Matemática Financeira
Arthur Borges
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Lista de exercícios 1
Juros
1.1) (VUNESP/EMPLASA/2014) À razão entre a remuneração paga ao
dinheiro emprestado ou aplicado e o capital envolvido, em um
determinado período de tempo, dá-se o nome de
a) parcela mensal;
b) montante;
c) taxa de juros;
d) juros simples;
e) juros compostos.
S-1) Um capital de R$10.000,00 é emprestado à taxa de 1% ao mês sem
prazo pactuado para devolução. Qual o valor dos juros pagos
mensalmente?
Solução:
Para calcularmos o juro mensal pago, basta usarmos a fórmula:
𝐽 =𝑖⋅𝐶
Então:
𝐽 = 0,01 ⋅ 10.000
𝐽 = 𝑅$100,00
1.2) Um capital de R$20.000,00 é emprestado à taxa de 2%am. Não
havendo pacto para devolução do principal, qual o total de juros
recebidos em um ano?
1.3) Necessito de uma renda mensal de R$13.000,00 para pagar as
contas. Que capital devo investir na conta-poupança, que paga
0,5%am de juros, para auferir essa renda?
1.4) Uma aplicação financeira de R$500.000,00 paga cupom de juros à
taxa de 0,4% ao mês. Alternativamente, o dinheiro pode ser
investido em um imóvel comercial com a expectativa de obter
R$2.500,00 em aluguel mensal. Qual a taxa de “juros” do aluguel?
Qual a opção mais vantajosa?
1.5) (ESAF/TTN) Um capital de R$ 100.000,00 aplicado à taxa de juros
simples de 20% ao trimestre, ao longo de 15 meses, rende um total
de juros no valor de:
a) R$ 30.000,00
b) R$ 80.000,00
c) R$ 100.000,00
d) R$ 150.000,00
e) R$ 50.000,00
1.6) (FCC/CEF/2001) Um certo capital, aplicado a juros simples durante
15 meses, rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse
capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro
do obtido na primeira aplicação?
a) 5 meses;
b) 7 meses e meio;
c) 10 meses;
d) 12 meses;
e) 18 meses.
1.7) (Vunesp/CRBio-MT/2017) Anselmo aplicou R$ 10.000,00 a uma
taxa de juro simples de 0,75% ao mês, durante 𝑥 meses. Na mesma
data, Bernardo aplicou, também, R$ 10.000,00 a uma taxa de juro
simples de 0,8% ao mês, durante 𝑥 + 3 meses. Se o valor recebido de
juros por Bernardo superou em R$ 255,00 o valor recebido de juros
por Anselmo, então o número de meses da aplicação de Bernardo foi
igual a
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
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Juros Simples
1.8) (IESES/Gás Brasiliano-SP/2017) A diferença entre o montante e o
capital investido chama-se?
a) Juros.
b) Capital inicial.
c) Valor futuro.
d) Valor presente.
S-2) Uma nota promissória promete pagar o valor principal de
R$5.000,00 mais juros simples de 2%am, tudo no ato do resgate. Oito
meses depois o tomador resgata a nota promissória pagando que
valor?
Solução:
O tomador do empréstimo vai pagar o montante quando do resgate da nota
promissória, que é dado pela fórmula do montante a juros simples:
𝑀 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝑛 ⋅ 𝑖)
Substituindo pelos valores e calculando o montante:
𝑀 = 5.000 ⋅ (1 + 8 ⋅ 0,02)
c) R$ 10.000,00 e R$ 600,00.
d) R$ 10.600,00 e R$ 600,00.
e) R$ 10.615,20 e R$ 615,20.
