Bài giảng chương 1: Hệ phương
trình tuyến tính
Môn: Đại số tuyến tính cho kỹ thuật
Sáng tạo và vun đắp giá trị nhân văn của công nghệ
1
Giới thiệu
2
Giới thiệu
3
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
4
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
5
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
6
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
7
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
8
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
9
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
10
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
 a11
a
21
Chú ý: Ta có thể dùng móc vuông để bao quanh ma trận: A = 


 am1
a12
a22
am 2
... a1n 
... a2 n 


... amn 
11
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
• Xét hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa 1.7 : Ma trận hệ số của hệ (1.3) là
 a11
a
A =  21


 am1
a12
a22
am 2
... a1n 
... a2 n 


... amn 
Ma trận mở rộng (hay ma trận tăng, ma trận bổ sung) của hệ (1.3) là
 a11
a
[ A | b] =  21


 am1
a12
a22
... a1n
... a2 n
am 2 ... amn
b1 
b2 


bm 
12
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
Các ký hiệu các phép biến đổi:
𝑎𝑅𝑖 → 𝑅𝑖 : nhân phương trình thứ i của hệ với số a (tức là nhân hàng thứ i
của ma trận mở rộng của hệ với a.
𝑅𝑗 + 𝑎𝑅𝑖 → 𝑅𝑗 : Thêm vào phương trình thứ j của hệ a lần phương trình thứ I (Thêm vào hàng thứ j a lần hàng thứ I của
Ma trận mở rộng của hệ)
𝑅𝑖
𝑅𝑗 : Đổi chỗ phương trình thứ I và thứ j của hệ (Đổi chỗ hàng thứ i và hàng thứ j của hệ)
13
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
14
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
15
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
16
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
-Khi 2 ma trận A, B tương đương theo hàng, ta viết A~B.
17
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
18
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
19
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
20
1.1. Hệ phương trình tuyến tính
21
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc
thang theo dòng
22
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc
thang theo hàng
23
Ma trận dạng bậc thang theo hàng và ma trận dạng bậc thang rút gọn
theo hàng
24
Ma trận dạng bậc thang theo hàng và ma trận
dạng bậc thang rút gọn theo hàng
25
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc thang theo hàng
26
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc thang theo hàng
27
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc thang theo hàng
28
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc
thang theo hàng
29
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc thang theo hàng
30
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc
thang theo hàng
31
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc
thang theo hàng
32
1.2. Phép biến đổi sơ cấp theo hàng và ma trận dạng bậc thang theo
hàng
33
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc
thang theo hàng
34
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc thang theo hàng
35
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc thang theo hàng
36
1.2. Phép biến đổi sơ cấp và ma trận dạng bậc thang theo hàng
37
1.3. Phương trình vector
• Vector trong 2 : Một ma trận chỉ có một cột được gọi là một vector
cột hay đơn giản là vector. Ví dụ về các vector với 2 thành phần
Trong đó 𝑤1 , 𝑤2 là các số thực. Tập các vector với 2 thành phần được ký
hiệu là 2
2 vector trong 2 bằng nhau nếu và chỉ nếu các thành phần tương ứng
4
7
2
của nó bằng nhau. Do đó
≠
, vì
là tập các cặp số thực được
7
4
sắp thứ tự.
38
Phép toán với các vector trong
2
𝑢1
𝑣1 𝑢1 + 𝑣1
• Phép cộng vector: 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣
2
2
2
2
𝑢1 𝑐𝑢1
• Phép nhân vector với 1 số thực: c 𝑢 = 𝑐𝑢
2
2
• Ví dụ 1.3.1:
39
Mô tả hình học của
2
Vì mỗi điểm trong mặt phẳng được xác định bởi một cặp số được sắp thứ tự, ta có thể đồng nhất
𝑎
2
mỗi điểm (a,b) với vector cột
. Do đó ta có thể xem
như là tập các điểm trong mặt phẳng.
𝑏
Hình 1: Vector như là các điểm
Hình 2: Vector như là các mũi tên
𝑎
Vector
có thể được biểu diễn bằng một mũi tên đi từ gốc tọa độ (0,0) đến (a,b).
𝑏
40
Quy tắc hình bình hành
Ví dụ 1.3.2: Các vector u=
−4
2
−6
,𝐯 =
và 𝐮 + 𝐯 =
được biểu diễn trong hình sau:
3
2
1
41
Ví dụ 1.3.3:
−2
3
. Biểu diễn u, 2u và 𝐮 trên cùng một đồ thị.
3
−1
3
6
• Giải: 2u=2
=
−1 −2
−2
−2
−2 3
𝐮=
=
3
3 −1
2/3
• Cho u=
Một vài bội của u
Tập các bội của u
42
3
Vector trong ℝ
• Các vector trong ℝ3 là các ma trận cột kích cỡ 3x1. Chúng được biểu
diễn bởi các điểm trong hệ tọa độ 3 chiều hoặc bằng các mũi tên đi từ
2
gốc tọa độ. Ví dụ vector 𝐚 = 3 và 2a được biểu diễn trong hình sau.
4
43
𝑛
Vector trong 𝑅
• Với n là một số nguyên dương, 𝑅𝑛 là tập tất cả các bộ n số thực được
sắp thứ tự, thường được viết dưới dạng ma trận kích cỡ nx1.
• Vector mà có tất cả các thành phần bằng 0 được gọi là vector không
và được ký hiệu là 0.
• Đẳng thức vector, các phép toán cộng vector và nhân vector với một
số thực được định nghĩa theo từng thành phần giống như trong 𝑅2 .
44
Các tính chất đại số của 𝑅
𝑛
• Với mọi 𝐮, 𝐯, 𝐰 ∈ 𝑅𝑛 , mọi số thực c,d, ta có
trong đó –u=(-1)u.
Để đơn giản, u+(-1)v được ký hiệu là u-v.
