Knud Nissen
LÆ
REPLAN
2025
Matematik B
adgangskursus
Om brug af denne bog
Indhold
Denne bog er skrevet som en aktiv pdf. Det betyder, at pdf’en er udstyret med links på kryds og
tværs. For at få glæde af den interaktivitet, er det nødvendigt at installere programmet Acrobat
Adobe Reader. Programmet er gratis og kan installeres fra nettet – søg blot efter navnet.
Indholdsfortegnelsen på de følgende sider består af links til de enkelte forløb, kapitler og afsnit.
Klik på teksten eller sidetallet, så kommer du omgående til det ønskede sted.
Nederst på hver side (med få undtagelser) finder du en navigationslinje, der ser sådan ud
Sidenavigation
Links til kapitlerne
Bogen er desuden udstyret med krydsreferencer. Dvs., at hvis du møder noget som fx
... ifølge sætning 1.5.4
så er 1.5.4 et link, der vil føre dig til den aktuelle sætning.
Der er ikke noget stikordsregister til bogen, hvilket også ville være overflødigt, da der kan søges direkte i en pdf: Tast Ctrl+F (på en mac: ⌘F) og et søgevindue vil poppe op, hvor du kan
skrive søgeordet.
1 Tal og regneregler
1.1
De naturlige tal
7
1.2
De hele tal
9
1.3
De rationale tal
10
1.4
De reelle tal
13
1.5
Algebraiske udtryk
14
1.6
Parentesregler
17
1.7
Regning med brøker
21
1.8
Procentregning
26
1.9
Faktorisering og forkortning
29
1.10 Numerisk værdi
33
1.11 Regning med potenser
35
1.12 Eksponentiel notation
43
1.13 Kvadratsætningerne
45
1.14 Reduktion af udtryk
50
1.15 Intervaller
52
2 Ligninger
Løsning til ligninger
57
2.2
Grundmængde og løsningsmængde
62
2.3
To ligninger med to ubekendte
65
2.4
Nulreglen
68
2.5
Andengradsligninger
71
2.6
Proportionalitet
78
2.7
Procentregning og ligninger
82
87
3.1
Ensvinklede trekanter
87
3.2
Euklids Elementer
89
3.3
Parallelpostulatet
90
3.4
Vinkler
91
3.5
Pythagoras
95
4 Analytisk geometri
Revideret 05.08.25
57
2.1
3 Trekantsberegning
2
7
105
4.1
Koordinatsystemet
105
4.2
Punktmængder
107
4.3
Afstandsformlen
110
3
4.4
Midtpunktsformlen
112
8.3
Definition af differentiabilitet
262
4.5
Den rette linje
114
8.4
Differentialkvotient af simple funktioner
264
4.6
Skæring mellem to linjer
123
8.5
Regneregler for differentialkvotienter
269
4.7
Ortogonale linjer
124
8.6
Den afledte funktion
271
4.8
Afstand fra et punkt til en ret linje
127
8.7
Produkt- og brøkreglen
274
4.9
Parablen
132
8.8
Differentiation af sammensat funktion
281
4.10 Skæring mellem linje og parabel
139
8.9
Differentiation af specielle funktioner
284
4.11 Cirklens ligning
142
8.10 Tangentbestemmelse
288
4.12 Skæring mellem cirkel og linje
145
8.11 Ekstrema og monotoniforhold
293
4.13 Tangent til en cirkel
147
8.12 Væksthastighed
301
5 Trigonometri
9 Deskriptiv statistik
305
5.1
Sinus og cosinus
153
9.1
Ikke-grupperede observationer
305
5.2
Tangens
157
9.2
Grupperede observationer
315
5.3
Trigonometriske grundligninger
159
5.4
Anvendelse på retvinklet trekant
162
10.1 Mindste kvadraters metode
323
5.5
Beregning i vilkårlige trekanter
167
10.2 Den bedste rette linje
326
5.6
Bevis for cosinus- og sinusrelationerne
172
10.3 Lineær regression
327
177
10.4 Eksponentiel regression
329
6 Funktionsbegrebet
10 Regression
323
6.1
Funktionsbegrebet
177
10.5 Potensregression
333
6.2
Sammensat funktion
185
10.6 Lidt om forklaringsgraden
337
6.3
Invers funktion
187
7 Funktioner
11 De komplekse tal
343
193
11.1 Lidt om de komplekse tals historie
343
7.1
Lineær funktion
193
11.2 Definition af komplekse tal
346
7.2
Stykkevis lineære funktioner
196
11.3 Regning med komplekse tal
347
7.3
Andengradspolynomiet
200
11.4 Rektangulær og polær form
350
7.4
Polynomier af højere grad end 2
208
11.5 Ligninger med komplekse løsninger
357
7.5
En anvendelse af polynomier
220
7.6
Eksponentiel udvikling
224
7.7
Logaritmefunktionen log
230
7.8
Den naturlige logaritme ln
236
7.9
Fordobling og halvering
238
7.10 Potensudviklinger
8 Differentialregning
4
153
243
251
8.1
Indledning
251
8.2
Kontinuitet
258
5
1 Tal og regneregler
1.1 De naturlige tal
At tælle er så naturligt for os, at det kan være meget svært at forstå den underliggende kompleksitet. Længe før tallene kom på banen, har det forhistoriske menneske skullet udvikle en eller
anden form for abstraktion, der tillod dem at identificere og navngive objekter – altså kende
forskel på fugl og fisk. Uden identificerbare objekter, ville der jo ikke være noget at tælle, men
ved at kunne anbringe objekter i forskellige kategorier, opstod et behov for kvantitativt at kunne
beskrive tilstedeværelsen af mere end ét objekt af samme kategori.
Her er to mængder af objekter – den ene indeholder katte, den anden mus:
Vil det være muligt at udtrykke, hvad de to mængder har til fælles uden at sige ordet ’tre’? Vi
kan i al fald sige, at de to mængder har samme størrelse, idet der er en mus til hver kat og omvendt. Mere formelt kan vi sige, at vi kan lave et eksakt match mellem de to mængder.
Når vi tæller på fingere, etablerer vi faktisk et eksakt match mellem objekter i en mængde og
nogle af vore fingre. Der kan således etableres et eksakt match mellem ovenstående mængde af
katte og mængden af strittende fingre:
Og tilsvarende kan der etableres et eksakt match med mængden af mus og mængden af strittende fingre. Læg mærke til, at begrebet ’samme størrelse’, ikke afhænger af typen af objekter i
de to mængder, vi sammenligner, og at sammenligningen ikke involverer tal.
Når vi tæller, etablerer vi faktisk et eksakt match mellem objekterne i en mængde med de fortløbende talord:
en, to, tre fire, fem, .....
Når vi matcher, starter vi med ’en’, fortsætter med ’to’, osv. indtil alle objekter i mængden er
matchet med et talord. Det sidste talord, vi matcher, er så størrelsen af mængden.
6
7
Herefter kan vi så indføre symboler for de enkelte talord – og hertil har vi i vores kultur valgt at
benytte et 10-talssystem. Med dette system knytter vi tallet 3 til ovenstående mængde af katte,
mængde af mus og mængde af strittende fingre. Tallet 3 bliver herved en abstraktion, hvor vi
ser bort fra de konkrete objekter og kun fokuserer på én ting, nemlig størrelsen af mængden.
Hvis man helt vil undgå sådanne filosofiske overvejelser over, hvordan de naturlige tal er blevet
til, kan den tilgang benyttes, som den tyske matematiker L. Kronecker (1823 - 91) lancerede:
Gud skabte de naturlige tal, alt andet er menneskets værk.
Mængden af naturlige tal betegnes N :
N = " 1, 2, 3, 4, 5, g ,
Grafisk illustreres de naturlige tal på en tallinje, hvor de ligger som perler på en snor
1
2
3
4
5
Vi kan lægge to naturlige tal sammen og få et nyt naturligt tal ud af det. Det samme gælder for
multiplikation. De to regneoperationer (plus og gange) opfylder de sædvanlige regler. Vi samler disse i en række aksiomer (altså grundlæggende vedtægter, der ikke hverken kan eller skal
bevises)
1.1.1
AKSIOMER
For vilkårlige naturlige tal a, b og c gælder:
1.
a+b = b+a
2.
(a + b) + c = a + (b + c)
3.
a$b = b$a
4.
(a $ b) $ c = a $ ^ b $ c h
5.
1$a = a
6.
a $ (b + c) = a $ b + a $ c
Aksiom 1 udtrykker, at vi må bytte om på tallene i en addition og aksiom 2 udtrykker, at vi må
foretage additionen i den rækkefølge vi måtte ønske. aksiom 3 og 4 udtrykker det samme for
multiplikation. Endelig fortæller aksiom 6 os, hvordan vi ganger ind i en parentes, hvis der inde
i parentesen står en sum af to eller flere tal.
1.1.2
EKSEMPEL
En anekdote fortæller, at den store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) i en
alder af 8 år fik til opgave af sin lærer at lægge de første 100 tal sammen. Opgaven havde sikkert til formål at holde ham beskæftiget stykke tid, men lille Carl havde prompte det korrekte
svar: 5050.
Gauss kan have ræsonneret således: Vi skal udregne
I stedet for at addere tallene fra venstre mod højre bruger Gauss aksiom 1 og 2 adskillige gange
og når frem til omskrivningen:
1 + 2 + 3 + f + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + f + (50 + 51)
= 50 $ 101
= 5050
Hver parentes giver 101 og der er 50 af dem.
Vi kunne naturligvis have opnået det samme resultat ved at benytte en lommeregner, selvom
det vil være ret tidskrævende med 292 tastetryk. Med så mange tastetryk er det svært at undgå
at lave en fejl, så vi kommer nok til at tjekke det en ekstra gang. Med Gauss’ metode er der
imidlertid ingen tvivl om, at svaret er korrekt.
1.2 De hele tal
De naturlige tals indskrænkethed kommer for alvor til syne, når vi skal løse ligninger. Fx er det
intet problem at løse ligningen x + 2 = 3 inden for de naturlige tal, men derimod vil ligninger
som x + 3 = 3 og x + 4 = 3 volde problemer, idet de ingen løsninger har inden for de naturlige tal.
For at kunne løse ligninger af formen x + a = b , hvor a, b ! N , er vi nødt til at udvide talbegrebet. Og det skal ske på en måde, så aksiomerne 1.1.1 stadig gælder.
Udvidelsen sker ved, at vi først tilføjer tallet 0 som et symbol for løsningen til alle ligninger
af formen x + a = a , dernæst tilføjer vi - 1 som et symbol for løsningen til alle ligninger af
formen x + a = b , hvor a er én større end b . Og således fortsættes, hvorved vi kommer frem
til mængden af hele tal Z (hvor betegnelsen Z kommer fra det tyske ord Zahlen):
Z = " f , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, f ,
Herefter ser tallinjen sådan ud
–3
–2
–1
0
1
2
3
Til aksiomerne 1.1.1, som også skal gælde i Z , tilføjer vi disse:
1.2.1
AKSIOMER 2
For vilkårlige hele tal a og b gælder:
7.
a+0 = a
8.
a + (- a) = 0
9.
a$0 = 0
10. Enhver ligning af formen x + a = b har præcis én løsning
1 + 2 + 3 + f + 99 + 100
8
9
Med disse tilføjelser kan vi udlede alle de regneregler for hele tal, vi kender, fx
1.2.2
SÆTNING - REGNEREGLER FOR FORTEGN
1.
- 1 $ a =- a
2.
(- a) $ b = a $ (- b) =- (a $ b)
3.
(- a) $ (- b) = a $ b
4.
-^ - a h = a
Her står, at Q er mængden af alle brøker på formen ab , hvorom der gælder, at a og b er hele
Y 0.
tal med b =
Betegnelsen Q kommer fra det engelske ord ’Quotient’, der er det samme som det danske ord
’kvotient’.
De hele tal Z er indeholdt i de rationale tal Q , idet ethvert helt tal a kan opfattes som brøken
a . Herved bliver de rationale tal en udvidelse af de hele tal.
1
Ud over aksiomerne 1 - 10, som også skal gælde i Q , tilføjer vi to nye
1.3.1
Beviserne herfor er lidt tekniske og omstændelige, idet vi kun må benytte os af aksiomerne
1-10, men da alle regler er velkendte helt fra skoletiden, vil vi afholde os fra at bevise dem.
For vilkårlige hele tal a og b gælder:
11. a $ a1 = 1
Kigger vi aksiomerne 1-10 nøje igennem, kan vi se, at subtraktion af to tal ikke direkte er omtalt, men subtraktion kan defineres på baggrund af aksiomerne. Igen er det lidt teknisk, så vi
henviser overvejelserne til et eksempel.
1.2.3
EKSEMPEL – DEFINTITION AF SUBTRAKTION
I følge aksiom 10 har ligningen x + b = a præcis én løsning, som vi vil kalde a - b . Vi vil nu
bevise, at a + (- b) også er en løsning til x + b = a , men da ligningen har præcis én løsning,
må de to løsninger være ens, altså
a - b = a + ^-bh
Vi viser, at a + (- b) er en løsning til x + b = a ved at indsætte a + (- b) i stedet for x:
^ a + (- b) h + b
aksiom 2
=
a + ^^ - b h + b h
aksiom 8
=
a+0
aksiom 7
= a
Vi kan således bruge
a - b = a + ^-bh
som definition på subtraktion af to hele tal.
1.3 De rationale tal
De hele tal møder deres begrænsning når vi forsøger at løse ligninger af typen b $ x = a , hvor
Y 0 . Det går fint nok med en ligning som 2x = 4 , men ikke med en
a og b er hele tal med b =
ligning som 4x = 2 , der ikke har en løsning i Z .
En ligning som b $ x = a , har vi lært at løse ved at dividere med b på begge sider, så x = a ,
b
men kun hvis b går op i a , har ligningen en løsning i Z .
Vi udvider derfor vores talbegreb med brøker, der har hele tal i både tæller og nævner, hvor
nævneren dog ikke må være 0. Denne mængde kan vi ikke skrive så helt simpelt som det var
tilfældet med mængderne N og Z , idet vi her skal benytte en såkaldt mængdebygger:
Y 1
Q='a
b a, b ! Z, b = 0
10
AKSIOMER 3
12. Enhver ligning af formen b $ x = a har præcis én løsning
På baggrund af aksiomerne 1-12 kan man udlede alle brøkregneregler – altså hvordan man lægger to brøker sammen, trækker dem fra hinanden, ganger og dividerer dem med hinanden. Det
skal vi dog ikke gøre, men i et senere afsnit i dette kapitel skal vi beskæftige os indgående med
brøkregning – og da vil alle reglerne komme på banen.
For at give et indtryk af, hvor teknisk det bliver, når vi kun har aksiomerne 1 - 12 til rådighed,
ser vi på et helt konkret eksempel
1.3.2
EKSEMPEL
1 = 2.
Her vil vi vise, at der gælder, at 2
4
1
1
2 er løsning til ligningen 2 $ x = 1 , hvilket betyder, at 2 $ 2 = 1 .
2 er løsning til ligningen 4 $ x = 2 .
4
1
1
2 er også en løsning til ligningen 4 $ x = 2 , hvilkes ses ved at indsætte 2 i stedet for x :
1 = (2 $ 2) $ 1 = 2 $ (2 $ 1 ) = 2 $ 1 = 2
4$ 2
2
2
1 = 1.
hvor vi har brugt aksiom 3, 4 og 5 samt 2 $ 2
1 = 2.
Men ifølge aksiom 12 har ligningen 4 $ x = 2 kun én løsning, så 2
4
1 kan optræde i mange forklædninger:
Med tilsvarende argumenter har vi, at tallet 2
1
2
3
4
5
2 = 4 = 6 = 8 = 10 = g
og også med negative tal i tæller og nævner
-2
1
-1
-5
-3
-4
2 = - 2 = - 4 = - 6 = - 8 = - 10 = g
11
Når vi illustrerer de rationale tal på en tallinje, bruger vi samme figur som ved Z , men hvor vi
her har alle de ’ægte’ rationale tal liggende på linjen, mellem de hele tal.
De rationale tal ligger tæt på tallinjen, så tæt, at der mellem to vilkårlige rationale tal befinder
sig uendeligt mange rationale tal:
1 og 1 , ligger tallet
Midt mellem tallene 3
2
1 a1 1k 1 5
5
2 $ 3 + 2 = 2 $ 6 = 12
der igen er et rationalt tal.
1 og 5 , har vi et nyt rationalt tal melGentager vi processen, og finder midtpunktet mellem 3
1 og 1 . Og således kan vi fortætte i det uendelige. 12
lem 3
2
Eksistensen af ikke-rationale tal, kan også erkendes ved at omskrive brøker til decimaltal. Lad
os først se på nogle eksempler:
1
2 = 0.5
1
3 = 0.33333 f
1
4 = 0.25
1 = .
5 02
1
6 = 0.166666 g
1
7 = 0.142857142857 f
1
Disse få eksempler tyder på, at et rationalt tal altid kan skrives som et endeligt eller et periodisk
decimaltal, hvor vi med periodisk mener, at på et eller andet tidspunkt bliver et antal decimaler
gentaget i det uendelige – i brøken 31 starter gentagelsen med det samme, i brøken 61 starter
gentagelsen med den anden decimal og i brøken 71 starter gentagelsen også med det samme,
men her gentages en blok på 6 cifre.
x
Et naturligt spørgsmål er, om der er ’huller’ i de rationale tal – altså, om der findes tal, som ikke
er rationale. Opdagelsen af disse ’huller’ skete i den græske kultur for ca. 2500 år siden. Og det
var en katastrofe for den lærde skole, Pythagoras havde grundlagt, som var af den opfattelse, at
’alt er tal’ – altså rationale tal.
1.4 De reelle tal
For at forstå, hvad der sker, foretager vi en minutiøs udregning af decimalerne i 71 ved at udregne 1:7 efter den metode vi lærte i skolen, hvor vi dog her har farvet resterne røde:
Problemet, der gav anledning til et hul i de rationale tal, var bestemmelse af længden af en diagonal i et kvadrat med sidelængde 1:
1
Anvender vi Pythagoras’ sætning på trekanten, får vi
x2 = 12 + 12 = 2 .
Med moderne notation har vi så, at x = 2 .
En ting er, at det er svært at finde den brøk, der i givet fald skulle være lig med 2 , noget helt
andet er at erkende, at det ikke kan lade sig gøre at udtrykke 2 som en brøk. Hvordan de
beviste det, ved man ikke, men hos Euklid (ca. 300 f.v.t.), findes et meget elegant bevis.
Men hvorfor var denne erkendelse en katastrofe? Den Pythagoræiske skole var ikke for alle,
men var et broderskab af matematikere og filosoffer, der bl.a. studerede tal, geometri, musik,
harmoni og kosmologi. Alt baseret på tal og brøker. Da de ikke havde for vane at offentligøre
noget som helst, besluttede de at hemmeligholde opdagelsen af, at 2 ikke kan skrives som
en brøk. Naturligvis kunne de ikke alle holde mund, men de, der røbede hemmeligheden, led
øjeblikkelig druknedøden.
1 : 7 = 0.142857
0
10
7
30
28
20
14
60
56
40
35
50
49
1
Efter 7 divisioner får vi den samme rest, som vi startede med, og alt begynder forfra.
Idet vi husker på, at resten altid skal være mindre end det, vi dividerer med, kan vi her højst få
7 forskellige rester, nemlig 0,1, ... ,6, hvor 0 dog ikke forekommer.
a
Hvis vi ved en division af a med b på et tidspunkt får resten 0, går divisionen op og b er et
endeligt decimaltal. Får vi ikke 0 som rest, vil vi efter højst b divisioner få en rest, vi har fået
før, og a er et periodisk decimaltal.
b
12
13
Så et rationalt tal er enten et endeligt eller et periodisk decimaltal. Hvis vi kan konstruere et
decimaltal, der ikke har nogen periode, har vi vist, at der findes ikke-rationale tal. Men det er
nemt nok: Det klart, at fx dette decimaltal
0.110 100 1000 10000 100000 1000000 f
ingen periode har og således ikke kan være rationalt.
Et tal, der ikke er rationalt, siges at være irrationalt. Der er ingen speciel betegnelse for mængden af irrationale tal, men mængden af alle rationale og irrationale tal kaldes for de reelle tal
og betegnes med R .
Der findes mange flere irrationale tal, end de to, vi har omtalt her. Andre eksempler er
3,
5,
7, r
faktisk er kvadratroden af alle tal, der ikke er kvadrattal, irrationale. Alene dette medfører, at der
er uendeligt mange. Og faktisk er der langt flere irrationale tal end der er rationale tal, selvom
det umiddelbart er selvmodsigende at tale om grad af uendelighed.
Det afgørende er her, at vi kan lave et eksakt match mellem elementerne i Q og N, men ikke
mellem de irrationale tal og N. Det vil dog føre alt for vidt at komme ind på, hvordan dette
foregår.
Selv med indførelsen af de reelle tal, er det muligt at opskrive en ligning, hvor der kun benyttes
addition og multiplikation, der ikke har en løsning i R . Ligningen x $ x =- 1 er et eksempel på
en sådan ligning.
1.5 Algebraiske udtryk
1.5.1
DEFINITION – UDTRYK
Et udtryk er en meningsfuld sammenstilling af tal, variabler, regnetegn, potenser og rødder samt
parenteser.
Hvis der ingen variabler indgår i udtrykket, kaldes det et taludtryk.
Ordet ’meningsfuld’ er helt central i definitionen. Det er ikke nok, at det, du skriver, giver mening for dig, det skal give den samme mening for alle i denne verden. Det matematisk sprog er
universelt.
For at et udtryk kan være meningsfuld, skal nogle helt oplagte krav være opfyldt: Der må aldrig
stå to regnetegn ved siden af hinanden og brug af parenteser skal være balanceret – dvs., at antallet af højre-parenteser skal være det samme som antallet af venstre-parenteser.
Skriver man et tal efterfulgt af en variabel, har man vedtaget, at der står et gangetegn mellem
de to. Fx betyder 2x således 2 $ x . Skriver man derimod x2 , skal dette opfattes som et variabelnavn – hvis det skal opfattes som x $ 2 , skal gangetegnet skrives.
14
Et taludtryk som dette
2+3$4
giver god mening. Men hvilken? Nogle vil hævde, at taludtrykket er lig med 14, andre – herunder visse lommeregnere også den i Microsoft Windows (standardversionen) – vil hævde, at
taludtrykket er lig med 20. Hvem har ret?
De, der får 14, har udført multiplikationen mellem 3 og 4 først, hvorefter 2 er lagt til resultatet
af multiplikationen. Altså:
2 + 3 $ 4 = 2 + 12 = 14
De, der får 20, har først udført additionen mellem 2 og 3, hvorefter resultatet er ganget med 4.
Vi vil ikke skrive denne udregning, da den er forkert. Og hvorfor er den så det? Jo, det beror på
en vedtægt om, i hvilken rækkefølge de enkelte udregninger skal foretages:
1.5.2
REGNEARTERNES HIERARKI
1.
Parenteser (udregn indholdet i parentesen)
2.
Potenser og rødder
3.
Multiplikation og division (fra venstre mod højre)
4. Addition og subtraktion (fra venstre mod højre)
5.
Fortegnsminus
Med denne vedtægt om rækkefølgen af regnearterne er det klart, at udregningen
2 + 3 $ 4 = 2 + 12 = 14
er den korrekte, idet multiplikationen (nr. 3 i hierarkiet) udføres før additionen (nr. 4) i hierarkiet.
Hvis vi vil have 3 og 4 lagt sammen før vi ganger med 4, ja, så er det et helt andet taludtryk, vi
skal have fat i, nemlig
^2 + 3h $ 4
Her skal vi først regne parentesen ud (nr. 1 i hierarkiet), hvorefter vi ganger med 4:
^ 2 + 3 h $ 4 = ^ 5 h $ 4 = 5 $ 4 = 20
Hvordan vi slipper af med parentesen om 5 vender vi tilbage til om et øjeblik.
Først skal vi have nogle navne på plads, så vi sikrer, at vi alle taler det samme sprog i forbindelse med udtryk:
15
a+b
læses
a plus b
resultat
sum
navne på a og b
addender
Subtraktion
a-b
a minus b
differens
a: subtrahend, b: minuend
Multiplikation
a$b
a gange b
produkt
faktorer
Division
a
b
a delt med b
kvotient
a: tæller, b: nævner
a: dividend, b: divisor
Regneart
Addition
symbolsk
Læg specielt mærke til, at i en sum og et produkt har a og b de samme navne, hvilket hænger
sammen med, at a + b = b + a (addendernes orden er ligegyldig) og a $ b = b $ a (faktorernes
orden er ligegyldig). I forbindelse med en differens og en kvotient skal der være forskellige
Y ba , hvis a =
Y b - a og a =
Y b.
navne til a og b, idet a - b =
b
Navnene på a og b i en subtraktion bliver så at sige aldrig brugt og er kun medtaget for fuldstændighedens skyld. I forbindelse med en division er navnene tæller og nævner de hyppigst
benyttede, men divisor møder man også hyppigt, hvorimod dividend er sjældent benyttet.
I 1960’erne var ordet ’dividende’ almindelig brugt af specielt husmødre, der gjorde deres indkøb
i Brugsen. Her fik de dividendemærker for ethvert køb, de foretog, og disse mærker kunne så
klistres i en dividendebog. Når året var omme, blev dividendebogen talt op og man fik, som det
hed, del i dividenden. Ordet dividende skal her forstås som det udbytte, der er til deling blandt
medlemmerne. Se: Del i dividenden.
1.5.3
Et udtryk består af led og leddene adskilles af + og - .
1.6.1
For alle reelle tal a, b og c gælder:
2.
4.
6.
^a + bh + c = a + ^b + ch
^a $ bh $ c = a $ ^b $ ch
a $ ^b + ch = a $ b + a $ c
De to første regler udtrykker, at den rækkefølge, vi adderer tal, er ligegyldig. Det samme er
tilfældet, når vi ganger tal.
I den tredje regel udtrykkes, at vi ganger ind i en parentes med et tal ved at gange tallet på hvert
led i parentesen.
EKSEMPEL
Vær meget opmærksom på, at det er hvert led i parentesen, der skal ganges, når et tal ganges
ind i parentesen.
Her indeholder parentesen to led: 5 og 2x . Hver af disse skal ganges med 3. At 2 og x ikke
begge skal ganges med 3 skyldes, at 2 og x er faktorer – men ikke led.
Taludtrykket 2 + 3 $ 4 består af to led:
2 +3$4
5
9
Faktisk fortæller den tredje parentesregel os, hvordan vi hæver og sætter parenteser:
2. led
hvor det første led er et tal og det andet led er et produkt af to tal.
1.6.3
Taludtrykket 2 $ ^ 4 + 3 h - 7 $ 3 + 5 består af 3 led
2. led
SÆTNING – AT HÆVE EN PARENTES
1.
2 $ ^4 + 3h - 7 $ 3 + 5
1442443 9
5
1. led
PARENTESREGLER
3 $ (5 + 2x) = 3 $ 5 + 3 $ ^ 2x h = 15 + ^ 3 $ 2 h $ x = 15 + 6x
EKSEMPEL – LED
1. led
De grundlæggende aksiomer for omgang med parenteser gentages her (med den tidligere nummerering):
1.6.2
DEFINITION – LED
Et led i et udtryk er enten et tal eller en variabel, eller et produkt af tal og variabler.
1.5.4
1.6 Parentesregler
2.
3. led
hvor det første led er et produkt af to tal, det andet led er også et produkt af to tal og det tredje
led er et tal.
Taludtrykket ^ 2 + 5 h består af ét led
2
3.
4.
Altså:
^ 2 + 5 h2
+^ a + b h = a + b
+^ a - b h = a - b
-^ a + b h =- a - b
-^ a - b h =- a + b
en plusparentes kan hæves uden ændringer
>
1. led
Ganske vist består indholdet af parentesen af to led, men taludtrykket ^ 2 + 5 h er et produkt af
to tal og derfor kun ét led.
en minusparentes kan hæves ved at ændre fortegn på alle led i parentesen
2
16
17
BEVIS
1.6.4
Det + , der står foran parenteserne i 1. og 2., betyder ikke noget særligt for beviserne, men er
vigtigt i forhold til brugen af de to regler.
Har man et taludtryk skal man naturligvis (om muligt) udregne parentesen først og derefter
hæve parentesen
1.
2.
3.
+^ a + b h = 1 $ ^ a + b h
= 1$a+1$b
= a+b
[aksiom 5]
+^ a - b h =+^ a + ^ - b hh
= a + ^-1h $ b
= a-b
[eksempel 1.2.3]
-^ a + b h =- 1 $ ^ a + b h
=- 1 $ a + ^ - 1 h $ b
=- a + (- b)
[sætning 1.2.2 (1)]
=- a - b
[eksempel 1.2.3]
-^ a - b h =-^ a + ^ - b hh
=- a - ^ - b h
4.
=- a + b
3 - ^ 4 + 5 h = 3 - ^ 9 h = 3 + ^ - 9 h = 3 - 9 =- 6
[aksiom 4]
[aksiom 5]
Hvis indholdet i parentesen er negativt:
3 - ^ 4 - 5 h = 3 - (- 1) = 3 + (+ 1) = 3 + 1 = 4
[regel 1, vi lige har vist]
[eksempel 1.2.3]
OPGAVER 1.1 – 1.8 „
1.6.5
[aksiom 6]
[sætning 1.2.2 (1)]
3 - ^ 5 + 2x h = 3 - ^ + 5 + 2x h = 3 + ^ - 5 - 2x h = 3 - 5 - 2x =- 2 - 2x
5 - ^ - 2 + 3 x h = 5 + ^ + 2 - 3 x h = 5 + 2 - 3x = 7 - 3x
[eksempel 1.2.3]
[regel 3, vi lige har vist]
[sætning 1.2.2 (4)]
Med flere end to led i parentesen, virker metoden naturligvis stadigvæk:
METODE TIL AT HÆVE PARENTESER
a + ^b - ch = a + ^+b - ch
= a + ^+b - ch
[skriv underforstået fortegn foran b]
[regnetegnet foran parentesen og parentesen fjernes]
[parentesen er hævet]
a - ^b - ch = a - ^+b - ch
= a + ^-b + ch
= a + ^-b + ch
[skriv underforstået fortegn foran b]
[vend alle fortegn i og foran parentesen]
[regnetegnet foran parentesen og parentesen fjernes]
[parentesen er hævet]
= a-b+c
a - ^-b + ch = a + ^+b - ch
= a + ^+b - ch
= a+b-c
[vend alle fortegn i og foran parentesen]
[regnetegnet foran parentesen og parentesen fjernes]
[parentesen er hævet]
Metoden er den samme hver gang:
1.
2.
3.
18
Skriv et eventuelt underforstået fortegn foran det første led i parentesen
Er det en minusparentes, så vendes alle fortegn i og foran parentesen
Regnetegnet foran parentesen og parentesen fjernes
EKSEMPEL – MINUSPARENTES I ET BOGSTAVUDTRYK
Hvis der er bogstavudtryk i parentesen, kan vi almindeligvis ikke omskrive indholdet til et enkelt led, som vi kunne i eksempel 1.6.4.
QED
= a+b-c
EKSEMPEL – MINUSPARENTES I ET TALUDTRYK
a - ^ 2b - 3a + 4 h = a - ^ + 2b - 3a + 4 h
= a + ^ - 2b + 3a - 4 h
= a - 2b + 3a - 4
= 4a - 2b - 4
Hvis der er en parentes i parentesen, så kan den inderste parentes hæves først
a - ^ 3b - ^ 7a + 5 hh = a - ^ 3b - ^ + 7a + 5 hh
= a - ^ 3b + ^ - 7a - 5 h h
= a - ^ 3b - 7a - 5 h
= a - ^ + 3b - 7a - 5 h
= a + ^ - 3b + 7a + 5 h
= a - 3b + 7a + 5
= 8a - 3b + 5
Alternativt kan den yderste parentes ophæves først
a - ^ 3b - ^ 7a + 5 hh = a - ^ + 3b - ^ 7a + 5 hh
= a + ^ - 3b + ^ 7a + 5 h h
= a - 3b + ^ 7a + 5 h
= a - 3b + ^ + 7a + 5 h
= a - 3b + 7a + 5
= 8a - 3b + 5
19
Hvad stiller vi så op med et udtryk som
1.6.7
a - b $ ^c - d h
EKSEMPEL
^ 2x + 3 h $ ^ 5x - 4 h = ^ 2x + 3 h $ ^ 5x + ^ - 4 hh
= 10x 2 + 2x $ ^ - 4 h + 15x + 3 $ ^ - 4 h
= 10x 2 + ^ - 8x h + 15x + ^ - 12 h
= 10x 2 - 8x + 15x - 12
= 10x 2 + 7x - 12
hvor b ikke nødvendigvis er 1 ?
Vi ganger ind i parentesen med b – og så er alt som før:
a - b $ ^c - d h = a - ^b $ c - b $ d h
= a - ^+b $ c - b $ d h
= a + ^-b $ c + b $ d h
= a-b$c+b$d
1.6.6
EKSEMPEL
- 5 $ ^ 3x - 4y h =-^ 15x - 20y h
=-^ + 15x - 20y h
= +^ - 15x + 20y h
=- 15x + 20y
OPGAVER 1.9 – 1.16 „
1.7 Regning med brøker
Der findes en række grundlæggende regneregler for brøker, som vi her anfører uden bevis
1.7.1
SÆTNING – BRØKREGLER
For reelle tal a, b, c og d gælder
B1
Når to parenteser skal ganges sammen, fortæller aksiom 6
B2
a $ ^b + ch = a $ b + a $ c
B3
hvordan vi skal bære os ad. Her er det vigtigt at gøre sig klart, at a, b og c ikke nødvendigvis er
tal eller variabler – de kan også være led.
B4
Når vi skal udregne produktet
^a + bh $ ^c + d h
så opfattes ^ a + b h som et samlet led, der skal ganges ind i parentesen:
^a + bh $ ^c + d h = ^a + bh $ c + ^a + bh $ d
= a$c+b$c+a$d+b$d
a + b = a+b
c c
c
Y0
, c=
a - b = a-b
c c
c
a $ c = a$c
b d
b$d
a
b = a$d
c
b$c
d
Y0
, c=
Y0
, b, d =
Y0
, b, c, d =
Læg mærke til, at vi ifølge B1 og B2 kun kan lægge brøker sammen, hvis de har den samme
nævner, og at det samme gælder, hvis de skal trækkes fra hinanden. Betyder det så, at vi kun
kan lægge brøker sammen, hvis de har samme nævner? Nej, slet ikke.
1.7.2
EKSEMPEL
Dette viser, at når vi ganger parenteser sammen, skal vi gange hvert led i den ene parentes med
hvert led i den anden parentes.
1+1
Vi skal her udregne summen: 4
3
Den samme teknik kan anvendes, selvom der står et minus i parentesen
Umiddelbart kan det ikke lade sig gøre, men vi skal huske på, at brøker kan optræde i mange
forklædninger
^ a - b h $ ^ c - d h = ^ a + ^ - b hh $ ^ c + ^ - d hh
= a $ c + ^-bh $ c + a $ ^-d h + ^-bh $ ^-d h
= a $ c + ^-b $ ch + ^-a $ d h + b $ d
= a$c-b$c-a$d+b$d
Fidusen ved at lave omskrivningen a - b = a + ^ - b h , hvor vi opfatter minusset som et fortegn
på b, er, at vi uden fare for fortegnsfejl kan gange de to parenteser sammen og først derefter får
hævet parenteserne, men det kræver stor omhu i omgangen med parenteser.
20
1
2
3
4
5
4 = 8 = 12 = 16 = 20 = g
1
2
3
4
5
3 = 6 = 9 = 12 = 15 = g
I de to serier finder vi hurtigt brøker med ens nævner, så
1 1
3
4
7
4 + 3 = 12 + 12 = 12
21
Naturligvis skal vi ikke gå frem som i eksempel 1.7.2, når vi skal lægge to brøker sammen, men
eksemplet viser alligevel, at det, vi skal gøre, er at omskrive de to brøker så de får den samme
nævner.
1.7.3
SÆTNING – FORLÆNGE/FORKORTE EN BRØK
Det er en god skik at aflevere resultater som en uforkortelig brøk – altså som en brøk, der ikke
kan forkortes mere.
Men hvordan ser man, at ovenstående brøk kan forkortes med 6? Hertil findes der nogle små fif,
som vi vil vende tilbage til.
Y 0 og c =
Y 0 , gælder
For alle reelle tal a, b og c, hvor b =
a = a$c
b
b$c
Det, sætningen siger, er, at vi kan gange en brøk med det samme tal (forskelligt fra 0) i tæller
og nævner uden at brøkens værdi ændres. Dette kaldes at forlænge brøken.
1.7.5
Vi skal lægge brøkerne a og dc sammen. Hertil skal vi først finde en fællesnævner, men da
b
vi har symbolske størrelser i de to nævnere, kan vi ikke gøre andet, end at vælge b $ d som fællesnævner. De to brøker forlænges i overensstemmelse hermed:
a + c = a$d + c$b = a$d+c$b
b d
b$d d$b
b$d
Læst bagfra, siger sætningen, at
a$c = a
b$c
b
Helt tilsvarende har vi den generelle regel for subtraktion
a - c = a$d - c$b = a$d-c$b
b d
b$d d$b
b$d
og udtrykker, at en fælles faktor i tælleren og nævneren kan fjernes uden at ændre brøkens
værdi. Dette kaldes at forkorte brøken.
For at tydeliggøre, at der sker en forkortning af en brøk, vil vi af og til skrive det således
a $ c = a $Y
c = a
b$c
b $Y
c
b
1.7.4
EKSEMPEL - AT SKAFFE EN FÆLLES NÆVNER
1 + 1 skal brøken 1 forlænges med 3 og brøken 1 forlænges med 4.
Ved udregning af 4
4
3
3
Herved får de to brøker den fælles nævner 12:
1 1
1$3 1$4
3
4
7
4 + 3 = 4 $ 3 + 3 $ 4 = 12 + 12 = 12
Den fælles nævner, vi har lavet, er produktet af de to nævnere. Denne strategi kan altid benyttes,
men er ikke altid hensigtsmæssig, hvilket det næste eksemplel viser:
EKSEMPEL – GENERELLE REGER FOR ADDITION OG SUBTRAKTION AF BRØKER
1.7.6
EKSEMPEL – ADDITION AF ET TAL OG EN BRØK
Vi skal udregne summen
3+ 5
7
Hertil ved vi allerede, at vi kan opfatte 3-tallet som en brøk ved 3 = 3
1 , så indsætter vi det i
stedet for 3, er vi så godt som hjemme:
3 5
3$7 5
21 5
26
3+ 5
7 = 1 + 7 = 1$7 + 7 = 7 + 7 = 7
Og helt generelt kan vi lave en regel:
a + bc = a1 + bc = a1 $$ cc + bc = a $ cc+ b
Ved udregning af
11
5
12 + 18
kan vi bruge 12 $ 18 = 216 som fællesnævner, men der findes en fællesnævner, der er langt
mindre, nemlig 36, så udregningen kan klares sådan her:
11
5
11 $ 3
5$2
33 10
43
12 + 18 = 12 $ 3 + 18 $ 2 = 36 + 36 = 36
Gennemfører vi udregningen med 216 som fællesnævner, ser det sådan ud
11
5
11 $ 18
5 $ 12
198
60
258
12 + 18 = 12 $ 18 + 18 $ 12 = 216 + 216 = 216
Advarsel
Du har sikkert tidligere set tal blive skrevet som et blandet tal på formen 3 57 , og lært, at dette
omskrives til en brøk ved at ’gange 7 med 3 og lægge 5 til’ – altså
3 $ 7 + 5 = 26
35
7 =
7
7
Dette viser, 3 57 = 3 + 57 . Der underforstås altså et + mellem 3 og 57 – og det er det eneste
sted i matematikken, hvor et plus underforstås. Da det plejer altid at være et gangetegn, der
underforstås, kan brugen af blandede tal give anledning til fejl – specielt ved ligningsløsning.
Så brugen af blandede tal må frarådes.
For at se, om resultatet af de to udregninger er det samme, skal vi forkorte den sidste brøk:
258 = 43 $ 6 = 43
36 $ 6
36
216
22
OPGAVER 1.17 – 1.23 „
23
Multiplikation af brøker er helt problemfri: Her skal vi blot gange tæller med tæller og nævner
med nævner. Der er dog nogle meget vigtige specialtilfælde af B3, som vi lige skal have på
plads.
B3 fortæller også, hvordan man ganger et tal med en brøk:
Et par specialtilfælde af brøkreglen (B4), hvor der kun står en brøk i enten tælleren eller nævneren, skal også nævnes:
1.7.9
a $ bc = a1 $ bc = a1 $$ bc = a c$ b
1.
Altså: Man ganger et tal på en brøk ved gange tallet på i tælleren og bevare nævneren.
2.
Som et vigtigt specialtilfælde heraf har vi
a$b = b
a $ ba = a a$ b = Y
a
Y
Og endelig, hvis b = 1 , har vi
a $ a1 = 1
Disse specialtilfælde er så vigtige, at de ophøjes til en sætning:
1.7.7
SÆTNING – MULTIPLIKATION AF EN BRØK MED ET TAL
1.
a $ bc = a c$ b
2.
a$ b
a =b
3.
a $ a1 = 1
Reglerne i sætning 1.7.7 i kombination med, at vi kan forlænge brøker, er uhyre nyttigt når vi
skal arbejde med udtryk, hvor der forekommer brøker i tælleren og/eller nævneren.
1.7.8
EKSEMPEL
Her skal vi se på et eksempel på en division af en brøk med en brøk, hvor vi slet ikke skal benytte B4, men sætning 1.7.7 i kombination med, at vi kan forlænge brøker:
2
2
14
3 = 3 $ 7 = 3 $ 3 = 14
5
5 $7
5$3
15
7
7
hvor vi først forlænger brøken med 7 for at skaffe os af med nævneren i nævner-brøken og
dernæst forlænger vi med 3 for at skaffe os af med nævneren i tæller-brøken.
Denne metode kommer for alvor til sin ret, hvis der er mere komplicerede udtryk i tæller og
nævner. Fx
2k
14 k
a
a
4+ 2
3 = 4 + 3 $ 7 = 28 + 3 $ 3 = 98
37 $ 3
111
a6 - 5 k$ 7
6- 5
7
7
24
SÆTNING – DIVISION AF EN BRØK MED ET TAL / DIVISION AF ET TAL MED EN BRØK
a
b = a
c
b$c
a = a$c
b
b
c
BEVIS
Den første regel fås ved at forlænge med b:
a
a
b = b $b = a
c
c$b
b$c
og den anden ved at forlænge med c:
a = a$c = a$c
b
b $c
b
c
c
QED
Det kan af og til være nyttigt at læse regnereglerne bagfra – altså fra højre mod venstre. Den
første brøkregel (B1) siger da:
a+b = a + b
c
c c
Her står, at hvis vi har en brøk med to (eller flere) led i tælleren, skal vi dividere med nævneren
i hvert led.
1.7.10 EKSEMPEL
3b + a $ b = 3b + a $ b = 3Y
b + a $Y
b = 3+a
Y
Y
b
b
b
b
b
Tilsvarende kan sætning 1.7.7 (1) vise sig nyttig, hvis den læses bagfra:
a$b = a$ b
c
c
Her står dels, at en faktor i tælleren kan sættes foran brøken, og dels, at hvis tælleren er et produkt af to (eller flere) tal, så skal nævneren kun divideres op i én af faktorerne.
OPGAVER 1.24 – 1.29 „
25
1.8 Procentregning
At omskrive en brøk til procent betyder at forlænge (eller forkorte) brøken, så der står 100 i
nævneren.
Brøken 41 omskrives til procent således:
1
1 $ 25
25
1
4 = 4 $ 25 = 100 = 25 $ 100 = 25%
Heraf fremgår, at ’1 ud af 4’ svarer til ’25 ud af 100’. Procent betyder pr. hundrede, og derfor er
’25 ud af 100’ det samme som 25% – altså 25 pr. hundrede.
To brøker er kun direkte sammenlignelige, hvis de har den samme nævner, hvilket brøkerne jo
får, hvis de omskrives til procent.
1.8.1
EKSEMPEL
I a-klassen, hvor der går 25 elever, er 4 elever fraværende.
I b-klassen, hvor der går 20 elever, er 3 elever fraværende.
Hvilken af de to klasser har det største relative fravær, hvor vi med relativ mener, at fraværet
skal ses i forhold til klassens størrelse.
4
. Dette tal omskrives til procent
For a-klassens vedkommende er det relative fravær 25
4 = 16 = 16%
100
25
Så vedtægten er:
og tilsvarende for b-klassen
1
1% = 100
3
15
20 = 100 = 15%
og dermed er
Vi kan nu sammenligne de to brøker og se, at a-klassen har det største relative fravær.
p
p% = 100
Skriver vi 41 som decimaltal, altså 0.25, så viser ovenstående udregning, at
0.25 = 25%
så for at omskrive fra decimaltal til procent, skal man altså ikke gange med noget som helst.
Man kan godt gange med 100%:
1.8.2
EKSEMPEL
Vi finder 15% af tallet 160 ved at gange 160 med 0.15:
15% af 160 = 160 $ 0.15 = 24
Vi lægger 15% til 160:
160 + 160 $ 0.15 = 160 $ ^ 1 + 0.15 h = 160 $ 1.15 = 184
1442443
0.25 $ 100% = 25%
15% af 160
men der er ingen grund til det, idet 100% = 1 .
Lad os tage nogle flere omskrivninger:
Vi trækker 15% fra 160:
160 - 160 $ 0.15 = 160 $ ^ 1 - 0.15 h = 160 $ 0.85 = 136
1442443
1
1 $ 10
10
1
10 = 10 $ 10 = 100 = 10 $ 100 = 10%
3
3 $ 50
150
1
2 = 2 $ 50 = 100 = 150 $ 100 = 150%
$ 100 = 200 = 200 $ 1 = 200%
2 = 2100
100
100
Hvis vi skal omskrive brøken
til procent, går det ikke helt så nemt, idet 7 ikke går op i 100.
I praksis tager men lommeregneren frem og får 57 skrevet som et decimaltal:
5
7
5 = 0.714 = 71.4 = 71.4%
7
100
Vi kan også gå den anden vej – altså omskrive en procent til en brøk:
20 = 1
20% = 100
5
26
15% af 160
Læg her specielt mærke til det, der står i de røde kasser.
Vi kan generalisere indholdet af eksempel 1.8.2:
•
p
Vi finder p% af tallet x ved at udregne: x $ 100
•
p
Vi lægger p% til tallet x ved at udregne: x $ a 1 + 100 k
•
p
Vi trækker p% fra tallet x ved at udregne: x $ a 1 - 100 k
Bemærk, at hvis vi regner p med fortegn, kan vi bruge den samme formel til både at lægge p%
til tallet og til at trække p% fra tallet. I begge tilfælde siger vi at tallet x fremskrives med p% .
27
Størrelsen
1.9 Faktorisering og forkortning
p
1 + 100
1.9.1
kaldes for fremskrivningsfaktoren.
Traditionelt er procentregning og rentesregning nært forbundne, hvorfor man ofte vil se r anp
vendt i stedet for 100 . r skal således opfattes som det decimaltal, der svarer til p% . Altså fx
15 % = 0.15
6
:
p
r
Et algebraisk udtryk siges at være faktoriseret, hvis det er skrevet som et produkt af to eller
flere faktorer.
En faktorisering i to faktorer, hvor den ene faktor er 1, siges at være triviel.
1.9.2
I rentesregning kaldes r for rentefoden.
DEFINITION
EKSEMPEL – FAKTORISERING AF NATURLIGE TAL
Hvis det algebraiske udtryk er et helt tal, fx 132, så er en faktorisering fx
Vi sammenfatter:
132 = 2 $ 66
1.8.3
SÆTNING – SIMPEL KAPITALFREMSKRIVNING
og faktoriseringen er ikke-triviel, idet begge faktorer er forskellige fra 1. Det er dog ikke den
eneste faktorisering vi kan lave:
Der gælder denne sammenhæng
K = K0 $ ^ 1 + r h
hvor
1.8.4
132 = 3 $ 44
– og der er flere andre muligheder.
K er slutværdien
K 0 er startværdien
r procentændringen som decimaltal
Vi kan fortsætte med at faktorisere de faktorer, der indgår i udtrykket:
132 = 2 $ 66 = 2 $ 2 $ 33 = 2 $ 2 $ 3 $ 11
og idet faktorernes orden er ligegyldig, vil vi få det samme, selvom vi starter lidt anderledes
EKSEMPEL
132 = 3 $ 44 = 3 $ 2 $ 22 = 3 $ 2 $ 2 $ 11
Et beløb på 2000 kr. vokser med 8%. Hvad er beløbet vokset til.
Når vi ikke kan komme længere, skyldes det, at alle faktorerne 2, 3 og 11 kun har en triviel
faktorisering – tal med denne egenskab kaldes primtal, og faktoriseringen
Vi har K 0 = 2000 og r = 0.08 . Formlen fra sætning 1.8.3 anvendes:
K = 2000 $ 1.08 = 2160
1.8.5
132 = 2 $ 2 $ 3 $ 11
kaldes en opløsning i primfaktorer.
EKSEMPEL
Ved køb af en ny cykel vil cykelhandleren give os 10% rabat. Han spørger, om vi vil have rabatten før han lægger moms på beløbet eller efter. Hvad skal vi vælge?
Momsen er 25%, så momsen lægges til ved at gange med 1.25. Rabatten på 10% trækkes fra
ved at gange med 0.9. Lad os sige, at cyklen koster x kr.
Pris med rabat før moms: x $ 0.9 $ 1.25
Pris med moms før rabat: x $ 1.25 $ 0.9
Læser vi aksiom 6:
a $ ^b + ch = a $ b + a $ c
bagfra, så står der:
a $ b + a $ c = a $ ^b + ch
Så da faktorernes orden er ligegyldig, er det også ligegyldigt, om vi vælger det ene eller det
andet. Dog er Told & Skat ikke ligeglade, idet de forlanger, at en rabat skal gives efter momsen
er lagt til. Det giver nemlig flest penge til Told & Skat.
der fortæller, at hvis to led i et udtryk har en fælles faktor, så kan denne faktor sættes udenfor
en parentes.
Læg mærke til, at vi med denne faktorisering får omskrevet et udtryk med to led til et udtryk
med kun ét led.
OPGAVER 1.30 – 1.39 „
28
29
1.9.3
EKSEMPEL
MAPLE – FORKORT EN BRØK
I udtrykket
Maple vil automatisk forkorte en talbrøk mest muligt – indtast blot brøken og tast Alt+Enter:
120393 = 637
10017
53
a$b+a
er a faktor i begge led. Derfor kan udtrykket faktoriseres.
a $ b + a = a $ b + a $ 1 = a $ ^b + 1h
Indtaster vi et udtryk med symboler, så vil der i almindelighed ikke ske noget, hvis vi prøver at
beregne udtrykket
2a $ b + 4b = 2a $ b + 4b
2b
2b
Det er ikke altid helt nemt at se, om et udtryk kan faktoriseres. Et udtryk som dette
a$b+a+b+1
ser ikke umiddelbart ud til at kunne faktoriseres, men sættes a uden for parentes i de to første
led, åbner der sig muligheder:
a $ b + a + b + 1 = a $ ^b + 1h + b + 1
= a $ ^b + 1h + ^b + 1h
= ^b + 1h $ ^a + 1h
Klikker vi derimod på udtrykket og vælger Simplify 2 Simplify i kontekstmenuen, så forkortes
brøken
2a $ b + 4b
2b
[opfat b + 1 som ét led vha. en parentes]
[sæt b + 1 uden for parentes]
Klik på det udtryk, der skal faktoriseres, og vælg Factor i kontekstmenuen:
a $ b + a = a $ ^b + 1h
Der findes en del regler til at afgøre om et tal går op i et givet tal. Vi nøjes her med de simpleste
regler, med hvilke man ofte kan komme ganske langt.
•
2 går op i tallet, hvis tallet er lige (dvs. ender på 0, 2, 4, 6, 8 )
•
3 går op, hvis 3 går op i tallets tværsum.
Tværsummen af et tal er tallets cifre lagt sammen. Hvis den tværsum, der er udregnet, har
to cifre eller mere, kan tværsummen dannes igen. Og igen.
Et eksempel: 3 går op i 1185, idet tværsummen er 15, som 3 går op i. Dannes tværsummen nok engang, så får vi 6, som 3 går op i.
•
4 går op i et tal, hvis 4 går op i tallets to sidste cifre.
Et eksempel: 4 går op i tallet 3216, fordi 4 går op i 16
•
5 går op i et tal, hvis tallet ender på 0 eller 5
•
6 går op i et tal, hvis både 2 og 3 går op i tallet.
•
7 går op i et tal, hvis ...
Her findes en snedig metode, der bedst illustreres med et konkret eksempel:
For at tjekke, om 7 går op i 6258, spaltes tallet i to dele: 625 8 . Den sidste del ganges
med 2 og trækkes fra den første del: 625 - 2 $ 8 = 609 .
Processen gentages med 609: Tallet spaltes i to dele: 60 9 . Den sidste del ganges med 2
og trækkes fra den første del: 60 - 2 $ 8 = 42 . Og da 7 går op i 42, vil 7 gå op i 6258.
•
8 går op i et tal, hvis 8 går op i tallets 3 sidste cifre.
Et eksempel: 8 går op i tallet 37032, fordi 8 går op i 032.
•
9 går op i et tal, hvis 9 går op i tallets tværsum
•
10 går op i et tal, hvis tallet ender på 0.
a $ b + a + b + 1 = ^b + 1h $ ^a + 1h
factor
Prøver vi med samme metode for at få 132 faktoriseret, ser vi, at Factor er forsvundet fra kontekstmenuen, men til gengæld er Integer Factors og Prime Factors dukket op. Dem prøver vi:
132 = ^ 2 h2 ^ 3 h ^ 11 h
factor
" 2, 3, 11 ,
Integer Factors giver os opløsningen af tallet i primfaktorer, men Prime Factors giver os de
forskellige primtal, der er faktorer i tallet.
1.9.4
EKSEMPEL - FORKORTNING AF BRØKER
2a $ b + 4b = 2b $ ^ a + 2 h = 2b $ ^ a + 2 h = a + 2 = a + 2
1
2b
2b
2b
her har vi set, at 2b er en fælles faktor i 2a $ b og 4b . Den fælles faktor er derefter sat uden for
parentes og til slut er brøken forkortet
30
a+2
HVILKE (SMÅ) TAL GÅR OP I ET GIVET TAL
factor
132
=
[sæt a uden for parentes]
MAPLE – FAKTORISERING
prime factors
simplify
31
1.9.5
EKSEMPEL
1.10 Numerisk værdi
Vi skal her prøve at finde divisorerne i tallet 1764.
Allerførst ses umiddelbart, at 2 går op, så
Et reelt tal består af to ting: et fortegn og en talværdi. Hvis fortegnet er +, så skrives det ikke,
men underforstås. Talværdien er altid et positivt tal eller 0. Talværdien af et reelt tal kaldes den
numeriske værdi af tallet.
1764 = 2 $ 882
2 går også op i 882, så
Ser vi fx på tallet - 3 , så har tallet fortegnet - og talværdien 3. Tallet 3 har fortegnet + (som
vi ikke skriver) og talværdien 3. Den numeriske værdi af såvel - 3 som 3 er altså 3. Dette
skrives således
1764 = 2 $ 882 = 2 $ 2 $ 441
Tværsummen af 441 er 9, så 9 går op - dvs.
2
2
-3 = 3
2
1764 = 2 $ 441 = 2 $ 3 $ 49
2
2
2
1764 = 2 $ 3 $ 49 = 2 $ 3 $ 7
1.9.6
3 =3
hvor de to lodrette streger om tallet er notationen for den numeriske værdi.
Og dermed har vi faktoriseringen i primtal:
2
og
Man kan tænke på den numeriske værdi af et tal som afstanden fra tallet til 0 på en tallinje:
2
3
–4
EKSEMPEL
Lad os se, om vi med de bare næver kan forkorte brøken
–3
–2
3
–1
0
2
1
3
4
Mellem de to ’numerisk streger’ må der gerne stå et taludtryk:
120393
10017
1.10.1 EKSEMPEL
Brøken kan i al fald ikke forkortes med 2, da tælleren (og nævneren) er ulige. Vi danner herefter
tværsummen af tælleren og nævneren, der begge giver 9. Dvs., at 9 går op i både tæller og
nævner, så brøken kan forkortes med 9:
120393 = 13377
10017
1113
Danner vi igen tværsummen af af tælleren og nævneren i den forkortede brøk, får vi 3 i begge
tilfælde. Det betyder, at brøken kan forkortes med 3
2 $ 3 - 8 = -2 = 2
1 1
3 2
1
1
2-3 = 6-6 = 6 = 6
7 = 5 - 7 = -2 = 2
1- 5
5 5
5
5
Lidt mere kompliceret bliver det med
120393 = 13377 = 4459
10017
1113
371
1- 2
Ret hurtigt kan vi erkende, at kun 7 er tilbage af de små divisorer.
For at undersøge, om 7 går op i tælleren, udregner vi først 445 - 2 $ 9 = 427 . Vi gentager processen og udregner 42 - 2 $ 7 = 28 . Da 7 går op i 28, vil 7 gå op i tælleren.
For at undersøge, om 7 går op i nævneren, udregner vi 37 - 2 $ 1 = 35 . Da 7 går op i 35, vil 7
gå op i nævneren.
Vi forkorter brøken med 7:
Tallet mellem de to ’numerisk streger’ er ca. - 0.4 , men selvom vi ved, at tallet er negativt, er
der ikke umiddelbart et fortegn, vi blot kan fjerne, idet vi ikke kan reducere udtrykket 1 - 2
til et enkelt tal med fortegn.
Vi skal altså finde et tal, der ligger i samme afstand fra 0 som tallet 1 - 2 . Men inden vi gør
det, laver vi lige en generel overvejelse:
Hvis x er et positivt tal, så ligger x til højre for 0 på tallinjen. Hvis vi ’sætter et minus foran’ x,
så spejles x i 0, og vi får et tal til venstre for 0, der ligger i samme afstand fra 0 som x:
120393 = 13377 = 4459 = 637
10017
1113
371
53
x
Herefter er det slut, idet 53 er et primtal.
–x
x
0
x
OPGAVER 1.40 – 1.45 „
32
33
Men hvordan sætter vi et minus foran x ? Det gør vi såmænd ved at gange x med - 1 , idet
1.11 Regning med potenser
- x =- 1 $ x
Tilsvarende, hvis x er et negativt tal, så kan vi spejle x i 0 og få et tal på højre side af 0, der har
samme afstand fra 0 som x. Denne spejling foregår også ved at gange med - 1 .
Efter denne overvejelse kan vi nu udregne (husk parentesen!)
Det er velkendt, at
x2 = x $ x
hvilket er noget helt andet end 2x , der jo er lig med x + x .
1 - 2 =-^ 1 - 2 h =- 1 + 2 = 2 - 1
Vi skal kunne arbejde med potenser større end 2, så vi definerer:
Vores overvejelse giver os også ideen til en generel definition af den numeriske værdi af et tal
eller et taludtryk:
1.11.1 DEFINITION – POTENS MED HEL EKSPONENT
For ethvert reelt tal a og ethvert naturligt tal n defineres
1.10.2 DEFINITION - NUMERISK VÆRDI
an = a $ a $ f $ a
1442443
For et vilkårligt reelt tal x defineres den numeriske værdi af x ved
x =(
n faktorer
hvor a kaldes grundtallet og n kaldes eksponenten
x hvis x $ 0
-^ x h hvis x < 0
Specielt, hvis n = 2 , kaldes a 2 for kvadratet på a. Det hænger sammen med, at et kvadrat
med sidelængde a har arealet a 2 . Tallene 1, 4, 9, 16, 25, ... kaldes for kvadrattallene, idet de er
kvadratet på hhv. 1, 2, 3, 4, 5, ...
1.10.3 EKSEMPEL
7 =7
Omvendt, hvis vi har et kvadrat med arealet a, og ønsker at finde sidelængden i dette kvadrat, så
er det nemt nok, hvis a er et kvadrattal, men hvis ikke, så har vi problemer, fordi sidelængden
så ikke kan udtrykkes på en simpel måde. Vi indfører derfor en bekvem skrivemåde for denne
sidelængde, nemlig a , og kalder denne kvadratroden af a.
- 7 =- (- 7) = 7
3
3
a3
k
2 - 3 =- 2 - 3 = 3 - 2
Noget tilsvarende kan siges om a 3, altså a opløftet i 3. potens. I engelsksproget litteratur benyttes a cubed som betegnelse for a 3 . En lignende terminologi benyttes ikke på dansk, men
meningen er klar nok: a 3 er rumfanget af en kube (terning) med sidelængden a. Rumfanget af
kuber med sidelængderne 1, 2, 3, 4, 5, ... er de såkaldte kubiktal: 1, 8, 27, 64, 125, ...
Vi viser en lille sætning, som vi ofte vil få brug for
1.10.4 SÆTNING
Omvendt, hvis vi har en kube med rumfanget a, og ønsker at finde sidelængden i denne kube, så
indfører vi betegnelsen 3 a for sidelængden, og kalder denne for kubikroden af a.
x 2 = x2
Vi skal have lavet nogle præcise definitioner:
BEVIS
Hvis x $ 0 , kan vi fjerne numerisk tegnet og der står x 2 = x 2 , hvilket naturligvis er opfyldt.
For ethvert a ! R , a $ 0 , defineres kvadratroden af a, betegnet
Hvis x < 0 kommer udregningen til at se sådan ud:
x 2 = x $ x =-^ x h $ ^ -^ x hh = ^ x h $ ^ x h = x 2
QED
Symbolet for numerisk værdi findes i Expressions Paletten som skabelonen a . Alternativt
kan man benytte tegnet |, der findes på tastaturet på en pc eller på en mac ved at taste option+i
34
a , ved
a = det ikke-negative reelle tal x, der opfylder, at x 2 = a
MAPLE
1- 2 = 2-1
1.11.2 DEFINITION – KVADRATROD
Fx er
16 = 4 , fordi 4 er et ikke-negativt reelt tal, der opfylder, at 4 2 = 16 .
Læg mærke til, at definitionen udelukker enhver diskussion om, hvorvidt 16 også kan være
2
- 4 , selvom ^ - 4 h = 16 . Værdien af en kvadratrod skal jo være et ikke-negativt tal, hvilket
naturligvis ikke opfyldes af - 4 .
35
Vi generaliserer definitionen af kvadratrod til
1.11.3 DEFINITION – N’TE ROD
For ethvert a ! R , a $ 0 , og et hvert n ! N defineres n’te-roden af a, betegnet n a , ved
a = det ikke-negative reelle tal x, der opfylder, at x n = a
n
Vi kan også udregne ^ 7 3 h :
4
^ 7 3 h4 = 7 3 $ 7 3 $ 7 3 $ 7 3
14 4424 443
4 faktorer
64 4 4 4 4 4 4 4 444faktorer
74 4 4 4 4 4 4 4 448
= (7 $ 7 $ 7) $ (7 $ 7 $ 7) $ (7 $ 7 $ 7) $ (7 $ 7 $ 7)
> > > >
3 faktorer
3 faktorer
3 faktorer
3 faktorer
= 7$7$7$7$7$7$7$7$7$7$7$7
14 4 4 4 4 4 4424 4 4 4 4 4 443
3 $ 4 = 12 faktorer
1.11.4 EKSEMPEL
3
64 = 4
[fordi 4 3 = 64 ]
8
256 = 2
[fordi 2 8 = 256 ]
1
a = a [fordi a 1 = a ]
= 7 12
Dette eksempel tyder på, at der gælder potensreglen:
^ a n h m = a n $ m,
a ! R, n, m ! N
Har vi en brøk med potenser i tæller og nævner, hvor grundtallene er ens, kan vi omskrive
således:
Der findes en række regneregler for potenser, men inden vi introducerer disse, ser vi på nogle
eksempler på regning med potenser
4 faktorer
1.11.5 EKSEMPEL
2 3 $ 2 5 = (2 $ 2 $ 2) $ (2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2)
> 144424443
3 faktorer
5 faktorer
= 2$2$2$2$2$2$2$2
1444442444443
8 faktorer
=2
Dette eksempel tyder på, at der gælder potensreglen:
a n $ a m = a n + m,
a ! R , n, m ! N
Hvis de to grundtal ikke er ens, kan en omskrivning kun finde sted, hvis de to eksponenter er
ens:
4
3 $ 5 = (3 $ 3 $ 3 $ 3) $ (5 $ 5 $ 5 $ 5)
1442443 1442443
4 faktorer
4 faktorer
= 3$3$3$3$5$5$5$5
= ^3 $ 5h $ ^3 $ 5h $ ^3 $ 5h $ ^3 $ 5h
14444444244444443
= ^ 3 $ 5 h4
4 faktorer
= 15 4
36
3 faktorer
= 53
a n = a n - m,
am
a ! R, n, m ! N, n > m
hvor vi er nødt til at forlange, at n > m , idet vi i modsat fald ville få en eksponent, der er negativ eller 0.
I ovenstående eksempel er det afgørende, at vi har samme grundtallet i tælleren og nævneren er
den samme. Er grundtallene forskellige, skal de to eksponenter være ens for at vi kan omskrive:
25 = 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2
3$3$3$3$3
35
= 2
$2
$2
$2
$2
3
3
3
3
14 4 4424 4 4433
5 faktorer
5
k
=a2
3
Dette eksempel tyder på, at der gælder potensreglen:
Dette eksempel tyder på, at der gælder potensreglen:
a n $ b n = ^ a $ b hn,
Y Y$ Y
5$Y
5$ 5 $ 5 $ 5
= 5 $ 5Y
5$Y
5$Y
5$Y
5
= 5$5$5
>
Dette eksempel tyder på, at der gælder potensreglen:
8
Det helt afgørende for, at denne omskrivning kan lade sig gøre, er, at grundtallet i de to faktorer
2 3 og 2 5 er den samme.
4
7 faktorer
64 4 44
74 4 448
57 = 5 $ 5 $ 5 $ 5 $ 5 $ 5 $ 5
5$5$5$5
54
1442443
a, b ! R, n ! N
a n = ` a jn,
b
bn
a, b ! R, n ! N
37
Vi sammenfatter undersøgelserne i eksempel 1.11.5 i en sætning, som vi dog ikke vil bevise:
1.11.6 SÆTNING – POTENSREGNEREGLER FOR NATURLIG EKSPONENT
Med definitionerne 1.11.7 og 1.11.8 har vi fået klaret udvidelsen af potensbegrebet, så vi kan
håndtere vilkårlige heltallige eksponenter, men prisen er, at vi er nødt til at forlange, at grundtallet er forskellig fra 0.
