ОГЛАВЛЕНИЕ
Аннотация.............................................................
Предисловие.........................................................
1. Введение в планирование эксперимента.
1.1. Задачи планирования эксперимента......
1.2. Роль математики. Требования к математической подготовке......................................
1.3. Принципы планирования эксперимента.........................................................................
......
1.3.1. Некоторые определения и обозначения......................................................................
......
1.3.2. Основные положения..............................
1.3.3. Основные задачи, решаемые планированием................................................................
1.3.4. Стадии исследования...............................
1.4. Предварительное изучение объекта.......
1.5. Отсеивающий эксперимент. Метод ранговой корреляции.........................................
2. Планы первого порядка................................
2.1. Составление плана эксперимента. Планы
полного факторного эксперимента
(ПФЭ).................................................................
.....
2.2. Проведение эксперимента.........................
2.3. Проверка воспроизводимости опытов...
2.4. Статистическая оценка результатов эксперимента........................................................
2.5. Дробный факторный эксперимент
(ДФЭ).................................................................
.....
2.6. План взвешивания......................................
3. Планы второго порядка................................
3.1. Ортогональные планы...............................
3.2. Планы Хартли..............................................
3.3. Ротатабельные планы................................
3.4. Определеине значимости коэффициентов регрессии для планов второго порядка.
3.4.1. Ортогональные планы...........................
3.4.2. Планы Хартли...........................................
3.4.3. Ротатабельные планы............................
4. Другие планы...................................................
4.1. Планы типа
3К..............................................
4.2. Симплекс-планирование..........................
4.3. Отсеивающий эксперимент. Метод случайного баланса...........................................
5. Методы поиска оптимального решения..
5.1. Метод Зайделя-Гаусса...............................
5.2 Метод сканирования...................................
5.3. Метод случайного поиска.........................
5.4. Метод градиента..........................................
5.5. Метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона)...................................................
5.6. Метод последовательного симплекспланирования......................................................
5.7. Метод ускоренного сиплекс-планиро-
вания......................................................................
5.8. Дискретное (целочисленное) симплекспланирование..........................................
6. Планирование эксперимента с качественными факторами..........................................
6.1. Латинские квадраты..................................
Приложение..........................................................
Литература............................................................
Изаков Ф. Я.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
И ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
(Учебное пособие для магистрантов и аспирантов)
Челябинск 1997 г.
АННОТАЦИЯ
Настоящий цикл лекций был прочитан научным работникам, аспирантам и в более краткой форме
студентам пятого курса факультета электрификации и автоматизации ЧГАУ. Цель курса - подготовить
слушателей к самостоятельному планированию эксперимента и грамотной обработке опытных данных.
В отличие от известных курсов, написанных как правило математиками на уровне малодоступном
для магистрантов и студентов инженерных специальностей, здесь сделана попытка изложить курс планирования эксперимента именно для них, т.е. для тех будущих специалистов, в плане подготовки которых теория вероятности и математическая статистика или отсутствуют вовсе или занимают очень мало
времени. Приходится также учитывать, что в программу инженерных вузов не входит ни дисперсионный, ни регрессионный анализ.
Такой подход принят не в ущерб основной задаче, хотя там, где доказательство тех или иных положений ведет к значительным усложнениям, изложение дается в рецептурном плане.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Особое место в научных исследованиях занимает эксперимент. Какой бы стройной и убедительной ни представлялась теория, какими бы изящными ни были сопутствующие ей математические выкладки, только опыт может ее подтвердить, только он даст исследователю моральное право ею пользоваться, рекомендовать другим, создавать на ее базе новые машины и аппараты, технологические процессы и системы управления ими. Теория, не подтвержденная экспериментом, является не более чем
набором символов и, наоборот, теория, которая объясняет результаты эксперимента, объясняет реально
обнаруженные явления и хорошо их описывает, является мощным орудием в руках инженера, дает ему
возможность создавать новую технику, грамотно ее налаживать, умело эксплуатировать и ремонтировать.
Итак, эксперимент - важнейшая составная часть современного научного исследования. Его результаты позволяют подтвердить, отклонить или выдвинуть научную гипотезу, теорию. Но чтобы выполнять такую ответственную роль он сам должен быть продуман до деталей и безупречно выполнен.
Он должен обеспечить точность, повторяемость, достоверность. Он должен быть убедительным. История науки знает немало примеров, когда хорошие научные идеи в течение длительного времени не
имели практического применения главным образом (хотя и не только!) потому, что подтверждающие
их эксперименты были поставлены недостаточно грамотно, а потому и недостаточно убедительно.
Таким образом право на жизнь имеет не любой, а только грамотно выполненный эксперимент.
Иными словами, сама методика выполнения эксперимента требует хорошего теоретического обоснования.
Прежде всего эксперимент необходимо четко спланировать, т.е. определить какие зависимости
необходимо снимать, сколько опытов, в каких точках и при каких условиях надо поставить. Грамотно
решить эту задачу экспериментатор может лишь в том случае, если он овладел теорией планирования
эксперимента [1, 5, 6, 8, 12, 14, 19, 25].
Но вот эксперимент спланирован и даже выполнен. Можно ли доверять его результатам? Чтобы
ответить на этот вопрос, необходимо провести обработку опытных данных [2, 10, 13]. Она позволит
оценить справедливость, точность измерений, эффективность машины, аппарата, технологического
процесса и системы управления.
1. ВВЕДЕНИЕ В ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
1.1. Задачи планирования эксперимента
Когда же теория планирования эксперимента становится помощником исследователя? Во-первых,
в тех случаях, когда теории нет и нас вполне устроит аппроксимация данных какой-то математической
моделью. Во-вторых, в тех случаях, когда теория есть, но она настолько сложна, что ею трудно воспользоваться. И в третьих, когда теория есть, но она требует подтверждения. Чем дороже изделие, которое надо изготовить, чем сложнее технологический процесс, который предстоит разработать, короче
говоря, чем дороже намеченное исследование, тем большую ценность приобретает теория эксперимента, его планирование.
Что дает планирование эксперимента? Прежде всего возможность математического описания
процесса, его математическое моделирование [3, 9]. Иными словами планирование эксперимента нацеливает сразу на получение не графической, а аналитической зависимости.
Вторая задача, решаемая при планировании эксперимента, это разработка стратегии поиска оптимального режима, оптимальных условий протекания процесса [4, 12]. Ведь для каждого технологического процесса существует свое оптимальное сочетание факторов, при котором достигается наибольшая его эффективность. Любое отклонение от оптимального режима ведет к снижению производительности, срока службы оборудования, ухудшению качества и удорожанию конечного продукта. В
зависимости от уровня отработки технологического процесса, масштабов производства, стоимости
продукции отклонения от оптимальных режимов могут приносить убыток от нескольких тысяч рублей
до многих миллиардов. К сожалению, в настоящее время подавляющее большинство технологических
процессов в сельском хозяйстве реализуется далеко не в оптимальных режимах. Поэтому одна из важнейших задач научного эксперимента эти режимы найти. Аналогичные задачи возникают при поиске
оптимальных конструктивных параметров сельскохозяйственных машин и систем управления ими, оптимальных составов удобрений, оптимальных рационов кормления животных и птицы.
Важнейшая задача, возникающая при планировании эксперимента - минимизация числа опытов
[1, 26]. Ведь каждый опыт это лишнее время, затраченное исследователем как правило высокой квалификации, это затраты лишнего материала, оборудования, электрической и тепловой энергии, лишних
площадей, на которых можно получать продукцию. Кроме того, чем дольше длится исследование, тем
позже производство получает новую машину, новый технологический процесс, новую систему управления. Именно поэтому любое исследование надо планировать так, чтобы при требуемой точности получения математической модели затратить на ее получение минимальное количество времени, получить результат путем реализации минимального числа опытов. И, наконец, последнее. Эксперимент
надо планировать таким образом, чтобы обеспечить наибольшую точность математической модели или
определения точки оптимума при наименьших затратах.
Классификация эксперимента производится обычно по характеру задач, решаемых экспериментатором. Известны следующие виды эксперимента.
1. Элиминирующий эксперимент [5]. Цель такого эксперимента выявить или устранить влияние
различных неоднородностей. Источниками этих неоднородностей являются различия в плодородии
участков земли, свойствах семян, квалификации обслуживающего персонала (доярок, птичниц), заводе-изготовителе оборудования, качестве корма. Эти неоднородности увеличивают ошибку эксперимента и прежде, чем ставить основной эксперимент, указанные факторы надо выявить, оценить и так
спланировать эксперимент, чтобы их влияние было минимальным.
2. Сравнительный эксперимент [1] преследует обычно весьма простую цель: оценить влияние
каждого фактора на процесс, расположить их в ряд по степени влияния на интересующий нас показатель процесса.
3. Отсеивающий эксперимент [17, 18, 19] позволяет отобрать для исследования лишь те факторы,
которые существенно влияют на процесс.
4. Экстремальный эксперимент [12, 19]. О нем мы уже упоминали. Это эксперимент, цель которого выявление оптимальных режимов, оптимальных составов и оптимальных конструктивных параметров.
5. Аппроксимирующий эксперимент [15, 16, 19], т.е. эксперимент проводимый с целью выявления математической модели процесса.
6. Численный эксперимент , при котором вместо физического эксперимента производится вычисление интересующей нас величины по известному сложному математическому выражению или их набору.
7. Эксперимент по проверке зависимостей, полученных теоретическим путем.
8. Эксперимент, цель которого идентификация динамических характеристик объекта [6, 7, 8], т.е.
коэффициента усиления, времени чистого запаздывания, постоянных времени, показателей качества
системы управления и т.д.
9. Экстраполирующий эксперимент [8], т.е. эксперимент, поставленный с целью предсказать явление, оценить как оно будет протекать в дальнейшем (экономическое прогнозирование, предсказание
погоды, прогноз исхода заболевания, предсказание нагрузки электросистем)
10. Эксперимент по изучению свойств материала [2], например электропроводности почвы, тангенса угла потерь для семян различных зерновых культур и сорняков.
11. Промышленный эксперимент, т.е. эксперимент, проводимый в производственных условиях на
действующем объекте [13, 14].
Все рассмотренные виды эксперимента нуждаются в планировании, т.е. требуют применения
специально разработанных для этих целей планов. Исключение составляет так называемый творческий
эксперимент [11, 20, 21], цель которого выявить новое явление, объяснить неизвестный ранее физический, химический или биологический эффект.
Как правило, экспериментатор ставит нестандартный, специфический эксперимент, предлагает
необычную постановку опыта, но и здесь знание известных планов и известных методов планирования
эксперимента оказывается весьма полезным.
1.2. Роль математики. Требования
к математической подготовке
Хотя на практике эксперимент надо сначала спланировать, затем выполнить и, наконец, после
этого обработать его результаты, применение математики экспериментаторами началось с обработки
результатов эксперимента.
Что касается планирования эксперимента, то использованием для этой цели математических методов стали заниматься сравнительно недавно. Первое упоминание о применении математики для целей планирования эксперимента содержится в трудах англичанина Р. Фишера [22] (1923 г.), но применение для этих целей современных методов началось только в 1951 г., благодаря работам Бокса и Уилсона (США) [23].
В России развитие и применение методов планирования эксперимента началось в 1963г., к которому следует отнести возникновение в МГУ научной школы профессора Налимова В.В. [1]. Буквально следом за ней в МЭИ возникла другая школа профессора Г.К. Круга [24], которая стала центром применения планирования эксперимента в инженерных исследованиях, в первую очередь в области электротехники и автоматики. За короткий срок благодаря энтузиазму руководителей этих двух
школ, их многочисленных соратников, учеников и последователей, идея использования математических методов в планировании эксперимента была взята на вооружение экспериментаторами в разных
областях науки и техники, однако до сих пор не стала достоянием всех экспериментаторов.
В зависимости от того, применяются ли математические методы при планировании эксперимента
или нет, различают активный и пассивный эксперимент [25]. Иными словами, эксперимент, выполненный в соответствии с планом, отвечающим определенным требованиям, называется активным. В
противном случае эксперимент называют пассивным. К активному эксперименту следует отнести и такие исследования, которые состоят из нескольких этапов, связанных между собой таким образом, что
результаты обработки эксперимента, выполненного на предыдущем этапе, используются для разработки стратегии опытов последующего этапа.
Хотя первые попытки планирования эксперимента, предпринятые Р. Фишером [22], относятся к
сельскому хозяйству, тем не менее, объем и уровень его применения в сельскохозяйственных исследованиях явно недостаточен. Объясняется это рядом причин, главными из которых являются следующие:
1) низкая воспроизводимость с. х. экспериментов, связанная с тем, что они проводятся в условиях
значительной неоднородности (почвенной, климатической, погодной, биологической и т.д.);
2) трудность совмещения большого количества опытов во времени;
3) наличие значительного временного дрейфа, т.е. изменения изучаемой величины во времени;
4) традиционно слабая математическая подготовка специалистов сельского хозяйства.
В связи с последним обстоятельством хотелось бы отметить, что из всех специалистов сельского
хозяйства наилучшую математическую подготовку имеют инженеры-электрики, специалисты по электрификации и автоматизации сельского хозяйства. Поэтому именно они должны стать застрельщиками
применения методов планирования эксперимента в сельскохозяйственных исследованиях, причем не
только в сфере собственных исследований. Они должны оказать помощь в применении этих методов
другим специалистам сельского хозяйства: агрономам, зооинженерам, ветеринарным врачам, экономистам и т.д.
Для успешного, творческого овладения методами планирования эксперимента необходимо знание
не только таких традиционных разделов математики как математический анализ и аналитическая геометрия, но и таких современных и все более пробивающих себе дорогу разделов как теория вероятности и математическая статистика, на базе которых и сформировалась теория планирования эксперимента. К сожалению, уровень изучения этих разделов математики в сельскохозяйственных вузах и даже на инженерных специальностях явно недостаточен.
Вместе с тем даже знание этих разделов не обеспечивает успешное овладение теорией эксперимента. Необходимы еще знания в области многомерной геометрии, матричной алгебры, дисперсионно-
го и регрессионного анализа, а также других разделов математики. Сегодняшний инженерисследователь, работающий в сельском хозяйстве по уровню математической подготовки не должен
уступать инженеру-исследователю, работающему в промышленности. Более того, ввиду сложности
сельскохозяйственных процессов, необходимости учета большого числа неоднородностей и временного дрейфа, перед специалистами сельского хозяйства будут неизбежно возникать задачи повышенной
сложности. Это говорит о необходимости повышения уровня математической подготовки по крайней
мере наиболее грамотного звена сельских инженеров. Вместе с тем, учитывая реальное состояние дел с
математической подготовкой специалистов мы в ряде случаев будем использовать так называемый рецептурный метод изложения материала [27]. Наш опыт преподавания теории планирования экспериментов и обработки опытных данных студентам и даже аспирантам Челябинского Агроинженерного
Университета показал целесообразность такого подхода.
1.3. Принципы планирования эксперимента
1.3.1. Некоторые определения и обозначения
Цель любого факторного эксперимента - определение зависимости интересующей нас величины
или функции у от различного рода независимых переменных факторов, х1, х2, ..., хк и т.д. Будем называть эти факторы входными величинами, а функцию у - выходной или просто выходом. Иногда в процессе эксперимента мы получаем несколько выходных величин. Например, исследуя какой-то новый
приемник электроэнергии мы замеряем в зависимости от ряда факторов его к.п.д., cos j и полезную
мощность Р. В таком случае выходные величины обозначаются у1, у2, у3. Если
у = А1 х1
(1)
т.е. если выходная величина у пропорциональна входной х1, то мы говорим, что у линейно зависит от х1. Здесь А1 - коэффициент пропорциональности. Если
у = А1 х1 + А2 х2
(2)
то говорят, что у линейно зависит от х1 и х2.
