COURS DE MATHEMATIQUE 6iemeINFO+AUDIO : 4H
Professeur : M. Ajjoun
MATIERE
UAA1 : CALCUL DES PROBABILITES
UAA2 : LOIS DE PROBABILITÉS
UAA3 : INTÉGRALE
UAA4 : FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
UAA5 : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE
COMPETENCES ET OBJECTIFS
UAA1 CALCUL DES PROBABILITES
1. Compétences
Utiliser le calcul des probabilités pour comprendre des phénomènes aléatoires de la vie
courante, pour analyser et critiquer des informations chiffrées.
2. Objectifs
L’objectif est de fournir des outils de base pour appréhender des situations aléatoires simples
de la vie courante, comprendre certaines informations scientifiques (génétique,
économique,…). Cette UAA est en effet consacrée à la lecture, à la compréhension et à
l’analyse d’un texte à caractère probabiliste.
Le choix d’une démarche de résolution n’étant pas unique, l’élève doit rencontrer différentes
stratégies, dégager la plus adéquate ou, éventuellement, celle qui lui convient le mieux.
Dans le cadre de l’analyse combinatoire, on aborde les dénombrements pour calculer des
probabilités et ultérieurement faciliter l’introduction de la loi binomiale.
UAA2 : LOIS DE PROBABILITÉS
1. Compétences
Déterminer une probabilité dans un contexte donné en utilisant les lois binomiale et normale.
2. Objectifs
L’objectif est de rencontrer des lois qui modélisent beaucoup de situations concrètes,
notamment, la loi binomiale et la loi normale. Non seulement celles-ci permettent de résoudre
des problèmes mais encore elles servent de prémices à d’autres lois plus complexes étudiées
dans l’enseignement supérieur.
UAA3 : INTÉGRALE
1. Compétences
Résoudre un problème à l’aide du calcul intégral
2. Objectifs
Le but de cette UAA est de développer le calcul intégral, une nouvelle notion mathématique
qui complète la liste des outils propres à l’étude des fonctions (limites, continuité, dérivées).
Le calcul intégral permet d’évaluer l’aire d’une surface, le volume d’un solide (de révolution),
la mesure d’un espace parcouru…, souvent difficilement mesurables, à l’aide de sommes
aisément calculables.
UAA4 : FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
1. Compétences
Modéliser une situation par une fonction exponentielle ou par une fonction logarithme
Résoudre un problème qui nécessite le recours à des fonctions exponentielles ou logarithmes.
2. Objectifs
1
L’objectif est de découvrir de nouvelles fonctions dont les modèles de croissance
correspondent à des phénomènes naturels, de comparer leur croissance par rapport aux
fonctions puissances et de se familiariser à l’usage des échelles semi-logarithmique et
logarithmique. Ces fonctions logarithmes et exponentielles trouvent de nombreuses
applications en chimie, biologie, physique, archéologie, géographie…
UAA5 : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE
1. Compétences
Traduire analytiquement des situations géométriques de l’espace.
2. Objectifs
Cette UAA de géométrie de l’espace prolonge les notions rencontrées au deuxième degré
(4UAA2 et 4UAA6) ; on y aborde les volets vectoriel et analytique.
On prendra le temps de traduire vectoriellement et d’exploiter des propriétés d’alignement et
de coplanarité pour que l’élève s’approprie ces notions de calcul vectoriel dans l’espace.
Là où la géométrie synthétique est plus difficile à mettre en œuvre, la géométrie analytique est
un outil qui permet de résoudre plus simplement certains problèmes.
Toutefois, elle peut masquer le côté visuel des objets de l’espace.
INTERROGATIONS ET EVALUATION DES COMPETENCES
Une interrogation écrite portant sur les compétences, savoir et savoir faire aura lieu
régulièrement au jour fixé en classe. Il ne sera jamais accepté de reporter l’interrogation
prévue sauf pour les élèves couverts par un certificat médical.