For alle a, b ! R og m, n ! N gælder disse potensregler:
1.11.9 EKSEMPEL
P1
an $ am = an + m
P2
a n = a n - m,
am
P3
^ a n hm = a n $ m
2 0 = 1 og (- 2) 0 = 1 , men 0 0 har ingen mening.
Y 0, n > m
a=
P4
a n $ b n = ^ a $ b hn
P5
a n = ` a jn,
b
bn
1
2 - 3 = 13 = 8
2
1
5 - 2 = 12 = 25
5
Y0
b=
a1k
3
-1
Det vil være noget indskrænket, hvis vi kun kan benytte os af naturlige tal som eksponenter, så
vi skal have definition 1.11.1 udvidet på en sådan måde, at reglerne P1-P5 til stadighed gælder.
Den samme strategi, som vi benyttede ved udvidelsen af talbegrebet fra de naturlige til de reelle
tal, skal benyttes her, men vi vil her kun gå et lille stykke af vejen.
Vi ser først på, hvad der sker med P2, hvis vi sætter m = n , og regner på de to sider:
Venstre side:
an = 1
an
1
2 - 1 = 11 = 2
2
Højre side: a n - n = a 0
Dette viser, at vi nødt til at definere a 0 til at være 1, hvis P2 skal være opfyldt for m = n .
1.11.7 DEFINITION - 0 I EKSPONENTEN
Y 0 , defineres
For ethvert a ! R, a =
a0 = 1
= 11 = 11 $ 3 = 3
3
3 $3
1
Skal vi have brøker i spil som eksponenter, skal vi tillægge noget som a 2 mening. For at få en
ide om dette, ser vi på reglen P3:
^ a 2 h = a 2 $ 2 = a1 = a
1
2
1
Dette viser, at vi er nødt til at sætte a 2 = a , idet a jo netop opfylder, at ^ a h = a . Desuden skal vi her forlange, at a > 0 , idet a ikke har mening for negativt a.
1
2
Generelt definerer vi
1.11.10 DEFINITION – STAMBRØK I EKSPONENTEN
For ethvert positivt reelt tal a og n ! N defineres
1
an = n a
Indsætter vi nu n = 0 i P2, får vi
a0 = a0 - m
am
hvilket kan omformes til
1 = a -m
am
Så for at få P2 til at gælde i de tilfælde, hvor n < m , definere vi
1.11.8 DEFINITION – NEGATIV EKSPONENT
Y 0 og n ! N defineres
For ethvert a ! R, a =
a -n = 1n
a
38
Potensregnereglerne P1-P5 kan også formuleres i en speciel version, der rummer regnereglerne
for n’te-rødder, men det er de færreste af disse, vi får brug for, men et par specialtilfælde for
kvadratrødder skal fremhæves. Disse regler følger umiddelbart af hhv. P4, P5 og P3:
1.11.11 SÆTNING - REGNEREGLER FOR KVADRATROD
For positive reelle tal a og b gælder:
K1
a$b = a$ b
K2
a =
b
K3
a2 = a
a
b
39
I ovenstående sætning er det et krav, at a er et positivt tal. Lad os se, hvad der sker i K3, hvis a
er et negativt tal – fx a =- 2 :
^-2h = 4 = 2
1.11.14 EKSEMPEL
Omskrivning fra rational eksponent:
2
5
1
1
13
1
1
x 2 = x2 + 2 = x2 $ x 2 = x2 $ x
så det er klart, at K3 ikke gælder, men vi får dog som resultat den numeriske værdi af a.
x 3 = x4 + 3 = x4 $ x 3 = x4 $ 3 x
Og det gælder helt generelt:
1.11.12 SÆTNING – KVADRATRODEN AF EN ANDENPOTENS
1.11.15 EKSEMPEL
For alle reelle tal a gælder
^ a $ b h3 $ a 2 $ a $ b
a2 = a
a$b
- 21
BEVIS
2
Vi ved fra sætning 1.10.4, at for alle reelle tal a gælder a = a 2 , så vi kan omskrive
a2 =
=
^ a $ b h3 $ a 2 $ a $ b
1
a $ b- 2
1
1
= a 3 $ b 3 $ a 2 $ b 2 $ b -_ - 2 i
1
1
= a3 + 2 $ b3 + 2 + 2
= a5 $ b4
a2
Y 0 , er a > 0 , så ved brug af regel K3 får vi
Hvis a =
a2 =
1.11.16 EKSEMPEL
a2= a
Hvis a = 0 , så gælder sætningen også, idet
4 11 = 4 11 = 4 11 = a 4 k11 = 2 11
2
8 $ 28
23 $ 28
2 11
2
0 =0
QED
eller
11
11
11
4 11 = ^ 2 $ 2 h = 2 $ 2 = 2 11
8 $ 28
23 $ 28
2 11
Med definition 1.11.10 kan ved hjælp af P3 udvide potensbegrebet til at omfatte alle rationale
p
tal q , hvor p ! Z og q ! N , idet
a q = _a q i = ^ a h
p
1 p
q
p
Det sidste trin er udvidelsen til de reelle tal, så vi kan arbejde med potenser som fx 2 2 , men
det vil være alt for avanceret at komme ind på her, så vi vil nøjes med de værdier Maple giver os.
Det er muligt at udvide til alle reelle tal, således at a n har mening for alle a ! R + og n ! R ,
og således at alle reglerne P1-P5 er opfyldt.
1.11.13 EKSEMPEL
Omskrivning til rational eksponent:
1
1
1
3
x $ x = x $ x 2 = x1 $ x 2 = x1 + 2 = x 2
1
1
7
x3 $ x = x3 $ x 2 = x3 + 2 = x 2
MAPLE
Potensregning i Maple forløber ikke altid helt som forventet. Fx får vi ved udregning af et taludtryk ikke tallet skrevet som en potens:
4 11 = 2048
8 $ 28
dog kan vi, ved at klikke på udtrykket og vælge Integer Factors i kontekstmenuen, få resultatet
som potens:
4 11 factor
= ^ 2 h11
8 $ 28
Heller ikke udregningen fra eksempel 1.11.15 går helt problemfrit med Simplify 2 Simplify:
^ a $ b h3 $ a 2 $ a $ b simplify
a$b
40
- 21
=
9
7
a 2b 2 ab
41
Problemet er her, at Maple ikke ved, at vi underforstået har antaget, at både a og b er positive.
Fortæller vi Maple det, er der ingen problemer. Vi skal vælge Simplify 2 Asuming Positive i
kontekstmenuen:
^ a $ b h3 $ a 2 $ a $ b
1
a $ b- 2
assuming positive
1.12 Eksponentiel notation
Eksponentiel notation (også kaldet scientific notation) benyttes til at simplificere beregninger
med meget store og meget små tal. Notationen benytter sig af heltallige 10-potenser:
a5 b4
Maple kan uden videre omskrive et udtryk som fx x $ x til rational eksponent blot ved at
taste Alt+Enter
2
5
x2 $ x = x 2
Til gengæld kan vi ikke gå den anden vej og få Maple til at skrive en rational eksponent som et
produkt af en potens og en rod. Tilsyneladende er rationale eksponenter den foretrukne repræsentationsform i Maple – sikkert fordi den er nemmest at styre rent grafisk.
Vi kan naturligvis regne med vilkårlige reelle eksponenter i Maple, men vi vil ikke se en værdi
af fx 2 2 med mindre vi eksplicit beder Maple regne denne ud med Approximate fra kontekstmenuen:
2 2
at 20 digits
2.6651441426902251886
1000
= 10 $ 10 $ 10 = 10 3
1 00
= 10 $ 10
= 10 2
10
= 10
= 10 1
1
=1
= 10 0
0. 1
1
= 10
= 10 -1
1
0. 01 = 100
= 10 -2
1
0. 001 = 1000
= 10 -3
Osv.
Ideen i brug af eksponentiel notation er meget simpel. Fx er
8735 = 8.735 $ 1000 = 8.735 $ 10 3
2.3 = 2.3 $ 10 -2
0.023 = 100
Tallene i eksponentiel notation består af to dele: Den numeriske del og den eksponentielle del:
OPGAVER 1.46 – 1.48 „
2.3 $ 10 -2
7
:
numerisk eksponentiel
del
del
Eksponentiel notation på standardform kræver, at den numeriske del kun har ét ciffer til venstre
for decimalpunktummet (eller kommaet, hvis dette benyttes) – og cifret må ikke være 0.
Tal, skrevet i eksponentiel notation, er meget nemme gange eller dividere med hinanden ved at
arbejde med den numeriske del og den eksponentielle del hver for sig.
1.12.1 EKSEMPEL
3 $ 10 -8 $ ^ 2.4 $ 10 5 h $ 6 $ 10 2 = 3 $ 2.4 2 $ 6 $ 10 -8 $ 10 5 $ 2 $ 10 2
4
4 $ 10 9
10 9
-8 + 10 + 2 - 9
= 25.92 $ 10
= 25.92 $ 10 -5
= 2.592 $ 10 -4
2
Reglerne for multiplikation og division af tal i eksponentiel notation må naturligvis ikke anvendes på addition og subtraktion. Her er det nødvendigt at konvertere tallene til samme 10-potens
inden de lægges sammen eller trækkes fra hinanden.
42
43
1.12.2 EKSEMPEL
1.13 Kvadratsætningerne
4 $ 10 5 + 5 $ 10 7 = 4 $ 10 5 + 500 $ 10 5
= 504 $ 10 5
= 5.04 $ 10 7
1.13.1 SÆTNING – KVADRATSÆTNINGERNE
1.
2.
4 $ 10 5 + 5 $ 10 7 = 4 $ 10 5 + 500 $ 10 5
3 $ 10 2
3 $ 10 2
5
= 504 $ 10
2
3 $ 10
= 168 $ 10 5 - 2
= 1.68 $ 10 3
3.
^ a + b h2 = a 2 + b 2 + 2a $ b
^ a - b h2 = a 2 + b 2 - 2a $ b
^ a + b h $ ^ a - b h = a2 - b2
BEVIS
Beviset for kvadratsætningerne er blot tre udregninger:
^ a + b h2 = ^ a + b h $ ^ a + b h
= a$a+a$b+b$a+b$b
= a2 + a $ b + a $ b + b2
= a 2 + b 2 + 2a $ b
MAPLE
Udtrykket indtastes som det står og beregnes med Alt+Enter:
3 $ 10 -8 $ ^ 2.4 $ 10 5 h $ 6 $ 10 2 = 0.0002592000000
4 $ 10 9
For at få resultatet vist i eksponentiel notation:
2
^ a - b h2 = ^ a - b h $ ^ a - b h
Klik på resultatet og vælg Number Format nederst i kontekstmenuen. Indstil som vist:
= a $ a + a $ ^-bh + ^-bh $ a + ^-bh $ ^-bh
= a2 - a $ b - a $ b + b2
= a 2 + b 2 - 2a $ b
^a + bh $ ^a - bh = a $ a + a $ ^-bh + b $ a + b $ ^-bh
= a2 - a $ b + a $ b - b2
= a2 - b2
QED
Disse kvadratsætninger dukker op igen og igen, så det er vigtigt at blive helt fortrolig med dem.
De to første kvadratsætninger fortæller, hvordan man udregner kvadratet på et udtryk, der indeholder to led – hyppigt kaldet en to-leddet størrelse.
Med disse valg vises resultatet således:
3 $ 10 -8 $ ^ 2.4 $ 10 5 h $ 6 $ 10 2 = 2.592 # 10 -4
4 $ 10 9
2
For at kunne huske de to første kvadratsætninger har man denne remse:
Kvadratet på en to-leddet størrelse er lig med kvadratet på det første led plus kvadratet på det andet led plus eller minus det dobbelte produkt
Dette fungerer naturligvis også, hvis tal i eksponentiel notation skal adderes:
4 $ 10 5 + 5 $ 10 7 = 5.04 # 10 7
hvor ’det dobbelte produkt’ er leddet 2a $ b .
OPGAVER 1.49– 1.50 „
44
Til den tredje kvadratsætning knyttes denne remse:
To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på det første led
minus kvadratet på det andet led
45
1.13.2 EKSEMPEL
^ 5 + x h2 = 5 2 + x 2 + 2 $ 5 $ x
= 25 + x 2 + 10x
Af og til kommer vi ud for at gå den anden vej – altså (om muligt) omskrive et udtryk til kvadratet på en to-leddet størrelse.
Har vi fx et udtryk som dette
x 2 + 10x + 25
^ 2x + 3y h2 = ^ 2x h2 + ^ 3y h2 + 2 $ ^ 2x h $ ^ 3y h
= 4x 2 + 9y 2 + 12x $ y
må x nødvendigvis være et af de to led og 10x må være det dobbelte produkt, idet leddet x skal
indgå i det dobbelte produkt. Omskrivningen
10x = 2 $ 5 $ x
^ a $ x - b h2 = ^ a $ x h2 + b 2 - 2 $ ^ a $ x h $ b
viser, at det andet led må være 5. Da samtidig 5 2 = 25 følger, at udtrykket kan skrives som
^ 2x + 3y h $ ^ 2x - 3y h = ^ 2x h2 - ^ 3y h2
hvilket også nemt kan tjekkes ved direkte udregning.
2
2
2
= a $ x + b - 2a $ b $ x
= 4x 2 - 9y 2
^ x + 5 h2
At omskrive et udtryk til kvadratet på en to-leddet størrelse kaldes at kvadratkomplettere. Lad
os se et eksempel mere:
1.13.3 EKSEMPEL
1.13.4 EKSEMPEL
Kvadratsætningerne gælder for to-ledede størrelser, så hvad stiller vi op, hvis vi har en 3-leddet
størrelse, der skal kvadreres?
Kvadratkompletter udtrykket
Vi sætter en parentes om to af leddene (og passer på med fortegnene), så har vi en to-leddet
størrelse:
3x - 5y + 1 = 3x - ^ 5y - 1 h
144
4244
43 144424443
3 led
2 led
Vi udregner:
9x 2 - 6x + 1
Hvis dette udtryk skal kunne skrives som kvadratet på en to-leddet størrelse, må det ene led
2
være 3x , idet ^ 3x h = 9x 2 .
Det dobbelte produkt må være 6x , idet det første led 3x skal indgå i det dobbelte produkt.
Omskrivningen
^ 3x - 5y + 1 h2 = ^ 3x - ^ 5y - 1 hh2
= ^ 3x h2 + ^ 5y - 1 h2 - 2 $ ^ 3x h $ ^ 5y - 1 h
= 9x 2 + ^ 5y - 1 h2 - 30x $ y + 6x
= 9x 2 + ^ 5y h2 + 1 - 2 $ ^ 5y h $ 1 - 30x $ y + 6x
= 9x 2 + 25y 2 + 1 - 10y - 30x $ y + 6x
MAPLE
Udregning af kvadrater på to-leddede størrelser sker ved at vælge Expand 2 Expand i kontekstmenuen. Brug af Alt+Enter returnerer blot den to-leddede størrelse uden nogen form for
beregning:
^ 2x + 3y h2
expand
= 4x 2 + 12x $ y + 9y 2
^ 3x - 5y + 1 h2
expand
= 9x 2 - 30x $ y + 25y 2 + 6x - 10y + 1
6x = 2 $ 3x $ 1
viser, at det andet led må være 1, hvilket også passer fint med, at 1 2 = 1 .
Udtrykket kan derfor skrives som
9x 2 - 6x + 1 = ^ 3x + 1 h2
Almindeligvis er det en god ide at sætte en eventuel konstant, der er ganget på x, uden for en
parentes inden kvadratkompleteringen: Her sættes 9 således uden for parentes:
1k
9x 2 - 6x + 1 = 9 a x 2 - 2
3 x+ 9
og vi skal så kvadratkomplettere det inde i parentesen. Gevinsten er, at x altid vil være det første
led og leddet, der indeholder x, vil være det dobbelte produkt.
Her er
2
3 x må være det dobbelte produkt. Omskrivningen
2
1
3x = 2$ 3 $x
46
47
2. Kvadratsætning:
viser, at det andet led må være 31 .
Alt i alt har vi
b
Arealet af hele figuren a 2
Areal af det røde kvadrat: ^ a - b h
1k
1 k2
a
9x 2 - 6x + 1 = 9 a x 2 - 2
3 x+ 9 = 9 x- 3
2
Areal af de to blå rektangler: 2 $ a $ b - b 2
– hvor b 2 trækkes fra, da det nederste kvadrat
ellers regnes med to gange
MAPLE – KVADRATKOMPLETTERING
I Maple klares en kvadratkomplettering med Complete Square 2 x fra kontekstmenuen:
x 2 + 10x + 25
9x 2 - 6x + 1
=
=
Det samlede areal er lig med arealet af det
røde og det blå område:
^ x + 5 h2
complete square
complete square
a
a 2 = ^ a - b h2 + 2a $ b - b 2
1 k2
9a x - 3
Ved at isolere ^ a - b h får vi:
2
Lad os se, hvad der sker, hvis udtrykket ikke kan omskrives til kvadratet på en to-leddet størrelse. Her kan vi fx prøve med
x 2 + 10x + 23
complete square
=
^ x + 5 h2 - 2
Her sker der det, at Maple ser, at konstanten 23 mangler 2 i at være ’kvadratet på det andet led’,
så Maple omskriver således:
^ a - b h2 = a 2 + b 2 - 2a $ b
3. Kvadratsætning:
b
x 2 + 10x + 23 = x 2 + 10x + 25 - 2
14442444
3
2
Arealet af det blå og det røde område er
^ x + 5h
a2 - b2
AREALBEVISER FOR KVADRATSÆTNINGERNE
a
1. Kvadratsætning:
a
Herved fås et rektangel med sidelængderne
a + b og a - b
b
Arealet af hele figuren ^ a + b h
2
Areal af det røde kvadrat: a 2
a
Areal af det grønne kvadrat: b 2
Areal af de to blå rektangler: 2 $ a $ b
b
48
Vi flytter det blå rektangel (det til højre) ned
under det andet blå rektangel (det stiplede
felt).
Da arealet af hele figuren er lig med summen
af arealerne af det røde kvadrat, det grønne
kvadrat og de to blå rektangler, er
^ a + b h2 = a 2 + b 2 + 2a $ b
Arealet af dette rektangel er
^a + bh $ ^a - bh
Da flytningen af det blå rektangel ikke ændrer det samlede areal, er
^ a + b h $ ^ a - b h = a2 - b2
OPGAVER 1.51 – 1.53 „
49
1.14.2 EKSEMPEL
1.14 Reduktion af udtryk
Reducer udtrykket
a2 - b2
a-b
At reducere et udtryk betyder at omskrive et udtryk så det bliver simplere – i den forstand, at
færre regneoperationer er involveret.
Fx er en udregning af et kvadrat på en to-leddet størrelse ikke i sig selv en reduktion. Fx:
Her kan vi omskrive tælleren i brøken ved hjælp af 3. kvadratsætning:
a2 - b2 = ^ a + b h $ ^ a - b h = ^ a + b h $ ^ a - b h = a + b
a-b
a-b
^a - bh
^ x + 6 h = x + 36 + 12x
2
2
Sætter vi fx 4 ind i stedet for x, er det meget nemt at udregne venstre side:
^ 4 + 6 h2 = 10 2 = 100
MAPLE
I Maple kan mange reduktioner klares med Simplify 2 Simplify:
Højre side er noget mere besværlig at regne ud
^ x + 6 h2
2
4 + 36 + 12 $ 4 = 16 + 36 + 48 = 100
2
Så en udregning af ^ x + 6 h kræver kun en addition og en kvadrering, mens en udregning af
x 2 + 36 + 12x kræver en kvadrering, en multiplikation og 3 additioner.
Derimod vil denne omskrivning være en reduktion
^ x + 6 h2
Altså ingen ingen udregning – som forventet. Det samme gælder her:
x 2 + 36 + 12x
^ x + 6 h2 - 1
simplify
=
^ x + 6 h2
simplify
=
x 2 + 12x + 35
Her burde Maple nok ikke have omskrevet udtrykket, da de oprindelige udtryk er simplere end
det Simplify giver.
1.14.1 EKSEMPEL
Reducer udtrykket
Simplify fungerer helt som forventet på udtrykkene fra eksempel 1.14.1 og eksempel 1.14.2:
(x - y) 2 + 2x $ y - x 2
Det eneste, vi kan gøre her, er at udregne kvadratet på den to-leddede størrelse og håbe på, at
nogle led vil ’gå ud med hinanden’:
2
2
2
2
(x - y) + 2x $ y - x = x + y - 2x $ y + 2x $ y - x
= x 2 + y 2 - 2x $ y + 2x $ y - x 2
= y2
Det er klart, at det er en reduktion, vi har lavet, idet en udregning af y 2 kun kræver en kvadrering, hvorimod det udtryk, vi startede med, kræver to kvadreringer og en hel del mere.
For at tjekke, om vi har regnet rigtigt, kan det være en god ide at indsætte nogle tal for x og y i
det oprindelige og i det reducerede. Det skal give det samme resultat – og gør det ikke det, så
har vi enten regnet forkert eller lavet en fejl i reduktionen.
Vælg tal, der er nemme at arbejde med: Fx x = 1 og y = 1 . Det oprindelige udtryk giver da
(1 - 1) 2 + 2 $ 1 $ 1 - 1 2 = 0 + 2 - 1 = 1
Indsætter vi i det reducerede udtryk, bliver resultatet 1 = 1 , altså det samme. Så det tyder på,
at vi har regnet rigtigt, men er naturligvis ingen garanti.
2
50
=
Lad os se, om vi kan snyde Maple lidt:
x 2 + 36 + 12x = ^ x + 6 h2
2
simplify
(x - y) 2 + 2x $ y - x 2
simplify
=
y2
a 2 - b 2 simplify
= a+b
a-b
Som vi tidligere har set, kan vi være nødt til at hjælpe Maple lidt på vej:
x $ y simplify x $ y
=
x$y
x$y
Så Maple kan altså ikke reducere udtrykket, men det kan vi heldigvis
1
x$y
1
1
1
1
1
1
= x $ y $ ^ x $ y h- 2 = x $ y $ x - 2 $ y - 2 = x 1 - 2 $ y 1 - 2 = x 2 $ y 2 = x $ y
x$y
Problemet er, at Maple ikke ved, at vi (underforstået) har forudsat, at x og y begge er positive.
Fortæller vi Maple det med Simplify 2 Assuming Positive, så er der ingen problemer
x$y
x$y
assuming positive
x y
51
] a, b ]
1.15 Intervaller
[ a, b [
De reelle tal R er mængden af alle rationale og alle irrationale tal. Det er hovedsageligt de
reelle tal vi skal arbejde med og indenfor i de følgende kapitler.
De reelle tal udfylder tallinjen helt. Grafisk illustreres de reelle tal med en tallinje som
–3
–2
–1
0
1
2
3
hvis der fx er tale om en af koordinatakserne i et koordinatsystem, men oftere afsættes kun de
tal, der er relevante i en given sammenhæng.
Hvis a og b er to reelle tal, hvor a < b , afsættes kun disse to tal på tallinjen, således at a er
placeret til venstre for b :
a
a
b
Skrevet som mængder er de to intervaller
[ a, b [= " x | a # x < b ,
] a, b ] = " x | a < x # b ,
Intervallet til højre for b betegnes [ b, 3 [ eller ] b, 3 [ , afhængig af, om b er med i intervallet
eller ej. Symbolet 3 betegner uendeligt og betyder i denne sammenhæng, at intervallet ikke
har nogen øvre grænse. Da symbolet 3 ikke er et reelt tal, kan intervaller aldrig inkludere 3 .
Intervallerne [ b, 3 [ og ] b, 3 [ illustreres således:
b
[ b, 3 [
] b, 3 [
Tallene a og b opdeler tallinjen i 3 dele. Disse 3 dele kaldes intervaller.
Skal vi beskrive intervallet mellem a og b, er vi nødt til at have en notation, der fortæller, om
endepunkterne skal regnes med til intervallet eller ej.
Hvis begge endepunkter skal med, betegnes intervallet 6 a, b @ og illustreres ved
a
b
Skrevet som mængder er de to intervaller
[ b, 3 [= " x | x $ b ,
] b, 3 [= " x | x > b ,
b
Intervallet 6 a, b @ svarer til mængden af reelle tal, der opfylder, at x er større end eller lig med a
og x er mindre end eller lig med b.
Skrevet med uligheder ser det sådan ud a # x og x # b , hvilket kort kan skrives som
a # x # b . Altså gælder
6 a, b @ = " x | a # x # b ,
Endelig betegnes intervallet venstre for a med ] - 3, a ] eller ] - 3, a [ , afhængig af, om a er
med i intervallet eller ej. Symbolet - 3 betegner ’minus uendelig’ og betyder i denne sammenhæng, at intervallet ikke har nogen nedre grænse. Da symbolet - 3 ikke er et reelt tal, kan
intervaller aldrig inkludere - 3 .
Intervallerne ] - 3, a ] og ] - 3, a [ illustreres således:
] - 3, a ]
Hvis ingen af endepunkterne skal med, betegnes intervallet ] a, b [ og illustreres ved
] - 3, a [
a
a
b
Intervallet ] a, b [ svarer til mængden af reelle tal, der opfylder, at x er større end a og x er mindre end b. Altså er
] a, b [= " x | a < x < b ,
Skrevet som mængder er de to intervaller
] - 3, a ] = " x | x # a ,
] - 3, a [ = " x | x < a ,
Hvis kun ét af endepunkterne, skal med i intervallet, betegnes dette [ a, b [ , hvis a er med i intervallet, og ] a, b ] , hvis b er med i intervallet. De to intervaller illustreres således:
52
53
Vi skal ofte benytte skrivemåden
1.15.3 EKSEMPEL - FORENINGSMÆNGDE AF INTERVALLER
x ! 6 a, b @
for at udtrykke, at x tilhører intervallet 6 a, b @ , der jo betyder, at a # x # b . Selve tegnet !
Y.
læses som tilhører. Hvis vi vil udtrykke, at et tal ikke tilhører et interval, benyttes symbolet !
1.15.1 EKSEMPEL
]1, 3 ] , idet
5
Figuren viser, at i intervallet ] - 1, 2 ] er kun uligheden - 1 < x # 5 opfyldt, i intervallet ] 2, 5 ]
er begge uligheder opfyldt, og i intervallet ] 5, 3 [ er kun uligheden x > 2 opfyldt.
1
2 <1
Af og til er vi nødt til at regne lidt for at undersøge, om et tal ligger i et givet interval eller ej.
2 ! ]1, 2 [ ?
Vi husker på, at
længden 1.
2
-1
2 ! ]1, 3 ] , idet 1 < 2 # 3
Vil fx
] 2, 3 [
] - 1, 5]
Med denne notation har vi
1
Y
2 !
Hvis et reelt tal x skal opfylde, at - 1 < x # 5 eller at x > 2 , kan vi indtegne de tilsvarende
intervaller på en tallinje
2 er længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor de to kateter har
Disse intervaller danner et sammenhængende interval på tallinjen, så for alle x !] - 1, 3 [ gælder enten - 1 < x # 5 eller x > 2 .
Det interval, vi har bestemt her, kaldes foreningsmængden af de to intervaller. Matematisk
skrives det således:
] - 1, 5] , ] 2, 3 [ = ] - 1, 3 [
2
1
Foreningsmængden af to intervaller er ikke nødvendigvis et interval. Hvis de to intervaller intet
overlap har, vil foreningsmængden ikke være et interval.
1
Da hypotenusen er den længste side i en retvinklet trekant, er 1 < 2 .
Den korteste vej mellem to punkter er en ret linje, så 2 < 1 + 1 .
Alt i alt har vi, at 1 < 2 < 2 , hvilket netop betyder, at 2 ! ]1, 2 [ .
Fx kan foreningsmængden
] - 1, 1] , ] 2, 3 [
ikke skrives som et interval:
1.15.2 EKSEMPEL - FÆLLESMÆNGDE AF INTERVALLER
] 2, 3 [
Hvis et reelt tal x skal opfylde, at - 1 < x # 5 og at x > 2 , kan vi indtegne de tilsvarende intervaller på en tallinje
] - 1, 1]
-1
1
2
] 2, 3 [
] - 1, 5]
-1
2
5
Der, hvor de to intervaller har overlap, er de to uligheder - 1 < x # 5 og x > 2 begge opfyldt.
Som det ses af figuren, er dette interval ] 2, 5 ] – altså det blå interval tegnet direkte på tallinjen.
Læg i øvrigt mærke til, at kun de relevante tal er afsat på tallinjen.
Det interval, vi har bestemt her, indeholder de tal, der er fælles for de to intervaller, og kaldes
fællesmængden af de to intervaller. Matematisk skrives det således:
] - 1, 5] + ] 2, 3 [ = ] 2, 5]
Fællesmængden af to intervaller vil altid enten være et interval eller den tomme mængde – det
sidste, hvis de to intervaller intet overlap har.
Derimod er ] - 1, 2 ] , ] 2, 3 [ et interval
] 2, 3 [
] - 1, 2 ]
-1
2
Af figuren ses, at
] - 1, 2 ] , ] 2, 3 [ = ] - 1, 3 [
OPGAVER 1.54 – 1.56 „
54
55
2 Ligninger
2.1 Løsning til ligninger
En ligning er et udsagn om lighed af to algebraiske udtryk:
udtryk 1 = udtryk 2
Da det simpleste udtryk, vi kan have, blot er et tal, må den simpleste ligning se ud i stil med
denne:
1=2
der indiskutabelt er et falskt udsagn. Tilsvarende vil ligningen
1=1
indiskutabelt være et sandt udsagn.
Den simpleste ligning, der indeholder en variabel, ser ud i stil med
x=2
Her kan vi ikke afgøre, om udsagnet er sandt eller ej – det afhænger jo af, hvad variablen x er.
Vi kan jo prøve at sætte nogle reelle talværdier ind i stedet for x: Sætter vi fx 5 ind, står der
5=2
der er et falskt udsagn. Vi kan sætte ethvert reelt tal ind i stedet for x, og det udsagn, der fremkommer, vil være falskt for alle tal med undtagelse af det tilfælde, hvor vi indsætter 2 i stedet
for x. Da vil ligningen blive
2=2
der jo er et sandt udsagn. Vi siger her, at 2 er en løsning til ligningen x = 2 .
Noget mere kompliceret er denne ligning
1
3 x + 1 = 3x - 3
her kan vi ikke umiddelbart se, om der findes nogle løsninger – altså om der findes et (eller
flere) tal, vi kan sætte ind i stedet for x, så udsagnet bliver sandt.
Ideen er så at omforme ligningen på en sådan måde, at ingen løsninger går tabt undervejs, og
at ligningen til slut har den simple form, x = a , hvor vi umiddelbart kan se løsningen. At lave
disse omformninger kaldes at løse ligningen.
Ofte kaldes variablen x for den ubekendte i ligningen og om selve ligningsløsningen – altså
omformningen til den simple form x = a – siges ofte, at man isolerer den ubekendte x.
Til løsning af ligninger gælder disse omformningsregler:
56
57
2.1.1
OMFORMNINGSREGLER TIL LØSNING AF LIGNINGER
Vi må
L1 omskrive de to udtryk efter reglerne for algebraiske udtryk
L2
lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet
L3
trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet
L4
gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, blot tallet ikke er 0.
L5
dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, blot tallet ikke er 0.
Hermed har vi ligningen omskrevet til den simple form x = 3 , hvor vi umiddelbart kan aflæse,
at løsningen til denne ligningen er 3. Da vi kun har benyttet lovlige omformningsregler, så vi
kan skrive 2 mellem de enkelte omformninger, har vi sikret, at løsningerne til den oprindelige
ligning er de samme.
Altså er 3 løsningen til ligningen 5x - 2 = 3x + 4
2.1.3
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
1 - 4x = 2x + 4
Når vi omformer en ligning efter reglerne L1-L5, benytter vi ensbetydende-tegnet + eller 2
mellem de enkelte omformninger for at understrege, at ingen løsninger er fjernet.
hvor vi benytter nøjagtig samme strategi som i eksempel 2.1.2.
1 - 4x = 2x + 4
2
1 - 4x - 1 = 2x + 4 - 1
2
- 4x = 2x + 3
2
- 4x - 2x = 2x + 3 - 2x
2
- 6x = 3
2
- 6x = 3
-6
-6
2
1
x =- 2
Med disse tegn kan reglerne L2-L4 formuleres kort således:
x = y + x + a = y + a,
a!R
x = y + x - a = y - a,
a!R
x = y + x $ a = y $ a,
Y0
a ! R, a =
y
x = y + ax = a ,
Y0
a ! R, a =
Vi skal nu løse en række ligninger, hvor vi meget omhyggeligt anvender reglerne L1-L5:
2.1.2
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
hvor strategien er at samle alt, der har med x at gøre på ligningens venstre side, og samle alt,
der er rene tal, på ligningens højre side. Således at vi til slut har den simple form x = a , hvor
en løsning umiddelbart kan ses.
58
[L1: De to sider reduceres]
[L3: 2x trækkes fra på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
[L5: Der divideres med - 6 på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
Heraf følger, at - 21 er løsning til ligningen 1 - 4x = 2x + 4 .
5x - 2 = 3x + 4
5x - 2 = 3 x + 4
2
5x - 2 + 2 = 3 x + 4 + 2
2
5x = 3 x + 6
2
5x - 3 x = 3 x + 6 - 3 x
2
2x = 6
2
2x = 6
2
2
2
x=3
[L3: 1 trækkes fra på begge sider]
2.1.4
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
x - 5 ^ x - 1 h = 4 ^ x + 2 h - 7x
[L2: 2 lægges til på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
[L3: 3x trækkes fra på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
[L5: Der divideres med 2 på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
Her er det klogt at omskrive ligningens to sider inden den egentlige ligningsløsning påbegyndes:
x - 5 ^ x - 1 h = 4 ^ x + 2 h - 7x
2
x - 5x + 5 = 4x + 8 - 7x
2
- 4x + 5 =- 3x + 8
[L1: parenteserne ophæves]
[L1: De to sider reduceres]
Herefter står vi med en ligning mage til de to, vi lige har løst:
59
- 4x + 5 =- 3x + 8
2
- 4x + 5 - 5 =- 3x + 8 - 5
2
- 4x =- 3x + 3
2
- 4x + 3x =- 3x + 3 + 3x
2
-x = 3
2
x =- 3
[L3: 5 trækkes fra på begge sider]
Læg specielt mærke til, hvordan vi slap af med brøkerne og fik en ganske simpel og håndterbar
ligning ud af det. Metoden vil altid fungere og vi kan endda klare det hele i ét trin, hvis ganger
på begge sider med et tal, som både 2 og 3 går op i. I det konkrete eksempel er 6 det mindste
tal, som både 2 og 3 går op i.
[L1: De to sider reduceres]
[L2: 3x lægges til på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
[L4: Der ganges med - 1 på begge sider]
Normalt er man ikke helt så grundige i brugen af L2 og L3, som vi har været ovenfor. I stedet
flytter man led fra den ene side af ligningen til den anden og skifter fortegn på det led, der flyttes:
2.1.6
SÆTNING
x+a = y + x = y-a
Altså er - 3 løsningen til den oprindelige ligning
x-a = y + x = y+a
2.1.5
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
BEVIS
1
2
4
2x- 3 = 3x+1
x+a = y
2
x+a-a = y-a
2
x = y-a
Her er strategien at slippe af med alle brøker fra starten af. Ved brug af reglen b $ ab = a følger,
at vi kan eliminere brøkerne ved at gange med 2 og med 3 på begge sider af ligningen:
1
2
4
2x- 3 = 3x+1
2
1 x - 2 k = 2 $ a 4 x + 1k
2 $a 2
3
3
2
8
x- 4
3 = 3x+2
2
k
a8
k
3 $ax - 4
3 = 3$ 3x+2
2
3x - 4 = 8x + 6
2
3x - 4 + 4 = 8x + 6 + 4
2
3x = 8x + 10
2
3x - 8x = 8x + 10 - 8x
2
- 5x = 10
2
- 5x = 10
-5
-5
2
x =- 2
60
[L2: a trækkes fra på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
QED
[L4: Der ganges med 2 på begge sider]
[L1: De to parenteser ganges ud]
[L4: Der ganges med 3 på begge sider]
[L1: De to parenteser ganges ud]
[L2: Der lægges 4 til på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
[L3: Der trækkes 8x fra på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
[L5: Der divideres med - 5 på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
2.1.7
EKSEMPEL
Vi ser igen på ligningen fra eksempel 2.1.2:
5x - 2 = 3x + 4
2
5x = 3 x + 4 + 2
2
5x = 3 x + 6
2
5x - 3 x = 6
2
2x = 6
2
2x = 6
2
2
2
x=3
[ - 2 flyttes til højre side]
[L1: De to sider reduceres]
[ 3x flyttes til venstre side]
[L1: De to sider reduceres]
[L5: Der divideres med 2 på begge sider]
[L1: De to sider reduceres]
Og når vi er rigtig øvede i ligningsløsning, kan vi springe hver anden omformning over (hvor
de to sider reduceres), da der ofte er tale om hovedregning her.
OPGAVER 2.1 – 2.4 „
61
2.2 Grundmængde og løsningsmængde
Alle de ligninger, vi har løst indtil nu, har givet et meningsfuldt udsagn ved indsættelse af et
vilkårligt reelt tal. Sådan er det imidlertid ikke altid. Ser på en ligning som
vil vi ved indsættelse af ethvert ikke-negativt tal få et meningsfuldt udsagn, mens indsættelse af
et negativt tal ikke vil give noget meningsfuldt, idet x kun har mening for x $ 0 .
Ved grundmængden G for en ligning forstås den mængde af tal, vi kan indsætte i ligningen
og få et meningsfuldt udsagn. Grundmængden for ovenstående ligning er således intervallet
G = [0, 3 [ .
Vi kan også komme ud for, at ligningen giver et meningsfuldt udsagn for alle reelle tal på nær
et enkelt. Et eksempel herpå er en ligning som
1 +2 = 3
x
EKSEMPEL
Vi har set, at ligningen
kun har løsningen 3. Derfor er løsningsmængden til denne ligning L = " 3 ,
2.2.3
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
5x - 2 = 5x + 4
Vi trækker 5x fra på begge sider:
Her får vi ikke et meningsfuldt udsagn, hvis vi indsætter 0 i stedet for x, idet vi jo ikke kan
dividere med 0, men for alle andre reelle tal vil det give et meningsfuldt udsagn. Her skrives
grundmængden således: G = R \ " 0 , , og læses: de reelle tal fraregnet 0.
Hvis en grundmængde ikke er oplyst i en opgave, skal vi selv finde den, og hertil skal vi vælge
den størst mulige delmængde af de reelle tal, der kan benyttes. På nuværende tidspunkt er det
kun kvadratrødder og 0 i nævneren, vi skal tage os i agt for, men der kommer mere til senere.
5x - 2 = 5x + 4
2
-2 = 4
Herved når vi frem til et udsagn, der altid er falskt. Der er således ingen løsninger til ligningen.
Dette udtrykker vi ved, at løsningsmængden er tom og skriver L = Ø , hvor Ø er standardbetegnelsen for den tomme mængde.
EKSEMPEL
Vi skal bestemme grundmængden for ligningen
1 =1
x+3+ x2
2.2.4
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
I det første led skal vi sikre, at det under rodtegnet ikke er negativt. Dvs., at x + 3 $ 0 og dermed skal x $- 3 .
Y 0 og dermed skal
I det andet led skal vi sikre, at vi ikke får 0 i nævneren. Dvs., at x - 2 =
Y 2.
x=
Vi tegner de to talmængder ind på en tallinje
4^ x - 1 h + 5 = 3^ x + 2 h + x - 5
Vi starter med at reducere de to sider i ligningen
4^ x - 1 h + 5 = 3^ x + 2 h + x - 5
2
4x + 1 = 4x + 1
hvorefter vi står med det samme på begge sider af lighedstegnet, der betyder, at udsagnet, der
kommer frem ved at indsætte værdier for x, er sandt for alle x.
Y2
x=
x $- 3
-3
2
Heraf ses, at gundmængden er intervallet [- 3, 3 [ fraregnet 2. Dette skrives kort således:
G = [- 3, 3 [ \ " 2 ,
62
2.2.2
5x - 2 = 3x + 4
x+2 = 3
2.2.1
Løsningsmængden L til en ligning er mængden af alle løsninger til en ligning. Vi husker på, at
en løsning til en ligning er et tal fra grundmænden, der indsat i ligningen giver et sandt udsagn.
Vi kunne godt have fortsat ligningsløsningen og nå frem til ligningen 0 = 0 , der er et sandt
udsagn for alle x. Da denne ligning er ensbetydende med den oprindelige ligning, må denne
også give et sandt udsagn for alle x. Alle reelle tal er derfor løsning til ligningen. Dette skriver
vi således: L = R .
63
MAPLE – LØSNING AF LIGNINGER
Med valget Solve 2 Solve i kontekstmenuen kan Maple løse alle de ligninger, vi har set på:
1
2
4
2x- 3 = 3x+1
" x =- 2 ,
solve
Der er andre muligheder i kontekstmenuen: Fx vil valget Solve 2 Obtain Solutions for 2 x
returnere løsningen således:
1
2
4
2x- 3 = 3x+1
solutions for x
-2
Nøjagtig de samme output fra Maple, kan vi få, ved at benytte kommandoen solve:
1 x - 2 = 4 x + 1, " x ,k
solve a 2
3
3
1 x - 2 = 4 x + 1, x k
solve a 2
3
3
" x =- 2 ,
-2
solve
Med valget Solve 2 Obtain Solutions for 2 x ser det sådan ud:
solutions for x
Bemærkning:
Vi kan få Maple til at fortælle, at der ingen løsning er, men det kræver, at vi ændrer informationsniveauet for kommandoen solve:
solve: Warning: no solutions found
Sæt infolevel tilbage til 0, der er standarden:
Substitutionsmetoden:
Denne metode bliver ofte benyttet, hvis det er nemt at isolere en af de to variabler i en af ligningerne, hvor der med ’nemt’ menes, at der ikke indgår brøker.
Vi står nu med en ligning med én ubekendt – og den kan vi løse
- 3x + 5 $ ^ 2 - 5x h = 3
2
- 3x + 10 - 25x = 3
2
- 28x =- 7
2
1
x= 4
Herefter kan vi finde y ved at indsætte den fundne x-værdi i udtrykket y = 2 - 5x
infolevel 6 solve @ : = 0 :
1 = 8-5 = 3
y = 2-5$ 4
4 4
4
OPGAVER 2.5 – 2.15 „
64
5x + y = 2
- 3 x + 5y = 3
- 3x + 5 $ ^ 2 - 5x h = 3
solve
solve
)
Dette udtryk for y sættes ind i den anden ligning:
Det kan være misvisende, at der intet står, idet vi kan forledes til at tro, at Maple ikke kan løse
ligningen. Dog, hvis Maple ikke kan løse en ligning, returneres hele ligningen almindeligvis.
5x - 2 = 5x + 4
Sæt x til hvad som helst og beregn y ved y = 2 - 5x , så er (x, y) en løsning. Hvis fx x = 10 ,
så er y = 2 - 50 =- 48 og dermed er talparret (10, - 48) en løsning.
y = 2 - 5x
Hvis der ingen løsninger er til ligningen, så returnerer Maple ingenting:
infolevel 6 solve @ : = 1 :
er et eksempel på en ligning med to ubekendte. Det er let at se, at talparret (x, y) = (1, - 3) er
en løsning til ligningen, men der er uendeligt mange løsninger ligningen:
I det konkrete eksempel er det nemt at isolere y i den øverste ligning:
x
Her står, at alle x i grundmængden er løsninger til ligningen.
5x - 2 = 5x + 4
5x + y = 2
Den krøllede venstre-parentes foran de to ligninger bliver ofte benyttet for at vise, at de to ligninger ’hører sammen’ – altså er et ligningssystem.
"x = x,
Det skal tolkes således, at løsningerne til ligningen er alle x i grundmængden, der ved indsættelse gør x = x til et sandt udsagn. Men det gør alle x i grundmængden.
4^ x - 1 h + 5 = 3^ x + 2 h + x - 5
De ligninger, vi har set på indtil nu, har alle haft én ubekendt, men der er intet til hinder for, at
der kan være flere ubekendte i en ligning, idet et algebraisk udtryk jo kan indeholde flere variable. En ligning som denne
Vi skal nu se på en situation, hvor vi har to ligninger med to ubekendte, og søger en fælles løsning til dette ligningssystem. Vi vil her se på et konkret eksempel og gennemgå to metoder til at
finde en fælles løsning. De to ligninger, vi skal arbejde med, er:
Hvis ligningen, vi løser, har alle reelle tal som løsning, ser Maples respons sådan ud:
4^ x - 1 h + 5 = 3^ x + 2 h + x - 5
2.3 To ligninger med to ubekendte
Vi har hermed fundet løsningen _ 41 , 43 i til ligningssystemet.
65
Lige store koefficienters metode:
)
5x + y = 2
- 3 x + 5y = 3
Hvis vi her ganger den øverste ligning med 5 på begge sider, så bliver koefficienten til y den
samme i de to ligninger:
25x + 5y = 10
)
- 3 x + 5y = 3
Vi trækker så de to ligninger fra hinanden og reducerer, hvorved y’erne forsvinder:
25x + 5y - ^ - 3x + 5y h = 10 - 3
2
28x = 7
2
1
x= 4
For at bestemme y, indsættes den fundne værdi af x i en af de oprindelige ligninger (typisk den,
der giver de nemmeste udregninger):
1 +y = 2 + y = 2- 5 y = 3
5$ 4
4
4
2.3.1
EKSEMPEL
Vi skal her løse ligningssystemet
)
3x - 5y = 51
7x - 3y = 67
Det nemmeste er at bruge lige store koefficienters metode
9x - 15y = 153 [ligningen ganges med 3]
35x - 15y = 335 [ligningen ganges med 5]
= - 182
- 26x
herefter kan x bestemmes:
- 26x =- 182 + x = --182
26 + x = 7
og y bestemmes ved at indsætte i én af ligningerne (fx den øverste)
3 $ 7 - 5y = 51 + - 5y = 30 + y =- 6
Så løsningen til ligningssystemet er talparret ^ x, y h = ^ 7, - 6 h
Vi har hermed fundet løsningen _ 41 , 43 i til ligningssystemet.
MAPLE
Bemærkning
Ofte skrives udregningen i forbindelse med subtraktionen af de to ligninger ikke helt så detaljeret som ovenfor, idet det skrives, som man normalt skriver, når man trækker to tal fra hinanden
(på et stykke papir):
25x + 5y = 10
- 3 x + 5y = 3
28x
= 7
Ved denne metode skal man være meget omhyggelig med fortegnene.
Vi kunne naturligvis også have elimineret x’erne fra starten af, men det er en smule mere besværligt, idet vi i så fald skal gange den øverste ligning med 3 og den nederste med 5:
15x + 3y = 6
- 15x + 25y = 15
28y = 21
Her har vi lagt de to ligninger sammen, fordi koefficienterne til x i de to ligninger her har modsat fortegn og vil blive elimineret, når ligningerne lægges sammen.
66
De to ligninger indtastes adskilt af et komma og løses med Solve 2 Solve i kontekstmenuen:
3x - 5y = 51, 7x - 3y = 67
solve
" x = 7, y =- 6 ,
eller som kommando
solve ^ " 3x - 5y = 51, 7x - 3y = 67 , h
" x = 7, y =- 6 ,
Faktisk burde vi eksplicit gøre opmærksom på, at vi vil løse ligningssystemet med hensyn til
x og y:
solve ^ " 3x - 5y = 51, 7x - 3y = 67 , , " x, y , h
men det er ikke så vigtigt her, da der kun er to variable i ligningerne. Hvis fx en af koefficienter
hedder a, så ville det være nødvendigt at fortælle, at der skal løses med hensyn til x og y – i
modsat fald vil Maple opfatte ligningerne som et system bestående af to ligninger med 3 ubekendte.
OPGAVER 2.16 – 2.19 „
67
2.4.4
2.4 Nulreglen
Vi skal løse ligningen
Nulreglen er umiddelbart en meget simpel regel, men er ikke desto mindre en regel, der, som vi
skal se, har mange anvendelsesmuligheder.
2.4.1
NULREGLEN
Lad a og b være to algebraiske udtryk. Så gælder:
a$b = 0
2
a=0 0 b=0
x 2 + 6x = 0
Umiddelbart ser det ikke ud til, at nulreglen kan bringes i anvendelse, idet venstre side af ligningen er en sum af to led. De to led har dog x som fælles faktor, så denne kan sættes uden for
en parentes:
x $ ^ x + 6h = 0
og herefter kan nulreglen kan benyttes
x 2 + 6x = 0
2
x $ ^ x + 6h = 0
2
x = 0 0 x+6 = 0
2
x = 0 0 x =- 6
hvor tegnet 0 skal læses som ’eller’
Så hvis et produkt af to faktorer er 0, så er ene (eller begge) af faktorerne 0. For at nulreglen kan
anvendes, skal der stå 0 på højre side af ligningen og venstre side skal være et produkt.
2.4.2
EKSEMPEL
EKSEMPEL
[x sættes uden for parentes]
[Nulreglen]
[De to simple ligninger løses]
Løsningerne til ligningen er således L = " - 6, 0 ,
Vi skal løse ligningen
x $ ^x + 7h = 0
Her har vi to faktorer på venstre side og 0 på højre side, så nulreglen kan benyttes
x $ ^x + 7h = 0
2
x = 0 0 x+7 = 0
2
x = 0 0 x =- 7
[Nulreglen]
[De to simple ligninger løses]
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
^ 2x + 3 h $ ^ x - 2 h = 0
Her har vi to faktorer på venstre side og 0 på højre side, så nulreglen kan benyttes
^ 2x + 3 h $ ^ x - 2 h = 0
2
2x + 3 = 0 0 x - 2 = 0
2
3 0 x=2
x =- 2
[Nulreglen]
[De to simple ligninger løses]
Løsningerne til ligningen er således L = # - 23 , 2 -
68
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
Løsningerne til ligningen er således L = " - 7, 0 ,
2.4.3
2.4.5
x2 = 4
Her ser nulreglen heller ikke ud til at kunne benyttes, men hvis vi er rigtig smarte, så kan vi
bruge 3. kvadratsætning her (se 1.13.1):
x2 = 4
2
x2 - 4 = 0
2
x2 - 22 = 0
2
^ x + 2h $ ^ x - 2h = 0
2
x+2 = 0 0 x-2 = 0
2
x =- 2 0 x = 2
[4 flyttes over på venstresiden]
[4 skrives som 22]
[3. kvadratsætning benyttes]
[Nulreglen benyttes]
[De to simple ligninger løses]
Løsningerne til ligningen er således L = " - 2, 2 ,
Det er nok ikke så overraskende, at vi fandt løsningerne 2 og - 2 her – det kunne vi have sagt
på forhånd, men af vores udregning følger også, at der ikke kan være andre løsninger.
69
2.4.6
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen x 2 = 3 (løsningen er næsten helt identisk med ovenstående eksempel)
x2 = 3
2
x2 - 3 = 0
2
De ligninger, vi løste i afsnit 2.1, kan alle omskrives til samme form, nemlig
a $ x + b = 0,
[3 flyttes over på venstresiden]
Det er nemt at løse en førstegradsligning: Flyt b over på højre side og divider på begge sider
med a :
a$x+b = 0
2
x =- ba
Løsningerne til ligningen er således L = " - 3 , 3 ,
2.5.1
5x - 2 = 3x + 4
k!R
kan, ved at samle alle leddene på venstre side, omskrives til
Hvis k < 0 , har ligningen ingen løsninger idet x $ 0 for alle reelle tal.
2
Hvis k $ 0 kan vi lave præcis de samme udregninger som i eksemplet ovenfor:
2
der er en førstegradsligning med a = 2 og b =- 6
[k flyttes over på venstresiden]
2
x - 5 ^ x - 1 h = 4 ^ x + 2 h - 7x
omskrives til
2
-x - 3 = 0
der er en førstegradsligning med a =- 1 og b =- 3
2.5.2
Vi samler resultatet i en sætning
DEFINITION – ANDENGRADSLIGNING
En andengradsligning er en ligning der har (eller kan bringes på) formen
SÆTNING
a $ x2 + b $ x + c = 0
Hvis k $ 0 gælder
x2 = k
2
x =- k 0 x = k
Y0
a, b, c ! R, a =
Y 0 . Dette hænger sammen med, at
I definitionen af en andengradsligning forudsætter vi, at a =
hvis a = 0 , så bliver ligningen
Hvis k < 0 , så har ligningen x 2 = k ingen løsninger
b$x+c = 0
OPGAVER 2.20 – 2.21 „
70
2x - 6 = 0
Tilsvarende kan ligningen (fra eksempel 2.1.4)
[k skrives som k ]
x2 - k = 0
2
^x + k h $ ^x - k h = 0
[3. kvadratsætning benyttes]
2
x + k = 0 0 x - k = 0 [Nulreglen benyttes]
2
x =- k 0 x = k
[De to simple ligninger løses]
2.4.7
EKSEMPEL
Ligningen (fra eksempel 2.1.2)
Vi ser nu helt generelt på ligningen
x =k
2
x2 - k = 0
2
Y0
a, b ! R, a =
En ligning på denne form kaldes en førstegradsligning.
2
2
[3 skrives som 3 ]
x2 - 3 = 0
2
^x + 3h $^x - 3h = 0
[3. kvadratsætning benyttes]
2
x + 3 = 0 0 x - 3 = 0 [Nulreglen benyttes]
2
x =- 3 0 x = 3
[De to simple ligninger løses]
x 2 = k,
2.5 Andengradsligninger
der er en førstegradsligning – og dem har vi jo fuldstændig styr på.
71
Den simpleste andengradsligning, vi kan lave, er denne
2.5.4
EKSEMPEL
Vi ændrer andengradsligning fra ovenstående eksempel en smule
x2 = 0
x 2 - 8x + 18 = 0
hvor vi har sat a = 1, b = 0 og c = 0 . Det er klart, at løsningen til denne ligning er 0.
Vi starter med at flytte 18 over på højre side
Det næstsimpleste er en ligning som fx
2
x = k,
x 2 - 8x =- 18
k!R
Vi kvadratkompletterer venstre side af ligningen (præcis som i ovenstående eksempel) og får:
At det er en andengradsligning følger af omskrivningen til x - k = 0 . Matcher vi denne ligning med standardformen i definition 2.5.2, er a = 1 og c =- k .
2
Ligningen har vi allerede bestemt alle løsninger til i sætning 2.4.7.
Hvis k $ 0 , vil vi ofte skrive løsningerne til ligningen x 2 = k på den korte form: ! k .
2.5.3
EKSEMPEL
Vi skal nu prøve at løse en andengradsligning, hvor alle tre led optræder:
x 2 - 8x + 12 = 0
Vi starter med at flytte 12 over på højre side
2
x - 8x =- 12
2
men denne ligning har ingen løsninger ifølge sætning 2.4.7. Og dermed har den oprindelige
andengradsligning ingen løsninger.
Med den teknik, der er brugt i de to ovenstående eksempler, er det muligt at løse enhver andengradsligning. Men så kan vi jo bruge teknikken på den generelle andengradsligning og derved
finde en formel for løsningerne og en metode til at afgøre, om der i det hele taget er løsninger.
Det vil jo være rart at vide, om der findes løsninger før vi begynder at løse.
2.5.5
a $ x2 + b $ x + c = 0
bestemmes således:
2
(a - b) = a + b - 2a $ b
ser vi, at x må svare til a og 4 til b, da 8x nødvendigvis må være det dobbelte produkt. Vi tjekker ved at udregne
^ x - 4 h2 = x 2 + 16 - 8x
Udregn diskriminanten
d = b2 - 4a $ c
Hvis
•
I ligningen mangler vi 16 på venstre side, men det klarer vi ved at lægge 16 til på begge sider:
•
x 2 - 8x + 16 =- 12 + 16
•
Herefter kan vi omskrive til
^ x - 4 h2 = 4
Denne ligning har formen x 2 = k , så vi kan løse
x - 4 = 4 0 x - 4 =- 4
der kan omskrives til
x - 4 = 2 0 x - 4 =- 2
og endelig
x=6 0 x=2
SÆTNING – LØSNINGSFORMEL TIL ANDENGRADSLIGNINGER
Løsningerne til andengradsligningen
Herefter skal vi kvadratkomplettere venstre side af ligningen. Sammenligner vi denne med 2.
kvadratsætning:
2
^ x - 4 h2 =- 2
d > 0 , er der to løsninger bestemt ved x = - b ! d .
2a
d = 0 , er der én løsning bestemt ved x = - b .
2a
d < 0 , er der ingen løsninger.
BEVIS
Vi starter med at flytte c over på højre side og derefter dividere med a på begge sider:
a $ x2 + b $ x + c = 0
2
x 2 + ab $ x =- ac
Vi omskriver nu venstre side til et kvadrat på en to-leddet størrelse. Det ene led er x, det andet
led kender vi ikke endnu, men ba $ x må være det dobbelte produkt. Omskriver vi til
b $x = 2$ b $x
a
2a
72
73
så kan vi umiddelbart se, at det andet led i den to-ledede størrelse må være 2ba . Vi udregner så
2
2
2
a x + b k = x2 + a b k + 2 $ b $ x = x2 + b 2 + b $ x
a
2a
2a
2a
4a
2.5.6
Vi kan så omskrive :
a $ x2 + b $ x + c = 0
2
x 2 + ba $ x =- ac
2
2
2
x 2 + ba $ x + b 2 = b 2 - ac
4a
4a
2
2
2
` x + 2ba j = b 2 - ac
4a
2
2
2
` x + 2ba j = b 2 - 4a $2c
4a
4a
2
2
` x + 2ba j = d 2
4a
Ved løsning af en andengradsligning skal man først udregne diskriminanten og derefter vælge
en af formlerne, eller konkludere, at der ingen løsninger er.
EKSEMPEL
Vi skal løse andengradsligningen
x2 + 3x - 10 = 0
[c flyttes over på højre side og der divideres med a]
Allerførst aflæses koefficienterne i ligningen ved at matche med den generelle form
a $ x2 + b $ x + c = 0
2
[Der lægges b 2 til på begge sider]
4a
hvor der står + mellem alle led. Det gør der ikke i den ligning, vi skal løse, så vi må omskrive til:
x 2 + 3x + ^- 10 h = 0
[1. kvadratsætning benyttes]
[De to brøker på højre side får samme nævner]
Herefter kan vi aflæse koefficienterne til a = 1, b = 3 og c =- 10 .
[Der sættes på fælles brøkstreg og
diskriminanten d = b2 - 4a $ c indsættes]
Diskriminanten udregnes:
d = 32 - 4 $ 1 $ (- 10) = 49 .
Da 4a 2 > 0 , vil højresidens fortegn bestemmes af d .
Da d > 0 er der to løsninger, og disse bestemmes med formlen i sætning 2.5.5:
Hvis d < 0 , vil højre side være negativ. Der kan derfor ikke være nogen løsninger til ligningen,
2
idet _ x + 2ba i $ 0 .
Hvis d = 0 , er højresiden i ligningen 0:
-5
x = - 3 ! 49 = - 3 ! 7 = '
2
2
2
Alternativt kan man skrives således:
ax + b k = 0
2a
2
x + 2ba = 0
2
x =- 2ba
2
x =- 5 0 x = 2
Det er en meget udbredt misforståelse at skrive løsningen som x = - 5 / x = 2 , hvilket nok
hænger sammen med, at man (korrekt) siger, at ligningen har løsningerne - 5 og 2.
2.5.7
Så i dette tilfælde er der én løsning bestemt ved x =- 2ba
EKSEMPEL
Vi skal løse andengradsligningen (samme som i eksempel 2.5.6, men fortegn foran konstantleddet er ændret):
Endelig, hvis d > 0 , så har vi ifølge sætning 2.4.7, at
2
ax + b k = d2
2a
4a
2
d
x + 2ba = !
4a 2
2
d
b
x= 2a ! 2a
2
-b ! d
x=
2a
x 2 + 3x + 10 = 0
Her kan vi umiddelbart aflæse koefficienterne til a = 1, b = 3 og c = 10 .
Diskriminanten udregnes:
d = 3 2 - 4 $ 1 $ 10 =- 31.
Da d < 0 , har ligningen ingen løsninger.
Sammenligner vi resultatet her med resultatet i eksempel 2.5.6, kan vi se, hvor slemt det kan gå,
hvis vi ikke får aflæst koefficienterne a, b og c korrekt.
Så når d > 0 har vi de to løsninger bestemt ved x = - b ! d
2a
QED
74
75
2.5.8
Hvis b = 0 har den generelle andengradsligning formen
EKSEMPEL
Vi skal løse andengradsligningen
a $ x2 + c = 0
der kan omskrives til
5x 2 - 30x + 45 = 0
Inden vi går i gang med at udregne diskriminanten, er det en god ide at undersøge, om ligningen
kan simplificeres. Her er det nemt at se, at vi ved at dividere med 5 kan få en simplere ligning:
x 2 =- ac
Denne ligning kan løses ved hjælp af sætning 2.4.7.
2
x - 6x + 9 = 0
Vi aflæser koefficienterne: a = 1, b =- 6 og c = 9 , og beregner diskriminanten
d = ^ - 6 h2 - 4 $ 1 $ 9 = 0
Da d = 0 , er der kun én løsning bestemt ved x =- 2-$61 = 3 .
Læg mærke til, at hvis vi ikke fra starten af havde divideret med 5 på begge sider af ligningen,
vil udregningen af diskriminanten involvere temmelig store tal:
d = ^ - 30 h2 - 4 $ 5 $ 45 = 0
MAPLE
2.5.9
EKSEMPEL
Vi skal løse andengradsligningen
4x 2 - 12 = 0
Her mangler leddet med x og det må betyde, at b = 0 . Vi løser ligningen:
4x 2 - 12 = 0
2
x 2 = 12
4
2
x2 = 3
2
x =! 3
Det er ingen sag at løse ligningen x2 + 3x - 10 = 0 i Maple:
x2 + 3x - 10 = 0
" x = - 5 ,, " x = 2 ,
solve
Hvis c = 0 har den generelle andengradsligning formen
a $ x2 + b $ x = 0
Mere problematisk er det at løse ligningen x2 + 3x + 10 = 0 i Maple:
x 2 + 3x + 10 = 0
solve
3 + 1 I 31 ., $ x =- 3 - 1 I 31 .
$ x =- 2
2
2 2
Her dukker et ”I” op i løsningen — noget, som Maple sikkert forstår, men vi ikke forstår. Her
er vi nødt til at undersøge diskriminanten for at se, om der er reelle løsninger. Det kan Maple
også gøre:
der, ved at sætte x uden for en parentes, kan omskrives til
a $ x $ a x + ba k = 0
hvorefter nulreglen benyttes til at finde løsningerne.
2.5.10 EKSEMPEL
discrim^ x + 3x + 10 , xh = - 31
Vi skal løse andengradsligningen
Herefter kan vi konkludere, at der ingen løsninger er.
4x 2 - 12x = 0
2
Hvis der kun er én løsning, får vi løsningen to gange:
5x 2 - 30x + 45 = 0
solve
" x = 3 ,, " x = 3 ,
Det er naturligvis ikke noget problem, men hvis man vil undgå dette skal man benytte solvekommandoen med optionen dropmultiplicity:
solve ^5x 2 - 30x + 45 = 0, " x ,, dropmultiplicity h
"x = 3,
Her mangler konstantleddet og det må betyde, at c = 0 . Vi løser ligningen:
4x 2 - 12x = 0
2
4x $ ^ x - 3 h = 0
2
4x = 0 0 x - 3 = 0
2
x=0 0 x=3
OPGAVER 2.22 – 2.32 „
76
77
I definitionen står, at de to størrelser er ligefrem proportionale, hvis
2.6 Proportionalitet
2.6.1
y = k$x
Der burde egentlig stå, at y er ligefrem proportional x, men omskrivningen
DEFINITION – LIGEFREM PROPORTIONALE STØRRELSER
To størrelser (eller variable) x og y siges at være ligefrem proportionale, hvis der findes en konY 0 , således at
stant k =
y = k $ x + x = 1k $ y
viser, at hvis y er ligefrem proportional med x med proportionalitetsfaktor k, så er x ligefrem
proportional med y og proportionalitetsfaktoren er 1k .
y = k$x
Konstanten k kaldes proportionalitetsfaktoren.
2.6.3
EKSEMPEL
Størrelserne x og y er ligefrem proportionale. Vi skal udfylde tabellen:
2.6.2
EKSEMPEL
x
y
Omkredsen af en cirkel er givet ved formlen
O = 2r $ r
Dvs., at omkredsen O er ligefrem proportional med radius r. Proportionalitetsfaktoren er 2r .
Arealet af en cirkel er givet ved formlen
5
3
8
12
Af den sidste kolonne ses, at
y
y
12
3
x = 8 + x = 2 + y = 1.5 $ x
Dermed kan x-værdien, der svarer til y-værdien 3, bestemmes ved
A = r $ r2
Dvs., at arealet A er ligefrem proportional med kvadratet på radius r . Proportionalitetsfaktoren er r .
3 = 1.5 $ x + x = 13.5 + x = 2
2
Ohms lov siger, at spændingen U over en elektrisk komponent er ligefrem proportional med
strømstyrken I igennem den. Kaldes proportionalitetsfaktoren R, kan dette udtrykkes således:
og y-værdien, der svarer til x-værdien 5, bestemmes ved
y = 1.5 $ 5 = 7.5
Så den færdigudfyldte tabel bliver
U = R$I
x
y
R kaldes i denne kontekst for komponentens modstand (eller resistans).
Et beløb i danske kroner (DKK) er ligefrem propertionalt med det tilsvarende beløb i Euro
(EUR). Proportionalitetsfaktoren er Euro kursen, der (i skrivende stund) er: 7.4705. Altså:
DKK = 7.4705 $ EUR
Og vil vi regne fra DKK til EUR, skal vi dividere med 7.4705 på begge sider af ligningen:
EUR = 0.1339 $ DKK
Temperatur målt i cC (Celsius) og i cF (Fahrenheit) kan ikke være ligefrem proportionale, idet
0cC svarer til 32cF .
Af ligningen for en ligefrem proportionalitet, y = k $ x , følger nemlig, at hvis den ene af de to
størrelser er 0, så skal den anden også være det.
2.6.4
2
3
5
7.5
8
12
DEFINITION – OMVENDT PROPORTIONALE STØRRELSER
To størrelser (eller variable) x og y siges at være omvendt proportionale, hvis der findes en
Y 0 , således at
konstant k =
y = k $ 1x
Konstanten k kaldes proportionalitetsfaktoren.
Omskrivningen
y = k $ 1x + x $ y = k + x = k $ 1y
viser, at hvis y er omvendt proportional med x, så er x også omvendt proportional med y – og
proportionalitetsfaktoren er den samme.