Зависимость типа
у = А12 х1 х2
(3)
называется линейным взаимодействием факторов х1 и х2 , а коэффициент А12 - коэффициентом при линейном взаимодействии факторов х1 и х2 .
Зависимость типа
у = А11 х12
(4)
называется квадратичной зависимостью или зависимостью второго порядка.
Нелинейное взаимодействие величин х1 и х2 имеет вид
у º х1n х2m
(5)
где n и m - любые целые числа, отличные от 1.
1.3.2. Основные положения
Планирование эксперимента базируется на следующих основных положениях:
1. Результат эксперимента ищется в виде полинома [19].
y = A 0 + A 1x1 + A 2x 2 + A 3x 3 + ...+ A k x k + A 12x1x 2 +
+ A 13 x1x 3 + ...+ A 1k x 1x k + A 23x 2x 3 + ...+ A 2k x 2 x k + ...
+ A 3i x 3 x i + ...+ A 3k x 3x k + A ij x i x j + ...+ A k -1,k x k -1x k +
2
A 11x 12 + A 22 x 22 + A 33 x 32 + ...+ A ii x i2 + ...+ A kk
x k2 = A 0 +
k
k
k
i=1
j=1
i¹ j
i=1
j= 1
i¹ j
i=1
j= 1
i¹ j
(6)
å A i x i + å A ij x i x j + å A ii x i2
Иными словами выходная величина у имеет свободный член, соответствующий нулевому значеk
нию всех факторов, сумму линейных зависимостей å A i x i , где i - номер фактора, а к - их общее колиi=1
k
k
i= 1
j= 1
i¹ j
i= 1
чество, сумму линейных взаимодействий å A ij x i x j и сумму квадратичных членов å A ii x i2 . Здесь пред-
ставлен полином второго порядка. В частном случае при наличии только первых двух элементов он
вырождается в полином первого порядка или при наличии трех элементов в полином с линейными
взаимодействиями.
Таким образом, задача любого эксперимента в такой постановке заключается в определении коэффициентов А0 , Аi , Аij и Аii , которые получили название коэффициентов регрессии.
Естественно, что количество уравнений, необходимых для определения коэффициентов регрессии, должно быть равно количеству этих коэффициентов. Ставя опыт, мы заранее устанавливаем определенные значения х1, х2,... хк и для данного их сочетания определяем у.
Поэтому каждый опыт дает нам одно уравнение и количество опытов соответствует количеству
уравнений, которыми мы располагаем. Но при экспериментировании необходимо не только получить
уравнение, надо проверить соответствует ли оно другим значениям х1, х2,...хк. Поэтому количество
опытов всегда больше, чем количество коэффициентов, подлежащих определению. Дополнительные
опыты обеспечивают нам, как выражаются в статистике, определенное число степеней свободы для
проверки гипотезы об адекватности, т.е. о соответствии полученного уравнения реальным закономерностям.
Итак, первое и главное положение планирования эксперимента заключается в том, что его результат представляется в виде полинома*, коэффициенты которого и подлежат определению.
Однако, в большинстве случаев системы уравнений получаются весьма громоздкими.
2. Все факторы, влияющие на процесс, записываются в относительных единицах, что позволяет
унифицировать экспериментальные планы и облегчить решение уравнений [27].
*
В настоящее время разработаны и более сложные модели, чем полиномиальные.
Пример: Предположим, что одним из факторов, определяющих технологический процесс является напряжение. Пределы его изменения 30 ¸ 50 кВ, причем центр эксперимента в точке U = 40 кВ. Эту
точку будем считать нулевой, т.е. напряжение в этой точке в относительных единицах будет равно нулю. Остальным точкам придадим значения в соответствии с таблицей
U
х
30 кВ
-1
40 кВ
0
50 кВ
+1
В общем случае любой фактор в относительных единицах
xi =
x i - x i0
Dx i
(7)
где Dхi - разница между средним и минимальным значением фактора, называемая в дальнейшем интервалом варьирования.
хi - значение фактора в абсолютных величинах (в нашем примере в кВ).
хi0 - абсолютное значение фактора в центре эксперимента.
Пусть в нашем примере хi = 45 кВ; согласно условию, хi = 40 кВ, интервал варьирования Dхi =
40кВ - 30 кВ = 10 кВ. При переводе хi в относительные единицы получаем
xi =
45 - 40
= 0,5
10
(7)
3. Эксперимент проводится в определенных точках, которые подбираются таким образом, что либо решение систем уравнений намного упрощается [1, 19], либо совокупность точек, в которых проводится эксперимент, и составляющих план эксперимента, удовлетворяет определенным требованиям
[28].
Такие точки выбираются обычно в центре эксперимента, а также в вершинах куба (в трехфакторном пространстве) или гиперкуба (в многофакторном пространстве), ограничивающего исследуемую
область.
Это позволяет для планов первого порядка обойтись лишь точками, имеющими координаты -1 и
+1.
Для получения уравнений второго и более высоких порядков опыты ставятся еще и в дополнительных, так называемых звездных точках. Важно отметить, что графически результаты многофакторного эксперимента могут быть представлены с помощью двухмерных сечений [27], (рис.1). При этом
все факторы, кроме двух, влияние которых мы хотим проиллюстрировать, принимаются постоянными.
Затем наносится координатная система 0 хl хm , где хl и хm - интересующие нас факторы, и в этой системе строятся линии равных у. При этом
уа1 - уа2 = уа2 - уа3
(8)
Хе
Уа3
Уа2
Уа1
Хm
Рис. 1. Двухмерные сечения
1.3.3. Основные задачи, решаемые
планированием эксперимента
1. Оценка степени влияния различных факторов.
Если |A1| > |A2|, то х1 в большей степени влияет на процесс, чем х2. Разумеется такой вывод нельзя
считать абсолютным. Речь идет только о том диапазоне х1 и х2 , для которого проводится эксперимент.
Оценка степени влияния факторов позволяет выявить наиболее существенные из них.
2. Направление влияния факторов
Если Аi > 0, то с увеличением хi выход увеличивается, т.е. у растет. Если Аi < 0, то с увеличением
хi выход уменьшается.
Зная направления влияния каждого фактора, мы можем уверенно двигаться в сторону получения
интересующих нас режимов.
3. Построение математической модели процесса в том случае если ее нельзя получить методами
математического анализа. Как уже отмечалось модель будет иметь форму полинома.
Надо опять-таки подчеркнуть, что математическая модель описывает лишь ту область, в которой
проводился эксперимент.
4. Нахождение оптимума или поиск оптимальных условий протекания процесса. Эта задача решается как при наличии, так и при отсутствии экстремума математической модели. В первом случае задача сводится к решению системы уравнений:
ü
dy
=0 ï
dx 1
ï
ï
dy
=0 ý
dx 2
ï
ï
dy
= 0ï
dx 1k
þ
Такое решение имеет смысл только в том случае, если доказано, что по всем переменным имеются либо только частные максимумы, либо только частные минимумы. При отсутствии экстремума задача оптимизации сводится к отысканию не максимального, а наибольшего /наименьшего/ значения
выходной функции с учетом ограничений.
Следует подчеркнуть, что задачи оптимизации охватывают не только вопросы отыскания наилучших технологических режимов, но и проектирование оптимальных конструкций машин и аппаратов [29, 30].
1.3.4. Стадии исследования
Всякое исследование, направленное на отыскание математической модели процесса распадается
на следующие стадии:
1) предварительное изучение объекта;
2) отсеивающий эксперимент;
3) составление плана основного эксперимента;
4) проведение эксперимента;
5) проверка воспроизводимости опытов;
6) составление математической модели процесса:
а) определение коэффициентов регрессии;
б) проверка значимости полученных коэффициентов;
7) проверка адекватности полученной модели;
8) анализ этой модели.
Ниже дается подробное изложение содержания каждой стадии.
1.4. Предварительное изучение объекта
Стадия предварительного изучения объекта исследования состоит, как правило, из нескольких
этапов:
1. Сбор априорной информации.
Только после изучения литературы, ознакомления с конструкторской, технологической и эксплуатационной документацией, изучения мнений специалистов, можно составить представление о работе и дальнейшем исследовании объекта.
2. Формулирование цели работы.
На базе анализа априорной информации формулируются цели и задачи работы, т.к. без четкой и
ясной формулировки цели ставить научное исследование и тратить на его проведение силы, время и
средства бессмысленно.
3. Составление схемы эксперимента, списка переменных факторов, влияющих на процесс, и разделение их на классификационные группы.
Принята следующая классификация переменных факторов.
1 - ая группа - управляемые факторы;
2 - ая группа - неуправляемые факторы;
3 - ья группа - неконтролируемые факторы.
Под управляемыми факторами понимаются такие факторы, которые влияют на процесс и могут
быть измерены и воспроизведены с заданной точностью.
Под неуправляемыми факторами понимаются такие, которые также влияют на процесс и могут
быть достаточно точно измерены, но не могут быть воспроизведены по желанию экспериментатора.
Сюда, например, относятся условия окружающей среды. Иногда неуправляемые факторы могут быть
переведены в группу управляемых соответствующей конструкцией экспериментальной установки, например путем создания камеры искусственного климата.
Неконтролируемые факторы это те, которые в процессе исследования не измеряются и не воспроизводятся на заданном уровне. К таким факторам относятся, например, степень износа деталей экспериментальной установки.
4. Выбор критерия, по которому судят об эффективности исследования процесса или установки.
Как правило, это технологический или экономический критерий. При этом надо помнить, что не всякий технологический или экономический критерий пригоден для оптимизации процесса. Таким критерием не может быть, например, минимум затрат, т.к. затраты сводятся к нулю в том случае, если вообще не осуществляется полезной работы.
Нежелательно выбирать в качестве критерия параметр, который изменяется в пределах от 0 до 1,
особенно при его непосредственной близости к концам указанного интервала. Пусть, например, критерием оптимизации является коэффициент полезного действия установки h, а его значения в различных опытах колеблются в пределах от 0,94 до 0,98. Не исключено, при этом, что в результате обработ-
ки результатов эксперимента мы получим математическую модель, в некоторых точках которой h³1,
что лишено физического смысла. Чтобы избежать таких результатов, необходимо заменить критерий
оптимизации y новым критерием y1, являющимся функцией y и подобранным таким образом, чтобы
при
а, при
у = 0 у1 = 0,
у = 1 у1 = ¥
(10)
Примером такой функции является, например, функция
у1 = tgp у/2
(11)
Нетрудно убедиться, что эта функция условиям (10) удовлетворяет.
При большой разнице выходных значений принятого критерия (например при их отличии в десятки, сотни или тысячи раз) вместо величины у в качестве критерия оптимизации удобнее выбирать ln
у, lg y или logaу.
Выбор основания логарифмов представляет из себя самостоятельную задачу. При выборе критерия оптимизации необходимо стремиться к тому, чтобы один критерий полностью характеризовал
процесс. Так как это не всегда удается, то иногда приходится использовать несколько критериев. Это
неизбежно ведет к необходимости решения компромиссных задач, когда один из критериев приходится несколько ухудшать, чтобы обеспечить необходимый уровень другого. Пусть, например, исследуемый процесс характеризуется несколькими критериями у1 , у2 ... уm . Это могут быть h, cos j или затраты на приобретение электротехнической установки. Это могут быть и различные показатели качества системы автоматического управления (длительность переходного процесса, максимальное дина-
мическое отклонение, показатель колебательности). По каждому из этих критериев может быть найден
оптимальный режим. Так по критерию у1 оптимальный режим будет в точке 1 с координатами х11 опт ,
х22 опт ... хк2 опт . В другом режиме у2 получает оптимальное значение у2 опт. Аналогично оптимальные
режимы могут быть получены по всем т критериям. Какому из них отдать предпочтение? Некоторые
авторы предлагают считать оптимальной точку, в которой минимальна сумма квадратов отклонений
всех критериев оптимизации от оптимальных значений, т.е. выбрать в качестве обобщенного критерия
оптимизации величину
у = ( у1 - у1о п т. ) 2 + ( у 2 - у 2о п т. ) 2 +... +( у т - у т.о п т. ) 2
(12)
где у1 , у2 ... уm - текущие значения соответствующих критериев.
Так как эти величины могут быть различного порядка, то формулу (12) удобнее видоизменить,
приведя величины, стоящие в скобках к какому-то эталону у1э , у2э ... уmэ .
Тогда
2
2
ö
æ у - у т.о п тö
æ у - у 2 о п тö
æу -у
у = ç 1 1о п т÷ + ç 2
÷
÷ +... + ç т
у1э
у 2э
у тэ
ø
ø
ø
è
è
è
2
(12а)
И наконец, в ряде случаев надо учитывать, что не все критерии одинаковы по своей значимости.
Например, у1 может быть более важен, чем у2 , а у2 более важен, чем у3 . В этом случае важность того
или иного критерия оценивается весовыми коэффициентами к1,к2,...кт, входящими в обобщенный критерий.
2
2
ö
æу -у
æ у - у 2 о п тö
æ у - у т.о п тö
у = к1 ç 1 1о п т÷ + к2 ç 2
÷ +... + кт ç т
÷
у1э
у 2э
у тэ
ø
ø
ø
è
è
è
2
(12б)
Выбор к в значительной мере произволен. Рекомендуется, например, метод экспертных оценок,
вариант которого изложен в п. 1.5.
5. Определение интервалов варьирования переменных факторов.
Этот этап в наибольшей мере определяется субъективными причинами, опытностью экспериментатора, наличием априорных сведений, возможностями установки, а также рядом других технических,
технологических и иных ограничений. Все эти ограничения фиксируются и объясняются в журнале
наблюдений.
6. Выявление временного дрейфа факторов или критериев в процессе эксперимента. По возможности влияние такого дрейфа должно быть исключено. Способы исключения будут рассмотрены позднее.
1.5. Отсеивающий эксперимент.
Метод ранговой корреляции
Цель отсеивающего эксперимента отобрать основные, наиболее значимые факторы, определяющие математическую модель процесса, явления, установки, без установления количественных соотношений между ними. Существуют следующие методы проведения отсеивающего эксперимента:
а) метод ранговой корреляции [18];
б) метод случайного баланса [19];
в) метод насыщенного планирования [31];
Здесь мы рассмотрим только один из этих методов, метод ранговой корреляции, так как применение остальных методов требует изучения некоторых стандартных планов эксперимента, которые мы
рассмотрим несколько позже.
Метод ранговой корреляции основан на систематизации и обобщении знаний и опыта ведущих
специалистов. Необходимые выводы делаются на основании их опроса, изучения мнений. В связи с
этим некоторые ученые скептически относятся к возможностям этого метода, ссылаясь на его субъективность. Однако, при отсутствии теории процесса и наличии большого производственного опыта мнение специалистов позволяет почти всегда установить какие-то объективные закономерности. Вместе с
тем, мнение специалистов не всегда отражает эти закономерности. В тех случаях когда изучаемая установка создана впервые, технологический процесс является новым и никогда ранее не испытывался, когда специалисты не имеют достаточного опыта и теоретически этот процесс не осмыслили, применение метода ранговой корреляции может привести лишь к его дискредитации.
Исследование по методу ранговой корреляции состоит из нескольких операций. Сначала составляется список факторов. При этом желательно учесть все факторы, подозреваемые в том, что они
влияют на изучаемый процесс. Эти факторы нумеруются в произвольном порядке. Затем составляется
список специалистов, мнение которых представляет интерес для исследователя. К составлению этого
списка надо подойти особенно тщательно, т.к. не все специалисты обладают одинаковым опытом и
квалификацией. Желательно, чтобы здесь было предоставлено место и практикам, и теоретикам, и конструкторам, и технологам, и эксплуатационникам, и исследователям. Как правило взвешивается мнение ученых, принадлежащим к разным школам, практикам с разных предприятий и т.д. Впрочем, иногда достаточно представительным может быть мнение специалистов одной школы, одного предприятия.
