. por dS.
uonde los d5¡ representan los diferenciales de superficie correspondientes a las cuat ro ca ras. del
tc:lradro y dQ el vo lumen elemental. Despreciando infini tésimos de orden superior, resulta
[4.52]
expresión conocida como descomposición de Cnuchy
Si proyectamos la [4.52] sobre tres t:jes ortogona les resulta:
t"",
SI<
al Lo + Pl u +yt 3z
1",. .. al lr + Pl 2y + Y'3y
lit: - al!: + Pl 2z +yl~=
~) sea, que existe una re lación tensoria l que podemos expresar por
(t,,) = ((t¡J)(a J
[4.53]
(( lJ) es denom inado tensor de tensiones y matemáticamente consiste en un tensor
ca rtesiano de rango 2.
178
Sistemas
PuntoS Materiales · Masa Variable
MECÁNICA
3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
Una forma de apl icar la Primera Ecuaci6n Cardinal, teniendo en cuenta las definicion~
dadas es la siguiente:
JJJ, p7d, +JJ'.dS
ptd;
, . JJJ
,
7
donde p es la densidad,
el campo de fuerzas por unidad de masa, 7~ la tensión sobre la cara
oblícua y el campo vectorial de aceleraciones.
y aplicando el teorema de Gauss a la
Si definimos al vector de tensiones
Í¡ - 71i + ~ + f~i
segunda integral
v
JIJ
pJ.dQ + JJJ V .~dQ - JJI pv,dQ
o
o
o
y como se está integrando sobre el mismo volumen
- 2: -dx.al,;
'1.1 .•
,
donde
o sea,
pI, +
,
, ,
ato
L. ax .
- ' = pil.
J
'
J
[4.54]
expresión que se reduce para el caso de eq uilibrio a
'\' iJt ..
pI, + LJ' - O
j
ax¡
[4.55]
Relacio1l es de simetrfa :
Partiendo de la Segunda Ecuación Cardinal se demuestra que el tensor de tensiones
deberá ser rea l y simétrico. Ello implica, como se demuestra en el Capítulo 8, que será
diagonalizable y podrán definirse tensiones principales, que serán posit ivas cuando representen
tensiones de tracción y negativas cuando representen tensiones de compresión. Se podrán
determinar, además, direcciones principales respecto de las cua les las tensiones tangenciales sean
nulas .
4. DESPLAZAMIENTOS
s
Sea So un desplazamiento que lleva al punto Ro a la posición R'o mientras que
es el
desplazamiento que aplicado a R lo transporta a R'. Entonces si la pos ición R está referida a Ro
por el vector posición ¡ ,será
179
Capímlo 4
t-.!ECÁNICA
s"" uT + 11 + wk
So '" Un! + Vo} + wok
R'
r-xl+yJ+zk
R~
Desarrollando en Serie de Taylor hasta el primer
orden:
uauo+(Ou) x+(ou) y+(OU) z
iJx o
iJy o
iJz o
v_ o+(ov) x+(ov) y+(ov) z
Fig.4-48
V
ax o
W_IV,
iJy o
iJz o
+(OW) x+(ow) y+(Ow) z
ax o
iJyo
iJz o
si llamamos
u¡ "" u
~""W
puede escribirse matricial mente:
[uJ-[uJ+[ ::; ][xil
[4.56]
donde [u.,¡]
=>
So
[u,]
=
r
=>
[Xi]
matriz de gradientes
=
r
ahora bien, como toda matriz se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y otra
antisimétrica
1(OU, OU
i)
8'1_ --? iJ - ;:¡•
_
180
xi
uX ¡
MEcÁNlCA
SiSlemas de PI/nlos Malt!rimes · Mn.'in Vnriable
por lo que reemplazando en [4.64]
[u'] = [U Oi ]+ [e,Ix¡J+[SiJX¡ ]
donde [Uo; ]representa una traslación. Puede demostrarse que [8
[4.57J
¡J j]
x
representa una rotación y
por lo tanto la suma del primero y tercer términos del segundo miembro describe el movimiento
más general de un cuerpo rígido, una rototras lación (ve r Capítulo 7).
Nus
falta
interpretar
el
término
[e¡J xj]
Para
ello
observamos,
desarrollando
~(au + av) ~(au + aw)
au
2 ay ax
2 az ax
ax
xl
av
~(av + aw)
[eJxJ- ~(av+au)
2 ax ay
2 az ay
ay
;j
dW
~(aIV + au) ~(aw + av)
2 ay az
az
2 ax az
r
I
1)
que representa una defonnación (se observa que si el desplazamiento rígido es nulo el
desarrollo de los términos de esta matriz son las deformaciones específicas según los tres ejes
coordenados.
La matriz
[e¡¡] se denomina tensor de deformación y es real y simét rico. Los elementos
diagonales representan las expansiones o contracciones, mientras que los no diagonales
representan las distorsiones.
5. LEY DE HOOKE GENERALIZADA
Nos proponemos establecer relaciones entre el tensor de deformación y el tensor de
tensiones. Para ello debemos recurrir al resultado experimental y su validez quedará limitada a
ciertos cuerpos.
Por ejemplo, para los llamados cuerpos elásticos, es decir, aquellos que defofTTlados por la
aplicación de una fuerza recuperan su forma c uando aquélla deja de actuar, se ;umple la ley de
Hooke: un paralelepípedo ~ectangular infinitésimo con sus aristas paralelas a los ejes coordenados
• sometidos a una tensión normal Ox distribuida nonnalmente sobre dos caras opuestas no sufre
distorsión y la expansión resulta
E~ ,.
a.
E
donde E es el módulo de Young
°módulo de elasticidad longitudinal.
En las direcciones perpend iculares a x ,el paralelepípedo sufre contracciones:
¡ donde es el coeficiente de Pois50n
u
€,. _ E: - -y
y
181
Ca¡Jíwlo <.
MECÁNICA
Si el materia l está some tido a tensiones norma les sobre las seis caras, la defürmadón
,-~[a
E :I -,,(a :' +0)]
:
:1
',- ~[o, -v(a. +0,)]
resultante se rá
[4.5e]
'. - ~ [o, -,,(o, +0.)]
que constituye una expres ión generalizada de la ley de Hooke a pa rt ir de la cual pu:d:~ obteiierse
diversas formas tensoriales de espec ial interés en la Teoría de la Elast icidad,
6. DI NAM ICA DE LOS FLUIDOS (ge ne.-alidades)
6. 1. Delinici ones
Los fluídos rea les son en genera l sistemas complejos. L1 Mecánica aporta F:a su estt.:dio
un modelo que consiste en una simplificación de la realidad. Se considera fiuíco per~ectQ a un
sislc:ma continuo que bajo la acción de tensiones tangenciales y/o normales s'! ddo'T:l.a ir...:ne!i:z.:t. y
contínuame nte.
Los fluidos pueden ser, a su vez. líquidos, los que ca recen de forma ?ropia (2dq~:~:-~J la
del recipiente que los cont iene) pero tienen volumen propio, vale decir, a :os :3r.es ~:óri:;:)s
podemos considerar, en primera aproximación incompresibles. Los gases, por su ~n1i:e, ~,e:C!;:; de
turma y volumen propios, po r lo que son claramente compresibles.
En los fl uidos en reposo sólo pueden veri ficarse tensiones de compresió;1 (;lOr lo tanto
negativas, según se explicitó en relaciones de simet ría) y por el pritlci?io de ?as:::a l éstas son
independientes de la dirección, por lo que el tensor de tensiones es diagona l :
t;j"
o
01
O
-p
o
-p
O
O -p
¡4.59]
Para estudiar el movim iento de un nuído
, pueden utilizarse dos metodc!ogías :
a) l.....'I de Lagrange, que consiste en analizar el movimiento a partir de la t:ayectoria de
cada partícula (campo de trayectorias)
, - ,(",1 )
b) La de Eule r, que se basa en analizar el movimiento a partir de las velocidades de las
partículas al pasar por un punto dado
v- ;;(r,l)
(campo de velocidades)
En nuc:stro caso nos apoyart:mos en esta metodología.
Dc: rivando lél úl tima expresión respt(.;to del tiempo resulta:
lX2
==-=,
Sistemas de PlintOS Materiales · Masa Variable
MECÁNICA
_
di;
cJ\i av dx c)v dy OV dz OV ov
ov c1v
a _ - a - + - - + - - + - - _- +-v +-v +-v
~
~
~~
~~
h~
~
~.
~.
h"
que puede escribirse ve:tc;:a lmente
av + (:;i. 9)ii (aceleración eu leriana)
0- -
al
[4.60]
x,
Por ot fa parte teniendo en cuenta la identidad vectorial:
Vi.' - 2S" \7
+ 2(,. \7),
_ a-v .1
_
_
resulta
a = - + - V'v- - v x V' x v
al 2
conocida como ley de Euler para la aceleració n de un tluido.
~
Movimiento permanente: es aquél I!n que la ve locidad resulta función de la posición y no del
tiempo. En tal caso la aceleración SI! reduce a
n2
n
a_.. l-vv
- -VXvxv
2
.
para el caso en que el campo de velocidades sea el gradiente de una función potencial se tiene
v-Vcp
Vxv-O
_ a( ) -1 Vv_
,
a_-'Vq'I+
di
2
(l
"'lae¡>
')
- +v
-
[4.61]
cJt 2
sea, la ace leración también es un ca mpo de gradientes, siendo V =
(acp
+~) el potencial de
al 2
at:deraciones. Por lo tanto,
v' )
ae¡>+ si a-'V (-
at
y como
2
-
1
0-[+-\7(,)
p
Ecuación de Euler para un fluido ideal
o 0\
con
~ ~J
reemplazando
Jae¡> +~)_¡+~\7P
v\ al
2
Si suponemos e l campo de fuerzas <.:onservativo
p
[4.62]
(7 - -'V u) y el tluido incom presible
(1' = ele)
J oe¡> + v' + U + p) _O
'\ al
2
p
que es la ecuación de BeruolJilli generalizada.
[4.63]
183
~,
Capímlo 4
MECÁNICA
Si el tlujo es permanente
aq>
al
--O
y
,
[4.64]
v·
p
-+U+--cle
2
p
ecuación de Bemouilli que relaciona en un pumo, la velocidad, la posición y la presión para el
flujo permanente e irrot.1ciona l de un fluido ideal incompresible
Líneas de corriente: son las envolventes del campo de velocidades.
Para el caso de régimen perm;¡nente las trayectorias de las partículas tluíJas coinciden con
las líneas de corriente
6.2. Movim iento general de un nuído
Si la [4.57) expresa un desplaL1micnlo infinitcsimallk una partícula de tluído, dividiendo
por,Ó,t y pasando allímile resulta:
donde l U)¡j]
[v;}-[vo;}+[w;JX¡]+[i;¡][X;]
[4.65]
son los elemen tos del vector vorlicidrtd y [e ji ] los de In derivada de la deformación.
Luego, el movimi ento de un fluido es factible de descomponerse en el de un rígido
(r<.110trns lación) más la derivada de la defo mlación.
En cua nto al segundo término de [4.65] puede ser expresado vectorialmt::nte por
-v I¡Vxvxr_j _ Q_ _
xr
2
r -
donde Q _V xv
es llamado el campo de vorticidad. Si existe un potencial de velocidades este campo vectorial es
nulo.
LIS e nvolventes del campo de vonicidfld son las líneas de torbellino.
6.3. Ecunción de continuidad
Sea una supc:rficie S que encie rra a un volumen W . En tal caso el tlujo del camIX> de ve locidades
ji está dado por
y representa el bal,lnce entre la masa
,
entrante y saliente por unidad de tiempo. Si este tl ujo resulta ()(Jsitivo. significa que el flujo es
salit::nte. <.1 que existe una disminución de- la masa encerrada por la superficie . Si es negativo. el
tlujo es entrante y por lo tanto aumenta la masa dentro de S.
M_fff pdQ
dM _fffa p dQ
Q
di
o al
en ausencia de fuentes y sumideros esta dt::rivada debe ser igual al tlujo de
fff OP d- -ff pv,dS - -fff'V.(pv)dQ
o
184
al
s
o
\1
Sistemas de PI/IIlQS Maleriales· Masa Variable
MECÁNICA
y dado que el volumen de integración es arbi trari o
[4.66]
conocida como ecuación de la continuidad.
Si el fluido es homogéneo e incompresible, la densidad es constante y la [4.66] se
reduce a
'V.
v _O
[4.67]
Si además el campo de velocidades fuera irrotacional (aw;encia de torbellinos) entonces
sería un campo de gradientes, yasí
[4.68]
entonces, el potencial de ve locidades es solución de la ecuación diferencial de Laplace.
185
1
MOVIMIENTO RELATIVO
5.1. INTRODUCCION
189
5.1.1. Cinemática relativa
190
5.1.2. Dinámica relativa
190
5.2. TEOREMA DE LA DERIVADA RELATIVA
190
5.2.1. Algunos conceptos de sistemas rígidos
190
5.2.2. Teorema de la derivada relativa
193
5.3. TEOREMA DE GALILEO O DE ADICION DE VELOCIDADES
194
5.4. TEOREMA DE CORlOLIS
196
5.5. DlNAMICA DEL MOVIMIENTO RELATIVO
198
5.5.1 Ecuación cardinal de la dinámica del movimiento relativo
199
5.5.2. Movimiento de una partícula referido a la Tierra
202
a. Variación de la g ravedad con la latitud
202
b. Desviación hacia el este de un cuerpo en caida libre
203
c. Péndu lo de Foucault
205
5.6. PRECES ION DE LARMOR
207
5.7 RESUMEN
208
5.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
209
Problemas de selección múltiple
215
187
•
Movimiento Relatil'O
MECANlCA
CAPITULO 5
MOVIMIENTO RELATIVO
5.!. INTRODUCCION
e
omo lo expresáramos en el Capítulo 2., los procesos dinámicos referidos a
Sistemas Inerciales de Referencia, presentan la mayor simplicidad. En efecto, los
Principios de la Dinámica y las leyes que de ellos se deducen, son válidos para
tales sistemas de referencia. Sin embargo, la realidad presenta numerosos casos en que
res ulta más claro y conveniente referir los movimientos a Sistemns Coordenados No
Inerciales, aunque ello implique tener que introducir términos de correcc ión en las
ecuaciones del movimiento. Un caso bastante común es el de sis temas de referencia
so lidarios a la Tierra, que no son Sistemas Inerciales y en muchos casos, no pueden
conside rarse como tales ni en primera aproximación, pero por razones obvias de proximidad
presentan cualidades atractivas.
Con la designación de Movimiento Relativo (*) se indica el problema de estudiar la
relación entre las magnitudes dinámicas del movimiento de un sistema observadas desde dos
sistemas de referencia S y S' tal que uno de ellos pueda ser considerado móvil, S', mientras
que el otro es supuesto fijo, S. Al respeclO podemos advertir una diferencia conceptual
cuando este problema se estudia desde el punto de vista de la cinemática, o bien cuando se
lo establece dentro del ámbito de la dinámica.
(.) Se cS/llditl IIqlll el mOI'ilnicnto relalil'O de los olerpos dentro de los límiles de /a Física Clásica, es
decir, 110 relativista, o sea que 110 se inclllyen los cOllceplOs de /0 Teo rla de la Relmividad Especi(11 o
Reslringida, introducida por EinSlein (/ pril/cipios de este siglo, que se desarrolla explicitan/eme en el
Curso de FísiCfI Moderna.
189
Capitulo 5
MECANICA
5.1 .1. Cinemática relati va.
Recordando lo desarrollado en el Capítu lo 1, decimos que la C inemática describe el
movimiento de los cuerpos respecto de un sistema de referencia, con abstracción de las
causas que provocan ese movimiento. De tal concepto su rge que cualquie r sistema debe ser
igualmente apto para referenciar el movimiento de los cuerpos, o sea, que pa ra la cinemát ica
no
existe
sistema
de
referencia
Z
privilegiado.
z'
s
S'
x'
y'
y
o en otras palabras, si se
selecciona un sistema de referenc ia fijo S y
otro móvil S', no existe limitación
conce ptual para que se intercambien los
roles.
En este con texto,
para
el
desarrollo que sigue se rá útil distinguir
x
entre la observación que realizan
observadores fijos a distintos sistemas de
Fig. 5-1
referencias. Llamaremos,
M ovimiento A bsoluto (las magnitudes correspon- die ntes se indicarán con subíndice 1) es el
del punto respecto del sis tema de referencia fijo.
Mo l"im iellto relati1'o (las magnitudes correspondientes se indicarán con subíndice r) es el del
puntO respecto de l sistema móvil.
Jl101'imiellto de arrastre, (las magnitudes se indicarán con subínd ice a) es el del punto
supuesto fijo en el sistema móvi l, respecto del sistema fijo.
5.1.2. Dinámica relativa
El problema de la selección de sistemas de referencia cambia cuando el problema se
estudia desde el punto de vista de la Dinámica, donde co incid iendo con lo desarrollado en el
Capítulo 2, .buscamos describir el movimiento pero atendiendo a las causas que lo producen
(interacciones entre cuerpos - fue rzas), donde no todos los sistemas de referencia resultan
igualmente aptos o adecuados, s ino que los principios (y las leyes que de ellos se deducen)
son válidas para los sistemas de refe rencia privilegiados que hemos llamado sistemas
inerciales, definidos como aquellos para los cuales son válidos los principios de la dinámica.
En este caso, traduciremos las definiciones y resultados de la cinemática re lat iva,
considerando que el sistema fijo es ahora el sistema inercial de referencia.
5.2. T EOREMA DE LA DERIVADA RELATI VA.
5.2.1 . Algunos conceptos de Sistemas Rígidos.
En el estudio del mov imiento relativo, supondremos que los sistemas de referencia
son rígidos. es decir, que a menos que se aclare lo contrario, la dista[]cia relativa em re dos
190
Movimiento Relatil'o
MECANICA
puntos se mantiene invariable para todo sistema de fuerzas aplicado. Al respecto resulta
conveniente adelantar algunos conceptos de Cinemática del Cuerpo Rígido , que se
estudiarán en detalle en el capít ulo 7.
Movimiento de traslació"
Un cuerpo rígido realiza una traslación
cuando una recta cualquiera definida por dos
puntos, se mantiene paralela a sí misma durante el
movimiento. La magnitud caracterizante de este
movimiento es el vector velocidad, pues a todos
los puntos del cuerpo les corresponde un vector
equipolen te, en el mismo instante.
Fig.5-2
Movimiellto de Rotadón Simple
Un cuerpo rígido realiza una rotación
simple cuando durante el movimiento mantiene
fijos a dos de sus puntos. La recta definida por
dichos puntos se conoce como eje de roración.
Si analizamos el movimiento que realizan
los puntos del cuerpo rígido podemos distinguir
en tre:
• Puntos que pertenecen al eje de ro taCton
deben permanecer lodos fijos para respetar la
condición de rigidez.
Fig.5·3
• Puntos que no penenecen al eje de rotación:
para satisfacer dicha condición de rigidez,
deben realizar trayectorias en planos perp::ndiculares al eje de rotación que serán
circunferencias con centro en el punto de intersección de dicho plano con el eje citado.
En este caso la magnitud 'caracte riz.1n1e es la velocidad angular w, porque es la misma
para tod os los punt os, en cad:t instante,
En tal c.'lSO, la velocidad de un punto cualquiera que no pertenece al eje de rotación
se podrá expresar por el producto vectorial
v_Qxr ,
[5.1]
donde v es el vector velocidad del punto, Q, que se define como vector rotación, es un
vector con dirección coincidente con la del eje de rotación, módulo igual a la velocidad
angular y sentido según la regla del tirabuzón (el cuerpo moviéndose co mo un tirabuzón
avanza en el sentido del vector rotación), y el vector posición del punto cuya velocidad se
estudia, con origen del sistema coordenado en el eje de rotación,
r
191
a
Capímlo 5
MECANICA
r
Supongamos que
sea el vector posición de un punto respeclo de un sistema de
referencia móvil S' . En tal caso s u posición respecto de un sistema fijo varía de acuerdo con
(5.1) en la forma
dr _
[5 .2]
--Qxr
dI
o bien, teniendo en cuenta que el cambio del vector posición en el ti t::mpo respecto de un
sistema fijo, define la expresión que debe usa rse para cua lquier vector del sistema móvil ,
p<Xiemos expresarlo en forma "operaciona l"
~.Qx[
1
dI
[5.3]
Ejemplo: aplicando esta propiedad a los versares canes ianos del sistema móvil, se
tendrá que el cambio en el sistema fijo está dado por
di
__
-
- Q xi
dI
dJ - -_Qxj
dI
di(
_
-
.Qxk
[5.4]
_
dI
En consecuencia, el vector rotación mide el cambio instantáneo de dirección de los
versares de la terna de referencia móvil, S',
Problema 5.1
Hallar las componentes de l vector rotaclon en
coordenadas esféricas, supon iendo que el eje de rotación
pasa por el origen de coordenadas.
z
,
e,
Resolución
Los vectores de la base esféri ca cambian Sil
orientación en la medida en que cambian los ángu los cp y
6. Una variación del primer ángulo se produce alrededor
o~
r,
__-+___
y
del eje
mientras q ue una variación det segundo se
produce por una rotación de eje e." po r lo que
Q-<jJk+Be"
Para oblener el versar k en función de los versores de la
x
Fig.5-4
tema esférica tenemos en cuenta que
k - (k.e:.)e, +(f.e~,)e<¡'l + (f.ée)ee - casBl, -seneee
donde para los productos escalares hemos aplicado 1.6. ce modo que reemplazando
Q - <jJ cos6e, - <jJsellBee +Se.,.
Dejamos al lector el ejerc icio de comprobar qu~
~r-Qxer
192
~I(-Qxe",
~e-Qxee
•
MOl'imienlO Relativo
MECANlCA
5.2 Teorema de la derivada relativa
Sea un sistema fijo S y un sistema móvil S'.
Un punto P está referido a ambos ·sistemas de
referencia por vectores
z'
z
v."
r-(P-O)
S'
i"-(P-O')-r-r,
[5.5]
Respecto de S' el vector JX>sición de P está
y
dado por
y
Si ahora derivamos la expresión anterior
S
res peCIO del tiempo y desde el sistema fijo S,
deberemos
Fig.5-5
tener
en
cueOla
que
tanto
los
coeficientes del vector como los versares pueden
cambiar en el tiempo, por lo que cada término deberá derivarse mediante la regla de
derivación del producto, es decir
di" ]
dx' ...
, dI; dy'...
,t!jl dz' ~
ik¡
- - , +x-+-J +y - + - k +z'di I
dt 1
dI di I
dl dt 1
dI
[5.6)
dx'. dy', dz' ,di, , áj, , dii,
- - , +-J +-k +x-+y-+zdI
1
dI
I
di
dI
1
dI
dt
Los tres primeros términos del último miembro representan la velocidad del punto respecto
del sistema de referencia móvil
ár']
dx' ~ di, dz'_
dI, - dI ~+dih+dik¡
[5.7]
En cuanto a los últimos tres términos, teniendo en cuenta [S.4}
d~
d],
ik,
x,d~
_ x'Qx~ _ Qxx'~
dI
_
_ _
_ _
,yen forma similar para los otros dos:
_ _ (_
_
_) _
x'Tt+y'Tr+z' dI -Qxx\+QxYJ¡+Qxz'k¡-Qx x'i +YJ,+z'kt
... QxT'.
[5.8]
Reemplazando [5.7] y [5.8] en [5.6]
dF'l -dF']
--J
+Qxr'
dI I
dI,
[5.9)
Como T' es un vector cualquiera referido a la terna móvil. podemos genera lizar este
resultado expresándolo en forma operacional
!:..]_1J] +Qx[]
dI I
dI ,
[5.10]
El resu ltado [5.10] es co nocido como teorema de la derivada relativa y relaciona la
derivada de un vector referido a la terna móvil (vector relativo) con la derivada de ese
vector respecto de la tema fija.
193
e l/p irulo 5
MECANICA
5.3. TEOREMA DE GALILEO O DE ADICION DE VELOCIDADES
Aplicaremos el teorema de la derivada relativa al vector posición del punto P
respecto de la tema móvil.
De la figu ra resulta que el vector
y'
es un vector relativo ( o sea referido a la terna
movíl). Entonces,
y
[5. 11)
x
Fig.5-6
El primer miembro, que es una derivada
respecto de la terna fija, puede escribirse por propiedad de aditividad de la derivada
d(r-;;,l]_ di'] _ d'fo ]
di Jf
dI
dI
f - vI - VD
[5.12]
/
donde VI es la velocidad absoluta de P y VD ' la velocidad del o rigen de la terna móvi l
respecto de la terna fija (o sea, también es una velocidad absol uta)
El primer término del segundo miembro de la [5.11] es la velocidad medida por el
observador fijo a la lema móvil , luego es una ve locidad relativa
d(r-í¡,l] _ v_
dI
r<emplazando [5.12] Y[5.13] en [5.11]. resuita
•
[5.13]
•
[5.14]
Aplicando ahora Id concepto de movimiento de arrastre, si consideramos la velocidad
del punto P res peCIO de la terna fija (P está fijo en la terna móv il), la velocidad de arras tre
se rá
[5.15]
De donde reemplazando en [5.14]
[5.16]
194
,
Mo"¡'niemo Relativo
MECA.NICA
que constituye el Teorema de Galileo o Teorema de adición de velocidades clásico que
establece que la velocidad absoluta es igual a la suma vectorial de la velocidad relativa y la
velocidad de arrastre.(**)
Un bote cruza un río desde A hasta B con
una velocidad respecto del agua de 0,5 mIs. Si el
agua tiene una veloc idad de 0,3 mIs respecto de la
orilla, determinar los vectores velocidad del bote
respecto a un sistema fij o a la Tierra y un sistema
que se mueve con el agua del río.
ResoluciólI
El teorema de Galileo establece:
En
este
caso:
Iv,l- 0,5/1115
v, _v, +v.
va - (0,3m I s)i
-
y
.
la dirección de v, debe ser tal que v f - v f )
_ Iv: _ v2 _ 0,4111 I s
luego (ver figura): vI V
,
Q
resultando:
v, - (-0,3m 15)i + (0,4/1115))
V, - (0,4/111 517
(" ) E,) 1905, Albert Einstein presentó lo que hoy cOllocemos como Teoría de la Re(atiddad E.~ecia( o
Restrillgida. Basl/do el! /In profl/lldo allálisis de (os cOllceptos de espacio y tiempo, que lo cOlldl/cen a
definir en forma precisfl la coillcidencia y si/lmffflneidad en/re eremos obser¡'ad05 desde distintos Sistemas
Inerciales, logm cOllc/uir que la ¡'e/ocidad de la /la en el¡'acro represelJla J/l1 lím/u! superior respeCIO de
las ¡'e/oeidades de señal posibles. S, considertllllOs que 111/0 [ueme /lIlIIiIl051/ I'illja ti IlIIa cierta n:locidad y
en (areS condiciones se emite IIna se/ial, la aplicación delteorellld de Galileo conduce a q/le la velocidad
absoltltll de ese impulso luminoso superaría 11 la I'e/oeidad de ItI luz, el! culJlradicciólI COII !tI ¡eorra
relntil'iSIfl. Por Sil parle, /a Teorla de /0 Re/lIlil"idlld deduce su propio teorema de IIdicioll de I'e/ocidades,
que podr/al1Jos expresar como v, _
v + v.
T
,
V V
donde e represellfll la velocidad de la II/z en t:!I mela y
1+~
C·
comielle a/ Teorema de Gali/eo como caso par/icllfar, para el caso de bajas ¡'e/oeidades respecto de la de
/a lUlo Invitamos al leClor a comprobar COII ejemplo.t lIJunt!ricos que esta e),presiól/ l/O permite obtener
I'e/ocidades absollllas sl/periores a C.
P.-oblema 5.3
Un sistema rígido S' se mueve respecto de otro, tijo S, manteniend o coincidentes
los centros de coordenadas. El movimiento de arrastre de la lerna móvil está dado por el
vector rotación
Q .. /( - 31] + (t 2 - 4).r . El vector posición de la p.:1rtícula P en el instante que se considera
es r' - 41 l T¡ - (2t + 1)J1 - kl • Hallar la velocidad relativa y la velocidad absolutn de P.
195
Cap/tillo 5
MECANICA
Resolución
dr
¡; _ ,
_ _
- Sli - 2j
dI
vI - v, +v" - v, +Qxr - 8tT -27 +[tT - 3lJ +(t 2- 4)k]x[4t 2T- (21 +l)J - k]
iif - (21 3 + l' + 31 - 4), + (41' -161' + t - 2)) + (121 ' - 21 ' - I)k
5.4. TEOREMA DE CORlOLlS
Así como tenemos un teorema que relaciona las velocidades de un punto medidas
desde dos sistemas de referencia S y S', existe otro que vincula las aceleraciones observadas
desde ambos sistemas. En efecto,
de [5.14]
v, - Vo +vr +Qx(r -ro)
podemos derivarla respecto del tiempo y respecto de la terna fija S, aplicando el teorema de
la derivada relativa en los casos en que se trate de un vector referido a la tema móvil
dV, 1. "'o] + dV,] jQx(F -Fol]]
di
dV]
di/di,
,
di
I
"'] _
- '
. -.' +Q)(V
dt¡
dt,
'
a{Qx (FdI -Fo )]] -O)(r
• (_ - l - [~F
-Fol +Oxr-r
(- -ol]
-,o+O)(
dt
,
'
teniendo en cuenta la definición de velocidad relativa resulta
4i'ix(;
-ro)]] / - Qx
~ (r -10 )+Qx
- [\ir +Qx
- (1 - r )]
di
o
0/ -
~:
t-
[5.17]
"o + 0, + 2i'i X ii, + QX (r ~ ro) + i'i X i'i x(r - ro)
Si consideramos la ace leración de arrastre, como la aceleración respecto de la terna fija con
el punto fijo a la tema móv il (iir - O )
Qd -
00 +Qx(r -ro )+ QxQx{1-ro )
[5.18]
De (5.17) resulta que existe una aceleración ad icional, conocida como aceleración
complementa ria o de Corio lis , dada por
Oc - zi'i xii,
[5.19]
196
Movimiento Refatil'o
MECANICA
de modo que sustituyendo (5.18) y (5.19) en (5.17) resulta
[5.20]
relación conocida como teorema de Coriolis que expresa que la aceleración absoluta es
igual a la suma de la aceleración relativa, la aceleración de arrastre y la aceleración de
Coriolis.
Problema 5.4
Un punto material se mueve desde el centro de un disco en un plano horizontal,
según una dirección radial. El disco gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular
w - ~ . Hallar las velocidades relativa, de arrastre
y absoluta y las aceleraciones relativa, de arrastre,
de Coriolis y absoluta.
.a
ResoÚlciólI
De acuerdo con las definiciones de velocidad de
arrastre y de velocidad relativa y aplicando el
Teorema de Galileo
.
v.p·e
,
VI"" pe p + pcpe'1'
Procediendo del mismo modo para las
aceleraciones
Fig.5-8
.
a, • p··e
{id .. (iD +
Q x pep + Q x Q x pep .. cppel¡l - pcp 2ep
Zic - 2Q x vm - 2cppe'1'
aplicando el teorema de Coriólis
Obsérvese que ·dada la generalidad del problema, la expreslon obtenida para la
.aceleración absoluta coincide con la [1.40) del Capítulo 1 para la aceleración en
coordenadas polares.
197
CapEwl05
MECANlCA
Problema 5.5.
Una guía circular rota con vector rotación
Q .. wk. Un punto P se mueve sobre un merid iano
con velocidad v, constante respecto de la guía. Si se
toma un sistema de referencia con origen en el centro
de la esfera y uno móvi l con origen en la superficie y
los ejes de direcció n radial, según un meridiano y
según un paralelo, determinar las velocidades relativa,
de arrastre y absoluta y las aceleraciones relativa, de
arrastre, de Corio lis y absoluta.
º.
Resolución
wk - w cos6e. - wsell6eo
ií, .. vee
Fig, 5-9
va = Q X p' .. (wcos8é, - wsen8éo) X (R 'é,) - o.1Rsen8e/f'
VI .. Vr + v~ - ve, + (r)Rse,,8e..
_
áv,
._.;.
._
v2 _
a, - -dI- - ve, +l'e, --1-Be • ---e
R'
- ac .. 2Qx v, - ?voocos8e
,
,~
,
DQ.. Q X Q x ¡:' __ w Rsefl 8é, + oo· Rsen8cos8ee
M
M
a, - (- ~ - w'Rsell'e le, + w'Rselle cosee, + 2vw cosee,
3.3. D1NAMICA DEL MOVIMIENTO RELATIVO
Como adelantáramos en 5.1, para considerar el problema del movImIento relativo
desde el punto de vista de la dinámica, debemos tener en cuenta que los principios en que
ésta se fundamenta, y por lo tanto, las leyes que se deducen, son válidos para Sistemas
Inerciales de Referencia (S IR). Por lo tanto, toman vigor los co nceptos introducidos en el
Capítulo 2 sobre la existencia y utilización de SIR.
Nota sobre Principio de Equi\'alencia de la Relatit'idad Generalizada
La propiedad de q/le fl/erzas de inerda y [llenas grm'iTalOrias sean proporcionales a las masas de los
cuerpos, COI/duce a consecuencias fundamentales. Imaginemos eSTar dentro de /In laboratorio cerrrado, sin
posibilidad dI! obsen·aci6n direcf(/ dellll;urdo exterior. Ellabormorio podrfa estar en proximidades de la
superficie lerrestre o en el espacio. Se observará que los c/lerpos, independientemente de su masa caerán
con igrlal ace/emci6n. De lal obserl"Oción /la podrá concluirse que la callsa de eSll aceleración sea el
campo grtll'úa lOrio, el mOlú"iento de traSlación acelerado dellaboralOrio, o II/la combinación de ambos.
Pero adell/tls, ninglÍII e.\perimemo sobre la calda de los cuerpos en este laboratorio permitirá dilucidar si
se trata de 1111 campo grl1l'ilatOrio homogéneo o 1111 campo de filerzas de inercia Iromogéneo. Tal
imposibilidad condujo a Albert Ei"srei" en 1913 a postlllar el principio de equivalencia de fa Refati,'idad
Generalizada: "LOS EFECTOS INERCIALES Y LOS EFECTOS GRA VITATORJOS NO SOLO ESTAN
lNTlMA.MENTE REL4CfONADOS SlNO QUE SON lDENTlCOS E lNDlSTlGUlBLES"(Argtídlo . Física
Moderna· Answer Jl/sI/n Tillle . 1996 pp 71 Y siguientes). Es el pUnlO de panida de 1111:1 de las disciplinas
más fOI"{/flU/das r [aSt:l/llllltl's de la Fís:c.1.
198
/
1
Modmiento Relativo
MECANICA
5.5. 1. Ec uac ión ca rd ina l d e la di nám ica de l movimiento relativo
Si el sistema desde el cual se observa el movimiento 110 es fIIl SIR, la aceleración
la cual puede escribirse a partir de (5.20) y
correspondiente será la ace leración relativa
a, ,
(5.17) como
-
-
a-O
- Q-Q
,
•
e
[5.21]
a - a-ao -Qx(¡ -r.o)-QxQx(r: -r)2.6 x,v
O
donde a la aceleración absoluta aJ • que es la aceleración que ahora medimos desde un SIR,
r
la hemos llamado simph;~mente
a.
Teniendo en cuenta la ecuación de Newton
F = ma , y reemplazando en [5.211
resulta
F; - ma, - ¡ - mti mac
¡- ??]
~ - nra, - ¡ - mao - mQx(F -~)- m5xóx(¡ -ro}- 2mQxv, )._a -
./___
donde cada uno de los términos que restan en los segundos miembros son productos de
masas por aceleraciones (no son fuerzas), pero se miden en unidades de fuerza. Este
argumento de tratar a tales términos como fuerzas ficticias o fuerzas de inercia ya ha sido
utilizado en el Capítulo 4, al desarrollar 4.11.3. Principio de DAlembert.
Particularidades de las fuerzas de ill ercia :
• Las fuerzas de inercia no son el resullado de la interacción entre cuerpos, sino que
resultan de la descripción del movimiento de un cuerpo desde un sistema de referencia no
inercial. Por tal razón no es aplicable para estas "fuerzas" el principio de acción y
reacción.
• L'ls fuerzas de inercia, tanto como las gravitatorias, son proporcionales a la masa de los
cuerpos. En un campo homogéneo de fuerzas de inercia, del mismo modo que en un
campo gravitatorio homogéneo, todos los cuerpos se mueven con igual aceleración,
independientemente de su masa. Este resultado tiene connotaciones muy import~ntes.
Así tendremos
fuerza de arrastre
F. = - mli"
fuerza de Coriolis
Fe = -mli e
por lo que la ecuación cardina l de la dinám ica para el movimiento relativo toma la forma
F, ~ mii. ~ F + F. + Fe
[5 .23]
fuerza de traslaciólI
F, = -ma o
[5.24]
fuerza de rotación
Fe = - mQ X (r - ro)
[5.25]
fuerza celllrífuga
F<I = - m6 x
[5.26]
De l mismo modo, llamando
º (1' - ro)
x
199
_
. ~ -----
Capitlllo 5
MECANlCA
-
r-r,.
.Q x
(
r-r. )
La razón de este nombre
resulta claramente de aplicar la
definición a un punto que no
pertenezca al eje de rotación, como se
indica en la figura. La dirección de' la
fuerza de inercia correspondiente es
perpendicular al eje de rotación y con
sen tido alejándose de él.
- miíxií x(r-r.)
Fig.5-10
Luego, aIra forma de la ecuación cardinal de la dinámica para e l movimiento relativo
es la siguiente:
[5.27]
La expresión [5.27] muestra que la introducción de las fuerzas de inercia permite
conservar la forma de la ecuación de Newton para el movimiento de u~a partícula en los
sistemas no inerciales. En el segundo miembro, a excepción de la fuerza F , resultado de la
interacción entre el punto considerado y otros circundantes, aparecen las fuerzas de inercia
introducidas por el observador del sistema de referencia no inercial, de manera tal que se
logra que siga siendo vá lida la ecuación de Newton con tales correcciones.
Nótese que si el sistema móvil só lo se traslada respecto de l inercial, la [5.27] se
reduce a lila, - É + F, donde de acue rdo con lo desarrollado en 4.11.3. Principio de
D' Alembert, el primer miembro es también una fuerza de inercia, de tal modo que por la
aplicación de tal concepto podrá resolverse el problema considerando el "eq uilibrio
dinámico" del sistema en estud io.
Para comprender el significado de esta artificiosa
fuerza centrífuga, supongamos que un cuerpo realiza un
movim iento circular, debido a la acción de una fuerza central.
Como sabemos, ésta es quien provee la única aceleración
posible para un observador inercial, la que está dirigida hacia
el centro. Imaginemos ahora colocar un sistema de referencia
(no inercial) sobre la partícula . La misma fuerza central
seguiría actuando sobre el cuerpo. Sin embargo, para el
observador situado sobre él, la observación demostraría que
éste no avanza y cae hacia el centro. sino que se mantiene
equid istante durante el movim iento. Se vería entonces
obligado a aceptar la ex istencia de otra fuerza dirigida hacia
200
Fig.5-11
x
P
&! s::: na
Movimiento Refatil'O
MECANICA
afuera, o centrífuga, que restituye al punto en la situación de equilibrio relativo en que en
realidad se encuentra. Y es evidente que la introducción de esta fuerza ficticia, ha sido
debida al hecho de considerar un sistema no inercial de referencia.
Problema 5.6
n
-~
Sobre la superficie de la mesa se encuentra un
disco horizontal que gira libremente alrededor de
un eje fijo con velocidad angular constante O) • De
un hilo vertical pende una bolilla como muestra la
figura. Analizar el movlmiento de la bolilla desde
un sistema de referencia solidario al disco (suponer
que el origen del sistema móvil se encuentra en el
eje de rotación).
Fig.5-12
Resolución:
Respecto del sistema móvil considerado, la bolilla se mueve con movimiento circular
uniforme, con aceleración normal 0)2 R, donde R representa la distancia entre la bolilla y el
eje de rotación.
Si ahora aplicamos las leyes del movimiento relativo, considerando que el sistema
fijo es solidario a la bol illa, respecto del sistema móvil, ésta tiene una velocidad relativa V r =
W R y las fuerzas centrífuga y de Coriolis son de dirección radial y resultan de sentidos
contrarios. Por lo tanto
mar - Fe -F<f - 2mv,w - mw 2R _ mw 2R
de donde resulta que la aceleración relativa vale a, - w 2R como puede obtenerse de
consideraciones cinemáticas.
Problema 5.7
El plano inclinado de la figura se traslada
horizontalmente caD aceleración constante a .
Ca lcular entre qué valores de esta aceleración la
masa ro permanecerá en reposo relativo respecto del
sistema móvil. El coeficiente de rozamiento entre el
cuerpo y el plano es ~ .
Resolución:
ma, - ji + ji ± F, + F.
a
Fig.5-13
donde el signo de la fuerza de rozamiento dependerá
del movimiento de la masa m (siempre opuesta a la direcci6n de la velocidad relativa)
201
Capitulo 5
MECANlCA
Como no hay rolac ión, la fuerza de Coriolis es nula y la fuerza de arrastre queda con
F... -moo, .. -m~cosa~ +selloZ)
un solo término:
F .. mg{sella~ - cos aJJ ± ¡.tR ~ + Rl¡
o, -
Si la aceleración relativa es expresada IXlr
.i\~ + ji)¡ se tendrá reposo relativo cuando
Xl - ji¡ ... O
O... mg(senoÍ¡ - cosoJJ:: ~tR ~ +Rl¡ - ma{cosa~ +senQ}¡)
O-mgseno±¡.tR-macoso
[5.28]
0- -mgcosa. +R - maseno
De la últ ima obtenemos para la reacción R de l plano
R ... It~gcosa + asena)
[5.29]
expresión que reemplazada en [5.281 conduce a
mocosa - mgseno .. ± J.Amgcosaa ± ~lmasella
a-
sella ± !l cosa
cosa ::¡: !-lSella
g
a,.."" -
sella + 11 cos a
sella - ~I cosa
g
g ; 0_.. "
cos a - ~lSella
cos a + llSellQ
5.5.2. Movimiento de una partícula referido a la Tierra
Un sistema de referencia solidario a la Tierra no es un SIR. Desde el punlo de vista
de la mecánica del movimiento relativo, existen tres pruebas de tal aseveración, a saber:
•
•
•
la variación de la aceleración de la gravedad con la latitud
e l desvío hacia el este de la trayectoria de una partícula en caída libre
el movimiento del plano de oscilación de un péndu lo simple (Péndu lo de
Foucault).
a. Variación de la aceleración de fa gral/edad con la latitud.
.al y'
p
x'
Fig.5-14
Entre los movimientos que
realiza la Tierra respecto de un SIR
predomina el de rotación sobre su eje.
En
consecuencia,
en
primera
aproximación podemos suponer que la
Tierra realiza un movimiento de rotación
simple respecto de un SIR (que por
comodidad fijamos en el centro de la
Tierra)
Supondremos que el origen de
la terna no está C1cele rado, y en cua nto a
la aceleración angular, mediciones
precisas no la han detectado . Por lo
tanto
202
MOI'imielllo Relativo
MECANICA
reemplaza ndo en (5.26·)
F. - me. -mQxQxr - 2mQx \i,
[5.30]
donde g"
re presenta la aceleración debida a la atracción gravitatoria que resulta de la
aplicación de la ley de Newton de atracción universal.
-m.ax.a x (r-¡;;)
Se define como PESO DE UN CUER PO a
la fuerza P que se ejerce sobre él, cuando el cuerpo
se encuentra en reJX)so relativo. Así
PmQ x Q x ¡
y dividiendo
miembro a m iembro por la masa de l cuerpo
me", -
iI-il.- QxQxr
[5.31J
donde el último término depende de la latitud del
x'
lugar, s iendo nulo en el polo y oponiéndose a la
aceleración de atracción en el Ecuador. Esta
conclusión se corresponde co n la observación
experimental.
Como consecuencia es importante observa r,
Fig.5-15
que la direcc ió n de la plomada (la del vector peso)
no co incide en general (salvo en los Polos y en el Ecuador) con la dirección de la vertical del
Jugar. Sin emba rgo, el ángu lo E es pequeño)' a los efectos prácticos podrá despreciarse,
haciendo que la vert ica l del lugar coincida con la direcc ión de la plomada
b) Desl'iacióll hacia el Este de un cuerpo en caida libre
Adoptamos como s istema inercial de referencia (SIR) a uno con ori gen en el centro
de la Tierra (lo cua l es válido para intervatos de tiemIXI peq ueños), y un sistema de
referencia móvil sobre la superficie terres tre co n el eje ~ en la dirección radial, el eje ~
coinc idiendo con un meridi ano en sentido Norte ~ Sur y el eje
según un paralelo con
dirección hacia el Este.
Considerando la ecuación dinámica del movimiento
y
relativo (5.26] y teniendo en cuenta la [5.30], donde a
estos efectos supond rem os despreciable el ángulo E ,
resulta
lila, - P- 2/1/Q x ti,
Como condiciones iniciales aceptaremos que la
x
particula de masa m es liberada desde el reposo, c uando
se encuentra a una altu ra h sobre el origen de
coordenadas. Será entonces
Z
.al
Fig.5 -1 6
Q = -WCOSCrTI + (¡)sellcpk)
>-, • z~ [5.33J
2Q x ¡-~ - loo cos epi])
203
Cap/mIo 5
MECANICA
ir
Al tomar ji, ~
estamos considerando que el desplazamiento del punto tiene lugar
segun la vertical del lugar (coincidente con el versar k, lo cual no es rigurosamene cierto).
Sin embargo, esta aproximación resulta válida en atención a los resultados experimentales.
Las ecuaciones diferenciales del movimiento son:
.
x-o
[5.34]
ji - -2wzcosq>
z--g
las que integradas permiten obtener las ecuaciones horarias correspondientes
i--~
y _ wg¡2 cosq>
z-h-g "
2
[5.35]
y =wg-coscp
"3
como el signo del coseno no cambia con la latitud , el desvío según y no cambia de signo al
cambiar de hemisferio. Por lo tanto la desviación debe verificarse hacia el Este, tanto para
obselVadores del hemisferio Norte como para observadores del hemisferio Sur.
Acorde con lo expresado respecto de haber aproximado
¡;¡ ik, hemos hallado que
v,
en realidad v,( - i~ + Y}1
Incidencia de la Fuerza de Coriolis en el movimiellto
de los proyectiles
Es conocido que las annas de artillería (y las
autopropulsadas, como cohetes y misiles) requieren
correcciones en las metodologías de puntería cuando las
trayectorias son suficien temente largas, para tener en
cuenta la desviación que produce la Fuerza de Coriolis.
Para entender el problema, supongamos que se lanza un
pro~ectil, en el hemisferio Norte en un plano horizontal.
Cons iderando el sistema de referencia ligado a la Tierra ,
supo ngamos que el proyectil se apunta según un paralelo
hacia el Este.
Será
-2mQ x v, _ (2mv,wscllq> )ll + (2mv,w cos cp) k I
N
-
.... --..
O
E
_¿
S
Fig.5-17
[5.36]
o sea que sobre el proyectil actúa una fuerza (siempre según la descripción realizada por un
obselVador no inercial), que en el plano' horizon tal tiene dirección del meridiano y sentido
hacia el Sur. Nótese que en cuanto a magnitud esta componente de la fuerza de Coriolis es
proporcional a la componente venical del vector rotación (wsellcp),
Supóngase ahora el mismo problema, pero actuando sobre un proyectil en un punto
dt:1 hemisferio Sur. Será:
204
Movimiento Relativo
t-.1ECANICA
Q - -WSe",l'k. - 10 COS<p~
[5.37J
-2mO x \i, - -( 2mv,sellq»~ +(2nll ',(.'j COSq»~
es decir, en este caso el proyecti l será desviado hacia el Norte. Aquí también la componeme
de la Fuerza de Coriolis, responsable del desvío, es proporcional a la componente vertical
del vector rotación.
Este resultado es comprobab le experimentalmente y
es bien conocido (en el tiro de Artillería se aplic.an
las correcciones desde el siglo pasado). Su
conocimiento ha conduc ido a pensar que el
movimiento de l agua en remolinos originaría
sentidos generales de rotación diferentes en el
hemisferio Norte que en el hemisferio Sur, debidos
a la influencia de la Fuerza de Coriolis. Si bien es
correcto pensar que debe existir tal tendencia, la
magnitud de tales fuerzas repecto de otras como
por ejemplo las debidas al momento cinético
Fig. 5-18
residual, otras perturbaciones, etc., hacen que los
remolinos puedan tener cualquier sentidc" tanto en
el hemisferio Norte como en el hem¡sferio Sur.
e) Péndulo de Foucault
La fuerza de Coriolis también es responsable del movimiento de rotación del plano
de osci lación del péndulo. Para considerar este problema adoptaremos un sistema de
referencia móvil con origen en la pos ición de equilibrio, o más baja de la masa del péndulo,
con el eje z dirigido según la vertica l del lugar, y
los ejes x-yen un plano horiZOnlaJ. Como nos
interesa estudiar el movimiento de la partícula en
i t ./.~dl .
relación con el plano xy, supondremos oscilaciones
#
de pequeña ampl it ud z« x,j; . De la [5.22J,
dividiendo por la masa obtenemos
_ T
__
a, -g+- -2Q xv,
0"'0
[5.38)
111
donde
T
representa la aceleración debida a la
111
tensión del hilo.