78
79
2.6.5
EKSEMPEL
Den vejlængde s, der kan tilbagelægges i tidsrummet t med hastigheden v, er bestemt ved:
s = v$t
Denne ligning kan ved division med v på begge sider omskrives til
t = vs + t = s $ 1v
2.6.8
EKSEMPEL – LYSINTENSITET
Intensiteten I af en punktformig lyskilde i afstanden r er omvendt proportional med kvadratet
på afstanden:
I = k $ 12
r
Hvis vi her fordobler afstanden fra r til 2 $ r , bliver intensiteten
k$
Holder vi s fast, så står der, at den tid, det tager at tilbagelægge strækningen s, er omvendt proportional med hastigheden.
1 = k$ 1 = 1 $k$ 1 = 1 I
4
4
^ 2r h2
4r 2
r2
<
I
Dvs., hvis afstanden fordobles, så bliver intensiteten 4 gange mindre.
2.6.6
EKSEMPEL – IDEALGASSERS TILSTANDSLIGNING
For en indespærret idealgas gælder denne ligning:
p$V = n$R$T
hvor p er trykket, V volumenet, n er stofmængden, R er gaskonstanten og T er temperaturen. I
det følgende holdes n fast, således at vi kan opfatte n $ R som en konstant.
Hvis temperaturen T holdes konstant, så viser omskrivningen
p = n $ R $ T $ V1 = k $ V1
>
konstant
at trykket er omvendt proportionalt med volumenet.
Hvis volumenet V holdes konstant, så viser omskrivningen
p = nV$ R $ T = k $ T
;
konstant
2.6.9
EKSEMPEL
Størrelserne x og y er omvendt proportionale. Vi skal udfylde tabellen:
x
y
4
20
8
16
Af den første kolonne ses, at
x $ y = 4 $ 20 + x $ y = 80 + y = 80 $ 1x
Dermed kan x-værdien, der svarer til y-værdien 16, bestemmes ved
16 = 80 $ 1x + 16x = 80 + x = 5
og y-værdien, der svarer til x-værdien 8, bestemmes ved
at trykket er ligefrem proportionalt med temperaturen.
1 = 10
y = 80 $ 8
Hvis trykket p holdes konstant, så viser omskrivningen
Så den færdigudfyldte tabel bliver
V = n p$ R $ T = k $ T
;
konstant
at volumenet er ligefrem proportionalt med temperaturen.
2.6.7
EKSEMPEL – AKUSTIK
x
y
4
20
5
16
8
10
således at produktet af tallene i hver kolonne bliver 80.
OPGAVER 2.32 – 2.37 „
Lydtrykket p i afstanden r fra en punktformig lydkilde er omvendt proportional med afstanden:
p = k $ 1r
Det har bl.a. som konsekvens, at hvis afstanden fordobles, så vil lydtrykket halveres.
80
81
2.7 Procentregning og ligninger
Formlen til simpel kapitalfremskrivning (sætning 1.8.3)
K = K0 $ ^ 1 + r h
indeholder 3 variable, nemlig K (slutværdien), K 0 (startværdien) og r (procentændringen).
Kender vi to af disse, kan vi ved ligningsløsning finde den sidste. Særlig nemt er det, hvis vi
kender K 0 og r, idet vi så kan finde K ved blot at sætte ind i formlen.
2.7.1
EKSEMPEL
En størrelse vokser fra 500 til 525. Hvad er den procentvise vækst?
I den 3. termin står beløbet K 2 til forrentning, så beløbet efter 3. termin er
K 3 = K 2 $ ^ 1 + r h = K 0 $ ^ 1 + r h2 $ ^ 1 + r h = K 0 $ ^ 1 + r h3
og således fortsættes til den n’te termin:
K n = K n - 1 $ ^ 1 + r h = K 0 $ ^ 1 + r hn - 1 $ ^ 1 + r h = K 0 $ ^ 1 + r hn
QED
Formlen til kapitalfremskrivning indeholder 4 variable, så kender vi 3 af disse, kan vi beregne
den fjerde.
Formlen kan direkte beregne K n , hvis vi kender de 3 øvrige variable. Vi kan let lave en formel
til beregning af K 0 :
Her skal vi løse ligningen
525 = 500 $ ^ 1 + r h
2
525
1 + r = 500
2
1 + r = 1.05
2
r = 0.05
K0 =
Noget vanskeligere er det at lave en formel til beregning af r:
[Divider med 500 på begge sider og byt om på siderne]
Kn = K0 $ ^ 1 + r h
2
K
^ 1 + r hn = n
K0
2
n Kn
1+r =
K0
2
n Kn
r=
K0 - 1
n
[Regn højre side ud]
[Træk 1 fra på begge sider]
Dette viser, at størrelsen vokser med 5%
Formlen til simpel kapitalfremskrivning er et specialtilfælde af en mere generel formel, der
nemmest formuleres i ’banksprog’, men har utallige anvendelser i andre sammenhænge.
2.7.2
Kn
^ 1 + r hn
SÆTNING - KAPITALFREMSKRIVNING
En startkapital på K 0 bliver forrentet med rentefoden r. Da er kapitalen efter n terminer
K n = K 0 $ ^ 1 + r hn
hvor en termin er perioden mellem to rentetilskrivninger.
[Divider med K 0 på begge sider og byt om på siderne]
[Definition af n’te rod]
[Træk 1 fra på begge sider]
Der kan også laves en formel til bestemmelse af n, men det kræver brug af redskaber, vi ikke
har til rådighed endnu.
Eksempler på anvendelsen af formlen for kapitalfremskrivning kan så at sige aldrig løses med
blyant og papir, så vi nøjes med at se på eksempler i Maple
MAPLE
Bestem K:
100 kr. sættes til forrentning i 5 år til 2.2% i rente pr. år.
BEVIS
Vi starter med beløbet K 0 .
Efter 1 termin er dette beløb vokset til
K1 = K0 $ ^ 1 + r h
I den 2. termin står beløbet K 1 til forrentning, så beløbet efter 2. termin er
Hvad er beløbet vokset til?
Her er tale om indsættelse i en formel, hvor vi blot skal beregne – ikke løse nogen ligning:
K 5 = 100 $ 1.022 5
K 5 = 111.4947656
Så beløbet er vokset til 111.49 kr. på 5 år.
K 2 = K 1 $ ^ 1 + r h = K 0 $ ^ 1 + r h $ ^ 1 + r h = K 0 $ ^ 1 + r h2
82
83
Bestem K 0 :
Et beløb sættes til forrentning i 10 år til 1.7% i rente pr. år. Beløbet er vokset til 525 kr.
Hvor stort et beløb er sat til forrentning?
Vi indsætter i kapitalfremskrivningsformlen:
525 = K 0 $ 1.017 10
" K 0 = 443.5573440 ,
solve
Dvs., at 443.56 kr. blev sat til forrentning.
Bestem n:
400 kr. er sat til forrentning 2.6% i rente pr. år. Beløbet er over en årrække er vokset til 517 kr.
Hvor mange er de 400 kr. blevet forrentet?
517 = 400 $ 1.026 n
" n = 9.996137562 ,
solve
Bestem r:
100 kr. er sat til årlig forrentning. Beløbet er over 12 år vokset til 225.5 kr.
Hvad er den årlige rente?
225.5 = 100 $ ^ 1 + r h12
solve
- 2.070111124, 0.07011112449
Her er Solve 2 Numerically Solve benyttet.
Hvis Solve 2 Solve benyttes får vi nok den rigtige løsning, men desuden 11 mere eller mindre
uforståelige løsninger. Dette sker som følge af, at Maple lever i en større verden end vores.
Ved brug af solve-kommandoen, med betingelsen r > 0 , får vi den ønskede løsning:
solve _ # 225.5 = 100 $ ^ 1 + r h12, r > 0 - i
" r = 0.07011112449 ,
så den årlige rente har været ca. 7%.
Det sidste eksempel viser, at det ikke er nok bare at kende valget Solve 2 Solve i kontekstmenuen. Af og til vil standardvalget give uforståelige løsninger, og så er det vigtigt at kunne
variere valg af kommando og metode.
Best practise er dog at starte med Solve 2 Solve. Hvis denne giver det forventede, er der ingen
grund til at foretage sig yderligere. Sker det ikke, er Solve 2 Numerically Solve det oplagte
valg. Her skal vi blot være opmærksomme på, at den i almindelighed kun giver én løsning
(selvom vi ovenfor fik 2 løsninger). Til den ende kan man udstyre kommandoen fsolve med et
søgeinterval, så vi får præcis den løsning, vi ønsker:
fsolve _ 225.5 = 100 $ ^ 1 + r h12, r = 0..1 i
0.07011112449
84
85
3 Trekantsberegning
3.1 Ensvinklede trekanter
Skalering af geometriske objekter er noget, vi foretager igen og igen: Fx når vi forstørrer eller
formindsker et billede eller ændrer fontstørrelse på computeren, skaber vi et nyt geometrisk
objekt, der har samme form, som det oprindelige, men hvor alle bestanddele er forstørret eller
formindsket med den samme faktor.
Tegner vi en trekant på et stykke papir og tager en fotokopi, hvor vi indstiller til 200% forstørrelse, får vi en kopi med en trekant, der har samme form som den oprindelige, men hver sidelængderne er det dobbelte. At kopien har samme form som den oprindelige trekant betyder, at
trekantens vinkler er bevaret.
To trekanter 9ABC og 9DEF siges at være ensvinklede (eller ligedannede), hvis vinklerne i
de to trekanter er parvist lige store.
E
B
c
A
f
d
a
b
C
D
e
F
På figuren er +A = +D , +B = +E og +C = +F . Trekanternes sider er navngivet efter almindelig vedtægt, hvor siden overfor vinkel A betegnes med a, siden overfor vinkel B betegnes
med b, osv.
Ofte leder denne vedtægt til flertydigheder i betegnelserne, specielt hvis to trekanter deler den
samme vinkel. For at få entydige betegnelser benyttes AB som betegnelse for siden c, BC for
siden a og AC for siden b.
De sider, der ligger overfor ens vinkler, kaldes ensliggende. På figuren er siderne a og d ensliggende, da de ligger overfor vinklerne A og D, der jo er lige store. Siderne b og e er også ensliggende, og det samme med siderne c og d.
Om ensvinklede trekanter gælder denne helt fundamentale sætning:
3.1.1
SÆTNING
Hvis to trekanter 9ABC og 9DEF er ensvinklede, så er forholdet mellem længderne af ensliggende sider konstant.
86
87
Hvis de to trekanter 9ABC og 9DEF er ensvinklede, er forholdene mellem længderne af de
ensliggende sider
EF
DF
DE
=
=
=k
BC
AC
AB
hvor den fælles værdi, k, kaldes forstørrelsesfaktoren. Ved hjælp af denne kan vi udtrykke sammenhængen mellem de ensliggende siders længde:
DE = k $ AB
DF = k $ AC
EF = k $ BC
Opskrevet på denne form udtrykker sætning 3.1.1, at i ensvinklede trekanter er de ensliggende
sider proportionale.
3.1.2
3.2 Euklids Elementer
Beviset for Sætning 3.1.1 (som vi udelader) har ikke ændret sig meget siden Euklid, der var den
første som nedskrev et bevis, og det var ca. 300 f.v.t.
Euklid samlede og systematiserede den græske matematik i 13 bøger, kaldet Elementerne. Beviset for Sætning 3.1.1 findes i bog VI, der omhandler ’Ligedannede figurer og proportioner i
geometri’. Man kan fundere over, hvad Euklid har lavet i de 5 foregående bind, når vi skal helt
frem til bind VI for at finde et bevis for noget så elementært som Sætning 3.1.1, men Euklid
startede helt fra bunden af og overlod intet til tilfældigheder.
EKSEMPEL
De to trekanter på figuren er ensvinklede, så vi kan bestemme de manglende sider.
E
B
8
7
A
5
C
D
10.5
F
Vi starter med at finde forholdet mellem længderne af de to ensliggende sider BC og EF:
EF
= 107.5 = 1.5
BC
Forstørrelsesfaktoren er således k = 1.5 . Vi kan nu nemt finde længderne af de resterende sider
DF = k $ AC = 1.5 $ 5 = 7.5
DE = k $ AB & AB = 1k $ DE = 11.5 $ 8 = 5.33
Euklid (det er ham med passeren) i færd med at indvi de omkringstående i geometriens
mysterier. Billedet er et udsnit af fresken ’Skolen i Athen’, malet af Raphael i 1510. For
detaljer se Wikipedia.
Euklid erkendte, at visse sandheder i matematikken er mere åbenbare end andre og nogle endda
så åbenbare, at han opfattede dem som selvfølgeligheder. Fx vil nok de færreste have indvendinger mod udsagnet:
A1 Man kan trække en ret linje fra hvilket som helst punkt til et hvilket som helst
andet punkt,
der af Euklid blev opfattet som en forudsætning for, at man i det hele taget kan beskæftige sig
med geometri.
Alligevel afføder udsagnet nogle problemer. Det forudsætter bl.a. kendskab til betydningen af
ret linje og punkt. Euklid var helt klar over dette og definerede begreberne på følgende måde:
88
89
D1. Et punkt er det, der ikke kan deles
D2. En linje er en længde uden bredde
3.4 Vinkler
D4. En ret linje er en linje, som ligger lige mellem punkterne på den.
En vinkel v er fastlagt ved et punkt og to halvlinjer, der udgår fra punktet.
Disse definitioner er ikke helt uproblematiske, idet de beror på nye begreber som del, længde,
bredde og lige, som så burde fastlægges ved nye definitioner, der så igen vil rumme nye begreber etc. Vi må altså acceptere, at ikke alt kan defineres. Begreber, der ikke defineres, kaldes
primitiver.
Ved brug af definitionen af et punkt og en ret linje, giver udsagnet A1 mening. Læg mærke til, at
A1 ikke er en definition, men et udsagn, der egentlig skulle bevises. Euklid argumenterer ikke
for gyldigheden af A1, men opfatter den som en selvfølgelighed. Det gør han ud fra devisen
om, at alting skal begynde et eller andet sted. Vi må altså også acceptere, at ikke alt kan bevises.
Udsagn, vi vælger ikke at bevise, kaldes aksiomer.
Som fundament for geometrien, anfører Euklid i alt 19 definitioner (hvoraf D1, D2 og D4 er
3 af dem), 5 aksiomer og 5 almindelige begreber. På dette fundament udleder han ved logisk
deduktion en lang række sætninger, der må være sande, hvis aksiomerne er det.
v
Vinkler måler vi her i grader, der er fastlagt ved, at en hel tur rundt er 360c , svarende til, at
jorden tager en tur rundt om solen på ca. 360 dage.
En vinkels gradmål fastlægges ved, hvor stor en del af en hel omgang, der indesluttes af de to
vinkelben. En halv omgang svarer så til 180c og en kvart omgang til 90c .
Vi benytter disse betegnelser for vinkler:
Metoden, han benytter i Elementerne, kaldes den aksiomatisk-deduktive metode, og denne metode benyttes stadig i udviklingen af al matematik.
spids vinkel
0c < v < 90c
3.3 Parallelpostulatet
Alle Euklids aksiomer er ret åbenbare, men det 5. aksiom, det såkaldte parallelpostulat, har
afstedkommet megen diskussion og tykke afhandlinger.
Parallelpostulatet er noget teknisk i Euklids formulering, men den skotske matematiker John
Playfair (1748 - 1819) beviste, at parallelpostulatet i Euklids formulering er ensbetydende med
udsagnet:
Hvis der er givet en ret linje og et punkt, der ikke ligger på linjen, så kan der
tegnes netop én linje, der er parallel med den givne linje, og som går gennem
det givne punkt.
P
ret vinkel
v = 90c
stump vinkel
90c < v < 180c
Når to linjer skærer hinanden, opstår der 4 vinkler, der parvist er lige store:
v
v
De to vinkler, begge markeret med v, kaldes topvinkler, og er lige store. De to ikke-markerede
vinkler, er naturligvis også topvinkler og dermed lige store.
Når to parallelle linjer gennemskæres af en ikke parallel linje, opstår der en række vinkler:
v
l
På figuren er l den givne linje, P det givne punkt. Den røde linje er den, der kan tegnes gennem
P parallel med l.
Vi skal se anvendelse af parallelpostulatet (i Playfairs formulering) i eksempel 3.4.1, men først
skal vi se på vinkler og egenskaber ved vinkler.
hel vinkel
v = 180c
v
Her gælder, at ensliggende vinkler er lige store. De to markerede vinkler på figuren er ensliggende og dermed lige store.
Men der er flere ensliggende vinkler på figuren:
90
91
3.4.2
På figuren er vinkler med samme farve ensliggende og dermed lige store.
3.4.1
EKSEMPEL – SNAPSEGLAS
Hvor højt skal et snapseglas skænkes for at
være halvt fyldt, når det antages, at glasset
er kegleformet og ikke har nogen afrunding
i bunden.
EKSEMPEL – VINKELSUMMEN I EN TREKANT
I beviset for, at vinkelsummen i en trekant er180c , skal Playfair’s parallelpostulat i sving. Udgangspunktet er, at der gennem en af vinkelspidserne tegnes en ret linje parallel med den modstående side:
Kald glassets højde h og radius i grundfladen r, som vist på figuren:
C
B
D
r
B
E
h
A
C
Her er den røde linje gennem B tegnet parallel med siden AC. De to grønne vinkler er lige store,
idet vinklerne er ensliggende. Tilsvarende er de to orange vinkler er lige store.
Af figuren fremgår, at vinkel A, B og C tilsammen danner en hel vinkel – og dermed at vinkelsummen i trekanten er 180c .
For at opnå en præcis angivelse af en vinkel i en mere kompliceret figur end en trekant indfører
vi en speciel notation til vinkler. I trekanten nedenfor er der tegnet en median:
B
A
Den stiplede linje gennem D og E angiver det halvfyldte glas.
Rumfanget af hele snapseglasset er
V = 31 r $ r 2 $ h
3 ABC er ensvinklet med 3 AED , idet de to trekanter har en ret vinkel og har vinkel A fælles,
altså +CAB = +DAE . Dermed er de to sidste vinkler automatisk ens, da vinkelsummen i en
trekant er 180c .
Der findes derfor et tal k, således at
AD = k $ h og
DE = k $ r .
Rumfanget af det halvfyldte snapseglas er da
A
E
C
I denne trekant er der tre vinkler, der kan kaldes +B : +B i 9ABC , +B i 9ABE og +B i
9EBC .
For at opnå en entydig angivelse af vinkler, vedtager vi, at +ABC er vinklen der dannes af
linjestykkerne BA og BC – og det er altså +B i 9ABC .
2
3
2
3
1
1
3 r $ (k $ r) $ (k $ h) = k $ _ 3 r $ r $ h i = k $ V
Dermed er
k 3 $ V = 21 V & k = 3 21 = 0.79
Dvs., at snapseglasset skal skænkes til ca. 79% af glassets højde.
Tilsvarende er +AEB vinklen der dannes af linjestykkerne EA og EB – og det er +E i 9ABE .
92
93
3.4.3
EKSEMPEL - AREAL AF EN TREKANT
3.5 Pythagoras
Arealet af en vilkårlig trekant kan beregnes efter formlen
Pythagoras levede omkring 250 år før Euklid. Han var filosof, lærer og stifter af broderskabet
Pythagoræerne (hvor kvinder dog også var velkomne). Vi ved ikke ret meget om dette broderskab, da de havde tavshedspligt med hensyn til deres meritter. Alt, vi ved om Pythagoræerne, er
andenhåndsberetninger.
areal = 21 h $ g ,
hvor h er højden og g er grundlinjen.
Men nu er der jo 3 muligheder for valg af højde med tilhørende grundlinje, så bliver arealet det
samme uanset valg af højde med tilhørende grundlinje.
Ja, men hvorfor?
Sætningen, som bærer hans navn, var kendt længe før han levede, men han var den første, der
beviste sætningen. Det første spor af sætningen findes i babylonsk matematik ca. 1900 - 1600
f.v.t.
Arealet af denne trekant:
B
D
hc
E
ha
A
C
er 21 h a $ BC eller 21 h c $ AB , afhængig af, hvilken højde med tilhørende grundlinje vi vælger.
Trekanterne 9ABE og 9CBD har vinkel B fælles og har begge en ret vinkel. Trekanterne er
dermed ensvinklede.
Af sætning 3.1.1 følger så, at
h a = AB
hc
BC
der kan omskrives til
På billedet ses Pythagoras i færd med at undervise i harmonilære. Billedet er et udsnit af fresken
’Skolen i Athen’, malet af Raphael i 1510. For detaljer se Wikipedia.
h a $ BC = h c $ AB
og ved at gange med
højder der vælges.
1
2
på begge sider ses, at arealet bliver det samme uanset hvilken af de to
Ved et helt analogt argument kan vises, at h a $ BC = h b $ AC , så alt i alt har vi
areal = 21 h a $ BC = 21 h b $ AC = 21 h c $ AB
OPGAVER 3.1 – 3.11 „
Euklid beviser Pythagoras’ sætning som det sidste i Bog I (Bog I - 47), og i Euklids formulering
lyder sætningen
3.5.1
SÆTNING
I en retvinklet trekant er kvadratet på den side, der ligger overfor den rette vinkel, lig summen
af kvadraterne på de sider, der indeslutter den rette vinkel.
Når Euklid skriver kvadratet på en side, så mener han det helt bogstaveligt. Han konstruerer
med passer og lineal kvadrater på hver af trekantens sider:
Med kvadratet på siden a, mener Euklid, arealet af det kvadrat, der har sidelængden a – altså
arealet af det nederste grønne kvadrat (se figur nedenfor). Med vores notation har dette kvadrat
94
95
arealet a 2 . Tilsvarende er kvadratet på b arealet af det grønne kvadrat med sidelængden b. Og
endelig er kvadratet på c arealet af det røde kvadrat.
3.5.2
SÆTNING (PYTHAGORAS’ SÆTNING)
Antag, at 9ABC er en retvinklet trekant med vinkel C ret.
Lad a = BC , b = AC og c = AB . Så er
a2 + b2 = c2
A
BEVIS
Start med at tegne højden fra C på AB og betegn højdens fodpunkt med D. Sæt x = AD og
sæt y = DB , således at c = x + y .
c
b
Situationen er da:
B
a
C
B
y
D
x
a
h
Med moderne notation udtrykker Pythagoras’ sætning, at
A
a2 + b2 = c2 ,
Sæt +A = v .
hvor a og b er trekantens kateter og c er hypotenusen:
nu
otec
p
y
h
A
b
katete
B
Så er +B = 90c - v , da 9ABC er retvinklet.
Da 9ADC er retvinklet, er +ACD = 90c - v .
a
katete
sen
C
b
C
Da 9CBD er retvinklet, er +BCD = 90c - (90c - v) = v .
De tre trekanter 9ABC , 9ADC og 9CBD er således ensvinklede.
Det ses nok nemmest, hvis vi tegner de tre trekanter hver for sig:
B
Af figuren fremgår, hvordan vi som standard navngiver sider og vinkler i en retvinklet trekant.
For korrekt brug af Pythagoras’ sætning er det vitalt at kunne udpege hypotenusen i trekanten.
En helt sikker metode til dette er at huske på, at hypotenusen altid er siden overfor trekantens
rette vinkel.
y
D
c
a
A
b
C A
D
a
x
h
Med disse betegnelser kan Pythagoras’ sætning formuleres på en mere generel form, hvor trekantens kateter ikke nødvendigvis hedder a og b, og hypotenusen ikke nødvendigvis hedder c:
I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater er lig med kvadratet på
hypotenusen
b
Vi skal have bevist Pythagoras – og her er beviser nok at vælge mellem. Der findes omkring
400 af slagsen, heriblandt Euklids bevis, som er temmelig omstændeligt. Et langt mere raffineret bevis får vi, hvis vi benytter ensvinklede trekanter.
Vi bruger først sætningen om ensvinklede trekanter på 9CBD og 9ABC :
Et af de mest fascinerende og vandtætte ’beviser’ findes i den permanente udstilling på Cité des
Sciences et de l’Industrie i Paris, hvor man selv kan opleve Pythagoras’ sætning blive bevist.
Se videoen: Water Proof.
der kan omskrives til
96
B
h
C
C
a = y
c
a
a2 = c $ y
97
Figuren viser en 5 meter lang stige, der er stillet på et gulv op ad en lodret mur. Murens bund
betegnes A, og stigens røringspunkt med gulv og mur betegnes hhv. B og C. Det punkt på stigen,
der er tættest på murens bund betegnes med D og afstanden fra B til D betegnes med x.
Dernæst på 9ADC og 9ABC :
b = x
c
b
der kan omskrives til
Bestem de værdier af x, for hvilke AD = 2
Metode 1:
b2 = c $ x
Vi har nu
Her benytter vi udelukkende Pythagoras’ sætning i de 3 retviklede trekanter, der er på figuren:
I 9ABD :
a 2 + b 2 = c $ y + c $ x = c $ (x + y) = c 2
QED
x 2 + 2 2 = AB 2
I 9ACD :
På frimærker har Pythagoras’ sætning været et yndet motiv. Det første, der udkom, var i forbindelse med fejringen af 2500 året for den pythagoræiske skole i 1955, og det seneste i forbindelse med en international konference for matematikere i Seoul i 2014
^ 5 - x h2 + 2 2 = AC 2
I 9ABC :
AB 2 + AC 2 = 5 2
I denne ligning indsættes de udtryk, vi har for AB 2 og AC 2 , i de to øverste ligninger:
x 2 + 2 2 + ^ 5 - x h2 + 2 2 = 5 2
2
x 2 + 2 2 + 5 2 + x 2 - 10x + 2 2 = 5 2
2
2x 2 - 10x + 8 = 0
2
x 2 - 5x + 4 = 0
Det græske frimærke viser en 3-4-5 kant og Pythagoras’ sætning i anvendelse på denne. Frimærket fra Sydkorea viser nogle detaljer fra Euklids bevis.
hvor vi til sidst har divideret med 2 på begge sider for at gøre ligningen så simpel som mulig.
Ligningen, vi ender op med, er en andengradsligning, der løses efter formlen i 2.5.5:
d = ^ - 5 h2 - 4 $ 1 $ 4 = 25 - 16 = 9
x=
3.5.3
EKSEMPEL – STIGE OP AD VÆG
-^ - 5 h ! 9
3
= 5!
2$1
2
2
x=4 0 x=1
C
Metode 2:
Her løses opgaven ved hjælp af ensvinklede trekanter:
Her skal vi først vise, at 9ABD er ensvinklet med 9ACD :
5-x
Sæt +BAD = v . Så er +B = 90 - v , da 9ABD er retvinklet. Da +BAC er en ret vinkel, er
også +DAC = 90 - v .
D
2
A
98
x
Da 9ABD og 9ACD begge har en ret vinkel og begge en vinkel af størrrelse 90 - v , er de
ensvinklede (de har naturligvis også begge en vinkel af størrelse v).
Da 9ABD er ensvinklet med 9ACD , er længden ensliggende sider proportionale:
B
99
Det kan godt se ud til, at beviset halter lidt til allersidst, hvor vi konkluderer, at hvis sidelængderne i to trekanter er ens, så er vinklerne det også. Intuitivt er det klart, at det må være sådan,
men det er ikke noget, der kan bevises.
5-x = 2
x
2
2
^5 - xh $ x = 2 $ 2
2
- x 2 + 5x - 4 = 0
2
x 2 - 5x + 4 = 0
Euklid skriver i ’Elementerne’, at størrelser, der kan dække hinanden, er lige store. Det betyder,
at hvis to trekanter ved flytning, drejning og spejling kan bringes til at dække hinanden, så kan
vi konkludere, at de to trekanter er ens i alle henseender. Trekanterne siges i så fald at være
kongruente.
Ved hjælp af Pythagoras’ sætning kan vi bevise nogle velkendte geometriske sætninger, som vi
vil få brug for i næste kapitel.
Og vi har præcis den samme andengradsligning som i metode 1.
Pythagoras’ sætning udtrykker, at hvis trekant 3 ABC er retvinklet, så er a 2 + b 2 = c 2 . Det
omvendte gælder også:
3.5.4
3.5.5
SÆTNING
I en retvinklet trekant er hypotenusen altid den længste side.
SÆTNING – DEN OMVENDTE PYTHAGORAS
Hvis 3 ABC er en trekant, hvor sidelængderne a, b og c opfylder a 2 + b 2 = c 2 , så er 3 ABC
retvinklet med C som den rette vinkel.
BEVIS
Vi benytter Pythagoras på den retvinklede trekant ABC:
B
BEVIS
Med en passer og en lineal kan vi konstruere 3 ABC . Vi kan også konstruere en retvinklet
trekant 3 PQR med kateterne a og b:
c
a
b
C
Q
B
A
Her gælder:
a
c
d
6da b 2 > 0@
c2 = a2 + b2 & c2 > a2
& c2 - a2 > 0
& ^ c + a h $ ^ c - a h > 0 63. kvadratsætning@
6da c + a > 0@
& c-a > 0
& c>a
a
?
C
A
b
P
R
b
Helt tilsvarende bevises, at c > b .
Da 3 PQR er retvinklet, gælder der
2
2
a +b = d
QED
2
3.5.6
Men da vi har givet, at
2
2
a +b = c
Den korteste afstand fra et punkt til en ret linje er den vinkelrette afstand.
2
er d 2 = c 2 og dermed d = ! c . Negative længder har ingen mening, så derfor kan vi slutte, at
d = c.
Da en trekant er entydig bestemt ved længderne af de tre sider, kan vi konkludere, at de to trekanter er ens i den forstand, at vi ved en flytning kan få den ene trekant til at dække den anden.
Hermed kan vi slutte, at vinkel C er ret.
QED
100
SÆTNING
BEVIS
Nedenstående figur viser en linje , og et punkt P. Desuden er nedfældet den vinkelrette fra P
til linjen , , hvilket giver punktet R.
Vi skal så bevise, at længden af linjestykket PR er den korteste afstand mellem linjen og punktet
P. Det gør vi med et såkaldt modstridsbevis, hvor vi antager, at der findes et andet punkt Q på
linjen , , der har en kortere afstand til P end punktet R. Vi skal så nå frem til en modstrid.
101
I dette kapitel har vi set, at hvis vi kender to af siderne i en retvinklet trekant, så kan vi ved hjælp
af Pythagoras’ sætning beregne længden af den sidste side.
P
Det er naturligvis også muligt at beregne alle vinkler i en retvinklet trekant, hvis blot vi kender
to af siderne. Kender vi en vinkel og en side, er det også muligt. Denne disciplin kaldes trigonometri, som direkte oversat betyder trekantsmåling.
,
Q
R
På figuren er punkterne P, Q og R forbundet og danner en retvinklet trekant. Af sætning 3.5.5
følger, at hypotenusen PQ er længere end kateten PR, men dette strider jo mod vor antagelse
om, at punktet Q har en kortere afstand til P end punktet R.
QED
Der er ingen trigonometri i Euklids Elementer, men der er flere sætninger heri, der geometrisk
udtrykker de trigonometriske formler, vi udleder i kapitel 4.
Vi forlader nu Euklid, Pythagoras og den græske matematik.
OPGAVER 3.12 – 3.21 „
En cirkel med centrum C og radius r er i den klassiske geometri karakteriseret ved, at den består
af alle de punkter, der har afstanden r fra C.
En tangent til en cirkel er en ret linje, der kun skærer cirklen i ét punkt – kaldet tangeringspunktet.
3.5.7
SÆTNING
En tangent til en cirkel vil altid være vinkelret på radius.
Mere præcist: Tangenten er vinkelret på linjen gennem centrum og tangeringspunktet
BEVIS
På figuren er tegnet en cirkel med centrum i C og en tangent til cirklen med tangeringspunkt P.
Desuden er afsat et punkt Q på linjen, der er forskellig fra P:
P
r
C
Q
Uanset hvordan punktet Q (forskellig fra P) vælges på tangenten, vil det ligge uden for cirklen,
så derfor er CQ > r .
Da punktet P ligger på cirklen, er CP = r . Det betyder, at CP er den korteste afstand fra C
til tangenten. Af sætning 3.5.6 følger så, at linjestykket CP danner er ret vinkel med tangenten.
QED
102
103
4 Analytisk geometri
4.1 Koordinatsystemet
I den græske geometri er et punkt en prik på et stykke papir og en ret linje en streg på et stykke
papir. Og sådan var det i mange år indtil den franske matematiker og filosof René Descartes i
1637 introducerede koordinatsystemet. Heri kunne et punkt beskrives med koordinater og en
ret linje kunne beskrives med en ligning, således at man nu kunne regne i stedet for at tegne.
Et koordinatsystem dannes ved, at to tallinjer placeres vinkelret på hinanden, således at de to
nulpunkter falder sammen:
1
1
Den vandrette akse kaldes førsteaksen eller x-aksen og den lodrette akse kaldes andenaksen
eller y-aksen.
Ofte skrives x eller (1) i forlængelse af førsteaksen og y eller (2) oven over andenaksen for at
angive orienteringen af koordinatsystemet.
De to akser opdeler koordinatsystemet i 4 såkaldte kvadranter, der er navngivet med romertal
og nummereret som vist på figuren nedenfor
(2)
I
1. kvadrant
II
2. kvadrant
1
(1)
1
3. kvadrant
III
104
4. kvadrant
IV
105
I et koordinatsystem kan vi tillægge et punkt koordinater ved at aflæse punktets placering i
forhold til de to akser. Dette sker ved, at vi gennem punktet tegner linjer parallelle med akserne
og finder deres skæring med akserne:
4.2 Punktmængder
En punktmængde er en mængde af punkter, hvor punkternes koordinater opfylder en eller flere
ligninger og/eller uligheder.
P
Fx kan vi se på mængden af punkter, hvor førstekoordinaten er lig med 2. Altså alle punkter,
der har formen ^ 2, y h , hvor y er et vilkårligt reelt tal. Denne punktmængde skrives sådan med
almindelig matematisk notation:
" ^ x, y h x = 2 ,
1
og læses: Mængden af punkter ^ x, y h , der opfylder, at x = 2 .
1
Ifølge den måde, hvorpå vi aflæser koordinater, må alle disse punkter nødvendigvis ligge på en
lodret linje, der skærer x-aksen i 2.
Helt tilsvarende vil punktmængden
" ^ x, y h y = 2 ,
Den lodrette linje gennem P skærer x-aksen i 3 og den vandrette linje gennem P skærer y-aksen
i 4. Dette udtrykker vi ved, at punktet P har koordinaterne ^ 3, 4 h og skriver P = ^ 3, 4 h eller
ofte blot P ^ 3, 4 h .
der består af punkter ^ x, y h , der opfylder, at y = 2 , være en vandret linje, der skærer y-aksen
i 2:
Punktet, hvor de to koordinatakser skærer hinanden, har således koordinaterne ^ 0, 0 h . Dette
punkt betegnes ofte med O og kaldes origo, som betyder koordinatsystemets begyndelsespunkt.
x=2
y=2
1
1
Punkters koordinater skal aflæses med fortegn
1
1
^ 3, 4 h
^ - 2, 3 h
1
Lidt mere kompliceret er det at tegne denne punktmængde:
1
^ - 4, - 3 h
^ 4, - 2 h
Det koordinatsystem, vi her har beskrevet, kaldes et rektangulært koordinatsystem og koordinaterne kaldes rektangulære koordinater.
Ofte bliver et rektangulært koordinatsystem kaldt et kartesisk koordinatsystem efter opfinderen
Descartes.
106
" ^ x, y h y = 2x + 1 ,
Vi skal altså bestemme de punkter ^ x, y h , der opfylder ligningen y = 2x + 1 . Den form, ligningen har, med y isoleret på venstre side, gør det ekstra nemt at finde punkter, der opfylder
ligningen: Sæt x til hvad som helst og beregn y som 2x + 1 .
Sæt fx x =- 3 , så beregnes y ved: y = 2 $ ^ - 3 h + 1 =- 5 . Ofte organiseres de indsatte og beregnede værdier i en tabel (sildeben):
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5
-3
-1
1
3
5
3
7
107
Disse punkter afsættes i et koordinatsystem – og da de ser ud til at ligge på en ret linje, forbindes
punkterne med en lineal:
MAPLE
Det er nemt at tegne punktmængder i Maple, hvis punktmængden er givet ved en ligning som fx
y = 2x + 1
y = 2x + 1
Indsæt et tomt koordinatsystem med menuvalget Insert 2 Plots 2 2-D Plot.
1
Marker Maple’s output y = 2x + 1 og træk dette ind i koordinatsystemet:
1
1
1
Vi skal i næste afsnit bevise, at punkterne vitterlig ligger på en ret linje.
Ved at benytte uligheder i stedet for ligninger, kan vi beskrive hele områder. Fx kan kvadranterne beskrives således:
Betingelsen for, at et punkt ligger i 1. kvadrant er, at både x- og y-koordinaten er positive. Denne
betingelse kan skrives således
x>0 / y>0
hvor symbolet / skal læses som ’og’. 1. kvadrant i koordinatsystemet er altså punktmængden
I = " ^ x, y h x > 0 / y > 0 ,
I
1
1
og tilsvarende for de øvrige kvadranter
II = " ^ x, y h x < 0 / y > 0 ,
III = " ^ x, y h x < 0 / y < 0 ,
IV = " ^ x, y h x > 0 / y < 0 ,
108
Kvadratnettet fås ved at trykke på knappen ’toggle gridlines’, der findes i båndet (øverst på
skærmen) når der klikkes i plottet:
Maple vælger som standard intervallet [-10,10] som x-akse og justerer y-aksen alt efter, hvad
der plottes. Det betyder, at vi kun sjældent vil have samme enhed på akserne, hvilket giver et
noget forvansket billede.
Vi kan nemt få samme enhed på akserne ved at sætte et flueben i tjekboksen ved Scaling Constrained øverst i kontekstmenuen:
Så kommer grafen til at ligne den, vi har tegnet ovenfor.
Alternativt kan vi indstille akserne i kontekstmenuen ved at vælge Axes 2 Properties og
her indstille Horizontal og Vertical. Fjern fluebenet i ’Use data extends’ inden indstilling af
akserne.
OPGAVER 4.1 – 4.3 „
109
Vi anvender nu Pythagoras på trekanten:
4.3 Afstandsformlen
2
AB 2 = x 2 - x 1 + y 2 - y 1
Vi skal i dette afsnit se på, hvordan man finder afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Først ser vi på et konkret eksempel, hvor de to punkter, vi skal finde afstanden mellem,
har koordinaterne A ^ 3, 2 h og B ^ 6, 6 h
2
2
Da det for ethvert reelt tal x gælder, at x = x 2 , kan vi erstatte numerisktegnene med parenteser og til slut tage kvadratroden på begge sider:
AB 2 = ^ x 2 - x 1 h2 + ^ y 2 - y 1 h2 &
AB = ^ x 2 - x 1 h2 + ^ y 2 - y 1 h2
Vi har vist
B
4.3.1
4
A
Afstanden mellem punkterne
A ^ x 1, y 1 h og B ^ x 2, y 2 h
er bestemt ved
3
1
AB = ^ x 2 - x 1 h2 + ^ y 2 - y 1 h2
1
Ved at tælle tern på figuren, kan vi se, at den ene katede i trekanten er 3 og den anden katede er
4. Pythagoras giver os derfor, at
AB 2 = 3 2 + 4 2 +
SÆTNING – AFSTANDSFORMLEN
4.3.2
EKSEMPEL
Bestem afstanden mellem punkterne ^ - 2, - 3 h og ^ 4, 5 h .
Det er helt ligegyldigt, hvordan vi tildeler rollerne til disse punkter. Lad os først navngive sådan
AB = 5
Sådan kan vi i princippet altid gøre, selvom det er noget besværligt. Vi skal have lavet en formel.
Antag, at punkterne A og B har koordinaterne A ^ x 1, y 1 h og B ^ x 2, y 2 h
A ^ - 2, - 3 h og B ^ 4, 5 h
og følge ovenstående formel helt slavisk:
AB = ^ 4 - ^ - 2 hh2 + ^ 5 - ^ - 3 hh2 = 6 2 + 8 2 = 100 = 10
Vi bytter om og følger igen formlen slavisk:
A ^ 4, 5 h og B ^ - 2, - 3 h
B
y2
AB = ^ - 2 - 4 h2 + ^ - 3 - 5 h2 = ^ - 6 h2 + ^ - 8 h2 = 100 = 10
y2 - y1
y1
MAPLE
A
x2 - x1
x1
x2
På figuren er længderne af de to kateder angivet som numeriske værdier. Det skyldes, at en
længde altid er positiv. Hvis vi blot angav differensen x 2 - x 1 , ville det være i orden med den
beliggenhed punkterne har på figuren, men hvis x 2 < x 1 , så er x 2 - x 1 < 0 . Da den formel,
vi skal lave, skal gælde for alle mulige indbyrdes beliggenheder af A og B, anvender vi den
numeriske værdi.
110
Med Gym-pakken indlæst er det nemt at beregne en afstand mellem to punkter i Maple. Det
eneste, du skal huske på, er, at punkter skal indtastes med kantede parenteser i Maple – altså fx
skal punktet ^ - 2, - 3 h indtastes som 6- 2, - 3@ .
with (Gym):
A: = 6- 2, - 3@:
B: = 64, 5@:
afstand ^ A, B h = 10
OPGAVER 4.4 – 4.6 „
111
4.4 Midtpunktsformlen
Q
y2
M
Lad x1 og x2 være vilkårlige reelle tal, og antag, at x1 < x2 . Vi afsætter x1 og x2 på en tallinje:
x1
P
y1
x2
x2 - x1
Afstanden mellem x1 og x2 er x2 - x1 , så for at bestemme midtpunktet mellem x1 og x2
lægger vi halvdelen af afstanden til x1 :
x1 +
x2 - x1
2x
x -x
2x + x - x
x +x
= 21 + 2 2 1 = 1 22 1 = 1 2 2
2
Dette resultat er næppe overraskende, idet vi jo blot finder gennemsnittet af x1 og x2 . At vi
i starten har forudsat, at x1 < x2 viser sig nu at være en overflødig antagelse, idet formlen, vi
ender med, er symmetrisk i x1 og x2 .
4.4.1
Dermed vil den stiplede lodrette linje gennem M skære x-aksen i midtpunktet mellem x1 og
x +x
x2 , så punktet M ’s 1. koordinat er 1 2 2 .
Tilsvarende argumenteres for, at M ’s 2. koordinat er
y1 + y2
.
2
QED
4.4.2
EKSEMPEL
I 3 ABC har hjørnerne disse koordinater:
SÆTNING (MIDTPUNKTSFORMLEN)
Lad P ^ x1, y1 h og Q ^ x2, y2 h være punkter i planen. Midtpunktet, M , af linjestykket PQ er
bestemt ved
A = ^ - 4, 3 h, B = ^ 5, 4 h, C = (- 1, - 4)
Vi skal beregne koordinaterne til midtpunktet af hver af trekantens sider.
Vi benytter midtpunktsformlen og udregner først midtpunktet af siden AB :
M = ` 12 2, 12 2 j
x +x
x2
x1
y +y
MAB = _ -42+ 5 , 3 +2 4 i = _ 21 , 27 i
og tilsvarende midtpunktet af siderne BC og AC
BEVIS
På figuren har vi indtegnet de to punkter P ^ x1, y1 h og Q ^ x2, y2 h i et koordinatsystem og anbragt punktet M på linjestykket PQ , således at PM = MQ :
Q
y2
M BC = _
M AC = _
5 + (- 1) 4 + (- 4)
, 2 i = ^ 2, 0 h
2
-4 + (- 1) 3 + (- 4)
, 2 i = _ - 25 , - 21 i
2
På en figur ser det fornuftigt ud med de beregnede koordinater:
M
y1
A
x1
x2
Vi tegner nu en linje gennem M parallel med y-aksen og forlænger den vandrette linje gennem P . Herved dannes to retvinklede trekanter (se figuren på næste side). Da de to markerede
vinkler ved P og M er ensliggende, er de lige store. Dermed er de to trekanter ensvinklede.
Da PM = MQ , har de to ensvinklede trekanter samme størrelse (proportionalitetsfaktoren
er 1), hvilket betyder, at ensliggende sider i de to trekanter er lige lange.
112
B
M AB
P
M AC
M BC
C
OPGAVER 4.7 – 4.9 „
113
4.5.1
4.5 Den rette linje
SÆTNING
Enhver linje, der ikke er lodret, har en ligning på formen
Et kig på punktmængden bestemt ved ligningen y = 2x + 1 afslører, at hvergang vi giver x
tilvæksen 1, så vil y få tilvæksten 2:
y = a$x+b
hvor a er linjens hældning og b er skæringen med y-aksen.
BEVIS
2
Lad os se på en linje, der ikke er lodret. Denne linje må nødvendigvis skære y-aksen i et punkt
A med koordinater på formen ^ 0, b h :
1
1
P ^ x, y h
y
1
y-b
B
a
A
Noget helt tilsvarende gælder for enhver ikke-lodret linje
B1
1
b
D
C
x
B
A
1
A1
1 C1
C
Lad punktet P ^ x, y h være et vilkårligt punkt på linjen og afsæt linjens hældning a, som vist på
figuren. Herved fremkommer punkterne B og C.
De to trekanter ABC og APD er ensvinklede, idet de begge er retvinklede og har vinkel A fælles. De ensliggende sider er dermed proportionale:
y-b
PD
AD
=
+ a = 1x + y - b = a $ x + y = a $ x + b
BC
AC
Hermed har vi bevist, at linjen har ligningen y = a $ x + b , hvor a er linjens hældning og b er
skæringen med y-aksen.
På linjen er valgt to vilkårlige punkter A og A 1 . I hvert af disse punkter har vi givet x tilvæksten 1 og fundet de tilsvarende y-værdier ved at gå én enhed til højre og derefter lodret op til
linjen. Herved finder vi punkterne B og B 1 på linjen
De to trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 er begge retvinklede og da endvidere +A = +A 1 (ensliggende vinkler ved parallelle linjer), er de to trekanter ensvinklede og dermed er ensliggende
sider i trekanterne proportionale.
Da AC = A 1 C 1 = 1 , er proportionalitetsfaktoren 1, og dermed er BC = B 1 C 1 .
Almindeligvis betegnes BC med a og kaldes linjens hældningskoefficient – eller ofte blot
linjens hældning.
114
QED
Det er nemt at tegne en ret linje ud fra ligningen y = a $ x + b , i al fald hvis a og b er hele tal:
Start med at afsætte punktet ^ 0, b h på y-aksen. Gå derefter 1 enhed til højre og a enheder op
eller ned afhængigt af fortegnet på a, således at punktet med koordinaterne ^ 1, b + a h afsættes.
En ret linje gennem de to punkter kan da tegnes med en lineal.
Hvis a er en brøk, fx 31 , ved vi, at hver gang vi går 1 til højre, skal vi gå 31 op. Men vi kan
ikke afsætte 31 præcist i et koordinatsystem, så i stedet går vi 3 enheder til højre og 3 $ 31 = 1
enhed op.
115
4.5.2
EKSEMPEL
Nedenfor er tegnet de rette linjer med ligningerne
y = x+2
a=1
b=2
y = 31 x + 2
a = 31
b=2
y=2
a=0
b=2
y =- 31 x + 2
a =- 31
b=2
y =- 3x + 2
a =- 3
b=2
Linjerne er tegnet ud fra punktet ^ 0, 2 h og et punkt, der er bestemt ved hjælp af hældningen.
Det sidste punkt er markeret med en fyldt cirkel på linjerne.
4.5.3
EKSEMPEL
Der skal to punkter til at fastlægge en ret linje, så lad os antage, at vi har to punkter givet: ^ 3, 5 h
og ^ 5, 8 h .
Vi starter med at tegne linjen
^ 5, 8 h
^ 3, 5 h
1
Holder vi i stedet hældningen a, fast og varierer b, får vi en række parallelle linjer
116
1
y = 21 x + 3
a = 21
b=3
y = 21 x + 1
a = 21
b=1
y = 21 x
a = 21
b=0
y = 21 x - 1
a = 21
b =- 1
Linjens ligning bliver således:
y = 21 x - 2
a = 21
b =- 2
y = 23 x + 21
Ligningen kan aflæses direkte: Det ser ud til, at grafen skærer y-aksen i 21 , så b = 21 .
Hvis vi fra punktet ^ 3, 5 h går 2 enheder til højre, skal vi gå 3 enheder op for at komme til punktet ^ 5, 8 h . Heraf følger, at hvis vi går 1 enhed til højre, skal vi gå 23 enheder op, dvs. a = 23 .
117
Selvom det gik nemt med at bestemme ligningen for linjen ved aflæsning, vil vi alligevel bestemme ligningen ved beregning:
Vi ved, at ligningen skal have formen y = a $ x + b . Vi skal altså beregne os frem til a og b.
Da punktet ^ 3, 5 h ligger på linjen, er ligningen opfyldt, hvis vi indsætter 3 for x og 5 for y i
ligningen:
4.5.4
SÆTNING – LIGNING FOR EN RET LINJE UD FRA TO PUNKTER
Y x 2 , være to punkter på en ret linje med ligningen
Lad P ^ x 1, y 1 h og Q ^ x 2, y 2 h , hvor x 1 =
y = a$x+b.
Så er
y -y
a = x 2 - x1
2
5 = 3$a+b
og
Tilsvarende, da punktet ^ 5, 8 h ligger på linjen, gælder
8 = 5$a+b
Vi får således to ligninger, som de to ubekendte a og b skal opfylde. Opgaven er nu oversat til
løsning af et ligningssystem bestående af to ligninger med to ubekendte:
3a + b = 5
'
5a + b = 8
2a
=3
hvor den øverste ligning er trukket fra den nederste. Ved division med 2 på begge sider får vi
b = y1 - a $ x1
BEVIS
Da punkterne P ^ x 1, y 1 h og Q ^ x 2, y 2 h ligger på linjen med ligningen y = a $ x + b gælder:
y1 = a $ x1 + b
y2 = a $ x2 + b
Ved at trække de to ligninger fra hinanden (den øverste trækkes fra den nederste), får vi
y2 - y1 = a $ x2 + b - ^ a $ x1 + b h
= a $ x2 + Y
b - a $ x1 - Y
b
= a $ ^ x2 - x1 h
a = 23
Herefter kan b bestemmes ved at indsætte den fundne værdi for a i en af ligningerne (ligegyldigt hvilken – det giver samme værdi for b):
Y x 2 , kan vi dividere med x 2 - x 1 på
hvor vi til sidst har sat a uden for en parentes. Da x 1 =
begge sider:
3 $ 23 + b = 5 + b = 5 - 29 + b = 21
y -y
y 2 - y 1 = a $ ^ x 2 - x 1 h + a = x 2 - x1
Så ligningen bliver
y = 23 x + 21
Det er altid en god ide at kontrollere, om der er aflæst eller beregnet korrekt. Dette sker ved at
tjekke, om de opgivne punkter ligger på den linje, vi har bestemt ligningen for. Det nemmeste
er at indsætte x og se, om vi får den rigtige værdi for y ud:
1
2
1
For at bestemme b, isolerer vi b i ligningen y 1 = a $ x 1 + b :
y1 = a $ x1 + b + b = y1 - a $ x1
Med denne ligning kan vi bestemme b, idet vi jo nu kender a.
QED
y = 23 $ 3 + 21 = 29 + 21 = 10
2 = 5{
1
16
y = 23 $ 5 + 21 = 15
2 + 2 = 2 = 8{
4.5.5
EKSEMPEL
Bestem en ligning for den rette linje gennem punkterne ^ - 1, - 2 h og ^ 3, 4 h .
For ikke at skulle lave den samme beregning, hver gang vi skal finde ligningen for en linje ud
fra to givne punkter, så vil vi nu lave en helt generel beregning, hvor de givne punkter hedder
Y x 2 , da linjen ellers er lodret.
^ x 1, y 1 h og ^ x 2 y 2 h , hvor vi er nødt til at forudsætte, at x 1 =
Vi skal lave nøjagtig de samme beregninger som i eksempel 4.5.3. Herved finder vi en formel
til bestemmelse af hældningen og til bestemmelse af skæringen med y-aksen. Vi formulerer
resultatet i en sætning og beviset for denne vil være de omtalte udregninger:
Brug af formlen for a kræver omhu, så vi ikke får byttet rundt på x’erne og y’erne. Det kan være
en god ide – i al fald her i starten – at skrive x 1, y 1, x 2 og y 2 oven over koordinaterne:
` - 11 , - 21 j
x
y
` 32, 42 j
x y
Så indsættes i formlen
a=
4 - ^-2h 6
3
= = 2
3 - ^-1h 4
og herefter kan b bestemmes
118
119
b =- 2 - 23 $ ^ - 1 h =- 2 + 23 =- 21
Sætning 4.5.6 er den mest effektive og sikre metode at benytte til at bestemme ligningen for en
linje. Sætningen kræver, at vi kender hældningen fra starten af, men gør vi ikke det, så beregner
vi den først.
Ligningen for linjen bliver hermed
y = 23 x - 21
4.5.7
Bestem en ligning den rette linje, der har hældningen - 2 og går gennem punktet ^ 3, - 5 h .
og vi må hellere tjekke, om vi har regnet rigtigt:
y = 23 $ ^ - 1 h - 21 =- 23 - 21 =- 2 {
y =- 2 ^ x - 3 h + ^ - 5 h
=- 2x + 1
y = 23 $ 3 - 21 = 29 - 21 = 28 = 4 {
Hvad nu, hvis vi havde kaldt ^ - 1, - 2 h for ^ x 2, y 2 h og kaldt ^ 3, 4 h for ^ x 1, y 1 h , altså
` 31, 41 j
x y
4.5.8
` - 12 , - 22 j
x
EKSEMPEL
y
EKSEMPEL
Bestem en ligning for den rette linje gennem punkterne ^ - 6, 4 h og ^ 10, - 8 h .
så vil beregningen af a se sådan ud:
Vi bestemmer først hældningen
2-4
-6
3
a= -1 - 3 = -4 = 2
så det, at vi bytter om, koster et fortegn i både tæller og nævner, men resultatet er det samme,
idet vi jo kan forlænge brøken med - 1 .
a=
- 8 - 4 = - 12 =- 3
4
16
10 - ^ - 6 h
Herefter indsættes i y = a $ ^ x - x 0 h + y 0
y =- 43 $ ^ x - ^ - 6 hh + 4
=- 43 $ ^ x + 6 h + 4
4.5.6
=- 43 x - 29 + 4
SÆTNING
En ret linje med hældningen a, der går gennem punktet ^ x 0, y 0 h har ligningen
=- 43 x - 21
y = a $ ^ x - x0 h + y0
MAPLE
Her skal vi løse opgaven fra eksempel 4.5.8 i Maple:
BEVIS
Linjen har ligningen y = a $ x + b . Da punktet ^ x 0, y 0 h ligger på linjen gælder
Bestem en ligning for den rette linje gennem punkterne ^ - 6, 4 h og ^ 10, - 8 h .
y0 = a $ x0 + b
Vi starter med at definere a:
Vi isolerer b i denne ligning
a :=
y0 = a $ x0 + b + b = y0 - a $ x0
og indsætter
- 8 - 4 =- 3
4
10 - ^ - 6 h
y = a $ ^ x - (- 6) h + 4
og indsætter i linjens ligning
y = a$x+b
= a $ x + y0 - a $ x0
= a $ ^ x - x0 h + y0
y =- 43 x - 21
Så i Maple behøver du blot at taste Enter for at få linjens ligning på reduceret form.
QED
Her er det vigtigt at få skrevet gangetegnet mellem a og parentesen – ellers vil Maple ikke
forstå, hvad vi mener.
Ovenstående proces er automatiseret i kommandoen linje, der findes i Gym-pakken:
120
121
with ^ Gym h:
linje ^6- 6, 4@, 610, - 8@h
4.6 Skæring mellem to linjer
y =- 43 x - 21
Du kan naturligvis også her navngive punkterne, fx A og B, og beregne således:
A: = 6- 6, 4@:
B: = 610, - 8@:
linje ^ A, B h
Lad to linjer være givet ved
y = a1 $ x + b1
y = a2 $ x + b2
Y a 2 . SkæDe to linjer vil skære hinanden i ét punkt, hvis de ikke er parallelle, altså hvis a 1 =
ringspunktet findes ved at løse to ligninger med to ubekendte.
y =- 43 x - 21
Hvis a 1 = a 2 , så er linjerne i al fald parallelle, men hvis også b 1 = b 2 , så er de to ligninger helt
identiske og linjerne sammenfaldende.
eller bruge kontekstmenuen med menuvalget:
4.6.1
EKSEMPEL
To linjer er givet ved ligningerne:
y = 3x - 5
y =- x + 7
Da de to hældninger, 3 og - 1 , er forskellige, har de to linjer har netop ét skæringspunkt.
A, B
linje
y =- 43 x - 21
Det nemmeste er her at sætte de to højresider lig med hinanden, idet y er isoleret på venstre side:
3x - 5 =- x + 7
2
4x = 12
2
x=3
Da det er så nemt at tegne en linje givet ved en ligning i Maple, vil vi gøre det som en kontrol:
Træk ligningen til et tomt plot indsat med: Insert 2 Plots 2 2-D Plot:
y bestemmes ved at indsætte x = 3 i en af de to ligninger:
y =- 3 + 7 = 4
Dvs., at de to linjer skærer hinanden i punktet ^ 3, 4 h
MAPLE
I Maple løses ligningssystemet ved at indtaste de to ligninger adskilt af et komma og derefter
vælge solve 2 solve fra kontekstmenuen:
y = 3x - 5 , y =- x + 7
"x = 3, y = 4,
solve
Alternativt kan kommandoen solve benyttes direkte
Et kig på grafen viser, at linjen går gennem punkterne ^ - 6, 4 h og ^ 10, - 8 h .
solve ^ " y = 3x - 5 , y =- x + 7 , h
"x = 3, y = 4,
OPGAVER 4.10 – 4.19 „
OPGAVER 4.20 – 4.23„
122
123
Af figuren ser vi, at
4.7 Ortogonale linjer
4.7.1
BC = a 1 + ^ - a 2 h = a 1 - a 2
Vi indsætter nu i den øverste ligning (Pythagoras i 3 ABC ):
SÆTNING – ORTOGONALE LINJER
BC 2 = AB 2 + AC 2 + ^ a 1 - a 2 h2 = 1 + a 12 + 1 + a 22
To rette linjer , 1 og , 2 med ligningerne
, 1: y = a 1 $ x + b 1
, 2: y = a 2 $ x + b 2
er ortogonale (vinkelrette på hinanden), hvis og kun hvis a 1 $ a 2 =- 1
BEVIS
Vi antager først, at de to linjer er ortogonale og ser på denne figur:
+ a 12 + a 22 - 2 $ a 1 $ a 2 = a 12 + a 22 + 2
+ - 2 $ a1 $ a2 = 2
+ a 1 $ a 2 =- 1
Og hermed er første del bevist.
Til den anden del skal vi antage, at a 1 $ a 2 =- 1 . Ud fra denne antagelse skal vi så bevise, at de
to linjer , 1 og , 2 er ortogonale.
Til beviset kan vi benytte den samme figur som ovenfor, med den ene forskel, at vi ikke ved
noget om +A , altså vinklen mellem de to linjer.
,1
,1
B
A
B
a1
D
1
A
a1
D
1
- a2
- a2
C
C
,2
Her er der ud fra linjernes skæringspunkt, A, afsat et vandret linjestykke af længden 1. I linjestykkets endepunkt, D, afsættes et lodret linjestykke BC. Herved fremkommer 3 retvinklede
trekanter: 3 ABD , 3 ACD og 3 ABC
Længden af siden BD er lig med hældningen af linjen , 1 , altså BD = a 1 , idet vi på figuren
har antaget, at hældningen af , 1 er positiv.
Da linjerne , 1 og , 2 er antaget at være ortogonale, må de to hældninger a 1 og a 2 nødvendigvis have modsat fortegn. Længden af siden CD må derfor være - a 2 , idet en sidelængde i en
trekant ikke kan være negativ, altså CD =- a 2 .
Vi anvender først Pythagoras i 3 ABC :
BC 2 = AB 2 + AC 2
Herefter anvender vi Pythagoras i de to trekanter 3 ABD og 3 ACD :
AB
2
=1
2
+ a 12 = 1 + a 12
AC 2 = 1 2 + ^ - a 2 h2 = 1 + a 22
124
,2
Vi anvender sætning 3.5.4 til at undersøge, om 3 ABC er retvinklet med vinkel A som den
rette vinkel.
Som ovenfor har vi
AB 2 = 1 + a 12
AC 2 = 1 + a 22
Vi udregner så
BC 2 = ^ a 1 - a 2 h2 = a 12 + a 22 - 2 $ a 1 $ a 2 = a 12 + a 22 + 2
=
-1
Herefter er det nemt at se, at
BC 2 = AB 2 + AC 2
således at Pythagoras er opfyldt i 3 ABC .
125
Heraf kan vi så slutte, at 3 ABC er retvinklet med A som den rette vinkel – og dermed, at de
to linjer , 1 og , 2 er ortogonale.
QED
4.7.2
4.8 Afstand fra et punkt til en ret linje
Ved afstanden d mellem et punkt P og en ret linje , forstås den vinkelrette afstand, der ifølge
sætning 3.5.6 er den korteste afstand.
EKSEMPEL
To rette linjer er givet ved ligningerne
P
, 1: y = 4 $ x + 3
, 2: y =- 0.25 $ x - 2
,
d
Undersøg, om linjerne er ortogonale.
Vi aflæser hældningerne af de to linjer til a 1 = 4 og a 2 =- 0.25 . Da
a 1 $ a 2 = 4 $ ^ - 0.25 h =- 1
er linjerne ortogonale.
4.7.3
4.8.1
EKSEMPEL
SÆTNING (AFSTAND FRA ET PUNKT TIL EN RET LINJE)
Afstanden fra et punkt P ^ x1, y1 h til en ret linje , med ligningen
Bestem ligningen for den rette linje m, der er ortogonal på linjen
y = a$ x + b
,: y = 1.25 $ x + 3
er bestemt ved
og går gennem punktet ^ 6, 5 h .
dist ^ P, , h =
Da linjerne skal være ortogonale, kan vi finde hældningen for linjen m ved at løse ligningen
a $ x1 + b - y1
a2 + 1
1.25 $ a m =- 1 & a m =- 0.8
Ligningen for m bestemmes så ved hjælp af sætning 4.5.6:
BEVIS
Vi benytter den samme figur som ovenfor, hvor vi gennem P tegner en lodret linje, der skærer
, i punktet Q. Fra x1 går vi 1 til venstre og finder det tilsvarende punkt A på linjen , . Fra A
tegner vi en vandret linje til skæring B med den lodrette linje gennem P.
y =- 0.8 $ ^ x - 6 h + 5
=- 0.8 $ x + 9.8
Grafisk ser det sådan ud:
Da +PQR og +AQB er topvinkler, er de lige store. De to retvinklede trekanter PQR og AQB
er således ensvinklede, og enliggende sider i de to trekanter er demed proportionale.
P
y1
,
d
a$x 1 + b - y 1
R
Q
a $ x1 + b
A
1
a
B
x1
OPGAVER 4.24– 4.26„
126
127
Vi ser, at katederne PR og AB er ensliggende samt at hypotenuserne PQ og AQ er ensliggende, så vi har
På en figur ser det sådan ud:
PQ
PR
=
AB
AQ
For at komme videre, skal vi have udregnet PQ og AQ :
P3
Da linjen gennem P og Q er lodret, er PQ den numeriske værdi af differensen af de to punkters y-koordinater (rækkefølgen af de to y-koordinater er ligegyldig fordi vi tager den numeriske værdi af differensen):
P1
P2
PQ = a $ x 1 + b - y 1
AQ kan beregnes ved hjælp af Pythagoras:
AQ = a 2 + 1
Vi kan nu regne videre på ovenstående relation:
a $ x1 + b - y1
d
+ 1 =
a2 + 1
PQ
PR
=
AB
AQ
+ d=
MAPLE
Kommandoen afstand i Gym-pakken, som vi har benyttet til at finde afstanden mellem to punkter, virker også til bestemmelse af afstanden fra et punkt til en linje
a $ x1 + b - y1
a2 + 1
Vi bruger her de samme punkter og den samme linje som i eksempel 4.8.2:
Hermed har vi bevist, at
dist ^ P, , h =
afstand ^65, 3@, y = 2x + 1 h =
8 5
5 = 3.5778
11 5
afstand ^6- 7, - 2@, y = 2x + 1 h = 5 = 4.9194
afstand ^61, 3@, y = 2x + 1 h = 0
a $ x1 + b - y1
a2 + 1
QED
4.8.2
EKSEMPEL
Bestem afstanden fra punkterne
P1 = ^ 5, 3 h, P2 = ^ - 7, - 2 h og P3 = ^ 1, 3 h
til linjen , med ligningen
y = 2x + 1
Vi indsætter i afstandsformlen:
dist ^ P1, , h =
2 $5 + 1 - 3
8
=
= 3.5778
2
5
2 +1
2 $^ - 7 h + 1 - ^ - 2 h
- 11
11
=
=
= 4.9194
dist ^ P2, , h =
2
5
5
2 +1
2 $1 + 1 - 3
0
=
=0
dist ^ P3, , h =
2
5
2 +1
At afstanden i den sidste udregning bliver 0 betyder, at punktet P3 ligger på linjen , .
128
4.8.3
EKSEMPEL
Bestem ligningen for en linje m , der ligger i afstanden 5 fra linjen , med ligningen
y =- 3x + 2
For ethvert punkt P ^ x, y h på linjen m skal der gælde, at afstanden til , er lig med 5. Det vil
ifølge sætning 4.8.1 betyde, at
- 3$ x + 2 - y
=5
^ - 3 h2 + 1
Vi skal så isolere y i denne ligning.
- 3 $ x + 2 - y = 5 10 + - 3 $ x + 2 - y = 5 10 0 - 3 $ x + 2 - y =- 5 10
+ y =- 3x + 2 - 5 10 0 y =- 3x + 2 + 5 10
Vi får således to løsninger, hvor den ene linje ligger over , og den anden ligger under , . På en
figur ser det sådan ud:
129
4.8.5
,
EKSEMPEL (AREAL AF TREKANT)
I 3 ABC har hjørnerne disse koordinater:
A = ^ 3, 2 h, B = ^ 7, 4 h, C = (4, 5)
Vi skal bestemme arealet af 3 ABC .
C
B
4.8.4
EKSEMPEL (AFSTAND MELLEM TO PARALLELLE LINJER)
A
De to linjer
,: y = 31 x - 2
og
Arealet af en trekant findes ved hjælp af formlen
m: y = 31 x + 5
areal = 21 $ h $ g
er parallelle. Hvad er afstanden mellem dem?
Med afstandsformlen i sætning 4.8.1 kan vi finde afstanden fra et punkt til en ret linje, så hvis
vi kan finde et punkt på én af linjerne, fx , , så kan vi bruge afstandsformlen.
