KOMPLEKS SONLAR
Ma’ruzachi: f.-m.f.d. (PhD) Xayriyev U
7-oktabr, 2025
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
1 / 30
MUNDARIJA
1
Kompleks sonlar.
2
Kompleks son tushunchasi.
3
Kompleks sonlar ustida amallar.
Kompleks sonlarni qo‘shish va ayirish.
Kompleks sonlarni ko‘paytirish va bo‘lish.
4
Kompleks sonlarning yozilish shakllari.
Kompleks sonning algebraik shakli.
5
Kompleks sonlarning geometrik shakli.
Kompleks sonning trigonometrik shakli.
6
Kompleks sondan ildiz chiqarish, Muavr formulasi. Birning ildizlari.
7
Birning ildizlari.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
2 / 30
Kompleks sonlar.
Kvadrat ildiz chiqarish amali barcha haqiqiy sonlar uchun
aniqlanmaganligi sababli har qanday kvadrat tenglama ham haqiqiy
sonlar to‘plamida yechimga ega bo‘lmaydi.
Bu masala hamda uchinchi va to‘rtinchi darajali tenglamalarni
yechishda yuzaga kelgan ko‘plab masalalar haqiqiy sonlar to‘plamini
kompleks sonlar to‘plamigacha kengaytirishga taqozo etdi.
Keyinchalik kompleks sonlar matematika va amaliy matematikaning
ko‘pchilik muhim masalalarini yechishga tadbiq qilindi va hozirgi
matematikani kompleks sonlar tushunchasisiz tasavvur qilib bo‘lmaydi
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
3 / 30
Kompleks son ta’rifi.
1-Ta’rif
z = x + iy ko‘rinishidagi ifoda kompleks son deyiladi, bunda x va y haqiqiy sonlar, i esa i 2 = −1 tenglik bilan aniqlanadi va u mavhum
birlik deb ataladi.
x va y kopmleks sonning mos ravishda haqiqiy va mavhum qismi
deyiladi va
x = Rez, y = Imz
ko‘rinishida belgilanadi.
Agar y = 0 bo‘lsa, z = x–haqiqiy son, agar x = 0 bo‘lsa, z = iy –sof
mavhum son bo‘ladi. Shunday qilib, haqiqiy va mavhum sonlar z
kompleks sonning xususiy holidir
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
4 / 30
2-Ta’rif
Agar ikkita z1 = x1 + iy1 va z2 = x2 + iy2 kompleks sonlarning haqiqiy
va mavhum qisimlari o‘zaro teng bo‘lsa,ya’ni x1 = x2 va y1 = y2 bo‘lsa,
bu kompleks sonlar teng deyiladi, ya’ni z1 = z2 .
3-Ta’rif
z = x + iy kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismlari nolga teng
bo‘lsagina, u nolga teng bo‘ldi, ya’ni agar x = 0 va y = 0 bo‘lsagina
z = 0 , va aksincha.
4-Ta‘rif
Mavhum qismlari bilan farq qiluvchi ikkita kompleks son qo‘shma
kompleks sonlar deyiladi.z = x + iy va z = x − iy
5-Ta’rif
Haqiqiy va mavhum qismlarining ishoralari bilan farq qiluvchi ikkita
z = x + iy
va
z = −x − iy
kompleks son qarama-qarshi kompleks sonlar deyiladi.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
5 / 30
Kompleks sonlar ustida amallar.
6-ta’rif.
Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallari aniqlangan C
to‘plamga kompleks sonlar to‘plami, uning elementlari esa kompleks
sonlar deb ataladi.
Kompleks sonlar to‘plamining (x, 0) ko‘rinishidagi elementlari
to‘plamini R1 orqali belgilaymiz. C to‘plamda kiritilgan qo‘shish va
ko‘paytirish amallarini R1 to‘plamda qaraymiz:
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0),
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 x2 , 0).