MATERIEL
 Farde A4
 Bloc de feuilles quadrillées
 Calculatrice scientifique



Crayon, gomme
Bic à quatre couleurs
Equerre
REMARQUES IMPORTANTES
Une participation « active » est demandée en classe. Elle sous entend :
 D’écouter en classe, de poser (si nécessaire) des questions pertinentes ;
 De relire ses notes après chaque cours ;
 De faire ses préparations (ou devoirs) en classe et/ou à domicile ;
 D’avoir un cours complet, annoté, personnel ;
 D’avoir son matériel et son journal de classe
Signature de l’élève :……………………… Signature des parents :…………………………
2
CALCUL DES PROBABILITÉS
I. Introduction
1. Regard « fréquentiste » sur le lancer d’un dé.
On lance plusieurs fois un dé non pipé et on observe le résultat obtenu. On s’intéresse à la
question suivante : "est-ce un 3 ou non ?"
On obtient les résultats suivants :
1re expérience
Nombres de lancers
Nombres de 3
Fréquence
Nombre de ‘’non Fréquence
3’’
obtenus
10
30
50
70
100
2e expérience
Nombres de lancers
Nombres de 3
obtenus
Fréquence
Nombre de ‘’non Fréquence
3’’
10
30
50
70
100
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………..
2. Regard « probabiliste » sur le lancer d’un dé
Le dé a 6 faces et chaque face a autant de chances de sortir que les autres: chaque face
a ………………………… de sortir.
On dit que la probabilité d’obtenir chaque face est égale à ……………
3. Synthèse
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
3
II. Mise en situation
Activité 1
On lance un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6
Calculer la probabilité :
 A « obtenir un 4 »
 B « obtenir un nombre pair »
 C « obtenir un multiple de 3 »
 D « obtenir au moins 5 »
 E « obtenir 7 »
 F « obtenir un nombre pair ou un 2 »
 G « obtenir un nombre pair et un 6 »
 H « obtenir un autre résultat que 4 »
 E « obtenir un nombre impair et un 4 »
Activité 2
Un joueur lance une pièce de monnaie parfaitement symétrique.
Si le côté "pile" sort, le jeu s’arrête et le joueur a gagné.
Si le côté "face" sort, le joueur relance la pièce et le jeu s’arrête définitivement.
Si lors du second lancer le côté "pile" sort, le joueur a gagné, sinon il a perdu.
Quelle est la probabilité de gain du joueur ?
D’Alembert (1717-1783) étudia ce problème et en publia une solution fausse dans
l’Encyclopédie : "il y a trois cas possibles dont deux sont favorables, la probabilité demandée
2
vaut donc ".
3
4
III. vocabulaire et propriétés
1. Définition d’une expérience aléatoire
Une expérience est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues possibles et lorsqu’on
ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira
2. Définition d’un évènement
Un événement A d’une expérience aléatoire est un sous-ensemble de l’ensemble des résultats
possibles.
3. Probabilité
La probabilité d’un évènement A représente les chances que l’évènement se réalise lors d’une
expérience aléatoire. Cette probabilité se note P(A)
4. Propriétés
 La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 :
 Lorsque ce nombre est égal à 1 : on dit que l’évènement est certain
 Lorsqu’il est égal à 0 : on dit que l’évènement est impossible
 La probabilité d’un évènement contraire noté A d’un évènement A est : P( A ) = 1 – P(A)
 Si A  B   , A et B sont disjoints ou incompatibles (A et B ne peuvent se réaliser en
même temps).
 La probabilité de deux événements incompatibles A et B est la somme des probabilités de
ces événements : si A  B   alors P( A  B)  P( A)  P( B)
IV. Evénements équiprobables
1. Définition
Deux événements sont équiprobables lorsqu’ils ont la même probabilité de se produire.
2. Règle de calcul
Lorsque les résultats d’une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la
probabilité d’un évènement A est :
P(A) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
V. Calcul de probabilités
Pour calculer la probabilité d’un événement, il faut, avant tout, analyser la situation et
organiser les données afin d’utiliser la technique de calcul la plus appropriée.
On peut calculer la probabilité d’un événement :
a. En utilisant directement les lois de la probabilité
Cette technique sera utiliser lorsqu’on connaît la probabilité de certains événements ou des
renseignements sur celle-ci. On doit alors en déduire les résultats demandés.