1.11) (UFES/UFES/2017) No regime de juros simples, os juros em cada
período de tempo são calculados sobre o capital inicial. Um capital
inicial 𝐶0 foi aplicado a juros simples de 3% ao mês. Se 𝐶𝑛 é o
montante quando decorridos 𝑛 meses, o menor valor inteiro para 𝑛,
tal que 𝐶𝑛 seja maior que o dobro de 𝐶0 , é
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
e) 38
1.12) Um boleto de R$1.000,00 venceu no dia 08/03/2019, e, para
pagamento atrasado, incorrem multa de 2% e juros de 0,033% ao
dia. Sabendo que os juros incorrem apenas sobre o valor de face do
boleto, calcule:
a) O valor a pagar no dia 14/03/2019 (quinta-feira);
b) O valor apagar no dia 15/03/2019;
c) O valor a pagar no dia útil seguinte ao do item (b).
𝑀 = 𝑅$5.800,00
Taxa equivalente
O valor pago para resgatar a nota promissória foi de R$5.800,00.
1.9) Um celular Samsung Galaxy J4 à vista no cartão de crédito custa
R$657,79, mas à vista no boleto, fica por R$624,90. Sabendo que o
comerciante demora um mês para receber da administradora do
cartão e que o dinheiro do boleto é passado no dia seguinte, qual a
taxa de juros mensal cobrada pelo comerciante para receber o
pagamento do cartão de crédito?
1.10) (FCM/IF-BA/2017) O montante acumulado ao final de 6 meses e os
juros recebidos a partir de um capital de 10 mil reais, com uma taxa
de juros de 1% ao mês, pelo regime de capitalização simples, é de
a) R$ 9.400,00 e R$ 600,00.
b) R$ 9.420,00 e R$ 615,20.
S-3) Um investidor aplica seus R$150.000,00 no Tesouro Direto à taxa
SELIC de 6,5%aa, mas os juros são pagos em cupons semestrais. Qual
o valor desses cupons?
Solução:
Veja que temos agora uma diferença de tempo entre a taxa informada e o pagamento de
cupom de juros. Devemos então converter a taxa ao ano para a taxa ao semestre, pois o
período de incorrência dos juros é semestral. Adotando a regra prática de que podemos
dividir a taxa de juros maior por quantas vezes a unidade de tempo menor cabe dentro
da maior, temos que a taxa de juros ao semestre é dada por:
𝑖𝑎𝑠 =
𝑖𝑎𝑎
𝑛
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Em que 𝑛 = 2, pois cabem dois semestres em um ano. Substituindo:
𝑖𝑎𝑠 =
6,5%
2
= 3,25%𝑎𝑠
Agora podemos calcular o cupom de juros:
𝐽 = 𝑖 ⋅ 𝐶 ⟹ 𝐽 = 150.000 ⋅ 0,0325 = 𝑅$4.875,00
O cupom pago é de R$4.875,00.
1.13) Quais os montantes finais das três alternativas abaixo de
investimento de R$50.000,00?
a) 7 meses a juros simples de 2% ao mês;
b) 9 meses a juros simples de 11,6% ao semestre;
c) 1 ano e 5 meses a juros simples de 20% ao ano;
1.14) Em quantos meses uma taxa de juros simples de 12%aa dobra o
capital?
1.15) (FDRH/BDRES-RS/2001) Uma pessoa aplicou o valor de R$ 3.000,00
no mercado financeiro e, após 12 dias, recebeu juros de R$ 72,00. A
taxa de juros simples dessa aplicação foi de
a) 0,06% ao mês.
b) 0,06% ao dia.
c) 0,6% ao mês.
d) 0,6% ao dia.
e) 6 % ao mês.
1.16) (IESES/Gás Brasiliano-SP/2017) O capital de $ 1.500,00 foi aplicado
gerando o montante de $ 1.590,00 no regime dos juros simples.
Sabendo-se que a taxa de juros empregada foi de 18% ao ano,
pergunta-se qual foi o prazo da aplicação?
a) 6 meses.
b) 5 meses.
c) 3 meses.
d) 4 meses.
1.17) Um investimento bancário paga juros simples de 10%aa, mas com
capitalização por dia útil. Ao fim de dois meses e meio o investidor
precisou resgatar seu investimento de R$50.000,00 mais os juros.
Qual o valor resgatado?