Каждому специалисту вручается список факторов и предлагается пронумеровать их в порядке
важности. Пример обработки результата опроса специалистов представлен в таблице 1.
Число опрошенных специалистов m = 25 (каждому из них присвоен определенный номер), число
факторов к = 14. Мнению каждого специалиста отведен свой столбец, из которого ясно какой фактор
на какое место по степени важности ставится. По каждой строке подсчитывается сумма рангов, на основании которой проводится коллективная ранжировка. При этом первое место присваивается тому
фактору, у которого сумма рангов ниже. Так проводится априорное ранжирование факторов. Если мы
хотим учесть опыт и квалификацию специалистов, то мы можем присвоить им соответствующий ранговый коэффициент g, величина которого возрастает с ростом квалификации. При этом каждое число в
строчке умножается на соответствующий ранговый коэффициент и только после этого суммируется с
соседними. В нашем примере ранг специалистов не учитывается.
Итак результатом априорного ранжирования факторов является коллективная ранжировка. Этот
результат проверяется по двум критериям, один из которых характеризует согласованность мнений
специалистов, а другой достоверность.
Для такой проверки необходимо прежде всего определить среднее значение суммы рангов, которое равно
аср = 0,5 m(к+1)
(13)
В нашем примере аср = 0,5 × 25 × 15 = 187,5
После этого в специальный столбец табл.1 заносится отклонение от среднего di , которое определяется как разность между суммой рангов в данной строчке и значением аср. В следующий столбец
таблицы записываем квадрат этого отклонения di2 для каждой строчки, после чего все квадраты отклонений суммируются.
Согласованность мнений специалистов определяется коэффициентом конкордации
Wk =
12S (d i2 )
2
2
m к(к - 1)
,
(14)
где S(di2) - сумма цифр в столбце di2 .
При идеальном совпадении мнений Wк = 1, но считается, что анкета себя оправдала, если даже Wк
³ 0,25.
Проверка достоверности результатов производится по критерию
c 2 = m (к - 1) W ,
к
(15)
который приведен в приложении П.1.
Табличное значение c 2 определяется в зависимости от чисел степеней свободы g = к - 1 для определенного уровня значимости.
В инженерных расчетах рекомендуется пятипроцентный уровень. Если расчетный критерий
больше табличного, то анкетой пользоваться можно.
Результаты коллективной ранжировки позволяют не только оценить последовательность факторов по степени важности, но и выбрать факторы для дальнейших более глубоких исследований.
2. ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ИХ РЕШЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
2.4. Составление плана эксперимента.
Планы полного факторного эксперимента (ПФЭ)
Простейшими являются планы типа 2к , где к - число факторов. Число опытов для таких планов N
= 2к . Эти планы позволяют получит линейные модели вида
k
y = A0 + å Ai xi
i =1
(16)
или модели с взаимодействиями
k
k
i =1
i =1
j=1
i¹ j
y = A 0 + å A i x i + å A ij x i x j
(17)
Х2
2
1
+1
-1
0
Х1
+1
Пусть к=2. Тогда, как это видно из рис.1, опытные точки можно расположить в вершинах квадрата, а план эксперимента представить в виде таблицы 2. В этой таблице
для каждой опытной точки приводятся ее координаты по Х1 и Х2, которые могут
принимать только два значения +1 и -1, и результат измерения выходной величины у
, индекс при которой соответствует номеру опыта.
-1
4
3
План эксперимента типа 2
Рис.2
опыта
1
2
3
4
Х1
+1
-1
-1
+1
Для этого случая
№
Х2
+1
+1
-1
-1
Фактор
Х1Х2
+1
-1
+1
-1
У
у1
у2
у3
у4
2
Таблица 2
у = А0 + А1х1 + А2х2 + А12х1х2
(17а)
В результате эксперимента после подстановки в (17а) получим систему уравнений, в которой коэффициенты регрессии являются неизвестными
y 1 = A 0 + A 1 + A 2 + A 12 ü
ï
y 2 = A 0 - A 1 + A 2 - A 12 ï
ý
y 3 = A 0 - A 1 - A 2 + A 12 ï
y 2 = A 0 + A 1 - A 2 - A 12 ïþ
(18)
После решения системы получим
А1 =
А0 =
у1 + у 2 + у 3 + у 4
;
4
у1 - у 2 - у 3 + у 4
;
4
А2 =
А12 =
у1 + у 3 - у 2 - у 4
;
4
(19)
у1 + у 2 - у 3 - у 4
;
4
(20)
а
(21)
В общем случае
N
А0 =
åyn
n=1
N
(19а)
,
где n - номер опыта ,
а N - их количество;
уn - значение у в n - ом опыте.
N
å y n x in
Аi = n=1
N
(20а)
,
N
å y n x in x jn
Аij = n=1
N
,
(21а)
где i и j номера факторов
Выражения (19а), (20а) и (21а) позволяют обобщить полученные результаты на применение планов
с любым числом факторов. Кроме того их анализ позволяет выявить следующие свойства плана:
1. Свойство симметричности, которое заключается в том, что сумма значений параметров любого
столбца плана равна нулю
N
å x1n = 0 ;
n=1
N
å x 2n = 0 ;
n=1
N
å x1n х 2п = 0 ,
n=1
а в общем случае
N
å x in = 0 ;
n =1
N
å x inx jn = 0
n=1
2. Свойство ортогональности, которое заключается в том, что сумма произведений параметров
двух любых столбцов тоже равна нулю, т.е.
N
å x1n х 2п = 0 ;
n=1
N
å х12п x 2n = 0 ;
n=1
N
å x1n х 22п = 0 ;
n=1
3. Сумма квадратов параметров для любого столбца плана равна числу факторов N , т.е.
N
å x12п = N
n=1
Сказанное позволяет построить планы и получить расчетные формулы для любого числа факторов. Покажем это на примере плана для трех факторов, т.е. плана типа 23 .
Для составления такого плана необходимо план типа 22 переписать повторно и полученный таким
образом план дополнить третьим фактором х3.
При этом для первой части плана принимается х3 = +1, а для второй части х3 = -1. Т.к. во всех
точках плана х равен либо +1, либо -1 в дальнейшем при записи значений х единицу можно опустить.
Тогда искомый план предстанет в следующем виде (табл.3)
План эксперимента типа 2
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
Фактор
Х1
Х2
+
+
+
+
+
+
+
+
-
Х3
+
+
+
+
-
Х1Х2
+
+
+
+
-
Таблица 3
3
Х1Х3
+
+
+
+
-
Х2Х3
+
+
+
+
У
у1
у2
у3
у4
у5
у6
у7
у8
Читателю представляется возможность самостоятельно убедиться в том, что сформулированные
выше свойства плана ПФЭ полностью сохраняются и для плана 23.
2.2. Проведение эксперимента
Для того чтобы провести эксперимент в соответствии с выбранным планом необходимо, прежде
всего, создать экспериментальную установку. Разработка конструкции такой установки выполняется
специалистами, хорошо знающими соответствующую отрасль техники и имеющими опыт конструирования. Никто не сделает это лучше специалистов соответствующего профиля и поэтому в нашу задачу
не входит разработка рекомендаций по этому вопросу. Мы лишь постараемся сформулировать основные требования к экспериментальной установке с позиций планирования эксперимента. Они сводятся
к следующему:
1. Все факторы, включенные в план эксперимента, должны быть регулируемыми, т.е. в установке
должны быть предусмотрены регулирующие органы, позволяющие изменять эти факторы по крайней
мере в тех пределах, в которых это предусмотрено планом эксперимента. Установка факторов должна
быть достаточно точной, а их значения должны быть стабильными и не изменяться в процессе эксперимента.
В ответственных случаях установка должна снабжаться системами автоматической стабилизации
задаваемых значений факторов.
2. Все факторы, включенные в план эксперимента, должны быть измеряемыми, т.е. на пульте
управления должны быть установлены измерительные приборы, позволяющие с заданной (желаемой)
точностью определять текущие значения факторов. Если системы стабилизации факторов отсутствуют,
если их значения подвергаются изменениям, независящим от воли экспериментатора, то измерительные приборы должны быть самопишущими.
3. Если существуют факторы, которые регулировать невозможно (или очень сложно, или дорого),
то их необходимо хотя бы измерять. Приборы для измерения таких факторов также должны быть установлены на пульте управления установкой.
4. Если какие-то из этих факторов измерить невозможно, то их надо по крайней мере знать и стараться по возможности исключить их влияние конструктивными, схемными или технологическими
приемами.
5. Выходные величины или, как иногда называют, отклики, также должны измеряться, а лучше
записываться. И здесь необходимо обеспечить максимально возможную точность.
6. Стрелочные приборы целесообразно заменить цифровыми.
7. Датчики и узлы экспериментальной установки должны быть надежными и как можно меньше
подвергаться износу.
После создания экспериментальной установки необходимо определить число повторностей опытов. Рекомендации по этому вопросу содержатся в специальной литературе [32, 33, 34]. Обычно исследователи рассчитывают число повторностей, минимально необходимое для обеспечения заданной
предельно допустимой ошибки. Иногда при этом минимизируют затраты на проведение эксперимента
или ограничивают их допустимым значением. На практике даже такая постановка задачи вызывает определенные затруднения. Поэтому, как правило, экспериментаторы принимают минимальное число
повторностей n, равное трем.
После того, как установлено число повторностей необходимо определить порядок проведения
опытов. Здесь важно обеспечить такой порядок, чтобы от него не зависели результаты эксперимента.
Ведь в процессе эксперимента объект исследований изменяется, в нем происходят необратимые изме-
нения. Поэтому результат эксперимента зависит от порядка проведения, от номера опыта. Избавиться
от такой зависимости можно путем рандомизации , т. е внесения элемента случайности в порядок выполнения опытов.
На практике применяют два способа рандомизации: методом подбрасывания монет и с помощью
таблиц случайных чисел (Приложение П2).
Суть метода подбрасывания монет состоит в следующем. Каждый фактор идентифицируют монетой определенного достоинства.
Например
Х1 - 100 руб;
Х2 - 50 руб;
Х3 - 20 руб;
Х4 - 10 руб.
Все монеты в заданном порядке подбрасывают. Каждая из них падает либо вверх “орлом” , либо
“решкой”. В первом случае мы будем считать, что фактор равен “+1”, во втором “-1”. Результаты подбрасывания сведем в таблицу №4. Пусть для плана 23 она имеет следующий вид
Таблица 4.
Результаты рандомизации
№
подбрасывания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Значения
№
Значения
факторов
№
подбрафакторов
X1 X2 X3 опыта сывания X1 X2 X3
- - 7
13
+
+ - 8
14
- + 6
15
+
+ + 5
16
+
+
- + +
2
17
+
+
- + +
2
18
+
+
+ + +
1
19
+
- - +
3
20
+
+
- - 7
21
+
- + 6
22
+
+
+ + +
1
23
+
+
+
- + 6
24
+
+
№
опыта
8
7
8
4
5
4
3
5
3
4
1
2
Это означает, что опыты выполняются в следующем порядке: 7(1), 8(1), 6(1), 5(1), 2(1), 2(2), 1(1),
3(1), 7(2), 6(2), 1(2), 6(3), 8(2), 7(3), 8(3), 4(1), 5(2), 4(2), 3(2), 5(3), 3(3), 4(3), 1(3), 2(3). В скобках указывается повторность опыта.
Рандомизацию с помощью таблицы случайных чисел (Приложение П2) рассмотрим на примере
реализации плана 24.
Т. к. число опытов в этом плане равно 16, то из таблицы выписываются подряд все цифры от 01
до 16. Если цифра встречается первый раз, то реализуется первая повторность, если второй раз - вторая.
Таким образом порядок проведения опытов будет следующим:
8-1, 8-2, 7-1, 10-1, 2-1, 4-1, 16-1, 6-1, 15-1, 13-1, 10-2, 2-2, 1-1, 3-1, 14-1, 5-1, 6-2, 3-2, 14-2, 14-3,
11-1, 3-3, 7-2, 15-2, 9-1, 8-3, 16-2, 2-3, 5-2, 4-2, 6-3, 5-3, 10-3, 16-3, 12-1, 11-2, 7-3, 1-1, 9-2, 9-3, 13-1, 43, 12-2, 1-2, 11-3, 12-3, 10-2, 15-3, 1-3.
К сожалению очень часто от полной рандомизации приходится отказываться из-за больших потерь времени на переналадку с одного режима на другой. В этом случае весь эксперимент разбивают
на блоки и проводят внутриблочную рандомизацию по той же методике.
2.3. Проверка воспроизводимости опытов
Рассмотрим обработку результатов эксперимента на конкретном примере, четырехфакторного
эксперимента по исследованию влияния электрического поля коронного разряда на урожайность пшеницы. Для обработки семян они рассыпались по заземленной плоскости в один или несколько слоев.
В этом эксперименте были приняты следующие обозначения:
Х1 - экспозиция обработки (изменяется в пределах 1...5 с);
Х2 - напряженность поля (в пределах 1...5 кВ/см);
Х3 - толщина слоя зерна на электроде (1...3 слоя);
Х4 - время отлежки, т.е. время между обработкой семян и их посевом, (10...30 суток).
Опыт проводился в трех повторностях.
План и результаты эксперимента представлены в табл.5.
После проведения опыта вносим в таблицу его результаты yI, yII и yIII. Обработку материалов проводим в следующей последовательности:
1. Находим среднеарифметическое из m повторностей
m
Yс р =
å Yn
n =1
(22)
m
2. Находим квадраты отклонений (YI - Yср)2, (YII - Yср)2 и (Y3 - Yср)2 и также заносим в таблицу.
3. По каждой строчке плана находим сумму квадратов отклонений
m
m
å ( Yln - Ycp.n ) = å DY 2
l =1
2
l =1
где l – номер повторности опыта;
n – номер строки
2
4. Находим построчную дисперсию Sn
(23)
S2n =
1 m
å Yin - Ycp.n
m - 1 l=1
(24)
Так для третьей строки
S23 =
1
1
2
( DYI2 + DYII2 + DYIII
) = (0,01 + 4,00 + 4,00) = 4,005
3 -1
2
5. Определяется сумма построчных дисперсий
N
å S n2 = 303
n =1
6. Определяется расчетное значение критерия Кохрена
G max =
S2n .max
N
å
n =1
S2n
=
70,68
= 0,233
303
(25)
2
Здесь S 2n.max - наибольшее значение Sn из всех строчек последнего столбца.
7. Полученное значение критерия Кохрена сравнивается с табличным (см. приложение П.3). Если
опыт воспроизводим, то
Gmax расч £ Gmax табл
(26)
Если условие не выполняется, то опыт не воспроизводим и его результатам доверять нельзя.
Для определения табличного значения критерия Кохрена предварительно находим число степеней свободы g1 = m - 1 = 3 - 1 = 2, а g2= N = 16. Т.к. g2 = 16 и такого значения в таблице нет, то приходится применять интерполирование.
В результате g max табл = 0,4548
Т.к. 0,233 < 0,4548, то опыт воспроизводим.
Если условие (26) не выполняется, то опыт невоспроизводим.
В этом случае рекомендуется одно из следующих решений:
1) увеличить число повторностей;
2) повысить точность определения выходной величины Y;
3) иногда целесообразно за выходную величину вместо Y принять lgY или Yr, где r - дробное число.
2.4. Статистическая оценка результатов эксперимента
Но вернемся к нашему примеру. Т.к. результат эксперимента оказался воспроизводимым, то можно приступить к обработке опытных данных. Очередной этап обработки - определение коэффициентов
регрессии.