Exemple : un appareil fabrique en très grande série peut être défectueux à cause de 2 défauts
seulement désignés par A et B. Dans un lot de 1000 appareils, on a constaté que 100 appareils
5
présentaient au moins le défaut A, que 80 appareils présentaient au moins le défaut B et que
30 appareils présentaient les deux défauts simultanément. Un client achète un des appareils au
hasard. Calculer la probabilité que cet appareil :
a. Présente au moins un défaut ?
b. Ne présente aucun défaut ?
c. Présente le défaut A seulement ?
a) l’événement « l’appareil présente au moins un défaut » est A  B. en utilisant la relation de
Boole, on a : A , B  E : P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) donc
P(A  B) = 0.1 +0,08-0,03= 0,15.
b) l’événement « l’appareil ne présente aucun défaut » est le complémentaire de celui que
nous venons de calculer, donc P( A  B ) = 1- P(A  B) = 1-0,15 =0,85.
c) l’événement « l’appareil présente le défaut A seulement » est A\B et donc, si nous
décomposons A en deux parties disjointes A\B et A  B, on a :
P(A) = P(A\B) + P(A  B)  P(A\B) = P(A)-P(A  B)
Donc P(A\B) = 0,1-0,03=0,07
b. Par dénombrement (comptage)
Cette technique sera utiliser lorsque les événements élémentaires sont équiprobables et que 
et A contiennent un nombre fini d’éléments que l’on peut compter.
Dans ce cas, la probabilité de l’événement A se calcule par :
nombre d ' éléments de A
P(A) =
nombre d ' éléments de 
Exemples :
a. soit le phénomène aléatoire « lancer d’un dé non truqué » et l’événement A : « obtenir 6 ou
1 sur la face supérieure »
2
 = 1; 2; 3; 4; 5; 6 et A = 1; 6 . Dans ce cas P(A) =
6
b. soit le phénomène aléatoire « tirer une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes » et
l’événement B : « la carte tiré est une image »
3
12
P(B)= =
52 13
c. En disposant les données en arbre
Cette technique sera utilisée le plus souvent lorsque l’événement se produit en phases
successives et qu’à chaque phase, on a un petit nombre de possibilités.
Exemple :
Dans un athénée de la région bruxelloise, 10% des garçons et 2% des filles mesurent plus de 1,70 m.
On sait que 70% des élèves sont des filles. Si l’on prend un élève au hasard et que celui-ci mesure
plus de 1,70 m , quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
70%
30%
F
2%
>1,70 m
98%
 1,70 m
10%
>1,70 m
90%
 1,70 m
G
6
Soient A l’événement « mesurer plus de 1,70 m », F l’événement « être une fille » et
G l’événement « être un garçon ».
P ( F / A) 
P ( F  A)
P ( F ).P( A / F )
70%.2%
140



 0,318
P ( A)
P (G ).P ( A / G )  P ( F ).P ( A / F ) 30%.10%  70%.2% 440
d. En disposant les données dans des tableaux
On utilisera la technique des tableaux lorsque les objets dont on parle ont 2 caractéristiques
différentes dont il faut tenir compte en même temps.
Exemple :
Les observations effectuées dans le Zwin ont permis de constater que la proportion des
oiseaux migrateurs à une période déterminée y était de 0,5 ; celle des oiseaux aquatiques
sédentaires de 0,20.
Quelle est la probabilité qu’un oiseau pris au hasard
a. Soit sédentaire (événement A) ?
b. Ne soit ni migrateur, ni aquatique (événement B)?
Représentons les données sous forme de tableau
Migrateurs
Sédentaires
Total
Aquatiques
13%
20%
33%
Non Aquatiques
37%
30%
67%
Total
50%
50%
100%
Après avoir complété le tableau, les réponses aux questions se lisent directement :
P(A) = 50% et P(B)= 30%
e. En disposant les données dans des tableaux ou des ensembles
On utilisera la disposition dans des ensembles lorsque les objets dont on parle ont plusieurs (2
et surtout plus) caractéristiques différentes dont il faut tenir compte en même temps.
Exemple :
Dans un groupe de 40 élèves, 18 ont choisi l’option math 6h, 14 l’option physique, 8 l’option
biologie; 7 ont choisi à la fois math 6h et physique, 5 biologie et physique, 3 math 6h et
biologie et enfin 2 élèves ont pris les 3 options.
Si on prend un élève au hasard, calculer la probabilité des événements suivants:



A « L'élève suit l’option math 6h ».
B « L'élève suit l’option physique ».
C « L'élève suit l’option math 6h ou physique ».



D « L'élève suit l’option physique mais pas math 6h ».