Ushbu tengliklardan ko‘rinadiki, R1 to‘plamdagi qo‘shish va ko‘paytirish
amallari, haqiqiy sonlar to‘plamidagi amallar kabi aniqlanadi.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
6 / 30
Kompleks sonlar ustida amallar.
Agar z1 = x1 + iy1 va z2 = x2 + iy2 ikkita kompleks son berilgan bo‘lsa,
ular ustiada algebraik amallar quyidagicha bajariladi:
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i
z1 − z2 = (x1 + iy1 ) − (x2 + iy2 ) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i
z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i
x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2
z1
z1 · z2
(x1 + iy1 ) · (x2 − iy2 )
=
=
=
+
i.
z2
z2 · z2
(x2 + iy2 ) · (x2 − iy2 )
x22 + y22
x22 + y22
Kompleks sonlarni darajaga ko‘tarish ikkihadni darajaga ko‘tarish kabi
bajariladi, bunda i sonning darajalari quyidagi formulalar bilan
aniqlanadi.
i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1, va x. k.
Umuman olganda,
Matematika kafedrasi
i 4k = 1, i 4k +1 = i, i 4k +2 = −1, i 4k +3 = −i.
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
7 / 30
Kompleks sonlar ustida algebraik amallar.
Kompleks sonlarni qo‘shish.
z1 = 1 + 3i, z2 = −3 − 2i bo‘lsa, z1 + z2 yig‘indini hisoblang.
z1 + z2 = (1 + 3i) + (−3 − 2i) = (1 + (−3)) + (3 + (−2))i = −2 + i.
Kompleks sonlarni ayirish.
z1 = 3 + 4i va z2 = 4 − 9i bo‘lsa, 2z1 − z2 ni hisoblang.
2z1 − z2 = (6 + 8i) − (4 − 9i) = (6 − 4) − (8 − (−9)) = 2 − 17i.
Kompleks sonlarni ko‘paytirish.
z1 = 1 + 3i va z2 = −3 + i bo‘lsa, z1 · z2 ni hisoblang.
z1 · z2 = (1 + 3i)(−3 + i) = (1 · −3 − 3 · 1) + (1 · 1 + 3 · −3) = −6 − 8i.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
8 / 30
Kompleks sonlarni bo‘lish.
z1
z1 = 1 + 2i va z2 = 3 + i bo‘lsa,
ni toping.
z2
z1
kasrning surat va maxrajini z2 ga ko‘paytirib, topamiz:
z2
z1
1 + 2i
(1 + 2i)(3 − i)
3 + 6i − i + 2
5 + 5i
1 1
=
=
=
=
= + i.
z2
3+i
(3 + i)(3 − i)
9+1
10
2 2
Mustaqil yechish uchun misollar.
Berilgan kompleks sonlarning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paymasi va
bo‘linmasini toping:
1)
z1 = −5 + 3i,
va
z2 = 2 − 4i;
2)
z1 = −3 − 4i
va
z2 = 2 + 3i;
3)
z1 = 8 − 3i
Matematika kafedrasi
va
z2 = 2 + 3i.
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
9 / 30
Kompleks sonning alberaik shakli.
R1 va R to‘plamlar orasida f (x, 0) = x kabi f : R1 → R akslantirishni
qarasak, ushbu akslantirish biyektiv bo‘lib, yuqoridagi tengliklardan
uning ko‘paytma va yig‘indi amallarini saqlashi kelib chiqadi. Demak,
(x, 0) = x deb olish mumkin.
Agar (0, 1) elementni i orqali belgilasak,
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1
bo‘ladi. Ushbu i ∈ C elementga mavhum birlik deyiladi.
Ixtiyoriy (x, y ) ∈ C uchun
(x, y ) = (x, 0) + (0, y ) = (x, 0) + (y , 0) · (0, 1) = x + iy
tenglikni qarasak, C kompleks sonlar to‘plamining ixtiyoriy elementini
z = x + iy
shaklda yozish mumkinligi kelib chiqadi. Kompleks sonning ushbu
ko‘rinishiga uning algebraik shakli deyiladi.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
10 / 30
Kompleks sonning qo‘shmasi.