Fig.5-19
Analicemos las componentes de los vectores de
esta relación
205
I
MECANlCA
.
C(lpíllllo 5
,
---,
Tx
T ---
~
g. - O
g, - O
00.. - -WCOScp
W
Ty
g, --g
[539]
,. :0
(v.), -y
Del cálcu lo del producto vectorial obtenemos
-20 x ií, - 2ywsempl - 2l:wSemrJ + 2j'wcosíflk
Reemplazando en [5.38]
Tx
i - - - - + 2j'wsellCp
[5.40]
mI
..
TY
[5.41]
?
Y - - - - - .awsenrp
mi
Para desplazamientos pequeños puede considerarse a la tensión casi igual al peso (T:;: mg)
y si además definimos a ~ - -
T
mi
reemplazando en (5.41] resullan las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas
i + a~x '" 2j"w.
[5.42]
.
-,
y+ a-y - -2\"00;
Para reso lver este sis tema , de.finiremos a la variable compl~ja
l;-x+iy
~-.t+iy
~-x+iji
de modo que sumando la primera de las [5.42] a la segunda multiplicada por la unidad
imaginnria, resulta
-
(x+iji)+a'(x+iy)- -2iwJ¡+ iy)
[5.43]
Esta última ecuac ión diferencia l es una ecuación diferencial lineal de segundo orden a
coeficientes constantes, homogénea. Además corresponde a la ecuación diferencial del
oscilador amortiguado, que se verá minuciosamente en el próximo capítulo. Su sol ución
general puede expresarse por
-i--'-.")
.
[5.44]
~'+ ai;' - O
[5.45]
>(
-;'·'(A
J--'-o"
~t 1- e
· e
'
+ Be
Si la Tierra no rotara sería
ú', - O
ecuación diferencial que corresponde al péndulo matemático para pequeñas oscilaciones,
donde además se cumple que la pulsación del movimiento resulta Q »W~ .
Entonces la solución de [5.45] puede escribirse
1;'(tl-.dtl+iy'(rl-Ae"" + Be';w
Por su pa rte considerando en [5.44] la propiedad de la pulsación a»
206
[5.46]
00:
Movimiefllo Relativo
MECANICA
x(I) + iy(I) - [x'(I) + i1'(1 )le ';'1 - [X'(I) + i,v'{I)! cos W,I - isel/w,tl- (x' COS 01:1 + y'sellw:t) + 1\ -x'sellw:' + y' COSW:l )
Igualando parte real e imaginaria del primero y último miembros
x(t) - X'COSW:l + y'sellw:t
y{t) - -x'sellw:1 + y' cosoo:1
[5.47J
Este sistema indica que las coordenadas sin primar pueden obtenerse de las correspondientes
primadas por una rotación positiva en el plano xy de amplitud 8 - WzI yen consecuencia el
plano de oscilación de l péndulo gira con velocidad angular W z - wsemp .
5.6 PRECESIÓN DE LARMOR
El concepto de fuerza inercial que desarrollamos en 5. 5.1. según el cual ésta
permite mantener la forma de la ecuación dinámica para un observador no inercial, puede
utilizarse para la resolución de problemas.
Por ejemplo, sea un haz de partículas cargadas con igual carga específica q/m, las
cuales describen cierta trayectoria por acción de una fuerza F medida desde un SIR.
Entonces se cumple ¡ - mZi para cada panícula. En estas condiciones supongamos que
comienza a actuar sobre las partículas un campo magnético débil B . De acuerdo con la ley
de Lorentz y para el SIR se cumple
ji +qVxÉJ
[5.48J
lo que evidentemente provocará un cambio en la trayectoria de las partículas. Supongamos
entonces que introducimos un Sistema no inercial de referencia, cuyo origen coincida con el
inercial y que rote uniformemente (velocidad angular constante). Nos preguntamos, ¿cuá l
debería ser la velocidad angular de este sistema rotante para que el observador sujelO a él
pudiera describir el movimiento tal cua l lo hacía el observador inercial antes de que se
aplicara el ca m ¡x> magnético?
Para el sistema en movimiento, la ecuación dinámica se escribe
lila -
ma, - ¡ + qV xB- mao - mQ x(r - r;) - mQ x Qx (r - ro) - 2mQ x \i,
donde el tercero y cuarto términos del segundo miembro son nulos por estar la terna móvil
con el mismo origen que la inercial y ¡x>r tratarse de
una rotación unifonne,
respectivamente.
Reemplazando la velocidad absoluta en el segundo término y operando, resulta
ma,-F+
Iv +Qxr)xB-2mQxv• -mQxQxr
q\"
ma, -l-mQx Qxr + c/..Qxr)x B+ vrx(qB + 2mQ)
[5.49J
Para que se anule el último término de ésta, basta con que el paréntesis valga cero. En cuyo
caso
-
q -
Q---B
2/11
valor que reemplaz..ldo en (5.46) nos da
ma'4111
.F- cj 8x8xr- q1 (axr)xB-F+ cf Bx(Éxr)
2m
4m
[5.50J
[5.51J
207
C{1plwlo 5
:-"IECAN1CA
Si el cam(Xl magnético es débil puede despreciarse el doble producto vectorial del
último miembro y, enlonces resulta, que para la terna no inercial se cumple la ley del
movimiento que regía para el SIR antes de aplicar el cam¡x> magnético. O sea que la
aplicación de éste, produce sobre el haz de partículas una rotación paralela a B cuyas
características está n descriptas en [5.50]. El fenómeno se conoce como precesión de
Larmor y la frecuencia de giro se denomina frecuencia de Larmor.
5.7 RESUMEN.
~ Se
..... deduce
...
...
Se aplica
Se aplica
operador
op(!J'ador
Le)' de Newton
Se aPlica. T de Cori~lis
Der. relativa
Se aplica , operador
~t~
)
Se prueba", experimentalmente
:'-~r~~~~~~:[~~~~~
.Dm"ÍoaJ tsrtdúfiai1(b
., .
..._. ·
'P~IQ
de.F¡'i:::r;,ir'
- _._._- -- -_.,.-
20)-;
-
, introduce
concepto
MECANICA
5.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
PI'oblema 5.8
y'
y
x
Una
barra
de
longitud
gira
horizontalmene con velocidad angular constante
w . Un aro de masa 111, inicialmente en reposo
relativo respecto a la barra y a una distancia d del
punto fijo O, se desliza sin rozamiento sobre ella.
Obtener
a) la ecuación del movimiento del aro
respecto de la barra
b) la reacción entre la barra)' el aro
c) el tiempo que el aro tarda en llegar al
extremo de la barra
Rta. :
Fig.5 -20
mx] -11I(Jix] .. O
a)
2.l1I0.l.':] .. "~,.,
O.. \~. -mg
b)
11' = O
•
H~,... 21l1Ol.t¡ .. 2mlü= seIlJu,))/
H~ "",mg
e)
1
w
I
T .. -argcosJ¡-
d
Problemu 5.9
2
Un punto material se mueve sobre el eje h con ecuación Xl ;:: a t . mientras dicho eje
gira con vector rotaciónQ .. y t k¡ Determinar las ve locidades relativa. de arrastre , absoluta )'
las ace leraciones rela tiva, de arrastre, de Coriolis)' absoluta.
Rla.:
ií, .. 2at~
ii, .. 2a~
Prublemu 5.10
Probar que la derivada del vector rotación Q es independiente del sistema de
referencia respecto del cual se lo refiera.
209
•
MECANICA
Capíwlo 5
Problema 5.11
El ciclista A toma una curva de radio 167 m
con una velocidad de 60 Km/h. En cierto instante el
ciclista B se mueve a 80 Km/h hacia A pero'
disminuyendo s u velocidad a razón de 1,7 m1s2.
Hallar la ve locidad y la aceleración de A observada
por el cicl ista B.
A
Rta : V,w = 100 Km/h, en dirección NO ya 36 050'
R
E~
de la dirección SN
2
aAIB = 3,4 m/s hacia el O
o
Fig.5-21
Problema 5.12
Analizar el problema del péndulo cónico de
longitud L, que gira con velocidad angular consta nte
w y obtener ,el valor del ángulo entre el hilo y la
vertical que corresponde a la posición de equilibrio
relativo.
8Rta.: 8 = are cos-
w'L
Fig.5-22
Pmblema 5.13
El lase r robot OPTIMOThI de la empresa
japonesa PRIMA es un robot cilíndrico cuyo eje de
simetría axial (eje z) puede girar con una velocidad
angular ~. El brazo (Iaserflex) manipulado
ópticamente, está dispuesto en forma radial (eje r) y
puede sub ir a una velocidad Vo respecto de la base.
Si a la vez el brazo se expande siguiendo la ley
z
r(t) = Ro + A(l- e·"'), donde Ro es la longi tud
del brazo no expandido y A la longitud de la
expansión máxima, hallm la velocidad absoluta del
soldador ub icado en el extremo del brazo de
OPTIM O Thl • Calcu lar las aceleraciones relati va, de
arras tre, de Cori olis y absoluta del brazo robot.
210
Fig.5-23
MECANICA
Rla:
'))7¡ +vok¡
V _bAe -l>tl; + 2wo[Ro + A(1-e- b
a, _{_b Ae- -[Ro + A(l-e-bJ)k};; +2w,pAe- bJ J¡
o. - -lo~ [ R, + A( 1- e-" )JI¡
2
bI
iic - -2"';[R, + A(l- e-·)]~ + 2wJ>Ae-· J,
a, _{_b Ae2
b1
-
4w~[R() + A(I- e- bI )]};; + 4wtPAe-~' JI
Problema 5.14
y'
Un disco de radio r está montado sobre un
soporte en horquilla y gira con velocidad angular
constante p alrededor del eje y' . Simultáneamente la
horquilla gira con velocidad angular constante (tl
alrededor del eje z·. Determinar la velocidad y la
aceleración de un punto A del borde del disco en
función del ángulo f3 y evaluar en f3 =O Y en f3 =n/2.
Rla.:
a)
Fig. S-24
v,(~ - 0)- p/'I,
b)
v. . - prcos~;; +wrscllf3J¡ - prsellf3k¡
a" __(p2 +w~)rsellf3i; +2(wp- p:)rcos~kl
,.
ii.(~-0)-2(lOp-p')rk"
o.(~- ;) --(p' +lo')/'I,
Problema 5.15
Sobre una vagoneta que se desplaza
horizontalmente con una aceleración ao ;::
49,5 m / S2 va instalado un motor cuyo
rotor durante la puesta en marcha gira según
. () . [/'ad]
7 + 6' [rad]
S2
siendo R
la ley a t "" lo.
lt
:;: 20 cm el radio del rotor.
a) Determinar la aceleración abso luta del
punto A para t ;:: 1 s si la fX)sición inicial del
0
rotor es 8 o = 30
y el rotor gira en
sentido antihorario.
b) Hallar la velocidad de rotación unifonne
Fig.5-25
211
Capíl/llo 5
MECANICA
que el rotor que debería tener para que la aceleración absoluta de A sea nula en el punto B.
Rla . :
a) 5, - 49,8451 - 3,14 f
; b) 00= 15,73"
Problema 5.16
Una plataforma circular horizontal gira en torno a su
eje con velocidad angular constante O) en el sentido
indicado en la figura. Un disco menor, a su vez. gira
con velocidad angular constante p en torno a su
propio eje. Hallar las velocidades y aceleraciones
abso lutas de los puntos A )' B en el instante que se
considera.
Rta.:
yo
5" _ b<J:l¡ + 21' p())] - r p1k
a,-[(b-r)oo'-rp')¡
Fig.5-26
VA -p,.¡;-wbJJ
Vs - -w(b-r)'h -prk,
Problema 5.17
Un punto de masa m puede deslizar a lo largo de un alambre liso de forma parabólica
(z :;; e /)J en un plano vertical. Si el alambre gira con velocidad angular w constante en
torno al eje vertical (que es eje de simetría de la parábola), entonces el punto realiza una
trayectoria circular de radio R. Hallar una expresión que permita calcular la aceleración de la
gravedad.
Rla. :
00
g--
2e
Problema 5.18
Una guía en U rota con velocidad angular
constante 0). Sobre ella, una bolilta de masa m
puede deslizar sin roz..1miento. Hallar la ecuación de
la curva plana según la cual debe doblarse la guía
para que la holi lla quede en equilibrio relativo
respecto de aquélla, en cualquier posición.
Rta .:
x'
Fig.5-27
212
MECANICA
Movimiento Relativo
Problema 5.19
El punlo soporte B de un péndulo simple de masa
m y longitud I tiene una aceleración horizontal a
constante. Si el péndulo parte del reposo relativo
respecto del sistema móvil con e = o.
(1) Determinar la expres ión de la tensión de la cuerda en
función del ángulo B.
b) Hallar el valor para el cual la tensión es máxima.
Rta.:
m
al
T(S)=mg(3seIlS+a(3cosS-2) 1 g)
b)
B - arcrg
-a
g
Fig,5-28
Problema 5.20
y
La figura muestra un tubo recto que rota
con velocidad angular constante en un plano
horizontal, alrededor de un eje que pasa por O.
Una partícula de masa m se mueve dentro del tubo
con velocidad conocida VB. calcular
a) La velocidad de salida de la partícula en C.
b) La fuerza producida por la pared del tubo sobre
el cuerpo a la salida del tubo.
Rta.:
a)
b)
e /vc
x
Fig,5-29
ve - ~v! +0)11'/
W - 2111WVB
Problema 5.21
Una plataforma circular horizontal, que
gira con velocidad angular constante tu en torno
a su eje, posee un canal diametral por donde
puede moverse una partícula sin rozamiento,
sometida a la acción de una fuerza elástica f = la' , donde x' es la posición de la partícula sobre
el canal, medida desde el eje de la plataforma.
Hallar
a) L'ls ecuaciones de movimiento relativo.
b) Integrarlas para x '(O) = a; dx'(O)l dt = O
e) La condición para que el movimiento sea
acotado (la partícula no debe escapar)
Fig, 5-30
213
C¡Ipí!lllo 5
MECANICA
Rla.:
X'(I) _ aeos~ k _ o/ 1 si
a) O - N,. - mg
,
k
w <-
x'(t) _ acos" ~úl _ k t
O .. N, + 2111005:'
m
SI
, k
e) oo· < -
In
In
b)
m
, k
w >m
Pl'oblem a 5.22
Un tubo AB gira con velocidad angular
constante 00 alrededor del eje venical CD y forma
con éste un ángulo constante :it / 4 . En el interior
del lubo se halla una bolilla de masa M.
Detenninar el movimiento de la bolilla respecto del
tubo si su ve locidad inicial es igual a cero y su
distancia inicial al punto O es igual a a. Despreciar
el rozamiento.
Rta . :
OM -
1
.fig
[( aOl'
)
011
w' .fig - 1 eoslr.fi + 1
Fig.5-31
Problema 5.23
--
El tubo circular hueco de la figu ra gira con ve locidad
angular w constante, alrededor de l eje O • O'. En su interior
una masa puntuar m se desliL1 sin rozamiento. Hallar:
a) Las ecuaciones diferenciales de l movimiento de m en
función del ángulo cp
b) Reso lver para ángulos pequeños
'
Rta. :
2
Hly ' .. -mRseflCfl(1:jl2 +oo )+mipRcos!(l
a)
"'.. ' - 2mwRI:jlcoscp
JJ/: ... _mg+Rm(ljl2 coscp + qJselHp)
214
};
y'
x'
~--"'-IIiI-:-7
MECANICA
b)
'1'(1) - acos(al + b),
siendo
C1_~~_W1
SI
W' <-
'1'(1) - a' casI! (a' 1+ b'),
siendo
a'_~wl_~
si
01" > K
'1'(1) - a"+ b"l
SI
g
r
r
,
g
w -r
L,s constantes a, b, a', b', a", b" dependen de las condiciones inicia les.
PROBLEMAS DE SELECCJON MULTIPLE
Problema 5.24
Una partícula de masa m se halla engarzada en un aro
circular vertical de radio R, el cual gira alrededor de un eje
vertical con velocidad angular constante w. L'\ partícula se
mueve sobre el aro con velocidad rel<ltiva a él de módulo "o
constante. Despreciando la acción gravitatoria, indicar cuál de
las siguientes afirmaciones es verdadem :
~--",,~
-
a) La reacción del aro sobre la panícula es independiente del
tiempo.
b) La velocidad absoluta de la partícula es constante en
módu lo y resulta igua l a vJ - v" + Q x R
c) L1 aceleración de la partícula es un vector en la direcci6n
perpendiculm ~l plano del ~ro .
d) El módulo de la fuerza de Coriolis eS Fe - 2ml'J\lo )' se
anula en dos pun tos del aro.
e) Ninguna de las atirmaciones anteriores es correcta.
F ig. 5 -33
Problema 5.25
En un nscensor se suspende un péndulo matemático y se observa que para pequeñas
oscilaciones, el período cuando <1Sciende con aceleración vertical de módulo constante o es
la mit.1d del que resulla cuando desciende con aceleración del mismo módulo.
Entonces a / g vale
a) 3/5
b) 5/3
e) 3/4
d) 4/3
e) 1/2
215
Capftu/o 5
MECANlCA
Problema 5.26
Sobre el borde de un disco de radio R = 2r que gira con velocidad angular constanle
001 , gira otro de radio r con ve locidad angular Wl
como muestra la figura (ambas rotaciones tienen el
mismo sentido). Se sabe que al pasar el punto P del
borde de l disco de radio r po r la línea que une los
centros de ambos discos su aceleración absoluta es
nula. Entonces, respeclo a los módulos de las
velocidades angu lares de ambos discos se verifica
que:
(.J2 -1ju"
b) lO, - (.J2 + lju"
e) w, - .J2w,
a) w, -
Fig.5-34
d) 00 2 - 2w¡
e) ninguna de las anteriores es la respuesta correcta.
Pro blema 5.27
el
n
m
Fig.5-35
Una partícu la de masa m está
suspendida de un hilo a una altlura H
sob re un disco de radio R que gira en un
plano horizontal con velocidad angular
constante ro y a una distancia 0,5 R de l
eje de rotación de aquél. Entonces es
cierto que:
:- a) la aceleración relativa de la masa
res peCIO del disco es cero.
b) la fuerza de Cario lis vale cero.
c) la fuerza centrífuga es nula.
d) la velocidad relativa de la masa
res pecIo del disco es cero.
e) la aceleración absoluta del punto
material es cero.
Problema 5.28
La barra OA gira alrededor del punto D con velocidad angular t.) constante. En su
movimiento arrastra al cursor 8 , el que puede deslizar sin rozamiento tanto sobre la guía
circular e ( supuesta fija) como sobre la barra DA.
Con respecto al sistema XI YI Z¡ solidario a la barra OA, una de las siguientes afirmaciones es
fal sa :
216
Movimiento Relativo
MECANICA
a) el cursor B en el punto 1
experimenta una fuerza ~e Cario lis
en la dirección y sentido JI.
b) el cursor B en los pu ntos I1, y III
experimenta la misma fuerza de
Coriolis.
c) el cursor B en el punto IV
experimenta una fuerza de Coriolis
en la dirección y sentido de ]1'
d) en todos los pun tos de la
Ira yectoria donde el cursor B
experimenta fuerza de Coriolis,
éstá actúa en la dirección JI'
e) el cursor B en el punto V experimenta una fuerza de Coriolis en la dirección y sentido de
J.,
Problem a 5.29
Con relación al enunciado del ejercicio anterior y con respecto al sistema XI )'1 Z¡ ,
una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) sobre el cursor B actúa una fuerza centrífuga de módulo, dirección y sentido constantes.
b) la fuerza centrífuga sobre el cursor B tiene módulo máximo en el punto II.
e) la fuerza centrífuga sobre el cursor B tiene dirección y sentido constante pero su módulo
es máximo en el punto III.
d) la fuerza centrífuga sobre el cursor B tiene distinto módulo en los puntos 1 y IV.
e) ninguna de las afinnaciones anteriores es verdadera .
Pro blema 5,30
El movimiento de una partícula es observado desde una terna inercial y desde una
terna no inercial. Indicar cuál de las siguientes afinnaciones es verdadera :
a) Si la ace leración absoluta es nula, tamb ién es nula la aceleración relativa.
b) Si la velocidad absoluta es nula, también es nula la velocidad relativa.
c) Si la suma de las fuerzas exteriores es nula y la aceleración de arrastre es nula, también es
nula la aceleración relativa.
d) Si la suma de las fuerzas exteriores es nula y la velocidad relativa también es nula,
entonces el vector aceleración relativa y el vector aceleración de arrastre tienen igual módulo
y dirección pero sentido contrario.
e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera.
217'·
OSCILACIONES
6.1. INTRODUCCiÓN
221
6.2. EL OSCILADOR LIBRE
6.2.1 El oscilador libre sin amortiguamiento. La solución general
221
221
6.2.2 El oscilador libre sin amortiguamiento. Los parámetros que lo c,uacterizan
6 .. 2.2.1 La amplitud
6.2.2.2 La fase inicia l
6.2.2.3 L1 pulsación
225
225
226
227
6.2.3 El oscilador libre sin amortiguamiento. La velocidad y la aceleración
6.2.3.1 La velocidad
6.2.3.2 La aceleración
228
228
228
6.2.4 El oscilador libre sin amortiguamiento. Su represantación gráfica
229
6.2.5 El oscilador libre sin amortiguamiento. La energía
231
6.2.6 El oscilador libre sin amortiguamiento. Diagramas de fase
233
6.2.7 El oscilador libre con amortiguamiento. La solución general
,6.2.7.1 Movimiento sobreamorliguado
6.2.7.2 Movimiento críticamente amortiguado
6.2.7.3 Movimiento oscilatorio amortiguado
233
235
236
236
6.2.8 El oscilador libre con amortiguamiento. Método de Euler. Diagramas de fase
238
6.2.9 El oscilador libre con amortiguamiento. La energía
243
6.3. EL OSCILADOR FORZADO
6.3.1 El oscilador forzado. La solución general
244
244
6.3.2 El osci lador forzado. La solución de régimen permanente. Resonancia
247
219
6.3,3 El oscilador forzado. Método de Euler. Diagramas de fase
249
6.3.4 El osci lador forzado. L1 energía
257
6.3 .5 El oscilador forzado. Transmisib ilidad . Aislacióll de las vibraciones
259
6.4. RESUMEN
261
6.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
263
APÉNDICE 1
274
APÉNDICE 2
276
220
Oscilaciones
MECÁNICA
CAPÍTULO 6
OSCILACIONES
6.1. INTRODUCCIÓN.
E
ntre todos los movimientos que realiza un sistema mecánico, tienen fundamental
importancia las pequeñas oscilaciolles que el sistema puede efectuar en las
proximidades de su posición de equilibrio estable. Es el denominado, movimiento
oscilatorio armónico y ha sido analizado, en parte, en el capítulo 3.
Todo sistema mecánico que realiza un movimiento oscilatorio armónico, seguirá en
movimiento indefinidamente, y lo llamaremos oscilador libre ( oscilador armónico simple ).
Sin embargo, en realidad, siempre existen fuerzas de rozamiento que finalmente terminan
por detener el sistema. Cuando ocurre esto, se dice que el oscilador realiza un movimiellto
amortiguador oscilaciones amortiguadas).
El amortiguamiento de las oscilaciones, se puede evitar, si al sistema se le incorpora
un mecanismo que provea una fuerza motriz externa, capaz de suministrar una energía por
unidad de tiempo igual a la que absorbe el medio amortiguador. El movimiento que así
resulta se denomina movimiento forzado ( oscilaciones forzadas) y el sistema mecánico que
lo realiza oscilador forzado.
En este capítulo, desarrollaremos el formalismo necesario para describir el
movimiento del oscilador libre y el oscilador forzado, unidimensional.
6.2. EL OSCILADOR LIBRE.
6.2.1 El oscilador libre sin amortiguamiento. La solución general.
221
MECÁNICA
Cnpíllllo 6
Comenzaremos el estudio de las oscilaciones libres sin amortiguamiento, con el que
sea el sistema mecánico mas _simple: una
masa unida a un resorte ( Fig.6-1 ).
x
Si apartamos el cue rpo una distancia x y 7'''"luego lo soltamos, realiza un movimiento de
derecha a izquierda alrededor de la posición de
equilibrio estable (x = O ), es decir, oscila.
7
La fuerza que lleva al cuerpo a su p::¡sición
";"" - =
de equilibrio, puede ser una función complicada del
desplaz<'lmiemo x. Supongamos que la función
Fig.6 -1
F = F (x j, que describe il la f¡terza recllperadora o
restal/radora) admite ser desarrollada en serie de Taylor:
qUIlaS
dF
} , d' F
F(x)-Fo+x- +-x---¡
dx
, 2
dx
,
+ . .... .
Como Fo es el valo r de F ( x ) en x = O, Y este es, por definición, el punto de
equilibrio estable, resulta ~er I/ulo. Si reducimos nuestra alención a peqlleiios
despla::.amielllos del cuerpo, ¡:MJdremos despreciar todos los términos en los que <'lparezca JI
}' potencias superiores. Por lo tanto, nos queda para F ( x ) la forma aproximada:
dF
F (x) _x-
dx ,
La fuerza recl/peradora está dirigida siempro;:. hacia la posición de equilibrio, por lo
tanto,
dFl
dx
..
. k' . _ _dF_
es negativa; temen d o en cuenta eSIO, se pued e Itacer I a SUStl'tU.CIOI1
dx
o
F(x)=·kx
o
[6.1]
donde k es una constante positivo, llamada COIlS/alHe elástica del resOrle.
Mientras no se superen los límites elásticos del resorte y los desplazamientos sean
pequeños, la modelizacióll de la fuerza recuperadora ( fuerza elástica) como una función
lineal de x, es buena.
Las fuerzas recuperadoras ( en nuestro ejemplo la provista por el resorte) que
quedan descriptas por [6.1]. se dice que obedecen a la ley de Hooke ( aquí solo
consideraremos estos casos ).
Teniendo en CUenta la segunda ley de !'\ewton para un movimiento unidimensional:
-kx = 111 a
-h·-m.\'
222
Oscilaciones
MECÁNICA
Esta ecuación que también puede escribirse como!
_ k
x+-x -o
m
[6.2]
Esta es UDa ecuación diferencial ordinaria de segundo orden lineal y homogénea,
con coeficientes constantes. Su solución es la función x:: X ( t J, que representa el
movimiento del cuerpo unido al resorte.
Usaremos [6.2], para desarrollar un método de resolución, de este tipo de ecuación
diferencial.
Propo nemos como solución a la función:
x(t)-e'"
Entonces se cumple que:
X(I )-1.. e'"
Reemplazando en [6.2]:
k
").,2¡f'+-e). ' .. O
m
Como e),' ~O para todo va lor finito y positivo de t, resulta:
,
k
1.. +- - O
fU
que es la llamada ecuación característica.
Los valores de A. son:
Tenemos por lo tanto, dos soluciones particulares compl ejas conj ugadas:
.
g
Y x _e :'.e '"
__ lt
A
1
La solución general es la combinación lineal de Xl y Xl:
[6.3]
223
Capímfo 6
MECÁNICA
Teniendo en cuenta que x ( t ) representa una elongación y por lo tanto debe ser un
número real, las constan tes
y
multiplicadas por las exponenciales complejas, deben
dar ~Ómo resultado un número real.
,~. - .
Buscamos otra expres ión posible para [6.3], de gran interés práctico. Para obtenerla
partimos de la fórmula de Euler:
' . . .1., ,
e; e;
. -.;
e1i-cos8+isen8
O'.· ;: ... .
y e·'i.cos8-isen8~
. ,'
que nos permite escribir:
j!;' :; p,:k"
f',
e"f;;'I.
cos -I+isen -1
m
m
j!;
l
j!;'
j!;')' (l'
e -~"
'1; -cos -t-isen
In
-1
111
Reemplazando en [6,3]:
e '" -eJ,(
,g" +C,-g"
x(t)-CJe'"
1
tOS
()(, ,)
x t -
CI+C! COS
-t+isen -1 +e2
m
m
(, ,) l
¡; )
cos -I-isen - /
In
m
~
.,-1+ cl-el isen - 1
In
111
Haciendo:
resulta:
x( 1 )-C, cos (k I+C,se" (k 1
V-;;;
[6,4]
'1-;;;
que es la otra forma de solución general buscada.
Como las constantes C I y Cl son arb itrarias consideremos, pués, la siguiente
transformación de parámetros:
el =A sen cp y el =A coscp
[6,5]
y realicemos el reemplazo respectivo en [6.4):
x(t)-Asencp cos {kt+Acoscpsell [kt_A(sellt(J cos (kl+coscpsell
V-;;;
224
V;
V;
fk()
V;
Oscilaciones
MECÁNICA
X(/l-Asen(
Jf/+'!')
[6.6]
donde según [6.5]:
[6.7]
e,
e,
/g'!' - -
[6.8]
La [6.6] es la fonna más usual de escribir la solución general de la ecuación
diferencial del oscilador armónico simple.
Evidentemente, si hubiéramos relacionado a el y ez con A y <JI de aira forma
equivalente a la usada, el resultado final hubiera sido levemente distinto. Las consecuencias
son motivo de discusión en el problema 6.10.
6.2.2 El oscilador libre sin amortiguamiento. Los parámetros que lo caracterizan.
Las cantidades que intervienen en [6.6] reciben nombres especiales: A es la llamada
amplitud o elongación máxima;
Jf
-00 0
es la llamada pulsación; el argumento de la
función seno recibe e l nombre de fase instantánea y <JI el de fase inicial del movimiento.
6.2.2.1 La amplitud.
La ampitud representa la máxima distancia que separa el cuerpo de su posición de
equilibrio.
Ya hemos establecido su vinculación con las constantes el y ez . Por lo tanto es
lógico preguntarse ahora, qué es lo que determinan las constantes. La respuesta es
inmediata. Las constantes quedan determinadas por la forma en que empezamos el
movimiento. Si empezamos con una simple elongación, desde el reposo, tendremos un
'movimiento distinto al que obtenemos si empezamos con una elongación inicial y
empujamos hacia la derecha o liacia la i1.quierda al cuerpo al soltarlo. Estos dos movimientos
van a tener amplitudes distintas y por consiguiente constantes distintas.
Concluimos entonces que la amplitud, y por lo tanto el y e z , quedan determinadas
por las condiciones iniciales del movimiento.
Problema 6.1
Encontrar uDa expresión que relacione la amplitud de l movimiento oscilatorio armónico con
las condiciones iniciales del movimiento.
Resolución:
225
CnpílU(O 6
MECÁNICA
L1 solución general es de la forma:
Consideremos como cond iciones iniciales: a ( = O x = Xo y 11 = Vo pUf lo tanto:
Si derivamos respecto del tiempo:
En 1=0:
Fina lme nte, teniendo t:n cuenta [6.7], la amplitud resulta dependiente de las
condiciones iniciales:
,
, w,,
,
v,
[6.9]
X-+-
6.2.2.2 La fase inidal.
A 'P se la llama Jase illicia! por su vinculación con las condiciones iniciales del
movimiento. De [6.8] y del problema anterior surge :
x(JlIJ o
19rp - -el - -
,
e?
[
6.10 ]
110
Para fijar unívocamente a cr, debemos conside rar los valores ysignos de Xo y Vo ya
que 19 ( cr + n) = 19 fp.
Problema 6.2
Teniendo en cuenta los posibles valores y sigtH)s de la posición y velocidlld inicial, armar una
tablll indicando el cuadrante donde SI;: enCutntra la f¡lse inicial.
Resoll/ción:
y
e.
CO.Hp -
v(I
----=- - - A wQA
L:l amp!illltl y la Im/sación son positivas, ptlT In que Ins signos de ,n:'llCr y cos cr
quedan determinados pOf los signos de la posición y velocidad iniciHI.
.:.26
Oscilaciones
MECÁNICA
seJ!undo cuadrante
sen cp >0 COS cp <o
Xo
>0
VD
primer cuadrante
sell cp >0
cos cp >0
<O
Xo
tercer cuadrante
sen cp <o
cos cp <o
.(" <O
Vo <o
>0
v" >0
cuarto cuadrante
sen cp <O ,'os cp >0
XI) <O
Vo >0
6.2.2.3 La pulsación.
La pulsaciólI es una de las caractenstlcas esenciales del mOVimiento osc ilatorio
annón ico. De acuerdo con su definición depende de propiedades intrínsecas de l propio
sistema mecánico: la masa y la constante elástica del resorte.
En relación con la pulsación, podemos introducir otra magnitud: el perlodo T. Es el
intervalo de tiempo entre dos pasajes sucesivos del cuerpo por el mismo punto x y con la
misma velocidad (módulo y sentido)
Se puede encontrar una relación entre ambas magnitudes, haciendo uso de la
interpretación del período y del hecho de que la función seno es pe riódic.1, de período 2:rt..
En vinud de la definición de período:
x( I )-x( r+ T)- Asell ( w, (r+ T )+'P)
Por tener la función seno como período a 2n:
x(r)-x(r+2n )-Asell [(w,r+rp)+2n J
Igualando:
W o T -2n
=
{f"
2n
T- --211
(1)0
k
[6.11]
Se puede definir también la frecuencia f
1 lH;
f - - :w,- - - T
2R
2n.
m
[6.12]
que representa el número de veces que el cuerpo pasa por un punto en el mismo sentido en
la unidad de tiempo.
Es bueno reiterar que la pulsación, el período y lo frecuencia son independientes de
las condiciones iniciales del movimiento, es decir, no dependen en forma alguna de como se
inició el movimiento, sino que dependen de parámetros propios del sistema mecán ico.
227
MECÁNICA
6.2.3 El oscilador libre sin amo rtiguamiento. La ve locidad y la ace lerac ión.
6.2.3.1 La velocidad.
Para obtener una expresión de la velocidad del cuerpo que, realiz.'\ un movimiento
osci latorio armónico debemos derivar x :;: : x ( t ):
X(I )-Asen(w,I+q»
V(I)_X( I) _dx_ w , Acos(w,I+q»
dI
[6.13]
El máximo va lor de la velocidad es:
[6.14]
y es alcanzado cuando la elongación es nula. Cuando la velocidad es nula, la elongación es
máxima.
6.2.3.2 La aceleración.
La expresión de la ace leración la obtenemos de rivando la velocidad:
o(t)_X(I )_d v --w¡ Asell(w,t+q»--w;x(l)
dI
[6. 15]
La aceleración resulta ser, en lodo instante, directamente proporcional a la
elongación y de signo con trario, y por lo tanto, está siemrtre dirigida hacia la posición de
equilibrio.
El máximo va lor de la aceleración es:
a
.~
,
-w"'A
[6.16]
y es alcanzado por el cuerpo cuando la elongación
también es máxima.
Fig.6-2
228
En la figura Fig.6-2 se han representado las
posiciones en las cuales la velocidad y la
aceleración son nulas y las posiciones donde
alcan7J1n sus va lores máximos.
Oscilaciones
MECÁNICA
6.2.4 El osc ilador libre sin amortiguamiento. Su representación gráfica.
V
V,
.,
T
•
x
x,
I
A
Las tres funciones hasla ahora estudiadas:
x ;; x (1 J, v = v ( 1 J ya::; a ( t j Son armónicas y
para su representación ( Fig.6-3 ) se ha considerado
que a t ::: O, x:;; Xo y Xo > O Y además v :;; Va y
Vo > O.
t Problema 6.3
a
a,
Una masa de 0,5 kg está unida 9. un rrsorte de
constante elástica k de 0,2 kgf / cm. La masa es
t apartada de la posición de equilibri0 una distancia de
30 cm y se la suelta con una ve locidad de 60 cm / s
Fig.6-3
en el sentido pos iti vo de las x.
Obtener: a)x;; x (l J ; b) v = v (/) ; e) a =a (/); d) el período.
Resolución:
w _
(k _ O;2kgf I cm _ 0,2.9,8N 10,o1m -19,8s-'
''1-;;;
O~kg
0,5kg
a)
x(, )-30 cos( 19,8/ )+3,o3sell (19,8/)
(cm)
v( / )= -594sell( 19,8/ )+60eos( 19,8/)
(cm I s)
b)
e)
a ( / )- -11761,2 cos( 19,8/ )-1188 sell (19,8/ )
( cml s')
H<lciendo:
C,
30
tgrp=---- ... 9,9
C,
3,03
=
ftI-arctg9,9-1,47 - 0,47n
podemos escribir soluciones equivalentes a las anteriores:
229
MECÁNICA
,( I )-30,15sel/(19,81+0,47n)
(cm)
v(11-596,97cos(19,BI+O,47n) (cm l s)
O(I)--1l820sel/(19,81+0,47n) (cm l s' )
d)
2It
2It
00 0
19,8
T-----s-O,317s
Problema 6.4
Establecer la conexión entre el movimiento circular uniforme y el movimiento oscilatorio
armónico.
x
Resolución:
Q..----'"P
El puntO P ( Fig.6·4 ) gira con velocidad
angular 000 . El punlo Q representa 12 proyección,
en cada instante, del punto P sobre el eje x, y en
particular Qo la proyección en el instante inicial.
El ángulo q> es el ángulo que forma el radio
Q,.--~:-,,---:,.P
o
vector en el inst.1 nle ( = O.
Al cabo de un tiempo t, el radio vector
forma un ángulo a = Wo 1+ q> , y la coordenada x
en ese instante es:
Fig.6-4
x ( I ) = A sel/ (wo 1+ '1')
Así pués, el punto Q, proyección en todo imtallfe de P, realiza un movimiento
oscilatorio armónico. Por lo tanto, e/movimiento oscilatorio. armóllico se puede describir
como la proyecciólI del movimiellfo crrcular
x
rot+S
uniforme sobre 1111 didmetro.
~
El radio de la circunferencia es equivalente a
Q
la amplitud )' la velocidad angular del movimiento
p
circular uniforme, coincide con la pulsación del
~t--;,t.".;.=.-:,.
movimiento oscilatorio armónico.
La relación entre la velocidad del punto P y la
velocidad del cuerpo que realiza un movimiento
oscilatorio armónico puede ser obtenida de manera
análoga (Fig.6·S J.
V
V
o
Del gráfico surge:
Fig.6-S
v ( I ) = OJo A cos (OJo (+ <r)
230
2
Oscilaciones
MECÁNICA
que es la velocidad del punto Q, proyección en todo instante del punto P sobre el eje x,
6.2.5 El osc ilador libre sin amortiguam iento. La ener gía.
La fuerza F ( x ) :::: • k x, constituye un campo de fuerzas conservativo. Para
verificarlo calculamos su rotor:
,
v
Vx F -
v
)
a a ~ _ _a( -kX)¡ _ a(-kx)" -o, DOr lo lanlo la eller gía mec!Í!;.' C(1 ~e
az
ay
.
ax ay az
-kx o o
conserva.
Teniendo en .cuenta [6.131 la energía cinética res ulta ser:
[6. 17]
Como la fuerza elástica es conservativa, se cumple:
av v
v
F- - VV
=>
dV.
dx
-kx, - - - , - - - ,
ax
dV
-kx---
kxdx - dV
=:>
dx
1
,
V--kx +C
2
Esta es la expresión de la energ{Q potencial elástica. En la posición de equilibrio
x :::: O, se tiene Vo :::: C. Si la referencia de la energía potencial Vo , arbitrariamente la
hacemos igual a cero resulta:
1
V--kx
2
,
[6.1 8]
En virtud de [6.6]:
1 kx , --kA
1
" se" ( w l+q> )
V _-
2
2
•
[6.19]
231
'W
Cap/filIo 6
MECÁNlCA
Finalmente la energía mecánica es:
[6.20]
Problema 6.5
La energía mecánica de un cuerpo que realiza un mOVimiento oscilatorio armónico es
3 x lO-s J y la fuerza máxima que actúa sobre él es 1,5 x 10-3 N.
Escribir la ecuación del movimiento de este cuerpo, si el período de las oscilaciones es de 2 s
y la fase inicial es n I 3.
Resolución:
La energía mecánica es:
I
E--kA
,
2
La fuerz..1 es máxima cuando la aceleración es máxima [6.16], por 10 tanto:
Combinando ambas expresiones:
Por lo tanto, la amplitud es:
2E
F
A o __ •
.~
2·3,,10·' J _ 4 X lO·' 111
15x10·'N
,
La pulsación es:
211.
2n
' -1
W -----n5
, T .5
1
La ecuación del movimiento es:
232
=
Osciltlcio/les
MECÁNICA
6.2.6 El oscilador libre sin amortiguamiento. Diagrama de fases.
En el problema 2.3 del capitulo 2 y el problema 3.3 del capitulo 3, se ha analizado
con detalle la representación del oscilador armónico simple en el ejpacio de las fases.
En dichos problemas se demostró,
que la relación entre x, la posiciól1, y p, la
cantidad de movimiento, es:
p
pl
Xl
--+--1
2mE 2E
k
x
que en el plano x-p, resulta ser la ecuación
de una elipse.
Las distintas trayectorias en el
espacio de fases ( Fig.6-6 ) representan el
movimiento del oscilador libre sin
Fig. 6 - 6
amortiguamiento
para
diferentes
condiciones iniciales (diferentes energías E; el área de la elipse es proporcional a E).
La totalidad de las trayectorias, constituye el llamado diagrama de fases del
oscilador armóllico simple.
6.2.7 El oscilador libre con amortiguamiento.La solución general.
El oscilador annónico simple realiza un movimiento tal que una vez iniciado r:o cesa
nunca. Por supuesto que se trata de una simplificación del caso físico real en el que las
fuerzas
de
rozam ¡ento
producen
el
amortiguamiento de las osci laciones .
Esta
situación
puede
estudiarse
introduciendo en la ecuación diferencial un término
que represente la acción de la fuerza de
amortiguamiento ( Fig.6~ 7 ). La hipótesis más
frecuente es considerar a la fuerza de
amortiguamiento como una función lineal de la
velocidad (fuerza de amortiguamiento viscoso).
Fig.6 .7
Tenemos entonceS, a la partícula de masa m
sometida a la acción de una fuerza restauradora ~Ja
y unaf/lerza de amortig/lamiellto viscoso -B X.
L1 ecuación de movimiento correspondiente es:
mx-- Bx-k x
que puede escribirse como:
233
Capíwlo 6
MECÁNICA
_
~.
k
x+-x+-x-o
In
m
[6.21]
Esta es una ecuaclon diferencial ordinaria de segundo orden lineal completa y
homogénea con coeficientes cOJlSlallles.La solución de la misma es la función x = x (t), que
representa el movimiento del cuerpo unido al resorte y al sistema amortiguador.
Es útil escribir [6.21]en la forma:
[6.22]
donde j~_L
2m
y
2
k
(¡)o--'
111
Para la resoluc ión de [6.22] usaremos el mismo procedimiento que para el caso de
las oscilaciones libres sin amortiguamiento, es decir, primero encontramos la ecuación
caracterfstica :
x(,) - e"' = ,(d-ae"' = x(')-a'e"'
[6.23]
La [6.23] es la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial [6.22].
Su resolución conduce a:
La solución general es entonces:
[6.24]
Del análisis de la solución general se pueden reconocer tres tipos de movimientos
amortiguados:
234
MEcÁNICA
Oscilaciones
>w!
a) si ;..1
el movimiento es sobreamortiguado ( raíces de la ecuación característica
reales y distintas).
b) si Al
el movimiento es críticamellle amortiguado (raíz real doble y negativa de la
ecuación característica ).
e) si ;..1 <w~ el movimiento es oscilatorio amortiguado ( raíce.s de la ecuación característica
complejas conjugadas con parte real negativa ).
-w!
Esta clasificación también puede realizarse, a partir de la definición de un parámetro
A
adimensional y ""- llamado [actor de amonigllomiemo, cuya utilidad veremos más
w,
adelante .
Si Y > } el movimiemo es sobreamortiguado ; si y :; J elmovimielllo es críticamente
amortiguado y si y < 1 el movimiento es oscilatorio amortiguado.
6.2.7.1 Movimiento sobreamortiguado.
Si se cumple que ;':1>w~ (y > 1 ), la [6.24] resulta ser la combinación lineal de dos
expollellciales lIegatims. No hay duda sobre esto último, si se observa el segundo término
de la solución general; el primero puede ser escrito como:
donde I~ resulta ser mayor que ~;..l
-w::
rr;;;;¡>
¡,>bi-W;-¡'f-(Tl'
~~
U
V, > O
X
T/"""'/
xo~--~
v•=0
por lo tanto el exponente es negativo.
Esto quiere decir que las ralces de la
ecuaciólI caracterísrica SOIl reales,
distintas y negarivas.
t
El movimiento resulta ser
aperiódico, es decir, 110 existe
JI: < O
oscilación. El desplazamiento tiende
Fig.6-8
a cero conforme t tiende a infinito
( debe entenderse que este tiempo
infinito, significa grallde respecto de
por ejemplo a 1-1 y a;1 que contienen la infamación de los parámetros que caracterizan el
sistema ).
Conocidas las condiciones iniciales se pueden calculllr las constantes el y el y
hacer la representación grrific<1 del 1Il00,i/nieJlI0 sobreamorrigllado. L1 figura 6-8 muestra
dicha represenfación para.\"(I > O con velocidad inicial l·o : positiva, nula y negativa y la
235
•
Capllufo 6
MECANICA
figura 6-9 para Xo < O con velocidad inicial Vo ; positiva, nula y negativa.
Es interesante hacer notar que
V. > O
para determinadas condiciones in iciales
x
(xo > O Y Vo I/egativa y Xo < O Y Vo
positiva) la panícula ptlede a lo sumo,
pasar /lila vez por la ¡:xJsición de
t equilibrio.
x.+-=
v. <O
v• =0
Fig.6-9
6.2.7.2 l\'lo'\'imiento
amortiguado.
críticamente
Si se cumple que ,..2 -w~ (y = 1 J, la
[6.24] queda:
En este caso podemos buscar aIra solución ( mediante el llamado método de
\'ariaciólJ de parámelros). Se puede demostrar por sustitución directa en [6.22] que cuando
},,,wo ' I e- i ., es también solución.
Como además e- j • , y te-)·' son linealmente independientes para esta situación, la
solución general es :
x( l )-C; e-J·, + e; te-l.,
x( I )-e'" (e; +c; 1)
[6.25]
Esla solución, tiende a cero cuando t tiende a infini lo y el movimiento también
resulta aperiódico, es decir, l/O existe oscilación.
La representaci ón gráfica de esta solución,
para distintas condiciones iniciales, conduce a
curvas de las mismas características que para el
caso del movimiento sobreamortiguado.
Pero si hacemos una com paraclon más
detallada de las soluciones del moyimiento
sobreamortiguado y el amortiguamiento crítico
surge que para unas mismas condiciones iniciales
crÍlicamente amortiguado
x
x, ;-....""':/
un oscilador amortiguado críticamente alcanza
tilla misma posición en Wj tiempo menor
(Fig.6·10 l.
Fig.6-10
sobreamoTtiguado
t
6.2.7.3 Moyimiento osc ilator io amortiguado.
<w!
Si se cumple que }~2
(y < 1 J los exponeOles de la [6.24] resultan ser complejos
conjugados con parte real negativa. Si hacemos la sustitución:
236
Oscifaciones
MECÁNICA
[6.26]
La solución general se puede escribir:
Como
ya
e e iw" + el e- ¡""
J
I •
hemos visto en el estudio del oscilador armónico
puede ser escrito como una combinación de senos y cosenos:
simple,
Finalmente la so lución general adopta la forma:
[6.27]
B
tg'l' - A
x
El gráfico del movimiento resulta del
producto de una función armónica y una
exponencial negativa ( Fig.6-1 1 ), que es la que
,
--.
- - _ A·)J
e
x,
indica, que el sistema tiende a la ¡:K:lsición de
equilibrio, c uando el tiempo tiende a infinito.
La forma como el sistema evoluciona hacia
la posición de equilibrio estable (pasando "más" de
una vez por cero, es decir, oscilando) le da sentido
al nombre del movimiento: movimielllo oscilatorio
amortiguado.
,,
El movimiento 110 es periódico, ya que el
Fig.6-11
oscilador no pasa nunca dos veces por el mismo
punto a la misma velocidad. Pero como en una gran cantidad de situaciones el decrecimiento
de la amplilpd es "pequeño", el movimiento resulta casi periódico ( muy bajo
amortiguamiento ).
