Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç
Ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå
äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ñòóäåíòîâ
Á. Â. Ôåäîñîâ
2
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå
5
1
7
2
Ïîëíîòà
1.1
Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Ïîëíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Ïîïîëíåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Èíòåãðàë Ëåáåãà
Ïî÷åìó íå âñå ìíîæåñòâà èçìåðèìû? . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Âåðõíÿÿ ìåðà Ëåáåãà
2.2.1
2.3
2.4
2.5
3
17
2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñâîéñòâà âåðõíåé ìåðû.
Èçìåðèìûå ìíîæåñòâà
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.1
Ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.2
Ìíîæåñòâà ìåðû 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.3
Áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà.
25
Èçìåðèìûå ôóíêöèè è èíòåãðàë
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1
Ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé
2.4.2
Èíòåãðàë è åãî ñâîéñòâà
Ïðèëîæåíèÿ
. . . . . . . . . . . . . .
28
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5.1
Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5.2
Ñðàâíåíèå èíòåãðàëîâ Ðèìàíà è Ëåáåãà . . . . . . . . .
41
2.5.3
Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà L . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.5.4
Ïëîòíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
. . . . . . . . . . . .
45
2.5.5
Òåîðåìà Ôóáèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Áàíàõîâû è ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà
3.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
3.2
Ïðèìåðû
3.3
17
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.1
Êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.2
Ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé . . . . . . . . . . . .
50
3.2.3
Íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
52
3.2.4
Ïðîñòðàíñòâà lp è Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3
. . . . . . . . . .
4
4
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3.2
Îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû è ðÿäû Ôóðüå. . . . . . . . . .
61
Ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû è îïåðàòîðû
Îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2
Òåîðåìà Õàíà - Áàíàõà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî
72
4.4
Ôóíêöèîíàëû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå . . . . . . .
73
4.3.2
Ðåôëåêñèâíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Ñîïðÿæåííûå è ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû . . . . . . . . . .
78
4.4.1
Îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.4.2
Îïåðàòîðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
81
4.4.3
Ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.4.4
Âèäû ñõîäèìîñòè
85
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êîìïàêòíûå îïåðàòîðû
87
Êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà è îïåðàòîðû . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.2
Òåîðèÿ Ôðåäãîëüìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.2.1
Êîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.2.2
Òåîðåìû Ôðåäãîëüìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.2.3
Ñïåêòð
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Òåîðèÿ Ãèëüáåðòà - Øìèäòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.3.1
5.4
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1
5.1
5.3
6
65
4.1
4.3
5
3.3.1
Èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû
. . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Çàäà÷à Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ
111
6.1
Ðåçîëüâåíòà è ñïåêòð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2
Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðåìà
6.4
Äîêàçàòåëüñòâî ñïåêòðàëüíîé òåîðåìû . . . . . . . . . . . . . . 123
6.5
Ôîðìóëà Ñòîóíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Íåîãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû
133
7.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2
Ñèììåòðè÷åñêèå è ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû . . . . . . . . 137
7.3
Î ñïåêòðàëüíîé òåîðåìå
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Çàäà÷è
149
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
159
Ââåäåíèå
Êàê ìîæíî ñóäèòü ïî íàçâàíèþ, ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç èçó÷àåò ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé è îïåðàöèè â íèõ. Ïðè ýòîì ñàìè ôóíêöèè âûñòóïàþò êàê
ýëåìåíòàðíûå îáúåêòû: íå÷òî â ðîäå òî÷åê èëè âåêòîðîâ â àáñòðàêòíûõ
ïðîñòðàíñòâàõ, êàê ïðàâèëî, áåñêîíå÷íîìåðíûõ. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå
íà òàêîì ïóòè, êàæóòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä ñëèøêîì àáñòðàêòíûìè. ÷òîáû
áûòü ïîëåçíûìè â êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ. Îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ÷òî ýòî íå
òàê: îíè íàõîäÿò èíòåðåñíûå è âàæíûå ïðèìåíåíèÿ. Äåëî çäåñü, êîíå÷íî, â
òîì, ÷òî àáñòðàêòíûå êîíñòðóêöèè ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà âîçíèêëè íå
íà ãîëîì ìåñòå, à êàê ðåçóëüòàò îáîáùåíèÿ îãðîìíîãî ìíîæåñòâà êîíêðåòíûõ çàäà÷.
Ìåñòî è ðîëü ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé
íàóêå è îáðàçîâàíèè îïðåäåëÿþòñÿ, íà íàø âçãëÿä, ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.
1. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç èçó÷àåò íàèáîëåå îáùèå ìàòåìàòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè, è åãî ðåçóëüòàòû òàêæå ÿâëÿþòñÿ âåñüìà îáùèìè. Èõ ïðèìåíåíèÿ â ðàçëè÷íûõ êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ íà ïåðâûé âçãëÿä ìîãóò êàçàòüñÿ
íèêàê íå ñâÿçàííûìè ìåæäó ñîáîé, à íà ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè
ñëó÷àÿìè îäíîé è òîé æå îáùåé òåîðåìû.
2. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç - ýòî è óäîáíûé ÿçûê ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Íàïîìíèì, ÷òî áóðíûé ðàñöâåò àëãåáðû ñòàë âîçìîæåí òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê áûë èçîáðåòåí ÿçûê àëãåáðàè÷åñêèõ ôîðìóë. Òàêèì æå îáðàçîì ââåäåíèå ÿçûêà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ñïîñîáñòâîâàëî äàëüíåéøåìó
ðàçâèòèþ âñåõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè.
3. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç ñëóæèò ìàòåìàòè÷åñêèì ôóíäàìåíòîì ìíîãèõ îáëàñòåé åñòåñòâîçíàíèÿ. Òàê, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà áàçèðóåòñÿ íà òåîðèè îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, îñîáåííî íà ñïåêòðàëüíîé
òåîðèè. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé îñíîâàíà íà àáñòðàêòíîé òåîðèè ìåðû è èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ñòàíîâëåíèå è ðàçâèòèå ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ñâÿçàíî ñ èìåíàìè
âûäàþùèõñÿ ó÷åíûõ: À. Ëåáåãà, È. Ôðåäãîëüìà, Ä. Ãèëüáåðòà, Ã. Âåéëÿ,
Äæ. ôîí Íåéìàíà, Ñ. Áàíàõà, È.Ì. Ãåëüôàíäà. Ýòîò ñïèñîê ìîæíî çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáøèðíóþ è ðàçâåòâëåííóþ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, òàê ÷òî îòáîð ìàòåðèàëà äëÿ
êóðñà ëåêöèé ïî ýòîìó ïðåäìåòó ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåðüåçíóþ çàäà÷ó. Íàø
5
6
Ââåäåíèå
êóðñ áóäåò êîíöåíòðèðîâàòüñÿ âîêðóã ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ ñþæåòîâ:
1. ïîëíîòà è ñâÿçàííûå ñ íåé âîïðîñû,
2. èíòåãðàë Ëåáåãà, ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà,
3. êîìïàêòíûå îïåðàòîðû, òåîðèÿ Ôðåäãîëüìà è Ãèëüáåðòà - Øìèäòà,
4. ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ.
Òî, ÷òî ìû ïåðå÷èñëèëè, ìîæíî íàçâàòü êëàññè÷åñêèìè òåìàìè ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Çà êàäðîì îñòàþòñÿ íåëèíåéíûé ôóíêöèîíàëüíûé
àíàëèç, òåîðèÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé, âîïðîñû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìíîãîå äðóãîå.
Ìû ðåøèëè íà÷àòü ñ òåîðåìû î íåïîäâèæíîé òî÷êå äëÿ ñæèìàþùèõ
îòîáðàæåíèé. Ïîìèìî òîãî, ÷òî îíà ïðåäñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ êàê ïðîñòîé, íî äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûé ðåçóëüòàò, îíà ïðåêðàñíî èëëþñòðèðóåò êàê ðàáîòàþò ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíà ïîìîãàåò áûñòðåå âîéòè â êðóã âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ ïîëíîòîé,
ïîñêîëüêó ïîíÿòèå ïîëíîòû èãðàåò â íåé êëþ÷åâóþ ðîëü.
Ãëàâà 1
Ïîëíîòà
1.1
Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
Îïðåäåëåíèå 1.1.1 Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû x, y ∈ M çàäàíî ÷èñëî ρ(x, y), íàçûâàåìîå
ðàññòîÿíèåì ìåæäó x è y ñî ñâîéñòâàìè:
1. ρ(x, y) ≥ 0, ïðè÷åì ρ(x, y) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y
(ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü),
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) (ñèììåòðèÿ),
3. äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ M
ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)
(íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).
Ôóíêöèÿ
ρ(x, y) íàçûâàåòñÿ òàêæå ìåòðèêîé. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî
ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 1.1.2 Ìíîæåñòâî R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñ ìåòðèêîé ρ(x, y) =
|x − y|.
Ïðèìåð 1.1.3 Ìíîæåñòâî Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ òîé æå ìåòðèêîé
ρ(x, y) = |x − y|.
Ìû ãîâîðèì, ÷òî Q ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì R.  îáùåì ñëó÷àå òåð-
ìèí ïîäïðîñòðàíñòâî îçíà÷àåò ïîäìíîæåñòâî, â êîòîðîì ìåòðèêà ñîâïàäàåò ñ ìåòðèêîé îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà.
Ïðèìåð 1.1.4 Ìíîæåñòâî C[a, b] ôóíêöèé x(t), íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b],
ρ(x(t), y(t)) = max |x(t) − y(t)|.
t∈[a,b]
7
8
ÃËÀÂÀ 1.
ÏÎËÍÎÒÀ
Ïðèìåð 1.1.5 Ìíîæåñòâî C (n) [a, b] n ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé x(t), t ∈ [a, b] ñ ìåòðèêîé
ρ(x(t), y(t)) =
n
X
k=0
Îòìåòèì, ÷òî C
(0)
max |x(k) (t) − y (k) (t)|.
t∈[a,b]
[a, b] ñîâïàäàåò ñ C[a, b] èç ïðèìåðà 1.1.4.
Ïðèìåð 1.1.6 Ïðîñòðàíñòâî Lc [a, b]. Ýëåìåíòû - íåïðåðûâíûå ôóíêöèè x(t) (íà íåïðåðûâíîñòü óêàçûâàåò èíäåêñ c ââåðõó). Ìåòðèêà - ýòî ñðåäíåå îòêëîíåíèå
Z b
|x(t) − y(t)|dt.
ρ(x(t), y(t)) =
a
Óïðàæíåíèå 1.1.7 Äîêàçàòü, ÷òî àêñèîìû ðàññòîÿíèÿ âûïîëíÿþòñÿ â
óêàçàííûõ ïðèìåðàõ.
Èìåÿ â ðàñïîðÿæåíèè ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ, ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ âñå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïðåäåëàìè è íåïðåðûâíîñòüþ.
Îïðåäåëåíèå 1.1.8 ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 ∈ M íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê x ∈ M , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
ρ(x, x0 ) < ε.
Îïðåäåëåíèå 1.1.9 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ M ñõîäèòñÿ ê a ∈ M ,
åñëè
lim ρ(xn , a) = 0.
n→∞
Óïðàæíåíèå 1.1.10 Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà íà ÿçûêå
“ε − N 00 .
Îïðåäåëåíèå 1.1.11 Ïóñòü êàæäîé òîêå x ∈ M ñîïîñòàâëÿåòñÿ òî÷êà F (x) ∈ N , ãäå M è N - ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Òîãäà ìû ãîâîðèì,
÷òî çàäàíî îòîáðàæåíèå M â N è ïèøåì
F :M →N
F : x 7→ F (x).
Óïðàæíåíèå 1.1.12 Äàòü îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ íà
ÿçûêå "ε − δ ".
Óïðàæíåíèå 1.1.13 Äîêàçàòü, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn (t) ∈ C[a, b] - ýòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
1.2. ÏÎËÍÛÅ ÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
1.2
9
Ïîëíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
Ìû ìîæåì òåïåðü äàòü îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1.2.1 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn òî÷åê ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè, åñëè äëÿ ëþáîãî ε ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî äëÿ âñåõ n, m > N
ρ(xm , xn ) < ε.
Êîðîòêî ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê
lim ρ(xm , xn ) = 0.
m,n→∞
Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå êîïèðóåò "íåîáõîäèìîñòü êðèòåðèÿ Êîøè"èç êóðñà àíàëèçà.
Ïðåäëîæåíèå 1.2.2 Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó
a ∈ M , òî îíà ôóíäàìåíòàëüíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà èìååì: äëÿ ëþáîãî ε > 0
ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî ïðè ëþáûõ n > N ρ(xn , a) < ε/2. Òîãäà ïðè ëþáûõ
m, n > N ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ïîëó÷àåì
ρ(xm , xn ) ≤ ρ(xm , a) + ρ(xn , a) < ε/2 + ε/2 = ε.
Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
Îïðåäåëåíèå 1.2.3 Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó a ∈ M .
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîëíîòà îçíà÷àåò "äîñòàòî÷íîñòü êðèòåðèÿ Êîøè".
Óïðàæíåíèå 1.2.4 Áóäóò ëè ïîëíûìè ïðîñòðàíñòâà â ïðèìåðàõ 1.1.2
- 1.1.6
1.3
Ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ
Òåîðåìà 1.3.1 Ïóñòü F : M → M - îòîáðàæåíèå ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ, îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì ñæàòèÿ: ñóùåñòâóåò
òàêàÿ ïîñòîÿííàÿ c ∈ (0, 1), ÷òî äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ M
ρ(F (x1 ), F (x2 )) ≤ cρ(x1 , x2 ).
(1.3.1)
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà x ∈ M , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ
x = F (x)
(1.3.2)
(íåïîäâèæíàÿ òî÷êà).
10
ÃËÀÂÀ 1.
ÏÎËÍÎÒÀ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìåòîä èòåðàöèé äëÿ óðàâíåíèÿ (1.3.2).
 êà÷åñòâå íà÷àëüíîé èòåðàöèè áåðåì ëþáóþ òî÷êó x0 ∈ M . Äàëåå îïðåäåëÿåì ïîñëåäîâàòåëüíûå èòåðàöèè x1 , x2 , . . . ïî ïðàâèëó
x1 = F (x0 ), x2 = F (x1 ), . . . , xn+1 = F (xn ), . . . .
Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ôóíäàìåíòàëüíà. Ïðè n > m > N
èìååì ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà
ρ(xm , xn ) ≤
n−1
X
ρ(xk , xk+1 ).
k=m
Äàëåå, ïî ñâîéñòâó ñæàòèÿ
ρ(xk , xk+1 ) ≤ cρ(xk−1 , xk ) ≤ . . . ≤ ck ρ(x0 , x1 ).
Çíà÷èò,
ρ(xm , xn ) ≤
n−1
X
ck ρ(x0 , x1 ) ≤
k=m
cN
ρ(x0 , x1 ) → 0
1−c
ïðè N → ∞, îòêóäà ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü.
Èç ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà M ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x ∈ M , òàêàÿ
÷òî xn → x. À òàê êàê F (x) - ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü F (xn ) ñõîäèòñÿ ê F (x). Äåéñòâèòåëüíî,
ρ(F (xn ), F (x)) ≤ cρ(xn , x) → 0
â ñèëó ñâîéñòâà ñæàòèÿ.
Èìååì
xn+1 = F (xn ).
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ñëåâà ïîëó÷èì x, à ñïðàâà F (x), ò.å., x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.3.2), ò.å., íåïîäâèæíîé òî÷êîé.
Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü. Ïóñòü ñóùåñòâóþò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè,
ò.å.,
x1 = F (x1 ),
x2 = F (x2 ).
Òîãäà, áåðÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè è ïîëüçóÿñü ñæèìàþùèì ñâîéñòâîì,
ïîëó÷èì
ρ(x1 , x2 ) = ρ(F (x1 ), F (x2 )) ≤ cρ(x1 , x2 ).
Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå, òàê êàê 0 < c < 1.
Ïðîèëëþñòðèðóåì, ÷òî äàåò ýòà òåîðåìà â êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ.
Ïðèìåð 1.3.2 (Èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ) M = R+ - ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ρ(x, y) = |x − y|,
F : x 7→
1
a
x+
, a > 0.
2
x
1.3. ÑÆÈÌÀÞÙÈÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß
Çàìåòèì, ÷òî F (x) ≥
√
11
a äëÿ ëþáîãî x ∈ R+ . Ïóñòü äàíû x1 , x2 ≥
√
a. Òîãäà
1
1 a
|F (x1 ) − F (x2 )| = |x1 − x2 | −
|x1 − x2 |
2
2 x1 x2
a
1
1
≤ |x1 − x2 |,
= |x1 − x2 | 1 −
2
x1 x2
2
ò.å., ñâîéñòâî ñæàòèÿ ñ c = 1/2 âûïîëíåíî äëÿ âñåõ èòåðàöèé, íà÷èíàÿ ñî
âòîðîé (òàê êàê F (x1 ),
F (x2 ) ≥
√
a). Îòñþäà ïî òåîðåìå 1.3.1 ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ
x=
ò.å., x =
√
1
a
x+
,
2
x
a. Òàêîé ìåòîä èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ ïðèìåíÿåòñÿ â âû÷èñëèòåëüíîé
ïðàêòèêå, òàê êàê îí ïðîñò àëãîðèòìè÷åñêè è áûñòðî ñõîäèòñÿ.
Ïðèìåð 1.3.3 Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
y 0 = f (x, y),
y|x=x0 = y0 .
(1.3.3)
Òåîðåìà 1.3.4 Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî y :
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ K|y1 − y2 |
(1.3.4)
Òîãäà äëÿ ëþáûõ x0 , y0 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå y(x) çàäà÷è Êîøè (1.3.3), îïðåäåëåííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè |x − x0 | < δ òî÷êè x0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäà÷à Êîøè äîïóñêàåò ýêâèâàëåíòíóþ çàïèñü â âèäå
Z x
y(x) = y0 +
f (t, y(t))dt.
(1.3.5)
x0
Ñâåäåì ê òåîðåìå î ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèÿõ. Ïóñòü
Π : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b
çàìêíóòûé ïðÿìîóãîëüíèê, öåëèêîì ñîäåðæàùèéñÿ â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè f (x, y). Ââåäåì
C = max |f (x, y)|,
Π
è âûáåðåì δ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü äâà óñëîâèÿ
Cδ < b,
Kδ < 1,
ò.å.,
δ < min
b 1
,
C K
.
12
ÃËÀÂÀ 1.
ÏÎËÍÎÒÀ
 êà÷åñòâå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà M âîçüìåì ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà C[x0 − δ, x0 + δ] (ñì. ïðèìåð 1.1.4), ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
|y(t) − y0 | ≤ b,
t ∈ [x0 − δ, x0 + δ].
Îòîáðàæåíèå
Z x
F : y(t) 7→ y0 +
f (t, y(t))dt
x0
ïåðåâîäèò M â ñåáÿ. Äåéñòâèòåëüíî,
Z x
|F (y(t)) − y0 | ≤
|f (t, y(t))|dt ≤ Cδ < b,
x0
òàê ÷òî F (y(t)) ∈ M , åñëè y(t) ∈ M .
Ïîêàæåì, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì. Ïóñòü y1 (t), y2 (t) ∈ M . Òîãäà
Z x
|F (y1 (x)) − F (y2 (x))| ≤
|f (t, y1 (t)) − f (t, y2 (t))|dt
x0
Z x
K|y1 (t) − y2 (t)|dt ≤ Kδmax |y1 (t) − y2 (t)|.
≤
x0
Çíà÷èò,
max |F (y1 (t)) − F (y2 (t))| ≤ Kδ max |y1 (t) − y2 (t)|
t
t
Òàê êàê Kδ < 1, òî óñëîâèå ñæàòèÿ âûïîëíåíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå
1.3.1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.5).
Óïðàæíåíèå 1.3.5 Ðàññìîòðåòü ïðèìåð
F : x 7→
1
a
x+
2
x
íà ïðîñòðàíñòâå Q+ ðàöèîíàëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Ïî÷åìó íåâåðíà
òåðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå?
Óïðàæíåíèå 1.3.6 Ðàññìîòðåòü ïðèìåð
F : x 7→ x +
1
,
x
x ≥ 1.
Ïî÷åìó íåâåðíà òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå?
1.4. ÏÎÏÎËÍÅÍÈÅ
1.4
13
Ïîïîëíåíèå
Ñóùåñòâóåò çàìå÷àòåëüíàÿ ïðîöåäóðà, ïîçâîëÿþùàÿ çàìåíÿòü íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïîëíûì ïóòåì ïðèñîåäèíåíèÿ èäåàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Îíà íîñèò íàçâàíèå ïîïîëíåíèÿ. Ñ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé îáùåé êîí-
ñòðóêöèè ìû âñòðå÷àëèñü ïðè ïåðåõîäå îò ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ê äåéñòâèòåëüíûì.
Ïðåæäå âñåãî äîãîâîðèìñÿ, êàêèå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ýêâèâàëåíòíûå (îòîæäåñòâëÿþòñÿ).
Îïðåäåëåíèå 1.4.1 Äâà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà M1 , ρ1 è M2 , ρ2
íàçûâàþòñÿ èçîìåòðè÷íûìè, åñëè ìåæäó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
M1 3 x 1 ↔ x 2 ∈ M 2 ,
ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèå, ò.å., åñëè
M1 3 y1 ↔ y2 ∈ M2
äðóãàÿ ïàðà ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ, òî
ρ1 (x1 , y1 ) = ρ2 (x2 , y2 ).
Óïðàæíåíèå 1.4.2 Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâà C[0, 1] è C[0, 2] èçîìåòðè÷íû.
Íàì ïîíàäîáèòñÿ òàêæå ïîíÿòèå ïëîòíîãî ïîäìíîæåñòâà.
Îïðåäåëåíèå 1.4.3 Ïîäìíîæåñòâî M ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà M
íàçûâàåòñÿ (âñþäó) ïëîòíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ M ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ M , ñõîäÿùàÿñÿ ê x.
Òåîðåìà 1.4.4 Äëÿ ëþáîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà M ñóùåñòâóåò ïîïîëíåíèå M , ò.å., ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M , òàêîå ÷òî
M èçîìåòðè÷íî ïëîòíîìó ïîäìíîæåñòâó M1 ∈ M . Ëþáûå äâà ïîïîëíåíèÿ M èçîìåòðè÷íû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {xn } è {yn } - ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè â ïðîñòðàíñòâå M . Íàçîâåì èõ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ρ(xn , yn ) →
0. Íàïðèìåð, åñëè îíè ñõîäÿòñÿ â M , òî îíè ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ïðåäåëû ñîâïàäàþò. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îáëàäàåò ñòàíäàðòíûìè ñâîéñòâàìè (ðåôëåêñèâíîñòü, ñèììåòðèÿ, òðàíçèòèâíîñòü) (ïðîâåðèòü
ýòî!) è ïîòîìó îïðåäåëÿåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà âñåõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íà êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè êëàññû x,
y è ò.ä. Êëàññ x çàäàåòñÿ ïðåä-
ñòàâèòåëåì: ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ {xn } ∈ M èëè ëþáîé
äðóãîé ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, ýêâèâàëåíòíîé {xn }.
14
ÃËÀÂÀ 1.
ÏÎËÍÎÒÀ
Ââåäåì ðàññòîÿíèå ρ(x, y) ìåæäó êëàññàìè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü
{xn } è {yn } - ïðåäñòàâèòåëè êëàññîâ. Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë
lim ρ(xn , yn ),
(1.4.1)
n→∞
êîòîðûé íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé
{xn },
{yn }, à òîëüêî îò
ñàìèõ êëàññîâ x, y . Åãî ìû è ïðèíèìàåì çà ðàññòîÿíèå ρ(x, y). ×òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà (1.4.1), çàìåòèì, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ρ(xn , yn ) ôóíäàìåíòàëüíà. Äåéñòâèòåëüíî, ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà
ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ(xm , ym ) + ρ(ym , yn ),
îòêóäà
|ρ(xn , yn ) − ρ(xm , ym )| ≤ ρ(xn , xm ) + ρ(yn , ym ).
Ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n, m → ∞ òàê êàê {xn } è {yn } - ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ρ(xn , yn ) óäîâëåòâîðÿåò êðèòåðèþ Êîøè, è çíà÷èò, èìååò ïðåäåë. Åñëè
{x0n } ∈ x è {yn0 } ∈ y - äðóãèå ïðåäñòàâèòåëè êëàññîâ x è y , òî
ρ(x0n , yn0 ) ≤ ρ(x0n , xn ) + ρ(xn , yn ) + ρ(yn , yn0 ),
îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî
lim ρ(xn , yn ) = lim ρ(x0n , yn0 ),
n→∞
n→∞
ρ(xn , x0n ) → 0, ρ(yn , yn0 ) → 0, ïîñêîëüêó {xn }, {x0n }, à òàêæå
0
{yn }, {yn } - ýêâèâàëåíòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî (1.4.1)
íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé êëàññîâ ýêâèâàëåíòíûõ ïîñëåäîâà-
òàê êàê
òåëüíîñòåé x, y , à òîëüêî îò ñàìèõ êëàññîâ.
Óïðàæíåíèå 1.4.5 Ïðîâåðèòü àêñèîìû ðàññòîÿíèÿ äëÿ ìåòðèêè (1.4.1).
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
M , ρ(x, y) è
õîòèì äîêàçàòü, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ïîïîëíåíèåì.
Ïðåæäå âñåãî ïîñòðîèì èçîìåòðè÷åñêîå âëîæåíèå
i : M → M,
îáðàç êîòîðîãî M1 = i(M ) ⊂ M ïëîòåí â M . Äëÿ x ∈ M ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x, x, x . . .} (ÿñíî, ÷òî îíà ôóíäàìåíòàëüíà),
è ïóñòü i(x) îïðåäåëÿåìûé åþ êëàññ â M . Òàêèì îáðàçîì, M1 ñîñòîèò èç
òàêèõ êëàññîâ, êîòîðûå èìåþò ïðåäñòàâèòåëåé âèäà {x, x, x, . . .}, ãäå x ∈ M .
Ïî êîíñòðóêöèè ðàññòîÿíèÿ ρ èìååì, ó÷èòûâàÿ ñòàöèîíàðíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé i(x) è i(y)
ρ(i(x), i(y)) = lim ρ(x, y) = ρ(x, y),
n→∞
ò.å., i - äåéñòâèòåëüíî èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå.
1.4. ÏÎÏÎËÍÅÍÈÅ
15
Ïîêàæåì, ÷òî îáðàç M1 = i(M ) ïëîòåí â M . Ïóñòü êëàññ x ∈ M ïðåäñòàâëåí ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ {xn } ∈ M . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êëàññîâ i(xn ) = {xn , xn , . . .} ∈ M è ïîêàæåì, ÷òî lim i(xn ) =
x. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ðàññòîÿíèÿ ρ
ρ(x, i(xn )) = lim ρ(xm , xn ).
m→∞
(1.4.2)
Ïîëüçóÿñü ôóíäàìåíòàëüíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ïî äàííîìó ε >
0 íàéäåì N , òàêîå ÷òî ïðè n, m > N ρ(xn , xm ) < ε. Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè m → ∞, ïîëó÷èì, ÷òî ðàññòîÿíèå (1.4.2) íå ïðåâîñõîäèò
ε. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü i(xn ) ñõîäèòñÿ ê x â M .
Äîêàæåì, íàêîíåö, ÷òî M - ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü {xn } - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â M . Òàê êàê i(M ) ïëîòíî â M , òî äëÿ
êàæäîãî xn ∈ M ìîæíî íàéòè ýëåìåíò xn ∈ M , òàêîé ÷òî
ρ(xn , i(xn )) <
1
.
n
Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x1 , x2 , . . .} ∈ M ôóíäàìåíòàëüíà. Äåéñòâèòåëüíî,
ρ(xn , xm ) = ρ(i(xn ), i(xm )) ≤ ρ(xn , i(xn )) + ρ(xn , xm ) + ρ(xm , i(xm ))
1
1
≤ ρ(xn , xm )) +
+ →0
m n
ïðè n, m → ∞. Ïóñòü x = {x1 , x2 , . . .} - êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } Òîãäà
ρ(xn , x) ≤ ρ(xn , i(xn )) + ρ(i(xn ), x)
1
≤ + lim ρ(xn , xm )
n m→0
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåðàâåíñòâîì òðåóãîëüíèêà, à òàêæå ôîðìóëîé
(1.4.1) äëÿ ðàññòîÿíèÿ ρ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ρ(xn , x) ìîæåò áûòü ñäåëàíî
ìåíüøå äàííîãî ε ïðè n äîñòàòî÷íî áîëüøèõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî xn
→ x.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â M ñõîäèòñÿ.
Îñòàëîñü äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ïîïîëíåíèÿ. Ïóñòü M1 , M2 - äâà ïîïîëíåíèÿ ïðîñòðàíñòâà M è ïóñòü i1 , i2 - ïëîòíûå èçîìåòðè÷íûå âëîæåíèÿ
M â M1 , M2 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîêàæåì, ÷òî M1 è M2 èçîìåòðè÷íû. Ïóñòü
x1 ∈ M1 ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò. Òàê êàê i1 (M ) ïëîòíî â M1 , òî íàéäåòñÿ
1
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ M , òàêàÿ ÷òî i1 (xn ) → x . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
i1 (xn ) ôóíäàìåíòàëüíà â M1 , òàê êàê îíà ñõîäèòñÿ. Òîãäà {xn } ôóíäàìåíòàëüíà â M , ïîñêîëüêó i1 : M → M1 - èçîìåòðè÷íîå âëîæåíèå. Òàê
êàê i2 : M → M2 - òîæå èçîìåòðè÷íîå âëîæåíèå, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
i2 (xn ) ∈ M2 ôóíäàìåíòàëüíà â M2 . Ïîñêîëüêó M2 - ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî,
òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë
lim i2 (xn ) = x2 ∈ M2 .
n→∞
16
ÃËÀÂÀ 1.
ÏÎËÍÎÒÀ
Ñîîòâåòñòâèå
M 1 3 x 1 → x 2 ∈ M2 ,
ïîëó÷åííîå òàêèì îáðàçîì, âçàèìíî îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó M1 è M2 ðàâíîïðàâíû â ýòèõ ðàññóæäåíèÿõ. Äîêàæåì èçîìåòðè÷íîñòü ýòîãî ñîîòâåòñòâèÿ. Îáîçíà÷àÿ ρ1 ,
ρ2 ðàññòîÿíèÿ, è ïîëüçóÿñü èçîìåòðè÷íîñòüþ âëîæå-
íèé i1 , i2 , ïîëó÷èì öåïî÷êó ðàâåíñòâ
ρ1 (x1 , y 1 ) = lim ρ1 (i1 (xn ), i1 (yn )) = lim ρ(xn , yn )
n→∞
n→∞
2
2
= lim ρ2 (i2 (xn ), i2 (yn )) = ρ2 (x , y ).
n→∞
Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî.
Ãëàâà 2
Èíòåãðàë Ëåáåãà
 ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ ïî òåîðèè ìåðû è èíòåãðàëà Ëåáåã ïåðâîíà÷àëüíî ïðåñëåäîâàë öåëü óñîâåðøåíñòâîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Ïîçæå, â ïðîöåññå äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé, âûÿñíèëîñü, ÷òî òåîðèÿ Ëåáåãà èìååò âàæíåéøèå ïðèëîæåíèÿ âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Äëÿ íàñ
èíòåðåñíû òàê íàçûâàåìûå ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà.  ÷àñòíîñòè, ïðîñòðàíñòâî L èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé, êàê ìû óâèäèì, ÿâëÿåòñÿ ïî-
c
ïîëíåíèåì ïðîñòðàíñòâà L
(ñì. ïðèìåð 1.1.6). Îòìåòèì, ÷òî êîíñòðóêöèÿ
ïîïîëíåíèÿ, äàííàÿ â òåîðåìå 1.4.4 ïðèâîäèò ê ýëåìåíòàì âåñüìà ñëîæíîé
ïðèðîäû - ýòî êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ôóíêöèé, ôóíäàìåíòàëüíûõ ïî ìåòðèêå ñðåäíåãî îòêëîíåíèÿ. Õîòåëîñü áû, ÷òîáû ýòè
ýëåìåíòû òîæå áûëè áû íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè. Òåîðèÿ Ëåáåãà ïîçâîëÿåò
äàòü òàêîå îïèñàíèå, íî ýòî äàëåêî íå ïðîñòî.
2.1
Ïî÷åìó íå âñå ìíîæåñòâà èçìåðèìû?
n
Ìû áóäåì ñòðîèòü òåîðèþ ìåðû íà R . Ýòî çíà÷èò, ÷òî íóæíî çàäàòü êëàññ
Σ ìíîæåñòâ A ⊂ Rn , íàçûâàåìûõ èçìåðèìûìè, è äëÿ ëþáîãî A ∈ Σ çàäàòü ÷èñëî µ(A), (0 ≤ µ ≤ +∞), íàçûâàåìîå ìåðîé, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
1. Ñâîéñòâî äîïîëíåíèÿ. Åñëè A èçìåðèìî, òî è äîïîëíåíèå A = R
n
\A
òàêæå èçìåðèìî.
2. Íîðìèðîâêà. Ìíîæåñòâî
P = {ai ≤ xi < bi , i = 1, 2, . . .},
(2.1.1)
íàçûâàåìîå êëåòêîé, èçìåðèìî, è
µP = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) . . . (bn − an ).
(2.1.2)
Ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå îòêðûòûå êëåòêè: ai < xi < bi , è çàìêíóòûå
êëåòêè: ai ≤ xi ≤ bi . Îíè òàêæå ïðèíàäëåæàò Σ, è èõ ìåðà òàêæå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (2.1.2). Êëåòî÷íîå ìíîæåñòâî - ýòî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî
÷èñëå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëåòîê, åãî ìåðà ðàâíà ñóììå ìåð ýòèõ êëåòîê.
17
18
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
3. Ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü. Åñëè ìíîæåñòâà Ai , i = 1, 2, . . . èçìåðèìû è
ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî
∞
A = ∪ Ai ∈ Σ
i=1
è
µ(A) =
∞
X
µ(Ai ).
(2.1.3)
i=1
4. Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ. Ïóñòü α = {α1 , α2 , . . . , αn }
n
âåêòîð â R , è x 7→ x + α - ïðåîáðàçîâàíèå ñäâèãà íà âåêòîð α. Äëÿ ìíîæåñòâà A ïóñòü A + α îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî, ïîëó÷åííîå ñäâèãîì íà α âñåõ
ýëåìåíòîâ A. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû äëÿ A ∈ Σ ìíîæåñòâî A + α áûëî òàêæå
èçìåðèìî, è
µ(A) = µ(A + α).
(2.1.4)
 êóðñå àíàëèçà ðàññìàòðèâàëàñü ìåðà Æîðäàíà. Îíà îáëàäàåò âûøåïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè, êðîìå ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè. Âìåñòî íåãî âû-
ïîëíÿåòñÿ áîëåå ñëàáîå ñâîéñòâî êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè. Èçâåñòíû ïðèìåðû ìíîæåñòâ, íåèçìåðèìûõ ïî Æîðäàíó. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð - ìíîæåñòâî
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îòðåçêà [0, 1]. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìû ïîñòðîèëè
áîëåå ñîâåðøåííóþ ìåðó, ÷åì ìåðà Æîðäàíà. Ñïðàøèâàåòñÿ, ìîæíî ëè äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû êëàññ Σ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ ñîñòîÿë èç âñåõ ìíîæåñòâ â
Rn . Ìû ïîêàæåì, ÷òî åñëè ìåðà îáëàäàåò âûøåïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè
1 - 4, òî íåèçìåðèìûå ìíîæåñòâà îáÿçàòåëüíî äîëæíû áûòü. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì äëÿ ìåðû Æîðäàíà. Áîëåå òîãî,
íèêîìó íå óäàëîñü ïîñòðîèòü íåèçìåðèìîå ìíîæåñòâî ýôôåêòèâíî, óäàåòñÿ
òîëüêî äîêàçàòü åãî ñóùåñòâîâàíèå.  îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîãî ïàðàãðàôà
ìû èçëàãàåì ñîîòâåòñòâóþùåå äîêàçàòåëüñòâî.
Ìû ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé ñëó÷àé (n
= 1) è âìåñòî ïðÿìîé R áó-
äåì ðàññìàòðèâàòü îêðóæíîñòü äëèíû 1. Ñâîéñòâî íîðìèðîâêè (ñâîéñòâî
2) îçíà÷àåò, ÷òî ìåðà äóãè îêðóæíîñòè ðàâíà äëèíå ýòîé äóãè, à ñâîéñòâî
èíâàðèàíòíîñòè ïðè ñäâèãàõ (ñâîéñòâî 4), ÷òî ìåðà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ. Òî÷êè îêðóæíîñòè çàäàþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè
èç ïðîìåæóòêà [0, 1), à ïîâîðîòû - ïðåîáðàçîâàíèÿìè x 7→ {x + α}, ãäå ôèãóðíûå ñêîáêè îçíà÷àþò äðîáíóþ ÷àñòü ÷èñëà.
Ðàçîáüåì òî÷êè îêðóæíîñòè íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû: òî÷êè x è y
îòíåñåì ê îäíîìó êëàññó, åñëè ðàçíîñòü x−y - ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòíîñèì èõ ê ðàçíûì êëàññàì. Ïóñòü òåïåðü èç êàæäîãî êëàññà
âûáðàíî ïî îäíîìó ïðåäñòàâèòåëþ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Z ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýòèõ ïðåäñòàâèòåëåé. Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî ïî êàêîìó áû ïðàâèëó
íè âûáèðàòü ïðåäñòàâèòåëåé, ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî Z áóäåò íåèçìåðèìûì
(ìû íå ìîæåì óêàçàòü íè îäíîãî ïðàâèëà äëÿ âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé, ïîýòîìó íàøà êîíñòðóêöèÿ íåýôôåêòèâíà).
Çàíóìåðóåì âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà r ∈ [0, 1) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü rn è
ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà Zn , ïîëó÷åííûå èç Z ñäâèãàìè íà rn . Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî Zm è Zn íå ïåðåñåêàþòñÿ ïðè rm 6= rn . Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì
2.2. ÂÅÐÕÍßß ÌÅÐÀ ËÅÁÅÃÀ
19
ñëó÷àå ìû èìåëè áû ðàâåíñòâî
{x + rm } = {y + rn },
ãäå x, y ∈ Z . Íî òîãäà áû
x − y = rn − rm ,
ò.å., x è y ïðèíàäëåæàëè áû îäíîìó êëàññó, â òî âðåìÿ êàê îíè âûáðàíû èç
ðàçíûõ êëàññîâ. Äàëåå, ëþáàÿ òî÷êà x îêðóæíîñòè ïðèíàäëåæèò êàêîìó-òî
Zn . Äåéñòâèòåëüíî, x èìååò âèä {ξ + rn }, ãäå ξ ∈ Z - ïðåäñòàâèòåëü òîãî
êëàññà, êîòîðûé ñîäåðæèò x.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ðàçáèåíèå îêðóæíîñòè íà ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ Zn . Ïðè ýòîì
µ(Zn ) = µ({Z + rn }) = µ(Z).
â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ìåðû îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ. Òîãäà â ñèëó ñ÷åòíîé
àääèòèâíîñòè ìû èìåëè áû
∞
1 = µ( ∪ Zn ) =
n=1
∞
X
µ(Zn ) =
n=1
∞
X
µ(Z),
n=1
÷òî íåâîçìîæíî íè ïðè êàêîì çíà÷åíèè
µ(Z), íè ïðè µ(Z) > 0, íè ïðè
µ(Z) = 0.
2.2
Âåðõíÿÿ ìåðà Ëåáåãà
Ïóñòü A ⊂ R
n
- ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì ñ÷åòíûå ïîêðûòèÿ
A êëåòêàìè
∞
A = ∪ Pi
i=1
è ïîëîæèì
m∗ (A) = inf
∞
X
µ(Pi ),
i=1
ãäå èíôèìóì áåðåòñÿ ïî âñåì òàêèì ïîêðûòèÿì. Çäåñü
µ(P ) - ýòî ìåðà
(2.1.2) êëåòêè, è ñóììà îçíà÷àåò ñóììó ðÿäà (áåñêîíå÷íóþ, åñëè ðÿä ðàñõî-
∗
äèòñÿ). Òàêèì îáðàçîì, m (A) ìîæåò áûòü ðàâíî 0, ïîëîæèòåëüíîìó ÷èñëó
èëè +∞. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (âíåøíåé) ìåðîé Ëåáåãà ìíîæåñòâà A. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â òåîðèè Ëåáåãà, â îòëè÷èå îò òåîðèè Æîðäàíà,
ñ ñàìîãî íà÷àëà äîïóñêàþòñÿ ñ÷åòíûå ïîêðûòèÿ.
Óïðàæíåíèå 2.2.1 Âåðõíÿÿ ìåðà ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 0.  ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë íà R èìååò âåðõíþþ ìåðó 0.
20
ÃËÀÂÀ 2.
2.2.1
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Ñâîéñòâà âåðõíåé ìåðû.
1. Ìîíîòîííîñòü. Åñëè A ⊂ B , òî m (A) ≤ m (B). Ýòî ÿñíî, òàê êàê
∗
∗
ëþáîå ïîêðûòèå B áóäåò òàêæå ïîêðûòèåì A.
2. Èíâàðèàíòíîñòü ïðè ñäâèãàõ. Ýòî òàêæå ÿñíî, òàê êàê ïðè ñäâèãàõ
ïîêðûòèå ïåðåõîäèò â ïîêðûòèå.
3. Ñóáàääèòèâíîñòü. Åñëè A = ∪i=1 , òî
∞
m∗ (A) ≤
∞
X
m∗ (Ai ).
(2.2.1)
i=1
Ïóñòü äàíî ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ èíôèìóìà äëÿ ìíîæåñòâà Ai íàéäåòñÿ òàêîå ïîêðûòèå êëåòêàìè Pik , ÷òî
∞
m∗ (Ai ) +
X
ε
≥
µ(Pik ).
i
2
k=1
Êëåòêè Pik â ñîâîêóïíîñòè ïîêðûâàþò A, è ýòî ïîêðûòèå - ñ÷åòíîå. Òîãäà
ïî îïðåäåëåíèþ èíôèìóìà
∞
X
m∗ (A) ≤
µ(Pik )
i,k=1
≤
∞ ∞
X
X
ε
m∗ (Ai ) + i = ε +
m∗ (Ai ).
2
i=1
i=1
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε îòñþäà ñëåäóåò (2.2.1).
4. Íîðìèðîâêà. Åñëè A = ∪i=1 Pi - êëåòî÷íîå ìíîæåñòâî, ò.å., êîíå÷íîå
N
îáúåäèíåíèå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëåòîê, òî
m∗ (A) = µ(A) :=
N
X
µ(Pi ).
i=1
Òàê êàê Pi - ýòî ïîêðûòèå A, òî ïî ñâîéñòâó èíôèìóìà
∗
m (A) ≤
∞
X
µ(Pi ) = µ(A).
i=1
×òîáû ïîëó÷èòü îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, âîçüìåì ëþáîå ε > 0. Òîãäà ïî ñâîéñòâó èíôèìóìà ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ïîêðûòèå A êëåòêàìè Qk , òàêîå ÷òî
∗
m (A) + ε ≥
∞
X
µ(Qk ).
k=1
Çàìåíèì êàæäóþ
÷òîáû
Pi ìåíüøåé çàìêíóòîé êëåòêîé Pic ⊂ Pi , ïðè÷åì òàê,
N
X
i=1
µ(Pi ) − µ(Pic ) < ε,
2.3. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
21
o
à êàæäóþ Qk áîëüøåé îòêðûòîé êëåòêîé Qk ⊃ Qk , òàê ÷òîáû
µ(Qok ) − µ(Qk ) <
Çíà÷èò,
∞
X
µ(Qok ) −
k=1
Ìíîæåñòâî A
c
∞
X
ε
.
2k
µ(Qk ) < ε.
k=1
o
= ∪N
i=1 Pi ⊂ A êîìïàêòíî (çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî), à Qk
îáðàçóþò åãî îòêðûòîå ïîêðûòèå. Ïî ëåììå Ãåéíå - Áîðåëÿ ñóùåñòâóåò êî-
o
íå÷íîå ïîäïîêðûòèå ìíîæåñòâàìè Qk , k = 1, 2 . . . M . Èìååì
µ(A) − ε ≤ µ(Ac ) ≤
M
X
µ(Qok ) ≤
k=1
≤
∞
X
∞
X
µ(Qok )
k=1
µ(Qk ) + ε ≤ m∗ (A) + 2ε.
k=1
∗
Îòñþäà m (A) ≥ µ(A) − 3ε.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ïîëó÷àåì òðåáóåìîå
íåðàâåíñòâî.
Åñëè áû âåðõíÿÿ ìåðà îáëàäàëà ñâîéñòâîì ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè âìåñòî
áîëåå ñëàáîãî ñâîéñòâà ñóáàääèòèâíîñòè, òî åå ìîæíî áûëî áû ïðèíÿòü çà
ìåðó Ëåáåãà, è âñå áûëî áû çàêîí÷åíî. Ìû çíàåì, îäíàêî, ÷òî òàê áûòü íå
ìîæåò (ñì. ïàðàãðàô 2.1), òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå âñå ìíîæåñòâà îêàçàëèñü
áû èçìåðèìûìè. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî åñëè âåðõíþþ ìåðó ðàññìàòðèâàòü íå
íà âñåõ ìíîæåñòâàõ, à íà íåêîòîðîì êëàññå Σ, òî çà ñ÷åò âûáîðà ýòîãî êëàññà
ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òî áóäóò âûïîëíÿòüñÿ âñå íóæíûå ñâîéñòâà. Ìíîæåñòâà,
ïðèíàäëåæàùèå êëàññó Σ, áóäóò íàçûâàòüñÿ èçìåðèìûìè ïî Ëåáåãó, à èõ
âåðõíÿÿ ìåðà - ìåðîé Ëåáåãà.
2.3
Èçìåðèìûå ìíîæåñòâà
Ïåðâîíà÷àëüíî ïîíÿòèå èçìåðèìîñòè, ââåäåííîå Ëåáåãîì, èìåëî ñëåäóþùèé âèä. Ïîëàãàÿ, ÷òî A - îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, çàêëþ÷èì åãî â êëåòêó
P è ââåäåì íèæíþþ (âíóòðåííþþ) ìåðó Ëåáåãà ðàâåíñòâîì
m∗ (A) = µ(P ) − m∗ (P ∩ A).
Èçìåðèìîñòü ïî Ëåáåãó îçíà÷àåò, ÷òî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ìåðû ñîâïàäàþò.
Ýòî òðåáîâàíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
µ(P ) = m∗ (A) + m∗ (P ∩ A).
Äàëåå, òàê êàê A ⊂ P , òî A = P ∩ A. Â ñèëó íîðìèðîâêè âåðõíåé ìåðû
µ(P ) = m∗ (P ), òàê ÷òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïåðåïèøåòñÿ òàê
m∗ (P ) = m∗ (P ∩ A) + m∗ (P ∩ A).
22
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Ýòî ðàâåíñòâî â ñâîþ î÷åðåäü ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
m∗ (P ) ≥ m∗ (P ∩ A) + m∗ (P ∩ A),
òàê êàê ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî âñåãäà âûïîëíåíî â ñèëó ñóáàääèòèâíîñòè âåðõíåé ìåðû.
Ìû ìîäèôèöèðóåì îïðåäåëåíèå Ëåáåãà, çàìåíèâ êëåòêó ïðîèçâîëüíûì
ìíîæåñòâîì è îòáðîñèâ òðåáîâàíèå îãðàíè÷åííîñòè.
Îïðåäåëåíèå 2.3.1 Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó,
åñëè äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà E âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
m∗ (E) ≥ m∗ (E ∩ A) + m∗ (E ∩ A).
(2.3.1)
Òàê êàê ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî âñåãäà âûïîëíåíî ïî ñâîéñòâó ñóáàääèòèâíîñòè, òî (2.3.1) ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó
m∗ (E) = m∗ (E ∩ A) + m∗ (E ∩ A).
(2.3.2)
Êëàññ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ Σ.
2.3.1
Ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ
1. Ñâîéñòâî äîïîëíåíèÿ. Åñëè A ∈ Σ, òî è A ∈ Σ. Ýòî î÷åâèäíî, òàê êàê
îïðåäåëåíèå èçìåðèìîñòè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî A è A.
2. Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ. Ýòî ñâîéñòâî òàêæå î÷åâèä-
íî, ïîñêîëüêó îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ èíâàðèàíòíû.
3. Ñâîéñòâî ïåðåñå÷åíèÿ. Åñëè A, B ∈ Σ, òî A ∩ B ∈ Σ.
Ïóñòü E - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Òàê êàê A èçìåðèìî, òî
m∗ (E) ≥ m∗ (E ∩ A) + m∗ (E ∩ A).
Òàê êàê B èçìåðèìî, òî â ñèëó (2.3.1)
m∗ (E ∩ A) ≥ m∗ (E ∩ A ∩ B) + m∗ (E ∩ A ∩ B),
à òàêæå
m ∗ (E ∩ A) ≥ m∗ (E ∩ A ∩ B) + m∗ (E ∩ A ∩ B),
îòêóäà, ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì
m∗ (E) ≥ m∗ (E ∩ A ∩ B)
+m∗ (E ∩ A ∩ B) + m∗ (E ∩ A ∩ B) + m∗ (E ∩ A ∩ B).
Ïîñëåäíèå òðè ñëàãàåìûõ ïî ñâîéñòâó ñóáàääèòèâíîñòè îöåíèâàþòñÿ ñíèçó
÷èñëîì
m∗ ((E ∩ A ∩ B) ∪ (E ∩ A ∩ B) ∪ (E ∩ B ∩ A))
= m∗ (E ∩ ((A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)).
2.3. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
23
Íî, êàê íåòðóäíî âèäåòü,
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A ∪ B = A ∩ B,
÷òî è äàåò èçìåðèìîñòü A ∩ B .
4. Êîíå÷íàÿ
àääèòèâíîñòü. Òàê êàê A ∩ B = A ∪ B , òî èç ñâîéñòâ 1
è 3 âûòåêàåò, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ A è B èçìåðèìî. Êðîìå òîãî, äëÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ èìååò ìåñòî
ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè
m∗ (E ∩ (A ∪ B)) = m∗ (E ∩ A) + m∗ (E ∩ B)
äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà E .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðèìåíèì ðàâåíñòâî (2.3.2), âçÿâ â êà÷åñòâå E ìíîæåñòâî E ∩ (A ∪ B):
m∗ (E ∩ (A ∪ B)) = m∗ (E ∩ (A ∪ B) ∩ A) + m∗ (E ∩ (A ∪ B) ∩ A).
Òàê êàê A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî (A ∪ B) ∩ A = A è (A ∪ B) ∩ A = B ,
îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
Ïî èíäóêöèè ýòî ñâîéñòâî îáîáùàåòñÿ íà êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ íåïå-
N
ðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ A = ∪i=1 Ai
m∗ (E ∩ A) =
N
X
m∗ (E ∩ Ai ).
(2.3.3)
i=1
5. Ñ÷åòíàÿ
àääèòèâíîñòü. Ýòî âàæíåéøåå ñâîéñòâî èçìåðèìûõ ìíî-
æåñòâ ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:
∞
Åñëè Ai èçìåðèìû è ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî A = ∪i=1 Ai èçìåðèìî
è
m∗ (A) =
∞
X
m∗ (Ai ).
(2.3.4)
i=1
N
= ∪N
- èçìåðèìîå
i=1 Ai . Òàê êàê A
ìíîæåñòâî, òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà E èìååì
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëîæèì A
N
m∗ (E) ≥ m∗ (E ∩ AN ) + m∗ (E ∩ AN )
≥
N
X
m∗ (E ∩ Ai ) + m∗ (E ∩ A).
i=1
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü êîíå÷íîé àääèòèâíîñòüþ (2.3.3), à òàêæå ìîíîòîííîñòüþ âåðõíåé ìåðû, çàìåíèâ
E ∩ AN ìåíüøèì ìíîæåñòâîì E ∩ A.
Óñòðåìëÿÿ N → ∞ è ïîëüçóÿñü ñóáàääèòèâíîñòüþ âåðõíåé ìåðû, ïîëó÷èì
m∗ (E) ≥
∞
X
m∗ (E ∩ Ai ) + m∗ (E ∩ A)
i=1
≥ m∗ (E ∩ A) + m∗ (E ∩ A),
24
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
îòêóäà ñëåäóåò èçìåðèìîñòü A. Åñëè â ýòîì íåðàâåíñòâå âçÿòü E = A, òî,
ïîñêîëüêó A ∩ Ai = Ai , A ∩ A = ∅, áóäåì èìåòü
m∗ (A) ≥
∞
X
m∗ (Ai ).
i=1
Ïîñêîëüêó ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç ñóáàääèòèâíîñòè âåðõíåé ìåðû, ìû ïðèõîäèì ê (2.3.4).
6. Íîðìèðîâêà. Êëåòî÷íîå ìíîæåñòâî èçìåðèìî.
Ïîñêîëüêó êëåòî÷íîå ìíîæåñòâî - ýòî êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëåòîê, òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êëåòêà - èçìåðèìîå ìíîæåñòâî.
Ïóñòü Q - äàííàÿ êëåòêà, E - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Äîêàæåì, ÷òî
m∗ (E) ≥ m∗ (E ∩ Q) + m∗ (E ∩ Q).
∗
∗
Åñëè m (E) = ∞, òî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî. Åñëè æå m (E) < ∞, òî ïî
îïðåäåëåíèþ èíôèìóìà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ïîêðûòèå E
êëåòêàìè Pi , òàêîå ÷òî
m∗ (E) + ε ≥
∞
X
µ(Pi ).
i=1
Çàìåòèì, ÷òî Pi ∩ Q È Pi ∩ Q - êëåòî÷íûå ìíîæåñòâà, è äëÿ èõ ìåð âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè
µ(Pi ) = µ(Pi ∩ Q) + µ(Pi ∩ Q).
Ó÷èòûâàÿ òàêæå, ÷òî ìåðà µ êëåòî÷íîãî ìíîæåñòâà ñîâïàäàåò ñ åãî âåðõíåé
ìåðîé, ïîëó÷èì
m∗ (E) + ε ≥
∞
X
m∗ (Pi ∩ Q) +
i=1
∗
∞
∞
X
m∗ (Pi ∩ Q)
i=1
∗
∞
≥ m (( ∪ Pi ∩ Q) + m (( ∪ Pi ∩ Q)
i=1
i=1
≥ m∗ (E ∩ Q) + m∗ (E ∩ Q).
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñóáàääèòèâíîñòüþ âåðõíåé ìåðû è åå ìîíîòîííîñòüþ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî E
⊂ ∪∞
i=1 Pi . Ïîñêîëüêó ε ïðîèçâîëüíî, ïîëó÷àåì
íóæíîå íåðàâåíñòâî.
Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå çàâåðøàåò ïîñòðîåíèå òåîðèè ìåðû.
Îïðåäåëåíèå 2.3.2 Âåðõíÿÿ ìåðà èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ åãî ìåðîé Ëåáåãà è îáîçíà÷àåòñÿ µ(A) âìåñòî m∗ (A).
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî ìåðà Ëåáåãà íà êëàññå Σ èçìåðèìûõ
ìíîæåñòâ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 1 - 4 èç 2.1.
2.3. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
2.3.2
25
Ìíîæåñòâà ìåðû 0.
Îïðåäåëåíèå 2.3.3 Åñëè m∗ (A) = 0, òî ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâîì ìåðû 0.
Îòìåòèì, ÷òî A çàðàíåå íå ïðåäïîëàãàåòñÿ èçìåðèìûì.
Óïðàæíåíèå 2.3.4 Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà ìåðû 0 èçìåðèìû.
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîå îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî A - èçìåðèìîå
ìíîæåñòâî è åãî ìåðà µ(A) ðàâíà 0.
Îòìåòèì òàêæå åùå îäíî ïðîñòîå, íî âàæíîå ñâîéñòâî ìåðû Ëåáåãà: åå
ïîëíîòó. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà ìåðû 0 ñàìî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ìåðû 0. Åãî ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ ìåðû Ëåáåãà âûòåêàåò èç
ìîíîòîííîñòè âåðõíåé ìåðû.
2.3.3
Áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà.
Çäåñü ìû èçó÷èì íåìíîãî ïîäðîáíåå ñòðóêòóðó êëàññà èçìåðèìûõ ìíî-
2
æåñòâ. Äëÿ ïðîñòîòû ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì ïëîñêîñòè R , ñëó÷àé R
n
ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Êëåòêó
Pijm =
i+1
j
j+1
i
≤x<
,
≤y<
m
m
m
10
10
10
10m
áóäåì íàçûâàòü êëåòêîé ðàíãà m. ßñíî, ÷òî äâå ðàçëè÷íûå êëåòêè ðàíãà
m íå ïåðåñåêàþòñÿ, à îáúåäèíåíèå âñåõ êëåòîê ðàíãà m äàåò âñå R2 .
Ëåììà 2.3.5 Îòêðûòîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñ÷åòíîãî
ìíîæåñòâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëåòîê.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G - îòêðûòîå ìíîæåñòâî, è ïóñòü K1 - êëåòî÷íîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êëåòîê ðàíãà 1, ñîäåðæàùèõñÿ â G. Äàëåå,
ââåäåì êëåòî÷íîå ìíîæåñòâî K2 , ñîñòîÿùåå èç êëåòîê ðàíãà 2, ñîäåðæàùèõñÿ â G, íî íå ïðèíàäëåæàùèõ K1 . Àíàëîãè÷íî, K3 ñîñòîèò èç êëåòîê ðàíãà
3, ñîäåðæàùèõñÿ â G, íî íå ïðèíàäëåæàùèõ K1 ,
K2 è ò.ä. Ïóñòü K - îáú-
åäèíåíèå âñåõ Km . Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî K ñîâïàäàåò ñ G. Äåéñòâèòåëüíî,
ïóñòü x0 ∈ G - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Îíà ñîäåðæèòñÿ â G âìåñòå ñ íåêîòîðîé
ε-îêðåñòíîñòüþ, òàê êàê G îòêðûòî. Ïîñêîëüêó äèàìåòðû êëåòîê ñòðåìÿòñÿ
ê 0 ïðè m → ∞, òî íàéäåòñÿ êëåòêà, ñîäåðæàùàÿ x0 è öåëèêîì ëåæàùàÿ â
ε-îêðåñòíîñòè. Ïî ïîñòðîåíèþ òàêàÿ êëåòêà äîëæíà âîéòè â îäíî èç ìíîæåñòâ Km , ñëåäîâàòåëüíî, x0 ∈ Km ⊂ K .
Ñëåäñòâèå 2.3.6 Îòêðûòîå ìíîæåñòâî èçìåðèìî, åãî ìåðà ðàâíà ñóììå ìåð ñîñòàâëÿþùèõ åãî êëåòîê. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî èçìåðèìî êàê
äîïîëíåíèå ê îòêðûòîìó.
26
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Ëåììà 2.3.7 Äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A è ëþáîãî ε > 0
íàéäåòñÿ îòêðûòîå ìíîæåñòâî G è çàìêíóòîå ìíîæåñòâî F , òàêèå ÷òî
F ⊂A⊂Gè
µ(G \ A) < ε, µ(A \ F ) < ε.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñíà÷àëà A - ìíîæåñòâî êîíå÷íîé ìåðû. Òàê êàê
µ(A) = m∗ (A) òî äëÿ ëþáîãî ε ñóùåñòâóåò ïîêðûòèå A ñ÷åòíîé ñèñòåìîé
êëåòîê Pi , òàêîå ÷òî
∞
X
µ(A) + ε >
µ(Pi ).
i=1
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Pi - îòêðûòûå êëåòêå (èíà÷å èõ ìîæíî áûëî áû çàìå-
o
íèòü áîëüøèìè îòêðûòûìè Pi
⊃ Pi , òàê ÷òî
µ(Pio ) − µ(Pi ) <
ε
.
2i
Òîãäà îáúåäèíåíèå âñåõ Pi áóäåò èñêîìûì îòêðûòûì ìíîæåñòâîì G. Äåéñòâèòåëüíî,
µ(G) ≤
∞
X
µ(Pi ) < µ(A) + ε,
i=1
îòêóäà
µ(G \ A) = µ(G) − µ(A) < ε.
µ(A) = ∞. Âñå ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê îáúPi , ñëåäîâàòåëüíî, A = ∪(A ∩ Pi ).
Ìíîæåñòâà A ∩ Pi èìåþò êîíå÷íóþ ìåðó, ñëåäîâàòåëüíî, ïî äîêàçàííîìó
ñóùåñòâóþò îòêðûòûå ìíîæåñòâà Gi ⊃ A ∩ Pi , òàêèå ÷òî
Ïóñòü òåïåðü
åäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êëåòîê
µ(Gi \ (A ∩ Pi )) <
ε
.
2i
∞
Ïîëàãàÿ G = ∪i=1 Gi , ïîëó÷èì, ÷òî G ⊃ A è
µ(G \ A) ≤
∞
X
µ(Gi \ (A ∩ Pi )) ≤ ε,
i=1
÷òî è òðåáîâàëîñü.
×òîáû íàéòè çàìêíóòîå ìíîæåñòâî
F , ðàññìîòðèì äîïîëíåíèå A. Ïî
äîêàçàííîìó íàéäåòñÿ îòêðûòîå ìíîæåñòâî G, ñîäåðæàùåå A è òàêîå, ÷òî
µ(G \ A) < ε.
Ïîëîæèì F = G. Òîãäà F çàìêíóòî, F ⊂ A è A \ F = G \ A. Ñëåäîâàòåëüíî,
µ(A \ F ) < ε.
2.3. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
27
Èòàê, êëàññ Σ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ ñîäåðæèò âñå îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà (íàçîâåì èõ ìíîæåñòâàìè ïåðâîãî ïîêîëåíèÿ). Ïîñêîëüêó
êëàññ Σ çàìêíóò îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé äîïîëíåíèÿ è ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ, òî îí ñîäåðæèò ìíîæåñòâà, ïîëó÷åííûå èç ìíîæåñòâ ïåðâîãî ïîêîëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ýòèõ îïåðàöèé (ìíîæåñòâà âòîðîãî ïîêîëåíèÿ). Ïðîäîëæàÿ
ýòîò ïðîöåññ, ìû áóäåì ïîëó÷àòü òðåòüå, ÷åòâåðòîå è ò.ä. ïîêîëåíèÿ ìíîæåñòâ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ïðåäûäóùèõ ïîêîëåíèé îïåðàöèÿìè ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ è äîïîëíåíèÿ. Âñå îíè â ñîâîêóïíîñòè äàþò íåêîòîðûé
êëàññ ìíîæåñòâ
B , íàçûâàåìûõ áîðåëåâñêèìè. Îí îáëàäàåò ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
1. Åñëè A ∈ B, òî è A ∈ B (çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè äîïîëíåíèÿ).
∞
2. Åñëè Ai ∈ B, i = 1, 2, . . . , òî è ∪i=1 Ai ∈ B (çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî
ñ÷åòíûõ îáúåäèíåíèé).
3. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà ïðèíàäëåæàò B .
4.
B - ìèíèìàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ ñî ñâîéñòâàìè 1 - 3.
Ìû âèäèì, ÷òî êëàññ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò êëàññ
áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ.
 çàêëþ÷åíèå äàäèì íåêîòîðûå îáùèå îïðåäåëåíèÿ èç òåîðèè ìåðû,
ãëàâíûì îáðàçîì, ÷òîáû ôèêñèðîâàòü òåðìèíîëîãèþ.
Ïóñòü X - íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, è ïóñòü S - ñîâîêóïíîñòü åãî ïîäìíîæåñòâ ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1.
X ∈ S.
2. Åñëè A ∈ S , òî è Ai = X \ A ∈ S.
∞
3. Åñëè Ai ∈ S , òî è ∪i=1 Ai ∈ S.
Òàêîé êëàññ íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé ìíîæåñòâ â X .
Ôóíêöèÿ µ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâàõ èç S , ïðèíèìàþùàÿ íåîòðèöà-
òåëüíûå çíà÷åíèÿ èëè +∞, íàçûâàåòñÿ ìåðîé, åñëè îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì
ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè (σ -àääèòèâíîñòè), ò.å., äëÿ ëþáîé ñ÷åòíîé ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ Ai ∈ S , ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
∞
µ( ∪ Ai ) =
i=1
∞
X
µ(Ai ).
i=1
Òðîéêà (X, S, µ) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì
ñ ìåðîé. Ìíîæåñòâî A ∈ S
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ìåðû 0, åñëè µ(A) = 0. Ìåðà íàçûâàåòñÿ ïîëíîé,
åñëè ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà ìåðû 0 ñàìî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì
ìåðû 0. Ìåðà íàçûâàåòñÿ σ -êîíå÷íîé, åñëè âñå ìíîæåñòâî X ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ Xi ,
êîíå÷íîé ìåðû.
i = 1, 2, . . .
28
ÃËÀÂÀ 2.
Ïðèìåðàìè σ -àëãåáð â R
n
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
ìîæåò ñëóæèòü êëàññ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó
ìíîæåñòâ Σ, à òàêæå êëàññ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B . ßñíî òàêæå, ÷òî ìåðà
Ëåáåãà ïîëíà è σ -êîíå÷íà.
2.4
Èçìåðèìûå ôóíêöèè è èíòåãðàë
Íà÷íåì ñ ïðåäâàðèòåëüíîãî îáñóæäåíèÿ ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà â òîì âèäå, â
êîòîðîì îíî áûëî ïðåäëîæåíî ïåðâîíà÷àëüíî Ëåáåãîì. Ïîòîì ìû áóäåì
ïîëüçîâàòüñÿ äðóãèì îïðåäåëåíèåì, êîòîðîå óäîáíåå â òåõíè÷åñêîì ïëàíå.
Îäíàêî ëåáåãîâñêîå îïðåäåëåíèå îáëàäàåò áîëüøîé íàãëÿäíîñòüþ è õîðîøî
èëëþñòðèðóåò îòëè÷èå îò èíòåãðàëà Ðèìàíà, ïîýòîìó ìû ðåøèëè íà÷àòü ñ
íåãî.
Èíòóèòèâíî èíòåãðàë îò ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè f (x) ïî îòðåçêó [a, b]
- ýòî ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè x = a, x =
b, y = 0 è ãðàôèêîì ôóíêöèè. Â èíòåãðàëå Ðèìàíà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
ðàçáèâàåòñÿ íà ìàëûå ïðîìåæóòêè
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b,
â ðåçóëüòàòå âñÿ ôèãóðà ðàçáèâàåòñÿ íà ïîëîñêè, êîòîðûå ïðèáëèæåííî
ïðèíèìàþòñÿ çà ïðÿìîóãîëüíèêè ñ îñíîâàíèåì ∆xi = [xi , xi+1 ) è âûñîòîé,
ðàâíîé çíà÷åíèþ ôóíêöèè f (ξi ) â òî÷êå ξi
∈ ∆xi , âûáðàííîé ïðîèçâîëü-
íî. Ïëîùàäü òðàïåöèè òîãäà ðàâíà ïðèáëèæåííî ñóììå ïëîùàäåé ïðÿìîóãîëüíèêîâ, è äàëåå äåëàåòñÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè ìåëêîñòè ðàçáèåíèÿ
max |∆xi | ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ. Íåäîñòàòîê òàêîãî îïðåäåëåíèÿ â òîì, ÷òî
ïëîõàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò ñèëüíî ìåíÿòüñÿ äàæå íà ìàëûõ ïðîìåæóòêàõ.
Ýòî ïðèâîäèò ê áîëüøîìó ðàçáðîñó çíà÷åíèé âûñîòû f (ξi ), à ýòî â ñâîþ
î÷åðåäü ïðèâîäèò ê íåñîâïàäåíèþ ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè
ïðè âàðüèðîâàíèè âûñîò ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Òèïè÷íûé ïðèìåð - ôóíêöèÿ
Äèðèõëå íà îòðåçêå [0, 1], ðàâíàÿ 0 ïðè x èððàöèîíàëüíûõ è 1 ïðè x ðàöèîíàëüíûõ. Êàê èçâåñòíî, òàêàÿ ôóíêöèÿ íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó.