Der er uendeligt mange punkter at vælge mellem, så vi kan lige så godt vælge det nemmeste,
der fås ved at sætte x = 0 i ligningen , , hvilket giver punktet P ^ 0, - 2 h .
Vi bestemmer afstanden fra punktet P til linjen m, der er afstanden mellem de to linjer:
dist ^ P, m h =
1
3 $0 + 5 - ^ - 2 h
2
_ 31 i + 1
=
7
7
21
= 1
=
10
10
3 10
9
hvor g er trekantens grundlinje og h er højden. Som vi så i eksempel 3.4.3, er det ligegyldigt,
hvilken side vi vælger som grundlinje, så lad os vælge siden AB. Den tilhørende højde er da
højden fra C.
Vi bestemmer først længden af siden AB:
g = AB = ^ 7 - 3 h2 + (4 - 2) 2 = 16 + 4 = 20 = 2 5
Højden er et linjestykke fra C vinkelret på AB. Dvs., at længden af højden må være afstanden
fra C til den rette linje gennem A og B.
Hældningen for den rette linje gennem A og B er:
aAB = 47 -- 32 = 21
m
Ligningen for linjen gennem A og B er dermed
y = 21 $ ^ x - 3 h + 2 = 21 x + 21
,
Afstanden fra C til linjen gennem A og B findes ved hjælp af afstandsformlen (4.8.1)
h=
1
2
$4 + 21 - 5
2
1 + _ 21 i
=
- 25
1 + 41
=
5
2
5
2
= 55 = 5
Arealet bliver da
areal = 21 $ 5 $ 2 5 = 5
OPGAVER 4.27– 4.29„
130
131
I tabellen nedenfor er angivet ligninger for 4 parabler, værdien af koefficienterne a, b og c, samt
den farve, parablen er tegnet med i plottet.
4.9 Parablen
For at tegne punktmængden
# ^ x, y h y = x 2 -
skal vi bruge ganske mange støttepunkter, da punkterne her ikke vil ligge på en ret linje
x
-3
-2
y
9
4
-1
- 21
1
1
4
0
1
2
1
2
3
0
1
4
1
4
9
y = x 2 - 6x + 4
a=1
b =- 6
c=4
y =- x 2 - 6x - 5
a =- 1
b =- 6
c =- 5
y = 21 x 2 + 6x + 20
a = 21
b=6
c = 20
y =- 2x 2 + 28x - 100
a =- 2
b = 28
c =- 100
Punkterne indsættes i et koordinatsystem og forbindes med en ’blød’ kurve:
1
1
Den punktmængde, der er tegnet, kaldes en parabel. Mere generelt, så er en parabel denne
punktmængde
# ^ x, y h y = a $ x 2 + b $ x + c, a =
Y 0-
og ligningen for en parabel er denne ligning
Y0
y = a $ x 2 + b $ x + c, a =
MAPLE
Da en parabel er givet ved en ligning, er det nemt at tegne flere parabler i samme koordinatsystem (som figuren på næste side), idet de blot én efter én skal trækkes til et indsat 2D-plot.
Da 2D-plottet som standard er indstillet til at tegne i x-intervallet [- 10, 10] og skalere y-intervallet automatisk, kan det komme til at se mærkeligt ud. Det er derfor en god ide at låse yintervallet ved i kontekstmenuen at vælge Axes 2 Properties... og fjerne fluebenet i Use data
extents i indstillingen af Vertical (der skiftes mellem Horizontal og Vertical øverst i vinduet
’Axis Properties’).
132
Selvom nogle parablerne vender grenene opad og andre vender grenene nedad, så har alle
parabler den samme form. Desuden ser parablerne ud til at have en symmetriakse – det er de
stiplede linjer på figuren.
Sammenligner vi fortegnet for a med parablens udseende, tyder det på, at hvis a > 0 , så vender
parablen grenene opad, og hvis a < 0 , så vender grenene nedad.
Skal vi tegne en parabel ved håndkraft, vil det være meget nyttigt at kende symmetriaksen, idet
ethvert støttepunkt, vi beregner, kan spejles i denne linje og give et nyt støttepunkt. Det punkt,
hvor symmetriaksen skærer parablen, kaldes parablens toppunkt – også i det tilfælde, hvor parablen vender grenene opad.
På figuren kan vi aflæse, at den rødbrune parabel har toppunkt i ^ 3, - 5 h , den blå i ^ - 3, 4 h ,
den grønne i ^ - 6, 2 h og den orange i ^ 7, - 2 h .
133
Konstantleddet, c, i parablens ligning angiver, hvor parablen skærer y-aksen: Sætter vi nemlig
x = 0 i parablens ligning, får vi
Nu, da vi kender x-koordinaten til toppunktet for
y = a $ x2 + b $ x + c
2
y = a$0 +b$0+c + y = c
som betyder, at punktet ^ 0, c h ligger på parablen.
kan vi finde y-koordinaten til toppunktet ved at indsætte x =- 2ba i parablens ligning:
2
y = a $ a - 2ba k + b $ a - 2ba k + c
For at undersøge betydningen af konstantleddet c nærmere, tegner vi nu 4 parabler, hvor a og b
er uændrede fra gang til gang:
2
2
a $ b Y2 - 2ba + c
=Y
4a
2
2
b
a$c
= 4a - 24ba + 44
a
2
4a $ c
= -b +
4a
2
=- b -44aa $ c
=- 4da
y = x 2 - 6x + 4
y = x 2 - 6x + 7
y = x 2 - 6x + 12
y = x 2 - 6x
[regneregler for brøk og potens]
[skaf en fælles nævner for de 3 led]
[sæt på fælles brøkstreg]
[sæt - 1 uden for parentes i tælleren og placer minustegnet foran brøken]
[ diskriminanten d = b 2 - 4a $ c indsættes]
Vi samler vore undersøgelser i en sætning:
4.9.1
SÆTNING – TOPPUNKTSFORMLEN
Toppunktet T for en parabel med ligningen
y = a $ x2 + b $ x + c
Af figuren fremgår, at en ændring i konstantleddet, c, blot betyder en forskydning op eller ned.
Fx er den blå parabel forskudt 3 enheder op i forkold til den rødbrune, hvilket passer fint med,
at konstantleddet i den blå parabel er 3 større end i den rødbrune.
er bestemt ved
Det, der er særlig interessant, er, at symmetriaksen er den samme for alle disse parabler. Det
betyder, at vi kan bestemme symmetriaksen for parablen med ligningen
hvor d = b 2 - 4a $ c
y = a $ x2 + b $ x + c
ved at bestemme symmetriaksen for parablen med ligningen
T = a - 2ba , - 4da k
4.9.2
EKSEMPEL
En parabel er givet ved ligningen
2
y = a$x +b$x
der fremkommer af den første ved en forskydning på - c .
Tager vi et kig på den orange parabel, der har konstantleddet 0, kan vi se, at denne parabel
skærer x-aksen i 0 og i 6. Symmetriaksen må ligge midt i mellem 0 og 6, og altså være x = 3
.
Noget tilsvarende gælder helt generelt: Vi finder skæringspunkterne med x-aksen for parablen
med ligningen y = a $ x 2 + b $ x ved at løse ligningen
a $ x 2 + b $ x = 0 + a $ x $ a x + ba k = 0 + x = 0 0 x =- ba
hvor vi har benyttet nulreglen til at finde løsningerne.
Symmetriaksen ligger midt mellem disse to tal, og er altså x =- 2ba
134
y =- x 2 - 3x + 5
Vi skal finde toppunktet for parablen.
Først skal vi matche med standardformen for parablens ligning y = a $ x 2 + b $ x + c for at bestemme koefficienterne a, b og c.
Parablens ligning omskrives til standardformen, hvor der på højre siden står + mellem alle led:
y = ^ - 1 h $ x2 + ^ - 3 hx + 5
Herefter er det nemt at se, at a =- 1, b =- 3 og c = 5 . Toppunktets førstekoordinat kan så
bestemmes:
x =- 2ba =-
- 3 =- 3
2
2 $ ^-1h
135
For at bestemme andenkoordinaten, udregner vi først diskriminanten
d = b 2 - 4a $ c = ^ - 3 h2 - 4 $ ^ - 1 h $ 5 = 9 + 20 = 29
Som vi har set, så skærer nogle parabler x-aksen, andre gør ikke. Skæring med x-aksen kan vi
bestemme ved at finde den eller de værdier af x, der indsat i parablens ligning giver 0. Dvs., at
vi skal løse andengradsligningen
Dermed bliver andenkoordinaten
y =- 4da =-
29
= 29
4
4 $ ^-1h
Toppunktets koordinater er således
3 , 29 k
T = a- 2
4
Ofte kan det ikke betale sig at bruge formlen for at finde toppunktets andenkoordinat, idet vi
blot i stedet kan indsætte førstekoordinaten i parablens ligning:
3 k2 - 3 $ a - 3 k + 5 =- 9 + 9 + 5 =- 9 + 18 + 20 = 29
y =-a - 2
4 2
4
4
4
4
2
Det kræver lidt arbejde her, men hvis førstekoordinaten er et helt tal, så går det noget nemmere.
a $ x2 + b $ x + c = 0
Om andengradsligninger ved vi fra sætning 2.5.5, at ligningens diskriminant bestemmer antallet af løsninger: Ligningen har 2 løsninger, hvis d > 0 , én løsning, hvis d = 0 , og ingen
løsninger, hvis d < 0 .
4.9.3
EKSEMPEL
Vi ser på parablen med ligningen
y =- x 2 - 6x - 5
og vil finde parablens skæringspunkter med x-aksen.
Hertil skal vi løse andengradsligningen
- x 2 - 6x - 5 = 0
Først bestemmes diskriminanten:
MAPLE
Udregningerne i eksempel 4.9.2 kan naturligvis også laves i Maple – her kan vi endda få Maple
til at aflæse koefficienterne.
Maple-kommandoen, der aflæser koefficienterne, hedder coeff. I denne kommando kan vi ikke
benytte parablens ligning
y =- x 2 - 3x + 5
som input, men kun højresiden, så derfor er det en god ide at kalde højresiden noget, fx
p : =- x 2 - 3x + 5
Lad endelig være med at skrive y : = i ligningen, da det så ikke længere er en ligning, men en
formel.
d = ^ - 6 h2 - 4 $ ^ - 1 h $ ^ - 5 h = 36 - 20 = 16
og der indsættes i løsningsformlen:
x=
-^ - 6 h ! 16
= 6-!24 + x =- 5 0 x =- 1
^
h
2 $ -1
Heraf følger, at parablen skærer x-aksen i - 5 og i - 1 .
Dvs., at skæringspunkterne er ^ - 5, 0 h og ^ - 1, 0 h
Vi plotter parablen for at se, om det ser rimeligt ud:
Koefficienterne aflæses således:
a: = coeff ^ p, x, 2 h = - 1
b: = coeff ^ p, x, 1 h = - 3
c: = coeff ^ p, x, 0 h = 5
Diskriminanten beregnes
d: = b 2 - 4a $ c = 29
og toppunktet bestemmes
3 , 29 C
T: = 9 - 2ba , - 4da C = 9 - 2
4
136
137
4.9.4
EKSEMPEL
4.10 Skæring mellem linje og parabel
En parabel er givet ligningen
y = a $ x2 + b $ x + c
og en ret linje ved ligningen (der bruges græske bogstaver for at undgå navnesammenfald)
y = a$x+b
For at finde eventuelle skæringspunkter mellem parablen og linjen, sættes de to højresider lig
med hinanden:
a $ x2 + b $ x + c = a $ x + b
Ved at samle leddene på venstre side, kan denne ligning omskrives til en andengradsligning på
standardform
På figuren ses en parabel. Vi skal ud fra denne figur bestemme fortegnene for koefficienterne a,
b og c, samt fortegnet for diskriminanten d.
Da parablens grene vender opad, er a > 0 .
a $ x2 + ^ b - a h $ x + c - b = 0
Denne ligning kan have 0, 1 eller 2 løsninger – i overensstemmelse med, at linjen kan skære
parablen i 0, 1 eller 2 punkter.
Da parablen skærer y-aksen i y-aksens negative del, er c < 0
Da parablen skærer x-aksen to steder, er d > 0
Tilbage er blot at bestemme fortegnet for b. Det eneste, vi har hertil, er toppunktsformlen, hvor
b indgår i toppunktets førstekoordinat.
Af figuren ses, at toppunktets førstekoordinat er negativ (den er ca. - 2 ), så
- 2ba < 0
Da a er positiv, må b også være positiv, hvis - 2ba skal være negativ. Altså er b > 0 .
Umiddelbart kunne man tro, at diskriminanten også kunne bruges til at få information om
fortegnet for b, da b jo også indgår her. Men her skal man være opmærksom på, at det er
andenpotensen af b, der indgår, og at en andenpotens jo kvæler fortegnet.
På figuren ses, at den blå linje skærer parablen i to punkter, den grønne linje i ét punkt (man
siger, at den grønne linjen tangerer grafen) og den orange linje skærer slet ikke grafen.
Vi skal i et senere afsnit udlede en langt mere effektiv metode til at bestemme fortegnet for b
(eksempel 8.10.4).
Bemærkning:
OPGAVER 4.30 – 4.36 „
138
Det kan måske undre, at vi bare kan sætte de to ligningers højresider lig med hinanden for at
bestemme x-koordinaterne til eventuelle skæringspunkter.
At det er helt i orden hænger sammen med, at i skæringspunktet er de to y-værdier, der kan
beregnes ved hjælp af de to ligninger, ens.
Ved at sætte de to ligninger lig med hinanden, stiller vi os faktisk opgaven at finde de x-værdier,
der indsat i de to ligninger, producerer de samme y-værdier.
139
I det aktuelle eksempel er valgt plotintervallet [0, 10] for begge akser (figuren til venstre):
4.10.1 EKSEMPEL
Vi skal her finde eventuelle skæringspunkter mellem parablen givet ved ligningen
y = x 2 - 12x + 38
og linjen givet ved ligningen
y =- x + 10
Vi sætter de to højresider lig med hinanden og omskriver til en andengradsligning på
standardform:
x 2 - 12x + 38 =- x + 10
2
x 2 - 11x + 28 = 0
Vi udregner diskriminanten:
d = ^ - 11 h2 - 4 $ 1 $ 28 = 121 - 112 = 9
Allerede nu ved vi, at der er to løsninger, idet d > 0 . Vi finder løsningerne til andengradsligningen
ved hjælp af løsningsformlen 2.5.5:
x=
-^ - 11 h ! 9
+ x = 11 2! 3 + x = 7 0 x = 4
2$1
For at beregne de tilhørende y-værdier, sættes de fundne x-værdier ind i linjens ligning (parablens
ligning kan selvfølgelig også bruges, men det er meget nemmere med linjens ligning):
y =- 7 + 10 = 3
y =- 4 + 10 = 6
Dvs., at skæringspunkterne mellem parablen er linjen er ^ 4, 6 h og ^ 7, 3 h .
På figuren til højre er sammen med parablen indtegnet linjen med ligningen y =- 4x + 22 . Her
ser vi en linje, der tangerer i punktet ^ 4, 6 h , hvilket nemt kan tjekkes ved beregning:
solve _ " y = x 2 - 12x + 38 , y =- 4x + 22 , i
" x = 4, y = 6 ,
Hvis der ingen skæringspunkter er, og vi blot løser som ovenfor, vil Maple returnere en masse
ganske uforståeligt RootOf-snask, der hænger sammen med, at Maple lever i en større verden
end den vi kender.
Det vil fx ske, hvis vi prøver at finde skæringspunkter mellem ovenstående parabel og linjen
med ligningen:
y =- x + 6
Her vil det mest korrekte være at finde diskriminanten til den andengradsligning, der skal løses.
Men husk at omskrive til standardform først:
MAPLE
Vi skal her finde eventuelle skæringspunkter mellem parablen og linjen givet ved ligningerne:
y = x 2 - 12x + 38
x 2 - 12x + 38 =- x + 6
move to left
x 2 - 11x + 32 = 0
Herefter kan vi bruge Maple-kommandoen discrim til at udregne diskriminanten af andengradsudtrykket:
y =- x + 10
Dette klares let og smertefrit med en enkelt solve-kommando:
solve _ " y = x 2 - 12x + 38 , y =- x + 10 , i
discrim ^ x 2 - 11x + 32 , x h =- 7
Og på baggrund heraf kan vi konkludere, at der ingen skæringspunkter er.
" x = 4, y = 6 , , " x = 7, y = 3 ,
Da det er så nemt at plotte de to ligninger i Maple, er det ofte en rigtig god ide at bruge
dette som et tjek. Dog kan parablen og linjen falde helt uden for plot-vinduet, men det kan
almindeligvis reddes ved at vælge et stort plotinterval under indstillingen Axes 2 Properties i
kontekstmenuen.
140
OPGAVER 4.37 – 4.39 „
141
4.11.3 EKSEMPEL
4.11 Cirklens ligning
En cirkel har ligningen
En cirkel er karakteriseret ved et centrum, C, og en radius, r. Et punkt P ligger på cirkelperiferien netop når afstanden fra C til P er lig med radius, altså CP = r .
P
r
C
^ x - 1 h2 + ^ y + 2 h2 = 2
For at finde centrum og radius, skal vi matche ligningen med standardformen i sætning 4.11.1.
Det første led ^ x - 1 h har den rigtige form. Det andet led har ikke den rigtige form, idet der
står plus mellem de to led i parentesen, og standardformen kræver, at der står minus. Omskriver
2
vi det andet led til ^ y - ^- 2 hh , har leddet den rette form:
2
^ x - 1 h2 + ^ y - ^- 2 hh2 = 2
Ved sammenligning med standardformen kan vi nu se, at centrums koordinater er ^1, - 2h .
Radius er 2 , idet r 2 = 2 & r = 2 .
4.11.4 EKSEMPEL
Indfører vi koordinaterne C ^c 1, c 2 h og P (x, y) , får vi ved at benytte afstandsformlen:
Selvom det normalt ikke er nogen god ide, så vil vi udregne leddene på venstre side af cirkelligningen og reducere ligningen mest muligt:
^ x - 1 h2 + ^ y + 2 h2 = 2
CP = r
2
^ x - c 1 h2 + ^ y - c 2 h2 = r
2
^ x - c 1 h2 + ^ y - c 2 h2 = r 2
2
x 2 + 1 - 2x + y 2 + 4 + 4y = 2
2
x 2 + y 2 - 2x + 4y + 3 = 0
Vi har vist
4.11.1 SÆTNING - CIRKLENS LIGNING
Cirklen med centrum C ^c 1, c 2 h og radius r har ligningen
^ x - c 1 h2 + ^ y - c 2 h2 = r 2
Cirklen med centrum C ^c 1, c 2 h og radius r kan således beskrives som punktmængden
$^ x, yh ^ x - c 1 h2 + ^ y - c 2h2 = r 2 .
4.11.2 EKSEMPEL
Cirklen med centrum i ^5, - 7 h og radius 4, har ligningen
^ x - 5 h + ^ y - ^- 7 hh = 4
2
2
som reduceres til
^ x - 5 h2 + ^ y + 7 h2 = 16
142
2
Selvom ligningerne er ensbetydende, ser det ud til, at vi har tabt en masse information ved
omskrivningen. Vi kan nemlig ikke længere umiddelbart se, hvad centrum og radius er — og
faktisk ved vi slet ikke, om der er tale om en ligning for en cirkel.
Vi kan komme fra en ligning på den nederste form til en cirkelligning på standardform, men det
er temmelig besværligt ved håndkraft, så vi vil her overlade arbejdet til Maple:
with ^ Gym h :
omskrivCirkel ^ x 2 + y 2 - 2x + 4y + 3 = 0 h
^ x - 1 h2 + ^ y + 2 h2 = 2
En ligning som denne
x 2 + y 2 + 2x + 4y + 6 = 0
kunne godt ligne ligningen for en cirkel på omskrevet form, men det er det ikke:
omskrivCirkel ^ x 2 + y 2 + 2x + 4y + 6 = 0 h
^ x + 1 h2 + ^ y + 2 h2 =- 1
Sammenligner vi med standardformen af cirklens ligning, så skal r 2 =- 1 , hvilket er umuligt.
143
MAPLE - TEGNING AF CIRKEL
En cirkel plottes ud fra en ligning ved at trække ligningen til et 2D-plot. Almindeligvis vil cirklen blive æggeformet, fordi der ikke er samme enhed på akserne. Dette kan undgås ved at klikke
på cirklen, og vælge Scaling Constrained i kontekstmenuen
Maple indstiller automatisk akserne efter cirklens dimensioner, så hvis vi vil have vist andet
end cirklen, skal akserne indstilles manuelt ved at klikke i koordinatsystemet og vælge Axes
2 Properties... i kontekstmenuen, hvor både den horisontale og vertikale akse kan indstilles.
4.12 Skæring mellem cirkel og linje
En cirkel er givet ved ligningen
^ x - c 1 h2 + ^ y - c 2 h2 = r 2
og en ret linje ved ligningen
y = a$x+b
Med lidt indstilling kommer cirklen med ligningen
For at bestemme eventuelle skæringspunkter indsættes linjens ligning i cirklens ligning:
^ x - 3 h2 + ^ y + 5 h2 = 16
^ x - c 1 h2 + ^a $ x + b - c 2 h2 = r 2
til at se sådan ud:
Udregner vi kvadraterne og samler alle leddene på venstre side, vil vi have en andengradsligning. Diskriminanten for denne vil afgøre antallet af skæringspunkter.
Så en cirkel og en linje kan skære hinanden i to punkter, ét punkt eller slet ikke. I tilfældet, hvor
cirklen og linjen skærer i ét punkt, er linjen tangent til cirklen.
4.12.1 EKSEMPEL - SKÆRING MELLEM LINJE OG CIRKEL
En cirkel er givet ved ligningen
^ x - 2 h2 + ^ y - 3 h2 = 5
og en linje ved
y =- x + 6
Nøjagtig det samme plot kan du få frem ved at benytte kommandoen plotCirkel, der findes i
Gym-pakken. Her vil kommandoen være denne
plotCirkel _^ x - 3 h2 + ^ y + 5h2 = 16, view = 6- 5 .. 10, - 10 .. 5@i
Vi skal finde skæringspunkterne (hvis der er nogen) mellem linjen og cirklen. Udtrykket for y
fra linjens ligning indsættes i cirklens ligning:
^ x - 2 h2 + ^ y - 3 h2 = 5
2
Fordelen ved at benytte denne kommandoo er, at cirklen vil altid blive tegnet selvom hele cirklen falder uden for standardvinduet.
Alle detaljer om plotCirkel kommandoen findes i online hjælpen til Gym-pakken.
Om vi har cirklens ligning på standardform eller på omskreven form er ligeyldigt. Begge ovenstående metoder vil virke på på den omskrevne form
^ x - 2 h2 + ^- x + 6 - 3 h2 = 5
2
^ x - 2 h2 + ^- x + 3 h2 = 5
2
2x 2 - 10x + 8 = 0
2
x 2 - 5x + 4 = 0
og vi får en andengradsligning. Diskriminanten for denne er d = ^- 5 h - 4 $ 1 $ 4 = 9 . Dvs., at
der er to løsninger
2
x 2 + y 2 - 6x + 10y + 18 = 0
og give nøjagtig det samme plot.
x=
OPGAVER 4.40 – 4.45 „
144
-^- 5 h ! 9
3
= 5!
2
2 + x=1 0 x=4
De tilhørende y-værdier findes ved at indsætte x-værdierne i y =- x + 6 , og vi finder, at skæringspunkterne er ^1, 5h og ^ 4, 2h .
145
MAPLE
Vi vil løse opgaven i eksemplet ovenfor i Maple. Vi starter med at indtaste og navngive de to
ligninger
c : = ^ x - 2 h2 + ^ y - 3 h2 = 5
l : = y =- x + 6
^ x - 2 h2 + ^ y - 3 h2 = 5
x+y-6= 0
4.13 Tangent til en cirkel
En cirkel og en linje kan skære hinanden i to punkter, ét punkt eller slet ikke. I tilfældet, hvor
cirklen og linjen skærer i ét punkt, er linjen tangent til cirklen. Vi skal gennem et par eksempler
se, hvordan vi kan afgøre, om en linje er tangent til en cirkel, og hvordan vi bestemmer ligningen for en tangent til en cirkel i et givet tangeringspunkt.
4.13.1 EKSEMPEL – TANGENT TIL EN CIRKEL
Hvis vi vil have plottet linjen og cirklen, så trækkes de to ligninger til et 2D-plot og akserne
justeres passende:
Vi skal undersøge, om linjen med ligningen
y = x+7
er tangent til cirklen med ligningen
^ x + 1h2 + ^ y - 2h2 = 8
Metode 1
Vi kan umiddelbart aflæse centrum til C ^- 1, 2h og radius til r = 8 . Hvis afstanden fra cirklens centrum til linjen er lig med radius, så er linjen tangent til cirklen.
Afstanden beregnes vha. formlen for afstand fra linje til punkt:
dist =
Da r = 8 = 4 $ 2 = 2 2 , ser vi, at afstanden fra linjen til C netop er lig med cirklens radius,
så linjen er en tangent til cirklen.
Skæringspunkterne kan bestemmes med én kommando:
solve ^"c, l ,, " x, y ,h
" x = 1, y = 5 ,, " x = 4, y = 2,
Metode 2
Alternativt kan eksemplet ovenfor løses sådan her:
Vi kan naturligvis indsætte y =- x + 6 manuelt i cirklens ligning, men Maple kan også gøre
det:
Vi klikker på cirklens ligning, vælger Evaluate at a Point i kontekstmenuen og indtaster
- x + 6 i y-feltet:
^ x - 2 h2 + ^ y - 3 h2 = 5
evaluate at point
solve
-1 + 7 - 2
= 4 =2 2
2
1 +1
2
^ x - 2 h2 + ^- x + 3 h2 = 5
Hvis vi kan vise, at der kun er ét skæringspunkt mellem cirklen og linjen, så er linjen tangent
til cirklen.
Vi indsætter y = x + 7 i cirklens ligning:
^ x + 1h2 + ^ x + 7 - 2h2 = 8 + ^ x + 1h2 + ^ x + 5h2 = 8
+ x2 + 6x + 9 = 0
" x = 4 ,, " x = 1 ,
Diskriminanten bestemmes til d = 62 - 4 $ 9 = 0 . Da d = 0 , er der netop én løsning til ligningen, og dermed er linjen tangent til cirklen.
Tilbage er blot at udregne de tilhørende y-værdier.
Der er ingen grund til at bestemme skæringspunktet her.
OPGAVER 4.46 – 4.48 „
146
147
MAPLE
Start med at indtaste og navngive de to ligninger
Vi starter med at tegne en skitse af cirklen og tangenten, hvor vi desuden tegner en ret linje gennem cirklens centrum, C, og punktet P:
l := y = x + 7
x-y+7= 0
c : = ^ x + 1h2 + ^ y - 2h2 = 8
P
^ x + 1h2 + ^ y - 2h2 = 8
C
De to ligninger trækkes til et 2D-plot
Af sætning 3.5.7 følger, at linjen , gennem C og P er ortogonal til tangenten i P.
Vi aflæser cirklens centrum til C ^ - 2, 3 h og kan nu beregne hældningen for linjen , gennem
C og P:
a, = -46--(-3 2) =- 23
Kalder vi tangentens hældning for at , gælder der ifølge sætning 4.7.1, at
a, $ at =- 1 & - 23 $ at =- 1 & at = 23
Tangentens ligning bliver hermed (idet vi ved, at tangenten går gennem punktet P):
Og her ser det da ud til, at linjen er tangent, men lad os vise dette ved at finde afstanden fra
linjen l til centrum C ^- 1, 2h :
with ^Gym h:
afstand ^6- 1, 2@, l h = 2 2
y = 23 $ ^ x - ^ - 4 hh + 6
der kan reduceres til
y = 23 x + 26
3
hvilket er det samme som cirklens radius.
Grafisk ser det sådan ud:
Alternativt kan vi naturligvis løse systemet bestående af de to ligninger:
solve ^"c, l ,, " x, y ,h
" x =- 3, y = 4,
Dette giver os ét skæringspunkt, så linjen må være tangent.
4.13.2 EKSEMPEL
En cirkel er givet ved ligningen
^ x + 2h2 + ^ y - 3h2 = 13
Punktet P ^- 4, 6h ligger på cirkelperiferien.
Find en ligning for tangenten til cirklen i punktet P.
148
OPGAVER 4.49– 4.50 „
149
y-koordinaten til skæringspunktet finder vi ved at indsætte x = 5 i en af ligningerne:
4.13.3 EKSEMPEL (TREKANTENS OMSKREVNE CIRKEL)
y =- 2 $ 5 + 13 = 3
I 3 ABC har hjørnerne disse koordinater:
Centrum for den omskrevne cirkel er således ^ 5, 3 h .
A = ^ 3, 2 h, B = ^ 7, 4 h, C = (4, 5)
Radius i den omskrevne cirkel kan bestemmes ved at finde afstanden fra centrum til en af trekantens hjørner, fx A:
Vi skal bestemme en ligning for trekantens omskrevne cirkel.
r = ^ 3 - 5 h2 + ^ 2 - 3 h2 = 5
Ligningen for den omskrivne cirkel er dermed:
C
B
^ x - 5 h2 + ^ y - 3 h2 = 5
A
C
B
En trekants omskrevne cirkel er en cirkel, der går gennem trekantens 3 hjørner A, B og C. Centrum i cirklen er midtnormalernes skæringspunkt, hvor en midtnormal er en linje, der er ortogonal til en af trekantens sider og går gennem midtpunktet af denne side.
A
Vi finder først hældningen for linjen gennem A og B:
a AB = 47 -- 32 = 21
Af sætning 4.7.1følger, at midtnormalen på siden AB har hældningen - 2 . Vi beregner herefter
midtpunktet af siden AB:
MAB = _ 3 +3 7 , 2 +2 4 i = ^ 5, 3 h
Ligningen for midtnormalen på AB bliver da
y =- 2 (x - 5) + 3 + y =- 2x + 13
Helt tilsvarende beregnes midtnormalen på siden AC:
y =- 31 x + 14
3
Skæringspunktet for de to midtnormaler findes:
- 2x + 13 =- 31 x + 14
3
2
- 6x + 39 =- x + 14
2
- 5x =- 25
2
x=5
150
151
5 Trigonometri
5.1 Sinus og cosinus
Til definition af sinus og cosinus skal vi bruge en cirkel med centrum i (0, 0) og radius 1. Sådan
en cirkel kaldes en enhedscirkel. Desuden skal vi bruge en vinkel.
Vi placerer nu en vinkel på vc i et koordinatsystem, således at vinkelspidsen placeres i (0, 0) og
således, at vinklens højre ben falder sammen med x-aksen. Vinklens venstre ben vil da skære
enhedscirklen i et punkt Pv :
Pv
v
Punktet Pv kaldes retningspunktet for vinklen v, og ved hjælp af dette punkt kan vi nu definere
sinus og cosinus
5.1.1
DEFINITION - SINUS OG COSINUS
Retningspunktet Pv for vinklen v har koordinaterne
Pv = (cos (v), sin (v))
hvor cos og sin er forkortelser for hhv. cosinus og sinus.
Den vinkel, der er placeret i ovenstående figur, er 53c. På figuren kan vi aflæse, at P53c har koordinaterne (0.6, 0.8) . Dvs., at ifølge definitionen er cos (53c) = 0.6 og sin (53c) = 0.8 . Sådan
en aflæsning er naturligvis ikke særlig præcis, men viser, hvordan det hænger sammen
På så at sige alle lommeregnere er der knapper med påskriften sin og cos. Med disse knapper
kan man, afhængig af, hvordan lommeregneren virker, få nogle flere decimaler end den ene, vi
152
153
fandt ved aflæsning. De fleste lommeregnere kan indstilles til at regne i deg / rad / grad, og
her er det vigtigt, at lommeregneren er indstillet til deg – i modsat fald kommer der nogle helt
andre værdier ud.
MAPLE
Vi skal nu udlede en række såkaldte overgangsformler. Alle disse formler fremkommer ved at
spejle retningspunktet Pv i hhv. x-aksen, y-aksen og gennem (0, 0) .
På nedenstående figur er punktet Pv = ^cos (v), sin (v) h spejlet i hhv. x-aksen, y-aksen og gennem (0, 0) .
Maple kan også benyttes til at finde værdierne, men Maple har ikke en knap, der kan ændre
indstillingen. Som standard er Maple indstillet til rad, så udregner vi sin (53) , vil vi ikke få et
resultat i nærheden af de 0.8, som vi aflæste på figuren.
I stedet skal vi indlæse Gym-pakken og skrive Sin og Cos (med stort begyndelsesbogstav), så
får vi de ønskede resultater.
with (Gym):
Cos (53) = 0.6018150232
Sin (53) = 0.7986355100
•
Ved spejling af et punkt i x-aksen, vil x-koordinaten være uændret, mens y-koordinaten skifter fortegn.
•
Ved en spejling af et punkt i y-aksen, vil y-koordinaten være uændret, mens x-koordinaten skifter fortegn.
•
Og endelig vil en punktspejling i (0, 0) ændre fortegnet på begge koordinater.
Pv = ^cos (v), sin (v) h
^- cos (v), sin (v) h
Af definitionen fremgår, at cos (v) er x-koordinaten til retningspunktet for vinklen v, og sin (v)
er y-koordinaten.
v
^- cos (v), - sin (v) h
Pv
sin (v)
v
^cos (v), - sin (v) h
v
cos (v)
Vi skal have udtrykt de tre spejlede punkter som retningspunkter — dvs., at vi skal have bestemt
vinklen fra x-aksen til hver af punkterne.
Vinklen fra x-aksen til punktet (- cos (v), sin (v)) må af symmetrigrunde være 180c - v (se figuren ovenfor). Da koordinaterne til dette retningspunkt ifølge definition 5.1.1 er
P180c - v = (cos (180c - v), sin (180c - v))
Retningspunktet svarende til en vinkel på 0c har koordinaterne P0c = (1, 0) . Det betyder, at
cos (0c) = 1, da cosinus jo er x-koordinaten til P0c , og sin (0c) = 0 , da sinus er y-koordinaten
til P0c .
Tilsvarende vil retningspunktet svarende til en vinkel på 90c have koordinaterne P90c = (1, 0) . Det
betyder så, at cos (90c) = 0 og sin (90c) = 1. Og tilsvarende for vinkler på 180c og 270c.
Gradtal v
0c
90c
180c
270c
360c
cos (v)
1
0
-1
0
1
sin (v)
0
1
0
-1
0
får vi ved at sammenligne koordinaterne, at
5.1.2
SÆTNING
cos (180c - v) =- cos (v)
sin (180c - v) = sin (v)
Vinklen fra x-aksen til punktet (- cos (v), - sin (v)) er 180c + v . Ifølge definitionen har retningspunktet for 180c + v koordinaterne
P180c + v = (cos (180c + v), sin (180c + v))
Så ved at sammenligne koordinater, får vi
154
155
5.1.3
SÆTNING
5.2 Tangens
cos (180c + v) =- cos (v)
sin (180c + v) =- sin (v)
5.2.1
DEFINITION
Tangens til en vinkel v defineres ved
Vinklen fra x-aksen til punktet (cos (v), - sin (v)) er 360c - v . Ifølge definitionen har retningspunktet for 360c - v . koordinaterne
P360c - v = (cos (360c - v), sin (360c - v))
tan (v) =
sin (v)
cos (v)
Y 90c og v =
Y 270c
hvor v =
så ved at sammenligne koordinater, får vi
Vi placerer igen en vinkel v i et koordinatsystem med en enhedscirkel:
5.1.4
SÆTNING
cos (360c - v) = cos (v)
sin (360c - v) =- sin (v)
R
P
Funktionerne sinus og cosinus er nært forbundne gennem den såkaldte idiotformel:
5.1.5
v
SÆTNING - IDIOTFORMLEN
O
^sin ^ v hh2 + ^cos ^ v hh2 = 1
Q
S
BEVIS
Følger af Pythagoras anvendt på den retvinklede trekant OPv Q
Til forskel fra tidligere, er der her desuden tegnet en tangent til enhedscirklen i punktet (1, 0) ,
og vinklens venstre ben er forlænget, så den skærer tangenten i punktet R.
O
Trekanterne 9ORS og OPQ er ensvinklede, da de begge har en ret vinkel og har vinkel O fælles. De ensliggende sider er derfor proportionale:
sin ^ v h
1
Pv = ^cos (v), sin (v)h
cos ^ v h Q
RS
OS
=
PQ
OQ
Vi indsætter de sidelængder, vi kender
RS
= 1
sin (v)
cos (v)
QED
– og isolerer RS :
RS =
sin (v)
= tan (v)
cos (v)
Så alt i alt har vi, at punktet R har koordinaterne R = (1, tan (v)) .
156
157
Vi har således fået identificeret alle de trigonometriske størrelser cos (v), sin (v) og tan (v) med
linjestykker, der kan tegnes, når en vinkel placeret i et koordinatsystem med en enhedscirkel:
5.3 Trigonometriske grundligninger
En ligning som
v
sin (v)
P
O cos (v)Q
tan (v)
R
cos (v) = 0.4
er et eksempel på en trigonometrisk grundligning. For at løse denne ligning, skal vi finde de
vinkler, der har en cosinus-værdi på 0.4 – eller med andre ord, finde de retningspunkter på enhedscirklen, der har x-koordinaten 0.4.
S
v
180c - v
Hvis vi på figuren forestiller os, at vi øger vinkel v, så vil punktet P flytte længere opad på
enhedscirklen. Punktet R, der er skæringen mellem vinklens venstre ben og cirkeltangenten i S,
vil da også flyttes opad.
Når v = 90c, vil punktet P ligge på y-aksen, og vinklens venstre ben og tangenten er da parallelle, og vil ikke skære hinanden. tan (v) kan derfor ikke defineres for v = 90c.
Hvis 90c < v < 180c, skal vinklens venstre ben forlænges i den anden retning for at få en skæring med tangenten i S.
For at løse ligningen, skal vi benytte den ’omvendte funktion’ til cosinus. Den har flere navne,
men her vil vi benytte navnet arccos.
Vi tager Maple til hjælp – og husker, at indlæse Gym-pakken:
sin (v)
P
with (Gym):
arcCos (0.4) = 66.42182153
v
S
tan (v)
Q cos (v)
MAPLE
R
Det er vigtigt, at vi skriver arcCos, så der kommer et gradtal ud – det vil ikke ske, hvis vi skriver
arccos.
Alternativt kan vi løse ligningen direkte med solve:
Cos (v) = 0.4
R har stadig koordinaterne ^ 1, tan (v) h , men længden af linjestykket SR er nu tan (v) , idet
tangens er negativ for vinkler mellem 90c og 180c
solve
" v = 66.42182152 ,
Men vi får (næsten uanset hvilket værktøj der benyttes) kun den ene løsning, v = 66.42c . Den
anden løsning må vi selv regne ud:
v = 360c - 66.42c = 293.58c
158
159
MAPLE
MAPLE
Vi kan få begge løsninger på én gang, hvis vi benytter intervalsolve fra Gym-pakken:
with (Gym):
intervalsolve ^Cos (v) = 0.4 , 0 .. 360 h
666.42182152, 293.5781785@
Eller, vi kan bruge kontekstmenuen, hvor vi så skal indtaste intervallet 0 .. 360 i et vindue:
with (Gym):
arcSin (0.4) = 23.57817847
– eller løses ligningen direkte med solve:
Sin (v) = 0.4
solve
" v = 23.57817848 ,
Vi får også kun den ene løsning her, v = 23.58c. Den anden løsning må vi selv regne ud, men
denne gang som
v = 180c - 23.58c = 156.42c
MAPLE
Cos (v) = 0.4
intervalsolve
666.42182152, 293.5781785@
Ulempen ved den sidste metode er, at ingen kan se, at vi har løst ligningen i intervallet 60c, 360c@,
så det er vi nødt til at skrive på anden vis.
Vi kan få begge løsninger på én gang, hvis vi benytter intervalsolve fra Gym-pakken:
Sin (v) = 0.4
intervalsolve
623.57817848, 156.4218215@
En speciel situation opstår, hvis vi løser ligningen
Grundligninger med sinus løses tilsvarende, men der, som vi skal se, en meget væsentlig forskel. Vi ser her på ligningen
sin (v) = 0.4
Igen tager vi udgangspunkt i enhedscirklen, hvor vi opsøger de punkter på enhedscirklen, hvis
y-koordinat er 0.4:
sin (v) =- 0.5
Her vil vi få returneret løsningen v =- 30c, altså en negativ vinkel.
Hvis en vinkel måles i positiv omløbsretning (mod uret), så er vinklen positiv. Måles vinklen
derimod i negativ omløbsretning, ja, så er vinklen negativ.
Lad os se løsning af ligningen sin (v) =- 0.5 på enhedscirklen
+
180c - v
v
For at finde løsningerne tager vi igen Maple til hjælp
160
Her ser vi tydeligt, hvorfor vi får løsningen v =- 30c. Måler vi vinklen i positivt omløb, så
bliver løsningen v = 330c. Den anden løsning findes som tidligere ved
161
v = 180c - (- 30c) = 210c
Hvis vi i stedet bruger v = 330c som den første løsning, så skal den anden stadig findes ved
Da 9APQ og 9ABC begge er retvinklede og har vinkel A fælles, er de to trekanter ensvinklede.
De ensliggende sider er derfor proportionale:
PQ
AQ
AP
=
=
BC
AC
AB
v = 180c - 330c =- 150c
hvor vinklen er målt i negativt omløb. Måles den i positivt omløb, så er den stadig 210c.
Ser vi mere generelt på ligninger af formen cos (v) = a og sin (v) = a , vil disse kun have løsninger, hvis - 1 # a # 1 – i modsat fald vil den vandrette eller lodrette linje, vi tegner, ikke skære
enhedscirklen. Hvis a =- 1 eller a = 1, vil linjen tangere enhedscirklen og der vil kun være én
løsning.
Vi indsætter de kendte værdier
sin (A)
cos (A)
= 1c
a =
b
Dette giver os tre ligninger, som vi omskriver én efter én:
sin (A)
1
a
a = c + sin (A) = c
5.4 Anvendelse på retvinklet trekant
cos (A)
= 1c + cos (A) = bc
b
Lad 9ABC være en retvinklet trekant med vinkel C ret.
sin (A)
cos (A)
sin (A)
+
= ab + tan (A) = ab
a =
b
cos (A)
B
c
For at kunne benytte disse resultater til beregning i retvinklede trekanter på en fleksibel måde,
så vi ikke behøver at omdøbe trekanten til 9ABC , indfører vi nogle betegnelser for siderne i
den retvinklede trekant.
a
Set fra vinkel A, er siden AC den hosliggende katete og BC er den modstående katete
B
C
b
modstående katete
A
Vi placerer trekanten i et koordinatsystem med en enhedscirkel, så vinkel A placeres i (0, 0) og
siden AC falder sammen med x-aksen
A
B
P
c
a
hosliggende katete
C
Begreberne ’hosliggende katete til vinkel A’ og ’modstående katete til vinkel A’ giver kun mening i en retvinklet trekant, hvor A er en spids vinkel.
Vi samler disse resultater i en sætning
A
Q
b
C
5.4.1
SÆTNING - BEREGNING I RETVINKLET TREKANT
B
sin ^ Ah = a = modstående katete
c
hypotenusen
cos ^ Ah = b =
c
På figuren er AQ = cos (A) og PQ = sin (A) , idet P har koordinaterne P = ^cos (A), sin (A) h .
Desuden er AP = 1, da AP er radius i enhedscirklen.
162
c
hosliggende katete
hypotenusen
tan ^ Ah = a = modstående katete
b hosliggende katete
A
a
b
C
163
5.4.2
EKSEMPEL
5.4.4
A
B
8
46
I den retvinklede trekant ABC er +A = 38c, siden BC har længden 8 og vinkel C er ret.
50c
Bestem de resterende sider og vinkler.
C
38c
A
C
Vi starter med at bestemme hypotenusen AB. Vi kender vinkel A og vinkel A’s modstående
katete. Et hurtigt kig på formlerne viser, at vi skal bruge formlen for sin (A) . Vi indsætter de
kendte værdier direkte i formlen og løser ligningen med hensyn til den ukendte størrelse (husk,
at Gym-pakken skal være indlæst):
Sin (38) = 8
AB
solve
" AB = 12.99415396 ,
Dvs., at AB = 13.0 .
" AC = 10.24413980 ,
b) Bestem længden af BD
c) Bestem vinkel B
Løsning (med standardformler):
b)
solve
Den negative løsning giver ikke mening, så BD = 34. 4
164
solve
" B = 14. 99268083 ,
Vi starter i trekant ADC og indtaster det, vi kender, og fortæller, at trekanten, vi ser på, er ADC:
" A = 32.00538321 ,
Vi har nu flere muligheder for at finde hypotenusen. Vi vælger her
solve
Sin ^ Bh = 11. 9
46
Bestem de resterende sider og vinkler.
Dvs., at +A = 32.0c. Vinkel B kan herefter beregnes til +B = 180c - 32c = 58c
30
Cos (58) = AB
" BD =- 54. 43410852,, " BD = 34. 43410852,
Løsning (med trekantsolve):
Vi starter med at bestemme vinkel A. Vi kender både den hosliggende og modstående katete til
vinkel A, så vi benytter tangens-formlen og sætter de kendte værdier direkte ind:
30
Tan (A) = 48
solve
I den retvinklede trekant ABC har siden AC
længden 48, siden BC har længden 30 og vinkel
C er ret.
C
48
Vi opskriver Pythagoras i den retvinklede trekant ABC:
Dvs., at +B = 15c
B
A
" AC = 11. 91753593 ,
462 = 11.92 + ^10 + BDh2
c)
30
solve
Dvs., at AC = 11.9 .
Ved at benytte, at vinkelsummen i trekanten er 180c, kan vinkel B udregnes til +B = 52c
EKSEMPEL
with (Gym):
Tan ^50h = AC
10
Så dermed er AC = 10.24 .
5.4.3
B
D
a) Bestem længden af AC
For at finde AC kan vi bruge Pythagoras, men vi kan også bruge formlen for cos (A) , da vi jo nu
kender hypotenusen AB. Vi vælger den sidste metode:
Cos (38) = AC
13
10
Figuren viser trekant ABC, og der er placeret et punkt D på linjen BC. Nogle af målene er angivet på figuren
a)
solve
EKSEMPEL
" AB = 56.61239743 ,
Med kommandoen trekantsolve fra Gym-pakken kan vi let klare ovenstående beregninger. For
at bruge trekantsolve, skal vi indtaste 3 ting (sider og/eller vinkler), og får resten serveret.
trekantsolve (C = 90, D = 50, a = 10, "ADC")
" A = 39.99999999, c = 15.55723827, d = 11.91753593 ,
Her får vi oplyst, at AC = 11. 9 . I tilgift får vi, at AD = 15.6 og at +A = 40c.
Vi bruger så trekantsolve på trekant ABC:
trekantsolve (C = 90, b = 11.9, c = 46, "ABC")
" A = 75.00731913, B = 14.99268081, a = 44.43410852 ,
Her står så til aflæsning, at +B = 15c samt at BC = 44.4 og dermed, at BD = 34.4 .
165
5.4.5
EKSEMPEL - VINKEL MELLEM EN LINJE OG X-AKSEN
Den vinkel v, en ret linje på formen y = a $ x + b danner med x-aksen, er bestemt ved ligningen:
5.5 Beregning i vilkårlige trekanter
Til beregning i trekanter har vi disse formler
tan (v) = a
hvor vinklen v regnes med fortegn:
5.5.1
SÆTNING – COSINUS- OG SINUSRELATIONERNE
Cosinusrelationer
c 2 = a 2 + b 2 - 2 $ a $ b $ cos ^C h
B
A
v
a 2 = b 2 + c 2 - 2 $ b $ c $ cos ^ Ah
a
c
C
b
b 2 = a 2 + c 2 - 2 $ a $ c $ cos ^ Bh
Sinusrelationer
sin ^ Ah
sin ^ Bh
sin ^C h
=
=
a
b
c
a
1
Linjen har hældningskoefficienten a. Hvis vi fra det punkt, hvor linjen skærer x-aksen, giver x
tilvæksten 1, så vil y få tilvæksten a. Dette giver os en retvinklet trekant med kateterne 1 og a
Da tangens til den spidse vinkel v er forholdet mellem den modstående katete og den hosliggende katete, er tan (v) = a .
Ser vi fx på linjen med ligningen
De tre cosinusrelationer er i princippet identiske, idet vi blot kan omdøbe siderne. Det helt afgørende er, at skal vi benytte cosinusrelationen til at bestemme en sidelængde med, så skal vi
kende en vinkel og de to sider, der danner vinklen.
Skal vi fx bestemme den blå side i trekanten nedenfor, så skal vi kende de to røde sider og
vinklen mellem dem
y = 2x - 3
En variant af cosinusrelationerne fremkommer ved at isolere vinklen:
5.5.2
SÆTNING – COSINUSRELATIONERNE (TIL BEREGNING AF EN VINKEL)
Cosinusrelationer
a
c
så kan vinklen denne linje danner med x-aksen beregnes ved
A
v = arcTan ^ 2 h = 63.43c
b
cos ^C h = a + b - c
2$a$b
2
cos ^ Ah = b + c - a
2$b$c
2
cos ^ Bh = a + c - b
2$a$c
2
2
B
2
C
2
2
2
2
OPGAVER 5.1 – 5.2 „
Disse formler er specielt handy, hvis det er en vinkel, der skal bestemmes. Bemærk, at det kræver, at alle tre sider i trekanten er kendte.
166
167
Den eneste mulighed, for at få en sinusrelation i sving, er, at vi kender en vinkel og siden overfor vinklen. Kender vi fx den røde vinkel og røde side på trekanten
5.5.4
EKSEMPEL
B
2.5
A
så har du mulighed for at bestemme en ukendt side eller vinkel i trekanten — afhængig af, om
vi kender yderligere en vinkel eller en side.
Ved brug af en sinusrelation til bestemmelse af en vinkel (i en ikke-retvinklet trekant), skal vi
være forsigtige. Bestemmelsen munder altid ud i en ligning af typen
a)
En cosinusrelation er mere pålidelig, da den altid kun giver én brugbar løsning i intervallet
60c , 180c@ , så hvis vi er i en situation, hvor vi både kan bruge en cosinusrelation og en sinusrelation, så vælger vi cosinusrelationen.
Desuden har vi disse arealformler til beregning i en vilkårlig trekant:
5.5.3
b) Bestem vinkel C.
C
2.0
Vi sætter direkte ind i cosinusrelationen
Dette viser, at BC = 1. 25
b)
I opgaver kan der være en oplysning om, at vinklen, vi skal bestemme, er spids eller stump, så
vi ud fra denne oplysning kan eliminere den ene løsning. Men, der kan også forekomme situationer, hvor begge løsninger kan bruges.
29. 6c
with ^Gymh:
BC 2 = 2. 02 + 2. 52 - 2 $ 2. 0 $ 2. 5 $ Cos ^29. 6h
solve
" BC = 1. 247016722,, " BC =- 1. 247016722,
der altid har to løsninger i intervallet 60c , 180c@ , idet der gælder, at
Vi er således altid nødt til at undersøge begge muligheder.
a) Bestem længden af siden BC
Løsning (med standardformler)
sin ^ v h = k, hvor - 1 < k < 1
sin ^ v h = sin ^180c - v h .
Figuren viser trekant ABC, og nogle af målene er angivet.
Vi kender nu alle sider i trekanten og kan benytte cosinusrelationen til at bestemme vinkel C:
Cos ^C h = 2.0 + 1.247 - 2.5
2 $ 2.0 $ 1.247
2
2
2
solve
"C = 98. 00922843 ,
Dvs., at +C = 98. 0c
Løsning (med trekantsolve)
trekantsolve (A = 29.6, b = 2.0, c = 2.5, "ABC")
" B = 52.39136343, C = 98.00863658, a = 1.247016722 ,
Her står løsningen til såvel a) som b) direkte til aflæsning. At vi ikke får præcist de samme resultater her som ovenfor skyldes, at vi ovenfor har afrundet resultatet i a).
SÆTNING - AREAL AF EN TREKANT
Bemærkning til løsning med standardformler:
B
c
A
hb
b
T = 12 $ hb $ b = 12 $ hb $ b = 12 $ hc $ c
T = 21 a $ b $ sin ^C h
a
C
T = 21 b $ c $ sin ^ A h
T = 21 a $ c $ sin ^ B h
Hvis vi i b) i stedet benytter sinusrelationen, får vi:
Sin ^C h
Sin ^29. 6h
=
2. 5
1.247
solve
"C = 81. 99682621 ,
Dette er blot den ene løsning intervallet 60c , 180c@. Den anden fås som 180c - 82. 0c = 98. 0c . Altså er
C = 82. 0c 0 C = 98. 0c
og vi ved ikke, hvilken af løsningerne vi skal bruge. Vi beregner derfor også vinkel B ved hjælp
af en sinusrelation:
168
169
Sin ^ Bh
Sin ^29.6h
=
2.0
1.247
solve
" B = 52. 39236082,
b)
17.9 - 57
Cos ^ ADB h = 61 2+$ 61
$ 17.9
2
Her har vi de to løsninger
Vi kan med det samme udelukke muligheden B = 127.6c , idet denne værdi sammen med en af
mulighederne for vinkel C, vil overstige 180c.
Herefter er det nemt at afgøre, at C = 98. 0c , idet vinkelsummen jo skal være 180c:
c)
Dette eksempel viser, hvor vigtigt det er at vælge cosinusrelationen frem for sinusrelationen til
at bestemme en vinkel, hvis vi er i en situation, hvor vi kan anvende begge.
Vi kan komme lidt nemmere gennem udregningerne ved at benytte kommandoen intervalsolve
fra Gym-pakken, der giver os begge løsninger:
Sin ^ B h Sin ^29.6 h
intervalsolve c 2.0 = 1.247 , 0 ..180 m
[ 52.39236082 , 127.6076392 ]
Sin ^C h Sin ^29.6 h
intervalsolve c 2.5 = 1.247 , 0 ..180 m
5.5.5
[ 81.99682621 , 98.00317379 ]
solve
" ADB = 68.72416062 ,
+ADC = 180c - +ADB = 180c - 68.7c = 111.3c. Dermed er
d)
Længden af DC findes ved hjælp af en sinusrelation
Sin ^17 h Sin ^51.7 h
DC =
61
solve
" DC = 22.72580402 ,
Dvs., at DC = 22.7 .
e)
For at bestemme arealet, skal vi kende en vinkel og længden af de to sider, der danner
vinklen. Der er ingen steder, hvor vi direkte kender dette, men vi kan hurtigt beregne +B
og længden af BC:
B = 180c - 34c - 51.7c = 94.3c
BC = 17.9 + 22.7 = 40.6
Arealet kan da bestemmes ved
T = 21 $ 57 $ 40.6 $ Sin ^94.3 h = 1153.842918
så arealet er T = 1153.8
Løsning (med trekantsolve):
Hele opgaven (på nær arealet) kan løses ved to anvendelse af trekantsolve:
EKSEMPEL
I trekant ABC er +BAC = 34c. Linjestykket
AD halverer vinkel A.
Længden af AB er 57 og længden af AD er 61.
B
57
2
+C = 180c - 111.3c - 17c = 51.7c
+A + +B + +C = 29.6c + 52.4c + 98.0c = 180c
2
Dvs., at +ADB = 68.7c
B = 52.4c 0 B = 127. 6c
Da vi kender alle sider i 9ADB benytter vi en cosinusrelation:
61
a) Bestem længden af BD
D
b) Bestem vinkel ADB
C
A
c) Bestem vinkel C
d) Bestem længden af CD
e) Bestem arealet af trekant ABC
Løsning (med standardformler):
a)
BD findes ved hjælp af en cosinusrelation
trekantsolve (A = 17, b = 61, d = 57, "ABD")
" B = 94.27953601, D = 68.72046404, a = 17.88453874 ,
Der viser, at +B = 94.3c, +ADB = 68.7c og BD = 17.9 .
trekantsolve (A = 17, c = 61, D = 180 - 68.7, "ADC")
" C = 51.69999998, a = 22.72580407, d = 72.41956695 ,
Der viser, at +C = 51.7c, DC = 22.7 og AC = 72.4
OPGAVER 5.3 – 5.6 „
with (Gym):
BD 2 = 61 2 + 572 - 2 $ 61 $ 57 $ Cos ^17 h
solve
" BD = 17. 88453877 ,, " BD =- 17. 88453877 ,
Dette viser, at BD = 17. 9
170
171
5.6 Bevis for cosinus- og sinusrelationerne
Hvis højden falder uden for trekanten, bliver beregningerne en smule anderledes. Her giver
højden også anledning til to retvinklede trekanter: trekant ABD og trekant CBD:
B
BEVIS (COSINUSRELATIONERNE)
Her vil vi bevise cosinusrelationen
c
c 2 = a 2 + b 2 - 2a $ b $ cos (C)
Vi antager først, at trekanten ser ud som på nedenstående figur, hvor højden fra B falder indenfor
trekanten:
A
B
b
a
C
h
x D
Pythagoras i trekant ABD:
c
2
c2 = h2 + ^ b + x h
= h 2 + b 2 + x 2 + 2b $ x
a
h
Pythagoras anvendt i trekant BCD giver som tidligere
A
b-x
D
x
C
Vi har indført betegnelsen x for længden af linjestykket DC. Herefter kan vi udtrykke længden
af linjestykket AD ved b - x .
Opdelingen af trekanten ved hjælp af højden BD giver os to retvinklede trekanter: ABD og BCD.
Vi starter med at anvende Pythagoras i trekant ABD:
c 2 = h 2 + ^ b - x h2
= h 2 + b 2 + x 2 - 2b $ x
Pythagoras anvendt i trekant BCD giver
a2 = x2 + h2
I udtrykket for c 2 kan vi derfor erstatte x 2 + h 2 med a 2 :
c 2 = a 2 + b 2 - 2b $ x
Det eneste, der generer i dette udtryk, er x, der sjældent er en kendt størrelse i en trekant. Vi
søger derfor et udtryk for x i trekant BCD:
cos ^ C h = ax + x = a $ cos ^ C h
a2 = x2 + h2
og ved at indsætte dette, ender vi med udtrykket
c 2 = a 2 + b 2 + 2b $ x
Vi bestemmer et udtryk for x i trekant BCD. Her skal vi passe på, idet den vinkel, vi skal bruge,
er
+BCD = 180c - C
Vi får her i følge sætning 5.1.2
cos ^ 180c - C h = ax + x = a $ cos ^ 180c - C h + x =- a $ cos ^ C h
Indsætter vi dette i udtrykket for c 2 , har vi:
c 2 = a 2 + b 2 - 2a $ b $ cos (C)
QED
De andre varianter af cosinusrelationerne kan vises helt tilsvarende ved at vælge de to andre
højder i trekanten – eller endnu nemmere, ved at omdøbe trekantens vinkelspidser. Der er jo
ikke noget krav om navngivningen af vinkelspidserne her.
Dette udtryk indsættes i stedet for x i udtrykket for c 2 :
c 2 = a 2 + b 2 - 2a $ b $ cos (C)
hvorefter vi har en af cosinusrelationerne.
172
173
Vi mangler blot det tilfælde, hvor højden falder uden for trekanten:
BEVIS (SINUSRELATIONERNE)
Her vil vi bevise sinusrelationerne
B
sin ^ Ah
sin ^ Bh
sin ^C h
=
=
a
b
c
c
Vi ser igen først på en trekant, hvor højden falder inden for trekanten:
a
h
B
A
c
D
Igen kan vi bestemme udtryk for højden h i hver af de to trekanter ABD og BCD:
a
h
C
b
sin ^ A h = hc + h = c $ sin ^ A h
A
D
C
Vi kan bestemme udtryk for højden h i hver af de to trekanter ABD og BCD:
sin ^ A h = hc + h = c $ sin ^ A h
sin ^ 180c - C h = ha + h = a $ sin ^ 180c - C h + h = a $ sin ^ C h
hvor vi har benyttet sætning 5.1.2.
Herefter er alt som før.
QED
sin ^ C h = ha + h = a $ sin ^ C h
Vi sætter de to udtryk for h lig med hinanden:
c $ sin ^ A h = a $ sin ^ C h
Ved at dividere med a $ c på begge sider af ligningen får vi
c $ sin ^ A h Y
a $ sin ^ C h
Y
=
a $Y
c
a$c
Y
Altså, at
sin ^ A h sin ^C h
=
a
c
BEVIS (AREALFORMLERNE)
De tre arealformler i sætning 5.5.3 følger umiddelbart af den velkendte formel for arealet af en
trekant:
T = 21 h $ g
hvor grundlinjen g er en vilkårlig af trekantens tre sider og h er højden på denne side.
Lader vi h være højden fra B på b:
B
Vælger vi en af de andre højder – fx højden fra C (der også falder inden for trekanten), vil vi
helt tilsvarende få
c
a
h
b $ sin ^ A h = a $ sin ^ B h
der ved division med a $ b på begge sider af ligningen giver
sin ^ A h sin ^ B h
=
a
b
Så alt i alt har vi
sin ^ Ah
sin ^ Bh
sin ^C h
=
=
a
b
c
A
b
D
C
kan højden fx udtrykkes ved h = a $ sin ^ C h : Indsættes dette i formlen T = 21 h $ g , har vi
T = 21 $ a $ b $ sin ^ C h
De to varianter vises tilsvarende.
QED
174
175
6 Funktionsbegrebet
6.1 Funktionsbegrebet
En funktion kan opfattes som en maskine, der har et input og et output, og hvor der er en sammenhæng mellem input og output.
En funktionsmaskine kan illustreres således:
Input
Output
Sammenhængen mellem input og output kan være givet ved en tekstlig beskrivelse, som fx
Input ganges med 2, hvorefter der lægges 1 til resultatet
eller ved en ligning på formen
y = 2$x+1
hvor x er benyttet som betegnelse for input og y som betegnelse for output. I begge tilfælde kan
input være et vilkårligt reelt tal og output er også et reelt tal.
Vi kan skaffe os et overblik over funktionen ved at lave en tabel som denne:
Input
x
Sammenhæng Output
y
y = 2x + 1
0
2$0+1
1
1
2$1+1
3
2
2$2+1
5
5
2$5+1
11
h
h
h
Ofte vil den midterste kolonne udelades og den tabel, der fremkommer, kaldes et sildeben, hvis
input og output arrangeres i rækker i stedet for søjler. For tabellen ovenfor vil det se sådan ud:
176
x
0
1
2
5
y
1
3
5
11
177
En funktion skal have et navn. Det mest benyttede navn for en funktion er f , men navnene g
og h er også hyppigt anvendte.
6.1.1
Vi ser på funktionen
Benytter vi navnet f for funktionen, vi kiggede på ovenfor, er notationen denne
funktionsnavn
EKSEMPEL
f (x) = x 2 - 3x + 5
Udregning af f (2) sker ved konsekvent at erstatte alle forekomster af x med 2:
f (x) = 2x + 1
>
input
f (2) = 2 2 - 3 $ 2 + 5 = 3
output
Det er vigtigt, at vi også får erstattet x’et i f (x) med et 2-tal, og altså får skrevet f (2) , så vi kan
se, at vi med 2 som input får 3 som output.
og det læses
f af x er lig med 2x + 1
Med denne notation kan vi udregne output for input hhv. 0, 1, 2 og 5:
f (0) = 2 $ 0 + 1 = 1
f (1) = 2 $ 1 + 1 = 3
f (2) = 2 $ 2 + 1 = 5
f (5) = 2 $ 5 + 1 = 11
Hvad gør vi så, hvis input ikke er et simpelt tal, men en taludtryk som fx 1 + 2 ? Her er det
nemmest at tænke på x’et i funktionen som en pladsholder – altså
f (>) = > 2 - 3 $ > + 5
hvor vi så blot placerer udtrykket 1 + 2 i alle kasserne, hvor det er meget vigtigt at få sat parentes i udtrykket på højre-siden:
f (1 + 2 ) = (1 + 2 ) 2 - 3 $ (1 + 2 ) + 5
= 1+2+2 2-3-3 2+5
= 5- 2
Vi behøver altså ikke længere en tabel for at beskrive, hvordan flere konkrete input er relateret
til output. Fx fortæller f (5) = 11 direkte, at med 5 som input fås 11 som output.
Vi kan repræsentere denne sammenhæng grafisk ved indsætte sammenhørende værdier af input
og output i et koordinatsystem. Vi afsætter altså de 4 punkter (0, 1), (1, 3), (2, 5) og (5, 11) i et
koordinatsystem
6.1.2
EKSEMPEL
Et primtal er et naturligt tal større end 1, hvor kun 1 og tallet selv går op.
Med denne definition er
• 13 et primtal, fordi 1 og 13 er de eneste tal, der går op i 13.
• 14 ikke et primtal, idet 1, 2, 7 og 14 går op i 14.
(5, 11)
De første 20 primtal er
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71
(2, 5)
Vi definerer en funktion ved:
(1, 3)
f (i) =’det i’te primtal’
(0, 1)
1
1
Input kan kun være et naturligt tal. Vi bestemmer nogle værdier af funktionen f:
f (1) = 2 , idet 2 er det første primtal
f (5) = 11, idet 11 er det 5’te primtal
Forbinder vi de 4 punkter med en ret linje får vi grafen for f. At punkterne ligger på en ret linje
følger af, at sammenhængen y = 2x + 1 mellem input og output er ligningen for en ret linje.
178
Men hvad er f (1000) ? For at finde ud af dette, er vi nødt til at fortsætte rækken med de 20
primtal indtil vi når primtal nummer 1000 – og håbe på, at vi ikke overser en eller får et tal med,
der ikke er et primtal. Når tallene bliver store, er det svært at afgøre om et tal er et primtal eller
ej. Der findes ingen metode til at regne primtal nummer 1000 ud.
179
MAPLE
Maple har en indbygget funktion, der hedder ithprime, der beregner det i’te primtal. Funktionen
er nem at bruge:
ithprime ^1000h = 7919
og det finder Maple på et splitsekund. Så man kunne fristes til at tro, at Maple har en metode til
at regne det ud. Prøv med et større tal:
ithprime ^1000000h = 15485863
Prøv med et endnu større tal. Før eller siden vil Maple tabe pusten og vi kan komme til at vente
ganske længe på et svar.
Læs her om metoder til af finde det i’te primtal.
Vi har set eksempler på funktioner, hvor vi kan bruge alle reelle tal som input og et eksempel,
hvor vi kun kan bruge de naturlige tal som input. Men input behøver ikke at være tal. Vi kan
sagtens forestille os en funktion, der med et varenummer som input giver prisen for den pågældende vare. Eller en funktion, der som input tager et bogstav i alfabetet og som output det efterfølgende bogstav, hvor vi dog lige skal have med, at et ’å’ som input skal give ’a’ som output.
Input kan altså være mange ting, afhængigt af funktionen, men de følgende krav skal altid være
opfyldt:
Mængden til venstre indeholder samtlige mulige input til funktionen og mængden til højre skal
være stor nok til at rumme samtlige mulige output.