Además, existe un intervalo de tiempo:
2i{.
, --00 1
2n
~W!_}~2
[6.28]
entre dos pasajes consecutivos por la posición de equilibrio en el mismo sentido, que recibe
el nombre de seudo·perfodo del movimiento oscilatorio amortiguado (001 es la llamada
237
MECÁNICA
seudo-pulsación J. Es te mismo intervalo
Capíwlo 6
también existe entre dos
desplazamientos sucesivos al mismo lado del punto de equilibrio.
't
máximos
Puede probarse que 't es también el tiempo X
entre dos instantes de retomo consecutivos, con el
mismo signo de la coordenada de posició n x,
( problema 6.25 ).
La amplitud de la elongaciólI del oscilador
amortiguado, decrece con el tiempo.
Es útil establecer una relación en tre las
amplitudes de las elongaciones de dos insta ntes
cualesquiera. En particular, relacionaremos las
amplitudes
de dos
máximos consecutivos
(Fig.6- 12 ).
t
Fig.6-12
El primer máximo que consideramos ocurre
en el tiempo t} , Y el segundo máxi mo a tl = t1 + 't .El cociente de estas amplitudes lo
obtenemos a partir del cociente de las ordenadas respectivas:
Tomando logaritmo na tural a ambos miembros de la igua ldad:
[6.29]
La cantidad & recibe el nombre de decrecimiento logarftmico.
tres
La figura 6-13 muestra la x =x ( t ) pa ra los
movimiento sobre amortiguado,
casos:
crCúcamellte
amortiguado
movimiento
movimiento oscilatorio amortiguado con
mismas condiciones iniciales: Xo > OY Vo = O.
sobreamort; uado
las
En lo que sigue, se ut ilizará el Método de
Eliter para la resolución de la ecuación diferencial:
238
criticamente amortiguado
y
6.2.8 El osci lador libre co n a mortiguam iento.
Método de Euler. Dia gl'3 mas de rase.
teniendo en cuenta los tres casos posibles.
X
t
ose. amort; uado
Fig.6-13
MECÁNICA
Oscilaciones
Para los tres movimient~ se han considerado idénticas condiciones iniciales y se
realizaron los diagramas de fase correspondientes.
Oscilaciones lineales con amortiguamiento viscoso (caso sobreamortiguado)
W Q
pulsadon de osci lación sin amortiguamiento
:: 3
factor de amortiguamiento
'f :: 1. 5
vo = 40
h:: .025
Ít = k 'h
k-tos
k .::'/"WQ
condiciones inicia les
k = 0.100
instantes considerados
Metodo de Euler
Ecuacion horaria ...
,22.2
3
o
.2.s
Diagrama en el espacio
de las fases ( velocidad
en funcion de la posicion)
.'
.-18. "Jli¡L.._L"":::::=..-lLJ
.1 .6 0$94
'íc.
.22.2613
239
p
Capitulo 6
MECÁNICA
Oscilaciones linea!t:s con amortiguamiento viscoso (caso amorti!:,TUado critico)
t1l
O=3
pulsacion de oscilación sin amortiguamiento
factor de amortiguamiento
'f :: 1
;'=Y'Olo
condiciones iniciales
h=.02S
Í< ::; k 'h
k =0.100
instantes considerados
Metodo de Euler
Ecuacion horaria ...
.22.6''-''0'',,---,--,---,--o
,2,,5
Diagrama en el espncio
de las fases ( velocidad
en funcion de la posicion)
.' ,--------¡-----¡;-,
.-2 6.O''':''-":-:=:-'---'''~-::~.
,O.1l9}92
24U
xx.
.22.6~49
Oscilaciones
MECÁNICA
Oscilaciones lineales con amortiguamiento viscoso (caso subamortiguado)
w O =3
pulsacion de osci lación sin amortiguamiento
'{ = 0.2
factor de amortiguamiento
X
Ji. '" 0.6
condiciones iniciales
o = 20
h= . 025
\. = k 'h
1:.=0.500
instantes cons iderados
Metodo de Euler
Ecuacion horaria ...
,23.9
o
.-14 . ill,-,"'--'-_
_ ...L_ _L-_-'_
_ ...l..._ _.LJ
, 12.5
Diagrama en el espacio
de las fases ( velocidad
en func ion de la posicion)
.'
,- 57 . 4IJllL_h_~:::"'...l.­
, - 14. ~62
~
,23. 9~22
Problema 6.6
Analizar el tipo de movimiento de un sistema masa·resorte-amortiguador cuyos parámetros
son: 171 = 10 kg, k = 250 N / 171 Y ~ = 100 kg / s. Obtener x = x ( t ) Y hacer la representación
gráfica para las condiciones iniciales: Xo = O YVo = 0,2 mis.
Resolución:
241
MECÁNICA
Capíntlo 6
H.
250N lm s 5·'
S
i. • .1....IOOkg l s .5s.'
2m 2-ZOkg
Como I~ = <o" el movimieJ/lO es críticamellte amortiguado.
úl
_
o
-.
m
lOkg
La ecuación diferencial correspondiente es:
x+2'5i+25x-O
y la solución es de la forma [6.25]:
x( 1)_e- i., (e; +c~ t)- e- ...• ,(c;+c; 1)
Para encontrar las constantes e; y e; debemos considerar la expresión de la
velocidad:
Finalmente:
x
Problema 6.7
En un sistema masa-resane-amortiguador los
parámetros que lo caracterizan son: m = 1 kg,
k = 100 N I m y B = 2 kg I s- La masa se desplaza
0,05 m y se la sue lta sin velocidad inicial. Halla r la
ampl itud de la elongación CI/atra ciclos después, de
iniciado el movimiento.
0,2 seg.
Fig.6-14
Resolución:
<o" -
H.
-
111
-
¡lOON 1 111 _ 10·'
S
Ikg
,_• .1.... 2kg ls .ls·'
~
2m
201kg
La ecuación diferencial de movimiento es:
x+2i+100x-O
Como A < lOo el movimiento es oscilatorio amortiguado.
El seudo-periodo Les:
242
t
Oscilaciones
MECÁNICA
La solución de la ecuac ión diferenc ial es de la forma [6.27]:
x( 1 )- A, e-'" cos( w, 1 -'1' )
Para encontrar Ao y cp debemos trabaja. con la velocidad:
x( t )- - AAa e- i ,' cos( lO I t -cp )- P"'Q e- f, r ro J sell( W }l-cp)
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales:
x, -0,05 m = 0,05- A, cos( -'1') Y v. -O = 0- - l. A, cos( -'1' )-A,w, sen( - '1' )
Reso!vier.do el sistema queda:
)..,
i 5- 1
-0,1
=
'1' -0,0997
0,05- A, cos( -0,0997)- A, cosO,o997
=
A, -
Ig'l' - - w1
9,95s-1
0,05
-0,0502
cosO,0997
El primer máximo corresponde a 0,05 In a l := O.
Finalmente:
x( 1 )-0,o50U' cos( 9,951-0,0997) (m)
Haciendo l!SO ce la interpretación del seudo-período, hallar la amplitud de la
elongación después de cuatro ciclas (4 -:: ) de in ¡ciado el mo'/imiento equivale a encontrar
la ordenada x del quinto máximo. Por lo lante:
x s -O,0502e- J , cos[ 9.95( 4" )-0,0997] (111)
x j _ 0,0502 e- ./-0,63 cos[ 9.95( 4 '0,63) -0,0997 ] "" 0,05 e* J.O.M -0,00402 m
6.2.9 El oscilodor libre CO!1 amnrti&uamientc. La ene::-gb.
En con traste con lo que ocur;e con ,:;j c3cilador <:!1Tlónico simple, la energía
mecánica del oscilador libre con a:,'lcrtiguamiento 11O:e COilSer'IJG.
243
Caplllllo 6
MECÁNICA
La energía del oscilador amortiguado no permanece constante con eltíempo sino que
es ced ida al medio amortiguador y disipada en general en fonna de calor. La pérdida de
energía por unidad de tiemiXl eS proporcional al cuadrado de la velocidad. Veamos:
La energía mecánica es:
1 ., 1 .2
E - -k x- +-I1IX
2
2
L1 derivada con respecto al tiempo es:
dE kxx+mxx
.
.-
[6.30]
-a
dI
Si tenemos en cuenta que:
mi--Bi-kx
)' reemplazamos en [6.30]:
[6.31]
Es decir, que la ellergia l/O dismilluye uniformemente COII el/iempo.
6.3. EL OSCILADOR FORZADO.
6.3.1 El oscilador forzado. La. solución genera l.
Las oscilaciones libres de un cuerpo unido a un resorte con amortiguamiento viscoso
quedan determinadas por la ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden li/leal completa y
homogénea eDil coeficiel/tes constantes:
F(l)
mf-+:~ ;i.-+kx-O
El amorliguamiento de las oscilaciones podrá
evitarse, s i al s istema se lo puede dotar de un
mecanismo que provea una fuerza motriz externa,
capaz de suministrar una energía por unidad de
•
tiempo igual a la que se disipa en el medio
amortiguador. Como se observa e n la figura 6-15
Fig.6-15
esto se puede conseguir con un motor provisto de un
excéntrico.
En generdl se puede pensar que sobre el sistema actúa una fuerza F = F ( 1 ). De tal
manera que la ecuación unidimc:nsional de movimiento es:
244
OSciltl ciolU!.~
MECÁNICA
-fí .,- .... kx-F( 1)
La que Se puede escribir 1.,.\"1."
. ,.
,.F(t)
" ~ - 1.., +W" .\ - - 111
[6.32]
,:/r/¡¡ ti\? !Jr:glll/do orden lil/ cal completa eOIl
que es una ecuación difen::ncICl!
coeficiel/tes cO/lStal1fcs 110 hOr!log¿nea
A F ( ( ) Se la denomina fue.>,::" 'i/'l:JÍJu,'a. jllei'za motriz O el1l/'ada del sistema y al
Ud/lO forzado.
movimiento resul tante Se lo dt"nümirl.
.
.:iÚ:l diferencl<ll, co rres;:>ondiente a la F ( t )
la solución x ;: x ( 1 ) Ce
.;.j sistema.
considerada, se la llama rcspw:!Jlij o
Las entradas periódicil.s Pl~~':.l_ <::i1 general. aspectos muy interesantes para ser
estudiados, y miÍs aun, cuando \-<ui;¡J: r
.Iomeme con cllicmpo.
,nes no muy rcstricti\as ) se pueden desarrollar
Las entradas periódicas ( C(h, '-,
el sbtem,¡ oscilante estudiado es linea l, será
en serie de fundones senoidak:::.. !...
....
<"'
dicho sistema cuando la entrada es senoidal .
suficiente considerar cual ::.erá la rC"t- ';:
En nuc::Slro análisis ":,lr,si,_
'¡lit la fuerza impulsora es de la forma:
F (r) ;: Fu (.."Ulw 1. Dc; e:,ta m<.JnC¡,1
..1
J +- _ I
.'J'
x,.
F" cos (o) f
[6.331
lit
Ul snluci6n gencwl de \',-,k _
que es : la suma
homogéllea r.:orrespondiellle y ulla solución
_\'il d lt"crencial se pUt::dt: demostrar
de la solIlci6n gel/eral de la ,-'~:¡at.!
panicular de [6.32]:
;:;::t'!i(I)+Xp(l)
.\" I
[6.34]
La solución gtneral de la t:~.... _ - ilOm¡'geneH ya la hémos obtenido con el estudio
itnlo. La cuestión es, ¿ como puede halla rse la
de las oscilac iones libré:) con a¡nor:,
',rtmus una melodo logia que permita encontrar la
solución XI' ( 1 ) .? En lo que sigue d,:~
solución particular h\.L')cada.
~,
el uenomin¡¡do JIIcLOdo de los coeficientes
El m¿lOd() que utiliza¡·:::¡~ .•
'~i--'\)na p¡¡m XI' ( 1 ) una expresión similar a la de
indew/'millados. El m¿todo wns¡s:~
F ( t J, la l"ual \'¡) a contener (.. _. ~ ,.~.:::; Jc::,c·.)flociu0s. los cua!t:s deben detenninarse
~.:;-'-' y segunda en [6.33].
reemplazando -,",,( 1) Y sus daind:.:
La formn de la solución p;ini';~ leS. er, virtud de la forma de: la fue rz.., impulsora:
x ,. (t
Cak~ulamos ahol'<-¡ la dtri\'aJ,
-
'·.\U} / ...
B .'lento) I
[6.35]
;\ ::'-1''' \" s<:~unda de xp( 1):
245
Cnp[wlo 6
MECÁNICA
Xp(t )--WAsenoot+ooBcoswt
Reemplazando en [6.33]:
-00
1
Acoswt _00 2 BSeIlWI+2i~( -wAsenoot+wBcoSWI)+
F, coswt
+w; ( Acoswt+Bsellw( ) ---"--In
Como las funciones sell rol y cos rol son linealmente indep~D¿¡~ntes entonces se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(¡
wg -w')A+2).wB- F,
111
{wg -( )B-2t.wA_O
1
La resolución del sistema pennite obtener los coeficientes A y B:
y con ellos, hemos hallado la solución particular buscada. Como ya hemos visto, a una
expresión como la [6.35] se la puede escribir de la siguiente forma :
donde
[6.37]
La so lución x ( t ), en e l intervalo de tiempo en que XII ( t ) Y Xp ( t ) SOll comparables,
representa el denominado régimen transitorio ya que, para un tiempo l suficientemente
grande la contribución de XH ( t ) a la solución general será despreciable.
La solución Xp (1) representa el denominado régime" estacionario:
246
•
l
Oscilaciones
MEcÁNICA
A la solución particular se le da el nombre de solución de régimen permanente o de
estado estacionario. Evidentemente, toda nuestra atención, estará puesta en esta solución,
que es en general la que tiene mayor im¡x>rtancia prácti::.a.
6.3.2 El oscilador forzado. La soluci6n de régimen permanente. Resonancia.
La solución de régimen permanente que l!em(:S hallado s610 depende de los
parámetros del sistema ( y no de las co:J.diciones inicia!es ) y es de la misma pulsación ro
( misma frecuencia f = w I 2 1t ) que la fuerza exc:t2dora Fo cos 00 t por tratarse de un
sistema lineal ( en sistem<:.S no lineales puede ocurri!" que ante una excitación senoidal resulte
una respuesta que sea superposición de varias funcio~es senoidales de distintas frecuencias).
Difiere sin embargo de ésta, en la fase, pues está retrasada en rp radianes.
De la [6.37] obtenernos:
cp- arctg
21..00
2
wo-oo
2
e::"'Presión que ?oCemos escribir:
({ .. arctg
2 ( - A)(OJ)
00
0
00;
,(OJ)
"r
-arctg
l-(~)
0
2
l-r~)
00 0
Un gráfico interesante es el de la figum
6-16 donde el ángulo de fase cp 39arece como
función de la relación 00 I 000 para distintos
valores del factor de amortigl4Omiento y.
Dado un valor fijo de OJ, (pulsación
natural) ,a medida que ro ( pulsación de
entrada) aumenta desde O, la fase aumenta desde
<P = O en OJ = O hasta <p =n I 2 en OJ =OJ, Y
00
\ 00 0
<P
n
Y =0
-------~~
y =1
"/2
tendiendo a 1t cuando 00 _ oo.
Analicemos ahora
la amplitud de la
solución de régimen permanente:
Fig.6-16
[6.38]
Es función de la pulsación de entrada t)} ( Fig.6-17 ). Se puede hallar la pu!sació!J.
ro =OOR , para la cual la amplitud es mc1xima:
247
•
F
Capfwlo 6
MECÁNICA
¡
dXO
.x,
-O
dw .........
'-'
- ,,'
, .
Derivando se obtiene:
[6.39]
que es la llamada pulsación de resollanCia en
anrplitud. .
'
.....
·U amplitud es en este taso:
.. " ,
.~
.1 ' ,
..
o,' _.
~
". ·t" ':.'
'. J
Fig.6-17
[6.40]
La condición de resonancia tiene gran importancia, porque indica que
alguna
elltrada puede excita r oscilaciones con una amplitud tan grande que el sistema puede ser
destruído ( taflLO más imporrame cuanto mellor sea el factor de amortiguamiento ). '
.
Hay que observar que si A = O (es decir f3 = O ) Ysimultáneamente la pulsación de
entrada es igual a la pulsación natural: w := 000 • la amplitud de la solución de régimen
permanente riende a infinito. En la práctica esto se traduce como "que la amplitud de ¡as
oscilaciones crece fuera de control, llevando ,casi inexorablemente a la destrucción del
sistema.
Esta situación se reconoce como estado de resonancia del oscilador forzado sin
amortiguamierrro ( se suele llamar también resonancia teórica, ya que es casi imposible
encontrar un sistema físico real sin amortiguam iento ).
Volviendo a la [6.38], ésta se puede escribir de la siguiente manera:
Haciendo XST = Fo I k ( que representa la elongación del resorte cuando aCiúa sobre
el una fuerza elástica igual a la amplitud de la fuerza excitadora ), que llamaremos
e/ollgación estática, resulta:
x,
1
~- ~[l-(:Jr +( :,l'
sr
X
248
-
2y
[6.41]
Oscil/lciones
MECÁ.NICA
El coeficien te adjm~nsional ~ I se lo cánnce f.1
como jaclO/' de magl1ijicac:ióll o Jactor de:
omplifico<.:iólI. L1 [604 1] expresa a ~I Cllmo fundón 4
de la relación de pulsncjo nes ( adim~nsional ) y del
factor de amortiguamiento (lf¡mhién adilllensil\l1a l ). 3
LI importClncia d~ ¡lI1aliz<If ~sta funci,ín a 2
partir de variables
ad¡men~innales
conclusiones
que
a
las
se
eS qUe
arrihé
las
resultanin
11~~:::::::::::::::;~~
independi~nh::s de las unidildes.
En la figurn 6-18 pueden
apreciars~
las
1
2
curvas reprcsentatjva~ de 1I como t'unc.:il)n de la
Fig.6.18
rdnción w I (1)0 para difcrente~ v<llores dd fal.:tor
de amortiguamiento. Estas curvas presentan las siguientes canlcteristicas:
3
w!oo,
ti) para cua lquier valor de y las curvas parten de ~I:: l( w :: O).
h) para rdacinnes de pulsación U) / (J}o muy cercanas al, ~ I crece cons iderablemente y más
aún a medida que decrece el Factor de amortiguamiento.
e) ~I tiende il infinito cuando y = O Y ((l) / 1J}0 } tiende a 1: esto corresponde a la situación
de resollollóO teórica.
d) ~I tiende a cero cuando ((J) / t'JI! ) tiende a intinilo.
L1 figura 6-19 eS una represen/aciól/ tridimensional del factor de magllijicaciólI
como función de la relación de
pulsaciones
p<lra
diferentes
v<lIClfi!s
del
factor
de
y
~o
amortiguamiento.
6.3.3 El oscilador forzado.
l\ lé todo de ElI ler. Diagramas
de r.. se.
Utilizaremos ahora, el
MélOdo de EI/ler pilm resolver
algunos ejemplos de la ecuación
diferencial:
Fig.6-19
Se:: muestra adem~s. para cada ejemplo. la representad ón en funcion del tiémJXl de la
so lución respectiva y el diagrama de fase cl' ITespondient~.
249
-,
Capitulo 6
MECÁNICA
Oscilaciones lineales con amortiguamiento viscoso y fuerza impulsora armónica
000 = 3
pulsacían de oscilación (sin amortiguamiento)
y = .3
factor de amortiguamiento
, = - 10
, = 10
x
h=.03
1:= k· h
r = 0.5
v
condiciones iniciales ...
k =0 .. 500
instantes considerados
relación de frecuencias (razón entre frecuencia de excitación y natural)
Melodo de Euler
=
(Vk~ h.20.sin(,.r·'k) - h·2·Y·WO· vk- wa'-'kh)
x + h,v
k
k
Ecuacion horaria ...
•10
,
•. '.5789L....:._ ..L-'>..L..L_ _.L_..::::.L_ _L-_
..:::::L_ _L-..J
'k
Diagrama de las fases, se puede
observar el ciclo que corresponde
al régimen permanente.
.10.611
v
k
•. ' t.2S6t_--L_..:o,~-,-¿:::...-....::l
,-3.57897.
250
MEcA.r..'1CA
Oscilaciones
Oscilacion~s lineales con amortiguamiento viscoso y fuerza impulsora armónica que es
suma de dos de distinta fn::cuencia
lO O
= 3 pulsacion de oscilación (sin amoniguamiento)
y=-.2
factor de amortiguamiento
xo =- O
v
h=.os
o
condiciones iniciales ...
=- O
k =0 .. 500
~
= k·h
001
= 12
instant~s considerados
pulsaciones de las fuerzas actuantes
w2 =- 6
Metodo de Euler
:'.
( ,)
k-
Vk - h.".Sin (oo¡.!)
k - h.20.sin(oo:.!)
k - h·2·y·ooO·vk - 000'·'k.h )
(
x. - h· vk
-1;
1
Ecuacion horaria ...
o
I
I
.2.9854
-
nfV~vAlrtlNvVt~NvV\flv~
•. 2.3471~'=-JL_ _ _.l...._ _ _ _-L_ _ _ _--'_ _ _ _ _.l...._ _ _ _::J
Diagrama de las
fases
=400 .. 500
,7.ClO46
,·2.3471Z,
\:
..2.9S54~
v.
I
•. 1O.471IlbL_-=:::::±_"""=--"I
.-1.1493L
, .1.03547.
Diagrama de las fases. se puede observar el
ciclo que corresponde al régimen permanente .
,
251
MECÁN ICA
Capíwlo 6
Oscilacitmes lineales con amortiguamiento viscoso y fuerza impulsora armónica
W () '" 3
pubacion de lJscilación (s in amortiguamiento)
i' = - 3
factor de amoniguamiento
xo = 0.1
v =O
o
h=.Ol
k ='0 .. 1000
condiciones iniciales ...
\ = k· h
insta ntes cons iderados
r = 10
rdación de frecuencias (razón entre la frecue ncia de la excitación y la
frecuencia natural)
Metodo de Euler
Ecuacion horaria ...
.O.2~5..l.5; 1.lí---T----,----,----,-----
Diagrama de las
fases
= 800 .. 1000
•-1.0907 ~==:"'-'--':"='-"
,..,
.-O.099-l.:!I:! \
,-O.6t>O..l.1, ~-::::-:-~~_~~~
.-0.0230.19
' )O-?
-
, ,0.0228686
x.
,0.225.\53
Diagrama de las fases, se puede observar el
del o que corresponde al régimen permanente.
Oscilaciones
MECÁl'flCA
Oscilaciones lineales con amortiguam ie nto viscoso y fuerza impulsora armonica
w O :; 3
pulsacion de oscilacion sin amortiguamiento
y ;; .15
factor de amortiguamiento
vo.= o
h :: .03
condiciones iniciales
k :: 0 . . 800
instantes considerados
r :; 2
relncion de frecuencias ( razon entre la frecue ncia de la excitación
y la frecuencia natural)
o
Melodo de Euler
(V k + h· 2o'sin( h' k-ro 3) - h' 2'y' W O· Vk - (1) O2.~. h )
"" - h-vk
Ecuacion horaria ...
,
. 1.65H'i
1\
f\ /\
---fJ-fv- V V
o
,
fI f\
f\
v
V v
f\
V
1\
fI
V
V
.-1.5351'--'''-'_ _....L_ _~
, _ - ' ' - _ - - ' -_ _- '' -_
_
L-..J
.0.
Diagrama de las
fases, se puede
observa r el ciclo que
corresponde al
.5.1
regimen permanente
,-1.53514
.l.6516~
253
i"I
Capíwlo 6
MECÁNICA
Oscilaciones lineales con amortiguamiento viscoso y fuerza impulsora armonica
w O ;: ~
pulsacion de oscilacion sin amortiguam iento
y .= .1
factor de amortiguamiento
v ;: o
o
h :: . 03
condiciones iniciales
k :: 0 .. 500
instantes considerados
r :: 1
relacion de frecuenc ias ( Tazoo entre la frecuencia de la excitación
y la frecuencia natura l)
Metado de Euler
Ecuacion horaria ...
,.lS.412,':-_-''-_--L_ _-L_ _'-_-.l--''-_-L-'!...._.L.lLJ
,O,
Diagrama de las
fases, se puede
observar el ciclo que
corresponde al
regimen permanente
,·54.
7141:r:.._...Lj¡~~~~:::.....:J
.-18.412:J
254
.18.069~
•
MECÁNICA
La representación tridimensional de la {X)slclon, la velocidad y el tiempo para el
oscilador forzado del problema anter.ior ( con amortiguamiento viscoso y fuerza impulsora
armónica que se encuentra prácticamente en resonancia) es:
50
o
-50
40
30
20
20
o
10
-10
o -20
t iempo
velocidad
A tiempos grandes puede observarse el régimen permanente.
Problema 6.8
Un sistema masa-resorte t:stli. exc itado por una fuerza impulsora armónica:
F(t)=160 c054t (N)
Los parámetros del sistema son k = 32 kg I 1, m = 2 kg Y las condiciones iniciales
son x = OY Va = O. Obtener la ecuación x = x ( 1 ) Y representar gráficamente.
Resolució,,:
Evidentemente estamos en presencia de un sistema forzado sin amortiguamiento. La
pulsación natural es:
ÚJ o -
fE
- -
32kg15' 4-'
- s
2kg
m
L1 pulsación de entrada es: w = 4 S·I. Como la pulsación lIawral es igual a la
pulsaciólI de elltrada estamos en presencia de un caso de resol/ancia (teórica). La ecuación
diferencial es de la forma:
..
1
x+wox-
Fu cosw t
m
255
¡;
MECÁNICA
Capftulo 6
x+16x-80cos4t
La solución de la homogénea corresponde al caso del oscilador armónico simple:
x+ 16x."O
Por lo tanto:
X H (, )-ASen( 4t+cp)
Como la combinación lineal de sen 4t y cos 4/ es solución de la homogénea entonces
se ensaya como solución particular la [ 6.35 ] multiplicada por t:
x, (t) .t(Acosw t +Bsenwt)
x, (t) =t( Acos4t+Bsen4t)
La derivada primera y la derivada segunda son:
Xp ( t )-( Acos4t+Bsen4t )tt(-4AseIl4tt4Bcos4t)
Ji, (t )- ( -8Asen4t +8Bcos4t )+t(-16Acos4t-16Bsen4t)
Reemplazando en Xt 16x",,80 cos4t se pueden obtener los coeficientes A y B:
A=OyB=lO
Finalmente:
X p ( t )-lOtseIl4t
y la solución general es:
Con las condicio nes iniciales determinamos A y <p , que resultan ser:
A=Oycp=O
y entonces la solución general toma la forma:
256
MECÁNICA
Oscilaciones
La representación gráfica ( Fig.6-20 )
muestra que la posición resulta no acotada.
X
x-lOt
6.3.4 El osci lad or forzado. La energía.
L1 energía cinética es:
t
I.,
T - - mx
2
donde x puede obtenerse de [6.36]:
F ig.6-20
de tal manera que:
1
" x¿ se,,", ( W l - cp )
T --I1IW'
2
Si se desea obtener una expresión de la energía cinética que sea independiente del
tiempo se puede calcular el valor medio en un período:
,- ,
(T)-!. J!.mw' x; sen' (w I -rp )d I
t
,
2
1 l' 1
¡
(T)-
IIIwX
2T
(T)~
' Jsen' ( Wl-rp ) dI
mw 2 x~ _T _ mm 2 x¿
2"t
2
4
Reemplazando x, por [6.38):
[6.42]
El valor de la pulsación w correspondiente a (T) máximo se escribe WE Y se calcula
a panir de:
d(T)
dw
-o
Derivando se obtiene:
Wo = úlE
257
Capillllo 6
MECÁNICA
La resol/ancia el! energía cinética tiene lugar cuando la pulsación de elllrada es
¡¡{ual a la pulsación l/oUtra!. Como la energía potencial es proporcional al cuadrado de la
amplitud, la resonancla en energía pOlencial tielle que prodllc:irse para /1110 pulsación
wc-~w;'-21 . ] (coincidente con la pulsaciÓn de resonancia en amplitud). El hecho de que
las rc:sonancias en energía cinética y en energía potencial se produzcan para puls<lciones
dislint.:ls es una consecuencia de que el oscilador forzado amortiguado 110 es un sistema
conservativo. Esto se debe a que existe un intercambio continuo de energía entre el sistema
t!xcitador y el oscilador amortiguado y una transferencia de energía al medio amortiguador.
En muchos problemas lo que se necesita conocer, es justamente, la energía necesa ria
para mantener el movimiento del oscilador.
La energía disipada por la fuerza amortiguadora ell cada ciclo de la solución de
régimell permanente debe ser, por supuesto, igIlal a la energía sumillislrada por la fuerza
exciwdora.
En un intervalo de tiempo dI, la energía disipada por la fuerza amortiguadora es:
d IV - P'''d t - F id t - BXid /- Bi' d /
L<I potencia media disipada en un período, es ta dada por:
1 t +T
( P) -:;:
JBú)'x¿sen 2 (w t-'I')d/
,
Reemplazando.ro pur [6.38]:
[6.43]
El valor máximo (co mo func ión de w) de esta potencia media disipada es:
(P)_ F,'
41,111
que se prt::senta a t<l pu lsación:
25X
[6.44]
F
MECÁNICA
Oscilaciones
Por lo tanto 000 es la pulsación de resonancia de la potencia media absorbida. Si se
desea lograr la máxima potencia consumida del sistema, desde la entrada, entonces, se debe
.sil/Ionizar el sistema de manera que se cumpla ()) = úJo .
La energía de un sistema que realiZ<1 oscilaciones forzadas sin amort iguamient o
tampoco se cOI/serva ya que el sistema adquiere energía a expensas del sistema excitador.
6.3.5 El osc ilador forzado. Transmisibilidad. Aislación de las vibraciones.
¡;
Consideremos el siguiente esquema del
oscilador forzado (Fig.6-21). Si sobre el cuerpo
actúan las fuerzas - k x y - ~ i. sobre la estructura
fija actúan, según lo establece el principio de acción
y reacción, las fuerzas k x y ~ .t( fuerzas
transmitidas ):
F, - k x- k Xo cos( WI-ep ) y F, -~t'JXosell( WI-q> )
Fig.6-Z1
Estas fuerzas se encuentran desfasadas en el
tiempo en n / 201 , Y por lo tanto, se puede demostrar, qUe la rnaxima fuerza transmitida
tiene por módulo a:
Se define el faclor de trallsmisibilidad T como la relación el/tre el máximo I'alor de
la fuerza transmitida y la fuerza Fo = k Xj1 :
T
4
Si tenemos en cue nta [6.41] resulta:
[6A6]
En la figura 6-22 pueden apreciarse las
curvas
representativas
del
factor
de
transmisibilidad como función de la rclaci<in
UJ I OJo, para diferentes valores del facto r de
y=o
3
1
'1=00
y =1
1..¡z 1
Fig.6-22
259
Capfm{o 6
MECÁNICA
amortiguamiento. Si
'!!!"'-.J2 el jactor de transmisibilidad T es igual a 1 ( V Y ). Para
OJo
valores de
.::!.....>J2' T awnenta con el factor de amortiguamiento, por lo que, los
OJo
amortiguadores aumentarán la fuerza transmitida ( por tal motivo en un automóvil para
aislar las vibraciones forzadas del motor, ¿.,te se monta directamente en el chásis sobre tacos
de goma, disminuyendo la fuerza tral1~mitida -). Para va!ores ~.de.:!!....<.f2 T aumenta a
OJ o
medida que disminuye el factor de amortiguamienLO.
En la técnica tiene particular importancia el problema de la aislación de las
oscilaciones debidas al desbalanceo de masas en rotación, en máquinas y molares. Como
primer medida se debe disminuir la amplitud de la oscilación. Sin embargo esto no es en
general suficiente ya que puede traer como consecuencia un aumento de la fuerza
transmitida. Una buena aislación implica una pequeña amplitud y wla pequefla fuerza
transmitida y esto se consigue aumentando la relación <O I <Oc pero.x>n un valor pequeño
del factor de amortiguamiento.
Problema 6.9
Un motor eléctrico de masa total M:; 80 kg tiene un rotor que gira a razón de 1400 rpm.
Si ei rotor tiene una excemricidad, determinar la constante equivalente del sistema de
resortes de apoyo, para que el módulo de la máxima fuerza transmitida a la base producido
por ese desbalanceo, sea 1 / 10 de la que correspondería al montaje rígido ( s¡n colocar
resortes ).
Resolución:
Del enunciado surge que no hay amortiguamiento, por lo tanto y = O Y entonces:
T - I'
Según [6.41]:
260
I
I
po
Oscilaciones
MECÁNICA
Finalmc:nte:
1
1
--,-----;;
1-(:J
JO
=
JO-
1-(:J
Para consegui r que la máxima fuerza transmitida sea un décimo de la que
correspondería al montaje rígido se tiene que cumplir que: w >
JO-
WIJ
,por consiguiente:
1-(~)o ' -(~)o ' -1
W
[6.47]
W
La pulsación de entrada es:
ú)-
1400'2'n
60
66.'
-14 J s
L'l pulsación natural es:
Reemplazando en [6.47]:
146,6 2 S-2
11-
k
=
k- 21491,56s·'·80kg_ 1,563x10·,kg
lJ
51
80kg
6.4. RESUMEN.
Como resumen de todos los conten idos de este capítulo desarrollamos un mapa
conceptual.
261
Capítulo 6
MECÁNICA
~•
.•
11
.•••
11
-oj
~
f
262
" .~
·r~
d "
"
_v
"'.J:: •• l'
T
~
MECÁNlCA
Oscilaciol/es
6.5. PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema 6.10
Teniendo presente que:
A cosxtB seIlX_~A2 +B 1 cos( x±b)
B
Ig6 -<'A
.
A
tgb - ± B
hubiéramos podido escribir, la solución general de la ecuación diferencial del movimiento
osc il atorio armónico, de cuatro formas distintas. ¿ En qué se diferencian estas soluciones?
Nosotros utilizamos como solución:
A
Igb - -
B
¿ en qué afecta, a nuestra discusión sobre el movimiento oscilatorio armónico, el uti lizar
cua lquiera de las tres restantes?
Problema 6.11
Establecer la conexión entre la aceleración en el movimiento oscilatorio armónico y
el movimiento circular uniforme.
~1 proyección del movimiento circular uniforme, también se hubiera ¡x¡dido realizar
sobre el eje perpendicular al elegido. ¿ En qué difiere éste movimiento del analizado?
•
Problema 6.12
I
Una partícula de 2 kg se mueve a lo largo de l eje x atraída hacia el origen O por una
fuerza cuya magnitud es 8 x ( N ) ( k se mide en kg / i ). Si inicialmente se encuentra en
reposo en x:;: 20 cm, determinar:
a) la posición de la partícula en cualquier instante.
b) el período.
Rla:
a) x ( t) = 20 cos 2 l (cm J.
b)T=ns.
Problema 6.13
Hacer el problema 6.12 si la partícula está inicialmente en x = 20 cm, pero en
movimiento hacia las x positivas con una velocidad de 30 cm / s.
Rra:
a) x (1) = 15 CQS ( 2 l • rr) (cm) COI! cp = are CQS 3/5.
b) T = 11 S.
I
263
I
I1
Capfmlo 6
MECÁN ICA
P,-oblema 6.14
Obtener el período de las oscilaciones libres sin amorti guamiento de un cuerpo de
masa 111 unido a un par de resortes de constantes kl y k:! si los resortes se disponen:
a) en para le lo; b) en serie.
paralelo
Fig.6-23
sene
---==-.. ;
.;_:~
.
';'
Fig.6-24
Analizar en ambas situaciones el caso k, =k:! ..
RfQ:
Rf"
a)T-21t~
" , T- 2iT. -2k
k, +k ,
biT -2"
m(k,+k,)
k¡k .
T-
2n~ 2:'
Pro blema 6.15
En el interior de un tubo circular (a nillo circular) hay agua ocupa ndo la mitad del
volumen. El radio medio del anil lo es R y el diámetro de su sección eS d (se considera
d«R). C1lcula r la pulsación de la oscilación de l agua para pequeños desplazamientos.
Rla:
úJ-~ 2g
"R
-,
MECÁ~~CA
Oscilaciones
Pro blema 6.16
Un sistema masa-resorte realiza sus oscilaciones en un plano vertical. Para esta
configuración analizar:
a) la ecuación del movimiento y b) la energía.
Problema 6.17
Se lienen dos resorles idénticos de los que se suspenden dos masas diferentes J1f; y
11l;! • Ambas masas se desplazan distancias iguales respecto de la posición de equilibrio
estático y se las suelta, oscilando libremente, sin amortiguamiento. Comparar las cantidades
(cantidad sistema mecánico 2 / cant idad sistema mecánico 1 ):
a) períodos de oscilación; b) velocidades al pasar por la posición de equilibrio; c) energías
mecánicas; d) aceleraciones en los puntos de elongación máxima ; e) frecuenci as de
oscilación y f) sus energías cinéticas máximas.
Problema 6.18
Cualquier resorte real tiene masa. Si se toma en cuenta la misma, explicar como
cambiará la expresión del periodo de oscilación de un sistema masa-resorte, que realiza la
oscilación en un plano vertical.
Problema 6.19
Una masa de 200 g se coloca en el extremo inferior de un resorte vertical y lo
extiende 20 cm. Cuando está en equilibrio, la masa se empuja y sub~ una distancia de
8 cm antes de que empiece a bajar de nuevo. Encontrar:
a) la velocidad impartida a la masa cuando se la empuja.
b ) el período del movimiento.
Rw:
a) 56 cm/ s.
b) (2 ~17) s.
Problema 6.20
Una partícula de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento en
forma de cicloide y colocada en un plano veitical. cuyas ecuaciones paramétricas son:
x
=a ( <¡> . sel! <¡»
y = a ( 1 . cos <¡> )
Demostrar que la partícul2 realiza oscilaciones con Feríodo equivalente al de un
péndulo simple de longitud 4 Q.
265
Cap/tillo 6
MECÁNICA
Problema 6.21
Una labia se encuentra apoyada sobre dos
rodillos. La tabla, cuyo centro de masa se
encuentra ubicado inicialmente en un punto
equ idistante en tre los centros de los rodi llos, es
apartada de esa pos ición y se la suelta. Hallar la
ecuación diferencial de movimiento.
i- r; JI
l
Rta:
_
1
fl g
x+--x-O
1
Fig.6-25
Problema 6.22
Calcular los valores medios temporales en un ciclo, de las energía cinética y
potencial, para un oscilador armónico simple y demostrar que son iguales.
Problema 6.23
Dos puntos materiales de igual masa y tres resortes idénticos se disponen como
muestra la figura.
FIg.6-2ó
Considerando que XI y x~ son las elongaciones de cada punto material respecto de su
posición de equilibrio, demostrar que:
mx) -k(xl -2x¡J
mx2 -k( x¡-2x 2 )
Problema 6.24
266
•
Oscilaciones
MECÁNICA
Problema 6.25
Demostrar que el seudo-periodo "t es:
"el tiempo entre dos pasajes consecutivos por la ¡:x>sición de equilibrio en el mismo sentido",
"el tiempo entre dos máximos desplazamientos sucesivos al mismo lado del punlo de
eq uilibrio",
"el tiempo entre dos instantes de retomo consecutivos, con el mismo signo de la coordenada
de posición",
Prob lema 6.26
Para el movimiento libre sobreamortiguado demost~ar que:
"si las condiciones iniciales SOn tales que el y C! tienen el mismo signo, el cuerpo no pasa
por x = 0",
"si el cuerpo parte de x :;; O, no puede pasar por x = O nuevamente",
Para el movimiento libre críticamente amortiguado demostrar que:
"hay un extremo en algún instante t > Osi y sólo si Xo y \.lo tienen el mismo signo".
t
Problema 6.27
Un cuerpo de masa m se encuentra suspendido de un resorte acoplado con un
sistema amortiguador. Hallar: a) la x :; x ( t ) del movimiento del cuerpo si se estira
inicialmente el resorte 20 cm y se suelta desde el reposo. b) la v :: V (1 ). c) el seudoperlodo.
Los parámetros del sistema son: k :: 8 kgJ! cm, ~ :; 0,5 kg ! s y In :; 50 kg.
Rla:
a) x( l ) - e- O•OO5 , ( 20 cos 12,5 t +0,008 sen J 2,5 t )( cm ).
b) v( 1 ) _ _ 250e- o.OOJ , sen12,5t( cm! s).
e) 0,5 s.
-
~Jo-
Fa>!! c:e.n<:r
'Problema 6.28
Un cuerpo oscila a ra zón de 10 oscilaciones por segundo. Calcular:
a) A, si al cabo de 10 s la amplitud de oscilación se reduce a 0,9 de la amplitud inicial.
b) el decremento logarítmico.
Rta:
a) 0,0105 s" .
b) 0,00105.
PI-oblema 6.29
Una partícula de 5 g se mueve a lo largo del eje x bajo la influencia de dos fuerzas:
una de atracción hacia el origen O igual a - 40 x l ( diflas) y la ot ra amortiguadora,
proporcional a la veloc idad instantánea, tal que, cuando la velocidad es de 10 cm / s la
267
Capítulo 6
MECÁNICA
fut!rza es de 200 dinas. Si suponemos que la pa rtícula parle del reposo a una distancia de 20
(:111 del origen:
a) hallar x; x (¡ j.
b) hal1ar el seudo-período.
e) hallar el decrecimiento logarítmico.
d) representar gráficamente.
Rla:
a) x( t ) - 28,28 e-" cos( 2 ¡ -1t 14)( cm).
b) 1t s.
e) 2n.
Pl"oblema 6.30
Suponga que sobre la partícula del problema 6.12 hay también una fuerza
amortiguadora cuyo módulo es ocho veces la velocidad instantánea ( la fuerza está
expresada en N ). Determinar x = x ( t ) Y hacer la representación gráfica en función del
tiempo.
Rta:
x( ¡ )- 20 e-" (1+ 2 ¡ )( cm )
• Problema 6.31
Después de ,'ualro oscilaciones realizadas por un cuerpo de 5 kgf la amplitud es
1 / 12 de la inicial. Determinar el período de la oscila~ión si la constante elástica del resorte
es de 2 kgf I cm y se supone que el amortiguamiento es de tipo viscoso .
. Rla:
0,319 s.
Problema 6.32
Un cuerpo de 100 gJ de peso, suspendido de un resorte, se mueve en un medio
resistente. La constante elástica del resorte es 20 gJ / cm, y la fuerza resistente es de tipo
viscoso, siendo el coeficiente ~ = 3,5 gJ s / cm.
Obtener x == x ( t ) Y representarla gráficamente en función del tiempo si las
condiciones iniciales son: Xo =- 1 cm y Vo = 50 cm I s en sentido contrario al del
apartamiento inicial.
Rla:
Problema 6.33
Un sistema masa-resorte está excitado por unD fuerza impulsora armomca:
y m = 2 kg; las
F ( l ) = 160 cos 6 l (N J. Los parámetros del sistema son k = 32 kg / I
268
•
Oscilaciones
MECÁNlCA
condiciones iniciales son Xo = Yo = O. Obtener x = x ( 1 ) Y representar gráficamente.
(fenómeno de batido)
REo:
x ( t ) = 8 sen t sen 5 t (m) .
• Problema 6.34
Los elásticos de un vehículo tienen una defonnación b bajo la acción del peso de
éste. Calcular cuá l será la ve locidad del vehículo a la que se producirá resonancia con los
golpes de las juntas del camino sabiendo que la distancia eOlre ellas es d. ( suponer
despreciable el amortiguamiento)
Rla:
v_~ /g
2" V¡;
Prob lema 6.35
Una carga de 200 grf suspendida de un resorte de constante k = 1 kgf I cm está
sometida a la acción de un fuerza F ( t ) = 2 sen 70 t (kgJ). En el instante inicial
x = 2 cm y Y = 10 cm I s. El origen de coordenadas se ha elegido en la ¡x>sición de equilibrio
estático. Hallar x = x ( t J.
Rta:
x (t)
= 2 cos 70 t + 1,14 sen 70 t· 70 t cos 701 (cm)
Problema 6.36
Hallar la posición x = x ( 1 J de un sistema osci lante amortiguado, excitado por una
fuerza F ( 1) = 16 sen 3 t (N). Los parámetros del sistema son: 111 = 10 kg, k = 250 N I ni
Y ~ = 5 kg I S. L1S condiciones iniciales son Xo = Vo = O.
Rla:
x( / )-0,1 sen( 3/-0,093 )- 0,06 e-w , sen (5/-0,155 )( m )
Problema 6.37
Un cuerpo que en el instante inicial cumple con Xo = O Y Vo = O, cuyo peso es de
392 gf, sujeto a un resorte de constante elástiCt1 k = 4 kgJ I cm, está sometido a la acción de
una fuerza F( 1) = 4 se" 50 t (kgJJ Y a una fuerza viscosa -~ ii--25( gJ sl cm)P'. En el
insL,1nte inicial considerar que Xo =OY Vo =O.
a) Obtener x = x ( t). b) Hacer el gráfico de ~l para el y que corresponde a este
problema. c) Obtener el valor de w para el cual la amplitud de las oscilaciones forzadas es
máxima. d ) Calcular el tiempo de eSI,!blecimiento. ( el tiempo de establecimiento es aquel
269
Capíllllo 6
MECÁNICA
que transcurre hasta que pueda cons iderarse estab lecido e l reglmen permanente.
Suponiendo que el régimen libre es oscilatorio amortiguado puede darse como criterio, que
dicho tiempo es aquel para el cual la amplitud del régimen libre sea 1 1100 de la amplitud
del régimen permanente)
Rla:
a) x( t )_ 0,647 e"J>,'" sell ( 951+0741< )+ 1,23 sell ( 50 t -0,1261< ) ,
e) 89,8 s',
d) tUI - 0,12
r
Problema 6,38
Un cuerpo sujeto a un resorte de constante elástica k = 20 N I cm, está sometido a la
acción de una fuerza viscosa tal que A =1 s'} ya la fuerza F ( t J = 100 sen 10 t (N J.
Si la pulsación natural es 10 s'} y las condiciones iniciales son Xo = Vo = O, hallar la
posición x = x (1 ).
Rla:
X(l )-25e-' cos9,91-25cosJOt
Problema 6.39
Un punto material de peso 3 gf está suspendido de un resorte de constante elástica
k = 12 gl / cm. El punto está sometido a la aCClon de la fuerza
F ( ( ) = Fa sen (62,6 t + cp) (gf J y de una fuerza resistente cuyo módulo es f3 \l.
¿ En cuántas veces decrecerá la amplitud de las oscilaciones forzadas del punto. si la
resistencia crece 3 veces?
Rla:
la ampliflld de las oscilaciones forzadas decrece a la tercera parte.
Problema 6.40
Un oscilador forzado sin amortiguamiento unidimensional con excitación armónica
tiene como ecuación diferencial a:
mi+k x-5cosw t +2cos 300 1
Encontrar los valores de tr) para que haya resonancia.
Rla:
W
270
= 000
con o:,~-k/m.
-------------------------------------- ,
O~cilncio"es
MECÁNICA
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
Problema 6.41
Una de las siguientes <lfirmaciones, respecto de l oscilador lineal libre en una
dimensión, es falsa:
a) si no hay amortiguamiento, las trayectorias en el espacio de las fases son cerradas.
h) si hay amoniguamienlo, [a energía perdida por unidad de tiempo es proporcional al
cuadrado del módulo de la velocidad instantanea.
e) si hay amortiguam iento, el decremento logarítmico es independiente de las condiciones
iniciales,
d) para iguales condiciones iniciales, el oscilador con amortiguamiento crítico se acerca a la
posición de equi librio con mayor rapidez que en el caso sobreamortiguado.
e) si el movimiento es sobream orliguadú nunca el cuerpo pasará por la posición de
equilibrio.
Rta: e.
Prob lema 6.42
Conside re un osc ilador forzado ( con amortiguamiento viscoso ) con fuerza
excitadora annónica. Entonces es \udadero que:
a) la amplitud de la oscilación en régimen permanente depende de las condiciones iniciales
para la posición y la ve locidad.
b) la diferencia de fase en régimen permanente yen resonancia, entre la velocidad y la fuerza
excitadora, es 1t /2.
e) hay una pulsación de la fuerza excitadora, tal que, en régimen permanente se cumple. que
la fuerza excitado ra y la velocidad están en fase.
d) el aumento del coeficiente de amortiguamiento a umenta e l tiem po de establecimiento del
régimen permanente.
e) ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
Rta: c.