Kompleks sonning algebraik shaklidagi a songa kompleks sonnning
haqiqiy qismi deyiladi va Re(z) orqali belgilanadi. Undagi b soni esa z
kompleks sonning mavhum qismi deyilib, Im(z) orqali belgilanadi.
Mavhum qismi nolga teng bo‘lgan kompleks sonlar haqiqiy sonlar
bo‘lsa, haqiqiy qismi nol bo‘lgan kompleks sonlar mavhum kompleks
sonlar deyiladi.
Ushbu z̄ = a − bi kompleks soni z = a + bi kompleks soniga
qo‘shma kompleks son deyiladi. Qo‘shma kompleks sonlar uchun
z + z̄ = (a + bi) + (a − bi) = 2a,
z · z̄ = (a + bi) · (a − bi) = a2 + b2
tengliklar o‘rinli, ya’ni kompleks sonning o‘z qo‘shmasiga yig‘indisi va
ko‘paytmasi haqiqiy son bo‘ladi.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
11 / 30
1-xossa.
Kompleks sonlarning qo‘shmasi quyidagi xossalarga ega:
a) z1 + z2 = z1 + z2 ;
c) z1 · z2 = z1 · z2 ;
b) z1 − z2 = z1 − z2 ;
d)
z1
z2
= zz1 .
2
Kompleks sonning teskarisini topishda uning qo‘shmasidan
foydalanish juda qulay hisoblanadi:
(x + yi)−1 =
1
1
x − yi
x − yi
x
y
=
·
= 2
= 2
− 2
i.
2
2
x + yi
x + yi x − yi
x +y
x +y
x + y2
1-tasdiq.
Bizga z = x + yi kompleks son berilgan bo‘lib, u + vi uning kvadrat
ildizi bo‘lsin,
r u holda
r p
p
1
2
2
u = ± 2 x + x + y ; v = ± 12 −x + x 2 + y 2 .
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
12 / 30
Misol 1.
z = −35 − 12i kompleks sonning kvadrat ildizlarini toping.
Yechish:
Bu yerda x = −35, y = −12 ekanligi uchun
q
√
√
x 2 + y 2 = 1225 + 144 = 1369 = 37.
Shuning uchun
1
(35 + 37) = 36,
2
1
v 2 = (−35 + 37) = 1.
2
Demak, u = ±6, v = ±1 hamda y < 0 bo‘lganligi sababli, u va v
larning ishoralari turli xil bo‘ladi, shuning uchun
√
−35 − 12i = ±(6 − i).
u2 =
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
13 / 30
Misol 2.
(2 + 4i)z 2 + 2z + 6 − 6i = 0 kvadrat tenglamani kompleks sonlar
maydonida yeching.
Yechish:
√
Kvadrat tenglamaning diskriminanti D = 2 −35 − 12i = 2(6 − i) bo‘lib,
z1 =
z2 =
−2 − 2 (6 − i)
−7 + i 2 − 4i
−10 + 30i
1 3
=
·
=
= − + i.
2 (2 + 4i)
2 + 4i 2 − 4i
4 + 16
2 2
5 − i 2 − 4i
6 − 22i
6 − 22i
3 11
−2 + 2 (6 − i)
=
·
=
=
=
− i.
2 (2 + 4i)
2 + 4i 2 − 4i
4 + 16
20
10 10
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
14 / 30
Kompleks sonlarning geometrik tasviri.
Ma’lumki, haqiqiy sonlar to‘plaminining geometrik talqini to‘g‘ri
chiziqdan iborat bo‘ladi. Ya’ni, haqiqiy sonlar to‘plami bilan to‘g‘ri chiziq
o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud. Shuning ushun R to‘plamni
to‘g‘ri chiziq deb qarash mumkin. Bundan esa, R2 to‘plamni tekislik
deb qarash mumkinligi kelib chiqadi.