Fra ethvert input skal der være en pil til et output. Forskellige input må gerne føre til samme
output, men der må kun være ét output til hvert input:
Ser vi på grafer, vil det se sådan ud
• Funktionen skal fungere for ethvert input
• Til ethvert input er der kun ét output
Hvis input er et varenummer og output er en pris, så skal der til ethvert varenummer findes en
pris og der må kun findes én pris til hvert varenummer. Af og til oplever man i et supermarked,
at kasseapparatet ikke reagerer på det varenummer, der indlæses med stregkodelæseren. Det
skyldes naturligvis, at databasen, der slås op i, ikke er opdateret, men når varenummeret er i
databasen, er kasseapparatet ikke i tvivl om prisen.
graf for en funktion
ikke graf for en funktion
Vi er nu klar til en formel definition af en funktion:
6.1.3
DEFINITION
En funktion er en forskrift, der til ethvert element i en mængde tilordner et element i en anden
mængde (eventuelt den samme).
6.1.4
EKSEMPEL
En funktion, der giver samme output for to forskellige input, kan være
f (x) = x 2
Her er fx
Der er nogle ord og vendinger i denne definition, der kræver lidt forklaring:
f (3) = 3 2 = 9
Ordet ’forskrift’ benyttes ofte for den sammenhæng, der skal være mellem input og output.
Forskriften kan være en regneforskrift som fx f (x) = 2x + 1, det kan også være en tekstlig formulering af sammenhængen mellem input og output, eller det kan være et opslag i en database.
f (- 3) = (- 3) 2 = 9
Ordet ’tilordner’ betyder blot, at input er relateret til et output, således at vi ved, hvilket output,
vi får, til ethvert input.
Så input 3 og - 3 giver begge output 9. Situationen er altså som på figuren til venstre ovenfor,
men dette er helt i orden for en funktion.
Til forståelse af funktionsbegrebet anvendes de såkaldte pilefigurer:
180
181
6.1.5
EKSEMPEL - KVADRATRODSFUNKTIONEN
6.1.7
Kvadratroden af et ikke-negativt reelt tal x er defineret ved:
EKSEMPEL
En funktion er givet ved forskriften
x = a , hvis og kun hvis a $ 0 og a 2 = x
f (x) = x - 2
Med denne definition er fx 9 = 3 , idet 3 > 0 og 3 2 = 9 . Læg mærke til, at 9 ikke kan være
- 3 , selvom (- 3) 2 = 9 , idet definitionen kræver, at kvadratroden skal være et ikke-negativt tal.
Da der ikke er angivet en definitionsmængde, skal den størst mulige benyttes, så den skal vi
bestemme.
Definitionen af kvadratroden sikrer, at vi kan definere en funktion ved
Vi ved fra eksempel 6.1.5, at kvadratroden af et tal kun er defineret, hvis tallet er ikke-negativt.
Vi skal derfor sikre, at x - 2 $ 0 , og det er opfyldt, hvis x $ 2 .
f (x) = x
Definitionsmængden for f er altså alle reelle tal, der er større end eller lig med 2. Dette skriver
man som et interval:
hvor vi kan benytte alle ikke-negative reelle tal som input
Dm (f) = [2, 3 [
OPGAVER 6.1 – 6.7 „
Funktionsbegrebet havde sin spæde start i middelalderen, men ordet ’funktion’ blev først introduceret af den tyske matematiker G. Leibnitz i 1673 og betegnelsen f (x) bliver benyttet første
gang i 1748 af den schweiziske matematiker L. Euler. I de mange år, der er gået siden da, er
der indført en del betegnelser for input og output. Nogle af disse fremgår af skemaet nedenfor:
Mængden af output kaldes funktionens værdimængde og betegnes med Vm (f) , hvor f er navnet på den aktuelle funktion. Værdimængden afhænger naturligvis af den definitionsmængde,
der er valgt.
Vi tager et kig på en pilefigur:
Input
f
x
x - værdi
uafhængig variabel
argument
Output
f (x)
y - værdi
afhængig variabel
funktionsværdi
billede af x
Mængden af input kaldes funktionens definitionsmængde og betegnes med Dm (f) , hvor f er
navnet på den aktuelle funktion. Hvis en definitionsmængde ikke er angivet sammen med funktionsforskriften, skal man altid vælge den størst mulige definitionsmængde.
6.1.6
EKSEMPEL
En funktion som
f (x) = 2x + 1
er defineret for alle reelle tal, idet vi kan gange ethvert reelt tal med 2 og lægge 1 til. Dette
skriver man som
Dm (f) = R
hvor R er en kort betegnelse for mængden af reelle tal.
182
Værdimængde
Definitionsmængde
Vi husker på, at mængden til højre blot skal være stor nok til at indeholde alle funktionsværdier
(output), så værdimængden vil altid være en delmængde heraf. Der skal gå en pil til ethvert
element i værdimængden.
6.1.8
EKSEMPEL
Vi skal bestemme værdimængden for funktionen
f (x) = 2x + 1
der er defineret for alle reelle tal. Hertil ser vi først på et konkret eksempel:
Vil tallet 13 ligge i værdimængden for f ? Med andre ord skal vi undersøge, om der findes et x,
således at f (x) = 13 . Vi skal altså løse ligningen
f (x) = 13 + 2x + 1 = 13 + 2x = 12 + x = 6
Heraf følger, at 13 ligger i værdimængden for f , idet f (6) = 13 .
183
Helt tilsvarende kan vi tjekke, om et vilkårligt reelt tal y ligger i værdimængden for f ved at
løse ligningen f (x) = y med hensyn til x:
y-1
2
f (x) = y + 2x + 1 = y + 2x = y - 1 + x =
Vi forestiller os, at vi har to funktioner f og g, hver givet ved en funktionsmaskine. Vi placerer
maskinerne således, at det output, der kommer fra g-maskinen benyttes som input til f -maskinen:
Da denne udregning kan udføres for ethvert reelt tal y, er Vm (f) = R .
6.1.9
6.2 Sammensat funktion
EKSEMPEL
g
Vi skal bestemme værdimængden for funktionen
f (x) = x - 2
f
der er defineret i intervallet [2, 3 [ .
Vi tjekker, hvad et reelt tal y skal opfylde for at ligge i værdimængden for f ved at løse ligningen f (x) = y med hensyn til x:
f (x) = y +
x-2 = y
Her er vi nødt til at forlange, at y $ 0 , idet kvadratroden af et tal skal være ikke-negativt. Så
under forudsætning af, at y $ 0 kan vi løse ligningen:
f (x) = y +
Sammensætningen af de to maskiner markeret med en rød stiplet streg, så den sammensatte
maskine ud ad til virker som én maskine.
Lad os se, hvordan det virker med et konkret eksempel:
g (x) = 2x + 1
x - 2 = y + x - 2 = y2 + x = y2 + 2
f (x) = x 2
Så, når blot vi forudsætter, at y $ 0 , kan vi bestemme et x, så f (x) = y .
Benytter vi et 1-tal som input, vil g-maskinen udregne g (1) = 3 , og sende 3 ind i f -maskinen,
der så vil beregne
Dermed er Vm (f) = [0, 3 [ .
På figuren er vist, hvordan man aflæser definitions- og værdimængde grafisk. Den åbne bolle
på grafen og i intervallerne betyder, at det pågældende punkt ikke er med, mens den udfyldte
bolle betyder, at punktet er med.
f ^g ^1 hh = f (3) = 9 .
Den sammensatte maskine vil således med 1 som input returnere 9 som output.
Regner vi mere generelt med et x som input til den sammensatte maskine, vi output blive
f ^g ^ x hh = f (2x + 1) = (2x + 1) 2
Vm ^ f h
og specielt ved den sidste udregning er det nyttigt at tænke på, at x’et i forskriften for f blot
kan opfattes som en pladsholder, hvor vi erstatter x med (2x + 1) .
1
***
f
Når vi sammensætter funktioner skal vi sikre os, at alt, funktionen g sender som output, kan
bruges som input til funktionen f . Med andre ord, så skal værdimængden for g være indeholdt
i definitionsmængden for f . Dette skrives kort: Vm (g) 3 Dm (f) .
Vi mangler blot at navngive den sammensatte funktion:
Dm ^ f h
6.2.1
DEFINITION - SAMMENSAT FUNKTION
Lad f og g være to funktioner, hvor Vm (g) 3 Dm (f) . Så defineres funktionen f % g ved
På figuren aflæses, at Dm (f) =] 1, 6] og at Vm (f) =] 2, 5.5] .
(f % g) (x) = f (g (x))
OPGAVER 6.8 – 6.14 „
184
185
6.2.2
EKSEMPEL
6.3 Invers funktion
Vi skal her sammensætte funktionerne
g (x) = 2x - 2
Hvis en funktion har et pilediagram, der ser ud i stil med dette
f (x) = x
f
Her er Vm (g) = R og Dm (f) = [0, 3 [ , så Vm (g) er ikke indeholdt i Dm (f) . Vi kan altså ikke
umiddelbart sammensætte de to funktioner til f % g .
Det, vi kan gøre, er at sætte en begrænsning på input, så output fra g er ikke-negativt:
g (x) $ 0 + 2x - 2 $ 0 + 2x $ 2 + x $ 1
Dvs., at hvis vi begrænser input til [1, 3 [ , så kan vi sammensætte de to funktioner til f % g :
hvor der til ethvert y i værdimængden for f , svarer netop én x-værdi i definitionsmængden for
f , er det muligt at definere en ny funktion ved at vende alle pilene om:
^ f % g h (x) = f ^g ^ x hh = f (2x - 2) = 2x - 2
og Dm (f % g) = [1, 3 [
Sammensætter vi i omvendt rækkefølge – altså udregner g % f – er der ingen problemer, idet
Vm (f) = [0, 3 [ og Dm (g) = R , så Vm (f) 3 Dm (g) .
Den sammensatte funktion g % f bliver:
^g % f h (x) = g ^ f ^ x hh = g ( x ) = 2 x - 2
og Dm (g % f) = [0, 3 [
For at de røde pile og de to mængder definerer en funktion, skal vi have begrænset den højre
mængde til værdimængden for f , idet der jo skal gå en rød pil fra ethvert element i mængden.
MAPLE
Vi definerer de to funktioner fra eksempel 6.2.2 i Maple
g (x): = 2x - 2
g : = x " 2x - 2
f (x): = x
Vm ( f )
f := x " x
Den sammensatte funktion f % g kan da udregnes ved ( % findes i ’Common Symbols’)
^ f % g h (x) = 2x - 2
Efter at have tastet ^ f % g h ( vises et tooltip ’) $ ( multiply instead of apply function’, der fortæller, at hvis vi vil have et gangetegn mellem de to udtryk, vi er ved at indtaste, så skal vi skrive
gangetegnet – ellers vil det blive opfattet som anvendelse af en funktion. Og det er jo præcis det
sidste, vi er interesserede i, så vi skriver blot videre.
Den funktion, der fremkommer herved, kaldes den inverse funktion til f og betegnes med f - 1 .
Betingelsen for, at vi kan vende alle pile og få en funktion ud af det, er, at der til ethvert y i værdimængden for f , svarer netop én x-værdi i definitionsmængden for f . En funktion med denne
egenskab siges at være 1-1 (én til én). I en lidt anden formulering defineres en 1-1 funktion ved:
6.3.1
DEFINITION - 1-1 FUNKTION
En funktion f siges at være 1-1 (én til én), hvis der for alle elementer x 1 og x 2 i Dm ( f ) gælder,
at
f (x 1) = f (x 2) & x 1 = x 2
g % f udregnes helt tilsvarende:
^g % f h (x) = 2 x - 2
OPGAVER 6.15 – 6.21 „
186
187
Definitionen af en 1-1 funktion kunne lige så godt have været formuleret ved
Y x 2 & f (x 1) =
Y f (x 2)
x1 =
EKSEMPEL
Funktionen
der udtrykker, at til forskellige x-værdier svarer forskellige y-værdier (funktionsværdier), men
formuleringen i definitionen er mest bekvem at arbejde med.
6.3.2
6.3.3
EKSEMPEL
Funktionen
f (x) = x 2
er defineret for alle reelle tal og værdimængden er [0, 3 [ . Idet fx f (2) = f (- 2) = 4 , er funktionen ikke 1-1, men indskrænker vi definitionsmængden til [0, 3 [ , vil funktionen være 1-1, så
vi kan bestemme den inverse funktion.
f (x) = 2x + 1
f
er defineret for alle reelle tal og værdimængden er ligeledes alle reelle tal.
Vi viser først, at funktionen er 1-1. Så antag, at vi har to x-værdier, x 1 og x 2 , der giver de
samme funktionsværdier:
f -1
[0, 3 [
f (x 1) = f (x 2) & 2x 1 + 1 = 2x 2 + 1 & 2x 1 = 2x 2 & x 1 = x 2
Dvs., at hvis de to funktionsværdier f (x 1) og f (x 2) er ens, så må de x’er, de kommer fra, også
være ens.
f (x) = y + x 2 = y + x = y
y
x
Heraf følger, at
f - 1 (y) = y
-1
Ved variabelskift bliver forskriften for den inverse funktion:
Lad y være et vilkårligt element i Vm (f) . Da findes netop ét x i Dm (f) , så f (x) = y . Vi isolerer
x i denne ligning
f (x) = y + 2x + 1 = y + 2x = y - 1 + x = 21 y - 21
Heraf følger, at
f - 1 (y) = 21 y - 21
Almindeligvis anvendes betegnelsen x for den uafhængige variabel (input), så forskriften for
den inverse funktion bliver:
f - 1 (x) = 21 x - 21
Definitionsmængden for den inverse funktion er værdimængden for f , altså R.
At det virkelig er den inverse funktion, vi har fundet, kan vi se ved at udregne
^ f - 1 % f h (x) = f - 1 ^ f (x) h = f - 1 ^2x + 1 h = 21 (2x + 1) - 21 = x
og
^ f % f - 1 h (x) = f ^ f - 1 (x) h = f _ 21 x - 21 i = 2 ( 21 x - 21 ) + 1 = x
så de to funktioner ophæver så at sige hinanden.
188
[0, 3 [
Lad y være et vilkårligt element i Vm (f) . Da findes netop ét x i Dm (f) , så f (x) = y . Vi isolerer
x i denne ligning
f
f
y
x
f - 1 (x) = x
Definitionsmængden for den inverse funktion er værdimængden for f , altså [0, 3 [ .
Igen vil de to funktioner ophæve hinanden:
^ f - 1 % f h (x) = f - 1 ^ f (x) h = f - 1 ^ x 2 h =
x2 = x
og
^ f % f - 1 h (x) = f ^ f - 1 (x) h = f ^ x h = x 2 = x
hvor begge udregninger kun gælder for x $ 0 , idet definitionsmængden for både f og f - 1 er
intervallet [0, 3 [ .
Tegner vi graferne for de to funktioner (fra eksempel 6.3.2)
f (x) = 2x + 1
f - 1 (x) = 21 x - 21
i samme koordinatsystem, ser vi, at de to grafer ligger symmetrisk med hensyn til linjen med
ligningen y = x :
189
BEVIS
1., 2. og 3. følger i det væsentlige af figuren:
f
y
x
f -1
For at argumentere for 4, bemærker vi først, at hvis (x, y) er et punkt på grafen for f , så (y, x)
et punkt på grafen for f - 1 .
De to punkter (x, y) og (y, x) ligger symmetrisk omkring linjen med ligningen y = x , hvis de har
samme afstand til linjen og forbindelseslinjen mellem de to punkter er vinkelret på linjen y = x .
Det samme gør sig gældende med de to funktioner (fra eksempel 6.3.3):
Q (y, x)
f (x) = x 2
f - 1 (x) = x
y
=
x
P (x, y)
Vi viser først, at de to linjer er ortogonale:
Hældningen for linjen gennem P og Q er:
y-x
-^ x - y h
aPQ = x - y = x - y =- 1
Da linjen med ligningen y = x har hældningen 1, følger af sætning 4.7.1, at de to linjer er orVi samler vore undersøgelser af invers funktion i en sætning:
togonle, idet produktet af de to hældninger er 1$ ^ - 1 h =- 1 .
Midtpunktet at linjestykket PQ bestemmes ved hjælp af midtpunktsformlen (sætning 4.4.1)
6.3.4
SÆTNING - INVERS FUNKTION
Hvis funktionen f er 1-1, så har f en invers funktion, som vi betegner f - 1 . Der gælder:
1.
Dm ( f - 1) = Vm ( f )
2.
( f - 1 % f ) (x) = x, x ! Dm ( f )
3.
( f % f - 1) (x) = x, x ! Vm ( f )
4.
Grafen for f - 1 fås ved at spejle grafen for f i linjen med ligningen y = x .
190
og
Vm ( f - 1) = Dm ( f )
x+y y+x
x+y x+y
M =a 2 , 2 k=a 2 , 2 k
Da første- og andenkoordinaten i M er identiske, vil punktet M ligge på linjen y = x .
QED
OPGAVER 6.22 – 6.30 „
191
7 Funktioner
7.1 Lineær funktion
7.1.1
DEFINITION
En lineær funktion er en funktion med forskriften
f (x) = a $ x + b
hvor a og b er reelle tal.
Selvom den ligner, så er en funktionsforskrift noget helt andet end en ligning. En funktionsforskrift knytter en x-værdi sammen med en funktionsværdi, som vi kalder f (x) , og denne funktionsværdi skal være entydigt bestemt. En ligning, derimod, giver en sammenhæng mellem en
x- og en y-værdi, men ved denne sammenhæng kan der være flere x-værdier til samme y-værdi
– fx hvis ligningen har formen x = k (en lodret linje)
Hvis ret linje er givet ved en ligning på formen (eller kan omskrives til denne form):
y = a $ x + b,
så er der intet til hinder for, at opfatte den rette linje som graf for den lineære funktion:
f (x) = a $ x + b ,
afhængigt af, hvad der mest bekvemt i en given situation.
Regning med lineære funktioner fungerer helt som regning med den rette linjes ligning – og
begreberne er de samme. Den punktmængde, vi tegner i et 2D-plot for grafisk at repræsentere
den rette linje, svarer helt til den graf, vi vil tegne, som en grafisk repræsentation af den lineære
funktion.
Koefficienten til x – altså a – er hældningskoefficienten og konstantleddet, b, er linjens skæringspunkt med y-aksen.
a
b
192
1
193
Y x 2 , kan vi beregne hældningskoefficienten
Ved hjælp af to punkter (x 1, y 1) og (x 2, y 2) , hvor x 1 =
ved formlen
y2 - y1
a=
x2 - x1
hvorefter b kan bestemmes ved hjælp af ét af punkterne og den beregnede værdi af a.
MAPLE
En ret linje går gennem punkterne (- 3, 4) og (5, 7) . Bestem en forskrift for den funktion, der
har den rette linje som graf.
Hældningskoefficienten, a, bestemmes, som vi plejer at gøre:
Vi reformulerer sætning 4.5.6 for er lineær funktion:
7.1.2
a :=
7- 4 = 3
5 - (- 3)
8
Konstantleddet, b, bliver automatisk bestemt ved at indsætte i udtrykket i sætning 7.1.2, hvor
vi her definerer funktionen f .
SÆTNING
Hvis en ret linje har hældningskoefficienten a og går gennem punktet (x 0, y 0) , så er linjen graf
for den lineære funktion
f^ xh = a $ ^ x - x 0h + y 0
f ^ x h : = a $ (x - 5) + 7
x 7 38x + 41
8
Mere end et par linjer behøver en opgave af denne type altså ikke at fylde. Grafen tegnes:
plot ^ f ^ x hh
MAPLE
I Maple skal funktioner defineres lidt specielt. Skal vi fx definere den lineære funktion
f (x) = 7 x + 11
3
3
så sker dette ved at skrive (efterfulgt af Enter):
7 x + 11
f (x) : = 3
3
x 7 73x + 11
3
Konkrete funktionsværdier, fx for x = 2 , udregnes ved at indtaste f (2) efterfulgt af Alt+Enter.
Lighedstegnet sætter Maple automatisk ved en inline-beregning:
f (2) = 25
3
Grafen for funktionen tegnes med plot-kommandoen
plot ^ f ^ x hh
7.1.3
SÆTNING — KARAKTERISTIK AF LINEÆR VÆKST
For en lineær funktion f ^ x h = a $ x + b gælder:
Til lige store x-tilvækster svarer lige store y-tilvækster
BEVIS
Lad h betegne x-tilvæksen. Vi beregner y-tilvæksten:
f (x + h) = a $ ^ x + hh + b = a $ x + b + a $ h = f (x) + a $ h
Heraf ser vi, at når x vokser med h, så vokser y med a $ h .
QED
OPGAVER 7.1 – 7.10 „
194
195
7.2 Stykkevis lineære funktioner
Et eksempel på en stykkevis defineret lineær funktion er denne:
f (x) = '
- 2x + 1
x-5
Start med at skrive f ^ x h : = og indsæt herefter skabelonen. Sørg for at bruge TAB-tasten til at
hoppe fra felt til felt, så det undgås at få variabler og tal skrevet i pink.
f (x): = '
- 2x + 1
x-5
x<2
x$2
x<2
x$2
f := x 7 '
Her skal forskriften forstås således:
Funktionen kan anvendes helt efter bogen:
Hvis vi fx skal udregne f ^ 1 h , så tjekkes først, hvilken af de to uligheder der er opfyldt. Kun
én af ulighederne må være opfyldt – ellers får vi ikke defineret en funktion. Her er den øverste
ulighed opfyldt, idet 1 < 2 , så vi skal sætte ind i det øverste udtryk:
Grafen plottes i et passende interval:
f ^ 1 h =- 2 $ 1 + 1 =- 1
Tilsvarende, hvis vi vil udregne f ^ 3 h , skal vi indsætte i det nederste udtryk, idet 3 $ 2 . Vi får:
- 2x + 1
x-5
x<2
x$2
f^ 1 h = - 1
f^ 3 h = - 2
plot ^ f (x), x =- 5..15 , y =- 10..10 h
f ^ 3 h = 3 - 5 =- 2
Grafen for f tegnes nemmest ved, at vi tegner linjen med ligningen y =- 2x + 1 på sædvanlig
vis, men kun for x < 2 – se figuren til venstre nedenfor, hvor linjen er stiplet for x $ 2 :
Vi laver nu en lille ændring i forskriften for f .
f (x) = '
- 2x + 1 x < 2
x+1
x$2
Hvis vi vil udregne f ^ 2 h , skal vi bruge det nederste udtryk i funktionsforskriften, idet 2 $ 2 :
f^ 2 h = 2 + 1 = 3
Tilsvarende tegnes i samme koordinatsystem linjen med ligningen y = x - 5 , men kun for
x $ 2 – på figuren ovenfor til højre, er linjen stiplet for x < 2 .
Herefter kan de stiplede linjer viskes ud (hvis de da er tegnede), og vi har grafen for f .
MAPLE
En stykkevis defineret funktion kan defineres i Maple ved at benytte knappen
&
-x x < a
x x$a
der findes i Expressions-paletten
196
Da det øverste udtryk i funktionsforskriften er defineret for x = 2 , kan vi indsætte 2 i udtrykket
(men det er altså ikke funktionsværdien i 2, vi beregner)::
- 2 $ 2 + 1 =- 3
For en x-værdi tæt på 2, men til venstre for 2 på tallinjen, vil vi få en funktionsværdi tæt på
- 3 . Fx giver f ^ 1.99 h =- 2.98 . Det må betyde, at grafen foretager et hop fra værdien - 3 til
værdien 3 i x = 2 .
Dette tydeliggøres grafisk ved, at der på grafen sættes udfyldt bolle, der hvor funktionsværdien
i x = 2 befinder sig, og en åben bolle det andet sted:
197
MAPLE
Vi skal her tegne en stykkevis lineær funktion, der består af 3 stykker:
f^ x h = *
x+8
x<2
2
-2 # x < 4
- 2x + 10 4 # x < 8
For at kunne definere denne funktion i Maple, er vi nødt til at kunne føje en række til de to rækker, skabelonen giver. Det gør man ved at højreklikke (mac Ctrl+klik) på skabelonen og vælge
Insert Row i den menu, der popper op.
Hvis vi definerer funktionen efter ovenstående forskrift får vi problemer, idet Maple som standard vil sætte funktionen til 0, hvor den ikke er defineret – dvs. i intervallet [8, 3 [ . Dette kan vi
undgå ved eksplicit at gøre opmærksom på, at funktionen ikke er defineret i intervallet [8, 3 [ .
MAPLE
Tegner vi grafen for
f (x): = '
- 2x + 1
x+1
Vi definerer f , så f ikke er defineret i intervallet [8, 3 [ , således:
x<2
:
x$2
i Maple, vil det se ud som grafen nedenfor til venstre. Maple tjekker altså for hop i grafen. Tilføjer vi desuden discont i plot-kommandoen
plot ^ f (x), x =- 5..15 , y =- 5..15, discont h
vil Maple også tjekke for huller i grafen (grafen til højre):
Z x+8
x<2
]
]
-2 # x < 4
2
f^ x h : = [
:
]] - 2x + 10 4 # x < 8
x$8
\ undefined
Udregner vi f på en værdi i intervallet [8, 3 [ , fx 10, er resultatet dette
f ^ 10 h = undefined
Grafen kommer til at se sådan ud:
Kigger vi rigtig godt efter, kan vi se, at der på grafen til højre er en lille markering i punktet
^ 2, 3 h . Klikker vi på denne, vil der komme en lille firkant omkring, der betyder, at vi kan foretage indstillinger i kontekstmenuen af det inde i firkanten.
Vælg Symbol 2 Cirkle (Solid) i kontekstmenuen og lav herefter den udfyldte cirkel en anelse
større ved at vælge Symbol 2 Symbol Size ... 2 14.
OPGAVER 7.11 – 7.18 „
Den udfyldte cirkel bliver sort, men farven kan nemt ændres til ’Burgundy’ ved hjælp af Color
i kontekstmenuen. Den åbne bolle i ^ 2, - 3 h kan vi ikke umiddelbart lave.
198
199
7.3 Andengradspolynomiet
7.3.1
DEFINITION
MAPLE
Vi løser her eksempel 7.3.2 i Maple. Først definerer vi andengradspolynomiet
f (x) : =- x 2 + 10x - 18
Et andengradspolynomium er en funktion på formen
f (x) = a $ x 2 + b $ x + c ,
Y 0.
hvor a, b og c er reelle tal og a =
Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel.
En parabel med ligningen
y = a $ x2 + b $ x + c
vil altid kunne opfattes som graf for et andengradspolynomium
f (x) = a $ x 2 + b $ x + c ,
så alt, vi har vist om parabler, kan uden videre overføres til andengradspolynomiets graf.
7.3.2
x 7- x 2 + 10x - 18
Toppunktets førstekoordinat beregnes
-
10 = 5
2 $ (- 1)
og andenkoordinaten beregnes ved at finde funktionsværdien i 5:
f (5) = 7
Heraf følger, at toppunktets koordinater er ^5, 7 h og Vm ^ f h = ] - 3, 7 ]
Vi tager et kig på grafen for at tjekke, om alt er i orden. Her er det ikke tilstrækkeligt at tegne
grafen i det interval, Maple automatisk vælger, men det er noget, man skal prøve, inden man
kan se det. Her viser det sig at være fornuftigt at begrænse både x-intervallet og y-intervallet:
plot ^ f (x), x = 0 ..10, y =- 2 .. 8 h
EKSEMPEL
Et andengradspolynomium er givet ved
f (x) =- x 2 + 10x - 18 .
Vi vil finde toppunktet for grafen for f og bestemme værdimængden for f .
Vi aflæser koefficienterne til a =- 1, b = 10 og c =- 18 . Toppunktets førstekoordinat kan så
bestemmes ved hjælp af toppunktsformlen 4.9.1:
- 2ba =-
10 = 5
2 $ (- 1)
Andenkoordinaten bestemmes nemmest ved at udregne
f (5) =- 5 2 + 10 $ 5 - 18 =- 25 + 50 - 18 = 7
Der er ingen grund til at udregne diskriminanten her.
Toppunktet bliver således T = ^5, 7 h .
Værdimængden for f kan bestemmes udfra toppunktet og fortegnet på koefficienten a: Da a
her er negativ, vil parablens grene vende nedad. Den største værdi f kan antage, må derfor
være y-koordinaten til toppunktet. Altså er
Vm ^ f h = ] - 3, 7 ]
200
Som tidligere, kan vi naturligvis også her få Maple til at aflæse koefficienterne og beregne
toppunktet helt automatisk:
f (x) : =- x 2 + 10x - 18 :
a: = coeff ^ f (x), x, 2 h = - 1
b: = coeff ^ f (x), x, 1 h = 10
c: = coeff ^ f (x), x, 0 h = - 18
d: = b 2 - 4a $ c = 72
T: = 8- 2ba , - 4da B = 65, 7@
OPGAVER 7.19 – 7.30 „
201
Inden vi går videre, er der nogle begreber, vi skal have helt på plads. Allerførst en definition, der
gælder for en vilkårlig funktion – og altså ikke er forbehold andengradspolynomier:
7.3.3
DEFINITION – NULPUNKT
Først bestemmes diskriminanten:
d = 2 2 - 4 $ 1 $ ^ - 3 h = 16
og dermed kan løsningerne bestemmes
Et nulpunkt for en funktion f er en x-værdi der opfylder, at f (x) = 0
x=
Grafisk betyder det, at hvis x 0 er et nulpunkt for en funktion f , så vil funktionen graf skære
x-aksen i punktet med koordinaterne ^ x 0, 0 h .
7.3.4
- 2 ! 16
= - 22! 4 & x =- 3 0 x = 1
2
Rødderne i andengradspolynomiet f er således - 3 og 1.
Lad os tage et kig på grafen:
EKSEMPEL
Undersøg, om - 1 og 1 er nulpunkter for funktionen
f^ x h = x 2 - x - 2
rødder
Vi udregner de to funktionsværdier:
f ^ - 1 h = ^ - 1 h2 - ^ - 1 h - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
f ^ 1 h = 1 2 - 1 - 2 =- 2
så - 1 er et nulpunkt, men det er 1 ikke.
I ovenstående eksempel tjekkede vi blot, om - 1 og 1 er nulpunkter ved at indsætte i funktionsforskriften. Vi gjorde os ingen anstrengelser for beregne nulpunkterne ved at løse ligningen
f ^ x h = 0 . Havde vi gjort det, ville - 1 være dukket op blandt løsningerne, men ikke 1.
Nulpunkterne for et andengradspolynomium har fået et specielt navn:
7.3.5
DEFINITION
Ved rødderne i et andengradspolynomium
f (x) = a $ x 2 + b $ x + c
forstås løsningerne til den tilsvarende andengradsligning:
a $ x2 + b $ x + c = 0,
Da vi ved, at en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 løsninger, kan et andengradspolynomium have 0, 1 eller 2 rødder.
7.3.6
EKSEMPEL
Et andengradspolynomium har forskriften
f (x) = x 2 + 2x - 3
Vi bestemmer rødderne i andengradspolynomiet ved at løse ligningen
7.3.7
EKSEMPEL
Et andengradspolynomium er givet ved forskriften
p (x) = 3 ^ x + 5 h $ ^ x - 4 h
Rødderne i p er nemme at finde ved hjælp af nulreglen:
p (x) = 0
2
3^ x + 5 h $ ^ x - 4 h = 0
2
^ x + 5h $ ^ x - 4h = 0
2
x+5 = 0 0 x-4 = 0
2
x =- 5 0 x = 4
[divider med 3 på begge sider]
[brug nulreglen: En af faktorerne skal være 0 ]
At det er et andengradspolynomium kan ses ved at gange parentesene ud:
p (x) = 3 ^ x + 5 h $ ^ x - 4 h = 3 ^ x 2 - 4x + 5x - 20 h = 3x 2 + 3x - 60
Hvis vi løser anddengradsligningen 3x 2 + 3x - 60 = 0 ved brug af løsningsformlen 2.5.5, vil
vi med garanti også få løsningerne - 5 og 4.
x 2 + 2x - 3 = 0
202
203
Men nok så interessant bliver det, hvis vi læser vores udregninger bagfra. Så følger det nemlig,
at vi kan lave denne omskrivning af et andengradspolynomium:
-b - d -b + d
$
2a
2a
^-b - d h $ ^-b + d h
=
2a $ 2a
2
2
^-bh - d
=
4a 2
2
= b -2d
4a
2 ^ 2
h
= b - b -2 4a $ c
4a
a
c
4
$
=
4a 2
= ac
r1 $ r2 =
p (x) = 3x 2 + 3x - 60 = 3 ^ x + 5 h $ ^ x - 4 h
ved at finde rødderne i andengradspolynomiet p (x) = 3x 2 + 3x - 60 . Denne egenskab er ikke
kun noget, der gælder i dette eksempel – det gælder helt generelt, hvis der er to rødder. Det
beviser vi i den næste sætning.
7.3.8
SÆTNING – FAKTORISERING AF ANDENGRADSPOLYNOMIET
Hvis andengradspolynomiet
f (x) = a $ x 2 + b $ x + c
har rødderne r1 og r2 , så kan f faktoriseres således:
f ^ x h = a $ ^ x - r1 h $ ^ x - r2 h
Hvis andengradspolynomiet kun har én rod, r , så kan f faktoriseres således:
[tæller gange tæller og nævner gange nævner]
[3. kvadratsætning]
[reducer tælleren]
[indsæt udtrykket for d, d = b 2 - 4a $ c ]
[hæv parentesen og reducer tælleren]
[forkort brøken med 4a
Vi indsætter det fundne i den udregning, vi lavede i starten
a $ ^ x - r 1 h $ ^ x - r 2 h = a $ _ x 2 - r1 $ x - r2 $ x + r1 $ r 2 i
= a $ _ x 2 - ^ r1 + r2 h $ x + r1 $ r2 i
= a $ a x 2 - ba $ x + ac k
= a $ x2 + b $ x + c
f ^ x h = a $ ^ x - r h2
Det var den første del af beviset.
BEVIS
Vi udregner
a $ ^ x - r1 h $ ^ x - r2 h = a $ _ x 2 - r1 $ x - r2 $ x + r1 $ r2 i
= a $ _ x 2 - ^ r1 + r2 h $ x + r1 $ r2 i
For at komme videre i udregningen skal vi have fat i løsningsformlen 2.5.5, hvor vi har vi disse
udtryk for rødderne
r1 =
-b - d
2a
og
r2 =
-b + d
2a
r =- 2ba
Vi regner så
2
2
a $ ^ x - r h = a $ a x - a - 2ba kk
2
= a $ a x + 2ba k
hvor d = b - 4a $ c .
2
Vi udregner først summen af de to rødder:
-b - d -b + d
+
2a
2a
^
-b - d + -b + d h
=
2a
-b - d - b + d
=
2a
b
2
= 2a
=- ba
I den anden del går vi ud fra, at andengradspolynomiet kun har én rod. Fra løsningsformlen
2.5.5 ved vi, at roden kan udtrykkes ved
r1 + r2 =
[sæt på fælles brøkstreg – samme nævner]
[hæv parentesen]
[reducer tælleren]
[forkort brøken med 2]
2
= a $ d x 2 + 2 $ 2ba $ x + b 2 n
4a
2
= a $ x 2 + a $ ab $ x + a $ b 2
4a
2
= a $ x 2 + b $ x + 4ba
[hæv parentesen]
[1. kvadratsætning]
[gang a ind i parentesen]
[reducer udtrykket]
Vi mangler kun at vise, at det sidste led er c. Hertil benytter vi, at da andengradspolynomiet kun
har én rod, så er diskriminanten lig med 0:
2
b 2 - 4a $ c = 0 & 4a $ c = b 2 & c = 4bac
QED
Vi udregner herefter produktet af de to rødder:
204
205
7.3.9
Hvis der kun er én rod, får vi denne faktorisering:
EKSEMPEL
Vi skal faktorisere andengradspolynomiet
f ^ x h = 6x 2 - x - 1
6x 2 - x - 1 = 0
Diskriminanten er d = ^ - 1 h - 4 $ 6 $ 1 = 25 , så løsningerne bliver
2
-^ - 1 h ! 25
! 5 & x =- 1 0 x = 1
= 1 12
3
2$6
2
Faktoriseringen bliver dermed
f ^ x h = 6 _ x - _ - 31 ii $ _ x - 21 i
= 6 _ x + 31 i $ _ x - 21 i
^ 3x - 2 h2 = _ 3 _ x - 23 ii = 3 2 $ _ x - 23 i = 9 _ x - 23 i
2
2
2
Factor findes også i kontekst menuen:
6x 2 - x - 1
factor
^ 2x - 1 h^ 3x + 1 h
Kigger vi beviset for sætning 7.3.8 gennem, får vi en umiddelbar sidegevinst ved at se på en
andengradsligning på formen
x2 + b $ x + c = 0
hvor altså a = 1 . Hvis r1 og r2 er løsningerne til ligningen, så er
r1 + r2 =- b og r1 $ r2 = c
7.3.10 EKSEMPEL
Vi skal faktorisere andengradspolynomiet
f ^ x h = 9x 2 - 12x + 4
Hertil løser vi først den tilsvarende andengradsligning
2
9x - 12x + 4 = 0
Diskriminanten er d = ^ - 12 h - 4 $ 9 $ 4 = 0 , så løsningen bliver
2
12
12
2
x =- 2 $ 9 = 18 = 3
Faktoriseringen bliver dermed
2
f ^ x h = 9 _ x - 23 i
MAPLE
Faktorisering i Maple går som en leg. Her skal du bruge kommandoen factor:
factor ^ 6x 2 - x - 1 h = ^ 2x - 1 h^ 3x + 1 h
Dog faktoriseres ikke således, at rødderne umiddelbart kan aflæses, men det er det samme, som
vi fik i eksempel 7.3.9 – vi skal blot sætte koefficienten til x uden for parentes i de to faktorer:
^ 2x - 1 h^ 3x + 1 h = 2 $ _ x - 21 i $ 3 $ _ x + 31 i = 6 $ _ x - 21 i $ _ x + 31 i
Hvis rødderne er hele tal, så sætter Maple uden for parentes:
factor ^ 2x 2 + 4x - 6 h = 2 ^ x + 3 h^ x - 1 h
206
2
Her skal du også selv sætte uden for parentes:
Hertil løser vi først den tilsvarende andengradsligning
x=
factor ^ 9x 2 - 12x + 4 h = ^ 3x - 2 h
Det betyder, at hvis andengradsligningen har pæne heltallige koefficienter, så kan vi umiddelbart se løsningerne uden at regne.
7.3.11 EKSEMPEL
Vi skal løse andengradsligningen
x 2 + 3x - 10 = 0
Vi skal finde to tal, der ganget sammen giver - 10 og lagt sammen giver - 3 . Her falder valget
hurtigt på - 2 og 5 eller 2 og - 5 , men da summen af de to faktorer skal give - 3 , må 2 og - 5
være det korrekte valg.
På denne måde kan man løse mange andengradsligninger ved hovedregning, men det kræver
en smule øvelse.
Hvis du ikke kan se løsningerne med det samme, så lad være med at bruge denne gættemetode.
Prøver man på at regne sig frem til løsningen ved at løse ligningssystemet
)
r1 $ r2 =- 10
r1 + r2 =- 3
så vil man, ved at isolere fx r2 i den ene ligning og sætte udtrykket for r2 ind i den anden ligning, komme frem til denne ligning
r12 + 3r1 - 10 = 0
der jo er den ligning, vi startede med.
OPGAVER 7.31 – 7.37 „
207
7.4 Polynomier af højere grad end 2
7.4.1
p^ x h = x3
p^ x h = - x3
DEFINITION – POLYNOMIUM
Et polynomium er en funktion, der kun består af led på formen a $ x n , hvor a er et vilkårligt reelt
tal og n er et helt tal, n $ 0 .
Tallet a kaldes koefficienten til x n .
Ved graden af et polynomium forstås den højeste potens af x, der forekommer i polynomiet med
en koefficient forskellig fra 0.
Et andengradspolynomium er vitterligt et polynomium, idet vi kan skrive funktionsudtrykket
således:
p ^ x h = 51 x 3 - 45 x 2 - 45 x + 16
5
p ^ x h = - 51 x 3 + 45 x 2 + 45 x - 16
5
p ^ x h = 51 x 3 - 45 x 2 - 53 x + 18
5
p ^ x h = - 51 x 3 + 45 x 2 + 53 x - 18
5
p ^ x h = 51 x 3 - 45 x 2 - 53 x + 28
5
p ^ x h = - 51 x 3 + 45 x 2 + 53 x - 28
5
p^ x h = a $ x 2 + b $ x + c
= a $ x2 + b $ x1 + c $ x0
idet vi husker på, at x 1 = x og x 0 = 1 .
De enkelte led i andengradspolynomiet har navne
p^ x h =
a $ x2
;
andengradsleddet
+
b$x
9
førstegradsleddet
+
c
5
konstantleddet
Y 0 . Herved sikrer vi, at der er et
Da vi definerede andengradspolynomiet forlangte vi, at a =
andengradsled (forskellig fra 0) og dermed, at et andengradspolynomium har graden 2.
En lineær funktion er også et polynomium, idet funktionsudtrykket kan omskrives sådan her:
p^ x h = a $ x + b
= a $ x1 + b $ x0
der består af et førstegradsled og et konstantled.
Y 0 . Det bevirker, at vi ikke
I definition 7.1.1 af den lineære funktion forlangte vi ikke, at a =
umiddelbart kan udtale os om graden.
Y 0 , så har den lineære funktion graden 1 og kaldes derfor også et førstegradspolynoHvis a =
mium.
Hvis derimod a = 0 , består den lineære funktion kun af et konstantled og hvis denne konstant
er forskellig fra 0, så har den lineære funktion graden 0.
Et tredjegradspolynomium ser generelt således ud:
p^ x h = a $ x 3 + b $ x 2 + c $ x + d
Y 0 . Koefficienterne b, c og d kan være vilkårlige reelle tal.
hvor vi forlanger, at a =
Grafen for et tredjegradspolyomium forløber i det væsentlige som et af de eksempler, der er
vist på næste side. For graferne til venstre gælder, at a > 0 og for graferne til højre er a < 0 :
208
209
Et kig på graferne viser løst sagt, at når koefficienten til x 3 er positiv, altså når a > 0 , så vil
grafen starte med værdier i - 3 og – eventuelt efter et par sving – slutte med værdier i 3 .
Hvis a < 0 er det lige modsat: Her starter grafen med værdier i 3 og – eventuelt efter et par
sving – slutte med værdier i - 3 .
Med et sådant forløb kan vi være sikre på, at grafen altid vil skære x-aksen mindst én gang.
Dvs., at der gælder:
7.4.2
x=
- 1 ! 25
= - 12! 5 & x =- 3 0 x = 2
2
Dette giver os denne faktorisering:
x2 + x - 6 = ^ x + 3 h $ ^ x - 2 h
som vi indsætter i udtrykket for p ^ x h :
SÆTNING
p ^ x h = x 3 - 7x + 6 = ^ x - 1 h $ ^ x + 3 h $ ^ x - 2 h
Et tredjegradspolynomium har altid mindst én reel rod.
Desuden viser graferne at der kan være 1, 2 eller 3 rødder, men ikke flere. At der ikke kan være
flere end 3 rødder følger af, at et tredjegradspolynomium (i lighed med et andengradspolynomium) kan faktoriseres. Det ser vi på i det næste eksempel.
7.4.3
Diskriminanten er d = 1 2 - 4 $ 1 $ ^ - 6 h = 25 , så der er to løsninger
EKSEMPEL - FAKTORISERING AF ET TREDJEGRADSPOLYNOMIUM
p ^ x h = x 3 - 7x + 6
Et hurtigt kig på polynomiet viser, at 1 er rod: 1 3 - 7 $ 1 + 6 = 0 . Vi kan så prøve at skrive p på
en form, hvor ^ x - 1 h indgår som faktor. Vi prøver med noget i stil med
p^ x h = ^ x - 1 h $ ^ a $ x 2 + b $ x + c h
Da vi skal ende op med et tredjegradspolynomium, hvis vi ganger parenteserne ud, er den anden faktor nødt til at indeholde et led af graden 2 og sikkert led af lavere grad, men intet led af
grad højere end 2.
Vi ganger parenteserne ud:
^ x - 1 h $ ^ a $ x2 + b $ x + c h = a $ x3 + b $ x2 + c $ x - a $ x2 - b $ x - c
= a $ x3 + ^ b - a h $ x2 + ^ c - b h $ x - c
5
>
>
5
0
Hvis tredjegradspolynomiet har to rødder, kan vi naturligvis ikke faktorisere i 3 førstegradsfaktorer, idet dette ville medføre, at der er 3 rødder. Lad os se på dette eksempel
q ^ x h = x 3 - 7x 2 + 15x - 9 = 0
Vi ser på tredjegradspolynomiet
1
Så vi har altså fået tredjegradspolynomiet faktoriseret i 3 førstegradsfaktorer – svarende til, at
tredjegradspolynomiet har 3 rødder.
-7
6
Ved at sammenligne med koefficienten til x 3 i p ^ x h , kan vi se, at a = 1 .
Da koefficienten til x 2 er 0 i p ^ x h , er b - a = 0 , men da a = 1 , har vi dermed også, at b = 1 .
Koefficienten til x i p ^ x h er - 7 , derfor er c - b =- 7 , men da b = 1 , er c =- 6 .
Tilbage er blot at sammenligne konstantleddene: - c = 6 , og dermed er c =- 6 , hvilket harmonerer fint med det vi lige har fundet.
Vi kan så skrive faktoriseringen:
p^ x h = ^ x - 1 h $ ^ x 2 + x - 6 h
Herefter kan vi så benytte sætning 7.3.8 til at faktorisere den anden faktor. Hertil skal vi løse
andengradsligningen
Her ses det også umiddelbart, at 1 er rod. Vi kan så, ved at benytte stort set de samme udregninger, at vi kan faktorisere:
q ^ x h = ^ x - 1 h $ ^ x 2 - 6x + 9 h
For at faktorisere yderligere, løser vi andengradsligningen x 2 - 6x + 9 = 0 , Her er diskriminanten d = 0 , så der er kun én løsning, nemlig x =- -26 = 3 . Ifølge sætning 7.3.8 får vi denne
faktorisering i to førstegradsfaktorer
q ^ x h = ^ x - 1 h $ ^ x - 3 h2
Endelig, hvis tredjegradspolynomiet kun har én rod, kan der kun optræde én førstegradsfaktor i
faktoriseringen. Vi ser her på eksemplet
r^ x h = x 3 - x 2 + x - 1
Her ses det også umiddelbart, at 1 er rod. Vi kan så, efter samme melodi som ovenfor, faktorisere:
r^ x h = ^ x - 1 h $ ^ x 2 + 1 h
Da ligningen x 2 + 1 = 0 ingen løsninger har, kan vi ikke faktorisere yderligere. Vi har altså i
dette tilfælde tredjegradspolynomiet faktoriseret i en førstegradsfaktor og en andengradsfaktor,
hvor andengradsfaktoren ikke kan faktoriseres yderligere.
Der findes en metode, kaldet polynomiers division, der kan bestemme faktoriseringen på en
noget mindre kluntet måde end den, vi har benyttet, men det vi føre for vidt at komme ind på
denne metode her.
x2 + x - 6 = 0
210
211
MAPLE – FAKTORISERING
7.4.5
Faktorisering går som en leg i Maple. Lad os prøve at faktorisere de 3 polynomier fra eksempel
7.4.3. Vi definerer
Vi skal her løse tredjegradsligningen
p ^ x h : = x 3 - 7x + 6
3
p: x 7 x - 7x + 6
x 3 + 3x 2 - 10x = 0
Det, der gør denne ligning nem at løse, er, at der ikke er noget konstantled. Der er et x i alle led,
så vi kan sætte x uden for en parentes:
x $ ^ x 2 + 3x - 10 h = 0
Til faktorisering benyttes kommandoen factor:
factor ^ p ^ x hh = ^ x - 1 h^ x - 2 h^ x + 3 h
Vi kan også benytte kontekstmenuen, men det kræver, at p (x) er ’beregnet’ først. Til denne
beregning benyttes Evaluate fra kontekstmenuen eller blot at taste Alt+Enter, hvorefter Factor
bliver synlig i kontekstmenuen
p ^ x h = x 3 - 7x + 6
factor
^ x - 1 h^ x - 2 h^ x + 3 h
Vi faktoriserer også de to andre tredjegradspolynomier fra eksempel 7.4.3:
factor
x 3 - 7x 2 + 15x - 9
3
2
x -x +x-1
factor
^ x - 1 h^ x - 3 h2
^ x - 1 h^ x 2 + 1 h
På baggrund af erfaringerne fra eksempel 7.4.3 formulerer vi denne sætning
7.4.4
SÆTNING – FAKTORISERING AF ET TREDJEGRADSPOLYNOMIUM
Hvis r er rod i tredjegradspolynomiet p, så kan p skrives
p^ x h = ^ x - r h $ q^ x h
hvor q er et andengradspolynomium.
At bestemme rødderne i et tredjegradspolynomiet
p^ x h = a $ x 3 + b $ x 2 + c $ x + d
svarer til at finde løsningerne til tredjegradsligningen
a $ x3 + b $ x2 + c $ x + d = 0
hvilket ikke er helt nemt. Nok findes der en løsningsformel, men den er så fæl, at den så at sige
aldrig bruges i praksis (men dog i CAS-programmer). Løser man ved håndkraft, prøver man
ofte at gætte sig frem til en løsning, som der jo mindst er én af, og derefter kan man gå frem
som i eksempel 7.4.3 for at finde de øvrige løsninger, hvis der da er flere.
Vi skal se nogle eksempler på tredjegradsligninger, som er nemme at løse:
212
EKSEMPEL
Herefter kan vi benytte nulreglen til at slutte:
x = 0 0 x 2 + 3x - 10 = 0
Tilbage er så blot at finde løsningerne til en andengradsligning. Her kan vi benytte løsningsformlen eller vi kan gætte løsningerne: Vi skal finde to tal, hvis produkt er - 10 og hvis sum er
- 3 . Her når man hurtigt frem til, at de to tal må være 2 og - 5 .
Løsningerne til ligningen er således 0, 2 og - 5 .
7.4.6
EKSEMPEL
Vi skal her løse tredjegradsligningen
^ 2x - 3 h $ ^ x 2 + x - 1 h = 0
Da ligningen fra starten af er faktoriseret, kan vi benytte nulreglen:
^ 2x - 3 h $ ^ x 2 + x - 1 h = 0
2
2x - 3 = 0 0 x 2 + x - 1 = 0
2
x = 23 0 x 2 + x - 1 = 0
Vi løser så andengradsligningen:
d = 12 - 4 $ 1 $ ^ - 1 h = 5
x=
-1 ! 5
-1 - 5
-1 + 5
& x=
0 x=
2
2
2
Løsningerne til ligningen er således (skrevet som løsningsmængde):
3 , -1 - 5 , -1 + 5 1
L='2
2
2
Løsningen af tredjegradsligningen i dette eksempel er stærkt afhængig af, at vi kender en delvis
faktorisering fra starten af. Uden denne skulle vi på en eller anden måde finde løsningen 23 og
herefter lave en faktorisering efter retningslinjerne i eksempel 7.4.3.
Der findes gode metoder til at gætte sig frem til rationale rødder, men dem vil vi ikke komme
ind på her.
213
Et fjerdegradspolynomium ser generelt således ud:
MAPLE
Hvis en tredjegradsligning kun har reelle løsninger, er det ingen sag at løse ligningen. Fx
2x 3 - x 2 - 5x + 3 = 0
5 11 '
51
1
% x = 3 /, ' x =
2
2 - 2 , x =- 2 - 2
solve
Langt være er det at slippe af med ’uforståelige’ løsninger. Disse løsninger er en konsekvens af,
at Maple lever i en større verden end den, vi kender. Fx
x3 - x2 + x - 1 = 0
solve
p^ x h = a $ x 4 + b $ x 3 + c $ x 2 + d $ x + e
Y 0 . Koefficienterne b, c, d og e kan være vilkårlige reelle tal.
hvor vi forlanger, at a =
På figuren nedenfor ses typiske forløb af grafen for et fjerdegradspolynomium, hvor koefficienten til x 4 er positiv
" x = 1 ,, " x = I ,, " x =- I ,
Her er der kun én reel rod og to ikke-reelle rødder. For at slippe af med de ikke-reelle rødder i
Maples output, kan vi benytte kommandoen reelSolve fra Gym-pakken:
x3 - x2 + x - 1 = 0
reelSolve
1
der vil give den eksakte rod. Alternativt kan man, hvis man er tilfreds med et tilnærmet resultat,
anvende Numerically Solve fra kontekstmenuen:
x3 - x2 + x - 1 = 0
solve
1.
p (x) = x 4
p ^ x h = 21 x 4 - 21 x 3 - 27 x 2 + 21 x + 3
p ^ x h = 21 x 4 - 29 x 2 - 2x + 6
p ^ x h = x 4 - 4x 3 + 27 x 2 - 2x + 23
p ^ x h = x 4 - 4x 3 + 29 x 2 - 2x + 2
p ^ x h = x 4 - 4x 3 + 29 x 2 - 2x + 3
Læg mærke til det punktum, der er efter 1-tallet. Det betyder, at det er et tilnærmet resultat.
Kommandoerne kan naturligvis også skrives direkte:
solve ^ x 3 - x 2 + x - 1 = 0 , " x , h
" x = 1 ,, " x = I ,, " x =- I ,
reelSolve ^ x 3 - x 2 + x - 1 = 0 , " x , h
fsolve ^ x 3 - x 2 + x - 1 = 0 , " x , h
"x = 1,
" x = 1. ,
Selvom vi ved, at der findes en reel løsning til en tredjegradsligning, kan denne løsning se ganske forfærdelig ud:
reelSolve
2x 3 - 21 x 2 - x + 7 = 0
^ 2987 + 12 61851 h1/3
12
-
25
1/3
12 ^ 2987 + 12 61851 h
Så her ville det være på sin plads at benytte Numerically Solve:
2x
3
- 21 x 2 - x + 7 = 0
solve
- 1.543355693
1
+ 12
Vi ser, at i alle tilfælde vender grafens ’grene’ opad. Hvis derimod koefficienten til x 4 er negativ, vil grafens ’grene’ vende nedad. Vi skal se et par eksempler på dette:
214
215
p ^ x h = - 21 x 4 + 21 x 3 + 3x 2
p ^ x h = - x + 4x
4
3
- 27 x 2 + 2x - 23
Vi kan naturligvis fortsætte og definere et femtegradspolynomium ved at tilføje et led at 5. grad
til udtrykket for fjerdegradspolynomiet. Et sjettegradspolynomium tilsvarende, osv. Dette kommer nemt til at give problemer i forbindelse med navngivningen af koefficienterne a, b, c, ...
Man vælger derfor at benytte et enkelt bogstav til at betegne koefficienterne, fx a, og benytte
et indeks på bogstavet, svarende til leddets grad, til at skelne mellem de enkelte koefficienter.
Med denne vedtægt vil et fjerdegradspolynomium se sådan ud
p^ x h = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
og sammenligner vi med et konkret polynomium, fx
p ^ x h = x 4 - 21 x 3 - x 2 + 3
Af graferne ses, at et fjerdegradspolynomium kan have 0, 1, 2, 3 eller 4 rødder. Det kan altså
godt lade sig gøre at have et fjerdegradspolynomium uden rødder, men det kan ikke lade sig
gøre at have flere end 4 rødder.
så er a 4 = 1, a 3 =- 21 , a 2 =- 1, a 1 = 0 , a 0 = 3 .
Vi kan så definere et generelt n’te gradspolynomium:
7.4.7
MAPLE
Faktorisering af fjerdegradspolynomier og løsning af fjerdegradsligninger fungerer som ved
tredjegradspolynomier. Vi ser på
p ^ x h : = 21 x 4 - 21 x 3 - 27 x 2 + 21 x + 3
DEFINITION – N’TE GRADS POLYNOMIUM
For ethvert helt tal n $ 0 defineres et n’te gradspolynomium ved
p^ x h = a n x n + a n - 1 x n - 1 + g + a 1 x + a 0
Y0
hvor a n, a n - 1, f , a 1, a 0 ! R og a n =
Faktoriseringen bliver
p ^ x h = 21 x 4 - 21 x 3 - 27 x 2 + 21 x + 3
factor
1^
h^
h^
h^
h
2 x+2 x+1 x-1 x-3
hvoraf vi umiddelbart kan aflæse rødderne: - 2, - 1, 1 og 3 . Vi kan naturligvis også få rødderne i p ved at løse fjerdegradsligningen
1 4
1 3
7 2
1
2x - 2x - 2x + 2x+3 = 0
" x =- 2 ,, " x =- 1 ,, " x = 1 ,, " x = 3 ,
solve
Y 0 sikrer vi, at polynomiet får graden n.
Med antagelsen a n =
Sætning 7.4.4 gælder helt generelt for polynomier (en sætning, vi ikke beviser):
7.4.8
Hvis r er en rod i et polynomium p af grad n, så kan p faktoriseres
Lad os også faktorisere fjeredegradspolynomiet
q ^ x h : =- x + 4x
4
3
p ^ x h = ^ x - r h $ q (x)
- 27 x 2 + 2x - 23
Her får vi en andengradsfaktor og to førstegradsfaktorer:
q ^ x h = - x 4 + 4x 3 - 27 x 2 + 2x - 23
factor
Løser vi ligningen, ser det ud til, at der er 4 rødder, men pas på:
solve
% x = I 2 /, % x =- I 2 /, " x = 1 ,, " x = 3 ,
2
2
To af rødderne er ikke-reelle, så den skal vi have luget ud. Det sker med reelSolve:
- x 4 + 4x 3 - 27 x 2 + 2x - 23
reelSolve
1, 3
hvor q er et polynomium af grad n - 1 .
- 21 ^ 2x 2 + 1 h^ x - 1 h^ x - 3 h
Her kan vi være sikre på, at andengradsfaktoren ikke kan faktoriseres, idet Maple ellers ville
have gjort det.
- x 4 + 4x 3 - 27 x 2 + 2x - 23
SÆTNING
7.4.9
SÆTNING – ANTAL RØDDER I ET POLYNOMIUM AF GRAD N
Et polynomium af grad n har højst n rødder
BEVIS
Hvis r1 er rod i polynomiet p af grad n, så er ifølge sætning 7.4.8
p ^ x h = ^ x - r1 h $ q 1 (x)
hvor q 1 er et polynomium af grad n - 1 .
216
217
Hvis r2 er rod i q 1 , så er r2 også rod i p. Dette følger af
Kan det mon altid lade sig gøre at finde et førstegradspolynomium, der går gennem punkterne
Y x2 ?
^ x 1, y 1 h og ^ x 2, y 2 h , hvor x 1 =
Svaret er nej, og det hænger sammen med, at hvis y 1 = y 2 , så er linjen vandret og altså af formen p ^ x h = k , hvor k er en konstant. p er i dette tilfælde et polynomium af grad 0.
p ^ r2 h = ^ r2 - r1 h $ q 1 ^ r2 h = ^ r2 - r1 h $ 0 = 0
idet vi husker på, at r2 er rod i q 1 netop når q 1 ^ r2 h = 0 .
Lad os nu prøve om vi kan finde et andengradspolynomium gennem de 3 punkter:
Det betyder, at når vi har fundet roden r1 i p og har faktoriseret p således
^ - 2, 15 h, ^ 1, 3 h og ^ 4, 9 h
p ^ x h = ^ x - r1 h $ q 1 (x)
Vi indsætter de 3 punkter i det generelle udtryk for et andengradspolynomium:
så vil de resterende rødder i p være rødderne i q 1 .
p^ x h = a $ x 2 + b $ x + c
Hvis r2 er rod i q 1 , så faktoriserer vi q 1 :
p ^ x h = ^ x - r1 h $ ^ x - r2 h $ q 2 (x)
og får dette ligningssystem bestående af 3 ligninger med 3 ubekendte:
hvor q 2 har graden n - 2 .
Dette kan naturligvis ikke blive ved. Lad os antage, at vi har fundet n rødder r1, r2, f , rn .
Faktoriseringen af p er da
p ^ x h = ^ x - r1 h $ ^ x - r2 h $ f $ ^ x - rn h $ q n ^ x h
Z
Z ^ h
2
]] a $ ^ - 2 h + b $ ^ - 2 h + c = 15
]] p - 2 = 15
[ p^ 1 h = 3
+ [a $ 1 + b $ 1 + c = 3
+
]
] ^ h
2
\a $ 4 + b $ 4 + c = 9
\p 4 = 9
Det nemmeste her er nok at isolere c i den midterste ligning
c = 3-a-b
hvor q n har graden 0 – og må dermed være en konstant. Så kan der ikke være flere rødder.
QED
og indsætte dette i den øverste og den nederste ligning:
7.4.10 EKSEMPEL – POLYNOMIER GENNEM ET ANTAL PUNKTER
4a - 2b + 3 - a - b = 15 + 3a - 3b = 12
Vi har adskillige gange løst en opgave i stil med:
16a + 4b + 3 - a - b = 9 + 15a + 3b = 6
Find forskriften for et førstegradspolynomium, der går gennem punkterne ^ 2, 3 h og ^ 5, 8 h .
Et førstegradspolynomium har forskriften
p^ x h = a $ x + b
Vi indsætter de to givne punkter og får dette ligningssystem
*
p^ 2 h = 3
2a + b = 3
+ (
p^ 5 h = 8
5a + b = 8
Vi trækker de to ligninger fra hinanden (den nederste minus den øverste) og bestemmer a:
3a = 5 & a = 53
b bestemmes ved at indsætte a i en af de to ligninger (fx den øverste):
2 $ 53 + b = 3 & b = 3 - 10
& b =- 31
3
Vi får kun én løsning, så vi har et entydigt bestemt polynomium,der går gennem punkterne
^ 2, 3 h og ^ 5, 8 h , nemlig
p ^ x h = 53 x - 31
218
4a - 2b + c = 15
* a+b+c = 3
16a + 4b + c = 9
Vi lægger de to fundne ligninger sammen, hvorved leddet 3b forsvinder. Vi får
18a = 18 + a = 1
Dette kan vi så indsætte i ligningen 3a - 3b = 12 , og vi finder b:
3 - 3b = 12 + - 3b = 9 + b =- 3
Endelig indsætter vi værdierne for a og b i ligningen c = 3 - a - b og finder c = 5 .
Det søgte andengradspolynomium er altså
p ^ x h = x 2 - 3x + 5
Hvis de 3 punkter ligger på en ret linje, kan vi naturligvis ikke bestemme et andengradspolynomium gennem disse punkter, da en ret linje og en parabel højst kan have to skæringspunkter.
De ovenstående udregninger kan altid udføres, men naturligvis kan vi risikere, at a = 0 , så
de 3 punkter ligger på en ret linje, eller at både a = 0 og b = 0 , så de 3 punkter ligger på en
vandret linje. I alle tilfælde kan vi konkludere, at der gennem 3 punkter går et polynomium af
grad højst 2.
Helt generelt gælder, at der gennem n punkter går et polynomium af grad højst n.
219
MAPLE - POLYNOMIER GENNEM ET ANTAL PUNKTER
Find forskriften for et førstegradspolynomium, der går gennem punkterne ^ 2, 3 h og ^ 5, 8 h .
Vi starter med at definere et generelt førstegradspolynomium:
p^ x h : = a $ x + b
Vi forlader Viffer og Rikard for at se på et lidt andet scenarie, hvor der er flere personer indblandet. Vi skal bruge 3 personer: Alice, Bob og Carol. Sådan hedder de altid, når man skal beskrive
protokoller – dvs. udveksling af information (data) mellem aktører i et system. Vi får også brug
for en neutral person, der hedder Ted.
p: = x 7 a $ x + b
Herefter kan vi løse
solve ^ " p (2) = 3, p (5) = 8 , h
Ted er far til Alice, Bob og Carol. Ted har en hemmelighed: Kontonummeret på en konto i
Schweiz, og et problem: Hvis ingen kender hans hemmelighed, den dag han dør, så er pengene
tabt for evigt.
# a = 53 , b =- 31 -
Så det søgte polynomium er p ^ x h = 53 x - 31 .
Helt tilsvarende kan vi bestemme forskriften for det andengradspolynomium, der går gennem
punkterne ^ - 2, 15 h, ^ 1, 3 h og ^ 4, 9 h
Vi definerer det generelle udtryk for et andengradspolynomium:
p^ x h : = a $ x + b $ x + c
solve ^ " p ^ - 2 h = 15, p ^ 1 h = 3, p ^ 4 h = 9 , h
" a = 1, b =- 3, c = 5 ,
2 6 3 1 2
8 6 5 0 4
4 3 4 7 6
4 5 2 8 2
Så det søgte polynomium er p ^ x h = x 2 - 3x + 5
OPGAVER 7.38 – 7.45 „
7.5 En anvendelse af polynomier
Børnene får nu hver ét af tallene (skyggerne) 26312, 86504 og 43476 sammen med en instruktion om, hvordan kontonummeret kan genskabes ved at addere cifrene i de 3 tal og smide
menten væk.
• Ted er stadig den eneste, der kender kontonummeret (hemmeligheden).
• Børnene kan i fællesskab genskabe kontonummeret.
• Færre end tre af børnene kan ikke genskabe kontonummeret.
Men der er dog en række svagheder:
1
42
U
Q
7
12
E
• Hvis Alice dør eller glemmer sin skygge, så er det umuligt for Bob og Carol at rekonstruere såvel kontonummer som den glemte skygge (sudden death, kaldes det).
O
M
O
N
4
38
BA
9
38
Kontonummer
Umiddelbart kan det virke som en smart metode, idet følgende er opnået:
I Dirch Passer filmen ’Mig og mafiaen’ (1973) har Viffers afdøde kompagnon, Rikard, anbragt
deres fælles formue i en bank i Schweiz. Viffer kender intet til hvilken bank, der er tale om, og
heller intet til kontonummeret. Før sin død har Rikard lavet en kode til bankkontoen bestående
af tatoveringer på en af ballerne hos fire unge piger. Viffer skal nu opspore de fire piger og på
en eller anden måde skaffe sig adgang til at aflure tatoveringerne. Han finder disse:
EC
Ted får nu følgende ide:
Han vælger to tilfældige 5 cifrede tal, fx 26312 og 86504. Han bestemmer så, udfra de to valgte
tal, et nyt 5-cifret tal, så summen af cifrene i de 3 tal giver cifrene i kontonummeret, idet enhver
mente under additionerne smides væk:
p : = x 7 a $ x2 + b $ x + c
og løser
D
Ted ønsker, at børnene skal dele pengene, den dag han dør, men han kan ikke give børnene
kontonummeret, da han ikke stoler på dem og børnene ikke stoler på hinanden.
Kontonummeret er 45282.