Problema 6.43
Un punto material de J kg realiza osci lac iones amortiguadas oajo la acción de una
fuerza eltíst ica de constan te k = 1 kgJ 1111. La fuerza de amortiguam ¡eoto viscuso es de 20 gf
cuando \. = J J1/ / s. Si se toma g = JO m I i ,entonces:
i1) el dccrc:mc:nto logarítmico es 0,1.
o) el seudo·pe ríodo es J s.
271
Caplw!o 6
MEcÁNICA
l:) si actúa a su vez una fuerza excitadora senoidal de intensidad máxima 0,5 gJ, la frecuencia
de la fuerza externa que maximiza la amplitud del régimen permanente es de 0, 314 s·/ .
d) en la condición de resonancia con fuerza excitadora senoidal de intensidad máxima
0,5 gf, la amplitud de las oscilaciones permanentes es 7,9511/11/.
e) ninguna de las anteriores respueslas es correcta.
Rfa: d.
Problema 6.44
Una partícula de masa 0,1 se desplaza sujeta a un resorte en un medio viscoso,
siendo los parámetros f3 = 3,5 Y k = 20 ( todas las magnitudes están medidas en el MKS ).
En el instante inidalla pilrtfcula fue separada J cm de su posición de equilibrio en el sentido
positivo de las x y se le dió una velocidad de 0,5 111 I s en el sentido contrario al de la
separación inicial. Entonces el gráfico de la posición en función del tiempo es:
x
x
1cm
1cm
x
x
1cm + --f----'r---.f---'-
lem
I
I
á)
Fig.6-27
e) Ninguna de las anteriores es correcta.
Rfa: a.
P,"oblema 6.45
Para determinar el coefic iente f3 de amortiguamiento viscoso para la oscilación de un
l:ueq:)(,) de masa m en un medio determinado, se procedió de la siguiente manera:
272
Oscilnciones
MECÁNICA
1 ) se colgó el cuerpo de un resorte de constante elástica k y se lo tizo oscilar en el aire,
midiéndose el período de oscilación To (no se considera rozamientc con el aire).
11 ) el cuerpo de masa m y el mismo resorte se hace osci lar en el ;;!~úio en cuestión y se mide
el seudo-período TJ •
Finalmente el coeficiente B es:
a) f3_
2mn
b) f3 _ 2J111l
T,
r"
,
e) ~-
Irr2
..... 2
-l1mv 1 / --=/1
__
lJ Jo
e) no alcanza la infomación disponible.
Rta: d.
I
273
"
~¡,
1:
Cap(tulo 6
MECÁNICA
APÉNDICE 1 DEL CAPÍTULO 6
OSCILACIONES ELÉCTRICAS FORZADAS
Consideremos un circu ito serie RLC ( Fig.6-28 ) alimentado con una fuente de
lensión alterna E ( t ) = Eo sen w t. De la aplicación de la ley de las mallas de Kirchhoff
resulta:
q L -di - Eosenwt
l'R +-+
[1]
e dt
R
L
. dq
dt
diferencial [1] se puede escribir:
Teniendo en cuenta que:
e
l--
la ecuación
E. sen mt
dq
q
d' q
-R+-+L-- E senwt
2
dt
e
Fig.6-28
dt
(J
[2]
Si dividimos ambos miembros de [2] por L:
.. R
q --se
" flw t
q+-t¡+L
Le
L
[3]
Si comparamos esta ecuaclon diferencial, con la del oscilador forzado con
amortiguamiento viscoso y excitación armónica:
.. ~. k
",F,,,,c::o::.s",::..:.t
x+-x+-x- -
m
m
m
surgen las siguientes analogías:
x~q
L-In
i-q-i
R ~~
'(t)~F(t)
1
e~-
k
Cuando se trabaja co n circu itos eléctricos, pocas veces se mide la carga de un
condensador, sino que la magnitud que generalmente interesa es la intensidad de corriente
274
r
Oscilaciones
MECÁNICA
eléctrica. Por lo tanto, es conveniente describir el comportamiento del circuito mediante otra
ecuación diferencial , la que se puede obtener derivando [1] respecto del tiempo:
di
dq 1
d' i
-R+--+L-- -C.i.lE cosoot
d,
d' C
d,'
,
Ordenando y dividiendo por L resulta:
d 1 ¡ R di
1
WE o COSWl
-d-,' + L -d' + -L-C 1- -'--'-"-"L--
la solución de esta ecuación diferencial es la función i
[4)
i ( , ). La solución de
régimen permanente es:
[5)
donde
1
wL--
wC
g 'i' _ --"'''-'R
1
[6)
La [6] establece que en general la intensidad de corriente eléctrica y la fem aplicada
no están en fase, y <JI mide la diferencia de fase.
L1 expresión:
es la denominada impedancia eléctrica del circuito.
L'l amplitud de la solución de régimen permanente alcanzará su máximo valor
cuando la impedancia sea mínima, es decir:
1
wL - - <oC
Por lú tanto, la condición de resonancia en intensidad es:
1
OJ - - -
fLC
275
Caplw!o 6
MECÁNICA
APÉNDICE 2 DEL CAPÍTULO 6
LA SOLUCIÓN DEL OSCILADOR FORZADO CON
AMORTIGUAMIENTO UTILIZANDO EL MÉTODO DE U\
EXPONENCIAL COMPLEJA
1. INTRODUCCIÓN.
En este apéndice desarrollaremos una alternativa de solución de la ecuación
diferencial del oscilador forzado por el método conocido como el de la exponencial
compleja. Frente al desarrollo expuesto en 6.3.2. tiene la ventaja de una presentación
matemática más elegante.
2. EL MÉTODO DE LA EXPONENCL<\L COMPLEJA.
Una fonna alternativa para hallar la solución particular respecto de la que se
presenta en 6.3.1, es la de considerar una ecuación diferencial equivalente donde la posición
es una función compleja de variable real 1, tal que la parle real de dicha ecuación coincida
con la [6.33J:
")"I:!-
,-
X +_f'...\ +w;;x =
f ~e ¡""
[1 J
Para hallar la solución particular (que sólo dependerá de los parámetros del sistema y
no de las condiciones iniciales), se propone como solución a una func ión de forma similar a
la excitación o perturbación (método de Euler):
[2J
donde x(J es llamada la amplitud compleja.
Reemplazando [2J en [1 J:
[3J
La expresión [3] puede ser esc r~t3. como s~gue:
y por lo tanto la [2] se puede escribir:
[4J
276
Oscilaciones
MECÁNICA
donde Xo es un número real ( el módulo de 'io )y q¡ es el argumento del denominador. La
solución particular buscada es:
x, ~
lo
~(",; -",')' + 4)"'",'
[5]
€p = are tg
2NiJ
1
1
W o -00
Obsérvese que si J.. = O Ysimu ltáneamente es ú.\J = w resulta que la amplitud de las
oscilaciones tiellde a infinito. En el caso real esto se traduce como que la amplitud de las
osci laciones crece fuera de control. Tal situación se reconoce como estado de resonancia
del oscilador lonado.
El argumento ql resulta:
a) O:s q:¡ < n / 2 si
(1) 0 > W
por ser ¡x>sitiva la parle real y positiva o nula la parte
imaginaria de l denominador.
b)
ql = 1t 12
si OJo - w por ser nula la parte real y positiva la parte imaginaria. El valor Xii
tenderá a infinito y <p será indeterminado en la medida en que A tienda a cero.
e) 3t 12 < qJ s:n.
imaginaria
si W>oo o por ser negativa la parte real y positiva o nula la parte
Derivando la {2] se obtiene la velocidad compleja:
[6]
que indica que para t :; O la velocidad compleja se encuentra en cuadratura respecto de la
posición compleja (xo depende de los parámetros que definen al sistema y no de las
condiciones iniciales)
. _
V o - 100 X o -
f.
(
oo~ _00
1)
1
-1
+ 2i"J..Ul_
iw
-
Yo -
~
(W ~ -(I/):: +2Am
-
[7]
~
C+i(moo- ~)
donde se ha reemplazado 2 ).., m = c. Al denominador de ést2 últim.a. suele definírselo como
la impedancia mecánica:
277
MECÁNlCA
Capítulo 6
[8J
cuyo módulo vale:
[9J
Por otra parte de [7] resulta
[lOJ
que se hace máxima para:
k
mm - - osea si
w
caso que para c tendiendo a cero hemos defi nido como el de resonancia
278
..
ClNEMATICA DEL RIGIDO
7.1. INTRODUCCION
281
7.2. CONDlCION GEOMETRlCA DE RIGIDEZ
281
7.3 CONDlCION CINEMATICA DE RIGIDEZ
283
7.4 UNA CLASIFlCACION DE LOS MOVIMIENTOS DE UN CUERPO
DE UN CUERPO RIGIDO
284
7.4.1 Movimiento de traslación '
7.4.2 Movimiento de rotación
284
285
7.4.3 Movim iento rototraslatorio
286
7.5 INVARIANTES DEL CAMPO DE VELOCIDADES
Y EL TEOREMA DE CHASLES
287
7.6 MOVIMIENTO PLANO
289
7.7 MOVIMIENTO CON UN PUNTO FIJO
291
7.8. CAMPO DE ACELERACIONES
291
7.9. RESUMEN
294
7.10. PROBLEMAS PROPUESTOS
295
APENDICE 1:. ANGULaS DE EULER
305
279
...
Cinemática del Rlgido
MECÁNICA
CAPITULO 7
CINEMATICA DEL RlGIDO
7.1 INTRODUCCION
C
omo fue presentado en el Capítulo 4, un sistema rígido es un sis tema de puntos
materiales tal que las distancias entre pares de puntos pennanecen invariables
durante el movimiento del sistema, independientemente de las fuerzas que sobre él
actúen. Aunque se trata de una sistema ideal (ya que en general los sistemas actuados por
fuerzas experimentan deformaciones, que incluso pueden ser permanentes) existen
problemas de aplicación en los cuales t-s válido suponer que un sistema es rígido. En este
capítulo se desarrolla la descripción del movimiento de un sistema rígido; no se distinguirá
entre distribución discreta o continua de masa.
7.2 CONDICION GEOMETRICA DE RIGIDEZ
Si P y Q son dos puntos genéricos de un rígido entonces la condición de
invariabilidad de la distancia entre ambos se expresa de la siguiente manera:
d",
-Ip - QI-I'. -ra!
\
[7.1]
281
Cap/wlo 7
\1t.CANICA
llande dl'Q es constante para ese par de puntos (fig.7. ] ). Esta condición es lo
suficientemente restrictiva como para determinar que con a lo sumo 6 funciones del tiempo
que sean independiemes enlre sí alcance para poder fijar en todo instante la posición de
cualquier punto del sistema o sólido rígido (a ese número de funciones independientes del
tiempo necesarias para dar la configuración de un sistema se lo denom ina IlIÍmero de grados
de libertad del sistema, este concepto se desa rrollará con más deta ll e en el Capítulo 9).
Para poder conocer la posición de un punto
de un só lido rígido no es necesario dar su posición
respecto de todos los puntos de él; basta con conocer
z
¡as distancias del punto a otros tres puntos no
colineales (que por consiguiente determinan un
plano). De esa manera el número de grados de
libertad no será superior a nueve (tres coordenadas
o!!"-_ _ _
por cada punlo de los no il.lineados) pero a su vez se
y
tienen tres restricc iones como la [7.1] por cada
pareja de puntos lo que impl ica que el número
x
máximo de grados de libe n ad de un sólido rígido es
6 (parece un número increíblemente pequeño
Fig.7-1
pensando que en un sistema rígido pod ría haber un
conjunto no numerable de puntos si la distribución de
masa es continua). Una fonna intuitiva de apreciar esta afirmación es la siguiente: si Sé
tienen tres puntos no alineados (fig.7-2) entonces con ¡res coordenadas se tija la pOsición
de un punto, por la condición de rigidez uno de ellos
se puede mover, respecto del primero, en una esfera
con lo que se introducen dos grados de libertad más.
Finalmente el te rcero sólo podrá moverse en una
z
trayectoria ci rcular en torno al eje deierm inado por
los dos primeros. Para este últ imo pun to se tiene U/ I
grado de libertad , lo que total iza 6 grados de
_ __
libertad. Esto es así dado que, para cualquier otro
punto del sistema rígido bastará con conocer Su
y
distancia (que debe ser independiente de l tiempo por
la condición de rigidez) al plano determi nado por los
x
tres puntos de referencia considerados. Este número
de grados de libertad es el máximo posib le; la
Fig.7-2
existencia de restricc iones (dos puntos fijos, un
punto fijo, movimiento plano, etc) reduce dicho número.
o~
Una forma de elegir esas funciones del tiempo (ciertas coordenadas) consiste en
considerar un sistema coordenado cartesiano sol ida rio al cue rpo í:gido. Para ese sistema
coordenado las coordenadas de cualq uier punto del rígido son constantes. Para poder ubicar
a ese sistema coordenado es necesa rio localiz,1.f su origen, para lo cuál son necesarias, como
máximo, [res coordenadas de posición, y lres más pa ra determina r la o rientación de los
ejes coordenados con relación a direcciones de derto sistema de refe rencia fijo O absoluto.
Una forma de elegir esas coordenadas para fijar la orientación de los ejes del sistt:ma de
282
rvfEcÁNrc A
Cinemática del Rlgido
referencia solidario al rígido, es por medio de los denominados dllgulos de Euler (ver
Apéndice 1 de este capítulo).
7.3 CONDICION C INEMATICA DE RIGIDEZ
La condición geométrica de rigidez [7.1] resulta en l.!ra condición que cumple!, las
. velocidades de dos puntos cualesquiera de un rígido : la velocidad relativa de un pu nl0
respecto de airo no puede tener componente en la reL.d determinada po r ambos. En efecto,
derivando [7.11 respecto del tiempo se tiene
[7.2J
Esta expresJOn indica que la proyección del vector velocidad del punto P en la
dirección de la recta detenninada po r P y Q es igual a la la proyección del vector velocidad
del puniD Q en esa misma dirección (la fig. 7-3
muestra esta situación para un movimiento
plano). La ve locidad relativa de un punto
respecto de otro es perpendicular a la recta
determinada por ambos. Por consiguiente el
movimiento relativo entre dos puntos es una
rotación instantánea. Para el punto P se cumple
entonces que
p
fi
"
[7.3J
donde
vP1Q , la velocidad relativa de P respecto
de Q, es la que corresponde a un movimiento de
rotación en tomo de un eje pasante por Q.
Fig.7-3
Problema 7.1
Una varilla de 0.5 m de longitlJd resbala de
manera que un extremo se mueve por una pared
vert ica l y el otro extremo por el piso horizontal.
En el instante co nsiderado se conoce que el
extremo superior A se encuentra a 0.3 m del piso y
se mueve con una· velocidad de 0.4 mis. Delermi!l3.r
la ve locidad de l extremo B en ese instante
Resolución:
Fig.7-4
Cuando el punto A se encuentra a 0.3 m
del piso el punto B se encuentra a 0.4 m de la pared vertice.1. Usando [7.2] resulta
283
CllpfO¡{o 7
MECANICA
VA sella - v8 cosa
o
VA 0.3 - va 0.4
entonces Va = 0.3 mIs.
También puede obtenerse, a partir de la condición de rigidez, una condición que
satisfacen las aceleraciones de dos puntos de un rígido. Derivando [7.2] respecto del tiempo
se tiene:
[7.4]
Esta última puede se r interpretada de la siguiente manera: la proyección de la
ace leración relativa entre dos puntos de un rígido en la recta determinada por ambos es la
que corresponde a la aceleración normal de un movimiento circular instantáneo. En ef~c:o
el término en el cuadrado de la velocidad relativa sobre la distancia entre I c~ pu~I05 es el
que corres¡xmde a dicha aceleración normal.
7.4 UNA CLASIFlCACION DE LOS MOV IMIENTOS DE UN CUERPO R1GIDO
7.4.1 Movimiento de traslación
Un cuerpo rigido se traslada cuando una recta determinada por dos puntos de aquél
se mantiene paralela a sí misma durante el movimiento.
U!.S trayectorias de puntos cualesquiera resultan
curvas congruentes (se pueden superponer).
Según el tipo de trayectorias que describen los
'pu ntos del rígido se tratará de una traslación
rectilínea, circu lar, curvilínea, etc.
Necesariamente se tiene que el vector velocidad
de lodos los puntos del rígido es el mismo en
cada instante. Entonces el vector velocidad de un
punto cualquiera es la magnitud que caracteriza a
una traslación. Lo mismo ocurre con el vector
aceleración (la figura 7·5 lo muestra pan! una
traslación rectilínea y la figura 7· 6 para una
traslación curvilínea cualquiera)
A
Hay algunos casos donde a pesar de que todos los puntos del rígido !ie::,: igual
vector ve locidad no se cumple lo mismo con la aceleración. La figura 7.7 rr::.Jest~ e!:'! !:2~0
para el movimiento de una biela (de un mecanismo biela-manivelr.j. En el ins;;!::!~ :;-¡Q!:::2do
el movimiento de la biela se dice que es una traslación illstalllállea.
284
l
MECÁ!'~lCA
Cinem6rica del Rígido
Fig.7-6
Fig.7-7
7.4.2 Movim ient o de rotación
Un cuerpo rígido tiene un movimiento de
rotacié::t pura cuando dos puntos del cuerpo
permanecen fijos durante el movimiento. Po r la
condición de rigidez es muy fácil mostrar que
lodos los puntos alineados con los dos punlOS
ñjos también permanecen fijos, todos tienen
ve locidad nula. Ese conjunto de puntos determina
el eje de rotación (fig.7-8).
Los puntos que no pertenecen al eje de
ralaclon describen trayectorias en planos
perpendiculares al eje. de rotación, qu~ po r la
condici6n de rigidez, son circunferencias cuyos
centros son la intersección del plano con el eje de
rotacióÍ!.
o
y
x
Fig.7-8
Si P es un punto que no pertenece al eje de
rOlación entonces su velocidad instantánea tiene
dirección perpendicular a l plaGo determinado por
P, 01 Y O2 Ysu módulo es
r
s
o,
r
a
v-wr-s-~r
[7.5J
p
donde w _ cp es ia denominada velocidad angular.
Como, nuevamente po r la condición de rigidez. el
ángu lo bar-ido en 1m intervalo de tiem¡x> debe sei
el mismo para tedo punto resulla que ( pasando al
Emite para tratar con magnitudes instantáneas) la
Fig.7-9
velocidad angular es la misma para todos los
puntos en cada instante. Entonces esta magnitud caracteriza ~ a una ro tación pura.
o
285
Capíllllo 7
--
Cnmo para determinar una rotación Se debe ~pecificar el eje de rotación, la
\'clocidad an"utar
o .v el sentido de giro.
_
entonces la rotación se caracteriza con él ve¡,;!or
wtación Q. Este vector tiene por dirección la del eje de rotación, su componente en esa
dirc:cci6n es la velocidad angular y el sentido se corresponde con la habitual convención de
la regla del tirabuzón.
De acuerdo con esta d~finición y [7.5] resulta que la velocidad del punto P se puede
expresar de la siguiente manera:
¡;,-Qx(P-OJ-Qxi'
[7.6]
La expresión [7.6] es la que corresponde al campo de velocidades de un rígido que
se mueve en rotación pura. Si por ejemplo el eje de rotaci6n tiene dirección fija resulta que
la velocidad de todos sus puntos es perpendicular al plano determinado por el vector
wtación y el vector posición del punto. Así, el campo de VelocidadeS resulta un campo
bidimensional (1 plano, en un plano perpendicular al eje de rotación . Como ya se dijera, en
cada instante el vector rotación es el mismo para todos los puntos del rígido. esto es
consecuencia directa de la condición de rigidez. El vector rotación es sólo función del
titmpo. Si para un sisttma de puntos con distribución continua de masa (se denomina
sistt::ma c:onLinuo, por ejemplo, un fluido) no se cumple la condición de rigidez, entonces el
movimiento de rotación se caracteriza por un camPJ (el camp0 de vorticidad) que es
función de la posición (es decir, variable en general con el punto considerado) y del tiempo.
7A.3 Movimien to t·ototnlslatorio
El movimiento mas general de un cuerpo rígido es el rotoiraslatorio. Esto puede Ser
visto desde varios puntos de vista:
a) una terna sl)lidaria al rígido (con cuya identificación se obtiene la posición de un punto
cualquiera del rígido) queda caracterizada cl)nociendo su traslación (con la velocidad de
traslación del origen de la terna) y el vector rotación, con el que se caracteriza la rapidez de
cambio de las proyecciones de los versares de la terna móvil en la terna fija o absoluta.
b) Una vez caracterizado el movimiento de rotación, bastará con suponer que lodos los
puntos del eje (cuyo movimiento relativo debe ser necesariamente con velocidad nula) se
trasladan (todos tienen igual velocidad) para que el movimiento resultante resulle
rototraslatorio.
El campo de velocidades de un cuerpo rígido en movimiento rototraslalOrio se
expresa entonces:
[7.7]
donde O es denominado pUl/fa de reducción , su velocidad es la de tmslación y el eje de
rotación se supone que pasa por O. Para esta descripción la elección de O es arbitraria y.
por consiguiente, el punto por el que pasa el eje de rotación. En cada instante el vectllr
rotaci¡)n determina la dirección del eje instantáneo (ya que puede en general cambiar
inst¡lIlte a instante) de rotación.
I
I.
I
Cinemática del Rigido
MECÁNICA
figura 7.10 muestra la descripición del
movimiento de un cilindro sobre un plano
horizontal donde en un caso se elige como G,entro
de reducción el centro de masa (del ci lindro
considerado homogéneo) mientras que en aIro se
utiliza el punto instantáneo de co ntacto. En este
caso el movimiento es de rotac ión pura si el
Q
movimiento es de rodad ura sin deslizamiento (se
comentará con mas detalle). En ambos casos los
Fig.7-10
ejes de rotación son paralelos y la velocidad
angular es la misma.
Es interesante observar que en cada instante exis ten puntos que tienen velocidad mínima. En
el ejemplo mostrado son los puntos que se encuentran en el eje que pasa por el punto de
contacto inst.1ntáneo entre el cilindro y el plano y perpendicu lar al plano de movimiento.
La
7.5 INVARIANTES DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y EL TEOREMA DE
CHASLES
El vector rOlaClon de un cuerpo rígido en mOVimiento rototraslatorio tiene la
propiedad de ser, en cada instante, el mismo para todos los puntos, independientemente
del centro de reducción que se considere para realizar la descripción. En efecto, sean Q y
R dos centros de reducción distintos y supongamos que Q y Q' son los vectores de
rotación para cada centro de r~ducción . Probemos que son iguales.
De acue rdo con [7.7] la ve locidad del punto P se puede expresar de dos maneras
distintas:
¡;,_VQ+Qx(P_Q)_¡;,+Q'x( P_R)
[7.8]
La velocidad de R se puede expresar en func ión de la velocidad de Q y Q usando
[7.7], de manera que
l' reemplazando [7.9] en [7.8] resulta:
(Q-Q' )x( P-R)- Ó
[7.10]
= Q' como quería demostrarse.
Se dice que el vector rotación es el invariollle vectorial del movimiento rototraslatorio.
t.k Llonde Q
El campo de vek)(:idCldes de un rígido presenta también un illvarionte escalor. La
proyección del vector velocidad de un punto cualquiera de un rígido en la dirección del
vector rotación es independiente del centro de reducción cons iderado. A partir de [7.8] con
Q = Q' y multiplicando escalarmente por
se tiene
º
287
,
1.
1
r
Capítulo 7
MECANICA
vp-Q = VQ.Q + Q x( P- Q).Q - V•. Q +Q x (P-R).Q
Y corno los productos mixtos son nulos
[7.11]
donde f es el invariante escalar del campo de velocidades. Si el campo de ve locidades es
plano, entonces el invariante escalar es nulo. El vector rotación es perpendicular al plano de
movimiento. El invariante escalar es el mismo en cada instante para todos los puntos del
rígido, pero puede cambiar con el tiem¡:Xl.
A partir de estos dos invariantes es posible dar una descripción sencilla del
movimiento rototraslatorio de un rígido. Se puede elegir un eje de rotación tal que todos
sus puntos se trasladen en la dirección del eje. Esos puntos tendrán velocidad mínima Y.
tomado uno de ellos como centro de reducción, esa velocidad será la velocidad de
traslación del rígido. Todo el sistema se traslada con esa velocidad y además rota en torno
al eje de rotación, cuya direcci6n está dada por el vector rotación
Para caracterizar a
dicho eje instantáneo de rotación es necesario determinar un punto de él. Sea E un punto de
esto es :
este eje, su velocidad tiene la dirección de
º,
~-U.Q
º,
r.l~
y usando [7.7], previamente multiplicada vectorialmente por Q,
[7.13]
eligiendo el punto E de manera tal (E· O) sea ortogonal con Q se tiene
[7.14]
expresión con la que puede obtenerse un punto del denominado eje central. Este eje pasa
por este punto y tiene la dirección del vector rotación.
No es dificil demostrar que U = 1 / w 2•
Resumiendo: el movimiento más general de un cuerpo rígido puede describirse en
cada instante como una rotación en torno de un eje y una traslación en la dirección del eje.
Este es el enunciado del teorema de Chasles. '
El movimiento así descripto se lo denomina movimiento lrelicoidaJ illstallláneo o
tangente en obvia alusión al movimiento helicoidal, pero en este caso en cada instante
puede cambiar la dirección del eje de rotación así como la velocidad de traslaci6n en la
dirección del eje.
Las sucesivas posiciones del eje central en el espacio determinan dos superficies
regladas (generadas por movimiento del eje central !): una superficie reglada fija mientras
que en el cuerpo queda determinada una superficie m6vil. En estos términos el movimiento
se puede caracterizar geométricamente como el rodar sin resba lar de la superficie reglada
móvil sobre la superficie reglada fija. En cada instante, la generatriz común a las dos
superficies es el eje central. Esta descripción es particulannente útil para analizar el
movimiento de engranajes.
288
Cinemática del Rígido
ME.cANICA
7.6 MOVIMIENTO PLANO
Cuando el VeCtOr rotación tiene direcc ión co nstanie y el invariante escalar es nulo
las velocidades de todos los puntos del rígido son paralelas a un plano. En este caso el
movimiento se denomina plano; basta con analizar el movimiento de una figu ra plana. Lo
que ocurre en planos paralelos al analizado es cinemáticamente equivalen le.
Esta condición se cumple obviame nte para
el movimiento de rotación en torno a un eje fijo.
La figura 7.11 muestra el movimento de rotación
de una barra en torno de un eje fijo que pasa por
un extremo; las velocidades de los puntos de la
barra según [7.5] son proporcionales a la distancia
al eje. El extremo de la barra (por donde p,Jsa el eje
de rotación) tiene velocidad nula.
Si el movimiento eS plano pero el eje no es
fijo existe un punto que en cada instante tiene
velocidad nula. En efecto, la traza del eje central en
el plano de movimiento determina un punlo que en
Fig.7-11
cada instante titne velocidad nula. En cada instante
el cuerpo rígido rota en torno de ese punto. Ese punto se denomina cel1lro ins!antóneo de
rotación (CIR): no nt:cesariamente coincide con un punto del cuerpo.
Desde un puntO dt: vista ge 0m¿tri~o se puede describir el movimiento como el rodar
sin resbalar de una curva móvil , denominada miera, sobre una curva fija, denominada base.
Estas curvas son trazas de las superficies regladas móvil)' fija en el plano de movimiento.
Problema 7.2 :
Una varilla de longitud 1 resbala de manera que un extremo se mueve por una pared
vertical y el otro extremo por el piso horizontal. Determinar para un instante cua lquiera la
pos ición del centro instantáneo de rqtación y !a trayectoria de ¿s te desde un sis tema de
referencia fijo y otro móvil solidario a la varilla.
Resolución:
El centro instantáneo de rotación Se puede determinar fácilmer te conociendo las
direcciones de las velocidadeS de dos puntos (siem pre y cuando no sean paralelas). Como la
varilla rota instantánea menté en lomo al CIR entonces la posición de éste es la intersecc ión
de las perpendiculares a las direccioneS de las vehx:idades de los dos puntos.
289
ClIp/mio '
MECANI CA
Si Se t.:onnce ~I v/11m de la velocidad de un
punto '1 su disl;mcin al C1R St: puede determinar In
vell'lcidad nngular de la varilla en un instante, Una
vez conocida ésta Se puede determinar la de
cualquier otro punto. En c::sle ClISQ el CIR siempre
se encuentra a una distancia I del origen del
sistema fijo. Entonces la curva base es una
ci rcunferencia de radio l. Para determinar la curva
ruleta basta observar que la distancia entre el CIR
y el centro geométrico G de la varilla es //2.
Resulta, entonces, que la curva ruleta es una
circunferencia de ce ntro G y radio 1/2. El punto e
es el punto de conlactl) instantáneo entre ambas, el
movimiento puede describirse como el rodar sin
Fig.7-12
•
resbalar de la circunferenciél móvil sobre la circunferencia fija.
Problema 7.3 :
Un cilindro de 0.1 m de radio rueda sin resbalar sobre una superficie horizontal
siendo la velocidad de su centro e de 1 mIs . Determinar su velocidad angular y la velocidad
del punto M en la periferia del cilindro.
Resolución,'
El movimiento es plano, basta con analizar el
movimiento de un círculo. L1 condición de rodadura
sin deslizamiento corresponde a que la velocidad del
punto de contacto O erltre el cilindro y el plano es
nula. De esta manera éste es el centro instantáneo de
rotación. La velocidad angular de rotaci6n resulta
w = 10 s ' ]
e
Si se considera
como centro de reducción
la velocidad de O se obtiene sumando la velocidad
de traslación de e y la de mtaci6n de O respecto de
C; como la velocidad de e es nula entonces ·
v(X: = 1 mIs
Flg.7-13
Para determinar la velocidad de M basta con determ inar ¡;u distlncia a O y cnlclJlar
VM=W
OM
L1 velocidad de M resulta de sumar (vectorialmenle) las velocidades de e y de M
respecto de e, ~1 C que l:orresponde a una rotación en torilO de C. El \!je de rotación se
traslada a 1 mIs. la curva base coincide con la recta que pasa pu r O mientras que la curva
ruleta es la circunfe rencin de radio 0.1 r.1 con centro en C.
Cinemática del Rígido
MECÁNICA
7.7 MOVIMIENTO CON UN PUNTO FIJO
El movimiento más general de un cuerpo rígido con un punto fijo O es una rotación
ca racterizada por un vector rolación que pasa por dicho punto (Teorema de Euler). En tal
tipo de movimiento general, el eje de rotación camb iará su dirección en forma continua en el
tiempo. La ti gura 7.14 muestra un ejemplo de un
cuerpo rígido con un punto fijo. En este caso la
dirección instantánea de rotación (la dirección del
vector rotación) no coincide con el eje de simetría
del cuerpo. Además de rotar en torno de ese eje
(movimiento que se denomina de spill), rota
tambi¿n en torno del eje vertical (movimiento
denominado de precesiólI). Si el ángulo entre el
eje vertical y el eje de simetría del trompo de la
y
figura varía (movimiento de lIuloción) entonces
res ulta una tercera rotación posible. Los ángu los
que se asocian a esas rotaciones son los ángulos
x
Fig.7-14
de Euler (ver apéndice 1 de este capítulo). El
número máximo de grados de libertad para el
movimiento con un punto fijo es 3. O sea, para describir el movimiento será necesario
conocer, como máximo, esos tres ángulos en cada instante, que se supone varían
continuamente. No se considerarán las rotaciones finitas ya que éstas tienen la característica
de no cumplir la propiedad conmutativa de la suma.
El movimiento helicoidal instantáneo se reduce a una rotación pura. Entonces las
superficies regladas mencionadas en 7.5 se reducen a un cono fijo al cuerpo que rueda sin
resbalar sobre un cono fijo en el espacio. Esta representación puede servir para analizar
transmisión entre engranajes cónicos, por ejc:mplo.
En un movimiento plano, la dirección del vector rotación es constante y el vector
aceleración angular tiene la misma dirección que el vector rotación. Si el cuer¡:.xJ se mueve
con un punto fijo, los vectores rotación y aceleración angular no son necesariamente
colineales.
7.8 CAMPO DE ACELERACIONES
Como ya fuera comentndo, la descripción del mOVimIento de un cuerpo rígido
puede realiz..'lrse analizando un sistema de referencia solida ri o a ese cuerpo. Respecto de
este sistema de referencia, los puntos del cuer¡x> rígido no tienen movimiento relativo
(condición de rigidez mediante). Si el sistema de referencia está solidario al cuerpo, el
vector rotación de la terna de referencia es el del rígido, también el vector aceleración
angular.
De esta manera resulta que para un punto cualquiera del rígido la aceleración es:
ilp
-"o R xl P- O i+R xlR xl P-Oii
+
[7.15J
291
Caplmlo 7
MECANICA
donde se ha considerado que la velocidad relativa entre P y O (origen de la terna de
referencia) es nula. Así la aceleración de P es igual a la de O (como una traslación)
mas la aceleración (nonnal y tangencial) de un movimiento de rotación en torno del eje
instantáneo de rotación pasante por O. Esta expresión de la aceleración coincide con la de
la aceleración de arrastre para el movimiento relativo (Capítu lo 5).
El siguiente problema ilustra sobre varios de los conceptos tratados en este capítu lo,
donde analizamos un mecanismo sencillo, cuya aplicación será también comentada en los
problemas propuestos.
Problema 7.4 :
La figura 7.15 mues tra el denominado sistema
d;ferenc~al. Este mecanismo permite conecta r dos
ejes que giran con velocidades angulares diferentes
permitiendo de ese modo transmitir potencia entre
ambos ejes. En la transmisión de un automóvil se
lo denomina diferenCial. Los engranajes A y B
pueden rotar libremente alrededor del eje AB ; éste
a su vez rota en el plano i, k alrededor de su punto
medio. Los engranajes e y D están solidarios a
dos ejes colineales que rotan en el mismo sentido
con velocidades angulares constantes lOl y W2 .
Determinar la velocidad y aceleración angulares
dd engranaje B.
r
R
"',
Fig.7-15
Resolución,'
Sea Ws la velocidad angular del engranaje B en su rotación alrededor del eje AB.
Por la condición roda r sin resbalar (está engranado !) en los punlos de contacto con los
engranajes e y o se cumple (ver figura 7.16):
Va +w s '
-lo¡R
v B -tos' - w 2 R
[7.16J
mR
donde \/B es la velocidad del centro d~1 engranaje
B. Resolviendo el sistema (7.16] resulta:
Ws vB -
Wt- W 2
2r
R
Wl+w'R
2
La velocidad angular de spin tos es proporciona! a
la diferencia entre W¡ y tu 2
292
B
Cinemdtica del Rigido
MECÁNICA
Si 001:::: 002 (girando los engranajes e y D en el mismo sentido como fue propuesto)
resulta ros :::: O • Va =- 001 R; el engranaje B (también el A) rota alrededor del eje j con
velocidad angular 001 y no tiene movimiento de spin.
Si 001 :::: - 002 (los engranajes e y D rotan en sentidos contrarios con igual velocidad
angular) resulta :
w,
v. - O
w s --R
,.
y entonces la barra AB se encuentra fija, el movimiento del engranaje B es plano ya que rota
al rededor de un eje fijo. El movimiento de la barra AS siempre es plano para cualquier
condición.
En general el vector rotació n del engranaje B se puede expresar:
[7.17J
Suponiendo que WI y 002 sean constantes el vector aceleración angular del engranaje B es :
W 2 _00 2
2 Rf .
[7.18J
4r
En efecto, considerando el sis tem a de referencia de la figura 7.15, se cumple que esa terna
rala alrededor del eje j con velocidad angular (001 + 002)/ 2 Y como el módulo del vector
rotación del engranaje 8 es constante, en tonces su vector derivado es :
Q _'
[7.19J
expresión que desarrollada conduce a la [7.18]. El vector aceleración angular es
perpendicular al vector rotación (resultado conocido por ser el vector rotación de módulo
constante). El vector rotación del engranaje B. para un observador fijo, describe un cono en
. bertura es arctg wI - 00,- R como puede compro barse faCI
"1 mente.
· cuya sem la
e l espacIo
001 + 002 r
La aceleración del centro del engranaje 8 es
_
(WI+W2)2R~
aB = -
4
I
su movimiento es circu lar y uniforme alrededor del eje j. Para el punto de contacto entre los
engranajes B y e la aceleración es
-
aBe =
(Ul,+Ul,)' R' (Ul, -Ul,!'R'_
1 j.
4
4,.
293
..
Copímfo 7
MECANlCA
7.9 RESUMEN
I .
Como resum en de este capítulo se presenta e Slgu
iente mapa conceptual:
Cuerpo
Rígido
ánplOl
itEIÚ6
traslizción
pura
294
Cinemática del rEgido
MECANICA
7.10 PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 7.5
La barra vertical AB se traslada con vector
ve locidad cuyas componentes en coordenadas
cartesianas son:
V x = -12 sen4 1,
V y = 12cos 4t,
A
1 0'i-----_
Vz = 9.
Para t = O se conocen XA = XB = 3 ,
YA=YB=O ,
ZB=O
z,,=l.
Determinar:
a) la ley de movimiento de los puntos Ay B
b) la aceleración de la traslación.
c) el centro instantáneo de velocidades.
y
B
x
Fig.7-17
Rla: a) A· 0= (3 oos 4 '. 3sen 41.91 +1)
B - O = (3oos 41. 3 sen 4 1.91)
b) -48 (cos 4 t, sen 4 t, O)
c) impropio, se trata de una traslación
Problema 7.6
a) Probar que si en un sistema de coordenadas de origen O fijo a un cuerpo ríg ido, Vo Y Q
son perpendiculares, en el sistema de origen O' ( también fijo al cuerpo), vo' y Q resultan
también perpendiculares. Mostrar que en este caso las velocidades de todos los puntos del
cuerpo rígido son perpendiculares a Q.
b) Probar que si Vo es paralela a Q, enlonces, nunca puede encontrarse un sistema de
coordenadas en el cual Vo sea nulo ni perpendicular a Q.
Problema 7.7
r(
Un volante gira de acuerdo con la ley a = 9/32
a es el ángulo girado). Determinar la
velocidad y la ace leración del punlo que se encuentra a 0,8 m del eje de rotación, en el
instante en que se igualan las aceleraciones normal y tangenciardel punto.
Rla: l.2m/s .2.5m/s'
Problema 7.8
En un proceso continuo de impresión se introduce papel a la prensa a velocidad constante v.
Determinar la aceleración angula r del rodillo de papel en el instante en que el radio del
rodillo es,. si b es el espesor del papel.
bv 2
Rla:
21t
,3
295
Capítlllo 7
MECANICA
Problema 7.9
Un mecanismo utilizado para transformar un
movimiento de rotación en un movimiento
rectilíneo alternativo es el de corredera - biela cigueñal, como muestra la figura 7.18. Expresar
la velocidad angular lO y la aceleración angular
(l de la biela AB en función del ángulo a,
siendo lOo la velocidad angu lar constante del
cigueñal.
Rta:
Fig.7-18
Problema 7.10
En el sistema de la figura el brazo DA gira en
sent ido horario a 90 rpm en torno del eje O
perpendicular a la barra y que pasa por su centro.
Determinar la velocidad de rotación de la rueda B
(de ntada, aunque no se muestra) si:
a) el anillo D está fijo,
b) el anillo D gira, en sentido antihorario, alrededor
de O con una frecuencia de 80 rpm.
Rta: a) 360 rpm
b) 600 rpm
F ig.7-19
Problema 7.11
En el instante representado en la figura 7.20, el
centro O del cilindro tiene ur.a velocidad de 2
mIs hacia la derecha, y la velocidad disminuye a
razón de 6 m/s 2• Detenninar las aceleraciones
de los puntos A y B en ese instante. La rueda
rueda sin deslizar y su radio es 0.5 m.
Fig.7-20
296
Rta: aA = 6.32 m/s 2
2
as = 14.2 m/5
Cinelluítict¡ del r(gido
MECAl\r¡CA
Problema 7.12
Un cilindro circular recto de radio R = 0,45 m se mueve a lo largo de un plano horizontal.
Su centro se mueve con una velocidad horizontal de 1,8 mis. Determinar el cemro
instantáneo de rotación y las velocidades de los puntos A. B Y D si la velocidad angular del
cilindro es :
b) 0)1 = 4 S·I
c) 0)3 = 5 S·I
a) O)¡ = 3 S·I
lodos en el sentido de las agujas del reloj.
medida que el cilindro se mueve el (,.·entro instantáneo cambia de posición, tamo con
respecto al cilindro como con respecto al espacio. El lugar geométrico de los cen tros instantáneos de
rotación (base) en los tres casos es una recta paralela a Ve y a las distancias rl , T:, Y T) del centro
e del cilindro. Con respecto al cilindro el lugar
geométrico de los centros instantáneos de rótación
(rulela) es en los tres casos, una circunferencia de cenlro
e y de radios rl = 0,6 m, r~ = 0,45 m y r~ =0,36 m
respectivamente.
En una posici6n cualquiera, el centro instantáneo de
rotad6n es el puntO de contacto de la ruleta con la base
para esa posici6n, es decir el movimiento ocurre como si
la ruleta rodara sin resbalar sobre la base.
Los tres casos dependen esencialmente de que:
a) Ve > w R (el cilindro rueda más lentamente que en
b) , :,e desliza a la vez que rueda)
h) v~ =lüR (hay rodamienLO sin deslizamiento);
Fig.7-21
e) V~ < w R (el cilindro rueda más rápidamente que en
b), "patina'").
NOTA:
A
Rta: a) VA = 0.45 mI s
b) VA = O
c) VA= 0.45 mi s
mi s
\Is= 3.15 mI s
\10= 2.25
vs=3.6m/s
Vs= 4.05 mi s
vn= 2.5 mIs
vo= 2.89 mis
Pmblema 7.13
Un rodamiento de bo!illas sostiene el extremo de un eje que
gira con ~elocidad angular w. El diámetro del eje es d y el de l
aro exte rior del rodamienlO es D.
Encontrar la velocidad lineal del movimiento del centro de una
de li1s bolillas si el aro exterior
a) eSl.i fijo,
b) gira con velocidad angular Q ..
Considerar que en ambos casos las balillas rued,!n sin deslizar
sobre las superficies del eje y del aro.
Rra: a)wd / 4
b) 0.25 (l" d + Q D)
Fig.7-22
297
Capfwlo 7
M ECAf\:ICA
Pmhlema 7.1-1
En el instant!! indic.'\do t:n la tigura 7.23, la barra
AB gira en torno de un !!je que pasa por el pun to
A con una vdocidad angular de 3 5. 1 , en el
sentido horario. Determinar:
¡¡) la v!!locidad angular de la barra BO,
b) la v!!locidad de la pieza des lizante D,
c) la velocidad del punto medio M de la barra BO.
Rla;a )5s'
b) lOOcm/s
-_.
-<~ ,
~
.... :.
20 cm
e) 62.5cmls
25 cm
15 cm
F ig.7-23
P¡'oblema 7.15
El cilindro que muestra la figura 7.24 rueda sin
resbalar entre las dos placas A y B que se trasladan en
la misma dirección pero en sentidos opuestos.
Si las velocidades de traslación son: VA = 2 mis y
Va = 4 m/s y el mdio del cilindro es de 0.1 m
determinar la locfl!ización del centro instantáneo de
rotación y la velocidad del punto D en el instante que
se muestra.
Fig.7-l4
Rta: A 6.66 cm de la placa A, vD = 3.16 m /s
Pro blem a 7.16
:-9
Si ~n el instante indicado la ve locidad del punto O de
la corredera es vd = 350 mm/s, determinar:
a) la velocidad angular de la barra BO,
b) la velocidad del punto A del disco,
e) la velocidad angular del disco (supc.nga que rueda
sin resbalar sobre la superficie vertical).
Rta: a) (Oso = 0,9 S·l
e) w = 1,8 S,I
60mm
..,
Fig.7-25
29¿.:
b) VA = 1.t4 rnm/s
.Cinemálica del rEgido
MECANlCA
Prob lema 7.17
En el esquema de la figura 7-26 se representa un
dispositivo en el cual la pieza central gira en to rno
de un eje que pasa por su 'centro geométrico con
velocidad angular lOs. El aro exterior está fijo y en
todos los puntos de contacto hay engranes (no se
representan). Determinar en función de Ws las
ve locidades angulares w de los engranajes mas
exteriores y la velocidad angular WA
del
engranaje A que rota alrededor del mismo eje que
la pieza central (pero no solidario a ella ). Obtener
también la velocidad del centro geométrico de los
tres engranajes exteriores cuyos ejes son
sol idarios a la pieza central.
Rta: w = 2 Ws
WA = 4 Ws
"o = a Ws
3a
Fig.7-26
Problema 7.18
Tres engranajes A. B Ye están unidos por ejes en
sus centros a una barra ABC como se muestra en
la figura 7·27.
El engranaje A no rota y rA = 3 rB = 3 re .
Determinar las velocidades angulares ce los
engranajes B y C cuando la barra ABe rota en
sentido horario con velocidad angular <.o.
Rta : <.Os = 4 <.O
<.Oc
= 2 00
Fig.7-27
Problema 7.19
Un reductor de velocidad (fig. 7-28 ) que sirve
para transmitir la rotación del eje 1 8.1 eje n, el
que rota con menor velocidad angular que el
·primero. consta de cuatro ruedas dentadas con el
siguiente número de dientes:
11
z, =10, z, =60, z, =12 Y z. =70.
Determinar la relación de trasmisión (el cociente
entre las velocidades angulares de los ejes 1 y 4 ).
Rta: 35
Fig.7-28
299
Capímlo 7
MECANlCA
Problema 7.20
Deternlinar el intervalo de tiempo necesario
para que el engranaje cónico 01 de eje
horizontal y de radio rl = 10 cm tenga la
velocidad angu lar correspondiente a una
frecuencia
de 4320 rpm si se pone en
movimiento de rotación a part ir del estado de
reposo por un engranaje cónico de eje vertical
cuyo radio es 1'2 = 15 cm y que comienza a
rotar desde el reposo con una aceleración
,
angular constante de 4 1r rad! s-.
"
Fig.7-29
Rll1 : 24 s.
Problema 7.21
Determinar la velocidad angular del engranaje
cónico II si el engranaje cónico 1 rota con
velocidad angular WI = 10 5.1.
Son datos: o. 30° ; ~ 60°.
=
=
Rta: W2 = 5,17 S·I
Flg.7-30
Problema 7.22
Dos ejes AC y CF. que se encuentran en el plano
vertical x,y están conectados por una unión
universal en C. El eje CF rota con una velocidad
angu lar WI como se indica.
Detemlinar la velocidad angular del eje AC en el
instante en que el brazo de la cruceta unida al eje
F
x
CF:
a) está horizontal
Rla: a) W2
Fig.7-31
300
=W¡ / 2
b) está vertical.
b)wJ= 2w l
Cinemática del rEgido
t-.1ECANICA
Nola: El ul'Oplam it nLO cardánico, también llamado junta o unión universal , consiste en un
mecanbmo que perrnile transmitir rotaciones entre dos ejes inclinados. Cada uno de los ejes termina
en una horquilla que sustenta una cruz o cruceta. fonnada por dos brazos unidos, perpendiculares
entre si y de igual longitud. La cruceta es un sólido rígido que rota con un punto fijo.
Pl'Oblema 7. 23
En la figu ra 7·32 está · representado en forma
esq uemática el diferencial de un automóvil. Este
dispositivo permite que las ruedas motrices puedan
girar con ve locidades angulares diferentes cuando se
ingresa en un trayecto curvilíneo. El motor hace
girar la rueda B con la que está rígidamente unido el
eje alrededor del cual pueden girar libremente un
par de engranajes cónicos E que rotan con
velocidad angula r (.r) • Este par de engranajes está
unido por medio de dientes con otro par de
engranajes cón icos por los cuales éste gira. El eje de
las ruedas motrices del automóvil está cortado por
el medio y en los e;..1remos del eje están colocados los
engranajes e)' D,
Fig.7-32
Estas mitades de l eje pueden girar con diferentes
velocidades angula res, siempre unidos por el
diferencia l.
Hallar la relación ~n t re las velocidades angulares Q ,
(1), w), Y
w. del diferencial, si los radios de los
engranajes E so n iguales a r y los radios de los
engranajes e y D son iguales a 1'1,
Rla: w r:s: Q /'1
,(WI - 002 ) r¡
= 2 (1) r
Fig.7-33
NOTA : CombimlOdo las dos relaciones obtenidas se tiene O s 001 · oo~ s 2 Q Y así para una
\'elocidad de terminada Q del engranaje B, accionado por el motor ,las velocidajes angulares de las
ruedas motrices del automóvil se diferenciarán la una de la otra en un val or que varía desde O hasta
(de aq uí el nombre de diferencial a este dispositivo).