1. Коэффициент А0 определяется по (19а):
N
å yn
107,2 + 126,8 + 115,2 + 99,5 + 107 + 111,4 + 100,5 + 117,9 + 108,2 + 113,7
A 0 = n =1 =
+
N
16
100,2 + 98,4 + 118,3 + 125 + 109,4 + 114,6
+
= 110,8
16
Напоминаем, что yn - среднее значение y из трех повторностей для n-ной строчки (табл. 5).
2. Коэффициент А1 определяется по (20а)
N
å y n x 1n
107,2 - 126,8 - 115,2 + 99,5 + 107 - 111,4 - 100,5 + 117,9 + 108,2
N
16
113,7 - 100,2 + 98,4 + 118,3 - 125 - 109,4 + 114,4 870,9 - 902,3
31,3
=
== -1,96
16
16
16
A 1 = n =1
=
Выражение для А1 отличается от А0 лишь знаками в числителе, которые берутся из столбца для
Х1 (табл. 5).
3. Коэффициент А2 определяется по той же формуле, только вместо Х1 подставляется Х2:
N
å y n x 2n
107,2 + 126,8 - 115,2 - 99,5 + 107 + 111,4 - 100,5 - 117,9 + 108, 2
+
N
16
113,7 - 100, 2 - 98,4 + 118,3 + 125 - 109,4 - 114,4 917,6 - 855,5 62,1
+
=
=
= +3,88
16
16
16
A 2 = n =1
=
4. Коэффициент А3 определяется аналогично, но знаки определяются из столбца Х3 :
N
å y n x 3n
107,2 + 126,8 + 115,2 + 99,5 - 107 - 111,4 - 100,5 - 117,9 + 108,2
+
N
16
113,7 + 100,2 + 98,4 - 118,3 - 125 - 109,4 - 114,4 869,2 - 903,9
34,7
+
=
== -2,17
16
16
16
A3 =
n =1
=
5. Коэффициент А4 (знак определяется из столбца Х4)
N
å y n x 4n
107,2 + 126,8 + 115,2 + 99,5 + 107 + 111,4 + 100,5 + 117,9 - 108,2
N
16
113,7 - 100,2 - 98,4 - 118,3 - 125 - 109,4 - 114,4 885,5 - 887,6
2,1
=
== -0,131
16
16
16
A 4 = n =1
=
6. Коэффициент А12 определяется по формуле (21а), а знак из столбца Х1Х2
N
å y n x1x 2
107,2 - 126,8 + 115,2 - 99,5 + 107 - 111,4 + 100,5 - 117,9 + 108,2
N
16
113,7 + 100,2 - 98,4 + 118,3 - 125 + 109,4 - 114,4 866,0 - 907,3
=
= -2,58
16
16
A 12 = n=1
=
7. Коэффициент А13.
N
å y n x1x 3
107,2 - 126,8 - 115,2 + 99,5 - 107 + 111,4 + 100,5 - 117,9 + 108,2
N
16
113,7 - 100,2 + 98,4 - 118,3 + 125 + 109,4 - 114,6 859,6 - 913,7
54,1
=
== -3,38
16
16
16
A 13 = n=1
=
8. Коэффициент А14.
N
å y n x1 x 4
107,2 - 126,8 - 115,2 + 99,5 + 107 - 111,4 - 100,5 + 117,9 - 108,2
+
N
16
113,7 + 100,2 - 98,4 - 118,3 + 125 + 109,4 - 114,6 879,9 - 893,4
13,5
+
=
== -0,844
16
16
16
A 14 =
n =1
=
9. Коэффициент А23.
N
å ynx2x3
107,2 + 126,8 - 115,2 - 99,5 - 107 - 111,4 + 100,5 + 117,9 + 108,2
+
N
16
113,7 - 100,2 - 98,4 - 118,3 - 125 + 109,4 + 114,6 898,3 - 875 23,3
+
=
=
= 1,46
16
16
16
A 23 =
n =1
=
10. Коэффициент А24.
N
å y n x2x4
107,2 + 126,8 - 115,2 - 99,5 + 107 + 111,4 - 100,5 - 117,9 - 108,2
N
16
113,7 + 100,2 + 98,4 - 118,3 - 125 + 109,4 + 114,4 875 - 898,3
23,3
=
== -1,46
16
16
16
A 24 =
n =1
=
11. Коэффициент А34.
N
å ynx3x4
107,2 + 126,8 + 115,2 + 99,5 - 107 - 111,4 - 100,5 - 117,9 - 108,2
N
16
113,7 - 100,2 - 98,4 + 118,3 + 125 + 109,4 + 114,4 916 - 857,3 62,1
=
=
= +3,67
16
16
16
A 34 =
n =1
=
Тогда математическая модель процесса получит вид:
y = А0 + А1Х1 + А2Х2 + А3Х3 + А4Х4 + А12Х1Х2 + А13Х1Х3 + +А14Х1Х4 +А23Х2Х3 + А24Х2Х4 + А34Х3Х4 =
110,8-1,96 Х1 +
+3,88 Х2 - 2,17 Х3 - 0,134 Х4 - 2,58 Х1Х2 - 3,38 Х1Х3 - 0,844 Х1Х4 +
+ 1,46 Х2Х3 - 1,46 Х2Х4 + 3,67 Х3Х4
13. Значение y подсчитывается для каждой точки плана и заносится в таблицу 6.
После того как определены коэффициенты регрессии необходимо выявить их значимость.
14. Для этого находим оценку генеральной дисперсии
N
å S 2n
S 2 = n=1
N
=
303
= 18,9
16
(27)
15. Дисперсия определения коэффициентов регрессии
S 2A =
а
S2
18,9
=
= 0,394 ,
N × m 16 × 3
(28)
SA = 0,628
16. Коэффициент регрессии А значим в том случае, если
А > SАt,
(29)
где t - критерий Стьюдента, определяемый по таблице приложения П4 в зависимости от числа
степеней свободы n = N(m-1) и уровня значимости, который для инженерных расчетов принимается
равным 5%.
В нашем случае
n = 16 (3 - 1) = 32
Поскольку в таблице П4 значение n = 32 отсутствует, рекомендуется находить t путем интерполяции между значениями этой величины для n = 30 и n = 40. Тогда t = 2,038, а
SAt = 0,394 × 2,038 = 0,803
Таким образом, значимы лишь те коэффициенты регрессии, которые по абсолютной величине
удовлетворяют условию (29).
В нашем примере коэффициент, меньший этой величины, отбрасывается - это коэффициент А4.
17. Окончательно уравнение регрессии примет вид
y = А0 + А1Х1 + А2Х2 + А3Х3 + А12Х1Х2 + А13Х1Х3 + А14Х1Х4 +
+А23Х2Х3 + А24Х2Х4 + А34Х3Х4 = 110,8-1,96 Х1 + 3,88 Х2 - 2,17 Х3 - 2,58 Х1Х2 - 3,38 Х1Х3 - 0,844 Х1Х4 + 1,46 Х2Х3 - 1,46 Х2Х4 + 3,67 Х3Х4
18. Значения y после уточнения также приведены в таб. 6.
19. Дисперсия неадекватности определяется по формуле
s н2 ад =
m N
( y cp - y€n ) 2 ,
å
N - C n =1
(30)
где С - количество значимых коэффициентов регрессии
y€n - теоретическое значение выходной величины, в нашем примере рассчитывается по формуле п.17.
20. Критерий Фишера
F=
s н2 ад
S
(31)
2
Для нашего примера s н ад =
3
× 177,34 = 88,7
16 - 10
При этом количество значимых коэффициентов регрессии определяется из формулы п.17, а сумма
квадратов отклонений определяется суммированием значений соответствующего столбца.
В свою очередь
F=
2
s над
S
2
=
88,7
= 4,69
18,9
Полученное расчетное значение критерия Фишера сравнивается с табличным, полученным в зависимости от числа степеней свободы n 1 = N - C и n 2 = N(m-1) по таблице приложения П5.
Если Fрасч £ Fтабл , то полученная математическая модель адекватно описывает процесс.
В нашем примере при n 1 = 16-10 = 6 и n 2 = 16 × 2 = 32, Fтабл = 2,32 и поэтому Fрасч > Fтабл, что говорит о том, что математическая модель неадекватно описывает процесс.
Какое решение должен принять экспериментатор? Как сделать модель адекватной? Обычно идут
по линии усложнения моделей, т.е. повышения порядка полинома, для чего потребуются более сложные модели, о которых речь пойдет в дальнейшем.
Следует также отметить, что оценка адекватности по Фишеру не всегда эффективна, т.к. в соответствии с этим критерием уравнение адекватно описывает процесс только в том случае, если кривая
находится внутри зоны расположения экспериментальных точек (рис. 3).
у
х
Рис. 3
Поэтому более ответственный, более квалифицированный экспериментатор оказывается при таком
подходе в невыгодном положении. Чем точнее он
выполняет эксперимент,
тем меньше
разброс точек, тем труднее ему получить адекватное уравнение. Поэтому в ряде случаев исследователи
отвергают подход Р. Фишера к определению адекватности модели и поль-зуются подходом Закгейма
[35], который заключается в том, что задается допустимым отклонением величины y в %.
Если во всех точках плана отклонение расчетного значения у от экспериментального не превышает допустимого, то считают, что модель адекватно описывает процесс.
Таким образом при достаточно точном эксперименте следует пользоваться подходом Закгейма,
при невысокой точности подходом Фишера.
В рассмотренном примере (табл.6), если задаться допустимой точностью модели 5%, то лишь в
двух точках 4 и 8 отклонения превышают заданные значения и только в этих точках уравнение неадекватно описывает процесс. Как правило экспериментатор этим удовлетворяется. В более ответственных
случаях целесообразно найти уравнение поверхности, ограничивающей область адекватного представления модели.
2.5. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)
С увеличением числа факторов количество необходимых для получения математической модели
опытов растет. Для плана полного факторного эксперимента, как было сказано выше, число опытов
N=2к. Уже при к=6 N=26=64, что в большинстве случаев совершенно неприемлемо для экспериментатора. Поэтому возникает необходимость в уменьшении числа фактов.
Вместе с тем для определения коэффициентов регрессии можно обойтись меньшим количеством
опытов, если, использовать планы дробного факторного эксперимента, которые представляют собой
некоторую часть (1/2; 1/4; 1/8; 1/16) от полного факторного эксперимента. Примером такого плана может служить план для четырех факторов, представленный в таблице 7.
Таблица 7.
План ДФЭ для четырех факторов.
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
Х1
+
+
+
-
Х2
+
+
+
+
-
Фактор
Х3
+
+
+
+
-
Х4(Х1Х2Х3)
+
+
+
-
8
+
-
-
+
Основу плана составляет план для трех факторов типа 23. Столбец для фактора Х4 получается с помощью
соотношения Х4=Х1Х2Х3. При этом предполагается, что тройным взаимодействием Х1Х2Х3 можно пренебречь. Можно также воспользоваться соответствием Х4=-Х1Х2Х3.
Произведение столбцов, дающее во всех строчках +1(или -1), называется определяющим контрастом. В нашем примере определяющий контраст Х1Х2Х3Х4=1. С его помощью нетрудно определить,
какие эффекты смешаны. Чтобы выяснить, например, с чем смешан эффект Х1 обе части определяющего контраста умножают на Х1. Тогда Х1= Х2Х3Х4 (так как), X 12 т.е. фактор Х1 смешан с взаимодействием Х2Х3Х4. Последнее равенство, как и равенство Х4= Х1Х2Х3 называется генерирующим соотношением. Т.к. практически тройным взаимодействием можно пренебречь, то применение таких планов
вполне оправдано.
План, представленный в таблице 7, является частью, половиной полного факторного эксперимента для четырех факторов или, как говорят его дробной репликой. В общем случае дробной репликой
называют 1/2n часть полного факторного эксперимента, полученную путем замены одного или нескольких взаимодействий новым фактором. Условно тип дробного факторного эксперимента записывается
как 2к-р, где к - число факторов, а р - количество линейных факторов, приравненных к эффектам взаимодействия.
Планы, у которых в определяющем контрасте больше факторов, имеют большую разрешающую
способность. Иногда план ДФЭ, представленный в таблице 7 записывается в виде 24IV-1 , где римская
цифра IV определяет разрешающую способность плана.
Пример: Пусть требуется составить план 25V-1 . Так как разрешающая способность V, то определяющий контраст записывается в виде соотношения Х1Х2Х3Х4Х5=1, а генерирующее соотношение Х5 =
Х1Х2Х3Х4.
Таблица 8.
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Х1
+
+
+
+
+
Х2
+
+
+
+
+
План ДФЭ для пяти факторов.
Фактор
Х3
Х4
Х5(Х1Х2Х3Х4)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
10
11
12
13
14
15
16
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
-
-
+
+
+
+
-
Коэффициенты регрессии для планов ДФЭ определяются по тем же формулам, что и для ПФЭ.
Однако, следует помнить, что для взаимодействий, которые коррелируют с какими-либо факторами,
коэффициенты регрессии не рассчитываются. При корреляции двойных и тройных взаимодействий
последние также не рассчитываются и т.д.
2.6. План взвешивания
Пусть требуется взвесить с достаточной точностью 7 предметов. Предположим, что веса предметов Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7. Взвесим все предметы вместе. Тогда их общий вес
у1= Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6 + Х7
Затем будем взвешивать по три предмета и получим
у2 = Х1 + Х2 + Х3
у3 = Х1
+ Х4 + Х5
у4 = Х1
+ Х6 + Х7
у5 =
Х2
+ Х4
+ Х6
у6 =
Х2
+ Х5
+ Х7
у7 =
Х3 + Х4
+ Х7
у8 =
Х3
+ Х5 + Х6
(32)
Каждый предмет находится на чаше весов 4 раза. Благодаря этому повышается точность при том
же числе взвешиваний. Кстати это не единственный способ четырехкратного взвешивания каждого
предмета. Можно, например, начиная, со второго опыта взвешивать три следующих друг за другом
предмета. Тогда
у1= Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6 + Х7
у2= Х1 + Х2 + Х3
у3=
Х4 + Х5 + Х6
у4= Х1 + Х2
+ Х7
у5=
Х3 + Х4 + Х5
у6= Х1
+ Х6 + Х7
у7=
Х2 + Х3 + Х4
у8=
Х5 + Х6 + Х7
(33)
Точность взвешивания можно увеличить если при каждом взвешивании использовать все предметы. Для этого те из них, которые в предыдущей системе отсутствуют можно в нее добавить со знаком “
- ”. Тогда
у1 = Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6 + Х7
у2 = Х1 + Х2 + Х3 - Х4 - Х5 - Х6 + Х7
у3 = -Х1 - Х2 - Х3 + Х4 + Х5 +Х6 - Х7
у3 = -Х1 - Х2 - Х3 + Х4 + Х5 +Х6 - Х7
у5 = -Х1 - Х2 + Х3 + Х4 + Х5 - Х6 - Х7
у6 = Х1 - Х2 - Х3 - Х4 - Х5 + Х6 +Х7
у7 = -Х1 +Х2 + Х3 + Х4 - Х5 - Х6 - Х7
у8 = -Х1 - Х2 - Х3 - Х4 + Х5 +Х6 + Х7
(34)
Полученные уравнения можно представить в виде плана (см. табл. 9), предложенного Хаутелингом [36].
Таблица 9.
План взвешивания (план Хаутелинга)
№ п/п
1
2
3
Х1
+
+
-
Х2
+
+
-
Х3
+
+
-
Х4
+
+
Х5
+
+
Х6
+
+
Х7
+
-
4
5
6
7
8
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
В этом плане предмет заменен фактором. Нетрудно заметить, что план Хаутелинга обладает свойством симметричности.