2
Herefter skal der ikke den store fantasi til at placere de 4 tatoveringer i en orden, så vi får noget meningsfyldt ud af bogstaverne: BANQUE DE COMO og kontonummeret kan aflæses i
samme orden.
220
Det, Rikard har gjort, er at dele hemmeligheden i 4 dele – kaldet skygger, hvor Viffer skal bruge
alle skyggerne for at rekonstruere hele hemmeligheden. Hvorledes denne rekonstruktion skal
foregå, er kun givet implicit, idet Rikard har formodet, at Viffer er snu nok til at placere de 4
skygger i en sådan rækkefølge, at bogstaverne danner noget meningsfyldt.
• Den dag kontonummeret skal rekonstrueres, kan Carol snyde ved at oplyse en forkert
skygge til Alice og Bob, så et forkert kontonummer konstrueres. Carol kan så danne det
korrekte kontonummer ved en senere lejlighed – hvis hun da er alene om ideen.
• Hvis Carol oplyser en forkert skygge til Alice og Bob, så et forkert kontonummer konstrueres, så kan det ikke afgøres, hvem der har snydt.
221
Vi skal nu se på, hvordan et nyt og bedre system kan konstrueres. Hertil vælger vi en tilfældig
lineær funktion med kontonummeret som konstantled. Fx
For at genskabe kontonummeret på baggrund af fx S 1, S 4 og S 5 definerer vi (i Maple) først et
generelt andengradspolynomium:
p ^ x h = 2283x + 45282
p^ x h : = a $ x 2 + b $ x + c
p : = x 7 a $ x2 + b $ x + c
Vi beregner 3 skygger ved:
Alice: ^ 1, p (1) h = ^ 1, 47565 h
Bob:
^ 2, p (2) h = ^ 2, 49848 h
Carol: ^ 3, p (3) h = ^ 3, 52131 h
Instruktionen, der skal ledsage skyggerne er, at der på baggrund af to af skyggerne skal skabes
en lineær funktion. Konstantleddet i denne er så kontonummeret.
Rekonstruktionen af kontonummeret svarer præcis til den opgave, vi løste i eksempel 7.4.10, så
det er der ingen problemer i.
Læg mærke til, at det er fuldstændig ligegyldigt hvilke to af børnene, der beslutter sig for at
genskabe kontonummeret: De vil alle nå det samme resultat. En af børnene kan ikke alene genskabe kontonummeret, idet der går uendeligt mange linjer gennem et enkelt punkt.
Denne deling har således disse fordele:
• Ted er stadig den eneste, der kender kontonummeret (hemmeligheden).
• To af børnene kan i fællesskab genskabe kontonummeret.
• En af børnene kan ikke genskabe kontonummeret alene.
Der kan dog stadig snydes, men problemet med sudden death er løst, hvis det blot drejer sig
om en enkelt.
Vi vil generalisere ovenstående eksempel en smule:
Vi antager nu, at der er 5 personer, der skal dele en hemmelighed på en sådan måde, at 3 personer skal kunne genskabe hemmeligheden, men for færre end 3 skal det være umuligt.
Vi skal her benytte, at der genne 3 punkter, der ikke ligger på samme rette linje, går én og kun én
parabel. Vi vælger hertil et ’vilkårligt’ andengradspolynomium med hemmeligheden (45282)
som konstantled. Fx
p ^ x h = 137x 2 - 654x + 45282
De 5 skygger findes ved at beregne værdien af p i 1, 2, 3, 4 og 5:
S 1 = ^ 1, p (1) h = ^ 1, 46003 h
S 2 = ^ 2, p (2) h = ^ 2, 49474 h
S 3 = ^ 3, p (3) h = ^ 3, 55695 h
S 4 = ^ 4, p (4) h = ^ 4, 64666 h
S 5 = ^ 5, p (5) h = ^ 5, 76387 h
222
og løser
solve ^ " p ^ 1 h = 46003, p ^ 4 h = 64666, p ^ 5 h = 76387 , h
" a = 137, b =- 654, c = 45282 ,
hvor c er kontonummeret.
Teknisk set kaldes de systemer, vi har lavet med hhv. førstegrads- og et andengradspolynomium
for hhv. et (2,3) - tærskelsystem og et (3,5) - tærskelsystem.
Et firma, der underskriver økonomiske transaktioner digitalt, kræver, at 3 ansatte samarbejder
for at kunne underskrive et dokument digitalt. Et ^ 3, n h - tærskelsystem kan let og elegant
implementere dette: Hver ansat får fx et smartcard (a la et dankort), der indeholder en enkelt
skygge. Skyggen kan naturligvis også placeres som en fil på den ansattes pc.
Når et dokument skal underskrives digitalt, kører 3 ansatte deres smartcard gennem en kortlæser, der, via en computer, genskaber firmaets signaturnøgle og underskriver dokumentet digitalt.
Herefter destrueres den genskabte signaturnøgle automatisk. Der kræves ingen særlige sikkerhedsforanstaltninger omkring kortlæser og computer, idet disse ikke indeholder nogen hemmelig information – blot en metode til at genskabe den hemmelige signaturnøgle på baggrund af 3
skygger. En metode, der intet hemmeligt er i.
En uvederhæftig person skal i dette system samarbejde med mindst to andre ansatte for at
kunne misbruge firmaets signaturnøgle.
Som sidegevinst kan et ^ 3, n h - tærskelsystem tilpasses et firmas hierarkiske opbygning:
Firmaets direktør får et smartcard med 3 skygger, underdirektører får et smartcard med to skygger, mens almindelige ansatte får et smartcard med en enkelt skygge. Herefter kan direktøren
egenhændigt benytte den digitale signaturnøgle – uden dog at kende det fjerneste til nøglen. En
underdirektør og en almindelig ansat kan i fællesskab benytte signaturnøglen, men der kræves
stadig, at 3 almindelige ansatte samarbejder for at kunne benytte signaturnøglen.
Hvad nu, hvis en ansat forlader firmaet eller en ny kommer til? Meget simpelt: Da hemmeligheden er uændret, kan man uden videre fjerne en skygge (fx ved at knække et smartcard) og
generere et nyt. Hvis vi benytter det ^ 3, n h - tærskelsystem, vi beskrev tidligere, genereres nye
skygger ved at udregne nye værdier af det valgte andengradspolynomium.
Tærskelsystemer så først dagens lys i 1979, hvor den israelske datalog Adi Shamir introducerede disse i en videnskabelig artikel med titlen: How to Share a Secret. Denne Shamir er S’et
i RSA, der i dag nok er det mest udbredte krypteringssystem og er i sving, hvergang du taster
din pinkode på en dankortterminal.
Siden Shamirs metode er der kommet et væld af nye og meget sofistikerede metoder til nøglesikkerhed, men Shamirs metode glimrer ved sin enkelhed.
223
BEVIS
7.6 Eksponentiel udvikling
7.6.1
Vi giver x tilvæksten h og beregner y-tilvæksten:
f (x + h) = b $ a x + h = b $ a x $ a h = f (x) $ a h
DEFINITION
Dette viser, at når x får tilvæksten h, så skal y-værdien fremskrives med faktoren a h . Den procentvise tilvækst er så a h - 1 .
En eksponentiel udvikling er en funktion med forskriften
f (x) = b $ a x
QED
hvor a > 0, b > 0 og a =
Y 1 . a kaldes for eksponentialfunktionens grundtal.
Af beviset for sætning 7.6.2 følger:
Hvis b = 1 kaldes den eksponentielle udvikling for en eksponentialfunktion.
7.6.3
Nedenfor ses graferne for eksponentialfunktionerne 2 x, 3 x og 0.5 x
For en eksponentiel udvikling f (x) = b $ a x gælder, at den procentvise tilvækst rh over et interval af længde h er bestemt ved
SÆTNING
rh = a h - 1
Hvis h = 1 , skriver vi normalt blot r i stedet for r1 .
0.5 x
3x
2x
Læg mærke til det nære slægtskab mellem en eksponentiel udvikling
f (x) = b $ a x
og renteformlen for simpel kapitalfremskrivning:
K = K0 $ (1 + r) n
hvor K0 er startkapitalen, r er renten pr. år og n er antallet af terminer.
Alle eksponentialfunktioner går gennem punktet ^0, 1h , idet f (0) = a0 = 1 .
Desuden gælder, at eksponentialfunktionen er voksende, hvis a > 1, og aftagende, hvis
0 < a < 1 . Dette beviser vi ved en senere lejlighed (eksempel 8.11.10).
For en eksponentiel udvikling f (x) = b $ a x gælder, at f (0) = b $ a0 = b , så denne vil skære
y-aksen i punktet ^0, bh .
Forskellen er, at i renteformlen er n et helt tal, hvorimod x i forskriften for en eksponentiel udvikling er et vilkårligt reelt tal.
I praksis betyder det, at vi kan tolke enhver opgave i forbindelse med eksponentielle udviklinger som en simpel kapitalfremskrivning.
I denne tolkning er b startbeløbet K0 og a er fremskrivningsfaktoren 1 + r . Da
a = 1+r + r = a-1
Desuden gælder, at en eksponentiel udvikling er voksende, hvis a > 1, og aftagende, hvis
0 < a < 1 . Dette beviser vi også ved en senere lejlighed.
er a - 1 således renten pr. år.
Endvidere viser graferne, at værdimængden for en eksponentialfunktion og en eksponentiel
udvikling er R + , de positive reelle tal.
7.6.4
7.6.2
SÆTNING — KARAKTERISTIK AF EKSPONENTIEL UDVIKLING
For en eksponentiel udvikling f (x) = b $ a x gælder:
Til lige store x-tilvækster svarer lige store procentvise y-tilvækster
224
EKSEMPEL
Den eksponentielle udvikling
f (x) = 5 $ 1.1 x
kan tolkes som 5 kr. til forrentning med en årlig rente på r = 1.1 - 1 = 0.1 = 10%.
Renten for en 2-årig periode kan bestemmes som r2 = 1.1 2 - 1 = 0.21 = 21%.
225
7.6.5
EKSEMPEL
7.6.6
I en by med 13 millioner indbyggere i 2010 vokser antallet af indbyggere med 2.4% hvert år.
a)
Hvilken funktion kan benyttes til at modellere væksten i antallet af indbyggere (målt i
millioner), når x betegner antallet af år efter 2010.
b)
Hvor mange indbyggere var der i byen i 2020 ?
c)
Hvornår vil der være 25 millioner indbyggere i byen ?
Løsning
EKSEMPEL
På en fabrik er antallet af producerede enheder siden 2015 faldet med 4.9% om året.
I 2015 producerede fabrikken 125000 enheder.
a)
Hvilken funktion kan benyttes til at modellere faldet i produktionen ?
b)
Hvor mange enheder kan fabrikken i følge modellen forventes at producere i 2020 ?
c)
Hvor mange procent falder produktionen over en 5 årig periode ?
a)
Løsning
Da antallet af indbyggere vokser med en fast procent hvert år, er det tale om en eksponentiel
udvikling af formen f (x) = b $ a x .
a)
Da væksten er på 2.4% om året, er fremskrivningsfaktoren
Da antallet af producerede enheder med en fast procent hvert år, er det tale om en eksponentiel
udvikling af formen f (x) = b $ a x .
Da væksten er - 4.9% pr. år, er
a = 1 + r = 1 + 0.024 = 1.024
og da x betegner antallet af år efter 2010 (dvs., at x = 0 svarer til 2010), er startværdien
b = 13 .
a = 1 + r = 1 + ^ - 0.049 h = 0.951
Lader vi x betegne antal år efter 2015, har vi, at b = 125000 . Forskriften bliver da:
f ^ x h = 125000 $ 0.951 x
Forskriften for funktionen er da
f ^ x h = 13 $ 1.024 x
b)
b)
Her skal vi udregne f ^ 10 h , idet x må have værdien 10 i 2020 (10 år efter 2010). Her tager vi
Maple til hjælp og udregner
13 $ 1.024 10 = 16.47945780
– eller endnu bedre: Vi definerer funktionen f og beregner f ^ 10 h :
f ^ x h : = 13 $ 1.024
x
x 7 13 $ 1.024 x
f ^ 10 h = 16.47945780
Dvs., at i 2020 var der ca. 16.5 mio. indbyggere i byen.
c)
Her skal vi løse ligningen f ^ x h = 25 . det kan vi ikke gøre ved håndkraft endnu, så vi sætter
vores lid til Maple:
f ^ x h = 25
solve
" x = 27.57260698 ,
Dvs., at i løbet af 2037 vil antallet af indbyggere i byen nå 25 mio.
226
Vi definerer funktionen i Maple:
f ^ x h : = 125000 $ 0.951 x
x 7 125000 $ 0.951 x
og udregner
f ^ 5 h = 97232.75644
Produktionen er altså på 5 år faldet til ca. 97233 enheder.
c)
For at finde den procentvise vækst over en 5-årig periode, benytter vi sætning 7.6.3:
r5 : = 0.951 5 - 1 =- 0.2221379485
Dvs., et fald på ca. 22.2% over en 5-årig periode (eller en vækst på - 22.2 %).
Vi kunne naturligvis være kommet frem til det samme, ved at udregne:
f^ 5 h - f^ 0 h
=- 0.2221379485
f^ 0 h
227
Som ved lineære funktioner er det også tilstrækkelig her at kende to punkter på grafen for at
kunne bestemme forskriften.
7.6.7
SÆTNING
Formlerne i sætning 7.6.7 kan naturligvis også benyttes. Her vil det være en god ide at liste et
punktum ind ved et af tallene for at tvinge Maple til at regne numerisk:
Hvis grafen for den eksponentielle udvikling
f (x) = b $ a x
a :=
går gennem punkterne ^ x1, y1h og ^ x2, y2h , kan a og b bestemmes ved formlerne:
a = x2 - x1
b=
5 - ^ -2 h
13 = 1.233032675
3.
b : = 135 = 4.561108729
a
y2
y1
Læg mærke til, at vi er nødt til at definere a, idet vi ellers ikke regne b ud, som vi gør, men er så
i stedet nødt til at indsætte den fundne værdi for a i udtrykket for b.
y1
a x1
Ethvert positivt reelt tal (forskellig fra 1) kan benyttes som grundtal for en eksponentialfunktion, men tallet e = 2.71828.... er det vigtigste grundtal, så vigtig, at eksponentialfunktionen
med dette grundtal har fået navnet den naturlige eksponentialfunktion.
BEVIS
Da f går gennem de to punkter ^ x1, y1h og ^ x2, y2h , har vi to ligninger:
Hvordan e kommer på banen skal vi ikke bekymre os om her, men nøjes med at henvise den
interesserede læser til MacTutor. Af denne artikel fremgår, at tallet e fremkommer som forrentning af 1 krone med 100% i årlig nominel rente med kontinuert rentetilskrivning.
y1 = b $ a x1
y2 = b $ a x2
Ved at dividere de to ligninger med hinanden får vi:
MAPLE – INDTASTNING AF e
x2
y2
b $ a x2
=
= a x = a x2 - x1
x
y1
b$a 1
a1
I Maple skal tallet e indtastes ved hjælp af paletten Common Symbols. Hvis vi blot skriver
e fra tastaturet, vil Maple tolke dette som en variabel uden nogen tilknytning til den naturlige
eksponentialfunktions grundtal.
og dette medfører, at
a = x2 - x1
Benytter vi solve i stedet for fsolve, vil Maple løse ligningssystemet symbolsk. Dette vil ofte
resultere i nogle aldeles ulæselige løsninger udtrykt ved noget ’RootOf’ snask. Dette undgås
ved at benytte fsolve.
Det er nemt at se forskel på det to, idet variablen e er kursiveret – det er den naturlige eksponentialfunktions grundtal e ikke.
y2
y1
For at bestemme b benytter vi ligningen y1 = b $ a x1 , hvor b isoleres.
Lad os se grafen for e x
QED
MAPLE
En eksponentiel udvikling går gennem punkterne ^- 2, 3h og ^5, 13h . Hvis vi i Maple skal finde
forskriften for f, er der ingen grund til at benytte formlen ovenfor. Det nemmeste er faktisk at
bestemme a og b ved at løse et ligningssystem:
Vi starter med at definere f og derefter løser vi ligningssystemet med fsolve:
f (x) : = b $ a x
f : = x " b $ ax
fsolve^" f (- 2) = 3 , f (5) = 13 ,, " a, b ,h
" a = 1. 233032675 , b = 4. 561108732,
228
OPGAVER 7.46 – 7.50 „
229
hvor udregningerne foretages ved hjælp af potensregneregler og sætning 7.7.3 (2)
7.7 Logaritmefunktionen log
log (0.01) = log ^10 -2 h =- 2
Eksponentialfunktionen 10 x , der er defineret i R og kan antage alle værdier i R + . Altså er
Dm ^ 10 x h = R
og
Vm ^ 10 x h = R +
log (0.1) = log ^10 -1 h =- 1
log (1) = log ^10 0h = 0
Da eksponentialfunktionen 10 x er 1-1, findes der en invers funktion til 10 x , der kaldes logaritmefunktionen med grundtal 10 – eller blot 10-talslogaritmen, og betegnes med log.
log (10) = log ^10 1 h = 1
10 x
log (1000) = log ^10 3 h = 3
log (100) = log ^10 2 h = 2
Det er således nemt at finde log til en 10-tals potens. Vi kan endda også finde log ^ 10 h
1
log ^ 10 h = log ^ 10 2 h = 21
log (x)
R+
R
Noget mere besværligt er det at finde fx log (5) . Her skal vi have fat i sætning 7.7.2:
Som følge af, at log (x) er den inverse funktion til 10 x , har vi følgende 3 sætninger
7.7.1
x = log ^ 5 h + 10 x = 5
Vi skal løse ligningen 10 x = 5 for at bestemme log (5) , men det kan vi ikke sådan uden videre.
Det er netop derfor man har opfundet log (5) som en symbolsk betegnelse for løsningen til
ligningen 10 x = 5 .
SÆTNING
Definitions- og værdimængderne for logaritmefunktionen log er:
For at få en ide om, hvad log (5) er, kan vi prøve at løse ligningen 10 x = 5 grafisk ved at tegne
graferne for funktionerne f (x) = 10 x og g (x) = 5 , og aflæse skæringspunktet:
Dm (log) = R+
Vm (log) = R
7.7.2
SÆTNING
For alle x ! R og alle t ! R + gælder:
10 x = t + x = log ^ t h
7.7.3
SÆTNING
1.
10log (x) = x,
x d R+
2.
log (10t) = t,
tdR
Af grafen ses, at skæringspunktet er omtrent ^0.7 , 5h , så log (5) . 0.7 .
Vi kan lave en lille tabel:
x
log ^ x h
230
0.01
0.1
1
10
100
1000
-2
-1
0
1
2
3
Tjekker vi på en lommeregner, ser vi, at det passer meget godt. De fleste lommeregnere og alle
CAS programmer har log indbygget, så vi nemt kan finde logaritmen til ethvert positivt reelt tal
uden at skulle bekymre os det fjerneste om, hvordan resultatet fremkommer.
231
Figuren nedenfor viser grafen for log (x) tegnet i samme koordinatsystem som 10 x :
Der er et par vigtige regneregler for log:
=
y
10 x
SÆTNING
x
7.7.5
For alle x, y d R+ gælder
log (x)
1.
log (x $ y) = log (x) + log (y)
2.
log ` x j = log (x) - log (y)
y
BEVIS
1) Vi anvender eksponentialfunktionen med grundtal 10 på begge sider af ligningen:
log (x $ y) = log (x) + log (y) + 10 log (x $ y) = 10 log (x) + log (y)
7.7.4
EKSEMPEL
Vi vil løse ligningen
log (2x + 6) = 2
Først bestemmer vi ligningens grundmængde. Her skal vi kun sikre, at ’indmaden’ i logaritmefunktionen er positiv: 2x + 6 > 0 + x > - 3 , så grundmængden er @ - 3 , 3 6.
Vi kan nu løse ligningen som beskrevet ovenfor:
log (2x + 6) = 2
2
2x + 6 = 10 2
2
x = 47
Hvis ligningen har en form som fx
5 $ log (2x - 4) + 3 = - 2
så skal vi først omskrive til grundligning på formen log (x) = t inden vi kan løse ligningen:
5 $ log (2x - 4) + 3 =- 2
2
log (2x - 4) =- 1
2
2x - 4 = 0.1
2
x = 2.05
[10 x på begge sider]
+ 10 log (x $ y) = 10 log (x) $ 10 log (y)
[potensregneregel]
+ x$y = x$y
[Sætning 7.7.3]
2) Kan vises helt analogt, men kan også bevises mere elegant ved at udnytte det, vi lige har
bevist:
Det er klart, at log (x) = log ` x $ yj . Udregner vi højresiden vha. regel 1, får vi
y
log (x) = log ` x j + log (y)
y
Tilbage er blot at trække log (y) fra på begge sider så har vi
log ` x j = log (x) - log (y)
y
QED
Den næste sætning, vi skal vise, er meget vigtig, idet den gør det muligt for os at løse alle ligninger af formen a x = b – kaldet grundligninger:
7.7.6
SÆTNING
For alle x d R og a d R+ gælder:
log ^a xh = x $ log (a)
BEVIS
Da a d R+ kan a ifølge sætning 7.7.3 skrives som a = 10log (a) . Vi udregner nu a x :
a x = ^10log (a)h = 10 x $ log (a) ,
x
hvor vi har benyttet en potensregneregel.
232
233
Ved at anvende log på begge sider i ligningen a x = 10 x $ log (a) får vi det ønskede
10 x + 2 = 0.1
2
log ^10 x + 2 h = log ^0.1h
2
^ x + 2 h $ log ^10 h = log ^0.1 h
2
x + 2 =- 1
2
x =- 3
log ^a xh = log ^10 x $ log (a)h = x $ log (a)
QED
7.7.7
SÆTNING
Ligningen a x = b , hvor a, b d R+ og a =
Y1
har løsningen
5x $ 2x = 2
2
^5 $ 2 hx = 2
2
10 x = 2
2
x $ log ^10 h = log ^2 h
2
x = log (2)
Vi anvender log på begge sider i ligningen a x = b :
ax = b
log ^a x h = log (b)
x $ log (a) = log (b)
2
x=
[anvend log på begge sider af ligningen]
[ log ^ 10 h = 1 ]
7.7.11
Vi skal løse ligningen
QED
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
100 x = 0.1
Ligningen er en grundligning af formen a x = b og kan derfor løses direkte ved at benytte
sætning 7.7.7:
x=
[potensregneregel P4 (sætning 1.11.6)]
log (b)
log (a)
hvor vi til sidst er nødt til at forlange, at a =
Y 1 , så vi ikke dividerer med 0.
7.7.8
[ log ^ 10 h = 1 og log ^ 0.1 h =- 1 ]
Ligningen 5 x $ 2 x = 2 har ikke umiddelbart formen a x = b , men ligningen kan omskrives
til denne:
BEVIS
2
[sætning 7.7.6 ]
7.7.10
log (b)
x=
log (a)
2
[anvend log på begge sider af ligningen]
log ^ 0.1 h
1
=- 2
log ^ 100 h
log ^ x 2 + 13 h
= 2,
log ^ x + 5 h
x >-5
Vi starter med at gange med nævneren på begge sider:
log ^ x 2 + 13 h = 2 $ log ^ x + 5 h
Herefter benytter vi sætning 7.7.6 til at omskrive til:
log ^ x 2 + 13 h = log _ ^ x + 5 h2 i
Vi anvender så den inverse funktion til log , 10 x , på begge sider af ligningen
x 2 + 13 = ^ x + 5 h2
Vi udregner kvadratet på højre side og ser, at vi kan trække x 2 på begge sider af ligningen
7.7.9
EKSEMPEL
Vi skal løse ligningen
10 x + 2 = 0.1
Dette er en grundligning og kan nemt løses ved hjælp af sætning 7.7.7, men vi vil her gøre det
ved en direkte udregning, da det ofte falder mere naturligt:
234
x 2 + 13 = x 2 + 10x + 25
Heraf finder vi nemt løsningen x =- 1.2
OPGAVER 7.51 – 7.55 „
235
7.8.5
7.8 Den naturlige logaritme ln
7.8.1
SÆTNING
Logaritmefunktionerne log (x) og ln (x) er proportionale (k er en konstant):
log (x) = k $ ln (x)
DEFINITION - LN
Den naturlige logaritmefunktion ln (x) defineres som den inverse funktion til e x .
BEVIS
Defintionen er altså den samme som for log — blot er grundtallet ændret til e. Egenskaberne er
også de samme. Først en lille tabel over nogle værdier:
x
ln ^ x h
e -2
e -1
1
e
e2
e3
-2
-1
0
1
2
3
x = e ln (x) + log (x) = log ^e ln (x) h + log (x) = ln (x) $ log (e)
Med konstanten k = log (e) fås det ønskede.
QED
Med sætning 7.8.5 i baggagen er det nemt at vise regnereglerne for ln. Vi kan blot dividere
ligningerne i 7.7.5 og 7.7.6 med en konstant på begge sider. Så står regnereglerne for ln der. Vi
opskriver regnereglerne:
y
ex
=
x
Graferne for ln (x) og e x er også symmetriske med hensyn til linjen y = x :
Af sætning 7.8.4 (1) har vi, at x = e ln (x) . Anvender vi log på begge sider af denne ligning, får vi:
7.8.6
ln (x)
SÆTNING
For alle x, y d R+ gælder:
1.
ln (x $ y) = ln (x) + ln (y)
2.
ln ` x j = ln (x) - ln (y)
y
For alle x d R og a d R+ gælder:
7.8.2
SÆTNING
3.
ln (a x) = x $ ln (a)
Dm (ln) = R +
Vm (ln) = R
7.8.3
Ved løsning af ligningen a x = b er det ligegyldigt, om vi benytter ln eller log, idet
x=
SÆTNING
For alle x ! R og alle t ! R + gælder:
e x = t + x = ln ^ t h
7.8.4
log (b)
ln (b)
=
log (a)
ln (a)
Brøken er blot forkortet eller forlænget med proportionalitetsfaktoren. Almindeligvis benyttes
ln, hvis e x indgår i ligningen og log, hvis 10 x indgår.
Ofte vil vi — specielt i anvendelser — møde eksponentielle udviklinger på en alternativ form:
SÆTNING
1.
e ln (x) = x,
x d R+
2.
ln (e t) = t,
tdR
f (x) = b $ e k $ x
Denne kan nemt bringes på vores standardform ved at sætte a = e k .
f (x) = b $ e k $ x = b $ ^e k h = b $ a x
x
236
237
Omvendt, hvis vi skal omskrive fra formen f (x) = b $ a x til formen f (x) = b $ e k $ x , skal vi benytte sætning 7.8.4 (1) til at skrive a på formen a = e ln (a) :
f (x) = b $ a = b $ ^e
x
ln (a) hx
= b$e
ln (a) $ x
Vi samler undersøgelserne:
7.9.1
SÆTNING
Fordoblingskonstanten T2 for en voksende eksponentiel udvikling f (x) = b $ a x er bestemt ved:
hvor så k = ln (a) .
T2 =
OPGAVER 7.56 – 7.63 „
ln (2)
ln (a)
Halveringskonstanten T for en aftagende eksponentiel udvikling f (x) = b $ a x er bestemt ved:
1
2
7.9 Fordobling og halvering
T =
1
2
ln ^ 12 h
ln (a)
Ved fordoblingskonstanten for en voksende eksponentiel udvikling
f (x) = b $ a x
forstås den x-tilvækst, der vil give en fordobling i funktionsværdien. Kalder vi fordoblingkonstanten T2 , kan vi udtrykke dette ved ligningen
På figuren nedenfor er antydet, hvordan en grafisk aflæsning af fordoblingskonstanten kan
foregå
f (x + T2) = 2 $ f (x)
Vi kan finde et udtryk for T2 ved regne på ovenstående ligning:
f (x + T2) = 2 $ f (x)
2
b $ ax + T = 2 $ b $ ax
2
ax + T = 2 $ ax
2
a x $ aT = 2 $ a x
2
aT = 2
2
ln ^2h
T2 =
ln ^a h
2
2
2
2
[Indsæt i funktionsforskriften]
[Divider med b på begge sider]
[Potensregneregel]
[Divider med a x på begge sider, muligt da a x > 0 ]
[Løs som grundligning ]
T2 = x2 - x1
Det helt afgørende er, at x bliver elimineret i udregningerne. Det betyder, at fordoblingkonstanten er uafhængig af, hvilken x-værdi vi starter fra.
I forbindelse med en aftagende eksponentiel udvikling giver fordoblingskonstanten ingen mening. I stedet ser vi på halveringskonstanten, T . Ligningen til bestemmelse af T bliver
1
2
f (x + T ) = 12 $ f (x)
Vælg et passende udgangspunkt på y-aksen (3, på figuren ovenfor) og aflæs den tilhørende
x-værdi, x1 . Dernæst fordobles den valgte y-værdi, og den tilhørende x-værdi, x2 , aflæses. Herefter kan T2 bestemmes som
1
2
Hvis den eksponentielle udvikling er givet på formen f (x) = b $ e k $ x bliver formlen for fordoblingskonstanten en smule anderledes:
T2 =
1
2
Udtrykket for T bestemmes som ovenfor:
1
2
ln ^ 12 h
T =
ln (a)
1
2
238
ln (2)
ln (2)
ln (2)
=
= k
ln (a)
ln ^e k h
og tilsvarende for halveringskonstanten (hvis k < 0 ):
T =
1
2
ln ^ 21 h
ln ^ 21 h
ln ^ 21 h
=
=
k
ln (a)
ln ^e k h
239
MAPLE
I Maple er funktionerne ln og log den samme funktion, nemlig logaritmen med grundtal e. Hvis
vi skal bruge logaritmefunktionen med grundtal 10, skal vi eksplicit gøre opmærksom på dette
ved at vælge log10 (x) i Expression-paletten eller ved direkte skrive log10 (x) , hvor det lavtstillede 10-tal indtastes med Ctrl+_ på en pc og cmd+alt+b på en mac. Alternativt kan man blot
skrive log 10 ^ x h .
Indtaster vi således blot log ^ x h , vil Maple opfatte dette som ln (x) :
log ^ x h
B (t) = 12000
solve
"t = 10.22968321 ,
Efter ca. 10.2 timer vil antallet af bakterier være over 12000.
d)
T2 =
ln (2.)
ln (e0.468)
T2 = 1.481083719
ln (x)
Indtaster vi log10 (x) , vil Maple omgående udtrykke ved ln (x) (helt i overensstemmelse med
sætning 7.8.5:
log10 (x)
ln (x)
ln (10)
OPGAVER 7.64 – 7.72 „
7.9.2
c)
Her skal vi løse ligningen B (t) = 12000
EKSEMPEL
I en næringsopløsning kan antallet, B (t) , af bakterier t timer efter et forsøgs begyndelse beskrives med:
Fordoblingstiden er således ca. 1.5 time.
Læg mærke til, at i den sidste udregning er der skrevet ln (2.) . Punktummet efter 2 får Maple til
at opfatte 2 som et decimaltal, og tvinges til at lave en numerisk beregning. Dette er ofte nemmere end at skulle bruge evalf (eller Approximate) på resultatet.
7.9.3
EKSEMPEL
Som et mål for surhedsgraden af en væske benyttes pH-værdien, der defineres som
pH = - log (c)
B (t) = 100 $ e 0.468t
hvor c betegner koncentrationen af H3 O+ -ionen, og måles i mol/L (mol pr. liter).
a)
Hvor mange bakterier er der i opløsningen efter 5 timer ?
a)
Bestem koncentrationen i en væske med pH = 2.2
b)
Hvor mange procent øges antallet af bakterier pr. time ?
b)
c)
Hvor lang tid går der ifølge modellen før antallet af bakterier er over 12000 ?
Gør rede for, at hvis koncentrationen c i en væske gøres 100 gange større, vil pH blive
formindsket med 2.
d)
Bestem fordoblingstiden.
Løsning
a)
Løsning:
Vi starter med at definere funktionen B
B (t) : = 100 $ e 0.468 t
2.2 = - log10 (c)
t " 100 $ e0.468 t
a)
B (5) = 1038.123656
Dette viser, at der er ca. 1038 bakterier i næringsopløsningen efter 5 timer.
b)
Fremskrivningsfaktoren er e0.486 , så den procentvise stigning kan beregnes ved
e 0.486 - 1 = 0.593606999
solve
" c = 0.006309573445 ,
Dvs., at koncentrationen i en væske med pH = 2.2 er 0.0063 mol/L.
b)
Hvis koncentrationen øges fra c til 100 $ c bliver pH-værdien - log10 (100 $ c) . Vi forsøger at få
Maple til at udregne ændringen i pH:
- log10 (100 $ c) - ^- log10 (c)h
simplify
= -2
Dette viser, at pH formindskes med 2 når koncentrationen gøres 100 gange større.
Dvs., at den antallet af bakterier øges med ca. 59% pr. time.
240
241
7.9.4
EKSEMPEL
Styrken af et jordskælv angives ved Richtertallet. Et jordskælv frigiver energi, og for et jordskælv af normal dybde gælder:
log (E) = 2.4 $ M - 1.2
b)
7.10.1 DEFINITION – POTENSUDVIKLING
Y 0 , b > 0 og x > 0 .
En potensudvikling er en funktion med forskriften f (x) = b $ x a , hvor a =
hvor M er Richtertallet, og E er den frigivne energi målt i kWh.
a)
7.10 Potensudviklinger
Y 0 og x > 0 .
En potensfunktion er en funktion med forskriften f (x) = x a , hvor a =
En atomsprængning på 1 megaton udvikler en energimængde på 1.25 $ 109 kWh .
Beregn Richtertallet for et jordskælv, der udvikler samme energimængde.
I Chile var der i 1960 en række jordskælv. Disse havde Richtertal 7.5, og et senere havde
Richtertal 8.4.
Beregn forholdet mellem de to udviklede energimængder.
Nedenfor ses graferne for potensfunktionerne x, x2, 1 og
1
x
ner følger af, at 1 = x- 1 og x = x 2 .
x
x2
Løsning
x . At 1 og
x
x er potensfunktio-
x
a)
Vi indsætter 1.25 $ 109 for E og løser med hensyn til M:
log10 (E) = 2.4 $ M - 1.2
solve
evaluate at a point
" M = 4.290379172 ,
x
20.94640939 = 2.4M - 1.2
ln (10)
1
x
Dvs., at Rictertallet bliver 4.3
b)
Alle potensfunktioner går gennem punktet (1, 1) , idet f (1) = 1 a = 1 for alle reelle tal a. Tilsvarende vil alle potensudviklinger på gennem punktet (1, b) , idet f (1) = b $ 1 a = b for alle
reelle tal a.
Vi indsætter de to Richtertal for M og løser med hensyn til E
log10 (E) = 2.4 $ M - 1.2
solve
6.309573445 1016
log10 (E) = 2.4 $ M - 1.2
solve
ln (E)
= 16.80
ln (10)
assign to a name
E1
evaluate at a point
Desuden gælder, at potensudviklinger og potensfunktioner er voksende, hvis a > 0 , og aftagende, hvis a < 0 . Dette viser vi ved en senere lejlighed (eksempel 8.11.10)
Alle potensudviklinger har denne egenskab:
ln (E)
= 18.96
ln (10)
assign to a name
E2
evaluate at a point
9.120108394 1018
7.10.2 SÆTNING
For en potensudvikling f (x) = b $ x a gælder, at for et vilkårligt tal k > 0 , er
f ^ k $ x h = k a $ f (x)
E2 = 144. 5439771
E1
Dette viser, at forholdet mellem de to udviklede energimængder er 144.
BEVIS
f ^ k $ x h = b $ (k $ x) a = b $ k a $ x a = k a $ b $ x a = k a $ f (x)
;
f^ x h
OPGAVER 7.73 – 7.75 „
Hvor vi har brugt potensregnereglen P4 i sætning 1.11.6. i den udvidede form, hvor potensen
kan være et vilkårligt reelt tal.
QED
242
243
Hvis vi i en potensudvikling giver x-værdien en relativ ændring rx , så svarer dette til, at vi ganger x med fremskrivningsfaktoren 1 + r x . Af sætning 7.10.2 med k = 1 + rx følger, at
f ^ x $ ^ 1 + rx hh = f (x) $ ^ 1 + rx h
Fremskrivningsfaktoren for y bliver da
1 + ry = ^1 + rxh3 = 2 3 = 8 ,
a
Dette viser, at y-værdien så skal fremskrives med ^ 1 + rx ha . Dvs., at
1 + ry = ^ 1 + rx ha
og dermed er den relative ændring i y-værdien:
ry = ^ 1 + rx ha - 1
hvilket svarer til en y-tilvækst på ry = 8 - 1 = 7 = 700%
3.
Hvis y skal have en tilvækst på 25%, så svarer dette til, at den relative ændring i y-værdien skal
være ry = 0.25 .
Vi bestemmer så den relative ændring, vi skal give x-værdien, ved at løse ligningen
1 + ry = ^ 1 + rx ha +
Hvis vi i stedet giver y-værdien er relativ ændring ry , kan vi finde den relative ændring i xværdien ved at løse ligningen:
1.25 = ^ 1 + rx h3
1 + ry = ^ 1 + rx ha + 1 + rx = a 1 + ry + rx = a 1 + ry - 1
rx = 3 1.25 - 1
rx = 0.077
+
+
De overvejelser, vi har gjort her, er så vigtige, at vi formulerer dem i en sætning:
hvilket svarer til en x-tilvækst på ca. 7.7%
7.10.3 SÆTNING
4.
Hvis vi i en potensudviklingen
Hvis y-værdien skal halveres, så svarer dette til, at den relative ændring i y-værdien skal være
ry =- 0.5 .
f (x) = b $ x a
giver x-værdien en relativ ændring rx , så vil den relative ændring i y-værdien være bestemt ved
1 + ry = ^ 1 + rx ha
Vi bestemmer så den relative ændring, vi skal give x-værdien, ved at løse ligningen
1 + ry = ^ 1 + rx ha +
0.5 = ^ 1 + rx h3
3
7.10.4 EKSEMPEL
Vi ser på potensudviklingen f (x) = 2 $ x3 .
rx = 0.5 - 1
rx =- 0.206
+
+
hvilket svarer til en x-tilvækst på ca. - 20.6% .
1.
Hvis x får tilvæksten 10%, så svarer dette til, at den relative ændring i x-værdien er rx = 0.1 . Vi
skal altså fremskrive x med faktoren
1 + rx = 1.1.
Fremskrivningsfaktoren for y bliver da
1 + ry = ^1 + rxh3 = 1.1 3 = 1.331,
hvilket svarer til en y-tilvækst på ry = 0.331 = 33.1% .
2.
I eksempel 7.10.4 (1) så vi, at hvis vi giver en x-værdi en tilvækst på 10%, så vil den tilhørende
y-værdi vokse med 33.1% – og det gælder alle x-værdier og tilhørende y-værdier.
Vi kan altså karakterisere en potensudvikling således:
7.10.5 SÆTNING - KARAKTERISTIK AF POTENSUDVIKLING
For en potensudvikling f (x) = b $ x a gælder:
Til lige store procentvise x-tilvækster rx svarer lige store procentvise y-tilvækster ry
Hvis vi fordobler x-værdien, så svarer det til, at den den relative ændring i x-værdien er rx = 1
(svarende til en ændring på 100%). Vi skal altså fremskrive x med faktoren
1 + rx = 2 .
244
Som det fremgår, så vælger vi ikke et specifikt udgangspunkt for x-værdien, som vi giver en
relativ ændring. Det er en vilkårlig x-værdi.
Som ved lineære- og eksponentielle udviklinger er det også tilstrækkeligt her at kende to punkter på grafen for at kunne bestemme forskriften.
245
7.10.6 SÆTNING
MAPLE
Hvis grafen for en potensudvikling
En potensudvikling går gennem punkterne ^2, 13h og ^7, 9h . Vi skal bestemme forskriften.
f (x) = b $ x a
Vi benytter formlerne i sætning 7.10.6:
går gennem punkterne ^ x1, y1h og ^ x2, y2h , kan a og b bestemmes ved formlerne:
a=
log ^ y 2h - log ^ y 1h
log ^ x 2h - log ^ x 1h
b=
log 10 ^ 9 h - log 10 ^ 13 h
log 10 ^ 7 h - log 10 ^ 2 h
13
b = -0.29350 = 15.933
2
a=
y1
x 1a
at 5 digits
- 0.29350
Forskriften bliver dermed
f ^ x h = 15.933 $ x -0.2935
BEVIS
Da f går gennem de to punkter ^ x1, y1h og ^ x2, y2h , har vi to ligninger:
Hermed er opgaven løst.
y1 = b $ x1a
y2 = b $ x2a
At indtaste formlen til bestemmelse af a i Maple er temmelig omstændelig, hvis vi insisterer på
at bruge log 10 . Brug af ln er noget mere effektiv:
Ved at dividere de to ligninger med hinanden får vi:
a=
y2
b $ x2a
x2a
x2 a
=
=
=
c
m
y1
x1
b$xa
xa
1
at 5 digits
- 0.29350
1
Ved at tage log på begge sider og benytte sætning 7.7.6 får vi:
MAPLE
I stedet for at indtaste formlerne kan vi gå således til værks:
y2
x a
c x2 m
=
y1
1
2
y
x a
log c y 2 m = log cc x 2 m m
1
1
2
y
x
log c y 2 m = a $ log c x 2 m
1
1
2
y
log ` y 2 j
1
a=
x2
log ` x j
1
2
log ^ y 2h - log ^ y 1h
a=
log ^ x 2h - log ^ x 1h
Vi starter med at definere f og derefter løser vi ligningssystemet med solve:
f^ xh : = b $ x a
f : = x " b $ xa
Da f skal gå gennem punkterne ^2, 13h og ^7, 9h , skal der gælde, at f ^ 2 h = 13 og f ^ 7 h = 9 .
Dette giver os to ligninger med to ubekendte, som vi løser med solve – læg mærke til, at der er
sat et punktum efter 9-tallet for at tvinge Maple til at regne numerisk:
solve ^" f (2) = 13 , f (7) = 9. ,, " a, b ,h
" a = - 0.2935310106 , b = 15.93327277 ,
Forskriften bliver dermed
f ^ x h = 15.933 $ x -0.2935
For at bestemme b benytter vi ligningen y1 = b $ x1a , hvor b isoleres.
QED
Bemærk, at det ligegyldigt om vi benytter log eller ln i formlen til bestemmelsen af a, idet de
to logaritmefunktioner er proportionale: log ^ x h = k $ ln ^ x h , så k kan uden videre forkortes
væk i brøken.
246
ln ^ 9 h - ln ^ 13 h
ln ^ 7 h - ln ^ 2 h
Benytter vi fsolve i stedet for solve, vil Maple af og til komme i problemer med at finde en løsning og det kan tage en rum tid. Sker dette kan du stoppe udregningerne ved at trykke på den
lille røde knap nederst til venstre på skærmen:
247
7.10.7 EKSEMPEL – BMI
7.10.8 EKSEMPEL
BMI (Body Mass Index) er et mål for kroppens fedtmasse. Den udregnes ved formlen
En matematisk model for sammenhængen mellem den daglige indtagelse af frugt og grønt gennem længere tid og det årlige antal kræftdødsfald i Danmark er givet ved
BMI = m $ x -2
hvor m er personens vægt målt i kg, og x er højden, målt i meter.
Personerne A og B vejer begge 80 kg, og A er 6% højere end B.
Hvor mange procent er A’s BMI mindre end B’s BMI?
***
f^ xh : = b $ x a
hvor f ^ x h angiver det årlige antal kræftdødsfald i Danmark, og x er det gennemsnitlige daglige
indtag af frugt og grønt i gram.
Tabellen viser antal kræftdødsfald for forskellige indtag af frugt og grønt:
Indtag af frugt og grønt (gram)
Antal kræftdødsfald
Vi kan opfatte BMI som en funktion af x:
BMI ^ x h = m $ x -2
hvorved BMI bliver en potensudvikling.
Løsning 1:
Hvis x får tilvæksten 6%, så svarer dette til, at den relative ændring i x-værdien er rx = 0.06 .
Vi skal altså fremskrive x med faktoren
1 + rx = 1.06 .
Fremskrivningsfaktoren for y bliver da
1 + ry = ^1 + rxh-2 = 1.06 -2 = 0.89 ,
hvilket svarer til en y-tilvækst på ry = 0.89 - 1 =- 11% . Dvs., at A’s BMI er 11% mindre end
B’s.
Løsning 2:
Da BMI er en potensudvikling, ved vi, at hvis vi giver x en procentvis vækst på 6%, vil den
tilhørende y-værdi få en procentvis vækst – og denne vil være den samme for alle x-værdier.
Det betyder, at vi blot kan vælge en værdi for x og foretage beregningerne ud fra denne værdi.
Så lad os sige, at B er 2 meter høj. Så vil A være 2 $1.06 = 2.12 meter høj. Vi udregner BMI
til disse to højder:
BMI ^ 2 h = 80 $ 2 -2 = 20
BMI ^ 2.12 h = 80 $ 2.12 -2 = 17.80
Vi udregner så den procentvise ændring:
20 $ ^ 1 + r h = 17.80 + r =
17.80
20 - 1 =- 0.11
Dvs., at A’s BMI er 11% mindre end B’s.
Nok virker denne metode mere primitiv end den, vi benyttede ovenfor. Men det ændrer ikke
ved, at begge metoder er helt korrekte – blot vi i løsning 2 husker at skrive, at det er ligegyldigt,
hvilket x vi vælger at tage udgangspunkt i.
225
15000
625
9000
a) Bestem tallene a og b.
b)
Hvad er det daglige indtag af frugt og grønt, hvis det årlige antal kræftdødsfald er 10000?
c)
Hvor mange procent ville det gennemsnitlige daglige indtag af frugt og grønt være større,
hvis det årlige antal kræftdødsfald i Danmark var 5% mindre?
Løsning:
a)
Vi bestemmer a og b:
solve ^" f (225) = 15000 , f (625) = 9000. ,, " a, b ,h
" a =- 0.50000000 , b = 225000.0000 ,
Dvs., at forskriften bliver
f ^ x h : = 225000 $ x -0.5
b)
f ^ x h = 10000
solve
" x = 506.250000 ,
Dvs., at det daglige indtag af frugt og grønt er ca. 506 gram, hvis det årlige antal kræftdødsfald
er 10000.
c)
Her skal vi ifølge sætning 7.10.3 løse ligningen
1 + ry = ^ 1 + rx ha
med ry =- 0.05 og a =- 0.5
1 - 0.05 = ^ 1 + rx h-0.5
solve
" rx = 0.1080332410 ,
Dette viser, at det daglige indtag af frugt og grønt skal øges med ca. 10.8% for at sænke det
årlige antal kræftdødsfald med 5%
OPGAVER 7.76 – 7.83 „
248
249
8 Differentialregning
8.1 Indledning
En bil venter ved et stopsignal. Da det endelig skifter til grønt, trædes der på speederen. Den
strækning, bilen tilbagelægger i de første 4 sekunder efter skiftet til grønt, kan beskrives ved
funktionen
s ^ t h = 3t 2, 0 # t # 4
hvor t er tiden målt i sekunder og s (t) er den tilbagelagte strækning (vejlængde), målt i meter,
til tiden t. Grafisk ser det sådan ud:
Ved hjælp af funktionen s, kan vi nemt beregne, hvor langt bilen har kørt efter fx 2 og 3 sekunder:
s (2) = 12
og
s (3) = 27
men det, vi er interesserede i at vide, er, hvad speedometeret stod på, efter præcis 2 sekunder.
Som et første bud på dette, kan vi udregne gennemsnitshastigheden i tidsrummet fra 2 til 3
sekunder.
En gennemsnitshastighed udregnes som ændringen i vejlængde, Ds , divideret med ændringen
i tid, Dt :
Ds = s (3) - s (2) = 27 - 12 = 15
3-2
1
Dt
- altså 15 m/s. Men dette er ikke hastigheden til t = 2 , idet grafen viser, at hastigheden øges
mellem 2 og 3 sekunder. Hastigheden til t = 2 må derfor være mindre en 15 m/s og hastigheden
til t = 3 større end 15 m/s.
250
251
Hvis hastigheden var konstant lig med 15 m/s i tidsrummet mellem 2 og 3 sekunder, ville grafen
følge den blå rette linje på grafen herunder (zoomet ind til intervallet 62, 3@ :
Ds = s (1) - s (2) = 3 - 12 = 9
1-2
-1
Dt
– altså en gennemsnitshastighed i intervallet 61, 2@ på 9 m/s.
Vi formindsker intervallet til 61.9, 2@ og finder gennemsnitshastigheden i dette interval:
Ds = s (1.9) - s (2) = 10.83 - 12 = 11.7
1.9 - 2
- 0.1
Dt
– altså en gennemsnitshastighed i intervallet 61.9, 2@ på 11.7 m/s.
Det næste interval er 61.99, 2@ , og her bliver gennemsnitshastigheden:
Ds = s (1.99) - s (2) = 11.8803 - 12 = 11.97
1.99 - 2
- 0.01
Dt
Fortsættes således, ser vi, at vi kan bringe gennemsnitshastigheden vilkårligt tæt på 12 m/s, hvis
blot tidsintervallet (med slut i 2) er lille nok, men vi rammer aldrig 12 – eller over 12.
Vi kan få en bedre tilnærmelse til hastigheden til t = 2 ved at vælge et mindre tidsinterval, fx
fra 2 sekunder til 2.1 sekunder. Udregningen bliver næsten den samme – bortset fra, at 3 skal
erstattes med 2.1:
Ds = s (2.1) - s (2) = 13.23 - 12 = 12.3
2.1 - 2
0.1
Dt
– altså en gennemsnitshastighed i intervallet 62, 2.1@ på 12.3 m/s.
Vi kan lave intervallet endnu mindre og derved få en bedre tilnærmelse til hastigheden i t = 2 .
1
Lad os prøve med intervallet 62, 2.01@ af længde 100
sekund:
Ds = s (2.01) - s (2) = 12.1203 - 12 = 12.03
2.01 - 2
0.01
Dt
1
Lad os også lige tage tidsintervallet 62, 2.001@ af længde 1000
sekund:
Ds = s (2.001) - s (2) = 12.012003 - 12 = 12.003
2.001 - 2
0.001
Dt
Fortsætter vi ad dette spor, vil vi se, at vi kan bringe gennemsnitshastigheden vilkårligt tæt på
12 m/s, hvis blot tidsintervallet (med start i 2) er lille nok, men vi vil aldrig kunne kommer under 12 – eller for den sags skyld, aldrig ramme 12.
For at præcisere dette, lader vi et reelt tal h > 0 styre denne formindskelse af tidsintervallet. Vi
vil således beregne gennemsnitshastigheden i intervallet 62, 2 + h@ :
Også her kan vi lade et reelt tal h styre formindskelsen af tidsintervallet. Den eneste ændring
er, at her er h < 0 . Gennemsnitshastigheden i intervallet 62 + h, 2@ beregnes efter nøjagtig den
samme formel:
Ds = s (2 + h) - s (2)
h
Dt
Udregningerne ovenfor svarer til disse værdier af h: - 1, - 0.1, - 0.01.
Konklusionen på vores udregninger er, at hastigheden til t = 2 bestemmes som grænseværdien
af brøken
s (2 + h) - s (2)
h
når h nærmer sig 0.
Denne grænseværdi har vi udregnet til 12. Matematisk formuleres dette således:
s (2 + h) - s (2)
" 12 når h " 0
h
der læses således:
En alternativ formulering, som også ofte ses, er
lim
h"0
Ds = s (2 + h) - s (2) = s (2 + h) - s (2)
2+h-2
h
Dt
De udregninger, vi har lavet ovenfor svarer til disse værdier af h: 1, 0.1, 0.01 og 0.0001 Fortsætter vi dette mønster, vil vi have en følge af tal, der nærmer sig 0.
s (2 + h) - s (2)
går mod 12, når h går mod 0.
h
s (2 + h) - s (2)
= 12
h
hvor lim er en forkortelse af det latinske ord for grænse: limes (limit på engelsk).
I begge formuleringer står der h " 0 , hvilket betyder, at h blot skal gå mod 0, så der er intet krav
om at h skal være positiv eller negativ – begge dele skal gælde.
Vi kan lave noget helt tilsvarende ved at benytte et interval til venstre for t = 2 , altså til en start
finde gennemsnitshastigheden i 61, 2@ :
252
253
Det kræver nogen udregning at finde denne grænseværdi, men Maple kan hjælpe her:
MAPLE - GRÆNSEVÆRDIER
Maple kan let klare alle ovenstående udregninger. Start med at definere funktionen s:
s ^ t h : = 3t 2
Dvs., at hastigheden til tidspunktet t 0 er 6t 0 . Tjekker vi med de hastigheder, vi har fundet for
t 0 = 1, 2, 3 , ser vi, at det passer fint.
s : = t " 3t 2
Den første udregning klares sådan her
Grænseværdien betegnes sl ^t 0h og kaldes differentialkvotienten af s i t 0 . Med denne betegnelse
har vi:
s (3) - s (2)
= 15
3-2
Naturligvis kan vi også indtaste det generelle udtryk
kommandoen eval:
eval a
s (2 + h) - s (2)
og beregne ved hjælp af
h
s (2 + h) - s (2)
, h = 0.1 k = 12.30000000
h
og løbende ændre h og genberegne.
Maple kan også finde grænseværdien: Tryk på knappen xlim
f i Calculus-paletten og udfyld
"a
skabelonen:
lim
h"0
s (2 + h) - s (2)
= 12
h
Skulle det drille med at få skabelonen til at fungere efter hensigten, kan kommandoen benyttes:
limit a
s (t 0 + h) - s (t 0)
= 6t 0
h
h"0
lim
s (2 + h) - s (2)
, h = 0 k = 12
h
Nu kunne vi mere eller mindre gentage alle udregningerne, hvis vi i stedet vil finde hastigheden
til t = 3 – altså bestemme grænseværdien af
s (3 + h) - s (3)
h
sl (t 0) = 6t 0
og med indsatte værdier
sl (1) = 6
sl (2) = 12
sl (3) = 18
Vi kan selvfølgelig også beregne andre uden at vi er nødt til at bestemme grænseværdier – det
er, for denne funktions vedkommende, gjort én gang for alle.
Hvis vi vil finde hastigheden til tidspunktet t = 0.5 , indsætter i blot 0.5 i stedet for t 0 i sl ^t 0h
sl (0.5) = 6 $ 0.5 = 3
Da vi fandt gennemsnitshastigheden i intervallet 6 2, 3 @ , udregnede vi
s (3) - s (2)
12 = 15
= 27 3-2
1
hvilket er en udregning af hældningskoefficienten for en ret linje gennem punkterne P ^ 2, s ^ 2 hh
og Q ^ 3, s ^ 3 hh – altså den blå linje på figuren nedenfor:
når h går mod 0. Da vi ved, hvad der skal ske, lader vi Maple klare det for os:
lim
h"0
s (3 + h) - s (3)
= 18
h
så hastigheden til t = 3 er 18 m/s.
Q
Lad os tilsvarende finde hastigheden til t = 1:
lim
h"0
s (1 + h) - s (1)
=6
h
P
altså en hastighed til t = 1 på 6 m/s.
I stedet for at udregne hastigheden tidspunkt for tidspunkt, ville det være at foretrække at finde
et generelt udtryk for hastigheden – og hertil er vi allerede godt på vej. Vi mangler blot at generalisere en smule mere ved at lade t 0 være et vilkårligt, men fast punkt i intervallet ] 0, 4 [ , hvor
vi er nødt til at udelade 0 og 4, da vi ikke kan lave et interval til højre for 4 og til venstre for 0,
da funktionen ikke er defineret her.
254
Den blå linje kaldes en sekant.
255
Ved bestemmelsen af hastigheden til t = 2 , holdt vi P fast, men flyttede punktet Q, langs grafen,
tættere og tættere på P, så de to punkter til sidst så at sige faldt sammen.
I den sidste udregning, vi lavede, benyttede vi punkterne P ^ 2, s ^ 2 hh og P ^ 2, s ^ 2.001 hh , og
fandt hældningen for linjen gennem disse to punkter til
s (2.001) - s (2)
- 12 = 12.003
= 12.012003
2.001 - 2
0.001
Det vil sige, at sekanten gennem P og Q mere og mere nærmer sig en ret linje gennem P med
hældningskoefficienten 12. Denne grænselinje kaldes for en tangent til grafen i punktet P.
I de næste par afsnit skal vi formalisere alt dette og lave en helt præcis definition af, hvad det
vil sige, at en funktion er differentiabel i et punkt. Desuden skal vi have udviklet metoder til at
kunne beregne differentialkvotienter af alle mulige funktioner, således at bestemmelse af grænseværdier helt kan undgås i den daglige omgang med differentialregning.
Historisk blev differentialregningen udviklet af Isaac Newton og Gottfried Leibniz i sidste
halvdel af 1600-tallet. Hvem der kom først, er der megen diskussion om, men sikkert er det, at
de udviklede teorien uafhængigt af hinanden.
Da denne tangent har hældningskoefficienten 12 og går gennem punktet P ^ 2, s ^ 2 hh = ^ 2, 12 h
kan vi finde ligningen for denne ved at benytte sætning 4.5.6
y = 12 ^ t - 2 h + 12 = 12t - 12
Hvis vi indtegner denne på ovenstående figur, kan vi få en fornemmelse af, hvad der sker, når
punktet Q flyttes langs grafen hen mod P (grafen til venstre). Uden sekanter og punkter indtegnet, ser tangenten som vist på grafen til højre:
Q
P
Isaac Newton (1642 - 1727)
Skulptur, Trinity College, Cambridge
Læg mærke til, at tangenten og grafen stort set falder sammen i et lille interval omkring 2. Det
betyder, at en funktion som s kan opfattes som værende næsten lineær inden for små intervaller
– og jo mindre intervaller, jo bedre er tilnærmelsen.
Hvis vi udregner funktionsværdien til fx t = 2.1 og sammenligner med, hvad vi ville få ved i
stedet at indsætte i tangentens ligning, får vi
s ^ 2.1 h = 3 $ 2.1 2 = 13.23
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Udsnit af Leibniz Denkmahl, Leipzig
Teorien mødte på den tid megen modstand, idet – som man sagde – man kan jo ikke dividere 0
med 0. Og det kan godt se ud som om, at det er det, man gør i brøken
s (t 0 + h) - s (t 0)
h
hvis nemlig h sættes lig med 0, så bliver tælleren og nævneren begge 0 – og alligevel får vi
et tal ud af det. Ren magi. Og faktisk først i 1817 får den tyske matematiker Karl Weierstrass
formuleret et præcist matematisk fundament for begreberne grænseværdi og kontinuitet, som
vi skal se lidt på i næste afsnit.
y = 12 $ 2.1 - 12 = 13.2
altså en afvigelse på 0.03.
OPGAVER 8.1 – 8.4 „
256
257
8.2 Kontinuitet
Vi ser nu på grafen for funktionen f (x) = x 2
Læg mærke til, at en funktion skal være defineret i x 0 for at vi kan tale om, at funktionen er
kontinuert i x 0 . Dette fremgår af, at grænseværdien i så fald skal være f (x 0) , og er funktionen
ikke defineret i x 0 , har f (x 0) jo ingen mening.
8.2.2
EKSEMPEL
Funktionen
f (x) = e x + 4
er en kontinuert funktion.
Vi kan derfor umiddelbart bestemme en grænseværdi som
f (x) " 5 når x " 0
ved at udregne
f^ 0 h = e 0 + 4 = 5
8.2.3
Det er intuitivt klart, at hvis x er tæt på 2, så er f (x) tæt på 4, idet f (2) = 2 2 = 4 . Udregner vi
funktionsværdien i et x tæt på 2, finder vi
f (2.001) = 4.004001
f (1.999) = 3.996001
og går vi endnu tættere på 2, så vil funktionsværdien være endnu tættere på 4. Vi kan konkludere:
f (x) " 4 når x " 2
Helt tilsvarende kan vi argumentere for, at
f (x) " 9 når x " 3
og helt generelt vil der for et vilkårligt x 0 gælde, at grænseværdien er lig med funktionsværdien
når x går mod x 0 :
f (x) " f (x 0) når x " x 0
Når en funktion har denne egenskab, siges den at være kontinuert i x 0 :
EKSEMPEL
Vi skal her se på funktionen
2
2x
f (x) = x +
x
Denne funktion er ikke defineret i 0, men har, som vi skal se, en grænseværdi i 0.
Som et første forsøg på at finde en grænseværdi i 0, kan vi udregne nogle funktionsværdier for
x tæt på 0
f ^ 0.1 h = 2.1
f ^ 0.01 h = 2.01
f ^ 0.001 h = 2.001
Så det tyder på, at
f (x) " 2 når x " 0
Vi kan faktisk redegøre for dette på en mere overbevisende måde ved at bemærke, at vi kan
forkorte funktionsudtrykket for f :
2
8.2.1
DEFINITION - KONTINUITET
En funktion f siges at være kontinuert i x 0 , hvis og kun hvis
f (x) " f (x 0) når x " x 0
Hvis funktionen er kontinuert i ethvert x 0 i definitionsmængden, siges f at være en kontinuert
funktion
258
f ^ - 0.1 h = 1.9
f ^ - 0.01 h = 1.99
f ^ - 0.001 h = 1.999
2x =
f (x) = x +
x
x $ ^ x + 2h
= x+2
x
Det skal ikke forstås sådan, at f er den lineære funktion med forskriften x + 2 , men funktionen f opfører sig helt og holdent som den lineære funktion x + 2 , bortset fra, at f ikke er
defineret i 0.
Når vi skal finde grænseværdien for f , når x går mod 0, kan vi indsætte 0 i det reducerede
udtryk x + 2 , og derved finde grænseværdien. Denne teknik skal vi bruge adskillige gange i de
næste afsnit. Beregningen af grænseværdien skriver vi således:
259
f (x) " 5 når x " 1 -
2
2x
f (x) = x +
x
= x + 2 " 2 når x " 0
Grafen for f kommer til at ligne en ret linje. Faktisk opdager Maple slet ikke, at der er noget
galt i 0:
hvor 1 - betyder, at x går mod 1 fra venstre side.
For at f kan være kontinuert i 1, skal de to grænseværdier være ens og lig med f (1) . f er altså
Y 1.
ikke kontinuert i x 0 = 1, men f er kontinuert i alle x 0 =
Intuitivt betyder kontinuitet, at grafen skal være ’sammenhængende’.
I det følgende vil vi af og til bruge definition af kontinuitet i en alternativ formulering, hvor vi
indfører et h til at styre begivenhederne
8.2.4
DEFINITION - KONTINUITET (ALTERNATIV VERSION)
En funktion f siges at være kontinuert i x 0 , hvis og kun hvis
f (x 0 + h) " f (x 0) når h " 0
Den helt korrekte tegnede graf med et ’hul’ i (0,2) ses til højre.
De to definitioner af kontinuitet (definition 8.2.1 og 8.2.4) udtrykker præcist det samme, hvilket
fremgår af figurerne:
En funktion, der har en graf som denne
f^ x h
f (x 0 + h)
f (x 0)
f (x 0)
x0
x
x0
x0 + h
På figuren til venstre har vi med pile vist, at når vi lader x " x 0 , så vil f ^ x h " f ^ x 0 h .
er ikke kontinuert i x 0 = 1. Funktionen er defineret i 1 med f (1) = 3 . Vælger vi et x lidt til højre
for 1, viser en aflæsning på grafen, at vi får en funktionsværdi tæt på 3, så
På figuren til højre, har vi sat x = x 0 + h . Når vi så lader h " 0 , vil x 0 + h " x 0 og dermed
vil f ^ x 0 + h h " f ^ x 0 h .
f (x) " 3 når x " 1 +
hvor 1 + betyder, at x går mod 1 fra højre side.
Vælger vi derimod et x lidt til venstre for 1, ses ved aflæsning, at vi får en funktionsværdi tæt
på 5. Dvs.:
260
261
På et eller andet tidspunkt skal h gå mod 0. Kig nøje på figuren ovenfor og overvej, hvad der
sker:
8.3 Definition af differentiabilitet
8.3.1
P er naglet fast (afhænger ikke af h), men Q vil flytte sig langs grafen, når vi lader h gå mod
0 – og den blå sekant vil følge med (den er jo bundet til P og Q). Her ses et snapshot af Q på
sin vej mod P:
DEFINITION
En funktion f er differentiabel i et punkt x 0 ! R , hvis
1)
f er defineret i et interval omkring x0
2)
Differensbrøken
f (x0 + h) - f (x0)
har en grænseværdi når h " 0 .
h
Hvis f er differentiabel, kaldes denne grænseværdi for differentialkvotienten af f i x0 , og den
betegnes med f l (x0) .
f (x 0 + h)
f (x 0)
Hvis f er differentiabel i x0 , kan vi altså skrive
f (x0 + h) - f (x0)
" f l (x0)
h
Q
P
h
x0
når h " 0
I definitionen står, at f skal være defineret i et interval omkring x0 . Uden dette krav, vil det ikke
være muligt at snakke grænseværdier.
For at studere differensbrøken nærmere, skal vi have fat i en tegning:
Q
f (x 0 + h)
x0 + h
Hældningskoefficienten for den blå sekant kan stadig udregnes efter formlen ovenfor, men as
vil dog få en anden værdi, idet h jo er ændret.
Når h " 0 , vil P og Q smelte sammen i grænsen, men under hele grænseovergangen vil P og Q
være to forskellige punkter, der kan forbindes med en sekant.
Da vi har antaget, at f er differentiabel i x 0 , har vi
as " f l (x0) når h " 0
og dermed vil sekanterne mere og mere nærme sig en linje gennem P med hældningen f l (x0) .
Denne linje kaldes tangenten til f i punktet P^ x0, f (x0)h
f (x 0)
P
x0
h
x0 + h
Den røde graf er funktionen f, som vi antager er differentiabel i x 0 . Punkterne P^ x0, f (x0)h og
Q^ x0 + h , f (x0 + h)h er afsat på grafen for f og er forbundet med den blå rette linje – kaldet en
sekant.
Hældningskoefficienten, as , for sekanten (den blå linje) kan bestemmes, idet vi jo kender to
y - y1
:
punkter den går gennem. Hertil bruger vi den velkendte formel: a = 2
x2 - x1
as =
f (x0 + h) - f (x0)
h
Det vil sige, at differensbrøken er lig med hældningen for denne sekant.
262
f (x 0)
P
x0
Tangenten til grafen for f i punktet P er således en ret linje, der går gennem punktet ^ x 0, f (x 0)h
med hældningskoefficienten f l ^ x 0 h .
263
Hvis f ikke er kontinuert i x 0 , er det ikke muligt for at tegne en tangent i punktet ^ x 0 , f ^ x 0hh ,
hvilket hænger sammen med, at der gælder:
Vi har således bevist, at funktionen
8.3.2
er differentiabel i et vilkårligt punkt x0 , og at differentialkvotienten er
SÆTNING
f (x) = x2
Hvis funktionen f er differentiabel i x 0 , så er f kontinuert i x 0
f l (x0) = 2x0 .