E « L'élève n’a choisi ni physique, ni math 6h ».
F « L'élève suit uniquement l’option biologie».
Représentons les données sous forme d’ensemble.
7
M
P
10
5
2
1
4
3
2
B
On remarquera que pour remplir ce diagramme, on notera d’abord les élèves qui ont choisi les
3 options. Ensuite, pour noter les élèves qui ont choisi math 6h et physique, on n’oubliera pas
qu’on a déjà inscrit deux élèves (ceux qui ont choisi les 3 options) : il n’en reste donc que 5
qui ont choisi math 6 h, physique mais pas biologie. On procède de même pour les autres
parties d’ensembles à remplir.
18
14
25
P(A)=
P(B)=
P(C)=
40
40
40
7
2
P(D)=
P(E)= 13
P(A)=
40
40
40
Exercices
1. Benoît, Pierre, Marielle et Aurore organisent entre eux un jeu où il y’a un seul gagnant.
Sachant que Benoît à 4 fois plus de chance de gagner que Marielle.
Pierre à 3 fois plus de chance de gagner que Marielle.
Aurore à la même chance de gagner que Pierre.
Quelle est la probabilité qu’Aurore ne gagne pas ?
2. Une classe comporte 15 garçons dont un tiers à des lunettes et 18 filles dont la moitié a des
lunettes. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit un garçon ou ait des
lunettes ?
3. Lors d’un jet simultané de 2 dès discernables, quelle est la probabilité d’obtenir :
 2 fois le même point ?
 au moins un 6 ?
 8 comme somme des deux points ?
 au moins 10 comme somme des deux points ?
4. Si on jette deux fois de suite une pièce et qu’on note si elle est retombée côté pile ou côté
face, quelle est la probabilité des événements suivants :
 A : « obtenir 2 faces » ?
 B : « obtenir 2 côtés différents » ?
 C : « obtenir au moins une fois face » ?
8
5. Une urne renferme 10 boules blanches, 5 boules noires et 3 boules vertes.
a. On extrait 3 boules l’une après l’autre et sans remise. Calculer la probabilité des
événements suivants :
 A « obtenir trois boules noires »
 B « obtenir une blanche puis deux noire »
b. On extrait 2 boules l’une après l’autre avec remise de la première boule après le
premier tirage. Calculer la probabilité des événements suivants :
 A « obtenir deux boules noires »
 B « obtenir une blanche puis une noire »
c. On extrait 3 boules l’une après l’autre avec remise de chaque boule tirée. Calculer la
probabilité des événements suivants :
 A « obtenir trois boules noires »
 B « obtenir une blanche puis deux noire »
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Activité n°3
Soit une population de 100 personnes composée de 30 hommes et de 70 femmes.
Une enquête dans cette population nous informe qu’en fait 18 hommes et 35 femmes ont les
cheveux blonds. Si on choisit, au hasard, une personne de cette population.
 Quelle est la probabilité pour que la personne soit un homme blond ?
 Quelle est la probabilité pour que la personne soit un homme
 Quelle est la probabilité pour que la personne soit blonde sachant que c’est un homme
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VI. Probabilités conditionnelles
1. Définition
La probabilité conditionnelle d'un événement A par rapport à un événement B est la probabilité
que A se réalise lorsque B est réalisé. On la note P ( A / B)
P( A / B) 
P( A  B)
P( B)
2. Exercices
1. un club sportif comporte 80 inscrits en natation, 95 en athlétisme, 125 en gymnastique.
Chaque inscrit pratique un seul sport.
Parmi les inscrits en natation, 45% sont des filles. De même, 20% des inscrits en athlétisme et
68%¨des inscrits en gymnastique sont des filles.
a. On choisit un inscrit au hasard.
 Quelle est la probabilité que ce soit une fille pratiquant l’athlétisme ?
 Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
b. On choisie une fille au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle pratique l’athlétisme ?
2. Madame Bertrand, professeur de français oublie souvent ses clefs en classe. Cela lui
arrive :
 Une fois sur deux lorsqu’elle ne les a pas oubliées la ville,
 Une fois sur trois si elle les a laissées en classe la veille.
Ce lundi, elle a repris ses clefs à la fin du cours. Quelle est la probabilité qu’elle ne les oublie
pas non plus jeudi sachant qu’elle va à l’école tous les jours.