Такие планы применяются лишь для отсеивающего эксперимента, так как они не дают возможности оценить линейные взаимодействия между факторами.
3. ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Если математическая модель, полученная с помощью плана первого порядка неадекватна, то необходимо переходить к планам более высокого, например второго порядка. К таким планам относятся
ортогональные [27], (в том числе Хартли [37]) и ротатабельные планы [19].
Наиболее простыми являются ортогональные планы они применяются тогда, когда достаточно
точно известна область оптимума. Наиболее универсальны ротатабельные планы. Их применение с
наибольшей вероятностью обеспечивает получение адекватных моделей, хотя формулы для определения коэффициентов при использовании этих планов более сложны. Планы Хартли, представляющие
собой разновидность ортогональных планов, хотя и с меньшей вероятностью обеспечивают получение
адекватных моделей, используются в тех случаях, когда стремятся получить модель процесса при наименьших затратах времени и средств на проведение эксперимента.
Особенность практически всех планов второго порядка состоит в том, что в них полный или
дробный факторный эксперимент является ядром планирования, к которому добавляют несколько точек, которые могут находиться как в центре, так и на периферии.
3.1. Ортогональные планы
Начнем с двухфакторного эксперимента, ядром которого является план ПФЭ типа 22. Точки такого плана были показаны на рис.2. Дополним этот план точкой в центре эксперимента и четырьмя точками, расположенными на координатных осях на расстоянии a от начала координат (точки 6, 7, 8, 9),
как это показано на рис. 4. Координаты точек плана представлены в таблице 10.
Таблица 10.
Ортогональный план второго
порядка для двух факторов
№
опыта
1
2
3
4
Фактор
X1
+1
-1
-1
+1
X2
+1
+1
-1
-1
X1X2
+1
-1
+1
-1
$
X 12 X
$
X 22 X
$
1- X
$
1- X
$
1- X
$
1- X
$
1- X
$
1- X
$
1- X
$
1- X
$ )( X 2 - X
$)
( X 12 - X
2
$ )2
(1 - X
$ )2
(1 - X
$ )2
(1 - X
$ )2
(1 - X
5
6
7
8
9
0
-a
+a
0
0
0
0
0
-a
+a
0
0
0
0
0
$
-X
$
-X
$2
X
$ (a 2 - X
$)
-X
$ (a 2 - X
$)
-X
$
a2 - X
$
a2 - X
$ (a 2 - X
$)
-X
$ (a 2 - X
$)
-X
$
-X
$
-X
$
a2 - X
$
a2 - X
$
-X
$
-X
X2
+a
9
2
-a
6
-1
3
1
+1
0
5
-1
+a
+1
7
X1
4
8
-a
Рис. 4
Левая часть плана, ограниченная жирной линией, представляет собой симметричный план. Если
такой план дополнить столбцами Х12 и Х 22 , то он теряет свойство симметричности, т.к. в нем будут
присутствовать только положительные величины. Поэтому симметричность плана создадим искусственно, отнимая от координат Х12 и Х 22 какую-то постоянную величину X$ . Значения величин Х 12 - X$ и
$ представлены в соответствующих столбцах плана.
Х 22 - X
Для симметричного плана сумма величин в каждом столбце равна нулю. Если это положение
применить к столбцу Х 12 - X$ , то получим
$ ) - 3X
$ + 2(a 2 - X
$)= 0
4(1 - X
(35)
Если план обладает свойством ортогональности, то сумма произведений величин в двух столбцах
тоже, равна нулю. Составим столбец из произведений ( Х 12 - X$ )( Х 22 - X$ ). Тогда
$ ) 2 - 4X
$ (a 2 - X
$)+X
$2=0
4( 1 - X
(36)
Решая совместно (35) и (36), получим значения X$ и a, при которых план является и ортогональным, и симметричным.
Для определения коэффициентов регрессии можно воспользоваться следующими формулами
N
å yn
A ¢0 = n =1 ,
N
(19a)
N
å Yn X 1n
A 1 = n = 1N
å
n=1
,
(37)
,
(38)
X 12n
N
å Yn X 2n
A 2 = n =1N
å
n=1
x 22n
N0
å Yn X 1n X 2n
A 12 = n = 1N
å
n =1
X 12n X 22n
(39)
Здесь N0 - число опытов в ядре планирования (N0 = 4),
N - общее число опытов (N = 9).
По аналогии для коэффициентов при квадратичных членах
N
å y n ( X 12n - X$ )
A 11 = n =N1
å
n =1
$ )2
( X 12 - X
(40)
N
å y n ( X 22n - X$ )
A 22 = n=N1
(41)
å ( X - X$ ) 2
n =1
2
2n
Для планов с числом факторов, равным К в общем случае условие симметричности примет вид
(35a)
$ ) - ( 2K - 1) X
$ + 2( a 2 - X
$ ) = 0,
2 K (1 - X
а условие ортогональности
(36a)
$ ) 2 - 4X
$ + 2( a 2 - X
$ ) + ( 2K - 3) X
$ 2 = 0,
2 K (1 - X
Выражения (35a) и (36a) позволяют определить X$ и a для любого числа факторов. Эти значения
приведем в таблице 11.
Табл. 11.
Значения параметров ортогональных
планов в зависимости от числа факторов.
К
2
3
4
5
6
7
N
a
$
X
N
å ( X 12n - X$ ) 2
=
n 1
9
15
1
1,215
0,667 0,732
2
4,3
25
1,41
0,8
43
1,6
0,964
77
1,765
0,913
143
1,855
0,928
8
13,3
19,2
24,4
Помимо a и X$ , в таблице приведены значения суммы в знаменателе выражений для определения
квадратичных коэффициентов регрессии по формуле
N
å y n ( X in2 - X$ )
A ii = n =N1
å
n =1
,
(42)
2
$ )2
-X
( X in
а также общее число опытов, составляющих план для различного числа факторов:
N = 2 K + 2K + 1
(43)
Формулы для определения линейных коэффициентов регрессии и коэффициентов при взаимодействиях для К факторов имеют вид:
N
å Yn X in
A i = n = iN
å X in2
(37а)
,
n= i
N
å Yn X in Yjn
A ij = n = 1N
å
n =1
,
2
X in
X 2jn
(39а)
Т.к. квадратичные коэффициенты регрессии А11 и А22 рассчитывались для столбцов ( Х 12 - Х$ ) и
( Х 22 - Х$ ), то математическая модель для двух факторов имеет вид
$ ) + A 22 ( X 22 - X
$)=
Y = A ¢0 + A 1 X1 + A 2 X 2 + A 12 X 1 X 2 + A 11 ( X12 - X
$ ( A 11 + A 22 ) + A 1 X1 + A 2 X 2 + A 12 X 1 X 2 + A 11 X12 + A 22 X 22
= A ¢0 - X
Отсюда следует, что постоянный коэффициент модели для двух факторов:
$ (A + A )
A 0 = A '0 - X
11
22
В общем случае для любого числа факторов К:
(44)
K
$åA
A 0 = A ¢0 - X
ii
(44а)
i= 1
3.2. Планы Хартли
Планы Хартли являются разновидностью ортогональных планов. Однако, в отличие от планов,
рассмотренных в предыдущем параграфе, ядром плана здесь служит не полный, а дробный факторный
эксперимент, в котором некоторые линейные эффекты коррелируют с линейными взаимодействиями.
Кроме того, в дополнительных точках опыты ставятся в m повторностях, каждая из которых имеет
права опыта. В таблице 12 приведен план для трех факторов, составленный на базе ДФЭ типа 23-1, в
котором используется генерирующее соотношение Х3= Х1Х2. Опыты в точках с 5-ой по 11-ую проводятся в m повторностях. Поэтому
N = 2K - 1 + m ( 2K + 1)
(43а)
Если m=3, то общее число опытов (строчек плана) N = 23- 1 + 3( 2 × 3 + 1) = 25
Таблица 12
План Хартли для трех факторов
№
опыта
X1
Фактор
X2
X3(X1X2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
+
+
0
-a
+a
0
0
0
0
0
-a
+a
0
0
0
0
0
-a
+a
+
+
0
0
0
-a
+a
0
0
0
0
0
-a
+a
0
0
0
0
0
+
+
0
0
0
0
0
-a
+a
0
0
0
0
0
-a
+a
0
0
0
22
23
24
25
0
0
0
0
-a
+a
0
0
0
0
-a
+a
В таблице 13 приведен план для четырех факторов. Для сокращения площади повторяющиеся
опыты (с 18 по 35) в таблицу не включены. Здесь общее число опытов N = 24- 1 + m ( 2 × 4 + 1) и для трех
повторностей N = 8 + 3 × 9 = 35 . Генерирующее соотношение примем Х4=Х1Х2, хотя можно принять и такие соотношения как Х4=-Х1Х2; Х4=Х1Х3;
Х4=-Х1Х3; Х4=Х2Х3; Х4=-Х2Х3.
Для определения коэффициентов регрессии необходимо прежде всего разобраться какие факторы
попарно коррелируют друг с другом. Т.к. определяющий контраст Х1Х2Х4, то помимо уже названной
корреляции A 12 ® A 4 , можно выделить еще две: A 24 ® A 1 и A 14 ® A 2 . Что касается коэффициентов,
связанных с третьим фактором, т.е. А3, А13, А23 и А34, то они ни с какими другими коэффициентами не
коррелируют.
Таблица 13.
План Хартли для четырех факторов
№
опыта Х
1
1
+
2
-
Фактор
Х2
+
+
Х3
+
+
Х4 Х1Х2 Х1Х3 Х1Х4 Х2Х3 Х2Х4 Х3Х4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...
35
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
0
0
0 0
0 0
-a 0
0 0
+a 0
0 -a 0 0
0 +a 0 0
0
0 -a 0
0
0 +a 0
0
0
0 -a
0
0
0 +a
0
0
0 0
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+a
Тогда условие симметричности
$ ) - ( 2K - 1)mX
$ + 2m (a 2 - X
$ ) = 0,
2 K (1 - X
(35б)
а условие ортогональности
(36б)
$ ) 2 - 4Xm
$ (a 2 - X
$ ) + ( 2K - 3)mX
$ 2 = 0.
2 K (1 - X
В результате подстановка в (35б) и (36б) различных значений m от 1 до 6 и решения системы
уравнений для различных К относительно X$ и a получены результаты, приведенные в табл. 14.
Таблица 14
Значения расчетных параметров для планов Хартли
К
NЯ
N(без учета повторностей)
1
2
3
a
для различ- 4
ных m
5
6
1
2
2
7
3
4
11
4
8
17
5
16
27
6
16
29
7
32
47
8
32
51
0,936 1,15
0,853 1,065
0,8
1,0
0,736 0,956
1,36
1,27
1,21
1,16
1,55
1,47
1,41
1,37
1,67
1,58
1,51
1,46
1,85
1,78
1,72
1,67
1,93
0,733 0,923 1,12 1,33 1,41 1,63
0,708 0,895 1,09
1,3
1,38
1,6
0,536 0,603 0,686 0,770 0,740 0,825 0,806
$
X
для различных m
N
å ( X in2 - X€) 2
n =1
для различных m
2
3
0,409 0,473 0,556 0,650 0,618 0,720
0,343 0,400 0,479 0,571 0,540 0,646
4
0,302 0,354 0,425 0,516 0,486 0,590
5
6
1
2
3
4
0,273 0,32 0,389 0,475 0,444 0,547
0,250 0,296 0,365 0,442 0,413 0,514
1,52 3,49 6,79 11,5 15,5 23,0 28,0
2,11 5,08 10,3 18,7 24,9 39,9
2,45 6,00 12,9 24,0 31,2 52,4
2,70 6,68 14,6 28,2 36,2 62,2
5
2,87
7,25
15,7
31,4
39,7
70,6
6
3,01
7,67
17,0
34,2
43,3
78,3
Коэффициент регрессии A0' и A0 как и для обычного ортогонального плана, можно получить по
выражениям (19а) и (44а). Коэффициент регрессии А3, который не коррелирует с взаимодействием,
определяется из выражения:
N
N
å X 3n Yn
A 3 = n =1N
å X in2
n=1
=
å X 3n Yn
n =1
2
N 0 + 2a m
(46)
Остальные линейные коэффициенты нетрудно определить, пользуясь только двумя опытами, отличающимися значениями лишь одного фактора:
A1 =
- Y10 + Y11
2a
(47)
A2 =
- Y12 + Y13
2a
(47а)
A4 =
- Y16 + Y17
2a
(47б)
Коэффициенты регрессии, учитывающие взаимодействие с фактором Х3, т.е. А13, А23 и А34 определяются по обычным формулам для линейных взаимодействий, т.е.
N0
å X in X jn Yn
A ij = n =1
N0
(39б)
Следует обратить внимание на то, что в знаменателе стоит не общее число опытов, а число опытов в ядре планирования. Это объясняется тем, что в остальных опытах X in X jn =0. В частном случае
А13:
N0
A 13 =
å X 1n X 3n Yn
(39в)
n=1
N0
При расчете остальных коэффициентов при линейных взаимодействиях с учетом корреляции
можно записать:
N0
åX X Y
- Y16 + Y17 n = 1 1n 2n n
A 12 = +
2a
N0
(48)
N0
åX X Y
- Y12 + Y13 n = 1 1n 4 n n
A 14 = +
2a
N0
(48а)
N0
å X 2n X 4 n Yn
- Y10 + Y11 n =1
A 34 = +
2a
N0
(48б)
Коэффициенты при квадратичных членах A ij для всех факторов рассчитываются по формуле (42),
при том что число опытов определяется из выражения (43а).
3.3. Ротатабельные планы
Особенностью ротатабельных планов является равномерность распределения информации относительно центра эксперимента [19]. Кроме того, во всех точках, равноудаленных от центра эксперимента, дисперсии одинаковы. От рассмотренных выше планов они отличаются количеством точек в
центре эксперимента и звездных точек (т.е. числом повторностей, имеющих права опыта), а также координатами последних a. Структура плана (т.е. ядро планирования, центр эксперимента и звездные
точки) остается без изменения.
Для определения коэффициентов регрессии используют следующие формулы:
N
K
N
i=1
i =1 n = 1
2
A ¢0 = b 0 å Yn -b ¢0 å å X in
Yn
(49)
N
A i = b i å X in Yn
(50)
n =1
N
A ij = b ij å X in X jn Yn
(51)
n=1
N
K
N
N
n=1
n=1n=1
n=1
2
2
A ii = b ii å X in
Yn + b ii¢ å å X in
Yn - b ¢0 å Yn
(52)
Здесь b 0 , b 0¢ , b i , b ij , b ii , b ¢ii - коэффициенты, зависящие от числа факторов и определяемые, как и a0 с
помощью таблицы 15.
Таблица 15
Основные характеристики ротатабельного плана
число
факторов
К
число
число
звездточек
ных
ядра
точек
NЯ
N3
число общее
нуле- число
вых
опыточек
тов
N0
N
a
b0
b ¢0
bi
bij
bii
b ¢ii
2
4
4
5
13
1,41
0,199
0,1
0,125
0,25
0,125
0,0186
3
8
6
6
20
1,68
0,167
0,057
0,073
0,125
0,0625
0,007
4
16
8
7
31
2
0,142
0,0358
0,0416
0,062
0,031
0,0037
2
5
32
10
10
52
2,38
0,0955
0,0194
0,0231
0,0312
0,0156 0,0015
2
5(1/2)
16
10
6
32
2
0,167
0,036
0,0418
0,063
0,0315 0,0032
7
6
64
12
15
91
2,83
0,0682
0,0108
0,0125
0,0156
0,0078 0,0007
6(1/2)
32
12
9
51
2,38
0,112
0,0189
0,0231
0,0312
0,0156 0,0012
4
6(1/4)
16
12
5
33
2
0,197
0,0382
0,0416
0,063
0,0315 0,0034
Примечание: Числа, стоящие в первом столбце в скобках означают, что в качестве ядра плана используется не полный факторный эксперимент, а его дробная реплика (1/2 или 1/4).