BEVIS
Vi antager, at f er differentiabel i x 0 , gælder ifølge definition 8.3.1, at
8.4.2
f (x 0 + h) - f (x 0)
" f l (x 0) når h " 0
h
Vi skal finde differentialkvotienten af den konstante funktion
For at bevise, at f er kontinuert, skal vi ifølge definition 8.2.4 vise, at
når
f (x 0 + h) " f (x 0)
f (x) = k
h"0
Vi ser på differensen f (x 0 + h) - f (x 0) og omskriver ved at gange med h og dividere med h:
f (x 0 + h) - f (x 0) =
f (x 0 + h) - f (x 0)
$ h " f l (x 0) $ 0 når h " 0
h
1442443
hvilket er ensbetydende med, at
når
1. f er defineret for alle reelle tal, så f er defineret i et interval om ethvert x0 .
f (x 0 + h) - f (x 0)
k
= kh
h
=0
h"0
QED
8.4 Differentialkvotient af simple funktioner
8.4.1
i et vilkårligt punkt x0 :
2. Vi skriver differensbrøken op, sætter ind i funktionsforskriften, regner lidt og finder grænseværdien:
=0
f (x 0 + h) " f (x 0)
EKSEMPEL
" 0 når h " 0
[Indsæt i funktionsforskrift]
[tælleren udregnes til 0]
[0 er en konstant uafhængig af h]
Det betyder, at f l (x0) = 0 for et vilkårligt x0 .
Vi har således bevist, at funktionen
Vi skal finde differentialkvotienten af funktionen
f (x) = k
f (x) = x2
er differentiabel i et vilkårligt punkt x0 , og at differentialkvotienten er
i et vilkårligt punkt x0 . Vi følger opskriften fra definitionen slavisk:
1.
f er defineret for alle reelle tal, så f er defineret i et interval om ethvert x0 .
2.
Vi skriver differensbrøken op, sætter ind i funktionsforskriften og regner lidt:
f (x 0 + h) - f (x 0)
(x 0 + h) 2 - x 02
=
h
h
2
x + h 2 + 2x 0 $ h - x 02
= 0
h
h 2 + 2x 0 $ h
=
h
= h + 2x 0
" 2x 0 når h " 0
f l (x0) = 0 .
8.4.3
[Indsæt i funktionsforskrift]
[kvadratet på en to-leddet størrelse]
[reduktion af tæller]
[forkort brøken med h ]
[sæt h = 0 i udtrykket h + 2x 0 ]
Udregningen viser, at f l (x0) = 2x0 for et vilkårligt x0 .
264
EKSEMPEL - KONSTANT FUNKTION
EKSEMPEL - LINEÆR FUNKTION
Vi skal finde differentialkvotienten af den lineære funktion
f (x) = a $ x + b
i et vilkårligt punkt x0 :
1. f er defineret for alle reelle tal, så f er defineret i et interval om ethvert x0 .
2. Vi skriver differensbrøken op, sætter ind i funktionsforskriften og regner lidt:
265
f (x 0 + h) - f (x 0)
a $ (x 0 + h) + b - (a $ x 0 + b)
=
h
h
a $ x0 + a $ h + b - a $ x0 - b
=
h
$
a
h
= h
=a
" a når h " 0
[Indsæt i funktionsforskrift]
Problemet er, at vi – i modsætning til de tidligere eksempler – ikke har nogen metode at omskrive udtrykket x 0 + h . Ser vi på differensbrøken
[regn parenteser ud]
[reduktion af tæller]
[forkort brøken med h ]
[a er en konstant uafhængig af h]
Det betyder, at f l (x0) = a for et vilkårligt x0 .
Vi har således bevist, at funktionen
x0 + h - x0
h
og lader vi h " 0 , vil tælleren gå mod 0, og det vil nævneren også. Men 0 er meningsløst, så
0
vi er nødt til at finde på et eller andet, så vi kan omskrive brøken.
Tricket er at forlænge differensbrøken med x0 + h + x0 i tælleren og nævneren. Fidusen
er så, at der i tælleren kommer til at stå: ’to tals sum gange de samme to tals differens’ – og 3.
kvadratsætning kan benyttes.
Og et par ord om bestemmelsen af grænseværdien af udtrykket
f (x) = a $ x + b
1
x0 + h + x0
er differentiabel i et vilkårligt punkt x0 , og at differentialkvotienten er
Her kan vi blot indsætte h = 0 , idet udtrykket giver mening for h = 0 :
f l (x0) = a .
1
" 1
x0 + h + x0
2 x0
Læg mærke til, at dette resultat indeholder resultatet i eksempel 8.4.2 som specialtilfældet a = 0 .
8.4.4
Vi har således bevist, at funktionen
EKSEMPEL - KVADRATRODSFUNKTIONEN
f (x) =
Vi skal finde differentialkvotienten af funktionen
f (x) =
f l (x0) =
f er defineret for alle reelle tal i intervallet 60 , 36 så f er defineret i et interval om ethvert x0
i intervallet @ 0 , 3 6
2. Vi skriver differensbrøken op og sætter ind i funktionsforskriften:
f^ x 0 + hh - f^ x 0h
=
h
x0 + h - x0
h
^ x0 + h - x0 h $ ^ x0 + h +
=
h $ ^ x0 + h + x0 h
x
er differentiabel i et vilkårligt punkt x0 i intervallet @ 0 , 3 6, og at differentialkvotienten er
x
i et vilkårligt punkt x 0 ! @ 0 , 3 6:
1.
når h " 0
[Indsæt i forskrift]
x0 h
[trick - se nedenfor]
1
.
2 x0
MAPLE
Kommer vi i problemer med udregningen af grænseværdien af differensbrøken, kan vi altid
hente hjælp i Maple. Fx
lim
h"0
x0 + h - x0
= 1
h
2 x0
x0 + h - x0
h $ ^ x0 + h + x0 h
h
=
h $ ^ x0 + h + x0 h
[3. kvadratsætning]
men herved går vi glip af de små finurlige omskrivninger, der skal foretages, for at undgå, at
både tælleren og nævneren i brøken går mod 0, når h går mod 0.
[reduktion af tæller]
Men Maple kan dog også bruges undervejs i udregningerne. Hvis vi skal bestemme differentialkvotienten i et vilkårligt punkt x 0 af funktionen
=
[forkort brøken med h ]
=
1
x0 + h + x0
når h " 0
" 1
2 x0
Et par ord om det trick, der er benyttet:
[detaljer - se nedenfor]
f (x) = x 3
så kommer vi til at bestemme grænseværdien, når h går mod 0, af
^ x 0 + h h3 - x 03
h
Vi kan få Maple til at udregne tælleren
266
267
^ x 0 + h h3 - x 03
simplify
=
h 3 + 3h 2 x 0 + 3h x 02 + x 03
8.5 Regneregler for differentialkvotienter
og herefter kan vi regne videre på brøken med håndkraft
^ x 0 + h h3 - x 03
h
3
=
h + 3h
2
Hvis vi skal udregne differentialkvotienten i x0 af funktionen s (x) = x2 + x , skal vi ifølge
definitionen udregne grænseværdien af differensbrøken for s når h " 0 .
Det bliver nemt et ganske omfattende arbejde, så mon ikke vi kan udnytte, at vi kender differentialkvotienten af begge de indgående funktioner? Det ville jo være herligt, hvis vi blot kunne
lægge de to differentialkvotienter sammen.
x 0 + 3h x 02 + x 03 - x 03
h
h + 3h x 0 + 3h x 02
=
h
2
= h + 3h x 0 + 3x 02
3
2
" 3x 02 når h " 0
8.5.1
Hermed har vi, at for ethvert x 0 er f l ^ x 0h = 3x 02 .
Vi kan også få Maple til at hjælpe os med at finde differentialkvotienten af f ^ x h = 1x i ethvert
Y 0 . Her skal vi først udregne differensbrøken:
x0 =
SÆTNING - SUMREGLEN
Antag, at funktionerne f og g er differentiable i x0 . Så er summen
s (x) = f (x) + g (x)
differentiabel i x0 , og differentialkvotienten er
1
1
x 0 + h - x 0 simplify
1
= h
^ x 0 + hh x 0
sl (x0) = f l (x0) + gl (x0)
Herefter er det ganske simpelt at finde grænseværdien ved at indsætte h = 0 i det reducerede
udtryk:
-
BEVIS
1
" - 12 når h " 0
^ x 0 + hh x 0
x0
At f og g er differentiable betyder ifølge definition 8.3.1, at
Y 0.
Dvs., at f l ^ x 0h =- 12 for x 0 =
x0
og
Lad os samle vore resultater i en liste:
268
f (x0 + h) - f (x0)
" f l (x0)
h
når h " 0
g (x0 + h) - g (x0)
" gl (x0)
h
når h " 0
f (x)
f l ^ x 0h
k (konstant)
0
1.
s (x) er defineret i et interval om x0 , og
x
1
2.
differensbrøken for s (x) har en grænseværdi når h " 0
a$x+b
a
x2
2x 0
x3
3x 02
x
1
2 x0
1
x
- 12
x0
For at bevise, at s (x) = f (x) + g (x) er differentiabel i x0 , skal vi ifølge definitionen tjekke, om
1. Følger af, at både f og g er defineret i et interval om x0 , idet det begge er antaget at være differentiable.
2. Vi udregner differensbrøken for s (x) og finder grænseværdien når h " 0 :
OPGAVER 8.5 – 8.7 „
f (x0 + h) + g (x0 + h) - ^ f (x0) + g (x0)h
s (x0 + h) - s (x0)
=
h
h
f (x0 + h) - f (x0) + g (x0 + h) - g (x0)
=
h
f (x0 + h) - f (x0) g (x0 + h) - g (x0)
=
+
h
h
269
Vi har fået omskrevet differensbrøken for s til summen af differensbrøkerne for f og g, men
disse har jo (pr. antagelse) en grænseværdi når h " 0 :
s (x0 + h) - s (x0)
f (x0 + h) - f (x0) g (x0 + h) - g (x0)
" f l (x0) + gl (x0) når h " 0
=
+
h
h
h
8.6 Den afledte funktion
I de regler, vi har vist, vil vi ofte skrive x i stedet for x0 . Herved opfatter vi faktisk differentialkvotienten som en funktion. Denne funktion hedder officielt den afledte funktion, men vil i
daglig tale ofte blive kaldt den differentierede funktion.
Dette viser, at sl (x0) = f l (x0) + gl (x0) .
QED
8.5.2
8.6.1
EKSEMPEL
Vi har vist, at funktionen f (x) = x2 er differentiabel i ethvert x0 i definitionsmængden, og at
differentialkvotienten er f' (x0) = 2x0 .
SÆTNING - DIFFERENSREGLEN
Antag, at funktionerne f og g er differentiable i x0 . Så er differensen
Den afledte funktion er her f' (x) = 2x . Differentialkvotienten i x0 kan så bestemmes ved at
indsætte x0 i den afledte funktion, og vi får f' (x0) = 2x0 .
d (x) = f (x) - g (x)
differentiabel i x0 , og differentialkvotienten er
Processen at finde den afledte af en funktion f, kaldes at differentiere f. Som notation – specielt
til opskrivning af regler og omhyggelig bestemmelse af en afledet funktion – vil vi benytte
notationen ^ f (x)hl for f l (x) .
d l (x0) = f l (x0) - gl (x0)
Beviset går efter helt samme melodi som beviset for sætning 8.5.1. Dog kan fortegnet godt
drille lidt til sidst, så det anbefales at lave beviset i detaljer.
8.5.3
Med denne notation, kan vi opskrive de regler vi har vist:
^ f (x) + g (x)hl = f l (x) + gl (x)
^ f (x) - g (x)hl = f l (x) - gl (x)
SÆTNING - KONSTANTREGLEN
Antag, at funktion f er differentiabel i x0 . Lad k være et reelt tal (en konstant). Så er funktionen
^ k $ f (x)hl = k $ f l (x)
p (x) = k $ f (x)
I beviser, hvor det er vigtigt at vi udregner differentialkvotienten i et vilkårligt, men fast punkt,
vil vi holde fast i betegnelsen x0 , og bestemme differentialkvotienten f l (x0) . Vi kan så siden
oversætte resultatet til et resultat om den afledte funktion f l .
differentiabel i x0 , og differentialkvotienten er
pl (x0) = k $ f l (x0)
8.6.2
EKSEMPEL
Ved omhyggelig brug af regnereglerne kan vi nu differentiere en funktion som denne
BEVIS
Idet f er defineret i et interval om x0 , da er p det også ( f er jo antaget at være differentiabel i x0 ).
Vi udregner differensbrøken for p:
f ^ x h = 3x 2 - 2x + 5
helt uden at bekymre os det fjerneste om grænseværdier:
p (x0 + h) - p (x0)
k $ f (x0 + h) - k $ f (x0)
f (x0 + h) - f (x0)
=
= k$
h
h
h
f l ^ x h = ^ 3x 2 - 2x + 5 hl
= ^ 3x 2 hl - ^ 2x hl + ^ 5 hl
Da f er jo antaget at være differentiabel i x0 , får vi
= 3 ^ x 2 hl - 2 ^ x hl + ^ 5 hl
p (x0 + h) - p (x0)
f (x0 + h) - f (x0)
" k $ f l (x0) når h " 0
= k$
h
h
[sum- og differensregel: differentier ledvist]
[konstantregel]
= 3 $ 2x - 2 $ 1 + 0
[tabelopslag]
= 6x - 2
[reduktion]
Dette viser, at pl (x0) = k $ f l (x0)
QED
270
271
8.6.3
Vi kan så indsætte 2 i stedet for x i den afledte funktion:
EKSEMPEL
f l ^ 2 h = 3 $ 22 - 5 = 7
Vi skal differentiere funktionen
f ^ x h = 31 x 3 + 2 x
f l ^ x h = _ 31 x 3 + 2 x il
= _ 31 x 3 il + ^ 2 x hl
= 31 ^ x 3 hl + 2 ^ x hl
= 31 $ 3x 2 + 2 $
1
2 x
= x2 + 1
x
8.6.4
8.6.6
[sum- og differensregel: differentier ledvist]
[konstantregel]
[tabelopslag]
[reduktion]
f (x) = 3 x - 43 x2
således:
f l (x) = ^3 x - 43 x 2 hl
= ^3 x hl - ^ 4 x 2 hl
3
4
l
x h - 3 ^ x 2 hl
1 - 4 $ 2x
3
2 x
= 3 -8
x
2 x 3
= 3$
2
f ^ x h = 3x + x3 - x 3 + 3
[differensregel]
[konstantregel]
[tabelopslag]
[reduktion]
Vi kan så indsætte 1 i stedet for x i den afledte funktion:
2
l
f l ^ x h = b 3x + x3 - x 3 + 3 l
2 l
l
= a 3x k + b x3 l - ^ x 3 hl + ^ 3 hl
l
= 3 $ a 1x k + 31 $ ^ x 2 hl - ^ x 3 hl + ^ 3 hl
= 3 $ b - 12 l + 31 $ ^ 2x h - ^ 3x 2 h + 0
x
3
=- 2 + 23 x - 3x 2
x
[sum- og differensregel
f l^1h =
3 - 8 $ 1 = 3 - 8 =- 7
6
2 3
2 1 3
[konstantregel]
[tabelopslag]
[reduktion]
Bemærk, at der hver gang differentieres ’i bund’ indtil vi står med de afledte af standardfunktioner, der kan slås op i tabellen.
Desuden er det værd at bemærke, at hvis vi skal bestemme en differentialkvotient, så finder vi
først den afledte funktion og indsætter i denne.
EKSEMPEL
Vi skal her udregne differentialkvotienten i 2 af funktionen
f ^ x h = x 3 - 5x + 9
Først finder vi den afledte funktion og derefter indsætter vi 2 i denne.
f l ^ x h = ^ x 3 - 5x + 9 hl
= ^ x 3 hl - ^ 5x hl + ^ 9 hl
= ^ 3x 2 hl - 5 ^ x hl + ^ 5 hl
272
Vi udregner differentialkvotienten i 1 af funktionen
= 3^
EKSEMPEL
Vi skal differentiere funktionen
8.6.5
EKSEMPEL
d , som betegnelse for differentiation i stedet for det ’mærke’,
Ofte benyttes også skrivemåden dx
vi skriver. Med denne skrivemåde ser regnereglerne sådan ud:
d ^
d
d
h
dx f (x) + g (x) = dx f (x) + dx g (x)
d ^
d
d
h
dx f (x) - g (x) = dx f (x) - dx g (x)
[sum- og differensregel]
[konstantregel]
= 3x 2 - 5 $ 1 + 0
[tabelopslag]
= 3x 2 - 5
[reduktion]
d ^
d
h
dx k $ f (x) = k $ dx f (x)
En beskrivelse af de to skrivemåder og lidt om historien findes i Den Store Danske.
OPGAVER 8.8 – 8.12 „
273
8.7 Produkt- og brøkreglen
f (x 0 + h) - f (x 0)
" f l (x 0) når h " 0 6 f er differentiabel i x 0@
h
g (x 0 + h) - g (x 0)
" gl (x 0) når h " 0 6g er differentiabel i x 0@
h
Desværre gælder der ikke nogen simpel regel for differentiation af et produkt af to funktioner.
Det kan vi let overbevise os om ved at se på x2 = x $ x . Vi ved, at ^ x2hl = 2x og at ^ xhl = 1 , så
hvis vi blot differentierer hver af faktorerne og ganger sammen, så får vi ikke 2x .
8.7.1
g ^ x 0 + h h " g ^ x 0h når h " 0
f (x 0) " f (x 0) når h " 0
SÆTNING - PRODUKTREGLEN
6g er kontinuert i x 0@
6 f (x 0) er en konstant@
Antag, at funktionerne f og g er differentiable i x0 . Så er produktet
8.7.2
p (x) = f (x) $ g (x)
differentiabel i x0 , og differentialkvotienten er
pl (x0) = f l (x0) $ g (x0) + f (x0) $ gl (x0)
QED
EKSEMPEL
Differentier funktionen
p (x) = 3 x $ x2
Her er p (x) produktet af de to funktioner
f (x) = 3 x
og
BEVIS
1. At p er defineret i en omegn af x0 følger af, at f og g er det.
2. Vi skal udregne differensbrøken for p og finde dens grænseværdi når h " 0 :
g (x) = x2 .
Disse to funktioner kan vi let differentiere:
p (x0 + h) - p (x0)
f (x0 + h) $ g (x0 + h) - f (x0) $ g (x0)
=
h
h
f l (x) = 3 $
og
Ideen er, at få gravet differensbrøken for f og differensbrøken for g ud af ovenstående brøk. I
tælleren ville det være rart, om vi havde et led af formen - f (x0) $ g (x0 + h) , idet vi så kunne
sætte g (x0 + h) uden for en parentes. I parentesen ville der så stå tælleren i differensbrøken for
f.
Nu bliver det lidt tricky: I tælleren trækker vi et tal fra – og lægger det samme tal til igen (det
ændrer jo ikke noget):
p (x0 + h) - p (x0)
f (x0 + h) $ g (x0 + h) - f (x0) $ g (x0)
=
h
h
=
=
f (x0 + h) $ g (x0 + h) - f (x0) $ g (x0 + h) + f (x0) $ g (x0 + h) - f (x0) $ g (x0)
h
^ f (x0 + h) - f (x0)h $ g (x0 + h) + f (x0) $ ^ g (x0 + h) - g (x0)h
h
f (x0 + h) - f (x0)
g (x0 + h) - g (x0)
$ g (x0 + h) + f (x0) $
=
h
h
" f l (x0) $ g (x0) + f (x0) $ gl (x0) når h " 0
hvor den sidste linje følger af disse 4 grænseovergange:
274
1
2 x
gl (x) = 2x
Ved indsættelse får vi:
pl (x) = f l (x) $ g (x) + f (x) $ gl (x)
1 $ x 2 + 3 x $ 2x
2 x
2
= 3x + 6x $ x
2 x
= 3$
Brug af notationen ^ hl har den fordel, at vi ikke behøver at navngive de to funktioner i udtrykket. Her vil udregningen komme til at se sådan ud
pl ^ x h = ^ 3 x $ x 2 hl
= ^ 3 x hl $ x 2 + 3 x $ ^ x 2 hl
= 3 $ ^ x hl $ x 2 + 3 x $ ^ x 2 hl
= 3 $ c 1 m $ x 2 + 3 x $ ^ 2x h
2 x
2
= 3x + 6x $ x
2 x
[produktregel
[konstantregel]
[tabelopslag]
[reduktion]
275
8.7.3
I tilfældet n = 2 ved vi allerede ^ x2hl = 2x , så vi tjekker om det passer med formlen:
EKSEMPEL
^ x2hl = 2 $ x2 - 1 = 2x1 = 2x
Ved Maples hjælp har vi fundet, at
^ x 3 hl = 3x 2
Passer!
men lad os her udnytte produktreglen til at bevise dette. Hvis vi omskriver således
x3 = x $ x 2
^ x 3 hl = 3 $ x 3 - 1 = 3x 2
får vi
^ x 3 hl = ^ x $ x 2 hl
8.7.4
Lad os lige tjekke, om det passer med n = 4 :
= ^ x hl $ x 2 + x $ ^ x 2hl
[produktregel]
= 1 $ x 2 + x $ 2x
[tabelopslag]
= 3x 2
[reduktion]
EKSEMPEL
Lad os med samme teknik finde den afledte af x4 . Vi omskriver til
x 4 = x $ x3
= ^ x hl $ x 3 + x $ ^ x 3 hl
[produktregel]
= 1 $ x 3 + x $ 3x 2
[tabelopslag]
= 4x 3
[reduktion]
Disse to eksempler viser et mønster:
8.7.5
^ x 4 hl = 4 $ x 4 - 1 = 4x 3
hvilket stemmer overens med resultatet i eksempel 8.7.4.
Fordelen ved at benytte omskrivningen x4 = x $ x3 i eksempel 8.7.4, og ikke x4 = x2 $ x2 er, at
omskrivningen x4 = x $ x3 viser et generelt mønster:
Vi kan komme et led længere frem i kæden ved at benytte det resultat, vi lige har vist, sammen
med ^ x hl = 1 .
Næste led i kæden vil være x5 . For at finde den afledte her, benytter vi, at vi kender den afledte
af det foregående led, ^ x4hl = 4x3 , og det første led, ^ xhl = 1 .
Og således fortsættes, så vi kan slutte, at formlen gælder for alle n ! N .
og benytter produktreglen:
^ x 4 hl = ^ x $ x 3 hl
Tilfældet n = 3 : Her har vi fra eksempel 8.7.3, at ^ x 3 hl = 3x 2 , så vi tjekker om det passer med
formlen – og det gør det:
SÆTNING - POTENSREGLEN
For n ! N gælder
^ x nhl = n $ x n - 1
Der kræves mere argumentation for at kunne konkludere, at formlen gælder for alle n ! N . Den
bevisteknik, der skal anvendes, hedder induktion, men det vil føre for vidt at komme ind på.
QED
Faktisk gælder potensreglen 8.7.5 for alle hele tal – også de negative hele tal og 0. Lad os tjekke
for 0 og - 1: For n = 0 giver potensreglen
^ x 0 hl = 0 $ x 0 - 1 = 0
Da x 0 = 1, har vi også
^ x 0 hl = ^1 hl = 0
Y 0 , idet 0 0
så det passer fint med det, vi allerede ved, men vi er nødt til her at forudsætte, at x =
ingen mening har.
For n =- 1 giver potensreglen
BEVIS
Vi starter med at se på påstanden i tilfældet n = 1 . Her ved vi allerede, at ^ xhl = 1 , så vi behøver
blot at tjekke, at formlen giver det samme:
^ x 1 hl = 1 $ x 1 - 1 = x 0 = 1
så det passer fint.
276
^ x -1 hl =- 1 $ x -1 - 1 =- x -2
Men da x -1 = 1x og x -2 = 12 , står der
x
l
` 1 j =- 12
x
x
så det harmonerer med den regel, vi allerede kender.
277
8.7.6
EKSEMPEL
8.7.7
SÆTNING - BRØKREGLEN
Antag, at funktionerne f og g er differentiable i x0 og at g (x0) =
Y 0 . Så er kvotienten
Vi skal differentiere
f (x) = x 5 $ x + 3x 3 - 5x + 7
q (x) =
Først bruger vi sum- og differensreglen til at differentiere ledvist. Dernæst benyttes produktreglen og herefter står vi med differentiation af simple funktioner:
f l (x) = ^ x 5 $ x + 3x 3 - 5x + 7 hl
= ^ x 5 $ x hl + ^3x 3 hl - ^5x hl + ^7 hl
= ^ x 5 $ x hl + 3 ^ x 3 hl - 5 ^ x hl + ^7 hl
= ^ x 5hl $ x + x 5 $ ^ x hl + 3 ^ x 3 hl - 5 ^ x hl + ^7 hl
= 5x 4 $ x + x 5 $
1
2 x
+ 3 ^ 3x 2 h - 5 $ 1 + 0
5
= 5x $ x + x + 9x 2 - 5
2 x
4
differentiabel i x0 , og differentialkvotienten er
ql (x0) =
6sumregel og differensregel@
6konstantregel@
6produktregel@
6potensregel, tabelopslag@
6reduktion@
f (x)
g (x)
f l (x0) $ g (x0) - f (x0) $ gl (x0)
^g (x0)h2
BEVIS
Vi kan få produktreglen i sving sådan:
ql (x0) = c f (x0) $
1 l = f l (x ) $ 1 + f (x ) $ 1 l
0
0 c
g (x0) m
g (x0)
g (x0) m
1 l
Så vi behøver faktisk blot at finde c g (x ) m .
0
1 er defineret i et interval om x , fordi g er det og g (x ) =
0
0 Y 0 .
g (x)
Vi udregner differensbrøken for 1 :
g (x)
g (x0) - g (x0 + h)
1
- 1
g (x0 + h) g (x0)
g (x0) $ g (x0 + h)
g (x0 + h) - g (x0)
=
=h $ g (x0) $ g (x0 + h)
h
h
Funktionen
MAPLE
Maple kender alle regnereglerne og kan uden videre differentiere en funktion som
f (x): = x 5 $ x + 3x 3 - 5x + 7 :
Når funktionen er derfineret, skal vi blot skrive f' (x) og beregne:
9
2
f l (x) = 112x + 9x 2 - 5
=-
g (x0 + h) - g (x0)
1
$
h
g (x0) $ g (x0 + h)
hvilket ikke helt ligner det, vi fandt, men det er rigtig nok. Maple har blot reduceret i bund ved
brug af potensregnereglerne.
OBS:
Læg mærke til, at når funktionen f er defineret, så er den afledte funktion f l automatisk defineret i Maple. Det vil altså ikke give mening at definere f l (x) .
hvor vi har benyttet, at g er differentiabel i x0 og at g er kontinuert i x0 .
Funktionen f l (x) kan benyttes som enhver anden funktion i Maple.
Notationen ^ hl kan også benyttes i Maple, hvis et udtryk skal differentieres uden at man skal
bruge den afledte til noget. Fx
^ x 5 $ x hl = 11x
Hermed kan vi i Maple kontrollere hvert skridt, vi tager, i en udregning ved håndkraft.
1
når h " 0
^ g (x0)h2
Dette udtryk indsættes nu i udtrykket for ql (x) :
ql (x0) = f l (x0) $
1 + f (x ) $ - gl (x ) $
1
0 c
0
m
g (x0)
^ g (x0)h2
=
f l (x0) $ g (x0)
f (x0) $ gl (x0)
2
^ g (x0)h
^ g (x0)h2
=
f l (x0) $ g (x0) - f (x0) $ gl (x0)
^ g (x0)h2
9
2
2
" - gl (x0) $
QED
278
279
8.7.8
EKSEMPEL
8.8 Differentiation af sammensat funktion
I sætning 8.7.5 viste vi, at for n ! N gælder
^ x nhl = n $ x n - 1 .
Med de regneregler, vi har vist indtil nu, er vi ikke i stand til at differentiere en funktion som
fx denne:
Vi vil nu udvide dette til at gælde for alle n ! Z – så vi også kan have negative potenser.
Lad n ! N . Vi vil så vise, at
- nhl
^x
x2 + 2 .
Funktionen h består af en ydre funktion (kvadratrodsfunktionen) og en indre funktion (et andengradspolynomium), som begge kan differentieres med de kendte regler.
-n - 1
=- n$x
Af potensregnereglerne følger, at x- n = 1n . Da n ! N kan vi differentiere denne brøk ved
x
brug af brøkreglen:
Kalder vi den ydre funktion
f (x) =
x
og den indre funktion
^ x -n hl = c 1n ml
x
^1 hl $ x n - 1 $ ^ x n hl
=
^ x n h2
n
n-1
= 0 $ x - 1n$ n2 $ x
^x h
n-1
=- n $ x 2n
x
h (x) =
g (x) = x2 + 2
[brøkregel]
kan vi skrive den sammensatte funktion således:
h (x) = f (g (x)) = f (x 2 + 2) =
[tabelopslag]
[reduktion i tæller, potensregneregel P3 i nævner]
=- n $ x n - 1 - 2n
[potensregneregel P2]
=- n $ x -n - 1
[reduktion af eksponenten]
x2 + 2
Reglen for differentiation af sammensat funktion er denne
8.8.1
SÆTNING - DIFFERENTIATION AF EN SAMMENSAT FUNKTION
Hvis g er differentiabel i x 0 og f er differentiabel i g (x 0) , så er den sammensatte funktion
h ^ x h = f ^g ^ x hh
Vi mangler at vise, at formlen ^ x nhl = n $ x n - 1 gælder for n = 0 . Vi tjekker:
differentiabel i x 0 , og differentialkvotienten er
^ x0hl = ^1 hl = 0 ,
hl (x 0) = f l (g (x 0)) $ gl (x 0)
og indsætter vi i formlen, får vi
0 $ x0 - 1 = 0 .
For den afledte funktion kan denne regel skrives kort således:
^ f (g (x)) hl = f l (g (x)) $ gl (x)
Så det passer.
Alt i alt har vi nu, at ^ x nhl = n $ x n - 1 for alle n ! Z .
Udtrykt i ord siger reglen, at
• først differentieres den ydre funktion f (x)
OPGAVER 8.13 – 8.15 „
• så indsættes g (x) i stedet for x i f l (x) , hvorved f l ^g (x) h bestemmes
• til sidst ganges f l ^g (x) h med den afledte af den indre funktion, g' ^ x h
Vi skal ikke bevise denne regel. Beviset er ret kompliceret, og med det grænseværdibegreb, vi
har til rådighed, er det ret umuligt at gennemføre.
Vi skal kunne bruge reglen, så vi træner brugen gennem en række eksempler.
280
281
8.8.2
EKSEMPEL
8.8.5
Vi skal differentiere funktionen
Vi skal her differentiere funktionen
h (x) =
h ^ x h = 5x - 2
x2 + 2
Vi fastlægger først den ydre og den indre funktion og differentierer disse:
Ydre funktion:
f (x) =
Indre funktion:
g (x) = x2 + 2 x f l (x) =
1
2 x
hl ^ x h = ^ 5x - 2 hl = 5 $ f l ^5x - 2 h = 5 $
8.8.6
1
1
f l (g (x)) =
=
2 g (x)
2 x2 + 2
1
2 5x - 2
EKSEMPEL
Lidt mere tricky er det at differentiere funktionen
Til sidst ganger vi det udtryk, vi lige har fundet, med gl ^ x h :
hl (x) = f l (g (x)) $ gl (x) =
Her ser vi, at den ydre funktion er f ^ x h = x og denne har den afledte f l ^ x h = 1 . Da den
2 x
indre funktion er lineær, har vi
gl (x) = 2x
Vi indsætter så g (x) i stedet for x i f l ^ x h :
8.8.3
EKSEMPEL
1
$ 2x =
2 x2 + 2
x
x2 + 2
h ^ x h = 2x 1+ 1
Her ser vi, at den ydre funktion er f ^ x h = 1x og denne har den afledte f l ^ x h =- 12 . Vi kan så
x
differentiere h:
l
h' ^ x h = a 2x 1+ 1 k = 2 $ f l ^2x + 1h = 2 $ c -
EKSEMPEL
Vi skal differentiere
h (x) = ^4x + 2 h3 .
8.8.7
Vi fastlægger først den ydre og den indre funktion og differentierer disse:
Ydre funktion:
f (x) = x 3 f l (x) = 3x 2
Indre funktion:
g (x) = 4x + 2 gl (x) = 4
Vi indsætter så g (x) i stedet for x i f l ^ x h :
f l ^g (x) h = 3g (x) 2 = 3 ^4x + 2 h2
Til sidst ganger vi med gl ^ x h :
hl ^ x h = f l ^g (x) h $ gl ^ x h = 3 ^4x + 2 h2 $ 4 = 12 ^4x + 2h2
Hvis den indre funktion er en lineær funktion g (x) = a $ x + b bliver reglen lidt simplere, idet
der gælder:
8.8.4
1
^2x + 1 h2
m =-
2
^2x + 1 h2
EKSEMPEL
Sammensatte funktioner kan også optræde i kombination med andre funktioner som fx i
h (x) = 6 ^2 - 3x h5 + 7x 2 - x
Denne funktion differentieres således:
hl (x) = _ 6 ^2 - 3x h5 + 7x 2 - x il
= _ 6 ^2 - 3x h5 il + ^7x 2 hl - ^ x hl
= 6 $ _^2 - 3x h5 il + 7 $ ^ x 2 hl - ^ x hl
= 6 ^- 3 $ 5 ^2 - 3x h4 h + 7 ^2x h - ^1 h
=- 90 ^2 - 3x h4 + 14x - 1
6sumregel og differensregel@
6konstantregel@
6sammensat funktion, tabelopslag@
OPGAVER 8.16 – 8.17 „
SÆTNING
Hvis f er differentiabel, så gælder
^ f ^a $ x + b hhl = a $ f l ^ a $ x + b h
282
283
lim e h- 1 = 1
h
8.9 Differentiation af specielle funktioner
h"0
Med dette resultat kan vi konkludere
8.9.1
SÆTNING
Den naturlige eksponentialfunktion e er differentiabel i ethvert x ! R med den afledte
h
f (x 0 + h) - f (x 0)
x0 e - 1
=
e
$
" e x 0 $ 1 når h " 0
h
h
x
^e x hl = e x
‘BEVIS’
Vi har ikke redskaber til at bevise denne sætning, men lad os alligevel prøve at se, hvor langt vi
kan komme og hvad vi mangler.
og dermed, at f l ^ x 0h = e x 0 .
8.9.2
= e x 0 $ e h- 1
h
og skal finde grænseværdien når h går mod 0. e x 0 afhænger ikke af h, så det eneste, vi behøver
at bestemme, er
lim e h- 1
h
h"0
Når h går mod 0, vil tælleren gå mod e 0 - 1 = 0 og da nævneren også går mod 0, kan grænseværdien af brøken være hvad som helst.
Lad os tage et kig på grafen for funktionen
h
q ^h h = e h- 1
og se, hvordan den opfører sig omkring 0:
SÆTNING
Den naturlige logaritmefunktion ln ^ x h er differentiabel i ethvert x ! R + med den afledte
^ln ^ x hhl = 1
Vi starter med at opskrive og omskrive differensbrøken for f (x) = e x i et vilkårligt x 0 ! R
x0 + h
x0
x0
h
x0
f (x 0 + h) - f (x 0)
= e h- e = e $ eh - e
h
QED
x
BEVIS
Vi udnytter, at
e ln^ xh = x
Da de to funktioner er ens, må de have den samme afledte funktion. Altså
^e ln^ xhhl = ^ x hl
For at udregne venstresiden, skal vi differentiere en sammensat funktion:
ydre funktion:
indre funktion:
f (x) = e x f l ^ x h = e x
g (x) = ln ^ x h gl ^ x h = ^ln ^ x hhl
hvor vi er nødt til at skrive gl ^ x h = ^ln ^ x hhl da vi endnu ikke kender den afledte af ln ^ x h .
I følge reglen for differentiation af en sammensat funktion har vi
^e ln^ xhhl = ^ f ^g ^ x hhhl = f l ^g ^ x hh $ gl ^ x h = e ln^ xh $ ^ln ^ x hhl = x $ ^ln ^ x hhl
Dette indsætter vi i ^e ln^ xhhl = ^ x hl og får, idet ^ x hl = 1, at
x $ ^ln ^ x hhl = 1
der ved division med x på begge sider giver
^ln ^ x hhl = 1
x
Det ser jo helt fredeligt ud. Maple opdager tilsyneladende slet ikke, at funktionen ikke er defineret i 0. Grafen indikerer, at
284
QED
Ovenstående bevis er ikke helt stuerent, idet vi ved differentiation af den sammensatte funktion
e ln^ xh blot går ud fra, at den indre funktion ln ^ x h er differentiabel, men det er jo en del af det, vi
skal bevise – og det må vi selvfølgelig ikke benytte i beviset.
285
8.9.3
Et specielt eksempel vedrørende den naturlige eksponentialfunktion vil optræde igen og igen i
opgaver og i teorien, så vi ophøjer det til en sætning. Beviset følger umiddelbart af reglen for
differentiation af en sammensat funktion med lineær indre funktion
SÆTNING
Funktionen x a , a ! R , er differentiabel i ethvert x ! R + med den afledte
^ x a hl = a $ x a - 1
8.9.5
^e k $ x hl = k $ e k $ x
BEVIS
Vi udnytter, at
e
ln ^ x h
hvor k er en konstant og x ! R
=x
Faktisk fortæller denne sætning også, hvordan vi skal differentiere en vilkårlig eksponentialfunktion med grundtal a:
til at omskrive x a til
x a = ^e ln^ xhh = e a $ ln^ xh
a
hvor e a $ ln^ x h er en sammensat funktion med
ydre funktion:
indre funktion:
8.9.6
f (x) = e x f l ^ x h = e x
g (x) = a $ ln ^ x h
a $ ln ^ x hhl
^a x hl = ln ^ a h $ a x
gl ^ x h = ax
= ^ f ^g ^ x hhhl = f l ^g ^ x hh $ gl ^ x h = e
a $ ln ^ x h
SÆTNING
Y 1, er differentiabel i ethvert x ! R med den afledte
Eksponentialfunktionen a x , a ! R + , a =
Ved brug af reglen for differentiation af en sammensat funktion får vi:
^e
SÆTNING
BEVIS
$ ax = x a $ ax = a $ x a - 1
Vi udnytter, at
a x = e ln^ah $ x
og dermed har vi
^ x a hl = ^e a $ ln^ xhhl = a $ x a - 1
Da ln (a) er en konstant, kan sætning 8.9.5 umiddelbar benyttes
QED
^a x hl = ^e ln^ah $ x hl = ln ^a h $ a x
QED
Ved første øjekast kunne det se ud til, at den sætning, vi lige har bevist, også indeholder potensreglen:
^ x n hl = n $ x n - 1,
n ! N, x ! R
men det er ikke tilfældet, idet vi i sætningen ovenfor er nødt til at forlange, at x er et positivt
reelt tal.
8.9.4
Vi samler vore resultater i dette afsnit i denne oversigt:
EKSEMPEL
Funktion
Afledet funktion
y = f (x)
yl = f l (x) =
Logaritmefunktion
ln (x)
1 = x- 1
x
Eksponentialfunktioner
ex
ex
ek $ x
k $ ek $ x
ax
a x $ ln (a)
xa
a $ xa - 1
Vi er nu i stand til at differentiere en funktion som fx
f ^ x h = x 2.712
idet sætning 8.9.3 umiddelbart giver
f l ^ x h = 2.712 $ x 2.712 - 1 = 2.712 $ x 1.712
286
Potensfunktion
dy
dx
OPGAVER 8.18 – 8.22 „
287
8.10 Tangentbestemmelse
Idet f l (x0) er hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet ^ x0 , f (x0)h , følger af sætning 4.5.6, at der gælder
Da det er så nemt at tegne grafen for en funktion i Maple, er det en god ide at bruge denne mulighed til at tjekke, om tangenten er fundet korrekt
Plotkommandoen er:
plot (f (x), x = - 2..4)
8.10.1 SÆTNING – TANGENTLIGNINGEN
Antag, at f er en funktion, der er differentiabel i x 0 . Ligningen for tangenten til grafen for f
i punktet ^ x0 , f (x0)h , er bestemt ved
y = f l (x0) $ (x - x0) + f (x0)
8.10.2 EKSEMPEL
Vi skal bestemme tangenten i punktet med førstekoordinaten 1 til grafen for
f (x) = x3 - 3x2 + 1
Her er ligningen for tangenten trukket ind i plottet af grafen for f.
Vi indsætter x0 = 1 i tangentligningen:
Det er ikke sikkert, at plotintervallet 6- 2, 4 @ rammes i første forsøg – her må vi eksperimentere
lidt, så grafen viser det, vi gerne vil have vist.
y = f l (1) $ (x - 1) + f (1)
Vi skal altså have udregnet f (1) og f l (1) . Hertil udregner vi først f l (x) :
f l (x) = 3x2 - 6x
8.10.3 EKSEMPEL
og finder
På figuren ses grafen for funktionen
f (1) = 13 - 3 $ 12 + 1 = - 1
1 x 3 + x 2 - 2x - 3
f^ x h = 3
2
f l (1) = 3 $ 1 - 6 $ 1 = - 3
Tilbage er blot at indsætte i tangentens ligning:
y =- 3 (x - 1) + ^- 1 h =- 3x + 2
MAPLE
I Maple defineres funktionen
f ^ x h : = x 3 - 3x 2 + 1
f : = x " x 3 - 3x 2 + 1
Ligningen for tangenten i punktet med førstekoordinaten 1 til grafen for f bestemmes således:
y = f l (1) $ ^ x - 1h + f (1)
288
y =- 3x + 2
Vi skal undersøge, om grafen for f har tangenter med hældning 1 og finde ligningen for disse.
289
Vi skal altså finde punkter på grafen, hvor tangenhældningen er 1. Da vi ved, at f l ^ x 0 h kan
tolkes som hældningen af tangenten i punktet ^ x0 , f (x0)h , skal vi altså løse ligningen
f l^ xh = 1
Vi behøver ikke at beregne funktionsværdierne f ^ - 3 h og f ^ 1 h her – der sker automatisk, når
vi udregner tangentligningerne:
y = f l ^ - 3 h $ ^ x - ^ - 3 hh + f ^ 3 h
y = x+6
Vi starter med at differentiere f :
y = f l ^ 1 h $ ^ x - 1 h + f^ 1 h
f l ^ x h = x 2 + 2x - 2
så ligningen, vi skal løse, er en andengradsligning
y = x - 14
3
Lad os tegne grafen med tangenterne indtegnet (disse trækkes til plottet):
x 2 + 2x - 2 = 1
2
x 2 + 2x - 3 = 0
plqt ^ f ^ x h , x =- 5 .. 5, y =- 5 .. 5 h
Diskrimnanten er d = 2 2 - 4 $ 1 $ ^ - 3 h = 16 , så løsningerne bliver
x=
- 2 ! 16
= - 22! 4 =- 1 ! 2 & x =- 3 0 x = 1
2
Vi skal have bestemt ligningerne for de to tangenter, men inden vi gør det, skal vi have udregnet
funktionsværdierne i tangeringspunkterne:
f ^ - 3 h = 31 $ ^ - 3 h3 + ^ - 3 h2 - 2 $ ^ - 3 h - 3 =- 9 + 9 + 6 - 3 = 3
f ^ 1 h = 31 $ 1 3 + 1 2 - 2 $ 1 - 3 = 31 + 1 - 2 - 3 =- 11
3
og så kan vi bestemme tangentligningerne:
y = f l ^ - 3 h $ ^ x - ^ - 3 hh + f ^ 3 h
= 1 $ ^x + 3h + 3
= x+6
y = f l ^ 1 h $ ^ x - 1 h + f^ 1 h
= 1 $ ^ x - 1 h - 11
3
= x - 134
Vi skal her pudse Maple på opgaven i eksempel 8.10.3. Vi starter med at definere funktionen
1 x 3 + x 2 - 2x - 3
f^ x h : = 3
1 x 3 + x 2 - 2x - 3
f := x 7 3
Vi husker på, at vi kan bruge den afledte funktion i Maple blot ved at skrive f l ^ x h , så ligningen, vi skal løse, kan skrives sådan her
290
I forbindelse med bestemmelse af fortegnene for koefficienterne a, b og c i andengradspolynomiet
f^ x h = a $ x 2 + b $ x + c
MAPLE
f l^ xh = 1
8.10.4 EKSEMPEL – PARABLENS UDSEENDE
solve
" x = 1 ,, " x =- 3 ,
ud fra kendskab til grafens (parablens) udseende, var vi nødt til at bruge toppunktets placering
sammen med toppunktsformlen for at kunne bestemme fortegnet for b. Med de værktøjer, vi har
fået udviklet her, kan vi klare det mere elegant:
Vi finder den afledte af funktionen f:
f l ^ x h = 2a $ x + b
Indsætter vi heri x = 0 får vi
f l ^ 0 h = 2a $ 0 + b
=b
Dvs., at b angiver hældningen for tangenten til parablen i skæringpunktet med y-aksen.
291
Det betyder, at vi blot ved at tegne tangenten til parablen i skæringen med y-aksen kan afgøre,
om b er positiv eller negativ ved at se, om tangenten har en positiv eller negativ hældning.
Vi ser på nogle eksempler, hvor vi for fuldstændighedens skyld også bestemmer fortegnene for
a og c samt for diskriminanten d:
Parablen vender grenene opad, så a > 0 .
Da tangenten til parablen i skæringspunktet
med y-aksen har positiv hældning, er b > 0 .
Da parablen skærer y-aksen i y-aksens positive del, er c > 0 .
Da parablen ikke skærer x-aksen, er d < 0 .
8.11 Ekstrema og monotoniforhold
I de foregående afsnit har vi ladet intuitionen råde og talt om maksimum og minimum for funktioner, samt om voksende og aftagende funktioner. Vi have præciseret disse begreber:
8.11.1 DEFINITION - EKSTREMUM
En funktion f siges at have et (globalt) maksimum i x 0 , hvis der for alle x i Dm ^ f h gælder, at
f^ x h # f^ x 0h
En funktion f siges at have et lokalt maksimum i x 0 , hvis der findes et interval I omkring x 0 ,
således at der for alle x i I gælder, at
f^ x h # f^ x 0h
Helt tilsvarende defineres et (globalt) minimum og et lokalt minimum.
Ekstrema benyttes som en fælles betegnelse for minima og maksima – såvel lokale som globale.
Parablen vender grenene opad, så a > 0 .
Da tangenten til parablen i skæringspunktet
med y-aksen har negativ hældning, er b < 0
Da parablen skærer y-aksen i y-aksens negative del, er c < 0 .
Da parablen skærer x-aksen to steder, er
d > 0.
8.11.2 EKSEMPEL
Funktionen, hvis graf ses nedenfor, har lokalt maksimum i x = 2 , lokalt minimum i x = 4 , globalt minimum i x = 0 , men har intet globalt maksimum, idet funktionen ikke er defineret x = 6 .
For at der kan være lokalt maksimum i x = 2 , skal vi ifølge definitionen kunne finde et interval
omkring 2, således at hvis vi begrænser funktionens definitionsmængde til dette interval, så har
funktionen et globalt maksimum i x = 2 .
Der er masser af muligheder for at vælge dette interval – fx [1, 3] . Det største interval, vi kan
vælge, er [0, 5 [ .
Parablen vender grenene nedad, så a < 0 .
Da tangenten til parablen i skæringspunktet
med y-aksen har positiv hældning, er b > 0
Da parablen skærer y-aksen i y-aksens positive del, er c > 0 .
Da parablen skærer x-aksen to steder, er
d > 0.
OPGAVER 8.23 – 8.31 „
292
293
8.11.3 DEFINITION
8.11.4 SÆTNING
En funktion f siges at være voksende i intervallet I, hvis der for alle x 1 og x 2 gælder, at
x 1 < x 2 & f^ x 1h < f^ x 2h
En funktion f siges at være aftagende i intervallet I, hvis der for alle x 1 og x 2 gælder, at
x 1 < x 2 & f^ x 1h > f^ x 2h
Ofte udtrykkes egenskaben voksende ved, at der til større x-værdier svarer større y-værdier,
og tilsvarende egenskaben aftagende ved, at der til større x-værdier svarer mindre y-værdier.
Denne opfattelse af begreberne er fin nok til en intuitiv forståelse.
Hvis funktionen f er defineret i et åbent interval og har et ekstremum i x 0 , hvori f er differentiabel, så er f l (x0) = 0 .
Vi beviser ikke denne sætning, men overbevises let af vor intuition om, at sætningen gælder.
Ideen er at se på tangentens hældning: Hvis f har lokalt maksimum eller lokalt minimum i et
punkt x0 , så er tangenten til grafen i punktet ^ x0 , f (x0)h vandret:
f
Begreberne voksende/aftagende er illustreret på disse grafer:
f^ x 2h
f^ x 1h
f^ x 1h
x0
f^ x 2h
a
x1
x2
b
a
x1
x2
b
Figuren til venstre viser grafen for en funktion, der har lokale ekstrema i a og b, og er voksende
i intervallet [a, b] . Intervalendepunkterne skal tages med, idet uligheden
a < x 2 & f ^ah < f ^ x 2h
er opfyldt for alle x 2 i intervallet ] a, b] , og uligheden
x 1 < b & f ^ x 1h < f ^bh
er opfyldt for alle x 1 i intervallet [a, b [ .
Når f er voksende i [a, b] , er f naturligvis også voksende i ethvert delinterval af [a, b] , så det er
i princippet ikke forkert at skrive, at f er voksende i det åbne interval ] a, b [ , men ved angivelse
af monotoniforhold skal det maksimale interval angives – og det er her [a, b] .
Tilsvarende viser figuren til højre grafen for en funktion, der er aftagende i [a, b] .
Bestemmelse af ekstrema og monotoniforhold for en differentiabel funktion er den mest traditionelle anvendelse af differentialregning. Helt grundlæggende er denne sætning:
294
Da f l (x0) er tangentens hældning i punktet ^ x0 , f (x0)h og tangenten i dette punkt er vandret,
er f l (x0) = 0 .
Et naturligt spørgsmål er nu, om det omvendte generelt gælder – dvs., at hvis f l (x0) = 0 , så er
der et lokalt ekstremum i x0 . Svaret et nej, hvilket fremgår af nedenstående eksempel.
8.11.5 EKSEMPEL
Grafen for funktionen
f (x) = 13 x3 - 3x2 + 9x - 7
har en vandret tangent i punktet ^3, 2h .
Som det ses af grafen, har f ikke noget lokalt
ekstremum i 3.
Her siger man, at grafen for f har en vandret
vendetangent i punktet ^3, 2h .
295
f er voksende i intervallet @ - 3, - 2 @ og i 6 3, 3 6
f er aftagende i intervallet 6- 2, 3 @
Hvis vi løser ligningen f l (x) = 0 , så finder vi alle de mulige ekstremumspunkter. Et kig på
grafen vil så afsløre, om det er et ekstremumspunkt eller ej.
Grafen, sammen med en bestemmelse af de mulige ekstremumspunkter, vil også give funktionens monotoniforhold – dvs. de intervaller, hvor funktionen er voksende, aftagende eller
konstant.
- og ekstrema
f har lokalt maksimum i - 2 , og maksimumsværdien er f (- 2) = 22
f har lokalt minimum i 3, og minimumsværdien er f (3) = 81
2
Alternativt kan vi benytte fortegnet for f l til bestemmelse af monotoniforholdene, idet der gælder denne sætning (som vi ikke beviser):
MAPLE
8.11.6 SÆTNING - MONOTONI SÆTNINGEN
Antag, at f er defineret i 6a, b @ og differentiabel i @ a, b 6. Så gælder
1.
2.
Hvis f l (x) > 0 i intervallet @ a, b 6, så er f voksende i intervallet 6a, b @
Hvis f l (x) < 0 i intervallet @ a, b 6, så er f aftagende i intervallet 6a, b @
Det er ingen sag at løse opgaven i eksempel 8.11.7 i Maple: Start med at definere funktionen
f, og tegn grafen i et passende interval, så ekstrema tydeligt ses:
f ^ x h : = x 3 - 23 x 2 - 18x:
plot ( f (x), x = - 5..6)
8.11.7 EKSEMPEL
Vi skal bestemme monotoniforhold for funktionen
f (x) = x3 - 23 x2 - 18x
Først differentierer vi f
f l (x) = 3x2 - 3x - 18
og løser f l (x) = 0 (som en andengradsligning)
f l (x) = 0 + 3x2 - 3x - 18 = 0 + x = - 2 0 x = 3
f l (x) = 0
Nulpunkterne for f l indsættes på en tallinje:
f l (x)
0
0
x
-2
3
Herefter kan fortegnene for f l indsættes på tallinjen
x
0
-
-2
Vi kan nu opskrive monotoniforholdene for f:
296
0
3
= 3x 2 - 3x - 18 = 0
solve
" x = 3 ,, " x =- 2 ,
f er voksende i intervallet @ - 3, - 2 @ og i 6 3, 3 6
f l (- 5) = 72, f l (0) = - 18, f l (5) = 42
+
simplify
Sammenholdes dette med grafen, kan vi se, at
I hvert af intervallerne @ - 3, - 2 6, @ - 2, 3 6 og @ 3, 3 6 vælges en x-værdi, og fortegnet for f l
bestemmes i de pågældende x-værdier. Fx
f l (x)
Monotoniforhold og ekstrema bestemmes
+
f er aftagende i intervallet 6- 2, 3 @
f har lokalt maksimum i - 2 , og maksimumsværdien er f (- 2) = 22
f har lokalt minimum i 3, og minimumsværdien er f (3) = 81
2
Alternativt kan ulighederne f l (x) > 0 og f l (x) < 0 løses i Maple, og derved få fortegnene for
f l ´:
solve ( f l (x) > 0, x)
(- 3, - 2), (3, 3)
hvilket oversættes til intervallerne @ - 3, - 2 6 og @ 3, 3 6.
297
Tilsvarende løses
MAPLE
Vi løser ovenstående eksempel i Maple. Vi starter med at definere funktionen
solve ( f l (x) < 0, x)
(- 2, 3)
f ^ x h : = x $ e 2x :
der oversættes til intervallet @ - 2, 3 6.
Ved at benytte sætning 8.11.6 kan monotoniforholdene så opskrives.
og tegner grafen som det første. Her skal vi arbejde lidt for at finde et fornuftigt plotvindue:
plqt ^ f ^ x h , x =- 5 .. 2, y =- 1.. 3 h
8.11.8 EKSEMPEL
En funktion f er givet ved
f ^ x h = x $ e 2x
Vi skal bestemme monotoniforhold og ekstrema for f :
Vi starter med at differentiere f (ved brug af produktreglen)
f l ^ x h = ^ x hl $ e 2x + x $ ^ e 2x hl
= e 2x + 2x $ e 2x
= ^ 1 + 2x h $ e 2x
Vi finder nulpunkter for f l :
Dernæst løser vi ligningen
f l^ xh = 0 + e
2x ^
1 + 2x h = 0 + 1 + 2x = 0 +
x =- 21
Vi vælger nu et tal i hvert af intervallerne ] - 3, - 21 [ og ] - 21 , 3 [ , fx tallene -1 og 0, og udregner
f l ^ - 1 h = e -2 $ ^ 1 - 2 h =- e -2 < 0
f l ^ 0 h = e0 $ ^ 1 - 0 h = 1 > 0
# x =- 21 -
Sammenholdt med grafen viser dette, at
f er aftagende i intervallet ] - 3, - 21 ]
f har minimum i - 21 , og minimumsværdien er f _ - 21 i =- 21 e -1
0
-
x
solve
f er voksende i intervallet [- 21 , 3 [
Herefter kan fortegnene for f l indsættes på tallinjen
f l (x)
f l^ xh = 0
8.11.9 EKSEMPEL – TOPPUNKT
+
- 21
Vi kan nu opskrive monotoniforholdene for f:
f er aftagende i intervallet ] - 3, - 21 ]
f er voksende i intervallet [- 21 , 3 [
Ud fra fortegnslinjen kan vi endvidere se, at
f har minimum i - 21 , og minimumsværdien er f _ - 21 i =- 21 e -1
Med differentialregning er det uhyre simpelt at finde toppunktet i en parabel: Et andengradspolynomium er givet ved
f ^ x h = x 2 - 10x + 24
Vi differentierer f
f l ^ x h = 2x - 10
og løser
f l ^ x h = 0 + 2x - 10 = 0 + x = 5
og hermed har vi toppunktets førstekoordinat. Andenkoordinaten er f (5) =- 1 .
298
299
Med differentialregning kan vi nemt udlede toppunktsformlen. Hertil ser vi på det generelle
andengradspolynomium:
f (x) = a $ x2 + b $ x + c
8.12 Væksthastighed
Helt centralt i matematisk modellering er begrebet væksthastighed. I defintionen af differentialkvotienten tog vi udgangspunkt i differensbrøken for en funktion f :
hvis afledte funktion er
f (x0 + h) - f (x0)
h
f l (x) = 2a $ x + b .
For at bestemme toppunktet løser vi
I tælleren står ændringen i y-værdi når x-værdien ændres med h, og i nævneren står ændringen
i x-værdi. Dette skrives ofte på formen
f l ^ x h = 0 + 2a $ x + b = 0 + 2a $ x =- b + x =- 2ba
Dy
Dx
Andenkoordinaten bestemmes som f a - 2ba k .
I forbindelse med modeller benyttes for det meste t som uafhængig variabel, idet funktionen f
ofte beskriver en tidsafhængig udvikling, hvor t så er tiden.
8.11.10 EKSEMPEL
Dy
Hvis f fx beskriver tilbagelagt vejlængde til tiden t, er
gennemsnitshastigheden i tidsDt
rummet fra t0 til t0 + h .
Dy
Lader vi h " 0 , vil
til stadighed være gennemsnitshastigheden, men i et mindre og mindre
Dt
tidsinterval 6t0, t0 + h @, og i grænsen vil f l (t0) være hastigheden til tidspunktet t0 .
I afsnit 7.6 påstod vi, at den eksponentielle udvikling
f ^ x h = b $ a x, a > 0 , b > 0
er voksende for a > 1 og aftagende for 0 < a < 1 . Det kan vi bevise nu:
Den afledte funktion er ifølge konstantreglen og sætning 8.9.6
f l ^ x h = b $ a x $ ln ^ a h
8.12.1 DEFINITION
Hvis a > 1 , er ln ^ a h > 0 , og da a x > 0 for alle reelle tal, er f l ^ x h > 0 for alle reelle tal. Det
betyder ifølge sætning 8.11.6, at f er voksende i R.
Hvis 0 < a < 1 , er ln ^ a h < 0 , og da a x > 0 for alle reelle tal, er f l ^ x h < 0 for alle reelle tal.
Det betyder ifølge sætning 8.11.6, at f er aftagende i R.
For en funktion f (t) , hvor t betegner tiden, kaldes f l (t0) væksthastigheden til tidspunktet t0
8.12.2 EKSEMPEL
En bakteriekultur udvikler sig efter modellen
I afsnit 7.10 påstod vi, at en potensudvikling
f (t) =
Y 0, b > 0
f ^ x h = b $ x , x > 0, a =
a
1000
1 + 75.6 $ e- 0.02t
hvor f (t) betegner antallet af bakterier til tiden t minutter efter forsøgets start.
er voksende for a > 0 og aftagende for a < 0 . Det kan vi bevise nu:
a)
Den afledte funktion er ifølge konstantreglen og sætning 8.9.3
f l ^ x h = b $ a $ xa - 1
Hvis a > 0 , er b $ a $ x a - 1 > 0 idet b > 0 og x > 0 pr. antagelse. Dermed er f l ^ x h > 0 for
alle positive reelle tal. Det betyder, at f er voksende i R+ .
Hvis a < 0 , er b $ a $ x a - 1 < 0 idet b > 0 og x > 0 pr. antagelse. Dermed er f l ^ x h < 0 for
alle positive reelle tal. Det betyder, at f er aftagende i R+ .
Bestem f l (120) og forklar betydningen af dette tal.
b)
Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst.
Vi taster funktionen ind i Maple
f^ t h : =
1000
:
1 + 75.6 $ e -0.02t
og udregner f l (120)
f l (120) = 2.221213673
OPGAVER 8.32 – 8.38 „
300
f l (120) viser, at til tidspunktet t = 120 vokser bakteriekulturen med ca. 2 bakterier pr. minut.
301
For at bestemme, hvor væksthastigheden er størst, tegner vi graferne for f og f l i hver sit
koordinatsystem
f
fl
Et kig på grafen for f viser, at den maksimale størrelse af bakteriekulturen er 1000 individer.
Endvidere kan vi se, at når populationen vokser mest, er der 500 individer i populationen – altså
når halvdelen af den maksimale størrelse er nået.
Af grafen for f l fremgår tydeligt, at vi har den største væksthastighed efter ca. 220 minutter. For
at bestemme dette mere præcist, han vi fx bruge maximize:
maximize (f l (t), t = 200 .. 300, location)
5.000000000, "6" t = 216.2728142 ,, 5.000000000@,
Heraf ses, at efter ca. 216 minutter er væksthastigheden størst og væksthastigheden er 5 individer pr. minut.
Alternativt kan vi benytte differentialregning til at bestemme dette maksimum. Her skal vi så
differentiere f l (x) . Herved får vi det, der betegnes f m (x) og kaldes den anden afledte. Vi løser
f m (x) = 0
solve
" t = 216.2728142 ,
8.12.3 EKSEMPEL
Ved hjælp af den anden afledte kan vi få en bedre beskrivelse af grafen for en potensudvikling
i tilfældet, hvor a > 0
I eksempel 8.11.10 beviste vi, at en potensudvikling
Y 0, b > 0
f ^ x h = b $ x a, x > 0, a =
er voksende for a > 0 og aftagende for a < 0 .
Vi finder den anden afledte:
f ll ^ x h = ^ a $ x a - 1 hl = a $ ^ a - 1 h $ x a - 2
og sammenholder vi dette med grafen for f l , ser vi, at efter ca. 216 minutter er væksthastigheden størst.
Hvis 0 < a < 1 , så er a positiv og a - 1 er negativ, således at a $ ^ a - 1 h er negativ. Det betyder, at f ll ^ x h < 0 . Det kan tolkes således, at tangenthældningen til stadighed vil aftage, således
at grafen vil krumme nedad.
Vi får et indtryk af betydningen af den anden afledte ved at undersøge, hvordan grafen for f
ser ud, når t = 216.2 . Det gør vi ved at indtegne linjen med ligningen t = 216.2 sammen med
grafen for f .
Hvis a > 1 , vil a $ ^ a - 1 h være positiv og dermed er f ll ^ x h > 0 . Her vil tangenthældningen
til stadighed vokse, således at grafen vil krumme opad.
Af grafen ser vi, at i t = 216.2 ændrer grafen udseende fra at krumme nedad til at krumme opad.
Og indtegner vi nogle tangenter til grafen for f , ser vi, at tangenternes hældning vil vokse når
0 # t # 216.2 og aftage, når t $ 216.2 . Til tidspunktet t = 216.2 vil grafen således have den
stejleste tangent.
I afsnit 7.10 er der plottet grafer, der viser de forskellige foløb.
302
OPGAVER 8.39 – 8.47 „
303
9 Deskriptiv statistik
Den deskriptive statistik er en samling af metoder, der beskriver, opsummerer og præsenterer
de data, der er indsamlet. I deskriptiv statistik sker der ingen generalisation eller forudsigelser
på baggrund af data.
Alt i dette kapitel vil blive baseret på eksempler.
9.1 Ikke-grupperede observationer
På et hold med 30 studerende er der foretaget en matematiktest, hvor de studerende skulle løse
10 opgaver. Antallet af rigtige besvarelser blev registreret med følgende resultat
10, 7, 8, 7, 6, 8, 5, 9, 3, 2, 8, 6, 8, 9, 9, 10, 8, 6, 8, 5, 9, 5, 5, 7, 8, 3, 6, 10, 7, 7
Vi skal i det følgende skaffe os et overblik over disse data, der her vil blive omtalt som et oberservationssæt og de enkelte elementer som observationer.
Det første, der skal ske, er en optælling af, hvor mange der har opnået 0 rigtige, 1 rigtig, 2
rigtige osv. Disse antal kaldes hyppigheder. Fx har observationen ’5 rigtige’ hyppigheden 4.
Hyppighederne opstilles i en tabel (2. kolonne i tabellen):
Observation
2
3
5
6
7
8
9
10
I alt
Hyppighed Frekvens (%)
1
0.0333
2
0.0667
4
0.1333
4
0.1333
5
0.1667
7
0.2333
4
0.1333
3
0.1000
30
1.0000
Kumuleret (%)
0.0333
0.1000
0.2330
0.3670
0.5330
0.7670
0.9000
1.0000
Den 3. kolonne indeholder frekvenserne, der blot er hyppighederne divideret med det samlede
antal observationer (her 30). Fx er frekvensen af observationen 5 udregnet således:
hyppighed af observationen 5
4 = 0.1333 = 13.33%
= 30
samlet antal observationer
Om vi angiver frekvenserne som decimaltal eller som procenttal er ligegyldigt, men skal de
indgå i beregninger, er det mest bekvemt med decimaltal
Den kumulerede frekvens af en observation er et udtryk for, hvor mange procent af observationerne, der er mindre end eller lig med den pågældende.
Fx udregnes kumulerede frekvens af observationen 5 ved at addere frekvenserne for alle observationer, der er mindre end eller lig med 5. Altså
0.0333 + 0.0667 + 0.1333 = 0.2330
304
305
Lad os indføre lidt notation, så vi nemmere kan skrive de udregninger, der skal foretages
N
observationssættets størrelse (i eksemplet N = 30 )
k
antallet af forskellige observationer (i eksemplet k = 8 )
xi
den i’te observation (i eksemplet i = 1, f , 8 )
hi
hyppigheden af den i’te observation (i eksemplet i = 1, f , 8 )
fi
frekvensen af den i’te observation (i eksemplet i = 1, f , 8 )
Kolonnerne i tabellen kan illustreres på forskellig vis. Hyppigheder og frekvens illustreres ved
det (i princippet) samme pindediagram:
kum i den kumulerede frekvens af den i’te observation (i eksemplet i = 1, f , 8 )
For at gøre det helt tydeligt, hvad der betegner hvad, indsættes betegnelserne i tabellen:
Observation Hyppighed
x1
1
2
h1
3
x2
2
5
x3
4
6
x4
4
7
x5
5
8
x6
7
9
x7
4
10
x8
3
I alt
30
h2
h3
h4
h5
h6
h7
h8
N
Frekvens (%)
0.0333
f1
Kumuleret (%)
0.0333 kum 1
f2
kum 2
0.0667
0.1333
0.1333
0.1667
0.2333
0.1333
0.1000
1.0000
f3
f4
f5
f6
f7
f8
0.1000
0.2330
0.3670
0.5330
0.7670
0.9000
1.0000
kum 3
kum 4
kum 5
kum 6
hvor diagrammet til venstre viser hyppighedene og diagrammet til højre viser frekvenserne.