1.18) (Vunesp/TJM-SP/2017) Certo capital, aplicado por um período de 9
meses, a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, rendeu juros no
valor de R$ 1.620,00. Para que os juros do mesmo capital, aplicado
no mesmo período, sejam de R$ 2.160,00, a taxa de juro simples
anual deverá corresponder, da taxa de 18% ao ano, a:
a) 7/6.
b) 4/3.
c) 3/2.
d) 5/3.
e) 11/6.
Respostas:
1.1) (c); 1.2) R$4.800,00; 1.3) R$2.600.000,00; 1.4) 0,5%am e o aluguel; 1.5) (c); 1.6) (c);
1.7) (b); 1.8) (a); 1.9) 5,26%am; 1.10) (d); 1.11) (c); 1.12) a) R$1.021,98; b) R$1.022,31,
c) R$1.023,30; 1.13) a) R$57.000,00, b) R$58.700,00, c) R$64.166,67; 1.14) 100 meses;
1.15) (e); 1.16) (d); 1.17) R$51.040,00; 1.18) (b).
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Lista de exercícios 1 Resolução comentada
Como os 15 meses da questão contêm 5 trimestres, então o juro total é:
𝐽𝑇 = 5 ⋅ 20.000 ⇒ 𝐽𝑇 = 𝑅$100.000
1.1) O termo chave nessa questão é a palavra “razão”, que significa divisão. O enunciado,
então, fala em divisão da remuneração paga pelo dinheiro emprestado. A remuneração
paga é o juro, e esse juro divido pelo dinheiro emprestado é a taxa de juros. A questão
só quer saber se você sabe com precisão a definição de taxa de juros, sem fazer confusão
com juros propriamente dito. Alternativa (c).
Alternativa (c).
1.6) Nessa questão temos que o juro total de uma situação deve ser igual ao dobro do
juro total de outra situação. Na primeira situação, temos:
𝐽𝑇1 = 𝑛1 ⋅ 𝑖1 ⋅ 𝐶1 ⇒ 𝐽𝑇1 = 15 ⋅ 𝑖1 ⋅ 𝐶1
1.2) Calculamos o juro mensal e multiplicamos por 12 meses:
𝐽 = 𝑖 ⋅ 𝐶 = 0,02 ⋅ 20.000 = 𝑅$400,00
Na segunda situação, temos:
𝐽𝑇2 = 𝑛2 ⋅ 𝑖2 ⋅ 𝐶2
𝐽12𝑚 = 12 ⋅ 400 = 𝑅$4.800,00
1.3) Agora temos de encontrar o Capital:
𝐽 = 𝑖 ⋅ 𝐶 ⟹ 13.000 = 0,005 ⋅ 𝐶
𝐶=
13.000
= 𝑅$2.600.000,00
0,005
1.4) O investidor tinha duas opções, aplicar o dinheiro no mercado financeiro ou
comprar um imóvel do mesmo valor para receber aluguel. Podemos enxergar o aluguel
como uma operação financeira em que a razão entre o valor do aluguel e o valor do
imóvel corresponde à uma “taxa de juros” para efeitos de comparação com taxas de
juros de investimentos em renda fixa. Podemos abordar essa questão calculando a
“taxa” do aluguel ou o valor dos juros pagos na aplicação financeira. Vamos fazer os dois.
Os juros da aplicação podem ser obtidos por:
𝐽 = 𝑖 ⋅ 𝐶 ⟹ 𝐽 = 0,004 ⋅ 500.000 ⟹ 𝐽 = 𝑅$2.000,00
A questão pede para obtermos o prazo 𝑛2 da segunda situação, sabendo que o capital é
o triplo, 𝐶2 = 3𝐶1 , a taxa é a mesma, 𝑖2 = 𝑖1 , e os juros são o dobro, 𝐽𝑇2 = 2𝐽𝑇1.