::!:
º
P¡'oblema 7.2-4
Durante el mov imiento de un automóvil en una curva las ruedas exteriores giran más rápido
que las ruedas int eri ores. P¡lra evitar la rotura del eje motor trasero, se utiliza una trasmisión
llamada dife rencial cuya construcción es la siguiente: El eje trasero sobre el cual están
301.
-Cap/mio 7
MECI\NICA
montadas dos ruedas, está fabricado de dos partes separadas 1 y 11, en cuyos extremos van
encajadas fijamente dos ruedas dentadas iguales A y B. En estas partes del árbol gira en
cojinetes la caja
con la rueda cónica D unida rígidamente con ésta. La caja se pone en
rotación por el árbol principal (longitudinal) que recibe el mov imiento del motor por
intennedio del piñón E.
e
e
La rotación de la caja se
trasmite a las ruedas
dentadas A y 8 con ay uda
de los piñones cónicos F
(satélites)
que
giran
libremente alrededor de
los ejes fijados en la caja,
perpendiculannenle al eje
trasero I-II del automóvil.
(ver figura 7-34)
Fig.7-34
Hallar ras velocidades angulares de las ruedas fraseras, la velocidad angular de rotación de
la caja e y la velocidad angular w de los engranajes satélites respecto de la caja.
Son datos: p SO m (radio medio de la curva); R 0,25 m. (radio de las ruedas);
Vo = 90 km/h (velocidad del automóvil); 1 = 1,2 m (trocha) y Ro = 2 r (relación de radios
entre los engranajes A, B YF).
=
=
R/a: rol = lOJ.2 S·I
002
= 98.8 S·1
00
= 2.4 5. 1
PROBLEMAS DE SELECCION MULTIPLE
Problema 7.25
Para un cuerpo rígido en movimiento plano es verdadero que:
a) hay s iempre un centro instantáneo de rotación a distancia finita del cuerpo.
b) el número de grados de libertad puede superar 3.
302
Cinemdtica del rigido
MECANlCA
c) las componentes de la velocidad de dos puntos distintos P y Q a lo largo de la recta
determinada por P y Q no son siempre iguales.
d) las componentes de la acele ración de dos puntos distintos P y Q a lo lanzo de la recta
determinada por P y Q no son siempre iguales.
e) el eje central está en el plano de movimiento.
Rta: d.
Problema 7.26
El aro exterior de un rodamiento a boJillns está fijo a un soporte.Las bolillas no deslizan
respecto del aro exterior del rodamie nto ni del cilindro cenlral . Si el diámetro del aro
exterior es D = 0.1 m I el diámetro de las bo lilas es d = 0.01 m y la velocidad de las
bolillns respecto del aro exterior es " B;;; 1O mis entonces la ve locidad angular OJ del
cil indro central (e l eje en que está colocado el rodamiento) es en s -1 :
a) 2000
b) 1000
el 400
d) 100
e) ninguna de las anteriores
Rta: c.
Problema 7.27
Para un cuerpo rígido en movimiento plano de traslación pura es verdadero que:
a) las trayectorias de todos los puntos son rectilíneas.
b) los vectores velocidad y aceleración de todo punto son perpendiculares.
c) la velocidad re lat iva de un puntO respeclo de otro es nula.
d) la fue rza exter ior es necesariamente nula.
e) ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera.
Rta: c.
Problema 7.28
Una rueda homogénea de 50 cm de radio rueda y resbala sobre una superficie horizonta l. Si
la velocidad de su centro es 12 mis y su velocidad angular es 15 1/s entonces:
a) la curva base es una recta tangente a la rueda en el punto de contacto con el piso.
b) la curva base es una recta horizontal a 24 cm del centro de la rueda.
c) la curva ruleta es una circunferencia de 60 cm de radio .
d) la curva ruleta es una c ircunferencia de 80 cm de radio.
e) ninguna de las ameriores es correcla.
Rta: d
303
MECANlCA
Capfw/o 7
Problema 7.29
Un reductor de velocidad sirve para transrnlllr la rotación del eje J al eje 11 (fig. 7·28) Y
consta de cuatro ruedas dentadas con el siguiente número de dientes: z, • Z2, 2) Y Z4.
La relación de trasmisión (el cociente entre las velocidades angulares de los ejes 1 y iI
respectivamente) es r. Si Z2 = 2 z) y ~= 4 ZI • en:c::~:s.~ es ig.;ai 2a) 2
b) 0.5
e) 8
d) 16
e) ninguna de las anteriores es correcta.
Rta: c.
304
Cinemdtica del Rfgldo
r-.1ECÁNICA
APENDICE 1 DEL CAPITULO 7
ANGULOSDEEULER
Como se explicó en 7.2 se requie ren tres funciones del tiempo para detenninar la
o rientación de los ejes coordenados de un sistema de referencia solidario a un cuerpo rígido
con relac ión a las direcciones de cierto sistema de referencia fijo o absoluto. Una fonna de
elegir esas coordenadas para fijar la orientación de los ejes del sistema de referencia
solidario al rígido, es por medio de los denominados dl/gulos de Ellle/'. La figura 7.35
muestra la forma en que se miden esos tres
ángulos. Los ejes x, y,1 corres ponden al sistema
de referencia fijo; los ejes x' , y' ,z' corresponden
a las tres direcciones del sistema coordenado
ortogonal solidario al rígido.
Se puede transformar un sistema en otro
medianle rotaciones sucesivas medidas por los
ángulos de Euler $ , a ,y tp. La línea DA del
gráfico se denomina lÍnea de I/odos y es una de las
y
zoZ
___- t-_ y
~+--iY
Fig.7-36
Fig.7-35
direcciones en torno de las cuáles se realiza una de
las rotaciones mencionadas.
Las figuras 7.36 , 7.37 Y 7.38 muestran las tres
rotaciones que se realizan para transformar un
sis tema en el otro. La figura 7.36 indica la
rotación en el ángulo $ que transforma el sistema
( x >y ,z) en el sistema ( X , Y, Z) con el eje Z en
común ( ese el eje de la rotación ). El movimiento
de rotación asociado a la variación de este ángulo
se lo denom ina de precesión.
la figura 7.37 indica la rotación en el ángulo 8 en
lomo a la línea de nodos transfor!"'Jando el sistema
(X ,Y, Z) en el sistema (X' ,l", Z' ) con el eje X ·
en común (esa es la dirección de la línea nodal). La
variación de este ángu lo con el tiempo caracteriza
al movimiento de I/litacióll (el cabeceo de un
trompo).
Fig.7-37
305
MECA1\11CA
Capíwfo7
La figura 7.38 muestra la rotación en el ángulo
11' en torno al eje Z' transformando el sistema
(X' ,Y', Z') en el sistema (x' ,y',z'). En los
sistemas giroscópicos se acostumbra elegir el
eje z' como el eje de revolución en torno del
cuál se produce la rotación de mayor
velocidad, ese movimiento de rotación se
denomina propio o de spin .
La caracte ri zación matemática de la
transformación lineal que vincula las
componentes de un vector en cada una de las
bases de los sistemas de coordenadas de
origen común (x, y,z) y (x' ,y' ,z') se realiza
obteniendo la matriz de cambio de base.
A partir de
Fig,7-38
Xl + Y J+z k = X 1 +Y J +2 R
resulta
x ;:; x cos tP + y sen tP
y;:; - x sen tP + y cos $
z;:;z
que se puede expresar en forma matricial
11] donde
Considerando ahora
xl + y J + 2 R = X' l'+Y' J> +2 ir
resulta
X'=X
Y' ;:; Y cos e + Z sene
Z' ;:;- y sen
e + z cos e
que se puede expresar en forma matricial
O)
sene
(
o -sene cose
1
O
Aa = O cas e
306
t-.1ECAA'lCA
Cinemática del Rigido
Finalmente a partir de X' T'+Y' f'+Z K=x P+y )'ti [1
resulta
x':; X'cas '1' + y' semI)
y' = - X' sen 'l' + Y' cos 't'
z':; z'
-'):)
(
r
que se puede expresar en forma matricial
~ '"(~:I
l J [3]
A
Z'
donde
[4]
También pueden expresarse las componentes de un vector en la base (x, y, z) en términos
de las componentes en la base (x', y', z') . Como la matriz A es ortogonal (por ser
producID de matrices ortogonales) enlOnces su inversa es igual a su traspuesta )' por
consiguiente:
[5]
L1 matriz A es el producto de las Ires matrices ortogonales (cada una caracteriza una
rotación en uno de los ángulos de Euler) ,esto es
COSlp
A= -semI'
(
O
semI'
~(
1
O
O )( cos$ sell$
cos,!, O O cose selle - seu$ cos~
O
O
O la-selle cose
~1
[6]
)' desarrollando el producto:
307
Capítlllo 7
MECANICA
(
selle)
COS1p c054> - semI' cos8 sell<p
COS,!' semi> + semp cose cos$
sem,j'
-sell~_1 coscp - COS'/! cos8 seJl(p
- semI' sellep + cos,,, cose C05$
C05'1' sene
sene sel1q,
-selle cos$
cos8
A partir de las matrices presentadas puede obtenerse la expresión del vector rotación de un
cuerpo rígido en función de los ángulos de Euler y sus derivadas, para la terna solidaria al
cuerpo ( x', y', z') . Este resultado es de sumo in terés para el análisis dinámico del
movimiento del rígido.
El vector rotación del rígido se puede expresar de la siguiente manera:
donde to 1 , ro 2 y ro 3 son las componentes del vector rotación en la terna (x', y', z') y
las derivadas de los ángulos de Euler miden la velocidad angula r de las rotaciones en torno
de los tres ejes indicados ( que no son ortogonales ). Usando las matrices de las rotaciones
anteriormente definidas se puede escribir lo siguiente:
[7]
Desarrollando los productos indicados en [7] resulta :
8 C0511' + $ sell'4J selle
W2 "" - 8 sell'4J + $ cOSljJ selle
Wl ""
[8]
W3-~J+'¡'cos8
Este último es el resultado buscado. Se deja como inquietud para el leclor la tarea de
obtener las componentes del vector rotación en la terna (x, y, z) en función de los ángulos
de Euler y sus derivadas.
308
DINAMICA DEL CUERPO RIGIDO
8.1.INTRODUCCION
311
8.2 MAGNITUDES D1NAMICAS
8.2.1. Algunos comentarios preliminares
312
312
8.2.2. Cantidad de movimiento de un cuerpo rígido
312
8.?.3. Momento cinético de un cuerpo rígido
8.2.4. Energía cinética de un cuerpo rígido
314
320
8.3. CARACTERlSTlCAS DE LA MATRlZ DE INERCIA DE UN
SISTEMA RlGIDO
8.3.1. Diagonalizaci6n de la matriz de inercia
324
326
8.3.2. Teorema de Steiner .
8.3.3. Elipsoide de inercia
329
8.4. ECUACIONES DE EULER
333
8.5. MOVIMIENTO PLANO DEL CUERPO RlGIDO
339
8.6. TEORIA APROXIMADA DEL GIROSCOPO
342
8.6.1. Precesión estaciona ria
342
331
8.7. RESUMEN
8.8. PROBLElVI..AS PROPUESTOS
346
309
!
Dinám;ca del Cuerpo Rigido
...
f..1ECÁN1CA
CAPÍTULO 8
DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO
8.1 INTRODUCCIÓN
n cue rpo rígido es, por definición, un sistema extendido de partículas tal que las
distancias entre ellas permanecen fijas. En rigor, tal clase de sistemas no existen en la
naturaleza pero, para muchas situaciones físicas es posible admitir la condic ión
mencionada a modo de establecer un modelo simple. Tal es el caso de sistemas como
la Tierra, en la cual es conocido que su comportamiento se apana de la definición de sistema
rígido ya que movimientos geodinámicos internos, terremotos, movimientos de la corteza
terrestre son evidencias de que no es un cuerpo rígido. De todos modos, ciertos fenómenos
como la precesión pueden ser estudiados mediante un modelo de planeta Tierra rígido.
U
En este capítulo se presentará el fonna lismo correspondiente al estudio dinámico de
los sistemas rígidos. Como el estado dinámico de un cuerpo rígido queda caracterizado por
ciertas magnitudes, se obtendrán las fonnas que presenta la cantidad de movimiento, el
momento cinético y la energía cinética cuando se trata de un sistema de partículas rígido.
Esto permi te establecer relaciones de causa y efecto para la descripción del
movimiento de un sólido rígidu, las cuales permiten, conocidas las causas que alteren el
movimiento de l sistema, pode r establecer el estado dinámico de éste. Dichas relaciones son
las ecuaciones diferenciales de movimiento de un cuerpo rígido, las que según el tipo de
problema ti tratar, pueden adoptar alguna forma conveniente. Para el caso de que el sistema
311
•
MECÁNICA
Capítulo 8
posea un punlo fijo, se verá que las ecuaciones de movimiento son [as Ecuaciones de Euler,
las que permitirán obtener una descripción acabada del movimiento de rotación del sistema.
En cambio. en muchas situaciones dadas en los problemas tecnológicos, el movimiento de
las panes de ciertos mecanismos se desarrollan en un plano, por lo tanto, el tratamiento de
los sistemas rígidos que describen movimientos planos es de especia l interés para la
ingeniería.
8.2 MAGNITUDES D1NAMICAS
8.2.1. Algunos comentarios preliminares.
Como se dijo en el Capítulo 7, para fijar la posición de un sistema rígido en el
espacio (figura 8-1), es necesario:
z
Primero: ubicar un punto del cuerpo rígido respeclo
de un sistema de referencia O,x,y,z al que se lo
considera fijo en el espacio.
o
x'
y
Segundo: determinar la orientación del cuerpo rígido
en el espacio mediante la orientación de los ejes de
una terna O',x',y',z' la cual está fija al cuerpo y por
lo tanto es móvil, la que se la suele designar como
terna solidaria al cuerpo rígido.
x
En base a esto, se estudió que el movimiento más
Fig.8-1
general de un cuerpo rígido I!S una tras laciÓn seguida
de una rotación, cornil lo enuncia el teorema de
Chasles. Por lo tanto, el estado d nemát ico del cuerpo queda ,'aracterizado por la ve locidad
VO' del punto O' y el vector rotación Q de la tema solidari:J.
por
Po r lo tanto, la ve locidad absoluta del i-ésimo punlo del sistema rígido viene dado
[8.1]
dc nde r¡' es el vector posición de este punto re lativo a la terna solidari a.
8.2.2. CANTIDA D DE M"VIMIEN-O DE UN CUERPO RÍGIDO
El vector cantidad de muvimiento para un sistema de puntos materiales fue
introducido en el Capítulo 4 mediante la expre::.ión
Dinámica del Cuerpo Rígido
!l.1ECAA'1CA
p- '-'m-v ·
[8.2]
4
, ' ,
donde mies la masa de la i-ésima panícula del sistema y vi su velocidad abso luta.
Como un cuerpo rígido es un sistema de puntos que cumplen la coruJ lción de rigidez
expresada por la relac ión (8.1] , reemplazando en [8.2] se tiene que
p .. ~ m¡(vO' + Q xii')
[S.3]
,
de donde, si llamamos M""
:¿
mi a la masa total del sistema rígido, resuha que el vector
ca ntidad de movimiento puede escribirse
P - MVO' + Q x
¿, mi
1;'
pero, de la definición de baricentro de un sistema de partículas se tiene que
~mi f¡'- AfrG'
,
siendo fG' el vector posición del centro de masa o haricentro del I..llerpo rígido, respecto de
la tema solidaria al cuerpo. Por lo tanto, la cantidad de movimiento se escribe
donde en el paréntesis hemos intruducido la \'elocidad ah50iula del baricentro del cuerpo
rígido, por lo tanto
P- M vG
[8.4]
Esta última expresión coincide con la del veclOr camidad de movimiento para un
sistema de partícu las cualquiera como se demostró en el Capítulo 4.
Pro blema 8.1
Dete rmina r el vector cant idad de movimi ento de! sistema rígido formado por una
barra homogénea de longitud 4f y masa. m" solidaria a un disco de radio r y masa I1!z (fi gura
8. 2), en el instante en que la velocidad angular del sistema es w.
313
Capímfo8
MECANICA
Resolución:
y'
La masa total del sistema es
I1I¡Hn2,
además, como el sistema tiene un punto fijo en O,
se hace coincidir con el origen O' de la terna
solidaria al cuerpo y el eje x' en la dirección de la
barra. Entonces el baricentro del sistema tiene
como vector posición
x'
F ig. 8-2
El vector rotación del sistema es Q - ú) k y
por lo tanto, la velocidad del baricentro es vG .. Q x rG t • Entonces, utilizando la fórmula
[8.4], la cantidad de movimiento del cuerpo rígido es
8.2.3 Mome nto C in ético de un C uerpo Rígid o
Para obtener la expresión del momento cinético de un cuerpo rígido, partimos de la
definición vista en los sistemas de puntos materiales. El momento cinético del sistema rígido
respecto del origen O' de la terna solidaria al cuerpo es
-
"-'
-
-,
LO'- ~mirixvi
,
[8.5]
donde rti es el vector posición relativo de la j-ésima partícula respecto de la terna solidaria y
Vi su velocidad abso lu ta .
La elección más convenie nte del punto O' dependerá de cada problema en particular.
Unicamente, ex isten dos JX>Sibilidades de verdadera importancia: a) cuando uno, o más
puntos del cuerpo rígido son fijos (en el sistema de referencia fijo), entonces, a O' se lo hace
coincidir con dicho punto; b) cuando el cuerpo no posee ningún punto fijo, pero se lo hact
coincidir el origen de la terna solidaria O' con el baricentro.
Teniendo en cuenta la velocidad absoluta del i-ésimo punto del cuerpo rígido, dada
por la expresión [8. 1],
314
,
Dinámica del Cuerpo Rígido
MECÁNICA
Lo' - ¿m; ". X (v Q • +Qxr'¡)
•
y si se tiene en cuenta la posición relativa del baricentro r' G y la masa total M del cuerpo
rígido, el momento cinético adopta la forma
lO' - M r'a XVO. +
2:,
mi T'; x(Q x
"j'i)
[8.6J
Resulta evidente, que si el origen de la lema solidaria al cuerpo rígido es un punto
fijo ( vo' - O), o coincide con el baricentro (fa - 6 ), el momento cinético se reduce a
[8.7J
Po r otro lado, s i el cuerpo rígido se encuentra en movimiento puramente traslatorio,
su vector rotación Q es nulo y, por lo tanto, el momento c inético resulta
[8.8J
Como dijimos antes, en el caso en que el origen de la lema so lidaria sea un punto
fijo, o el baricentro del sistema rígido, la expresión (8.7] da lugar a resullados interesantes.
En efecto. veremos como la geometría del cuerpo rígido condiciona la dirección del
momento cinético de rotación respecto de la dirección del vector rotación.
Si partimos de la [8.7] Y tenemos en cuenta la identidad vectorial
Ax(1i xA) - A'1i-A(A1i).
el momento cinético de rotación puede expresarse
lo- - 2;n.,[r'/ O-i",(O.i",)J
[8.9J
•
Si se escriben los vectores involucrados respecto de la base correspond iente a la
terna solidaria: r ',-x'¡T'+y'¡I'+z'¡k' y Q-Ú) l r'+w:J'+(J)~k', las componentes de Lo'
en la terna de l cuerpo resultan:
Cap[fIllo 8
MECÁNICA
.
.
L o '~ -00 14
3¿m;l;z;
" 111; (J;+Z¡
,l
") -oo 2 ¿m;x;J¡-oo
"
"
"
..'
,
,.
" m; (.,
L O,y--oo l "¿ m¡y¡x¡+oo
X;+Z¡.,) -oo l ¿" 11I;Y,·" Z¡
2 ,4
,
,
[8.10]
,,"
,,
"
("
L o': --wI "4 m,- z¡x;-W2
4 1n¡Z
¡Y¡+ W3¿"'¡
Xi +y¡.,)
•
•
•
Estas expresiones consti tuyen una relación lineal entre los vectores LO' y Q, ya que
las componentes del primero son combinaciones lineales de las componentes del vector
rotación, Las relaciones {S. lO] pueden escribi rse en forma compacta de la siguiente manera
[8.11]
donde 1 es la matriz de 3x3
~nI,(y';'+zn
•
I -
.
- ¿m.y'.x'_
, ,
,
- ¿ m_z'.x'.
•••
,
i:• m¡xiYi
"
i: (x','+z',')
•
- i:_ ",¡z;y¡
"
•
-
ni,
..
- ¿m-x'-z'.
,
•
-2: y';z';
111,
[8.12]
•
~ ni, (x',' +y','j
•
denominada matriz de inercia del cuerpo rigldo, respecto de la tema solidaria elegIda.
Cabe destacar que debido al carácter linea l de la relación [8.111, el vector momento
cinético de rotación del cuerpo rígido no posee la misma dirección que el vector Q. Por
otra parte, los valores de los elementos de la matriz de inercia dependerán de la elección de
la terna solidaria al cuerpo. Por lo lanto, al calcular los elementos de la matriz de inercia de
un sistema rígido, es necesario especificar la tema respecto a la cual está referida la matriz.
AJ obtener la expresión [8.111 hemos supuesto que la distribución de masa del
sistema rígido era discreta. Esto condujo a escribir los elementos de la matriz de inerCia
mediante sumas extendidas a todas las partículas que cons tituyen el cuerpo rígiJo.
De todas maneras, la expresión [8.11] sigue siendo válida aún si el sistema rígido
fuese una distribución continua de materia. En ese caso, las sumas que definen a los
elementos de la matriz de inercia pueden ser reemplaz..1das por integrales extendidas él todo
el volumen del cuerpo. Por lo tanto, si la densidad del cuerpo rígido es p(r), la matriz de
inercia es:
316
Dinámica del Cfurpo Rlgido
1-
MEcAN1CA
f ~r')(y'2+i2)dV
-f~f'),> y' dv'
v
v
-f~r')." i mI
\'
-f~r')y' r dlI
f ~r')k2+i2)dV
-f~r')y'tml
v
v
-f ~r')tr mI
-f~r')t y' mi
v
V
v
f ~r,)(»2+y'2 )d\1
v
[S. 13]
donde Ves el vol umen del cuerpo rígido)' dI" el eleme nto de volumen posicionado en ;' .
Es posible escribir los nueve elementos de la matriz de inercia I=(IjjJ de un cuerpo
rígido mediante una única expresión. Si se designan a los ejes de la terna solidaria mediante
x'¡=;{, X'2=Y', X'3=Z' (figura 8-3) y si la densidad es p, entonces los elementos de la matriz
de inercia resu ltan
[. -fP [b" fX'¡' -X"X"]d 3X'
/)
1)
"IJ
[S.l-1]
V
donde Oij es la Delta de Kronecker (b,,= l si i=j, b'j=O si i...j).
Los elementos l u, In e h.: de la diagonal prinCIpal
.•
o'
\~".,l
X'1
Flg. 8-3
son los momelltos d e in ercia del cuerpo rígido respecto
de los ejes x', y' y z', respectivamente; mientras que ti los
elementos que se hallan fuera de la diagonal principal se
los denomina momelllos centrífugos o productos de
inercia del cuerpo rígido.
Una característica importante de la matrÍz de
ine rcia de un sistema rígido es que es real)' simétrica, es
decir que l ij =Jj ;, )' por lo tamo, hay solamente seis
elementos independientes.
Problema 8.2
Un modelo simple de molécul a de monóxido de carbono (CO) eS el denominado
rolador rígido. En este modelo, se supone que los átomos de carbono y de oxígeno que
cons ti tuyen la molécula se encuentran separados una distancia d, constante. Si 111 es la masa
del átomo de oxígeno y M la del átomo de carbono, obtener la matriz de inercia de la
molécula de CO resp!!cto de una terna con origen en el baricentro.
317
Cupfllllo 8
MECÁNICA
Resolución:
Ubicando a la terna solidaria con su o rigen en el
baricentro del sistema y con el eje x a lo largo de la
recta que une a los átomos (figura 8-4), las
coordenadas XI y X2 de los átomos de oxígeno y
carbono respectivamente cumplen
m
mx¡ + M xl - O
y
y como la distancia que los separa es d, entonces
también se cumple que
Fig. 8-4
Xt- X 2- d
Por lo tanto, las coordenadas de los átomos son:
XI -
M
d, x2m+M
111
d
m+M
Los elementos de la matriz de inercia de la molécula son:
Mm
2
d
/11 - O, I-n - / 33-m+ Al
Por lo tanto, se tiene que:
O O O
1-
M m d2 O 1 O
111+ M
O O 1
Problema 8.3
El sistema rígido de la figura 8-5 está compuesto de dos masas puntuales idénticas de
va lor m ubicadas en los extremos de una barra de longitud 2/ y masa despreciable. La barra
fonna un ángulo 6 con el eje de rotación del sistema, girando a una velocidad angular
constante w.
Obtener el momento cinético del sistema rígido respecto del punto O', en la lema
solidaria al cuerpo )' en la terna fija al espacio. Comprobar que el momento cinético del
sistema es perpendicular a la barra que une a las masas.
318
I
------------------------,
Dindmica del Cuerpo iUgid"
MECM1CA
Resolución:
Referido a la
terna solidaria, el vector
rotación se escribe: Q::: U) k' y los vectores posición
de las partículas relativos a dicha tema son:
f'l- /seneí'+/cos6k'
+ '-! '~(;s'
"2 - -1 sen8 T'-l cose k' _
.t.. y~
l•
~
x'
La matriz de inercia respecto de la terna de la
figura es:
Fig.8-S
/'
.Q..- -sena cosa
o
1
o
-sen S cose
o
sen 2 e
1 - 2m¡2
entonces, usando la expresión [8.11], ya que el origen de la terna O' está en reposo, el
I!lomento cinético resulta
l°
r cos' e
L", - In -2ml'
-selle cose
~~,
~ -se"e cose 1[0 1
1
0 ,-
o
2
se1l
e
j 0JI - -2m12wseIl6
t-
"
.>e -,_
lO
Para obtener el momento cinético en la terna fija, es necesario conocer la matriz de
f etación A que vincule a las coordenadas de ambas lernas
ooswt
sen wt
O
A - -sen oot
cos wt
O
1
o
o
la que aplicada al vector LO' permite obtener el momento cinético del sistema rígido en la
ja
base fija al espacio
L8
I.~pQ . . A LO' - 21111 200(- senS cose coswt T + sena cose coswt J + sen 2a k)
319
Capíllllo 8
MECANICA
Puede verse fác ilmente que (r't-r'2)·LO' -O, por lo tanto es perpendicular a la
º
barra y, entonces, el ángulo que forma La co n
es rt!2 - 8. El hecho de que, en este
ejemplo, las direcciones del momento cinético y el vector rotación no sean coincidentes
(sa lvo el caso en que e = n/2), conduce a resultados interesantes. En efecto, una
consecuencia de esto es que el momento cinético varía con el tiempo y, por lo tanto,
t~ja ;.o O. Entonces, según la Segunda Ecuación Cardinol de lo D illámica de sislemas
[4.13], hay un momento exterior no nulo actuando sobre el sistema rígido que lo obliga a
mantener su es tado de rotación con velocidad angular constant e. So lamen te en el caso en
que:: la barra formase un ángu lo 6 = n/2 con el eje de rotación, el momento cinét ico sería
colineal a Q y permanecería consta nte en el tiempo, lo que. implica que el momento externo
sería nulo.
8.2.4. Energía cinética del cuerpo rigido
1
En el Capítulo 4 se defi nió la energía ci nética para los sistemas de puntos materiales
como
T
I ",
-2
[8.13]
-"2."./''i
, Vi
Para un sistema rígido, la veloc idad de cada punto del cuerpo viene dada por la (8.1],
entonces la energía cinética resulta
T
- 2"I "4, ,,~. (_1.10' +~";; x,._,)2
i
,
[8. 14]
de do nde , desarrollando el cuadrado, se tiene
- .
T - 2"lA1-?
vO' + vO'
(0- f'" _,)12" f'" (0- _,)2
x
f1~ r ¡
+
m¡
xr ¡
[8.15]
y si se tiene en cuenta la definición de ba ricentro, resulta
M vO'
- .
T - "'I2 M-2
vO' +
(0- x -')
1", (0- x r_,)2
r G +"24 mi
i
,
[8.16]
Si el cuerpo rígido tiene algún punto fijo y se loma el origen de la terna solidaria en
dicho punto, la energía c inética se reduce a
[8.17]
320
I
-
1
Dillámica del Cuerpo RIgido
MECAA'lCA
La energía cinética de un cuerpo rígido puede escribirse como la suma de un término
que depende exclusivamente de l movimiento traslatorio -caracteriz.1do por iiá - Y al que se
lo indica como energía cinética de traslación y otro, que es la el1erg{a cinética de rotación
dado por la [8. 17].
Ana licemos la expresión de la energía cinética de rotación. Para ello, consideremos la
ident idad vectorial
[8.18J
y reemplazando [8.18] en [8.17], resulta:
1" [2,2 (Q- _,)2]
T.rOl - 24 111; w
r¡ -
,
donde w
xr¡
[8.19]
-ln[.
Desarrollando la expresión [8.191, donde al vector ro tación en la base de la terna
solidaria se lo escribe Q - <.01 l'+(O2 )'+0)3k', se tiene que la energía cinética de rotación
resulta una suma de nueve términos. Si se tienen en cuenta las expresiones que definen a los
elementos de la matriz de inercia del cuerpo rígido I:;;(l
la [8.19] admite la forma
¡p.
1
T,OI ,.. -
2: 2:
2 i
w¡ W j ¡ jj
[8.20J
j
Una observación importan te resu lta del caso en que el vector rotación posea la
dirección dt: uno de los ejes de la terna fija, por ejemplo Q ... w k ' y por lo tanto, el eje z'
resulta el eje de rotación del cuerpo rígido. En este caso, la energfa cinética de rotación se
reduce a la expresión vista en los cursos elementales de Física
[8.21]
donde [ :;;[33 es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto del eje Z', el cual es el eje
de rotación.
Pl"Oblema 8.4
Calcular la energía cinética del sistema formado por tres barras rígidas idénticas
(figura 8-6), todas de masa m y longitud /, las cuales se encuentran aniculadas en los puntos
B y C. LH velocidad angula r del sistema en el instante ind icado es $.
321
•
Capítulo 8
MECANICA
Resolución:
la energía cinética del sistema es igual a la
suma de las energías ci néticas de cada componente·
en este caso, las barras. Entonces, calculando para
cada barra separadamente, se tiene:
a) Para la barraAB:
e
B
El punlo A es fijo, por lo tanto, ubicando allí el
origen de la terna solidaria a la barra AB y el eje x'
coincidente con la dirección de la barra (figura 8·7).
resulta que esta barra posee energía cinética de
Fig.8-6
rotación pura, siendo Q - $ k'.
Calculando los elementos de matriz respecto de esta terna, para una distribución
linea l, homogénea y continua de masa de densidad lineal J.... se tiene que:
y'
111 - O
I
122 -
f
,2
1
3
1
2
A x dx - -Al - -mi -133
3
3
O
113 - O
lB - O
B
x'
Entonces la matriz de inercia de la barra respecto
de la terna especificada y la energía cinética ~on:
Fig.8-7
1
,
O O O
l--ml- O 1 O
3
O O 1
AB
1
y Trot
- -m
i 2 4'' 2
6
b) Para la barra CD:
Este subsistema es equiva lente a la barra AB, por lo tanto tiene la misma energía
cinética.
e) Para la barra Be:
Fijando el origen de la terna solidaria eI) el baricentro G y el eje Xl a lo largo ele la
barra, se ve claramente que la orientación de los ejes no cambian con el tiempo y IXJf lo
tanto la barra posee un movimiento puramente traslatorio, siendo su energía ciD~tica
TBC=m vG 2/2 Y la velocidad del baricenlro la misma que la del punto B: va .. J~.
322
Dinámica del Cuerpo Rígido
MECANICA
Entonces:
Por lo lanlo, la energía cinética del sistema resulta:
Como se anticipó en la sección 8.2.3, en el movimiento general de rotación de ur..
sistema rígido, el vector momenlo cinético no posee la dirección del eje de rotación del
cuerpo rígido. El momento cinético y vector rotación formarán un cierto ángulo ~ntre ello.:;
que deberá estar comprendido entre n/2 y -n/2. En efecto, a partir de la expresión de lé
energía cinética de rotación {8.20]
y teniendo en cuenta la i-ésima componente del momento cinético,
[8.22]
la energía cinética de rotación puede escribirse como
1
T rot "'- 2:L¡ w¡
2 ,.
[8.23]
la que constituye el desarrollo del producto escalar entre el momento cinético y el vector
rotación, por lo tanto,
1 2
-
T,.Ol - - Q . LO'
[8.24]
De aquí puede verse que, debido al que Trot es definida poSitIVa, el coseno del
ángulo que forme e! momento cinético ca!: el v~ctor rotación no puede ser negativo.
323
I
MECÁNICA
Capíwlo 8
8.3 CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ DE INERCIA DE UN SISTEMA
RIGIDO.
Como ya hemos visto en las secciones precedentes, un elemento importante que
caracteriza la distribución de masas de un cue rpo rígido es la matriz de inercia del cuerpo
referida a la terna so lidaria. Cabe ahora destacar algunos rasgos importantes que la matriz de
inercia posee y cómo éstos influyen en las magnitudes dinámicas del sistema rígido. Para
ello, llamemos a los ejes coo rdenados de la lerna móvil solidaria al cuerpo: XI' x 2, x) ·en
lugar de xJ YJ z- respectivamente. De esta forma, los elementos de la matriz de inercia se
calcu lan mediante la [8.14]
donde Ves el volumen de l cuerpo y P. la densidad (s uponiendo una distribución continua de
masas).
Es posible observar que:
a) Los elementos de la matriz de inercia cumplen la propiedad Jij=!j;, por lo lanto resulta
que la matriz de inercia es s imétrica. Esto indica que de los nueve elementos de 1=(Iij)
solamente seis de ellos son independientes.
b) Si la terna solidaria fuese elegida de modo ta l que los momentos centrífugos fuesen todos
nulos, entonces tanto el momento cinético de rotación como la energía de ro tación del
cuerpo rígido adoptaría n una fonna simple:
[8.25]
[8.26]
donde: e¡ (i=1, 2, 3) son los versares de la base de la lema solidaria y (Di es la i-ésima
componente del vector rotación.
e) Si se cambia de terna solidaria conservando el origen, lo que se está haciendo es una
rotación de la terna . Entonces, ante una rotación, tanto las componentes del momento
cinético LO', como las del vector ro tación Q y los elementos de la matriz de inercia 1
ca.mbiarán.
Si llamamos L~. , Q' y l' al momento cinético, vector rotación y la matriz de inercia
en la nueva lema, la cual está relacionada con la vieja terna mediante la matriz de rotación
A~ (aij) , se tiene que:
324
~lECANICA
Dinámica del Cuerpo RigiJo
L;)' .. I'Q'
[8.27]
donde
Q';AQ
y
Entonces teniendo en cuenta la relación lineal ent re el momento cinético y el vector
rotación en ambas ternas, se tiene la identidad
l'A-AI
la cual permite obtener la matriz de inercia en la terna rotada en términos de la matriz de
inercia en la vieja tema como
donde A-l es la inversa de la matriz cambio de base, la cua l está garantizada que es nosingular. Pero por tratarse de una transformación entre ternas ortogonales, la matriz A es
orl0gollal, y por lo tanto sU" inversa es igual a su traspuesta AT, resultando
[8.28]
donde esta expresión constituye la ley de trallsformación de la matriz de inercia allte
rotaciones de la lema.
Además de la utilidad de la relación [8.28J. la cual permite obtener la matriz de
inercia en una terna, conocidos los elementos de la matriz de inercia en otra con el mismo
origen; esta ley de transformación permite definir el carácter matemático de 1. En efecto, si
se escribe la relación [8.28] en término de los elementos matricia les
Jij =
2::¿
n
ail! amj 1nm
[8.29]
m
se puede ver que esta expresión es muy parecida a la ley de transformación que define a los
vectores, esto es
[8.30]
En el caso de ternas c.1rtesianas, los objetos cuyos elementos se transforman según la
relación [8.29] debido a un cambio de b<'lse conservando el origen, se denominan tensores
cartesianos de rango 2. Por lo tan to, al objeto 1 cuyas compone ntes sean los nueve números
Jij se lo denomina tellsor de inercia del cuerpo rígido, siendo (Iij) la representación
matricial del tensor de i:J.erci~.
325
CapItulo 8
Cabría ahora hacemos la siguiente pregunta: Dada la matriz de inercia de un cuerpo
rígido referida a cierta terna, ¿cómo obtener aira lerna respecto de la cual, el momento
cinético y la energía cinética de rotación adopten las formas dadas por las relaciones [8.25] y
[8.26]?
De aquí puede verse que la respuesta a esta pregunta consiste en determinar una
terna donde 1 adopte la forma diagonal, es decir, una terna respecto de la cual los momentos
centrífugos sea todos nulos. Por lo tanto, la pregunta puede ser fonnulada de la siguiente
manera: ¿Cuá l es la terna solidaria respecto de la cual la matriz de inercia adopta la forma
diagonal?
83.1 Diagonalización de la matriz de inercia
~orno se dijo anteri onnente, la matriz de inercia de un cuerpo rígido adopta formas
distinlas dependiendo de la elección de la terna solidaria. De todos modos, en las
aplicaciones suele darse como como dato la matriz de inercia respecto de una terna donde
los momentos centrífugos son nulos y por lo tanlO la matriz resulta diagonal. A dicha terna
se la llama lema principal del sistema rígido y a los ejes coordenados de ésta se los
denomina ejes principales de inercia.
De acuerdo con [8.25] si el cuerpo rígido gira alrededor de uno de los ejes de la
tema respecto de la cual la matriz de inercia es diagonal, el momento cinético estará dirigido
en esa dirección, la cual es principal de inercia, por lo tanto
[8.31]
expres ión en la que se desconoce 1 y Q, porgue no sabemos cuál es el eje (principal de
inercia) en la que gira el cuerpo rígido.
Teniendo en cuenta que 1 es la matriz de inercia del sistema rígido, la [8.31] puede
escribirse como
-
-
10 - 1 O
[8.32]
que es la ecuación de aulovalores para la matriz de inercia 1; Q es el autoveClor de la matriz
de inercia asociado al autovalor l. En la base de autovectores de 1, los ejes coordenados son
los ejes principales de inercia.
Los aulovalores de 1 son ~os elementos diagonales de la matriz de inercia en la terna
principal, a los que se llama momentos principales de inercia .
Entonces, a partir de la [8.32] resulta que
111 001 + 1 12 002 + 113 OOJ -1 001
12l 001 + 122 002 + 123 003 - 1 OJ2
131 001 + /32 002 +133 003 - J 003 ·
326
[8.33]
Dinámica del Cllerpo Rigido
MECÁNICA
de donde, después de reagrupar, se tiene
(/ ll - /)OO I + / J2 (J)2 + / 13 003 - O
[8.34]
/21 00 1 + (I22 - 1) 002 + / 23 w3 - O
/ 31 <.01 + /]2 (1)2 + (I33 - 1) 003 - O
Este es un sistema lineal homogéneo pa ra las componentes de l vector rotación.
Entonces, para que (8.34] admita soluciones no nulas, debe ser cero el determinante
Ill- I
112
/ 21
122- 1
131
132
[8.35]
el que conduce a una ecuación de tercer grado denominada ecuación característica de la
matriz de inercia 1. las tres raíces dt: la ecuación característica son los tres autovalores de la
matriz de inercia, / 1, 12 e 13 , a los que se los des igna con el nombre de mom entos
principales de in ercia.
Por lo tanto, só lo cua ndo el cuerpo rote alrededor de uno de los ejes principales de
inercia, el momen to cinético tendrá la dirección de este eje, es decir la del eje de rotación.
Una propiedad que cumplen los momenlOS principales de inercia es que ninguno de
ellos puede ser mayor que la suma de los olros dos. En efecto, si Xl, X2, X3 son los ejes
principales de inercia, entonces
II + 12 ""
J (x? xi 2X~)
p
V
+
+
3
d X 2:
f (X[ x~) d X P
+
3
/3
[8.36]
V
Si los tres momentos principales de inercia son dist intos, al cue rpo se lo lIam<l
trompo asimétrico y corresponderá a que la ecuación ca racterística tenga todas sus raices
distintas. En cambio, si dos raíces de la ecuación (8.35] son iguales, es decir 1 1=1rF/~ , al
cuerpo se lo llama trompo simétrico.
En muchos problemas se encuentra que los cuerpos poseen simetrías, por ejemplo
cuando el cuerpo resulta ser un sólido de revolución. En este caso, el eje de revolución es un
eje principal de inercia mientras que los otros dos pueden elegirse arbitrariamente. En
cambio si el cuerpo prese nta simetría esférica, sus tres momentos principales de inercia son
iguales y al cuerpo se lo llama trompo esférico.
Otros cuerpos tales que se cumpla I 1 = O Y 12 = 13 , se los denomina ro/adores. Tal es
el caso de distribuciones unidimensionales como varillas o moléculas diíl tómicas.
327
Capítlllo 8
MECAl'1ICA
Problema 8.S
La matriz de inercia de una placa cuad rada y
homogénea de lado a, respecto de una terna con
origen en un vért ice de la placa y dos de sus ejes
coincidentes co n Sl;$ lados es (Fi!:,T\..!ra 8·8):
x,
a
r~
,
a- O
1- M
X;
,
x,
Fig.8-8
O
O
O
1
1
3
4
1
4
1
-3
donde el eje Xl es perpendicular a la placa.
La ecuación característica es:
2
,
-Ma- -1
3
o
o
1
,
--Ma4
1 M'
.
! a- - t
3
o
o
de donde se obtienen los momentos principales de ¡nercir. como las so luci ones de esta
ecuación cúbica.
2
')
1, - - M a3
.
.?
-
7
2
--Me.
12
.
'3 - -
'j":o.
" a
12
Resta aho ra, hallar las direcciones de los ejes principal'!s de inercia en la base a la que
está referida la matriz de inercia I. Es decir, las d irecciones que deberfa tener el vector
rotación para que el momento ci!':!ético sea colineal a Q. Estas direccicnes deben sc:tisfacer
el sistema de ecuaciones li nea~'!s [8.34], por lo :.an~:):
328
MECAA1CA
Dimfmicfl (Iel CI/erpo Rígido
2
,
a) Para el autovalor / 1 _ - M a- , Se tiene que la primen¡ ecuación Se satisface para
3
cualquier valor de w h por lo lanlO podemos asignarle el valor a rbitrario W I = 1. Mientras
que las otras tienen como soludón úl2 =W3 = O. Emonces, la dirección del eje princincipal de:
inercia respccto del cual ! ¡ es el momento de in ercia es, ya normalizada: e, -l.
7
,
b) Para el autQvalor 12 - - M a- ,se tiene:
12
1
-001 -
12
0
-002- 00 3- 0
cuya solución es tú¡ =O Y COl = -W3. Entonces el autovector resulta
c) Para el autovalor 1) - -
1
12
,
M a- , se tiene:
7
-001- O
12
W2 -W3 -
O
cuya solución es (01 = O Y W2=W_~. Entonces, la dirección principal correspondiente es
8.3.2. Teorema de Stei ner
En la sección 8.3 habíamos visto cómo se veían modificados los elementos de la
matriz de inercia de un cuerpo rígido cuando se rola la lema solidaria manteniendo el origen.
Pcro en muchas situaciones puede ocurrir que se necesite escribir la matriz de inercia en una
lerna que se encuentre desplazada paralelamente respecto de otra. En efecto, cuando se da
como dalo, .o cuando resulta necesario calcular la matriz de inercia de un cuerpo rígido, se lo
hace respecto de una lerna principal con origen en el baricentro. Pero por cuestiones
329
Capitulo 8
MECÁNICA
geométricas inherentes al problema a veces resulta úti l utilizar otra terna, paralela a la
anterior, pero con el origen desplazado. Por lo tanto. h:l bría que escribir los elementos de la
matriz de inercia en esta nueva tema.
Supongamos que los elementos de la matriz
de inercia de un sistema rígido respecto de una terna
cuyos ejes son xi (i=1, 2, 3) Y con origen en el
baricentro G son: lii
1Q,¡j~~¡¡'¡iI
x~
Para otra lema con origen en el punto O
(Figura 8·9) y cuyos ejes coordenados son Xi,
paralelos a xi, los elementos de la matriz de inercia
son lij.
Entonces, dichos elementos cumplen
Fig.8·9
[8.37]
Si llamamos ii al vector que une O con G (ver figura 8·9), el vector posición de un
punto cua lqui era respeclo de O es
donde 1 es el vector posición del punto respecto del baricentro G. Escribiendo en
componentes
, ,
X ·. a· +x·,
y reemplazando en [8.37],
330
Dinámica del Cuerpo Rfgido
MECAI\'1CA
desarrollando los productos del integrando se tiene
Si se tiene en cuenta la expresión que define:1 los elementos ¡ii esto se corresponde
con la primera integral. Entonces resulta
Pero si se tiene en cuenta la definición de baricentro, como el sist'!r.la de
coorc!enadas xi tiene como origen a este punto, se tiene que
Por lo tanto resulta
y como
y
se tiene que
]-.1) _ J1).. +
M(02 -0.0.)
¿) ..
1)
1)
[8.38]
8.3.3. Eli pso ide de I ner cia
Habíamos visto que la energía cinétic.'l. de rotación de un cuerpo rígido estaba
asociada con el momento cinético mediante la relación
331
Capillllo 8
MECAA'lCA
[8.39J
Si llamamos 10) al momento de inercia del cuerpo rígido respecto del eje de rotación
dirigido por el vector
º,
entonces la energía cinética de rotación puede escribirse como
[8.40J
donde w
-1°1.
Igualando estas dos últimas expresiones se tiene que el momento de inercia de un
cuerpo rígido respecto de un eje ·dirigido por el vector rotación- puede expresarse en
función de la matriz de inercia del sistema rígido según
-T
Q
Q
f .. - - · 1-
w
w
[8.-I1J
de modo que si
[8.42J
es el versar que dirige al eje de rotación del cuerpo rígido, siendo 0., f3 y y los cosenos
directores, resulta que el momento de inercia del cuerpo rígido respecto del eje de rotación
es
[8.43J
Esta expresión es la forma cuadrática asociada a la matriz 1 y permite obtene r el
momento de inercia del sistema rígido lO) respecto de cualquier eje, conocidos sus cosenos
directores.
Un parámetro im portan te de un cuerpo rígido es su radio de giro k con respecto a
un eje. Se define como tal, a la distancia efectiva que habría que ubicar a una partícula de
masa M igual a la del cuerpo, para que ésta tenga el mismo momento de inercia 1w del
cuerpo rígido respecto de ese eje
[8.44J
332
&
Dinómica dd C/U!rpo Rlgiao
- - - - - - - - - - - - - - - --- Para
muchas aplicaciones de
la
ingeniería,
suele ser
importante
el
dato
proporcionado por el radio de giro de ciertos cuerpos rígidos. Esto se justifica por el hecho
de que dicho parámetro es independiente de la masa del cuerpo y solo depende de la fonm:..
Por lo tanto, si la terna tomada es principal de inercia, los tres radios de giro respecto a 10$
ejes principales de inercia
(I¡
k1='{M
donde Ji ,
kj -
-
R'
-=-
M
Iz e 13 son los momentos principales de inercia, contienen toda la información
geométrica del sólido rígido en cuestión.
Si la expresión [8.43] la dividimos por
K y llamamos
[8.45]
\
la forma cuadrática de la matriz de inercia se escribe
la cual es la ecuación de un elipsoide que se denomina elipsoide de il/ ereia.
En el caso en que la terna sea principal de inercia, siendo /1.12 e / 3 los momentos
principales de inercia del sistema rígido, e l elipsoide de inercia se reduce a
de modo que los semiejes del elipsoide son inversamente proporcionales a los radios de giro.
8.4. Ecuaciones de Euler
Nos proponemos ahora obtener las ecuaciones diferenciales que rigen el movjm!~r:~o
de un cueflXl rígido. Para e ll o, tomemos a la terna solic1'lria al cuerpo rígido de modo tai q:!e
los ejes coordenados sean los ejes principales de inercia y su origen coincidente con i.!:!
punto fijo o el baricentro del cueflXl.
Como se demostró en el capítulo 4, la Segunda Ecuación Cardinal de la dinámica c:!
103 sistemas [4.13] puede ser aplicada para el caso de sistemas rígidos, la cual si el ori&~!1 d~
!a lema móvil e~ fijo o es e! baricenlro, se reduce ?
333
Capítulo 8
MECAfflCA
-,
MO' ·
~Lo'
dI
Terna
[8.47J
fija
pero si las magnitudes involucradas están referidas a la terna móvii solidaria al
cuerpo, resulla
-, dío'l
Mo' -
dI
Terna
m6vil
--
+Oxlo'
[8.48J
de modo que si se tiene en cuenta que en la terna principal el momento cinético se escribe
donde 11 , 12 e
'3
son los momentos principales de inercia del sistema rígido.