Kompleks sonlar to‘plami bilan R2 to‘plam orasida bir qiymatli moslik
mavjudligini hisobga olsak, kompleks sonlar to‘plamining geometrik
talqini tekislikdan iborat bo‘lishini payqash qiyin emas.
Kompleks sonlar mos qo‘yilgan tekislik kompleks tekislik deyilib,
kompleks tekislikning abssissa o‘qi nuqtalariga haqiqiy sonlar, ordinata
o‘qi nuqtalariga esa sof mavhum sonlar mos keladi. Shuning uchun
kompleks tekislikning absissa o‘qiga haqiqiy o‘q, ordinata o‘qiga esa
mavhum o‘q deyiladi.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
15 / 30
sonning moduli deyiladi va |z|
Matematika kafedrasi
Har bir z = x + iy kompleks
sonni Oxy koordinatalar
tekisligining M(x, y ) nuqtasi bilan
ifodlash mumkin (bu yerda
x = Rez, y = Imz) va aksincha,
koordinatalar tekisligining har bir
M(x, y ) nuqtasini z = x + iy
kompleks sonning geometrik
tasviri deb qarash mumkin
(1-shakl).
Oxy tekislikka kompleks tekislik
deyiladi va (z) kabi belgilanadi.
Shuningdek, z = x + iy kompleks
sonni M(x, y ) nuqtaning radius
⃗ orqali ifodalash
vektori ⃗r = OM
mumkin (1-shakl). Bunda ⃗r
vektorning uzunligiga kompleks
yoki r bilan belgilanadi.
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
16 / 30
⃗r vektorning Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilingan
burchagiga kompleks sonning argumenti deyiladi va Argz yoki φ
bilan belgilanadi.
Endi z = x + iy kompleks sonning trigonometrik shaklini ifodalaymiz.
1-shakldagi to‘g‘ri burchakli uchburchakdan Pifagor teoremasiga
asosan
q
(1)
r = x2 + y2
tenglik kelib chiqadi. Burchak kosinusi, sinusi va tangenslarining
ta’rifidan φ burchak aniqlanadi:
cos φ =
x
,
r
sin φ =
y
r
(2)
yoki
y
.
x
Kompleks sonning φ argumenti (2) va (3) formulalardan topiladi.
tgφ =
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
(3)
17 / 30
φ = Argz = argz + 2πk , k ∈ Z ekanidan
cos φ = cos(argz + 2πk ) = cos(argz),
sin φ = sin(argz)
kelib chiqadi. Shu sababli kompleks sonning algebraik shaklidan
trigonametrik shakliga o‘tishda kompleks son argumentning bosh
qiymatini aniqlash yetarli bo‘ladi.
y
−π < argz ≤ π bo‘lgani uchun tgφ = tenglikdan topamiz.
x

y

argtg ,
I,IV choraklarining ichki nuqtalarida,


x





y
argz =
argtg + π, II chorakning ichki nuqtalarida,

x






 argtg y − π, III chorakning ichki nuqtalarida.
x
Agar nuqta haqiqiy yoki mavhum o‘qlarda yotsa, argz ni bevosita
topish mumkin.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
18 / 30
Kesma uzunligi r ga kompleks sonning moduli deyiladi va |z| orqali
belgilanadi. Ya’ni,
q
|z| = r =
x2 + y2
Kompleks sonning argumenti deb, φ burchakka aytiladi va arg z orqali
belgilanadi. (2) tengliklardan a va b larni topamiz:
x = r cos φ, y = r sin φ.