11
Activité n°4
Considérons une urne contenant 5 boules noires et 3 boules rouges.
Retirons successivement 2 boules de l’urne.
Considérons les événements A et B suivants :
A = "tirer une boule rouge au premier tirage"
B = "tirer une boule rouge au deuxième tirage"
Ces événements sont-ils indépendants?
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VII. Événements indépendants
1 Définition
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la
réalisation de l'autre et réciproquement.
A et B sont indépendants si et seulement si P( A / B)  P( A) ou P( B / A)  P( B)
Le théorème de la multiplication devient alors:
P( A  B )  P( A) . P( B )
2. Exercices
1. Dans une urne, il y’a 2 boules noires et trois boules blanches. On tire 2 deux boules sans
remplacement. Les événements A « la première boule est noire » et B « la deuxième
boule est noire » sont ils indépendants ?
2. deux chasseurs A et B tirent un lapin. La probabilité pour A de tuer le lapin est de 0,7 et
celle de B est de 0,5. s’ils tirent en même temps, quelle est la probabilité que le lapin soit
tué ?
3. deux étudiants cherchent la solution d’un problème sans se consulter.
Le premier a une probabilité de 0,8 et le second une probabilité de 0,3 de trouver la
solution. Quelle est la probabilité que le problème ne soit pas résolu ?
13
Loi de probabilité
Activité n°1
On lance deux pièces de monnaie parfaitement équilibrées.
Déterminer la catégorie d’épreuve du phénomène.
On note X le nombre de fois que pile apparait au cours d’un lancer.
1. Calculer les probabilités suivantes
P[X=0]
P[X=1]
P[X=2]
2. Calculer les probabilités suivantes
P[X≤0]
P[X≤1]
P[X≤2]
14
Variable aléatoire
I. Introduction
Considérons une expérience aléatoire dont l’ensemble fini des résultats est E.
A chacun des éléments ei de E associons un nombre réel xi.
On définit ainsi une fonction de E dans IR appelée variable aléatoire et notée X.
Exemple
Jet d’un dé.
X :E  R
ei  xi
X
E
e1
e2

1 x1
P
1
6
p1
2 x2
1
p2



6
Une variable aléatoire est discrète si l’ensemble de ses valeurs possibles est fini ou
dénombrable.
Dans le cas contraire elle est continue.
Exemples
On jette simultanément 4 pièces de monnaie indiscernables. On associe à chaque résultat le
nombre de "face" obtenu. La variable aléatoire X ainsi définie peut prendre les valeurs 0, 1, 2,
3, 4. ……………………….
On jette simultanément 2 dés. On associe à chaque résultat la somme des points obtenus. La
variable
aléatoire
X
ainsi définie peut prendre les valeurs
2,
3,..,12. ………………………...
On mesure les tailles d’un groupe d’individus se situant entre 145 cm et 200 cm. On associe à
chaque résultat la taille obtenue. La variable aléatoire peut prendre des valeurs comprises
entre 145 et 200. ……………………………………..
II. Variable aléatoire discrète
1. Distribution discrète de probabilité
La distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète est une fonction qui à xi
associe la probabilité pi d’obtenir cette valeur :
pi=P(X=xi) avec i= 1,…,k
Où k est le nombre de résultats possibles.
La représentation graphique de la distribution de probabilité est un diagramme en bâtonnets.
Remarque
k
 p 1
i
i 1
15
2. Fonction de répartition
En considérant les probabilités cumulées, on obtient la fonction de répartition définie par :
F : R  0,1 , F ( x)  P  X  x 
.
La représentation graphique de la fonction de répartition est une fonction en escalier.
Reprenons les deux premiers exemples
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..
16
3. Paramètres d’une distribution discrète
a. Espérance mathématique
Considérons une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs xi et les probabilités pi
correspondantes. pi=P(X=xi) avec i= 1,…,k
La moyenne m ou espérance mathématique E(X) est le nombre réel défini par :
k
E ( X )   pi xi
i 1
Remarque
Dans les jeux de hasard, si xi représente un gain, l’espérance mathématique représente le gain
moyen d’un joueur.
b. Le mode
Le mode est la (ou les) valeur(s) de X donnant la probabilité maximum.
c. La variance
La variance V(X) traduit l’écart par rapport à la moyenne, elle est définie par :
k
V ( X )   pi xi  E ( X )
2
2
i 1
d. L’écart type
L’écart type est la racine carrée de la variance :
(X)  V(X)
Exercices
Exercice 1
Un joueur lance un dé :
S’il fait 1, il perd 10 euros
S’il fait 2, il perd 6 euros
S’il fait 3 ou 4, il ne perd ni ne gagne
S’il fait 5, il gagne 2 euros
S’il fait 6, il gagne 20 euros .
