Примерни въпроси за тест по висша алгебра
специалност Математика и Информатика
Въпрос 1 Остатъкът при деление на полинома
f (x) = x5 − 4x4 + 2x3 − x2 + x − 1 ∈ R[x]
с x − 2 е:
(а) −19;
(б) −119;
(в) −1.
Въпрос 2 Да се докаже, че остатъкът r(x) ∈ R[x] при деление на полином f (x) ∈
R[x] с g(x) = x2 − 3x + 2 е
r(x) = f (2)(x − 1) − f (1)(x − 2).
Въпрос 3 Ако x1 , . . . , x5 са корените на полинома
f (x) = 3x5 − 4x4 + 5x3 − 6x2 + 2x − 7 ∈ R[x],
то елементарният симетричен полином
σ 3 = x1 x2 x3 + x 1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 +
x1 x2 x5 + x 1 x3 x5 + x2 x3 x5 + x1 x4 x5 + x2 x4 x5 + x3 x 4 x5
от тези корени има стойност:
(а) σ3 = −2;
5
(б) σ = ;
3
(в) σ3 = 2.
Въпрос 4 За кои стойности на p, q, r ∈ R корените на полинома
f (x) = x5 − 3x4 − 5x3 + px2 + qx + r
изпълняват равенствата
x1 + x2 + x3 = 2(x4 + x5 ),
1
1
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = (x1 + x2 + x3 )(x4 + x5 ) + x4 x5 ,
2
3
1
x1 x2 x3 = −2(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )(x4 + x5 ) + (x1 + x2 + x3 )x4 x5 ?
3
Въпрос 5 Да се докаже, че ако корените x1 , . . . , x4 на полинома
f (x) = x4 − 8x3 + px2 + qx + 8 ∈ R[x]
са реални и изпълняват равенствата
5x1 + 5x2 = 3x3 + 3x4 ,
x21 x22 = x3 x4 ,
то p + q + 1 = 0.
Въпрос 6 Хомогенният симетричен полином
F (x1 , . . . , x4 ) =
x21 x22 x3 + x21 x2 x23 + x1 x22 x23 + x21 x22 x4 + x21 x2 x24 + x1 x22 x24 +
x21 x23 x4 + x21 x3 x24 + x1 x23 x24 + x22 x23 x4 + x22 x3 x24 + x2 x23 x24
е равен на полинома
(а) g1 (σ1 , . . . , σ4 ) = σ2 σ3 − 3σ1 σ4 + σ15 ;
(б) g2 (σ1 , . . . , σ4 ) = σ2 σ3 − 3σ1 σ4 ;
(в) g3 (σ1 , . . . , σ4 ) = σ2 σ3 − 3σ1 σ4 − σ1 σ22 .
на елементарните симетрични функции σ1 , . . . , σ4 на x1 , . . . , x4 .
Въпрос 7 Да се докаже, че корените x1 , x2 , x3 на полинома f (x) = x3 + x + 2 ∈ R[x]
изпълняват равенствата
3
X
1
=1
1
−
x
i
i=1
3
X
1
1
=− .
2
(1 − xi )
2
i=1
и
Въпрос 8 Даден е полиномът
f (x) = x6 + 14x5 − x4 − 15x3 − 15x2 − 12x + 28 ∈ Z[x]
Да се определи кои от следните цели числа са корени на f (x) = 0:
(а) 1;
(б) −36;
(в) −14.
(г) 24.
Въпрос 9 Да се намерят разложимите над Z2 полиноми
g(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ∈ Z2 [x]
и да се разложат в произведение от неразложими над Z2 множители.
2
Въпрос 10 Непразното множество R е пръстен, ако в него са зададени две операции
- събиране и умножение
R × R → R,
R × R → R,
(r, s) 7→ r + s
(r, s) 7→ rs,
така че:
(а) (R, +) и (R, .) са абелеви групи;
(б) R е затворено относно събиране, изваждане, умножение и деление с ненулев
елемент;
(в) (R, +) е абелева група, умножението е асоциативно и са в сила дистрибутивни
закони за събирането и умножението.
Въпрос 11 Изображението ϕ : R → S на пръстен R в пръстен S е хомоморфизъм на
пръстени, ако:
(а) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) и ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) за всички a, b ∈ R;
(б) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) за всички a, b ∈ R;
(в) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) за всички a, b ∈ R.
Въпрос 12 Непразното подмножество I на пръстен R е идеал в R, ако:
(а) за всички a, b ∈ I е в сила a − b ∈ I и ab ∈ I;
(б) за всички a, b ∈ I и r ∈ R е в сила a − b ∈ I, ar ∈ I и ra ∈ I;
(в) за всички a, b ∈ I е в сила a − b ∈ I и a + b ∈ I.
√
√
∈ Z} е даден главният
Въпрос 13√ В числовия √
пръстен Z[ −3]
√ = {x + y −3 | x, y √
идеал (1 + −3) = {(1 + −3)z | z ∈ Z[ −3]}, породен от 1 + −3. Да се докаже, че
√
√
(1 + −3) = {x + y −3 | x ≡ y(mod 4)}.
Въпрос 14 Нека
h : Z −→ F,
h(m) = m1F
за всяко
m∈Z
е характеристичният хомоморфизъм на полето F . Казваме, че F има проста характеристика p и записваме char(F ) = p, ако:
(а) единственото цяло m с h(m) = 0F е m = p;
(б) h(k) 6= 0F за всяко естествено k < p;
(в) ядрото на h е идеалът Ker(h) = pZ в Z.
Въпрос 15 Да се докаже, че множеството Z9 \ Z∗9 на необратимите елементи на
пръстена Z9 от остатъци при деление на 9 е идеал в Z9 .
Въпрос 16 Да се докаже, че мултипликативната група Z∗24 на пръстена Z24 от остатъци при деление с 24 се състои от 8 елемента и всеки нетривиален елемент
x + 24Z ∈ Z∗24 \ {1 + 24Z} е от ред 2.
3
Въпрос 17 Изображението ϕ : G → H на мултипликативно записана група G в
мултипликативно записана група H е хомоморфизъм на групи, ако:
(а) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) за всички a, b ∈ G;
(б) ϕ(a2 b) = ϕ(a)2 ϕ(b) за всички a, b ∈ G;
(в) ϕ(eG ) = eH , за неутралните елементи eG ∈ G, eH ∈ H на тези групи.
Въпрос 18 Нека G е група с неутрален елемент eG . Тогава g ∈ G е от ред n ∈ N,
ако:
(а) ако g kn = eG за всяко естествено k;
(б) g n = eG и g k 6= eG за всяко естествено k < n;
(в) g k 6= eG за всяко естествено k < n.
Въпрос 19 Нека G е група от ред 6, eG е неутралният елемент на G, а g ∈ G има
четвърта степен g 4 6= eG и девета степен g 9 6= eG . Да се докаже, че групата G е
циклична.
Въпрос 20 Дадени са пермутациите
σ = (2, 4)(1, 3, 5), τ = (1, 4)(2, 3, 5) и ρ = (3, 4)(1, 2)
от симетричната група S5 . Да се разложат στ ρ, ρτ σρ и τ σρτ −1 в произведение от
независими цикли.
4