Equacionando esta última, temos:
𝐽𝑇2 = 2𝐽𝑇1 ⇒ 𝑛2 ⋅ 𝑖2 ⋅ 𝐶2 = 2 ⋅ 15 ⋅ 𝑖1 ⋅ 𝐶1
Substituindo 𝐶2 por 3𝐶1 e 𝑖2 por 𝑖1 :
𝑛2 ⋅ 𝑖1 ⋅ 3𝐶1 = 2 ⋅ 15 ⋅ 𝑖1 ⋅ 𝐶1
Os 𝐶1 e os 𝑖1 se cancelam por divisão, sobrando uma equação que nos dá o valor de 𝑛2 :
𝑛2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 15 ⇒ 𝑛2 = 10𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Alternativa (c).
1.7) Para calcularmos o tempo da aplicação de Bernardo, precisamos apenas da fórmula
𝐽 = 𝑛𝑖𝐶. Antes, para os 𝑥 meses de Anselmo, temos que os juros dele são:
𝐽𝐴 = 𝑥 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝐶 = 𝑥 ⋅ 0,0075 ⋅ 10.000 = 75𝑥
A “taxa” do aluguel vem da mesma fórmula:
𝐽 = 𝑖 ⋅ 𝐶 ⟹ 2.500 = 𝑖 ⋅ 500.000 ⟹ 𝑖 = 0,5%𝑎𝑚
Para os 𝑥 + 3 meses de Bernardo, temos que os juros dele são:
𝐽𝐵 = (𝑥 + 3) ⋅ 𝑖 ⋅ 𝐶 = (𝑥 + 3) ⋅ 0,008 ⋅ 10.000 = 80𝑥 + 240
Como a “taxa” ou o valor do aluguel é maior, então ele é a melhor opção.
1.5) Resolve-se essa questão em duas etapas: calcula-se o juro pago no trimestre, pois a
taxa de juros é trimestral; e multiplica-se pela quantidade de trimestres existentes. O
juro trimestral é dado por:
𝐽 = 𝐶 ⋅ 𝑖 ⇒ 𝐽 = 0,2 ⋅ 100.000 = 𝑅$20.000
Como os juros recebidos por Bernardo superam os juros recebidos por Anselmo em
R$255,00, podemos equacionar:
𝐽𝐵 = 𝐽𝐴 + 255
Substituindo:
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80𝑥 + 240 = 75𝑥 + 255 ⇒ 𝑥 = 3
O valor de 𝑥 = 3 encontrado é o número de meses de Anselmo. Muitas vezes você
encontraria esse número dentre as alternativas com pegadinha, mas essa não é a
resposta da questão. O número de meses de Bernardo é 𝑥 + 3 = 3 + 3 = 6, é essa a
resposta da questão. Alternativa (b).
1.8) Sabemos que o montante é o valor final obtido pela agregação dos juros ao capital,
ou seja, o montante é o capital mais os juros. Consequentemente os juros são o montante
menos o capital. Nos juros simples, é possível obter os juros totais sem apurar o
montante usando a fórmula 𝐽 = 𝑛𝑖𝐶, mas você vai ver que nos juros compostos será
necessário calcular o montante para depois obtermos os juros totais por subtrair o
capital do montante. Alternativa (a).
1.9) Esperar trinta dias para receber o pagamento da compra é o mesmo que o
comerciante emprestar dinheiro ao seu cliente. O comerciante empresta o preço à vista
e recebe o preço a prazo, logo 𝐶 = 624,90 e 𝑀 = 657,79. Agora vamos encontrar a taxa
para essa operação de um mês:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) ⟹ 657,79 = 624,90(1 + 1 ⋅ 𝑖)
Resolvendo para 𝑖 como na questão anterior, encontramos 𝑖 = 5,26%𝑎𝑚.
1.10) Essa questão é simples, porque se resolve pela aplicação direta da fórmula dos
juros totais em juros simples. O prazo é de 6 meses, a taxa de juros de 1% em sua forma
unitária é 0,01. Temos então:
A questão quer saber o tempo 𝑛 quando 𝐶𝑛 = 2𝐶0 a uma taxa 𝑖 = 3%. Substituindo na
fórmula:
2𝐶0 = 𝐶0 (1 + 𝑛 ⋅ 0,03)
Os 𝐶0 se cancelam, resultando:
2 = 1 + 0,03𝑛 ⇒ 𝑛 = 33,33
Felizmente você não vai encontrar 33 dentre as alternativas, nem 33,33, que seriam
uma pegadinha como na questão (1.7). Pergunta-se qual o menor valor inteiro de 𝑛 para
que o montante seja o dobro do capital. Esse valor de 𝑛 é 34, ou seja, é o primeiro valor
inteiro de 𝑛 que garante o dobro de capital. Em 𝑛 = 33, o capital ainda não dobrou; em
𝑛 = 34, o capital já dobrou e ainda rendeu mais um pouquinho. Alternativa (c).