Den eneste forskel på de to diagrammer er y-aksens indretning.
De kumulerede frekvenser illustreres ved hjælp af en trappekurve:
kum 7
kum 8
Med disse betegnelser kan vi udtrykke beregningerne, vi har foretaget, med disse formler:
h
fi = Ni ,
i = 1, f , k
i
kum i = f1 + g + fi = / f j
j=1
i
hvor / f j læses som ’summen fra j = 1 til i af f j ’.
j=1
Fx er (husk her, at 5-tallet står for den 5’te observation – altså observationen 7):
5
/ f j = f1 + f2 + f3 + f 4 + f5
j=1
= 0.0333 + 0.0667 + 0.1333 + 0.1333 + 0.1667
En trappekurve tegnes ved at vi afsætter de kumulerede frekvenser over de pågældende observationer, hvorefter vi tegner en vandret linje hen til næste observation.
= 0.5330
Skrivemåden er helt generel og vil blive benyttet i andre sammenhænge.
Læg i øvrigt mærke til, at der gælder
kum i = kum i - 1 + fi ,
306
Til et observationssæt knyttes en række deskriptorer, der samlet set kan fortælle os en masse om
observationssættet – noget, der kan være nyttigt, hvis to observationssæt skal sammenlignes.
i = 2, f , k
307
Typetal:
Den hyppigst forekommende observation. I eksemplet er typetallet 8, da observationen 8 er den
hyppigst forekomne observation (med hyppigheden 7)
Øvre kvartil
Middelværdi:
Middelværdien n er gennemsnittet af alle observationer – altså summen af alle observarioner
divideret med N.
Median
I denne sum ved vi, at observationen x 1 vil forekomme h 1 gange, observationen x 2 vil forekomme h 2 gange, osv. Så ved at samle ens led, har vi
Nedre kvartil
k
k
k
h
1 $/
x i $ h i = / x i $ Ni = / x i $ fi
n= N
i=1
i=1
i=1
Så vi har denne formel til bestemmelse af middelværdien
k
n = / x i $ fi
i=1
Kvartilerne benyttes ofte i forbindelse med et boksplot. Her afsættes kvartilerne sammen med
den mindste og den største observation på en tallinje – og en figur som denne tegnes:
Største obs
Øvre kvartil
i=1
= 2 $ 0.033 + 3 $ 0.0667 + 5 $ 0.1333 + 6 $ 0.1333 + 7 $ 0.1667 + 8 $ 0.2333
+ 9 $ 0.1333 + 10 $ 0.1000
Median
8
n = / x i $ fi
Nedre kvartil
Mindste obs
I eksemplet finder vi middelværdien således:
= 6.9667
Median
Ved medianen for et observationssæt forstås den mindste observation, hvis kumulerede frekvens er 0.5 eller derover.
Inde i kassen har vi således de midterste 50% af observationerne.
Af tabellen ser vi, at i eksemplet er medianen 7, idet den kumulerede frekvens først overstiger
0.5 ved observationen 7, hvor den er 0.5330.
Varians og spredning
Nedre- og øvre kvartil
Variansen af et observationssæt defineres ved
Ved den nedre kvartil for et observationssæt forstås den mindste observation, hvis kumulerede
frekvens er 0.25 eller derover.
Ved den øvre kvartil for et observationssæt forstås den mindste observation, hvis kumulerede
frekvens er 0.75 eller derover.
Af tabellen ser vi, at i eksemplet er den nedre kvartil er 6, idet den kumulerede frekvens først
overstiger 0.25 ved observationen 6, hvor den er 0.3670.
Tilsvarende ses, at den øvre kvartil er 8, idet den kumulerede frekvens først overstiger 0.75 ved
observationen 8, hvor den er 0.7670.
Median samt nedre- og øvre kvartil kan aflæses direkte af trappekurven:
308
k
Var = / ^ x i - n h2 $ fi
i=1
Variansen måler, hvor meget observationerne er spredt ud. En lille varians angiver, at observationerne har en tendens til at ligge tæt på middelværdien, mens en stor varians angiver, at
observationerne er spredt meget ud omkring middelværdien og fra hinanden.
En udregning af variansen er ofte en arbejdskrævende opgave. I eksemplet er starten på udregningerne denne:
Var = ^ 2 - 6.9667 h2 $ 0.0333 + ^ 3 - 6.9667 h2 $ 0.0667 + ^ 5 - 6.9667 h2 $ 0.1333 + g
= 4.232222
309
Spredningen defineres som kvadratroden af variansen
v = Var
Fordelen ved spredningen fremfor variansen er, at hvis observationerne har en enhed, så vil
spredningen have samme enhed som observationerne og derved kan sammenlignes med afvigelserne fra middelværdien.
Trappekurven tegnes ved at vælge Gym 2 Deskriptiv Statistik 2 plotTrappekurve i kontekstmenuen:
obs
Trappekurve
MAPLE – IKKE-GRUPPEREDE OBSERVATIONER
Undersøgelsen af et ikke-grupperet observationssæt kan med Gym-pakken indlæst klares med
nogle få tastetryk.
with (Gym):
Start med at indtaste data (eller importer data fra fx en Excel fil):
obs : = 6 10, 7, 8, 7, 6, 8, 5, 9, 3, 2, 8, 6, 8, 9, 9, 10, 8, 6, 8, 5, 9, 5, 5, 7, 8, 3, 6, 10, 7, 7 @ :
Skriv så obs i et frit område og vælg Gym 2 Deskriptiv Statistik 2 frekvensTabel 2 Tabel i
kontekstmenuen:
obs
frekvensTabel
Her får vi også oplyst kvartilerne og får tegnet linjer til aflæsning af kvartilerne. Skal disse linjer
ikke bruges, så kan de slettes.
Boksplottet tegnes ved at vælge Gym 2 Deskriptiv Statistik 2 Boksplot i kontekstmenuen:
obs
Boksplot
Pindediagrammet tegnes ved at vælge Gym 2 Deskriptiv Statistik 2 plotPindediagram 2
procent i kontekstmenuen:
obs
Pindediagram
Vi kan naturligvis også få Maple til at udregne alle deskriptorer direkte uden at skulle aflæse
dem på et plot. Alt findes i kontekstmenuen
obs
obs
obs
obs
obs
obs
hvor vi også får middelværdi og spredningen oplyst.
310
obs
antalobs
typetal
30
68@
middelværdi
median
kvartiler
varians
spredning
6.966666666
7
6 6, 7, 8 @
4.23222222185900
2.05723654980632
311
Vi kan også nemt få hyppigheder, frekvenser og kumulerede frekvenser ud i matrix-form, så vi
kan arbejde videre med tallene – det kan vi ikke med output fra frekvensTabel. Vi viser, hvordan
det fungerer med hyppigheder:
obs
hyppighed
R 2 1V
S
W
S 3 2W
S 5 5W
S 6 4W
S 7 5W
S
W
S 8 7W
SS 9 4 WW
T 10 3 X
EKSEMPEL
Vi benytter den amerikanske metode til at bestemme kvartilerne i dette observationssæt:
8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13
Først bestemmes midten
8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13
og medianen udregnes som 21 ^ 10 + 11 h = 10.5 .
Datasættet opdeles i to dele og midten bestemmes i hver del:
Frekvenser og kumulerede frekvenser bestemmes helt tilsvarende.
Alle kommandoer, der er benyttet her via kontekstmenuen, vil naturligvis også fungere ved at
skrive kommandoen direkte.
9.1.1
9.1.2
8, 8, 9, 9, 9 10, 10, 10, 10, 10
11, 11, 11, 11, 11 12, 12, 13, 13, 13
Nedre kvartil bliver 21 ^ 9 + 10 h = 9.5 og øvre kvartil 21 ^ 11 + 12 h = 11.5 .
Dette stemmer helt overens med output fra boksplot-kommandoen:
obs : = 6 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13 @ :
EKSEMPEL – BOKSPLOT (DEN AMERIKANSKE METODE)
with (Gym):
Hvis man skal lave et boksplot ved håndkraft, er den ovenfor beskrevne metode meget omstændelig at anvende, så derfor benyttes ofte den amerikanske metode. Her sorteres observationerne
først i stigende orden:
boksplot ^ obs h
2, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10
Herefter deles datasættet på midten. I vores eksempel, hvor der er et lige antal observationer,
deles i to grupper med 15 observationer i hver gruppe:
2, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10
Medianen beregnes så som gennemsnittet af den største observation i den første gruppe og den
mindste observation i den anden gruppe. Da det to tal er ens her bliver gennemsnittet 7, som så
er medianen. Læg mærke til, at med denne vedtægt bliver medianen ikke nødvendigvis et helt
tal – eller for den sags skyld en observation (som vi har krævet i definitionen ovenfor).
For at finde nedre- og øvre kvartil, bestemmes medianen i hver af de to grupper, der begge har
et ulige antal observationer:
2, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 6 , 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7
Hvis vi havde bestemt kvartilerne ved aflæsning på en trappekurve, ville vi få en median på 10,
nedre- og øvre kvartil på hhv. 9 og 11.
Ved at tilføje metode = 1 i boksplot-kommandoen, bestemmes kvartilerne ved aflæsning på
trappekurven:
boksplot ^ obs , metode = 1 h
7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 , 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10
I begge grupper bestemmes elementet i midten, som så er hhv. nedre og øvre kvartil.
Hvis der fra starten af er et ulige antal observationer, så findes medianen som den midterste
observation. Denne observation fjernes fra observationssættet, hvorefter det deles i på midten i
to lige store grupper. I hver af disse grupper bestemmes medianen som beskrevet, hvorefter vi
har hhv. nedre og øvre kvartil.
Den amerikanske metode er den metode, som kommandoen boksplot benytter som standard.
Det kan dog ændres, som vi skal se i det næste eksempel.
312
I online hjælpen til Gym-pakken er der meget mere information om, hvornår de to forskellige
metoder benyttes.
313
9.1.3
EKSEMPEL – SAMMENLIGNING AF BOKSPLOTS
To hold har været til den samme test med 10 opgaver og antallet af rigtige besvarelser er blevet
registreret:
hold1: = 6 10, 7, 8, 7, 6, 8, 5, 9, 3, 2, 8, 6, 8, 9, 9, 10, 8, 6, 8, 5, 9, 5, 5, 7, 8, 3, 6, 10, 7, 7 @ :
hold2 : = 6 4, 8, 9, 8, 4, 10, 5, 8, 5, 5, 4, 5, 9, 9, 4, 5, 8, 5, 9, 10, 10, 9 @ :
For at få tydeliggjort forskellene i de to grupper, tegnes boksplot for de to hold over den samme
tallinje:
boksplot ^ hold1, hold2 h
9.2 Grupperede observationer
Ved en måling af længden af 50 fisk fanget i en sø, har man fået disse observationer
21.3
10.1
18.2
16.1
13.7 7.4 13.4
10.2 4.2 23.3
14.9 10.8 13.7
12.9 15.2 24.9
12.8 9.2 8.9 4.2 15.5 11.9 18.2 14.1 10.9
21.7 9.9 16.1 22.4 8.5 13.1 15.3 19.0 14.4
11.5 24.8 13.7 14.6 21.1 10.1 24.7 15.6 17.2
26.1 19.4 19.4 10.7
21.7
15.6
12.4
Et hurtigt kig på dataene viser, at der ikke er ret mange ens, så det giver ikke rigtig mening at
begynde at tælle hyppigheder.
I stedet vil vi gruppere data. Vi ser, at den mindste observation er 4.2 og den største er 26.1. For
at få nogle pæne intervaller, inddeler vi intervallet [0,30] i 6 lige store intervaller:
] 0, 5], ] 5, 10], ] 10, 15], ] 15, 20], ] 20, 25], ] 25, 30]
og herefter optæller vi, hvor mange observationer, der falder i hvert enkelt interval. Herefter
smider vi så at sige de oprindelige observationer væk. Alle de beregninger, vi skal foretage, skal
udelukkende baseres på de grupperede data.
Vi beregner frekvenser og kumulerede frekvenser, der resulterer i en tabel som denne:
Boksplottene viser, de midterste 50% på hold1 ligger i et lille interval (fra 6 til 8), mens det for
hold2’s vedkommende er dobbelt så stort (fra 5 til 9).
Vi kan se, at de bedste 50% på hold 2 har klaret sig bedre end de bedste 50% på hold1 (én korrekt opgave mere).
På hold1 har de 25% dårligste løst mellem 2 og 6 opgaver korrekt, mens de 25% dårligste på
hold 2 har løst mellem 4 og 5 opgaver korrekt.
Umiddelbart ser det ud til, at der er en større spredning på hold1, men den store spredning af de
midterste 50% på hold2 sammen med medianens placering gør, at spredningen for hold2 bliver
større.
Interval Hyppighed
]0,5]
]5,10]
]10,15]
]15,20]
]20,25]
]25,30]
2
5
20
13
9
1
Intervalfrekvens
0.04
0.10
0.40
0.26
0.18
0.02
Kumuleret
frekvens
0.04
0.14
0.54
0.80
0.98
1.00
Intervalfrekvenserne præsenteres grafisk i et histogram:
OPGAVER 9.1 – 9.9 „
314
315
I et histogram skal arealet af søjlerne være proportional med intervalfrekvensen. I den første
søjle er højden af søjlen 0.008 og bredden er 5, så arealet er 0.008 $ 5 = 0.04 , og tilsvarende for
de øvrige søjler. Det samlede areal af søjlerne er således 1.
Observationssættets median er 50%-fraktilen, den nedre kvartil er 25%-fraktilen og den øvre
kvartil er 75%-fraktilen. Disse 3 fraktiler kaldes samlet for observationssættets kvartilsæt. Her
kan kvartilsættet aflæses til 11.5, 14.5 og 19.
Sumkurven dannes ved at afsætte de kumulerede frekvenser i de højre intervalendepunkter og
forbinde punkterne med rette linjer. Dvs., at punkterne
Kvartilsættet er sammen med observationssættets mindste- og størsteværdi udgangspunkt for
boksplottet. Kender vi ikke den mindste og den største observation, så er det i princippet ikke
muligt at tegne et boksplot, med mindre ydergrænserne (0 og 30) for grupperingen benyttes.
Ved hjælp af sumkurven kan vi fx aflæse, at den kumulerede frekvens af 12 er ca. 30%, hvilket
betyder, at ca. 30% af observationerne er 12 eller derunder. Ved denne aflæsning starter vi på
x-aksen i 12 og aflæser den tilsvarende y-værdi 0.3 (den blå streg på figuren nedenfor).
Største værdi
Mindste værdi
Sumkurven kommer til at se sådan ud
Øvre kvartil
Boksplottet tegnes ved at afsætte den mindste og den største observation sammen med kvartilsættet på en tallinje og tegne en figur som denne:
Median
afsættes i et koordinatsystem og forbindes med rette linjer.
Nedre kvartil
^ 0, 0 h, ^5, 0.04 h, ^ 10, 0.14 h, ^15, 0.54 h, ^20, 0.80 h, ^25, 0.98 h, ^30, 1.00 h
Middelværdien for et grupperet observationssæt kan ikke udregnes helt præcist på baggrund
af de grupperede observationer, da vi jo ikke ved, hvordan de enkelte observationer ligger i
observationsintervallerne, men da vi tegnede sumkurven, forbandt vi de enkelte punkter med
rette linjer. Heri ligger implicit den antagelse, at observationerne ligger jævn fordelt i de enkelte
intervaller. Vi kan derfor antage, at alle observationerne i hvert interval ligger i midtpunktet af
intervallet.
Interval Midtpunkt
]0,5]
2.5
]5,10]
7.5
]10,15]
12.5
]15,20]
17.5
]20,25]
22.5
]25,30]
27.5
Tilsvarende kan vi aflæse, at 60% af observationerne er på 16 eller derunder. Her starter vi på
y-aksen ved 0.6 og aflæser den tilsvarende x-værdi, som er ca. 16 (den grønne streg på figuren).
Dette resultat udtrykkes ofte ved, at 60%-fraktilen er 16.
Hyppighed
2
5
20
13
9
1
Frekvens
0.04
0.10
0.40
0.26
0.18
0.02
Ved at benytte midtpunktet i intervallerne, har vi fået et ikke-grupperet observationssæt ud af
det, så middelværdien n kan udregnes på sædvanlig måde:
n = 2.5 $ 0.04 + 7.5 $ 0.10 + 12.5 $ 0.40 + 17.5 $ 0.26 + 22.5 $ 0.18 + 27.5 $ 0.02
= 15.00
Hvis vi har k intervaller med midtpunkterne m 1, m 2, f , m k og frekvenser f1, f2, f , fk kan
middelværdien beregnes ved formlen
k
n = / m i $ fi
i=1
316
317
Histogrammet får vi tegnet således (det valgfrit, om vi benytter matricen H eller matricen F):
Variansen beregnes efter formlen
k
Var = / ^ m i - n h2 $ fi
F
i=1
Histogram
og spredningen ved
v = Var
MAPLE
Det er ingen sag at undersøge et datasæt som det ovenstående i Maple. Vi går her ud fra, at
grupperingen er foretaget og vi får denne tabel oplyst:
Interval Hyppighed
]0,5]
2
]5,10]
5
]10,15]
20
]15,20]
13
]20,25]
9
]25,30]
1
Maple kan naturligvis også lave grupperingen og optælling af hyppighederne – se online hjælpen til Gym-pakken for detaljer. Kommandoen hedder grupperData.
Til at begynde med, skal vi indtaste observationsintervallerne og hyppighederne i en matrix.
Her skal vi benytte en 6 # 2 -matrix (som laves med matrix-paletten):
Sammen med histogrammet får vi middelværdien og spredningen vist.
Sumkurven tegnes således (igen er det valgfrit, om vi benytter matricen H eller matricen F):
F
Sumkurve
with (Gym):
R 0..5 2 V
S
W
S 5..10 5 W
S 10..15 20W
W:
H := S
S15..20 13W
S20..25 9 W
SS
WW
T25..30 1 X
Hele undersøgelsen kan laves på basis af hyppighederne, men frekvenserne kan også benyttes
– det er valgfrit. Frekvenserne ved brug af kontekstmenuen:
H
frekvens
R 0..5 0.040V
S
W
S 5..10 0.100W
S 10..15 0.400W
S
W
S15..20 0.260W
S20..25 0.180W
S
W
T25..30 0.020X
assign to a name
F
Sammen med sumkurven får vi kvartilsættet vist og får indtegnet de streger, der benyttes til at
aflæse kvartilerne. De kan slettes, hvis der ikke er brug for dem.
De kumulerede frekvenser udregnes tilsvarende.
318
319
Boksplottet tegnes således:
F
boksplot
Hvis vi får oplyst, at den mindste observation er 4.2 og den største observation 26.1, kan vi ikke
lave boksplottet med kontekstmenuen, men må benytte kommandoen
boksplot ^6H, " 4.2, 26.1 ,@h
Middelværdi, varians, spredning og kvartiler kan udregnes direkte med kommandoerne, så vi
ikke behøver at tegne histogram og sumkurve for at finde disse:
F
F
F
F
middelværdi
varians
spredning
kvartiler
15.0000
29.2500
5.4083
611.38, 14.50, 19.04@
OPGAVER 9.10 – 9.18 „
320
321
10
Regression
10.1 Mindste kvadraters metode
Antag, at vi har en række observationer af sammenhørende x- og y-værdier.
X = 6x 1, x 2, x 3, g , x n@
Y = 6y 1, y 2, y 3, g , y n@
Vi plotter datapunkterne ^ x i, y i h i et koordinatsystem
Y
Y
X
X
Vi ønsker at finde den linje, der bedst beskriver sammenhængen mellem de to variabler, men
hvordan bestemmer vi, hvilken linje der er bedst? Nogle kandidater er vist på figuren til højre.
Den bedste rette linje må være den, der ligger ’tættest’ på datapunkterne. Dvs. den linje, der har
den mindste samlede afstand fra datapunkterne.
Afstanden fra en linje til datapunkterne kan måles på flere måde: Den vandrette afstand, den
vinkelrette afstand og den lodrette afstand:
Vandret afstand
Vinkelret afstand
Lodret afstand
Vi vælger det nemmeste, nemlig at benytte de lodrette afstande, der repræsenterer den fejl, vi laver, hvis vi bruger regressionslinjen til at beregne y-værdierne udfra de observerede x-værdier:
x 1 , x 2 , x 3, g , x n
322
323
De orange punkter på nedenstående figur viser de punkter, vi ville få, hvis vi i stedet for de
observerede y-værdier benytter de beregnede y-værdier
Dette problem kan undgås ved i stedet at se på summen af kvadraterne på residualerne – altså:
/ e i2 = / ^ y i - f (x i)h2 = / ^ y i - a $ x i - bh
n
n
n
i=1
i=1
i=1
2
regressionslinje
Med denne tilgang, er den bedste rette linje altså det valg af a og b, der minimerer denne kvadratsum.
fejl
Lad os se på de kvadrater, der indgår i summen:
observerede data
Som et første, primitivt mål for den samlede fejl, kan vi med en lineal måle fejlen for hver enkelt observation og addere fejlene.
Vi kan naturligvis undgå at skulle måle ved i stedet at beregne fejlene – og det er nemt, idet vi
benytter de lodrette afstande.
Lad f (x) = a $ x + b være et funktionsudtryk for regressionslinjen. Fejlen for den i’te observation, i = 1, 2, g , n , kan da beregnes ved
e i = y i - f (x i)
Så nu er det summen arealerne af de grønne residualkvadrater vi skal minimere.
Teknikken, der er gennemgået her, kaldes mindste kvadraters metode. Metoden er ikke nødvendigvis den bedste – faktisk er metoden med den samlede lodrette afstand mere robust, men der
er to helt afgørende fordele ved at benytte mindste kvadraters metode:
Fejlene e i kaldes residualer, der blot betyder ’rester’ eller ’det tilbageværende’.
•
det er meget nemt at finde den bedste rette linje
Inden vi går videre, skal vi lige have lidt notation på plads. Summen af alle residualer vil vi
betegne således:
•
vi er sikre på, at der findes netop én bedste rette linje. Hvis vi benytter numeriske værdier,
kan der findes mere end én ret linje, der er den bedste.
n
/ ei = e1 + e2 + e3 + g + en
i=1
der læses som ’summen fra i = 1 til n af e i ’.
Hvis vi summerer alle residualerne, får vi ikke den samlede fejl, idet nogle af residualerne er
positive, mens andre er negative. På ovenstående figur ses, at e 1 er positiv, idet y 1 > f (x 1) . Det
samme gør sig gældende for e 2 , men e 3 er negativ, idet y 3 < f (x 3) . For at finde den samlede
afvigelse, er vi således nødt til at bruge den numeriske værdi af residualerne, idet det positive
og negative bidrag ellers mere eller mindre vil ophæve hinanden.
Den numeriske værdi af residualerne kan udtrykkes
n
n
n
i=1
i=1
i=1
/ e i = / y i - f (x i) = / y i - a $ x i - b
Mindste kvadraters metode tilskrives almindeligvis den tyske matematiker C. F. Gauss, der
publicerede en artikel om emnet i 1809. Det har imidlertid vist sig, at den franske matematiker
A. Legendre publicerede en artikel med en forklaring af metoden allerede i 1804.
Legendre deltog aktivt i datidens store arbejde i forbindelse med at definere en meter. Efter den
franske revolution fik man den vanvittige ide at definere en meter som en 10-milliontedel af afstanden fra Nordpolen, gennem Paris og til Ækvator. Dele af denne bue blev målt og Legendre
benyttede mindste kvadraters metode til at finde det bedste mål for hele buen.
Arbejdet er beskrevet i bogen Opmålingen af Verden af Daniel Kehlmann. Heri har Gauss en
absolut hovedrolle, men Legrendre bliver overhovedet ikke nævnt. Bogen, der ikke rummer en
eneste formel, kan anbefales til ren hyggelæsning.
Så den bedste rette linje er altså det valg af a og b, der minimerer denne sum.
Det er aldrig godt at have numeriske værdier i et udtryk, der skal minimeres. (Det hænger sammen med, at minimering af et udtryk ofte benytter sig af differentialregning, og problemet er
her, at funktionen, vi skal minimere, ikke er differentiabel overalt.)
324
325
10.2 Den bedste rette linje
10.3 Lineær regression
At finde et minimum for
Vi skal her se et eksempel på, hvordan bestemmelse af bedste rette linje sker i praksis
/ ^ y i - f (x i)h2 = / ^ y i - a $ x i - bh
n
n
i=1
i=1
2
er ikke helt simpelt, da der jo indgår to parametre a og b. Dette problem undgår vi behændigt
ved at forlange, at bedste rette linje skal gå gennem datasættets tyngdepunkt, dvs. punktet, der
som førstekoordinat har middelværdien af alle x-værdier og som andenkoordinat har middelværdien af alle y-værdier.
Intuitivt sker der det, at vi tager en linje og sømmer den fast i tyngdepunktet. Herefter drejer vi
linjen indtil summen af residualkvadraterne bliver mindst mulig. Denne drejeproces styres helt
af hældningskoefficienten a.
For at kunne regne på det, skal vi have nogle konkrete datasæt, som vi definerer i Maple)
X : = 61, 2, 4, 5, 7, 8@
Y : = 62, 5, 1, 6, 8, 4@
(1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8) = 4.5
og middelværdien af Y-værdierne
1
6
Skemaet viser trykket (målt i atmosfære) i forskellige dybder under havoverfladen
Dybde (m)
Tryk (atm)
10
1.96
13
2.25
35
4.36
40
4.84
100
10.6
Det oplyses, at trykket med god tilnærmelse er en lineær funktion af dybden.
a)
Bestem forskriften for den lineære funktion f (x) = a $ x + b , der beskriver trykket som
funktion af dybden.
b)
Forklar betydningen af a og b i forskriften
c)
Find trykket i en dybde på 150 m, og bestem den dybde, hvor trykket er 30 atm.
MAPLE
Middelværdien af X-værdierne er
1
6
10.3.1 EKSEMPEL - LINEÆR REGRESSION
(2 + 5 + 1 + 6 + 8 + 4) = 4.33
a)
Data indtastes i Maple som lister:
Dybde : = 610, 13, 35, 40, 100@:
Tryk : = 61. 96, 2. 25, 4. 36, 4. 84, 10. 6@:
LinReg (Dybde, Tryk)
Vi forlanger altså, at bedste rette linje skal gå gennem punktet (4.5 , 4.33) . Funktionsudtrykket
for bedste rette linje kan da ved hjælp af sætning 4.5.6 skrives – og defineres i Maple – således:
f (x): = a $ (x - 4.5) + 4.33 :
Vi sætter så Maple til at regne summen af residualkvadraterne:
6
expand
/ (Y [i] - f (X [i])) 2 = 33.3334 - 34.0a + 37.5a 2
i=1
Vi ser, at udtrykket for residualkvadraterne det bliver et andengradspolynomium. Grafen for
dette andengradspolynomium er en parabel, der vender grene opad, så der er et minimum.
Dette minimum findes ved hjælp af toppunktsformlen
34 = 0.4533333332
a =- 2-$ 37
.5
Indsætter vi denne værdi for a i udtrykket for funktionen f, får vi
f (x) = 0.4533333332x + 2.290000001
og grafen for f er den bedste rette linje.
326
Trykket som funktion af dybden, har således forskriften
f (x) = 0.096x + 1.000
hvor x er dybden i m og f (x) er trykket i atm.
327
b)
Tallet a = 0.096 i forskriften betyder, at trykket stiger med ca. 0.1 atm, når dybden øges med
1 meter. Tallet b = 1 betyder, at trykket ved havoverfladen er 1 atm.
10.4 Eksponentiel regression
En eksponentiel model har formen
c)
Vi starter med at definere funktionen f:
y = b $ ax
f (x) : = 0.096x + 1:
Tager vi den naturlige logaritme på begge sider af denne ligning, får vi:
Trykket i en dybde på 150 m findes som funktionsværdien i 150:
f (150) = 15.400
Trykket i en dybde på 150 m er altså 15.4 atm.
For at bestemme den dybde, hvor trykket er 30 atm, løses ligningen f (x) = 30 :
solve ( f (x) = 30, x)
ln (y) = ln (b $ a x)
2
ln (y) = ln (b) + ln (a x)
2
ln (y) = ln (b) + x $ ln (a)
2
ln (y) = ln (a) $ x + ln (b)
hvor den sidste ligning udtrykker en lineær sammenhæng mellem x og ln (y) , idet ln (a) og
ln (b) er konstanter.
302.0833333
Dvs., at i en dybde på ca. 302 m er trykket 30 atm.
Bemærkning
I denne opgave er det ikke nødvendigt at få tegnet regressionslinjen sammen med datapunkterne — det eneste, vi skal bruge for at løse opgaven, er forskriften for regressionsfunktionen.
Alligevel kan det være en god ide at få grafen vist for at se, om det ser rimeligt ud.
Ved at tilføje en uafhængig variabel som parameter til LinReg-kommandoen kan vi få forskriften direkte. Vælger vi fx x som uafhængig variabel får vi:
LinReg (Dybde, Tryk, x)
0.0959898728394121 $ x + 1.00080103555928
Herved er der dog ikke defineret nogen funktion, idet kommandoen blot returnerer funktionsudtrykket.
Vi kan definere en funktion ved:
Dette kan vi udnytte således: Hvis vi har to dataserier X og Y, så kan vi undersøge om der er en
eksponentiel sammenhæng mellem X og Y ved at undersøge, om der er en lineær sammenhæng
mellem X og ln (Y) .
Lad os se på et eksempel
10.4.1 EKSEMPEL
Vi vil undersøge om der er en eksponentiel sammenhæng mellem listerne X og Y
with (Gym):
X : = 60, 5, 8, 9, 10@ :
Y : = 64963, 8249, 10296, 12459, 13661@ :
ved at undersøge, om der er en lineær sammenhæng mellem X og ln (Y) .
Vi foretager en logaritmisk transformation af Y-listen – og kalder den transformerede liste YT :
YT : = ln ~ (Y) = 6ln ^4963 h, ln ^8249 h, ln ^10296 h, ln ^12459 h, ln ^13661h@
afrund
68.50977, 9.01785, 9.23951, 9.43020, 9.52230@
f (x) : = LinReg (Dybde, Tryk, x)
og benytte denne til at beregne f (150) .
Er det blot en enkelt funktionsværdi, der skal bestemmes, er det nemmest blot at udregne
LinReg (Dybde, Tryk, 150) = 15. 400
I LinReg-kommandoen, der tegner plottet, er benyttet en valgfri view-parameter for at få et
bedre plot. Som standard indstilles x-aksen ved hjælp af dataserien dybde og y-aksen ved hjælp
af dataserien tryk.
Standarden ville her betyde, at x-intervallet er [10,100] og y-intervallet [1.96,10.6]
Her introduceres en meget nyttig feature i Maple. Ved at bruge tegnet ~ (tilde) efter et funktionsnavn, tvinger man funktionen til at blive anvendt på alle elementer i en liste.
Da tallene, der er i listen Y, er hele tal, vil Maple ikke uden videre skrive resultatet som decimaltal. Men ved at vælge afrund med 5 decimaler fås det viste output.
Vi laver nu en lineær regression på listerne X og YT :
LinReg (X, YT )
OPGAVER 10.1 – 10.4 „
328
329
10.4.2 EKSEMPEL - EKSPONENTIEL REGRESSION
Tabellen viser samhørende værdier af temperaturen t (målt i cC ) i en fryser og holdbarheden d
(målt i antal døgn) af en rullepølse, der opbevares i en fryser:
Temperatur (t)
Holdbarhed (d)
Regressionsligningen ses at være (husk, at y her svarer til ln ^ y h )
ln (y) = 0.099609 $ x + 8.5064
Vi skal have isoleret y:
y = e 0.099609 $ x + 8.5064
= e 0.099609 $ x $ e 8.5064
= 4946.3 $ (e 0.099609) x
= 4946.3 $ 1.1047 x
I Gym-pakken findes kommandoen ExpReg, der automatiserer ovenstående proces, således at
de oprindelige datalister kan bruges som input. Lad os til sammenligning se, hvad ExpReg giver
anvendt direkte på de to lister X og Y:
- 25
280
- 20
154
- 15
91
- 10
49
a)
Bestem forskriften for denne funktion
b)
Bestem ved hjælp af den fundne forskrift holdbarheden ved en temperatur på - 18 cC , og
bestem temperaturen, hvis holdbarheden er 180 døgn.
c)
Bestem ved hjælp af den fundne forskrift halveringskonstanten for holdbarheden, og
bestem den procentvise ændring i holdbarheden, når temperaturen øges 2cC .
MAPLE
a)
Data indtastes
t : = 6- 25, - 20, - 15, - 10@ :
d : = 6280, 154, 91, 49@ :
og vi tegner regressionkurven sammen med datapunkterne:
ExpReg (t, d)
ExpReg ^ X, Y h
Vi ser, at forskriften er d (t) = 15.7 $ 0.891t , hvor t er temperaturen i cC og d (t) holdbarheden
i antal døgn
Altså nøjagtig det samme. Selv forklaringsgraden er den samme, hvilket skyldes, at forklaringsgraden ved en eksponentiel regression udregnes ved hjælp af de transformerede data og er
således et mål for, hvor godt de transformerede data matcher en lineær model.
330
b)
Vi definerer forskriften i Maple:
d (t) : = 15.7 $ 0.891 t :
331
Holdbarheden ved temperaturen - 18 cC kan findes som funktionsværdien:
10.5 Potensregression
d (- 18) = 125.3432582
En potensiel model har formen
Dvs., at holdbarheden er ca. 125 døgn ved en temperatur på - 18 cC .
Hvis holdbarheden er 180 døgn, findes temperaturen ved at løse ligningen d (t) = 180
Tager vi den naturlige logaritme på begge sider af denne ligning, får vi:
solve (d (t) = 180, t)
- 21.13576069
ln (y) = ln (b $ x a)
2
ln (y) = ln (b) + ln (x a)
2
ln (y) = ln (b) + a $ ln (x)
2
ln (y) = a $ ln (x) + ln (b)
Ved en temperatur på ca. - 21 cC er holdbarheden 180 døgn.
c)
Halveringskonstanten bestemmes
T =
1
2
ln ^ 12 h
ln (0.891)
at 5 digits
y = b $ xa
T = 6.0059
hvor den sidste ligning udtrykker en lineær sammenhæng mellem ln ^ x h og ln (y) , idet a og
ln (b) er konstanter.
1
2
Når t øges med 2, skal d fremskrives med faktoren 0.8912 . Dvs., at den procentvise ændring i
holdbarheden bliver
0.8912 - 1 = - 0.206119
Dette kan vi udnytte således: Hvis vi har to dataserier X og Y, så kan vi undersøge om der er en
potenssammenhæng mellem X og Y ved at undersøge, om der er en lineær sammenhæng mellem ln ^ X h og ln (Y) .
Lad os se på et eksempel
altså et fald på 20.6%
OPGAVER 10.5 – 10.8 „
10.5.1 EKSEMPEL
Vi vil undersøge om der er en potenssammenhæng mellem listerne X og Y
with (Gym):
X : = 620, 40, 60, 80@:
Y : = 60.035, 0, 063, 0.085, 0.1@:
ved at undersøge, om der er en lineær sammenhæng mellem ln ^ X h og ln (Y) .
Vi foretager en logaritmisk transformation af både X- og Y-listen – og kalder de transformerede
lister hhv. XT og YT :
X T : = ln ~( X) = 6ln ^20h, ln ^40h, ln ^60h, ln ^80h@
afrund
62.99573, 3.68888, 4.09434, 4.38203@
YT : = ln ~( Y) =
6- 3.352407217, - 2.764620553, - 2.465104022, - 2.302585093@
Vi laver nu en lineær regression på listerne XT og YT :
LinReg (X T , YT )
332
333
10.5.2 EKSEMPEL - POTENSREGRESSION
Tabellen viser for 3-slået tovværk sammenhængen mellem tovværkets diameter (målt i mm) og
tovets brudstyrke (målt i kg).
Diameter
Brudstyrke
4
250
5
400
6
600
8
1000
10
1550
14
3200
16
4000
20
6000
24
26
8600 10000
Det oplyses, at brudstyrken som funktion af diameteren med tilnærmelse er en funktion af formen f (x) = b $ x a
Regressionsligningen ses at være (husk, at x her svarer til ln ^ x h og y her svarer til ln ^ y h )
ln (y) = 0.76693 $ ln ^ x h - 5.680
Vi skal have isoleret y:
y = e 0.76693 $ ln^ xh - 5.680
= e 0.76693 $ ln^ xh $ e -5.680
0.76693
= e -5.680 $ ^e ln^ xhh
= 0.00341356 $ x 0.76693
a)
Bestem ved regression a og b.
b)
Benyt den fundne forskrift til at bestemme, hvor mange gange så stor tovværkets brudstyrke bliver, når tovværkets diameter fordobles.
Løsning:
a)
Data indtastes
X : = 64, 5, 6, 8, 10, 14, 16, 20, 24, 26@ :
Y : = 6250, 400, 600, 1000, 1550, 3200, 4000, 6000, 8600, 10000@ :
og vi tegner regressionkurven sammen med datapunkterne:
PowReg ^ X, Y h
Kommandoen PowReg fra Gym-pakken automatiserer beregningerne, således at de oprindelige datalister X og Y kan bruges som input:
PowReg ^ X, Y h
Heraf ser, at a = 1.9619 og b = 17.092
b)
Ved en fordobling af diameteren ganges x-værdien med faktoren 2. Af sætning 7.10.2 har vi
Vi får nøjagtig det samme resultat. Forklaringsgraden er også den samme, hvilket skyldes at den
er udregnet på grundlag de transformerede data
334
f^ 2 $ x h = 2a $ f^ x h
Det betyder, at her bliver y-værdien 2 1.9619 = 3.90 gange så stor.
Dvs., at tovværkets brudstyrke bliver 3.9 – eller næsten 4 – gange så stor.
335
Bemærkning:
Faktisk laver vi i a) mere end vi bliver bedt om, nemlig at plotte regressionskurven sammen
med datapunkterne. Dog er det en god ide at få plottet tegnet, idet det kan afsløre fejl i indtastningen af de to lister. Hvis vi fx var kommet til at skrive 1000 i stedet for 10000 i Y-listen, ville
plottet se sådan ud:
10.6 Lidt om forklaringsgraden
Vi vender tilbage til eksemplet fra afsnit 10.2, hvor vi benyttede disse data til at beregne den
bedste rette linje:
X : = 61, 2, 4, 5, 7, 8@
Y : = 62, 5, 1, 6, 8, 4@
Vi benytter LinReg-kommandoen denne gang (og ser, at vi får samme resultat som i afsnit 10.2):
Her vil fejlen straks kunne spottes, idet regressionskurven slet ikke følger datapunkterne. Og
da det er oplyst i opgaven, at datapunkterne med god tilnærmelse følger en potens udvikling, så
skal regressionskurven følge datapunkterne nogenlunde.
Regressionsudtrykket kan vi få frem uden plottet ved at tilføje x (eller en anden variabel) i PowReg kommandoen:
PowReg ^ X, Y, x h
17.0921822435892x 1.96192249148192
Efter er udført regression kan vi få regressionskoefficienterne oplyst ved at beregne den globale
variabel reg_koeff , der opdateres efter hver udført regression:
reg koeff
Hvor godt passer regressionslinjen til data? Ja, det kan vi jo regne ud nu, da vi ved, at den bedste rette linje er graf for funktionen
f (x): = 0.45333x + 2.2933 :
Vi sætter så Maple til at regne summen af residualkvadraterne – og kalder denne størrelse U
6
U : = / (Y [i] - f (X [i])) 2 = 25.62666668
b
17.0921822435892
< F=<
F
a
1.96192249148192
i=1
Til spørgsmål b) kan vi med fordel tage et kig på tabellen inden vi begynder at regne:
Her er i X-listen 4 værdier, hvis fordobling også er i X-listen. Fx viser punkterne ^ 4, 250 h og
^ 8, 1000 h , at når x-værdien fordobles, så vil y-værdien blive 4-doblet. Det er naturligvis ikke
en løsning på opgaven, da vi ikke ved, om punkterne ligger på regressionslinjen, men det giver
os et bud på en omtrentlig løsning.
OPGAVE 10.9 - 10.11 „
U er den uforklarede variation i data – altså den variation i data, der ikke kan forklares med
vores regressionslinje. Hvis alle datapunkter lå på regressionslinjen, ville alt være forklaret og
U være 0.
Hvis U er lille, passer vores model godt til data. Men hvad skal U være lille i forhold til?
For at kunne besvare dette, forestiller vi os en fiktiv situation, hvor der ingen sammenhæng er
mellem X og Y. Under denne antagelse må variationen i Y-værdierne skyldes rene tilfældigheder, der intet har med X-værdierne at gøre. Så i denne situation må vi forvente, at Y-værdierne
er jævnt fordelte om middelværdien af Y.
M: = middel (Y) = 4.333333334
336
337
LinReg (t C, t F, t)
1.76014904883310t + 33.5271295025171
og definer funktionen (brug copy&paste)
f (t): = 1.76014904883310t + 33.5271295025171
M
Vi udregner den uforklarede variation
6
U : = / (t F [i] - f (t C [i])) 2 = 0.7216447741
i=1
Vi kan så beregne kvadratsumsafvigelsen med den vandrette linje y = M som regressionslinje:
6
T : = / (Y [i] - M) 2 = 33.33333333
Den totale variation er
6
T : = / (t F [i] - middel (t F)) 2 = 79.70833332
i=1
Forklaringsgraden er da
i=1
Dette tal kaldes den totale variation og det er dette tal, U skal være lille i forhold til. I det eksempel, vi benytter her, er U absolut ikke lille i forhold til T, så det tyder på, at variationen i
Y-værdierne skyldes tilfældigheder og at den lineære model ikke forklarer nogen sammenhæng.
T - U = 0.9909464326
T
I dette tilfælde forklarer den lineære model hele 99% af variationen i data.
Da T er den totale variation og U den uforklarede variation, er T - U den forklarede variation.
Den forklarede variation divideret med den totale variation må da give et mål for ’graden af
forklaring’:
T - U = 0.2311999995
T
10.6.2 EKSEMPEL - DIREKTE OG OMVENDT REGRESSION
Vi har ved regression (i foregående eksempel) fundet denne sammenhæng mellem t C og t F :
Hvilket netop er forklaringsgraden.
I dette tilfælde forklarer den lineære model blot 23% af variationen i data – eller at der er 77%
residual variation, der ikke kan forklares med den lineære model.
t F = 1.76014904883310 $ t C + 33.5271295025171
Vi siger, at denne sammenhæng er fundet ved direkte regression.
Når der er en lineær sammenhæng mellem t C og t F , er der også en lineær sammenhæng mellem
t F og t C .
10.6.1 EKSEMPEL
Under opvarmning af vand er foretaget 6 samtidige målinger af vandets temperatur med to
termometre – et, der måler i grader Celsius, og et, der måler i grader Fahrenheit. Resultatet af
målingerne fremgår af tabellen, hvor Celsius temperaturen er i den øverste række og Fahrenheit
temperaturen i den nederste
tC
tF
34.6
94.0
35.1
95.5
36.2
97.5
37.9
100.0
38.6
102.0
40.5
104.5
Vi laver straks en lineær regression. Hertil definerer vi først de to datalister:
t C : = 634.6, 35.1, 36.2, 37.9, 38.6, 40.5@ :
t F : = 694.0, 95.5, 97.5, 100.0, 102.0, 104.5@ :
Vi anvender en variant af LinReg-kommandoen, hvor vi ikke får nogen graf, men blot regressionsudtrykket med t som uafhængig variabel:
338
Denne kan vi også finde ved lineær regression på t F og t C (hvor vi altså bytter om på de to lister
i LinReg-kommandoen):
LinReg (t F, t C, t)
0.562990067956092t - 18.5391008886568
hvilket giver os sammenhængen
t C = 0.562990067956092 $ t F - 18.5391008886568
I denne ligning kan vi isolere t F
t C = 0.562990067956092 $ t F - 18.5391008886568
t F = 1.77623026926647 $ t C + 32.9297121634172
isolate for t F
Sammenhængen, vi har fundet her, er fundet ved omvendt regression.
Vi ser, at resultatet ikke er helt det samme ved direkte og omvendt regression. Forholdet mellem
339
de to linjers hældninger giver et mål for linearitet af de observerede data:
a direkte
1.76014904883310
a omvendt = 1.77623026926647 = 0.990946432615400
– og dette mål er netop forklaringsgraden.
Hvis vi udregner skæringspunktet mellem de to linjer, vil vi se, at de faktisk skærer hinanden i
datasættets tyngdepunkt.
340
341
11
De komplekse tal
11.1 Lidt om de komplekse tals historie
De komplekse tal har sin oprindelse i to så forskellige områder som ligningsløsning og landmåling. Ligningsløsningen giver anledning til en algebraisk indførelse af de komplekse tal, mens
landmålingen giver anledning til en geometrisk indførelse.
Vi skruer tiden tilbage til 1545, hvor den italienske matematiker Girolamo Cardano offentliggør
sin afhandling Ars Magna, hvori han til en ligning af typen
x3 + p $ x + q = 0
angiver denne løsningsformel
x=
3
q
-2 +
q2
p3 3
q
+
4
27 + - 2 -
q2
p3
+
4
27
Formlen kan dog kun bruges, hvis det, der står under kvadratrodstegnet er ikke-negativt, hvad
det naturligvis ikke altid er.
Formlen kaldes Cardanos formel, selvom det næppe er ham, der har først har fundet formlen.
Dengang blev en matematikers kvalitet vurderet ud fra, hvor skrap han var til at løse ligninger,
så fandt man en smart metode, så hemmeligholdt man den.
342
343
Den italienske matematiker Rafael Bombelli tillod sig dog i 1572 at regne videre på løsningsformlen på trods af, at han fik et negativt tal under rodtegnet. Han prøvede at løse ligningen
x 3 - 15x - 4 = 0
ved at benytte Cardanos formel. Ved indsættelse fås ^ p =- 15, q =- 4 h
x = 3 2 + - 121 + 3 2 - - 121
Dette udtryk har naturligvis ingen mening, men Bombelli havde ingen fine fornemmelser, så
han regnede videre på det. Hans første observation var, at
- 121 = - 11 2 = 11 - 1
Tal på formen a + b - 1 , som Bombelli studerede, svarer helt det, vi nu om stunder kalder
komplekse tal. Den notation, vi har benyttet ovenfor, er den moderne – Bombelli brugte en helt
anden notation. Fx skrev han
3
2 + - 121 = R 3 2pROm121
BBCC
AB B ABBBBBB
Bombelli var den første, der indførte og nedskrev regler for addition, subtraktion og multiplikation af komplekse tal. Naturligvis blev de komplekse tal ikke vel modtaget af datidens matematikere, idet teorien var baseret på meningsløse størrelser – og hvad skulle man dog forstå
ved noget som - 1 ? Først 1837 giver den irske matematiker W. R. Hamilton en systematisk
indførelse af de komplekse tal. For sin gerning er Hamilton blevet hædret med en frimærkeudgivelse i 2005 i anledning af 200 året for hans fødsel:
så han kunne omskrive til
x = 3 2 + 11 - 1 + 3 2 - 11 - 1
Dernæst indså han, at
3
2 + 11 $ - 1 = 2 + - 1
Lad os tjekke. Under udregningen får vi behov for at udregne
2
sætter vi - 1 =- 1 .
2
- 1 , og i lighed med Bombelli
Vi udregner:
^ 2 + - 1 h3 = ^ 2 + - 1 h2 $ ^ 2 + - 1 h
2
= _4 + -1 + 4 -1 i $ ^2 + -1 h
= ^3 + 4 -1 h $ ^2 + -1 h
= 6 + 3 -1 + 8 -1 + 4 -1
= 2 + 11 - 1
2
Helt tilsvarende kan vi tjekke, at
3
2 - 11 $ - 1 = 2 - - 1
Indsætter vi disse udtryk i løsningen, vi fik ved brug af Cardanos formel, får vi
x = 3 2 + 11 - 1 + 3 2 - 11 - 1
= 2 + -1 + 2 - -1
=4
Tjekker vi ved at indsætte x = 4 i den oprindelige ligning, ser vi, at 4 faktisk er en løsning til
ligningen:
4 3 - 15 $ 4 - 4 = 64 - 60 - 4 = 0
Vi tager nu et spring i tid til 1797. Her har den dansk-norske landmåler Caspar Wessel (1745
- 1818) afleveret en afhandling til Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab med titlen:
Om Directionens analytiske Betegning, et Forsøg, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske
Polygoners Opløsning.
En landmåler måler længder og vinkler i landskabet og beregner ud fra disse ikke-målte længder og vinkler. Der er således behov for at kunne arbejde med linjestykker af vilkårlig længde
og vilkårlig retning (i forhold til en eller anden akse).
Wessel betegnede linjestykket fra punktet A til punktet B med AB. Linjestykker havde fortegn:
Således var - AB = BA . Ved multiplikation med et tal, kunne længden af linjestykket forøges,
hvis tallet var større end 1, og formindskes, hvis tallet ligger mellem 0 og 1. Det samme gør
sig gældende, hvis der ganges med et negativt tal, hvor retningen af linjestykket vil blive vendt.
Et langt alvorligere problem for Wessel var det at ændre retningen på et linjestykke ved at
gange med et tal. Alle muligheder er jo udtømte med ovenstående beskrivelse af, hvad der sker,
når der ganges med et reelt tal. Wessel var nødt til at finde nogle nye tal for løse problemet. Og
de tal, han finder, er netop de komplekse tal.
Læs mere om Casper Wessels komplekse tal i den aldeles fremragende bog:
Jørgen Ebert: Komplekse tal – en historisk og aksiomatisk introduktion (Forlaget Minor,1995)
På magisk vis er det altså lykkedes Bombelli at få de meningsløse størrelser, han arbejder med,
til at ophæve hinanden.
344
345
11.2 Definition af komplekse tal
Vi vil her benytte en definition af de komplekse tal, der er i tråd med Bombellis tilgang, dog
med moderne notation, hvor vi endvidere betegner den meningsløse størrelse - 1 med bogstavet i, der er den mest almindelige betegnelse. Andre betegnelser bliver også benyttet: Fx
benyttes j som betegnelse inden for elektroteknik, for at undgå forveksling med strømstyrken,
der har betegnelsen i (eller I). I Maple benyttes I som betegnelse, idet i almindeligvis benyttes
som tællevariabel i løkker og lignende.
Hvis imaginærdelen i et komplekst tal er 0, er
z = z 1 + iz 2 = z 1 + i0 = z 1
Dvs., at z så er et reelt tal. Det betyder, at de reelle tal kan opfattes som komplekse tal med
imaginærdelen 0. Således er de komplekse tal en udvidelse af de reelle tal.
Hvis realdelen i et komplekst tal er 0, er
z = z 1 + iz 2 = 0 + iz 2 = iz 2
I dette tilfælde kaldes z for et rent imaginært tal.
11.2.1 DEFINITION - DE KOMPLEKSE TAL
De komplekse tal C er mængden af tal z på formen
11.3 Regning med komplekse tal
i kaldes den imaginære enhed og opfylder, at i 2 =- 1
Som vi har set, er de komplekse tal en udvidelse af de reelle tal. Denne udvidelse respekterer
regnereglerne i de reelle tal i den forstand, at vi kan regne med komplekse tal nøjagtig som vi
regner med reelle tal – blot skal vi til stadighed huske på, at i 2 =- 1 .
De to reelle tal z 1 og z 2 kaldes hhv. realdelen og imaginærdelen af det komplekse tal z , og
betegnes med hhv. Re ^ z h og Im ^ z h
Vi skal gennem en række eksempler se, hvordan regning med komplekse tal foregår. Det er helt
fredeligt for addition, subtraktion og multiplikation, men ved division skal vi tænke os godt om.
z = z 1 + iz 2 ,
z 1, z 2 ! R
11.2.2 EKSEMPEL – REALDEL- OG IMAGINÆRDEL
Tallet
To komplekse tal a og b er givet ved
z = 4 + 5i
er et komplekst tal med realdel 4 og imaginærdel 5. Altså
Re ^ z h = 4
Im ^ z h = 5
Læg mærke til, at den imaginære enhed placeres efter tallet. Det er almindelig kutyme ved tal,
men er der tale om symboler, så placeres den imaginære enhed foran. Fx skriver man
z = 1+i 2
Når realdel og imaginær del aflæses, skal det komplekse tal være på standardformen, altså på
formen
z = z 1 + iz 2
Har det ikke denne form, skal tallet omskrives. Fx er imaginærdelen af tallet
z = 5 - 7i
Im ^ z h =- 7 , idet z på standardformen er z = 5 + ^ - 7 h i
346
11.3.1 EKSEMPEL – ADDITION, SUBTRAKTION OG MULTIPLIKATION AF KOMPLEKSE TAL
a = 2 + 3i og b =- 5 + 7i
Udregningen af a + b foregår således
a + b = (2 + 3i) + (- 5 + 7i)
= 2 + 3i - 5 + 7i
=- 3 + 10i
Udregningen af a - b foregår således
a - b = (2 + 3i) - (- 5 + 7i)
= 2 + 3i + 5 - 7i
= 7 - 4i
Udregningen af a $ b foregår således
a $ b = (2 + 3i) $ (- 5 + 7i)
=- 10 + 14i - 15i + 21i 2
=- 10 + 14i - 15i - 21
=- 31 - i
[husk, at i 2 =- 1 ]
347
Inden vi ser på, hvordan man dividerer to komplekse tal med hinanden, skal vi lige have et nyt
begreb defineret:
Når vi skal omskrive en brøk, har vi ikke andre muligheder end at forlænge eller forkorte brøken, idet værdien af brøken jo ikke må ændres.
11.3.2 DEFINITION - KONJUGERET TAL
Fidusen er her at tænke på den 3. kvadratsætning og forlænge brøken med det konjugerede tal
til nævneren. Altså, vi forlænger med - 5 - 7i :
Ved det konjugerede tal til det komplekse tal z = z 1 + iz 2 , forstås det komplekse tal
a = 2 + 3i
- 5 + 7i
b
z = z 1 - iz 2
hvor der er skiftet fortegn på imaginærdelen.
=
=
11.3.3 EKSEMPEL
Hvis der står + (plus) foran imaginærdelen, ændres dette til et minus
^ 2 + 3i h $ ^ - 5 + 7i h
^ - 5 + 7i h $ ^ - 5 + 7 i h
^ 2 + 3i h $ ^ - 5 - 7i h
^ - 5 + 7i h $ ^ - 5 - 7i h
= - 10 - 14i2- 15i -2 21i
^ - 5 h - ^ 7i h
z = 2 + 3i & z = 2 - 3i
og står der - (minus) foran imaginærdelen, ændres dette til et plus:
z = 5 - 4i & z = 5 + 4i
Hvis z er et reelt tal, så er imaginærdelen 0, og z kan skrives således:
[brøken forlænges med - 5 + 7i ]
[ - 5 + 7i =- 5 - 7i ]
2
[tælleren udregnes. 3. kvadratsætning benyttes i
nævneren]
= - 10 - 29i +2 21
25 - 49i
[Husk, at i 2 =- 1 og at ^ 7i h = 7 2 i 2 ]
- 29i
= 11 74
[Husk igen, at i 2 =- 1 ]
2
11 - 29 i
= 74
74
z = z + 0i
Det konjugerede tal hertil er
z = z - 0i = z
Hvis z er et rent imaginært tal, dvs., at realdelen af z er 0, så z kan skrives således:
z = 0 + iz 2
Det konjugerede tal hertil er
z = 0 - iz 2 =-^ 0 + iz 2 h =- z
Specielt har vi altså, at
i =- i
MAPLE
Komplekse tal kan indtastes direkte i Maple. Husk blot, at skrive I i stedet for i.
^ 2 + 3I h + ^ - 5 + 7I h =- 3 + 10I
^ 2 + 3I h - ^ - 5 + 7I h = 7 - 4I
^ 2 + 3I h $ ^ - 5 + 7I h =- 31 - I
2 + 3I
11 29
- 5 + 7I = 74 - 74 I
Den konjugerede til et komplekst tal findes således:
conjugate ^ 2 + 3I h = 2 - 3I
11.3.4 EKSEMPEL – DIVISION AF KOMPLEKSE TAL
To komplekse tal a og b er givet ved
a = 2 + 3i og b =- 5 + 7i
Vi skal her udregne
a = 2 + 3i
b
- 5 + 7i
og det, vi skal komme frem til, er et komplekst tal på standardform.
348
eller ved at benytte Accents-paletten til at skrive
2 + 3I = 2 - 3I
Funktionerne Re og Im er naturligvis også til stede i Maple og virker helt som forventet
Re ^ 2 + 3I h = 2
Im ^ 2 + 3I h = 3
OPGAVER 11.1 - 11.4 „
349
11.4 Rektangulær og polær form
Et komplekst tal på standardformen z = z 1 + iz 2 , kan identificeres med punktet med koordinaterne ^ z 1 , z 2 h i et almindeligt koordinatsystem.
Der er en andre måder, hvorpå man kan indføre koordinater – dvs. andre måder til at fastlægge
et punkts placering i et rektangulært koordinatsystem. På figuren er vist, hvordan man fastlægge et punkts placering ved at angive længden af linjestykket fra O til z og vinklen i , som
linjestykket danner med 1. aksen:
Lad os skrive dette som en funktion
z = z 1 + iz 2 " ^ z 1, z 2 h
z
Da et reelt tal har formen
z = z + 0i
vil dette afbildes i punktet ^ z, 0 h . Heraf følger, at alle reelle tal vil afbildes på 1. aksen. Denne
kaldes i denne kontekst derfor den reelle akse.
i
O
Tilsvarende vil de rent imaginære tal, altså tal på formen
z = 0 + iz 2
afbildes i punktet ^ 0, z 2 h , der ligger på 2. aksen. Denne kaldes derfor den imaginære akse.
Specielt har vi, at tallet 1 afbildes i ^ 1, 0 h og den imaginære enhed i afbildes i ^ 0, 1 h .
dist ^ O, z h = 4 2 + 3 2 = 5
Den imaginære akse
- 4 + 3i
På figuren er z = 4 + 3i og har koordinaterne ^ 4, 3 h . Ved brug af Pythagoras (eller afstandsformlen), finder vi, at linjestykket fra O til z har længden
4 + 3i
og vinklen i kan bestemmes ved hjælp af tangens i en retvinklet trekant:
3
tan ^ i h = 4 & v = 36.87c
Punktet z siges at have de polære koordinater 5+36.87c , hvor et vinkeltegn benyttes til at
adskille de to tal.
i
1
Den reelle akse
11.4.1 DEFINITION – MODULUS
Ved modulus (eller den numeriske værdi) af et komplekst tal z = z 1 + iz 2 , forstås tallet
4 - 3i
- 4 - 3i
z =
z 12 + z 22
Den komplekse talplan
Idet vi således umiddelbart kan identificere et kompleks tal på standardformen z = z 1 + iz 2
med et punkt ^ z1, z2 h i et rektangulært koordinatsystem, kaldes standardformen også for rektangulær form.
11.4.2 DEFINITION – ARGUMENT
Ved argumentet arg ^ z h af et komplekst tal z forstås den vinkel linjestykket fra O til z danner
med 1. aksen.
Argumentet skal regnes med fortegn i overensstemmelse med omløbsretningen og ligge i intervallet @ - 180c, 180c@
350
351
11.4.3 EKSEMPEL
Vi skal finde modulus og argument for det komplekse tal
z
z = 4 + 3i
Af vore bregninger ovenfor følger, at
z = 42 + 32 = 5
3
arg ^ z h = arctan a 4 k = 36.87c
Tilsvarende kan vi finde modulus og argument af det komplekse tal
z = 4 - 3i
Vi beregner modulus og argument som ovenfor:
men arctan _ -34 i =- 36.87c , så her skal vi lægge 180c til den løsning vi finder
z = 4 + ^-3h = 5
-3
arg ^ z h = arctan a 4 k =- 36.87c
2
2
3
arg ^ z h = arctan a - 4 k + 180c =- 36.87c + 180c = 143.13c
Til slut ser vi på det komplekse tal
På en figur ser det sådan ud
z =- 4 - 3i
Modulus er den samme som i de foregående tilfælde:
z = ^ - 4 h2 + ^ - 3 h2 = 5
men her skal vi også udvise forsigtighed ved udregning af argumentet
z
Her måler vi vinklen i negativ omløb. Hvis vi i stedet måler i positivt omløb holder vi os ikke
i intervallet @ - 180c, 180c@ .
Ser vi nu på det komplekse tal
z
z =- 4 + 3i
så er det klart, at modulus er den samme som ovenfor:
z = ^ - 4 h2 + 3 2 = 5
Her er arctan _ --43 i = 36.87c , så vi skal trække 180c fra den løsning vi finder
-3
arg ^ z h = arctan a - 4 k + 180c = 36.87c - 180c =- 143.13c
men ved beregning af argumentet skal vi være forsigtige, idet punktets placering nu er denne:
352
353
Vi sammenfatter vores overvejelser i eksempel 11.4.3 i denne sætning:
z
11.4.4 SÆTNING - BESTEMMELSE AF ARGUMENTET
Argumentet til et komplekst tal
P
z = z1 + i $ z2
bestemmes således:
i
Hvis z1 > 0 , så er
O
Q
R
z
arg (z) = arctan c z2 m
1
Hvis z 1 < 0 , så er
z
arg (z) = arctan c z 2 m ! 180c
1
hvor plus benyttes, hvis z2 > 0 og minus benyttes, hvis z2 < 0 .
Hvis z1 = 0 , så ligger z på den imaginære akse og
arg ^ z h = ! 90c
hvor plus benyttes, hvis z2 > 0 og minus benyttes, hvis z2 < 0 .
z har derfor de rektangulære koordinater ^ z $ cos ^ i h, z $ sin ^ i hh , hvilket betyder, at på rektangulær form er
z = z $ cos ^ i h + i z $ sin ^ i h
= z $ ^ cos ^ i h + i sin ^ i hh
QED
11.4.6 EKSEMPEL – FRA POLÆR TIL REKTANGULÆR FORM
Et komplekst tal er givet på polær form ved 3+90c . Vi skal omskrive til rektangulær form:
Vi sætter ind i udtrykket fra sætning 11.4.5
11.4.5 SÆTNING – POLÆR FORM
Ethvert komplekst tal z kan skrives på formen
z = z +i = z $ ^ cos (i) + i sin (i) h
hvor z er modulus af z og i argumentet til z (målt i grader)
Et komplekst tal skrevet på formen z +i siges at være på polær form.
3+90c = 3 $ ^ cos ^ 90 h + i sin ^ 90 hh
= 3^ 0 + i $ 1 h
.
= 3i
– hvilket vi kunne have sagt på forhånd, idet et argument på 90c må betyde, at tallet befinder
sig på den imaginære akse.
Tilsvarende udregnes 5+135c . Dette tal må befinde sig i 2. kvadrant:
BEVIS
På figuren (næste side) er afsat der komplekse tal z = z +i . Desuden er tegnet en enhedscirkel. Linjestykket fra O til z skærer enhedscirklen i punktet P, der ifølge definitionen af sinus og
cosinus har de rektangulære koordinater ^ cos ^ i h, sin ^ i hh .
Da de to retvinklede trekanter OPQ og OzR på figuren har vinkel i fælles, er de ensvinklede
og dermed er ensliggende sider i de to trekanter proportionale. Da OP = 1 og Oz = z , er
proportionalitetsfaktoren z .
Dermed er
OR = z $ cos ^ i h
zR = z $ sin ^ i h
354
5+135c = 5 $ ^ cos ^ 135 h + i sin ^ 135 hh
= 5 $ _ - 21 2 + i 21 2 i
.
=- 25 2 + i 25 2
Det er kun når vi har så pæne tal i argumentet, at vi kan regne eksakt. Ofte vil det være nødvendigt at angive resultatet med decimaler. Fx
2+25c = 2 $ ^ cos ^ 25 h + i sin ^ 25 hh
= 0.9063 + 0.4226 i
Specielt kan i skrives således i = 1+90c og tallet 1 som 1 = 1+0c
355
11.4.7 EKSEMPEL – FRA REKTANGULÆR TIL POLÆR FORM
Vi skal her omskrive det komplekse tal z =- 7 + 3i til polær form. Hertil finder vi først modulus af tallet:
z = ^ - 7 h2 + 3 2 = 58
Til bestemmelse af argumentet benytter vi sætning 11.4.4: Da z1 < 0 og z2 > 0 , er
3
arg ^ z h = arctan a - 7 k + 180c = 156.8c
Dvs., at den polære form er
11.5 Ligninger med komplekse løsninger
Med de regeregler for komplekse tal, vi har set i de foregående afsnit, kan vi løse en kompleks
førstegradsligning af formen
a$z + b = c
Vi kan trække b fra på begge sider og dividere med a, så vi har løsningen
z=
58 +156.8c .
c-b
a
Hvis koefficienterne er på rektangulær form, er det eneste problem at få skrevet løsningen z på
rektangulær form, men hertil kan vi bruge teknikken fra eksempel 11.3.4.
Vi kan også løse andengradsligninger med reelle koefficienter selvom diskriminanten er negativ.
Løsningsformlen er den samme.
MAPLE
Modulus af et komplekst tal findes ved at benytte numeriskværdi (fra Expressions-paletten):
- 7 + 3I = 58
Vi håndterer et negativt reelt tal under et kvadratrodstegn således (præcis som Bombelli gjorde
i 1572 – se indledningen afsnit 11.1:)
Hvis a > 0 , så er
og argumentet ved
with ^ Gym h :
3
arcTan a - 7 k + 180 = 156.8
-a = a $ -1 = i a
hvor vi ikke slipper uden om at benytte sætning 11.4.4.
11.5.1 EKSEMPEL
Har vi et kompleks tal på polær form. fx
Vi skal her løse andengradsligningen
z = 4+30c
z 2 - 2z + 5 = 0
sker omskrivingen til rektangulær form således:
hvor alle koefficienter er reelle tal. Først bestemmer vi d:
z = 4 $ ^ Cos ^ 30 h + I $ Sin ^ 30 hh
z = 3.464101616 + 2.000000000I
d = (- 2) 2 - 4 $ 1 $ 5 =- 16
I løsningsformlen kommer vi til at udregne:
- 16 = 16 $ - 1 = 4 i
OPGAVER 11.5 - 11.14 „
Løsningerne til ligningen bliver da
z = 2 !2 4 i & z = 1 + 2 i 0 z = 1 - 2 i
Læg mærke til, at de to løsninger er hinandens konjugerede. Det vil altid være tilfældet, hvis
andengradsligningen har reelle koefficienter
OPGAVER 11.15 - 11.19 „
356
357