Óïðàæíåíèå 2.4.1 Äîêàçàòü ýòîò ôàêò.
Ëåáåã ïðåäëîæèë ðàçáèâàòü íà ïðîìåæóòêè íå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ, à
îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè. Ñ÷èòàÿ ôóíêöèþ îãðàíè÷åííîé 0 ≤ f (x) ≤ c,
ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå
0 = y0 < y1 < y2 < . . . < yn = c.
Ïóñòü
Mi = {yi ≤ f (x) < yi+1 }
ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå â ïðîìåæóòêå ∆yi . Â
êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäè âîçüìåì ïðîèçâåäåíèå yi µ(Mi ), ãäå µ(Mi )
- ìåðà ìíîæåñòâà Mi , à èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Ëåáåãà áóäåò èìåòü âèä
X
i
yi µ(Mi ).
2.4. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÍÒÅÃÐÀË
29
Äàëåå äåëàåòñÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè ìåëêîñòè max |∆yi | ñòðåìÿùåéñÿ
ê íóëþ. Çäåñü óæå ïî ñàìîé êîíñòðóêöèè èñêëþ÷àþòñÿ áîëüøèå ðàçáðîñû
çíà÷åíèé ôóíêöèè íà ìíîæåñòâàõ Mi äàæå äëÿ ïëîõèõ ôóíêöèé. Íåïðèÿòíîñòü òåïåðü íàõîäèòñÿ â äðóãîì ìåñòå: ìíîæåñòâà Mi ìîãóò áûòü äîâîëüíî ñëîæíûìè, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìà ðàçâèòàÿ òåîðèÿ ìåðû (òåîðèÿ Ëåáåãà), ÷òîáû µ(Mi ) áûëè îïðåäåëåíû. Êîíå÷íî îñòàåòñÿ óñëîâèå ìíîæåñòâà Mi äîëæíû áûòü èçìåðèìûìè.
Îïðåäåëåíèå 2.4.2 Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîé, åñëè äëÿ
ëþáîãî c ∈ R ìíîæåñòâî
{x : f (x) < c} = f −1 ((−∞, c))
èçìåðèìî.
Ïîñêîëüêó êëàññ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ çàìêíóò îòíîñèòåëüíî äîïîëíåíèÿ, òî
f −1 ([c, +∞)) = f −1 ((−∞, c))
òîæå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî
f −1 ([c, d)) = f −1 ((−∞, d)) ∩ f −1 ([c, +∞))
òàêæå èçìåðèìî êàê ïåðåñå÷åíèå èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.
Óïðàæíåíèå 2.4.3 Ïóñòü B - ñåìåéñòâî áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ íà ïðÿìîé R. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ èçìåðèìîé ôóíêöèè f (x) ïðîîáðàçû áîðåëåâñêèõ
ìíîæåñòâ èçìåðèìû.
Óïðàæíåíèå 2.4.4 Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Äèðèõëå èçìåðèìà.
Óïðàæíåíèå 2.4.5 Äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàëüíûå ñóììû Ëåáåãà äëÿ ôóíêöèè Äèðèõëå èìåþò ïðåäåë ïðè ìåëêîñòè ðàçáèåíèÿ ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ.
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà, òî ïðîîáðàç îòêðûòîãî ìíîæåñòâà (−∞, c)
ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì, à çíà÷èò, èçìåðèìûì ìíîæåñòâîì. Òàêèì îáðàçîì íåïðåðûâíûå ôóíêöèè èçìåðèìû. Îáðàòíîå íåâåðíî (íàïðèìåð, ôóíêöèÿ Äèðèõëå). Èçìåðèìûå ôóíêöèè, êàê ìû óâèäèì, îáðàçóþò äîâîëüíî øèðîêèé êëàññ, çàìêíóòûé îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà, â òîì ÷èñëå è îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà. Äëÿ
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ýòî íå òàê - ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìîæåò áûòü ðàçðûâíîé ôóíêöèåé.
Ïðèìåð íåèçìåðèìîé ôóíêöèè ïîñòðîèòü ñëîæíî, âî âñÿêîì ñëó÷àå ýôôåêòèâíûõ ïðèìåðîâ íåèçâåñòíî. Îäíàêî, ðàñïîëàãàÿ íåèçìåðèìûì ìíîæåñòâîì Z (ñì. ðàçäåë 2.1) ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü è íåèçìåðèìóþ ôóíêöèþ.
Óïðàæíåíèå 2.4.6 Ïóñòü χZ (x) - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà Z , ðàâíàÿ 1 ïðè x ∈ Z è ðàâíàÿ 0 ïðè x 6∈ Z . Äîêàçàòü, ÷òî îíà
íåèçìåðèìà.
30
ÃËÀÂÀ 2.
2.4.1
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé
n
Ìû áóäåì ãîâîðèòü î ìåðå Ëåáåãà â R , õîòÿ âñå îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì
äëÿ ëþáîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ìåðîé (X, Σ, µ) ïðè óñëîâèè, ÷òî ìåðà ïîëíà è
σ -êîíå÷íà.
Îïðåäåëåíèå 2.4.7 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êàêîå-ëèáî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó (ï.â.) (èëè äëÿ ïî÷òè âñåõ x, èëè íà ìíîæåñòâå
ïîëíîé ìåðû), åñëè ìíîæåñòâî òåõ x ∈ Rn , ãäå îíî íå âûïîëíåíî, èìååò
ìåðó 0.
Îïðåäåëåíèå 2.4.8 Äâå ôóíêöèè f (x) è g(x) áóäåì íàçûâàòü ýêâèâàëåíòíûìè è ïèñàòü f (x) ∼ g(x), åñëè f (x) = g(x) ïî÷òè âñþäó, ò.å.,
ìíîæåñòâî òåõ òî÷åê f (x) èëè g(x) íå îïðåäåëåíû èëè íå ðàâíû, èìååò
ìåðó 0.
Ïîíÿòèå èçìåðèìîñòè ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå ïî÷òè âñþäó. Äëÿ ýòîãî íóæíî ôóíêöèè äîîïðåäåëèòü ëþáûì ñïîñîáîì (íàïðèìåð, íóëåì). Ìíîæåñòâà {f (x) < c} ìîãóò èçìåíèòüñÿ ïðè ýòîì òîëüêî
íà ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû, ÷òî íå âëèÿåò íà èçìåðèìîñòü.
Òåîðåìà 2.4.9 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé fk (x)
ñõîäèòñÿ ï.â. ê ôóíêöèè f (x). Òîãäà f (x) èçìåðèìà,
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ôóíêöèè fk (x) îïðåäåëåíû
âñþäó, à íå ï.â.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû äîîïðåäåëÿåì èõ íóëÿìè, ÷òî íå âëèÿåò íà èçìåðèìîñòü. Ìîæíî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gk (x),
ñõîäèòñÿ âñþäó, ÷åãî îïÿòü-òàêè ìîæíî äîáèòüñÿ ïåðåîïðåäåëèâ fk (x) è f (x)
íóëÿìè â òî÷êàõ, ãäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ.
 ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ äîêàæåì ðàâåíñòâî
{f (x) < c} =
∞ [
∞ \ [
n=1 m=1 k>m
1
fk (x) < c −
n
.
(2.4.1)
Ïóñòü x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó â ëåâîé ÷àñòè. Òîãäà ñóùåñòâóåò n òàêîå,
÷òî
f (x) < c −
1
,
n
÷òî ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê
x∈
∞ [
f (x) < c −
n=1
1
n
.
Òàê êàê f (x) = limk→∞ fk (x), òî, áåðÿ ε = c − 1/n − f (x), ïîëó÷èì èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà, ÷òî ñóùåñòâóåò m òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ k > m âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî
fk (x) − f (x) < c −
1
− f (x),
n
2.4. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÍÒÅÃÐÀË
31
ò.å.,
fk (x) < c −
1
,
n
(2.4.2)
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî x ïðèíàäëåæèò ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.4.1).
Îáðàòíî, ïóñòü x ïðèíàäëåæèò ïðàâîé ÷àñòè (2.4.1). Òîãäà íåðàâåíñòâî
(2.4.2) âûïîëíÿåòñÿ ïðè k
> m. Ïåðåõîäÿ â íåì ê ïðåäåëó ïðè k → ∞,
ïîëó÷èì
f (x) ≤ c −
1
.
n
Òàê êàê ðåçóëüòàò íå çàâèñèò îò m, òî îáúåäèíåíèå ïî m äàåò òî æå ìíîæåñòâî
f (x) ≤ c −
1
n
,
à îáúåäèíåíèå ïî n äàåò ìíîæåñòâî {f (x) < c}, ÷òî è äîêàçûâàåò (2.4.1).
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà {fk (x) < c − 1/n} èçìåðèìû ïî óñëîâèþ, à îïåðàöèè ñ÷åòíûõ ïåðåñå÷åíèé è îáúåäèíåíèé íå âûâîäÿò èç êëàññà èçìåðèìûõ
ìíîæåñòâ, çíà÷èò ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (2.4.1) èçìåðèìî.
Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïîäñêàçàíî èíòåãðàëüíûìè ñóììàìè Ëåáåãà.
Îïðåäåëåíèå 2.4.10 Íàçîâåì ôóíêöèþ f (x) ïðîñòîé, åñëè ñóùåñòâó-
åò ðàçáèåíèå
∞
Rn = ∪ M i ,
i=1
ãäå Mi - íåïåðåñåêàþùèåñÿ èçìåðèìûå ïîäìíîæåñòâà êîíå÷íîé ìåðû, íà
êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå
f (x) = yi , x ∈ Mi .
Îòìåòèì, ÷òî yi è yj íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íû ïðè i 6= j .
Óïðàæíåíèå 2.4.11 Ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà.
Òåîðåìà 2.4.12 Ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
îíà ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé è ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ ôóíêöèé. Åñëè f (x) ≥ 0, òî fk (x) ≥ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì Rn íà åäèíè÷íûå êóáû, è áóäåì âåñòè äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ â ôèêñèðîâàííîì êóáå. Ïóñòü f (x) èçìåðèìà. Ðàçîáüåì
îñü y íà ïðîìåæóòêè
k
k+1
2m , 2m , è ïóñòü
Mm,k =
k
k+1
≤ f (x) < m
2m
2
.
Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ôóíêöèé fm (x), ïîëàãàÿ
fm (x) =
k
, x ∈ Mmk ,
2m
32
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
åñëè ìíîæåñòâî Mmk íåïóñòî. ßñíî, ÷òî fm (x) - ïðîñòûå ôóíêöèè è ÷òî
|fm (x) − f (x)| <
1
,
2m
îòêóäà ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü fm (x) ê f (x). Ïðè ïåðåõîäå îò m ê
m + 1 êàæäûé ïðîìåæóòîê äåëèòñÿ ïîïîëàì:
k k+1
,
2m 2m
2k
2k + 1
= m+1 , m+1
2
2
[
2k + 1 2k + 2
,
2m+1 2m+1
,
ñîîòâåòñòâåííî Mmk = M(m+1) 2k ∪ M(m+1) (2k+1) . Ïðè ýòîì
fm (x) = fm+1 (x) =
k
,
2m
åñëè x ∈ M(m+1) 2k è
fm (x) =
k
2k + 1
< fm+1 (x) = m+1
2m
2
ïðè x ∈ M(m+1) (2k+1) .
 îáðàòíóþ ñòîðîíó óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.4.9, òàê êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé åñòü èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ.
Ñëåäñòâèå 2.4.13 Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä èçìåðèìûìè ôóíêöèÿìè äàþò èçìåðèìûå ôóíêöèè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïðîèçâåäåíèå f (x)g(x). Òàê
êàê
f (x) è g(x) èçìåðèìû, òî ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ
ôóíêöèé fn (x) è gn (x), ñõîäÿùèåñÿ ê f (x) è g(x) ñîîòâåòñòâåííî. Ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîæåñòâà ïîñòîÿíñòâà äëÿ fn è äëÿ gn îäíè è òå æå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü fn ïîñòîÿííà íà ìíîæåñòâàõ Mni , à gn - íà ìíîæåñòâàõ
Nnj , òîãäà âñåâîçìîæíûå ïåðåñå÷åíèÿ Knij = Mni ∩Nnj äàþò ñ÷åòíîå ðàçáèn
åíèå R , ïðè ýòîì è fn è gn ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâàõ
Knij . Òàêèì îáðàçîì, fn (x)gn (x) - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ôóíêöèé, åå
ïðåäåë ðàâåí f (x)g(x). Òîãäà ïî òåîðåìå 2.4.9 ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ôóíêöèåé.
Çàìå÷àíèå 2.4.14 Ïðèåì, êîãäà ñ ïîìîùüþ ïåðåñå÷åíèé ñòðîÿò ðàçáèåíèå, òàê ÷òî îáå çàäàííûå ôóíêöèè ïîñòîÿííû íà ìíîæåñòâàõ ðàçáèåíèÿ,
ïðèìåíÿåòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî. Îí ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ÷èñëî ôóíêöèé.
2.4. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÍÒÅÃÐÀË
2.4.2
33
Èíòåãðàë è åãî ñâîéñòâà
Ïóñòü G ⊂ R
n
- èçìåðèìîå ìíîæåñòâî (íå îáÿçàòåëüíî êîíå÷íîé ìåðû), è
ïóñòü f (x) - ïðîñòàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà G. Òàêèì îáðàçîì, èìååì
ðàçáèåíèå G = ∪i=1 Gi , ãäå Gi - èçìåðèìûå ìíîæåñòâà êîíå÷íîé ìåðû, è
∞
f (x) = yi ≥ 0 íà Gi . Îïðåäåëèì èíòåãðàë êàê ñóììó ðÿäà
Z
f (x)dµ :=
G
∞
X
yi µ(Gi ),
(2.4.3)
i=1
åñëè îí ñõîäèòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðó-
åìîé (ïî Ëåáåãó).  ëèòåðàòóðå âñòðå÷àåòñÿ òàêæå íåñêîëüêî óñòàðåâøèé
òåðìèí ñóììèðóåìàÿ (âìåñòî èíòåãðèðóåìàÿ) ôóíêöèÿ.
Ïóñòü äàëåå f (x) - èçìåðèìàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà G. Òîãäà ïî
òåîðåìå 2.4.12 ñóùåñòâóåò ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëü-
fn (x), ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ ê f . Ïîëîæèì ïî
íûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé
îïðåäåëåíèþ
Z
Z
f (x)dµ := lim
n→∞
G
fn (x)dµ,
(2.4.4)
G
åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë, â ýòîì ñëó÷àå f (x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó (ñóììèðóåìîé).
Íàêîíåö, åñëè f (x) - ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ (íå îáÿçàòåëüíî
ïîëîæèòåëüíàÿ), òî ìû ïîëàãàåì f = f+ − f− , ãäå
f+ =
è
|f | − f
|f | + f
≥ 0, f− =
≥ 0,
2
2
Z
Z
f+ (x)dµ −
f (x)dµ :=
G
Z
G
f− (x)dµ,
(2.4.5)
G
ïðè ýòîì ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé, åñëè èíòåãðèðóåìû îáå ôóíêöèè f+ è f− . Îòìåòèì ñðàçó æå, ÷òî â òåîðèè Ëåáåãà ïîíÿòèå íåñîáñòâåííîãî
èíòåãðàëà îòñóòñòâóåò: ìíîæåñòâî G ìîæåò áûòü íåîãðàíè÷åííûì, èìåòü
áåñêîíå÷íóþ ìåðó, èëè ôóíêöèÿ f (x) ìîæåò áûòü íåîãðàíè÷åííîé, îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îñòàåòñÿ åäèíûì.
Ïðåæäå âñåãî íàì íóæíî äîêàçàòü êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà.
Äåëî â òîì, ÷òî â ôîðìóëå (2.4.3) ðàçáèåíèå Gi ìîæíî ñòðîèòü ðàçëè÷íûìè
ñïîñîáàìè, à â ôîðìóëå (2.4.4) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) òàêæå ñòðîèòñÿ ñ
íåêîòîðûì ïðîèçâîëîì. Íóæíî äîêàçàòü ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå áóäåò
çàâèñåòü îò óêàçàííîãî ïðîèçâîëà.
Ëåììà 2.4.15 Ôîðìóëà (2.4.3) êîððåêòíî îïðåäåëÿåò èíòåãðàë îò ïðî-
ñòîé ôóíêöèè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Gi - ðàçáèåíèå G. Ðàññìîòðèì áîëåå ìåëêîå
j
j
ðàçáèåíèå Gi , ò.å., Gi
j
⊂ Gi è Gi = ∪∞
j=1 Gi . Òîãäà f (x) = yi íà êàæäîì
34
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Gji , j = 1, 2, . . . .  ñèëó ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè ìåðû èìååì
X
X
yi µ(Gi ),
yi µ(Gji ) =
i
i,j
j
÷òî è äàåò ñîâïàäåíèå ñóìì (2.4.3) äëÿ ðàçáèåíèé Gi è Gi .
 îáùåì ñëó÷àå äâóõ ðàçáèåíèé Gi è Fj , íàäî ðàññìîòðåòü ïåðåñå÷åíèÿ
Gi ∩ Fj . Îíè îáðàçóþò íîâîå ðàçáèåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ è ïîäðàçáèåíèåì
Gi è ïîäðàçáèåíèåì Fj . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììû (2.4.3) äëÿ íèõ ñîâïàäàþò,
ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç íèõ ñîâïàäàåò ñ ñóììîé äëÿ Gi ∩ Fj .
Ïåðå÷èñëèì î÷åâèäíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëîâ îò ïðîñòûõ ôóíêöèé:
1. Ïîëîæèòåëüíàÿ ëèíåéíîñòü
Z
Z
Z
(αf (x) + βg(x))dµ = α
f (x)dµ + β
G
G
g(x)dµ.
G
Çäåñü α, β - íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.
2. Ìîíîòîííîñòü. Åñëè g(x) ≥ f (x) ≥ 0 è g(x) èíòåãðèðóåìà, òî è f (x)
èíòåãðèðóåìà è
Z
Z
f (x)dµ ≤
G
g(x)dµ.
G
3. Àääèòèâíîñòü. Åñëè G = G1 ∪ G2 , ãäå G1 è G2 èçìåðèìû è íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî
Z
Z
f (x)dµ =
G
Z
f (x)dµ +
G1
f (x)dµ.
G2
Óïðàæíåíèå 2.4.16 Äîêàçàòü ýòè ñâîéñòâà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ çàìå÷àíèåì 2.4.14.
Ñëåäóþùåå ñâîéñòâî, î÷åíü âàæíîå äëÿ äàëüíåéøåãî, ìåíåå î÷åâèäíî.
Ëåììà 2.4.17 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå G, è
ïóñòü
lim fn (x) ≥ ϕ(x),
n→∞
ãäå ϕ - ïðîñòàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà
Z
Z
lim
fn (x)dµ ≥
ϕ(x)dµ.
n→∞
G
(2.4.6)
G
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â íåðàâåíñòâå (2.4.6) äîïóñêàþòñÿ
áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ äëÿ µ(G) è èíòåãðàëîâ. Ñîîòâåòñòâåííî ïðèõîäèòñÿ
ðàññìàòðèâàòü òðè ñëó÷àÿ.
1. Ïóñòü µ(G) < ∞,
ϕ ≤ m. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0, è ïóñòü
Gn = {fn (x) > ϕ(x) − ε}.
2.4. ÈÇÌÅÐÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÍÒÅÃÐÀË
35
Òàê êàê fn (x) - ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî Gn ⊂ Gn+1 , à ïîñêîëüêó
limn→∞ fn (x) ≥ ϕ(x), òî ∪∞
n=1 Gn = G. Òîãäà
Z
Z
Z
fn (x)dµ ≥
fn (x)dµ ≥
(ϕ(x) − ε)dµ
G
Gn
Gn
Z
Z
≥
(ϕ(x) − ε)dµ −
(ϕ(x) − ε)dµ.
G
G\Gn
Âòîðîé èíòåãðàë ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê îí ìåíüøå, ÷åì (m − ε)µ(G \
Gn ) → 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
Z
lim
fn (x)dµ ≥
ϕ(x)dµ − εµ(G),
n→∞
G
G
îòêóäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ñëåäóåò (2.4.6).
2. Ïóñòü
Z
ϕ(x)dµ =
G
∞
X
yk µ(Gk ) < ∞.
k=1
Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîñòîé ôóíêöèè µ(Gk ) < ∞, ïðè ýòîì µ(G) =
ìîæåò áûòü ðàâíà ∞.
Âîçüìåì ε > 0 ëþáîå, òîãäà ñóùåñòâóåò N , òàêîå ÷òî
P∞
k=1 µ(Gk )
P∞
N
k=N yk µ(Gk ) < ε.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A = ∪k=1 Gk . Ìåðà µ(A) êîíå÷íà, à ôóíêöèÿ ϕ íà
A îãðàíè÷åíà:
ϕ ≤ m = max{y1 , y2 , . . . , yN },
ò.å., âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ. Çíà÷èò,
Z
Z
fn (x)dµ ≥
lim
n→∞
≥
ϕ(x)dµ =
A
∞
X
A
yk µ(Gk )
k=1
Z
yk µ(Gk ) − ε =
ϕ(x)dµ − ε
G
k=1
è
N
X
Z
Z
fn (x)dµ ≥ lim
lim
n→∞
n→∞
G
fn (x)dµ − ε,
A
÷òî îïÿòü-òàêè äàåò (2.4.6) â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε.
3. Ïóñòü òåïåðü
Z
ϕ(x)dµ =
G
∞
X
yk µ(Gk ) = +∞.
k=1
Áåðåì ïðîèçâîëüíîå M > 0. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå N , ÷òî
N
X
k=1
yk µ(Gk ) > M.
36
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
= ∪N
k=1 Gk êîíå÷íîé ìåðû. Ôóíêöèÿ ϕ íà íåì
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A
îãðàíè÷åíà
ϕ ≤ max{y1 , y2 , . . . , yN },
è ìû ñíîâà íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ ïåðâîãî ñëó÷àÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
n→∞
Z
fn (x)dµ ≥ lim
lim
n→∞
G
R
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè M
G
Z
fn (x)dµ ≥
A
ϕ(x)dµ ≥ M.
A
fn (x)dµ → ∞, è ìû îïÿòü ïîëó÷àåì íåðàâåí-
ñòâî (2.4.6).
Ñëåäñòâèå 2.4.18 Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà 2.4.4 êîððåêòíî, ò.å., íå çàâèñèò îò âûáîðà àïïðîêñèìèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü fn (x) è gn (x) - äâå ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ê f (x). Èìååì ïðè ëþáîì k
lim fn (x) = f (x) ≥ gk (x).
n→∞
Ïî ëåììå 2.4.17 îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Z
Z
fn (x)dµ ≥
lim
n→∞
G
gk (x)dµ.
G
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè k → ∞, ïîëó÷èì
Z
Z
fn (x)dµ ≥ lim
lim
n→∞
G
k→∞
gk (x)dµ.
G
Ìåíÿÿ ðîëÿìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn è gk , ïðèõîäèì ê ïðîòèâîïîëîæíîìó
íåðàâåíñòâó.
Íà ýòîì êîíñòðóêöèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà çàêàí÷èâàåòñÿ. Ñâîéñòâà èíòåãðàëîâ îò ïðîñòûõ ôóíêöèé (ëèíåéíîñòü, ìîíîòîííîñòü, àääèòèâíîñòü) î÷åâèäíûì îáðàçîì ïåðåíîñÿòñÿ íà îáùèé ñëó÷àé. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ìîíîòîííîñòü.
Ïðåäëîæåíèå 2.4.19 Ïóñòü f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè íà
ìíîæåñòâå G, è ïóñòü f (x) ≤ g(x).
Òîãäà
Z
Z
f (x)dµ ≤
g(x)dµ.
G
G
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. Ïîëîæèì ϕ(x) = g(x) − f (x) ≥ 0. Ïóñòü fn (x) è ϕn (x) âîçðàñòàþùèå
f (x) è
ϕ(x) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòûå ôóíêöèè fn (x)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ ôóíêöèé, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèåñÿ ê
2.5. ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
37
è ϕn (x) èñïîëüçóþò îäíî è òî æå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà G (ñì. çàìå÷àíèå
2.4.14). Òàê êàê äëÿ ïðîñòûõ ôóíêöèé ñ îäíèì è òåì æå ðàçáèåíèåì ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè î÷åâèäíî, òî
Z
Z
fn (x)dµ ≤
G
(fn (x) + ϕn (x))dµ,
G
îòêóäà â ïðåäåëå ïîëó÷àåì
Z
Z
f (x)dµ ≤
Z
(f (x) + ϕ(x))dµ =
G
G
g(x)dµ.
G
Ñëó÷àé ôóíêöèé ïðîèçâîëüíîãî çíàêà ñâîäèòñÿ ê äîêàçàííîìó âûøå,
òàê êàê íåðàâåíñòâî
f+ − f− ≤ g+ − g−
ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
f+ + g− ≤ g+ + f− .
2.5
Ïðèëîæåíèÿ
2.5.1
Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
Òåîðåìà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, êîòîðàÿ èçó÷àëàñü â
êóðñå àíàëèçà, òðåáóåò ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé íà êîíå÷íîì îòðåçêå. Êàê ïîêàçûâàþò ïðèìåðû, ýòî óñëîâèå äîâîëüíî
æåñòêîå. Åùå áîëåå æåñòêèå óñëîâèÿ òðåáóþòñÿ äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Òåì áîëåå âïå÷àòëÿåò òåîðåìà Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå, òðåáîâàíèÿ êîòîðîé ìèíèìàëüíû è íå çàâèñÿò îò êîíå÷íîñòè èëè áåñêîíå÷íîñòè
îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ìû âûâåäåì åå èç òåîðåìû î ìîíîòîííîé ñõîäè-
ìîñòè, êîòîðàÿ èìååò è äðóãèå âàæíûå ïðèìåíåíèÿ.
Òåîðåìà 2.5.1 (Á. Ëåâè) Ïóñòü fn (x) ≥ 0 - ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé, è ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ îãðàíè÷åíà:
Z
fn (x)dµ ≤ C.
G
Òîãäà
1. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) - ñõîäèòñÿ ï.â. íà G,
2. ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà è
Z
Z
f (x)dµ = lim
fn (x)dµ.
G
n→∞
G
38
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê fn (x) ìîíîòîííà, òî äëÿ ëþáîãî x ∈ G îíà
ñõîäèòñÿ ê êîíå÷íîìó èëè áåñêîíå÷íîìó ïðåäåëó. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ f (x) = limn→∞ fn (x), êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü
è çíà÷åíèÿ +∞. Ïóñòü E - ìíîæåñòâî òî÷åê, ãäå f (x) = ∞. Ïîêàæåì, ÷òî
µ(E) = 0. Ïîëîæèì
E r = {f (x) ≥ r}, Enr = {fn (x) ≥ r}.
r
ßñíî, ÷òî En ìîíîòîííî ðàñøèðÿþòñÿ ñ ðîñòîì n è E
r
r
= ∪∞
n=1 En , ñëåäîâà-
òåëüíî,
µ(E r ) = lim µ(Enr ).
n→∞
Íî
Z
C≥
Z
fn (x)dµ ≥
r
En
G
fn (x)dµ ≥ rµ(Enr ).
r
Îòñþäà µ(En ) ≤ C/r . Çíà÷èò, â ïðåäåëå ïðè n → ∞ ïîëó÷èì
µ(E r ) ≤
C
r
è
C
.
r
Îòñþäà µ(E) = 0 â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè r . Òåì ñàìûì äîêàçàí ïåðâûé
ïóíêò òåîðåìû. Ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
µ(E) ≤ µ(Enr ) ≤
èçìåðèìûõ ôóíêöèé.
Äîêàæåì òåïåðü âòîðóþ ÷àñòü òåîðåìû. Òàê êàê ôóíêöèÿ fn èíòåãðèðóåìà, òî ñóùåñòâóåò ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
fn,1 , fn,2 , fn,3 , . . . → fn
ïðîñòûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ê fn . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà Ëåáåãà
Z
lim
k→∞
Z
fn,k dµ =
fn dµ.
G
G
f1,2 ,
f2,2 ,
f3,2 ,
·
fn,2 ,
·
f1,3 , . . . → f1
f2,3 , . . . → f2
f3,3 , . . . → f3
·
...
·
f3,3 , . . . → fn
·
...
·
Ñîñòàâèì òàáëèöó
f1,1 ,
f2,1 ,
f3,1 ,
·
fn,1 ,
·
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè, âõîäÿùèå â ýòó òàáëèöó, ìîæíî âûáðàòü òàê,
÷òîáû ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå áûëî íå òîëüêî ïî ñòðîêàì, íî è ïî ñòîëáöàì, ò.å., ÷òîáû
f1,k ≤ f2,k ≤ f3,k , . . . .
2.5. ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
39
Äëÿ ýòîãî â ïåðâîé ñòðîêå áåðåì ïðîèçâîëüíóþ âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê f1 . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âòîðîé ñòðîêè çàìåòèì, ÷òî
f2 (x) − f1 (x) ≥ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , . . . ,
ñõîäÿùàÿñÿ ê f2 − f1 . Òîãäà, ïîëàãàÿ f2,k = f1k + ϕk , ìû ïîëó÷èì ìîíîòîííî
âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ê
f2 , è ïðè ýòîì ëþáîé ýëåìåíò f2,k âòîðîé ñòðîêè áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòà f1,k ïåðâîé ñòðîêè. Àíàëîãè÷íî ñòðîèì òðåòüþ, ÷åòâåðòóþ è
ò.ä. ñòðîêè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì òàáëèöó, â êîòîðîé èìååòñÿ ìîíîòîííîå
âîçðàñòàíèå ïðè äâèæåíèè âïðàâî è âíèç.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äèàãîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn,n . Îíà ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, òàê êàê
fn,n ≤ fn+1,n ≤ fn+1,n+1 ,
ϕ. Â ñèëó ìîfn,n ≤ fn , îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê
ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé èçìåðèìîé ôóíêöèè
íîòîííîãî âîçðàñòàíèÿ ïî ñòðîêàì èìååì
ïðåäåëó, ïîëó÷àåì ϕ ≤ f . Äëÿ èíòåãðàëîâ ïîëó÷àåì îòñþäà
Z
Z
fn,n dµ ≤
G
fn dµ ≤ C,
G
ò.å., èíòåãðàëû îò ïðîñòûõ ôóíêöèé fn,n îãðàíè÷åíû. Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ = limn→∞ fn,n èíòåãðèðóåìà è
Z
Z
Z
fn,n dµ ≤ lim
ϕdµ = lim
n→∞
G
n→∞
G
fn dµ.
Äîêàæåì òåïåðü ïðîòèâîïîëîæíûå íåðàâåíñòâà. Â ñèëó ìîíîòîííîãî
âîçðàñòàíèÿ ïî ñòîëáöàì èìååì fm,n ≤ fn,n ïðè n > m. Óñòðåìëÿÿ n → ∞,
ïîëó÷èì fm ≤ ϕ è
Z
Z
fm dµ ≤
G
ϕdµ.
G
Óñòðåìëÿÿ òåïåðü m → ∞, ïîëó÷àåì f ≤ ϕ è
Z
Z
fm dµ ≤
lim
m→∞
G
ϕdµ.
G
Çíà÷èò, f = ϕ è
Z
Z
f dµ =
G
Z
ϕdµ = lim
G
m→∞
fm dµ,
G
÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Òåîðåìà ÷àùå âñåãî ïðèìåíÿåòñÿ â ñëåäóþùåé ýêâèâàëåíòíîé ôîðìóëèðîâêå íà ÿçûêå ðÿäîâ.
40
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Òåîðåìà 2.5.2 Ïóñòü un (x) ≥ 0- èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè, è ïóñòü
÷èñëîâîé ðÿä
∞ Z
X
n=1
un dµ
G
P
ñõîäèòñÿ. Òîãäà ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ∞
n=1 un (x) ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó
ê èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè, è
!
Z
∞
∞ Z
X
X
un (x) dµ =
un (x)f dµ.
G
n=1
n=1
G
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó Á. Ëåâè ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) ÷àñòè÷íûõ ñóìì ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
Ñëåäñòâèå 2.5.3 (Ëåììà Ôàòó) Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) íåîòðèöàòåëüíûõ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé ñõîäèòñÿ
ï.â. ê ôóíêöèè f (x), è
R
ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ G fn (x)dµ îãðàíè÷åíà ÷èñëîì C .
Òîãäà f (x) èíòåãðèðóåìà, è
Z
f (x)dµ ≤ C.
G
Äîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèÿ ñëåäñòâèÿ ïî÷òè ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ óñëîâèÿìè òåîðåìû 2.5.1, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî ïóíêòà: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
fn (x) íå ìîíîòîííà. Ñóùåñòâóåò, îäíàêî, ñòàíäàðòíûé ïðèåì, ïîçâîëÿþùèé ïåðåéòè ê ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à èìåííî, ïîëîæèì
ϕn (x) = inf fk (x).
k≥n
ßñíî, ÷òî ϕn (x) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò (ó ìåíüøåãî ìíîæåñòâà èíôèìóì
áîëüøå) è ÷òî ϕn (x) → f (x). Ïîêàæåì, ÷òî ϕn (x) - èçìåðèìûå ôóíêöèè.
Ýòî ñëåäóåò èç ëåãêî ïðîâåðÿåìîãî ðàâåíñòâà
∞
{ϕn (x) < c} = ∪ {fk (x) < c}.
k=n
Òàê êàê ϕn (x) ≤ fn (x), òî èç ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî
Z
Z
ϕn (x)dµ ≤
G
fn (x)dµ ≤ C,
G
è ìû ïðèõîäèì ê óñëîâèÿì òåîðåìû Á. Ëåâè.
 êà÷åñòâå âòîðîãî ñëåäñòâèÿ ìû ïîëó÷èì òåîðåìó Ëåáåãà î ìàæîðèðîâàííîé ñõîäèìîñòè.
Òåîðåìà 2.5.4 (Ëåáåã) Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðêåìûõ ôóíêöèé fn (x) ñõîäèòñÿ ï.â. â G, è ïóñòü |fn (x)| ≤ ϕ(x), ãäå ϕ(x) - èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà è
Z
Z
lim
fn (x)dµ =
f (x)dµ.
n→∞
G
G
2.5. ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
41
Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî f (x) òàêæå ìàæîðèðóåòñÿ ôóíêöèåé ϕ(x),
ò.å., |f (x)| ≤ ϕ(x). Ïîýòîìó, êàê fn (x), òàê è f (x) - èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè.
 ñèëó íåðàâåíñòâà
Z
Z
(fn − f )dµ ≤
|fn − f |dµ
G
G
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Ôóíêöèè
2ϕ − |fn − f | ≥ (ϕ − |fn |) + (ϕ − |f |)
íåîòðèöàòåëüíû. Êàê è â ëåììå Ôàòó, ââåäåì ìîíîòîííî âîçðàñòàþùóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ϕn (x) = inf (2ϕ(x) − |fn (x) − f (x)|) = 2ϕ(x) − sup |fn (x) − f (x)|,
k≥n
k≥n
êîòîðàÿ ï.â. ñõîäèòñÿ ê 2ϕ(x). Ïî òåîðåìå Á. Ëåâè
Z
Z
lim
ϕn dµ =
n→∞
G
2ϕdµ,
G
îòêóäà, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ ϕn , ïîëó÷èì
Z
sup |fn − f |dµ = 0.
lim
n→∞
G k≥n
Íî èç íåðàâåíñòâà
sup |fk − f | ≥ |fn − f |
k≥n
âûòåêàåò, ÷òî
Z
|fn − f |dµ = 0.
G
2.5.2
Ñðàâíåíèå èíòåãðàëîâ Ðèìàíà è Ëåáåãà
Îãðàíè÷èâàÿñü îäíîìåðíûì ñëó÷àåì, äîêàæåì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà êîíå÷íîì îòðåçêå [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà è ïî
Ëåáåãó, è èíòåãðàëû ñîâïàäàþò.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ
σ : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b
îïðåäåëèì ñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè f σ (x) è f
f σ (x) =
sup
x∈[xi−1 ,xi )
σ
(x), ïîëàãàÿ ïðè x ∈ [xi−1 , xi )
f (x), f σ (x) =
inf
f (x).
x∈[xi−1 ,xi )
Îòìåòèì, ÷òî ñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè - ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîñòûõ ôóíêöèé. Èíòåãðàëû Ðèìàíà è Ëåáåãà äëÿ òàêèõ ôóíêöèé ñîâïàäàþò è ðàâíû
42
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
ñîîòâåòñòâåííî âåðõíèì Sσ è íèæíèì sσ ñóììàì Äàðáó äëÿ äàííîãî ðàçáèåíèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, òî ïðè max |∆xi | → 0
ïðåäåëû âåðõíèõ è íèæíèõ ñóìì Äàðáó ñîâïàäàþò, è èõ îáùåå çíà÷åíèå è
åñòü èíòåãðàë Ðèìàíà.
Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé σN äëÿ êîòîðûõ max |∆xi | ñòðåìèòñÿ ê 0, è òàê, ÷òîáû σN +1 áûëî èçìåëü÷åíèåì σN . Áóäåì óïðîùàòü îáîçíà÷åíèå f σ
N
äî f N (x) è àíàëîãè÷íî äëÿ f
N
. Òîãäà
f N (x) ≤ f N +1 (x) ≤ f (x) ≤ f N +1 ≤ f N (x).
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f n (x) ìîíîòîííî óáûâàåò è îãðàíè÷åíà, ñëåäîâàòåëüíî,
îíà èìååò ïðåäåë, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì f (x). Àíàëîãè÷íî, f
(x) èìååò
N
ïðåäåë f (x). ßñíî, ÷òî f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Ïî òåîðåìå Áåïïî Ëåâè
Z b
Z b
(f − f )dµ = lim
(L)
N →∞
a
a
(f N − f N )dµ.
(L) è (R), ÷òîáû ðàçëè÷àòü èíòåãðàëû Ëåáåãà
Ìû ïîëüçóåìñÿ çíà÷êàìè
è Ðèìàíà. Åñëè æå òàêîãî çíà÷êà íåò, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îáà èíòåãðàëà
èìåþò ñìûñë è ñîâïàäàþò. Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí ðàçíîñòè âåðõíåé è
íèæíåé ñóìì Äàðáó, òàê ÷òî limn→∞ (SN − sN ) = 0, ïîñêîëüêó f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó.
Óïðàæíåíèå 2.5.5 Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f (x) ≥ 0 è
Z b
f (x)dµ = 0,
a
òî f (x) = 0 ï.â.
Ïîëüçóÿñü ðåçóëüòàòîì ýòîãî óïðàæíåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî
f (x) = f (x) = f (x)
ï.â.. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z b
(R)
Z b
f (x)dx = lim SσN = lim
N →∞
a
Z b
= (L)
N →∞
Z b
f (x)dµ = (L)
a
f N dx
a
f (x)dµ.
a
Ìû çäåñü ñíîâà âîñïîëüçîâàëèñü òåîðåìîé Áåïïî Ëåâè î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè.
Äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ñèòóàöèÿ áîëåå èíòåðåñíàÿ. Åñëè íåñîá-
ñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî ôóíêöèÿ ñóììèðóåìà.
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ ñõîäÿòñÿ èíòåãðàëû
îò ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè
|f |−f
f+ = |f |+f
è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè f− =
2
2 .
2.5. ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
43
Ýòî âëå÷åò ñóììèðóåìîñòü f+ è f− è ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2.4.5 ñóììèðóåìîñòü f . Åñëè æå ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà óñëîâíàÿ, òî
èíòåãðàëû îò ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ôóíêöèè ðàñõîäÿòñÿ,
ñëåäîâàòåëüíî, f+ è f− íå áóäóò ñóììèðóåìûìè, òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2.4.5 íå áóäåò ñóììèðóåìîé è ñàìà ôóíêöèÿ f .
2.5.3
Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà L
c
 ïðèìåðå 1.1.6 áûëî ðàññìîòðåíî ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî L [a, b] íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñ ìåòðèêîé ñðåäíåãî îòêëîíåíèÿ. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íåïîëíî, è íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü åãî ïîïîëíåíèå. Çäåñü ìû äàäèì áîëåå ÿâíóþ
êîíñòðóêöèþ ïîïîëíåíèÿ, îòëè÷àþùóþñÿ îò îáùåé êîíñòðóêöèè òåîðåìû
1.4.4. Åäèíñòâåííîñòü ïîïîëíåíèÿ ãàðàíòèðóåò, îäíàêî, ÷òî ýòè äâå êîíñòðóêöèè ñîâïàäàþò ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìåòðèè.
Ïóñòü L = L(Ω) - ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé íà
èçìåðèìîì ìíîæåñòâå Ω. Âåäåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ôóíêöèÿìè f (x) è g(x)
ïî ôîðìóëå
Z
|f − g|dµ.
ρ(f, g) =
(2.5.1)
Ω
(ñðåäíåå îòêëîíåíèå). Çäåñü è äàëåå èíòåãðàëû ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå Ëåáåãà. Òàêîå ðàññòîÿíèå óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì ìåòðèêè, êðîìå îäíîé:
èç òîãî, ÷òî ρ(f, g) = 0, íå ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè ñîâïàäàþò.
×òîáû èñïðàâèòü ïîëîæåíèå, áóäåì îòîæäåñòâëÿòü äâå ôóíêöèè, ñîâïàäàþùèå ï.â. Êðîìå òîãî, ñàìè ôóíêöèè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû íå âñþäó â
Ω, à òîëüêî ïî÷òè âñþäó, íà ðàññòîÿíèè ýòî íèêàê íå ñêàæåòñÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.5.6 Ïðîñòðàíñòâî L(Ω), (îáîçíà÷àåìîå òàêæå L1 (Ω)),
ñîñòîèò èç êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ ï.â. â Ω. Äâå ôóíêöèè ýêâèâàëåíòíû, åñëè f è g ï.â. ñîâïàäàþò. Ðàññòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2.5.1), ãäå f è g - ïðîèçâîëüíûå ïðåäñòàâèòåëè ñâîèõ êëàññîâ.
Âïðî÷åì, â äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì ñòîëü ïåäàíòè÷íûìè, è áóäåì ãîâîðèòü î ôóíêöèÿõ, à íå îá èõ êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè è î ðàâåíñòâå ôóíêöèé, à íå ñîâïàäåíèè êëàññîâ, ïîäðàçóìåâàÿ, ÷òî ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèè
íóæíî îòîæäåñòâëÿòü.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ñûãðàëà âûäàþùóþñÿ ðîëü â ñòàíîâëåíèè ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.
Òåîðåìà 2.5.7 (Ðèññ - Ôèøåð) Ïðîñòðàíñòâî L ïîëíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü fn (x) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ò.å.,
Z
|fn (x) − fm (x)|dµ → 0.
lim
n,m→∞
Ω
(2.5.2)
44
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
Ïîëüçóÿñü (2.5.2), ïîñòðîèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü fnk , òàê ÷òîáû
Z
|fnk+1 − fnk |dµ <
ρ(fnk+1 , fnk ) =
Ω
1
.
2k
n1 , òàê ÷òîáû ρ(fn , fn1 ) < 1/2 ïðè âñåõ n > n1 . Èç
2
òàêèõ n âûáåðåì n2 , ÷òîáû ρ(fn , fn2 ) < 1/2 ïðè âñåõ n > n2 , è ò.ä. Ìû
Äëÿ ýòîãî âûáåðåì
ïîêàæåì, ÷òî ýòà ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé ôóíêöèè
f (x) ∈ L, à òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíà, òî èç ñõîäèìîñòè
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò ñõîäèìîñòü âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê òîìó æå ïðåäåëó. Ïîýòîìó, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñàìà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
Z
|fn+1 − fn |dµ <
Ω
1
.
2n
Òîãäà ðÿä èç èíòåãðàëîâ
∞ Z
X
|fn+1 − fn |dµ
Ω
n=1
ñõîäèòñÿ, è ïî òåîðåìå Á. Ëåâè ï.â. ñõîäèòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä
∞
X
|fn+1 (x) − fn (x)|.
n=1
Òåì áîëåå ñõîäèòñÿ è ðÿä
∞
X
(fn+1 (x) − fn (x)).
n=1
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé ôóíêöèè
f (x) ï.â. Çàôèêñèðóåì n è ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ϕm (x) = |fm (x) − fn (x)|, m = n + 1, n + 2, . . . .
Ïî äîêàçàííîìó
ϕm → |f (x) − fn (x)|
ï.â. ïðè m → ∞. Êðîìå òîãî, èíòåãðàëû îò ôóíêöèé ϕm îãðàíè÷åíû
Z
ϕm dµ <
Ω
1
.
2n
Ïî ëåììå Ôàòó ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà, è åå èíòåãðàë îãðàíè÷åí
òîé æå êîíñòàíòîé
Z
1
.
n
2
Ω
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f −fn ∈ L, è çíà÷èò f (x) ∈ L, à òàêæå, ÷òî ρ(f, fn ) → 0.
|f (x) − fn (x)|dµ <
Çàìå÷àíèå 2.5.8 Ïîïóòíî ìû äîêàçàëè ñëåäóþùèé ïîëåçíûé ôàêò: èç
ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñõîäÿùåéñÿ â ñðåäíåì (ò.å., ïî ìåòðèêå L) ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ï.â.
2.5. ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
2.5.4
45
Ïëîòíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
Ïóñòü F - çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â R , è x - òî÷êà â R . Îïðåäåëèì ðàññòî-
n
n
ÿíèå ρ(x, F ) îò x äî ìíîæåñòâà F êàê
ρ(x, F ) = inf ρ(x, y),
y∈F
ãäå ρ(x, y) - åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè.
Ëåììà 2.5.9 Ôóíêöèÿ ρ(x, F ) - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ Rn è y ∈ F èìååì
ρ(x2 , y) ≤ ρ(x2 , x1 ) + ρ(x1 , y),
îòêóäà
ρ(x2 , F ) ≤ ρ(x2 , x1 ) + ρ(x1 , F ).
Ìåíÿÿ ìåñòàìè x1 è x2 , ïîëó÷àåì
ρ(x1 , F ) ≤ ρ(x1 , x2 ) + ρ(x2 , f ),
îòêóäà
|ρ(x1 , F ) − ρ(x2 , F )| ≤ ρ(x1 , x2 ).
Îòìåòèì âàæíîå ñâîéñòâî ââåäåííîãî ðàññòîÿíèÿ: äëÿ çàìêíóòîãî ìíî-
ρ(x, F ) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ∈ F . Äåéñòâèòåëüíî, èç
ρ(x, F ) = 0 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ∈ F òàêàÿ, ÷òî
ρ(x, yn ) → 0. Ýòî çíà÷èò, ÷òî x åñòü ïðåäåëüíàÿ òî÷êà (èëè òî÷êà ïðèêîñíîâåíèÿ) ìíîæåñòâà F , ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ F â ñèëó çàìêíóòîñòè F .
æåñòâà F
Ëåììà 2.5.10 Ïóñòü Ω - èçìåðèìîå ìíîæåñòâî â Rn , χΩ (x) - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ1 ìíîæåñòâà Ω. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ fε (x), ÷òî
Z
|fε (x) − χΩ (x)|dµ < ε.
Rn
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå 2.3.7 äëÿ äàííîãî ε > 0 íàéäóòñÿ çàìêíóòîå
ìíîæåñòâî F è îòêðûòîå ìíîæåñòâî G, òàêèå ÷òî F ⊂ Ω ⊂ G è µ(G \ F ) < ε.
Ââåäåì ôóíêöèþ
fε (x) =
ãäå G = R
n
ρ(x, G)
,
ρ(x, G) + ρ(x, F )
\ G - äîïîëíåíèå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà G, ñëåäîâàòåëüíî, çà= 1 ïðè x ∈ F , fε (x) = 0 ïðè
ìêíóòîå ìíîæåñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî fε (x)
1 Íàïîìíèì, ÷òî χ (x) = 1 ïðè x ∈ Ω è χ (x) = 0 ïðè x 6∈ Ω.
Ω
Ω
46
ÃËÀÂÀ 2.
ÈÍÒÅÃÐÀË ËÅÁÅÃÀ
x ∈ G è 0 ≤ fε (x) ≤ 1 ïðè ëþáûõ x. Òîãäà |fε (x) − χΩ (x)| ≤ 1 è ðàâíà
òîæäåñòâåííî íóëþ ïðè x ∈ G \ F ). Îòñþäà
Z
|fε (x) − χΩ (x)|dµ ≤ µ(G \ F ) < ε.
Rn
Òåîðåìà 2.5.11 Ïóñòü f (x) ∈ L(Ω). Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ
òàêàÿ íåïðåðûâíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ íà Ω ôóíêöèÿ, ÷òî
Z
|f (x) − fε (x)|dµ < .
Ω
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â
âèäå ðàçíîñòè äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî f (x) ≥
0. Åå ìîæíî ïðèáëèçèòü ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ïî ìåòðèêå L ïðîñòîé ôóíêöèåé, ïðèíèìàþùåé êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Ïîñëåäíÿÿ æå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ Ω. Ïðèáëèæàÿ êàæäóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ïî ìåòðèêå L, ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå ïðîñòîé ôóíêöèè íåïðåðûâíîé, è òåì ñàìûì
ïðèáëèæåíèå èñõîäíîé èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè.
Ñëåäñòâèå 2.5.12 Ïðîñòðàíñòâî L[a, b] ÿâëÿåòñÿ ïîïîëíåíèåì ïðîñòðàí-
ñòâà Lc [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà êîíå÷íîì îòðåçêå [a, b]
c
èíòåãðàë Ðèìàíà ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëîì Ëåáåãà, òàê ÷òî L [a, b] ⊂ L[a, b].
c
Ïî äîêàçàííîé òåîðåìå L [a, b] ïëîòíî â L[a, b]. Îòñþäà â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïîïîëíåíèÿ âûòåêàåò óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ.
2.5.5
Òåîðåìà Ôóáèíè
 çàêëþ÷åíèå ìû ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà âàæíóþ òåîðåìó î ñâåäåíèè
äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó äëÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà. Â ñðàâíåíèè ñ èíòåãðàëîì Ðèìàíà (îñîáåííî íåñîáñòâåííûì) ýòîò ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ áîëåå
ñèëüíûì è óäîáíûì.
Òåîðåìà 2.5.13 (Ôóáèíè) Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) èíòåãðèðóåìà íà
ïðÿìîóãîëüíèêå Π = {x, y : a < x < b, c < y < d}. Òîãäà äëÿ ïî÷òè
âñåõ x ∈ (a, b) ôóíêöèÿ f (x, y) èíòåãðèðóåìà ïî y íà èíòåðâàëå (c, d), à
èíòåãðàë
Z d
f (x, y)dy
c
ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé x íà (a, b), è ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
Z
Z b Z d
f (x, y)dxdy =
dx
f (x, y)dy.
Π
a
c
Îòìåòèì, ÷òî èíòåðâàëû (a, b) è (c, d) ìîãóò áûòü è áåñêîíå÷íûìè.
Ãëàâà 3
Áàíàõîâû è ãèëüáåðòîâû
ïðîñòðàíñòâà
3.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Ïîíÿòèå ëèíåéíîãî (âåêòîðíîãî) ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàëîñü â êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû. Çäåñü ìû åãî âêðàòöå íàïîìíèì.
Îïðåäåëåíèå 3.1.1 Ìíîæåñòâî E íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì ñêàëÿðîâ R (èëè C), åñëè îïðåäåëåíû îïåðàöèè ñëîæåíèÿ
äâóõ ýëåìåíòîâ: (x, y) 7→ x + y è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð λ: x 7→ λx, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì
1. êîììóòàòèâíîñòè:
x + y = y + x,
2. àññîöèàòèâíîñòè:
(x + y) + z = x + (y + z),
λ(µx) = (λµ)x,
3. äèñòðèáóòèâíîñòè:
λ(x + y) = λx + λy,
(λ + µ)x = λx + λy.
Êðîìå òîãî, òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå íóëåâîãî ýëåìåíòà 0 ∈ E ñî ñâîéñòâàìè:
x + 0 = x ∀x ∈ E,
0 · x = 0 ∀x ∈ E,
ãäå ñëåâà 0 - ÷èñëî, à ñïðàâà 0 ∈ E . Òàêæå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû
1 · x = x ∀x ∈ E.
47
48
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
 çàâèñèìîñòè îò ïîëÿ ñêàëÿðîâ R èëè C ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì èëè êîìïëåêñíûì. Áîëüøèíñòâî ôàêòîâ ñïðàâåäëèâû äëÿ
îáîèõ ïðîñòðàíñòâ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëå ñêàëÿðîâ ñïåöèàëüíî îãîâàðèâàåòñÿ.
Îáû÷íûì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè èëè íåçàâè-
ñèìîñòè êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ è ïîíÿòèå ðàçìåðíîñòè, êîòîðàÿ
ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íîé, òàê è áåñêîíå÷íîé.
Óïðàæíåíèå 3.1.2 Äàòü àêêóðàòíîå îïðåäåëåíèå ýòèõ ïîíÿòèé.
 ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå ãëàâíûì îáðàçîì ðàññìàòðèâàþòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà.
Îïðåäåëåíèå 3.1.3 Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè íà íåì çàäàíà ôóíêöèÿ kxk, íàçûâàåìàÿ íîðìîé ýëåìåíòà x,
êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1. kxk ≥ 0, ïðè÷åì kxk = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = 0 (ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü),
2. kλxk = |λ|kxk (îäíîðîäíîñòü),
3. kx + yk ≤ kxk + kyk (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).
Äâå íîðìû kxk1 è kxk2 íà îäíîì è òîì æå ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå E
íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû B > A > 0, ÷òî
Akxk1 ≤ kxk2 ≤ Bkxk1 .
Íîðìà íà E îïðåäåëÿåò ìåòðèêó ïî ôîðìóëå
ρ(x, y) = kx − yk,
òàê ÷òî íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì.
Îáðàòíîå íåâåðíî, ò.å., íå âñÿêàÿ ìåòðèêà íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâà ïîðîæäàåòñÿ íîðìîé.
Óïðàæíåíèå 3.1.4 Ïðîâåðèòü àêñèîìû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà äëÿ
ìåòðèêè, ïîðîæäåííîé íîðìîé.
Ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ââåäåííîå äëÿ ìåòðè÷åñêèõ
→ x, åñëè
kxn − xk → 0. Òàêàÿ ñõîäèìîñòü íàçûâàåòñÿ ñõîäèìîñòüþ ïî íîðìå, èëè
ñèëüíîé ñõîäèìîñòüþ. Îòìåòèì, ÷òî ýêâèâàëåíòíûå íîðìû äàþò ýêâèâàëåíòíûå îïðåäåëåíèÿ ñõîäèìîñòè, ò.å., ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn , ñõîäÿùàÿñÿ ïî íîðìå k · k1 , áóäåò ñõîäèòüñÿ è ïî ýêâèâàëåíòíîé íîðìå k · k2 è
ïðîñòðàíñòâ, ïåðåíîñèòñÿ íà íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà: xn
íàîáîðîò.
Óïðàæíåíèå 3.1.5 Äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå.
3.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
49
Êàê è â ëþáîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïîíÿòèå ïîëíîòû íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà.
Îïðåäåëåíèå 3.1.6 Ïîëíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ
áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
 áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ðÿäû, ïîñêîëüêó îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà èìåþò ñìûñë. Êàê è äëÿ ÷èñëîâûõ
ðÿäîâ, ìîæíî ãîâîðèòü îá àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà
ïîä ýòèì ñõîäèìîñòü ðÿäà èç íîðì
P∞
n=1 xn , ïîíèìàÿ
kx
k
.
Òàêîé
ðÿä
äåéñòâèòåëüíî
n
n=0
P∞
ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó x áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì ôóíäàìåíòàëüíà:
ksn − sm k =
n
X
k=m+1
xk ≤
n
X
kxk k → 0,
k=m+1
ïðè n, m → ∞, à ðÿä èç íîðì ñõîäèòñÿ. Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà E ãàðàíòèðóåò òîãäà ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì.
Îòìåòèì òàêæå íåïðåðûâíîñòü íîðìû. Ýòî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà
|kxk − kyk| ≤ kx − yk,
êîòîðîå â ñâîþ î÷åðåäü ëåãêî âûâîäèòñÿ èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà.
Ââåäåì ïîíÿòèå ïîäïðîñòðàíñòâà áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà.
Îïðåäåëåíèå 3.1.7 Ïîäïðîñòðàíñòâîì áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî.
Òàêèì îáðàçîì, L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E , åñëè, âî-ïåðâûõ, L ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäìíîæåñòâîì, ò.å., ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ýëåìåíòàìè
L äàþò ñíîâà ýëåìåíòû L.  êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå áîëüøå íè÷åãî íå òðåáîâàëîñü. Ñïåöèôèêà áåñêîíå÷íîìåðíîãî ñëó÷àÿ â òîì, ÷òî ëèíåéíîå ìíîæåñòâî íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì îòíîñèòåëüíî íîðìû â E , è òåì
ñàìûì, ìîæåò íå áûòü áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. ×òîáû ýòîãî íå ñëó÷èëîñü, òðåáóåòñÿ, ÷òîáû L áûëî çàìêíóòûì, ò.å., ñîäåðæàëî ñâîè ïðåäåëüíûå
òî÷êè.
Óïðàæíåíèå 3.1.8 Ïîäïðîñòðàíñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ñàìî ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
 çàêëþ÷åíèå ââåäåì åùå îäíî âàæíîå ïîíÿòèå.
Îïðåäåëåíèå 3.1.9 Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì,
åñëè â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî.
50
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
3.2
Ïðèìåðû
3.2.1
Êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà
Ïðîñòåéøèé ïðèìåð - ýòî êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Âûáðàâ
áàçèñ, áóäåì çàäàâàòü âåêòîðû êîîðäèíàòàìè
x = {x1 , x2 , . . . , xn },
à â êà÷åñòâå íîðìû âîçüìåì, íàïðèìåð,
n
X
kxk =
!1/2
|x|2k
.
(3.2.1)
k=1
Îòìåòèì, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ñåïàðàáåëüíî.  êà÷åñòâå ïëîòíîãî ñ÷åòíîãî ïîäìíîæåñòâà ìîæíî âçÿòü âåêòîðû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîîðäèíàòàìè.
3.2.2
Ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
x = {x1 , x2 , . . .},
ãäå xk - äåéñòâèòåëüíûå (èëè êîìïëåêñíûå) ÷èñëà. Ëèíåéíûå îïåðàöèè ââîäÿòñÿ ïî÷ëåííî, êàê è â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå, íî íîðìû, â îòëè÷èå îò
êîíå÷íîìåðíîãî ñëó÷àÿ, ìîæíî ââåñòè ìíîãèìè íåýêâèâàëåíòíûìè ñïîñîáàìè.
1. Ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé m. Íîðìó
îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå
kxk = sup |xk |.
k∈N
Àêñèîìû íîðìû ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ.
Äîêàæåì ïîëíîòó ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê ôóíêöèè x = x(k),
k ∈ N íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, òîãäà ñõîäèìîñòü ïî íîðìå m - ýòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíê-
n
öèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x
= xn (k). Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ïîýòîìó îíà ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê íåêîòîðîé îãðà-
0
íè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x (k) = limn→∞ x
n
(k) ∈ m.
Óïðàæíåíèå 3.2.1 Ïðîâåñòè ïîäðîáíî ýòî ðàññóæäåíèå.
Ïðåäëîæåíèå 3.2.2 Ïðîñòðàíñòâî m íåñåïàðàáåëüíî.
3.2. ÏÐÈÌÅÐÛ
51
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîäìíîæåñòâî Z ∈ m, ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé
z = z(k) ïðèíèìàþùèõ òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ 0 è 1. Êàæäàÿ òàêàÿ
ôóíêöèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ïîäìíîæåñòâî â N, íà êîòîðîì
îíà ðàâíà 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîùíîñòü ìíîæåñòâà Z ðàâíà ìîùíîñòè ìíîæåñòâà ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïîñëåäíåå, êàê èçâåñòíî, íåñ÷åòíî.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè äâå ôóíêöèè z1 (k),
z2 (k) ∈ Z íå ñîâïàäàþò òîæ-
äåñòâåííî, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíî 1. Òàêèì îáðàçîì, â ïðîñòðàíñòâå m ñóùåñòâóåò íåñ÷åòíîå ìíîæåñòâî Z , ýëåìåíòû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ
íà ðàññòîÿíèè 1 äðóã îò äðóãà.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü ÷òî m ñåïàðàáåëüíî, ò.å., ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî Y
⊂ m. Òîãäà ëþáóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðèáëèçèòü ñ çà-
äàííîé òî÷íîñòüþ ε ôóíêöèåé èç Y . Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè z(k) ∈ Z âûáåðåì
ôóíêöèþ yz (k) ∈ Y , òàê ÷òî kyz −zk < ε < 1/2. Åñëè z1 è z2 íå ñîâïàäàþò, òî
è ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè yz1 è yz2 íå ìîãóò ñîâïàäàòü. Äåéñòâèòåëüíî,
èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò
kyz1 − yz2 k ≥ kz1 − z2 k − kyz1 − z1 k − kyz2 − z2 k ≥ 1 − 2ε > 0.
Ìû èìååì òåì ñàìûì âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
z 7→ yz ìåæäó
ìíîæåñòâîì Z è íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì Y . Òîãäà ìîùíîñòü Y äîëæíà
áûòü áîëüøå ìîùíîñòè Z , ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê Y - ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî,
à Z - íåñ÷åòíîå.
2. Ïðîñòðàíñòâî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ
Ýëåìåíòû - ýòî îïÿòü ôóíêöèè
x = x(k), k ∈ N íà ìíîæåñòâå íà-
òóðàëüíûõ ÷èñåë, íî ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë
x(∞) := limk→∞ x(k). Ëèíåéíûå îïåðàöèè îïðåäåëÿþòñÿ ïî÷ëåííî, êàê è â
m, à íîðìà ïî-ïðåæíåìó ðàâíà sup |x(k)|. Äðóãèìè ñëîâàìè, c - ýòî ëèíåéíîå ïîäìíîæåñòâî m. Ìû äîêàæåì, ÷òî c - ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî, ò.å., ÷òî
c çàìêíóòî â m. Èòàê, ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé xn = xn (k) ∈ c
0
ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå m ê íåêîòîðîé ôóíêöèè x (k), ò.å.,
lim xn (k) = x0 (k)
n→∞
ðàâíîìåðíî ïî k ∈ N. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ïåðåõîäå ê ïðåäåëó â ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: åñëè âñå ôóíêöèè x
n
(k) èìåþò
(∞) ïðè k → ∞ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ, òî
0
0
0
è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ x (k) òàêæå èìååò ïðåäåë x (∞) = limk→∞ x (k), è
n
ýòîò ïðåäåë ñîâïàäàåò ñ limn→∞ x (∞). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíê0
öèÿ x (k), êîòîðàÿ àïðèîðè ïðèíàäëåæèò m íà ñàìîì äåëå áóäåò ýëåìåíòîì
c. Òàêèì îáðàçîì, c - ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî m, è çíà÷èò, ñàìî ÿâëÿåòñÿ áàn
ïðåäåë x
íàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
 îòëè÷èå îò m c ñåïàðàáåëüíî. Ñ÷åòíîå ïëîòíîå ìíîæåñòâî îáðàçóþò
ôóíêöèè x(k), ïðèíèìàþùèå òîëüêî ðàöèîíàëüíûå çíà÷åíèÿ è ñòàáèëèçèðóþùèåñÿ ïðè k áîëüøèõ íåêîòîðîãî k0 (ñâîåãî äëÿ êàæäîé ôóíêöèè), ò.å.,
x(k0 ) = x(k0 + 1) = x(k0 + 2) = . . . .
52
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Óïðàæíåíèå 3.2.3 Äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå.
Ðàññìàòðèâàþò òàêæå ïîäïðîñòðàíñòâî c0 ⊂ c, ñîñòîÿùåå èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñòðåìÿùèõñÿ ê íóëþ. Îäíàêî íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé lp , êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùèõ ïóíêòàõ.
3.2.3
Íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
Ëåììà 3.2.4 Ïóñòü p > 1, q > 1,
1 1
+ = 1.
p q
(3.2.2)
Òîãäà äëÿ ëþáûõ a > 0, b > 0 âåðíî íåðàâåíñòâî
ab ≤
ap
bq
+
p
q
(3.2.3)
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî (3.2.2) ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó (p −
1)(q − 1) = 1, è ñëåäîâàòåëüíî, êðèâûå y = xp−1 è x = y q−1 â êâàäðàíòå
x > 0, y > 0 ñîâïàäàþò. Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé
p
ýòîé êðèâîé, îñüþ àáñöèññ è ïðÿìîé x = a, ðàâíà a /p. Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ýòîé æå êðèâîé, îñüþ îðäèíàò è ïðÿìîé
y = b, ðàâíà bq /q . Ñóììà ýòèõ äâóõ ïëîùàäåé íå ìåíüøå ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a è b, ò.å., ab.
ßñíî, ÷òî ïðåäåëüíûå ñëó÷àè a = 0 èëè b = 0 òàêæå óäîâëåòâîðÿþò
(3.2.3).
Óñòàíîâèì òåïåðü íåðàâåíñòâî üëüäåðà äëÿ ñóìì. Ïóñòü a = {a1 , a2 , . . . , an }
è b = {b1 , b2 , . . . , bn } - íàáîðû ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Ïîëîæèì
n
X
kakp =
!1/p
apk
, kbkq =
k=1
n
X
bqk
!1/q
.
k=1
Ïî ëåììå 3.2.4 èìååì
1 apk
1 bqk
ak bk
≤
+
.
kakp kbkq
p kakpp
q kbkqq
Ñóììèðóÿ ïî k , ïîëó÷èì
Pn
Pn
∞
X
ak bk
1 k=1 apk
1 k=1 bqk
1 1
≤
+
= + = 1,
kakp kbkq
p kakpp
q kbkqq
p q
k=1
îòêóäà
n
X
k=1
ak bk ≤
n
X
k=1
!1/p
apk
n
X
bqk
k=1
!1/q
= kakp kbkq .
(3.2.4)
3.2. ÏÐÈÌÅÐÛ
53
Ýòî è åñòü íåðàâåíñòâî üëüäåðà äëÿ ñóìì. Ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì íåðàâåíñòâî îáîáùàåòñÿ è íà áåñêîíå÷íûå ñóììû, ïðè÷åì èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà â ïðàâîé ÷àñòè (3.2.4) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà â ëåâîé ÷àñòè.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ è íåðàâåíñòâî üëüäåðà äëÿ èíòåãðàëîâ.
Z
Z
ap (x)dµ
a(x)b(x)dµ ≤
Ω
1/p Z
Ω
bq (x)dµ
1/q
.
(3.2.5)
Ω
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ââåäåì
Z
ka(x)kp =
ap (x)dµ
1/p
1/q
bq (x)dµ
Z
, kb(x)kq =
Ω
Ω
è ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî (3.2.3) ê âåëè÷èíàì a(x)/ka(x)kp ,
b(x)/kb(x)kq :
p
q
a(x)
b(x)
1
1
a(x)b(x)
≤
+
.
ka(x)kp kb(x)kq
p ka(x)kp
q kb(x)kq
Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì â ïðàâîé ÷àñòè 1, êàê è â ñëó÷àå ñóìì, îòêóäà è ñëåäóåò èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî üëüäåðà (3.2.5). Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå
èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà â ëåâîé ÷àñòè.
Óñòàíîâèì òåïåðü íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî äëÿ ñóìì è èíòåãðàëîâ
n
X
!1/p
p
≤
(ak + bk )
k=1
Z
n
X
!1/p
apk
n
X
bpk
+
k=1
(a(x) + b(x))p dµ
1/p
Z
≤
Ω
!1/q
,
(3.2.6)
k=1
1/p Z
1/p
ap (x)dµ
+
bp (x)dµ
.
Ω
(3.2.7)
Ω
Çäåñü âñå âåëè÷èíû ai , bi , a(x), b(x) ïîëîæèòåëüíû.
Äîêàæåì, íàïðèìåð, (3.2.6). Èìååì
n
X
(ak + bk )p =
k=1
≤
ak (ak + bk )p−1 +
k=1
n
X
!1/p
apk
k=1
+
n
X
n
X
n
X
bk (ak + bk )p−1
k=1
n
X
!1/q
(ak + bk )(p−1)q
k=1
!1/p
bpk
k=1
n
X
!1/q
(p−1)q
(ak + bk )
.
k=1
Ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåðàâåíñòâîì üëüäåðà. Âûíîñÿ îáùèé ìíîæèòåëü è
çàìåíÿÿ (p − 1)q íà p, ïîëó÷èì ñïðàâà
n
X
!1/q 
(ak + bk )p
k=1
n
X