Si el momento de las fuerzas exteriores tienen componentes MI, M2 )' M3 en la
terna so lidaria, se lienen las Ecuaciones de Eufer
MI - I¡w¡ +(13 - 12)W2W3
M2· hW2+(i¡-/3)"'3"'¡
[8.49J
Al) -1)<0 3 + (12 -1 1 )Wl w2
las que son las ecuaciones de movimiento del cuerfXl rígido.
Las ecuaciones de Euler constituyen un sistema de tres ecuaciones diferenciales de
primer orden en las componentes del vector rotación o de segundo orden en las coordenadas
angulares que determinan la orientación del sólido rígido en el espacio. Debido al carácter
no lineal de las [8.49], su integración en forma analítica solo es posible en contadas
situaciones, siendo necesario en la mayoría de los casos resolve rlas aproximadamente
mediante algún algoritmo numérico de integración.
Problema 8.6
Un disco homogéneo de radio r y masa In está montado sobre un eje O'G de
longitud a y masa despreciable. El eje se soporta en un punto fijo O ' (figura 8-10) y el disco
puede rodar sin deslizar sobre el plano horizontal. Sabiendo que el disco rota alrededor del
eje O'G con velocidad angular ccnsran!~ úJ, determinar el momento ex terno que actúa
sobre el sis tema rígido respecto de! punto O'.
Resolución:
334
MECAN1CA
Dinámica del Cuerpo Rtgido
Si llamamos (00·0 a la velocidad angular del eje
Q'G, la condición de rodar sin deslizar que cumple el
ci lindro conduce a la relación
000'0 a - O} r
por lo tanto, el veclor rolaclon del sistema rigido
escrito en la base indicada en la figura 8-10 es:
..., r
....,
Q -W I - - W j
a
Fig.8-10
L1 matriz de inercia de un cilindro homogéneo
de radio r para una terna principal con origen en el ba ricentro G es:
1
o
1 2
IG .. -mr O 1/ 2
2
o
O
O
O
1/2
entonces, en la lema indicada en la figura 8-10, la matriz de inercia del sistema se calcula
mediante el teorema de Steiner [8-38]
resu:tando
7
r-
1
lo ""-111
2
O
O
O
"2 r- + 40-7)
O
O
O
~(r2+402)
T
Llamando MI, M2 Y M3 a las componen tes del momento externo respecto del
punto O', se tiene cua ndo se aplican las ecuaciones de Euler [8.49]
MI-O, M 2 -O, M 3 __
mw 2 :(a 2 _:r 2)
Resu!ta interesante destacar que cuando el radio del c ilindro cum ple r=2 a el
momento er.teri::::r se anula. Este resullado parecería contradeci r la intuición. de tQdo~
335
MECANICA
CopEado 8
modos, pam poder enlender este hecho consideremos al vector momento cinético del
sistema:
- - 1m
Lo-1a
Q --
2
,
2. mr 2 lO
r-
O
Ú
~(r2+4a2)
O
O
O
~(r2+4a2)
O
ÓJ
r
-~~
1
2
- (?a- ¡r12)'
- 111
-t
;0)
O
el cual cuando ¡'=2 a, este toma el valor
-
?...
2""
LO.2Il1ú - WI'-4ma W)'
mientras que el vector rotación es: Q ... WI' - 200 J'. el cual resulta cotineal con el
momento cinético y por lo tanto, el momento externo será nulo ya que LO' permanece
constante para un observador en la terna fija al espacio.
Problema 8.7
Analizar el movimienlo de un trompo simétrico libre de la acción de fuerzas externas.
Obtener la condición que debe cumplirse para que la rotación sea estable.
Resolución
Por tratarse de un trompo simétrico, los momentos principales de ¡¡¡ere:;:;
cumplen l 1r'lI2=J3=J. Además por encontrarse el cue rpo rígido libre de la acción de fuerzas
exteriores, su baricentro se encuentra en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforrr.e
respecto de un sistema inercial fijo en el espacio. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad,
podemos considerar que el baricentro se halla en reposo y en ese caso solamente es!udian:05
la rotación mediante las ecuaciones de Euler
o -It 001
0- 1ÚJ2 +(I¡-I)w¡w,
[8.50]
0- lOO3 + (l - 11)W1W2
La primera de las ecuaciones [8.501 conduce a que la componente (01 = co ns!an!~.
Mientras que las dos restantes cumplen
W2 - -/~(¡)3
())3 ... /~(1J2
336
[8.51]
Dindmicn de' Cllerpo Rígido
MECANICA
donde llamamos a la constante
).. -
(/[-/)
1
[8.52]
w¡
Para integrar el sistema de ecuaciones diferenciales (8.51] procederemos de la
siguiente manera: multiplicando la segunda ecuació n por la unidad imaginaria i y sumando,
se tiene que
entonces, llamando l;(t)=Oh(t)+i O>J(t), se tiene la ecuación diferencial compleja
[8.53]
la que al integrarla se tiene
[8.54]
siendo
e una co nstante compleja que depende de las condiciones inic iales.
Por lo tanto, la solución [8.54] será acotada ya que las componentes 0>2 y (1)3 varían
según una ley armónica siendo la frecuencia de variación
[8.55]
Además, puede verse que el módulo del vector rotación resulta constante, en efecto.
1012 - "'f + "'~ + "'~ - wf'+ 11;(1 ~2 - "'? + ICf - ele.
y por ser consta nte la componente de rotación alrededor
. del eje principal Xl, el vector Q gira alrededor de este
eje (Figura 8-11), el cual resulta ser eje de simetría ya
que es el eje principa l correspondiente al momento
principal de inercia 11• A dicha "rotación" que realiza
Q a la frecuencia
XI
JI ~\· w t ~.
l
\~ ~
f dada por la [8.55], se la llama
un
precesión el cual, para
observador en la terna
so lidaria al cuerpo. el vector rotación genera un cono en
tomo al eje de simetría del cuerpo.
ID,
o'
b
w,
x,
x,
Fig.8-11
337
Capímlo 8
MECÁNICA
Problema 8.8
Un disco circular delgado y homugéneo (Fig. 8- 12),
de radio r y masa m, se encuentra inclinado un
ángulo eL con respecto al eje AB. Si la velocidad
angular de l eje es lO. constante, determinar el valor
de las reacciones dinámicas en los apoyos A y B.
z'
Resolución;
L1 matriz de ine rcia del disco, escrita
en la terna que indica la figura 8-12 es:
Fig.8-12
7
I - 1111'-
11 4
o
o
O
1/2
O
O
O
114
)' d vector rOlación , escrito en esa terna, para el instante indicado, es
Q - wsenal' - wcosa J'
Como el origen de la terna co incide con el baricentro del disco, hallándose éste en
reposo, y además la terna tiene como ejes a las direcciones principales, podemos obtener el
momento resultante exterior respecto del punto G usando las ecuaciones de EuJer [8.491,
Entonces, las cúmpont:ntes del momento exterior son:
M ,r ' -
O
1
'7 sen2a
Mz , - --l1Ir-l')8
Si llamamos RA y RE a las reacciones en los puntos de apoyo A y B
re.c;peclivamenle, la ecuación de movimiento del baricenlfO resulta:
ya que éste se encuentra en reposo. Pero a las reacc iones en los apoyos se las puede pensar
como la contribución de dos tipos de fuerzas: a) Reacciones Estáticas, las cuales equilibran
al sistema rígido en condiciones de rotación nula; b) Reacciones Di"ámicas, que son
aquellas que producen el momento externo necesa rio para que el sistema rOle. Po r lo tanto,
la ecuación de mov imiento del bnricentro puede escribirse
338
MECANlCA
Diruímicn del C/lerpo Rígido
Las reacciones estáticas son aquellas que equil ibra n al peso del sistema, es decir que
satisfacen la relación: R~s, + RÉs1 + mg _ TI. Por lo tanto, las rt:acciones dinámicas en los
- Ji"
-din
· R
puntos de apoyo deben cump l Ir:
+ RB
• O.
A
El momento exterior resultante se rá debido, únicamente, al par generado por las
reacciont:S dinámicas
ya que las distancias de.;Je los apoyos al baricentro son iguales: AG;BG;lt2 y
i{fn .. _R$in. Entonces, indicando al vector
1 ( -sena "I +cosa ,,)
J
( A-G ) . 2
y llamando X,,, YA y Z", a las wmponemes de la reacción dinámica en el punto A, resulta
que el momento exterior es:
M?fl -IZA cosaT'+IZ A seno J'-/(XAcosa+~4 sena)f'
Comparando las componentes del momento con las obtenidas mediante las
ecuaciones de Euler, resulla que la componente Z", = O, po r lo tanto X", =R/ilfcos a y Y,\
=R",di .. sen a.
Entonces, comparando la componente del momento según el eje z', se tiene:
R1il1 _ RBdin • _1_ 11I /" 2 0)2 sen2a
.,
81
Resulta inte resante el hecho que las reacciones dinámicas que se ejercen en los
puntos A y B del eje se anulen cuando 0=0 o o=1t/2. Para estas orientaciones de l cuerpo
rígido resulta que el eje de rotación coincide en dirección con un eje principal, y por lo tanto,
el momento exterior se anula.
8.5. Movimiento Plano del Cuerpo Rígido
En muchos problemas de la ingenierfa donde se modelan mecanismos en los que
están involucrados sistemas rígidos, éstos evolucionan siguiendo un movimiento plano. Es
dt!cir, que el comportamiento dt!1 sistema es el mismo para todos los planos perpendiculares
a cie rto eje cuya dirección pe rm<lnece constante en el espacio, teniendo todos los puntos del
sistema rígido vectores velocidad yacentes en dicho plano para todo instante. Tal es el caso
dt! sistemas como bielas-manivelas. poleas, engranajes, elc.
339
Capítlllo 8
MECÁNICA
Cuando un cutrpo describe un mov imi enl<l plam1, sólo se necesita conocer tres
numeros ct.1n los que tijar la posición del cuerpo en el instante l. Dos de. tilos corresponden a
la posición de un punto cualquiera del sólido rígido -ti cunl puede ser el haricentro- y el
len;ero al ángu lo de urientación del cuerpo. Por lo lanío, en el caso ¡Je un cuerpo rígido en
:mwi mientu plano, el número de grados de libertad de tal sislemll se reduce a treS.
Para este tipo de situacion~, resulla convt!t,iel,lt' estudiar el nwvimiento del sistema
respecto de una lema inercial. Por eso, si Se: tiene en cuenta In vislo en el Capítulo -l, las
ecuaciones diferenciales apropiadas s\ \n las qut! coneslXmden a: a) Fl movimiento dd
baricentro del sistema
[8.56]
Jonde Fe es la resultante de las fuerzas exteriores qUe actúan sl1b rc e l cue rpo rigiJo y ae la
acekmción del baricentro. b) Segunda Ecuación Cardillal de la Di/Uilllica dc los sistcmas
de puntos materiales
- e
-
-
[S.57]
Mo '" Lo+ va xP
siendo Móel momento exterior total resultante , rO la ve locidad del pun ~o ··centro de
momentos" y P el vector cantidad de movimiento total del cuerpo rígido.
Problema 8.9
Un cilindro macizo de radio a y masa 111 puede rodar sin deslizar por la superficie fija
interior de un cilindro de radio R (Figura 8-13). Obtener la ecuación diferencial de
movimiento del cil indro y determinar el valor del período para pequeñas oscilaciones
alrededor de la posición de equilibrio. El momento de inercia axial del cili ndro respecto de
,
un eje que pasa por el baricentro es fa = m {rI2.
Resolu(,.'iólI:
Utilizando coordenadas polares para fijar la posición del baricentro G del cilindro, se
tiene que la velocidad de este punto queda de la forma: Ve - (R - a)8 8.
Las fuerzas que actúan sobre el cilindro son: el peso m g - m g cosa f - m g sena 8. la
reacción que ejerce la superficie R - -R r y la fuer:w de roce entre el cilindro y la superficie
obligándolo a roda r sin deslizar j - 18.
e
Tomando como centro de momentos el punto de contaclO de ambas superficies, el
cual es centro insk"lnláneo de rot<lción, se tiene que el momento exterior al sistema rígido es:
340
DinlÍmica del Cuerpo Rigido
MECANICA
~~ - a g sene k
r
ii
-a
O
m g cosa
-Ir! g sena
-al
Me
- ( G-C ) xmg-
111
e
Como el punto
es centro instantáneo de
rotación, su velocidad es nula, por lo tanto, el momento
cinético del cilindro se escribe
donde le es el momento de inercia del cilindro respecto
e
del eje que pasa por
y se lo puede obtener usando el
teorema de Sleiner, resultando
Fig.8-13
-
3
LC--ma
2
2
r
ú}K
Además, la condición de rodar sin deslizar que cumple el cilindro, permite relacionar
la velocidad angular W con la derivada de 8 . En efecto, la velocidad del baricentro puede
calcularse a partir del centro instantáneo de rotación como:
VG - Q x (G - e) - ro Ix (-a r) - -ro a ii
de la que resulta, tras la comparación con la expresión de la velocidad del baricentro que se
indicó anteriormente,
-O)
a - (R - a)é
Entonces, aplicando la segunda ecuación universal y esta última ecuación que
constituye la condición cinemática de rodadura sin deslizamiento, resulta
am g sena--"23 ma
2(R-a)-a- e
Por lo tanto, la ecuación de movimiento del s istema es
-
2
g
e+c:;(
)sene-o
~ R-a
En el caso de pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio e = O,
put:de aproximarse selle G< e resultando un movimiento armónico simple de período
341
Cap[tIIlo 8
MECANICA
T.., 2¡t
r
R a
- )
2g
8.6. Teoría aproxi mada del Giróscopo
8.6.1. Desc rip ció n elemental
El giróscopo constituye un sistema rígido importante, tanto por las consideraciones
teóricas que justifican su funcionamiento, como por sus múltiples aplicaciones en la técnica
(guiado de proyectiles, compensación antirolido en los bugues, girocompás, etc.).
Puede describirse como un sólido de revolución alrededor de un eje, respecto del
cual efectúa una rotación simple con velocidad angular elevada.
B'
Fig.8 -14
Sea un giróscopo como el representado en la
figura 8-14, donde un disco puede girar alrededor de
su eje de simetría (eje propio del giróscopo).
Llamaremos suspensión carddnica a una como la
representada en la figura, donde el eje propio puede
adquirir cualquier orientación en el espacio
manteniendo fijo un punto que supondremos
coincidente con el baricentro del cuerpo.
Una
descripción
elemental
del
comportamiento del giróscopo en este sistema
tendría en cuenta las siguientes características:
a) Permanencia del eje propio.
Si se mueve la base A de l giróscopo, con movimiemo arbitrario, se observará que la
dirección del eje del giróscopo no se modifica respecto de un sistema inercia l de referencia.
Justamente t:sta propiedad es la que se toma en cuenta en su aplicación como girocompás,
reemplazando con ventajas a la brújula para la orientación de naves y aeronaves.
La justifiCc1ción de l comportamiento se basa en la aplicación de la segunda ecuación
cardinal, suponiendo el giróscopo referido a una terna inercial. En efecto,
- dI
M'
--I
dt "'a.iJ -o
L-IQ-cle
Q
= cte,
es decir, el vet:lor rotación permanecerá constante en dirección, sentido y módulo respecto
de una ttrml inercial.
342
Dinámica del Cuerpo Rígido
MECANICA
b) Movimiento de precesión.
Supongamos que sobre el eje propio del
giróscopo de la figura 8~15 se aplique una fuerza
P, perpendicular al eje propio, que provoque un
momento ir respecto del baricentro de dirección
horizontal, como se indica. Teniendo en cuenta otra
vez la segunda ecuación cardinal, la variación del
momento cinético es:
dl- M 'dl
p
L+dL
de la misma dirección y sentido que el momento
aplicado.
De la figura resulta que en cuanto a módulos
dL - M'dl - Ld~
d,
M'
Al'
--w - - - de
l'
L
ftu
Si el momento aplicado es constante, resulta lOOJ p - efe lo que indica que el eje del
giróscopo estará animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular a
los vectores l y dl de velocidad de rotación tul' . El movimiento descripto se denomina
precesión regular del giróscopo y tul' es la ve locidad de precesión.
Que las velocidades angulares de precesión y de rotación propia sean inversamente
proporcionales constituye un hecho muy comprobado por quienes conocen el movimiento
del trompo, cuando sale de la posición de "dormido": a medida que disminuye tu por los
rozamientos entre la púa y el piso, aumenta wp hasta que el trompo cae.
El movimiento de precesión puede interpretarse como una suerte de persecución
indefinida del vector momento al vecto r rotación propia, por cuanto el ángulo barrido por
M ~ es siempre igual al barrido por el eje del giróscopo, solidario a l.
c) Tendencia al paralelismo
Si en el giróscopo de la figura 8-14 se aplica un momento de dirección AA'a l soporte
aplicando, por ejemplo, una cupla sobre los puntos B y B', se observará que el eje del
giróscopo se orienta hasta colocarse parale lo al vector momento aplicado (se observará que
momento y vector rotación tienen el mismo sentido).
Si en esta situación se invierte el sentido de la cupla, o sea, se invierte el sentido del
momento aplicado, se observará que el giróscopo reacciona de modo que su eje da una
vuelta completa hasta co locar nuevamente el vector rotación en el mismo sent ido q!Je el
vector momento. La justificación es la misma que para el caso de la precesión, considerando
que ahora el momentO tiene una dirección fija y po r ello el vector rotación lo alcanza y se
coloca p.'lfalelo.
343
Capítulo 8
MECANICA
8.6.2. Precesión estaciqnaria
Sea el giróscopo en suspensión cardánica de
la figura 8-16. El eje de rotación CC' esta fijo
respecto de la terna o ',x',y, 'z', cuyo origen coincide
con el baricemro y la cual es parcialmente solidaria
al giróscopo, permaneciendo fija al anillo interior. La
orientación del giróscopo viene dada por los ángulos
de Euler q" 8 Y '\jJ siendo ~ la velocidad de rotación
8
z'
propia y $ la velocidad angular de precesión. El
estado de precesión regular consiste en suponer que
la orientación del eje de rotación propia del
x'
giróscopo respecto del eje, medido por el ángulo 8,
Fig.8-16
es constante.
Como la terna no es solidaria al cuerpo, sino
al anillo que contiene al eje de rotación propio del giróscopo, su vector rotación ºT no
coincide con el vector rotación del giróscopo Q G' En este caso se tiene (Figura 8·17),
z'
como vector rotación del giróscopo, mientras que
el vector rotación de la terna resulta
..
M~
y'
x'
QT - -$ senSl' + $ cosa k'
[8. 59]
Por tratarse de un trompo simétrico, su
matriz de inercia respecto de la terna parcialmente
solidaria es:
Fig.8-17
¡
O O
1- O ¡
O
O O Iz
y por lo tanto, el momento cinético es
[8.60]
Si la velocidad angular propia ~ es constante, al igual que la velocidad angular de
precesión $, resulta que el momento cinético es constante para un observador fijo a la terna
O ',x',y'z'. Entonces, usando la segunda ecuación cardinal, se tiene que el momento exterior
actuante es
344
Dinámica del Cuerpo Rigido
-exl
l
Ma·QT x a
[8.61]
de donde resulta
[8.62]
Como hemos supues to que el punto O' es coincidente con el baricentro del
giróscopo, la suma de las fuerzas exteriores es nula por ser éste un punto fijo. Entonces las
fuerzas que deben aplicarse al giróscopo para mantener la precesión estacionaria deben
constituir un par de momento dado por la relación [8.62]. Dicho par debe estar aplicado en
fa dirección del eje perpendicular a los ejes de rotación propia y de precesión del
giróscopo.
Si la ve locidad de rotación propia es mucho mayor que la velocidad de precesión
(..p »
~), como ocurre en muchas situaciones con giróscopos industriales, entonces es
posible obtener una expres ión aproximada para el momento exterior
[8.63]
Esta expreslOn sirve para poder estimar las
reacciones que se ejercen en los ejes de sistemas
giroscópicos de alta rotación propia. Si se tiene en
cuenta la rotación de un giróscopo, el momento del par
capaz de producir la precesión estacionaria es generado
por I~ reacciones RA y Rs en los apoyos del eje de
rotación (figura 8-18). A estas reacciones se las
denomina reacciones giroscópicas y como se ha
considerado al baricentro inmóvil, su suma debe ser
nula. Al momento que ejercen estas reacciones, dado
I
por la [8.62]. o por la [8.63] en el caso de muy alta
rotación propia, se lo llama momento giroscópico.
8.7 RESUMEN
A modo de resumen de las ideas desarroJladas en este capítulo, se muestra el
siguiente mapa conceptual:
345
~
W
".
."
~
Matriz
de inercia
')
información
geométrica
( 1(
,
de EuJer
Cuerpo
rígido
Movimiento
del cuerpo
rígido
J,
pUlllo fijo o
___________ coinddenle con G
información
dinámica
(
Momentos
y Fuerzas
exteriores
/
Ecuaciones
Cardinales en Úl
terna solidaria
r,
{l
~
s
'"
Dinámica del Cllerpo Rlgido
MECÁNICA
8.8. PROBLEl'vIAS PROPUESTOS
Problema 8. l0
Detenninar el momento de inercia de una varilla uniforme de longitud L y masa M
respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por:
~) El centro de masa
b) Un extremo
c) Un punto que dista L/4 de uno de sus extremos.
d) Un punto el. distancia x de uno de los extremos. Determinar el valor de x para el cual es
mbimo el momento de inercia respecto de ese eje.
Rra:
ML'
a)l. - - 12
b)1 _ML'
o
3
e)1 _ 7ML'
48
ML' [1 ( 2X)']
d) l . - -4- 3+ 1-"[;""
Problema 8. 11
Determinar los momentos de inercia de un cilindro circular s6lido homogéneo de
radio a, altura h y masa M con respecto a un eje que pasa por el eje del cilindro y con
respecto a otro perpendicu lar a él que pasa por su centro de masa. Escribir la matriz
asociada al lensor de inercia.
Nota: Para los cálculos uti lizar una tema con origen en el centro de masa del cil indro y cuyo
eje z coincide con el eje de l mismo.
3a1 +
12
Rra:
I-M
O
O
,,2
O
3a2 + /¡l
12
O
O
O
,
a'
2
Problema 8.1 2
Una barra delgada homogénea
AB de peso P, se apoya como muestra
la fig. 8-17. El extremo A se desliza
debido a que el tope E se traslada hacia
la izquierda con velocidad constante v.
Determinar la energía cinética de la barra
en función del ángulo a, si la longitud de
esta es 21 y el vértice D de apoyo se
encuentra a una altura h respecto del
B
h
Fig.8-17
347
--
•
Capítulo 8
MECÁNICA
piso. Conside rar que en 1 = O la ba rra se encuentra en posición vert ical.
Rla:
(4/'
2/
Pv'
T- - 1 +--, sen 4 a __ sen 3 a
2g
3/ZIt
)
Problema 8.13
La rotación de un proyectil alrededor de su eje de simetría disminuye durante su
vuelo bajo la acció n de la fuerza de resis tencia del aire de módulo igual a kw, donde wes la
velocidad angular de rotación del proyectil y le, un coeficiente de proporcionalidad positivo
y constante.
Detenninar [a ley con que decrece la velocidad angular si inicialmente era igual a !A., el
diámetro del proyectil es d y el momento de inercia respecto a su eje de simetría es igua l a J.
L1 fuerza de resistencia es tangente a la superficie lateral del proyectil (considerado como un
ci lindro) y su dirección es perpendicular al eje de simetría del proyectil
d k,
Rla:
(!) _
00
0
e
21
Problema 8.14
Para frena r rápidamente un gran volante se utiliza un freno electromagnético. Med iante
campos magnéticos se provoca n co rrientes inducidas en la masa de l volante apareciendo así
un momento de frenado de módulo proporcio nal a la velocidad del vo lante en la periferia. La
constante de proporc io na lidad es k.
El momento resistente M r debido al rozam ie;nto en los coj inetes puede ser considerado
cons tante. El vola nte gira inicialmente con ve locidad angu lar %. su diámetro es D y el
momento de ine rcia respecto del eje de rotación es J.
De terminar el ti empo que tarda el vo lante en detenerse si se aplica e l freno.
Rla:
lVuD]
2/
[
k
kD In]+ 2M,
Problema 8.15
Un automóvil de 2450 kg de peso marcha a una velocidad de 72 km/h Y com ienza a
detenerse por la acción cons tante de los frenos que inmovilizan las cuatro ruedas. La
dista ncia de frenado es de 80 m.
Determinar la co mlxmente norma l de las reacciones que actúan en las ruedas de lanteras y
traStfas. Se sabe que el cen tro de masa del automóvil se encuentra a 1 m del suelo y a mitad
de la distancia entre las ruedas, que es de 4 m.
Rla; NdrJa~Lm "" 1381 kg , N~ .. ::;: 1069 kg.
348
MECÁNICA
Dinámica del Cllerpo Rigido
Problema 8.16
Un automóvil de masa m y con tracción trasera, marcha sobre una calzada horizontal.
Determinar la máxima aceleración que se puede imprimir al automóvil. El coeficiente de
rozamiento entre el pavimento y las ruedas es !l, h es la al tura del centro de masa respecto a
la calzada, d = b + e es la distancia entre los ejes trasero y delantero; donde b y e son,
respectivamente. las distancias entre planos verticales normales a la dirección de movimiento
que pasan por el centro de masa , ruedas traseras y de lanteras.
Rta:
Problema 8.17
Se apoya un aro homogé neo de radio r y masa m sobre uuna superficie horizoOlal.
lnicialmeOle el aro gira alrededor de su baricentro con velocidad angular úlo en sentido
horario, y la velocidad de l baricentro es nula. Si el coeficiente de rozamiento entre el aro yel
piso es !l, determinar:
a) el tiempo que transcurre hasta que el aro comienza a rodar sin resbalar.
b) la ve locidad del baricentro en el instante determinado en a).
REa: a) Wo,. /2~g
b)vo=Wo r I2
Problema 8.18
Una fuerza de magnitud constante Fa se aplica tangencialmente a un volante que
puede rotar respecto a un eje fijo perpendicular a él y que pasa por su centco. S i el volante
tiene un radio a, radio de giro K y masa M, demos trar que:
·· angu Iar esta dada por -aF
a) Ia ace l eraclon
-'-, •
MK
b) el intervalo de tiempo que lranscurre antes que su velocidad angu lar sea COn si parte del
MK 1w"
reposo es --=--'aF.
Problema 8.19
Un cili ndro circular (Figura 8·18) de masa M
está enrollado en su parte media por un hilo fino,
cuyo extremo B es fijo. El cilindro cae sin velocidad
inicial desenrollando el hilo. Determinar la velocidad
de l eje del cilindro y la tensión del hilo después de
que éste baja una altura h.
h
Fig.8-18
349
MECÁNICA
Capitulo 8
2
Reo: ve - -;.J3gh
T - Mg
3
Problema 8.20
Un yo-yo está en reposo sobre una mesa
horizontal y tiene libertad de rodar y deslizar. Se tira
del extremo de la cuerda enrollada en el carrete
menor de radio R con una fuerza T constante. Si se
desprecia el rozamiento, calcular:
a) las coordenadas del centro de masa del yo-yo.
b) el ángulo de giro como función de t,
Flg.8-19
x
e) la reacción de vínculo. ¿Para qué valor del ángulo
esta se hace mínima?
d) Suponga que se considera el rozamiento con el
plano de apoyo. Detenninar la fuerza de rozamiento
si el carrete rueda sin resbalar. Analizar hacia donde
se traslada el carrete dependiendo del valor del
ángulo 8.
Considerar ro(O)-R, xG(O)-;;G(O)-O .
Rta:
a)'G _( T~:S8t2, r,o)
b) S(I)- rT eos S l'
2lG
'd
sentl o anti-horario
e) Mi - (O,mg- Tsene,O)
IGcos8+mRr
d)
2
T , donde m es la masa del yo-yo y r su radio externo.
.
~+-
.
Para que ruede sin resbalar, deberá cumplirse
Problema 8.21
Iccos8+mRr
-
...".
El sistema de la figura 8-20 está formado
por un marco que puede girar alrededor de l eje
ee) sin rozamiento. El marco tiene momento de
inercia J1. respecto de ese eje y esta inicialmente
en reposo. En su interior y en el mismo eje tiene
montado un rOlor de momento de inercia 12 que
gira con velocidad angular 010. Por efecto del
rozamiento interno, al cabo de un tiempo at
desaparece el movimiento rela tivo entre ambos
cuerpos que quedan girando con la misma
velocidad angu lar o:f Detenninar:
350
Fig.8-20
Dinámica del Cuerpo Rígido
MECÁNICA
a) La velocidad angular wr del sistema.
b) El momento de fricción interno supuesto constante.
e) La pérdida de energía ciné tica del sistema.
Tenga en cuenta en la resolución que se conserva una magnitud dinámica.
Rta:
b) M,.,,~ _
a) W I _ _ 1_
, -w
/¡ + /2 "
/112 W"
c) !:J.T _
/1 + / 2 !:J.r
w: ~
2 /) + /2
Problema 8.22
z
o~_.;,;¡.
____•
y
,
(J
(J
x
,
r
Fig.8,21
Una barra rígida homogénea (figura 8·21),
inicialmente en reposo, de longitud 1 )' masa m, gira
en un plano horizontal, liso, alrededor de un puntO
fijo O. A una distancia A de O se aplica una fuerza
de módulo constante F, normal a la barra, con
componente z nula. Determinar:
a) la reacción de vínculo en el punto O como función
del tiempo.
b) la ecuación de movimiento del baricentro de la
barra.
c) el valor de A para que se anule la componente de la
reacción de vínculo normal a la barra.
_
Rta: a) IV - b)6(tJ_
l..;
2ml-
3F
2
9),2 F 2 t 2
(3))-
, í ' + F _. - 1 6
2m/~
21
2
3
e) l.. --1
Prob lema 8.23
Un sistema rígido está formado por tres puntos materiales de masas 2, 1 Y 4
localizados respectivamente en los puntos (1,·},1); (2,0,2); (·1,1,0). Calcular:
a) La matriz representativa del tensor de inercia.
b) El momento angular, respecto del origen, si el sistema ro la alrededor de este punto con
velocidad angular Q - (3,-2,4). ¿Son eolineales los vectores Lo y
e) La energía cinética del sistema.
d) Los momentos principa les de inercia y las di recciones de tos ejes principales de inercia.
º?
Rta:
J?
a) [ -
6
[ -6
1~ ~6)
2
b) L. -(0,-6,42)
e) T=90
16
351
--Caplwlo 8
MECÁNICA
o
~ l, siendo las direcciones principales de inercia, las
_, -(12
) _. (12
definidas por los vectores: v, - (0,1, 1) v
.j73,1,-1)
1-.ff3'
1 + 73
18
d) 1 - ( ~
13 -.ff3
13+.ff3
O
1,-1
V1
-
-
Problema 8.24
Para el sistema de la fig. 8-22. se conoce el
tensor de inercia en el sistema de referencia de ejes
principales con origen en el barice ntro. Por rolación
de coordenadas calcular el tensor de inercia para el
sistema de referencia (x,y,z). Obtener el vector
momento angular si el disco rota con velocidad
angu lar constante a lrededor del eje z.
colineales los vectores Lo y Q?
¿Son
1 O O
2
2
1
1
mr
[
Dala: 0 - - - O
O
2
2
O O 1
Fig.8-22
Rla:
~(sen2 e + 2cos 2.a)
O
o
1
2
mr 2
[o - -2
sen26
--4
sell 28
4
o
O ~ (2sen 2 + cos 2
8
8)
mQr' ( '
Le
- - 1 + sen 8,0,1 + cos , 8)
4
Problema 8.25
Para el mecanismo de la fig. 8-23, dados los momentos principales de inercia ba ricéntrico
pa ra la placa circular de radio r. calcular el tensor de inercia referido al punto O para la
terna (x,y,z). Determinar la energía cinética si el mecanismo gira con velocidad angular
constante Q alrededor del eje z y la distancia entre el baricentro y O es
352
¡e - 01 = aFl.
Dinámica del Cuerpo Rigido
MECÁNICA
,
r-
Z
2
In
Dato: IG - 2
O
O
y
r'
4
t······
r
O
2
2
O
O
,
r-
Rta:
2a 2 +-
-.....
_.,.:
t'
.-;.~
\ ';';;.'
F'19. 823
-
O
l~ = m
O
O
,.2
2
o
--a
o
a-+8
8
~
3r J
(3r'16 a')2
T_mQ2 _+_
Problema 8.26
En muchas situacjones es conveniente utilizar las ecuaciones cardinales para la dinámica del
rígido en una terna solidaria al cuerpo (como por ejemplo se hizo en la sección 8:4). Esa
lema es, en general, no inercial. Por esa razón debe tenerse en cuenta lo desarrollado en el
capítulo 5 para calcular la derivada de una magnitud vectorial cuando se la refiere a temas
no inerciales (que se trasladan aceleradas y/o rotan respecto de una lema de referencia
inercial).
a) Demostrar que la primera ecuación cardinal de la dinámica en una terna no inercial es:
-r_ _-dd pi
+QxP
t T",,,,,
M",J
donde F' es la fuerza exterior, P, la cantidad de movimiento del rígido y Q, el vector
rotación de la terna. Si la terna es solidaria al rígido Q coincide con el vector rotación del
rígido.
b) Demostrar que la segunda ecuación cardinal de la dinámica en una tema no inercial, es:
- *1
Mo" ...
donde
L
O'
dt
Te""
+ vo, x P-+Q xLo"
MI",iJ
MO' ~ es el momento de las fuerzas exteriores respecto de O', lO' es el momento
cinético del rígido, va. la ve locidad de traslación del centro de momentos O', Y Q el vector
º
coincide con el vector rotación del
rotación de la lema. Si la terna es solidaria al rígido
rígido. En algunas situaciones puede ser conveniente considerar una terna parcialmente
solidaria al rígido cuyo vector rotación no coincida con el del rígido.
La razón principal por la que resulta conveniente utilizar una terna solidaria al cuerpo es que
en esa lema, la matriz de inercia es independiente del tiempo. En el término en que se calcula
353
-
...
Capítulo 8
MECÁNICA
, 1 derivada en la terna móvil sólo se derivarán, en este caso, las com¡xmentes del vector
rotación en esa terna (en la sección 8.4 se opera teniendo en cueOla que la lema es solidaria
al cuerpo).
Analizar la conveniencia de considera r a O' coincidente con el baricenlro de l rígido. Obtener
la segunda ecuación universa l en el caso en que, por ejemplo, el momento cinético en la
terna móvil es constante (po r ejemplo el rígido rota en torno de un eje principal de inercia
con velocidad angular consta me) . Tenga en cuenta que esto no significa que el vector
momento cinético sea constante (puede variar su d irección).
c) Obtenga una genera lización de las ecuaciones de Euler para el caso en que la terna de ejes
principales sea parcial mente solidaria al rígido. En este caso, el vector rotación de la terna
es QT y es distinto del vector rotación Q del rígido.
Pro blema 8.27
Un cilindro recto circular homogéneo, de masa 111,
radio r y altura " = 21', se hace g irar con velocidad
angular ú.l constante en torno a un eje fijo (Figura 8·
24). La distancia entre los cojinetes A y B de apoyo
del eje es J y el centro de masa del ci lindro se
encuentra equidistante de ambos. Calcu lar las
reacciones dinámicas en los a¡x>yos en cada uno de
los casos a), b), e) y d).
X,
Fig.8-24
d)
R'.
_m-:w.,.'.,..I"_'
Rla.. a) R'"'
A
8
24L
b) Y c) Las reacciones dinámicas son nulas (e l
cilindro rota según una dirección principal de inercia).
2
d) R1ill ;; R~ill ... 11I~ E
Problema 8.28
En el eje vertica l AB que gira con ace leración
angular constante (Figura 8· 25), se han sujetado dos
cargas
y D de masa m, idénticas, por medio de
dos barras. La distancia entre el eje y las cargas es r.
Determinar las reacciones dinámicas en los apoyos
de l eje.
Cbnsiderar las cargas
y D como puntuales y
despreciar el peso de las barras O C y OD.
Considerar
, que en el instante inicia l el sistema se
encnntrn.ba en reposo.
e
e
Fig.8-25
,. ace IeraCl'6n angu lar es producida por un momento exte rio r M
-ex{ - MkNOla: U1
354
Djn4mica del Cuerpo Rigido
,
,
Rta:
;
gr) m( , '" gr) 1
[m (Qr+Qrr
,
gr) -m(Q,-Qrt
,
+-gr)
- O1
-,' [m ( , '"
,
"
R....... - - Qr+Qrt 7"- ,,- .Qr-Qrr- .+ -, , 2mg, L"' '.
2
,- h -1' k l1q U'."
h " .....
-d'
Ra
llO
_
"2
--
2
"
" 1
2
h '2
I
,,'
,
m\
"
Problema 8.29
,I.! .. r.",.; j', It.I:ir~ ,·)··;\
0'-"
·
!',
,;."
l'
Ji';:L.a. ; barra de ,'la. figura 8-26, qc;" masa
despreciable, longitud 2aJ tiene en cada extremo
una masa m y esta art iculada en un eje de
di rección Xl' Si se sabe ql1;e. gira con velocidad
angular w constante alrededor de l eje horizontal Zl
obtener mediante la segunda ecuación
uwversal
_
._. ',Id
11,
para ternas no inerciales el sistema de ecuaciones
.-j,
Xl
'w- :.diJ~ren~ja,es q\l~;.da \ eJ
P?.,oy,ifI?.iF:r,tg ~.e¡~livo de la
",,, , barra '1'='1'(1) y' el .fI1~m~lo <exll"iot ~P!ic¡¡p_o ,por
J,-,~,;. ~~Micl,l~cj6~ ~~{);1~ I!. ,,' j '.~,
. '''i\':~'';.
Rta : Para pequeños oscilac i o.iJ ~f ..ep. to rno del eje
yI, el movimiento es osc ilatorio ~nnón
, i co de
pulsación w. En la terna indicada el momento aplicado por la articu lación OL es:
Fig.8-26
,
(o, 4mw ¡ 2 cpsen 2 «p, _ 2mw ¡1 cpseIl2 «p)
j,
Problema 8.30
':.;. ~., 11: •.
ji
A
"W:" Una varilla uniformeAB con un punto fijoA rota
con respecto a un eje vertical fonnando un ángulo
constante a con la vertical (ver Fig. 8-27). Si .Ia.longitud
de la varilla es 1, demostrar que la ve locidad angular
, para que esto suceda es w '- ~3g SeCa
necesana
.. .
,
,
,
-------- x'
2/
Nota: Recordar que, en este caso, ellensor de inercia es:
"
Fig.8-27
1,
'r
"
355
CapituloB
MECÁNICA
o
O
ml 2
l- O -12
O
O
O
, referido a la terna de ejes principales con origen en el baricentro.
ml 2
O
12
Problema 8.31
Para el sistema del Problema 8.4, determinar el período de las pequeñas oscilaciones
alrededor de la jX)sici6n de equilibrio estable.
Rla:
T_2lt~21
3g
Problema 8.32
Una esfera rígida y homogénea de radio R puede rodar sin deslizar, bajo la acción de
la gravedad, por la superficie interna de otra esfera de radio a > R, fija en el espacio.
Obtener el período para el caso de pequeñas amplitudes de oscilación.
Rta:
21t
r(a
-R)
5g
Problema 833
Un disco semicircular y homogéneo, de radio
r, parte del reposo en la posición indicada. Si el disco
no desliza sobre la superficie horizontal plana,
determinar la velocidad angular alcanzada por el disco
cuando la energía cinética sea máxima .
.
)
~
91t-16r
Rla. '" - 4 (
Fig.8-28
Problema 8.34
Un sistema se em:ut:ntra formado por un disco rígido y homogéneo de 0.5 kg, una
barra homogént:a dt: 11.25 k~ Y un pasador de 0.1 kg de masa. El radio del disco es 0.1 m y la
longitud de la barrt!. es 0.4 m.
356
Dinámica del Cuerpo Rigido
MECÁNICA
El disco puede rodar sin des li zar por el
plano horizontal, mientras que el pasador
de desliza sin roce, como muestra la
figu ra 8-29. Inicialmente el sistema está
en reposo cuando 6=45°.
Determinar la velocidad del pasador
cuando 9=0°.
Rta: 2.61 mIs.
Fig.8-29
Problema 8.35
,
Sea el sistema de la figura 8-30 en el que el
disco homogéneo de masa 111 y radio r gira en
torno de un eje que pasa por el baricentro, mientras
que ese eje rota en torno de un eje perpendicular.
El disco tiene dos momentos principales iguales a
y
0.25 m ,.2 , mientras que el tercero es 0.5 111,.2. Si
las velocidades angulares wl y WZ son igu9les,
determinar el momento de las reacciones dinámicas
en los apoyos.
-
??
Rla: 0. )l~lI·-ú.)í.
F ig.8-30
Problema 8.36
La figura 8.31 muestra un esquema del mecanismo del
tren de aterrizaje de un avión. Después del despegue, el
tren de aterrizaje se retrae en el interior del ala por
rotación alrededor del eje A Si la rueda continúa
girando cuando se está retrayendo, demostrar que el
efecto giroscópico produce un momento en el soporte A
del tren. El radio de la rueda es r, el tren se retrae con
velocidad angular constante tú, el momento de inercia
del tren respecto respecto del eje DD es / y la velocidad
del avión cuando abandona la pista es v. Suponga que la
rueda no resbala.
r
Fig.8.31
Rta: El momento tiene módulo ,¡¡wIlr y la dirección del eje$
1,
357
Capfrulo 8
MECÁNICA
Problema 8.37
Si Se arroja un objeto con los tres momentos principales de inercia distintos, de 1.,11 manera
que gire alrededor de un eje principal de inercia con momento de ine rcia máximo o mín imo,
d movimiento es relativamente estab le (las componentes del vector rotación están acotadas),
pero si se lo arroja tratando de que gire alrededor del eje principal con momento de inercia
intermedio, el movimiento es muy irregular ya que se observan grandes C:1mbios en la
posición del eje de rotación respeclo del cuerpo.
Demostrar, a partir de las ecuaciones de Euler, que cuando un cuerpo rígido en el campo
gravitatorio rota alrededor de un eje con momento de ine rcia máximo o mínimo el
movimiento es estable, mientras que es inestable si el eje coresponde al momento principal
de inercia intermedio.
Sugerencia: Suponga que una de las componentes del vector rotación es mucho mayor que
las otras dos y analice como evolucionan con el tiempo las componentes mas pequeñas. Esta
consideración permite linealizar las ecuaciones de Euler.
Problema 8.38
Un giróscopo rota alrededor del eje X3, con
velocidad angular 003:::: ro (figura 8.32).
El momento de inercia axial es h y el momento de
inercia respecto de cualquier eje en el plano X¡X2 es
l. Inicialmente el volante es tá en la posición vertical
(9=n/2) y $(0) - O, .p(0) - ecO) - O.
Un cuerpo de masa ni se cuelga del eje X3 a una
y
distancia d del origen.
a) Usando las ecuaciones de Euler obtener las
ecuaciones diferenciales satisfechas por las
componentes W¡, Wl, W] del vector rotación en
Fig.8-32
términos de los ángulos de Euler 8, q" 1.1) y sus
derivadas. Use la [8] del apéndice 1 de l G.1pítulo 7.
b) Linealiz,1r las ecuaciones de a) bajo la suposición 6 2 n/2 y las derivadas de 4l y tV
pequeñas. Verificar que se obtiene un sistema de dos ecuaciones diferencia les de segundo
orden en W) y ~,(i).
c) Para resolver el sistema anterior introduci r a la fun ción compleja p( t) - S( t) + i til(t J.
Considerar que W(t) ... W y demostrar que:
mgd (
)
1t
mgd
6(t)---~ l-cosw( +-, 'j,(I) "' --2 (sellwl-wt)
loo ·
2
loo
Representar gráficamente $(1) y \j)(t) y sacar conclusiones.
358
Dinámica del C//erpo Rígido
MECÁNICA
Problema 8.39
La figura 8.33 muestra el esquema del cigüeñal de
un motor monocilíndrico que tiene dos volantes A y
B de radio r. Los brazos CD y EF Yel vástago DE
pueden considerarse como una carga de masa In
que se encuentra a la distancia h del eje de rotación.
Determinar las masas InA y mB de las cargas que se
deben colocar en los puntos R y S en las llantas de
los volantes A y B respectivamente, para equilibrar
dinámicamente lodo el sistema rotan te.
x
a
D
e
b
Sugerencia: Para equilibrar dinámicamen te todo el
sistema rotan le tiene que cumpli rse que el centro de
masa de iodo el sist~ma se encuentre en el eje de
rotación y que el momento centrífugo x z sea nulo .
Rla:
m,., = (b - a) h m Ir b
Fig.8-33
mB=ahm/rb
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
Problema 8.40
Una de las siguientes afirmaciones es falsa :
a) El tensor de inercia es simétrico.
b) Las reacciones dinámicas son cero si el sólido rígido rota con Q constante según uno de
los ejes principa les de inercia.
c) L y Q son colineales en el movimiento plano.
d) La energía cinética de un cuerpo rígido siempre se puede expresar como suma de la
energía cinética de traslación más la energía cinética de rotación.
e) La cantidad de movimiento de un rígido que rea liza un movimiento roto-Iranslatorio es
siempre p - mve .
Rta:@
b
Problema 8.41
Respecto al cuerpo rígido, una de las siguientes afirmaciones es falsa :
a) Si 1 es el tenso r de inercia calcu lado en el sistema de refe rencia (x,y,z), entonces
J' - AlA T , donde 1 I es el ca lculado en el sistema de referencia (X',y:z~ y A es la matriz de
cambio de base.
b) El tensor de inercia no siempre se puede diagonal iza r.
359
Capítulo 8
MECÁNICA
e) Cuando se diagonal iza el tensor de inercia, se obtienen los momentos y las direcciones
principales de inercia.
d) Las direcciones principales de inercia no siempre coinciden con los ejes de simetría
geométrica si la distribución de masa del cuerpo es no homogénea.
e) La energía cinética de rotación puede expresarse como
2. Q·l.
2
Rra: b.
Problema 8.42
Una de las siguientes afirmaciones ~s falsa:
º
a) El teorema de Ste iner puede aplicarse a sólidos no homogéneos.
i y
puede ser mayor que n12.
e) Un cuerpo rígido tal que / 1 ;;: 12 ¡<! 13 libre de la acción de momentos exteriores, tendrá al
menos una componente de su velocidad angular constante.
d) Los momentos centrífugos pueden ser negativos.
e) Los momentos principales de inercia de un cuerpo no pueden ser negativos.
b) Para un cuerpo rígido con un punlo fijo, el ángulo entre
Rra: b.
Problema 8.43
Un trompo simétrico apoya sin rozamiento en un
pun lo sobre un plano horizontal y gira permanentemente
con velocidad angular constante.
Si se lo deja en libertad desde la posici6n El (ángulo que
forma el eje del trompo con el eje z) y se desprecia toda
fricción con el medio, es verdadero que:
a) Cuanto mayor es W, más tiempo demora el trompo en
caer.
b) El trompo cae, pero el tiempo que emplea en caer es
independiente de w.
c) Si w::; O el trompo cae de modo que 8 - cte.
d) El plano formado por el eje del trompo y la vertical no
pt:rrnanece constante en el tiempo.
. kt
e) El trompo cae de modo que 6 .. - .
w
Rta: d
360
y
x
Fig.8-34
Dinámica del Cllerpo Rígido
MECÁNICA
Problema 8.44
Sea el sistema de la figura adjunta, en el
que las dos partículas de masa m están ligadas a la
varilla de masa despreciable de longitud L. soldada
por su punto medio a un eje horizontal fijo que rala
con velocidad angular constante w. El ángulo a es
constante y tal que cas o. = 0.8.
.a
El coseno del ángulo entre los vectores mOmento
cinético y rotación del sistema de dos masas es:
a) 0.8
b) O
e) 0.6
d) 0.8
e) 1
Fig.8-35
Rta: e
El módulo de l vector momento cinético del sistema respecto del baricentro, en unidades
,
mL-w ,es
a) 0.15
b) 0.3
e) 0.6
d) 0.8
e) 1
Rta: b
2 2
El módulo del momento de las reacciones dinámicas en los a?JYos, en unidades mL w , es:
a) 0.09
b) 0.12
e) 0.18
d) 0.24
e) 0.32
Rta: d
2
La energía cinética del sistema es, en unidades mL2w •
a) 0.09
b) 0.12
e) 0.16
d) 0.18
e) 0.36
Rta: a
Problema 8.45
En el sistema de la figura, el muelle aplica al eje un momento M = - K 8.