3.4. Определение значимости коэффициентов
регрессии для планов второго порядка
Для определения значимости коэффициентов регрессии, как и в случае применения планов первого порядка необходимо пользоваться условием (29). Однако дисперсия в определении коэффициентов
регрессии подсчитывается по-разному для различных коэффициентов.
3.4.1. Ортогональные планы.
Для линейных коэффициентов:
S A2 i
S2
=
,
m( 2 K + 2a 2 )
(53)
для коэффициента A ¢0 , как для коэффициентов ПФЭ используется выражение (28)
S 2A¢0 =
для коэффициента А0
S2
,
mN
k
$ 2 å S2
S 2A 0 = S 2A ¢0 + X
A ii
i=1
(54)
для линейных взаимодействий:
S 2A ij =
S2
m2k
(55)
и для квадратичных членов:
S A2 ii =
S2
N
må
n
2
$ )2
( X in
-X
(56)
3.4.2. Планы Хартли
Дисперсия в определении коэффициентов регрессии для этих планов зависит от того коррелируют ли эти коэффициенты с коэффициентами при взаимодействиях. Для коррелирующих коэффициентов
S 2A i =
S2
2a 2 m
(57)
S 2A ij =
æ 1
1 ö
S2
S2
+
= S2ç
+
÷
2
N 0 m ¢ 2a m
è N 0 m ¢ 2a 2 m ø
(58)
Для остальных коэффициентов можно пользоваться формулами (53), (54), (55), (56) и (28).
3.4.3. Ротатабельные планы.
Дисперсия в определении коэффициентов регрессии для ротатабельных планов определяется по
общей формуле
SA =
bS2
m
(59)
Коэффициенты b приведены в таблице 15. Индекс при b определяется для различных коэффициентов регрессии в соответствии с таблицей 16.
Таблица 16.
Выбор коэффициентов bк формуле (59):
S 2A
S 2A 0
S2A i
S 2A ij
S 2A ii
b
b0
bi
bij
bii
4. ДРУГИЕ ПЛАНЫ
4.1. Планы типа 3К
Выше отмечалось, что для получения математической модели необходим такой план эксперимента, у которого число опытов N было больше количества коэффициентов математической модели С. Для
двух факторов математическая модель третьего порядка имеет вид:
(60)
Y = A 0 + A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 12 X 1 X 2 + A 11 X 12 + A 22 X 22 + A 111 X 13 + A 222 X 23
При этом взаимодействиями третьего порядка пренебрегаем. Условию N>С удовлетворяет план
типа 32, т.к. С=8.
В общем для К факторов может быть использован план типа 3к. Соотношения между N и С для
различного числа факторов представлены в табл. 17.
к
Характеристики плана 3 .
№ п/п
1
2
3
К
1
2
3
N
3
9
27
С0
1
1
1
Сi
1
2
3
Сii
1
2
3
Сij
0
1
3
Сiii
1
2
3
С
4
8
13
Таблица 17.
4
5
4
5
81
243
1
1
4
5
4
5
6
10
4
5
19
26
На рис.5 показаны опытные точки плана 32, а в табл.18 - план, составленный по этим точкам.
Х2
3
6
9
+1
2
0 5
1
4
8
+1
-1
7
-1
Рис. 5.
Х1
План эксперимента типа 3
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
å
2
Таблица 18.
Фактор
Х1
0
0
0
+
+
+
0
Х2
0
+
0
+
0
+
0
Х1Х2
+
0
0
0
0
0
+
0
€
Х 12 - Х
1- Х$
1- Х$
1- Х$
- Х$
- Х$
- Х$
1- Х$
1- Х$
1- Х$
€
Х 22 - Х
1- Х$
- Х$
1- Х$
1- Х$
- Х$
1- Х$
1- Х$
- Х$
1- Х$
0
0
Используя прием, изложенный в п. 3.1 дополним план столбцами ( Х 12 - Х$ ) и( Х 22 - Х$ ), что позволит
записать условие симметричности:
$ ) - 3X
$
6(1 - X
(61)
Откуда Х$ =2/3. Интересно отметить, что значение Х$ будет одинаково для всех планов типа 3К.
Нетрудно доказать, суммируя значения, представленные в последнем столбце, что план 32 (как и все
планы 3К), является ортогональным. Поэтому все формулы для определения коэффициентов регрессии,
представленные в п.3.1, пригодны и для планов 3К. Необходимо лишь добавить выражение для определения коэффициента при Х 3i .
Такой коэффициент можно определить по формуле:
N
å y n ( X in2 - X$ ) X in
A iii = n =N1
å
n=1
2
$ )2 X2
-X
( X in
in
(62)
4.2. Симплекс-планирование
К-мерным симплексом называют фигуру, которая в К-мерном пространстве имеет К+1 вершину.
В частности, симплекс в двухмерном пространстве(т.е. на плоскости) это фигура, имеющая К+1=2+1=3
вершины. Такой фигурой является треугольник. В трехмерном пространстве симплекс имеет четыре
вершины, и, следовательно, это пирамида.
Симплекс, все стороны которого равны, называется регулярным. Для плоскости это равносторонний треугольник, для трехмерного пространства - тетраэдр. Если поставить опыты в вершинах симплекса, то число вершин будет равно числу коэффициентов модели первого порядка. Такой план называют насыщенным. Насыщенные планы нашли применение при планировании отсеивающего эксперимента. На рис.6 приведен симплекс-план для двух факторов. Здесь центр эксперимента, расположен-
ный в точке 0, совпадает с центром тяжести треугольника. При этом одна из высот треугольника совпадает с осью Х2. Если принять сторону треугольника а=1, то координаты точек 1 и 2 по оси Х1 будут
соответственно -0,5 и +0,5. При этом высота треугольника h= 12 - 0,52 = 0,75 = 0,867 . Т.к. центр тяжести отсекает от высоты третью часть, то координата точек 1 и 2 по оси Х2 будет равна
h /3= -
0,867
2h 2
= -0,289 , а координата точки 3 по той же оси
= × 0,867 = 0,578 .
3
3 3
I
Х1
Рис.6
Такой план позволяет проводить опыты в условиях ограничений, когда, например, невозможно
поставить опыт в области, расположенной выше линии I-I. Ориентируя симплекс можно добиться
удобного его расположения в исследуемой области факторного эксперимента.
В табл. 19. представлен универсальный симплекс-план. Таблица построена таким образом, что
дает возможность получить план для любого числа факторов для одного (2 опыта), двух (3 опыта) и
т.д. В общем случае для К-факторов (К+1 опыт). Каждый такой план выделен двойной линией.
Таблица 19.
Универсальная таблица симплекс-плана.
1
Фактор
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
-0,5 -0,289 -0,204 -0,158 -0,129
2
+0,5 -0,289 -0,204 -0,158 -0,129
3
0
4
0
№
опыта
...
ХК
0,578 -0,204 -0,158 -0,129
0
+0,612 -0,158 -0,129
-
1
2K ( K +
5
0
0
0
6
0
0
0
0,632 -0,129
0
+0,64
5
К
0
0
0
0
0
Коэффициенты регрессии:
N
N
A0 =
å Yn
n =1
N
=
å Yn
n =1
K+1
(63)
N
å Yn Xin
A i = n = 1N
å
n=1
2
X in
N
= 2 å Yn X in
(64)
n =1
4.3. Отсеивающий эесперимент.
Метод случайного баланса
По соотношению между числом опытов и числом факторов планы делятся на насыщенные, ненасыщенные и сверхнасыщенные.
Насыщенными называются планы, у которых N=К+1, т.е. планы, которые позволяют определить
коэффициенты модели первого порядка.
Планы, у которых N>К+1 называются ненасыщенными. Такие планы, например, рассмотренные
выше планы взвешивания, симплекс-планы, планы ДФЭ позволяют получить более сложные модели
или более того оценить адекватность моделей первого порядка, могут быть использованы для отсеивающего эксперимента.
Планы, у которых N<К+1 называют сверхнасыщенными. Они также нашли применение при отсеивающем эксперименте. Для этой цели используется метод случайного баланса, полученный Саттеравайтом [38] и обоснованный Мавлотовым [39]. Рекомендуется в тех случаях, когда заведомо известно, что число значимых факторов гораздо меньше, чем число факторов взятых под подозрение.
Этот метод имеет малую чувствительность, т.е. способность отличать малую величину от нуля.
Вместе с тем он позволяет при малых затратах труда отделить значимые коэффициенты от незначимых. Метод применяется в следующей последовательности.
1. Все факторы разбиваются на группы, обычно близкие по физической природе. Как правило в
каждую группу входит от 2-х до 6-ти факторов. За основу плана берутся планы ПФЭ и ДФЭ, предпочтительнее первые. Рассмотрим применение метода на конкретном примере.
Пусть общее число факторов К=6. Разобьем их на 2 группы, по три фактора в каждой. За основу
примем план типа 23, представленный в табл.3. Пусть таблица случайных чисел выдала нам следующую последовательность: 7, 3, 5, 6, 4, 8, 2, 1. Тогда вместо табл.3 мы получим табл.20, которая отличается от исходной только порядком следования опытов.
Воспользуемся таблицей случайных чисел еще раз. Пусть теперь эта последовательность имеет
вид 7, 6, 5, 3, 4, 2, 8, 1. Тогда план будет соответствовать табл.21 для факторов Х4, Х5, Х6. Состыкуем
эти два плана в один, представленный в табл.22.
Таблица 20.
3
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
X1
+
+
+
+
Вариант плана 2 (последовательность №2)
Фактор
X2
X3
+
+
+
+
+
+
+
+
Таблица 21.
3
Вариант плана 2 (последовательность №3)
№
п/п
X4
Фактор
X5
X6
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Таблица 22.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
Вариант сверхнасыщенного плана для шести факторов
Фактор
Х1
+
+
+
+
Х2
+
+
+
+
Х3
+
+
+
+
Х4
+
+
+
+
Х5
+
+
+
+
Х6
+
+
+
+
Y
48
13
26
17
83
21
96
12
Предположим опыт проведен, а его результаты представлены в последнем столбце табл.22. По
данным этой таблицы составим диаграмму рассеивания (рис.7.). На этой диаграмме по оси ординат отложены значения Y. Каждому из шести факторов соответствует своя вертикальная линия. Построение
диаграммы рассмотрим на примере фактора Х1. Значения Y для всех 8 опытов представим на диаграмме в виде точек. При этом, если в первом опыте Х1 = -1, то ордината, равная 48 откладывается слева от
оси.
По той же причине слева откладываются точки с ординатами 13, 17 и 96, а справа с ординатами
26, 83, 21 и 12.
Аналогично составляются диаграммы для факторов Х2, Х3, Х4, Х5 и Х6. На каждой диаграмме
проводится две медианы. В общем случае, если число N/2 - четное, т.е. N/2=2f, то медианы проводятся
как слева, так и справа посередине между f-ой и (f+1)-ой точками, если N/2 число нечетное, то через
(f+1)-ую точку. В данном случае N/2=4, т.е. число четное, f=2, а поэтому медиана проводится между
второй и третьей точками. Значения ординат каждой медианы показаны на диаграмме. Далее определяется вклад (или роль) каждого фактора как результат алгебраического сложения ординат соответствующих медиан.
Вх1 = -32,5 + 23,5 = -9
Вх2 = -34,5 + 21,5 = -13
Вх3 = -23,5 + 48 = 24,5
Вх4 = -19 + 54,5 = 35,5
Вх5 = -65,5 + 17 = -48,5
Вх6 = -37 + 19 = -18
Чем больше абсолютная величина вклада /В/, тем сильнее его влияние. На рис.8 представлена
диаграмма вкладов, из которой видно, что наиболее существенными являются факторы Х4 и Х5. Установим их на одном уровне, например на уровне “-1”. Тогда план эксперимента будет иметь вид, представленный в табл.23. При этом необходимо откорректировать значения у с учетом изменения вклада.
Поскольку в первом и четвертом опытах значения факторов не изменились, то и значения у в этих
опытах также не изменились. В опытах N2 и N6 изменилось значение фактора Х5. Поэтому надо изменить Y2 и Y6 на величину вклада Вх5, т.е. Y2н = Y2 ст - Вх5 = 13 - (-48,5) = 61,5. В опытах №3 и №8 изменились оба фактора (и Х4 и Х5).
Поэтому:
Y3н = Y3 ст - Вх4 - Вх5 = 26 - 35,5 - (-48,5) = 39,
Y8н = Y8 ст - Вх4 - Вх5 = 12 - 35,5 + 48,5 = 25
Наконец в опытах № 5 и 7 изменился только фактор Х4.
Здесь
Y5н = Y5ст - Вх4 = 83 - 35,5 = 47,5,
Y7н = Y7ст - Вх4 = 96 - 35,5 = 60,5.
Таблица 23.
№
План эксперимента (табл.22)
после корректировки вкладов.
Фактор
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
Х1
+
+
+
+
Х2
+
+
+
+
Х3
+
+
+
+
Х4
-
Х5
-
Х6
+
+
+
+
Y
48
61,5
39
17
47,5
69,5
60,5
25
Если факторы стабилизируются на уровне “+”, то вклад надо не вычитать, а прибавлять. По данным скорректированной таблицы снова составляется диаграмма рассеивания (рис.9), теперь уже для
четырех факторов Х1, Х2, Х3 и Х4, из которой находим новые вклады
В х1¢ = -61,5 + 47,7 = -13,8
В х ¢2 = -54,7 + 32 = -22,7
Вх3 = -43,5 + 54 = 10,5
Вх6 = -54,2 + 31,7 = 22,5
Т.к. наиболее велики по абсолютной величине вклады факторов X2 и X6 (они примерно одинаковы), а в соответствии с предыдущей диаграммой наиболее существенен вклад X3, который, в соответствии с новой диаграммой уже меньше фактора X1, то можно считать, что вклады всех факторов (т.е.
X1, X2, X3 и X6) одного порядка и их в дальнейшем можно или не включать в новый план или включать
все на равных правах.
В тех случаях, когда окончательное решение принять затруднительно, находят выделяющиеся
точки. Так называют точки левой части диаграммы, которые выходят за границы соответствующей,
например правой части (или наоборот). Так из рис.7 следует, что фактор X, имеет 2 выделяющиеся
точки (-96, +12), фактор X2 также 2 - (+12 и +96), фактор Х3 - 4 (+12, +13, +83, +96), фактор Х4 - 3 (+12,
+83, +96), фактор Х5 - 5 (+12, +13, -48, -83, -96) и фактор X6 -2 (+12 и -96).
Наибольшее число выделяющихся точек имеет Х5 и Х3. Т.к. фактор Х4 с меньшим числом выделяющихся точек уже отобран в число существенных, то и Х3 следует к ним присоединить, тем более,
что и по величине вклада он незначительно уступает Х4. Таким образом, в результате отсеивающего
эксперимента из шести факторов мы отбираем для дальнейших исследований три (Х3, Х4 и Х5).
50
Рис. 7. Диаграмма рассеивания.
40
30
20
10
0
X1
X2
X3
X4
X5
Рис. 8. Диаграмма вкладов.
X6
Рис. 9. Скорректированная диаграмма рассеивания.
5. МЕТОДЫ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Как правило, цель любого прикладного исследования выявление оптимальных условий протекания процесса, максимальной продуктивности, минимальных материальных и энергетических затрат,
наивысшего качества продукции. При этом задача сводится к тому, чтобы найти значения факторов,
обеспечивающих оптимальные значения выбранного критерия. Возможно два подхода к решению этой
задачи. Один из них сводится к определению оптимума непосредственно на объекте. На этом подходе
основан целый ряд методов статической оптимизации.