Hình 3: Phép trừ vector
45
Tổ hợp tuyến tính
• Cho các vector 𝐯1 , … , 𝐯𝑝 trong 𝑅𝑛 và các số thực 𝑐1 , … , 𝑐𝑝 , vector y
được xác định bởi
Được gọi là một tổ hợp tuyến tính của 𝐯1 , … , 𝐯𝑝 với các trọng
𝑐1 , … , 𝑐𝑝 . Tính chất (ii) ở trên cho phép ta viết tổ hợp tuyến tính mà
không cần ngoặc. Các trọng trong tổ hợp tuyến tính có thể là các số
thực bất kì, kể cả 0. Chẳng hạn như, một vài tổ hợp tuyến tính của v_1
và v_2 là
và
46
Ví dụ 1.3.4
−1
2
• Trong hình dưới đây là một số các tổ hợp tuyến tính của 𝐯1 =
và 𝐯2 = . Chú
1
1
ý rằng các đường kẻ đi qua các tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên. Hãy ước
lượng các tổ hợp tuyến tính của 𝐯1 và 𝐯2 mà tạo ra u và w.
Theo quy tắc hình bình hành, ta thấy 𝐮 = 3𝐯1 − 2𝐯𝟐
Biểu thức của u có thể biểu diễn như chỉ dẫn từ gốc tọa độ
đến u dọc theo các đường kẻ: đầu tiên, di chuyển 3 đơn vị theo hướng
𝐯1 và sau đó di chuyển -2 đơn vị theo hướng 𝐯2 .
Tiếp theo, mặc dù w không nằm trên các đường kẻ nhưng nó nằm ở
giữa 2 cặp đường kẻ, gần như
5
tại đỉnh của hình bình hành xác định bởi 2 𝐯1
1
và − 2 𝐯2 . Do đó ta ước lượng:
47
Ví dụ 1.3.5
• Cho
Và
Xác định xem b có phải là tổ hợp tuyến tính của 𝑎1 và 𝑎2 không. Tức là, xác định xem
có tồn tại 𝑥1 , 𝑥2 sao cho:
Nếu phương trình vector (1) có nghiệm, hãy tìm nghiệm đó.
Ta cần tìm 𝑥1 , 𝑥2 sao cho:
48
Ví dụ 1.3.5
• Tức là
• Ta nhận được hệ phương trình
•
Ta đưa ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang như sau:
1 2 7
1 2 7  1
1 2 7 
1 2 7 
R2 → R2
R2 + 2 R1 → R2 , R3 + 5 R1 → R3
R3 −16 R2 → R3
 −2 5 4  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 9 18  ⎯⎯⎯⎯
0 1 2  ⎯⎯⎯⎯⎯
0 1 2 
2
→
→
→








 −5 6 −3
0 16 32 
0 16 32 
0 0 0 
Do đó nghiệm của hệ (3) là 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 2. Vậy b là tổ hợp tuyến tính của 𝐚1 và 𝐚2 , cụ thể là
49
Ví dụ 1.3.5
Trong Ví dụ trên, các vector a_1,a_2,b chính là các cột của ma trận hệ số mở rộng mà ta đã đưa về dạng bậc thang:
Ta có thể viết gọn lại ma trận này ở dạng [𝐚𝟏 𝐚𝟐 𝐛]
50
Tổng quát
• Phương trình vector
Có cùng tập nghiệm với hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là
Nói riêng, b là tổ hợp tuyến tính của a_1, …,a_n khi và chỉ khi hệ
phương trình có ma trận hệ số mở rộng ở (5) có nghiệm.
51
Tập sinh
• Định nghĩa 1.3.1: Nếu 𝑣1 , … , 𝑣𝑝 là các vector trong 𝑅𝑛 , thì tập các tổ
hợp tuyến tính của 𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐩 được kí hiệu là 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐩 } và được
gọi là tập con của 𝑅𝑛 sinh bởi 𝐯1 , … , 𝐯𝑝 . Như vậy:
• 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐯1 , … , 𝐯p } = {c1 𝐯1 + ⋯ + cp 𝐯p |c1 , … , cp ∈ 𝑅}
• Việc xét xem một vector có nằm trong 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } chính là
việc xác định xem phương trình vector
Có nghiệm hay không, hay chính là việc xác định xem hệ phương
trình tuyến tính với ma trận hệ số mở rộng 𝐯1 … 𝐯𝑝 𝐛 có nghiệm hay
không.
52
Mô tả hình học của Span{v} và Span{u,v}
• Khi v là một vector khác vector không trong 𝑅3 . Khi đó Span{v} chính
là tập các bội của v, tức là tập các điểm nằm trên đường thẳng trong
𝑅3 đi qua v và 0.
• Nếu u,v là 2 vector khác vector không trong 𝑅3 và u không phải là
một bội của v, thì Span{u,v} là mặt phẳng trong 𝑅3 chứa u,v, 0. Nói
riêng, Span{u,v} chứa đường thẳng trong 𝑅3 đi qua u,0 và chứa
đường thẳng trong 𝑅3 đi qua v, 0.
53
Ví dụ 1.3.6
• Cho các vector
và
Hỏi b có nằm trong 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑎1 , 𝑎2 } không?
Giải: Ta xác định xem phương trình x_1a_1+x_2a_2=b có nghiệm không. Ta đưa ma trận hệ
số mở rộng [a_1 a_2 b] về dạng bậc thang
5 −3
1
1 5 −3
1 2 7 
R2 + 2 R1 → R2 , R3 −3 R1 → R3
R3 − 6 R2 → R3
 −2 −13 8  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 −3 2  ⎯⎯⎯⎯
0 −3 2 
→
⎯
→






 3 −3 1 
0 −18 10 
0 0 −2 
Phương trình thứ ba là 0𝑥2 = −2, vô nghiệm. Vậy b không nằm trong Span{a_1,a_2}.
54
Ứng dụng của tổ hợp tuyến tính
• Công thức: số đơn vị sản phẩm x chi phí một đơn vị sản phẩm=tổng chi phí
• Ví dụ 1.3.7: Một công ty sản xuất hai sản phẩm:
• Với sản phẩm B trị giá 1 đô, chi phí gồm:
• $0.45 cho nguyên liệu,
• $0.25 cho lao động,
• $0.15 cho chi phí chung.
• Với sản phẩm C trị giá 1 đô, chi phí gồm:
• $0.40 cho nguyên liệu,
• $0.30 cho lao động,
• $0.15 cho chi phí chung.