Ushbu tengliklarni kompleks sonning algebraik shakliga qo‘ysak,
z = r (cos φ + i sin φ)
(4)
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikka z kompleks sonning trigonometrik
shakli deyiladi.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
19 / 30
Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonni Eylerning
cos φ + i sin φ = eiφ
formulasidan foydalanib, kompleks son yozilishining ko‘rsatgichli
shakliga ega bo‘lamiz:
z = reiφ .
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
20 / 30
Tabiiyki, kompleks son qo‘shmasining trigonometrik shakli:
z̄ = r (cos φ − i sin φ) = r (cos(−φ) + i sin(−φ))
bo‘ladi.
1-teorema.
Trigonometrik shaklda berilgan ikkita kompleks sonlar ko‘paytmasining
moduli, ko‘paytuvchilar modullarining ko‘paytmasiga, argumenti esa
ko‘paytuvchilar argumentlarining yig‘indisiga teng, ya’ni
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
Matematika kafedrasi
arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 .
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
21 / 30
Trigonametrik shaklda berilgan
z1 = r1 (cos φ1 + sin φ1 ),
z2 = r2 (cos φ2 + sin φ2 )
kompleks sonlarni ko‘paytiramiz:
z1 · z2 = r1 (cos φ1 + sin φ1 ) · r2 (cos φ2 + sin φ2 )
algebraik soddalashtirishlarni bajarib, ya’ni
z1 · z2 = r1 r2 (cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )).
(5)
Trigonomterik shaklda berilgan z1 = r1 (cos φ1 + sin φ1 ) kompleks sonini
z2 = r2 (cos φ2 + sin φ2 ) kompleks soniga bo‘lamiz.
z1
r1 (cos φ1 + sin φ1 )
r1 (cos φ1 + sin φ1 )(cos φ2 − sin φ2 )
=
=
=
z2
r2 (cos φ2 + sin φ2 )
r2 (cos φ2 + sin φ2 )(cos φ2 − sin φ2 )
=
Matematika kafedrasi
r1
(cos(φ1 − φ2 ) + i sin(φ1 − φ2 )).
r2
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
22 / 30
3-Misol.
z = 1 − i kompleks sonini
shaklga keltiring. x = 1,
√
√ trigonometrik
y = −1 ekanligidan r = 1 + 1 = 2, hamda
1
1
cos φ = √ , sin φ = − √ ,
2
2
tengliklardan φ =
7π
ga ega bo‘lamiz. Natijada
4
√ 7π
7π
z = 2 cos
+ i sin
.
4
4
4-Misol.
Kompleks sonlarning ko‘paytmasini toping.
z1 = 1 − i
Matematika kafedrasi
va
z2 =
√
π
π
2(cos + i cos )
8
8
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
23 / 30
(4) formulaga ko‘ra z1 kompleks sonni trigonmetrik shaklga ketiramiz:
√ 7π
7π
+ i sin
z1 = 2 cos
4
4
ekanligini hisobga oslak, (5) formualaga asosan,
√ √ π
7π
7π
π
z1 · z2 = 2 cos
+ i sin
· 2 cos + i cos
=
4
4
8
8
15π
15π
= 2 cos
+ i sin
.
8
8
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
24 / 30
Kompleks sonni darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish.
Kompleks sonni darajaga ko‘tarish.
Aytaylik z1 , z2 , . . . , zn kompleks sonlar berilgan bo‘lsin. Ikkita
kompleks sonlar ko‘paytmasi singari bu n ta kompleks sonlar
ko‘paytmasi
z1 · z2 · . . . · zn = r1 · r2 · . . . · rn · ei·(φ1 +φ2 +...+φn )
(6)
bo‘ladi. Bunda zk = rk eiφk , k = 1, 2, . . . , n. Xususan
z1 = z2 = . . . = zn = z bo‘lsa, (6) tenglik ushbu
z n = r n einφ
(7)
ko‘rinishga ega bo‘lib, bu z kompleks sonning n− darajasi deyiladi.
Ravshanki,
r n einφ = r n (cos nφ + i · sin nφ).