Si el mecanismo se libera desde el reposo en la posición 8 = 10:¡t
0< 8 < lOrt, una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
Y considerando
361
CnpímJo 8
MECÁNICA
al L.1S reacciones de vínculo en A y B no genera n
momento sobre el eje.
b) En una tana no inercial solida ria al cuerpo, el
vc:ctor momento cinético no es co linea l co n el vector
rotación.
e) En una terna solidaria al cuerpo, el momento
cin¿tico eS un vector co nstante.
d) El vec tor mo mento c inét ico [. y el vector rota ción
Q forman un ángulo constante distinto de cero y están
co ntenidos en un plano fijo respecto de una terna
inercial.
d
m
Ig
e) El vector [es no nulo.
Fig. 8-36
Rla: e
Con relación al enunciado an terior, el período de oscilación es:
a) T -
2n~ m(r 2 + 2d 2)
K
d) T-
e) Ninguna de las anteriores
Rla: a
Con relac ión al en unciado an terior, la energía cinética cuando pasa por la posición e = o es:
5nK d ~
a) T - ::..:;.:.,.:.::...
r_+d 2
2
e) Ninguna de las anteriores
Rla : d
362
e) T -
50,,' K( r' +d')
,
!:....-+d 2
2
d) T -50,,' K
r
MECANICA ANALITICA
9.1. INTRODUCCION
365
9.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES
9.2.1. Grados de libertad
366
366
9.2.2. Víncu los
9.2.3. Coordenadas generalizadas
9.2.4. Velocidades y aceleraciones general izadas
367
372
374
9.3 PRINCIPIO DE IIAMILTON
9.3.1 . Principios diferenciales y principios integrales
9.3.2. El principio variacional de Hamilton para sistemas dinámicos simples
374
374
375
9.3.3. Algunas caracteristicas notables de las ecuaciones de Lagrange
9.3.4. El principio variacional de Hamilton para sistemas no conservativos,
holónomos y esclerónomos
9.3.5. El principio variaciona l de Hamilton para sistemas no holónomos,
escJerónomos y conservativos
381
9.4. IMPULSO GENERALIZADO
390
9.5. EL IIAMILTONIANO y LAS ECUACIONES DE IIAMILTON
390
9.6. ALGUNAS CARACTERlSTlCAS NOTABLES DE LAS
ECUACIONES DE IIAMILTON
394
9.7. GENERALIZACION DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE
A OTRAS AREAS DE LA FISICA
394
9.7.1. El potencial electromagnético
9.7.2. Ellagrangiano eléctrico
395
395
9.8 PROBLEMAS PROPUESTOS
396
Problemas de selección múltiple
403
382
386
APENDlCE 9.1: APUNTES SOBRE CALCULO DE VARIACIONES
407
APENDlCE 9.2: POTENCIALES GENERALIZADOS
415
CUADRO RESUMEN
419
Mecdnica Ana/itica
l\{ECÁNlCA
CAPITULO 9
MECÁNICA ANALÍTICA
9.1. INTRODUCCIÓN
on la expresión MECÁNICA ANALÍTICA se designa a un conjunto de ideas
y desarrollos de la Mecánica que tuvieron por escenario la Europa del siglo
XIX y que consistió en tomar pun!os de vista más generales para la concepción
teórica de ezta Ciencia. En pnrticular se desarro ll aron metodologías que
presentan ventajas con-:::eptua les respeclo de la formulación Newloniana y cuyo resultado
más encom iable es que abrieron paso a los desarrollos que en nuestro Siglo permitieron el
surgimiento de la MECÁNICA CUÁNTICA Y con ella una nueva concepción del
micromundo, y de la FÍSICA en genera l.
C
Si bien esta teoría es por demás import.1nte como aporte de la Mecánica a la Física
Moderna, la Mecánica Analíti-:::a ha tenido notable <lplicaci6n en otras disciplinas como la
Mecánica Celeste, la Mecánica Estadístit:a, el Electroma.$fletismo, etc.
Todo ello hac~ que la introducción de un Cap í~ \..!lú como és te -:0 un Curso Básico
para estudiantes de Ingeniería y de Ciencias, sea "e rclad era ~eme ¡nsoslayable.
365
Capítulo 9
MECÁNlCA
El pt'oblema que se plantea la mecá nica ana lítica
Desde cierto puntO de vista, la formulación Newloniana presenta dos
condicionamientos, muchas veces desfavorables:
a) La sencillez matemática de l enunciado del principio de masa para un obseIVador inercial,
cuando se formula en coordenadas ca rtesianas, esto es :
F -mli
F" -mi
Fr - mji
F. -mi
deja de serlo en cuanto se cambia de sistema de coordenadas, Por ej emplo en esféricas:
¡ - ma
F. - 11/(;: - rtF - n:p2sen 26)
Fe - m(2i8 + rO - np2sell6 cos e)
F'(l - m(2r9$ cos e + 2i~seIl6 + npsel/e)
Es decir, cambiando de sistema de coordenadas la ley de Newton cambia la forma, y
ell o puede ser en algún caso un inconven iente para sistematiza r la resolución de problemas.
b) Por otra parte, el primer miembro de la Ley representa la fuerza neta, vale decir la suma
vectorial de todas las fuerzas aplicadas. En ellas se incluyen tanto las denominadas activas
como las reactivas. El inconveniente operativo es que las últimas no son dato del problema.
En todo cuerpo vinculado, el conocimiento de las fuerzas de vínculo o reactivas puede
obtene rse a partir de la ecuación del movimiento, o sea, una vez resuelto el problema
dinamico. Ello muestra la conveniencia de disponer de una fOnDulación en la que se pueda
ignorar a las reacciones de vínculo en una primera instancia, No significa ello que no puedan
calcularse, sino que en el planteo inicial de las ecuaciones, no figuran explícitamente.
El objetivo primario que se propolle la Mecánica AI/offtica es justamente superar
ambos illcoflvellielHes. lo cual logra en U/l marco de I/otable elegancia formal y
cOllceptual.
9.2. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES
A los fines de comprende r la nomenclatura que utilizaremos, resulta conveniente
ajustar algunas ideas que hemos ido introduciendo en Capítulos previos:
9.2.L Grados de libertad
Dado un sistema de puntos materiales, fijamos la posición de cada uno de sus puntos
mediante las respect ivas coordenadas respeclo de un sistema de referencia. Para ello, en
general, podremos utilizar más de un conjunto de parámetros. Supongamos que dado uno de
eSOS conjuntos est1blezcamos un movimiento de todo el sistema, definido po r los
desplazamientos virtuales de f¡ coordenadas (desplazamiento virtual o imaginado como
posible. Ver 4.11.2). Si tales desplazamientos son independientes entre sí, es decir, cualquie r
otro desplazamien to se podría expresar como combinación lineal de los primeros, entonces h
es un número que representa elllúmero de grados de libertad del sistema.
366
Mecánica AI/alí/iea
MECÁNICA
9.2.2. Vínc ulos
Hemos mencionado al tratar los Capitulos 2 y 4 que vínculo es todo aquello que
limita o modifica el estado de movimiento de una partícula o de un sistema de partículas.
Diremos que existe una condición de vínculo cuando hay alguna circunstancia que prefija el
mov imiento del sistema. En general, estas circunstancias puede n expresarse po r relaciones
entre las coordenadas.
Sea un sistema formado por N puntos materiales. Si no eXISlleran vínculos,
tendríamos 3N grados de libertad, o sea 3N coordenadas libres o independientes que pueden
fijarse arbitrariamente. Supongamos ahora que el sistema tiene r condiciones de vinculo.
Tendrá ahora 3N . r grados de libertad y se tendrán
<I> ,(x¡,c)-C,
<I>,(x¡, c)-C,
[9.1]
<I>,(xpc)-C,
r condiciones de vínculo que relacionarán a las 3N coordenadas en tre sí y con el tiempo.
Víncu los ho lóno mos
Son aquellos que pueden expresarse mediante funciones de las coordenadas o
mediante relaciones integrables de sus diferenciales. Las ecuaciones de vínculo pueden o no
depender delliempo.
Ejemplos:
a) La condición vincula r de un cuerpo rígido de N puntos
,;"-rj" . e'ij
l ... }
"1,2, ...... .N
l,}"
define un vinculo ho lónomo.
b) Otro caso de vínculo holónomo,
conocido de los capítulos previos, es la condición
de rodadura, que puede expresarse como relación
entre los diferenciales de las variables, o bien
mediante su expresión integrada:
<Ix - Rdq>
Fig. 9-1
367
Cap(mlo 9
MECÁNICA
Vínculos no holónomos
Se dice que un vínculo es no holónomo o anholónomo si las condiciones se expresan
por incrementos diferenciales 110 iltlegrables de las coordenadas.
Por ejemplo, sea un disco que rueda sin deslizar sobre un plano. Para determinar la
posición del disco se requieren dos conjuntos de coordenadas: uno para fijar la orientación
del disco y olro para determinar el punto de contacto de aquél sobre el plano. Y ambos
sistemas están relacionados por la condición de rodadura.
;; ,
]
,
1
(J
Sean x,y las coordenadas del baricentro del
disco que ubica la posición de contacto entre el
plano y el disco, cp el ángulo de rotaci6n del disco
sobre su eje y e el ángulo que determina la
orientación del plano del disco. La condición de
rodadura vincula a las dos conjuntos de
coordenadas y, por lo tanto, no son independientes
: un cambio de orientaci6n del cuerpo producirá un
cambio de posición del disco sobre el plano y
recíprocamente. Las ecuaciones son:
dx - a cosBde¡>
Flg.9-2
dy - -o ,enBde¡>
ds _ ,.de¡>
Este sistema de ecuaciones no puede ser integrado hasta no resolver el problema dinámico.
Este lipa de vínculos que se expresan por diferenciales no integrables de las
son un caso particular de vínculos no holónomos. En efecto, también se
incluyen entre éstos a los vínculos que se expresan por inecuaciones, como es el caso de un
punto vinculado a moverse en el interior de un círculo:
~oordenadas
rsR
Otra clasificac ión, independiente de la anterior, que suele utilizarse para los vínculos
es la siguiente:
Vínculos escJe ..ónomos
Son aquellos que pueden expresarse por
ecuaciones independientes del tiempo. Por ejemplo,
la condición para un punto material, de moverse
sobre un plano inclinado de inclinación fija.
----Jf!jj¡¡
..
~
esc1erónomo
VíIl:culos reónomos
Aqui las condiciones de vínculo son
funciones del tiempo. Por ejemplo, en el caso del
plano inclinado del ejemplo anterior, si se considera
368
reónomo
Fig.9-3
MectÍnicu AlllIlíticu
MECÁNICA
ljUC el ángu lo de inclinación es va riable según una ky determinada del tiempo,
Sis temas dinámicos simp les (SOS)
Definiremos como ta les a aquellos que cumplan las características de se r !zolóllolJlos
(Jos vínculos que intetvienen son todos ho lónomos), esc!eróllolll os (las condiciones de
vínculo son siempre independientes del tiempo) y cOllse".'alú'os (las fuerzas intetvinientes
dcrivan de un potencial sólo dependiente de la IXIsición),
PI'o blema 9,1.
Clasificar a los sistemas dinámicos que a continuac ión se detallan, según el tipo de
vínculo y de sistemas de fuerzas aplicados, Llamaremos N al número de puntos materiales del
sistema, h al número de grados de libertad, r al número de condiciones vinculares,
a)Punlo material libre
Resolución:
N =1
h=3
z
r=O
•
p
o
y
x
b) Punto material vinculado
Fig.9- 4
/,-......:!'P(x,y,z) = O
~.
.I(...-
1) sobre una
superficie
Resolución:
~-
'
r/ :F.'
JO• ••• p..,..~
"
-' ,.'
.I J
,
" /')'
/
}:
~.
-. /1
.'
N=1
h=2
,=1
Condición de vínculo:
cp(x,y,z) - O
ecuación de la superficie
./
2) sobre una curva
Fig.9 - 5
Resolllción :
N=1
h=1
r=2
369
•
MECÁNICA
Capfllllo 9
Condición de vínculo:
'P(X,Y,Z)- O
(
)
{'V x,y,z - O
ecuaciones de las superficies. Su intersección
determina la trayectoria
e) Péndulo simple
Resoludón :
1'lg. 9 -6
N =1
h =1
r =2
(1 es constante y el movimiento es plano)
Fig.9-7
d) Oscilador armónico simple unidimensional
x=O
N =1
h= 1
x
I
Resolución:
•
r=2
(el mov imiento es rectilíneo)
F!g.9-8
e) Péndulo físico
Resolución:
N' = 3 h = 1
r=2
N': número de grados de libenad del sólido rígido libre
en el plano
:
...
,
.. '
~
: ef .
"
.
.
;
¡
"
J:
_
(rígido con un eje fij o)
Fig.9-9
370
t
·,mlll.
Mecánica Anallrica
MECÁNICA
"t) Péndulo de torsión
Resolución:
N' = 3
h=1
r=2
(rígido con un eje fijo)
vI
Fig. SI-lO
g) Péndulo de longitud variable
Resolución:
m
N =1
h= 2
r=l
Flg.9-11
.,
h) Máquina de Atwood
•
(sin rozamiento,
despreciando momento de inercia de la polea)
Resolución:
N=2
h=l
r=5
(la cuerda es inextensible, los movimientos son
rectilíneos)
i) Osciladores acoplados
Resolución:
N=2
Fig.9-13
h=2
r=4
.
(los movimientos son rectilfneos, el
resorte de acoplamiento no introduce
restricciones)
371
Cap/wlo 9
MECÁNICA
j) Masas vinculadas por lh"la cuerda que rea lizan
movimiento unidimens ional y sobre UA plano
n:spectivamente. La cuera.! es inelaensibk'! y sin
peso.
Reso!uc.:ión :
N= 2
h= 2
Ir
=4
(un c.ue rpo realiza movimiento recti1íneo y el
cttt> un movimiento central)
F lg. 9··1I4
9~ 2:31, <e:oo l"de ll adas G~ l let·al-i z.:!das
Se tJt:f¡nen como comdenad&:: geru:!lalizadas a los ¡:::rarámelID- que penuitc:n
~ijkt:¡;er ul\j',ocamente la posi¡¡-,ón delg istema~.y cuyolDümero ceincide COO1 e l de los grados
de.:!bell tad da aquél .
. Tal dBf:Ii ción ... da lugB"- a C!Ut. las "oordenatlas genera lizadas no representen
t:oX.cldti~\l amentd t:iistancial., a I03::LjeS coQ rdenadcB, ya que pueden representar, por ejemplo,
ángulc9: . Podría " ~ rse q u ·~ este o. nceplO¡ Juede a jn extelli erse a Pf'rámetros que representen
nltas ml.lgn itu6f:t jel si!itema.
o st:.asi i(1.1enominamos¡c¡,. a la coorderHltia gene:r:,';.JiL'lda o.rrrespontlt !ntc al gralJo de
ÁbrtrrJ¡ k, pddd. expresarse en genemJ.. como función .rle las o-ordenadls-. cartesia ms; y •
ewnt\!lll lmente., Giel tiempo :
k -~,2, ...... :i l
lI - l,2, .... !]V
dondl! 1m. x,
reprt!st:.llIa n las coordenadas , que describen la pos ición del sistema de N
paniculas, h rc:presc:nta el número de grados dI! libeÑad (y por lo tanto de coordenadas
gt::ncralizadas) y 1, el! tiempo.
Prublltma 2..2
ClasitiC<1r a los s istemas dinámicos del Problema 9.1 e indicar una se lección
cunvc:nientt:. de coomenadas .l2:eneralizadas
.
,
a) Punto mate.riallibre
Resolución:
hol6nomo, esclerónomo, conservat ivo (SDS)
Coordenadas: (x,y,z)
MECÁNICA
Mecá"ica Allalitica
b) Punto material vinculado
1) sobre una superficie
2) Sobre una curva
Resolución:
Resolució" :
holónomo, escJerónomo, conservativo
holónomo, eSclerónomo, conservativo
Coordenadas: (distancia medida
sobre la curva s)
Coordenadas: (las correspondientes
a la superficie x,y)
e) Péndulo simple
Resolución:
holónomo, escJerónomo, conservativo (SOS)
Coordenadas: (ángulo entre la posición de equi librio y la actual, «i)
d) Osc ilador armónico simple en una dimensión
Resolució" :
holónomo, esclerónomo, conservativo (SOS)
Coordenadas: (elongación de! resorte a partir de la IXJsición de equilibrio estable, x)
e) Péndulo físico
Resolución:
holónomo, esclerónomo, conservativo (SDS)
Coordenadas: (ángulo entre la posición de equil ibrio y la actual, q'l)
t) Péndulo de torsión
Resolución:
holónomo, esclerónomo, conservativo (SOS)
Coordenadas: (ángulo entre la posición de equilibrio y la actual, l(I)
g) Péndulo de longi tud variable
Resolución:
holónomo, reónomo, no conservativo
Coordenadas: (Como en el péndulo, más la distancia al agujero: <p,r)
h) Máquina de Atwood
Resaludó" :
holónomo. esclerónomo, conservativo (SOS)
Coordenadas: (distancia entre el punlo de suspensión de la polea y uno de los
cuerpos, x)
i) Osciladores acoplados
Resalw.:ión :
holónomo, esclerónomo, conservativo (SOS)
Coordenadas: (elongaciones del resorte para cada masa desde la posición de
equilibrio, Xl,X!)
j) Dos masas vinculadas por una cue rda que se mueven sobre un plano y según la dirección
vertical.
373
•
Cap{tulo 9
MECÁNlCA
Resolución:
holónomo, esclerónomo, conservativo (SDS)
Coordenadas: (coordenadas polares de la masa sobre el plano, r, Ifl)
9.2.4. Velocidades y aceleraciones generalizadas.
A las derivadas respecto del tiempo de las coordenadas generalizadas las
denominaremos velocidades generalizadas y a las derivadas de éstas, aceleraciones
generalizadas:
q _ dq,
ij _ dq,
,
dI
,
dI
9.3. PRINCIPIO DE HAMILTON
9.3.1. Principios diferenciales y principios integrales
Además de los Principios de Newton o Principios de la Mecánica Clásica que
introdujéramos en el Capítulo 2, han demostrado ser muy útiles otros, que como aquellos
aceptados como axiomas y utilizando modelos matemáticos adecuados, permiten deducir las
leyes físicas que tienen inequívoca comprobación experimental.
La formulación axiomática de la Física puede realizarse tanto a través de una
formulación diferencial, como a partir de una integral. Un principio como el de Newton,
_
d 2¡
F - m de 2 ' que se expresa mediante una derivada, es ejemplo del primer caso. También
pertenecería a este grupo un principio que se formu lara a parti r del Principio de D'Alembert
.(presentado en 4.11.3) en el que, convirtiendo al problema dinámico en general, en un
problema de la estática, se propusiera resolver el "equ ilibrio dinámico" mediante la
aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales (9.11.2)
[9.2]
donde se considera lo que sucede en un instante e y se analiza el comportamiento para
desplazamientos virtuales 61;.(·)
El otro punto de vista, el de los Principios Variacionales, considera el movimiento
completo del sistema y lo estudia dentro de un intervalo finito de alguna variable (por
ejemplo, el tiempo), suponiendo pequeñas variaciones de tal movim iento. lo cual incluye la
modificación simultánea de las restantes variables.
C') Es posible ob/eller las Ecuaciones de Lagrallge de la Dinámica a portir de la formulación d~ ~s(e
pT/ncipio diferencial y de esa forma (ecllación simbólica). Ver Herlig, R. MECANICA TEORlCA . El
Alelleo. 197-1.
374
Mecdnica Ana/frica
MECÁNICA
El sistema debe estar descripto a partir de
sus
coordenadas
genera lizadas.
Estas,
un
hiperespacio
geométricamente
definen
h - dimensional. Este espacio recibe el nombre de
Espacio de Configuración del Sistema. La
variación de las coordenadas generalizadas en el
tiempo pennitirá describir una "trayectoria" en tal
espacio, que en general no tendrá semejanza con
nuestro concepto de trayectoria en el espacio
físico.
e
P,
0')-_ _ _ _ _+
q,
P,
El tema de los Principios Variaciona les es
de profundidad y trascendencia desde el punto de
vista conceptual y por ello provee apoyo a la teoría
de la MECÁNICA.
Fig. 9-15
Observemos que los Principios Variacionales son eso: Principios, es decir,
enunciados cuya verdad no puede juzgarse en funna directa , sino a partir de sus
consecuencias. Y por tratar temas de Física, el juez último que di ctaminará sobre su validez
será la confrontación experimental.
Podemos agregar que si bien el cálculo de variaciones no aporta una herramienta
matemática extraordinaria para la resolución de prob lemas de Mecánica, es en el ámbito de
la teoría y de la fundamentación de la Física, donde esta metodología ofrece su mayor
aporte. Así, por ejemplo, podemos adelantar que los Principios Variacionales han influido
preponderantemente en la fonnulación de la Mecánica Cuántica.
Por otra parte, en este tema desarrollaremos s610 uno de los Principios Variacionales
(e l de Hamilton) o sea, quedan fuera de nuestro tema actual otros no menos trascendentes y
precursores de ideas modernas de la Física, que el lector interesado podrá hallar en la
Bibliografía recomendada.
9.3.2. E l Pr incipio Variaciona l de Hamilton para Sistemas Diná m icos Simples
Sea
que denominaremos función de Lagrange o lagrangiano, una funci ón donde las variables
son las velocidades generalizadas, las coordenadas generalizadas y el tiempo. T represe nta la
energía cinética del sistema y V la energía potencial correspondiente a las fuerzas
(conservativas). En principio consideraremos sistemas dinámicos simples (SDS). Entonces
definiendo a S, que llamaremos la acción, por la integral curvilínea
s = fL(q.,q"I)dl
,
[9.3J
¡
l
375
Capfmlo 9
MECANICA
donde e es una trayectoria en el espacio de configuración donde se calcula la integral,
podemos enunciar el PRINC1P10 VARlAC10NAL DE HAM1LTON:
" De lodas las IrayecLOrias posibles, compatibles con los vínculos, que puede seguir un
sistema dinámico para desplazarse de un punto a airo del espacio de configuración, en WI
intervalo de tiempo dado, la trayectoria real seguida por el sistema es aquélla que hace
extrema a la acción".
A partir del enunciado del principio es posible calcular la variación y anularla, tal como se
comenta en detalle en el apéndice 1 de este Capítulo
"
[9.4]
aL bi¡, + '2,-bq,
aL} t-O
óS-J"( '2,-.
aq;
aq,
'1
pero
i
;
,. aL
" aL dbq.
" aL
J'2, ="'l,dt - '2,f-. - ' dt = '2,f -'--c-dbq,
dq¡
; '1 dq¡ dt
i '1 dq¡
e integrando por partes y teniendo en cuenta el enunciado del principio
'
I
i
aL.1= - 1:, f-"dtd iJq¡aL. bqflt
1:, "aL
f-. bi¡,dt = 1:, [(aL
-. b'J¡ )""- fbq,d-iJq¡
iJq¡
,iJq¡
,
I
tL
I
I
'1
I
I
y reemplazando
" (d
aL -aL}q,dt - o
JL:
--o
, , dt oq, aq,
,
.
Como los puntos inicial y final son arbitrarios y las coordenadas generalizadas son
parámetros linealmente independientes, ello implica que necesariamente se debe cumplir
d aL aL
-----0
dt ail; aq,
para i = 1.2.3, ...... h
[9.5]
que representan " ecuaciones independientes (una po r cada grado de libertad) que se
conocen como ECUACIONES DE LAGRANGE para sistemas dinámicos simples.
Problema 9.3
Hallar el Lagrangiano y las ecuaciones de Lagrange de l sistema de la figura (péndulo
elástico)
Resolllción
Energía cinética
376
,
Mecdnica Analilica
Energía potencial
MECANlCA
v _ -mgrcosq¡ + ..!..k(r - (0)2
2
donde llamamos ro a la longitud natural del resorte.
Resolución
Lagrangiano
L - T - V - '!"m(¡2 +r2cp2) + mgrcosq¡ -!..k(r -ro)'
2
2
Fig.9 -16
Ecuaciones de Lagrange
d aL
aL
--mr
af
aL,,", mrcjJ2 +mgcoscp- lJ,_r)
~
_
- - - mr
dt af
~
~
m; - mnjJ2 - mgcosq:J + k{r - 'o) - O
aL, - Inr 2'q>
-
daL _ m(2.. )
---,
r q¡ + 2rrq¡
aL
- _ -mgrsen<p
mr 21jl + 2mrn:p + mgrsencp _ o
a<p
a<p
dI a<p
Ecuaciones que pueden expresarse
r_rcp2 +w~(r -ro}- gcosq>
1d (r 2q>) - - gsenq¡
-
r dI
En este ejemplo, podemos notar que las ecuaciones de Lagrange ofrecen una
metodología simple, que permite sistematizar las resolución de problemas hasta obtener las
ecuaciones diferenciales del movimiento. Pero nada aporta en cuanto al tratamiento y
resolución de éstas.
Es decir, desde aquí es necesario reso lver las ecuaciones diferenciales para obtener
las ecuaciones horarias correspondientes, que son las que posibilitan la descripción del
movimiento.
Problema 9.4
Una partícula de masa 111 se mueve en el interior de un tubo, sin fricción, que gira en
un plano vertical con velocidad angular 00 constante. Hallar el Lagrangiano y las ecuaciones
de Lagrange
377
Capímlo 9
MECÁNICA
y
e
Resoftlción :
Clasificación: sistema holóno mo, reónomo y no
conservativo.
x
El vínculo, en este caso el lubo, realiza un
movimiento de rotación alrededor de un eje horizontal. Por
Fig.9-17
In tanto, la ecuación de vínculo es función (en este caso
lineal) del tiempo.
J (.,
, . ,) J ¡.,
' ,)
Energía cinética
T - - m ,.- + rq¡" - - 'fl\r + r"w"
2
2
Energía potencial
V - mgrsenwt
Lagrangiano
L _ ~ ",(,:2 + r 2o}) - mgrsenwt
Ecuaciones de Lagrange
aL
-a,:
d aL
-""'
- - -llIF
di ai
aL
,
- - mrw" - mgsenwl
ar
mi - mroo 2 + mgsellwl _ O
ecuación que convenientemente ordenada se expresa
- ,
r-oo r - -gsenoot
que es una ecuación diferencial de segundo orden a coeficientes constantes, no homogénea.
Integrando para condiciones iniciales tales que
conduce a
r(O) - a
"(O) - O
r{ ,) - aC"(w,) + ;", se""" - ;", S"(w,)
que es la ecuación horaria que permite describir el
movimiento.
Problema 9.5
Un cilindro no homogéneo rueda sin deslizar
sobre un plano horízonml. Su baricenlro está ubicado a
una distancia h de su eje geométrico y uno de sus ejes
principales de inercia es parale lo a aquél, siendo l o el
momento principal de inercia correspondiente. Hallar:
a) la energía cinética en función del mOmento principal
de inercia lo .
Fig.9-18
b) El Lagrangiaoo y las ecuaciones del movimiento del
ci lindro
e) El período para pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio.
378
Mecánica Ana/(t;co
t-.iECÁNICA
Re~oJllciÓII :
1,
_(
)1,
Energíacinélica T-Zmv o +mvoxQx G-O +z/ .. w
De la figura resulta
v; _
O:; .fjlk!
w 2 _ fjl2
x~
Vo -x{coscp~ +selltp}l)
(G-O)- -h}1
vo .Ox (G - O) - x( cos cp~ + Sellffl}1 ).( -fj¡I!) X (-!tI!) - -xq,h coscp
Además por Teorema de Sleiner
lo - la + mh 2
enlonces, la energía cinética resulta
h'' . ,
.,
, ..
1,. ,
-Zmx -mlxtpcosl(l+"2 acr· +11I-Zq¡ "
TI
En cuanto a la energía potencial
v _ -mg" cosq¡
y por el vínculo de rodar sin deslizar
j: _
Rcp
Entonces, el Lagrangiano resulla
l.'
1
, +21G
1 +211lh
1 , - mhRcosq¡ tp'" +mghcoscp
L - T - V - ("2mR"
Ecuación de Lagrange
a~ _ (mR2 + l e +m1l 2 -2mhRcoscpyP +
~ - (mR 2 + le + mh 1 - 2mhRcoscp):P .. ~
dI af{l
+ 2m/¡Rsell<pcp
aL - mhRcp':1"sell<p - mghsellcp
ikp
(mR 2 + l e + mll 2 - 2mhR(:OSCfl)qi + 2mhRrps{!mp - mhR<Fsemp + mghsemp _ O
Considerando pequeñas oscilaciones tomamos
m'
'" • o
cos<p_1
selHp EII <p
(mR 2 +I G +",h 2 -2mhR)cjl+l1Ighcp- o
,
'1'+
mhg
rnR +I G +mh 2 - 2mhR
J
'1'-0
que tienen la forma de la ecuación diferencial del oscilador lineal. Para pequeñas amplitudes
de la oscilación resulta
mgh
w ~ - -,---;'::--..,."
la + m(R - h)'
2n
<=-
w,
379
MECÁNICA
CllpÉwlo 9
Problema 9.6
Plantear el Lagrangiano del péndu lo cónico y
h¡llIar las ecuac iones de lagrange. Se desprecia la
fuc:rza viscosa.
Resolución:
;: .. xi + yJ .. Isena coscpi + lsen9senrrJ
al
_a'l'
_
a- .. -sencpl"
+ cosrpJ
,.
e, -
0'1'
Fig.4-19
i~ .. -cp( coscr1 + sellcrJ) - -cpee
iJ¡
"_ ae - "
- I~
"
cas '1" + 5el1'I'J
~... cp( -sellQlT + coscpJ) .. cpe"
Energía cinética
ii -Slcos6eB + Isen6~B .. /Scos6e. + /epseIl6eq>
2
m/ (.,
~
2
2)
T - - S·cos 6 +cp'sell 9
2
Encrgia potencial V - mgl(1- cose)
l<lgrangiano
mi' ( . 2
L -2
,I
.)
6 cos 8 +cp2seni) - mgl(1-cos6)
-
2
Ecuaciones de Lagrange
18cos 2 e -/S;en8 cos6 -/~seIl6cos8 + gsen8 .. O
ml<f¡seniJ .. ele
~sefl'a .. h
Problema 9.7
Un alambre rígido parabólico (z .. ar 2 ) rola según un eje vertical, cumpliendo la
ecuación horaria
6(,) .. 6 0 + UlI +..!. al 2,
mientras una partícu la de masa m desliza sin
2
fricción por el .¡.lambre, bajo la acción de su peso. Hallar el Lagrangiano y las ecuaciones de
Lagrange.
Resolueió"
Clasificación: conservativo, hOlónomo, reónomo
Grados de lincrtad : 1
JHO
1
Mf!<.fÍflicll Al/lllílicll
MECÁNICA
Energia cinética
..../~
;
il
z-ar
;
z-lad
Energía JX>tencia l: V .. mgz - mgar 2
Lagrangiano:
L - T - V _ '; [,~ 2(1 + 40,.2) + ,.2(0) + 01)2] _ mgar
Fig.9-20
Ecuación de Lagrange:
aL
.(
- , - mI' } + 40r
,)
d aL
- - mr"(1 + 4 al' ') + 8 mar,..,
dI af
al'
-aL - 4mo', ,. + mr (w + al )' + 2mgar
ar
m¡:(J + 40r 2) + mar(Sf 1 - 40 - 2g) - rm(w + al)1 _ O
i'(1 + 4ar')+ a/"(8/'- 4a - 2g)- r(w + al) - O
9.3.3. Algunas cal"acterís ticas notables de las ecuaciones de Lagrange
Sea un punto material de masa m, sometido ti un potencial dependiente sólo de la
pt..1sición V(x,y,z). Entonces ellogrollgioll o es
( . , ., +z.,) - v( x,y,z )
L - l1 l1lx'+Y
d aL
dI a.\"
-- -
d (.)
..
11t\' - JIU'
dE
-
.. av
IIIX+ -
ax
-
o
aL
av
---ox
CJx
av_ F
mx" - - ax
.<
y en forma sim ilar para las restantes tres coordenadas. Es decir, la ap licación de las
Ecuaciones de Lagrange para una panicula. conduce a las ecuaciones de Newton en un
campo de fuerzas conseIVa tivo. Entonces, podemos generalizar:
1.
La validez del Principio de Hamilton resulta de comprobar q ue de el se obtienen las
ecuaciones de Lagrange. de las que se deducen las ecuaciones de Newlon . que tienen
amplia comprobación experi mental.
381
CapItulo 9
MECÁNICA
11. Desde el punto de vista matematlco permiten obtener sistemas de ecuaciones
diferenciales de segundo orden en las coordenadas generalizadas, como las de Newlon,
pero que satisfacen las dos propiedades planteadas inicialmente:
• Tienen las misma forma cualquiera sea el COl/jlUllo de coordenadas
generalizadas COII las que se trabaje.
• En ellas liO intervienen las fuerzas de v{l/culos, sino exclusivamente las
fuerzas activas.
1II. Desde el punto de vista físico, mientras que las ecuaciones de Newton represenian una
relación "en fuerza" (la magnitud en cada miembro se mide en un idades de fuerza), las
ecuac iones de Lagrange se expresan como una relación "en energfa" . No es casual idad
que la ecuación fundamental de la Mecánica Cuántica (Ecuación de Schroedinger)
también sea una ecuación "en ellerg{a".
IV. Pese a que fueron deducidas para sistemas dinámicos simples, su validez se puede
extender a otros tipos de sistemas.
v. Representan una metodología para la resolución de problemas de mecánica que la
sistematiza y Simplifica en muchos casos.
9.3.4. El Principio de Hamilton y las Ecuaciones de Lagrange para sistemas no
conservativos, hol6nomos y escler6nomos.
El Principio de Hamilton también puede enunciarse del siguiente modo:
."EI movimiento del sistema entre los tiempos ti y t! es tal que la integral curvilínea
[9.6J
"
donde T representa la energía cinética del sistema y W el trabajo de las fuerzas activas
aplicadas, es una extremal respecto de la trayectoria del sistema en el espacio de
configuración'".
En símbolos
,-
bJ - ÓJ{T + W)d, - O
[9.7J
"
donde ti Y 12 son fijos.
(Es fácil demostra r que este principio contiene, como caso pa!1ic~lar, al enunciado
para los sistemas conservat ivos, que dejamos para el lector).
Por propiedad de linealidad de la integral
bl- Óf'Tdl +óf'Wdl- O
"
"
Al término en W lo podemos desarrollar como sigue:
ÓW -
pero si
382
f' bWd, - f:2',F.órdl
"
.]
j
,
r
[9.8J
r
Mecánica Analitica
MECÁNICA
[9.9]
Definimos como rue.:-za genera!izada asociada a la coon:ier.aia ge¡¡e:'a:izzda q" a
'\' _a,
Q~ - ~F,.-'
[9.10]
. aq,
El lector puede comprobar q'Je si la cocrdenada generalizada es :"':112 dist2.!1cia (una
longitud) , la fuerza generalizada tiene unidades de fuerza, mieatras cue S! Ir. coarcenada
generalizada es un ángulo, la fuerza generalizada tiene unidad de mOUle:;.to ae I!~a fuerza.
Reemplazando en [9.9]
I::¿, Q/:Jq"dt
[9.11]
6fTdt
-1,f'r(i],.q,.:'}lt
'1
/,
[9.12]
bW donde los óq/t son independie:ltes
En cuanto al término en T
Por lo visto e:l 9.3.3 esta expresión coincide fonnalmente con la [9.4]
intercambiando el Lagrangiano L con la energía cinética T. O sea que siguiendo idéntica
deducción se tendrá
J.
f" ",( ar
J,
1
It
iJq/r
p
d ar q,dt
ó "rdt - J. ¿ - - - - o
dt aq¡.,
[9.13]
Reemplazando en [9.8J
óI -
t{ 2:(.!!.. -dd ar )óq,dt T' Q,bq,d'} k
aq!
t iJq.
+ "')'
O
[9.14]
Pero como (os bqk son linealmente independientes para que se anule la integral debe
ser cero el integrando. Entonces
d (aT) ar
dt ai], -aq, - Q,
k = 1,2, ..... h
[9.15]
Este sistema de ecuaciones diferenciales, cuyas foana es apta para fue:zas no
necesariamente conservativas, recibe el nombre de Ecuaciones de Lagrange de Primera
Especie.
Problema 9.8
Un punto material está obligado a moverse sobre ~l plano x,y. :-l:allar las ecuaciones
diferenciales del movimiento en coordenadas polares, utilizando las ecuaciones de !...agrange
de primera especie.
383
CapÍllllo 9
MECÁNICA
Resolución:
El vector posición S~ püede escribir
(P-C)- f¡ ... rcosel +rsen6¡
Teniendo en cuenta la [9.15] para las coordenadas
generalizadas r,8
tendremos dos fuerzas
generalizadas
- dr, - (COSel• + sen 6),)Q, -F'a;-F.
- F.e,-F,
-er,
-( -senS,, + cosS),) ... Free
00 ... F.
as .. F.r
p
J
Energía cinética
e,.
T ... ~fl~I~2 + r26'~)
2
Fig, 9-21
Ecuac:c;:es de Lagrange
aT
-
af
aT
-
al'
d aT
- - - ... 11/;:
... 1111~
dI a¡·
.
"
m;:-mrS" l_ Q -F,
.. m,8
d aT
"
..
--o
...
21/1r,-.e + mr~
dI aB
En el caso que hemos consiceraGo en ei Capítulo 3 , si la fue:-za fuera central
Q¡¡ -O
~'(mr2t3')=O
al
r~' =cte
de la que oportunamente dedujimos la "ley ~e las áreas",
Las ecuaciones diferenciales del movimie!llo son:
II~F - rB") - 1';
n~ri)- +2/"f6') ... rFe
Cancelando r en la última ecuación, resulta la ecuación de Newton para u;¡ punto IT!.aterial en
coordenadas polares. Es interesante observar que la fuerza generat!z2Cz. 2sociada a la
coordenada e, representa el mo:nento de la fuerza.
Problema 9.9
Un alambre rígido gira alrededor d: U:J. ::je v~rt i c¿:l, en el plano x,y con v~loc¡dad angulai
constante fJ). Una bolita ensartada en el alambre s~ tr..\!eve sin rozamiento sobie él. Hal~a.la
384
Mecánica Analflica
ecuación diferencial de Lagrange de primera especie y la ecuación horaria correspondienfe,
si en el instante inicial la bolita parte del reposo desde una distancia a del extremo fijo del
alambre.
Resolución
sistema holónomo,
Clasificación
conservativo.
Ecuación de vínculo a - cot
Energía cinética:
reónomo,
y'" /'se/1wt
x:/'coswt
I
("r +
T - -111
2
Fuerza generalizada
_ ai'
y
-
- - m gk ,i! - O
Q , - F ,al"
Ecuación de Lagrange
aT
-iJl - mr
aT
-
al'
- mrw
d aT
,
Fig.9-22
---mr
dt at
mf-mrw
2
-
O
Considerando las condiciones iniciales
r(O)-a
f(O) - O
1'(1)- aChwt
Problema 9.10
En el sistema de la figura el bloque II está
sometido a una fuerza de rozamiento de coeficiente
de roce J.l , mientras que en el otro extremo de la
cuerda se desenrolla sin deslizar un cilindro de
masa ml . Plantear las ecuaciones de Lagrange de
1ra. especie y obtener las ecuaciones del
movimiento.
y
1
x
F
."
II
1)
P,
Resolución:
El sistema tiene dos grados de libertad
1¡, - JI + Yl
-r
F¡ -m¡m
F2 - -¡.un2g I
,
2 - Xl
F!g. !)-23
385
MECÁNICA
Capítulo 9
Fuerzas generalizadas
Q.
Q, •
Energía cinética
1
.,
1
.,
1
T - -mx+-my~+-Iw
2
1
2
2
1
2
1
1
,
--mlr
"'2
2
2'"
1
2
.2
.2
T.-m x +-m y
2
I
lr2m¡
2 2
y-x
w=-r
(v-xY
+---~-,_'_-
,2
1
., 1
., 1 (., ., 2")
+-m¡y +-m¡ y +x - xy
2
2
4
Ecuaciones de Lagrange de I ra. especie
aT
aT
. 1 . 1 .
-=0
m2 x + '2'11¡x - ZI1l¡Y
ax
T--m~x
oi -
aT
.
1
.
1
.
ay = In¡Y + "2 In¡ Y-"2 In¡ x
mi)
daT. '~ m,+- --y
1111
=-¡un,g
dI ax
2
2
aT
-=0
ay
diJT3.,11I¡ ..
- - . - m¡J--x-mg
dI ay
2
2
1
Resolviendo e l sistema de ecuaciones para x e ji
h-3¡un,)g
i • -'-''----':--'-'"
mi + 3ffl:2
In¡ + 3//2,
es decir, tanto el ci lindro como el bloque sobre el plano se mueven con aceleraciónes
constantes, pero d istintas.
9.3.4. Las Ecuacio nes de Lagrange para sis temas no holónomos, esclerónomos y
conservativos
En los sistemas no holónomos las coordenadas no son independientes entre sí y los
vínculos no pueden expresarse por funciones de la forma
ljI(x p x, •..... X•• I) - O
[9.16]
como sucede con los vínculos holónomos.
Ciertos tipos de vínculos DO holónomos pueden expresarse por sistemas de
ecuaciones diferenciales de la forma
¿ (a"dq. +a.dl). O
l. L2, .... m
[9.17]
•
Las alk en general son funciones del tiempo, pero como en el proceso del cá lculo de
variaciones, el tiempo permanece constante, la [9.l7} se reduce a
[9.18]
386
r
Mecánica Analtlica
MECÁNICA
la idea es utilizar las ecuaciones [9.18) para rec!ucir el número de cooraeú&óas hasta que las
que queden, resulten independientes. Para ello se utiliza el método de los multiplicadores de
Lagrange:
• Se multiplica a cada una de las [9.18] por un parámetro indeterminado A, , se suman las
m ecuaciones y se integran enlre 1 y 2, en el tiempo
[2,a.1..lq.dl - O
[9.19]
I 1,1<
• Tomando la expresión [9.4] para los sistemas co~ervativos, que es válida aún cuando las
coordenadas DO sean todas linealmente independientes
t f[ :~. -:1 :~ r
q•dl - O
y sumándola a [9.19] resulta
[dI )'(~_ dd aL +
1
~ aqt
t aq.
[9 20]
2\a. rk_. _
O
[9.21]
I
expresión en las que la56q, no son independientes.
Sin embargo podemos imponer a los m 1.../ la condición de que satisfagan
aL
daL f
' A,a
¡---¡a-+
q¡,
1 q¡,
Ur -
o
k - n-m + 1, ..... n
para
[9.22]
es decir, que de los n sumandos de la [9.21] , tomamos los m últimos y les imponemos la
condición [9.22]. Pero conocidas ahora las A/, la [9.21 ] quedará
[ di
'~\'I( aL d a L+ '
dqk - di dqi;
k
¡A/a/krqk - o
donde ahora sí los bq¡. son todos linealm~nle independientes y las [9.22) se cumplirán para
todo n
para
k - ~2, .. ... 1l
[9.23]
Este sistema tiene n ecuaciones y (o + m) incógnitas (las n ql: y los multiplicadores de
Lagrange )..¡J
Luego, para resolverlo, se debe agregar al sistema de ~cuaciones, las m de vínculo,
[9. 18].
Problema 9.11
Una partícu la de masa In se mueve vinculada a la superficie interior de un
paraboloide de ecuación X2 + y 2 _ cz. S1¿poniendo despreciable el rozamiento, hallar las
ecuaciones diferenciales del movimiento.
Resolución:
387
Cap[1II1o 9
MECÁNICA
Clasificación: sistema anholónomo, esclerónomo y
conservalivo.
~
'j.
Utilizaremos
coordenadas
cilíndricas.
Teniendo en cuenta que el sistema tiene dos grados
de libertad, expresamos la función de Lagrange con
un número de coordenadas superior al de los grados
de libertad:
'''" m
:.:.
• L:
,
,.
~ .'
.:
.Fig.9-24
Ecuación vincular
p2 _ cz _ O
2p6p- e6z- O
Aplicando [9.23J
d aL aL
dt ap - ap - 2).p
d aL aL
------0
dt aq; a<p
d aL aL
- - - - - - -e).
d! (Ji (Jz
El cálculo de derivadas res ulta
d aL
..
dt ap
daL
.
, ..
---o
2mp<p + mp <p
dI a<p
d aL
_
----mz
dt ai:
aL.,
- - - - mp
-
ap
_ mp¡;p
aL
- o
a<p
aL
---mg
az
-
con lo que las ecuaciones diferenciales del movimiento son
nÜ - pq; ')- 21.z
:t(p '<¡i)-O
..
p'q; -ete
z-i ,:A)
g+
2pp -CZ-O
donde para que el sistema sea compatible y determinado, hemos agregado como cuana
ecuación, a la ecuación de vínculo.
388
Mecánica Analític{/
MECÁNICA
Problema 9.12
Un aro rueda sin deslizar por un plano inclinado de inclinación constante a.
Resolverlo utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange
Resolución
Se tra ta de un sistema holónomo. Sin embargo es posible aplicar el método visto
anteriormente, lo que permitirá, adicionalmente, obtener la reacción de vínculo.
Condición de vínculo rdB - dx
T-~Mx'
+~I
é'
2
2 •
Energía cinética
I
con
1• - Mr'
(re)' M
.2
T - - Mx + "--',-2
2
Energía potencial V - Mg{l- x)sena, donde 1es la distancia desde e: or~ger. al
punto de contacto.
Lagrangiano
11·
L -T - V -ZMx 2 +"2Mr2B2 - Mglsello + Mgxsena
Multiplicadores de Lagrange (uno por haber sólo una
ecuación de vínculo)
wd8-w-O
a• =·1
Ecuaciones de Lagrange
d aL
aL
------M
dfdi dx
It
daL aL Aa
Flg.9-25
dlas'-asra -i
Mi - Mgsenc. --;..
•
do nde la últi ma correspor.de a la b!egreció::l de la eCl!aci6:-: ·/ir.cu!a~. Rescl'lie!J.dc el sistema
resulta
I
)" -"2 Mgse.1O!
I
x - - g:;e;¡ o-
_
2
[9.24J
1
e --gsenQ
21'
Es decir. el aro T:)da,á con una aceleración que es :2 !Ilitad de la ~ue ter.dría si no
huhiera rozam iento.
L'l fUe rL'l de rOL'lmienlO que origina el vínculo es
389
Caplrulo 9
MECANICA
1
•
2 Mgsella
La ve locidad en la dirección del movi miento es
_ dv dv ds
dv d v 2
N;¡ - - -
gsena
2
x . - . - - . v - .--.""'7'dI
ds
v
-.
2
=
2
ds dI
glsena
2
ds 2
9.4. IMPULSO GENERALIZADO
Se define como impulso generalizado asociado a la coordenada q¡ a
aL
Pi · ir
q¡
[9.25]
donde puede comprobarse que representa la magnitud cant idad de movimiento si la
coordenada generalizada es una distancia y un momento cinético cuando la coordenada
generalizada es un ángulo.
Con esta definición las ecuaciones de Lagrange podrán escribirs:
dpi aL
- - -. 0
dI
aqi
av . O
Nótese que si -
aqi
aL
Pi - aq¡
i =1.2•.... h
[9.26]
aT
. ,resultado que hemos aplicado en
de [9.25] resulta p. - - -
capít ulos previos.
, ao. .
Coordenada dclica o ignorable :
Se 'llama c(clica a lada coordenada que no figura
explícitamente en el Lagrangiano. En tal caso la derivada parcial de éste respecto de la
coordenada cícl ica será nula y teniendo en cuenta [9.25]
Pi ·0
Pi - ele
I
[9.27]
Es decir, que si una coordenada es cíclica, su impuiso ger.eraiizado asociad:; s~
conserva.
Este teorema resu lta una generalización de los vistos en el capítulo 4. En efecto,
significa que si es nula la res ultante de las fuerzas e:l::teriores e el momento d::. e!las, se
conserva n el impulso linea l o cantidad de movimiento ce! sistema yel :Domento cinético de!
sistema, respectivamente.