• Cho
• Khi đó b và c biểu thị chi phí theo từng đô la dành cho 2 sản phẩm.
55
Ứng dụng của tổ hợp tuyến tính
• a) Ý nghĩa kinh tế của 100b?
• b) Nếu công ty dành 𝑥1 ​ đô để sản xuất sản phẩm B và 𝑥2 đô để sản xuất sản phẩm C, hãy
viết vector mô tả chi phí (nguyên liệu, lao động, chi phí chung).
• Giải:
• A)
100b thể hiện trong sản phẩm B trị giá 100 đô thì có 45 đô chi phí cho nguyên liệu, 25 đô cho lao
động và 15 đô cho chi phí chung.
b) Vector chi phí cho sản phẩm B trị giá 𝑥1 đô là 𝑥1 𝐛, vector chi phí cho sản phẩm C trị giá 𝑥2 đô
𝑥2 𝐜. Do đó tổng chi phí được cho bởi vector 𝑥1 𝐛 + 𝑥2 𝐜.
56
1.4. Phương trình ma trận Ax=b
• Định nghĩa 1.4.1: Nếu A là ma trận kích cỡ mxn với các cột 𝐚𝟏 , … , 𝐚𝐧 và
x là một vector trong 𝑅𝑛 , thì tích của A và x, kí hiệu là Ax, là tổ hợp
tuyến tính các cột của A với các trọng là các thành phần tương ứng
của x. Tức là:
• Chú ý: Ax xác định khi và chỉ khi số cột của A bằng số dòng của x.
57
Ví dụ 1.4.1
58
Ví dụ 1.4.2
• Với các vector 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 trong 𝑅3 , hãy viết 3𝐯1 − 5𝐯2 + 7𝐯𝟑 như là tích
của một ma trận với một vector.
• Giải: Viết 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 thành các cột của một ma trận A và đặt các trọng
3
là 3,-5,7, ta được 3𝐯1 − 5𝐯2 + 7𝐯𝟑 = [𝐯1 𝐯2 𝐯3 ] −5 =Ax.
7
59
Định lý 1.4.1
• Nếu A là ma trận kích cỡ mxn, với các cột 𝐚𝟏 , … , 𝐚𝐧 , 𝐱
là một vector trong Rm ,
• thì phương trình vector
Ax = b có cùng tập nghiệm như phương trình
Tức là có cùng tập nghiệm với hệ phương trình tuyến tính mà có ma
trận hệ số mở rộng là
60
Sự tồn tại của nghiệm
• Từ Định nghĩa Ax ta suy ra: phương trình Ax=b có nghiệm khi và chỉ khi b là tổ
hợp tuyến tính của các cột của A.
• Ví dụ 1.4.3: Cho Ax=b
Hỏi phương trình Ax=b có nghiệm với mọi 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 hay không?
Đưa ma trận hệ số mở rộng của Ax=b về dạng bậc thang, ta nhận được


 −1 3 4

b1 
b1
 1 3 4 b1 
 −1 3 4


R2 + 4 R1 → R2 , R3 + 3 R1 → R3
R2 − 2 R3 → R3
 −4 2 −6 b  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
 0 14 10 b − 4b  ⎯⎯⎯⎯
→
⎯
→
0
14
10
b
−
4
b
2
2
1
2
1








 −3 −2 −7 b3 
 0 7 5 b3 + 3b1 
1
 0 0 0 b1 − b2 + b3 

2

𝟏
Từ dạng bậc thang ta thấy, phương trình Ax=b vô nghiệm khi 𝒃𝟏 − 𝟐 𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 ≠ 𝟎.
61
Chú ý
• Phương trình Ax=b ở Ví dụ 1.4.3 vô nghiệm vì dạng bậc thang của A
có 1 hàng toàn 0. Nếu A có vị trí chốt tại mỗi hàng của nó, thì phương
trình Ax=b chắc chắn sẽ có nghiệm, vì dạng bậc thang của ma trận hệ
số mở rộng trong trường hợp này không thể có dạng [0 0…1].
• Khi nói các cột của ma trận A sinh 𝑅𝑚 , có nghĩa là mỗi vector b trong
𝑅𝑚 đều là tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
• Tổng quát, tập các vector {𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } trong 𝑅𝑚 sinh 𝑅𝑚 , nếu mỗi
vector trong 𝑅𝑚 đều là các tổ hợp tuyến tính của 𝐯1 , … , 𝐯𝑝 . Tức là
• 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } = 𝑅𝑚 .
62
Định lý 1.4.2
• Cho A là ma trận kích cỡ mxn. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương:
a) Với mỗi 𝑏 ∈ 𝑅𝑚 , phương trình Ax=b có nghiệm.
b) Mỗi 𝑏 ∈ 𝑅𝑚 là tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
c) Các cột của A sinh 𝑅𝑚 .
d) A có vị trí chốt tại mọi hàng của nó.
Dễ thấy a) , b), c) tương đương do định nghĩa phép nhân Ax và định nghĩa tập sinh của 𝑹𝒎 đã được nhắc đến
ở slide trước. Những nhận xét sau Ví dụ 1.4.3 giúp ta hiểu tại sao a) và d) tương đương. Chứng minh sẽ được trình bày ở
cuối phần này.
Chú ý: Định lý này chỉ áp dụng cho ma trận hệ số, không áp dụng cho ma trận mở rộng. Khi ma trận mở rộng [A b] có
vị trí chốt tại mỗi hàng, thì hệ Ax=b vẫn có thể vô nghiệm.
63
Tính Ax
• Ví dụ 1.4.4: Tính Ax, biết
• Giải:
64
Quy tắc vector để tính Ax
• Phần tử đầu tiên của tích Ax là tổng tích (hay tích chấm) sử dụng hàng
đầu tiên của A và cột x. Tức là:
Tương tự như vậy, thành phần thứ hai của tích Ax là tổng tích của hàng thứ hai của A và cột x.
65
Quy tắc vector để tính Ax
• Nếu tích Ax xác định, thì thành phần thứ i của Ax là tổng các
tích của hàng thứ i của A với x.