Calculer l’espérance mathématique, la variance, le mode et l’écart type ?
Exercice 2
Un joueur jette simultanément 4 pièces de monnaie : on observe le nombre de fois que
‘’face’’ apparaît :
S’il obtient 0 fois ‘‘face’’, il perd 3 euros
S’il obtient 1 fois ‘’face’’, il perd 1 euro
S’il obtient 2 fois ‘’face’’, il gagne 0 euro
S’il obtient 3 fois ‘’face’’, il gagne 2 euros
S’il obtient 4 fois ‘’face’’, il gagne 5 euros
Calculer l’espérance mathématique, la variance, le mode et l’écart type ?
17
Activités n°2
1. Un comité se compose de trois membres. Semi sait parfaitement ce qu’il veut : il vote oui
à la proposition. Les deux autres membres sont indécis et votent au hasard. Quelle est la
probabilité que ce soit le oui qui l’emporte ?
2. Un autre comité se compose de cinq membres dont deux ont décidé de s’opposer à une
proposition. Les trois autres membres votent au hasard. Quelle est la probabilité de rejet
de la proposition ?
3. Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts. On
considère un échantillon de 200 objets. 1) Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit
défectueux ? 2) Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux ? 3) Quelle est la
probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux ?
18
III. La loi binomiale
1. Définition
On considère une expérience aléatoire. Une épreuve de Bernoulli est une épreuve dans
laquelle on ne s’intéresse qu’à la réalisation (succès) ou à la non réalisation (échec) d’un
événement A lié à cette épreuve : P(A) + P( )=1
A se produit avec une probabilité p et donc se produit avec une probabilité q=1-p.
Un schéma de Bernoulli est une suite de n épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes
entre elles avec la même probabilité de succès pour chacune d’elles.
Exemple
On lance un dé équilibré. On s’intéresse à l’événement A : ‘’obtenir un 6’’.
1
5
P( A) 
et
P( A ) 
6
6
Est une épreuve de Bernoulli.
Le lancement de ce dé 10 fois de suite donne un schéma de Bernoulli.
2. Distribution binomiale (ou loi binomiale)
On considère n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli. A chaque répétition,
l’événement A peut se produire avec une probabilité p. La variable aléatoire X est le nombre
de réalisations de A au cours des n expériences. Elle peut prendre les valeurs 0, 1, 2, …, n.
Dans l’exemple précédent, on s’intéresse au nombre de fois que l’on obtient le ‘’6’’ comme
résultat au cours des 10 lancers du dé.
La probabilité que A se réalise k fois lors des n répétitions est
P( X  k )  Cnk p k q nk
En effet
Il existe plusieurs manières de réaliser k fois A au cours des n répétitions de l’expérience : ce
sont les combinaisons de k éléments choisis parmi n :
Cnk .
Chacune de ces manières a une probabilité pk.qn-k de se produire : A se produit k fois et se
produit donc n-k fois (les événements sont indépendants).
La variable aléatoire X ainsi définie est appelée variable binomiale et est notée B(n,p), où n
est le nombre d’expériences et p la probabilité de succès lors de chaque expérience.
19
Exercices
Exercice 1
Une fabrication automatique de pièces embouties donne un pourcentage de rebuts s'élevant à
5%. On considère un échantillon de 10 pièces issues de cette fabrication. Calculer la
probabilité de trouver dans cet échantillon au plus 2 rebuts.
Exercice 2
Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts. On
considère un échantillon de 200 objets. 1) Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit
défectueux ? 2) Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux ? 3) Quelle est la
probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux ?
Exercice3
Une entreprise possède 50 ordinateurs. La probabilité qu’un ordinateur tombe en panne est de
0,01. On suppose que le fonctionnement d’un ordinateur est indépendant des autres.