k=1
!1/p
apk
+
n
X
bpk
k=1
!1/p 
.
54
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Äåëÿ îáå ÷àñòè íà
n
X
!1/q
(ak + bk )
p
,
k=1
ïðèõîäèì ê (3.2.6).
Íåðàâåíñòâî (3.2.7) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
3.2.4
Ïðîñòðàíñòâà
lp è Lp
lp , p ≥ 1 ñîñòîèò èçP
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x = {xk , k =
∞
1, 2, . . .}, äëÿ êîòîðûõ ñõîäèòñÿ ðÿä k=1 |xk |p . Ïðè ýòîì íîðìà ââîäèòñÿ
êàê êîðåíü p-é ñòåïåíè èç ýòîé âåëè÷èíû:
Ïðîñòðàíñòâî
kxk = kxkp =
∞
X
!1/p
|xk |p
.
k=1
Àêñèîìû íîðìû ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ, ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ýòî íå ÷òî èíîå, êàê íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî ïðè p > 1, à ïðè p = 1 îíî
î÷åâèäíî.
Äîêàæåì ïîëíîòó. Ïóñòü x
n
= {xnk } - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü. Äëÿ k -é êîîðäèíàòû èìååì
n
m
|xnk − xm
k | ≤ kx − x k.
n
Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ èç ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xk , n = 1, 2, . . .}
0
n
ôóíäàìåíòàëüíà, è ïîòîìó äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò ïðåäåë xk = limn→∞ xk .
Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x
0
→ x0 ïî íîðìå lp .
n
m
Ïî äàííîìó ε > 0 âûáåðåì N , ÷òîáû kx − x k < ε ïðè n, m > N . Òîãäà
äëÿ ëþáîãî r èìååì
æèò lp , è ÷òî x
n
= {x0k } ïðèíàäëå-
r
X
!1/p
p
|xnk − xm
k |
≤ kxn − xm k < ε.
k=1
Óñòðåìëÿÿ â ëåâîé ÷àñòè m → ∞, ïîëó÷èì
r
X
!1/p
|xnk − x0k |p
≤ ε,
k=1
à ïîñêîëüêó ýòî âåðíî ïðè ëþáîì r , òî âåðíî è äëÿ áåñêîíå÷íîé ñóììû
∞
X
!1/p
|xnk − x0k |p
k=1
÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.
= kxn − x0 k ≤ ε,
3.2. ÏÐÈÌÅÐÛ
55
Ïðîñòðàíñòâî lp ñåïàðàáåëüíî.  êà÷åñòâå ñ÷åòíîãî ïëîòíîãî ìíîæåñòâà
ìîæíî âçÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ðàâíûõ 0 ñ íåêîòîðîãî íîìåðà.
Âîäèòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå l∞ äëÿ ïðîñòðàíñòâà m îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îïðàâäàíèåì äëÿ òàêîãî îáîçíà÷åíèÿ ìîæåò ñëóæèòü
ðàâåíñòâî
lim
p→∞
r
X
!1/p
|xk |p
= max |xk |,
k=1
ñïðàâåäëèâîå äëÿ êîíå÷íûõ ñóìì. Áîëåå ñåðüåçíûé àðãóìåíò ïðèâîäèòñÿ â
ñëåäóþùåì óïðàæíåíèè.
Óïðàæíåíèå 3.2.5 Äîêàçàòü íåïîñðåäñòâåííî, ÷òî íåðàâåíñòâî üëüäåðà âåðíî è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
x = {xk } ∈ l1 è y = {yk } ∈ l∞ ,
ò.å.,
∞
X
xk yk ≤ kxk1 kyk∞ .
k=1
Òåïåðü ìû ðàññìîòðèì áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé Lp =
Lp (Ω), p ≥ 1. Ïðîñòðàíñòâî Lp ñîñòîèò èç ôóíêöèé f (x), èçìåðèìûõ íà èçn
ìåðèìîì ìíîæåñòâå Ω ⊂ R , äëÿ êîòîðûõ p-ÿ ñòåïåíü èíòåãðèðóåìà (ïî
Ëåáåãó). Ìíîæåñòâî Ω ìîæåò áûòü êàê îãðàíè÷åííûì, òàê è íåîãðàíè÷åííûì. Íîðìà ââîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Z
kf k = kf kp =
1/p
|f (x)|p dµ
(3.2.8)
Ω
Ïðè p = 1 ïîëó÷àåì óæå çíàêîìîå íàì ïðîñòðàíñòâî Ëåáåãà L (ñì. ðàçäåë
2.5.2). Êàê è äëÿ ïðîñòðàíñòâà L, ôóíêöèè ñîâïàäàþùèå ïî÷òè âñþäó îòîæäåñòâëÿþòñÿ, èíà÷å íîðìà (3.2.8) íå áóäåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé: èç
ðàâåíñòâà íóëþ èíòåãðàëà (3.2.8) ñëåäóåò òîëüêî ÷òî f (x) = 0 ï.â. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà íîðìû ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ, ïðè÷åì íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà
- ýòî íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî äëÿ èíòåãðàëîâ.
Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà Lp äîêàçûâàåòñÿ ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è äëÿ ïðîñòðàíñòâà L (ñì. 2.5.3).
Óïðàæíåíèå 3.2.6 Äîêàçàòü ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà Lp .
Êàê è lp , ïðîñòðàíñòâà Lp ñåïàðàáåëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ â
äâà øàãà. Ñíà÷àëà äîêàçûâàåì, ÷òî â Lp ïëîòíû íåïðåðûâíûå ôóíêöèè,
ðàâíûå íóëþ âíå îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà. Ýòî äåëàåòñÿ, êàê è â ðàçäåëå 2.5.4 äëÿ ïðîñòðàíñòâà L. Íà âòîðîì øàãå íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà
îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå ðàâíîìåðíî àïïðîêñèìèðóåì ìíîãî÷ëåíîì ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè (ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà). Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî îãðàíè÷åííî, òî îíà æå áóäåò è àïïðîêñèìàöèåé â Lp.
Óïðàæíåíèå 3.2.7 Äîêàçàòü àêêóðàòíî ñåïàðàáåëüíîñòü Lp .
56
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Êàê è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé çíà÷åíèå èíäåêñà p ìîæíî ðàñøèðèòü äî
p = ∞, òàê ÷òîáû íåðàâåíñòâî üëüäåðà äëÿ èíòåãðàëîâ îñòàâàëîñü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ïàð p = 1, q = ∞. Çäåñü, îäíàêî, íåîáõîäèìà îãîâîðêà. Äåëî
â òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà ìíîæåñòâàõ ìåðû 0 íå äîëæíû âëèÿòü íà
ïðèíàäëåæíîñòü ôóíêöèè êàêîìó-ëèáî ïðîñòðàíñòâó Lp , â òîì ÷èñëå è L∞ .
Ïîýòîìó ïîíÿòèå îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè è òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè íóæäàþòñÿ â ìîäèôèêàöèè.
Îïðåäåëåíèå 3.2.8 Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå Ω, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ïîäìíîæåñòâî Ω0 ⊂ Ω ìåðû
0, ÷òî ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà Ω \ Ω0 .
Ñóùåñòâåííîé âåðõíåé ãðàíüþ òàêîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
vrai sup |f (x)| = inf sup |f (x)|.
Ω0 x∈Ω\Ω0
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ â èððàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ îòðåçêà
[0, 1], è ðàâíàÿ n â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ âèäà m/n, ãäå m, n - âçàèìíî ïðîñòûå, ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åíà íà [0, 1], è åå ñóùåñòâåííûé ñóïðåìóì ðàâåí
0.
Òåïåðü ìû ââîäèì ïðîñòðàíñòâî L∞ êàê ïðîñòðàíñòâî ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé ñ íîðìîé
kf (x)k∞ = vrai sup |f (x)|.
Óïðàæíåíèå 3.2.9 Ïðîâåðèòü íåðàâåíñòâî üëüäåðà äëÿ ïàðû p = 1, q =
∞.
3.3
Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
3.3.1
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòðàíñòâî.
ãèëüáåðòîâî
Îïðåäåëåíèå 3.3.1 Êîìïëåêñíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ x, y ∈ E îïðåäåëåíî ÷èñëî
(x, y), íàçûâàåìîå ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè
1. ýðìèòîâîñòü: (x, y) = (y, x) (÷åðòà îáîçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå),
2. ëèíåéíîñòü ïî âòîðîìó àðãóìåíòó:
(x, λy + µz) = λ(x, y) + µ(x, z), λ, µ ∈ C,
3. ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü: èç (x, x) = 0 ñëåäóåò, ÷òî x = 0.
3.3. ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
57
Èç ïóíêòîâ 1 è 2 ñëåäóåò, ÷òî ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ñêàëÿðíîå ïðîèçâå-
äåíèå ñîïðÿæåííî ëèíåéíî, ò.å.,
(λx + µy, z) = λ(x, y) + µ(x, z).
Ìîæíî áûëî áû ïîòðåáîâàòü ëèíåéíîñòü ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó è ñîïðÿæåííóþ ëèíåéíîñòü ïî âòîðîìó. Ìû ïðèäåðæèâàåìñÿ ñîãëàøåíèé, ïðèíÿòûõ â
ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.
Ïîíÿòèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ââîäèòñÿ è äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, ïðè ýòîì âìåñòî ýðìèòîâîñòè òðåáóåòñÿ ñèììåòðèÿ:
(x, y) = (y, x), à ïîíÿòèå ñîïðÿæåííîé ëèíåéíîñòè îòïàäàåò. Äåéñòâèòåëü-
íîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì.
Èç ñâîéñòâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî âåëè÷èíà kxk =
p
(x, x)
îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè íîðìû.
Ëåììà 3.3.2 Äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ x, y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî
|(x, y)| ≤ kxkkyk.
(3.3.1)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ y = 0 íåðàâåíñòâî, î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî. Ïðè
y 6= 0 âîçüìåì λ = −(y, x)/kyk2 è ðàññìîòðèì âûðàæåíèå
kx + λyk2 = (x + λy, x + λy)
= kxk2 + λ(x, y) + λ(y, x) + |λ|2 kyk2 ≥ 0.
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå λ, ïîëó÷èì
kxk2 −
|(x, y)|2
|(x, y)| |(x, y)|2
−
+
kyk2 ≥ 0,
2
kyk
kyk2
kyk4
ò.å., íåðàâåíñòâî (3.3.1).
Ñëåäñòâèå 3.3.3 Âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà
kx + yk ≤ kxk + kyk.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì
kx + yk2 = (x + y, x + y) = kxk2 + kyk2 + 2<(x, y).
Íî ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî
<(x, y) ≤ |(x, y)| ≤ kxkkyk,
îòêóäà è ñëåäóåò, ÷òî
kx + yk2 ≤ kxk2 + kyk2 + 2kxkkyk = (kxk + kyk)2 .
58
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Îïðåäåëåíèå 3.3.4 Óíèòàðíîå (åâêëèäîâî) ïðîñòðàíñòâî, ïîëíîå ïî
íîðìå, îïðåäåëÿåìîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì
(äåéñòâèòåëüíûì) ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
Ïðèìåðàìè ìîãóò ñëóæèòü ïðîñòðàíñòâà l2 è L2 , ïðè ýòîì ñêàëÿðíûå
ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
(x, y) =
∞
X
Z
xk yk , (f (x), g(x)) =
f (x)g(x)dµ.
Ω
k=1
Íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äëÿ òàêèõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïàäàåò ñ íåðàâåíñòâîì üëüäåðà äëÿ p = q = 2, à íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà - ñ íåðàâåíñòâîì Ìèíêîâñêîãî.
Õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì íîðìû, ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíè-
åì ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ïàðàëëåëîãðàììà
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 .
(3.3.2)
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ
(x + y, x + y) = kxk2 + kyk2 + (x, y) + (y, x),
(x − y, x − y) = kxk2 + kyk2 − (x, y) − (y, x),
ñêëàäûâàÿ êîòîðûå, ïðèõîäèì ê (3.3.2).
Óïðàæíåíèå 3.3.5 Äîêàçàòü, ÷òî ðàâåíñòâî ïàðàëëåëîãðàììà íå òîëüêî íåîáõîäèìî, íî è äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû íîðìà ïîðîæäàëàñü ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ïðè ýòîì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè
(x, y) =
1
(kx + yk2 − kx − yk2 )
2
â äåéñòâèòåëüíîì ñëó÷àå è
(x, y) =
1
(kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 ).
2
â êîìïëåêñíîì ñëó÷àå.
Îòìåòèì òàêæå íåïðåðûâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: åñëè xn →
x, yn → y , òî (xn , yn ) → (x, y). Äåéñòâèòåëüíî,
|(xn , yn ) − (x, y)| ≤ |(xn , (y − yn ))| + |(x, (y − yn ))|
≤ kxn kky − yn k + kxkky − yn k → 0.
Ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåðàâåíñòâîì Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî è îãðàíè÷åííîñòüþ
ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Âàæíóþ ðîëü âî âñåõ âîïðîñàõ, êàñàþùèõñÿ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà,
èãðàåò ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîñòè.
3.3. ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
59
Îïðåäåëåíèå 3.3.6 Âåêòîðû x è y íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè (x, y) = 0.
Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ ëþáîìó âåêòîðó èç äàííîãî ìíîæåñòâà A, íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì A è îáîçíà÷àåòñÿ
A⊥ .
Ëåììà 3.3.7 Êàêîâî áû íè áûëî ìíîæåñòâî A, åãî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî A⊥ - ëèíåéíîå ìíîæåñòâî, î÷åâèäíî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x1 , x2 ∈ A
⊥
, òî ∀y ∈ A èìååì
(x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y) = 0,
òàê êàê îáà ñëàãàåìûõ ðàâíû 0.
Ïóñòü òåïåðü xn ∈ A
Ïîêàæåì, ÷òî x0 ∈ A
⊥
⊥
- ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ ê ýëåìåíòó x0 .
. Ýòî ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâå-
äåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ∀y ∈ A èìååì
0 = (xn , y) → (x0 , y).
Òàêèì îáðàçîì, x0 îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó y ∈ A, ò.å., ïðèíàäëåæèò
îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î ïðîåêöèè èãðàåò îñíîâíóþ ðîëü â òåîðèè ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.
Òåîðåìà 3.3.8 Ïóñòü L1 - ïîäïðîñòðàíñòâî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H , L2 - îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê L1 . Òîãäà ëþáîé âåêòîð x ∈ H
åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó
x = x1 + x2 , x ∈ L1 , x2 ∈ L2 .
Ïðè ýòîì x1 ðåàëèçóåò êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå îò âåêòîðà x äî ïîäïðîñòðàíñòâà L1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî x1 ðåàëèçóåò êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå äî L1 ,
îçíà÷àåò, ÷òî
inf kx − yk = kx − x1 k.
y∈L1
Îáîçíà÷èì ýòîò èíôèìóì ÷åðåç
d, è ïóñòü yn ∈ L1 - ìèíèìèçèðóþùàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ò.å.
lim kx − yn k = d.
n→∞
(3.3.3)
Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ôóíäàìåíòàëüíà. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì
ðàâåíñòâî ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ âåêòîðîâ yn − x è ym − x:
2kyn − xk2 + 2kym − xk2 = kyn + ym − 2xk2 + kyn − ym k2 ,
60
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
îòêóäà
kyn − ym k2 = 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4k
yn + ym
− xk2
2
≤ 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4d2 ,
òàê êàê k(yn + ym )/2 − xk ≥ d. Íî â ñèëó (3.3.3) ïîëó÷àåì, ÷òî kyn − ym k → 0
ïðè n, m → ∞. Â ñèëó ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà H ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ñõîäèòñÿ, è ïóñòü x1 - åå ïðåäåë. Òàê êàê L1 çàìêíóòî, òî
x1 ∈ L1
Ïîëîæèì x2 = x − x1 . Èç (3.3.3) èìååì
kx2 k2 = kx − x1 k2 = d2 .
 òî æå âðåìÿ äëÿ ëþáîãî z ∈ L1 , z 6= 0 è ëþáîãî λ ∈ C èìååì
kx2 + λzk2 = d2 + λ(x2 , z) + λ(z, x2 ) + |λ|2 kzk2 ,
è ýòî âûðàæåíèå âñåãäà áîëüøå èëè ðàâíî
d2 , òàê êàê d - ýòî ìèíèìóì
äëèíû âåêòîðîâ x − x1 + λz ïðè z ∈ L1 . Ñëåäîâàòåëüíî,
λ(x2 , z) + λ(z, x2 ) + |λ|2 kzk2 ≥ 0.
2
Ïîëàãàÿ çäåñü λ = −(z, x2 )/kzk , ïîëó÷àåì
−
2
îòêóäà |(z, x2 )|
|(z, x2 )| |(z, x2 )|2
|(z, x2 )|2
−
+
kzk2 ≥ 0,
kzk2
kzk2
kzk4
≤ 0. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè (z, x2 ) = 0. Òàêèì îáðàçîì,
âåêòîð x2 îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó z ∈ L1 , ñëåäîâàòåëüíî, x2 ïðèíàäëåæèò îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ.
Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü. Ïóñòü
x = x1 + x2 = x01 + x02 ,
0
0
ãäå x1 , x1 ∈ L1 , à x2 , x2 ∈ L2 . Òîãäà
x1 − x01 = x02 − x2 .
0
0
Óìíîæàÿ ñêàëÿðíî íà x1 − x1 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîð x2 − x2 ïðèíàäëåæèò
L2 , è ñëåäîâàòåëüíî, îðòîãîíàëåí x1 − x01 , ïîëó÷èì
kx1 − x01 k2 = 0,
0
0
ò.å., x1 = x1 , à òîãäà è x2 = x2 .
∈ L1 è x2 ∈ L2 , ó÷àñòâóþùèå â ðàçëîæåíèè x = x1 + x2 ,
íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè ïðîåêöèÿìè âåêòîðà x íà L1 è L2 .
Âåêòîðû x1
3.3. ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
3.3.2
61
Îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû è ðÿäû Ôóðüå.
k = 1, 2, . . . íàçûâàåòñÿ (ñ÷åòíîé) îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé, åñëè (ek , en ) = 0 ïðè k 6= n, è îðòîíîðìèðîâàííîé,
åñëè, êðîìå òîãî, kek k = 1 äëÿ ëþáîãî k . ßñíî, ÷òî âåêòîðû ek /kek k - åäè-
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ek ,
íè÷íûå, ïîýòîìó ëþáóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó ìîæíî ïðåâðàòèòü â îðòîíîðìèðîâàííóþ, ïîäåëèâ êàæäûé ýëåìåíò íà åãî íîðìó.  äàëüíåéøåì ìû
ñ÷èòàåì, ÷òî ek - îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíò x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñõîäÿùåãîñÿ
ðÿäà
x=
∞
X
cn en ,
(3.3.4)
n=1
ãäå ck - íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû. Òîãäà, óìíîæèâ îáå ÷àñòè ñêàëÿðíî íà ek
è ïîëüçóÿñü íåïðåðûâíîñòüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è îðòîãîíàëüíîñòüþ
âåêòîðîâ ek , ïîëó÷èì
(ek , x) =
∞
X
cn (ek , en ) = ck .
n=1
Êîýôôèöèåíò ck = (ek , x) íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì Ôóðüå, à ðÿä (3.3.4)
- ðÿäîì Ôóðüå ýëåìåíòà x ïî îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå ek (íåçàâèñèìî îò
òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ðÿä ñõîäÿùèìñÿ è ñõîäèòñÿ ëè îí ê x).
Ïóñòü òåïåðü αk - ïðîèçâîëüíûå êîýôôèöèåíòû. Âû÷èñëèì íîðìó ðàçíîñòè
x−
n
X
2
αk ek
= kxk2 −
k=1
= kxk2 −
n
X
αk (x, ek ) −
k=1
n
X
αk ck −
n
X
αk (ek , x) +
n
X
n
X
αk αk
k=1
k=1
αk ck +
k=1
k=1
n
X
αk αk .
k=1
Ìû âîñïîëüçîâàëèñü îðòîíîðìèðîâàííîñòüþ ñèñòåìû è îïðåäåëåíèåì êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
|ck − αk |2 = (ck − αk )(ck − αk ) = |ck |2 + |αk |2 − αk ck − ck αk .
Ñëåäîâàòåëüíî,
x−
n
X
2
αk ek
= kxk2 −
k=1
n
X
|ck |2 +
k=1
n
X
|ck − αk |2 .
k=1
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ìèíèìóì íîðìû ðàçíîñòè äîñòèãàåòñÿ ïðè αk = ck (ìè-
íèìàëüíîå ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå), è ýòîò ìèíèìóì ðàâåí
kxk2 −
n
X
k=1
|ck |2 ≥ 0.
62
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ
∞
X
|ck |2 ≤ kxk2 .
(3.3.5)
k=1
Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ðÿä èç êâàäðàòîâ ìîäóëåé
êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå âñåãäà ñõîäèòñÿ. Îòñþäà â ñâîþ î÷åðåäü ñëåäóåò, ÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà Ôóðüå ôóíäàìåíòàëüíà, òàê êàê
n
X
2
n
X
=
ck ek
k=m
|ck |2 → 0
k=m
ïðè m, n → ∞. Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà H ðÿä Ôóðüå
ëþáîãî ýëåìåíòà
x ∈ H ñõîäèòñÿ. ×òîáû âûÿñíèòü, áóäåò ëè åãî ñóììà
ñèñòåìû (íå ïóòàòü ñ ïîëíîòîé
ñîâïàäàòü ñ x, ââåäåì ïîíÿòèå ïîëíîòû
ïðîñòðàíñòâà).
Îïðåäåëåíèå 3.3.9 Ñèñòåìà ek íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ek ïëîòíû â H , ò.å., ∀x è ∀ε > 0 ñóùåñòâóþò òàêèå
êîýôôèöèåíòû αk , k = 1, 2, . . . , n, ÷òî
x−
n
X
αk ek < ε.
(3.3.6)
k=1
Òåîðåìà 3.3.10 Ðÿä Ôóðüå ëþáîãî ýëåìåíòà x ïî ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå ñõîäèòñÿ ê x. Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ
∞
X
kxk2 =
|ck |2 .
k=1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâî ïîëíîòû ñèñòåìû îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò x ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî äàííîãî ε > 0 (íåðàâåíñòâî (3.3.6). Èç ìèíèìàëüíîãî ñâîéñòâà
êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ñëåäóåò òîãäà, ÷òî îòðåçîê ðÿäà Ôóðüå äàåò ëó÷øóþ
àïïðîêñèìàöèþ, ò.å.,
x−
n
X
ck ek ≤ x −
k=1
n
X
αk ek < ε,
k+1
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ ê x.
Óìíîæàÿ ñêàëÿðíî íà x ðàâåíñòâî
x=
∞
X
ck ek ,
k=1
è ïîëüçóÿñü íåïðåðûâíîñòüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó Ïàðñåâàëÿ (òåîðåìà Ïèôàãîðà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå).
3.3. ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
63
Ñëåäñòâèå 3.3.11 Ñèñòåìà ek , k = 1, 2, . . . ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó {ek } ñîñòîèò òîëüêî
èç íóëåâîãî ýëåìåíòà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ñèñòåìà ïîëíà è (x, ek ) = 0 äëÿ ëþáîãî k , òî
ðÿä Ôóðüå ýëåìåíòà x íóëåâîé, ò.å., x = 0.
Îáðàòíî, ýëåìåíò x−
P∞
k=1 ck ek îðòîãîíàëåí ëþáîìó en , çíà÷èò îí ðàâåí
0, òàê êàê îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó {ek } ñîñòîèò òîëüêî èç
íóëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, x ðàâåí ñóììå ñâîåãî ðÿäà Ôóðüå, à òîãäà îòðåçêè
ðÿäà Ôóðüå àïïðîêñèìèðóþò x ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ.
Ðåçþìèðóÿ, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ
áàçèñîì, ò.å., êàê è â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ëþáîé âåêòîð x äîïóñêàåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå ïî ýòîìó áàçèñó, çàäàâàåìîå ðÿäîì Ôóðüå.
Îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû ìîæíî ñòðîèòü, èñõîäÿ èç ïðîèçâîëüíûõ
k = 1, 2, . . . ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà-Øìèäòà.  êà÷åñòâå âåêòîðà e1 áåðåì f1 /kf1 k. Äàëåå
èç âåêòîðîâ f1 , f2 , . . . áåðåì ïåðâûé, ëèíåéíî íåçàâèñèìûé ñ e1 . Ïóñòü ýòî
áóäåò f2 . Òîãäà ïîëàãàåì
ñèñòåì âåêòîðîâ fk ,
e2 =
f2 − c1 e1
,
kf2 − c1 e1 k
ãäå c1 - êîýôôèöèåíò Ôóðüå âåêòîðà f2 ïî e1 .
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âåêòîðû e1 , e2 , . . . , en óæå ïîñòðîåíû, áåðåì ïåðâûé
èç âåêòîðîâ f1 , f2 , . . ., ëèíåéíî íåçàâèñèìûé ñ e1 , e2 , . . . , en . Ïóñòü ýòî áóäåò
fn+1 . Òîãäà ïîëîæèì
en+1 =
Pn
fn+1 − k=1 ck ek
Pn
,
kfn+1 − k=1 ck ek k
ãäå ck - êîýôôèöèåíòû Ôóðüå fn+1 ïî e1 , e2 , . . . , en . Â ðåçóëüòàòå òàêîãî
ïîñòðîåíèÿ ïîëó÷àåì îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó, êîòîðàÿ äàåò áàçèñ â
ïîäïðîñòðàíñòâå, íàòÿíóòîì íà f1 , f2 , . . ., ò.å., â çàìûêàíèè ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ f1 , f2 , . . ..
 êà÷åñòâå ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ïðîöåññà äîêàæåì ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.
Ïðåäëîæåíèå 3.3.12  ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èëè ñ÷åòíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñåïàðàáåëüíîì ïðîñòðàíñòâå H èìååòñÿ ñ÷åòíîå
ïëîòíîå ìíîæåñòâî. Ïîäâåðãíóâ åãî îðòîãîíàëèçàöèè, ïîëó÷èì ïîëíóþ ñ÷åòíóþ (èëè êîíå÷íóþ) îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó, ò.å., áàçèñ.
Ñëåäñòâèå 3.3.13 Ëþáîå áåñêîíå÷íîìåðíîå ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî H èçîìîðôíî è èçîìåòðè÷íî ïðîñòðàíñòâó l2 .
64
ÃËÀÂÀ 3.
ÁÀÍÀÕÎÂÛ È ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáðàâ â H îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ìû ìîæåì
îòîæäåñòâèòü âåêòîðû H ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå.
 ñèëó ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ ýòî ñîîòâåòñòâèå - èçîìåòðè÷åñêîå (ò.å., ñîõðàíÿåò íîðìû). Èçîìîðôèçì (ò.å. ñîõðàíåíèå ëèíåéíûõ îïåðàöèé) î÷åâèäåí.
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì ïðèìåð íåñåïàðàáåëüíîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñ íåñ÷åòíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé. Ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè
x(t), t ∈ R, êîòîðûå îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî â òî÷êàõ ñ÷åòíîãî ïîäìíîæåñòâà R (ñâîåãî äëÿ êàæäîé ôóíêöèè). Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òàêèõ
ôóíêöèé x(t) è y(t) çàäàåòñÿ ïî ôîðìóëå
(x(t), y(t)) =
X
x(t)y(t),
t
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ñ÷åòíîìó ìíîæåñòâó t, äëÿ êîòîðûõ îòëè÷íû îò 0 îáå ôóíêöèè. Ëèíåéíûå îïåðàöèè îïðåäåëÿþòñÿ ïîòî÷å÷íî, ïðè
ýòîì ñóììà x(t) + y(t) îòëè÷íà îò 0 ñíîâà íà ñ÷åòíîì ìíîæåñòâå òî÷åê.
Ïðîñòðàíñòâî H ñîñòîèò èç ôóíêöèé ñ êîíå÷íîé íîðìîé
kx(t)k2 = (x(t), x(t)) =
X
|x(t)|2 .
t
Ïóñòü eτ (t) - ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ 0 ïðè t 6= τ , è ðàâíàÿ 1 ïðè t = τ. Òîãäà
ÿñíî, ÷òî (eτ1 (t), eτ2 (t)) = 0 ïðè τ1 6= τ2 . Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì êîíòèíóóì ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ ôóíêöèé, ñëåäîâàòåëüíî, H íå ìîæåò áûòü
ñåïàðàáåëüíûì.
Ãëàâà 4
Ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû è
îïåðàòîðû
4.1
Îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû
Îïðåäåëåíèå 4.1.1 Ïóñòü E1 , E2 - áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà (äåéñòâèòåëüíûå èëè êîìïëåêñíûå). Îòîáðàæåíèå A : E1 → E2 íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1. ëèíåéíîñòü:
A(λx + µy) = λAx + µAy
äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x, y ∈ E1 è ëþáûõ ñêàëÿðîâ λ, µ ∈ R(C).
2. îãðàíè÷åííîñòü: ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ C > 0, òàêàÿ ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ E1
kAxk2 ≤ Ckxk1 .
Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü âñåõ òàêèõ C íàçûâàåòñÿ íîðìîé îïåðàòîðà.
Òàêèì îáðàçîì,
kAxk2
= sup kAxk.
x6=0 kxk1
kxk=1
kAk = sup
(4.1.1)
Åñëè â êà÷åñòâå E2 áåðåòñÿ ïîëå ñêàëÿðîâ, òî âìåñòî îïåðàòîð óïîòðåá-
ëÿþò òåðìèí ôóíêöèîíàë è ïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿìè f
: E → R(C), à
òàêæå
f (x) = hf, xi
äëÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà f íà ýëåìåíòå x. Íîðìà ôóíêöèîíàëà ñîãëàñíî
(4.1.1) ðàâíà
|f (x)|
= sup |f (x)|.
x6=0 kxk
kxk=1
kf k = sup
65
66
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð A : E1 → E2 - ýòî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ íà E1 ñî
çíà÷åíèÿìè â E2 , à ôóíêöèîíàë - ýòî ÷èñëîâàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïðåäëîæåíèå 4.1.2 Îòîáðàæåíèå A : E1 → E2 , çàäàâàåìîå ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì, íåïðåðûâíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x0 ∈
E1 . Èìååì
kAx − Ax0 k = kA(x − x0 )k ≤ Ckx − x0 k,
òàê ÷òî, åñëè x → x0 , òî Ax → Ax0 .
Îáðàòíî, åñëè ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå A : E1 → E2 íåïðåðûâíî ïðè x0 =
0, òî îíî îïðåäåëÿåò îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð. Äåéñòâèòåëüíî,
ïðåäïîëàãàÿ ïðîòèâíîå, ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ,
òàêàÿ ÷òî kxn k = 1 è â òî æå âðåìÿ kAxn k → ∞. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
yn = xn /kAxn k ñòðåìèòñÿ ê 0, è â òî æå âðåìÿ kAyn k = kAxn k/kAxn k = 1
ê íóëþ íå ñòðåìèòñÿ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåïðåðûâíîñòè â òî÷êå x0 .
Òàêèì îáðàçîì, îãðàíè÷åííîñòü è íåïðåðûâíîñòü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ýòî òîæäåñòâåííûå ïîíÿòèÿ.  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî òàêèå
îïåðàòîðû, è áóäåì íàçûâàòü èõ ïðîñòî "îïåðàòîð îïóñêàÿ ïðèëàãàòåëüíûå
"ëèíåéíûé"è "îãðàíè÷åííûé"("íåïðåðûâíûé").
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 4.1.3 Â ïðîñòðàíñòâå Lp (Ω), 1 < p < ∞ ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë
Z
hf, x(t)i =
ϕ(t)x(t)dµ,
Ω
ãäå ϕ(t) ∈ Lq ,
q + p = qp. Ëèíåéíîñòü î÷åâèäíà, à îãðàíè÷åííîñòü ñëåäóåò
èç íåðàâåíñòâà üëüäåðà
|hf, x(t)i| ≤ ||ϕkq kxkp ,
(4.1.2)
îòêóäà kf k ≤ kϕkq . Ïîêàæåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî. Äëÿ
ýòîãî ðàññìîòðèì ôóíêöèþ x(t), ðàâíóþ |ϕ(t)|
q−2
ϕ(t) ïðè ϕ 6= 0 è ðàâíóþ
íóëþ ïðè ϕ = 0. Òîãäà
kx(t)kpp =
Z
(|ϕ(t)|q−2 |ϕ(t)|)p dµ =
Z
Ω
|ϕ(t)|(q−1)p dµ =
Ω
Z
|ϕ(t)|q dµ = kϕkqq .
Ω
Ïðè ýòîì
Z
hf, x(t)i =
ϕ(t)|ϕ(t)|q−2 ϕ(t)dµ =
Z
Ω
|ϕ(t)|q dµ = kϕkqq .
Ω
Íî
kϕkqq = kxkpp = kxkp−1
kxkp
p
è
p−1
kxkp−1
= (kxkp )p p = (kϕkq )
p
q(p−1)
p
= kϕkq .
4.1. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß È ÏÐÈÌÅÐÛ
67
Óïðàæíåíèå 4.1.4 Äîêàçàòü àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ p = 1, q =
∞.
Óïðàæíåíèå 4.1.5 Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü àíàëîãè ýòèõ ðåçóëüòàòîâ â lp (ñì. òåîðåìó 4.3.7).
Ïðèìåð 4.1.6 Â ïðîñòðàíñòâå C[a, b] (ñì. ïðèìåð 1.1.4) ðàññìîòðèì èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð
Z b
(Kx)(t) =
K(t, s)x(s)ds,
a
ãäå ôóíêöèÿ K(t, s), íàçûâàåìàÿ ÿäðîì îïåðàòîðà K , íåïðåðûâíà íà êâàäðàòå t, s ∈ [a, b]. Ëèíåéíîñòü î÷åâèäíà, à îãðàíè÷åííîñòü ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà
!
Z b
max |(Kx)(t)| ≤ max
t
|K(t, s)|ds max |x(s)|.
t
s
a
Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ íîðìû îïåðàòîðà
Z b
kKk ≤ max
|K(t, s)|ds.
t
a
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà îöåíêà òî÷íà, ò.å., èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî.
Ïðèìåð 4.1.7 Äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð n-ãî ïîðÿäêà çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
(Lx)(t) =
n
X
ak (t)x(k) (t),
k=0
ãäå êîýôôèöèåíòû ak (t) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b]. Îí äåéñòâóåò èç ïðîñòðàíñòâà
C (n) [a, b] (ñì. ïðèìåð 1.1.5) â ïðîñòðàíñòâî C (0) [a, b] ≡ C[a, b]
Ëèíåéíîñòü îïÿòü î÷åâèäíà, à îãðàíè÷åííîñòü ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ
kLxk = max |(Lx)(t)|
t
≤
n
X
k=0
max |ak (t)| max |x(k) (t)| ≤ max |ak (t)|kx(t)k,
t
t
t,k
ãäå íîðìà Lx áåðåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå C[a, b], à íîðìà x(t) â ïðàâîé ÷àñòè â ïðîñòðàíñòâå C
(n)
[a, b], ò.å.,
kx(t)k =
n
X
max |x(k) (t)|.
k=0
Äëÿ íîðìû òåì ñàìûì èìååì îöåíêó
kLk ≤ max |ak (t)|.
t,k
Îòìåòèì, ÷òî òî÷íûå çíà÷åíèÿ íîðìû ÷àñòî íàéòè äîâîëüíî òðóäíî,
íî ïî áîëüøåé ÷àñòè äîñòàòî÷íî èìåòü îöåíêè äëÿ íîðìû, íå îáÿçàòåëüíî
òî÷íûå.
68
ÃËÀÂÀ 4.
4.2
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Òåîðåìà Õàíà - Áàíàõà
Ýòà òåîðåìà èìååò äåéñòâèòåëüíóþ è êîìïëåêñíóþ âåðñèè, êîòîðûå ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî. Íà÷íåì ñ äåéñòâèòåëüíîãî ñëó÷àÿ.
Òåîðåìà 4.2.1 Ïóñòü E0 ⊂ E - ïîäïðîñòðàíñòâî äåéñòâèòåëüíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà E , è ïóñòü f - ôóíêöèîíàë, çàäàííûé íà E0 . Òîãäà
f ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå E ñ ñîõðàíåíèåì íîðìû.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë fe, çàäàííûé íà âñåì E , òàêîé
÷òî ñóæåíèå fe íà E0 ñîâïàäàåò ñ f , è ïðè ýòîì
kfekE = kf kE0 .
Îñíîâíûì øàãîì â äîêàçàòåëüñòâå ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ êîíñòðóêöèÿ
"ýëåìåíòàðíîãî ïðîäîëæåíèÿ". Ïóñòü X ⊂ E - ïîäïðîñòðàíñòâî, è y - âåê-
e , íàòÿíóòîå íà
òîð, íå ïðèíàäëåæàùèé X . Ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî X
X è âåêòîð y . Îíî ñîñòîèò èç âåêòîðîâ âèäà
x
e = x + ty,
ãäå x ∈ X è t ∈ R. ßñíî, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî.
Ëåììà 4.2.2 Ôóíêöèîíàë f , çàäàííûé íà X , ìîæíî ïðîäîëæèòü äî
e , òàê ÷òî
ôóíêöèîíàëà fe íà ïîäïðîñòðàíñòâå X
kfekXe = kf kX .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî èñêîìîå ïðîäîëæåíèå óæå ïîñòðîåíî, çàïèøåì
fe(e
x) = fe(x + ty) = f (x) + tfe(y),
îòêóäà âèäíî, ÷òî fe îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ, åñëè çàäàòü ÷èñëî fe(y). Äàëåå, ïîñêîëüêó kfek ñîâïàäàåò ñ kf k, òî
|f (x) + tfe(y)| ≤ kf kkx + tyk.
Ïðè t = 0 íåðàâåíñòâî, î÷åâèäíî, âûïîëíåíî, à ïðè t 6= 0, ïîëó÷èì, ïîäåëèâ
íà |t|
f
x
t
+ fe(y) ≤ kf k
x
+y
t
èëè
−f
x
t
− kf k
x
x
x
+ y ≤ fe(y) ≤ −f
+ kf k
+y .
t
t
t
(4.2.1)
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî a = fe(y) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì (4.2.1) ïðè âñåõ
x ∈ X è âñåõ t 6= 0. Îáðàòíî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå a, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò
íåðàâåíñòâàì (4.2.1) ïðè âñåõ x, t, òî ïðîäîëæåíèå
fe(x + ty) = f (x) + ta
4.2. ÒÅÎÐÅÌÀ ÕÀÍÀ - ÁÀÍÀÕÀ
69
áóäåò èñêîìûì.
Ìû ïîêàæåì, ÷òî
sup (−f (x1 ) − kf kkx1 + yk) ≤ inf (−f (x2 ) + kf kkx2 + yk),
x2 ∈X
x1 ∈X
(4.2.2)
òîãäà â êà÷åñòâå a ìîæíî âçÿòü ëþáîå ÷èñëî ìåæäó ãðàíèöàìè (4.2.2). Äëÿ
ýòîãî ðàññìîòðèì
f (x2 ) − f (x1 ) = f (x2 − x1 ) ≤ kf kkx2 − x1 k
= kf kk(x2 + y) − (x1 + y)k ≤ kf kkx2 + yk + kf kkx1 + yk,
îòêóäà
−f (x1 ) − kf kkx1 + yk ≤ −f (x2 ) + kf kkx2 = yk,
ãäå x1 , x2 - ëþáûå ýëåìåíòû X . Áåðÿ ñóïðåìóì ëåâîé ÷àñòè ïî x1 , à çàòåì
èíôèìóì ïðàâîé ÷àñòè ïî x2 , ïðèõîäèì ê (4.2.2)
Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ñîñòîÿò â èíäóêòèâíîì ïîñòðîåíèè ðàñøèðåíèé ôóíêöèîíàëà f íà âñå áîëüøèå ïîäïðîñòðàíñòâà, â êîíöå êîíöîâ èñ÷åðïûâàþùèå âñå ïðîñòðàíñòâî E . Ìû ïðèâåäåì ýòè ðàññóæäåíèÿ òîëüêî äëÿ
ñåïàðàáåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà E .
Èòàê, ïóñòü y1 , y2 , . . . - ñ÷åòíîå ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî E , è f - ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå E0 . Ïðèìåíÿÿ ëåììó, ïðîäîëæèì ôóíêöèîíàë íà
ïîäïðîñòðàíñòâî E1 - ëèíåéíóþ îáîëî÷êó E0 è âåêòîðà y1 , çàòåì íà ïîäïðîñòðàíñòâî E2 - ëèíåéíóþ îáîëî÷êó E1 è âåêòîðà y2 , è ò.ä.  ðåçóëüòàòå
∞
e=∪
ïîëó÷èì ïðîäîëæåíèå fe íà ïëîòíîå ëèíåéíîå ìíîæåñòâî E
k=0 Ek ⊂ E ,
ïðè ýòîì
|fe(e
x)| ≤ kf kke
xk.
e , à òîãäà åãî ìîæíî
Ñëåäîâàòåëüíî, fe îãðàíè÷åí, à çíà÷èò, è íåïðåðûâåí íà E
e (êîòîðîå è åñòü âñå E ) ïî íåïðåðûâíîñòè.
E
e
Èìåííî, åñëè x
en ∈ E , ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ ê x ∈ E , òî ìû
ïðîäîëæèòü íà çàìûêàíèå
ïîëàãàåì
fe(e
x) = lim fe(e
xn ),
x→∞
ïðè ýòîì ïðåäåë ñóùåñòâóåò, òàê êàê fe(e
xn ) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Ðàññìîòðèì òåïåðü êîìïëåêñíûé âàðèàíò òåîðåìû Õàíà - Áàíàõà. Äëÿ
ýòîãî ïðåäâàðèòåëüíî óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äåéñòâèòåëüíûìè è êîìïëåêñíûìè áàíàõîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè.
Ïóñòü E - êîìïëåêñíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, ò.å., åãî ýëåìåíòû ìîæíî
óìíîæàòü íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà, â ÷àñòíîñòè, íà ìíèìóþ åäèíèöó i. Ìû
ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ óìíîæåíèåì òîëüêî íà äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òåì ñàìûì E ïðåâðàùàåòñÿ â äåéñòâèòåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå áóäåì îáîçíà÷àòü Er è íàçûâàòü ðåàëèôèêàöèåé êîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà
E.
70
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Êîìïëåêñíî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà E ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
f (x) = <f (x) + i=f (x) = f1 (x) + if2 (x),
(4.2.3)
ãäå f1 , f2 - äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèîíàëû íà Er . Òîãäà
f (ix) = f1 (ix) + if2 (ix),
à ñ äðóãîé ñòîðîíû â ñèëó êîìïëåêñíîé ëèíåéíîñòè f ýòî âûðàæåíèå ðàâíî
if (x) = if1 (x) − f2 (x).
Ñðàâíèâàÿ, ïîëó÷àåì
f2 (ix) = f1 (x).
Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ñâîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè
f (x) = f1 (x) − if1 (ix).
(4.2.4)
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî
kf k = kf1 k.
Èìååì
|f1 (x)| ≤
q
f12 (x) + f22 (x) ≤ |f (x)|,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî kf1 k ≤ kf k.. Ïîêàæåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå èìååò ìåñòî
çíàê ðàâåíñòâà. Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì â (4.2.3) âìåñòî x âåêòîð λx, ãäå λ ∈ C.
Òîãäà
f (λx) = f1 (λx) + if2 (λx).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëüçóÿñü êîìïëåêñíîé ëèíåéíîñòüþ f , ïîëó÷èì
f (λx) = λf (x) = λ(f1 (x) + if2 (x)).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äàííîãî âåêòîðà x ∈ E âñåãäà ìîæíî ïîäîáðàòü
λ ∈ C ñ |λ| = 1, òàê ÷òîáû =f (λx) = f2 (λx) îáðàùàëîñü â 0. Äëÿ ýòîãî
äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü
f2 (x) − if1 (x)
λ= p 2
.
f1 (x) + f22 (x)
Òàê êàê |λ| = 1, òî â ñèëó êîìïëåêñíîé ëèíåéíîñòè ïîëó÷èì
|f (x)| = |λ||f (x)| = |f (λx)| = |f1 (λx)| ≤ kf1 kkλxk = kf1 kkxk,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî kf k ≤ kf1 k, à çíà÷èò, è kf k = kf1 k.
Îáðàòíî, äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ôóíêöèîíàëà f1 (x) íà Er ôîðìóëà (4.2.4) îïðåäåëÿåò êîìïëåêñíûé ôóíêöèîíàë f (x) íà E , äëÿ êîòîðîãî
f1 áóäåò äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ.  ïðîâåðêå íóæäàåòñÿ òîëüêî ñâîéñòâî
êîìïëåêñíîé ëèíåéíîñòè ïðè óìíîæåíèè íà ìíèìóþ åäèíèöó. Íî èç (4.2.4)
èìååì
f (ix) = f1 (ix) − if1 (−x) = f1 (ix) + if1 (x) = i(f1 (x) − if1 (ix)) = if (x).
Ïåðåéäåì òåïåðü ê òåîðåìå Õàíà - Áàíàõà.
4.2. ÒÅÎÐÅÌÀ ÕÀÍÀ - ÁÀÍÀÕÀ
71
Òåîðåìà 4.2.3 Ïóñòü E - êîìïëåêñíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, è E0
- åãî êîìïëåêñíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü f - êîìïëåêñíûé ôóíêöèîíàë
íà E0 . Òîãäà åãî ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå E êàê êîìïëåêñíî-ëèíåéíûé
ôóíêöèîíàë fe, ïðè÷åì
kf kE0 = kfekE .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f1 - äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü ôóíêöèîíàëà f . Ïî
òåîðåìå 4.2.1 f1 ïðîäîëæàåòñÿ äî äåéñòâèòåëüíîãî ôóíêöèîíàëà fe1 íà Er ,
ïðè÷åì íîðìà fe1 íà Er ñîâïàäàåò ñ íîðìîé f1 íà (E0 )r , ïîñëåäíÿÿ æå ïî
äîêàçàííîìó âûøå ðàâíà kf k íà E0 .
Ïî ôîðìóëå (4.2.4) ïîñòðîèì êîìïëåêñíûé ôóíêöèîíàë íà E
fe(x) = fe1 (x) − ife1 (ix).
Ïðè ýòîì íîðìû ó fe è fe1 ñîâïàäàþò. Çíà÷èò,
kfek = kfe1 k = kf1 k = kf k.
Îñòàåòñÿ òîëüêî çàìåòèòü, ÷òî íà E0 ôóíêöèîíàëû f è fe ñîâïàäàþò, òàê
êàê ñîîòâåòñòâèå (4.2.4) âçàèìíî îäíîçíà÷íî.
Òåîðåìà Õàíà - Áàíàõà èìååò ìíîãî÷èñëåííûå ñëåäñòâèÿ. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå èç íèõ.
Ñëåäñòâèå 4.2.4 Ïóñòü x0 6= 0 - âåêòîð áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà E .
Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë íà E ñ íîðìîé, ðàâíîé 1, è òàêîé, ÷òî
f (x0 ) = kxk.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî {tx}, ãäå t ïðîèçâîëüíûé ñêàëÿð. Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë f íà ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå,
ïîëàãàÿ f (tx) = tkxk, è ïðîäîëæèì åãî íà âñå ïðîñòðàíñòâî ïî òåîðåìå Õàíà
- Áàíàõà.
Ñëåäñòâèå 4.2.5 Ïóñòü L - ïîäïðîñòðàíñòâî E , è x0 6∈ L. Ïóñòü
d = inf kx − x0 k
x∈L
- ðàññòîÿíèå îò x0 äî L. Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë ñ íîðìîé, ðàâíîé
1, ðàâíûé íóëþ íà L, è òàêîé, ÷òî f (x0 ) = d.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü l1 - ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà L è x0 , ò.å.,
ìíîæåñòâî âåêòîðîâ âèäà x = y + tx0 , ãäå y ∈ L, à t - ñêàëÿðíûé ìíîæèòåëü,
ïðè÷åì òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî. Îïðåäåëèì íà L1 ôóíêöèîíàë,
ïîëàãàÿ
f (y + tx0 ) = td.
72
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
ßñíî, ÷òî f (y) = 0, à f (x0 ) = d. Äàëåå
|f (y + tx0 )| = |t|d =
=
|t|dky + tx0 k
ky + tx0 k
d
ky + tx0 k ≤ ky + tx0 k,
k yt + x0 k
òàê êàê ky/t + x0 k ≥ d. Ñëåäîâàòåëüíî, íîðìà f íà L1 ðàâíà 1. Ïðîäîëæèâ
f íà âñå E ïî òåîðåìå Õàíà - Áàíàõà, ïîëó÷èì òðåáóåìûé ôóíêöèîíàë.
Ñëåäñòâèå 4.2.6 Ïóñòü e1 , e2 , . . . , en - ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà
âåêòîðîâ. Òîãäà ñóùåñòâóþò ôóíêöèîíàëû f1 , f2 , . . . , fn , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì
hfi , ej i = δij .
Òàêàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ è ôóíêöèîíàëîâ íàçûâàåòñÿ áèîðòîãîíàëüíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L1 - ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà âåêòîðû
e2 , e3 , . . . , en . Òîãäà e1 6∈ L1 , òàê ÷òî ðàññòîÿíèå d1 îò e1 äî L1 ïîëîæèòåëüíî.
Ïî ñëåäñòâèþ 4.2.5 ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë ϕ1 , òàêîé ÷òî ϕ1 (e1 ) = d1 è
ϕ1 = 0 íà L1 . Ïîëîæèì f1 = ϕ1 /d1 .
Òî÷íî òàê æå âîçüìåì âåêòîð e2 è ïîäïðîñòðàíñòâî L2 , íàòÿíóòîå íà
âåêòîðû e1 , e3 , . . . , en (âñå, êðîìå e2 ), è ïîñòðîèì f2 è ò.ä.
4.3
Ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî
Òåîðåìà 4.3.1 Ìíîæåñòâî ôóíêöèîíàëîâ íà áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå
E ñàìî ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
∗
Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê E è îáîçíà÷àåòñÿ E .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ôóíêöèîíàëàìè ââîäÿòñÿ
åñòåñòâåííûì îáðàçîì
(αf1 + βf2 )(x) = αf1 (x) + βf2 (x).
Íóëåì â E
∗
ÿâëÿåòñÿ íóëåâîé ôóíêöèîíàë, ò.å., òàêîé ÷òî f (x)
= 0 äëÿ
ëþáîãî x.
Íîðìà ôóíêöèîíàëà
|f (x)|
x6=0 kxk
kf k = sup
çàäàåò íà E
∗
ñòðóêòóðó íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà, àêñèîìû ëåãêî ïðî-
âåðÿþòñÿ. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî èç kf k = 0 ñëåäóåò, ÷òî |f (x)| ≤ kf kkxk = 0
äëÿ ëþáîãî x. Òàêèì îáðàçîì, íîðìà îáëàäàåò ñâîéñòâîì ïîëîæèòåëüíîé
îïðåäåëåííîñòè.
4.3. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
73
∗
Äîêàæåì ïîëíîòó E . Ïóñòü fn - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ôóíêöèîíàëîâ:
lim kfn − fm k → 0.
m,n→∞
(4.3.1)
Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ E ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) ôóíäàìåíòàëüíà, òàê êàê
|fn (x) − fm (x)| ≤ kfn − fm kkxk → 0.
fn (x) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëó f (x). Èç ëèíåéíîñòè
fn (x) è ñâîéñòâ ïðåäåëà âûòåêàåò, ÷òî f (x) - òàêæå ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë.
Ïîêàæåì, ÷òî îí îãðàíè÷åí, è ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ñõîäèòñÿ ê f ïî
Ñëåäîâàòåëüíî,
íîðìå.
Èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà äëÿ íîðì ñëåäóåò, ÷òî
|kfn k − kfm k| ≤ kfn − fm k,
îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî kfn k - ôóíäàìåíòàëüíàÿ, à çíà÷èò, ñõîäÿùàÿñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äàëåå
|fn (x)| ≤ kfn kkxk,
îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷àåì
|f (x)| ≤ lim kfn kkxk,
n→∞
÷òî îçíà÷àåò îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèîíàëà f . Èìååì
|fn (x) − f (x)| = lim |fn (x) − fm (x)| ≤ lim kfn − fm kkxk,
m→∞
m→∞
îòêóäà
|fn (x) − f (x)|
≤ lim kfn − fm k,
m→∞
kxk
x6=0
kfn − f k = sup
ãäå â ñèëó 4.3.1 ïðàâàÿ ÷àñòü ïðîèçâîëüíî ìàëà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n.
Óïðàæíåíèå 4.3.2 Ïóñòü L(X, Y ) - ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ èç áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X â áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y .
Äîêàçàòü, ñëåäóÿ äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû, ÷òî L(X, Y ) - òîæå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî.
4.3.1
Ôóíêöèîíàëû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
 ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñ êàæäûì âåêòîðîì y ìîæíî ñâÿçàòü ôóíêöèîíàë fy ïî ôîðìóëå
fy (x) = (y, x).
Åãî ëèíåéíîñòü î÷åâèäíà, à îãðàíè÷åííîñòü âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî
|fy (x)| = |(y, x)| ≤ kykkxk.
74
ÃËÀÂÀ 4.
Òàêèì îáðàçîì,
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
kfy k ≤ kyk. Ýòà îöåíêà òî÷íà, â ÷åì ìîæíî óáåäèòüñÿ,
ïîëîæèâ â íåðàâåíñòâå Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî x = y .
Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 4.3.3 (Ëåììà Ðèññà) Äëÿ ëþáîãî ôóíêöèîíàëà f â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð y , òàêîé ÷òî
f (x) = (y, x).
Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèå f (x) = 0 îïðåäåëÿåò ïîäïðîñòðàíñòâî L ⊂
H . Äåéñòâèòåëüíî, ëèíåéíîñòü L î÷åâèäíà, à çàìêíóòîñòü ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè f .
Åñëè L ñîâïàäàåò ñî âñåì H , òî f - íóëåâîé ôóíêöèîíàë, òîãäà y = 0 - èñêîìûé âåêòîð. Åñëè æå L íå ñîâïàäàåò ñ H , òî â îðòîãîíàëüíîì äîïîëíåíèè
ê L ñóùåñòâóåò âåêòîð x0 , òàêîé ÷òî f (x0 ) 6= 0. Âîçüìåì
f (x0 )
x0
kx0 k2
y=
è ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàë fy = (y, ·) ñîâïàäàåò ñ f . Çàïèøåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð x ∈ H â âèäå
x = x1 + x2 =
f (x)
f (x)
x−
x0 +
x0 .
f (x0 )
f (x0 )
(4.3.2)
⊥
Çàìåòèì, ÷òî f (x1 ) = 0, à f (x2 ) = f (x). Ñëåäîâàòåëüíî, x1 ∈ L, à x2 ∈ L
⊥
Ïîñêîëüêó y òàêæå ïðèíàäëåæèò L
(y, x) = (y, x2 ) =
.
, òî (y, x1 ) = 0, è çíà÷èò,
f (x0 )x0 f (x)
,
x0
kxk2 f (x0 )
!
= f (x).
(4.3.3)
⊥
Èç ðàçëîæåíèÿ (4.3.2) ñëåäóåò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L
- îä-
íîìåðíî, îíî ïîðîæäàåòñÿ âåêòîðîì x0 . Ñëåäîâàòåëüíî, y ïðîïîðöèîíàëåí
x0 , à èç ðàâåíñòâà (4.3.3) ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
2
äîëæåí ðàâíÿòüñÿ f (x0 )/kx0 k . Ýòî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü.
Ëåììà Ðèññà ïîêàçûâàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå
H 3 y 7→ fy ∈ H ∗
(4.3.4)
∗
ÿâëÿåòñÿ èçîìåòðèåé H íà H , ïîñêîëüêó kyk = kfy k. Òàêèì îáðàçîì, ñîïðÿæåííûì ê ãèëüáåðòîâó ïðîñòðàíñòâó ÿâëÿåòñÿ ñàìî ýòî ïðîñòðàíñòâî.
Ïîä÷åðêíåì, îäíàêî, ÷òî îòîáðàæåíèå (4.3.4) íå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì
(ò.å., íå ñîõðàíÿåò ëèíåéíûå îïåðàöèè) ïîñêîëüêó îíî íå ëèíåéíî à ñîïðÿ-
æåííî ëèíåéíî:
(αy, ·) = α(y, ·),
ò.å., óìíîæåíèå âåêòîðà y íà ÷èñëî ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ ôóíêöèîíàëà
íà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ÷èñëî. Äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ðàçíèöà ìåæäó ëèíåéíûì è ñîïðÿæåííî ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì èñ÷åçàåò.
4.3. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
4.3.2
75
Ðåôëåêñèâíîñòü
Ïóñòü E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, E
∗
- ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî. Îïðåäå-
ëèì âòîðîå ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî E
∗∗
êàê (E
∗ ∗
) .
Òåîðåìà 4.3.4 Ñóùåñòâóåò èçîìîðôíîå è èçîìåòðè÷åñêîå âëîæåíèå
i : E → E ∗∗ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ýëåìåíòó x ∈ E ñîïîñòàâèì ôóíêöèîíàë i(x) íà
∗
ïðîñòðàíñòâå E , êîòîðûé íà ôóíêöèîíàëå f (·) ∈ E
∗
ïðèíèìàåò çíà÷åíèå
hi(x), f (·)i = f (x). Ïîêàæåì, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ñîõðàíÿåò ëèíåéíûå îïåðàöèè è íîðìû.
Åñëè x = αx1 + βx2 , òî
hi(x), f (·)i = f (αx1 + βx2 ) = αf (x1 ) + βf (x2 )
= αhi(x1 ), f (·)i + βhi(x), f (·)i.
Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíûå îïåðàöèè ñîõðàíÿþòñÿ.
Äàëåå,
|hi(x), f (·)i| = |f (x)| ≤ kf kkxk,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ki(x)kE ∗∗ ≤ kxk. Ïî òåîðåìå Õàíà-Áàíàõà äëÿ äàííîãî
âåêòîðà x ∈ E íàéäåòñÿ ôóíêöèîíàë f ñ íîðìîé, ðàâíîé 1, è òàêîé, ÷òî
f (x) = kxk. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îöåíêà äëÿ íîðìû òî÷íà, ò.å.,
ki(x)kE ∗∗ = kxk,
òàê ÷òî i - èçîìåòðèÿ.
 êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå èç ïîäñ÷åòà ðàçìåðíîñòåé âûòåêàåò, ÷òî E, E
∗
è
E ∗∗ èìåþò îäèíàêîâûå ðàçìåðíîñòè, çíà÷èò, E = E ∗∗ .  áåñêîíå÷íîìåðíîì
∗∗
ñëó÷àå ðàâåíñòâà ìîæåò è íå áûòü, åñòü òîëüêî âêëþ÷åíèå E ⊂ E .
Îïðåäåëåíèå 4.3.5 Ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè
E = E ∗∗ .
Ïðèìåð 4.3.6 Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ðåôëåêñèâíî, òàê êàê H ∗ =
H , à çíà÷èò (H ∗ )∗ = (H)∗ = H .
 îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîãî ðàçäåëà ìû ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ïðîñòðàíñòâà lp , îãðàíè÷èâàÿñü äëÿ ïðîñòîòû äåéñòâèòåëüíûì ñëó÷àåì.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç en ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ó êîòîðîé íà n-ì ìåñòå ñòîèò
1, à îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû 0. ßñíî, ÷òî en ∈ lp ïðè ëþáûõ n è p, è ïðè
ýòîì ken k = 1. Äàëåå, åñëè
x = {x1 , x2 , . . .} ∈ lp , 1 ≤ p < ∞,
76
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
n
X
x = lim
n→∞
xk ek =
k=1
∞
X
xk ek ,
(4.3.5)
k=1
ãäå ñõîäèìîñòü ïîíèìàåòñÿ ïî íîðìå lp .
Áóäåì íàçûâàòü âåêòîðû en îðòàìè â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíî-
1 ≤
p < ∞. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé m = l∞ ñîîòíîøåíèå (4.3.5) íåâåðíî, ò.å., en íå îáðàçóþò áàçèñ â m.
Íàïîìíèì, ÷òî m íåñåïàðàáåëüíî, òàê ÷òî ñ÷åòíîãî áàçèñà áûòü íå ìîæåò.
Äëÿ ôóíêöèîíàëà f íà lp ïîëîæèì yk = f (ek ). Òîãäà èç (4.3.5) è íåïðåñòåé. Êàê âèäíî èç (4.3.5), îíè îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâàõ lp ,
ðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà âûòåêàåò, ÷òî
∞
X
f (x) =
yk xk .
(4.3.6)
k=1
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèîíàë íå òîëüêî îïðåäåëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yk },
íî è ñàì îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïî ôîðìóëå
(4.3.6). Âîïðîñ òîëüêî â òîì, êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y = {y1 , y2 , . . .}, ÷òîáû ôîðìóëà (4.3.6) äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿëà ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà lp .
Òåîðåìà 4.3.7 Ïóñòü p > 1 è q = p/(p − 1). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
y = {y1 , y2 , . . .} òîãäà è òîëüêî òîãäà îïðåäåëÿåò ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé
ôóíêöèîíàë íà lp , êîãäà y ∈ lq , ïðè ýòîì
kf k = kykq .
(4.3.7)
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ðàññìîòðèì ýëåìåíò x
e = {e
x1 , x
e2 , . . .}
òàêîé, ÷òî
x
ek = |yk |q−1 sgn yk , k ≤ n,
Pn
è x
ek = 0 ïðè k > n. Òîãäà f (e
x) = k=1 |yk |q . Ñ äðóãîé ñòîðîíû
ke
xk =
n
X
!1/p
p
|e
xk |
k=1
=
n
X
!1/p
p(q−1)
|yk |
=
k=1
n
X
!1/p
|yk |
q
.
k=1
Ñëåäîâàòåëüíî,
|f (e
x)|
=
kf k ≥
kxk
n
X
k=1
!(p−1)/p
|yk |
q
=
n
X
k=1
!1/q
q
|yk |
.
4.3. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
77
Óñòðåìëÿÿ n ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷àåì, ÷òî y ∈ lq , ïðè ýòîì
kykq ≤ kf k.
(4.3.8)
Äîñòàòî÷íîñòü ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà üëüäåðà
X
yk xk ≤ kykq kxkp ,
÷òî äàåò
|f (x)|
≤ kykq ,
x6=0 kxkp
kf k = sup
à âìåñòå ñ íåðàâåíñòâîì (4.3.8) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (4.3.7).
Ñëåäñòâèå 4.3.8 Ïðè 1 < p < ∞
lp∗ = lq .
Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîêàçàòåëü q = p/(p − 1) íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê p.
Òàê êàê ñîïðÿæåííûì ê q = p/(p − 1) áóäåò p, òî
(lp )∗∗ = (lp∗ )∗ = (lq )∗ = lp ,
ò.å., ïðîñòðàíñòâî lp ðåôëåêñèâíî ïðè 1 < p < ∞.
Ñëó÷àé p = 1 ðåçêî îòëè÷àåòñÿ - ïðîñòðàíñòâî l1 íå ðåôëåêñèâíî. ×òîáû
∗
â ýòîì óáåäèòüñÿ, íàéäåì ñíà÷àëà l1 .
Òåîðåìà 4.3.9 Ôîðìóëà (4.3.6) òîãäà è òîëüêî òîãäà îïðåäåëÿåò ôóíêöèîíàë íà l1 , êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y = {y1 , y2 , . . .} îãðàíè÷åíà. Ïðè
ýòîì
kf k = sup |yk | = kyk∞ .
(4.3.9)
k
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Òàê êàê kek k1 = 1, òî
|yk | = |f (ek )| ≤ kf k,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y îãðàíè÷åíà, è
kyk = sup |yk | ≤ kf k.
(4.3.10)
k
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü y ∈ l∞ - îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïîñêîëüêó ðÿä
P∞
k=1 |xk | ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è ðÿä
∞
X
yk xk ≤ sup |yk |
k
k=1
Ñëåäîâàòåëüíî,
∞
X
|xk | = kyk∞ kxk1 .
k=1
f îãðàíè÷åí, è kf k ≤ kyk∞ . Âìåñòå ñ (4.3.10) ïîëó÷àåì
(4.3.9).
∗
= l∞ . Òåïåðü ìû ïîêàæåì, ÷òî l∞
6= l1 , èñïîëüçóÿ "ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòè". Äåëî â òîì, ÷òî l1 - ñåïàðàáåëüíîå
ïðîñòðàíñòâî, à l∞ - íåò. Íàøå óòâåðæäåíèå áóäåò âûòåêàòü èç ñëåäóþùåé
∗
Òåîðåìà îçíà÷àåò, ÷òî l1
áîëåå îáùåé òåîðåìû.
78
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Òåîðåìà 4.3.10 Åñëè E ∗ - ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, òî E - òàêæå
ñåïàðàáåëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f1 , f2 , . . . - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëîâ
∗
ïëîòíàÿ â E . Âûáåðåì âåêòîðû xk ∈ E ñ íîðìîé 1, òàê ÷òîáû |fk (xk )| ≥
kfk k/2. Ïîêàæåì, ÷òî ëèíåéíûå êîìáèíàöèè (êîíå÷íûå) âåêòîðîâ xk ïëîòíû â E , òåì ñàìûì áóäåò óñòàíîâëåíà ñåïàðàáåëüíîñòü E . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî
ýòî íåâåðíî, ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî L - çàìûêàíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé xk . Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ L 6= E , òî íàéäåòñÿ âåêòîð
x0 6∈ L. Ïî ñëåäñòâèþ 4.2.5 ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë f , ðàâíûé 0 íà L è
6= 0. Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fk ïëîòíà â E ∗ , òî
íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü fnk , ñõîäÿùàÿñÿ ê f . Òîãäà
òàêîé, ÷òî f (x0 )
kfnk − f k ≥ |fnk (xnk )| = |fnk (xnk | ≥
ïîñêîëüêó xnk
1
kfnk k,
2
∈ L, è çíà÷èò f (xnk ) = 0. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà
fnk → 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî
fnk → f .
Äëÿ êîìïëåêñíûõ ïðîñòðàíñòâ lp âñå îñòàåòñÿ â ñèëå çà èñêëþ÷åíèåì
ôîðìóëû (4.3.6) êîòîðàÿ â êîìïëåêñíîì ñëó÷àå çàìåíÿåòñÿ íà
f (x) =
∞
X
y k xk
(4.3.11)
k=1
÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ëåììîé Ðèññà îá îáùåì âèäå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà äëÿ
ïðîñòðàíñòâà l2 .
Äëÿ ïðîñòðàíñòâ Lp (ñì. ïðèìåð 4.1.3) ñïðàâåäëèâû àíàëîãè÷íûå óòâåð-
∗
= Lq ïðè 1 < p < ∞, L∗1 = L∞ . Îòñþäà ñëåäóåò
ðåôëåêñèâíîñòü Lp ïðè 1 < p < ∞. Ïðîñòðàíñòâî L1 íå ðåôëåêñèâíî, êàê
è l1 . Îäíàêî äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ôàêòîâ çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì äëÿ lp ,
æäåíèÿ, à èìåííî, Lp
è ìû íå áóäåì èõ ðàññìàòðèâàòü.
4.4
Ñîïðÿæåííûå è ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû
4.4.1
Îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû
Ïóñòü X, Y - áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, A : X → Y - ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé
îïåðàòîð. Òîãäà îïðåäåëåí îïåðàòîð A
íûì ê A è äåéñòâóþùèé ïî ôîðìóëå
∗
: Y ∗ → X ∗ , íàçûâàåìûé ñîïðÿæåí-
(A∗ f )(x) = f (Ax).
Çäåñü x ∈ X , à f ∈ Y
∗
- ôóíêöèîíàë íà Y .
(4.4.1)
4.4. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
79
Òåîðåìà 4.4.1 Îïåðàòîð A∗ - ëèíåéíûé è îãðàíè÷åííûé, ïðè ýòîì
kA∗ k = kAk.
(4.4.2)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëèíåéíîñòü ïî÷òè î÷åâèäíà. Äåéñòâèòåëüíî,
(A∗ (αf1 + βf2 ))(x) = (αf1 + βf2 )(Ax)
= αf1 (Ax) + βf2 (Ax) = α(A∗ f1 )(x) + β(A∗ f2 )(x).
∗
Äîêàæåì îãðàíè÷åííîñòü. Äëÿ íîðìû ôóíêöèîíàëà A f ∈ X
∗
èìååì
∗
|f (Ax)|
|(A f )(x)|
= sup
kxk
kxk
x6=0
x6=0
kA∗ f k = sup
kf kkAxk
≤ kf kkAk,
kxk
x6=0
≤ sup
∗
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî kA k ≤ kAk.  ÷àñòíîñòè, A - îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð.
×òîáû äîêàçàòü îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð x,
è ïóñòü y = Ax. Ïî ñëåäñòâèþ 4.2.4 èç òåîðåìû Õàíà - Áàíàõà ïîñòðîèì
ôóíêöèîíàë f ∈ Y
∗
òàêîé, ÷òî
kf k = 1, f (y) = kyk.
Òîãäà
kAxk = kyk = f (y) = f (Ax) = (A∗ f )(x)
≤ kA∗ f kkxk ≤ kA∗ kkf kkxk = kA∗ kkxk,
∗
îòêóäà ïîëó÷àåì kAk ≤ kA k.
Óïðàæíåíèå 4.4.2 Ïóñòü X, Y, Z - áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, A : X → Y
è B : Y
→ Z - îïåðàòîðû. Äîêàçàòü ÷òî
(BA)∗ = A∗ B ∗
(4.4.3)
Ïðèìåð 4.4.3 Êîíå÷íîìåðíûå îïåðàòîðû. Ïóñòü X = Cn , Y = Cm
- êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà. Îïåðàòîð
A : X → Y
çàäàåòñÿ
m × n-
ìàòðèöåé