66
Ví dụ 1.4.5
67
Các tính chất của tích ma trận-vector Ax
• Định lý 1.4.3: Nếu A là ma trận kích cỡ mxn, u,v\in R^n, c là một số thực, thì
Chứng minh: Để đơn giản, ta sẽ viết chứng minh cho trường hợp n=3. Trường hợp n tổng quát
𝑢1
𝑣1
c𝑢1
𝑢1 + 𝑣1
hoàn toàn tương tự. Giả sử u= 𝑢2 , 𝐯= 𝑣2 . Khi đó u+ 𝐯 = 𝑢2 +𝑣2 , cu= c𝑢2 . Do đó
𝑢3
𝑣3
c𝑢3
𝑢3 + 𝑣3
68
Chứng minh
69
Chứng minh định lý 1.4.2
• Để chứng minh a) và d) tương đương, ta sẽ chứng minh chúng cùng đúng hoặc cùng sai. Gọi U là
dạng bậc thang theo dòng của A. Cho vector b bất kỳ trong R^m. Ta có thể đưa ma trận mở rộng
[A b] về dạng [U d] với d nào đó trong R^m
• Nếu (d) đúng, thì mỗi hàng của U có một vị trí chốt và có thể không có vị trí chốt ở cột mở rộng.
Do đó phương trình Ax=b có nghiệm với mọi b, do đó (a) đúng.
• Nếu (d) sai, hàng cuối của U còn toàn 0. Cho d là một vector bất kỳ với thành phần cuối cùng bằng
1. Khi đó phương trình [U d] là ma trận mở rộng của 1 hệ vô nghiệm. Vì các phép biến đối sơ cấp
theo hàng có thể đảo ngược, nên ta có thể biến đổi [U d] thành [A b]. Hệ mới Ax=b cũng vô
nghiệm, do đó (a) sai.
70
1.5. Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
• Hệ thuần nhất: là một hệ phương trình tuyến tính có thể viết dưới
dạng Ax=0, trong đó A là một ma trận kích cỡ mxn, 0 là vector không
trong 𝑅𝑚 .
• x=0 luôn là một nghiệm của hệ thuần nhất Ax=0. Nghiệm này được
gọi là nghiệm tầm thường của Ax=0. Các nghiệm khác 0 được gọi là
nghiệm không tầm thường.
71
Ví dụ 1.5.1
• Xét xem hệ thuần nhất sau đây có nghiệm không tầm thường hay
không. Hãy mô tả tập nghiệm.
Giải:
Vì 𝑥3 là ẩn tự do, nên Ax=0 có nghiệm không tầm thường. Để tìm tập nghiệm của nó, ta đưa ma trận [A 0] về dạng
bậc thang theo hàng rút gọn.
72
Ví dụ 1.5.1
• Dùng các biến đổi sơ cấp để đưa A về dạng bậc thang rút gọn.
4
Giải hệ trên ta được nghiệm tổng quát của Ax=0 : 𝑥1 =3 𝑥3 , 𝑥3 cũng tự do.
tự do. Ở dạng vector, nghiệm tổng quát của Ax=0 có thể viết như sau:
Trong đó
73
Ví dụ 1.5.2
• Một phương trình tuyến tính có thể xem như 1 hệ phương trình tuyến tính đơn
giản. Hãy mô tả tập nghiệm của hệ sau:
• Giải: Coi 𝑥2 , 𝑥3 là các ẩn tự do. Khi đó 𝑥1 = .3𝑥2 + .2𝑥3 . Ta có nghiệm tổng quát là
• Tập nghiệm chính là Span{u,v}.
74
Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
• Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax=0 có thể
biểu diễn ở dạng Span{𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } với các vector 𝐯1 , … , 𝐯𝑝 phù hợp.
75
Dạng vector tham số
• Phương trình (1) ở trong Ví dụ 1.5.2 là mô tả ẩn của một mặt phẳng. Khi giải phương
trình này, ta nhận được một mô tả tường minh của mặt phẳng đó như là tập các vector
sinh bởi u và v. Phương trình (2) được gọi là một phương trình vector tham số của mặt
phẳng. Đôi khi, một phương trình tham số như vậy được viết ở dạng
Trong đó s,t là các số thực. Trong Ví dụ 1.5.1, phương trình 𝑥 = 𝑥3 𝑣(𝑥3 tự do), hay x=tv
(𝑡 ∈ 𝑅) là phương trình tham số của một đường thẳng.
Khi một tập nghiệm được viết tường minh với các vector như trong Ví dụ 1.5.1 và 1.5.2,
ta nói rằng nghiệm được viết ở dạng vector tham số.
76
Nghiệm của hệ không thuần nhất
• Ví dụ 1.5.3: Mô tả tất cả các nghiệm của Ax=b, trong đó
• Giải: Ma trận A chính là ma trận hệ số trong Ví dụ 1.5.1. Dùng các phép biến đổi
sơ cấp theo hàng đối với [A b] ta nhận được
• Do đó
tổng quát của Ax=b là
trong đó 𝑥3 tự do. Dưới dạng vector, nghiệm
77
Nghiệm của hệ không thuần nhất
Phương trình 𝐱 = 𝐩 + 𝑥3 𝐯, hay 𝐱 = 𝐩 + 𝑡𝐯 (𝑡 ∈ 𝑅) (3) mô tả tập nghiệm của Ax=b dưới dạng vector tham số.
Ngoài ra, từ Ví dụ 1.5.1 tập nghiệm của Ax=0 có dạng vector tham số 𝐱 = 𝑡𝐯 𝑡 ∈ 𝑅 (4), trong đó v ở (4) cũng chính
là v ở (3).
Như vậy, nghiệm của Ax=b nhận được bằng cách cộng vector p vào nghiệm của Ax=0, trong đó p là một nghiệm riêng
của Ax=b.
78
Mô tả hình học tập nghiệm của hệ không thuần nhất
• Để mô tả hình học tập nghiệm của Ax=b, ta có thể coi cộng vector như một phép tịnh tiến. Cho v
và p trong 𝑅2 hoặc 𝑅3 , ảnh hưởng của việc cộng p vào v chính là việc dịch v theo hướng song
song với đường thẳng đi qua p và 0. Ta nói rằng v được tịnh tiến thành v+p.