1.12)
a) A multa é de 2% do boleto, portanto R$20,00. Para os juros, basta contarmos os dias
após o vencimento e até o dia do pagamento, são eles: 09, 10, 11, 12, 13 e 14. Seis dias.
O montante a juros simples é dado por:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) = 1000(1 + 6 ⋅ 0,00033) = 𝑅$1.01,98
Somando o valor atualizado com a multa de R$20,00:
𝐵𝑜𝑙𝑒𝑡𝑜 = 𝑅$1.021,198
b) No dia seguinte ocorreu mais um dia de juros, que pode ser obtido por:
𝐽 = 𝑛𝑖𝐶 ⇒ 𝐽 = 6 ⋅ 0,01 ⋅ 10.000 = 600,00
𝐽 = 𝐶 ⋅ 𝑖 = 1000 ⋅ 0,00033 = 0,33
Com juros totais de R$600,00, basta somá-los ao capital para obtermos o montante,
logo:
𝑀 = 10.000 + 600 = 𝑅$10.600,00
Somando esse mais um dia de juros ao valor do item anterior:
𝐵𝑜𝑙𝑒𝑡𝑜 = 1.021,98 + 0,33 = 𝑅$1.022,31
c) O dia do item (b) é uma sexta-feira, então o primeiro dia útil seguinte é uma segundafeira, três dias depois. Os juros de três ficam:
Alternativa (d).
1.11) A questão chama o montante de 𝐶𝑛 em vez de chamá-lo de 𝑀, e o capital de 𝐶0 em
vez de 𝐶. Isso serve para enxergarmos os sucessivos montantes intermediários até o
resgate da aplicação como uma sequencia 𝐶0 , 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 , conforme vão chegando os
meses 0, 1, 2, . . . , 𝑛. Reescrevendo a equação do montante a juros simples:
𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑛 ⋅ 𝑖)
𝐽 = 𝐶 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑖 = 1000 ⋅ 3 ⋅ 0,00033 = 0,99
Somando-se ao valor do item anterior:
𝐵𝑜𝑙𝑒𝑡𝑜 = 1.022,31 + 0,99 = 𝑅$1.023,30.
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1.13) a) O prazo é dado em meses e a taxa é mensal, então aplicamos diretamente a
fórmula:
1.15) Apenas com os dados fornecidos e a fórmula 𝐽 = 𝑛𝑖𝐶, podemos calcular a taxa de
juros. 𝐽 = 𝑅$72,00, 𝐶 = 𝑅$3.000,00 e 𝑛 = 12𝑑𝑖𝑎𝑠, obteremos então uma taxa ao dia:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) = 50.000(1 + 7 ⋅ 0,02) = 𝑅$57.000,00
72 = 12 ⋅ 𝑖 ⋅ 3000 ⇒ 𝑖 = 0,2%𝑎𝑑
b) Agora a taxa e o prazo foram fornecidos em unidades de tempo diferente. Vamos
converter a taxa semestral em taxa mensal para depois calcularmos o montante para 9
meses. Dentro de um semestre cabem seis meses, então temos de dividir a taxa
semestral por seis para encontrar a taxa mensal:
Já conseguimos eliminar as alternativas (b) e (d), que trazem taxas ao dia diferentes de
0,2%. As demais alternativas trazem taxas ao mês, então basta encontrarmos a taxa
equivalente mensal dessa taxa diária de 0,2%. Em juros simples, temos de multiplicar a
taxa por 30, pois um mês tem trinta dias.