 
y1
a11
 y2   a21

 
 ..  =  ..
 .   .
ym
am1
...
...
.
.
.
..
am2
...
.


a1n
x1


a2n 
  x2 


.
. ,
.
  .. 
.
amn
xn
, g ∈ Y ∗ çàäàäèì â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (4.3.11)


x1
n
 x2 
X


f (x) =
ūk xk = (ū1 , ū2 , . . . , ūn )  .  ,
 .. 
k=1
xn
à ôóíêöèîíàëû f ∈ X
∗
a12
a22
80
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ


y1
m
 y2 
X


g(y) =
v̄k yk = (v̄1 , v̄2 , . . . , v̄m )  .  .
 .. 
k=1
ym
Íàì ïîíàäîáèòñÿ îïåðàöèÿ ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ (ïðÿìîóãîëüíûõ) ìàòðèö.
Îïðåäåëåíèå 4.4.4 Ïóñòü A - m × n-ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè aij , i =
1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîé ê A íàçûâàåòñÿ n × mìàòðèöà A† , ó êîòîðîé ij -é ýëåìåíò ðàâåí aji .
Äðóãèìè ñëîâàìè, ìàòðèöà A
†
ïîëó÷àåòñÿ èç A òðàíñïîíèðîâàíèåì, ò.å.,
çàìåíîé ñòðîê ñòîëáöàìè, è êîìïëåêñíûì ñîïðÿæåíèåì.  ÷àñòíîñòè, ñòîëáåö u ñ ýëåìåíòàìè u1 , u2 , . . . , un ïåðåõîäèò ïðè ýðìèòîâîì ñîïðÿæåíèè â
ñòðîêó
u† = (ū1 , ū2 , . . . , ūn ).
Íåòðóäíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ.
Óïðàæíåíèå 4.4.5 Äîêàçàòü, ÷òî
(AB)† = B † A† , A†† = A.
 ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèîíàëîâ f è g ïðèíèìàþò
âèä
f (x) = u† x, g(y) = v † y,
à äëÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ïîëó÷èì
(A∗ g)(x) = g(Ax) = v † Ax = (A† v)† x.
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A
∗
ïîëó÷àåòñÿ ýðìèòî-
âûì ñîïðÿæåíèåì èç ìàòðèöû A, ò.å., ðàâíà

ā11
 ā12

A† =  .
 ..
ā1n
ā21
ā22
...
...
.
.
.
..
ā2n
...
.

ām1
ām2 

.
.
.