• Nếu mỗi điểm của đường thẳng L trong 𝑅2 hoặc 𝑅3 đều được tịnh tiến bởi vector p, thì ta nhận
được một đường thẳng song song với L như trong hình sau.
79
Mô tả hình học tập nghiệm của hệ không thuần
nhất
• Giả sử L là đường thẳng đi qua 0 và v được mô tả trong phương trình (4). Cộng p
vào mỗi điểm của đường thẳng L, ta nhận được đường thẳng được cho bởi (3).
Chú ý rằng p nằm trên đường thẳng được cho bởi (3). Ta gọi (3) là phương trình
đường thẳng đi qua p và song song với v.
• Như vậy, tập nghiệm của Ax=b là đường thẳng đi qua p và song song với tập
nghiệm của Ax=0, được minh họa trong hình sau:
80
Định lý 1.5.1:
• Giả sử phương trình Ax=b có nghiệm với một b cho trước và p là một
nghiệm của nó. Khi đó tập nghiệm của Ax=b là tập tất cả các vector có
dạng w=p+𝐯ℎ , trong đó 𝐯ℎ là một nghiệm của Ax=0.
• Chứng minh: Vì w cũng là nghiệm của Ax=b nên Aw=b. Do đó AwAp=b-b=0.
Do đó A(w-p)=0.
Đặt 𝑣ℎ =w-p. Khi đó 𝐯ℎ là nghiệm của Ax=0.
Vậy w=p+𝐯ℎ , trong đó 𝐯ℎ là một nghiệm của Ax=0.
81
Cách viết tập nghiệm (của một hệ tương thích)
dưới dạng vector tham số
1. Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa ma trận mở rộng về
dạng bậc thang theo hàng.
2. Biểu diễn mỗi ẩn qua các ẩn tự do.
3. Viết nghiệm x dưới dạng vector với các thành phần phụ thuộc vào
các ẩn tự do.
4. Phân tích x thành tổ hợp tuyến tính của các vector (với các thành
phần là các số), sử dụng các ẩn tự do như các tham số.
82
1.6. Sự độc lập tuyến tính
• Định nghĩa 1.6.1: Tập {𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } trong ℝ𝑛 được gọi là độc lập tuyến
tính nếu phương trình vector
chỉ có nghiệm tầm thường. Ngược lại, tập {𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } được gọi là phụ
thuộc tuyến tính nếu tồn tại các trọng 𝑐1 , … , 𝑐𝑝 không đồng thời bằng 0,
sao cho
Phương trình (2) được gọi là một liên hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các
vector 𝐯1 , … , 𝐯𝑝 .
83
Ví dụ 1.6.1:
• Cho các vector
a) Xác định xem v_1,v_2,v_3 có độc lập tuyến tính không.
b) Nếu chúng phụ thuộc tuyến tính, hãy tìm một sự liên hệ phụ thuộc
tuyến tính giữa chúng.
Giải: Xét phương trình vector 𝑐1 𝐯1 + 𝑐2 𝐯2 + 𝑐3 𝐯3 = 0
4
1
2 0
Ta được c1 2 +c2 5 + c3 1 = 0
6
3
0 0
84
Ví dụ 1.6.1
• Đưa ma trận mở rộng của hệ trên về dạng bậc thang:
• Ta thấy: 𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 0
Ta suy ra 𝑥2 = −𝑥3 , 𝑥1 = −4𝑥2 − 2𝑥3 = 2𝑥3 trong đó 𝑥3 tự do. Như
vậy, v_1,v_2,v_3 phụ thuộc tuyến tính.
Nếu lấy 𝑥3 = 1, thì 𝑥1 = 2, 𝑥2 = −5. Ta có sự liên hệ phụ thuộc tuyến
tính:
2𝐯1 − 5𝐯2 + 𝐯3 = 0
85
Sự độc lập tuyến tính của các ma trận cột
• Cho ma trận
Khi đó phương trình ma trận Ax=0 có thể viết dưới dạng
Bất kỳ sự liên hệ phụ thuộc tuyến tính nào giữa các cột của A đều tương ứng
với một nghiệm không tầm thường của Ax=0. Do đó:
Các cột của A độc lập tuyến tính khi và chỉ khi Ax=0 chỉ có nghiệm tầm thường.
86
Ví dụ 1.6.2
• Xác định xem các cột của A có độc lập tuyến tính không.
• Giải: Xét phương trình Ax=0. Ma trận mở rộng của nó có thể đưa về
dạng bậc thang
• Như vậy, có 3 ẩn cơ sở và không có ẩn tự do. Vậy Ax=0 chỉ có nghiệm
tầm thường, do đó các cột của A độc lập tuyến tính.
87
Tập 1 hoặc 2 vector
• Tập 1 vector {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi vector đó khác vector
không. Thật vậy, 𝑥1 𝐯 = 0 chỉ có nghiệm tầm thường 𝑥1 = 0 khi và chỉ khi
𝐯 ≠ 0.
• Tập gồm 2 vector {𝐯1 , 𝐯2 } trong ℝ𝑛 phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số
a, b không đồng thời bằng 0, sao cho 𝑎𝐯1 + 𝑏𝐯2 = 0
𝑏
• Giả sử 𝑎 ≠ 0, khi đó 𝐯1 = − 𝐯2 . Tức là 𝐯1 là một bội của 𝐯2 . Ta có 𝐯2 là
𝑎
bội của 𝐯1 nếu 𝑏 ≠ 0.
• Nhận xét: Tập gồm 2 vector {𝐯1 , 𝐯2 } phụ thuộc tuyến tính nếu có 1 vector là
bội của vector còn lại.
• Về mặt hình học, 2 vector phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng cùng
nằm trên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
88
Tập 2 vector
89
Tập gồm 2 hoặc nhiều vector
• Định lý 1.6.2: Tập 𝑆 = {𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐩 } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất 1 vector trong S là
tổ hợp tuyến tính của các vector khác. Trên thực tế, nếu S phụ thuộc tuyến tính và 𝐯𝟏 ≠ 0, thì có
một vector 𝐯𝑗 𝑗 > 1 là tổ hợp tuyến tính của các vector trước đó 𝐯𝟏 , … , 𝐯𝐣−𝟏 .