1. Calculer la probabilité qu’aucun ordinateur ne tombe en panne.
2. Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.
3. Calculer la probabilité de l’´évènement E : « au moins un ordinateur est en panne »
Exercice 4
L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et
choisissent alors le sujet traité parmi ces trois sujets. Un candidat se présente en ayant révisé
60 sujets sur les 100. Quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé :
a) les trois sujets tirés;
b) exactement deux sujets sur les trois sujets;
c) aucun des trois sujets..
20
La loi normale
1. Exemple introductif
Une étude statistique sur les tailles des garçons de 15 à 18 ans (représentés par un
échantillon de 100 garçons) a donné les résultats suivants :
Moyenne : µ  173,35 cm
Écart-type :   10,64 cm
L’histogramme des fréquences et le polygone des fréquences se présentent comme
suit :
Fréquences (%)
Le polygone des
Effectif
fréquences ressemble à
30
une courbe en cloche,
25
presque symétrique par
rapport à la droite
20
x  173 .
d’équation
15
Cette
valeur
est
presque la moyenne de
10
l’échantillon observé.
5
Si l’on augmente de
0
classes
plus en plus l’effectif
148 153 158 163 168 173 178 183 188 193 198
total de l’échantillon,
alors il devient proche
de celui de la population
entière. Dans ce cas là, le nombre de tailles observées étant élevé, on peut les répartir
dans des classes dont l’amplitude est de plus en plus petite, le nombre de classes
devenant de plus en plus grand.
A la limite, l’amplitude de
chaque classe se réduit à un
point de l’axe.
Le polygone des fréquences
devient une courbe en cloche,
appelée courbe normale ou
courbe de Gauss, parfaitement
symétrique par rapport à la
moyenne.
173,5
On peut comparer ce qui vient d'être fait à l'ajustement vu en statistique.
21
Loi normale (ou distribution normale) N(  ,  )
La loi (ou distribution) normale N(  ,  ) est la loi la plus utilisée dans le calcul des
probabilités : on la rencontre dans la vie courante, notamment dans les problèmes de
tailles et de poids. Elle est caractérisée par deux paramètres : la moyenne µ et
l'écart-type . Le polygone des fréquences étudié en statistique peut être ajusté par
une courbe en cloche. L'équation de cette courbe s'écrit
( x  ) 2

1
2
y
e 2
 2
où e = 2,71828 et  = 3,14159.
Dans cette expression, x représente une valeur de la variable observée, y la
fréquence de la valeur observée x,  la moyenne de la distribution de probabilité et 
l’écart-type.
La représentation graphique de cette fonction, quels que soient µ et  , a
toujours la forme caractéristique d’une cloche. Elle admet, entre autres, les propriétés
suivantes :
 la courbe est symétrique par rapport à x = µ ;
 elle admet un maximum en µ ;
 le mode, la moyenne et la médiane coïncident.
Loi normale réduite N (0, 1)
Parmi les lois normales, il en est une qui joue un rôle particulier : la loi normale
réduite pour laquelle   0 et   1 , notée N (0 ,1) .
Toute loi normale N(  ,  ) peut être ramenée à une loi normale réduite par le
changement suivant :
X µ

Z.
Pour obtenir la distribution de probabilité de la loi normale réduite, on
pose t 
xµ

.
1  12 t 2
.
e
2
  ,   , elle est positive, en forme de "cloche" et
La distribution de probabilité devient : y 
Cette fonction est définie sur
symétrique par rapport à l’axe Oy.
On peut démontrer que l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses vaut 1.
La probabilité P(Z < a) que la valeur de Z soit plus petite que a est représentée par l’aire
de la surface comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et la droite d’équation t  a .
22
En pratique, il existe des tables qui donnent l’aire de la surface comprise entre la
courbe normale réduite, l’axe des abscisses et la droite d’équation t  a , c’est à dire la
probabilité de trouver une observation inférieure à la valeur a ( a étant un nombre
positif). Une telle table peut être construite au moyen du logiciel Excel grâce à la
fonction "Loi.normale.standard"
Exemple
Considérons que la taille des individus est une variable aléatoire X qui suit une loi
normale de moyenne   173,35 et d'écart - type   10,64 :
X  N (173,35 ; 10,64) .
Quelle est la probabilité qu’un individu mesure moins de 180 cm, moins de 170 cm,
plus de 180 cm, entre 170 et 180 cm ?