.
āmn
 äåéñòâèòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå ïåðåõîäèò â òðàíñïîíèðîâàíèå.
 äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì ïåäàíòè÷íî ðàçëè÷àòü ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð A
∗
†
∗
è åãî ìàòðèöó A , èñïîëüçóÿ äëÿ îáîèõ îáîçíà÷åíèå A .
Ïðèìåð 4.4.6 Èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð. Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b]
èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð
4.4. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
81
Z b
y(t) = (Kx)(t) =
K(t, τ )x(τ )dτ,
a
ãäå ÿäðî K(t, τ ) - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà êâàäðàòå t, τ ∈ [a, b]
Ôóíêöèîíàë â L2 çàäàåòñÿ ôóíêöèåé v(t) ∈ L2 ïî ôîðìóëå
Z b
g(x(t)) =
v̄(t)x(t)dt
a
(ñì. ïðèìåð 4.1.3). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ïîëó÷àåì
Z b
Z b
∗
a
a
Z b
Z b
a
a
=
K(t, τ )x(τ )dτ
v̄(t)dt
(K g)(x(t)) = g((Kx)(t)) =
!
Z b
Z b
a
a
K̄(t, τ )v(t)dt x(τ )dτ =
!
K̄(τ, t)v(τ )dτ x(t)dt.
Îòñþäà ñðàçó æå âûòåêàåò, ÷òî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð äåéñòâóåò ïî ôîðìóëå
u(t) = (K ∗ v)(t) =
Z b
K̄(τ, t)v(τ )dτ,
a
ò.å., ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðîì, ÿäðî êîòîðîãî K̄(τ, t) ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûì ê ÿäðó K(t, τ ) (ïîëó÷àåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé àðãóìåíòîâ
t è τ è êîìïëåêñíûì ñîïðÿæåíèåì, ïîäîáíî ýðìèòîâó ñîïðÿæåíèþ ìàòðèö).
∗
 äàëüíåéøåì ìû ïðèìåíÿåì îáîçíà÷åíèå K (t, τ ) äëÿ ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîãî ÿäðà K̄(τ, t), êàê è â ñëó÷àå ìàòðèö.
4.4.2
Îïåðàòîðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
Ìû òåïåðü ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà îïåðàòîðàõ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ñ
→ H â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñâÿæåì
B(y, x) = (y, Ax), êîòîðîå íàçûâàþò áèëèíåéíîé ôîðìîé, ñîîòâåòñòâóþùåé îïåðàòîðó A. Ýòî íàçâàíèå íå ñîâñåì òî÷íîå; âûðàæåíèå
(y, Ax) ëèíåéíî òîëüêî ïî àðãóìåíòó x, à ïî y îíî ñîïðÿæåííî ëèíåéíî. Â
äåéñòâèòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå H ýòî áóäåò íàñòîÿùàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà,
êàæäûì îïåðàòîðîì A : H
âûðàæåíèå
ò.å., ëèíåéíàÿ ïî êàæäîìó àðãóìåíòó.
Äëÿ áèëèíåéíîé ôîðìû ââîäèòñÿ ïîíÿòèå îãðàíè÷åííîñòè è íîðìû, àíàëîãè÷íî ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëàì.
Îïðåäåëåíèå 4.4.7 Áèëèíåéíàÿ ôîðìà íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ C òàêàÿ, ÷òî
|B(y, x)| ≤ Ckxkkyk
äëÿ ëþáûõ x, y , à íàèëó÷øàÿ òàêàÿ ïîñòîÿííàÿ íàçûâàåòñÿ íîðìîé áèëèíåéíîé ôîðìû, ò.å.,
|B(y, x)|
=
sup |B(y, x)|.
x,y6=0 kxkkyk
kxk=kyk=1
kBk = sup
82
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Ëåììà 4.4.8 Íîðìà áèëèíåéíîé ôîðìû B(y, x) = (y, Ax) ñîâïàäàåò ñ
íîðìîé îïåðàòîðà A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî
|(y, Ax)| ≤ kykkAxk ≤ kAkkxkkyk,
îòêóäà kBk ≤ kAk.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãî íåðàâåíñòâà ïîëîæèì y = Ax. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî Ax 6= 0 è x 6= 0 èìååì
kBk ≥
kAxk
|B(Ax, x)|
=
.
kxkkAxk
kxk
Åñëè æå Ax = 0, à x 6= 0, òî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïîäàâíî. Ñëåäîâàòåëüíî,
kAxk
= kAk.
x6=0 kxk
kBk ≥ sup
 êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ýòîé ïðîñòîé ëåììû ðàññìîòðèì ïðèìåð îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà â l2 . Êàê è â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, îïåðàòîð
â ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé çàäàåòñÿ ìàòðèöåé
yi =
∞
X
aij xj , i = 1.2, . . . .
(4.4.4)
j=1
Íî òåïåðü ìàòðèöà áåñêîíå÷íàÿ, è íåïîíÿòíî, êàêèì óñëîâèÿì îíà äîëæíà
óäîâëåòâîðÿòü, ÷òîáû îïåðàòîð áûë îãðàíè÷åííûì. Ìû ïðèâåäåì ïðîñòîå
äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè, êîòîðîå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå.
Ïðåäëîæåíèå 4.4.9 Ïóñòü
∞
X
∞
X
|aij | ≤ C,
|aij | ≤ C.
i=1
j=1
Òîãäà îïåðàòîð (4.4.4) â ïðîñòðàíñòâå l2 îãðàíè÷åí, è åãî íîðìà íå ïðåâîñõîäèò C .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå 4.4.8
kAk =
sup
|(y, Ax)|.
kxk,kyk=1
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî kxk = kyk = 1, ïîëó÷èì
∞
X
|(y, Ax)| ≤
≤
∞
1X
2 i=1
i,j=1
∞
X
2
|yi |
j=1
|aij ||ȳi ||xj | ≤
∞
X
|aij |
i,j=1
|aij | +
∞
1X
2 j=1
2
|xj |
∞
X
|ȳi |2 + |xj |2
2
|aij | ≤ C.
i=1
4.4. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
83
Óïðàæíåíèå 4.4.10 Ïóñòü K - èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå
L2 (−∞, ∞) ñ íåïðåðûâíûì ÿäðîì K(t, τ ). Ïóñòü
Z ∞
Z ∞
|K(t, τ )|dτ ≤ C,
|K(t, τ )|dt ≤ C.
−∞
−∞
Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð îãðàíè÷åí, è åãî íîðìà íå ïðåâîñõîäèò C .
Ïîíÿòèå ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå íåñêîëüêî óïðîùàåòñÿ, áëàãîäàðÿ ëåììå Ðèññà. Â ñàìîì äåëå, âûðàæåíèå f (Ax) ïî
ëåììå Ðèññà äîïóñêàåò çàïèñü (y, Ax), ãäå y
∈ H - íåêîòîðûé âåêòîð. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, (y, Ax) - ýòî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë îò âåêòîðà x, ñëåäîâàòåëüíî, îí äîëæåí èìåòü âèä (z, x), ãäå z òîæå íåêîòîðûé âåêòîð, êîòîðûé
∗
ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà è åñòü A x. Èòàê, ñîïðÿæåííûé
îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì
(y, Ax) = (A∗ y, x).
4.4.3
(4.4.5)
Ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû
ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû, ò.å., òàêèå, äëÿ
= A, è ðàâåíñòâî (4.4.5) ïðèíèìàåò âèä
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì
êîòîðûõ A
∗
(y, Ax) = (Ay, x).
Ëåììà 4.4.11 Áèëèíåéíàÿ ôîðìà B(y, x) = (y, Ax), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñàìîñîïðÿæåííîìó îïåðàòîðó, ýðìèòîâà, ò.å.,
B(y, x) = B(x, y),
à ñîîòâåòñòâóþùàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà B(x, x) äåéñòâèòåëüíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì
B(y, x) = (y, Ax) = (Ay, x) = (x, Ay) = B(x, y).
Åñëè ïîëîæèòü y = x, òî ïîëó÷èì
B(x, x) = B(x, x),
÷òî è äàåò äåéñòâèòåëüíîñòü B(x, x).
Ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû ìîæíî ñðàâíèâàòü, êàê è äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà. Ìû ãîâîðèì, ÷òî A ≥ B , åñëè
(x, Ax) ≥ (x, Bx)
äëÿ ëþáîãî x ∈ H . Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû äåéñòâèòåëüíû, òî íåðàâåíñòâà èìåþò ñìûñë.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ãîâîðèòü î ïîëîæèòåëüíûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðàõ (A > 0), ïîíèìàÿ ïîä ýòèì, ÷òî
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (x, Ax) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. Çàìåòèì, îäíàêî,
÷òî â îòëè÷èå îò äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íå ëþáûå äâà ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðà ñðàâíèìû, ò.å., íå âñåãäà ëèáî A ≥ B , ëèáî B ≥ A.
84
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Óïðàæíåíèå 4.4.12 Ïðèâåñòè ïðèìåð íåñðàâíèìûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
Äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà åãî íîðìà ñâÿçàíà ñ ìàêñèìàëüíûì è
ìèíèìàëüíûì çíà÷åíèåì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íà åäèíè÷íîé ñôåðå.
Òåîðåìà 4.4.13 Ïóñòü
M = sup
x6=0
m = inf
x6=0
(x, Ax)
= sup (x, Ax),
kxk2
kxk=1
(x, Ax)
= inf (x, Ax).
kxk2
kxk=1
Òîãäà kAk = max(|M |, |m|).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
C = sup |(x, Ax)|.
kxk=1
Î÷åâèäíî, ÷òî C = max(|M |, |m|), òàê ÷òî íóæíî äîêàçàòü, ÷òî C = kAk.
Ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî
|(x, Ax)| ≤ kxkkAxk ≤ kAkkxk2 ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî C ≤ kAk.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãî íåðàâåíñòâà ðàññìîòðèì òîæäåñòâà
(x + y, A(x + y)) = (x, Ax) + (y, Ay) + (x, Ay) + (y, Ax)
(x − y, A(x − y)) = (x, Ax) + (y, Ay) − (x, Ay) − (y, Ax).
Âû÷èòàÿ èõ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
(x, Ay) + (y, Ax) = (x, Ay) + (Ay, x) = 2<(x, Ay),
ïîëó÷èì
<(x, Ay) =
1
((x + y, A(x + y)) − (x − y, A(x − y))).
4
|<(x, Ay)| ≤
C
kxk2 + kyk2
(kx + yk2 + kx − yk2 ) = C
.
4
2
Îòñþäà
Ïðè kxk = kyk = 1 ïîëó÷àåì
|<(x, Ay)| ≤ C.
Ïóñòü y òàêîâî, ÷òî Ay 6= 0. Ïîäñòàâëÿÿ x = Ay/kAyk, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
<
(Ay, Ay)
= kAyk ≤ C.
kAyk
Îíî òåì áîëåå âåðíî, åñëè Ay = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî kAk ≤ C.
4.4. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
85
Óïðàæíåíèå 4.4.14 Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå AB ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ A è B ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà A è B ïåðåñòàíîâî÷íû.
4.4.4
Âèäû ñõîäèìîñòè
Ðàññìàòðèâàÿ ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèîíàëîâ, ìû âñòðåòèëèñü ñ äâóìÿ âèäàìè
ñõîäèìîñòè: ñõîäèìîñòü ïî íîðìå è ñõîäèìîñòü íà êàæäîì âåêòîðå (ñì. òåîðåìó 4.3.1 è åå äîêàçàòåëüñòâî). Áûëî äîêàçàíî, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ïî íîðìå
âûòåêàåò ñõîäèìîñòü íà êàæäîì âåêòîðå. Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì
ïîäðîáíåå ðàçëè÷íûå ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ
è îïåðàòîðîâ â áàíàõîâûõ è ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Ïóñòü xn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà E . Ìû
íàçûâàåì òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäÿùåéñÿ ê âåêòîðó x è ïèøåì xn →
x, åñëè kxn −xk → 0. Òàêóþ ñõîäèìîñòü íàçûâàþò åùå ñèëüíîé ñõîäèìîñòüþ.
Ìîæíî âåñòè è äðóãîé âèä ñõîäèìîñòè.
Îïðåäåëåíèå 4.4.15 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ ñëàáî ê x (îáîçíà÷åíèå xn * x), åñëè äëÿ ëþáîãî ôóíêöèîíàëà f ∈ E ∗ èìååì
f (xn ) → f (x).
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî
âåêòîðà y
(y, xn ) → (y, x).
Èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî âûòåêàåò, ÷òî èç ñèëüíîé ñõîäèìîñòè
ñëåäóåò ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü. Îáðàòíîå íåâåðíî.
Óïðàæíåíèå 4.4.16 Ïóñòü en - îðòîíîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
âåêòîðîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. Äîêàçàòü, ÷òî en íå ñõîäèòñÿ ñèëüíî,
íî ñõîäèòñÿ ñëàáî. ×åìó ðàâåí ñëàáûé ïðåäåë?
Áîëåå òî÷íóþ ñâÿçü ìåæäó ñèëüíîé è ñëàáîé ñõîäèìîñòüþ äàåò ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.
Ïðåäëîæåíèå 4.4.17 Ïóñòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå xn * x è
ïóñòü kxn k → kxk. Òîãäà xn ñõîäèòñÿ ê x ñèëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì
kxn − xk2 = kxn k2 + kxk2 − (xn , x) − (x, xn ).
2
2
 ñèëó ñëàáîé ñõîäèìîñòè (x, xn ) → (x, x) = kxk , è òàêæå (xn , x) → kxk .
Ñëåäîâàòåëüíî,
lim kxn − xk2 = lim kxn k2 − kxk2 = 0.
n→∞
n→∞
Åùå áîëüøå âîçìîæíîñòåé âîçíèêàåò ïðè ðàññìîòðåíèè ñõîäèìîñòè îïåðàòîðîâ.
86
ÃËÀÂÀ 4.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Îïðåäåëåíèå 4.4.18 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàòîðîâ An ñõîäèòñÿ ê
îïåðàòîðó A
1. ðàâíîìåðíî (ïî íîðìå), åñëè kAn − Ak → 0,
2. ñèëüíî (íà êàæäîì âåêòîðå), åñëè äëÿ ëþáîãî x An x → Ax ñèëüíî,
3. ñëàáî, åñëè äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x An x * Ax.
Óïðàæíåíèå 4.4.19 Äîêàçàòü, ÷òî èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñëåäóåò ñèëüíàÿ, à èç ñèëüíîé - ñëàáàÿ.
Ãëàâà 5
Êîìïàêòíûå îïåðàòîðû
5.1
Êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà è îïåðàòîðû
Îïðåäåëåíèå 5.1.1 Ìíîæåñòâî M áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà E íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì (èëè êîìïàêòîì), åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn ∈ M ñóùåñòâóåò ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnk → x, ïðåäåë
êîòîðîé ïðèíàäëåæèò M .
Ïðèìåðîì ìîãóò ñëóæèòü çàìêíóòûå îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà â êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Äåéñòâèòåëüíî, ñóùåñòâîâàíèå ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóåò èç òåîðåìû Áîëüöàíî - Âåéåðøòðàññà, à òî, ÷òî
ïðåäåë ïðèíàäëåæèò M âûòåêàåò èç åãî çàìêíóòîñòè.
Èíîãäà óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ íåñêîëüêî èíûì ïîíÿòèåì, îñîáåííî â íåïîëíûõ íîðìèðîâàííûõ èëè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Îïðåäåëåíèå 5.1.2 Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ ïðåäêîìïàêòíûì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ M ñóùåñòâóåò ôóíäàìåíòàëüíàÿ
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Óïðàæíåíèå 5.1.3 Äîêàçàòü, ÷òî â ïîëíîì ïðîñòðàíñòâå çàìêíóòîå
ïðåäêîìïàêòíîå ìíîæåñòâî êîìïàêòíî.
 áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ òåîðåìà Áîëüöàíî - Âåéåðøòðàññà
íåâåðíà, ò.å., çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü è íåêîìïàêòíûì.
Óïðàæíåíèå 5.1.4 Äîêàçàòü, ÷òî åäèíè÷íàÿ ñôåðà kxk = 1 â áåñêîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå íåêîìïàêòíà.
Ïîíÿòèå êîìïàêòíîñòè èãðàåò ðåøàþùóþ ðîëü âî ìíîãèõ âîïðîñàõ. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü òåîðèÿ Ãèëüáåðòà - Øìèäòà, ðàññìàòðèâàåìàÿ äàëåå
â ýòîé ãëàâå. Ïîýòîìó îñîáîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàþò îïåðàòîðû, âîññòàíàâëèâàþùèå ñâîéñòâî êîìïàêòíîñòè çàìêíóòûõ îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ.
87
88
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Îïðåäåëåíèå 5.1.5 Îïåðàòîð K : X → Y â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ
íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì, åñëè äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ X èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Kxn ∈ Y ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
 ëèòåðàòóðå âñòðå÷àåòñÿ òåðìèí âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, íî îí
âñå ÷àùå çàìåíÿåòñÿ òåðìèíîì êîìïàêòíûé.
Íàõîæäåíèå óñëîâèé êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ è îïåðàòîðîâ - ýòî îáøèðíàÿ è âàæíàÿ îáëàñòü ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ìû, îäíàêî, íå áóäåì â
íåå óãëóáëÿòüñÿ, à ðàññìîòðèì ëèøü îäíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðîâ, è â äàëüíåéøåì áóäåì ðàáîòàòü òîëüêî ñ ýòèì êëàññîì.
Ïðèìåð 5.1.6 Êîíå÷íîìåðíûå îïåðàòîðû. Ïóñòü K îòîáðàæàåò âñå ïðîñòðàíñòâî X íà êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L ∈ Y . Âûáðàâ â L áàçèñ
e1 , e2 , . . . , en , ðàçëîæèì âåêòîð Kx ïî áàçèñó
Kx =
n
X
αi ei .
i=1
fe1 , fe2 , . . . , fen ∈ Y ∗ - áèîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà ôóíêöèîíàëîâ, ò.å.,
e
hfk , ei i = δki (ñì. ñëåäñòâèå 4.2.6 èç òåîðåìû Õàíà-Áàíàõà). Ïðèìåíÿÿ fek ê
Ïóñòü
ðàçëîæåíèþ, ïîëó÷èì
αk = hfek , Kxi = hK ∗ fek , xi.
Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå fk = K
∗e
fk ∈ X ∗ , ìû ìîæåì çàïèñàòü îïåðàòîð K â âèäå
K=
n
X
ei hfi , ·i.
(5.1.1)
i=1
Äëÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà áóäåì èìåòü
hK ∗ z, xi = hz, Kxi = hz,
n
X
αk ek i =
k=1
=
n
X
hfk , xihz, ek i = h
k=1
n
X
n
X
αk hz, ek i
k=1
hz, ek ifk , xi.
k=1
Ñëåäîâàòåëüíî,
K∗ =
n
X
h·, ei ifi
(5.1.2)
i=1
òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì îïåðàòîðîì.
Êîíå÷íîìåðíûå îïåðàòîðû, äàæå åñëè îíè äåéñòâóþò â áåñêîíå÷íîìåð-
íûõ ïðîñòðàíñòâàõ âñåãäà êîìïàêòíû. Äåéñòâèòåëüíî, çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî M
⊂ X îòîáðàæàåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì îïåðàòîðîì K â
çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî KM â êîíå÷íîìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå
L, çíà÷èò KM êîìïàêòíî ïî òåîðåìå Áîëüöàíî - Âåéåðøòðàññà.
5.1. ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ È ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
89
Îïðåäåëåíèå 5.1.7 Ìû ãîâîðèì, ÷òî îïåðàòîð K àïïðîêñèìèðóåòñÿ
êîíå÷íîìåðíûìè îïåðàòîðàìè, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íîìåðíûé îïåðàòîð K0 âèäà (5.1.1), òàêîé ÷òî kK − K0 k < ε.
Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíå÷íîìåðíûõ îïåðàòîðîâ Kn , ñõîäÿùàÿñÿ ðàâíîìåðíî ê K .
Òåîðåìà 5.1.8 Åñëè îïåðàòîð àïïðîêñèìèðóåòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè, òî
îí êîìïàêòåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K1 , K2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàòîðîâ, ñõî-
K , è ïóñòü x = {x1 , x2 , . . .} - îãðàíè÷åííàÿ ïîX . Òàê êàê K1 êîìïàêòåí, òî èç ïîñëåäî(1)
âàòåëüíîñòè x ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íàçîâåì åå x
=
(1)
(1)
{x1 , x2 , . . .} òàêóþ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
äÿùàÿñÿ ðàâíîìåðíî ê
ñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ èç
(1)
(1)
(1)
K1 x(1) = {K1 x1 , K1 x2 , K1 x3 , . . .}
(1)
ìîæíî âûäå(2)
(2)
= {x1 , x2 , . . .}, äëÿ êîòîðîé
ñõîäèòñÿ, è çíà÷èò ôóíäàìåíòàëüíà. Òàêèì æå îáðàçîì èç x
ëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íàçîâåì åå x
(2)
(2)
(2)
(2)
K2 x(2) = {K2 x1 , K2 x2 , K2 x3 , . . .}
ôóíäàìåíòàëüíà, è òàê äàëåå. Íà n-ì øàãå ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(n)
(n)
x(n) = {x1 , x2 , . . .}, äëÿ êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(n)
(n)
(n)
Kn x(n) = {Kn x1 , Kn x2 , Kn x3 , . . .}
ôóíäàìåíòàëüíà. Ñîñòàâèì òåïåðü äèàãîíàëüíóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(1)
(2)
(3)
x1 , x2 , x3 , . . .
è ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(1)
(2)
(3)
Kx1 , Kx2 , Kx3 , . . .
(5.1.3)
ôóíäàìåíòàëüíà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } îãðàíè÷åíà, ïîýòîìó kxn k ≤ C
C . Äëÿ äàííîãî ε > 0 âûáåðåì N òàê, ÷òîáû
kKN − KkC < ε/3. Òîãäà ïðè m, n > N èìååì
äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû
(m)
(n)
(m)
kKx(n)
n − Kxm k ≤ kKN xn − KN xm k
(m)
+k(K − KN )x(n)
n k + k(K − KN )xm k.
ε/3, à ïåðâîå ñëàãàåìîå òàêæå áóäåò
(n)
(m)
ìåíüøå ε/3 ïðè m è n äîñòàòî÷íî áîëüøèõ. Äåéñòâèòåëüíî, xn
è xm
(N )
ïðèíàäëåæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè x
, òàê êàê n, m > N , à ïî ïîñòðîå(N )
íèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü KN x
ôóíäàìåíòàëüíà, çíà÷èò ðàçíîñòü ìåæäó
åå ÷ëåíàìè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè m, n → ∞. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïîñëåÂòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìîå ìåíüøå
äîâàòåëüíîñòü (5.1.3) ôóíäàìåíòàëüíà, è ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ â ñèëó
ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà Y .
90
ÃËÀÂÀ 5.
5.2
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Òåîðèÿ Ôðåäãîëüìà
 òåîðèè Ôðåäãîëüìà èññëåäóåòñÿ ðàçðåøèìîñòü ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà
x = Kx + b
(5.2.1)
ãäå x - èñêîìûé âåêòîð â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå E , b ∈ E - äàííûé âåêòîð,
à K : E → E - ëèíåéíûé îïåðàòîð. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî K àïïðîê-
óðàâíåíèÿìè
Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, ïðè b = 0 óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì,
ïðè b 6= 0 - íåîäíîðîäíûì.
Íàðÿäó ñ (5.2.1) ðàññìàòðèâàþò ñîþçíîå óðàâíåíèå â ñîïðÿæåííîì ïðî∗
ñòðàíñòâå E
z = K ∗ z + d.
(5.2.2)
ñèìèðóåòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè. Òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ
∗
Çäåñü y - èñêîìûé, à d - äàííûé ýëåìåíò E , K
∗
- ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð.
2
Âàæíåéøèé ïðèìåð: èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå L [a, b] (a
è b - êîíå÷íû): K - èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ íåïðåðûâíûì ÿäðîì k(t, τ ):
Z b
x(t) =
k(t, τ )x(τ )dτ + b(t).
a
Çäåñü K èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ íåïðåðûâíûì ÿäðîì k(t, τ ), x(t) - èñêîìàÿ, à b(t) äàííàÿ ôóíêöèÿ èç L2 [a, b]. Ñîþçíîå óðàâíåíèå â ýòîì ñëó÷àå ýòî òàêæå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå â L2
Z b
k(τ, t)z(τ )dτ + d(t),
z(t) =
a
ãäå ÿäðî k(τ, t) ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûì ê k(t, τ ).
Ëåììà 5.2.1 Èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ íåïðåðûâíûì ÿäðîì àïïðîêñèìèðóåòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè îïåðàòîðàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà äëÿ äàííîãî ε ñóùåñòâóåò
ìíîãî÷ëåí
pε (t, τ ) =
X
aij ti τ j
i,j
(ñóììà êîíå÷íà), òàêîé ÷òî
|k(t, τ ) − pε (t, τ )| < ε
ïðè t, τ ∈ [a, b].
ßñíî, ÷òî èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì pε (t, τ ) êîíå÷íîìåðåí, òàê êàê
Z b
pε (t, τ )x(τ )dτ =
a
X
i,j
aij ti
Z b
a
τ j x(τ )dτ =
X
j
ej (t)fj (x(τ )),
5.2. ÒÅÎÐÈß ÔÐÅÄÃÎËÜÌÀ
ãäå ej (t) =
91
i
i aij t , à
P
Z b
j
fj (x(τ )) = (τ̄ , x(τ )) =
τ j x(τ )dτ.
a
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî íîðìó îïåðàòîðà Sε = K − Pε ñ ÿäðîì sε (t, τ ) =
k(t, τ )−pε (t, τ ) ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëîé. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ
îöåíêîé íîðìû îïåðàòîðà â L2 , ñì. óïðàæíåíèå 4.4.10
kSε k ≤ ε(b − a),
ïîñêîëüêó
Z b
Z b
|sε (t, τ )|dτ ≤ ε(b − a),
a
|s(t, τ )|dt ≤ ε(b − a)
a
÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó.
ßäðà âèäà
k(t, τ ) =
N
X
en (t)fn (τ )
(5.2.3)
n=1
íàçûâàþòñÿ âûðîæäåííûìè.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà (5.2.1), â ÷àñòíîñòè, èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
x = P x + Sx + b,
(5.2.4)
ãäå P - êîíå÷íîìåðíûé (âûðîæäåííûé) îïåðàòîð, à S - ìàëûé îïåðàòîð, ò.å.,
îïåðàòîð ñ íîðìîé, ìåíüøåé 1. Ñîîòâåòñòâåííî, ñîþçíîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
z = P ∗ z + S ∗ z + d.
5.2.1
(5.2.5)
Êîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (5.2.1) è (5.2.2) â áîëåå êðàòêîì âèäå:
Ax = b,
(5.2.6)
ãäå A = 1−K , à 1 - ýòî åäèíè÷íûé îïåðàòîð (îïåðàòîð óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ
íà ÷èñëî 1). Ñîþçíîå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ òîãäà êàê
A∗ z = d,
ãäå A
∗
(5.2.7)
= 1 − K ∗.
Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü òåîðåìû Ôðåäãîëüìà î ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèé
(5.2.6) è (5.2.7) è äîêàæåì èõ â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå.
92
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
1. Óðàâíåíèå (5.2.6)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷èñòè b òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ax = 0 èìååò òîëüêî
òðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Ïðè ýòîì ñîþçíîå óðàâíåíèå (5.2.7) òàêæå
îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè.
Òåîðåìà 5.2.2 (Àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà)
2. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ax = 0 è ñîþçíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå A∗ z = 0
èìåþò îäèíàêîâîå ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé.
3. Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ax = b èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñâîáîäíûé ÷ëåí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì îðòîãîíàëüíîñòè: äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ z ñîþçíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ A∗ z = 0
hz, bi = 0.
(5.2.8)
Òðè ïóíêòà ýòîé òåîðåìû íîñÿò íàçâàíèå ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé òåîðåì Ôðåäãîëüìà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêòû 1 è 2 - ýòî ïðîñòûå ñëåäñòâèÿ èç òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Òàê, ïóíêò 1 îçíà÷àåò, ÷òî det A 6= 0, à òîãäà è
det A∗ = det A 6= 0. Ïóíêò 2 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà
ðåøåíèé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Ax = 0 ðàâíà ÷èñëó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ
∗
ñòîëáöîâ ìàòðèöû A, ò.å., åå ðàíãó. Íî ðàíãè ìàòðèö A è A ñîâïàäàþò, òàê
êàê ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê ðàâíî ÷èñëó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ
ñòîëáöîâ.
Äîêàæåì ïóíêò 3. Ïóñòü Im A - ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ âèäà Ax, ãäå
x ∈ E , ò.å., ïîäïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîå îïåðàòîð A îòîáðàæàåò âñå ïðî∗
∗
ñòðàíñòâî E . Ïóñòü äàëåå Ker A - ïîäïðîñòðàíñòâî â E , ñîñòîÿùåå èç ðå∗
∗ ⊥
øåíèé îäíîðîäíîãî ñîþçíîãî óðàâíåíèÿ A z = 0. Íàêîíåö, ïóñòü (Ker A )
îáîçíà÷àåò ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ b ∈ E , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
∗
îðòîãîíàëüíîñòè hz, bi = 0 äëÿ ëþáûõ z ∈ Ker A . Òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî
(Ker A∗ )⊥ = Im A.
⊂ (Ker A∗ )⊥ . Äåéñòâèòåëüíî, b ∈ Im A îçíà÷àåò, ÷òî
∗
ñóùåñòâóåò x ∈ E òàêîé, ÷òî b = Ax. Òîãäà äëÿ ëþáîãî z ∈ Ker A èìååì
Ïîêàæåì, ÷òî Im A
hz, bi = hz, Axi = hA∗ z, xi = h0, xi = 0.
∗ ⊥
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ðàçìåðíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâ Im A è (Ker A )
ðàâ-
íû. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü íå òîëüêî âêëþ÷åíèå, íî è ðàâåíñòâî ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ.
Ðàçìåðíîñòü Im A ðàâíà ðàíãó r ìàòðèöû A. Ðàçìåðíîñòü Ker A, ò.å.,
∗
ïîäïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû A z
êàê ðàíã A
∗
= 0 ðàâíà n − r, òàê
ðàâåí ðàíãó A. Âûáðàâ áàçèñ z1 , z2 , . . . , zn−r â Ker A
∗
ïîëó÷èì
ñèñòåìó
hzi , bi = 0, i = 1, 2, . . . , n − r
äëÿ âåêòîðîâ b
∈ (KerA∗ )⊥ . Ðàçìåðíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ýòîé
ñèñòåìû ðàâíà n − (n − r) = r , ÷òî è äîêàçûâàåò ñîâïàäåíèå ðàçìåðíîñòåé,
∗ ⊥
è ñëåäîâàòåëüíî ðàâåíñòâî ïîäïðîñòðàíñòâ Im A è (Ker A )
.
5.2. ÒÅÎÐÈß ÔÐÅÄÃÎËÜÌÀ
93
Äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ ïîíÿòèå ðàíãà èëè äåòåðìèíàíòà
îïåðàòîðà ëèøåíî ñìûñëà. Ëþáîïûòíî, îäíàêî, ÷òî ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû îñòàåòñÿ îñìûñëåííîé è â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íî â îáùåì
ñëó÷àå òåîðåìà íåâåðíà. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî äëÿ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà, ò.å.,
äëÿ óðàâíåíèé âèäà (5.2.4) îíà âñå-òàêè âåðíà. Ìû äîêàæåì ýòî ñâåäåíèåì
ê êîíå÷íîìåðíîìó ñëó÷àþ.
5.2.2
Òåîðåìû Ôðåäãîëüìà
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà â óðàâíåíèè (5.2.4) êîíå÷íîìåðíûé îïåðàòîð îòñóòñòâóåò.
Ëåììà 5.2.3 Óðàâíåíèå
x = Sx + b,
ãäå kSk < 1 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè b. Ýòî
ðåøåíèå çàäàåòñÿ ðÿäîì Íåéìàíà
x = (1 − S)−1 b =
∞
X
S k b.
(5.2.9)
k=0
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñëåäóåò
ñðàçó æå èç ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé, òàê êàê
kSx1 + b − Sx2 − bk ≤ kSkkx1 − x2 k,
ò.å., îòîáðàæåíèå x 7→ Sx + b ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì.
Äîêàæåì ôîðìóëó (5.2.9). Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå
(1 − S)x = b,
ãäå 1 åäèíè÷íûé îïåðàòîð, ò.å., îïåðàòîð óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ íà ÷èñëî 1.
Îïåðàòîð, îáðàòíûé ê (1 − S), çàäàåòñÿ ñóììîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
(1 − S)−1 =
∞
X
Sk,
k=0
ïðè ýòîì ðÿä ñõîäèòñÿ ïî íîðìå, òàê êàê kS
òåëüíî,
(1 − S)
∞
X
Sk =
k=0
Ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð (1 − S)
∞
X
k=0
−1
Sk −
k
k ≤ kSkk è kSk < 1. Äåéñòâè-
∞
X
S k = 1.
k=1
ê îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ, ïðèõîäèì ê
ôîðìóëå (5.2.9).
94
ÃËÀÂÀ 5.
−1
Îïåðàòîð (1 − S)
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
íàçûâàåòñÿ ðåçîëüâåíòíûì îïåðàòîðîì èëè ðåçîëü-
âåíòîé è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì R.
Ïåðåõîäÿ ê îáùåìó óðàâíåíèþ Ôðåäãîëüìà (5.2.1) èëè (5.2.4), çàïèøåì
åãî â âèäå
(1 − S)x = P x + b,
ãäå P - êîíå÷íîìåðíûé îïåðàòîð, à S èìååò íîðìó, ìåíüøóþ åäèíèöû (ìàëûé îïåðàòîð). Ïîëîæèì (1 − S)x = y . Òîãäà ïî ëåììå 5.2.9 x îäíîçíà÷íî
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç y :
x = (1 − S)−1 y = Ry,
òàê ÷òî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
y = P Ry + b.
(5.2.10)
Òàê êàê P - êîíå÷íîìåðíûé îïåðàòîð, òî P R - òàêæå êîíå÷íîìåðíûé, ñëåäîâàòåëüíî, îí äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå (5.1.1), òàê ÷òî óðàâíåíèå (5.2.10)
çàïèøåòñÿ â âèäå
y=
n
X
ek hfk , yi + b.
(5.2.11)
k=1
Ââîäÿ íåèçâåñòíûå αk = hfk , yi è ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âìåñòî y åãî âûðàæåíèå
èç (5.2.11), ñâåäåì ýòî óðàâíåíèå ê ñèñòåìå
αk = hfk ,
n
X
αl el + bi =
l=1
n
X
hfk , el iαl + bk ,
(5.2.12)
l=1
ãäå bk = hfk , bi.
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîå óðàâíåíèå (5.2.4) è êîíå÷íîìåðíàÿ ñèñòåìà
(5.2.12) ýêâèâàëåíòíû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x - ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.2.4),
òî ÷èñëà αk = hfk , (1 − S)xi óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå (5.2.12). Îáðàòíî, åñëè
Pn
αk - ðåøåíèå ñèñòåìû, òî èç (5.2.11) íàõîäèì y = k=1 αk ek + b è çàòåì
x = (1 − S)−1 y , êîòîðîå áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (5.2.4).
Àíàëîãè÷íî, ñîþçíîå óðàâíåíèå (5.2.2) èëè (5.2.5) òîæå ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå, êîòîðàÿ áóäåò ñîþçíîé ê ñèñòåìå (5.2.12). Ìû ïðîäåëàåì ýòî òîëüêî
äëÿ îäíîðîäíîãî ñîþçíîãî óðàâíåíèÿ, òàê êàê íåîäíîðîäíîå íàì íå ïîíàäîáèòñÿ. Èòàê, ïåðåïèøåì (5.2.5) â âèäå
(1 − S ∗ )z = P ∗ z
è ïðèìåíèì ê îáåèì ÷àñòÿì îïåðàòîð (1 − S
∗ −1
)
= R∗ . Òîãäà äëÿ z èìååì
óðàâíåíèå
z = R∗ P ∗ z
ñ îïåðàòîðîì R
∗
∗
(5.2.13)
∗
P = (P R) . Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (5.2.13) ÿâëÿåòñÿ
ñîþçíûì îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì ê óðàâíåíèþ (5.2.10). Ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå (5.1.2) äëÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
z=
n
X
hz, ek ifk .
k=1
5.2. ÒÅÎÐÈß ÔÐÅÄÃÎËÜÌÀ
95
Ââîäÿ íåèçâåñòíûå βk = hz, ek i, ïîëó÷èì
z=
X
β k fk ,
(5.2.14)
è ñëåäîâàòåëüíî,
n
n
X
X
βk = h
β l fl , ek i =
hfl , ek iβl .
l=1
(5.2.15)
l=1
ßñíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà (5.2.15) ýêâèâàëåíòíà óðàâíåíèþ (5.2.13) (ïåðåõîä çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (5.2.14)). Ìàòðèöà ýòîé ñèñòåìû ýðìèòîâî ñîïðÿæåíà ìàòðèöå ñèñòåìû (5.2.12), òàê ÷òî îáå ñèñòåìû ñîþçíû ïî îòíîøåíèþ
äðóã ê äðóãó.
Ñðàâíèì, íàêîíåö, óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ èñõîäíûõ óðàâíåíèé
è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì. Ïóñòü z - ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
(5.2.5), ò.å., óðàâíåíèÿ (5.2.13), à b - ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ (5.2.4). Òîãäà
â ñèëó (5.2.14)
hz, bi =
n
X
k=1
β k hfk , bi =
n
X
β k bk .
k=1
Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî íóëþ ëåâîé ÷àñòè âëå÷åò çà ñîáîé ðàâåíñòâî íóëþ ïðàâîé ÷àñòè è íàîáîðîò, ò.å., óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ èñõîäíûõ
óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíû óñëîâèÿì îðòîãîíàëüíîñòè (5.2.8) äëÿ ñèñòåì.
Òåì ñàìûì âñå òðè òåîðåìû Ôðåäãîëüìà, äîêàçàííûå äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì, è â ÷àñòíîñòè, äëÿ ñèñòåì (5.2.12) è (5.2.15), áóäóò ñïðàâåäëèâû è äëÿ èñõîäíûõ óðàâíåíèé (5.2.1) è (5.2.2). Ìû åùå ðàç
ïðèâåäåì ôîðìóëèðîâêó òåîðåì Ôðåäãîëüìà (â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå)
èñïîëüçóÿ íåñêîëüêî èíûå òåðìèíû. Òî, ÷òî
x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíî-
ðîäíîãî óðàâíåíèÿ x = Kx ìîæíî âûðàçèòü èíà÷å, ñêàçàâ, ÷òî 1 ÿâëÿåòñÿ
ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà K , à x ñîáñòâåííûì âåêòîðîì (ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé).
Òåîðåìà 5.2.4 Ïóñòü K - îïåðàòîð, êîòîðûé àïïðîêñèìèðóåòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (5.2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèe ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 1 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà K .
2. Ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 1 ó îïåðàòîðîâ K è K ∗ èìåþò îäèíàêîâóþ êîíå÷íóþ ðàçìåðíîñòü.
3. Äëÿ ðàçðåøèìîñòè íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (5.2.1) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñâîáîäíûé ÷ëåí b áûë îðòîãîíàëåí ëþáîìó ñîáñòâåííîìó âåêòîðó îïåðàòîðà K ∗ ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 1.
96
ÃËÀÂÀ 5.
5.2.3
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Ñïåêòð
Ïóñòü K - êîìïàêòíûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H . Ðàññìîòðèì îäíîðîäíîå óðàâíåíèå
Kx = λx,
(5.2.16)
ãäå λ - êîìïëåêñíûé ïàðàìåòð, íàçûâàåìûé ñïåêòðàëüíûì
ïàðàìåòðîì.
Êàê è â ëèíåéíîé àëãåáðå, çíà÷åíèÿ λ, äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå (5.2.16) èìå-
åò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, à ñàìè
íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ - ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè (ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè).
Òåîðåìà 5.2.5 (4-ÿ òåîðåìà Ôðåäãîëüìà) Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
îïåðàòîðà K ñîäåðæàòñÿ â êðóãå |λ| ≤ kKk è ìîãóò èìåòü åäèíñòâåííóþ
ïðåäåëüíóþ òî÷êó 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü |λ| > kKk. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå
K
x = 0.
1−
λ
Íîðìà îïåðàòîðà K/λ ìåíüøå 1, òîãäà ïî ëåììå 5.2.3 ðåøåíèå x = 0 áóäåò åäèíñòâåííûì. Ýòèì äîêàçàíî, ÷òî âíå êðóãà ðàäèóñà kKk ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé íåò.
Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü òåîðåìû. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λn , ñõîäÿùàÿñÿ ê ÷èñëó λ 6= 0.
Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ñ÷èòàåì, ÷òî âñå λn 6= 0 è λn 6= λm ïðè n 6= m, â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîæíî ïåðåéòè ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü xn - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ (ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî λn ). Êàê
è â ëèíåéíîé àëãåáðå, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ x1 , x2 , . . . , xn ëèíåéíî íåçàâèñèìà ïðè ëþáîì n, ïîñêîëüêó ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàçëè÷íû.
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî x1 , x2 , . . . , xn−1
ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à xn âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íèõ ëèíåéíî:
xn = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn−1 xn−1 .
Ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð K , ïîëó÷èì
Kxn = λn xn =
n−1
X
λn ck xk .
k=1
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
Kxn =
n−1
X
k=1
ck Kxk =
n−1
X
λk ck xk .
k=1
Âû÷èòàÿ, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
n−1
X
k=1
(λn − λk )ck xk = 0,
5.2. ÒÅÎÐÈß ÔÐÅÄÃÎËÜÌÀ
97
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè x1 , x2 , . . . , xn−1 .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
e1 , e2 , . . ., êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ
îðòîãîíàëèçàöèåé ñèñòåìû x1 , x2 . . .. Èìååì
en =
n
X
ank xk .
k=1
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü en îãðàíè÷åíà, òàê êàê ken k = 1. Òîãäà â ñèëó êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðà K èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ken ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ñ÷èòàåì, ÷òî ñàìà Ken
ñõîäèòñÿ. Íî
Ken =
n
X
ank λk xk = λn en +
k=1
n−1
X
ank (λk − λn )xk .
k=1
Äëÿ m < n èìååì òîãäà
Ken − Kem = λn en +
n−1
X
ank (λk − λn )xk
k=1
−
m
X
amk λk xk = λn en + gn ,
k=1
ãäå gn îðòîãîíàëåí en , ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ ek ñ k < n.
Çíà÷èò,
kKen − Kem k2 = |λn |2 + kgn k2 ≥ |λn |2 → |λ|2 > 0,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ken .
Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è òî÷êè λ = 0 íàçû-
âàåòñÿ ñïåêòðîì êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà K , à äîïîëíåíèå ê ñïåêòðó íàçû-
âàåòñÿ ðåçîëüâåíòíûì ìíîæåñòâîì. Èç òåîðåì Ôðåäãîëüìà ñëåäóåò, ÷òî â
òî÷êàõ ðåçîëüâåíòíîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðàòîð (λ−K)
íàçûâàåìûé ðåçîëüâåíòîé îïåðàòîðà K .
−1
,
Îòìåòèì, ÷òî âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà ñïåêòð ñîñòîèò òîëüêî èç îäíîé òî÷êè λ = 0, ò.å., íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé âîîáùå íåò. Òàêèå
êîìïàêòíûå îïåðàòîðû íàçûâàþòñÿ âîëüòåððîâûìè. Ýòî íàçâàíèå ïðîèñ-
õîäèò îò èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððà, êîòîðûå ìû âêðàòöå çäåñü
ðàññìîòðèì. Ýòî ÷àñòíûé âèä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà íà îòðåçêå [a, b], ó êîòîðûõ ÿäðî k(t, τ ) íåïðåðûâíî è îòëè÷íî îò 0 òîëüêî ïðè
a ≤ τ ≤ t ≤ b (íèæå äèàãîíàëè). Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Âîëüòåððà
èìååò âèä
Z t
x(t) =
k(t, τ )x(τ )dτ + f (t)
(5.2.17)
a
Òåîðåìà 5.2.6 Óðàâíåíèå (5.2.17) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè
ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè f (t) ∈ L2 [a, b].
98
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è â ëåììå 5.2.3, áóäåì ñòðîèòü ðåøåíèå â âèäå
ðÿäà Íåéìàíà
∞
X
x=
K n f.
n=0
Äîêàæåì, ÷òî K
n
- ýòî òàêæå èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû Âîëüòåððà, ò.å., èõ
ÿäðà kn (t, τ ) îáðàùàþòñÿ â íóëü âûøå äèàãîíàëè, è ïîëó÷èì îöåíêó äëÿ
ýòèõ ÿäåð
(t − τ )n−1
(n − 1)!
|kn (t, τ )| ≤ M n
(5.2.18)
ãäå
M=
max |k(t, τ )|.
a≤τ ≤t≤b
ßñíî, ÷òî k1 (t, τ ) ñîâïàäàåò ñ k(t, τ ). Äàëåå
2
Z t
K f=
Z ξ
k(t, ξ)dξ
Z t Z t
k1 (ξ, τ )f (τ )dτ =
a
a
k(t, ξ)k1 (ξ, τ )dξ f (τ )dτ,
a
τ
îòêóäà
Z t
k2 (t, τ ) =
k(t, ξ)k1 (ξ, τ )dξ
τ
ïðè τ ≤ t è íóëþ ïðè τ ≥ t. Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò òàêæå îöåíêà (5.2.18)
äëÿ k2
Z t
|k2 (t, τ )| ≤
M 2 dξ = M 2 (t − τ ).
τ
Ïî èíäóêöèè
K n f = K K n−1 f =
Z t
Z ξ
k(t, ξ)dξ
a
kn−1 (ξ, τ )f (τ )dτ,
a
îòêóäà äëÿ ÿäðà kn ïîëó÷àåì
Z t
kn (t, τ ) =
k(t, ξ)kn−1 (ξ, τ )dξ.
τ
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî kn (t, τ ) = 0 ïðè t ≤ τ , à ïðè τ ≤ t èìååì îöåíêó
Z t
|kn (t, τ )| ≤
τ
M M n−1
(t − τ )n−1
(ξ − τ )n−2
dξ = M n
,
(n − 2)!
(n − 1)!
ò.å., îöåíêó (5.2.18) äëÿ n-ãî ÿäðà. Èç ýòîé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî ðÿä
r(t, τ ) =
∞
X
kn (t, τ )
n=1
ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî, òàê êàê îí ìàæîðèðóåòñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì
|kn (t, τ )| ≤ M n
(b − a)n−1
.
(n − 1)!
5.3. ÒÅÎÐÈß ÃÈËÜÁÅÐÒÀ - ØÌÈÄÒÀ
99
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (5.2.17) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
Z t
r(t, τ )f (τ )dτ.
x(t) = f (t) +
a
Ñëåäñòâèå 5.2.7 Ñïåêòð èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà ñ ÿäðîì Âîëüòåððà
ñîñòîèò òîëüêî èç íóëÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè λ 6= 0 óðàâíåíèå Kx = λx ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
x=
1
Kx.
λ
Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì Âîëüòåððà,
è ïî äîêàçàííîé òåîðåìå èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå.
5.3
Òåîðèÿ Ãèëüáåðòà - Øìèäòà
 ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûå êîìïàêòíûå îïåðàòîðû
â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H .  êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå îñíîâíàÿ òåîðåìà
î ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðàõ óòâåðæäàåò ñóùåñòâîâàíèå îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Òåîðèÿ Ãèëüáåðòà - Øìèäòà äàåò
îáîáùåíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà íà áåñêîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé.
Êàê è â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, íå îáÿçàòåëüíî êîìïàêòíîãî, îáëàäàþò
ïðîñòûìè ñâîéñòâàìè, ïåðå÷èñëåííûìè íèæå.
Òåîðåìà 5.3.1
1. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíû.
2. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû.
3. Åñëè L ⊂ H - èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñàìîñîïðÿæåííîãî
îïåðàòîðà, òî è îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L⊥ òàêæå èíâàðèàíòíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè x - íîðìèðîâàííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ, òî
(x, Kx) = λ(x, x) = λ.
Çíà÷åíèÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû äåéñòâèòåëüíû (ëåììà 4.4.11), ñëåäîâàòåëüíî, λ - äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
2. Ïóñòü x1 , x2 - ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñ ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λ1 6= λ2 . Òîãäà
(x2 , Kx1 ) = λ1 (x2 , x1 ),
100
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
à ñ äðóãîé ñòîðîíû
(x2 , Kx1 ) = (Kx2 , x1 ) = λ2 (x2 , x1 ).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî (x2 , x1 ) = 0, ïîñêîëüêó λ1 6= λ2 .
3. Ïóñòü x ∈ L - ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Òàê êàê L èíâàðèàíòíî, òî Kx
⊥
ïðèíàäëåæèò L. Òîãäà äëÿ ëþáîãî y ∈ L
èìååì
0 = (y, Kx) = (Ky, x).
Ñëåäîâàòåëüíî, Ky îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó x ∈ L, çíà÷èò Ky ∈ L
⊥
.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé â òåîðèè Ãèëüáåðòà - Øìèäòà.
Òåîðåìà 5.3.2 Ïóñòü K 6= 0 - ñàìîñîïðÿæåííûé êîìïàêòíûé îïåðàòîð. Òîãäà çàäà÷à íà ýêñòðåìóì
|(x, Kx)| = max
(5.3.1)
ïðè óñëîâèè kxk = 1 èìååò ðåøåíèå. Âåêòîð x, íà êîòîðîì ýòîò ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ñ íàèáîëüøèì ïî
ìîäóëþ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì.
Îòìåòèì, ÷òî íåñàìîñîïðÿæåííûå íåíóëåâûå êîìïàêòíûå îïåðàòîðû ìîãóò è íå èìåòü íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ñì. ïðåäûäóùèé ðàçäåë).
Äëÿ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ ýòî íåâîçìîæíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 4.4.13
sup |(x, Kx)| = sup kKxk = kKk,
kxk=1
kxk=1
è ýòà âåëè÷èíà ñòðîãî áîëüøå íóëÿ, åñëè K 6= 0. Ïóñòü xn - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ, òàêàÿ ÷òî
|(xn , Kxn )| → kKk.
Ïåðåõîäÿ, åñëè íóæíî, ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû
ñõîäèëàñü ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn , Kxn ). Åå ïðåäåë, ðàâíûé ëèáî kKk,
ëèáî −kKk, îáîçíà÷èì λ1 . Ðàññìîòðèì äàëåå
kKxn − λ1 xn k2 = kKxn k2 − 2λ1 (xn , Kxn ) + λ21 .
Çäåñü kKxn k
2
≤ kKk2 = λ21 , ïîýòîìó
kKxn − λ1 xn k2 ≤ 2λ21 − 2λ1 (xn , Kxn ) → 0,
òàê ÷òî
Kxn − λ1 xn → 0.
(5.3.2)
5.3. ÒÅÎÐÈß ÃÈËÜÁÅÐÒÀ - ØÌÈÄÒÀ
101
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn îãðàíè÷åíà, à K - êîìïàêòíûé îïåðàòîð, ñëåäîâàòåëüíî, èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Kxn ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü Kxnk . Èç (5.3.2) ñëåäóåò, ÷òî
xnk = Kxnk /λ1 − (Kxnk − λ1 xnk )/λ1
(ïîä÷åðêíåì, ÷òî λ1 > 0) òàêæå ñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷èâ åå ïðåäåë ÷åðåç e1 è
ïåðåõîäÿ â (5.3.2) ê ïðåäåëó ïî ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîëó÷èì
Ke1 = λ1 e1 ,
è ke1 k = lim kxnk k = 1. Òàêèì îáðàçîì, e1 - åäèíè÷íûé ñîáñòâåííûé âåêòîð,
à ïîñêîëüêó
|(e1 , Ke1 )| = |λ1 | = kKk,
òî îí äàåò ðåøåíèå ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è (5.3.1).
Áóäåì èñêàòü òåïåðü äðóãèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷å-
⊥
íèÿ. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå H1 = e1 ê ñîáñòâåííîìó âåêòîðó e1 , íàéäåííîìó ðàíåå, áóäåò èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì
îïåðàòîðà K , ïîñêîëüêó îäíîìåðíîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî èíâàðèàíòíî, à òîãäà ïî òåîðåìå 5.3.1, ïóíêò 3, îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå òàêæå
èíâàðèàíòíî. Îïåðàòîð K íà H1 áóäåò ïî-ïðåæíåìó ñàìîñîïðÿæåííûì è
êîìïàêòíûì, è ìû ìîæåì ïîâòîðèòü êîíñòðóêöèþ òåîðåìû 5.3.2.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ2 è ñîáñòâåííûé âåêòîð e2 , êîòîðûå
äàþò ðåøåíèå çàäà÷è íà ìàêñèìóì
|λ2 | =
|(x, Kx)| =
max
x∈H1 ,kxk=1
max
|(x, Kx)|,
(e1 ,x)=0,kxk=1
ïðè ýòîì |λ1 | ≥ |λ2 | è e2 ⊥ e1 . Ïðîäîëæàÿ äàëåå, ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàí-
⊥
ñòâî H2 = {e1 , e2 }
- îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê èíâàðèàíòíîìó ïîäïðî-
ñòðàíñòâó, íàòÿíóòîìó íà e1 è e2 . H2 ñàìî èíâàðèàíòíî, è ìû ìîæåì îïÿòü
ïðèìåíèòü òåîðåìó â ïðîñòðàíñòâå
H2 ò.ä.. Ìû ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
|λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn |
(5.3.3)
è îðòîíîðìèðîâàííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ e1 , e2 , . . . , en .
Ïðè ýòîì λn è en äàþò ðåøåíèå çàäà÷è íà ìàêñèìóì
|λn | =
max
x⊥{e1 ,e2 ,...,en−1 },kxk=1
|(x, Kx)|.
(5.3.4)
Äàëåå ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ äâå âîçìîæíîñòè. Ëèáî íà íåêîòîðîì øàãà
îïåðàòîð K íà ïîäïðîñòðàíñòâå Hn îêàæåòñÿ íóëåâûì, è ïðîöåññ çàêîí÷èòñÿ, ëèáî ýòîò ïðîöåññ áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ íåîãðàíè÷åííî, è ìû ïîëó÷èì
ñ÷åòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
kλ1 k ≥ kλ2 k ≥ . . . ≥ kλn k ≥ . . .
(5.3.5)
102
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
è ñ÷åòíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ
e1 , e2 , . . . , en , . . .
(5.3.6)
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïðåäåë ν = limn→∞ |λn | ðàâåí íóëþ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ν 6= 0, âîñïîëüçóåìñÿ êîìïàêòíîñòüþ K è
âûäåëèì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ke1 = λ1 e1 , . . . , Ken = λn en , . . .
ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó Ken è Kem îñòàåòñÿ áîëüøå
√
2ν , òàê êàê
kλn en − λm em k2 = |λn |2 + |λm |2 ≥ 2ν 2 .
Ñàìà òî÷êà λ = 0 ìîæåò êàê áûòü ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, òàê è íå áûòü
èì, íî îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, åñëè
èõ áåñêîíå÷íî ìíîãî.
Çàéìåìñÿ òåïåðü ðÿäàìè Ôóðüå (ñì. ðàçäåë 3.2.2) ïî îðòîíîðìèðîâàí-
íîé ñèñòåìå (5.3.6). Íàçîâåì âåêòîð x èñòîêîîáðàçíî ïðåäñòàâèìûì, åñëè
îí èìååò âèä x = Ky , ãäå y ∈ H íåêîòîðûé âåêòîð, äðóãèìè ñëîâàìè, ïðèíàäëåæèò îáðàçó îïåðàòîðà K .
Òåîðåìà 5.3.3 Ëþáîé èñòîêîîáðàçíî ïðåäñòàâèìûé âåêòîð x ìîæíî
ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì îïåðàòîðà K .
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ (5.3.6) áûëà ïîëíà
â ïðîñòðàíñòâå H (ò.å., ÷òîáû ëþáîé âåêòîð x ∈ H ðàçëàãàëñÿ â ðÿä
Ôóðüå), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû λ = 0 íå áûëî ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà K .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ∈ H ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, è ïóñòü zn+1 ∈
Hn+1 - ðàçíîñòü ìåæäó x è n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà Ôóðüå, ò.å.,
zn+1 = x −
n
X
ek (ek , x).
k=1
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî kzn+1 k
2
≤ kxk2 . Ïðèìåíÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì îïåðàòîð
K , è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
Kei (ei , x) = λi ei (ei , x) = ei (Kei , x) = ei (ei , Kx),
ïîëó÷àåì, ÷òî âåêòîð Kzn+1 ðàâåí ðàçíîñòè ìåæäó âåêòîðîì Kx è ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà Ôóðüå äëÿ ýòîãî âåêòîðà:
Kzn+1 = Kx −
n
X
ek (ek , Kx).
k=1
Îïåðàòîð K íà ïîäïðîñòðàíñòâå Hn+1 èìååò íîðìó |λn+1 |, ñëåäîâàòåëüíî,
kKzn+1 k ≤ |λn+1 |kzn+1 k ≤ |λn+1 |kxk,
5.3. ÒÅÎÐÈß ÃÈËÜÁÅÐÒÀ - ØÌÈÄÒÀ
103
òàê ÷òî Kzn+1 → 0, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
Kx =
∞
X
ek (ek , Kx),
k=1
÷òî è äîêàçûâàåò ïåðâóþ ÷àñòü òåîðåìû.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ∈ H ïóñòü
z =x−
∞
X
ek (ek , x) = lim zn+1
n→∞
k=1
ðàçíîñòü ìåæäó âåêòîðîì x è åãî ðÿäîì Ôóðüå. Òîãäà
Kz = lim Kzn+1 = 0.
n→∞
Ñëåäîâàòåëüíî, z ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì
0. Îòñþäà ñëåäóåò âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû.
5.3.1
Èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû
Åñëè K - èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b] ñ ýðìèòîâûì íåïðåðûâíûì ÿäðîì
k(x, y) = k(y, x),
òî òåîðåìû ïðåäûäóùåãî ïóíêòà äîïóñêàþò ñóùåñòâåííûå óòî÷íåíèÿ.
1. Íåïðåðûâíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ek (x)
ïðèíàäëåæàò àïðèîðè ïðîñòðàíñòâó L2 , è ñëåäîâàòåëüíî, L1 , òàê êàê
Z b
!2
|f |dx
Z b
≤
a
|f |2 dx
Z b
a
1dx = kf k22 (b − a).
a
Ïðè λk 6= 0 ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
ek (x) =
1
λk
Z b
k(x, y)ek (y)dy.
a
 èíòåãðàëå ñïðàâà èìååì èíòåãðèðóåìóþ ìàæîðàíòó
max |k(x, y)||ek (y)|,
ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ëåáåãà î ìàæîðèðîâàííîé ñõîäèìîñòè âîçìîæåí
ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè x → x0 .
2. Óòî÷íåíèå òåîðåìû î ðàçëîæåíèè. Äëÿ ôóíêöèé u(x) ∈ L2 èñòîêî-
îáðàçíàÿ ïðåäñòàâèìîñòü îçíà÷àåò, ÷òî
Z b
u(x) = (Ku)(x) =
k(x, y)v(y)dy
a
104
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè v ∈ L2 . Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèé
u è v ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì
(ek , u) = λk (ek , v),
è ðÿä Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè u èìååò âèä
u(x) =
∞
X
ek (x)(ek , u) =
k=1
∞
X
λk ek (x)(ek , v),
(5.3.7)
k=1
ïðè ýòîì ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ â L2 , ò.å., â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ïî òåîðåìå
5.3.3.
Òåîðåìà 5.3.4 (Ãèëüáåðò - Øìèäò) Åñëè ôóíêöèÿ u(x) èñòîêîîáðàçíî ïðåäñòàâèìà, òî åå ðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà [a, b] ê ôóíêöèè u(x).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ÿäðî k(x, y) êàê ôóíêöèþ x ∈ [a, b] ïðè
ôèêñèðîâàííîì y è âû÷èñëèì åå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå. Ïîëüçóÿñü ýðìèòîâîñòüþ ÿäðà è îïðåäåëåíèåì ñîáñòâåííîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì
Z b
Z b
ek (x)k(x, y)dx =
(ek (x), k(x, y)) =
ek (x)k(y, x)dx = λk ek (y).
a
a
Ñàì ðÿä Ôóðüå ïðèíèìàåò âèä
k(x, y) ∼
∞
X
λk ek (x)ek (y)
(5.3.8)
k=1
Îòñþäà ïî íåðàâåíñòâó Áåññåëÿ ñëåäóåò, ÷òî
∞
X
2
Z b
|λk ek (y)| ≤
|k(x, y)|2 dx ≤ M 2 (b − a),
(5.3.9)
a
k=1
ãäå M - ýòî ìàêñèìóì ôóíêöèè |k(x, y)| íà êâàäðàòå x, y ∈ [a, b].
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ðÿä (5.3.7) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ïî
x ∈ [a, b]. Ïî íåðàâåíñòâó Êîøè - Áóíÿêîâñêîãî äëÿ ñóìì
!2
n
X
X
X
|λk ek (x)(ek , v)|
≤
|λk ek (x)|2
|(ek , v)|2 .
k=m
Ïåðâûé ìíîæèòåëü ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åí â ñèëó (5.3.9), à âòîðîé ñòðåìèò-
P∞
2
k=1 |(ek , v)| ñõîäèòñÿ ïî íåðàâåíñòâó
Áåññåëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (5.3.7) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ïî
ñÿ ê íóëþ, òàê êàê ÷èñëîâîé ðÿä
êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.
3. Áèëèíåéíûé ðÿä äëÿ ïîâòîðíîãî ÿäðà. Ïîâòîðíîå ÿäðî k2 (x, y) - ÿäðî
2
îïåðàòîðà K , ñëåäîâàòåëüíî,
Z b
k2 (x, y) =
k(x, z)k(z, y)dz.
a
5.4. ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ - ËÈÓÂÈËËß
105
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî k2 êàê ôóíêöèÿ x ïðè ôèêñèðîâàííîì y èñòîêîîáðàçíî
ïðåäñòàâèìà. Òîãäà åå ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî. Ìû
ïîëó÷àåì òàêèì îáðàçîì ðÿä äëÿ ïîâòîðíîãî ÿäðà
k2 (x, y) =
∞
X
λ2k ek (x)ek (y).
(5.3.10)
k=1
Äåéñòâèòåëüíî, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà K
2
2
ðàâíû λk , òàê êàê
K 2 ek = K Kek = λk Kek = λ2 ek .
Òîãäà ðÿä Ôóðüå (5.3.8) äëÿ ÿäðà â ïðèìåíåíèè ê îïåðàòîðó K
2
áóäåò èìåòü
âèä (5.3.10), íî ïðè ýòîì îí áóäåò åùå ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ ê k2 (x, y).
4. Ôîðìóëà Øìèäòà. Ýòî ôîðìóëà äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ
u = Ku + f
ïðè óñëîâèè, ÷òî 1 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà K .
Ôóíêöèÿ Ku èñòîêîîáðàçíî ïðåäñòàâèìà, ñëåäîâàòåëüíî îíà ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì. Îòñþäà
u(x) =
∞
X
λk ck ek (x) + f (x),
k=1
ãäå ck - êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèè u. Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè, ïîëó÷èì
ck = λk ck + fk ,
Îòêóäà ck = fk /(1 − λk ), è
u(x) =
∞
X
λk fk
k=1
5.4
1 − λk
ek (x) + f (x).
Çàäà÷à Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ
Òàê íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ λ, äëÿ êîòîðûõ
ñóùåñòâóþò äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè y(x) 6≡ 0 íà
[a, b], óäîâëåòâîðÿþùèå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
− y 00 (x) + q(x)y(x) = λy(x)
(5.4.1)
cos α y 0 (a) − sin α y(a) = 0,
(5.4.2)
cos β y 0 (b) + sin β y(b) = 0.
(5.4.3)
è êðàåâûì óñëîâèÿì
106
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Ïðè ýòîì λ íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, à y - ñîáñòâåííîé ôóíê-
öèåé. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
0 ≤ α ≤ π/2, 0 ≤ β ≤ π/2,
è ÷òî q(x) ≥ 0 - íåïðåðûâíà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç
íåðàâåíñòâ ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì, ò.å., ëèáî α > 0, ëèáî β > 0, ëèáî q(x) ñòðîãî
ïîëîæèòåëüíà õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå. Ýòè óñëîâèÿ ìû íàçûâàåì óñëîâèÿìè
ïîëîæèòåëüíîñòè. Îíè íå ÿâëÿþòñÿ îáÿçàòåëüíûìè. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî
âìåñòî óðàâíåíèÿ (5.4.1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü áîëåå îáùèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ìû ïðåíåáðåãëè ýòèìè íåïðèíöèïèàëüíûìè îáîáùåíèÿìè ðàäè óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïèñûâàþò ôîðìó ñòîÿ÷èõ