• Chứng minh: Vì S phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại c_1,…,c_p không đồng thời bằng 0 sao cho
𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝐯𝑝 = 0.
• Giả sử 𝐯1 ≠ 0.
Giả sử j là chỉ số lớn nhất sao cho 𝑐𝑗 ≠ 0. Khi đó
Phương trình vector trên có thể viết gọn lại là:
𝑐1 𝐯1 + ⋯ + 𝑐j 𝐯j = 0
𝑐𝑗−1
𝑐1
Vì 𝑐𝑗 ≠ 0, nên 𝐯𝑗 = − 𝐯1 + ⋯ +
𝐯 .
𝑐𝑗
𝑐𝑗 𝑗−1
Ta nhận được điều cần chứng minh.
• Chú ý: Định lý trên không nói rằng mỗi vector trong một tập phụ thuộc tuyến tính đều là tổ hợp
tuyến tính của các vector khác. Một vector trong một tập phụ thuộc tuyến tính có thể không phải
là tổ hợp tuyến tính của các vector khác.
90
Ví dụ 1.6.3
• Cho
Mô tả tập sinh bởi u và v và giải thích tại sao 𝐰 ∈ Span{𝐮, 𝐯} khi và chỉ khi u,v,w phụ thuộc tuyến tính.
Giải: u,v độc lập tuyến tính vì không có vector nào là bội của vector kia. Do đó chúng sinh ra 1 mặt phẳng
trong ℝ3 .
Trên thực tế, 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐮, 𝐯} là mặt phẳng 𝑥1 𝑥2 (với 𝑥3 = 0).
-Nếu w là tổ hợp tuyến tính của u và v, thì {u,v,w} phụ thuộc
tuyến tính, theo Định lý 1.6.2.
-Chiều ngược lại: Giả sử {u,v,w} phụ thuộc tuyến tính. Khi đó theo Định lý
1.6.2 có 1 vector là tổ hợp tuyến tính của các vector trước đó. Vector này
phải là w vì v không phải là bội của u. Do đó 𝐰 ∈ 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐮, 𝐯}.
91
Ví dụ 1.6.3
3 vector phụ thuộc tuyến tính:
𝐰 ∈ 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐮, 𝐯}
3 vector độc lập tuyến tính: 𝑤 ∉ 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝐮, 𝐯}
92
Định lý 1.6.3
• Nếu một tập trong ℝ𝑛 có số vector nhiều hơn số thành phần trong
mỗi vector (tức là nhiều hơn n vector) , thì nó phụ thuộc tuyến tính.
Tức là, nếu tập 𝑆 = {𝐯1 , … , 𝐯𝑝 }trong ℝ𝑛 với p>n, thì S phụ thuộc
tuyến tính.
• Chứng minh: Cho
Khi đó A có kích cỡ nxp và phương trình Ax=0 tương ứng với hệ gồm n
phương trình với p ẩn. Khi p>n, số ẩn nhiều hơn số phương trình, do
đó sẽ có ẩn tự do. Như vậy, Ax=0 có nghiệm không tầm thường. Vậy các
cột của A phụ thuộc tuyến tính.
93
2
Ví dụ 1.6.4: 1 tập phụ thuộc tuyến tính trong ℝ
• Các vector
phụ thuộc tuyến tính trong ℝ2
theo Định lý 1.6.3 vì ta có 3 vector và 3>2 (số thành phần trong mỗi
vector).
94
Định lý 1.6.4
• Nếu tập 𝑆 = {𝐯1 , … , 𝐯𝑝 } trong ℝ𝑛 có chứa vector không thì S phụ
thuộc tuyến tính.
• Chứng minh: Giả sử 𝐯𝐢 ≠ 𝟎. Khi đó một sự liên hệ phụ thuộc tuyến
tính giữa các vector trong S là
0𝐯1 + ⋯ + 0𝐯𝐢−𝟏 + 1𝐯𝐢 + 0𝐯𝐢+𝟏 + ⋯ + 0𝐯𝑝 = 0.
95
Ví dụ 1.6.5
• Hãy chỉ ra các tập sau đây phụ thuộc tuyến tính.
• Giải: a) Ta có 4 vector trong ℝ3 mà 4>3, nên các vector này phụ thuộc
tuyến tính.
b) Tập này có chứa vector 0 nên phụ thuộc tuyến tính.
c) Ta có vector thứ hai bằng -3/2 lần vector thứ nhất. Do đó 2 vector
phụ thuộc tuyến tính
96
1.7. Giới thiệu về ánh xạ tuyến tính
• Định nghĩa 1.7.1: Một ánh xạ T từ ℝn đến ℝm là một quy tắc cho
tương ứng mỗi vector 𝐱 ∈ ℝn với một và chỉ một vector 𝑇 𝐱 ∈ ℝm .
ℝn được gọi là miền xác định (domain) của T, còn ℝm được gọi là
đối miền (codomain) của T. Ta viết:
T: ℝn → ℝm .
T(x) được gọi là ảnh (image) của x (dưới tác động của T). Tập tất cả các
ảnh T(x) được gọi là ảnh (range) của T.
Hình 1: Miền xác định, đối miền và ảnh của T: ℝn → ℝm
97
Ánh xạ cho bởi ma trận
• T: ℝn → ℝm
T(x)=Ax, với mọi 𝐱 ∈ ℝn , trong đó A là một ma trận kích cỡ mxn.
Ví dụ 1.7.1: Cho
Ta định nghĩa ánh xạ T: ℝ2 → ℝ3 cho bởi công thức T(x)=Ax, với mọi 𝐱 ∈ ℝ2 . Như vậy,
a)
Tính T(u).
b) Tìm 𝐱 ∈ ℝ2 sao cho T(x)=b.
c)
Có bao nhiêu phần tử 𝐱 ∈ ℝ2 sao cho T(x)=b ?
d) Xác định xem c có nằm trong ảnh của T không.