180  173,35
)  P( Z  0,63)  0,7357  73,57%
 P( X  180)  P( Z 
10,64
73,56 % des individus mesurent moins de 180 cm.

170  173,35
)  P( Z  0,31)  P( Z  0,31)  1  P( Z  0,31)
10,64
 1  0,6217  0,3783  37,83%
P ( X  170)  P( Z 
37,83 % des individus mesurent moins de 170 cm.
 P( X  180)  P( Z 
180  173,35
)  P( Z  0,63)  1  P( Z  0,63)  1  0,7357  0, 2643  26, 43%
10,64
26,43 % des individus mesurent plus de 180 cm.
170  173,35
180  173,35
P(170  X  180)  P(
Z
)  P(0,31  Z  0,63)
10,64
10,64
  P( Z  0,63)  P( Z  0,31)  P( Z  0,63)  P( Z  0,31)
 P( Z  0,63)  1  P( Z  0,31)  P( Z  0,63)  1  P( Z  0,31)
 0,7356  1  0,6217  0,3574  35,74%
35,74 % des individus mesurent entre 170 et 180 cm.
23
Note
C’est au dix-huitième siècle que les scientifiques remarquèrent une étonnante
régularité dans les erreurs de mesure en laboratoire ; ils étudièrent cette régularité et
appelèrent la distribution obtenue « Distribution normale ». Elle est aussi appelée
« Distribution de Gauss » car c’est ce mathématicien qui l’a découverte.
 P(   N  )  1
complémentaire de
a
a
 P( N  a)
 P( N  a )  1  P( N  a )
équivalent à
-a
a
a
 P( N   a )
 P( N  a )  1  P( N  a )
24
0,5 y
0,5 y
équivalent à
-4
-a
0
0
a
4
0
t
-4
 P( N   a )
0
a
 P( N  a)
25
4
t
EXERCICES
Exercice 1
Un chercheur a étudié l’âge moyen auquel les premiers mots du vocabulaire apparaissent chez
les jeunes enfants. Une étude effectuée auprès d’un millier de jeunes enfants montre que les
premiers mots apparaissent, en moyenne, à 11,5 mois avec un écart-type de 3,2 mois. La
distribution des âges étant normale, on souhaite :
1) évaluer la proportion d’enfants ayant acquis leurs premiers mots avant 10 mois
2) évaluer la proportion d’enfants ayant acquis leurs premiers mots après 18 mois
3) évaluer la proportion d’enfants ayant acquis leurs premiers mots entre 8 mois et 12 mois.
Exercice 2
En 1955, Wechler a proposé de mesurer le QI (Quotient Intellectuel) des adultes grâce à deux échelles
permettant de mesurer les compétences verbales et les compétences non verbales. On compare le score
global de la personne testée avec la distribution des scores obtenu par un échantillon représentatif de la
population d'un âge donné, dont les performances suivent une loi normale ayant pour moyenne 100 et
pour écart-type 15.
1/ Quel est le pourcentage de personnes dont le QI est inférieur à 80?
2/ Quelle chance a-t-on d'obtenir un QI compris entre 100 et 110 ? Un QI compris entre 90 et 100 ? Un
QI compris entre 105 et 110 ?
3/ Un patient obtenant un score de 69 fait-il partie des 5% inférieur de la distribution ?
4/ En dessous de quel QI se trouve le tiers des individus ?
5/ Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d'individus les plus performants ?
Exercice 3
Une enquête est effectuée auprès de familles de 4 personnes afin de connaître leur achat de
lait en 1 mois. Sur l'ensemble des personnes interrogées, la consommation de ce produit forme
une population gaussienne avec une moyenne de 20L et un écart-type de 6.
En vue d'une conception d'une campagne de pub, on souhaite connaître le pourcentage des
faibles consommateurs (c'est-à-dire moins de 10 L/mois) et le pourcentage des grands
consommateurs (c'est-à-dire plus de 30 L/mois).
1. Calculer ces 2 pourcentages
2. Au-dessous de quel nombre de litres achetés se trouvent 75% des consommateurs?
3. Combien de litres au maximum consomme la moitié des consommateurs?
4. Au-dessus de quelle consommation se trouve 1/3 de la population ? et 2/3 de la population?
26