êîëåáàíèé ñòðóíû â óïðóãîé ñðåäå ñ êîýôôèöèåíòîì óïðóãîñòè q(x). Åñëè
α = 0, òî èç (5.4.2) ñëåäóåò, ÷òî y 0 (a) = 0.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ëåâûé
êîíåö ñòðóíû ñâîáîäåí. Ïðè α = π/2 èìååì y(a) = 0, è ãîâîðÿò, ÷òî ëåâûé êîíåö ôèêñèðîâàí.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî êîíåö çàêðåïëåí
óïðóãî, ïðè ýòîì k = tg α > 0 íàçûâàåòñÿ æåñòêîñòüþ óïðóãîãî çàêðåïëåíèÿ. Òî æå îòíîñèòñÿ è ê ïðàâîìó êîíöó x = b. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äàþò
êâàäðàòû ÷àñòîò ñòîÿ÷èõ êîëåáàíèé.
 êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñëó÷àé
α = β = π/2 ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòèöå â
ïîòåíöèàëüíîì ÿùèêå ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ñòåíêàìè ïðè x = a è x = b è
ïîòåíöèàëîì q(x) âíóòðè ÿùèêà. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äàþò äèñêðåòíûå
óðîâíè ýíåðãèè ÷àñòèöû.
Ïðèìåð 5.4.1
−y 00 = λy,
y(0) = y(π) = 0.
Ýòà çàäà÷à äîïóñêàåò ÿâíîå ðåøåíèå. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èìååò âèä
√
√
y = C1 cos
λx + C2 sin
λx.
Êðàåâîìó óñëîâèþ y(0) = 0 óäîâëåòâîðÿåò òîëüêî C2 sin
√
λx. Ïðè x = π
λπ = 0, îòêóäà λ = n è λn = n2 , n = 1, 2, . . . (n = 0 íå
ãîäèòñÿ, òàê êàê òîãäà y ≡ 0). Èòàê, ðåøåíèåì çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ
ïîëó÷àåì sin
√
√
áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
λn = n2 , yn = sin nx.
Ìû âèäèì, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó. Ðÿäû Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì - ýòî êëàññè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå ïî ñèíóñàì.
Ïåðåõîäÿ ê îáùåìó ñëó÷àþ, çàìåòèì, ÷òî çàäà÷ó ìîæíî çàïèñàòü (ïî
êðàéíåé ìåðå ôîðìàëüíî) â âèäå çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
Ly = λy,
(5.4.4)
5.4. ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ - ËÈÓÂÈËËß
107
ãäå
d2
+ q(x)
(5.4.5)
dx2
äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî
L=−
îí ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò îïåðàòîðîâ, êîòîðûå ðàññìàòðèâàëèñü äî ñèõ
ïîð. Âî-ïåðâûõ, îïåðàòîð îïðåäåëåí íå íà âñåì ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b], à òîëüêî íà ïëîòíîì ìíîæåñòâå äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé. Ê òîìó æå ìû íàêëàäûâàåì íà ôóíêöèþ y(x) êðàåâûå óñëîâèÿ. Òàêèì
îáðàçîì, îïåðàòîð (5.4.5) åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü íà îáëàñòè îïðåäåëå-
íèÿ
D(L) = {y(x) ∈ C (2) [a, b] :
cos α y 0 (a) − sin α y(a) = 0, cos β y 0 (b) − sin β y)b) = 0}.
Òîãäà çàäà÷à Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ - ýòî çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
îïåðàòîðà L, ðàññìàòðèâàåìîãî íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ D(L).
Ëåììà 5.4.2 Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíû è ïîëîæèòåëü-
íû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (y, Ly), ãäå y ∈
D(L). Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì
Z b
(y, Ly) =
y(x) (−y 00 + q(x)y(x)) dx
a
b
= −y(x)y 0 (x)|a +
Z b
|y 0 (x)|2 + q(x)|y(x)|2 dx.
a
Ïðè α èëè β ðàâíûõ 0 èëè π/2 ïðîèíòåãðèðîâàííûå ÷ëåíû èñ÷åçàþò ïðè
ïîäñòàíîâêå.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ âûðàçèì
y 0 (a) = tg α y(a) è y 0 (b) =
−tg β y(b), òàê ÷òî
(y, Ly) = tg α |y(a)|2 + tg β |y(b)|2 +
Z b
|y 0 (x)|2 + q(x)|y(x)|2 dx.
(5.4.6)
a
Ìû âèäèì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, åñëè y 6≡ 0 (ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà).
Åñëè y - ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, òî èç (5.4.6) ïîëó÷èì
λ(y, y) = (y, Ly) > 0,
÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó.
Çàìå÷àíèå 5.4.3 Âûðàæåíèå (5.4.6)- ýòî ýíåðãèÿ ñèñòåìû (ïîòåíöèàëüíàÿ). Ïðè ýòîì èíòåãðàë äàåò ýíåðãèþ ñòðóíû, à ïåðâûå äâà ÷ëåíà - ýòî
ýíåðãèÿ ïðóæèí â òî÷êå óïðóãîãî çàêðåïëåíèÿ.
108
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Íàø äàëüíåéøèé ïëàí ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü îáðàòíûé îïå-
−1
ðàòîð L
è ïîêàçàòü, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðîì ñ íåïðå-
ðûâíûì ñèììåòðè÷íûì ÿäðîì, òàê ÷òî ê íåìó ïðèìåíèìà òåîðèÿ Ãèëüáåðòà
−1
Øìèäòà. Òîãäà, ïðèìåíÿÿ L
ê ðàâåíñòâó (5.4.4), ïðèõîäèì ê çàäà÷å íà
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
L−1 y =
1
y.
λ
(5.4.7)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ñâîäèì çàäà÷ó Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ ê èíòåãðàëüíîìó
óðàâíåíèþ.
−1
×òîáû ïîñòðîèòü L
íóæíî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f
∈ L2 [a, b] ðåøèòü
ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà
Ly = −y 00 + qy = f.
Îíî ðåøàåòñÿ ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ:
y = C1 (x)u1 (x) + C2 (x)u2 (x),
ãäå u1 , u2 - ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, à C1 , C2
íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû
C10 u1 + C20 u2 = 0,
C10 u01 + C20 u02 = −f.
Ðåøàÿ åå, ïîëó÷èì
1
C20 = − u1 f,
w
ãäå w - îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî ðåøåíèé u1 , u2
C10 =
1
u2 f,
w
w=
u1
u01
u2
u02
= const.
Åãî ïîñòîÿíñòâî ñëåäóåò èç òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, òàê êàê óðàâíåíèå íå ñîäåðæèò ÷ëåíà ñ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
Z x
1
u2 (t)f (t)dt + A1
y(x) = u1 (x)
b w
Z x
1
−u2 (x)
u1 (t)f (t)dt + A2
a w
Z b
Z x
1
1
=−
u1 (x)u2 (t)f (t)dt −
u2 (x)u1 (t)f (t)dt
w
w
x
a
+A1 u1 (x) + A2 u2 (x)
(5.4.8)
ãäå A1 , A2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Ìû äîëæíû åùå ïîçàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû y óäîâëåòâîðÿëî êðàåâûì
óñëîâèÿì. Âûáåðåì u1 ÷òîáû îíî óäîâëåòâîðÿëî êðàåâîìó óñëîâèþ íà ëåâîì
êîíöå. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè
−u001 + q(x)u1 = 0, u1 (a) = cos α, u01 (a) = sin α.
5.4. ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ - ËÈÓÂÈËËß
109
Òàêîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî íà âñåì îòðåçêå [a, b]. Àíàëîãè÷íî
ïîñòðîèì u2 êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
−u002 + q(x)u2 = 0, u2 (b) = cos β, u02 (b) = − sin β.
Òîãäà îíî óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîìó óñëîâèþ íà ïðàâîì êîíöå.
Ëåììà 5.4.4 Ðåøåíèÿ u1 , u2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì, ÷òî âðîíñêèàí íå ðàâåí íóëþ õîòÿ áû â
îäíîé òî÷êå, íàïðèìåð, ïðè x = a. Èìååì
u1 (a) u2 (a)
u01 (a) u02 (a)
w=
=
cos α
sin α
u2 (a)
u02 (a)
= cos α u02 (a) − sin α u2 (a).
Åñëè áû w = 0, ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî u2 óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîìó óñëîâèþ â
òî÷êå a.  òî÷êå b îíî òàêæå óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîìó óñëîâèþ ïî ïîñòðîåíèþ. Íî òîãäà u2 áûëà áû ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà L ñ ñîáñòâåííûì
çíà÷åíèåì λ = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 5.4.2.
Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå u1 è u2 ðåøåíèå (5.4.8)
óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì íà îáîèõ êîíöàõ òîëüêî ïðè A1 = A2 = 0.
Îêîí÷àòåëüíî ìû ïðèõîäèì ê ôîðìóëå
y = L−1 f = −
Z x
a
1
u2 (x)u1 (t)f (t)dt −
w
Z b
1
u1 (x)u2 (t)f (t)dt
w
x
Z b
=
G(x, t)f (t)dt,
a
ãäå
1
G(x, t) = −
w
u2 (x)u1 (t), x ≥ t,
.
u2 (t)u1 (x), x ≤ t
Ôóíêöèÿ G(x, t), íàçûâàåìàÿ ôóíêöèåé Ãðèíà çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ, îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
1. ñèììåòðèÿ: G(x, t) = G(t, x),
2. íåïðåðûâíîñòü,
3. íà èíòåðâàëàõ x ∈ [a, t) è x ∈ (t, b] óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ
−
∂ 2 G(x, t)
+ q(x)G(x, t) = 0,
∂x2
4. ôóíêöèÿ ∂G(x, t)/∂x èìååò ñêà÷îê ïðè x = t, ðàâíûé -1.
110
ÃËÀÂÀ 5.
ÊÎÌÏÀÊÒÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Âñå ýòè ñâîéñòâà î÷åâèäíû, êðîìå, ìîæåò áûòü, 4). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 4)
çàïèøåì
1
∂G
= − u02 (t)u1 (t),
∂x x=t−0
w
1
∂G
= − u2 (t)u01 (t).
∂x x=t+0
w
Âû÷èòàÿ, ïîëó÷èì äëÿ ñêà÷êà
x=t+0
1
∂G
= (u02 (t)u1 (t) − u2 (t)u01 (t)) = −1.
∂x x=t−0
w
Îòìåòèì òàêæå, õîòÿ ýòî íàì â äàëüíåéøåì íå ïîíàäîáèòñÿ, ÷òî ýòè ñâîéñòâà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ôóíêöèþ Ãðèíà.
Òåïåðü ìû ìîæåì óñòàíîâèòü ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.
1. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíûå è ïðîñòûå. Ïîëîæèòåëüíîñòü
óæå áûëà äîêàçàíà â ëåììå 5.4.2. Ïðîñòîòà îçíà÷àåò, ÷òî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îòâå÷àåò òîëüêî îäíà ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ äâå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèè y1 , y2 . Òàê êàê â òî÷êå a îíè óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó êðàåâîìó óñëîâèþ,
òî èõ âðîíñêèàí
y1 (a) y2 (a)
y10 (a) y20 (a)
= 0,
à òàê êàê îíè óäîâëåòâîðÿþò è îäíîìó îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
−y 00 + qy = λy,
òî îíè ëèíåéíî çàâèñèìû.
2. Òåîðåìà î ðàçëîæåíèè.
Òåîðåìà 5.4.5 (Ñòåêëîâ) Ëþáàÿ ôóíêöèÿ f ∈ D(L) ðàçëàãàåòñÿ â àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì
çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî f ∈ D(L), îçíà÷àåò, ÷òî f äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì. Òîãäà
Lf = −f 00 + qf = h(x) ∈ C[a, b]
è
−1
f =L
Z b
h=
G(x, t)h(t)dt.
a
Ñëåäîâàòåëüíî, f èñòîêîîáðàçíî ïðåäñòàâèìà, è òåîðåìà ñëåäóåò èç òåîðåìû Ãèëüáåðòà - Øìèäòà.
3. Ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ÷åòíî. Èç òåîðèè Ãèëüáåðòà Øìèäòà ñëåäóåò, ÷òî îíî íå áîëåå, ÷åì ñ÷åòíî. Åñëè áû îíî áûëî êîíå÷íûì,
òî ïî òåîðåìå î ðàçëîæåíèè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äàâàëè áû êîíå÷íûé
áàçèñ â L2 [a, b], ÷òî íåâîçìîæíî.
Ãëàâà 6
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ
Áîëåå òî÷íîå íàçâàíèå ýòîé ãëàâû "ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå". Ìû óæå íåîäíîêðàòíî ñòàëêèâàëèñü ñ íåêîòîðûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ýòîé òåîðèè:
1. òåîðåìà î ïðèâåäåíèè ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ê äèàãîíàëüíîé
ôîðìå â ëèíåéíîé àëãåáðå,
2. òåîðèÿ Ãèëüáåðòà - Øìèäòà êîìïàêòíûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ,
3. çàäà÷à Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.
 ýòèõ ñëó÷àÿõ ñïåêòð (ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé) áûë äèñêðåòíûì,
è ðàçëîæåíèå ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì (ôóíêöèÿì) èìåëî âèä ðÿäîâ Ôóðüå.  îáùåì æå ñëó÷àå ìîãóò âîçíèêàòü ðàçëîæåíèÿ òèïà èíòåãðàëîâ Ôóðüå (íåïðåðûâíûé ñïåêòð) à òàêæå êîìáèíàöèè ðÿäîâ è èíòåãðàëîâ. Èìåííî
òàêèå ðàçëîæåíèÿ è áóäóò ïðåäìåòîì íàñòîÿùåé ãëàâû.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ óäîâëåòâîðèòåëüíîé
îáùåé òåîðèè ïîêà íå ñóùåñòâóåò, åñëè íå ñ÷èòàòü êîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé,
ãäå èìååòñÿ òåîðåìà î ïðèâåäåíèè ê æîðäàíîâîé íîðìàëüíîé ôîðìå. Äëÿ
êîìïàêòíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ åñòü òåîðèÿ Ôðåäãîëüìà è òåîðèÿ âîëüòåððîâûõ îïåðàòîðîâ, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå âñå.
6.1
Ðåçîëüâåíòà è ñïåêòð
Îïðåäåëåíèå 6.1.1 Ïóñòü A : X → Y - îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ãîâîðÿò, ÷òî A îáðàòèì, åñëè ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð A−1 : Y → X , íàçûâàåìûé îáðàòíûì îïåðàòîðîì,
òàêîé ÷òî
A−1 A = 1X , AA−1 = 1Y .
(6.1.1)
111
112
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
Îáðàòèìîñòü òåñíî ñâÿçàíà ñ ðàçðåøèìîñòüþ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
Au = v,
(6.1.2)
à èìåííî, åñëè A - îáðàòèìûé îïåðàòîð, òî óðàâíåíèå (6.1.2) èìååò åäèí-
v . Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ
A−1 è ïîëüçóÿñü ïåðâûì ðàâåíñòâîì (6.1.1), ïîëó÷èì
u = A−1 v . Îáðàòíî, ïîäñòàâëÿÿ u = A−1 v â (6.1.2) è ïîëüçóÿñü âòîðûì
ñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè
ê (6.1.2) îïåðàòîð
ðàâåíñòâîì (6.1.1), ïîëó÷èì, ÷òî ýòî ðåøåíèå.
Ýòè ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îáðàòèòü. À èìåííî, ïóñòü äàíî,
÷òî óðàâíåíèå (6.1.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè.
Òîãäà ìû ìîæåì îïðåäåëèòü A
−1
ñîïîñòàâëÿÿ ëþáîìó v ∈ Y åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå u ∈ X óðàâíåíèÿ (6.1.2). Íåÿñíî, îäíàêî, áóäåò ëè òàê îïðåäåëåííûé îïåðàòîð îãðàíè÷åííûì. Óòâåðäèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå. Äîêàçàòåëüñòâî
åå äîâîëüíî ñëîæíî, òàê ÷òî ìû íå áóäåì åå äîêàçûâàòü è ïî âîçìîæíîñòè
íå áóäåì åþ ïîëüçîâàòüñÿ.
Îïðåäåëåíèå 6.1.2 Ïóñòü A : X → X îïåðàòîð â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. ×èñëî λ ∈ C íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèåì A, åñëè îïåðàòîð λ − A îáðàòèì. Îïåðàòîð
R(λ) = (λ − A)−1
íàçûâàåòñÿ ðåçîëüâåíòîé îïåðàòîðà A, à ïàðàìåòð λ ∈ C - ñïåêòðàëüíûì
ïàðàìåòðîì.
Ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé îáðàçóåò òàê íàçûâàåìîå ðåçîëüâåíòíîå ìíîæåñòâî ρ(A), à äîïîëíåíèå ê íåìó íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì σ(A).
Òåîðåìà 6.1.3 Ñïåêòð îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì
îãðàíè÷åííûì ìíîæåñòâîì, ñîäåðæàùèìñÿ â êðóãå |λ| ≤ kAk. Ðåçîëüâåíòà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé íà ðåçîëüâåíòíîì ìíîæåñòâå, óäîâëåòâîðÿþùåé òîæäåñòâó Ãèëüáåðòà
R(λ)R(µ) = −
R(λ) − R(µ)
,
λ−µ
äëÿ ëþáûõ λ, µ ∈ ρ(A)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ðåçîëüâåíòíîå ìíîæåñòâî îòêðûòî. Ïóñòü
µ ∈ ρ(A). Òîãäà äëÿ ëþáîãî λ ìû ìîæåì çàïèñàòü
λ − A = µ − A + (λ − µ) = (µ − A)(1 + (λ − µ)R(µ)),
îòêóäà äëÿ îáðàòíûõ îïåðàòîðîâ (åñëè îíè ñóùåñòâóþò) ïîëó÷àåì
R(λ) = (1 + (λ − µ)R(µ))−1 R(µ).
6.1. ÐÅÇÎËÜÂÅÍÒÀ È ÑÏÅÊÒÐ
113
Ïðè |λ − µ| äîñòàòî÷íî ìàëûõ, à èìåííî, òàêèõ ÷òî k(λ − µ)R(µ)k < 1 ýòî
âûðàæåíèå ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä (ðÿä Íåéìàíà) êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ:
R(λ) =
∞
X
(−1)n Rn+1 (µ)(λ − µ)n ,
(6.1.3)
n=0
ñõîäÿùèéñÿ ïî íîðìå (ðàâíîìåðíî) â êðóãå |λ − µ| < kR(µ)k. Îáðàòíî, ðÿä
(6.1.3) äåéñòâèòåëüíî äàåò îïåðàòîð îáðàòíûé ê λ − A, â ÷åì ìîæíî óáåäèòüñÿ ïðÿìîé ïðîâåðêîé, ïåðåìíîæèâ ðÿäû. Òàêèì îáðàçîì, ðåçîëüâåíòà
îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè µ, à ýòî çíà÷èò, ÷òî ρ(A) îòêðûòî. Áîëåå òîãî, â ýòîé îêðåñòíîñòè îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R(λ) ÿâëÿåòñÿ
ñóììîé ñõîäÿùåãîñÿ ñòåïåííîãî ðÿäà. Èìåííî ýòî ìû èìååì â âèäó, ãîâîðÿ,
÷òî ðåçîëüâåíòà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé.
Ïðè |λ| > kAk ðåçîëüâåíòà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì Íåéìàíà ïî îáðàòíûì
ñòåïåíÿì λ
(λ − A)−1 =
1
λ
1−
A
λ
−1
=
∞
X
An
,
λn+1
n=1
îòêóäà ñëåäóåò ÷òî âíå êðóãà ðàäèóñà kAk òî÷åê ñïåêòðà íåò.
Íàêîíåö, òîæäåñòâî Ãèëüáåðòà ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì îïåðàòîðà R(λ)
ñëåâà è îïåðàòîðà R(µ) ñïðàâà ê ðàâåíñòâó
(λ − A) − (µ − A) = λ − µ.
Çàìå÷àíèå 6.1.4 ßñíî, ÷òî ðåçîëüâåíòà R(λ) ïåðåñòàíîâî÷íà ñ A, R(µ),
è ñ ëþáûì îïåðàòîðîì, ïåðåñòàíîâî÷íûì ñ A. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè BA =
AB , òî B(λ − A) = (λ − A)B , è, óìíîæàÿ íà (λ − A)−1 ñïðàâà è ñëåâà,
ïîëó÷àåì BR(λ) = R(λ)B
Òî÷êè ñïåêòðà êëàññèôèöèðóþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ îòîáðàæåíèÿ
λ − A : X → X.
(6.1.4)
Âî-ïåðâûõ, ñïåêòðó ïðèíàäëåæàò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè λ - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì e, òî
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (λ − A)u
= v , äàæå åñëè îíî è ñóùåñòâóåò, íå áóäåò
åäèíñòâåííûì: âìåñòå ñ ðåøåíèåì u ðåøåíèÿìè áóäóò è âñå âåêòîðû u + Ce
ïðè ëþáîé ïîñòîÿííîé C . Ýòî çíà÷èò, ÷òî îáðàòíûé îïåðàòîð íå ñóùåñòâóåò
(îòîáðàæåíèå (6.1.4) íå âçàèìíî îäíîçíà÷íî). Ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé íàçûâàåòñÿ òî÷å÷íûì ñïåêòðîì.
Äëÿ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé λ îïåðàòîð λ − A âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò X íà ëèíåéíîå ìíîæåñòâî Im (λ − A), êîòîðîå ìîæåò áûòü íå çàìêíóòûì è ïîòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ìíîæåñòâî
Im (λ − A) ñîñòîèò èç òàêèõ v , äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå (λ − A)u = v èìååò
ðåøåíèå (åäèíñòâåííîå, òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ λ íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì). Ïðè ýòîì ñëó÷àé Im (λ − A) = X èñêëþ÷àåòñÿ, èíà÷å ïî
114
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
−1
òåîðåìå Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå (λ − A)
áûë áû îãðàíè÷åí. Îñòà-
åòñÿ äâå âîçìîæíîñòè:
1.
2.
Im (λ − A) 6= X , íî ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì ïîäìíîæåñòâîì â X , òàêèå λ
îáðàçóþò íåïðåðûâíûé ñïåêòð,
Im (λ−A) íå ïëîòíî â X , òàêèå λ ïðèíàäëåæàò îñòàòî÷íîìó ñïåêòðó.
Ïðèìåð 6.1.5 Îïåðàòîð A â l2 äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó
A{x1 , x2 , x3 , . . .} = {x2 , x3 , . . .}.
Íàéäåì ñïåêòð è ðàñêëàññèôèöèðóåì åãî.
Î÷åâèäíî, ÷òî kAk = 1, çíà÷èò ñïåêòð ñîäåðæèòñÿ â êðóãå |λ| ≤ 1. Åñëè
|λ| < 1, òî èìååòñÿ åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð
eλ = {1, λ, λ2 , . . .} ∈ l2
ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ.
Åñëè |λ| = 1, òî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ íåò, ïîñêîëüêó
{1, λ, λ2 , . . .} 6∈ l2 .
Çíà÷èò îòîáðàæåíèå
(λ − A) : l2 → Im (λ − A)
âçàèìíî îäíîçíà÷íî, è îñòàåòñÿ âûÿñíèòü, áóäåò ëè ìíîæåñòâî Im (λ − A)
ïëîòíûì â l2 èëè íåò. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíî íå ïëîòíî, òî íàéäåòñÿ
âåêòîð e, îðòîãîíàëüíûé åìó, ò.å., óäîâëåòâîðÿþùèé ñîîòíîøåíèþ
0 = ((λ − A)x, e) = (x, (λ − A∗ )e)
∗
äëÿ ëþáëãî x ∈ l2 . Òîãäà (λ − A )e = 0, ò.å., e - ñîáñòâåííûé âåêòîð ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà
A∗ {x1 , x2 , x3 , . . .} = {0, x1 , x2 , . . .}.
Íî íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ó A
∗
âîîáùå íåò ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Ñëåäîâà-
òåëüíî, åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü ñîñòîèò èç òî÷åê íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîäðîáíåå ñëó÷àé, êîãäà A :
H → H - ñàìîñîïðÿ-
æåííûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå Í, èìåííî ýòîò ñëó÷àé áóäåò
íàñ èíòåðåñîâàòü äàëåå. Íàïîìíèì (ñì. ðàçäåë 4.4.3), ÷òî ó îãðàíè÷åííîãî
ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà èìåþòñÿ íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíè m è M , òàê
÷òî
m ≤ A ≤ M,
ïðè ýòîì kAk = max{|M |, |m|}.
Ëåììà 6.1.6 Åñëè m > 0 èëè M < 0 òî îïåðàòîð A îáðàòèì.
6.1. ÐÅÇÎËÜÂÅÍÒÀ È ÑÏÅÊÒÐ
115
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü m > 0 (ñëó÷àé M < 0 ñâîäèòñÿ ê ýòîìó óìíîæåíèåì íà -1). Çàïèøåì A â âèäå
M +m
A=
2
2
1+
M +m
M +m
A−
2
.
Îïåðàòîð
2
B=
M +m
M +m
A−
2
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
−
M −m
M −m
≤B≤
,
M +m
M +m
ñëåäîâàòåëüíî,
kBk =
M −m
< 1.
M +m
Òîãäà ðÿä Íåéìàíà äëÿ B ñõîäèòñÿ, è
A−1 =
∞
X
2
2
(−1)n B n .
(1 + B)−1 =
M +m
M + m n=0
Òåîðåìà 6.1.7 Ñïåêòð ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ïðèíàäëåæèò îòðåçêó äåéñòâèòåëüíîé îñè [m, M ], ïðè÷åì îñòàòî÷íûé ñïåêòð ïóñò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λ = µ + iν ∈ C. Äîêàæåì, ÷òî ïðè ν 6= 0 îíî
áóäåò ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèåì. ×òîáû íàéòè ðåçîëüâåíòó, ðåøèì óðàâíåíèå
(λ − A)u = v , ò.å.,
((µ − A) + iν)u = v.
Ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð λ − A = (µ − A) − iν, ïîëó÷èì
((µ − A)2 + ν 2 )u = (λ − A)v.
Îïåðàòîð â ëåâîé ÷àñòè ïîëîæèòåëåí, áîëåå òîãî, åãî íèæíÿÿ ãðàíü íå ìåíüøå ν
2
> 0. Ïî ïðåäûäóùåé ëåììå ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííûé îáðàòíûé, è
çíà÷èò,
u = R(λ)v = ((µ − A)2 + ν 2 )−1 (λ − A)v.
Åñëè æå λ äåéñòâèòåëüíî, òî
λ − M ≤ A ≤ λ − m.
Òîãäà ïî ëåììå A îáðàòèì ïðè λ > M èëè ïðè λ < m.
×òîáû äîêàçàòü, ÷òî íåò òî÷åê îñòàòî÷íîãî ñïåêòðà, ðàññìîòðèì äåéñòâèòåëüíîå λ è ïîêàæåì, ÷òî Im (λ−A) - ïëîòíîå ìíîæåñòâî â H . Äîïóñêàÿ
ïðîòèâíîå, ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò âåêòîð e, îðòîãîíàëüíûé Im (λ − A),
ò.å.,
((λ − A)x, e) = (x, (λ − A)e) = 0
äëÿ ëþáîãî x ∈ H . Òîãäà (λ − A)e = 0, ò.å., e - ñîáñòâåííûé âåêòîð A, è
çíà÷èò, λ ïðèíàäëåæèò òî÷å÷íîìó ñïåêòðó. Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
116
ÃËÀÂÀ 6.
6.2
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû
Òàê íàçûâàþòñÿ îïåðàòîðû, êîòîðûå âåêòîðó x ñòàâÿò â ñîîòâåòñòâèå åãî
ïðîåêöèþ íà ïîäïðîñòðàíñòâî L ïàðàëëåëüíî îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ
L⊥ . Íàïîìíèì (òåîðåìà 3.3.8), ÷òî ëþáîé âåêòîð x åäèíñòâåííûì îáðàçîì
0
00
0
00
⊥
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû x +x , ãäå x ∈ L, à x ∈ L , è ìû îïðåäåëÿåì
0
îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ, ïîëàãàÿ P x = x Äëÿ êðàòêîñòè
ïîëüçóþòñÿ òàêæå òåðìèíîì îðòîïðîåêòîð.
Òåîðåìà 6.2.1 Îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ óäîâëåòâëðÿ-
åò ñîîòíîøåíèÿì
P ∗ = P,
P 2 = P, kP k = 1.
Îáðàòíî, åñëè ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð P óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ P 2 = P , òî îí ÿâëÿåòñÿ îðòîïðîåêòîðîì íà ïîäïðîñòðàíñòâî
L = Im P = Ker (1 − P ),
ñ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì
L⊥ = Im (1 − P ) = Ker P.
Íàïîìíèì, ÷òî ñèìâîëîì Ker P - ÿäðî P - îáîçíà÷àåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâî
x, êîòîðûå àííóëèðóþòñÿ îïåðàòîðîì P , ò.å., P x = 0. Ñèìâîë
Im P -îáðàç P - îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå P x.
âåêòîðîâ
Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ â îáùåì ñëó÷àå îáðàç îïåðàòîðà íå îáÿçàòåëüíî çàìêíóò,
äëÿ ïðîåêòîðà Im P çàìêíóòîñòü èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó Im P = Ker (1−P ).
00
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ x = x0 + x00 , y = y 0 + y 00 ãäå x0 , y 0 ∈ L, à
x , y 00 ∈ L⊥ , áóäåì èìåòü
(P x, y) = (x0 , y) = (x0 , y 0 ) = (x, y 0 ) = (x, P y),
îòêóäà ñëåäóåò ñàìîñîïðÿæåííîñòü. Äàëåå, åñëè x ∈ L, òî â ðàçëîæåíèè
x = x0 +x00 âåêòîð x00 = 0, è çíà÷èò, x = x0 , ò.å., x = P x. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî x
2
âåêòîð P y , ãäå y ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, ïîëó÷èì P y = P P y , îòêóäà P = P .
0
00
 ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè x è x èìååì
kxk2 = kx0 k2 + kx00 k2 ≥ kx0 k2 ,
òàê ÷òî kP xk ≤ kxk. Íî ïðè x ∈ L P x = x, çíà÷èò kP k = 1.
Îáðàòíî, ïóñòü P - ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé ñî-
P 2 = P . Ïîëàãàÿ x = P x + (1 − P )x ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå
x = x + x , ãäå x0 = P x, à x00 = (1 − P )x. Èìååì (1 − P )x0 = (1 − P )P x = 0,
P x00 = P (1 − P )x = 0. Çíà÷èò, x0 ∈ Ker (1 − P ) = Im P , à x00 =∈ Ker P =
Im (1 − P ). Ýòè ïîäïðîñòðàíñòâà îðòîãîíàëüíû, òàê êàê â ñèëó ñàìîñîïðÿîòíîøåíèþ
0
00
æåííîñòè èìååì
(x0 , y 00 ) = (P x, (1 − P )y) = (x, P (1 − P )y) = 0.
Ïîñìîòðèì, êàê íà ÿçûêå ïðîåêòîðîâ âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ.
6.2. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÐÎÅÊÒÎÐÛ
117
Òåîðåìà 6.2.2 Ïóñòü L1 = Im P1 , L2 = Im P2 , ãäå P1 , P2 - îðòîïðîåêòîðû. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
1. L1 ⊂ L2 ,
2. P2 P1 = P1 ,
3. P1 P2 = P1 ,
4. kP1 xk ≤ kP2 xk äëÿ ëþáîãî x ∈ H,
5. P1 ≤ P2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. → 2. Äëÿ ëþáîãî x ∈ H èìååì P1 x ∈ L1 , è ñëåäîâàòåëüíî, P1 x ∈ L2 . Íî òîãäà P2 (P1 x) = P1 x, îòêóäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
x ïîëó÷àåì P2 P1 = P1 .
2. → 3. P1 = P1∗ = (P2 P1 )∗ = P1∗ P2∗ = P1 P2 .
3. → 4. kP1 xk = kP1 P2 xk ≤ kP1 kkP2 xk = kP2 xk.
4. → 1. Ïóñòü x ∈ L1 . Òîãäà
kxk = kP1 xk ≤ kP2 xk ≤ kxk.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî kP2 xk = kxk. Èç òåîðåìû Ïèôàãîðà
kP2 xk2 + k(1 − P2 )xk2 = kxk2
ïîëó÷àåì òîãäà, ÷òî (1 − P2 )x = 0, ò.å., x ∈ Ker (1 − P2 ) = L2 .
Íàêîíåö, ýêâèâàëåíòíîñòü 4. è 5. ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
(P x, x) = (P 2 x, x) = (P x, P x) = kP xk2 .
Èç ñâîéñòâ 2. è 3. ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ïðîåêòîðû P1 è P2 êîììó-
òèðóþò (ïåðåñòàíîâî÷íû), ò.å.,
[P1 , P2 ] = P1 P2 − P2 P1 = 0.
Òåîðåìà 6.2.3 Ïðîèçâåäåíèå P1 P2 äâóõ îðòîïðîåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ îðòîïðîåêòîðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ïåðàñòàíîâî÷íû.  ýòîì
ñëó÷àå P1 P2 ïðîåêòèðóåò H íà ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ L1 = Im P1 è
L2 = Im P2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P1 è P2 êîììóòèðóþò. Òîãäà
(P1 P2 )(P1 P2 ) = P1 P1 P2 P2 = P1 P2 ,
ò.å., P1 P2 ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì. Ïðè ýòîì
(P1 P2 )∗ = P2∗ P1∗ = P2 P1 = P1 P2 ,
òàê ÷òî P1 P2 - îðòîïðîåêòîð.
118
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
Îáðàòíî, ïóñòü P1 P2 - îðòîïðîåêòîð. Òîãäà
(P1 P2 )∗ = P1 P2 = P2∗ P1∗ = P2 P1 ,
ò.å., P1 è P2 êîììóòèðóþò.
Äîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð P2 P1 = P1 P2 ïðîåêòèðóåò H íà L1 ∩ L2 , ãäå
L1 = Im P1 è àíàëîãè÷íî L2 = Im P2 . Äåéñòâèòåëüíî,
P1 P2 x = P1 (P2 x) ∈ L1 .
 òî æå âðåìÿ
P1 P2 x = P2 (P1 x) ∈ L2 ,
ò.å., Im P1 P2 ⊂ L1 ∩ L2 .
Îáðàòíî, åñëè x ∈ L1 ∩ L2 , òî
P1 x = x, P2 (P1 x) = P2 x = x,
ò.å., x ∈ Im P1 P2 .
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà
(P1 x, P2 y) = (P2 P1 x, y) = 0.
Ïóñòü òåïåðü P - îðòîïðîåêòîð, à A - ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð, ïåðåñòà-
íîâî÷íûé ñ P , ò.å., êîììóòàòîð P è A ðàâåí íóëþ:
[P, A] = P A − AP = 0.
Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî L
= Im P èíâàðèàíòíî
îòíîñèòåëüíî A. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ∈ L, òî x = P x, è çíà÷èò
Ax = AP x = P (Ax) ∈ L,
òàê ÷òî A îòîáðàæàåò L â ñåáÿ. Ïîñêîëüêó, î÷åâèäíî, A êîììóòèðóåò è ñ
1 − P , òî ïîäïðîñòðàíñòâî L⊥ = Im (1 − P ) òàêæå èíâàðèàíòíî. Ãîâîðÿò,
⊥
÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî L ïðèâîäèò A, åñëè íå òîëüêî L, íî è L
ÿâëÿþòñÿ
èíâàðèàíòíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè. Ñàì îïåðàòîð çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
A = AP + A(1 − P ) = AL + AL⊥ .
 áàçèñå, ñîñòàâëåííîì èç áàçèñîâ â
L è L⊥ îïåðàòîð çàäàåòñÿ áëî÷íî-
äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé
A=
A1
0
0
A2
,
ãäå A1 , A2 - "÷àñòè"îïåðàòîðà A â ïîäïðîñòðàíñòâàõ L, L
⊥
. Ïî ýòèì ÷àñòÿì
îïåðàòîð âîññòàíàâëèâàåòñÿ îäíîçíà÷íî: îïåðàòîð A1 â L ïðîäîëæàåì íà
6.3. ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ
119
⊥
, à îïåðàòîð A2 ïðîäîëæàåì
0
0
âñå ïðîñòðàíñòâî, ïîëàãàÿ åãî ðàâíûì 0 íà L
íóëåì íà L. Ýòî äàåò
AL =
A1
0
0
0
, A L⊥ =
0
A2
,
òîãäà A = AL + AL⊥ .
 áîëåå îáùåì ñëó÷àå ïóñòü P1 , P2 , . . . , Pn - îðòîïðîåêòîðû, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì
Pi Pj = 0, P1 + P2 + . . . + Pn = 1,
A ïåðåñòàíîâî÷åí ñî âñåìè Pi . Òîãäà ïîäïðîñòðàíñòâà
Li = Im Pi ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû, è âñå ïðîñòðàíñòâî H ðàçëàãàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ïðÿìóþ ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâ Li , ÷òî çàïèñûâàåòñÿ òàê
è ïóñòü îïåðàòîð
H = ⊕ni=1 Li
è îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé âåêòîð
x ∈ H îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
ñóììû ïðîåêöèé íà Li :
x = x1 + x2 + . . . + xn = P1 x + P2 x + . . . + Pn x.
 ñèëó ïåðàñòàíîâî÷íîñòè âñå ïîäïðîñòðàíñòâà Li ïðèâîäÿò A, è A îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ñâîèì "÷àñòÿì"A1 , A2 , . . . , An â ïîäïðîñòðàíñòâàõ
Li . Ìû ãîâîðèì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé îïåðàòîðîâ Ai è
ïèøåì
A = ⊕ni=1 Ai .
Íà ÿçûêå ìàòðèö ýòî îçíà÷àåò, ÷òî A çàäàåòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ñ äèàãîíàëüíûìè áëîêàìè Ai .
6.3
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðåìà
Ïóñòü A ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ñ íèæíåé è âåðõíåé ãðàíÿìè m, M .
Îïðåäåëåíèå 6.3.1 Ôóíêöèÿ E(λ), λ ∈ R íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé
ôóíêöèåé îïåðàòîðà A, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1. çíà÷åíèÿ ôóíêöèè E(λ) â òî÷êàõ λ ∈ R - ýòî îïåðàòîðû îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ, ïåðåñòàíîâî÷íûå ñ ëþáûì îïåðàòîðîì B ,
êîììóòèðóþùèì ñ A,
2. ñåìåéñòâî E(λ) ìîíîòîííî, ò.å., E(λ) ≤ E(µ) ïðè λ < µ,
3. ôóíêöèÿ E(λ) íåïðåðûâíà ñïðàâà, ò.å.,
lim E(λ + δ) = E(λ)
δ→+0
(ïðåäåë ïîíèìàåòñÿ â ñèëüíîì ñìûñëå),
120
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
4. E(λ) = 0 ïðè λ < m è E(λ) = 1 ïðè λ > M ,
5. ïóñòü ∆ - ïðîìåæóòîê (λ, µ], è ïóñòü E∆ = E(µ) − E(λ). Òîãäà
âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
λE∆ ≤ AE∆ ≤ µE∆
(6.3.1)
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ìû îòëîæèì äî ñëåäóþùåãî ðàçäåëà, à çäåñü äàäèì ðàçëè÷íûå
êîììåíòàðèè è ñëåäñòâèÿ.
Ïðèìåð 6.3.2 Ïóñòü H êîíå÷íîìåðíî, è ïóñòü
m = λ1 < λ2 < . . . < λn = M
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ A, à Li ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ïîëîæèì
E(λ) =
X
Pi ,
λi ≤λ
ãäå Pi - îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû íà ïîäïðîñòðàíñòâà Li . Òàêèì îáðàçîì,
E(λ) ïîñòîÿííà íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (λi , λi+1 ), à â òî÷êàõ λI èìååò
ñêà÷êè, ðàâíûå Pi .
Ïîêàæåì, ÷òî òàê îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà A. Ñâîéñòâà 2,3,4 î÷åâèäíû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 1 ðàññìîòðèì îïåðàòîð Â, ïåðåñòàíîâî÷íûé ñ A. Òîãäà äëÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ei ∈ Li èìååì
A(Bei ) = B(Aei ) = λi (Bei ).
Ñëåäîâàòåëüíî, Bei
∈ Li , ò.å., ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî èíâàðèàíòíî
îòíîñèòåëüíî B , à òàê êàê ïîäïðîñòðàíñòâà Li â ñóììå äàþò âñå ïðîñòðàíñòâî H , òî âñå îíè ïðèâîäÿò B . Ýòî äàåò [B, Pi ] = 0, à òîãäà è [B, E(λ)] = 0
ïðè ëþáîì λ.
Äîêàæåì òåïåðü íåðàâåíñòâà (6.3.1). Èç îïðåäåëåíèÿ E(λ) ñëåäóåò, ÷òî
E∆ =
X
Pi .
λi ∈∆
 ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè èìååì Pi Pj = 0, è çíà÷èò, Pj E∆ = Pj , åñëè λj ∈ ∆,
è Pj E∆ = 0, åñëè λj 6∈ ∆. Îïåðàòîð A çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ñóììû
A=
n
X
λ i Pi ,
(6.3.2)
i=1
à åãî "÷àñòü ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîìåæóòêó ∆, â âèäå
AE∆ =
n
X
j=1
λj Pj E∆ =
X
λj ∈∆
λj Pj .
6.3. ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ
121
Òåì ñàìûì ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà AE∆ íå ïðåâîñ-
∆, à ìèíèìàëüíîå - íå ìåíüøå ëåâîãî
õîäèò ïðàâîãî êîíöà ïðîìåæóòêà
êîíöà, ÷òî è äàåò íåðàâåíñòâà (6.3.1).
Âîçâðàùàÿñü ê îáùåìó ñëó÷àþ, îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ E∆ , âûòåêàþùèå èç îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè. Äîêàçàòåëüñòâà â îñíîâíîì ïðåäîñòàâëÿþòñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèé.
1. Çíà÷åíèÿ E(λ) è E(µ) â ðàçíûõ òî÷êàõ λ è µ ïåðåñòàíîâî÷íû.
2. Ïîäïðîñòðàíñòâî Im E(λ) ñîäåðæèòñÿ â Im E(µ) ïðè λ < µ, èëè æå
E(µ)E(λ) = E(λ).
3. E∆ = E(µ) − E(λ) - ýòî îðòîïðîåêòîð íà ïîäïðîñòðàíñòâî Im E(µ) ∩
(Im E(λ))⊥ .
4. E∆1 ∩ E∆2 = E∆1 ∩∆2 , â ÷àñòíîñòè E∆1 E∆2 = 0, åñëè ∆1 è ∆2 íå
ïåðåñåêàþòñÿ.
 êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèÿ E(λ) êóñî÷íî ïîñòîÿííà, à äëÿ
îïåðàòîðà èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû (6.3.2), âçÿòîé ïî òî÷êàì ðàçðûâà ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè.  áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå E(λ) ìîæåò áûòü íåïðåðûâíîé è äàæå ãëàäêîé ôóíêöèåé, ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå
(6.3.2), âîîáùå ãîâîðÿ, íåâîçìîæíî. Âìåñòî ýòîãî èìååì èíòåãðàëüíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå, êîòîðîå ìû çäåñü îïðåäåëèì è îáñóäèì.
Ïóñòü a < m, b > M . Ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b]
a = λ0 < λ1 < λ2 . . . < λn = b
ïðîèçâîëüíûìè òî÷êàìè λi è ïîëîæèì ∆i = (λi−1 , λi ],
E∆i = E(λi ) − E(λi−1 ).
Òîãäà íåðàâåíñòâà (6.3.1) äàþò
λi−1 E∆i ≤ AE∆i ≤ λi E∆i .
ξi ∈ ∆i . Òîãäà λi−1 E∆i ≤ ξi E∆i ≤
λi E∆i . Èç ýòèõ äâóõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî
Âûáåðåì òàêæå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè
−|∆i |E∆i ≤ (A − ξi )E∆i ≤ |∆i |E∆i ,
ãäå |∆i | = λi − λi−1 - äëèíà ∆i . Ïîëàãàÿ δ = max |∆i |, áóäåì èìåòü
−δE∆i ≤ AE∆i − ξi E∆i ≤ δE∆i .
Ïðîñóììèðóåì ýòè íåðàâåíñòâà è ó÷òåì, ÷òî
n
X
E∆i = 1,
i=1
n
X
AE∆i = A
i=1
n
X
E∆i = A.
i=1
Òîãäà ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
−δ ≤ A −
n
X
i=1
ξi E∆i ≤ δ,
122
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
÷òî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
n
X
kA −
ξi E∆i k ≤ δ.
i=1
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Òåîðåìà 6.3.3 Ïóñòü δ = max |∆i | ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Òîãäà íåçàâèñèìî îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ è âûáîðà òî÷åê ξi ñóùåñòâóåò ïðåäåë (â ñìûñëå
ñõîäèìîñòè ïî îïåðàòîðíîé íîðìå)
lim
δ→0
n
X
ξi E∆i = A,
(6.3.3)
i=1
ðàâíûé îïåðàòîðó A.
Ðàññìàòðèâàåìûå ñóììû íàïîìèíàþò èíòåãðàëüíûå ñóììû, íî âìåñòî
äëèíû ïðîìåæóòêîâ ∆i áåðåòñÿ èõ "ïðîåêòîðíàÿ ìåðà"E∆i . Äëÿ ïðåäåëà
Rb
λdE(λ), íàçûâàåìîå èíòåãðàëîì Ñòèëüòüåa
ñà ïî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè E(λ). Òàêèì îáðàçîì, èç ñâîéñòâà 5 ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè âûòåêàåò, ÷òî îïåðàòîð A ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì Ñòèëü(6.3.3) âîäèòñÿ îáîçíà÷åíèå
òüåñà
Z b
A=
λdE(λ).
(6.3.4)
a
Óïðàæíåíèå 6.3.4 Äîêàçàòü, ÷òî åñëè E(λ) êóñî÷íî ïîñòîÿííà, òî èíòåãðàë (6.3.4) ñîâïàäàåò ñ ñóììîé (6.3.2), ãäå λi - òî÷êè ðàçðûâà ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè, à Pi = E(λi + 0) − E(λi − 0) - ñêà÷êè â òî÷êàõ ðàçðûâà.
Èç ôîðìóëû (6.3.3) ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ ñòåïåíåé îïåðàòîðà
A
An =
Z b
λn dE(λ).
a
Äîêàæåì åå ïðè n = 2. Èìååì
2
A =
lim
n
X
δ→0
!2
ξ i E ∆i
i=1
= lim
δ→0
Ïîñêîëüêó E∆I E∆j = 0 ïðè i 6= j à (E∆i )
2
n
X
ξi E∆i
i=1
n
X
ξj E∆J .
j=1
= E∆i , òî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
lim
δ→0
n
X
i=1
ξi2 E∆i =
Z b
λ2 dE(λ).
a
Óïðàæíåíèå 6.3.5 Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f (λ) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
6.4. ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÉ ÒÅÎÐÅÌÛ
123
Z b
f (A) =
f (λ)dE(λ).
a
Òî æå äëÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè f (λ), íå èìåþùåé ïîëþñîâ íà ñïåêòðå A.
Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ôóíêöèÿìè è îïåðàòîðàìè ìîæíî ïðîäîëæèòü íà
ëþáûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè.
Óïðàæíåíèå 6.3.6 Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
f (λ) ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Ñòèëüòüåñà
Z b
n
X
f (λ)dE(λ) = lim
f (ξi )E∆i .
δ→0
a
i=1
Ïðè ýòîì, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fk (λ) ñòðåìèòñÿ ê f (λ) ðàâíîìåðíî íà [a, b], òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ñõîäèòñÿ ïî íîðìå.
6.4
Äîêàçàòåëüñòâî ñïåêòðàëüíîé òåîðåìû
Íàïîìíèì, ÷òî ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì
≥ 0), åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (Ax, x) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî
x ∈ H . Äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ îñíîâàíû íà òîì ôàêòå, ÷òî èç íåîòðèöà-
(îáîçíà÷åíèå A
òåëüíîãî îïåðàòîðà ìîæíî èçâëå÷ü íåîòðèöàòåëüíûé êâàäðàòíûé êîðåíü
Òåîðåìà 6.4.1 Ïóñòü A - íåîòðèöàòåëüíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð X ≥ 0,
òàêîé ÷òî X 2 = A. Ïðè ýòîì [X, B] = 0 äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà B ïåðåñòàíîâî÷íîãî ñ A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü 0 ≤ A ≤ M , òîãäà 0 ≤ A/M ≤ 1, è çíà÷èò
äîñòàòî÷íî èçâëå÷ü êîðåíü èç ïîëîæèòåëüíîãî îïåðòîðà, íå ïðåâîñõîäÿùåãî
1. Âîñïîëüçóåìñÿ áèíîìèàëüíûì ðÿäîì
√
X=
A=
∞
X
p
1 − (1 − A) = 1 −
cn (1 − A)n ,
(6.4.1)
n=1
ãäå cn - êîýôôèöèåíòû ðÿäà Òåéëîðà
1−
√
1−z =
∞
X
cn z n .
(6.4.2)
n=1
Èç ÿâíîé ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñëåäóåò, ÷òî âñå cn > 0. Ìû äîêàæåì, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â çàìêíóòîì êðóãå |z| ≤ 1.
Ïóñòü x ∈ (0, 1), òîãäà, ïîëüçóÿñü ïîëîæèòåëüíîñòüþ ÷ëåíîâ ðÿäà, çàïèøåì
N
X
n=1
cn = lim
x→1−0
N
X
n=1
n
cn x ≤ lim
x→1−0
∞
X
n=1
cn xn = lim (1 −
x→1−0
√
1 − x) = 1.
124
ÃËÀÂÀ 6.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
∞
X
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
cn ≤ 1,
(6.4.3)
n=1
ò.å., ðÿä èç cn ñõîäèòñÿ, è ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (6.4.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è
ðàâíîìåðíî â êðóãå |z| ≤ 1.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîðíûé ðÿä (6.4.1) ñõîäèòñÿ ïî íîðìå, òàê êàê
p
1 − (1 − A)√ðàâåí A, ïîñêîëüêó ýòî âåðíî
äëÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùåãîñÿ ñòåïåííîãî ðÿäà
1 − z , à k1−Ak ≤ 1. Äîêàæåì,
îïåðàòîð X - íåîòðèöàòåëüíûé. Äåéñòâèòåëüíî, ÷òî èç 0 ≤ 1−A ≤ 1 ñëåäóåò,
n
÷òî 0 ≤ (1 − A) ≤ 1 (äîêàçàòü ýòî!), è çíà÷èò,
k1 − Ak ≤ 1. Êâàäðàò îïåðàòîðà
1−
∞
X
cn ≤ X ≤ 1,
n=1
Îòñþäà â ñèëó (6.4.3) âûòåêàåò, ÷òî íèæíÿÿ ãðàíü îïåðàòîðà X áîëüøå èëè
ðàâíà 0.
n
Åñëè B êîììóòèðóåò ñ A, òî îí êîììóòèðóåò è ñ (1 − A) , è çíà÷èò ñ
ðÿäîì (6.4.1).
Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ïîëîæèòåëüíîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ. Ïðåäïî-
0
ëîæèì ïðîòèâíîå: ïóñòü X - äðóãîé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü. Òîãäà
3
2
2
X 0 = X 0 X 0 = AX 0 = X 0 X 0 = X 0 A.
Ñëåäîâàòåëüíî, X
0
êîììóòèðóåò ñ A, à òîãäà è ñ X . Äàëåå, îïåðàòîðû
Z = (X − X 0 )X(X − X 0 ), Z 0 = (X − X 0 )X 0 (X − X 0 )
íåîòðèöàòåëüíû, òàê êàê
(Zx, x) = (X(X − X 0 )x, (X − X 0 )x) = (Xy, y) ≥ 0,
0
0
ãäå y = (X − X )x, è àíàëîãè÷íî Z . Òîãäà
0 ≤ Z + Z 0 = (X − X 0 )(X + X 0 )(X − X 0 )
2
= (X 2 − X 0 )(X − X 0 ) = (A − A)(X − X 0 ) = 0.
0
Ïîñêîëüêó Z è Z íåîòðèöàòåëüíû, òî Z = Z
0
= 0. Çíà÷èò, èõ ðàçíîñòü òîæå
ðàâíà 0, ò.å.,
Z − Z 0 = (X − X 0 )3 = 0,
0 4
è ñëåäîâàòåëüíî, (X − X )
= 0. Íî, òàê êàê
0 = ((X − X 0 )4 x, x) = ((X − X 0 )2 x, (X − X 0 )2 x) = k(X − X 0 )2 xk2 ,
0 2
äëÿ ëþáîãî x ∈ H , òî (X − X )
= 0. Ïðèìåíÿÿ ýòîò æå òðþê åùå ðàç,
ïîëó÷èì
0 = ((X − X 0 )2 x, x) = ((X − X 0 x)x, (X − X 0 )x),
6.4. ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÉ ÒÅÎÐÅÌÛ
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî X − X
0
125
= 0.
Ïóñòü òåïåðü A - ïðîèçâîëüíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Îïåðàòîð
A2 âñåãäà íåîòðèöàòåëåí, òàê êàê
(A2 x, x) = (Ax, Ax) = kAxk2 ≥ 0.
2
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî èçâëå÷ü
√ ïîëîæèòåëüíûé êâàäðàòíûé êîðåíü èç A ,
êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì |A| =
A2 . Äàëåå îïðåäåëèì ïîëîæèòåëüíóþ è îò-
ðèöàòåëüíóþ ÷àñòè îïåðàòîðà A, ïîëàãàÿ,
A+ =
|A| + A
|A| − A
, A− =
,
2
2
òàê ÷òî
A = A+ − A− , |A| = A+ + A− .
Âñå ýòè îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûìè, è êîììóòèðóþò ñ ëþáûì
îïåðàòîðîì, êîììóòèðóþùèì ñ A, â ÷àñòíîñòè, ìåæäó ñîáîé. Êðîìå òîãî,
èìååì
1
1
(|A| + A)(|A| − A) = (|A|2 − A2 ) = 0.
4
4
+
+
Ïóñòü L = Ker A
- ÿäðî îïåðàòîðà A , ò.å., ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ
x, òàêèõ ÷òî Ax = 0. Îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà L îáîçíà÷èì ÷åðåç E .
A+ A− =
Ïðåæäå âñåãî ìû ïîäðîáíî èçó÷èì ñâîéñòâà ââåäåííûõ îïåðàòîðîâ.
Ëåììà 6.4.2 Ïóñòü A, B - êîììóòèðóþùèå ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå AB òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì. Åñëè
ïðè ýòîì A ≥ 0, B ≥ 0, òî AB ≥ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî, Èìååì
(AB)∗ = B ∗ A∗ = BA = AB.
Åñëè A
≥ 0 òî èç íåãî ìîæíî èçâëå÷ü íåîòðèöàòåëüíûé êâàäðàòíûé
êîðåíü X ≥ 0, êîòîðûé êîììóòèðóåò ñ B , ïîñêîëüêó [A, B] = 0. Òîãäà
(ABx, x) = (X 2 Bx, x) = (XBx, Xx) = (BXx, Xx) = (By, y) ≥ 0,
ãäå ìû îáîçíà÷èëè y = Xx.
Ñëåäñòâèå 6.4.3 Íåðàâåíñòâî A ≥ B ìîæíî óìíîæèòü íà íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð C , ïåðåñòàíîâî÷íûé ñ A è B .
Ëåììà 6.4.4 Ïðîåêòîð E êîììóòèðóåò ñ A, |A|, A± .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê Ex ∈ Ker A+ , òî A+ Ex = 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x ∈ H . Çíà÷èò, A
[E, A+ ] = 0.
+
E = 0, à òàêæå EA+ = (A+ E)∗ = 0. Òàêèì îáðàçîì,
126
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
A− = 0 âåêòîð A− x ∈ L, çíà÷èò EA− x = A− x äëÿ
−
ëþáîãî x, îòêóäà EA = A . Òîãäà
 ñèëó ðàâåíñòâà A
+
−
A− E = (EA− )∗ = (A− )∗ = A− ,
Ñëåäîâàòåëüíî E êîììóòèðóåò è ñ A
−
, à òîãäà è ñ |A| è ñ A.
Ëåììà 6.4.5 Îïåðàòîðû A+ , A− íåîòðèöàòåëüíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê E ≥ 0 è 1 − E ≥ 0, à òàêæå |A| ≥ 0, òî
E|A| = EA+ + EA− = A− ≥ 0
êàê ïðîèçâåäåíèå íåîòðèöàòåëüíûõ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ. Àíàëîãè÷íî,
(1 − E)|A| = A+ + A− − EA− = A+ ≥ 0.
Ëåììà 6.4.6 Îïåðàòîð A+ ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì íåîòðèöàòåëüíûì
îïåðàòîðîì, êîììóòèðóþùèì ñ A è ìàæîðèðóþùèì A, ò.å., åñëè ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð B êîììóòèðóåò ñ A è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
B ≥ 0, B ≥ A, òî B ≥ A+ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïåðàòîð A+ äåéñòâèòåëüíî ìàæîðèðóåò A, òàê êàê
A + A+ − A− ≤ A+ ïîñêîëüêó A− - íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð.
Äîêàæåì òåïåðü ìèíèìàëüíîå ñâîéñòâî. Ïóñòü B ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, B ≥ 0, B ≥ A, [B, A] = 0. Òàê êàê B êîììóòèðóåò ñ A, òî îí êîì±
ìóòèðóåò è ñ A . Ïîêàæåì, ÷òî îí êîììóòèðóåò è ñ ïðîåêòîðîì E . Èìååì
A+ BE = BA+ E = 0,
ñëåäîâàòåëüíî, BEx ∈ L äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x, îòêóäà BEx = EBEx, ò.å.,
BE = EBE . Òîãäà, ïåðåõîäÿ ê ñîïðÿæåííûì îïåðàòîðàì, ïîëó÷èì
EB = (BE)∗ = (EBE)∗ = EBE,
îòêóäà âèäíî, ÷òî [B, E] = 0. Òåïåðü óìíîæèì íåðàâåíñòâà B ≥ 0 è B ≥ A
íà íåîòðèöàòåëüíûå îïåðàòîðû E è 1 − E ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó âñå
ðàññìàòðèâàåìûå îïåðàòîðû êîììóòèðóþò, òî ýòî äàåò EB ≥ 0,
(1−E)B ≥
(1 − E)A = A+ . Ñêëàäûâàÿ, ïðèõîäèì ê òðåáóåìîìó íåðàâåíñòâó B ≥ A+ .
Òåïåðü ìû ìîæåì äàòü êîíñòðóêöèþ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè.
Òåîðåìà 6.4.7 Ïóñòü A ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Äëÿ λ ∈ R îïðåäåëèì E(λ) êàê îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà ïîäïðîñòðàíñòâî Lλ = Ker (A−
λ)+ . Òîãäà E(λ) óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè îïåðàòîðà A.
6.4. ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÉ ÒÅÎÐÅÌÛ
127
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B êîììóòèðóåò ñ A, òîãäà îí êîììóòèðóåò è ñ
A − λ, ñëåäîâàòåëüíî è ñ (A − λ)± . Êàê è â ëåììå 6.4.6, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
B êîììóòèðóåò è ñ E(λ).
Ïîêàæåì, ÷òî E(λ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ïóñòü λ < µ. Òîãäà
(A − λ)+ ≥ (A − λ) ≥ (A − µ),
≥ (A−µ)+ , ïîñêîëüêó (A−µ)+ - ýòî íàèìåíüøèé èç
ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ, êîììóòèðóþùèõ ñ (A − µ) è ìàæîðèðóþùèõ
(A − µ) (ëåììà 6.4.6). Ðàññìàòðèâàÿ îïåðàòîðû (A − λ)+ è (A − µ)+ íà
ïîäïðîñòðàíñòâå Lλ , èìååì
ñëåäîâàòåëüíî, (A−λ)
+
0 = (A − λ)+ L ≥ (A − µ)+ L ,
λ
ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð (A − µ)
+
λ
àííóëèðóåò Lλ , ò.å., Lλ ⊂ Lµ . Íî ýòî è
çíà÷èò, ÷òî E(λ) ≤ E(µ).
+
Äàëåå, åñëè λ > M , òî A − λ ≤ 0, ñëåäîâàòåëüíî, (A − λ)
= 0, è Lλ = H ,
ò.å., E(λ) = 1. Àíàëîãè÷íî, åñëè λ < m, òî A − λ ≥ m − λ > 0, çíà÷èò,
(A − λ)+ = (A − λ). Íî (A − λ)x = 0 òîëüêî ïðè x = 0, ñëåäîâàòåëüíî,
E(λ) = 0.
Äîêàæåì íåðàâåíñòâà (6.3.1). Ïóñòü ∆ = (λ, µ], è E∆ = E(µ) − E(λ).
Òîãäà â ñèëó ìîíîòîííîñòè E(λ)
E(µ)E∆ = (1 − E(λ))E∆ = E∆ .
Ñëåäîâàòåëüíî,
(µ − A)E∆ = (µ − A)E(µ)E∆ = (A − µ)− E∆ ≥ 0,
(A − λ)E∆ = (A − λ)(1 − E(λ))E∆ = (A − λ)+ E∆ ≥ 0,
÷òî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
λE∆ ≤ AE∆ ≤ µE∆ .
Íàêîíåö, äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü E(λ) ñïðàâà. Îáîçíà÷èì L∆ = L(λ,µ]
ïîäïðîñòðàíñòâî Im E∆ , è ïóñòü L = ∩L(λ,µ] , ïåðåñå÷åíèå áåðåòñÿ ïî âñåì
µ > λ ïðè ôèêñèðîâàííîì λ. Î÷åâèäíî, ÷òî ñèëüíûé ïðåäåë limµ→λ+0 E(λ,µ]
ðàâåí îðòîãîíàëüíîìó ïðîåêòîðó EL íà ïîäïðîñòðàíñòâî L. Ìû äîêàæåì,
÷òî EL = 0, ò.å., ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî L ñîñòîèò òîëüêî èç íóëÿ. Ñ îäíîé
ñòîðîíû, E(λ)E∆ = 0, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè µ → λ + 0,
ïîëó÷èì E(λ)L = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç íåðàâåíñòâ (6.3.1) ñëåäóåò, ÷òî
0 ≤ (A − λ)E∆ ≤ (µ − λ)E∆ → 0,
îòêóäà (A − λ)EL = 0. Óìíîæàÿ íà îïåðàòîð (1 − E(λ)), ïîëó÷èì
(1 − E(λ))(A − λ)EL = (A − λ)+ EL = 0,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî E(λ)EL = EL . Ñðàâíèâàÿ ñ E(λ)EL = 0, ïðèõîäèì ê
ðàâåíñòâó EL = 0.
Åäèíñòâåííîñòü ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè ìû äîêàæåì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
128
ÃËÀÂÀ 6.
6.5
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
Ôîðìóëà Ñòîóíà
Êîíñòðóêöèÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè, êîòîðóþ ìû äàëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêà è íåóäîáíà äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé. Ôîðìóëà Ñòîóíà, âûðàæàþùàÿ ñïåêòðàëüíóþ ôóíêöèþ ÷åðåç ðåçîëüâåíòó, ñëóæèò óäîáíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ ÿâíîãî ïîñòðîåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè.
 ÷àñòíîñòè, èç íåå ñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü.
−1
Íàì ïîíàäîáèòñÿ èíòåãðèðîâàòü ðåçîëüâåíòó R(λ) = (λ − A)
ïî êîí-
òóðàì, ïðèíàäëåæàùèì ðåçîëüâåíòíîìó ìíîæåñòâó ρ(A). Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà äëÿ îïåðàòîðíîçíà÷íûõ ôóíêöèé êîïèðóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ äëÿ
ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé: êðèâàÿ C ðàçáèâàåòñÿ òî÷êàìè äåëåíèÿ λ0 , λ1 , . . . , λn ,
óïîðÿäî÷åííûìè â ñîîòâåòñòâèè ñ îðèåíòàöèåé, íà êàæäîé äóãå ðàçáèåíèÿ
âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî òî÷êà ζi è ñîñòàâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà. Èíòåãðàëîì íàçûâàåòñÿ ïðåäåë (ïî íîðìå) èíòåãðàëüíûõ ñóìì
Z
R(λ)dλ = lim
C
n
X
R(ζi )(λi − λi−1 )
i=1
ïðè max |∆λ| → 0. Òàê êàê R(λ) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä (λ − λ0 ), ñõîäÿùèéñÿ ðàâíîìåðíî â äîñòàòî÷íî ìàëîì êðóãå, òî èíòåãðàë ïî êîíòóðó
â êðóãå ñõîäèìîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, èíòåãðèðóÿ ñòåïåííîé ðÿä ïî÷ëåííî.
 ÷àñòíîñòè, èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó â êðóãå ñõîäèìîñòè ðàâåí
0. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ðåçîëüâåíòû âûïîëíÿåòñÿ òåîðåìà Êîøè "â ìàëîì ò.å., âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè.
Óïðàæíåíèå 6.5.1 Äîêàçàòü òåîðåìó Êîøè "â áîëüøîì": ïóñòü R(λ)
àíàëèòè÷íà â çàìêíóòîé
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè G ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàR
íèöåé ∂G. Òîãäà ∂G R(λ)dλ = 0.
Óêàçàíèå. Ðàçáèòü îáëàñòü G íà äîñòàòî÷íî ìåëêèå ÷àñòè Gi è ïðèìåíèòü
ê êàæäîé èç íèõ òåîðåìó Êîøè "â ìàëîì".
Ïóñòü òåïåðü A - ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Ïóñòü [a, b] - îòðåçîê, ñîäåðæàùèé ñïåêòð îïåðàòîðà ñòðîãî âíóòðè, ò.å.,
a < m ≤ A ≤ M < b,
ãäå m, M íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíè îïåðàòîðà, è ïóñòü µ ∈ [a, b] - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë Iε îò ðåçîëüâåíòû ïî êîíòóðó Cε , ñîñòîÿùåìó èç äâóõ îòðåçêîâ, ïàðàëëåëüíûõ äåéñòâèòåëüíîé îñè: [a − iε, µ − iε] è
[µ + iε, a + iε], ε > 0. Â áîëåå ÿâíîì âèäå ýòî âûðàæåíèå çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Z
1
R(λ)dλ
Iε =
2πi Cε
Z µ
Z µ
1
1
−1
=
(t − A − iε) dt −
(t − A + iε)−1 dt
2πi a
2πi a
Z
ε µ
=
((t − A)2 + ε2 )−1 dt.
π a
6.5. ÔÎÐÌÓËÀ ÑÒÎÓÍÀ
129
Òåïåðü ìû âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè îò
îïåðàòîðà ÷åðåç åãî ñïåêòðàëüíóþ ôóíêöèþ (óïðàæíåíèå 6.3.5)
((t − A)2 + ε2 )−1 =
Z b
((t − λ)2 + ε2 )−1 dE(λ).
a
Èíòåãðèðóÿ ïî t, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî
Z b
Iε =
1
a π
arctg
µ−λ
a−λ
− arctg
ε
ε
dE(λ).
(6.5.1)
Òåîðåìà 6.5.2 Ñóùåñòâóåò ñëàáûé ïðåäåë
lim Iε =
ε→+0
E(µ + 0) + E(µ − 0)
.
2
(6.5.2)
 ÷àñòíîñòè, â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè ýòîò ïðåäåë ðàâåí E(µ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè
1
fε (λ) =
π
µ−λ
a−λ
arctg
− arctg
ε
ε
.
Ïðè ε → +0 ýòà ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê f+0 (λ), ðàâíîé 0 ïðè λ < a è λ > µ,
ðàâíîé 1 ïðè
a < λ < µ è ðàâíîé 1/2 ïðè λ = a è λ = µ. Ïðè ýòîì,
åñëè óáðàòü ïðîèçâîëüíûå îêðåñòíîñòè òî÷åê a è µ, òî ñòðåìëåíèå áóäåò
ðàâíîìåðíûì.
Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû
Z b
(Iε x, x) =
fε dg(λ),
a
ãäå g(λ) = (E(λ)x, x) - ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ó êâàäðàòè÷íûõ ôîðì.
Ïîñêîëüêó g(λ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, òî ìíîæåñòâî åå òî÷åê ðàçðûâà íå
áîëåå, ÷åì ñ÷åòíî, è âñå ðàçðûâû - ýòî ñêà÷êè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî
òî÷åê íåïðåðûâíîñòè ïëîòíî íà [a, b]. Ïóñòü ñíà÷àëà µ - òî÷êà íåïðåðûâíîñòè g(λ). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíî δ
> 0 è ðàçîáüåì èíòåãðàë íà 4 ÷àñòè:
I1 , I2 , I3 , I4 ïî ïðîìåæóòêàì
[a, a + δ), [a + δ, µ − δ], (µ − δ, µ + δ), [µ + δ, b]
ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà I1 = 0, ïîñêîëüêó g(λ) = 0 íà ïåðâîì ïðîìåæóòêå,
Z µ+δ
|I3 | =
fε (λ)dg(λ) ≤ g(µ + δ) − g(µ − δ).
µ−δ
Ìû âîñïîëüçîâàëèñü çäåñü ìîíîòîííîñòüþ ôóíêöèè g(λ), à òàêæå íåðàâåíñòâàìè 0 < fε (λ) < 1. Îòìåòèì, ÷òî çà ñ÷åò âûáîðà δ îöåíêó èíòåãðàëà
130
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
I3 ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëîé íåçàâèñèìî îò ε. Â èíòåãðàëàõ I2
è I4 ïðè ôèêñèðîâàííîì δ ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè ε → +0, òàê êàê
ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè
íà îòðåçêàõ [a + δ, µ − δ] è [µ + δ, b]. Ýòî äàåò
Z µ−δ
I2 →
1dg(λ) = g(µ − δ),
a+δ
Z b
I4 →
0dg(λ) = 0.
µ+δ
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî (Iε x, x) → g(µ) ïðè ε → +0. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëüçóÿñü
íåïðåðûâíîñòüþ g â òî÷êå µ, äëÿ äàííîãî η > 0 âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òîáû
|g(µ+δ)−g(µ)| < η è |g(µ−δ)−g(µ)| < η . Çàòåì, çàôèêñèðîâàâ δ , âûáåðåì ε0
òàê, ÷òîáû |I4 | < η è |I2 −g(µ−δ)| < η ïðè 0 < ε < ε0 . Òîãäà |(Iε x, x)−g(µ)| <
4η ïðè 0 < ε < ε0 , ÷òî è äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå.
Åñëè µ - òî÷êà ðàçðûâà ôóíêöèè g(λ)< òî ââåäåì ôóíêöèþ ñêà÷êà g0 (λ),
ðàâíóþ 0 ïðè λ < µ è ðàâíóþ g(µ+0)−g(µ−0) ïðè λ ≥ µ. Òîãäà g(λ)−g0 (λ)
áóäåò íåïðåðûâíîé â òî÷êå µ. Èíòåãðàë ïðåäñòàâèòñÿ òîãäà â âèäå
Z b
Z b
(Iε x, x) =
fε (λ)dg0 (λ) +
fε (λ)d(g(λ) − g0 (λ)).
a
a
Òàê êàê g(λ) − g0 (λ) ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà â òî÷êå µ, òî ïî äîêàçàííîìó
âòîðîé èíòåãðàë ñòðåìèòñÿ ê g(µ). ×òî êàñàåòñÿ ïåðâîãî èíòåãðàëà, òî åãî
ìîæíî âû÷èñëèòü ÿâíî. Îí ðàâåí
fε (µ)(g0 (µ + 0) − g0 (µ − 0)) =
g(µ + 0) − g(µ − 0)
,
2
÷òî è äàåò òðåáóåìûé ðåçóëüòàò.
Èç ñõîäèìîñòè êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ñëåäóåò ñõîäèìîñòü áèëèíåéíûõ ôîðì,
ïîñêîëüêó áèëèíåéíàÿ ôîðìà ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî åãî êâàäðàòè÷íîé ôîðìå
4(Ax, y) = (A(x + y), (x + y)) + (A(x − y), (x − y))
−i(A(x + iy), (x + iy)) + i(A(x − iy), (x − iy)).
Íî ñõîäèìîñòü áèëèíåéíûõ ôîðì (An x, y) → (Ax, y) ýòî è åñòü ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü îïåðàòîðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà Ñòîóíà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 6.5.3 Ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòî-
ðà åäèíñòâåííà.
Çàìå÷àíèå 6.5.4  ôîðìóëå Ñòîóíà ìîæíî äîêàçàòü è ñóùåñòâîâàíèå
ñèëüíîãî ïðåäåëà, ò.å.,
Iε x →
E(µ + 0) + E(µ − 0)
x
2
äëÿ ëþáîãî x. Íàì ýòîò ðåçóëüòàò íå ïîíàäîáèòñÿ.
6.5. ÔÎÐÌÓËÀ ÑÒÎÓÍÀ
131
Óïðàæíåíèå 6.5.5 Ïóñòü ñïåêòð σ(A) (íå îáÿçàòåëüíî ñàìîñîïðÿæåííîãî) åñòü îáúåäèíåíèå σ1 ∪ σ2 äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ, êîòîðûå
ìîæíî îòäåëèòü êóñî÷íî ãëàäêîé æîðäàíîâîé êðèâîé C . Äîêàçàòü, ÷òî
1. îïåðàòîð
P =
1
2πi
Z
R(λ)dλ
C
ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì, ò.å., óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ P
2
= P,
2. ýòîò ïðîåêòîð ïðèâîäèò A, ò.å., P A = AP ,
3. ñïåêòð îïåðàòîðà A, ðàññìàòðèâàåìîãî íà ïîäïðîñòðàíñòâå Im P ñîâïàäàåò ñ σ1 , à íà ïîäïðîñòðàíñòâå Im (1 − P ) - c σ2 .
Óêàçàíèå. Êîíòóð C ïî òåîðåìå Êîøè ìîæíî çàìåíèòü áîëüøèì êîíòóðîì,
íå ïåðåñåêàþùèì C .
Ïðîåêòîð, ïîñòðîåííûé â ýòîì óïðàæíåíèè, íàçûâàåòñÿ ïðîåêòîðîì Êîøè. Îòìåòèì, ÷òî îí âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì.
Óïðàæíåíèå 6.5.6 Íàéòè íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ïðîåêòîðû
Êîøè äëÿ îïåðàòîðà, çàäàííîãî ìàòðèöåé
A=
λ1
0
0
λ2
.
Êàê çàâèñÿò ïðîåêòîðû îò êîíòóðà C ?
Óïðàæíåíèå 6.5.7 Òî æå äëÿ ìàòðèöû