𝑖𝑎𝑚 =
𝑖𝑎𝑠 11,6% 0,116
=
=
= 0,09333 …
6
6
6
Como recaímos numa dízima periódica, vamos deixar a divisão indicada. O montante é
dado por:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) = 50.000 (1 + 9 ⋅
0,116
) = 𝑅$58.700,00
6
𝑖𝑎𝑚 = 30 ⋅ 0,2% = 6%𝑎𝑚
Alternativa (e).
1.16) O enunciado oferece a taxa de juros ao ano, e as alternativas, o prazo em meses. Já
é conveniente, então, converter a taxa ao ano para mensal. Se fracionarmos o tempo,
então fracionamos a taxa, basta dividir a taxa anual por 12, porque cabem 12 meses em
um ano.
c) Como no item (b), vamos passar a taxa anual para mensal:
𝑖𝑎𝑚 =
𝑖𝑎𝑎 20% 0,05
=
=
= 0,016666 …
12
12
3
Calculando o montante:
𝑖=
18%
= 1,5%𝑎𝑚
12
Agora podemos usar a fórmula que dá o montante em juros simples para obtermos o 𝑛:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) ⇒ 1590 = 1500(1 + 𝑛 ⋅ 0,015) ⇒ 𝑛 = 4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) = 50.000 (1 + 17 ⋅
0,05
) = 𝑅$64.166,67
3
Nesta letra (c) não houve como fugir da dízima periódica, que se expressou no valor
monetário.
1.14) A questão pergunta meses, então devemos converter a taxa anual em taxa mensal.
12%𝑎𝑎 = 1%𝑎𝑚. Queremos o número de períodos quando o montante se torna o dobro
do capital, ou quando 𝑀 = 2𝐶. Usando a fórmula do montante para juros simples 𝑀 =
𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) já substutuindo:
2𝐶 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 0,01)
1.17) A pergunta expõe o aluno a uma situação comum: há quantos dias úteis em um
ano ou em um mês? Você sabe que isso varia de mês para mês e de ano para ano, e
adianto que não existe convenção fixa para isso. O ano costuma ter entre 250 e 252 dias
úteis; o mês costuma ter em torno de 20 dias úteis. Usando alguns desses números
chega-se à resposta que pus lá no exercício, que é apenas uma das possíveis respostas.
Se você chegar e’m algo próximo da resposta, sua resposta está correta.
Eu considerei que um ano tem 250 dias úteis. Se você contar os dias úteis no calendário,
você vai chegar a um valor próximo de 250. Então a taxa por dia útil é
10%𝑎𝑎
250
=
0,04%𝑎. 𝑑𝑢.
Os 𝐶s se cancelam por divisão:
2 = 1 + 0,01𝑛 ⟹ 0,01𝑛 = 1
𝑛 =
Alternativa (d).
1
⟹ 𝑛 = 100 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
0,01
Depois eu considerei que um mês tem 21 dias úteis, e meio mês tem 10 dias úteis. Se
você conferir no calendário, você vai chegar a valores parecidos. Dois meses e meio
então somam 21 + 21 + 10 = 52 dias úteis.
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Agora podemos aplicar a fórmula do montante usando a taxa por dia útil e número de
dias:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) = 50.000(1 + 52 ⋅ 0,0004) = 𝑅$51.040,00
1.18) Essa questão parece difícil, mas não é. Pergunta-se, em essência, que valor das
alternativas eu devo multiplicar a taxa de 18% a fim de se obter R$2.160,00. Como juros
simples são uma relação matemática linear, podemos resolver essa questão com regra
de três simples, porque o prazo das duas operações é o mesmo. Vamos chamar de 𝑘 o
número que multiplica a taxa de 18%, então essa taxa é 18𝑘%. Agora podemos montar
a regra de três:
18
18𝑘
1620
2160
Essas grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quanto maior a taxa, maior o
juro, então multiplicam-se cruzados os números:
1620 ⋅ 18𝑘 = 18 ⋅ 2160 ⇒ 𝑘 =
4
2160
1620
Simplificando aquela fração, obtém-se 𝑘 = , alternativa (b).
3