98
Giải Ví dụ 1.7.1
a)
b) Để T(x)=b thì Ax=b hay
Ta đưa ma trận mở rộng của hệ (1) về dạng bậc thang
Do đó 𝑥1 = 1.5, 𝑥2 = −0.5. Tức là x=
1.5
−0.5
99
Giải Ví dụ 1.7.1
c) Vector x bất kỳ có ảnh T(x)=b khi và chỉ khi x thỏa mãn hệ phương trình (1), mà
theo (2) thì (1) có nghiệm duy nhất. Do đó chỉ có duy nhất một vector 𝐱 ∈ ℝ2 mà
có ảnh là b.
d) c nằm trong ảnh của T khi và chỉ khi có vector 𝐱 ∈ ℝ2 sao cho T(x)=c, tức là
phương trình Ax=c có nghiệm. Ta đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang:
Hàng cuối cùng của dạng bậc thang cho thấy Ax=c vô nghiệm. Vậy c không nằm trong ảnh của T.
100
Ví dụ 1.7.2: Phép chiếu
1 0 0
• Nếu A = 0 1 0 , thì ánh xạ: 𝐱 ↦ A𝐱 chiếu các điểm trong ℝ^3
0 0 0
lên mặt phẳng 𝑥1 𝑥2 vì
Hình 2: Ánh xạ chiếu
101
Ví dụ 1.7.3: Biến đổi nghiêng
1 2
• Cho A=
. Ánh xạ T: ℝ2 → ℝ2 được cho bởi T(x)=Ax được gọi là một phép biến đổi nghiêng
0 1
(a shear transformation). Ta có thể chỉ ra rằng khi T tác động lên mỗi điểm trong hình vuông 2x2
trong Hình 3, thì tập tất cả các ảnh tạo thành một hình bình hành bị nghiêng đi. Ý tưởng chứng
minh tính chất này là: đầu tiên chỉ ra T biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng và sau đó chỉ ra các
đỉnh của hình vuông biến thành các đỉnh của hình bình hành. Chẳng hạn như, ảnh của điểm
0
u=
là
2
Còn ảnh của
2
2
là
T làm biến dạng hình vuông như thể phần trên của hình vuông bị đẩy sang phải trong khi
đáy được giữ cố định. Biến đổi nghiêng xuất hiện trong vật lý, địa chất và tinh thể học.
102
Ví dụ 1.7.3: Biến đổi nghiêng
Hình 3: Một phép biến đổi nghiêng
103
Ánh xạ tuyến tính
• Định nghĩa 1.7.2: Ánh xạ T: ℝn → ℝm được gọi là ánh xạ tuyến tính,
nếu với mọi 𝐮, 𝐯 ∈ ℝn , với mọi 𝑐 ∈ ℝ.
a) T(u+v)=T(u)+T(v)
b) T(cu)=cT(u)
Tính chất của ánh xạ tuyến tính: Nếu T là ánh xạ tuyến tính, thì
và
với mọi 𝐮, 𝐯 ∈ ℝn , mọi c,d∈ ℝ.
104
Chứng minh
• Tính chất (3): T(0)=T(0u)=0T(u)=0
• Tính chất (4):
• Nhận xét 1: Nếu một ánh xạ thỏa mãn (4) với mọi 𝐮, 𝐯 ∈ ℝn và mọi
c,d ∈ ℝ, thì nó phải là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy, cho c=d=1, ta nhận được T(u+v)=T(u)+T(v)
Cho d=0, c tùy ý, ta nhận được T(cu)=cT(u).
Nhận xét 2: Áp dụng tính chất (4) liên tiếp, ta được tính chất tổng quát:
105
Nguyên lý chồng chập
• Trong kỹ thuật và vật lý, tính chất (5) được gọi là nguyên lý chồng
chập (superposition principle).
• Giả sử 𝐯1 , … , 𝐯𝑝 là các tín hiệu đưa vào một hệ thống, còn
𝑇 𝐯1 , … , 𝑇 𝐯𝑝 là các phản hồi của hệ thống đó đối với các tín hiệu.
Hệ thống thỏa mãn nguyên lý chồng chập nếu khi đầu vào
được biểu thị dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu
như vậy, thì phản hồi của hệ thống cũng là một tổ hợp tuyến
tính như vậy của các phản hồi đối với từng tín hiệu riêng lẻ.
106
Ví dụ 1.7.4
• Cho số thực r. Định nghĩa T: ℝ2 → ℝ2 bởi công thức T(x)=rx. T được
gọi là ánh xạ co nếu 0 ≤ r ≤ 1 và được gọi là ánh xạ giãn nếu r>1.
Cho r=3. Chứng minh T là một ánh xạ tuyến tính.
• Chứng minh: Cho 𝐮, 𝐯 ∈ ℝ2 và c,d là các số thực. Khi đó:
Hình 4: Một ánh xạ giãn
Vậy T là một ánh xạ tuyến tính.
107
Ví dụ 1.7.5: Một phép xoay
• Cho ánh xạ T: ℝ2 → ℝ2 bởi công thức
Tìm ảnh của các vector
,
Giải:
Nhận xét: Ta thấy T(u+v)=T(u)+T(v)
108
Ví dụ 1.7.5: Một phép xoay
T xoay u,v và u + v ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ đi một
góc là 900 . Trên thực tế, T biến hình bình hành với 2 cạnh u,v thành
hình bình hành với 2 cạnh T(u), T(v).
Hình 5: Một phép xoay
109
Ví dụ 1.7.6:
• Một công ty sản xuất 2 sản phẩm: B và C. Ta xây dựng một ma trận
“chi phí đơn vị: U=[b c] với các cột biểu thị “chi phí trong một đô la
đầu ra” cho sản phẩm.
Gọi 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 là vector sản xuất, tương ứng với 𝑥1 đô la của sản phẩm B và 𝑥2 đô la của sản phẩm C. Xét ánh
xạ T: ℝ2 → ℝ3 được cho bởi công thức
.40 Tổng chi phí nguyên liệu
.45
T(x)=Ux=𝑥1 .25 +𝑥2 .30 = Tổng chi phí nhân công
.15
.15
Tổng chi phí chung
110
Ví dụ 1.7.6
• Ánh xạ T biến danh sách các sản lượng sản xuất (tính bằng đô
la) thành danh sách tổng chi phí. Tính tuyến tính của phép ánh
xạ này được thể hiện ở 2 phương diện:
1. Nếu sản lượng tăng lên, chẳng hạn, 4 lần, từ x lên 4x, thì chi
phí sẽ tăng lên theo cùng một hệ số, từ T(x) lên 4T(x).