9.5. EL HAMILTONIANO y LAS ECUAC!ONES DE I'..AMILTON
Se define como función de HQmil!on Q ham:'/toniar.o de U~ !:iS!e02 a
390
I
1
Mec4nica Analítica
MECÁNICA
[9.28)
donde L representa el lagrangiano. El hamiltonianio es función de las coordenadas
generalizadas, de los impulsos generalizados y del tiempo. Es decir,
diferenciando
" aH
aH
aH
dH - '" -dq¡ + }; -dp¡ + -dI
, aq¡
, api
al
y como
dL _ }; aL di¡¡ + }; aL dq¡ + aL dI _ };n1i¡¡ + }; p,dq¡ + aL dI
,aq¡
,al/¡
al,
,
al
de la definición de hamiltoniano y sustituyendo resulta
dH ~
'i,, i¡¡dp¡ + };p¡dij¡
- dL ,
de donde por ser los diferenciales linealmente independientes, resultan las ecuaciones de
Harnillon o ECUACIONES CANON/ CAS DE LA MECANl CA
aH
p¡- - aq¡
aH
aL
-al
at
[9.29)
i = 1,2, .......... h
Prob lema 9.13
Demostrar que para todo SOS (sistema dinámico simple), el Hamiltoniano coincide
con la energía mecánica del sistema.
Resolución,'
Si el Hamiltoniano no depende del tiempo, será
aH aL perocomo-dH f(aH
----o
-iJ¡,+ -aH)
P¡, +aH
al
al
dI
aq,
ap,
al
teniendo en cuenta las ecuaciones de Hamillon [9.29] y reemplazando, se tiene
391
MECÁN1CA
el/pitillo 9
,,.
H - ele
[9.30]
Como el sistema es conservat ivo, resulta
'"
H - L.p,i¡, - L k
fuL
OL -(T -V)
~,-L - f 74,
vq~
[9.31]
vqk
aL
oT
Pero teniendo en cuenta que - , - - - , (el potencial no depende de las
éJqj:
éJqt
vdocidades generalizadas)
y que para sistemas esc!erónomos, la energía cinética es
función cuadrática y homogénea (en el sentido del teorema de Euler) de las velocidades
generalizadas
reemplazando en [9. 31]
H-2T-(T-V)-T+V-E
[9.32]
Así, por ejemplo, aplicándolo al caso del oscilador lineal (6.2.1.)
1
1
p1 /al
H_T+V __ mv1 +_/a2._+_ (*)
222m
2
Las ecuaciones de Hamilton resultan
. aH p
x---p- mi
éJp
m
p __ 1a:
p __ aH --la:
iJx
(. J
mx+Io;.O
El! el espacio definido por p y x (espacio de las [ases,sobre el que \'o/!'eremos)
pl
Xl
E -pl- +!ex}
- __
+_
2m
2
2m
2
k
r diddiendo miembro a miembro por
pl
Xl
--+--1
2mE
2E
k
que repreSCllfll en el espacio de las coordenada p y r, l/na elipse de semiejes
.J2mE y
~2:
respectillameme. En el transcurso del tiempo esta elipse se repetirn indefinidamente tllrededor del
origen (alrttctor periódico)
392
M~cánica Analltica
MECÁNICA
Problema 9.14
Resolver el problema 9.3 (péndulo elástico)
mediante las ecuaciones de Harnilton.
Resolución:
m(;2+r 28. 2 ) +mgrcos8- k()'
L-T-V-"2
r-ro
2
-aL.• n, _ mr'28
aa
-aL . p _ m;
a;'
y,
Flg.9-26
El Hamiltoniano del sis tema es
p2
p7
k
H . - ' +--' -2 -mgrcos8 +-2(r-ro )2
2m
2mr
Cálculo de las derivadas
aH
-
aa
- mgrsen8
aH
p,
2
iJp, - mr
reemplazando en las ecuaciones de Hamilton
rS-+'2fJf+gsen6 -o
aH
-
ar
p'
- -mgcos8 +k(r- ro)---;'
mI'
aH p,
-.m
iJp~
r-gcos8 +~(r-ro)-r8' 2-0
m
ecuaciones equivalentes a las halladas en el problema 9.3 utilizando las ecuaciones de
Lagrange.
Problema 9.15
at
w
Hallar el Hamiltoniano, las ecuac iones canónicas y
la ecuación diferencial del movimiento, para una masa
puntual que es izada por medio de una cuerda a través de
un agujero con ace leración constante a.
ro
Resolución:
Fig.9-27
Clasificación: holónomo - reóno mo - no conservativo
Utilizando coordenadas polares
393
a
Capímlo 9
MEcÁNlCA
al'
r-r.-vl-,
,
2
v - re, + ,eee
In
2
al· 2
L - T-V- 2 (vo+at) +(ro -\.Iol-2) 8 +mgrcos8
" 1
[
Momento generalizado:
,
Hamiltoniano:
.
H -Pa8-L-
p,
at' )
2m,.0
( - vo/- 2
m ( vo+a l)' -mgrcos8
2--
2
Aplicando las ecuaciones de Hamilton:
aH
-ae - -Pa - mgrsen8
aH . __-,P,,-o_-:-:-;--eiJPe
J - vo' - 2at
,,,\r,
2
)'
De donde resulta:
9.6. Algun as ca racter ís ticas nota bles de las ecuaciones de Hamilto n
1. Se trata de un sistema de 211 + 1 ecuaciones diferenciales de primer orden (tener en
cuenta que las ecuaciones de l.3grange son un sistema de h ecuaciones de segundo orden).
11. El espacio 2h dimensional (h coordenadas generalizadas, h impulsos genera lizados) se
denomina ESPACIO DE LAS FASES O ESPACIO FASICO.
III. La va lidez de las ecuaciones de Hamilton es la misma que la de las ecuaciones de
Lagrange (de las cuales fueron deducidas).
Históricamente resultaron un aporte fundamental que preparó el advenimiento de la
MECANICA CUANTICA, que se materializó en nuestro siglo.
9.7. GENE RALlZACION DE lAS ECUACIONES DE lAGRANGE A OTRAS
AREAS DE lA FISICA
Como lo citáramos en la introducción de este capitulo, la Mecánica Analítica no sólo
ha introducido un formalismo que permite otras perspect ivas de los conocimientos
tradicionales de la Mecánica, sino que su influencia invade otras áreas de la Física. En el
dc:sarrollo precedente hemos considerado, entre otros, el caso de fuerzas conservativas,
394
M~cánjca Analitica
MECÁNICA
donde es posible establecer una función potencial, dependiente de la p:lsición, que
configuran sistemas donde se conserva la energía mecánica.
Es muy interesante generalizar el concepto a fuerzas que derivan de ¡x>tenciales
dependientes de la ve locidad (o de las velocidades generalizadas), que aunque no
correspondan a sistemas donde se conserve la energía mecánica, penniten extender la
validez del formalismo que hemos desarrollado.
9.7.1. El potencial electromagnético
El lector podrá infonnarse de la metodología que se utiliza para deducir la expresión
de la función de Lagrange para el electromagnetismo consultando el Apéndice 2 de este
Capítulo. Suponiendo que se puede definir un potencia l ta l que
L_T-U_T_q(cp_A.¡¡)
[933]
donde cp es el potencial magnético y A el potencial vectorial electromagnético, que actúan
sob re una partícula cargada con carga q y que se desplaza con velocidad V, es posible
demostrar que para este Lagrangiano se cumple un Principio de Hamilton con la misma
fonna que el presentado en [9.3.2.1 y también, que las ecuaciones de Lagrange permiten
obtener la ecuación del movimiento cuando sobre la carga está aplicada la fuerza de Lorentz.
9.. 7.2. El Lagrangiano eléctrico
Es también posible y útil definir un Lagrangiano, vinculado a las analogías
electromecánicas consideradas en el Capítulo 6. Si se
consideran:
L
e
R
• coordenadas generalizadas: las cargas eléctricas Q"
• velocidades generalizadas: las corrientes Q.
• ecuaciones de vínculo: según la.ley de Kircchoff.
• Energía cinética: vinculada a las auto y mutuas
inductancias Td -
..
'21)'
f:t L¡,i:QQ.
•
Q
• Energía potencial:
• para las fuentes: -EQ
Q'
Flg.9-28
• almacenada en los capacitares: 2e
• Fuerzas disipativas : las caídas óhmicas: - RiQi
I
.,
Q'
En el caso de un circuito serie RLC : Td - 2' LQ ; Vol - -QE + 2e
.
; Fa - -RQ
Q') -"2l LQ., + QE - Q'2C yaplicando [9.15]
1 ., (
Lagrangiano , L - "2 LQ - - QE + 2C
d aL aL
--o- - - Fo que, ordenada, es la ecuación diferencial del circuito serie RLC.
dI aQ aQ
395
Capflllto 9
MECÁN ICA
9.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
Prohlema 9.16
Escribir el lagrangiano de un péndulo
maknHíticn de longitud 1, s i el punto de suspensión:
a) Efectúa oscilaciones verticales de la forma
m
1
e
II ~os UH
h l Se déSpla:z.1 un ifonnemente por un círcu lo
vertica l de radio a con velocidad angular w. (Q'l es
el angulo ljut: describe el radio del punto de
suspensión, mit:ntras 6 es el que forma el hilo del
pc:ndulo con la posición de equilibrio)
t.:) Efectúa oscilaciones horizontales de la forma
9
m
b
9
m
a
Fig.9-29
tlcoswt
Rra.:
. .,
,.,.
)
g(
)
el' L - :;I m( 1'"8·
+ a W·S(!Il "wl - al6wsell6senw( - m a coswt - tcos6
•
I
. , I , ., 1
.
(
)
g(
)
hJ L ... -lIIa"w· +-1111-6' +-malw9 sen 6 -q') -m asencp -l cos6
2
2
2
q> - wl
l
1(
"- at6wcos6senwt
.
d L - 2111
1i3 ,
+a.(j)"
setrwt
+ mgl cos6
Problema 9. 17
Escribir el Lagrangiano y las ecuaciones del
movimiento del péndulo doble
9,
Rla.:
1,
1
,., 1 [ ""
,.,
..
(
L - z lrl¡I¡6¡ +'2 1112 {¡ O l + (;e l + 24/26¡62cos 6 1 -6 2
IJ
9,
P,
Ecuaciones diferenciales del movimiento:
(mI + 1rl2)/~e~ + 11~ lllz6'~ co~6 ¡ - 6 2 ) + J1':.1¡12e} sen(e 1 - e2 ) -
- -(II~ + ,,~)gl¡sen61
nl:2~ii; + m.i¡t.¡J"; cos(e aJ -11'-lJl~6"1: sen(6¡ - 6 2 ) - -m,g4 sene,
¡ -
3%
-
-m¡g{ I1 + 12 -l¡ COS6¡) - m2g{ 11 + 12 -I¡ cos6 1 -/2 COSal)
1,
Fig.9-30
l]
Mectfnica Analítica
MECÁNICA
Problema 9.18
Un cilindro de masa In rueda sin
deslizar en el interior de un cilindro hueco de
masa M que puede girar alrededor de un eje
horizontal que pasa por O. Hallar las
ecuaciones del movimiento y las integrales
primeras. Qué representan las constantes de
integración?
Rla.:
tp
Fig.9-31
MR'fJ + ~ m¡¡((R - r l<P - Re
l- e"
.!. MR'fJ ' +.!. m(R -,. )' <j> ' +.!.,,~ (R - r l<i> - Re)' - mg(R -,. )eos,!, - e,
2
2
4
Las constantes de integración representan las componentes de las fuerzas de vínculo
entre ambos cilindros.
Problema 9.19
x,
Un cilindro no homogéneo con centro de
gravedad G rota en torno a un eje vertical con
velocidad angular constante úJ , Suponiendo que
son ejes principales de inercia del cuerpo 0/02 y
OG • que A es el momento principa l de inercia
respecto de XJ • B el momento principal de inercia
respecto de x? y e el momento principal de inercia
respecto de Xt • hallar la ecuación del movimiento
del cuerpo.
Rta .:
Fig.9-32
Aa - ",' (e - B )sene cose - -mglsene
Problema 9.20
Un disco homogéneo de radio R gira alrededor de un eje perpendicular a él que pasa
por su centro, con velocidad angular úJ constante, Una palanca de masa despreciable que
tiene en sus extremos dos masas puntuales mi y Inl está vinculada al disco en un punto C.
397
2
Capítulo 9
MECÁNICA
Hallar la ecuación del movimiento de la palanca y determinar
las posiciones relativas de equilibrio para las situaciones :
a) El plano del disco es horizontal
b) El plano del disco es vertical
Rta.:
a) (m¡l¡ +m2/i~ _oolR(m¡/¡ -m1l1)cos(e -rol) - O
si mili - m111 la palanca está en equilibrio relativo indiferente
si mili ;ot mil hay dos posiciones de equilibrio relativo, a
"
sabe r 8-wt±2
Fig.9-33
b)
(miLI' +m2/i~ - w 2R(m¡l¡ - mll)cos(8 - wt)+(m¡l¡ - m"/2)gsen8 - O
si mi I 1 - m2 '1 la palanca está en equilibrio relativo indiferente
si mi [1 -- m 2 1] no hay posibilidad de equilibrio
Problema 9.21
Un anillo desliza sin rozamiento sobre un
alambre liso doblado en forma de cicloide que
y
satisface la ecuación
x - J.,e -sene)
J
Y - ",1 + cose
a) Hallar el Lagrangiano y
las
)
ecuaciones de
Lagrange
x
Fig.9-34
b) Demostrar ou.e la ecuación diferencial del
movimiento
i)Ued~
er.presarse
como
d 2u g
e
u ... cos--+-u-o
dl 1
4a
2
Rta.:
a) L - ma '(¡ - cos8)8' - mga(¡ + cose)
Vil.,
g
b) ( l-cos8¡o+-9 sen8--sen8-0
2
2a
Problema 9.22
Hallar e l Lagrangiano y las ecuaciones del movimiento para el péndulo físico.
398
Mecdnica Analftica
:MECÁNICA
1 .,
L - -;/09 - Mgd cos9
.. Mgdsen9
9+
- O
lo
lo : momento de inercia respecto de l eje que pasa
por el punto de suspensión.
Problema 9.23
Fig.9-35
Un hilo inextensible tiene UD extremo fijo y
está enrollado sobre un cilindro homogéneo de radio R. El cilindro desciende oscilando
alrededor de la vert ical que pasa por el punto de
suspensión. Despreciando la masa del hilo, hallar
las ecuaciones del movimiento, utilizando el
forma lismo de la Mecánica Analítica.
Rta.:
2 ., 2
r.. - R q>" - -rlP
- - gcoscp
3
3
Fig.9-36
Problema 9.24
Dos partículas de masas mI y m2 están unidas por uDa barra rígida ideal de masa
despreciable de longitud l. La masa ml se mueve en dirección horizontal, mientras que la m!
lo hace según la vertical. Suponer las condiciones iniciales indicadas en el figura.
a) Hallar la ecuación del movimiento para la coordenada 8.
b) Si se supone mi = m2 y desplazamientos pequeños respecto de la vertical, ¿cuál será el
período?
399'
Capítulo 9
MECÁNICA
Rta:
a)
Ei(m, cos ' a + m,sen'a) +
el
+S l sen a cos 8(m z - m l )+ m 2 !.sen8 - O
1
b)Si
..
g
1
8 +-sen8 - O
Fig.9-37
Problema 9.25
Una partícula de masa m se mueve sobre la
superficie interior de un cono de ecuación z = er.
Indicar los grados de libertad del sistema, calcular el
lagrangiano y obtener las ecuaciones diferenciales
del movimiento. Supóngase que para Xo = H, el
punto material se mueve con movimiento circular
uniforme de velocidad Vo. Entonces, probar que para
pequeños desplazamientos respecto de ro el
movimiento es estable y oscila con pulsación
3gc
Fig.9-38
w - .J roT(l~+-¿")
Rta:
h'
f(¡+ e)' --, + ge- O
r
Problema 9.26
Sea un péndulo plano de masa m2 cuyo
punto de suspensión (de masa m) )) puede moverse
libremente en dirección horizontal, como indica la
figura. Hallar:
a) El lagrangiano del sistema y las ecuaciones del
movimiento.
b) La ecuación de l movimiento para pequeños
apartamientos de l equilibrio.
1
e
m,
Fig.9-39
400
T
Ml'cnnica Analítica
MECÁNICA
c) El péndulo simple de solx)[te fijo equivalente.
d) SUlxmiendo que la masa m} se moviera siguiendo la ley x .. asenwt. escribir el
Lagrangiano del sistema y las ecuaciones del movimiento.
Rta:
a) L - !"(m¡ +ml).e +!...m1(eé l + 2Lié cos 9) + mlglcos9
2
2
(mI + 1n1)x + m2/9cos9 - miOlsen9 - O
la
.teose + + gsene : o
b) 1(1-
m,
mI +m1
e) l' •
)a + g9. O ;
¡ 1 - ml m,+~ )
1\
I(
L.'
.
1
,.,
L - - ml+~fU 1 a2cos ~ wt+m,waJ6 coswtcos 9 +-11l¡16 +m2g1cos9
d)
2
2
2
Iff -w asenwtcos9 + gsen9 .. O
Problema 9.27
Un péndulo 1lSico constituido por una barra
rígida de longitud 1 se mueve en un plano vertical
rotando respecto de un eje perpendicular a aquélla
que pasa por uno de sus extremos. Sea 1... el
momento de inercia respecto del eje de rotación.
Hallar el Hamiltoniano y las ecuaciones de Hamilton
del sistema.
Rta:
Flg.9-40
aH P.
.
b) - . - . 0
ap,
¡
a) H . -¡I (p; - 2mgcosO)
2.
aH. mg /s ene.-p,
.
-
ao
401
Capllufo 9
\ 'IECÁN IC'r\
Problema 9.28
Una partfcula de masa m se mueve sin rozamiento por la superficie inte.ioi" de! cone
X 2 + l - Z2 tga . Hallar el Hamiltonian,o y las ecuaciones de Hamilion. U:ilizar CJc:-denadá!:
cilíndricas.
R10. :
a)
,
P. _ -p.- - m C7 cota
P
mpJ
Q
Problema 9.29
El sistema de la figu!2. (regu:z.:::!o:- de
Watt) está constituido por cuatro ba rrrz~
rígidas articuladas como se indica. :..a masé:.
M puede deslizar sobre la guía vertica:. cin
rozamiento. El sistema está animado de UL
movimiento de rotación ta l que Il velocidad
angular es cOnstante.
FIg.9-41
Hallar
a) El Lagrangiano del sistema
b) Las ecuaciones de Lagrange
Rta . .'
a) L - 2M/2~2sen2q>+mJ2 (~ l cos2 q>+oolsenlq>+4<plse.n2<p)+
+'4M + m)g(cos'l'
1
IjIll (m + Msenq> + 3msen q» + Pcjll cosqJ(M(l- 2semp) + 3msenq> ) --
b)
2
2
()
-mI (,rJ sempeos«l + M + m glsencp - O
.
Problema 9.30
Un anillo de masa m esta vincu lado a moverse sobre la espiral cóniC2 cuya ecuación
«l - bz. con a y b constantes. Hallar la
en coordenadas cilíndricas es p _ oz
ecuación diferencial del movimiento.
Rto. :
402
1
Mecánica Ana/ftica
MECÁNICA
z 8 = cte.
y
x
Fig.9-42
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MULTlPLE
Problema 9.31
Una de las siguientes aseveraciones es FALSA:
a) Los sistemas descriptos en el problema 9.16 a) ,b) y e) se clasifican todos como SOS
(sistemas dinámiros simples)
b) El sistema correspondiente al problema 9.23 se clasifica como hol6nomo, re6nomo y
conservativo.
e) El Hamiltoniano de un sistema coincide siempre con su energía mecánica.
d) las ecuaciones de Lagrange de primeta especie son válidas también para SOS.
e) La condición necesaria y suficiente para que se conserve el impulso generalizado
asociado a una coordenada dada, es que ésta sea cíclica.
Problema 9.32
Una de las siguientes aseveraciones es VERDA..DERA :
a) Se llaman coordenadas generalizadas a los parámetros que permiten definir
unívocamente la posición del sistema.
b) El sistema descripto en el problema 9.5 se clasifica como SDS.
c) Las coordenadas generalizadas correspondientes a un cuerpo rígido libre son 5
(CINCO)
d) En las ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos simples (SeS), :10 inter/ienen
fuerzas de vínculo.
e) El impulso generalizado asociado a la coordenada q¡ tie!le unidades d: fl!eru cuando qi
representa un ángulo y unidades de momento de un2 f'Ue!'Z2. cuando qi represent2. una
longitud.
403
Cap lmlo 9
MECÁNICA
Problema 9.33
Una partícula de masa m está sujeta a una varilla rígida de masa despreciable que,
articulada en el punlo P, puede rotar en un plano vertical. Suponer que los resortes están
ajustados de tal modo que la posición de equilibrio estable corresponde a e = o , con /1 y /1
longitud natural de los resortes. Suponiendo pequeños desplazamientos respecto del
equilibrio, entonces
a) La ecuación diferencial del movimiento es
b) El período de la oscilación alrededor de
la posición de equilibrio estable es
(k, + k,) 1
- - 2n(.,---.:::..-.,
m
•
Fig.9-43
e) El Lagi3ngiano de l sistema es
e) Ninguna de las afirmaciones anterio.es es correcta
Problema 9.34
a) La figura representa dos partículas de igual masa
m, vincu ladas por un hilo ideal, que se mueven,
una sobre el plano horizontal , sin rozamiento y la
otra, que pende del hilo que atraviesa el plano
horizontal por un agujero, según un movimiento
rectil íneo vertical. A la partícula sobre el plano
horizontal se le imprime una velocidad v,
perpendicular al hilo, cua ndo su · distancia ai
agujero es a. Entonces
b) El Lagrangiano del sistema es
404
~7 ·t:'
. ~ ".
···
,';· ··m. 1"-.fl.'.- · i··:;.·'·
0:...'.;,;;
.,~ .
I
m,
Fig.9-44
el
q
Mecánica Ana/frica
MECÁNICA
L - ;Cu'+r'é')-mg(l-r)
c) La ecuación diferencial del movimiento es
..
aV g
r -----
4
d) Las ecuaciones diferencia les del movimiento son
]j'
2mr;B+r 2S_O
2mr+mrS'-mg-O
e) El módulo de la comlxmente radial de la velocidad de la partícula sobre el plano es
.
v' a'v')1,
r - (g{a-r)+Z- ]j'
Problema 9.35
En el sistema de péndulos
acoplados de la figura, las masas
puntuales In} y In! penden de hilos
ideales de igual longitud 1, siendo k la
constante elástica del resorte. En tonces,
a) Se trata de un sistema holónomo,
esclerónomo,
conservativo,
con
cuatro grados de libertad.
b) El
Lagrangiano
del
sistema,
considerando
pequeños
desplazamientos desde la posición de
equilibrio estable es
FIg. 9-45
1 "" 1 +-Z~{--1j;
1 '" +-Zk1
1 (8 1 -8 2 )'
L - -Z"r¡1-u
2
-lg(l1l¡ cosa l + m2 cos8 2 )
e) Las ecuaciones diferenciales bajo la hipótesis de desplazamientos pequeños son
m/J I +k{S¡ -82)+ml~Sl - O
m,e, +k{B, -B,)+m, ~B, O
=
d) El Harniltoniano del sistema se puede expresar por
lA,
H - -1 m1 l""tl 1 + -1 m2 l-1j2
- Ig(m¡ CaSal + m2cos8 2)
2
2
e) Ninguna de las precedentes es respuesta correcta
405
Mecdnica Anaf(tica
MECÁNICA
APÉNDICE 1 DEL CAPITULO 9
APUNTES SOBRE CALCULO DE VARIACIONES
1. INTRODUCCiÓN
En la teoría matemática de las Distribuciones, se estudia el caso de las Funcionales.
Se puede definir una funcional como la correspondencia entre una cierta clase de fun~iones y
el conjunto de los números reales. Tal correspondencia está basada en alguna propiedad
medible del conjunto de funciones. Nótese que en una funcional así definida, las variables
independientes son funciones. (Casos particulares de funcionales fueron tratados por Euler
(1707-1783))
Ejemplos:
1. Sea el conjunto de todas las curvas planas rectificables. Supongamos que la
propiedad aplicable sobre tal conjunto sea la longitud entre dos puntos fijos
por donde pasan todas las curvas. Se tendrá entonces que la longitud de la
curva varía al pasar de una a otra. Tendremos entonces que la funcional
longitud de la curva entre dos puntos, está definida por tales números reales
que se asignan a las curvas del conjunto previamente definido.
2. Sea un plano vertical y dos puntos que no pertenezcan a la misma vertical.
Entre ambos puntos podrán pasar infinitas curvas que pertenezcan al plano.
Una partícula de. masa ro , vinculada a una de esas curvas tardará un cierto
tiemfX> en unir ambos puntos. Ese tiernfX> es un número real que podemos
asociar a la curva correspondiente. Entonces, la funcional es el tiempo que
tarda una part[cuJa con peso, para pasar de un punto a otro.
3. Sea el mismo conjunto de curvas definido en el ejemplo anterior.
Supongamos que cada una de ellas se representa mediante la construcción con
un material homogéneo de densidad dada, pero distinto para cada curva.
Podemos definir entonces a la funcional por la posición del baricentro de cada
curva. Para cada una se tendrá un número real distinto, que corresponderá a
cada una de las funciones.
4. Sea el conjunto de las funciones continuamente derivables de una variable
y = y (x) definidas en el intervalo [a,b] y sea la integral
J(y) - [(1+
1)2dx
•
[9.40]
Evidentemente esta integral define también una funcional , pues para cada
camino de integración entre a y b , se tendrá un número real distinto, el que se
le podrá hacer corresfX>nder a cada integral.
No puede decirse que exista un desarrollo de la teoría de funcionales tan exhaustivo
como el que conocemos para el caso de las funcion~.
Seguramente la rama más
407
Cap/filfa 9
MECANlCA
desarrollada en el tema de las funcionales, es la que se dedica al estudio de sus máximos y de
sus mínimos, al que se denomina uCá/culo de variaciones ".
Refiriéndonos entonces a algunos de los ejemplos dados, podríamos proponer los
siguientes cálculos de variaciones:
Para el ejemplo 1. Hallar la curva plana que pasando por dos puntos a y b
haga que la funcional longitud de la curva, adquiera su valor mínimo.
Para el ejemplo 2. De todas las trayectorias que puede seguir una partícula
de masa m, contenidas en un plano vertical y que pasan por dos puntos a y b,
que no pertenecen a una misma vertical, hallar la curva que sea recorrida en el
menor tiempo.
La funcional es el tiempo que tarda el grave en recorrer cada curva, a
la que está vinculado, suponiendo nulo el rozamiento. Este problema
propuesto por Juan Bernouilli en 1696 (hace 300 años!!), fue resuelto por
Juan Bemouilli, James Bemouilli, Newton y L'Hospital . Es un problema
clásico en el tema y se lo conoce como el problema de la
BRAQUlSTOCRONA (curva del tiempo mínimo)
Otro ejemplo: Del conjunto de las curvas planas cerradas de una longitud
dada I hallar aquélla que encierre la mayor área.
El método del cálculo de variaciones tiene su mayor camp:! de aplicación en la
Física, fundamentalmente a partir de los denominados principios variacionales, donde el
integrando representa alguna magnitud física (o combinaciones de ellas).
Desde el punto de vista conceptual, la aplicación del cá lculo de variaciones
(obtención de un extremo· máximo o mínimo· correspondiente a una funcional dada),
requiere introducir ciertas definiciones y probar algunos teoremas de existencia y unicidad,
que obviaremos. Sin embargo, es importante señalar algunos pocos conceptos:
a) Funcional diferellciable. Una funci onal es diferenciable cuando su incremento que se
define por
donde y , Ir son funciones de la variable
M(h) - J(y + h)- J(y)
independiente x ,o sea y =y (x)
,.
J¡
=J¡ (x), se puede expresar por
[9.41]
donde
E -+ O
si
Ilhll- O ,o sea es un infinitésimo superior.
En cuanto a ql(h) debe ser una funcionallineaJ.
b) Se llama diferencial de la funcional, a la parte principal del incremento, la cual por
definición es
bJ (h ) _ $ (h )
[9.42]
408
Mn ¡i"ica A/llIlítica
MECÁNICA
El símbolo b distingue el concepto de diferencial de una funcional del d , reservado
para la diferencial de UDa func ión.
e) Un teorema muy importante demuestra que la condición necesaria para que una funcional
diferenciable tenga un extremo
es que Ill(h) - O
[9.43j
2.ECUACIÓN DE EULER
Sea Ql - q,(x,y,y') una relación entre la función y = y (:x) • su primera deri"¡ada y la
variable independiente. Definimos a la funcional por la integral
J -
f'-, ~(x,y,y')ix
[9.44]
\
y
P, ( x,,y, ) I
Para límites determinados (XI ,Xl) el valor
y, p,-(~;y~j- - - - - -- -......." ' - . que adquiere esta integral depende del camino de
integración. Supongamos que llamamos trayectoria
I
regular a la que satisface alguna co:idici6n que
I
I
imponemos (línea llena en la Fig. 9-46) A toda
I
a ira curva que no cumpla con la cOild ición, pero
que pase por los puntos inicial y final la
y,
y
,
designaremos trayectoria variada (línea de puntos
,
de la figura 9.44). La trayectoria variada representa
-'
una familia de curvas tal, que podernos pasar de la
x,
x, x regular a la variada por un incremento e de la
Fig, 9-46
ordenada, manteniendo constante la abscisa. Esto es
"
Y. - y+by - Y+ElÍx)
Todas las curvas de esta familia deben pasar por los puntos (XhY¡) , (X2,y2)' La
condición que cumplirá la trayectoria regular es que el valor de la integral curvilínea será un
extremo (valor máximo o mínimo). En tal caso se dice que la funcional es extremal
Supongamos que la integral sobre la curva variada sea
J.
-.f'-, ~(x,y.,y:)dx
donde
y: -
Y. - Y + E¡(X)
y'+ E!'(X)
La integral definida resulta en tonces sólo función de e . Para que la funcional presente un
va lor extremo será preciso que
Ill. - O
para E - O
Y en tal caso, la función que lo satisfaga será la y = y (x) buscada.
Calcu lamos
409
MECANlCA
CapItulo 9
[9.45]
Nótese que cJq. iJx _ O puesto que la variación se hace a x = cte. (para cada punto de la
ax de
curva).
Observemos además que para E = O
a~
a~
-ay. --ay
,
ay~
ay'
ay; _ f'(x)
a.
ay. _ f(x)
a.
[9.46]
Luego,
dJ. I _t[ a~ ¡(xl+ a~ f'(x)L _ O
r
dE ~ .O
"1
ay
ay'
El segundo término del integrando puede integrarse por partes ;
~
dv = f'( x)dx
u- ay'
d a~
dxay'
du----dx
~
f'(x)dx - ~ f(xf' - r" [f(x)~~ldx
ay'
ay'
J~I
dx ay'
r"
Entonces
v - ¡(x)
)."1
"1
9,onde el primer término del segundo miembro s7 anula por cuanto
po r[9.42] es f(x) - Y. - y
y entonces resulta f (x,) = f (x,) = O , ya que en los extremos
E
de la curva, coinciden la trayectoria regular con la variada. Reemplazando,
dJ·1 _t[a~ _~~lrlx)dx _ O
de ,-o ... ay dx ay' Y\
multiplicando miembro a miembro por y teniendo en cuenta que
Ef(x) - by
6J _ dJ· o _ r" {[~ -~ (~) ]by!nr _O
de
J.., ay dx iJy'
J
E
E
[9.47]
._
1
Si óyes arbitrario, la [9.44] se cumple si y solo si
~(~)
dx ay'
a$_O
ay
llamada ecuación de Euler para la variación de la funcional J.
410
[9.48]
MECÁNICA
M¡:Ct¡"icd Amtl¡tict/
El resultado puede extenderse par<\ el caso de n variables:
~~ - <PJY)!Y~, ... Y~,Y;,Y;, .. ".y:,x)
)
donde la condición p<'lra que la fun cional
sea extremal resulta
[9.49)
r - 1,2,3, ..... 11
pa",
Pmblema 9.36
Hallar la ecuación de la curva plana más corta que une los puntos PI
Llamando 1a la longitud buscada
y
,
1- !'(l + y"l'dx
"
P, (x"y,)
Teniendo en cuen ta [9.48)
-a$
-o
ay
a~
x
Fig.9-47
-
ay'
- ele-a
Entonces. derivando e igualando a a
'lo!
1(
21+Y'·
12y'_a
a
=
dy
y'- r:--,2 -e- v I -a
dx
[9.50)
=
y-cx+d
es decir, que como esperábamos, la distancia más corta entre dos pun tos en un plano está
dada por la longitud del segme nto de recta que los une.
Problema 9.37
(de la braqu istócrona)
Un anillo de masa ID se desliza sin rozamiento sobre un alambre de fonna arbitraria en
un plano vertical. Hallar la forma de tal alambre para que el tiempo empleado por el anillo en
recnrrerlo ent re los puntos P I y P:!. que no están en la misma vertiC<l.l, sea mínimo.
Resolución
411
:\ lECANlCA
Caplllllo 9
La expresión del tiempo necesa rio para recorrer una curva con ve locidad instantánea ves
1'" ds
t - J,:Po
v
donde el camino recorrido podrá expresarse por la diferencial de arco. Suponiendo x - X(y)
ds - JI +x" dy
En cuanto a la velocidad, podemos obtenerla a part ir de la energía mecánica de una
partícula sometida a su propio peso
y
E - !...mv1+mgy_!...mv/+mgy¡
2
2
p¡(XI'Y')
JlI
Entonces la función inlegrando es
JI,
,
1;;' lJ'
~V,y,x) - [ , 2
- YI
aplicamos entonces [9.48] en la forma
VI
-
x
Fig.9·48
~~_ a~_O
dI ax'
ax
a'"
a$
como-_O
'
entonces
2x'
-'
dX' - - - - , 1- - - - - , - - e,
2(1 + x")'H - 2g(y - y, lF
ax
J
Despejando x'
x'-
1
v',
- - - - - y +y
2gC;
2g
,
Llamando
1
,
<Ix
X' -
412
(e, -Y)'
dy - C + y
3
e ) -2gC¡
---e 2
MeclÍnica Analltica
l\.ffiCÁNlCA
Haciendo una transformación de parámetros por
C, -y-R(¡-cosa)
C, +y-R(I+cosa)
1
c ~ +C,
R - --'-,-o-'2
dx--
~+
1- cosa),
1 cosa
senada-R(1-cosa)da
y
Integrando resulta
P, (x"y,)
x -xo +R(a -sella)
Y-Yo -R(¡-cosa)
que es la ecuación de una cicloide. Luego la
curva del tiempo mínimo entre dos puntos ' dados
es el arco de cicloide que pasa por ambos puntos.
arco de cicloide
P, (X"y,)
~~~
Fig.9-49
x
PROBLEMA PROPUESTO
Pl·oblema 9.36
Hallar la curva plana cuyo perímetro corresponde a la superficie de área mínima .
Rla. :
La circunferencia
413
Mecánica Analilica
MECÁNlCA
APÉNDICE 2 DEL CAPÍTULO 9
POTENCIALES GENERALIZADOS
1. INTRODUCCIÓN
La función de Lagrange, o Lagrangiano definido como la diferencia entre la energía
cinética y la potencial para un SDS, está restringida en su uti lización práctica a fuerzas
conserva tivas, esto es a fuerzas que pueden calcularse como el gradiente de una función
potencial, que depende únicamente de la posición. Su utilidad ya se ha demostrado, por
cuanto los potenciales definidos por V = V (x,y,z) cubren las posi bilidades de los más
frecuentes utilizados en la Mecánica. Naturalmente, quedan fuera de este contexto las
fuerzas no conselVativas o disipativas.
En un notable intento por incorporar dentro de la formulación de la Mecánica
Analítica a ciertos tipos de fuerzas no conservativas, se trata aquí el caso de potenciales
dependientes de la velocidad, uno de cuyos ejemplos nos conducirá a formular el
Lagrangiano electromagnético,
2. POTENCIAL MAGNÉTICO Y FUNCIÓN DE LAGRANGE PARA EL
ELECTROMAGNETISMO.
Partiremos de las ecuaciones de Maxwell, que supondremos conocidas por el lector
en su forma correspondiente al sistema MKSA
_
aB
_ _ aD
\1xE--\1xH=J+al
at
[9.51J
V.D- P
V.B = o
-
-
De la última de las [9.51] surge que siendo B solenoidal debe existir un campo vectorial A
tal que por la propiedad de la divergencia de un rotor resulte
-
-
B-VxA
V.É - V.VxÁ - O
[9.52J
al campo vectorial A se lo conoce como el Potencial Vectorial.
Utilizando esta definición, la primera de las [9,51] puede transformarse como sigue:
- aH
VxE+--O
al
-
aA
'VxE+'ílx- _ O
al
,
[9.53J
- aA) - o
Vx ( E+a¡
415
=
Cap{tulo 9
MECANlCA
De acuerdo con ésta última el campo vectorial del paréntesis es ¡rrotacional, luego en
condiciones muy amplias también será conservativo y será el gradiente de una función
potencial esca lar tal que
- oA \
'1~--E+Ttt
(
-
de donde
oA
E--'1$-a,
[9.54)
Por otra parte si sobre una partícula cargada con carga q actúan un campl eléctrico
y uno magnético, sobre ella se ejerce la denominada fuerza de Lorentz
[9.55J
donde v es la velocidad de la partícula cargada . Teniendo en cuenta [9.55 ) Y [9.53], la
[9.54] se puede expresar por
F-~-'1$- :~ +vx('1xÁ))
[9.56)
Anaiicemos una proyección de esta identidad vectorial, por ejemplo, la componeOle de la
fuerza según el versar
r:
(~),
('1$) _ 0$
,
ox
[9.57)
[i'x('1xÁ)] _ v.(oA, ~ ilA,)_v(oA, _ ilA,)
,,
pero como
' éJx
éJy
%éJz
iJx
oA, +-v
oA, +-v
oA, +ilA-,
-dA,. _-v
di
éJx
ll
ay"
oz:
reemplazando
_ (VxA-)] . o (_v.A-) - dA,+oA,
[vx
'ox
dIal
[9.58)
at
donde
av
--O
ax
reemplazando [9.58). [9.57) Y [9.56) en [9.55J resulta
0$
dA,
F -q
- - -oA,
- + -o (-v .A-) - - + -oA
-'
[ -ax
,
01
ox
dI
01
y agrupando
- ..'!.(.i..V.Á)]
., (1L~(F¡;.Á)
iJx
di iJ v",
F -
416
1
[9.59)
Mecdnica Analítica
MECÁNICA
pero como <ji es independiente de la veloc idad, definiendo una función U por
U - <;{ $ - v.A)
[9 .60]
la expresión de la componente de la fuerza queda fina lmente
au d au
F ---+-..
ax dt a\.l..
[9.61]
la expresión [9.61] indica q!le si una partícula de masa m y carga q es actuada por un campo
electromagnético entonces su Lagrangiano, que llamaremos Electromagnético Clásico será:
[9.62]
del cual, aplicando las ecuaciones de Lagrange, podrá obtenerse la ecuación del movimiento
para una partícula sobre la que actúe una fuerza e lectromagnética como la de Lorentz.
3. Potencial de dislpaci6n de Rayleigh
Otro caso de fuerzas no conservativas que se presentan muy frecuentemente es el de
las fuerzas resistentes en un medio viscoso, como las que se han considerado en el Capítulo
2 (caso de la caída de una partícula teniendo en cuenta la resistencia del aire). Este tipo de
fuerzas son susceptibles a un tratamiento similar al que hemos señalado para las fuerzas de
origen electromagnético. En efecto, si la fuerza resistente para una partícula que se mueve
según la dirección positiva del eje x es
[9.63]
donde k.: es el coeficiente de viscosidad introducido en el Capítulo 2 , podemos generalizar
para una fuerza resistente 'de dirección arbitraria y considerando componentes cartesianas
de
F• - -k• \.1•
v
F _ _kvT
-kvJ~-kvr.
....
Yl
~¿r.
[9.64]
Si se define una función potencial tal que su gradiente de velocidades coincida con [9.64]
[9.65]
de donde si la fuerza generalizada correspondiente es
[9.66]
417
Cnpfrulo 9
MECANlCA
Aquí hemos utilizado la propiedad
oF; _ av¡
aq, ai¡,
, que el lector podrá demostrar.
Utilizando la expres ión de las ecuaciones de Lagrange para fuerzas conservativas y
no conservativas, resulta
de donde
d aL
iJL
dI ai¡,
aq, ai¡,
iJD
----+--0
[9.67)
que es la ecuació n de Lagrange para fuerzas que derivan de un ¡x>tencial de velocidades (no
conservativa.. ) del tipo ley de difusión de Rayle igh.
Se suelen definir otras funcion es de Lagrange, tales que utilizando la metodología
descripta para obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento, dan cuenta de distintas
situac iones físicas. Por ejemplo:
Lagrangiano de una partícu la en un campo electromagnético, teniendo en cuenta los efectos
relativistas
rJ"
-
L - - me 'JI- ¿ - q($ - v.A)
[9.68J
donde hemos utilizado la notación introducida en 2. de este apénd ice. Con e indicarnos la
velocidad de la luz en el vacío.
418
1
~
8
~
n
{l
~
§ Q l"l
-8
[iCe
Principio
de
HamilJon
~~
-
R'
o
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o
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~ "
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generalizada
,.
~c
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Ecuaciones
de Lagrange
paraS.D.S.
~
~8
n
Aplicando ~ c~!o de
Fuerza
..Z
~
,o
..
de Lagrange
Se introduce ~ función de
...... Hamilton
o.:
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"
~
~
"e
"O
para sistemas
no I/Ownonws
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Canónicas
¡¡'
B
e
~
e
e
""
~
'"
~
"
~
~'
9
Bibliografia
MECANICA
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
Una clasificación de algunos títulos y comentarios
Dos textos intr oductorios
Dos textos recomendables por la claridad en la exposición de las ideas, excelentes textos introductorios (al
nivel de buenos primeros cursos clásicos de fisica universitaria)
Roede rer, J.G., Mecánica Elemental, Ed. Eudeba, B.Aires, 1963.
Ingard U., Kraushaar W., 'introducción al estudio de la mecánica, materia y OlidaS, Ed.
Reverté, 1966
Mecánica clásica
En genera l exceden un curso introductorio ya que se presentan temas avanzados como la relatividad
restringida, pequeñas oscilaciones, ondas y una exposición bastante profunda de la mecánica analítica.
Recomendables para cursos de licenciatura en física.
Una presentación rigurosa de los métodos matemáticos de la mecánica clásica.
Arnold V.I., Mecánica Clásica - Métodos matemáticos, Ed. V AAP - Moscú, 1983.
Un clásico de la mecánica clásica
Goldstein, H., Mecánica Clásica, Aguilar S.A., Madrid, 1966.
Hauser W., introducción a los Principios de Mecánica,
México,1969.
U.T. Edit Hispano Americana,
No recomendable para principiantes, una síntesis de ideas excelente en pocas páginas.
Landau L., Lifshitz E., Mecdnica (volumen 1 del curso de fisica teórica). Editorial Reverté,
1965.
Una obra muy completa y acce,ible.
Marion, J. 8., Dinámica C ldsica de las Partículas y Sistemas, Ed.Reyerté, Barcelona 1991.
Routh E.J. , A treatise on dynamics 01 a particle, Steehert&Co, NY, 1945.
Routh EJ., Advanced dynamics of a system 01 rigid bodies, Dover Pub., 1955.
Syrnon KR., Mecánica, Ed. Aguilar,Madrid, 1968.
Synge J.L.. Griffith B. A., Principies olmechallics, Me. Graw Hill, 1959.
Una obra excelente con algunos comentarios especiales como por ejemplo la mecánica de las
bolas de billar.
Sommerfe ld A., Mechanics (volumen 1 de física teórica), Ed. Aeademic Press, Lon~on,
1964.
¡
Mecánica para ingenieros
Los títulos que siguen corresponden a cursos de Mecánica para Ingenieros con la caracteñstica común de
consistir de dos volúmenes: Estática y Dinámico. Presenlación adecuada de la teoría y los conceptos
básicos, problemas resueltos así como una cantidad apreciable de problemas propuestos casi todos con
respuesta. En general no desarrollan la mecánica analítica.
421
Bibliofrofia
MECANICA
Bedford A.,Fow ler W., Dindmica - Mecdnica para ingenierfa, Edil. Addison Wesley
Iberoamericana, 1996.
Bee r F. P., Johnston ::::. ,Mecdnica vectorial para ingenieros (Dinámica) , 5ta edición Mc
Graw Hill,1 990.
Hibbe ler R. c., ¡ng, fiería Mecdnica : Dindmica (7ma. edición),
Prentice Hall
HispanoAmericana ,lS ¡(incluye disquette).
McGiJI, DJ. y King W.W., Dinámica, Mecánica para Ingenieña y sus aplicaciones 11.
Grupo Edit .. lberoamérica, México 1991.
Meriam J. L. , Dindmica 2da edición Editorial Reverté 1988.
Sandor B. y. , lngenierfa Mecánica Dindmica, Prentice Hall HispanoAmericana ,1989.
Un clásico de la dinámica técnica
Timoshenko S., Young O.H., Dindmica Avanzada, Ed. Hachette, 1948.
Muchos estud iantes siguieron su primer curso de Mecánica en la Argentina con es te libro de
matemática. Una presentación muy inte:resante: de: los giróscopos y sus aplicaciones técnicas.
Colla, Is nardi y Ferro,
1936.
Anal~sis Matemático, Tercer Curso, Ese.Naval Militar, Bs.Aires,
La tradición de los cursos de Mecánica de la Facullad de Ingeniena de la Universidad de Bs. As.
está documentada en los títulos siguientes. Una excelente presentación de los temas de mecánica
para estudiantes de ingenieria.
Hert ig, R.R., Mecánica Teórica, Ed. El Ateneo, Bs.Aires, 1978.
Marsicano, F.R., Cátedra de Mecánica, Fac. de Ingeniería, Univ. Bs.As., Mecdnica - la.
parte, 1979.
Marsicano, ER., Cátedra de Mecánica, Fac. de Ingeniería, Univ. Bs.As., Mecánica - 2a.
parte, 1978.
Algunos ejemplos técnicos interesantes desanolJados, que ilustran los conceptos básicos.
Targ S.M., C urso breve de mecánica teórica, Ed. Mir, M oscú, 1976.
Un trata miento matemático del girósC6po
Duc J., Mecallique Generale (Tomo IV: Giroscope), ENSAE, 1973.
Problemas de mecánica
,
Colecciones de problemas de mecá nica de diverso grado de complc:jidad.
Branson, L.K., Mecánica para estudiantes de Ingenierra, Fondo Educ. Interamericano
S.A., Colombia 1973.
Cabannes, H., Problemas de Mecánica General, Ed. Montaner y Simón, S.A.- Barcelona,
1969.
Giet, A., Problemas de Mecánica , Ed.Marcombo, Barcelona 1968.
KOlkin G. L., Serbo V.G., Problemas de Mecánica Clásica, Ed.Mir, Moscú 1980.
Lawden, D.F., Me cánica Analftica, Selección de Problemas resueltos - Vo l.4. Ed. Limusa,
México 1974.
Marsica no, F.R ., Cátedra de Mecánica Fac.de Ingeniería, Univ. Bs.As. , Mecdnica .
Problemas, 1978.
422
Bibliografia
MECANlCA
Mesherski l. , Problemas de Mecdnica Teórica, Ed, Mir, Moscú, 1974,
La colección Scbaum se caracteriza por la presentación sintética de las ideas. al&tlnos problemas
resueltos a modo de ejemplo y gran cantidad de problemas propuestos.
Seto, W.W.,
Vibraciones Mecdnicas, Teorfa y Problemas ,
Colombia, 1970.
Spiegel M, R" Mecdnica teórica, Schaum-Mc Graw Hill,1976.
Wells O,A., Dindmica de Lagrange, Schaum-Mc Graw HilI , 1972,
Schaum-McGraw-Hill,
Calculo de variaciones y principios variaclonales
Un tema de matemática de conocimiento necesario para estudiantes de carreras científico-técnicas. Es
all.1mente recomendable para quienes deseen iniciarse en este tema la lectura del capítulo 19 del lomo II de
la obra de Feyrunan. Una lectu ra imperdible y que revela la claridad de ideas de este físico contemporáneo.
Feynman R. p" Leighton R. B., Sands M., Tlle Feynmall lectwes on physics, Addison
Wesley • 1964.
Gelfand t.M . y Fomin S.V., Calculus olVariations, Prentice Hall, New York, 1963.
Lanczos c., Tlle variational principies 01 mechanics, Un iv, de Taranta, 1960,
Yaurgrau W. y Mandelstam S., Variationa/ Principies in Dynamics and Quamum Theory,
Dover Publications, New York, 1979.
Softwa re utilitario matemático comercial (MathCad)
Una presentaci6n de va rios temas de un curso básico de fisica universitaria desarrollados con
MathCAD, donde se incluyen problemas de Mecánica.
Donelly D., MathCAD® for IlItroductory Physics, Addisan Wesley Pub. Co.,1992.
423
-, r