5.1 Метод Зайделя - Гаусса
Рассмотрим сущность метода на примере двухфакторного эксперимента. На рис. 10 представлены кривые равного уровня исследуемого отклика у в плоскостях факторов
Х1 и Х2. Пусть эксперимент начинается в точке А, с варьированием фактора X1.Шаг вправо даёт уменьшение у. Поэтому в дальнейшем X1 уменьшается. Движение вдоль линии 1-1 происходит
до тех пор, пока у растет и достигнет максимума в точке В. После
этого направление движения меняется и оно происходит вдоль оси
Х2. Т.к. уменьшение Х2 ведет к уменьшению у, то движение идет в
сторону увеличения Х2 и достигает максимума в точке С. После
этого направление движения снова изменяется и оно продолжается
до локального максимума в точке Д и т.д. Таким образом, суть меРис. 10. Кривые равного
тода состоит в поочередном варьировании каждого фактора до
уровня
достижения частного экстремума. Преимущество метода - его простота, а недостаток - низкое быстродействие.
5.2 Метод сканирования
Метод сканирования предусматривает полный перебор всех возможных вариантов. Чтобы их
число было конечным, метод должен быть дискретным. Применительно к двухфакторному эксперименту (рис. 11) это означает, что
факторы X1 и Х2 могут приобретать лишь определенные, для удобства - целочисленные значения, которые могут характеризоваться
неименованными величинами или просто номером. Иными словами опыт может ставиться лишь в узлах решетки, создаваемой дискретными значениями факторов. Для полного перебора всех точек
движение можно начать из начала координат и двигаться вдоль
одного из факторов, например X1. При достижении точки с координатами [9.0] мы проводим опыт в точке [9.1] и дальше перемещаемся вдоль X1 в обратную сторону. Полная траектория движеРис. 11
ния, обеспечивающая перебор всех точек, показана на рис.11 жирной линией. Значения у во всех точках сравниваются между собой и выбирается наибольшее (наименьшее). Преимущество метода заключается в том, что он позволяет найти глобальный оптимум. Недостаток метода - малое быстродействие.
5.3. Метод случайного поиска
Известно несколько методик случайного поиска [39]. В соответствии с одной из них движение
начинается из произвольной точки А. Задаемся пробным r и рабочим а шагом. При этом пробный шаг
выбирается равным 3...4 ошибкам опыта, а рабочий 10 ошибкам опыта. Пусть, например, пробный шаг
равен 5 единицам, а рабочий 15. Пробный шаг должен быть сделан в случайном направлении. Предварительно этот шаг раскладывается на составляющие по координатным осям r x и r y. Первая из этих
составляющих r x, находится по таблице случайных чисел, как первое
число, меньшее р. Пусть r x1=4. Вторая составляющая:
r y1 = r 2 - r x21 = 5 2 - 42 = 3 .
Направление движения также определяется по таблице случайных
чисел. Если r x1 предшествует четное число, то вектор этой величины
направляется вправо, если нечетное - влево. Аналогично поступают с
r x2. Тем самым определяется направление движения к оптимуму АВ.
Следовательно, второй опыт проводится в точке В. Если в этой точке
Рис. 12
критерий оптимизации у больше чем в точке А (при условии, что имеется максимум), то направление выбрано удачно и в том же направлении делается рабочий шаг. Если
же в точке В величина у меньше, чем в точке А, то это означает, что направление выбрано неудачно и
рабочий шаг делается в противоположном направлении.
Движение в выбранном направлении (с рабочим шагом) продолжается до тех пор пока у растет.
Если, например, дальнейшие шаги после точки В дают уменьшение у, то в этой точке определяется но-
вое направление движения. Такая процедура повторяется до тех пор, пока не начнется вращение вокруг какой-либо точки, что будет говорить о том, что оптимум достигнут. При числе факторов к=3 и
более независимых шагов будет на единицу меньше, чем факторов. Тогда шаг последнего фактора вычисляется как:
m- 1
r Xk = r - å r i2
2
(59)
i= 1
m -1
Правда, может оказаться, что p 2 < å p i2 . Тогда определяют сумму лишь m-2 факторов, а шаг вдоль
i =1
остальных факторов принимают равным нулю. Зато следующий шаг начинает определяться с первого
из факторов, значения которых в предыдущем опыте были равны 0.
5.4. Метод градиента
Суть метода градиента состоит в поиске кратчайшего пути к оптимуму. В точке начала движения А (рис.13) ставят полный или дробный
факторный эксперимент, который в узком диапазоне может дать линейную аппроксимацию функ
ции, т.е. получить уравнение
y = A 0 + A 1 X 1 + A 2 X 2 + ...
Рис. 13
gradj =
(60)
Известно, что градиент функции
¶j
¶j
¶j
i+
j+
k + ...
¶X 1
¶X 2
¶X 3
(61)
Поэтому
grad y = A 1 i + A 2 j + A 3 k + ...
(62)
т.е. коэффициенты регрессии являются частными производными по координатным осям, что позволяет
легко определить направление движения. Впрочем, факторный эксперимент проводить необязательно.
Его можно заменить шаговой процедурой, которая состоит в следующем. От точки А делают шаг влево
DX1 и шаг вправо DX2, измеряя при этом величину у. Тогда:
A1 =
Dy 1
¶y
=
¶X 1 2 D X 1
(63)
где Dy - разность значений у между левой и правой точками.
Аналогично A 2 =
Dy 2
¶y
=
, где DX2 – шаг вдоль оси Х2, а Dy2 - разность значений у между
¶X 2 2 D X 2
верхней и нижней (вдоль X2) точками.
Движение в выбранном направлении продолжается до тех пор, пока у растет. Как только этот
рост прекращается, процедуру можно повторить. Если при очередной процедуре y уже не растет, значит оптимум найден. Рассмотрим более подробно одну из модификаций метода градиента - метод крутого восхождения.
5.5. Метод крутого восхождения
(метод Бокса-Уилсона)
После выбора исходной точки А, которая принимается за центр эксперимента, проводится полный или дробный факторный эксперимент. Интервал варьирования выбирается таким образом, чтобы
в выбранном диапазоне функция у была линейной. Обычно, как уже отмечалось, такой интервал принимается равным 10 ошибкам опыта. После проведения ПФЭ или ДФЭ определяется шаг движения по
каждому фактору: шаг вдоль оси X1 – h1, вдоль оси Х2 – h2, и т.д. При этом
h i = A i DX i
(63а)
где DX i - интервал варьирования по оси X i в абсолютных единицах. Полученные таким образом шаги
можно пропорционально по всем факторам или увеличить, или уменьшить. Процедуру движения к оптимуму для трехфакторного эксперимента представим себе на примере табл. 24.
Таблица 24
Пример расчета начального
этапа движения к оптимуму
Параметры
траектории
движения
Координаты
исходной
точки
Х1
Х2
Х3
y
60
40
100
20
Ai
5
8
10
DX i
30
20
40
hi
150
160
400
Примечания
Шаг получился
большой, его
надо скорректи-
hik
10
11
27
ровать
Примерно 10
ошибок опыта
Координат
следующей
к+1 точки
70
51
121
Т.к. Аi>0
X2
Координаты следующей точки X i ( k +1) определяются по формуле:
X i ( k +1) = X ik + h ik ,
X2
X1
2`
X1
Рис. 15
(64)
где X ik - координаты исходной точки;
h ik - скорректированный шаг движения к оптимуму.
Такая процедура работает до тех пор пока у растет. Если какойто фактор имеет ограничения, то его стабилизируют на максимально
(минимально) возможном уровне, а другие продолжают изменять с
тем же шагом. После достижения максимального значения у, например в точке В, необходимо проводить новый ПФЭ (ДФЭ), определять
коэффициенты регрессии, новый шаг и снова двигаться к оптимуму.
Как только такой эксперимент даст неадекватное выражение для у
ставится план 2-го порядка, составляется соответствующее уравнение
и находится оптимум. Если есть подозрения, что существует несколько оптимумов, то рекомендуется
начинать движение от разных исходных точек, располагаемых в разных областях факторного пространства.
5.6. Метод последовательного симплекс-планирования
Первоначально опыт проводится в соответствии с симплекс-планом, изложенным в §4.2, в вершинах треугольника. Диапазон варьирования факторов принимается в пределах 5...10 ошибок опыта.
Определяем выход в точках опыта 1,2,3 (рис.14).
Предположим, что y1>y2>y3. В этом случае отбрасывается вершина с наименьшим значением у
(т.е. у3) и симметрично точке 3, ставится новый опыт в точке 3¢ . Снова сравниваются выходы и отбрасывается наименьший. Пусть при этом y 1 > y ¢3 > y 2 . Тогда очередной опыт проводим в точке 2 ¢ , симметричной точке 2 относительно линии, 1 - 3¢ Таким образом, движение к оптимуму будет происходить
путем отбрасывания «худшей» точки эксперимента и замены ее новой, симметричной точкой. Процедура повторяется до тех пор, пока не начнется вращение треугольника вокруг какой-то точки. Она-то и
является точкой оптимума. Иногда опыт приводит к возврату к исходному симплексу. В этом случае
применительно к нашему примеру надо отбросить не точку минимального значения у, а следующую по
малости точку. Помимо графического способа определения координаты симплекса существует и соответствующий аналитический аппарат [42]. Так для двухмерного симплекса:
X¢13 = X 11 + X12 - X13 ,
(65)
X ¢23 = X 21 + X 22 - X 23
(66)
Здесь X12 означает координату точки 2 по первому фактору, т.е. первая цифра индекса указывает
на номер фактора, а вторая на номер точки; X¢13 - координата по оси X1 точки, симметричной точке 3
относительно линии 1-2. Проще говоря, координата новой точки по любой оси равна сумме координат
остающихся точек минус координата отбрасываемой точки.
Аналитический метод позволяет определять координаты новых точек и в случае многомерного
симплекса. При этом:
+2
=
XK
i
2 K
å X j=1 - X i отбр ,
K j=1
(67)
Здесь X Ki + 2 - значение 1-го фактора в новой (К+2)-ой точке симплекса;
X ij - значение i-го фактора в j-ой точке;
X i отбр - значение i-го фактора в отбрасываемой точке
Под знаком суммы стоит сумма координат остающихся точек симплекса.
Применение симплекс-метода дает следующие преимущества:
1. В процессе исследования на любом этапе можно подключить еще одну переменную, влияние
которой ранее не было обнаружено.
2. Если существуют какие-то ограничения на величину факторов, то движение может осуществляться вдоль границ.
3. Не требуется никаких статистических вычислений.
4. Метод можно применить при проведении не только факторного, но и численного эксперимента.
5. Этот метод используется для оптимизации даже в том случае, если отсутствует критерий оптимизации или этих критериев несколько.
6. Не требуется дублирование опытов, т.к. случайные ошибки исправляются в процессе опытов.
7. Метод обеспечивает большее быстродействие при значительной точности и большую точность
при значительном быстродействии.
Недостатки метода:
1. Он не позволяет обнаружить несколько оптимумов.
2. Имеется возможность «проскочить» оптимум в том случае, если размеры симплекса слишком
велики.
3. В ряде случаев движение к оптимуму происходит «петлями» или «зигзагами», что существенно
затягивает эксперимент.
5.7. Метод ускоренного симплекс-планирования
На рис. 16 показаны траектория движения симплекса и точки
пересечения медиан. Последняя траектория состоит из петель. Их
можно избежать, если выполнять опыты, соответствующие лишь заштрихованным симплексам. Если y3>y2>y1, то можно отбрасывать не
только точку 1, но и точку 2, хотя только в том случае, если
y 3 - y 2 > y 2 - y 1 , т.е. y2 и y1 близки по своим значениям, а y3 значительно больше, чем y2 и y1. При этом отбрасывается две вершины 1 и
2. Новые точки получаются путем продолжения сторон 1-3 и 2-3, приРис. 16.
чем отрезок 1-3 равен отрезку 3-5, а отрезок 2-3 равен отрезку 3-6.
Поэтому можно записать координаты новых точек:
точки 5
точки 6
X 15 = 2 X 13 - X 11
X 25 = 2 X 23 - X 21
X 16 = 2 X 13 - X 12
X 26 = 2 X 23 - X 22
При работе с К-мерными симплексами число отбрасываемых точек может быть и больше. В частности, в трехмерном пространстве можно отбрасывать до трех точек. В последнем случае координата
новой точки будет равна удвоенной координате остающейся точки минус координаты отбрасываемой
симметричной точки. В общем случае для определения координаты новой точки можно пользоваться
формулой:
+2
=
XK
i
K - ( n -1 )
2
å X ij ост - X i отбр
K - (n - 1) j=1
(68)
Здесь К – число факторов;
n - число отбрасываемых точек;
j - номер остающейся точки;
Xi отбр - координаты отбрасываемой точки.
5.8. Дискретное (целочисленное)
симплекс-планирование
X2
0
1
2 3 4 5 6
Рис. 17.
7
X1
В этом случае все факторное пространство разделяют с помощью плоскостей, параллельных координатным плоскостям, на отдельные кубы или при многомерном пространстве на гиперкубы. Таким образом, факторы приобретают только целые значения, т.к. опыты проводятся только в узлах решетки. Суть метода удобно показать
на примере двухфакторного эксперимента (рис. 17). Сначала произвольно выбираем начальную точку А. Затем задаем шаг вдоль оси X1
и делаем опыт в точке В. Аналогично делаем один шаг вдоль оси Х2 и
ставим опыт в точке С. Тем самым получаем результаты эксперимента
в трех точках нерегулярного симплекса. Если наихудшие результаты
получены в точке С, то ставится опыт в точке C¢ , если в точке В, то
ставится симметричный опыт в точке B¢ . При наихудших результатах в точке А очередной опыт ставится в точке A ¢ . Таким образом, и в этом случае движение к оптимуму происходит путем отбрасывания наихудшей точки. И в этом случае движение будет происходить до тех пор, пока симплекс не будет вращаться вокруг одной точки, координаты которой и будут приняты за точку оптимума. И здесь
возможен случай, когда отбрасываются сразу две точки.
Несколько сложнее осуществить поиск оптимума при трехфакторном эксперименте, поскольку
невозможно изобразить все экспериментальные точки в одной плоскости. Конечно, здесь можно воспользоваться правилами начертательной геометрии, но существует более простой, формализованный
подход [43] к решению поставленной задачи. Пусть координаты исходной точки 1 (т.е. дискретные
значения факторов) следующие: Х1=8; Х2=4; Х3=2, а значения выходной величины в этой точке у1
(табл. 25), координаты следующих точек определяются путем изменения каждой из координат в произвольном направлении на один шаг.
Таблица 25
№
1
X1
8
X2
4
X3
2
y
y1
2
7
4
2
y2
3
8
3
2
y3
4
8
4
3
y4
В этих точках также проводится эксперимент и определяется у. Предположим, что наихудшая
точка у4. Это значит, что назначенное движение вдоль оси Х3 выбрано неудачно и двигаться стоит в
противоположном направлении, т.е. опыт №5 надо поставить в точке с координатами [8,4,1]. Если
наихудшим окажется опыт в точке 2, то следующий опыт надо производить в точке [9,4,2], а если в
точке 3, то следующий будет в точке [8,2,2]. Может оказаться, что наихудший результат будет в исходной точке. В этом случае надо изменять координату центра эксперимента и проводить опыт в точке
[7,5,3].