λ1
A= 0
0
1
λ1
0

0
0 .
λ2
132
ÃËÀÂÀ 6.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÈß
Ãëàâà 7
Íåîãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû
Óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà î÷åíü ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì îáðåìåíèòåëüíûì. Ïðèìåðîì íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà ìîæåò ñëóæèòü îïåðàòîð Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ â ïðîñòðàíñòâå L2 . Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λn
ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîýòîìó íåðàâåíñòâî kLyk ≤ Ckyk íåâîçìîæíî,
îíî íàðóøàåòñÿ íà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿõ, êàêîâà áû íè áûëà ïîñòîÿííàÿ C . Êàê ïðàâèëî, íåîãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû íå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû
âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, à òîëüêî íà ïëîòíîì ëèíåéíîì ìíîæåñòâå. Ïðèìåð
îïåðàòîðà Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ ïîêàçûâàåò òàêæå, ÷òî íåîãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû - ýòî íå ïàòîëîãè÷åñêîå ÿâëåíèå, à ñêîðåå íîðìà â ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêå.
7.1
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Îïðåäåëåíèå 7.1.1 Íåîãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H - ýòî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
A : D(A) → H,
ãäå D(A) ⊂ H - ïëîòíîå ëèíåéíîå ïîäìíîæåñòâî, íàçûâàåìîå îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ A. Ëèíåéíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ D(A) ëèíåéíûå êîìáèíàöèè λx + µy ïðèíàäëåæàò D(A) è
A(λx + µy) = λAx + µAy.
Ïðè ðàáîòå ñ íåîãðàíè÷åííûìè îïåðàòîðàìè î÷åíü ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ ïîíÿòèå ãðàôèêà îïåðàòîðà, ââåäåííîå ôîí Íåéìàíîì è ïî ñóùåñòâó
îáîáùàþùåå ïîíÿòèå ãðàôèêà ôóíêöèè.
Ïóñòü H ⊕ H - ïðÿìàÿ ñóììà äâóõ ýêçåìïëÿðîâ ïðîñòðàíñòâà H , ò.å.,
ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïàð {x, y},
x, y ∈ H ñ ïîêîìïî-
íåíòíûìè ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè è ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
({x1 , y1 }, {x2 , y2 }) = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ).
133
134
ÃËÀÂÀ 7.
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Ãðàôèêîì îïåðàòîðà A íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå ìíîæåñòâî Γ(A) ⊂ H ⊕ H , ñîñòîÿùåå èç ïàð {x, Ax}, ãäå x ∈ D(A). Ïîä÷åðêíåì, ÷òî Γ(A) íå îáÿçàòåëüíî
ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â H ⊕ H , òàê êàê îíî ìîæåò áûòü íåçàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè åãî ãðàôèê çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, è ñëåäîâàòåëüíî, ïîäïðîñòðàíñòâî â H ⊕ H . Áîëåå
ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå âûãëÿäèò òàê.
Îïðåäåëåíèå 7.1.2 Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ D(A), äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóþò ïðåäåëû
x = limn→∞ xn è y = limn→∞ Axn , âåêòîð x ïðèíàäëåæèò D(A) è Ax = y .
Îïðåäåëåíèå 7.1.3 Îïåðàòîð A2 íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåíèåì A1 , åñëè
Γ(A1 ) ⊂ Γ(A2 ). Äðóãèìè ñëîâàìè, D(A1 ) ⊂ D(A2 ), è íà îáùåé îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ D(A1 ) îíè ñîâïàäàþò.
Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ, ÷òî ëþáîé îïåðàòîð ìîæíî ðàñøèðèòü äî
çàìêíóòîãî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòü Γ(A) - çàìûêàíèå ãðàôèêà Γ(A),
òîãäà îïåðàòîð ñ ãðàôèêîì Γ(A) è áóäåò èñêîìûì çàìêíóòûì îïåðàòîðîì.
Îøèáêà â ýòîì ðàññóæäåíèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îïåðàòîðà ñ ãðàôèêîì Γ(A)
ìîæåò è íå áûòü: ìîæåò îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî â çàìûêàíèè ïîÿâÿòñÿ òî÷êè
âèäà {x, y1 } è {x, y2 }.
Óïðàæíåíèå 7.1.4 Ïóñòü en - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â H , à e âåêòîð, íå ÿâëÿþùèéñÿ êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ en . Ïóñòü
D ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ en è e. Îïðåäåëèì
îïåðàòîð ôîðìóëîé
A ce +
N
X
!
cn en
= ce.
n=1
Äîêàçàòü, ÷òî çàìûêàíèå Γ(A) ñîäåðæèò êàê {e, e}, òàê è {e, 0}, è ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íèêàêîãî îïåðàòîðà.
Ãîâîðÿò, ÷òî A äîïóñêàåò çàìûêàíèå èëè çàìûêàåì, åñëè åãî ìîæíî ðàñøèðèòü äî çàìêíóòîãî.
Óïðàæíåíèå 7.1.5 Äîêàçàòü, ÷òî îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð (ñ D(A) =
H ) çàìêíóò.
Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî: çàìêíóòûé îïåðàòîð íå îáÿçàòåëüíî îãðàíè÷åí. Òåì áîëåå óäèâèòåëüíîé êàæåòñÿ ñëåäóþùàÿ "òåîðåìà î çàìêíóòîì
ãðàôèêå"
Òåîðåìà 7.1.6 (Áàíàõ) Çàìêíóòûé îïåðàòîð, îïðåäåëåííûé íà âñåì
ïðîñòðàíñòâå H , îãðàíè÷åí.
Äîêàçàòåëüñòâî ìû íå ïðèâîäèì, òàê êàê íà íàø âçãëÿä îíî äîâîëüíî ñëîæíî è ìàëî ïîó÷èòåëüíî. Ìû òàêæå áóäåì ñòàðàòüñÿ ïî âîçìîæíîñòè íå ïîëüçîâàòüñÿ ýòîé òåîðåìîé. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî îíà äàåò ïîíÿòíîå îáúÿñíåíèå òîìó ôàêòó, ÷òî íåîãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû îïðåäåëåíû íå íà âñåì
ïðîñòðàíñòâå.
7.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
135
Ïðèìåð 7.1.7 Ïóñòü H = L2 (−∞, ∞), è A îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà x.
Åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñîñòîèò èç ôóíêöèé y(x) ∈ L2 (−∞, ∞), äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ xy(x) òàêæå ïðèíàäëåæèò L2 (−∞, ∞). Òàê, íàïðèìåð, ôóíêöèÿ
y=
1
6∈ D(A).
1 + |x|
Îïåðàòîð íåîãðàíè÷åí. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé yn (x) = 1 ïðè x ∈ [n, n+1] è yn = 0 ïðè îñòàëüíûõ x. Òîãäà kyn (x)k = 1,
è â òî æå âðåìÿ
2
Z n+1
kxy(x)k =
x2 dx =
n
1
((n + 1)3 − n3 ) → ∞.
3
Ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð A çàìêíóò. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn (x) ñõîäèòñÿ â L2 (−∞, ∞) ê ôóíêöèè y(x), è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xyn (x) ñõîäèòñÿ â
L2 (−∞, ∞) ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f (x). Çàìêíóòîñòü îçíà÷àåò, ÷òî f = xy .
Ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêó èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñõîäÿùèõñÿ â
L2 ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñõîäÿùèåñÿ ïî÷òè âñþäó (çàìå÷àíèå 2.5.7). Òîãäà ïî÷òè âñþäó
xynk (x) → xy(x) = f (x),
÷òî è òðåáîâàëîñü.
Îïåðàöèè ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ââîäÿòñÿ ïî òåì æå ïðàâèëàì, ÷òî è äëÿ îãðàíè÷åííûõ, íî òåïåðü íóæíî ó÷èòûâàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ. Òàê, ïðîèçâåäåíèå AB - ýòî îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà âåêòîð x ïî ïðàâèëó (AB) = A(Bx), íî D(AB) ñîñòîèò èç
òåõ x ∈ D(B), äëÿ êîòîðûõ Bx ∈ D(A). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî D(AB) íå
ïëîòíî, è äàæå ñîñòîèò òîëüêî èç íóëÿ, õîòÿ D(A) è D(B) ïëîòíû. Òàêèå
ñëó÷àè ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì.
A−1 â ñëó÷àå, êîãäà A
íåîãðàíè÷åí. Ïóñòü Im A - ëèíåéíîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé A, ò.å., ìíîæåñòâî,
íà êîòîðîå A îòîáðàæàåò D(A). Åñëè îòîáðàæåíèå
Îñòàíîâèìñÿ íà ïîíÿòèè îáðàòíîãî îïåðàòîðà
A : D(A) → Im A
âçàèìíî îäíîçíà÷íî, òî ìîæíî îïðåäåëèòü îáðàòíîå îòîáðàæåíèå
A−1 : Ax 7→ x
ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
Im A. Íóæíî òîëüêî îáðàòèòü âíèìàíèå íà äâà
îáñòîÿòåëüñòâà:
1. äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ A
−1
òðåáóåòñÿ âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü A. Ýòî çíà-
÷èò, ÷òî ðàâåíñòâî Ax1 = Ax2 èëè A(x2 − x1 ) = 0 âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî
ïðè x2 − x1 = 0. Ïî äðóãîìó ýòî ìîæíî âûðàçèòü, ñêàçàâ, ÷òî A íå
èìååò ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Èòàê,
A−1 ñóùåñòâóåò òîëüêî òîãäà, êîãäà 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì A.
136
ÃËÀÂÀ 7.
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
2. ìíîæåñòâî çíà÷åíèé Im A ìîæåò íå áûòü ïëîòíûì. Æåëàÿ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïëîòíî îïðåäåëåííûå îïåðàòîðû, ìû íå áóäåì îïðåäåëÿòü
A−1 â ýòîì ñëó÷àå.
Ïîäâåäåì èòîã ýòîìó îáñóæäåíèþ, ñôîðìóëèðîâàâ îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 7.1.8 Ïóñòü 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì A,
è ïóñòü ìíîæåñòâî Im A ïëîòíî â H . Òîãäà ñóùåñòâóåò ïëîòíî îïðåäåëåííûé îáðàòíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó
A−1 : Im A 3 Ax 7→ x ∈ D(A).
Ãðàôèê îïåðàòîðà A
−1
ïîëó÷àåòñÿ èç Γ(A) ïåðåñòàíîâêîé êîîðäèíàò:
åñëè Γ(A) = {x, Ax}, òî Γ(A
−1
= {Ax, x}. Èç ýòîãî ïðîñòîãî íàáëþäåíèÿ
âûòåêàåò âàæíîå ñëåäñòâèå.
Ïðåäëîæåíèå 7.1.9 Åñëè A - çàìêíóòûé îïåðàòîð, è A−1 ñóùåñòâó-
åò, òî A−1 òîæå çàìêíóò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè çàìêíóòî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïàð {x, y} ∈
Γ(A), òî çàìêíóòî è ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ïàð âèäà {y, x}, ïîëó÷åííûõ
ïåðåñòàíîâêîé.
Ïîíÿòèå ðåçîëüâåíòíîãî ìíîæåñòâà, ñïåêòðà, à òàêæå êëàññèôèêàöèÿ
òî÷åê ñïåêòðà (òî÷å÷íûé, íåïðåðûâíûé è îñòàòî÷íûé) îñòàþòñÿ òàêèìè
æå, êàê è äëÿ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ. Òî÷íî òàê æå, êàê è äëÿ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðåçîëüâåíòíîå ìíîæåñòâî îòêðûòî, à
ðåçîëüâåíòà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé íà ρ(A), óäîâëåòâîðÿþùåé
òîæäåñòâó Ãèëüáåðòà. Îäíàêî ñïåêòð òåïåðü íå îáÿçàí áûòü îãðàíè÷åííûì
ìíîæåñòâîì, îí äàæå ìîæåò çàïîëíÿòü âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü.
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ðàçáåðåì î÷åíü ïîó÷èòåëüíûé ïðèìåð îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Ïðèìåð 7.1.10 Îïåðàòîð d/dx åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåí íà ïðîñòðàíñòâå C
(1)
[a, b] íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è íåïðåðûâíî
C[a, b]. Îáà ýòèõ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ïîäìíîæåñòâàìè â L2 [a, b], ïîýòîìó d/dx ìîæíî ðàññìàò2
ðèâàòü êàê íåîãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â L [a, b] ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
(1)
C [a, b] ⊂ L2 [a, b]. Ê ñîæàëåíèþ, òàê îïðåäåëåííûé îïåðàòîð îáëàäàåò ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì: îí íåçàìêíóò. ×òîáû ïîëó÷èòü çàìêíóòûé îïåðàòîð, íàäî ïåðåéòè ê çàìûêàíèþ, (åñëè îíî åñòü), òåì ñàìûì ðàñøèðèòü
(1)
åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(A) ⊃ C
[a, b]. Èòàê, ïóñòü
îòîáðàæàåò åãî íà ïðîñòðàíñòâî
un (x) ∈ C (1) [a, b],
vn (x) = u0n (x) ∈ C[a, b],
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ â L2 [a, b] ê ôóíêöèÿì u è v ñîîòâåòñòâåííî. Èìååì
Z x
un (x) =
vn (t)dt + Cn = (χ[a,x] (t), vn (t)) + Cn ,
a
7.2. ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ137
ãäå χ[a,x] - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îòðåçêà [a, x]. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó,
ïîëó÷èì
Z x
v(t)dt + C.
u(x) = (χ[a,b] (t), v(t)) + C =
(7.1.1)
a
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäåëàìè òàêèõ ïàð un , vn áóäóò ïàðû u, v , äëÿ êîòîðûõ
v ìîæåò áûòü ëþáîé ôóíêöèåé èç L2 [a, b], ïîñêîëüêó C[a, b] ïëîòíî â L2 ,
à u ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé îò v (îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì
âåðõíèì ïðåäåëîì). Ïðèíàäëåæíîñòü u ïðîñòðàíñòâó L2 ñëåäóåò èç (7.1.1),
òàê êàê èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð îãðàíè÷åí èç L2 â L2 .
Îïðåäåëåíèå 7.1.11 Ôóíêöèè u(x), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïåðâîîáðàçíûìè èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé v(x), íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè.
Ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûâîäó: çàìûêàíèå îïåðàòîðà d/dx â L2 [a, b] ýòî îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, îïðåäåëåííûé íà àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèÿõ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðûõ, îïðåäåëåííàÿ ïî÷òè âñþäó ïðèíàäëåæèò L2 [a, b].
Óïðàæíåíèå 7.1.12 Áóäåò ëè àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèÿ u, äèô0
ôåðåíöèðóåìàÿ ïî÷òè âñþäó, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé u èíòåãðèðóåìà íà [a, b]?
Ðàçîáðàòü ïðèìåð "êàíòîðîâîé ëåñòíèöû"
Ïîñëåäíÿÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê: u(0) = 0,
u(1) = 1. Íà èíòåðâàëå ïåðâîãî
ðàíãà (1/3, 2/3) ïîëàãàåì u(x) = 1/2. Íà èíòåðâàëàõ âòîðîãî ðàíãà ïîëàãàåì
u(x) = 1/4 íà (1/9, 2/9) è u(x) = 3/4 íà èíòåðâàëå (7/9, 8/9), è ò.ä. Äîêàçàòü,
÷òî u(x) îïðåäåëÿåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè íà âñåì îòðåçêå [0, 1], íî àáñîëþòíî
íåïðåðûâíîé îíà íå áóäåò.
7.2
Ñèììåòðè÷åñêèå è ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû
Ïîíÿòèå ñàìîñîïðÿæåííîñòè, ââåäåííîå ðàíåå äëÿ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ, ïðè ïåðåõîäå ê íåîãðàíè÷åííûì òðåáóåò ïåðåñìîòðà.
Îïðåäåëåíèå 7.2.1 Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì (èëè ýðìèòîâûì), åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ D(A) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(Ax, y) = (x, Ay).
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ýòî â òî÷íîñòè îïðåäåëåíèå ñàìîñîïðÿæåííîñòè. Äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ îïðåäåëåíèå áóäåò äðóãèì.
Îïðåäåëèì ñíà÷àëà ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð A .
∗
Îïðåäåëåíèå 7.2.2 Ïóñòü äëÿ âåêòîðà y ∈ H ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð z ∈ H , ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ D(A) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(Ax, y) = (x, z).
(7.2.1)
138
ÃËÀÂÀ 7.
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Äëÿ òàêèõ y ìû îïðåäåëÿåì îïåðàòîð A∗ , ïîëàãàÿ z = A∗ y , à ìíîæåñòâî
âñåõ òàêèõ y ïðèíèìàåì çà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(A∗ ).
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà A âûðàæåíèå f (x) = (Ax, y)
îïðåäåëÿåò îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, êîòîðûé ïî ëåììå Ðèññà
âñåãäà äîïóñêàåò çàïèñü (x, z). Äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèîíàëîâ âåêòîð
z ñóùåñòâóåò íå âñåãäà.
Çàìå÷àíèå 7.2.3 Âåêòîð z îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè áû ñóùåñòâîâàëî äâà òàêèõ âåêòîðà z1 è z2 , òî ìû èìåëè áû (x, z2 −
z1 ) = 0 äëÿ âñåõ x èç ïëîòíîãî ìíîæåñòâà D(A), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî z1 = z2 .
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïëîòíîñòè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ D(A) îáåñïå÷èâàåò
ñóùåñòâîâàíèå ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
∗
Âûÿñíèì, êàê ñâÿçàíû ãðàôèêè Γ(A) è Γ(A ). Ðàâåíñòâî (7.2.1), îïðåäåëÿþùåå ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, ìîæíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõ ïðÿìîé ñóììû H ⊕ H â âèäå ({Ax, −x}, {y, z}) = 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç U ïðåîáðàçîâàíèå
ïðîñòðàíñòâà H⊕H , ñîñòîÿùåå â ïåðåñòàíîâêå êîìïîíåíò è èçìåíåíèè çíàêà
ó âòîðîé êîìïîíåíòû, ò.å., U {a, b} = {b, −a}. Ýòî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå
âçàèìíî îäíîçíà÷íî è ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Òàêèå ïðåîáðà-
çîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ óíèòàðíûìè, îíè ñîõðàíÿþò ìåòðèêó (ÿâëÿþòñÿ èçîìåòðèÿìè), è çíà÷èò çàìêíóòûå ìíîæåñòâå ïåðåâîäÿò â çàìêíóòûå. Îïðåäå-
∗
ëåíèå (7.2.1) îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðû {y, z} ∈ Γ(A ) è {Ax, −x} ∈ U Γ(A) îðòî-
∗
ãîíàëüíû. Ñëåäîâàòåëüíî, Γ(A ) - ýòî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê U Γ(A):
Γ(A∗ ) = (U Γ(A))⊥ .
(7.2.2)
Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò äîêàçûâàòü "ãðàôè÷åñêè"ìíîãèå âàæíûå ñâîéñòâà íåîãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ è èõ ñîïðÿæåííûõ.
Òåîðåìà 7.2.4 Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð âñåãäà çàìêíóò. Åñëè A çàìêíóò (èëè çàìûêàåì), òî A∗ ïëîòíî îïðåäåëåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ëþáîìó ìíîæåñòâó âñåãäà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (ëåììà 3.3.7). Ïîýòîìó A
∗
çàìêíóò â ñèëó (7.2.2).
Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü. Ïóñòü A - çàìêíóò, òîãäà ìíîæåñòâî U Γ(A) òîæå
∗
çàìêíóòî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî D(A ) íå ïëîòíî, òîãäà ñóùåñòâóåò âåêòîð h ∈
∗
H , îðòîãîíàëüíûé D(A ). Ýòî çíà÷èò, ÷òî âåêòîð {h, 0} îðòîãîíàëåí Γ(A∗ ),
∗
è çíà÷èò, ïðèíàäëåæèò îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ Γ(A ), êîòîðîå â ñèëó
(7.2.2) ñîâïàäàåò ñ çàìûêàíèåì U Γ(A), ò.å., ñ ñàìèì ìíîæåñòâîì U Γ(A),
ïîñêîëüêó îíî çàìêíóòî. Òàêèì îáðàçîì {h, 0} ∈ U Γ(A) èëè {0, h} ∈ G(A).
Íî ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî A0 = h, ÷òî íåâîçìîæíî.
Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî îïðåäåëèòü ñîïðÿæåííûé
∗
îïåðàòîð ê A , òàê êàê ïîñëåäíèé èìååò ïëîòíóþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ýòîì A
∗∗
= A. Äåéñòâèòåëüíî, Γ(A∗∗ ) = (U (U Γ(A))⊥ )⊥ ,
÷òî ñîâïàäàåò ñ Γ(A) â ñèëó çàìêíóòîñòè ïîñëåäíåãî. Åñëè æå A íå çàìêíóò,
íî çàìûêàåì, òî A
∗∗
ðàâåí çàìûêàíèþ A.
Òåïåðü ìû ìîæåì äàòü îïðåäåëåíèå ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
7.2. ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ139
Îïðåäåëåíèå 7.2.5 Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè
îí ñîâïàäàåò ñ A∗ . Áîëåå ïîäðîáíî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
1. îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ D(A) è D(A∗ ) ñîâïàäàþò,
2. îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åñêèé.
 îáùåì ñëó÷àå ñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð íå ðàâåí ñâîåìó ñîïðÿæåííî-
∗
ìó, âûïîëíåíî òîëüêî âêëþ÷åíèå A ⊂ A .
Ïðèâåäåì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé ââåäåííûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó íèìè.
Ïðèìåð 7.2.6 Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â
L2 [0, 1] (ñì. ïðèìåð 7.1.10). Îáîçíà÷èì ÷åðåç A îïåðàòîð −id/dx c åñòåñòâåííîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(A) ñîñòîÿùåé èç ôóíêöèé u(x), àáñîëþòíî
0
íåïðåðûâíûõ íà [0, 1], ïðîèçâîäíàÿ êîòîðûõ u (x) ïðèíàäëåæèò L2 [0, 1].
Íàéäåì ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Îí îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì:
Z b
(Au, v) − (u, w) =
(iu0 (x)v(x) − u(x)w(x))dx = 0,
(7.2.3)
a
u ∈ D(A) è èñêîìûõ ïàð v è
w = A∗ v , êîòîðûå àïðèîðè ïðèíàäëåæàò L2 [a, b]. Ïóñòü
Z x
F (x) =
w(t)dt
êîòîðîå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáûõ
a
- ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè w(x). Èíòåãðèðóÿ â (7.2.3) ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì
Z b
a
b
u0 (x)(iv(x) + F (x))dx − u(x)F (x)|a = 0.
Ðàññìîòðèì ýòî ðàâåíñòâî ñíà÷àëà äëÿ ôóíêöèé, êîòîðûå îáðàùàþòñÿ
â 0 íà êîíöàõ. Òîãäà ïîäñòàíîâêà ïðåäåëîâ äàåò 0, è ìû ïîëó÷èì
Z b
u0 (iv(x) + F (x))dx = 0
(7.2.4)
a
äëÿ ëþáîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè u(x), òàêîé ÷òî u(a) = u(b) =
0. Ïîêàæåì, ÷òî îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ
h(x) = iv(x) + F (x)
ðàâíà ïîñòîÿííîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàíîâêà h(x) = c äàåò
Z b
u0 cdx = c(u(b) − u(a)) = 0.
a
Çíà÷èò, ðàâåíñòâî (7.2.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
Z
u0 (h(x) − c)dx = 0,
(7.2.5)
140
ÃËÀÂÀ 7.
ãäå â êà÷åñòâå c âîçüìåì
Rb
a
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
h(x)dx. Òåïåðü, ïîëàãàÿ â (7.2.5)
Z x
(h(t) − c)dt
u(x) =
a
è çàìå÷àÿ, ÷òî u(a) = u(b) = 0, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
Z b
|h(x) − c|2 dx = 0,
a
îòêóäà h(x) = c ïî÷òè âñþäó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
Z x
v(x) = i
w(t)dt + ic,
a
0
ò.å., ÷òî v - àáñîëþòíî íåïðåðûâíà, è w = −iv . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíê-
∗
öèè v , ïðèíàäëåæàùèå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà A , äîëæíû áûòü
∗
0
àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, è ïðè ýòîì A v = −iv , äðóãèìè ñëîâàìè, A
∗
⊂A
A , è, â ÷àñòíîñòè, ÷òîáû
óáåäèòüñÿ, ÷òî îíà óæå D(A), âåðíåìñÿ ê ðàâåíñòâó (7.2.3), ïîäñòàâèâ w =
−iv 0 . Ìû ïîëó÷èì
×òîáû òî÷íî îïèñàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
Z b
0=
∗
i(u0 v + uv)dx = i(uv)|ba = i(u(b)v(b) − u(a)v(a))).
a
Ýòî âûðàæåíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ âñåõ u ∈ D(A), íå îáÿçàòåëüíî ðàâíûõ 0 íà êîíöàõ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà v ñàìî óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì
óñëîâèÿì v(a) = v(b) = 0. Ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: ïóñòü
A0 - ñóæåíèå îïåðàòîðà A íà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
D(A0 ) = D(A) ∩ {v : v(a) = v(b) = 0}.
Òîãäà A
∗
= A0 ⊂ A.
Óïðàæíåíèå 7.2.7 Äîêàçàòü, ÷òî A∗0 = A
 ÷àñòíîñòè, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî A0 - ñèììåòðè÷íûé îïåðàòîð. Îäíàêî
∗
ñàìîñîïðÿæåííûì îí íå áóäåò, òàê êàê A0
= A 6= A0 , ïîñêîëüêó îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ D(A) øèðå, ÷åì D(A0 ).
Ïðèìåð 7.2.8 Ïðèâåäåì ïðèìåð ñàìîñîïðÿæåííûõ ðàñøèðåíèé îïåðàòîðà A0 . Äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà s, ðàâíîãî 1 ïî ìîäóëþ, ðàññìîòðèì îïåðàòîð As = −id/dx íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
D(As ) = D(A) ∩ {u(1) = su(0)}.
ßñíî, ÷òî ëþáîé èç îïåðàòîðîâ As ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì A0 . Ïðîâåðèì,
÷òî As ñàìîñîïðÿæåí. Äëÿ ýòîãî ñíîâà îáðàòèìñÿ ê (7.2.3), âçÿâ ñíà÷àëà â
êà÷åñòâå u ôóíêöèþ èç D(A0 ) ⊂ D(As ). Êàê è â ïðèìåðå 7.2.6, ìû ïîëó÷èì,
7.2. ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ141
0
÷òî w = −iu , ãäå u - àáñîëþòíî íåïðåðûâíà. Ñíîâà ïîëüçóÿñü (7.2.3), êàê
è â ïðèìåðå 7.2.6, ïðèõîäèì ê óñëîâèþ
u(1)v(1) − u(0)v(0) = u(0)(sv(1) − v(0)) = 0.
Òàêèì îáðàçîì, íóæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû v òîæå óäîâëåòâîðÿëî êðàåâîìó
∗
óñëîâèþ v(1) = sv(0), à ýòî è çíà÷èò, ÷òî D(As ) = D(As ). Ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî äðóãèõ ñàìîñîïðÿæåííûõ ðàñøèðåíèé íåò.
Î÷åíü ïîó÷èòåëüíî ñðàâíèòü ñïåêòðû îïåðàòîðîâ A, A0 è As . Äëÿ îïåðàòîðà A ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî λ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ñ
ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé e
iλx
. Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð A òî÷å÷íûé è çàïîëíÿ-
åò âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü, ðåçîëüâåíòíîå ìíîæåñòâî ïóñòî.
Äëÿ îïåðàòîðà A0 òî÷å÷íûé ñïåêòð îòñóòñòâóåò, òàê êàê åäèíñòâåííûé
êàíäèäàò â ñîáñòâåííûå ôóíêöèè y = e
iλx
íå ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü êðàå-
âûì óñëîâèÿì y(1) = y(0) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, λ−A0 - âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå. Íî îáðàç Im (λ−A0 ) íå ïëîòåí â L2 [0, 1]. Äåéñòâèòåëüíî, îáðàç
îïåðàòîðà λ − A0 îðòîãîíàëåí ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà (ñðàâíè òðåòüþ òåîðåìó Ôðåäãîëüìà), à ó ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà λ − A
λ ïðèíàäëåæèò
îñòàòî÷íîìó ñïåêòðó îïåðàòîðà A0 , à ðåçîëüâåíòíîå ìíîæåñòâî ïóñòî.
Ðàññìîòðèì òåïåðü îïåðàòîð As . Îïÿòü åäèíñòâåííûì êàíäèäàòîì â ñîáiλx
ñòâåííûå ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ y = e
, íî îíà óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîìó óñëîâèþ y(1) = sy(0) òîëüêî ïðè λ = arg s + 2πn. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷å÷íûé
ñïåêòð - ýòî ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, à îñòàëüíûå λ ∈ C
âñåãäà åñòü ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå
ïðèíàäëåæàò ðåçîëüâåíòíîìó ìíîæåñòâó (äîêàçàòü ýòî).
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà äîêàæåì ìåòîäîì ãðàôèêà âàæíóþ è íåñêîëüêî íåîæèäàííóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 7.2.9 Ïóñòü A - çàìêíóòûé ïëîòíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð.
Òîãäà îïåðàòîðû
B = (1 + A∗ A)−1 , C = A(1 + A∗ A)−1
âñþäó îïðåäåëåíû, îãðàíè÷åíû è
kBk ≤ 1, kCk ≤ 1.
Êðîìå òîãî, B ñàìîñîïðÿæåí è ïîëîæèòåëåí.
Ýòà òåîðåìà, î÷åâèäíàÿ, êîãäà
A - îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, â ñëó÷àå
íåîãðàíè÷åííîãî A ñîâñåì íå î÷åâèäíà. Íåÿñíî äàæå, êàêîâà îáëàñòü îïðå-
∗
äåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ A A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê Γ(A) è U Γ(A∗ ) ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè
äîïîëíåíèÿìè äðóã äðóãà â H ⊕ H , òî âåêòîð {h, 0} ìîæíî åäèíñòâåííûì
îáðàçîì ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ âåêòîðîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ýòèì
îðòîãîíàëüíûì ïîäïðîñòðàíñòâàì:
{h, 0} = {x, Ax} + {A∗ y, −y}.
(7.2.6)
142
ÃËÀÂÀ 7.
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Çàïèñàâ ýòî ðàâåíñòâî â êîìïîíåíòàõ, ìû óâèäèì, ÷òî ñèñòåìà
h = x + A∗ y, 0 = Ax − y
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x è y , ïðèíàäëåæàùèå ñîîòâåòñòâåííî D(A) è
D(A∗ ). Ïîëîæèâ x = Bh è y = Ch, ìû òåì ñàìûì îïðåäåëèì îïåðàòîðû
B è C . Ýòè îïåðàòîðû îïðåäåëåíû íà âñåì H , è ñ èõ ïîìîùüþ óêàçàííóþ
ñèñòåìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
1 = B + A∗ C, 0 = AB − C,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
C = AB, 1 = B + A∗ AB = (1 + A∗ A)B.
(7.2.7)
Òàê êàê ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè (7.2.6) îðòîãîíàëüíû, òî
khk2 = k{h, 0}k2 = k{x, Ax}k2 + k{A∗ y, −y}k2
= kxk2 + kAxk2 + kA∗ yk2 + kyk2 ,
îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî
kBhk2 + kChk2 = kxk2 + kyk2 ≤ khk2 ,
è, ñëåäîâàòåëüíî,
kBk ≤ 1, kCk ≤ 1.
Äàëåå, äëÿ ëþáîãî âåêòîðà u ∈ H
((1 + A∗ A)u, u) = (u, u) + (Au, Au) ≥ (u, u),
∗
òàê ÷òî, åñëè (1 + A A)u = 0, òî u = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îïåðàòîð
∗
−1
(1 + A A)
. Ñîãëàñíî (7.2.6) îí îïðåäåëåí âñþäó è ðàâåí B
B = (1 + A∗ A)−1 .
Îïåðàòîð B ñàìîñîïðÿæåí è ïîëîæèòåëåí. Â ñàìîì äåëå,
(Bu, v) = (Bu, (1 + A∗ A)Bv) = (Bu, Bv) + (Bu, A∗ ABv)
(Bu, Bv) + (A∗ ABu, Bv) = ((1 + A∗ A)Bu, Bv) = (u, Bv)
è
(Bu, u) = (Bu, (1 + A∗ A)Bu) = (Bu, Bu) + (ABu, ABu) ≥ 0.
íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî çàêàí÷èâàåòñÿ.
Èç ýòîé òåîðåìû âûâîäÿòñÿ ñâîéñòâà ñïåêòðà íåîãðàíè÷åííûõ ñàìîìîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ.
Òåîðåìà 7.2.10
òåëåí.
1. Ñïåêòð ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà äåéñòâè-
7.2. ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ È ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ143
2. Îñòàòî÷íûé ñïåêòð ïóñò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λ = µ + iν, ν 6= 0 - êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Íàéäåì
ðåçîëüâåíòó R(µ + iν) è ïîêàæåì, ÷òî îíà îãðàíè÷åíà è âñþäó îïðåäåëåíà.
Äëÿ ýòîãî íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå
((A − µ) − iν)x = f,
∗
ãäå f ∈ H äàííûé âåêòîð. Ïðèìåíÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì îïåðàòîð (A − λ)
=
(A − µ) + iν , ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
((A − µ)2 + ν 2 )x = ((A − µ) + iν)f,
èëè
1+
A−µ
ν
2 !
x=
1
ν
A−µ
v
+ i f.
Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå îïåðàòîð â ëåâîé ÷àñòè èìååò îãðàíè÷åííûé îá-
∗
ðàòíûé, (îòìåòèì, ÷òî ((A − µ)
1
x=
ν
1+
= (A − µ), ñëåäîâàòåëüíî,
A−µ
ν
2 !−1 A−µ
f + if
ν
.
Èòàê, ðåçîëüâåíòà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
1
R(µ + iν) = (µ + iν − A)−1 = − (iB + C)
(7.2.8)
ν
2 !−1
2 !−1
A−µ
Aµ
B = 1+
, C = 1+
(A − µ).
ν
ν
Òàê êàê ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå kBk ≤ 1,
kCk ≤ 1, òî äëÿ íîðìû ðåçîëü-
âåíòû ïîëó÷àåì îöåíêó
kR(λ)k ≤
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âñå λ ∈ C,
2
,
|=λk
=λ 6= 0 ïðèíàäëåæàò ðåçîëüâåíòíîìó ìíî-
æåñòâó.
Ïóñòü òåïåðü λ ∈ R ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó, íî íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì
çíà÷åíèåì. Ïîêàæåì, ÷òî îáðàç Im (λ − A) ïëîòåí â H . Äåéñòâèòåëüíî, â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò âåêòîð e îðòîãîíàëüíûé Im (λ − A), ò.å., ((λ −
A)x, e) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ D(A). Ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà
∗
ýòî îçíà÷àåò, (λ − A) e = 0, çíà÷èò e - ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà (λ −
∗
A) = λ − A, âîïðåêè ïðåäïîëîæåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, îñòàòî÷íûé ñïåêòð
ïóñò.
144
ÃËÀÂÀ 7.
7.3
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Î ñïåêòðàëüíîé òåîðåìå
Ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ôîðìóëèðîâêîé è íåêîòîðûìè çàìå÷àíèÿìè, òàê
êàê äîêàçàòåëüñòâî ñïåêòðàëüíîé òåîðåìû äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ òåõíè÷åñêè äîâîëüíî ñëîæíî, è, êàê íàì êàæåòñÿ, íå
ñòîèò èçëàãàòü åãî â ýòîì ïîñîáèè. Èíòåðåñóþùèåñÿ ìîãóò îáðàòèòüñÿ ê
êíèãå Ðèññà è Ñåêåôàëüâè-Íàäÿ "Ëåêöèè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó".
Óòî÷íèì ïðåæäå âñåãî ïîíÿòèå ïåðåñòàíîâî÷íîñòè íåîãðàíè÷åííîãî îïå-
ðàòîðà A è îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà B . Çàìåòèì, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
îïåðàòîðà BA ñîâïàäàåò ñ D(A) òàê êàê B îãðàíè÷åí, è çíà÷èò îïðåäåëåí
âñþäó. ×òî æå êàñàåòñÿ îïåðàòîðà AB , òî åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìîæåò è
íå ñîâïàäàòü ñ D(A), è ìû ñïåöèàëüíî ïîòðåáóåì, ÷òîáû B îòîáðàæàë D(A)
â ñåáÿ. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèå ïåðåñòàíîâî÷íîñòè äëÿ îãðàíè÷åííîãî
îïåðàòîðà B âûãëÿäèò òàê:
BA ⊂ AB.
Óòî÷íèì òåïåðü ïîíÿòèå ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè ñàìîñîïðÿæåííîãî íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà A (ñðàâíèòå îïðåäåëåíèå 6.3.1).
Îïðåäåëåíèå 7.3.1 Ôóíêöèÿ E(λ) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèåé ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1. çíà÷åíèÿ E(λ) - ýòî îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû, ïåðåñòàíîâî÷íûå ñ
ëþáûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì B , ïåðåñòàíîâî÷íûì ñ A,
2. ñåìåéñòâî E(λ) ìîíîòîííî, ò.å., E(λ) ≤ E(µ) ïðè λ < µ,
3. ôóíêöèÿ E(λ) íåïðåðûâíà ñïðàâà, ò.å.,
lim E(λ + 0) = E(λ)
δ→+0
(ïðåäåë ïîíèìàåòñÿ â ñèëüíîì ñìûñëå),
4.
lim E(λ) = 0, lim E(λ) = 1,
λ→−∞
λ→∞
(ïðåäåëû ïîíèìàþòñÿ â ñèëüíîì ñìûñëå),
5. ïóñòü ∆ = (λ, µ], è E∆ = E(µ) − E(λ), ãäå λ, µ ∈ R. Òîãäà îïåðàòîð
AE∆ îãðàíè÷åí, ñàìîñîïðÿæåí è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
λE∆ ≤ AE∆ ≤ µE∆ .
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî íåîãðàíè÷åííîãî
ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(A) ñîñòîèò èç âåêòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ
ñõîäèòñÿ èíòåãðàë
Z ∞
−∞
λ2 d(E(λ)x, x).
7.3. Î ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÉ ÒÅÎÐÅÌÅ
145
Ïðè ýòîì îïåðàòîð çàäàåòñÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì Ñòèëüòüåñà
Z ∞
A=
Z b
λdE(λ) = lim
λdE(λ),
a,b→∞
−∞
−a
êîòîðûé ïîíèìàåòñÿ êàê ñèëüíûé (èëè ñëàáûé) ïðåäåë.
Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè îò îïåðàòîðà, â ÷àñòíîñòè ðåçîëüâåíòà, òàêæå
âûðàæàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè, íî òîëüêî èíòåãðàëû áóäóò
íåñîáñòâåííûìè. Íàïðèìåð,
Z ∞
R(z) =
1
dE(λ),
z
−
λ
−∞
ïðè z 6∈ R. Îñòàåòñÿ â ñèëå è ôîðìóëà Ñòîóíà, à èìåííî, åñëè a è b - òî÷êè
íåïðåðûâíîñòè E(λ), òî
lim
ε→0
1
2πi
Z b
1
R(t − iε)dt −
2πi
a
!
Z b
R(t + iε)dt
= E(b) − E(a),
a
(ïðåäåë ñëàáûé).
 çàêëþ÷åíèå ìû ïðîèëëþñòðèðóåì ñïåêòðàëüíóþ òåîðåìó è ôîðìóëó
Ñòîóíà íà ïðèìåðå äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà −id/dx.
Ïðèìåð 7.3.2 Îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íà êîíå÷íîì îòðåçêå.
Êàê ïîêàçàíî â ïðèìåðå 7.2.6, îïåðàòîð A
= −id/dx íà êîíå÷íîì îòðåç-
êå [−N, N ] áóäåò ñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè â êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
D(A) âçÿòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè u(x) ∈ L2 [−N, N ], ïðîèç0
âîäíûå êîòîðûõ u òàêæå ïðèíàäëåæàò L2 [−N, N ], è, êðîìå òîãî, äîëæíî
âûïîëíÿòüñÿ êðàåâîå óñëîâèå, ñâÿçûâàþùåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà êîíöàõ.
Íàèáîëåå ïðîñòûì ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè
u(N ) = u(−N ),
êîòîðîå ìû è áóäåì ïðåäïîëàãàòü âûïîëíåííûì.
Íàéäåì ñïåêòðàëüíîå ñåìåéñòâî ýòîãî îïåðàòîðà, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé
−1
Ñòîóíà. Íàõîæäåíèå ðåçîëüâåíòû R(λ) = (λ − A)
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
λu + iu0 = v
ïðè óñëîâèè u(N )
= u(−N ), ãäå v ∈ L2 [−N, N ] äàííàÿ ôóíêöèÿ. Îáùåå
ðåøåíèå ïî ìåòîäó âàðèàöèè ïîñòîÿííîé èìååò âèä
u = Ceiλx − i
Z x
eiλ(x−y) v(y)dy,
−N
à ïîñòîÿííóþ C íàõîäèì èç óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòè
Ce−iλN = CeiλN − i
Z N
−N
eiλ(N −y) v(y)dy,
146
ÃËÀÂÀ 7.
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
îòêóäà
i
C = iλN
e
− e−iλN
Z N
eiλ(N −y) v(y)dy.
−N
Ïîäñòàâëÿÿ, ïîëó÷èì ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíòé
u(x) = R(λ)v
Z N
ieiλN
= iλN
e
− e−iλN
iλ(x−y)
e
Z x
v(y)dy − i
eiλ(x−y) v(y)dy. (7.3.1)
−N
−N
Ìû âèäèì, ÷òî ðåçîëüâåíòà - ýòî èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ïðîñòûìè ïîëþñàìè ïðè λn =
πn
N è âû÷åòàìè â ýòèõ ïîëþñàõ, ðàâíûìè
1
2N
Z N
eiπn(x−y)/N v(y)dy.
−N
Ôîðìóëà Ñòîóíà äàåò ñóììó âû÷åòîâ â ïîëþñàõ λn ∈ (a, b):
E(b)v − E(a)v =
1
2N
Z N
X
λn ∈(a,b)
eiπn(x−y)/N v(y)dy.
−N
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñóììà ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ðÿäà Ôóðüå ïî îðòîãîíàëü-
−1/2 iπnx/N
íîé ñèñòåìå ôóíêöèé (2N )
e
íà îòðåçêå [−N, N ]. Ïðè a → −∞ ìû
ïîëó÷àåì
E(b)v =
1 X inx/N
e
2N
λn <b
Z N
einy/N v(y)dy.
−N
Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè v(x) - ýòî ðàçëîæåíèå
â ðÿä Ôóðüå
∞
v(x) =
1 X inx/N
e
2N −∞
à ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè
Z N
e−iny/N v(y)dy,
−N
Av ïî ñïåêòðàëüíîé òåîðåìå èìååò
âèä
∞
Z ∞
Av =
λd(E(λ)v) =
−∞
1 X πn iπnx/N
e
2N −∞ N
Z N
e−iπny/N v(y)v(y)dy,
−N
÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà Ôóðüå
äëÿ v .
Ïðèìåð 7.3.3 Îïåðàòîð A = −id/dx â ïðîñòðàíñòâå L2 (−∞, ∞).
Ïðåæäå âñåãî ïîêàæåì, ÷òî íà åñòåñòâåííîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, ñîñòî-
0
ÿùåé èç àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, òàêèõ ÷òî u, u
∈ L2 (−∞, ∞)
îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì áåç âñÿêèõ êðàåâûõ óñëîâèé. Äëÿ
ýòîãî ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì (7.2.3), áåðÿ â êà÷åñòâå u àáñîëþòíî
7.3. Î ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÉ ÒÅÎÐÅÌÅ
147
íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ðàâíûå íóëþ âíå ôèêñèðîâàííîãî îòðåçêà [−N, N ].
Êàê è â ïðèìåðå 7.2.6, ýòî îïÿòü ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî v äîëæíà áûòü àá-
∗
ñîëþòíî íåïðåðûâíîé íà ýòîì îòðåçêå, è A v
= −iv 0 . Òàê êàê N ìîæíî
âûáðàòü ïðîèçâîëüíî, òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî v àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà
âñåé îñè, ïðè ýòîì v è −iv
0
äîëæíû ïðèíàäëåæàòü L2 (−∞, ∞). Òàêèì îá-
ðàçîì, êàê è â ïðèìåðå 7.2.6, ìû ïðèõîäèì ê âêëþ÷åíèþ A
∗
⊂ A.
∗
⊃ A,
= A. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî (7.2.3) íà ôóíêöèÿõ u, v ∈
L2 (−∞, ∞), òàêèõ ÷òî Au = −iu0 , w = Av = −iv 0 òàêæå ïðèíàäëåæàò
L2 (−∞, ∞). Òîãäà
Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî A ñèììåòðè÷åí, òîãäà ìû áû èìåëè A
ò.å., A
∗
(Au, v) − (u, Av) = i(u(x)v(x))|∞
−∞ = lim i(u(N )v(N ) − u(−N )v(−N )) = 0.
n→∞
Äåéñòâèòåëüíî,
Z ∞
u(N )v(N ) = −
(u0 (t)v(t) + uv 0 )dt → 0
N
0
ïðè N → ∞, ïîñêîëüêó u, vu , v
0
∈ L2 (−∞, ∞).
t ∈ R. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ðåøàÿ