2. Nếu x và y là các vector sản xuất, thì vector tổng chi phí tương
ứng với sản lượng kết hợp x+y đúng bằng tổng của các vector chi phí
T(x)+T(y).
111
1.8. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
• Ví dụ 1.8.1: Cho 𝐞1 =
1
0
, 𝐞2 = . Giả sử T: ℝ2 → ℝ3 sao cho:
0
1
Tìm T(x) với x là một vector bất kỳ trong ℝ2 .
Giải: Viết x dưới dạng
Vì T là một ánh xạ tuyến tính, nên
112
Định lý 1.8.1.
• Cho T: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó tồn tại duy nhất
ma trận A kích cỡ mxn sao cho T(x)=Ax với mọi 𝐱 ∈ ℝ𝑛 .
• Cụ thể là, A là ma trận kích cỡ mxn mà có cột thứ j là T(𝐞𝑗 ), trong đó
0
.0. .
𝐞𝐣 = 1 (số 1 nằm ở thành phần thứ j của 𝑒𝑗 ) với j=1,…,n.
0
...
0
113
1.9. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tínhtrong kinh tế,
khoa học và kĩ thuật
• Một hệ thuần nhất trong kinh tế: Hệ phương trình gồm 500 phương trình với 500 ẩn được nói
đến ở phần giới thiệu của chương này, được biết đến là mô hình “đầu vào-đầu ra” (hay “sản
xuất”) Leontief. Trong chương 2, mô hình này sẽ được thảo luận chi tiết hơn, khi có đủ công cụ lý
thuyết và ký hiệu. Còn hiện tại, ta xét một mô hình trao đổi đơn giản hơn.
• Giả sử nền kinh tế của một quốc gia được chia thành nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như các
ngành sản xuất, truyền thông, giải trí và dịch vụ. Giả sử chúng ta biết tổng sản lượng của
mỗi lĩnh vực trong một năm và biết chính xác cách sản lượng này được phân chia
hoặc "trao đổi" giữa các lĩnh vực khác của nền kinh tế. Giả sử tổng giá trị đô la của sản
lượng của một lĩnh vực được gọi là giá của sản lượng đó. Leontief đã chứng minh kết quả
sau:
Tồn tại các mức giá cân bằng có thể được gán cho tổng sản lượng của
các lĩnh vực khác nhau sao cho thu nhập của mỗi ngành đúng bằng chi tiêu
của nó.
• Ví dụ sau đây cho thấy cách tìm giá cân bằng.
114
Ví dụ 1.9.1: Mô hình cân bằng kinh tế
Xét một nền kinh tế gồm 3 ngành:
- Than (Coal)
- Điện (Electric)
- Thép (Steel)
Bảng phân phối sản lượng (Table 1) cho biết tỷ lệ đầu ra của mỗi ngành
được phân bổ sang các ngành khác.
Yêu cầu: Tìm giá cân bằng 𝑝𝐶 , 𝑝𝐸 , 𝑝𝑆 sao cho thu nhập mỗi ngành
bằng chi tiêu của nó.
Lời giải: Tìm giá cân bằng
Từ bảng trên, ta có
Ta có hệ phương trình
116
Ví dụ 1.9.1: Mô hình cân bằng kinh tế
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang, để đơn giản, các số thập phân được làm tròn
đến 2 chữ số
Nghiệm tổng quát là: 𝑝𝐶 = 0.94𝑝𝑆 , 𝑝𝐸 = 0.85𝑝𝑆 , 𝑝𝑆 tự do. Vector giá cân bằng được cho ở dạng sau:
Ví dụ: Nếu 𝑝𝑆 = 100 thì 𝑝𝐶 = 94, 𝑝𝐸 = 85.
117
Ví dụ 1.9.2: Cân bằng phương trình hóa học
• Phương trình hóa học mô tả lượng chất được tiêu thụ và tạo ra
bởi các phản ứng hóa học. Ví dụ, khi khí propan cháy, propan
(𝐶3 𝐻8 ) kết hợp
• với oxy (𝑂2 ) để tạo thành carbon dioxide (𝐶𝑂2 ) và nước (𝐻2 𝑂),
theo phương trình có dạng
• Để cân bằng phương trình hóa học này, ta cần tìm các số 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4
sao cho tổng số nguyên tử carbon (C), tổng số nguyên tử oxy (0), tổng
số nguyên tử hidro (H) ở 2 vế của phương trình bằng nhau (vì các
nguyên tử không bị mất đi cũng không được sinh ra trong phản ứng).
118
Ví dụ 1.9.2: Cân bằng phương trình hóa học
• Một phương pháp hệ thống để cân bằng phương trình hóa học là thiết lập một phương
trình vector mô tả số lượng nguyên tử của mỗi loại có trong một phản ứng. Vì phương
trình (4) bao gồm ba loại nguyên tử (cacbon, hydro và oxy), ta xây dựng một vector trong
ℝ3 cho mỗi chất tham gia phản ứng và sản phẩm trong (4) bằng cách liệt kê số lượng
"nguyên tử trên một phân tử“ như sau
Để cân bằng phương trình (4), các ẩn x_1,x_2,x_3,x_4 phải thỏa mãn
119
Ví dụ 1.9.2: Cân bằng phương trình hóa học
• Hệ đã cho tương đương với:
Giải hệ trên, ta được
trong đó 𝑥4 tự do.
Vì các hệ số trong phương trình hóa học phải nguyên, nên ta chọn 𝑥4 =
4. Khi đó 𝑥1 = 1, 𝑐2 = 5, 𝑥3 = 3. Vậy phương trình được cân bằng là:
120
Chú ý
Phương trình cũng sẽ cân bằng nếu, ví dụ, mỗi hệ số được nhân đôi.
Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, các nhà hóa học thích sử dụng
một phương trình cân bằng có hệ số là số nguyên nhỏ nhất có thể.
121
THANK YOU FOR LISTENNING
122