Предположим далее, что y1<y2<y3<y4, причем y2-y1<<y4-y3, т.е. у1 и у3 примерно одинаковы и значительно меньше, чем у3. В этом случае целесообразно отбросить сразу две точки (1 и 2). Координаты новой точки [8,2,2] и [9,4,4].
В заключении отметим, что методы симплекс-планиро-вания особенно эффективны в производственных условиях.
Y y X xY y X x
11 12 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
6.Планирование эксперимента с качественными факторами
В технологических исследованиях часто приходится
иметь дело с влиянием
неоднородностей. Выше отмечалось, что такими неоднородностями являются
различия в плодородии почвы, качестве семян, квалификации персонала, качества корма. Эти неоднородности влияют
и на результат эксперимента, точность
оптимизации, выбор режимов работы оборудования. Поэтому выявление и оценка этих неоднородностей, их влияния
на технологические процессы является одной из важнейших задач эксперимента [5, 40]. Для решения этих задач потребовалась разработка специальных планов эксперимента, которые получили название комбинаторных. К числу комбинаторных планов относят латинские и греко-латинские квадраты [41], латинские кубы, параллелепипеды, частотные
квадраты и различные блок-схемы.
6.1. Латинские квадраты.
Латинским квадратом называют таблицу из n-элементов (букв или чисел), в которой каждый элемент встречается
в каждой строке и каждом столбце один
раз.
Известны латинские квадраты:
а) 3х3
б) 4х4
в) 5х5
АВС
АВСD
АВСDЕ
ВСА
ВСDА
ВСDЕА
САВ
СDАВ
СDЕАВ
DАВС
DEABC
EABCD
При планировании эксперимента строки и столбцы квадрата используются для обозначения уровней двух факторов,
которые характеризуют факторный эксперимент типа n?.
Так на базе латинского квадрата 3х3 создается план, представленный в таблице 26. При этом изучается влияние трех
факторов, каждый из которых изменяется на трех уровнях. На базе латинского квадрата 4х4 изучается влияние трех
факторов, но уже на четырех уровнях (табл.27)
табл.26 Латинский квадрат 3х3
Фактор В
фактор А
a1
a2
a3
b1
b2
С1
С2
С3
b3
С2
С3
С3
С1
С1
С2
табл.27 Латинский квадрат 4х4
Фактор
В
b1
b2
b3
b4
C1
C2
C3
C2
C3
C4
C3
C4
C1
C4
C1
C2
Фактор А
a1
a2
a3
a4
C4
C1
C2
C3
В плане табл.28 изучается влияние трех факторов на пяти уровнях. Два из
них образуют факторный эксперимент 5?, пять источников неоднородностей образуют 5х5 латинский квадрат. Здесь каждый элемент встречается по одному разу в каждом столбце и строке.
табл.28 Латинский квадрат 5х5
Фактор
b1
b2
b3
b4
b5
В
Фактор А
a1
a2
a3
a4
a5
C1
C2
C3
C4
C5
C2
C3
C4
C5
C3
C4
C5
C1
C4
C5
C1
C2
C5
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C4
Рассмотрим пример. Пусть необходимо сравнить эффект от работы четырех различных машин в четырех режимах обработки на четырех различных составах сырья. Пусть план эксперимента представлен в таблице 29. Составы сырья
обозначены латинскими буквами A, В, С, D.
табл.29.План эксперимента по методу латинских квадратов
Режим
I
Машина
I
C
II
D
III
A
IV
B
II
III
IV
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
Результаты эксперимента приведены в таблице 30. Порядок обработки следующий:
Табл.30.
Результаты эксперимента по методу латинских квадратов
Режим
I
II
III
IV
Итоги по
столбцам
Машина
I
0.27
0.21
0.18
0.68
1.34
II
0.18
0.16
0.17
0.74
1.25
III
0.17
0.23
0.39
0.81
1.6
IV
0.75
0.99
0.94
0.98
3.66
Итоги по
строкам
Среднее по
строкам
1.37
1.59
1.68
3.21
7.85
0.343
0.398
0.42
0.802
Средние по
столбцам
0.335
0.312
0.4
0.915
1. Подсчитываются итоги и средние значения по строкам Fi, а также по столбцам Уi и буквам Hi. Результаты
также приведены в таблице 30.
2. Подсчитываются итоги по буквам и средние значения.
?Аi=0, 17+0, 99+0, 18+0, 74=2, 08 Аср.=0, 52
?Вi=0, 21+0, 17+0, 81+0, 75=1, 94 Вср.=0, 48
?Сi=0, 27+0, 16+0, 39+0, 98=1, 8
Сср.=0, 45
?Di=0, 68+0, 18+0, 23+0, 94=2, 03 Dср.=0, 51
3. Суммы квадратов результатов всех наблюдений:
SS1=0.27І+0.18І+0.17І+0.75І+0.21І+0.16І+0.23І+0.99І+0.18І+0.17І+0.39І+0.94І+
+0.68І+0.74І+0.81І+0.98І=0.0729+0.0324+0.0289+0.5625+0.0441+0.0256+0.0529+
+0.9801+
7. Квадрат общего итога, деленный на число ячеек квадрата (число опытов), -корректирующий член.
SS 5 =
L2 L2 7.85 2
=
=
= 3.85
16
N
n2
8. Сумма квадратов для строки:
SS a = SS 2 - SS 5 = 4.38 - 3.85 = 0.53
9. Сумма квадратов для столбца:
SSв = SS 3 - SS 5 = 4.83 - 3.85 = 0.98
10. Сумма квадратов для буквы:
SS c = SS 4 - SS 5 = 3.86 - 3.85 = 0.01
11. Общая сумма квадратов:
SS общ = SS 1 - SS 5 = 5.52 - 3.85 = 1.67
12. Остаточная сумма квадратов (оценка ошибки эксперимента):
SS ocт=SSобщ –(SSa +SSb+SSс)=1.67-(0.53+0.98+0.01)=0.15
13. Результаты расчета сводятся в табл.31
Табл.31. Дисперсионный анализ латинского квадрата 4х4:
Источник
Число стеСумма
Средний
Критерий
изменчивости пеней свободы Y квадратов квадрат
Фишера
3
0.53
0.177
8.85
Строки
(режим)
Столбцы
3
0.98
0.327
16.3
(машина)
Латинские бу- 3
0.01
0.003
0.15
квы(состав
сырья)
ошибка
6
0.15
0.02
итого
15
1.67
14. Значимость линейных эффектов (по критерию Фишера):
S a2
0.177
= 8.85
Fctp = 2 =
0.02
S oct
S b2
0.327
= 16.3
Fct = 2 =
0.02
S oct
Fбукв =
S c2
S
2
oct
=
0.003
= 0.15
0.02
Т.к. для 5% уровня значимости, число степеней свободы γ1=3 и γ2=6 Fтабл.=4.76, то два фактора (режим и машина)
оказались значимыми, а третий фактор (состав сырья) – незначимым.
Приложение П-1
x 2 – распределения
n
Уровень значимости,%
1
6,35
3,84
2,71
2
9,21
5,99
4,01
3
11,35
7,82
6,25
4
13,28
9,49
7,78
5
15,09
11,07
9,24
6
16,81
12,59
10,65
7
18,48
14,07
12,02
8
20,09
15,51
13,36
9
21,67
16,92
14,68
10
23,21
18,31
15,99
11
12
24,73 26,22
19,68 21,03
17,28 18,55
13
27,69
22,36
19,81
14
29,14
23,69
21,06
Уровень значимости%
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
1
5
10
30,58
25,00
22,31
32,00
26,30
23,54
33,41
27,59
24,77
34,81
28,87
25,99
36,19
30,14
27,23
37,57
31,41
28,41
38,93
32,67
29,62
40,29
33,92
30,81
41,64
35,17
32,01
42,98
36,42
33,20
44,31 45,64
37,65 38,89
34,38 35,56
46,96
40,11
36,74
48,28
41,34
37,92
1
5
10
n
x 2 – распределения
n
Уровень значимости,%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
6,35
9,21
11,35
13,28
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,73
26,22 27,69 29,14
5
3,84
5,99
7,82
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03 22,36 23,69
10
2,71
4,01
6,25
7,78
9,24
10,65
12,02
13,36
14,68
15,99
17,28
18,55 19,81 21,06
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
1
30,58
32,00
33,41
34,81
36,19
37,57
38,93
40,29
41,64
42,98
44,31
45,64 46,96 48,28
5
25,00
26,30
27,59
28,87
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,42
37,65
38,89 40,11 41,34
10
22,31
23,54
24,77
25,99
27,23
28,41
29,62
30,81
32,01
33,20
34,38
35,56 36,74 37,92
n
Уровень значимости,%
13
27
14
28
x 2 – распределения
x2
n
Уроверь
значимости,%
1
6,35
3,84
2,71
2
9,21
5,99
4,01
3
11,35
7,82
6,25
4
13,28
9,49
7,78
5
15,09
11,07
9,24
6
16,81
12,59
10,65
7
18,48
14,07
12,02
8
20,09
15,51
13,36
9
21,67
16,92
14,68
10
23,21
18,31
15,99
11
24,73
19,68
17,28
12
26,22
21,03
18,55
13
27,69
22,36
19,81
14
29,14
23,69
21,06
Уроверь
значимости,%
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
1
5
10
30,58
25,00
22,31
32,00
26,30
23,54
33,41
27,59
24,77
34,81
28,87
25,99
36,19
30,14
27,23
37,57
31,41
28,41
38,93
32,67
29,62
40,29
33,92
30,81
41,64
35,17
32,01
42,98
36,42
33,20
44,31
37,65
34,38
45,64
38,89
35,56
46,96
40,11
36,74
48,28
41,34
37,92
1
5
10
n
Приложение П-2
Таблица случайных чисел
1
08
61
60
08
99
28
92
84
99
34
81
38
98
56
07
46
67
67
38
76
76
32
39
91
83
2
10
66
45
42
52
68
86
99
02
89
55
93
99
65
86
57
71
23
04
16
45
87
37
88
35
3
34
28
47
06
15
82
13
10
74
02
88
25
01
03
14
17
89
05
40
62
39
37
17
38
58
4
30
06
33
58
24
72
38
58
65
87
52
83
03
30
79
65
98
85
32
42
14
44
29
58
22
5
28
41
86
57
45
43
43
38
21
82
14
11
63
63
03
76
73
86
07
29
43
42
17
60
62
6
17
15
49
09
89
79
71
58
29
78
96
73
08
75
83
16
67
26
86
37
72
80
53
84
61
7
36
02
44
05
25
41
88
99
04
26
92
24
38
52
78
27
06
21
74
65
91
46
21
05
86
8
45
64
22
92
49
62
98
22
96
78
27
94
32
89
10
39
16
78
60
95
12
38
97
11
97
9
78
25
93
73
56
34
97
36
43
07
21
74
58
64
82
03
18
17
92
32
29
73
54
64
92
10
29
66
93
01
79
18
09
42
06
94
93
95
91
69
20
35
02
13
58
26
06
90
67
27
60
11
73
51
43
55
95
63
60
83
26
82
39
83
99
67
66
72
56
90
41
73
50
29
69
23
42
12
75
68
65
06
28
67
56
24
99
04
62
92
09
28
60
12
91
99
36
01
87
87
90
83
51
13
55
03
92
14
57
10
66
12
38
33
88
91
33
02
88
81
70
44
92
05
71
79
19
79
50
14
20
78
13
15
72
74
09
67
35
04
62
99
01
60
62
98
55
23
90
45
76
72
21
12
34
Литература
1. Налимов В.В., Чернова Н.А. - Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М. «Наука», 1965.
2. Митропольский А.К. - Техника статистических вычислений. М. «Наука». ГРФМЛ., 1971.
3. Синьков В.М., Пересыпкина С.И., Филиппов Н.М. Математические задачи сельской электрификации. Киев.
»Вища школа», 1978.
4. Реклейтис Г., Рейвиндран ., Рэгсдел К. - Оптимизация в технике, кн.1 и 2 М.»Мир», 1986.
5. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. - Планирование эксперимента в условиях неоднородностей. М. «Наука», 1973.
6. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. - Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М. «Металлургия», 1978.
7. Балакирев В.С., Дудников Е.Г., Цырлин А.М. - Экспериментальное определение динамических характеристик
промышленных объектов управления. М. «Энергия», 1967.
8. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. - Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М. «Наука», 1977.
9. Грабауров В.А., Пащенко Ф.Ф. - Моделирование и
оптимизация биотехнических систем. РИСХМ. Ростов-наДону, 1986.
10. Кассандрова О.Н., Лебедев В.Д. - Обработка результатов наблюдений «Наука», ГРФМЛ, М, 1970.
11. Гальчук В.Я., Соловьев А.П. - Техника научного
эксперимента Л-д «Судостроение», 1982.
12. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М. «Наука», 1976.
13. К.Дэниел - Применение статистики в промышленном эксперименте М. «Мир», 1979.
14. Горский В.Г., Адлер Ю.П. - Планирование промышленных экспериментов (Модели статики). М, Металлургия, 1975.
15. Попова С.А. - Исследование математических моделей продуктивности при разработке энергосберегающих
систем автоматического управления обогревом теплиц. В
сб. «Оптимизация микроклимата и тепловых процессов в
сельском хозяйстве». Научные труды ЧИМЭСХ. Челябинск
1986.
16. Попова С.А. - Энергосберегающая система автоматического управления температурным режимом в теплице.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Челябинск, 1995 г.
17. Дьякова Н.С., Круг Г.К. - Применение методов
ранговой корреляции при обработке качественной информации. Труды МЭИ, вып. LXVII, Москва, 1966.
18. Кенуэл М. - Ранговые корреляции. М. «Статистика», 1975.
19. Бондарь А.Г. и Статюха Г.А. - Планирование эксперимента в химической технологии. Киев. «Вища школа»,
1976.
20. Певчев Ю.Ф., Финогенов К.Г. - Автоматизация физического эксперимента. М. Энергоатомиздат, 1986.
21. Федоров В.В. - Последовательные методы планирования эксперимента при изучении механизма явлений. В
кн. «Новые идеи в планировании эксперимента». «Наука»,ГРФМЛ, М. 1969.
22. Fisher R.A. The design of experiments. London, Oljver and Boud, 1935/
23. Box 9.E.P/, Wilson K.B. On the Experimentаl Attаinment of Optimal Conditions. - J. Roy. Stat. Soc, Ser. B, 13,
№1, 1-45 (1951)
24. Некоторые вопросы математического описания и
оптимизации многофакторных процессов. Сб. статей под
редакцией Г.К. Круга. Труды МЭИ. 1963, вып. 51.
25. Листопад И.А. - Планирование эксперимент в исследованиях по механизации сельскохозяйственного производства. Агропромиздат. М, 1984.
26. Налимов В.П. - Теория эксперимента. М. «Наука»,
1971.
27. Тихомиров В.Б. - Математические методы планирования эксперимента при изучении нетканых материалов.
М, 1968.
28. Бродский В.З. - Введение в факторное планирование эксперимента. М. «Наука», 1976.
29. Дегтярев Д.И. - Методы оптимизации «Советское
радио». М, 1980.
30. Батищев Д.И. - Поисковые методы оптимального
проектирования. М. «Советское радио», 1975.
31. К. Хартман, Э.Лецкий, В.Шефер и др. - Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М. «Мир», 1977.
32. Вольф В.Г. - Статическая обработка опытных данных. М. Колос, 1966.
33. Файн В.Б.,Каменир Э.А., Знаев А.С. - Выбор оптимального числа повторностей при организации эксперимента. М. и Э. с.х-ва № 10, 1980.
34. Поздняков Б.П. - Методы статистического контроля и исследования текстильных материалов. М. Легкая индустрия, 1978.
35. Закгейм Д.А. - О некоторых рекомендациях при
планировании эксперимента. В сб. «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях».М.,
1974.