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
25 / 30
Demak,
z n = r n (cos nφ + i · sin nφ)
(8)
Odatda (8) formula Muavr formulasi deyiladi.
5-Misol.
Muavr formulasi yordamida (1 − i)10 ifodani soddalashtiring.
z = 1 − i kompleks sonni (4) formulaga ko‘ra algebraik shakldan
trigonomterik shakliga o‘tib olamiz:
√ 7π
7π
z = 2 cos
+ sin
4
4
z
10
√ 10
7π
7π
35π
35π
5
=
2 cos
+ i sin
= 2 cos
+ i sin
=
4
4
2
2
3π
3π
= 32 cos
+ i sin
= 32 · (−i) = −32i.
2
2
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
26 / 30
2-ta’rif.
α va ω kompleks sonlari va n natural son uchun ω n = α tenglik o‘rinli
bo‘lsa, ω kompleks son α sonning n-darajali ildizi deyiladi.
Quyidagi teoremada kompleks sondan n-darajali ildiz chiqazish formulasini keltiramiz.
2-teorema.
Ixtiyoriy kompleks son n ta turli n-darajali ildizga ega bo‘lib, ular
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
√
φ + 2πk
φ + 2πk
ωk = n r cos
+ i sin
, k = 0, n − 1.
n
n
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
27 / 30
6-Misol.
s
√ 7π
7π
3
1−i =
2 cos
+ i sin
=
4
4
!
7π
7π
√
+
2πk
+
2πk
6
= 2 cos 4
+ i sin 4
,
3
3
√
3
hosil bo‘ladi, bu yerda k = 0, 1, 2. Bundan
√
7π
7π
6
ω0 = 2 cos
+ i sin
,
12
12
√
5π
5π
6
ω1 = 2 cos
+ i sin
,
3
3
√
23π
23π
6
ω2 = 2 cos
+ i sin
12
12
uchta turli ildizlar hosil bo‘ladi.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
28 / 30
Birning ildizlari.
Endi bir sonning n-darajali kompleks ildizlari ustida to‘xtalamiz. Agar
α = 1 = cos 0 + i sin 0 deb olsak, u holda 1 ning n-darajali ildizlari
√
2πk
2πk
n
εk = 1 = cos
+ i sin
, k = 0, n − 1
n
n
bo‘ladi va birning barcha n-darajali ildizlari n ta ε0 = 1, ε1 , ε2 , . . . , εn−1
kompleks sonlar to‘plamidan iboratdir. Ushbu to‘plamni < ε>n kabi
belgilab olamiz.
3-teorema.
Birning barcha ildizlari uchun quyidagi xossalar o‘rinli.
a) εk , εm ∈< ε>n uchun εk · εm ∈< ε>n ;
b) εk ∈< ε>n uchun (εk )−1 ∈< ε>n .
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
29 / 30
3-ta’rif.
Agar birning n-darajali ildizi εk uchun {εk , ε2k , ε3k . . . , εnk } =< ε>n shart
o‘rinli bo‘lsa, u holda εk birning n-darajali boshlang‘ich ildizi deyiladi.
3-tasdiq.
εk = cos 2πk
+ i sin 2πk
ildiz birning boshlang‘ich ildizi bo‘lishi uchun
n
n
k va n sonlari o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli.
7-Misol.
Birning 3-darajali ildizlarini toping.
2πk
εk = cos 2πk
3 + i sin 3 , k = 0, 1, 2 ekanligidan:
ε0 = 1;
√
2π
1
3
ε1 = cos 2π
+
i
sin
=
−
+
i
3
3
2
2 ;
√
4π
1
3
ε2 = cos 4π
3 + i sin 3 = − 2 − i 2 .
kelib chiqadi. ε1 , ε2 lar birning 3-darajali boshlang‘ich ildizlaridir.
Matematika kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR
September 25, 2025
30 / 30