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïðè óñëîâèè, ÷òî ðåøåíèå u ïðèíàäëåæèò
L2 . Áûñòðåå, îäíàêî, âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (7.3.1) è óñòðåìèòü N ê
Íàéäåì ðåçîëüâåíòó ïðè λ = t ± iε,
áåñêîíå÷íîñòè. Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó (7.3.1), çàïèñàâ èíòåãðàë
ïî îòðåçêó [−N, N ] â âèäå ñóììû ïî ïðîìåæóòêàì [−N, x) è (x, N ]. Ýòî
äàåò
Z N
ieiλN
eiλ(x−y) v(y)dy
eiλN − e−iλN x
Z x
ie−iλN
eiλ(x−y) v(y)dy.
+ iλN
e
− e−iλN −N
R(λ)v =
(7.3.2)
Ïðè N → +∞ è =λ > 0 èìååì
eiλN
→ 0,
eiλN − e−iλN
e−iλN
→ 1,
eiλN − e−iλN
òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåë Rv áóäåò ðàâåí
Z x
R(t + iε)v = i
e−ε(x−y) eit(x−y) v(y)dy.
−∞
Àíàëîãè÷íî, ïðåäåë ïðè N → +∞ ïðè λ = t − iε ðàâåí
Z ∞
R(t − iε)v = i
e−ε(x−y) eit(x−y)v(y) dy.
x
Òåïåðü íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýòè ôîðìóëû äåéñòâèòåëüíî äàþò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ λu + iu
0
= v , ïðèíàäëåæàùåå L2 .
148
ÃËÀÂÀ 7.
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ
Ïðèìåíèì òåïåðü ôîðìóëó Ñòîóíà. Èìååì
1
2πi
=
Z b
1
2π
R(t − iε)vdt −
a
Z ∞
Z b
dt
a
Z b
1
2πi
R(t + iε)vdt
a
e−ε|x−y| eit(x−y) v(y)dy.
−∞
Ïóñòü v - ôèíèòíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà â ïðåäåëå ïðè ε → +0 ïîëó÷àåì
1
E(b)v − E(a)v =
2π
Z ∞
Z b
dt
eit(x−y) v(y)dy,
−∞
a
è ïðè b →= ∞, a → −∞ ïîëó÷àåì, ÷òî ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñîâïàäàåò
ñ ðàçëîæåíèåì â èíòåãðàë Ôóðüå
v(x) =
1
2π
Z ∞
eitx dt
Z ∞
−∞
e−ity v(y)dy.
−∞
Êàê è äëÿ ðÿäîâ Ôóðüå, äèôôåðåíöèðîâàíèå ðàçëîæåíèÿ â èíòåãðàë
Ôóðüå äàåò ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå äëÿ ôóíêöèè Av , èäåíòè÷íîå ñ ðàçëîæåíèåì, âûòåêàþùèì èç ñïåêòðàëüíîé òåîðåìû.
1
Av = −iv 0 (x) =
2π
Z ∞
td(E(t)v).
=
Z ∞
−∞
teitx dt
Z ∞
e−ity v(y)dy
−∞
−∞
Âîïðîñû ñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâ â ýòèõ ôîðìóëàõ òðåáóþò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ, êîòîðîå ïðèâîäèò ê L2 - òåîðèè èíòåãðàëîâ Ôóðüå. Ìû
çäåñü íå èìååì âîçìîæíîñòè íà ýòîì îñòàíàâëèâàòüñÿ. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî
âîïðîñû ñõîäèìîñòè íå âîçíèêàþò, åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ãëàäêèìè è ôèíèòíûìè ôóíêöèÿìè v(x).
Çàäà÷è
Ãëàâà 1
1. Äîêàçàòü, ÷òî àêñèîìû ðàññòîÿíèÿ âûïîëíÿþòñÿ â ïðèìåðàõ 1.1.2 1.1.6.
2. Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà íà ÿçûêå ”ε − N ”.
3. Äàòü îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ íà ÿçûêå ”ε − δ”.
4. Äîêàçàòü, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
xn (t) ∈ C[a, b] - ýòî
ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
5. Ñõîäèòñÿ ëè â C[0, 1] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
• xn (t) = tn − tn+1 ,
• tn − t2n .
6. Ñõîäèòñÿ ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xn (t) =
à) â C[0, 1]?, á) â C
(1)
tn+1
tn+2
−
n+1 n+2
[0, 1]?
7. Äîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â
C[a, b] âûòåêàåò ñõîäèìîñòü òîé æå
c
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â L [a, b].
8. Áóäóò ëè ïîëíûìè ïðîñòðàíñòâà â ïðèìåðàõ 1.1.2 - 1.1.6?
9. Ðàçîáðàòü ïðèìåð 1.3.2.
10. Ðàçîáðàòü ïðèìåð 1.3.3.
11. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå F (x) = 0,
x ∈ [a, b], â âèäå x = x − λF (x).
7→ x − λF (x) áûëî
Âñåãäà ëè ìîæíî ïîäîáðàòü λ, ÷òîáû îòîáðàæåíèå x
ñæàòèåì îòðåçêà [a, b]?
3
12. Äàíî óðàâíåíèå x(t) = t + εx(t ),
|ε| < 1. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x(t) ∈ C[0, 1]. Ñêîëüêî íóæíî ñäåëàòü èòåðàöèé äëÿ
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ 0, 01 ïðè ε = 0.5?
13. Ïóñòü F (x(t)) = 1 + λ
Rt
0
x(τ )dτ - îòîáðàæåíèå C[0, 1] â C[0, 1]. Äî-
êàçàòü, ÷òî ïðè |λ| < 1 - ýòî ñæàòèå. Íàéòè íåïîäâèæíóþ òî÷êó, âû÷èñëèâ
ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èòåðàöèé.
14. Ðàññìîòðåòü ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ
F : x 7→
1
a
x+
2
x
149
150
Çàäà÷è
íà ïðîñòðàíñòâå Q+ ðàöèîíàëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë (a ∈ Q+ ). Ïî÷åìó
íåâåðíà òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå?
15. Ðàññìîòðåòü ïðèìåð
F : x 7→ x +
1
,
x
x > 1.
Ïî÷åìó íåâåðíà òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå?
16. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâà C[0, 1] è C[0, 2] èçîìåòðè÷íû.
17. Ïóñòü M - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ìåòðèêîé ρ(x, y). Áóäóò ëè ìåòðèêàìè ôóíêöèè
ρ1 =
ρ
, ρ2 = ln(1 + ρ), ρ3 = min{1, ρ}.
1+ρ
Áóäåò ëè ïîëíûì ïðîñòðàíñòâî M ñ òàêèìè ìåòðèêàìè?
18. Áóäåò ëè ïîëíûì R ñ ìåòðèêîé
• ρ(x, y) = | arctg x − arctg y|,
• ρ(x, y) = |ex − ey |,
• ρ(x, y) = |x3 − y 3 |?
Åñëè íåò, òî îïèñàòü ïîïîëíåíèå.
Ãëàâà 2
19. Äîêàçàòü ëåììó Ãåéíå-Áîðåëÿ: ïóñòü
F - çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå
n
ìíîæåñòâî â R . Òîãäà èç ëþáîãî ïîêðûòèÿ F îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè
ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîêðûòèå.
20. Âåðõíÿÿ ìåðà ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ðàâíî 0.  ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èìååò âåðõíþþ ìåðó 0.
21. Ïðèâåñòè ïðèìåð íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.
22. Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî K îïðåäåëÿåòñÿ òàê: äåëèì îòðåçîê [0, 1] íà
òðè ðàâíûå ÷àñòè è âûáðàñûâàåì ñðåäíèé èíòåðâàë (1/3, 2/3). Îñòàâøèåñÿ
äâà îòðåçêà [0, 1/3] è [2/3, 1] îïÿòü äåëÿòñÿ íà òðè ðàâíûå ÷àñòè, è ñðåäíèå
èíòåðâàëû âûáðàñûâàþòñÿ, è ò.ä. äî áåñêîíå÷íîñòè. Îñòàâøååñÿ ìíîæåñòâî
è åñòü êàíòîðîâî ìíîæåñòâî. Äîêàçàòü
• K - íèãäå íå ïëîòíî, ò.å., ëþáîé èíòåðâàë (α, β) ⊂ [0, 1] ñîäåðæèò
ïîäèíòåðâàë (α1 , β1 ), ñâîáîäíûé îò òî÷åê K ,
• K - íåñ÷åòíî (èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà),
• K - èìååò ìåðó 0.
Çàäà÷è
151
23. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îòðåçêà [0, 1], â ïðåäñòàâëåíèè êîòîðûõ ñ ïîìîùüþ áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé íå âñòðå÷àåòñÿ öèôðà 5. Äîêàçàòü èçìåðèìîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà è íàéòè åãî ìåðó.
24. Èçìåðèìû ëè îòêðûòûå ìíîæåñòâà? Ïî÷åìó?
25. Ïðèâåñòè ïðèìåð áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà, íî íå çàìêíóòîãî è íå
îòêðûòîãî.
26. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà ìåðû 0 èçìåðèìû.
27. Äîêàçàòü èçìåðèìîñòü íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.
28. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ èçìåðèìîé ôóíêöèè ïðîîáðàçû áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ íà ïðÿìîé èçìåðèìû.
29. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Äèðèõëå èçìåðèìà.
30. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Äèðèõëå íåèíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, íî èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó.
31. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà Z , ðàâíàÿ 1 ïðè x ∈ Z è
0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, èçìåðèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâî Z
èçìåðèìî.
32. Ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà.
33. Äîêàçàòü ëèíåéíîñòü, ìîíîòîííîñòü è àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà. Îáëàäàåò ëè îí ñâîéñòâîì ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè?
R
f dµ = 0, òî f (x) = 0 ïî÷òè âñþäó.
R 1G
−1/3
35. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Ëåáåãà
f
(x)dµ
, ãäå f (x) = x
ïðè x - èð0
1/3
ðàöèîíàëüíûõ è f (x) = x
ïðè x ðàöèîíàëüíûõ.
34. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f (x) ≥ 0 è
36. Ìîæåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ â ñðåäíåì, íå ñõîäèòüñÿ
íè â îäíîé òî÷êå?
37. Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé, ñõîäÿùåéñÿ â ñðåäíåì, ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ïî÷òè âñþäó.
2
38. Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé xn (t) = n te
−nt
ñõîäèòñÿ
â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [0, 1], íî íå ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì. Ïî÷åìó íåïðèìåíèìà òåîðåìà Ëåáåãà?
39. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ïëîòíî â L[0, 1].
40. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé ïëîòíî â L[0, 1].
41. Â ïðîñòðàíñòâå L[0, 1] ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ôóíêöèé, ðàâíûõ íóëþ
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè 0,5. Áóäåò ëè îíî ïëîòíûì?
Ãëàâà 3
42. Èçîáðàçèòü åäèíè÷íûé øàð â R
ðàçëè÷íûõ p,
2
p
p 1/p
ñ íîðìîé kxkp = (x1 + x2 )
ïðè
1 ≥ p ≥ ∞.
43. Äîêàçàòü, ÷òî åäèíè÷íûé øàð - ýòî âûïóêëîå öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîå ìíîæåñòâî.
p
p 1/p
44. Áóäåò ëè ôóíêöèÿ (x1 + x2 )
45. Áóäåò ëè íîðìîé â C
(2)
íîðìîé â R
2
ïðè p < 1?
[0, 1]
kx(t)k = |x(0)| + |x0 (0)| + max |x00 (t)|.
t∈[0,1]
152
Çàäà÷è
Áóäåò ëè îíà ýêâèâàëåíòíà ñòàíäàðòíîé íîðìå â C
(2)
[0, 1]?
46. Ïîñòðîèòü ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(n)
(n)
(n)
x(n) = {x1 , x2 , x3 , . . .},
ïðèíàäëåæàùåé êàæäîìó èç ðàññìàòðèâàåìîé ïàðû ïðîñòðàíñòâ è
• ñõîäÿùåéñÿ â m, íî íå ñõîäÿùåéñÿ â l1 ,
• ñõîäÿùåéñÿ â l2 , íî íå ñõîäÿùåéñÿ â l1 ,
• ñõîäÿùåéñÿ â c0 , íî íå ñõîäÿùåéñÿ â l2 .
47. Äîêàçàòü, ÷òî lp
⊂ c0 , íî ñóùåñòâóåò x ∈ c0 < íå ïðèíàäëåæàùèé
íèêàêîìó lp .
48. Áóäåò ëè ëèíåéíîå ìíîæåñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì? Ïî÷åìó?
49. Áóäåò ëè ïîäïðîñòðàíñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì?
50. Áóäóò ëè ïîäïðîñòðàíñòâàìè â C[−1, 1] ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà
• ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé?
• ìíîæåñòâî ÷åòíûõ (íå÷åòíûõ) ôóíêöèé?
• ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ?
• ìíîæåñòâî ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x(0) = 0?
R1
• óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ −1 x(t)dt = 0?
51. Ïóñòü L - ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x = {x1 , x2 , x3 , . . .}, äëÿ
êîòîðûõ
P∞
k=0 xk = 0. Áóäåò ëè ìíîæåñòâî L ∩ l1 ïîäïðîñòðàíñòâîì â l1 ?
Áóäåò ëè L ∩ l2 ïîäïðîñòðàíñòâîì â l2 ?
52. Äîêàçàòü ñåïàðàáåëüíîñòü c, c0 , lp .
53. Äîêàçàòü ïîëíîòó Lp è åãî ñåïàðàáåëüíîñòü.
54. Ïóñòü â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ çàìêíóòûõ øàðîâ, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê 0. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì øàðàì.
55. Äîêàçàòü, ÷òî â C[01] íåëüçÿ ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, îïðåäåëÿþùåå íîðìó.
56. Äîêàçàòü, ÷òî ðàâåíñòâî ïàðàëëåëîãðàììà íå òîëüêî íåîáõîäèìî, íî
è äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû íîðìà ïîðîæäàëàñü ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ïðè ýòîì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè
(x, y) =
1
(kx + yk2 − kx − yk2 )
2
â äåéñòâèòåëüíîì ñëó÷àå è
(x, y) =
1
(kx − yk2 − kx − yk2 − ikx + iyk2 + ikx − iyk2 )
4
Çàäà÷è
153
â êîìïëåêñíîì ñëó÷àå.
57. Äîêàçàòü ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà M â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå çàìêíóòî.
58. Äîêàçàòü, ÷òî M ⊂ (M
⊥ ⊥
) . Êîãäà âîçìîæíî ðàâåíñòâî?
59. Äîêàçàòü, ÷òî L2 [0, 1] ⊂ L1 [0, 1]. Âåðíî ëè îáðàòíîå âêëþ÷åíèå? Âåðíî ëè, ÷òî L2 (−∞, ∞) ⊂ L1 (−∞, ∞)?
60. Íàéòè óãëû òðåóãîëüíèêà â L2 [−1, 1] ñ âåðøèíàìè x1 (t) = 0,
x2 (t) =
1, x3 (t) = t.
61. Îðòîãîíàëèçîâàòü ñèñòåìó ôóíêöèé
x0 = 1, x1 = t, x2 = t2 , x3 = t3
à) â L2 [0, 1], á) â L2 [−1, 1].
62. Ìíîãî÷ëåíû Ýðìèòà ïîëó÷àþòñÿ îðòîãîíàëèçàöèåé ñèñòåìû ñòåïåíåé íà âñåé îñè (−∞, ∞) îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
Z ∞
(x(y), y(t)) =
2
x(t)y(t)e−t dt.
−∞
Íàéòè òðè ïåðâûõ ìíîãî÷ëåíà Ýðìèòà. Áóäåò ëè ýòà ñèñòåìà ïîëíîé?
63. Ïóñòü M = {x(t) ∈ L2 [0, 1] :
R1
0
x(t)dt = 0}. Îïèñàòü M ⊥ .
Ãëàâà 4
64. Äîêàçàòü îãðàíè÷åííîñòü ñëåäóþùèõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ è íàéòè èõ íîðìû:
• hf, xi =
R1
• hf, xi =
R 1 −1/3
t
x(t)dt â L2 [0, 1].
0
−1
x(t)dt − x(0) â C[−1, 1],
65. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå îïåðàòîðû ëèíåéíû è îãðàíè÷åíû. Íàéòè
èõ íîðìû.
• A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
Rt
0
x(τ )dτ.
• A : C[−1, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x(t).
• A : C (1) [0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = x0 (t).
R1
• A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1], Ax(t) = t 0 x(τ )dτ.
• L2 [0, 1] → L2 [0, 1],
Ax(t) =
Rt
0
x(τ )dτ. (Íîðìó âû÷èñëÿòü íå íàäî,
äîñòàòî÷íî îöåíèòü åå.)
66. Íàéòè îáùèé âèä ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî ôóíêöèîíàëà â lp (ñì.
òåîðåìó 4.3.7).
154
Çàäà÷è
67. Â ïðîñòðàíñòâå R
ñòâî L = {x ∈ R
2
ñ åâêëèäîâîé íîðìîé ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàí-
2
: 2x1 − x2 = 0} è ôóíêöèîíàë, çàäàííûé íà L ïî ôîðìóëå
hf, xi = x1 . Ïðîäîëæèòü åãî íà âñå R2 ñ ñîõðàíåíèåì íîðìû.
∗
68. Ïóñòü X - ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, f ∈ X . Äîêàçàòü,
÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå x ∈ X , ÷òî hf, xi = kf kkxk.
69. Äîêàçàòü ÷òî íîðìà îïåðàòîðà A : X → Y ðàâíà
kAk = sup |hf, Axi|,
f ∈ Y ∗ , kxk = kf k = 1.
70. Ïóñòü áåñêîíå÷íàÿ ìàòðèöà aij , i, j = 1, 2, . . . ∞ óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
ãäå ñóïðåìóì áåðåòñÿ ïî âñåì x ∈ X,
âèÿì
∞
X
|aij | ≤ C,
i=1
∞
X
|aij | ≤ C.
j=1
Äîêàçàòü, ÷òî íîðìà îïåðàòîðà (4.4.4) â lp ,
1 < p < ∞ íå ïðåâîñõîäèò C .
(Ñì. ïðåäëîæåíèå 4.4.9)
71. Äîêàçàòü îãðàíè÷åííîñòü èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà â
Lp [a, b], ïðè
óñëîâèè, ÷òî åãî ÿäðî K(x, y), óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
Z b
Z b
|K(x, y)|dx ≤ C,
a
|K(x, y)|dy ≤ C.
a
72. Íàéòè íîðìó îïåðàòîðà
Au(x) =
1
x
Z x
u(y)dy
0
â Lp (0, ∞).
73. Ïóñòü A : X → Y - îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â áàíàõîâûõ ïðîñòðàí-
x ∈ X, à
Ker A - ÿäðî A, ò.å., ìíîæåñòâî òàêèõ x ∈ X , äëÿ êîòîðûõ Ax = 0. Áóäóò
ëè ýòè ìíîæåñòâà ïîäïðîñòðàíñòâàìè â Y è X ñîîòâåòñòâåííî.
74. Ïóñòü L(X, Y ) - ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ â
áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Äîêàçàòü, ÷òî L(X, Y )- òîæå ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì
ñòâàõ. Ïóñòü Im A - îáðàç A, ò.å., ìíîæåñòâî âåêòîðîâ âèäà Ax,
ïðîñòðàíñòâîì. (Ñì. òåîðåìó 4.3.1).
∗
AA∗ , A∗ A äëÿ
Z t
A : x(t) 7→
x(τ )dτ
75. Íàéòè îïåðàòîðû A ,
0
â L2 [0, 1].
76. Ïóñòü X, Y, Z - áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, A : X → Y è B : Y
îïåðàòîðû. Äîêàçàòü, ÷òî (BA)
∗
→Z -
= A∗ B ∗ .
77. Ïðèâåñòè ïðèìåð íåñðàâíèìûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ.
78. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå AB ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A è B
ïåðåñòàíîâî÷íû.
Çàäà÷è
155
79. Ïóñòü en - îðòîíîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. Äîêàçàòü, ÷òî en íå ñõîäèòñÿ ñèëüíî, íî ñõîäèòñÿ
ñëàáî. ×åìó ðàâåí ñëàáûé ïðåäåë?
80. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàòîðîâ â l2
An x = {x1 /n, x2 /n, x3 /n, . . .},
Bn x = {0, 0, . . . 0, xn+1 , xn+2 , . . .},
Dn x = {0, 0, . . . 0, x1 , x2 , . . .}.
Êàêîâ õàðàêòåð ñõîäèìîñòè (ðàâíîìåðíàÿ, ñèëüíàÿ èëè ñëàáàÿ).
81. Äîêàçàòü, ÷òî èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè îïåðàòîðîâ ñëåäóåò ñèëüíàÿ, à èç ñèëüíîé ñëàáàÿ.
82. Ïóñòü An ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ è ïóñòü
2
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè An è An ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê A è A
2
ñîîòâåòñòâåííî. Äî-
êàçàòü, ÷òî An → A ñèëüíî.
Ãëàâà 5
83. Äîêàçàòü, ÷òî â ïîëíîì ïðîñòðàíñòâå çàìêíóòîå ïðåäêîìïàêòíîå
ìíîæåñòâî êîìïàêòíî.
84. Äîêàçàòü, ÷òî åäèíè÷íàÿ ñôåðà kxk = 1 â áåñêîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå íåêîìïàêòíà.
85. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A è B êîìïàêòíûå îïåðàòîðû, òî A + B - òàêæå
êîìïàêòíûé îïåðàòîð.
86. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A - îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, à B - êîìïàêòíûé,
òî AB è BA - òàêæå êîìïàêòíû.
87. Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ, ñõîäÿùàÿñÿ ðàâíîìåðíî, ñõîäèòñÿ ê êîìïàêòíîìó îïåðàòîðó.
88. Ïóñòü en - îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, è λn - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùàÿñÿ ê íóëþ. Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð
Ax =
∞
X
λn (en , x)en
n=1
êîìïàêòåí.
89. Ðåøèòü èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
Z 1
y(x) = λ
(1 + xt)y(t)dt + ax3 + bx + d.
−1
90. Êàêîâû ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà ñ ÿäðîì k(x, t) =
cos(x-t) íà îòðåçêå à) [0, π]? á)[0, π/2]?
91. Íàéòè ðåçîëüâåíòó îïåðàòîðà Âîëüòåððà
Z x
Ky(x) =
xty(t)dt
0
156
Çàäà÷è
íà ïîëóîñè [0, ∞).
92. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èíòåãðàëüíîãî
îïåðàòîðà Ky(x) =
Rπ
0
k(x, t)y(t)dt, ãäå
k(x, t) =
ch x ch (t − π), x ≤ t,
ch t ch (x − π), x ≥ t.
93. Ñâåñòè çàäà÷ó Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ
−y 00 = λy,
y(0) = 0, y 0 (π) + y(π) = 0
ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ.
94. Ðåøèòü çàäà÷ó íà ýêñòðåìóì
Z πZ π
k(x, t)y(x)y(t)dxdt = max
0
ïðè óñëîâèè
Rπ
0
0
y 2 (x)dx = 1, ãäå
1
k(x, t) =
π+1
x(π + 1 − t), x ≤ t,
t(π + 1 − x), x ≥ t.
95. Íàéòè íîðìó îïåðàòîðà
Z t
Ax(t) =
x(τ )dτ
0
∗
â L2 [0, 1], ðàññìîòðåâ îïåðàòîð A A è ñâÿçàâ åãî ñ çàäà÷åé Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.
Ãëàâà 6
96. Ïóñòü P - îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. Êàêîâ åãî ñïåêòð?
Íàéòè åãî ðåçîëüâåíòó, à òàêæå îïåðàòîð f (P ) äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (λ).
97. Ïóñòü A - îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèþ x â L2 [0, 1]. Íàéòè åãî
ñïåêòðàëüíóþ ôóíêöèþ, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ñòîóíà.
98. Äîêàçàòü, ÷òî µ ∈ R ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé òî÷êîé ñàìîñîïðÿæåííîãî
îïåðàòîðà A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà µ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïîñòîÿíñòâà åãî
ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè, ò.å., ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî
E(µ + δ) − E(µ − δ) = 0.
99. Äîêàçàòü, ÷òî µ ∈ R ïðèíàäëåæèò òî÷å÷íîìó ñïåêòðó ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà µ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà
åãî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè. Ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ îõàðàêòåðèçîâàòü òî÷êè
íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà â òåðìèíàõ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè.
Çàäà÷è
157
100. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè E(λ) êóñî÷íî ïîñòîÿííà, òî èíòåãðàë
Rb
λdE(λ)
a
λ
P
<
ãäå
λ
òî÷êè
ðàçðûâà
ñïåêòðàëüíîé
ôóíêi
i
i
i=1
öèè, à Pi = E(λi + 0) − E(λi − 0) - ñêà÷êè â òî÷êàõ ðàçðûâà.
101. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f (λ) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
ñîâïàäàåò ñ ñóììîé
Pn
Z b
f (A) =
f (λ)dE(λ).
a
Òî æå äëÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè f (λ), íå èìåþùåé ïîëþñîâ íà ñïåêòðå A.
102. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (λ) ñóùåñòâóåò
èíòåãðàë Ñòèëüòüåñà
Z b
f (λ)dE(λ) = lim
δ→0
a
n
X
f (ξi )E∆i .
i=1
Ïðè ýòîì, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fk (λ) ñòðåìèòñÿ ê f (λ) ðàâíîìåðíî íà [a, b], òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ñõîäèòñÿ ïî íîðìå.
103. Äîêàçàòü òåîðåìó Êîøè "â áîëüøîì":ïóñòü R(λ) àíàëèòè÷íà â
çàìêíóòîé
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè G ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂G. Òîãäà
R
R(λ)dλ = 0.
∂G
Óêàçàíèå. Ðàçáèòü îáëàñòü G íà äîñòàòî÷íî ìåëêèå ÷àñòè Gi è ïðèìåíèòü ê êàæäîé èç íèõ òåîðåìó Êîøè "â ìàëîì".
104. Ïóñòü ñïåêòð σ(A) (íå îáÿçàòåëüíî ñàìîñîïðÿæåííîãî) åñòü îáúåäèíåíèå σ1 ∪ σ2 äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ, êîòîðûå ìîæíî îòäåëèòü
êóñî÷íî ãëàäêîé æîðäàíîâîé êðèâîé C . Äîêàçàòü, ÷òî
1. îïåðàòîð
1
P =
2πi
Z
R(λ)dλ
C
ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì, ò.å., óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ P
2
= P,
2. ýòîò ïðîåêòîð ïðèâîäèò A, ò.å., P A = AP ,
3. ñïåêòð îïåðàòîðà A, ðàññìàòðèâàåìîãî íà ïîäïðîñòðàíñòâå Im P ñîâïàäàåò ñ σ1 , à íà ïîäïðîñòðàíñòâå Im (1 − P ) - c σ2 .
Óêàçàíèå. Êîíòóð C ïî òåîðåìå Êîøè ìîæíî çàìåíèòü áîëüøèì êîíòóðîì, íå ïåðåñåêàþùèì C .
105. Íàéòè íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ïðîåêòîðû Êîøè äëÿ îïåðàòîðà, çàäàííîãî ìàòðèöåé
A=
λ1
0
Êàê çàâèñÿò ïðîåêòîðû îò êîíòóðà C ?
0
λ2
.
158
Çàäà÷è
106. Òî æå äëÿ ìàòðèöû

λ1
A= 0
0
1
λ1
0

0
0 .
λ2
107. Äîêàçàòü ôîðìóëó
eA =
1
2πi
Z
ez (z − A)−1 dz,
C
ãäå A - îãðàíè÷åííûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, à C - ïðîñòîé çàìêíóòûé
êîíòóð, îõâàòûâàþùèé ñïåêòð A. Áóäåò ëè ýòà ôîðìóëà âåðíà äëÿ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ?
Ãëàâà 7
108. Ïóñòü en - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â H , à e - âåêòîð, íå ÿâëÿþùèéñÿ êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ en . Ïóñòü D ìíîæåñòâî
êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ en è e. Îïðåäåëèì îïåðàòîð ôîðìóëîé
A ce +
N
X
!
cn en
= ce.
n=1
Äîêàçàòü, ÷òî çàìûêàíèå Γ(A) ñîäåðæèò êàê {e, e}, òàê è {e, 0}, è ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íèêàêîãî îïåðàòîðà.
109. Äîêàçàòü, ÷òî îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð (ñ D(A) = H ) çàìêíóò.
110. Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð A çàìêíóò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì â íîðìå ãðàôèêà:
kxk2Γ(A) = kxk2 + kAxk2 .
111. Ðàññìîòðèì îïåðàòîð
A : x(t) 7→ x(t2 )
â L2 [0, 1] ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(A), ñîñòîÿùåé èç òàêèõ ôóíêöèé x(t) ∈
L2 [0, 1], äëÿ êîòîðûõ x(t2 ) òàêæå ïðèíàäëåæèò L2 [0, 1]. Äîêàçàòü, ÷òî D(A)
∗
∗
ïëîòíî â L2 [0, 1], è íàéòè D(A ) è A .
−1
112. Ïóñòü äëÿ äàííîãî îïåðàòîðà A ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû A
, A∗ , (A−1 )∗
(âñå îïåðàòîðû â îáùåì ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííûå). Äîêàçàòü ìåòîäîì ãðàôè-
∗ −1
êà, ÷òî ñóùåñòâóåò è (A )
, ïðè÷åì îí ñîâïàäàåò ñ (A
−1 ∗
) .
êðèòåðèé ñàìîñîïðÿæåííîñòè: çàìêíóòûé
ñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà Im (A ± i) = H .
Óêàçàíèå: Äîêàçàòü, ÷òî ýòî óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ Ker (A∗ ±
i)) = 0.
113. Äîêàçàòü ñëåäóþùèé
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
Ãëàâà 1
1. ×òî òàêîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî?
2. Êàêîâû àêñèîìû ìåòðèêè?
3. Êàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé?
ñõîäÿùåéñÿ? Êàê ñâÿçàíû ýòè ïîíÿòèÿ?
4. ×òî òàêîå ïîëíîòà ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà?
5. ×òî îçíà÷àåò âûñêàçûâàíèå: "Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ïîïîëíèòü"? Âñåãäà ëè ýòî âîçìîæíî?
6. ×òî îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü ïîïîëíåíèÿ?
7. Äàéòå îïðåäåëåíèå ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ.
8. Áóäåò ëè îòîáðàæåíèå ñæèìàþùèì, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçàìè
ëþáûõ äâóõ òî÷åê ñòðîãî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñàìèìè ýòèìè òî÷êàìè?
9. ×òî òàêîå ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé?
Ãëàâà 2
1. ×òî òàêîå âåðõíÿÿ ìåðà Ëåáåãà ìíîæåñòâà?  ÷åì åå ãëàâíîå îòëè÷èå îò
âåðõíåé ìåðû Æîðäàíà?
2. Ìîæåò ëè âåðõíÿÿ ìåðà ðàâíÿòüñÿ 0? ∞?
3.  ÷åì ñîñòîèò ñâîéñòâî ñóáàääèòèâíîñòè âåðõíåé ìåðû?
4. Êàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì, è ÷òî òàêîå åãî ìåðà?
5.  ÷åì ñîñòîèò ñâîéñòâî ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè ìåðû?
6. Èçìåðèìû ëè îòêðûòûå ìíîæåñòâà? Ïî÷åìó?
7. Èçìåðèìû ëè çàìêíóòûå ìíîæåñòâà? Ïî÷åìó?
8. Êàêèå ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâàìè ìåðû 0? Èçìåðèìû ëè îíè?
9. Êàêèå ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ áîðåëåâñêèìè? Èçìåðèìû ëè îíè?
10. Êàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè? ïðîñòûìè?
11. Áóäåò ëè ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìîé?
12. Áóäåò ëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìîé?
13. Ìîæíî ëè èçìåðèìóþ ôóíêöèþ ïðèáëèçèòü ïðîñòûìè ôóíêöèÿìè? Â
êàêîì ñìûñëå?
14. ×òî òàêîå ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó?
159
160
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
15. Êàêèå ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè ñîõðàíÿþò êëàññ èçìåðèìûõ ôóíêöèé?
16. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàë Ëåáåãà îò ïðîñòûõ ôóíêöèé? Êàêèå ïðîñòûå
ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè ïî Ëåáåãó (ñóììèðóåìûìè)?
17. Êàê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïîíÿòèå èíòåãðàëà Ëåáåãà íà ïîëîæèòåëüíûå èçìåðèìûå ôóíêöèè? íà èçìåðèìûå ôóíêöèè, íå ñîõðàíÿþùèå çíàê?
18. Êàêàÿ ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëàìè Ðèìàíà (ñîáñòâåííûìè è íåñîáñòâåííûìè) è èíòåãðàëîì Ëåáåãà?
19. Êàêèå òåîðåìû î ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäàõ äëÿ èíòåãðàëîâ Ëåáåãà âû çíàåòå? (Òåîðåìà Á. Ëåâè, ëåììà Ôàòó, òåîðåìà Ëåáåãà). Ñôîðìóëèðóéòå èõ.
20. Êàê ñâÿçàíû ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó è ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì?
21. ×òî ÿâëÿåòñÿ ïîïîëíåíèåì ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñ ìåòðèêîé ñðåäíåãî îòêëîíåíèÿ?
22. ×òî óòâåðæäàåò òåîðåìà Ðèññà - Ôèøåðà?
23. Êàêèå èç óêàçàííûõ ìíîæåñòâ ïëîòíû â ïðîñòðàíñòâå L[−1, 1]: à) íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé?, á) ÷åòíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé? â) ìíîãî÷ëåíîâ?
Ãëàâà 3
1. ×òî òàêîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî?
2. Êàêîâû àêñèîìû íîðìû?
3. Êàê ñâÿçàíû ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî è ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà? Âñåãäà ëè ìåòðèêà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü çàäàíà
ñ ïîìîùüþ íîðìû?
4. ×òî íàçûâàåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì?
5. Êàêèå íîðìû íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè?
6. Äàéòå îïðåäåëåíèå ñåïàðàáåëüíîñòè.
7. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé m, c c0 , lp (1 ≤ p <
∞), l∞ . Êàêèå èç ýòèõ ïðîñòðàíñòâ ñåïàðàáåëüíû? Êàêèå èç íèõ ñîäåðæàò
äðóãèå êàê ïîäìíîæåñòâà?
8. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâ Ëåáåãà Lp (1 ≤ p < ∞), L∞ .
9. Íàïèøèòå íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî äëÿ ñóìì è äëÿ èíòåãðàëîâ. Êîãäà â íèõ äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî?
10. ×òî òàêîå ïîäïðîñòðàíñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà? Áóäåò ëè îíî ñàìî
áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì?
11. Äàéòå îïðåäåëåíèå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.
12. Êàêîâû àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ?
13. Ïðè êàêîì óñëîâèè íîðìà â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå ïîðîæäàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì?
14. Áóäóò ëè ïðîñòðàíñòâà l2 è L2 ãèëüáåðòîâûìè? Êàê âûãëÿäèò íåðàâåíñòâî üëüäåðà â ýòèõ ñëó÷àÿõ?
15. Íàïèøèòå íåðàâåíñòâî Êîøè - Áóíÿêîâñêîãî. Êîãäà â íåì äîñòèãàåòñÿ
ðàâåíñòâî?
16. ×òî òàêîå îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå? Âñåãäà ëè îíî áóäåò ïîäïðîñòðàíñòâîì?
17. ×òî òàêîå îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà?, ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñè-
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
161
ñòåìà?
18. ×òî òàêîå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå? íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ? ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ?
19.  ÷åì ñîñòîèò ìèíèìàëüíîå ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå?
20. Äëÿ äàííîãî âåêòîðà ðàññìîòðèì åãî ðÿä Ôóðüå ïî äàííîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ? Ïðè êàêèõ
óñëîâèÿõ îí ñõîäèòñÿ ê ñàìîìó âåêòîðó?
21. Îïèøèòå ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè.
Ãëàâà 4
1. Äàéòå îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà (ôóíêöèîíàëà).
2. Êàê ñâÿçàíû ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè è îãðàíè÷åííîñòè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ (ôóíêöèîíàëîâ)?
3. ×òî òàêîå íîðìà îïåðàòîðà (ôóíêöèîíàëà).
4. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèîíàëîâ â ïðîñòðàíñòâàõ lp , Lp . Îöåíèòå íîðìó.
5. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ. Îöåíèòå íîðìû.
6. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó Õàíà-Áàíàõà â äåéñòâèòåëüíîì è êîìïëåêñíîì
ñëó÷àå.
7. ×òî òàêîå ðåàëèôèêàöèÿ êîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà?
8. ×òî òàêîå áèîðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ è ôóíêöèîíàëîâ?
9. Ïóñòü x1 6= x2 - äâà âåêòîðà. Âñåãäà ëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë, ðàçëè÷àþùèé ýòè âåêòîðû, ò.å., f (x1 ) > 0, f (x2 ) < 0?
10. ×òî òàêîå ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî? Áóäåò ëè îíî ïîëíûì?
11. Êàêèì áóäåò ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî äëÿ lp , 1 < p < ∞?, äëÿ l1 ?
12. Îáúÿñíèòå âëîæåíèå E ⊂ E
∗∗
.
13. ×òî òàêîå ðåôëåêñèâíîå ïðîñòðàíñòâî? Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåðåôëåêñèâíîãî ïðîñòðàíñòâà.
14. Ïî÷åìó êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà âñåãäà ðåôëåêñèâíû?
15. Êàêîâ îáùèé âèä ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå?
16. Ïî÷åìó ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ðåôëåêñèâíî?
17. Äàéòå îïðåäåëåíèå ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
18. Êàêèì áóäåò îïåðàòîð ñîïðÿæåííûé ê èíòåãðàëüíîìó îïåðàòîðó â L2 ?
19. Êàê ñâÿçàíû îïåðàòîðû è áèëèíåéíûå ôîðìû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå?
20. Îöåíèòå íîðìó èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà â L2 [a, b].
21. Êàêîé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì?
22. Êàê ñâÿçàíû ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû è êâàäðàòè÷íûå ôîðìû?
23. ×òî îçíà÷àåò íåðàâåíñòâî > èëè < ìåæäó ñàìîñîïðÿæåííûìè îïåðàòîðàìè.
24. Äàéòå îïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîé, ñèëüíîé è ñëàáîé ñõîäèìîñòè îïåðàòîðîâ. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè?
162
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
Ãëàâà 5
1. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîìïàêòíîãî è ïðåäêîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà. Êàê ñâÿçàíû ýòè ïîíÿòèÿ?
2. Áóäåò ëè êîìïàêòíîé åäèíè÷íàÿ ñôåðà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå?
Ïî÷åìó?
3. Áóäåò ëè êîìïàêòíîé åäèíè÷íàÿ ñôåðà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå?
Ïî÷åìó?
4. ×òî òàêîå êîìïàêòíûé îïåðàòîð?
5. ×òî òàêîå êîíå÷íîìåðíûé îïåðàòîð â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå?
Áóäåò ëè îí êîìïàêòíûì?
6. Êàê ïîíèìàòü óòâåðæäåíèå: "Ìíîæåñòâî êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè"? Âåðíî ëè îíî?
7. Áóäåò ëè èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ íåïðåðûâíûì ÿäðîì â ïðîñòðàíñòâå
L2 [a, b] êîìïàêòíûì? Ïî÷åìó?
8. ×òî òàêîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà?
9. Ñôîðìóëèðóéòå òðè òåîðåìû Ôðåäãîëüìà?
10. Êàê ñâîäèòñÿ óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà ê êîíå÷íîìåðíîìó?
11. ×òî òàêîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððà?
12. ×òî òàêîå ñïåêòð îïåðàòîðà Ôðåäãîëüìà? Îïèøèòå åãî.
13. Êàêîâ ñïåêòð îïåðàòîðà Âîëüòåððà?
14. Ìîæåò ëè ñàìîñîïðÿæåííûé èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð â L2 [a, b] íå èìåòü
íè îäíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ? Òîò æå âîïðîñ äëÿ íåñàìîñîïðÿæåííîãî
èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà.
15. Îïèøèòå ñïåêòð ñàìîñîïðÿæåííîãî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà. Êîãäà ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïîëíà?
16. ×òî òàêîå èñòîêîîáðàçíàÿ ïðåäñòàâèìîñòü ôóíêöèè? ×òî ìîæíî óòâåðæäàòü î åå ðÿäå Ôóðüå?
17.  ÷åì ñîñòîèò çàäà÷à Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ?
18. Ïåðå÷èñëèòå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé
çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.
19. ×òî òàêîå ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ?
20. Êàê ñâåñòè çàäà÷ó Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ?
21. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ðàçëîæåíèè ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.
Ãëàâà 6
1. Äàéòå îïðåäåëåíèå ðåçîëüâåíòíîãî ìíîæåñòâà è ñïåêòðà.
2. Êàêîâû ñâîéñòâà ñïåêòðà îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ?
3. Êàê êëàññèôèöèðóþòñÿ òî÷êè ñïåêòðà?
4. Êàêîâû ñâîéñòâà ñïåêòðà ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà?
5. Äàéòå îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. Êàêîâ
ñïåêòð ýòîãî îïåðàòîðà?
6. Êàê çàïèñàòü âêëþ÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ L1 ⊂ L2 â òåðìèíàõ ïðîåêòî-
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
163
ðîâ?
7. Êàê çàïèñàòü óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè L1 ⊥ L2 â òåðìèíàõ ïðîåêòîðîâ?
8. ×òî îçíà÷àåò âûñêàçûâàíèå: "Ïîäïðîñòðàíñòâî L ïðèâîäèò îïåðàòîð A"?
9. Äàéòå îïðåäåëåíèå ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè îãðàíè÷åííîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
10. Îïèøèòå ñïåêòðàëüíóþ ôóíêöèþ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
11. Ñôîðìóëèðóéòå ñïåêòðàëüíóþ òåîðåìó äëÿ îãðàíè÷åííîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
12. Êàê èçâëå÷ü êâàäðàòíûé êîðåíü èç ïîëîæèòåëüíîãî îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà?
13. Êàê ñòðîèòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åííîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî
îïåðàòîðà?
14. ×òî òàêîå èíòåãðàë Ñòèëüòüåñà ïî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè?
15. Êàê âûðàæàþòñÿ ôóíêöèè îò îïåðàòîðà ñ ïîìîùüþ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè?
16. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó Êîøè äëÿ ðåçîëüâåíòû.
17. Íàïèøèòå ôîðìóëó Ñòîóíà äëÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè.
Ãëàâà 7
1. ×òî òàêîå íåîãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð?
2. ×òî òàêîå ãðàôèê îïåðàòîðà?
3. Äàéòå îïðåäåëåíèå çàìêíóòîãî îïåðàòîðà.
4. Âñåãäà ëè íåçàìêíóòûé îïåðàòîð ìîæíî çàìêíóòü? Ïî÷åìó?
5. Êàê ñâÿçàíû ãðàôèêè îïåðàòîðîâ A è A
−1
?
6. Êàê êëàññèôèöèðóþòñÿ òî÷êè ñïåêòðà?
7. Áóäåò ëè ñïåêòð çàìêíóòûì îãðàíè÷åííûì ìíîæåñòâîì?
8. ×òî òàêîå ñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð?
9. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð?
∗
10. Êàê ñâÿçàíû ãðàôèêè A è A ?
11. Êàêàÿ ñâÿçü ìåæäó ñèììåòðè÷åñêèì îïåðàòîðîì A è åãî ñîïðÿæåííûì
A∗ ?
12. Äàéòå îïðåäåëåíèå ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
13.  ÷åì ñîñòîèò êðèòåðèé ñàìîñîïðÿæåííîñòè ñèììåòðè÷åñêîãî îïåðàòîðà?
14. Áóäåò ëè îïåðàòîð A = −id/dx â L2 [a, b] ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
D(A) = {u(x) ∈ C (1) [a, b], u(a0 = u(b) = 0}
ñèììåòðè÷íûì? çàìêíóòûì? ñàìîñîïðÿæåííûì?
15. Êàêîé äîëæíà áûòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà
A = −id/dx â
L2 [a, b], ÷òîáû îí áûë ñàìîñîïðÿæåííûì?
16. Êàê âûãëÿäèò ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå äëÿ îïåðàòîðà èç ïóíêòà 15?
17. Êàê îïðåäåëèòü îïåðàòîð A = −id/dx â ïðîñòðàíñòâå L2 (−∞, ∞), ÷òîáû
164
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
îí áûë ñàìîñîïðÿæåííûì?
18. Êàê âûãëÿäèò ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå äëÿ îïåðàòîðà èç ïóíêòà 17?